Motions and Stresses of Projected Polyhedra
by Walter Whiteley*
R&urn& Topologie Structuraie #7, 1982 Abstract Structural Topology #7,1982
L’utilisation de mouvements infinitesimaux de structures a panneaux permet Using infinitesimal motions of panel structures, a new proof is given for Clerk d’apporter une nouvelle preuve au theoreme de Clerk Maxwell affirmant que la Maxwell’s theorem that the projection of an oriented polyhedron from 3-space projection d’un polyedre de I’espace a 3 dimensions donne un diagramme plane gives a plane diagram of lines and points which forms a stressed bar and joint de lignes et de points qui forme une charpente contrainte a barres et a joints. framework. The methods extend to prove a simple converse for frameworks Les methodes tendent a prouver une reciproque simple pour les charpentes a with planar graphs - and a general converse for other polyhedra under appropriate graphes planaires - et une reciproque g&&ale pour ,les autres polyedres soumis conditions on the stress. The method of proof also yields a correspondence bet- a des conditions appropriees de contraintes. La methode utilisee pour la preuve ween the form of the stress on a bar (tension/compression) and the form of the pro&it aussi une correspondance entre la forme de la contrainte sur une bar dihedral angle (concave/convex). (tension/compression) et la forme de I’angle diedrique (concave/convexe).
Les resultats ont une applicatioin potentielle a la fois sur I’etude des charpentes The results have potential application both to the study of frameworks and to et sur I’analyse de la scene (la reconnaissance d’images de polyedres). scene analysis (the recognition of pictures of polyhedra).
I. Introduction I. Introduction
En 1864, Clerk Maxwell a present& une theorie sur les diagrammes reciproques et sur In 1864 Clerk Maxwell presented a theory of reciprocal diagrams and equilibria in les equilibres des charpentes plans a barres et a joints. Cette theorie combinait des plane bar and joint frameworks. This theory combined older graphical methods for methodes graphiques plus anciennes pour les polygones de forces avec une nouvelle polygons of forces with a new geometric construction which used projective duality construction geometrique qui utilisait la dualite projective et la projection orthogonale and orthogonal projection to create both the framework and the ((reciprocal diagram, pour creer a la fois la charpente et le ((diagramme reciproqueu de forces dans les barres of forces in the bars from a single spatial polyhedron (Maxwell 1864, 1870). The basic a partir d’un seul polyedre spatial (Maxwell 1864, 1870). On peut resumer ainsi le result can be summarized: The projection of a spherical polyhedron gives a plane resultat fondamental: La projection d’un polyPdre sph&ique donne un diagramme diagram of lines and points which will have a static stress when built as a bar and joint plane de lignes et de points qui aura une contrainte statique lorsque construit comme framework. The size of the force in each bar is directly proportional to the length of the une charpente A barres et a joints. L’intensitti de la force dans chaque barre est direc- HreciprocalB line in the projection of a special dual polyhedron. tement proportionnelle a la longueur de la ligne &ciproqueN dans la projection d’un 13 poly&dre double spkial. . Lorsque Maxwell, et plus tard, d’autres presentateurs proclamerent que la reciproque While Maxwell and later expositors claimed the converse was true (if a framework with etait vraie (si une charpente a graphe planaire possede une contrainte statique, elle est a planar graph has a static stress then it is the projection of a spherical polyhedron), no alors la projection d’un polyedre spherique), aucune preuve complete ne fut fournie. complete proof was provided. Nevertheless, the insight was sound and the resulting Neanmoins, leur point de vue etait bien fonde et les methodes de statiques graphiques methods of graphical statics were used by several generations of engineers (Culmann qui en resulterent furent utilisees par plusieurs generations d’ingenieurs (Culmann 1866, Cremona 1890, Henneberg 1911) before its virtual disappearance in the last 50 1866, Cremona 1890, Henneberg 1911) avant sa disparition reelle au tours des 50 der- years. Recently, following a conjecture of Janos Baracs, and several years of combined nieres annees. Recemment a la suite d’une conjecture de Janos Baracs, et de plusieurs research and detective work, a complete proof of the original result and its converse annees de recherches combinees et d’un travail de detective, on a developpe une was developed, using the original techniques (Crap0 & Whiteley, to appear). preuve complete du resultat original et de sa reciproque, en utilisant les techniques originales (Crap0 & Whiteley, a paraitre).
Dans cet article, nous presentons une approche alternative a ce theoreme, basee sur In this paper we present an alternate approach to this theorem based on the general les techniques g&&ales de geometric projective pour les contraintes dans les charpen- projective geometric techniques for stresses in frameworks and motions of panel struc- tes et les mouvements de structures a panneaux presentees par (Crap0 & Whiteley tures presented in (Crap0 & Whiteley 1982). (We summarize these techniques in sec- 1982). (Nous resumons ces techniques a la section 2). Notre preuve du theoreme de tion 2). Our proof of Maxwell’s theorem begins with the observation that the process Maxwell debute par I’observation que le processus d’elevation d’une image plane a of lifting a plane picture up to the polyhedral scene in space is an infinitesimal motion une scene polyedrique dans I’espace constitue un mouvement infinitesimal de la struc- of the panel structure, composed of panels on the faces and hinges along the edges of ture a panneaux, composee de panneaux sur les faces et de charnieres le long des the flat projection (section 3.1). We then exploit a special correspondence between a&es de la projection plate (section 3.1). Nous utilisons alors une correspondance motions of a panel structure and stresses of a framework both built around an oriented speciale entre les mouvements d’une structure a panneaux et les contraintes d’une polyhedron. The result is a new proof of Maxwell’s theorem and its converse. charpente, les deux etant construits autour d’un polyedre orient& Le resultat constitue une nouvelle preuve du theoreme de Maxwell et de sa reciproque.
Cette nouvelle vision kinematique produit plusieurs extensions importantes du champ This new kinematic vision yields several important extensions. First, the correspon- de recherche. Premierement, la correspondance entre les projections et les contrain- dence between projections and stresses directly extends to projections of other orien- tes amene directement aux projections d’autres polyedres orient&, pourvu que la sim- ted polyhedra, provided a simple path condition is satisfied by the stress (section 3). ple condition du chemin soit satisfaite par la contrainte (section 3).
Nous obtenons aussi une correspondance plus detaillee entre le caractere des a&es We also obtain a more detailed correspondence between the character of the edges in du polyedre (convexe ou concave, aux limites ou a I’interieur dans la projection) et le the polyhedron (convex or concave, boundry or interior in the projection) and the type type de force dans la barre correspondante (tension ou compression) (section 4). Cette of force in the corresponding bar (tension or compression) (section 4). This split bet- division entre les membres de tension et de compression comporte des applications ween tension and compression members has important applications in the study of importantes pour I’etude des charpentes a tensegrite rigide (Roth & Whiteley 1981). rigid tensegrity frameworks (Roth & Whiteley 1981).
Comme ce travail, aussi bien que le travail original de Maxwell, fut motive par les While this work, like Maxwell’s original work, was motivated by the problems of bar problemes de charpentes a barres et a joints, des parties de cette correspondance sont and joint frameworks, parts of this correspondence have also arisen in several recent aussi apparues dans plusieurs articles recents sur I’analyse de scene. En debutant avec papers in scene analysis. Beginning with the problem of recognizing when a picture of le probleme de reconna7tre lorsqu’une illustration de lignes et de points represente une lines and points represents a polyhedral scene, Huffmann recreated Maxwell’s theory scene polyedrique, Huffmann recrea la theorie de Maxwell sur les diagrammes of reciprocal diagrams (Huffmann 1977 a, b). Working on the same problem, Sugihara reciproques (Huffmann 1977 a, b). Ayant travaille sur le meme probleme, Sugihara fit pointed out the similar mathematical structure of the problems of scene analysis and ressortir la structure mathematique similaire des problemes d’analyse de scene et des the problems of moving frameworks (Sugihara 1980), and developed this further to give problemes de charpentes mobiles (Sugihara 1980), et developpa cette theorie pour a combinatorial version of Maxwell’s correspondence in the special case of frameworks arriver a une version combinatoire de la correspondance de Maxwell dans le cas with E = 2V - 2 edges, and vertices in ({general position)). special des charpentes a at-&es E = 2V - 2 et a sommes en ((position g&&ale)). 74 Cette histoire de redecouvertes frequentes augmente I’importance et l’attrait de la This history of frequent rediscovery emphasizes the importance, and the attraction of correspondance fondamentale. Dans le contexte de I’analyse de scene, I’approche the basic correspondence. In the context of scene analysis, the approach developed developpee ici nous amene a deux autres extensions. Notre construction projective here leads to two other extensions. Our projective construction leads to a new form of conduit a une nouvelle forme de diagramme reciproque basee sur le trace d’une set- . reciprocal diagram based on drawing a compatible cross-section of the polyhedron tion transversale compatible du polyedre (Whiteley 1979). Comme cette reciproque (Whiteley 1979). While this reciprocal is of little use in calculating the stress, this direct ne nous aide pas tellement dans le calcul de la contrainte ce procede direct, utilisant process, using straight edge only, has proven simple when used to ((find, a polyhedron I’arete droite uniquement, s’est aver-e tres simple dans la recherche d’un polyedre dans in a picture. un dessin.
Notre seconde extension est basee sur I’observation que I’elevation d’une image plane Our second extension builds on the observation that lifting a plane picture is an in- constitue un mouvement infinitesimal d’une structure a panneaux. Nous suivons ce finitesimal motion of a panel structure. We follow this motion through some general mouvement a travers diverses transformations projectives g&&ales jusqu’a un projective transformations to a motion of a corresponding plane framework. The result mouvement d’une charpente plane correspondante. Le resultat de ceci est I’inclusion is a useful embedding of the general problems of scene analysis into the kinematic des problemes generaux de I’analyse de scene dans I’etude kinematique des charpen- study of frameworks (Whiteley, to appear a, b, White & Whiteley, to appear), giving a tes (Whiteley, a paraitre a, b) (White & Whiteley, a paraitre), en donnant une base precise basis for the similarity of structure observed by Sugihara. prPcise pour la similarite de structure observee par Sugihara.
Tout le travail presente ici s’est developpe au tours de discussions au sein du Groupe All of the work present here has evolved within the discussions of the Structural de recherche en topologie structurale. J’ai une dette particulierement importante en- Topology Research Group. I owe a particularly large debt to Janos Baracs and Henry vers Janos Baracs et Henry Crapo qui m’ont mis au courant de ce probleme, qui m’ont Crapo for introducing me to this problem, for numerous questions, examples and aide par leurs nombreuses questions, exemples et suggestions et qui ont partage avec suggestions, and for sharing the excitement of this study over the years. moi I’enthousiasme suscite par cette question tout au long des an&es que dura ce travail.
* Cette recherche a et4 rendue possible g&e en pat-tie, a une subvention du N.S.E.R.C. * This research was supported, in part, under N.S.E.R.C. grant A 3568. Final Octroi A 3568. La redaction finale du manwscrit s’est effect&e durant un semestre preparation of the manuscript occurred during a visiting semester at Cornell University. passe a Cornell comme professeur invite.
7.5 Section 2 Section 2 Contraintes sur une charpente faites de barres et de joints Stresses on a bar and joint framework
Une charpente faite de barres et de joints dans I’espace constitue un ensemble in- A bar and joint framework in space consists of an indexed set of joints - of points dexe de joints - des points dans I’espace projectif - J = (a,, . . . a,) et un ensemble de in projective space - J = (a,, . . . a,,) and a set of bars - of unordered pairs barres B - des paires non-ordonnees d’indices B = (..., { i,j}, . ..). of indices B = (..., { i,j}, . ..). Une contrainte interne sur la charpente est une application de scalaires A, sur les An internal stress on a framework is an assignment of scalars hij to the bars barres (tension si Aij < 0 et compression si A, > 0) de telle sorte qu’a chaque joint i (tension if A, < 0 and compression if A, > 0) such that at each joint i, t&j &aj = 0 (somme pour j tel que (i,j) F B) oti aiaj represente les extenseurs de n 0 (sum over j such that (i,j) E B) where aiaj represent extensors of step 2 niveau 2 ou le vecteur-front&e forme par les deux points projectifs. ij = or the line bound vector formed from two projective points. Proposition 2.1 Proposition 2.1
Une charpente faite de barres et de joints ayant tous ses joints dans un plan possede un espace vectoriel de contraintes d’une dimension d’au moins jB1 - (2111 - 3) (Laman).
Proposition 2.2 Proposition 2.2 (Laman).
Si un graphe G = (V, E) satisfait aux equations IEI = 2lVI - 2 et IE’I G 2lV’I - 2 pour If a graph G = (V,E) satisfies the equations JEl = 2lVI - 2 and IE’I < 2)V’I - 2 for chaque sous-graphe ayant plus d’un sommet, alors presque toutes les realisations de each subgraph having more than one vertex, then almost all realizations of the l’ensemble de sommets dans R2’ formeront des charpentes faites de barres et de set of vertices in R2” form spatial bar and joint frameworks with a one-dimensional joints avec un espace unidimensionnel de contraintes, et la base de cet espace possede un coefficient non-zero sur chaque barre. space of stresses, and any basis for this space has a non-zero coefficient on each bar.
Proposition 2.3 Proposition 2.3
Si le retrait des barres joignant al b,, a2b2, . . . . hbk divise la charpente en plusieurs If the removal of bars joining aIb,, a2bz, . . . . sbk divides the framework into composantes, avec tous les ai dans la composante C et tous les bi exclus de C, alors several components, with all the ai in the component C and all the bi not in C, toute contrainte sur la charpente, a scalaires & sur aibi produit un mouvement de then every stress on the framework, with scalars Ai on aibi gives rise to a wrench torsion Z&aibi = 0 sur C. thiaibi = 0 on C. Mouvements de structures a panneaux Motions of panel structures
Une structure a panneaux articul& est une collection finie indexee de panneaux An articulated panel structure is a finite indexed collection of panels (PI, . . . . P,) (P P,) et un ensemble de charnieres - a extenseur de niveau 2 non-zero ou a and a set of hinges - extensors of step 2, non-zero, or line bound vectors in the v&e&s-limites dans I’espace projectif - indexe par paires ordonnees d’indices (i, j) projective space - indexed by ordered pairs of indices (i,j>, A = (..., Lij, . ..) A = (.,., L,j, . ..) avec Lj = -Lji. with Lij = -Lji.
Un mouvement instantan de la structure a panneaux est une application d’un cen- An instantaneous motion of a panel structure is an assignment of a screw centre Si tre a vis Si (la somme des extenseurs de niveau 2) a chaque panneau Pij de telle sorte (a sum of extensors of step 2) to each panel Pij such that for each que pour chaque Lij E A: Si - Sj = wij Lij pour certains scaiaires wij. L,EA: Si- Sj = WijLij for certain scalars Wija
Une application de mouvement pour une structure a panneaux relies est une ap- A motion assignment for a connected panel structure is an assignment of scalars plication de scalaires wij aux charnieres Lj de telle sorte que wij = wji etZw,L, = 0 wij to the hinges Lij such that wij = wji and IwijLij = 0 for every cycle of pour chaque cycle de panneaux et de charnieres dans la structure. panels and hinges in the structure.
Proposition 2.4 (Crapo, Whiteley 1982, proposition 3.3) Proposition 2.4 (Crapo, Whiteley 1982, proposition 3.3)
Pour une structure a panneaux relies comportant un panneau d&i@ P,, il existe For a connected panel structure with a selected panel PI1 there is an exact une correspondance parfaite entre les mouvements instantanes de la structure avec correspondence between instantaneous motions of the structure with S1 = 0 S = 0 et les applications de mouvements. and motion assignments.
Une application de mouvements represente un mouvement instantane non-trivial A motion assignment represents a non-trivial (or non-rigid) instantan eous motion
ou non-rigide si et seulement si wij # 0 pour certaines charnieres Lj. l if and only ifWij#Ofor some hinge Lij 76 Mouvements et contraintes sur un poly&dre Motions and stresses on a polyhedron
Un poly&dre spatial orient4 est un ensemble de sommets (points dans I’espace An oriented spatial polyhedron is a set of vertices (points in projective space) projectif) V = (a,, . . . . aJ et de faces (elements abstraits) F = (F,, . . . . F,) et un ensem- V = (a,, . . . . a,,J and of faces (abstract elements) F = (F1, . . . . F,) and a set of ble d’ar&es (pieces ou quadruples ordonnes d’indices) E = { (h,i; j,k)} de telle sorte edges (patches, or ordered quadruples of indices) E = { (h,i;j,k)} such that (i) Pour chaque arete (h,i; j,k) (i) For each edge (h,i;j,k) /d h, i < m et I’arete relie les sommets ah et ai l< h, i< m and the edge joins the vertices ah and ai /< j, k G n et I’arete s&pare les faces FJ et Fk Kj, kGn and the dege separates the faces Fj and Fk (ii) si (h,i; j,k) E E alors (i,h; k,j) E E (ii) if (h,i;j,k) F E then (i,h;k,j) FE mais (h,i;k,j) et (i, h;j,k) ne sont pas dans E. but (h,i;k,j) and (i,h;j,k) are not in E. (iii) Pour chaque sommet ao toutes les a&es reliant h forment un cycle (iii) For each vertex a,, all the edges joining ao form a cycle { (0, i,; 16, 1)) 1 G s G t (t & 2) { (0, I; 16, I)} 1 G s < t (t 2 2) avec IS = k,+, et I, = b, et tout k,, distinct. with IS = k+l an d I, = ko and all k, are distinct. . (iv) Pour chaque face F, toutes les aretes separant F, forment un cycle (iv) For every face F0 all the edges separating F0 form a cycle { (hS, i,; 0, IS)} 1 G s< t (t 2 3) { (hS, i,; 0, IS)} 1 G s< t (t 2 3) avec is = ha,*, et i, = h, et tout h, distinct. with i, = h,,l and i, = h, and all h, are distinct.
La structure a panneaux polyCdrique d’un polyedre oriente est un ensemble de The polyhedral panel structure of an oriented polyhedron is a set of panels panneaux pour les faces a charnieres le long des aretes du polyedre for the faces and hinges along the edges of the polyhedron, where ((i,j; kl) F E => Lr = a,ai) (i,j;k,I) F E => Ll = aiaj
Le squelette a barres et a joints d’un polyedre orient6 constitue la charpente avec The bar and joint skeleton of an oriented polyhedron is a framework with joints pour les sommets du polyedre et avec barres pour les a&es. joints for the vertices of the polyhedron and with bars for its edges.
Proposition 2.5 (Crapo, Whiteley 1982, proposition 4.1) Proposition 2.5 (Crapo, Whiteley 1982, proposition 4.1)
Une structure a panneaux polyedrique possede une application de mouvements A polyhedral panel structure has a non-trivial motion assignment if and only if non-triviale si et seulement si le squelette a barres et a joints possede une contrainte its bar and joint skeleton has a non-trivial stress such that non-triviale de telle sorte que &aiaj = 0 (une somme pour tout cycle de faces et d’aretes sur le polyedre) tA,aiaj = 0 (a sum for each cycle of faces and edges of the polyhedron)
Corollaire 2.6 Corollary 2.6
Pour un polyedre spherique, la structure a panneaux polyedrique comporte une For a spherical polyhedron, the polyhedral panel structure has a non-trivial motion application de mouvements non-triviale si et seulement si le squelette a barres et a assignment if and only if the bar and joint skeleton has a non-trivial stress. joints possede une contrainte non-triviale.
Note. Dans cette correspondance, les memes scalaires sont utilises pour le Note. In this correspondence, the same scalars are used for the motion and for the mouvement et pour la contrainte sur une arete, alors une barre est en tension (K 0) stress in an edge, so a bar is in tension (I < 0) if and only if the dihedral si et seulement si I’angle diedrique du polyedre a un mouvement decroissant (et la angle of the polyhedron has a decreasing motion (and the bar undergoes a barre subit une compression si I’angle s’accroit). 17 compression if the angle increases). 3. Poly&dres projCt& et contraintes dans le plan 3. Projected Polyhedra and Plane Stresses
3.1 Th&&me de Maxwell pour des poly&dres projet&. Nous commencons ootre ex- 3.1 Maxwell’s theorem for projected polyhedra. We begin our exposition with the pose par le plus ancien resultat, prouve d’abord par Clerk Maxwell (Maxwell 1864). oldest result, first proved by Clerk Maxwell (Maxwell 1864).
Th6or&me 3.1 Etant don& la projection orthogonale d’un polyedre plan oriente a Theorem 3.1 Given the orthogonal projection of a plane faced oriented polyhedron faces planes (sans faces verticales ni a&es a l’infini et avec au moins deux plans de face (with no vertical faces, no edge at infinity, and at least two different face planes), the differents) la structure de barres et de joints construite sur le squelette projete a le bar and joint structure built on the projected skeleton has a stress with non-zero coef- polyedre original a deux differents plans de face. ficients at all edges where the original polyhedron has two different face planes.
Preuve. Nous pensons a I’image projetee du polyedre spatial comme a une structure a Proof. We think of the projected image of the spatial polyhedron as a panel structure panneaux avec le meme polyedre abstrait sous-jacent. II arrive que toutes ses char- with the same underlying abstract polyhedron. It happens to have all of its hinges in a nieres se trouvent dans un seul plan, mais cela ne cause aucun probleme pour nos single plane, but this causes no problems in our previous definitions or results. We definitions ou resultats anterieurs. Nous determinons un mou-vement pour cette struc- define a motion for this panel structure by taking, for each vertex, the velocity vector ture a panneaux en prenant, pour chaque sommet, le vecteur vitesse qui court ver- which runs vertically from the projected image a to the vertex of the spatial polyhedron ticalement de I’image projetee a au sommet du polyedre spatial a (Figure 3.1A). a (Figure 3.1A).
h
a
--AC - a
\\ \ b A ‘-
Figure 3.1 When a spatial polyhedron is projected orthogonally into the plane, the heights of the spatial ver- tices become the velocities of and infinitesimal motion of the plane picture (A). In this motion, each face will rotate about the line of intersection of the spatial face plane and the projection plane (B). @ Lorsqu’un potyedre spatial est projete de maniere orthogonale dans le plan, les hauteurs des sommets spatiaux deviennent les vitesses d’un mowvement infinitesimal de la representation plane (A). Dans ce mouvement, chaque face tour- nera autour de la ligne d’intersection du plan spatial de face et de la projection plane (B), Pour chaque panneau de face dans le plan toutes Ies vitesses sont perpendiculaires au For each face panel in the plane all of the velocities are perpendicular to the plane and plan et toutes les extremites des vecteurs se trouvent dans un seul plan. Le plan de face all of the tips of the vectors lie in a single plane - the face plane of a spatial polyhedron. d’un polyedre spatial. Ce plan n’est pas vertical, d’apres nos hypotheses, de sorte que This plane is not vertical, by our assumptions, so all of the velocities are proportional to toutes les vitesses sont proportionnelles a la distance du sommet A la ligne d’intersec- the distance from the vertex to the line of intersection between the face plane and the tion entre la plan de face et le plan de projection. Ces vitesses alors correspondent Zr projection plane. These velocities then match a rotation of the panel about this line of une rotation du panneau autour de cette ligne d’intersection (Figure 3.1B). Si le plan intersection (Figure 3.1B). If the face plane is parallel to the projection plane, then all de face est parallele au plan de projection, toutes les vitesses sont alors egales et le the velocities are equal and the motion of the panel is a translation (a rotation about the mouvement du panneau est une translation (rotation autour de la ligne a l’infini ou les line at infinity where the parallel planes meet). plans paralleles se rencontrent).
Puisque chaque panneau subit un mouvement rigide avec un seul centre et que des Since each panel undergoes a rigid motion with a single center, and adjacent panels panneaux adjacents ont les memes vitesses pour les joints le long de leur charniere have the same velocities for points along their common hinge (the heights to the com- commune (les hauteurs a I’arete commune du polyedre spatial), cette construction mon edge of the spatial polyhedron), this construction given an instantaneous motion donne un mouvement instantane d’une structure a panneaux plats. D’apres la of the flat panel structure. by proposition 2.4 this gives a motion assignment, and by proposition 2.4 cela donne une attribution de mouvement et d’apres la proposition 2.5, proposition 2.5 the motion assignment gives a corresponding stress on the bar and joint I’attribution de mouvement donne une contrainte correspondante sur le squelette de skeleton. barres et de joints.
Toutes les fois que les faces adjacentes du polyedre spatial ne sont pas coplanaires, les Whenever adjacent faces of the spatial polyhedron are not coplanar, then the construc- mouvements construits pour les deux panneaux sont alors differents et le coefficient de ted motions for the two panels are different and the coefficient of the stress on this edge contrainte sur cette at-&e sera non-zero. will be non-zero.
S’il arrive que tous les sommets de quelques faces sont colineaires (ce que nous ne If it happens that all of the vertices of some face are collinear (something we did not sommes pas tracasses a exclure), nous choisissons alors un plan arbitraire a travers cet- bother to exclude) then we choose an arbitrary plane through this line as the face plane te Iigne comme plan de face et la demonstration est tout aussi valable. Changer le plan and the proof works as outlined. Changing the face plane for this collinear polygon de face pour ce polygone colineaire change simplement la repartition de Ia contrainte simply changes the split of the stress down the two sides of the collinear polygon in the le long des deux faces du polygone colineaire dans la charpente plane. cl plane framework. Cl
Remarque. Si nous projetons un polyedre d’un point sur quelques plans de face, nous Remark. If we project a polyhedron from a point on some face plane we wiII obtain a obtiendrons un polygone colineaire qui contiendra automatiquement une contrainte. collinear polygon which will automatically contain a stress. Our assumption that no Notre supposition qu’aucune face n’etait verticale permettait simplement une demons- face was vertical simply allowed an uncluttered proof. Later in the chapter we wiII tration plus directe. Plus loin dans I’article, nous enleverons cela et d’autres sup- remove this and other non-essential assumptions to give the most general theorem positions non essentielles pour donner le theoreme le plus general (Thgor&me 3.5). (Theorem 3.5).
D’apres notre travail sur Ies structures a panneaux articules, nous savons que les con- From our work on articulated panel structures we know that the stresses corresponding traintes correspondant aux mouvements d’une structure i panneaux satisfera la con- to motions of a panel structure will satisfy the appropriate path condition. dition du chemin appropriee.
Corollaire 3.2 Pour la contrainte induite en projetant un polyedre spatial ZA,aiai = 0, Corollary 3.2 For the stress induced by projecting a spatial polyhedron tA,aia, = 0, ou la somme est autour de n’importe quel chemin a face d’aretes ferme sur le where the sum is around any closed edge face path on the polyhedron. polyedre.
3.2 La rbciproque du th6or&me de Maxwell. Lorsque nous sommes prevenus de cette 3.2 The converse of Maxwell’s theorem. Once we are aware of this path condition condition du chemin et que nous sommes explicites au sujet d’un polyedre abstrait and are explicit about an abstract polyhedron which underlines the framework in the sous-jacent a la charpente dans le plan, il est facile de trouver la reciproque du plane; the converse of Maxwell’s theorem is quite easy. 79 theoreme de Maxwell. Th&dme 3.3 Prenez une charpente dans le plan exempte de sommet a l’infini et Theorem 3.3 Take a framework in the plane with no vertex at infinity and with an un- possedant un graphe sous-jacent qui est le squelette-arete d’un polyedre orient& Si la derlying graph which is the edge skeleton of an oriented polyhedron. If the framework charpente possede une contrainte non-triviale telle que &ai aj = 0 pour chaque has a non-trivial stress such that &aiaj = 0 for each closed edge-face path on the chemin a face d’arete ferme sur le polyedre, alors la charpente est la projection d’un polyhedron, then the framework is the projection of a plane-faced oriented spatial polyedre spatial orient6 a face plane comportant deux differents plans de face a chaque polyhedron with two different face planes at each edge where the framework has a arete ou la charpente a une contrainte ii coefficient non-zero. non-zero coefficient in the stress.
Preuve. Nous convertissons la charpente en polyedre a panneaux associes dans le Proof. We convert the framework into the associated panel polyhedron in the plane plan, a I’aide de charnieres le long des aretes de la charpente. La contrainte amene with hinges along the edges of the framework. The stress now converts to a motion alors une attribution de mouvement sur le polyedre a panneaux. Nous choisissons un assignment on the panel polyhedron. We choose one panel which will remain fixed in panneau qui demeurera fixe dans le plan et nous utilisons les scalaires pour definir les the plane and use the scalars to define centers of motion for the other panels, following centres de mouvement pour les autres panneaux, tel que decrit a la proposition 2.4 proposition 2.4 Since all the relative centers of motion - the hinges - lie in the projec- Puisque tous les centres de mouvements relatifs - les charnieres - reposent dans le plan tion plane, and the sum of two extensors in this plane produces a new extensor in the de projection, et que la somme de deux extenseurs dans ce plan produit un nouvel ex- plane, all panels undergo rotations (or translations) about axes in the extended projec- tenseur dans le plan, tous les panneaux effectuent des rotations (ou translations) autour tion plane. Therefore every vertex receives a velocity which is perpendicular to the des axes dans le plan de projection elargi. Par consequent, chaque sommet recoit une projection plane (Figure 3.2). vitesse qui est perpendiculaire au plan de projection (Figure 3.2).
Figure 3.2 If a stress in a plane framework is interpreted as the instantaneous rotations between panels, then each vertex has a velocity normal to the plane. l Si une contrainte dans une charpente plane est interpretee comme des rotations instantanees entre les panneaux, alors chaque sommet a une vitesse perpendiculaire au plan. 20 Pour chaque sommet a dans le plan, nous prenons I’autre bout de son vecteur de For each vertex a in the plane we take the other end of its velocity vector a as the vertex vitesse a comme sommet d’un polyedre spatial. Comme chaque panneau de face ef- of a spatial polyhedron. Since each face panel undergoes a rotation (or translation) fectue une rotation (ou translation) autour d’un axe dans le plan de projection, les ((pre- about an axis in the projection plane, the preimages for all the vertices of this face - the images)) pour tous les sommets de cette face - les pointes des vecteurs de vitesse - tips of the velocity vectors - lie in a new plane through this axis. We have created the reposent sur un nouveau plan a travers cet axe. Nous avons tree le polyedre spatial a required plane-faced spatial polyhedron which projects to the framework. An edge of face plane requis qui se projette sur la charpente. Une arete du polyedre spatial est the spatial polyhedron is folded iff the two panels at this edge have different centers of repliee si et seulement si les deux panneaux de cette arete possedent des centres de motion iff the edge has a non-zero coefficient in the stress, mouvement differents si et seulement si I’arete a un coefficient de contrainte non-zero.
Pour obtenir un polygone colineaire qui est une face du polyedre abstrait, nous con- For a collinear polygon which is a face of the abstract polyhedron, we still conceive of a cevons encore un panneau plan et nous inserons les autres points du panneau pour plane panel and insert other points on the panel to trace the face plane into space. The tracer le plan de face dans I’espace. La preuve est encore entierement vraie et la face entire proof still works and the face keeps all of its vertices collinear as it lifts out of the conserve tous ses so,mmets colineaires lorsqu’elle se souleve du plan. Aussi, dans ce plane. In this case, as well, no face plane will become vertical. cl cas, aucun plan de face ne deviendra vertical. cl
Remarque. Nos definitions et nos preuves permettent a des objets &ranges d’ap- Remark. Our definitions and proofs permit some strange objects to appear as paraitre comme polyedres. polyhedra. For example a collinear polygon is interpreted as a dihedron - a spherical polyhedron with two polygonal faces (Figure 3.3A). While such objects, as well as less Par exemple un polygone colineaire est interprete comme un diedre - un polyedre controversial objects such as spherical polyhedra with 2-connected graphs (Figure 3.3B) spherique a deux faces polygonales (Figure 3.3A). Comme de tels objets, aussi bien are always forbidden in the literature on convex polyhedra, they do appear in other que d’autres objets moins controverses comme les polyedres spheriques a deux literature on the combinatorial development of polyhedra. They also serve to incor- graphes relies (Figure 3.3B) sont toujours exclus de la Iitterature sur les polyedres con- porate the degenerate cases such as collinear polygons into our study of stresses in vexes, ils apparaissent par ailleurs dans d’autres Iitteratures sur le developpement plane frameworks. combinatoire des polyedres. Ils servent aussi a inclure les cas degeneres comme les polygones colineaires dans notre etude des contraintes dans les charpentes planes.
Figure- 3.3 Any planar graph which is not disconnected by removing one vertex (is two-connected) can be in- terpreted as the edges of a spherical polyhedron. 0 Tout gra phe planaire qui n’est pas disjoint en un 27 som met (est bi-relik) peut &re interpret& comme les a r&es d’u n polyPdre sphbrique. Nous avons deja examine d’autres definitions combinatoires possibles des polyedres We have examined other possible combinatorial definitions of polyhedra in a separate dans un autre article (Whiteley 1979). Le choix d’une quelconque dbfinition convien- paper (Whiteley 1979). Each choice of definition would fit a form of the results given drait & des formes de r&ultats obtenus ici, pourvu que nous restreignions le graphe here, provided we restrict the underlying graph of the framework in an appropriate sous-jacent d’une mani&e adequate. Naturellement, dans le but de conserver un manner. Of course to keep a general result we must permit realizations in space which r&ultat &n&al, nous devons permettre les r6aIisations dans I’espace qui s’intersectent are self-intersecting (have interpenetration of faces) and which have faces with no in- elles-memes (c’est-&-dire dont les faces s’interpknetrent) et qui poss&dent des faces terior. The essential vision is a series of flat planes in space meeting in lines over the sans intbrieur. La vision essentielle consiste en une s6rie de plans plats dans I’espace se stressed edges of a plane framework. This vision is primary and it would be diluted to rejoignant en lignes au-dessus des ar&es contraintes d’une charpente plane. Cette no purpose by lists of additional controversial conditions which are irrelevant in this vision est primaire et ne rimerait plus a rien si on y ajoutait une foule de conditions ad- (and other) settings. ditionnelles controvers4es qui n’ont rien ZI voir dans ce cadre (ou dans un autre cadre).
3.3 G&&alisations projectives. Comme notre preuve 6tait basee sur une construction 3.3 Projective generalizations. Since our proof was based on a Euclidean construction euclidienne pour les vecteurs de vitesse verticaux, nous avons dQ incorporer deux for the vertical velocity vectors, we have had to incorporate two Euclidean conditions conditions euclidiennes A nos r&ultats originaux - le fait que la projection est or- in our original results - the fact that the projection is orthogonal and the fact that no edge thogonale et le fait qu’aucune a&e du poly6dre ne s’6tend a l’infini. Cependant, les of the polyhedron lies at infinity. However the stresses and the projections of polyhedra contraintes et les projections des polyedres appartiennent toutes deux au domaine de both belong to projective geometry. We can use some simple projective collineations la geom&rie projective. Nous pouvons utiliser quelques ((colin6ations)) simples pour to eliminate these non-essential assumptions. eliminer ces suppositions superflues.
Th4or&me 3.4 Etant donn6e une charpente dans le plan dont le graphe est le squelette- Theorem 3.4 Given a framework in the plane whose graph is the edge skeleton of an ar&e d’un polyPdre orient4 abstrait, la charpente contient une contrainte non- abstract oriented polyhedron, the framework contains a non-trivial stress such that triviale telle que tA,aiaj = 0 sur tous les chemins fermes d’ar&e sur le polyedre, si et Ziij&aj = 0 on all closed edge face paths on the polyhedron, iff the framework is the seulement si la charpente est la projection centrale d’un poly&dre spatial & face plane central projection of a plane-faced spatial polyhedron involving two or more face planes entrainant deux plans de faces ou plus ZI partir d’un point de projection situ6 en dehors from a point of projection off all edges of the polyhedron. de toutes les aretes du polyedre.
Preuve. Supposons que la structure est la projection centrale d’un polyedre spatial ZI Proof. Assume the structure is the central projection from a point p of a spatial partir d’un point p. Nous pouvons trouver une ((colin6ation)) projective de I’espace qui polyhedron. We can find a projective collineation of space which takes the point p to am&e le point p a l’infini A I’extremite de toutes les normales vers le plan de projec- the point at infinity on the end of all normals to the projection plane. If any edge lies at tion. Si une a&e s’&end a l’infini, nous pouvons trouver une ((colin6ation)) qui conser- infinity, we can find a collineation which keeps p at this point and moves all edges ve p 3 ce point et qui 6loigne toutes les a&es de l’infini, mais qui change la charpente away from infinity, but changes the framework into a projectively equivalent en une charpente bquivalente projectivement. Cette nouvelle charpente est la projec- framework. This new framework is the orthogonal projection (from the new position of tion orthogonale (ZI partir de la nouvelle position de p) d’un polyPdre spatial a face p) of a plane-faced spatial polyhedron. By Theorem 2.1, this new framework has the plane. En se ref&ant au Th6orPme 2.1, cette nouvelle charpente poss+de la contrainte required non-trivial stress. Finally the new framework can be taken back to the original non-triviale requise. Finalement, on peut ramener la nouvelle charpente i la charpen- plane framework by a projective collineation in the plane, and this projective map te plane originale par une (tcolin4ation)) projective dans le plan, et cette application preserves the non-trivial stress and the path condition. projective conserve la contrainte non-triviale et la condition du chemin.
Natu relleme nt, si le polytidre possede un plan de face contenant le point de projec- Of course, if the pol yhedron has a face plane containing the poin t of projection, then tion, alors la charpente poss&de un polygone colineaire a contrainte appropri6e. the framework has a collinear polygon with the appropriate stress.
Conversely, assume the framework has a non-trivial stress satisfying the path condition. If any bar lies at infinity, we can change this by a collineation in the plane which preserves the stress. We now have a framework satisfying the assumptions of theorem 3.3, so this framework is the orthogonal projection of an appropriate spatial polyhedron. If we changed the original framework, we can now take a spatial colli- neation which returns the framework to the original position and carries along the polyhedral preimage and the projection point p (which can be kept fixed if desired). This completes the proof that a framework is the projection of an appropriate spatial polyhedron. cl 3.4 Les charpentes a graphe planaire. Nous avons not6 dans le chapitre 2 que la con- 3.4 Frameworks with planar graphs. We noted in chapter 2 that the path condition is dition du chemin est superflue pour les poly6dres sphbiques. De plus, tout graphe redundant for spherical polyhedra. In addition, any planar graph which is two- planaire qui est bi-connexe (qui ne tombe pas en pieces detachees lorsqu’on lui enleve connected (does not fall into several components after the removal of a single vertex un seul sommet et ses a&es adjacentes) possede un polyedre spherique associe pour and its adjacent edges) has an associated spherical polyhedron for which it is the edge lequel il est le squelette-a&e. Nous insistons pour que le graphe soit bi-connexe pour skeleton, We insist that the graph is two-connected to ensure that no face contains a s’assurer qu’aucune face ne contienne de sommet a deux endroits distincts du vertex at two distinct spots in its face polygon. This connectivity also corresponds to polygone de face. Cette connectivite correspond au fait que toute contrainte sur une the fact that any stress on a framework will decompose into the sum of distinct stresses, charpente se decompose en la somme des contraintes distinctes, chacune &ant non- each of which is non-zero on only one two-connected component of the framework. zero sur uniquement une des deux composantes bi-connexes de la charpente.
En tenant compte de cette caracteristique, il existe une correspondance complete en- With this feature 1 in mind, there is a complete correspondence between stresses on tre les contraintes des charpentes a graphes planaires et a polyedres spheriques framewor ‘ks with planar gra phs an d projected spherical polyhedra projetes.
Corollaire 3.5 Une charpente dans le plan a graphe planaire bi-connexe contient une Corollary 3.5 A framework in the plane with a two-connected planar graph contains a contrainte non-triviale si et seulement si elle est la projection dans I’espace d’un non-trivial stress iff it is the projection of a plane-faced spherical polyhedron in space polyedre spherique a face plane comportant au moins deux plans de face. with at least two face-planes.
Preuve. Si nous tracons dans le plan le graphe sous-jacent sans auto-intersection, alors Proof. If we draw the underlying graph in the plane without self-intersection, then the les regions du plan creees par le trace, incluant la region externe, formeront les faces regions of the plane which are created by the drawing, including the external region, d’un polyedre spherique abstrait ayant le graphe original comme squelette-arete. will form the faces of an abstract spherical polyhedron with the original graph as its Comme toute contrainte sur le squelette-at-&e d’un polyedre spherique doit satisfaire a edge-skeleton. Since any stress on the edge-skeleton of a spherical polyhedron must la condition du chemin, le resultat est conforme au Theoreme 3.4. 0 satisfy the path condition, the result follows from theorem 3.4. cl
A la section 2, nous rappelions que toute charpente ayant E >, 2V - 3 doit contenir une in section 2 we recalled that any framework with E >, 2V - 3 must contain a non-zero contrainte non-zero. Comme la contrainte ne vient pas necessairement d’un polyedre stress. While this stress need not come from a projected polyhedron unless the path projete a moins que la condition du chemin soit satisfaite, nous savons maintenant condition is satisfied, we now know that it will correspond to a projected polyhedron if qu’elle correspondra a un polyedre projete si le graphe sous-jacent est planaire. the underlying graph is planar.
Corollaire 3.6 Toute charpente a barres E > 2V - 3 et a graphe planaire sous-jacent Corollary 3.6 Any framework with E> 2V - 3 bars and an underlying planar graph con- contient la projection d’un polyedre spherique orient6 de face comportant au moins tains the projection of a plane-faced spherical polyhedron with at least two different deux differents plans de face dans I’espace. face-planes in space.
Preuve. Nous decomposons d’abord le graphe en deux composantes bi-connexes en Proof. We first decompose the graph into two-connected components by separating separant le graphe a n’importe quelle jonction d’un seul sommet (en placant des the graph at any single-vertex connections (placing copies of this vertex with ap- copies de ce sommet avec les barres appropriees dans chaque composante). Si toutes propriate bars into each component). If all of these components have E’ < 2V’ - 3 then les composantes ont E’ < 2V’ - 3, alors il est facile de verifier si leur ((re-combinaison)) it is easy to verify that their recombination will also have E< 2V - 3. We conclude that aura aussi E G 2V - 3. Nous concluons qu’au moins une des composantes bi-connexes some two-connected component must have E’ > 2V’ - 3. doivent avoir E’> 2V’ - 3.
Cette composante bi-connexe doit contenir une contrainte et a partir de la corollaire This two-connected component must conta in a stress, and by corollary 3.5 it is the pro- 3.5, elle est la projection du polyedre spatial desire, jecti on of the required spatial po lyhed ron. cl
3.5 Les conditions projectives pour les poly*dres projet&. Si un graphe planaire a des 3.5 Projective conditions for projected polyhedra. If a planar graph has EG 2V - 3 bars barres E < 2V - 3 (et chaque partie de charpente ayant plus d’un sommet a aussi (and each subframework with more than one vertex also has E’ G 2V’ - 3) then some E’ < 2V’ - 3) alors certains traces du graphe dans le plan produiront une charpente drawings of the graph in the plane will produce an independent framework, while other independante, tandis que d’autres positions particulieres correspondront aux special positions will correspond to projected polyhedra (and to dependent stressed polyedres projetes (et aux charpentes dependantes ayant une contrainte). Le principal frameworks). The central problem which remains is: how do we recognize geometri- probleme qui demeure est le suivant: comment pouvons-nous reconnajtre cally that a drawing is a projected polyhedra? 23 geometriquement qu’un trace represente un polyedre projete? Comme nous I’avons mention& plus haut, le probleme de reconnaitre les polyedres As we mentioned above this problem of recognizing polyhedra in a single projection dans une seule projection se presente egalement lors de I’analyse des scenes (Huffman also arises in scene analysis (Huffman 1977). The most sophisticated methods in that 1977). Les methodes les plus sophistiquees dans ce domaine represente une field represent a rediscovery of portions of Maxwell’s original method of reciprocal redecouverte de certaines parties de la methode originale de Maxwell sur les figures figures. Two examples will illustrate an alternate method for recognizing projected reciproques. Voici deux exemples suggeres par notre preuve qui illustreront une polyhedra which is suggested by our proof. methode alternative pour reconnaitre les polyedres projetes.
Exemple 3.1 Le trace de la Figure 3.4 a le graphe d’un prisme triangulaire. Si les faces Example 3.1 The drawing in Figure 3.4 has the graph of a triangular prism. If the faces aba’b, bcb’c’ et cac’a’ forment trois plans dans I’espace, alors elles doivent se rencon- aba’b’, bcb’c’ and cac’a’ form three planes in space, then they must meet in a single trer en un point unique dans I’espace - un point sur aa’, bb’ et cc’. Les triangles abc et point in space - a point on aa’, bb’ and cc’. The triangles abc and a’b’c’ must be pers- a’b’c’ representent la perspective a partir d’un point p dans I’espace et dans le trace pective from a point p in space and in the drawing of a projection. (This condition is d’une projection. (Cette condition est aussi evidente en utilisant des contraintes, also evident using stresses, since these three lines represent a cut set in the plane and puisque ces trois lignes representent un co-circuit et sont dependantes si et seulement are dependent iff they are concurrent.) si elles sont concurrentes.)
D’un autre point de vue, les deux plans abc et a’b’c’ doivent se rejoindre en une ligne, From another point of view the two planes abc and a’b’c’ must meet in a line, and this et cette ligne doit contenir les points ab A a’b’, bc A b’c’ et ca A c’a’, de telle sorte que line must contain the points ab A a’b’, bc A b’c’ and ca A c’a’, so these points must be ces points soient colineaires dans la projection d’un polyedre. On apprend par le collinear in the projection of a polyhedron. Desargue’s theorem of a projective geome- theoreme de Desargue sur la geometric projective que cette ligne de perspective existe try tells us that this line of perspective exists iff the point of perspective exists or one of si et seulement si le point de perspective existe ou si un des triangles abc ou a’b’c’ est the triangles abc or a’b’c’ is collinear. b colineaire.
bc/\ b’c’
, abna’b
Figure 3.4 A drawing for a triangular prism is accurate iff the lines aa’, bb’ and cc’ meet in the image of a spatial Figure 3.5 A drawing of the general cube is accurate iff we can find the image of the line of intersection for the point p where the three quadrilateral faces intersect or, equivalently, if we can extend lines to locate the image quadrilateral faces abed and a’b’c’d’. 0 Un trace du cube general est p&is si et seulement si nous pouvons of the line of intersection of the two triangles abc and a’b’c’ in space. 0 Un trace pour un prisme triangulaire est trouver I’image de la ligne d’intersection pour les faces quadrilaterales abed et a’b’c’d’. p&is si et seulement si les lignes aa’, bb’ et cc’ se rencontrent dans I’image d’un point spatial p ou les trois faces quadrilaterales s’intersectent ou, de facon equivalente si nous pouvons prolonger les lignes pour situer I’image de la ligne d’intersection des deux triangles abc et a’b’c’ dans I’espace. 24 Les deux conditions projectives sont dorenavant equivalentes, et chacune de ces con- The two projective conditions are therefore equivalent, and each of these conditions ditions assure que le trace represente en meme temps une charpente contrainte et la guarantees that the drawing represents both a stressed framework and the projection of projection d’un prisme triangulaire a face plan. a plane-faced triangular prism.
Exemple 3.2 Le trace en’lignes epaisses dans la Figure 3.5 possede le graphe d’un cube Example 3.2 The drawing in heavy lines in figure 3.5 has the graph of a general projec- projectif general. Si le diagramme est reellement la projection d’un polyedre alors la tive cube. If the diagram really is the projection of a polyhedron then the top face abed face superieure abed doit rejoindre la face inferieure a’b’c’d’ en une seule ligne - une must meet the bottom face a’b’c’d’ in a single line - a line through the points ab A a’b’, ligne passant a travers les points ab A a’b’, bc A b’c’, cd A c’d’ et da A d’a’ qui seraient bc A b’c’, cd A c’d’ and da A d’a’ which would be the intersections of coplanar lines, les intersections des lignes coplanaires, une ligne sur chacune des deux faces. one line on each of the two faces. The existence of this line is also sufficient for the L’existence de cette ligne suffit pour la creation d’un polyedre spatial, puisque nous creation of a spatial polyhedron, since we can rotate plane abed into space about this pouvons tourner le plan abed dans I’espace autour de cette ligne-et obtenir les som- line and read off the vertices abed by taking vertical rays from a, b, c, d (Figure 3.5). mets abed en traCant des rayons verticaux a partir des points a, b, c, d (Figure 3.5). The existence of this line is viewed as two projective conditions - the collinearity of two L’existence de cette ligne apparait comme deux conditions projectives - la colinearite /different sets of three points. All other similar conditions which follow from the de deux differents ensembles de trois points. Toutes les autres conditions similaires qui existence of the spatial polyhedron will follow from these two conditions in plane decoulent de l’existence du polyedre spatial vont decouler de ces deux conditions en projective geometry (White & Whiteley, to appear). geometric plane projective (White et Whiteley, a paraitre).
Comme I’illustrent ces exemples, il est possible d’identifier les projections As illustrated by these examples it is possible to identify the polyhedral projections by polyedriques en tracant dans le plan les lignes projetees de I’intersection des diverses drawing in the plane the projected lines of intersection of various faces of the faces du polyedre. Ces lignes coTncident avec les axes respectifs de rotation entre les polyhedron. These lines coincide with the relative axes of rotation between the panels panneaux dans le mouvement du Theoreme 3.2. Apres une longue analyse de ces in the motion of theorem 3.2. After a long analysis of these constructions in our research constructions par notre groupe de recherche, nous en sommes Venus a la conclusion group we have concluded that all we need in order to verify the presence (or absence) que tout ce qu’il faut pour verifier la presence (ou I’absence) d’un polyedre projete, ce of a projected polyhedron are the lines of intersection of all faces in the polyhedron sont les lignes d’intersection de toutes les faces du polyedre a un seul plan fixe. S’il y a with a single fixed plane. If there is a polyhedron, these lines must be consistent: with un polyedre, ces lignes doivent etre compatibles: avec la ligne de la face A, la ligne de the line for face A, the line for face B and the line of intersection of faces A and B (if this la face B et la ligne d’intersection des faces A et B (si elles existent dans le trace), toutes exists in the drawing) all concurrent (see Figure 3.3) (Whiteley 1979). &ant concourantes (voir la Figure 3.3) (Whiteley 1979).
Un tel diagramme-section donne une forme de projection d’un diagramme reciproque Such a cross-section diagram gives a projection form of reciprocal diagram whose dont l’existence est equivalente a I’existence du polyedre dans I’espace et d’une con- existence is equivalent to the existence of the polyhedron in space and a stress in the trainte dans le plan. Nous crayons que cette approche est superieure, a la fois en plane. We believe that this approach is superior both in theory and in practice to the theorie et en pratique, aux methodes euclidiennes de Maxwell et aux constructions af- Euclidean methods of Maxwell and the affine constructions of Cremona. Nevertheless finees de Cremona. Neanmoins, le developpement d’une procedure complete de the development of a complete decision procedure based on this construction or any decision basee sur cette construction ou sur n’importe quelle autre approche other geometric approach remains a major task for future work. geometrique, demeure la tache principale pour le travail a venir.
4. Convexit et la separation tension-compression 4. Convexity and the tension-compression split
Dans le chapitre precedent, nous avons suivi la projection d’un polyedre a travers le In the previous chapter we followed the projection of a polyhedron through the motion mouvement d’une structure a panneaux plats vers une contrainte dans la charpente of a flat panel structure to a stress in the plane framework. We also know from chapter 2 plane. Nous avons aussi appris dans le chapitre 2 que la separation entre la tension et that the split between tension and compression in the bars of a framework can be la compression dans les barres d’une charpente peut etre tracee jusqu’a la separation traced to the split between hinges where the interior angle is decreasing during the entre les charnieres dont I’angle interieur decroit durant le mouvement et les char- motion and hinges where the interior angle is increasing. In this chapter we will trace nieres dont I’angle interieur s’accroit. Dans ce chapitre nous remonterons la the split between tension and compression in the bars back to the character of the separation entre la tension et la compression dans les barres jusqu’aux proprietes des edges of the polyhedron (whether they are convex or concave) and to the location of aretes du polyedre (qu’elles soient convexes ou concaves) et jusqu’a I’emplacement du the point of projection. point de projection.
Ce sujet a une importance speciale comme instrument pour decrire quelles barres This topic has a special importance as a tool for describing which bars can be replaced by cables tension members) and which by struts (pure compress ion members) in 25 peuvent etre remplacees par des cables (purs elements de tension) et lesquelles (pure peuvent etre remplacees par des etais (purs elements de compression), des charpentes forming statically rigid tensegrity frameworks (Roth & Whiteley 1981). de tens&rite statiquement rigide (Roth et Whiteley 1981). 4.1 A&es concaves et convexes. La situation fondamentale sera plus Claire si nous 4.1 concave and convex edges. The basic pattern will be clearer if we begin with two commencons avec deux exemples simples. simple examples.
Exemple 4.1 Le polyedre projete illustre 5 la Figure 4.1A presente une contrainte avec Example 4.1 The projected tetrahedron shown in Figure 4.1A has a stress with tension tension a I’interieur et compression a la limite. Si nous envisageons le mouvement a in the interior and compression on the boundary. If we think of the motion from this partir de ce polyedre plat vers le tetraedre convexe dans I’espace, nous voyons que flat polyhedron up towards the convex tetrahedron in space we see that the angles at les angles aux a&es interieures decroissent (de n jusqu’a un angle convexe < n) the interior edges are decreasing (from n to a convex angle < n) and the angles at the et que les angles aux aretes limitrophes s’acroissent (de 0 jusqu’a un angle convexe > 0). boundary edges are increasing (from 0 to a convex angle> 0).
Exemple 4.2 On peut egalement faire remonter la contrainte illustree 5 la Figure 4,lB Example 4.2 The stress shown in Figure 4.1B can also be traced back to a polyhedron. jusqu’a un polyedre. Dans ce cas, les faces C et F s’intersectent dans le centre et cela In this case the faces C and F intersect in the middle and this reverses the sense of ((in- inverse le sens de I’angle interieur et de I’angle exterieur des deux cot& du diagramme. side)) angle and ((outside)) angle on the two sides of the diagram. The angle at AB is L’angle a AB diminue a partir de II jusqu’a un angle convexe < n, tandis que I’angle decreasing from T[ to a convex angle< T[ while the interior angle at edge DE is increasing interieur a l’arete DE augmente a partir de II jusqu’a un angle concave > 71. De la from II to a concave angle > n. Similarly the interior angle at AF increases from 0 to an meme facon, I’angle interieur a AF s’accro7t de 0 jusqu’a un angle > 0 et l’angle angle > 0 and the interior angle at EF decreases from 271 to a concave angle < 27~. interieur a EF diminue de 2~ jusqu’a un angle concave< 2n.
La configuration est Claire: les barres sous tension proviennent des aretes convexes The essential pattern is clear: the bars i9 tension come from interior convex edges and interieures et des a&es concaves limitrophes et les barres sous compression provien- from boundary concave edges and the bars in compression come from interior con- nent des a&es concaves interieures et des a&es convexes limitrophes. cave edges and boundary convex edges.
Figure 4.1 The projection of a convex polyhedron generates a stress with compression on the boundary and tension though the interior (A). When the polyhedron self-intersects (faces c and f) the effect is turned inside out and there is some tension on the boundary and some compression in the interior (9). l La projection d’un polyedre convexe genere une contrainte avec compression sur les limites et avec tension vers I’interieur (A). Lorsque le polyedre s’auto-intersecte (les faces c et f), I’effet est inverse et il existe une certaine tension sur les limites et une certaines compression vers I’interieur (9). 26 lntuitivement une ar&e est convexe dans le polyedre spatial si I’angle interieur est Intuitively an edge is convex in the spatial polyhedron if the interior angle is 0 < a < n O< a< II et I’arete est concave si I’angle interieur est n< a< 2~. Une a&e du polyedre and the edge is concave if the interior angle is n< cy < 27~. An edge of the polyhedron is est une at-&e limitrophe si; vus a partir du point de projection, les deux polygones se a boundary edge if, viewed from the point of projection both face polygons lie on the trouvent sur le meme c&e de l’arete (Figure 4.2A), et l’arete est interieure si les deux same side of the edge (Figure 4.2A), and the edge is interior if the two face polygons lie polygones de face reposent sur des c&es differents de I’arete (Figure 4.26). on different sides of the edge (Figure 4.2B).
La difficulte provient des polygones de face qui s’intersectent eux-memes (Figure 4.2C). A difficulty arises from self-intersecting face polygons (Figure 4.2C). Such a self- Une telle auto-intersection modifie une arete interieure (ap) en arete limitrophe (pb), et intersection changes an edge from interior (ap) to boundary (pb), and from concave une at-&e concave (pb) en une arete convexe (ap). Les concepts individuels definis in- (pb) to convex (ap). The individual concepts defined intuitively above are clear for tuitivement plus haut sont clairs pour chaque segment d’arete mais ils sont ambigus each segment of an edge but they are ambiguous for an entire edge. pour l’arete entiere.
Heureusement une combinaison de ces deux concepts est valable pour Par&e entiere. Fortunately a combination of these two concepts is consistent for the entire edge. Etant donnes le point de projection et le plan a l’infini, une arete est convexe a Given the point of projection and the plane at infinity, an edge is interior-convex and I’interieur et concave a la limite sur toute sa longueur ou I’arete est concave a boundary-concave throughout its entire length or the edge is interior-concave and I’interieur et convexe a la limite sur toute sa longueur. boundary-convex throughout its length.
...... b . v 71 . . l ...... 7. -- ...... 7 ...... / . . . . l l . .
. . .
. . . I9 9 c . .
.
// I a = n
Figure 4.2 A boundary edge in the projection has the two face polygons on the same side of the edge (A), and an interior edge has the face polygons on opposite sides (6). However, when the polyhedron is self-intersecting an edge can switch from being boundary and concave to being interior and convex (C). 0 Une at-&e-Iimite dans la projection a les deux polygones a deux faces du meme c&e de I’arete (A), et une arete interieure a les polygones de face sur les c&es opposes (B). Neanmoins, Iorsque le polyedre s’auto-intersecte, une arete qui est 27 une at-&e-Iimite et concave, peut devenir une arete interieure et convexe (C). I 4.2 .La g&om&rie de la sbparation tension-compression. Nous pouvons maintenant 4.2 The geometry of the tension-compression split. We can now give the formal enoncer le th6oreme formel qui resume la correspondance. theorem which summ arizes the correspondence.
Th&w&me 4.1 Pour un polyedre orient4 et sa projection orthogonale dans le plan, et Theorem 4.1 For an oriented polyhedron and its orthogonal projecction into the pour plan fixe a l’infini (n’incluant aucun sommet), les separations suivantes des aretes plane, and a fixed plane at infinity (not including any vertices), the following en sous-ensembles disjoints sont equivalentes: separations of the edges into disjoint subsets are equivalent: (i) les a&es du squelette-barre dans le pla n qui sont sous tension dans la contrainte (i) the edges of the bar skeleton in the plane which are in tension in the in duced stress induite vs. les aretes sous compression dans la contrain te induite; vs. the edges compression in t ,he induced stress. (ii) les a&es dont I’angle interieur entre les plans de face diminue lorsque la structure (ii) the edges where the interior angle between face-planes is decreasing as the flat a panneaux plats s’eleve en dehors du plan vers le polyedre spatial vs. les aretes dont panel structure lifts out of the plane towards the spatial polyhedron vs. the edges I’angle interieur entre les plans de face augmente durant le mouvement vers le where the interior angle between face planes is increasing during the motion towards polyedre spatial. the spatial polyhedron. (iii) les a&es du polyedre spatial qui sont convexes a I’interieur et concaves a la limite (iii) the edges of the spatial polyhedron which are convex-interior and concave- vs. les a&es du polyedre spatial qui sont concaves a I’interieur et convexes a leur boundary vs. the edges of the spatial polyhedron which are concave-interior and con- limite. vex-boundary.
Les at&es du polyedre qui restent possedent les caracteristiques equivalentes suivantes: The remaining edges of the polyhedron have the following equivalent charac- terizations:
(i) les aretes du squelette-barre dans le plan qui ont un coefficient zero dans la con- (i) the edges of the bar skeleton in the plane which have a zero coefficient in the in- trainte induite; duced stress. (ii) les aretes dont I’angle interieur est constant durant le mouvement a partir du plan (ii) the edges where the interior angle is constant during the motion from the plane vers le polyedre spatial; towards the spatial polyhedron. (iii) les a&es du polyedre spatial qui sont plates (avec un angle interieur de 0, n ou 2~). (iii) the edges of the spatial polyhedron which are flat (with an interior angle of 0, II or 2T[).
Preuve. L’equivalence de (i) et (ii) represente la proposition 4.1 accompagnee d’une Proof. The equivalence of (i) and (ii) represents proposition 4.1 along with a series of serie de choix conventionnels (tels que la regle de la main droite pour convertir des convential choices (such as the right hand rule for converting directed line segments in- segments de lignes diriges en vitesses angulaires). to angular velocities).
L’equivalence de (ii) et (iii) provient du fait que les a&es interieures ont un angle de 17 The equivalence of (ii) and (iii) follows from the fact that interior edges have an angle of dans la projection et se deplacent pour avoir un angle interieur de < TI ou > TI depen- II in the projection and are moving to an Interior angle of6 or>n depending on the dant de la nature convexe ou concave de I’arete spatiale, tandis que les a&es convexity or concavity of the spatial edge, while boundary edges have an interior angle limitrophes ont un angle interieur de 0 si elles sont convexes dans le polyedre spatial et of 0 if convex in the spatial polyhedron and 2n if concave in space. With these com- 2n si elles sont concaves dans I’espace. Si on a ces comparaisons en memoire, il est parisons in mind, it is clear that convex-interior and concave-boundary edges have an clair que les aretes a interieur convexe et a Iimite concave ont un angle interieur qui interior angle which increases as we move from the plane towards the spatial position, s’accroTt lorsqu’on effectue un mouvement a partir du plan vers la position spatiale, while concave-interior and convex-boundary edges have an interior angle which is in- tandis que les a&es a interieur concave et a Iimite convexe ont un angle interieur qui creasing. s’accroTt.
Les faqons equivalentes de decrire les aretes plates decoulent aussi de ce debat. Cl The equivalent ways of describing the flat edges also follow from this discussion. Cl
Remarque. Si nous multiplions tous les scalaires d’une contrainte par -1, nous ob- Remark. If we multiply all scalars of a stress by -1, we obtain a new stress which has tenons une nouvelle contrainte possedant une tension et une compression tension and compression reversed. This reversal corresponds to a reversal in the orien- reciproques. Cette inversion correspond a une inversion dans I’orientation du tation of the polyhedron - a reversal which interchanges inside and outside as well as polyed re - une inversion qui change l’interieur pour I’exterieur et qui change switching convexity and concavity for edge-segments. egalement la nature des segments d’aretes et en nature concave. 28 4.3 Polyedre convexe projet& Si le polyedre spatial est rigoureusement convexe 4.3 Projected convex polyhedra. If the spatial POlYh edron iS strictly convex (every (chaque arete est convexe et il n’y a pas d’auto-intersection) alors la contrainte adop- edge is convex and the re is no self- #intersection) th en the stress wil I assume a very simple tera une forme tres simple. form.
Proposition 4.2 La projection d’un polyedre rigoureusement convexe a partir d’un Proposition 4.2 The projection of a strictly convex polyhedron from an exterior point point exterieur produit une charpente avec une contrainte qui est une compression sur produces a plane fra mework with a stress which is corn pression on the convex polygon le polygone convexe des aretes limitrophes et qui est une tension sur toutes les a&es of boundary edges a nd is tension on all interior edges. interieures.
Preuve. Un polyedre rigoureusement convexe doit avoir un profil, en projection, qui Proof. A strictly convex polyhedron must have an outline, in projection, which is a est un polygone convexe de toutes les a&es limitrophes. En se referant au theoreme convex polygon of all the boundary edges. By theorem 4.1 the boundary edges will be 4.1 les aretes limitrophes seront en compression tandis que toutes les autres a&es sont in compression wh ile all other edges are co nvex interior edges which will be in tension des aretes interieures convexes qui seront en tension lorsqu’on induira une contrainte. in the induced stress. cl
Nous illustrons ces resultats en les utilisant pour analyser plusieurs exemples souleves We illustrate these results by using them to analyse several examples which arise in the lors de I’etude des charpentes de tensegrite. study of tensegrity frameworks.
Le premier type d’exemple, illustre i la Figure 4.3, apparait dans une conjecture de The first type of example, illustrated in Figure 4.3, appeared in a conjecture of Grunbaum Grunbaum et dans le resultat correspondant de (Roth et Whiteley 1981, Theoreme 6.3). and in the corresponding result of (Roth & Whiteley 1981, Theorem 6.3).
Proposition 4.3 U n polygone-barre convexe &al a2.. . a, comportant un joint a~ relic par Propositiion 4.3 A convex bar polygon aoai a2 . . . a,, with one joint a0 joined by bars to all des barres a tous les autres joints et une barre additionnelle joignant al et a,,, constitue other joints and an aditional bar joining al and a, (Figure 4.3A), is the projection of a la projection d’une pyramide a base convexe al . . . a, et a time a~, et par consequent, pyramid with a convex base al...a, and a peak at ao, and thus has a stress with com- comporte une contrainte avec compression sur la Iimite et avec tension a I’interieur. pression on the boundary and tension in the interior.
Preuve. Conservez la face n-gonale al . . . a,, fixe dans le plan et choisissez un point h Proof. Keep the n-gonal face al . ..a. fixed in th e plane and c #hose a point a0 vertically dans la verticale au-dessus de a0 (Figure 4.3B). Les faces qui restent sont triangulaires, above a0 (Figure 4.3B). The remai ning faces are tria ngles, so this crea tes a spatial ce qui tree un polyedre spatial. La convexite de la base assure la convexite de toutes polyhedron. The convexit .y of th e base guarantees the convexity of all edges, so the les a&es, de telle sorte que la forme de la contrainte decoule de la proposition 4.2 form of the s t resses follows from p roposit ion 4.2 (Figure 4.3C). cl (Figure 4.3C).
a
Figure 4.3 Any Grunbaum polygon (A) is the projection of a convex pyramid (B), and therefore has a stress with tension throughout the interior and compression on the boundary (C). 0 Tout polygone de Grunbaum (A) est la projection d’une pyramide convexe (B), et consequemment possede une contrainte avec tension vers 29 I’interieur et compression a la limite (C). Avant d’examiner notre exemple suivant, nous presentons une ancienne technique Before examining our next example we introduce an old tech nique from plane statics tiree des statiques planes qui transforme une charpente en une charpente equivalente which converts one framework into an equivalent fra mework by inserting a new joint en y introduisant un nouveau joint ou deux barres se croisent dans le plan (Figure 4.4). where two bars cross in the plane (Figure 4.4). The essense of this conversion, due to L’essentiel de cette conversion, que nous devons a Bow, reside dans le fait que les Bow, lies in the fact that the two frameworks have essentially the same stresses. We deux charpentes ont essentiellement les memes contraintes. Nous donnerons la forme will give the simplest form of the result when the added point is in the interior of both de resultat la plus simple lorsque le point additionnel est a l’interieur des deux barres. bars. The reader can easily extend the result to cover crossing points in the interior of Le Iecteur peut facilement elargir le resultat pour inclure le cas ou les barres se croisent one bar and the exterior of the second, or even in the exterior of both bars. en un point a I’interieur d’une barre et a I’exterieur de la seconde, ou eventuellement a I’exterieur des deux barres.
Proposition 4.4 Etant donnees une barre et une charpente jointe dans le plan Proposition 4.4 Given a bar and joint framework in the plane S = < J, B > with two S = < J, B > avec deux barres (a, b) et (c, d) se croisant a un point p a l’interieur des bars (a, b) and (c, d) crossing at a point p interior to both bars, the new structure S* is deux barres, la nouvelle structure S* est formee en introduisant ce point de croisement formed by inserting this crossing point as a new joint, splitting the two bars: comme un nouveau joint, separant les deux barres: J* = JWP) J* = J~{P) B* = (B -(
Figure 4.4 If a framework has two crossing bars (A) we can insert a new vertex p at the crossing point and keep essentially the same stresses (B). 0 Si une charpente possPde deux barres transversales (A) nous pouvons ins&er un nouveau sommet p au point de croisement et conserver essentiellement les m@mes contraintes (B).
Preuve. Considerons une contrainte sur S. Si nous introduisons le point de croisement Proof. Consider a stress on S. If we insert the crossing point p and simply pass the p et transferons simplement sur (a, p) et (p, b) la meme force qui etait sur (a, b), et de same force on (a, p) and (p, b) that was on (a, b), and similarly for (c, d), then the forces facon similaire pour (c,d), alors les forces aux sommets originaux sont encore en at the original vertices are still in equilibrium. At the vertex p we have A, pa = -A,pb and equilibre. Au sommet p, nous avons A, pa = -A,pb et A,pc = -&pd, de telle sorte que la A,pc = -&pd, so the net force is zero (Figure 4.4). We conclude that this gives a stress force nette est zero (Figure 4.4). Nous concluons que ceci donne une contrainte sur on S*. s*.
Admettons qu’il y a une contrainte sur S*. Nous examinons les quatre forces a Assume there is a stress on S*. We examine the four forces at P:A,pa + &pb + A3pc + &pd = 0. P: &pa + &pb + A,pc + &pd = 0. 30 Nous pouvons le re-ordonner comme suit: &pa + Azpb = -(&PC + &pd), ou le c&e We can reorder this as A, pa + A,pb = -(&PC + Lpd), where the right side represents a droit represente une force sur la ligne ab. La seule facon dont ces forces peuvent etre net force on the line cd, and the left side represents a force on the line ab. The only egales est si chaque c&e est de force zero. Done A, pa = -&pb et &PC = -Lpd. Cela way these forces can be equal is if each side is the zero force. Thus &pa = -Appb and nous permet d’enlever p et de mettre la contrainte sur S. A,pc = -&pd. This allows us to remove p and place the stress on S.
En changeant la charpente S en une charpente S*, nous avons ajoute un joint et nous In changing the framework S to the framework S* we have added one joint and in- avons augment6 le nombre de barres par deux. Cela signifie que la difference creased the number of bars by two. This means that the gap E-(2V - 3) is the same as the E - (2V - 3) est la meme que la difference E* - (2V* - 3). Comme la dimension des gap S* - (2V* - 3). Since the dimension of the stress space in unchanged, the two espaces de contrainte demeure inchangee, les deux charpentes auront les memes frameworks will have the same static properties in the plane. cl proprietes statiques dans le plan. cl
Le type d’exemple suivant, illustre a la Figure 4.5A, fut d’abord Ptudie par Cauchy dans Our next type of example, illustrated in Figure 4.5A, was first studied by Cauchy in his son travail sur la rigidite. Nous confirmerons que ces polygones de Cauchy possedent work on rigidity. We will confirm that these Cauchy polygons have the stress which is la contrainte illustree. illustrated.
Proposition 4.5 Les polygones de Cauchy ont une contrainte avec compression sur la Proposition 4.5 The Cauchy polygons have a stress with compression on the boundary limite et une tension sur les membres interieurs. and tension on the interior members.
Preuve. Nous pourrions verifier directement si le polygone de Cauchy est la projection Proof. We could check directly that the Cauchy polygon is the projection of a convex d’un polyedre convexe. Toutefois, il est plus simple d’introduire tous les points de polyhedron. However it is easier to insert all of the interior crossing points as new joints croisement interieurs comme des joints nouveaux et confirmer alors que cette nouvelle and then confirm that this new framework is the projection of a convex polyhedron charpente est la projection d’un polyedre convexe (Figure 4.5.B). (Figure 4.58).
Dans ce nouveau trace, nous gardons le polygone-limite al . ..a. fix6 dans le plan et nous In this new drawing we keep the boundary polygon al . ..a. fixed in the plane and lift up soulevons le n-gone interieur aIbz...b,-ih, en le gardant fix6 le long de la ligne ala, the interior n-gon a, bZ... bna2a,, keeping it fixed along the line ala, (Figure 4.5C). All of (Figure 4.5C). Toutes les faces qui restent sont triangulaires, de telle sorte que nous the remaining faces are triangular, so we have a plane-faced polyhedron in space. It is avons un polyedre a face plane dans I’espace. II est aussi evident a partir de la con- also evident from the convexity and placement of the two large polygons that all of the vexite et de I’emplacement des deux grands polygones que toutes les a&es sont con- edges are convex. We conclude that the stress has the required form (Figure 4.5D). vexes. Nous concluons que la contrainte a la forme requise (Figure 4.5D).
En tenant compte de la proposition 4.4, cette contrainte nous ramene a la charpente By proposition 4.4, this stress carries back to the original framework without the added originale sans les points de croisement additionnels (Figure 4.5E). crossing points (Figure 4.5E). 0
Figures 4.5 A, B 37 E
D
Figure 4.5 Any Cauchy polygon (A) can be modified by adding joints at the crossing points (B) to give the projection of a simple convex polyhedron (C). This proves that both the modified framework (D) and the original framework (E) will have a stress with tension in the interior and compression on the boundary. 0 Tout polygone de Cauchy (A) peut etre modifie en y ajoutant des joints aux points de croisement (B) pour obtenir la projection d’un polyedre convexe simple (C). Ceci prouve qu’aussi bien la charpente modifiee (D) que la char- pente originale (E) auront une contrainte avec tension vers l’interieur et compression a la Iimite.
4.4 Les charpentes planaires a partir de charpentes non-planaires. On peut aussi 4.4 Planar frameworks from non-planar frameworks. This method of inserting utiliser cette methode d’insertion de points de croisement pour transformer un graphe crossing points can also be used to turn a non-planar graph with no underlying oriented non-planaire sans polyedre oriente sous-jacent en un graphe planaire auquel s’ap- polyhedron into a planar graph to which the simple converse of Maxwell’s theorem plique la reciproque du theoreme de Maxwell. applies.
Exemple 4.3 La charpente illustree a la Figure 4&A est app&e k,3 A cause de son Example 4.3 The framework illustrated in Figure 4.6A is called &,3 because of its un- graphe bipartite sous-jacent. La charpente originale ne pourrait pas etre issue de la derlying bipartite graph. The original framework could not come from the projection projection d’un polyedre oriente parce qu’elle est non-planaire. Lorsque nous in- of an oriented polyhedron since it is non-planar. When we insert the crossing point troduisons Ie point de croisement p = ac’ A a’c, la nouvelle charpente a un graphe P ac’ A a’c, the new framework has a planar graph which could match a spherical planaire qui pourrait egaler un polyedre spherique (Figure 4.6B). polyhedron (Figure 4.6B). 32 Si le nouveau trace est la projection d’un polyedre spatial, alors la face plane abcp If the new drawing is the projection of a spatial polyhedron, then the plane face abcp rejoint la face plane a’b’c’p en une ligne passant a travers p. Comme aba’b’ est un plan meets the plane face a’b’c’p in a line through p. Since aba’b’ is a plane joining the two qui joint les deux faces, le point ab A a’b’ est aussi sur la ligne. De la meme faGon, le faces, the point ab A a’b’ is also on the line. Similarly, the point bc A b’c’ is also on the point bc A b’c’ est egalement sur la ligne, done les trois points ab A a’b’, bc A b’c’ et line, so the three points abA a’b’, bc A b’c’ and p = ca’ A a’c must be collinear (Figure p - ca’ A a’c doivent etre colineaires (Figure 4.68). Cette ligne, la ligne formee par les 4.6B). This line, the line formed by the intersections of opposite edges of the hexagon intersections des aretes opposees de I’hexagone abca’b’c’, est appelee la ligne de abca’b’c’, is called the Pascal line of the hexagon. Pascal’s theorem of projective Pascal de I’hexagone. Le theoreme de geometric projective de Pascal enonce que geometry says that the existence of this line is equivalent to the six points lying on a l’existence de cette ligne est equivalente aux six points qui se trouvent sur un conique. conic. We conclude that if there is a stress then the six points lie on a conic. Nous concluons done que s’il y a une contrainte, alors les six points se trouvent sur un conique. Inversement, si les six points se trouvent sur un conique, alors cette ligne Conversely, if the six points lie on a conic then this line exists and it is a simple task to existe et il est tres simple de creer le polyedre spatial en faisant tourner abcp vers le create the spatial polyhedron by rotating abcp up into space about this line (Figure haut dans I’espace pres de cette ligne (Figure 4.6C). Ce polyedre spatial aura la con- 4.6C). This spatial polyhedron will have the convexity to match the illustrated stress. vexite pour egaler la contrainte illustree.
Cette utilisation des points de croisement souleve un probleme interessant. Si les This use of crossing points raises an interesting problem. If the results are extended to resultats sont etendus au cas dans lequel on trouve un point de croisement de deux cover any crossing point of two non-collinear edges which does not occur at a joint of aretes non-colineaires qui ne se rencontrent pas a un joint d’une des barres, est-ce que one of the bars, can every framework in the plane with no collinear polygon be chaque charpente dans le plan exempte de polygone colineaire peut etre changee en changed into a framework with a planar graph by inserting appropriate crossing points? une charpente a graphe planaire en y introduisant les points de croisement appropries?
En general, la reponse est non, mais il est possible de creer des exemples ayant toutes In general the answer is no, since it is possible to create examples with all bars through les barres passant a travers un point, empechant alors toute modification du graphe. a point, thus preventing any changes to the graph. To make general conversions we Pour effectuer des conversions g&&ales, il faudrait incorporer dans notre systeme des would have to incorporate bars of zero length, but assigned direction, into our system. barres de longueur zero, mais ayant une direction assignee. Cela est possible, mais This is possible, but we will not pursue the details here. nous ne donnerons pas les details ici.
Chaque fois que nous creons un graphe planaire, nous pouvons appliquer le theoreme When ever we do create a planar graph, we can apply Ma xwell’s theorem, and its con- de Maxwell, et sa reciproque, pour retracer toute contrainte dans la charpente verse, to trace any stress in the original framework back to a spatial polyhed ron. originale d’un polyedre spatial.
a
/
/ . . l \
ab A a’b’
Figure 4.6 A non-planar framework with a stress (A) becomes a planar framework when a crossing point is added (6) and it becomes the projection of a spatial polyhedron, with the indicated line of intersection of two faces. 0 Une charpente non-planaire comportant une contrainte (A) devient une charpente planaire quand on y ajoute un point de croisement (6) et elle devient la projection d’un polyedre spatial, avec la ligne d’intersec- 33 tion indiquee de deux faces. 4.5 Une contrainte impossible. Les exemples precedents demontrent comment 4.5 An impossible stress. The previous examples showed how to use a polyhedron to utiliser un polyedre pour trouver une contrainte du type desire. Pour conclure ce find a stress of the desired type. In closing this chapter we show how to use these chapitre, nous montrons comment utiliser ces techniques pour demontrer qu’il techniques to show no stress of a specified pattern exists. This example arose from n’existe pas de contrainte a configuration specifique. Cet exemple provient d’un work on the uniqueness of convex spheres. travail sur I’unicite des spheres convexes.
Nous prenons un polygone convexe et lui donnons une triangulation - (un ensemble We take a convex polygon and give a triangulation (a maximal set of interior lines, no maximal de lignes interieures, aucune ne se croisant). II n’y a ici aucune contrainte two crossing). This clearly has no stress (we can’t find a polyhedron) (Figure 4.7). (nous ne pouvons pas trouver de polyedre) (Figure 4.7).
Nous prenons une seconde triangulation qui est disjointe (qui n’emploie aucune des We take a second triangulation which is disjoint (uses none of the same interior lines). memes lignes interieures). Avec autant de barres, nous avons necessairement With so many bars, we clearly have lots of stresses - so to keep things interesting, we beaucoup de contraintes - done pour que cela demeure interessant, nous soutenons insist that the stress must be tension on one triangulation, compression on the second, que la contrainte doit etre une tension sur une triangulation, une compression sur la and arbitraty on the polygon. seconde, et qu’elle doit etre arbitraire sur le polygone.
Figure 4.7 If we are given two distinct triangulations of a convex polygon (A, 6) and we imagine a stress with tension on one triangulation and compression on the other (C), then, upon inserting the crossing points (D) we would have the picture of an impossible level polygon filled only with saddle points (E) and no extrema (F). 0 Si nous avons deux triangulations distinctes d’un polygone convexe (A, B) et que nous imaginons une contrainte avec tension sur une triangulation et compression sur I’autre (C), alors, en inserant les points de croisement (D) nous devrions obtenir la representation d’un polygone d’un niveau impossible rempli uniquement de points de selle (E) et sans extremites (F). 34 Proposition 4.5 Etant don& un polygone plan convexe, et deux triangulations T, et Tz Proposition 4.5 Given a convex plane polygon, and two disjoint triangulations T, and disjointes, il n’y a pas de contrainte qui soit une tension (ou zero) sur TZ et qui soit une TZ, there is no stress which is tension (or zero) on Tz and which is compression (or zero) compression (ou zero) sur T,.
Preuve. Admettons qu’il y ait contrainte (Figure 4.7C). Parce que T, et T2 sont des Proof. Assume there is a stress (Figure 4.7C). Because T, and T2 are triangulations, triangulations, chaque croisement interieur implique un element de T, et un element each interior crossing involves one member from T,, and one member from T2. We in- de T2. Nous introduisons tous ces croisements pour creer un nouveau graphe planaire sert all of these crossings, creating a new planar graph (Figure 4.7D). (Figure 4.7D).
Nous utilisons maintenant la contrainte pour creer un polyedre spatial. Pour la circons- We now use the stress to create a spatial polyhedron. For convenience we hold the tance, nous maintenons le polygone-limite (1 face) dans le plan - et nous laissons les boundary polygon (1 face) in the plane - and let the other joints move up or down. autres joints se deplacer de haut en bas. Chaque joint interieur est quadri-valent, avec Each interior joint is 4 valent, with alternating signs + - + - around the joint. This must des signes alternatifs + - + - autour du joint. Cela doit devenir le point de selle du become a saddle point in the polyhedron (Figure 4.7E). polyedre (Figure 4.7E).
Prenez le joint le plus haut du polyedre spatial. II ne peut pas etre le point de selle Take the highest joint of the spatial polyhedron. It cannot be a saddle point (Figure (Figure 4.7F). II n’y a pas de point plus eleve (ou de point plus bas equivalent) - done il 4.7F). There is no highest point (or equivalently lowest point) - so there is no stress. 0 n’y a pas de contrainte.
Remarque 1. Si nous construisons cette double triangulation a I’aide de cables Remark 1. If we build this double triangulation with cables (tension members) for T, (elements de tension) pour T, et d’elements de compression pour T2, alors la charpente and compression members for T2 then this framework will not hold a stress! By ne supportera pas de contrainte! En se referant au theoreme 4.2 de (Roth et Whiteley theorem 4.2 of (Roth & Whiteley 1981), this ((tensegrity)) framework is a mechanism. 1981), cette charpente de tensegrite est un mecanisme. C’est une mauvaise facon This is a universally bad way to build the polygon. universelle de construire un polygone.
Remarque 2. Si nous introduisons la triangulation, avec un ensemble specifique de Remark 2. If we insert the triangulation, with a specified set of tensions, then we can tensions, nous pouvons alors decouvrir une seconde triangulation qui soutiendra ceci, always find a second triangulation which will hold this, as a stress, and also will all be in comme une contrainte, et qui sera egalement entierement sous tension. La preuve est tension. The proof is simple. Consider the first set of tensions. Treated as screw simple. II suffit de considerer le premier ensemble de tensions. Traitees comme des motions they will put the polygon into space as a ((convex cap)). If we just take the mouvements de vrille elles ameneront le polygone dans I’espace comme calotte. Si ((convex bottom)) of this (the rest of the convex hull), this will yield a second ((bottomu nous prenons uniquement la base convexe de ceci (le reste du toit convexe), cela en- triangulation. In projection we have the desired stress. Since the original framework traTnera une seconde triangulation a la base. NOUS avons la contrainte d&i&e en would be statically rigid with bars, the new framework is statically rigid with cables on projection. Comme la charpente originale sera statiquement rigide avec des barres, la the interior and compression members (struts) on the boundary (Roth & Whiteley 1981, nouvelle charpente est statiquement rigide avec des cables a l’interieur et des elements Theorem 3.2). de compression (etais) sur la limite (Roth et Whiteley 1981, Theoreme 3.2).
5. Analogues du thGor&me de Maxwell dans un espace a n 5. Analogues of Maxwell’s Theorem in n-space dimensions.
Les resultats des sections 3 et 4 ont des analogues partiels dans des espaces superieurs. The results of sections 3 and 4 have partial analogues in higher spaces. We recall from Nous rappelons (Crap0 et Whiteley, section 5) que c’est une affaire simple que de (Crap0 & Whiteley 1982, section 5) that it is a simple matter to define n-dimensional bar definir des charpentes de barres et de joints a n dimensions avec des extenseurs de and joint frameworks with 2-extensors for bars, and scalars to express dependence or rang 2 comme barres et des scalaires pour exprimer la dependance ou les contraintes stresses on the bars. 35 sur les barres. De meme, nous pouvons decrire des mouvements de structures a panneaux dans un Similarly, motions of panel structures in n-space can be described by scalars on the espace a n dimensions par des scalaires sur les gonds (extenseurs de rang n - 1). II hinges (n-l extensors). There is now an important gap in the original correspondence existe maintenant un vide important dans la correspondance originale entre les between stresses and motions, since bars are 2-extensors and hinges are n-1 extensors, mouvements et les contraintes puisque les barres sont des extenseurs de rang 2, les and the essential algebraic conditions for stresses and motions diverge for n-polytopes. gods des extenseurs de rang n - 1, et les conditions algebriques essentielles pour des contraintes et des mouvements divergent pour des n-polytopes.
Heureusement la preuve du theoreme 3.1 n’exige pas la correspondance totale. Quand Fortunately the proof of theorem 3.1 does not require the full correspondence. When nous examinons la projection d’un (n + l)-polytope ((pIat)> special avec des gonds ex- we examine the projection of an n + 1 polytope into n-space, we have a special ((flat)) tenseurs de rang n dans un espace a n dimensions. La base de la correspondance polytope with n-extensor hinges in n-space. The basis of the needed correspondence exigee se trouve maintenant dans le processus euclidien de lignes (extenseurs de rang now lies in the Euclidean process of lines (2-extensors) normal to hyperplanes (n- 2) perpendiculaires aux hyperplans (extenseurs de rang n). Par exemple, dans un extensors). For example, in 3-space equilibrium forces at a vertex can be defined by espace a 3 dimensions, nous pouvons definir des forces en equilibre a un sommet en taking lines normal to the forces of an oriented polyhedron, and making the forces prenant des lignes perpendiculaires aux forces d’un polyedre oriente et en rendant ces proportional to the areas of the faces (Rankine 1864). forces proportionnelles aux aires des faces (Rankine 1864).
En exploitant soigneusement cette construction, nous obtenons une gene ral isation du By carefully exploiting this constructio n, we obtain a generalization of Maxwell’s theoreme de Maxwell (Crap0 et Whiteley, a paraitre). theorem (Crap0 & Whiteley, to appear).
La projection d’un (n +I)-polytope oriente dans un espace a n dimensions donne une The projection of an oriented (n+l)-polytope into n-space gives a stress on the edge- contrainte sur le squelette-arete dans I’espace. Janos Baracs a le premier conjecture ce skeleton in n-space. This result was first conjectured by Janos Baracs. resultat.
A I’exception de polygones sur la ligne (projections de 2-polytopes ou de polygones) et With the exception of polygons on the line (projections of 2-polytopes or polygons), de nos resultats a la section 2, aucune reciproque adequate a ce resultat general n’a ete and our results in Section 2, no adequate converse has been found to this general result trouvee pour des polytopes projetes. II y a des charpentes dependantes dans un for projected polytopes. There are dependent frameworks in 3space with the espace a 3 dimensions avec la topologie d’un 4-polytope qui ne sont pas la projectin topology of a 4-polytope which are not the projection of any 4-polytope. A major dif- d’un 4-polytope. Une difficulte majeure est que I’intersection de deux n-cellules dans ficulty is that the intersection of two n-cells in n+ 1 space will be a flat n-l space, so a un espace a n + 1 dimensions sera un espace plat a n - 1 dimensions, ainsi une con- necessary condition for a framework to be the projection of a n + 1 polytope is that the dition necessaire pour qu’une charpente soit la projection d’un (n + l)-polytope est vertices common to any two n-cells must lie in a hyperplane in n-space. que les sommets communs a deux n-cellules quelconques doivent se trouver dans un hyperplan dans un espace a n dimensions.
Nous conjecturons que cette condition est aussi suffisante pour reconnaitre la projec- We conjecture that this condition is also sufficient for recognizing the projection of tion de (n + l)-polytopes quand n 2 3. n + 1 polyltopes when n >/ 3.
Conjecture. Si une charpente a barres et joints dans un espace a n dimensions a la Conjecture. If a bar and joint framework in n-space has the topology of a simply con- topologie d’un (n + l)-polytope simplement convexe et que les joints communs a netted n + 1 polytope and the joints common to any two adjacent n-cells span a hyper- n’importe lesquelles des deux n-cellules adjacentes engendrent un hyperplan, la char- plane, then the framework is the projection of a non-degenerate n + 1 polytope (and is pente alors est la projection d’un (n +l)-polytope non-degenere (et est dependante). dependent).
Pour n = 3, si le polytope a tous les sommets quadrivalents, nous savons alors que la For n = 3, if the polytope has all vertices 4-valent, then we know that this conjecture is conjecture est juste (Crap0 et Whiteley, a paraitre). correct (Crap0 & Whiteley, to appear).
Le travail continue sur les relations entre les 4-polytopes et ces charpentes dependantes Work is continuing on the relationships between 4-polytopes and those dependent dans des espaces a 3 dimensions qui ont la topologie correspondante. En fait, nous frameworks in 3-spaces which have the corresponding topology. In fact we suspect soupconnons que ces resultats effleurent seulement la surface de I’information statique that these results just scratch the surface of the static and mechanical information about et mecanique sur I’espace a 3 dimensions qu’on peut trouver en rapport avec un 3-space which can be found in connections with 4-space and higher dimensions. espace a 4 dimensions et des dimensions superieures. 36 Bibliographic
Le code dans la premiere partie de chaque don&e bibliographique consiste en trois parties, s&pa&es par des The code in the first block of each bibliographic item consists of three parts, separated by dashes. The first letter tirets. La premiere lettre indique si le texte est un Livre, Article, P&-impression, ou Notes de tours. La indicates whether the item is a B ook, A rticle, P reprint, or C ourse notes. The middle letter(s) indicates deuxieme partie indique si le texte a ete redige pour des lecteurs qui ont une formation de Mathematicien, whether the piece was intended primarily for an audience of M athematicians, A rchitects, or E ngineers. Architecte, ou I ngenieur. La partie finale du code indique si le texte touche un ou plus d’un des themes prin- The final letter(s) indicated if the piece touches on one or more of the principal themes of structural cipaux de la topologie structurale: Geometric (en general), Polyedres, J uxtaposition, ou Rigidite. topology: G eometry (in general), P olyhedra, J uxtaposition, or R igidity.
Les mots-cl& ou autres annotations dans la colonne finale montreront I’interet pas toujours ni I’ensemble de sn The key words or other annotations in the third column are intended to show the relevance of the work contenu ni l’intention de I’auteur. to research in structural topology, and do not necessarily reflect its overall contents, or the intent of the author.
. 4 Crapo & Whiteley 1982 Statics of Frameworks and Motions of Panel Structures: Projective theory of stresses in frameworks, and infinitesimal H. Crapo and W. Whiteley a Projective Geometric Introduction motions of hinged panel structures. Correspondence of stresses and I I I motions for oriented polyhedra l Charpentes contraintes et mouve- I A-AME-PR Structural Topology 6 (19821, 43-82. ments des structures a panneaux.
Crapo & Whiteley, to appear Reciprocal diagrams for stressed plane frameworks. Proof of the H. Crapo and W. Whiteley Stressed Frameworks and Projected Polyhedra converse of Maxwell’s theorem 0 Diagrammes reciproques pour les charpentes planes contraintes. Preuve de la reciproque du P-AME-PR to appear. theoreme de Maxwell. 1 Crapo & Whiteley, to appear Baracs’ extension of Maxwell’s theorem: some spatial stresses correspond to all projections of oriented 4-polytopes. Conjectures H. Crapo and W. Whiteley Stressed Frameworks and Projected 4-Polytopes for converses 0 Extension de Baracs du theoreme de Maxwell: quelques contraintes spatiales correspondent a toutes les projections P-AME-PR to appear. des 4-polytopes orient&. Conjectures sur les reciproques. L * Cremona 1890 Introduction to the geometry of force resolution, etc. Reciprocal L. Cremona Graphical Statics figures and proof of Maxwell’s theorem 0 Introduction a la geometric de la resolution de forces, etc. Figures reciproques et B-ME-PR English translation, Oxford University Press, London 1890. preuve du theoreme de Maxwell. I/ Culmann 1866 First major engineering text on reciprocal figures. Graphical C. Culmann Graphische Statik methods for calculating stresses in a framework 0 Premier texte d’ingenierie d’importance sur les figures reciproques. Methodes B-ME-R Meyer and Zelier, Zurich, 1866. graphiques pour le calcul des contraintes dans une charpente.
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