Stavba a Vy´Voj Hveˇzd

STAVBA A VY´ VOJ HVEˇ ZD

Petr Harmanec, Miroslav Brozˇ Astronomicky´u´stav Univerzity Karlovy Verze 8: 9. listopadu 2009

Obsah

1 U´ vodem 5 1.1 Vznikteorie...... 5 1.2 ModelnasˇehoSlunce ...... 8

2 Obecne´za´konitosti a fyzika´lnı´vztahy 13 2.1 Za´kladnı´pojmy ...... 13 2.2 Stavova´rovnice...... 15 2.2.1 Idea´lnı´plyn...... 16 2.2.2 Tlakza´rˇenı´ ...... 18 2.2.3 Elektronova´degenerace ...... 19 2.2.4 Cˇa´stecˇnaíonizacev povrchovyćhvrstvaćh ...... 23

3 Za´kladnı´rovnice stavby hveˇzd 26 3.1 Rovnicezachova´nı´hmoty...... 26 3.2 Pohybova´rovnice a jejı´limitnı´prˇı´pad: rovnice hydrostaticke´rovnova´hy ...... 26 3.3 Rovnicetepelne´rovnova´hy ...... 27 3.3.1 Proton–protonovy´rˇeteˇzec ...... 28 3.3.2 CNOcyklus...... 31 3.3.3 Prˇemeˇna he´lianauhlı´kadalsˇı´reakce ...... 33 3.3.4 Tepelna´rovnova´haazmeˇnyentropie ...... 35 3.4 Rovniceprˇenosuenergie ...... 36 3.4.1 Rovniceza´rˇive´hoprˇenosuenergie ...... 37 3.4.2 Rovnicekonvektivnı´hoprˇenosuenergie ...... 46

4 Matematicka´struktura rovnic hveˇzdne´ho nitra 53

1 5 Pocˇa´tecˇnı´a okrajove´podmı´nky 55

6 Henyeova numericka´metoda integrace vnitrˇnı´ch cˇa´stı´hveˇzdy 60 6.1 Metodau´plne´linearizace ...... 60 6.2 Mezelinearizace ...... 63

7 Vy´voj osamocene´hveˇzdy 65 7.1 Ilustrativnı´prˇı´klad: vy´voj hveˇzdy o hmotnosti 4 M⊙ ...... 65 7.2 Odlisˇnosti hveˇzdne´ho vy´voje v za´vislosti na hmotnostihveˇzdy ...... 71

8 Srovnańı´prˇedpoveˇdı´teorie hveˇzdne´ho vy´voje s pozorovańı´m 80 8.1 Jakzı´ska´vatpozorovacı´data?...... 80 8.1.1 Za´rˇivy´vy´konhveˇzdy ...... 80 8.1.2 Efektivnı´teplotahveˇzdy ...... 82 8.1.3 Hmotnostiapolomeˇryhveˇzd...... 82 8.1.4 Diagram V versus (B V ) prohveˇzdokupy ...... 82 8.2 Vysveˇtlenı´hlavnıćh rysu˚Hertzsprungova–Russell− ovadiagramu...... 83 8.3 Projevyvy´vojevehveˇzdokupaćh ...... 84 8.4 Projevyvy´vojevedvojhveˇzdaćh ...... 85 8.5 Zmeˇny chemicke´ho slozˇenı´pozorovane´ve spektrech ...... 88 8.6 Test vnitrˇnı´struktury hveˇzd pomocıápsida´lnı´ho pohybu...... 88 8.6.1 Apsida´lnı´pohybvklasicke´mechanice ...... 88 8.6.2 Relativistickyápsida´lnı´pohyb ...... 90 8.6.3 Celkovyápsida´lnı´pohyb ...... 91 8.7 Projevyvy´vojezadobulidske´historie ...... 91

9 Jednoduche´analyticke´modely a odhady 93 9.1 Polytropnı´deˇj...... 93 9.2 Laneova–Emdenovadiferencia´lnı´rovnice ...... 96 9.3 Polytropnı´modelyhveˇzd ...... 99

10 Hveˇzdny´vı´tr a ztra´ta hmoty z hveˇzd 103 10.1 Za´kladnı´faktaau´vahy ...... 103 10.2 Parkerovateorieveˇtruuchladny´chhveˇzd ...... 106 10.3 CAK teorie hveˇzdne´ho veˇtru rˇı´zene´ho za´rˇenı´m ...... 108 10.4 Vlivhveˇzdne´hoveˇtrunavy´vojhveˇzd ...... 111

11 Vliv rotace 116 11.1 Rocheu˚vmodelajednoducheódhady ...... 116 11.2 Modely hveˇzdne´ho vy´voje se zapocˇtenı´m rotace ...... 120 11.3 Neˇktere´vy´sledky vy´voje rotujıćıćh hveˇzd ...... 123

2 12 Vy´voj dvojhveˇzd 129 12.1 Rocheu˚vmodelajednoducheódhady ...... 129 12.2 Vy´pocˇet hveˇzdne´ho vy´voje ve stadiu vy´meˇny hmoty ...... 133 12.3 Neˇktere´vy´sledky modelovańı´vy´voje dvojhveˇzd ...... 137 12.4 Modely vy´voje dvojhveˇzd versus pozorovańı´ ...... 144

13 Pulsace hveˇzd 146 13.1 Radia´lnı´pulsacesfe´rickyćhhveˇzd ...... 146 13.1.1 Podmıńkaprovznikpulsacı´ ...... 146 13.1.2 Opacitnı´mechamismuspulsacı´...... 147 13.1.3 Hrubyódhad periody radia´lnıćh pulsacı´ ...... 148 13.1.4 Vztahyperioda–za´rˇivy´vy´kon–barva ...... 151 13.2 Neradia´lnı´pulsace ...... 152 13.2.1 Sektora´lnı´pulsace rotujıćıćh hveˇzd ...... 157 13.3 Jednoduche´vlneˇnı´ ...... 159 13.3.1 Akusticke´vlny v homogennı´m prostrˇedı´(p-mo´dy) ...... 161 13.3.2 Vnitrˇnı´gravitacˇnı´vlny(g-mo´dy) ...... 162 13.3.3 Povrchove´gravitacˇnı´vlny(f-mo´dy) ...... 163

14 Gravitacˇnı´kolaps protohveˇzd 168 14.1 Pru˚beˇhkolapsu ...... 168 14.2 Fragmentaceoblaku...... 169 14.3 Vy´vojprˇedhlavnı´posloupnostı´...... 171 14.4 Eddingtonovalimita...... 173

15 Explozivnı´stadia ve vy´voji hveˇzd 175 15.1 SupernovytypuII,Ib,Ic ...... 175 15.2 SupernovytypuIa...... 180

16 Typy pozorovanyćh hveˇzd a jejich vy´vojova´stadia 188 16.1 Horke´hveˇzdy spektra´lnı´ho typu O a Wolfovy–Rayetovyhveˇzdy ...... 188 16.2 Hveˇzdyspektra´lnı´hotypuB ...... 189 16.2.1 Chemickypekulia´rnı´Bphveˇzdy ...... 190 16.2.2 Pulsujıćı´ β Cephveˇzdy...... 190 16.2.3 Pomalu pulsujıćı´B hveˇzdy (Slowly pulsating B stars,SPB) ...... 192 16.2.4 Hveˇzdyseza´vojem(Bestars) ...... 192 16.2.5 Svı´tive´modre´promeˇnne´(Luminous Blue Variables,LBV) ...... 199 16.3 Hveˇzdyspektra´lnıćhtypu˚AaF ...... 200 16.3.1 Amhveˇzdy(CP1hveˇzdy) ...... 201 16.3.2 Aphveˇzdy ...... 202 16.3.3 δ Scutihveˇzdy ...... 203

3 16.3.4 SXPhehveˇzdy ...... 204 16.3.5 γ Dorhveˇzdy...... 204 16.3.6 LithiumaberyliumuFaGhveˇzd ...... 205 16.4G,KaMhveˇzdy ...... 206 16.4.1 Projevy a cˇasova´promeˇnnost hveˇzdnyćh chromosfe´r ...... 207 16.4.2 Pulsujıćı´hveˇzdy: Cefeidy, Miry a AGB hveˇzdy ...... 211 16.5 Hveˇzdyvranyćhvy´vojovyćhstadiıćh ...... 213 16.6 Hveˇzdy v pozdnıćh vy´vojovyćhstadiıćh ...... 214 16.6.1 Bı´lı´trpaslıćiaZZCetihveˇzdy ...... 214 16.6.2 Novy ...... 216 16.6.3 Supernovy ...... 217

Rejstrˇı´k 222

Literatura 227

4 1 U´ vodem

1.1 Vznik teorie Po dlouhou dobu zu˚sta´vala ota´zka fyziku˚a astrofyziku˚, procˇ hveˇzdy vydrzˇı´ bez viditelne´zmeˇny za´rˇit tak dlouho, nezodpoveˇzena. Zkusme nejprve ru˚zne´zdroje energie posoudit jednoduchy´mi energeticky´mi u´vahami. Anaxagora´s v 5. st. prˇ. n. l. tvrdil, zˇe hveˇzda, respektive Slunce, je rozzˇhavena´masa zˇeleza. Kdyby tomu tak bylo, celkovou tepelnou energii obsazˇenou v zˇeleze bychom mohli odhadnout jako 1

. 30 . 36 Q M⊙c∆T =2 10 kg 450J/K/kg 6000K =5,4 10 J . (1) ≃ · · · · 26 To se mu˚zˇe zda´t hodneˇ, ale prˇi soucˇasne´m za´rˇive´m vy´konu Slunce L⊙ = 3,8 10 W to znamena´, zˇe by Slunce vydrzˇelo za´rˇit po dobu ·

Q . 5,4 1036 J . . 10 (2) τ = · 26 =1,4 10 s = 460yr , ≃ L⊙ 3,8 10 J/s · · cozˇje evidentneˇvelmi ma´lo. Nicmeńeˇtakove´jednoduchećhladnutı´(jen s veˇtsˇı´m ∆T a mensˇı´m L) probı´ha´ u bı´lyćh trpaslı´ku˚, v pozdnıćh fa´zıćh hveˇzdne´ho vy´voje. Jesˇteˇv 19. stoletıéxistovaly u´vahy o tom, zda je mozˇne´, aby Slunce zı´ska´valo svou za´rˇivou energii chemicky´mi reakcemi, tedy spalovańı´m tuhyćh cˇi tekutyćh la´tek. Na´zor, zˇe to nenı´pravdeˇpodobne´, vyslovil 1 16 . jizˇJohn Herschel. Ostatneˇpro oxidaci vodı´ku 2 H2 + O2 2H2O, ktera´ma´velkou vy´hrˇevnost H = 100 MJ/kg, je →

. 2 1030 . Q M H = · 108 J =2,5 1037 J (3) ≃ vodíku 9 · · . a pouzˇijeme-li stejny´trik se za´rˇivy´m vy´konem, vyjde charakteristicka´doba τ = Q/L⊙ = 2000yr. Le´karˇJ. R. Mayer uvazˇoval roku 1846 o tom, zˇe by Slunce mohlo zı´ska´vat energii dopady meteoritu˚. 1 2 Kazˇdou sekundu by se ovsˇem na za´rˇenı´musela prˇemeˇnˇovat kinetickaénergie Ek = 2 mv L⊙ 1 s, cozˇ by prˇi rychlostech dopadu v 100 km/s znamenalo tok hmoty ≃ · ≃ 26 dm 2L⊙ . 2 3,8 10 . 16 . −6 = · · kg/s =7,6 10 kg/s =1,2 10 M⊙/yr , (4) dt ≃ v2 (105)2 · · cˇili τ M⊙/(dm/dt) 1 Myr. Navıć by se prˇı´ru˚stek hmotnosti musel meˇrˇitelneˇprojevit na zmeˇneˇdrah planet.≃2 Pro Slunce tedy≃ tento zdroj neprˇipada´v u´vahu, ale takova´ akrece planetesima´l byla hlavnı´m zdrojem tepelneénergie planet.

1Rˇ ecˇtı´ filosofove´ samozrˇejmeˇ neoperovali s pojmy teplo, meˇrna´ tepelna´ kapacita, neznali za´kon zachovańı´ energie ani nezmeˇrˇili hmotnost a teplotu Slunce. V tomto kontextu se na odhad musı´me dı´vat. 3 2 3 2 a dP 1 dM −6 Podle 3. Keplerova za´kona je a /P = M, po diferencovańı´(prˇi a = konst.) dM = 2 P 3 dP a P = 2 M 10 30s za rok, cozˇse ovsˇem nepozoruje. − − ≃ ≃

5 H. von Helmholtz roku 1854 prˇisˇel mı´sto toho s hypote´zou, zˇe Slunce za´rˇı´dı´ky uvolnˇovańıénergie 3 GM 2 gravitacˇnı´m smrsˇt’ovańı´m. Gravitacˇnı´potencia´lnıénergie koule o konstantnı´hustoteˇje rovna EG = 5 R . 1 − Podle viria´love´ho teore´mu platı´pro gravitacˇneˇva´zane´syste´my EK = 2 EG , tudı´zˇcelkova´mechanicka´ 1 h i − h i energie hveˇzdy je E(R) = EK + EG = 2 EG. V nekonecˇnu byla pochopitelneˇenergie E( )=0; prˇi kolapsu se tedy uvolnı´jejich rozdı´l 3 ∞

3 GM 2 . 6,7 10−11 (2 1030)2 . ∆E = E( ) E(R)= =0,3 · · · J =1,1 1041 J . (5) ∞ − 10 R · 7 108 · · Odpovı´dajı´cı´doba za´rˇive´stability

∆E τKH 10 Myr (6) ≃ L⊙ ≃ se nazy´va´ Kelvinova–Helmholtzova sˇka´la. Zlepsˇujıćı´se odhady sta´rˇı´Zemeˇale vyloucˇily i tuto mozˇnost, trˇebazˇe, jak uvidı´me, se gravitacˇnı´kontrakce v urcˇityćh sta´diıćh hveˇzdne´ho vy´voje skutecˇneˇvy´znamneˇ uplatnˇuje (naprˇı´klad prˇi prˇechodu od hlavnı´posloupnosti do stadia cˇervene´ho obra, ve fa´zi T Tauri nebo prˇi vy´buchu supernovy). Vıće nezˇ97 % la´tky v nitru Slunce je plneˇionizovańo, prˇicˇemzˇna kazˇdyátom prˇipada´rˇa´doveˇ Eion 13,9 eV a celkem by se prˇi rekombinaci uvolnilo ≃

30 M⊙ . 2 10 − . E E = · 13,9 1,6 10 19 J =2,7 1039 J ; (7) ≃ m ion 1,7 10−27 · · · H · doba τ 0,2 Myr. Stupenˇionizace ve Slunci se v soucˇasnosti prakticky nemeˇnı´, ale trˇeba prˇi gravitacˇ- nı´m kolapsu≃ mezihveˇzdne´ho mracˇna se pra´veˇna ionizaci neutra´lnıćh atomu˚spotrˇebova´vańezanedbatelne´ mnozˇstvı´tepelneénergie, cˇı´mzˇklesne teplota oblaku a podporˇı´se jeho dalsˇı´smrsˇt’ovańı´. Po objevu radioaktivity (Becquerel 1896) bylo evidentnı´, zˇe se jednaó velmi vydatny´zdroj. Prˇi po- 235 . stupne´m rozpadu jedine´ho atomu uranu U se uvolnı´ EU = 200 MeV; celkovaénergie by tedy mohla by´t azˇ

30 M⊙ . 2 10 − . E E = · 2 108 1,6 10 19 J =1,6 1044 J (8) ≃ m U 235 1,7 10−27 · · · · · U · · a odpovı´dajıćı´ τ 14 Gyr. Na hveˇzdaćh nicmeńeˇprvky teˇzˇsˇıńezˇzˇelezo nepozorujeme.4 Teprve koncem≃ trˇica´tyćh let dvaca´te´ho stoletı´byl nalezen skutecˇny´zdroj stabilnı´ho za´rˇenı´hveˇzd: jaderna´ synte´za prvku˚, zejmeńa slucˇovańı´vodı´ku na helium — viz naprˇ. Weizsa¨cker (1937), Bethe a Critchfield

3Jiny´mi slovy: v nekonecˇnu jsou celkova´, gravitacˇnı´potencia´lnıí kinetickaénergie rovneńule. Hmotnyélement prˇi volne´m pa´du z nekonecˇna prole´ta´va´ve vzda´lenosti R od centra parabolickou rychlostı´ vp = 2GM/R. Aby neodleteˇl po parabole znovu do nekonecˇna, ale usadil se na kruhove´dra´ze o polomeˇru R, musel by by´t zbrzdeˇn neˇjakou sra´zˇkou na kruhovou (keplerovskou) p rychlost vk = GM/R. Rozdı´l odpovı´dajıćıćh kinetickyćh energiı´se disipuje na teplo. 4Pomineme to, zˇe kriticke´mnozˇstvıúranu, nad ktery´m docha´zı´k rˇeteˇzove´reakci, je pouhyćh 50 kg. p

6 (1938) a Bethe (1939). Kdyzˇse prˇi jedne´prˇemeˇneˇ 4p α uvolnı´energie EH = 28 MeV, vycha´zı´rˇa´dovy´ odhad celkove´energie →

29 1 3 Mjádra . 5 10 − . E E =0,19 · 28 106 1,6 10 19 J =2,5 1044 J (9) nuk ≃ 4 4 m H · 1,7 10−27 · · · · · H · a nuklea´rnı´cˇasova´sˇka´la

Enuk τnuk 20 Gyr . (10) ≃ L⊙ ≃ Tı´m byla otevrˇena cesta ke konstrukci realistickyćh modelu˚stavby a vy´voje hveˇzd. Je trˇeba si uveˇdomit, zˇe te´meˇrˇcela´dosavadnı´teorie stavby a vy´voje hveˇzd je vybudovańa a propocˇtena za pomoci jednorozmeˇrnyćh modelu˚sfe´ricky symetrickyćh hveˇzd. Diferencia´lnı´rovnice popisujıćı´stavbu vypa- dajı´takto (jejich odvozovańı´m se zaby´va´me v kapitole 3; jedna´se o rovnice zachovańı´hmoty, hydrostaticke´ rovnova´hy, tepelne´rovnova´hy a prˇenosu energie)5 dR 1 (11) = 2 , dMR 4πR ρ dP GM R (12) = 4 , dMR − 4πR dLR = ǫnuk(ρ,T,X,Y,Z) , (13) dMR dT GT M R (14) = 4 , dMR −4πP R ∇

3κ(ρ,T,X,Y,Z)PLR δP ∂ ln ρ kde gradient = min( , ), = 4 , = , δ = , a soustavu rad ad rad 16πacGMRT ad cP ρT ∂ ln T P uzavı´ra´stavova´rovnice∇ hveˇzdne´la´tky∇ ∇ ∇ ∇ − ρ a P = Tλ(ρ, T )+ T 4 , (15) µℜ 3

−1 . 3 1 kde µ = 2 X + 4 Y +0,5. Toto zjednodusˇenı´ma´sve´opra´vneˇnı´— ukazuje se totizˇ, zˇe hmota hveˇzd ma´ vysoky´stupenˇkoncentrace smeˇrem ke strˇedu. Vsˇechny stavove´velicˇiny lze proto pro dany´model hveˇzdy povazˇovat za funkce jedine´promeˇnne´, naprˇ. R(MR), ρ(MR),P (MR), LR(MR), T (MR), kde MR oznacˇuje hmotnost obsazˇenou v kouli o polomeˇru R.6 Prˇesto je dobrˇe si uveˇdomit, jaka´dalsˇı´zjednodusˇenı´jsou cˇineˇna:

5 Oznacˇenı´je na´sledujıćı´: R polomeˇr, MR hmotnost obsazˇena´v kouli o polomeˇru R, ρ hustota, P tlak, LR za´rˇivy´vy´kon vycha´zejıćı´z koule o polomeˇru R, ǫnukl meˇrny´vy´kon jadernyćh reakcı´, T teplota, X, Y a Z abundance vodı´ku, helia a kovu˚, κ opacita, cP tepelna´kapacita prˇi konstantnı´m tlaku, λ koeficient vyjadrˇujıćı´prˇı´speˇvek nerelativisticke´ degenerace elektronove´ho plynu, µ strˇednı´molekulova´hmotnost. 6 Pouzˇitı´MR jako neza´visle´promeˇnne´je vy´hodneˇjsˇıńezˇpouzˇitı´R, zejmeńa z du˚vodu˚numerickyćh. V rˇı´dkyćh podpovrchovyćh vrstvaćh se dokonce jako neza´visla´promeˇnna´pouzˇı´va´tlak P .

7 Zanedba´va´se rotace hveˇzd (odstrˇediva´sı´la, zmeˇna tvaru hveˇzdy, diferencia´lnı´rotace). Modely, ktere´ • berou rotaci hveˇzd v potaz a opousˇteˇjı´prˇedpoklad sfe´ricke´ symetrie, existujı´zatı´m jen ve velmi zjednodusˇene´formeˇ, jak o tom bude rˇecˇpozdeˇji.

Zanedba´vajı´se mozˇna´ magneticka´pole a jejich vliv na stavbu hveˇzdy. •

Pouzˇı´va´se nedokonala´ teorie konvekce, kteraémpiricky volı´pomeˇr α = l/HP mezi strˇednı´vol- • −1 nou dra´hou l konvektivnı´ho elementu a tlakovou sˇka´lou HP = (d ln P/dR) = P/(dP/dR) (angl. pressure scale height). Prˇedpokla´da´se, zˇe termodynamicke´procesy− v nitru hveˇzdy− probı´hajı´ adiabaticky, cozˇje ale dobraáproximace. U hmotneˇjsˇıćh hveˇzd zu˚sta´va´zdrojem nejistoty i jev, ktere´mu se rˇı´ka´ konvektivnı´prˇestrˇelovańı´ (angl. convective overshooting), totizˇmozˇnost, zˇe konvekce dı´ky setrvacˇnosti konvektivnıćh elementu˚zasa´hne i do vrstev nad konvektivnı´zońou.

Prˇetrva´vaúrcˇitańeprˇesnost v hodnotaćh extinkcˇnıćh (neboli opacitnıćh) koeficientu˚ κ(ρ,T,X,Y,Z) • hveˇzdne´la´tky (i kdyzˇse situace v poslednıćh letech hodneˇzlepsˇila) a tyto koeficienty se pro vy´pocˇty hveˇzdnyćh niter pouzˇı´vajı´strˇedovane´prˇes celeélektromagneticke´spektrum.

Prˇetrva´vaí nejistota v urcˇenıúćˇinnyćh pru˚rˇezu˚ jadernyćh reakcı´, cozˇvede obecneˇk veˇtsˇı´m chyba´m • v cˇasove´sˇka´le, nezˇv povrchovyćh charakteristikaćh modelovyćh hveˇzd. Podle nejnoveˇjsˇıćh studiı´se nejistoty v urcˇenıúćˇinnyćh pru˚rˇezu˚reakcı´pohybujı´v rozmezı´5 azˇ40 %.

Pro velmi chladne´hveˇzdy a pro velmi huste´hveˇzdy prˇetrva´vajıúrcˇiteńejistoty ve stavove´rovnici. • Pro neˇktere´hveˇzdy jsou atmosfe´ry nestabilnıá docha´zı´z nich ke ztra´teˇhmoty formou hveˇzdne´ho • veˇtru. To se prˇi modelovańı´bud’ zcela zanedba´va´, nebo je pouzˇit jednoduchy´parametricky´popis ztra´ty hmoty hveˇzdny´m veˇtrem dM/dt = konst.

Proble´mem z hlediska modelovańı´zu˚sta´vajıí ta stadia vy´voje, kdy docha´zı´k dramaticky´m zmeˇna´m • na dynamicke´sˇka´le, ktereńelze korektneˇpopsat staciona´rnı´mi modely.

1.2 Model nasˇeho Slunce Jesˇteˇprˇedtı´m, nezˇse zacˇneme teorii stavby a vy´voje hveˇzd veˇnovat soustavneˇ, mu˚zˇe by´t uzˇitecˇneílustrovat mı´ru jejıú´speˇsˇnosti na prˇı´kladu modelovańıńasˇeho Slunce v jeho soucˇasne´m vy´vojove´m stadiu. Je dobre´si uveˇdomit, zˇe i soucˇasne´pocˇı´tańı´modelu Slunce prˇedstavuje sve´ho druhu magii. Obvykle se zacˇıńa´s homogennı´m modelem, kontrahujıćı´m k hlavnı´ posloupnosti nulove´ho veˇku, ktery´je jesˇteˇve stavu prˇed zapocˇetı´m slucˇovańı´deuteria. Zkusmo se volı´:

1. pomeˇr α = l/HP mezi strˇednı´volnou dra´hou a tlakovou sˇka´lou; 2. pocˇa´tecˇnı´hmotnostnı´procento vodı´ku X;

3. pocˇa´tecˇnı´hmotovy´pomeˇr obsahu teˇzˇky´ch prvku˚ vu˚cˇi vodı´ku Z/X,

8 Tabulka 1: Porovnańı´trˇı´modelu˚Slunce, vypocˇı´tanyćh pro trˇi sady ućˇinnyćh pru˚rˇezu˚(Angulo a spol. 1999,Adelbergeraspol.1998, Caughlan a Fowler 1988), kde Yi, Zi oznacˇujı´ pocˇa´tecˇnı´ hodnoty hmotnostnıćh podı´lu˚he´lia a kovu˚, α parametr semiempiricke´ teorie konvekce, 7Li ochuzenıábundance lithia na povrchu, na hlavnı´posloupnosti nulove´ho veˇku (v jednotkaćh dex si ≡ log(wX/wH) + 12). Ostatnı´ parametry odra´zˇejı´ stav v soucˇasnosti: RCZ je polomeˇr hranice konvektivnı´zońy, Tc, ρc, Yc, Zc teplota, hustota a abundance v centru, δν02, δν13 rozdı´ly frekvencı´radia´lnıćh p-mo´du˚stupneˇ l = 0–2 a l = 1–3, P0 je charakteristicky´rozdı´l mezi periodami g-mo´du˚Modelove´hodnoty se navza´jem se odlisˇujıńejvy´sˇo 2 %. Vpravo jsou pozorovane´ hodnoty obsahu prvku˚ve slunecˇnıátmosfe´rˇe a meˇrˇene´ frekvence slunecˇnıćh oscilacı´. Jsou te´meˇrˇvsˇechny v souladu se standardnı´m modelem Slunce, azˇna obsah lithia 7Li. Podle Morel a spol. (1999).

An99 Ad98 CF88 pozorovane´hodnoty

Yi 0,2723 0,2726 0,2729 Zi 0,0197 0,0197 0,0196 α 1,924 1,931 1,941 7 Lisi/dex 2,26 2,38 2,37 9 Besi/dex 1,42 1,42 1,42 Ys 0,2436 0,2442 0,2447 0,232–0,249 Zs 0,0181 0,0181 0,0181 7 Lis/dex 2,18 2,30 2,29 1,10 0,10 proble´m! 9 ± ← Bes/dex 1,35 1,35 1,353 1,40 0,09 (3He/4He) 10−4 4,34 4,32 4,32 4,40 ± 0,4 s · ± RCZ/R⊙ 0,7138 0,7132 0,7124 0,713 0,001 7 ± Tc/10 K 1,573 1,578 1,566 −3 ρc/g cm 153,8 153,0 151,9 Yc 0,6418 0,6420 0,6409 Zc 0,0210 0,0210 0,0210 δν02/µHz 9,21 9,18 9,16 9,002–9,014 δν13/µHz 16,10 16,06 16,03 15,884–15,711 P0/min 35,13 35,23 35,42

a to tak, aby vy´pocˇet pro vy´vojovy´model o hmoteˇSlunce v cˇase 4,56 miliardy let od hlavnı´posloupnosti nulove´ho veˇku spra´vneˇreprodukoval: (i) soucˇasny´pozorovany´polomeˇr R⊙; (ii) jeho za´rˇivy´vy´kon L⊙; (iii) pomeˇr Z/X ve fotosfe´rˇe. Za hlavnı´posloupnost nulove´ho veˇku se prˇijı´maókamzˇik, kdy nuklea´rnı´ reakce prˇispı´vajı´vıće nezˇ50 % k za´rˇive´mu vy´konu Slunce. Veˇtsˇina noveˇjsˇıćh modelu˚vede na pomeˇr α 2. ≃ Lithiovy´proble´m. Morel a spol. (1999) publikovali podrobnou studii slunecˇnıćh modelu˚pocˇı´tanyćh pro trˇi ru˚zne´kompilace ućˇinnyćh pru˚rˇezu˚a energeticke´vydatnosti jadernyćh reakcı´(tab. 1). Ukazuje se, zˇe makroskopicke´velicˇiny jsou pomeˇrneˇnecitlive´k prˇetrva´vajıćı´m nejistota´m v nuklea´rnıćh reakcıćh, snad s vy´jimkou obsahu lithia 7Li, ktery´modely prˇedpovı´dajıási dvakra´t vysˇsˇı´, nezˇjaky´se pozoruje. Tyto modely uspokojiveˇprˇedpovı´dajıí za´kladnı´vlastnosti slunecˇnıćh oscilacı´.

9 Obra´zek 1: Proﬁl hustoty ρ a teploty T v nitru Slunce. Vy´pocˇet byl proveden numericky´m integra´torem hveˇzdne´ho nitra a vy´voje, programem EZ2 (http://hilda.troja.mff.cuni.cz/˜mira/EZ2/EZ2_form.php), cozˇje jen mı´rneˇupraveny´ program EZ (Evolve ZAMS) od Billa Paxtona (http://theory.kitp.ucsb.edu/˜paxton/EZ-intro.html).

10 Neutrinovy´proble´m. Do neda´vna ale prˇetrva´vala neshoda v prˇedpoveˇdi toku neutrin ze Slunce. Pro trˇi existujıćıéxperimenty se pozorovalo vy´razneˇ meńeˇneutrin, nezˇ kolik prˇedpovı´dajı´modely, konkre´tneˇ: 0,60 kra´t meńeˇpro galiova´meˇrˇenı´, 0,30 kra´t meńeˇ pro chlorova´meˇrˇenı´, a 0,47 kra´t meńeˇpro experiment Kamiokande, prˇicˇemzˇmodelove´prˇedpoveˇdi se vza´jemneˇlisˇily o meńeˇnezˇ10 %. V roce 2001 dosˇlo v cele´veˇci k vy´razne´mu pokroku. Jizˇroku 1969 publikovali Gribov a Pontecorvo (1969) domneˇnku, zˇe elektronovańeutrina νe vznikajıćı´prˇi slucˇovańı´vodı´ku v ja´dru Slunce se cestou k Zemi mohou meˇnit cˇa´stecˇneˇv neutrina mionova´ νµ cˇi τ-neutrina ντ , ktera´se mnohem hu˚rˇe detekujı´, a zˇe tı´m by mohl rozpor teorie a pozorovańı´vznikat. Ve spolupraći americko-japonske´byl uveden do provozu novy´detektor Super-Kamiokande v Japonsku a kanadsko-americko-britsky´ty´m publikoval prvnı´meˇrˇenı´ze Sudbury Neutrino Observatory (SNO). SNO je laboratorˇumı´steˇna´v aktivnı´m dole na meˇd’a nikl v Kanadeˇ, ktera´je v hloubce odpovı´dajıćı´6 km vodnı´ho sloupce, takzˇe je dobrˇe chrańeˇna proti ućˇinku˚m kosmicke´ho za´rˇenı´. Vlastnı´detektor je sfe´rickańa´doba o pru˚meˇru 12 m obsahujıćı´1000 tun teˇzˇke´vody, umı´steˇna´ve 30-m dutineˇnaplneˇne´velmi cˇistou norma´lnı´vodou. Jedna z reakcı´, prˇi nı´zˇse elektronoveńeutrino prˇi sra´zˇce s deuteronem meˇnıńa dva protony a urychlenyélektron, je citliva´pouze na elektronovańeutrina, zatı´mco sra´zˇky zaznamenane´v detektoru Super-Kamiokande (pouzˇı´vajıćı´m cˇistou vodu) meˇrˇı´v nerozlisˇitelne´smeˇsi vsˇechny typy neutrin. Bylo proto jasne´, zˇe pokud oba detektory nameˇrˇı´stejny´tok neutrin, znamena´to, zˇe vsˇechna neutrina prˇicha´zejıćı´ze Slunce jsou typu νe. Veskutecˇnosti meˇrˇenı´SNO zı´ska´vanaód listopadu 1999 do ledna 2001 jasneˇproka´zala, zˇe detektor SNO detekuje meńeˇneutrin nezˇdetektor Super-Kamiokande. Podrobneˇjsˇı´vyhodnocenıúka´zalo, zˇe alesponˇneutrina s vysˇsˇıénergiı´, vznikajıćı´beˇhem prˇedposlednı´reakce proton-protonove´ho rˇeteˇzce, rozpadu boru na berylium jsou detekovańa ve shodeˇse soucˇasny´mi modely Slunce. Meˇrˇeny´tok neutrin byl urcˇen na (Fukuda a spol. 1998)

F = (5,44 0,99) 106 cm−2 s−1 , (16) ν ± · zatı´mco slunecˇnı´model prˇedpovı´da´

F ′ = (5,05 0,20) 106 cm−2 s−1 . (17) ν ± · Zda´se tedy, zˇe prˇes sˇedesa´t let stara´teorie stavby a vy´voje hveˇzd do du˚chodu jı´t nemusı´a zˇe jejı´testova´nı´ naopak prˇineslo podneˇt pro rozvoj fyziky, nebot’prˇemeˇna neutrin vede k za´veˇru, zˇe neutrina musejı´mı´t nenulovou klidovou hmotnost.

11 Obra´zek 2: Tok slunecˇnıćh neutrin meˇrˇeny´galiovy´m detektorem, v jednotkaćh pocˇet zachycenıńeutrina za 1 den. Prˇevzato z Filippone a Vogel (1990).

Obra´zek 3: Sche´ma galiove´ho detektoru neutrin a jeho kalibrace radioaktivnı´m zdrojem 51Cr. Slaba´interakce ν + 71Ga 71 − ↔ Ge+e vyzˇaduje minima´lnı´hodnotu energie neutrina Eν = 233keV. Prˇevzato ze Stix (2002).

12 2 Obecne´za´konitosti a fyzika´lnı´vztahy

2.1 Za´kladnı´pojmy Hybnost. Hybnost (te´zˇimpuls, anglicky momentum nebo linear momentum, rusky kolicˇestvo dvizˇenija) je deﬁnova´na

p = m v, (18) · kde v je rychlost pohybu hmotne´ho bodu o hmoteˇ m. Hybnost lze stejneˇjako rychlost povazˇovat za vektor. PrvnıŃewtonu˚v za´kon setrvacˇnosti lze zapsat ve formeˇ dp =0. (19) dt DruhyŃewtonu˚v za´kon sı´ly stanovı´, zˇe cˇasova´zmeˇna hybnosti je rovna vy´slednici pu˚sobıćıćh sil F: dp = F. (20) dt

Teplota. V klasicke´m pojetı´se vycha´zı´ze zjisˇteˇnı´, zˇe jsou-li teplejsˇıá chladneˇjsˇı´teˇleso (la´tka) v kontaktu, tepelny´rozdı´l mezi nimi rychle zmizıá ustavı´se tepelna´rovnova´ha. Da´le je z pozorovańı´zjisˇteˇno, zˇe cˇı´m je la´tka teplejsˇı´, tı´m veˇtsˇı´by´va´jejıóbjem. Teplota T la´tky se proto mu˚zˇe definovat jako mı´ra objemu neˇjake´ standardnı´la´tky a kalibrovat naprˇ. bodem tańı´ledu a varu vody prˇi zvolene´m konstantnı´m tlaku. Z hlediska kineticke´teorie plynu˚je ovsˇem mozˇne´teplotu la´tky cha´pat jako velicˇinu prˇı´mo u´meˇrnou strˇednı´kinetickeénergii cˇa´stic α U = NkT, (21) 2 kde α oznacˇuje pocˇet energetickyćh stupnˇu˚volnosti, N pocˇet cˇa´stic, k Boltzmannovu konstantu.

Tlak. Tlak P je sı´la, kterou cˇa´stice plynu v dane´m mı´steˇpu˚sobı´na jednotku plochy. Tlak v dane´m mı´steˇ pu˚sobı´ve vsˇech smeˇrech stejneˇ.

Atomova´hmotnost. Relativnı´hmotnosti atomu˚jednotlivyćh chemickyćh prvku˚se nazy´vajı´ atomovy´mi 1 hmotnostmi A = m/mu. Za jednotku atomove´hmotnosti mu byla v minulosti prˇijı´mańa 16 hmotnosti atomu 1 kyslı´ku. V soucˇasnosti ale platı´jina´definice: jednotkou relativnıátomove´hmotnosti je 12 klidove´hmotnosti 12 nuklidu uhlı´ku 6C. Skutecˇna´hmotnost jednotky atomove´hmotnosti cˇinı´ m = (1,66053873 0,00000013) 10−24g. (22) u ± ·

Atomova´hmotnost atomu vodı´ku cˇinı´ AH = (1,00782504679 0,00000000013) a obdobneˇse uva´deˇjı´ hmotnosti atomu˚, nuklidu˚, molekul, elektronu˚, fotonu˚ i jiny´ch cˇa´stic.±

13 La´tkove´mnozˇstvı´, gramatom, grammolekula. La´tkove´mnozˇstvı´ Nmol = N/NA vyjadrˇuje mnozˇstvı´ la´tky, respektive pocˇet cˇa´stic. Jeho jednotkou je mol, prˇicˇemzˇ1 mol la´tky obsahuje N 1 mol cˇa´stic, kde A · N = (6,02214179 0,00000030) 1023 částic mol−1 . (23) A ± · · Avogadrovo cˇı´slo (konstanta). Ve starsˇı´literaturˇe se cˇasto pouzˇı´va´ pojmu˚gramatom nebo grammolekula, cozˇje takove´mnozˇstvı´chemicke´ho prvku, molekuly cˇi cˇa´stice, jehozˇhmotnost v gramech je cˇı´selneˇrovna atomove´hmotnosti; 1 gramatom je tedy prosteˇroven 1 molu.

Mola´rnı´hmotnost, molekulova´hmotnost. Mola´rnı´hmotnost Mmol = m/Nmol je hmotnost 1 molu la´tky. Uda´va´se v jednotka´ch kg/mol nebo g/mol. Ve starsˇı´literaturˇe se tato velicˇina nazy´va´molekulovou va´hou (angl. molecular weight) a obvykle se oznacˇuje symbolem µ. Zde budeme mluvit o molekulove´hmotnosti7 a budeme ji pouzˇı´vat jako bezrozmeˇrnou velicˇinu, µ = [Mmol]g/mol. Platı´tedy, zˇe molekulova´hmotnost vodı´ku je

µ =1,00782504679 0,00000000013 . (24) H ± Skutecˇna´hmotnost jednoho gramatomu la´tky o molekulove´ hmotnosti µ cˇinı´ µ 1g. Platı´take´, zˇe objem gramatomu je · µ 1g V = · . (25) ρ

Strˇednı´molekulova´hmotnost. Meˇjme smeˇs plynu o hmotnosti m = 1kg, kteryóbsahuje ru˚zne´prvky, prˇicˇemzˇprvek E ma´hmotnostnı´podı´l wE. Strˇednı´mola´rnı´hmotnost Mmol urcˇı´me jednodusˇe jako podı´l hmotnosti a pocˇtu molu˚, respektive secˇteme pocˇty cˇa´stic jednotlivyćh prvku˚ m m mN N m M = = = A = A u . (26) mol N N/N wEm wE mol A E AEmu E AE Strˇednı´molekulova´hmotnost je cˇı´selna´hodnota te´hozˇvP g/mol, neboliP 1 (27) µi = wE . E AE Tento vy´raz platı´pro neutra´lnı´ nebo cˇisteˇ iontovy´Pplyn ve stavu u´plneíonizace. Je-li ZE na´boj elementu E, pak prˇi u´plneíonizaci vznikne z 1 atomu ZE elektronu˚. Pro elektronovy´plyn bude tedy prˇi u´plneíonizaci 1 µ = (28) e wE Z E AE E 7S tı´m, zˇe se tento pojem mu˚zˇe vztahovat jak na plyn slozˇeP ny´z molekul, tak na plyn atomovyćˇi na plazma slozˇene´z iontu˚ a volnyćh elektronu˚.

14 a celkoveˇpro smeˇs iontu˚a volnyćh elektronu˚ 1 µ = . (29) wE (1 + Z ) E AE E V neˇkteryćh soucˇasnyćh vy´vojovyćh modelechP hveˇzd je studovań detailneˇvy´voj jednotlivyćh chemic- kyćh prvku˚cˇi dokonce nuklidu˚. V tom prˇı´padeˇmusı´by´t stejneˇdetailneˇuvazˇovańa i strˇednı´molekulova´ hmotnost. Obvykle se ale uvazˇujı´jen nejpocˇetneˇjsˇı´prvky. To je prˇı´pustne´, protozˇe prˇi u´plneíonizaci pro vsˇechny teˇzˇsˇı´prvky s mnoha elektrony platı´velmi prˇiblizˇneˇ, zˇe

1+ Z Z 0,5A . (30) E ≃ E ≃ E

Oznacˇme relativnı´hmotnostnı´obsah vodı´ku wH symbolem X, helia wHe symbolem Y a w vsˇech teˇzˇsˇı´ch prvku˚symbolem Z, takzˇe

Z =1 X Y . (31) − −

Budeme-li jesˇteˇ(z du˚vodu˚, ktere´se vyjasnı´pozdeˇji) uvazˇovat i relativnı´zastoupenı´dusı´ku XN , lze podle (29) pro strˇednı´molekulovou hmotnost smeˇsi iontu˚a volny´ch elektronu˚prˇiblizˇneˇpsa´t 3 8 1 µ−1 = 2X + Y + X + (1 X Y X ) 4 14 N 2 − − − N 1 = 1,5 X +0,25 Y + X +0,5 . (32) 14 N Analogicky podle vztahu (28) dosta´va´me molekulovou hmotnost elektronove´ho plynu ve stavu u´plne´ ionizace hveˇzdne´la´tky

µ−1 = X +0,5 Y +0,5 X +0,5(1 X Y X ) e N − − − N = 0,5(1+ X) . (33) Vidı´me tedy, zˇe molekulova´hmotnost volnyćh elektronu˚ za´visı´prˇi u´plne´ ionizaci pouze na relativnı´m hmotnostnı´m obsahu vodı´ku. Stejnaáproximace vede i na prˇiblizˇny´vy´raz pro strˇednı´molekulovou hmotnost samotne´ho iontove´ho plynu ve stavu u´plneíonizace 1 µ−1 = X +0,25 Y + X . (34) i 14 N 2.2 Stavova´rovnice Stavovou rovnicı´se nazy´va´funkcˇnı´za´vislost mezi stavovy´mi velicˇinami popisujıćı´mi vlastnosti neˇjake´ smeˇsi plynu cˇi plazmatu, tedy vztah P (ρ, T ) mezi tlakem, hustotou (cˇi objemem) a teplotou. Pro hveˇzdnou la´tku musı´me ovsˇem uva´zˇit nejen (i) tlak idea´lnı´ho plynu, ale take´(ii) tlak za´rˇenı´, (iii) tlak degenerovane´ho plynu a (iv) vliv cˇa´stecˇneíonizace v podpovrchovyćh vrstvaćh.

15 2.2.1 Idea´lnı´plyn Idea´lnı´m plynem se nazy´va´soubor dokonale elastickyćh, hladkyćh a sfe´rickyćh cˇa´stic, splnˇujıćıćh na´sledu- jıćı´trˇi podmıńky: 1. Rozmeˇry cˇa´stic jsou mnohem mensˇı´ nezˇ jejich strˇednı´ volna´ dra´ha mezi sra´zˇkami, takzˇe je lze povazˇovat za hmotne´body. 2. Trvańı´sra´zˇky je mnohem kratsˇıńezˇdoba volne´ho pohybu mezi sra´zˇkami. 3. Cˇa´stice na sebe navza´jem mimo sra´zˇky nepu˚sobı´zˇa´dny´mi prˇitazˇlivy´mi cˇi odpudivy´mi silami, to znamena´, zˇe mimo sra´zˇky se pohybujı´konstantnı´rychlostıá po prˇı´mce, jejich energie je vy´lucˇneˇ kineticka´, nikoli potencia´lnı´. Idea´lnı´plyn se pouzˇı´va´jako dobraáproximace rea´lne´ho rˇı´dke´ho nebo horke´ho plynu. Protozˇe tlak P v la´tce za´visı´pouze na jejı´m vnitrˇnı´m stavu, nikoliv na tvaru, ktery´zaujı´maćˇi na jejı´ celkove´hmoteˇ M, za´visı´tlak zrˇejmeˇna teploteˇ t a hustoteˇ ρ cˇi specificke´m objemu v = 1/ρ, t.j. objemu, ktery´zaujı´ma´jednotkova´hmota. Je tedy

P = f(v, t) . (35)

Podle empiricky zjisˇteˇne´ho Boyleova–Mariottova za´kona je soucˇin tlaku a speciﬁcke´ho objemu plynu prˇi konstantnı´teploteˇrovneˇzˇkonstantnı´, cozˇznamena´, zˇe stavova´rovnice musı´mı´t tvar

P v = h(t), (36) kde h(t) je neˇjaka´funkce teploty. Podle Gayova–Lussacova za´kona zveˇtsˇı´ vsˇechny plyny prˇi zahrˇa´tı´z 0 ◦C na 1 ◦C svu˚j objem o α a platı´ pro neˇvztahy:

v(t) = v(0)(1 + αt) prˇi P = konst. , (37) P (t) = P (0)(1 + αt) prˇi v = konst. , (38) prˇicˇemzˇ v(0), P (0) opeˇt oznacˇujı´hodnoty velicˇin prˇi 0 ◦C a konstanta α ma´pro vsˇechny plyny stejnou hodnotu (40). Gayu˚v–Lussacu˚v za´kon platı´pro rea´lne´ plyny pouze prˇiblizˇneˇ, ale platı´prˇesneˇpro idea´lnı´ plyn. Jizˇroku 1877 bylo dohodnuto, zˇe teplotnı´sˇka´la bude zavedena jako linea´rnı´za´vislost na tlaku vodı´ku prˇi konstantnı´m objemu, prˇicˇemzˇse pouzˇije bod ta´nı´ ledu (0 ◦C) abodvaruvody(100 ◦C) ke kalibraci. Platı´ tedy

P (t)= P (0)(1 + αt) prˇi v = konst. , (39) kde P (0) je tlak prˇi teploteˇ0◦C a hodnota konstanty α je prˇi zvolene´kalibraci teplotnı´sˇka´ly

α = 273,16−1. (40)

16 Je vy´hodne´zave´st take´sˇka´lu absolutnı´teploty T (s jednotkou Kelvin) na´sledovneˇ

T = t + 273,16 . (41)

Po dosazenı´do rovnic (37) a (38) totizˇdosta´va´me

v(T ) = v(0)αT prˇi P = konst. (42) P (T ) = P (0)αT prˇi v = konst. (43)

Nynı´ tedy mu˚zˇeme prˇistoupit k nalezenı´ stavove´ rovnice pro idea´lnı´ plyn, tedy konkre´tnı´ funkcˇnı´ za´vislosti v rovnici (36). Prˇedpokla´dejme, zˇe stav plynu se zmeˇnı´z vyćhozıćh hodnot P1, v1 a T1 na nove´ hodnoty P2, v2 a T2, a to ve dvou krocıćh: (i) nejprve plyn zahrˇejeme na teplotu T2 prˇi konstantnı´m tlaku; (ii) isotermicky zmeˇnı´me jeho tlak na hodnotu P2. Podle vztahu (42) se objem plynu zmeˇnıńa hodnotu

T2 v(T2)= v1 . (44) T1 Pote´podle Boyleova-Marriotova za´kona (36)

P1v(T2)= P2v2 , (45) cozˇlze s vyuzˇitı´m vztahu (44) jesˇteˇupravit na P v P v 1 1 = 2 2 = c, (46) T1 T2 kde c je pro dany´plyn konstanta. Jestlizˇe mı´sto speciﬁcke´ho objemu v budeme uvazˇovat objem V 1 gramatomu (1 molu), ktery´pro vsˇechny plyny obsahuje stejny´pocˇet cˇa´stic, bude ve stavove´rovnici mı´sto konstanty c konstanta

= (8,314472 0,000015) J mol−1K−1 , (47) ℜ ± stejna´pro vsˇechny idea´lnı´plyny, ktere´se obvykle rˇı´ka´ universa´lnı´plynova´konstanta. Stavova´rovnice idea´lnı´ho plynu pak nabude obvykly´tvar T ρ P = ℜ = T . (48) V µℜ Stavovou rovnici lze rovneˇzˇodvodit ze statisticke´fyziky pro klasicke´Maxwellovo rozdeˇlenı´cˇa´stic ve tvaru N P = V kT , (49) V kde NV je pocˇet cˇa´stic v objemu V a k = (1,3806505 0,0000024) 10−23JK−1 (50) ± · 17 Boltzmannova konstanta. Pokud zvolı´me za objem V objem jednoho gramatomu, bude NV = NA a podle (25) mu˚zˇeme stavovou rovnici zapsat ve tvaru ρ P = N kT . (51) µ A Mezi pouzˇity´mi konstantami platı´zrˇejmeˇvztah

= k N . (52) ℜ A Neˇkdy se lze setkat i se za´pisem stavove´rovnice ve tvaru ρ µ P = H kT , (53) µ mH kde bylo Avogadrovo cˇı´slo eliminova´no pomocı´vztahu N = µ /m . (Neˇkterˇı´autorˇi dokonce mı´sto . A H H prˇesne´molekulove´hmotnosti vodı´ku berou AH =1 a zapisujı´stavovou rovnici ve tvaru ρ 1 P = kT , (54) µ mH jako naprˇ. Aller 1953, 1963.)

2.2.2 Tlak za´rˇenı´

Zajı´ma´me-li se o stavovou rovnici hveˇzdne´la´tky, mu˚zˇeme uvazˇovat jednotliveˇtlak iontu˚ Pi, tlak volny´ch elektronu˚ Pe a tlak za´rˇenı´ Pr. Podle Daltonova za´kona bude totizˇvy´sledny´tlak aritmeticky´m soucˇtem jednotlivy´ch prˇı´speˇvku˚, tedy

P = Pi + Pe + Pr. (55)

Jak si uka´zˇeme v dalsˇı´m vy´kladu, lze s vysokou prˇesnostı´povazˇovat nitro hveˇzdy za absolutneˇcˇerne´teˇleso a pro tlak za´rˇenı´si odvodı´me vztah a P = T 4, (56) r 3 kde

a =7,56577 10−16 W m−3 K−4 (57) · je konstanta hustoty za´rˇenı´. By´va´zvykem oznacˇovat pomeˇr tlaku plynu Pg, kde

Pg = Pi + Pe (58)

18 1018 Ptot = Pel+ Pion + Prad+ Pcorr 17 10 Pel Pion 16 10 Prad abs(P )

] corr 2 1015 1014

[dyn/cm 13

P 10

1012 1011 1010 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

R [RSun]

Obra´zek 4: Tlak P v nitru Slunce, rozdeˇlenyńa tlak elektrononove´ho plynu Pe, iontove´ho plynu Pi a tlak za´rˇenı´ Pr. Vynesena je take´korekce tlaku P zohlednˇujıćıódchylky od stavove´rovnice idea´lnı´ho plynu. Vy´pocˇet programem EZ. | corr| k celkove´mu tlaku P symbolem β, takzˇe lze da´le psa´t

βP = P = P P , (59) g − r a podle vy´razu pro tlak za´rˇenı´take´

aT 4 β =1 . (60) − 3P Vzhledem k tomu, co jsme si rˇekli drˇı´ve o stavove´rovnici idea´lnı´ho plynu, vı´me, zˇe v nedegenerovany´ch oblastech hveˇzdy mu˚zˇeme tlak plynu popsat pomocı´strˇednı´molekulove´hmotnosti smeˇsi iontu˚a elektronu˚, a stavova´rovnice hveˇzdne´la´tky bude mı´t tvar ρ a P = T + T 4 . (61) µℜ 3

2.2.3 Elektronova´degenerace U meńeˇhmotnyćh hveˇzd je v centra´lnıćh cˇa´stech tak vysoka´koncentrace hmoty, zˇe tam docha´zı´ke stavu degenerace. Za te´to situace se u fermionu˚uplatnˇuje Pauliho vylucˇovacı´princip, ktery´brańıóbsazenı´dane´ho kvantove´ho stavu (energeticke´hladiny) vıće nezˇjednı´m fermionem (obr. 5). Prˇi hustotaćh nad asi 109 kgm−3, naby´va´tato degenerace dokonce relativistickyćharakter. To nasta´vaázˇv nitrech bı´lyćh trpaslı´ku˚. Vzhledem k tomu, zˇe podle klasicke´ho Maxwellova rozdeˇlenı´ je nejpravdeˇpodobneˇjsˇı´rychlost vM cˇa´stice dańa vztahem

2kT vM = , (62) r m 19 Obra´zek 5: Oblaćˇek bosonu˚(lithia-7) a fermionu˚(lithia-6) prˇi nı´zkyćh teplotaćh rˇa´du 10−7 K, kdy se jizˇvy´razneˇprojevuje Pauliho vylucˇovacı´princip, ktery´platı´pro fermiony, ale nikoli pro bosony. Plyn lithia-6 proto zaujı´ma´prˇi dane´teploteˇveˇtsˇı´ objem, nebot’v neˇm navıć pu˚sobı´degenerovany´tlak. Prˇevzato z Truscott a spol. (2001). kde m a T jsou hmotnost a teplota cˇa´stice a k Boltzmannova konstanta, je zrˇejme´, zˇe kineticke´rychlosti cˇa´stic jsou klesajıćı´funkcı´jejich hmotnosti. Stupenˇdegenerace iontu˚je proto mnohem mensˇı´ nezˇpro elektrony. Ukazuje se, zˇe alesponˇv oblastech nerelativisticke´degenerace lze ionty povazˇovat za nedegenerovane´, chovajıćı´se jako cˇa´stice idea´lnı´ho plynu. Iontova´ degenerace nastupuje azˇprˇi hustotaćh nad 1012 kgm−3. V oblastech elektronove´degenerace musı´me uvazˇovat ionty a elektrony zvla´sˇt’. Mu˚zˇeme ovsˇem prˇed- pokla´dat, zˇe elektronova´degenerace se uplatnˇuje pouze v situacıćh, kdy je plyn jizˇplneˇionizovań, takzˇe vzhledem k drˇı´ve rˇecˇene´mu mu˚zˇeme pro atomovou hmotnost iontu˚ µi a volnyćh elektronu˚ µe psa´t w w µ−1 = E , µ−1 = E Z . (63) i A e A E E E E E X X Pro strˇednı´molekulovou hmotnost plazmatu tedy zrˇejmeˇ platı´

−1 −1 −1 µ = µi + µe . (64) Pro pocˇty iontu˚a elektronu˚v objemove´jednotce mu˚zˇeme tak psa´t

NA NA Ni = ρ , Ne = ρ . (65) µi µe Jak jizˇbylo rˇecˇeno, zu˚sta´vajıíonty i za velmi extre´mnıćh podmıńek prakticky nedegenerovane´, takzˇe stavova´ rovnice iontove´ho plynu zu˚sta´va´ve tvaru ρ Pi = NAkT . (66) µi

20 Pro degenerovany´elektronovy´plyn je ovsˇem trˇeba pouzˇı´t kvantovou statistiku, ktera´pro nerelativis- tickou degeneraci vede na na´sledujı´cı´vztahy pro pocˇet elektronu˚v objemove´jednotce a pro elektronovy´ tlak 4π 3 Ne = (2mekT ) 2 F 1 (ψ) (67) h3 2 a 2 F 3 (ψ) 3 2 Pe = NekT (68) F 1 (ψ) 2 kde h je Planckova konstanta, me hmotnost elektronu, ψ oznacˇuje parametr degenerace (cˇı´m vysˇsˇı´hodnota, tı´m vysˇsˇı´stupenˇdegenerace) a ∞ ukdu F (ψ)= (69) k eu−ψ +1 Z0 jsou Fermiho–Diracovy funkce. S vyuzˇitı´m vztahu (65) dostaneme

4π 3 3 2 2 1 (70) ρ = 3 (2mek) µeT F (ψ) N0h 2 a 2 F 3 (ψ) 3 2 ρ Pe = T. (71) F 1 (ψ) µe ℜ 2 To jsou vsˇak parametricke´rovnice a pocˇı´tat parametr ψ(ρ, T ) prˇı´mo z rovnice (70) by nebylo snadne´. Nasˇteˇstıéxistuje neˇkolik velmi dobryćh aproximacı´. Zde se prˇidrzˇı´me aproximacˇnı´ho vzorce z praće Larson a Demarque (1964), ktery´pro ψ < 30 da´vaćhybu mensˇıńezˇ0,02 %:

5 (1+0, 1938F 1 (ψ)) 3 2 2 F 3 (ψ)= F 1 (ψ) . (72) 3 2 2 1+0, 12398F 1 (ψ) 2

Pro tlak plynu Pg mu˚zˇeme pak psa´t s pouzˇitı´m vztahu (64) 2 F 3 (ψ) ρ 3 2 ρ Pg = βP = Pi + Pe = T + T = µi ℜ F 1 (ψ) µe ℜ 2 2 ρ µ µ F 3 (ψ) = T + 3 2 = µℜ µi µe F 1 (ψ) 2 ! 2 ρ 1 1 µ F 3 (ψ) = T µ + + 3 2 1 = µℜ µi µe µe F 1 (ψ) − " 2 !# 2 ρ µ F 3 (ψ) = T 1+ 3 2 1 . (73) µℜ µe F 1 (ψ) − " 2 !#

21 Oznacˇı´me-li

2 µ F 3 (ψ) λ(ρ, T )=1+ 3 2 1 , (74) µe F 1 (ψ) − 2 ! mu˚zˇeme zapsat stavovou rovnici platnou pro oblasti u´plne´ionizace vcˇetneˇoblastı´nerelativisticke´degenerace ve tvaru ρ a P = Tλ(ρ, T )+ T 4. (75) µℜ 3

Povsˇimneˇme si jesˇteˇ, zˇe parametr λ(ρ, T ) mu˚zˇeme z hustoty a teploty vypocˇı´tat tak, zˇe (i) z hustoty (70) vypocˇı´ta´me F 1 (ψ) a (ii) z aproximace (72) obdrzˇı´me F 3 (ψ). 2 2

U´ plna´ degenerace. Poznamenejme za´veˇrem, zˇe pro limitnı´stav u´plne´ elektronove´ degenerace plyne z Fermiho–Diracova rozdeˇlenı´stavova´rovnice ve tvaru

5 ρ 3 P = K , (76) e 1 µ e kde

2 1 3 3 h2 K1 = 5 , (77) 20 π 3 memp

−34 8 me je hmotnost elektronu, mp hmotnost protonu a h =6,626 10 J s je Planckova konstanta. Elektronova´ degenerace nasta´va´ve chvı´li, kdy elektronovy´tlak pocˇı´tany´podle· vztahu (76) prˇevy´sˇı´tlak plynu pocˇı´tany´ z rovnice idea´lnı´ho plynu (48). Pro zvla´sˇteˇvysoke´hustoty se uplatnı´relativisticke´ Fermiho–Diracovo rozdeˇlenı´a limitneˇplatı´stavova´ rovnice ve tvaru

4 ρ 3 P = K , (78) e 2 µ e kde

1 3 3 hc K2 = 4 . (79) π 3 8mp 8Vsˇimneˇme si, zˇe prˇi zde zavedene´bezrozmeˇrne´molekulove´hmotnosti rozmeˇrova´analy´za vztahu˚(76) a (77) souhlası´: −1 − 5 − 5 − − − (J2s2kg kg 3 )(kg m 3) 3 = kgm 1s 2 (J = kg m2s 2).

22 2.2.4 Cˇ a´stecˇnaíonizace v povrchovyćh vrstvaćh Zcela ionizovana´la´tka tvorˇıóbvykle zhruba 95 % celkove´hmotnosti hveˇzdy. Vrstvy v blı´zkosti povrchu hveˇzdy jsou vsˇak ve stavu neu´plneíonizace, cozˇje slozˇiteˇjsˇı´situace. S pomocı´vztahu˚(64) a (65) mu˚zˇeme pro molekulovou hmotnost psa´t µ µ µ µ µ µ = i e = i = i = i , (80) µi Ne µi + µe 1+ 1+ 1+ Q µe Ni kde velicˇina Q = Ne/Ni je pru˚meˇrny´pocˇet elektronu˚prˇipadajıćıćh na jeden atom smeˇsi, kteryóvsˇem r musı´me vypocˇı´tat. Oznacˇme xj relativnı´pocˇet atomu˚typu j v r-te´m stupni ionizace, νj relativnı´pocˇet atomu˚typu j, Mj pocˇet elektronu˚atomu typu j a N pocˇet druhu˚atomu˚ve smeˇsi. Pro hledanou velicˇinu Q lze pak psa´t

N Mj r Q = νj rxj . (81) j=1 r=0 X X r Velicˇiny xj a Q jsou kromeˇrovnice (81) navza´jem spojeny jesˇteˇvztahy plynoucı´mi prˇı´mo ze Sahovy rovnice (obr. 6) ve tvaru

r+1 xj Pe r r = Kj , (82) xj kde

3 5 r+1 r 2 2 χ r 2(2πme) (kT ) Uj (T ) − j e kT (83) Kj = 3 r , h Uj (T )

r me oznacˇuje hmotnost elektronu, χj energii potrˇebnou ke zvy´sˇenı´ionizace z r-te´ho na (r + 1)-nı´stupenˇ r 9 a Uj (T ) particˇnı´funkci r-kra´t ionizovane´ho atomu typu j. Pro pomeˇr tlaku plynu Pg k elektronove´mu tlaku Pe zrˇejmeˇplatı´ P N + N 1 1+ Q g = i e = +1= , (84) Pe Ne Q Q takzˇe vztahy mezi na´mi uvazˇovany´mi velicˇinami lze zapsat ve tvaru

r+1 xj Pg Q r r = Kj , (85) xj 1+ Q

9 Ei Kanonicka´particˇnı´funkce U i gi exp kT , kde suma je prˇes vsˇechny dovolene´hladiny energie Ei, prˇicˇemzˇ gi jsou faktory degenerace. ≡ − P

23 1

0.8

0.6 X 0.4

0.2

0 2400 2600 2800 3000 3200 3400 T [K]

Obra´zek 6: Za´vislost ionizacˇnı´ho stupneˇ X na teploteˇ T , vypocˇı´tana´se Sahovy rovnice pro vodı´kovy´plyn (Ei = 13,6 eV) o koncentraci N = 103 cˇa´stic/m3. Je patrne´, zˇe prˇechod z neutra´lnı´ho do plneˇionizovane´ho stavu nasta´va´v pomeˇrneˇu´zke´m− rozpeˇtı´teplot.

N r N r To prˇedstavuje j=1(Mj 1) rovnic. Pocˇet nezna´myćh xj je zde ale veˇtsˇı´, j=1 Mj. Z definice velicˇin xj ovsˇem plyne, zˇe jsou sva´zańy− take´podmıńkou P P

Mj r xj =1 , (86) r=0 X cozˇprˇedstavuje dodatecˇny´ch N rovnic, ktere´celou soustavu uzavı´rajı´.

Iteracˇnı´rˇesˇenı´. Prˇi konkre´tnıáplikaci je trˇeba se rozhodnout pro to, jaky´soubor atomu˚bude detailneˇ uvazˇovań, a soustava rovnic (85) a (86) se rˇesˇıíteracˇneˇ: (i) zvolı´me neˇjakou pocˇa´tecˇnı´hodnotu Q (s uva´zˇenı´m, zˇe dominantnı´jsou vodı´k a helium, naprˇ. Q = 2); (ii) spocˇteme molekulovou hmotnost µ z rovnice (80); (iii) ze stavove´rovnice ρ P = T (87) g µℜ

r spocˇteme tlak plynu Pg; (iv) rˇesˇenı´m rovnic (85) a (86) zı´ska´me hodnoty vsˇech uvazˇovanyćh velicˇin xj ; (v) pomocıńich a rovnice (81) dostaneme zprˇesneˇnou hodnotu Q (tj. pocˇtu elektronu˚prˇipadajıćıćh na jeden atom smeˇsi). Cely´postup opakujeme azˇdo dosazˇenı´pozˇadovane´prˇesnosti.

Slozˇiteˇjsˇı´stavove´rovnice. Za´veˇrem dodejme, zˇe prˇi modernıćh vy´pocˇtech se pouzˇı´vajı´jesˇteˇslozˇiteˇjsˇı´ stavove´rovnice, nezˇjake´jsme si zde popsali. Naprˇı´klad Rogers, Swenson a Iglesias (1996) spocˇı´tali tlak a dalsˇı´stavove´velicˇiny a jejich derivace jako funkce hustoty, tlaku a chemicke´ho slozˇenı´pro celou sı´t’ mozˇnyćh kombinacı´se zahrnutı´m neu´plneíonizace a dalsˇıćh fyzika´lnıćh jevu˚souvisejıćıćh s odchylkami

24 Obra´zek 7: Stavova´rovnice huste´la´tky, zna´zorneˇna´ jako polomeˇry a hmotnosti stabilnıćh kulovyćh hveˇzd. Krˇivka je parame- 2 trizovana´hodnotou tlaku log10[p/c ]g/cm3 . Prvnı´vrchol odpovı´da´bı´ly´m trpaslı´ku˚m, ktere´stabilizuje zejmeńa gradient tlaku degenerovane´ho elektronove´ho plynu, druhyćharakterizuje neutronove´hveˇzdy, tedy la´tku, u ktere´je rozhodujıćı´tlak degenerovane´ho neutronove´ho plynu. Prˇevzato z Misner a spol. (1973). od stavove´ rovnice idea´lnı´ho plynu a da´vajı´ k dispozici i program pro interpolaci v jejich tabulkaćh. Smyslem je dosa´hnout prˇi vy´pocˇtech hveˇzdnyćh modelu˚ vysoke´prˇesnosti, naprˇ. s ohledem na modely Slunce, bez nutnosti vlastnı´vy´pocˇty hveˇzdnyćh modelu˚neu´meˇrneˇprodlouzˇit. Podobny´postup se pouzˇı´va´ i pro koeficienty opacity hveˇzdne´la´tky, jak o tom bude rˇecˇpozdeˇji.

Kompaktnıóbjekty. Pro prˇesneúrcˇenı´hmotnosti neutronovyćh hveˇzd a cˇernyćh deˇr se zase uvazˇujı´kom- plikovaneˇjsˇı´stavove´rovnice huste´hveˇzdne´la´tky. Dobry´prˇehled o te´to problematice poskytuje naprˇ. cˇlańek Kapera a kol. (2006), ve ktere´m je probrańo i srovnańı´teorie s pozorovańı´mi kompaktnıćh objektu˚.

25 3 Za´kladnı´rovnice stavby hveˇzd

3.1 Rovnice zachova´nı´hmoty

Budizˇ MR hmota obsazˇena´v kouli o polomeˇru R a ρ(R) hustota hveˇzdne´la´tky ve vzda´lenosti R od strˇedu hveˇzdy. Hmotnost dMR inﬁnitezima´lnı´kulove´vrstvy o vnitrˇnı´m polomeˇru R a vneˇjsˇı´m polomeˇru R + dR (obr. 8) je

4 . dM = π (R + dR)3 R3 ρ =4πR2ρ dR , (88) R 3 − kde jsme pochopitelneˇzanedbali vysˇsˇı´mocniny diferencia´lu dR. Odtud prˇı´mo plyne diferencia´lnı´ rovnice zachova´nı´hmoty dR 1 (89) = 2 . dMR 4πR ρ

MR R dMR

Obra´zek 8: Kulova´vrstva o hmotnosti dMR a tlousˇt’ce dR v nitru hveˇzdy.

3.2 Pohybova´rovnice a jejı´limitnı´prˇı´pad: rovnice hydrostaticke´rovnova´hy Na kulovou vrstvu v nitru hveˇzdy pu˚sobı´prˇedevsˇı´m sı´la gravitacˇnıá elektromagneticka´, kterou modelujeme jako dvojici tlakovyćh sil (obr. 9). Pohyb infinitezima´lneˇtenke´kulove´vrstvy o hmotnosti dMR a tlousˇt’ce dR a je pak popsań pohybovou rovnicı´(dle 2. Newtonova za´kona ma = F )

d2R GM dM dM = R R +4πR2P 4πR2(P + dP ) , (90) R dt2 − R2 − kde sı´ly na prave´straneˇjsou: (i) gravitace vnitrˇnı´koule o hmotnosti MR a polomeˇru R — ma´za´porne´ zname´nko, nebot’polomeˇr meˇrˇı´me od centra k povrchu, kdezˇto sı´la smeˇrˇuje do centra, cˇili opacˇneˇ(gravitace tluste´vneˇjsˇı´kulove´vrstvy je podle Newtonova teore´mu nulova´); (ii) tlakova´sı´la na vnitrˇnı´plochu vrstvicˇky,

26 smeˇrˇujıćı´ven; (iii) tlakova´sı´la na vneˇjsˇı´plochu, smeˇrˇujıćıópeˇt dovnitrˇ. Po jednoducheú´praveˇdosta´va´me pohybovou rovnici v obvykle´m tvaru

d2R GM dP R 2 (91) 2 = 2 4πR . dt − R − dMR

(P +dP )dS

dR P dS FG

Obra´zek 9: Inﬁnetezima´lnı´va´lecˇek v nitru hveˇzdy, na ktery´pu˚sobı´gravitacˇnı´sı´la a dvojice tlakovy´ch sil.

Pro dynamicky stabilnı´hveˇzdy lze zanedbat cˇlen na leve´ straneˇ, popisujıćı´zrychlenı´, a uvazˇovat pouze rovnici hydrostaticke´rovnova´hy, t.j. situaci, kdy zmeˇna tlaku od mı´sta k mı´stu pra´veˇvyrovna´va´gravitacˇnı´ sı´lu dP GM R (92) = 4 . dMR − 4πR Pozor! Je trˇeba vzˇdy mı´t na pameˇti, zˇe je to gradient tlaku, nikoliv tlak sa´m, co pu˚sobı´proti gravitacˇnı´prˇitazˇlivosti. Chybna´tvrzenıńa toto te´ma se obcˇas objevujıí u renomovanyćh autoru˚. d2R Existujı´samozrˇejmeˇi prˇı´pady, kdy setrvacˇnyćˇlen dt2 zanedbat nelze, naprˇı´klad prˇi rychlyćh pulzacıćh Cefeid, s periodou jen neˇkolik dnı´. Na druhou stranu si mu˚zˇeme prˇedstavit situaci v rˇı´dke´m mezihveˇzdne´m . oblaku, kdy dP =0, a protohveˇzda podle pohybove´rovnice (91) nutneˇmusı´kolabovat.

3.3 Rovnice tepelne´rovnova´hy Proberme nynı´, jak a jaky´m zpu˚sobem hveˇzda zı´ska´vaá prˇemeˇnˇuje svou tepelnou energii. Zmıńili jsme v u´vodu, zˇe koncem trˇica´tyćh let 20. stoletı´se podarˇilo doka´zat, zˇe hlavnı´m dlouhodoby´m zdrojem za´rˇive´ energie hveˇzd jsou synteticke´jaderne´reakce, tedy spojovańı´dvou cˇi vıće jader lehkyćh prvku˚na teˇzˇsˇı´, prˇi ktere´m se uvolnˇuje velke´mnozˇstvıénergie ve formeˇza´rˇenı´, kinetickeénergie produktu˚a neutrin. Energeticky zdaleka nejvydatneˇjsˇı´slucˇovacı´jadernou reakcı´je prˇemeˇna vodı´ku na helium. To je zpu˚so- 12 benou velkou vazebnou energiı´, kterou se vyznacˇuje helium a take´dalsˇı´magicka´ja´dra jako uhlı´k 6 C nebo 16 kyslı´k 8 O (obr. 10). Zna´my jsou dva zpu˚soby te´to prˇemeˇny: (i) proton–protonovy´rˇeteˇzec a (ii) CNO cyklus, kazˇdy´v neˇkolika variantaćh.

" Ú

ÅeÎ

½¼

¾6

¾¿8

9¾

Àe

¼ ½¼¼ ¾¼¼

5¼ ½5¼ ¾5¼ A

Obra´zek 10: Vazebna´energie Ev na jeden nukleon, pro ja´dra s ru˚zny´mi atomovy´mi cˇı´sly A.

3.3.1 Proton–protonovy´rˇeteˇzec Reakce prvnı´varianty proton–protonove´ho rˇeteˇzce (p-p I) lze zapsat na´sledovneˇ10

uvolneˇna´energie E typ interakce p + p D + e+ + ν 1,18 MeV slaba´ (93) → e+ + e− 2γ anihilace (94) → p + p D + e+ + ν 1,18 MeV (95) → e+ + e− 2γ (96) → D + p 3He + γ 5,49 MeV silna´ (97) → 2 D + p 3He + γ 5,49 MeV (98) → 2 3He + 3He α +p+p 12,86 MeV silna´ pouze E ! (99) 2 2 → ← k E = 26,20 MeV

1 2 P 4 + kde p 1H oznacˇuje proton, D 1H deuterium, α 2He he´lium, γ foton, e positron, ν elektronove´ neutrino.≡ Kdybychom reakce jaksi≡ secˇetli, obdrzˇı´me „4p+2e≡ − α +6γ +2ν“, prˇicˇemzˇje zachovań na´boj → (2=2) i baryonovećˇı´slo (4=4). Pozor! Kromeˇ4 protonu˚se spotrˇebova´vajıí 2 elektrony, jinak by v nitru Slunce neplatil za´kon zachovańıńa´boje. Celkovaénergeticka´bilance je +26,74 MeV, ale z toho pouze 26,20 MeV je energie vyuzˇitelna´ pro ohrˇev Slunce, nebot’je ve formeˇkvant za´rˇenı´gama nebo kinetickeénergie produktu˚. (Viz poslednı´vydatnou reakci (99), kde se uvolnˇuje pouze Ek a zˇa´dna´ γ.) Energii 0,54 MeV odna´sˇejıńeutrina, ktera´s okolnı´m −48 2 plazmatem interagujı´jen slabeˇ(σν 10 m ) a prakticky vsˇechna odletı´z ja´dra rovnou do mezihveˇzdne´ho prostoru.11 ≃

10Mu˚zˇeme se take´setkat se za´pisem p(p, e+ν)D, kde cˇa´rka znamena´sˇipku, prˇed levou za´vorkou je tercˇ, za nıńa´le´ta´vajıćı´ projektil a vpravo prˇı´slusˇne´produkty odletujıćı´z mı´sta interakce nebo zu˚sta´vajıćı´v tercˇi. 11Vy´jimecˇna´je situace prˇi vy´buchu supernovy, kdy je la´tka v nitru kolabujıćı´hveˇzdy velmi hustaá neutrin je produkovańo obrovske´mnozˇstvı´, takzˇe jejich interakce s la´tkou zapocˇı´tat musı´me.

28 5 Coulomb potential string force 4 combined 3

2 / MeV φ 1

0 potential -1

-2

-3 1e-15 2e-15 3e-15 4e-15 5e-15 6e-15 7e-15 proton-proton distance r / m

Obra´zek 11: Potencia´l coulombicky´, silne´sı´ly a jejich soucˇet pro dva protony. V klasicke´mechanice je pohyb cˇa´stice dovolen pouze v oblastech, kde je energie cˇa´stice veˇtsˇı´nezˇpotencia´l, cˇili proton s energiı´1 keV nale´ta´vajı´cı´zprava se od krˇivky potencia´lu „odrazı´“ a odletı´zpeˇt do nekonecˇna. V kvantove´mechanice se vsˇak uplatnˇuje tunelovy´jev.

Vsˇimneˇme si, zˇe se zde uplatnˇujı´slabeí silneínterakce. Zvla´sˇteˇslabeínterakce probı´hajı´velmi pomalu (trvajı´ 10−8 s), majı´maleúćˇinne´pru˚rˇezy a jsou tedy ma´lo pravdeˇpodobne´. (Dany´proton v ja´dru Slunce interaguje s jiny´m protonem podle (93) typicky jednou za 1010 yr — nasˇteˇstı´je tam protonu˚mnoho.) Kladneˇ nabita´ja´dra musı´prˇekonat coulombovskou barie´ru, tj. odpudivou elektromagnetickou sı´lu, nebot’ silna´ sı´la pu˚sobı´pouze na kra´tke´vzda´lenosti. Na obra´zku 11 to vidı´me jako vrchol potencia´lnıénergie, rˇa´doveˇ 1 MeV, kteryńale´ta´vajıćıćˇa´stice musı´prˇekonat. To vsˇak nenı´snadne´, nebot’ prˇi teploteˇ T 15 106 K ≃ · majı´protony kinetickou energii typicky rˇa´du Ek kT 1 keV, tedy o trˇi rˇa´dy mensˇı´. Za´sadnı´roli zde sehra´va´kvantoveˇmechanicky´ tunelovy´jev, cˇili skutecˇnost,≃ ≃ zˇe vlnova´funkce pro cˇa´stice s nı´zkou energiı´ma´ nenulovou amplitudu (a tedy i pravdeˇpodobnost vy´skytu cˇa´stice) i za zminˇovanou barie´rou. Protozˇe podle Maxwellova rozdeˇlenı´rychlostı´je cˇa´stic s vysokou kinetickou energiı´ma´lo, ale na druhou stranu pra´veˇtyto cˇa´stice majı´veˇtsˇı´pravdeˇpodobnost prˇekonańı´barie´ry, vykazuje za´vislost ućˇinnosti reakcıńa energii cˇa´stic charakteristicky´ Gamowu˚v vrchol (obr. 12). Druha´varianta p-p II nasta´va´ve 31 % prˇı´padu˚. Jejı´pocˇa´tecˇnı´reakce jsou stejne´jako u p-p I

E Eν p + p D + e+ + ν 1,18 MeV 0,27 MeV (100) → e+ + e− 2γ (101) → D + p 3He + γ 5,49 MeV (102) → 2 3He + α 7Be + γ 1, 59 MeV (103) 2 → 4 7Be + e− 7Li + γ + ν 0,05 MeV 0,82 MeV (104) 4 → 3 7Li+p 2α 17,35 MeV (105) 3 → E = 25,66 MeV 1,09 MeV

Trˇetı´varianta p-p III je vza´cneˇjsˇı´, nebot’nasta´va´P s pravdeˇpodobnostı´jen 0,3 %. Je nicme´neˇvelmi du˚lezˇita´,

29 1.4

1.2 exp(−E/(kT)) · exp(−b/E)·106 ) []

E 1 (

0.8

0.6

0.4 exp(−E/(kT)) 3 relative cross section exp(−b/E)·10 0.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E [keV]

Obra´zek 12: Gamowu˚v vrchol ućˇinnosti termonuklea´rnıćh reakcı´, vznikajıćı´kombinacı´vlivu Maxwellova rozdeˇlenı´rychlostı´ a pravdeˇpodobnosti prˇekonańıćoulombovske´barie´ry tunelovy´m jevem. Podle Carrol a Ostlie (2007). protozˇe se prˇi nı´produkuje vysokoenergetickeńeutrino (111), cozˇse vyuzˇı´va´prˇi meˇrˇenı´toku neutrin ze 8 ∗ Slunce (hveˇzdicˇka u berylia 4Be oznacˇuje energeticky vysˇsˇı´, excitovany´stav, vedoucı´k rychle´mu rozpadu ja´dra)

E Eν p + p D + e+ + ν 1,18 MeV 0,27 MeV (106) → e+ + e− 2γ (107) → D + p 3He + γ 5,49 MeV (108) → 2 3He + α 7Be + γ 1, 59 MeV (109) 2 → 4 7Be + p 8B+ γ 0,14 MeV (110) 4 → 5 8B 8Be∗ + e+ + ν 8,37 MeV 6,71 MeV (!) (111) 5 → 4 e+ + e− 2γ (112) → 8Be∗ 2α 3,00 MeV (113) 4 → E = 19,77 MeV 6,98 MeV

Prˇedpoveˇzena je i cˇtvrta´varianta proton–protonove´hP o rˇeteˇzce (p-p IV), ale ta je tak nepravdeˇpodobna´ (3 10−7), zˇe se s nı´v rovnicıćh hveˇzdne´stavby ani nepocˇı´ta´. · −1 −1 Konkre´tnı´pru˚beˇh reakcıńa´s vsˇak vlastneˇnezajı´ma´, na´m jde prˇedevsˇı´m o meˇrny´vy´kon ǫpp [erg s g ], tj. mnozˇstvıénergie, ktere´se uvolnı´vsˇemi variantami p-p rˇeteˇzce v 1 g hveˇzdne´la´tky za 1 s. Lze jej spocˇı´tat podle na´sledujıćıćh vztahu˚; vypadajı´sice slozˇiteˇ, ale jde prosteˇo zadaneńelinea´rnı´funkce ǫ(ρ,T,X,Y,Z), ktere´jsou vy´sledkem experimenta´lnı´jaderne´fyziky

ǫpp = ǫpp1 + ǫpp2 + ǫpp3 , (114) ǫ = (1 γ) ǫ , (115) pp1 − 30 1,96 γ ǫ = ǫ , (116) pp2 1+ W 1,47 γW ǫ = ǫ , (117) pp3 1+ W − 1 − 2 3 6 3 2 −33,804 T6 ǫ = 2,06 10 f1,1g1,1ρ T6 X e , (118) · 1 2 2 γ = α 1+ 1 , (119) α − " # 2 − 1 Y − 3 α = 5,48 1017 e 100 T6 , (120) · 4X − 1 1 − 3 X − W = 1,22 1016 f g e 102,6 T6 T 6 , (121) · 7,1 7,1 1+ X 6 1 − 3 2 2 f1,1 = 1+0,25 ρ T6 , (122) 1 − 3 2 2 f7,1 = 1+ ρ T6 , (123) 1 2 3 3 g1,1 = 1+0,012 T6 +0,0078 T6 +0,00065 T6 , (124) 1 3 g7,1 = 1+0,004 T6 , (125) −6 3 kde teplota T6 = 10 [T ]K a hustota ρ se uda´va´v g/cm . Na obra´zku 13 je zna´zorneˇno, jak se energeticky uplatnˇujı´jednotlive´varianty p-p rˇeteˇzce v za´vislosti na teploteˇa hustoteˇ.

3.3.2 CNO cyklus Jiny´zpu˚sob jaderne´prˇemeˇny vodı´ku na helium, ktery´ se vy´znamneˇuplatnˇuje pro vysˇsˇı´teploty nezˇp-p cykly, je CNO cyklus. Do neˇj v roli jake´hosi katalyza´toru vstupujıńuklidy dusı´ku nebo uhlı´ku. Proto by tato reakce ve hveˇzdeˇslozˇene´pouze z vodı´ku a helia nemohla nasta´vat. Schematicky lze reakce CNO cyklu popsat takto: 12C+ 1H 13N+ γ (126) 6 1 → 7 13N 13C + e+ + ν (127) 7 → 6 e+ + e− γ (128) → 13C+ 1H 14N+ γ (129) 6 1 → 7 14N+ 1H 15O+ γ (130) 7 1 → 8 15O 15N + e+ + ν (131) 8 → 7 e+ + e− γ. (132) → Pote´mu˚zˇe reakce pokracˇovat dvojı´m zpu˚sobem. Bud’ vznikne prˇı´mo heliove´ja´dro a uhlı´k, ktery´vstoupil do reakce, se opeˇt vyloucˇı´, tedy 15N+ 1H 12C+ 4He, (133) 7 1 → 6 2 31 Obra´zek 13: Energeticka´vydatnost jednotlivyćh variant p-p rˇeteˇzce jaderne´prˇemeˇny a jejich soucˇtu v za´vislosti na teploteˇa pro dveˇru˚zne´hustoty, odpovı´dajıćıńitru Slunce a nitru hveˇzdy o hmotnosti 15 M⊙ na zacˇa´tku nuklea´rnı´ho vy´voje.

32 nebo probeˇhne neˇkolik dalsˇıćh reakcıá dojde k vyloucˇenıńuklidu dusı´ku: 15N+ 1H 16O+ γ (134) 7 1 → 8 16O+ 1H 17F+ γ (135) 8 1 → 9 17F 17O + e+ + ν (136) 9 → 8 e+ + e− γ (137) → 17O+ 1H 14N+ 4He. (138) 8 1 → 7 2 Meˇrny´vy´kon (energii z 1 g la´tky za 1 s) te´to se´rie reakcı´lze spocˇı´tat ze vztahu˚

2 − 1 − − 3 ǫ = 7,94 1027f g ρXX T 3 e 152,313 T6 , (139) CNO · 14,1 14,1 N 6 1 − 3 2 2 f14,1 = 1+1,75 ρ T6 , (140) 1 2 g = 1+0,0027 T 3 0,0037 T 3 0,00007 T . (141) 14,1 6 − 6 − 6 Pru˚beˇh te´to synte´zy za´visı´kriticky na reakci (130), ktera´je „nejpomalejsˇı´“, t.j. nasta´va´velmi nesnadno. Proto je ve vztahu (139) velicˇina X oznacˇujıćı´relativnıóbsah dusı´ku. Obvykle stacˇı´prˇijmout empiricky N . za´veˇr z modelu˚niter pocˇı´tanyćh s detailnı´m chemicky´m slozˇenı´m a bra´t jednodusˇe XN = Z/3. Hornı´panel obra´zku 14 ukazuje za´vislost produkce energie CNO cyklem v za´vislosti na teploteˇa porovnańı´s p-p cyklem pro hveˇzdu o hmotnosti 15 M⊙.

3.3.3 Prˇemeˇna he´lia na uhlı´k a dalsˇı´reakce Prˇi teploteˇvysˇsˇı´nezˇ 108 K docha´zı´v oblastech s vysˇsˇı´m obsahem helia k dalsˇı´vy´znamne´slucˇovacı´reakci, nazy´vane´3α nebo Salpeterova reakce. Prˇi nı´se postupneˇtrˇi heliova´ja´dra prˇemeˇnı´na ja´dro uhlı´ku

4 4 → 8 2He + 2He ← 4Be (142) 8 4 → 12 ∗ 4Be + 2He ← 6 C (143) ∗ 12C 12C+ γ (144) 6 → 6 Prˇı´slusˇna´produkce energie [erg s−1 g−1] prˇemeˇny helia na uhlı´k je da´na vztahy

− − −1 ǫ = 3,46 1017 ρ2Y 3T 3f e 4352 T6 , (145) 3α · 6 3α 1 − 3 2 2 f3α = 1+2,4 ρ T6 . (146) Dolnı´panel obra´zku 14 ukazuje za´vislost produkce energie 3α reakcı´v za´vislosti na teploteˇpro hveˇzdu o hmotnosti 10 M⊙ ve sta´diu spalovańı´helia. Dalsˇı´heliova´ja´dra se pote´rˇeteˇzoviteˇslucˇujıńa teˇzˇsˇı´prvky, naprˇı´klad 12C+ 4He 16O+ γ , (147) 6 2 → 8 16O+ 4He 20Ne + γ , (148) 8 2 → 10 20Ne + 4He 24Mg + γ . (149) 10 2 → 12 33 Obra´zek 14: Hornı´panel Energeticka´vydatnost CNO cyklu jaderne´prˇemeˇny v za´vislosti na teploteˇ(udane´v milionech K) a pro hustotu v nitru hveˇzdy o hmotnosti 15 M⊙ na zacˇa´tku nuklea´rnı´ho vy´voje. Kvu˚li prˇehlednosti je energeticka´vydatnost zna´zorneˇna v logaritmicke´sˇka´le. Dolnı´panel: Energeticka´vydatnost 3α reakce jaderne´prˇemeˇny he´lia na uhlı´k v za´vislosti na teploteˇa pro hustotu v nitru hveˇzdy o hmotnosti 10 M⊙ ve stadiu spalovańı´helia v ja´dru. I zde byla pouzˇita logaritmicka´sˇka´la pro zna´zorneˇnı´za´vislosti energeticke´vydatnosti na teploteˇ(udane´v milionech K).

34 Prˇi jesˇteˇvysˇsˇıćh teplotaćh nad 6 108 K docha´zı´k rˇadeˇdalsˇıćh, ale energeticky sta´le meńeˇ vy´znamnyćh reakcı´(naprˇ. prˇemeˇneˇuhlı´ku na horˇcˇı´k)· azˇdojde ke vzniku stabilnıćh nuklidu˚skupiny zˇeleza.

3.3.4 Tepelna´rovnova´ha a zmeˇny entropie Kromeˇjadernyćh reakcıá cˇasovyćh zmeˇn ionizace v podpovrchovyćh vrstvaćh nema´hveˇzda zˇa´dne´dalsˇı´ aktivnı´zdroje energie a lze ji povazˇovat za isolovany´termodynamicky´syste´m. Oznacˇı´me-li LR vy´kon procha´zejıćı´povrchem koule o polomeˇru R od centra smeˇrem k povrchu a budou-li dLR a dMR oznacˇovat zmeˇnu tohoto vy´konu a prˇı´ru˚stek hmoty mezi koulemi o polomeˇrech R a R + dR, pak ve staciona´rnı´m prˇı´padeˇ (kdyzˇse ionizace nijak nemeˇnı´v cˇase) mu˚zˇeme psa´t jednodusˇe

dLR = ǫnuk , (150) dMR kde ǫnuk(ρ, T ) meˇrny´vy´kon jaderny´ch reakcı´v dane´m mı´steˇ. V obecneˇjsˇı´m nestaciona´rnı´m prˇı´padeˇmusı´me uva´zˇit i cˇasove´zmeˇny tepelne´energie Q v 1 g hveˇzdne´ la´tky, tedy

dL dQ = T dS = ǫ R dt , (151) nuk − dM R kde dS je zmeˇna entropie. Po u´praveˇ

dLR dS = ǫnuk T . (152) dMR − dt To je rovnice tepelne´rovnova´hy v za´kladnı´m tvaru. Prˇi skutecˇne´m vy´pocˇtu je ovsˇem trˇeba specifikovat cˇasove´zmeˇny entropie konkre´tneˇ. Zahrnujı´totizˇzmeˇny potencia´lnıí vnitrˇnıénergie, vcˇetneˇzmeˇn ionizace v podpovrchovyćh vrstvaćh. Tento postup si zde alesponˇnaznacˇı´me. Podle 1. veˇty termodynamicke´lze psa´t 1 (s uva´zˇenı´m zˇe objem 1 g la´tky V = ρ ) P T dS = dU + P dV = dU dρ . (153) − ρ2 Velicˇina U oznacˇuje vnitrˇnıénergii, ktera´je obecneˇfunkcı´stavovyćh velicˇin ρ, T a strˇednı´molekulove´ hmotnosti µ, takzˇe jejı´zmeˇnu lze rozkla´dat do tvaru ∂U ∂U ∂U dU = dT + dρ + dµ . (154) ∂T ∂ρ ∂µ Je ovsˇem du˚lezˇite´si uveˇdomit, zˇe diferencia´l dµ v rovnici (154) prˇedstavuje takto samostatneˇpouze zmeˇny zpu˚sobene´zmeˇnami chemicke´ho slozˇenı´(bud’v du˚sledku nuklea´rnı´prˇemeˇny elementu˚nebo vlivem konvekce zasahujıćı´hluboko do oblastı´s gradientem chemicke´ho slozˇenı´, ktery´vznikl v du˚sledku nuklea´rnıćh

35 zmeˇn beˇhem prˇedchozı´ho vy´voje hveˇzdy). Nejde naopak o zmeˇny vyvolaneíonizacı´ve vrstvaćh blı´zˇe k povrchu hveˇzdy. Ty jsou totizˇ— jak jsme videˇli — funkcı´ teploty a nejsou proto neza´visle´. Je trˇeba si jesˇteˇuve´st konkre´tnı´vy´razy pro vnitrˇnıénergii U 1 g hveˇzdne´la´tky. Statisticka´fyzika a teorie za´rˇenı´da´vajı´pro jednotlive´slozˇky tyto vy´razy: 3 U = n kT , (155) i 2 i 2 F 3 3 3 2 Ue = nekT , (156) 2 F 1 2 aT 4 U = , (157) r ρ kde ni a ne prˇedstavujı´pocˇet iontu˚a pocˇet elektronu˚v 1 g hveˇzdne´la´tky. Ty lze vyja´drˇit pomocıÁvogadrova cˇı´sla a strˇednı´molekulove´hmotnosti a pro celkovou vnitrˇnıénergii plazmatu pak psa´t

2 F 3 3 1 3 2 1 Ui + Ue = NAkT + = (158) 2 µe F 1 µi 2 ! 2 F 3 3 −1 −1 −1 3 2 = T µi + µe + µe 1 , (159) 2ℜ F 1 − " 2 !# takzˇe prˇi pouzˇitı´vztahu˚(56) a (75) dosta´va´me 3 3 βP U + U = ℜTλ = , (160) i e 2 µ 2 ρ P U = 3(1 β) , (161) r − ρ 3 βP P 3 P U = U + U + U = + 3(1 β) = (2 β) . (162) i e r 2 ρ − ρ 2 ρ −

r V podpovrchovyćh vrstvaćh je trˇeba navıć uvazˇovat i prˇı´speˇvek ionizacˇnıénergie. Oznacˇı´me-li χj ionizacˇnı´ potencia´l j-te´ho prvku pro r-ty´stupenˇionizace, pak lze prˇi stejneńotaci jako jsme pouzˇili u stavove´rovnice v podpovrchovyćh vrstvaćh psa´t

M − N N j r 1 U = A ν xr χs . (163) ion µ j j j i j=1 r=0 s=0 X X X 3.4 Rovnice prˇenosu energie Zmeˇna teploty od mı´sta k mı´stu je ve hveˇzdne´m nitru urcˇova´na zpu˚sobem prˇenosu energie ve hveˇzdeˇ. V principu existujı´trˇi zpu˚soby prˇenosu energie:

36 1. vedenı´m tepla (cˇa´sticovou difusı´);

2. za´rˇenı´m (za´rˇivou difusı´);

3. konvekcı´.

Prvnı´dva zpu˚soby jsou mikroskopicke´, poslednı´je makroskopicky´. Tepelna´vodivost hveˇzdne´ho materia´lu je ve veˇtsˇineˇprˇı´padu˚zanedbatelna´, roli hraje pouze v podmıńkaćh extre´mnıćh hustot (v bı´lıćh trpaslıćıćh, neutronovyćh hveˇzdaćh), kde se uplatnˇuje elektronova´ degenerace. Forma´lneˇlze ovsˇem za´rˇenıá vedenı´ popisovat velmi podobneˇ.

3.4.1 Rovnice za´rˇive´ho prˇenosu energie Prˇıćˇin difuse je mnoho, od absorpce na negativnıćh iontech vodı´ku12 , absorpce (a emise) na jinyćh atomech, azˇpo rozptyl na volnyćh elektronech. Mı´ra nepru˚hlednosti hveˇzdne´ho materia´lu, opacita κν(ρ,T,X,Y,Z) hveˇzdne´la´tky, je velmi slozˇitou funkcı´hustoty ρ, teploty T , chemicke´ho slozˇenı´ a take´vlnove´de´lky, resp. frekvence ν. Numericky koeficient opacity uda´va´ relativnı´ u´bytek za´rˇive´ energie na jednotkove´ 1 1 2 −1 vzda´lenosti prˇi jednotkove´hustoteˇdane´la´tky. Jednotkou opacity je tedy [κ]= cm g cm−3 = cm g . Vy´pocˇet opacitnı´ho koeficientu prˇedstavuje samostatnyá na´rocˇnyú´kol. Pro hveˇzdnańitra, kde se zvazˇuje jen celkovaénergeticka´bilance, se pouzˇı´vajı´koeficienty opacity κ(ρ,T,X,Y,Z), strˇedovane´prˇes vsˇechny vlnove´de´lky. Tyto koeficienty by´vajı´v samostatnyćh studiıćh obvykle tabelovańy a prˇi vy´pocˇtech modelu˚ hveˇzdnyćh niter se v takovyćh tabulkaćh numericky interpoluje. Po rˇadu let byly pouzˇı´vańy tabulky Coxovy (Cox a spol. 1965), ale od poloviny devadesa´tyćh let jsou k dispozici tabulky nove´, ktere´m.j. umozˇnily nale´zt prˇıćˇinu pulsacˇnıńestability hveˇzd typu β Cep (Rogers a Iglesias 1992, obr. 15, 16). Rovnici za´rˇive´ho prˇenosu energie odvodı´me v na´sledujıćıćh krocıćh:

1. napı´sˇeme rovnici prˇenosu za´rˇenı´pro intenzitu I;

2. zavedeme integra´lnı´velicˇiny hustotu u, tok H a tlak Pr; 3. zintegrujeme rovnici prˇenosu prˇes prostorovy´u´hel ω;

4. vyna´sobı´me ji cos θ a zintegrujeme znovu;

5. rozvineme skoro izotropnı´intenzitu v rˇadu;

6. elegantneˇse zbavı´me emise j pomocı´Kirchhoffova za´kona.

Prˇipomenˇme deﬁnici intenzity (integrovane´prˇes cely´ rozsah vlnovy´ch de´lek)

dE = I(x,y,z,ϑ,ϕ,t)dtds cos ϑdω , (164)

12Negativnıíont vodı´ku zvany´te´zˇhydrid vodı´ku H− je ma´lo stabilnıćˇa´stice sesta´vajıćı´z 1 protonu a dvou elektronu˚.

37 6 5 4 3 log [κ]cm2/g 2 1 0 1 -1 0 -1 -2 -2 4 -3 4.5 -4 3 5 log R, R = [ρ] 3/([T] 6 ) 5.5 6 -5 g/cm 10 K 6.5 7 -6 log [T] 7.5 -7 K 8 8.5 -8

Obra´zek 15: Hodnoty opacitnı´ho koeﬁcientu κ v za´vislosti na teploteˇ T a parametru R, pro la´tku s X = 0,70, Y = 0,28, Z =0,02. Podle Rogers a Iglesias (1996).

∆ log [κ]cm2/g for Z = 0.001 and Z = 0.02 1 0.9

0 0.8

-1 0.7 3 ) K 6

10 -2 0.6 ] T /([ 3 -3 0.5 g/cm ] ρ -4 0.4 = [ R

, -5 0.3 R

log -6 0.2

-7 0.1

-8 0 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5

log [T]K

Obra´zek 16: Rozdı´ly opacitnı´ch koeﬁcientu˚ ∆log κ pro ru˚zne´hodnoty metalicity Z = 0,02 a 0,001. Je patrne´, zˇe v rozmezı´ teplot 105 azˇ 107 K se opacity lisˇı´skoro o rˇa´d. Podle Rogers a Iglesias (1996).

38 jakozˇto energie procha´zejı´cı´za jednotku cˇasu dt jednotkovou plochou ds (pod u´hlem θ) do jednotkove´ho prostorove´ho u´hlu dω. V nasˇem prˇı´padeˇbude intenzita pouze funkcı´ I(R, ϑ), kde R je vzda´lenost od centra hveˇzdy a smeˇr ϑ meˇrˇı´me od spojnice s centrem (obr. 17). Jinak prˇedpokla´da´me osovou symetrii, tudı´zˇzde nevystupuje u´hel ϕ.

I(R, ϑ)

ϑ dω

R ϑ ds

Obra´zek 17: Deﬁnice intenzity I(R, ϑ) v nitru sfe´ricky symetricke´hveˇzdy.

Rovnice prˇenosu za´rˇenı´ve sfe´ricke´symetrii. Uvazˇujme o energeticke´bilanci infinitesima´lnı´ho komo- le´ho va´lecˇku, ktery´je „vmeˇstnań“ mezi dveˇkulove´slupky o polomeˇrech R a R+dR a ktery´s radiusvektorem svı´raú´hel ϑ, ma´vy´sˇku dx a plochu podstavy ds (obr. 18).

ϑ + dϑ dR ds ϑ I(R+dR, ϑ+dϑ) dx R I(R, ϑ)

dϑ

Obra´zek 18: Inﬁnitezima´lnı´va´lecˇek v nitru hveˇzdy, s vyznacˇeny´mi velicˇinami dx, ds, dR, ϑ, dϑ.

Podle za´kona zachova´nı´energie musı´platit

za´rˇenı´z va´lecˇku vystupujıćı´ vstupujıćı´ I(R + dR, ϑ + dϑ)dtds cos ϑdω = I(R, ϑ)dtds cos ϑdω + + jρdx dtds cos ϑdω κρI(R, ϑ)dx dtds cos ϑdω , (165) z }| { z }| { − emise absorpce kde j oznacˇuje koeficient emise a κ koeficient opacity.| Pouzˇijeme-li{z } rozvoj| intenzity{z } ∂I ∂I I(R + dR, ϑ + dϑ)= I(R, ϑ)+ dR + dϑ (166) ∂R ∂ϑ 39 a geometricke´vztahy dx sin ϑ dR = dx cos ϑ , dϑ = , (167) − R lze rovnici prˇenosu za´rˇenı´zapsat ve tvaru ∂I 1 ∂I cos ϑ sin ϑ + κρI jρ =0 . (168) ∂R − R ∂ϑ −

Integra´lnı´velicˇiny. V te´to chvı´li je uzˇitecˇne´zave´st neˇktereíntegra´lnı´velicˇiny. Prvnı´je hustota za´rˇive´ energie u. Mnozˇstvı´za´rˇiveénergie dE procha´zejıćı´za cˇas dt plosˇkou ds ze smeˇru svı´rajıćı´ho s kolmicıńa plosˇku u´hel ϑ bude zrˇejmeˇ dE = Idtds cos ϑdω. Protozˇe toto za´rˇenı´se pohybuje rychlostı´sveˇtla c, naplnı´ za cˇas dt objem dV = cdtds cos ϑ. Hustota za´rˇenı´prˇicha´zejıćı´ho z dane´ho smeˇru bude tedy dE 1 = Idω (169) dV c a integracı´prˇes cely´prostorovyú´hel dostaneme pak celkovou hustotu za´rˇenı´

1 4π u = Idω . (170) c Z0 Uveˇdomme si take´, zˇe integra´lem prˇes prostorovy´u´hel ω rozumı´me dvojitou integraci prˇes u´hlove´sourˇad- nice ϕ, ϑ

4π 2π π dω dϑdϕ sin ϑ , (171) ≡ Zω=0 Zϕ=0 Zϑ=0 a takto budeme integra´l prakticky pocˇı´tat. Dalsˇıúzˇitecˇnou velicˇinou je tok za´rˇenı´ H, t.j. mnozˇstvı´za´rˇiveénergie procha´zejıćı´za jednotku cˇasu jednotkovou plochou ze vsˇech smeˇru˚. Je zrˇejmeˇ

4π H = I cos ϑdω . (172) Z0 Trˇetı´integra´lnı´velicˇinou je tlak za´rˇenı´ Pr. Uvazˇujme hybnost za´rˇenı´prˇicha´zejı´cı´ho z urcˇite´ho smeˇru, dp. Je-li celkova´hmotnost tohoto za´rˇenı´ dm, lze pro jeho hybnost psa´t dp = cdm. S pouzˇitı´m Einsteinovy rovnice

dE = c2dm (173) je tedy vy´raz pro prˇı´speˇvek hybnosti za´rˇenı´ dE dp = cdm = , (174) c 40 takzˇe sı´la pu˚sobıćıńa plosˇku ds od uvazˇovane´ho prˇı´speˇvku za´rˇenı´je podle druhe´ho Newtonova za´kona a s vyuzˇitı´m vztahu (164) dp 1 dE I ∆f = = = cos ϑdsdω. (175) dt c dt c Slozˇka sı´ly pu˚sobıćı´kolmo na uvazˇovanou plosˇku bude ovsˇem ∆F = ∆f cos ϑ. Slozˇky pu˚sobıćı´tecˇneˇna´s nezajı´majı´, nebot’jejich soucˇet je prˇi axia´lneˇsymetrickeíntenziteˇnulovy´. Tlak je vy´sledna´sı´la pu˚sobıćıńa jednotkovou plochu, cˇili 1 4π 1 4π P = ∆F = I cos2 ϑdω . (176) r ds c Z0 Z0 1. integra´l rovnice prˇenosu. Nynı´se mu˚zˇeme vra´tit k rovnici prˇenosu (168) a integrovat ji prˇes cely´ prostorovyú´hel

H „proble´m“ uc 4π ∂ 1 ∂I I cos ϑdω sin ϑdω +κρ Idω jρ dω =0 . (177) ∂R −R ∂ϑ − Zω z }| { zZω }| { Zz ω}| { zZω}| { Vidı´me, zˇe snadno zavedeme neˇktere´ integra´lnı´ velicˇiny, ale problematicky´ je druhy´ integra´l, protozˇe nezna´me konkre´tnı´tvar I(ϑ) a pak je teˇzˇko derivovat a integrovat. Pomu˚zˇeme si vsˇak integrova´nı´m per partes13

f ′ g = sin2 ϑ ∂I ∂I sin ϑdω = sin ϑ sin ϑ dϑdϕ = ω ∂ϑ ϕ ϑ z}|{∂ϑ Z Z Z z }| { = I sin2 ϑ π dϕ I 2 sin ϑ cos ϑdϑdϕ = 2H (178) 0 − − Zϕ Zϕ Zϑ =0 2H | {z } a 1. integra´l pak mu˚zˇeme upravit do konecˇne´ho tvaru | {z } dH 2H + + κρcu 4πjρ =0 . (179) dR R −

2. integra´l rovnice prˇenosu. Analogicky mu˚zˇeme integrovat rovnici prˇenosu (168) na´sobenou faktorem cos ϑ

Prc „proble´m“ H =0 ∂ 1 ∂I I cos2 ϑdω sin ϑ cos ϑdω +κρ I cos ϑdω jρ cos ϑdω =0 . (180) ∂R −R ∂ϑ − Zω z }| { zZω }| { zZω }| { zZω }| { 13 f ′g = [fg] fg′ − R R 41 Nejprve oveˇrˇı´me nulovost poslednı´ho cˇlenu

=0 1 2 sin2ϑ 1 π cos ϑdω = cos ϑ sin ϑ dϑdϕ = cos2ϑ dϕ =0 . (181) ω ϕ ϑ ϕ z−4 }| 0{ Z Z Z z }| { Z Druhy´cˇlen opeˇt integrujeme metodou per partes

f ′ g = sin2 ϑ cos ϑ =0 ∂I ∂I π sin ϑ cos ϑdω = sin ϑ cos ϑ sin ϑ dϑdϕ = I sin2 ϑ cos ϑ dϕ ∂ϑ ∂ϑ 0 − Zω Zϕ Zϑ z}|{ Zϕ z }| { z }| { I (2 sin ϑ cos ϑ cos ϑ + sin2 ϑ ( sin ϑ))dϑdϕ = − · · − Zϕ Zϑ cPr cu cPr = 2 I cos2 ϑ sin ϑdϑdϕ + (1 cos2 ϑ) sin ϑdϑdϕ = − − zZϕ Zϑ }| { Zϕ Zϑ = 2cP + cu cP = 3cP + cu . z}|{ z }| { (182) − r − r − r Dosta´va´me tak 2. integra´l

dP 1 ρκ r + (3P u)+ H =0 . (183) dR R r − c

Rozvoj skoro izotropnıíntenzity. K rˇesˇenı´je trˇeba jesˇteˇtrˇetı´vztah. Konkre´tnı´tvar funkce I(ϑ) sice nezna´me, ale protozˇe pole za´rˇenıúvnitrˇhveˇzdy je velmi blı´zkeísotropnı´mu, mu˚zˇeme intensitu rozvinout v rˇadu

2 I(ϑ)= I0 + I1 cos ϑ + I2 cos ϑ + ... , (184) kde I0, I1, I2 jizˇna ϑ neza´visejı´. Lze doka´zat (viz Schwarzschild 1958), zˇe jizˇcˇlen I2 je o 20 rˇa´du˚mensˇı´ nezˇ I0, takzˇe jej lze pro vsˇechny praktickeúćˇely zcela zanedbat. Dosadı´me-li proto do definic integra´lnıćh velicˇin (170), (172) a (176) vy´raz I = I0 + I1 cos ϑ, obdrzˇı´me velmi jednoduche´vy´razy pro hustotu, tok a tlak za´rˇenı´

=0 1 1 4π 1 2π π 4π u = I dω + I cos ϑdω = I + I cos ϑ sin ϑdϑ dϕ = I . (185) c 0 c 1 c 0 c 1 c 0 Zω Zω Z0 Zz 0 }| { (186)

42 =0 2π π cos3 ϑ π 4π H = I cos ϑdω + I cos2 ϑdω = I cos2 ϑ sin ϑdϑdϕ = I 2π = I , (187) 0 1 1 1 − 3 3 1 Zz ω }| { Zω Z0 Z0 0 (188)

stejneˇjako u H =0 1 1 4π P = I cos2 ϑdω + I cos3 ϑdω = I . (189) r c 0 c 1 3c 0 Zz }| { Zz }| { Z toho mimochodem plyne, zˇe prˇi skoro izotropnı´intenziteˇje 1 P = u . (190) r 3

Kirchhoffu˚v za´kon. Protozˇe v nitru existuje loka´lnı´termodynamicka´rovnova´ha, lze pro vyja´drˇenıémis- nı´ho koeficientu vyuzˇı´t Kirchhoffu˚v za´kon a psa´t σ ǫ j = T 4κ + , (191) π 4π dS kde ǫ = ǫnuk T dt prˇedstavuje soucˇet nuklea´rnı´, vnitrˇnıí gravitacˇnıénergie uvolnˇovane´za jednotku cˇasu v jednotce hmoty− do vsˇech smeˇru˚, zatı´mco emisnıá absorpcˇnı´koeficienty jsou vztazˇeny k jednotkove´mu prostorove´mu u´hlu. Pro celkovy´tok energie povrchem koule obsahujıćı´hmotu MR zrˇejmeˇplatı´ dL dH L =4πR2H R =8πRH +4πR2 (192) R ⇒ dR dR a tedy dH 1 dL 2H dL 2H 2H R R (193) = 2 = ρ = ρǫ . dR 4πR dR − R dMR − R − R 1. integra´l (179) lze tedy s pouzˇitı´m rovnice (152) prˇepsat do tvaru 2H 2H ρǫ + + cκρu 4ρσT 4κ ρǫ =0 , (194) − R R − − cozˇpo algebraickeú´praveˇvede na vztah pro hustotu za´rˇenı´(prˇi LTE) 4σ u = T 4 = aT 4 . (195) c Dosazenı´m do rovnice (190) pak dosta´va´me i vy´raz pro tlak za´rˇenı´ 1 P = aT 4 , (196) r 3 43 ktery´jsme jizˇ(bez odvozenı´) pouzˇili v oddı´lu veˇnovane´m stavove´rovnici hveˇzdne´la´tky — viz rovnice (56). Dosadı´me-li ve 2. integra´lu (183) za Pr, u a H, dostaneme 1 dT 1 1 ρκ a 4 T 3 + 3 aT 4 aT 4 + L =0 , (197) 3 dR R 3 − 4πcR2 R neboli dT 3ρκL = R , (198) dR −16πacR2T 3 cozˇlze jesˇteˇs vyuzˇitı´m rovnice kontinuity (89) upravit na tvar dT 3κL R (199) = 2 3 4 . dMR −64acπ T R To je rovnice za´rˇive´rovnova´hy.

Rosselandova strˇednıópacita. Za´veˇrem tohoto oddı´lu si jesˇteˇnaznacˇı´me, jak se pocˇı´ta´koeficient za´rˇive´ difuse, vhodny´m zpu˚sobem strˇedovany´prˇes vsˇechny frekvence elektromagneticke´ho za´rˇenı´, neboli Ros- 1 selandova strˇednıópacita κ. Z 2. integra´lu (183) a vztahu Pr = 3 u plyne vztah mezi tokem a hustotou za´rˇenı´ c 1 du H = , (200) −3ρ κ dR prˇicˇemzˇcely´postup, ktery´jsme k odvozenı´pouzˇili, by bylo mozˇno prove´st i pro monochromaticke´velicˇiny intenzity, hustoty a toku za´rˇenı´, a proto mu˚zˇeme analogicky psa´t

c 1 duν Hν = . (201) −3ρ κν dR Vzhledem k tomu, zˇe v nitrech hveˇzd je velmi prˇesneˇsplneˇna podmı´nka loka´lnı´termodynamicke´rovnova´hy, lze monochromatickou hustotu za´rˇenı´velmi dobrˇe aproximovat Planckovou funkcı´ a psa´t

. 4π 8πhν3 1 (202) uν = Bν(T )= 3 hν . c c e kT 1 − Celkovy´, integra´lnı´tok za´rˇenı´lze z (201) zı´skat integracı´prˇes vsˇechny frekvence, cozˇforma´lneˇzapı´sˇeme jako

rozsˇı´rˇenı´ ∞ ∞ ∞ du c 1 duν c dR 1 duν H = Hν = dν = ∞ dν . (203) −3ρ κν dR −3ρ z d}|uν { κν dR Z0 Z0 dR dν Z0 0 R 44 Chceme-li, aby tato rovnice odpovı´dala rovnici (200) pro integra´lnı´tok za´rˇenı´, pak zrˇejmeˇmusı´pro integra´lnı´ koeﬁcient opacity platit

∞ ∞ ∞ 1 duν dν 1 duν dT dν 1 dBν (T ) dν 1 κν dR κν dT dR κν dT = 0 = 0 = 0 , (204) R ∞ R ∞ R ∞ κ duν duν dT dBν (T ) dR dν dT dR dν dT dν 0 0 0 R R R cˇili Rosselandovu strˇednı´opacitu zı´ska´me strˇedova´nı´m, kde vyuzˇı´va´me Planckovy funkce, respektive jejich derivace.

Odhad strˇednı´ volne´ dra´hy a toku. Podı´vejme se jesˇteˇ jednou, co na´m opacitnı´ koeficient uda´va´. Budeme-li uvazˇovat samostatneˇza´rˇive´pohlcovańıénergie, platı´tedy, zˇe procha´zı´-li za´rˇenıó intenziteˇ I v dane´m smeˇru infinitesima´lnı´m va´lecˇkem hveˇzdne´la´tky o jednotkove´podstaveˇa vy´sˇce dx, bude z neˇj pohlceno za´rˇenı´dI dane´vztahem

dI = Iκρdx , (205) − To znamena´, zˇe za strˇednı´volnou dra´hu fotonu˚ve hveˇzdne´ la´tce mu˚zˇeme oznacˇit takovou vzda´lenost lf = dx, beˇhem ktere´dojde k pohlcenı´vesˇkere´ho za´rˇenı´, tzn. kdy bude dI = I. Podle rovnice (205) z toho zrˇejmeˇplyne | | 1 l = . (206) f κρ

Pro model hveˇzdy o hmotnosti 4 M⊙ na zacˇa´tku nuklea´rnı´ho vy´voje uda´va´Harmanec (1970) centra´lnı´ teplotu 25,29 milionu˚K a centra´lnı´hustotu 22,59 g cm−3. Z tabulekRogerse a Iglesiase (1992) lze odhadnout pro tuto oblast hodnotu opacity asi 0,5 cm2 g−1, takzˇe pro strˇednı´volnou dra´hu fotonu˚dosta´va´me z rovnice (206) odhad lf =0,89 mm. Pro tenty´zˇmodel mu˚zˇeme rovneˇzˇodhadnout gradient teploty. V blı´zkosti strˇedu hveˇzdy je dT = 3,99 10−5 K cm−1 , (207) dR − · zatı´mco na hranici sfe´ry obsahujı´cı´97 % celkove´hmotnosti hveˇzdy je to 9,16 10−5 K cm−1. Z rovnic (195) a (200) plyne pro celkovy´tok jednotkou plochy v mı´steˇs polomeˇrem−R · 16 dT H = σT 3 . (208) −3ρκ dR Tento tok si mu˚zˇeme porovnat s tokem absolutneˇcˇerne´ho teˇlesa do poloprostoru ve stejne´m mı´steˇ, ktery´je da´n vztahem

πB = σT 4 . (209)

45 Pokud by platila termodynamicka´rovnova´ha dokonale, byl by ovsˇem celkovy´tok plochou v dane´m mı´steˇ nulovy´. Velikost toku H je proto mı´rou nerovnova´hy a za´rˇive´ho prˇenosu energie ve hveˇzdeˇ. Uvazˇujme pro prˇı´klad sfe´ru obsahujı´cı´0,001 celkove´ hmotnosti uvazˇovane´hveˇzdy o hmotnosti 4 M⊙. Ta ma´podle modelu polomeˇr 4,365 109 cm. Pro odpovı´dajı´cı´hodnoty teploty a jejı´ho gradientu, hustoty a opacity pak dosta´va´me ·

H =1,71 1014 erg cm−2 s−1 , (210) · zatı´mco tok cˇerne´ho teˇlesa jednotkovou plochou do poloprostoru by byl o jedena´ct rˇa´du˚veˇtsˇı´

πB =2,26 1025 erg cm−2 s−1 . (211) · Pozna´mka o difuznı´m formalismu. Za´veˇrem jesˇteˇpoznamenejme, zˇe dı´ky velmi male´strˇednı´volne´ dra´ze lze na za´rˇivy´prˇenos energie pohlı´zˇet jako na difuzi. Z fyziky vı´me, zˇe pro difuznı´tok cˇa´stic fp mezi mı´sty s ru˚znou cˇa´sticovou hustotou ρn platı´vztah

f = D ρ , (212) p − ∇ n kde difuznı´koeficient D souvisı´se strˇednı´rychlostıćˇa´stic v a jejich strˇednı´volnou dra´hou lp vztahem 1 D = v l . (213) 3 p Pro za´rˇenı´lze ovsˇem za „cˇa´sticovou hustotu“ povazˇovat hustotu energie za´rˇenı´danou vztahem (195) a za strˇednı´rychlost rychlost sveˇtla ve vakuu, prˇicˇemzˇstrˇednı´volna´dra´ha je dańa rovnicı´(206). Gradient se v jednorozmeˇrne´m pojetı´redukuje na derivaci podle R a rovnice pro za´rˇivou difuzi tak nabude tvar 16 dT H = σT 3 , (214) −3ρκ dR cozˇje opeˇt rovnice za´rˇive´ho prˇenosu energie, identicka´s (198), kterou jsme odvodili integrovańı´m rovnice prˇenosu za´rˇenı´.

3.4.2 Rovnice konvektivnı´ho prˇenosu energie Podmı´nka pro konvekci. Zkoumejme nynı´, kdy je za´rˇiva´rovnova´ha nestabilnı´, a kdy se zmeˇnı´v rovnova´hu konvektivnı´. Prˇedpokla´dejme, zˇe v neˇjake´bublineˇje hustota ρb, kdezˇto okolnı´plyn ma´hustotu ρo (obr. 19). Podle Archime´dova za´kona na bublinu pu˚sobı´ vztlakova´sı´la, a proti nı´gravitace

F = F + F = ρ Vg ρ Vg =(ρ ρ )Vg , (215) vz g o − b o − b kde V oznacˇuje objem studovane´bubliny a g tı´hove´zrychlenı´v dane´m mı´steˇ(ve vzda´lenosti R od centra hveˇzdy). Pokud je na pocˇa´tku, na´hodnou ﬂuktuacı´, hustota bubliny mensˇı´(ρb < ρo), vycha´zı´ F > 0

46 ′ a bublina zacˇne stoupat vzhu˚ru. Po prˇemı´steˇnı´o dR se zmeˇnı´hodnoty stavovy´ch velicˇin v bublineˇ(na ρb, ′ ′ ′ ′ ′ Tb, Pb) i v okolı´(na ρo, To, Po). Mohou nastat dva prˇı´pady: (i)

ρ′ ρ′ , (216) b ≥ o kdy se jaka´koliv konvekce potlacˇı´a bublina prˇı´padneˇ klesne zpeˇt; (ii)

′ ′ ρb < ρo , (217) prˇi ktere´m bude stoupa´nı´bude da´le pokracˇovat, cˇili jde o za´kladnı´ podmı´nku pro konvekci. Uveˇdomme si, zˇe tlak v bublineˇje neusta´le vyrovnany´ s okolnı´m tlakem

′ ′ Pb = Po , Pb = Po . (218)

Podle stavove´rovnice idea´lnı´ho plynu (48) pak platı´(prˇi µ = konst.)

′ ′ ′ ′ ρbTb = ρoTo (219) a podmı´nku pro konvekci (217) mu˚zˇeme napsat v teplota´ch jako

′ ′ Tb > To . (220)

Provedeme-li Taylorovy rozvoje teplotnı´ch za´vislostı´

dT T ′ = T + b dR , (221) b b dR dT T ′ = T + o dR , (222) o o dR . a prˇedpokla´da´me-li, zˇe pocˇa´tecˇnı´ﬂuktuace byla zcela nepatrna´(Tb = To), obdrzˇı´me konvektivnı´podmı´nku pro gradienty teploty

dT dT b > o . (223) dR dR Protozˇe prˇemı´steˇnı´bubliny obvykle probı´ha´rychle, bez vy´meˇny tepla s okolı´m, lze termodynamicky´deˇj v bublineˇpokla´dat za adiabaticky´ (a gradient teploty na leve´straneˇza adiabaticky´gradient). Nebot’v okolnı´m prostrˇedı´doposud panovala za´rˇiva´rovnova´ha, prˇı´slusˇny´gradient na prave´straneˇztotozˇnı´me s radiacˇnı´m gradientem (198) a mu˚zˇeme nakonec psa´t podmı´nku pro konvekci

dT dT > . (224) dR dR ad rad Nezapomenˇme, zˇe T (R) by´va´klesajı´cı´funkce, takzˇe gradienty jsou vlastneˇ za´porne´.

47 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ̺b,Tb, Pb ̺o,To, Po

̺o,To, Po ̺b,Tb, Pb

Obra´zek 19: Stavove´velicˇiny ρ, T , P v bublineˇa v okolnı´m plynu, prˇi prˇemı´steˇnı´o dR.

Odvozenı´adiabaticke´ho gradientu teploty. Pokusme se vyja´drˇit adiabaticky´gradient z 1. veˇty termodynamicke´, pomocı´stavovy´ch velicˇin

P T dS = dU + P dV = dU dρ . (225) − ρ2 Diferencia´ly v rovnici (225) vyja´drˇı´me pomocı´tlaku P a teploty T

∂U ∂U dU = dT + dP , (226) ∂T ∂P P T ∂ρ ∂ρ dρ = dT + dP , (227) ∂T ∂P P T kde jsme prˇi rozkladu zmeˇn vnitrˇnıénergie dU, podle vztahu (154), prˇedpokla´dali dµ = 0. (Kato (1966) beztak uka´zal, zˇe podmıńka konvektivnı´rovnova´hy odvozena´bez ohledu na zmeˇny strˇednı´molekulove´ hmotnosti cˇa´stic je silneˇjsˇı´ nezˇpodmıńka odvozenaóbecneˇ. Toto zanedbańı´se ovsˇem necˇinı´v rovnici tepelne´rovnova´hy (152).) Po dosazenı´

∂S ∂S ∂T ∂P 1 ∂U P ∂ρ 1 ∂U P ∂ρ dS = dT + dP . (228) T ∂T − ρ2 ∂T T ∂P − ρ2 ∂P z P }| P { z T }| T { Vyuzˇijeme faktu, zˇe entropie maú´plny´diferencia´l, a napı´sˇeme podmıńku za´meˇnnosti druhyćh derivacı´

∂2S ∂2S = , (229) ∂P∂T ∂T∂P

48 neboli14 ∂ 1 ∂U P ∂ρ ∂ 1 ∂U P ∂ρ = , (230) ∂P T ∂T − ρ2 ∂T ∂T T ∂P − ρ2 ∂P P P T T

1 ∂U 1 ∂ρ 2P ∂ρ ∂ρ P ∂ρ + = T ∂T∂P − ρ2 ∂T ρ3 ∂P ∂T − ρ2 ∂T∂P P P 1 ∂U P ∂ρ 1 ∂U 2P ∂ρ ∂ρ P ∂ρ = + + , (231) −T 2 ∂P − ρ2 ∂P T ∂P∂T ρ3 ∂T ∂P − ρ2 ∂T∂P T T T cozˇlze jesˇteˇza prˇedpokladu za´meˇnnosti druhy´ch derivacı´vnitrˇnı´energie a hustoty upravit na tvar

T ∂ρ ∂U P ∂ρ = . (232) ρ2 ∂T ∂P − ρ2 ∂P P T T Tuto podmı´nku dosadı´me do 228 a oznacˇı´me prˇitom

∂ ln ρ T ∂ρ δ = = . (233) − ∂ ln T ρ ∂T P P Rovnice (228) tak prˇejde do tvaru

∂Q ∂P P ∂U P δ δ dQ = T dS = + dT dP . (234) ∂T ρT − ρ z }|P {

Vyuzˇijeme take´deﬁnice speciﬁcke´ho tepla cP , jakozˇto snadno prˇedstavitelne´velicˇiny, protozˇe podle rovnice (234) je

∂Q ∂U P δ c = = + . (235) P ∂T ∂T ρT P P Konecˇneˇdosta´va´me15 δ T dS = c dT dP . (236) P − ρ

14 ∂P ∂T P a T jsou zde neza´visle´ promeˇnne´, tudı´zˇ ∂T =0, ∂P =0. 15Neˇkterˇıáutorˇi tento vztah pouzˇı´vajıí na prave´straneˇrovnice tepelne´rovnova´hy. S ohledem na zanedbańı´ cˇlenu˚s dµ se tı´m ale dopousˇteˇjıćhyby, ktera´mu˚zˇe hra´t roli zejmeńa u modelu˚s hluboky´mi podpovrchovy´mi konvektivnı´mi zońami.

49 Pro prakticky´vy´pocˇet je trˇeba pouzˇı´t pro velicˇiny cP a δ konkre´tnı´vy´razy za´visejı´cı´, m.j. na pouzˇite´stavove´ rovnici. Zde se omezı´me na obecnou formulaci a nebudeme cP , δ speciﬁkovat. Pro adiabaticky´deˇj (dS =0) prˇejde (236) na δ c dT = dP , (237) P ρ a po deˇlenı´ dMR dT δ dP = . (238) dR c ρ dR ad P dP Nakonec dosadı´me za dR z rovnice hydrostaticke´rovnova´hy (92) a z rovnice kontinuity (89) dT δ GM = R . (239) dR −c R2 ad P To je rovnice konvektivnı´rovnova´hy.

Jednotny´za´pis za´rˇiveá konvektivnı´rovnova´hy. Zavedeme-li symbol d ln T P dT P dT dR = = = , (240) ∇ d ln P T dP T dR dP lze podmıńku pro konvekci (224) zapsat jednodusˇe jako < , (241) ∇ad ∇rad kde konkre´tnı´vy´razy pro (kladne´) gradienty jsou 3κP L R (242) rad = 4 , ∇ 16πacGMRT δP ad = . (243) ∇ cP ρT Vy´hodou tohoto za´pisu je, zˇe rovnice za´rˇiveá konvektivnı´rovnova´hy lze zapsat najednou jako dT GT M R (244) = 4 , dMR −4πP R ∇ kde = min( , ) , (245) ∇ ∇rad ∇ad cˇili pouzˇije se vzˇdy ten mensˇı´z gradientu˚.16 Shrnˇme na za´veˇr, kdy a kde obvykle nasta´va´konvekce?

16Prˇenos energie konvekcı´je mnohem ućˇinneˇjsˇıńezˇprˇenos za´rˇenı´m, proto v konvektivnıćh zońaćh pocˇı´ta´me pouze s konvekcı´, i kdyzˇv nich za´rovenˇprobı´ha´prˇenos za´rˇenı´m.

50 1. kdyzˇje opacita κ vysoka´, pak je totizˇ rad velke´. Za´rˇenıńemu˚zˇe nepru˚hledny´m materia´lem pronikat a prˇirozeneˇtak vznika´velky´teplotnı´spa´d.∇ To se sta´va´ve vneˇjsˇıćh vrstvaćh chladneˇjsˇıćh hveˇzd, naprˇ. tak vznika´konvektivnı´zońa Slunce;

2. pokud docha´zı´k ionizaci, protozˇe pak je tepelna´kapacita c velka´17 a male´; P ∇ad 3. je-li strma´ za´vislost produkce energie ǫ(T ) na teploteˇ, jako tomu je u CNO cyklu, by´va´ velky´ gradient . Proto u masivneˇjsˇıćh hveˇzd existujı´konvektivnı´ja´dra. ∇rad Podpovrchove´vrstvy. Ze soucˇasne´teorie konvekce plyne, zˇe asi v 95 azˇ98 % hmoty hveˇzdy je konvekce adiabaticka´, ale v podpovrchovyćh vrstvaćh to neplatı´. Zde se pouzˇı´va´ semiempiricka´teorie konvekce, ve ktere´vystupuje parametr α, charakterizujıćı´pomeˇr mezi strˇednı´volnou dra´hou konvektivnı´ho elementu a tlakovou sˇka´lou,

− l d ln P 1 P α = = = . (246) H − dR −dP/dR P Obvykle se tato hodnota empiricky volı´, typicky α =1 azˇ 2. Jak vidı´me na obr. 20, mu˚zˇe zmeˇna parametru vy´voj hveˇzdy znacˇneˇovlivnit. Podle teorie, popsane´naprˇ. v Carrol a Ostlie (2007), vycha´zı´pro tok tepla

3 3 2 2 2 k T 1 dT 2 H = ρc β 2 δ α , (247) conv P µ g dR kde g oznacˇuje tı´hove´zrychlenı´, β pomeˇr tlaku plynu k celkove´mu tlaku.

17 ∂Q Doda´vka tepla Q se spotrˇebova´va´na ionizaci a teplota T se zvy´sˇı´jen nepatrneˇ, cˇili cP = ∂T vycha´zı´velke´. P 51 5.4

5.3

5.2

5.1 Sun L / 5 L log 4.9

4.8

4.7 M = 20 MSun, Z = 0.02, ls/HP = 1.5 ls/HP = 2 4.6 4.6 4.4 4.2 4 3.8 3.6 3.4

log [Tsurf]K

Obra´zek 20: Vliv volby parametru α = l/HP semiempiricke´teorie konvekce v podpovrchovyćhvrstvaćh na vy´voj hveˇzdy 20 M⊙ v H–R diagramu. U lehcˇıćh hveˇzd (M 1 M⊙) ovlivnˇuje volba parametru ovlivnˇuje i polohu hveˇzdy na hlavnı´posloupnosti nulove´ho veˇku, nebot’jizˇprˇi kolapsu byla≃ hveˇzda konvektivnı´. Vy´pocˇet programem EZ.

52 4 Matematicka´struktura rovnic hveˇzdne´ho nitra

Z matematicke´ho hlediska jsou rovnice stavby hveˇzd (89), (91), (152), (244) soustavou cˇtyrˇnelinea´rnıćh obycˇejnyćh diferencia´lnıćh rovnic pro cˇtyrˇi nezna´me´funkce R(MR, t),P (MR, t), LR(MR, t), T (MR, t) dvou neza´vislyćh promeˇnnyćh: (i) zobecneˇne´geometricke´sourˇadnice MR a (ii) cˇasu t. Soustavu uzavı´ra´jesˇteˇ (nediferencia´lnı´) stavova´rovnice (75) pro vy´pocˇet ρ(MR, t). Kromeˇtoho v rovnicıćh vystupujı´ za´visle´ parametry charakterizujıćıćhemicke´slozˇenı´ X(MR, t),Y (MR, t),Z(MR, t). Funkce popisujıćıńuklea´rnı´ prˇemeˇny ǫnuk(ρ,T,X,Y,Z) a opacitu κ(ρ,T,X,Y,Z) jsou sice slozˇite´, ale zadane´. Prˇi rˇesˇenı´rovnic pouzˇı´va´me urcˇita´zjednodusˇenıá podle nich rozlisˇujeme trˇi typy modelu˚: 1. staciona´rnı´model, ktery´je nejjednodusˇsˇıá neobsahuje zˇa´dnou za´vislost na cˇase (vsˇechny cˇasove´ derivace jsou nulove´), m.j. prˇedpokla´da´me hydrostatickou rovnova´hu. Rovnice pak majı´tvar dR 1 (248) = 2 , dMR 4πR ρ dP GM R (249) = 4 , dMR − 4πR dLR = ǫnuk(ρ,T,X,Y,Z) , (250) dMR dT GT M R (251) = 4 , dMR −4πP R ∇ kde gradient = min( , ) je dań vy´razy (242), (243). Nezna´my´mi jsou zde cˇtyrˇi funkce ∇ ∇rad ∇ad R(MR),P (MR), LR(MR), T (MR) jedne´promeˇnne´. Model umozˇnˇuje vypocˇı´tat pouze strukturu nitra (v jednom cˇasove´m okamzˇiku). 2. vy´vojovy´model, kteryćˇas t explicitneˇobsahuje, jednak v rovnici tepelne´rovnova´hy

dLR dS = ǫnuk T , (252) dMR − dt ktera´zahrnuje cˇasove´zmeˇny vnitrˇnıá potencia´lnı´ energie, a jednak v rovnicıćh pro zmeˇny chemicke´ho slozˇenı´. Omezı´me-li se na nuklea´rnı´prˇemeˇny vodı´ku a helia, lze naprˇ. pro cˇasovou zmeˇnu obsahu helia psa´t ∂Y = α ǫ , (253) ∂t i i i X kde koeficienty αi zjevneˇoznacˇujı´prˇevraćenou hodnotu mnozˇstvıénergie vznikleú´plnou nuklea´rnı´ prˇemeˇnou 1 g la´tky v te´ktere´reakci (koeficient pro nuklea´rnı´spalovańı´helia bude mı´t prˇirozeneˇ v dane´m prˇı´padeˇopacˇne´znameńko, nezˇreakce spalovańı´vodı´ku na helium), a ǫi jsou energeticke´ vydatnosti jednotlivyćh reakcı´. Pro kazˇde´mı´sto ve hveˇzdeˇproto mu˚zˇeme psa´t ∂Y Y (M , t + dt)= Y (M , t)+ dt . (254) R R ∂t 53 V oblastech konvektivnıćh zoń je jesˇteˇtrˇeba takto zı´skane´velicˇiny homogenizovat s ohledem na ućˇinne´ promıćha´vańı´. V kazˇde´konvektivnı´zońeˇbude obsah helia YK homogennıá bude dań vztahem Y (M , t + dt)dM Y (t + dt)= K R R . (255) K dM R K R Protozˇe v oblastech spalovańı´vodı´ku musı´vsˇudeR zu˚sta´vat konstantnı´soucˇet relativnı´ho mnozˇstvı´ vodı´ku a helia a te´zˇobsah uhlı´ku

X + Y = konst., XC = konst. , (256) a protozˇe v oblastech spalova´nı´helia platı´

X =0 ,Y + XC = konst. , (257) lze pomocı´zmeˇn relativnı´ho obsahu helia Y vsˇude snadno spocˇı´tat i zmeˇny ostatnıćh elementu˚. Pokud na´s zajı´ma´detailnıćhemicky´vy´voj jednotlivyćh isotopu˚, je prˇirozeneˇmozˇne´rozepsat zvla´sˇt’ jednotlivećˇa´sti jadernyćh reakcıá sledovat zmeˇny vsˇech isotopu˚pomocı´veˇtsˇı´ho pocˇtu analogickyćh rovnic. Vy´vojovy´model vlastneˇumozˇnˇuje spocˇı´tat sekvenci staciona´rnıćh modelu˚, mezi ktery´mi lze pouzˇı´t relativneˇvelkyćˇasovy´krok ∆t, prˇi ktere´m zmeˇnı´me chemicke´slozˇenı´. Zmeˇny chemicke´ho slozˇenı´ jsou „motorem“ hveˇzdne´ho vy´voje! Sta´le vsˇak pouzˇı´va´me podmıńku hydrostaticke´rovnova´hy, cˇili vesˇkere´zmeˇny struktury musı´by´t velmi pozvolne´. 3. dynamicky´model je nejslozˇiteˇjsˇı´, pouzˇı´va´se v neˇm pohybova´rovnice d2R GM dP R 2 (258) 2 = 2 4πR , dt − R − dMR protozˇe zrychlenı´(setrvacˇnyćˇlen) nelze zanedbat. Tı´m se ovsˇem rovnice stavby sta´vajı´soustavou parcia´lnıćh diferencia´lnıćh rovnic 2. rˇa´du. Nezbytny´malyćˇasovy´krok proble´m komplikuje i po numericke´strańce. Takovy´model musı´me pouzˇı´t, pokud docha´zı´k rychly´m zmeˇna´m struktury. Jako krite´rium mu˚zˇe slouzˇit dynamicka´sˇka´la

3 R∗ 1 τdyn , (259) ≃ GM∗ ≃ Gρ¯ s r vlastneˇrˇa´dovy´odhad doby volne´ho pa´du hveˇzdy.18 Je-li ve vy´vojove´m modelu optima´lnı´cˇasovy´ krok ∆t < τdyn, jsme nuceni jej opustit a pocˇı´tat dynamicky.

3 18 a GM R Pro pohyb povrchu hveˇzdy lze pouzˇı´t III. Kepleru˚v za´kon T 2 = 4π2 , prˇicˇemzˇvelkou poloosu a ztotozˇnı´me s 2 a polovinu obeˇzˇne´doby T/2 s τdyn.

54 5 Pocˇa´tecˇnı´a okrajove´podmı´nky

Abychom diferencia´lnı´rovnice vu˚bec mohli rˇesˇit, musı´me specifikovat neˇjake´pocˇa´tecˇnıá okrajove´pod- mıńky. V nasˇem prˇı´padeˇse jednaó rovnice 1. rˇa´du, cˇili zada´va´me hodnoty neˇkteryćh studovanyćh velicˇin (R,P,L,T )19 v cˇase t =0 nebo hodnoty na hranicıćh hveˇzdy (naprˇ. v centru, na povrchu), ktere´pak budou platit ve vsˇech cˇasech (obr. 21). V modelech se vyskytujı´te´zˇ volne´parametry, naprˇ. celkova´hmotnost hveˇzdy M∗, pocˇa´tecˇnıćhemicke´ slozˇenı´ X,Y,Z, parametr konvekce α, v sofistikovaneˇjsˇıćh modelech volı´me ućˇinnost hveˇzdne´ho veˇtru ηwind apod. I pro neˇmusı´me samozrˇejmeˇvymyslet vhodne´hodnoty.

fotosféra podfotosférické vrstvy

nitro

MR =0 MR =M∗

Obra´zek 21: Zna´zorneˇnıókrajovyćh podmıńek v centru a na povrchu; hveˇzda je rozdeˇlena na fotosfe´ru, podfotosfe´ricke´vrstvy a nitro.

Pocˇa´tecˇnı´ podmıńky (t = 0). Acˇkoliv na´m prˇı´roda prˇi pozna´vańı´ deˇju˚ a jejich prˇıćˇin obvykle ha´zı´ klacky pod nohy, v prˇı´padeˇhveˇzdnyćh modelu˚byla milosrdna´v tom smyslu, zˇe protohveˇzda po sve´m vzniku v molekula´rnı´m mracˇnu projde prˇi smrsˇt’ovańı´ sta´diem, kdy je prakticky cela´ve stavu konvektivnı´ rovnova´hy. To znamena´, zˇe jedna pocˇa´tecˇnı´podmıńka je necˇekaneˇjednoducha´: na pocˇa´tku nuklea´rnı´ho vy´voje je hveˇzda chemicky homogennı´:

X(MR, t = 0) = konst. , (260)

Y (MR, t = 0) = konst. , (261)

Z(MR, t = 0) = konst. (262)

Jako vyćhozı´mu˚zˇeme prˇijmout chemicke´slozˇenı´ pozorovane´v atmosfe´rˇe norma´lnıćh hveˇzd. Atmosfe´ra totizˇby´va´zcela oddeˇlenaód ja´dra, kde probı´hajıńuklea´rnı´prˇemeˇny, a to zońou za´rˇive´rovnova´hy, ve ktere´ nedocha´zı´k zˇa´dne´mu promıćha´vańı´. Cˇasto studovanaćhemicka´slozˇenıúva´dı´tab. 2.

19Kdyby se jednalo o rovnice 2. rˇa´du, museli bychom zadat take´1. derivace.

55 Tabulka 2: Typickaćhemicka´slozˇenı´ru˚znyćh hveˇzdnyćh populacı´.

XY Z populace 0,60 0,35 0,044 mlade´hveˇzdy v Galaxii 0,70 0,28 0,02 Slunce 0,68 0,30 0,02 populace I (hveˇzdy 3. generace) 0,75 0,25 0,001 populace II (2. generace) 0,76 0,24 0,0001 populace III (1. generace po Velke´m trˇesku) ≤ 0,004 Male´Magellanovo mracˇno

Okrajove´podmı´nky v centru (MR =0). V centru je zrˇejmeˇ

LR = 0 , (263) R = 0 , (264) cozˇplyne ze za´kladnı´fyziky a geometrie. Tyto okrajove´ podmıńky vsˇak vedou k singulariteˇ za´kladnıćh rovnic. V blı´zkosti centra hveˇzdy proto pouzˇijeme linea´rnıáproximaci, v za´sadeˇrozvoj se zanedbańı´m cˇlenu˚ . vysˇsˇıćh rˇa´du˚. Diferencia´lnı´rovnici zachovańı´ hmoty (89) tedy zintegrujeme za prˇedpokladu ρc = konst.

MR R 2 dMR = 4πR ρcdR , (265) Z0 Z0 4 M = πR3ρ , (266) R 3 c takzˇe dostaneme obycˇejnou rovnici

1 3M 3 R = R . (267) 4πρ c Rovnice tepelne´rovnova´hy (152) prˇejde zrˇejmeˇdo tvaru dS L = ǫ T c M . (268) R nukc − c dt R Pro tlak ma´me z rovnice hydrostaticke´rovnova´hy (92) P MR GM R (269) dP = 4 dMR , Pc 0 − 4πR Z Z 4 MR 3 GMR 4πρc P Pc = dMR = − 0 − 4π 3MR Z 4 3 4 2 G 4π 3 3 = ρc M , (270) − 2 3 R 56 a analogicky

1 3 4 2 G 4π 3 3 −1 T T = ρc M T P . (271) − c − 2 3 R c∇c c

Okrajove´podmıńky na povrchu (MR = M∗). Konstrukce okrajovyćh podmıńek na povrchu hveˇzdy je poneˇkud slozˇiteˇjsˇı´, protozˇe by bylo prˇı´lisˇhrube´prˇedpokla´dat na povrchu hveˇzdy nulovy´tlak a teplotu (P (M∗, t)=0, T (M∗, t)=0). Obvykle se mı´sto toho pocˇı´ta´zjednodusˇeny´model povrchovyćh cˇa´stı´ hveˇzdy, prˇicˇemzˇse uvazˇujı´dveˇru˚zne´vrstvy:

1. fotosfe´ra, tj. tenka´polopru˚hledna´vrstva, ze ktere´unika´za´rˇenı´do mezihveˇzdne´ho prostoru;

2. podfotosfe´ricke´vrstvy, ve kteryćh je materia´l jesˇteˇve stavu neu´plneíonizace a kde nelze konvekci povazˇovat za adiabatickou. Podfotosfe´ricke´vrstvy obsahujıóbvykle pouze 2 azˇ5% hmoty hveˇzdy, ale cˇasto vıće nezˇpolovinu jejı´ho celkove´ho objemu.

Fotosfe´ra. Ve fotosfe´rˇe, jejı´zˇcelkova´hmotnost i rozmeˇry jsou jizˇzanedbatelne´, se obvykle jako neza´visle promeˇnna´volı´ opticka´hloubka τ, ktera´se zava´dı´pomocı´vztahu

dτ = κρdx , (272) kde x oznacˇuje geometrickou hloubku uvazˇovane´ho mı´sta ve fotosfe´rˇe, meˇrˇenou od „vneˇjsˇı´ho okraje“ fotosfe´ry smeˇrem do strˇedu hveˇzdy. Pro pru˚beˇh teploty s optickou hloubkou lze pouzˇı´t aproximacˇnı´vztah, zalozˇeny´na neˇktere´m zcela jednoduche´m nebo poneˇkud slozˇiteˇjsˇı´m modelu atmosfe´ry. Pro nejjednodusˇsˇı´ model lze psa´t

1 3 T 4 = T 4 1+ τ . (273) 2 eff 2 Vsˇimneˇme si, zˇe z uvedene´ho vztahu vyply´va´, zˇe teplota v opticke´hloubce τ =2/3 se pra´veˇrovnaéfektivnı´ teploteˇhveˇzdy. Slozˇiteˇjsˇıá prˇesneˇjsˇı´vztahy pro pru˚beˇh teploty s optickou hloubkou lze nale´zt naprˇ. v pracech Bo¨hm-Vitense (1958) cˇi Ando a Osaki (1975). Pro zmeˇnu tlaku plynu lze psa´t g dP = gρ dx = dτ , (274) g κ

−2 kde g = GM∗R∗ je gravitacˇnı´zrychlenı´na povrchu hveˇzdy. Podle Unso¨lda (1955) je trˇeba tı´hove´zrychlenı´ korigovat s ohledem na tlak za´rˇenı´podle vztahu

g = g σκc−1T 4 , (275) eﬀ − eﬀ

57 takzˇe pru˚beˇh tlaku plynu ve fotosfe´rˇe mu˚zˇeme pocˇı´tat podle rovnice

dP g g = eﬀ . (276) dτ κ

Je zrˇejme´, zˇe vy´raz pro efektivnı´tı´hove´zrychlenı´ geff je zalozˇen na vztahu (273) pro nejjednodusˇsˇıátmosfe´ru. Podle (190) a (195) platı´totizˇ 4 16σ dP = aT 3dT = T 3dT . (277) r 3 3c Diferencovańı´m vztahu (273) dosta´va´me 3 4T 3dT = T 4 dτ , (278) 4 eff takzˇe

−1 4 dPr = σc Teﬀ dτ . (279)

Odtud je jizˇ vy´raz (275) pro efektivnı´ tı´hove´ zrychlenı´ nasnadeˇ. Je dobrˇe si uveˇdomit, zˇe pokud pro pru˚beˇh teploty s optickou hloubkou pouzˇijeme neˇjaky´dokonalejsˇı´model atmosfe´ry, je nutne´modifikovat i vy´raz (275) pro korekci tı´hove´ho zrychlenıó tlak za´rˇenı´. S vyuzˇitı´m interpolace v tabulkaćh opacitnıćh koeficientu˚ κ(ρ, T ) je mozˇno rovnici (273) a rovnici (276), cˇi jejı´dokonalejsˇı´tvar, rˇesˇit numericky od opticke´ hloubky τ = 0 azˇdo dolnı´hranice fotosfe´ry, t.j. pro 2 τ = 3 . (Neˇkterˇıáutorˇi doporucˇujıúkoncˇit rˇesˇenıázˇ u τ =2.) Pro τ =0 se obvykle volıńeˇjaka´velmi mala´, ale nenulova´hustota, naprˇ. ρ = 10−6 kg m−3. Na dolnı´hranici fotosfe´ry bude

2 T = T (τ = 3 ) , (280) a P = P (τ = 2 )= P (τ = 2 )+ T 4(τ = 2 ) . (281) 3 g 3 3 3 Z deﬁnice efektivnı´teploty jesˇteˇplyne

2 4 2 4 L∗ =4πR∗σTeﬀ = πacR∗Teﬀ , (282) takzˇe

1 2 −2 L∗ R∗ = T . (283) eff πac Podfotosfe´ricke´vrstvy. Vy´pocˇet pro podfotosfe´ricke´vrstvy se obvykle zjednodusˇuje prˇedpokladem, zˇe se za´rˇivy´tok LR v teˇchto oblastech s malou hmotou a mimo zońu nuklea´rnı´prˇemeˇny prakticky nemeˇnı´ a rovnice tepelne´rovnova´hy se ze soustavy rovnic vypousˇtı´. Z vy´pocˇetnıćh du˚vodu˚se ukazuje vy´hodne´

58 volit v teˇchto oblastech za neza´visle promeˇnnou tlak P , nebot’hmota se meˇnı´velmi ma´lo. Prˇechod k jine´ neza´visle´promeˇnne´je jednoduchy´, jde jen o na´sobenı´ rovnic stavby

LR = L∗ , (284) dM 4πR4 R = , (285) dP −GMR dR dR dM R2 = R = , (286) dP dMR dP −ρ GMR dT dT dM T = R = . (287) dP dMR dP P ∇ Zmeˇny ionizace se „skry´vajı´“ ve stavove´rovnici, respektive ve strˇednı´molekulove´hmotnosti µ a parametru Q (80). Stavovou rovnici musı´me k vy´sˇe uvedeny´m diferencia´lnı´m rovnicı´m prˇidat, abychom byli schopni vypocˇı´tat ρ(T,P ). Rovnice se obvykle numericky integrujı´(naprˇ. metodou Runge-Kutta), od spodku fotosfe´ry azˇdo MR/M∗ =0,97, kde jizˇmu˚zˇeme prˇedpokla´dat, zˇe je hveˇzdny´materia´l zcela ionizova´n.

59 6 Henyeova numericka´metoda integrace vnitrˇnı´ch cˇa´stı´hveˇzdy

V soucˇasnosti se k numericke´mu rˇesˇenı´rovnic vnitrˇnı´ stavby hveˇzd nejcˇasteˇji uzˇı´va´metoda kompletnı´ linearizace rovnic, kterou poprve´navrhli Henyey a spol. (1959) a ktera´se pozdeˇji zacˇala pouzˇı´vat i k vy´pocˇtu modelu˚atmosfe´r.

6.1 Metoda u´plne´linearizace Metoda u´plne´linearizace sesta´va´z na´sledujıćıćh kroku˚: 1. diskretizace rovnic; 2. doplneˇnıókrajovyćh podmıńek v centru;

3. konstrukce vneˇjsˇıćh okrajovyćh podmıńek, sesta´vajıćı´z: (a) odhadu za´rˇive´ho vy´konu L∗ a efektivnı´ teploty Teff ; (b) vy´pocˇtu trˇı´ modelu˚ fotosfe´ry a podpovrchovyćh vrstev; (c) nalezenı´ koeficientu˚ bilinea´rnıćh forem R1(P1, T1), L1(P1, T1); 4. linearizace rovnic; 5. iteracˇnı´ho vy´pocˇtu staciona´rnı´ho modelu; 6. cˇasove´ho kroku v prˇı´padeˇvy´vojove´ho modelu.

Diskretizace. Prvnı´m krokem je prˇechod od diferencia´lnıćh rovnic k diferencˇnı´m, cˇili diskretizace proble´mu. Celeńitro hveˇzdy (tj. oblast, kde je la´tka ve stavu u´plneíonizace) rozdeˇlı´me na dostatecˇny´pocˇet koncentrickyćh slupek a ocˇı´slujeme je smeˇrem od povrchu do centra indexem j =1 ...N (obr. 22), volı´me naprˇ. N = 200. Zada´me tak vlastneˇdiskre´tnı´hodnoty Mj, pu˚vodneˇspojiteńeza´visle´promeˇnne´ MR. Derivace spojityćh funkcı´ R,P,LR, T na levyćh stranaćh rovnic nahradı´me rozdı´ly promeˇnnyćh Rj,Pj, Lj, Tj mezi sousednı´mi slupkami j a j +1. Mı´sto vy´razu˚na pravyćh stranaćh rovnic pı´sˇeme jejich aritmeticke´pru˚meˇry mezi j-tou a (j+1)-nı´slupkou.20 Naprˇı´klad pro rovnici hydrostaticke´rovnova´hy ma´me (po prˇevedenı´vsˇech cˇlenu˚vlevo) dP GM P P 1 GM GM + R j − j+1 + j + j+1 =0 . (288) dM 4πR4 ≃ M M 2 4πR4 4πR4 R j − j+1 j j+1 Pro kazˇdou dvojici slupek ma´me k dispozici cˇtyrˇi rovnice stavby, cˇili mu˚zˇeme sestavit celou soustavu rovnic, kterou si abstraktneˇoznacˇı´me

Gij =0 , (289) kde i =1 . . . 4 a j =1 ...N 1. Jedna´se o 4(N 1) rovnic pro 4N nezna´my´ch Rj,Pj, Lj, Tj. Je zrˇejme´, zˇe budeme muset jesˇteˇneˇjake´rovnice− doplnit. −

20 1 Nebo lze do pravy´ch stran dosadit pru˚meˇrne´hodnoty velicˇin 2 (Rj + Rj+1), atd.

60 1 2 3 4

N 3 − N 2 − N 1 − N

Obra´zek 22: Diskretizace nitra hveˇzdy na N koncentricky´ch slupek. Cˇa´rkovaneˇjsou naznacˇene´jesˇteˇpodfotosfe´ricke´vrstvy a fotosfe´ra.

Okrajove´podmıńky v centru. Prˇepis okrajovyćh podmıńek (263) a (264) je zcela jednoduchy´

LN = 0 , (290)

RN = 0 . (291) Pocˇet rovnic tak stoupne na 4N 2. − Vneˇjsˇıókrajove´podmıńky. Okrajove´podmıńky na povrchu jsou vsˇak komplikovaneˇjsˇı´, protozˇe nelze prˇedepsat urcˇitou hodnotu R1, P1, L1 nebo T1, to bychom chybneˇomezili rˇesˇenı´! Nejprve podle zadane´ hmotnosti hveˇzdy M∗ odhadneme trˇi dvojice hodnot za´rˇive´ho vy´konu a efektivnı´teploty

(1,2,3) L∗, Teff , (292) v okolıócˇeka´vane´polohy hveˇzdy na HR diagramu. Pak spocˇteme trˇi modely fotosfe´ry (od τ =0 do τ 2/3) ≃ a podfotosfe´rickyćh vrstev (od P do M /M∗ 0,97) a zı´ska´me tak trojı´hodnoty fotosféry R ≃ (1) R1,P1, L1, T1 , (2) R1,P1, L1, T1 , (293) (3) R1,P1, L1, T1 , ze kteryćh metodou nejmensˇıćh cˇtvercu˚vypocˇı´ta´me koeficienty α1, β1,γ1 a α2, β2,γ2 bilinea´rnıćh forem

R1 = α1P1 + β1T1 + γ1 , (294)

L1 = α2P1 + β2T1 + γ2 . (295)

61 Ty pouzˇijeme jako okrajove´podmıńky. Vsˇimneˇme si, jak jsme to udeˇlali chytrˇe — prˇedepsali jsme pouze prˇiblizˇne´funkcˇnı´za´vislosti R1 = f1(P1, T1), L1 = f2(P1, T1), nikoli konkre´tnı´hodnoty velicˇin! Ma´me tedy konecˇneˇ 4N rovnic pro 4N nezna´myćh, ale nema´me vyhrańo. Soustava je totizˇ silneˇnelinea´rnı´ a nelze pro jejı´rˇesˇenı´pouzˇı´t neˇjakou jednoduchou metodu.

Linearizace. Celou soustavu rovnic mu˚zˇeme rˇesˇit tak, zˇe hodnoty promeˇnnyćh Rj,Pj, Lj, Tj prosteˇ odhadneme (pak ovsˇem rovnice (289) nebudou platit), v rovnicıćh (289) provedeme za´meˇnu za „odhady plus maleópravy“

R R + ∆R , j → j j P P + ∆P , j → j j L L + ∆L , j → j j T T + ∆T , (296) j → j j a celou soustavu linearizujeme21

Gij + dGij =0 , (297) kde

∂Gij ∂Gij ∂Gij ∂Gij dGij = ∆Rj + ∆Pj + ∆Lj + ∆Tj + ∂Rj ∂Pj ∂Lj ∂Tj ∂Gij ∂Gij ∂Gij ∂Gij + ∆Rj+1 + ∆Pj+1 + ∆Lj+1 + ∆Tj+1 . (298) ∂Rj+1 ∂Pj+1 ∂Lj+1 ∂Tj+1 Parcia´lnı´derivace snadno spocˇteme z pu˚vodnı´ch rovnic, naprˇı´klad ∂G ∂ P P 1 GM GM GM 23 = 3 − 4 + 3 + 4 = 3 . (299) ∂R ∂R M M 2 4πR4 4πR4 −2πR5 3 3 3 − 4 3 4 3

Iterace. Soustavu (297) 4N linea´rnıćh rovnic o 4N nezna´myćh ∆Rj, ∆Pj, ∆Lj, ∆Tj vyrˇesˇı´me snadno (naprˇ. Gaussovou eliminacˇnı´metodou nebo le´pe metodou optimalizovanou pro rˇesˇenı´pa´sovyćh matic). Zı´skaneópravy pu˚vodnıćh odhadu˚pouzˇijeme pro zprˇesneˇnı´

(2) (1) (1) Rj = Rj + ∆Rj , (2) (1) (1) Pj = Pj + ∆Pj , (2) (1) (1) Lj = Lj + ∆Lj , (2) (1) (1) Tj = Tj + ∆Tj , (300)

21 2 . 2 Nestacˇıóvsˇem pouze linearizovat jednotlive´promeˇnneńaprˇ. (Rj +∆Rj ) = Rj +2Rj∆Rj , protozˇe se v rovnicıćh vyskytujı´ jejich soucˇiny a podı´ly.

62 (2) (2) (2) (2) a soustavu (297) rˇesˇı´me znovu pro ∆Rj , ∆Pj , ∆Lj , ∆Tj . Iterace opakujeme, dokud nenı´dosazˇeno pozˇadovane´prˇesnosti (tzn. ∆Rj, ∆Pj, ∆Lj, ∆Tj jsou male´). Pokud by z nasˇeho modelu vyplynuly hodnoty L∗, Teﬀ mimo rozsah nasˇich pu˚vodnı´ch odhadu˚(292), musı´me se pochopitelneˇvra´tit k bodu 3.

Cˇ asovy´krok. Pokud pocˇı´ta´me vy´voj hveˇzdy, tj. cˇasovou posloupnost staciona´rnıćh modelu˚, zvolı´me jesˇteˇ cˇasovy´krok ∆t mezi dveˇma modely a ve vsˇech slupkaćh spocˇteme novećhemicke´slozˇenı´podle vztahu

Yj(t + ∆t)= Yj(t)+ αiǫi(ρj, Tj,Xj,Yj,Zj) ∆t , (301) i X prˇicˇemzˇv konvektivnıćh zońaćh pote´provedeme strˇedovańı´podle vztahu (255).

6.2 Meze linearizace Je poucˇne´ucˇinit si prˇedstavu o tom, jak zda´rneˇlze linearizaci diferencia´lnı´ch vztahu˚ve´st do extre´mu. Vezmeˇme si pro prˇı´klad rovnici hydrostaticke´rovnova´hy ve tvaru

dP GM ρ = R . (302) dR − R2 Jestlizˇe budeme derivaci na leve´straneˇnahrazovat diferencı´mezi centrem a povrchem (rozdeˇlı´me hveˇzdu na pouhe´dveˇslupky), dosta´va´me

P 0 GM 1 GM∗ M∗ c R (303) − = 2 ρstřední = 2 4 , 0 R∗ − R −2 R πR3 − střední ∗ 3 ∗ s prˇihle´dnutı´m k tomu, zˇe pro gravitacˇnı´zrychlenı´v centru platı´

GMR 4π gc = lim = lim GRρc =0 . (304) R→0 R2 R→0 3 Po u´praveˇdosta´va´me na´sledujı´cı´odhad centra´lnı´ho tlaku ve hveˇzdeˇ

3GM 2 ∗ (305) Pc = 4 . 8πR∗

15 Dosadı´me-li pozorovane´hodnoty M∗ a R∗ pro Slunce, dosta´va´me tlak asi 1,34 10 [CGS], zatı´mco z prˇesne´ho modelu Slunce vycha´zı´hodnota 2,269 1017 [CGS]. To je dosti velky´rozdı´l.· V tabulce 3 je srovna´nı´modelu a odhadu pro neˇkolik hmotnostı´hveˇzdy· . Je ale zajı´mave´, zˇe vztah mezi logaritmem tlaku spocˇteny´m a odhadnuty´m je skoro dokonale linea´rnı´. Vidı´me, zˇe odhad vede k poklesu centra´lnı´ho tlaku s rostoucı´hmotnostı´hveˇzdy, ve shodeˇs tı´m, co da´vajı´rea´lne´modely. Sportovneˇrˇecˇeno: jaky´si odhad toho, zˇe tlak v nitru je hodneˇvysoky´, pomocı´i tak hrube´linearizace dosta´va´me, a dokonce mu˚zˇeme spra´vneˇ kvalitativneˇodhadnout, jak se meˇnı´v za´vislosti na hmotnosti hveˇzdy.

63 Tabulka 3: Srovna´nı´spocˇtene´ho centra´lnı´ho tlaku s odhadem

Hmota hveˇzdy log Pc (model) log Pc (odhad) (M⊙) [CGS] [CGS] 1(nynı´) 17,356 15,128 7 16,609 14,709 25 16,275 14,518

64 7 Vy´voj osamocene´hveˇzdy

Podle soucˇasnyćh prˇedstav vznikajı´ hveˇzdy gravitacˇnı´m kolapsem z na´hodne´ho zhusˇteˇnı´ chladne´ me- zihveˇzdne´la´tky v obrˇıćh molekulovyćh mracˇnech. Tyto procesy jsou dnes prˇedmeˇtem intenzivnı´ho vy´zkumu, a to i v souvislosti s rozvojem pozorovacıćh technik, ktere´ prˇı´ma´pozorovańıćhladne´hmoty dovolujı´. Je zrˇejme´, zˇe se jednaó obecneˇnesfe´ricky´proble´m a slozˇiteˇjsˇı´fyziku, nezˇjakou jsme prˇi odvozovańı´rovnic stavby hveˇzd prˇedpokla´dali. Prˇiblizˇna´podmıńka pro hmotnost M mracˇna, aby se samovolneˇsmrsˇt’ovalo, je

kT 3/2 1 M > MJ konst. . (306) ≃ GµmH √ρ Nazy´va´me jej Jeansovo krite´rium. Vznikajıćı´protohveˇzdy procha´zejı´stadiem, kdy se v cele´m teˇlese ustavı´ konvektivnı´rovnova´ha, takzˇe se chemicke´slozˇenı´hveˇzdy homogenizuje. S rostoucı´hustotou roste i opacita a teplota v nitru, azˇse v nitru zazˇehnou prvnıńuklea´rnı´ reakce, nejprve energeticky ma´lo vy´znamna´ slucˇovańı´ lithia, berylia a bo´ru, ale nakonec prima´rnı´slucˇovańı´vodı´ku na helium. Uvolnˇovana´jadernaénergie je zcˇa´sti vyza´rˇena, zcˇa´sti je pohlcena; to vede k ru˚stu centra´lnı´teploty, hustoty a tlaku. Protozˇe nuklea´rnı´produkce energie je funkcı´vysoke´mocniny teploty a je prˇı´mo u´meˇrna´hustoteˇ, vede rozdı´l podmıńek od mı´sta k mı´stu i k ustavenı´potrˇebne´ho gradientu tlaku a k dosazˇenı´stavu hydrostaticke´rovnova´hy. Okamzˇik ustavenı´hydrostaticke´rovnova´hy by´vaóbvykle ztotozˇnˇovań s polohou hveˇzdy v HR diagramu na hlavnı´posloupnosti nulove´ho veˇku. Poloha hveˇzdy je jednoznacˇneˇdańa jejı´hmotnostı´ M∗ a pocˇa´tecˇnı´m chemicky´m slozˇenı´m X,Y,Z.

7.1 Ilustrativnı´prˇı´klad: vy´voj hveˇzdy o hmotnosti 4 M ⊙ Popisˇme si jako ilustrativnı´prˇı´klad vy´voj hveˇzdy s hmotnostı´ M∗ = 4 M⊙ a s pocˇa´tecˇnı´m chemicky´m slozˇenı´m odpovı´dajıćı´m mlady´m hveˇzda´m v Galaxii, X =0,602 a Z =0,044 (z toho XN =0,014): 0. cˇas t = 0, bod 1 na obr. 23, 24, dosazˇenı´hydrostaticke´rovnova´hy, CNO cyklus, konvektivnı´zońa v centru: U te´to hveˇzdy hraje jizˇrozhodujıćı´roli CNO cyklus jaderne´prˇemeˇny. V centru hveˇzdy a jeho okolı´se jizˇprˇi dosazˇenı´hydrostaticke´rovnova´hy vytvorˇı´ konvektivnı´zońa, ktera´zahrnuje 18 % celkove´hmotnosti hveˇzdy.

1a. pokles Xc pokles κ pokles rad zmensˇovańı´konvektivnı´zońy: Prima´rnı´prˇıćˇinou vy´voje hveˇzdy je jaderne´slucˇovanı´vodı´ku.→ → ∇ Dı´ky→ neˇmu postupneˇv centra´lnıćh cˇa´stech uby´va´vodı´ku a prˇiby´va´ helia. Na produkci nuklea´rnı´ energie to ma´ dlouho jen maly´ vliv dı´ky ućˇinne´mu promıćha´vańı´ v konvektivnı´zońeˇ, ktere´do centra hveˇzdy prˇina´sˇı´ sta´le novy´materia´l bohatyńa vodı´k. U´ bytek vodı´ku ma´ vsˇak za na´sledek pokles opacity, ktera´ pro dane´ hustoty a teploty klesa´ s klesajıćı´m obsahem vodı´ku. Pokles opacity znamena´prˇirozeneˇpodle rovnice (242) i pokles rad a v du˚sledku toho se tedy postupneˇ zmensˇuje hmotnost konvektivnı´ho ja´dra. Zmensˇujıćı´se konvekt∇ ivnı´ja´dro za sebou tak necha´va´v jisteóblasti hveˇzdy zońu plynule se meˇnıćı´ho chemicke´ho slozˇenı´, s klesajıćı´m obsahem vodı´ku smeˇrem k centru.

65 Obra´zek 23: H–R diagram pro vy´voj osamocene´ hveˇzdy s hmotnostı´ 4 M⊙. Hlavnı´posloupnost nulove´ho sta´rˇı´(ZAMS) je vyznacˇena cˇa´rkovaneˇ. Model zacˇıńa´v bodeˇ1 (v okamzˇiku t =0); pocˇa´tecˇnıćhemicke´slozˇenı´je X =0,602, Z =0,044, XCN =0,014.Bod2(t = 63Myr): zacˇıńa´ru˚st centra´lnı´tlak. 3) t = 84,4Myr: konec poklesu efektivnı´teploty, hveˇzda opousˇtı´hlavnı´posloupnost. 4) t = 86,1Myr: prvnı´maximum polomeˇru, hveˇzda zacˇıńa´kontrahovat. 5) t = 88,5Myr: rychly´konec termonuklea´rnıćh reakcı´v ja´dru z du˚vodu vycˇerpańı´vodı´ku. 6) t = 88,59 Myr: vytvorˇenıóba´lky, ve ktere´ horˇı´vodı´k, opeˇtovneˇroste polomeˇr hveˇzdy. 7) t = 88,62 Myr: rychly´pokles obsahu vodı´ku v centru vede ke zmizenı´ vnitrˇnı´konvektivnı´zońy. 8) t = 90,5Myr: vodı´k je v centru hveˇzdy zcela vycˇerpań, ja´dro se zmensˇuje a zahrˇı´va´, zatı´mco oba´lka se rozpıńaá ochlazuje. 9) t = 93,5Myr: hveˇzda dosahuje maxima´lnı´luminozitu. Vy´voj hveˇzdy by pokracˇoval da´le zapa´lenı´m he´liovyćh reakcı´, ale vy´pocˇet koncˇı´v tomto bodeˇ. Prˇevzato z Harmanec (1970).

Obra´zek 24: Za´vislost centra´lnı´hustoty ρc a centra´lnı´teploty Tc pro vy´voj hveˇzdy s hmotnostı´ 4 M⊙. Oznacˇenı´bodu˚je stejne´jako na obr. 23. Prˇevzato z Harmanec (1970).

66 5 M = 4 M , Z = 0.03 (EZ) S 6 M = 4 MS, Z = 0.044 (Harmanec 1970) 4.5 103

4 He shell Sun L / 3.5 L log 5 3 He core 3 2 H shell

1 4 102 2.5 H core 0

1 R/RSun = 10 2 4.2 4.1 4 3.9 3.8 3.7 3.6 3.5 3.4

log [Teff]K 8.6 Ψ = 0 5 100

5 6 8.4 He shell He core 8.2 4

K 8 3 ] c T

log [ 7.8 H shell

H core 7.6 2

1 7.4 0 M = 4 MS, Z = 0.03 (EZ) M = 4 MS, Z = 0.044 (Harmanec 1970) 7.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

log [ρc]g/cm3

Obra´zek 25: Hornı´panel: Hertzsprungu˚v–Russellu˚v diagram zachycujıćı´vy´voj hveˇzdy o hmotnosti 4 M⊙, s chemicky´m slozˇenı´m X =0,67, Z =0,03 (tyto hodnoty se mı´rneˇlisˇıód obr. 23; vy´voj tak probı´hańa jinećˇasove´sˇka´le, ale kvalitativneˇ je velmi podobny´). Bod 0 (t = 0) znacˇı´dosazˇenı´hlavnı´posloupnosti nulove´ho sta´rˇı´; bod 1 (t = 159,8Myr) opusˇteˇnı´ hlavnı´posloupnosti; bod 2 (t = 170,1Myr) spotrˇebovańı´vodı´ku v ja´dru (X = 0), pokles T ;bod3(t = 171,4Myr) c eff . zazˇehnutı´he´lia; bod 4 (t = 177,8Myr) postupne´spotrˇebova´vańı´he´lia, ru˚st L∗; bod5(t = 205,0Myr) Yc = 0, pokles centra´lnı´teploty Tc;bod6(t = 207,1Myr) konec modelu — cˇasovy´krok ∆t < τdyn dle (259). Barevneˇjsou odlisˇeny fa´ze nuklea´rnıćh prˇemeˇn: (i) horˇenı´vodı´ku v ja´dru, (ii) horˇenı´vodı´ku ve slupce, (iii) horˇenı´helia v ja´dru, (iv) horˇenı´helia ve slupce. Tecˇkovane´linie odpovı´dajı´konstantnı´m polomeˇru˚m (log L/L⊙ = 2log R/R⊙ +4log Teff /T⊙). Dolnı´panel: odpovı´dajıćı´diagram centra´lnı´hustota ρc, centra´lnı´teplota Tc. Tecˇkovane´linie vyznacˇujı´stupenˇdegenerace Ψ. Vy´pocˇet programem EZ.

67 1b. pokles Xc ru˚st µ pokles p i p zmensˇenı´ja´dra zvy´sˇenı´ T zvy´sˇenı´ ǫ: Jiny´m du˚sledkem nuklea´rnıćh→ prˇemeˇn v→ nitru hveˇzdy∇ je postupny´ru˚st→ strˇednı´molekulove´hmotnosti→ → cˇa´stic v konvektivnı´ zońeˇ, cozˇvzhledem ke stavove´rovnici (75) vede k mı´rne´mu poklesu tlaku s cˇasem. Klesaí gradient tlaku, vnitrˇnıćˇa´sti hveˇzdy se smrsˇt’ujıá zahrˇı´vajı´, cozˇovsˇem zveˇtsˇuje vy´kon nuklea´rnı´produkce a ve svyćh du˚sledcıćh i ru˚st strˇednı´hmotnosti cˇa´stic.

2. t = 63 Myr, bod 2, ru˚st T prˇeva´zˇı´ru˚st µ pc roste: Po 63 milio´nech let prˇevy´sˇı´ru˚st teploty ru˚st strˇednı´hmotnosti cˇa´stic a centra´lnı´tlak se→ pocˇne zvysˇovat. Po celou tuto dobu v du˚sledku ru˚stu produkce energie roste i celkovy´za´rˇivy´vy´kon na povrchu hveˇzdy.

3. ru˚st ǫ ru˚st L expanze vneˇjsˇıćh vrstev pokles Teff : Vysveˇtlit du˚vody vy´voje ostatnıćh po- vrchovyćh→ charakteristik→ je nesnadne´, protozˇe→ se zde kombinuje neˇkolik vlivu˚. Vy´pocˇet ukazuje, zˇe rostoucı´tok za´rˇiveénergie z centra hveˇzdy zpu˚sobuje po dlouhou dobu i pozvolnou expanzi vneˇjsˇıćh vrstev, spojenou s poklesem teploty v nich. Klesaí efektivnı´teplota hveˇzdy. . 4. t = 84 Myr, Xc = 0,04 ru˚st Teff : Azˇpo vıće nezˇ84 miliońech let se tento pokles teploty zastavı´ a teplota zacˇıńa´znovu ru˚st.→ „Kra´tce“ pote´(v cˇase 86,1 miliońu˚let) dosa´hne polomeˇr hveˇzdy loka´lnı´ho maxima a zacˇıńa´ klesat. To ovsˇem jen urychlı´ ru˚st teploty. Prvotnı´ prˇıćˇina teˇchto zmeˇn spocˇı´va´ opeˇt v nitru hveˇzdy. V te´dobeˇklesl jizˇrelativnı´hmotnostnıóbsah vodı´ku v konvektivnı´zońeˇpod Xc =0,04, cozˇse ukazuje jako kriticka´hodnota. Prˇitom spotrˇeba vodı´ku dı´ky ru˚stu teploty i hustoty sta´le roste.

5. Xc =0,0015 pokles ǫ pokles Tc smrsˇt’ovańı´hveˇzdy ru˚st ρ, T nad He ja´drem zapa´lenı´ H ve slupce → expanze→ vneˇjsˇıćh vrstev:→ V cˇase 88,5 miliońu˚let→ klesne obsah vodı´ku→ v ja´dru na → hodnotu Xc = 0,0015, cozˇjizˇvede k poklesu vy´konu nuklea´rnı´produkce a v du˚sledku toho pak i k poklesu centra´lnı´teploty. Pokles produkce je tak prudky´, zˇe cela´hveˇzda se zacˇıńa´smrsˇt’ovat. To ale vede k ru˚stu hustoty a teploty v oblastech pozmeˇneˇne´ho chemicke´ho slozˇenı´, ktere´po sobeˇzanechala k centru ustupujıćı´konvektivnı´zońa. V du˚sledku toho vznikne nad jizˇte´meˇrˇheliovy´m ja´drem druhe´ energeticke´maximum nuklea´rnı´prˇemeˇny vodı´ku na helium, vodı´kova´slupka. Intensita tohoto zdroje zpocˇa´tku velmi rychle roste, takzˇe do vrstev blı´zˇe k povrchu prˇicha´zı´vıće za´rˇiveénergie, nezˇkolik se stacˇı´vyza´rˇit, a vneˇjsˇıćˇa´sti hveˇzdy zacˇıńajı´velmi rychle expandovat (t = 88,589 Myr, bod 6). Na´sledkem toho docha´zı´k nove´mu poklesu teploty a zpocˇa´tku i za´rˇive´ho vy´konu hveˇzdy.

6. t = 88,618 Myr, bod 7, zańik konvektivnı´zońy, ustavenı´za´rˇive´rovnova´hy: S poklesem energeticke´ produkce v centru se zmensˇuje LR a tedy i rad, takzˇe po velmi kra´tke´ dobeˇ zanikne centra´lnı´ konvektivnı´zońa. Celaóblast se rychle prˇizpu˚sobı´s∇ tavu za´rˇive´rovnova´hy a nasta´va´kra´tkeóbdobı´ relativnı´stability, ve ktere´m se do znacˇne´mı´ry zastavıéxpanze hveˇzdy i smrsˇt’ovańı´ja´dra. (Gravitacˇnı´ energie uvolnˇovana´v ja´dru je v te´dobeˇzhruba o rˇa´d mensˇı´, nezˇv obdobı´zańiku konvektivnı´zońy.)

7. t = 90, 5 Myr, bod 8, X =0 smrsˇteˇnı´ja´dra (uvolneˇnı´ E ) ru˚st ρ , T destabilizace slupky c → G → c c → ru˚st ǫ tamte´zˇ expanze oba´lky, pokles Teff : Jaderne´reakce v centru brzo spotrˇebujıí zby´vajıćı´ za´sobu→ vodı´ku, takzˇe→ docha´zı´k nove´mu prudke´mu smrsˇt’ovańı´ja´dra spojene´mu s ru˚stem tlaku, hustoty,

68 Obra´zek 26: Zmeˇny vnitrˇnı´struktury hveˇzdy o hmotnosti 4 M⊙, po opusˇteˇnı´hlavnı´posloupnosti (do te´doby je struktura te´meˇrˇnemeˇnna´, pouze se zmensˇuje jaderna´konvektivnı´zońa). Dolnı´panel: zońy nuklea´rnıćh prˇemeˇn, kde je meˇrny´vy´kon ǫ> 1000erg/s/g (cˇerveneˇ) nebo ǫ> 1erg/s/g (modrˇe). Hornı´panel: konvektivnı´zońy (sveˇtle modrˇe). V cˇase 171Myr je patrny´zańik konvektivnı´zońy v centru a pote´vznik zońy povrchove´, ktera´zasahuje azˇdo oblasti, kde probı´haly nuklea´rnı´prˇemeˇny. Po zazˇehnutı´he´liovyćh reakcı´ v centru (v cˇase 172 Myr) se vytva´rˇı´druha´vnitrˇnı´konvektivnı´zońa. Vy´pocˇet programem EZ.

uvolnˇovańı´gravitacˇnıénergie a tedy i ru˚stu centra´lnı´teploty. Ru˚st teploty a hustoty narusˇıí relativneˇ stabilizovanou vodı´kovou slupku, ve ktereńasta´vańovy´rychly´ru˚st produkce nuklea´rnıénergie. To vede k noveéxpanzi a ochlazovańıóbalu hveˇzdy. Pokles teploty je rychlejsˇıńezˇpokles hustoty, opacitnı´koeficient roste, a po urcˇite´m cˇase vede i k postupne´mu poklesu za´rˇive´ho vy´konu hveˇzdy (t = 93,5 Myr, bod 9).

8. zuzˇova´nı´slupky a posouva´nı´k povrchu (kde je mensˇı´ ρ, T ) pokles ǫ pokles L∗: Vodı´kova´slupka se neusta´le zuzˇuje a posouva´smeˇrem k povrchu. Souvisı´→to s u´bytkem→ vodı´ku smeˇrem k centru a poklesem teploty a hustoty smeˇrem k povrchu. Produkce energie ve slupce proto zvolna klesa´ a snizˇuje se tı´m pa´dem i za´rˇivy´vy´kon cele´hveˇzdy.

9. pokles T v podfotosfe´rickyćh vrstvaćh pokles ionizace zvy´sˇenı´ κ vznik podpovrchove´konvek- tivnı´zońy, nad zońou pokles κ: Pokracˇujıćı´pokles→ teploty→ vyvola´pokles→ ionizace v podfotosfe´rickyćh vrstvaćh, cozˇvede ke vzniku vneˇjsˇı´konvektivnı´zońy. V tenke´vrstveˇnad touto konvektivnı´zońou navıć poklesne opacita, cˇı´mzˇje prˇenos energie smeˇrem k povrchu usnadneˇn.

69 10. rozsˇirˇovańı´konvektivnı´zońy k centru ru˚st L∗, podpovrchove´vrstvy rozhodujıćı´: Konvektivnı´zońa ktera´se postupneˇrozsˇirˇuje smeˇrem k→ centru hveˇzdy. Je trˇeba si prˇipomenout, zˇe zatı´mco v oblastech se za´rˇivy´m prˇenosem energie docha´zı´k expanzi zcˇa´sti na u´kor pohlcovane´ho za´rˇenı´, v oblastech konvekce probı´haéxpanze prakticky adiabaticky, tedy pouze na u´kor vnitrˇnıénergie. Vy´sledkem je, zˇe za´rˇivy´vy´kon hveˇzdy znovu roste a tento ru˚st probı´ha´tak rychle, jak rychle se dolnı´hranice konvektivnı´zońy prˇiblizˇuje k okraji horˇıćı´vodı´kove´slupky. Tato nova´zmeˇna struktury hveˇzdy vede k ru˚stu teploty a tedy i produkce energie ve vodı´kove´slupce. To je pozoruhodna´situace — poprve´za cely´vy´voj od hlavnı´posloupnosti nulove´ho veˇku jsou pro chovańıćele´hveˇzdy urcˇujıćı´procesy probı´hajıćı´v jejıćh podpovrchovyćh vrstvaćh.

11. T 108 K slucˇovańı´He na C zastavenı´smrsˇt’ovańı´ja´dra snı´zˇenı´ ǫ ve slupce (prˇemeˇna c ≃ → → → H na He sta´le nejvydatneˇjsˇı´) po zazˇehnutı´2. zdroje L∗ klesne: Za´rˇivy´vy´kon hveˇzdy roste do te´ doby, nezˇteplota v blı´zkosti centra→ hveˇzdy dosa´hne hodnoty 108 K. Pote´zapocˇne v centru hveˇzdy jaderne´slucˇovańı´helia na uhlı´k. V centru se opakuje podobna´ situace jako prˇi zapa´lenı´ vodı´ku beˇhem kontrakce hveˇzdy k hlavnı´posloupnosti nulove´ho veˇku. Smrsˇt’ovańı´ja´dra se zastavıá v ja´dru se ustavı´stabilnı´stav, postupneˇse ovsˇem vytvorˇı´konvektivnı´zońa, ktera´prˇi sve´m zveˇtsˇovańı´vede k diskontinuiteˇchemicke´ho slozˇenıńa vneˇjsˇı´m okraji zońy. Hlavnı´m du˚sledkem vsˇak je, zˇe zastavenı´m kontrakce ja´dra se zhorsˇı´podmıńky pro slucˇovańı´vodı´ku na helium ve vodı´kove´slupce, ktera´je i nada´le nejvydatneˇjsˇı´m energeticky´m zdrojem hveˇzdy. Acˇse to zda´poneˇkud kurio´znı´, za´rˇivy´vy´kon hveˇzdy po zazˇehnutı´dalsˇı´ho zdroje nuklea´rnıénergie proto zacˇıńa´ klesat a jejı´polomeˇr se zmensˇuje.

12. stabilnı´horˇenı´He na C (meńeˇvydatne´), trvajıćı´ 10 azˇ 20 % pobytu na hlavnı´posloupnosti: Vzhledem k nizˇsˇıénergeticke´vydatnosti slucˇovańı´helia na uhlı´k (mensˇı´mu rozdı´lu vazebnyćh energiı´), trva´ relativneˇstabilnıóbdobı´horˇenı´helia v ja´dru hveˇzdy mnohem kratsˇı´dobu, nezˇfa´ze pobytu hveˇzdy na hlavnı´posloupnosti.

13. horˇenı´He ve slupce, smrsˇt’ovańıĆ ja´dra ru˚st T ru˚st ǫ expanze slupky H pokles ǫ → c → He → → H → smrsˇt’ovańı´hveˇzdy pokles L∗ (dvojita´vazba): Po vycˇerpańı´helia v ja´dru dojde opeˇt analogicky k horˇenı´helia v heliove´slupce→ . Nynı´vsˇak docha´zı´jizˇke dvojite´vazbeˇ: jak se nynıúhlı´kove´ja´dro smrsˇt’uje a zahrˇı´va´, dosta´va´se heliova´slupka do oblastı´s vysˇsˇı´teplotou a hustotou a zvy´sˇeny´tok energie z nı´vede k expanzi a ochlazovańıóblasti horˇenı´ vodı´ku ve slupce a tedy ke smrsˇt’ovańı´hveˇzdy a poklesu jejı´ho za´rˇive´ho vy´konu.

14. ztra´ta hmoty hveˇzdny´m veˇtrem: V teˇchto fa´zıćh vstupuje do hry dalsˇı´faktor, kteryńa´mi uvazˇovane´ modely dobrˇe nepopisujı´: uńik hmoty ve formeˇhveˇzdne´ho veˇtru. (V neˇkteryćh vy´pocˇtech se uńik hmoty bere v potaz formou parametricke´ho popisu na za´kladeˇempirickyćh u´daju˚.)

15. dalsˇı´reakce s mensˇı´vydatnostı´, pulzace obalu, pohyb pode´l AGB, odvrzˇenıóbalu: Hveˇzda v du˚sledku dalsˇıćh nuklea´rnıćh reakcı´s mensˇıá mensˇıénergetickou vydatnostı´sta´le zrychluje svu˚j vy´voj, cozˇ vede k tomu, zˇe je nakonec trˇeba dalsˇı´vy´voj jizˇuvazˇovat dynamicky, s pouzˇitı´m pohybove´rovnice mı´sto rovnice hydrostaticke´rovnova´hy. Docha´zı´ k pulsacı´m obalu hveˇzdy, v HR diagramu se

70 hveˇzda pohybuje po velice slozˇite´trajektorii v blı´zkosti asymptoticke´veˇtve obru˚ (AGB). Mu˚zˇe dojı´t i k odvrzˇenı´cele´ho vneˇjsˇı´ho obalu hveˇzdy.

16. ja´dro Fe (Co, Ni) elektronova´degenerace zastavenı´smrsˇt’ovańı´: Vy´sledny´m produktem jader- nyćh reakcı´je ja´dro→ slozˇene´z prvku˚skupiny zˇeleza,→ jejichzˇatomova´struktura je velmi stabilnı´. Jeho dalsˇı´smrsˇt’ovańıńakonec zastavı´ elektronova´degenerace centra´lnıćh cˇa´stı´hveˇzdy.

17. postupne´spotrˇebovańı´paliva ve slupkaćh smrsˇteˇnı´hveˇzdy pomalećhladnutı´: Pokud nedojde k odvrzˇenıóbalu v du˚sledku dynamickyćh→ nestabilit, spotrˇebuje→ se po zastavenı´ kontrakce ja´dra v du˚sledku elektronove´degenerace zbytek nuklea´rnı´ho paliva v horˇıćıćh slupkaćh a cela´hveˇzda se zacˇne smrsˇt’ovat a skoncˇı´jako vıće cˇi meńeˇkompaktnıóbjekt v blı´zkosti hlavnı´posloupnosti cˇisteˇ heliovyćh hveˇzd.

Pozdnı´sta´dia vy´voje (15.–16.) vyzˇadujı´mnohem slozˇiteˇjsˇı´modely a jsou v soucˇasnosti prˇedmeˇtem intenzivnı´ho vy´zkumu.

7.2 Odlisˇnosti hveˇzdne´ho vy´voje v za´vislosti na hmotnosti hveˇzdy Pocˇa´tecˇnı´hmotnost hveˇzdy je pro cely´jejı´vy´voj zcela urcˇujıćı´. Jizˇz toho, co dosud vı´me, je zrˇejme´, zˇe hveˇzdy s vysˇsˇı´hmotnostı´budou dı´ky veˇtsˇı´vlastnı´ gravitaci schopny dosahovat prˇi pocˇa´tecˇnı´kontrakci vysˇsˇıćh centra´lnıćh teplot (a za´rovenˇnizˇsˇıćh hustot). Vzhledem ke strme´za´vislosti energeticke´vy´teˇzˇnosti jadernyćh reakcıńa teploteˇlze proto ocˇeka´vat, zˇe nuklea´rnı´vy´voj i ostatnı´fa´ze vy´voje hveˇzdy se budou s rostoucı´hmotnostı´zkracovat. To vy´pocˇty skutecˇneˇpotvrzujı´. Popisˇme si nynı´podrobneˇji, jak se lisˇı´ vy´voj hveˇzd v za´vislosti na jejich pocˇa´tecˇnı´hmotnosti (viz take´tab. 4, obr. 28, 29, 30). Je-li hmotnost protohveˇzdy mensˇıńezˇasi 0,075 M⊙, nestacˇı´jejı´vlastnı´prˇitazˇlivost k tomu, aby v jejı´m ja´dru dosˇlo k rˇa´dne´mu zapa´lenı´vodı´kove´synte´zy. Hroucenı´ja´dra proto pokracˇuje, hveˇzda chabeˇza´rˇı´ na u´kor zmeˇn potencia´lnıénergie a nakonec je smrsˇt’ovańı´ja´dra zastaveno jeho naru˚stajıćıélektronovou degeneracı´. Hveˇzda´m v tomto stavu se zacˇalo rˇı´kat hneˇdı´trpaslıći a neˇkolik desı´tek jich je jizˇpozorovańo. Od obrˇıćh planet se hneˇdı´trpaslıći odlisˇujı´tı´m, zˇe v nich docˇasneˇprobı´halo slucˇovańı´deuteria nebo lithia, ktere´ zvysˇovalo luminozitu v prvnıćh miliońech let (obr. 27).22 U hveˇzd, jejichzˇhmotnost neprˇevysˇuje hmotnost Slunce, probı´ha´jaderne´slucˇovańı´vodı´ku na helium te´meˇrˇvy´lucˇneˇformou proton-protonove´ho cyklu, jehozˇenergeticka´za´vislost na teploteˇje meńeˇstrma´. V du˚sledku toho v takovyćh hveˇzdaćh zaujı´maóblast nuklea´rnı´ho slucˇovańı´relativneˇ veˇtsˇıóbjem nezˇ u hveˇzd hmotneˇjsˇıćh. Kromeˇtoho se u nich vu˚bec nevytvorˇı´ centra´lnı´konvektivnı´zońa (obr. 31) a nedocha´zı´ k zˇa´dne´mu vy´razne´mu prˇechodu mezi horˇenı´m vodı´ku v ja´dru a ve vodı´kove´slupce. Dlouheóbdobı´klidne´ho vy´voje tak zahrnuje i dobu horˇenı´vodı´ku ve slupce. (Z tohoto pohledu lze rˇıći, zˇe si lidstvo pro svou existenci nevybralo tak sˇpatnou centra´lnı´hveˇzdu.)

22 I nejveˇtsˇı´planeta slunecˇnı´soustavy, Jupiter o hmotnosti 0,001 M⊙, vysı´la´do okolıási dvakra´t vıće za´rˇiveénergie nezˇprˇijı´ma´ od Slunce — vysveˇtlujeme si to jako sta´le probı´hajıćı´kontrakci a uvolnˇovańı´gravitacˇnı´potencia´lnıénergie. Mimochodem se pro modelovańıátmosfe´ry a spektra Jupitera pouzˇı´vajı´stejne´metody jako u hneˇdyćh trpaslı´ku˚.

71 Tabulka 4: Vy´voj osamocene´hveˇzdy v za´vislosti na jejı´ pocˇa´tecˇnı´hmotnosti

Hmotnost Stadium horˇenı´ Stadium horˇenı´ Konecˇne´stadium (M⊙) vodı´ku helia vy´voje < 0,075 ne ne hneˇdy´trpaslı´k 0,075–0,5 ano ne dynamickeóscilace p-p rˇeteˇzec elektronova´degenerace + 0,5–1,0 ano: zˇa´dne´konvektivnı´ja´dro ano hveˇzdny´vı´tr 1,0–2,0 ano: postupneˇrostoucı´konvektivnı´zońa ano 2,0–10,0 ano: roste podı´l CNO cyklu ano bı´ly´trpaslı´k↓ 10,0–50,0 ano: CNO dominuje, ano supernova semikonvekce, ano neutronova´hveˇzda→ > 50 konvektivnı´prˇestrˇelovańı´ ano cˇerna´dı´ra?

Obra´zek 27: Luminozity v za´vislosti na cˇase pro teˇlesa ru˚znyćh hmotnostı´: planety (M < 0,01 M⊙), hneˇde´trpaslı´ky (M = 0,015 azˇ0,07M⊙) a trpaslicˇı´hveˇzdy (M =0,08 azˇ 0,2 M⊙). Planety za´rˇı´pouze dı´ky gravitacˇnı´kontrakci (odrazˇene´sveˇtlo zde nepocˇı´ta´me), v nitru hneˇdyćh trpaslı´ku˚docha´zı´zpocˇa´tku pouze k horˇenı´deuteria nebo lithia, ve hveˇzdaćh se pozdeˇji zazˇehne i vodı´k. Prˇevzato z de Pater a Lissauer (2001).

72 Pro hveˇzdy, jejichzˇhmotnost je mensˇıńezˇasi 0,5 M⊙, navıć elektronova´degenerace zastavı´kontrakci jejich ja´dra po vyhorˇenı´vodı´ku drˇı´v, nezˇje dosazˇena teplota potrˇebna´ke slucˇovańı´helia na uhlı´k. U hveˇzd s hmotnostı´mezi 1 a 2 M⊙ docha´zı´k jine´mu zajı´mave´mu jevu: beˇhem jejich stabilnı´ho vy´voje po zapa´lenı´vodı´ku v ja´dru se jejich centra´lnı´konvektivnı´zońa postupneˇzveˇtsˇuje v za´vislosti na tom, jak se spolu se zvolna rostoucıćentra´lnı´teplotou sta´le vıće na produkci energie podı´lıí CNO cyklus. Pro hveˇzdy s hmotnostı´mezi 0,5 a asi 10 M⊙ mu˚zˇeme prˇedpokla´dat, zˇe v pozdeˇjsˇıćh fa´zıćh vy´voje ztratı´ dı´ky dynamicky´m oscilacı´m a vlivem hveˇzdne´ho veˇtru sve´vneˇjsˇı´vrstvy a pote´, co se v jejich ja´dru uplatnı´ elektronova´degenerace, koncˇı´jako bı´lı´trpaslıći, horkeá velmi huste´hveˇzdy, „skrblıćı´“ svou za´rˇivou energiı´ a velmi zvolna chladnoucı´. Konecˇneˇu hveˇzd s hmotnostı´veˇtsˇıńezˇasi 10 M⊙ docha´zı´beˇhem horˇenı´vodı´ku v ja´dru k rozsˇirˇovańı´ konvektivnı´zońy v du˚sledku znacˇne´ho tlaku za´rˇenı´. Protozˇe v uvazˇovane´m rozsahu teplot a hustot je opacitnı´ koeficient urcˇovań prˇedevsˇı´m rozptylem na volnyćh elektronech, pro ktery´platı´prˇiblizˇny´vztah . − κ =0,19 cm2 g 1 (1 + X) , (307) roste opacita s rostoucı´m obsahem vodı´ku a vrstvy nad konvektivnı´zońou se tak sta´vajı´vu˚cˇi konvekci nestabilnı´. Vytva´rˇı´se semikonvektivnı´zońa, tj. oblast, ve ktere´docha´zı´pouze k cˇa´stecˇne´mu promıćha´vańı´ chemickyćh elementu˚tak, aby v kazˇde´m mı´steˇbyla splneˇna podmıńka rad = ad. V literaturˇe se rovneˇzˇ vedou spory o tom, zda nedocha´zı´k jevu nazy´vane´mu konvektivnı´prˇestrˇelovańı´∇ ∇ (angl. convective overshooting). Jde o to, zˇe pokud je materia´l vztlakem nadlehcˇovań a una´sˇen konvekcı´vzhu˚ru, mu˚zˇe kineticka´ energie velkyćh konvektivnıćh elementu˚zpu˚sobit to, zˇe se cˇa´st materia´lu dostane i do mı´st, kde jizˇpodmıńka konvektivnı´rovnova´hy splneˇna nenı´. Tı´m by se velikost oblasti, ve ktere´docha´zı´k promıćha´vańı´materia´lu, poneˇkud zveˇtsˇila (viz obr. 32). Jak uka´zal teoreticky jizˇChandrasekhar (1938), pokud hmotnost ja´dra slozˇene´ho z prvku˚skupiny zˇeleza (nikoli cele´hveˇzdy) prˇekrocˇı´ 1, 4 M⊙, stacˇı´jizˇjeho vlastnı´prˇitazˇlivost k tomu, aby prˇekonala gradient tlaku vzniklyélektronovou degeneracı´, docha´zı´k dezintegraci atomovyćh jader prˇi interakci p + e− n+ ν (308) → a vznikańeutronove´ja´dro. Kolaps ja´dra je prova´zen prudky´m uvolneˇnı´m obrovske´ho mnozˇstvı´gravitacˇnı´ potencia´lnıénergie, kterou z velkećˇa´sti odnesou neutrina. Na´raz obalu na tvrdou neutronovou hveˇzdu a vzniknuvsˇı´ra´zova´vlna odmrsˇtıćelyóbal hveˇzdy rychlostmi, ktere´prˇekona´vajı´rychlost uńikovou. Radi- oaktivnı´prvky, ktere´vznikly prˇi nukleosynte´ze za ra´zovou vlnou, pak da´vajı´vzniknout opozˇdeˇne´mu za´rˇenı´ supernovy. V Galaxii extre´mneˇvzaćne´hveˇzdy s pocˇa´tecˇnı´hmotnostıńad asi 50 M⊙ by mohly v za´veˇrecˇnyćh fa´zıćh vy´voje dosa´hnout v ja´dru tak velkou prˇitazˇlivost, zˇe by dosˇlo k uplatneˇnı´relativistickyćh efektu˚a vzniku cˇerne´dı´ry. Je trˇeba ovsˇem upozornit na to, zˇe naprˇ. modelove´vy´pocˇty zˇenevske´skupiny (naprˇ. Schaller a spol. 1992), ve kteryćh se bere v potaz i uńik hmoty ve formeˇ hveˇzdne´ho veˇtru, ukazujı´, zˇe naprˇ. hveˇzda s pocˇa´tecˇnı´hmotnostı´ 60 M⊙ ztratı´jizˇbeˇhem fa´ze horˇenı´vodı´ku v ja´dru plnyćh 12 M⊙.

Vliv pocˇa´tecˇnı´ho obsahu he´lia a teˇzˇsˇı´ch prvku˚. Je zrˇejme´, zˇe vy´voj hveˇzdy je take´funkcı´pocˇa´tecˇnı´ho chemicke´ho slozˇenı´, tedy hodnot X,Y,Z. Na obra´zku 33 vidı´me HR diagram pro nizˇsˇı´hodnotu metalicity

73 Obra´zek 28: Hertzsprungu˚v–Russellu˚v diagram pro hveˇzdy 0,8 azˇ 120 M⊙, s obsahem he´lia Y = 0,3 a metalicitou Z = 0,02. Sˇrafovaneˇjsou vyznacˇene´oblasti pomale´ho nuklea´rnı´ho vy´voje. Prˇevzato z Schaller a spol. (1992).

74 O5 O9 B0 B2 B5 B8 A0 F0 G0 K0 M0 M5 8

100 6 85 60 40 25 20 15 4 12 9 7 5 4 2 3

Sun 2.5 L

/ 2

L 1.7 1.5 1.25 log 0 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 -2 0.3 0.2

0.1 ZAMS

-4

TSun

-6 4.8 4.6 4.4 4.2 4 3.8 3.6 3.4 3.2

log [Tsurf]K

Obra´zek 29: Vy´voj hveˇzd s pocˇa´tecˇnı´mi hmotnostmi od 0,1 do 100 M⊙ a abundancemi Y =0,28, Z =0,02 na Hertzsprungoveˇ– Russelloveˇdiagramu. Cˇerveneˇje vyznacˇena hveˇzda 4 M⊙. Hveˇzdy lehcˇıńezˇSlunce se vyvı´jejı´pomalu, jejich zˇivotnı´doby na hlavnı´posloupnosti prˇesahujı´sta´rˇı´vesmı´ru; nejlehcˇı´hveˇzda s 0,1 M⊙ ji opustıá ochladne azˇza 4 biliońy roku˚. Vy´pocˇet programem EZ.

75 9 Ψ = 0 5

8.5

100

8 K ] c T

100 log [ 8560 40 2520 15 12 7.5 9 7 5 4 3 2.5 2 1.7 1.5

1.25

1 0.9 0.8 7 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3

0.2

0.1 6.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8

log [ρc]g/cm3

Obra´zek 30: Vy´voj centra´lnıćh hustot ρc a teplot Tc pro hveˇzdy M = 0,1 azˇ 100 M⊙ a Y = 0,28, Z = 0,02. Pro hveˇzdy hmotneˇjsˇıńezˇ 2 M⊙ je zrˇetelne´, zˇe Tc je rostoucı´, kdezˇto ρc klesajıćı´ funkcı´hmotnosti M. U hveˇzd strˇednıćh hmotnostı´vidı´me po spotrˇebovańı´vodı´ku v ja´drˇe nejprve ru˚st centra´lnı´hustoty, zpu˚sobeny´smrsˇteˇnı´m ja´dra, a po zapa´lenı´he´lia jejıńa´hly´pokles, zpu˚sobeny´rozepnutı´m. U hmotneˇjsˇıćh hveˇzd je prˇechod mezi horˇenı´m vodı´ku a he´lia pozvolny´. Tecˇkovane´ linie oznacˇujı´stupenˇ degenerace Ψ la´tky. Vy´pocˇet programem EZ.

76 zvolen prˇestrˇelovańı´ konvektivnı´ho Vliv vy´ 32: Obra´zek na EZ. programem nulove´ho veˇku. Ho hlavnı´ posloupnosti na situace panel: pocˇa´tecˇnı´ hveˇzd ru˚znyćh nitrech hveˇzdy Konvektivnı´ zońy v hmotnost Obra´zek 31: vrho_aa 0.12 = overshoot_param M ∗ ebrve ynceaols ovkin´zývpromeˇn konvektivnı´ zońy barevneˇ v vyznacˇena oblast je log L/LSun MR /M* MR /M* 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 4.6 4.7 4.8 4.9 5.1 5.2 5.3 5.4 0 1 0 1 5 4.6 0.1 Vy´pocˇet EZ. . programem 4.5 4.4 4.3 o vˇd s hveˇzdy voj n´pnl prˇi opusˇteˇnı´rnı´ panel: (kdyzˇ j hlavnı´ posloupnosti hmotnostı´ ( 1 4.2 leaving MS M =20 77 4.1 log [ M ZAMS * M / T M Sun eff M Sun 4 M ,

] (low K Z =0.02,withovershooting 20 = X 0 = c 3.9 ) 10 no overshooting , 1 M 3.8 azˇ ⊙ – igau aaerprˇestrˇelova´nı´ Parametr diagramu. byl H–R v 100 3.7 M 3.6 ne´ ⊙ s , M 100 3.5 Y R sˇka´lovane´, hodnotou 0 = , 28 , Z e 0 = X c , male´). Vy´pocˇet 02 .Podanou Pro ). M ∗ Dolnı´. O5 O9 B0 B2 B5 B8 A0 F0 G0 K0 M0 M5 8

100 6 85 60 40 25 20 15 4 12 9 7 5 4 2 3 2.5 Sun 2 L

/ 1.7

L 1.5 1.25

log 1 0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 -2 0.2

0.1 ZAMS

-4

TSun

-6 4.8 4.6 4.4 4.2 4 3.8 3.6 3.4 3.2

log [Tsurf]K

Obra´zek 33: Vy´vojovy´H–R diagram jako na obr. 29, ale pro nizˇsˇı´hodnotu metalicity Z =0,001.

Z =0,001 (a take´obsahu he´lia). Nejna´padneˇjsˇı´mi rozdı´ly jsou:

1. ru˚zna´poloha hlavnı´posloupnosti nulove´ho veˇku (patrneˇproto, zˇe Z hraje roli jizˇprˇi gravitacˇnı´m kolapsu a take´u´cˇinnost CNO cyklu klesa´se Z, cˇili se v nitru ustavı´jina´hydrostaticka´rovnova´ha);

2. u hveˇzd s hmotnostı´ M = 1 azˇ 15 M⊙ se cˇasteˇji objevuje pokles Teff („klicˇka“ na HR diagramu) v pozdnıćh fa´zıćh vy´voje.

Za´vislost doby horˇenı´vodı´ku, prˇı´padneˇhelia, na hmotnosti a metaliciteˇzna´zornˇuje obra´zek 34. Pro lehke´ hveˇzdy platı´, zˇe mensˇı´ Z vede k mensˇı´strˇednı´molekulove´hmotnosti µ, veˇtsˇı´mu Pc, Tc, ρc (dle stavove´ rovnice), rychlejsˇı´mu pru˚beˇhu reakcıá kratsˇı´ dobeˇzˇivota. U teˇzˇkyćh hveˇzd je tomu jinak: mensˇı´ Z sice sta´le znamena´ mensˇı´ µ, ale za´rovenˇ je meńeˇ ućˇinny´ CNO cyklus, dXc/dt pak vycha´zı´prˇiblizˇneˇstejne´pro obeˇmetalicity a rozhoduje prˇedevsˇı´m veˇtsˇı´pocˇa´tecˇnı´ obsah vodı´ku X, cozˇvede na delsˇı´ dobu zˇivota.23

23Rozdı´ly nejsou zpu˚sobene´hveˇzdny´m veˇtrem, ktery´je sice podstatneˇu´cˇinneˇjsˇı´prˇi Z = 0,02, ale prˇesto ma´lehcˇı´hveˇzda (s veˇtsˇı´m u´bytkem M) kratsˇı´zˇivotnı´dobu.

78 Y = 0.300, Z = 0.020 10 H Y = 0.243, Z = 0.001

8 yr

] He

life 7 t

log [ 6

C 4

3 1 10 100

M [MS]

Obra´zek 34: Doby horˇenı´vodı´ku, he´lia a uhlı´ku v za´vislosti na hmotnosti, pro hveˇzdy s ru˚zny´m pocˇa´tecˇnı´m chemicky´m slozˇenı´m. Podle Schaller a spol. (1992).

79 8 Srovna´nı´prˇedpoveˇdı´teorie hveˇzdne´ho vy´voje s pozorova´nı´m

Zkoumejme nynıóta´zku, nakolik se zjednodusˇena´teorie stavby a vy´voje hveˇzd, zalozˇenańa jednorozmeˇr- nyćh modelech, shoduje s tı´m, co je o stavbeˇa vy´voji hveˇzd zna´mo z jejich pozorovańı´.

8.1 Jak zı´ska´vat pozorovacı´data? Je zrˇejme´, zˇe vsˇechny makroskopicke´velicˇiny, jezˇcharakterizujı´hveˇzdy, a ktere´mu˚zˇeme ze Zemeˇpozorovat, se v du˚sledku hveˇzdne´ho vy´voje v naproste´veˇtsˇineˇvy´vojovyćh fa´zı´meˇnı´prˇilisˇpomalu, nezˇabychom je mohli beˇhem lidske´ho zˇivota pozorovat. Kvantitativnı´ pozorovacıú´daje o jasnostech cˇi teplotaćh hveˇzd existujı´(azˇna neˇkolik cˇestnyćh vy´jimek) pouze za obdobı´poslednıćh asi 100 azˇ150 let. Nezby´va´proto, nezˇse prˇi srovna´vańı´teorie s pozorovańı´m uchy´lit ke statistice a k jiny´m neprˇı´my´m metoda´m srovna´vańı´ a k hledańı´du˚kazu˚diferencovane´ho vy´voje v du˚sledku ru˚zne´pocˇa´tecˇnı´hmotnosti hveˇzd. Uvazˇme nejprve, jake´meˇrˇitelne´velicˇiny mu˚zˇeme pro podobne´porovna´vańı´pouzˇı´t.

8.1.1 Za´rˇivy´vy´kon hveˇzdy Velke´mnozˇstvı´hveˇzd bylo promeˇrˇeno v Johnsonoveˇ UBV syste´mu cˇi ve Stro¨mgrenoveˇ uvby. Hveˇzdne´ velikosti meˇrˇene´ve zˇlute´barveˇStro¨mgrenova syste´mu y jsou prˇı´mo nava´zańy na Johnsonovy hveˇzdne´ velikosti ve zˇlute´m filtru V jeho syste´mu. I z dalsˇıćh praktickyćh du˚vodu˚se prˇi srovna´vańı´dat z ru˚znyćh zdroju˚jevı´hveˇzdna´velikost meˇrˇena´ve zˇlute´barveˇjako nejvhodneˇjsˇı´: rozlozˇenıénergie hveˇzd se v oblasti zˇlute´barvy kolem 550nm meˇnı´jen zvolna s vlnovou de´lkou a takeéxtinkcˇnı´koeficient nasˇıátmosfe´ry je prˇi pozorovańı´ve zˇlute´barveˇnizˇsˇı´, nezˇv barveˇmodrećˇi fialove´. (Za dobryćh pozorovacıćh podmıńek zrˇı´dkakdy na ktere´koliv pozemskeóbservatorˇi prˇesahuje hodnotu 0,3–0,4; v dobryćh podmıńkaćh by´va´ pouze asi 0,15.) Ze vsˇech teˇchto du˚vodu˚jsou meˇrˇenı´ve zˇlute´barveˇzatı´zˇena nejmensˇı´mi chybami a take´se nejsna´ze prˇeva´deˇjıńa standardnı´syste´m. Chceme-li ovsˇem meˇrˇenı´jasnosti ve zˇlute´barveˇsrovna´vat s bolometricky´m za´rˇivy´m vy´konem modelu L∗, musı´me prove´st neˇkolik kroku˚. Nejprve musı´me meˇrˇenou zdańlivou hveˇzdnou velikost V prˇepocˇı´tat 16 na velikost absolutnı´ MV , jakou by hveˇzda meˇla ve vzda´lenosti 10pc od na´s. (1pc=3,085678 10 m je vzda´lenost, ze ktere´je videˇt strˇednı´polomeˇr zemske´ dra´hy okolo Slunce, astronomicka´jednotka, pod· u´hlem 1,′′0.) Protozˇe tok za´rˇenı´v pra´zdne´m prostoru uby´va´se cˇtvercem vzda´lenosti d, je zrˇejmeˇpodle Pogsonovy rovnice L/(10 pc)2 M V = 2,5log =5 5 log[d] . (309) V − − L/d2 − pc Vlivem mezihveˇzdne´hmoty docha´zı´vsˇak na velkyćh vzda´lenostech k pohlcovańı´sveˇtla hveˇzdy, cozˇse obvykle popisuje absorpcˇnı´m koeficientem ve zˇlute´barveˇ AV . Po promeˇrˇenı´rˇady hveˇzd, u nichzˇbylo mozˇno zı´skat urcˇitou prˇedstavu o jejich vzda´lenosti od na´s, bylo zjisˇteˇno, zˇe absorpci ve zˇlute´barveˇlze dobrˇe popsat pomocı´vztahu . A =3,m2 E(B V ) , (310) V − 80 kde velicˇina E(B V ) oznacˇuje zcˇervenańı´barevne´ho indexu (B V ). To se da´z meˇrˇenı´v Johnsonoveˇ cˇi Stro¨mgrenoveˇsyste´mu− obvykle dobrˇe urcˇit. Zcˇervenańı´lze takeúrcˇit− podle velikosti charakteristicke´ho zavlneˇnı´v pru˚beˇhu spojite´ho spektra v daleke´m ultrafialove´m oboru kolem 250 nm, jehozˇvelikost je u´meˇrna´ velikosti zcˇervenańı´ E(B V ). Zdańliva´hveˇzdna´velikost− ve zˇlute´barveˇ, opravena´ o mezihveˇzdnou absorpci, se obvykle oznacˇuje indexem nula a je tedy

V = V A . (311) 0 − V Pro absolutnı´hveˇzdnou velikost ve zˇlute´barveˇ, zvanou obvykle velikost visua´lnı´, tak dosta´va´me jednoduchy´ pracovnı´vztah

M = V +5 5 log[d] = V +5+5log[π] . (312) V 0 − pc 0 arcsec Vztah (312) mu˚zˇeme prˇirozeneˇpouzˇı´t jen tehdy, zna´me-li vzda´lenost hveˇzdy od na´s. Pro hveˇzdy do vzda´lenostıási 100 pc bylo mozˇno vzda´lenosti jizˇod dob astronomicke´ho vyuzˇitı´fotografickyćh emulzı´ urcˇovat trigonometrickou metodou. V neda´vne´dobeˇse dı´ky mimorˇa´dneˇuspeˇsˇne´druzˇici Evropske´kosmicke´ agentury Hipparcos, ktera´meˇrˇila velmi prˇesne´paralaxy a te´zˇjasnosti hveˇzd v obdobı´let 1989–1994, podarˇilo tuto hranici prakticky o jeden rˇa´d zveˇtsˇit. Kromeˇtoho lze meˇrˇenı´jasnosti te´to druzˇice porˇizovana´ve velmi sˇirokopa´smove´m filtru a oznacˇovana´jako Hp, v mnoha prˇı´padech velmi prˇesneˇprˇeve´st na Johnsonovu hveˇzdnou velikost ve zˇlute´barveˇpomocı´vztahu, ktery´ publikoval Harmanec (1998). Jinou mozˇnostı´, i kdyzˇpodstatneˇmeńeˇprˇesnou, je odhadnout za´rˇivy´vy´kon (a vzda´lenost) podle vzhledu spektra hveˇzdy. Tato metoda spektroskopicke´paralaxy byla navrzˇena Adamsem a Kohlschu¨tterem (1914). Rozdı´l mezi bolometrickou a visua´lnıábsolutnı´hveˇzdnou velikostı´se nazy´va´ bolometricka´korekce BC. Bolometricke´korekce byly empiricky urcˇeny na za´kladeˇ meˇrˇenıú´hlovyćh pru˚meˇru˚hveˇzd pomocıínten- zitnı´ho interferometru, meˇrˇenı´jejich rozlozˇenıénergie a s pouzˇitı´m modelu˚atmosfe´r pro odhad prˇı´speˇvku z kra´tkovlnnećˇa´sti spektra. Souhrnneˇjsou jako funkce efektivnı´teploty tabelovańy v praći Code a spol. (1976) nebo v za´vislosti na spektra´lnı´m typu hveˇzd v praći Popper (1980). Jejich prˇicˇtenı´m k absolutnı´ visua´lnı´velikosti ze vztahu (312) dosta´va´me potrˇebnou absolutnı´velikost bolometrickou

Mbol = MV + BC . (313)

Tuto bolometrickou hveˇzdnou velikost mu˚zˇeme jizˇprˇı´mo porovnat s bolometrickou hveˇzdnou velikostı´ spocˇtenou ze za´rˇive´ho toku hveˇzdy, udane´ho v jednotkaćh za´rˇive´ho toku Slunce, ktery´ by´va´ obvykle v pracech s modely hveˇzdnyćh niter tabelovań:

L∗ Mbol Mbol⊙ = 2,5log . (314) − − L⊙ Protozˇe noveˇjsˇı´studie ukazujı´, zˇe za´rˇivy´vy´kon Slunce se poneˇkud meˇnı´beˇhem jedenaćtilete´ho slunecˇnı´ho cyklu, a protozˇe hodnota sama za´visıńa soucˇasne´prˇesnosti nasˇich meˇrˇenı´, vyskytujı´se v literaturˇe pro za´rˇivy´ vy´kon Slunce mı´rneˇodlisˇneú´daje. To je ovsˇem neprˇı´jemnost, ktera´do nasˇich srovnańı´vna´sˇı´zbytecˇnou

81 neprˇesnost navıć. Proto Mezina´rodnıástronomickaúnie prˇijala na sve´m 23. valne´m shroma´zˇdeˇnı´r. 1997 resoluci, ktera´stanovı´, zˇe nada´le jizˇnebude bolometricky´za´rˇivy´vy´kon hveˇzd kalibrovań za´rˇivy´m vy´konem Slunce, ale zˇe jeho nulovy´bod bude pevneˇstanoven, konkre´tneˇ

28 L0 = 3,055 10 W pro (315) m · Mbol = 0, 00 . (316)

To jiny´mi slovy znamena´, zˇe bolometricka´hveˇzdna´velikost nenı´jizˇdefinovańa pouze relativneˇ, ale abso- lutneˇ. Snadno zjistı´me, zˇe pro za´rˇivy´vy´kon ve wattech plyne z pra´veˇuvedene´definice vztah

M = 2,5 log[L] + 71,m2125 . (317) bol − W Je snadne´si oveˇrˇit, zˇe to dobrˇe odpovı´da´cˇasto prˇijı´many´m na´sledujı´cı´m strˇednı´m hodnota´m pro Slunce

m Mbol⊙ = +4, 75 , (318) 26 L⊙ = 3,846 10 W . (319) · 8.1.2 Efektivnı´teplota hveˇzdy Efektivnı´teplotu hveˇzdy lze odhadnout prˇı´mo z jejı´ho spektra´lnı´ho typu. Existujı´ru˚zne´sˇka´ly efektivnıćh teplot od ru˚znyćh autoru˚, jako dobrou lze doporucˇit naprˇ. sˇka´lu publikovanou v praći Popper (1980). Idea´lnıóvsˇem je pouzˇı´t k urcˇenıéfektivnı´teploty spocˇtene´detailnı´modely hveˇzdnyćh atmosfe´r a srovna´vat pozorovaneá spocˇtene´profily rˇady spektra´lnıćh cˇar, azˇ nalezneme model, jehozˇspocˇtenećˇa´ry nejle´pe popisujı´spektrum pozorovane´.

8.1.3 Hmotnosti a polomeˇry hveˇzd Pro rˇadu oddeˇlenyćh za´krytovyćh dvojhveˇzd, jejichzˇvy´voj nebyl dosud ovlivneˇn prˇı´mou interakcı´mezi slozˇkami, se podarˇilo ze spektroskopie a fotometrie urcˇit vsˇechny jejich za´kladnı´vlastnosti: hmotnosti M, polomeˇry R, efektivnı´teploty Teff a za´rˇive´vy´kony L obou slozˇek. Polomeˇry hveˇzd lze rovneˇzˇzı´skat z kombinace interferometrickyćh pozorovańı´, ze kteryćh zı´ska´me u´hlove´rozmeˇry, a ze spolehliveˇurcˇene´vzda´lenosti. Tu lze pro blizˇsˇı´hveˇzdy zı´ska´vat prˇı´my´m trigonometricky´m meˇrˇenı´m, jak uzˇo tom byla rˇecˇvy´sˇe, nebo lze studovat hveˇzdy z hveˇzdokup s dobrˇe urcˇenou vzda´lenostı´.

8.1.4 Diagram V versus (B V ) pro hveˇzdokupy − Protozˇe i hveˇzdokupy, patrˇıćı´do nasˇı´Galaxie, jsou od na´s vzda´leny nejmeńeˇdesı´tky parseku˚, mu˚zˇeme vzhledem k jejich daleko mensˇı´m vlastnı´m rozmeˇru˚m prˇedpokla´dat, zˇe vsˇechny jejich cˇleny vidı´me prakticky ve stejne´vzda´lenosti od na´s. Toto poznańı´se stalo za´kladem pro jeden z nejlepsˇıćh testu˚teorie hveˇzdne´ho vy´voje. Pro danou hveˇzdokupu totizˇstacˇı´prove´st meˇrˇenı´jasnosti jejich cˇlenu˚v neˇjake´m standardnı´m fotometricke´m syste´mu a pote´zkonstruovat diagram barevny´ index versus zdańliva´visua´lnı´hveˇzdna´velikost.

82 Obra´zek 35: Hertzsprugu˚v–Russelu˚v diagram (B V,MV ), zkonstruovany´na za´kladeˇmeˇrˇenı´druzˇice Hipparcos. Hipparcos zmeˇrˇil prˇesne´paralaxy a UBV fotometrii pro prˇiblizˇneˇ17− 000 hveˇzd. Barevna´sˇka´la zna´zornˇuje pocˇet hveˇzd v jedne´bunˇce. Prˇevzato z http://www.rssd.esa.int/index.php?project=HIPPARCOS&page=HR_dia.

Takovy´diagram je v za´sadeˇjen jiny´m provedenı´m HR diagramu. Prˇı´kladneˇpro Johnsonu˚v UBV syste´m existuje velmi dobra´kalibrace mezi indexem (B V ) a mezi spektra´lnı´m typem cˇi efektivnı´teplotou hveˇzdy. Protozˇe vsˇechny hveˇzdy kupy jsou zhruba− stejneˇ daleko, popisujı´zda´nlive´jasnosti hveˇzd zcela spra´vneˇjejich vza´jemne´ jasnosti.

8.2 Vysveˇtlenı´hlavnıćh rysu˚Hertzsprungova–Russellova diagramu Zcela za´sadnı´m u´speˇchem teorie hveˇzdne´ho vy´voje je to, zˇe doka´zˇe velmi dobrˇe vysveˇtlit nerovnomeˇrne´ rozlozˇenı´hveˇzd v HR diagramu (obr. 35) Konkre´tneˇ hlavnı´posloupnost v HR diagramu se uka´zala by´t identicka´s mnozˇinou bodu˚(log Teff , Mbol), ktere´definujı´modely hveˇzd o ru˚znyćh pocˇa´tecˇnıćh hmotnostech pro fa´ze klidne´ho slucˇovańı´vodı´ku na helium v jejich ja´drech. Teorie prˇedpovı´da´, zˇe tyto fa´ze vy´voje trvajı´ nejde´le, a proto ma´me statisticky nejveˇtsˇı´sˇanci pra´veˇv nich hveˇzdy pozorovat. Navıć se velmi uspokojiveˇ shodujı´prˇedpoveˇzenaá pozorovana´poloha hlavnı´posloupnosti.

83 8.3 Projevy vy´voje ve hveˇzdokupaćh Historicky prvnı´m velky´m u´speˇchem teorie hveˇzdne´ho vy´voje byl souhlas prˇedpoveˇdi s pozorovańı´mi neˇkolika hveˇzdokup, ktery´publikoval Sandage (1957). Jak jsme podrobneˇprobrali, vyvı´jejı´se hveˇzdy tı´m rychleji, cˇı´m je jejich pocˇa´tecˇnı´hmotnost veˇtsˇı´. Mimo to mu˚zˇeme pokla´dat za velice pravdeˇpodobne´, zˇe vsˇechny hveˇzdy dane´hveˇzdokupy vznikly soucˇasneˇ, a take´ze stejne´ho materia´lu. Kazˇda´hveˇzdokupa je tedy jako celek neˇjak staraá da´se cˇekat, zˇe cˇı´m je starsˇı´, tı´m meńeˇhmotne´hveˇzdy k nı´patrˇıćı´stacˇily jizˇ spotrˇebovat ve svyćh ja´drech za´sobu vodı´ku a opustit hlavnı´posloupnost. Sandage poskla´dal v HR diagramu pozorovańı´hveˇzd z 11 hveˇzdokup se zna´my´mi absolutnı´mi visua´lnı´mi hveˇzdny´mi velikostmi a uka´zalo se, zˇe v dolnıćˇa´sti hlavnı´posloupnosti se pozorovańı´ze vsˇech hveˇzdokup dobrˇe shodovala, zatı´mco v hornı´ cˇa´sti se jednotlive´hveˇzdokupy lisˇily podle sve´ho sta´rˇı´(obr. 36). Toto za´sadnı´zjisˇteˇnı´je dnes pouzˇı´vańo jizˇne k du˚kazu spra´vnosti teorie hveˇzdne´ho vy´voje, ale naopak k urcˇovańı´sta´rˇı´hveˇzdokup a jejich vzda´lenosti od na´s. Prˇi detailnıćh studiıćh se postupuje tak, zˇe se nejprve pomocı´spektroskopickyćh pozorovańı´ rˇady cˇlenu˚ kupy urcˇı´ jejı´ chemicke´ slozˇenı´, konkre´tneˇ obsah Z teˇzˇkyćh prvku˚a helia Y a pote´se srovna´va´jejı´pozorovany´HR diagram s prˇedpoveˇdı´modelovyćh vy´pocˇtu˚ pro danećhemicke´slozˇenı´. Z bodu, kde se pozorovana´sekvekce hveˇzd kupy v HR diagramu zacˇıńa´vzdalovat od hlavnı´posloupnosti, lze velmi prˇesneˇodhadovat vy´vojovy´veˇk kupy. Naopak konstanta, kterou by bylo trˇeba odecˇı´st od pozorovanyćh zdańlivyćh visua´lnıćh hveˇzdnyćh velikostı´, opravenyćh o mezihveˇzdnou absorpci, aby se hveˇzdy hlavnı´posloupnosti v pozorovane´m a modelove´m HR diagramu prˇekry´valy, se obvykle nazy´va´ modul vzda´lenosti V M a podle (312) jej zrˇejmeˇlze vyja´drˇit jako 0 − V V M = 5 log[d] 5 . (320) 0 − V pc − Z neˇj mu˚zˇeme ihned spocˇı´tat vzda´lenost d hveˇzdokupy od na´s. Je trˇeba se zmıńit, zˇe pote´, co byla zpracovańa meˇrˇenı´vzda´lenostı´z jizˇzminˇovane´druzˇice Hipparcos, uka´zalo se, zˇe pro veˇtsˇinu dobrˇe pozorovanyćh galaktickyćh hveˇzdokup se fotometricky a trigonometricky urcˇene´ vzda´lenosti velmi dobrˇe shodujı´, ale v neˇkolika prˇı´padech existuje dosud ne zcela uspokojiveˇ vysveˇtleny´rozdı´l.24

24Konkre´tneˇpro velmi zna´mou hveˇzdokupu Pleja´dy (M45) je podle Pinsonneaulta a spol. (1998) fotometricky urcˇena´ vzda´lenost (s pouzˇitı´m modelu˚hveˇzdne´ho vy´voje) asi 130 pc, zatı´mco meˇrˇenı´druzˇice Hipparcos vedou na vzda´lenost (116 3) pc. Tito autorˇi vyslovili domneˇnku, zˇe meˇrˇenı´druzˇice Hipparcos mohou by´t na neˇkteryćh cˇa´stech oblohy zatı´zˇena systematickou± chybou. Na obranu spolehlivosti meˇrˇenı´druzˇice Hipparcos vsˇak velmi prˇesveˇdcˇiveˇvystoupili Robichon a spol. (1999), kterˇıúka´zali, zˇe fotometricka´vzda´lenost Pleja´d se podle urcˇenı´ru˚znyćh autoru˚pohybuje v rozmezı´124 – 132 pc a z vlastnıánaly´zy urcˇili vzda´lenost Pleja´d z druzˇicovyćh meˇrˇenıńa 115 – 121 pc. Neza´visle vyloucˇil existenci systematickyćh chyb v meˇrˇenı´druzˇice Hipparcos van Leeuwen (1999), ktery´z nich urcˇil vzda´lenost Pleja´d v rozpeˇtı´115 – 122 pc. NicmeńeˇNarayanan a Gould (1999) publikovali kritickou studii, ve ktere´dokazovali, zˇe druzˇicı´Hipparcos meˇrˇene´paralaxy Pleja´d a Hya´d jsou prostoroveˇ korelovańy na u´hlovyćh vzda´lenostech asi 2◦-3◦ s amplitudami azˇ0,′′002. Za prˇedpokladu, zˇe se vsˇechny hveˇzdy nalezˇejıćı´ do Pleja´d pohybujı´se stejnou prostorovou rychlostı´pote´ odvodili jejich individua´lnı´paralaxy z vlastnıćh pohybu˚, rovneˇzˇmeˇrˇenyćh druzˇicı´Hipparcos a z nich zı´skali vzda´lenost Pleja´d 131 11 pc, tedy hodnotu shodujıćı´se s klasicky´mi odhady. Li a Junliang (1999) neza´visle statisticky vyhodnili prostorovy´pohyb hveˇzd± z Pleja´d a urcˇili vzda´lenost 135,56 0,72 pc. Prˇı´beˇh ale pokracˇoval. Munari a kol. (2004) publikovali studii prvnıóbjevene´za´krytove´dvojhveˇzdy± v Pleja´daćh V1229 Tau = HD 23642 a urcˇili jejı´vzda´lenost na 132 2 pc, ve vy´borne´shodeˇs fotometricky urcˇenou vzda´lenostı´Pleja´d a v rozporu se vzda´lenostıúrcˇenou druzˇicı´Hipparcos. Dalsˇı´stud± ii za´krytove´dvojhveˇzdy V1229 Tau publikovali Southworth a kol. (2005). Noveˇ

84 Obra´zek 36: Hertzsprungu˚v–Russelu˚v diagram pro vybrane´hveˇzdokupy. Prˇevzato z pra´ce Sandage (1957).

8.4 Projevy vy´voje ve dvojhveˇzdaćh Pokud se podarˇı´ pro neˇkterou za´krytovou dvojhveˇzdu s dobrou prˇesnostı´ urcˇit jejı´ za´kladnı´ fyzika´lnı´ vlastnosti, mu˚zˇeme se opeˇt pokusit o srovnańı´s vy´vojovy´mi modely spocˇteny´mi pro pozorovane´hmotnosti obou slozˇek. Harmanec (1988) kriticky shroma´zˇdil urcˇenı´hmot a polomeˇru˚hveˇzd hlavnı´posloupnosti a odvodil strˇednı´za´vislost teˇchto velicˇin na efektivnı´teploteˇhveˇzdy (obr. 37). Jeho empirickou kalibraci lze porovnat se spocˇtenou sı´tı´modelu˚Schallera a spol. (1992). Toto srovnańıúkazuje velmi dobrou shodu v cele´m rozsahu hmotnostı´, pro neˇzˇbyly modely spocˇteny (obr. 38). Andersen (1991) prova´deˇl detailnı´srovnańı´vy´vojovyćh modelu˚s konkre´tnı´mi dvojhveˇzdami. Ve veˇtsˇineˇ prˇı´padu˚nalezl velmi dobrou shodu, t.j. v mezıćh prˇesnosti stejny´vy´vojovy´veˇk obou slozˇek a dobrou shodu vypocˇteneá pozorovane´polohy v ru˚znyćh diagramech (obr. 39). Pro neˇktere´syste´my se vsˇak shodu nale´zt nepodarˇilo pro zˇa´dne´rozumnećhemicke´slozˇenı´. analyzovali fotometrii zı´skanou Munarim a kol. a zameˇrˇili se na analy´zu chyb. Urcˇili vzda´lenost dvojhveˇzdy neˇkolika metodami konsistentneˇna 139 1 pc. To se ovsˇem lisˇıód drˇı´vejsˇıćh fotometrickyćh urcˇenı´vzda´lenosti Pleja´d skoro stejneˇ, jako se tato urcˇenı´lisˇıód vzda´lenosti± meˇrˇene´druzˇicı´Hipparcos. Jesˇteˇjednu detailnı´studii V1229 Tau publikovali Groenewegen a kol. (2007), kterˇı´dospeˇli ke vzda´lenosti 138,0 1,5 pc. Pan a kol. (2004) pouzˇili velkyínterferometr na Palomaru a rozlisˇili prostorovou dra´hu spektroskopicke´dvojhveˇzdy± Atlas = HD 23850, ktera´maóbeˇzˇnou periodu asi 291 dnı´. Dosˇli k za´veˇru, zˇe tato dvojhveˇzda je od na´s vzda´lena vıće nezˇ127 pc, prˇicˇemzˇnejpravdeˇpodobneˇjsˇı´vzda´lenost stanovili na 133 – 137 pc. Zwahlen a kol. (2004) pote´zı´skali i prˇesnou spektroskopickou dra´hu obou slozˇek te´to dvojhveˇzdy. Vzhledem k tomu, zˇe z analy´zy astrometricke´dra´hy lze zı´skat u´hlovy´rozmeˇr velke´poloosy obeˇzˇne´dra´hy a sklon obeˇzˇne´roviny, zatı´mco ze spekroskopie lze urcˇit rozmeˇr poloosy dra´hy v absolutnıćh jednotkaćh na´sobeny´sinem sklonu obeˇzˇne´dra´hy, vede kombinace obou dra´hovyćh rˇesˇenıńa skoro cˇisteˇ geometrickeúrcˇenı´vzda´lenosti dvojhveˇzdy. Zwahlen a kol. tı´mto zpu˚sobem stanovili vzda´lenost Pleja´d na 132 4 pc. ±

85 Obra´zek 37: Parametry (T,Mbol,M,R), urcˇene´meˇrˇenı´m pro slozˇky dvojhveˇzd, ktere´posle´ze umozˇnily odvodit empiricke´ za´vislosti mezi teˇmito velicˇinami. Prˇevzato z pra´ce Harmance (1988).

86 Obra´zek 38: Porovnańıémpiricke´za´vislosti R(Teff ), odvozene´z pozorovańıóddeˇlenyćh dvojhveˇzd (plna´ cˇa´ra), s pozdeˇjsˇı´mi teoreticky´mi modely Schallera a spol. (1992). U symbolu˚jsou zapsane´hmotnosti hveˇzd, tecˇkovanećˇa´ry zna´zornˇujı´hlavnı´ posloupnost nulove´ho veˇku (ZAMS) a konec hlavnı´posloupnosti (TAMS), cˇa´rkovaneˇjsou vyznacˇeny polohy hveˇzd prˇiblizˇneˇ v polovineˇpobytu na hlavnı´posloupnosti. Prˇevzato z praće Harmance (2002a).

Obra´zek 39: Vy´voj slozˇek dvojhveˇzdy AI Phe na H–R diagramu (Teff ,Mbol), od hlavnı´posloupnosti nulove´ho veˇku po dobu 4,56 Gyr, a porovnańı´s polohami odvozeny´miz pozorovańı´(s urcˇity´mi chybovy´mi intervaly). Prˇevzato z praće Andersena (1991).

87 8.5 Zmeˇny chemicke´ho slozˇenı´pozorovane´ve spektrech Po veˇtsˇinu vy´voje hveˇzdy jsou jake´koliv zmeˇny chemicke´ho slozˇenı´skryte´v ja´drˇe, kde probı´hajıńuklea´rnı´ prˇemeˇny, a na povrchu hveˇzdy se vu˚bec neprojevujı´— tam je chemicke´slozˇenı´prakticky stejne´jako na hlavnı´posloupnosti nulove´ho sta´rˇı´. Ja´dro a povrch jsou oddeˇlene´zońou za´rˇive´rovnova´hy. V pozdeˇjsˇıćh fa´zıćh hveˇzdne´ho vy´voje vsˇak obvykle vznikajı´ povrchove´konvektivnı´zońy, ktere´zasahujı´ azˇdo oblastı´, kde prˇedtı´m probı´haly nuklea´rnı´prˇemeˇny (je v nich tedy zvy´sˇenyóbsah helia, prˇı´padneˇteˇzˇsˇıćh prvku˚, nebo snı´zˇeny´). Proudeˇnı´tak mu˚zˇe syntetizovane´prvky vyne´st k povrchu, cozˇse samozrˇejmeˇprojevı´ v atmosfe´rˇe hveˇzdy, a tedy i ve spektru, jako zmeˇny intentzit a profilu˚urcˇityćh spektra´lnıćh cˇar.25 Takovyćh vynesenı´se mu˚zˇe odehra´t vıćero — jedno azˇtrˇi, v za´vislosti na hmotnosti hveˇzdy (obr. 40). Konvekce mu˚zˇe z nitra vyne´st take´ radioaktivnı´prvky s kra´tky´mi polocˇasy rozpadu. Prˇı´kladem je nuklid 99 technecia Tc, ktery´ma´polocˇas rozpadu t1/2 = 211000yr, a jehozˇprˇı´tomnost v atmosfe´rˇe se projevı´ spektra´lnı´mi cˇarami na λ = 403 azˇ 430 nm. Prˇı´kladem mu˚zˇe by´t R Geminorum nebo jine´hveˇzdy ve fa´zi post-AGB (Merril 1952, Lebzelter a Hron 2003). Je du˚kazem, zˇe konvektivnı´zońa zasahuje hluboko do nitra, kde jsou podmıńky umozˇnˇujıćı´vznik teˇchto nestabilnıćh nuklidu˚pomaly´m zaćhycenı´m neutronu˚ (s-procesem).

8.6 Test vnitrˇnı´struktury hveˇzd pomocıápsida´lnı´ho pohybu Jizˇdlouhou dobu je zna´mo, zˇe neˇkteryćh dvojhveˇzd ve vy´strˇednyćh drahaćh lze vyuzˇı´t k mapovańı´vnitrˇnı´ struktury jejich slozˇek. Pokud by dvojhveˇzda ve vy´strˇedne´dra´ze sesta´vala ze dvou hmotnyćh bodu˚, bude jejı´potencia´l odpovı´dat Kepleroveˇdra´ze a obeˇzˇny´ pohyb bude eliptickyá ve stabilnı´dra´ze. Jakmile vsˇak hveˇzdy zaujı´majı´ konecˇny´ objem neˇktere´ ekvipotencia´lnı´plochy nebo jakmile se uplatnı´ relativisticke´ efekty, docha´zı´k narusˇovańıélipticke´ho pohybu.

8.6.1 Apsida´lnı´pohyb v klasicke´mechanice Podrobne´modelovańı´pomocı´harmonickyćh rozvoju˚gravitacˇnı´ho potencia´lu vedlo ke zjisˇteˇnı´, zˇe rozlozˇenı´ hmoty ve hveˇzdeˇvede k postupne´mu staćˇenı´prˇı´mky apsid ve smeˇru obeˇzˇne´ho pohybu, zatı´mco vy´strˇednost obeˇzˇne´dra´hy se nemeˇnı´. Je-li obeˇzˇna´perioda dvojhveˇzdy udańa ve dnech a q = M2/M1 oznacˇuje hmotovy´ pomeˇr, pak pro zmeˇnu de´lky periastra ω, ve stupnıćh za cˇasovou jednotku, v nı´zˇje udańa obeˇzˇna´perioda, platı´v klasicke´mechanice na´sledujıćı´rovnice 360◦ ω˙ = k [15qf(e)+(1+ q)g(e, 1)] r5 + k [15q−1f(e)+(1+ q−1)g(e, 2)] r5 (321) c P 2,1 1 2,2 2 kde

f(e) = (1 e2)−5(1+3e2/2+ e4/8) , (322) − g(e, j) = (1 e2)−2(Ω /Ω )2 (323) − j K 25Spektrum se pochopitelneˇmeˇnı´prˇi kazˇde´zmeˇneˇteploty a ionizace ve fotosfe´rˇe. Zde vsˇak musı´me mı´t dokonalejsˇı´model hveˇzdne´atmosfe´ry, ktery´proka´zˇe, zˇe pozorovana´zmeˇna je zpu˚sobena pra´veˇzmeˇnou chemicke´ho slozˇenı´ fotosfe´ry.

88 1st dredge-up 2nd 1 H He C 0.1 N

surface O

Z Ne , Y

, 0.01 X

0.001 1

0.1 center Z , Y

, 0.01 X

0.001 0 50 100 150 200 250 t [Myr]

Obra´zek 40: Chemicke´slozˇenı´v centru a na povrchu hveˇzdy o hmotnosti 4 M⊙. Po veˇtsˇinu nuklea´rnı´ho vy´voje nejsou zmeˇny v centru vu˚bec znatelneńa povrchu. Azˇrozsˇı´rˇenı´povrchove´konvektivnı´zońy smeˇrem k ja´dru, v cˇase 171 Myr, zpu˚sobı´prvnı´ vynesenı´k povrchu — obohacenıó helium, dusı´k a ochuzenı´ o kyslı´k, uhlı´k — cozˇse projevı´v atmosfe´rˇe (a ve spektru). Druhe´ vynesenıńa´sleduje v cˇase 206 Myr. Vy´pocˇet programem EZ.

89 a r1 a r2 oznacˇujı´relativnı´polomeˇry prima´rnıá sekunda´rnı´ slozˇky, vyja´drˇene´v jednotkaćh hlavnı´poloosy obeˇzˇne´dra´hy A. Cˇleny s funkcı´ f(e) vznikajı´dı´ky slapove´deformaci hveˇzdy, cˇleny s g(e) souvisejı´s rotacˇnı´ deformacı´, prˇicˇemzˇ Ωj oznacˇuje u´hlovou rotacˇnı´rychlost j-te´hveˇzdy (j =1, 2) a ΩK =2π/P je Keplerova strˇednıú´hlovaóbeˇzˇna´rychlost. Konstanta vnitrˇnı´struktury k2 jerovnanuleprohmotny´bodadosahujehodnoty0,75prozcela homogennı´ hveˇzdu. Ze sfe´rickyćh modelu˚stavby hveˇzd, funkce ρ(r), ji lze spocˇı´tat podle vztahu

R 16π k = ρ(r) r7dr (324) 2 5MR5 Z0 a naprˇ. v pracech Clareta a Gimeńeze (1992) a noveˇji Clareta (2004) je tato konstanta tabelovańa pro rozsa´hlou sı´t’vy´vojovyćh modelu˚hveˇzd o ru˚zne´hmotnosti. Je ovsˇem zrˇejme´, zˇe pozorovanyápsida´lnı´pohyb dvojhveˇzdy je du˚sledkem rozlozˇenı´hmoty uvnitrˇ obou teˇles a proto z neˇj lze urcˇit pouze va´hovany´strˇed

c1k2,1 + c2k2,2 k2 = , (325) c1 + c2 kde c1 a c2 prˇedstavujı´koeﬁcienty u k2,1 a k2,2 v rovnici (321). Pro dvojhveˇzdu se stejny´mi hmotnostmi slozˇek je tedy takovy´test nejspolehliveˇjsˇı´.

8.6.2 Relativistickyápsida´lnı´pohyb Relativisticky´ apsida´lnı´ pohyb se rˇı´dı´ na´sledujıćı´m vztahem, ktery´poprveódvodili Levi-Civita (1937) a Robertson (1938): 6πG M + M ω˙ = 1 2 , (326) r c2 AP (1 e2) − kde c je rychlost sveˇtla ve vakuu a rychlost staćˇenı´periastra je v radiańech za tu jednotku cˇasu, ve ktere´se meˇrˇıóbeˇzˇna´perioda. Vzda´lenost slozˇek A lze jesˇteˇeliminovat s pouzˇitı´m 3. Keplerova za´kona a rychlost staćˇenıúdat ve stupnıćh za jednotku cˇasu. Dosta´va´me tak vztah

2 3 2 (πG) 3 √5038848000 (M + M ) 3 1 2 (327) ω˙ r = 2 5 . c P 3 (1 e2) − Je videˇt, zˇe relativistickyápsida´lnı´pohyb za´visı´ na celkove´hmotnosti dvojhveˇzdy. U kompaktnıćh objektu˚, jako jsou bina´rnı´pulsary, nehraje klasickyápsida´lnı´pohyb ω˙ c prakticky zˇa´dnou roli a proto lze relativisticky´ apsida´lnı´pobyb, dany´vztahy (326) cˇi (327), vyuzˇı´t k prˇesne´mu urcˇenı´hmotnosti soustavy. Naprˇ. u bina´rnı´ho pulsaru PSR 1913+16 cˇinı´staćˇenı´ prˇı´mky apsid plnyćh 4,◦2 rocˇneˇ. V roce 2003 byl publikovań objev bina´rnı´ho pulsaru s obeˇzˇnou periodou 2,4 hodiny, vy´strˇednostı´0,088 a staćˇenı´m prˇı´mky apsid o 16,◦88 rocˇneˇ(Burgay a kol. 2003). Podle rovnice (327) je tedy celkova´hmotnost te´to soustavy

90 −1 2,58 M⊙. Pro u´plnost poznamenejme, zˇe obeˇzˇna´rychlost teˇles ve dra´ze cˇinıási 315 km s , takzˇe pokud jde o vlastnı´dra´hovy´pohyb, zˇa´dne´vy´znamne´relativistickeéfekty se neuplatnˇujı´. Vy´hodneˇjsˇı´vy´raz pro relativistickyápsida´lnı´pohyb lze ovsˇem zı´skat tak, zˇe jesˇteˇnahradı´me hmotnosti slozˇek polovicˇnı´mi amplitudami K1,K2 krˇivek radia´lnıćh rychlostı´. Nejenzˇe tı´m zı´ska´me vztah prˇı´mo pouzˇitelnyńa pozorovana´data, ale zvy´sˇı´me tı´m i prˇesnost urcˇenı´, nebot’z vy´razu zcela zmizı´gravitacˇnı´ konstanta G. Dosta´va´me tak 1080◦ (K + K )2 ω˙ = 1 2 . (328) r c2 P sin2 i

8.6.3 Celkovyápsida´lnı´pohyb U obecne´dvojhveˇzdy je staćˇenı´prˇı´mky apsid soucˇtem klasicke´ho a relativisticke´ho staćˇenıá pro pozorovanou rychlost staćˇenı´ ω˙ prˇirozeneˇplatı´

ω˙ =ω ˙ c +ω ˙ r . (329)

Oznacˇı´me-li symbolem U periodu u´plne´rotace prˇı´mky apsid, platı´ 360◦ U = . (330) ω˙ Chceme-li ovsˇem zjistit, jak se pozorovane´sta´cˇenı´prˇı´mky apsid shoduje s hodnotou konstanty vnitrˇnı´stavby k2, prˇedpoveˇzenou z klasicke´mechaniky, musı´me nejprve spocˇı´tat relativisticky´prˇı´speˇvek ω˙ r z rovnice (328), ten odecˇı´st od pozorovane´hodnoty sta´cˇenı´, tedy

ω˙ =ω ˙ ω˙ . (331) c − r a pote´spocˇı´tat pozorovanou hodnotu konstanty vnitrˇnı´ stavby podle vztahu

P ω˙ c 1 k2 = ◦ . (332) 360 c1 + c2

−3 −2 Hodnoty k2 vypocˇtene´z modelu˚stavby hveˇzd jsou obvykle rˇa´doveˇ 10 azˇ 10 .

8.7 Projevy vy´voje za dobu lidske´historie Projevy hveˇzdne´ho vy´voje mu˚zˇeme pozorovat jen v prˇı´padech velmi rychlyćh vy´vojovyćh sta´diı´. Soudı´ se naprˇ., zˇe projevem za´veˇrecˇnyćh fa´zı´vy´voje hmotneˇjsˇıćh hveˇzd jsou vy´buchy supernov, ktere´rozmetajı´ veˇtsˇinu hmoty hveˇzdy do okolnı´ho prostoru. Tento na´zor potvrdil vy´buch supernovy 1987 A ve Velke´m Magellanoveˇmracˇnu, kdy byl detekovań i slaby´tok neutrıń. Jiny´m argumentem je prˇı´tomnost pulzaru v centru Krabı´mlhoviny, ktera´vznikla prˇi vy´buchu supernovy pozorovane´m roku 1054. Podobneˇse soudı´, zˇe naprˇ. zna´ma´promeˇnna´hveˇzda FG Sge s velkou amplitudou zmeˇn, je hveˇzda v dynamicke´m pozdnı´m sta´diu vy´voje (post-AGB star, obr. 41) — viz Jurcsik a Montesinos (1999).

91 120 100

80 / days 60 40 pulsation

20 P 12500

/ K 10000 eff T 7500

5000 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 date / yr

Obra´zek 41: Zmeˇny efektivnı´teploty a periody pulzacı´pro hveˇzdu FG Sge v obdobı´1950 azˇ1996. Data z Jurcsik a Montesinos (1999).

Za du˚kaz hveˇzdne´ho vy´voje se povazˇujıí na´lezy bı´lyćh trpaslı´ku˚v centru planeta´rnıćh mlhovin. Nezvyklyá origina´lnı´pokus o oveˇrˇenı´hveˇzdne´ho vy´voje v rea´lne´m cˇase ucˇinil Mayer (1984), ktery´ se srovnańı´m hveˇzdnyćh velikostı´z katalogu Almagest se soucˇasny´mi pozorovany´mi jastnostmi veleobru˚ pokusil statisticky proka´zat jejich pozorovatelny´vy´voj ve shodeˇs teoriı´. Jeho vy´sledky vsˇak byly neda´vno Hearnshawem (1999) podrobeny kritice. I k Hearnshawoveˇstudii vsˇak lze mı´t vy´hrady a veˇc tak zu˚sta´va´ otevrˇena´.

92 9 Jednoduche´analyticke´modely a odhady

Nejen z historickyćh du˚vodu˚, ale i pro pochopenıńeˇkteryćh souvislostıá cˇasto pouzˇı´vanyćh vztahu˚je uzˇitecˇne´se sezna´mit s jednoduchy´mi modely hveˇzd. Zacˇneme prˇipomenutı´m termodynamickyćh deˇju˚.

9.1 Polytropnı´deˇj Polytropnı´zmeˇna je takova´zmeˇna stavu, prˇi ktere´zu˚sta´va´speciﬁcke´ teplo26 c konstantnı´, tedy (pro 1g la´tky) dQ = c = konst. (333) dT

Specia´lnı´prˇı´pad, kdy c =0, se nazy´vaádiabaticky´m deˇjem, prˇı´pad, kdy c = cP , se nazy´va´deˇjem isobaricky´m, prˇı´pad c = cV deˇjem isochoricky´m a prˇı´pad, kdy c , je deˇjem isotermicky´m. Nasˇı´m cı´lem je vyuzˇı´t konstantnı´ho c k tomu, abychom→∞ zjednodusˇili stavovou rovnici P (ρ, T ) na tvar P (ρ). Uveˇdomme si, zˇe rovnice hveˇzdne´stavby se tı´m podstatneˇzjednodusˇı´: kdyzˇtlak neza´visıńa teploteˇ T , stacˇıńa´m pro popis stavby pouze dveˇ rovnice — rovnice kontinuity a hydrostaticke´rovnova´hy, ve kteryćh vystupujı´ R(MR),P (MR), ρ(MR) — nikoli cˇtyrˇi. Je ale prˇedpoklad c = konst. v cele´hveˇzdeˇvu˚bec rozumny´? Je jasne´, zˇe chemicke´slozˇenı´musı´by´t homogennıá take´stupenˇionizace konstatnı´, jinak by se tepelna´kapacita meˇnila. Navıć se vyloucˇenı´m teploty zbavujeme i produkce energie z nuklea´rnıćh reakcıá hveˇzda je tak zcela bez zdroje energie! Kupodivu to nevadıá ve veˇtsˇineˇobjemu hveˇzdy mu˚zˇeme takove´prˇiblı´zˇenı´pouzˇı´t. Vy´sledky slozˇiteˇjsˇıćh numerickyćh modelu˚(obr. 42) to ostatneˇpotvrzujı´.

1.6·109 0.0014 C 9 P 1.4·10 1 − β 0.0012 9 1.2·10 0.001 1·109

0.0008 β 8 8·10 − 1 [erg/K/g] 8 0.0006 P 6·10 C 0.0004 4·108 2·108 0.0002 0 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

R [RSun]

Obra´zek 42: Meˇrna´ tepelna´ kapacita c prˇi konstantnı´m tlaku a parametr 1 β = 1 P /P = P /P ve standardnı´m P − − g r modelu Slunce. V oblasti 0,3 azˇ 0,8 R⊙, tj. zejmeńa v zońeˇza´rˇive´rovnova´hy, je cP te´meˇrˇkonstatnı´. Rˇ a´dovyńa´ru˚st kapacity v podpovrchove´vrstveˇje zpu˚soben neu´plnou ionizacı´— prˇı´ru˚stek tepla dQ se spotrˇebuje hlavneˇna zvy´sˇenıíonizace, cˇili prˇı´ru˚stek −3 teploty dT je malyá tepelna´kapacita cP = (dQ/dT )P velka´. Hodnoty parametru 1 β dosahujı´rˇa´doveˇ 10 , cˇili tlak za´rˇenı´ Pr je v cele´hveˇzdeˇvelmi maly´v porovnańı´s celkovy´m tlakem P . −

26te´zˇmeˇrna´tepelna´kapacita, [c] =ergK−1 g−1

93 Konkre´tnı´prˇı´pad stavove´rovnice hveˇzdne´la´tky. Nejprve zkusı´me zjednodusˇit stavovou rovnici pro smeˇs plynu a za´rˇenı´ 1 P = P + P = ℜρT + aT 4 . (334) g r µ 3 Musı´me v cele´hveˇzdeˇprˇedpokla´dat konstantnı´pomeˇr β tlaku plynu k celkove´mu tlaku P β = g = konst. , (335) P cozˇnenı´velky´„hrˇı´ch“, nebot’u rea´lny´ch hveˇzd mnohdy prˇedstavuje tlak za´rˇenı´sotva dveˇprocenta celkove´ho tlaku (viz obr. 42). Teplotu T pak lze elegantneˇvyja´drˇit pomocı´ β 1 1 1 1 1 P = P = ℜρT = P = aT 4 , (336) β g β µ 1 β r 1 β 3 − − 1 β 3 T 3 = − ℜ ρ . (337) β µa Dosazenı´m zpeˇt do (336) obdzˇı´me zjednodusˇenou stavovou rovnici ve tvaru P (ρ)

1 1 1 β 3 3 4 4 P = ℜ − ℜ ρ 3 = Kρ 3 . (338) β µ β µa Obecneˇjsˇı´odvozenı´z 1. veˇty termodynamicke´. Odvodı´me nynı´obecneˇji platnou rovnici polytropy, a to postupny´mi u´pravami prvnı´veˇty termodynamicke´, ktera´znı´(pro 1 g la´tky)

dQ = dU + P dV . (339)

Za vnitrˇnı´energii U hveˇzdne´la´tky bychom dosadili 3 aT 4 U = ℜT + , (340) 2 µ ρ za prˇedpokladu konstantnı´ho β vsˇak mu˚zˇeme hustotu ρ vyloucˇit a psa´t U pouze jako funkci teploty 3 T 2 β U = ℜ − = U(T ) . (341) 2 µ β Namı´sto diferencia´lu dU pak budeme pocˇı´tat pouze jednu parcia´lnı´derivaci

∂Q = cV ∂T V ∂U dQ = dT + P dV . (342) z}|{∂T 94 Vidı´me, zˇe pro speciﬁcke´teplo cV prˇi konstantnı´m objemu (dV =0) ma´me vy´raz

∂U c = . (343) V ∂T V Stavovou rovnici zapı´sˇeme ve tvaru

PV = ℜT (344) β a diferencujeme ji (prˇi β = konst.)

d(PV )= P dV + V dP = ℜdT . (345) β Dosazenı´m za P dV do rovnice (342) dosta´va´me

∂Q ∂T = cP P dQ = c + ℜ dT V dP , (346) V β − z }| { takzˇe pro speciﬁcke´teplo cP prˇi konstantnı´m tlaku (dP =0) ma´me vztah

∂Q c = = c + ℜ . (347) P ∂T V β P Platı´tedy rovnice

c c = ℜ , (348) P − V β kterou vyuzˇijeme pro dosazenı´za P v rovnici (342) T c dT = c dT +(c c ) dV . (349) V P − V V Po u´praveˇ

dT dV (c c ) =(c c ) , (350) − V T P − V V cozˇlze snadno integrovat

(c c ) ln T =(c c ) ln V + konst. (351) − V P − V

95 Tabulka 5: Pouzˇitı´polytropnı´ch modelu˚s ru˚zny´m indexem n. Veˇtsˇı´ n znamena´mimo jine´veˇtsˇı´koncentraci la´tky ke strˇedu.

index la´tka(objekty) n =1/2 azˇ 1 degenerovanyńeutronovy´plyn (neutronove´hveˇzdy) n =3/2 nerelativisticky´degenerovanyélektronovy´plyn (bı´lı´trpası´lici, hneˇdı´trpaslıći, Jupiter) n =3 smeˇs idea´lnı´ho plynu a za´rˇenı´(norma´lnı´hveˇzdy), relativisticky´degenerovanyélektronovy´plyn n =5 nekonecˇna´hveˇzda (vneˇjsˇıćˇa´st hveˇzdy s husty´m ja´drem a rˇı´dkou oba´lkou) n izoterma´lnı´koule (bezsra´zˇkova´kulova´hveˇzdokupa) →∞ a po zavedenıéxponentu c c γ − P (352) ≡ c c − V zapsat jako

TV γ−1 = konst.′ . (353)

Pouzˇijeme-li znovu stavovou rovnici (344), zı´ska´me

PV γ = konst.′′ (354)

µ nebo ekvivalentneˇ(neb V = ρ ) P = Kργ . (355)

Polytropnı´deˇje by´va´zvykem charakterizovat indexem n, ktery´souvisı´s exponentem γ vztahem 1 n . (356) ≡ γ 1 − Pak obecnou rovnici pro polytropnı´deˇj mu˚zˇeme napsat ve tvaru

n+1 P = Kρ n , (357) kde konstanta K obsahuje i strˇednı´molekulovou hmotnost cˇa´stic µ. Vidı´me, zˇe vy´sˇe odvozeny´vy´raz (338) pro hveˇzdnou la´tku odpovı´da´polytropeˇs indexem n =3. Pouzˇitı´ dalsˇıćh (prˇiblizˇnyćh) polytropnıćh modelu˚shrnuje tabulka 5.

9.2 Laneova–Emdenova diferencia´lnı´rovnice Rovnice hveˇzdne´stavby nynı´zjendodusˇı´me na´sledujı´cı´m postupem

96 1. rovnici kontinuity (89) prˇepı´sˇeme pro gravitacˇnı´potencia´l Φ;

2. pouzˇijeme rovnici hydrostaticke´rovnova´hy (92) a rovnici polytropy (357) k nalezenı´ ρ(Φ);

3. dostaneme obycˇejnou diferencia´lnı´ rovnici pro Φ, kterou lze rˇesˇit analyticky pro urcˇite´hodnoty indexu n (nebo numericky pro vsˇechny ostatnı´). Pro sfe´rickou hveˇzdu lze snadno zave´st gravitacˇnı´potencia´l Φ. Gravitacˇnı´zrychlenı´, cˇili sı´la pu˚sobı´cı´ na jednotku hmoty, je totizˇgradientem potencia´lu, tedy

R dΦ GM G = R = 4πR2ρ dR . (358) dR − R2 −R2 Z0 Tuto rovnici mu˚zˇeme derivovat podle R (jako soucˇin), a s prˇihle´dnutı´m k rovnici zachova´nı´hmoty ve tvaru (88) dosta´va´me

R d2Φ 2G 2 dΦ = 4πR2ρ dR 4πGρ = 4πGρ, (359) dR2 R3 z }| { − −R dR − Z0 cozˇlze snadno upravit na tvar

d2Φ 2 dΦ + +4πGρ =0 . (360) dR2 R dR Tuto rovnici zatı´m nenı´mozˇne´vyrˇesˇit, nebot’v nı´kromeˇpotencia´lu Φ(R) vystupuje nezna´ma´hustota ρ(R). Vzhledem k vy´sˇe uvedene´mu mu˚zˇeme rovnici hydrostaticke´rovnova´hy (92) psa´t take´ve tvaru dP GM dΦ = R ρ = ρ , (361) dR − R2 dR cˇili

dP = ρ dΦ . (362)

Podle obecne´rovnice polytropy (357) ma´me

n +1 1 dP = K ρ n dρ (363) n a po dosazenı´

n +1 1 −1 dΦ = K ρ n dρ . (364) n 97 Integracı´te´to rovnice dostaneme

1 Φ + konst. = K(n + 1)ρ n . (365)

Jestlizˇe zvolı´me nulovy´bod potencia´lu na povrchu hveˇzdy, kde prˇedpokla´da´me ρ = 0, bude konstanta rovnice (365) nulovaá obdrzˇı´me ky´zˇeny´vztah ρ(Φ) Φ n ρ = . (366) K(n + 1) Dosazenı´m za ρ do (360) zı´ska´me rovnici, kde vystupuje pouze potencia´l Φ d2Φ 2 dΦ 4πG + + Φn =0 . (367) dR2 R dR [K(n + 1)]n Jde o obycˇejnou diferencia´lnı´ rovnici druhe´ho rˇa´du pro nezna´mou funkci Φ(R). Nezˇ ji budeme rˇesˇit, provedeme sˇka´lovańı´zavedenı´m parametru 4πG α2 = Φn−1 (368) [K(n + 1)]n c a novyćh promeˇnnyćh ϕ a z pomocı´vztahu˚ Φ ϕ = , z = αR , (369) Φc kde Φc oznacˇuje hodnotu Φ v centru hveˇzdy. Bude zrˇejmeˇ dΦ dϕ dz dϕ = Φ = αΦ , (370) dR c dz dR c dz d2Φ d dΦ dz d2ϕ = = α2Φ , (371) dR2 dz dR dR c dz2 2 dΦ 2α2 dϕ = Φ . (372) R dR z c dz Rovnici (367) pak lze prˇepsat do tvaru diferencia´lnı´rovnice Laneovy–Emdenovy d2ϕ 2 dϕ + + ϕn =0 . (373) dz2 z dz Jiny´mozˇny´za´pis Laneovy-Emdenovy rovnice zrˇejmeˇje 1 d dϕ z2 + ϕn =0 . (374) z2 dz dz Tato rovnice se obecneˇrˇesˇıńumericky, naprˇ. pomocı´rozvoje v rˇadu. Analyticka´rˇesˇenıéxistujı´pro polytropnı´ indexy n =0, n =1 a n =5.

98 9.3 Polytropnı´modely hveˇzd Rˇ esˇenı´rovnice (373) pro n =0 je z2 ϕ(z)=1 , (375) − 6 pro n =1 ma´rˇesˇenı´tvar sin z ϕ(z)= (376) z a konecˇneˇpro n =5

− 1 z2 2 ϕ(z)= 1+ , (377) 3 jak se mu˚zˇeme snadno prˇesveˇdcˇit zpeˇtny´m dosazenı´m. Povsˇimneˇme si, zˇe du˚sledkem rˇesˇenı´pro n = 5 je, zˇe povrch hveˇzdy, kde je podle nasˇı´volby Φ=0, a tedy take´ ϕ =0, odpovı´da´nekonecˇneˇvelke´hodnoteˇ z, a tedy i R. Jiny´mi slovy, hveˇzda staveˇna´podle polytropy n =5 se rozprostı´ra´do nekonecˇna. Numericke´rˇesˇenı´pro libovolnou hodnotu n mu˚zˇeme snadno zı´skat Eulerovou metodou. Prˇı´slusˇny´ ko´d programu ve Fortranu 77 by mohl vypadat na´sledovneˇ c pocatecni podminky z = 1.e-3 phi = 1.e0 dphi_dz = 0.e0 do while (z.lt.zmax) c Laneova-Emdenova rovnice d2phi_dz2 = -2.e0/z * dphi_dz - phi**n c jednoduchy Euleruv integrator dphi_dz = dphi_dz + d2phi_dz2 * dz phi =phi +dphi_dz *dz write(*,*) z, phi z = z + dz enddo Spocˇtene´pru˚beˇhy funkcı´ ϕ(z) pro ru˚zna´ n ukazuje obra´zek 43.

Hustota. Vy´znam polytropnı´ch modelu˚spocˇı´va´v tom, zˇe pomocı´ nich lze cˇinit urcˇite´odhady vnitrˇnı´ stavby hveˇzd. Jak jsme jizˇvideˇli, lze naprˇ. pomocı´rovnice (366) pocˇı´tat hustotu v libovolne´m bodeˇhveˇzdy ze znalosti hustoty v centru ρ Φ n = = ϕn . (378) ρ Φ c c 99 1

0.8

0.6

0.4 c 7 Φ /

Φ 0.2 = 5

0 n = 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.4

0 2 4 6 8 10 z = αR

Obra´zek 43: Analyticka´a numericka´rˇesˇenı´Laneovy–Emdenovy rovnice, tedy funkce ϕ(z), pro ru˚zne´hodnoty polytropnı´ho indexu n. Hladinu, kde je ϕ =0, povazˇujeme za povrch hveˇzdy.

Pro prˇı´pad n =0 bychom dostali 0 ρ(R)= ρcϕ = ρc , (379) neboli homogennı´hveˇzdu s konstantnı´hustotou. Pro veˇtsˇı´ n vycha´zı´vzˇdy veˇtsˇı´koncentrace la´tky ke strˇedu. Rovneˇzˇsi mu˚zˇeme vsˇimnout, zˇe podle vztahu˚(366) a (368) platı´ 2 R K(n + 1) 1−n = ρ n . (380) z 4πG c Tuto rovnici lze pouzˇı´t k urcˇenıćentra´lnı´hustoty ρc ze zadane´ho polomeˇru hveˇzdy R∗ a odpovı´dajıćı´hodnoty z∗, zı´skaneíntegracı´Laneovy-Emdenovy rovnice. Plyne z nı´rovneˇzˇ, zˇe

1−n 2n R∗ ρc . (381) ∝ Vidı´me tedy, zˇe pro vsˇechny polytropnı´modely s n > 1 je polomeˇr hveˇzdy klesajı´cı´funkcı´jejı´centra´lnı´ hustoty.

Tlak. Podobneˇlze odvodit odhad pro tlak; kombinacı´rovnic (357) a (366) dosta´va´me ρΦ P = , (382) n +1 z cˇehozˇvy´ply´va´

n+1 P = Pcϕ . (383)

100 Teplota. Z rovnice (337) plyne ihned teplota pro hveˇzdnou la´tku

1 1 β 3 3 n T = − ℜ ρ = T ϕ 3 . (384) β µa c V prˇı´padeˇodlisˇne´stavove´rovnice by byla pochopitelneˇodlisˇna´take´funkce T (ϕ).

Hmota obsazˇena´v kouli. Pro hmotu v kouli o polomeˇru R0 mu˚zˇeme psa´t s vyuzˇitı´m rovnice (378)

R0 R0 2 2 n MR(R0)= 4πR ρ dR =4πρc R ϕ dR , (385) Z0 Z0 kde R0 oznacˇuje neˇjakou uvazˇovanou vzda´lenost od strˇedu hveˇzdy. Pokud provedeme substituci R = z/α, dle zavedene´transformace (369), vyjde

z0 R3 M (z )=4πρ z2ϕndz , (386) R 0 c z3 Z0 kde z0 opeˇt prˇedstavuje hodnotu te´to promeˇnne´v uvazˇovane´ vzda´lenosti R0 od centra hveˇzdy. Integra´l na prave´straneˇovsˇem mu˚zˇeme snadno vyja´drˇit z Laneovy–Emdenovy rovnice (374), takzˇe dosta´va´me 1 dϕ(z ) M (z )=4πρ R3 0 . (387) R 0 c 0 −z dz 0 Hmota obsazˇena´v kouli o dane´m polomeˇru je tedy da´na derivacı´gravitacˇnı´ho potencia´lu v dane´m bodeˇ. Je prˇirozeneˇmozˇne´zave´st take´strˇednı´hustotu hveˇzdy zrˇejmy´m vztahem

M∗ ρ¯ = , (388) 4 3 3 πR∗ kde hveˇzdicˇkou jsou znacˇeny hodnoty velicˇin odpovı´dajıćı´povrchu hveˇzdy. Pro celkovou hmotnost hveˇzdy M∗ samozrˇejmeˇplatı´rovnice (387) prˇi z = z∗. 2 dϕ(z∗) ρc Hodnoty z∗, z a byly pro ru˚zne´hodnoty polytropnı´ho indexu n numericky spocˇteny a tabe- − ∗ dz ρ¯ lovańy, takzˇe pomocıńich bylo mozˇno pro hveˇzdu o dane´ hmotnosti M∗ a polomeˇru R∗ spocˇı´tat jejı´vnitrˇnı´ strukturu.

Srovnańı´polytropnıćh modelu˚se standardnı´m modelem Slunce. Jizˇze za´kladnı´fyziky vı´me, zˇe smeˇsi plynu a za´rˇenı´by meˇla prˇiblizˇneˇodpovı´dat polytropas n =3 (viz (338)). Potvrzuje to i porovnańı´jednoduche´ho polytropnı´ho modelu se slozˇity´m standardnı´m modelem Slunce (obr. 44). Pokud v polytropnı´m modelu −3 fixujeme polomeˇr Slunce (mı´sto, kde ϕ =0), vycha´zı´z rovnice (380) centra´lnı´hustota ρc = 90 g cm (jen o ma´lo mensˇıńezˇprˇesna´hodnota 150 g cm−3). I profily hustoty ρ(R), respektive derivace ρ′(R), v oblasti zońy za´rˇive´rovnova´hy si dobrˇe odpovı´dajı´. Co se teploty tyćˇe, polytropnı´model vede k centra´lnı´teploteˇSlunce 12 milionu˚Kelvinu˚, cozˇje slusˇny´ odhad vzhledem k soucˇasny´m nejlepsˇı´m modelu˚m, ktere´ uda´vajı´ T = 15,4 106 K. c · 101 100 standard solar model polytropes n = 2.5, 2.6, ..., 3.5 3 n = 3, ρc = 90 g/cm , β = 1 − 0.0006 10 ]

3 1 [g/cm

ρ 0.1

0.01

0.001 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

R [RSun]

Obra´zek 44: Porovnańı´polytropnıćh modelu˚se standardnı´m modelem Slunce na profilu hustoty ρ(R). Uvazˇovne´hodnoty n jsou . 3 od 2,5 do 3,5. V zońeˇza´rˇive´rovnova´hy by standardnı´mu modelu Slunce nejle´pe odpovı´dala polytropa s n =3,15, ρc = 95g/cm , β =1 0,0006. −

Chandrasekharova mez. Z rovnic (387) a (380) plyne, zˇe

3−n 3 2n M∗ ρ R ρc . (389) ∝ c ∗ ∝ Zmı´nili jsme se jizˇ, zˇe jedna polytropa s indexem n =3 odpovı´da´stavove´rovnici relativisticky degenerovane´ho elektronove´ho plynu. Podle pra´veˇuvedene´rovnice hmotnost takto konstruovane´hveˇzdy neza´visı´ na centra´lnı´hustoteˇa pro numericke´hodnoty odpovı´dajı´cı´relativisticky degenerovane´mu elektronove´mu plynu vycha´zı´

M∗(mezní) 5,836 (390) = 2 . M⊙ µe To je slavna´ Chandrasekharova mez stability bı´ly´ch trpaslı´ku˚. Vsˇimneˇme si, zˇe pro kompaktnı´hveˇzdy, ktere´ . jizˇprodeˇlaly nuklea´rnı´vy´voj, mu˚zˇeme prˇedpokla´dat X =0 a tedy µe =2, cozˇpro neˇda´va´limitnı´hmotnost 1,459 M⊙.

102 10 Hveˇzdny´vı´tr a ztra´ta hmoty z hveˇzd

10.1 Za´kladnı´fakta a u´vahy To, zˇe hveˇzdneátmosfe´ry nemusı´by´t staticke´, a zˇe z nich mu˚zˇe docha´zet k uńiku hmoty do okolnı´ho prostoru, naznacˇovala existujıćı´pozorovańı´delsˇı´ dobu. JizˇBiermann (1951) upozornil na to, zˇe plynneóhony komet, mı´rˇıćı´vzˇdy smeˇrem od Slunce, nasveˇdcˇujı´ prˇı´tomnosti radia´lnı´ho vy´toku plynu ze Slunce do meziplaneta´rnı´ho prostoru, a odhadl vy´tokove´rychlosti na 500 km/s v blı´zkosti Slunce, urychlujıćı´se azˇk 1 500 km/s ve velkyćh vzda´lenostech od Slunce. Od padesa´tyćh let, kdy zacˇaly by´t vypousˇteˇny sonda´zˇnı´rakety a pozdeˇji i druzˇice a meziplaneta´rnı´sondy, bylo prˇı´mo mozˇne´meˇrˇit tento tok plynu, slunecˇnı´vı´tr — nejprve v okolı´Zemeˇa posle´ze i v ru˚znyćh vzda´lenostech od Slunce. Z meˇrˇenı´slunecˇnı´ho veˇtru v blı´zkosti Zemeˇ(r = 1 AU) plyne koncentrace n 10 částic/cm3 a rychlost − ≃ v 400 km/s. To odpovı´da´hustoteˇ ρ m n =1,7 10 20 kg/m3 a celkove´ztra´teˇhmoty ze Slunce ≃ ≃ H ·

dM⊙ 2 −14 =4πr v ρ 3 10 M⊙/rok . (391) dt ≃ ·

Pozorovacı´du˚kazy veˇtru u chladnyćh hveˇzd. Pro obry a veleobry chladneˇjsˇıńezˇG0 byly pozorovańy na´sledujıćı´jevy:

1. Absorpcˇnıćˇa´ry va´pnı´ku a horˇcˇı´ku by´vajı´posunute´do fialova vu˚cˇi rychlosti fotosfe´rickyćh cˇar, cozˇ naznacˇuje rozpıńańı´ materia´lu smeˇrem k pozorovateli. U zna´myćh spektroskopickyćh dvojhveˇzd radia´lnı´rychlosti teˇchto cˇar nesdı´lejıóbeˇzˇny´pohyb, cozˇprˇesveˇdcˇiveˇdokazuje jejich cirkumstela´rnı´ pu˚vod.

2. Zmıńeˇnećhladne´hveˇzdy majı´veˇtsˇinou takećhromosfe´rickeémise cˇar va´pnı´ku a horˇcˇı´ku, a pra´veˇ pro hveˇzdy s cirkumstela´rnı´mi absorpcemi majı´dvojite´ emisnı´slozˇky pomeˇr V/R mensˇıńezˇjedna. Pro tyte´zˇhveˇzdy se rovneˇzˇpozorujıćirkumstela´rnı´ absorpcˇnıćˇa´ry He I na vlnove´de´lce 1083,0 nm, posunute´do fialova o 150 azˇ 200 km/s.

3. Pro za´krytove´ dvojhveˇzdy sesta´vajıćı´ z chladne´ho veleobra a horke´ slozˇky spektra´lnı´ho typu B (soustavy typu ζ Aur) lze beˇhem za´krytu˚pozorovat, zejmeńa v druzˇicovyćh ultrafialovyćh spektrech, cirkumstela´rnıćˇa´ry z oba´lky veleobra, a v pru˚beˇhu za´krytu tak studovat strukturu hveˇzdne´ho veˇtru v ru˚zne´vzda´lenosti od povrchu veleobra.

4. Na spektrech s vysoky´m rozlisˇenı´m byly nalezeny cˇa´ry z cirkumstela´rnıćh oba´lek veleobru˚typu M azˇdo vzda´lenostıńeˇkolika tisıću˚polomeˇru˚veleobra.

Du˚kazy pro horke´hveˇzdy. Pro horke´hveˇzdy spektra´lnıćh trˇı´d O a B o vysoke´svı´tivosti byl uńik plynu pozorovań nejprve na za´kladeˇ profilu˚P Cygni (nazvanyćh podle veleobra P Cygni, pro ktere´ho jsou tyto cˇa´ry

103 Obra´zek 45: Profil typu P Cygni pozorovanyú spektra´lnıćˇa´ry H objektu IRAS 08544 4431. Prˇevzato z Maas a spol. (2003). α − zvla´sˇteˇna´padne´; obr. 45). Jde o kombinaci emisnıćˇa´ry, s radia´lnı´rychlostıódpovı´dajıćı´radia´lnı´rychlosti hveˇzdy, a absorpcˇnıćˇa´ry te´hozˇiontu, ktera´je vsˇak posunuta´do fialova a ma´tedy za´pornou rychlost. Takovy´profil vznikne, kdyzˇhveˇzdu obklopuje expandujıćıóba´lka: emisnı´slozˇka ma´pu˚vod v horke´m rˇı´dke´m plynu okolo, rozpıńajıćı´m se na vsˇechny strany stejneˇ, kdezˇto dopplerovsky posunutaábsorpcˇnıćˇa´ra vznika´v oblasti prˇed hveˇzdou, kdy je polopru˚hledny´plyn, letıćı´k pozorovateli, v poprˇedı´huste´, spojiteˇ za´rˇıćı´fotosfe´ry (obr. 47). Pote´, kdyzˇbyla zı´skańa prvnı´kvalitnıúltrafialova´ spektra hveˇzd vneˇzemskeátmosfe´ry, byly u mnoha veleobru˚pozorovańy vy´razne´P Cyg profily resonancˇnıćh cˇar iontu˚jako C IV, Si IV cˇi N V, ktere´meˇly v neˇkteryćh prˇı´padech velmi ostrˇe definovań fialovyókraj absorpce. Ty naznacˇovaly, zˇe plyn se ve velkyćh vzda´lenostech urychluje azˇna konecˇne´rychlosti 2000 azˇ 3 000 km/s. Pozdeˇji bylo zjisˇteˇno, zˇe projevy hveˇzdne´ho veˇtru lze nale´zt i u hveˇzd se za´vojem (v anglicke´literaturˇe Be stars) o nizˇsˇı´svı´tivosti, t.j. s trˇı´dami svı´tivosti V, IV a III.

U´ nikova´rychlost. Z nebeske´mechaniky je zna´mo, zˇe ma´-li se hmotnaćˇa´stice dostat z neˇjake´ho centra´l- nı´ho gravitacˇnı´ho pole do nekonecˇna, musı´by´t jejıćelkovaénergie kladna´

1 GM∗m E = E + E = mv2 0 . (392) k G 2 − r ≥

Pro u´nikovou rychlost vesc s povrchu hveˇzdy o hmotnosti M∗, cˇili ze vzda´lenosti rovnı´kove´ho polomeˇru Rrov, tedy platı´

2GM∗ v = . (393) esc R r rov

104 Obra´zek 46: Spektrum hveˇzdy ζ Puppis v UV oblasti (117 azˇ144 nm), porˇı´zene´druzˇicıĆopernicus. Je na neˇm patrne´mnozˇstvı´ sˇirokyćh spektra´lnıćh cˇas s charakteristicky´mi profily P Cygni; u´zkećˇa´ry jsou zpu˚sobeneábsorpcı´v mezihveˇzdne´m prostrˇedı´. Prˇevzato z Morton a Underhill (1977).

Obra´zek 47: Vznik profilu P Cygni emisı´ za´rˇenı´(v oblasti oznacˇene´H) a dopplerovsky posunutou absorpcı´(v oblasti F) v rozpıńajıćı´se cirkumstela´rnıóba´lce. Prˇevzato z http://hven.swarthmore.edu/˜cohen/hotstarwinds.html.

105 Tabulka 6: U´ nikove´rychlosti vesc podle rovnice (394) na povrchu ru˚zny´ch hveˇzd

hveˇzda M∗ Rrov vesc (M⊙) (R⊙) (km/s) Slunce 1,00 1,00 618 O7V 26,0 8,54 1079 O7Ia 28,0 22,9 683 B0V 14,6 5,80 979 B5V 4,36 3,01 743 A0V 2,24 2,09 639 F0V 1,50 1,56 606 G0V 1,16 1,25 595 K0V 0,91 1,01 556 M0V 0,45 0,52 575 M0Ia 15,8 500 110

Pokud hmotnost a rovnı´kovy´polomeˇr hveˇzdy budeme vyjadrˇovat v jednotka´ch hmotnosti a polomeˇru Slunce, dostaneme rovnici

1 − 1 2 2 M∗ Rrov vesc = 617,61 km/s . (394) M⊙ R⊙ Neˇkolik odhadu˚, v jake´m rozmezı´se pro rea´lne´hveˇzdy takove´u´nikove´rychlosti v blı´zkosti jejich povrchu˚ mohou pohybovat, je shrnuto v tabulce 6.

10.2 Parkerova teorie veˇtru u chladnyćh hveˇzd Nestabilita isoterma´lnıátmosfe´ry. V jednorozmeˇrne´m prˇı´padeˇplanparalelnıátmosfe´ry platı´jednoducha´ rovnice hydrostaticke´rovnova´hy dP = ρgdz. Dosazenı´m ze stavove´rovnice a forma´lnıíntegracı´zı´ska´me pro tlak −

z µm P (z)= P (0) exp H g dz , (395) − k T (z) Z0 prˇicˇemzˇintegra´l musı´divergovat, aby exponencia´la konvergovala. Pokud ve velke´vzda´lenosti prˇedpokla´- da´me za´vislost teploty ve tvaru polynomu T (z) zn, musı´by´t evidentneˇ n < 1, aby tato podmı´nka byla ∝ splneˇna. Izoterma´lnı´atmosfe´ra (n =0) je stabilnı´.

106 1 Ve trˇech rozmeˇrech (sfe´ricke´symetrii) je vsˇak situace odlisˇna´. Ve vy´razu pro tlak se navı´c objevı´ r′2 z gravitacˇnı´ho zrychlenı´

r µm GM∗ P (r)= P (R) exp H dr′ , (396) − k T (r′) r′2 ZR takzˇe prˇi obdobne´za´vislosti teploty T (r) rn vycha´zı´podmı´nka stability n < 1. Staticka´isoterma´lnı´ atmosfe´ra tedy neexistuje! Mı´sto rovnice hydrostaticke∝ ´ rovnova´hy musı´me pouzˇı´t− rovnici pohybovou.

Hydrodynamicke´rovnice. Za´klady teorie slunecˇnı´ho veˇtru formuloval Parker (1958). Uka´zal, zˇe po- trˇebne´ uńikove´ rychlosti lze dosa´hnout rˇesˇenı´m hydrodynamickyćh rovnic, jestlizˇe prˇedpokla´da´me, zˇe k vy´toku plynu docha´zı´ze slunecˇnı´korońy zahrˇa´te´ na teplotu 3000000K. Podobny´mechanismus mu˚- zˇeme prˇedpokla´dat i u jinyćh chladnyćh hveˇzd, ktere´ majı´rozsa´hle´podpovrchove´konvektivnı´zońy a tedy i chromosfe´ry a korońy. Pohybova´rovnice pro radia´lneˇse rozpıńajıćı´plyn je

dv(r, t) GM∗m m = dP A , (397) dt − r2 − kde v oznacˇuje rychlost, m hmotnost inﬁnetezima´lneˇtenke´kulove´vrstvy plynu, A jı´prˇı´slusˇnou plochu a M∗ hmotnost hveˇzdy. Dosadı´me za m = Adrρ a zı´ska´me

2 =0 v cs

∂v ∂v dr GM∗ ∂P A (398) + = 2 dρ . z}|{∂t ∂r z}|{dt − r − z}|{∂ρ Adrρ

Budeme-li uvazˇovat staciona´rnı´prˇı´pad, je cˇasova´derivace rychlosti nulova´. Rychlost zvuku cs mu˚zˇeme pro adiabaticky´deˇj, popsany´ P = Kργ , vyja´drˇit jako

∂P γ−1 P kT cs = = Kγρ = γ = γ . (399) s ∂ρ s ρ s µmH p Vy´sledkem je Bernoulliho rovnice

dv 1 dρ GM∗ v + c2 + =0 . (400) dr s ρ dr r2 Za´vislost hustoty na rychlosti ρ(v) mu˚zˇeme zjistit z rovnice kontinuity

2 2 dM =4πr vdt ρ =4πr0 v0dt ρ0 , (401) cˇili

2 −2 −1 ρ = r0v0ρ0 r v , (402)

107 r zı´ska´me (400) dosazenı´ do Po r hv pro rˇesˇenı´ Numericka´ rovnice 48: Obra´zek Parkerovy ehnsu ziuslunecˇnı´ho horke´ vzniku pro mechanismus nebyl veˇtru by prˇı´lisˇ konvekt nenı´ koroń podpovrchove´ male´ koro vsˇak kdyby velmi pravdeˇpodobna´. I jen majı´ hveˇzdy Horke´ hveˇzdne´ho teorie veˇtru rˇı´zene´ho CAK za´rˇenı´m10.3 rˇa´du diferencia´lnı´ funkci cozˇ 1. je pro rovnice ovsˇem bı´le´ zˇa´dna´ (v vzda´lenostech; oblasti) jinde Veˇtsˇina isoterma´lnı´ rˇesˇen model. o jedna´ rˇesˇenı´se sˇe (v tedy a vzda´lenosti 0 0 27 1 = 1 = s nejjednodusˇsˇı´ rychlosti vyja´drˇitAsi derivaci je , kriticke´ rˇesˇenı´ 01 R ⊙ R r ⊙ ayc hodnotaćh malyćh a c d efunkce je kde , rv´tElrv integraci prove´st Eulerovu a (cˇerveneˇ) pro ρ 1 H d d ( ρ r r v / km/s 100 120 140 160 180 200 0 = ) v 20 40 60 80 = 0 0 v 0 akrv rovnici Parkerovu ∈ 0 r 0 = eettz av´r eyurychlenı´ vı´tr, totizˇ azˇ Vede tedy na na . 2 v (0 v 1 d d , , 10685 m 21607618855 v 1 0 m 10) 01; r v i − +1 1 2 ńeitj´(ep d rˇesˇenı´ o ktera´ zac jde ı´ akreci, neexistujı´ (resp. pro = r − − e bat)j nezajı´mava´, ryc malyćh nebot’koncˇı´ je na oblasti) de´ v 5 3 / i v c v s + s 2 2 d d − ont yhot vk yazoeakonstantnı´ zvolena byla zvuku rychlosti Hodnota . v t v 1 d d ( v t = − r − eˇzdny´ rychlosti za´vislost vı´tr, / ∆ ) s Jejı´ numericke´ rˇesˇenı´. r r tr´s vyznacˇuje ktere´, se prˇekrocˇenı´m zvuku rychlosti v 108 2 , (1 − r n ejk´dsdnezna´me´ neˇjake´ prˇıćˇiny dosud z ńy meˇly, Parkeru˚v c r r 2 − r s 2 i / c v 10 +1 c 1 R s 2 + − /v S hveˇzdy Solomon pouzˇitelny´. a Lucy upozornili Jak 2 = 2 GM d d ) r v r r i vı on rt iheitnehorkyćh existence nich u proto a zońy ivnı´ 2 2 ∆ + r c ∗ s = − 0 = v r − oz etrˇeba osˇetrˇit prˇi je Pouze singularitu . ≃ 15 GM r 2 2 r 0 km 400 , ∗ − uva´zˇit pocˇa´tecˇnı´, podmıńky 27 v 1 / v d d iı m aobra´zku 48. vidı´me na s v r avzda´lenosti na evelke´ vzda´lenostive . 20

c ˇıńajı´ velkyćh na s lsehnb malyćh nebo hlostech c r s oy zacˇıńa´ Pohyb na . c 0 km 100 = s prˇesneˇ kriticke´ v r r .Du˚lezˇite´). je 000 1 = v v 0 = 0 = . / (403) (404) c s s cˇili , R . na ⊙ . (1970), k dosazˇenı´pozorovanyćh rychlostı´hveˇzdne´ho veˇtru horkyćh hveˇzd (2000 azˇ3000kms−1) by v hypoteticke´korońeˇmusely panovat teploty rˇa´du 10 miliońu˚K, prˇi kteryćh by ionty C IV, Si IV cˇi N V musely da´vno zaniknout v du˚sledku sra´zˇkoveéxcitace. Lucy a Solomon (1970) proto navrhli jiny´mechanismus: vznik hveˇzdne´ho veˇtru pu˚sobene´ho mechanickou silou v du˚sledku selektivnıábsorpce za´rˇenı´v silnyćh resonancˇnıćh cˇaraćh. Jejich mysˇlenka byla za´sadnı´m zpu˚sobem vylepsˇena v klıćˇove´praći Castora, Abbota a Kleina (1975), kterˇıúka´zali, zˇe sı´la, zpu˚so- bujıćıúńik plynu z atmosfe´r horkyćh hveˇzd, vznika´dı´ky selektivnıábsorpci velky´m mnozˇstvı´m spektra´lnıćh cˇar v ultrafialoveóblasti, ne pouze dı´ky cˇara´m resonancˇnı´m. Podarˇilo se jim uka´zat, zˇe vy´sledna´sı´la vede na ztra´tu hmoty, ktera´je stokra´t vysˇsˇı´, nezˇpodle vy´pocˇtu Lucyho a Solomona (1970). Jejich praće se za´hy stala klasickou pracı´v oboru a dnes lze cˇasto nale´zt odkazy na standardnıĆAK teorii hveˇzdne´ho veˇtru rˇı´zene´ho za´rˇenı´m. Naznacˇme si nynı´, jak se hveˇzdny´vı´tr modeluje. V za´sadeˇjde o rˇesˇenı´hydrodynamickyćh rovnic. Prvnı´ je zminˇovana´rovnice kontinuity, ktera´je prˇı´mo cˇasovou derivacı´rovnice (88), dM =4πr2ρ v , (405) dt kde M˙ je tok hmoty povrchem koule o polomeˇru r, nazy´vanyćˇasto rychlostı´ztra´ty hmoty hveˇzdny´m veˇtrem, a v je rychlost radia´lnı´ho pohybu plynu ve vzda´lenosti r od centra hveˇzdy. Druha´rovnice je pohybova´(hydrodynamicka´), obdobna´jako (91), do nı´zˇje ale potrˇeba kromeˇgravitacˇ- nı´ho zrychlenıá gradientu tlaku dosadit i zrychlenı´ gr pu˚sobene´tlakem za´rˇenı´ 2 d r GM∗ 1 dP = g + g . (406) dt2 − r2 − ρ dr r

Mechanicka´sı´la za´rˇenı´. Uvazˇme, jakou mechanickou silou pu˚sobı´za´rˇenı´o intenziteˇ Iν na tenkou vrstvu plynu o tlousˇt’ce dr, na kterou dopada´pod u´hlem ϑ z prostorove´ho u´hlu dω (obr. 49).

′ Iν ds dx

ϑ Iν dω κν

′ Obra´zek 49: Vrstva plynu o tlousˇt’ce dr a opaciteˇ κν , do ktere´vstupuje za´rˇenı´o intenziteˇ Iν a vystupuje z nı´za´rˇenı´o intenziteˇ Iν .

Z deﬁnice intenzity plyne, zˇe energie za´rˇenı´ Eν procha´zejı´cı´plosˇkou ds pod u´hlem ϑ z prostorove´hu u´hlu dω v intervalu frekvencı´ dν za cˇas dt je v mı´steˇvstupu (a v mı´steˇvy´stupu)

Eν = Iνds cos ϑdωdνdt , (407)

109 ′ ′ Eν = Iνds cos ϑdωdνdt . (408)

dr Podle rovnice prˇenosu za´rˇenı´se prˇi pru˚chodu dra´hou dx = cos ϑ pohltı´energie

′ dr Eν Eν dEν = κνρ Eνdx = κν ρ Iν dscos ϑ dωdνdt = κν ρ IνdV dωdνdt , (409) − ≡ z }|cos ϑ{ kde κν oznacˇuje koeficient opacity v dane´m frekvencˇnı´m intervalu. Jak vı´me jizˇz rovnice (174), je hybnost za´rˇenı´rovna E p = ν , (410) ν c kde c je rychlost sveˇtla. Mechanicka´sı´la pu˚sobıćı´ kolmo na uvazˇovanou tenkou vrstvu bude dańa zmeˇnou te´to hybnosti dp df = ν cos ϑ (411) r,ν dt Celkovou mechanickou sı´lu zı´ska´me integracı´prˇes cely´prostorovyú´hel:

4π 4π 1 dE 1 4π 1 dr f = df = ν cos ϑ = κ ρE cos ϑ = r,ν r,ν c dt c dt ν ν cos ϑ Zω=0 Z0 Z0 Hν 1 4π 1 1 4π = κ ρ I ds cos ϑdωdνdtdr = κ ρ dsdνdr I cos ϑdω = c ν dt ν c ν ν Z0 zZ0 }| { dτν 1 1 = κ ρ dr dsdνH = dsdνdτ H (412) c ν ν c ν ν

z }| { 28 kde Hν je celkovy´monochromaticky´tok za´rˇenı´v dane´m mı´steˇ(a neˇkdy se zava´dı´ τν , jakozˇto opticka´ tlousˇt’ka). Pro za´rˇenı´vsˇech frekvencı´ma´me ∞ 1 ∞ f = f = ρ dsdr κ H dν . (413) r r,ν c ν ν Zν=0 Z0 Prˇı´slusˇne´zrychlenı´vrstvy je f f 1 ∞ g = r = r = κ H dν . (414) r dm dsdrρ c ν ν Z0 28 Pozor, v mnoha pracech by´va´mı´sto celkove´ho monochromaticke´ho toku Hν pouzˇı´vań tok Fν , ktery´je definovań vztahem Hν = πFν .

110 Pozna´mka nakonec odvozenı´: mechanicka´sı´la na absorbujıćı´vrstvu (charakterizovanou dr a κν) je neˇco jine´ho nezˇtlak za´rˇenı´(176) (pu˚sobıćıńa plosˇku ds)! Lucy a Solomon (1970) uka´zali, zˇe absorpce za´rˇenı´v resonancˇnıćh cˇaraćh ve vlnovyćh de´lkaćh v blı´zkosti maxima za´rˇive´ho toku je dostatecˇna´k tomu, aby vy´sledne´zrychlenı´(406) bylo kladne´. Atmosfe´ra pak nenı´ statickaá musı´docha´zet k uńiku hmoty. Cela´veˇc je jesˇteˇusnadnˇovańa tı´m, zˇe jakmile se neˇjaka´vrstva plynu da´do pohybu, budou ionty v nı´dı´ky Dopplerovu posuvu pohlcovat za´rˇenıńa vysˇsˇıćh frekvencıćh nezˇ v klidove´m stavu, tedy za´rˇenı´, ktere´prˇedtı´m pohlcovańo by´t nemuselo. Castor, Abbot a Klein (1975) rˇesˇenı´m pohybove´rovnice se zapocˇtenı´m absorpce v mnoha cˇaraćh v UV oblasti zjistili, zˇe v nadzvukoveóblasti je pomeˇr zrychlenıúńiku plynu ke gravitacˇnı´mu zrychlenı´te´meˇrˇ konstantnı´, asi 1,5. Tı´m vysveˇtlujı´, procˇlze rychlost plynu popisovat empirickou formulı´

β . R∗ v(r) = v∞ 1 , (415) − r 1 kterou uzˇı´val jizˇChandrasekhar ve trˇica´tyćh letech. Parametr β uda´vajı´roven 2 , ru˚znıáutorˇi jej ale volı´ ru˚zneˇ. Rychlost v nekonecˇnu v∞ musı´prˇevysˇovat rychlost uńikovou. Spocˇetli rovneˇzˇ, zˇe naprˇ. pro hveˇzdu −6 hlavnı´posloupnosti spektra´lnı´ho typu O5 cˇinı´rychlost ztra´ty hmoty 6 10 M⊙ rocˇneˇ. · Vliv metalicity na vı´tr. Je dobre´si uveˇdomit, co vsˇe na´m rovnice (414) rˇı´ka´. Pokud budeme uvazˇovat hveˇzdy, ktere´ vznikaly v obdobı´, kdy mezihveˇzdna´ la´tka obsahovala jen male´ procento teˇzˇsˇıćh prvku˚ (naprˇı´klad typickyóbsah teˇzˇsˇıćh prvku˚v Male´m Magellanoveˇmracˇnu se odhaduje na Z = 0,004), budou podmıńky pro vznik silne´ho hveˇzdne´ho veˇtru podstatneˇ horsˇı´, nebot’ atmosfe´ra takovyćh hveˇzd bude obsahovat te´meˇrˇvy´lucˇneˇjen nepocˇetneábsorpcˇnı´ cˇa´ry vodı´ku a helia (κν je nı´zke´).

Cˇ asova´modulace hveˇzdne´ho veˇtru. V neda´vne´dobeˇbyla rozpracovańa teorie hveˇzdne´ho veˇtru soustrˇe- d’ovane´ho rotacı´smeˇrem k rovnı´ku hveˇzdy. Bjorkman a Cassinelli se pomocı´te´to teorie snazˇili vysveˇtlovat vznik hveˇzd se za´vojem. Rovneˇzˇexistujı´pozorovańı´, zˇe hveˇzdny´vı´tr nenı´rovnomeˇrny´proud hmoty, exis- tujıńa´znaky modulace s rotacˇnı´periodou (viz obr. 50 azˇ 52). Na tuto mozˇnost upozornˇovali naprˇ. Mullan (1984) cˇi Harmanec (1991), pozorovańı´m byla podobna´modulace poprve´dolozˇena Owockim a spol. (1995) a hydrodynamicky´model cirkumstela´rnıćh korotujıćıćh struktur byl publikovań v praći Cranmer a Owocki (1996).

10.4 Vliv hveˇzdne´ho veˇtru na vy´voj hveˇzd Parametricky´popis veˇtru. Reimers (1975) odvodil ze spektroskopickyćh pozorovańı´ cˇervenyćh obru˚ empiricky´vztah pro ztra´tu hmoty (obr. 53)

−1 dM . −13 R L M∗ = ηw 4 10 M⊙/rok , (416) dt · · R⊙ L⊙ M⊙

111 Obra´zek 50: Trajektorie, kterou zaujı´majıćˇa´stice vyvrhovane´z urcˇite´ho mı´sta na povrchu rotujıćı´hveˇzdy (pohled ve smeˇru rotacˇnıósy). Prˇi pozorovańı´spekter (pozorovatelem v rovineˇrovnı´ku) se objevı´modulace intenzity a profilu˚ cˇar s rotacˇnı´ periodou hveˇzdy.

Obra´zek 51: Hydrodynamicka´simulace struktury hveˇzdne´ho veˇtru (korotujıćıínterakcˇnıóblasti, CIR), ktera´je ve staciona´rnı´m stavu. Sˇedou sˇka´lou je zna´zorneˇny normalizovane´hodnoty: (a) hustoty, (b) radia´lnı´slozˇky rychlosti, (c) azimuta´lnı´slozˇky rychlosti a (d) radia´lnı´Sobolevovy opticke´tlousˇt’ky. Prˇevzato z Cranmer a Owocki (1996).

112 Obra´zek 52: Vlevo: se´rie spekter hveˇzdy HD 64760 porˇı´zenyćh v cˇa´rˇe SiIV (λ = 139,4 nm). Na vodorovneóse je dopplerovska´ rychlost, na svislećˇas, monochromaticky´tok je zobrazen stupneˇm sˇedi. Dole je spocˇteny´pru˚meˇrny´profil cˇa´ry (plnou cˇarou) a maxima´lnıódchylky (cˇa´rkovaneˇ). Vpravo: analogicky´graf pro modelovy´vy´pocˇet, ve ktere´m autorˇi prˇedpokla´dali zhusˇteˇniny hveˇzdne´ho veˇtru, buzeneńeradia´lnı´mi pulzacemi hveˇzdy. Prˇevzato z Owocki a spol. (1995).

113 tBig Bang

M/MSun 10-5

10-6

-7 100 10 85 60 -8 40 10 25 20

15 -9 /yr] 12 10

9 Sun 7 -10 M

10 [ 5 t 4 -11 /d 3 10 M

2.5 d 2 1.7 -12 1.5 10 1.25 1 -13 0.9 0.8 10 0.7 0.6 0.5 -14 0.4 0.3 10 0.2 0.1 10-15 106 107 108 109 1010 1011 1012 1013 t [yr]

Obra´zek 53: Ztra´ta hmoty dM/dt Reimersovy´m veˇtrem (u´meˇrna´za´rˇive´mu vy´konu L) v za´vislosti na cˇase, pro hveˇzdy s hmotnostmi 0,1 azˇ 100 M⊙. Vy´pocˇet programem EZ.

v neˇmzˇjsme jesˇteˇdoplnili ućˇinnost ηw, kterou mu˚zˇeme povazˇovat za volny´parametr. Tento Reimersu˚v vı´tr nenı´samozrˇejmeˇpouzˇitelnyúniverza´lneˇpro vsˇechny typy hveˇzd ve vsˇech fa´zıćh vy´voje. Naprˇı´klad u Slunce je skutecˇneˇpozorovany´vı´tr asi 20 kra´t meńeˇ efektivnı´.

Vliv veˇtru. Hveˇzdy ztraćejıćı´hmotu veˇtrem se chovajı´jako hveˇzdy s nizˇsˇı´hmotnostı´. Beˇhem vy´voje na hlavnı´ posloupnosti je vsˇak vliv nepatrny´; vzˇdyt’ Slunce za dobu sveéxistence ztratilo jen 0,01% sve´hmotnosti. U cˇervenyćh obru˚mu˚zˇeme prˇi zapocˇtenı´veˇtru zjistit mensˇı´za´rˇivy´vy´kon (obr. 54). Ve vy´sledku vede vı´tr k male´mu prodlouzˇenı´doby zˇivota. (Prˇı´lisˇvelka´ztra´ta hmoty by vsˇak naopak mohla ve´st k drˇı´veˇjsˇı´mu ukoncˇenıńuklea´rnı´ho vy´voje, protozˇe v nitru nenastanou podmıńky pro zazˇehnutı´pozdeˇjsˇıćh reakcı´.) Velky´vy´znam ma´vı´tr v za´veˇrecˇnyćh fa´zıćh vy´voje, naprˇı´klad pro hveˇzdy na asymptoticke´veˇtvi obru˚ −3 (AGB) jsou pozorovane´ztra´ty hmoty azˇ M˙ & 10 M⊙/rok, prˇi pomeˇrneˇmale´rychlosti v 10 km/s. Tento supervı´tr (angl. superwind) je pravdeˇpodobneˇbuzen tlakem za´rˇenıńa prachovećˇa´stice, uhlı´kateńebo≃ silika´tove´, ktere´beˇzˇneˇkondenzujı´v rozsa´hlyćh oba´lkaćh obrˇıćh hveˇzd (Lagadec a Zijlstra 2008). Hveˇzdny´vı´tr vy´znamneˇprˇispı´va´k obohacenı´mezihveˇzdne´ho prostrˇedı´teˇzˇsˇı´mi prvky, a postupneˇtak zvysˇuje metalicitu mezihveˇzdne´la´tky. Vı´tr je pravdeˇpodobneˇvydatneˇjsˇı´m zdrojem nezˇexploze supernov.

114 4.5

3.5

2.5 Sun L / 2 L

log 1.5

0.5

0 M = 1 MSun, Z = 0.02, ηw = 1 ηw = 0 -0.5 3.8 3.75 3.7 3.65 3.6 3.55 3.5 3.45 3.4

log [Teff]K

Obra´zek 54: Vliv zapocˇtenı´hveˇzdne´ho veˇtru na vy´voj hveˇzdy (M = 1 M⊙) v H–R diagramu. U´ cˇinnost veˇtru byla zvolena ηw =1. Vy´pocˇet programem EZ.

115 11 Vlivrotace

11.1 Rocheu˚v model a jednoducheódhady Hrubyódhad vlivu rotace na rozmeˇry hveˇzdy poskytuje Rocheu˚v model. Je zalozˇen na prˇedpokladu, zˇe vsˇechna hmota hveˇzdy je soustrˇedeˇna ve hmotne´m bodu v jejı´m centru, a na prˇedpokladu tuhe´rotace s u´hlovou rychlostı´ ω. Z hlediska povrchovyćh vrstev je tento prˇedpoklad u rea´lnyćh hveˇzd docela dobrˇe splneˇn. (Vnitrˇnı´stavba takove´hveˇzdy by se vlastneˇmeˇla podobat polytropeˇs indexem n 5, ktera´se rozprostı´ra´do nekonecˇna nebo jiny´mi slovy je velmi koncentrovana´ke strˇedu.) ≥ Rotujıćı´hveˇzdu budeme popisovat v neinercia´lnı´ soustaveˇkorotujıćı´s hveˇzdou, s va´lcovy´mi sourˇad- nicemi l, z. Osa z je identicka´s osou rotace, a druha´sourˇadnice l odpovı´da´kolme´vzda´lenosti od rotacˇnı´ −2 osy (obr. 55). Na cˇa´stici v atmosfe´rˇe hveˇzdy pu˚sobı´jednak gravitacˇnı´zrychlenı´ ag = GM∗r , kde r2 = l2 + z2, jednak odstrˇedive´ a = ω2l. Jejich pu˚sobenı´popı´sˇeme celkovy´m potencia´lem− (a = Ψ) o ∇ GM∗ 1 Ψ= + ω2l2 . (417) r 2 Ekvipotencia´lnı´plochy jsou za´rovenˇplochami konstantnı´hustoty, takzˇe rotujıćı´hveˇzda bude zaujı´mat tvar neˇktere´konkre´tnıékvipotencia´lnı´plochy.

r ϑ O l

Obra´zek 55: Zavedenı´va´lcovy´ch sourˇadnic (l,z) pro vy´pocˇet gravitacˇnı´ho potencia´lu rotujı´cı´hveˇzdy.

Zkoumejme, jake´budou vlastnosti kriticke´plochy, pro nizˇbude neˇkde vy´slednice prˇitazˇlive´a odstrˇedive´ sı´ly nulova´. Podmı´nkou pro to je nulovy´gradient potencia´lu ( Ψ=0). Konkre´tneˇdosta´va´me ∇

∂Ψ 1 2 2 − 3 −3 = GM∗(l + z ) 2 2z = GM∗r z =0 , (418) ∂z −2 − cozˇje zrˇejmeˇsplneˇno vsˇude v rovineˇrovnı´ku hveˇzdy, t.j. pro z =0, a

∂Ψ 2 2 − 3 2 = GM∗(l + z ) 2 l + ω l =0 . (419) ∂l −

Protozˇe z =0, je tato druha´podmı´nka splneˇna pro l0, pro neˇzˇplatı´

− 3 2 2 2 GM∗(l0) = ω , (420)

116 cˇili

3 GM∗ (421) l0 = 2 . r ω Hodnota kriticke´ho potencia´lu je tedy

GM∗ 1 2 2 3 2 2 Ψcrit = + ω l0 = ω l0 . (422) l0 2 2

Kriticka´ekvipotencia´la Ψ=Ψcrit je mnozˇinou bodu˚ (l, z), pro neˇzˇplatı´

ω2l3 1 3 0 + ω2l2 = ω2l2 . (423) √l2 + z2 2 2 0

Mu˚zˇeme jesˇteˇzjistit hodnotu pola´rnı´ho polomeˇru takove´kriticky rotujı´cı´hveˇzdy zpol, jestlizˇe polozˇı´me l =0

2 3 ω l0 3 2 2 = ω l0 . (424) zpol 2 Dosta´va´me 2 z = l (425) pol 3 0 a vidı´me, zˇe hveˇzda rotujıćıńa mezi sve´dynamicke´stability ma´rovnı´kovy´polomeˇr o polovinu veˇtsˇıńezˇ polomeˇr pola´rnı´. Tvar ekvipotencia´l je zna´zorneˇn na obra´zku 56 a prˇı´klad hveˇzdy rotujıćı´blı´zko kriticke´ meze uva´dı´me na obra´zku 57.

Odhady polomeˇru˚hveˇzd. Rotacˇnı´zplosˇteˇnı´mu˚zˇe mı´t vliv na odhady polomeˇru˚hveˇzd z jejich hveˇzdne´ velikosti. Pokud bychom pozorovali hveˇzdu rotujıćı´v blı´zkosti kriticke´rotacˇnı´rychlosti zhruba od po´lu rotace, budeme videˇt v za´sadeˇjejı´rovnı´kovy´polomeˇr. Pokud vsˇak pozorujeme hveˇzdu zhruba v rovineˇjejı´ho rovnı´ku, mu˚zˇeme pru˚meˇt za´rˇıćı´plochy v prvnı´m prˇiblı´zˇenıáproximovat plochou elipsy s velkou poloosou rovnou rovnı´kove´mu, a malou pola´rnı´mu polomeˇru hveˇzdy. Pro efektivnı´polomeˇr Reff tak dosta´va´me 3 πR2 = πab = πR2 , (426) eff 2 pol neboli

3 . Reﬀ = Rpol =1,225 Rpol . (427) r2

117 10

2 S

R 0 / z -2

-4

-6

-8

-10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

l /RS

Obra´zek 56: Ekvipotencia´ly rocheovske´ho potencia´lu Ψ(l,z) rotujı´cı´hveˇzdy o hmotnosti M = 3,5 M⊙ a rotacˇnı´periodeˇ P = 15,9 h. Cˇerveneˇje vyznacˇena kriticka´hodnota potencia´lu Ψcrit, cˇili maxima´lnı´rozmeˇr, jaky´hveˇzda mu˚zˇe zaujmout, aby byla jesˇteˇstabilnı´. Tence je nakreslena ekvipotencia´la Ψ=1,028Ψcrit, prˇiblizˇneˇodpovı´dajı´cı´hveˇzdeˇRegulus.

Obra´zek 57: Rekonstruovanyóbraz hveˇzdy Regulus (α Leo) zı´skanyínterferometrem CHARA ve filtru K. Prˇi sve´ hmotnosti 3,5 M⊙, periodeˇ 15,9 h a polomeˇru rotuje hveˇzda blı´zko meze stability. Zrˇetelne´je take´ztemneˇnı´rovnı´ku oproti po´lu˚m, zpu˚sobene´rozdı´lny´m gravitacˇnı´m potencia´lem a tedy i teplotou. Prˇevzato z McAlister a spol. (2005).

118 Minima´lnı´rotacˇnı´perioda. Uved’me si v te´souvislosti neˇkolik uzˇitecˇnyćh za´kladnıćh vztahu˚, ktere´se hodı´pro podobneódhady. U rotujıćıćh hveˇzd se mu˚zˇeme setkat s projevy rychle´promeˇnnosti jasnosti nebo profilu˚spektra´lnıćh cˇar. Mu˚zˇe se sta´t, zˇe si budeme chtı´t ucˇinit prˇedstavu, v jake´m rozmezı´se mu˚zˇe nale´zat rotacˇnı´perioda rotujıćı´hveˇzdy. Oznacˇı´me-li v rovnı´kovou rotacˇnı´rychlost hveˇzdy, Rrov jejı´rovnı´kovy´ polomeˇr a Prot jejı´rotacˇnı´periodu, platı´zrˇejmeˇ 2πR v = rov . (428) Prot By´va´zvykem vyjadrˇovat obvodovou rotacˇnı´rychlost v kms−1, rotacˇnı´periodu ve dnech a polomeˇry hveˇzd v jednotkaćh slunecˇnı´ho polomeˇru. Pro slunecˇnı´polomeˇr mu˚zˇeme prˇijmout hodnotu

8 R⊙ =6,95508 10 m , (429) · a dosta´va´me uzˇitecˇnou pracovnı´rovnici R 1 v = 50,57877 km/s rov . (430) R⊙ [Prot]d

Zˇ a´dna´hveˇzda nemu˚zˇe rotovat rychleji, nezˇkritickou rychlostı´ vcrit, prˇi ktere´se prˇitazˇlive´a odstrˇedive´ zrychlenı´vyrovna´vajı´(nazy´va´se te´zˇKeplerova cˇi obeˇzˇna´rychlost)

2 GM∗ v crit (431) 2 = , Rrov Rrov cozˇvede na vztah

GM∗ v = . (432) crit R r rov Pokud opeˇt hmotnost a rovnı´kovy´polomeˇr hveˇzdy budeme vyjadrˇovat v jednotka´ch hmotnosti a polomeˇru Slunce a pouzˇijeme-li modernı´hodnoty z pra´ce Gundlach a Merkowitz (2000)

30 M⊙ = (1,988435 0,000027) 10 kg , (433) ± · G = (6,674215 0,000092) 10−11 m3 kg−1 s−2 , (434) ± · bude

1 − 1 2 2 M∗ Rrov vcrit = 436,822 km/s . (435) M⊙ R⊙ Kombinacı´vztahu˚(430) a (435) dosta´va´me odhad minima´lnı´mozˇne´rotacˇnı´periody ve tvaru

− 1 3 − 1 3 2 2 2 2 2πRrov . M∗ Rrov . M∗ Rpol Pmin = =0,11587 d =0,21287 d . (436) v M⊙ R⊙ M⊙ R⊙ crit

119 Maxima´lnı´ rotacˇnı´ perioda. Pro konkre´tnı´ hveˇzdy ve veˇtsˇineˇ prˇı´padu˚ nezna´me sklon jejich rotacˇnı´ osy vu˚cˇi na´m, z rotacˇnı´ho rozsˇı´rˇenı´profilu˚spektra´lnıćh cˇar proto urcˇı´me pouze projekci rotacˇnı´rychlosti v sin i v, tedy hodnotu, ktera´je mensˇıńezˇskutecˇna´rovnı´kova´rotacˇnı´rychlost nebo je jıńanejvy´sˇrovna. ≤ Proto mu˚zˇeme pro hveˇzdu se zmeˇrˇenou promı´tnutou rotacˇnı´rychlostı´ v sin i — ma´me-li prˇedstavu o jejı´m polomeˇru — odhadnout i maxima´lnı´ mozˇnou rotacˇnı´periodu s pouzˇitı´m vztahu (430):

2πRrov . Rrov 1 Pmax = = 50,57877 d . (437) v sin i R⊙ [v sin i]km/s Je ovsˇem trˇeba upozornit na jednu okolnost. Pokud se neˇjaky´m vneˇjsˇı´m vlivem vytvorˇı´v blı´zkosti rovnı´ku hveˇzdy, ktera´rotuje hluboko pod kritickou rotacˇnı´rychlostıá je prakticky sfe´ricka´, cirkumstela´rnı´ plynovaóba´lka (naprˇ. akrecˇnı´disk ve dvojhveˇzdeˇ), mu˚zˇe by´t perioda rotace prˇı´padnyćh struktur v takove´ oba´lce kratsˇı´, nezˇby plynulo z aplikace vztahu˚(436). Odhad minima´lnı´periody v takovyćh prˇı´padech dostaneme, jestlizˇe do vztahu (436) dosadı´me za rovnı´kovy´polomeˇr skutecˇny´sfe´ricky´polomeˇr hveˇzdy.

11.2 Modely hveˇzdne´ho vy´voje se zapocˇtenı´m rotace Rotace mu˚zˇe ovlivnit stavbu hveˇzdy v neˇkolika smeˇrech:

1. Odstrˇediva´sı´la vsˇude mimo rotacˇnı´osu hveˇzdy snizˇuje efektivnı´gravitaci.

2. Protozˇe vektor odstrˇedive´sı´ly nenı´mimo rovnı´k hveˇzdy rovnobeˇzˇny´s vektorem sı´ly prˇitazˇlive´, dojde k narusˇenı´sfe´ricke´symetrie — ekvipotencia´ly prˇesta´vajı´by´t kulove´, jak jsme to jizˇdiskutovali vy´sˇe pro limitnı´prˇı´pad Rocheova modelu.

3. Protozˇe se za´rˇivy´tok H meˇnı´s gravitacˇnı´m zrychlenı´m v tom ktere´m mı´steˇ, nenı´konstantnı´na dane´m ekvipotencia´lnı´m povrchu, cozˇmu˚zˇe zmeˇnit podmı´nky vzniku konvektivnı´rovnova´hy.

4. Rotace mu˚zˇe ovlivnˇovat konvekci neˇkolika dalsˇı´mi zpu˚soby: jednak mu˚zˇe pu˚sobit proti konvektivnı´m pohybu˚m, jednak mu˚zˇe — v du˚sledku prˇerozdeˇlova´nı´momentu hybnosti — urcˇite´konvektivnı´pohyby vyvolat i v oblastech za´rˇive´rovnova´hy (v du˚sledku diferencia´lnı´rotace, meridiona´lnı´cirkulace).

5. Rotace zpu˚sobıí meridiona´lnıćirkulaci, ktera´vede na diferencia´lnı´rotaci, ta vyvola´‘strˇih’ a efek- tivnı´promıćha´vańı´hveˇzdne´ho materia´lu. To vsˇe ovlivnı´prˇerozdeˇlovańıú´hlove´ho momentu hybnosti a obecneˇzpu˚sobı´, zˇe rotacˇnı´rychlost v ru˚znyćh cˇa´stech hveˇzdy nebude odpovı´dat konservativnı´mu prˇı´padu, t.j. odstrˇediva´sı´la nebude mı´t potencia´l.

Naprosta´veˇtsˇina badatelu˚, zaby´vajıćıćh se modelovańı´m vy´voje hveˇzd se zapocˇtenı´m rotace, se ovsˇem zatı´m omezila na (vnitrˇneˇfyzika´lneˇnekonsistentnı´) prˇı´pady, kdy lze odstrˇedivou sı´lu potencia´lem popsat. Prˇi obecne´formulaci se obvykle vycha´zı´z vektorove´ho tvaru za´kladnıćh rovnic.

120 Vektorovy´tvar rovnic stavby. Pro silove´pole se uvazˇuje obecny´gravitacˇnı´potencia´l a potencia´l rotace, jak byl popsa´n drˇı´ve (viz vztah (417)). Rovnici hydrostaticke´rovnova´hy lze pak zapsat ve tvaru 1 P = Φ+ ω2l = Ψ , (438) ρ∇ −∇ −∇ kde Φ oznacˇuje (za´porny´) gravitacˇnı´potencia´l, Ψ je celkovy´potencia´l, ω je u´hlova´rotacˇnı´rychlost kolem osy z a vektor l mı´rˇı´kolmo na osu rotace a jeho de´lka je rovna kolme´vzda´lenosti uvazˇovane´ho mı´sta od osy z. Rovnici kontinuity nahradı´ Poissonova rovnice ve tvaru

∆Φ div( Φ)=4πGρ. (439) ≡ ∇

Mı´sto velicˇiny LR je vy´hodneˇjsˇı´uvazˇovat vektorovy´tok za´rˇenı´jednotkovou plochou H a rovnici za´rˇive´ho prˇenosu energie mu˚zˇeme pak psa´t ve tvaru 3κρ T = H . (440) ∇ −4acT 3 Rovnice tepelne´rovnova´hy nabude tvar

H = ǫρ , (441) ∇· kde ǫ prˇedstavuje vesˇkeryúvolnˇovany´meˇrny´vy´kon. Da´se uka´zat (viz naprˇ. Schwarzschild 1958), zˇe pro rotacˇnı´za´kony, pro neˇzˇu´hlova´rychlost rotace za´visı´ pouze na vzda´lenosti od osy rotace z, jsou vsˇechny fyzika´lnı´velicˇiny konstantnı´pode´l kazˇdeékvipotencia´lnı´ plochy. Pro prˇı´pad tuhe´rotace lze pro celkovy´potencia´l psa´t 1 1 Ψ(R, ϑ)=Φ(R, ϑ) ω2(R sin ϑ)2 = Φ(R, ϑ) ω2R2 [1 P (cos ϑ)] , (442) − 2 − 3 − 2 kde 1 P (cos ϑ)= 3 cos2 ϑ 1 (443) 2 2 − je Legendru˚v polynom druhe´ho stupneˇ(nejedna´se o zˇa´dny´rozvoj, pouze prˇepis sin2 ϑ). Lze definovat jaky´si strˇednı´ polomeˇr kazˇde´ ekvipotencia´lnı´plochy R0 jako polomeˇr ve smeˇru ϑ = ϑ0, pro ktery´ je P (cos ϑ )=0. To je splneˇno pro ϑ 55◦. 2 0 ≃ Ru˚zne´modely rotujıćıćh hveˇzd. Jak si jako prvnıúveˇdomili Faulkner, Roxburgh a Strittmatter (1968), je v takove´m prˇı´padeˇmozˇneńapsat pro polomeˇr R0 rovnice forma´lneˇvelmi podobne´rovnicı´m pro prˇı´pad nerotujıćı´hveˇzdy. Jiny´postup zvolili Kippenhahn a spol. (1970). Vysˇli z toho, zˇe rotace ovlivnˇuje hveˇzdu dvojı´m zpu˚sobem: (i) pu˚sobı´proti gravitaci spolu s gradientem tlaku, a (ii) zpu˚sobuje rotacˇnı´zplosˇteˇnı´hveˇzdy. Oni se rozhodli

121 zplosˇteˇnıígnorovat. Prˇedpokla´dali rovneˇzˇsfe´rickou symetrii u´hlove´rychlosti, tedy ω = ω(R). Vzhledem k rotacˇnı´symetrii lze pro radia´lnı´slozˇku odstrˇedive´sı´ly pu˚sobıćıńa element slupky (pod u´hlem ϑ) psa´t

2 2 2 dFo = ω l sin ϑ dmR = ω R sin ϑ dmR , (444) kam za hmotnost elementu dosadı´me dM dm = R Rdϑ R sin ϑdϕ . (445) R 4πR2 Integrovańı´m prˇes cely´prostorovyú´hel ω zı´ska´me strˇednı´hodnotu radia´lnı´slozˇky odstrˇedive´sı´ly pu˚sobıćı´ na celou slupku o hmotnosti dMR

4 2π 3 dM dM π 2 F¯ = dF = ω2R R sin3 ϑdϑ dϕ = ω2R R 2π sin3 ϑdϑ = ω2R dM . (446) o o 4π 4π 3 R Zω Zϕ Zϑ z}|{ Zz ϑ=0 }| { Na plosˇnou jednotku povrchu koule o polomeˇru R pu˚sobı´tedy radia´lneˇodstrˇediva´sı´la

1 ω2 F¯ = dM (447) 4πR2 o 6πR R a prˇı´slusˇna´rovnice hydrostaticke´rovnova´hy nabude tvar

dP GM ω2 R (448) = 4 + . dMR − 4πR 6πR To je trˇeba vzı´t v potaz i v rovnici konvektivnı´rovnova´hy. Jejich metodu prˇevzali a jesˇteˇzdokonalili Endal a Sofia (1976). Prˇedpokla´dali opeˇt, zˇe mı´sty stejne´ teploty, tlaku a hustoty jsou ekvipotencia´lnı´plochy a jako neza´visle promeˇnnou zvolili velicˇinu MΨ, t.j. hmotu obsazˇenou uvnitrˇekvipotencia´lnı´plochy s hodnotou celkove´ho potencia´lu Ψ. Mı´sto polomeˇru R zavedli jaky´si efektivnı´polomeˇr ekvipotencia´lnı´plochy RΨ vztahem 4 V = πR3 , (449) Ψ 3 Ψ kde VΨ je objem prˇı´slusˇneékvipotencia´lnı´plochy. To jim umozˇnilo psa´t rovnici zachovańı´hmoty ve tvaru

2 dMΨ = ρdVΨ =4πRΨρdRΨ , (450) a tedy

dRΨ 1 = 2 , (451) dMΨ 4πRΨρ

122 cozˇje rovnice forma´lneˇstejna´, jako pro prˇı´pad nerotujıćı´hveˇzdy. Hodnoty vsˇech velicˇin, ktere´se na ekvipotencia´lnı´m povrchu nezachova´vajı´, strˇedovali integracı´prˇes povrch ekvipotencia´lnı´plochy. Asi od druhe´poloviny devadesa´tyćh let 20. stoletı´se studiu vy´voje rotujıćıćh hveˇzd soustavneˇveˇnuje zˇenevska´skupina kolem prof. Maedera. Za´klady jejich prˇı´stupu jsou popsańy v praći Meyneta a Maedera (1997). Tito autorˇi upozornili na proble´m nekonservativnosti rotace. Aby i prˇesto mohli cely´proble´m pojednat jako jednorozmeˇrny´, prˇedpokla´dali, zˇe diferencia´lnı´rotace ma´takovyćharakter, zˇe u´hlova´rychlost rotace ω je konstantnıńa isobaraćh — plochaćh konstantnı´ho tlaku. To vcelku dobrˇe odpovı´daéxistujıćı´m studiı´m turbulence u Slunce i u jinyćh hveˇzd. V literaturˇe se takovyćharakter rotace nazy´va´ oba´lkova´rotace (angl. shellular rotation). Pro mensˇı´rotacˇnı´rychlosti lze takovou rotaci dobrˇe aproximovat vztahem ω = ω(R), ktery´prˇedpokla´dali jizˇKippenhahn a spol. (1970). Meynet a Maeder (1997) uka´zali, zˇe v takove´m prˇı´padeˇ lze vyuzˇı´t vy´sˇe naznacˇeny´ postup s tı´m, zˇe mı´sto ekvipotencia´lnıćh ploch se uvazˇujı´ isobary, a odvodili prˇı´slusˇny´tvar rovnic. Dalsˇı´studie rotace hveˇzd jsou popsańy v pokracˇujıćı´se´rii pracı´(Meynet a Maeder 1997, 2000, Maeder 1997, 1999, Maeder a Meynet 2000b, Maeder a Zahn 1998) a shrnuty v praći Maeder a Meynet (2000a). Dosud jedineéxperimenta´lnı´dvourozmeˇrne´modely vy´voje rotujıćıćh hveˇzd publikovali Shindo a spol. (1997) pro hveˇzdu o hmotnosti 18 M⊙ a pro heliovou hveˇzdu o hmotnosti 5 M⊙. Je ovsˇem trˇeba rˇıći, zˇe vsˇechny tyto studie je trˇeba povazˇovat za prˇedbeˇzˇne´. Porovna´vańı´vy´sledku˚se skutecˇneˇpozorovany´mi hveˇzdami je proto trˇeba cˇinit s patrˇicˇnou reservou, nebot’obecny´proble´m v alesponˇ dvourozmeˇrne´m (rotacˇneˇsymetricke´m popisu) nebyl jesˇteˇzdaleka vyrˇesˇen.

11.3 Neˇktere´vy´sledky vy´voje rotujıćıćh hveˇzd Sackmann a Anand (1970) spocˇı´tali modely rotujıćıćh hveˇzd hlavnı´posloupnosti o hmotnostech mezi 5 a 10 M⊙ a vy´voj rotujıćı´hveˇzdy o hmotnosti 10 M⊙ za prˇedpokladu tuhe´rotace (ω(R) = konst.) a zachovańıćelkove´ho momentu hybnosti ( = konst.). Prˇi vy´pocˇtu vy´voje hveˇzdy tedy meˇnili model L od modelu u´hlovou rychlost rotace ω(t) (kterou podle prˇedpokladu zachova´vali pro danyćˇas konstantnı´ v cele´m nitru hveˇzdy) tak, aby byla splneˇna podmıńka

= Iω = konst. , (452) L kde I oznacˇuje moment setrvacˇnosti cele´hveˇzdy

I = R2dM = R2ρ(R) dV . (453) ZM ZV Zjistili, zˇe za teˇchto prˇedpokladu˚je vliv rotace na stavbu hveˇzd hlavnı´posloupnosti pomeˇrneˇmaly´. Bolometricky´za´rˇivy´vy´kon se snizˇuje jen o meńeˇnezˇ 7 % a pola´rnı´polomeˇr hveˇzdy o meńeˇnezˇ2 %. Vy´razne´zmeˇny vsˇak nasta´vajı´beˇhem nuklea´rnı´ho vy´voje hveˇzdy. S postupny´m ru˚stem polomeˇru hveˇzdy −1/2 sice klesaóbvodova´rychlost v na rovnı´ku, ale ukazuje se, zˇe pomaleji, nezˇrychlost kriticka´ vcrit R (viz (432)), cˇili mu˚zˇe nastat situace ∝

v v . (454) ≥ crit 123 Modely proto vedou k za´veˇru, zˇe i hveˇzdy, ktere´ majıńa hlavnı´ posloupnosti nulove´ho veˇku rotacˇnı´ rychlosti neˇkolikra´t mensˇıńezˇje rychlost kriticka´, se beˇhem vy´voje na hlavnı´posloupnosti mohou sta´t rotacˇneˇnestabilnı´. Sackmann a Anand tı´m vysveˇtlovali mozˇny´vznik hveˇzd se za´vojem. Kippenhahn a spol. (1970) propocˇetli vy´voj rotujıćıćh hveˇzd pro dva jine´mozˇne´prˇı´pady: (i) moment hybnosti se zachova´va´loka´lneˇv oblastech za´rˇive´rovnova´hy zatı´mco v oblastech konvektivnı´ho prˇenosu energie rotuje hveˇzda jako tuhe´teˇleso a zachova´va´se celkovy´moment hybnosti. (ii) Moment hybnosti se zachova´va´loka´lneˇv oblastech meˇnıćı´ho se chemicke´ho slozˇenı´; v oblastech, kde je chemicke´slozˇenı´ homogennı´, rotuje hveˇzda jako tuhe´teˇleso a zachova´va´ se celkovy´moment hybnosti. Vy´voj pro obeˇuvedeneálternativy spocˇetli pro hveˇzdu o hmotnosti 9 M⊙, prˇicˇemzˇpro model na hlavnı´ posloupnosti nulove´ho veˇku prˇedpokla´dali tuhou rotaci. Vy´voj propocˇı´tali azˇdo fa´zı´vyhorˇenı´helia a v obou prˇı´padech vedl v za´veˇrecˇnyćh fa´zıćh ke vzniku rychle rotujıćı´ho ja´dra a pomalu rotujıćıćh vneˇjsˇıćh vrstev. Pro druhyúvazˇovany´prˇı´pad zachova´vańı´momentu hybnosti navıć vy´voj na konci hlavnı´posloupnosti vedl rovneˇzˇk rotacˇnıńestabiliteˇhveˇzdy, autorˇi vsˇak upozornˇujı´, zˇe jizˇpro model na hlavnı´posloupnosti nulove´ho veˇku kritickou rotaci prˇedpokla´dali. Kippenhahn a spol. takeúpozornili na to, zˇe kdyzˇrotace zmensˇuje efektivnı´gravitacˇnı´zrychlenı´, rotujıćı´ hveˇzda se chova´v jistyćh ohledech jako hveˇzda s poneˇkud mensˇı´hmotnostı´ — vsˇechna vy´vojova´stadia trvajı´pro rotujıćı´hveˇzdu poneˇkud de´le nezˇpro nerotujıćı´hveˇzdu o stejne´hmotnosti. Endal a Sofia (1979) propocˇetli vy´vojove´modely v rozsahu hmotnostıód 1,5 do 10 M⊙ pro trˇi ru˚zne´ alternativy: (i) tuhou rotaci, (ii) zcela loka´lnı´zachovańı´momentu hybnosti a (iii) pro realisticky´model simulujıćıćo nejle´pe ocˇeka´vane´prˇerozdeˇlovańı´ momentu hybnosti ve hveˇzdeˇ(viz Endal a Sofia 1978). Dosˇli k za´veˇru, zˇe pokud hveˇzda na hlavnı´posloupnosti nulove´ho veˇku rotuje s obvodovou rychlostı´, ktera´ se rovnaálesponˇasi 60% rychlosti kriticke´, dojde u nı´beˇhem vy´voje na hlavnı´posloupnosti k rotacˇnı´ nestabiliteˇ, ktera´mu˚zˇe napomoci vzniku hveˇzdy se za´vojem. Kromeˇtoho z jejich vy´pocˇtu˚vyply´va´, zˇe pro stadium obru˚vedou jejich vy´pocˇty k nizˇsˇı´m rotacˇnı´m rychlostem nezˇ jednodusˇsˇı´ rotacˇnı´ modely, takzˇe nenı´ trˇeba hledat dalsˇı´ mechanismy ztra´ty u´hlove´ho momentu u obru˚typu K. Meynet a Maeder (2000) publikovali prvnı´sı´t’vy´vojovyćh modelu˚rotujıćıćh hveˇzd v rozmezı´hmotnostı´ 9 azˇ 120 M⊙ pro slunecˇnıćhemicke´slozˇenıá ru˚zne´pocˇa´tecˇnı´ rotacˇnı´rychlosti. Prˇedpokla´dali nekonserva- tivnıódstrˇedivou sı´lu, vy´voj rotacˇnı´rychlosti modelovali s uva´zˇenı´m vsˇech zna´myćh procesu˚a brali v potaz i ztra´tu hmoty hveˇzdny´m veˇtrem. Jejich vy´sledky shrnujıńa´sledujıćıódstavce.

Vy´voj rotacˇnı´ rychlosti. Obecneˇ lze rˇıći, zˇe sekula´rnı´mechanismy prˇerozdeˇlenıú´hlove´ho momentu, jako je konvekce cˇi meridiona´lnıćirkulace, se uplatnˇujı´v obdobıćh klidne´ho vy´voje, zatı´mco v rychlyćh vy´vojovyćh stadiıćh nemajı´dost cˇasu se uplatnit a u´hlova´rotacˇnı´rychlost se meˇnı´v za´sadeˇtak, zˇe se loka´lneˇ zachova´va´moment hybnosti. Pro modely na hlavnı´posloupnosti nulove´ho veˇku byla prˇedpokla´dańa tuha´ rotace. Vy´voj probı´ha´takto (obr. 58):

1. ru˚st R∗ pokles ω; hveˇzdny´vı´tr diferencia´lnı´rotace: Pomaly´ru˚st polomeˇru R∗ beˇhem hlavnı´ posloupnosti→ vede k tomu, zˇe u´hlova´rotacˇnı´rychlost→ ω vsˇude ve hveˇzdeˇpostupneˇklesa´, vcˇetneˇ centra´lnı´ho konvektivnı´ho ja´dra. Za´rovenˇse ustavı´ diferencia´lnı´rotace, s rotacˇnı´rychlostı´klesajı´cı´

124 smeˇrem k povrchu hveˇzdy. Tak tomu je prˇedevsˇı´m dı´ky zapocˇtenı´ztra´ty hmoty hveˇzdny´m veˇtrem. (Testovacı´vy´pocˇet, ve ktere´m byly uvazˇova´ny vsˇechny procesy kromeˇztra´ty hmoty, vede k soustavneˇ rostoucı´rotacˇnı´rychlosti na povrchu hveˇzdy beˇhem vy´voje na hlavnı´posloupnosti a k dosazˇenı´kriticke´ rotace.)

2. Xc . 0,05 smrsˇteˇnı´ja´dra zvy´sˇenı´ ωjádra: Ke konci zˇivotnı´doby na hlavnı´posloupnosti, kdyzˇ relativnı´hmotnostnıóbsah→ vodı´ku→ klesne pod 0,05 a ja´dro se smrsˇt’uje, zacˇne u´hlova´rotacˇnı´rychlost v centra´lnıćh cˇa´stech ru˚st. . 3. Xc =0 pokles R∗ ru˚st ω mozˇnańestabilita: Vefa´zi celkove´kontrakce hveˇzdy po spotrˇebovańı´ za´sob vodı´ku→ v ja´dru→ roste u´hlova´rotacˇnı´rychlost→ v cele´hveˇzdeˇ. Zejmeńa pro meńeˇhmotne´hveˇzdy (ve studovane´m rozsahu hmotnostı´) dosa´hne v te´to fa´zi kra´tkodobeˇrotacˇnı´rychlost i vıće nezˇ 80 % kriticke´rotacˇnı´rychlosti na povrchu hveˇzdy.

Zajı´mavy´m zjisˇteˇnı´m je i to, zˇe beˇhem vy´voje pode´l hlavnı´posloupnosti klesa´ rotacˇnı´ rychlost na povrchu hveˇzdy tı´m rychleji, cˇı´m veˇtsˇı´byla pocˇa´tecˇnı´rychlost rotace. Pra´veˇtak je zajı´mave´si povsˇimnout, zˇe povrchova´rotacˇnı´rychlost beˇhem vy´voje klesa´s cˇasem tı´m rychleji, cˇı´m je hveˇzda hmotneˇjsˇı´.

Obra´zek 58: Vlevo: vy´voj obvodovy´ch rychlostı´ v na rovnı´ku s cˇasem pro hveˇzdy s ru˚zny´mi pocˇa´tecˇnı´mi hmotnostmi, s pocˇa´tecˇnı´ v = 300km/s a Z =0,004. Vpravo: pomeˇr ω/ωcrit u´hlove´rychlosti ku kriticke´u´hlove´rychlosti. Prˇevzato z Maeder a Meynet (2001).

Vliv na vy´vojove´dra´hy v HR diagramu. Vzhledem k tomu, zˇe — jak jsme se jizˇu´vodem zmıńili — za´visı´tok za´rˇenıńa povrchu rotujıćı´hveˇzdy prˇiblizˇneˇna loka´lnı´m gravitacˇnı´m zrychlenı´, jsou pola´rnıóblasti hveˇzdy teplejsˇıńezˇoblasti rovnı´kove´. Hveˇzda kromeˇtoho nema´kulovy´tvar a pojem efektivnı´teploty podle

125 pu˚vodnı´definice proto ztraćı´smysl. Aby i prˇesto bylo mozˇno konstruovat teoreticky´HR diagram, zavedli Meynet a Maeder (1997) strˇednıéfektivnı´teplotu rotujıćı´hveˇzdy vztahem

4 L = σTeﬀ S , (455)

kde S oznacˇuje plochu povrchu hveˇzdy. Srovnańı´rotujıćıćh a nerotujıćıćh hveˇzd ukazuje, zˇe na hlavnı´posloupnosti nulove´ho veˇku vede rostoucı´ rotace k poklesu jak efektivnı´teploty Teff , tak za´rˇive´ho vy´konu L hveˇzdy. Rotujıćı´hveˇzda se proto jevı´jako nerotujıćı´hveˇzda s poneˇkud mensˇı´hmotnostı´. Naproti tomu postupny´vy´voj vede k tomu, zˇe rotujıćı´hveˇzdy majı´ veˇtsˇı´ L nezˇhveˇzdy nerotujıćı´. Tento fakt spolu s pu˚sobenı´m odstrˇedive´sı´ly znamenajı´take´, zˇe ztra´ta hmoty M˙ z rotujıćıćh hveˇzd je o 60 azˇ 100 % veˇtsˇı´, nezˇz hveˇzd nerotujıćıćh. Pocˇa´tecˇnı´ rotacˇnı´rychlost 200km s−1 vede rovneˇzˇk prodlouzˇenı´ zˇivotnı´doby na hlavnı´posloupnosti asi o 20 azˇ30% a pokud porovna´va´me isochrony, zvy´sˇı´takova´rotace odhad starˇıási o 25 %.

Obra´zek 59: Vy´voj hveˇzd na H–R diagramu pro hveˇzdy rotujıćı´(plnaćˇa´ra) a nerotujıćı´(cˇa´rkovanaćˇa´ra). Pocˇa´tecˇnıóbvodove´ rychlosti rotujıćıćh hveˇzd byly v = 300km/s. Prˇevzato z Maeder a Meynet (2001).

Vliv na povrchovećhemicke´slozˇenı´. Velmi zajı´mavy´m du˚sledkem rotace je to, zˇe jizˇbeˇhem vy´voje na hlavnı´posloupnosti docha´zıú hveˇzd v uvazˇovane´m rozsahu hmotnostı´k obohacovańı´jejich atmosfe´r heliem a dusı´kem a naopak k u´bytku uhlı´ku a kyslı´ku. Tento efekt roste s rostoucı´hmotnostı´hveˇzdy (obr. 60).

Srovnańı´s pozorovańı´m. Je trˇeba si uveˇdomit, zˇe srovnańı´vy´sledku˚modelu˚rotujıćıćh hveˇzd s pozo- rovańı´m je obtı´zˇneńejen proto, zˇe rotacˇnı´modely se dosud vyvı´jejıá nejsou dokonale´, ale i proto, zˇe pro

126 Obra´zek 60: Vlevo: pomeˇr abundancıŃ/C dusı´ku a uhlı´ku na povrchu v za´vislosti na efektivnı´teploteˇ Teff, pro hveˇzdu M = 20 M⊙ a ru˚zne´ hodnoty rotacˇnıćh rychlostı´ od v = 0 do 400 km/s. Vpravo: pomeˇr povrchovyćh abundancıŃ/H v za´vislosti na luminoziteˇ L, pro hveˇzdy s ru˚zny´mi hmotnostmi a pocˇa´tecˇnı´rychlostı´ v = 300km/s. Prˇevzato z Maeder a Meynet (2001). danou hveˇzdu obvykle nezna´me sklon jejı´rotacˇnıósy. Pokud jde o hveˇzdu rychle rotujıćı´, jejı´pozorovane´ vlastnosti, vcˇetneˇjejı´zdańlive´polohy v HR diagramu, se prˇirozeneˇbudou vy´razneˇlisˇit podle toho, zda se na ni dı´va´me spı´sˇe od po´lu cˇi spı´sˇe od rovnı´ku. Prˇesto se lze dohadovat alesponˇo dvou souvislostech:

1. Vznik hveˇzd se za´vojem. Z pozorovańı´je zna´mo, zˇe nejveˇtsˇı´procento hveˇzd se za´vojem se pozoruje kolem spektra´lnı´trˇı´dy asi B2, cozˇodpovı´dańa hlavnı´posloupnosti hmotnosti asi 9 M⊙. Jak jsme videˇli, pro hmotneˇjsˇı´hveˇzdy beˇhem vy´voje povrchova´rotacˇnı´rychlost rychle klesa´(v du˚sledku rostoucı´ho M˙ a ˙) takzˇe podmıńky pro uńik hmoty v rovnı´kovyćh oblastech se zhorsˇujı´. To by s jevem hveˇzd se za´vojemL mohlo souviset v prˇı´padeˇ, zˇe k neˇmu v za´sadeˇdocha´zıńeˇjaky´m vyvrhovańı´m materia´lu z hveˇzdy samotne´.

2. Prˇebytek He, N u rotujıćıćh hveˇzd. Z pozorovańı´se zda´, zˇe pro rychleji rotujıćıÓ hveˇzdy se pozoruje prˇebytek helia, jsou zna´my i OBN hveˇzdy, u nichzˇje i prˇebytek dusı´ku, a ty se vyskytujı´hlavneˇmezi hveˇzdami hmotneˇjsˇı´mi nezˇasi 40 M⊙. Rovneˇzˇse zda´, zˇe obsah helia a dusı´ku v atmosfe´raćh rotujıćıćh B hveˇzd roste beˇhem jejich vy´voje na hlavnı´posloupnosti. Tato fakta jsou v dobre´kvalitativnı´shodeˇ s modelovy´mi vy´sledky.

Vliv metalicity na rotacˇnıńestabilitu. Maeder a Meynet (2001) spocˇı´tali rotacˇnı´modely pro hveˇzdy v rozsahu hmotnostıód 9 do 60 M⊙ pro velmi malyóbsah teˇzˇkyćh prvku˚ Z = 0,004, kteryódpovı´da´ hveˇzda´m v Male´m Magellanoveˇoblaku. Zjistili, zˇe prˇi male´m Z je malaópacita κν la´tky, mala´za´rˇiva´sı´la fr v atmosfe´rˇe hveˇzdy (viz (413)), cˇili slabsˇı´ hveˇzdny´vı´tr, mala´ztra´ta hmoty M˙ , a tedy i mala´ztra´ta u´hlove´ho momentu hybnosti ˙ hveˇzdy, cozˇ napoma´ha´ vzniku rotacˇnıńestability. L

127 Uvedene´ zjisˇteˇnı´ mu˚zˇe souviset s neda´vno pozorovany´mi fakty, zˇe hveˇzdokupy s nizˇsˇı´m obsahem teˇzˇkyćh prvku˚obsahujı´vysˇsˇı´procento hveˇzd se za´vojem. Nove´modely take´le´pe prˇedpovı´dajıóbohacovańı´ atmosfe´r veleobru˚dusı´kem, v souladu s pozorovańı´m veleobru˚typu A v Magellanoveˇmracˇnu a vysveˇtlujı´ veˇtsˇı´pocˇet cˇervenyćh veleobru˚. Za´veˇrem poznamenejme, zˇe Maeder a Meynet (2000a) publikovali podrobnou prˇehledovou praći o vy´voji rotujıćıćh hveˇzd.

128 12 Vy´voj dvojhveˇzd

Z toho, co jsme si jizˇo hveˇzdne´m vy´voji poveˇdeˇli, je zrˇejme´, zˇe ve dvojhveˇzdeˇse rychleji bude vyvı´jet hmotneˇjsˇı´slozˇka. Je-li obeˇzˇna´perioda a tedy vzda´lenost mezi slozˇkami mensˇıńezˇurcˇita´mez, mu˚zˇe se sta´t — jizˇbeˇhem vy´voje na hlavnı´posloupnosti, pravdeˇpodobneˇji ale prˇi prˇechodu hveˇzdy z hlavnı´posloupnosti do oblasti obru˚po vypa´lenı´vodı´ku v ja´dru — zˇe se polomeˇr hveˇzdy zveˇtsˇıńatolik, zˇe prˇekrocˇı´mez stability a plyn z hveˇzdy zacˇne odte´kat smeˇrem k sekunda´rnı´, meńeˇhmotne´slozˇce dvojhveˇzdy. Tento proces narusˇı´ tepelnou rovnova´hu hveˇzdy ztraćejıćı´hmotu a vy´razneˇzmeˇnı´jejı´dalsˇı´vy´voj. Popisˇme si nejprve, jak se vy´pocˇty ve stadiu vy´meˇny hmoty prova´deˇjı´.

12.1 Rocheu˚v model a jednoducheódhady Vzhledem k vy´razne´koncentraci hmoty smeˇrem k centru hveˇzdy lze i ke studiu dvojhveˇzd velmi u´speˇsˇneˇ vyuzˇı´t Rocheu˚v model, ktery´je ovsˇem komplikovaneˇjsˇı´, nezˇv prˇı´padeˇosamocene´rotujıćı´hveˇzdy. Prˇedpo- kla´da´me opeˇt, zˇe hmotnost prima´rnıí sekunda´rnı´slozˇky je soustrˇedeˇna do hmotnyćh bodu˚o hmotnostech M1 a M2, ω oznacˇuje u´hlovou obeˇzˇnou rychlost soustavy a zavedeme take´ hmotovy´pomeˇr M q = 2 . (456) M1 Zvolme neinercia´lnı´ pravou´hlou sourˇadnou soustavu pevneˇspojenou s dvojhveˇzdou, ktera´ma´pocˇa´tek v bodeˇ M1 a jejı´zˇosa x mı´rˇıód M1 k M2, osa y je na ni kolmaá lezˇı´v obeˇzˇne´rovineˇa osa z je kolma´ na obeˇzˇnou rovinu, prˇicˇemzˇvzda´lenost A =1 mezi obeˇma hmotny´mi body zvolı´me za jednotku vzda´lenosti (obr. 61). Oznacˇme vzda´lenost teˇzˇisˇteˇod bodu˚ M1 a M2 jako x1 a x2. Platı´zrˇejmeˇ x1/x2 = M2/M1 a x =1 x , z cˇehozˇdostaneme x = M /(M + M ). 2 − 1 1 2 1 2 z o

y A =1 M1 T M2 x

Obra´zek 61: Zavedenı´sourˇadnicove´soustavy pro vy´pocˇet potencia´lu v okolı´dvojhveˇzdy. Teˇzˇisˇteˇ T a osa o ota´cˇenı´nejsou v pocˇa´tku.

Na infinitesima´lnı´teˇlı´sko o hmotnosti m, nacha´zejıćı´se v obecne´m bodeˇ (x, y, z), budou pu˚sobit trˇi sı´ly: gravitacˇnı´prˇitazˇlivosti obou hmotnyćh bodu˚a odstrˇediva´sı´la odpovı´dajıćı´rotaci sourˇadnicove´soustavy. Tyto sı´ly majı´tvar: mM mM F = G 1 r , F = G 2 r , F = mω2r , 1 − r 3 1 2 − r 3 2 3 3 | 1| | 2| 129 M r = (x, y, z) , r =(x 1,y,z) , r = x 2 , y, 0 . 1 2 − 3 − M + M 1 2 Oznacˇı´me-li jesˇteˇ

r = r , r = r , r = r , (457) 1 | 1| 2 | 2| 3 | 3| lze celkovy´potencia´l oneˇch trˇı´sil (F = m W ) zapsat ve tvaru ∇ GM1 GM2 1 2 2 W = + + ω r3 . (458) r1 r2 2 U´ hlovou obeˇzˇnou rychlost ω vyja´drˇı´me ze 3. Keplerova za´kona (A =1)

2 3 ω A = G(M1 + M2)= GM1(1 + q) (459) a pro zjednodusˇenı´za´pisu mı´sto potencia´lu W zavedeme potencia´l

W 1 q 1 2 Ω = = + + (1 + q)r3 = GM1 r1 r2 2 2 2 2 2 − 1 2 2 2 − 1 1+ q 2 2 q = (x + y + z ) 2 + q((1 x) + y + z ) 2 + (x + y ) qx + . (460) − 2 − 2(1 + q) Rovnice ekvipotencia´lnı´ch ploch je pak

Ω= C , (461) kde C je konstanta odpovı´dajıćı´konkre´tnı´plosˇe (obr. 62). Vsˇimneˇme si jesˇteˇ, zˇe tvar ekvipotencia´lnıćh ploch je funkcı´jedine´promeˇnne´, pomeˇru hmot q.29 Mu˚zˇeme se opeˇt pta´t po mı´stech, ve kteryćh je vy´sledna´sı´la pu˚sobıćıńa testovacı´teˇlı´sko nulova´, cˇili ∂Ω ∂Ω ∂Ω Ω= , , = 0 . (462) ∇ ∂x ∂y ∂z Rozepsańo do sourˇadnic

∂Ω − 3 − 3 = 1 x2 + y2 + z2 2 2z + q 1 (1 x)2 + y2 + z2 2 2z =0 . (463) ∂z − 2 · − 2 − · Z te´to rovnice plyne rˇesˇenı´ z =0. Druha´rovnice

∂Ω − 3 − 3 1+ q = 1 x2 + y2 + z2 2 2y + q 1 (1 x)2 + y2 + z2 2 2y + 2y =0 , (464) ∂y − 2 · − 2 − · 2 · 29Podotkneˇme, zˇe obdobnaánaly´za se prova´dı´v nebeske´ mechanice v proble´mu trˇı´teˇles. Prˇi transformaci sourˇadnic tam kromeˇ odstrˇedive´sı´ly vznikaí Coriolisova (Fc ω v), kterou v nasˇem staciona´rnı´m prˇı´padeˇneuvazˇujeme (v = 0). Zminˇovane´ ekvipotencia´lnı´plochy se neˇkdy nazy´vajı´krˇivky∝ × nulovyćh rychlostı´.

130 2 2

1 1 L4

A L L L A L L L / 0 3 1 2 / 0 3 1 2 y z

L5 -1 -1

-2 -2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 x /A x /A

Obra´zek 62: Potencia´l Ω(x, y, 0) a Ω(x, 0,z) pro dvojhveˇzdu s hmotnostmi M1 =4,0 M⊙, M2 =3,2 M⊙ (q =0,8). Zna´zorneˇny jsou polohy Lagrangeovy´ch libracˇnı´ch bodu˚a kriticka´ ekvipotencia´la, prˇi jejı´mzˇprˇekrocˇenı´by docha´zelo k prˇetoku hmoty. Naznacˇene´jsou i kulove´hveˇzdy, s polomeˇry R1, R2, jake´by meˇly na hlavnı´posloupnosti nulove´ho veˇku (v cˇase t = 0). Ve skutecˇnosti by ovsˇem tvar povrchu hveˇzd nezu˚stal kulovy´, ale prˇizpu˚sobil by se urcˇity´m ekvipotencia´la´m.

131 L stupneˇ pro 5. polynom plyne body Lagrangeovy obeˇzˇne´se rovnos v vrcholech body rovineˇ, ve dva o Jedna´ se kdyzˇ mozˇne´ pouze cozˇ je splnit Pru˚beˇhObra´zek 63: funkce lsfiaidvojhveˇzd na: klasifikaci Fyzika´lnı´ dvojhveˇzd. klasifikace pocˇı´tat zvoleny´ pomeˇr hmot pro rozmeˇry kriticke´ meze cˇasto zvana´ rovnova´zˇna´ Zvla´s neˇktere´ nich. tvar z hveˇzda zaujme ma´ libracˇnıćh bodu˚ L 1 2. 1. bdmezi (bod Pokud a ses iˇziˇvl entiyc vˇd vy´znam hveˇzd, jednotlivyćh u zminˇovali jizˇ se jsme Jak dveˇ reouhoyprˇes bod prˇetoku hmoty k polodotykove´ oddeˇlene´ rˇesˇenı´. Vezmeˇme nejprve y ohoamez Rocheova 0 = M 1 d obeˇ slozˇky majı´ kdy rozmeˇry mensˇı´, nezˇ kriticka´ plo L , 1 (cˇili hleda´me kolinea´rnı´ rˇesˇenı´ ose na a 2 L , ekee ejdasoˇauntˇkiik´poh druha slozˇka a uvnitrˇ kriticke´ jedna plochy ktere´ je ve , M 3 2 L ec suvzaˇn ukepodalsˇı´ pro vyznacˇeny hodnoty funkce jsou Tence . ); ∂ 4 ∂ Ω(

L dΩ /dx (x,0,0) a -10 10 Ω( ∂x x, -5 0 5 2 L tr´pˇdtvj e yaik´saiiydvojhveˇzd dynamicke´ stability ktera´ prˇedstavuje mez — 0 (lezˇ ı´cı´ za x, , ∂x 5 0) x . -1 0 sparametrem (s r pomeˇr hmotnostı´pro , L 0) y 1 ; L 0 6= 3 = ohu vmdlpsyuekieru r onsvyuzˇı´van dodnes krite´rium pro poskytuje Rocheu˚v model -0.5 M − − okra´cenı´ po , 2 | a ) r x 1 x 1 3 | 3 r L − 1 + q 3 0 = r ,ktery´ ma´ obvykl trˇi rea´lne´), Teˇm se 63). korˇeny (obr.

(lezˇıćı´ vneˇ q M 2 q 3 | q 1 1 (1 r + 1 + 4 = 2 132 − y − tˇvńma ekiik´poh obsahujıćı´ˇteˇ vy´znamna´ kriticka´ plocha bod je 1 = totizˇ ma´me x x , 0 / L x x 0.5 | 1 z aez pniupac amnc(1990). praće Harmanec apendixu nale´zt v lze / A 3

) ,pkz trˇetı´ ze rovnice pak ), 3 . q , 1+ (1 + 0 = 2 tranne´ho troju´helnı´ka body s 0 = M 1 ). kioecalıc lc pcıv´vtm zˇe spocˇı´va´ekvipotencia´lnı´ch tom, ploch v , , q 8 1

10 = M jejı´ sourˇadnice korˇeny, Lagrangeovyćh cozˇa jsou q 2 ) x cha; − − 4 , 1.5 q 10 ipra´veˇ ji vyplnˇuje, tudı´zˇ´ docha´zı´ 0 = − 3 L , 2 10 − 2 2 , 0 , .Prakticky´ na´vod jak y. 1 , 0 , 5 M , 1 1 , , 0 . M ufyzika´lnıóu 2 Nazy´vajı´. L rˇı´kaé (467) (466) (465) 1 — 3. dotykove´, kdyzˇobeˇslozˇky zaplnˇujıńebo prˇekracˇujı´kritickou plochu a majı´spolecˇnou atmosfe´ru. Eventua´lneˇmu˚zˇe docha´zet k uńiku hmoty ze syste´mu prˇes bod L2.

12.2 Vy´pocˇet hveˇzdne´ho vy´voje ve stadiu vy´meˇny hmoty Je zrˇejme´, zˇe proble´m vy´voje dvojhveˇzd je u´loha, ktera´za´sadnı´m zpu˚sobem narusˇuje prˇedpoklad sfe´ricke´ symetrie, u´speˇsˇneˇpouzˇity´v prˇı´padeˇmodelu˚osamocenyćh hveˇzd. Jak jsme si uka´zali pomocı´Rocheova modelu, projevı´se narusˇenıńejen sfe´ricke´, ale i osove´symetrie ve chvı´lıćh, kdy hveˇzda expanduje na mez dynamicke´stability. Na´sledny´prˇenos hmoty mezi slozˇkami probı´ha´formou plynne´ho proudu, ktery´vyte´ka´z okolı´Langran- geova bodu L1 a je v du˚sledku Coriolisovy sı´ly nevyhnutelneˇstrha´vań ve smeˇru obeˇzˇne´ho pohybu hmotu ztraćejıćı´slozˇky. V rˇadeˇprˇı´padu˚— jak ukazujıí nejnoveˇjsˇı´trˇı´rozmeˇrne´hydrodynamicke´modely — oble´tne druhou hveˇzdu a prˇi na´vratu slozˇiteˇinteraguje s pu˚vodnı´m proudem (vznikne horky´pa´s). Kolem hmotu prˇijı´majıćı´slozˇky se vytva´rˇı´ akrecˇnı´disk a te´zˇsfe´rickaóba´lka. Cˇa´st plynu opousˇtı´dvojhveˇzdu a odna´sˇı´ s sebou tedy cˇa´st hmoty, i cˇa´st u´hlove´ho momentu soustavy (obr. 64).

Obra´zek 64: Na´kres modelu dvojhveˇzdy β Lyrae, sesta´vajıćı´z obra spektra´lnı´ho typu B6–8II o hmotnosti 3 M⊙, z neˇhozˇprˇete´ka´ −5 hmota na trpaslı´ka typu B, s hmotnostı´ 13 M⊙. Rychlost prˇenosu hmoty dosahuje M˙ = 2 10 M⊙/rok, cozˇvysveˇtluje pozorovane´prodluzˇovańıóbeˇzˇne´periody P˙ = 19s/rok. Hmotu prˇijı´majıćı´slozˇka je skryta´v akrecˇnı´m· disku a cirkumstela´rnı´ oba´lce; v mı´steˇkontaktu disku s proudem hmoty jsou zna´zorneˇny kolme´vy´trysky. Prˇevzato z praće Harmance (2002b).

Ze vsˇech teˇchto du˚vodu˚— i prˇes velky´pokrok ve vy´pocˇetnı´technice — fyzika´lneˇkonsistentnı´vy´pocˇty vy´voje dvojhveˇzd ve fa´zi vy´meˇny hmoty dosud neexistujı´. Prˇesto existuje jizˇod konce sˇedesa´tyćh let postup, jak vy´meˇnu hmoty ve dvojhveˇzdaćh alesponˇzhruba modelovat, a jak si ucˇinit prˇedstavu, co asi mu˚zˇeme u rea´lnyćh soustav ocˇeka´vat. Vycha´zı´se z na´sledujıćıćh zjednodusˇenı´:

1. Pocˇı´ta´se jednorozmeˇrny´ model hmotu ztra´cejı´cı´hveˇzdy, mı´sto skutecˇne´geometrie Rocheova modelu se za dosazˇenı´meze stability pokla´da´, kdyzˇhveˇzda dosa´hne takove´ho polomeˇru Rcrit(t), zˇe se jejı´

133 objem rovna´objemu odpovı´dajı´cı´Rocheovy meze pro okamzˇity´pomeˇr hmot obou slozˇek. Ten lze dobrˇe popsat jednoduchou aproximacˇnı´formulı´(Paczynski´ 1971)

. M1(t) R (t) = 0,38+0,2log A(t) , (468) crit M (t) 2

kde M1(t), M2(t) a A(t) oznacˇujı´hmotu slozˇky, ktera´hmotu ztraćı´, hmotu prˇijı´majıćı´slozˇky a vzda´- lenost strˇedu˚obou hveˇzd v cˇase t. 2. Vesˇkera´hmota, kteraéxpanduje prˇes kriticky´polomeˇr dany´vztahem (468) okamzˇiteˇ odte´ka´smeˇrem ke druhe´slozˇce dvojhveˇzdy. Hrubeódhady expanze plynu do vakua ukazujı´, zˇe tento prˇedpoklad nenı´ nesmyslny´. 3. Prˇenos hmoty je konservativnı´, t.zn., zˇe vesˇkera´hmota, odte´kajıćı´ze slozˇky 1 je zachycena slozˇkou 2 a zˇe zˇa´dna´hmota neunika´ze soustavy. Navıć se uvazˇuje jen moment soustavy souvisejıćı´s obeˇzˇny´m pohybem orb a zanedba´vajı´se rotacˇnı´momenty hybnosti rot. Toto druhe´zjednodusˇenı´je dosti prˇijatelne´,L nebot’rotacˇnı´momenty jsou ve srovnańı´ s obeˇzˇny´mL momentem podstatneˇmensˇı´.30 (Navıć by prˇı´padny´mechanismus prˇenosu momentu hybnosti mezi a byl beztak ma´lo ućˇinny´.) Lorb Lrot 4. Model hmotu prˇijı´majıćı´slozˇky se obvykle nepocˇı´ta´, pouze se registruje jejıókamzˇita´hmotnost tak, aby celkova´hmotnost soustavy zu˚stala zachovańa. Tı´m se modelovańı´vyhne proble´mu rea´lne´ho popisu hydrodynamicke´ho prˇenosu hmoty mezi slozˇkami.

Vzda´lenost slozˇek dvojhveˇzdy. Za zminˇovany´ch prˇedpokladu˚platı´za´kon zachova´nı´ hmoty

M1(t)+ M2(t)= K (469) a take´za´kon zachova´nı´celkove´ho (obeˇzˇne´ho) momentu hybnosti

. M1M2 M1M2 2πA = orb = A vK = A . (470) L L M1 + M2 M1 + M2 P Tento vztah lze jesˇteˇupravit pomocı´3. Keplerova za´kona A3 G(M + M ) = 1 2 (471) P 2 4π2 do tvaru

2 2 2 M1 M2 orb = G A, (472) L M1 + M2

30 2 Naprˇı´klad pro hveˇzdu o hmotnosti M1 =4 M⊙, polomeˇru R1 =5 R⊙, rotacˇnı´periodeˇ P = 2 d by bylo rot kM1R1ω 1,8 1044 kg m2, kde koeﬁcient k 0,05 je dosti maly´, nebot’hmota je znacˇneˇkoncentrovana´ke strˇedu. V porovna´nı´sL ≃ tı´m vycha´zı´≃ · ≃ 2 2 −1/2 46 2 ve dvojhveˇzdeˇs M2 =3,2 M⊙ a se vzda´lenostı´ A = 12 R⊙ hodnota orb = (GM1 M2 /(M1+M2)A) 1,0 10 kg m , cˇili o 2 rˇa´dy veˇtsˇı´. L ≃ ·

134 160 140 120 S

R 100 ) /

1 80 M

( 60 A 40 20 0 0 1 2 3 4 5 6 7

M1 / MS

Obra´zek 65: Zmeˇny vzda´lenosti dvojhveˇzdy s pocˇa´tecˇnı´mi hmotnostmi M1 = 4 M⊙, M2 = 3,2 M⊙ beˇhem prˇenosu hmoty, v za´vislosti na hmotnosti M1 (dle (474)). Cˇerveneˇje vyznacˇen vy´voj takove´dvojhveˇzdy prˇi realisticky pocˇı´tane´m prˇenosu hmoty — pu˚vodnı´hmotovy´pomeˇr q = M2/M1 =0,8 se vıće nezˇprˇevra´til (na hodnotu q =1,89). cozˇse pro prˇı´pad konstantnıćelkove´hmoty (469) redukuje na podmıńku

2 2 A(t)M1 (t)M2 (t)= C . (473)

Mu˚zˇeme si prˇirozeneˇpolozˇit ota´zku, kdy bude vzda´lenost mezi obeˇma hveˇzdami minima´lnı´. V poslednı´ rovnici (473) vyloucˇı´me hmotnost M2 s vyuzˇitı´m (469)

A(M )= CM −2(K M )−2 (474) 1 1 − 1 a hleda´me, kdy bude derivace te´to funkce podle hmoty M1 prima´ru nulova´. Dostaneme

dA(M1) −3 −2 −2 −3 = 2CM1 (K M1) +2CM1 (K M1) =0 , (475) dM1 − − − cozˇpo u´praveˇvede na podmı´nku

(K M )+ M = K +2M =0 (476) − − 1 1 − 1 neboli

M1 = M2 . (477)

Vidı´me, zˇe vzda´lenost mezi hveˇzdami je prˇi konservativnı´m prˇenosu hmoty mezi slozˇkami minima´lnı´ ve chvı´li, kdyzˇse hmotnost obou teˇles vyrovna´. Prˇi toku z hmotneˇjsˇı´slozˇky na me´neˇhmotnou (M1 > M2) se vzda´lenost zmensˇuje; prˇi opacˇne´m toku (M1 < M2), respektive po prˇevra´cenı´hmotove´ho pomeˇru, se vzda´lenost zveˇtsˇuje (obr. 65).

135 Nekonzervativnı´ prˇenos hmoty. V neˇkteryćh pracıćh z noveˇjsˇı´doby se uvazˇuje parametricky ztra´ta hmoty a u´hlove´ho momentu ze soustavy. Naprˇ. de Loore a De Greve (1992) prˇedpokla´dajı´vztah ve tvaru dM dM 2 = β 1 , (478) dt − dt prˇicˇemzˇparametr β volı´konstantnı´pro celou fa´zi vy´meˇny hmoty, obvykle roven 0,5. To je nepochybneˇ urcˇityńedostatek, nebot’lze prˇedpokla´dat, zˇe ve fa´zıćh rychlejsˇı´ho prˇenosu hmoty je pravdeˇpodobnost uńiku hmoty ze soustavy veˇtsˇı´, nezˇve fa´zıćh pomalyćh. V tomto modelu tedy (1 β) z hmoty opousˇteˇjıćı´slozˇku 1 unika´ze soustavy. − Jesˇteˇslozˇiteˇjsˇı´m proble´mem je popsat ztra´tu u´hlove´ho momentu. De Loore a De Greve (1992) prˇedpo- kla´dali, zˇe u´hlovy´moment je u´meˇrnyćelkove´hmotnosti soustavy M(t)= M1(t)+ M2(t), cˇili

M γ , (479) L ∝ a zmeˇnu momentu hybnosti popisovali parametrickou rovnicı´

∆ ∆M γ L =1 1 , (480) − − M L kde konstantu γ po pokusech s modelovańı´m konkre´tnı´dvojhveˇzdy volili rovnou 2,1. Autorˇi prˇi teˇchto nekonservativnıćh vy´pocˇtech modelovali i vy´voj slozˇky prˇijı´majıćı´hmotu, ovsˇem pouze tak, zˇe prˇida´vali prˇı´slusˇnou hmotnost o dane´m chemicke´m slozˇenı´.

Model hveˇzdne´ho nitra. Hveˇzdneńitro prima´ru se musıódtoku hmoty jisty´m zpu˚sobem prˇizpu˚sobit. Za´sadnı´je, aby polomeˇr hveˇzdy R(t) vycha´zel na Rocheoveˇmezi Rcrit(t) a ne mensˇıńebo veˇtsˇı´. Vy´pocˇet modelu ve fa´zi odtoku proto probı´hańa´sledovneˇ(Kippenhahn a Weigert 1967):

1. Pro pocˇa´tecˇnı´hodnoty M1(t0), M2(t0), A(t0) spocˇteme konstanty K, C ze vztahu˚(469), (473). 2. Zkusmo zvolı´me ∆t vy´vojove´ho modelu.

3. Spocˇteme polomeˇr Rocheovy meze Rcrit(t).

4. Je-li R1(t) > Rcrit(t), zvolı´me odpovı´dajı´cı´hodnotu dM1 < 0 podle osveˇdcˇene´ho vztahu

dM = M (t) min[s(log R (t) log R (t)), 0,03] , (481) 1 − 1 · 1 − crit kde konstanta s mu˚zˇe naby´vat hodnotu mezi 0,1 a 0,5. Vsˇimneˇme si, zˇe tı´mto nedovolujeme zmeˇnu hmotnosti o vı´ce nezˇ 3 %. 5. Vynecha´me jednu nebo neˇkolik prvnı´ch slupek v diferencˇnı´m schematu tak, aby hveˇzda meˇla novou hmotnost

M1(t + ∆t)= M1(t) + dM1 , (482)

136 tyto vrstvy „odtekly“ k sekunda´rnı´hveˇzdeˇ. Pokud slupky cˇı´slujeme od povrchu, musı´me je v takove´m prˇı´padeˇjesˇteˇprˇecˇı´slovat. Jinak rˇecˇeno, u´loha je v neza´visle promeˇnne´ MR nynı´deﬁnova´na na intervalu 0, M (t) + dM mı´sto pu˚vodnı´ho intervalu 0, M (t) . h 1 1i h 1 i

6. Pomocı´rovnic (469), (473) a (468), spocˇteme nove´hodnoty M2(t + ∆t), A(t + ∆t) a Rcrit(t + ∆t).

7. Zmeˇnı´me polohu bodu MF , tj. hranice, kde je jizˇtrˇeba uvazˇovat neadiabatickou konvekci a neu´plnou ionizaci v podpovrchovy´ch vrstva´ch, a to tak, aby bylo M (t + ∆t) M (t) F F . (483) M1(t + ∆t) ≤ M1(t)

8. Spocˇteme novy´model nitra — 1. superiteraci spra´vne´ho modelu. Zejmeńa na´s zajı´ma´ vy´sledny´ polomeˇr hveˇzdy R1(t + ∆t). Je du˚lezˇite´ si uveˇdomit, zˇe expanze povrchovyćh vrstev a narusˇenı´ tepelne´ rovnova´hy vedou ke zmeˇna´m za´rˇive´ho toku LR i v podpovrchovyćh vrstvaćh a rovnici tepelne´rovnova´hy (152), popisujıćı´ zmeˇnu LR od mı´sta k mı´stu, je i v nich proto trˇeba rˇesˇit. (Zde se pra´veˇ vyplatı´, jsou-li zmeˇny vnitrˇnıénergie popisovańy prˇı´mo pomocıéntropie, nebot’se pak nedopousˇtı´me zˇa´dnyćh zanedbańı´ v prˇı´slusˇnyćh rovnicıćh.) Ve sta´diıćh vy´meˇny hmoty je ovsˇem na zacˇa´tku kazˇde´ho modelu trˇeba znovu spocˇı´tat povrchovy´ troju´helnı´k (295) v diagramu L vs. Teff pro novou hmotu modelu. V rychlejsˇıćh sta´diıćh prˇenosu hmoty je to nutne´deˇlat dokonce prˇed kazˇdou superiteracı´.

9. Polomeˇr hveˇzdy R1(t + ∆t) porovna´me s ocˇeka´vany´m polomeˇrem Rocheovy meze Rcrit(t + ∆t). Pokud se obeˇhodnoty lisˇı´vıće nezˇo pozˇadovanou prˇesnost, zvolı´me pomocı´linea´rnıínterpolace novyćˇasovy´krok ∆t (tzn. vra´tı´me se k bodu 2) a spocˇteme 2. superiteraci. To opakujeme tak dlouho, azˇje dosazˇeno pozˇadovane´shody polomeˇru˚ R1(t + ∆t) a Rcrit(t + ∆t). Praxe ukazuje, zˇe kromeˇvelmi komplikovanyćh sta´diı´stacˇıóbvykle 1 azˇ3 superiterace k nalezenı´ konzistentnı´ho modelu (tj. hodnot ∆t, dM1, resp. M1 a struktury nitra). 10. Po ukoncˇenı´zminˇovanyćh superiteracı´provedeme obvyklyćˇasovy´krok vy´vojove´ho modelu, cˇili zmeˇnı´me chemicke´slozˇenı´dle (301), a vra´tı´me se k bodu 2.

Vy´pocˇet fa´ze prˇenosu hmoty ukoncˇı´me v okamzˇiku, jakmile vyjde R1(t) < Rcrit(t).

12.3 Neˇktere´vy´sledky modelovańı´vy´voje dvojhveˇzd Je trˇeba si uveˇdomit, zˇe vy´voj dvojhveˇzd nabı´zı´mnohem vıće kombinacı´, nezˇvy´voj osamocene´hveˇzdy. Zacˇa´tek stadia vy´meˇny hmoty mezi slozˇkami za´visıńa pocˇa´tecˇnıóbeˇzˇne´periodeˇsoustavy a na hmotaćh obou slozˇek, dalsˇı´mi faktory jsou chemicke´slozˇenıá dosud ne dobrˇe prostudovana´dynamika prˇenosu (mnozˇstvı´hmoty a momentu unikajıćıćh ze soustavy). Z vy´voje osamocenyćh hveˇzd vı´me neˇktera´fakta:

137 1. Beˇhem vy´voje od hlavnı´posloupnosti nulove´ho veˇku dosahuje hveˇzda postupneˇ neˇkolika loka´lnıćh maxim sve´ho polomeˇru R(t). Ne kazˇdeńa´sledujıćı´maximum je nutneˇveˇtsˇıńezˇ poslednı´prˇedchozı´, avsˇak absolutnı´m maximem je urcˇityókamzˇik ve stadiu veleobra na konci onećˇa´sti vy´voje, ktera´je urcˇovańa jaderny´mi reakcemi. 2. Zˇ ivotnı´doba pobytu hveˇzdy na hlavnı´posloupnosti je klesajıćı´funkcı´hmotnosti hveˇzdy. To pro dvojhveˇzdy znamena´(prˇi rozumne´m prˇedpokladu, zˇe obeˇslozˇky dvojhveˇzdy vznikly soucˇasneˇ), zˇe drˇı´ve bude expandovat vzˇdy hmotneˇjsˇı´z nich. Cˇasto se pro ni volı´termıń prima´rnı´slozˇka cˇi prima´r. Mu˚zˇeme ovsˇem rozlisˇit dva prˇı´pady vy´meˇny hmoty mezi slozˇkami (Kippenhahn a Weigert 1967): prˇı´pad A: je-li vzda´lenost A mezi slozˇkami dostatecˇneˇmala´, mu˚zˇe k vy´meˇneˇhmoty dojı´t jesˇteˇbeˇhem pobytu prima´rnı´slozˇky na hlavnı´posloupnosti. prˇı´pad B: situace, kdy k prˇekrocˇenı´Rocheovy meze prima´rnı´slozˇkou dojde teprve v obdobı´rychle´ expanze polomeˇru hveˇzdy po vyhorˇenı´vodı´ku v jejı´m ja´dru. Plavec (1968) odvodil parametricke´vztahy, pomocı´kteryćh lze pro konkre´tnı´dvojhveˇzdu odhadnout kriticke´hodnoty obeˇzˇne´periody pro to, aby dosˇlo k neˇktere´mu prˇı´padu vy´meˇny hmoty. S pouzˇitı´m vy´pocˇtu˚ vy´voje osamocenyćh hveˇzd pro chemicke´slozˇenı´ X =0,708 a Z =0,02 vysˇly periody (ve dnech) log P 0 = 0,441 log M 1,06 s(q) , (484) 1 − − log P I = 0,731 log M 0,86 s(q) , (485) 1 − − log P II = 2,201 log M 0,04 s(q) , (486) 1 − − kde s(q)=1,5log r +0,5log(1 + q), prˇicˇemzˇ r = R/A je strˇednı´relativnı´polomeˇr Rocheovy meze (podle (468)) a q = M2/M1 je hmotovy´pomeˇr mezi sekunda´rnıá prima´rnı´slozˇkou. Prˇı´pad A vy´meˇny hmoty nastane, pokud obeˇzˇna´perioda soustavy lezˇı´mezi P 0 a P I a prˇı´pad B, je-li perioda mezi P I a P II . Naprˇı´klad pro dvojhveˇzdu se slozˇkami M1 = 4 M⊙ a M2 = 3,2 M⊙ vycha´zejı´hodnoty hranicˇnıćh period P 0 =0,47 d, P I =1,12 d, P II = 56,9 d. Acˇkoliv prvnı´pokusy o modelovańı´vy´meˇny hmoty byly cˇineˇny jizˇroku 1960, lze za prvnı´dostatecˇneˇ realisticky´vy´pocˇet povazˇovat sekvenci modelu˚publikovanyćh Kippenhahnem a Weigertem (1967).

Prˇı´klad konkre´tnı´ dvojhveˇzdy 4 M⊙ a 3,2 M⊙. Popisˇme si pru˚beˇh vy´voje dvojhveˇzdy o pu˚vodnıćh hmotnostech 4 M⊙ a 3,2 M⊙, jak jej propocˇetl Harmanec (1970) (viz obr. 66): 1. cˇas t =0, ZAMS: Na pocˇa´tku vy´voje meˇla uvazˇovana´soustava obeˇzˇnou periodu 1,d785. Ke kontaktu prima´rnı´slozˇky s mezı´stability dojde azˇpo vycˇerpańı´vodı´ku v jejı´m ja´dru; jedna´se o prˇı´pad B. 2. t = 93,5 Myr, expanze oba´lky zacˇa´tek prˇenosu hmoty zmensˇovańı´ A: Polomeˇr prima´ru R = → → 1 4,78 R⊙ cˇinı´dvojna´sobek polomeˇru na pocˇa´tku hlavnı´posloupnosti a je na Rocheoveˇmezi. Oba´lka hveˇzdy expanduje v du˚sledku tepelneńestability v ja´dru, a ztra´ta hmoty z povrchovyćh vrstev tuto nestabilitu jesˇteˇurychlila. Prˇenos hmoty se proto v prvnı´m stadiu prudce zrychluje. Tomu napoma´ha´ i zmensˇujıćı´se vzda´lenost A mezi slozˇkami.

138 Obra´zek 66: H–R diagram pro prima´rnı´ slozˇku dvojhveˇzdy 4 M⊙ a 3,2 M⊙. Dalsˇı´parametry dvojhveˇzdy na pocˇa´tku prˇenosu hmoty jsou: polomeˇry R1 =4,78 R⊙, R2 =2,47 R⊙, spektra´lnı´typy B7 III a B8 V, vzda´lenost mezi slozˇkami A = 11,95 R⊙ a orbita´lnı´perioda P = 1,785d. Hlavnı´posloupnosti nulove´ho sta´rˇı´(ZAMS, cˇerchovanećˇa´ry) jsou vyznacˇeny dveˇ— pro dveˇru˚znaćhemicka´slozˇenı´: X =0,602, Y =0,354 a X =0, Y =0,956. Vy´voj je zachycen prˇed, beˇhem i po prˇenosu hmoty. Prˇenos hmoty probı´ha´mezi body 2 azˇ11; jednotlive´body jsou popisovane´v textu. Model koncˇı´v bodeˇ18 mimo jine´z toho du˚vodu, zˇe pu˚vodneˇsekunda´rnı´hveˇzda by v te´to fa´zi pravdeˇpodobneˇdosa´hla Rocheova polomeˇru a zacˇal by prˇetok hmoty zpeˇt na prima´r. Prˇevzato z praće Harmance (1970).

139 3. cˇas od zacˇa´tku prˇenosu hmoty t = 84000yr, M = M A minima´lnı´: Po kra´tke´ dobeˇ majı´ s 1 2 → obeˇslozˇky stejnou hmotnost 3,6 M⊙ a vzda´lenost mezi nimi dosahuje minima. Od toho momentu vede pokracˇujı´cı´vy´meˇna hmoty k naru˚sta´nı´vzda´lenosti mezi slozˇkami, cozˇprˇirozeneˇbrzdı´rychlost prˇenosu.

4. ts = 110000yr, prvnı´ maximum dM/dt: Vzdalovańı´ prˇevla´dne nad vlivem tepelne´ nestability, −6 rychlost prˇenosu hmoty dosa´hne sve´ho maxima 9 10 M⊙ za rok a pocˇıńa´klesat (obr. 67). Hmotnost · prima´rnı´hveˇzdy cˇinı´v tećhvı´li 3,37 M⊙.

5. ts = 127800yr, q prˇevraćene´, podpovrchova´konvektivnı´zońa: Po 127800 letech se pu˚vodnı´hmotovy´ pomeˇr mezi slozˇkami vymeˇnı´. Klesajıćıéfektivnı´teplota vede — podobneˇjako prˇi vy´voji osamocene´ hveˇzdy — k poklesu ionizace v podpovrchovyćh vrstvaćh hveˇzdy a s tı´m souvisejıćı´m vznikem konvektivnı´ zońy. Asi po 400000 letech od zacˇa´tku odtoku zacˇne tato konvektivnı´ zońa prudce naru˚stat smeˇrem do nitra hveˇzdy (obr. 68). Je dobrˇe si uveˇdomit, zˇe vnitrˇnıćˇa´sti hveˇzdy se te´meˇrˇpo celou dobu prˇenosu hmoty chovajı´znacˇneˇ autonomnı´m a vcelku nemeˇnny´m zpu˚sobem: rovnomeˇrneˇse smrsˇt’ujı´, aby kompensovaly nestabilitu vzniklou zańikem centra´lnı´ho nuklea´rnı´ho zdroje energie. Urcˇite´zmeˇny jsou vsˇak patrne´. Centra´lnı´ teplota v pomeˇru k centra´lnı´hustoteˇhned na zacˇa´tku odtoku zacˇıńańaru˚stat prudcˇeji nezˇprˇed jeho zacˇa´tkem (obr. 69). To je chovańı´pra´veˇopacˇne´, nezˇjakeúkazujı´modely vy´meˇny hmoty v prˇı´padeˇA. Tam totizˇcentra´lnı´ teplotu urcˇuje prˇedevsˇı´m produkce nuklea´rnıénergie a ta s u´bytkem hmotnosti hveˇzdy prˇirozeneˇ klesa´. Na zacˇa´tku odtoku v prˇı´padeˇA klesa´proto i centra´lnı´teplota. K pochopenı´pru˚beˇhu prˇenosu hmoty je trˇeba si povsˇimnout chovańı´hlavnı´ho zdroje energie v dane´m prˇı´padeˇ: vodı´kove´slupky. Oblast, v nı´zˇprobı´ha´slucˇovańı´vodı´ku na helium se beˇhem cele´ho odtoku absolutneˇi relativneˇ zmensˇuje. Maximum produkce se prˇitom beˇhem prvnı´ cˇa´sti odtoku zvolna prˇesouva´smeˇrem k centru, a to jak v polomeˇru, tak ve hmoteˇ. To souvisı´s rostoucı´teplotou a hustotou centra´lnıćh cˇa´stı´hveˇzdy. Energeticky´vy´kon slupky ale soucˇasneˇklesa´. To je zpu˚sobeno jednak tı´m, zˇe klesa´hustota a teplota vneˇjsˇıćh cˇastı´slupky, nebot’tyto vrstvy beˇhem ztra´ty hmoty expandujı´zcˇa´sti na u´kor sve´vnitrˇnıénergie, a za druhe´proto, zˇe ve spodnıćh cˇa´stech slupky rychle uby´va´vodı´ku. U´ bytek vodı´ku nakonec zpu˚sobı´, zˇe se (klesajıćı´) maximum horˇenı´vodı´ku ve slupce zacˇne prˇesouvat smeˇrem k povrchu ve hmoteˇ.

6. ts = 472900yr, minimum L: Postupneˇprakticky zanikne pu˚vodnı´tepelnańestabilita vneˇjsˇıćh vrstev hveˇzdy, vyvolana´ztra´tou hmoty, a dalsˇıódtok hmoty jizˇprobı´ha´pouze pod vlivem tepelneńestability v ja´dru. Tı´m samozrˇejmeˇubude i pohlcovańı´za´rˇive´ a vnitrˇnıénergie v obalu a 472 900 let po zacˇa´tku odtoku dosa´hne za´rˇivy´vy´kon hveˇzdy minima a zacˇıńa´ opeˇt naru˚stat. K tomuto ru˚stu prˇispeˇly jesˇteˇdalsˇı´ du˚vody. Prˇechod na konvektivnı´prˇenos energie ve vneˇjsˇıćh cˇa´stech hveˇzdy vytvorˇil (podobneˇjako u vy´voje osamocene´hveˇzdy) lepsˇı´podmıńky pro horˇenı´vodı´ku ve slupce, takzˇe produkce energie v nı´ zacˇıńa´ru˚st. Mimo to se jizˇhveˇzda v te´dobeˇzbavila vsˇech vrstev s pu˚vodnı´m chemicky´m slozˇenı´m a u povrchu se proto meˇnıí velikost rozptylu za´rˇiveénergie.

140 −5 Obra´zek 67: Rychlost prˇenosu hmoty dM/dt ([dM/dt] = 10 M⊙) v za´vislosti na cˇase t pro dvojhveˇzdu 4 M⊙ − a 3,2 M⊙. Prˇevzato z Harmanec (1970).

Obra´zek 68: Zmeˇny vnitrˇnı´struktury prima´rnı´slozˇky dvojhveˇzdy 4 M⊙ a 3,2 M⊙ v pru˚beˇhu prˇenosu hmoty. Kazˇda´slupka je oznacˇena absolutnı´m hmotnostnı´m podı´lem (v jednotkaćh M⊙). Hranice konvektivnıćh zoń jsou znacˇeny cˇa´rkovanou cˇarou, oblasti termonuklea´rnıćh reakci (s produkcıénergie veˇtsˇıńezˇ 10 erg/g/s) jsou sˇrafovane´, maximum produkce energie ve slupce je cˇerchovanou cˇarou. Prˇevzato z Harmanec (1970).

141 Obra´zek 69: Za´vislost centra´lnı´hustoty ρc a centra´lnı´teploty Tc pro vy´voj prima´rnı´slozˇky dvojhveˇzdy 4 M⊙ a 3,2 M⊙. Srovnej s obr. 24. Prˇevzato z Harmanec (1970).

7. ts = 720000yr, druhe´maximum dM/dt: Konvektivnı´zo´na ma´jesˇteˇjiny´du˚sledek: rychlejsˇı´ru˚st polomeˇru hveˇzdy a na´sledkem toho i prˇechodne´druhe´maximum prˇenosu hmoty od zacˇa´tku odtoku, −6 asi 2,5 10 M⊙ za rok. ·

8. ts =1,11 Myr, minimum Teff , male´ dM/dt: Pote´se rozloha konvektivnı´zońy i rychlost ztra´ty hmoty opeˇt zmensˇujı´, minima dosa´hne i efektivnı´teplota a koncˇı´rychla´fa´ze odtoku. Dalsˇı´vy´voj je urcˇovań −7 jizˇjen tepelnou nestabilitou ja´dra hveˇzdy. Rychlost odtoku hmoty v te´dobeˇcˇinıási 4 10 M⊙ za rok a da´le se zpomaluje. Efekty ztra´ty hmoty z povrchu hveˇzdy jsou v te´dobeˇuzˇtak male´,· zˇe se hveˇzda chova´prakticky stejneˇjako osamocena´hveˇzda pu˚vodnı´ hmotnosti v podobne´m vy´vojove´m stadiu.

9. ts = 2,08 Myr, ru˚st Tc slucˇova´nı´He na C: Ru˚st centra´lnı´teploty pokracˇuje a v ja´dru zacˇı´na´ docha´zet k nuklea´rnı´synte´ze→ helia na uhlı´k.

10. ts =2,41 Myr, jaderna´konvektivnı´zońa: V centru vznikańova´konvektivnı´zońa.

11. ts =2,51 Myr, ru˚st ǫHe expanze slupky H pokles ǫH konec expanze oba´lky konec prˇenosu hmoty: Naru˚stańı´produkce→ v ja´dru ovsˇem→ zhorsˇı´podmıńky→ pro horˇenı´ve vodı´kove´slupce,→ obal hveˇzdy prˇestane ru˚st a 2517900 let po zacˇa´tku odtoku fa´ze vy´meˇny hmoty koncˇı´. Pu˚vodneˇprima´rnı´ hveˇzda mańynı´hmotnost pouhyćh 0,53 M⊙, ale polomeˇr 25,0 R⊙ a obsah vodı´ku na povrchu cˇinı´ pouze 0,256 proti pu˚vodnı´ho 0,602. Obeˇzˇna´perioda dvojhveˇzdy se prodlouzˇila na 84,d2 a pomeˇr hmot se z pu˚vodnı´ho pomeˇru M2/M1 =0, 8 vıće nezˇprˇevra´til na M1/M2 =0, 079.

12.–18. ts = 2,60 azˇ 12,6 Myr, kontrakce ZAMS pro He hveˇzdy: Konkre´tnı´vy´pocˇet, ktery´jsme pouzˇili jako ilustracˇnı´prˇı´klad, pokracˇoval i→ po skoncˇenı´vy´meˇny hmoty. Pu˚vodneˇprima´rnı´slozˇka v du˚sledku

142 Obra´zek 70: Zmeˇny vnitrˇnı´struktury pu˚vodneˇ prima´rnı´slozˇky dvojhveˇzdy 4 M⊙ a 3,2 M⊙ po skoncˇenı´prˇenosu hmoty. Znacˇenı´je podobne´jako na obr. 68. Prˇevzato z Harmanec (1970).

rostoucı´produkce horˇenı´helia v ja´dru rychle kontrahuje a zahrˇı´va´se, takzˇe roste efektivnı´teplota, postupneˇmizı´podpovrchova´konvektivnı´zońa a hveˇzda se prˇesouva´v HR diagramu z oblasti obru˚ azˇdo blı´zkosti hlavnı´posloupnosti heliovyćh hveˇzd (obr. 70). V cˇase 12,6 miliońu let od zacˇa´tku vy´meˇny hmoty hveˇzda konecˇneˇznovu dosa´hne stavu tepelne´ rovnova´hy a loka´lnı´ho minima sve´ho za´rˇive´ho vy´konu. Je zajı´mave´si uveˇdomit, zˇe se tak stalo azˇv dobeˇ, kdy obsah helia v ja´dru v du˚sledku nuklea´rnı´ prˇemeˇny jizˇpoklesl zhruba na polovinu (Y = 0,484). Pu˚vodneˇhmotneˇjsˇı´slozˇka dvojhveˇzdy je v te´dobeˇ horky´m trpaslı´kem s polomeˇrem pouhyćh 0,208 R⊙.

Vy´sledky vy´voje ve dvojhveˇzdeˇmohou by´t velmi rozmanite´. Konkre´tnı´vy´pocˇty ukazujı´, zˇe vy´voj heliove´hveˇzdy mu˚zˇe ve´st k dalsˇı´mu prˇenosu hmoty jesˇteˇdrˇı´ve, nezˇse stacˇı´k mezi nestability prˇiblı´zˇit pu˚vodneˇsekunda´rnı´slozˇka, opacˇny´prˇı´pad je vsˇak cˇasteˇjsˇı´. V tom prˇı´padeˇse mu˚zˇe sta´t, zˇe se zacˇne prˇena´sˇet hmota na horkou kompaktnı´hveˇzdu, na jejı´mzˇpovrchu tak mu˚zˇe dojı´t i k nuklea´rnı´mu horˇenı´a k eruptivnı´m jevu˚m. Obecneˇlze ale uzavrˇı´t, zˇe pokud k vy´meˇneˇhmoty dojde v ktere´koliv fa´zi vy´voje hveˇzdy, ve ktere´z du˚vodu˚ zmeˇn jejı´vnitrˇnı´stavby docha´zı´pra´veˇk ru˚stu polomeˇru, vede prˇekrocˇenı´meze stability ve dvojhveˇzdeˇ k fa´zi mohutne´vy´meˇny hmoty mezi slozˇkami, prˇi ktere´ se pu˚vodnı´hmotovy´pomeˇr vı´ce nezˇvymeˇnı´.

143 12.4 Modely vy´voje dvojhveˇzd versus pozorovańı´ Vy´vojovy´paradox. Prvnı´m proble´mem, ktery´se vy´pocˇty vy´meˇny hmoty ve dvojhveˇzdaćh pokousˇely vyrˇesˇit, byl vy´vojovy´paradox polodotykovyćh soustav. Kdyzˇtotizˇbyly zı´skańy u´daje o za´kladnıćh fyzika´lnıćh vlastnostech dostatecˇne´ho pocˇtu dvojhveˇzd a kdyzˇzacˇala by´t po roce 1950 vyuzˇı´vana´klasifikace dvojhveˇzd na oddeˇlene´, polodotykoveá kontaktnı´, uka´zalo se, zˇe ve vsˇech prˇı´padech zaplnˇovala Rocheovu mez u polodotykovyćh soustav meńeˇhmotna´ sekunda´rnı´slozˇka (obr. 71). V te´dobeˇbylo uzˇz teorie stavby hveˇzd jasne´, zˇe rychleji by se meˇla ve dvojhveˇzdeˇvyvı´jet a k Rocheoveˇmezi expandovat hmotneˇjsˇı´z obou slozˇek. A pozorovańı´se zda´la ukazovat pravyópak. Se skveˇly´m fyzika´lnı´m citem navrhl mozˇne´vysveˇtlenı´zdańlive´ho paradoxu Crawford (1955). Postulo- val, zˇe rychleji se bude skutecˇneˇvyvı´jet hmotneˇjsˇı´ slozˇka a zˇe dojde k vy´meˇneˇhmoty, kteraóbra´tı´pu˚vodnı´ pomeˇr hmot. (Jeho hypote´ze velmi vytrvale oponoval astronom cˇeske´ho pu˚vodu Zdeneˇk Kopal.) Trvalo vıće nezˇ10 let, nezˇbyla Crawfordova hypote´za vy´pocˇty vy´meˇny hmoty vy´tecˇneˇkvalitativneˇpotvrzena. Vtip spocˇı´va´v tom, zˇe rychla´pocˇa´tecˇnı´fa´ze vy´meˇny hmoty, beˇhem nı´zˇse pu˚vodnı´pomeˇr hmot prˇevra´tı´, probı´ha´ vu˚cˇi ostatnı´m fa´zı´m vy´voje tak rychle, zˇe ma´me statisticky velmi malou sˇanci podobny´syste´m pozorovat.

Obra´zek 71: Sche´ma polodotykove´soustavy, ve ktere´Rocheu˚v lalok vyplnˇuje me´neˇhmotna´sekunda´rnı´slozˇka. Prˇevzato z Cra- wford (1955).

Hveˇzdy se za´vojem. Po u´speˇsˇne´m vyrˇesˇenı´vy´vojove´ho paradoxu se zacˇali astronomove´prˇirozeneˇzajı´mat, zda i dalsˇı´vy´sledky vy´meˇny hmoty by bylo mozˇno ztotozˇnit s neˇjaky´mi pozorovany´mi syste´my. Krˇı´zˇ a Harmanec (1975) formulovali obecnou hypote´zu, zˇe vy´meˇna hmoty v pozdeˇjsˇıćh sta´diıćh prˇı´padu B vede ke vzniku hveˇzd se za´vojem. Hypote´za nabı´zela vysveˇtlenı´vzniku za´voju˚kolem teˇchto hveˇzd, du˚vod jejich velke´rotacˇnı´rychlosti a take´vysveˇtlenıńeˇkteryćh typu˚pozorovanyćh zmeˇn. Urcˇity´pocˇet dvojhveˇzd s ocˇeka´vany´mi vlastnostmi se pak skutecˇneˇpodarˇilo mezi hveˇzdami se za´vojem objevit. Dnes se soudı´, zˇe navrzˇeny´mechanismus je jednı´m z mozˇnyćh, nemu˚zˇe vsˇak by´t jediny´m, nebot’ se nepodarˇilo nale´zt ocˇeka´vane´procento za´krytovyćh dvojhveˇzd mezi hveˇzdami se za´vojem.

144 Excentricke´dra´hy, magneticke´polary. Dnes se vy´meˇna hmoty povazˇuje za integra´lnı´soucˇa´st ve vy´voji dvojhveˇzd a existujıćˇetne´vıće cˇi meńeˇpropracovane´sceńa´rˇe. Naprˇ. Habets (1987) prˇedpokla´da´, zˇe prvnı´ fa´ze vy´meˇny hmoty ve hmotne´dvojhveˇzdeˇvede skutecˇneˇke vzniku hveˇzdy se za´vojem a ke vzru˚stu obeˇzˇne´ periody, i prˇi cˇa´stecˇne´ztra´teˇhmoty a u´hlove´ho momentu ze soustavy. Rovneˇzˇbral v potaz prˇenos a ztra´tu hmoty ve formeˇhveˇzdne´ho veˇtru jesˇteˇprˇed tı´m, nezˇ hveˇzda dosa´hla Rocheovy meze. Dalsˇı´prˇenos hmoty z pu˚vodneˇprima´rnı´slozˇky nasta´va´ve fa´zi horˇenı´ helia a uhlı´ku a hveˇzda nakonec vybuchne jako supernova, cozˇvede ke vzniku vy´strˇedne´dra´hy, ve ktere´se pohybuje zbytek supernovy — neutronova´hveˇzda — a hmotna´hveˇzda, ktera´beˇhem fa´zı´prˇenosu zı´skala hmotu. Ta se prˇi pru˚chodu pericentrem sta´vaópakovaneˇ dynamicky nestabilnıá posı´la´hmotu smeˇrem k neutronove´hveˇzdeˇ, cozˇvede ke vzniku rentgenove´ho za´rˇenı´. Konecˇny´m sta´diem vy´voje hmotne´dvojhveˇzdy mu˚zˇe by´ti bina´rnı´pulsar. Rostoucıńejistota teˇchto sceńa´rˇu˚ s rostoucı´m sta´diem vy´voje spocˇı´va´v nasˇıńeznalosti skutecˇnyćh mechanismu˚ztra´ty hmoty a u´hlove´ho momentu ze soustavy, o nichzˇbyla jizˇrˇecˇu´vodem. Jiny´m komplikovany´m prˇı´padem jsou polary — dvojhveˇzdy s kompaktnı´m bı´ly´m trpaslı´kem, ktery´ma´ silne´ magneticke´pole. Podle modelu Nortona a spol. (2004) pro hveˇzdu EX Hydrae mu˚zˇe takove´pole zabrańit vzniku norma´lnı´ho akrecˇnı´ho disku, nebot’ hmota z okolı´bodu L1 odte´ka´pode´l magnetickyćh silocˇar rovnou k po´lu˚m bı´le´ho trpaslı´ka (obr. 72). Pozorovane´zmeˇny jasnosti syste´mu se interpretujı´tak, zˇe tok hmoty nenıústa´leny´.

Obra´zek 72: Mozˇny´model dvojhveˇzdy (kataklyzmicke´promeˇnne´hveˇzdy) EX Hydrae. Hmota prˇete´ka´z cˇervene´ho trpaslı´ka na bı´le´ho trpaslı´ka, ktery´ma´ovsˇem natolik silne´magneticke´pole, zˇe la´tka z okolı´bodu L1 odte´ka´pode´l magneticky´ch silocˇar k po´lu˚m bı´le´ho trpaslı´ka. Prˇevzato z http://www.ukaff.ac.uk/movies.shtml, Norton a spol. (2004).

145 13 Pulsace hveˇzd

Proble´m pulsacı´hveˇzd prˇedstavuje rozsa´hlou a rychle se rozvı´jejıćı´te´matiku, a to zejmeńa pote´, co se uka´zalo, zˇe pomocı´rozboru pulsacı´s ru˚zny´mi periodami je mozˇneńeza´visly´m zpu˚sobem studovat vnitrˇnı´ stavbu nasˇeho Slunce. Dnes prˇiby´va´pokusu˚aplikovat stejnou metodu i na jine´hveˇzdy a vznika´tak obor, ktere´mu se v astronomicke´literaturˇe rˇı´ka´ asteroseismologie. Na webove´strańce sdruzˇenıÉuropean Ne- twork of Excellence in AsteroSeismology, http://www.eneas.info, lze nale´zt neˇkolik vynikajıćıćh ucˇebnıćh textu˚zaby´vajıćıćh se podrobneˇtouto problematikou, naprˇ. texty Prof. J. Christensena–Dalsgaarda cˇi Prof. C. Aerts(ove´). V tomto textu se omezı´me jen na strucˇny´vy´klad.

13.1 Radia´lnı´pulsace sfe´rickyćh hveˇzd 13.1.1 Podmıńka pro vznik pulsacı´ U´ vahy o dynamicke´stabiliteˇcˇi nestabiliteˇhveˇzd vu˚cˇi pulsacı´m mohou vycha´zet z na´sledujıćıú´vahy: beˇhem oscilace se termodynamicky´stav elementu hmoty v pulsujıćı´hveˇzdeˇperiodicky meˇnıá po jednom u´plne´m cyklu se vzˇdy vracı´do pu˚vodnı´ho stavu. Podle 1. veˇty termodynamicke´je

dQ = dU + dW . (487)

Protozˇe vnitrˇnıénergie U(ρ, T ) je funkcı´stavovyćh velicˇin, bude jejıćelkova´zmeˇna prˇi cyklicke´m procesu nulova´. Praće W vykonana´prˇi jednom cyklu cyklicke´ho procesu bude tedy integra´lem zmeˇn pohlcene´ho tepla

W = dQ (488) I a k pulsacı´m bude opakovaneˇdocha´zet tehdy, bude-li celkova´pra´ce na u´kor pohlcene´ho tepla kladna´, tedy W > 0. Protozˇe entropie ma´u´plny´diferencia´l, bude ovsˇem dQ dS = =0 , (489) T I I takzˇe cˇa´st pohlcene´ho tepla se v procesu opeˇt uvolnı´. Prˇedpokla´dejme, zˇe teplota jako funkce cˇasu t prodeˇla´va´malou cyklickou zmeˇnu δT (t) kolem strˇednı´ hodnoty T0, tedy

T (t)= T0 + δT (t) . (490)

Pak lze mı´sto (489) psa´t

dQ(t) dQ(t) 1 = =0 . (491) T + δT (t) T 1+ δT (t)/T I 0 I 0 0 146 S pouzˇitı´m Taylorova rozvoje a zanedba´nı´m cˇlenu˚vysˇsˇı´ch rˇa´du˚mu˚zˇeme tuto rovnici jesˇteˇprˇepsat do tvaru

dQ(t) δT (t) 1 =0 (492) T − T I 0 0 a tedy

1 dQ(t)δT (t) dQ(t)= . (493) T T 2 0 I I 0 Podmı´nku udrzˇenı´pulsacı´mu˚zˇeme pomocı´toho zapsat ve tvaru

δT (t) W = dQ(t)= dQ(t) > 0 . (494) T I I 0 Protozˇe T0 je kladnećˇı´slo, znamena´podmıńka (494), zˇe k pohlcovańı´tepla (dQ > 0) musı´docha´zet v te´ cˇa´sti cyklu, kdy teplota procha´zı´maximem (δT > 0) a naopak. Jinak rˇecˇeno: aby hveˇzda pulsovala, musı´ k pohlcovańı´tepla docha´zet prˇi jejı´m smrsˇt’ovańı´ a k jeho uvolnˇovańıńaopak prˇi expanzi. Vsˇimneˇme si jesˇteˇ, zˇe podmıńku pulsacˇnıńestability jsme formulovali pro malyélement hmoty. Analo- gicka´podmıńka pro celou hveˇzdu by meˇla tvar

M∗ δT (t, MR) W = dQ(t, MR) dMR > 0 , (495) T0(MR) Z0 I kde kruhova´integrace probı´ha´prˇes kazˇdy´element hveˇzdne´hmoty a integrace ve hmoteˇprˇes celou hveˇzdu.

13.1.2 Opacitnı´mechamismus pulsacı´ Nejcˇasteˇjsˇı´m mechanismem, ktery´mu˚zˇe zpu˚sobit pulsacˇnıńestabilitu, je mechanismus opacitnı´, kteryóvsˇem funguje pouze v oblastech meˇnıćı´se ionizace neˇktere´ho dostatecˇneˇzastoupene´ho iontu, nejcˇasteˇji vodı´ku cˇi helia. Uvazˇujme nejprve u´plneˇionizovany´plyn. Opacitu hveˇzdne´la´tky lze prˇiblizˇneˇpopsat pomocı´funkcˇnı´ za´vislosti

κ = cρkT −m, (496) kde c je konstanta a k a m jsou kladna´cˇı´sla. Pomeˇrneˇdobrou aproximaci pro volneˇ-va´zane´a volneˇ-volne´ prˇechody prˇedstavujı´ Kramersovy opacity (obr. 73), ktere´lze zapsat ve tvaru

κ = cρT −3,5. (497)

5 2 Pro adiabaticky´deˇj je P ρ 3 a tedy T ρ 3 , cozˇvede na ∼ ∼ − 4 κ = cρ 3 . (498)

147 6

2 log [κ]cm2/g 1

-1

-2 5 0 3 8 8.5 log [ρ]g/cm -5 7 7.5 6 6.5 -10 5 5.5 -15 4 4.5 log [T]106 K

Obra´zek 73: Odchylky prˇiblizˇnyćh Kramersovyćh opacit (polynomicke´za´vislosti κ = cρT −3,5, tj. barevna´plocha na logaritmicke´m grafu) od prˇesneˇjsˇıćh hodnot z Rogers a Iglesias (1996).

To ovsˇem znamena´, zˇe prˇi kompresi s rostoucı´hustotou klesaópacita a tedy pohlcovańı´tepla. Jiny´mi slovy, plneˇionizovanećˇa´sti hveˇzdy jsou stabilnı´ a ke stabilnı´m pulsacı´m v nich nemu˚zˇe docha´zet. Jina´je ovsˇem situace v oblastech meˇnıćı´se ionizace, kde je energie stlacˇovańı´spotrˇebovańa na ru˚st ionizace a teplota roste mnohem pomaleji. Pokud budeme prˇedpokla´dat za´vislost teploty na hustoteˇve tvaru T ρλ , (499) ∼ pak pro Kramersovu opacitu platı´ κ = cρ1−3,5λ (500) a podmıńkou vzniku pulsacı´je tedy nerovnost 1 3,5λ> 0 . (501) − To by´va´v oblastech meˇnıćı´se ionizace cˇasto splneˇno. Za´lezˇıóvsˇem na tom, kde se ta kteraíonizacˇnı´zońa ve hveˇzdeˇnacha´zı´. Je-li prˇı´lisˇhluboko uvnitrˇhveˇzdy, dojde disipacı´k utlumenı´kmitu˚, zatı´mco je-li prˇı´lisˇ blı´zko povrchu, je tepelna´kapacita prˇı´lisˇmalańa to, aby dosˇlo ke globa´lnı´m oscilacı´m.

13.1.3 Hrubyódhad periody radia´lnıćh pulsacı´ JizˇShapley (1914) argumentoval tı´m, zˇe za´kladnı´perioda radia´lnıćh pulsacı´sfe´rickyćh hveˇzd, kdy hveˇzda zveˇtsˇuje a zmensˇuje svu˚j polomeˇr tak, zˇe zachova´va´ po celou dobu svu˚j sfe´ricky´tvar, musı´by´t zhruba dańa dynamickou cˇasovou sˇka´lou

R3 1 t , (502) dyn ∼ GM ∼ Gρ¯ r r 148 kde ρ¯ je pru˚meˇrna´hustota hveˇzdy. O te´tedy za´kladnı´perioda radia´lnıćh pulsacı´vypovı´da´. Pulsace mu˚zˇeme v prvnı´m prˇiblı´zˇenıćha´pat jako akusticke´hustotnı´kmity s vlnovou de´lkou rovnou pru˚meˇru hveˇzdy. Takova´ vlna se sˇı´rˇı´rychlostı´zvuku vz a perioda radia´lnı´pulsace je tak dańa vy´razem 2R Π= , (503) v¯z kde v¯z je strˇednı´rychlost zvuku prˇes celou pulsacˇnı´periodu. Zvukove´kmity lze povazˇovat za adiabaticke´ a z teorie akustickyćh kmitu˚plyne pro rychlost zvuku

∂P P v2 = = γ , (504) z ∂ρ ad ρ ad kde γ = cP pro adiabaticky´deˇj (c = 0) oznacˇuje prˇı´mo pomeˇr specifickyćh tepel prˇi konstantnı´m tlaku ad cV a objemu (viz rovnice (352)). Pokud uvazˇujeme hveˇzdu jako plynovou kouli, plyne z rovnice (162) pro vnitrˇnıénergii smeˇsi iontove´ho a elektronove´ho plynu (bez prˇı´speˇvku za´rˇenı´, tj. β = 1), zˇe prˇı´speˇvek tepelneénergie dEt prˇipadajıćıńa elementa´rnıóbjem dV bude 3 dE = UρdV = P dV, (505) t 2 kde P opeˇt oznacˇuje celkovy´tlak smeˇsi plynu. Celkovou tepelnou energii dostaneme integracı´prˇes cely´ objem hveˇzdy, tedy

3 E = P dV. (506) t 2 Z

Z veˇty o viria´lu vı´me, zˇe mezi celkovou kinetickou tepelnou energiı´a celkovou potencia´lnı´energiı´ EG v soustaveˇ, ktera´se nale´za´v hydrostaticke´rovnova´ze, platı´vztah

E = 2E . (507) G − t Za prˇedpokladu, zˇe hveˇzda osciluje kolem rovnova´zˇne´ho stavu odpovı´dajı´cı´ho stavu hydrostaticke´rovnova´hy, a za prˇedpokladu polytropnı´ho modelu lze tedy strˇednı´rychlost zvuku odhadnout s pomocı´veˇty o viria´lu (507):

2 3 P v 3M∗ E = 2 P dV = 3 dM = 3 z dM v¯2 , (508) G − 2 − ρ R − γ R ≈ − γ z ZV ZMR ZMR kde pro gravitacˇnı´potencia´lnı´energii EG lze pro sfe´ricke´rozlozˇenı´hmoty psa´t

GM 2 E = w . (509) G − R

149 3 3 Faktor w naby´va´hodnoty 5 pro homogennı´rozlozˇenı´hmoty a hodnoty 2 pro hveˇzdy na hlavnı´posloupnosti. Hodnota faktoru w roste se stoupajı´cı´koncentracı´hmoty smeˇrem do centra. Z rovnic (508) a (509) tedy dosta´va´me γE γw GM v¯2 = G = . (510) z − 3M 3 R Dosazenı´m do rovnice (503) pro pulsacˇnı´periodu zı´ska´me vy´raz

1 1 3 2 R3 2 Π=2 . (511) γw GM S vyuzˇitı´m deﬁnice strˇednı´hustoty 4 M = πR3ρ¯ (512) 3 mu˚zˇeme rovnici (511) jesˇteˇupravit do tvaru

9 Π√ρ¯ = , (513) πGγw r ktery´poprve´odvodil Eddington (1918). Pokud vypocˇteme strˇednı´hustotu Slunce z hodnot polomeˇru a hmotnosti (429, 433)

−3 ρ¯⊙ = 1408,977 kg m , (514) mu˚zˇeme uda´vat strˇednı´hustotu hveˇzdy v teˇchto jednotka´ch. Za prˇedpokladu polytropnı´ho modelu s n =3 4 3 (tedy γ = 3 ) a pro w = 2 pak pro pulzacˇnı´periodu ve dnech platı´ ρ¯ Π =0,d0451716 = Q′ . (515) ρ¯⊙ r Konstanta na prave´straneˇtedy uda´va´periodu radia´lnı´ pulsace nasˇeho Slunce, pokud by bylo pulsacˇneˇ nestabilnı´. Naprˇ. pro chladne´ho veleobra spektra´lnı´trˇı´dy M0Ia s hmotnostı´a polomeˇrem, jaky´jsme uvazˇovali d v tabulce (6), dostanemepodle (515) Π = 260, 0. Naopak pro bı´le´ho trpaslı´ka Sirius B o hmotnosti 1,034 M⊙ a polomeˇru 0,0084 R⊙ vycha´zı´pulsacˇnı´perioda pouhe´6,05 sekundy. Vzhledem k tomu, zˇe strˇednı´hustota ρ¯ = M/V , kde M a V jsou hmotnost a objem hveˇzdy, je mozˇne´ pro sfe´ricke´modely psa´t u´meˇru

1 − 3 1 − 3 3 M 2 R 2 M 2 L 4 T Q′ = Π = Π eﬀ , (516) M⊙ R⊙ M⊙ L⊙ T eﬀ⊙ prˇicˇemzˇkonstanteˇ Q′ se rˇı´ka´ pulsacˇnı´konstanta.

150 Pro rea´lne´hveˇzdne´modely ovsˇem Q′ nenı´konstanta, ale ukazuje se, zˇe

1 R 4 Q′ . (517) ∼ M Vemury a Stothers (1978) z toho s pouzˇitı´m Carsonovyćh opacit odvodili na´sledujıćı´vztah pro periodu radia´lnı´pulsace nerotujıćı´hveˇzdy ve dnech

7 − 3 . R 4 M 4 Π =0,d025 , (518) R⊙ M⊙ prˇicˇemzˇkoeﬁcient u´meˇry 0,025 vykazuje rozptyl 0,001. Vztah (518) da´va´ peˇkne´ vy´sledky. Naprˇ. pro± prima´rnı´ slozˇku spektroskopicke´ dvojhveˇzdy Spika (α Vir A), ktera´je promeˇnnou hveˇzdou typu β Cep, urcˇili Herbison-Evans a spol. (1971) s pomocı´in- tensitnı´ho interferometru hodnoty M/M⊙ = 10,9 0,9, R/R⊙ = 8,1 0,5, cozˇpodle vztahu (518) da´va´ teoretickou hodnotu pulsacˇnı´periody 0,d162. Prˇihle´dneme-li± k udany´m± chyba´m polomeˇru a hmotnosti, nacha´zı´se teoreticka´pulsacˇnı´perioda v rozmezı´0,d1366 azˇ0,d1920. Skutecˇneˇpozorovana´pulsacˇnı´perioda je 0,d174.

13.1.4 Vztahy perioda – za´rˇivy´vy´kon – barva Vy´sˇe uvedene´vztahy vysveˇtlujı´rovneˇzˇexistenci empiricke´ho vztahu perioda – za´rˇivy´vy´kon pro cefeidy a jine´typy radia´lneˇpulsujı´cı´ch hveˇzd. Vztah (516) mu˚zˇeme psa´t v logaritmicke´m tvaru

logΠ = log Q 0,5log(M/M⊙)+1,5 log(R/R⊙) . (519) − Z deﬁnice efektivnı´teploty plyne

log(R/R⊙)=8,474 0,2 M 2log T , (520) − bol − eﬀ takzˇe po dosazenı´do (519) dostaneme

logΠ = 12,71 + log Q 0,5 log(M/M⊙) 3log T 0,3 M . (521) − − eﬀ − bol Empiricke´za´vislosti za´rˇivy´vy´kon – perioda by´vajı´ cˇasto uda´va´ny ve tvaru

MV = a logΠ+ b , (522) kde koeficienty a a b jsou empiricky urcˇeny pro danou skupinu pulsujıćıćh hveˇzd. Rovnici (521) mu˚zˇeme upravit do tvaru

M = 42,37+3,333 log Q BC(T ) 3,333logΠ 10 log T 1,667 log(M/M⊙) . (523) V − eﬀ − − eﬀ −

151 Pulsacˇnıńestabilita obvykle odpovı´da´dosti u´zke´mu rozmezıéfektivnıćh teplot a tak pouze cˇlen odpovı´dajıćı´ hmotnosti hveˇzdy ma´vliv na empiricke´koeficienty a a b, nebot’pro danou skupinu hveˇzd existuje obvykle vztah mezi hmotnostıá za´rˇivy´m vy´konem ve tvaru

log(M/M⊙)= c Mbol + d . (524) Konkre´tneˇpro klasickećefeidy byl tento vztah zprˇesneˇn pomocı´pozorovańı´s velky´m opticky´m interfe- rometrem Evropske´jizˇnıóbservatorˇe v praći Kervelly a spol. (2004), kterˇıúda´vajı´hodnoty a = 2,769 a b = 1,440. Petersen a Christensen-Dalsgaard (1999) uda´vajı´pro δ Sct hveˇzdy na za´kladeˇnove´kalibrace− pomocı´druzˇice− Hipparcos hodnoty b v rozmezı´ 3,2 azˇ 4,0. V neˇkteryćh empirickyćh za´vislostech se vliv− efektivn−ı´teploty bere v potaz pomocıćˇlenu, kteryćharak- terizuje barvu hveˇzdy neˇktery´m fotometricky´m indexem, naprˇ. (b y). To jsou pak vztahy za´rˇivy´vy´kon – barva – perioda, nejcˇasteˇji ve tvaru −

M = a′ logΠ+ b′(b y)+ c′ , (525) V − kde koeficienty a′, b′ a c′ jsou opeˇt empiricky urcˇeny pro danou skupinu pulsujıćıćh hveˇzd. Je ovsˇem dobrˇe si uveˇdomit, zˇe pokud si v logaritmicke´m tvaru vyja´drˇı´me dolnı´mez rotacˇnı´periody neˇjake´ hveˇzdy31, t.j. Keplerovu rotacˇnı´rychlost na uvazˇovane´m rovnı´kove´m polomeˇru, prˇi aproximaci pomocı´Rocheova modelu, dostaneme rovnici (viz naprˇ. Harmanec 1987)

logΠ = 0,936 0,5log(M/M⊙)+1,5 log(R/R⊙) . (526) − − cozˇje rovnice forma´lneˇtotozˇna´s rovnicı´(519) pro log Q = 0,936. Dodejme, zˇe pro jednoduchy´polytropnı´ − model Eddingtonu˚v je log Q = 1,433. Cˇasove´sˇka´ly radia´lnı´pulsace a rotace hveˇzd jsou tedy srovnatelne´ a v konkre´tnıćh prˇı´padech nemusı´by´t− snadne´rozhodnout, co je skutecˇnou fyzika´lnı´prˇıćˇinou pozorovanyćh zmeˇn jasnosti cˇi radia´lnı´rychlosti hveˇzdy.

13.2 Neradia´lnı´pulsace Neradia´lnı´pulsacı´rozumı´me takovou (multi)periodickou zmeˇnu tvaru hveˇzdy, prˇi ktere´m dochazı´k od- chylka´m jak od sfe´ricke´, tak osove´symetrie. Vznik neradia´lnıćh pulsacı´mu˚zˇe kromeˇjizˇzminˇovane´ho opacitnı´ho mechamismu souviset s rotacı´hveˇzd nebo se slapovy´mi silami, je-li uvazˇovana´hveˇzda slozˇkou teˇsne´dvojhveˇzdy. Za´klady teorii neradia´lnıćh pulsacı´polozˇil svou pracı´Ledoux (1951) a pozdeˇji byla roz- vı´jena naprˇ. v pracech Osaki (1986), Osaki a Shibahashi (1986). Kambe a Osaki (1988) publikovali i serie profilu˚cˇar ovlivneˇnyćh neradia´lnı´mi pulsacemi. Je trˇeba ale rˇıći, zˇe fyzika´lneˇkonsistentnı´model takovyćh pulsacı´pro rychleji rotujıćı´hveˇzdy dosud neexistuje, nebot’jde o velmi obtı´zˇnyú´kol. Je to pochopitelne´ — jak jsme si jizˇuka´zali, neexistujı´dosud ani fyzika´lneˇkonsistentnı´modely rychle rotujıćıćh hveˇzd. Prˇi popisu neradia´lnıćh pulsacı´se proto volıúrcˇita´zjednodusˇenı´. Zpravidla se prˇedpokla´da´, zˇe osa symetrie oscilacı´je identicka´s osou rotace hveˇzdy a zˇe na hveˇzdu nepu˚sobı´zˇa´dne´ vneˇjsˇı´ sı´ly. Pulsace dane´ hveˇzdy se vysˇetrˇujı´pomocı´ syste´mu nelinea´rnıćh parcia´lnıćh

31To je take´dolnı´mezı´obeˇzˇne´periody dvojhveˇzdy tvorˇene´na´mi uvazˇovanou hveˇzdou a sekunda´rem zanedbatelne´hmotnosti.

152 diferencia´lnıćh rovnic, do nichzˇse zava´deˇjı´periodicke´perturbace, a vysˇetrˇuje se numericky reakce hveˇzdy na neˇ. Soustavu rovnic s perturbacemi tvorˇı´pohybova´rovnice, rovnice kontinuity a Poissonova rovnice. Pokud se hveˇzda uka´zˇe jako pulsacˇneˇnestabilnı´, zı´skajı´se rˇesˇenı´s kruhovy´mi pulsacˇnı´mi frekvencemi ω. Skala´rnı´velicˇiny se obvykle popisujı´pomocı´sfe´rickyćh harmonickyćh funkcı´. Pro popis polohy bodu˚na povrchu hveˇzdy se pouzˇı´va´za´pis ve sfe´rickyćh sourˇadnicich (r, ϑ, ϕ), kde r je radia´lnı´vzda´lenost od strˇedu hveˇzdy, ϑ u´hel meˇrˇenyód ‘severnı´ho’ po´lu hveˇzdy v rozmezı´ 0, π a ϕ u´hel meˇrˇeny´pode´l hveˇzdne´ho h i rovnı´ku v rozmezı´ 0, 2π . h i m Slozˇky vektoru rychlosti V lze zapsat pomocı´sfe´rickyćh harmonickyćh funkcı´ Yl (ϑ, ϕ) ve tvaru

m iωt Vr(r, ϑ, ϕ, t) = An(r) Yl (ϑ, ϕ) e , (527) ∂Y m(ϑ, ϕ) V (r, ϑ, ϕ, t) = A (r)k l eiωt , (528) ϑ n ∂ϑ A (r)k ∂Y m(ϑ, ϕ) V (r, ϑ, ϕ, t) = n l eiωt , (529) ϕ sin ϑ ∂ϕ kde k je pomeˇr amplitud horizonta´lnı´a radia´lnı´rychlosti pulsace. Pro danou frekvenci pulsace souvisı´ s hmotou hveˇzdy M, jejı´m polomeˇrem R a gravitacˇnı´konstantou G podle vztahu GM k = . (530) ω2R3 Velicˇina ω oznacˇuje kruhovou frekvenci 2π ω = . (531) Pn,l,m

Pn,l,m je perioda dane´ho pulsacˇnı´ho mo´du popsane´ho kvantovy´mi cˇı´sly (n, l, m): n oznacˇuje pocˇet pulsacˇnıćh vln v radia´lnı´m smeˇru; • l uda´va´, kolik je na povrchu hveˇzdy liniı´, ktereńeprodeˇla´vajı´zˇa´dny´radia´lnı´pohyb; • m v rozmezı´ l azˇ l je pocˇet vln v azimuta´lnı´m smeˇru (pode´l sourˇadnice ϕ). • − Pro dane´kvantovećˇı´slo l existuje tedy 2l +1 mo´du˚s ru˚zny´mi kvantovy´mi cˇı´sly m. Pro nerotujıćı´hveˇzdu majıále tyto mo´dy vsˇechny stejnou periodu. Pro rotujıćı´hveˇzdu oznacˇujı´mo´dy s m< 0 pulsace postupujıćı´ ve smeˇru rotace hveˇzdy a mo´dy s m > 0 pulsace retrogra´dnı´. Pulsacˇnı´mo´dy, pro neˇzˇ m = l se nazy´vajı´ sektora´lnı´mo´dy pulsace. Mo´dy, pro neˇzˇ 0 = m = l, se oznacˇujı´jako tesera´lnı´ a mo´dy s|m |=0 jako zona´lnı´ 6 | | 6 cˇi osoveˇsymetricke´. Radia´lnı´pulsace v tomto pojetı´ lze cha´pat jako specia´lnı´prˇı´pad pro l = 0. Mo´dy pro ru˚zna´kvantovaćˇı´sla m a l jsou zna´zorneˇny graficky na obra´zku 74. Spocˇtene´profily spektra´lnıćh cˇar pro ru˚zne´mo´dy s kvantovy´mi cˇı´sly m a l a pro ru˚zne´fa´ze dane´pulsacˇnı´periody lze nale´zt na obra´zcıćh 75 a 76. Townsend (1997) publikoval popis dosud asi jednoho z nejdokonalejsˇıćh programu˚na vy´pocˇet teoretic- kyćh profilu˚odpovı´dajıćıćh ru˚zny´m mo´du˚m pulsace.

153 Obra´zek 74: Prˇı´klady neradia´lnı´ch pulsacı´ s ru˚zny´mi kvantovy´mi cˇı´sly l a m. Obra´zky jsou prˇevzaty z disertacˇnı´ch pracı´ Uytterhoeven(ove´) (2004) a Schrijverse (1999).

154 Obra´zek 75: Prˇı´klady profilu˚cˇar zpu˚sobenyćh neradia´lnı´mi pulsacemi s ru˚zny´mi kvantovy´mi cˇı´sly l a m. Plne´, cˇa´rkovane´ a tecˇkovanećˇa´ry ukazujı´profily pro pomeˇr rotacˇnı´frekvence k pulsacˇnı´frekvenci v korotujıćı´soustaveˇv hodnotaćh 0,01, 0,2 a 0,5. Prˇevzato z prace Aerts(ove´) a Waelkense (1993).

155 Obra´zek 76: Prˇı´klady proﬁlu˚cˇar zpu˚sobeny´ch neradia´lnı´mi pulsacemi s ru˚zny´mi kvantovy´mi cˇı´sly l a m pro vysˇsˇı´hodnoty mo´du˚. Legenda a zdroj jsou stejne´jako u obra´zku 75.

156 13.2.1 Sektora´lnı´pulsace rotujıćıćh hveˇzd Velmi na´zorny´m prˇı´kladem neradia´lnıćh pulsacı´, ktery´lze vyuzˇı´t k odhadu neˇkteryćh fyzika´lnıćh velicˇin, jsou sektora´lnı´pulsace rotujıćıćh hveˇzd. Jak je uka´zańo na obra´zcıćh 76 a 77, projevı´se sektora´lnı´mo´d v profilech spektra´lnıćh cˇar rozsˇı´rˇenyćh rotacı´formou vlnek putujıćıćh postupneˇprˇes profil od fialove´ho k cˇervene´mu krˇı´dlu cˇar. Oznacˇı´me-li σ pulsacˇnı´frekvenci sektora´lnı´ho mo´du pozorovanou pozorovatelem na Zemi, σ0 skutecˇnou frekvenci pulsace v referencˇnı´soustaveˇrotujıćı´s hveˇzdou, ∆t dobu mezi pru˚chody dvou na´sledujıćıćh vlnek prˇes strˇed spekra´lnıćˇa´ry, P periodu, za kterou se konkre´tnı´putujıćı´vlnka vra´tı´zpeˇt do strˇedu cˇa´ry, Prot rotacˇnı´ periodu hveˇzdy, Pm periodu pulsacˇnı´ho mo´du m v soustaveˇrotujıćı´s hveˇzdou a Ω rotacˇnı´frekvenci hveˇzdy, pak zrˇejmeˇplatı´ 1 1 1 m Ω= , σ0 = , σ = = . (532) Prot Pm ∆t − P

Pro okamzˇitou radia´lnı´rychlost putujıćı´vlnky RVm(t), kterou lze v serii pozorovanyćh profilu˚prˇı´mo meˇrˇit, lze psa´t

2π(t t ) RV (t)= RV + V sin i sin − 0 + F (t) , (533) m e P kde F (t) oznacˇuje rychlostnı´pole pulsace, RV radia´lnı´rychlost hveˇzdy, t0 okamzˇik pru˚chodu konkre´tnı´ uvazˇovane´vlnky strˇedem cˇa´ry, a Ve linea´rnı´rovnı´kovou rotacˇnı´rychlost hveˇzdy. Rychlostnı´pole F (t) ma´ typickeámplitudy do 10km s−1, takzˇe je lze pro na´sledujıćıú´vahy pro rychleji rotujıćı´hveˇzdy statisticky zanedbat. Da´le platıńa´sledujıćı´zrˇejme´vztahy

2πRe 2πRe 2πRe Va = , P = , Prot = (534) mPm Ve + Va Ve a tudı´zˇ

P −1 = P −1 (mP )−1 , (535) rot − m kde Re je rovnı´kovy´polomeˇr hveˇzdy a Va linea´rnı´rovnı´kova´fa´zova´rychlost, se kterou postupuje pulsacˇnı´ vlna. Za prˇedpokladu, zˇe radia´lnı´rychlost hveˇzdy se nemeˇnı´, plyne z derivace rovnice (533) podle cˇasu na´sledujıćı´vy´raz pro zrychlenı´ a0 putujıćıćh vlnek prˇi prˇechodu prˇes strˇed spektra´lnıćh cˇar vztah 2πV sin i a = e . (536) 0 P Za prˇedpokladu, zˇe se na´m podarˇı´zı´skat serii profilu˚ hveˇzdy, v nichzˇbude zrˇetelneˇprˇı´tomen jeden konkre´tnı´vysˇsˇı´sektora´lnı´mo´d pulsace ve formeˇputujıćıćh vlnek, lze postupovat na´sledovneˇ:

157 Obra´zek 77: Na prˇı´kladu sektora´lnı´pulsace modu˚ l = 8 a m = 8 je ilustrovańo, jak vznikajı´putujıćı´vlnky v profilech spektra´lnıćh cˇar rozsˇı´rˇenyćh rotacı´. Tmave´ oblasti se pohybujı´smeˇrem− od pozorovatele. Obra´zek je prˇevzat z prace Vogta a Penroda (1983).

1. Z pozorovanyćh spektra´lnıćh profilu˚ studovane´ hveˇzdy urcˇı´me jejı´ promı´tnutou rotacˇnı´ rychlost Ve sin i. Pokud je zna´m sklon i rotacˇnıósy nebo jej lze odhadnout, budeme zna´t i rovnı´kovou rotacˇnı´ rychlost Ve. 2. Promeˇrˇenı´m radia´lnıćh rychlostı´putujıćıćh vlnek v cele´serii spekter mu˚zˇeme metodou nejmensˇıćh cˇtvercu˚urcˇit parametry krˇivky radia´lnıćh rychlosti (533), a tedy i zrychlenı´ a0 a dobu ∆t. Z rovnice (536) tak dostaneme odhad pozorovane´periody P pulsacˇnı´ho mo´du. 3. Pro dostatecˇneˇhustou a dlouhou se´rii spekter se lze pokusit o jednoznacˇnou identifikaci jednotlivyćh putujıćıćh vlnek, a tı´m pa´dem o neza´vislyódhad periody P .

4. Se zna´my´mi hodnotami P a Ve mu˚zˇeme po vhodne´kombinaci prˇedchozı´ch rovnic urcˇit dalsˇı´velicˇiny, charakterizujı´cı´pulsace hveˇzdy V = V (P /P 1) , (537) a e rot − m = P/∆t pro P

Prot , (539) P = P P /(m(P P )) . (540) m − · rot rot − Je ovsˇem trˇeba si uveˇdomit, zˇe ke spocˇtenıńumerickyćh hodnot vsˇech velicˇin je trˇeba zna´t dveˇza trˇıóbecneˇprˇedem nezna´myćh velicˇin Re, Prot a i. Jak jsme si ale uka´zali v kapitole o rotaci hveˇzd,

158 lze v neˇktery´ch prˇı´padech docela dobrˇe odhadnout naprˇ. hornı´a dolnı´hranici mozˇne´rotacˇnı´periody hveˇzdy.

Prˇi prˇesneˇjsˇı´ch u´vaha´ch se uvazˇuje vztah mezi pozorovanou frekvencı´ σ a skutecˇnou pulsacˇnı´frek- vencı´ σ0 ve tvaru

2 2 m Ω Dl σ = σ0 mΩ(1 Cl)+ , (541) − − σ0 kde Cl a Dl jsou velicˇiny, ktere´zahrnujı´vliv Coriolisovy a odstrˇedive´sı´ly a za´visejıńa vnitrˇnı´stavbeˇ hveˇzdy. To prˇi dalsˇı´m zdokonalenı´teorie a pozorovańı´da´va´sˇanci na rozvoj astreroseismologie i pro horke´ rotujıćı´hveˇzdy.

13.3 Jednoduche´vlneˇnı´ Mozˇneóscilace v nitru hveˇzdy se vypocˇı´ta´vajı´jakoˇesˇenı´hydrodynamickyćh r rovnic. Za urcˇityćh zjedno- dusˇujıćıćh prˇedpokladu˚je mozˇne´vyrˇesˇit vlnovou rovnici pro poruchy analyticky, cozˇprovedeme v te´to kapitole.

Za´kladnı´rovnice hydrodynamiky. Nejprve uvedeme vztah mezi lagrangeovskou a eulerovskou derivacı´ funkce φ(r, t) dφ ∂φ = + v φ , (542) dt ∂t · ∇ cˇili mezi tota´lnıćˇasovou derivacı´sledujıćı´pohyb a parcia´lnıćˇasovou derivacı´loka´lnı´(ve fixnı´m bodeˇ). Rovnice kontinuity, pohybova´rovnice, Poissonova rovnice a adiabaticke´prˇiblı´zˇenı´32 (pro jednoatomovy´ 5 plneˇionizovany´plyn γ = 3 ) majı´tvar ∂ρ + ρv = 0 , (543) ∂t ∇· dv ρ = P ρ Φ , (544) dt −∇ − ∇ Φ = 4πGρ, (545) ∇ · ∇ P = Kργ . (546) (547)

Neˇkdy se tyte´zˇrovnice prˇepisujı´jako ∂ρ dρ + v ρ + ρ v = + ρ v =0 , (548) ∂t · ∇ ∇· dt ∇· 32Obecneˇsamozrˇejmeˇdocha´zı´k vy´meˇneˇtepla s okolı´m beˇhem oscilace, ale pro rychle´oscilace mu˚zˇeme dQ zanedbat. Pak ovsˇem ze soustavy vypadne teplota T , respektive rovnice tepelne´rovnova´hy.

159 v pohybove´rovnici se nepı´sˇe gravitacˇnı´potencia´l, ny´brzˇobecne´zrychlenı´ f (respektive gravitacˇnı´ g = Φ) −∇ ∂v ρ + ρv v = P + ρf , (549) ∂t · ∇ −∇ mı´sto Poissonovy rovnice lze pouzˇı´t jejı´integra´l ρ(r′, t) Φ(r, t)= G dV (550) − r r′ ZV | − | a mı´sto adiabaty jejı´derivaci dP P = Kγργ−1 = γ . (551) dρ ρ

Rovnova´zˇny´stav. Rovnova´ha znamena´, zˇe vsˇechny cˇasove´derivace nulove´, vcˇetneˇ v = 0. Rovnice kontinuity, pohybova´, Poissonova a adiabata se pak znacˇneˇzjednodusˇı´

0 = 0 , (552) 0 = P ρ Φ , (553) −∇ 0 − ∇ 0 Φ0 = 4πGρ0 , (554) ∇ · ∇ γ P0 = Kρ0 . (555)

Perturbace. Pro male´zmeˇny tlaku, hustoty a gravitacˇnı´ho potencia´lu v dane´m mı´steˇ (r, t) mu˚zˇeme psa´t

′ P = P0 + P , (556) ′ ρ = ρ0 + ρ , (557) ′ Φ = Φ0 + Φ . (558) (559)

Velicˇiny se samozrˇejmeˇmohou zmeˇnit i kvu˚li prˇemı´steˇnı´z r0 do r0 + δr (P = P0 + δP ), pak δP = P ′ + P δr , (560) ∇ 0 · δρ = ρ′ + ρ δr , (561) ∇ 0 · δΦ = Φ′ + Φ δr . (562) ∇ 0 · (563)

To je ekvivalentnı´vztahu (542) pro lagrangeovskou a eulerovskou derivaci. Rychlosti se v tomto prˇı´padeˇ ty´kajı´pouze poruch ∂δr v = . (564) ∂t 160 Rovnice pro perturbace zı´ska´me dosazenı´m a odecˇtenı´m rovnova´zˇne´ho stavu

∂ρ′ + ρ v = 0 , (565) ∂t ∇· 0 dv ρ = P ′ ρ Φ′ ρ′ Φ , (566) 0 dt −∇ − 0∇ − ∇ 0 Φ′ = 4πGρ′ , (567) ∇ · ∇ P P ′ = γ 0 ρ′ . (568) ρ0 Oveˇrˇit to mu˚zˇeme snadno ∂ (ρ + ρ′)+ (ρ + ρ′)v =0 , (569) ∂t 0 ∇· 0 kde prvnı´cˇlen je nulovy´, nebot’ jde o derivaci rovnova´zˇne´ho stavu ρ0, poslednı´cˇlen je zanedbatelny´m soucˇinem dvou poruch ρ′v. Obdobneˇpostupujeme u pohybove´rovnice dv (ρ + ρ′) = (p + p′) (ρ + ρ′) (Φ + Φ′) 0 dt −∇ 0 − 0 ∇ 0 = p p′ ρ Φ ρ′ Φ ρ Φ′ ρ′ Φ′ . (570) −∇ 0 − ∇ − 0∇ 0 − ∇ 0 − 0∇ − ∇ V prˇı´padeˇadiabataty pouzˇijeme Tayloru˚v rozvoj

′ γ ′ ′ ′ ρ . ρ P + P = K(ρ + ρ )γ = Kργ 1+ = Kργ 1+ γ . (571) 0 0 0 ρ 0 ρ 0 0 13.3.1 Akusticke´vlny v homogennı´m prostrˇedı´(p-mo´dy) Jako prvnı´vysˇetrˇı´me vlny v homogennı´m prostrˇedı´, bez gravitace. (Tj. poneˇkud v protikladu se stavbou hveˇzd a silnou koncentracı´ke strˇedu, ale perturbace jsou zde mnohem mensˇı´nezˇrovnova´zˇne´gradienty!) ′ ′ Nejen cˇasove´, ale i prostorove´ gradienty jsou nulove´( Φ0 = 0), Φ je male´pro rychle se meˇnı´cı´ ρ , cˇili ′ ∇ zanedba´me i ρ Φ . Pohybova´rovnice pak prˇejde na tvar 0∇ ∂2δr ρ = P ′ . (572) 0 ∂t2 −∇ Do jejı´divergence

∂2 ρ δr = P ′ (573) 0 ∂t2 ∇· −∇ · ∇ dosadı´me vlevo cˇasovy´integra´l rovnice kontinuity ( ρ =0) ∇ 0 ρ′ + ρ δr ρ′ + ρ δr =0 (574) ∇· 0 ≃ 0∇· 161 a vpravo adiabaticke´prˇiblı´zˇenı´(568), tudı´zˇ

∂2 ρ′ P ρ = γ 0 ρ′ . (575) 0 ∂t2 −ρ −∇ · ∇ ρ 0 0 Vy´sledkem je vlnova´rovnice

∂2ρ′ = c2 2ρ′ , (576) ∂t2 s ∇ kde rychlost zvuku (dle stavove´rovnice)

P0 kBT0 cs γ = γ > 0 . (577) ≡ s ρ0 s µmH Rovnice (576) ma´rˇesˇenı´v podobeˇvln

ρ′ = a ei(k·r−ωt) . (578) po jehozˇdosazenı´zjistı´me

∂2ρ′ ∂2 ∂2 ∂2 = a i2ω2 ei(k·r−ωt) = + + ρ′ = c2a i2(k2 + k2 + k2) ei(k·r−ωt) , (579) ∂t2 ∂x2 ∂y2 ∂z2 s x y z tedy musı´platit disperznı´vztah

ω2 = c2 k 2 . (580) s | | Vlny s dany´m vlnocˇtem k = 2π musı´mı´t prˇedepsanou frekvenci ω = 2π . | | λ P Sˇı´rˇenı´takovyćh zvukovyćh vln v nehomogennı´m prostrˇedı´mu˚zˇeme alesponˇkvalitativneˇodhadnout pomocı´geometrickeóptiky. Teplota T , a tedy i rychlost zvuku cs, v nitru hveˇzdy rostou s hloubkou. Podle Snellova za´kona lomu

cs(R2) sin θ2 = sin θ1 (581) cs(R1) se paprsek lomı´ od kolmice a v urcˇite´hloubce mu˚zˇeme ocˇeka´vat tota´lnı´odraz.

13.3.2 Vnitrˇnı´gravitacˇnı´vlny (g-mo´dy) Studujme nynı´ slozˇiteˇjsˇı´prˇı´pad jednorozmeˇrne´ vrstvy plynu v homogennı´m gravitacˇnı´m poli, ve ktere´ gradient tlaku vyrovna´va´gravitacˇnı´zrychlenı´(0= P + ρ g ). Pohybova´rovnice je pak slozˇiteˇjsˇı´ −∇ 0 0 0 dv ρ = P ′ + ρ′g , (582) 0 dt −∇ 0 162 protozˇe oscilace jsou udrzˇovańy vztlakovou silou, nejen gradientem tlaku. Rˇ esˇenı´hydrodynamickyćh rovnic zde neuvedeme. Uveˇdomı´me si jen, zˇe g-mo´dy jsou obecneˇjsˇıá vlastneˇ v sobeˇzahrnujıí p-mo´dy. Navıć totizˇexistujı´rˇesˇenı´s mnohem nizˇsˇı´mi frekvencemi. Zava´dı´se Bruntova– Vaïsa¨laöva (vztlakova´) frekvence (Christensen-Dalsgaard 2003)

1 d ln P d ln ρ N 2 = g 0 0 , (583) 0 γ dr − dr prˇicˇmezˇpro N 2 > 0 nasta´vajıóscilace, kdezˇto pro N 2 < 0 konvektivnıńestabilita, a disperznı´relace ma´ tvar N 2 2 (584) ω = 2 2 . 1+ kr /kh Takove´vlny se patrneˇvyskytujı´v nitru Slunce (pod konvektivnı´zońou).

13.3.3 Povrchove´gravitacˇnı´vlny (f-mo´dy) Vlny vznikajı´i na diskontinuiteˇ hustoty, jako vlny na morˇi. Prˇedpokla´dejme nestlacˇitelnou kapalinu (ρ′ =0), nekonecˇnou hloubku, volny´povrch a g = konst. Uvnitrˇkapaliny platı´

v = 0 , (585) ∇· ∂v ρ = P ′ . (586) 0 ∂t −∇ Divergence pohybove´rovnice da´va´ihned rovnici

0= P ′ . (587) ∇ · ∇ Rˇ esˇenı´hleda´me v podobeˇvln ve smeˇru x (tj. pode´l hladiny)

P ′ = f(z) cos(k x ωt) , (588) h − prˇitom f(z) musı´splnˇovat diferencia´lnı´rovnici

d2f = k2f . (589) dz2 h Snadno nahle´dneme, zˇe

f(z)= a exp( k z)+ b exp(k z) . (590) − h h Podle prvnı´hranicˇnı´podmı´nky pozˇadujeme, aby pro z f konvergovalo. Pak musı´by´t b =0. →∞

163 Jaky´je vsˇak vztah mezi ω a k (jisteˇnebudou dovolene´vsˇechny vlny)? Vyuzˇijeme druhou hranicˇnı´ podmı´nku: na rozhranı´(z + δz) je vzˇdy P = konst., neboli δP = 0. Lagrangeovskou zmeˇnu tlaku tedy napı´sˇeme jako

δP = P ′ + P δr = P ′ + ρ g δz =0 , (591) ∇ 0 · 0 0 odkud 1 δz = P ′ . (592) −ρ0g0 Za´rovenˇvsˇak musı´pro δz platit pohybova´rovnice (586)

∂2δz df ρ = P ′ = cos(k x ωt)= k a exp( k z) cos(k t ωt) , (593) 0 ∂t2 −∇z − dz h − h − h h − jejı´zˇrˇesˇenı´je nasnadeˇ

k k h h ′ (594) δz = 2 a exp( khz) cos(khx ωt)= 2 P . −ρ0ω − − −ρ0ω Proto 1 k ′ h ′ (595) P = 2 P − ρ0g0 −ρ0ω a disperznı´relace je

2 ω = g0kh . (596)

Povsˇimneˇme si, zˇe ρ0 se zkra´tilo — z povrchovy´ch oscilacı´(f-mo´du˚) nelze zjistit nic o vlastnostech nitra hveˇzdy!

Prˇesna´sfe´ricka´rˇesˇenı´. Pokud bychom hydrodynamicke´rovnice rˇesˇili za prˇedpokladu kulove´symetrie, dostali bychom rˇesˇenı´ve tvaru kulovyćh funkcı´; pro nitro Slunce by vy´sledek vypadal jako na obra´zku 78. Pozor! Linea´rnı´teorie nijak neomezuje amplitudy oscilacı´. Obdobneˇjako u matematicke´ho kyvadla mohou by´t vyćhylky teoreticky nekonecˇneˇvelke´, ale v praxi to samozrˇejmeˇnenasta´va´. Dopplerovska´meˇrˇenı´ Slunce poskytujıámplitudy spolu s frekvencemi (obr. 79), ktere´zˇto s teoriı´dobrˇe souhlası´. Oscilace podobne´jako na Slunci byly pozorovańy i na povrsˇıćh neˇkolika vzda´lenyćh hveˇzd, naprˇı´klad u α Cen A (obr. 80).

164 Obra´zek 78: Teoreticky spocˇtene´frekvence mozˇnyćh staciona´rnıćh oscilacı´jako funkce stupneˇ l, pro slunecˇnıńitro (tj. s dany´m pru˚beˇhem ρ0(R), P0(R),T0(R)). Cˇı´sla vpravo nahorˇe popisujı´radia´lnı´rˇa´d n. Prˇevzato z Christensen-Dalsgaard (2003).

165 Obra´zek 79: Amplitudy oscilacı´Slunce (vyznacˇene´barevnou sˇka´lou) jako funkce stupneˇ l a frekvence ν, odvozeneínverzı´ z dopplerovskyćh meˇrˇenı´slunecˇnı´ho povrchu druzˇicı´SOHO/MDI. Nejvy´znamneˇjsˇı´jsou p-mo´dy s frekvencemi ν 3 azˇ 4 mHz, cozˇ odpovı´da´perioda´m okolo 5 min. G-mo´dy s nı´zky´mi frekvencemi nejsou na Slunci pozorovatelne´, nebot’≃ v povrchove´ konvektivnı´zońeˇnemu˚zˇe k oscilacı´m tohoto typu docha´zet. Prˇevzato z http://soi.stanford.edu/.

166 Obra´zek 80: Spektrum oscilacˇnıćh frekvencı´ hveˇzdy α Centauri A, odvozene´z meˇrˇenı´ radia´lnıćh rychlostı´ spektrografem CORALIE, strˇedovanyćh samozrˇejmeˇprˇes cely´disk. Prˇevzato z Bouchy a Carrier (2001).

167 14 Gravitacˇnı´kolaps protohveˇzd

Protohveˇzdy jsou kolabujıćıóbjekty, ktereńejsou v hydrostaticke´rovnova´ze. Vy´voj prˇed dosazˇenı´m hlavnı´ posloupnosti je prˇedmeˇtem na´sledujıćı´kapitoly.

14.1 Pru˚beˇh kolapsu Prˇi kolapsu chladne´ho molekulove´ho mracˇna roste jeho teplota T , nebot’cˇa´st gravitacˇnı´potencia´lnıénergie se disipuje na teplo, a odpovı´dajıćı´m zpu˚sobem roste i gradient tlaku p. Kolaps by se mohl brzy zastavit, kdyby se oblak neˇjak neochlazoval. Pra´veˇpodle zpu˚sobu ochlazovańı´lze∇ rozlisˇit trˇi fa´ze kontrakce:

1. ochlazovańıínfracˇerveny´m za´rˇenı´m: prˇi zvy´sˇene´kinetickeénergii cˇa´stic oblaku docha´zı´ke sra´zˇkove´ excitaci rotacˇnıćh stavu˚molekul H2 a jejich za´rˇive´deexcitaci

H + H H ∗ + H , (597) 2 2 → 2 2 H ∗ H + γ . (598) 2 → 2 Za´rˇiva´deexcitace probı´hańa vlnovyćh de´lkaćh okolo 1mm, na nichzˇje ale oblak dobrˇe pru˚hledny´, takzˇe unikajıćıÍR za´rˇenı´mu˚zˇe oblak ućˇinneˇochladit. Prˇi tomto procesu se uplatnˇujıí jinećˇa´stice (O, C+, CO, H) a take´prachova´zrna.

2. disociace a ionizace: v ra´mci prˇemeˇny EG na U probı´ha´take´disociace molekuly H2 (ǫD = 4,5 eV) a ionizace atoma´rnı´ho H (ǫI = 13,6 eV). Obojı´vede ke snizˇova´nı´teploty, nebot’se tı´m odebı´ra´teplo ze syste´mu. Celkem se na disociaci a ionizaci mu˚zˇe spotrˇebovat energie

M M EDI = ǫD + ǫI , (599) 2mu mu

3 cˇemuzˇodpovı´da´zmeˇna potencia´lnı´energie (vynechali jsme 5 , stejneˇto nenı´homogennı´) 1 1 ∆E GM 2 . (600) G ≃ R − R 2 1 Zada´me-li pocˇa´tecˇnı´polomeˇr protohveˇzdy, mu˚zˇeme spocˇı´tat konecˇny´, po tomto fa´zove´m prˇechodu. 15 . 39 Prˇı´klad: M =1 M⊙, R = 10 m = 6700AU, E =3 10 J, 1 DI · −1 EDI 1 . R 1011 m =0,6 AU . (601) 2 ≃ GM 2 − R ≃ 1 Cˇasova´sˇka´la tohoto procesu, respektive volne´ho pa´du, je 104 roku˚.

168 3. Kelvinova–Helmholtzova kontrakce: prakticky vsˇechen vodı´k je nynı´plneˇionizovany´, cˇı´mzˇznacˇneˇ narostl gradient tlaku a bylo te´meˇrˇdosazˇeno hydrostaticke´rovnova´hy. Za tohoto stavu mu˚zˇeme ovsˇem aplikovat viria´lovy´teore´m

2 U + E =0 . (602) h i h Gi Prˇedpokla´da´me-li R R , lze za gravitacˇnı´potencia´lnı´energii dosadit energii disociace a ionizace 1 ≫ 2 GM 2 EG EDI . (603) ≃ − R2 ≃ − . Protozˇe plneˇionizovana´la´tka ma´strˇednı´molekulovou hmotnost µ =0,5, ma´me mı´sto (602)

3 M M ǫD 2 kT + ǫI =0 , (604) 2 0,5mu − mu 2 odkud vyja´drˇı´me teplotu 1 kT = (ǫ +2ǫ ) 2,6 eV , (605) 12 D I ≃ neboli T 30000K. Vidı´me, zˇe kolaps hveˇzdu znacˇneˇ zahrˇeje. Velkou roli pak hraje opacita, ktera´kontroluje≃ rychlost vyzarˇovańı´(ochlazovańı´). Dalsˇı´kontrakce probı´hańa tepelne´(Kelvinoveˇ– Helmholtzoveˇ) sˇka´le 10 Myr. ≃ 14.2 Fragmentace oblaku

Podle viria´love´ho teore´mu musı´pro va´zany´syste´m platit 2 U + EG 0. Odtud lze odvodit Jeansovo krite´rium, tj. podmı´nku pro minima´lnı´hmotnost M homogennı´hoh i oblaku,h i ≤ aby kolaboval

5kT 3/2 3 1/2 M > M = . (606) J Gµm 4πρ¯ H −1/2 Prˇi isotermicke´m deˇji (T = konst.) je tedy MJ ρ klesajı´cı´funkcı´hustoty. V prˇı´padeˇadiabaticke´ho deˇje (dQ =0) lze odvodit vztah (353) ∝

T = K′′ργ−1 (607) a dosazenı´do Jeansova krite´ria (606) da´u´meˇru

M ρ(3γ−4)/2 . (608) J ∝ Pro atoma´rnı´vodı´k je γ = 5 a tedy M ρ1/2 roste s hustotou (pro H by exponent byl 1 ). Cˇili musı´nutneˇ 3 J ∝ 2 10 existovat urcˇita´ minima´lnı´ hodnota MJ a tedy i M!

169 Isotermicky´kolaps nasta´va´zpocˇa´tku, kdy oblak stacˇıúvolneˇnou EG vyza´rˇit (luminozita od volne´ho pa´du je mensˇıńezˇluminozita radiacˇnı´, Lff < Lrad). Adiabaticky´kolaps se odehra´va´pozdeˇji, kdy je opacita κρ vysoka´(dı´ky vysoke´hustoteˇ ρ) a vyzarˇovańıńeefektivnı´(Lff > Lrad). Pra´veˇprˇechod mezi isotermicky´m a adiabaticky´m rezˇimem vyuzˇijeme pro nalezenı´ MJmin. Platı´prˇi neˇm L L , (609) ff ≃ rad kde − ∆E 3 GM 2 3π 1/2 L G = (610) ff ≃ t 10 R 32Gρ¯ ff a

2 4 Lrad =4πR ǫσT , (611) prˇicˇemzˇemisivita by´va´velmi mala´(ǫ 0,1). Z (609) vyja´drˇı´me hustotu ρ(M), R3 = 3M ≃ 4πρ¯ 3π 1/2 ρ3/2 = 10 G−3/2M −1ǫσT 4 , (612) 32 dosadı´me do (606) 3/2 . kT − − −1/3 M > M =5,4 5,4 G 3/2M 1 ǫσT 4 , (613) J min Gµm J min H a nakonec vyja´drˇı´me MJmin 3/2 2/3 . k − − M =3,1 G 1(ǫσ) 1/3T 1/6 , (614) J min µm H cˇili 9/4 1/4 . k −3/2 −1/2 1/4 T M =5,5 G (ǫσ) T 0,01 M⊙ . (615) Jmin µm ≃ ǫ1/2µ9/4 H . Pro µ =1, ǫ =0,1, T = 1000K vycha´zı´ Mmin 0,25 M⊙. Rea´lna´hodnota bude jesˇteˇnizˇsˇı´. Uveˇdomme si jesˇteˇ, procˇhveˇzdy 1. generace≃ vznikly hmotneˇjsˇıńezˇve 2. a 3. generaci? Ve vztahu (615) je pouze za´vislost na µ, cozˇna vysveˇtlenıńestacˇı´. Prˇi Z = 0 je totizˇzhorsˇeneóchlazovańı´— male´ Z 33 znamena´ velkou opacitu κ ve strˇednıćh teplotaćh! Teplota T tak zu˚sta´va´velkaá MJmin take´. Modely vzniku hveˇzd 1. generace (populace III) z obrˇıćh molekulovyćh mracˇen jsou navıć podstatneˇ slozˇiteˇjsˇı´— mechanismus ochlazovańı´za´rˇivy´mi deexcitacemi rotacˇnıćh a vibracˇnıćh stavu˚molekuly H2 zu˚sta´va´, ale musı´ se za´rovenˇ uva´zˇit rozpıńańı´ prostorocˇasu dle kosmologicke´ho modelu (naprˇ. CDM) a existence temne´ hmoty, ktera´ vytva´rˇı´ potencia´love´ ja´my, do nichzˇ se prˇesouva´ baryonicka´ la´tka (Abel a spol. 2002).

33Du˚vodem je, zˇe emise probı´ha´v cˇaraćh a prˇi rozlehle´m oblaku docha´zı´k samoabsorpci. Kdyby byly prˇı´tomneátomy kovu˚, mohou sra´zˇkovou excitacıá za´rˇivou deexcitacı´snadneˇji vytvorˇit foton, kteryúnikne.

170 Obra´zek 81: Gravitacˇnı´kolaps oblaku˚o hmotnosti 0,05, 0,1, 0,5, 1, 2 a 10 M⊙ zobrazenyńa HR diagramu. Cˇa´rkovanećˇa´ry vyznacˇujıćˇas, kteryúplynul od zacˇa´tku kolapsu. Prˇevzato z Wuchterl a Tscharnuter (2003).

14.3 Vy´voj prˇed hlavnı´posloupnostı´ Kontrahujıćı´hveˇzdy majı´v nitru asi 100 kra´t nizˇsˇı´ teplotu — odtud plyne mensˇı´stupenˇionizace, vysoka´ opacita κ velky´gradient dTrad/dR a celeńitro je tak konvektivnı´. Nitro je v te´to fa´zi promıćha´vane´„skrz naskrz“, cˇı´mzˇse ustavı´homogennıćhemicke´slozˇenı´. Zahrˇı´vańı´prˇi kolapsu zpu˚sobıú´plnou ionizaci a tedy pokles opacity. To ma´dva du˚sledky: i) za´rˇenı´mu˚zˇe z nitra snadno unikat; ii) hveˇzda prˇestane by´t cela´konvektivnı´.

Pocˇa´tecˇnı´ kolaps protohveˇzd (k Hayashiho linii). Vsˇechny protohveˇzdy zpocˇa´tku na HR diagramu stoupajı´doleva nahoru (Teff i L roste, obr. 81). Zdrojem energie je pouze gravitacˇnı´smrsˇt’ovańı´. Vy´znamnou hranicı´je Hayashiho linie — napravo od nı´musı´by´t hveˇzdy nestabilnı´(neexistuji zde rˇesˇenı´staciona´rnıćh rovnic hveˇzdne´stavby, kdezˇto nalevo existujı´). Nacha´zı´se na T 3500K a je te´meˇrˇsvisla´, cozˇje eff ≃ zpu˚sobeno strmou za´vislostıópacity κ na teploteˇ T ,

κ ρ0,5T 9 . (616) ∝

Prˇı´padny´ru˚st T prˇi kontrakci znamena´ru˚st κ a THayashi konst. Mimochodem, opacita pod 7000K je − ≃ vysoka´zejmeńa kvu˚li fotoionizaci H . Vysˇsˇı´metalicita Z hodnotu κ jesˇteˇzvysˇuje, nebot’od kovu˚s maly´m ionizacˇnı´m potencia´lem je vıće volnyćh e−, cˇili vıće iontu˚ H−.

Kolaps ke hlavnı´posloupnosti (od Hayashiho linie). Za´lezˇıńa tom, kdy dojde ke zminˇovane´mu poklesu opacity. Pro masivnı´hveˇzdy to nasta´va´brzy, pak je L konst. a Teff roste. Pro lehke´hveˇzdy nejprve L klesa´, T konst. (viz obr. 82). ≃ eff ≃ 171 Obra´zek 82: Vy´voj prˇed hlavnı´posloupnostı´pro hveˇzdy se slozˇenı´m X = 0,68, Y = 0,30 a Z = 0,02. Vy´voj smeˇrˇuje vesmeˇs zprava doleva, od malyćh efektivnıćh teplot k velky´m. Cˇtverecˇky vyznacˇujı´pocˇa´tek horˇenı´deuteria. Cˇa´rkovanaá tecˇkovana´linie jsou mı´sta, kde prˇestala by´t konvektivnıóba´lka a kde zacˇalo by´t konvektivnı´ja´dro. Prˇevzato z Bernasconi a Maeder (1996).

Prˇı´padna´ „vlnka“ na vy´vojove´stopeˇodpovı´da´zapa´lenı´deuteria nebo lithia. Prˇi T & 1 azˇ 2 106 K nasta´vajı´trˇi reakce spalujı´cı´deuterium, ale jen prvnı´je energeticky vy´znamna´ ·

D + p 3He + γ . (617) → 2 Prˇı´slusˇna´produkce energie (Maeder, 2009)

D ρ T 11,7 ǫ =4,2 107 erg s−1 kg−1 . (618) D · H 1g 106 K Prˇi jesˇteˇvysˇsˇı´teploteˇ T > 2,5 106 K se spaluje lithium reakcı´ · 7Li+p 4He + 4He . (619) 3 → 2 2

172 14.4 Eddingtonova limita Existuje neˇjaka´ maxima´lnı´ hmotnost pro hveˇzdy? Vyjdeme z pohybove´rovnice (91) — aby hveˇzda byla stabilnı´, nesmı´by´t zrychlenı´kladne´ d2R GM 1 dP = R 0 , (620) dt2 − R2 − ρ dR ≤ kde P = P + P je soucˇtem tlaku plynu a tlaku za´rˇenı´. V masivnıćh hveˇzdaćh je ale P P , a take´ g r r ≫ g dPr dPg , proto lze P zanedbat a psa´t podmıńku dR ≫ dR g dP GM ρ r R , (621) dR ≥ − R2 aby se hveˇzda nerozleteˇla pu˚sobenı´m gradientu tlaku za´rˇenı´. Pro absolutneˇcˇerne´teˇleso platı´ 1 P = aT 4 (622) r 3 a dP 4 dT r = a T 3 . (623) dR 3 dR Z rovnice za´rˇive´ho prˇenosu energie (198) vı´me, zˇe

dT 3ρκL = R , (624) dR −16πacR2T 3 tudı´zˇ dP ρκL r = R . (625) dR −4πcR2 Po dosazenı´ 4πcGM L L = , (626) ≤ Ed κ cozˇje podmıńka pro za´rˇivy´vy´kon hveˇzdy, nazy´vana´ Eddingtonova limita. Pokud bychom potrˇebovali dosadit za opacitu κ, tak pro rozptyl na volnyćh elektronech, ktery´se nejvıće uplatnˇuje u horkyćh hveˇzd, platı´prˇiblizˇneˇ

. − κ =0,02 m2 kg 1 (1 + X) = κ(T ) . (627) 6 Porovnejme (626) s prˇiblizˇny´m vztahem L(M), kteryódvodı´me z na´sledujıćıćh u´meˇrnostı´. Z rovnice za´rˇive´rovnova´hy ma´me dT T ρκL , (628) dR ≃ R ∝ R2T 3 173 odkud RT 4 L . (629) ∝ ρκ Podle hydrostaticke´rovnova´hy

dP P Mρ , (630) dR ≃ R ∝ R2 ze stavove´rovnice

P ρT , (631) ∝ takzˇe M T . (632) ∝ R Z deﬁnice hustoty plyne

M ρ . (633) ∝ R3 Po dosazenı´vsˇeho do (629) ma´me u´meˇru (jezˇprˇiblizˇneˇodpovı´da´hlavnı´posloupnosti)

M 3 L . (634) ∝ κ Tento vztah ovsˇem platı´pouze na hlavnı´posloupnosti, nikoli pozdeˇji, nebot’ v obrech se uplatnˇuje jiny´ mechanismus opacity κ = κ(ρ, T ). 3 3 Maxima´lnı´mozˇnou hmotnost hveˇzdy tedy zı´ska´me z trojcˇlenky L⊙/M⊙ = LEd/MEd jako

3 4πcG M⊙ MEd 200 M⊙ . (635) ≃ s κ L⊙ ≃ Podle pozorova´nı´hveˇzdokupy Arches (poblı´zˇgalakticke´ho centra) se zda´, zˇe hornı´limit pro hmotnost hveˇzd je 130 M⊙ (Figer 2005). Prˇı´kladem velmi hmotne´ hveˇzdy mu˚zˇe by´t η Carinae, s M 90 M⊙ (Aerts a spol. 2004). ≃

174 15 Explozivnı´stadia ve vy´voji hveˇzd

15.1 Supernovy typu II, Ib, Ic Energeticka´bilance. Supernovy typu˚II, Ib a Ic vznikajı´prˇi gravitacˇnı´m kolapsu ja´dra hmotne´hveˇzdy na neutronovou hveˇzdu. Ja´dro je tvorˇene´prˇedevsˇı´m horˇcˇı´kem, neonem a kyslı´kem; k jeho kolapsu dojde . . prˇi prˇekrocˇenıĆhandrasekharovy meze MCh = 1,38 M⊙, prˇicˇemzˇpocˇa´tecˇnı´polomeˇr RWD = 4000km, . 34 konecˇny´polomeˇr RNS = 15 km. Pak podle (5) je uvolneˇnaénergie rˇa´du 3 M 2 M 2 ∆E E E = G Ch Ch 1 1046 J . (636) ≃ WD − NS −10 R − R ≃ · WD NS Tato energie se deˇlıńa´sledovneˇ: 99 % uvolneˇneénergie odna´sˇejıńeutrina, ktera´vznikajı´prˇi neutronizaci • p + e− n+ ν , (637) → e a zvla´sˇteˇpak termalizovanańeutrina vsˇech vu˚nı´;

1 % je kinetickaénergie rozpıńajıćı´se oba´lky (E se nejprve zmeˇnıńa teplo Q, neboli „mikroskopic- • G kou EK“, a posle´ze na makroskopickou EK ); pouze 10−4 unika´jako za´rˇenı´. • O te´to bilanci sveˇdcˇı´prˇı´ma´pozorovańı´. Celkovou za´rˇivou energii zjistı´me integracı´sveˇtelne´krˇivky. Absolutnı´ hveˇzdna´ velikost v maximu by´va´ okolo M = 18 mag, barevny´ index B V = +0,5, V − − . bolometricka´ korekce dle Popperovyćh tabulek BC = 0,05 je nepatrna´, cˇili Mbol = MV + BC = 2 − (M0−Mbol) 35 18 mag. Podle Pogsonovy rovnice je za´rˇivy´vy´kon Lγ = L0 10 5 5 10 W, kde L0, M0 jsou −definovańy (316). Celkova´za´rˇivaénergie vycha´zıódhadem ≃ ·

. − E = L (t)dt L τ 5 1035 30 86400J = 1042 J 10 4 ∆E . (638) γ γ ≃ γ ≃ · · · ≃ Zt Pro vy´pocˇet kineticke´ energie oba´lky vezmeˇme naprˇı´klad data pro Krabı´mlhovinu M1: hmotnost filamentu˚je m = (4,6 1,8) M⊙ (Fessen a spol. 1997) a rychlost rozpıńańı´ v 2 000 km/s (tj. relativneˇ ma´lo), pak ± ≤ 1 E mv2 =1,8 1043 J . 10−2∆E . (639) K ≃ 2 · Energie supernovy tedy bohateˇstacˇıńa odhozenıóba´lky hveˇzdy do mezihveˇzdne´ho prostoru. Ostatneˇjejı´ vazebnaénergie je oproti kompaktnı´mu ja´dru nepatrna´(E 1042 J). G ≃ − 34 Vy´pocˇet je pro homogennı´kouli, ve skutecˇnosti je EG za´porneˇjsˇı´. Bı´lı´trpaslıći, respektive degenerovana´ja´dra, a neutronove´ hveˇzdy nicmeńeˇnejsou tak koncentrovane´ke strˇedu jako norma´lnı´hveˇzdy.

175 Pozorovańıńeutrin ze SN 1987 A. Supernova SN 1987 A byla pozorovańa ve Velke´m Magellanoveˇ mracˇnu. Trˇi detektory, Kamiokande II (Hirata a spol. 1987), IMB (Bionta a spol. 1987) a Baksan, zmeˇrˇily 3h prˇed opticky´m vzplanutı´m tok 25 neutrin za 15 sekund, jejich energie byly mezi 10–40 MeV. Jedna´ se o detektory cˇerenkovske´, ve kteryćh neutrino interaguje s cˇa´sticemi za vzniku rychlyćh elektronu˚. Prˇi pohybu elektronu rychlostı´ nadsveˇtelnou v dane´m prostrˇedı´ vznika´ Cˇerenkovovo za´rˇenı´ — cˇa´stice odle´ta´vajıćı´v kuzˇelu. Na rozdı´l od radiochemickyćh detektoru˚je tak mozˇneúrcˇit smeˇr; v tomto prˇı´padeˇ kuzˇel smeˇrˇoval od Magellanova mracˇna. Pro rozptyl neutrin na elektronu

ν + e− e− + ν (640) x → x je u´cˇinny´pru˚rˇez

−49 2 Eν −47 2 σ − 9,5 10 m 1,4 10 m . (641) νxe ≃ · 1 MeV ≃ · Slaba´interakce elektronove´ho antineutrina s protonem

p+¯ν n + e+ (642) e → ma´mnohem veˇtsˇı´u´cˇinny´pru˚rˇez

E 2 σ 9,3 10−48 ν 2,1 10−45 m2 , (643) ν¯ep ≃ · 1 MeV ≃ · ale Cˇerenkovovo za´rˇenı´je zde skoro izotropicke´. Pocˇet elektronu˚ v prˇı´stroji Kamiokande, ktere´ mohou slouzˇit jako „tercˇı´ky“ pro rozptyl, je N = . e 10 M /m ,kdehmotnostvodyvdetektoru M = 2140t a hmotnost molekuly vody m = 18 m ; · H2O H2O H2O H2O u plocha tercˇı´ku˚je S = Neσνxe. Pozorovany´pocˇet takovy´ch rozptylu˚byl Nobs e = 3, cozˇprˇi vzda´lenosti d = 51,4 kpc a pru˚meˇrne´energii neutrina Eν = 15 MeV da´va´

4πd2 N = N 9 1057 neutrin , (644) tot obs e S ≃ · E E N 2 1046 J ∆E . (645) tot ≃ ν tot ≃ · ≃

Protozˇe neutrina prˇileteˇla beˇhem tobs = 13s vycha´zı´tok N Φ= obs e 2 1013 neutrin m−2 s−1 . (646) Stobs ≃ ·

176 Pru˚beˇh kolapsu a supernovy. Mysˇlenka „gravitacˇnıńeutrinove´bomby“ pocha´zıód Baadeho a Zwickyho (1934). Ja´dro hveˇzdy vlastneˇkolabuje neusta´le a zvla´sˇteˇu hmotnyćh hveˇzd, kde se reakce zapalujı´pru˚beˇzˇneˇ, 3 − 1 3 2 2 je zrˇetelnaú´meˇra ρc Tc , ktera´prˇesneˇodpovı´da´Jeansovu krite´riu (306) M MJ T ρ . Ja´dro se v za´veˇrecˇnyćh fa´zıćh∝ ochlazuje trˇemi zpu˚soby: ≃ ∝ 1. uńikem neutrin;

2. zachycova´nı´m e− v ja´drech, cozˇvede ke zmensˇova´nı´tlaku degenerovane´ho elektronove´ho plynu;

3. fotodisintegracı´zˇeleza

56Fe + γ 13 4He + 4 n , (647) 26 → 2 cozˇje endogennı´reakce s bilancı´ 100 MeV. − Po volne´m pa´du se ustavı´ protoneutronova´ hveˇzda s polomeˇrem R 30 km, a to dı´ky gradientu tlaku degenerovane´ho neutronove´ho plynu (neboli kra´tkodosahove´jaderne´sı´le,≃ resp. jejıódpudive´slozˇce). Hustota la´tky ρ =4 azˇ 5 1014 g/cm3 je dvojna´sobnańezˇmaátomove´ja´dro. Na´hly´konec kolapsu· vnitrˇnı´ho ja´dra vyvola´zpeˇtny´ ra´z a ra´zovou vlnu v okolnıćh vrstvaćh. Drˇı´ve se myslelo, zˇe pra´veˇtato vlna zpu˚sobuje vy´buch supernovy, ale ztra´ty energie fotodisintegracıá neutriny jsou tak velke´, zˇe se vlna za neˇkolik milisekund zastavı´! Protoneutronova´hveˇzda opeˇt akretuje rychlostı´ M˙ 0,1 M⊙/s a pokud by akrece pokracˇovala pod dobu 1s, vznikla by cˇerna´ dı´ra. ≃Neutronova´hveˇzda, o polomeˇru R 10 km, vznikne po vyza´rˇenıóbrovske´ho mnozˇstvıńeutrin. Jejich ≃ energie je vıće nezˇdostatecˇnańa rozmetańıóbalu, ale proble´mem je: i) malyúćˇinny´pru˚rˇez σν ; ii) po + − zachycenıńukleony p+¯νe n + e , n+ νe p + e je energie vyzarˇovańa opeˇt jako neutrina, cˇili je obtı´zˇneúlozˇit energii do baryonicke´la´tky.↔ ↔ Ulozˇenıćˇa´sti energie neutrin da´vzniknout fotonu˚m γ a pa´ru˚m e−, e+. Od centra se tak rozpıńa´horka´ bublina, s ra´zovou vlnou na vneˇjsˇı´m okraji. Vykazuje dva druhy nestabilit (obr. 83): i) konvektivnıńestabilitu; ii) neradia´lnı´deformace, ve kteryćh prˇevazˇuje bipola´rnı´mo´d — chladneˇjsˇı´hmota tecˇe z jedne´strany, je ohrˇa´ta´ neutriny a odte´kańa straneˇdruhe´. Neutronove´hveˇzdy by´vajı´tı´mto procesem „nakopnute´“ a vysveˇtlujı´se tak jejich na´hodneá vysoke´relativnı´rychlosti 300 azˇ 400 km/s vzhledem ke zbytku˚m po vy´busˇıćh supernov. Numericka´rˇesˇenı´radiacˇneˇ–hydrodynamickyćh rovnic, popisujıćıéxplozi, sta´le neda´vajı´jednoznacˇne´ vy´sledky. Jsou navıć nutna´vysoka´rozlisˇenı´, azˇ 109 bodu˚(male´rozlisˇenı´vede k velkeńumericke´viskoziteˇ, ktera´by explozi zabrańila). Proble´my se take´lisˇı´podle hmotnosti: masivnı´hveˇzdy majı´velke´zˇelezne´ja´dra, takzˇe te´meˇrˇvznikne cˇerna´dı´ra. Akrece husteóba´lky z krˇemı´ku a kyslı´ku je tak rychla´, zˇe obtı´zˇneˇvznika´ ra´zova´vlna. Lehke´hveˇzdy (8–11 M⊙) naproti tomu majı´slabeˇva´zane´vneˇjsˇı´vrstvy, takzˇe odhodit je nenı´ obtı´zˇne´, ale vycha´zı´prˇı´lisˇmaly´vy´hoz prvku˚strˇednıćh hmotnostı´(O, Mg, Si, S, Ca).

Za´blesky za´rˇenı´gama (GRB). Podle pozorovańı´ neˇktere´ supernovy souvisejı´s neˇktery´mi za´blesky za´rˇenı´ gama. Konkre´tneˇse jednaó hypernovy (tzn. uvolnˇujıćı´ 1052 erg) a dlouhe´meˇkke´za´blesky; pozorovane´ byly zatı´m trˇi kusy. I kdyzˇnevidı´me vsˇechny za´blesky ≃kvu˚li jejich smeˇrovańı´, je supernov produkujıćıćh GRB jen pouhyćh 0,1 %.

177 Obra´zek 83: Model akrece la´tky na neutronovou hveˇzdu (cˇerny´kotoucˇek uprostrˇed). Konvektivnıńestabilita obvykle probı´ha´ tak, chladna´la´tka (vyznacˇenaćˇerveneˇ) prˇite´ka´z jedne´strany, je zahrˇa´tańeutriny a odte´kańa druhou stranu. Tento mechanismus mu˚zˇe neutronove´hveˇzdeˇudeˇlit rychlost rˇa´du 102 km/s. Ra´zova´vlna (modrˇe), obepıńajıćı´konvektivnı´bubliny, posle´ze rozmeta´ celou oba´lku hveˇzdy. Prˇevzato z Woosley a Janka (2006).

Pro gama za´blesky byly zjisˇteˇne´vysoce relativisticke´ kolimovane´vy´trysky, s Lorentzovy´m faktorem Γ=(1 (v/c)2)−1/2 > 200, a vrcholovy´m u´hlem vy´trysku asi 5◦. Tak vysoke´rychlosti a smeˇrovost sveˇdcˇı´ o nesfe´ricke´explozi− a souvislosti s rotacı´. V za´sadeˇexistujı´dva mozˇne´zdroje

1. neutronova´hveˇzda rotujı´cı´na hranici rozpadu odstrˇedivou silou;

2. cˇerna´dı´ra s akrecˇnı´m diskem.35

Norma´lneˇhveˇzda ve fa´zi cˇervene´ho obra rotuje velmi pomalu, trˇenı´mezi oba´lkou a ja´drem (podporˇene´ magneticky´m polem) vede ke zpomalenı´ja´dra a na´sledneˇ k obycˇejne´supernoveˇa pomalu rotujıćı´mu pulzaru (P = 10 ms). Pro vznik hypernovy, respektive GRB, se ale moment hybnosti musı´zachovat. Zrˇejmeˇse tak deˇje neˇktery´m z na´sledujıćıćh procesu˚:

1. rychla´pocˇa´tecˇnı´rotace, vede k brzke´rotacˇnı´nestabiliteˇ, odhozenı´oba´lky a obr tak vu˚bec nevznikne;

2. hveˇzda ztratı´oba´lku prˇetokem v teˇsne´m dvojhveˇzdne´m syste´mu;

3. hveˇzdny´vı´tr musı´by´t dostatecˇneˇslaby´, cozˇmu˚zˇe fungovat pro WR hveˇzdy s metalicitou Z < 0,004.

Posledneˇjmenovany´proces funguje spı´sˇe v rane´m vesmı´ru (a mozˇna´souvisı´s tı´m, zˇe GRB jsou pozorovane´ na velky´ch rudy´ch posuvech).

35Kdyby syste´m nerotoval a dosˇlo k radia´lnı´mu kolapsu do cˇerne´dı´ry, nevideˇli bychom nic, protozˇe horizont je pouze mysˇlena´ hranice, prˇes kterou la´tka volneˇpada´do singularity.

178 Nukleosynte´za r-procesem. R-proces, neboli rychle´zachycovańıńeutronu˚atomovy´mi ja´dry, funguje za teplot T > 109 K a koncentracı´ n > 1020 neutronů/cm3. Takove´podmıńky mu˚zˇeme ocˇeka´vat v teˇsne´m okolıńeutronove´hveˇzdy (obr. 84): 0. neutronizace a termalizace da´vzniknout toku neutrin i antineutrin, skrz hveˇzdu slozˇenou z neutronu˚ vsˇak sna´ze pronikajıántineutrina; 1. neutrina nastartujı´tok neutronu˚a protonu˚(neboli vı´tr z atmosfe´ry neutronove´hveˇzdy); 2. vznikne prˇebytek neutronu˚kvu˚li veˇtsˇıénergii antineutrin, ktera´pak majı´veˇtsˇıúćˇinny´pru˚rˇez (643) prˇi interakci s protony p+¯ν n + e+; → 3. po ochlazenı´je syntetizovańo helium, „2p+2n α“, azˇzˇa´dne´protony nezbudou; na α cˇa´sticıćh se dalsˇıńeutrony nezachycujı´, protozˇe 5He je velmi→ nestabilnı´; 4. po ochlazenıńa T < 5 109 K vznikne male´mnozˇstvı´jader skupiny zˇeleza, „α + n Fe“; · → 5. teprve zachycovańıńeutronu˚na tomto „osivu“ vede ke vzniku prvku˚teˇzˇsˇıćh nezˇzˇelezo. Vsˇimneˇme si, zˇe nukleosynte´za probeˇhla na prima´rnı´ la´tce, nebot’ zˇelezo, ktere´hveˇzda vytvorˇila drˇı´ve, zaniklo prˇi fotodisintegraci. Je te´zˇzrˇejmańeza´vislost na pu˚vodnı´metaliciteˇ Z∗ nebo sta´rˇıóbjektu. Tento proces je jediny´m vysveˇtlenı´m pozorovanyćh abundancı´teˇzˇkyćh prvku˚v atmosfe´rˇe Slunce — prˇi −5 jedneéxplozi supernovy by´va´vyvrzˇeno 10 M⊙ materia´lu veˇtru, z toho 10 azˇ 20 % jsou prvky syntetizovane´ 8 prˇi r-procesu a prˇi 10 vy´busˇıćh supernov v Galaxii za dobu existence Vesmı´ru dosta´va´me pra´veˇ Z⊙. Podle detailnıćh modelu˚vsˇak proton-neutronovy´vı´tr vycha´zı´prˇı´lisˇhusty´(asi faktorem 4) — vznikne tak prˇı´lisˇmnoho α cˇa´stic, ma´lo neutronu˚zu˚stane ve veˇtru a je proble´m se vznikem jader s A > 200. Je mozˇne´, zˇe se modely jesˇteˇmusejı´doplnit o vliv rotace a magnetickyćh polı´.

Dosvit a zbytky po supernovaćh. Tvary sveˇtelnyćh krˇivek lze dobrˇe vysveˇtlit radioaktivnı´m rozpadem nestabilnıćh nuklidu˚ 56Ni 56Co + e+ + ν + γ , (648) 26 → 26 e 56Co 56Fe + e+ + ν + γ , (649) 26 → 26 e s polocˇasy rozpadu 6,1 dne a 77 dnı´. Abychom vysveˇtlili i celkove´mnozˇstvı´za´rˇiveénergie (638), kdyzˇ rozdı´l vazebnyćh energiı´je EFe56 ENi56 = 492 MeV 484 MeV = 8 MeV, potrˇebujeme rˇa´doveˇ 0,1 M⊙ nuklidu niklu. − − Sveˇtelnou krˇivku samozrˇejmeˇovlivnˇuje i opacita oba´lky. Naprˇı´klad u supernov typu II–P vznika´vy´razne´ plato pra´veˇdı´ky opacitnı´mu mechanismu: ra´zova´vlna ionizuje vodı´k ve vneˇjsˇıóba´lce, cozˇpodstatneˇzvy´sˇı´ κ a pokles L je pomalejsˇı´. Po ochlazenıá rekombinaci je naopak κ maleá pokles L rychly´. Obvykly´m zbytkem po vy´busˇıćh supernov (angl. supernova remnant, SNR) jsou rozpıńajıćı´se oba´lky a ra´zove´vlny interagujıćı´s mezihveˇzdny´m prostrˇedı´m. Pozorovatelne´jsou po dobu vıće nezˇ 105 roku˚. Zna´me´jsou trˇeba Krabı´mlhovina, mlhovina Rˇ asy nebo Vela. V centrech takovyćh mlhovin se te´zˇnacha´zejı´ neutronove´hveˇzdy, prˇı´padneˇpulsary.

179 Obra´zek 84: Sche´ma r-procesu v teˇsne´m okolı´protoneutronove´hveˇzdy: tok neutrin vytvorˇı´vı´tr protonu˚a neutronu˚, jezˇse po ochlazenı´slucˇujı´na cˇa´stice α; synte´zou cˇa´stic α vzniknou ja´dra prvku˚skupiny zˇeleza a teprve na nich se zachycujı´neutrony, cˇı´mzˇvznikajı´teˇzˇsˇı´prvky. Prˇevzato z Woosley a Janka (2006).

15.2 Supernovy typu Ia Progenitory supernov SN Ia bohuzˇel prˇı´mo nepozorujeme. Pravdeˇpodobneˇse ale jednaó explozi uhlı´ko– kyslı´kove´ho bı´le´ho trpaslı´ka ve dvojhveˇzdeˇ, ktery´ prˇi postupneákreci prˇekrocˇil Chandrasekharovu mez. Beˇhem na´sledne´kontrakce se zazˇehne nuklea´rnı´prˇemeˇna C a O azˇna prvky skupiny zˇeleza, cozˇuvolnı´ takove´mnozˇstvı´tepelneénergie, ktere´prˇevysˇuje gravitacˇnı´vazebnou energii bı´le´ho trpaslı´ka

2 3 GMCh . 43 EWD = 3,8 10 J . (650) ≃ 10 RWD − · Jizˇz prvnı´reakce te´to se´rie

12C+ 12C 24Mg + γ , (651) 6 6 → 12 16O+ 16O 32S+ γ , (652) 8 8 → 16 28Si + 4He , (653) → 14 2 24Mg+24He , (654) → 12 2 28Si + 28Si 56Co + γ (655) 14 14 → 28 ma´me, prˇi vazebny´ch energiı´ch EC12 = 92 MeV, EMg24 = 198 MeV,

M . 44 Enukl (EMg24 2 EC12) =3,0 10 J EWD . (656) ≃ mC12 − · ≫| | Poznamenejme, zˇe se nemu˚zˇe jednat o heliove´ho trpaslı´ka, protozˇe pak by exploze vycha´zela mnohem veˇtsˇı´ nezˇse pozoruje.

180 Du˚lezˇita´je vhodna´ rychlost akrece la´tky na bı´le´ho trpaslı´ka. Podmı´nkou je, zˇe prˇed explozı´se musı´ spotrˇebovat vodı´k a he´lium (nebot’je nevidı´me ve spektru):

1. male´ M˙ vede obvykle k erupci novy, prˇi ktere´bı´ly´trpaslı´k ztratı´vı´ce hmoty nezˇprˇedtı´m akreoval;

2. prˇi strˇednı´m M˙ vznikne degenerovana´vrstva helia a za´blesk neodpovı´dajı´cı´supernoveˇ;

−7 3. vysˇsˇı´ M˙ 10 M⊙/yr je prova´zene´relativneˇpoklidny´m, hydrostaticky´m horˇenı´m H, He — mu˚zˇe tedy ve´st≃ azˇk supernoveˇ;36

4. velmi vysoke´ M˙ da´vzniknout vodı´kove´oba´lce jako u cˇervene´ho obra, cozˇje v rozporu se spektry.

Existujı´dva za´kladnı´zpu˚soby, jak pote´mu˚zˇe exploze probeˇhnout:

1. detonace, prˇi ktere´ nadzvukova´ra´zova´vlna zvy´sˇı´tlak natolik, zˇe komprese materia´lu vede k jeho vznı´cenı´, prˇicˇemzˇexotermicka´reakce za vlnou podporuje dalsˇı´sˇı´rˇenı´vlny;

2. deflagrace, kde je sˇı´rˇenı´zajisˇt’ovańo tepelnou vodivostı´ materia´lu, cˇili ohrˇev okolnıćh vrstev zpu˚sobuje jejich zapa´lenı´.

Podle modelu˚supernov Ia (Hillebrandt a Niemeyer 2000) je jasne´, zˇe okamzˇita´detonace nefunguje! Vytvorˇı´se prˇi nı´sice prvky skupiny zˇeleza, ale nikoli dostatek prvku˚strˇednıćh hmotnostı´. Proto se uvazˇuje o na´sledujıćıćh trˇech modelech:

1. podzvukova´nuklea´rnı´deﬂagrace, ktere´je silneˇturbulentnı´;

2. turbulentnı´deﬂagrace na´sledovana´opozˇdeˇnou detonacı´;

3. tote´zˇdoprova´zene´jednı´m nebo vı´cero pulzy.

Turbulence zde hraje roli zcela za´sadnı´. Deflagracˇnı´vlna je totizˇ„zprohy´bana´“ (obr. 85) a na prvnı´pohled by se zda´lo, zˇe rychlost turbulentnı´vlny je mensˇıńezˇ rychlost lamina´rnı´(St < Sl). Ale pra´veˇzminˇovane´ zprohy´bańı´zveˇtsˇı´plochu, na nı´zˇdeflagrace probı´ha´, takzˇe nakonec je

St >Sl (657) a dosahuje hodnoty azˇ S 0,3 c. t ≃ 36 −1 Mozˇna´jsou progenitory SN Ia kataklyzmaticke´promeˇnne´, konkre´tneˇsupermeˇkke´rentgenove´zdroje. Akrece 10 M⊙ by vsˇak musela probı´hat dlouho, navzdory tomu, zˇe v rentgenove´m oboru pozorujeme promeˇnnost na sˇka´le ty´dnu˚.

181 Obra´zek 85: Prostorove´rozlozˇenı´teploty a tvar deﬂagracˇnı´vlny v bı´le´m trpaslı´kovi o Chandrasekharoveˇhmotnosti. Prˇevzato z Hillebrandt a Niemeyer (2000).

Lamina´rnı´rychlost deflagrace. Jakou rychlostı´deflagrace probı´ha´? Oznacˇme δ tlousˇt’ku vrstvy, ve ktere´ probı´ha´termonuklea´rnı´horˇenıí vedenı´. Cˇasova´sˇka´la pro vedenı´tepla je pak δ2 τ , (658) d ≃ χ K ˇ kde χ = ρC je tepelna´difuzivita. Casovou sˇka´lu pro horˇenı´mu˚zˇeme vyja´drˇit pomocı´ α ∆U τb exp , (659) ≃ ǫ ∝ kTf kde α oznacˇuje energii obsazˇenou v 1g la´tky, ǫ meˇrny´vy´kon termonuklea´rnıćh reakcı´, ∆U se nazy´va´ aktivacˇnı´barie´ra, Tf teplota plamene (prˇi ktere´probı´ha´reakce). Prˇi staciona´rnı´deflagraci je energie uvolneˇna´reakcemi odvedena´prycˇ, cˇili jsou si cˇasove´sˇka´ly rovny,

τ τ . (660) d ≃ b Mu˚zˇeme pak odvodit tlousˇt’ku horˇı´cı´vrstvy

χα δ (661) ≃ ǫ r i lamina´rnı´rychlost postupu deﬂagracˇnı´fronty

δ χǫ S . (662) l ≃ τ ≃ α b r 182 9 7 −3 Obvykle´hodnoty pro termonuklea´rnı´plamen v prostrˇedı´ XC = XO =0,5 a ρ = 10 azˇ 10 g cm vycha´zejı´ 12 7 4 −1 −4 ǫ T , Sl = 10 azˇ 10 cm s , δ = 10 azˇ 1 cm, ∆ρ/ρ =0,2 azˇ 0,5. ∝Vzhledem k hodnoteˇ δ jde o mikroskopicky´proces. Prˇi makroskopicke´m modelova´nı´se proto pouzˇı´va´ prˇiblı´zˇenı´tenke´ho plamene, jakozˇto nekonecˇneˇtenke´vlny zrˇedeˇnı´, postupujı´cı´rychlostı´ Sl.

Chapmanova–Jouguetova rychlost detonace. Pro popis detonace pouzˇijeme Rankinovy–Hugoniotovy rovnice. Jedna´ se o jednoduche´za´kony zachovańı´ hmoty, hybnosti a energie, zapsane´ v sourˇadnicove´ soustaveˇpohybujıćı´se spolu s ra´zovou vlnou. Rozhranı´, na ktere´m se skokoveˇ meˇnı´stavove´velicˇiny, je v takove´m prˇı´padeˇstaciona´rnı´(obr. 86). Oznacˇı´me-li D rychlost detonacˇnı´vlny, kterou la´tka tecˇe smeˇrem k rozhranı´, a D u rychlost za tı´mto rozhranı´m, ma´me − ρ D = ρ(D u) , (663) 0 − ρ D2 + p = ρ(D u)2 + p , (664) 0 0 − p0 1 2 p 1 2 U(p0, ρ0,λ = 0)+ + D = U(p,ρ,λ = 1)+ + (D u) , (665) ρ0 2 ρ 2 − kde ρ, p oznacˇuje hustotu a tlak prˇed detonacı´, tote´zˇs indexem nula je stav po detonaci, U je vnitrˇnıénergie na jednotku hmoty a λ stupenˇprobeˇhnutı´reakce (viz naprˇ. Fickett a Davis 2000).

rázová vlna D u D − za p ρ p0 ρ0 před S S šokem T V T0 V0 šokem t t

Obra´zek 86: Detonacˇnı´fronta nahlı´zˇena´v soustaveˇpohybujı´cı´se s frontou a stav la´tky prˇed nı´(s indexem 0) a za nı´.

Nejprve eliminujeme u z (663) a (664) ρ ρ u = D − 0 , (666) ρ pak

ρ0D ρ D2 + p = ρ(D u)(D u)+ p = ρ D(D u)+ p , (667) 0 0 − − 0 − p p = ρ uD , (668) − 0 z0 }| { ρ ρ 1 1 p p = ρ D2 − 0 = ρ2D . (669) − 0 0 ρ 0 ρ − ρ 0 183 Zavedeme jesˇteˇspecifickeóbjemy v = 1 , v = 1 a oznacˇı´me ρ 0 ρ0 D2 p p − 0 =0 , (670) R ≡ v2 − v v 0 0 − cozˇje rovnice pro Rayleighovu linii ( =0), neboli prˇı´mku na grafu (v,p). R Eliminace D z tyćhzˇrovnic da´va´ ρ D = u , (671) ρ ρ0 −ρρ p p = u2 0 , (672) − 0 ρ ρ − 0 cˇili

(p p )(v v)= u2 . (673) − 0 0 − Jedna´se o linii konstantnıćˇa´sticove´rychlosti (u = konst.), prˇesneˇji rˇecˇeno hyperbolu. Zada´me-li u, D, je rˇesˇenı´m Rankinovyćh–Hugoniotovyćh rovnic pru˚secˇı´k zminˇovanyćh liniıńa grafu (v,p). Nakonec eliminace u i D z (665)

(p p )v (p p0)(v v0) 0 0 − − 1 1 − U(p,v,λ =0)+ p v + D2 = U(p,v,λ =1)+ pv + (D2 2 Du + u2 ) (674) 0 0 2 2 − z}|{ da´va´ z}|{ 1 U(p,v,λ = 1) U(p,v,λ = 0) (p + p )(v v)=0 , (675) H ≡ − − 2 0 0 − cozˇje krˇivka nazy´vana´ hugoniota ( =0). Lezˇı´na nı´vsˇechny mozˇne´konecˇne´stavy (pro vsˇechny detonace); H pokud zada´me D, je stav urcˇen pru˚secˇı´kem hugonioty a Rayleighovy linie. Pro polytropicky´plyn (idea´lnı´s konstantnı´tepelnou kapacitou), s reakcı´s konstantnı´m meˇrny´m teplem q, mu˚zˇeme snadno vyja´drˇit meˇrnou vnitrˇnı´energii αNkT pv U = λq = λq (676) m − γ 1 − − a dosadit ji do (675) pv p v 1 q 0 0 (pv pv + p v p v)=0 . (677) γ 1 − − γ 1 − 2 0 − 0 0 − 0 − − Vyja´drˇı´me tlak p (v µ2v)+2µ2q p = 0 0 − , (678) v µ2v − 0 184 R = 0 1,2·1024

1,0·1024

8·1023 CJ [Pa] 23 p 6·10

4·1023 H = 0 23 2·10 (v0, p0)

0 0 1·10-9 2·10-9 3·10-9 v = 1/ρ [m3/kg]

Obra´zek 87: Hugoniota ( = 0) a Rayleighovy linie ( = 0) pro ru˚zne´hodnoty detonacˇnı´rychlosti D, na grafu tlak p versus 1 H R speciﬁcky´objem v = ρ . Pocˇa´tecˇnı´hodnoty p0 a v0 odpovı´dajı´degenerovane´mu nitru bı´le´ho trpaslı´ka. Chapmanova–Jouguetova rychlost je v tomto prˇı´padeˇ D 0,2 c. CJ ≃

2 γ−1 kde µ = γ+1 , a obdrzˇı´me rovnici hugonioty pro polytropicky´plyn (s reakcı´). Stav la´tky (v,p) po detonaci rychlostı´ D je urcˇen pru˚secˇı´kem s Rayleighovou liniı´(670). Z obra´zku 87 je zrˇetelne´, zˇe pro urcˇitou hodnotu rychlosti DCJ, nazy´vanou Chapmanova–Jouguetova rychlost, existuje pouze jedine´rˇesˇenı´. Vypocˇı´tali bychom ji z podmı´nky, zˇe tecˇna k hugonioteˇ, alias Rayleighova linie, musı´ procha´zet pocˇa´tecˇnı´m stavem

dp p + (v v)= p , (679) dv 0 − 0 H kam dosadı´me z (678), vyrˇesˇı´me vzhledem k v a vypocˇteme p, DCJ podle (670). Chapmanova–Jouguetova rychlost je dobry´m odhadem rychlosti sˇı´rˇenı´ra´zove´vlny v dane´m prostrˇedı´, a za´rovenˇje to minima´lnı´mozˇna´rychlost detonace. Pro D < DCJ totizˇneexistuje zˇa´dne´rˇesˇenı´R.–H. rovnic. Platı´take´ D u = cs, cˇili od rozhranı´se la´tka pohybuje rychlostı´zvuku cs, jak se mu˚zˇeme snadno prˇesveˇdcˇit z deﬁnice −

2 2 dp dp dv dp 2 D 2 2 cs = = = ( v )= 2 ( v )=(D u) . (680) dρ dv dρ dv − − v0 − −

8 3 23 Naprˇı´klad pro hodnoty v centru hveˇzdy 20 M⊙ — tedy ρ0 = 4,8 10 kg/m , p0 = 2,5 10 Pa, 8 14 · 7 · T0 =9,2 10 K — a nuklea´rnı´prˇemeˇnu uhlı´ku (q =5,0 10 J/kg) vycha´zı´ DCJ 5,7 10 m/s 0,19 c, D u =·c =0,14 c, ρ =1,4 ρ , p =2,7 p , T =2,0 T .· ≃ · ≃ − s 0 0 0

185 Rayleighova–Taylorova nestabilita. Rayleighova–Taylorova nestabilita vznika´naprˇı´klad v situaci, kdy je hustsˇı´kapalina nad rˇidsˇı´v homogennı´m gravitacˇnı´m poli (obr. 88)37

ρ2 > ρ1 (681) Obdobna´je i situace prˇi pohybu rˇidsˇı´la´tky smeˇrem do hustsˇı´ho prostrˇedı´. (V souvislosti se supernovami prˇipomenˇme, zˇe la´tka uvnitrˇ, ve ktere´jizˇprobeˇhla nuklea´rnı´prˇemeˇna, ma´vysˇsˇı´ T a tedy nizˇsˇı´ ρ nezˇokolı´, do ktere´ho se rozpıńa´.) Popisˇme takovou nestabilitu v nejjednodusˇsˇı´m mozˇne´m prˇı´padeˇ. V neporusˇene´m stavu jsou na rozhranı´ kapalin tlaky p1 = p2 = p0. Ovsˇem prˇi male´m vychy´lenı´hladiny o ξ se teˇsneˇpod a teˇsneˇnad rozhranı´m ′ ′ objevı´hydrostaticke´tlaky p1 = p0 + ξρ1g, p2 = p0 + ξρ2g. Tlakova´sı´la pu˚sobıćıńa rozhranı´s plochou A je pak

F = A(p′ p′ )= Aξ(ρ ρ )g (682) t 1 − 2 1 − 2 a pohybova´rovnice d2ξ m = F . (683) dt2 t Kolik je ale m, tedy hmotnost pohybujı´cı´ se kapaliny? Pro jednoduchost prˇedpokla´dejme, zˇe perturbace ma´ 2π tvar harmonicke´vlny, s vlnovy´m cˇı´slem k = λ . Pro nestlacˇitelnou a bezvı´rovou kapalinu ( v = 0) pak platı´(bez du˚kazu), zˇe perturbace musı´klesat se vzda´lenostı´od rozhranı´jako exp( k z ). Typicky∇ × tedy 1 − | | saha´do vzda´lenosti k a prˇı´slusˇna´hmotnost 1 1 m = m + m = ρ A + ρ A . (684) 1 2 1 k 2 k Dosazenı´m do (683) 1 d2ξ (ρ + ρ )A =(ρ ρ )gξA (685) 1 2 k dt2 2 − 1 dosta´va´me jednoduchou diferencia´lnı´rovnici d2ξ ρ ρ 2 1 2 (686) 2 = − kgξ = γ ξ , dt ρ2 + ρ1 kde

γ = ATkg (687) a Atwoodovo cˇı´slo p

ρ2 ρ1 AT = − . (688) ρ2 + ρ1 37Kdyby tomu bylo naopak, meˇl by syste´m mensˇı´potencia´lnı´energii. Nenı´pak divu, zˇe vznikne neˇjaka´nestabilita.

186 ρ2 >ρ1 ~g

ξ x

ρ1 y

Obra´zek 88: Pocˇa´tecˇnı´perturbace rozhranı´dvou kapalin.

Obra´zek 89: Projev Rayleighovy–Taylorovy nestability v numericke´m rˇesˇenı´hydrodynamickyćh rovnic. Mensˇı´vlny, ktere´vznikajı´ na rozhranı´pohybujıćıćh se kapalin ru˚znyćh hustot, jsou projevem Kelvinovy–Helmholtzovy nestability. V pozdeˇjsˇıćh fa´zıćh se tvorˇıćharakteristicky´„hrˇib“. Prˇevzato z http://math.lanl.gov/Research/Highlights/amrmhd.shtml.

38 Protozˇe nasˇe AT > 0 je rˇesˇenı´ve tvaru

ξ˙ ξ = ξ cosh(γt)+ 0 sinh(γt) , (689) 0 γ cozˇje s cˇasem divergujıćıéxponencia´la. To je sice obvykleú linea´rnıćh teoriı´, ale ve skutecˇnosti vy´voj nestability omezıńelinea´rnıćˇleny (obr. 89).

38 Kdyby bylo AT < 0 (hustsˇı´kapalina dole), dostali bychom naopak rˇesˇenı´ v podobeˇvln (sinu˚a kosinu˚).

187 16 Typy pozorovany´ch hveˇzd a jejich vy´vojova´stadia

16.1 Horke´hveˇzdy spektra´lnı´ho typu O a Wolfovy–Rayetovy hveˇzdy Fenomenologicky jsou hveˇzdy spektra´lnı´ho typu O definovańy prˇı´tomnostıíonizovane´ho helia He II v jejich cˇa´rovyćh spektrech. To odpovı´daéfektivnı´m teplota´m zhruba nad 30000K. Pro objekty na hlavnı´posloupnosti se podle meˇrˇenı´dobrˇe pozorovanyćh dvojhveˇzd jednaó rozsah hmotnostıód 15 do vıće nezˇ 60 M⊙ a polomeˇru˚od 6 do vıće nezˇ 10 R⊙. Veˇtsˇina pozorovanyćh O hveˇzd se nacha´zı´v blı´zkosti galakticke´roviny, patrˇı´k prvnı´populaci a jedna´ se zrˇejmeˇo mlade´hveˇzdy. Rˇ ada hveˇzd spektra´lnı´ho typu O se vsˇak nacha´zıí ve sfe´ricke´slozˇce Galaxie. Majı´rozlozˇenıénergie podobneńorma´lnı´m mlady´m O hveˇzda´m, jejich jasnost je vsˇak mnohem mensˇı´ a jsou oznacˇovańy jako podtrpaslıći spektra´lnı´ho typu O, t.j. O VI hveˇzdy. Tyto objekty jsou zrˇejmeˇma´lo hmotneá musı´se svy´m vy´vojovy´m stadiem za´sadneˇlisˇit od norma´lnıćh O hveˇzd. Zara´zˇejıćı´m faktem je, zˇe atmosfe´ry teˇchto hveˇzd se svy´mi spektra´lnı´mi projevy velmi podobajıátmosfe´ra´m norma´lnıćh O hveˇzd. Hveˇzdy typu O byly da´le klasifikovańy do podtrˇı´d O3 azˇO9.5 podle klesajıćı´ho stupneˇionizace absorpcˇnıćh cˇar pozorovanyćh v jejich spektrech. Walborn a kol. (2002) zavedli novou spektra´lnı´podtrˇı´du O2. Ve spektrech mnoha O hveˇzd jsou pozorovańy emisnıćˇa´ry helia He II 4686 a te´zˇdusı´ku N III 4634, 4640 a 4641. Tyto hveˇzdy by´vajıóznacˇovańy jako Of hveˇzdy. U neˇkteryćh Of hveˇzd se pozoruje i emise C III 5696 a te´zˇHα emise. Frost a Conti (1976) zavedli klasifikaci Oe pro O hveˇzdysHα emisı´, upozornili na to, zˇe tato emise by´vaćˇasoveˇpromeˇnna´podobneˇjako pro chladneˇjsˇı´hveˇzdy spektra´lnı´ho typu Be (viz da´le) a vyslovili na´zor, zˇe Oe hveˇzdy se za´sadneˇlisˇıód Of hveˇzd, pro neˇzˇu emisnıćh cˇar podle nich nedocha´zı´k cˇasovy´m zmeˇna´m. To ale nemusı´by´t pravda, jak ukazuje naprˇ. studie Of hveˇzdy ζ Pup, pro nı´zˇConti a Niemela (1976) pozorovali zcela prokazatelne´zmeˇny profilu cˇa´ryHα. Conti (1974) udeˇlal prˇehlı´dku osamocenyćh O hveˇzd a Thaller(ova´) (1997) publikovala podobnou prˇehlı´dku O hveˇzd ve dvojhveˇzdaćh. Oba zjistili, zˇe Hα emise se prakticky nevyskytuje u hveˇzd hlavnı´posloupnosti, ale pouze pro hveˇzdy obrˇıá veleobrˇı´. Pro neˇktereÓ hveˇzdy v pa´su hlavnı´posloupnosti byly take´pozorovańy rychle´zmeˇny profilu˚absopcˇnıćh cˇar, ktere´byly interpretovańy jako projev atmosferickyćh pulsacı´. Podle rovnice (518) lze pulsacˇnı´periodu horke´ho O veleobra o hmotnosti 50 M⊙ a polomeˇru 20 R⊙ odhadnout na pouhyćh 0,25 dne. Baade objevil zmeˇny profilu˚cˇar O4If hveˇzdy ζ Pup s pravdeˇpodobnou periodou 0,d356, kterou interpretoval jako projev neradia´lnı´pulsace. Lze odhadnout, zˇe pravdeˇpodobna´ rotacˇnı´perioda ζ Pup musı´by´t delsˇıńezˇ4 dny, tedy podstatneˇdelsˇı´, nezˇzjisˇteˇna´perioda zmeˇn profilu˚ cˇar. Nenıále dosud zna´m mechanismus, ktery´by v te´to cˇa´sti HR diagramu vedl k pulsacˇnıńestabiliteˇ. Konecˇneˇ Wolfovy–Rayetovy hveˇzdy (da´le WR hveˇzdy) jsou definovańy prˇı´tomnostı´velmi silnyćh a sˇiro- kyćh emisnıćh cˇar ve spektru, ktere´svy´m rozlozˇenı´m energie odpovı´da´spektru hveˇzdy spektra´lnı´ho typu O. Na´zev teˇchto hveˇzd je odvozen od jmen dvou astronomu˚, kterˇı´jako prvnı´pomocı´visua´lnı´ho spektroskopu podobne´spektrum pozorovali prˇi prˇehlı´dce hveˇzd v souhveˇzdı´Labuteˇ(viz Wolf a Rayet 1867). Cˇa´rove´ spektrum WR hveˇzd je patrneˇcˇisteˇemisnı´. Pro WR hveˇzdy se pouzˇı´va´rovneˇzˇpodrobneˇjsˇı´spektra´lnı´klasifikace na podtrˇı´dy, prˇicˇemzˇse podtrˇı´dy definujıópeˇt sestupneˇpodle prˇı´tomnosti emisnıćh cˇar s klesajıćı´m stupneˇm ionizace pozorovanyćh v opticke´m spektru. Navıć se WR hveˇzdy rozpadajı´do dvou paralelnıćh skupin:

188 1. WC hveˇzdy, pro neˇzˇjsou pro neˇcharakteristicke´silne´emisnı´cˇa´ry iontu˚uhlı´ku C a kyslı´ku O.

2. WN hveˇzdy, v jejichzˇcˇarovyćh spektrech dominujıémisnıćˇa´ry iontu˚dusı´ku N.

Obeˇskupiny majı´silneémisnıćˇa´ry helia He II. Neexistuje zˇa´dne´kriterium luminositnı´trˇı´dy a v za´sadeˇnenı´ vu˚bec jasne´, zda takto zavedene´spektra´lnı´klasifikaci lze prˇirˇadit monotonneˇse meˇnıćıéfektivnı´teplotu. Dosud byly zavedeny spektra´lnı´podtrˇı´dy WC5 azˇWC9 a WN2 azˇWN9. Bylo ovsˇem zjisˇteˇno, zˇe WR hveˇzdy se podobneˇjako O hveˇzdy nacha´zejı´v diskove´slozˇce Galaxie, hlavneˇve spira´lnıćh ramenech. Odhady jejich za´kladnıćh fyzika´lnıćh vlastnostıńaznacˇujı´rozsah efektivnıćh teplot mezi 30 000 a 90000K a hmotnostı´mezi 10 a 40 M⊙. Norma´lnıÓ hveˇzdy jsou zrˇejmeˇhveˇzdami vyvı´jejıćı´mi se od hlavnı´posloupnosti nulove´ho veˇku, jejichzˇ vy´voj je vsˇak ovlivneˇn i ztra´tou hmoty ve formeˇhveˇzdne´ho veˇtru. O vy´vojove´stadium WR hveˇzd se dosud vedou urcˇite´spory. Mohou to by´t objekty ve stadiu horˇenı´helia v ja´dru, soudı´se, zˇe atmosfe´ry WN hveˇzd jsou obohaceny produkty horˇenı´vodı´ku a WC hveˇzdy produkty horˇenı´helia. Vzhledem k jejich mensˇı´m hmotnostem a stejne´mu prostorove´mu rozlozˇenı´se neˇkterˇı´badatele´ domnı´vajı´, zˇe WR hveˇzdy vznikajı´beˇhem vy´voje z O hveˇzd. Roli v jejich vy´voji zrˇejmeˇhraje velmi silny´ hveˇzdny´vı´tr a snad i rotace a v neˇkteryćh prˇı´padech i jejich podvojnost. Rozsa´hleóbaly WR hveˇzd se neˇkdy mohou v cˇase meˇnit, cozˇdokazuje prˇı´pad dvojhveˇzdy CV Ser, u nı´zˇdosˇlo ke zmizenı´fotometrickyćh za´krytu˚. Pro u´plnost je trˇeba uve´st, zˇe WR spektrum se pozoruje take´pro neˇktere´velmi hmotneÓ hveˇzdy s mohutny´m hveˇzdny´m veˇtrem, ktery´pozorovane´WR spektrum zpu˚sobuje. V teˇchto prˇı´padech se zrˇejmeˇ jednaó mladeá nevyvinute´hveˇzdy, bohateńa vodı´k. Tato WR spektra by´vajı´klasifikovańa WN5h azˇWN7h, kde prˇı´pona „h“ (neˇkdy te´zˇ„ha“) oznacˇuje bohate´zastoupenı´vodı´ku. Jde vesmeˇs o objekty ve dvojhveˇzdaćh – viz Schnurr a kol. (2009) a citace tam uvedene´. Pokud jde o podtrpaslı´ky O, jejich vy´vojove´stadium je meńeˇjasne´, musı´se ale zrˇejmeˇjednat o hveˇzdy v pozdnı´m vy´vojove´m stadiu po vypa´lenı´vodı´ku a patrneˇv obdobı´horˇenı´helia ve slupce. Zda´se, zˇe v HR diagramu se kupı´kolem vertika´lnı´linie u efektivnı´ teploty asi 40000K, od hlavnı´posloupnosti azˇ k bı´ly´m trpaslı´ku˚m. Podle hrubyćh odhadu˚jsou hmotnosti O podtrpaslı´ku˚mensˇıńezˇhmotnost Slunce. V jedine´m prˇı´padeˇ, kdy byl pozorovań O podtrpaslı´k ve dvojhveˇzdeˇspolu s hveˇzdou spektra´lnı´ho typu G, existuje odhad jeho hmotnosti na 0,55 M⊙.

16.2 Hveˇzdy spektra´lnı´ho typu B Hveˇzdy spektra´lnı´ho typu B se vyznacˇujıópticky´mi spektry, v nichzˇdominujı´silnećˇa´ry vodı´ku a neutra´lnı´ho helia, chybı´jizˇcˇa´ry He II a jsou prˇı´tomny cˇa´ry lehcˇıćh ionizovanyćh prvku˚jako C II, O II, N II atd. Pro objekty na hlavnı´posloupnosti se jednaó rozsah hmotnostıód 2,2 do 15 M⊙, polomeˇru˚od 2,1 do 6 R⊙ a efektivnıćh teplot od 9400 do 30000K. Kromeˇnorma´lnıćh B hveˇzd se pozorujı´pulsujıćı´hveˇzdy, neˇkolik typu˚chemicky pekulia´rnıćh hveˇzd a te´zˇhveˇzdy se za´vojem, ktere´se vyznacˇujı´prˇı´tomnostıémisnıćh cˇar vodı´ku. Mnohe´B hveˇzdy rychle rotujıá nejkratsˇı´rotacˇnı´periody jsou 0,d3–0,d5.

189 16.2.1 Chemicky pekulia´rnı´Bp hveˇzdy Mezi B hveˇzdami a hveˇzdami spektra´lnı´ho typu A (viz nı´zˇe) se pozorujı´hveˇzdy se zrˇetelneˇanoma´lnı´m zastoupenı´m neˇkteryćh chemickyćh prvku˚. Preston (1974) zavedl zkratku CP k oznacˇenıćhemicky pekuli- a´rnıćh hveˇzd hornıćˇa´sti hlavnı´posloupnosti a rozlisˇil cˇtyrˇi za´kladnı´typy:

1. CP1 = Am hveˇzdy (dle noveˇjsˇı´ho oznacˇenı´),

2. CP2 = magneticke´Bp a Ap hveˇzdy,

3. CP3 = HgMn hveˇzdy,

4. CP4 = B hveˇzdy se slaby´mi cˇarami helia (He-weak stars).

Silna´, zhruba dipo´lova´magneticka´pole se pozorujı´pro hveˇzdy spektra´lnıćh typu˚B1–B2 s anoma´lneˇ silny´mi cˇarami helia (He-strong stars) a pro neˇktere´B3p–B7p hveˇzdy se slaby´mi cˇarami helia a anoma´lneˇ silny´mi cˇarami Si a Ti. Pro tyto objekty se pozorujı´periodicke´zmeˇny jasnosti, intensity spektra´lnıćh cˇar a intensity magneticke´ho pole s periodou rovnou rotacˇnı´ periodeˇhveˇzdy. Osa magneticke´ho dipo´lu nenı´ obecneˇtotozˇna´s osou rotace hveˇzdy a lze ji z pozorovańıúrcˇit. Neˇktere´Bp hveˇzdy se silny´mi cˇarami helia jsou soucˇasneˇhveˇzdami se za´vojem, nebot’se u nich pozoruje Hα emise, ktera´se rovneˇzˇmeˇnı´periodicky s rotacˇnı´periodou hveˇzdy. Jedna z teˇchto hveˇzd, V1046 Ori, je prima´rnı´slozˇkou dvojhveˇzdy s periodou 18,d6 a s vy´razneˇvy´strˇednou dra´hou. Existence silnyćh makroskopickyćh magnetickyćh polıú neˇkteryćh B a A hveˇzd zu˚stavańevysveˇtlenou za´hadou. Existujı´hveˇzdy, ktere´jsou ve vsˇech za´kladnıćh fyzika´lnıćh parametrech, jezˇv soucˇasnosti dovedeme urcˇit, teˇmto magneticky´m hveˇzda´m velmi podobne´, ale zˇa´dne´ meˇrˇitelne´magneticke´pole nemajı´. CP3 hveˇzdy s anoma´lneˇsilny´mi cˇarami Hg a Mn se vyskytujıú spektra´lnıćh podtrˇı´d B6–B9, zatı´mco nemagneticke´B4–B5 s anoma´lneˇslaby´mi cˇarami helia majı´ve spektrech nadbytek P a Ga. Rovneˇzˇpro obeˇ tyto skupiny lze pozorovat zmeˇny jasnosti s rotacˇnı´periodou.

16.2.2 Pulsujıćı´ β Cep hveˇzdy β Cep hveˇzdy se vyznacˇujı´periodicky´mi – a cˇasto multiperiodicky´mi – zmeˇnami jasnosti a radia´lnı´rychlosti s periodami pod 0,d3 (typicke´periody jsou mezi 0,d1a0,d25). Jsou to hveˇzdy spektra´lnıćh podtrˇı´d B0–B2 a luminositnıćh trˇı´d III–IV, tedy hveˇzdy, ktere´se jizˇ vyvinuly pode´l hlavnı´posloupnosti. Jejich pulsace se pomeˇrneˇneda´vno podarˇilo objasnit pomocı´ opacitnı´ho mechanismu, ktery´souvisı´s prvky skupiny zˇeleza a je ućˇinny´prˇi teplotaćh kolem 2 105 K. Noveˇjsˇı´studie ukazujı´, zˇe pro β Cep hveˇzdy neexistuje dobrˇe definovany´vztah mezi periodou, barvou· a za´rˇivy´m vy´konem, cozˇpatrneˇsouvisı´s tı´m, zˇe pulsace mnohyćh β Cep hveˇzd nejsou radia´lnı´, ale neradia´lnı´. Dziembowski a Pamyatnykh (1993) uka´zali, zˇe pulsacˇnı´ nestabilita typu β Cep nasta´va´skutecˇneˇv teóblasti HR diagramu, kde se β Cep hveˇzdy nacha´zejı´. Je trˇeba se zmıńit, zˇe samotny´prototyp skupiny, hveˇzda β Cep je rovneˇzˇhveˇzdou se za´vojem, ma´magneticke´pole, ktere´se meˇnı´s rotacˇnı´periodou hveˇzdy a je slozˇkou dlouhoperiodicke´dvojhveˇzdy ve vy´strˇedne´dra´ze, cozˇ m.j. vede ke zdańlivy´m zmeˇna´m jejı´pulsacˇnı´periody.

190 Obra´zek 90: Teoreticky spocˇtene´vy´vojove´stopy hveˇzd na HR diagramu, s tucˇneˇvyznacˇeny´mi obdobı´mi, kdy se u nich vyskytujı´ pulsacˇnıńestability (mo´dy l = 0, 1, 2). Symboly jsou vyneseny pro pozorovane´pulsujıćı´hveˇzdy z vybranyćh hveˇzdokup. Prˇevzato z praće Dziembowski a Pamyatnykh (1993).

Obra´zek 91: Diagram absolutnı´hveˇzdna´velikost – perioda pro hveˇzdy typu β Cep, kteryúkazuje, zˇe vztah perioda – za´rˇivy´ vy´kon pro tentio typ pulsujıćıćh hveˇzd neexistuje. Prˇevzato z praće Sterken a Jerzykiewicz (1993).

191 16.2.3 Pomalu pulsujıćı´B hveˇzdy (Slowly pulsating B stars, SPB) Asi od pocˇa´tku osmdesa´tyćh let dvaca´te´ho stoletı´byly objevovańy male´periodicke´(a cˇasto take´multiperiodicke´) sveˇtelne´zmeˇny u hveˇzd strˇednıćh spektra´lnıćh B podtypu˚kolem B5 s periodami delsˇı´mi nezˇ β Cep hveˇzdy: asi od 1 do 3 dnu˚. Dziembowski a spol. (1993) teoreticky doka´zali, zˇe opacitnı´mechanismus, ktery´zpu˚sobuje pulsacˇnıńestabilitu β Cep hveˇzd, vede rovneˇzˇk nestabiliteˇhveˇzd strˇednıćh B podtypu˚ s periodami od 0,d4 do 3,d5, a to se zdaéxistenci pomalu pulsujıćıćh teoreticky vysveˇtlovat. Spolehlive´ zarˇazenı´konkre´tnı´ho objektu do te´to skupiny vyzˇaduje systematickaá pecˇliva´pozorovańı´. Podobneˇdlouhe´ periody jsou totizˇbeˇzˇny´mi rotacˇnı´mi periodami B hveˇzd. Harmanec (1981) navıć uka´zal, zˇe nejveˇtsˇı´pocˇet zna´myćh dvojhveˇzd s B slozˇkami maóbeˇzˇne´periody mezi 1 a 3 dny. Hmotnosti pomalu pulsujıćıćh hveˇzd jsou asi mezi 3 a 9 M⊙. Zajı´mave´za´veˇry prˇinesla praće Briquet(ove´) a kol. (2007). Tito autorˇi provedli srovna´vacı´studii 24 jasnyćh pomalu pulsujıćıćh hveˇzd a 24 jasnyćh magnetickyćh Bp hveˇzd. Studovali hveˇzdy, pro ktereéxistujı´ prˇesne´paralaxy z druzˇice Hipparcos, takzˇe bylo mozˇne´ znacˇneˇspolehliveˇurcˇovat i vy´vojovy´veˇk obou skupin. Uka´zalo se, zˇe pomalu pulsujıćı´hveˇzdy jsou starsˇıńezˇBp hveˇzdy a majı´take´meˇrˇitelna´magneticka´ pole, ale mnohem slabsˇıńezˇBp hveˇzdy. Asi trˇetina pomalu pulsujıćıćh hveˇzd jsou dvojhveˇzdy, zatı´mco mezi Bp hveˇzdami byla podvojnost dosud nalezena jen v neˇkolika ma´lo prˇı´padech. Mezi studovany´mi 24 Bp hveˇzdami je zna´ma pouze jedna dvojhveˇzda. Veˇtsˇina Bp hveˇzd i pomalu pulsujıćıćh hveˇzd rotuje pomalu, ale pro obeˇskupiny jsou nejtypicˇteˇjsˇı´rotacˇnı´periody mezi 1 a 2 dny. Systematickaánaly´za meˇrˇenı´jasnosti za delsˇıóbdobıúkazuje, zˇe Bp hveˇzdy majı´jedinou (rotacˇnı´) periodu zmeˇn a sveˇtelna´krˇivka je zpravidla modulovańa jak rotacˇnı´periodou, tak i periodou polovicˇnı´. Naproti tomu pomalu pulsujıćı´hveˇzdy jsou modulovańy neˇkolika periodami a fa´zova´zmeˇna s kazˇdou z nich je sinusova´.

16.2.4 Hveˇzdy se za´vojem (Be stars) Hveˇzdy se za´vojem (anglicky: Be stars) jsou hveˇzdy spektra´lnıćh typu˚O, B cˇi A, v jejichzˇspektru byly alesponˇneˇkdy za dobu jejich spektroskopickyćh pozorovańı´zjisˇteˇny emise v cˇaraćh vodı´ku Balmerovy serie. Prvnı´dveˇbyly objeveny jizˇprˇi prvnıćh pozorovańıćh visua´lnı´m spektroskopem roku 1867. Jejich charakteristickou vlastnostı´je velkaćˇasova´promeˇnnost na nejru˚zneˇjsˇıćh cˇasovyćh sˇka´laćh. V soucˇasne´ dobeˇlze pokla´dat za dobrˇe proka´zane´, zˇe emisnıćˇa´ry v jejich spektrech vznikajı´v rozsa´hlyćh oba´lkaćh – za´vojıćh – ktere´je obklopujıá ktere´zrˇejmeˇnepravidelneˇmizıá po cˇase se obnovujı´. Jde o plynneóbaly, jejichzˇrozmeˇry alesponˇo rˇa´d prˇevysˇujı´rozmeˇry samotnyćh hveˇzd. Prˇıćˇina vzniku za´voju˚a neˇktere´typy zjisˇteˇne´promeˇnnosti hveˇzd se za´vojem zu˚stavajıí po pu˚ldruhe´m stoletı´jejich studia za´hadou. Co je o hveˇzdaćh se za´vojem v soucˇasnosti zna´mo? Samotne´hveˇzdy se v naproste´veˇtsˇineˇprˇı´padu˚ vyznacˇujı´velky´mi rotacˇnı´mi rychlostmi a statisticky vzato se lze domnı´vat, zˇe rychle rotujı´vsˇechny, t.j. zˇe ty, pro nezˇpozorujeme nı´zkou hodnotu promı´tnute´rotacˇnı´rychlosti v sin i, vidı´me zhruba od po´lu jejich rotace. Jsou zna´my na´sledujıćı´typy jejich cˇasove´promeˇnnosti:

1. Dlouhodobe´spektra´lnı´zmeˇny a zmeˇny jasnosti. Dlouhodobe´spektra´lnı´zmeˇny hveˇzd se za´vojem jsou velmi na´padny´m jevem, ktery´od pocˇa´tku prˇitahoval pozornost mnoha pozorovatelu˚. Na cˇasove´sˇka´le

192 let azˇdesetiletı´(hornı´hranice nenı´zna´ma vzhledem k tomu, zˇe ma´me pozorovańı´jen za 130 let) se ve spektrech objevujıá mizıémisnıćˇa´ry. V obdobıćh bez emisnıćh cˇar se hveˇzdy podobajıńorma´lnı´m O, B cˇi A hveˇzda´m. Naopak v dobeˇsilnyćh emisı´se ve spektrech mohou objevit jesˇteˇdodatecˇne´ absorbcˇnıćˇa´ry, ktere´jsou uzˇsˇıńezˇcˇa´ry fotosfericke´. Tyto cˇa´ry vznikajı´zrˇejmeˇdodatecˇnou absorpcı´ za´rˇenı´v teˇch cˇa´stech za´voje, ktere´se promı´tajı´ na disk samotne´hveˇzdy. V anglicke´literaturˇe se jim proto rˇı´ka´„shell lines“, t.j. cˇa´ry oba´lky. Pokud pozorujeme hveˇzdu spı´sˇe od jejı´ho rovnı´ku, jsou emisnıćˇa´ry zpravidla dvojite´, nebot’oba´lky, ve kteryćh vznikajı´, rotujı´, a my pozorujeme zachycene´ a znovu vyza´rˇene´za´rˇenı´jak z cˇa´sti oba´lky, ktera´se k na´m prˇiblizˇuje, tak z te´, ktera´se od na´s vzdaluje. Intenzity do fialova a do cˇervena posunutyćh dvojityćh vrcholku˚emisnıćh cˇar se obvykle oznacˇujı´ V a R a v obdobıćh, kdy je emise prˇı´tomna, lze neˇkdy pozorovat cyklicke´zmeˇny pomeˇru jejich intenzit, zvane´ V/R zmeˇny. Odehra´vajı´ se v cyklech nestejne´de´lky, dlouhyćh neˇkolik let. Pokud meˇrˇı´me i radia´lnı´rychlost celeémisnıćˇa´ry na jejıćh krˇı´dlech, zjistı´me, zˇe se meˇnı´soubeˇzˇneˇ s cyklickou V/R zmeˇnou, a to s amplitudou neˇkolika desı´tek km s−1. Soucˇasneˇse spektra´lnı´mi zmeˇnami docha´zıí ke zmeˇna´m jasnosti a barvy objektu, prˇicˇemzˇlze rozlisˇit dva mozˇne´prˇı´pady: (a) Postupneóbjevovańı´se emisnıćh cˇar ve spektru a vznik nove´ho za´voje jsou doprova´zeny zjasneˇnı´m objektu a pohybem od hlavnı´posloupnosti k veleobru˚m v barevne´m diagramu U B vs. B V . V tom prˇı´padeˇhovorˇı´me o positivnı´korelaci. (b) Vznik za´voje je doprova´zen poklesem− jasnosti− objektu a jeho pobybem pode´l hlavnı´posloupnosti ke chladneˇjsˇı´spektra´lnı´podtrˇı´deˇ v U B vs. B V diagramu. To je inverznı´korelace. Pokud jsou pro danou hveˇzdu k dispozici u´daje z vıće− obdobı´vzniku− a zańiku za´voje, je zna´mo, zˇe nasta´va´vzˇdy stejny´typ korelace. To podporuje domneˇnku o tom, zˇe vy´skyt dvou typu˚korelacı´je geometricky´m efektem: inverznı´korelace nasta´va´ tehdy, pozorujeme-li danou hveˇzdu zhruba od rovnı´ku. Vznikajıćıćhladneˇjsˇıóba´lka v tom prˇı´padeˇ hveˇzdu zcˇa´sti stıńıá cˇinı´ji zdańliveˇchladneˇjsˇı´. Pokud hveˇzdu vidı´me vıće od po´lu, simulujı´vnitrˇnı´ opticky tlustećˇa´sti vznikajıćıóba´lky zdańliveńaru˚stanı´polomeˇru hveˇzdy.

2. Strˇedneˇdobe´spektra´lnı´zmeˇny a zmeˇny jasnosti. Strˇedneˇdobe´zmeˇny se obvykle odehra´vajıńa sˇka´le ty´dnu˚a meˇsıću˚. V neˇkteryćh prˇı´padech jde o zmeˇny, ktere´jsou jakousi miniaturnıóbdobou zmeˇn dlouhodobyćh, ktere´mohou mı´t i stejnou prˇıćˇinu — docˇasny´vznik slabeóba´lky. Cˇasto se vsˇak pozorujı´ periodicke´ zmeˇny radia´lnı´rychlosti, pomeˇru V/R, intenzity spektra´lnıćh cˇar i jasnosti. Ty obvykle souvisejı´s dvojhveˇzdnostı´dane´hveˇzdy se za´vojem.

3. Rychle´spektra´lnı´zmeˇny a zmeˇny jasnosti. Rychle´zmeˇny se odehra´vajıńa sˇka´le od neˇkolika ma´lo desetin dne do asi 2–3 dnu˚, majı´zpravidla velmi maleámplitudy a jsou intenzivneˇstudovańy teprve od konce sedmdesa´tyćh let 20. stoletı´. Jedna´se jednak o zmeˇny profilu˚spektra´lnıćh cˇar ve formeˇ meˇnıćı´se asymetrie a take´ve formeˇputujıćıćh vlnek, pohybujıćıćh se od fialove´ho k cˇervene´mu krˇı´dlu cˇa´ry. Zmeˇny jasnosti majıámplitudy zpravidla mensˇıńezˇ0,m1. Zda´se, zˇe sveˇtelne´zmeˇny jsou periodicke´, s periodami blı´zky´mi k rotacˇnı´m perioda´m prˇı´slusˇnyćh hveˇzd. Sveˇtelne´krˇivky jsou nesinusoveá jejich amplituda a tvar se dlouhodobeˇmeˇnı´. Zmeˇny profilu˚jsou rovneˇzˇperiodickeńebo mozˇnaí multiperiodicke´. Vy´znamnou charakteristikou rychlyćh zmeˇn je to, zˇe jsou pozorovatelne´

193 Obra´zek 92: Dlouhodobe´zmeˇny proﬁlu cˇa´ry Hα u hveˇzdy se za´vojem γ Cas mezi lety 1911, 1993 a 2002. Prˇevzato z pra´ce Harmanec (2002c).

i v dobeˇ, kdy je dana´ hveˇzda zcela bez emisnıćh cˇar. O pu˚vodu rychlyćh zmeˇn nepanuje dosud shoda. Cˇa´st badatelu˚je vysveˇtluje jako projev neradia´lnıćh pulsacı´, jinı´se domnı´vajı´, zˇe jde o projev korotujıćıćh struktur v plynu nad fotosfe´rou hveˇzdy.

Pokud jde o samotny´vznik oba´lek, existuje cela´rˇada hypote´z, ktere´se je pokousˇejı´vysveˇtlit. Vsˇechny se ale dosud setka´vajı´s proble´my a zˇa´dna´z nich nebyla dosud universa´lneˇprˇijata. Uved’me si alesponˇcˇtyrˇi pracovnı´modely, ktere´se v soucˇasnosti nejcˇasteˇji uvazˇujı´:

Model rotacˇnıńestability. Struve (1931) pouka´zal na existenci korelace mezi sˇı´rˇkou emisnıćh cˇar • a pozorovanou hodnotou v sin i (obr. 98) a vyslovil domneˇnku, zˇe oba´lky vznikajı´rotacˇnıńestabilitou na rovnı´ku hveˇzd se za´vojem. Jeho hypote´za ale nevysveˇtluje dlouhodobou cˇasovou promeˇnnost za´voju˚. Kromeˇtoho se zda´, zˇe hveˇzdy se za´vojem dosahujı´jen asi 70 % kriticke´rotacˇnı´rychlosti — viz Porter (1996). Neda´vne´studie konkre´tnıćh hveˇzd i teoreticke´studie Owocke´ho vsˇak naznacˇujı´, zˇe rotace mu˚zˇe by´t velmi blı´zka´kriticke´rotaci.

194 Obra´zek 93: Rychle´zmeˇny u´zkyćh absorpcˇnıćh komponent v silnyćh resonancˇnıćh spektra´lnıćh cˇaraćh v UV oboru pro hveˇzdu se za´vojem γ Cas v obodobı´25. 3. azˇ13. 4. 1980. Prˇevzato z praće Henrichs a spol. (1983).

Obra´zek 94: Schematicky zna´zorneˇne´V/R zmeˇny, tj. pomeˇru fialoveá cˇervene´slozˇky dvojiteémisnıćˇa´ry.

195 Obra´zek 95: Schema positivnı´a negativnı´korelace ve vy´voji oba´lky hveˇzdy se za´vojem, kdy je vznik oba´lky doprova´zen zjasneˇnı´m nebo zeslabenı´m objektu.

196 Obra´zek 96: Prˇı´klad vy´raznyćh dlouhodobyćh spektra´lnıćh zmeˇn u hveˇzd se za´vojem: Spektra hveˇzdy V832 Cyg = HD 200120 porˇı´zena´15. 7. 1974, 22. 9. 1974, 2. 12. 1974 a o rok pozdeˇji 6. 10. 1975. Je videˇt, zˇe vznik noveóba´lky se projevil nejrpve prˇı´tomnostıémisnıćh cˇar v Balmeroveˇserii vodı´ku a postupneˇ— jak oba´lka mohutneˇla a zveˇtsˇovala se — objevily se absorbcˇnı´ cˇary z oba´lky, ktere´ jsou velmi vy´razne´ na trˇetı´m spektru. O rok pozdeˇji se jizˇhveˇzda jevila jako zcela norma´lnı´hveˇzda spektra´lnı´ho typu B. Prˇevzato z praće Barkera (1982).

197 Obra´zek 97: Schematicke´zna´zorneˇnıćˇtyrˇmozˇnyćh interpretacı´ rychlyćh zmeˇn spektra´lnıćh profilu˚a jasnosti hveˇzd se za´vojem: neradia´lnı´pulsace, skvrny na povrchu hveˇzdy una´sˇene´ rotacı´, korotujıćı´struktury v cirkumstela´rnı´m prostrˇedıá dvojhveˇzdny´ model.

Obra´zek 98: Pozorovana´korelace mezi polosˇı´rˇkou emisnıćh profilu˚oba´lky a polosˇı´rˇkou profilu˚absorpcˇnıćh cˇar (hodnotou v sin i) pro hveˇzdy se za´vojem. Emise je meˇrˇena v cˇa´rˇe Hα, absorpce v He I (667,8nm). Vpravo je zobrazeno pravdeˇpodobne´vysveˇtlenı´ — zplosˇteˇlaóba´lka, na kterou se dı´va´me z ru˚znyćh smeˇru˚.

198 Dvojhveˇzdny´model. Krˇı´zˇa Harmanec (1975) prˇisˇli s domneˇnkou, zˇe za´voje jsou ve skutecˇnosti • akrecˇnı´mi disky a vznikajı´prˇı´tokem plynu z druhe´slozˇky ve dvojhveˇzdaćh. Jejich hypote´za vy- sveˇtluje prˇirozeny´m zpu˚sobem vysoke´rotacˇnı´rychlosti hveˇzd se za´vojem jako du˚sledek prˇenosu u´hlove´ho momentu dopadajıćı´hmoty, da´le strˇedneˇdobe´zmeˇny a mu˚zˇe vysveˇtlit i zmeˇny dlouhodobe´. Podvojnost mnoha hveˇzd se za´vojem se ale nepodarˇilo proka´zat a u neˇkteryćh dobrˇe studovanyćh objektu˚lze dokonce prˇı´tomnost sekunda´ru, ktery´by zaplnˇoval Rocheovu mez, zcela vyloucˇit. Har- manec a kol. (2002) prˇedlozˇili proto novou hypote´zu: uka´zali, zˇe je-li rychle rotujıćı´hveˇzda slozˇkou dvojhveˇzdy, mu˚zˇe u nı´docha´zet ke ztra´teˇhmoty a vzniku disku formou vy´toku pouze z teóblasti rovnı´ku, ktera´je prˇivraćena ke druhe´slozˇce soustavy. Prˇı´tomnost druhe´ho teˇlesa podmıńky pro vznik takove´rotacˇnıńestability poneˇkud zlepsˇuje. Hypote´za rotacı´stlacˇovane´ho hveˇzdne´ho veˇtru. Bjorkman a Cassinelli (1993) prˇisˇli s domneˇnkou, zˇe • za´voje vznikajı´z hveˇzdne´ho veˇtru, ktery´je u rychle rotujıćıćh hveˇzd podle jejich vy´pocˇtu˚stlacˇovań do roviny rovnı´ku. Podrobneˇjsˇı´vy´pocˇty ale ukazujı´, zˇe jejich mechamismus neda´va´dostatecˇneˇhuste´ za´voje, ktere´by mohly ve´st ke vzniku pozorovanyćh emisnıćh cˇar. Pulsacˇnı´hypote´za. Zastańci pulsacˇnı´ho modelu rychlyćh zmeˇn vyslovili domneˇnku, zˇe k vyvrhovańı´ • plynu by v rovnı´kovyćh oblastech hveˇzd se za´vojem mohlo docha´zet ve chvı´lıćh, kdy se sejde ve fa´zi neˇkolik mo´du˚neradia´lnıćh pulsacı´, takzˇe dodajı´kinetickou energii potrˇebnou k dosazˇenı´kriticke´ rychlosti — viz naprˇ. Rivinius a spol. (1998). Jejich argument je zalozˇen na analy´ze dat hveˇzdy µ Cen pozorovatelne´pouze z jizˇnıóblohy. O to, zda jsou rychle´ zmeˇny te´to hveˇzdy skutecˇneˇmultiperiodicke´, se ale dosud vedou urcˇite´spory a jejich hypote´zu je poneˇkud brzo hodnotit. Vy´vojove´ stadium hveˇzd se za´vojem nenı´ vyjasneˇno. Zda´ se dokonce, zˇe cely´ jev nenı´ va´zań na konkre´tnı´vy´vojove´stadium. Hveˇzdy se za´vojem se vyskytujı´jak mezi mlady´mi hveˇzdami v blı´zkosti hlavnı´ posloupnosti nulove´ho veˇku, tak mezi vyvinuty´mi obry a veleobry. To by do urcˇite´mı´ry nasveˇdcˇovalo tomu, zˇe mechanismus vzniku za´voju˚je externı´— jak to prˇedpokla´dańaprˇ. dvojhveˇzdna´hypote´za. Podle neda´vnyćh pozorovańı´hveˇzd se za´vojem v ru˚znyćh hveˇzdokupaćh se vsˇak zda´, zˇe existuje korelace mezi procentua´lnı´m zastoupenı´m hveˇzd se za´vojem v kupeˇa obsahem teˇzˇkyćh prvku˚. Vıće hveˇzd se za´vojem se pozoruje v kupaćh s nı´zky´m obsahem teˇzˇkyćh prvku˚. Maeder a Meynet (2001) zjistili, zˇe pro rotujıćı´ modely s nı´zky´m obsahem kovu˚se podmıńky pro dosazˇenı´ kriticke´rotace beˇhem vy´voje zlepsˇujı´— na rozdı´l od modelu˚spocˇı´tanyćh pro Z =0,02. To by mohlo vy´sˇe zmıńeˇnou korelaci vysveˇtlovat a naznacˇovat, zˇe za´voje vznikajı´vyvrhovańı´m materia´lu hveˇzdy samotne´.

16.2.5 Svı´tive´modre´promeˇnne´(Luminous Blue Variables, LBV) Za svı´tive´modre´promeˇnne´by´vajıóznacˇovańy hmotne´hveˇzdy s vysokou jasnostı´, pro neˇzˇse pozorujı´ zmeˇny jasnosti a barvy na neˇkolika cˇasovyćh sˇka´laćh, od rychle´mikropromeˇnnosti azˇpo vzaćne´vy´buchy, vyznacˇujıćı´se zjasneˇnı´m o neˇkolik hveˇzdnyćh velikostıá velmi pravdeˇpodobneˇznacˇnou ztra´tou hmoty. Soudı´se, zˇe prˇedstavujı´vzaćne´, velmi kra´tce trvajıćı´stadium vy´voje hmotnyćh hveˇzd (trvajıćı´snad jen 40 000 let) prˇedcha´zejıćı´stadiu WR hveˇzd. Pod tento na´zev se nynı´zahrnujıćı´promeˇnne´typu P Cyg, S Dor a Hubbleovy–Sandageovy promeˇnne´.

199 Ve spektrech teˇchto hveˇzd se pozorujı´vy´razneémisnı´ cˇa´ry vodı´ku, neutra´lnı´ho helia a jednou ionizovane´ho zˇeleza, ktere´v mnoha prˇı´padech vykazujı´ P Cyg profily (tzn. absorpce ve fialovećˇa´sti profilu, vedoucı´ k pomeˇru dvojiteémise V/R < 1). Je zrˇejme´, zˇe zde existuje urcˇita´fenomenologicka´ prˇı´buznost s hveˇzdami se za´vojem. Spektra, jasnost a tedy i povrchovaćˇi efektivnı´teplota teˇchto hveˇzd jsou znacˇneˇpromeˇnne´. V klidnyćh obdobıćh s minimem jasnosti se tyto objekty zpravidla jevı´ jako veleobrˇi spektra´lnı´ho typu B s efektivnı´mi teplotami nad 15000K a s emisnı´mi cˇarami vodı´ku a helia. V obdobıćh silnyćh zjasneˇnı´se spektra meˇnıńa veleobry typu A azˇF a zesilujı´Fe II a zaka´zane´[Fe II] emise. Soudı´se ale, zˇe bolometricky´za´rˇivy´vy´kon zu˚stavaí beˇhem velkyćh zjasneˇnıńezmeˇneˇny´. Zdańlivy´pokles teploty je du˚sledkem absorpce ve vyvrzˇene´ plynoveóba´lce a za´rˇenı´z kra´tkovlnneá optickeóblasti je prˇerozdeˇleno do za´rˇenı´delsˇıćh vlnovyćh de´lek. Bolometricke´magnitudy teˇchto hveˇzd se pohybujı´kolem 10m, 0. Pro hveˇzdy studovane´soustavneˇji se pozorujı´zmeˇny ja−snosti na nejmeńeˇtrˇech cˇasovyćh sˇka´laćh:

1. Rychle´zmeˇny na sˇka´le dnu˚, s amplitudami 0,m1 azˇ0,m2.

2. Cyklicke´zmeˇny o 1,m0 azˇ2,m0, s de´lkami cyklu˚na sˇka´le let azˇneˇkolika desı´tek let, prˇicˇemzˇstrˇednı´ de´lka cyklu je pro dany´objekt charakteristicka´.

3. Vzaćneˇse objevujıćı´zjasneˇnıó vıće nezˇ3,m0, ktera´se u dane´ho objektu vyskytnou zpravidla jednou za neˇkolik stoletı´. Tato zjasneˇnı´zjevneˇsouvisı´s vyvrzˇenı´m plynoveóba´lky, ktera´byla v neˇkteryćh prˇı´padech na´sledneˇi pozorovańa jako plosˇnyú´tvar.

Stothers a Chin (1995) prˇedlozˇili du˚kazy ve prospeˇch hypote´zy, zˇe cyklicka´zjasneˇnı´jsou projevem opakujıćı´se dynamickeńestability teˇchto hveˇzd v pozdnıćh vy´vojovyćh stadiıćh a spocˇetli i prˇı´slusˇne´ vy´vojove´modely na podporu te´to hypote´zy. Uka´zali, zˇe pro strˇednıćykly pozorovanyćh zjasneˇnıéxistuje slusˇneˇdefinovany´vztah perioda – svı´tivost ve tvaru

M =( 12,9 0,5)+(2,4 0,5) log P . (690) bol − ± ±

16.3 Hveˇzdy spektra´lnıćh typu˚A a F Hveˇzdy spektra´lnı´ho typu A se vyznacˇujıópticky´mi spektry, v nichzˇdominujı´silnećˇa´ry vodı´ku, chybı´jizˇ cˇa´ry helia a jsou prˇı´tomny cˇa´ry mnoha ionizovanyćh kovu˚(Fe II, Ti II, Cr II atd.). Pro objekty na hlavnı´ posloupnosti se jednaó rozsah hmotnostıód 1,5 do 2,2 M⊙, polomeˇru˚od 1,6 do 2,1 R⊙ a efektivnıćh teplot od 6950 do 9400 K. Hveˇzdy spektra´lnı´ho typu F se vyznacˇujıópticky´mi spektry, u nichzˇjsou cˇa´ry vodı´ku podstatneˇslabsˇı´, nezˇu A hveˇzd, i kdyzˇsta´le ve spektrech dominujı´. V jejich spektrech se pozoruje oproti A hveˇzda´m take´ daleko vıće cˇar kovu˚. Pro objekty na hlavnı´posloupnosti se jednaó rozsah hmotnostıód 1,15 do 1,5 M⊙, polomeˇru˚od 1,25 do 1,6 R⊙ a efektivnıćh teplot od 5900 do 6950 K. Rozsah teˇchto parametru˚pro hveˇzdy trˇı´d A a F je tedy ve srovnańı´s teplejsˇı´mi hveˇzdami B a O podstatneˇ mensˇı´.

200 Obra´zek 99: HR diagram pro hmotne´hveˇzdy (45 a 90 M⊙) s vyznacˇeny´mi polohami svı´tivyćh modryćh promeˇnnyćh v klidne´ fa´zi. Prˇevzato z praće Stotherse a China (1995).

Mezi hveˇzdami typu A nale´za´me kromeˇ‘norma´lnıćh’ hveˇzd hlavnı´posloupnosti hveˇzdy vy´razneˇche- micky pekulia´rnıá take´vy´znamne´trˇı´dy pulsacˇneˇnestabilnıćh hveˇzd, ktere´majı´prˇesah i do spektra´lnı´ho typu F. Velmi dobry´prˇehled fenomenologicky zavedenyćh trˇı´d a jejich vza´jemne´souvislosti publikoval Kurtz (2000).

16.3.1 Am hveˇzdy (CP1 hveˇzdy) Am hveˇzdy cˇi metalickeÁ hveˇzdy prˇedstavujı´jednu z vy´znamnyćh skupin chemicky pekulia´rnıćh hveˇzd. Jejich vy´skyt je omezen pra´veˇna spektra´lnı´typ A a jejich charakteristikou je, zˇe zatı´mco cˇa´ry ionizovane´ho vapnı´ku Ca II odpovı´dajı´rane´spektra´lnı´podtrˇı´deˇ A, ostatnıćˇa´ry kovu˚odpovı´dajı´pozdnıÁ podtrˇı´deˇnebo dokonce spektra´lnı´mu typu F a cˇa´ry vodı´ku odpovı´dajıńeˇjake´strˇednı´podtrˇı´deˇmezi obeˇma extre´my. Barevne´ indexy Am hveˇzd v (U B) vs. (B V ) diagramu odpovı´dajı´zhruba stejne´podtrˇı´deˇjako cˇa´ry vodı´ku a rovneˇzˇefektivnı´teplota− Am hveˇzd odpovı´dańejle´p− e jejich spektra´lnı´mu typu podle H I cˇar. Am hveˇzdy tvorˇı´skupinu pekulia´rnıćh hveˇzd, pro neˇzˇse nepozoruje prˇı´tomnost globa´lnı´ho magneticke´ho pole. Prˇi studiu vysokodispersnıćh spekter bylo zjisˇteˇno, zˇe „horkou Am“ hveˇzdou je take´Sirius A se spektra´lnı´m typem A0. Neˇkterˇı´ autorˇi zavedli rovneˇzˇ popisny´ typ δ Del hveˇzdy k oznacˇenı´ vy´vojoveˇ starsˇıćh Am hveˇzd s luminositnı´mi trˇı´dami IV a III. Jinı´ badatele´ upozornili na to, zˇe tato trˇı´da je znacˇneˇ nehomogennı´. Vyskytuje se rovneˇzˇoznacˇenı´ ρ Pup hveˇzdy pro podobrˇıá obrˇıÁ5m azˇF5m hveˇzdy. U neˇkteryćh z teˇchto hveˇzd byly nalezeny zmeˇny jasnosti sveˇdcˇıćıó pulsacıćh. Conti (1970) shrnul vlastnosti Am hveˇzd a navrhl pouzˇı´t fyzika´lneˇjsˇı´definici. Podle neˇj se jednaó hveˇzdy chemicky pekulia´rnıá to takove´, ktere´majı´ve svyćh atmosfe´raćh bud’ nedostatek Ca (cˇi take´Sc) nebo prˇebytek prvku˚skupiny zˇeleza a teˇzˇsˇıćh. Jedna´se za´sadneˇo objekty na hlavnı´posloupnosti a bylo rovneˇzˇ

201 zjisˇteˇno, zˇe u nich nedocha´zı´k zˇa´dny´m fyzika´lnı´m zmeˇna´m jasnosti. Zejmeńa dı´ky Abtovy´m systematicky´m studiı´m bylo rovneˇzˇ zjisˇteˇno, zˇe veˇtsˇina, a mozˇna´ i vsˇechny Am hveˇzdy jsou dvojhveˇzdami. Naopak vsˇechny dvojhveˇzdy se slozˇkami spektra´lnı´ho typu A a s periodami pod 2,d5 jsou Am hveˇzdami. Debernardi a spol. (2000) systematicky hledali spektroskopicke´dvojhveˇzdy mezi Am hveˇzdami ve hveˇzdokupaćh Hya´dy a Praesepe a publikovali pro celou rˇadu z nich dra´hoveélementy. Dvojhveˇzdy s obeˇzˇny´mi periodami pod 8,d5 majı´vsˇechny kruhove´dra´hy. Je take´zajı´mave´, zˇe v HR diagramu lezˇı´vsˇechny Am hveˇzdy z teˇchto hveˇzdokup v dobrˇe definovane´m pa´su nad hlavnı´posloupnostı´samotne´hveˇzdokupy. Am hveˇzdy vesmeˇs pomalu rotujı´, cozˇmu˚zˇe by´t v rˇadeˇprˇı´padu zpu˚sobeno pra´veˇjejich podvojnostı´. Zatı´m nejslibneˇjsˇı´m vysveˇtlenı´m jejich vzniku se zda´ teorie za´rˇive´ difuse publikovana´Michaudem (1970). Michaud uka´zal, zˇe v atmosfe´raćh hveˇzd s velmi stabilnı´mi atmosfe´rami mu˚zˇe beˇhem vy´vojoveˇ kra´tke´ doby (asi 104 azˇ 106 let) dojı´t k diferencia´lnı´ separaci chemickyćh elementu˚. Ty ionty, jejichzˇ zrychlenı´tlakem za´rˇenı´je veˇtsˇıńezˇjejich va´ha v daneátmosfe´rˇe, se udrzˇujıńa povrchu hveˇzdy, zatı´mco jine´, naprˇ. helium, klesnou do nitra hveˇzdy. Obecneˇrˇecˇeno jsou gradientem tlaku za´rˇenıńadlehcˇovańy teˇzˇsˇı´prvky s velky´m pocˇtem spektra´lnıćh cˇar a naopak lehkeá relativneˇhodneˇv atmosfe´rˇe zastoupene´ prvky s maly´m pocˇtem cˇar v atmosfe´rˇe postupneˇklesajı´. Tomu, aby se za´rˇiva´difuse mohla uplatnit, mu˚zˇe u Am hveˇzd napomoci jejich pomala´rotace a fakt, zˇe u nich neexistujı´hluboke´podpovrchove´konvektivnı´ zońy, tedy procesy, ktere´v jinyćh prˇı´padech vedou k systematicke´mu promıćhavanıćhemickyćh elementu˚. K vysveˇtlenı´pulsacı´ ρ Pup hveˇzd se prˇedpokla´da´, zˇe beˇhem vy´voje od hlavnı´ posloupnosti nulove´ho veˇku se i prˇes vliv za´rˇive´difuse dostala postupneˇzońa ionizace He II do oblastı´, kde znovu mohla vyvolat dostatecˇneˇ ućˇinneˇpulsacˇnıńestabilitu.

16.3.2 Ap hveˇzdy Toto oznacˇenı´se pouzˇı´va´pro hveˇzdy spektra´lnı´ho typu A na hlavnı´posloupnosti, ktere´majıńeobvykle silne´ cˇa´ry neˇkteryćh kovu˚a zpravidla te´zˇmeˇrˇitelne´globa´lnı´(cˇasto zhruba dipo´love´) magneticke´pole o sı´le stovek azˇdesetitisıć G. Jsou zna´my Ap SrCrEu hveˇzdy, ktere´se vyskytujı´v rozsahu spektra´lnıćh typu˚od A3 do F0, a Ap Si hveˇzdy, pozorovane´mezi B8 a A2. Pro tyto hveˇzdy se obvykle pozorujı´periodicke´– ale obecneˇ nesinusove´– zmeˇny jasnosti, intensity magneticke´ho pole a intensity cˇar kovu˚s periodou rovnou rotacˇnı´ periodeˇdane´hveˇzdy. Metodami dopplerovske´tomografie pro neˇbylo zjisˇteˇno nerovnomeˇrne´rozlozˇenı´ chemickyćh elementu˚po povrchu hveˇzdy, a to ve vazbeˇna magneticke´pole. Je zajı´mave´, zˇe orientace magneticke´ho dipo´lu je obecneˇjina´, nezˇorientace rotacˇnıósy hveˇzdy. Modelovańı´m zmeˇn s rotacˇnı´periodou je mozˇno zjisˇt’ovat za´kladnı´fyzika´lnı´vlastnosti Ap hveˇzd. Jejich anoma´lnıćhemicke´slozˇenı´by´vańejcˇasteˇji opeˇt vysveˇtlovańo vlivem za´rˇive´difuse prˇi stabilizujıćı´m ućˇinku globa´lnı´ho magneticke´ho pole. Hypote´za za´rˇive´difuse vysveˇtluje i to, zˇe Ap hveˇzdy nejsou zpravidla pulsacˇneˇnestabilnı´, helium totizˇklesne hluboko do nitra hveˇzdy a opacitnı´mechanismus vzniku pulsacı´v zońaćh ionizace helia tak ztraćı´svou ućˇinnost. Kurtz (1982) vsˇak prˇisˇel s objevem tak zvanyćh roAp hveˇzd, chladnyćh Ap SrCrEu hveˇzd, ktere´pulsujı´ s velmi kra´tky´mi periodami mezi asi 6 azˇ15 minutami a s maly´mi amplitudami sveˇtelnyćh zmeˇn pod 0,m016. U neˇkteryćh z nich jsou tyto pulsace multiperiodicke´. Jde o neradia´lnı´pulsace vysokyćh harmonickyćh mo´du˚ pode´l osy magneticke´ho pole. V du˚sledku toho jsou pozorovaneámplitudy pulsacı´modulovańy s rotacˇnı´ periodou hveˇzdy. Tyto pulsace jsou pravdeˇpodobneˇvybuzeny v zońeˇionizace vodı´ku.

202 Noveˇji zavedenou skupinou chemicky pekulia´rnıćh hveˇzd jsou λ Boo hveˇzdy, ktere´majı´spektra´lnı´typ podle cˇar vodı´ku mezi A0 a F0, cˇa´ra va´pnı´ku Ca II K odpovı´da´typu A0 nebo o neˇco pozdneˇjsˇı´mu, a cˇa´ry kovu˚, zejmeńa Mg II 448,1 nm, jsou velmi slabe´. Nı´zke´zastoupenı´majı´prvky skupiny zˇeleza, zatı´mco lehke´ elementy majı´prakticky norma´lnı´pomeˇrne´zastoupenı´. DetailnıŃLTE studie ukazujı´, zˇe uhlı´k je zastoupen meńeˇnezˇkyslı´k a zˇe existuje antikorelace mezi zastoupenı´m uhlı´ku a kyslı´ku na jedne´, a krˇemı´ku na druhe´ straneˇ. To se zda´by´t ve shodeˇs teoriı´difuse obohacene´ o mysˇlenku akrece mezihveˇzdne´la´tky. Na druhe´ straneˇbylo ale zjisˇteˇno, zˇe mnoho λ Boo hveˇzd patrˇı´mezi pulsujıćı´ δ Sct hveˇzdy – viz nı´zˇe.

16.3.3 δ Scuti hveˇzdy Jednotneóznacˇenı´pro skupinu pulsujıćıćh hveˇzd spektra´lnıćh typu˚A a F, ktere´se nacha´zejı´v pa´su nestability v HR diagramu a majı´pulsacˇnı´periody kratsˇıńezˇ0,d3, zavedl Breger (1979), kteryúka´zal, zˇe rozlisˇovańı´ na ru˚zne´ drˇı´ve zavedene´ a popisneˇ definovane´ kategorie nema´ fyzika´lnı´ opodstatneˇnı´.39 Vzhledem ke kra´tkosti period teˇchto hveˇzd a male´ jasnosti veˇtsˇiny z nich nebylo snadne´ pro neˇ v e´rˇe fotograficke´ spektroskopie porˇı´dit spektra s dostatecˇny´m fa´zovy´m rozlisˇenı´m a proto byla veˇtsˇina z nich objevena dı´ky fotometricky nalezeny´m zmeˇna´m jasnosti. Amplitudy zmeˇn jasnosti se pohybujı´v sˇiroke´m rozmezıód prahu detekce (asi 0,m01) azˇpo 0,m8 a neˇkdy jsou v cˇase promeˇnne´. Sveˇtelne´krˇivky jsou bud’zhruba sinusoveńebo s vıće maximy. Pro mnohe´ δ Sct hveˇzdy byla nalezena multiperiodicita – pozorovane´zmeˇny jsou vy´slednicı´ vıće periodickyćh zmeˇn s ru˚zny´mi periodami. V prˇı´padech, kdy se podarˇilo pozorovat i zmeˇny radia´lnı´ rychlosti, existuje mezi maximem sveˇtelne´krˇivky a minimem krˇivky radia´lnı´rychlosti fa´zovy´posun asi 0,P1. typicky´pomeˇr amplitud obou krˇivek cˇinı´92 km s−1 mag−1. δ Sct hveˇzdy na hlavnı´posloupnosti majı´ periody kolem 1 hodiny a amplitudy jejich sveˇtelnyćh krˇivek jsou male´, 0,m02 nebo mensˇı´. δ Sct hveˇzdy s veˇtsˇı´svı´tivostı´, podobrˇi a obrˇi, majı´delsˇı´periody a cˇasto i veˇtsˇıámplitudy sveˇtelnyćh zmeˇn. Je ovsˇem trˇeba rˇıći, zˇe pouze asi jedna trˇetina hveˇzd, ktere´se nacha´zejı´v dolnıćˇa´sti pa´su pulsacˇnıńestability v HR diagramu jsou δ Sct hveˇzdy. Detekce pulsacı´za´visıí na rotacˇnı´rychlosti a chemicke´m slozˇenı´hveˇzd, prˇesto se zda´, zˇe musıéxistovat jesˇteˇdalsˇı´faktory, ktereóvlivnˇujı´, zda dana´hveˇzda bude pozorovatelny´m zpu˚sobem pulsacˇneˇnestabilnıńebo ne, abychom pozorovany´pomeˇr mezi pulsujıćı´mi a nepulsujıćı´mi hveˇzdy v pa´su nestability mohli beze zbytku vysveˇtlit. Meze pa´su nestability v efektivnı´teploteˇjsou 7500-8800 K na m m hlavnı´posloupnosti nulove´ho veˇku a 6950 K pro MV = 1, 7 azˇ8400 K pro MV = 0, 65. Breger (1979) a Breger, Stockenhuber (1983) a nejnoveˇji Rodrı´guez a Breger (2001) shroma´zˇdili u´daje o jasnostech, pulsacˇnıćh periodaćh a dalsˇıćh fyzika´lnıćh vlastnostech δ Sct hveˇzd a prˇı´buznyćh objektu˚. Nalezli m.j. dobrˇe definovany´vztah za´rˇivy´vy´kon – barva – perioda ve tvaru

M = 3,052 log P +8,456(b y) 3,121 . (691) V − − − S pouzˇitı´m podobne´ho pozorovacı´ho materia´lu odvodili Lo´pez de Coca a spol. (1990) empiricky´vztah pro

39V literaturˇe existovala v te´to oblasti dosti znacˇna´pestrost pojmoslovı´. Neˇkterˇıáutorˇi nazy´vali kra´tkoperiodicke´promeˇnne´ trpaslicˇı´mi cefeidami, jinı´tento na´zev uzˇı´vali pouze pro promeˇnne´s amplitudou zmeˇn veˇtsˇıńezˇ0,m3. Jinıóznacˇovali promeˇnne´ s velky´mi amplitudami jako RRs hveˇzdy cˇi hveˇzdy typu AI Vel. Objevilo se i oznacˇenıúltrakra´tkoperiodicke´promeˇnne´, to ale vede k nedorozumeˇnı´, nebot’tak jsou oznacˇovańy promeˇnne´se sekundovy´mi periodami zmeˇn. Pu˚vodnıóznacˇenı´ trpaslicˇıćefeidy se takeńezda´vhodne´, nebot’jde v rˇadeˇprˇı´padu˚o podobrˇıćˇi obrˇı´hveˇzdy.

203 periodu za´kladnı´ho mo´du ve tvaru

log P = 0,300M 3,195 log T + 11,90 . (692) − bol − eff Odhadneme-li pulsacˇnı´periodu A5 hveˇzdy na hlavnı´posloupnosti podle za´kladnı´ho vztahu (511), dostaneme hodnotu 1,98 hodiny, podle zprˇesneˇne´ho vztahu (518) vyjde 1,10 hodiny, opeˇt ve velmi dobre´ shodeˇ s pozorovańı´m. Breger (1983) dosˇel rovneˇzˇk za´veˇru, zˇe ve statisticke´m smyslu existuje dobra´shoda mezi pozorovańı´mi δ Sct hveˇzd ve hveˇzdokupaćh o zna´me´m vy´vojove´m sta´rˇıá jejich pru˚meˇrny´mi periodami. Jak totizˇplyne z rovnic (511) cˇi (518), je pulsacˇnı´perioda prˇı´mo u´meˇrna´polomeˇru pulsujıćı´hveˇzdy. Protozˇe beˇhem vy´voje na hlavnı´posloupnosti polomeˇr hveˇzdy pozvolna roste, lze ocˇeka´vat, zˇe pru˚meˇrne´pulsacˇnı´periody δ Sct hveˇzd v jednotlivyćh kupaćh budou tı´m delsˇı´, cˇı´m je hveˇzdokupa starsˇı´. To se statisticky skutecˇneˇpozoruje. Breger a Pamyatnykh (1998) se pokusili zjistit, zda lze nale´zt shodu mezi prˇedpoveˇdı´teorie hveˇzdne´ho vy´voje a pozorovańı´m sekula´rnıćh zmeˇn period jednotlivyćh δ Sct hveˇzd. Zjistili, zˇe pozorovane´zmeˇny period vykazujı´statisticky podobny´pocˇet pozvolne´ho naru˚stanıá pozvolne´ho poklesu pulsacˇnı´periody, prˇicˇemzˇrychlost zmeˇny je asi o rˇa´d vysˇsˇı´, nezˇocˇeka´vany´sekula´rnı´ru˚st periody v du˚sledku vy´vojovyćh zmeˇn. Jinak rˇecˇeno, pozorovane´zmeˇny jsou du˚sledkem jinyćh procesu˚, ktere´patrneˇnesouvisı´s vy´vojem δ Sct hveˇzd a na podobny´test vy´vojove´teorie jsou sta´vajıćı´rˇady pozorovańı´jesˇteˇprˇı´lisˇkra´tke´. Celkoveˇ mu˚zˇeme rˇıći, zˇe δ Sct hveˇzdy lze prˇi soucˇasnyćh znalostech kvalitativneˇ dobrˇe vysveˇtlit jako objekty vyvı´jejıćı´se od hlavnı´posloupnosti v dolnıćˇa´sti pa´su nestability, ktery´souvisı´s ionizacˇnı´mi zońami vodı´ku a helia. Jistou cˇa´st z nich mohou tvorˇit i hveˇzdy, ktere´teprve kontrahujı´k hlavnı´posloupnosti nulove´ho veˇku. To vsˇak nemu˚zˇe plneˇvysveˇtlit, procˇ se v prˇı´slusˇnećˇa´sti HR diagramu pozororuje kromeˇ δ Sct hveˇzd take´tak velky´pocˇet nepulsujıćıćh A a F hveˇzd. Konkre´tneˇpro δ Sct hveˇzdy je podle nejnoveˇjsˇıćh studiı´pro vznik pulsacı´rozhodujıćı´zońa ionizace He II.

16.3.4 SX Phe hveˇzdy Hveˇzdy typu SX Phe jsou patrneˇanalogiı´ δ Sct hveˇzd pro objekty populace II, t.j. starsˇı´generace hveˇzd. Majı´ nizˇsˇıóbsah teˇzˇkyćh prvku˚, patrˇı´ke kulove´slozˇce Galaxie a vyznacˇujı´se velky´mi prostorovy´mi rychlostmi. Jejich pulsacˇnı´ periody jsou kra´tke´, ve veˇtsˇineˇ prˇı´padu˚ kratsˇı´ nezˇ 0,d08. Jejich vy´vojove´stadium vsˇak v soucˇasnosti zu˚sta´va´za´hadou. Takto stare´hveˇzdy s efektivnı´mi teplotami kolem 8500 K by totizˇmeˇly by´t uzˇda´vno vyvinuty mimo oblast hlavnı´posloupnosti v HR diagramu. Existujı´proto dohady, zˇe mu˚zˇe jı´t o objekty ve vy´vojove´m stadiu pozdeˇjsˇı´m nezˇstadium obru˚nebo zˇe se jednaó dvojhveˇzdy, ktere´se slily v jednu hveˇzdu.

16.3.5 γ Dor hveˇzdy γ Dor hveˇzdy jsou velmi noveˇobjevenou skupinou hveˇzd. Jde o hveˇzdy spektra´lnı´ho typu F, ktere´vykazujı´ zmeˇny jasnosti a radia´lnıćh rychlostı´s periodami delsˇı´mi, nezˇ δ Sct hveˇzdy: od 0,d3 do 2,d0, prˇicˇemzˇobeˇ krˇivky jsou prakticky ve fa´zi. Amplituda sveˇtelnyćh zmeˇn je zpravidla pouze neˇkolik ma´lo setin hveˇzdne´ velikosti. γ Dor hveˇzdy se nacha´zejı´zcˇa´sti na chladne´m konci dolnıćˇa´sti pa´su nestability, zcˇa´sti vneˇneˇj

204 Obra´zek 100: Polohy promeˇnnyćh hveˇzd typu δ Scu na HR diagramu. Vestejneóblasti se vsˇak nacha´zejı´take´hveˇzdy nepromeˇnne´. Prˇevzato z praće Bregera (1979). smeˇrem k nizˇsˇı´m efektivnı´m teplota´m. Spektra´lneˇjde o hveˇzdy luminositnıćh trˇı´d V–IV. Veˇtsˇina badatelu˚se nynı´klonı´k tomu, zˇe se jednaó pulsujıćı´hveˇzdy, nebot’u neˇkteryćh byly nalezeny multiperiodicke´zmeˇny, mechanismus vzniku pulsacı´vsˇak dosud nebyl objasneˇn.

16.3.6 Lithium a berylium u F a G hveˇzd Lithium a berylium jsou velmi citlivy´m indika´torem toho, jak hluboko smeˇrem do centra hveˇzdy zasahujı´ podpovrchove´konvektivnı´zońy u F a G hveˇzd. Slucˇovacı´ reakce lithia probı´hajı´jizˇprˇi teploteˇasi 2,5 106 K, berylia prˇi asi 3,5 106 K. Pokud tedy konvektivnı´zońa dosahuje azˇdo hloubek, kde jsou ve hveˇzdeˇpotrˇebneˇ· vysoke´teploty, bude· obsah Li a Be v atmosfe´raćh takovyćh hveˇzd znacˇneˇnı´zky´. K analy´ze ve spektrech se nejcˇasteˇji uzˇı´vajı´resonancˇnı´dvojice cˇar Li I 670,776 a 670,791 nm a Be II 313,042 a 313,107 nm. V atmosfe´rˇe Slunce je pomeˇrnyóbsah Li nı´zky´, Li/H = 10−11, zatı´mco typicke´maximum pro hveˇzdy populace I je Li/H = 10−9. Pomeˇrnyóbsah berylia je nı´zky´shodneˇpro Slunce i hveˇzdy populace I: Be/H 10−11. ∼ Studium obsahu lithia ve hveˇzdokupaćh ukazuje neˇktere´ zajı´mave´souvislosti. Pro celou rˇadu hveˇzdokup byla nalezena zrˇetelna´za´vislost obsahu lithia na efektivnı´teploteˇ, pro hveˇzdy kolem F5 je patrny´silny´pokles s minimem u efektivnı´teploty asi 6700 K, pote´ru˚st k nizˇsˇı´m teplota´m s maximem kolem 6300 K a poteópeˇt plynuly´pokles smeˇrem ke chladneˇjsˇı´m hveˇzda´m. Loka´lnı´minimum kolem 6700 K se vsˇak nevyskytuje u mladyćh hveˇzdokup jako jsou Pleja´dy cˇi α Per a zda´se tak, zˇe k dramaticke´mu poklesu v obsahu lithia v atmosfe´raćh F hveˇzd kolem podtrˇı´dy F5 docha´zı´mezi vy´vojovy´m veˇkem 5 107 a 5 108 let. Cela´veˇc je ale zrˇejmeˇslozˇiteˇjsˇı´, nebot’asi pro polovinu F hveˇzd, ktere´se nenacha´zejı´ve· hveˇzdokupaćh,· je obsah lithia Li/H = 10−9 a k zˇa´dne´mu poklesu u nich nedocha´zı´, acˇkoliv jejich vy´vojovy´veˇk se odhaduje asi na

205 Obra´zek 101: Abundance lithia (leva´osa, tecˇky) a berylia (prava´osa, krouzˇky) v za´vislosti na teploteˇ, pro cˇleny hveˇzdokupy Hya´dy. Cˇa´rkovanou cˇarou je vynesen teoreticky spocˇtena´teplotnı´za´vislost pro lithium. Prˇevzato z ???.

1–2 109 let. To znamena´, zˇe na rozsah konvektivnı´zońy musı´mı´t vliv jesˇteˇjine´faktory, nezˇjen vy´vojovy´ veˇk.· Pro Hya´dy existuje na´znak souvislosti mezi vycˇerpańı´m lithia a rotacˇnı´rychlostı´prˇı´slusˇnyćh F hveˇzd. Michaud se snazˇil objasnit nedostatek lithia kolem spektra´lnı´ho typu F5 teoriı´za´rˇive´difuse. Jeho vy´pocˇty skutecˇneˇukazujı´, zˇe u teˇchto hveˇzd mu˚zˇe docha´zet ke klesańı´lithia smeˇrem do nitra hveˇzdy, ale cely´proces probı´ha´prˇı´lisˇpomalu, nezˇaby se mohl projevit uzˇv Hya´daćh. Existujı´te´zˇu´vahy o mozˇne´roli male´ztra´ty hmoty z atmosfe´r F hveˇzd a o roli meridiona´lnıćirkulace. Studium berylia u stejnyćh F hveˇzd v Hya´daćh uka´zalo shodnyá norma´lnıóbsah berylia, z cˇehozˇlze vyvodit, zˇe dolnı´hranice konvektivnıćh zoń u teˇchto hveˇzd zasahuje do oblastı´s teplotami nad 2,5 106 K, · ale nedosahujıázˇk teplota´m 3,5 106 K. · 16.4 G, K a M hveˇzdy Spolecˇny´m znakem chladnyćh hveˇzd spektra´lnıćh typu˚ G, K a M je existence hlubokyćh podpovrchovyćh konvektivnıćh zoń, ktere´vedou m.j. ke vzniku chromosfe´r a koroń. Rozsah za´kladnıćh charakteristik pro hveˇzdy hlavnı´posloupnosti je na´sledujıćı´:

G hveˇzdy: M =0,91–1,16 M⊙, R =1,01–1,25 R⊙, T = 5200–5900K; • eff K hveˇzdy: M =0,45–0,91 M⊙, R =0,52–1,01 R⊙, T = 3900–5200K; • eff M hveˇzdy: M =0,10–0,45 M⊙, R =0,12–0,52 R⊙, T = 2600–3900K. • eff

206 16.4.1 Projevy a cˇasova´promeˇnnost hveˇzdnyćh chromosfe´r Chromosfe´ra byla objevena nejprve u Slunce a pozdeˇji na za´kladeˇru˚znyćh typu˚pozorovańıí u chladnyćh hveˇzd. Jedna´se o pomeˇrneˇrˇı´dkou – a alesponˇv prˇı´padeˇSlunce i neprˇı´lisˇrozsa´hlou – vrstvu, ktera´se vyznacˇuje vysˇsˇı´teplotou, nezˇje teplota pod nı´lezˇıćı´fotosfe´ry. Tlousˇt’ka slunecˇnıćhromosfe´ry cˇinıási 104 km. Vzhledem k vysˇsˇı´teploteˇse chromosfe´ra projevuje podobneˇjako rozsa´hle´plynove´za´voje horkyćh hveˇzd: prˇı´tomnostıémisnıćh cˇar ve spektru. Nad chromosfe´rou se nacha´zı´jesˇteˇmnohem rˇidsˇıá geometricky rozsa´hlejsˇı´korońa, ktera´plynule prˇecha´zı´do prostoru. Za´rˇenı´korońy je nepatrne´proti za´rˇenı´slunecˇnı´ho disku a proto lze korońu prˇı´mo pozorovat bud’prˇi u´plnyćh slunecˇnıćh zatmeˇnıćh nebo z kosmicke´ho prostoru. V cˇa´sti slunecˇnı´korońy se pozorujıémisnıćˇa´ry zˇeleza a dalsˇıćh prvku˚ve velmi vysokyćh stupnıćh ionizace, cozˇ sveˇdcˇı´ o tom, zˇe ionizacˇnı´ teplota v korońeˇ dosahuje teploty azˇ 106 K. Existence teplotnıínverze s rostoucı´vzda´lenostıód strˇedu hveˇzdy se vysveˇtluje dynamicky´m zahrˇı´vańı´m v du˚sledku mohutnyćh konvektivnıćh pohybu˚. Konvektivnı´proudy vyvola´vajı´ ra´zove´zvukove´vlny, jejichzˇkinetickaénergie je u´meˇrna´hustoteˇa cˇtverci rychlosti. Hustota se vzda´lenostı´klesa´, rychlost roste a do chromosfe´ry a korońy se tak dosta´va´velke´mnozˇstvı´kinetickeénergie, z nı´zˇse jen nepatrnaćˇa´st vyza´rˇıá veˇtsˇina se pouzˇije na silne´zvy´sˇenı´teploty. Experimenta´lnı´du˚kazy existence chromosfe´r a koroń lze podle rostoucı´vzda´lenosti od strˇedu hveˇzdy srhnout takto:

1. Na I D cˇa´ry 588,9 a 589,5 nm: V te´to dvojici absorbcˇnıćh cˇar lze ve slunecˇnı´m spektru pozorovat rychlostnı´strukturu spodnıćˇa´sti chromosfe´ry. Take´ u neˇkteryćh jasnyćh veleobru˚trˇı´dy G a K se pozorujı´dodatecˇne´, do fialova posunuteábsorpce u te´to dvojice sodı´kovyćh cˇar, sveˇdcˇıćıó jejich okolohveˇzdne´m pu˚vodu.

2. Trojice Ca II cˇar v infracˇerveneóblasti u 849,8, 854,2 a 866,2 nm: V te´to trojici absorbcˇnıćh cˇar se u hveˇzd s chromosfe´rami pozorujıásymetrie cˇi slabe´zaplneˇnı´jader cˇar emisı´. Radia´lnı´rychlost se lisˇıód radia´lnı´rychlosti fotosferickyćh cˇar. (Pro zajı´mavost: tato trojice cˇar se pozoruje v emisi pro rˇadu silneˇinteragujıćıćh dvojhveˇzd, jejichzˇprima´ry jsou hveˇzdy se za´vojem.)

3. Cˇa´ry vodı´ku Balmerovy serie: U chladnyćh hveˇzd s chromosfe´rami se pozorujıńecˇekaneˇsilneá sˇiroke´ cˇa´ry vodı´ku, odpovı´dajıćı´vysˇsˇı´teploteˇnezˇje efektivnı´teplota prˇı´slusˇnyćh hveˇzd. Kromeˇtoho je naprˇ. u M1Ia hveˇzdy α Ori Hα profil posunut vu˚cˇi fotosfe´rˇe do fialova. U veleobru˚trˇı´dy K a zvla´sˇteˇ jasnyćh veleobru˚trˇı´d F a G se pozoruje i do fialova posunutaá cˇasoveˇpromeˇnna´Hα emise. U obrˇıćh hveˇzd populace II se pozorujıásymetricke´dvojite´Hα emise.

4. Emisnı´ja´dra cˇar Ca II K a H u 393,3 a 396,8 nm: Cˇa´ry ionizovane´ho va´pnı´ku jsou u chladnyćh hveˇzd silneá sˇirokeá v jejich ja´dru lze i na fotografickyćh spektrech pozorovat emisnı´slozˇku, zpravidla u hveˇzd, ktere´se v HR diagramu nacha´zejı´vpravo od pa´su nestability cefeid. Pozorujı´se u hveˇzd spektra´lnı´ho typu F a chladneˇjsˇıćh.

5. Emisnı´ja´dra dvojic cˇar Mg II u 279,55 a 280,27 nm a u 279,08 a 279,80 nm: Cˇa´ry ionizovane´ho horˇcˇı´ku v blı´zkeúltrafialoveóblasti majıóbvykle vu˚cˇi fotosfe´rˇe lepsˇı´kontrast a emise v jejich ja´drech

207 jsou tak le´pe patrne´. Pozorujı´se prakticky pro vsˇechny hveˇzdy hlavnı´posloupnosti chladneˇjsˇı´nezˇF2 a dokonce pro Altair se spektrem A7IV–V a pro vsˇechny obry a veleobry vpravo od pa´su nestability.

6. Emisnı´ja´dra cˇa´ry Lyα u 121,57 nm: Emisnı´profily vodı´kovećˇa´ry Lyα byly poprve´pozorovańy pomocı´druzˇice OAO3 – jde opeˇt o centra´lnıémisnı´ja´dro.

7. Emisnıćˇa´ry O I, C II, C IV a Si IV v UV oboru: Emisnı´profily teˇchto cˇar se pozorujı´pro rˇadu chladnyćh hveˇzd a sveˇdcˇıó teplotaćh 104 azˇ 2 105 K. · 8. Meˇrˇitelne´za´rˇenı´v rentgenove´m oboru spektra: Rentgenove´za´rˇenı´bylo druzˇicıÉinstein (HEAO-2) zjisˇteˇno pro hveˇzdy hlavnı´posloupnosti vsˇech spektra´lnıćh typu˚a pro neˇktere´G a K obry. Naprosto se ale nedarˇıńale´zt meˇrˇitelne´rentgenove´za´rˇenı´ pro nejchladneˇjsˇıóbry a veleobry v prave´hornı´ cˇa´sti HR diagramu, pro G azˇM veleobry a obry chladneˇjsˇı´ nezˇK2. Zda´se, zˇe tyto hveˇzdy nemajı´ horke´korońy. Za´rovenˇbylo ale zjisˇteˇno, zˇe intensita za´rˇenı´v rentgenove´m oboru nenı´jednoznacˇneˇ dańa spektra´lnı´m typem a luminositnı´trˇı´dou dane´ hveˇzdy. Zda´ se, zˇe rentgenove´ za´rˇenı´ souvisı´ s prˇı´tomnosti magnetickyćh polı´podobnyćh slunecˇnı´m. Vznik magnetickyćh polıú Slunce a chladnyćh hveˇzd se vysveˇtluje obvykle mechanismem dynama pu˚sobıćı´ho v konvektivnıćh zonaćh. Cirkulace mu˚zˇe by´t prˇirozeneˇovlivneˇna i rotacı´hveˇzd. Pozorovańı´sveˇdcˇıćıó zrˇetelne´korelaci mezi intensitou rentgenove´ho za´rˇenıá rotacˇnı´rychlostı´hveˇzd v rozmezı´spektra´lnıćh typu˚F7 azˇM5 se zdajı´tuto domneˇnku potvrzovat.

Pozorovańı´hveˇzdny´m veˇtrem rozsˇı´rˇenyćh chromosfe´r u neˇkteryćh za´krytovyćh dvojhveˇzd s chladnou veleobrˇı´ slozˇkou ukazujı´, zˇe jde o geometricky rozsa´hle´ oba´lky o rozmeˇrech neˇkolikra´t prˇevysˇujıćıćh rozmeˇry samotnyćh hveˇzd. Nejdelsˇı´pozorovacı´rˇady sveˇdcˇıćıó cˇasove´promeˇnnosti hveˇzdnyćh chromosfe´r existujıćelkem prˇirozeneˇ pro Ca II K emise v ja´drˇe. Ukazuje se, zˇe patrneˇvsˇechny chromosfe´ry jsou cˇasoveˇpromeˇnneńa cˇasovyćh sˇka´laćh od minut azˇpo staletı´. Kra´tkodobe´zmeˇny zveˇtsˇujı´zpravidla amplitudu zmeˇn s ru˚stem intensity emisnıćˇa´ry. Pro neˇkolik desı´tek hveˇzd spektra´lnıćh typu˚G2 a pozdeˇjsˇıćh byly pozorovańy neˇkolikalete´ cykly ve zmeˇnaćh intensity emise, prˇipomıńajıćı´jedenactiletyćyklus slunecˇnı´. Rychle´zmeˇny souvisejı´ v mnoha prˇı´padech s rotacı´prˇı´slusˇnyćh hveˇzd, cozˇ sveˇdcˇıó prˇı´tomnosti skvrn. Dlouhećykly podobne´ slunecˇnı´m se zrˇejmeˇpozorujı´pouze u hveˇzd s rotacˇnı´mi periodami delsˇı´mi nezˇ20 dnı´. Vy´skyt chromosfe´rickeáktivity lze posuzovat i podle typu hveˇzd, pro neˇzˇse pozoruje. Jedna´se o na´sle- dujıćı´trˇı´dy hveˇzd.

Hveˇzdy typu UV Cet. Tyto hveˇzdy byly definovańy jako skupina M3Ve azˇM6Ve hveˇzd, u kteryćh docha´zı´k obcˇasny´m prudky´m zjasneˇnı´m o 1 azˇ6 hveˇzdnyćh velikostı´, prˇicˇemzˇzjasneˇnıńastane beˇhem neˇkolika sekund cˇi nejvy´sˇe neˇkolika ma´lo desı´tek sekund a cele´zjasneˇnı´trva´10 azˇ50 minut. Mnozıáutorˇi vsˇak pojı´mali tuto definici volneˇji a zarˇazovali mezi typ UV Cet vsˇechny chladne´hveˇzdy, u nichzˇdocha´zı´ k obcˇasny´m eruptivnı´m zjasneˇnı´m prˇipomıńajıćı´m slunecˇnıérupce ve velke´m. Fotometricka´pozorovańı´ teˇchto hveˇzd mimo obdobı´zjasneˇnı´v neˇkteryćh prˇı´padech proka´zala prˇı´tomnost sveˇtelnyćh zmeˇn s periodu rotace, tedy opeˇt cosi prˇipomıńajıćı´hveˇzdne´skvrny.

208 Obra´zek 102: Profil chromosfe´rickećˇa´ry CaII pro sˇest chladnyćh hveˇzd. Prˇevzato z praće Stencel (1977).

Hveˇzdy typu BY Dra. Tyto hveˇzdy byly definovańy jako podskupina hveˇzd typu UV Cet (v obecneˇjsˇı´m pojetı´). Zarˇazujı´se mezi neˇhveˇzdy hlavnı´posloupnosti spektra´lnıćh typu˚K a M s emisemi jak v cˇaraćh vodı´ku, tak v cˇaraćh Ca II a s periodicky´mi sveˇtelny´mi zmeˇnami o maleámplitudeˇdo 0,m1 a s periodami neˇkolik dnı´. Je zna´mo asi 20 takovyćh hveˇzd. Bopp a Fekel (1977) zjistili, zˇe u zhruba poloviny vsˇech zna´myćh BY Dra hveˇzd (vcˇetneˇBY Dra samotne´) lze proka´zat, zˇe se jednaó spektroskopicke´dvojhveˇzdy, ve veˇtsˇineˇprˇı´padu˚s obeˇma slozˇkami pozorovatelny´mi ve spektru. U veˇtsˇiny zna´myćh dvojhveˇzd je perioda rotace a obeˇhu synchronizovańa. BY Dra sama se pohybuje ve vy´strˇedne´dra´ze a pozoruje se u nı´t.zv. pseudosynchronizace vlivem veˇtsˇı´prˇitazˇlive´sı´ly v periastru.

Hveˇzdy typu RS CVn. Jedna´se o dvojhveˇzdy s obeˇzˇny´mi periodami od 1 do 14 dnu˚ se synchroni- zovany´mi periodami rotace a obeˇhu a s teplejsˇı´mi slozˇkami spektra´lnıćh typu˚F cˇi G v blı´zkosti hlavnı´ posloupnosti, u kteryćh se asponˇmimo za´kryty pozorujı´ silneémisnıćˇa´ry Ca II a sveˇtelne´zmeˇny s rotacˇnı´ periodou zpu˚sobene´prˇı´tomnostı´skvrn na jejich povrchu. V prˇı´padeˇza´krytovyćh dvojhveˇzd se tyto sveˇtelne´ zmeˇny scˇı´tajı´se zmeˇnami v du˚sledku za´krytu˚a projevujı´se deformacemi za´krytovyćh krˇivek. Dlouhodoba´ pozorovańı´teˇchto hveˇzd proka´zala, zˇe skvrny postupneˇmigrujı´jako u Slunce, takzˇe fa´zovańıí sa´m vzhled sveˇtelnyćh krˇivek se dlouhodobeˇmeˇnı´. Jednou z nejvıće studovanyćh RS CVn hveˇzd je za´krytova´ dvojhveˇzda AR Lac, u ktere´se chromos- ferickaáktivita pozoruje pro obeˇslozˇky dvojhveˇzdy, jejichzˇspektra´lnı´typy jsou K0IV a G2IV. Existujı´ i velmi detailnı´pozorovańı´rentgenove´ho za´rˇenı´z obou slozˇek a model lokalizace koroń u nich. Jinou hojneˇ studovanou RS CVn hveˇzdou je V711 Tau, pro nı´zˇbyly objeveny rychle´zmeˇny profilu˚cˇar, podobne´putu- jıćı´m vlnka´m u horkyćh hveˇzd, a pro nı´zˇbyla poprve´pouzˇita metoda dopplerovskeínverze pozorovanyćh zmeˇn profilu˚cˇar (Doppler imaging). Pomocıńı´lze neza´visle v ru˚znyćh obdobıćh sledovat migraci skvrn na povrchu podobnyćh hveˇzd.

209 Obra´zek 103: Schematicky zna´zorneˇne´putova´nı´„vlnky“ ve spektra´lnı´cˇa´rˇe, v za´vislosti na poloze tmave´skvrny na povrchu hveˇzdy.

Obra´zek 104: Umeˇle vytvorˇeny´povrch hveˇzdy s na´pisem „VOGT“ a vpravo jeho u´speˇsˇna´rekontrukce z dopplerovskyćh meˇrˇenı´ syntetickyćh profilu˚cˇar. Prˇevzato z praće Vogt, Penrod a Hatzes (1987).

210 Teˇsne´dvojhveˇzdy typu W UMa. Jedna´se o dotykove´dvojhveˇzdy s kra´tky´mi obeˇzˇny´mi periodami a se slozˇkami obvykle podobnyćh a pozdnıćh spektra´lnıćh typu˚a se sveˇtelny´mi krˇivkami, ktere´se meˇnı´plynule beˇhem celeóbeˇzˇne´periody.

Hveˇzdy typu FK Com. Jedna´se o osamocene´hveˇzdy spektra´lnıćh typu˚G – K s promı´tnuty´mi rotacˇ- nı´mi rychlostmi kolem 100 kms−1, cozˇje u tak chladnyćh hveˇzd velice vysoka´hodnota. Jejich hlavnı´ charakteristikou je prˇı´tomnost emisnıćh cˇar, cˇasto silneˇjsˇıćh, nezˇjake´se pozorujı´pro RS CVn dvojhveˇzdy. Pozorujı´se u nich rovneˇzˇsveˇtelne´zmeˇny s amplitudou 0,m1–0,m2 a s periodami neˇkolik dnu˚, patrneˇopeˇt jejich rotacˇnı´mi periodami. Nevykazujı´zˇa´dne´zmeˇny radia´lnı´rychlosti. Zmeˇny jejich dvojityćh Hα emisnıćh profilu˚vykazujı´ V/R zmeˇny s periodou sveˇtelnyćh zmeˇn, cˇı´mzˇse podobajı´ horky´m hveˇzda´m se za´vojem. Vza´jemne´fa´zovańı´zmeˇn naznacˇuje, zˇe fotometricke´zmeˇny mohou souviset spı´sˇe s horkou, nezˇs chladnou skvrnou. Prˇi studiu vysokodispersnıćh spekter byly u FK Com nalezeny male´zmeˇny radia´lnı´rychlosti Hα emise s periodou sveˇtelnyćh zmeˇn a po jistou dobu byl proto zvazˇovań model interagujıćı´dvojhveˇzdy s velmi rozdı´lny´mi slozˇkami. Vy´vojove´stadium zu˚sta´va´za´hadou, snad by mohlo jı´t o hveˇzdy, ktere´vznikly postupny´m slitı´m dvojhveˇzdy typu W UMa v jedine´teˇleso. To by vysveˇtlovalo velkou rotacˇnı´rychlost.

16.4.2 Pulsujıćı´hveˇzdy: Cefeidy, Miry a AGB hveˇzdy Cefeidy. Cefeidy dostaly svu˚j na´zev podle druheóbjevene´promeˇnne´tohoto typu, δ Cep, jejı´zˇzmeˇny jasnosti objevil roku 1784 anglickyámate´r John Goodricke. (Vu˚bec prvnıóbjevenou cefeidou byla η Aql, kterou 10. za´rˇı´1784 objevil Edward Pigott.) Jsou to veleobrˇi spektra´lnıćh trˇı´d F, G a K s periodicky´mi zmeˇnami jasnosti a radia´lnıćh rychlostı´(viz obr. 105). Jejich periody se pohybujı´v rozmezıód neˇkolika dnı´ do skoro 100 dnıá amplitudy sveˇtelnyćh zmeˇn cˇinı´0,m1–2,m0. Jedna´se o vyvinute´hveˇzdy v pa´su pulsacˇnı´ nestability, ktere´jizˇspa´lily i helium ve svyćh ja´drech. Podle sta´rˇı´se rozlisˇujıćefeidy trˇı´dy I a II, cozˇ odpovı´da´ objektu˚m prvnıá druhe´populace hveˇzd. Typicky´m prˇedstavitelem trˇı´dy I je pra´veˇ δ Cep (spektra´lnı´typ F5Iab), cefeida´m typu II se podle typicke´prˇedstavitelky rˇı´ka´take´hveˇzdy typu W Vir. Vztah perioda – za´rˇivy´vy´kon se pro cefeidy typu I a II lisˇı´, cefeidy typu I jsou pro danou pulsacˇnı´periodu asi o 1,m5 jasneˇjsˇı´ nezˇcefeidy typu II. Kervella a kol. (2004) vyuzˇili interferometrickaúrcˇenı´polomeˇru˚sedmi klasickyćh cefeid k nove´kalibraci nulove´ho bodu vztahu perioda – za´rˇivy´ vy´kon, prˇicˇemzˇ sklon prˇı´mky prˇijali z drˇı´veˇjsˇı´ studie Gierena a kol. (1998) zalozˇeneńa cefeidaćh z Velke´ho Magellanova mracˇna. Jejich nejnoveˇjsˇı´vztah ma´tedy tvar

M = (2,769 0,073) log P (1,440 0,075) . (693) V − ± − ±

Miry Miry patrˇı´k nejna´padneˇjsˇı´m promeˇnny´m hveˇzda´m. Jejich periody zmeˇn jasnosti a radia´lnıćh rych- lostı´jsou vesmeˇs delsˇıńezˇ100 dnıá amplitudy sveˇtelnyćh zmeˇn jsou veˇtsˇıńezˇ1,m0 a nezrˇı´dka dosahujı´ i vıće nezˇ10,m0! Ve spektrech teˇchto hveˇzd se vyskytujıí silneémisnı´ cˇa´ry. Klasicke´vysveˇtlenı´je, zˇe se jednaó obrˇı´hveˇzdy v pozdnıćh vy´vojovyćh stadiıćh. Prototyp skupiny Mira Ceti (omikron Ceti) je hveˇzdou spektra´lnı´trˇı´dy M7IIIe, jejı´zˇjasnost se meˇnı´ s periodou 331,m65 od 2,m0 do 10,m1. Sekunda´rnı´slozˇkou Miry Ceti je bı´ly´trpaslı´k a snı´mky z Hubbleova

211 Obra´zek 105: Srovna´nı´prvnı´krˇivky radia´lnı´ch rychlostı´ δ Cep (Be´lopolsky 1895) s jejı´prvnı´fotoelektrickou sveˇtelnou krˇivkou (Stebbins 1908). Na ose x je fa´ze od minima jasnosti s periodou 5,d366316.

Obra´zek 106: HR diagram s cˇa´rkovaneˇvyznacˇeny´m pa´sem nestability, ve ktere´m se vyskytujı´cefeidy. Prˇevzato z ???.

212 Obra´zek 107: Schema pulsacıćefeidy a odpovı´dajıćıćh zmeˇn luminosity, barvy, radia´lnı´rychlosti a polomeˇru. Prˇevzato z ???. kosmicke´ho dalekohledu naznacˇujıínterakci mezi obeˇma hveˇzdami a vedou k odhadu polomeˇru Miry: 700 R⊙.

Hveˇzdy asymptoticke´veˇtve obru˚ (Asymptotic Giant Branch Stars, AGB). Jedna´se o relativneˇ kra´tke´ pozdnı´vy´vojove´stadium cyklickyćh tepelnyćh pulsu˚ souvisejıćıćh s horˇenı´m helia v heliove´slupce a s hluboko zasahujıćı´povrchovou konvektivnı´zońou. Tı´mto stadiem projdou hveˇzdy o pocˇa´tecˇnıćh hmotnostech asi 0,8 azˇ8 M⊙. Vyvine se u nich i silny´hveˇzdny´vı´tr, ktery´vede k odvrhovańı´hmoty do prostoru rychlostmi −8 −4 10 –10 M⊙ za rok a v chladnyćh oba´lkaćh kolem nich se tvorˇı´komplexnı´molekuly. Na´sledujıćı´vy´voj vede ke vzniku planeta´rnıćh mlhovin a koncˇı´stadiem bı´le´ho trpaslı´ka. Existuje ale i domneˇnka, zˇe jev souvisı´s podvojnostı´teˇchto objektu˚a konkre´tneˇs pohybem sekunda´rnı´slozˇky uvnitrˇatmosfe´ry obra. Mezi AGB hveˇzdy se zahrnujı´Miry, polopravidelneá nepravidelne´promeˇnne´.

16.5 Hveˇzdy v ranyćh vy´vojovyćh stadiıćh Upozorneˇme, zˇe mu˚zˇe by´t obtı´zˇne´rozlisˇit kontrahujıćıóbjekty od objektu˚vyvinutyćh od hlavnı´posloupnosti — nacha´zejı´se totizˇna stejne´m mı´steˇna HR diagramu. Napoveˇdeˇt mu˚zˇe cˇlenstvı´ve hveˇzdokupeˇzna´me´ho veˇku nebo chemicke´slozˇenıátmosfe´r, naprˇı´klad cˇa´ra lithia (na 670,7 nm), jakozˇto prvku, ktery´se spotrˇebuje jesˇteˇbeˇhem smrsˇt’ovańı´.40

40Dalsˇı´z mozˇnostı´je molekula 13CO pozorovana´v emisi v cirkumstela´rnı´la´tce. Obohacenı´tı´mto izotopem uhlı´ku ma´totizˇ pu˚vod v termonuklea´rnıćh reakcıćh vyvinutyćh objektu˚, kdezˇto objekty prˇed dosazˇenı´m hlavnı´posloupnosti majı´pomeˇr 12C/13C stejny´jako mezihveˇzdna´la´tka.

213 Hveˇzdy typu T Tau. Jedna´se o osamocene´hveˇzdy spektra´lnıćh typu˚F5 – G5, u nichzˇ se pozorujı´ chromosferickeémisnıćˇa´ry (zejmeńa Ca II) a rychleá zcela nepravidelne´zmeˇny jasnosti s amplitudami azˇ 3,m0. Majıńı´zky´za´rˇivy´vy´kon a zpravidla se vyskytujı´ uvnitrˇza´rˇıćı´ cˇi temne´ mlhoviny. Pozdeˇji se uka´zalo, zˇe v prˇı´padech, kdy se u teˇchto hveˇzd pozoruje absorbcˇnıćˇa´rove´spektrum, odpovı´da´zpravidla spektra´lnı´m typu˚m mezi pozdnı´m typem F a typem M, prˇicˇemzˇje ve spektru prˇı´tomna silnaábsorbcˇnıćˇa´ra lithia 670,7 nm. Pomeˇrneˇneda´vno se podarˇilo proka´zat, zˇe mnohe´T Tau hveˇzdy jsou slozˇkami visua´lnıćh dvojhveˇzd s dlouhy´mi obeˇzˇny´mi periodami. Dnes se veˇtsˇina badatelu˚shoduje v na´zoru, zˇe hveˇzdy T Tau jsou mlade´hveˇzdy, ktere´teprve kontrahujı´k hlavnı´posloupnosti nulove´ho veˇku (obr. 108) a dosud u nich −7 probı´haí akrece hmoty z okolnı´mlhoviny (rychlostı´ M˙ 10 M⊙/yr). Tomu odpovı´daí prˇı´tomnost silne´ cˇa´ry lithia. Jejich nepravidelne´sveˇtelne´zmeˇny se vysveˇtlujıńehomogenitami≤ v rozsa´hlyćh oba´lkaćh, ktere´ je obklopujı´. Jejich trvańı´se odhaduje na 1 azˇ10 Myr. V okolı´teˇchto mladyćh hveˇzd se cˇasto vyskytujı´ Herbigovy–Harovy objekty — zhusˇteˇniny, vznikajıćı´ prˇi interakci vy´trysku˚s okolnı´mezihveˇzdnou la´tkou. Mezi mlade´hveˇzdneóbjekty (angl. young stellar objects, YSO) patrˇı´take´hveˇzdy typu FU Orionis (nazy´vane´te´zˇfuory). Jejich velka´promeˇnnost se interpretuje tak, zˇe na hveˇzdu jesˇteˇpada´ja´dro velke´ho −6 molekulove´ho mracˇna, cˇı´mzˇ vznikajı´ opakovana´ vzplanutı´, trvajıćı´ 10 roku˚, s M˙ 10 M⊙/yr. V syste´mu je prˇı´tomen horky´disk, s teplotou asi 1 000 K na 1 AU. Mezi≃ vzplanutı´mi by´vajıíntervaly≥ klidu, trvajıćı´100 roku˚, a celkem fa´ze FU Ori trva´0,1 Myr.

16.6 Hveˇzdy v pozdnıćh vy´vojovyćh stadiıćh 16.6.1 Bı´lı´trpaslıći a ZZ Ceti hveˇzdy Bı´lı´trpaslıći se v dvourozmeˇrne´klasifikaci popisujı´luminositnı´trˇı´dou VII, mnohem cˇasteˇji se vsˇak v astronomicke´literaturˇe objevuje oznacˇenı´DA, DB, DO a podobneˇ, oznacˇujıćı´bı´le´trpaslı´ky se spektry spektra´lnıćh trˇı´d A, B, O atd. Trˇı´da DA je charakterizovańa prˇı´tomnostıćˇar vodı´ku v atmosfe´rˇe prˇı´slusˇnyćh hveˇzd, u trˇı´dy DB jsou prˇı´tomny cˇa´ry neutra´lnı´ho helia. Podrobneˇjsˇı´m studiem se uka´zalo, zˇe DA a DB trpaslıći tvorˇı´dveˇodlisˇne´skupiny objektu˚a dveˇsekvence v HR diagramu. Relativnıóbsah helia v atmosfe´raćh DA trpaslı´ku˚je nepatrny´(He/H < 10−3). Naopak v atmosfe´raćh DB hveˇzd prakticky chybı´vodı´k (He/H > 105). Byly nalezeny i neˇktere´prˇechodne´prˇı´pady DB hveˇzd, oznacˇovane´DBA, u nichzˇlze slabećˇa´ry vodı´ku ve spektrech pozorovat (He/H 3—10 103). Bı´lı´trpaslıći klasifikovanı´DO jsou pokracˇovańı´m sekvekce DB smeˇrem k vysˇsˇı´m teplota´m.∼ Statisticke´studie· relativnıćˇetnosti obou sekvencıúkazujı´, zˇe trpaslıći typu DA prˇevazˇujı´, je jich asi 80 procent. Pomocı´modelu˚atmosfe´r slozˇenyćh bud’z cˇiste´ho vodı´ku nebo helia byl odhadnut rozsah efektivnıćh teplot DA trpaslı´ku˚v rozmezıód 7000 do 30000K, pro DB hveˇzdy je to 12000 azˇ30000K. Rozlozˇenı´prostorovyćh rychlostıúkazuje, zˇe naprosta´veˇtsˇina bı´lyćh trpaslı´ku˚pocha´zı´ze starsˇı´populace II. Existence dvou sekvencı´se vysveˇtluje tı´m, zˇe u neˇkteryćh objektu˚dojde na konci stadia asymptoticke´ veˇtve obru˚k tak mohutny´m tepelny´m pulsu˚m, zˇe se prˇi nich nuklea´rnı´m horˇenı´m spotrˇebuje zby´vajıćıát- mosfericky´vodı´k a zbudou jen teˇzˇsˇı´prvky. U trpaslı´ku˚typu DA, kde se vodı´k takto nespotrˇebuje, dojde ke zmizenı´helia v du˚sledku za´rˇive´difuse.

214 Obra´zek 108: Polohy hveˇzd T Tauri na HR diagramu. Velikosti symbolu˚odpovı´dajı´rychlosti rotace. Plne´symboly zvy´raznˇujı´ hveˇzdy se silny´mi emisnı´mi cˇarami. Krˇivky jsou teoreticke´vy´vojove´stopy (prˇed hlavnı´posloupnostı´). Prˇevzato z pra´ce Bertout (1989).

215 ZZ Cet hveˇzdy jsou bı´lı´ trpaslıći typu DA, u nichzˇ docha´zı´ k meˇrˇitelny´m zmeˇna´m jejich jasnosti. Zmeˇny jasnosti jsou zrˇejmeˇperiodickeá cˇasto multiperiodicke´, a velmi rychle´. Periody zna´myćh ZZ Cet hveˇzd jsou mezi 100 a 1200 sekundami, cozˇje ale o hodneˇdelsˇı´, nezˇ by odpovı´dalo jejich radia´lnı´m pulsacı´m, takzˇe se dosti vsˇeobecneˇsoudı´, zˇe pozorovane´zmeˇny jasnosti jsou projevem pulsacıńeradia´lnıćh. Byla nalezena urcˇita´korelace mezi amplitudou pozorovanyćh zmeˇn a slozˇitosti sveˇtelnyćh krˇivek. ZZ Cet hveˇzdy s maly´mi amplitudami do 0,m05 majı´zpravidla periodicke´sinusove´zmeˇny jasnosti, jejichzˇperioda je velmi sta´la´. V poslednıćh desetiletıćh je pulsacı´m ZZ Cet hveˇzd veˇnovana´znacˇna´pozornost, nebot’existuje opra´vneˇnańadeˇje, zˇe se s jejich pomocı´lze dozveˇdeˇt hodneˇo skutecˇne´vnitrˇnı´stavbeˇbı´lyćh trpaslı´ku˚, podobneˇjako v prˇı´padeˇnasˇeho Slunce. Soudı´se, zˇe mozˇna´vsˇichni bı´lı´trpaslıći typu DA se sta´vajı´pulsacˇneˇ nestabilnı´mi, kdyzˇse beˇhem sve´ho vy´voje a postupne´ho chladnutı´dosta´vajı´do oblasti s efektivnı´teplotou mezi 13000 a 11000K. Pulsace byly ovsˇem objeveny a studovańy i u neˇkolika trpaslı´ku˚DB a jejich analy´zou a porovnańı´m s modely proka´zali Metcalfe a kol. (2005), zˇe cˇisteˇheliovaátmosfe´ra DB trpaslı´ku˚je patrneˇdu˚sledkem za´rˇive´difuse. Na prˇechodu od hveˇzd asymptoticke´veˇtve obru˚k bı´ly´m trpaslı´ku˚m existujı´teplejsˇı´hveˇzdy typu PG 1159, ktere´majı´v atmosfe´rˇe zastoupenı´helia, uhlı´ku i kyslı´ku, coby zbytku ja´dra pu˚vodnı´hveˇzdy. Vy´pocˇty uka´zaly, zˇe za´rˇiva´difuse vynese helium k povrchu, a necha´tak vzniknout cˇisteˇheliove´hornı´ atmosfe´rˇe. K lepsˇı´mu pochopenı´vy´vojove´ho stadia bı´lyćh trpaslı´ku˚a souvislosti s hveˇzdami asymptoticke´veˇtve obru˚a novami (viz nı´zˇe) poma´haí studium bı´lyćh trpaslı´ku˚, kterˇı´jsou slozˇkami dvojhveˇzd. Naprˇ. Kawka a Vennes (2003) urcˇili dra´hoveélementy a studovali i elipsoida´lnı´promeˇnnost dvojice BMP 71214 slozˇene´ s bı´le´ho trpaslı´ka DA a cˇervene´ho trpaslı´ka dMe, ktery´te´meˇrˇzaplnˇuje Rocheovu mez. V te´to dvojhveˇzdeˇ zrˇejmeˇv budoucnu nastane prˇenos hmoty a eruptivnı´zjasneˇnı´. Drahoveélementy neˇkolika horkyćh bı´lyćh trpaslı´ku˚urcˇili Kawka a kol. (2008) na dalekyćh UV spektrech z druzˇice FUSE. Jde vesmeˇs o soustavy, ktere´prosˇly stadiem asymptoticke´veˇtve obru˚se spolecˇnou oba´lkou. Analy´za chemicke´ho slozˇenıúkazuje, zˇe docha´zı´k akreci hmoty na povrchu bı´lyćh trpaslı´ku˚ z hveˇzdne´ho veˇtru jejich pru˚vodcu˚. O tom, zˇe se jedna´skutecˇneˇo kompaktnıóbjekty, sveˇdcˇıí vy´razny´rozdı´l ve strˇednı´(syste´move´) radia´lnı´rychlosti bı´lyćh trpaslı´ku˚a jejich pru˚vodcu˚zpu˚sobeny´veˇtsˇı´m gravitacˇnı´m rudy´m posuvem bı´lyćh trpaslı´ku˚.

16.6.2 Novy Pokud je bı´ly´trpaslı´k slozˇkou dvojhveˇzdy a dojde k prˇenosu hmoty bohateńa vodı´k z druhe´slozˇky na povrch bı´le´ho trpaslı´ka, mu˚zˇe docha´zet k velmi na´padny´m zjasneˇnı´m soustavy. Na povrchu bı´le´ho trpaslı´ka mu˚zˇe nastat velmi bourˇlive´jaderne´slucˇovańı´vodı´ku na helium, cozˇvede k vy´buchu a odvrzˇenıóba´lky do okolnı´ho prostoru. Pohyb hmoty velky´mi rychlostmi se skutecˇneˇu nov po vy´buchu pozoruje, prostrˇednictvı´m dopplerovske´ho rozsˇı´rˇenıćˇar. Zna´my jsou rovneˇzˇ trpaslicˇıńovy, dvojhveˇzdy slozˇene´z bı´le´ho trpaslı´ka a cˇervene´ho trpaslı´ka (norma´lnı´ hveˇzdy), jejichzˇobeˇzˇne´periody cˇinı´jen neˇkolik hodin a u nichzˇdocha´zı´k opakovany´m zjasneˇnı´m o 3 azˇ 5 hveˇzdnyćh velikostı´beˇhem ty´dnu˚azˇneˇkolika let. Soudı´se, zˇe i tyto objekty se zjasnˇujı´v du˚sledku prˇenosu hmoty mezi slozˇkami, mechanismus ale patrneˇnesouvisı´s nuklea´rnı´m horˇenı´m, ale s nestabilitou akrecˇnı´ho disku kolem bı´le´ho trpaslı´ka, jehozˇopacita se v du˚sledku akrece po dosazˇenıúrcˇite´kriticke´hodnoty mu˚zˇe

216 Obra´zek 109: Sveˇtelna´krˇivka rekurentnıńovy SS Cyg, od roku 1897 do roku 1933; jasnost se polopravidelneˇmeˇnı´mezi 12mag a 8mag. Prˇevzato z praće Bath a van Paradijs (1983). velmi prudce zmeˇnit. Zda´se jiste´, zˇe vy´buchy nov vedou jen k relativneˇ male´ ztra´teˇhmoty ze soustavy, pomeˇrˇovańo celkovou hmotnostı´hveˇzd. U neˇkteryćh trpaslicˇıćh nov s mnoha pozorovany´mi zjasneˇnı´mi byla nalezena korelace mezi mohutnostı´zjasneˇnıá dobou do na´sledujıćı´ho zjasneˇnı´.

16.6.3 Supernovy Klasifikace supernov je tradicˇneˇza´vislańa jejich spektrech. Spektra´lnıćˇa´ry mı´vajı´profily typu P Cygni, cozˇsveˇdcˇıó rozpıńajıćı´se oba´lce, a jsou silneˇrozsˇı´rˇene´dı´ky radia´lnı´m rychlostem rˇa´du 103 azˇ 104 km/s; prˇı´klady typickyćh spekter uva´dıóbr. 110. V tab. 7 vidı´me za´kladnı´krite´rium klasifikace, ktery´m je prˇı´tomnost spektra´lnıćh cˇar vodı´ku. Jestlizˇe jsou patrne´, jedna´se o typ II, v opacˇne´m prˇı´padeˇtyp I. Dalsˇı´rozdeˇlenı´SN II je podle intenzity cˇar he´lia na typy IIn a IIb a nakonec se typ IIn deˇlı´podle tvaru sveˇtelne´krˇivky na typy IIP (s prˇı´tomnostı´plata po maximu) a IIL (s prˇiblizˇneˇlinea´rnı´m poklesem v magnitudaćh). Supernovy SN I se da´le trˇı´dı´podle prˇı´tomnosti cˇar krˇemı´ku a he´lia na podtypy Ia, Ib, Ic. Ve spektrech samozrˇejmeˇnejsou pouze zminˇovane´diagnostickećˇa´ry, ale i dalsˇı´. Naprˇı´klad supernovy SNIa majı´v rane´m spektru cˇa´ry Si II, Ca II, Mg II, S II, O II, po 2 ty´dnech se objevujı´dovolenećˇa´ry Fe II a zhruba po sˇesti meˇsıćıćh, v nebula´rnı´ fa´zi, zaka´zanećˇa´ry [Fe II], [Fe III], [Co III]. Relativnıíntenzita [Co III]/[Fe III] prˇitom klesa´s cˇasem, cozˇnaznacˇuje radioaktivnı´rozpad kobaltu. Spektra supernov SNII jsou v maximu cˇasto te´meˇrˇspojita´, bez spektra´lnıćh cˇar, pozdeˇji se objevujıémisnıćˇa´ry vodı´ku a jesˇteˇ pozdeˇji zaka´zanećˇa´ry kovu˚(obr. 111). Sveˇtelne´krˇivky vykazujı´velmi rychly´vzestup, veˇtsˇinou beˇhem neˇkolika dnı´. Na´sledny´pokles je pozo-

217 Tabulka 7: Klasifikace supernov podle spekter. Hornı´tabulka je pro spektra porˇı´zena´v maximu, dolnı´pro pozdnı´— porˇı´zena´ 6 meˇsıću˚po maximu (supernebula´rnı´spektra). Kurzı´vou jsou vzˇdy vyznacˇena krite´ria (prˇı´tomnost nebo neprˇı´tomnost spektra´lnıćh cˇar urcˇityćh prvku˚, prˇı´p. tvar sveˇtelne´krˇivky), antikvou je oznacˇenı´typu˚.

H/bezH SN II SN I prˇevazˇuje H / He Si / bez Si IIn IIb Ia mnoho He / ma´lo He sv. krˇivka linea´rnı´/ plato Ib Ic IIL IIP

H/bezH SN II SN I prˇevazˇuje H / O O/bezO IIn (H, Ca) IIb (H, O, Ca) Ib, c (O, Ca) Ia (Fe, Co)

rovatelny´po dva roky. Rozdı´ly mezi jednotlivy´mi typy jsou patrne´na obr. 112. Svı´tivost je nejveˇtsˇı´pro typ Ia, v maximu jasnosti dosahuje

H0 MV 19,30mag +5log , (694) ≃ − 60 km s−1 Mpc−1 kde H0 je hodnota Hubbleova parametru. Rozptyl te´to za´vislosti je velmi maly´(σM 0,3mag) a mu˚zˇe by´t jesˇteˇzlepsˇen parametrizacı´sˇı´rˇky maxima a rychlosti poklesu sveˇtelne´krˇivky (sˇiroke´,≃ resp. pomalu klesajıćı´ vycha´zejı´jasneˇjsˇı´; Perlmutter a spol. 1997). Supernovy tohoto typu jsou tedy vhodne´jako „standardnı´ svıćˇky“ pro urcˇovańı´vzda´lenostı´ve vesmı´ru. Typy Ib a Ic jsou asi cˇtyrˇikra´t (o 1 azˇ2 mag) slabsˇı´. Pro typ II je charakteristicky´velky´rozptyl svı´tivosti, nejcˇasteˇji se vsˇak pohybuje na u´rovni typu˚Ib a Ic. Typy Ib, Ic a II se vzˇdy nacha´zejı´ve spira´lnıćh nebo nepravidelnyćh galaxiıćh, obvykle ve spira´lnıćh ramenech v blı´zkosti oblastı´H II, tj. v mı´stech intenzivnı´ho zrodu hveˇzd. Odtud plyne, zˇe progenitory jsou mlade´masivnı´hveˇzdy, ktereńa hlavnı´posloupnosti setrva´vajı´prˇiblizˇneˇdeset miliońu˚let. Supernovy Ia jsou vsˇak pozorovańy ve vsˇech typech galaxiı´, nevykazujı´koncentraci do spira´lnıćh ramen. Vznikajı´tedy z hveˇzd starsˇıćh, meńeˇhmotnyćh. Pozorovańı´prˇedcha´zejıćı´vy´buchu˚m supernov sveˇdcˇıó tom, zˇe pu˚vodci supernov typu˚II, Ib a Ic jsou cˇervenı´veleobrˇi, svı´tive´modre´promeˇnneńebo Wolfovy–Rayetovy hveˇzdy (Langer a kol. 1994, Meynet a Maeder 2003, Kotak a Vink 2006). Progenitory supernov Ia se nepodarˇilo prˇı´mo identifikovat.

218 Obra´zek 110: Spektra supernov typu Ia (SN 2006 LF, nahorˇe) a IIb (SN 2006 JD, dole). Zrˇetelny´je rozdı´l v prˇı´tomnosti vodı´kove´ cˇa´ry Hα (λ = 653 nm). Prˇevzato z http://www.cfa.harvard.edu/supernova/RecentSN.html.

Obra´zek 111: Prˇı´klad rane´ho spektra supernovy typu II v oboru 300 azˇ900 nm, zachycen je cˇasovy´vy´voj spektra od 13 do 119 dnı´po explozi (SN 1992 H v galaxii NGC 5377). Sˇı´rˇky cˇar dosahujı´ 2∆λ 50 nm, cozˇodpovı´da´dopplerovsky´m rychlostem rˇa´du v/c = ∆λ/λ 0,1. Prˇevzato z pra´ce Clocchiatti a spol. (1996). ≃ ≃

219 Obra´zek 112: Sveˇtelne´krˇivky trˇı´typu˚supernov (normalizovane´na maximum jasnosti). Na vodorovne´ose jsou dny po maximu, na svisle´hveˇzdne´velikosti pod maximem.

220 Podeˇkovańı´ Za velmi uzˇitecˇne´prˇipomıńky k prˇedchozı´m verzı´m tohoto textu deˇkujeme Dr. Ivanovi Hubene´mu. Nasˇe podeˇkovańı´patrˇı´rovneˇzˇstudentu˚m slecˇna´m Marii Hrudkoveá IvaneˇStoklasoveá pańu˚m Janovi Libichovi, Toma´sˇovi Prosecke´mu, Stanislavu Poddane´mu, Luka´sˇovi Shrbene´mu a Vojteˇchovi Sidorıńovi za jejich cenne´ prˇipomıńky a za nalezenıćhyb a prˇeklepu˚. Tento ucˇebnı´text vzniknul za podpory grantu MSˇMT 34/2003.

221 Rejstrˇı´k

α Cen A, 164 Atwoodovo cˇı´slo, 186 α Ori, 207 Avogadrovo cˇı´slo, 14 β Lyr, 133 β Cep hveˇzdy, 190 B hveˇzdy, 189 δ Cep, 211 Be hveˇzdy, 192 δ Del hveˇzdy, 201 Bernoulliho rovnice, 107 δ Scuti hveˇzdy, 203 berylium, 205 η Aql, 211 bı´ly´trpaslı´k, 73, 96, 102, 180, 214 η Car, 174 bina´rnı´pulsar, 90, 145 γ Dor hveˇzdy, 204 bolometricka´hveˇzdna´velikost, 81 λ Boo hveˇzdy, 203 bolometricka´korekce, 81 µ Cen, 199 Boltzmannova konstanta, 18 o Cet, 211 Boyleu˚v–Mariottu˚v za´kon, 16 ρ Pup hveˇzdy, 201 Bp hveˇzdy, 190 ζ Pup, 188 Bruntova–Vaïsa¨laöva frekvence, 163 BY Dra, 209 absolutneˇcˇerne´teˇleso, 45 absolutnı´hveˇzdna´velikost, 80 CAK teorie, 108 absolutnı´teplota, 17 Carsonovy opacity, 151 absorpcˇnı´koeficient, 80 cefeidy, 27, 211 adiabaticke´prˇiblı´zˇenı´, 159 CIR, 112 adiabaticky´deˇj, 93, 169 cirkumstela´rnıćˇa´ry, 103 AGB, 71 CNO cyklus, 31 AGB hveˇzdy, 213 Coriolisova sı´la, 133 akrece, 181 coulombovska´barie´ra, 29 akrecˇnı´disk, 133, 178, 216 Coxovy tabulky, 37 akusticke´vlny, 161 CP1 hveˇzdy, 201 Am hveˇzdy, 201 CV Ser, 189 Anaxagora´s, 5 Cˇerenkovovo za´rˇenı´, 176 Ap hveˇzdy, 202 cˇerna´dı´ra, 73, 178 apsida´lnı´pohyb, 88 cˇerveny´veleobr, 218 AR Lac, 209 Arches, 174 Daltonu˚v za´kon, 18 Archime´du˚v za´kon, 46 deflagrace, 181 asteroseismologie, 146 deflagracˇnı´vlna, 182 asymptoticka´veˇtev obru˚, 71, 114, 213 degenerace, 19 atomova´hmotnost, 13 detonace, 181

222 deuterium, 28, 172 Hayashiho linie, 171 diferencia´lnı´rotace, 120, 124 HD 200120, 197 diferencˇnı´rovnice, 60 heliova´slupka, 70 difuze, 46 Helmholtz, H., 6 diskretizace, 60 Henyeova metoda, 60 disociace, 168 Herbigovy–Harovy objekty, 214 disperznı´vztah, 162–164 Herschel, J., 5 dosvit, 179 Hertzsprungu˚v–Russellu˚v diagram, 67, 74, 83 dusı´k, 33 Hipparcos, 81 dvojhveˇzdy, 85 hlavnı´posloupnost, 83 dynamickaćˇasova´sˇka´la, 148 hlavnı´posloupnost nulove´ho veˇku, 65, 78 dynamicka´sˇka´la, 54 hmotovy´pomeˇr, 129 dynamicky´model, 54 hneˇdy´trpaslı´k, 71, 96 homogenizace, 54 Eddingtonova limita, 173 horky´pa´s, 133 efektivnı´tı´hove´zrychlenı´, 58 Hubbleovy–Sandageovy promeˇnne´, 199 elektronova´degenerace, 71 Hubbleu˚v parametr, 218 entropie, 35 hugoniota, 184 Eulerova integrace, 99, 108 hustota za´rˇiveénergie, 40 eulerovska´derivace, 159 hveˇzda se za´vojem, 127, 144 EX Hydrae, 145 hveˇzdny´vı´tr, 8, 73, 103, 127, 178 exploze, 181 hveˇzdny´vı´tr rˇı´zeny´za´rˇenı´m, 108 f-mo´dy, 163 hveˇzdokupy, 82, 84 Fermiho–Diracovy funkce, 21 hveˇzdy se za´vojem, 192 FK Com, 211 Hya´dy, 206 fotodisintegrace, 177 hybnost, 13 fotosfe´ra, 57 hydrodynamicke´rovnice, 107, 159 fragmentace oblaku, 169 hydrostaticka´rovnova´ha, 53 FU Orionis, 214 hypernova, 177 fuory, 214 Chandrasekharova mez, 102, 175, 180 g-mo´dy, 9, 162 Chapmanova–Jouguetova rychlost, 185 Gamowu˚v vrchol, 29 chemicke´slozˇenı´, 88 Gayu˚v–Lussacu˚v za´kon, 16 chemicky pekulia´rnı´hveˇzdy, 190, 201 Goodricke, J., 211 chladnutı´, 5 gramatom, 14 chromosfe´ra, 207 grammolekula, 14 idea´lnı´plyn, 16 gravitacˇnı´kolaps, 65, 168 interferometrie, 82 gravitacˇnı´potencia´lnıénergie, 6 ionizace, 6, 148, 168 GRB, 177 isobaricky´deˇj, 93

223 isochoricky´deˇj, 93 Maxwellovo rozdeˇlenı´, 19, 29 isoterma´lnıátmosfe´ra, 106 Mayer, J. R., 5 isotermicky´deˇj, 93, 169 meridiona´lnıćirkulace, 120 metalicita, 111, 178 Jeansovo krite´rium, 65, 169, 177 metoda u´plne´linearizace, 60 Johnsonu˚v syste´m UBV , 80 mezihveˇzdnaábsorpce, 81 Jupiter, 71 Mira Ceti, 211 Kamiokande II, 176 miry, 211 kataklyzmaticke´promeˇnne´, 181 mlade´hveˇzdneóbjekty, 214 Kelvinova–Helmholtzova kontrakce, 169 modul vzda´lenosti, 84 Kelvinova–Helmholtzova nestabilita, 187 mol, 14 Kelvinova–Helmholtzova sˇka´la, 6, 169 mola´rnı´hmotnost, 14 Keplerova rychlost, 119 molekulova´hmotnost, 14 Kepleru˚v za´kon, 54 nebula´rnıćˇa´ry, 217 Kirchhoffu˚v za´kon, 43 neradia´lnı´pulsace, 152 konvekce, 8 neutrino, 28, 175, 176 konvektivnıńestabilia, 177 neutrinovy´proble´m, 11 konvektivnıńestabilita, 163 neutronizace, 175 konvektivnı´prˇestrˇelovańı´, 8, 73 neutronova´degenerace, 177 konvektivnı´zońa, 54, 65, 69, 88, 206 neutronova´hveˇzda, 73, 96, 175, 178 korotujıćıínterakcˇnıóblast, 112 novy, 216 Krabı´mlhovina, 175 nuklea´rnı´sˇka´la, 7 Kramersovy opacity, 147 nukleosynte´za, 179 lagrangeovska´derivace, 159 O hveˇzdy, 188 lamina´rnı´rychlost deflagrace, 182 oba´lkova´rotace, 123 la´tkove´mnozˇstvı´, 14 obrˇı´molekulova´mracˇna, 65, 170 LBV, 199 ochlazovańı´, 168 Legendru˚v polynom, 121 opacita, 37, 179 linearizace, 62 opacitnı´mechanismus, 147, 190 linie konstantnıćˇa´sticove´rychlosti, 184 opticka´hloubka, 57 lithiovy´proble´m, 9 lithium, 172, 205 P Cyg, 199 loka´lnı´termodynamicka´rovnova´ha, 43 p-mo´dy, 9, 161 Lorentzu˚v faktor, 178 parametr degenerace, 21 Parkerova rovnice, 108 M1, 175 Pauliho vylucˇovacı´princip, 19 magicka´ja´dra, 27 Piggot, E., 211 Male´Magellanovo mracˇno, 56, 111 Planckova funkce, 44 matematicke´kyvadlo, 164 Pleja´dy, 84, 205

224 pocˇa´tecˇnı´podmıńky, 55 roAp hveˇzdy, 202 podfotosfe´ricke´vrstvy, 57 Rocheova mez, 132 Pogsonova rovnice, 80, 175 Rocheu˚v model, 116, 129 pohybova´rovnice, 26, 107 Rosselandova strˇednıópacita, 44 Poissonova rovnice, 121, 159 rovnice hydrostaticke´rovnova´hy, 26, 121, 122 polytropicky´plyn, 184 rovnice kontinuity, 107, 121 polytropnı´deˇj, 93 rovnice prˇenosu za´rˇenı´, 39 polytropnı´model, 99 rovnice tepelne´rovnova´hy, 27, 121 Popperovy tabulky, 175 rovnice zachovańı´hmoty, 26 populace I, 56 rovnice za´rˇive´ho prˇenosu energie, 37, 121 populace II, 56 RS CVn, 209 populace III, 56, 170 rychlost zvuku, 149, 162 povrchove´gravitacˇnı´vlny, 163 prima´rnı´slozˇka, 138 S Dor, 199 profil P Cygni, 103, 200, 217 Sahova rovnice, 23 program EZ, 10 Salpeterova reakce, 33 prostorovyú´hel, 40 samoabsorpce, 170 protohveˇzda, 168 sektora´lnı´mo´dy, 153 proton–protonovy´rˇeteˇzec, 28 semiempiricka´teorie konvekce, 51 protoneutronova´hveˇzda, 177 semikonvektivnı´zońa, 73 prˇı´pad A, 138, 140 setrvacˇnyćˇlen, 54 prˇı´pad B, 138 Sirius A, 201 pulsace, 146 Sirius B, 150 pulsacˇnı´konstanta, 150 Slunce, 150, 163, 164 pulsacˇnı´perioda, 150 slunecˇnı´vı´tr, 103 SN 1987 A, 176 r-proces, 179, 180 SN 1992 H, 219 R Geminorum, 88 SN 2006 JD, 219 radia´lnı´pulsace, 146 SN 2006 LF, 219 radioaktivita, 88 Snellu˚v za´kon lomu, 162 radioaktivnı´rozpad, 217 SNR, 179 Rankinovy–Hugoniotovy rovnice, 183 SOHO, 166 Rayleighova linie, 184 SPB hveˇzdy, 192 Rayleighova–Taylorova nestabilita, 185, 187 specifickyóbjem, 16 ra´zova´vlna, 177, 181 spektroskopicka´paralaxa, 81 reakce 3α, 33 Spika, 151 Reimersu˚v vı´tr, 114 SS Cyg, 217 rekombinace, 6 staciona´rnı´model, 53 rekurentnıńova, 217 standardnı´model Slunce, 8, 101 relativistickyápsida´lnı´pohyb, 90 stavova´rovnice, 15

225 Stro¨mgrenu˚v syste´m ubvy, 80 vodı´kova´slupka, 68, 140 strˇednı´molekulova´hmotnost, 14 volne´parametry, 55 strˇednı´volna´dra´ha, 45 volny´pa´d, 54, 170 superiterace, 137 vynesenı´, 88 supernova, 73, 175, 217 vy´vojovy´model, 53 supervı´tr, 114 vy´vojovy´paradox, 144 svı´tive´modre´promeˇnne´, 199, 218 vztlakova´sı´la, 46, 163 SX Phe hveˇzdy, 204 W UMa, 211 T Tau, 214 W Vir, 211 TAMS, 87 WC hveˇzdy, 189 technecium, 88 WN hveˇzdy, 189 tepelna´sˇka´la, 169 Wolfovy–Rayetovy hveˇzdy, 188, 218 tepelna´vodivost, 181 WR hveˇzdy, 178, 188 teplota, 13 teplotnı´sˇka´la, 16 YSO, 214 tesera´lnı´mo´dy, 153 za´blesk za´rˇenı´gama, 177 tlak za´rˇenı´, 40 za´krytove´dvojhveˇzdy, 82 tlakova´sˇka´la, 8 za´rˇiva´difuse, 202 tok za´rˇenı´, 40 zbytek po vy´buchu supernovy, 179 trpaslicˇıćefeidy, 203 zcˇervenańı´, 81 trpaslicˇıńovy, 216 zdańliva´hveˇzdna´velikost, 80 tunelovy´jev, 29 zońa za´rˇive´rovnova´hy, 88 turbulence, 181 zona´lnı´mo´dy, 153 ućˇinny´pru˚rˇez, 176 ZZ Cet hveˇzdy, 216 uńikova´rychlost, 104 universa´lnı´plynova´konstanta, 17 u´plna´degenerace, 22 UV Cet, 208

V/R zmeˇny, 193 V1046 Ori, 190 V711 Tau, 209 V832 Cyg, 197 Velke´Magellanovo mracˇno, 176 velke´molekulove´mracˇno, 214 viria´lovy´teore´m, 6, 149, 169 visua´lnı´hveˇzdna´velikost, 81 vlnova´rovnice, 162 vnitrˇnı´gravitacˇnı´vlny, 162

226 Literatura

Obecna´literatura, ucˇebnice

[1] Carrol, B.W., Ostlie, D.A 2007 An Introduction to Modern Astrophysics, Pearson, Addison Wesley, San Francisco, ISBN 0-321-44284-9 [2] de Loore C.W.H., Doom C. 1992 Structure and Evolutionof of Single and Binary Stars, Astrophysics and Space Science Library, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, ISBN 0-7923-1768-8 [3] Kippenhahn R., Weigert A. 1990 Stellar Structure and Evolution, Astronomy and Astrophysics Library, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-50211-4 [4] Kleczek J. 1957 Nitro hveˇzd, NakladatelstvıĆˇeskoslovenskeákademie veˇd [5] Rose, W.K. 1998 Advanced Stellar Astrophysics, Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0- 521-58833-2 [6] Schatzman E.L., Praderie F. 1993 The Stars, Astronomy and Astrophysics Library, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-54196-9 [7] Shore, S.N. 2003 The Tapestry of Modern Astrophysics, John Wiley & Sons, New Jersey [8] Stix, M. 2002 The Sun. An Introduction, Astronomy and Astrophysics Library, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-53796-1 [9] Sˇvestka Z. 1954 Hveˇzdneátmosfe´ry, NakladatelstvıĆˇeskoslovenskeákademie veˇd [10] Vany´sek V. 1980 Za´klady astronomie a astrofyziky, Academia Praha

Reference

[11] Abell T., Bryan G.L., Norman M.L. 2002 Science 295, 93 [12] Adams W.S., Kohlschu¨tter A. 1914 Astrophys. J. 40, 385 [13] Adelberger E.G., Austin S.M., Bahcall J.N. a kol. 1998 Rev. Mod. Phys. 70, 4, 1265 [14] Aerts C., Lamers H.J., Molenbergh G. 2004 Astron. Astrophys. 418, 639 [15] Aerts C., Waelkens C. 1993 Astron. Astrophys. 273, 135 [16] Aller L.H. 1953 Astrophysics: The Atmospheres of the Sun and Stars, Ronald Press Co., New York [17] Aller L.H. 1963 Astrophysics: The Atmospheres of the Sun and Stars, 2nd Edition, Ronald Press Co., New York [18] Andersen J. 1991 Astron. Astrophys. Rev. 3, 91 [19] Ando H., Osaki Y. 1975, Publ. Astron. Soc. Japan 27, 581 [20] Angulo C., Arnould M., Rayet M. (NACRE collaboration) 1999 Nuclear Physics A 656, 1; http://pntpm.ulb.ac.be/Nacre/nacre.htm [21] Baade W., Zwicky F. 1934 Proc. Nat. Acad. Sci. 20, 254

227 [22] Barker P.K. 1982 Astrophys. J. Suppl. 49, 89 [23] Bath G.T., van Paradijs J. 1983 Nature 305, 33 [24] Be´lopolsky A. 1895 Astrophys. J. 1, 160 [25] Bernasconi P.A., Maeder A. 1996 Astron. Astrophys. 307, 829 [26] Bertotti B., Farinella P., Vokrouhlicky´D. 2003 Physics of the Solar System. Dynamics and Evolution, Space Physics and Spacetime Structure, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, ISBN 1-4020- 1428-7 [27] Bertout C. 1989 Annu. Rev. Astron. Astrophys. 27, 351 [28] Bethe H. 1939 Phys. Rev. 55, 434 [29] Bethe H., Critchfield C.L. 1938 Phys. Rev. 54, 248 [30] Biermann L. 1951 Z. Astrophys. 29, 274 [31] Bionta R.M. a spol. 1987 Phys. Rev. Let. 58, 1494 [32] Bjorkman J.E., Cassinelli J.P. 1993 Astrophys. J. 409, 429 [33] Bo¨hm-Vitense E. 1958 Z. Astrophys. 46, 108 [34] Bopp B.W., Fekel F., Jr. 1977 Astron. J. 82, 490 [35] Bouchy F., Carrier F. 2001 Astron. Astrophys. 374, 5 [36] Breger M. 1979 Publ. Astron. Soc. Pacific 91, 5 [37] Breger M., Pamyatnykh A.A. 1998 Astron. Astrophys. 332, 958 [38] Breger M., Stockenhuber H. 1983 Hvar Obs. Bull. 7, 283 [39] Briquet M., Hubrig S., De Cat P., Aerts C., North P., Scho¨ller M. 2007 Astron. Astrophys. 466, 269 [40] Burgay M., D’Amico N., Possenti A., Manchester R.N., Lyne A.G., Joshi B.C., McLaughlin M.A., Kramer M., Sarkisian J.M., Camilo F., Kalogera V., Kim C., Lorimer D.R. 2003 Nature 426, 531 [41] Castor J.I., Abbott D.C., Klein R.I. 1975 Astrophys. J. 195, 157 [42] Caughlan G.R., Fowler W.A. 1988 Atomic data and Nuclear Data Tables 40, 284 [43] Claret A. 2004 Astron. Astrophys. 424, 919 [44] Claret A., Gimeńez A. 1992 Astron. Astrophys. Suppl. 96, 255 [45] Clocchiatti A. a spol. 1996 Astron. J. 111, 3, 1286 [46] Code A.D., Davis J., Bless R.C., & Hanbury Brown R. 1976 Astrophys. J. 203, 417 [47] Conti P.S. 1970 Publ. Astron. Soc. Pacific 82, 781 [48] Conti P.S. 1974 Astrophys. J. 187, 539 [49] Conti P.S., Niemela V.S. 1976 Astrophys. J. 209, L37 [50] Cox A.N., Stewart J.N., Eilers D.D. 1965 Astrophys. J. Suppl. 11, 1 [51] Cranmer S.R., Owocki S.P. 1996 Astrophys. J. 462, 469 [52] Crawford J.A. 1955 Astrophys. J. 121, 71 [53] Debernardi Y., Mermilliod J.-C., Carquillat J.-M., Ginestet N. 2000 Astron. Astrophys. 354, 881

228 [54] de Loore C., De Greve J.P. 1992 Astron. Astrophys. Suppl. 94, 453 [55] Dziembowski W.A., Pamyatnykh A.A. 1993 Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 262, 204 [56] Dziembowski W.A., Moskalik P, Pamyatnykh A.A. 1993 Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 265, 588 [57] Eddington A.S. 1918 Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 79, 2 [58] Endal A.S., Sofia S. 1976 Astrophys. J. 210, 184 [59] Endal A.S., Sofia S. 1978 Astrophys. J. 220, 279 [60] Endal A.S., Sofia S. 1979 Astrophys. J. 232, 531 [61] Faulkner J., Roxburgh I.W., Strittmatter P.A. 1968 Astrophys. J. 151, 203 [62] Fickett W., Davis W.C. 2000 Detonation: Theory and Experiment, Courier Dover Publications, ISBN 0-486-41456-6 [63] Figer D. 2005 Nature, 434, 192 [64] Frost S.A., Conti P.S 1976 in Be and Shell Stars, IAU Symp. 70, Ed. by A. Slettebak, Dordrecht, Reidel, 139 [65] Gieren W.P., Fouque´P., Go´mez M. 1998 Astrophys. J. 496, 17 [66] Graboske H.C., Harwood D.J., Rogers F.J. 1969 Phys. Rev. 186, 210 [67] Gribov V.N., Pontecorvo B.M. 1969 Phys. Lett. B 28, 493 [68] Groenewegen M., Decin L., Salaris M., De Cat P. 2007 Astron. Astrophys. 463, 579 [69] Gundlach J.H., Merkowitz S.M. 2000 Phys. Rev. Lett. 85, 2869 [70] Habets G.M.H.J. 1987 Physics of Be Stars, IAU Col. 92, Ed. A.Slettebak a T.P. Snow, Cambridge Univ. Press, 509 [71] Harmanec P. 1970 Bull. Astron. Inst. Czechosl. 21, 113 [72] Harmanec P. 1981 Binaries Among B Stars, Workshop on Pulsating B Stars, Ed. by G.E.V.O.N. and C. Sterken, Nice Obs. Publ., 99 [73] Harmanec P. 1987 Bull. Astron. Inst. Czechosl. 38, 52 [74] Harmanec P. 1988 Bull. Astron. Inst. Czechosl. 39, 329 [75] Harmanec P. 1990 Astron. Astrophys. 237, 91 [76] Harmanec P. 1991 in Rapid Variability of OB Stars: Nature and Diagnostic Value, ESO Conf. and Workshop Proc. No. 36, 265 [77] Harmanec P. 1998 Astron. Astrophys. 335, 173 [78] Harmanec P. 2002a in New Directions for Close Binary Studies: The Royal Road to the Stars, Publ. Cannakale Onsekiz Mart University, 2, 221 [79] Harmanec P. 2002b Astron. Nachr. 323, 2, 87 [80] Harmanec P. 2002c in Proc. IAU Col. 187 Exotic Stars as Challenges to evolution, Ed. by A. Tout and W. Van Hamme, ASP Conf. Ser. 279, 221 [81] Harmanec P., Bisikalo D.V., Boyarchuk A.A., Kuznetsov O.A. 2002 Astron. Astrophys. 396, 937 [82] Henrichs H.F., Hammerschlag-Hensberge G., Howarth I.D., Barr P. 1983 Astrophys. J. 268, 807

229 [83] Henyey L.G., Wilets L., Bo¨hm K.H., Le Levier R., Levee R.D. 1959 Astrophys. J. 129, 628 [84] Hearnshaw J.B. 1999 New Astronomy Reviews 43, 403 [85] Hillebrandt W., Niemeyer J.C. 2000 Annu. Rev. Astron. Astrophys. 38, 191 [86] Hirata K. a spol. 1987 Phys. Rev. Let. 58, 1490 [87] Chandrasekhar S. 1938 Stellar Structure, Univ. of Chicago Press [88] Christensen-Dalsgaard J. 2003 Stellar Oscilations, http://www.eneas.info/ [89] Jurcsik J., Montesinos B. 1999 New Astronomy Reviews 43, 415 [90] Kambe E., Osaki Y. 1988 Publ. Astron. Soc. Japan 40, 313 [91] Kaper L., van der Meer A., van Kerkwijk M., van den Heuvel E. 2006 The Messenger, ESO, No. 126, 27 [92] Kato S. 1966 Publ. Astron. Soc. Japan 18, 374 [93] Kawka A., Vennes S. 2003 Astrophys. J. 125, 1444 [94] Kawka A., Vennes S., Dupuis J., Chayer P., Lanz T. 2008 Astrophys. J. 675, 1518 [95] Kervella P., Bersier D., Mourard D., Nardetto N., Coude´ du Foresto V. 2004 Astron. Astrophys. 423, 327 [96] Kippenhahn R., Weigert A. 1967 Z. Astrophys. 65, 251 [97] Kippenhahn R., Meyer-Hofmeister E., Thomas H.C. 1970 Astron. Astrophys. 5, 155 [98] Kotak R., Vink J.S. 2006 Astron. Astrophys. 460, L5 [99] de Koter A., Heap S.R., Hubeny´I. 1997 Astrophys. J. 477, 792 [100] Krˇı´zˇS., Harmanec P. 1975 Bull. Astron. Inst. Czechosl. 26, 65 [101] Kurtz D. 1982 Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 200, 807 [102] Kurtz D. 2000 ASP Conf. Ser. 210, 287 [103] Kvasnica J. 1965 Termodynamika, Sta´tnı´nakladatelstvı´technicke´literatury, Praha [104] Lagadec E., Zijlstra A.A. 2008 Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 390, 59 [105] Langer N., Hamann W.-R., Lennon M., Najarro F., Pauldrach A. W. A., Puls J., 1994 Astron. Astrophys. 290, 819 [106] Larson R.B., Demarque P.R. 1964 Astrophys. J. 140, 524 [107] Lebzelter T., Hron J. 2003 Astron. Astrophys. 411, 533 [108] Ledoux P. 1951 Astrophys. J. 114, 373 [109] van Leeuwen F. 1999 Astron. Astrophys. 341, L71 [110] Levi-Civita T. 1937 Amer. J. Math. 59, 225 [111] Li C., JunliangZ.1999HarmonizingCosmicDistanceScales ina Post-HipparcosEra,Ed.by D.Egret a A. Heck, ASP Conf. Series 167, 259 [112] Lucy L.B., Solomon P.M. 1970 Astrophys. J. 159, 879 [113] Maeder A. 1997 Astron. Astrophys. 321, 134 (paper 2) [114] Maeder A. 1999 Astron. Astrophys. 347, 185 (paper 4)

230 [115] Maeder A. 2009 Formation and Evolution of Rotating Stars: From the First Stars to the Sun, Springer, ISBN 3-540-76948-X [116] Maeder A., Meynet G. 2000a The Evolution of Rotating Stars, Ann. Rev. Astron. Astrophys. 38, 143 [117] Maeder A., Meynet G. 2000b Astron. Astrophys. 361, 159 (paper 6) [118] Maeder A., Meynet G. 2001 Astron. Astrophys. 373, 555 (paper 7) [119] Maeder A., Zahn J.-P. 1998 Astron. Astrophys. 334, 1000 (paper 3) [120] McAlister H.A. a spol. 2005 Astrophys. J. 628, 439 [121] Mayer P. 1984 Observatory 104, 77 [122] Metcalfe T.S., Nather R.E., Watson T.K., Kim S.-L., Park B.-G., Handler G. 2005 Astron. Astrophys. 435, 649 [123] Merril P.W. 1952 Astrophys. J. 116, 21 [124] Meynet G., Maeder A. 1997 Astron. Astrophys. 321, 465 (paper 1) [125] Meynet G., Maeder A. 2000 Astron. Astrophys. 361, 101 (paper 5) [126] Meynet G., Maeder A. 2003, Astron. Astrophys. 404, 975 [127] Michaud G. 1970 Astrophys. J. 160, 641 [128] Mikula´sˇek Z. 2000 U´ vod do fyziky hveˇzd, skripta a sbı´rka u´loh, Prˇı´rodoveˇdecka´fakulta Masarykovy univerzity v Brneˇ, Katedra teoreticke´fyziky a astrofyziky, Brno [129] Misner C.W., Thorne, K.S., Wheeler, J.A 1973 Gravitation, W.H. Freeman and Company, San Francisco, ISBN 0-7167-0344-0 [130] Montes M. 1997 http://rsd-www.nrl.navy.mil/7212/montes/sne.html [131] Morel P., Pichon B., Provost J., Berthomieu G. 1999 Astron. Astrophys. 350, 275 [132] Morton, D.C., Underhill, A.B. 1977 Astrophys. J. Suppl. 33, 83 [133] Mullan D.J. 1984 Astrophys. J. 283, 303 [134] Munari U., Dallaporta S., Siviero A., Soubiran C., Fiorucci M., Girard P. 2004 Astron. Astrophys. 418, L31 [135] Murdin P., Murdin L. 1985 Supernovae, Cambridge University Press, Cambridge [136] Narayanan V.K., Gould A. 1999 Astrophys. J. 523, 328 [137] Norton A.J., Wynn G.A., Somerscales R.V. 2004 Astrophys. J. 614, 349 [138] Osaki Y. 1986 Publ. Astron. Soc. Paciﬁc 98, 30 [139] Osaki Y., Shibahashi H. 1986 Astrophys. Space Sci. 118, 195 [140] Owocki S.P., Cranmer S.R., Fullerton A.W. 1995 Astrophys. J. 453, L37 [141] Paczinski,´ B. 1971 Ann. Rev. Astron. Astrophys. 9, 183 [142] Pan X., Shao M., Kulkarni S.R. 2004 Nature 427, 326 [143] Parker E.N. 1958 Astrophys. J. 128, 664 [144] de Pater I., Lissauer J.J. 2001 Planetary Sciences, Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0- 521-48219-4

231 [145] Perlmutter, S. a spol.1997 Astrophys. J. 483, 565 [146] Petersen J.O., Christensen-Dalsgaard J. 1999 Astron. Astrophys. 352, 547 [147] Petschek G.A. 1990 Supernovae, Springer-Verlag, New York [148] Pinsonneault M.H., Stauffer J., Soderblom D.R., King J.R., Hanson R.B. 1998 Astrophys. J. 504, 170 [149] Plavec M. Advan. Astron. Astrophys. , Ed by Z. Kopal, Academic Press, New York, 6, 201 [150] Popper D.M. 1980 Ann. Rev. Astron. Astrophys. 18, 115 [151] Porter J.M. 1996 Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 280, L31 [152] Preston G.W. 1974 Ann. Rev. Astron. Astrophys. 12, 257 [153] Rivinius Th., Baade D., Sˇtefl S., Stahl O., Wolf B., Kaufer A. 1998 in A half century of stellar pulsations interpretations, Ed. by P.A. Bradley and J.A. Guzik, ASP Conf. Ser. 135, 343 [154] Robertson H.P. 1938 Annals of Mathem. 39, 101 [155] Robichon N., Arenou F., Mermilliod J.-C., Turon C. 1999 Astron. Astrophys. 345, 471 [156] Rodrı´guez E., Breger M. 2001 Astron. Astrophys. 366, 178 [157] Rogers F.J., Iglesias C.A. 1992 Astrophys. J. Suppl. 79, 507 [158] Rogers F.J., Swenson F.J., Iglesias C.A. 1996 Astrophys. J. 456, 902 [159] Sackmann I.-J., Anand S.P.S. 1970 Astrophys. J. 162, 105 [160] Salpeter E.E. 1952 Astrophys. J. 115, 326 [161] Sandage A. 1957 Astrophys. J. 125, 435 [162] Shapley H. 1914 Astrophys. J. 40, 443 [163] Shindo M., Hashimoto M., Eriguchi Y., Mu¨ller E. 1997 Astron. Astrophys. 326, 177 [164] Schaller G., Schaefer D., Meynet G., Maeder A. 1992 Astron. Astrophys. Suppl. 96, 269 [165] Schnurr O., Moffat A.F.J., Villar-Sbaffi A., St-Louis N., Morrell N.I. 2009 Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 395, 823 [166] Schrijvers C. 1999, PhD disertace, Universiteit van Amsterdam, Holandsko [167] Schwarzschild M. 1958 Structure and Evolution of the Stars, Princeton, New Jersey, Princeton Univ. Press [168] Southworth J., Maxted P.F.L., Smalley B. 2005 Astron. Astrophys. 429, 645 [169] Stebbins J. 1908 Astrophys. J. 27, 188 [170] Stothers R.B., Chin C.-W. 1995 Astrophys. J. 451, L61 [171] Struve O. 1931 Astrophys. J. 73, 94 [172] Thaller M.L. 1997 Astrophys. J. 487, 380 [173] Townsend R.H.D. 1997 Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 284, 839 [174] Truscott, A.G. a spol.2001 Science, 291, 5513, 2570 [175] Unso¨ld A. 1955 Physik der Sternatmospha¨ren, Berlin, 2. vydańı´ [176] Uytterhoeven, K. 2004, PhD disertace, Katholieke Universiteit Leuven, Belgie

232 [177] Vemury S.K., Stothers R. 1978 Astrophys. J. 225, 939 [178] Vogt S.S., Penrod D.G. 1983 Astrophys. J. 275, 661 [179] Walborn N.R., Howarth I.D., Lennon D.J. a kol. 2002 Astron. J. 123, 2754 [180] Weizsa¨cker C.F. 1937 Phys. Zeit. 38, 176 [181] Wolf C.J.E., Rayet G. 1867 Compt. Rend. Acad. Sci. Paris 65, 292 [182] Woosley S., Janka H.-T. 2006 Nat. Phys. 1, 3, 147 [183] Wuchterl G., Tscharnuter W.M. 2003 Astron. Astrophys. 398, 1081 [184] Zwahlen N., North P., Debernardi Y., Eyer L., Galland F., Groenewegen M.A.T., Hummel C.A. 2004 Astron. Astrophys. 425, L45

233