Etude des spécifications modulaires : constructions de colimites finies, diagrammes, isomorphismes Catherine Oriat
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Catherine Oriat. Etude des spécifications modulaires : constructions de colimites finies, diagrammes, isomorphismes. Autre [cs.OH]. Institut National Polytechnique de Grenoble - INPG, 1996. Français. tel-00005007
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THESE
pr esent ee par
Catherine ORIAT
p our obtenir le grade de DOCTEUR
de l INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE
Arr et e minist eriel du mars
Sp ecialit e Informatique
Etude des sp eci cations mo dulaires constructions
de colimites nies diagrammes isomorphismes
Th ese soutenue le janvier
Comp osition du jury
Pr esident M Jean Pierre VERJUS
Rapp orteurs M Michel BIDOIT
M Christian LAIR
Examinateurs M Michel SINTZOFF
M Didier BERT
Lab oratoire Logiciels Syst emes et R eseaux LSR IMAG
Remerciements
Je remercie tout d ab ord mon directeur de th ese M Didier Bert p our son soutien
et p our la con ance qu il m a accord ee dans la pr eparation de cette th ese
Je remercie M Jean Pierre Verjus qui a accept e de pr esider ce jury
Je remercie M Michel Bidoit p our l int er et qu il a p ort e a mon travail et p our
avoir accept e d etre rapp orteur de ma th ese
Je remercie M Christian Lair p our les am eliorations qu il m a sugg er ees et p our
les erreurs qu il m a signal ees avec b eaucoup d indulgence et de gentillesse Je suis
particuli erement honor ee qu un cat egoricien de sa comp etence ait accept e de faire
partie de mon jury en qualit e de rapp orteur
Je remercie M Michel Sintzo p our m avoir fait l honneur de particip er a ce
jury
Ce travail doit b eaucoup a M Jean Claude Reynaud Je le remercie d une part
p our le temps qu il a consacr e a suivre mon travail et d autre part p our toutes
les suggestions qu il m a faites Si par hasard ce travail contient quelques id ees
int eressantes c est probablement lui qui me les a sou ees mais en paraphrasant
Mac Lane je suis evidemment resp onsable des erreurs qui p ourraient rester
Je remercie en n les membres de l equipe SCOP auxquels j asso cie les o ccupants
pr esents ou pass es du b atiment D p our leur accueil et leur soutien tout au long de
ce travail
Le d epartement ::: ep ousait l opinion traditionnelle
qui voulait que la recherche f ut une o ccupation soli
taire et er emitique une mise al epreuve du caract ere
plus que de l erudition qu un abus de contact humain
p ouvait vicier
David Lo dge La chute du British Museum
R esum e
La comp osition de sp eci cations mo dulaires p eut etre mo d elis ee dans le for
malisme des cat egories par des colimites de diagrammes La somme amalgam ee
p ermet en particulier d assembler deux sp eci cations en pr ecisant les parties com
munes Notre travail p oursuit cette id ee classique selon trois axes
D un p ointde vue syntaxique nous d e nissons un langage p our repr esenter les
sp eci cations mo dulaires construites a partir d une cat egorie de sp eci cations et de
morphismes de sp eci cations de base Ce langage est caract eris e formellement par
une cat egorie de termes niment co compl ete
D un p oint de vue s emantique nous prop osons d asso cier a tout terme un dia
gramme Cette interpr etation p ermet de faire abstraction de certains choix e ectu es
lors de la construction de la sp eci cation mo dulaire Pour cela nous d e nissons une
cat egorie de diagrammes concr ete c est a dire dont les eches p euvent etre mani
pul ees e ectivement En consid erant le quotient par une certaine congruence nous
obtenons une compl etion de la cat egorie de base par colimites nies Nous montrons
que le calcul du diagramme asso ci e a un terme d e nit une equivalence entre la cat e
gorie des termes et la cat egorie des diagrammes ce qui prouve la correction de cette
interpr etation
En n nous prop osons un algorithme p our d ecider si deux diagrammes sont iso
morphes dans le cas particulier o u la cat egorie de base est nie et sans cycle Cela
p ermet de d etecter des isomorphismes de construction entre sp eci cations mo
dulaires c est a dire des isomorphismes qui ne d ependent pas des sp eci cations de
base mais seulement de la mani ere dont celles ci sont assembl ees
Abstract
The comp osition of mo dular sp eci cations can b e mo deled in a category theo
retic framework by means of colimits of diagrams Pushouts in particular allowus
to gather two sp eci cations sharing a common part Our work extends this classic
idea along three lines
From a syntactic p oint of view we de ne a language to represent mo dular sp eci
cations built from a category of base sp eci cations and base sp eci cation morphisms
This language is formally characterized by a nitely co complete category of terms
From a semantic p oint of view we prop ose to asso ciate with each term a diagram
This interpretation allows us to abstract some choices made while constructing a
mo dular sp eci cation We thus de ne a concrete category of diagrams in which
arrows can actually b e handled Considering the quotient by a certain congruence
relation we get a completion of the base category with nite colimits We prove that
this calculus de nes an equivalence b etween the category of terms and the category
of diagrams which shows the soundness of this interpretation
At last we prop ose an algorithm to decide whether two diagrams are isomorphic
when the base category is nite and cycle free This allows us to detect construc
tion isomorphisms b etween mo dular sp eci cations i e isomorphisms which do not
dep end on the base sp eci cations but only on their combination
Table des mati eres
R esum e
Introduction
Sp eci cations alg ebriques
Th eorie des cat egories
Mo dularit e
Notre travail
Comparaisons avec d autres travaux
Plan de ce m emoire
Motivation
Pr eliminaires
Sp eci cations
Comp osition de sp eci cations en LPG
Sommes amalgam ees
Somme amalgam ee de deux ensembles
Somme amalgam ee de deux signatures
Somme amalgam ee de deux sp eci cations
Syntaxe abstraite p our les constructions mo dulaires
Somme disjointe de deux sp eci cations
Sp eci cations mo dulaires d anneaux
Isomorphisme de construction
Cadre g en eral
Institutions
Terminologie et hypoth eses
Graphes cat egories et diagrammes
Graphes
Cat egories foncteurs :::
Cat egories
Foncteurs
Transformations naturelles
Adjonctions
Diagrammes
Cat egorie des diagrammes DIAGR C
Colimites
TABLE DES MATIERES
Exemples de colimites
Adjonction Colim a I
C C
Conservation de colimites
Aplatissement
Cat egorie diagr C
La cat egorie diagr C est niment co compl ete
La cat egorie diagr C est une compl etion de C par colimites
nies
Conclusion
Syntaxe cat egorie des termes
Pr ecat egories pr efoncteurs et pr e colimites
Probl eme de circularit e termes congruences
Pr ecat egories C
i
Simpli cation des eches
Extensions conservatrices
Pr ecat egorie TERME C
0
Cat egorie Terme C
0
Cat egorie libre L C
0
Conclusion
S emantique des termes aux diagrammes
S emantique
Pr ecat egorie DIAGR C
0
Pr efoncteur D TERME C DIAGR C
0 0
Exemple des anneaux
Diagramme asso ci e alasp eci cation A
2
Diagramme asso ci e alasp eci cation A
2
Diagramme asso ci e alasp eci cation A
3
Diagramme asso ci e alasp eci cation A
4
Equivalence entre les cat egories Terme C et diagr C
0 0
Equivalence entre cat egories equivalence entre pr ecat egories
Equivalence entre les pr ecat egories DIAGR C et TERME C
0 0
Correction du calcul de diagrammes
Conclusion
Isomorphismes entre diagrammes
Transformations de diagrammes
Substitution par ob jet isomorphe
Suppression d un arc
Ajout d un arc etiquet e
Contraction d un arc identit e
Cat egorie C nie et sans cycle
0
Hyp oth eses
Fonction de compl etion
Zigzags el ementaires et liens
TABLE DES MATIERES
Forme minimale
Algorithme
Cas g en eral
Zigzags
Cat egorie de base comp ortant des cycles
Cat egorie de base in nie
Conclusion
Bilan
Perspectives
A Preuves sur la syntaxe
A Preuveduth eor eme de forme normale
A Preuveduth eor eme de forme normale
A Preuveduth eor eme d unicit e de la forme normale
A Preuveduth eor eme
R ef erences bibliographiques
Index
TABLE DES MATIERES
Introduction
Sp eci er un probl eme consiste a le d ecrire sans d ecider pr ematur ement de la
fa con dont il sera r esolu En informatique une sp eci cation de programme est une
description des fonctionnalit es attendues du programme ind ependante des choix de
mise en uvre
Il existe plusieurs mani eres de sp eci er un programme On p eut utiliser une
langue naturelle par exemple en ecrivant un cahier des charges Certaines activit es
comme la validation de programme la construction automatique d un prototype ou
la pro duction syst ematique de jeux de tests n ecessitent des sp eci cations formel les
qui p oss edent une s emantique pr ecise en particulier non ambigu e
Nous nous int eressons ici aux sp eci cations alg ebriques qui font partie des sp e
1
ci cations orient ees propri et es Les sp eci cations orient ees propri et es sont bas ees
sur un syst eme logique qui d e nit l ensemble des propri et es que doit satisfaire tout
mo d ele de la sp eci cation
Sp eci cations alg ebriques
Une sp eci cation alg ebrique est comp os ee d une signature et d un ensemble
d axiomes La signature contient les symboles utilis es p our former des expressions
et les axiomes d e nissent certaines propri et es de ces expressions La logique sous
jacente d ecrit l ensemble des th eor emes que l on p eut d eduire des axiomes De plus
la s emantique des sp eci cations alg ebriques asso cie a toute sp eci cation une classe
de mod eles c est a dire une classe d alg ebres multi sortes qui satisfont les axiomes
Historiquement les sp eci cations alg ebriques sont issues de deux courants dis
tincts l alg ebre universelle en math ematiques Coh et les types abstraits en g enie
logiciel L origine des types abstraits gure dans le concept de classe du langage de
programmation Simula DN BDMN Un type abstrait comp os e d un ensemble
de domaines de valeurs accompagn e d un ensemble d op erations sur ces domaines
de valeurs p ermet de structurer les donn ees L id ee de base en sp eci cation alg e
brique consiste amod eliser un type abstrait par une alg ebre Cette id ee est motiv ee
par l analogie entre un type abstrait et une alg ebre multi sortes sur une signature
L interpr etation des sortes de la signature corresp ond en e et aux domaines de va
leurs et l interpr etation des op erateurs de la signature corresp ond aux op erations
sur ces domaines de valeurs
Les premiers travaux sur les sp eci cations alg ebriques datent du milieu des an
n ees avec les travaux de B Liskov et S Zilles LZ de J Guttag Gut
1
En anglais property oriented
INTRODUCTION
Gut et du group e ADJ comp os e de J Goguen J Thatcher E Wagner et
J Wright GTWW GTWW GTW Au d epart les sp eci cations alg e
briques etaient bas ees sur la logique equationnelle Puis ont et eintro duites d autres
logiques comme les clauses de Horn la logique du premier ordre ou encore les
sp eci cations avec contraintes EM D autres extensions ont p ermis de prendre
en compte la notion d erreur BBC BL J Goguen et R Burstall ont pro
pos e la th eorie des institutions qui o re un cadre g en eral p our etudier les di e
rents formalismes de sp eci cation alg ebrique GB GB Il existe b eaucoup
de r ef erences sur les sp eci cations alg ebriques parmi les b onnes synth eses citons
EM MG Wir
Ces travaux ont donn e naissance a de nombreux langages de sp eci cation alg e
brique comme Clear BG BG ACT ONE et ACT TWO EM EM ASL
+
SW Wir OBJ et OBJ FGJM GKK PLUSS Gau Bid LPG
+
Ber BE B GLIDER Huf On trouve un b on panorama des di erents
langages de sp eci cation alg ebrique existants dans Wir
Th eorie des cat egories
La th eorie des cat egories rep ose sur deux notions l objet et la eche contrai
rement a la th eorie des ensembles qui rep ose sur le seul concept d ensemble En
th eorie des ensembles un ensemble est caract eris e de fa con interne par ses el ements
alors qu en th eorie des cat egories un objet est caract eris e de fa con externe par les
relations entretenues par l interm ediaire des eches avec les autres ob jets Pour
cette raison un grand nombre de concepts de th eorie des cat egories sont d e nis a
un isomorphisme pr es
La th eorie des cat egories a et e invent ee au d ebut des ann ees par S Mac
Lane et S Eilenberg Bien que certains math ematiciens aient dout e de l int er et des
cat egories ce formalisme a jou eunr ole uni cateur en math ematiques en particulier
en alg ebre et en top ologie Cette th eorie d e nit les di erents concepts de fa con
g en erale et abstraite ind ependamment de tout mo d ele C est p our cette raison que
2
ses d etracteurs l on surnomm ee non sens abstrait La th eorie des cat egories a
commenc e a int eresser les informaticiens au d ebut des ann ees Par exemple
la d ecouverte de l equivalence entre le ऋ calcul typ e et les cat egories cart esiennes
ferm ees a p ermis de donner des solutions el egantes au probl eme des mo d eles du ऋ
calcul li e a celui de la r esolution des equations de domaines SP Wan LS Il
existe de fa con g en erale des liens tr es etroits entre la th eorie des types et la th eorie
des cat egories cf par exemple See Poi
L ouvrage de r ef erence sur les cat egories est le livre de S Mac Lane McL
plut ot destin e aux math ematiciens Pour les informaticiens le livre de M Barr
et C Wells BW est plus accessible car les di erents concepts sont pr esent es
de fa con assez el ementaire et les exemples sont tir es de l informatique Il existe
b eaucoup d autres ouvrages qui traitent des cat egories par exemple MB AM
Gol AL
Le formalisme des sp eci cations alg ebriques s appuie largement sur la th eorie
2
En anglais abstract nonsense
INTRODUCTION
des cat egories Historiquement le d eveloppement des sp eci cations alg ebriques en
particulier les travaux du group e ADJ a et e in uenc e par les th eories alg ebriques de
Lawvere Les th eories alg ebriques de Lawvere p ermettentdemod eliser les cat egories
d alg ebres en faisant abstraction de la syntaxe c est a dire ind ependamment de la
notion de signature Law BW WBT
D autre part d un p oint de vue pratique on p eut justi er l utilisation des cat e
gories par l imp ortance des morphismes de sp eci cations qui jouentunr ole essentiel
en sp eci cation alg ebrique Intuitivement un morphisme de sp eci cations exprime
une relation entre deux sp eci cations Pour prendre un exemple math ematique
tout anneau p eut etre consid er e comme un group e ce qui signi e qu il existe un
morphisme de sp eci cations entre la sp eci cation des group es et la sp eci cation des
anneaux Il p eut exister plusieurs morphismes de sp eci cations entre deux sp eci
cations Par exemple on p eut consid erer tout anneau comme un mono de de deux
fa cons di erentes en consid erant soit l op erateur additif soit l op erateur multiplica
tif de l anneau comme l op erateur du mono de Pr eciser quel op erateur de l anneau
sera l op erateur du mono de consiste exactement ad e nir un morphisme de sp eci
cations entre la sp eci cation des mono des et la sp eci cation des anneaux
Mo dularit e
Le d eveloppement de sp eci cations de grande taille n ecessite un d ecoupage des
sp eci cations en plusieurs sp eci cations plus simples app el ees modules Chaque mo
dule corresp ond a un probl eme plus simple ar esoudre Cette m ethode qui consiste
a diviser p our mieux r egner est classique en g enie logiciel LCW De fa con
g en erale la mo dularit e p ermet d une part le d eveloppement ind ependant des di e
rents mo dules et d autre part une meilleure compr ehension de chaque mo dule ce
qui facilite la maintenance
Cette vision de la mo dularit e corresp ond a une appro che descendante de r eso
lution de probl eme puisque l accent est mis sur la d ecomposition du probl eme en
plusieurs sous probl emes plus simples Dans notre travail notre conception de la
mo dularit e est au contraire ascendante Nous nous int eressons en e et alacompo
sition des mo dules c est a dire a l assemblage de mo dules el ementaires p ermettant
de construire des mo dules plus complexes Ces mo dules el ementaires sont regroup es
dans une biblioth eque la biblioth eque des modules de base L int er et de la comp osi
tion est de p ermettre la r eutilisation des mo dules de base pr econis ee en g enie logiciel
p our r eduire les erreurs et les co uts de d eveloppement cf par exemple Ber
Un asp ect de la mo dularit e est la p ossibilit e de d e nir des sp eci cations g en e
riques c est a dire param etr ees SST En e et une sp eci cation param etr ee p eut
etre instanci ee de di erentes mani eres par d autres sp eci cations ce qui evite de r e
ecrire une nouvelle sp eci cation p our chaque variation d un m eme probl eme Le but
est alors de d e nir des sp eci cations g en eriques su samment g en erales p our p er
mettre de sp eci er le maximum de probl emes par une simple instanciation Mar
Le d eveloppement mo dulaire des sp eci cations est assist e dans les langages de
3
sp eci cation alg ebrique par des op erateurs de construction comme le renommage
3
En anglais speci cation building operations
INTRODUCTION
l enrichissement ou l abstraction ST Wir Ces primitives p ermettent de cons
truire de nouvelles sp eci cations a partir de sp eci cations d ej ad e nies La comp osi
tion de mo dules est un cas particulier d op erateur de construction de sp eci cations
qui p eut etre mo d elis e par des colimites de diagrammes Intuitivement en th eorie
des cat egories un diagramme p ermet de d ecrire un assemblage de plusieurs ob jets
en pr ecisant des partages entre certains ob jets a l aide de eches La colimite du
diagramme p ermet de consid erer le r esultat de cette comp osition Cette utilisation
g en erale des colimites p our mo d eliser l interconnexion de syst emes a et e prop os ee
par J Goguen Gog Gog
4
Un cas particulier de colimite est la somme amalgam ee qui corresp ond a l as
semblage de deux ob jets B et C en sp eci ant une partie commune entre ces deux
ob jets par un objet partag e A et deux eches f A B et g A C En sp eci
cation alg ebrique la somme amalgam ee p eut mo d eliser d une part la composition
de deux sp eci cations qui ont une partie commune et d autre part l instanciation
d une sp eci cation g en erique
Notre travail
Nous etudions la comp osition des sp eci cations alg ebriques mo dulaires Nous
supp osons que nous disp osons d une biblioth eque de sp eci cations et de morphismes
de sp eci cations de base qui forment une cat egorie de base en g en eral app el ee C
0
dans ce m emoire Les sp eci cations de base sont monolithiques c est a dire non
d ecompos ees Notre travail rep ose sur une id ee classique en sp eci cation alg ebrique
la comp osition des sp eci cations p eut etre mo d elis ee par des colimites de diagrammes
nis Nous prop osons donc de consid erer une sp eci cation modulaire comme une
sp eci cation obtenue a partir de sp eci cations et morphismes de sp eci cations de
base par une suite de constructions de colimites
Notre travail est ind ependant de la logique sous jacente du langage de sp eci
cation alg ebrique Nous p ouvons donc nous placer dans le cadre g en eral des ins
titutions Nous devons uniquement supp oser que la cat egorie des sp eci cations est
niment cocompl ete c est a dire que tout diagramme ni a une colimite
D un p oint de vue syntaxique c est a dire en ce qui concerne le langage utilis e
p our d ecrire ces constructions nous ne consid erons pas toutes les colimites nies
mais uniquement les sommes amalgam ees En e et avec la sp eci cation vide ob jet
initial de la cat egorie des sp eci cations les sommes amalgam ees p ermettent de si
muler la construction de toute colimite nie Nous prop osons la construction d une
cat egorie de termes app el ee Terme C p our repr esenter la comp osition de sp eci
0
cations mo dulaires en utilisant les sommes amalgam ees
En th eorie des cat egories on travaille le plus souvent a un isomorphisme pr es
C est une cons equence de la caract erisation externe des ob jets dans ce formalisme
Les colimites par exemple sont d e nies au d epart a un isomorphisme pr es La
d e nition d une syntaxe est au contraire un probl eme typiquement informatique
qui n ecessite de faire des choix de repr esentation C est la raison p our laquelle
nous devons utiliser des sommes amalgam ees choisies au moment de la d e nition
4
En anglais pushout Les cat egoriciens utilisent egalement le terme de coproduit br e
INTRODUCTION
du langage d expression p our les sp eci cations mo dulaires Ces choix de sommes
amalgam ees corresp ondent a des choix de co dage
Un terme corresp ond donc a une sp eci cation mo dulaire construite par une suc
cession de sommes amalgam ees Dans une seconde etape nous prop osons d inter
pr eter un terme par un diagramme dont la colimite est la sp eci cation mo dulaire
d enot ees par ce terme Nous consid erons les diagrammes comme une s emantique
p our les sp eci cations mo dulaires par opp osition aux termes qui constituent la syn
taxe
L interpr etation des termes par des diagrammes n ecessite de d e nir une cat egorie
de diagrammes puisqu il faut non seulement asso cier a toute sp eci cation mo dulaire
un diagramme mais aussi asso cier a tout morphisme de sp eci cations mo dulaires
un morphisme de diagrammes La d e nition d un diagramme est relativement stan
dard en th eorie des cat egories bien qu il existe quelques nuances La d e nition de
morphisme de diagrammes est moins connue en particulier dans la litt erature in
formatique o u sont utilis ees des d e nitions moins g en erales que celle dont nous nous
servons ici
Nous pr esentons deux cat egories de diagrammes DIAGR C et diagr C Les
0 0
ob jets de DIAGR C sont des diagrammes et les eches de DIAGR C des mor
0 0
phismes de diagrammes La cat egorie diagr C est obtenue a partir de DIAGR C
0 0
par un quotient par une relation de congruence sur les eches de DIAGR C C est
0
la cat egorie diagr C qui p oss ede les propri et es th eoriques int eressantes Il s agit
0
en e et d une cat egorie niment cocompl ete c est a dire que tout diagramme ni
sur diagr C a une colimite nie dans diagr C D autre part diagr C est une
0 0 0
compl etion par colimites nies de la cat egorie C Sur le plan pratique comme
0
les eches de diagr C sont des classes d equivalence de morphismes de diagram
0
mes on travaille en r ealit e avec des repr esentants c est a dire avec des eches de
DIAGR C La cat egorie DIAGR C p ermet donc la manipulation e ective des
0 0
eches de diagr C
0
La repr esentation des termes par des diagrammes est d e nie par un foncteur
D Terme C diagr C
0 0
entre les cat egories Terme C et diagr C Nous montrons que ce foncteur d e nit
0 0
une equivalence de cat egories entre Terme C et diagr C ce qui signi e que bien
0 0
qu elles ne soient pas isomorphes ces cat egories ont n eanmoins essentiellement la
m eme structure
Apr es avoir repr esent e les sp eci cations mo dulaires par des diagrammes nous
nous int eressons au probl eme de l equivalence entre deux sp eci cations mo dulaires
Deux sp eci cations mo dulaires sont consid er ees comme equivalentes lorsque celles
ci sont isomorphes en tant que colimites de diagramme D etecter cet isomorphisme
consiste en fait ad etecter un isomorphisme entre deux diagrammes dans la cat egorie
diagr C Nous app elons cet isomorphisme un isomorphisme de construction parce
0
qu il ne d epend pas de la d e nition e ective des sp eci cations de base mais seule
ment de la mani ere dont celles ci sont combin ees p our construire les sp eci cations
mo dulaires Dans l hypoth ese oulacat egorie C est nie et ne comp orte pas de cycle
0
nous prop osons un algorithme p our d etecter si deux diagrammes sont isomorphes
INTRODUCTION
Des r esultats partiels concernant l interpr etation des termes par des diagrammes et
la d etection d isomorphismes de construction ont et e pr esent es dans Ori Ori
Comparaisons avec d autres travaux
Cat egories de diagrammes
La d e nition de diagramme est a quelques nuances pr es standard Chez S Mac
Lane McL un diagramme sur une cat egorie C est un foncteur d une cat egorie J
vers C La d e nition de M Barr et C Wells BW est moins g en erale puisqu un
diagramme est un morphisme de graphes d un graphe vers le graphe sous jacent
de C Nous utilisons une d e nition interm ediaire p our nous un diagramme
est un foncteur d une cat egorie librement engendr ee sur un graphe vers C Partir
d un graphe nous p ermet de rester pro che de l informatique Par contre nous ne
souhaitons pas nous restreindre a une petite cat egorie C
La d e nition de morphisme de diagrammes est b eaucoup moins standard Par
exemple dans Clear un morphisme de diagrammes app el e morphisme bas e corres
p ond uniquement a une inclusion entre deux diagrammes
La d e nition prop os ee par A Tarlecki R Burstall et J Goguen dans TBG
bien que plus g en erale que celle utilis ee dans la s emantique du langage Clear n est
pas encore su samment g en erale p our notre travail En e et cette d e nition ne
p ermet pas de repr esenter tout morphisme de sp eci cations mo dulaires par un mor
phisme de diagrammes
La d e nition de morphisme de diagrammes que nous utilisons n est pas nouvelle
en th eorie des cat egories Une version duale de la cat egorie diagr C est par exemple
0
utilis ee par M Barr et C Wells dans BW N eanmoins la reformulation de la
d e nition de cat egorie de diagrammes que nous prop osons dans le chapitre pr esente
un int er et en informatique d une part parce que la cat egorie DIAGR C p ermet de
0
manipuler e ectivement les morphismes de diagrammes et d autre part parce que
les cat egories DIAGR C et diagr C sont p eu connues dans cette discipline
0 0
Calculs de colimites
R Burstall et D Rydeheard prop osent des algorithmes p our calculer certains
concepts de th eorie des cat egories Bur BR en particulier les colimites de
diagrammes Le calcul g en eral de colimite est param etr e par certaines colimites
en l o ccurrence un ob jet initial des sommes et des co egalisateurs qui p ermettent
d evaluer la colimite d un diagramme quelconque Ainsi ayantd e ni l ob jet initial
la somme et le co egalisateur par exemple dans la cat egorie des ensembles Set onen
d eduit un moyen de calculer la colimite d un diagramme quelconque dans Set Cet
algorithme est en fait bas e sur une preuvedur esultat suivant si une cat egorie a un
ob jet initial des sommes et des co egalisateurs alors celle ci est niment co compl ete
Notre travail est bas e sur un th eor eme similaire si une cat egorie a un ob jet initial
et des sommes amalgam ees alors celle ci est niment co compl ete Notre travail est
di erent dans la mesure o u nous ne cherchons pas a calculer des colimites dans
une cat egorie x ee En particulier nous nous int eressons au probl eme g en eral de
l isomorphisme entre deux diagrammes qui corresp ond a un isomorphisme entre
INTRODUCTION
leurs colimites resp ectives Cet isomorphisme est ind ependant de la cat egorie sur
laquelle ces diagrammes sont construits
Utilisation des colimites en sp eci cation alg ebrique
L utilisation des colimites p our repr esenter l assemblage de sp eci cations est loin
d etre nouvelle R Burstall et J Goguen ontpr esent e cette id ee dans la s emantique
du langage de sp eci cation Clear BG Dans Clear la comp osition de plusieurs
sp eci cations qui partagent un environnement commun app el ees th eories bas ees
est en e et formalis ee par la colimite d un diagramme
Les colimites ont ensuite et e assez intensivement utilis ees en sp eci cation alg e
brique La somme amalgam ee en particulier p ermet de mo d eliser l instanciation
de sp eci cations g en eriques TWW EM H Ehrig R Jimenez et F Orejas
EJO ont egalement pr esent e une forme plus g en erale d instanciation a l aide de
5
sommes amalgam ees multiples nouvel exemple de colimite
Syntaxe p our les constructions mo dulaires
J Bergstra J Heering et R Klint BHK d une part et G Renardel de Lava
lette Ren d autre part ont prop os e de structurer les op erateurs de construction
de sp eci cations sous forme d alg ebres de modules Une alg ebre de mo dules est un
langage p ermettant d ecrire des expressions de comp osition des sp eci cations al
g ebriques Cette appro che est voisine de notre travail sur le langage Terme C
0
puisque le probl eme de la comp osition des sp eci cations alg ebriques est ab ord e d un
p ointdevuesyntaxique et p ermet de comparer di erentes sp eci cations mo dulaires
Par contre nous ne nous int eressons pas aux m emes op erateurs de constructions de
sp eci cations puisque nous ne consid erons que les constructions de colimites
Notre syntaxe p our repr esenter les sp eci cations alg ebriques mo dulaires est large
ment inspir ee des travaux de J C Reynaud qui a prop os e un syst eme de types p our
repr esenter les constructions de colimites Rey a Rey b Rey Ce syst eme est
fond e sur les th eories alg ebriques g en eralis ees de Cartmell Car qui p ermettentde
sp eci er des types d ependants c est a dire des types param etr es par des termes Les
types d ependants ont et e egalement utilis es par T Streicher et M Wirsing SW
p our mo d eliser la comp osition de sp eci cations alg ebriques mo dulaires D autre
part H Ehrig R Jimenez et F Orejas ont egalement prop os e une syntaxe p our
les sp eci cations alg ebriques mo dulaires dans EJO Cette syntaxe est en partie
bas ee sur des constructions de sommes amalgam ees
La principale di cult e en ce qui concerne la d e nition d une syntaxe p our les
constructions de colimites est le probl eme de circularit e entre la d e nition d une
part des ob jets et des eches de Terme C et d autre part de l egalit e entre deux
0
eches de Terme C En e et il existe une eche que nous app elons up dans ce
0
m emoire entre une somme amalgam ee et un ob jet a condition qu une egalit e entre
deux eches de Terme C soit v eri ee La d e nition des eches up d epend donc de
0
la d e nition de l egalit e des eches dans Terme C qui elle m eme pr esuppose que
0
les eches ont et e d e nies
5
En anglais multiple pushout
INTRODUCTION
J C Reynaud contourne le probl eme en prop osant une d e nition concr ete c est
a dire s emantique d une cat egorie librement engendr ee par ob jet initial choisi et
sommes amalgam ees choisies Rey H Ehrig R Jimenez et F Orejas EJO
ne d e nissent pas de syntaxe p our les eches up La syntaxe qu ils prop osent ne
p ermet donc pas d obtenir une cat egorie niment cocompl ete
Une solution p our sp eci er une cat egorie niment co compl ete sans utiliser d ega
lit es p our d e nir les eches a et e pr esent ee par F Cury dans Cur F Cury
prop ose de d edoubler les eches up en deux eches dontlad e nition ne d epend pas
d une egalit e Ces deux eches qui sont des exemples particuliers de eches up
p ermettent de reconstruire a posteriori toutes les eches up
La solution que nous prop osons consiste a strati er la construction de Terme C
0
en une suite de cat egories C L existence d une eche up dans la cat egorie C d epend
i i
uniquement d egalit es dans la cat egorie C Nous evitons ainsi le probl eme de
i 1
circularit eentre la d e nition des eches et la d e nition des egalit es
Notre cat egorie Terme C p eut etre compar ee au type d une esquisse introduit
0
par C Ehresmann Ehr Dans les travaux de D Duval et J C Reynaud DR a
DR b le type d une esquisse est une cat egorie librement engendr ee a partir d un
graphe par sommes et produits Par cons equent la construction du type d une
esquisse est bas ee sur les cat egories a sommes et pro duits alors que la construction
de Terme C est bas ee sur les cat egories a colimites nies D autre part une esquisse
0
contient des c ones et co c ones distingu es qui sp eci ent certaines limites ou colimites
Par contre dans la construction de Terme C que nous prop osons il n est pas
0
p ossible de sp eci er des sommes amalgam ees distingu ees dans la cat egorie de base
C
0
Plan de ce m emoire
Le plan de ce m emoire est le suivant Le chapitre introduit les sp eci cations
alg ebriques mo dulaires pr esente le probl eme de la comp osition des sp eci cations
et p ose le cadre g en eral de notre travail Apr es quelques rapp els sur les sp eci ca
tions alg ebriques nous prop osons plusieurs exemples de sp eci cations mo dulaires
d anneaux en utilisant quelques sp eci cations et morphismes de sp eci cations de
base Cet exemple acad emique pr esente d une part la syntaxe p our les construc
tions mo dulaires et d autre part le probl eme de l isomorphisme de construction
entre deux sp eci cations mo dulaires
Le chapitre contient les bases th eoriques de notre travail Nous e ectuons
quelques rapp els de th eorie des graphes en section puis de th eorie des cat egories
en section En n en section nous pr esentons les notions de diagrammes
de colimites nies ainsi que les cat egories de diagrammes DIAGR C et diagr C
0 0
Nous montrons que la cat egorie diagr C est niment co compl ete et que diagr C
0 0
est une compl etion par colimites nies de C
0
Le chapitre est consacr e a la syntaxe des sp eci cations mo dulaires Dans ce
chapitre nous prop osons une construction strati ee de la cat egorie Terme C des
0
termes qui fournit un langage p our repr esenter les sp eci cations et morphismes de
sp eci cations mo dulaires Nous montrons d une part que Terme C est une cat e
0
gorie niment co compl ete et d autre part que Terme C est une extension conser 0
INTRODUCTION
vatrice de C En n nous construisons a partir de Terme C une cat egorie L C
0 0 0
librement engendr ee par ob jet initial choisi et sommes amalgam ees choisies sur C
0
Dans le chapitre nous interpr etons les termes d enotant des sp eci cations mo du
laires par des diagrammes Cette interpr etation p ermet d obtenir une repr esentation
plus abstraite des sp eci cations mo dulaires que celle donn ee par les termes parce
que certaines etapes sp eci ques de la construction sont elimin ees Nous montrons
que l interpr etation des termes par les diagrammes d e nit une equivalence entre les
cat egories Terme C et diagr C Ce r esultat nous p ermet de d eduire que toute
0 0
sp eci cation mo dulaire est isomorphe a la colimite du diagramme qui la repr esente
Le chapitre est une application de cette repr esentation des sp eci cations mo
dulaires par des diagrammes Nous prop osons de d etecter un isomorphisme de cons
truction entre deux sp eci cations mo dulaires en d etectant un isomorphisme entre
leurs diagrammes corresp ondants Nous pr esentons un algorithme qui p ermet dans
l hypoth ese o u la cat egorie de base C est nie et ne comp orte pas de cycle de
0
d etecter si deux diagrammes sont isomorphes
INTRODUCTION
Chapitre
Motivation
Le but de ce chapitre est de pr esenter le probl eme de la comp osition des sp e
ci cations mo dulaires Nous etudions di erentes sp eci cations mo dulaires des an
neaux construites a partir de quelques sp eci cations de base Cet exemple est d ecrit
en utilisant le langage de sp eci cation LPG Langage p our la Programmation G e
+
n erique d evelopp e par D Bert et R Echahed BE B Nous introduisons
informellement une syntaxe p our repr esenter les sp eci cations mo dulaires et expli
quons egalement de fa con informelle qu une sp eci cation mo dulaire p eut etre
consid er ee comme la colimite d un diagramme Nous motivons ensuite l int er et des
isomorphismes de construction En n nous p osons le cadre g en eral de notre travail
Pr eliminaires
Dans cette partie nous rapp elons quelques notions el ementaires de sp eci cation
alg ebrique en particulier les d e nitions de signature morphisme de signatures al
g ebre morphisme d alg ebres equation et alg ebre satisfaisant une equation Cette
pr esentation loin d etre exhaustive est inspir ee de GB et de EM
D e nition S ensemble et S application Soit un ensemble S
Un S ensemble A est une famille indic ee par S d ensembles disjoints A
s s2S
Une S application f entre deux S ensembles A et B not ee f A ! B est une
famille indic ee par S d applications f A ! B
s s s s2S
D e nition Ensemble des cha nes nies Soit un ensemble A L ensemble des
cha nes nies sur A est l ensemble
1
[
n ࣿ
A A
n=0
Notations
La cha ne vide est not ee
La cha ne comp os ee des el ements s s s est not ee s s s
1 2 n 1 2 n
CHAPITRE MOTIVATION
L ensemble des cha nes nies non vides sur A est
1
[
+ ࣿ n
A A ࣾ A A
n=1
+ ࣿ
et s etendent aux applications entre deux ensembles Soit une Les op erations
ࣿ ࣿ ࣿ + + +
application f A ! B On d e nit les applications f A ! B et f A ! B
de la fa con suivante
ࣿ
f
ࣿ
f a a f a f a p our n ऋ
1 n 1 n
+
f a a f a f a p our n ऋ
1 n 1 n
On v eri e facilement que p our tout ensemble A ona
ࣿ
ࣿ
id id
A A
+
id id +
A
A
et p our toutes applications f A ! B et g B ! C ona
ࣿ ࣿ ࣿ
g f g f
+ + +
g f g f
ࣿ + ࣿ
et sont des foncteurs Set ! Set et Ces deux propri et es signi ent que
+
Set ! Set dans la cat egorie des ensembles Set
Une signature comprend les symboles utilis es p our former des expressions Plus
pr ecis ement une signature est comp os ee d un ensemble de symboles de sortes qui
repr esentent des types de donn ees et d un ensemble de symboles d op erateurs qui
repr esentent des op erations sur ces donn ees A chaque symbole d op erateur est
asso ci eunpro l qui repr esente le type des donn ees d entr ee et de sortie
D e nition Signature multi sortes Une signature multi sortes ou plus simple
ment signature est un triplet S o u
S est un ensemble ni dont les el ements sont app el es sortes
est un ensemble ni dont les el ements sont app el es op erateurs
+
est une application ! S qui achaque op erateur de asso cie une
cha ne non vide sur S app el ee pro l de
Notation si s s s n ऋ on note s s ! s Si n on dit
1 n 1 n
que est une constante et on note ! s
Remarque Une signature est souvent d e nie comme un ensemble de sortes S
ࣿ
accompagn e d une famille indic ee par S ࣾ S d ensembles d op erateurs Nous avons
pr ef er e consid erer ici un unique ensemble aplati d op erateurs le pro l etantd ecrit
+
par l application ! S Nous avons choisi cette d e nition parce qu elle
p ermet de d e nir facilement la somme amalgam ee de deux signatures a partir de la
d e nition de la somme amalgam ee de deux ensembles cf section
PRELIMINAIRES
Exemple Exemples de signatures
La signature la plus simple est la signature vide not ee telle que l ensemble
?
des sortes et l ensemble des op erateurs sont vides
Un exemple classique de signature est la signature S
Nat Nat Nat Nat
des entiers naturels o u S et et sontd e nis de la fa con suivante
Nat Nat Nat
S fnat g
Nat
f succ g
Nat
nat
Nat
succ nat nat
Nat
nat nat nat
Nat
Dans le langage de sp eci cation LPG les noms de sortes sontintro duits par le
mot cl e sorts et les op erateurs par le mot cl e operators La signature
Nat
est donc d e nie en LPG par
sorts nat
operators nat
succ nat nat
nat nat nat
Voici un autre exemple de signature la signature des mono des Dans cette
M
signature on a une seule sorte s une constante et un op erateur binaire
En LPG on p eut d e nir la signature de la fa con suivante
M
sorts s
operators s
s s s
0
Un morphisme de signatures entre deux signatures et asso cie a toute sorte
0 0
de une sorte de et a tout op erateur de un op erateur de en conservant les
pro ls des op erateurs
D e nition Morphisme de signatures Soit deux signatures S et
0 0 0 0 0 0
S Un morphisme de signatures m de vers not e m est
S
un couple m m o u
S S 0
m est une application m S S
0
m est une application m
0 S +
tel que m m
0 S +
D etaillons un p eu la condition m m Consid erons un op erateur
s s s de
1 n
CHAPITRE MOTIVATION
0 S +
m m
S +
m s s s
1 n
S S S
m s m s m s
1 n
0 S S S
L op erateur m de a donc p our pro l m m s m s ! m s
1 n
On p eut comp oser les morphismes de signatures Soit trois signatures
S
0 0 0 0
S
00 00 00 00
S
et deux morphismes de signatures
S 0
m m m !
S 0 00
n n n !
Pour comp oser m et n il su t de comp oser les applications sur les sortes et les
applications sur les op erateurs Autrement dit
S S
n m n m n m
Cela d e nit bien un morphisme de signatures car
00
n m
S + 0 0 00
n m n ! morphisme de signatures
S + S + 0
n m m ! morphisme de signatures
+ S S +
est un foncteur n m
On a une cat egorie des signatures not ee Sig dont les ob jets sont les signatures et
les eches sont les morphismes de signatures
Exemple Exemples de morphismes de signatures
Pour toute signature S il existe un morphisme de signatures de la
S
est constitu ede j signature vide vers Ce morphisme not e j j
? ं
ं ं
l application vide de l ensemble vide des sortes vers S et de l application vide
de l ensemble vide des op erateurs vers De plus ce morphisme est unique
Dans la cat egorie des signatures Sig est un objet initial puisqu il existe
?
une unique eche de vers tout autre ob jet de Sig
?
On a un morphisme de signatures de la signature des mono des vers la signature
des entiers naturels m ! qui asso cie la sorte s de a la sorte nat
M Nat M
de la constante a la constante et l op erateur binaire ࣿ a l op erateur
Nat
binaire
S
m s nat
m
m ࣿ
PRELIMINAIRES
Soit une signature D e nir une alg ebre sur ou alg ebre consiste a inter
pr eter les sortes de par des ensembles et les op erateurs de par des applications
entre ces ensembles Une alg ebre est egalement app el ee mod ele ou interpr etation
de la signature
D e nition alg ebre Soit une signature S Une alg ebre A est
d e nie par
un S ensemble A
p our tout op erateur s s s ! s 2 une application
1 2 n
A
A ࣾ A ࣾ ࣽࣽࣽ ࣾ A ! A
s s s s
n
1 2
A
Si est une constante ! s est un el ement de A
s
D e nition Morphisme d alg ebres Soit une signature S et deux
alg ebres A et B Un morphisme d alg ebres h de A vers B not e h A ! B est une
S application h A ! B telle que p our tout op erateur s s s ! s
s s s s2S 1 2 n
de p our tout n uplet a a a de A ࣾ A ࣾ ࣽࣽࣽ ࣾ A
1 2 n s s s
n
1 2
A B
h a a a h a h a h a
s 1 2 n s 1 s 2 s n
n
1 2
Etant donn e une signature on a une cat egorie de alg ebres not ee Alg dont
les ob jets sont les alg ebres et les eches sont les morphismes de alg ebres
Une alg ebre imp ortante est l alg ebre des termes qui p ermet de former des ex
pressions a partir des symboles de la signature Nous devons d ab ord d e nir la
notion de variable sur une signature
D e nition Ensemble de variables sur une signature
Soit une signature S Un ensemble X de variables sur la signature
est un S ensemble ni tel que p our tout el ement s 2 S X est distinct de l ensemble
s
des op erateurs
D e nition Alg ebre des termes Soit une signature S et un en
semble de variables X sur L alg ebre des termes T X est d e nie de la fa con
ं
suivante
Pour toute sorte s 2 S T X est le plus p etit ensemble tel que
ं s
x 2 X ङ x 2 T X
s ं s
s s s ! s 2 t 2 T X i n
1 2 n i ं s
i
ङ t t t 2 T X
1 2 n ं s
Les el ements de T X sont app el es termes de sorte s
ं s
L interpr etation d un op erateur s s s ! s 2 est l application
1 2 n
T घX ङ
ं
T X ࣾ ࣾ T X ! T X
ं s ं s ं s
n
1
t t 7! t t
1 n 1 n
CHAPITRE MOTIVATION
Lorsque l ensemble des variables X est vide on obtient l alg ebre des termes ferm es
T T ?
ं ं
Une a ectation d un ensemble de variables X dans une alg ebre A asso cie a
toute variable de X un el ement de A Autrement dit une a ectation a de X
s s
dans A est une S application a X ! A
L alg ebre des termes a une propri et e imp ortante c est une alg ebre libre dans la
classe des alg ebres Cela signi e que toute a ectation de X dans une alg ebre A
s etend de fa con unique en un morphisme d alg ebres de T X vers A
ं
Th eor eme L alg ebre T X est libre dans Alg
ं
Notons i X ! T X l inclusion de X dans T X Soit une alg ebre A
ं ं
Pour toute a ectation a X ! A il existe un unique morphisme d alg ebres
a T X ! A tel que a i a
ं
Une equation est tout simplement comp os ee d un ensemble de variables et de
deux termes
D e nition equation Soit une signature S et un ensemble de
variables X sur Une equation sur de sorte s est un triplet X t t o u t
1 2 1
et t sont des el ements de T X
2 ं s
En LPG une signature p eut etre accompagn ee d un ensemble d equations Toutes
ces equations ontlem eme ensemble de variables qui sontintro duites une seule fois
par le mot cl e variables Ensuite les equations X t t sont introduites par
1 2
le mot cl e equations et not ees t t
1 2
D e nition Alg ebre satisfaisant une equation E alg ebre
Soit une signature S On dit qu une alg ebre A satisfait une equation
a t a t X t t si et seulement si p our toute a ectation a X ! A
1 2 1 2
Etant donn e un ensemble d equations E sur une E alg ebre est une alg ebre
qui satisfait toutes les equations de E
D e nition Fermeture s emantique d un ensemble d equations
E de Soit une signature et un ensemble d equations E La fermeture s emantique
E est l ensemble des equations sur qui sont satisfaites par toute E alg ebre
D e nition Extension aux termes d un morphisme de signatures
0 0 0 0
Soit deux signatures S et S ainsi qu un morphisme de
0
signatures m ! Soit un ensemble de variables X sur dont les el ements
0
sont distincts des constantes de
0 0
La traduction de X par le morphisme de signatures m ! est le S ensemble
ओ 0 0
X tel que p our toute sorte s de S
[
ओ
X X
0
s
s
0 S
s =m घsङ
SPECIFICATIONS
0
L extension du morphisme de signatures m est une famille indic ee par
ओ
ओ ओ
0
S d applications m m T X T X Pour toute sorte
S
s
ं s s2S
ं
m घsङ
ओ
ओ
0
s S l application m T X T X est d e nie inductivement sur la
S
s
ं s
ं
m घsङ
structure des el ements de T X de la fa con suivante
ं s
ओ ओ
x X m x x x X
s
s
S
m घsङ
s s s s t T X i n
1 2 n i ं s
i
ओ ओ ओ ओ
m t t t m m t m t m t
s s s s
1 2 n 1 2 n
n
1 2
ओ
ओ
Etant donn e un terme t T X m t m t est app el e traduction de t par m
s
ं s
Exemple Consid erons le morphisme de signatures m et le terme
M Nat
x de T X La traduction du terme x sur par m est le terme sur
ं M Nat
M
ओ ओ ओ
m x m m x x
D e nition Traduction d une equation par un morphisme de signatures
0 0 0 0
Soit deux signatures S et S ainsi qu un morphisme de si
0
gnatures m Soit une equation X t t sur La traduction de l equation
1 2
ओ ओ ओ
X t t par le morphisme de signatures m est l equation X m t m t sur
1 2 1 2
0
la signature
Exemple Consid erons par exemple l equation fxg x x sur la signature
M
La traduction de cette equation par le morphisme de signatures m est
M Nat
l equation fxg x x sur
Nat
Sp eci cations
Dans ce paragraphe nous pr esentons les sp eci cations alg ebriques qui consistent
en une signature et un ensemble de formules Dans l exemple des anneaux d evelopp e
dans ce chapitre les formules que nous consid erons sont uniquement des equations
Pour cette raison nous nous contentons de d e nir des sp eci cations equationnelles
Nous verrons en section que cette hypoth ese p eut etre a aiblie en se pla cant
dans le cadre g en eral des institutions
D e nition Sp eci cation equationnelle Une sp eci cation equationnelle est
un couple E o u est une signature et E est un ensemble de equations
D e nition Morphisme de sp eci cations Un morphisme de sp eci cations
0 0
entre deux sp eci cations E et E est un morphisme de signatures m
0 ओ
0
tel que p our toute equation e E m e E Rapp elons que
ओ
m e est la traduction de l equation e par le morphisme de signatures m
0
0
E est la fermeture s emantique de E c est a dire l ensemble des equations sur
0 0 0
qui sont satisfaites dans toute E alg ebre
CHAPITRE MOTIVATION
Une autre fa con de d e nir un morphisme de sp eci cations est d imp oser que la
ओ
traduction par m de toute equation de E appartienne a la th eorie equationnelle
0 0
de E c est a dire p eut etre d eduite des equations de E par d eduction en logique
equationnelle Il s agit d une d e nition plus syntaxique de la notion de sp eci cation
Nous avons choisi de suivre la d e nition donn ee p our les institutions par J Goguen et
R Burstall dans GB Dans le cadre des sp eci cations alg ebriques equationnelles
les deux d e nitions sont equivalentes puisque le syst eme de d eduction equationnel
est complet En e et une equation e est satisfaite dans toute E alg ebre si et
seulementsionpeutd eduire e des equations de E par raisonnement equationnel
On a une cat egorie des sp eci cations equationnelles not ee Sp ec dont les ob jets
sont les sp eci cations equationnelles et les eches sont les morphismes de sp eci
cations
Exemple
La sp eci cation la plus simple est la sp eci cation vide ? construite sur
?
la signature vide etdont l ensemble des equations est vide Cette sp eci ca
?
tion est initiale dans la cat egorie des sp eci cations car p our toute sp eci cation
Sp il existe un unique morphisme de sp eci cations de la sp eci cation vide vers
Sp
Voici un exemple de sp eci cation des entiers ecrit en LPG
type Nat
sorts nat
operators nat
succ nat nat
nat nat nat
variables x y nat
equations y y
s x y s x y
Le langage LPG p ermet de sp eci er a la fois des types comme le type Nat qui
ont p our interpr etation une alg ebre initiale ou p our les types g en eriques une alg ebre
libre et des propri et es qui ont p our interpr etation une classe d alg ebres satisfaisant
les equations de la sp eci cation On p eut consulter Rey p our avoir une descrip
tion plus d etaill ee de la s emantique de LPG Dans l exemple d evelopp e ici nous
utiliserons uniquement les propri et es sans imp ortation de type ce qui signi e qu un
mod ele ou une interpr etation d une sp eci cation est tout simplement une alg ebre
qui satisfait les equations de la sp eci cation Le langage LPG p ermet egalement
de d eclarer des morphismes de sp eci cations Un morphisme d une sp eci cation
0
Sp vers une sp eci cation Sp est d e ni au moment de la d eclaration du co domaine
0
Sp par une instruction commen cant par le mot cl e satisfies ou par le mot cl e
inherits Le langage LPG p ermet egalement de consid erer les comp ositions des
morphismes de sp eci cations d eclar es Les r egles de comp osition de ces morphismes
et leur s emantique asso ci ee ont et e d ecrits dans BO
SPECIFICATIONS
Nous allons maintenant pr esenter les sp eci cations equationnelles et les mor
phismes de sp eci cations qui nous p ermettront de d e nir plusieurs sp eci cations
mo dulaires des anneaux Rapp elons qu un ensemble A muni de deux op erations
binaires et ࣿ est un anneau si et seulement si A muni de l op eration est un
group e commutatif A muni de l op eration ࣿ est un mono de et l op eration ࣿ est
distributive par rapp ort a l op eration
Nous commen cons par d e nir deux sp eci cations S et B qui comp ortent unique
ment une signature et aucune equation La sp eci cation S contient une sorte unique
s Un mo d ele de S est donc un ensemble quelconque
property UNE SORTE
S
sorts s
La sp eci cation B contient une sorte s et un op erateur binaire op Un mo d ele de
B consiste donc en un ensemble muni d une op eration binaire Nous avons egalement
sp eci e un morphisme de sp eci cations s S ! B par la prop osition satisfies
UNE SORTE s dans B Le morphisme de sp eci cations s asso cie la sorte s de S a
la sorte s de B
property OP BIN
sorts s
B
operators op s s s
satisfies UNE SORTE s
Nous d e nissons maintenant une sp eci cation M p our les mono des La signa
ture de la sp eci cation M comp orte une sorte s une op eration binaire et une
constante La sp eci cation M comp orte egalement trois equations qui indiquent
que est el ement neutre p our et que est asso ciative Un mo d ele de M est
donc un ensemble muni d une op eration binaire asso ciative et d un el ement neutre
Il s agit donc bien d un mono de
Nous avons egalement un morphisme de sp eci cations b B ! M Le mor
phisme b asso cie a la sorte s de B la sorte s de M et a l op erateur op de B
l op erateur de M Ce morphisme de signatures est bien un morphisme de sp e
ci cations puisque la sp eci cation de l op erateur binaire B ne comp orte aucune
equation
property MONOIDE
sorts s
operators s s s
s
variables x y z s M
equations x x
x x
x y z x y z
satisfies OP BIN s
CHAPITRE MOTIVATION
Pour obtenir un group e commutatif nous devons a jouter une op eration inverse
i et la commutativit e de l op erateur binaire Cela nous donne la sp eci cation G
property GROUPE COMM
sorts s
operators s s s
s
i s s
G
variables x y s
equations x y y x
i x x
inherits MONOIDE s
Nous sp eci ons egalement un morphisme de signatures de la signature de M vers
la signature de G m ! par la prop osition inherits MONOIDE s
M G
Ce morphisme de signatures asso cie la sorte s de M a la sorte s de G l op erateur
de M a l op erateur de G et la constante de M a la constante de G Le
mot cl e inherits signi e que l on recopie les equations de la sp eci cation M dans
ओ
la sp eci cation G via le morphisme de signatures m Autrement dit G contient
implicitement les equations
variables x y z s
equations x x
x x
x y z x y z
Par cons equent le morphisme de signatures m ! est un morphisme de
M G
sp eci cations m M ! G
En n la propri et e D sp eci e deux op erateurs et tels que est distributif par
rapp ort a ainsi que deux morphismes de sp eci cations m m B ! D
+ ࣿ
property DISTRIBUTIVITE
sorts s
operators s s s
D
variables x y z s
equations x y z x y x z
satisfies OP BIN s OP BIN s
Les deux morphismes m m B ! D sontd e nis par
+ ࣿ
m s s
+
m op
+
m s s
ࣿ
m op
ࣿ
Finalement p our r esumer nous avons d eclar e cinq sp eci cations S B M G D
et cinq morphismes de sp eci cations s b m m m Nous p ouvons evidemment
+ ࣿ
COMPOSITION DE SPECIFICATIONS EN LPG
consid erer egalement les morphismes de sp eci cations identit es id id id id
S B M G
et id sur ces cinq sp eci cations ainsi que toutes les comp ositions p ossibles p our
D
les morphismes de sp eci cations On v eri e facilement que l on obtient ainsi quinze
morphismes de sp eci cations di erents Autrement dit nous consid erons une cat e
gorie de sp eci cations app el ee C qui comp orte ces cinq sp eci cations et ces quinze
0
morphismes de sp eci cations
s b m
- - -
S B M G
m
m
+
ࣿ
??
D
Squelette de la cat egorie C
0
Nous avons d e ni les sp eci cations equationnelles qui forment une cat egorie Sp ec
ainsi qu une sous cat egorie nie C de Sp ec que nous app ellerons cat egorie des sp eci
0
cations de base La cat egorie C repr esente l ensemble des sp eci cations disp onibles
0
en biblioth eque Nous nous int eressons ensuite uniquement aux sp eci cations que
l on p eut construire en assemblant des sp eci cations de base
Comp osition de sp eci cations en LPG
Une sp eci cation modulaire est soit une sp eci cation de base soit une sp eci
cation obtenue par un assemblage de plusieurs sp eci cations mo dulaires Nous
parlerons de composition de sp eci cations p our d ecrire l assemblage de plusieurs
sp eci cations p ermettant de construire une sp eci cation plus complexe
La comp osition de sp eci cations en LPG est r ealis ee par ce qu on app elle une
combinaison de sp eci cations Pour r ealiser cette op eration il faut d e nir une signa
ture la signature de la sp eci cation r esultat et des morphismes de sp eci cations
des sp eci cations combin ees vers la sp eci cation r esultat
Nous p ouvons par exemple ecrire une sp eci cation des anneaux en combinant les
propri et es MONOIDE DISTRIBUTIVITE et GROUP COMM de la fa con suivante
property ANNEAU
sorts s
operators s s s
s
A
1
i s s
combines MONOIDE s
DISTRIBUTIVITE s GROUPE COMM s i
CHAPITRE MOTIVATION
S emantiquement cette combinaison signi e que chaque fois qu on a un mo d ele de
MONOIDE unmod ele de DISTRIBUTIVITE et un mo d ele de GROUPE COMM tels que ces
trois mod eles ont la m eme interpr etation pour la sorte s que l op erateur du mono de
est le second op erateur de la distributivit e et l op erateur du groupe commutatif est
le premier op erateur de la distributivit e alors on a un mo d ele de la sp eci cation
ANNEAU Ces partages de sorte et d op erateurs sont evidemment cruciaux Il ne su t
pas d avoir un mono de un group e commutatif et deux op erateurs distributifs l un
par rapp ort a l autre p our avoir un anneau Par exemple si nous avions ecrit
combines DISTRIBUTIVITE s
a la place de
combines DISTRIBUTIVITE s
nous n aurions pas sp eci e un anneau La multiplication est distributive par rapp ort
a l addition et non l inverse
En LPG les partages entre sp eci cations en particulier lors de la construction de
combinaisons de propri et es sont exprim es de fa con implicite par des morphismes
de sp eci cations En pratique on voit que la sorte s est partag ee par les trois
sp eci cations par l apparition de s dans la d e nition des trois morphismes
combines MONOIDE s
DISTRIBUTIVITE s
GROUPE COMM s i
Dans notre travail ces partages e ectu es lors de la comp osition des sp eci cations
sont exprim es par des colimites de diagrammes La colimite est un concept de th eorie
des cat egories qui sera pr esent e dans le chapitre Cette construction p ermet en
particulier dans le cadre des sp eci cations alg ebriques de mo d eliser l assemblage de
plusieurs ob jets en rendant explicites certains partages entre ces ob jets
Dans l exemple ci dessus la sp eci cation mo dulaire A corresp ond a la colimite
1
du diagramme
1
उ आ
b
B M
m
ࣿ
b s
R
m s
ࣿ
D S
m b s
m
+
R
G B
m b
ई इ
1
Voici l interpr etation intuitive de ce diagramme
SOMMES AMALGAMEES
Les trois n uds etiquet es par les sp eci cations M D et G qui apparaissent
comme des puits du graphe aucun arc n a p our source un n ud etiquet e par
M D ou G sont les sp eci cations que l on assemble
Les trois n uds etiquet es par B S et B indiquent les partages
La sorte s est partag ee par les trois sp eci cations M D et G Ce partage
est mo d elis e par les morphismes b s S ! M m s S ! D et
ࣿ
m b s S ! G
L op erateur binaire est partag e par les sp eci cations M et D Ce par
tage est mo d elis e par les morphismes b B ! M et m B ! D
ࣿ
L op erateur binaire est partag e par les sp eci cations G et D Ce partage
est mo d elis e par les morphismes m b B ! G et m B ! D
+
Par la suite nous privil egions une construction particuli ere de colimite la somme
amalgam ee La somme amalgam ee corresp ond a la colimite d un diagramme qui
ne comp orte que trois sp eci cations Sp Sp et Sp li ees par deux morphismes
A B C
de sp eci cations f Sp ! Sp et g Sp ! Sp
A B A C
उ आ
Sp
B
f
Sp
A
g
R
Sp
C
ई इ
La colimite de ce diagramme corresp ond a la comp osition des sp eci cations Sp et
B
Sp o u les partages entre ces deux sp eci cations sont indiqu es par les deux mor
C
phismes f et g
Sommes amalgam ees
Dans cette section nous d e nissons la somme amalgam ee de deux ensembles puis
de deux signatures et en n de deux sp eci cations Autrement dit nous pr esentons la
somme amalgam ee dans trois cat egories particuli eres Set cat egorie des ensembles
Sig cat egorie des signatures et Sp ec cat egorie des sp eci cations La d e nition
g en erale sera revue dans le chapitre
CHAPITRE MOTIVATION
Somme amalgam ee de deux ensembles
Consid erons trois ensembles A B et C ainsi que deux applications f A B
et g A C Intuitivement faire la somme amalgam ee de B et C par rapp ort a f
et g consiste a faire l union disjointe de B et C et a fusionner les el ements qui sont
images par f et g d un m eme el ement a de A
Plus formellement on p eut d e nir la somme disjointe de B et C par l ensemble
B C f g B f g C
Il y a evidemment un choix de co dage dans cette d e nition L id ee est de faire la
r eunion des deux ensembles B et C apr es avoir renomm e les el ements communs
aux deux ensembles Nous avons egalement deux applications i B B C et
1
i C B C d e nies par
2
i B B C i C B C
1 2
b b c c
Puis on d e nit une relation R sur l ensemble B C
R f f a g a a Ag
On consid ere ensuite la relation d equivalence R engendr ee par R et l ensemble
quotient P B C R On a une application de pro jection p B C P qui a
tout el ement de B C asso cie sa classe d equivalence mo dulo R
B
P
P
P
P
P
P
P
1
f
i
P
1
P
P
P
P
P
P
R
P
p
P
Pq
B C
A P
g
i
2
P
2
R
C
Notations
L ensemble P est not e push A B C f g
L application p i B P est not ee A B C f g
1 1
L application p i C P est not ee A B C f g
2 2
Pour all eger un p eu les notations si P push A B C f g nous ecrirons
P a la place de A B C f g
1 1
SOMMES AMALGAMEES
P a la place de A B C f g
2 2
D e nition Somme amalgam ee dans Set
La somme amalgam ee de B et C par rapp ort a f et g est le triplet
push A B C f g A B C f g A B C f g
1 2
Par abus de langage l ensemble push A B C f g sera egalement app el e somme
amalgam ee Il ne faut pas oublier qu en r ealit e les deux applications A B C f g
1
et A B C f g font partie de la d e nition d une somme amalgam ee
2
Nous formulons maintenant la propri et e g en erale des sommes amalgam ees en
th eorie des cat egories Nous reverrons cette propri et e dans le chapitre
Propri et e Propri et e caract eristique des sommes amalgam ees
Une somme amalgam ee
push A B C f g A B C f g A B C f g
1 2
satisfait les propri et es suivantes
A B C f g f A B C f g g
1 2
0 0 0 0
pour tout objet D et eches f B ! D g C ! D tel les que f f g g
il existe une eche unique u push A B C f g ! D tel le que
0
u A B C f g f
1
0
u A B C f g g
2
B
P
P
P
P
0
P
P
f
f
P
P
P
P
P
P
1
P
P
R
P
P
u
Pq
A P D
P
2
g
0
g
R
C
Dans la cat egorie des ensembles Set les ob jets sont les ensembles et les eches sont
les applications entre deux ensembles La propri et e se reformule donc de la fa con suivante
CHAPITRE MOTIVATION
A B C f g f A B C f g g
1 2
Il s agit d une egalit e entre deux applications de A vers push A B C f g
0 0
Pour tout ensemble D et applications f B D g C D telles que
0 0
f f g g il existe une application unique u push A B C f g D telle
que
0
u A B C f g f
1
0
u A B C f g g
2
Exemple Soit A fa a g B fx y z g et C fxg
1 2
Soit f f a x a y g et g f a x a x g
1 2 1 2
B C f x y z x g
P push A B C f g ff x y x g f z gg
P x P y f x y x g
1 1
P z f z g
1
P x f x y x g
2
ऎ
P
1
Q
ए ऎ
Q
Q
R
B
Q
f
Q
Q ऎ
Q
R
Qs
ए
P
Q
ए
Q
Q
A
P
Q
2
Q
Q
ऎ
g
Q
R
Qs
ए
C
Remarque Nous avons en r ealit ed e ni ici un codage de la somme amalgam ee
p our les ensembles Dans la th eorie des cat egories la somme amalgam ee est d e
nie a un isomorphisme pr es Dans l exemple en prenant p our P un ensemble
quelconque a deux el ements la propri et e est encore v eri ee
SOMMES AMALGAMEES
Somme amalgam ee de deux signatures
Nous d e nissons la somme amalgam ee de deux signatures a partir de la d e nition
de la somme amalgam ee de deux ensembles Soit trois signatures
S
A A A A
S
B B B B
S
C C C C
et deux morphismes de signatures
S
f f f !
A B
S
g g g !
A C
On d e nit la signature S somme amalgam ee des signatures et
P P P P B
par rapp ort aux morphismes f ! et g ! de la fa con suivante
C A B A C
S
L ensemble S est la somme amalgam ee des ensembles S et S par rapp ort a f
P B C
S
et g Autrement dit
S S
S push S S S f g
P A B C
L ensemble est la somme amalgam ee des ensembles et par rapp ort a f
P B C
et g Autrement dit
push f g
P A B C
+
p our obtenir la signature On a l egalit e Il reste ad e nir ! S
P P P
P
+ +
S f S g
1 P B 2 P C
En e et
+
S f
1 P B
+ S +
S f f ! morphisme de signatures
1 P A A B
+ S +
foncteur S f
1 P A
S +
S g propri et e des sommes amalgam ees
2 P A
+ S + +
S g foncteur
2 P A
+
S g g ! morphisme de signatures
2 P C A C
donc comme push f g et d apr es la propri et e caract eristique
P A B C
+
des sommes amalgam ees il existe une unique application ! S telle que
P P
P
+
S
P 1 P 1 P B
+
S
P 2 P 2 P C
On p ose
push f g
A B C P
f g S
1 P 1 A B C 1 P 1 P
f g S
2 P 2 A B C 2 P 2 P
D apr es les egalit es et ci dessus et sont bien des morphismes
1 P 2 P
de signatures
CHAPITRE MOTIVATION
Th eor eme Le triplet
push f g f g f g
A B C 1 A B C 2 A B C
est une somme amalgam ee dans la cat egorie des signatures Sig
Preuve On v eri e facilement que la propri et e est satisfaite 2
Exemple Consid erons les signatures et corresp ondant resp ective
S M G
SORTE MONOIDE et GROUPE COMM ment aux sp eci cations S M et G propri et es UNE
Nous avons egalement deux morphismes de signatures b s ! et m b s
S M
!
S G
Une somme amalgam ee de et par rapp ort a b s et m b s est la signature
M G
suivante
P
sorts s
operators s s s
s
i s s
On doit fusionner la sorte s de avec la sorte s de Remarquons que nous
M G
n avons pas et e oblig es de renommer certaines sortes ou op erateurs En e et les
deux sortes a fusionner ontlem eme nom dans les deux signatures et et les
M G
op erateurs que l on doit distinguer ont des noms distincts dans les deux signatures
Finalement comme la signature partag ee est l intersection des signatures et
S M
et comme les deux morphismes de signatures sont les inclusions corresp ondantes
G
la somme amalgam ee est la r eunion de et
P M G
Somme amalgam ee de deux sp eci cations
On d e nit la somme amalgam ee de deux sp eci cations de fa con similaire la
signature de la sp eci cation r esultat est la somme amalgam ee des signatures et
l ensemble des equations de la sp eci cation r esultat est l union apr es traduction
des equations des deux sp eci cations
Soit trois sp eci cations
Sp E
A A A
Sp E
B B B
Sp E
C C C
et deux morphismes de sp eci cations
f Sp ! Sp
A B
g Sp ! Sp
A C
On d e nit la sp eci cation Sp E somme amalgam ee des sp eci cations Sp
P P P B
et Sp par rapp ort aux morphismes de sp eci cations f et g de la fa con suivante
C
La signature est la somme amalgam ee des signatures
P
push f g
P A B C
SOMMES AMALGAMEES
On note
f g
1 P 1 A B C
f g
2 P 2 A B C
Intuitivement E contient les equations de E et de E Comme les equations
P B C
de E et de E sont resp ectivement des equations sur les signatures et on
B C B C
les traduit resp ectivement par les morphismes de signatures et
1 P B P
On p ose donc
2 P C P
ओ ओ ओ 0 0
E f X t t X t t E g
P 1 P 1 P B
ओ ओ ओ 0 0
f X t t X t t E g
2 P 2 P C
Remarque Les equations pr esentes dans E ne jouent pas directementder ole
A
En e et elles sont d ej a contenues dans E et E puisque f et g sont des mor
B C
phismes de sp eci cations
Lemme Les morphismes de signatures
1 P B P
2 P C P
sont des morphismes de sp eci cations
Preuve C est evident par d e nition de E 2
P
On p ose
Sp Sp Sp Sp f g f g Sp Sp
1 P 1 A B C 1 A B C B P
Sp Sp Sp Sp f g f g Sp Sp
2 P 2 A B C 2 A B C C P
Th eor eme Le triplet
push Sp Sp Sp f g Sp Sp Sp f g Sp Sp Sp f g
A B C 1 A B C 2 A B C
est une somme amalgam ee dans la cat egorie des sp eci cations Sp ec
Preuve On v eri e facilement que la propri et e est satisfaite 2
Exemple Pour p oursuivre l exemple on fait la somme amalgam ee des sp e
ci cations M et G par rapp ort aux morphismes de sp eci cations b s S M et
m b s S G Cela nous donne la sp eci cation P suivante
P push S M G b s m b s
CHAPITRE MOTIVATION
D etaillons le contenu delasp eci cation P
property PSEUDO ANNEAU
sorts s
operators s s s
s
i s s
variables x y z s
equations x x
P
x x
x y z x y z
x x
x x
x y z x y z
x y y x
i x x
Nous avons app el e cette sp eci cation PSEUDO ANNEAU car il s agit d une sp eci cation
des anneaux sans distributivit eentre les op erateurs et
Syntaxe abstraite p our les constructions mo dulaires
Nous r ecapitulons la syntaxe abstraite qui nous p ermet de repr esenter des cons
tructions mo dulaires Les deux constructions autoris ees sontlasp eci cation vide et
la somme amalgam ee de deux sp eci cations En e et ces deux seules constructions
p ermettent de simuler la construction de toute colimite nie
La sp eci cation vide ? est not ee
?
L unique morphisme de sp eci cations de vers une sp eci cation quelconque
Sp est not e j ! Sp
Sp
Etant donn e trois sp eci cations Sp Sp Sp et deux morphismes de sp eci
A B C
cations f Sp ! Sp et g Sp ! Sp la somme amalgam ee de Sp et
A B A C B
Sp par rapp ort a f et g est donn ee par une sp eci cation
C
push Sp Sp Sp f g
A B C
et deux morphismes de sp eci cations
Sp Sp Sp f g Sp ! push Sp Sp Sp f g
1 A B C B A B C
Sp Sp Sp f g Sp ! push Sp Sp Sp f g
2 A B C C A B C
0
De plus etant donn e une sp eci cation Sp et deux eches f Sp ! Sp et
D B D
0 0 0
g Sp ! Sp telles que f f g g l unique morphisme de sp eci cations
C D
u push Sp Sp Sp f g ! Sp
A B C D
SOMMES AMALGAMEES
tel que
0
u A B C f g f
1
0
u A B C f g g
2
0 0
est not ee up A B C D f g f g push Sp Sp Sp f g ! Sp
A B C D
Somme disjointe de deux sp eci cations
Il est p ossible de co der la somme disjointe de deux sp eci cations en utilisantla
sp eci cation vide et une somme amalgam ee Soit deux sp eci cations Sp et Sp
A B
La somme disjointe de Sp et Sp est la somme amalgam ee de Sp et Sp par
A B A B
rapp ort a j et j
Sp Sp
A B
j Sp Sp push Sp Sp j
A B A B
Sp Sp
B A
De plus les deux injections de Sp vers Sp Sp et de Sp vers Sp Sp sont
A A B B A B
les deux eches
Sp Sp j j Sp ! Sp Sp
1 A B A A B
Sp Sp
A B
Sp Sp j j Sp ! Sp Sp
2 A B B A B
Sp Sp
A B
Exemple Consid erons par exemple la somme disjointe B de deux op erateurs
2
binaires
B push B B j j
2
B B
Cette somme amalgam ee corresp ond a la propri et e LPG suivante
property DEUX OP BIN
sorts s s
B
2
operators op s s
op s s
Les deux morphismes de sp eci cations B B ! B et B B ! B sont
1 2 2 2 2 2
d e nis par
B s s
1 2
B op op
1 2
B s s
2 2
B op op
2 2
Nous avons deux morphismes de sp eci cations m B ! D et m B ! D Ces
ࣿ +
deux morphismes v eri ent l egalit e m j m j car est initial dans la
ࣿ +
B B
cat egorie Sp ec Par cons equent il existe un unique morphisme de sp eci cations
u up B B D j j m m B ! D
2 ࣿ + 2
B B
tel que
u B m
2 1 2 ࣿ
u B m
2 2 2 +
Le morphisme de sp eci cations u B ! D est d e ni par
2 2
CHAPITRE MOTIVATION
u s s
2
u s s
2
u op
2
u op
2
B
P
P
P
P
P
m
P
ࣿ
j
P
B
P
P
P
P
B
1 2
P
P
R
P
u
P
Pq
2
B
D
2
B
2 2
j
m
B
+
R
B
Sp eci cations mo dulaires d anneaux
Nous avons vu en section un exemple de sp eci cation mo dulaire des anneaux
en combinant les trois sp eci cations M G et D On p eut co der cette combinaison
en utilisant deux sommes amalgam ees successives Par exemple on p eut commencer
par combiner M et D puis combiner le r esultat avec G
property MONOIDE DISTRIBUTIF
sorts s
operators s s s
MD
s
combines MONOIDE s
DISTRIBUTIVITE s
property ANNEAU
sorts s
operators s s s
A s
2
i s s
combines MONOIDE DISTRIBUTIF s
GROUPE COMM s i
La combinaison des sp eci cations M et D p eut etre exprim ee a l aide d une
somme amalgam ee en partageant l op erateur binaire de M avec l op erateur de
D La sp eci cation mo dulaire MD p eut donc etre exprim ee de la fa con suivante
SPECIFICATIONS MODULAIRES D ANNEAUX
MD push B M D b m
ࣿ
M
& घMD ङ
1
b
R
B MD
m
ࣿ
& घMD ङ
2
R
D
On p eut remarquer que dans cette expression il est n ecessaire d avoir exprim e la
sp eci cation B p our l op erateur binaire partag e alors qu en LPG cette sp eci ca
tion partag ee reste implicite En e et on n a pas fait r ef erence a OP BIN dans la
sp eci cation MONOIDE DISTRIBUTIF
On p eut ensuite exprimer A comme la somme amalgam ee de MD et G en
2
partageant l op erateur binaire de MD avec l op erateur binaire de G
A push B MD G MD m m b
2 2 +
M
& घMD ङ
1
b
R
B MD
& घA ङ
1 2
m
ࣿ
& घMD ङ
2
R R
A
D
2
m
+
B
& घA ङ
2 2
m b
R
G
On p eut e ectuer ces deux combinaisons successives di eremment en combinant
d ab ord les sp eci cations G et D en partageant l op erateur puis en a joutantla
0
sp eci cation M en partageant l op erateur Cela donne la sp eci cation A 2
CHAPITRE MOTIVATION
DG push B D G m m b
+
D
& घDG ङ
m
1
+
R
B DG
m b
& घDG ङ
2
R
G
0
A push B M DG b DG m
1 ࣿ
2
M
b
0
ङ & घA
1
2
B
m
ࣿ
R
R
0
A
D
2
& घDG ङ
m
1
+
0
ङ & घA
2
2
R
B DG
m b
& घDG ङ
2
R
G
On p eut maintenant se p oser la question suivante
Avons nous bien obtenu une sp eci cation des anneaux
Dans ce cas particulier on p eut s en convaincre assez facilement en connaissant une
d e nition ind ependante des anneaux Ici on va s int eresser a la question plus facile
0
Est ce que les sp eci cations A et A sont equivalentes
2
2
Pour r epondre a cette question il est inutile d avoir une d e nition ind ependante
des anneaux On cherche simplement a savoir si les deux sp eci cations mo dulaires
0
sont isomorphes Ici il est facile de voir que A et A sont bien isomorphes Intui
2
2
tivement les deux constructions sont equivalentes parce que l op eration de somme
amalgam ee est asso ciative dans un sens qui resterait ad e nir formellement En
SPECIFICATIONS MODULAIRES D ANNEAUX
0
fait les deux constructions A et A sont un co dage par des sommes amalgam ees
2
2
de la colimite du m eme diagramme suivant
2
उ आ
M
b
B
m
ࣿ
A
AU
D
m
+
B
m b
A
AU
G
ई इ
2
Mais des cas plus complexes p euvent se pro duire comme le montre l exemple suivant
Nous commen cons par sp eci er un pseudo anneau c est a dire un anneau sans la
propri et e de distributivit e On p eut faire cela par exemple avec le terme P ouavec
0
le terme P
P push S M G b s m b s
Q push S B B s s
1
Q push B M Q b Q
2 1 1 1
0
P push B Q G Q Q m b
2 2 2 2 1
M
& घQ ङ
1 2
b
M
R
Q
B
2
& घP ङ
b s
1
0
& घQ ङ & घP ङ
1 1 1
s
& घQ ङ
2 1
R R R
0
Q
S S P
P
1
s
& घQ ङ
2 1
R
& घP ङ
m b s
2
B
0
& घP ङ
2
R
G
m b
R
G
0
En fait P et P sont deux sp eci cations isomorphes des pseudo anneaux qui cor
resp ondent a la colimite du diagramme
CHAPITRE MOTIVATION
उ आ
M
b s
S
A
A
m b s
A
A
AU
G
ई इ
Nous allons maintenant a jouter la distributivit e a la sp eci cation P Pour cela
nous consid erons le morphisme de sp eci cations
u up B B P j j P b P m b B ! P
1 1 2 2
B B
Cette eche existe car comme est initial P b j P m b j
1 2
B B
M
b
घP ङ
1
B
घB ङ
1 2
j
B
R R
u
1
B
P
2
j
B
घB ङ
2 2
R
B
घP ङ
2
m b
R
G
Nous avons vu en exemple qu il existe un morphisme de sp eci cations
u up B B D j j m m B ! D
2 ࣿ + 2
B B
On obtient alors une sp eci cation A des anneaux en faisant la somme amalgam ee de
3
D et P par rapp ort a u et u Cela revient a partager les deux op erateurs binaires
2 1
de P et D
A push B P D u u
3 2 1 2
push push B B j j P D
B B
up B B P j j P b P m b
1 2
B B
up B B D j j m m
ࣿ +
B B
SPECIFICATIONS MODULAIRES D ANNEAUX
P
& घA ङ
u
1 3
1
R
A B
3 2
u
2
& घA ङ
2 3
R
D
En n voici une derni ere sp eci cation mo dulaire des anneaux en utilisantlasp eci
0
cation P des pseudo anneaux a laquelle on a joute la propri et e de distributivit e
0
A push push B B j j P D
4
B B
0 0
up B B P j j P Q Q
1 2 2 1 1
B B
0
P Q Q
1 2 2 2 1
up B B D j j m m
ࣿ +
B B
Les deux constructions mo dulaires d anneaux A et A corresp ondent aux colimites
3 4
des diagrammes et ci dessous
3 4
उ आ उ आ
M M
b b
B
b s
B
m m
ࣿ ࣿ
A A
s
AU AU
D D S S
s
A
m m
+ +
AU
B
m b s
B
m b m b
A A
AU AU
R
G G
ई इ ई इ
3 4
En utilisantlad e nition de colimite en th eorie des cat egorie on p eut v eri er que les
colimites des diagrammes et sont isomorphes Cet isomorphisme vient
1 2 3 4
de l egalit e des morphismes de sp eci cations
m s m s
+ ࣿ
Cette egalit e signi e que le fait que les deux op erateurs + et * op erent sur le m eme
ensemble est contenu dans la sp eci cation D des op erateurs distributifs
Nous verrons dans le chapitre que dans la cat egorie de diagrammes diagr C
0
les diagrammes et sont isomorphes
1 2 3 4
CHAPITRE MOTIVATION
Isomorphisme de construction
Nous venons de voir qu il existe plusieurs mani eres equivalentes de sp eci er des
anneaux a partir d une cat egorie de sp eci cations de base donn ee Dans ce pa
ragraphe nous examinons quelques equivalences p ossibles entre deux sp eci cations
Formellement deux sp eci cations sont equivalentes si elles sont isomorphes dans une
certaine cat egorie de sp eci cations Nous pr esentons les isomorphismes de construc
tion qui nous semblentpr esenter un int er et particulier dans l etude des sp eci cations
mo dulaires
Identit e Deux sp eci cations sont equivalentes si et seulement si celles ci sont iden
tiques Il s agit de la plus faible equivalence p ossible qui n est pas tr es int e
ressante
Equivalence structurelle Deux sp eci cations sont equivalentes si et seulement si
celles ci ont et e construites de la m eme fa con ind ependamment de noms inter
m ediaires qui ontpu etre utilis es p endant la construction Avec cette appro che
on a la p ossibilit ede nommer des sp eci cations mo dulaires interm ediaires et
de r eutiliser ces noms par la suite Cette equivalence n est pas b eaucoup plus
int eressante que l identit e
Isomorphisme dans Sp ec Deux sp eci cations sont isomorphes si et seulementsiil
existe un isomorphisme entre ces deux sp eci cations dans la cat egorie des sp e
ci cations Sp ec La di cult e ici est tout d ab ord d exhib er l isomorphisme
entre les deux signatures et surtout de v eri er qu il s agit bien d un isomor
phisme de sp eci cations Avec la d e nition de morphisme de sp eci cations
donn ee ici il faut etre capable de savoir si une equation appartient a la ferme
ture s emantique d un ensemble d equations Ce n est pas trivial puisqu il faut
p ouvoir dire si une equation est satisfaite par une classe d alg ebres sp eci ee
par un ensemble d equations On p eut p our cela utiliser un syst eme logique
mais ce syst eme n est pas forc ement complet De plus m eme si l on disp ose
d un syst eme de d eduction complet le probl eme est en g en eral uniquement
semi d ecidable
Isomorphisme de construction Dans tout notre travail les isomorphismes que nous
consid erons sont des isomorphismes de construction Deux sp eci cations sont
isomorphes si on p eut le prouver en utilisant les propri et es g en erales des coli
mites Il s agit d un isomorphisme dans la cat egorie librement engendr ee par
certaines colimites nies sur la cat egorie des sp eci cations de base C L int er et
0
de cet isomorphisme r eside d une part dans le fait qu il n est pas trop g en eral
parce qu il re ete la construction de la sp eci cation mo dulaire et d autre part
dans le fait qu il est su samment g en eral p our faire abstraction des etapes
particuli eres choisies p our la construction mo dulaire Ces isomorphismes de
construction ne d ependent pas de la d e nition e ective des sp eci cations mais
seulement de la mani ere dont ces sp eci cations li ees par des morphismes de
sp eci cations sont combin ees En particulier une mo di cation mineure
dans la cat egorie des sp eci cations de base ne remettra pas en cause des iso
morphismes de construction Par mineure on entend ici que la mo di cation
CADRE GENERAL
ne change pas les egalit es entre morphismes de sp eci cations de base exis
tants Par contre si deux sp eci cations de base sont isomorphes et que cet
isomorphisme ne fait pas partie de la cat egorie des sp eci cations de base alors
celles ci ne seront evidemment pas li ees par un isomorphisme de construction
Cadre g en eral
Les sp eci cations que nous avons donn ees au cours de ce chapitre sont des sp e
ci cations equationnelles En e et les seules formules utilis ees sont des equations
Il existe evidemment des sp eci cations plus g en erales par exemple des sp eci ca
tions qui utilisent des clauses de Horn ou la logique du premier ordre ou encore les
sp eci cations avec contraintes
Pour formaliser la notion de syst eme logique J Goguen et R Burstall ont pro
pos e les institutions GB GB Ce formalisme p ermet de parler de fa con abs
traite des signatures des formules sur une signature des mo d eles sur une signature
et de la notion de satisfaction d une formule par un mo d ele L int er et des institutions
est de fournir des r esultats ind ependants de la logique sous jacente choisie
Dans notre travail nous etudions la comp osition des sp eci cations p our former
des sp eci cations plus complexes a l aide de colimites Ce probl eme est identique
qu on se place par exemple dans le cadre des sp eci cations equationnelles ou des
sp eci cations avec clauses de Horn En fait on p eut raisonner ind ependammentde
la logique sous jacente en se pla cant dans le cadre g en eral des institutions La seule
propri et e que nous exigeons est l existence de colimites nies dans la cat egorie des
sp eci cations
Institutions
Rapp elons d ab ord la d e nition d une institution GB
D e nition Institution Une institution consiste en
une cat egorie Sig dont les ob jets sont app el es signatures et les eches mor
phismes de signatures
un foncteur Sen Sig Set qui asso cie a chaque signature un ensemble de
propositions et achaque morphisme de signatures une application entre deux
ensembles de prop ositions
op
un foncteur Mod Sig Cat qui asso cie achaque signature une cat egorie
de mod eles et achaque morphisme de signatures un foncteur contravariant
p our tout ob jet de Sig une relation j entre les ob jets de Mod et
ं
les el ements de Sen app el ee relation de satisfaction telle que p our tout
0 0 0
morphisme de signatures m tout mo d ele M ob jet de Mod et
toute equation e de Sen
0 0
0
M j Sen m e Mod m M j e
ं
ं
i
CHAPITRE MOTIVATION
Les sp eci cations equationnelles que nous avons utilis ees dans ce chapitre forment
une institution
Sig est la cat egorie des signatures d e nie en section
Sen asso cie a toute signature l ensemble des equations sur et a tout mor
0 ओ
phisme de signatures m l application m qui traduit les equations
Mod asso cie a toute signature la cat egorie des alg ebres Alg et a tout
0
morphisme de signatures m le foncteur d oubli
0
U Alg Alg
m
0
Ce foncteur d oubli p ermet de consid erer toute alg ebre comme une
alg ebre
Soit une signature une alg ebre A et une equation e sur
A j e l alg ebre A satisfait l equation e cf d e nition
ं
0 0
La propri et e i est v eri ee car p our toute alg ebre A de Alg
0 ओ 0
A j m e U A j e
m
cf par exemple GB EM
D e nition Sp eci cation Une sp eci cation est un couple E o u est un
ob jet de Sig et E un sous ensemble de Sen
C est ce que J Goguen et R Burstall app ellent une pr esentation GB
D e nition Fermeture s emantique d un ensemble de prop ositions
Soit une signature et un ensemble de prop ositions E Sen La fermeture
s emantique E Sen de E est d e nie par
E si et seulement si p our tout mo d ele M de Mod e
e E M j e M j e
0 ं 0 ं
On dit que E est ferm e si et seulementsiE E
D e nition Morphisme de sp eci cations Soit deux sp eci cations E et
0 0 0 0
E Un morphisme de sp eci cations de E vers E est un morphisme
0
de signatures m tel que
0
e E Sen m e E
Les sp eci cations avec les morphismes de sp eci cations forment une cat egorie no
t ee Sp ec
Notre but est de comp oser les sp eci cations par des constructions de colimites
Nous devons donc travailler dans une cat egorie p our laquelle tout diagramme ni
a une colimite c est a dire dans une cat egorie niment co compl ete J Goguen et
R Burstall ont montr e qu il su t que la cat egorie des signatures ait des colimites
p our que la cat egorie des sp eci cations asso ci ee ait des colimites
CADRE GENERAL
Th eor eme GB Lacat egorie Sp ec est niment cocompl ete si et seulement
si la cat egorie associ ee de signatures Sig est niment cocompl ete
Remarque J Goguen et R Burstall ont montr e ce r esultat p our les th eories
c est a dire les sp eci cations E telles que E est ferm e On v eri e facilement
qu on p eut adapter leur d emonstration dans le cas des sp eci cations
Cela p ermet de d eduire que la cat egorie des sp eci cations alg ebriques equationnelles
la cat egorie des sp eci cations du premier ordre etc sont niment co compl etes
Terminologie et hypoth eses
Hyp oth eses
Nous nous pla cons dans une institution dans laquelle la cat egorie des signa
tures Sig est niment co compl ete Cela implique que la cat egorie des sp eci
cations asso ci ee Sp ec est niment co compl ete
On consid ere une sous cat egorie nie C de Sp ec
0
Terminologie
Rapp elons bri evement la terminologie employ ee
Sp eci cation et morphisme de sp eci cations Une sp eci cation et un morphisme de
sp eci cations sont resp ectivement un ob jet et une eche de la cat egorie Sp ec
Sp eci cation de base et morphisme de sp eci cations de base On xe une sous cat e
gorie nie C de Sp ec Les ob jets de C sont app el es sp eci cations de base
0 0
et les eches de C morphismes de sp eci cations de base Intuitivement cette
0
cat egorie repr esente l ensemble des sp eci cations et morphismes de sp eci ca
tions d eclar es par l utilisateur qui forment une biblioth eque de sp eci cations
r eutilisables
Sp eci cation modulaire et morphisme de sp eci cations modulaires Une sp eci ca
tion mo dulaire est soit une sp eci cation de base soit une sp eci cation cons
truite a partir d autres sp eci cations mo dulaires par certaines constructions de
colimites Les morphismes de sp eci cations mo dulaires sont des morphismes
de sp eci cations egalement obtenus par des constructions de colimites
Angles d etudes
Nous nous int eressons a la comp osition des sp eci cations de base sous di erents
angles
Syntaxe Peut on d e nir une syntaxe c est a dire un langage p our d ecrire des cons
tructions mo dulaires Dans le chapitre nous prop osons la construction d une
cat egorie Terme C Cette cat egorie p ermet de repr esenter la construction des
0
sp eci cations mo dulaires a partir de sp eci cations de base en utilisant unique
mentlasp eci cation vide et des sommes amalgam ees Ce chapitre p ermet de
justi er formellementlasyntaxe abstraite utilis ee dans l exemple des anneaux
CHAPITRE MOTIVATION
Interpr etation Quel est le r esultat de plusieurs constructions mo dulaires succes
sives Nous montrons dans le chapitre que des constructions successives
de sommes amalgam ees p euvent etre vue comme le calcul d une seule coli
mite Nous montrons comment calculer le diagramme asso ci e a un terme qui
repr esente une sp eci cation mo dulaire Dans ce chapitre une sp eci cation
mo dulaire est vue de fa con plus abstraite comme la colimite d un diagramme
sur C
0
Calcul Peut on d etecter des isomorphismes de construction Nous r esolvons ce
probl eme uniquement dans le cas simple o u la cat egorie C est nie et ne com
0
p orte pas de cycle Nous prop osons un algorithme qui p ermet par exemple
de d eduire que les sp eci cations A A A et A des anneaux que nous avons
1 2 3 4
pr esent ees dans ce chapitre sont equivalentes Cet algorithme est pr esent e dans
le chapitre
Chapitre
Graphes cat egories et
diagrammes
Le but de ce chapitre est de pr esenter les bases formelles de notre travail en
particulier les concepts de diagramme et de morphisme de diagrammes issus de
la th eorie des cat egories Pour cela nous avons b esoin de quelques notions sur les
graphes pr esent ees en section Nous introduisons la d e nition des morphismes
g en eralis es de graphes En section nous faisons quelques rapp els de th eorie des
cat egories La plupart des r esultats sont tir es de McL ou MB Sur ce sujet
il est egalement int eressant de consulter BW qui introduit les concepts de base
de fa con assez claire et el ementaire En section nous pr esentons les notions de
diagramme et de morphisme de diagrammes
La d e nition de morphisme de diagrammes que nous utilisons bien qu elle ne
soit pas nouvelle est plus g en erale que celles pr esent ees classiquement dans la litt e
rature informatique cf par exemple TBG Nous avons en e et b esoin d une
d e nition su sammentg en erale p our re eter le maximum de eches entre colimi
tes de diagrammes par des morphismes entre les diagrammes corresp ondants Nous
nous basons ensuite sur cette d e nition p our reformuler les notions classiques de
c one sur un diagramme et de colimite d un diagramme
Nous pr esentons deux cat egories de diagrammes DIAGR C et diagr C La
cat egorie DIAGR C qui est une g en eralisation de cat egories de diagrammes utili
s ees en informatique p ermet de fa con pratique de manipuler les morphismes de
diagrammes La cat egorie diagr C obtenue comme un quotient de DIAGR C par
une relation de congruence sur les eches de DIAGR C p oss ede deux propri et es
th eoriques imp ortantes D une part diagr C est une cat egorie niment co compl ete
th eor eme De plus diagr C est une compl etion de la cat egorie C par colimites
nies th eor eme
Graphes
ऄ ऄ
D e nition Graphe Un graphe est un ensemble de n uds N ud un
ऄ ऄ ऄ
ensemble d arcs Arc et deux fonctions Source But Arc N ud Si
a est un arc de source m et de but n on note a m n
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
Un graphe est ni lorsque l ensemble des n uds et l ensemble des arcs sont nis
ऄ ऄ
D e nition Morphisme de graphes Soit deux graphes et Un mor
ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ
phisme de graphes de vers not e ! est une application
ऄ ऄ ऄ
qui a tout n ud n de asso cie un n ud n de et a tout arc a m ! n de
ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ
asso cie un arc a m ! n de
ऄ ऄ ऄ
Composition des morphismes de graphes Soit trois graphes et deux
ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ
morphismes de graphes ! et ! La comp osition de
ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ
et est le morphisme ! qui asso cie a tout n ud n de le
ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ
n ud n de et a tout arc a m ! n de asso cie l arc a
ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ
m ! n En r esum e est d e ni de la fa con suivante
ऄ ऄ ऄ ऄ
!
ऄ ऄ
n 7! n
ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ
a m ! n 7! a m ! n
ऄ ऄ
D e nition Zigzag sur un graphe Soit un graphe Un zigzag Z sur est
un triplet k Z Z o u
N A
k est un entier naturel app el e longueur du zigzag Z
ऄ
Z est un k uplet n n n de n uds de
N 0 1
k
ऄ
Z est un k uplet a a a d arcs de tel que p our tout entier
A 0 1
k 1
naturel i tel que ऊ i ऊ k a est soit un arc de source n et de but n
i i i+1
soit un arc de source n et de but n
i+1 i
On app elle n la source du zigzag Z et n son but On note Z n ऎ! n
0 0
k k
ऄ
Pour tout n ud n de onaunzigzag nul de longueur nulle not e n ऎ! n
n
Par la suite p our plus de lisibilit e un zigzag Z n ऎ! n sera repr esent e de la
0
k
fa con suivante
a
a a a
k 1
0 1 2
Z n ! n ऐ n ऐ n ࣽࣽࣽ n ! n
0 1 2 3
k 1 k
On choisit une orientation arbitraire p our la repr esentation de chaque arc a
i
ऄ ऄ
Etant donn e un graphe on a un graphe Zigzag dont les n uds sont les
ऄ ऄ
n uds de et les arcs les zigzags de
A tout zigzag Z n ऎ! n
0
k
a
a a a
k 1
0 1 2
Z n ! n ऐ n ऐ n ࣽࣽࣽ n ! n
0 1 2 3
k 1 k
Z n ऎ! n on p eut asso cier un zigzag oppos e
0
k
a
a a a
k 1
2 1 0
Z n ऐ n ࣽࣽࣽ n ! n ! n ऐ n
3 2 1 0
k k 1
obtenu en parcourant le zigzag dans l autre sens Plus formellement on d e nit
l opp os e d un zigzag de la fa con suivante
CATEGORIES FONCTEURS
ऄ
D e nition Zigzag opp os e Soit un zigzag Z k Z Z sur un graphe
N A
avec Z n n n etZ a a a L opp os e du zigzag
N 0 1 A 0 1
k k 1
Z n ऎ! n
0
k
est le zigzag
0 0
Z n ऎ! n k Z Z
0
k
N A
o u
0
Z n n n
0
k k 1
N
0
Z a a
0
k 1
A
ऄ ऄ
D e nition Morphisme g en eralis e de graphes Soit deux graphes et
ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ
Un morphisme g en eralis edegraphes ऎ! entre les graphes et est
ऄ ऄ
un morphisme de graphes entre et Zigzag
ऄ ऄ
Le morphisme g en eralis e de graphes asso cie donc a tout n ud n de un n ud
ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ
n de et a tout arc a m ! n de un zigzag a m ऎ! n du
ऄ
graphe
Tout morphisme de graphes est donc un morphisme g en eralis e puisqu un arc est un
cas particulier de zigzag
Un morphisme g en eralis e asso cie donc a tout arc un zigzag en conservant les
sources et les buts On p eut etendre la d e nition d un morphisme g en eralis e de
ऄ ऄ ऄ
graphes ऎ! en asso ciant a tout zigzag un zigzag Il su t p our cela de
mettre les zigzags b out a b out Etant donn e un zigzag Z n ऎ! n
0
k
a
a a
k 1
0 1
Z n ऐ n ! n ࣽࣽࣽ n ! n
0 1 2
k 1 k
ऄ ऄ ऄ
on d e nit le zigzag Z n ऎ! n par
0
k
ऄ
ऄ ऄ
घa ङ
घa ङ घa ङ
0 1
k 1
ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ
Z n ऐऎ n ऎ! n ࣽࣽࣽ n ऎ! n
0 1 2
k 1 k
ऄ ऄ ऄ
Cela p ermet de comp oser les morphismes g en eralis es Soit trois graphes
ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ
et deux morphismes g en eralis es ऎ! ऎ! Le morphisme
ऄ ऄ
g en eralis e est d e ni de la fa con suivante
ऄ ऄ ऄ ऄ
!
ऄ ऄ
n 7! n
ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ
a m ! n 7! a m ऎ! n
Cat egories foncteurs :::
Dans cette partie nous rapp elons les d e nitions de cat egorie foncteur transfor
mation naturelle et adjonction Ces d e nitions sont tir ees de McL MB BW
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
Cat egories
D e nition Cat egorie Une cat egorie C est d e nie de la fa con suivante
On a une classe d objets not es A B C
Pour chaque couple d ob jets A B on a un ensemble hom A B de eches
C
not e plus simplement hom A B s il n y pas d ambigu t e sur la cat egorie
f hom A B est not e f A B
A est app el e domaine de f et B est app el e codomaine de f
Pour chaque triplet d ob jets A B C on a une op eration de comp osition
hom B C hom A B hom A C
g f g f
Pour tout ob jet B on a une eche id B B
B
Pour tout ob jet B la eche id est une identit e
B
f A B g B C id f f et g id g
B B
La comp osition est asso ciative
f A B g B C h C D h g f h g f
Exemples de cat egories
La cat egorie des ensembles not ee Set dont les ob jets sont les ensembles et
les eches sont les applications entre deux ensembles
La cat egorie des signatures not ee Sig dont les ob jets sont les signatures et
les eches sont les morphismes de signatures
La cat egorie des sp eci cations not ee Sp ec dont les ob jets sont les sp eci ca
tions alg ebriques et les eches sont les morphismes de sp eci cations
La cat egorie des graphes not ee Graph dont les ob jets sont les graphes et les
eches sont les morphismes de graphes
D e nition Isomorphisme Soit une cat egorie C et f A B une eche de C
On dit que f A B est un isomorphisme si et seulement si il existe une eche
g B A de C telle que g f id et f g id
A B
1
Si f est un isomorphisme la eche g est alors unique et est not ee f On dit
1
alors que f et f sont inverses et que les ob jets A et B sont isomorphes On note
B A
D e nition Petite cat egorie Lorsque la classe d ob jets d une cat egorie C est
un ensemble on dit que C est une petite cat egorie
Par exemple les cat egories Set Sig Sp ec et Graph ne sont pas des p etites cat e gories
CATEGORIES FONCTEURS
Remarque
Toute p etite cat egorie est un graphe
ऄ
R eciproquement on p eut asso cier a tout graphe la cat egorie librement
engendr ee sur ce graphe Cette cat egorie a p our ob jets les n uds du graphe
ऄ ऄ
et p our eches les cha nes d arcs composables de o u deux arcs a et
a sont comp osables si et seulement si But a Source a La comp osition
est d e nie comme la concat enation des cha nes b b b a a a
1 2 1 2
l k
a a a b b b Les eches identit es sur un ob jet n sont les cha nes de
1 2 1 2
k l
longueur nulle de source et but n not ees
n
Foncteurs
Un foncteur est l equivalent d un morphisme de graphes p our les cat egories
D e nition Foncteur Soit C et D deux cat egories Un foncteur F de C vers D
not e F C D est une application qui a tout ob jet A de C asso cie un ob jet F A
de D et a toute eche f A B de C asso cie une eche F f F A F B de
D et telle que
p our tout ob jet A de C F id id
A
F घAङ
p our toutes eches f A B et g B C de C F g f F g F f
Etant donn e une cat egorie C il y a foncteur identit e Id C C qui est l identit e
C
sur les ob jets et sur les eches
Soit trois cat egories C D et E et deux foncteurs F C D et G D E
On d e nit la comp osition de F et G de fa con evidente
G F C E
A G F A
f A B G F f G F A G F B
Cat egorie Cat
La classe des p etites cat egories avec les foncteurs forme une cat egorie Cat
Cat egorie CAT
Par la suite nous aurons b esoin d une cat egorie qui contient non seulement des
p etites cat egories mais egalement des cat egories comme Set ou Sp ec qui ne sont
pas p etites Nous consid erons p our cela la cat egorie CAT des grandes cat egories
qui contient les p etites cat egories ainsi que les autres cat egories qui nous int eressent
Pour des probl emes de fondations de m eme qu on ne p eut pas consid erer l ensemble
de tous les ensembles CAT n est pas la cat egorie de toutes les cat egories En
particulier CAT n est pas un ob jet de CAT Pour plus de d etails on p eut consulter
McL pages
Propri et e Soit un foncteur F C D L image par F d un isomorphisme de
C est un isomorphisme de D
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
Preuve Soit un foncteur F C D et f A B un isomorphisme de C
1 1
F f F A F B est un isomorphisme et F f F f F B F A
En e et
1
F f F f
1
F f f F est un foncteur
1
F id d e nition de f
B
id F est un foncteur
F घB ङ
1
De m eme F f F f id et donc F f est un isomorphisme 2
F घAङ
D e nition Endofoncteur Un foncteur F C C est app el e endofoncteur
Si F est un endofoncteur on p ose
0
F Id
C
i i 1
F F F i
D e nition Foncteur plein Soit deux cat egories C et D et un foncteur F
C D On dit que F est plein si p our tout couple d ob jets A B de C et p our
toute eche g F A F B de D il existe une eche f A B de C telle que
g F f
Intuitivement entre deux ob jets de D images par F d ob jets de C il n y a pas de
eches autres que les images par F de eches de C F est d une certaine fa con
surjectif sur les eches
D e nition Foncteur d ele Soit deux cat egories C et D et un foncteur F
C D On dit que F est d ele si p our tout couple d ob jets A B de C et p our
tout couple de eches f f A B onaF f F f f f
Autrement dit F est d ele si F est injectif sur les eches
Transformations naturelles
D e nition Transformation naturelle Soit deux cat egories C et D Soit deux
foncteurs F G C D Une transformation naturelle de F vers G not ee F
G est une application qui a tout ob jet A de C asso cie une eche F A G A
A
de D telle que p our toute eche f A B de C
G f F f
A B
A
-
F A G A
A
f F f G f
? ? ?
-
F B G B
B
B
CATEGORIES FONCTEURS
Cat egorie des foncteurs de C vers D
Soit trois foncteurs F G H C D et deux transformations naturelles F G
et G H La comp osition de et est la transformation naturelle F H
telle que p our tout ob jet A de C
A A A
Cela d e nit bien une transformation naturelle En e et
H f
A
H f d e nition de
A A
G f transformation naturelle
B A
F f transformation naturelle
B B
F f d e nition de
B
A A
- -
F A G A H A
A
f F f G f H f
? ? ? ?
- -
F B G B H B
B
B B
Remarque Cette comp osition des transformations naturelles est souvent ap
pel ee comp osition verticale par opp osition a la comp osition horizontale dont nous
n avons pas rapp el elad e nition ici
Soit un foncteur F C D On a une transformation naturelle identit e not ee
id F F qui asso cie a tout ob jet A de C la eche id On v eri e facilement
F
F घAङ
que p our tous foncteurs F G C D et toute transformation naturelle F G
on a
id
F
id
G
On v eri e facilement que la comp osition des transformations naturelles est asso cia
C
tive donc on a une cat egorie not ee D dont les ob jets sont les foncteurs de C vers
D et les eches sont les transformations naturelles
D e nition Isomorphisme naturel Soit deux cat egories C et D Soit deux
C
G de la cat egorie D est app el e foncteurs F G C D Un isomorphisme F
isomorphisme naturel Si F G est un isomorphisme naturel on dit que les
foncteurs F et G sont naturellement isomorphes et on note F G
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
Propri et e Soit deux cat egories C et D Soit deux foncteurs F G C D Une
transformation naturelle F G est un isomorphisme naturel si et seulement si
pour tout objet A de C F A G A est un isomorphisme
A
1
De plus G F est la transformation naturelle qui associe a tout objet A de
1
C la eche G A F A de D
A
1
Preuve Notons On v eri e d ab ord que est une transformation natu
A
A
relle
G f F f transformation naturelle
A B
1 1
G f F f et isomorphismes
A B
B A
G f F f d e nition de et
B A A B
donc G F est une transformation naturelle
Montrons maintenant que et sontinverses Pour tout ob jet A de C
1
id
A A A A
GघAङ
A
1
donc id De m eme on montre que id Par cons equent 2
G F
Consid erons quatre cat egories B C D et E et quatre foncteurs K B C F G
C D et H D E Consid erons une transformation naturelle F G
On a une transformation naturelle
H H F H G
telle que p our tout ob jet A de C
H H H F A H G A
A A
eche de E
Cela d e nit bien une transformation naturelle Soit une eche f A B de C
G f F f transformation naturelle
A B
H G f H F f
A B
H G f H H H F f H foncteur
A B
H G f H H H F f d e nition de H
A B
On a egalement une transformation naturelle
K F K G K
telle que p our tout ob jet A de B
K F K A G K A
A
K घAङ
eche de D
Cela d e nit bien une transformation naturelle En e et soit une eche f A B
de B
G K f F K f transformation naturelle
K घAङ K घB ङ
G K f K K F K f d e nition de K
A B
CATEGORIES FONCTEURS
Propri et e Soit quatrecat egories B C D et E et quatre foncteurs K B C
F G C D etH D E Supposons F G Alors
H F H G
F K G K
Preuve Soit F G l isomorphisme naturel entre F et G
Pour tout ob jet A de C est un isomorphisme donc d apr es la propri et e
A
H H est un isomorphisme Par cons equent d apr es la pro
A A
pri et e H H F H G est un isomorphisme naturel et donc
H F H G
Pour tout ob jet A de B K est un isomorphisme Par cons equent
A
K घAङ
K F K G K est un isomorphisme naturel et donc F K G K
2
Adjonctions
Un des concepts les plus imp ortants de la th eorie des cat egories est l adjonction
Par exemple les constructions libres comme les constructions d alg ebres libres de
groupes libres ou de mono des libres sont caract eris ees par des adjonctions
D e nition Adjonction Soit deux cat egories C et D Soit deux foncteurs
F C D et G D C Les foncteurs F et G forment une adjonction not ee
F a G si et seulement si il existe une transformation naturelle Id G F
C
telle que p our tout ob jet A de C p our tout ob jet B de D et p our toute eche
f A G B de C il existe une unique eche g F A B de D telle que
G g f
A
A
F A G F A
A
g
G g
f
R
G B
B
La transformation naturelle Id G F est app el ee unit e de l adjonction
C
F a G
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
Th eor eme Soit deux cat egories C et D et deux foncteurs F C D et
G D C Alors F a G est une adjonction si et seulement si il existe une
transformation naturelle F G Id tel le que pour tout objet B de D pour tout
D
objet A de C et pour toute eche g F A B de D il existe une unique eche
f A G B de C tel le que F f g
B
B
F G B G B
B
I
F f f
g
F A
A
La transformation naturelle F G Id est appel ee co unit e de l adjonction
D
F a G
Preuve On p eut trouver une preuvedeceth eor eme dans BW page 2
Propri et e Soit une adjonction F a G ayant pour unit e la transformation
naturelle Id G F et pour co unit elatransformation naturelle F G Id
C D
Alors on a les egalit es suivantes entre transformations naturelles
G G id
G
F F id
F
Preuve On p eut trouver une preuve de cette propri et e dans McL page 2
Exemple Adjonction entre la cat egorie Graph et la cat egorie Cat
A toute p etite cat egorie C on p eut asso cier un graphe U C dont les n uds
sont les ob jets de C et les arcs les eches de C R eciproquement a tout graphe
ऄ ऄ ऄ
on p eut asso cier la cat egorie F librement engendr ee sur le graphe cf
remarque
F et U sont en fait des foncteurs
F Graph Cat
U Cat Graph
qui forment une adjonction F a U En e et p our toute cat egorie C p our tout
ऄ ऄ
graphe p our tout morphisme de graphes m U C il existe une unique
ऄ
extension de m en un foncteur M F C
Par abus de notation dans toute la suite la cat egorie librement engendr ee sur
ऄ ऄ
un graphe sera egalement not ee
DIAGRAMMES
Diagrammes
Dans cette section nous d e nissons les diagrammes sur une cat egorie de base C
Intuitivement un diagramme d ecrit un assemblage d ob jets de C a l aide de eches
de C Nous rapp elons la d e nition de la colimite d un diagramme qui p eut etre vue
intuitivement comme le r esultat de l assemblage d ecrit par le diagramme
Nous avons b esoin de d e nir non seulement des diagrammes sur C mais egale
ment des morphismes de diagrammes a n d obtenir une cat egorie de diagrammes
En e et l id ee principale de notre travail est d asso cier a toute sp eci cation un
diagramme et a tout morphisme de sp eci cations un morphisme de diagrammes
Dans cette section nous commen cons par d e nir la cat egorie DIAGR C qui a
p our ob jets les diagrammes et p our eches les morphismes de diagrammes Notre
d e nition de morphisme de diagrammes bas ee sur les notions de zigzag sur un graphe
et de morphisme g en eralis edegraphe est plus g en erale que celle par exemple donn ee
dans TBG Puis nous reformulons la d e nition de c one et de c one colimite
Nous d e nissons ensuite une congruence sur les eches de DIAGR C et la
cat egorie diagr C est le quotient de DIAGR C par cette relation La cat ego
0
rie diagr C a p our ob jets les ob jets de DIAGR C et p our eches les classes
0
d equivalence mo dulo de eches de DIAGR C Nous montrons que la cat ego
rie diagr C est niment co compl ete et que le calcul d une colimite consiste a aplatir
un diagramme de diagrammes dans la cat egorie DIAGR C Nous montrons en n
que diagr C est une compl etion de C par colimites nies
Cat egorie des diagrammes DIAGR C
ऄ
Un diagramme sur une cat egorie C est un graphe dont les n uds n sont
0
etiquet es par des ob jets n de C et les arcs a n n sont etiquet es par des
0
eches a n n deC De mani ere equivalente
D e nition Diagramme Un diagramme sur une cat egorie C est un couple
ऄ ऄ
C
avec
ऄ
est une cat egorie librement engendr ee sur un graphe ce graphe est egale
ऄ
ment not e
ऄ
C est un foncteur
ऄ
Le graphe est app el e graphe sous jacent du diagramme
ऄ
Un diagramme est ni si et seulement si son graphe sous jacent est ni
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
Remarque
S Mac Lane McL d e nit un diagramme comme un foncteur F J C
o u J est une cat egorie quelconque habituellement p etite et souvent nie
Notre d e nition est donc moins g en erale dans la mesure o u nous imp osons
ऄ
que la cat egorie soit librement engendr ee sur un graphe donc p etite De
plus la cat egorie J p eut contenir des egalit es entre certaines eches ce qui
n est pas le cas p our une cat egorie librement engendr ee sur un graphe
M Barr et C Wells BW d e nissent un diagramme comme un morphisme
ऄ
de graphes entre le graphe et le graphe sous jacent delacat egorie C Leur
d e nition est donc un p eu moins g en erale que celle que nous utilisons puisqu ils
imp osent que la cat egorie C soit p etite
ऄ ऄ
Lorsque le graphe est ni cela n implique pas forc ement que la cat egorie
soit nie En e et si le graphe comp orte une ou plusieurs b oucles c est a dire
des arcs qui ont m emes source et but alors la cat egorie librement engendr ee
ऄ
sur comp orte un nombre in ni de eches La d e nition de diagramme ni
ऄ
donn ee par S Mac Lane qui consiste a consid erer un foncteur C o u
ऄ
la cat egorie est nie exclut donc les diagrammes dont le graphe sous jacent
comp orte des b oucles
Nous d e nissons un diagramme a partir d un graphe parce que nous p ensons
que cette d e nition est plus pro che de l informatique on a au d epart de
fa con e ective un graphe et le fait de consid erer la cat egorie engendr ee par
ce graphe doit etre vu comme un simple outil de formalisation
ऄ ऄ
Pour d e nir un foncteur C o u est une cat egorie librement engen
dr ee sur un graphe il su t de d e nir sur les n uds et les arcs du graphe
ऄ ऄ
Comme les eches de la cat egorie sont les cha nes d arcs comp osables
ऄ
sur le graphe il su t de p oser
id
n
घnङ
a a a a a a
1 2 n n 2 1
ऄ
p our terminer la d e nition du foncteur C
Lorsque nous d e nissons un diagramme nous ne tenons pas compte des
ऄ
noms des n uds et des arcs du graphe sous jacent Autrement dit le
ऄ
graphe est consid er e a un isomorphisme pr es Plus pr ecis ement soit deux
diagrammes
ऄ ऄ ऄ ऄ
C et C
ऄ ऄ ऄ
Si on a un isomorphisme de graphes qui corresp ond a un
ऄ ऄ
foncteur entre les cat egories et tel que
ऄ
ऄ ऄ
n N ud n n
0 ऄ ऄ
a n n Arc a a
et sont egaux alors nous consid erons que les diagrammes
DIAGRAMMES
Nous donnons maintenant quelques exemples de diagrammes sur une cat egorie C
ऄ
Exemple Diagramme I A Soit le graphe comp ortant un seul n ud ap
C
A ऄ
pel e et aucun arc Soit A un ob jet de C On a un foncteur I C d e ni par
C
A
I A On p eut donc d e nir un diagramme
C
ऄ A ऄ
I A I C
C
C
ऄ ऄ
A
अ अ
ऄ
graphe diagramme I A
C
ऄ
Exemple Diagramme de somme Soit le graphe comp ortant deux n uds
ऄ
et aucun arc Soit A et B deux ob jets de C On a un foncteur C qui
asso cie l un des n uds a A et l autre des n uds a B On a donc un diagramme de
somme de A et B
ऄ ऄ
C
ऍ ऊ
ऄ
अ
A B
ऌ ऋ
ऄ
graphe
diagramme
ऄ
Exemple Diagramme de co egalisateur Soit le graphe contenant deux
n uds et et deux arcs a et b de source et de but Si A et B sont deux
ob jets de C etf g A B deux eches de C onadiagramme de co egalisateur
ऄ ऄ
C
d e ni par
A
B
a f
b g
उ आ उ आ
a
f
- -
- -
g
b
A B
ई इ ई इ
ऄ
graphe diagramme
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
ऄ
Exemple Diagramme de somme amalgam ee Consid erons le graphe ap
pel e graphe de somme amalgam ee qui comp orte trois n uds et et deux
arcs a et b Si A B C sont des ob jets de C et f A B g A C
des eches de C onaundiagramme de somme amalgam ee
ऄ ऄ
C
d e ni par
A
B
C
a f
b g
ऍ ऍ ऊ ऊ
- -
g
a
f
b
B A C
ऌ ऋ ऌ ऋ
ऄ
graphe diagramme
Morphismes de diagrammes
Nous venons de d e nir les diagrammes nis Pour obtenir une structure de
cat egorie nous devons a jouter des eches entre les diagrammes Intuitivement une
eche entre deux diagrammes et sur C est un ensemble de eches de C une par
ऄ
n ud de qui ont certaines propri et es de commutation
Di erentes cat egories de diagrammes ont et e pr esent ees dans la litt erature Par
exemple S Mac Lane d e nit une cat egorie de diagrammes qu il app elle sup er
comma cat egorie McL exercice b page A Tarlecki et al ont d e ni
une cat egorie Funct C TBG qui p eut etre obtenue a partir de la sup er comma
cat egorie de S Mac Lane en dualisant Dans cette cat egorie une eche entre deux
diagrammes
ऄ ऄ ऄ ऄ
C et C
est un couple
ऄ ऄ ऄ ऄ
o u
ऄ ऄ ऄ
est un foncteur entre les cat egories et ou de fa con equivalente un
ऄ ऄ
morphisme de graphes entre les graphes et
ऄ ऄ
est une transformation naturelle entre les foncteurs C
ऄ ऄ
et C
DIAGRAMMES
Ces cat egories de diagrammes ne sont pas su samment g en erales p our notre
prop os car elles ne comp ortent pas assez de eches Intuitivement et en anticipant
un p eu sur la suite nous souhaitons avoir une eche entre deux diagrammes chaque
fois qu il existe une eche entre les colimites des deux diagrammes Avec la d e nition
ci dessus certaines eches entre colimites de diagrammes ne corresp ondent a aucune
eche entre les deux diagrammes
Exemple Reprenons l exemple des anneaux du chapitre Nous avons un
vers le diagramme qui corresp ond a morphisme de diagrammes du diagramme
2
un morphisme de sp eci cations de Colim vers Colim
2
up S M G A b s m b s A MD A
2 1 2 1 2 2
Mais il n y a pas de morphisme de diagrammes de vers avec la d e nition ci
2
dessus
ऍ ऊ ऍ ऊ
= id
1 M
0
1
M 1 M
b s
b
0
a
b s
3
s
m
ࣿ
A
B
AU
= m s
0 ࣿ
0
0
S 0 D
X
X
= m s
X
a +
X
X
a
A
X
a
X
m
+
X
a
B
X
A a
X
X
Xz
a s
0 0
a
m b s
a 4
A
a
a
A a
m b
A
a
m b s
a
AAU AU a
j
0
2
G G
2
= id
2 G
ऌ ऋ ऌ ऋ
2
ऄ ऄ
Pour cette raison au lieu de consid erer un morphisme de graphes !
ऄ ऄ ऄ ऄ
nous devons consid erer un morphisme g en eralis e de graphes ऎ!
ऄ
Rapp elons qu un morphisme g en eralis e de graphes asso cie a tout n ud de un
ऄ ऄ ऄ
n ud de et a tout arc de un zigzag de c est a dire une s equence lin eaire
ऄ
d arcs de d e nition De m eme au lieu de consid erer une transformation
ऄ
ࣽ
naturelle ! nous devons consid erer une transformation naturelle
ऄ
ࣽ
g en eralis ee ऎ!
Exemple Suite Avec cette d e nition nous p ouvons d e nir une eche
ऄ ऄ ऄ
! qui consiste en un morphisme g en eralis e de graphes ऎ! et une
2
2
ऄ
ࣽ
transformation naturelle g en eralis ee ऎ!
2
ऄ
Le morphisme g en eralis e de graphes p eut etre d e ni par exemple de la
fa con suivante
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
ऄ ऄ ऄ
2
0
0
0
m b
ࣿ
0 0 0
a
m
mb
+
0 0 0 0
a
ऄ
La transformation naturelle g en eralis ee est d e nie par
2
m s m s
0 ࣿ +
id
1 M
id
2 G
D e nition Relation de connexion entre deux eches
ऄ ऄ ऄ
Soit un diagramme C et deux n uds n et n de N ud
0
k
Soit u A n etv A n deux eches de C
0
k
On dit que les eches u et v sont connect ees par le diagramme gure si et
seulement si il existe un zigzag
a
a a a
k 1
0 1 2
Z n n n n n n
0 1 2 2
k 1 k
ऄ
sur et un ensemble de eches de C
fc A n i f kgg
i i
tels que
u c
0
v c
k
i f k g
a c c sia est orient eden vers n
i i i+1 i i i+1
a c c sia est orient eden vers n
i i+1 i i i+1 i
v ouu v Z si l on souhaite pr eciser le zigzag Z On note u
D e nition Cat egorie des diagrammes nis DIAGR C
Soit une cat egorie C
Un objet de DIAGR C est un diagramme ni sur C
ऄ ऄ ऄ ऄ
Soit deux diagrammes C et C Une
eche de DIAGR C ou morphisme de diagrammes est un couple
ऄ ऄ ऄ ऄ
avec
DIAGRAMMES
उ आ
B
n
0
a
0
u = c
R
0
n
1
c a
1 1
A
c
2
n
X
2
X
Q
X
X
X
Q
X
c a
X
3 2
Q X
R
X
Xz
Q
n
3
Q
v = c
4
a
3
Q
Q
Qs
n
4
C
ई इ
Figure u v Z n n
0 4
ऄ ऄ ऄ
{ est un morphisme g en eralis e de graphes
ऄ
{ est une transformation naturelle g en eralis ee c est a
dire un ensemble de eches
ऄ ऄ
n n n N ud
n
telles que
ऄ ऄ
a a m n Arc a
m n
ऄ
Remarquons que dans le cas particulier o u est un morphisme de graphes
ऄ ऄ ऄ ऄ
alors s etend en un foncteur et est alors une transformation
ऄ
naturelle
On d e nit la comp osition de deux eches de DIAGR C delafa con suivante
Soit trois diagrammes
ऄ ऄ
C
ऄ ऄ
C
ऄ ऄ
C
Soit deux eches
ऄ ऄ ऄ ऄ
ऄ ऄ ऄ ऄ
de et est le couple La comp osition
ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ
o u
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
ऄ ऄ
est la comp osition des deux morphismes de graphes g en eralis es
ऄ ऄ
est la transformation naturelle g en eralis ee d e nie
par
ऄ
n N ud
ऄ
n n
घnङ
ऄ
घnङ
n
ऄ ऄ ऄ
n n n
On v eri e sans di cult e que est bien une transformation naturelle g e
n eralis ee c est a dire que
ऄ ऄ ऄ
a m n Arc a a
ऄ ऄ
n m
घnङ घmङ
On v eri e que cette comp osition est asso ciative
Pour tout diagramme on a une eche identit e
ऄ ऄ
id id id
ऄ
o u id est la transformation naturelle identit e id Autre
ऄ
id ment dit n N ud id
n
घnङ
Colimites
La fa con standard de d e nir une colimite comme par exemple dans McL
ऄ
est de commencer par xer un graphe sous jacent puis de d e nir un foncteur
diagonal
ऄ
C C
ऄ
ऄ
est la cat egorie des foncteurs de vers C qui corresp ond a une cat ego o u C
ऄ
rie de diagrammes de graphe sous jacent Cette pr esentation ne nous convient
pas parce que nous ne voulons pas xer de graphe a priori En d e nissant la ca
t egorie DIAGR C nous n avons pas non plus x e de graphe sous jacent puisqu un
diagramme est donn e a la fois par un graphe et un foncteur
Dans ce paragraphe nous reformulons la d e nition de colimite dans notre cadre
Cette d e nition corresp ond a la d e nition standard et evite de xer trop t ot un
graphe sous jacent
D e nition Foncteur d inclusion I C DIAGR C
C
La cat egorie C p eut etre plong ee dans DIAGR C en consid erant tout ob jet de C
ऄ
comme un diagramme sur le graphe Autrement dit on a un foncteur
I C DIAGR C
C
ऄ
A
A
अ
ऄ ऄ
f
-
f A B
A B
अ अ
DIAGRAMMES
A ऄ
Le foncteur corresp ondant au diagramme I A est not e I C
C
C
La transformation naturelle g en eralis ee corresp ondant au morphisme de diagrammes
f
A B
I f est not ee I I I
C
C C
C
Nous avons donc
ऄ A ऄ
I A I C
C
C
ऄ B ऄ
I B I C
C
C
f
A B
I f id I I I
ऄ
C
1
C C
C
ऄ
Soit l unique n ud de Nous avons
A
I A
C
B
I B
C
f
I f A B
C
ऄ ऄ 1
C Un c one sur D e nition C one Soit un diagramme
est un couple
I A A
C
o u A est un ob jet de C et est une eche entre les diagrammes et I A
C
ऄ ऄ ऄ ऄ ऄ
est l unique morphisme g en eralis ede vers a tout n ud de asso cie
ऄ ऄ ऄ
l unique n ud de et a tout arc de asso cie le zigzag de longueur nulle
ऄ
Remarquons que est l unique zigzag de
ऄ A
est en Remarque La transformation naturelle g en eralis ee I
C
ऄ A
En d etaillant on a fait une transformation naturelle I
C
ऄ ऄ
m n N ud a m n Arc a
n m
A
AK
A
A
m n
A
A
उ आ
A
A
a
m n
ई इ
D e nition C one colimite
Le c one A I A est un c one colimite du diagramme si et seulementsi
C
I D il existe une unique eche A D de C telle p our tout c one D
C
que
I
C
1
Pour resp ecter la terminologie usuelle nous devrions parler de c one inductif ou de coc one car
nous allons d e nir des colimites et non des limites Dans la mesure o u nous ne parlons ici jamais
de limites nous utiliserons le mot c one
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
D etaillons un p eu cette derni ere egalit e
I
C
ऄ
n N ud I
ऄ
C n n
घnङ
ऄ
n N ud
n n
A D
AK
A
A
n
A
n
A
A
उ आ
A
n
ई इ
Si A I A est un c one colimite on app elle A la colimite du diagramme
C
et on note A Colim Cette notation compacte ne doit pas faire oublier qu en
C
r ealit e une colimite A est toujours d e nie en m eme temps qu un c one c est a dire
I A une eche
C
Les deux lemmes suivants montrent qu une colimite est d e nie a un isomorphisme
pr es
Lemme Deux colimites d un m eme diagramme sont isomorphes
Soit un diagramme sur C Si A I A et B I B sont deux
C C
c ones colimites du diagramme alors A B
Preuve Comme B I B est un c one sur il existe une unique eche
C
A B telle que
I
C
i
Comme A I A est un c one sur il existe une unique eche B A
C
telle que
I
C
ii
Nous avons donc
I I I I foncteur
C C C C
d apr es i I
C
d apr es ii
Comme A I A est un c one colimite il existe une unique eche u A
C
A telle que I u Or et id satisfont toutes les deux cette propri et e
C A
donc id De m eme on montre que id Par cons equent A et B
A B
sont isomorphes 2
DIAGRAMMES
Lemme Soit un diagramme sur C ayant pour c one colimite
A I A
C
Soit B un objet de C isomorphe a A On note A B cet isomorphisme Alors
I B est un autre c one colimite du diagramme B I
C C
Preuve Il faut montrer que p our tout c one D I D il existe un unique
C
B D tel que I I
C C
Existence Soit A D l unique eche telle que I On p ose
C
1
I I
C C
1
I I d e nition de
C C
I foncteur I
C C
d e nition de
Unicit e Soit B D tel que I I On montre que
C C
I I I I d e nitions de et
C C C C
I I I foncteur
C C C
Comme A I A est c one colimite du diagramme il existe une unique
C
eche u A D de C telle que
I u
C
Comme et satisfont cette propri et e
Or est un isomorphisme donc
2
Remarque Choix de colimites
Une colimite avec le c one colimite corresp ondant est donc d e nie a un iso
morphisme pr es On parle souvent abusivement de la colimite d un diagramme
alors qu on devrait parler d une colimite d un diagramme Pour la suite nous avons
b esoin de distinguer une colimite particuli ere p our un diagramme Cela consiste a
choisir un c one colimite privil egi e p our ce diagramme Dans ce cas nous p ouvons
alors parler sans ambigu t edela colimite de ce diagramme
Lorsqu on n a pas fait de choix de colimites la notation Colim repr esente donc
C
une colimite quelconque du diagramme sachant qu elles sont toutes isomorphes
Par contre lorsqu on a fait un choix de colimite la notation Colim repr esente la
C
colimite choisie du diagramme
Ces choix de colimites corresp ondent a des choix de repr esentation ou de co dage
n ecessaires en informatique en particulier lorsqu on d e nit une syntaxe
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
Exemples de colimites
Dans ce paragraphe nous consid erons quelques exemples de colimites de diagrammes
particuliers sur une cat egorie C Nous rapp elons d ab ord la d e nition d ob jet initial
D e nition Ob jet initial Un ob jet de C est initial si et seulement si p our
tout ob jet A de C il existe une unique eche j A dans C
A
Exemple Ob jet initial
L ensemble vide est initial dans la cat egorie Set
La sp eci cation vide est initiale dans la cat egorie Sp ec
Le diagramme vide diagramme dont le graphe sous jacent ne comp orte aucun
n ud et aucun arc est initial dans DIAGR C
Si le diagramme vide a une colimite dans C alors est un ob jet initial de C
Soit I le c one colimite de Soit A un ob jet de C Comme
C
est initial dans DIAGR C on a une eche I A est colimite du
C
diagramme donc il existe une unique eche j A telle que I j
A C A
Soit j A une autre eche de C On a I j car est initial dans
C
DIAGR C Par cons equent j j
A
Exemple Colimite du diagramme I A Soit un ob jet A de C Consid erons
C
I A Le c one A id I A est un c one colimite de le diagramme
C C
Preuve Soit B I B un c one sur Il existe une unique eche
C
A B de C telle que I id En e et
C
I id
C
id
A
-
A B
ई
6
id
A
ऄ
A
अ
2
Exemple Co egalisateur Soit deux ob jets A et B ainsi que deux eches f g
construit sur le A B Le co egalisateur de f et g est la colimite du diagramme
ऄ
graphe
उ आ उ आ
a
f
- -
- -
g
b
A B
ई इ ई इ
ऄ
graphe diagramme
DIAGRAMMES
Soit un c one D I D sur Ce c one est enti erement d etermin e par une
C
eche h B D telle que
h f h g
En e et il su t de p oser
h f h g
0
h
1
I D p our d e nir la eche
C
Soit C I C le c one colimite de Alors p our tout ob jet D et eche
C
q B D telle que q f q g il existe une unique eche u C D telle que
u p q
उ आ
ऄ
f
p
C
g
अ
A B
ई इ
u
q
ऄ
R
D
अ
Dans la cat egorie des ensembles Set leco egalisateur C est le quotient de l ensemble
B par la relation d equivalence engendr ee par f f a g a a Ag L application
p B C est la pro jection de B sur le quotient C Une application q B D
telle que q f q g est une application compatible avec la relation d equivalence
qui se factorise donc a travers p Il existe par cons equent une unique application
u C D telle que u p q
La construction de somme amalgam ee de deux ensembles prop os ee dans le chapitre
section est en r ealit e une fa con g en erale de construire une somme amalgam ee
a partir d une somme et d un co egalisateur
Exemple Somme amalgam ee Soit trois ob jets A B C et deux eches f
A B g A C dans C La somme amalgam ee de B et C par rapp ort a
ऄ
construit sur le graphe f A B et g A C est la colimite du diagramme
ऍ ऊ ऊ ऍ
g
a
f
b
B A C
ऌ ऋ ऌ ऋ
ऄ
graphe diagramme
Soit P I P le c one colimite de Ce c one colimite consiste en trois
C
eches A P B P et C P telles que
0 1 2
f g
0 1 2
Ce c one est donc enti erementd etermin e par les deux eches et
1 2
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
Soit D I D un autre c one sur Ce c one est constitu e de trois eches
C
A D f B D et g C D telles que
0 1 2
f f g g
0
est donc enti erement d etermin e par deux eches f B D et Un c one sur
g C D telles que f f g g
il existe une unique eche up P D telle que Comme P est la colimite de
I up
C
Cette egalit e est equivalente aux deux egalit es
i
up f
1
ii
up g
2
car l egalit e i comme l egalit e ii implique up
0 0
ऄ ऄ
up
P D
अ अ
I
0
&
f
2
0
&
g
1
ऍ ऊ
g
f
B A C
ऌ ऋ
somme amalgam ee colimite du diagramme
D e nition Cat egorie niment co compl ete Une cat egorie C est niment co
compl ete si et seulement si tout diagramme ni a une colimite
Th eor eme Une cat egorie C est niment cocompl ete si et seulement si C a un
objet initial et des sommes amalgam ees
Preuve Pour montrer ce th eor eme on utilise le th eor eme suivant
Th eor eme Une cat egorie C est niment cocompl ete si et seulement si C a un
objet initial des sommes pour tout couple d objets de C et des co egalisateurs pour
tout couple de eches f g A B de C
Le dual de ce th eor eme est d emontr e dans McL page On v eri e facile
ment qu on p eut adapter la d emonstration de S Mac Lane a notre d e nition de
diagramme Ensuite p our montrer le th eor eme il su t de montrer qu on p eut
simuler la construction d une somme et d un co egalisateur a l aide d un ob jet initial
et de sommes amalgam ees 2
DIAGRAMMES
Adjonction Colim a I
C C
Dans ce paragraphe nous consid erons une cat egorie C niment co compl ete Tout
diagramme ni
C
a donc un c one colimite que l on va noter
I Colim Colim
C C C
Nous montrons que l on p eut etendre la fonction Colim sur les eches de DIAGR C
C
de fa con a ce que Colim DIAGR C C soit un foncteur La d e nition des eches
C
de DIAGR C a et e justementchoisie a n que cette extension soit p ossible
Soit deux diagrammes
C et C
ayant resp ectivement p our c ones colimites
I Colim et Colim I Colim Colim
C C C C C C
Soit une eche de DIAGR C
Consid erons le c one sur
Colim I Colim
C C C
I Colim est un c one colimite de il existe une Comme Colim
C C C
unique eche
Colim Colim Colim
C C C
telle que
I Colim
C C
Th eor eme Soit C une cat egorie niment cocompl ete Alors on a les r esultats
suivants
Colim DIAGR C C est un foncteur
C
La fonction qui a tout diagramme associe la eche du c one colimite de
est une transformation naturelle vers I Colim
C C
Id I Colim
C C
DIAGR C
Colim a I DIAGR C C est une adjonction dont l unit e est la trans
C C
formation naturelle
Id I Colim
C C
DIAGR C
Id est un isomorphisme naturel Laco unit e de l adjonction Colim I
C C C
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
Preuve Ces r esultats sont des cons equences imm ediates de la d e nition de Colim
C
Soit un diagramme
I id
C
Colim
C
id I est un foncteur
C
I Colim
C C
id id donc Or Colim est l unique eche telle que I Colim
C C C
Colim id id
C
Colim
C
et et deux eches et Soit trois diagrammes
I Colim Colim
C C C
I Colim I Colim I est un foncteur
C C C C C
d e nition de Colim I Colim
C C C
d e nition de Colim
C
est l unique eche telle que Or Colim
C
Colim
C
donc
Colim Colim Colim
C C C
Par cons equent Colim DIAGR C C est un foncteur
C
Soit deux diagrammes et une eche Par d e nition de Colim
C
on a bien
I Colim
C C
Soit un diagramme un ob jet B de C et une eche I B Nous
C
avons un c one B I B sur le diagramme donc il existe une
C
unique eche g Colim B de C telle que
C
I g
C
D apr es la propri et e il su t de montrer que p our tout ob jet B de C
Colim I B B
B C C
est un isomorphisme Comme on a un adjonction Colim a I et d apr es la
C C
propri et e
I I id
C C I
C
I id
C B
I B
I B
C
C
id
B B
I B C
DIAGRAMMES
D autre part
I id
C B
I B
I B
C
C
I
C B
I B I B I B
C C C
I foncteur I
C C B
I B
I B I B
C
C C
Comme Colim I B I B I Colim I B est un c one co
C C C C C C
I B
C
limite du diagramme I B il existe une unique eche Colim I B
C C C
Colim I B deC telle que
C C
I
C
I B I B
C C
Or les eches et id satisfont cette propri et e donc
B
I B Colim I B
C C C
id
B
I B Colim I B
C C C
Donc Colim I B B est un isomorphisme et
B C C
I B
B
C
2
Conservation de colimites
Dans ce paragraphe on consid ere deux cat egories C et D et un foncteur F C D
Nous d e nissons l image d un diagramme et d un morphisme de diagrammes par ce
foncteur l image d un ob jet de DIAGR C est un ob jet de DIAGR D et l image
d une eche de DIAGR C est une eche de DIAGR D
D e nition Image d un diagramme par un foncteur F C D
C sur C L image par F de est le dia Soit un diagramme
gramme sur D
F F D
Intuitivement F est un diagramme construit sur le graphe sous jacent du
diagramme Les n uds n de sont etiquet es par les ob jets F n de D etles
arcs a m n de par les eches F a F m F n de D
Par exemple etant donn e un ob jet A de C le diagramme F I A est le diagramme
C
I F A
D
ऍ ऊ
ऄ
F A
A
अ ऌ ऋ
diagramme F I A I F A diagramme I A
C D C
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
ऄ
Lemme Soit un diagramme sur C Soit n et n deux n uds de Soit
0
k
u A n et v A n deux eches de C tel les que
0
k
v Z n n u
0
k
Alors
F u F v Z n n
F 0
k
Remarquons que si Z n n est un zigzag sur le diagramme alors c est
0
k
puisque ces deux diagrammes sont egalement un zigzag sur le diagramme F
ऄ
construits sur le m eme graphe sous jacent
Preuve Application imm ediate des d e nitions de F et 2
F
D e nition Image d un morphisme de diagrammes par F
ऄ ऄ ऄ ऄ
Soit une eche de DIAGR C
L image par F de est la eche de DIAGR D
ऄ ऄ ऄ ऄ
F F F F
ऄ
o u F F F est la transformation naturelle g en eralis ee d e nie par
ऄ
n N ud F F
n n
On v eri e que cela d e nit bien une transformation naturelle g en eralis ee Consid erons
ऄ
un arc a m n de
ऄ
a transformation nat g en eralis ee a
m n
ऄ
F a F a lemme
n m
F
ऄ
F F a F a F foncteur
n m
F
ऄ
F a d e nition de F F F a
n n
F
Par cons equent F est bien une transformation naturelle g en eralis ee
Par exemple soit une eche f A B de C La eche FI f est egale a I F f
C D
ऊ ऊ ऍ ऍ
F घf ङ
ऄ ऄ
-
f
F A F B
-
A B
अ अ ऌ ऋ ऌ ऋ
eche I f morphisme de diagrammes FI f I F f
C C D
de DIAGR C nous avons donc d e ni un diagramme F Pour tout diagramme
de DIAGR D et p our toute eche de DIAGR C nous avons d e ni une
eche F F F de DIAGR D Ces deux applications forment en fait un foncteur
DIAGRAMMES
Lemme L application
DIAGR F DIAGR C DIAGR D
F
F F F
est un foncteur DIAGR F DIAGR C DIAGR D
Finalement nous avons donc d e ni DIAGR a la fois sur les cat egories ob jets de
CAT et sur les foncteurs eches de CAT De nouveau nous avons d e ni un
foncteur
Lemme L application
DIAGR CAT CAT
C DIAGR C
F C D DIAGR F DIAGR C DIAGR D
est un foncteur DIAGR CAT CAT
Propri et e L application I qui a toute cat egorie C associe le foncteur I C
C
DIAGR C est une transformation naturelle
I Id DIAGR
CAT
Preuve Pour tout foncteur F C D ona
DIAGR F I I F
C D
2
Lemme Soit deux foncteurs F F C D Alors
F F DIAGR F DIAGR F
Preuve Soit F F l isomorphisme naturel entre ces deux foncteurs
On d e nit une transformation naturelle
DIAGR F DIAGR F
A tout ob jet de DIAGR C on asso cie une eche
F F
de DIAGR D d e nie la fa con suivante
ऄ
Les deux diagrammes F et F sont construits sur le graphe donc
ऄ
on p eut d e nir id
ऄ
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
ऄ
Pour tout n ud n de onpose
F n F n
n
घnङ
ऄ
Comme est une transformation naturelle p our tout arc a m n de ona
F a F a
घmङ घnङ
F a F a
m n
Par cons equent F F est une transformation naturelle et donc
F F est bien une eche de DIAGR D
1 1
ऄ
De plus est un isomorphisme et p our tout n ud n de
n
घnङ
On montre que
DIAGR F DIAGR F
est une transformation naturelle Pour toute eche de DIAGR C il faut
v eri er que
DIAGR F DIAGR F
Pour montrer cette egalit e on v eri e que les morphismes g en eralis es et les trans
formations naturelles g en eralis ees qui corresp ondent aux deux membres co ncident
Notons
DIAGR F
DIAGR F
ऄ ऄ ऄ
ऄ
Pour tout n ud n de
F d e nition de
ऄ
n n
घnङ
F d e nition de
ऄ
n
घ घnङङ
F transformation naturelle
n
घnङ
F d e nition de
n n
d e nition de
n
Par cons equent on a bien un isomorphisme naturel
DIAGR F DIAGR F
2
D e nition Foncteur conservant une colimite
ऄ ऄ
Soit un diagramme C ayant p our c one colimite
A I A
C
On dit que le foncteur F C D conserve la colimite de si et seulementsi
F A DIAGR F F I F A
D
est un c one colimite du diagramme F
DIAGRAMMES
D e nition Foncteur conservant les colimites nies
Soit deux cat egories niment co compl etes C et D On dit qu un foncteur F C D
conserve les colimites nies si et seulement si p our tout diagramme ni sur C F
conserve la colimite de
Propri et e Soit deux cat egories niment cocompl etes C et D et un foncteur
F C Dqui conserve les colimites nies Alors il existe un isomorphisme naturel
Colim DIAGR F F Colim
D C
sur C ayant p our c one colimite Preuve Soit un diagramme
Colim I Colim
C C C
On consid ere le diagramme F sur D qui a p our c one colimite
Colim F F I Colim F
D D D
F
Comme F conserve la colimite de et d apr es le lemme
Colim F F Colim
D C
et l isomorphisme
Colim F F Colim
D C
est l unique eche telle que I DIAGR F
D
F
Il su t de montrer qu on a une transformation naturelle
Colim DIAGR F F Colim
D C
ayant p our c one colimite Soit un diagramme
I Colim Colim
C C C
Soit
F Colim Colim F
C D
l unique eche telle que
I DIAGR F
D
F
une eche de DIAGR C Pour montrer que est une transformation Soit
naturelle il faut montrer que
F Colim Colim DIAGR F
C D
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
Pour cela il su t de montrer que
I F Colim I Colim DIAGR F
D C D D
F F
I F Colim
D C
F
I F Colim I I est un foncteur
D C D D
F
DIAGR F d e nition de I F Colim
D C
I Id DIAGR DIAGR F I Colim DIAGR F
CAT C C
DIAGR F I Colim DIAGR F est un foncteur
C C
DIAGR F d e nition de Colim
C
DIAGR F DIAGR F est un foncteur DIAGR F
I DIAGR F d e nition de
D
F
I I Colim DIAGR F d ef Colim DIAGR F
D D D D
F
I Colim DIAGR F I est un foncteur
D D D
F
Par cons equent on a bien une transformation naturelle
Colim DIAGR F F Colim
D C
est un isomorphisme on a donc un isomorphisme Comme p our tout diagramme
naturel
Colim DIAGR F F Colim
D C
2
Si on fait certains choix de colimites dans les cat egories C et D on p eut renforcer
sur C soit la d e nition en imp osant que la colimite choisie du diagramme
envoy ee sur la colimite choisie du diagramme F sur D
D e nition Foncteur conservant fortement une colimite
ऄ ऄ
Soit un diagramme C ayant p our c one colimite choisi
A I A
C
On dit que le foncteur F C D conserve fortement la colimite choisie de si et
seulementsi
F F A DIAGR F I F A
D
sur D est le c one colimite choisi du diagramme F
Si F conserve fortement la colimite choisie de on a donc
Colim F F Colim
D C
DIAGRAMMES
Aplatissement
2
Diagrammes de diagrammes cat egorie DIAGR C
Etant donn e une cat egorie C on p eut consid erer la cat egorie
2
DIAGR C DIAGR DIAGR C
qui a p our ob jets des diagrammes de diagrammes c est a dire des diagrammes
2
sur DIAGR C Un ob jet de DIAGR C est donc un couple
ऄ ऄ
DIAGR C
ऄ ऄ
o u est un graphe et DIAGR C est un foncteur D etaillons l action
ऄ
de ce foncteur sur les n uds et les arcs de
ऄ
Pour tout n ud N du graphe on a un diagramme sur C
ऄ ऄ
N N N N C
o u
ऄ
N est un graphe
ऄ
N N C est un foncteur qui asso cie a tout n ud n du graphe
ऄ ऄ
N un ob jet N n deC et a tout arc a n n du graphe N
une eche N a deC
ऄ
Pour tout arc A N N du graphe on a un morphisme de diagrammes
A N N sur C
ऄ ऄ ऄ ऄ
A A N N A N N A
o u
ऄ ऄ ऄ
A N N est un morphisme g en eralis e de graphes
ऄ ऄ
qui asso cie a tout arc a n n de N un zigzag A a
ऄ ऄ ऄ
A n A n du graphe N
ऄ
A N N A est une transformation naturelle g en era
ऄ
lis ee qui asso cie a tout n ud n de N une eche A N n
n
ऄ
N A n de C
2
Aplatissement Apl DIAGR C DIAGR C
C
Etant donn e une cat egorie C le foncteur I C DIAGR C p ermet de cr eer un
C
ob jet de DIAGR C a partir d un ob jet de C et une eche de DIAGR C a partir
d une eche de C La fonction d aplatissement
2
Apl DIAGR C DIAGR C C
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
p ermet au contraire de d etruire de la structure en transformant tout diagramme
2
de diagrammes c est a dire tout ob jet de DIAGR C en un simple diagramme
c est a dire en un ob jet de DIAGR C
sur DIAGR C gure Consid erons par exemple le diagramme
ऄ ऄ
; DIAGR C
उ आ
उ आ
उ आ उ आ
I I
ई इ
उ आ
ई इई इ
ई इ
ई इ
2
Figure diagramme ob jet de DIAGR C
consiste a faire la r eunion de Intuitivement aplatir le diagramme de diagrammes
tous les sous diagrammes de et a transformer toutes les eches de DIAGR C en
ensembles de eches de C cf gure
उ आ
I I
ई इ
Figure Aplatissement du diagramme
Apl ob jet de DIAGR C
C
2
D e nition Aplatissement Apl DIAGR C DIAGR C
C
Soit
ऄ ऄ
; DIAGR C
2
un ob jet de DIAGR C On d e nit le diagramme Apl de DIAGR C
C
ऄ ऄ
Apl ; C C
DIAGRAMMES
de la fa con suivante
ऄ
est un graphe d etermin e par l ensemble de ses n uds et l ensemble de ses
arcs
ऄ ऄ ऄ
N ud f N n N N ud n N ud N g
ऄ 0
Arc f N a N n N n
ऄ
N N ud
0 ऄ
n n N ud N
0 ऄ
a n n Arc N g
0 ऄ
f A n N n N A n
0 ऄ
N N N ud
0 ऄ
A N N Arc
ऄ
n N ud N g
ऄ ऄ
C est un foncteur d e ni sur les n uds et arcs de de la fa con
suivante
Action sur les n uds
N n N n
Action sur les arcs
N a N a
A n A
n
ऄ
J N N N ud g D e nition Ensemble de eches f
N
ऄ
J N de DIAGR C Pour tout n ud N de ond e nit une eche
N
ऄ ऄ ऄ ऄ
N J N J J N J
N N
N N
ऄ ऄ ऄ
est d e ni par Le foncteur g en eralis e J N
N
ऄ ऄ ऄ
J N
N
n N n
0 0
a n n N a N n N n
ऄ
Ce foncteur g en eralis e est en r ealit e un foncteur car a tout arc de N est asso ci e
ऄ
un arc de et non un zigzag quelconque
ऄ
La transformation naturelle g en eralis ee J N J asso cie a tout n ud
N
N
ऄ
n de N la eche de C
J id id
N n
घN ङघn ङ घN n ङ
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
ऄ
Pour montrer que J N est bien une eche de DIAGR C et comme J
N
N
est un foncteur il su t de v eri er que J est une transformation naturelle
N
ऄ
J N J
N
N
0 ऄ
C est le cas car p our tout arc a n n de N par d e nition de N a on a
0
J N a N a J
N n N
n
Remarque Nous avons donc une famille de eches
ऄ
J N N N ud
N
ऄ
Pour tout n ud n de N on a donc une eche
J N n N n
N n
Comme on a d e ni N n egal a N n cela est coh erent avec la d e nition de
d epart
J id id
N n
घN ङघn ङ घN n ङ
En fait il n est pas toujours commo de de confondre les ob jets N n et N n
parce que lors des raisonnements le diagramme N ou est en fait aussi imp ortant
que l ob jet N n N n deC
0 ऄ
Pour cette raison p our tout arc a n n de N nous distinguerons les deux
eches
0
N a N n N n
0
N a N n N n
0 ऄ ऄ
De m eme p our tout arc A N N de et p our tout n ud n de N nous
distinguerons les deux eches
0 ऄ
A N n N A n
n
0 ऄ
A n N n N A n
ऄ ऄ
En n p our tout n ud N de et tout n ud n de N nous distinguerons
egalement les trois eches
J N n N n
N n
id N n N n
घN ङघn ङ
id N n N n
घN n ङ
Pour resp ecter ces contraintes nous n utiliserons donc pas les deux egalit es suivantes
N a N a
A A n
n
A la place nous utiliserons les deux propri et es equivalentes suivantes
DIAGRAMMES
Propri et e
N N ud a n n Arc N
0
J N a N a J
N N n
n
N a
-
N n
N n
6 6
0
J J
N n N
n
-
N n
N n
N a
A N N Arc n N ud N
0
J A A n J
ऄ
n N n
N
A n
A n
-
N n
N A n
6 6
0
J
ऄ
J
N
N n A n
-
N n
N A n
A
n
Remarque La famille de eches de DIAGR C
J N N N ud
N
ne p ermet pas de construire une eche
J I
DIAGR C
dans la cat egorie DIAGR C En e et il faudrait p our cela que p our tout arc
A N N de on ait
0
J A J
N
N
0
n N ud N J A J
ऄ
n N n
N
A n
ce qui n est pas v eri e
Lemme Pour tout diagramme de DIAGR C on a
Apl I
DIAGR C C
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
Preuve Posons I et Apl Le graphe est d e ni par
DIAGR C
C
N ud f n n N ud g
Arc f a n n a n n Arc g
donc les graphes et sont isomorphes D autre part
n N ud n n n
a n n Arc a a a
2 Par cons equent
Donnons un exemple On consid ere le diagramme suivant
ऍ ऊ
-
g
f
B A C
ऌ ऋ
उ आ
उ आ
ऍ ऊ
-
I
DIAGR C
g
f
B A C
ऌ ऋ
ई इ
ई इ
Il est clair que l aplatissementde I donne le diagramme
DIAGR C
Lemme Pour tout diagramme de DIAGR C on a
Apl DIAGR I
C
C
Preuve Posons DIAGR I I et Apl Le graphe est
C C
C
d e ni par
N ud f n n N ud g
Arc f a n n a n n Arc g
donc les graphes et sont isomorphes D autre part
n n I n n
C
a a I a a
C
Par cons equent 2
Illustrons ce r esultat par un exemple On consid ere le diagramme
ऍ ऊ
-
g
f
B A C
ऌ ऋ
On a donc
उ आ
उ आ
ऍ ऊऍ ऊऍ ऊ
-
DIAGR I I
C C
g
f
B A C
ऌ ऋऌ ऋऌ ऋ
ई इ
ई इ
L aplatissementdeI est bien egal au diagramme C
DIAGRAMMES
Cat egorie diagr C
Dans la cat egorie DIAGR C des morphismes de diagrammes di erents p euvent
avoir des colimites egales Dans l exemple nous avons d e ni un morphisme de
diagrammes tel que
2
Colim up S M G A b s m b s A MD A
2 1 2 1 2 2
La d e nition de que nous avons donn ee n etait pas la seule p ossible Consid erons
suivant par exemple le morphisme de diagrammes
2
ऄ
Morphisme g en eralis e de graphes
ऄ ऄ ऄ
2
0
0
0
a b
m
m mb
+
ࣿ
0 0 0 0 0
a
ऄ
Transformation naturelle
2
s
0
id
1 M
id
2 G
Les colimites des morphismes de diagrammes et sont egales
Colim Colim up S M G A b s m b s A MD A
2 1 2 1 2 2
ऍ ऊ ऍ ऊ
= id
1 M
0
1
1 M M
b s
b
0
a
b s
3
= s
0
m
ࣿ
A
B
AU
m s
ࣿ
0
0
0 D S
X
X
= m s
X
a +
X
X
a
A
X
a
X
m
+
X
a
B
X
A a
X
X
Xz
s a
0 0
a
m b s
a 4
A
a
a
A a
m b
A
a
m b s
a
AU AAU a
j
0
2
G 2 G
= id
2 G
ऌ ऋ ऌ ऋ
2
En fait on p eut choisir p our la eche une eche quelconque du faisceau de
0
eches
ऄ ऄ 0
b s
2
ऄ ऄ 0
s
2
ऄ ऄ 0
m s m s
ࣿ +
2
ऄ ऄ 0
s
2
ऄ ऄ 0
m b s 2
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
ऄ
Il faut evidemmentd e nir en cons equence
De m eme deux diagrammes non isomorphes dans la cat egorie DIAGR C p eu
vent avoir des colimites isomorphes Par exemple on p eut v eri er que les dia
grammes et d e nis dans le chapitre section ont des colimites
1 2 3 4
isomorphes
उ आ
उ आउ आउ आ
b
B M
M M M
b b b
B
m
ࣿ
b s b s
B
B
m m m
ࣿ ࣿ ࣿ
A A A
R
m s
s
ࣿ
AU AU AU
S D
D S D S D
s
A
m b s
m m m m
+ + + +
AU
B
m b s
B
B
m b m b m b
A A A
R
AU AU AU
R
B G
m b
G G G
ई इई इई इई इ
1 2 3 4
Pour prouver que les colimites de ces quatre diagrammes sont isomorphes il faut
bien s ur utiliser les propri et es des colimites ainsi que l egalit eentre eches de C
0
m s m s
+ ࣿ
Le but de ce paragraphe est de d e nir une cat egorie dans laquelle les egalit es
entre eches colimites et les isomorphismes entre ob jets colimites seront re et ees au
niveau des diagrammes Pour cela nous d e nissons une relation de congruence sur
les eches de DIAGR C compatible avec les colimites et diagr C est la cat egorie
quotient
diagr C DIAGR C
est une relation d equivalence Lemme La relation de connexion
Soit un diagramme sur C et A un objet de C La relation est une relation
d equivalence sur l ensemble de eches de C
ऄ
fu A n n N ud g
Preuve
est r e exive En e et p our toute eche u A n deC La relation
u u
n
DIAGRAMMES
La relation est sym etrique En e et soit deux eches u A n et
0
v A n deC On a
1
v Z v u Z u
o u Z n n est le zigzag opp os edeZ n n cf d e nition
1 0 0 1
est transitive En e et soit trois eches u A n v La relation
0
A n et w A n deC On a
1 2
u v Z et v w Z u w Z
1 2
o u Z n n est le zigzag obtenu en mettant b out a b out Z n n
0 2 1 0 1
et Z n n
2 1 2
2
Lemme est une demi congruence a droite
0
Soit u A n v A n et w A A On a
0
k
u v Z u w v w Z
cf gure
2 Preuve Application imm ediate de la d e nition de
उ आ
B
n
0
a
0
u = c
R
0
n
1
a c
1 1
0
A
A
w
c
2
n
X
2
X
Q
X
X
X
Q
X
a c
X
2 3
Q X
R
X
Xz
Q
n
3
Q
v = c
4
a
3
Q
Q
Qs
n
4
C
ई इ
Figure u w v w Z
et deux diagrammes sur C Soit une eche de Lemme Soit
DIAGR C Soit u A m et v A n deux eches de C Alors
ऄ
v Z u v Z u
m n
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
Preuve Application de la d e nition de et de 2
D e nition Congruence
Soit deux diagrammes et Soit deux eches de DIAGR C On
d e nit la relation sur les eches de DIAGR C par
ऄ
n N ud
n n
ऄ
Remarquons que c est une b onne d e nition car n N ud
ऄ
n n
n
ऄ
n n
n
Prop osition La relation est une congruence
Preuve
est r e exive Soit une eche de La relation est r e exive car
DIAGR C
ऄ
n N ud
n n
La relation est sym etrique car est sym etrique Soit deux
eches de DIAGR C
ऄ
n N ud d e nition de
n n
ऄ
sym etrique n N ud
n n
d e nition de
De m eme la relation est transitive car est transitive
Soit et trois eches de DIAGR C Montrons que
Supp osons Il su t de montrer que
ऄ
n N ud
ऄ ऄ
n n
घnङ घnङ
ऄ
n N ud d e nition de
ऄ ऄ
घnङ घnङ
ऄ
n N ud lemme
ऄ ऄ
n n
घnङ घnङ
DIAGRAMMES
Soit et trois eches de DIAGR C Montrons que
Supp osons que Il su t de montrer que
ऄ
n N ud
ऄ ऄ
n n
घnङ घnङ
ऄ
n N ud d e nition de
n n
ऄ
n N ud lemme
ऄ ऄ
n n
घnङ घnङ
2
Lemme Soit deux cat egories C et D et un foncteur F C D Soit deux
eches de DIAGR C Alors
DIAGR F DIAGR F
Preuve
ऄ
n N ud d e nition de
n n
ऄ
n N ud F F lemme
n n
F
DIAGR F DIAGR F d e nitions de DIAGR F et
2
D e nition Cat egorie diagr C
Comme est une congruence prop osition nous p ouvons d e nir la cat egorie
diagr C comme le quotient de DIAGR C par
diagr C DIAGR C
Les ob jets de diagr C sont les ob jets de DIAGR C Etant donn e deux ob jets
et de diagr C une eche entre et est une classe d equivalence mo dulo de
eches de DIAGR C entre et
On a un foncteur de pro jection
DIAGR C diagr C
C
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
qui est l identit e sur les ob jets et asso cie a toute eche de DIAGR C sa
classe d equivalence mo dulo dans diagr C
Comme le foncteur de pro jection DIAGR C diagr C est l identit e sur les
C
de DIAGR C et son image par ob jets on notera de la m eme fa con un ob jet
C
dans diagr C
Propri et e Soit F DIAGR C D un foncteur compatible avec c est a dire
de DIAGR C tel que pour toutes eches
F F
Alors le foncteur F se factorise a travers Autrement dit il existe un unique
C
foncteur G diagr C D tel que F G
C
D e nition Foncteur diagr F Soit deux cat egories C et D et un foncteur
F C D D apr es le lemme le foncteur DIAGR F DIAGR C
D
diagr D est compatible avec Donc d apr es la propri et e il existe un unique
foncteur
diagr F diagr C diagr D
tel que diagr F DIAGR F
C D
Lemme L application
diagr CAT CAT
C diagr C
F C D diagr F diagr C diagr D
est un foncteur diagr CAT CAT
Preuve Application imm ediate de la d e nition de diagr sur les eches 2
Propri et e
L application qui a toute cat egorie C associe le foncteur de projection
DIAGR C diagr C
C
est une transformation naturelle
DIAGR diagr
Preuve R esulte imm ediatementdelad e nition de diagr F 2
Lemme Soit deux foncteurs G G diagr C D Alors
G G G G
C C
DIAGRAMMES
Preuve Soit G G l isomorphisme naturel entre G et
C C C
G Comme DIAGR C diagr C est l identit e sur les ob jets on p eut
C C
d e nir une transformation naturelle G G par
Cela d e nit bien une transformation naturelle car p our toute eche de
diagr C il existe une eche de diagr C telle que Comme est
une transformation naturelle
G G
G G
De plus est un isomorphisme p our tout diagramme de diagr C donc on a bien
un isomorphisme naturel
G G
2
Jusqu a la n de ce paragraphe nous consid erons une cat egorie C niment co
compl ete Nous allons montrer que les colimites sont compatibles avec la relation de
congruence c est a dire que le foncteur Colim envoie des eches equivalentes sur
C
des colimites egales Intuitivement cette propri et e prouve que la relation de con
gruence n est pas trop forte c est a dire n identi e pas trop de eches et p ermet
de d e nir un foncteur
colim diagr C C
C
de diagr C B un objet de C et deux eches Lemme Soit un diagramme
I B Alors
C
ऄ ऄ ऄ
Preuve D ab ord car I B est construit sur le graphe qui ne comp orte
C
qu un seul n ud et qu un seul zigzag D autre part comme
ऄ
p our tout n ud n de ona Comme est le seul zigzag
n n
I घB ङ
C
ऄ
2 de onan ecessairement Par cons equent
n n
Prop osition Le foncteur Colim est compatible avec
C
Soit C une cat egorie niment cocompl ete Le foncteur Colim est compatible avec
C
Autrement dit soit et deux diagrammes et deux eches de
DIAGR C Alors
Colim Colim
C C
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
Preuve Soit A I A et B I B les c ones colimites des dia
C C
grammes et
est une congruence
lemme
I Colim d e nition de Colim
C C C
Colim Colim d e nition de Colim
C C C
2
Corollaire D apr es la propri et e le foncteur Colim DIAGR C C se
C
factorise a travers Autrement dit il existe un unique foncteur
C
colim diagr C C
C
tel que colim Colim
C C C
Remarque Dans la cat egorie diagr C il existe plus d isomorphismes entre
diagrammes et plus d egalit es entre eches de diagrammes que dans la cat egorie
DIAGR C N eanmoins dans le cas g en eral
colim colim
C C
colim colim
C C
La raison intuitive est qu on p eut avoir des egalit es entre eches de C qui ne pro
viennent pas des propri et es g en erales des colimites mais de la cat egorie C elle m eme
Contrexemple On consid ere la cat egorie IN d e nie de la fa con suivante
Les ob jets de IN sont les entiers naturels
On a une eche unique de n vers m si et seulementsin divise m
IN est une cat egorie niment co compl ete Par exemple la somme cat egorielle
de m et n est le ppcm de m et n
Les diagrammes et dessin es ci dessous ne sont pas isomorphes dans diagr IN
et ont p ourtant des colimites isomorphes
ऍ ऊ
ऊ ऍ
ऌ ऋ
ऌ ऋ
Les deux diagrammes ont en e et p our colimite l entier
De m eme les eches et dessin ees ci dessous ne sont pas egales dans diagr IN
et ont p ourtant des colimites egales la eche de l entier vers l entier
DIAGRAMMES
ऄ
अ
B
B
B
B
B
ऍ ऊ
BN
ऌ ऋ
Ici la d e nition de la cat egorie indique que deux eches entre deux ob jets sont
colim Dans une autre forc ement egales C est la raison p our laquelle colim
C C
cat egorie il n y a a priori aucune raison p our que cette egalit e soit v eri ee
Th eor eme Soit C une cat egorie niment cocompl ete
Les deux foncteurs
colim diagr C C
C
I C diagr C
C C
forment une adjonction
colim a I
C C C
La co unit e de cette adjonction est la co unit e de l adjonction
Colim a I
C C
Preuve
On d e nit une transformation naturelle Id I colim de
C C C
diagr C
la fa con suivante Pour tout ob jet de diagr C on p ose
Id I Colim est l unit e de l adjonction Colim a I o u
C C C C
DIAGR C
C est une b onne d e nition car le foncteur est l identit e sur les ob jets On
C
v eri e facilement que est bien une transformation naturelle
Montrons maintenant que colim a I est une adjonction dont l unit e
C C C
est Soit un diagramme de diagr C B un ob jet de C et I B
C
une eche de diagr C Il faut montrer qu il existe une unique eche de C
colim B
C
telle que
I
C
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
Existence Comme Colim a I est une adjonction dont l unit e est
C C
Id I Colim il existe une unique eche Colim B telle
C C C
DIAGR C
que
I
C
comme un ob jet de diagr C la eche a p our domaine En consid erant
colim
C
I
C
I
C
I foncteur
C C
d e nition de I
C
Unicit e Soit colim B deux eches de C telles que
C
I
C
I
C
On montre que
I I
C C
I d e nition de I
C C
I foncteur I
C C C
I I d e nition de
C C
I I lemme
C C
adjonction Colim a I
C C
Consid erons Colim I Id la co unit e de l adjonction Colim a I
C C C C C
Comme Colim colim est bien une transformation naturelle
C C C
colim I Id
C C C C
Pour montrer que est la co unit e de l adjonction colim a I
C C C
diagr C C on utilise le th eor eme
Soit une eche g colim B de C Il faut montrer qu il existe une unique
C
eche I B de diagr C telle que
C
g colim
B C
Existence Comme Colim a I est une adjonction il existe une unique
C C
eche I B de DIAGR C telle que
C
g Colim
B C
colim g d e nition de colim
B C C
DIAGRAMMES
Unicit e Soit I B deux eches de diagr C telles que
C
colim g
B C
colim g
B C
On montre que
colim colim
B C B C
Colim Colim d e nition de colim
B C B C C
adjonction Colim a I
C C
2
La cat egorie diagr C est niment co compl ete
Dans ce paragraphe nous consid erons une cat egorie C quelconque et nous allons
montrer que la cat egorie diagr C est niment co compl ete Pour cela nous devons
montrer que tout diagramme de DIAGR diagr C a une colimite dans diagr C
Intuitivement p our construire une colimite de on commence par construire un
2
diagramme de DIAGR C construit sur le m eme graphe sous jacent que tel
A est un repr esentant de la classe d equivalence que p our tout arc A N N
A de eches de DIAGR C Ensuite l aplatissementde donne une colimite du
diagramme
Lemme
2
de DIAGR diagr C Il existe un objet de DIAGR C tel que Soit un objet
DIAGR
C C
Preuve On d e nit un diagramme
ऄ ऄ
DIAGR C
de la fa con suivante
Le graphe sous jacentde est le graphe sous jacentde Autrement dit
ऄ ऄ
ऄ
Le foncteur DIAGR C est d e ni par son action sur les n uds et
ऄ
sur les arcs du graphe
ऄ
Tout n ud N de est etiquet e par N
N N
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
Pour tout arc A N N de A N N est une eche
de diagr C c est a dire une classe d equivalence de eches de DIAGR C
On choisit un repr esentant A de cette classe d equivalence Autrement
dit A est tel que
A A
Cela d e nit bien un foncteur car
A N N
On v eri e imm ediatement que
C
2
un ob jet de DIAGR diagr C D apr es le lemme il existe un ob jet Soit
Comme dans le paragraphe on note de DIAGR C tel que
C
Apl
C
l aplatissement de et p our tout n ud N de on a une famille de eches de
DIAGR C
J N
N
On avait vu en remarque que la famille de eches
J N
N
de DIAGR C ne p ermet pas de d e nir une eche
J I
DIAGR C
vers I dans dans la cat egorie DIAGR C Par contre on a une eche de
diagr C
la cat egorie DIAGR diagr C gr ace au lemme suivant
Lemme Pour tout arc A N N de
0
J A J
N
N
Preuve Il su t de montrer que
0
n N ud N J A J
ऄ
n N n
N
A n
Cette relation est v eri ee car par d e nition de ona
0
J A A n J
ऄ
n N n
N
A n
2
On d e nit une famille de eches de diagr C en p osant p our tout n ud N de
J N
N N
Lemme I est un c one sur
diagr C
DIAGRAMMES
Preuve Il su t de montrer que I est une eche de la cat egorie
diagr C
DIAGR diagr C c est a dire que p our tout arc A N N de N ona
0
A
N
N
Pour tout arc A N N de N ona
0
J A J lemme
N
N
0
J A J d e nition de
N C
N
0
J A J est un foncteur
N C
N
0
J A J d e nition de A
N
N
0 0
A d e nition de et
N N
N N
Par cons equent I est un c one sur 2
diagr C
Lemme Soit un ensemble de eches de DIAGR C
f K N N N ud g
N
tel que
0
A N N Arc K A K
N
N
Alors
il existe une eche de DIAGR C tel le que
N N ud J K
N N
de DIAGR C tel le que pour toute eche
N N ud J K
N N
on a
Preuve Soit un ensemble de eches de DIAGR C
f K N N N ud g
N
0
tel que A N N Arc K A K
N
N
Consid erons la eche de DIAGR C
d e nie de la fa con suivante
est un morphisme g en eralis e de graphes
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
ऄ ऄ ऄ
{ N n N ud N n K n
N
0 ऄ
{ N a N n N n Arc
ऄ ऄ ऄ ऄ 0
N a K a K n K n
N N N
0 ऄ ऄ ऄ
{ A n N n N A n Arc A n Z
ऄ ऄ
o u Z K n K A n est le zigzag tel que
0
N
N
0
A K Z K
ऄ
n N
N
ࣽघAङ घnङ
n
ऄ
est la transformation naturelle g en eralis ee d e nie par
ऄ 1
N n N ud K J
N n N
घN nङ
n
Pour prouver que cela d e nit bien une eche de DIAGR C il faut montrer que
ऄ
est bien une transformation naturelle g en eralis ee c est a dire
que
0 ऄ
a N a N n N n Arc
ऄ
N a 0 N a
घN nङ घN n ङ
0 ऄ ऄ
b A n N n N A n Arc
ऄ
A n A n
0 ऄ
घN nङ
घN ࣽघAङ घnङङ
a Comme K est une eche de DIAGR C
N
ऄ
0
K N a K N a
N N n
n
1 1
0
lemme K N a J K J
N N N n N
n
n n
1
0 0
K J N a d e nition de N a K J
N N N n N
n n
n
ऄ
0
N a N a d e nition de
घN n ङ घN nङ घN nङ
ऄ
b Par d e nition de A n
ऄ
0
K A n K A
ऄ
N n
N
ࣽघAङ घnङ
n
ऄ 1 1
0
A n K A J K J
ऄ
n N N N
N
ࣽघAङ घnङ
n n
n
1
ऄ 1
0 0
A n K J A n K J
ऄ
N N
N N
ऄ
ࣽघAङ घnङ
n
n
ࣽघAङ घnङ
ऄ
A n A n
0 ऄ
घN nङ
घN ࣽघAङ घnङङ
ऄ
J K Par d e nition de Il reste a montrer que N N ud
N N
ऄ 1
N n N ud K J
N n N
घN nङ
n
ऄ
N n N ud J K
N n N n
घN nङ
ऄ ऄ
K N N ud n N ud N J
N n N n
घN nङ
ऄ
N N ud J K
N N
une eche de DIAGR C telle que Soit
ऄ
N N ud J K
N N
DIAGRAMMES
On montre que
N N ud J K
N N
N n N ud N J K
N n N n
N n
K N n N ud J
N n N n
N n
N n N ud K J
N n N
N n
n
N n N ud
N n N n
2
Lemme Le c one I est un c one colimite de
diagr C
Preuve Soit I un autre c one sur Nous devons montrer
diagr C
qu il existe une unique eche
de diagr C telle que
I
diagr C
Existence Pour tout n ud N de N est une eche de diagr C
N
On choisit un repr esentant K N dans DIAGR C de Autrement dit
N N
on a
K N N ud
N N
Comme I est une eche de DIAGR diagr C p our tout arc
diagr C
A N N du graphe ona
0
A
N
N
0 0
K A K d e nition de K K et
N N
N N
0
K A K foncteur
N C
N
0
K A K d e nition de diagr C
N
N
de DIAGR C telle donc d apr es le lemme il existe une eche
que
N N ud J K
N N
N N ud J K
N N
J K N N ud
N N
J K N N ud
N N
N N ud
N N
I
diagr C
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
Unicit e Soit une eche de diagr C telle que
I
diagr C
I
diagr C
N N ud
N N
N N ud J K
N N
N N ud J K
N N
N N ud J K
N N
donc d apr es le lemme et par cons equent
2
Th eor eme La cat egorie diagr C est niment cocompl ete
Preuve Cons equence imm ediate du lemme 2
Remarque Dans cette preuve nous avons montr e l existence d une colimite
Pour chaque arc de nous avons e ectu e un choix de p our le diagramme
repr esentant A p our la eche A Un choix di erent de repr esentant conduit a
un autre diagramme colimite isomorphe p our Nous avons donc d e ni la colimite
a un isomorphisme pr es de
Une colimite est d e nie a un isomorphisme pr es mais lorsque les classes d equivalen
ce A ne contiennent qu un el ement alors il n existe qu un seul diagramme tel
que Soit un diagramme de DIAGR C Consid erons le diagramme
C
de DIAGR diagr C
DIAGR I I
C C C C
Pour tout arc a n n du graphe
a I a
C
et le seul el ement de la classe a est I a Donc
C
I DIAGR I
C C
D apr es le lemme
Apl Apl DIAGR I
C
C C
Finalement la colimite de est donc
Lemme Soit une cat egorie C
Colim DIAGR I
C C C
diagr C
DIAGRAMMES
Preuve
de DIAGR C Pour tout diagramme
Colim DIAGR I
C C
diagr C
Soit une eche de DIAGR C Soit
I I
C C
diagr C
et
I I
C C
diagr C
les c one colimites resp ectifs des diagrammes I et I
C C C C
Posons
I
C C
Il faut montrer que
Colim
diagr C
Comme Colim est l unique eche telle que
diagr C
I Colim
diagr C diagr C
il su t de prouver
I
diagr C
n N ud
ऄ
n n
n
2
Remarque Ce lemme montre que le foncteur I C diagr C est
C C
dense c est a dire que tout diagramme est colimite d un diagramme construit sur
les images des ob jets et eches de C dans diagr C En e et tout diagramme de
diagr C est la colimite du diagramme DIAGR I
C C
La cat egorie diagr C est une compl etion de C par colimites
nies
La cat egorie diagr C a une propri et e imp ortante c est une compl etion de C par
colimites nies Intuitivement cela signi e que diagr C est une cat egorie mini
mum qui contient C et toutes les colimites nies que l on p eut construire a partir
d ob jets et de eches de C
Soit une cat egorie C quelconque et D une cat egorie niment co compl ete Soit
un foncteur F C D On consid ere le foncteur
G Colim DIAGR F DIAGR C D
D
Lemme On a un isomorphisme naturel G I F
C
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
Preuve D apr es le th eor eme Colim I Id co unit e de l adjonction
D D D
Colim a I est un isomorphisme naturel Par cons equent
D D
Colim I Id
D D D
Colim I F F comp osition par F
D D
Colim DIAGR F I F I Id DIAGR
D C CAT
G I F d e nition de G
C
2
2
Soit un ob jet de DIAGR C Apl l aplatissementde et la famille de
C
eches de DIAGR C
ऄ
J N N N ud
N
ऄ
Pour tout n ud N de on consid ere la eche
J G N G G
N N
dans D
Nous allons consid erer les diagrammes suivants
Le diagramme
ऄ ऄ
F F D
est un ob jet de DIAGR D qui a p our c one colimite
F I G G
D
F
ऄ
Pour tout n ud N de on a un diagramme
ऄ ऄ
F N N F N N D
dans DIAGR D qui a p our c one colimite
G N N I G N F
D
F ࣽघN ङ
Par d e nition G J Colim DIAGR F J donc est l unique eche
N N D N N
telle que
DIAGR F J I
N D N
F
F ࣽघN ङ
Lemme G I G est une eche de DIAGR D D
DIAGRAMMES
ऄ
Preuve Il su t de montrer que p our tout arc A N N de ona
0
G A
N
N
0
J A J lemme
N
N
0
DIAGR F J A DIAGR F J lemme
N
N
0
Colim DIAGR F J A
D
N
Colim DIAGR F J prop osition
D N
0
G J A G J d e nition de G
N
N
0
G J G A G J G foncteur
N
N
0 0
G A d e nition de et
N N
N N
2
Lemme G G I G est un c one colimite du diagramme
D
de DIAGR D G
Preuve Soit un c one A G I A sur le diagramme G est donc
D
une eche de DIAGR D Nous allons montrer qu il existe une unique eche
G A
de D telle que
I
D
ऄ ऄ
Existence Pour tout n ud N de et tout n ud n de N on p ose
1
F N n A F J
N n N n N
n
F ࣽघN ङ
Cette d e nition est correcte car
1
F N n F N n F J
N
n
F N n G N
n
F ࣽघN ङ
N A G
N
On montre que
F I A
D
est une eche de DIAGR D
ऄ
Pour tout arc N a N m N n de
F N a
N n
1
F J F N a d e nition de
N n N N n
F ࣽघN ङ
n
1
F J N a F foncteur
N n N
F ࣽघN ङ
n
1
F N a J d e nition de N a
N n N
F ࣽघN ङ
m
1
F N a F J F foncteur
N n N
F ࣽघN ङ
m
1
c one F J
N m N
F ࣽघN ङ
m
ࣽघN ङ F
d e nition de
N m M m
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
ऄ ऄ
Pour tout arc A m M m N n de o u A M N Arc
ऄ ऄ ऄ
m N ud M et n A m N ud N
F A m
N n
1
F J F A m d e nition de
N n N N n
F ࣽघN ङ
n
1
F J A m F foncteur
N n N
F ࣽघN ङ
n
1
F A F J d e nition de A m
N n m M
F ࣽघN ङ
m
1
G A F J d e nition de G
N m M
F ࣽघM ङ
m
1
F J c one
M m M
F ࣽघM ङ
m
d e nition de
M m M m
On a donc bien une eche
F I A
D
dans D De plus on v eri e imm ediatemment que
DIAGR F J I
N D N
ࣽघN ङ F
Comme on a un c one
F I A A
D
il existe une unique eche G A de D telle que
I
D
F
Il reste a montrer que
I
D
ऄ
N N ud G N A
N N
Comme
N N I G N G F
D
F ࣽघN ङ
est c one colimite de N il su t de montrer que
I I
D N D N
F ࣽघN ङ F ࣽघN ङ
I
D N
ࣽघN ङ F
I I I foncteur
D D N D
F ࣽघN ङ
I DIAGR F J
D N
F
DIAGR F J
N
I
D N
F ࣽघN ङ
DIAGRAMMES
Unicit e Soit G A une eche de D telle que
I
D
On montre que Pour cela il su t de montrer que
I
D
F
N n N ud
N n
N n
F
N n
N n
F
N n
F J
N n N
n
N n
F N
F J d e nition de
N n N
n
F N
d e nition de
N n N n
2
Prop osition Soit une cat egorie C et une cat egorie niment cocompl ete D Soit
un foncteur F C D Posons
G Colim DIAGR F DIAGR C D
D
H colim diagr F diagr C D
D
Alors
H G
C
H I F
C C
H conserve les colimites nies
Preuve On prouve successivement les p oints et
On a
H colim diagr F d e nition de H
C D C
colim DIAGR F d e nition de diagr F
D D
Colim DIAGR F d e nition de colim
D D
G d e nition de G
D apr es le lemme G I F donc d apr es le p oint H I F
C C C
de DIAGR diagr C On consid ere un diagramme de Soit un diagramme
DIAGR C tel que
C
On p ose Apl et le c one colimite du diagramme
C
I
diagr C
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
avec J
N N
On a
H H G
C
et
J H J H G
N N N N
D apr es le lemme
G G I G
D
est un c one colimite de G donc
H H I H H
D
est un c one colimite du diagramme H Par cons equent H conserve les
colimites nies
2
Th eor eme Compl etion Soit C une cat egorie quelconque Lacat egorie diagr C
est une compl etion de C par colimites nies Autrement dit pour toute cat ego
rie niment cocompl ete D et tout foncteur F C D il existe un foncteur
H diagr C D unique a un isomorphisme naturel pr es qui conserve les co
limites nies et tel que
H I F
C C
Preuve Soit une cat egorie C quelconque et une cat egorie D niment co compl ete
Soit un foncteur F C D On montre l existence puis l unicit e a un isomorphisme
pr es d un foncteur
H diagr C D
qui conserve les colimites nies et tel que
H I F
C C
Existence On p ose H colim diagr F D apr es la prop osition H
D C
I F et H conserve les colimites nies
C
Unicit ede H a un isomorphisme naturel pr es
Soit deux foncteurs H H diagr C D qui conservent les colimites nies et tels
que
H I H I
C C C C
On montre qu il existe un isomorphisme naturel
H H
CONCLUSION
H I H I
C C C C
DIAGR H I DIAGR H I lemme
C C C C
DIAGR H DIAGR I
C C
DIAGR H DIAGR I DIAGR foncteur
C C
Colim DIAGR H DIAGR I
D C C
Colim DIAGR H DIAGR I propri et e
D C C
H Colim DIAGR I
C C
diagr C
H Colim DIAGR I propri et e
C C
diagr C
H H lemme
C C
H H lemme
2
Remarque Nous avons montr e que la cat egorie diagr C est niment co com
pl ete Par contre nous n avons pas montr e que diagr C a des colimites choisies En
e et nous n avons pas montr e l existence d une colimite canonique p our un ob jet
de DIAGR diagr C puisque p our montrer l existence d une colimite nous devons
choisir un repr esentant p our une classe d equivalence de eches de DIAGR C
Conclusion
Dans ce chapitre nous avons d e ni une cat egorie de diagrammes DIAGR C
dont les ob jets sont les diagrammes nis et les eches sont les morphismes de dia
grammes d e nitions et Nous avons rapp el elad e nition de colimite d un
diagramme et de colimite d un morphisme de diagrammes paragraphe Nous
avons d e ni une op eration d aplatissement Apl DIAGR C DIAGR C qui
C
p ermet de consid erer tout diagramme de diagrammes comme un simple diagramme
d e nition
Nous avons d e ni une relation de congruence sur les morphismes de diagrammes
ce qui nous a p ermis de consid erer la cat egorie quotient diagr C d e nition
Nous avons montr e que la cat egorie diagr C est niment co compl ete c est a dire
que tout diagramme ni sur diagr C a une colimite dans diagr C th eor eme
de DIAGR diagr C p eut etre construite en aplatissant Cette colimite d un ob jet
un diagramme de DIAGR C obtenu a partir de en rempla cantchaque classe
d equivalence qui etiqu ete un arc par un repr esentant de cette classe
En n nous avons montr e que la cat egorie diagr C est une compl etion de C par
colimites nies th eor eme
CHAPITRE GRAPHES CATEGORIES ET DIAGRAMMES
Chapitre
Syntaxe cat egorie des termes
Nous sommes certain que la syntaxe est indisp ensable
mais nous voulons soutenir qu elle ne saurait etre syn
taxe que dans la mesure o u elle envisage non pas des
relations entre ob jets quelconques mais des relations
entre des signes ou des expressions Or ce n est
que comme concept pragmatique que nous p ourrons
ab order la notion de signe ou d expression car
un ev enement n est un signe que s il est emis ou re cu
comme tel
L eo Ap ostel Logique et connaissance scienti que
Dans ce chapitre nous consid erons une cat egorie C de base dont les ob jets sont
0
consid er es comme atomiques c est a dire ne p euvent pas etre divis es Nous sup
p osons que cette cat egorie C est petite Nous souhaitons p ouvoir construire des
0
ob jets comp osites en r eunissant ces ob jets el ementaires en fusionnant eventuelle
ment certaines parties communes
L assemblage de plusieurs ob jets est mo d elis e a l aide de constructions de coli
mites Par exemple dans la cat egorie des ensembles la somme p ermet de mo d eliser
l union disjointe de deux ensembles La somme amalgam ee p ermet de r eunir deux
ensembles en fusionnant certains el ements Dans le cadre des sp eci cations alg e
briques la somme amalgam ee p ermet egalement de combiner deux sp eci cations en
pr ecisant les parties fusionn ees
Le but de ce chapitre est de pr esenter une syntaxe c est a dire un langage de
description des constructions de colimites Ces constructions de colimites font partie
d une cat egorie parce qu a partir des ob jets et eches de C on p eut non seulement
0
construire des ob jets colimites mais egalement des eches entre ob jets colimites En
e et d un p oint de vue formel la fonction qui a tout diagramme asso cie sa colimite
p eut s appliquer sur les eches et etre ainsi etendue en un foncteur Dans ce chapitre
nous construisons donc une cat egorie de termes app el ee Terme C dont les ob jets
0
repr esentent des constructions de colimites
Notre ob jectif n est pas d avoir une syntaxe p our toutes les constructions de coli
CHAPITRE SYNTAXE CATEGORIE DES TERMES
mites nies mais de s electionner quelques constructions qui p ermettent d obtenir un
ob jet isomorphe a n imp orte quelle colimite nie Il s agit donc de p ouvoir d ecrire
une cat egorie niment co compl ete Ici nous choisissons d avoir une repr esentation
p our un ob jet initial et p our des sommes amalgam ees Ce choix est purement
arbitraire on aurait pu prendre d autres colimites comme des sommes ou des co
egalisateurs
Nous avons donc b esoin de constructions syntaxiques p our l ob jet initial et les
sommes amalgam ees Nous utilisons le terme p our repr esenter l ob jet initial et
le terme push A B C f g p our repr esenter la somme amalgam ee construite sur
le diagramme qui comp orte trois n uds etiquet es par A B et C et deux eches
etiquet ees par f A B et g A C Comme nos constructions sont purement
syntaxiques la seule egalit e dont nous disp osons au d epart est l identit e syntaxique
Nous d e nissons donc des relations entre les eches p our d ecrire les propri et es de
l ob jet initial et des sommes amalgam ees Techniquement nous d e nissons donc une
pr ecat egorie c est a dire une cat egorie dans laquelle certaines egalit es sont rempla
c ees par des equivalences sur les eches La cat egorie corresp ondante est le quotient
de cette pr ecat egorie par la relation d equivalence
Comme l existence de certains termes est conditionn ee par une relation entre
deux autres termes cf r egle on ne p eut pas d e nir successivement les termes
puis la relation sur les termes Pour r esoudre ce probl eme nous prop osons une
construction strati ee de la syntaxe Nous d e nissons une suite de pr ecat egories de
termes C telles que dans la pr ecat egorie C l introduction de termes n est condi
i i
tionn ee que par des relations entre termes de C Finalement la pr ecat egorie des
i 1
termes TERME C est la limite de la suite de pr ecat egories C
0 i
Syntaxe s emantique cat egories et choix
En informatique les probl emes ont souvent deux asp ects un asp ect syntaxique
qui corresp ond au langage qui d ecrit les ob jets manipul es par exemple un pro
gramme et un asp ect s emantique qui corresp ond au sens des ob jets manipul es
par exemple le r esultat de l ex ecution d un programme Du p oint de vue syn
taxique on fait des choix de repr esentation qui corresp ondent a la d e nition du
langage utilis e Du p oint de vue s emantique on travaille ind ependammentduchoix
de repr esentation a un co dage pr es
L int er et des cat egories r eside dans le fait que l on travaille le plus souvent a
un isomorphisme pr es ce qui corresp ond a travailler a un co dage pr es en in
formatique Par exemple en th eorie des cat egories on d e nit les colimites a un
isomorphisme pr es un diagramme p eut avoir plusieurs colimites qui sont alors
isomorphes Lorsque l on parle de la colimite d un diagramme il s agit en fait
souvent d une colimite quelconque d un diagramme sachant que tant que l on
travaille a un isomorphisme pr es on p eut en choisir une quelconque L ensemble
f g A f g B est un exemple de choix de colimite p our A B dans la
cat egorie des ensembles
Ce degr e de lib ert e est trop imp ortant lorsque l on parle de syntaxe On a en
e et b esoin de faire des choix de repr esentation ou de co dage Si on veut d ecrire
une syntaxe p our des constructions de colimites on ne p eut plus parler des colimites
PRECATEGORIES PREFONCTEURS ET PRE COLIMITES
a un isomorphisme pr es En e et le fait d avoir une repr esentation syntaxique par
exemple p our une somme imp ose que l on ait fait un choix particulier de somme
Cela explique p ourquoi dans toute la suite nous parlons d ob jet initial choisi ou
de somme amalgam ee choisie Techniquement on doit faire des choix a n d avoir
une construction libre L introduction de colimites choisies dans une cat egorie due
a C Ehresmann Ehr Ehr p ermet de donner un statut alg ebrique a cette
cat egorie
Pr ecat egories pr efoncteurs et pr e colimites
Nous commen cons par d e nir la notion de pr ecat egorie similaire a celle de ca
t egorie Dans une pr ecat egorie il n y a a priori pas d egalit e entre eches mais
seulement des equivalences Chaque ensemble de eches est donc muni d une relation
de d equivalence
D e nition Pr ecat egorie Une pr ecat egorie C est d e nie par
une classe d objets Ob j C si A est un ob jet de Ob j C on notera A Ob j C
m eme si Ob j C n est pas un ensemble
une famille Arr C indic ee par Ob j C Ob j C de eches autrement dit
A B Ob j C on a un ensemble de eches Arr C A B
une famille R C indic ee par Ob j C Ob j C de relations sur Arr C au
trement dit A B Ob j C on a une relation R C A B sur l ensemble
Arr C A B
A B C Ob j C on a une op eration de comp osition
Arr C B C Arr C A B Arr C A C
A Ob j C on a une eche identit e id Arr C A A
A
A B Ob j C f Arr C A B
f id f R C A B
A
id f f R C A B
B
A B C D Ob j C
f Arr C A B g Arr C B C h Arr C C D
h g f h g f R C A D
R C est une congruence c est a dire
A B Ob j C R C A B est une relation d equivalence
CHAPITRE SYNTAXE CATEGORIE DES TERMES
A B C Ob j C f f Arr C A B g g Arr C B C
f f R C A B
g f g f R C A C
g g R C B C
Lemme On peut associer a toute pr ecat egorie C une cat egorie qu on notera
egalement par abus de langage C Cette cat egorie est d e nie de la fa con suivante
Les objets de la cat egorie C sont les objets de la pr ecat egorie C
Comme R C A B est une relation d equivalence sur Arr C A B on peut
d e nir l ensemble des eches de A vers B de la cat egorie C comme l ensemble
quotient
hom A B Arr C A B R C A B
C
On notera f A B la classe d equivalence de f Arr C A B
Etant donn e un objet A de C l identit e sur A est id A A
A
La composition de deux eches f A B et g B C est la classe
g f A C Cette d e nition est ind ependante des repr esentants f et g
choisis car R C est une congruence
Preuve On v eri e imm ediatement que
les eches id A A sont bien des identit es
A
la comp osition est asso ciative
2
R eciproquement on p eut consid erer toute cat egorie comme une pr ecat egorie en
prenant p our relation d equivalence la relation d egalit e sur les eches
D e nition Identit e syntaxique Soit une pr ecat egorie C L egalit e dans C a
ne pas confondre avec l equivalence R C est app el ee identit e syntaxique
En e et dans une pr ecat egorie de termes deux termes sont egaux lorsqu ils sont
syntaxiquement identiques c est a dire comp os es des m emes symboles
Notations
L identit e syntaxique sera not ee
Pour plus de lisibilit e et comme deux eches equivalentes dans la pr ecat egorie
C sont egales dans la cat egorie C asso ci ee f f R C A B sera not e
f f Arr C A B
Nous rapp elons le plus souvent p ossible l ensemble auquel les eches appar
tiennent parce que nous manipulons plusieurs pr ecat egories et certaines e
ches appartiennent a plusieurs ensembles de eches dans des pr ecat egories di erentes
PRECATEGORIES PREFONCTEURS ET PRE COLIMITES
D e nition Petite pr ecat egorie Une pr ecat egorie C est petite si et seulementsi
la cat egorie asso ci ee est p etite c est a dire si et seulementsiObj C est un ensemble
L analogue d un foncteur entre deux cat egories est un pr efoncteur entre deux
pr ecat egories
D e nition Pr efoncteur Soit deux pr ecat egories C et D Un pr efoncteur F
de C vers D not e F C D est une application qui a tout ob jet A de C asso cie
un ob jet F A de D et a toute eche f Arr C A B asso cie une eche F f
Arr D F A F B et telle que
0
f f Arr C A B
0 0
f f Arr C A B F f F f Arr D F A F B
A Ob j C F id id Arr D F A F A
A
F घAङ
f Arr C A B et g Arr C B C
F g f F g F f Arr D F A F C
A tout pr efoncteur entre deux pr ecat egories on p eut asso cier un foncteur entre les
cat egories corresp ondantes
Lemme Soit deux pr ecat egories C et D et un pr efoncteur F C D Alors on
a un foncteur not e egalement F C D entre les cat egories C et D d e ni par
F C D
A A
f F f
La d e nition de F f est bien ind ependante du repr esentant f choisi car
0 0
f f Arr C A B F f F f Arr D F A F B
Deux pr efoncteurs F G C D sont syntaxiquement identiques lorsque
A Ob j C F A G A
f Arr C A B F f G f
On note F G
On p eut reformuler de nombreuses notions de th eorie des cat egories en les adap
tant aux pr ecat egories Il su t de remplacer les egalit es entre eches dans chaque
cat egorie par des equivalences dans la pr ecat egorie corresp ondante
D e nition Isomorphisme Soit une pr ecat egorie C La eche f Arr C A B
est un isomorphisme dans la pr ecat egorie C si et seulement si il existe une eche
g Arr C B A telle que g f id Arr C A A etf g id Arr C B B
A B
CHAPITRE SYNTAXE CATEGORIE DES TERMES
On v eri e facilement qu une eche f dans une pr ecat egorie C est un isomorphisme
si et seulementsi f est un isomorphisme dans la cat egorie asso ci ee
D e nition Pr efoncteur plein Soit deux pr ecat egories C et D et un pr efonc
teur F C D Le pr efoncteur F est plein si et seulement si p our toute eche
g Arr D F A F B il existe une eche f Arr C A B telle que
g F f Arr D F A F B
D e nition Pr efoncteur d ele Soit deux pr ecat egories C et D et un pr efonc
teur F C D Le pr efoncteur F est d ele si et seulement si p our toutes eches
0
f f Arr C A B
0 0
F f F f Arr D F A F B f f Arr C A B
On v eri e facilement qu un pr efoncteur F est plein resp ectivement d ele si et
seulement si le foncteur asso ci e est plein resp ectivement d ele
On p eut en n reformuler la notion de colimite d un diagramme p our une pr e
cat egorie Nous d e nissons ici uniquement les notions d objet pr e initial et de pr e
sommes amalgam ees
D e nition Ob jet pr e initial Soit une pr ecat egorie C Un ob jet de C est
pr e initial si et seulementsi
A Ob j C il existe une eche j Arr C A
A
f Arr C A f j Arr C A
A
Lemme Un objet est pr e initial dans une pr ecat egorie C si et seulement si
est initial dans la cat egorie associ ee C
D e nition Pr e somme amalgam ee Soit une pr ecat egorie C Soit trois ob jets
A B et C de C ainsi que deux eches f Arr C A B et g Arr C A C Le
triplet P o u P Ob j C Arr C B P et Arr C C P est une
1 2 1 2
pr e somme amalgam ee de B et C par rapp ort aux eches f et g si et seulementsi
f g Arr C A P
1 2
0 0 0 0
si D Ob j C f Arr C B D g Arr C C D et f f g g
Arr C A D alors
a il existe une eche u Arr C P D telle que
0
u f Arr C B D
1
0
u g Arr C C D
2
b p our toute eche v Arr C P D telle que
0
v f Arr C B D
1
0
v g Arr C C D
2
on a u v Arr C P D
PRECATEGORIES PREFONCTEURS ET PRE COLIMITES
Lemme Le triplet P est une pr e somme amalgam ee de B et C
1 2
par rapport aux eches f et g dans la pr ecat egorie C si et seulement si le triplet
P est une somme amalgam ee de B et C par rapport aux eches f et
1 2
g dans la cat egorie associ ee C
On p eut d e nir de fa con similaire la pr e colimite d un diagramme sur une pr e
cat egorie Une pr ecat egorie est niment pr e cocompl ete lorsque tout diagramme ni
a une pr e colimite
De fa con g en erale une pr e colimite dans une pr ecat egorie corresp ond a une co
limite dans la cat egorie asso ci ee Par cons equent une pr ecat egorie est niment
pr e cocompl ete si et seulementsilacat egorie asso ci ee est niment co compl ete De
plus une pr ecat egorie est nimentpr e cocompl ete si et seulement si elle a un ob jet
pr e initial et des pr e sommes amalgam ees
Pr ecat egorie DIAGR C
Etant donn e une cat egorie C la cat egorie DIAGR C avec la relation de con
gruence est une pr ecat egorie Plus pr ecis ement
l identit e syntaxique dans la pr ecat egorie DIAGR C est l egalit e dans la cat e
gorie DIAGR C
et sont deux ob jets de DIAGR C si
dans la pr ecat egorie dans la cat egorie
si sont deux eches de DIAGR C
0
dans la pr ecat egorie dans la cat egorie
la relation d equivalence dans la pr ecat egorie DIAGR C est la congruence
sur les eches de la cat egorie DIAGR C si sont deux eches de
DIAGR C
0
Arr DIAGR C
La cat egorie asso ci ee alapr ecat egorie DIAGR C est diagr C De plus le fonc
teur I C DIAGR C p eut etre consid er e comme un pr efoncteur dont le foncteur
C
asso ci e est I C diagr C
C C
D autre part la pr ecat egorie DIAGR C est niment pr e cocompl ete d apr es
les lemmes et Remarquons que ce sont justement ces deux lemmes
qui nous ont p ermis de montrer que la cat egorie diagr C est niment co compl ete
L aplatissement
2
Apl DIAGR C DIAGR C
C
donne un choix de pr e colimites dans DIAGR C En particulier la pr ecat egorie
DIAGR C a un ob jet pr e initial choisi le diagramme vide et des pr e sommes amal
gam ees choisies obtenues par aplatissement
CHAPITRE SYNTAXE CATEGORIE DES TERMES
Probl eme de circularit e termes congruences
Soit C une p etite cat egorie Nous cherchons ad e nir une cat egorie qui contient
0
C qui a un ob jet initial et des sommes amalgam ees Nous allons en fait d e nir une
0
pr ecat egorie avec un ob jet pr e initial et des pr e sommes amalgam ees
Ob jet pr e initial
Pour l ob jet pr e initial il nous su t d introduire un nouvel ob jet et p our tout
ob jet A une eche j de vers A De plus p our chaque couple de eches f g de
A
vers A onintro duit la relation f g
Pr e sommes amalgam ees
Etant donn e trois ob jets A B et C ainsi que deux eches f A B et g A C
nous introduisons un nouvel ob jet
push A B C f g
deux eches
A B C f g B push A B C f g
1
A B C f g C push A B C f g
2
et la relation
A B C f g f A B C f g g
1 2
Ilya donc une circularit eentre la d e nition des ob jets et la d e nition des eches
puisque l introduction d une nouvelle eche p ermet d introduire ensuite des nou
veaux ob jets Cette circularit e ne p ose a priori pas de probl eme car il s agit d une
circularit eauniveau des termes
0 0
De plus etant donn e un ob jet D et deux eches f B D et g C D telles
que
0 0
f f g g
on introduit une eche
0 0
up A B C D f g f g push A B C f g D
et deux relations
0 0 0
up A B C D f g f g A B C f g f
1
0 0 0
up A B C D f g f g A B C f g g
2
Il faut egalementsp eci er qu il y a une unique eche qui satisfait ces deux relations
L introduction de la eche
0 0
up A B C D f g f g push A B C f g D
p ose un probl eme Jusqu apr esent nous avons d e ni d ab ord des termes puis des
relations entre les termes Ici nous devons introduire un nouveau terme acondition
PRECATEGORIES C
i
qu une relation soit v eri ee Il y a donc une circularit eentre la d e nition des termes
et la d e nition des relations
Les th eories alg ebriques g en eralis ees qui sont une g en eralisation des alg ebres
multi sortes ont et e prop os ees par Cartmell p our sp eci er des types d ependants
c est a dire param etr es par des termes Car Par exemple le type Arr A B
d epend de deux termes A et B Cep endant les types d ependants de Cartmell ne
p ermettent pas de sp eci er des termes dont l existence d epend d une equivalence
entre deux autres termes T Streicher et M Wirsing qui pr econisent l utilisation
de types d ependants SW ne pr ecisent pas commentr esoudre ce probl eme
Une solution est de remplacer la eche up qui p ose probl eme par des eches dont
l existence ne d epend pas d une equivalence entre deux termes Cette appro che a
et e prop os ee par F Cury Cur Les eches up sont remplac ees par deux eches
p et d qui sont des eches up particuli eres dont l existence n est pas conditionn ee
par une equivalence Toute eche up p eut etre reconstruite a posteriori a l aide des
eches p et d
Dans notre travail nous voulons d une part rester pro che de la d e nition classique
de la somme amalgam ee et d autre part ne pas multiplier les eches et les r egles
a consid erer Pour ces raisons nous conservons les eches up et prop osons une
construction strati ee de la syntaxe qui p ermet d eliminer le probl eme de circularit e
Nous d e nissons une suite de pr ecat egories C telles que dans la pr ecat egorie C
i i+1
l introduction d une eche up d epend uniquement d une relation dans C Etant
i
0
donn e des ob jets A B C D et des eches f A B g A C f B D et
0 0 0
g C D de C tels qu on ait la relation f f g g dans C onintro duit une
i i
eche
0 0
up A B C D f g f g push A B C f g D
dans C Dans chaque C nous d e nissons donc d ab ord les ob jets l ensemble
i+1 i
Ob j C ensuite les eches la famille d ensembles Arr C et en n les
i i
equivalences entre eches la famille de relations R C
i
Pr ecat egories C
i
Soit C une p etite cat egorie On consid ere la pr ecat egorie asso ci ee C On a
0 0
donc un ensemble d ob jets Ob j C une famille de eches Arr C et une famille
0 0
de relations R C Si A et B sont des ob jets de C la relation R C A B sur
0 0 0
l ensemble Arr C A B est l egalit e dans la cat egorie C
0 0
Dans ce paragraphe nous d e nissons p our tout entier naturel i une p etite
pr ecat egorie C end e nissant successivement les ensembles et familles d ensembles
i+1
Ob j C Arr C et R C a partir de Ob j C Arr C et R C Chaque
i+1 i+1 i+1 i i i
ensemble est caract eris e par des r egles de la forme
x X y Y
z x y Z
Cette r egle d e nit partiellement l ensemble Z et signi e
CHAPITRE SYNTAXE CATEGORIE DES TERMES
Si le terme x appartient a X et si le terme y appartient a Y alors le
terme z x y appartient a Z
Ensuite on consid ere le plus p etit ensemble Z qui satisfait toutes les r egles qui le
d e nissent
R egles qui d e nissent l ensemble Ob j C
i+1
Les ob jets de C sont les ob jets de C r egle et les ob jets que l on p eut
i+1 0
construire a partir d ob jets et de eches de C c est a dire ob jet pr e initial r egle
i
et pr e somme amalgam ee r egle
A Ob j C
0
A Ob j C
i+1
Ob j C
i+1
A B C Ob j C f Arr C A B g Arr C A C
i i i
push A B C f g Ob j C
i+1
R egles qui d e nissent la famille d ensembles Arr C
i+1
Les eches de C sont les eches de C r egle les comp ositions de eches de
i+1 0
C r egle les identit es entre ob jets de C r egle les eches de c one
i+1 i+1
colimite r egles et les uniques eches d un ob jet colimite vers le sommet
d un c one r egles
A B Ob j C f Arr C A B
0 0
f Arr C A B
i+1
A B C Ob j C f Arr C A B g Arr C B C
i+1 i+1 i+1
g f Arr C A C
i+1
A Ob j C
i+1
id Arr C A A
A i+1
A Ob j C
i+1
j Arr C A
i+1
A
A B C Ob j C f Arr C A B g Arr C A C
i i i
A B C f g Arr C B push A B C f g
1 i+1
A B C Ob j C f Arr C A B g Arr C A C
i i i
A B C f g Arr C C push A B C f g
2 i+1
A B C D Ob j C f Arr C A B g Arr C A C
i i i
0 0 0 0
f Arr C B D g Arr C C D f f g g Arr C A D
i i i
0 0
up A B C D f g f g Arr C push A B C f g D
i+1
Remarquons que l existence de la eche up de C d epend d une relation entre deux
i+1
eches de C L introduction d un terme dans une pr ecat egorie ne d epend jamais
i
d une relation dans cette pr ecat egorie
PRECATEGORIES C
i
R egles qui d e nissent la famille de relations R C
i+1
La relation R C contient la relation R C r egle R C est une relation
i+1 0 i+1
d equivalence r egles et une congruence r egle Pour que C soit
i+1
une pr ecat egorie il faut que la comp osition soit asso ciative r egle et que
les eches id soient des eches identit es r egles Les r egles
A
servent a assurer que est pr e initial et que push A B C f g est une pr e somme
amalgam ee
A B Ob j C f g Arr C A B
0 0
f g Arr C A B
0
f g Arr C A B
i+1
A B Ob j C f Arr C A B
i+1 i+1
f f Arr C A B
i+1
A B Ob j C f g Arr C A B
i+1 i+1
f g Arr C A B
i+1
g f Arr C A B
i+1
A B Ob j C f g h Arr C A B
i+1 i+1
f g Arr C A B
i+1
g h Arr C A B
i+1
f h Arr C A B
i+1
0 0
A B C Ob j C f f Arr C A B g g Arr C B C
i+1 i+1 i+1
0 0
f f Arr C A B g g Arr C B C
i+1 i+1
0 0
g f g f Arr C A C
i+1
A B C D Ob j C
i+1
f Arr C A B g Arr C B C h Arr C C D
i+1 i+1 i+1
h g f h g f Arr C A D
i+1
A B Ob j C f Arr C A B
i+1 i+1
f id f Arr C A B
A i+1
A B Ob j C f Arr C A B
i+1 i+1
id f f Arr C A B
B i+1
A Ob j C f g Arr C A
i+1 i+1
f g Arr C A
i+1
A B C Ob j C f Arr C A B g Arr C A C
i i i
A B C f g f A B C f g g Arr C A push A B C f g
1 2 i+1
A B C D Ob j C f Arr C A B g Arr C A C
i i i
0 0 0 0
f Arr C B D g Arr C C D f f g g Arr C A D
i i i
0 0 0
up A B C D f g f g A B C f g f Arr C B D
1 i+1
CHAPITRE SYNTAXE CATEGORIE DES TERMES
A B C D Ob j C f Arr C A B g Arr C A C
i i i
0 0 0 0
f Arr C B D g Arr C C D f f g g Arr C A D
i i i
0 0 0
up A B C D f g f g A B C f g g Arr C C D
2 i+1
A B C D Ob j C f Arr C A B g Arr C A C
i i i
u v Arr C push A B C f g D
i+1
u A B C f g v A B C f g Arr C B D
1 1 i+1
u A B C f g v A B C f g Arr C C D
2 2 i+1
u v Arr C push A B C f g D
i+1
Pour obtenir une suite de pr ecat egories C il faut pr eciser les eches identit es et les
i
comp ositions Les eches identit es sont evidemment les termes id Arr C A A
A i
et les op erations de comp osition sont les fonctions
Arr C B C Arr C A B Arr C A C
i i i
g f g f
Lemme Pour tout i on a
Ob j C Ob j C
i i+1
A B Ob j C Arr C A B Arr C A B
i i i+1
A B Ob j C R C A B R C A B
i i i+1
Preuve Par induction sur i Pour i le p oint provient de la r egle le
p oint provient de la r egle et le p oint provient de la r egle Pour i
on prouve les trois p oints en parall ele par induction sur la structure des el ements
de Ob j C Arr C et R C Cela n ecessite de consid erer toutes les r egles
i+1 i+1 i+1
2
Lemme Pour tout i on a
R C est une congruence
i+1
C est une pr ecat egorie
i+1
l objet est pr e initial dans C
i+1
Preuve Toutes les prop ositions d erivent de fa con evidente des r egles qui d e nissent
Ob j C Arr C etR C Plus pr ecis ement
i+1 i+1 i+1
r egles
r egles et
r egles et 2
PRECATEGORIES C
i
Exemple Supp osons que C contient trois ob jets A B et C et deux eches
0
f A B et g A C On p eut construire une pr e somme amalgam ee de deux
fa cons di erentes
A B C Ob j C f Arr C A B g Arr C A C
0 0 0
P push A B C f g Ob j C
1 1
A C B Ob j C g Arr C A C f Arr C A B
0 0 0
P push A C B g f Ob j C
2 1
On a egalement
A C B Ob j C g Arr C A C f Arr C A B
0 0 0
A C B g f g A C B g f f Arr C A P
1 2 1 2
A B C Ob j C f Arr C A B g Arr C A C
0 0 0
A B C f g f A B C f g g Arr C A P
1 2 1 1
Par la r egle on p eut donc construire les termes
u up A B C P f g A C B g f A C B g f Arr C P P
2 1 2 2 1 2
v up A C B P f g A B C f g A B C f g Arr C P P
1 1 2 2 2 1
D apr es la r egle on a
A B C f g A B C f g Arr C B P
1 1 1 1
A B C f g A B C f g Arr C C P
2 2 1 1
En appliquantlar egle on en d eduit que
u v id Arr C P P
P 2 2 2
2
De m eme on montre que
v u id Arr C P P
P 2 1 1
1
Nous en d eduisons donc que les deux constructions P et P sont isomorphes dans
1 2
la pr ecat egorie C mais P et P ne sont pas isomorphes dans la pr ecat egorie C
2 1 2 1
Remarque Les triplets
push A B C f g A B C f g A B C f g
1 2
ne sont pas en g en eral des pr e sommes amalgam ees Le terme push A B C f g
dans l exemple n est pas une pr e somme amalgam ee dans C car la eche u ne
1
fait pas partie de C Par contre lorsque nous consid ererons la pr ecat egorie des
1
termes limite de la suite de pr ecat egories C section les triplets
i
push A B C f g A B C f g A B C f g
1 2
seront bien des pr e sommes amalgam ees
Lemme L ensemble des eches d un objet de C vers l objet pr e initial est vide
0
Autrement dit
i A Ob j C Arr C A ?
0 i
CHAPITRE SYNTAXE CATEGORIE DES TERMES
Preuve Par induction sur la d e nition de Arr C 2
i
Simpli cation des eches
Dans cette section nous d e nissons p our tout entier i un syst eme de sim
pli cation des eches de la pr ecat egorie C Il s agit ici d un outil technique qui
i+1
nous p ermet de d emontrer en section que p our tout i lapr ecat egorie C est une
i
extension conservatrice de C
0
D e nition Fl eche el ementaire On dit qu une eche f Arr C A B est
j i
el ementaire si et seulement si l une des conditions suivantes est satisfaite
f Arr C A B
j 0
f A B C f g
j
k
0 0
f up A B C D f g f g
j
f id et f Arr C X X
j X j 0
f j
j
X
Dans tout le reste de cette section nous consid erons les eches de C comme des
i
comp ositions
f f f f
n n 1 1
avec p our tout j f ng f est une eche el ementaire L entier n est app el e
j
longueur du terme f
Cette pr esentation simpli ee est justi ee par la r egle c est a dire l asso ciativit e
de la comp osition
Le syst eme de simpli cation est comp os e de r egles de simpli cation qui d e
nissent une relation sur les eches de la pr ecat egorie C On consid ere ensuite
i+1
ࣿ
la fermeture r e exive et transitive not ee de la relation
Nous consid erons des r egles de simpli cation de l une des deux formes suivantes
P
Axiome
0
f f
P
R egle de contexte
0 0
u u f f
0 0
o u f f u et u sont des eches de la pr ecat egorie C et P est l ensemble des
i+1
0 0
conditions qui assurent que les termes f f u et u sont bien form es
ࣿ 0
Intuitivement si f f c est a dire si la eche f p eut se simpli er en la
0 0
eche f alors f et f sont equivalentes dans la pr ecat egorie C La r eciproque
i+1
n est pas vraie Autrement dit le syst eme de simpli cation est coh erent mais pas
complet par rapp ort al equivalence dans C
i+1
On consid ere le syst eme de simpli cation des eches de C comp os e des r egles
i+1 suivantes
SIMPLIFICATION DES FLECHES
Axiomes
A B Ob j C f Arr C A B
i+1 i+1
f id f
A
A B Ob j C f Arr C A B
i+1 i+1
id f f
B
A B C D Ob j C f Arr C A B g Arr C A C
i i i
0 0 0 0
f Arr C B D g Arr C C D f f g g Arr C A D
i i i
0 0 0
up A B C D f g f g A B C f g f
1
A B C D Ob j C f Arr C A B g Arr C A C
i i i
0 0 0 0
f Arr C B D g Arr C C D f f g g Arr C A D
i i i
0 0 0
up A B C D f g f g A B C f g g
2
R egles de contexte
0
A B C Ob j C f f Arr C A B g Arr C B C
i+1 i+1 i+1
i
0 0
f f g f g f
0
A B C Ob j C f Arr C A B g g Arr C B C
i+1 i+1 i+1
ii
0 0
g g g f g f
A B C D Ob j C f Arr C A B g Arr C A C
i i i
0 0 00
f Arr C B D g Arr C C D f Arr C B D
i i i
0 0
f f g g Arr C A D
i
i
0 00 0 0 00 0
f f up A B C D f g f g up A B C D f g f g
A B C D Ob j C f Arr C A B g Arr C A C
i i i
0 0 00
f Arr C B D g Arr C C D g Arr C C D
i i i
0 0
f f g g Arr C A D
i
ii
0 00 0 0 0 00
g g up A B C D f g f g up A B C D f g f g
Remarque Ce syst eme de simpli cation ressemble a un syst eme de r e ecriture
cf par exemple DJ Il y a cep endant deux di erences avec les syst emes de
r e ecriture classiques
Nous avons b esoin de pr emisses p our assurer que les termes manipul es sont
bien form es
CHAPITRE SYNTAXE CATEGORIE DES TERMES
Nous n autorisons pas toutes les r egles de passage au contexte Nous avons
une r egle de passage au contexte uniquement p our l op erateur de comp osi
tion r egles i et ii et p our les deux derniers param etres de
l op erateur up r egles i et ii
Lemme Soit f Arr C A B alors
i
0 0
f f f Arr C A B
i
0 0
f f f f Arr C A B
i
Preuve Aucune di cult e 2
Lemme Terminaison du syst eme de simpli cation Le syst eme de simpli ca
tion termine c est a dire qu il n existe pas de s equence in nie
f f f
1 2 n
Preuve Pour chaque axiome
P
0
f f
0
f est un sous terme de f 2
Lemme Con uence du syst eme de simpli cation
Le syst eme de simpli cation est con uent c est a dire que si f f et f f
1 2
0 ࣿ 0 ࣿ 0
alors il existe f tel que f f et f f
1 2
Preuve Aucune di cult e 2
D e nition Forme normale Soit une eche f Arr C A B On dit que
i+1
la eche f est sous forme normale ouirr eductible si il n existe aucune simpli cation
0
f f
Prop osition Toute eche f Arr C A B a une forme normale
i
Preuve C est une cons equence imm ediate de la terminaison et con uence du sys
t eme de simpli cation 2
La forme normale de f sera not ee N f
Th eor eme Coh erence de la simpli cation Soit f Arr C A B On a
i
f N f Arr C A B i
SIMPLIFICATION DES FLECHES
ࣿ
Preuve Par induction sur la longueur de la simpli cation f N f
Pour une simpli cation de longueur le r esultat est evident
0 ࣿ 0 0
Supp osons f f N f D apr es le lemme f f Arr C A B
i
0 0
Ensuite par hypoth ese d induction on a f N f Arr C A B d o u f
i
0
N f Arr C A B 2
i
Le th eor eme suivant a rme que toute eche p our laquelle le domaine et le co domaine
sont dans C a p our forme normale une eche de C
0 0
Th eor eme Forme normale
Soit A B Ob j C et m Arr C A B On a
0 i
N m Arr C A B
0
Preuve Soit A B Ob j C et m Arr C A B Soit
0 i
N m m m m m
n n 1 2 1
avec p our tout j f ng m est une eche el ementaire
j
Pour tout j f ng ona
Si m n est pas une eche de C alors m id sinon n ecessairement n
j 0 j X
et donc N m n est pas irr eductible
m j car d apr es le lemme Arr C A ?
j i
X
Par cons equent p our tout j f ng l une des conditions suivantes est v eri ee
m Arr C X Y
j 0
m A A A f f avec k f g
j 0 1 2 1 2
k
0 0
f m up A A A A f f f
j 0 1 2 3 1 2
2 1
Par l absurde supp osons qu il existe j tel que m Arr C X Y Soit j le plus
j 0 0
p etit j qui satisfait cette propri et e On a donc m Arr C X Y avec X Ob j C
j i 0
0
Par cons equent
m A A A f f
j 0 1 2 1 2
k
0
0 0
Si m up A A A A f f f f alors N m n est pas irr eductible donc
j +1 0 1 2 3 1 2
0
1 2
0 0 0 0 0
0
m A A A f f
j +1
k
0 1 2 1 2
0
Finalement on obtient
00 00 00 00 00
00
m A A A f f
n 0 1 2 1 2
k
ce qui est en contradiction avec B Ob j C Par cons equent p our tout j f ng
0
m est une eche de C et donc N m Arr C A B 2
j 0 0
CHAPITRE SYNTAXE CATEGORIE DES TERMES
Th eor eme Forme normale
Soit A Ob j C B push A A A f f Ob j C m Arr C A B Posons
0 0 1 2 1 2 i i
N m m m m
n n 1 1
avec n et j f ng m est une eche el ementaire Alors
j
m A A A f f avec k f g
n 0 1 2 1 2
k
si n alors m m Arr C A A
n 1 1 i 1
k
Preuve Similaire a la preuveduth eor eme La preuve compl ete est d evelopp ee
en app endice A 2
Th eor eme Forme normale
Soit A push A A A f f Ob j C B Ob j C et m Arr C A B Posons
0 1 2 1 2 i 0 i
N m m m m
n n 1 1
avec n et j f ng m est une eche el ementaire Alors
j
m up A A A A f f g g
1 0 1 2 3 1 2 1 2
Preuve Similaire a la preuveduth eor eme La preuve compl ete est d evelopp ee
en app endice A 2
La forme normale d une eche n est pas unique relativement al equivalence dans C
i
Dans le cas g en eral
0 0
m m Arr C X Y N m N m
i
Par exemple on a
A B C f g f A B C f g g Arr C A push A B C f g
1 2 i
Ces deux eches sont irr eductibles et equivalentes dans C mais ne sont pas iden
i
tiques Par contre on a
0 0
X Y Ob j C m m Arr C X Y N m N m Arr C X Y
0 i 0
Pour montrer ce r esultat nous d emontrons le th eor eme suivant
Th eor eme Unicit e de la forme normale
0 0
Soit m m Arr C X Y tels que m m Arr C X Y
i i
EXTENSIONS CONSERVATRICES
Si X Y Ob j C alors
0
0
N m N m Arr C X Y
0
Si X Ob j C Y push A A A f f alors
0 0 1 2 1 2
Z Ob j C h Arr C Y Z on a
0 i
0
N h m N h m Arr C X Z
0
Si X push A A A f f Y Ob j C alors
0 1 2 1 2 0
W Ob j C p Arr C W X on a
0 i
0
N m p N m p Arr C W Y
0
0 0 0 0 0
Si X push A A A f f Y push A A A f f alors
0 1 2 1 2
0 1 2 1 2
W Z Ob j C h Arr C Y Z p Arr C W X on a
0 i i
0
N h m p N h m p Arr C W Z
0
Preuve On prouve les p oints a par induction sur i Pour i le p oint est
evident et il n y a rien a prouver p our les p oints a Pour i on doit faire une
induction sur la longueur de N h p our prouver les p oints et On prouve alors
les p oints en parall ele par induction sur la longueur de la preuve que
0
m m Arr C X Y
i+1
Cette preuve est d etaill ee en App endice A 2
Extensions conservatrices
La suite de pr ecat egories C satisfait deux propri et es imp ortantes on n introduit
i
pas de nouvelles eches entre des ob jets de C et on n introduit pas de nouvelles
0
equivalences entre des eches de C On dit que C est une extension conservatrice
0 i
de C
0
Pour tout i j ond e nit un pr efoncteur J C C par
i j i j
J C C
i j i j
A A
f f
J est bien un pr efoncteur car d apr es le lemme
i j
A Ob j C A Ob j C
i j
CHAPITRE SYNTAXE CATEGORIE DES TERMES
f Arr C A B f Arr C A B
i j
0 0
f f Arr C A B f f Arr C A B
i j
Th eor eme Pour tout entier j la pr ecat egorie C est une extension conserva
j
trice de C Autrement dit le pr efoncteur J est plein et d ele
0 0 j
Ce th eor eme est equivalent a
j IN A B Ob j C
0
0 0
h Arr C A B h Arr C A B h h Arr C A B
j 0 j
0 00
h h Arr C A B
0
0 00 0 00
h h Arr C A B h h Arr C A B
j 0
Preuve C est une cons equence imm ediate des th eor emes et
0
Il su t de prendre h N h D apr es le th eor eme N h Arr C A B
0
0 00
h h Arr C A B donc d apr es le th eor eme
j
0 00
N h N h Arr C A B
0
De plus d apr es le th eor eme on a
0 0
N h h Arr C A B
0
00 00
N h h Arr C A B
0
d ouler esultat
2
Remarque En g en eral p our i j C n est pas une extension conservatrice
j
de C En e et
i
Le pr efoncteur J n est pas plein car la r egle p eut introduire dans la pr e
i j
cat egorie C des nouvelles eches entre des ob jets de C Dans l exemple
i+1 i
u est une eche entre deux ob jets de C qui fait partie de C mais pas de C
1 2 1
Le pr efoncteur J n est pas d ele car deux eches de C p euvent etre equi
i j i
valentes a une troisi eme eche de C et donc par transitivit e equivalentes
i+1
dans C sans etre equivalentes dans C On p eut donc introduire dans C
i+1 i i+1
des nouvelles equivalences entre eches de C i
PRECATEGORIE TERME C
0
Pr ecat egorie TERME C
0
Nous p ouvons maintenant d e nir la pr ecat egorie des termes qui va nous servir
de syntaxe p our les constructions de colimites Les ob jets de cette pr ecat egorie sont
les el ements de Ob j C p our i quelconque et les eches entre deux ob jets A et B
i
sont les el ements de Arr C A B p our tous les j tels que A B Ob j C De plus
j j
deux eches sont equivalentes si et seulement si elles sont equivalentes dans un des
ensembles Arr C A B On d e nit donc la pr ecat egorie TERME C comme la
j 0
limite de la suite de pr ecat egories C
i
D e nition Pr ecat egorie TERME C
0
La pr ecat egorie des termes TERME C est d e nie de la fa con suivante
0
L ensemble des ob jets est
1
[
Ob j TERME C Ob j C
0 i
i=0
Soit A B Ob j TERME C Il existe k IN tel que A B Ob j C
0
k
L ensemble des eches de A vers B est
1
[
Arr TERME C A B Arr C A B
0 i
i=k
Soit A B Ob j TERME C Il existe k IN tel que A B Ob j C
0
k
La relation d equivalence sur Arr TERME C A B est
0
1
[
R TERME C A B R C A B
0 i
i=k
D apr es le lemme ces ensembles sont bien d e nis En particulier la d e nition
des ensembles Arr TERME C A B et R TERME C A B est ind ependante
0 0
de l entier k choisi
Prop osition TERME C est une pr ecat egorie
0
Soit J C TERME C lepr efoncteur d e ni par
0 0
J C TERME C
0 0
A A
f f
Th eor eme Lapr ecat egorie TERME C est une extension conservatricedeC
0 0
Autrement dit le pr efoncteur J C TERME C est plein et d ele
0 0
Par cons equent dans TERME C on n a joute pas de eche entre des ob jets de
0
C et on n a joute pas d equivalence entre eches de C Cela montre la coh erence
0 0
hi erarchique de la construction
CHAPITRE SYNTAXE CATEGORIE DES TERMES
Preuve D apr es le th eor eme k IN la pr ecat egorie C est une extension
k
conservatrice de C
0
Soit A B Ob j C et h Arr TERME C A B Il existe k IN tel que
0 0
h Arr C A B Comme C est une extension conservatrice de C il existe
0
k k
0 0
h Arr C A B tel que h h Arr C A B et donc
0
k
0
h h Arr TERME C A B
0
0 00
Soit A B Ob j C et h h Arr C A B tels que
0 0
0 00
h h Arr TERME C A B
0
0 00
Il existe k IN tel que h h Arr C A B Comme C est une extension
k k
conservatrice de C
0
0 00
h h Arr C A B
0
2
Th eor eme Lapr ecat egorie TERME C est niment pr e cocompl ete Plus pr e
0
cis ement
l objet est un choix d objet pr e initial dans TERME C
0
si A B C Ob j TERME C
0
f Arr TERME C A B et g Arr TERME C A C alors le triplet
0 0
push A B C f g A B C f g A B C f g
1 2
est un choix de pr e somme amalgam ee de B et C par rapport a f et g dans
TERME C
0
Preuve
L ob jet est pr e initial Soit A Ob j TERME C Il existe k tel que A
0
Ob j C Donc on a une eche j Arr C A Arr TERME C A
0
k k
A
0
Soit deux eches u v Arr TERME C A Il existe k tel que u v
0
0 0
Arr C A donc d apr es la r egle u v Arr C A et donc
k k
u v Arr TERME C A
0
La preuve est similaire 2
PRECATEGORIE TERME C
0
E
Consid erons une pr ecat egorie E ayant un ob jet pr e initial choisi et des pr e
sommes amalgam ees choisies Si A B et C sont trois ob jets de E etf Arr E A B
g Arr E A C deux eches de E on note
E E E
push A B C f g A B C f g A B C f g
1 2
la pr e somme amalgam ee choisie de B et C par rapp ort a f et g dans E
On supp ose de plus que p our tout ob jet A de E on a un choix de eche
E E
j Arr E A
A
De m eme si A B C D Ob j E f Arr E A B g Arr E A C
f Arr E B D g Arr E C D tel que f f g g Arr E A D on a un
choix de eche
E E
up A B C D f g f g Arr E push A B C f g D
telle que
E E
A B C f g f Arr E B D up A B C D f g f g
1
E E
A B C f g g Arr E C D up A B C D f g f g
2
Th eor eme Lapr ecat egorie TERME C est librement engendr eepar objet pr e
0
initial choisi et pr e sommes amalgam ees choisies
Soit un pr efoncteur F C E Alors il existe un unique pr efoncteur
0
G TERME C E
0
tel que
G J F
G g f G g G f
G id id
A
GघAङ
E
G
E
G j j
A
GघAङ
E
G push A B C f g push G A G B G C G f G g
E
G A B C f g G A G B G C G f G g
1
1
E
G A B C f g G A G B G C G f G g
2
2
G up A B C D f g f g
E
up G A G B G C G D G f G g G f G g
CHAPITRE SYNTAXE CATEGORIE DES TERMES
La pr ecat egorie TERME C est donc librement engendr ee par objet pr e initial choisi
0
et pr e sommes amalgam ees choisies Intuitivement cela signi e que la pr ecat egorie
TERME C satisfait les propri et es suivantes
0
Toutes les constructions de pr e colimites s electionn ees c est a dire utilisant
l ob jet pr e initial et les pr e sommes amalgam ees sont distinctes
TERME C necontient pas d ob jets ou eches autres que ceux de C et ceux
0 0
obtenus par les constructions de pr e colimites s electionn ees
Ces deux propri et es corresp ondent resp ectivement a l existence et l unicit edupr e
foncteur G
Preuve On construit un pr efoncteur G TERME C E par induction sur la
0
structure des ob jets et eches de TERME C On montre ensuite que ce pr efoncteur
0
est unique La preuve est d etaill ee en App endice A 2
Ce th eor eme p ermet d interpr eter c est a dire de donner une s emantique aux
termes Une pr ecat egorie d interpr etation est une pr ecat egorie avec un ob jet pr e
initial choisi et des pr e sommes amalgam ees choisies A partir d une interpr etation
de C c est a dire un pr efoncteur
0
S C E
0 0
on obtient une interpr etation des termes c est a dire un pr efoncteur
S TERME C E
0
Cette pr ecat egorie E p eut par exemple etre la cat egorie Sp ec consid er ee comme
une pr ecat egorie et accompagn ee d un choix d ob jet pr e initial et de choix de pr e
sommes amalgam ees ou une cat egorie de classes d alg ebres p ermettant d interpr eter
les sp eci cations de base Dans le chapitre la pr ecat egorie d interpr etation consi
d er ee est DIAGR C L interpr etation des ob jets et eches de C est donn ee par le
0 0
pr efoncteur I C DIAGR C D apr es le th eor eme cette interpr etation
C 0 0
0
p eut etre prolong ee sur les termes en un pr efoncteur
D TERME C DIAGR C
0 0
C est ce pr efoncteur qui va nous p ermettre dans le chapitre d asso cier a tout
terme un diagramme
Cat egorie Terme C
0
La cat egorie Terme C est la cat egorie asso ci ee alapr ecat egorie TERME C
0 0
D e nition Cat egorie des termes La cat egorie Terme C est d e nie de la
0
fa con suivante
Les ob jets de Terme C sont les ob jets de TERME C
0 0
CATEGORIE Terme C
0
Pour toute eche f Arr TERME C A B f A B classe d equiva
0
lence de f mo dulo R TERME C A B est une eche de Terme C
0 0
On a un foncteur J C Terme C asso ci eaupr efoncteur J C TERME C
0 0 0 0
Th eor eme Lacat egorie Terme C est une extension conservatricedeC Au
0 0
trement dit le foncteur J C Terme C est plein et d ele
0 0
Preuve D apr es le th eor eme le pr efoncteur J C TERME C est plein et
0 0
d ele donc le foncteur asso ci e J C Terme C est egalement plein et d ele 2
0 0
Th eor eme Terme C est une cat egorie niment cocompl ete Plus pr ecis e
0
ment
l objet est initial dans Terme C
0
si A B et C sont des objets de Terme C f A B et g A C sont
0
des eches de Terme C alors le triplet
0
push A B C f g A B C f g A B C f g
1 2
est une somme amalgam ee de B et C par rapport a f et g dans Terme C
0
Preuve Application des lemmes et 2
La cat egorie Terme C bien que niment co compl ete n a pas de sommes amal
0
0 0
gam ees choisies En e et si f est un autre repr esentant de f et g un autre
0 0
repr esentant de g c est a dire si f f et g g dans Terme C alors les
0
triplets
push A B C f g A B C f g A B C f g
1 2
0 0 0 0 0 0
push A B C f g A B C f g A B C f g
1 2
sont deux choix di erents de somme amalgam ee de B et C par rapp ort aux eches
f et g
Par cons equent la cat egorie Terme C n est pas librement engendr ee par objet
0
initial choisi et sommes amalgam ees choisies Il y a en e et trop de choix de sommes
amalgam ees dans Terme C Intuitivement les constructeurs push et d e
0 1 2
p endent des repr esentants choisis p our f et g et donc les choix de pr e colimites
de TERME C ne sont pas conserv es en passant au quotient Par contre on p eut
0
retrouver une cat egorie librement engendr eepar objet initial choisi et sommes amal
gam ees choisies en fusionnant les choix multiples de sommes amalgam ees Cette
construction est d ecrite dans le paragraphe suivant
CHAPITRE SYNTAXE CATEGORIE DES TERMES
Cat egorie libre LघC ङ
0
Dans ce paragraphe nous construisons a partir de la pr ecat egorie TERME C
0
une cat egorie L C librement engendr ee par ob jet initial choisi et sommes amal
0
gam ees choisies L id ee est de d e nir une relation d equivalence a la fois sur les
ob jets et les eches de TERME C a n de fusionner les choix multiples de sommes
0
amalgam ees La relation d equivalence sur les eches est plus forte que celle de
TERME C c est a dire v eri e
0
f g Arr TERME C A B f g
0
Cette construction est inspir ee de la r e ecriture d ob jets prop os ee par F Cury
Cur
Nous commen cons par d e nir la relation d equivalence sur Ob j TERME C
0
Deux ob jets equivalents sont isomorphes mais deux ob jets isomorphes ne sont pas
n ecessairement equivalents Nous d e nissons d ab ord une sous pr ecat egorie Iso C
0
de TERME C La pr ecat egorie Iso C a p our ob jets les ob jets de TERME C
0 0 0
et p our eches certains isomorphismes de TERME C Ces isomorphismes vont
0
corresp ondre aux equivalences entre ob jets de TERME C
0
D e nition Pr ecat egorie Iso C
0
L ensemble des ob jets de Iso C est l ensemble des ob jets de TERME C
0 0
L ensemble des eches de Iso C est d e ni inductivementdelafa con suivante
0
Pour tout ob jet A de TERME C
0
id Arr Iso C A A
A 0
Soit f Arr Iso C A B etg Arr Iso C B C Alors
0 0
g f Arr Iso C A C
0
Soit six ob jets A B C A B C de TERME C et trois eches de
1 1 1 2 2 2 0
Iso C
0
Arr Iso C A A
A 0 1 2
Arr Iso C B B
B 0 1 2
Arr Iso C C C
C 0 1 2
Soit quatre eches de TERME C
0
f Arr TERME C A B
1 0 1 1
g Arr TERME C A C
1 0 1 1
f Arr TERME C A B
2 0 2 2
g Arr TERME C A C
2 0 2 2
telles que
f f Arr TERME C A B
B 1 2 A 0 1 2
g g Arr TERME C A C
C 1 2 A 0 1 2
Il existe alors une eche
CATEGORIE LIBRE L C
0
up A B C push A B C f g f g
1 1 1 2 2 2 2 2 1 1
A B C f g A B C f g
1 2 2 2 2 2 B 2 2 2 2 2 2 C
de push A B C f g vers push A B C f g Cette eche que
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
l on note
iso f g f g
1 1 2 2 A B C
est par d e nition une eche de la pr ecat egorie Iso C
0
Soit deux eches f g Arr Iso C A B Par d e nition on p ose
0
f g Arr Iso C A B f g Arr TERME C A B
0 0
Iso C est evidemment une pr ecat egorie De plus toutes les eches de Iso C sont
0 0
des isomorphismes dans TERME C et egalement dans Iso C Pour montrer ce
0 0
r esultat on d e nit une fonction inv qui asso cie a toute eche de Iso C une inverse
0
dans Iso C
0
D e nition Fonction inv Arr Iso C A B Arr Iso C B A
0 0
La fonction inv qui asso cie a toute eche de Iso C de A vers B une eche de
0
Iso C deB vers A est d e nie inductivement sur la structure des eches de Iso C
0 0
de la fa con suivante
inv id id
A A
inv g f inv f inv g
inv iso f g f g
1 1 2 2 A B C
iso f g f g inv inv inv
2 2 1 1 A B C
On v eri e sans di cult e que p our toute eche f Arr Iso C A B on a bien
0
inv f Arr Iso C B A
0
inv f f id Arr TERME C A A
A 0
f inv f id Arr TERME C B B
B 0
Nous p ouvons maintenant d e nir la relation d equivalence sur les ob jets de
TERME C
0
D e nition Relation d equivalence sur les ob jets de TERME C
0
Deux ob jets A et B de TERME C sont equivalents si et seulement si il existe un
0
isomorphisme de A vers B dans Iso C
0
Notation Si A et B sont equivalents on note A B ou p our pr eciser l isomor
phisme de A vers B A B Intuitivement on p eut consid erer la eche
A B comme la preuve que A B
Lemme La relation est une relation d equivalence sur Ob j TERME C 0
CHAPITRE SYNTAXE CATEGORIE DES TERMES
Preuve La relation est
r e exive car id A A
A
sym etrique car A B inv B A
transitive car A B B C A C
1 2 2 1
2
Soit un ob jet A de TERME C On note A la classe d equivalence de A mo dulo
0
Autrement dit
A fB Ob j TERME C A B g
0
Achaque preuvedeA B est asso ci e un isomorphisme Arr TERME C A B
0
La prop osition suivante indique que l isomorphisme ne d epend pas de cette preuve
Prop osition Si A B et A B alors
1 2
Arr TERME C A B
1 2 0
Esquisse de la preuve On d e nit un syst eme de r e ecriture sur les eches de Iso C
0
de la fa con suivante Les pr emisses qui assurent que tous les termes sont bien form es
sont p our faciliter la lecture omis
Axiomes
3 2 1 3 2 1
id
A
id
A
iso f g f g iso f g f g
2 2 3 3 A B C 1 1 2 2 A B C
iso f g f g
1 1 3 3 A A B B C C
R egles de contexte
0 0 0 0
0 0 0
A B C
A B C
0 0 0
iso f g f g iso f g f g
1 1 2 2 A B C 1 1 2 2
A B C
On montre alors successivement les p oints suivants
ࣿ 0 0
Si A B et alors Arr Iso C A B
0
ࣿ 0
Le syst eme de r e ecriture est coh erent Si A B et alors
0
Arr TERME C A B 0
CATEGORIE LIBRE L C
0
Le syst eme de r e ecriture est con uent
Le syst eme de r e ecriture termine
D apr es et toute eche de Arr Iso C A B a donc une forme normale
0
not ee V D apr es on a V Arr TERME C A B
0
On montre par induction sur la structure de A et B que
A B A B V V
1 2 1 2
On d eduit imm ediatementde et que
A B A B Arr TERME C A B
1 2 1 2 0
2
Remarque Si A B l isomorphisme corresp ond a une preuve que
A B et V corresp ond a la normalisation de cette preuve
Notation Si A B la eche A B de Iso C est not ee hA B i A B
0
Cette notation est justi ee par la prop osition
A partir de cette relation d equivalence sur les ob jets de TERME C nous
0
d e nissons une relation d equivalence sur les eches de TERME C
0
D e nition Relation d equivalence sur les eches de TERME C
0
0 0 0
Soit deux eches f Arr TERME C A B etf Arr TERME C A B Les
0 0
0
eches f et f sont equivalentes si et seulementsi
0 0 0 0 0 0
A A B B et f hA A i hB B i f Arr TERME C A B
0
0
On note f f
Lemme
La relation sur les eches de TERME C est une relation d equivalence
0
Preuve La relation est
r e exive car hA Ai id Arr TERME C A A
A 0
sym etrique car inv hA B i hB Ai Arr TERME C B A
0
transitive car hB C i hA B i hA C i Arr TERME C A C
0
2
Soit f Arr TERME C A B On note f la classe d equivalence de f mo dulo
0
Autrement dit
0 0 0 0
f ff Arr TERME C A B f f g
0
0
Lemme f f Arr TERME C A B
0
0 0
f f Arr TERME C A B f f 0
CHAPITRE SYNTAXE CATEGORIE DES TERMES
0
Preuve On a f hA Ai hB Bi f Arr TERME C A B car
0
hA Ai id Arr TERME C A A
A 0
hB Bi id Arr TERME C B B
B 0
2
Nous d e nissons maintenant la cat egorie L C Intuitivement L C a p our
0 0
ob jets les classes d equivalence mo dulo d ob jets de TERME C et p our eches
0
les classes d equivalence mo dulo de eches de TERME C
0
D e nition Cat egorie L C
0
Objets Soit un ob jet A de TERME C Alors A est un ob jet de L C
0 0
Fl eches Soit f Arr TERME C A B Alors f A B est une
0
eche de L C
0
Cette d e nition est correcte car si
0 0 0 0
f Arr TERME C A B f Arr TERME C A B et f f
0 0
0 0
alors on a A A et B B
Composition Soit f Arr TERME C A B etg Arr TERME C C D
0 0
avec B C On p ose g f g hB C i f
Cette d e nition est ind ependante des repr esentants f et g choisis En e et
0 0 0 0 0 0
soit f Arr TERME C A B et g Arr TERME C C D tels que
0 0
0 0 0
f f et g g On a les egalit es suivantes dans Arr TERME C A D
0
0
hD D i g hB C i f
0 0 0
g hC C i hB C i f car g g
0 0 0 0
g hB C i f car hC C i hB C i hB C i
0 0 0 0 0 0 0 0
g hB C i hB B i f car hB C i hB B i hB C i
0 0 0 0 0 0
g hB C i f hA A i car f f
0 0 0 0
Par cons equent g hB C i f g hB C i f et donc
0 0 0 0
g hB C i f g hB C i f
La comp osition est evidemment asso ciative
Identit es Soit A un ob jet de L C Alors id A A est une
0 A
eche identit e
Remarque Si A B alors id hA B i Par cons equent les eches hA B i
A
de Iso C corresp ondent a des identit es hA B i id id dans L C
0 A B 0
CATEGORIE LIBRE L C
0
On a un pr efoncteur TERME C L C d e ni de la fa con suivante
0 0
TERME C L C
0 0
A A
f f
C est bien un pr efoncteur d apr es le lemme Ce pr efoncteur est asso ci e a un
foncteur Terme C L C d e ni par
0 0
Terme C L C
0 0
A A
f f
Prop osition La cat egorie L C est une extension conservatrice de C Autre
0 0
ment dit le foncteur J C L C est plein et d ele
0 0
Preuve On utilise le fait que le foncteur J C Terme C est plein et d ele
0 0
th eor eme On remarque egalement que la classe d equivalence d un ob jet de C
0
ne contient que cet ob jet Autrement dit p our tout ob jet A de C J A fJ A g
0
En e et dans la d e nition on n introduit pas d equivalence entre ob jets de C
0
autres que les identit es
Le foncteur J est plein
Soit deux ob jets A et B de C et une eche h J A J B de L C Par
0 0
d e nition de il existe une eche g de TERME C telle que g h qui a
0
p our domaine J A et p our co domaine J B Comme le foncteur J est plein il
existe donc une eche f A B de C telle que J f g ce qui implique que
0
J f g h
Le foncteur J est d ele
Soit deux eches f g A B de C telles que J f J g
0
J f J g
J f J g
hJ B J B i J f J g hJ A J A i Arr TERME C A B
0
J f J g Arr TERME C A B
0
f g car J est d ele
2
Th eor eme La cat egorie L C est niment cocompl ete Plus pr ecis ement
0
l objet est un objet initial choisi dans L C
0
si A B et C sont des objets de L C f A B et g
0
A C sont des eches de L C alors le triplet
0
push A B C f g A B C f g A B C f g
1 2
est un choix de somme amalgam ee de B et C par rapport a f et g
dans L C 0
CHAPITRE SYNTAXE CATEGORIE DES TERMES
On v eri e facilement que le choix de somme amalgam ee ne d epend pas des repr e
sentants A B C f et g resp ectivement choisis p our A B C f et g
Le triplet
push A B C f g A B C f g A B C f g
1 2
est donc bien une somme amalgam ee choisie
On montre en n que la cat egorie L C est libre
0
Th eor eme L C est une extension libre La cat egorie L C est librement
0 0
engendr ee par objet initial choisi et sommes amalgam ees choisies Autrement dit
Soit E une cat egorie avec un objet initial choisi et des sommes amalgam ees choisies
Soit F C E un foncteur Alors il existe un unique foncteur
0
H L C E
0
qui conserve fortement l objet initial choisi les sommes amalgam ees choisies et tel
que
H J F
Esquisse de la preuve On consid ere le foncteur G Terme C E asso ci e au
0
pr efoncteur G TERME C E du th eor eme
0
Existence On montre que
0 0
A A G A G A etG id
GघAङ
0
par induction sur la longueur de la preuve que A A On en d eduit que
0 0
f f G f G f
Par cons equent il existe un unique foncteur H L C E tel que H G
0
On a donc H J G J F
On v eri e que le foncteur H conserve fortement l ob jet initial choisi et les sommes
amalgam ees choisies
0
Unicit e Soit H L C E un foncteur qui conserve fortement l ob jet initial
0
choisi les sommes amalgam ees choisies et tel que
0
H J F
0
D apr es le th eor eme on a donc H H Comme est surjectif
0
sur les eches et les ob jets on en d eduit que H H 2
CONCLUSION
Conclusion
Nous avons prop os e la construction d une pr ecat egorie TERME C a ob jet pr e
0
initial choisi et pr e sommes amalgam ees choisies p our d ecrire des constructions de
colimites sur une p etite cat egorie de base C Cette pr ecat egorie de termes constitue
0
une syntaxe p our les constructions mo dulaires
Nous avons montr e que TERME C est une extension conservatrice de C th eo
0 0
r eme c est a dire que le pr efoncteur d inclusion J de C dans TERME C est
0 0
plein et d ele Cela signi e d une part que TERME C ne contient pas de eches
0
entre des ob jets de C autres que celles contenues dans C et d autre part que
0 0
TERME C necontient pas d egalit es entre eches de C autres que celles qui pro
0 0
viennentdeC
0
Nous avons montr e que la pr ecat egorie TERME C est librement engendr ee par
0
ob jet pr e initial choisi et pr e sommes amalgam ees choisies th eor eme
En passant au quotient on obtient une cat egorie niment co compl ete Terme C
0
qui est egalement une extension conservatrice de C th eor emes et
0
En n nous avons montr e comment construire a partir de TERME C une
0
cat egorie L C librement engendr ee par ob jet initial choisi et sommes amalgam ees
0
choisies sur C th eor eme 0
CHAPITRE SYNTAXE CATEGORIE DES TERMES
Chapitre
S emantique des termes aux
diagrammes
Le but de ce chapitre est d asso cier a toute sp eci cation mo dulaire un diagramme
et a tout morphisme de sp eci cations mo dulaires un morphisme de diagrammes On
app elle C la cat egorie des sp eci cations et morphismes de sp eci cations de base et
0
on d ecrit cette asso ciation par un pr efoncteur
D TERME C DIAGR C
0 0
Intuitivement etant donn e un ob jet A de TERME C qui repr esente une sp eci
0
cation mo dulaire D A est un diagramme dont la colimite est isomorphe a cette
sp eci cation Le foncteur D d ecrit une interpr etation des termes par des diagram
mes il s agit donc d une s emantique p our les sp eci cations alg ebriques mo dulaires
par opp osition aux termes qui constituentlasyntaxe
Apr es avoir d e ni le pr efoncteur D TERME C DIAGR C nous d etaillons
0 0
0
A et A les calculs de diagrammes asso ci es aux sp eci cations mo dulaires A A
3 4 2
2
des anneaux pr esent ees dans le chapitre
Dans la derni ere partie nous montrons que les pr ecat egories TERME C et
0
DIAGR C sont equivalentes ce qui implique par passage au quotient que les ca
0
t egories asso ci ees Terme C et diagr C sont equivalentes Intuitivement cela si
0 0
gni e que ces deux cat egories ont la m eme structure aux isomorphismes entre
ob jets pr es Nous en d eduisons que deux ob jets de Terme C sont isomorphes si et
0
seulement si leurs diagrammes asso ci es sont isomorphes dans la cat egorie diagr C
0
En n nous montrons que le calcul de diagrammes est correct c est a dire qu une
sp eci cation est isomorphe a la colimite du diagramme qui la repr esente
S emantique
Pr ecat egorie DIAGR C
0
Dans tout ce chapitre C est une p etite cat egorie Rapp elons que la cat egorie
0
DIAGR C p eut etre consid er ee comme une pr ecat egorie de la fa con suivante cf
0
chapitre page
CHAPITRE SEMANTIQUE DES TERMES AUX DIAGRAMMES
l identit e syntaxique dans la pr ecat egorie DIAGR C est l egalit e dans la ca
0
t egorie DIAGR C
0
l equivalence dans la pr ecat egorie DIAGR C est d e nie par la congruence
0
sur les eches de la cat egorie DIAGR C
0
Par cons equent la cat egorie asso ci ee alapr ecat egorie DIAGR C est diagr C
0 0
La pr ecat egorie DIAGR C est niment pr e cocompl ete Plus pr ecis ement la
0
pr ecat egorie DIAGR C a un ob jet pr e initial choisi et des pr e sommes amalgam ees
0
choisies
Ob jet pr e initial
Rapp elons que le diagramme vide not e est le diagramme dont le graphe sous
jacent ne contient aucun n ud et aucun arc
Lemme Le diagramme vide est pr e initial dans la pr ecat egorie DIAGR C
0
Autrement dit
pour tout diagramme de DIAGR C il existe une eche
0
j
dans DIAGR C
0
pour toute eche on a j
Remarquons qu en r ealit e le diagramme vide est initial dans DIAGR C En e et
0
onaj p our toute eche
Pr e sommes amalgam ees
Soit trois diagrammes et et deux morphismes de diagrammes et
de DIAGR C On consid ere le diagramme de somme amalgam ee
0
ऄ ऄ
DIAGR C
0
o u
a
b
Ce diagramme sera not e
Push Diagr
2
ऄ
Le diagramme est un ob jet de DIAGR C construit sur le graphe 0
SEMANTIQUE
उ आ
उ आ
ࣿ ࣿ
ࣾ ࣽ ࣾ ࣽ
I
ऍ ऊ
a
b
ऌ ऋ
ࣿ
ࣾ ࣽ
ऄ
graphe
ई इ
ई इ
diagramme Push Diagr
En aplatissant le diagramme on obtient un diagramme de DIAGR C cf
0
d e nition page
Apl
C
0
On a egalement deux eches J et J dans DIAGR C cf
1 2 0
d e nition page qui seront not ees
J J
1 1
J J
2 2
Lemme Le triplet
Apl Push Diagr J J
1 2
C
0
est une pr e somme amalgam ee de et par rapport aux eches et Cela signi e
qu on a les propri et es suivantes
J J
1 2
Soit un diagramme et deux eches
K
1
K
2
de DIAGR C tel les que
0
K K
1 2
Alors
a en posant Apl Push Diagr il existe une eche
C
0
U K K
1 2
de DIAGR C tel le que
0
U K K J K
1 2 1 1
U K K J K
1 2 2 2
b pour toute eche U de DIAGR C tel le que
0
U J K
1 1
U J K
2 2
on a
U K K U
1 2
CHAPITRE SEMANTIQUE DES TERMES AUX DIAGRAMMES
Preuve
Il s agit d une reformulation du lemme page
Il s agit d une reformulation du lemme page Remarquons que la
preuve de ce lemme est constructive c est a dire construit explicitement un
choix de eche
U K K
1 2
2
Pr efoncteur D TERME C DIAGR C
0 0
Rapp elons qu on a un pr efoncteur I C DIAGR C D apr es les lemmes
C 0 0
0
et on p eut appliquer le th eor eme page Il existe donc un unique pr e
foncteur
D TERME C DIAGR C
0 0
tel que
A Ob j C D A I A
0 C
0
D
D push A B C f g
Apl Push Diagr D A D B D C D f D g
C
0
f Arr C A B D f I f
0 C
0
D g f D g D f
id D id
A
D घAङ
D j j
A D घAङ
D A B C f g J D A D B D C D f D g
1 1
D A B C f g J D A D B D C D f D g
2 2
D up A B C D f g f g
U D A D B D C D D D f D g D f D g
Ces r egles donnent une pro c edure de calcul du diagramme ou morphisme de dia
grammes asso ci e a un terme Remarquons que nous avons remplac e la condition
D J I du th eor eme par les p oints et qui sont evidemment equivalents
C
0
En n au pr efoncteur D TERME C DIAGR C est evidemment asso ci e a
0 0
un foncteur
D Terme C diagr C
0 0
EXEMPLE DES ANNEAUX
Exemple des anneaux
Dans cette section nous calculons les diagrammes asso ci es aux sp eci cations
mo dulaires des anneaux A A A et A pr esent ees dans le chapitre Pour
2 3 4
2
chaque sp eci cation mo dulaire A nous calculons donc D A en utilisant les r egles
de calcul du pr efoncteur
D TERME C DIAGR C
0 0
d ecrites dans le paragraphe
Diagramme asso ci e a la sp eci cation A
2
Dans le chapitre nous avons d e ni une sp eci cation mo dulaire des anneaux A
2
de la fa con suivante cf page Nous commen cons par construire une sp eci ca
tion MD en combinantlasp eci cation M des mono des avec la sp eci cation D qui
contient deux op erateurs distributifs et en partageantlasp eci cation de l op erateur
binaire multiplicatif Puis on obtient une sp eci cation des anneaux en combinant
MD avec la sp eci cation G des group es et en partageant l op erateur additif
MD push B M D b m
A push B MD G MD m m b
2 2 +
Nous calculons d ab ord le diagramme asso ci e a MD
D MD D push B M D b m
Apl Push Diagr D B D M D D D b D m
C
0
ऄ
D B I B
B
C
0
अ
ऄ
D M I M
M
C
0
अ
ऄ
D D I D
D
C
0
अ
ऄ ऄ
b
D b I b
B M
C
0
अ अ
ऄ ऄ
m
ࣿ
D m I m
B D
C
0
अ अ
उ आ उ आ
उ आ
ऄ
M M
अ
ऄ
b b
D MD Apl
B B
C
0
अ
m m
A
ࣿ ࣿ
A
ऄ
AU
A
AU
D D
अ
ई इ
ई इ ई इ
Nous calculons maintenant le diagramme asso ci e a A
2
D A D push B MD G MD m m b
2 2 +
Apl Push Diagr D B D MD D G D MD m D m b
2 +
C 0
CHAPITRE SEMANTIQUE DES TERMES AUX DIAGRAMMES
ऄ
D G I G
G
C
0
अ
D & MD m D & MD D m
2 + 2 +
D & MD J D B D M D D D b D m
2 2
उ आ
M
b
B
m
ࣿ
A
ऄ
AU
id
D
D D
अ
ई इ
ऄ ऄ
m
+
D m
B D
+
अ अ
उ आ
M
b
D & MD m
B
2 +
m
ࣿ
A
ऄ
AU
m
+
B D
अ
ई इ
ऄ ऄ
m b
D m b
B G
अ अ
उ आ
उ आ
उ आ
M
उ आ
b
M
B
m
ࣿ
b
A
AU
B
D
m
ࣿ
A
AU
ई इ
D A Apl
D
2 2
m
C
0
+
m
+
ऄ
B
B
अ
m b
A
AU
G
m b
ई इ
ऄ
R
G
अ
ई इ
ई इ
que nous Finalement le diagramme asso ci e alasp eci cation A est le diagramme
2 2
avions donn e page
EXEMPLE DES ANNEAUX
Diagramme asso ci e a la sp eci cation A
2
Nous calculons maintenant le diagramme asso ci e a la sp eci cation A des an
2
neaux La sp eci cation A a et e construite en commen cant par combiner les sp eci
2
cations D et G puis en a joutant M cf page
DG push B D G m m b
+
A push B M DG b DG m
1
2
D DG Apl Push Diagr D B D D D G D m D m D b
+
C
0
उ आ उ आ
उ आ
ऄ
D D
अ
m m
+ +
ऄ
Apl
B B
C
0
अ
A
m b m b
A
ऄ
AU
A
AU
G G
अ
ई इ
ई इ ई इ
D DG m D DG D m
1 1
J D B D D D G D m D m D b D m
1 +
उ आ
ऄ
m
ࣿ
D B
अ
m
+
B
m b
A
AU
G
ई इ
Apl Push Diagr D B D M D DG D DG D m D A
1
C
2
0
उ आ
उ आ
ऄ
M
अ
उ आ
b
M
ऄ
b
B
अ
B
m
ࣿ
A
AU
m
ࣿ
उ आ
Apl
D
2
C
0
R
m
+
D
B
m
+
m b
A
AU
B
G
m b
A
ई इ
AU
G
ई इ
ई इ
ई इ
Le diagramme asso ci e a la sp eci cation A est donc comme p our la sp eci cation
2
A le diagramme
2 2
CHAPITRE SEMANTIQUE DES TERMES AUX DIAGRAMMES
Diagramme asso ci e a la sp eci cation A
3
Pour la sp eci cation A des anneaux nous avons utilis e deux sp eci cations in
3
term ediaires la sp eci cation B qui regroup e deux op erateurs binaires et la sp eci
2
cation P des pseudo anneaux cf page Rapp elons qu un pseudo anneau est
un anneau sans la propri et e de distributivit eentre les deux op erateurs
B push B B j j
2
B B
u up B B D j j m m B D
2 + 2
B B
P push S M G b s m b s
u up B B P j j P b P m b B P
1 1 2 2
B B
A push B P D u u
3 2 1 2
Commen cons par calculer le diagramme asso ci e alasp eci cation B
2
D B Apl Push Diagr D D B D B D j D j
2
C B B
0
D
ऄ
D B
B
अ
ऄ
D j
B
B
अ
उ आ
उ आ उ आ
ऄ
B
B
अ
D B Apl
2
C
0
ऄ
B
B
अ
ई इ ई इ
ई इ
Calculons le morphisme de diagrammes asso ci e au morphisme de sp eci cations u
2
B D
2
D u D up B B D j j m m
2 +
B B
U D D B D B D D D j D j D m D m
+
B B
ऄ
D D
D
अ
ऄ ऄ
m
ࣿ
D m
B D
अ अ
ऄ ऄ
m
+
D m
B D
+
अ अ
उ आ
B
H
m
ࣿ
H
H
ऄ
H
Hj
D u
D
2
अ
m
+
B
ई इ
Calculons le diagramme asso ci e alasp eci cation P des pseudo anneaux
EXEMPLE DES ANNEAUX
उ आ
उ आ
उ आ
ऄ
M M
अ
b s b s
ऄ
D P Apl cf page
S S
C
0
अ
A
A
A
A
m b s m b s
A
A
A
ऄ
A
AU
AU
G G
अ
ई इ
ई इ
ई इ
Pour calculer le morphisme de diagrammes asso ci e au morphisme de sp eci cations
u B P nous devons d ab ord calculer D & P b et D & P m b
1 2 1 2
D & P J D S D M D G D b s D m b s
1 1
उ आ
ऄ
M M
अ
id
M
b s
S
A
A
m b s
A
A
AU
G
ई इ
उ आ
ऄ
M B
अ
b
b s
D & P b
S
1
A
A
m b s
A
A
AU
G
ई इ
D & P m b J D S D M D G D b s D m b s D m D b
2 2
उ आ
M
b s
S
A
A
m b s
A
ऄ
A
AU
m b
B G
अ
ई इ
CHAPITRE SEMANTIQUE DES TERMES AUX DIAGRAMMES
Nous calculons maintenant le morphisme de diagrammes asso ci e a u B P
1 2
D u D up B B P j j P b P m b
1 1 2
B B
U D D B D B D P
D j D j D P b D P m b
1 2
B B
उ आ
M
उ आ
b
b s
B
S
A
A
m b s
B X
X
X
A
X
ई इ
X
X
X
m b
A
AU
X
X
Xz
G
ई इ
Nous calculons en n le diagramme asso ci e alasp eci cation A
3
D A D push B P D u u
3 2 1 2
Apl Push Diagr D B D P D D D u D u
2 1 2
C
0
उ आ
उ आ
उ आ
ऄ
m
ࣿ
B D
H
उ आ
अ
H
H
H
M
H
m
+
b
H
H
b
उ आ
H
H
b s
Hj
M B
B
m
ࣿ
A
ई इ
AU
D S
Apl
b s
C
0
m
+
B
m b
m b s
S
m b
A
AU
A
R
G
A
m b s
ई इ
A
A
R AU
3
G
ई इ
ई इ
ई इ
Le diagramme asso ci e alasp eci cation A est donc le diagramme donn e page
3 3
Diagramme asso ci e a la sp eci cation A
4
Rapp elons la d e nition de la sp eci cation A des anneaux Cette sp eci cation
4
utilise la sp eci cation B que nous avons d ej a vue dans le paragraphe pr ec edent
2
ainsi qu une autre sp eci cation P des pseudo anneaux
B push B B j j
2
B B
u up B B D j j m m B D
2 + 2
B B
EXEMPLE DES ANNEAUX
Q push S B B s s
1
Q push B M Q b Q
2 1 1 1
P push B Q G Q Q m b
2 2 2 2 1
u up B B P j j P Q Q
3 1 2 2 1 1
B B
P Q Q B P
1 2 2 2 1 2
A push B P D u u
4 2 3 2
Nous avons vu dans le paragraphe pr ec edent le diagramme asso ci e a la sp eci
cation B ainsi que le morphisme de diagrammes asso ci e au morphisme de sp eci
2
cations u B D
2 2
उ आ उ आ
B B
H
m
ࣿ
H
H
ऄ
H
Hj
D u D B
D
2 2
अ
m
+
B B
ई इ ई इ
Calculons maintenant les diagrammes asso ci es aux sp eci cations Q Q et P
1 2
उ आ उ आ
उ आ
ऄ
B B
अ
s s
ऄ
D Q Apl
S S
1
C
0
अ
s s
A
A
ऄ
AU
A
AU
B B
अ
ई इ
ई इ ई इ
उ आ
उ आ
ऄ
M
अ
उ आ
b
M
ऄ
b
B B
अ
id
B
A
AU
id
B
B
उ आ
D Q Apl
2
C
0
s
R
S B
s
A
s
AU
B S
s
ई इ
A
AU
B
ई इ
ई इ
ई इ
CHAPITRE SEMANTIQUE DES TERMES AUX DIAGRAMMES
उ आ
उ आ
उ आ
M
उ आ
b
M
B
id
B
b
A
AU
B
B
id
B
A
AU
s
B
S
s
s
A
AU
D P Apl
S
C
0
B
s
A
ई इ
AU
B
id
B
id
B
ऄ
B
B
अ
m b
A
AU
G
m b
ई इ
ऄ
R
G
अ
ई इ
ई इ
Si un diagramme contient un arc a n n etiquet e par la eche identit e
c est a dire tel que n n et a id alors on obtient un diagramme
घnङ
isomorphe en en fusionnant les n uds n et n et en supprimant l arc a n n Ce
r esultat sera d emontr e dans le chapitre Dans notre exemple le diagramme D P
est donc isomorphe au diagramme ci dessous
उ आ
M
उ आ
b
M B
id
B
A
b
AU
B
B
s s
D P
S S
s s
A A
AU AU
B
B
m b
A
id
B
AU
G B
ई इ
m b
A
AU
G
ई इ
Revenons au calcul de D A Il reste a calculer le morphisme de diagrammes asso ci e
4
au morphisme de sp eci cations u B P
3 2
EXEMPLE DES ANNEAUX
उ आ
M
b
B
उ आ id
B
A
AU
id
B
B B
s
D u
S
3
s
A
AU
B B
id
B
ई इ
id
B
B
m b
A
AU
G
ई इ
On en d eduit en n le diagramme asso ci e alasp eci cation A
4
D A D push B P D u u
4 2 3 2
उ आ
उ आ
उ आ
उ आ
M M
b b
B B
id id
उ आ
B B
A A
AU AU
id id
B
B B
B B B
m
ࣿ
C A
s s
AU
C
Apl
C
0 S D S
C
s s
A A
m
+
C
AU AU
B B B
C
id id
B
B B
ई इ
C
A
id id
B B
C
A
m
m
+
ࣿ
B B
C
A
m b m b
A A
ऄ
C
A
AUCW AU AU
D G G
अ
ई इ
ई इ
ई इ
ई इ
En supprimant les quatre arcs etiquet es par des eches identit es on obtient un
isomorphe a D A diagramme
4 4
CHAPITRE SEMANTIQUE DES TERMES AUX DIAGRAMMES
उ आ
M
उ आ
b
M
B
b
id
B
A
B
AU
id
B
B
B
m
ࣿ
A
s
m
ࣿ
AU
A
s
AU
D S
D A
S D
4 4
s
A
m
+
s
AU
A
m
+
AU
B
B
m b
A
id
B
B
AU
id
B
G
B
ई इ
m b
A
AU
4
G
ई इ
Equivalence entre les cat egories Terme C et diagr C
0 0
Dans cette partie nous montrons que les cat egories Terme C et diagr C sont
0 0
equivalentes Pour cela nous montrons en fait que les pr ecat egories TERME C et
0
DIAGR C sont equivalentes
0
Equivalence entre cat egories equivalence entre pr ecat egories
Nous commen cons par d e nir la notion de transformation naturelle entre pr e
foncteurs
D e nition Transformation naturelle entre deux pr efoncteurs Soit deux pr e
0 0
cat egories C et C Soit deux pr efoncteurs F G C C Une transformation
naturelle de F vers G not ee F G est une application qui a tout ob
0
jet A de C asso cie une eche Arr C F A G A telle que p our toute eche
A
f Arr C A B
0
G f F f Arr C F A G B
A B
Par cons equent est une transformation naturelle entre les deux pr efoncteurs F et
G si et seulementsi est une transformation naturelle entre les foncteurs F et G
D e nition Isomorphisme naturel entre deux pr efoncteurs Une transforma
0
tion naturelle F G entre deux pr efoncteurs F G C C est un isomorphisme
0
naturel si et seulement si p our tout ob jet A de C Arr C F A G A est un
A isomorphisme
EQUIVALENCE ENTRE Terme C ET diagr C
0 0
Si F G est un isomorphisme naturel on dit que les pr efoncteurs F et G
sont naturellement isomorphes et on note F G On v eri e facilement que deux
pr efoncteurs sont naturellement isomorphes si et seulement si les foncteurs asso ci es
sont naturellement isomorphes
Rapp elons la d e nition d equivalence entre deux cat egories
D e nition Equivalence Deux cat egories C et C sont equivalentes si et seule
ment si il existe deux foncteurs F C C et G C C tels qu on ait deux
0
isomorphismes naturels G F Id et F G Id
C
C
On en d eduit une d e nition d equivalence entre deux pr ecat egories
D e nition Deux pr ecat egories C et C sont equivalentes si et seulement si il
existe deux pr efoncteurs F C C et G C C tels qu on ait deux isomorphismes
0
naturels G F Id et F G Id
C
C
Deux pr ecat egories sont equivalentes si et seulement si les cat egories asso ci ees sont
equivalentes
Equivalence entre les pr ecat egories DIAGR C et TERME C
0 0
Dans ce paragraphe nous montrons qu il existe une equivalence entre les pr e
cat egories DIAGR C et TERME C Intuitivement cela signi e que ces deux
0 0
pr ecat egories ont la m eme structure aux isomorphismes entre ob jets pr es
Nous commen cons par reformuler le th eor eme page en utilisant des pr e
cat egories
Th eor eme La pr ecat egorie DIAGR C est une compl etion de C par pr e coli
0 0
mites nies Autrement dit pour toute pr ecat egorie E niment pr e cocompl ete et
tout pr efoncteur F C E il existe un pr efoncteur
0
H DIAGR C E
0
unique a un isomorphisme naturel pr es qui conserve les pr e colimites nies tel que
H I F
C
0
Comme la pr ecat egorie TERME C est nimentpr e cocompl ete et comme on a un
0
pr efoncteur J C TERME C il existe un pr efoncteur
0 0
T DIAGR C TERME C
0 0
qui conserve les pr e colimites nies tel que
T I J
C 0
CHAPITRE SEMANTIQUE DES TERMES AUX DIAGRAMMES
D autre part nous avons vu au paragraphe que le pr efoncteur
D TERME C DIAGR C
conserve l ob jet pr e initial et les pr e sommes amalgam ees Le pr efoncteur D conserve
donc les pr e colimites nies De plus on a
D J I
C
0
Lemme On a les isomorphismes naturels suivants
I D T I
C C
0 0
T D J J
J et D J I 2 Preuve C est une cons equence imm ediate de T I
C C
0 0
Prop osition On a un isomorphisme naturel
D T Id
DIAGR C
0
Preuve D apr es le lemme on a D T I I De plus les pr efoncteurs
C C
0 0
D T DIAGR C DIAGR C et Id DIAGR C DIAGR C
0 0
DIAGR C
0
conservent les pr e colimites nies Par cons equent d apr es le th eor eme
D T Id
DIAGR C
0
2
Lemme Soit A B C Ob j TERME C f Arr TERME C A B et
g Arr TERME C A C Alors le triplet
T D push A B C f g
T D A B C f g
T D A B C f g
est une pr e somme amalgam ee de T D B et T D C par rapport aux eches
T D f et T D g
Preuve Comme les pr efoncteurs D et T conservent les pr e sommes amalgam ees
le pr efoncteur T D conserve egalement les pr e sommes amalgam ees 2
Prop osition On a un isomorphisme naturel
T D Id
TERME C 0
EQUIVALENCE ENTRE Terme C ET diagr C
Preuve Comme T D et Id sont des pr efoncteurs de la pr ecat egorie
TERME C
0
TERME C vers TERME C il faut donner p our tout ob jet U de TERME C
un isomorphisme
T D U U
U
dans TERME C On d e nit cet isomorphisme par induction sur la structure des
ob jets de TERME C et on v eri e qu il s agit bien d une transformation naturelle
par induction sur la structure des eches de TERME C
Soit un ob jet U de TERME C On d e nit par induction sur la structure
U
des ob jets de TERME C
R egle U J A o u A est un ob jet de C
D apr es le lemme T D J J Par cons equent il existe un isomor
phisme
T D U U
U
R egle U
T D T car T conserve l ob jet pr e initial Soit
T D
cet isomorphisme
R egle U push A B C f g
Par hypoth ese d induction on a trois isomorphismes
T D A A
A
T D B B
B
T D C C
C
tels que
f T D f
A B
g T D g
A C
D apr es le lemme le triplet
T D push A B C f g
T D A B C f g
T D A B C f g
est une pr e somme amalgam ee de T D B et T D C par rapp ort aux
eches T D f et T D g
D autre part le triplet
push A B C f g A B C f g A B C f g
est evidemment une pr e somme amalgam ee de B et C par rapp ort aux eches
f et g dans TERME C
CHAPITRE SEMANTIQUE DES TERMES AUX DIAGRAMMES
Par cons equent il existe un unique isomorphisme
T D push A B C f g push A B C f g
U
push A B C f g
tel que
T D A B C f g A B C f g
U B
T D A B C f g A B C f g
U C
On v eri e maintenant qu on d e nit bien une transformation naturelle
T D Id
TERME C
0
par induction sur la structure des eches de TERME C
R egle Soit f A B une eche de C Comme et sont les isomorphismes
A B
corresp ondant a l isomorphisme naturel T D J J on a donc
T D f f
B A
R egle Soit deux eches f A B et g B C de TERME C
T D g f
C
T D g T D f T D pr efoncteur
C
g T D f hypoth ese d induction sur g
B
g f hypoth ese d induction sur f
A
R egle T D id id
A A A A
R egle T D j j car ces deux eches ont p our domaine un
A
A A
ob jet pr e initial de TERME C
R egle Par d e nition de ona
push A B C f g
T D A B C f g A B C f g
B
push A B C f g
R egle Par d e nition de ona
push A B C f g
T D A B C f g A B C f g
C
push A B C f g
R egle Posons
A B C f g
A B C f g
up up A B C D f g f g
push push A B C f g
Il faut montrer que
T D up up
D push
EQUIVALENCE ENTRE Terme C ET diagr C
Pour cela il su t de montrer
T D up T D up T D
D
push
T D up T D up T D
D
push
T D up T D
D
T D up T D pr efoncteur
D
T D f d e nition de up
D
f hypoth ese d induction sur f
B
up d e nition de up
B
up T D r egle
push
On montre de la m eme fa con que
T D up T D up T D
D
push
2
Th eor eme Les pr ecat egories TERME C et DIAGR C sont equivalentes
Preuve Cons equence imm ediate des prop ositions et 2
Corollaire Les cat egories Terme C et diagr C sont equivalentes
La prop osition nous p ermet de montrer que deux ob jets de Terme C sont
isomorphes si et seulement si leurs diagrammes asso ci es sont isomorphes et deux
eches de Terme C sont egales si et seulement si leurs morphismes de diagrammes
asso ci es sont egaux dans diagr C
Th eor eme Consid erons le foncteur D Terme C diagr C
Soit A et B deux objets de Terme C Alors
A B D A D B
Soit f g A B deux eches de Terme C Alors
f g D f D g
Preuve Les deux implications de gauche a droite sont evidentes car D est un
foncteur Dans l autre sens d apr es la prop osition il existe un isomorphisme
naturel T D Id entre les foncteurs T D Terme C Terme C
Terme C
0
et Id Terme C Terme C
0 0
Terme C
0
Soit deux ob jets A et B de Terme C
D B D A
T D A T D B
A B T D Id
Terme C 0
CHAPITRE SEMANTIQUE DES TERMES AUX DIAGRAMMES
Soit deux eches f g A B de Terme C telles que D f D g dans
diagr C
D f D g
T D f T D g
T D f T D g
B B
f g T D Id
A A
Terme C
0
f g isomorphisme
A
2
Correction du calcul de diagrammes
La prop osition nous p ermet egalementded eduire que le calcul de diagrammes
d ecrit par le foncteur D Terme C diagr C est correct c est a dire que la
colimite d un diagramme asso ci e a une sp eci cation mo dulaire est isomorphe a cette
sp eci cation
Consid erons une cat egorie d interpr etation E a ob jet initial choisi et sommes
amalgam ees choisies par exemple la cat egorie des sp eci cations Sp ec Soit une
interpr etation de C c est a dire un foncteur
S C E
D apr es le th eor eme ce foncteur s etend aux diagrammes en un foncteur
S diagr C E
D
On a en fait S colim diagr S
D E
D apr es le th eor eme le foncteur S s etend egalement aux termes en un foncteur
S Terme C E
T
De plus comme S et S conservent les colimites d apr es le th eor eme on a
D T
S S T
D T
S T D et donc d apr es la prop osition Par cons equent S D
T D
S S D
T D
Ce r esultat exprime que la colimite d un diagramme asso ci e a une sp eci cation
mo dulaire est isomorphe a cette sp eci cation
CONCLUSION
Conclusion
Dans ce chapitre nous avons montr e comment asso cier a tout terme qui repr e
sente une sp eci cation mo dulaire un diagramme dont la colimite est isomorphe a
cette sp eci cation Cette asso ciation est d ecrite par le pr efoncteur
D TERME C DIAGR C
0 0
Le calcul d un diagramme asso ci e a un terme consiste simplement a appliquer les
r egles de calcul de D d e nies dans le paragraphe Une des r egles principales
est la r egle qui aplatit un diagramme de diagrammes c est a dire transforme un
2
ob jet de DIAGR C en un ob jet de DIAGR C
0 0
Nous avons montr e que les pr ecat egories TERME C etDIAGR C sont equi
0 0
valentes ce qui signi e qu elles ont essentiellement la m eme structure aux iso
morphismes entre ob jets pr es Il faut n eanmoins remarquer que TERME C et
0
DIAGR C ne sont pas isomorphes En fait p our qu elles soient isomorphes il
0
faudrait que ces deux pr ecat egories aient les m emes choix de pr e colimites ce qui
n est pas le cas Par exemple push A B C f g et push A C B g f sont deux
pr e sommes amalgam ees di erentes dans TERME C qui sontenvoy ees sur le m eme
0
diagramme dans DIAGR C 0
CHAPITRE SEMANTIQUE DES TERMES AUX DIAGRAMMES
Chapitre
Isomorphismes entre
diagrammes
Nous consid erons une cat egorie de base C et nous nous int eressons dans ce
0
chapitre a la d etection d isomorphismes entre deux diagrammes dans la cat egorie
diagr C Nous avons vu dans le chapitre que deux ob jets A et B de la cat egorie
0
Terme C sont isomorphes si et seulement si leurs diagrammes asso ci es D A et
0
D B sont isomorphes th eor eme page Une solution p our savoir si deux
termes A et B sont isomorphes consiste donc ad etecter un isomorphisme entre leurs
diagrammes asso ci es
En section nous d ecrivons des transformations de diagrammes qui sont
des fonctions sur l ensemble des diagrammes sur C Les transformations qui nous
0
int eressent particuli erement sont les transformations stables par isomorphisme c est
a dire telles que le diagramme r esultat est isomorphe au diagramme de d epart Ces
transformations nous serviront a calculer la compl etion d un diagramme
En section nous pr esentons un algorithme p our d etecter si deux diagrammes
sont isomorphes dans la cas particulier oulacat egorie C et nie et sans cycle Cet
0
algorithme consiste a compl eter puis a calculer la forme minimale du diagramme
Ensuite deux diagrammes sont isomorphes si et seulement si ils ontlam eme forme
minimale
En n en section nous montrons les di cult es rencontr ees lorsque la cat egorie
de base C comp orte des cycles ou est in nie
0
Transformations de diagrammes
Nous pr esentons quelques transformations de diagrammes la substitution par
objet isomorphe la suppression d un arc l ajout d un arc etiquet e et la contraction
d un arc identit e
D e nition Transformation de diagrammes Une transformation de diagram
mes est une fonction sur l ensemble des ob jets de diagr C
0
F diagr C diagr C
0 0
CHAPITRE ISOMORPHISMES ENTRE DIAGRAMMES
Les transformations int eressantes sont les transformations stables par isomor
phisme c est a dire qui pro duisent un diagramme isomorphe au diagramme de d e
part
D e nition Transformation stable par isomorphisme Une transformation de
diagrammes F diagr C diagr C est stable par isomorphisme si et seulement
0 0
si p our tout diagramme
F
Deux diagrammes et sur C sont isomorphes dans diagr C s il existe deux
0 0
eches et de DIAGR C telles que
0
id id
id id
Rapp elons qu une eche de DIAGR C est un couple cf d e nition
0
page
ऄ ऄ ऄ ऄ
ऄ ऄ ऄ ऄ
o u est un morphisme g en eralis e de graphes et est
une transformation naturelle g en eralis ee
Le morphisme g en eralis e de graphes
ऄ ऄ ऄ
ऄ ऄ ऄ
asso cie a tout n ud de un n ud de et a tout arc a m n de un
ऄ ऄ ऄ ऄ
zigzag a m n sur le graphe
ऄ
La transformation naturelle g en eralis ee asso cie a tout n ud
ऄ ऄ
n de une eche n n De plus la condition suivante doit
n
ऄ
etre satisfaite p our tout arc a m n de
ऄ
a a
m n
Substitution par ob jet isomorphe
ऄ
Soit un diagramme sur C un n ud n de et un ob jet B de C isomor
0 0 0
phe a n Intuitivement la substitution par objet isomorphe consiste a remplacer
0
l etiquette n du n ud n par l ob jet B On obtient alors un diagramme isomor
0 0
phe au diagramme de d epart
ऄ
D e nition Subst Obj Iso Soit un diagramme un n ud n de etunobjet
0
B de C isomorphe a n Soit n B l isomorphisme entre n et B Le
0 0 0 0
diagramme
Obj Iso n B Subst
0
est d e ni de la fa con suivante
ऄ ऄ ऄ
Graphe
TRANSFORMATIONS DE DIAGRAMMES
ऄ
Foncteur C
0
Action sur les n uds
ऄ
n N ud n n n n
0
n B
0
0 ऄ
Action sur les arcs Soit un arc a n n Arc
0
si n n et n n a a
0 0
0 1
si n n et n n a a
0 0
0
si n n et n n a a
0 0
0 1
si n n et n n a a
0 0
Prop osition La transformation Subst Obj Iso est stable par isomorphisme
ऄ
Preuve Soit un diagramme un n ud n de et un isomorphisme n B
0 0
de C Soit Subst Obj Iso n B On construit deux eches de DIAGR C
0 0 0
et telles que id id et
de la fa con suivante On d e nit
ऄ ऄ ऄ
Le morphisme g en eralis e de graphes est l identit e
ऄ
id
ऄ
ऄ
La transformation naturelle g en eralis ee est d e nie par
ऄ
n N ud tel que n n id
0 n
घnङ
n
0
Cela d e nit bien une transformation naturelle g en eralis ee car p our tout
0 ऄ
0
arc a n n Arc on a a a
n
n
de la fa con suivante On d e nit
ऄ ऄ ऄ
Le morphisme g en eralis e de graphes est l identit e
ऄ
id
ऄ
ऄ
La transformation naturelle g en eralis ee est d e nie par
ऄ
n N ud tel que n n id
0 n
घnङ
1
n
0
Cela d e nit bien une transformation naturelle g en eralis ee car p our tout
0 ऄ
0
arc a n n Arc on a a a
n
n
On v eri e que id
id On v eri e egalement que
Par cons equent dans la cat egorie diagr C En fait les diagrammes et
0
sont ici egalement isomorphes dans la cat egorie DIAGR C
0 2
CHAPITRE ISOMORPHISMES ENTRE DIAGRAMMES
ऄ
Exemple Consid erons le diagramme construit sur le graphe Soit
0
A A un isomorphisme de C Alors nous p ouvons consid erer le diagramme
0
0 0
Subst Obj Iso A
B B
1
a
f
f
0
A
A
J J J
1
g
J J J
g
b
J J J
C C
0 ऄ
diagramme diagramme graphe
0 ऄ
est comp os e du morphisme de graphes id et de L isomorphisme
ऄ
0 ऄ
la transformation naturelle g en eralis ee d e nie par
id id
0 1 B 2 C
B B
= id
1 B
1
f
f
=
0
0
A
A
J J
1
g
J J
g
J J
= id
2 C
C C
0
isomorphisme
Suppression d un arc
0
Soit un diagramme sur C Intuitivement supprimer l arc a n n du
0 0 0
0
ऄ
diagramme consiste a retirer l arc a du graphe et a conserver les m emes
0
etiquettes p our les arcs et les n uds restants
0 ऄ
D e nition Suppr Arc Soit un diagramme et un arc a n n Arc
0 0
0
Le diagramme
Suppr Arc a
0
est d e ni de la fa con suivante
ऄ ऄ
Le graphe est le graphe auquel on retire l arc a
0
ऄ ऄ
N ud N ud
ऄ ऄ
Arc Arc fa g 0
TRANSFORMATIONS DE DIAGRAMMES
ऄ ऄ ऄ
Le foncteur C est la restriction de C a
0 0
ऄ
n N ud n n
0 ऄ
a n n Arc a a
Dans le cas g en eral la transformation Suppr Arc n est evidemment pas stable par
isomorphisme
ऄ
Exemple Consid erons le diagramme construit sur le graphe
उ आ उ आ
a
f
- -
- -
g
b
A B
ई इ ई इ
ऄ
graphe diagramme
0
Posons Suppr Arc b
उ आ उ आ
a
f
- -
A B
ई इ ई इ
0ऄ 0
graphe diagramme
0
Dans le cas g en eral les diagrammes et ne sont pas isomorphes dans la cat egorie
diagr C
0
Par contre la suppression de certains arcs conduit a des diagrammes isomorphes
En particulier on p eut d une part supprimer les boucles identit es et d autre part l un
des arcs d un doublet
ऄ ऄ
Une boucle sur un graphe est un arc a n n de qui a le m eme n ud
p our source et but
ऄ ऄ
D e nition Boucle Soit un graphe Un arc a de est une boucle si et
seulement si Source a But a
ऄ
est une b oucle de etiquet ee par une Une boucle identit e sur un diagramme
eche identit e
sur C Une boucle identit e D e nition Boucle identit e Soit un diagramme
0
ऄ
sur est une b oucle a n n de telle que a id
घnङ
Prop osition Soit un diagramme et une boucle identit e a n n sur
0 0 0
Alors dans la cat egorie diagr C
0
Arc a Suppr
0
CHAPITRE ISOMORPHISMES ENTRE DIAGRAMMES
Preuve Consid erons un diagramme et une b oucle identit e a n n de
0 0 0
Soit Suppr Arc a On construit deux eches de DIAGR C et
0 0
telles que id et id
On d e nit de la fa con suivante
ऄ ऄ ऄ
Morphisme g en eralis e de graphes
ऄ ऄ
n N ud n n
ऄ ऄ
a Arc a a a a
0
ऄ
a zigzag nul de source et but n
0 n 0
0
ऄ
Transformation naturelle g en eralis ee
ऄ
n N ud id
n
घnङ
Cela d e nit bien une transformation naturelle g en eralis ee car a
0
id
घn ङ
0
On d e nit de la fa con suivante
ऄ ऄ ऄ
Morphisme g en eralis e de graphes
ऄ ऄ
n N ud n n
ऄ ऄ
a Arc a a
ऄ
Transformation naturelle g en eralis ee
ऄ
n N ud id
n
घnङ
id On a
On v eri e egalement que id
Par cons equent les diagrammes et sont isomorphes dans la cat egorie diagr C
0
2
Exemple Soit A un ob jet de C Consid erons le diagramme I A construit
0 C
0
ऄ ऄ
sur le graphe Rapp elons que le graphe contient un seul n ud app el e
ऄ ऄ
A
अ अ
ऄ
graphe diagramme I A
C
0
ऄ
Consid erons le graphe qui contient un n ud app el e et un arc b Etant
donn e un ob jet A et une eche f A A de C on note A f le diagramme
0
ऄ
construit sur le graphe qui asso cie au n ud l ob jet A et a l arc b la eche f
A id Nous consid erons ici le diagramme
A
उ आ उ आ
ः ऀ ः ऀ
id
b
A
? ?
A
ई इ ई इ
ऄ
A id graphe diagramme A
TRANSFORMATIONS DE DIAGRAMMES
Les diagrammes I A et A id sont isomorphes car
C A
0
I A Suppr Arc A id b
C A
0
A id et b est une b oucle identit e sur
A
Un doublet sur un diagramme est un couple d arcs qui ont tous les deux la
m eme source et le m eme but et etiquet es par la m eme eche de C
0
sur C Un doublet sur est un D e nition Doublet Soit un diagramme
0
couple d arcs a a tel que
0 1
Source a Source a But a But a et a a
0 1 0 1 0 1
Exemple
Soit deux ob jets A et B et une eche f A B de C Consid erons le
0
ऄ
construit sur le graphe d e ni par diagramme
1
A
B
a b f
B
a
f
A
J J
f
J J
b
J J
B
ऄ
diagramme graphe
1
bien que les arcs a et b soient Le couple a b n est pas un doublet sur
1
etiquet es par la m eme eche f de C car ces arcs n ont pas le m eme but
0
ऄ
Consid erons le diagramme construit sur le graphe
1
उ आ उ आ
a
f
f
b
A B
ई इ ई इ
ऄ
diagramme graphe
1
Le couple a b est un doublet de
1
Prop osition Soit un diagramme sur C et un doublet a a de Alors
0 0 1
dans la cat egorie diagr C
0
Suppr Arc a
0
CHAPITRE ISOMORPHISMES ENTRE DIAGRAMMES
Preuve Soit un diagramme et un doublet a a de Soit Suppr Arc a
0 1 0
On construit deux eches de DIAGR C et telles que id
0
et id
On d e nit de la fa con suivante
ऄ ऄ ऄ
Morphisme g en eralis e de graphes
ऄ ऄ
n N ud n n
ऄ ऄ
a Arc a a a a
0
ऄ
a a
0 1
ऄ
Transformation naturelle g en eralis ee
ऄ
n N ud id
n
घnङ
Cela d e nit bien une transformation naturelle g en eralis ee En e et on a
a a
0 1
On d e nit de la fa con suivante
ऄ ऄ ऄ
Morphisme g en eralis e de graphes
ऄ ऄ
n N ud n n
ऄ ऄ
a Arc a a
ऄ
Transformation naturelle g en eralis ee
ऄ
n N ud id
n
घnङ
id On a
On v eri e egalement que id
Par cons equent les diagrammes et sont isomorphes dans la cat egorie diagr C
0
2
Exemple Les diagrammes suivants sont isomorphes dans diagr C
0
उ आ उ आ
f
f
-
-
-
f
A B A B
ई इ ई इ
Ajout d un arc etiquet e
Etant donn e un diagramme l op eration d ajout d arc etiquet e consiste a a jouter
ऄ
un arc au diagramme sous jacent et a etiqueter cet arc par une eche de C
0
ऄ
D e nition Ajout Arc Soit un diagramme deux n uds n et n de et
0 1
une eche f n n de C L a jout d un arc de n vers n etiquet e par f
0 1 0 0 1
dans le diagramme est le diagramme
Ajout Arc n n f
0 1
d e ni de la fa con suivante
TRANSFORMATIONS DE DIAGRAMMES
ऄ ऄ
Le graphe est le graphe auquel on a joute un nouvel arc a n n
x 0 1
ऄ ऄ
N ud N ud
ऄ ऄ ऄ
Arc Arc fa g o u a Arc avec Source a n et
x x x 0
But a n
x 1
ऄ
Le foncteur C etend le foncteur en asso ciant a l arc a la eche f
0 x
Action sur les n uds
ऄ
n N ud n n
Action sur les arcs
ऄ
a Arc a a a a
x
a f
x
La transformation Ajout Arc n est evidemment pas stable par isomorphisme dans le
cas g en eral
Exemple Soit un ob jet A et une eche f A A dans C Dans le cas g en eral
0
les diagrammes I A et A f nesont pas isomorphes dans diagr C
C 0
0
उ आ
ः ऀ
ऄ
f
?
A
अ
A
ई इ
Prop osition Ajout de compositions Soit un diagramme sur C Soit deux
0
ऄ
arcs a n n et a n n de Alors dans la cat egorie diagr C
0 0 1 1 1 2 0
Ajout Arc n n a a
0 2 1 0
et deux arcs a n n et a n n de Preuve Soit un diagramme
0 0 1 1 1 2
ऄ
Posons Ajout Arc n n a a On construit deux eches de
0 2 1 0
et DIAGR C et telles que id id
0
On d e nit de la fa con suivante
ऄ ऄ ऄ
Morphisme g en eralis e de graphes
ऄ ऄ
n N ud n n
ऄ ऄ
a Arc a a
ऄ
Transformation naturelle g en eralis ee
ऄ
n N ud id
n
घnङ
de la fa con suivante On d e nit
ऄ ऄ ऄ
Morphisme g en eralis e de graphes
ऄ ऄ
n N ud n n
CHAPITRE ISOMORPHISMES ENTRE DIAGRAMMES
ऄ ऄ
a Arc a a a a
x
a a
0 1
ऄ
a n n n zigzag de longueur de
x 0 1 2
ऄ
Transformation naturelle g en eralis ee
ऄ
n N ud id
n
घnङ
Cela d e nit bien une transformation naturelle g en eralis ee En e et on a
a a a
x 1 0
On a id
On v eri e egalement que id
2
Exemple Consid erons le diagramme sur C Nous avons vu une premi ere
4 0
fois ce diagramme dans le chapitre page et une seconde fois dans le chapitre
un arc etiquet e par page Nous p ouvons a jouter trois arcs etiquet es dans
4
b s entre les n uds etiquet es par S et M un arc etiquet e par m s entre S et D
ࣿ
0
et un arc etiquet e par m b s entre S et G Nous obtenons ainsi un diagramme
Nous n avons pas a jout e d arc etiquet e par m s entre S et D car il existe d ej aun
+
arc etiquet e par m s entre ces deux n uds et dans la cat egorie C onal egalit e
ࣿ 0
m s m s
+ ࣿ
उ आ उ आ
M M
b b
B
b s
m m
ࣿ ࣿ
A A
B
s s
AU AU
m s
ࣿ
D D S S
Q
s s
A
m m
B
Q
+ +
AU
Qs
m b s
B
m b m b
A A
AU AU
R
G G
ई इ ई इ
0
4
Prop osition Ajout de factorisations a droite Soit un diagramme sur C
0
ऄ
Soit deux arcs a n n et a n n de Soit une eche h n n
1 1 0 2 2 0 1 2
de C tel le que a h a Alors dans la cat egorie diagr C
0 2 1 0
Ajout Arc n n h
1 2
Preuve La preuve est similaire a la preuve de la prop osition On p ose
a a
1 2
ऄ
a n n n
x 1 0 2
ऄ
Cela d e nit bien une transformation naturelle g en eralis ee En e et
a h a 2
2 1
TRANSFORMATIONS DE DIAGRAMMES
Exemple Consid erons le diagramme vu une premi ere fois dans le chapitre
3
0
page et revu dans le chapitre page Nous obtenons le diagramme a
3
partir du diagramme en a joutant deux factorisations a droite
3
उ आ उ आ
M M
b b
b s b s
B
m m
ࣿ ࣿ
A A
B
s
AU AU
S D S D
Q
s
m m
B
Q
+ +
B
Qs
m b s m b s
m b m b
A A
AU AU
R R
G G
ई इ ई इ
0
3
3
Contraction d un arc identit e
ऄ
Soit un diagramme Un arc identit e du diagramme est un arc de etiquet e
par une eche identit e
D e nition Arc identit e Soit un diagramme sur C Un arc a n n du
0 0 0 1
ऄ
graphe est un arc identit e si et seulementsi n n et a id
0 1 0
घn ङ
0
Intuitivement contracter un arc identit e a n n dans un diagramme
0 0 1
consiste a fusionner les n uds n et n et a supprimer l arc a
0 1 0
D e nition Contract Id Soit un diagramme et un arc identit e a n n
0 0 1
tel que les n uds n et n sont distincts Le diagramme de
0 1
Contract Id a
0
est d e ni de la fa con suivante
ऄ
Graphe
ऄ ऄ
N ud N ud fn g
1
ऄ ऄ
L ensemble Arc est d e ni a partir de l ensemble Arc delafa con
0 ऄ
suivante Soit un arc a n n de
0 0 ऄ
n n et n n a n n Arc
1 1
0 0 ऄ
n n et n n a n n Arc
1 1 0
0 ऄ
n n et n n et a a a n n Arc
1 1 0 0
0 ऄ
n n et n n a n n Arc
1 1 0 0
ऄ
Foncteur C 0
CHAPITRE ISOMORPHISMES ENTRE DIAGRAMMES
ऄ
n N ud n n
ऄ
a Arc a a
Nous avons supp os e que les n uds n et n sont distincts car si n n cela n a
0 1 0 1
pas de sens de fusionner ces deux n uds De plus si n n alors a est une boucle
0 1 0
Arc cf prop osition identit e qui p eut etre supprim ee par l op eration Suppr
Prop osition La transformation Contract Id est stable par isomorphisme
Preuve Soit un diagramme et un arc identit e a n n de tel que n n
0 0 1 0 1
Contract Id a On construit deux eches de DIAGR C Posons
0 0
et telles que id et id
de la fa con suivante On d e nit
ऄ ऄ ऄ
Morphisme g en eralis e de graphes
ऄ ऄ
n N ud n n n n
1
ऄ
n n
1 0
ऄ ऄ
a Arc a a a a
0
ऄ
a zigzag nul ayant p our source et but le n ud n de
0 n 0
0
ऄ
ऄ
Transformation naturelle g en eralis ee
ऄ
n N ud id
n
घnङ
Cela d e nit bien une transformation naturelle g en eralis ee car a
0
id
घn ङ
0
On d e nit de la fa con suivante
ऄ ऄ ऄ
Morphisme g en eralis e de graphes
ऄ ऄ
n N ud n n
ऄ ऄ
a Arc a a
ऄ
Transformation naturelle g en eralis ee
ऄ
n N ud id
n
घnङ
On a id
On v eri e egalement que id
2
TRANSFORMATIONS DE DIAGRAMMES
Exemple
0
0
Les diagrammes D P et cf chapitre page sont isomorphes dans
la cat egorie diagr C
0
उ आ
M
उ आ
b
M
B
id
B
A
b
AU
B
B
s
s
S
S
s
s
A
A
AU
AU
B
B
m b
A
id
B
AU
G
B
ई इ
m b
A
AU
0
G
ई इ
0
D P
Les diagrammes D A et cf chapitre page sont isomorphes dans
4 4
la cat egorie diagr C
0
उ आ
M
उ आ
b
B
M
id
B
A
b
AU
id
B
B
B
B
m
m
ࣿ
ࣿ
A
A
s
s
AU
AU
S D
D S
s
s
A
A
m
m
+
+
AU
AU
B
id
B
B B
m b
A
id
B
AU
B
G
ई इ
m b
A
AU
G
4
ई इ
D A
4
Les diagrammes suivants sont isomorphes dans la cat egorie diagr C
0
उ आ
उ आ
ः ऀ
f
f
id
A A
A
A
ई इ
ई इ
Cet exemple montre qu a partir d un diagramme dont le graphe sous jacent
n est pas cyclique la contraction d un arc identit e p eut pro duire un diagramme
dont le graphe sous jacent est cyclique
CHAPITRE ISOMORPHISMES ENTRE DIAGRAMMES
Cat egorie C nie et sans cycle
0
Dans cette partie nous nous int eressons alad etection d isomorphismes lorsque
la cat egorie C est nie et sans cycle Nous commen cons par d e nir un cycle dans
0
une cat egorie
D e nition Cycle Etant donn e une cat egorie C uncycle dans C est une eche
f A A ayant m eme domaine et co domaine A et telle que f id
A
Nous dirons qu une cat egorie C ne comporte pas de cycle si et seulement si p our
toute eche f A A de C f id
A
Hyp oth eses
Nous supp osons que la cat egorie de base C est nie et ne comp orte pas de
0
cycle Cette hypoth ese est compatible avec le langage de sp eci cation LPG puisque
d une part on ne p eut d eclarer qu un nombre ni de sp eci cations et morphismes de
sp eci cations et d autre part la d eclaration d un morphisme de sp eci cations ayant
la m eme sp eci cation p our domaine et co domaine est syntaxiquementinterdite
D autre part nous supp osons qu il n existe pas d isomorphisme entre objets dans
la cat egorie de base C Cette hypoth ese est justi ee par la transformation de sub
0
stitution par ob jet isomorphe prop osition En e et supp osons qu on a au
d epart une cat egorie X qui ne p oss ede pas cette propri et e Pour chaque classe
0
d isomophisme entre ob jets de X onchoisit un repr esentant On consid ere ensuite
0
la sous cat egorie pleine C de X ayant p our ob jets ces repr esentants La cat egorie
0 0
C satisfait alors la propri et e suivante
0
p our tout couple d ob jets A B deC A B A B
0
Tout diagramme sur X p eut etre transform e en un diagramme sur C en utilisant
0 0
la prop osition
Nous faisons egalement l hypoth ese qu on sait d etecter une egalit e entre deux
morphismes de sp eci cations de base c est a dire que l egalit e est d ecidable dans
C En n nous supp osons que toutes les factorisations a droite sont connues
0
Hyp oth eses
C est nie
0
C ne comp orte pas de cycle
0
B A B Pour tout couple d ob jets A B deC A
0
L egalit e sur C est d ecidable Soit deux eches f g A B de C On sait si
0 0
f g ou f g
Etant donn e deux eches On sait e ectuer des factorisations a droite dans C
0
f A B et g C B on conna t l ensemble des eches h A C telles
que f g h
CATEGORIE C FINIE ET SANS CYCLE
0
Remarque Les hypoth eses et sont distinctes En e et il existe des cat e
gories in nies qui ne comp ortent pas de cycle et il existe des cat egories nies qui
comp ortent des cycles
La combinaison des hypoth eses et est tr es forte comme le montre le lemme
suivant
Lemme Soit deux objets A et B ainsi que deux eches f A B et g B A
dans C Alors A B et f g id
0 A
Preuve D apr es l hypoth ese g f id et f g id d o u A B D apr es
A B
l hypoth ese on a donc A B On en d eduit que f et g sont des eches de A vers
A Par cons equent en utilisant de nouveau l hypoth ese on obtient f g id
A
2
Fonction de compl etion
Dans ce paragraphe nous d etaillons la fonction de compl etion d un diagramme
Compl eter un diagramme sur C consiste a contracter les arcs identit es supprimer
0
les b oucles identit es supprimer les doublets a jouter les comp ositions d arcs et les
factorisations a droite
Fonction Compl etion diagramme diagramme
diagramme
0
D ebut
R ep eter
0
Pour tout arc identit e a de
Contract Id a
Pour toute b oucle identit e a de
Suppr Arc a
Pour tout doublet a a de
0 1
Suppr Arc a
0
Pour tout couple d arcs a n n a n n de tel que
0 0 1 1 1 2
il n existe pas d arc a n n etiquet e par a a dans
0 2 1 0
Ajout Arc n n a a
0 2 1 0
tel que Pour tout couple d arcs a n n a n n de
1 1 0 2 2 0
il existe une eche h n n deC v eri ant a h a
1 2 0 2 1
il n existe pas d arc a n n etiquet e par h dans
1 2
CHAPITRE ISOMORPHISMES ENTRE DIAGRAMMES
Ajout Arc n n h
1 2
Jusqu a
0
R esultat
Fin Compl etion
Prop osition La fonction de compl etion s arr ete
Preuve On app elle it eration le fait d ex ecuter successivement les etapes a
D apr es la condition d arr et on e ectue une it eration tant que le diagramme a et e
mo di e par l it eration pr ec edente Chaque etape de l it eration termine les etapes
et parce qu elles suppriment un arc dans le graphe et les etapes et parce que la
cat egorie C est nie et qu on n a joute pas une nouvelle comp osition ou factorisation
0
a droite si l arc corresp ondant appartientd ej a au diagramme
On ne p eut e ectuer qu un nombre ni d it erations En e et seule la contraction
d un arc identit e etape p eut p ermettre ensuite d a jouter des nouvelles comp osi
tions d arcs ou des nouvelles factorisations a droite Comme la contraction supprime
un n ud dans le graphe et comme aucune transformation n a joute de n ud dans
le graphe on ne p eut e ectuer qu un nombre ni d it erations 2
Prop osition La compl etion est une transformation stable par isomorphisme
Pour tout diagramme sur C Compl etion dans diagr C
0 0
Preuve Toutes les transformations appliqu ees sur le diagramme par la fonction
de compl etion sont stables par isomorphisme d apr es les prop ositions
et 2
Exemple Consid erons les diagrammes et
1 3 4
उ आ
उ आउ आ
b
B M
M M
b b
B
m
ࣿ
b s b s
B
m m
ࣿ ࣿ
A A
R
m s
s
ࣿ
AU AU
D S
D D S S
s
A
m b s m m m
+ + +
AU
B
m b s
B
m b m b
A A
R
AU AU
R
G B
m b
G G
ई इई इई इ
1 3 4
CATEGORIE C FINIE ET SANS CYCLE
0
0
La compl etion de ces trois diagrammes pro duit le m eme diagramme
0
Compl etion Compl etion Compl etion
1 3 4
ऍ ऊ
M
b
b s
m
ࣿ
A
B
s
AU
m s
ࣿ
S D
Q
s
Q
B
m
+
Q
Qs
m b s
m b
A
AU
R
G
ऌ ऋ
0
Un diagramme est complet si celui ci est egal a sa compl etion
D e nition Diagramme complet Un diagramme sur C est complet si et
0
seulementsi Compl etion
Exemple Le diagramme est complet Compl etion
2 2 2
उ आ
M
b
B
m
ࣿ
A
AU
D
m
+
B
m b
A
AU
G
ई इ
2
Lemme Soit un diagramme complet sur C Alors il n existe aucune boucle
0
ऄ
dans le graphe
Preuve Supp osons par l absurde qu on a une b oucle c est a dire un arc a n n
ऄ
dans On a soit a id soit a id La supp osition a id est
घnङ घnङ घnङ
en contradiction avec l hypoth ese que est complet La supp osition a id est
घnङ
en contradiction avec l hypoth ese que C ne comp orte pas de cycle Par cons equent
0
ऄ
il n existe pas de b oucle dans le graphe 2
sur C Soit deux n uds n n et un Lemme Soit un diagramme complet
0 1 2
ऄ
arc a n n dans le graphe Alors il n existe aucun arc de n vers n dans
1 2 2 1
ऄ
CHAPITRE ISOMORPHISMES ENTRE DIAGRAMMES
0 ऄ
Preuve S il existe un arc a n n dans alors comme est complet il existe
2 1
0
un arc a n n etiquet e par la eche a a ce qui est imp ossible d apr es
1 1 1
le lemme 2
Zigzags el ementaires et liens
La compl etion d un diagramme p ermet d obtenir une forme un p eu plus cano
nique p our les diagrammes Cep endant deux diagrammes complets p euvent etre
isomorphes dans diagr C sans etre identiques Par exemple les diagrammes
0 2
0
sont complets et isomorphes mais ne sont pas identiques Pour d etecter cet et
isomorphisme nous devons introduire la notion de zigzag el ementaire
ऄ
D e nition Zigzag el ementaire Un zigzag el ementaire sur un graphe est
un zigzag de longueur de la forme
a a
0 1
m m m
0 1 2
tel que les arcs a et a sont distincts
0 1
Nous avons egalement b esoin d une relation d inclusion sur les zigzags Intuiti
0 0
vement le zigzag Z est inclus dans le zigzag Z si Z est un sous zigzag de Z
ऄ
D e nition Inclusion de zigzags Soit un graphe Consid erons deux zig
0 0 ऄ 0 0 0
avec Z zags Z et Z sur Posons Z k Z Z et Z k Z
N A
A N
Z n n n et Z a a a
N 0 1 A 0 1
k k 1
0 0 0 0 0 0 0 0
a a a et Z n n n Z
0 0
1 0 1 0
A N
k 1 k
0 0
On dit que le zigzag Z est inclus dans le zigzag Z et on note Z Z si et seulement
0
si il existe un entier j j k k tel que
0
i i k n n
i
i+j
0
i i k a a
i
i+j
0 0
Remarquons que si Z Z alors n ecessairement k k
Soit un diagramme complet Les zigzags el ementaires sur le diagramme sont
ऄ
les zigzags el ementaires sur le graphe Nous d e nissons maintenant une relation
d ordre sur les zigzags el ementaires d un diagramme complet
sur C On d e nit une relation D e nition Soit un diagramme complet
0
d ordre sur les zigzags el ementaires du diagramme complet de la fa con suivante
a a
0 1
Soit deux zigzags el ementaires Z et Z sur Posons Z m m m
1 2 1 0 1 2
0 0 0 0
On a Z Z si et seulement si il existe un zigzag Z k Z Z avec
1 2
N A
0 0 0 0
Z n n n tel que
0
0 1
N
k
0 0
m n et m n
0
0 2
0 k
CATEGORIE C FINIE ET SANS CYCLE
0
0
Z Z
2
0
a Z a
1 0
0 0
i i k m n
1
i
On a Z Z si et seulementsiZ Z ou Z Z
1 2 1 2 1 2
Dans le dessin ci dessous Z Z
1 2
0
m n
0
0
a
0
0
Z
2
n
1
A
AU
b
1
b
2
0 0
m
Z n
1
2
Q
b
3
Q
Q
Qs
0
n
3
a
1
A
AU
R
0
m n
2
4
z
Z
1
Remarque Supp osons Z Z
1 2
C est le zigzag Z qui para t le plus grand Nous avons choisi le sens Z Z
1 1 2
car intuitivement toute l information sur les partages contenue dans le zigzag
0
Z est contenue dans les zigzags el ementaires de Z
1
0 0
i f k gg l ensemble des eches qui corres Soit fc m n
i 1
i
0
p ondent a la connexion a a Z cf d e nition page
0 1
0
Alors comme le diagramme est complet p our tout entier i i k il
ऄ 0
dans tel que b c existe un arc b m n
i i i 1
i
Prop osition Soit un diagramme complet sur C Larelation sur les zigzags
0
el ementaires sur est une relation d ordre
Preuve On utilise la d e nition de ainsi que le lemme
R e exivit e La relation est r e exive par d e nition
Antisym etrie Soit deux zigzags el ementaires sur
a a
0 1
Z m m m
1 0 1 2
b b
0 1
Z n n n
2 0 1 2
Supp osons Z Z et Z Z Par l absurde si Z Z alors Z Z et
1 2 2 1 1 2 1 2
Z Z Par cons equent on a m n De plus il existe un arc a m n
2 1 1 1 1 1
0 ऄ
et un arc a n m dans Cela est imp ossible d apr es le lemme
1 1
CHAPITRE ISOMORPHISMES ENTRE DIAGRAMMES
Transitivit e Soit trois zigzags el ementaires Z Z et Z sur un diagramme complet
1 2 3
Supp osons Z ऊ Z et Z ऊ Z Si Z Z ou Z Z alors on a
1 2 2 3 1 2 2 3
evidemment Z ऊ Z Si Z Z et Z Z alors on v eri e que Z Z
1 3 1 2 2 3 1 3
2
0
Par exemple dans le diagramme
m
bs mbs b
ࣿ
M ऐ S ! G ऊ M ऐ B ! D
m
mb bs mbs
+
ऐ B ! G M ऐ S ! G ऊ D
bs m s b m
ࣿ ࣿ
M ऐ S ! D ऊ M ऐ B ! D
m
m s mbs mb
+
ࣿ
D ऐ S ! G ऊ D ऐ B ! G
ऍ ऊ
M
b
b s
m
ࣿ
A
B
s
AU
m s
ࣿ
S D
Q
s
Q
B
m
+
Q
Qs
m b s
m b
A
AU
R
G
ऌ ऋ
0
Comme la relation ऊ est une relation d ordre sur l ensemble ni des zigzags el e
mentaires de cet ensemble contient des el ements maximaux Intuitivement toute
l information sur les partages est contenue dans les zigzags el ementaires maximaux
D e nition Zigzag el ementaire maximal sur un diagramme complet
Soit un diagramme complet Un zigzag el ementaire maximal sur est un el ement
maximal p our la relation d ordre ऊ sur l ensemble des zigzags el ementaires de
Par exemple les zigzags el ementaires
m
b
ࣿ
M ऐ B ! D
m
mb
+
D ऐ B ! G
0
Par contre les zigzags el ementaires sont maximaux dans le diagramme
bs mbs
M ऐ S ! G
bs m s
ࣿ
M ऐ S ! D
m s
mbs
ࣿ
D ऐ S ! G
0
ne sont pas maximaux dans
CATEGORIE C FINIE ET SANS CYCLE
0
Nous avons encore b esoin de quelques d e nitions avant de donner un crit ere
d isomorphisme entre deux diagrammes Nous commen cons par d e nir un n ud
puits dans un graphe Un n ud puits est un n ud d o u ne part aucune eche
ऄ ऄ
D e nition N ud puits Soit un graphe Un n ud puits de est un
ऄ ऄ
n ud n N ud qui v eri e la condition suivante il n existe aucun arc a Arc
tel que Source a n
Un lien sur un diagramme complet est un zigzag el ementaire maximal entre deux
n uds puits
D e nition Lien sur un diagramme complet Soit un diagramme complet
sur C Un lien Z sur est un zigzag el ementaire maximal sur
0
a a
0 1
Z m m m
0 1 2
ऄ
tel que m et m sont des n uds puits de
0 2
est not e Liens L ensemble des liens d un diagramme
Prop osition L ensemble des liens d un diagramme complet est calculable
Preuve On calcule l ensemble des zigzags el ementaires de Cet ensemble est ni
Pour chaque zigzag el ementaire
a a
0 1
Z m m m
1 0 1 2
0
on calcule l ensemble des zigzags Z tels que
0
a Z a
1 0
0
Z est form e d une suite de zigzags el ementaires c est a dire est de la forme
0 0
0 0
a a
0 0 a a
k 2 k 1
0 1
0 0 0 0 0 0 0
Z n n n n n n
0 0 0
0 1 2
k 2 k 1 k
0
0
a
a
0
2i+1
2i
k
0 0
o u i f g n n n est un zigzag el ementaire
2i
2i+1 2i+2
2
0 0
i f k g m n
1
i
Le zigzag el ementaire Z est alors strictement plus p etit que chaque zigzag el emen
1
0
taire de Z Puis on ne conserve que les zigzags el ementaires maximaux entre n uds
puits 2
CHAPITRE ISOMORPHISMES ENTRE DIAGRAMMES
Forme minimale
Calculer la forme minimale d un diagramme complet consiste a ne conserver
que les n uds puits ainsi que les n uds et les arcs qui font partie d un lien du
diagramme
La forme mini D e nition Forme minimale Soit un diagramme complet
male du diagramme est le diagramme
Minimal
d e ni de la fa con suivante
ऄ
Graphe
ऄ ऄ ऄ
N ud fn N ud tel que n est un puits de ou
ऄ
n appartient a un lien de g
ऄ ऄ ऄ
Arc fa Arc tel que a appartient a un lien de g
ऄ
Foncteur C
0
ऄ
n N ud n n
ऄ
a Arc a a
Prop osition Pour tout diagramme complet
Minimal
Esquisse de la preuve Soit Minimal On d e nit deux eches de DIAGR C
0
et telles que id et id
On d e nit de la fa con suivante
ऄ ऄ ऄ
Morphisme g en eralis e de graphes
ऄ
Pour tout n ud n de tel que n est un n ud puits ou fait partie
ऄ
d un lien de on p ose n n
ऄ 0
Pour tout autre n ud n de il existe un n ud puits n et un arc
0 ऄ ऄ 0
a n n dans On p ose n n
n
0 ऄ
Pour tout arc a n n de qui appartient a un lien de on p ose
ऄ
a a
0 ऄ ऄ
Pour tout autre arc a n n de a est d e ni un peu plus
loin
ऄ
Transformation naturelle g en eralis ee
ऄ
Si n est un n ud de on p ose id
n
घnङ
0
tel que Sinon on p ose a o u a n n est un arc de
n n n
0 ऄ
n n
CATEGORIE C FINIE ET SANS CYCLE
0
0 ऄ
Pour tout arc a n n de sia appartient a un lien de on a alors
evidemment
0
a a
n
n
Si a n appartient pas a un lien de il existe un zigzag Z tel que
0
a Z
n
n
ऄ
On p ose a Z
La eche est d e nie de fa con evidente
id On a
On v eri e egalement que id
2
Th eor eme Deux diagrammes complets sont isomorphes si et seulement si leurs
formes minimales sont egales
Esquisse de la preuve Si les formes minimales de deux diagrammes sont egales
alors les diagrammes sont evidemment isomorphes R eciproquement soit deux dia
et sous forme minimale Soit deux eches et de grammes
et DIAGR C telles que id id
0
ऄ ऄ
On montre que p our tout n ud puits n de n est un n ud puits de
ऄ ऄ
n n et id
n
घnङ
Soit un zigzag el ementaire
a a
0 1
m m m
0 1 2
ऄ ऄ
On p ose n m et n m Les n uds n et n sont donc de
0 0 2 2 0 2
ऄ
des n uds puits de etona
m n m n
0 0 2 2
id id
m m
घm ङ घm ङ
0 2
0 2
ऄ
On montre qu il existe un n ud n dans tel que m n En n
1 1 1
ऄ
on montre qu il existe deux arcs b n n et b n n dans tel que
0 1 0 1 1 2
a b et a b
0 0 1 1
et ont donc les m emes n uds puits reli es par Finalement les diagrammes
et sont donc identiques les m emes liens Les diagrammes 2
CHAPITRE ISOMORPHISMES ENTRE DIAGRAMMES
0
Exemple Revenons aux diagrammes et
2
उ आ उ आ
M M
b b
b s
B
m m
ࣿ ࣿ
A A
B
s
AU AU
m s
ࣿ
D S D
Q
s
m m
B
Q
+ +
Qs
m b s
B
m b m b
A A
AU AU
R
G G
ई इ ई इ
0
2
0
Le diagramme est sous forme minimale le diagramme a p our forme minimale
2
le diagramme
2
Minimal
2 2
0
Minimal
2
0
et sont donc isomorphes Finalement les diagrammes
2
Algorithme
Finalement un algorithme p our d etecter si deux diagrammes sont isomorphes
dans la cat egorie diagr C consiste a calculer la compl etion puis la forme minimale
0
de chaque diagramme et en n a comparer les formes minimales Pour calculer les
formes minimales il est n ecessaire de calculer l ensemble des liens asso ci es achaque
diagramme
Fonction Isomorphe diagramme bool een
0 0
diagramme
D ebut
Minimal Compl etion
0
Minimal Compl etion
0
R esultat
Fin Isomorphe
Cas g en eral
Dans cette partie nous examinons les probl emes soulev es lorsque la cat egorie C
0
est in nie ou contient des cycles
CAS GENERAL
Zigzags
Dans ce paragraphe nous revenons un instant sur les zigzags Consid erons un
ऄ ऄ
diagramme ni Le graphe est ni Par contre le nombre de zigzags sur est
en g en eral in ni En e et rien n interdit de passer plusieurs fois par le m eme arc
Si nous consid erons un graphe avec une ou plusieurs b oucles il existe evidem
ment un nombre in ni de zigzags sur ce graphe
उ आ
उ आ
ः ऀ
ः ऀ
f
b
?
?
A
ई इ
ई इ
ऄ
graphe
diagramme A f
Nous p ouvons en e et consid erer les zigzags suivants
b
!
b b
! !
b b b
! ! ࣽࣽࣽ !
Un diagramme m eme s il est construit sur un graphe sans cycle contient
en g en eral une in nit e de zigzags Consid erons par exemple le diagramme
ऄ
construit sur le graphe
ऍ ऊ ऊ ऍ
- -
g
a
f
b
B A C
ऌ ऋ ऌ ऋ
ऄ
graphe diagramme
Nous p ouvons consid erer les zigzags suivants
a b
ऐ !
a b b a
ऐ ! ऐ !
a b b a a b
ऐ ! ऐ ! ऐ !
De fa con g en erale il n existe pas forc ement de b orne sup erieure p our la longueur
des zigzags a consid erer lorsqu on veut tester si deux eches u et v sont connect ees
v Z c est a dire s il existe un zigzag Z tel que u ऎ
CHAPITRE ISOMORPHISMES ENTRE DIAGRAMMES
Cat egorie de base comp ortant des cycles
Nous supp osons dans ce paragraphe que la cat egorie de base C contient des
0
cycles Remarquons d ab ord que la contraction d un arc identit e dans un diagramme
p eut former des boucles dans le graphe sous jacent du diagramme comme dans
l exemple
उ आ
उ आ
ः ऀ
f
f
-
?
-
id
A A
A
A
ई इ
ई इ
Si C comp orte des cycles l algorithme pr esent e en section n est pas correct
0
En e et le principal de l information contenue dans le diagramme n est plus concen
tr ee dans les n uds puits Certains diagrammes comme A f n ont pas de n ud
puits
उ आ
ः ऀ
f
?
A f
A
ई इ
n n
Si l ensemble ff n INg est in ni c est a dire si toutes les eches f sont
di erentes alors on p eut a jouter une in nit e d arcs au diagramme On p eut en e et
2 3
a jouter un arc etiquet e par f f f un arc etiquet e par f f f f etc
Autrement dit p our tout entier n les deux diagrammes ci dessous sont isomorphes
उ आ
उ आ
n
f
ऍ ऊ
ः ऀ
ऄ
f
ः ऀ
?
f
???
A
A
ई इ
ई इ
n
Par cons equent si l ensemble ff n INg est in ni alors la fonction de compl etion
appliqu ee sur le diagramme A f b oucle
Cat egorie de base in nie
Lorsque la cat egorie de base C est in nie en particulier lorsque C comp orte un
0 0
nombre in ni de eches entre deux ob jets la pro c edure qui consiste a a jouter les
factorisations a droite p eut ne pas s arr eter ou ce qui revientaum eme conduire a
un diagramme non ni
Exemple Soit deux eches f A C et g B C de C Supp osons qu on
0
a une famille indic ee par IN donc in nie de eches
fh A B i INg
i
telle que i IN g h f i
CAS GENERAL
C
I
g
f
h
1
ࣽࣽࣽ
h
n
A B
Si on consid ere un diagramme qui comp orte deux arcs
a b
n ! n ऐ n
0 1 2
etiquet es resp ectivement par f et g on p eut alors r ealiser une in nit e de factorisa
tions a droite Par cons equent la fonction de compl etion b oucle
CHAPITRE ISOMORPHISMES ENTRE DIAGRAMMES
Conclusion
Bilan
Nous avons prop os e un cadre th eorique p our etudier les sp eci cations alg ebriques
mo dulaires Nous avons repris une id ee classique en sp eci cation alg ebrique la
comp osition de sp eci cations p eut etre mo d elis ee par des colimites de diagrammes
nis La construction principale est la somme amalgam ee qui p ermet de repr esenter
la comp osition de deux sp eci cations en pr ecisant quelles parties sont partag ees
Notre travail a consist e a p oursuivre cette id ee bien connue selon trois directions
D un p oint de vue syntaxique nous avons d e ni un langage de termes p our
les constructions de colimites nies sur une cat egorie de base C Ce langage
0
est d e ni formellement par la cat egorie Terme C
0
D un p oint de vue s emantique nous avons prop os e d interpr eter les termes
par des diagrammes nis sur C Cette repr esentation est plus abstraite que la
0
repr esentation par des termes car elle p ermet d eliminer une partie des choix
e ectu es lors de la construction de la sp eci cation mo dulaire
Nous avons d e ni la notion d isomorphisme de construction p our les sp eci ca
tions mo dulaires Un isomorphisme de construction entre deux sp eci cations
mo dulaires corresp ond a un isomorphisme entre les diagrammes corresp on
dants Nous avons en n prop os e un algorithme p our d etecter si deux dia
grammes sont isomorphes dans le cas particulier o u la cat egorie de base C
0
est nie et ne comp orte pas de cycle
Notre travail est articul e en cinq chapitres
Dans le chapitre apr es quelques rapp els sur les sp eci cations alg ebriques
equationnelles nous avons pr esent e plusieurs sp eci cations mo dulaires d an
neaux qui nous ont p ermis d introduire la d e nition d isomorphisme de cons
truction Nous avons egalement pr ecis e le cadre g en eral de notre travail la
th eorie des institutions avec l hypoth ese que la cat egorie des sp eci cations est
niment co compl ete
Dans le chapitre nous avons d e ni les notions de diagramme et morphisme
de diagrammes en utilisant une formulation pro che de l informatique Notre
d e nition de diagramme est en e et bas ee sur celle de graphe et non sur
une cat egorie quelconque Nous avons reformul e les d e nitions de c one et de
CONCLUSION
colimite dans ce cadre Nous avons d e ni deux cat egories de diagrammes
DIAGR C et diagr C L int er et de la cat egorie diagr C se situe sur le
0 0 0
plan th eorique puisque
la cat egorie diagr C est niment co compl ete
0
la cat egorie diagr C est une compl etion de C par colimites nies
0 0
La cat egorie DIAGR C g en eralisation de certaines cat egories utilis ees en
0
informatique comme celle pr esent ee dans TBG est plus concr ete
que diagr C dans la mesure o u elle p ermet de manipuler les morphismes de
0
diagrammes de fa con e ective
Le chapitre est consacr e a la d e nition de la pr ecat egorie TERME C qui
0
o re un langage p our les constructions mo dulaires Les ob jets de TERME C
0
sont des termes qui d enotent des sp eci cations mo dulaires et les eches de
TERME C sont des termes qui d enotent des morphismes de sp eci cations
0
mo dulaires Nous prop osons une construction strati ee de cette pr ecat egorie
a n de r esoudre le probl eme de circularit e entre la d e nition des eches et
de l equivalence dans TERME C On obtient en passant au quotient une
0
cat egorie Terme C Nous avons montr e que
0
la cat egorie Terme C est niment co compl ete
0
la cat egorie Terme C est une extension conservatrice de C
0 0
En n nous avons montr e qu on p eut construire une cat egorie L C librement
0
engendr ee sur C par ob jet initial choisi et sommes amalgam ees choisies Cette
0
cat egorie est obtenue en quotientant TERME C par une congruence sur les
0
ob jets et eches de cette pr ecat egorie
Nous prop osons dans le chapitre une interpr etation des termes repr esentant
des sp eci cations mo dulaires par des diagrammes Cette repr esentation qui
p ermet de faire abstraction de certaines etapes particuli eres choisies p our la
construction de la sp eci cation mo dulaire est d ecrite par un pr efoncteur
D TERME C DIAGR C
0 0
qui corresp ond a un foncteur entre les cat egories corresp ondantes
D Terme C diagr C :
0 0
Nous avons montr e que
le foncteur D d e nit une equivalence entre les cat egories Terme C et
0
diagr C
0
deux ob jets de Terme C sont isomorphes si et seulement si leurs dia
0
grammes asso ci es sont isomorphes
l interpr etation D est correcte c est a dire qu une sp eci cation mo dulaire
est isomorphe a la colimite du diagramme qui la repr esente
CONCLUSION
La repr esentation des constructions mo dulaires par des diagrammes bien que
plus abstraite que celle des termes ne p ermet pas de d etecter imm ediatement
des isomorphismes de constructions En e et deux sp eci cations mo dulaires
isomorphes sont repr esent ees par des diagrammes qui sont isomorphes mais
pas forc ement identiques Dans le chapitre nous prop osons une normalisa
tion des diagrammes dans le cas particulier o u la cat egorie des sp eci cations
de base est nie et ne comp orte pas de cycle Ayant montr e que deux dia
grammes sont isomorphes si et seulement si ils ont la m eme forme normale
nous disp osons donc d une pro c edure p our d ecider si deux diagrammes sont
isomorphes
Le formalisme prop os e est compositionnel dans la mesure o u des comp ositions
successives de sp eci cations p euvent etre vues comme un assemblage unique En
e et une suite de constructions de sommes amalgam ees est equivalente a la colimite
d un diagramme plus complexe Cette propri et e provient de la structure de monade
des pr ecat egories TERME C etDIAGR C
0 0
Nous esp erons avoir montr e que la mo dularit e en particulier le probl eme des
partages entre plusieurs sp eci cations est correctement mo d elis e par les colimites
nies En e et l utilisation des colimites p ermet de faire abstraction d une part de la
d e nition e ective des sp eci cations et d autre part des etapes particuli eres choisies
p our la construction d une sp eci cation mo dulaire On p eut ainsi se concentrer
uniquement sur l assemblage des di erentes sp eci cations de base
Perspectives
Citons quelques voies p ossibles p our p oursuivre ce travail
Contraintes s emantiques
De nombreux langages de sp eci cation p ermettent de pr eciser des contraintes
s emantiques Un exemple de contrainte s emantique est la persistance d un foncteur
de synth ese entre deux classes d alg ebres Cette contrainte assure la pr eservation
par exemple d un mo dule imp ort e ou encore du param etre e ectif lors d une instan
ciation cf par exemple EM Une sp eci cation B qui imp orte une sp eci cation
A est une eche f A B J C Reynaud Rey b Rey a prop os e de distin
guer les eches auxquelles est asso ci ee une contrainte s emantique Dans notre cadre
l utilisation de morphismes distingu es ne para t pas su sante En e et comme les
deux diagrammes suivants sont isomorphes l information d imp ortation entre A et
B est p erdue lors du passage a la colimite
उ आ
ऄ
f
-
B
अ
A B
ई इ
Par cons equent le concept de colimite qui convient alamod elisation des partages
ne p eut pas etre appliqu e directement p our prendre en consid eration des contraintes
sur des morphismes de sp eci cations
CONCLUSION
Enrichissement et abstraction
Deux op erateurs de constructions de sp eci cations sont fondamentaux en sp eci
cation alg ebrique l enrichissement qui p ermet a partir d une sp eci cation d obtenir
une nouvelle sp eci cation en a joutant des sortes et des op erateurs et l abstraction
qui p ermet d obtenir une nouvelle sp eci cation en supprimant des sortes et des op e
rateurs
Il semble p ossible d etendre le formalisme prop os e a n de prendre en compte les
enrichissements Pour nous un enrichissement d une sp eci cation mo dulaire S est
0 0
une sp eci cation S accompagn ee d un morphisme de sp eci cations p S S qui
0
mo d elise l inclusion de S dans S La sp eci cation S fait partie de Terme C mais
0
0
pas S ni par cons equent f Une solution p our p ermettre d a jouter de telles eches
0
est de consid erer la cat egorie T qui contient Terme C l ob jet S et la eche f
0
0 0
Ensuite on consid ere la sous cat egorie pleine C de T qui a p our ob jets d une part
0
0
l ob jet S et d autre part les ob jets de C Finalement la cat egorie Terme C contient
0
0
Terme C ainsi que toutes les constructions qui ont et e a jout ees par l introduction
0
0 0 0
de l enrichissement S La eche p S S appartient bien a la cat egorie Terme C
0
car celle ci a pu etre reconstruite a l aide des eches up
Le probl eme de l abstraction semble plus di cile ar esoudre Dans notre cadre
0
une abstraction d une sp eci cation S de Terme C est une sp eci cation S accom
0
0
pagn ee d un morphisme de sp eci cations q S S Dans ce cas la construction
d ecrite dans le cas de l enrichissement ne fonctionne pas car la eche q n appartient
0
Une voie de recherche p ourrait pas a la nouvelle cat egorie des termes Terme C
0
etre ici la prise en consid eration de colimites distingu ees dans la cat egorie de base C
0
Colimites distingu ees dans C
0
En th eorie des esquisses Ehr DR a DR b une esquisse contient des c ones
et des co c ones distingu es Le type d une esquisse corresp ond a une cat egorie li
brement engendr ee par sommes et pro duits en conservant les limites et colimites
sp eci ees
Dans l etat actuel de notre travail s il existe par exemple une somme amalgam ee
dans la cat egorie de base C cette somme est p erdue lors de la construction de la
0
cat egorie Terme C Il serait int eressantdeg en eraliser la construction de Terme C
0 0
de fa con a p ouvoir conserver certaines colimites
La prise en consid eration de certaines colimites dans la cat egorie de base p eut
r esoudre le probl eme de l abstraction En e et on p eut imaginer a jouter a la cat e
gorie de base la sp eci cation S ainsi que les colimites qui ont p ermis de construire
0 0
S puis d a jouter S et le morphisme de sp eci cations q S S On obtient ainsi
0
une cat egorie C qui contient comme colimites distingu ees d une part les colimites
0
distingu ees de C et d autre part les colimites qui ont p ermis de construire S Fina
0
0 0 0
lement la cat egorie Terme C contient Terme C S q S S ainsi que toutes
0
0
0
les constructions qui utilisent S
CONCLUSION
G en eralisation de l algorithme
En ce qui concerne les diagrammes nous avons prop os e un crit ere p our d ecider
si deux diagrammes sont isomorphes dans diagr C Il resterait a evaluer la com
0
plexit e de cet algorithme D autre part nous avons supp os e que la cat egorie des
sp eci cations de base C est nie et ne comp orte pas de cycle Cette hypoth ese est
0
compatible avec le langage de sp eci cation LPG Il serait n eanmoins int eressant soit
de g en eraliser l algorithme prop os e soit de montrer l ind ecidabilit e de ce probl eme
Application aux langages de sp eci cation et de programmation
Notre travail a des retomb ees pratiques sur le traitement de la mo dularit e dans
les langages de sp eci cation et de programmation
Tout d ab ord la somme amalgam ee est couramment utilis ee dans les langages de
sp eci cation alg ebrique par contre les eches up a part dans le langage LPG sont
ignor ees D un p oint de vue th eorique cela implique que les cat egories consid er ees
ne sont pas niment co compl etes D un p oint de vue pratique cela signi e qu on ne
p eut pas mo d eliser toutes les comp ositions de sp eci cations en particulier certains
assemblages d ecrits dans le chapitre sur l exemple des anneaux
D autre part le langage de termes prop os e qui p ermet de co der nement les
assemblages de mo dules a l avantage d introduire une gestion explicite des partages
entre sp eci cations Remarquons egalement que l instanciation des mo dules g en e
riques p eut etre trait ee de fa con uniforme dans le m eme cadre
Ces el ements doivent p ermettre de d e nir p our les langages de la pro chaine
g en eration un concept de mo dularit e plus g en eral et bien fond e d un p ointde vue
th eorique
R eutilisation
En n le formalisme que nous avons prop os e p eut egalement etre appliqu e a la
r eutilisation de programmes On supp ose que l on disp ose d une biblioth eque de
sp eci cations de base accompagn ees de di erentes implantations Comme il p eut
etre n ecessaire d implanter une m eme sp eci cation de fa cons di erentes dans diverses
parties du programme par exemple p our des raisons d e cacit e cette biblioth eque
doit contenir di erentes implantations p our chaque sp eci cation de base D autre
part cette biblioth eque p eut egalement contenir des implantations de sp eci cations
mo dulaires construites sur les sp eci cations de base
L ob jectif est d implanter une nouvelle sp eci cation mo dulaire en r eutilisant
au mieux les implantations disp onibles Si cette sp eci cation est isomorphe a une
construction d ej a implant ee on p eut bien evidemmentr eutiliser cette implantation
De fa con plus g en erale il s agit de d etecter les implantations r eutilisables et les
sp eci cations qui restent a implanter et parall element les contraintes pos ees sur
ces implantations par les partages entre les sp eci cations de base utilis ees L id ee
est d extraire des informations du diagramme asso ci e alasp eci cation mo dulaire a
implanter ce diagramme p ouvant etre consid er e comme le degr e de lib ert e donton
disp ose p our co der les sp eci cations de base
CONCLUSION
App endice A
Preuves sur la syntaxe
A Preuve du th eor eme de forme normale
Nous montrons le th eor eme page
Th eor eme Forme normale
Soit A Ob j C B push A A A f f Ob j C m Arr C A B Posons
0 0 1 2 1 2 i i
N m m m m
n n 1 1
avec n et j f ng m est une eche el ementaire Alors
j
m A A A f f avec k f g
n 0 1 2 1 2
k
si n alors m m Arr C A A
n 1 1 i 1
k
Preuve Nous montrons successivement les p oints et
On a
0
m Arr C B B car B Ob j C
n 0 0
m id sinon n ecessairement n et donc N m n est pas irr educ
n X
tible
m j car Arr C A ?
n j
X
On fait une induction sur n Si n alors comme A Ob j C on a
0
m A A A f f
1 0 1 2 1 2
k
Pas d induction par l absurde si m A A A f f alors
n 0 1 2 1 2
k
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
m up A A A B f f g g Arr C push A A A f f B
n i
0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2
Par hypoth ese d induction
0 0 0 0 0
0
m A A A f f
n 1
k
0 1 2 1 2
ce qui est en contradiction avec N m irr eductible On a donc
m A A A f f
n 0 1 2 1 2 k
APPENDICE A PREUVES SUR LA SYNTAXE
Par induction sur n Si n alors
N m A A A f f m
0 1 2 1 2 1
k
D apr es le lemme A
k
Si A Ob j C alors m Arr C A A
0 1 0
k k
0 0 0 0 0
Sinon A push A A A f f Ob j C et donc
i 1
k
0 1 2 1 2
0 0 0 0 0
0
m A A A f f Arr C A A
1 i 1
k
k
0 1 2 1 2
Pas d induction
N m A A A f f m m Arr C A B
0 1 2 1 2 n 1 1 i
k
D apr es le lemme A
k
Si A Ob j C alors d apr es le th eor eme
0
k
m m Arr C A A
n 1 1 0
k
0 0 0 0 0
Ob j C alors f f A A Si A push A
i 1
k
2 1 2 1 0
0 0 0 0 0 0
0
A Arr C A f f A A m A
0
i 1 n 1
k
k
2 1 2 1 0
k
et par hypoth ese d induction
0
m m Ob j C A A
0
n 2 1 i 2
k
d o u
m m Arr C A A
n 1 1 i 1
k
2
A Preuve du th eor eme de forme normale
Nous montrons le th eor eme page
Th eor eme Forme normale
Soit A push A A A f f Ob j C B Ob j C et m Arr C A B Posons
0 1 2 1 2 i 0 i
N m m m m
n n 1 1
avec n et j f ng m est une eche el ementaire Alors
j
m up A A A A f f g g
1 0 1 2 3 1 2 1 2
A PREUVE DU THEOREME D UNICITE
Preuve D ab ord on a
0
m Arr C A A car A Ob j C
1 0 0
m id sinon n ecessairement n et donc N m n est pas irr eductible
1 X
m j car A
1
X
Par cons equent on a soit
m up A A A B f f g g
1 0 1 2 1 2 1 2
soit
0 0 0 0 0
0
m A A A f f
1
k
0 1 2 1 2
On montre par induction sur n que c est la premi ere condition qui est satisfaite Si
n alors comme B Ob j C on a
0
m up A A A B f f g g
1 0 1 2 1 2 1 2
Pas d induction par l absurde si
m up A A A A f f g g
1 0 1 2 3 1 2 1 2
alors
0 0 0 0 0
0
f f A A m A
1
k
2 1 2 1 0
Par hypoth ese d induction
0 0 0 0 0 0 0 0
g g f f A A A m up A
2
2 1 2 1 3 2 1 0
ce qui est en contradiction avec N m irr eductible Par cons equent
m up A A A A f f g g
1 0 1 2 3 1 2 1 2
2
A Preuve du th eor eme d unicit e de la forme nor
male
Nous montrons le th eor eme page
Th eor eme Unicit e de la forme normale
0 0
Soit m m Arr C X Y tels que m m Arr C X Y
i i
Si X Y Ob j C alors
0
0
N m N m Arr C X Y 0
APPENDICE A PREUVES SUR LA SYNTAXE
Si X Ob j C Y push A A A f f alors
0 0 1 2 1 2
Z Ob j C h Arr C Y Z on a
0 i
0
N h m N h m Arr C X Z
0
Si X push A A A f f Y Ob j C alors
0 1 2 1 2 0
W Ob j C p Arr C W X on a
0 i
0
N m p N m p Arr C W Y
0
0 0 0 0 0
Si X push A A A f f Y push A A A f f alors
0 1 2 1 2
0 1 2 1 2
W Z Ob j C h Arr C Y Z p Arr C W X on a
0 i i
0
N h m p N h m p Arr C W Z
0
Preuve Nous montrons les p oints a par induction sur i Pour i le p oint
est evident et il n y a rien a prouver p our les p oints a Pour i on prouve
les p oints et par induction sur la longueur de N h Nous prouvons alors les
p oints a en parall ele par induction sur la longueur de la preuve que
0
m m Arr C X Y
i+1
Il faut consid erer les r egles a
En r ealit e nous avons b esoin de l hypoth ese d induction sur la longueur de N h
uniquement p our la r egle Dans tous les autres cas il est inutile de prouver le
cas de base puis le pas d induction Les p oints et sont donc montr es directement
p our toutes les r egles sauf la r egle et par induction sur la longueur de N h
p our la r egle
0
R egle m m Arr C X Y
0
D apr es le th eor eme on a
m N m Arr C X Y
0
0 0
m N m Arr C X Y
0
0
et donc N m N m Arr C X Y
0
Il n y a rien ad emontrer p our les p oints a
R egle Les p oints sont evidents
R egle Les p oints sont evidents par sym etrie de l egalit e dans C
0
R egle Les p oints sont evidents par transitivit edel egalit e dans C
0
0 0 0 0 0
R egle m g f m g f avec f f Arr C A B et g g
i+1
Arr C B C
i+1
A C Ob j C 0
A PREUVE DU THEOREME D UNICITE
B Ob j C Par hypoth ese d induction on a
0
0
i
N f N f Arr C A B
0
0
ii
N g N g Arr C B C
0
N g f
N N g N f Arr C A C
0
N g N f Arr C A C th eor eme
0
0 0
N g N f Arr C A C d apr es i et ii
0
0 0
N N g N f Arr C A C th eor eme
0
0 0
N g f Arr C A C
0
B push A A A f f Par hypoth ese d induction on a
0 1 2 1 2
Z Ob j C h Arr C C Z
0 i+1
0
i
N h f N h f Arr C A Z
0
W Ob j C p Arr C W A
0 i+1
0
ii
N g p N g p Arr C W C
i+1
Par cons equent
0
N g f N g f Arr C A C i avec h g
0
0 0 0
N g f Arr C A C ii avec p f
0
B imp ossible d apr es le lemme
0 0 0 0 0
Il faut montrer que f f A A A Ob j C C push A
0
2 1 2 1 0
Z Ob j C h Arr C C Z
0 i+1
0 0
N h g f N h g f Arr C A Z
0
B Ob j C Par hypoth ese d induction on a
0
0
i
N f N f Arr C A B
0
Z Ob j C h Arr C C Z
0 i+1
0
ii
N h g N h g Arr C B Z
0
Par cons equent
N h g f
N N h g N f
N h g N f Arr C A Z th eor eme
0
0 0
N h g N f Arr C A Z d apr es i et ii
0
0 0
N N h g N f th eor eme
0 0
N h g f
B push A A A f f Par hypoth ese d induction on a
0 1 2 1 2
0
Z Ob j C h Arr C B Z
0 i+1
0 0 0
i
N h f N h f Arr C A Z
0
0
W Z Ob j C p Arr C W B h Arr C C Z
0 i+1 i+1
0 0 0
ii
N h g p N h g p Arr C W Z
0
Par cons equent
N h g f
0 0
N h g f Arr C A Z i avec h h g
0
0 0 0 0
N h g f Arr C A Z ii avec p f 0
APPENDICE A PREUVES SUR LA SYNTAXE
B imp ossible d apr es le lemme
A push A A A f f C Ob j C On doit montrer que
0 1 2 1 2 0
W Ob j C p Arr C W A
0 i+1
0 0
N g f p N g f p Arr C W C
0
B Ob j C Par hypoth ese d induction on a
0
W Ob j C p Arr C W A
0 i+1
0
i
N f p N f p Arr C W B
0
et
0
ii
N g N g Arr C B C
0
Par cons equent
N g f p
N N g N f p
N g N f p Arr C W C th eor eme
0
0 0
N g N f p Arr C W C cf i et ii
0
0 0
N N g N f p Arr C W C th eor eme
0
0 0
N g f p
0 0 0 0 0
Par hypoth ese d induction on a f f A A B push A
2 1 2 1 0
W Z Ob j C p Arr C W A h Arr C B Z
0 i+1 i+1
0
i
N h f p N h f p Arr C W Z
0
0
et W Ob j C p Arr C W B
0 i+1
0 0 0
ii
N g p N g p Arr C W C
0
Par cons equent
N g f p
0
N g f p Arr C W C i avec h g
0
0 0 0 0
N g f p Arr C W C ii avec p f p
0
B Il n existe pas de eche p Arr C W A sinon on aurait
i+1
une eche f p Arr C W avec W Ob j C Par cons equent
i+1 0
onaler esultat
00 00 00 00 00
A push A A A f f et C push A A A f f On
0 1 2 1 2 0 1 2 1 2
doit montrer que
W Z Ob j C p Arr C W A h Arr C C Z
0 i+1 i+1
0 0
N h g f p N h g f p Arr C W Z
0
B Ob j C Par hypoth ese d induction on a
0
W Ob j C p Arr C W A
0 i+1
0
i
N f p N f p Arr C W B
0
Z Ob j C h Arr C C Z
0 i+1
0
ii
N h g N h g Arr C B Z 0
A PREUVE DU THEOREME D UNICITE
Par cons equent
N h g f p
N N h g N f p
N h g N f p Arr C W Z th eor eme
0
0 0
N h g N f p Arr C W Z d apr es i et ii
0
0 0
N N h g N f p th eor eme
0 0
N h g f p
0 0 0 0 0
B push A A A f f Par hypoth ese d induction on a
0 1 2 1 2
0
W Z Ob j C p Arr C W A h Arr C B Z
0 i+1 i+1
0 0 0
i
N h f p N h f p Arr C W Z
0
0
W Z Ob j C p Arr C W B h Arr C C Z
0 i+1 i+1
0 0 0
ii
N h g p N h g p Arr C W Z
0
Par cons equent
N h g f p
0 0
N h g f p Arr C W Z i avec h h g
0
0 0 0 0
N h g f p Arr C W Z ii avec p f p
0
B Il n existe pas de eche p Arr C W A sinon on aurait
i+1
une eche f p Arr C W avec W Ob j C Par cons equent
i+1 0
on a le r esultat
0
R egle m h g f et m h g f
N h g f N h g f
Les p oints a sont aussi evidents
0
R egle m f id et m f avec f Arr C A B
A i
On a
0
N m N m
Z Ob j C h Arr C B Z
0 i+1
0
N h m N h m
W Ob j C p Arr C W A
0 i+1
0
N m p N m p
W Z Ob j C p Arr C W A h Arr C B Z
0 i+1 i+1
0
N h m p N h m p
R egle Cas similaire au pr ec edent
R egle Il n y a rien ad emontrer
APPENDICE A PREUVES SUR LA SYNTAXE
0
R egle m A A A f f f et m A A A f f f
1 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 2
Il n y a rien ad emontrer
X A Ob j C etY push A A A f f Il faut montrer que
0 0 0 1 2 1 2
Z Ob j C h Arr C Y Z
0 i+1
0
N h m N h m
Induction sur la longueur de N h Cas de base N h est de longueur
D apr es le th eor eme
N h up A A A Z f f g g
0 1 2 1 2 1 2
N h m N up A g g A f f
0 1 2 1 0 2 1
N g f
1 1
0
N h m N up A g g A f f
0 1 2 2 0 2 2
N g f
2 2
Or on a g f g f Arr C X Z donc par hypoth ese d induction
1 1 2 2 i
sur i
N g f N g f Arr C X Z
1 1 2 2 0
Par cons equent
0
N h m N h m Arr C X Z
0
Pas d induction on supp ose le r esultat d emontr e p our N h de lon
gueur n etonlemontre p our N h de longueur n D apr es le th eo
r eme
0
N h h up A A A A f f g g
0 1 2 3 1 2 1 2
0
N h m N h up A g g A f f
0 1 2 1 0 2 1
0
N h g f
1 1
0 0
N h m N h up A g g A f f
0 1 2 2 0 2 2
0
N h g f
2 2
0
Or on a g f g f Arr C X Y et h est une forme normale de
1 1 2 2 i
longueur n donc par hypoth ese d induction sur n
0 0
N h g f N h g f Arr C X Z
1 1 2 2 0
Par cons equent
0
N h m N h m Arr C X Z
0
Il n y a rien ad emontrer
A PREUVE DU THEOREME D UNICITE
0 0 0 0 0
X A push A A A f f et Y push A A A f f Il faut
0 0 1 2 1 2
0 1 2 1 2
montrer que
W Z Ob j C p Arr C W X h Arr C Y Z
0 i+1 i+1
0
N h m p N h m p
Remarquons d ab ord que X Ob j C donc d apr es le th eor eme
i
N p Arr C W X
i
Cas de base sur la longueur de N h
N h up A A A Z f f g g
0 1 2 1 2 1 2
N h m p N up A g g A f f p
0 1 2 1 0 2 1
N g f N p
1 1
0
N h m p N up A g g A f f p
0 1 2 2 0 2 2
N g f N p
2 2
N p Arr C g f g f Arr C X Z donc par hypoth ese
i 1 1 2 2 i
d induction sur i ona
N g f N p N g f N p Arr C W Z
1 1 2 2 0
d o u
0
N h m p N h m p Arr C W Z
0
Pas d induction on supp ose le r esultat d emontr e p our N h de lon
gueur n etonlemontre p our N h de longueur n
0
N h h up A A A A f f g g
0 1 2 3 1 2 1 2
0
N h m p N h up A g g A f f p
0 1 2 1 0 2 1
0
N h g f p
1 1
0 0
N h m p N h up A g g A f f p
0 1 2 2 0 2 2
0
N h g f p
2 2
0
On a g f g f Arr C X Z h est une forme normale de
1 1 2 2 i
longueur n donc par hypoth ese d induction sur n ona
0 0
N h g f p N h g f p
1 1 2 2
d o u
0
N h m p N h m p Arr C W Z
0
0 0 0 0
R egle m up A B C D f g f g A B C f g m f
1
On a
0
N m N m
APPENDICE A PREUVES SUR LA SYNTAXE
Z Ob j C h Arr C B Z
0 i+1
0
N h m N h m
W Ob j C p Arr C W A
0 i+1
0
N m p N m p
W Z Ob j C p Arr C W A h Arr C B Z
0 i+1 i+1
0
N h m p N h m p
R egle Cas similaire au cas pr ec edent
0
R egle m m parce que
0
m A A A f f m A A A f f Arr C A Y
1 0 1 2 1 2 1 0 1 2 1 2 i+1 1
0
m A A A f f m A A A f f Arr C A Y
2 0 1 2 1 2 2 0 1 2 1 2 i+1 2
Il n y a rien ad emontrer
Il n y a rien ad emontrer
X push A A A f f et Y Ob j C Il faut montrer que
0 1 2 1 2 0
W Ob j C p Arr C W X
0 i+1
0
N m p N m p Arr C W Y
0
Soit N p p p p avec n D apr es le th eor eme
n n 1 1
p A A A f f
n 0 1 2 1 2
k
Si n on a par hypoth ese d induction
N m A A A f f
0 1 2 1 2
k
0
N m A A A f f Arr C W Y
0 1 2 1 2 0
k
d o u
0
N m p N m p Arr C W Y
0
Si n on a par hypoth ese d induction
N m A A A f f p p
0 1 2 1 2 n 1 1
k
0
N m A A A f f p p Arr C W Y
0 1 2 1 2 n 1 1 0
k
d o u
0
N m p N m p Arr C W Y 0
A PREUVE DU THEOREME
X push A A A f f et Y push A A A f f Il faut mon
0 1 2 1 2
0 1 2 1 2
trer que
W Z Ob j C p Arr C W X h Arr C Y Z
0 i+1 i+1
N h m p N h m p Arr C W Z
0
Soit N p p p p avec n D apr es le th eor eme
n n 1 1
p A A A f f
n 0 1 2 1 2
k
Si n on a par hypoth ese d induction
N h m A A A f f
0 1 2 1 2
k
N h m A A A f f Arr C W Z
0 1 2 1 2 0
k
d o u
N h m p N h m p Arr C W Z
0
Si n on a par hypoth ese d induction
N h m A A A f f p p
0 1 2 1 2 n 1 1
k
N h m A A A f f p p
0 1 2 1 2 n 1 1
k
Arr C W Z
0
d o u
N h m p N h m p Arr C W Z
0
2
A Preuve du th eor eme
Nous montrons le th eor eme page
Th eor eme Lapr ecat egorie TERME C est librement engendr ee par objet pr e
0
initial choisi et pr e sommes amalgam ees choisies
E
Consid erons une pr ecat egorie E ayant un objet pr e initial choisi et des pr e
sommes amalgam ees choisies Si A B C sont trois objets de E etf Arr E A B
g Arr E A C deux eches de E on note
E E E
push A B C f g A B C f g A B C f g
1 2
la pr e somme amalgam ee choisie de B et C par rapport a f et g dans E
On suppose de plus que pour tout objet A de E on a un choix de eche
E E
j Arr E A
A
De m eme si A B C D Ob j E f Arr E A B g Arr E A C
f Arr E B D g Arr E C D tel que f f g g Arr E A D onaun
choix de eche
E E
up A B C D f g f g Arr E push A B C f g D
APPENDICE A PREUVES SUR LA SYNTAXE
tel le que
E E
up A B C D f g f g A B C f g f Arr E B D
1
E E
up A B C D f g f g A B C f g g Arr E C D
2
Soit un pr efoncteur F C E Alors il existe un unique pr efoncteur
0
G TERME C E
0
tel que
G J F
G g f G g G f
G id id
A
GघAङ
E
G
E
G j j
A
GघAङ
E
G push A B C f g push G A G B G C G f G g
E
G A G B G C G f G g G A B C f g
1
1
E
G A G B G C G f G g G A B C f g
2
2
G up A B C D f g f g
E
up G A G B G C G D G f G g G f G g
Nous commen cons par montrer l existence du pr efoncteur
G TERME C E
0
Pour cela nous d e nissons p our tout entier i un pr efoncteur G C E par
i i
induction sur i Nous p osons G F etd e nissons le pr efoncteur G C E
0 i+1 i+1
a partir du pr efoncteur G C E
i i
Hyp oth eses d induction
Pour i IN on fait les hypoth eses d induction suivantes
Si i
a A Ob j C G A G A
i 1 i i 1
b A B Ob j C f Arr C A B G f G f
i 1 i 1 i i 1
h h Arr C A B G h G h Arr E G A G B
i i i i i
G C E est un pr efoncteur
i i
Pour i onposeG F C E Les hypoth eses d induction sont bien v eri ees
0 0
Nous d e nissons maintenant le pr efoncteur G C E en supp osant que les
i+1 i+1
hypoth eses d induction sont satisfaites au rang i
A PREUVE DU THEOREME
D e nition du pr efoncteur G C E
i+1 i+1
Le pr efoncteur G est d e ni a partir de G par induction sur la structure des
i+1 i
ob jets et des eches de C
i+1
Action sur les ob jets
R egle G A G A p our A Ob j C
i+1 0 0
E
R egle G
i+1
R egle G push A B C f g
i+1
E
push G A G B G C G f G g
i i i i i
Action sur les eches
R egle G f G f p our f Arr C A B
i+1 0 0
R egle G g f G g G f
i+1 i+1 i+1
R egle G id id identit ede E
i+1 A
G घAङ
i +
E
R egle G j j
i+1
A
G घAङ
i+1
E
G A G B G C G f G g R egle G A B C f g
i i i i i i+1 1
1
E
G A G B G C G f G g R egle G A B C f g
i i i i i i+1 2
2
R egle G up A B C D f g f g
i+1
E
up G A G B G C G D G f G g G f G g
i i i i i i i i
Cette eche existe car on a f f g g Arr C A D Par hypoth ese
i
d induction G est un pr efoncteur donc
i
G f G f G g G g Arr E G A G D
i i i i i i
Pas d induction
Nous montrons maintenant que les hypoth eses d induction sont bien v eri ees au
rang i c est a dire que
a A Ob j C G A G A
i i+1 i
b A B Ob j C f Arr C A B G f G f
i i i+1 i
h h Arr C A B G h G h Arr E G A G B
i+1 i+1 i+1 i+1 i+1
G C E est un pr efoncteur
i+1 i+1
Preuve
Point On montre le p oint a par induction sur la structure des ob jets de C
i+1
le p oint b par induction sur la structure des eches de C
i+1
APPENDICE A PREUVES SUR LA SYNTAXE
Point On montre le p oint par induction sur la longueur de la preuve que
h h Arr C A B
i+1
R egle Si h h Arr C A B alors G h G h et donc par d e nition
0 0 0
de G G h G h
i+1 i+1 i+1
R egle Si h h alors on a evidemment G h G h d ouler esultat
i+1 i+1
R egle Si h h Arr C A B alors par hypoth ese d induction G h
i+1 i+1
G h d o u G h G h
i+1 i+1 i+1
R egle Si h g Arr C A B et g h Arr C A B alors par hy
i+1 i+1
p oth ese d induction on a G h G g et G g G h d o u
i+1 i+1 i+1 i+1
G h G h
i+1 i+1
R egle On supp ose que h g f h g f f f Arr C A X et
i+1
g g Arr C X B Par hypoth ese d induction on a G f G f
i+1 i+1 i+1
et G g G g Donc G g G f G g G f et donc
i+1 i+1 i+1 i+1 i+1 i+1
par d e nition de G G g f G g f d o u G h G h
i+1 i+1 i+1 i+1 i+1
R egle Si h k g f et h k g f par d e nition de G
i+1
G h G k g f
i+1 i+1
G k g G f
i+1 i+1
G k G g G f
i+1 i+1 i+1
G k G g G f
i+1 i+1 i+1
G k g f
i+1
G h
i+1
R egle Si h f id et h f ona
A
G h G f id
i+1 i+1 A
G f G id d e nition de G
i+1 i+1 A i+1
G f id d e nition de G
i+1 i+1
G घAङ
i +
G f identit e dans E
i+1
G h
i+1
R egle Preuve similaire a celle de la r egle
E
R egle Si h h Arr C A comme est pr e initial G h G h
i+1 i+1 i+1
R egle h A B C f g f et h A B C f g g
1 2
G h G A B C f g f
i+1 i+1 1
G A B C f g G f
i+1 1 i+1
G A B C f g G f d apr es b
i+1 1 i
E
G A G B G C G f G g G f
i i i i i i
1
G h G A B C f g g
i+1 i+1 2
G A B C f g G g
i+1 2 i+1
G A B C f g G g d apr es b
i+1 2 i
E
G A G B G C G f G g G g
i i i i i i 2
A PREUVE DU THEOREME
Comme le triplet
E
push G A G B G C G f G g
i i i i i
E
G A G B G C G f G g
i i i i i
1
E
G A G B G C G f G g
i i i i i
2
est une pr e somme amalgam ee dans E ona
E
G A G B G C G f G g G f
i i i i i i
1
E
G A G B G C G f G g G g
i i i i i i
2
et donc G h G h
i+1 i+1
R egle h up A B C D f g f g A B C f g eth f
1
G h G up A B C D f g f g A B C f g
i+1 i+1 1
G up A B C D f g f g G A B C f g
i+1 i+1 1
G f
i
G f
i+1
d apr es la d e nition de G up A B C D f g f g
i+1
R egle Preuve similaire a celle de la r egle
R egle h u et h v avec
u A B C f g v A B C f g Arr C B D
1 1 i+1
u A B C f g v A B C f g Arr C C D
2 2 i+1
Par hypoth ese d induction on a
G u A B C f g G v A B C f g
i+1 1 i+1 1
G u A B C f g G v A B C f g
i+1 2 i+1 2
et donc
G u G A B C f g G v G A B C f g
i+1 i+1 1 i+1 i+1 2
G u G A B C f g G v G A B C f g
i+1 i+1 1 i+1 i+1 2
Par cons equent par d e nition de G up A B C D f g f g on a
i+1
G u G v
i+1 i+1
Cela termine la preuvedupoint
Point On montre sans di cult e que G C E est bien un pr efoncteur
i+1 i+1
2
Nous avons donc montr eler esultat suivant
Lemme A Pour tout entier i
a A Ob j C G A G A
i i+1 i
b A B Ob j C f Arr C A B G f G f
i i i+1 i
G C E est un pr efoncteur
i i
APPENDICE A PREUVES SUR LA SYNTAXE
D e nition du pr efoncteur G TERME C E
0
On d e nit maintenant le pr efoncteur G TERME C E par son action sur les
0
ob jets et les eches de TERME C
0
Action sur les ob jets
Pour tout A Ob j TERME C il existe k IN tel que A Ob j C On p ose
0
k
G A G A
k
D apr es le lemme A a cette d e nition est ind ependante de l entier k choisi
Action sur les eches
Pour tout f Arr TERME C il existe k IN tel que f Arr C A B On
0
k
p ose
G f G f
k
D apr es le lemme A b cette d e nition est ind ependante de l entier k choisi
Compatibilit eavec les equivalences
Si h h Arr TERME C A B alors il existe k IN tel que h h
0
Arr C A B Comme G est un pr efoncteur G h G h Par cons e
k k k k
quent G h G h
On v eri e que G est bien un pr efoncteur tel que
G J F
G g f G g G f
G id id
A
GघAङ
E
G
E
G j j
A
GघAङ
E
G push A B C f g push G A G B G C G f G g
E
G A B C f g G A G B G C G f G g
1
1
E
G A B C f g G A G B G C G f G g
2
2
G up A B C D f g f g
E
up G A G B G C G D G f G g G f G g
Unicit e du pr efoncteur G
Soit un pr efoncteur G TERME C E tel que
0
G J F
G g f G g G f
A PREUVE DU THEOREME
G id id 0
A
G घAङ
E
G
E
G j j
0
A
G घAङ
E
G push A B C f g push G A G B G C G f G g
E
G A B C f g G A G B G C G f G g
1
1
E
G A B C f g G A G B G C G f G g
2
2
G up A B C D f g f g
E
up G A G B G C G D G f G g G f G g
Par induction sur la structure des ob jets et eches de TERME C on a bien G G 0
APPENDICE A PREUVES SUR LA SYNTAXE
R ef erences bibliographiques
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Abstract Data Types number in LNCS
Index
190 aplatissement
application
n
S 23
96
arc 55
61
identit e 183
C
D
b oucle 177
identit e 177
23
but 55
70
CAT 59
1 2
Cat 59
cat egorie 58
190
asso ci ee a une pr ecat egorie
190
de base
23
de diagrammes 70
+
23
des cat egories 59
des ensembles
Alg
des foncteurs 61
Arr
des graphes
j
des signatures 26 52
A
N
des sp eci cations 30 52
Ob j
diagr C 97
push
DIAGR C 70
R
niment co compl ete 78
T T X
nimentpr e cocompl ete
ं ं
up
L C 146
0
librement engendr ee sur un graphe
adjonction 63
a ectation
Terme C 140
0
a jout
p etite 58
d un arc 180
sup er comma
d une comp osition
cha ne
d une factorisation a droite
choix
alg ebre 27
de co dage
des termes 27
de colimites
libre
co domaine 58
satisfaisant une equation
co egalisateur
anneau colimite
INDEX
c one 73 el ementaire 130
eche 79 foncteur 59
ob jet 74 asso ci e aunpr efoncteur
combinaison
colim 100
C
compl etion
Colim
C
d un diagramme
conservant fortement une coli
d une cat egorie
mite 86
th eor eme de
conservant les colimites 85
comp osition
conservant une colimite 84
dans DIAGR C
diagr 98
de eches
diagr F 98
de foncteurs
DIAGR 83
de morphismes de graphes
DIAGR F 83
desp eci cations
d ele 60
de transformations naturelles
I 72
C
plein 60
c one 73
forme
colimite 73
minimale 194
connexion 70
normale 132
contraction
Graph
d un arc identit e 183
graphe 55
co unit e
ni 56
cycle 186
sous jacent
diagramme 65
identit e
complet 189
syntaxique
ni 65
inclusion
vide 76
de zigzag 190
domaine 58
institution 51
doublet 179
interpr etation
el ementaire
inverse
eche 130
irr eductible 132
zigzag 190
isomorphisme 58 121
endofoncteur 60
de construction 50
ensemble
entre diagrammes
S 23
naturel 61 164
equation 28
lien 193
equivalence 165
LPG
extension 28
conservatrice
mo d ele
libre
mo dularit e
morphisme
factorisation
d alg ebres 27
a droite
de diagrammes 70
fermeture s emantique 28 52
eche de graphes 56
INDEX
de signatures 25 Sp ec 30 52
desp eci cations 29 53 substitution
de base 53 par ob jet isomorphe 174
suppression
mo dulaires 53
d un arc 176
g en eralis e de graphes 57
d un arc d un doublet
n ud 55
d une b oucle identit e
puits 193
traduction 29
ob jet
transformation
initial 76
Arc 180 Ajout
pr e initial 122
Compl etion
op erateur
Id 183 Contract
ordre
de diagrammes 173
relation d sur les zigzags el e
Minimal
mentaires 190
naturelle 164
stable par isomorphisme 174
pr ecat egorie 119
Subst Obj Iso 174
asso ci ee a une cat egorie
Suppr Arc 176
DIAGR C
transformation naturelle 60
Iso C 142
0
TERME C 137
0
g en eralis ee 71
p etite 121
I
pr e colimite
pr efoncteur 121
unit e
D
variable 27
d ele 122
plein 122
zigzag 56
pr e somme
el ementaire 190
amalgam ee 122
maximal 192
pro l
nul 56
opp os e 56
Set
Sig 26
signature 24
vide
somme
amalgam ee
disjointe
sorte
source 55
sp eci cation 52, 53
alg ebrique
de base 53
equationnelle 29
mo dulaire 53
vide
INDEX
R esum e
La comp osition de sp eci cations mo dulaires p eut etre mo d elis ee dans le for
malisme des cat egories par des colimites de diagrammes La somme amalgam ee
p ermet en particulier d assembler deux sp eci cations en pr ecisant les parties com
munes Notre travail p oursuit cette id ee classique selon trois axes
D un p oint de vue syntaxique nous d e nissons un langage p our repr esenter les
sp eci cations mo dulaires construites a partir d une cat egorie de sp eci cations et de
morphismes de sp eci cations de base Ce langage est caract eris e formellement par
une cat egorie de termes niment co compl ete
D un p oint de vue s emantique nous prop osons d asso cier a tout terme un dia
gramme Cette interpr etation p ermet de faire abstraction de certains choix e ectu es
lors de la construction de la sp eci cation mo dulaire Pour cela nous d e nissons une
cat egorie de diagrammes concr ete c est a dire dont les eches p euvent etre mani
pul ees e ectivement En consid erant le quotient par une certaine congruence nous
obtenons une compl etion de la cat egorie de base par colimites nies Nous montrons
que le calcul du diagramme asso ci e a un terme d e nit une equivalence entre la cat e
gorie des termes et la cat egorie des diagrammes ce qui prouve la correction de cette
interpr etation
En n nous prop osons un algorithme p our d ecider si deux diagrammes sont iso
morphes dans le cas particulier oulacat egorie de base est nie et sans cycle Cela
p ermet de d etecter des isomorphismes de construction entre sp eci cations mo
dulaires c est a dire des isomorphismes qui ne d ependent pas des sp eci cations de
base mais seulement de la mani ere dont celles ci sont assembl ees
Abstract
The comp osition of mo dular sp eci cations can b e mo deled in a category theo
retic framework by means of colimits of diagrams Pushouts in particular allowus
to gather two sp eci cations sharing a common part Our work extends this classic
idea along three lines
From a syntactic p oint of view we de ne a language to represent mo dular sp eci
cations built from a category of base sp eci cations and base sp eci cation morphisms
This language is formally characterized by a nitely co complete category of terms
From a semantic p oint of view we prop ose to asso ciate with each term a diagram
This interpretation allows us to abstract some choices made while constructing a
mo dular sp eci cation We thus de ne a concrete category of diagrams in which
arrows can actually be handled Considering the quotient by a certain congruence
relation we get a completion of the base category with nite colimits We prove that
this calculus de nes an equivalence b etween the category of terms and the category
of diagrams which shows the soundness of this interpretation
At last we prop ose an algorithm to decide whether two diagrams are isomorphic
when the base category is nite and cycle free This allows us to detect construc
tion isomorphisms b etween mo dular sp eci cations i e isomorphisms which do not
dep end on the base sp eci cations but only on their combination