Le fondamenta della cultura matematica Raccolta di vari argomenti matematici PDF generated using the open source mwlib toolkit. See http://code.pediapress.com/ for more information. PDF generated at: Tue, 20 Oct 2009 12:35:32 UTC Indice Voci Matematica 1 Matematica 1 Storia della matematica 11 Aritmetica 38 Aritmetica 38 Teoria dei numeri 40 Algebra 43 Algebra 43 Algebra elementare 46 Algebra astratta 49 Algebra lineare 50 Algebra commutativa 52 Algebra universale 53 Sistema di algebra computazionale 55 Geometrie 59 Geometria 59 Geometria euclidea 68 Teorema della bisettrice 70 Criteri di congruenza dei triangoli 71 Teorema della mediana 73 Teorema di Pappo 74 Teorema di Pasch 75 Teorema di Pitagora 76 Primo teorema di Euclide 85 Secondo teorema di Euclide 87 Similitudine (geometria) 90 Teorema di Talete 93 Geometria piana 98 Poligono 99 Poligono regolare 103 Poligono stellato 107 Sezione conica 109 Rappresentazione matriciale delle coniche 116 Geometria solida 118 Volume 119 Faccia (geometria) 123 Spigolo 124 Vertice (geometria) 124 Geometria analitica 125 Spazio vettoriale 127 Piano (geometria) 133 Distanza (matematica) 134 Prodotto scalare 137 Intersezione 144 Sistema di riferimento cartesiano 146 Geometria affine 149 Spazio affine 150 Sottospazio affine 152 Trasformazione affine 156 Geometria algebrica 160 Varietà algebrica 163 Varietà affine 165 Geometria proiettiva 166 Spazio proiettivo 169 Piano proiettivo 172 Retta proiettiva 175 Coordinate omogenee 177 Trasformazione di Möbius 180 Teorema di Desargues 183 Teorema dell'esagono di Pappo 184 Geometria differenziale 185 Varietà differenziabile 187 Geometria non euclidea 188 Geometria ellittica 195 Geometria iperbolica 198 Geometria sferica 205 Geometria descrittiva 211 Analisi 216 Analisi matematica 216 Riferimenti Fonti e autori del articolo 221 Fonti, licenze e autori delle immagini 224 Licenze della voce Licenza 228 1 Matematica Matematica La parola matematica deriva dal greco μάθημα (máthema), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza" o "apprendimento"; μαθηματικός (mathematikós) significa "incline ad apprendere". Con questo termine di solito si designa la disciplina (ed il relativo corpo di conoscenze) che studia problemi concernenti quantità, estensioni e figure spaziali, movimenti di corpi, e tutte le strutture che permettono di trattare questi aspetti in modo generale. La matematica fa largo uso degli strumenti della logica e sviluppa le proprie conoscenze nel quadro di sistemi ipotetico-deduttivi che, a partire da definizioni rigorose e da assiomi riguardanti proprietà degli oggetti definiti (risultati da un procedimento di astrazione, come triangoli, funzioni, vettori ecc.), raggiunge Trattato di aritmetica di Filippo Calandri del 1491. nuove certezze, per mezzo delle dimostrazioni, attorno a proprietà meno intuitive degli oggetti stessi (espresse dai teoremi). La potenza e la generalità dei risultati della matematica le ha reso l'appellativo di regina delle scienze: ogni disciplina scientifica o tecnica, dalla fisica all'ingegneria, dall'economia all'informatica, fa largo uso degli strumenti di analisi, di calcolo e di modellizzazione offerti dalla matematica. Matematica 2 Evoluzione e finalità della matematica La matematica ha una lunga tradizione presso tutti i popoli della storia antica e moderna; è stata la prima disciplina a dotarsi di metodi di elevato rigore e portata; ha progressivamente ampliato gli argomenti della sua indagine e progressivamente ha esteso i settori ai quali può fornire aiuti computazionali e di modellizzazione. È significativo che in talune lingue e in talune situazioni al termine singolare si preferisce il plurale matematiche. Nel corso della sua lunga storia e nei diversi ambienti culturali si sono avuti periodi di grandi progressi e periodi di stagnazione degli studi. Questo in parte è dovuto all'importanza dei singoli personaggi capaci di dare apporti profondamente innovativi e illuminanti e di stimolare all'indagine matematica grazie alle loro doti didattiche. Si sono avuti anche periodi di arretramento delle conoscenze e dei metodi: questi però si sono riscontrati solo in relazione a eventi distruttivi o a periodi Papiro egiziano che tratta di matematica di decadenza complessiva della vita intellettuale e civile. Nella → storia della matematica degli ultimi 500 anni, in relazione al miglioramento dei mezzi di comunicazione è comunque prevalsa la crescita progressiva del patrimonio di risultati e di metodi. Questo è dovuto alla natura stessa delle attività matematiche. Esse sono costantemente tese alla esposizione precisa dei problemi e delle soluzioni e questo impone di comunicare avendo come fine ultimo la possibilità di chiarire tutti i dettagli delle costruzioni logiche e dei risultati (alcuni chiarimenti richiedono un impegno non trascurabile, talora molti decenni). Questo ha corrisposto alla definizione di un linguaggio per molti aspetti esemplare come strumento per la trasmissione e la sistemazione delle conoscenze. Matematica teorica e applicata Le attività matematiche sono naturalmente interessate alle possibili generalizzazioni e astrazioni, in relazione alle economie di pensiero e ai miglioramenti degli strumenti (in particolare degli strumenti di calcolo) che esse sono portate a realizzare. Le generalizzazioni e le astrazioni quindi spesso conducono a visioni più approfondite dei problemi e stabiliscono rilevanti sinergie tra progetti di indagine inizialmente rivolti ad obiettivi non collegati. → Teorema di Pitagora in uno scritto cinese Nel corso dello sviluppo della matematica si possono rilevare periodi datato tra il 500 a.C. e il 200 a.C., questo teorema ed ambienti nei quali prevalgono alternativamente atteggiamenti ha importanti ricadute pratiche e teoriche generali e valori riconducibili a due differenti generi di motivazioni e di approcci: le motivazioni applicative, con la loro spinta a individuare procedimenti efficaci, e le esigenze di sistemazione concettuale con la loro sollecitazione verso generalizzazioni, astrazioni e panoramiche strutturali. Si tratta di due generi di atteggiamenti tra i quali si costituisce una certa polarizzazione; questa talora può diventare contrapposizione, anche astiosa, ma in molte circostanze i due atteggiamenti stabiliscono rapporti di reciproco arricchimento e sviluppano sinergie. Nel lungo sviluppo della matematica si sono avuti periodi di prevalenza di uno o dell'altro dei due atteggiamenti e dei rispettivi sistemi di valori. Del resto la stessa nascita della matematica può ragionevolmente ricondursi a due ordini di interessi: da un lato le esigenze applicative che fanno ricercare valutazioni praticabili; dall'altro la ricerca di verità tutt'altro che evidenti, Matematica 3 forse tenute nascoste, che risponde ad esigenze immateriali, la cui natura può essere filosofica, religiosa o estetica. Negli ultimi 30 o 40 anni tra i due atteggiamenti si riscontra un certo equilibrio non privo di tensioni riemergenti, ma con molteplici episodi di mutuo supporto. A questo stato di cose contribuisce non poco la crescita del mondo del computer, rispetto al quale il mondo della matematica presenta sia canali di collegamento (che è ormai assurdo cercare di interrompere) che differenze, ad esempio differenze dovute a diverse velocità di mutazione e a diversi stili comunicativi, che proiettano le due discipline agli antipodi. Argomenti principali della matematica Cerchiamo ora di segnalare a grandi linee i temi oggetto della indagine matematica, illustrando una sorta di itinerario guidato per un progressivo accostamento delle problematiche, delle argomentazioni e delle sistemazioni teoriche. Aritmetica I primi problemi che inducono ad accostarsi alla matematica sono quelli che si possono affrontare con l'→ aritmetica elementare: si tratta di calcoli eseguibili con le quattro operazioni che possono riguardare contabilità finanziarie, valutazioni di grandezze → geometriche o meccaniche, calcoli relativi agli oggetti ed alle tecniche che si incontrano nella vita quotidiana. I più semplici di questi calcoli possono effettuarsi servendosi solo di numeri interi naturali, ma presto i problemi di calcolo richiedono di saper trattare i numeri interi relativi e i numeri razionali. Algebra I problemi aritmetici più semplici sono risolti mediante formule che forniscono risultati conseguenti. Ad esempio: l'area di un rettangolo con lati lunghi e è il loro prodotto . Complicando gli enunciati diventa necessario servirsi di equazioni. Ad esempio: per il → Teorema di Pitagora, se un triangolo rettangolo ha i lati più corti (cateti) di lunghezza e , quello più lungo (ipotenusa) ha come lunghezza il numero positivo che risolve l'equazione: . Le equazioni più semplici sono le equazioni lineari, sia perché rappresentano le questioni → geometriche più semplici, sia perché sono risolvibili con procedimenti standard. Nelle formule e nelle equazioni conviene far entrare parametri i cui valori si lasciano indeterminati: in tal modo si viene a disporre di strumenti di portata più generale, che permettono di conseguire evidenti economie di pensiero. Ad esempio: in un triangolo rettangolo con cateti di lunghezza e , la lunghezza dell'ipotenusa è il numero positivo tale che . Per meglio valutare le formule e per risolvere molti tipi di equazioni si rende necessario sviluppare un calcolo letterale che permetta di rimaneggiarle. Le regole di questo calcolo letterale costituiscono la cosiddetta → algebra elementare. Matematica 4 Geometria Lo studio della → geometria piana e spaziale riguarda inizialmente