June 16, 2016 BSC THESIS IN PHYSICS, 15 HP Geometric quantization Author: Fredrik Gardell Supervisor: Luigi Tizzano Subject evaluator: Maxim Zabzine Uppsala University, Department of Physics and Astronomy E-mail:
[email protected] Abstract In this project we introduce the general idea of geometric quantization and demonstrate how to apply the process on a few examples. We discuss how to construct a line bundle over the symplectic manifold with Dirac’s quantization conditions and how to determine if we are able to quantize a system with the help of Weil’s integrability condition. To reduce the prequantum line bundle we employ real polarization such that the system does not break Heisenberg’s uncertainty principle anymore. From the prequantum bundle and the polarization we construct the sought after Hilbert space. Sammanfattning I detta arbete introducerar vi geometrisk kvantisering och demonstrerar hur man utför denna metod på några exempel. Sen diskuterar vi hur man konstruerar ett linjeknippe med hjälp av Diracs kvantiseringskrav och hur man bedömer om ett system är kvantiserbart med hjälp av Weils integrarbarhetskrav. För att reducera linjeknippet så att Heisenbergs osäkerhetsrelation inte bryts, använder vi oss av reell polarisering. Med det polariserade linjeknippet och det ursprungliga linjeknippet kan vi konstruera det eftersökta Hilbert rummet. Innehåll 1 Introduction2 2 Symplectic Geometry3 2.1 Symplectic vector space3 2.2 Symplectic manifolds4 2.3 Cotangent bundles and Canonical coordinates5 2.4 Hamiltonian vector