Processus De Lévy En Finance
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Th`ese pr´esent´ee pour obtenir le titre de DOCTEUR DE L'ECOLE POLYTECHNIQUE specialit´e: Math´ematiques Appliqu´ees par Peter TANKOV Processus de L´evy en Finance: Probl`emes Inverses et Mod´elisation de D´ependance L´evy Processes in Finance: Inverse Problems and Dependence Modelling Th`ese soutenue le 21 septembre 2004 devant le jury compos´e de Ole E. Barndorff-Nielsen Rapporteur Rama Cont Directeur de th`ese Nicole El Karoui Monique Jeanblanc Rapporteur Bernard Lapeyre Agn`es Sulem R´esum´e Cette th`ese traite de la mod´elisation de prix boursiers par les exponentielles de processus de L´evy. La premi`ere partie d´eveloppe une m´ethode non-param´etrique stable de calibration de mod`eles exponentielle-L´evy, c’est-`a-dire de reconstruction de ces mod`eles a` partir des prix d'options cot´ees sur un march´e financier. J'´etudie les propri´et´es de convergence et de stabilit´e de cette m´ethode de calibration, d´ecris sa r´ealisation num´erique et donne des exemples de son utilisation. L'approche adopt´ee ici consiste a` reformuler le probl`eme de calibration comme celui de trouver un mod`ele exponentielle-L´evy risque-neutre qui reproduit les prix d'options cot´ees avec la plus grande pr´ecision possible et qui a l'entropie relative minimale par rapport a` un processus \a priori" donn´e. Ce probl`eme est alors r´esolu en utilisant la m´ethode de r´egularisation, provenant de la th´eorie de probl`emes inverses mal pos´es. L'application de ma m´ethode de calibration aux donn´ees empiriques de prix d'options sur indice permet d'´etudier certaines propri´et´es des mesures de L´evy implicites qui correspondent aux prix de march´e La deuxi`eme partie est consacr´ee au d´eveloppement d'une m´ethode permettant de car- act´eriser les structures de d´ependance entre les composantes d'un processus de L´evy multidi- mensionnel et de construire des mod`eles exponentielle-L´evy multidimensionnels. Cet objectif est atteint gr^ace a` l'introduction de la notion de copule de L´evy, qui peut ^etre consid´er´ee comme l'analogue pour les processus de L´evy de la notion de copule, utilis´ee en statistique pour mod´eliser la d´ependance entre les variables al´eatoires r´eelles. Les exemples de familles param´etriques de copules de L´evy sont donn´es et une m´ethode de simulation de processus de L´evy multidimensionnels, dont la structure de d´ependance est d´ecrite par une copule de L´evy, est propos´ee. Mots clefs: processus de L´evy, produits d´eriv´es, calibration, probl`emes inverses, r´egularisation, probl`emes mal pos´es, entropie relative, copules, d´ependance. Abstract This thesis deals with the modelling of stock prices by the exponentials of L´evy processes. In the first part we develop a non-parametric method allowing to calibrate exponential L´evy models, that is, to reconstruct such models from the prices of market-quoted options. We study the stability and convergence properties of this calibration method, describe its numerical implementation and give examples of its use. Our approach is first to reformulate the calibration problem as that of finding a risk-neutral exponential L´evy model that reproduces the option prices with the best possible precision and has the smallest relative entropy with respect to a given prior process, and then to solve this problem via the regularization methodology, used in the theory of ill-posed inverse problems. Applying this calibration method to the empirical data sets of index options allows us to study some properties of L´evy measures, implied by market prices. The second part of this thesis proposes a method allowing to characterize the dependence structures among the components of a multidimensional L´evy process and to construct multi- dimensional exponential L´evy models. This is done by introducing the notion of L´evy copula, which can be seen as an analog for L´evy processes of the notion of copula, used in statistics to model dependence between real-valued random variables. We give examples of parametric families of L´evy copulas and develop a method for simulating multidimensional L´evy processes with dependence given by a L´evy copula. Key words: L´evy processes, option pricing, calibration, inverse problems, regularization, ill-posed problems, relative entropy, copulas, dependence Remerciements Je voudrais, en premier lieu, exprimer toute ma gratitude a` Rama Cont, mon directeur de th`ese, non seulement pour sa disponibilit´e et son soutien au cours de ces trois ann´ees, mais aussi pour avoir fait preuve, a` plusieurs reprises, de sa confiance en moi, et pour m'avoir aid´e, en m'envoyant a` des nombreuses conf´erences et s´eminaires, a` faire conna^ıtre mon travail de recherche. Je n'aurais jamais pens´e a` travailler dans le domaine de la finance math´ematique si je n'avais pas suivi d'excellents cours de Nicole El Karoui, d'abord a` l'Ecole Polytechnique et ensuite au DEA de Probabilit´es et Applications de l'Universit´e Paris VI. Je la remercie pour cela mais aussi pour les nombreuses interactions qu'on a eu au cours de ma th`ese, notamment a` l'occasion du groupe de travail du CMAP. Jan Kallsen m'a expliqu´e comment g´en´eraliser la notion de copule de L´evy, que j'ai introduite pour les processus de L´evy aux sauts positifs, au cas des processus de L´evy g´en´eraux. Je le remercie ´egalement pour avoir bien voulu ´ecrire un article joint sur ce sujet et pour des nombreuses discussions qu'on a eu pendant ce travail. Je remercie Ole Barndorff-Nielsen, Thomas Mikosch et Elisa Nicolato pour avoir fait de ma visite a` MaPhySto en aout-septem^ bre 2002 un moment inoubliable et pour les discussions qu'on a eu pendant et apr`es mon s´ejour au Danemark, qui ont ´et´e toutes tr`es utiles. Je voudrais ´egalement exprimer ma reconnaissance a` Douglas N. Arnold and Scot Adams qui m'ont accueilli pendant ma visite a` l'Institut de Math´ematiques et Applications de l'Universit´e de Minnesota, un s´ejour auquel cette th`ese doit beaucoup. Mes remerciements vont aussi a` Philippe Durand et Emmanuel Bacry, qui ont ´et´e respons- ables de deux stages que j'ai effectu´es avant de commencer cette th`ese, l'un au Cr´edit Lyonnais et l'autre au CMAP, et qui ont beaucoup fait pour ma formation scientifique. Je suis reconnaissant a` Christoph Schwab et Ana-Maria Matache d'avoir partag´e avec moi leurs id´ees sur les m´ethodes num´eriques pour les processus de L´evy, au cours de leurs visites a` Paris et de ma visite a` Zurich. Je remercie enfin tous les participants du groupe de travail du CMAP de toutes nos inter- actions scientifiques, mais aussi d'avoir contribu´e a` une ambiance tr`es agr´eable et chaleureuse dans notre ´equipe de mod´elisation financi`ere. Contents Remarks on notation 11 Introduction et principaux r´esultats 13 Principaux r´esultats . 15 Calibration de mod`eles exponentielle-L´evy . 17 Mod´elisation multidimensionnelle avec les processus de L´evy . 22 Introduction 27 I Calibration of one-dimensional exp-L´evy models 31 1 L´evy processes and exp-L´evy models 33 1.1 L´evy processes . 33 1.1.1 Stochastic exponential of L´evy processes . 36 1.1.2 Change of measure and absolute continuity of L´evy processes . 38 1.1.3 Tightness and convergence of sequences of L´evy processes . 40 1.2 Exponential L´evy models: definition and main properties . 41 1.3 Exponential L´evy models in finance . 43 1.4 Pricing European options in exp-L´evy models via Fourier transform . 47 2 The calibration problem and its regularization 57 2.1 Least squares calibration . 58 2.1.1 Lack of identification . 60 2.1.2 Existence of solutions . 62 7 8 CONTENTS 2.1.3 Continuity . 66 2.1.4 Numerical difficulties of least squares calibration . 68 2.2 Selection of solutions using relative entropy . 69 2.3 The use of relative entropy for pricing and calibration: review of literature . 72 2.3.1 Pricing with minimal entropy martingale measure . 72 2.3.2 Calibration via relative entropy minimization . 75 2.3.3 The present study in the context of previous work on this subject . 79 2.4 Relative entropy of L´evy processes . 80 2.4.1 Properties of the relative entropy functional . 82 2.5 Regularizing the calibration problem . 85 2.5.1 Properties of regularized solutions . 87 2.5.2 Convergence of regularized solutions . 92 3 Numerical implementation of the calibration algorithm 95 3.1 Discretizing the calibration problem . 96 3.2 Choice of the prior L´evy process . 99 3.3 Choice of the regularization parameter . 102 3.3.1 A posteriori parameter choice rules for attainable calibration problems . 103 3.3.2 A posteriori parameter choice rule for non-attainable calibration problems 110 3.3.3 Computing the noise level . 111 3.4 Choice of the weights of option prices . 111 3.5 Numerical solution of calibration problem . 113 3.5.1 Computing the calibration functional . 114 3.5.2 Computing the gradient of the calibration functional . 117 3.5.3 Overview of the algorithm . 119 3.6 Numerical and empirical tests . 119 3.6.1 Tests on simulated data .