De L'art Avec Des Fractales

RENDEZ-VOUS

LOGIQUE & CALCUL De l’art avec les fractales L’exploration de l’univers mathématique des fractales avec un ordinateur est un art analogue à la découverte esthétique du monde avec un appareil photo. Jean-Paul DELAHAYE

n ne crée pas les objets mathé- – L’auteur doit-il être le concepteur du matiques, on les découvre, programme qu’il utilise ? En appuyant sur affirmera un philosophe réa- quelques touches du clavier, a-t-il sélec- liste des mathématiques. tionné un jeu de paramètres qui, après les Pourtant, leur variété est si grande qu’accé- calculs menés par la machine, lui a fourni Oder aux plus intéressants ou aux plus beaux un dessin susceptible d’être obtenu par exige un délicat savoir-faire et du talent. n’importe qui ? Nul ne met en doute que les motifs – Les créateurs des images ne sont-ils pas géométriques et décoratifs islamiques, que ceux qui ont inventé les formules et écrit l’on admire par exemple à l’Alhambra de les programmes, travail délicat et long ? Grenade ou au palais de la Bahia à Marrakech, – Le calcul et donc les mathématiques sont l’œuvre de grands artistes. Ces struc- sont-ils à l’origine de ces splendeurs, et tures mathématiques préexistaient à leur cet art est-il sans créateur ? matérialisation sur les murs, mais leur Nous répondrons non à chacune de ces sélection parmi l’infinité des possibilités questions ! est un acte artistique créateur. Comme pour tous les arts géométriques, dont celui des mosaïques de Grenade, le fait que l’œuvre soit identifiable comme Qui est le dessinateur ? un objet géométrique ou mathématique Adoptons une posture analogue pour les ne doit pas contredire l’idée que des artistes « images fractales » qui, comme les pavages ont choisi et exposé une forme ; il a fallu décoratifs, sont des structures géométriques travailler, explorer et faire preuve d’ima- déterminées par des formules, et examinons gination. Une maîtrise technique et un quelques questions sur le sujet : travail minutieux ont été nécessaires pour

JÉRÉMIE BRUNET A CRÉÉ POUR CET ARTICLE cette image intitulée Treasure. Il s’agit d’une Mandelbox, un objet fractal à trois dimensions découvert par Tom Lowe en 2010 ; la fonction que la Mandelbox itère a la particularité d’utiliser des transformations conformes de l’espace (transformations qui conservent les angles). La richesse des structures de la Mandelbox et sa capacité à produire des variantes intéressantes en ont fait une des formules préférées des créateurs de fractales 3D. Les paramètres numériques utilisés pour cette image sont plus simples que ceux de la formule « standard ». L’artiste a recherché une harmonie graphique en épurant la formule au maximum tout en maintenant une grande diversité des motifs. La Mandelbox est expliquée par exemple dans un article de Jos Leys

(http://images.math.cnrs.fr/Mandelbox.html) et dans le livre de Jérémie Brunet. les illustrations sont de Jérémie Brunet Toutes

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que la structure soit matérielle et durable. Un autre facteur complique l’évaluation géométriquement parfaites. En 2015, une Qu’un ordinateur et des programmes inter- des productions par ordinateur : les outils multitude de logiciels prennent en compte viennent dans le processus de création informatiques évoluent très vite et il est les nouveaux procédés mathématiques ne doit pas nous faire nier que ces œuvres délicat de distinguer ce qui se fait tout seul de création de fractales. Le véritable créa- sont élaborées. Dans la photographie et et ce qui exige efforts et savoir-faire. La loi teur se donne le temps de parcourir les le cinéma, les artistes utilisent de nombreux de Gordon Moore selon laquelle les perfor- espaces rendus accessibles par les logi- dispositifs techniques, dont l’ordinateur mances informatiques sont décuplées tous ciels, de s’y promener, d’y tracer ses propres qui joue un rôle pour les effets spéciaux, les cinq ans environ autorise l’exploration chemins, d’orienter son regard pour y l’ajustement et la correction des paramètres d’objets mathématiques qui étaient hors découvrir des trésors cachés. Comme en de luminosité et de contraste, etc. L’utili- de portée, notamment des fractales en trois photographie, ses visions sont personnelles sation d’outils techniques n’exclut pas qu’il dimensions. et inimitables. y ait un travail, de l’imagination, du talent, L’un des artistes est Jérémie Brunet, voire du génie. qui vient de publier L’art fractal. Aux fron- Les programmes qui calculent des Une évolution récente tières de l’imaginaire (Pole, 2014). Ce livre fractales produisent certes facilement des Depuis 2010, l’idée des hybridations (voir offre près de 150 images de fractales 3D. images étonnantes, comme les appareils l’encadré ci-dessous) a été mise en œuvre La richesse, la variété et la beauté d’un photo numériques qui se règlent automa- pour la création de fractales 3D. Grâce à monde nouveau éblouissent et subjuguent. tiquement sans demander de compétence ; ce passage dans l’espace, l’art fractal Le principal logiciel qu’il utilise se nomme mais seul celui qui les manipule, qui explore propose des formes analogues à celle du mandelbulb3D, qu’a développé un certain leur potentialité, fait acte de création. monde réel, mais sublimées, enrichies et Jesse (c’est un pseudonyme). Jérémie

L’hybridation, source d’images fractales

es dessins fractals ont longtemps été bidimensionnels, voire Des avancées dans les algo- pas une seule fonction f et de tridimensionnels, mais déduits simplement de méthodes liées rithmes de représentation des déterminer la présence ou non fractales 3D (par exemple les dans la fractale du point de coor- à la dimension 2. En particulier, on ne connaissait pas L algorithmes dits de ray marching) données (x, y, z) en observant le d’équivalent dans l’espace 3D de l’ensemble de Mandelbrot, et leur programmation ont multi- comportement de la suite autrement dit l’ensemble des points c du plan complexe tels que plié les possibilités, ouvrant les (x, y, z) → f(x, y, z) → f(f(x, y, z)) → la suite 0, f(0), f(f(0), f(f(f(0))), ..., où f(z) = z2 + c, reste bornée. portes à une formidable variété f(f(f(x, y, z))) → ..., mais de consi- de formes et d’images, et à l’ex- dérer deux fonctions (ou plus) f À partir de 2009, des complexe, ont permis de pression d’une sensibilité artis- et g déjà connues pour engendrer méthodes, consistant dans un progresser, c’est-à-dire de dispo- tique nouvelle : l’art fractal. des fractales et de déterminer les premier temps à trouver des ser d’algorithmes efficaces et Parmi les méthodes utilisées, points de la fractale selon la suite adaptations, à la dimension 3, de simples produisant des objets l’hybridation est une source provenant de l’utilisation à la fois l’opération z → z2 pour z = x + iy fractals de dimension 3. féconde. L’idée est de prendre non de f et de g.

a b c

Éponge de Menger (M) Fractale 3D de Sierpinski (S) Hybride MSMS

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Brunet a suivi et influencé les évolutions La précision, la délicate unité résultant tridimensionnelles pleinement satisfai- et les perfectionnements du logiciel, pro- de l’utilisation d’un même algorithme santes soient élaborées. duisant des images qui étonnent Jesse mathématique dans toutes les parties de La seconde étape est celle, informatique, lui-même. l’œuvre, les subtiles répétitions approxi- de la mise au point et du perfectionnement Une partie importante des images de matives de structures complexes, la dis- des techniques de visualisation, et de leur Jérémie Brunet est obtenue par la méthode position de tout cela dans l’espace en programmation. Pour obtenir de bons ren- d’hybridation. Il combine deux à six formules respectant les règles de la perspective et dus, il faut non seulement s’appuyer sur selon des « rythmes » variés. Cette méthode l’ajout d’une série soigneusement choisie les formules et procédés mathématiques permet de considérer plusieurs fractales d’effets photographiques, tout cela est découverts dans la première étape, mais de base et de les combiner (voir les figures inconcevable sans machine. aussi utiliser des algorithmes de représen- ci-dessous). Le choix des paramètres de tation en trois dimensions, dont certains rendu transforme ces objets en œuvres. Trois étapes de création doivent être adaptés ou réinventés. Jérémie Brunet est aussi connu pour ses Ainsi, en infographie, pour obtenir de films, promenades dans le monde des Le travail à l’origine des images fractales bons rendus, on décompose souvent les fractales 3D (www.youtube.com/user/ se décompose en trois étapes. éléments d’une scène en triangles très bib993). Et les sculptures qu’il réalise en La première est celle des formules et nombreux tirés des équations des faces utilisant les techniques de l’impression 3D des procédés de calcul. L’agilité et l’exper- ou des surfaces qui délimitent les objets permettent de toucher les nouvelles formes tise mathématiques sont à l’œuvre : il a présents. Or ce n’est pas possible directe- mathématiques (www.shapeways.com/ fallu attendre 2009 pour que des formules ment avec les images fractales 3D, car les shops/3dfractals). produisant des structures fractales objets qu’on cherche à figurer se présentent

L’hybridation, source d’images fractales

On peut par exemple utiliser la – L’hybride MSMS... entre 0 et 1). En faisant varier le Fragmentarium (http://syntopia. règle : (f, g, f, g, ...) (image c). paramètre a, on passe conti- github.io/Fragmentarium/), (x, y, z) → f(x, y, z) → g(f(x, y, z)) → – L’hybride SMSM... nûment de la fractale associée à f Mandelbulb3D ( http://mandel- f(g(f(x, y, z))) → ... (g, f, g, f, ...) (image d). à celle associée à g. Le livre L’art bulb.com/), Des schémas d’utilisation plus – L’hybride SMMSMM... fractal. Aux frontières de l’imagi- Mandelbulber (http://sourceforge. complexes, du type (g, f, f, g, f, f, ...) (image e). naire de Jérémie Brunet utilise de net/projects/mandelbulber/), (f, f, g, g, ...), (f, g, f, f, g, f, f, f, g, ...), – L’hybride MSSMSS... nombreuses hybridations. Ultrafractal (http://www.ultrafrac- etc., ouvrent d’autres possibilités. (f, g, g, f, g, g, ...) (image f). Parmi les logiciels permettant tal.com/), En voici quelques-unes : Selon une autre hybridation, à de créer des images fractales 3D, Xenodream ( http://www.xeno- – L’éponge de Menger partir de deux fonctions donnant citons : dream.com/). (f, f, f, f, ...), ou M (image a). des fractales, on construit une Apophysis (http://apophysis.org/), D’autres informations sont – La fractale 3D de Sierpinski troisième avec la fonction Incendia (http://www.incendia. disponibles sur (g, g, g, g, ...), ou S (image b). h = a f + (1 – a) g (avec a compris net/), www.fractalforums.com.

d e f

Hybride SMSM Hybride SMMSMM Hybride MSSMSS

ŒUVRES D’ART MATHÉMATIQUES. L’auteur de ces réalisations 3D de fractales, Jérémie Brunet, est aujourd’hui l’un des principaux artistes « fractalistes ». Depuis son plus jeune âge, ce Français est passionné par ce type de créations, ce qui l’a conduit à en suivre les développements. En particulier, depuis 2009, année de la découverte de procédés nouveaux pour créer des fractales en trois dimensions, il a produit des œuvres qui ont été exposées dans le monde entier. Il vient de publier un livre, mais il réalise aussi de nombreux films, des sculptures et des bijoux.

le plus souvent comme de simples en- principaux, il y a aussi ceux de l’orientation sembles de points dont on ignore tout des du regard (deux paramètres), ceux de la faces qui les délimitent. Les fractales 3D couleur et des effets de matière (faire en sont en effet souvent définies comme des sorte que la fractale semble en or, par ensembles de voxels (l’équivalent des pixels exemple), ceux de l’éclairage, ceux de la de la dimension 2). On itère un calcul en transparence, et ceux spécifiques à chaque partant des coordonnées du voxel : forme fractale qu’on explore, et ils peuvent (x, y, z) → f(x, y, z) → f(f(x, y, z)) → ... être nombreux. et, selon le comportement de la suite Le travail fait autour des fractales, et en ■■ L’AUTEUR obtenue, on en déduit si le voxel appartient particulier des fractales 3D, est un travail à la fractale. On utilise aussi cette suite scientifique. On explore des objets mathé- J.-P. DELAHAYE pour fixer la couleur. Ce mode de définition matiques et on en crée. On tente donc de est professeur émérite impose des méthodes particulières de connaître un domaine mathématique. On à l’Université représentation. La qualité de la program- met au point des outils, algorithmes et pro- de Lille mation est aussi importante et la quan- grammes permettant d’y accéder et de mieux et chercheur au Centre de recherche tité de calcul pour arriver à une image le percevoir et le comprendre. Ce travail en informatique, signal et satisfaisante contraint parfois à faire des mathématique et scientifique est très éloigné automatique de Lille (CRISTAL). approximations : on développe donc un du travail habituel. L’essentiel des efforts ensemble de techniques spécifiques aux n’est pas de démontrer des théorèmes (il y dessins de fractales 3D. en a, mais tout ne tourne pas autour d’eux),

La troisième étape est celle de la pro- mais de trouver des structures esthétiques. ■■ BIBLIOGRAPHIE duction d’images, de films ou de sculptures. Les mathématiciens affirment être attachés C’est l’étape créative. Parfois, l’artiste pro- à la beauté des démonstrations, des théories J. Brunet, L’art fractal. Aux frontières de l’imaginaire, fitera d’un artefact des calculs pour obte- et des objets qu’ils manipulent, mais leurs Pole, 2014. nir une image encore plus étrange que celle visions ne sont pas celles de l’art fractal. M. Hvidtfeldt, blog Syntopia de la réalité mathématique. C’est l’analogue La communauté de l’art fractal com- (donne de précieuses des photos brouillées, des tirages surex- munique par des réseaux sociaux et des informations techniques), 2014, posés ou des éclats lumineux parasites forums (www.fractalforums.com/), plus http://blog.hvidtfeldts.net/ que les photographes exploitent délibéré- que par des articles scientifiques. De tels J. Leys, articles sur le site ment pour produire des images singulières. articles sont tout de même présents dans Images des Maths, 2010 : les revues et les conférences d’infographie, Un ballon de foot fractal, http:// images.math.cnrs.fr/Un-ballon- mais ils traitent principalement des mé- de-foot-fractal.html Une conception globale thodes générales de représentation. Les Mandelbox, http://images. Notons bien (peut-être est-ce ce qui dé- échanges se font principalement par la math.cnrs.fr/Mandelbox.html range ?) que la conception d’une image par publication d’images et de films sur des Mandelbulb, http://images. math.cnrs.fr/Mandelbulb.html l’artiste ne se fait pas pixel par pixel comme sites internet tels que DeviantArt (www. pour une peinture où l’artiste dépose pro- deviantart.com/) ou Flickr. C. Pöppe, Du relief pour les fractales, Pour la Science gressivement les pigments sur sa toile par Assez peu d’argent tourne autour de n° 395, septembre 2010. petites quantités. La conception ici est tout cela ; pratiquement tout est fait pour globale, l’artiste ne sait pas toujours pré- le plaisir et l’échange social, et il n’y a guère B. Mandelbrot, Fractals and an art for the sake of cisément ce qu’il va obtenir, mais il sait de postes académiques liés, le travail fait science, Leonardo, supplemental que telle modification produit tel effet, que ne s’insérant pas dans les disciplines tra- issue, pp. 21-24, 1989. choisir les éclairages selon telle méthode ditionnelles. donne une certaine atmosphère, que telle Il n’y a pas qu’une seule façon de faire palette de couleurs convient, etc. Il sait des mathématiques, qui serait la méthode aussi reconnaître une zone prometteuse définition-théorème-démonstration. Explo- et s’en approcher. rer l’univers des formules à la recherche N’oublions pas que l’exploration des de celles qui produisent des effets extra- fractales 3D est un jeu à quatre degrés de ordinaires, ou un important rapport entre liberté principaux : les trois directions de complexité apparente et complexité des l’espace habituel et le grossissement. En formules en est une autre. Répertorier les réalité, à côté de ces quatre paramètres méthodes, comprendre pourquoi elles

TRANTOR DESERT est le titre de cette autre fonctionnent, comment elles se combinent Le travail de pionnier de Benoît Man- œuvre de Jérémie Brunet. Trantor désigne est une activité de nature mathématique. delbrot sur les fractales a lui aussi été hors la planète capitale de l’Empire galactique, La répugnance des mathématiciens à norme et hors circuit. Se moquant un peu dans les romans d’Isaac Asimov (Cycle de l’Empire et Cycle de Fondation). sortir du schéma axiomatique a déjà eu des usages et de la frontière des disciplines, comme conséquence que les probabilités il a été un moteur essentiel au dévelop- (domaine où la modélisation est importante pement d’une multitude de travaux utili- et n’est pas une activité de type définition- sant l’idée des fractales. Ces travaux ont théorème-démonstration) et la logique touché les mathématiques, la physique, mathématique (où les aspects philoso- la biologie, l’astrophysique, l’économie et phiques des problèmes organisent une part l’art. Aujourd’hui, des dizaines de livres et importante du travail) n’ont été acceptées des milliers d’articles ont été écrits sur que tardivement. les fractales, qui sont un sujet transversal concernant toutes les sciences et bien au-delà. Leur existence, comme l’émer- Vers la reconnaissance ? gence d’un authentique art fractal, perturbe Il est peu probable que la communauté nos certitudes sur les frontières entre la mathématique soit prête à englober l’acti- science et l’art. n vité d’élaboration de méthodes nouvelles pour étendre le domaine des fractales et en Retrouvez la rubrique maîtriser mieux la production et l’exploration. Logique & calcul sur Mais gageons qu’à long terme, il est inévitable que cette reconnaissance se produise. www.pourlascience.fr