Wulf-Dieter Geyer

Modelle des Magnetismus führen zu linearen Glei­ die Zahlen jeweils um 1 nach links verschoben hin, chungen mit sehr vielen Unbekannten, z.B. 1023 • Herr so ist die ganze Ebene mit Zahlen ausgefüllt. In je­ Böttcher wird uns vielleicht gleich etwas darüber dem Kästchen steht eine Zahl. Dies ist die Toeplitz­ erzählen. Das Verhalten der Determinanten dieser matri.x, die einem Gleichungssystem mit unendlich­ Systeme ist dabei von fundamentaler Bedeutung und vielen Unbekannten entspricht. Aus diesem unendli­ in diesem Zusammenhang haben Fisher und Hart­ chen Schema kann man ein endliches quadratisches wig in den 60er Jahren eine Hypothese formuliert, Teilschema herausgreifen (in der linken oberen Ecke die ich bereits erwähnt habe. Sie hat viele Mathe­ stehe a 0 ) . Dafür ist eine Determinante erklärt, wie matiker zu Untersuchungen angeregt. Ein wirklicher jeder Student der Mathematik im ersten Semester Durchbruch zum Beweis und zur Präzisierung der lernt. Wie wachsen diese Determinanten an, wenn Hypothese gelang aber erst Böttcher und Silbermann man größere und größere Teilschemata auswählt? Für in der 1985 erschienenen Arbeit "Toeplitz Matrices die einfache Funktion z-1 + 3 + zerhält man im we­ and Determinants with Fisher-Hartwig Symbols". Ei­ sentlichen die Fibonacci-Zahlen, über deren Wachs­ nige Erläuterungen zum Titel dieser Arbeit. Otto To­ tumsverhalten ich schon sprach. Die Fisher-Hartwig eplitz war seit 1927 Ordinarius an der Universität Symbole sind komplizierte Funktionen, die in den An­ Bonn und mußte 1938 verfolgt durch die National­ wendungen auftreten und für die das Wachstumsver­ sozialisten nach Jerusalem auswandern, wo er lei­ halten nicht bekannt war. Böttcher und Silbermann der schon 1940 starb. Eine unendliche Toeplitzma­ haben es in ihrer Arbeit aufgeklärt. So führt eine Li­ tri.x entsteht aus einer periodischen Funktion f wie nie von Fibonacci zu Böttcher, von den Mäzenen, die folgt. Wir schreiben f in Abhängigkeit einer Varia­ Fibonacci unterstützt haben, zur Krupp-Stiftung und blen z, die auf der Kreislinie der komplexen Zahlen von Friedrich II, dem Staufer, zu Ministerpräsident vom Betrage 1 läuft. Dann liefert f Fourierkoeffi­ Rau. zienten an bezüglich der Grundfunktionen zn . Auf Adresse des Autors: Kästchenpaper schreiben wir diese Zahlen an in eine Prof. Dr. Friedrich Hitzebruch Zeile, darunter die gleichen Zahlen um 1 nach rechts Max-Planck-Institut für Mathematik verschoben, darunter wieder um 1 nach rechts ver­ Gottfried-Claren-Straße 26 schoben usw., in den Zeilen darüber schreiben wir 53225 Bonn

Ehrenpromotion von Peter Roquette

Die Universität Essen verlieh Herrn Roquette aus Heidelberg die Würde eines Ehrendoktors. Eingebettet in eine Tagung über Algebra und Zahlentheorie am Institut für Experimentelle Mathematik wurde die Ehrenurkunde am 3. Dezember 1992 verliehen. Herr Wulf-Dieter Geyer gab dabei die folgende Laudatio.

denten Roquette gesagt. Ich bin in der guten Lage, seine eigenen Worte gebrauchen zu können, mit de­ nen er sich vor 14 Jahren als neues Mitglied der Hei­ delberger Akademie der Wissenschaften vorstellte: In seiner Antrittsrede bei der Akademie heißt es:

"Ich gehöre zu derjenigen Generation, die in den Jahren unmittelbar nach 1945 stu­ diert hat. Im Herbst 1945 immatikulierte ich mich, damals 18jährig, an der Universität Erlangen. Unter meinen akademischen Leh­ rern befand sich Heinrich Grell, ein Schüler von Emmy Noether. Grell versuchte in sei­ nem lebendigen, anregenden und Leistung fordernden Unterricht, uns den Geist der Die mir zugeteilte Aufgabe bei dieser Feier besteht N oetherschen Jahre in Göttingen nahe zu darin, einige Bemerkungen zum wissenschaftlichen bringen. So wie ich es heute sehe, wa­ Werdegang und Werk meines verehrten Lehrers zu ren seine Vorlesungen eine ziemlich genaue machen. Zu Beginn meiner daraufhinzielenden Versu­ Kopie der Originalvorlesungen von Emmy che seien zunächst einige Worte zur Person des Stu- Noether selbst. So geriet ich, zwar indi-

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rekt, doch recht intensiv, unter den Ein­ aber zugleich auch in sich verständliche und sinn­ fluß der großen Algebraikerin, und ich fand volle Teile, führt den Leser in seine Gedankengänge mich bereits in den ersten Semestern mit ein und läßt ihn teilhaben an der Entwicklung des hyperkomplexen Systemen und mit Klas­ Beweises. Er versucht, die Hilfsmittel dem Problem senkörpertheorie beschäftigt." angemessen zu halten: eine direkte, längere Entwick­ (An anderer Stelle fügt Roquette ergänzend hinzu: lung eines elementaren Hilfsmittels wird dem kürze• "unter vollständiger Vernachlässigung des von uns ren Zitat eines tiefen Satzes vorgezogen. Wieder­ Aufangerstudenten verlangten Standardstoffes". In holungen werden, zur Freude des Lesers, nicht ge­ der Akademierede heißt es dann:) scheut. Roquettesche Arbeiten sind wie Spaziergänge in die Mathematik, auch wenn sie in Bergtouren "Weitere Anregungen in Richtung Algebra höheren Schwierigkeitgrades übergehen. Von sach­ erhielt ich in späteren Semestern durch kundiger Hand präzise geführt macht die genaue und Hans Zassenhaus in Hamburg. Als Zassen­ klare Beschreibung des Wauderweges es auch leicht, haus aus Harnburg fortzog, beschloß ich auf anders zu denken und Nebenwege zu gehen, ohne den seinen Rat hin, noch einmal die Universität von Roquette beschriebenen Weg aus dem Auge zu zu wechseln. Ich ging nach Berlin zu Helmut verlieren. Und wenn einmal, was selten vorkommt , Hasse. Dies war im Jahr 1949, kurz nach Be­ Roquette seinen eigenen Maximen untreu wird, so endigung der Blockade." muß ein Naachtrag herhalten, die Dinge klar zu stel­ "Ich kann wohl sagen, daß durch Helmut len und ins rechte Licht zu rücken. Nicht vergessen Hasse die Ausrichtung meiner mathemati­ will ich einen wichtigen Punkt, der sich auch in vie­ schen Arbeit am stärksten und in entschei­ len anderen Arbeiten und noch deutlicher in seinen dender Weise beeinflußt worden ist. Eigent­ Vorträgen wiederfindet. Das Gewinnen eines mathe­ lich habe ich nur wenig Vorlesungen bei ihm matischen Resultates ist kein Selbstzweck an sich, es gehört; die meisten seiner Anregungen erga­ ist vielmehr die Illustration einer allgemeineren ma­ ben sich in Seminaren, in persönlichen Ge­ thematischen Methode, das Paradigma eines philo­ sprächen und durch das Studium seiner Ar­ sophischen Prinzips in der Mathematik, die Auffor­ beiten, die mich faszinierten." derung, in diesem Sinne weiterzugehen, um die Me­ In den Jahren 1951 bis 1953 erscheinen die ersten thode, das Prinzip weiter zu beleuchten, zu erkunden Roquetteschen Arbeiten, durch Hassesche Ideen in­ und von ihm zu profitieren. spiriert, im Crelleschen Journal, in den Hamburger Abhandlungen und im Archiv der Mathematik. Las­ Ein solches Prinzip, das sich wie ein roter Fa­ sen Sie mich die erste Arbeit des jungen Roquette be­ den durch einen Teil des Lebenswerkes von Hasse trachten, die im Februar 1951 beim Crelleschen Jour­ zieht und das in immer wieder neuer Form in zahl­ nal eingereicht wurde. Bei dem weiten Spektrum der reichen Arbeiten von Roquette auftritt, ist das so­ Roquetteschen Interessen innerhalb der Mathematik genannte Lokal-Global-Prinzip, das Prinzip, mathe­ wird man nicht erwarten dürfen, daß sich alles Kom­ matische Sachverhalte lokal zu studieren, um daraus mende in dieser ersten Arbeit spiegelt, aber einige globale Schlüsse zu ziehen, soweit das möglich ist. Charakteristika treten bereits deutlich hervor. Der Hasse entdeckte dieses Prinzip am Beispiel der qua­ Titel der Arbeit lautet dratischen Formen und später bei den einfachen Al­ gehren, jeweils über Zahlkörpern, es sei kurz genannt: "Arithmetische Untersuchungen des Cha­ Dem rationalen Zahlkörper Q etwa ist nicht nur der rakterringes einer endlichen Gruppe. Mit Körper lR = Q 00 der reellen Zahlen als Komplettie­ Anwendungen auf die Bestimmung des mi­ rung bezüglich des üblichen Absolutbetrages zuge­ nimalen Darstellungskörpers einer Gruppe, ordnet, sondern zu jeder Primzahl p gehört eine p­ und in der Theorie der Artin 'sehen L­ adische Komplettierung bezüglich des p-adischen Ab­ Funktionen." solutbetrages, der Henselsche p-adische Zahlkörper Bereits dieser Titel verrät, was die Diktion des Tex­ Qp. tes dann deutlicher macht, daß der Autor auf den Leser zugeht, daß er bereits in der ausführlichen For­ So liefern die Absolutbeträge auf Q eine Spek­ mulierung des Titels den Inhalt so gut wie möglich tralzerlegung des rationalen Zahlkörpers durch die beschreiben will. Die Arbeit selbst zeigt denselben Einbettung in die verschiedenen Komplettierungen, Stil, der bis heute ein Merkmal Roquettescher Ar­ die dann in den 30er Jahren von Chevalley in die beiten geblieben ist: Der Autor denkt mit dem Leser Sprache der Idele und Adele gegossen wurde. Has­ mit, er versucht nicht nur Sätze als richtig nachzuwei­ ses Lokal-Global-Prinzipien für quadratische Formen sen, sondern er meißelt die entscheidenden Beweis­ bzw. einfache Algebren besagen, daß gewisse globale ideen heraus, gliedert längere Beweise in verdaubare Eigenschaften wie Isotropie einer Form oder Zerfall

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einer Algebra sich bereits durch Betrachten der loka­ Sätzen von Hecke, daß die Artin'schen L-Funktionen len Situation entscheiden lassen. meromorphe Funktionen sind. Q Hasse war kein Gruppentheoretiker, aber die Nähe dieses Resultates zu zahlentheoretischen Folge­ rungenfaszinierte ihn, und so stellte er die Frage, ob man dieses Resultat nicht unter Benutzung seiner p­ adischen Sichtweise angreifen und den komplizierten Brauersehen Beweis durchsichtiger machen könne. Roquette, der mit Zassenhaus und Witt in Harn­ burg wahren Kennern der Gruppentheorie begegnet war, ist dies in seiner ersten Arbeit meisterhaft gelun­ gen. Er ersetzt Brauers modulare Charakter-Theorie durch die Betrachtung des p-adischen Charakterrin­ ges, entwickelt dessen Strukturtheorie (übrigens ohne die allgemeine Strukturtheorie p-adischer Algebren In Vorlesungen und Gesprächen hat Hasse diese zu benutzen), kommt zu der Bijektion zwischen den Ergebnisse nicht als gewichtige schöne Einzelresul­ Brauersehen Blöcken und den p-regulären Konjuga­ tate angesehen, sondern als Ausfluß einer grundsätz• tionsklassen in der Gruppe, zur Strukturtheorie der lichen Sichtweise der Zahlentheorie: Durch die lokale Blöcke und schließlich zum Brauersehen Induktions­ Betrachtungsweise werden die Möglichkeiten des ma­ satz mit seinen Folgerungen. Roquette läßt es sich thematischen Denkens und Schließens wesentlich er­ nicht entgehen, die philosophische Bedeutung des In­ weitert, die lokale Betrachtung liefere, so sagt Hasse, duktionssatzes herauszuarbeiten: er ist ein schönes eine "organische" Einsicht in die Struktur zahlen­ Beispiel für die gruppentheoretische Methode, Aus­ theoretischer Phänomene. Hasse war sich bewußt, sagen über die Gruppe G auf Aussagen über ihre daß man nicht allgemein so schöne Resultate wie die p-Untergruppen zu reduzieren, gewissermaßen eines genannten Lokal-Global-Prinzipien erwarten kann: der Lokal-Global-Prinzipien in der Gruppentheorie. die von Hasse angeregte, 1942 publizierte Arbeit von Witt stellt fest, daß der Beweis des Brauersehen In­ Reichardt zeigt, daß bereits bei kubischen Gleichun­ duktionssatzes durch Roquettes p-adisches Studium gen kompliziertere Verhältnisse vorliegen - die Ab­ des Charakterringes wesentlich vereinfacht wurde. Es weichung vom Lokal-Global-Prinzip wird hier von sei aber nicht verschwiegen, daß einige Zeit später, den Tate-Schafarewitsch-Gruppen gemessen, die bis im Jahr 1955, von Brauer und Tate ein elementarer heute ein faszinierender und nicht ausgeschöpfter und einfacher Beweis des Brauersehen Induktionssat­ Forschungsgegenstand sind. zes ohne p-adische Methoden gegeben wurde. Die erste Roquettesche Arbeit ist eines von zahl­ Die Bedeutung von Roquettes Arbeit geht dar­ reichen Beispielen für das Wirken dieser Idee Hasse's aus hervor, daß sie Hasse noch im selben Jahr in sei­ im Werk von Roquette. Lassen Sie mich kurz auf ner neuen Theorie der verallgemeinerten Gaußsehen den Inhalt eingehen. Einige Jahre zuvor, nämlich Summen benutzt, und daß Witt im selben Band des 1947, hatte Richard Brauer, einer der großen Grup­ Crelleschen Journals eine Arbeit zum gleichen Thema pentheoretiker dieses Jahrhunderts, seinen berühm• mit Verallgemeinerungen und anderen Anwendungen ten Induktionssatz bewiesen: Jede Darstellung einer publiziert, in der er sagt, daß seine Arbeit direkt von endlichen Gruppe als Gruppe von Matrizen läßt sich Roquettes Arbeit induziert sei. virtuell kombinieren aus besonders einfachen Dar­ Roquette ist nicht häufig, aber immer wieder zu stellungen, nämlich aus monomialen Darstellungen, gruppentheorischen Themen zurückgekehrt, die von eindimensionalen Darstellungen sogenannter - so 1958 in seiner Archiv-Note "Realisierung von p-elementarer Untergruppen herrühren, d.h . Grup­ Darstellungen endlicher nilpotenter Gruppen", pen, die das direkte Produkt einer zyklischen Gruppe wo er als Folge seiner ersten Arbeit und der und einer Gruppe- von Primzahlpotenzordnung sind. davon induzierten Arbeit von Witt, aber mit Dieses Brauersehe Ergebnis hat weitreichende Kon­ eigenständigem elementaren Beweis, zeigt, daß sequenzen, von denen ich nur zwei nennen will, die sich eine irreduzible Darstellung einer endlichen auch bei Roquette behandelt sind: Zum einen zeigt p-Gruppe stets über dem durch die Charakter­ es den kleinsten Körper an, über dem jede lineare werte erzeugten Einheitswurzelkörper realisieren Darstellung einer endlichen Gruppe in absolut irre­ läßt, mit Ausnahme der 2-Gruppen, wo eventuell duzible Darstellungen zerfällt: dies ist der Körper, noch die yCI hinzuzunehmen ist, der von denjenigen Einheitswurzeln erzeugt wird, de­ ren Ordnung unter den Ordnungen der Gruppenele­ - so in seinem der DMV gegebenen Bericht über mente vorkommt. Zum andern zeigt es zusammen mit algebraische Gruppen, der 1959 im Jahresbericht

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erschien, Anzahl N der rationalen Punkte einer glatten -pro­ jektiven Kurve vom Geschlecht g (in der Sprache so m semer 1m Journal of Algebra 1964 er­ von Hensel-Landsberg und Hasse ist N die Anzahl schienenen Note "Über die Existenz von Hall­ der Primdivisoren ersten Grades eines algebraischen Komplementen in endlichen Gruppen", wo er Funktionenkörpers einer Variablen] über dem endli­ einen von Tate mit kohomologischen Methoden chen Körper IFq durch die folgende Ungleichung: gezeigten Existenzsatz über Hall-Komplemente kohomologiefrei bewies, IN- (q + 1)1 :S 2gvq Einen Beweis dieser Übertragung der Riemannschen so in der 1968 gemeinsam mit Hoechsmann und Vermutung auf algebraische Funktionenkörper einer Zassenhaus im Archiv der Mathematik publizier­ Variablen über endlichem Grundkörper gab im ersten ten Note "A cohomological characterization offi­ nichttrivialen Fall, im Fall des Geschlechtes g 1, nite nilpotent groups", wo festgestellt wird, daß = also für elliptische Kurven, Hasse: zunächst 1933 in eine endliche Gruppe G genau dann nilpotent einer Skizze in den Göttinger Nachrichten unter Be­ ist, wenn ein endlicher G-Modul bereits koho­ nutzung analytischer Methoden der Theorie der kom­ mologisch trivial ist, sobald nur eine seiner Ko­ plexen Multiplikation, dann 1934 in einer algebrai­ homologiegruppen verschwindet: schen Version in den Hamburger Abhandlungen, der eine ausführliche dreiteilige Darstellung in Grelles G nilpotent <==> VM E Mod G Journal 1936 folgte. Hasse hatte bereits die Vorstellung, daß man (3n : Hn(G, M) = 0 => Vn : Hn(G, M) = 0) mit den höherdimensionalen abelschen Funktionen auch den Fall von höherem Geschlecht lösen können Auch sonst spielen insbesondere die endlichen Gruppen einen gewichtigen Teil in anderen Arbei­ müßte, und daß seine Theorie der Normen von Mero­ ten Roquettes. So wie die Gruppentheorie die Alge­ morphismen (Endomorphismen der zugehörigen Ja­ cobischen Varietäten, würde man heute sagen), deren bra, die Zahlentheorie und andere Gebiete der Ma­ Untersuchung im elliptischen Fall zur Lösung geführt thematik durchdringt, so wird Roquette als vielsei­ hatte, auch generell das richtige Hilfsmittel wäre. Es tiger Algebraiker und Zahlentheoretiker immer wie­ ergab sich somit die Aufgabe, die bestehende ana­ der zu gruppentheoretischen Fragestellungen geführt, ohne daß die Gruppentheorie zum herausragenden lytische Theorie der abelschen Funktionen zu alge­ Zentrum seines Interesses wurde. braisieren und sie damit auch der Primzahlcharak­ teristik zugänglich zu machen. Ansätze dazu waren Die Arbeit, mit der Roquette zu einem zentralen bereits in der algebraischen Geometrie, etwa in der Punkt seiner mathematischen Welt vordringt, ist die Korrespondenzentheorie, gemacht, doch waren diese 1951 in Harnburg vorgelegte Dissertation, die 1953 in nicht frei von analytischen Betrachtungen und galten Grelles Journal erschien mit dem Titel nur in Charakteristik 0. So entwickelte Deuring, dem "Arithmetischer Beweis der Riemannschen Hasseschen Vorbild bei Geschlecht 1 folgend, eine all­ Vermutung in Kongruenzfunktionenkör• gemeine Korrespondenzentheorie algebraischer Funk­ pern beliebigen Geschlechts". tionenkörperbeliebigen Geschlechtes, die er 1937 und 1941 im Grelleschen Journal publizierte. In der Spra­ Die klassische, bis heute ungelöste Riemannsche che der Geometrie ist das die Theorie der Kurven auf Vermutung behauptet, daß die nichttrivialen Null­ einer Fläche, die sich als Produkt zweier Kurven dar­ stellen der Riemannschen (-Funktion alle einen Re­ stellt. Deuring war sicher klar, daß er sich auf dem alteil vom Betrag ~ haben. Schon Artin hatte in sei­ Wege zum Beweis der Riemannschen Vermutung be­ ner 1924 publizierten Dissertation die Dedekindschen fand, zum Ziel gelangte er jedoch nicht. (-Funktionen quadratischer Zahlkörper auf hyperel­ 1941 kündigte Andre Weil in einer kurzen Note in liptische Funktionenkörper über dem Körper mit p den Proceedings of the National Academy of Science Elementen übertragen, die entsprechende Riemann­ einen Beweis der Riemannschen Vermutung mittels sche Vermutung formuliert und in sehr speziellen Severis Korrespondenzentheorie an. In einer Fußnote Fällen bewiesen. F. K. Schmidt modifizierte 1929 die bemerkte er, daß man zur vollständigen Ausformung Artinsehe (-Funktion so, daß sie für beliebige al­ des Beweises zunächst einmal Severis Korresponden­ gebraische Funktionenkörper über beliebigem end­ zentheorie, die für den Fall des Grundkörpers der lichen Grundkörper definiert werden konnte ohne komplexen Zahlen entwickelt worden war, für belie­ Bezug auf eine Variable (also birational invariant), bige Körper umschreiben müsse. Dies hat ihn dann wodurch die bei Artin auftretenden trivialen Null­ vermutlich mehr Schweiß gekostet, als er zunächst stellen ganz wegfallen. Die Riemannsche Vermutung dachte. Im Jahre 1946 wurde die Fußnote schließ• wird dann gleichbedeutend mit der Abschatzung der lich eingelöst durch die "Foundations of Algebraic

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Geometry", Weils Grundlegung der algebraischen läßt. Dieses Thema der Konstantenreduktion hat Geometrie über Körpern beliebiger Charakteristik, Roquette immer wieder begleitet, so hat er 1958 mit einer sehr raffinierten algebraischen Schnittheo­ eine große Arbeit in Crelles Journal darüber geschrie­ rie. Zwei Jahre später, 1948, folgten die beiden ben, die eine Arbeit Shimuras zu demselben Thema Bücher "Sur les courbes algebriques et les varietes qui ergänzt. Zwei Jahre später wurden diese Betrachtun­ s'en deduisent" sowie "Varietes abeliennes et cour­ gen allerdings von der neuen, umfassenden Grund­ bes algebriques", die den vollständigen Beweis der legung der algebraischen Geometrie in der Theorie Riemannschen Vermutung für Funktionenkörper ei­ der Grothendieck'schen Schemata vereinnahmt, in ner Variablen über endlichen Körpern erbrachten. der die "Theorie de descente" einen wichtigen Platz Durch diesen Beweis ist eigentlich die bis heute übli• einnimmt. Seine Schüler hat Roquette weiterhin für che Bandwurm-Bezeichnung "Riemannsche Vermu­ die Reduktionstheorie begeistern können, angefangen tung für Funktionenkörper einer Variablen über end­ bei dem Mannheimer Popp, der vor mir bei Roquette lichem Konstantenkörper" für diesen Sachverhalt ob­ promovierte, bis hin zu dem Heidelberger Pop und solet geworden, denn es ist ein Satz und keine Ver­ Barry Green, die noch heute diesem Thema neue mutung mehr. Roquette hat vorgeschlagen, dies den überraschende Aspekte abgewinnen. Satz von Hasse-Weil zu nennen, so wie man den Satz Mit der bislang entwickelten Reduktionstheorie über die endliche Erzeugbarkeit der Gruppe der ra­ allein war der Beweis der Riemannschen Vermu­ tionalen Punkte einer abelschen Varietät den Satz tung nicht getan. Entscheidend für den Beweis war von Mordell-Weil nennt, weil er für elliptische Kurven nicht die von Hasse vorgeschlagene Normbildung, mit dem rationalen Zahlkörper als Grundkörper von sondern, wie Weil gezeigt hatte, ihr additives Ana­ Mordell, für Jacobische Varietäten über Zahlkörpern logon, die Spurbildung, die zu einer Bilinearform auf dann von Weil bewiesen wurde. Roquette hat sich dem Korrespondenzenring, nämlich zu dem Schnitt­ mit seinem überzeugenden Vorschlag, soweit ich sehe, produkt auf der zugehörigen Fläche, führte. Entschei­ nicht durchgesetzt. dend für die Gültigkeit der oben genannten Unglei­ Doch zurück zu Roquettes Dissertation. Weil chung ist die Definitheit der Schnittform nach Weg­ hatte mit seinen 3 Büchern natürlich mehr geleistet lassen der trivialen Komponente. Dieser Definitheits­ als den Beweis der Riemannschen Vermutung. Diese satz, in der klassischen Korrespondenzentheorie nach stellte das auslösende Problem und den Zielstern dar, Castelnuovo-Severi benannt, in der Geometrie der so wie gute Probleme an manchen Stellen der Mathe­ Flächen auch Indexsatz von Hodge genannt, ist vor matikgeschichte theoriebildend gewirkt haben. Doch Stepanov-Bombieri die eigentliche Quelle, aus der Hasse war überzeugt, daß man die Riemannsche Ver­ die Riemannsche Vermutung für Funktionenkörper mutung auch direkter ohne den Umweg über einen fließt. Um die Definitheit dieser Weilsehen Metrik Neuaufbau der algebraischen Geometrie für Mannig­ nachzuweisen, braucht Roquette noch eine weitere faltigkeiten beliebiger Dimension gewinnen müßte, Deutung der Schnittmultiplizität von Kurven auf den allein mit dem Hilfsmittel der von Deuring aufgebau­ Flächen, die sich als Produkt zweier Kurven darstel­ ten Korrespondenzentheorie. Dies war das Disserta­ len. Bedenkt man, daß die Schnittmultiplizität zweier tionsthema für Roquette, der übrigens Deuring be­ Kurven in einem Punkt die Ordnung des Berührens reits als akademischen Lehrer in Harnburg kennenge­ der Kurven in diesem Punkt mißt, so ist man nicht lernt hatte. Und Roquette gelang es, die drei Bücher, verwundert, daß Roquette die erforderliche Neudeu­ genauer gesagt, den zum Beweis der Riemannschen tung der Schnittmultiplizität in einer Differentenbil­ Vermutung wesentlichen Teil der 3 Weilsehen Bücher, dung findet. Diese Deutung eröglicht ihm auch einen auf 54 Seiten zu verkürzen, ohne daß er seinen Prinzi­ einfachen Beweis der sogenannten Adjunktionsformel pien der ausführlichen, klaren, leserfreundlichen Dar­ der Flächentheorie im Rahmen der Korrespondenzen­ stellung untreu geworden wäre. Erst der Beweis von theorie. Ich will nicht weiter auf die Methoden der Stepanov-'-Bombieri im Jahre 1973 hat eine weitere Dissertation eingehen, muß aber doch hinzufügen, entscheidende Vereinfachung und eine totale Reduk­ daß sie lange weitergewirkt haben. So hat Ernst Kani tion der Behandlung des Problems auf den Bereich in seiner Dissertation bei Roquette durch Modifika­ der eindimensionalen Geometrie gebracht. tion der Roquetteschen Ansätze den schon genannten In der Dissertation taucht ein Hilfsmittel auf, das Satz von Mordell-Weil auf neue Art beweisen können. ebenfalls bereits von Deuring untersucht worden war, Ich bin deshalb so ausführlich auf diese beiden nämlich die Theorie der Reduktion algebraischer Va­ Arbeiten des jungen Roquette eingegangen, um zu rietäten nach Stellen des Grundkörpers. Roquette zeigen, daß sein Einstieg in die Forschung damit be­ entdeckte, daß sich die Deuringsche Korresponden­ gann, aktuelle, tiefreichende und tiefliegende Metho­ zentheorie, insbesondere die zu dieser Zeit noch heiß den, hier von Brauer, Hasse, Deuring und Andre umkämpfte Theorie der Schnittmultiplizitäten, auf Weil, zu studieren und in sich zu verarbeiten, und Betrachtungen der Reduktionstheorie zurückführen bei wichtigen Problemen, an denen schon viele be-

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deutende Mathematiker gearbeitet hatten, die eigene Es ist, auch gerade im Hinblick auf das wissen­ formende Hand anzulegen. schafliehe Werk von Roquette, nötig, hier kurz inne­ Betrachtet man die Gebiete der Mathematik, auf zuhalten, und über das Phänomen der Sprachen in denen Herr Roquette durch Publikationen hervorge­ der Mathematik nachzudenken. Goethe sagt zu die­ treten ist: sem Thema:

Algebraische Zahlentheorie (Klassenkörper• 11 Die Mathematiker sind eine Art Franzosen; turmproblem) redet man zu ihnen, so übersetzen sie es in ihre Sprache, und dann ist es alsobald etwas Algebraische Funktionenkörper einer Variablen ganz Anderes." Abelsche Funktionenkörper Die Sprache - und ich unterscheide hier nicht zwischen gesprochener und geschriebener Sprache - Reduktionstheorie ist die Form, in der sich das von Intuitionen, Ana­ logiebildungen und anderen nicht präzise faßbaren Allgemeine Arithmetik Dingen durchsetzte mathematische Denken krist al­ Kommutative Algebra lisiert. Diese Sprache ist nicht etwas fest Vorgege­ benes, sie entwickelt sich vielmehr mit der Erfor­ Bewertungstheorie schung der Phänomene, und so ist es nicht verwun­ derlich, daß verschiedene mathematische Disziplinen, Galoiskohomologie ja verschiedene Schulen auf demselben Gebiet, ver­ Algebrentheorie schiedene Sprachen ausbilden, auch wenn dies heute durch die mengentheoretische Einheitssprache etwas Gruppentheorie überdeckt wird. In einer solchen multilingualen Land­ schaft kann die Aufgabe eines Übersetzers von großer Nonstandardmethoden in Algebra und Arithme­ Bedeutung sein. Denken wir etwa daran, welchen Ein­ tik fluß die Übersetzung von Shakespeares Dramen durch Schlegel und Tieck auf das deutsche Theater und Formal p-adische Körper die Entwicklung der Romantik hatte, von Beine bis Lokal-Global-Prinzipien bei ganzzahligen dio­ zu Fontane findet man Shakespeare-Zitate bis in die phantischen Gleichungen Gedichte hinein. In der Literatur wie in der Mathe­ matik kann die Leistung eines Übersetzers eine ei­ und vergleicht man die mir zur Verfügung stehende genständige Neuschöpfung sein, die bisweilen sogar Zeit mit dem bereits Behandelten, so wirdjeder einse­ das Original übertrifft. Eine Übersetzung läßt das hen, daß es mir nicht möglich ist, das mathematische Alte in neuem Licht sehen, ist bisweilen Startpunkt Werk Roquettes auch nur oberflächlich vollständig für neue Entwicklungen, die ohne die Übersetzung zu würdigen. Da ich es ohnehin nicht schaffe, sei mir gar nicht begonnen worden wären. Im weiteren Sinne gestattet, noch kurz bei der Dissertation stehen zu gilt in der Mathematik wie in anderen Künsten, daß bleiben. ein großer Teil unserer Arbeiten Übersetzungen und Ich weiß nicht, was Andre Weil zu der Roquette­ Übertragungen dessen sind, was andere oder auch wir schen Dissertation gesagt hat. Im ersten Band seiner selbst früher geschaffen haben. Die Mathematik lebt gesammelten Werke hat Weil einen im Militärgefäng• davon, daß die gewonnenen neuen Erkenntnisse und nis .,Bonne Nouvelle" in Rouen geschriebenen, an Ergebnisse immer wieder umformuliert, verallgemei­ seine Schwester Sirnone Weil gerichteten Brief aus nert, modifiziert und neu bearbeitet werden, bis sie in dem Jahre 1940 abdrucken lassen, wo er sich über eine Form kommen, die den Phänomenen am besten ähnliche Unternehmungen moquiert: so über Deu­ angepaßt ist, sie am einfachsten begreifen läßt, so daß ring, der nichts anderes tue, als die schon bekannten bereits die Form das Wichtige hervortreten, das Un­ schönen Ergebnisse von Severi über den Korrespon­ wichtige zurücktreten läßt. Solche Urteile (wichtig­ denzenring in seinem Dialekt wiederzufinden. Weil unwichtig) tragen im Gegensatz zur Wahrheit mathe­ ist sich zu diesem Zeitpunkt offenbar noch nicht im matischer Aussagen etwas Subjektives in sich, aber klaren, daß er selbst, wie er ein Jahr später in der sie sind notwendig. Ohne diese Kultivierung des ma­ erwähnten Academy-Note schreibt, ein ähnliches Un­ thematischen Ackers würde die Ergebnislandschaft ternehmen durchführen muß, das schließlich in seine über kurz oder lang Züge eines chaotischen Dschun­ .,Foundations of Algebraic Geometry" mündet, wo­ gels annehmen. Die Roquetteschen Arbeiten zeigen bei Weil nach einiger Überlegung die geometrische immer wieder, daß er ein Meister und Vorarbeiter Sprache der arithmetischen oder Funktionenkörper• bei dieser Formgebung ist, seine Übersetzungen und sprache Deurings vorzieht. Neudeutungen sind Anknüpfungspunkt vieler weite-

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rer Arbeiten geworden. Das dies so ist, liegt auch an und Wegbereiter der modelltheoretischen Methoden Roquettes weitem Interessenspektrum in der Mathe­ in Algebra, Zahlentheorie und anderen Disziplinen. matik und liegt an seiner lebendigen mathematischen Ich erinnere mich genau, wie fasziniert wir Studenten Fantasie, die er nicht nur zum Erzielen neuer Ergeb­ und Mitarbeiter waren von der für uns ganz neuen nisse in vorgestecktem Rahmen, sondern eben auch Art, Mathematik zu betrachten, und von der lie­ zur Modifikation dieses Rahmens benutzt. benswürdigen Souveränität, mit der Robinson seine Damit komme ich zum Problem der Sprache vielseitigen Ideen verstreute, als Roquette ihn 1965 zurück. Weil vergleicht in seinem schon zitierten Brief nach Tübingen eingeladen hatte. Grundidee der von an seine Schwester seine eigene mathematische Akti­ Robinson wesentlich gestalteten Modelltheorie ist die vität mit der Entzifferung eines dreisprachigen Tex­ Erkenntnis, daß die Sprache, in der Mathematik for­ tes, wobei die drei Sprachen den drei mathematischen muliert wird, selbst zum Gegenstand der Untersu­ Gebieten chung gemacht werden kann, und daß sprachliche Analysen einer Aussage bereits Rückschlüsse z.B. auf Zahlentheorie mögliche Beweise zulassen, ohne solche je gesehen zu Riemannsche Funktionentheorie haben, ja ohne daß solche je existiert haben. Ins­ besondere erhält die Modelltheorie durch diese Me­ Algebraische Funktionentheorie (über endlichem thode Prinzipien, mathematische Aussagen von einer Konstantenkörper) Struktur auf eine andere zu übertragen und schwächt damit den Begriff der Isomorphie mathematischer entsprechen. Es gehe darum, die Analogien zwischen Strukturen zu dem im Grunde angemesseneren der diesen Gebieten zu erkennen und zu formulieren, die Äquivalenz ab: Strukturen sind äquivalent, wenn in Unterschiede zu berücksichtigen, um schließlich zu ei­ ihnen dieselben in der vorgegebenen Sprache formu­ ner Gesamtschau zu gelangen. In seiner Besprechung lierbaren Sätze gelten. Eine der zentralen Ideen Ro­ von Weils gesammelten Werken bemerkt Roquette binsons war die Idee des enlargements, eines satu­ dazu, daß man diese Dreiteilung ja schon in den drei rierten Nonstandardmodells, anders ausgedrückt, ei­ Gauß'schen "A" finde: ner umfassenden Komplettierung: In der Analysis Arithmetik ermöglicht sie den Leibnizschen Kalkül der infinite­ simalen Elemente, in der Arithmetik trägt sie alle Analysis p-adischen Komplettierungen in sich, ragt aber weit über die Chevalleyschen ldele oder Adele hinaus, in­ Algebra dem nicht nur die Topologie, sondern auch viele an­ und daß sie sich im Werk vieler bedeutender Ma­ dere Eigenschaften komplettiert werden, und indem thematiker aufspüren lassen. Gerade das Gebiet der in dem enlargement auch dieselben elementaren Aus­ algebraischen Kurven zeigt eine besonders enge Ver­ sagen wie in dem Zahlkörper, von dem man ausgeht, zahnung aller drei Gebiete, die aber weiter ausstrahlt gelten. in die gesamte algebraische Geometrie. Das wissen­ Roquette hatte Robinson 1963 in Pasadena ken­ schaftliche Werk von Roquette, das seit seiner Disser­ nengelernt, und im Laufe der Zeit entwickelte sich tation eng mit dem Gebiet der algebraischen Funk­ eine anregende Zusammenarbeit, die ihren Höhe• tionenkörper verknüpft ist, kann man ebenfalls als punkt in der leider erst nach dem frühen Tod Robin­ ein Kreisen um diese drei Gauß'schen "A" ansehen, sons erschienenen Arbeit über den Satz von Siegel­ wobei die Arithmetik und die Algebra einen Vorrang Mahler fand. Dieser Satz besagt, daß eine affine vor der Analysis haben, die aber auch vertreten ist: Kurve vom Geschlecht g > 0 über einem Zahlkörper man denke etwa an das klassische Büchlein über die nur endlich viele ganzzahlige Punkte tragen kann. analytische Theorie der elliptischen Funktionen über Seit Faltings Beweis der Mordeilsehen Vermutung lokalen Körpern, das eine, zumindest ideelle, Quelle im Jahre 1983 wissen wir mehr: Für Geschlecht für die Dissertation des Leiters dieser Konferenz über g > 1 können sogar nur endlich viele rationale Algebra und Zahlentheorie war. Punkte auf der Kurve liegen, aber bis dahin galt Wie Sie dem Gebietsverzeichnis bereits entnom­ der 1929 von Siegel gefundene Satz als eines der men haben, ein Blick in das Schriftenverzeichnis tiefsten Ergebnisse der diophantischen Geometrie. überzeugt noch mehr, muß ich nun in weiten Sätzen Was hat dieser Satz mit Robinsons enlargement über viele Gebiete und Arbeiten Roquettes hinwegge­ zu tun? Nun, Robinson bettete den Körper K in hen, um wenigstens noch drei Punkte zu nennen, die ein großes enlargement • K ein, das dieselben ele­ ganz neue Richtungen im Schaffen Roquettes über mentaren Eigenschaften wie K besaß. Hatte eine das bereits Gesagte hinaus bezeichnen. Kurve C über K unendlich viele rationale Punkte, so Der erste Punkt ist die Begegnung mit Abraham ließ sich auf Grund der Komplettheitseigenschaften Robinson, dem Schöpfer der Nonstandard-Analysis des enlargments der Funktionenkörper F = K {C)

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der Kurve in das enlargement • K einbetten. Damit dem Hilbertschen Irreduzibilitätssatz nicht zu Ende konnte die Arithmetik des nonstandard-Zahlkörpers ist, zeigt der morgige Vortrag von Florian Pop. * K auf den Funktionenkörper F angewendet wer­ Nicht mit der Theorie des enlargements aber den, und ein Wechselspiel zwischen der Arithme­ doch mit der Modelltheorie verbunden ist der zweite tik des nonstandard-Zahlkörpers und der Arithme­ Punkt, den ich nennen möchte: Im Jahre 1969 er­ tik des Funktionenkörpers konnte beginnen. In dieser hielt ich in Beideiberg eine Arbeit von Kochen zum Übersetzung ist die Mordeilsehe Vermutung äquiva• Referieren für die Mathematical Reviews, in dem ra­ lent zu der Aussage, daß das enlargement • K eines tionale Funktionen über den p-adischen Zahlen, die Zahlkörpers K keinen Funktionenkörper F von ei­ nur p-adisch ganze Werte annehmen, durch einen nem Geschlecht g > 1 enthalten kann. Dies ist bisher merkwürdigen Operator noch nicht mit nonstandard-Methoden gezeigt wor­ den. Wenn man aber nur zeigen will, daß die Kurve 1 -y(x) = ~ (x11 - x- - -) C nicht unendlich viele ganzzahlige Punkte besit­ p xP- X zen kann, so entspricht dem die Aussage, daß jede nichtkonstante Funktion x E F \ K auf der Kurve C erzeugt wurden. Ich ging zu Roquette und fragte ihn, einen nonstandard-Primdivisor des enlargements • K ob ihm dieser merkwürdige Operator mit den schönen als Pol hat. In gemeinsamer längerer Anstrengung Eigenschaften schon begegnet sei. Er war anschei­ konnten Roquette und Robinson diese Aussage be­ nend auch Roquette neu. Aber da er die p-adischen weisen, also einen nonstandard-Beweis für den Satz Zahlen als seiue vertraute Heimat ansah, war er bald von Siegel-Mahler geben. soweit, daß er die bei Kochen gegebene Erzeugung Roquette hat diese Theorie des enlargements des Kochenringes wesentlich elementarer und einfa­ und der Nonstandard-Methoden weiterverfolgt. Eine cher gestalten konnte. An diese erste Begegnung mit der Früchte ist die schon genannte Dissertation von dem Kochen-Operator schlossen sich zahlreiche wei­ Kani mit einem nonstandard-Beweis des Satzes von tere Arbeiten über die Modelltheorie der p-adischen Mordell-Weil. und formal p-adischen Zahlen an, die ihren Höhe• Eine andere Anwendung ist das Studium des Hil­ punkt in den gemeinsamen Lecture Notes über formal bertschen Irreduzibilitätssatzes. Robinson und Gil­ p-adische Körper mit Alexander Prestel fanden. more hatten gezeigt, daß ein Körper K genau dann Und schließlich noch ein dritter und letzter den Hilbertschen lrreduzibilitätssatz erfüllt, kurz Punkt, der gerade die Arbeiten von Roquette in den .,daß er hilbertsch ist", wenn es im enlargement ein letzten 8 Jahren stark berührt. Es geht hier um ein Element t E* K \ K gibt, so daß der rationale Funk­ klassisches diophantisches Problem, das bereits Ska­ tionenkörper K(t) in • K separabel (oder algebraisch Iern 1934 aufstellte: Hat man ein System diophanti­ - je nach der Formulierung des Hilbertschen Irre­ scher Gleichungen duzibilitätssatzes) abgeschlossen im enlargement • K ist. Roquette nimmt dieses Kriterium zum Ausgangs­ punkt für mehrere Nonstandard-Beweise des Hilbert­ schen Irreduzibilitätssatzes in verschiedenen Situatio­ gegeben, etwa mit Koeffizienten in ~. so folgt aus nen. Wesentlich überholt werden die Roquetteschen der lokalen Lösbarkeit über allen p-adischen Ringen Überlegungen aber durch die Dissertation seines ~P keinesfalls die globale Lösbarkeit in ~ . wie einfa­ Schülers Weissauer, der das Robinson-Gilmoresche che Beispiele zeigen. Skolem vermutete aber, daß ein Kriterium wesentlich abschwächen konnte (statt dem derartiges Lokal-Global-Prinzip gelten könne, wenn algebraischen Abschluß von K(t) in • K benötigt man man stärker vervollständige, nämlich zum ganzen nur mehr, daß t nur endlich viele Pole im algebrai­ Abschluß Z von ~ . also zum Ring aller ganzalgebrai­ schen Abschluß von K(t) in • K hat), wodurch nicht schen Zahlen überginge. Gemeinsam mit D. Cantor nur die Beweise des Hilbertschen Irreduzibilitätssat• konnte Roquette ein solches Lokal-Global-Prinzip für zes in den bekannten Situationen erheblich verein­ einfache, nämlich unirationale Gleichungssysteme, facht werden, sondern auch neue Körperklassen, z.B. nachweisen. Der Durchbruch beim Beweis dieses die Potenzreihenkörper in mehreren Variablen, als Lokal-Global-Prinzips im allgemeinen Fall gelang R. hilbertsch erkannt werden. Das ist vielleicht das bis­ Rumely mit analytischen Mitteln, nämlich durch den her stärkste Ergebnis, das die enlargement-Methode Aufbau einer Kapazitätstheorie für algebraische Kur­ in der Diophantischen Geometrie gezeitigt hat, doch ven. Inzwischen ist es Roquette und seinen Mit­ sei nicht verschwiegen, daß Herr Klein in seiner Dis­ arbeitern wieder gelungen, diesen Weg zum Lokal­ sertaion bei mir zwei Jahre später dieses Ergebnis Global-Prinzip für diophantische Gleichungen über und einen Teil der anderen Ergebnisse von Weissauer dem Ring aller ganzalgebraischen Zahlen erheblich auch mit Standard-Methoden erzielen konnte. Daß zu vereinfachen, und wir erwarten mit Spannung das die Beschäftigung der Roquetteschen Gruppe mit Manuskript.

DMV Mitteilungen 3/93 21 Wulf-Dieter Geyer

Damit bin ich mit vielen Auslassungen bei der 8. Zur arithmetischen Theorie der abelschen Funktio­ Gegenwart angelangt. Einige Auslassungen seien we­ nenkörper I. Habilitationsschrift München (1954). nigstens mit einem Wort genannt: Ich bin nicht expli­ 9. Über das Hassesche Klassenkörper-Zerlegungsgesetz zit eingegangen auf Roquette als begeisternden aka­ und seine Verallgemeinerung für beliebige abelsche demischen Lehrer, obwohl ich hier Dank abzustat­ Funktionenkörper. Journal für die reine und ange­ ten hätte. Ich habe nichts gesagt über seine vielsei­ wandte Mathematik 197 (1957), 49-67. tige, seit Jahrzehnten andauernde Tätigkeit als Her­ 10. Einheiten und Divisorklassen in endlich erzeug­ ausgeber des Crelleschen Journals und der manus­ baren Körpern. Jahresbericht der Deutschen cripta mathematica, ich habe nichts gesagt über seine Mathematiker-Vereinigung 60 (1957), 1-21. bis heute währende Gutachtertätigkeit bei der DFG, seine Akademietätigkeit, seine Mitwirkung beim Ma­ 11. On the prolongations of valuations. Transactions of thematischen Forschungsinstitut Oberwolfach und the American Mathematical Society 88 (1958), 42- 56. vieles andere mehr. Last but not least habe ich nichts gesagt über den Menschen, der unserem verehrten 12. Zur Theorie der Konstantenreduktion algebraischer Lehrer immer wieder die Kraft für seine vielseitigen Mannigfaltigkeiten. Invarianz des arithmetischen Aktivitäten gegeben hat, seine Frau Erika. Mit der Geschlechts einer Mannigfaltigkeit und der virtuel­ Bitte, mir diese Auslassungen nachzusehen, beendige len Dimension ihrer Divisoren. Journal für die reine ich dieselben. und angewandte Mathemtik 200 (1958), 1-44. 13. Abspaltung des Radikals in vollständigen lokalen Ringen. Abhandlungen aus dem Mathematischen Schriftenverzeichnis Seminar der Universität Harnburg 23 (1959), 75-113. 14. Realisierung von Darstellungen endlicher nilpotenter 1. Arithmetische Untersuchung des Charakterringes ei­ Gruppen. Archiv der Mathematik 9 (1958), 241-250. ner endlichen Gruppe. Mit Anwendungen auf die Bestimmung des minimalen Darstellungskörpers ei­ 15. ÜbP.r den Riemann-Rochschen Satz in Funktio­ ner Gruppe, und in der Theorie der Artin'schen L­ n, 5rpern vom Tranzendenzgrad 1. Mathematische Funktionen. Journal für die reine und angewandte Nachrichten 19 (1958), 375-404. Mathematik 190 (1952), 148-168. 16. Bericht über algebraische Gruppen. Jahresbe­ 2. Arithmetische Untersuchung des Abelschen Funk­ richt der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 62 tionenkörpers, der einem algebraischen Funktio­ (1959), 53-84. nenkörper höheren Geschlechts zugeordnet ist. 17. Some fundamental theorems on abelian function Mit einem Anhang über eine neue Begründung fields. Proceedings of the International Congress of der Korrespondenzentheorie algebraischer Funktio­ Mathematicians, Edinburgh 1958, Cambridge Uni­ nenkörper. Abhandlungen aus dem Mathematischen versity Press, Cambridge 1960, 322-329. Seminar der Universität Harnburg 18 (1952), 144- 178. 18. Über den Singularitätsgrad von Teilringen in Funk­ tionenkörpern. Mathematische Zeitschrift 77 (1961), 3. Über die Automorphismengruppe eines algebrai­ 228-240. schen Funktionenkörpers. Archiv der Mathematik 3 (1952), 343-350 19. Über den Singularitätsgrad eindimensionaler Ringe. II. Journal für die reine und angewandte Mathema­ 4. Riemannsche Vermutung in Funktionenkörpern. Ar­ tik 209 (1962), 12-16. chiv der Mathematik 4 (1953), 6-16. 20. Berichtigung zu der Arbeit: Über den Singularitäta• 5. Arithmetischer Beweis der Riemannschen Vermu­ grad eindimensionaler Ringe. II. Journal für die reine tung in Kongruenzfunktionenkörpern beliebigen Ge­ und angewandte Mathematik 211 (1962), 191. schlechts. Journal für die reine und angewandte Ma­ thematik 191 (1953), 199-252. 21. On the Galois cohomology of the projective linear group and its applications to the construction of ge­ 6. L'arithmetique des fonctions abeliennes. Centre neric splitting fields of algebras. Mathematische An­ Belge de Recherehes Mathematiques: Colloque sur nalen 150 (1963), 411-439. les fonctions de plusieurs variables, tenu Bruxelles a 22. lsomorphisms of generic splitting fields of simple al­ du 11 au 14 mars 1953, Georges Thone, Liege 1953, gebras. Journal für die reine angewandte Mathema­ 69-80. tik 214/215 (1964), 207-226.

7. Zur Theorie der Konstantenerweiterung algebrai­ 23. Über die Existenz von Hall-Komplementen in endli­ scher Funktionenkörper: Konstruktion der Koordi­ chen Gruppen. Journal of Algebra 1 (1964), 342-346. natenkörper von Divisoren und Divisorklassen. Ab­ handlungen aus dem Mathematischen Seminar der 24. On the number of generators and relations of finite Universität Harnburg 19 (1955), 269-276. p-groups. Mimeographed Notes, Columbus (1964).

22 DMV Mitteilungen 3/ 93 Ehrenpromotion von Peter Roquette

25. Zerfällung von Algebren durch Funktionenkörper. 40. Abra.ha.m Robinson (gemeinsam mit A.D. Young, S. in: Algebraische Zahlentheorie, Ber. Math. For­ Kochen a.nd S. Körner). Bulletin of the London Ma­ schungsinstitut Oberwolfach 2 (1964), 83-98, Biblio­ thematical Society 8 (1976), 307-323. graphisches Institut, Mannheim 1967. 41. A criterion for rational places over local fields. Jour­ 26. Splitting of algebras by function fields of one varia­ nal für die reine und a.ngewa.ndte Ma.thema.tik 292 ble. Nagoya Mathematical Journal 27 (1966), 625- (1977), 90-108. 642. 42. Kurt Hensel, der Mathematiker. In: Ma.rburger Ge­ 27. On dass field towers. In: Algebraic Number Theory. lehrte in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts. (Proceedings of an lnstructional Conference organi­ Ed. I. Schnack. Veröffentlichungen der Historischen zed by the London Mathematical Society Brighton Kommission für Hessen 35, 1 (1977), 187-192. 1965). Ed. by J .W .S. Cassels and A. Fröhlich, Thompson, Washington D.C . 1967, p. 231-249. 43. On the Riema.nn p-space of a. field. The p-a.dic Analogue of Weierstrass' Approximation Theorem 28. A proof of Gudrun Beyer's theorem. Mimeographed a.nd Related Problems. Abhandlungen aus dem Ma­ Notes, Columbus (1967). thematischen Seminar der Universität Ha.mburg 47 29. A cohomological characterization of finite nilpotent (1978), 236-259. groups (gemeinsam mit K. Hoechsmann und H. Zas­ 44. Antrittsrede: Heidelberger Akademie der Wissen­ senhaus). Archiv der Mathematik 19 (1968), 225- schaften, Jahrbuch 1978, 47-50 (1979). 244.

30. A dass rank estimate for algebraic number fields (ge­ 45. A relatively effective procedure for the solution of meinsam mit H. Zassenhaus). Journal of the London diophantine equations of positive genus (gemeinsam Mathematical Society 44 (1969), 31-38. mit A. Robinson and G. Takeuti). Skriptum Heidel­ berg 1979. 31. Analytic theory of elliptic functions over local fields. Hamburger Mathematische Einzelschriften, 46. Altes undNeuesaus der Diophantischen Geometrie. Neue Folge, Heft 1, 90pp., Vandenhock & Ruprecht, Jahrbuch der Heidelberger Akademie der Wissen­ Göttingen 1970. schaften 1979, 111-128, (1980).

32. Abschätzung der Automorphismenanzahl von Funk­ 4 7. The Nullstellensatz over p-a.dica.lly dosed fields (ge­ tionenkörpern bei Primzahlcharakteristik. Mathe­ meinsam mit M. Ja.rden). Journal of the Mathema­ matische Zeitschrift 117 (1970), 157-163. tical Society of Japan 32 (1980), 425-460.

33. Einführung in die Theorie der p-adischen Körper. 48. p-adische und saturierte Körper. Neue Variationen Scripturn Heidelberg 1970. zu einem alten Thema. von Hasse. Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Harnburg 11 (1982), 34. Bemerkungen zur Theorie der formal p-adischen 25-45. Körper. Beiträge zur Geometrie und Algebra 1 (1971 ), 177-193. 49. Lectures on forma.lly p-adic fields (gemeinsam mit A. Prestel). IMPA Lecture Notes (1983) = Forma.lly 35. Principal ideal theorems for holomorphy rings in p-adic fields. Springer Lecture Notes in Ma.thematics fields. Journal für die reine und angewandte Mathe­ 1050 (1984), 167 pp. matik 262/ 263 (1973), 361-374.

36. Remarks and corrections to the paper: Principal 50. On Diophantine equations over the ring of a.ll alge­ ideal theorems for holomorphic rings in fields. Jour­ braic integers (gemeinsam mit D. Cantor). Journal nal für die reine und angewandte Mathematik 280 of Number Theory 18 (1984), 1-26. (1976), 213. 51. Some tendencies in contemporary algebra. In: Per­ 37. On the finiteness theorem of Siegel and Mahler con­ spectives in Ma.thema.tics, Anniversa.ry of Ober­ cerning Diophantine equations (gemeinsam mit A. wolfa.ch. Birkhäuser Verlag, Stuttga.rt 1984, 393-422. Robinson). Journal of Number Theory 7 (1975), 121- 176. 52. Immediate a.nd purely wild extensions of valued fields (gemeinsam mit F.V. Kuhlma.nn und M. 38. Nonstandard aspects of Hilbert's irreducibility theo­ Pa.nk). Ma.nuscripta. Ma.thema.tica 55 (1986), 39-67. rem. In: Model theory and algebra, a memorial tri­ bute to Abraham Robinson. Ed. D.H. Saracino and 53. Solving Diopha.ntine equa.tions over the ring of a.ll B. Weispfenning. Springer Lecture Notes in Mathe­ algebraic integers. In: Atas da. 8. Escola. de Algebra., matics 498 (1975), 231-275. Rio de Janeiro 1984 (2. Volume); Colec;ä.o Atas no. 16, Institute de Ma.tematica. Pura e Aplicada. (1985). 39. On the division fields of an algebraic function field of one variable. An estimate for their degree of irra­ 54. Reciprocity in Function Fields. Journal für die reine tionality. Heuston Journal of Mathematics 2 (1976), und angewa.ndte Ma.thema.tik, 375/376 (1987), 238- 251-287. 258.

DMV Mitteilungen 3/93 23 Leserbriefe

55. Über die algebraisch-zahlentheoretischen Arbeiten 58. Helmut Hasse, Mathematische Abhandlungen Band von Max Deuring. Jahresbericht der DMV 91 1-3. Hrsg. von H.W. Leopoldt und P. Roquette. Ver­ (1989), 109-125. lag de Gruyter, Berlin 1975. 56. Galois-Gruppen und Symmetrie. Jahrbuch der Hei­ delberger Akademie der Wissenschaften 1989, 33-36 59. E. Hecke, Analysis und Zahlentheorie, Vorlesung (1990). Harnburg 1920 (bearbeitet von P. Roquette). Do­ kumente zur Geschichte der Mathematik, Band 3 . Deutsche Mathematiker-Vereinigung/ Vieweg­ Editionen Verlag, Braunschweig 1987.

57. Algebraische Zahlentheorie. Bericht einer Tagung Anschrift des Autors: aus dem Mathematischen Forschungsinstitut Ober­ Prof. Dr. Wulf-Dieter Geyer wolfach 6. - 12. Sept. 1964. Hrsg. von H. Hasse und P. Roquette. (Berichte aus dem Mathemati­ Mathematisches Institut schen Forschungsinstitut Oberwolfach, Heft 2.) Bi­ Bismarckstr. 1 ~ bliographisches Institut Mannheim 1967. 91054 Erlangen

Leserbriefe

Format der Mitteilungen In Königsberg sind zur Zeit die folgenden mathema­ tischen Arbeitsgebiete vertreten: Soeben habe ich meine Mitteilungen: Heft 2/93 erhalten. Wer hat sich denn dieses Format ausgedacht? Wie und Differentialgeometrie; wo soll man diese Hefte lagern?(meine Bücherregale sind Differentialgleichungen der Mathematischen Physik nicht hoch genug, da niemand dasselbe Format hat). Im (Numerische Verfahren); Gegensatz zu den früheren Heften, habe ich die neufor­ matigen Mitteilungen weggeworfen. Ist das das Ziel der Angewandte Mathematik/ Optimierung; Übung? Josef Dorfmeister, Kansas Mathematische Logik und Grundlagen; Diese Frage ist schon öfters gestellt worden. Das DIN­ Funktionentheorie; Format wurde wegen des günstigeren Preises, d. h. zur Einsparung von Papierkosten gewählt. Geschichte der Mathematik und Astronomie. Gerd Fischer Die Angaben stammen von der Königsherger Fakultät und können gegebenenfalls wohl noch genauer spezifiziert werden. Mathematiker-Austausch mit der Uni­ Das Austauschprogramm der Daimler-Benz Stiftung versität Königsberg/Kaliningrad betrifft nur Universitätsdozenten (ab Habilitation). Aus­ tauschprogramme für Doktoranden, Lehrer oder Studen­ Im vorangehenden Heft wurde über die "Helmholtz­ ten können möglicherweise aus anderen Mitteln gefördert Gastprofessur" der Daimler-Benz Stiftung berichtet. werden, wenn Interesse dafür besteht. (Heft 2-1993, Seite 36) Sie wurde eingerichtet für den Aus­ Für den Herbst 1994 ist eine kleine Mathematik­ tausch von Wissenschaftlern der Universität Ka.liningrad Tagung in Königsberg geplant, als Sektion (1-2 Tage) im und deutschen Universitäten. Rahmen der Veranstaltung zum 450-jährigen Jubiläum Dadurch bietet sich jetzt die Möglichkeit, die zur Zeit der früheren deutschen Universität, der "Albertina". Das noch etwas spärlichen wissenschaftlichen Kontakte mit Jubiläum soll als eine gemeinsame deutsch-russische Ver­ Königsberg auszubauen und neue Verbindungen zu schaf­ anstaltung begangen werden. Für die Teilnehmer aus fen. Dabei werden in der ersten Phase wohl zunächst eher Deutschland wird sich auf der Tagung die Gelegenheit kurzfristige Gastaufenthalte (etwa 2-4 Wochen) in Frage ergeben, die Mathematiker der jungen Ka.liningrader Uni­ kommen, zum gegenseitigen Kennenlernen und zur Pla­ versität, ihre Arbeitsgruppen und -richtungen kennzuler­ nung zukünftiger Kooperation. nen. Nähere Auskünfte darüber bei dem Unterzeichneten. Dies betrifft auch und insbesondere die Mathematik. Peter Roquette Der Unterzeichnete ist gerne bereit, auf Anfrage nähere Fakultät für Mathematik Auskünfte zu geben und, wenn gewünscht, Verbindungen Im N euenheimer Feld 288 herzustellen. 69120 Heidelberg

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