A Cr^Onica Do C Alculo: II. a Epoca De Newton E Leibniz

Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 18, n 3, setembro, 1996 181

A Cr^onica do Calculo:

II. A Ep o ca de Newton e Leibniz

Jose Maria Filardo Bassalo

Departamento de Fsica da UniversidadeFederal do Para

66075-900, Belem, Para, Brasil

Trabalho recebido em 30 de outubro de 1995

Nesta Cr^onica vamos mostrar como se desenvolveu o que ho je conhecemos como Calculo

Diferencial e Integral. Nesta segunda parte, estudaremos o desenvolvimento desse Calculo

devido, principalmente, aos trabalhos de Newton e Leibniz.

Abstract

In this Chronicle weshowhowwas developp ed what to day means Integral and Di e-

rential Calculus. In this second part, we study the development of this Calculus due,

mainly, to the Newton's and Leibniz's works.

1. Intro duc~ao ritmos. Assim, entusiasmado com a descob erta, ele cal-

culou diversos logaritmos das areas sob uma hiperb ole

Na primeira parte da Cr^onica, vimos como se de-

equilatera ate 55 casas decimais. Na primavera de 1665,

senvolveu o Calculo Diferencial e Integral desde a

Newton demonstrou que o problema das tangentes (di-

Antiguidade ate os trabalhos que antecederam aos de

ferenciac~ao, na linguagem atual) e o das quadraturas

Newton e Leibniz. Nesta segunda parte, estudaremos

(integrac~ao, tambem na linguagem atual) apresentavam

os trabalhos de Newton e de Leibniz e de seus contem-

entre si uma relac~ao inversa, relac~ao que constitui o Te-

p or^aneos.

orema Fundamental do Calculo.

As principais contribuic~oes do fsico e matematico

ingl^es Sir Isaac Newton (1642-1727) para o desenvolvi-

Na primavera-ver~ao de 1665, Newton descobriu um

mento do Calculo,aconteceram no p ero do entre 1664

novo asp ecto para tratar o problema das tangentes e

e 1676, quando estudou os principais livros escritos, ate

quadraturas. Ateent~ao, conforme vimos, ele havia con-

ent~ao, sobre Matematica. Vejamos essas contribuic~oes.

siderado as areas como somas estaticas de in nitesi-

Newton havia aprendido, no livro de Wallis, mais, no mesmo estilo de Wallis. No entanto, naquela

como este realizavaocalculo de areas sob curvas, o casi~ao, passou a tratar as areas cinematicamente,

considerando-as como soma estatica de in nitesimais. como se fossem varridas p or uma linha movel. No ou-

Para esse calculo, Wallis utilizava-se de induc~oes, inter- tono de 1665, estendeu essa ab ordagem cinematica a

p olac~oes, aproximac~oes e logaritmos, trabalhando no gerac~ao de curvas, e tratou-as como o lugar geometrico

domnio do in nito, isto e, com series in nitas. Ent~ao, (lo cus)deumponto que se deslo cava em condic~oes

no inverno de 1664-1665, estendeu o meto do de Wallis determinadas. Com essa ideia de movimento, passou a

usando expans~oes binomiais em termos dessas series. considerar suas variaveis como geradas p or movimentos

Com a expans~ao (teorema) binomial, Newton obser- contnuos de p ontos, linhas e planos, o que lhe p ermitiu

vou que p o deria encontrar a area abaixo de pratica- derivar o termo uxional esuasvariantes. Assim, a

mente qualquer curvaalgebrica, e expressa-la em loga- essas variaveis (p or exemplo, x e y) denominou-as de

Este artigo e em homenagem ao meu amigo PAULO RENATO BENTIVEGNA, medico paulista, estudioso e entusiasta do Calculo.

182 J. M. Filardo Bassalo

uentes eas suas velo cidades chamou-as de ux~oes, geral e inverso ao utilizado para se tracar tangentes a

e denotadas p or p e q, resp ectivamente. Ainda nesse curvas. Com efeito, Newton demonstrou que aarea z

m + n

n n

ax estudo baseado no movimento, Newton a rmou que \as e dada p or .Para sob a curvay=ax

m + n

linhas in nitamente p equenas" descritas p elos corp os a fazer a demonstrac~ao, Newton considerou um acrescimo

cada momento eram as velo cidades com que eles as des- in nitesimal da variavel x (denominado p or ele de mo-

creviam, e que a raz~ao entre as velo cidades de y e x em mento de x e denotado p or o), com o corresp ondente

qualquer p onto de uma curva, de nia a tangente nesse aumento oy (momento da area) para a area z. Com

ponto. isso, obteveaarea aumentada na forma: z + oy=

m + n

a(x + o) . Em seguida, aplicou a expans~ao

Ometo do baseado no movimento foi tambem ex-

m + n

binomial ao lado direito dessa equac~ao, cancelou termos

plorado p or Newton em tr^es outras o casi~oes: 13 de No-

semelhantes, dividiu tudo p or o, desprezou termos que

vembro de 1665, 14 e 16 de Maio de 1666. Por m,

ainda continham o, e obteve nalmentequey=ax .

em Outubro de 1666, em um manuscrito intitulado To

Resolve Problems by Motion (ParaResolver Problemas

Uma exp osic~ao mais completa sobre o meto do do

pelo Movimento), Newton apresentou a exp osic~ao de

calculo de tangentes e de quadraturas (p or intermedio

seu meto do das ux~oes, emb ora com uma notac~ao

de uentes e ux~oes), desenvolvido entre 1665 e 1666,

provisoria e ainda complicada.

foi apresentada p or Newton no manuscrito Tractatus de

Methodis Serierum et Fluxionum (Tratado dos Metodos A partir do nal de 1666, Newton afastou-se um

das Series e Flux~oes), manuscrito iniciado no inverno p ouco da matematica e passou a se dedicar ao estudo

de 1670-1671 e que, contudo, nunca foi concludo. do movimento dos corp os, da luz e das cores, temas

Ainda nesse manuscrito, Newton apresentou um grande que jahavia questionado (juntamente com alguns te-

numero de aplicac~oes das ux~oes, tais como, diferen- mas matematicos), enquanto aluno do Trinity College

ciac~oes de func~oes implcitas, calculos de tangentes, de da Universidade de Cambridge, e que os havia regis-

maximos e mnimos, de p ontos de in ex~ao, e de curva- trado em um caderno de ap ontamentos, com o ttulo de

turas de curvas, chegando, nesteultimo caso, a calcular Quaestiones quaedam Philosophicae, escrito, provavel-

15 9

corretamente os seus raios de curvatura, dado p or (na mente, p or volta de 1664.

(1 +y _ )

. notac~ao de ho je): R =

A publicac~ao dos livros do matematico esco c^es Ja-

mes Gregory (1638-1675), De VeraCirculi et Hyper-

Quando o matematico alem~ao Gottfried Wilhelm

bolae Quadratura, em 1667, Geometriae Pars Univer-

Leibniz (1646-1716) comecou a publicar seu trabalho

salis e Exercitationes Geometricae,em1668,edoli-

sobre o Calculo Diferencial, em Outubro de 1684, no

vro Logarithmotechnia do matematico alem~ao Nikolaus

Acta Eruditorum Lipsiensium (Ata dos Eruditos de

Mercator (Kau mann) (1620-1687), tambem em 1668,

Lpsia (Leipzig)), Newton considerou a hipotese de

fez com que Newton voltasse novamente sua atenc~ao

tambem publicar seus trabalhos sobre Matematica. As-

para a Matematica. Nesses livros, hao calculo de qua-

sim, em meados de 1691, resolveu dar continuidade

draturas p or intermedio de representac~oes em serie.

aummanuscrito que comecara em 1676, intitulado

Como, anteriormente, Newton jahavia obtido quadra-

De Quadratura Curvarum (SobreaQuadraturadas

turas, usando um meto do que desenvolvera e envol-

Curvas), escrevendo ent~ao um novomanuscrito, no

vendo, tambem, representac~oes em series, conforme vi-

qual apresentou um conjunto de problemas resolvidos

mos acima, resolveu ent~ao exp or esse meto do no ma-

pelo meto do das ux~oes, problemas semelhantes aos

nuscrito intitulado De Analysi per Aequationes Numero

que Leibniz havia resolvido com o seu proprio meto do.

Terminorum In nitas (SobreaAnalise de Equac~oes

Alem disso, considerou um sistema de notac~oes como

com Numer o Ilimitado de Termos), escrito em 1669.

alternativa ao apresentado p or Leibniz. Portanto, foi

no De Quadratura que adotou, em de nitivo, a notac~ao Ometo do usado p or Newton e descrito no De Anal-

x_ para representar a ux~ao de x, assim como a notac~ao ysi, consistia em obter quadraturas p or um pro cesso

Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 18, n 3, setembro, 1996 183

tentativa de de nir limite de uma func~ao. Por outro x' para representar o uente cuja ux~ao e x,alem de

lado, no Lema VI I, ele demonstrou que a secante a um exp erimentar o Q (de quadratura) como substituto

arco transforma-se em uma tangente, quando se usam de usado p or Leibniz. E mais ainda, dobrando os

\asultimas raz~oes". pontos (.) e as linhas ('), Newton representou, resp ec-

tivamente, ux~oes de ux~oes e uentes de uentes.

Muito emb ora Newton ha ja utilizado o meto do das

raz~oes na demonstrac~ao de alguns Lemas do Livro I, Ainda no De Quadratura, Newton abandonou a

conforme registramos acima, somente no Livro I I do ideia de acrescimos in nitesimais e explicou o meto do

Principia, apresentou os algortimos de seu meto do de das ux~oes em termos de raz~oes: primeira raz~ao

calculo. Por exemplo, no Lema I I do Livro, escreveu: de quantidade nita nascente e ultima raz~ao de

- \O momento de qualquer genitum e igual aos momen- quantidade n ma.Vejamos como Newton intro du-

tos de cada um dos lados geradores, multiplicado p elos ziu esses conceitos, ao calcular, p or exemplo, a ux~ao

n 18

ndices das p ot^encias desses lados, e p or seus co e cien- da func~aoy=x . Assim, para encontrar a ux~ao de

tes continuamente". Para demonstrar esse Lema, New- y, Newton deixou x \ uir", isto e, tornar-se x + o e,

22 n

ton primeiro de niu o genitum e seu momento. Em p ortanto, x tornar-se-ia:

n n

2 n2 n n n1

seguida, designando p or a, b, c os momentos resp ecti- o x + ... . New- (x + o) =x +nox +

vos de A, B, C, calculou o momento de alguns genita. ton observou ent~ao que os aumentos de x e y, a sab er,

n n

2 n2 3 4 2 n1

o x + ... estavam relaciona- Por exemplo, para o genitum A B C ,obteveose- oenox +

n n

n1 n2 2 4 2 3 3 2 3 4

dos entre si como 1 e nx + ox + ... que, guinte momento: 3aA B C +4bA B C + 2cA B C,

3 2

para ele, signi cavaa primeira raz~ao. Ao fazer nesta assim como para o genitum A B ,omomento resp ec-

2 2 3 3

raz~ao o desaparecer, encontrou a ultima raz~ao,isto tivo obtido p or Newton foi 3aA B -2bA B .Por

e: 1: nx .Portanto, concluiu que a ux~ao da quan- essas express~oes, v^e-se que os momentos intro duzidos

tidade x esta relacionadaa ux~ao da quantidade x . p or Newton, signi cam os diferenciais de ho je.

Na linguagem de ho je, teriamos: Se y = x ,ent~ao

Novas contribuic~oes para o desenvolvimento do

o 1 x_

lim ( )= = . Em vista disso,

o ! 0 n n n1

Calculo,porem, diferentemente das de Newton, foram

(x+o) x nx y_

o meto do de raz~oes e ho je reconhecido como o pre-

apresentadas p or Leibniz no p ero do de 1672 a 1676,

cursor da Teoria dos Limites.

quando se encontravaemParis, cumprindo uma miss~ao

diplomatica, e a partir de 1676, quando tornou-se bibli- Newton conseguiu publicar suas ideias sobre o

otecario e conselheiro do Elector de Hanover. Logo que Calculo em seu famoso livro Philosophiae Naturalis

chegou a Paris, em 1672, encontrou-se com o fsico ho- Principia Mathematica (Princpios Matematicos de Fi-

land^es Christiaan Huygens (1629-1695), que trabalhava loso a Natural), editado em 1687. Emb ora esse livro

na Academia Francesa de Ci^encias. Como Leibniz ja seja bastante conhecido como aquele em que apresentou

havia feito alguns trabalhos envolvendo Matematica, os fundamentos da Fsica e da Astronomia em lingua-

nesse encontro, mostrou desejo de tornar-se um ma- gem de geometria pura, em algumas partes do mesmo,

tematico, o que motivou Huygens a recomendar- Newton lancou m~ao de meto dos analticos. Com efeito,

lhe, principalmente, a leitura dos trabalhos dos ma- o meto do de raz~oes que havia desenvolvido no De

tematicos, os franceses Rene Descartes (1596-1650) e Quadratura, ele o utilizou para a demonstrac~ao de di-

Pascal, o b elga Rene-Francois Sluse (1622-1685), o es- versos Lemas do Livro I, intitulado O Movimento do

co c^es Gregory e o italiano Bonaventura Cavalieri (1598- Corpos.Por exemplo, o Lema I, diz que: - \As quan-

1647). Assim, em 1673, ao estudar o \tri^angulo" dos tidades, e as raz~oes de quantidades, que em qualquer

acrescimos nos trabalhos de Pascal (ao qual deu o temp o nito convergem continuamente para a igual-

nome de caracterstico,conformeja dissemos), Leib- dade, e antes do m daquele temp o aproximam-se mais

niz apresentou sua regra de transmutac~ao: - \A area de uma da outra do que p or qualquer diferenca dada,

sob uma curva p o de ser considerada como sendo a soma tornando-se nalmente iguais". Isto e, certamente, uma

184 J. M. Filardo Bassalo

uma soma e d uma diferenca. Desse mo do, passou a das areas de ret^angulos p equenos, mas tambem como

usar dy, e comecou a pro curar regras para o smbolo d, a soma das areas de tri^angulos p equenos". Ao aplicar

) p ois estava convencido de que d(uv) 6= du . dv e d( essa regra a um grande numero de curvas, p^ode dedu-

. 6= zir facilmente a quadratura da parab ola e da hiperb ole.

Por outro lado, ao aplica-la \a quadratura aritmetica

Novos resultados para o desenvolvimento de seu

1 1

=1 - + - do crculo", encontrou a famosa serie:

Calculo, Leibniz os obteve a partir de 1676, jaemHa-

4 3 5

1 1 1

+ - +....

nover. Por exemplo, em um manuscrito de 26 de Ju-

7 9 11

nho desse ano, demonstrou que a melhor maneira de

Ainda em 1673, Leibniz foi a Londres onde se en-

encontrar tangentes a curvas e obter , onde dy e

controu com cientistas ingleses (dentre eles, Boyle, Co-

dx s~ao diferencas e representa um quo ciente. Para

llins e Ho oke) e, tambem, com Oldenburg, que era

chegar a esse resultado, considerou (sem nenhuma ex-

secretario da Royal So ciety, conforme ja referimos.

plicac~ao) que o pro duto dy.dx e p ot^encias mais altas de

Nessa o casi~ao, tomou contato com os trabalhos de Bar-

dx deveriam ser despresados. Em manuscrito escrito

rowedeGregory, e p erceb eu que havia redescob erto

em Novembro daquele mesmo ano, Leibniz encontrou

tecnicas que ja eram conhecidas p or esses dois ma-

n+1

n n1 n

regras gerais para dx =nx dx e x = ,com

tematicos, tecnicas essas que indicavam que as deter-

n+1

n inteiro ou fracionario, assim como obtevearegra

minac~oes de areas e de tangentes s~ao op erac~oes inver-

da cadeia ao escrever: - \Para diferenciar a express~ao

sas.

a + bz + cz , facamos a + bz + cz = x, diferen-

De volta aFranca, Leibniz comecou a preparar os

ciemos x emultipliquemos o resultado p or ".

famosos manuscritos de 1675 (datados de 25, 26 e 29

Em um manuscrito datado de 11 de Julho de 1677,

de Outubro e 1 e 11 de Novembro) que constituem suas

Leibniz apresentou as regras corretas para se obter a

principais contribuic~oes ao Calculo. Assim, nos manus-

diferencial da soma, do pro duto e do quo ciente de duas

critos de 25 e 26 de Outubro, iniciou seus estudos sobre

func~oes, p orem, sem demonstra-las. Em 1680, atribuiu

ocalculo de areas, usando o simb olismo intro duzido p or

para dx e dy os signi cados, resp ectivos, de diferencas

Cavalieri, quer dizer, ele escreveu \omn.`", como abre-

de ab cissas e de ordenadas, sendo que para dy nomeou

viac~ao para \omnes `" (\to dos os `), para indicar aarea

esp eci camente de diferenca moment^anea. Ainda

de uma curva cujas ordenadas s~ao `.Nomanuscrito de

nesse mesmo ano, mostrou que para se obter a area sob

29 de Outubro, inicialmente, Leibniz apresentou a re-

uma curva, bastaria somar ret^angulos de altura y ede

gra de integrac~ao p or partes: omn. x` u x omn. ` -

base dx,istoe, bastaria calcular y dx; apresentou,

omn.omn. ` e, com ela, mostrou que omn. x = .No

tambem, a formula para calcular o elemento de arco (ds

entanto, ainda nesse manuscrito, Leibniz decidiu, re-

2 2

= dx + dy )eovolume de um solido de revoluc~ao

pentinamente, substituir omn. p elo smbolo , que e

obtido p ela revoluc~ao de uma curva em torno do eixo

o s estilizado de calgrafo, que signi ca suma (soma).

dos x:V= y dx.

Ainda nesse manuscrito, Leibniz encontrou regras para

R R R

op erar com : a ` =a `,sea for uma constante Ocalculo desenvolvido p or Leibniz em manuscri-

R R R

e (y+z)= y+ z, b em como intro duziu o tos, conforme vimos ate aqui, foi nalmente publicado

smb olo d para denotar a diferenciac~ao como op erac~ao no Acta Eruditorum o primeiro p eriodico cient co da

inversa de tomar a quadratura; p orem, esse smbolo Alemanha, criado em 1682. Assim, em Outubro de

atuava como um denominador, conforme se p o de ver 1684, esse p eriodico trouxe um artigo de Leibniz, no

segundo escreveu nesse manuscrito: -\Sup onha que qual as regras de op erac~ao de d, apresentadas em 1677,

,ent~ao, assim como aumenta, ` u ya. Seja ` u foram ent~ao demonstradas. Ainda nesse artigo, Leib-

d diminui as dimens~oes". Mais tarde, no manuscrito niz fez aplicac~oes de seu meto do ao demonstrar como se

de 11 de Novembro observou que nem aumenta a di- calcula tangentes, maximos e mnimos (dv = 0), conca-

signi ca mens~ao, e nem d diminui, e que, realmente, vidade e convexidade, e p ontosdein ex~ao (d dv = 0),

Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 18, n 3, setembro, 1996 185

com o conceito de variac~ao daquelas quantidades. New- para diversas curvas.

ton tratou a taxa de variac~ao de uma variavel atraves

Leibniz continuou apresentando, no Acta,novos re-

do conceito de ux~ao. Leibniz, p or sua vez, tratou-a

sultados decorrentes da aplicac~ao de seu meto do de

por intermedio do conceito de diferencial. A terceira

calculo. Para mostrar que, em algumas situac~oes, o

diferenca esta ligada ao conceito de integrac~ao. Para

seu meto do era melhor, no artigo publicado no Acta de

Newton, esta tinha como tarefa ap enas a func~ao de en-

Junho de 1686, obteve a equac~ao da cicloide na forma y

contrar os uentes para as ux~oes dadas. Ja Leibniz

. Ainda nesse trabalho, Leibniz 2x xx + =

2xxx

interpretou-a como um somatorio. Os in nitesimais

estudou a curvatura e o crculo osculatriz de uma curva

constituem a quarta diferenca. Newton considerou-

em um dado p onto, b em como apresentou a celebre

os ap enas como mecanismo de encontrar as ux~oes.

formula para calcular a derivada enesima do pro duto de

Leibniz, contudo, tratou-os realmente como p equenos

duas func~oes. Nos Acta de 1692, 1693 e 1694, Leibniz

acrescimos.

encontrou um meto do geral para se obter o envelop e

A quinta diferenca entre as contribuic~oes de Newton

de uma famlia de curvas, como, tambem, mencionou

e Leibniz ao desenvolvimento do Calculo, diz resp eito

regras para a diferenciac~ao de func~oes trigonometricas,

ao uso de series para representar as func~oes resultantes

logartmicas e exp onenciais.

da soluc~ao das equac~oes diferenciais. Newton usou-as

Asultimas contribuic~oes de Leibniz para o desen-

sistematicamente, enquanto Leibniz preferiu a forma fe-

volvimento do calculo, apareceram em cartas que es-

chada. Por m, a maneira de trabalhar com o Calculo

creveu a Johnn Bernoulli, em 1697. Nelas, apresen-

constitui a sexta diferenca. Newton era emprico e con-

tou a diferenciac~ao de uma integral, com relac~aoaum

creto, Leibniz era esp eculativo e generalista. Por exem-

determinado par^ametro. Tambem, apresentou a ideia

plo, enquanto Leibniz usou notac~oes para representar a

de que muitas integrais inde nidas p o deriam ser re-

diferenciac~ao (d) e a integrac~ao ( ), e obteve regras

solvidas se fossem reduzidas a formas conhecidas, as-

para essas op erac~oes, Newton usou ap enas a notac~ao

sim como p ensou num mo do de preparar tab elas para

(.) para representar as ux~oes e n~ao se preo cup ou em

tais reduc~oes, isto e, tab elas de integrais. Pro curou

obter regras para aquelas op erac~oes.

ainda de nir diferenciais de ordens mais altas, tais como

ddy e dddy, pro curando encontrar, sem muito ^exito,

Notas e Refer^encias Bibliogra cas

um signi cado para d y, onde e qualquer numero

real. Por m, em 1714, dois anos antes de sua morte,

Leibniz escreveu Historia e Origo Calculi Di erentia-

1. BASSALO, J. M. F. 1995. ACr^onicadoCalculo:

lis (Historia e Origem do Calculo Diferencial) no qual

I. Antes de Newton e Leibniz. CCEN-DF-005/95.

relatou o desenvolvimento de seu proprio p ensamento

sobre o Calculo. Nesse livro, Leibniz usou a palavra

2. Para escrever este artigo, nos baseamos nos se-

func~ao para representar quantidades que dep endem de

guintes textos: BARON, M. E. 1985. Curso de

uma variavel.

Historia da Matematica: Origens e Desenvolvi-

mento do Calculo, Unidades 1 e 2; BARON, M. Ao concluirmos essa segunda parte da Cr^onica

E. e BOS, H. J. M. 1985. idem Unidade 3; BOS, do Calculo na qual estudamos as principais contri-

H. J. M. 1985. idem Unidades4e5,daOpen buic~oes de Newton e Leibniz para o seu desenvolvi-

University. Editora da Universidade de Braslia; mento, vejamos as principais diferencas entre essas

BOYER, C. B. 1968. A History of Mathematics. contribuic~oes. A primeira delas refere-se as quan-

John Wiley and Sons; CASINI, P.1995. New- tidades variaveis. Enquanto Newton considerou-

ton e a Consci^encia Europeia. Editora UNESP; as como dep endentes do temp o, Leibniz tomou-as

KLINE, M. 1974. Mathematical Thought from como p ercorrendo sequ ^encias de valores in ni-

Ancient to Modern Times. Oxford University tamente proximos. A segunda diferenca relaciona-se

186 J. M. Filardo Bassalo

negativo), Newton se baseou num outro conceito Press; PLA, C. 1945. Isaac Newton. Espasa-

novo, a frac~ao decimal, que p o dia ser usada para Calp e Argentina, S.A.; RONAN, C. A. 1987.

calcular, p or exemplo, o valor de ,t~ao rigoro- Historia Ilustrada da Ci^encia. Jorge Zahar Edi-

samente quanto se quisesse, bastando para isso tor; SEDGWICK, W. T., TYLER, H. W. e BIGE-

aumentar o numero de casas decimais. Essa ex- LOW, R. P.1950. Historia da Ci^encia. Editora

pans~ao binomial foi descrita p or Newton em duas Glob o; STRUIK, D. J. (Editor) 1969. A Source

cartas que enviou, em 13 de Junho e 24 de Ou- Book in Mathematics, 1200-1800.Harvard Uni-

tubro de 1676, a Henry Oldenburg (c.1615-1677), versity Press; WESTFALL, R. S. 1995. A Vida

secretario da Royal So ciety, e que, p or sua vez, de Isaac Newton. Editora NovaFronteira.

as enviou a Leibniz. (Note-se que a expans~ao bi-

3. Segundo seu proprio dep oimento, Newton estu-

nomial para m inteiro, ja era conhecida p elos tra-

dou o Elementos de Geometria do matematico

balhos dos matematicos, o p ersa Omar Khayyam

grego Euclides de Alexandria (323-285); o

(c.1050-1123), o chin^es Yang Hui (f.c.1261-1275),

Exercitationes Mathematicae (Exerccios de Ma-

o alem~ao Peter Apian (1495-1552), o italiano Nic-

tematica)(1657)eoGeometria a Renato Des

coloFontana de Brescia (Tartaglia) (c.1550-1557),

Cartes (Geometria de Rene Descartes) (1659) do

e o franc^es Blaise Pascal (1623-1662).)

matematico holand^es Frans van Scho oten (1615-

1660); o Clavis Mathematicae (A Chave da Ma-

6. A ideia de velo cidade considerada p or Newton es-

tematica) (1631) do matematico ingl^es William

condia uma outra variavel, invisvel: o temp o.

Oughtred (1574-1660); o Arithmetica In nitorum

Desse mo do, parece que e neste p onto que o

(Aritmetica do In nito) (1655) do matematico

conceito de temp o absoluto entrou como fun-

ingl^es John Wallis (1616-1703); e o In Artem

damentac~ao logica no p ensamento newtoniano.

Analyticem Isagoge (Introduc~ao aArte Analtica)

(WESTFALL, op. cit.)

(1591) do matematico franc^es Francois Viete

(1540-1603). Essas leituras, p ossivelmente, leva-

7. Esses trabalhos de Newton so foram organiza-

ram Newton a escreverparaofsico Rob ert Ho oke

dos e publicados em 1962, p or A. Rup ert Hall e

(1635-1703), sua famosa frase: - \Se vi mais longe

M. Boas Hall, p ela Cambridge UniversityPress,

do que Descartes, foi p orque subi em ombros de

com o ttulo: Unpublished Scienti c Papers of Sir

gigantes".

Isaac Newton.

4. Em seu Arithmetica In nitorum,Wallis chegou a

demonstrar que ,ondep pode as- !

p+1

n p +1

8. Newton foi matriculado nesse Colegio no dia 5 de

sumir qualquer valor, p ositivo, negativo, ou fra-

Junho de 1661, como p ensionista p obre (subsi-

cionario. Usando seu meto do, Wallis tentou resol-

zar), e p ercorreu regularmente to das as etapas do

ver o problema da quadratura do crculo expan-

currculo: Scholar em 1664, Bachelor of Arts

1 x em serie e, para dep ois, integra- dindo

em 1665, Ma jor Fellow e Master of Arts em

la termo a termo. N~ao obteve sucesso, p orem

1668.

conseguiu encontrar o valor de por intermedio

2:2:4:4:6:6:8:8:10:10:::

= . de um pro duto in nito:

2 1:3:3:5:5:7:7:9:9:::

9. Essas Questiones resultaram de re ex~oes que

Observe-se que esse problema foi resolvido p or

Newton fez sobre a leitura de varios autores, den-

Newton, ao descobrir a expans~ao binomial, con-

tre os quais se destacam o qumico ingl^es Rob ert

forme veremos a seguir.

Boyle (1627-1691), o losofo franc^es Pierre Gas-

sendi (1592-1655), o p o eta e losofo ingl^es Henry 5. Para chegar a expans~ao ou teorema binomial ((x

More (1614-1687), alem de Descartes e Ho oke. +y) ,comm inteiro ou fracionario, p ositivoou

Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 18, n 3, setembro, 1996 187

para tratar este assunto". Somente em agosto de 10. No De VeraCirculi, Gregory apresentou uma

1669, Collins soub e que \esse amigo de Barrow", serie de calculos de quadraturas usando o meto do

era Newton. Collins, p or sua vez, fez circular dos in nitesimais. Ainda nesse livro, Gregory de-

esse manuscrito de Newton entre os maiores ma- niu uma func~ao como uma quantidade obtida

tematicos europ eus (menos a Wallis, devido sua de outras quantidades p or intermedio de uma su-

fama de plagiador), sendo nalmente editado p elo cess~ao de op erac~oes algebricas ou p or um outro

matematico ingl^es William Jones (1675-1749), em tip o de op erac~ao inimaginavel, sendo estaultima

1711. Alias, e op ortuno destacar que foi esse uma especie de passagem ao limite. Nos ou-

matematico quem intro duziu o smbolo , para tros dois livros, Gregory obteve a representac~ao

representar a relac~ao entre o comprimento e o em serie de algumas func~oes, p or intermedio do

di^ametro da circunfer^encia, em 1706, no livro Sy- meto do de quadraturas. Por exemplo, ele encon-

nopsis Palmariorum Matheseos (Nova Introduc~ao trou a representac~ao em serie da func~ao arctgx,

a Matematica). dividindo 1 p or 1 + x e aplicando o meto do da

quadratura a cada termo da serie resultante dessa

12. Antes de escrever o De Analysi, Newton usava

divis~ao. Na linguagem atual, essa serie de Gre-

a notac~ao o que representava p equeno intervalo x

gory,e obtida da seguinte maneira:

o 1+x

de temp o e as notac~oes op e oq para represen-

2 4 6

= (1 x + x x + ::::) dx =

3 5 7

tar as p equenas variac~oes exp erimentadas p or x

x x x

x- + - + ... = arctg x. Gregory

3 5 7

e y durante esse mesmo intervalo de temp o. Por

tambem obteve a representac~ao em serie de outras

n m

exemplo, a tangente a curvay =x , era calcu-

func~oes trigonometricas, mais tarde obtidas p elos

lada p or Newton, da seguinte maneira: (y + o q)

matematicos, o ingl^es Bro ok Taylor (1685-1731)

= (x + op) . Em seguida, expandia ambos os

e o esco c^es Colin Maclaurin (1698-1746). Em

termos p elo teorema binomial, dividia tudo p or

seus trabalhos, Gregory observouqueocalculo

o, desprezava os termos que ainda continham o

de quadraturas e de reti cac~ao de curvas, era in-

, que repre- e, p or m, obtinha: = x

p n

verso ao calculo de tracar tangentes a curvas, as-

senta a tangente acurvay=x .NoDe Analysi,

sim como havia demonstrado que (na notac~ao mo-

conforme dissemos, Newton usou o para repre-

derna) secxdx=ln(secx+tgx).Por sua vez,

sentar um p equeno acrescimo na variavel inde-

usando o meto do de Gregory, Mercator obteve

p endente, a mesma notac~ao usada p or Gregory,

uma representac~ao em serie para a func~ao ln(1

em seu Geometriae, de 1668, e que substituia

+ x). Na linguagem atual, essa serie de Mer-

x a notac~ao E usada p elo matematico franc^es Pi-

cator e obtida da seguinte maneira: =

o 1+ x

erre Fermat (1601-1665) em seu livro Methodus

x x

2 3

- (1 x + x x + :::) dx =

1 2

3 4

ad Disquirendam Maximam et Minimam (Metodo

x x

+ - +...= ln(1+x). E op ortuno ob-

3 4

de Encontrar Maximos e Mnimos), de 1637, e a

servar que o termo logaritmo natural (ln), ja

notac~ao e usada p or van Scho oten. Alias, eopor-

havia sido usado p elo matematico italiano Pietro

tuno destacar que a escolha da notac~ao o para

Mengoli (1625-1686), em 1650.

representar uma quantidade p equena e, que, sub-

sequen temente deve ser considerada nula, jahavia

11. Newton mostrou esse trabalho a seu amigo, o

sido utilizada p or Jean de Beaugrand p or volta de

matematico ingl^es Isaac Barrow (1630-1677) que,

1638, ao estudar os trabalhos de Fermat.

imediatamente, o enviou ao matematico ingl^es

John Collins (1625-1683) (que era, tambem, um 13. Na linguagem mo derna, Newton demonstrou, p or

empresario da Matematica), em nome de \um exemplo, que: - Dado z = ax (com s inteiro ou

= y = sax . Isso signi- amigo meu daqui que tem uma certa qualidade fracionario) ent~ao: dx

188 J. M. Filardo Bassalo

obteve a seguinte express~ao para o raio de curva- ca, tambem, que: - Dada uma curvay =sax ,

y + yzz y_

tura R: R sen = aarea sob a mesma vale z = ax . ,ondez = e eo

1+zz z_ y

^angulo entre a tangente e o raio vetor.

14. Esse manuscrito e baseado num comentario feito

17. Esse trabalho de Newton foi incorp orado p or Wa-

porNewton(apedidodeBarrow, no outono de

llis no Volume I I de sua Opera Mathematica,pu-

1669), sobre o livro Algebra do matematico ho-

blicado em 1693. Newton, contudo, o publicou

land^es Gerard Kinckhuysen, que havia sido recen-

como ap^endice de seu Opticks (Optica), em 1704,

temente traduzido do holand^es para o latim. E

sendo o mesmo reimpresso p or Jones, em 1711.

interessante destacar que, muito emb ora Newton,

Einteressante registrar que Newton incorp orou

desde 1665, usasse ora a notac~ao \com p onto",

ainda um segundo ap^endice a esse livro, qual seja,

ora a notac~ao literal, para representar as ux~oes,

o p equeno trabalho intitulado Enumeratio Line-

na vers~ao original do Methodis, de 1671, Newton

arum Tertii Ordinis (Enumerac~ao das Curvas de

usou ap enas os smb olos literais l, m, n, r para

TerceiroGrau), escrito tambem em 1676, no qual

representar, resp ectivamente, as ux~oes de v, x,

essas curvas s~ao, p ela primeira vez, representa-

y,z.Somente na decada de 1690, passou a adotar

das em gra cos de dois eixos co ordenados, envol-

somente a notac~ao \com p onto", segundo veremos

vendo, inclusive, co ordenadas negativas, jaque

mais adiante. Destaque-se, ainda, que Jones fez

estas n~ao eram muito familiares aos matematicos

uma transcric~ao do Methodis, em 1710, em que

da epoca. Desse mo do, atraves desse trabalho,

inseriu a notac~ao \com p onto", a qual foi copiada

Newton apresentou mais uma grande contribuic~ao

em to das as edic~oes publicadas desse manuscrito,

a Geometria Analtica. Devemos ainda registrar

a partir de 1736, sua primeira edic~ao na lngua

que Newton tambem contribuiu para o desenvol-

inglesa, feita p or John Colson ( ? -1760).

vimento da Algebra, num trabalho escrito entre

15. E op ortuno registrar que as primeiras inves-

1673 e 1683, e publicado em 1707, com o ttulo

tigac~oes sobre curvatura foram realizadas p or

Arithmetica Universalis (Aritimetica Universal).

Newton, em 20 de fevereiro de 1665, em meio

Nesse livro, haformulas (conhecidas como Iden-

aos exerccios quadragesimais, pratica comum na-

tidades de Newton) para se conhecer a soma

quela ep o ca em que as p essoas cavam in qua-

das p ot^encias das razes de uma equac~ao p oli-

dragesima, durante o p ero do da Quaresma.

nomial. Esse assunto jahavia sido tratado p e-

los matematicos, o franc^es Viete, o italiano Ge-

16. Ainda no Methodis, Newton apresentou suas pri-

rolamo Cardano (Jerome Cardan) (1501-1576), e

meiras contribuic~oes ao desenvolvimento da Ge-

o amengo Alb ert Girard (1590-1633). Este, em

ometria Analtica, ao sugerir novas maneiras de

1629, havia demonstrado como calcular a soma

representar curvas em oito sistemas co ordenados.

dos quadrados, cub os e quarta p ot^encia daque-

Por exemplo, na \terceira maneira", Newton in-

las razes, p orem, foi Newton quem a generalizou.

tro duziu a ho je chamada co ordenada bip olar. As-

Ainda nesse livro, Newton generalizou tambem as

sim, se x e y signi cam as dist^ancias de um p onto

regras obtidas p elo losofo e matematico franc^es

variavel a dois p ontos xosoupolos, ent~ao as

Rene Descartes (1596-1650), para determinar o

equac~oes: x + y = a, x - y = b e ax + by= c,re-

numero de razes imaginarias de um p olin^omio,e

presentamaelpse, a hiperb ole e as ovais de Des-

o limite sup erior das razes p ositivas desse mesmo

cartes, resp ectivamente. A sua \setima maneira",

p olin^omio.

utilizada para encontrar a subtangente da espi-

ral de Arquimedes, e a ho je familiar co ordenada 18. Newton n~ao usava a notac~ao (x ) para represen-

p olar. Usando esse tip o de co ordenada, Newton tar a p ot^encia n-esima de x esim: encimando

Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 18, n 3, setembro, 1996 189

26. No Acta de 1683, o matematico sax~ao Conde x.

Ehrenfried Walter Tschirnhaus(en) (1651-1708)

19. Na primeira edic~ao do Principia (1687), Newton

apresentou um meto do para determinar tangentes

admitiu que Leibniz havia tambem desenvolvido

e quadraturas de curvas algebricas. Esse meto do,

um meto do de calculo semelhante ao seu. Con-

contudo, era parcialmente incorreto e muito obs-

a a

. .

tudo, na 2 (1713) e 3 (1726) edic~oes desse livro,

curo. Ainda em 1683, Tschirnhaus(en) apresen-

Newton omitiu o nome de Leibniz, muito emb ora

tou sua famosa transformac~ao comaqualpre-

ha ja citado outros nomes que contriburam para

tendia resolver equac~oes algebricas de grau n.Por

o desenvolvimento do Calculo.

exemplo, ele mostrou que as transfomac~oes usa-

20. NEWTON, I. 1990. Princpios Matematicos de

das p or Viete e Cardan para resolver equac~oes

Filoso a Natural,NOVA STELLA/EDUSP.

cubicas, eram casos particulares de sua trans-

formac~ao.

21. Nesse Livro I I, Newton tratou de problemas re-

lacionados com corp os que se movem em um

27. O nome desse artigo de Leibniz e: Nova Metho-

meio que oferecem resist^encia ao movimento. Na

dus pro Maximis et Minimis itemque Tangenti-

notac~ao atual, Newton resolveu problemas do

bus quae necFractas nec Irrationales Quantitates

tip o:x =g-k_x ex =g-k(_x) .

Moratur et Singularepro il lis Calculi genus (Um

22. Newton denominou de genitum o que ho je cha-

Novo Metodo paraMaximos e Mnimos assim

mamosde termo, que dep ende de uma variavel,

como paraTangentes n~ao Impedido por Quanti-

edemomento de um genitum a um aumento

dades nem Fracionais nem Irracionais e um Im-

in nitesimal do genitum.

portante tipodeCalculo para elas). Nesse ar-

tigo, Leibniz usou p ela primeira vez a palavra

23. Os trabalhos realizados p or Leibniz envolvendo

transcendental,nosentido de n~ao-algebrico, as-

Matematica, foram os seguintes. Em 1666, em

sim como intro duziu a express~ao Calculus Dif-

sua Tese de Doutorado em Direito, intitulada

ferentialis (Calculo Diferencial). Antes, Leib-

De Arte Combinatoria (Sobrea Arte de Com-

niz usavao nomeMetho dus Tangentium Di-

binac~oes), defendida na Universidade de Altdorf,

recta, para representar esse calculo, e a de-

em Nuremberg, ele havia considerado sequ^encias

nominac~ao Metho dus Tangentium Inversa

de numeros, e suas diferencas de primeira, se-

ou Calculus Summatorius, para representar

gunda e ordens mais altas. Em 1670 e 1671, escre-

o que, em 1698, ele chamou (juntamente com o

veu artigos sobre mec^anica e, em 1671, construiu

matematico suco Jean (Johann, John) Bernou-

uma maquina de calcular.

lli (1667-1748)) de Calculus Integralis.(Antes,

24. No outono de 1672, Huygens solicitou a Leibniz

em 1690, o matematico suco Jacques (Jakob, Ja-

para encontrarasomadaserie cujos termos s~ao os

mes) Bernoulli (1654-1705), ja o denominara de

inversos dos numeros triangulares, isto e, calcular

Integralis.) E op ortuno observar que Leibniz,

. Assim, usando as a seguinte serie:

r +1

r (r +1)

no Acta de 1683, jahavia aplicado o seu Metho-

sequ^encias de diferencas que havia utilizado em

dus de Maximis et Minimis no estudo das leis

sua Tese de Doutorado, encontrou o valor 2 para

da re ex~ao e refrac~ao da luz.

aquela soma.

25. Para encontrar essa serie, Leibniz usou a tecnica 28. Por exemplo, para obter d(xy), fez o seguinte. Se

que Mercator havia empregado em seu Logarith- dx e dy representam as p equenas diferencas para

motechnia, de 1668. Observe-se que essa serie ja x e y, resp ectivamente, ent~ao: d(xy) = (x + dx)(y

havia sido encontrada p or Gregory, em 1671. + dy) - xy = xdy + ydx + dx.dy.Para obter

190 J. M. Filardo Bassalo

o resultado desejado, Leibniz desprezou o termo entre o p onto de tang^encia e sua intersecc~ao com

dx.dy. esse mesmo eixo horizontal.

32. Note-se que, ainda em 1693, em cartas escri-

29. O nome crculo osculatriz foi conferido p or

tas ao matematico franc^es, o marqu^es Guilla-

Leibniz, e signi ca um crculo cujo centro eo

ume Francois Antoine de L'H^opital (1661-1704),

proprio centro de curvatura e seu raio e, tambem,

Leibniz foi um dos primeiros a falar em determi-

o proprio raio de curvatura da curva em estudo.

nantes, ao representar um conjunto de equac~oes

Portanto, ele representa o crculo de mais proximo

algebricas simult^aneas, p or numeros colo cados em

contato com a curva. Einteressante observar que

um \array" formado de linhas e colunas.

Leibniz cometeu um erro ao calcular esse crculo

osculatriz, ao a rmar que o mesmo tinha quatro

33. O trato com os in nitesimais demarcou b em

pontos coincidentes de contato com a curva, ao

o p ensamento loso co entre Newton e Leibniz,

inves de ap enas tr^es.

p ois enquanto Newton os considerou para de -

nir o conceito central de seu calculo - a velo ci-

30. Na linguagem atual, a famosa Regra de Leib-

dade, Leibniz ligou-os com asultimas partculas

niz tem o seguinte asp ecto (os exp o entes entre

da materia, as quais denominou m^onadas,um

par^enteses indicam as ordens de derivac~ao):

dos conceitos fundamentais de sua loso a.

(n) (n) (o) (n1) (1)

(uv) =u v +nu v +

34. Ap esar de Newton conhecer como calcular a de-

n(n1)

(n2) (2) (1) (n1) (o) (n)

u v +...+nu v +u v .

rivada do pro duto de duas func~oes (na linguagem

atual: se z = uv, ent~aoz _ =_uv + uv_ ), n~ao se preo-

31. O conceito de envelop e de uma famlia de cur-

cup ou em generalizar essa regra, como o fez Leib-

vas foi intro duzido p or Tschirnhaus(en), em 1682.

niz, para obter d (uv) (veja essa regra na nota

Na notac~ao atual, signi ca o seguinte: seja uma

30). Alem do mais, a notac~ao p ontual newtoniana

famliadecurvas f(x,y, ) = 0, onde eo

exigia que to das as variaveis fossem consideradas

par^ametro da famlia. Para obter o envelop e

como func~ao do temp o e, p ortanto, n~ao p o deria

dessa famlia,deve-se encontrar resolvendo-se

ser estendida a situac~oes em que as variaveis de-

as equac~oes: f = 0 e =0. Por outro lado,

p endessem de mais de uma variavel indep endente.

no trabalho de 1684, Leibniz intro duziu o termo

A notac~ao leibniziana, p or sua vez, p ermitia essa

subtangente para a pro jec~ao sobre o eixo ho-

extens~ao.

rizontal, do segmento da tangente compreendida