De L'art Avec Des Fractales
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RENDEZ-VOUS LOGIQUE & CALCUL De l’art avec les fractales L’exploration de l’univers mathématique des fractales avec un ordinateur est un art analogue à la découverte esthétique du monde avec un appareil photo. Jean-Paul DELAHAYE n ne crée pas les objets mathé- – L’auteur doit-il être le concepteur du matiques, on les découvre, programme qu’il utilise ? En appuyant sur affirmera un philosophe réa- quelques touches du clavier, a-t-il sélec- liste des mathématiques. tionné un jeu de paramètres qui, après les Pourtant, leur variété est si grande qu’accé- calculs menés par la machine, lui a fourni Oder aux plus intéressants ou aux plus beaux un dessin susceptible d’être obtenu par exige un délicat savoir-faire et du talent. n’importe qui ? Nul ne met en doute que les motifs – Les créateurs des images ne sont-ils pas géométriques et décoratifs islamiques, que ceux qui ont inventé les formules et écrit l’on admire par exemple à l’Alhambra de les programmes, travail délicat et long ? Grenade ou au palais de la Bahia à Marrakech, – Le calcul et donc les mathématiques sont l’œuvre de grands artistes. Ces struc- sont-ils à l’origine de ces splendeurs, et tures mathématiques préexistaient à leur cet art est-il sans créateur ? matérialisation sur les murs, mais leur Nous répondrons non à chacune de ces sélection parmi l’infinité des possibilités questions ! est un acte artistique créateur. Comme pour tous les arts géométriques, dont celui des mosaïques de Grenade, le fait que l’œuvre soit identifiable comme Qui est le dessinateur ? un objet géométrique ou mathématique Adoptons une posture analogue pour les ne doit pas contredire l’idée que des artistes « images fractales » qui, comme les pavages ont choisi et exposé une forme ; il a fallu décoratifs, sont des structures géométriques travailler, explorer et faire preuve d’ima- déterminées par des formules, et examinons gination. Une maîtrise technique et un quelques questions sur le sujet : travail minutieux ont été nécessaires pour JÉRÉMIE BRUNET A CRÉÉ POUR CET ARTICLE cette image intitulée Treasure. Il s’agit d’une Mandelbox, un objet fractal à trois dimensions découvert par Tom Lowe en 2010 ; la fonction que la Mandelbox itère a la particularité d’utiliser des transformations conformes de l’espace (transformations qui conservent les angles). La richesse des structures de la Mandelbox et sa capacité à produire des variantes intéressantes en ont fait une des formules préférées des créateurs de fractales 3D. Les paramètres numériques utilisés pour cette image sont plus simples que ceux de la formule « standard ». L’artiste a recherché une harmonie graphique en épurant la formule au maximum tout en maintenant une grande diversité des motifs. La Mandelbox est expliquée par exemple dans un article de Jos Leys (http://images.math.cnrs.fr/Mandelbox.html) et dans le livre de Jérémie Brunet. les illustrations sont de Jérémie Brunet Toutes 78] Logique & calcul © Pour la Science - n° 450 - Avril 2015 Rendez-vous © Pour la Science - n° 450 - Avril 2015 Logique & calcul [79 Rendez-vous que la structure soit matérielle et durable. Un autre facteur complique l’évaluation géométriquement parfaites. En 2015, une Qu’un ordinateur et des programmes inter- des productions par ordinateur : les outils multitude de logiciels prennent en compte viennent dans le processus de création informatiques évoluent très vite et il est les nouveaux procédés mathématiques ne doit pas nous faire nier que ces œuvres délicat de distinguer ce qui se fait tout seul de création de fractales. Le véritable créa- sont élaborées. Dans la photographie et et ce qui exige efforts et savoir-faire. La loi teur se donne le temps de parcourir les le cinéma, les artistes utilisent de nombreux de Gordon Moore selon laquelle les perfor- espaces rendus accessibles par les logi- dispositifs techniques, dont l’ordinateur mances informatiques sont décuplées tous ciels, de s’y promener, d’y tracer ses propres qui joue un rôle pour les effets spéciaux, les cinq ans environ autorise l’exploration chemins, d’orienter son regard pour y l’ajustement et la correction des paramètres d’objets mathématiques qui étaient hors découvrir des trésors cachés. Comme en de luminosité et de contraste, etc. L’utili- de portée, notamment des fractales en trois photographie, ses visions sont personnelles sation d’outils techniques n’exclut pas qu’il dimensions. et inimitables. y ait un travail, de l’imagination, du talent, L’un des artistes est Jérémie Brunet, voire du génie. qui vient de publier L’art fractal. Aux fron- Les programmes qui calculent des Une évolution récente tières de l’imaginaire (Pole, 2014). Ce livre fractales produisent certes facilement des Depuis 2010, l’idée des hybridations (voir offre près de 150 images de fractales 3D. images étonnantes, comme les appareils l’encadré ci-dessous) a été mise en œuvre La richesse, la variété et la beauté d’un photo numériques qui se règlent automa- pour la création de fractales 3D. Grâce à monde nouveau éblouissent et subjuguent. tiquement sans demander de compétence ; ce passage dans l’espace, l’art fractal Le principal logiciel qu’il utilise se nomme mais seul celui qui les manipule, qui explore propose des formes analogues à celle du mandelbulb3D, qu’a développé un certain leur potentialité, fait acte de création. monde réel, mais sublimées, enrichies et Jesse (c’est un pseudonyme). Jérémie L’hybridation, source d’images fractales es dessins fractals ont longtemps été bidimensionnels, voire Des avancées dans les algo- pas une seule fonction f et de tridimensionnels, mais déduits simplement de méthodes liées rithmes de représentation des déterminer la présence ou non fractales 3D (par exemple les dans la fractale du point de coor- à la dimension 2. En particulier, on ne connaissait pas L algorithmes dits de ray marching) données (x, y, z) en observant le d’équivalent dans l’espace 3D de l’ensemble de Mandelbrot, et leur programmation ont multi- comportement de la suite autrement dit l’ensemble des points c du plan complexe tels que plié les possibilités, ouvrant les (x, y, z) → f(x, y, z) → f(f(x, y, z)) → la suite 0, f(0), f(f(0), f(f(f(0))), ..., où f(z) = z2 + c, reste bornée. portes à une formidable variété f(f(f(x, y, z))) → ..., mais de consi- de formes et d’images, et à l’ex- dérer deux fonctions (ou plus) f À partir de 2009, des complexe, ont permis de pression d’une sensibilité artis- et g déjà connues pour engendrer méthodes, consistant dans un progresser, c’est-à-dire de dispo- tique nouvelle : l’art fractal. des fractales et de déterminer les premier temps à trouver des ser d’algorithmes efficaces et Parmi les méthodes utilisées, points de la fractale selon la suite adaptations, à la dimension 3, de simples produisant des objets l’hybridation est une source provenant de l’utilisation à la fois l’opération z → z2 pour z = x + iy fractals de dimension 3. féconde. L’idée est de prendre non de f et de g. a b c Éponge de Menger (M) Fractale 3D de Sierpinski (S) Hybride MSMS 80] Logique & calcul © Pour la Science - n° 450 - Avril 2015 Rendez-vous Brunet a suivi et influencé les évolutions La précision, la délicate unité résultant tridimensionnelles pleinement satisfai- et les perfectionnements du logiciel, pro- de l’utilisation d’un même algorithme santes soient élaborées. duisant des images qui étonnent Jesse mathématique dans toutes les parties de La seconde étape est celle, informatique, lui-même. l’œuvre, les subtiles répétitions approxi- de la mise au point et du perfectionnement Une partie importante des images de matives de structures complexes, la dis- des techniques de visualisation, et de leur Jérémie Brunet est obtenue par la méthode position de tout cela dans l’espace en programmation. Pour obtenir de bons ren- d’hybridation. Il combine deux à six formules respectant les règles de la perspective et dus, il faut non seulement s’appuyer sur selon des « rythmes » variés. Cette méthode l’ajout d’une série soigneusement choisie les formules et procédés mathématiques permet de considérer plusieurs fractales d’effets photographiques, tout cela est découverts dans la première étape, mais de base et de les combiner (voir les figures inconcevable sans machine. aussi utiliser des algorithmes de représen- ci-dessous). Le choix des paramètres de tation en trois dimensions, dont certains rendu transforme ces objets en œuvres. Trois étapes de création doivent être adaptés ou réinventés. Jérémie Brunet est aussi connu pour ses Ainsi, en infographie, pour obtenir de films, promenades dans le monde des Le travail à l’origine des images fractales bons rendus, on décompose souvent les fractales 3D (www.youtube.com/user/ se décompose en trois étapes. éléments d’une scène en triangles très bib993). Et les sculptures qu’il réalise en La première est celle des formules et nombreux tirés des équations des faces utilisant les techniques de l’impression 3D des procédés de calcul. L’agilité et l’exper- ou des surfaces qui délimitent les objets permettent de toucher les nouvelles formes tise mathématiques sont à l’œuvre : il a présents. Or ce n’est pas possible directe- mathématiques (www.shapeways.com/ fallu attendre 2009 pour que des formules ment avec les images fractales 3D, car les shops/3dfractals). produisant des structures fractales objets qu’on cherche à figurer se présentent L’hybridation, source d’images fractales On peut par exemple utiliser la – L’hybride MSMS... entre 0 et 1). En faisant varier le Fragmentarium (http://syntopia. règle : (f, g, f, g, ...) (image c). paramètre a, on passe conti- github.io/Fragmentarium/), (x, y, z) → f(x, y, z) → g(f(x, y, z)) → – L’hybride SMSM..