Pracownia fizyczna i elektroniczna dla In żynierii Nanostruktur, Wydział Fizyki UW (wersja instrukcji 29.1.2013a, T. Słupi ński)

Ćwiczenie 1 Wizualizacja wyników pomiarowych - pomiary napi ęcia i pr ądu elektrycznego oraz sprawdzenie prawa Ohma dla przewodnika.

Cel Wyniki pomiarów wielko ści fizycznych zwykle prezentowane s ą na wykresach. Celem tego ćwiczenia jest opanowanie umiej ętno ści posługiwania si ę wybranym oprogramowaniem do sporz ądzania wykresów naukowych. A nast ępnie wykonanie serii pomiarów pr ądu płyn ącego przez opornik elektryczny w funkcji napi ęcia panuj ącego na oporniku oraz przedstawienie wyników na wykresie i wyznaczenie warto ści oporno ści mierzonego opornika. Podobnie dla małej żarówki. Poznane zostan ą oprogramowanie Scidavis oraz laboratoryjny zasilacz regulowany i miernik uniwersalny Brymen 805.

Opis programu Scidavis do rysowania wykresów danych i funkcji

Istnieje wiele pakietów oprogramowania do sporz ądzania wykresów zale żno ści fizycznych oraz analizy danych pomiarowych. Obszerna lista takiego oprogramowania znajduje si ę np. tutaj: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_information_graphics_software Dobrymi reprezentantami oprogramowania do rysowania wykresów dwuwymiarowych, czyli zale żno ści typu y = f x)( , lub trójwymiarowych z = f x y ),( , s ą programy: Gnuplot, SciDAVis oraz Vuesz, dost ępne na licencjach typu freeware. Nie ust ępuj ą one pod wzgl ędem podstawowej funkcjonalno ści popularnym lecz drogim pakietom typu Origin, IgorPro, SigmaPlot, EasyPlot czy QtiPlot. Znane pakiety MS Excel czy Calc z OpenOffice nie s ą specjalizowane dla grafiki naukowej. Zasady pracy z programami do graficznej prezentacji wyników pomiarowych poznamy na przykładzie programu Scidavis. Jest on dost ępny do pobrania i zainstalowania na stronie: http://scidavis.sourceforge.net/ - wersje dla systemów Windows, Linux i Mac OS X. Jest tam równie ż podr ęcznik online. Angielski podr ęcznik napisany przez autorów programu mo żna pobra ć m.in. pod adresem: http://www.fuw.edu.pl/~tomslu/Scidavis-manual.pdf (plik 8MB). W tej instrukcji przedstawiamy podstawowe informacje pozwalaj ące efektywnie rozpocz ąć prac ę z programem Scidavis. Program oferuje du żo wi ęcej mo żliwo ści, ni ż te najprostsze podane.

Instalacja programu Scidavis pod systemem Windows XP

Scidavis korzysta z j ęzyka Python ( http://www.python.org ) i biblioteki Python-a powinny zosta ć zainstalowane przed instalacj ą Scidavis-a. Program Scidavis w najnowszej wersji 0.2.4 wymaga wersji Pytona 2.6 (nie nowszej) dost ępnej tutaj: http://www.python.org/download/releases/2.6/ . Po instalacji Python-a (z pliku python-2.6.msi) oraz po instalacji Scidavis-a w wersji 0.2.4 (np. http://sourceforge.net/project/platformdownload.php?group_id=199120&sel_platform=8193 ) do katalogu zawieraj ącego Scidavis-a nale ży skopiowa ć bibliotek ę python26.dll .

Metoda sporz ądzania wykresu w programie Scidavis

Dane liczbowe (xi, yi) do przedstawienia na wykresie, gdzie indeks i numeruje kolejne pomiary, są wpisywane jako kolumny X, Y w tabel ę (Table) tworzon ą z menu File ‰New ‰New Table. Po wpisaniu warto ści (xi, yi) nale ży zdefiniowa ć znaczenie ka żdej kolumny tabeli – jako zawieraj ącą zmienn ą niezale żną (X), zale żną (Y) lub warto ść bł ędu (niepewno ści) zmiennej X (X Error) lub zmiennej Y (Y Error) – Rys. 1. Aby to zrobi ć nale ży klikn ąć prawy przycisk myszy na nagłówku kolumny – rozwinie si ę menu kontekstowe z takim wyborem. Warto ju ż na wst ępie zaznaczy ć, że metoda menu kontekstowego (prawy klawisz myszy) jest szeroko wykorzystywana w programie dla wyboru opcji zwi ązanych z danym klikni ętym elementem Tabeli czy Wykresu. Doradzamy studentom samodzielne klikanie w trakcie czytania tego miniprzewodnika.

Rys. 1. Tabela danych z rozwini ętym menu kontekstowym (prawy klawisz myszy) dla zdefiniowania znaczenia kolumn liczb.

W tabeli można zmienia ć nazwy kolumn (zakładka Description). Mo żna dodawa ć nowe kolumny (Insert Empty Columns, Add Columns) dla wpisania np. drugiej zmiennej zale żnej Y2 dla wstawionych warto ści zmiennej niezale żnej X lub dla wpisania niepewno ści warto ści X lub Y. Kolumny b ędą mogły by ć wykorzystane np. dla narysowania drugiej linii na wspólnym wykresie albo dla przelicze ń warto ści do robionego wykresu. Kolumn ę mo żna wypełni ć warto ściami samemu zdefiniowanej funkcji (zakładka Formula). Mo że to by ć funkcja warto ści z innych kolumn np. 2*col(”1”)-3*col(”2”)+ sin(col(”3”)). U dołu zakładki Formula jest pomocnik do wpisywania funkcji, pokazuj ący dost ępne do u życia funkcje matematyczne. Szczegóły podane s ą w podr ęczniku.

W tabeli nale ży jeszcze okre śli ć dla ka żdej kolumny typ zmiennej – w zakładce Type – jako Numeric, Text (kolumna nie będzie traktowana jako liczbowa, czyli nie mo żna jej wykre śla ć) lub jako data. Maj ąc wypełnione kolumny danych i zdefiniowane znaczenia kolumn, podstawowy wykres z zaznaczonej kolumny Y tworzy si ę z menu Plot ‰Line (linia ł ącz ąca kolejne punkty danych (x, y) ), Plot ‰Scatter (tylko punkty danych) lub Plot ‰Line + Symbol (linia i punkty danych przedstawione wybieralnym symbolem graficznym) – Rys. 2. Mo żna te ż u żyć menu kontekstowego nagłówka kolumny Y – Rys. 3.

Rys. 2. Sposób utworzenia wykresu zło żonego z punktów ( x, y) poprzez wybór z menu.

Rys. 3. Tworzenie wykresu z danych tabeli poprzez menu kontekstowe kolumny.

Wła ściwo ści utworzonego wykresu – Rys. 4 - mo żna zmienia ć poprzez menu kontekstowe wykresu lub jego elementów. Dwukrotne klikni ęcie lewym klawiszem na elementach wykresu równie ż pozwala zmienia ć wiele graficznych cech wy świetlania danych lub całego wykresu. Mo żna w ten sposób okre śla ć rodzaj, wielko ść i kolor symboli punktów danych, rodzaj linii ł ącz ącej punkty, jej grubo ść i kolor, wła ściwo ści i opisy osi OX, OY, tak że osi u góry i po prawej stronie wykresu, wielko ść całego wykresu i wiele innych własno ści graficznych. Z menu kontekstowego rysunku Copy ‰Window mo żna cały wykres skopiowa ć jako bitmap ę do schowka windowsowego lub wyeksportowa ć Export ‰Window do pliku graficznego np. *.bmp, *.png (je śli opis ćwiczenia b ędzie wykonywany w programach MS Word lub Writer w Open Office) albo jako *.eps dla LaTeX-a. Wyeksportowa ć rysunek mo żna te ż z menu głównego File ‰Export Graph… Dla bardziej zło żonego przedstawiania danych mo żna u żywa ć warstw, które np. mog ą zawiera ć inne wykresy lub dodatkowe skale z inn ą jednostk ą.

Rys. 4. Wykres typu Line + Symbol utworzony z danych tabeli. Linia ł ącz ąca punkty nie reprezentuje żadnej konkretnej funkcji, a jedynie ł ączy odcinkami kolejne punkty danych – prowadzi wzrok.

Program Scidavis pozwala tak że rysowa ć wykresy funkcji y = f x)( okre ślanej wzorem matematycznym. Aby otworzy ć okienko definiowania funkcji nale ży wybra ć z menu Graph opcj ę Add Function…, a nast ępnie w otwartym okienku dialogu – Rys. 5 - wpisa ć wzór funkcji f(x)=, zakres zmiennej From x= , To x= oraz ilo ść punktów tworz ących wykres funkcji. Składnia definiowania funkcji f(x)= to proste wyra żenia zapisane tekstem: 4 działania i nawiasy: +, -, *, /, ( ) np. (2*x-1)/(3*x+2) pot ęgowanie, pierwiastek 2-stopnia: ^, sqrt( ) np. sqrt(x^2+1) eksponent i logarytm: exp( ), log( ) np. exp(-3.5*x)+2.5*log(x+1) funkcje trygonometryczne: sin( ), cos( ), tg( ), ctg( ) np. x+sin(x+x^2) liczby niewymierne: pi, e np. sin(2*pi*x)+e^(-1) oraz inne wyra żenia matematyczne wg. opisu w podr ęczniku. Wykres funkcji mo żna doda ć do rysunku równie ż poprzez menu kontekstowe rysunku Add Function...

Rys. 5. Okno dla definiowania funkcji oraz przykładowe wykresy. Legenda podaje wzory rysowanych funkcji.

Wa żną cech ą programów graficznego przedstawiania wyników pomiarowych s ą mo żliwo ści analizy matematycznej danych. Z wielu dost ępnych mo żliwo ści na tym etapie nauki wybieramy tylko dopasowanie okre ślonego typu funkcji do danych z pomiaru. Na przykład je śli spodziewamy si ę, że jaki ś model matematyczny, czyli jaka ś konkretna funkcja, powinien opisywa ć mierzone zjawisko, to mo żemy próbowa ć dopasowa ć punkty z pomiaru wła śnie funkcj ą tego rodzaju. To znaczy chcemy tak dobra ć współczynniki wybranej funkcji, aby jej wykres jak najlepiej oddawał przebieg zmienno ści danych z pomiaru. Kryterium co to znaczy „jak najlepiej” jest miara kwadratowa odległo ści wszystkich punktów od wykresu dopasowywanej funkcji, nazywa si ę to metod ą najmniejszych kwadratów, ale jej szczegóły pozostawiamy na inne zaj ęcia lub do samodzielnego doczytania.

Przykład przedstawia Rys. 6. Chcemy znale źć funkcj ę wielomianow ą 2-go stopnia (czyli współczynniki wielomianu), która najlepiej opisuje punkty pomiarowe z Rys. 4. Maj ąc wy świetlony wykres, z menu wybieramy Analysis ‰Quick Fit … ‰Fit Polynomial, a nast ępnie w oknie dialogowym wybieramy do których danych chcemy „dofitowa ć” wielomian (Table1_2 - kolumna 2 z Table1), stopie ń wielomianu (mo że by ć np. funkcja liniowa), zakres zmiennej Xmin … Xmax, kolor linii funkcji wielomianowej na wykresie, a tak że czy ma by ć wy świetlana na wykresie legenda z opisem dopasowanej funkcji. Po wykonaniu dopasowania program wy świetli osobne okno z wynikiem dopasowania, czyli np. ze współczynnikami wielomianu najlepiej pasuj ącego do danych.

Dopasowanie funkcji innych ni ż wielomianowa, czy np. typu Gaussa, cz ęsto jest trudne numerycznie i najlepsze rezultaty mo żna osi ągn ąć dobieraj ąc parametry funkcji r ęcznie przez rysowanie kolejnych przybli żeń funkcji na wspólnym wykresie z punktami pomiarowymi.

Rys. 6. Dopasowanie funkcji kwadratowej do punktów pomiarowych z Rys. 4.

Wykonanie ćwiczenia

1. Poznaj metod ę ustalania napi ęcia wyj ściowego w zasilaczu laboratoryjnym. 2. Przy u życiu kabli z ko ńcówkami „bananowymi” oraz z chwytakami lub otrzymanej płytki monta żowej podł ącz równolegle wyj ście zasilacza i opornik. 3. Podł ącz równolegle do opornika woltomierz Brymen 805 i zmierz napi ęcie na oporniku. Nast ępnie odł ącz woltomierz od opornika, przestaw miernik Brymen na pomiar nat ęż enia pr ądu, podł ącz szeregowo amperomierz w obwód zasilacza i opornika i zmierz nat ęż enie pr ądu płyn ącego przez opornik. 4. Powtarzaj pomiary z punktu 3 dla ró żnych napi ęć ustawionych na zasilaczu w zakresie 0.1-15 voltów. Pami ętaj, że omyłkowe podł ączenie amperomierza równolegle do źródła napi ęcia powoduje uszkodzenie amperomierza – by ć mo że jedynie spalenie bezpiecznika, je śli amperomierz jest nim zabezpieczony (Brymen 805 jest). 5. Przedstaw wyniki na wykresie funkcji I = f (U ) gdzie: U – napi ęcie mierzone na oporniku, I – pr ąd płyn ący przez opornik. 6. Dopasuj do punktów pomiarowych zale żno ść liniow ą y = a ⋅ x + b . Wynik porównaj z prawem Ohma. Okre śl na tej podstawie oporno ść mierzonego opornika. Porównaj z warto ści ą oporno ści zmierzon ą omomierzem Brymen. 7. Powtórz podobne pomiary dla małej żarówki. Aby nie spali ć żarówki zakres napi ęć zasilania nale ży ograniczy ć wg wskazówek prowadz ącego ćwiczenie. Dlaczego obserwuje si ę odchyłki zale żno ści I = f (U ) od prawa Ohma? 8. Napisz krótkie sprawozdanie z przeprowadzonych pomiarów z wykresami oraz interpretacj ą wg prawa Ohma. Przedyskutuj czy s ą jakie ś niepewno ści wyników (bł ędy).