Variedades Diferenciáveis

Publicações Matemáticas

Elon Lages Lima

impa

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

Capa: Noni Geiger / Sérgio R. Vaz

Publicações Matemáticas

• Introdução à Topologia Diferencial – Elon Lages Lima • Criptografia, Números Primos e Algoritmos – Manoel Lemos • Introdução à Economia Dinâmica e Mercados Incompletos – Aloísio Araújo • Conjuntos de Cantor, Dinâmica e Aritmética – Carlos Gustavo Moreira • Geometria Hiperbólica – João Lucas Marques Barbosa • Introdução à Economia Matemática – Aloísio Araújo • Superfícies Mínimas – Manfredo Perdigão do Carmo • The Index Formula for Dirac Operators: an Introduction – Levi Lopes de Lima • Introduction to Symplectic and Hamiltonian Geometry – Ana Cannas da Silva • Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) – Carlos Gustavo T. A. Moreira e Nicolau Saldanha • The Contact Process on Graphs – Márcia Salzano • Canonical Metrics on Compact almost Complex Manifolds – Santiago R. Simanca • Introduction to Toric Varieties – Jean-Paul Brasselet • Birational Geometry of Foliations – Marco Brunella • Introdução à Teoria das Probabilidades – Pedro J. Fernandez • Teoria dos Corpos – Otto Endler • Introdução à Dinâmica de Aplicações do Tipo Twist – Clodoaldo G. Ragazzo, Mário J. Dias Carneiro e Salvador Addas Zanata • Elementos de Estatística Computacional usando Plataformas de Software Livre/Gratuito – Alejandro C. Frery e Francisco Cribari-Neto • Uma Introdução a Soluções de Viscosidade para Equações de Hamilton-Jacobi – Helena J. Nussenzveig Lopes, Milton C. Lopes Filho • Elements of Analytic Hypoellipticity – Nicholas Hanges • Métodos Clássicos em Teoria do Potencial – Augusto Ponce • Variedades Diferenciáveis – Elon Lages Lima • O Método do Referencial Móvel – Manfredo do Carmo • A Student's Guide to Symplectic Spaces, Grassmannians and Maslov Index – Paolo Piccione e Daniel Victor Tausk • Métodos Topológicos en el Análisis no Lineal – Pablo Amster • Tópicos em Combinatória Contemporânea – Carlos Gustavo Moreira e Yoshiharu Kohayakawa • Uma Iniciação aos Sistemas Dinâmicos Estocásticos – Paulo Ruffino • Compressive Sensing – Adriana Schulz, Eduardo A.B.. da Silva e Luiz Velho • O Teorema de Poncelet – Marcos Sebastiani • Cálculo Tensorial – Elon Lages Lima • Aspectos Ergódicos da Teoria dos Números – Alexander Arbieto, Carlos Matheus e C. G. Moreira • A Survey on Hiperbolicity of Projective Hypersurfaces – Simone Diverio e Erwan Rousseau • Algebraic Stacks and Moduli of Vector Bundles – Frank Neumann • O Teorema de Sard e suas Aplicações – Edson Durão Júdice

IMPA - [email protected] - http://www.impa.br - ISBN: 978-85-244-0267-8 “MAIN2” 2007/5/23 page

What win I if I gain the thing I seek? A dream, a breath, a froth of ﬂeeting joy.

Pref´acio

Estas notas são uma reimpressão não modificada do texto de um curso introdutório sobre Variedades Diferenciáveis, que lecio- nei algumas vezes no IMPA, anos atrás. Ao escrevê-las, vali-me dos apontamentos do meu então aluno Jair Koiller. A presente edi¸cão foi digitada por Rogerio Dias Trindade. As figuras foram produzidas por Francisco Petrucio.´ A todas estas pessoas, meus agradecimentos.

Rio de Janeiro, maio de 2007

Elon Lages Lima “MAIN2” 2007/5/23 page “MAIN2” 2007/5/23 page

Conteudo´

Cap´ıtulo I - Cálculo Diferencial ...... 1 1. Espa¸co euclidiano de dimensão p ...... 1 2. Casos particulares ...... 4 3. Derivadas de ordem superior ...... 6 4. Versão intr´ınseca da regra da cadeia ...... 8 5. A desigualdade do valor médio ...... 11 6. Derivadas parciais ...... 13 7. O teorema da fun¸cão inversa ...... 15 8. Forma local das submersões e o teorema das fun¸cões impl´ıcitas ...... 16 9. A forma local das imersões ...... 20 10. O teorema do posto ...... 22 11. Campos de vetores em Rn ...... 28 12. Referências ...... 30

Cap´ıtulo II - Superf´ıcies nos Espa¸cos Euclidianos . . 31 1. Parametriza¸c˜oes ...... 31 2. A no¸c˜ao de superf´ıcie ...... 34 3. Mudan¸ca de coordenadas ...... 36 4. O espa¸co tangente ...... 42 5. Como obter superf´ıcies ...... 46 6. Exemplos de superf´ıcies ...... 52 7. Grupos e Algebras´ de Lie de matrizes ...... 60 8. Campos de vetores tangentes a uma superf´ıcie . . . . . 63 “MAIN2” 2007/5/23 page

Cap´ıtulo III - Vetores Normais, Orientabilidade e Vizinhan¸ca Tubular ...... 70

1. Campos de vetores normais a uma superf´ıcie ...... 71 2. Superf´ıcies Orient´aveis ...... 80 3. A vizinhan¸ca tubular de uma superf´ıcie compacta . . . 86 4. A vizinhan¸ca tubular de uma superf´ıcie n˜ao-compacta 93

Cap´ıtulo IV - Variedades Diferenci´aveis ...... 102

1. Sistemas de coordenads locais ...... 102 2. Mudan¸ca de coordenadas ...... 105 3. Variedades diferenciáveis ...... 106 4. Exemplos de variedades ...... 108 5. Variedades definidas por uma cole¸cão de inje¸cões . . 113 6. Variedades de Grassmann ...... 123

Cap´ıtulo V - Aplica¸c˜oes Diferenci´aveis entre Variedades ...... 129

1. Aplica¸cões diferenciáveis ...... 130 2. O espa¸co tangente ...... 134 3. A derivada de uma aplica¸cão diferenciável ...... 137 4. Algumas identifica¸cões naturais ...... 139 5. A aplica¸cão esférica de Gauss ...... 141 6. Estruturas de variedade em um espa¸co topológico . . 143 “MAIN2” 2007/5/23 page

Cap´ıtulo VI - Imers˜oes, Mergulhos e Subvariedades ...... 147

1. Imersões ...... 147 2. Mergulhos e subvariedades ...... 151 3. Subvariedades ...... 154 4. O espa¸co tangente a uma variedade produto. Derivadas parciais ...... 156 5. A classe de uma subvariedade ...... 157 6. Imersões cujas imagens são subvariedades ...... 159 7. A curva de Kronecker no toro ...... 163

Cap´ıtulo VII - Submers˜oes, Transversalidade . . . . 168

1. Submersões ...... 168 2. Rela¸cões de simetria ...... 172 3. Grupos de Lie ...... 175 4. Transversalidade ...... 177 5. Transversalidade de fun¸cões ...... 181 6. Aplica¸cões de posto constante ...... 183

Cap´ıtulo VIII - Parti¸c˜oes da Unidade e suas Aplica¸c˜oes ...... 186

1. Fun¸cões auxiliares ...... 186 2. Algumas no¸cões topológicas ...... 190 3. Parti¸cões da unidade ...... 193 4. O lema de Urysohn diferenciável ...... 196 5. Aplica¸cões diferenciáveis em subconjuntos arbitrários de variedades ...... 199 “MAIN2” 2007/5/23 page

Cap´ıtulo IX - M´etricas Riemannianas ...... 205

1. Variedades riemannianas ...... 205 2. A norma da derivada ...... 211 3. A distˆancia intr´ınseca ...... 215 4. A topologia geral de uma variedade ...... 219 5. Isometrias ...... 222

Cap´ıtulo X - Espa¸cos de Fun¸c˜oes ...... 230

1. Fun¸cões semicont´ınuas em uma variedade ...... 230 2. Espa¸cos de fun¸cões ...... 233 3. Invariância da topologia de W 1(M; N) ...... 237 4. Estabilidade de certas aplica¸cões diferenciáveis . . . . 243 5. Aproxima¸cões em classe C1 ...... 251 6. Topologias de classe Cr ...... 259

Cap´ıtulo XI - Os Teoremas de Imers˜ao e Mergulho de Whitney ...... 269

1. Conjuntos de medida nula em uma variedade . . . . 270 2. Imers˜oes ...... 274 3. Imers˜oes injetivas e mergulhos ...... 379 4. Espa¸cos de Baire ...... 286 “MAIN2” 2007/5/23 page 1

Cap´ıtulo I

C´alculo Diferencial

Apresentamos neste cap´ıtulo alguns resultados clássicos do Cál- culo Diferencial em espa¸cos euclidianos. Enfatizamos o aspecto geométrico do Teorema da Fun¸cão Inversa, que aplicaremos para obter as “formas locais” de certas aplica¸cões diferenciáveis. Esses resultados serão amplamente utilizados no estudo das superf´ıcies e das variedades diferenciáveis. Omitimos a maior parte das demonstra¸cões, pois o objetivo principal deste cap´ıtulo é fixar a nota¸cão e a terminologia para os subsequen¨ tes. As demonstra¸cões omitidas podem ser encontradas nas referências citadas no fim deste cap´ıtulo.

1 Espa¸co euclidiano de dimens˜ao p

Como se sabe, o espa¸co euclidiano de dimensão p é o conjunto Rp de todas as sequ¨ências x = (x1, . . . , xp) de p numeros´ reais.

Os vetores e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , ep = (0, . . . , 1) constituem a base natural de Rp. Seja U um subconjunto aberto do Rm. “MAIN2” 2007/5/23 page 2

2 [CAP. I: CALCULO´ DIFERENCIAL

Uma fun¸c˜ao vetorial f : U Rn ﬁca perfeitamente determi- → nada por suas coordenadas

f 1, . . . , f n : U R, → deﬁnidas pela rela¸c˜ao

f(x) = (f 1(x), . . . , f n(x)), x U. ∈ Escrevemos f = (f 1, . . . , f n). Rm Rn f(U) U f

f(x) x

Figura 1.1.

Diz-se que a aplica¸cão f : U Rn é diferenciável no ponto → x U quando existe uma transforma¸cão linear T : Rm Rn tal ∈ → que r(h) f(x + h) = f(x) + T h + r(h), com lim = 0. · h 0 h → | | (O don´ınio natural de uma aplica¸cão cuja diferenciabilidade queremos investigar é um conjunto aberto, a fim de que seja arbitrário o modo pelo qual o ponto variável x + h tende para o ponto x.) E´ fácil de ver que as condi¸cões acima implicam: f(x + th) f(x) T h = lim − · t 0 t → o que é interpretado geometricamente pela Figura 1.2: “MAIN2” 2007/5/23 page 3

[SEC. 1: ESPAC¸O EUCLIDIANO DE DIMENSAO˜ P 3

Rm Rn f U T h

x + h f(x + h) f(x) x

Figura 1.2.

E´ unica,´ portanto, a transforma¸cão linear T : Rm Rn que dá → a boa aproxima¸cão de f perto de x. Ela é chamada a derivada de f no ponto x e é indicada por f 0(x) ou Df(x). A aplica¸cão f é diferenciável no ponto x se, e somente se, cada uma de suas coordenadas f i o for. E além disso vale a equa¸cão

Df(x) h = (Df 1(x) h, . . . , Df n(x) h). · · ·

Se T é uma transforma¸cão linear de Rm em Rn, isto é, T ∈ (Rm, Rn), a matriz de T em rela¸cão as` bases usuais do Rm e do RLn i é a matriz (tj) com n linhas e m colunas cujo elemento (i, j) é a i-ésima coordenada do vetor T e ; imaginando cada T e como · j · j vetor-coluna, temos:

M(T ) = (T e T e T e ). · 1 · · · · j · · · · m

A matriz associada a T = f 0(x) chama-se matriz jacobiana de f no ponto x e é indicada por Jf(x). O elemento (i, j) desta ∂f matriz é a i-ésima coordenada do vetor (x) = f 0(x) ej = ∂xj · (Df 1(x) e , . . . , Df n(x) e ), denominado j-ésima derivada parcial · j · j “MAIN2” 2007/5/23 page 4

4 [CAP. I: CALCULO´ DIFERENCIAL de f no ponto x. Portanto

∂f 1 ∂f 1 ∂f 1 (x) (x) . . . (x) ∂x1 ∂x2 ∂xm    ∂f 2 ∂f 2 ∂f 2  Jf(x) =  (x) (x) . . . (x)  ∂x1 ∂x2 ∂xm    ......   n n n  ∂f ∂f ∂f   (x) (x) . . . (x)  ∂x1 ∂x2 ∂xm   

2 Casos particulares

a) Seja J R um intervalo aberto. Um caminho em Rn é ⊂ simplesmente uma aplica¸cão f : J Rn. → Diz-se que o caminho f : J Rn tem vetor-velocidade no ponto → t J se existe o limite 0 ∈ df f(t0 + h) f(t0) (t0) = lim − dt h 0 h → cuja interpreta¸cão é dada na Figura 1.3:

df Rn dt (t0) J f(t + h) t0 + h 0 f f(t0) t0

Figura 1.3. df O vetor-velocidade (t ) existirá se, e somente se, o caminho dt 0 f : J Rn for diferenciável no ponto t . A identifica¸cão de f (t ) → 0 0 0 “MAIN2” 2007/5/23 page 5

[SEC. 2: CASOS PARTICULARES 5

df com (t ) ´e dada pelo isomorﬁsmo dt 0 (R, Rn) Rn L ≈ T T 1 7→ · ou seja,

df f(t0 + h) f(t0) (t0) = f 0(t0) 1 = lim − dt · h 0 h · → b) Seja f : U Rm R uma fun¸cão real diferenciável em x U. ⊂ → m m ∈ A derivada f 0(x) é um elemento de (R , R) = (R )∗, espa¸co m L dual do R . E´ tradicional chamar f 0(x) a diferencial de f no ponto x e indicá-la por df(x). A matriz jacobiana de f tem uma linha e m colunas, a saber ∂f ∂f Jf(x) = (x), . . . , (x) . ∂x1 ∂xm m ∂f i Obtém-se assim a rela¸cão clássica df(x) h = i (x) h . · i=1 ∂x · O produto interno natural de Rm induz umPisomorfismo m m R (R )∗ ≈ x x∗, x∗(y) = x, y . 7→ h i O gradiente de f no ponto p U é o vetor grad f(p) Rm ∈ ∈ que corresponde ao funcional linear f (p) (Rm) por este iso- 0 ∈ ∗ morfismo. Em outras palavras, o gradiente é caracterizado pela propriedade m grad f(p), v = f 0(p) v para todo v R . h i · ∈ ∂f Em particular, grad f(p), e = (p), ou seja, h ii ∂xi ∂f grad f(p) = (p)e . ∂xi i Xi “MAIN2” 2007/5/23 page 6

6 [CAP. I: CALCULO´ DIFERENCIAL

A expressão de grad f(p) em termos de uma base arbitrária (não ortonormal) é complicada. A defini¸cão intr´ınseca, que vimos acima, é muito conveniente para as aplica¸cões teóricas.

3 Derivadas de ordem superior

Dado U Rm aberto, diremos que uma aplica¸cão ⊂ f : U Rm é diferenciável em U quando ela for diferenciável → em todos os pontos x U. Define-se então a aplica¸cão derivada ∈ m n f 0 : U (R , R ) → L x f 0(x). 7→

Algumas vezes imaginamos f 0 como sendo a aplica¸cão que a cada x U associa a matriz jacobiana Jf(x). Deste modo, f se ∈ 0 torna uma aplica¸cão de U em Rmn. Dada T (Rm, Rn), escreve-se T = sup T u ; u Rm, u = ∈ L | | {| · | ∈ | | 1 . Isto define uma norma no espa¸co vetorial (Rm, Rn). Como } L f 0 toma valores nesse espa¸co, é natural indagar se f 0 é cont´ınua ou mesmo se f 0 tem derivada. Dizemos que f é continuamente diferenciável ou de classe C1, e escrevemos f C1, quando f é ∈ diferenciável em U e f : U (Rm, Rn) é cont´ınua. 0 → L Se f : U (Rm, Rn) tem derivada no ponto x U, dizemos 0 → L ∈ que f é duas vezes diferenciável no ponto x e escrevemos

m m n f 00(x): R (R , R ) → L para indicar a derivada de f 0 em x. A rigor, f 00(x) é um elemento de (Rm, (Rm, Rn)), mas existe um isomorfismo natu- L L ral (Rm, (Rm, Rn)) (Rm, Rn) que associa a cada trans- L L ≈ L2 forma¸cão linear T : Rm (Rm, Rn) a transforma¸cão bilinear → L “MAIN2” 2007/5/23 page 7

[SEC. 3: DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 7

T : Rm Rm Rn tal que T (u, v) = (T u) v. Isto nos per- × → · · mite considerar a derivada segunda de f em x como sendo uma transforma¸e cão bilinear, f (x): Rm Rm Rn. 00 × → As derivadas de ordem superior podem ser definidas indutiva- mente. Se f : U Rm Rn é (k 1)-vezes diferenciável em U, ⊂ → − então (k 1) m n f − : U k 1(R , R ) → L − é uma aplica¸cão de U no espa¸co das aplica¸cões (k 1)-lineares de − Rm em Rn. Se f (k 1) for diferenciável no ponto x U, diremos que f é − ∈ k-vezes diferenciável neste ponto. O isomorfismo canônico

m m n m n (R , k 1(R , R ) k(R , R ) L L − ≈ L (k 1) permite considerar a derivada de f − em x como sendo uma aplica¸cão k-linear de Rm em Rn. Se f (k)(x) existe em cada ponto x U, define-se a aplica¸cão f (k) : U (Rm, Rn), e se f (k) for ∈ → Lk cont´ınua diz-se que f é de classe Ck ou k-vezes continuamente diferenciável, e escreve-se f Ck ou f Ck(U, Rn). ∈ ∈ O conjunto Ck(U, Rn) de todas as aplica¸cões f : U Rn que → são k vezes continuamente diferenciáveis é um espa¸co vetorial real (de dimensão infinita).

A importante classe C∞ das aplica¸cões infinitamente diferen- ciáveis é a interse¸cão de todas as classes C k,

0 1 2 C∞ = C C C . . . ∩ ∩ ∩ E´ claro que C Ck Ck 1 C1 C0. ∞ ⊂ · · · ⊂ ⊂ − ⊂ · · · ⊂ ⊂ Pode-se mostrar que uma aplica¸cão f : U R é de classe C k se → existem, e são cont´ınuas em U, todas as derivadas parciais mistas de f até a ordem k inclusive. (Vide 1.6 adiante.) “MAIN2” 2007/5/23 page 8

8 [CAP. I: CALCULO´ DIFERENCIAL

4 Vers˜ao intr´ınseca da regra da cadeia

Sejam U Rm e V Rn conjuntos abertos, f : U Rn ⊂ ⊂ → uma aplica¸cão diferenciável no ponto x U, com f(U) V , e ∈ ⊂ g : V Rp uma aplica¸cão diferenciável no ponto y = f(x) V . → ∈ Então a aplica¸cão composta g f : U Rp é diferenciável no ponto ◦ → x e (g f) (x) = g (y) f (x): Rm Rp. ◦ 0 0 ◦ 0 → E´ util´ ter em mente os diagramas

f g f 0(x) g0(y) U V Rp Rm Rn Rp

g f (g f)0(x) ◦ ◦

Considerando as matrizes jacobianas de f, g e g f obtemos a ◦ antiga regra da cadeia,

n ∂(gi f) ∂gi ∂f k 1 i p ◦j (x) = k (f(x)) j (x), ≤ ≤ ∂x ∂y · ∂x (1 j m · Xk=1 ≤ ≤

Aplica¸c˜oes

1) Seja f : U Rn diferenciável em x U. Dado v Rm, → 0 ∈ ∈ seja λ: t λ(t) um caminho em U, diferenciável em t = 0, com 7→ λ(0) = x e λ (0) = v. Então f (x ) v é o vetor-velocidade do 0 0 0 0 · caminho t f(λ(t)) em t = 0. 7→ “MAIN2” 2007/5/23 page 9

[SEC. 4: VERSAO˜ INTR´INSECA DA REGRA DA CADEIA 9

Rm Rn 0 f (x0) v U · t v λ f f(λ(t)) 0 λ(t) f(x0)

Figura 1.4.

2) Seja f : U Rn diferenciável em x U Rm e admitamos que → ∈ ⊂ f tem uma inversa g = f 1 : V Rm, V Rn, (isto é, f(U) = V , − → ⊂ g(V ) = U, f g = id e g f = id ) que é diferenciável no ponto ◦ V ◦ U y = f(x). Então f (x): Rm Rn é um isomorfismo, cujo inverso 0 → é g (y): Rn Rm. Em particular m = n. 0 → Um difeomorfismo f : U V é uma bije¸cão diferenciável cuja → 1 inversa é também diferenciável. Se ambas, f e f − são de classe Ck, dizemos que f é um difeomorfismo de classe Ck. A aplica¸cão t R t3 R é exemplo de um homeomorfismo ∈ 7→ ∈ diferenciável C∞ que não é um difeomorfismo. Para finalizar, examinaremos as derivadas sucessivas da aplica¸cão composta gf, onde g e f são r vezes direrenciáveis. A regra da cadeia pode escrever-se, resumidamente, como

(1) (gf)0 = g0f f 0. · Isto significa, evidentemente, que (gf) (x) = g (f(x)) f (x), para 0 0 · 0 cada x U, o ponto indicando composi¸cão de aplica¸cões lineares. ∈ Observemos que, se L e L são lineares (e a composta L L faz 1 2 2 · 1 sentido), a aplica¸cão (L , L ) L L é bilinear. Resulta então 1 2 7→ 2 · 1 “MAIN2” 2007/5/23 page 10

10 [CAP. I: CALCULO´ DIFERENCIAL da regra de deriva¸c˜ao de aplica¸c˜oes bilineares, que (1) acarreta

(gf)00 = (g0f)0 f 0 + g0f f 00. · · Usando a regra da cadeia:

(2) (gf)00 = g00f (f 0, f 0) + g0f f 00. · · Na fórmula (2), usamos a nota¸cão B (L , L ), onde B é bilinear · 1 2 e L , L são lineares, para indicar a aplica¸cão bilinear (h, k) 1 2 7→ B(L h, L k). Observe-se que a aplica¸cão (B, L , L ) B 1 · 2 · 1 2 7→ · (L1, L2) é trilinear. Portanto, derivando (2), obtemos

(3) (gf)00 = g00f (f 0, f 0, f 0) + 3g00f (f 00, f 0) + g0f f 00. · · ·

Na fórmula (3), se L, L1 , L2 , L3 são lineares, se B é bilinear e T é trilinear, as nota¸cões T (L , L , L ) e T (B, L) indicam respectiva- · 1 2 3 · mente as aplica¸cões trilineares (h , h , h ) T (L h , L h , L 1 2 3 7→ 1 · 1 2 · 2 3 · h3) e (h1, h2, h3) T (B(h1, h2), L h3). De maneira análoga, de- 7→ · a rivando (3), obteremos a fórmula para a 4¯ derivada da composta gf:

IV IV (4) (gf) = g f (f 0, f 0, f 0, f 0) + 6g00f (f 00, f 0, f 0) · · IV + 4g00f (f 00, f 0) + 3g00f (f 00, f 00) + g0f f . · · · As nota¸cões são análogas as` anteriores. De um modo geral, uma indu¸cão fácil permite constatar que, dado i, para cada parti¸cão i + + i = i, existe um inteiro n(i , . . . , i ) tal que a i-ésima 1 · · · k 1 k derivada da aplica¸cão composta gf tem a expessão seguinte:

i (g f)(i) = n(i , . . . , i )gkf f (i1), . . . , f (ik) ◦ 1 k · k=1 X onde, para cada k, temos i + + i = i. 1 · · · k “MAIN2” 2007/5/23 page 11

[SEC. 5: A DESIGUALDADE DO VALOR MEDIO´ 11

5 A desigualdade do valor m´edio

Se x, y Rm, indiquemos por ∈ [x, y] = x + t(y x); 0 t 1 { − ≤ ≤ } o segmento de reta fechado ligando x e y. O correspondente segmento de reta aberto ´e

(x, y) = x + t(y x); 0 < t < 1 . { − }

Seja f : U Rn cont´ınua no conjunto aberto U Rm. Se → ⊂ o segmento de reta fechado [x, x + h] está contido em U e f é diferenciável em todos os pontos do segmento aberto (x, x + h), então

f(x + h) f(x) M h , onde M = sup f 0(x + th) . | − | ≤ · | | 0 t 1 | | ≤ ≤ (Lembremos que se T : Rm Rn é uma transforma¸cão linear então → T = sup T v . ) | | v =1 | · | | |

U f f(x + h) h x + h f(x) x

Figura 1.5. “MAIN2” 2007/5/23 page 12

12 [CAP. I: CALCULO´ DIFERENCIAL

O quociente de f(x + h) f(x) por h n˜ao excede | − | | |

M = sup f 0(x + th) . 0 t 1 | | ≤ ≤

Seja U Rm aberto. Uma aplica¸cão diferenciável f : U Rn ⊂ → diz-se uniformemente diferenciável no conjunto X U quando ⊂ para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que h < δ implica f(x + h) | | | − f(x) f (x) h < ε h , seja qual for x X. − 0 · | · | | ∈ E´ uma consequ¨ência da desigualdade do valor médio que se K U é compacto, então toda aplica¸cão f : U Rn, de classe ⊂ → C1, é uniformemente diferenciável em K. (Vide AERn, pag. 28.) Como aplica¸cão deste fato, temos a proposi¸cão abaixo. (Vide AERn, pag. 31, Exerc´ıcio 3.)

Proposi¸cão. Seja f : U Rn de classe C1 num aberto U → ⊂ Rm. Se f (x): Rm Rn é injetiva em todos os pontos x de um 0 → compacto K U, então existem numer´ os reais c > 0 e δ > 0 tais ⊂ que f(y) f(x) c y x quaisquer que sejam x K, y U | − | ≥ | − | ∈ ∈ com g x δ. | − | ≤ Demonstra¸cão: Definamos λ: K Sm 1 R pondo × − → λ(x, u) = f (x) u . Como λ > 0 em todos os pontos do conjunto | 0 · | compacto K Sm 1, existe c > 0 tal que λ(x, u) 2c, sejam × − ≥ quais forem x K, u Sm 1. Da´ı resulta que f (x) h 2c h ∈ ∈ − | 0 · | ≥ · | | para todo x K e todo h Rm. Ora, sendo f uniformemente ∈ ∈ diferenciável em K, existe δ > 0 tal que h < 0 implica x + h U | | ∈ e f(x+h) f(x) f (x) h < c h para todo x K. Consequen-¨ | − − 0 · | ·| | ∈ temente, se x K, y U e y x < δ, teremos: ∈ ∈ | − | “MAIN2” 2007/5/23 page 13

[SEC. 6: DERIVADAS PARCIAIS 13

f(y) f(x) | − | = f 0(x) (y x) + f(y) f(x) f 0(x) (y x) | · − − − · − | f 0(x) (y x) f(y) f(x) f 0(x) (y x) ≥ | · − | − | − − · − | 2c y x c y x = c y x . ≥ · | − − | − | · | − |

6 Derivadas parciais

Seja Rm = E F o espa¸co euclidiano Rm, escrito como soma ⊕ direta de dois subespa¸cos E, F . Cada elemento z Rm é repre- ∈ sentado por um par z = (x, y), x E, y F . ∈ ∈ Dados um aberto U Rm e uma aplica¸cão f : U Rn, as de- ⊂ → rivadas parciais de f num ponto (a, b) U são aplica¸cões lineares ∈ ∂ f(a, b): E Rn, ∂ f(a, b): F Rn, definidas pelas rela¸cões 1 → 2 →

r1(h) f(a + h, b)=f(a, b)+∂1f(a, b) h+r1(h), com lim 0 · h 0 h → → | | e

r2(k) f(a, b + k)=f(a, b)+∂2f(a, b) k+r2(k), com lim 0. · h 0 k → → | |

Naturalmente, f pode possuir uma, ambas, ou nenhuma das derivadas parciais em um ponto (a, b) U. ∈ A derivada parcial ∂1f(a, b), caso exista, é a derivada da aplica¸cão parcial x f(x, b) no ponto a E, estando tal aplica¸cão 7→ ∈ definida em um aberto de E contendo a. Analogamente, ∂2f(a, b) é a derivada, em b F , da aplica¸cão parcial y f(a, y). ∈ 7→ “MAIN2” 2007/5/23 page 14

14 [CAP. I: CALCULO´ DIFERENCIAL

E´ imediato ver que, se f : U Rn é diferenciável no ponto z = → (a, b) U, então as derivadas parciais existem e ∂ f(z) = f (z) E, ∈ 1 0 | ∂ f(z) = f (z) F . A rec´ıproca é falsa, como se aprende no cálculo 2 0 | elementar. O teorema abaixo dá uma condi¸cão suficiente para diferenciabilidade em termos de derivadas parciais.

Teorema. Sejam U Rm um aberto e Rm = E F uma decom- ⊂ ⊕ posi¸cão em soma direta. Uma aplica¸cão f : U Rn é de classe → C1 se, e somente se, para todo z = (x, y) Rm as derivadas par- ∈ ciais existem e, além disso, as aplica¸cões ∂ f : U (E, Rn) e 1 → L ∂ f : U (F, Rn) são cont´ınuas. 2 → L No caso da decomposi¸cão usual Rm = E E , onde 1 ⊕ · · · ⊕ m cada Ei é o subespa¸co unidimensional gerado pelo i-ésimo vetor 1 m básico ei , para cada z = (x , . . . , x ), identificamos ∂if(z) com o vetor

∂f f(x1, . . . , xi + t, . . . , xm) f(x1, . . . , xm) (x) = lim − ∂xi t 0 t · →

Podemos ent˜ao enunciar o

Corolário. Seja U Rm um aberto. Uma aplica¸cão f : U Rn, ⊂ → f(z) = (f 1(z), . . . , f n(z)), é de classe Ck se, e somente se, todas as derivadas parciais mistas

∂αf i (z), z U, 1 i n, 1 i1, . . . , iα m ∂xi1 . . . ∂xiα ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ de ordem α k existem e dependem continuamente de z U. ≤ ∈ “MAIN2” 2007/5/23 page 15

[SEC. 7: O TEOREMA DA FUNC¸AO˜ INVERSA 15

7 O teorema da fun¸c˜ao inversa

Sejam U Rm um aberto e f : U Rm uma aplica¸cão Ck ⊂ → (1 k ) tal que, num ponto x U, a derivada f (x ) ≤ ≤ ∞ 0 ∈ 0 0 ∈ (Rm) é um isomorfismo. Então f aplica difeomorficamente uma L vizinhan¸ca menor V de x0 sobre uma vizinhan¸ca W de f(x0).

Rm Rn U f(V ) = W

V x

Figura 1.6.

Deve-se lembrar sempre que se f : U V é um difeomorfismo → então, para todo x U, f (x): Rm Rm é um isomorfismo, mas ∈ 0 → o Teorema da Fun¸cão Inversa não é uma rec´ıproca completa deste fato. Ele permite apenas concluir que se f Ck (k 1) e f (x) ∈ ≥ 0 é um isomorfismo para todo x U, então f é um difeomorfismo ∈ local, isto é, cada x U tem uma vizinhan¸ca aplicada por f difeo- ∈ morficamente sobre uma vizinhan¸ca de f(x).

A aplica¸cão f : R2 R2, definida por f(z) = ez, fornece um → exemplo de difeomorfismo local C∞ que não é globalmente um difeomorfismo. “MAIN2” 2007/5/23 page 16

16 [CAP. I: CALCULO´ DIFERENCIAL

O teorema da fun¸cão inversa evidencia o fato de ser f 0(x0) uma “boa aproxima¸cão” de f, pois a informa¸cão de que f 0(x0) é um isomorfismo acarreta ser f biun´ıvoca em uma vizinhan¸ca de x0 .

8 A forma local das submers˜oes e o teorema das fun¸c˜oes impl´ıcitas

Seja U Rm+n um aberto. Uma aplica¸cão diferenciável ⊂ f : U Rn chama-se uma submersão quando, para todo x U, a → ∈ derivada f (x): Rm+n Rn é sobrejetora. O exemplo t´ıpico é a 0 → proje¸cão

π : Rm+n = Rm Rn Rn × → (x, y) y. 7→

Com rela¸cão ao teorema abaixo, lembramos que, dada uma transforma¸cão linear sobrejetora T : Rm+n Rn, se tomamos → E = nucleo´ de T e F = qualquer subespa¸co suplementar de E em Rm+n então, necessariamente, a restri¸cão

T F : F Rn ´e um isomorﬁsmo. | →

Teorema (forma local das submersões). Sejam U Rm+n um ⊂ aberto e f : U Rn uma aplica¸cão de classe Ck, k 1. Suponha → ≥ que, no ponto z U, a derivada f (z ): Rm+n Rn é sobreje- 0 ∈ 0 0 → tora. Escolhida uma decomposi¸cão em soma direta E F = Rm+n ⊕ (z = (x , y )) tal que ∂ f(z ) = f (z ) F é um isomorfismo, então 0 0 0 2 0 0 0 | f se comporta localmente como uma proje¸cão. Com isto queremos “MAIN2” 2007/5/23 page 17

[SEC. 8: FORMA DAS SUBMERSOES˜ E O TEOREMA DAS FUNC¸OES˜ 17 dizer que existem abertos V , W , Z, com

x V, V E, 0 ∈ ⊂ z Z, Z U, 0 ∈ ⊂ f(z ) W, W Rn, 0 ∈ ⊂ e um difeomorfismo de classe Ck, h: V W Z tal que f × → ◦ h: (x, w) w. 7→ Convém ter em mente a Figura 1.7, que põe em relevo o caráter geométrico do difeomorfismo h:

Z n ξ(x, c) R

f V W h × W

(x, c) π = f h : (x, w) w ◦ 7→ c = f(z0) (x0, c)

E x x0 V

Figura 1.7.

Fazendo uso do teorema da fun¸cão inversa podemos demonstrar rapidamente a forma local das submersões, como se segue: Seja ϕ: U E Rn de classe Ck, definida por ϕ(x, y) = → × (x, f(x, y)). A derivada ϕ (z ): Rm+n E Rn é dada pela 0 0 → × fórmula (h, k) (h, ∂ f(z ) h+∂ f(z ) k), h E, k F . Obser- 7→ 1 0 · 2 0 · ∈ ∈ vemos que a aplica¸cão linear (u, v) (u, (∂ f(z )) 1 7→ 2 0 − “MAIN2” 2007/5/23 page 18

18 [CAP. I: CALCULO´ DIFERENCIAL

(v ∂ f(z ) u)), u E, v Rn, é a inversa de ϕ (z ) e ganhemos − 1 0 · ∈ ∈ 0 0 o direito de aplicar o teorema da fun¸cão inversa. Se escrevemos k f(z0) = c, ϕ é um difeomorfismo de classe C de uma vizinhan¸ca de z0 sobre uma vizinhan¸ca de (x0, c). Esta ultima´ pode ser escolhida na forma V W , onde V é aberto em E e W é aberto em × Rn. Ponhamos

1 1 Z = ϕ− (V W ) e ϕ− : V W Z. × × → Resta examinar o aspecto da composta f h. ◦ 1 Como ϕ(x, y) = (x, f(x, y)) segue-se que h = ϕ− ´e da forma h(x, w) = (x, h (x, w)). Se (x, w) V W , ent˜ao 2 ∈ × (x, w) = ϕ h(x, w) ◦ = ϕ(x, h2(x, w))

= (x, f(x, h2(x, w))) = (x, f h(x, w)). ◦ Logo f h(x, w) = w, para todo (x, y) V W . ◦ ∈ × Corolário. Uma submersão de classe Ck (k 1) é uma aplica¸cão ≥ aberta.

Observa¸cões: 1) Pode parecer estranho aplicar o teorema da fun¸cão inversa a ϕ: U Rm+n E Rn pois E Rn não é um espa¸co euclidiano. ⊂ → × × O leitor está convidado a justificar esta passagem. 2) Da rela¸cão f h = π : V W W resulta que a derivada ◦ × → f (p) é sobrejetora para todo p Z. Assim o conjunto dos pontos 0 ∈ p Rm+n tais que f (p) é sobrejetora é aberto. ∈ 0 3) A decomposi¸cão em soma direta Rm+n = E F pode ser sempre ⊕ tomada com E e F gerados pelos eixos coordenados. E´ o que faremos doravante em todas as aplica¸cões. Com efeito: “MAIN2” 2007/5/23 page 19

[SEC. 8: FORMA DAS SUBMERSOES˜ E O TEOREMA DAS FUNC¸OES˜ 19

Uma decomposi¸cão em soma direta do tipo Rm+n = Rm Rn si- ⊕ gnifica uma parti¸cão e , . . . , e = e , . . . , e e , . . . , e { 1 m+n} { i1 im }∪{ j1 jn } da base canônica do Rm+n. Dada a parti¸cão, pomos Rm Rm+n ⊂ como sendo subespa¸co gerado por e , . . . , e e Rn Rm+n { i1 im } ⊂ como o subespa¸co gerado pelos vetores restantes e , . . . , e . E´ { j1 jn } ob´ vio que Rm+n é a soma direta desses dois subespa¸cos e escrevemos Rm+n = Rm Rn. ⊕ Uma vez dada tal decomposi¸cão, escrevemos os elementos de Rm+n como pares z = (x, y), x Rm e y Rn. Por exemplo, seja ∈ ∈ R3 = R2 R, onde R2 é gerado por e , e e R por e . Então todo ⊕ 1 3 2 z = (x1, x2, x3) será denotado por z = (u, v), u = (x1, 0, x3) R2 ∈ e v = (0, x2, 0) R. ∈ Dada uma aplica¸cão linear sobrejetora T : Rm+n Rn, e- → xiste uma decomposi¸cão Rm+n = R Rn tal que T Rn : Rn n ⊕ | → R é um isomorfismo. Basta observar que os vetores T e1, . . . , n T em+n geram R e portanto é poss´ıvel selecionar dentre eles uma base T e , . . . , T e . Sejam i , . . . , i os ´ındices restantes. A { j1 jn } 1 m parti¸cão 1, 2, . . . , m + n = i , . . . , i j , . . . , j fornece a { } { 1 m} ∪ { 1 n} decomposi¸cão desejada.

4) Na demonstra¸cão do teorema surgem fatos importantes, que devemos destacar: o difeomorfismo h é da forma h(x, w) = (x, h (x, w)), x V , w W . Isto significa que as “fibras” x W 2 ∈ ∈ { }× são movimentadas apenas no sentido vertical, como aparece na Figura 1.7. Outra novidade aparece se consideramos a aplica¸cão ξ = ξ : V F , ξ(x) = h (x, c), de classe Ck. Observemos que 0 → 2 f(x, ξ(x)) = c para todo x V . Por outro lado, se (x, y) Z ∈ ∈ é tal que f(x, y) = c, então (x, y) = h ϕ(x, y) = h(x, c) = ◦ (x, h2(x, c)) = (x, ξ(x)), ou seja, y = ξ(x). Este fato é o importante teorema das fun¸cões impl´ıcitas, que pode ser sintetizado na seguinte afirma¸cão: “MAIN2” 2007/5/23 page 20

20 [CAP. I: CALCULO´ DIFERENCIAL

O conjunto f 1(c) Z é o gráfico da aplica¸cão x V ξ(x) = − ∩ ∈ 7→ h (x, c) F , de classe Ck. 2 ∈ Em outras palavras, a equa¸cão f(x, y) = c define, implicitamente, k na vizinhan¸ca de x0 , a aplica¸cão y = ξ(x), de classe C cuja derivada é dada por

1 ξ0(x) = ∂ f(x, ξ(x)) − ∂ f(x, ξ(x)). − 2 ◦ 1 O parâmetro c pode variar no aberto W . Conclui-se que existem abertos V E, contendo x , W Rn contendo c e ⊂ 0 ⊂ Z U contendo z tais que para cada y W e para cada x v ⊂ 0 ∈ ∈ existe um unico´ ξ(x, y) = h (x, y) F tal que (x, ξ(x, y)) Z 2 ∈ ∈ e f(x, ξ(x, y)) = y. Tal situa¸cão fica também evidente na Figura 1.7. Veremos no Cap´ıtulo II que o conjunto f 1(c) Z é uma su- − ∩ perf´ıcie m-dimensional de classe Ck no Rm+n (se¸cão 2.5.2).

9 A forma local das imers˜oes

Seja U Rm um aberto. Uma aplica¸cão diferenciável f : U ⊂ → Rm+n chama-se uma imersão quando, para cada x U, a deri- ∈ vada f (x): Rm Rm+n é uma transforma¸cão linear injetora. O 0 → exemplo t´ıpico é a inclusão

i: Rm Rm Rn = Rm+n, x (x, 0). → × 7→

Teorema (forma local das imersões). Sejam U Rm um aberto ⊂ e f : U Rm+n uma aplica¸cão de classe Ck, k 1. Suponha → ≥ que no ponto x U a derivada f (x ): Rm Rm+n é injetora. 0 ∈ 0 0 → Então f se comporta localmente como uma inclusão. Com isto queremos dizer que existem abertos V , W , Z, com “MAIN2” 2007/5/23 page 21

[SEC. 9: A FORMA LOCAL DAS IMERSOES˜ 21

f(x ) Z, Z Rm+n, 0 ∈ ⊂ x V, V U Rm, 0 ∈ ⊂ ⊂ 0 W, W Rn, ∈ ⊂ e um difeomorfismo de classe Ck, h: Z V W , tal que h f(x) = → × ◦ (x, 0), para cada x V . ∈ A Figura 1.8, que corresponde a m = n = 1, indica geometricamente a situa¸cão geral. Convém entendê-la bem.

F Z

f(x)

0 Rm f E = f (x0) h ·

W Rn ⊂ V i = h ◦ f ξ 0 x0 (x0, 0) U Rm ⊂ π V x0

Figura 1.8. Demonstra¸cão: Seja E = f (x ) Rm e escolhamos para F qual- 0 0 · quer suplementar de E em Rm+n, ou seja, Rm+1 = E F . De- ⊕ finamos a aplica¸cão de classe Ck, ϕ: U F Rm+n, dada por × → ϕ(x, y) = f(x) + y. Então ϕ(x , 0) = f(x ) e, se (u, v) Rm F , 0 0 ∈ × temos ϕ (x , 0) (u, v) = f (x ) u+v. E´ imediato ver que ϕ (x , 0) 0 0 · 0 0 · 0 0 é um isomorfismo. Pelo teorema da fun¸cão inversa, ϕ é um difeo- k morfismo de classe C de uma vizinhan¸ca de (x0, 0) sobre uma vizinhan¸ca de f(x ). Podemos escolher a primeira da forma V W , 0 × “MAIN2” 2007/5/23 page 22

22 [CAP. I: CALCULO´ DIFERENCIAL com x V U e 0 W F , e escrever Z = ϕ(V W ). 0 ∈ ⊂ ∈ ⊂ × Seja h = ϕ 1 : Z V W . Como ϕ(x, 0) = f(x), segue-se que − → × h f(x) = h ϕ(x, 0) = (x, 0), x V . ◦ ◦ ∈ Para concluir, identificamos F com Rn (escolhendo uma base para F ) a fim de simplificar o enunciado do teorema. Observa¸cão: Se π : V W V , π(x, w) = x, é a primeira × → proje¸cão, então ξ = π h: Z V goza da propriedade ◦ → ξ f(x) = π h f(x) = π(x, 0) = x. Portanto ξ f(V ) = (f V ) 1. ◦ ◦ ◦ | | − Conclusão: f é um homeomorfismo de V sobre f(V ) cujo inverso é a restri¸cão a f(V ) da aplica¸cão ξ : Z V de classe C k. Esta → observa¸cão será de importância no futuro. A interpreta¸cão intuitiva de uma imersão f : U Rm+n (k → ≥ 1) é a seguinte: para cada conjunto aberto suficientemente pequeno V U Rm, f(V ) é uma “superf´ıcie m-dimensional no ⊂ ⊂ Rm+n ” dotada de um “plano tangente” f(x)+f (x) Rm em cada 0 · ponto f(x) f(V ). Este plano varia continuamente com x V . ∈ ∈ Esta interpreta¸cão geométrica das imersões será desenvolvida no próximo cap´ıtulo.

10 O teorema do posto

O posto de uma aplica¸cão linear T : Rm Rn é a dimensão de → sua imagem T Rm, isto é, o numero´ máximo de vetores linearmente · independentes entre T e1, . . . , T em . O posto de T é igual a r (ρ(T ) = r) se, e somente se, a matriz de T (relativamente as` bases canônicas de Rm e Rn, por exemplo) tem um determinante menor r r não nulo e todo determinante menor de ordem r + 1 é nulo. × O posto de uma aplica¸cão diferenciável f : U Rm Rn num ⊂ → ponto x U é, por defini¸cão, o posto de sua derivada f (x): Rm ∈ 0 → Rn. Por exemplo, uma submersão f : U Rn tem posto n em → todo ponto x U. Analogamente, uma imersão f : U Rm Rn ∈ ⊂ → “MAIN2” 2007/5/23 page 23

[SEC. 10: O TEOREMA DO POSTO 23 tem posto m em cada ponto. Por esta razão, as submersões e as imersões são denominadas as aplica¸cões de posto máximo.

A aplica¸cão que associa a cada x U o posto de f em x é ∈ semi-cont´ınua inferiormente. Mais precisamente, se f tem posto r num ponto x U, existe uma vizinhan¸ca V do ponto x tal que f ∈ tem posto r em todos os pontos de V . Com efeito, existe um ≥ determinante menor r r não nulo da matriz jacobiana Jf(x). × Por continuidade, este menor não se anula em uma vizinhan¸ca V do ponto x, de modo que o posto de f é r em todos os pontos ≥ de V .

O teorema a ser demonstrado nesta se¸cão estuda as aplica¸cões de posto constante. Contém, como casos particulares, as formas locais das aplica¸cões de posto máximo.

Lembramos que um subconjunto A de um espa¸co vetorial E é convexo se, para cada par de pontos x, y A, o segmento de reta ∈ [x, y] está contido em A. Por exemplo, uma bola aberta Bδ(a), de centro em a e raio δ, num espa¸co normado, é convexa. Realmente, dados x, y B (a) e 0 < t < 1, temos [(1 t)x + ty] a = ∈ δ | − − | (1 t)(x a)+t(y a) (1 t) x a +t y a < (1 t)δ+tδ = δ. | − − − | ≤ − | − | | − | − A bola fechada de centro a é raio δ também é convexa.

Se A E F é subconjunto do produto cartesiano de dois ⊂ × espa¸cos vetoriais, dizemos que A é verticalmente convexo se todo segmento de reta vertical [(x, y0), (x, y00)] cujas extremidades estão em A, está inteiramente contido em A. Por exemplo, se A = V W × onde V é qualquer subconjunto de E e W F é convexo, então ⊂ k é verticalmente convexo. “MAIN2” 2007/5/23 page 24

24 [CAP. I: CALCULO´ DIFERENCIAL

F A = V W × W

E V Figura 1.9. Os conjuntos A e B s˜ao verticalmente convexos.

Lema 1. Seja U Rm Rn um aberto verticalmente convexo. ⊂ × Se f : U Rp tem segunda derivada parcial ∂ f identicamente → 2 nula em U então f é independente da segunda variável, isto é, f(x, y) = f(x, y0) para quaisquer (x, y) e (x, y0) em U. Demonstra¸cão: Dados (x, y) e (x, y ) U, o caminho 0 ∈ ϕ: [0, 1] Rp dado por ϕ(t) = f(x, (1 t)y+ty ) está bem definido → − 0 e é diferenciável. Como ϕ (t) = ∂ f(u, (1 t)y + ty ) (y y) = 0 0 2 − 0 · 0 − para todo t [0, 1], resulta que ϕ é constante. Em particular, ∈ ϕ(0) = ϕ(1), ou seja f(x, y) = f(x, y0).

Lema 2. Seja E Rm+p um subespa¸co m-dimensional. Existe ⊂ uma decomposi¸cão em soma direta Rm+p = Rm Rp tal que a ⊕ primeira proje¸cão π : Rm+p Rm, π(u, v) = u, aplica E isomor- → ficamente sobre Rm. Demonstra¸cão: Escolhamos uma base u , . . . , u em E. A { 1 m} menos que seja E = Rm+p (isto é, p = 0) existe um vetor básico e Rm+p E. Então u , . . . , u , e são linearmente inde- j1 ∈ − 1 m j1 pendentes e geram um subespa¸co E Rm+p. A menos que 1 ⊂ E = Rm+p (p = 1), existe um vetor básico e Rm+p E . 1 j2 ∈ − 1 Então u1, . . . , um , ej1 , ej2 são linearmente independentes. Pros- seguindo o racioc´ınio, obteremos vetores básicos ej1 , . . . , ejp tais “MAIN2” 2007/5/23 page 25

[SEC. 10: O TEOREMA DO POSTO 25 que u , . . . , u , e , . . . , e seja uma base do Rm+p. Isto deter- { 1 m j1 jp } mina as decomposi¸cões em soma direta Rm+p = Rm Rp = E Rp. ⊕ ⊕ A proje¸cão π, relativa a` primeira decomposi¸cão, transforma Rp em zero, logo aplica E isomorficamente sobre Rm. Teorema do Posto. Sejam U Rm+n um aberto e f : U ⊂ → Rm+p uma aplica¸cão de classe Ck (k 1). Suponha que f tem ≥ posto m em todos os pontos de U. Então, para todo z U existem 0 ∈ difeomorfismos de classe Ck

α, de um aberto do Rm Rn sobre uma vizinhan¸ca de z × 0 β, de uma vizinhan¸ca de f(z ) sobre um aberto em Rm Rp. 0 × tais que β f α: (x, y) (x, 0) ◦ ◦ 7→ U Rm+n ⊂ Rp Z0 Z f(U) f(Z) f z0 f(z0)

β Rm

(x, y) βfα : (x, w) (x, 0) 7→ βf(Z) = V 0 × (x0, y0) (x0, 0) (x, 0) V W Rm Rn × ⊂ × V W 0 Rm Rp × ⊂ × Figura 1.10.

Demonstra¸cão: Sejam z U, arbitrário, e E = f (z ) Rm+n 0 ∈ 0 0 · ⊂ Rm+p. Pelo Lema 2 existe uma decomposi¸cão em soma direta Rm+p = Rm Rp cuja primeira proje¸cão aplica E isomorficamente ⊕ sobre Rm. Então (π f) (z ) = π f (z ): Rm+1 Rm é sobre- ◦ 0 0 ◦ 0 0 → jetora. Pela forma local das submersões existe um difeomorfismo “MAIN2” 2007/5/23 page 26

26 [CAP. I: CALCULO´ DIFERENCIAL

α Ck de um aberto V W Rm Rn sobre uma vizinhan¸ca de ∈ 0 × ⊂ × z0 tal que πfα(x, y) = x. Isto significa que fα(x, y) = (x, λ(x, y)) onde λ: V W Rp é de classe Ck. 0 × → Afirma¸cão: ∂ λ 0. Realmente, para cada ponto (x, y) V W 2 ≡ ∈ 0 × tem-se

m n (f α)0 : (h, k) (h, ∂ λ h + ∂ λ k), h R , k R . ◦ 7→ 1 · 2 · ∈ ∈ Segue-se que π (fα) : (h, k) h. Se denotarmos por E a ◦ 0 7→ xy imagem da aplica¸cão linear (fα)0(x, y), levando em conta que dim Exy = m concluiremos que π leva isomorficamente Exy sobre Rm, para cada (x, y) V W . Se em algum ponto (x, y) a de- ∈ 0 × rivada ∂ λ fosse não-nula, isto é, ∂ λ k = 0 para algum k Rn, 2 2 · 6 ∈ então (fα) (0, k) = (0, ∂ λ k) = 0. Por conseguinte, π levaria um 0 2 · 6 vetor não-nulo de Exy no zero, o que contradiz a condi¸cão de isomorfismo. Podemos supor que W é conexo. Pelo Lema 1 resulta que λ(x, y) não depende de y. Seja α(x , y ) = z . Consideremos a inje¸cão i: V V W , 0 0 0 0 → 0 × dada por i(x) = (x, y0). Então fα(x, y) = fαi(x) = (x, λ(x, y0)) para todo (x, y) V W . Como fαi tem derivada injetora em ∈ 0 × x0 , podemos aplicar a forma local das imersões: existe um difeomorfismo β Ck, de uma vizinhan¸ca de f(z ) sobre um aberto ∈ 0 em Rm Rp tal que βfαi: x (x, 0), x V V . (V é uma × 7→ ∈ ⊂ 0 vizinhan¸ca de x0 , possivelmente menor que V0). Finalmente, β f α(x, y) = β f α i(x) = (x, 0), o que ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ conclui a demonstra¸cão. Proposi¸cão. Sejam U Rm um aberto e f : U Rn de classe ⊂ → C1. Para cada r = 0, 1, . . . , p (p = min m, n ), seja A o interior { } r do conjunto dos pontos x U nos quais f tem posto r. Então ∈ A = A A é (aberto e) denso em U. 0 ∪ · · · ∪ p Demonstra¸cão: Seja V um subconjunto aberto não vazio de U. Queremos mostrar que V A = ϕ. Consideremos um ponto x V ∩ 6 ∈ “MAIN2” 2007/5/23 page 27

[SEC. 10: O TEOREMA DO POSTO 27 onde o posto de f assume seu valor máximo r0 em V . Como a aplica¸cão x U ρ(f (x)) é semi-cont´ınua inferiormente, existe ∈ 7→ 0 uma vizinhan¸ca W U de x na qual o posto de f é r . Então o ⊂ ≥ 0 posto de f é exatamente igual a r em todos os pontos de W V . 0 ∩ Ou seja, ϕ = W V A . Logo V A = ϕ. 6 ∩ ⊂ r0 ∩ 6 Corolário 1. Dada f : U Rn de classe C1, existe um subcon- → junto aberto denso A U tal que o posto de f é constante em ⊂ cada componente conexa de A.

A2 A1

A0 A1

Figura 1.11. Corolário 2. Seja U Rm aberto. Se uma aplica¸cão f : U Rn ⊂ → de classe C1 é 1 1, então m n e o conjunto dos pontos x U − ≤ ∈ tais que f (x): Rm Rn é injetora é aberto e denso em U. 0 → Demonstra¸cão: Seja A = A A , p = min m, n , como na 0 ∪· · ·∪ p { } proposi¸cão. Pelo teorema do posto, f não pode ser injetora em Ar, a menos que r = m = p. Portanto m n e A = ϕ para r = m, ≤ r 6 de modo que A = Am. Isto demonstra o corolário, pois o conjunto dos pontos x U tais que f (x) tem posto m é claramente aberto. ∈ 0 Corolário 3. Seja U Rm aberto. Se uma aplica¸cão f : U Rn ⊂ → de classe C1 é aberta, então m n e o conjunto dos pontos x U ≥ ∈ tais que f (x): Rm Rn é sobrejetora é aberto e denso em U. 0 → A demonstra¸cão é, mutatis mutandis, como a anterior. “MAIN2” 2007/5/23 page 28

28 [CAP. I: CALCULO´ DIFERENCIAL

11 Campos de vetores em Rn

Seja U um subconjunto aberto em Rn. Um campo de vetores em U e simplesmente uma aplica¸cão v : U Rn. Se v Ck → ∈ dizemos que o campo de vetores é de classe Ck. Sejam p U e v : U Rn um campo vetorial de classe Ck. ∈ → Chama-se curva integral do campo v, com condi¸cão inicial p, a um caminho diferenciável λ: J U, definido num intervalo aberto → contendo 0 R, tal que λ(0) = p e λ (t) = v(λ(t)) para todo ∈ 0 t J. ∈ Visualizamos o campo v associando um vetor v(x) Rn a cada ∈ ponto x U. O vetor-velocidade de uma curva integral de v num ∈ determinado ponto é justamente o vetor associado a este ponto pelo campo v.

v(x) x

Figura 1.12.

Consideraremos agora o teorema de existˆencia e unicidade das curvas integrais.

Teorema. Sejam U um subconjunto aberto do Rn e v : U Rn → um campo vetorial de classe C1. Dado qualquer p U, existe uma ∈ curva integral λ: ( c, c) U do campo v com condi¸c˜ao inicial − → λ(0) = p. Se µ: ( ε, ε) U for outra curva integral de v com − → µ(0) = p, ent˜ao λ = µ num intervalo ( δ, δ) ( c, c) ( ε, ε). − ⊂ − ∩ − “MAIN2” 2007/5/23 page 29

[SEC. 11: CAMPOS DE VETORES EM RN 29

Demonstra¸cão: Seja B uma bola fechada de centro p, na qual as normas v e v são limitadas por uma constante k > 0. Em | | | 0| particular, x, y B implica v(x) f(y) k x y . Seja c um ∈ | − | ≤ | − | numero´ real positivo tal que o produto ck seja menor do que 1 e do que o raio de B. Consideremos o espa¸co métrico E, formado pelos caminhos cont´ınuos λ: [ c, c] B, com a métrica da convergência uniforme. − → Sabe-se que E é completo. Definamos uma aplica¸cão f : E E → pondo, para cada λ E, f(λ) = µ, onde ∈ t µ(t) = p + v(λ(s)) ds. Z0 Note-se que µ(t) p ck < raio de B, donde µ(t) B e portanto | − | ≤ ∈ µ E. Observe-se também que se µ = f(λ ) e µ = f(λ ) então, ∈ 1 1 2 2 para cada t,

t µ (t) µ (t) v λ (s)) v(λ (s)) ds | 1 − 2 | ≤ | | 1 − 2 | ≤ Z0 ck sup λ1(s) λ2(s) ≤ · s | − | e portanto d(µ , µ ) ck d(λ , λ ). Como ck < 1, vê-se que 1 2 ≤ · 1 2 f : E E é uma contra¸cão. Pelo teorema do Ponto Fixo para → contra¸cões (ver [2], Cap´ıtulo X, Proposi¸cão 9), existe um unico´ caminho λ: [ c, c] B tal que f(λ) = λ. Isto significa − → t λ(t) = p + v(λ(s)) ds. Z0 Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, esta igualdade equivale a afirmar

λ0(t) = v(λ(t)), λ(0) = p. “MAIN2” 2007/5/23 page 30

30 [CAP. I: CALCULO´ DIFERENCIAL

Logo λ é uma curva integral com origem em p. Dada qualquer outra curva integral µ: ( ε, ε) U com µ(0) = p, podemos res- − → tringir λ e µ a um intervalo [ δ, δ] tal que δk < 1 e δk < raio de − B. Então λ = µ em [ δ, δ] pela unicidade do ponto fixo. −

12 Referˆencias

[1] Serge Lang - Analysis I, Addison-Wesley, Reading 1968.

[2] Elon L. Lima - Análise no Espa¸co Rn, Cole¸cão Matemática Universitária, IMPA, 2004.

[3] Walter Rudin - Princ´ıpios de Análise Matemática, Ao Livro Técnico, Rio, 1970.

[4] Michael Spivak - Calculus on Manifolds, Benjamin, New York, 1966. “MAIN2” 2007/5/23 page 31

Cap´ıtulo II

Superf´ıcies nos Espa¸cos Euclidianos

A no¸cão de superf´ıcie de dimensão m num espa¸co euclidiano Rn (n m) é generaliza¸cão direta dos objetos que econtramos ≥ na geometria diferencial clássica – as curvas em R3 ou R2 que possuem vetor tangente em cada ponto e as superf´ıcies em R3 que possuem plano tangente em cada ponto.

1 Parametriza¸c˜oes

m Seja U0 um subconjunto aberto de R . Uma imersão de classe Ck, ϕ: U Rn, diz-se um mergulho de classe Ck de U em Rn, 0 → 0 quando ϕ é um homeomorfismo de U0 sobre ϕ(U0). Dizemos também que ϕ é uma parametriza¸cão de classe C k e dimensão m do subconjunto U = ϕ(U ) Rn. 0 ⊂ Em rela¸cão a` injetividade de ϕ (x): Rm Rn, lembremos que 0 → as seguintes condi¸cões são equivalentes:

(i) ϕ (x): Rm Rn ´e injetora. 0 → “MAIN2” 2007/5/23 page 32

32 [CAP. II: SUPERF´ICIES NOS ESPAC¸OS EUCLIDIANOS

∂ϕ (ii) (x) = ϕ (x) e , j = 1, . . . , m s˜ao vetores linearmente ∂xj 0 · j independentes.

∂ϕi (iii) A matriz jacobiana n m, Jϕ(x) = (x) , tem posto m, × ∂xj isto ´e, algum de seus determinates menores m m ´e distinto × de zero.

∂ϕ U ∂x2 ϕ ∂ϕ ∂x1 x = ϕ(x0) Rm e2

x e1 0 U0

Figura 2.1.

Exemplos: 1) Parametriza¸cões de dimensão 1. Seja J um intervalo aberto de numeros´ reais. Um caminho de classe Ck, ϕ: J Rn, é um mergulho se, e somente se, ϕ: J → → ϕ(J) é um homeomorfismo e o vetor velocidade ϕ0(t) nunca se anula. Existem imersões biun´ıvocas C∞ de um intervalo aberto dos reais em R2 que não são homeomorfismos sobre sua imagem. Voltaremos a tratar do assunto posteriormente. A Figura 2.2 ilustra esta situa¸cão: “MAIN2” 2007/5/23 page 33

[SEC. 1: PARAMETRIZAC¸OES˜ 33

∞ R R

ϕ ∞ ψ

Figura 2.2.

2) Parametriza¸cões de dimensão 2 em R3. Seja U um subconjunto aberto em R2 e ϕ: U U = ϕ(U ) 0 0 → 0 ⊂ R3, ϕ(u, v) = (ϕ1(u, v), ϕ2(u, v), ϕ3(u, v)) uma parametriza¸cão de classe Ck. O conjunto U = ϕ(U0) é chamado uma superf´ıcie local. A independência linear dos vetores

∂ϕ ∂ϕ1 ∂ϕ2 ∂ϕ3 ∂ϕ ∂ϕ1 ∂ϕ2 ∂ϕ3 = , , e = , , ∂u ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v ∂v ´e equivalente a ser n˜ao-nulo o produto vetorial n = n(u, v) = ∂ϕ ∂ϕ , chamado vetor normal a U no ponto ϕ(u, v). ∂u × ∂v

R3 n(u, v) U ϕ ∂ϕ ∂v ∂ϕ ϕ(u, v) ∂u R2

Figura 2.3. “MAIN2” 2007/5/23 page 34

34 [CAP. II: SUPERF´ICIES NOS ESPAC¸OS EUCLIDIANOS

2 A no¸c˜ao de superf´ıcie

p U

ϕ Rm

Figura 2.4.

Defini¸cão: Uma superf´ıcie m-dimensional do Rn (de classe Ck) é um subconjunto não vazio

M = M m Rn ⊂ no qual todo ponto p possui uma vizinhan¸ca aberta U dotada de uma parametriza¸cão de classe Ck e dimensão m. O conjunto M tem a topologia induzida de Rn. Assim a vizinhan¸ca U é a interse¸cão de M com um conjunto aberto em Rn. O numero´ n m é chamado a co-dimensão de M em Rn. − Uma superf´ıcie de dimensão n no Rn+1 é denominada uma hiperf´ıcie. Uma superf´ıcie zero-dimensional em Rn é um conjunto de pontos isolados. Uma superf´ıcie de dimensão n em Rn é um subconjunto aberto de Rn. Vemos assim que os casos extremos não têm maior importância. Mais interessante é o exemplo abaixo. “MAIN2” 2007/5/23 page 35

[SEC. 2: A NOC¸AO˜ DE SUPERF´ICIE 35

S2 R3 ⊂

Figura 2.5.

A esfera unitária de dimensão n é o conjunto

Sn = y Rn+1; y, y = 1 . { ∈ h i } n n+1 S é uma hiperf´ıcie compacta de classe C∞ em R . Vamos mostrar que 2(n + 1) parametriza¸cões são suficientes para cobrir a esfera. Para cada i = 1, 2, . . . , n + 1, ponhamos:

+ n+1 i n+1 i H = y R ; y > 0 e H− = y R ; y < 0 . i { ∈ } i { ∈ } Estes s˜ao os semi-espa¸cos abertos determinados pelo hiperplano yi = 0. Os conjuntos

+ + n n i n n i U =H S = y S y >0 e U −=H− S = y S y <0 i i ∩ { ∈ | } i i ∩ { ∈ | } n+1 n + n são abertos em S e (Ui Ui−) = S . Cada uma destas i=1 ∪ + vizinhan¸cas Ui é dotadaSde uma parametriza¸cão de classe C ∞, a saber ϕ : B U ; i = 1, . . . , n + 1 i → i “MAIN2” 2007/5/23 page 36

36 [CAP. II: SUPERF´ICIES NOS ESPAC¸OS EUCLIDIANOS

1 n 1 i 1 2 i n x = (x , . . . , x ) (x , . . . , x − , 1 = x , x , . . . , x ). 7→ | | p Estamos indicando com B a bola aberta de centro 0 e raio 1 em Rn: B = x Rn; x < 1 . { ∈ | | } Para n = 1 temos S1 = (x, y) R2; x2 + y2 = 1 , o c´ırculo { ∈ } unitário do plano. O procedimento acima consiste em tomar y + 1 como parâmetro nos semi-c´ırculos abertos U1 = (x, y) S ; x > R2 { ∈ 0 e U1− = (x, y) ; x < 0 , enquanto que x será o parâmetro } + { ∈ } 1 em U2 e U2− . Um parâmetro mais natural para o S é o anguloˆ , que passamos a descrever no fim da se¸cão 3.

3 Mudan¸ca de coordenadas

Sejam M = M m Rn uma superf´ıcie de classe Ck e ϕ: U ⊂ 0 → U uma parametriza¸cão do aberto U M. Os pontos de U são ⊂ determinados por m quantidades (ou parâmetros):

(x1, . . . , xm) U p = ϕ(x1, . . . , xm) U. ∈ 0 7→ ∈

Se V é um conjunto aberto do Rm e ξ : V U é um difeo- 0 0 → 0 morfismo de classe Ck, então

ϕ ξ : V U ◦ 0 →

é ainda uma parametriza¸cão de U. A aplica¸cão ξ é normalmente denominada uma mudan¸ca de coordenadas (Fig. 2.6). “MAIN2” 2007/5/23 page 37

[SEC. 3: MUDANC¸A DE COORDENADAS 37

Rn M

U p

ϕ ψ

Rm ξ x = (x1, . . . , xm) y = (y1, . . . , ym)

U0 V0

Figura 2.6. Mostremos agora que esta é a unica´ maneira de obter novas parametriza¸cões de U. Se ϕ: U U e ψ : V V são parametriza¸cões em M tais 0 → 0 → que U V = ϕ, é evidente que a aplica¸cão ∩ 6 1 1 1 ξ = ψ− ϕ: ϕ− (U V ) ψ− (U V ) ◦ ∩ → ∩ é um homeomorfismo entre abertos do Rm.

M ϕ V U ψ U0 V0

− ξ = ψ 1 ◦ ϕ

Figura 2.7. Mas não se pode concluir de imediato a diferenciabilidade de ψ 1 ϕ, visto que ψ 1 não está definida num aberto do Rn. Para − ◦ − “MAIN2” 2007/5/23 page 38

38 [CAP. II: SUPERFÍCIES NOS ESPAÇOS EUCLIDIANOS contornar esta dificuldade, apresentamos o seguinte resultado, que dá conta de uma situa¸cão um pouco mais geral. Proposi¸cão 1. Sejam V um subconjunto aberto do Rm e ψ : V 0 0 → V uma parametriza¸cão de classe Ck do conjunto V Rn. Dados ⊂ U Rr, aberto, e f : U V Rn de classe Ck, então: 0 ⊂ 0 → ⊂ (i) a composta ψ 1 f : U V Rm é de classe Ck − ◦ 0 → 0 ⊂ (ii) para x U e z = ψ 1 f(x) temos (ψ 1 f) (x) = [ψ (z)] 1 ∈ 0 − ◦ − ◦ 0 0 − ◦ f 0(x). Demonstra¸cão: (i) Como ψ : V V é uma imersão (injetora) 0 → Ck, para cada ponto p V existem um aberto Z em Rn que ∈ o contém e uma aplica¸cão de classe Ck, g : Z Rm, tal que → g (V Z) = ψ 1 (v. observa¸cão da se¸cão 9 do Cap. I). | ∩ − Seja p um ponto arbitrário de f(U ) V . Então ψ 1 f = 0 ⊂ − ◦ g f : f 1((U ) Z) Rr Rm. Resulta então que ψ 1 f é de ◦ − 0 ∩ ⊂ → − ◦ classe Ck, pois f e g o são.

Rr Rn V f f(U0) U0 p

ψ ψ −1 ◦ f V0

z Rm

Figura 2.8.

(ii) Ponha h = ψ 1 f e aplique a regra da cadeia a` igualdade − ◦ ψ h = f. ◦ “MAIN2” 2007/5/23 page 39

[SEC. 3: MUDANC¸A DE COORDENADAS 39

Corolário. Sejam U e V subconjuntos abertos em Rm e ϕ: U 0 0 0 → V , ψ : V V parametriza¸cões de classe Ck do mesmo conjunto 0 → V Rn. Então a mudan¸ca de coordenadas ξ = ψ 1 ϕ é um ⊂ − ◦ difeomorfismo de classe Ck. O Corolário acima permite estender o conceito de aplica¸cão diferenciável, até agora só definido no caso em que o dom´ınio era um aberto do espa¸co euclidiano. Seja M m Rn uma superf´ıcie de classe Ck. Diremos que uma ⊂ aplica¸cão f : M Rs é diferenciável num ponto p M quando → k∈ existe uma parametriza¸cão ϕ: U0 U, de classe C , com p U, s → ∈ tal que f ϕ: U0 R é diferenciável no ponto p0 U0 , onde ◦ → ∈ 1 ϕ(p0) = p. Segue-se da Proposi¸cão 1 que f ψ = (f ϕ) (ϕ− ψ) 1 ◦ ◦ ◦ ◦ é diferenciável no ponto ϕ− (p), seja qual for a parametriza¸cão ψ, de classe Ck, de uma vizinhan¸ca de p. Esta defini¸cão não depende, portanto, da parametriza¸cão ϕ escolhida. Vê-se facilmente como estender a` aplica¸cão f : M m Rs a → no¸cão de classe Ck. Observa-se, porém, que tal no¸cão tem sentido apenas quando M é uma superf´ıcie de classe Ck. Do contrário, f ϕ pode ser de classe Ck para uma certa parametriza¸cão ϕ sem ◦ que o seja para outras. Se tivermos M m Rr e N n Rs superf´ıcies de classe Ck, ⊂ ⊂ diremos que f : M N é diferenciável no ponto p M quando, → ∈ considerada como aplica¸cão de M em Rs, f for diferenciável naquele ponto. Analogamente se define f : M m N n de classe Ck: para cada → p M deve existir uma parametriza¸cão ϕ: U U M, de ∈ 0 → ⊂ classe Ck, com p U, tal que f ϕ: U N Rs seja de classe ∈ ◦ 0 → ⊂ Ck. Pela Proposi¸cão 1, f ϕ Ck seja qual for a parametriza¸cão ◦ ∈ ϕ: U U, de classe Ck, com p U. 0 → ∈ Observemos o seguinte: a fim de que f : M N seja de classe → Ck é necessário e suficiente que, para todo p M existam para- ∈ “MAIN2” 2007/5/23 page 40

40 [CAP. II: SUPERFÍCIES NOS ESPAÇOS EUCLIDIANOS metriza¸cões Ck, ψ : V V N e ϕ: U U M, com p U, 0 → ⊂ 0 → ⊂ ∈ f(U) V e tais que ψ 1 f ϕ: U V Rn seja de classe Ck. ⊂ − ◦ ◦ 0 → 0 ⊂

M N V U f p f(p)

ϕ Rm ψ Rn

− U0 1 ψ ◦ f ◦ ϕ V0

Figura 2.9.

Demonstra¸cão: Seja f : M N de classe Ck. Dado p M, → ∈ tomemos uma parametriza¸cão ψ : V V N de classe Ck, com 0 → ⊂ f(p) V , V Rn. Como f é cont´ınua, existe uma parame- ∈ 0 ⊂ triza¸cão ϕ: U U M, com p U, tal que f(U) V . Por 0 → ⊂ ∈ ⊂ defini¸cão de f Ck, vemos que f ϕ: U V Rs e de classe ∈ ◦ 0 → ⊂ Ck. Em virtude da Proposi¸cão 1, segue-se que ψ 1 f ϕ: U − ◦ ◦ 0 → V Rn é de classe Ck. A rec´ıproca é deixada a cargo do leitor. 0 ⊂ Corolário. Se f : M N e g : N P são de classe Ck então → → g f : M P é de classe Ck. ◦ → Por exemplo, se M m Rr é uma superf´ıcie de classe Ck, então ⊂ a aplica¸cão da inclusão i: M m Rr é de classe Ck. Do mesmo → modo, se M m W , onde W é um aberto em Rr, a aplica¸cão de ⊂ inclusão i: M W também é de classse Ck. Se f : W Rs for → → de classe Ck, então a restri¸cão f M : M Rs será de classe Ck | → (estamos supondo M Ck!) pois f M = i f, logo podemos ∈ | ◦ aplicar o Corolário. “MAIN2” 2007/5/23 page 41

[SEC. 3: MUDANC¸A DE COORDENADAS 41

Exemplo - (O anguloˆ como parâmetro em S1.) A aplica¸cão exponencial de R em R2 é o homomorfismo do grupo aditivo dos reais no grupo multiplicativo dos numeros´ complexos, dado por

ξ : R R2, t eit = (cos t, sen t). → 7→

A exponencial ξ é uma imersão C∞ não-injetora, pois ξ0(t) = ( sen t, cos t) = 0 para todo t, e ξ(s) = ξ(t) se, e só se, s t = 2kπ, − 6 − k Z. Intuitivamente, ξ enrola a reta em torno de S1, sem esticá- ∈ la, no sentido anti-horário. O numero´ t é uma determina¸cão do anguloˆ (em radianos) que ξ(t) S1 faz com o semi-eixo positivo ∈ dos x.

ϕ U0 ξ(t) V0 ξ t x t

Figura 2.10.

Seja t R, arbitrário, porém fixo neste racioc´ınio. Seja ϕ ∈ uma parametriza¸cão C de uma vizinhan¸ca de ξ(t) S1, com ∞ ∈ ϕ(x) = ξ(t) (ϕ pode ser uma das parametriza¸cões anteriormente constru´ıdas). Como [ϕ 1 ξ] (t) = [ϕ (x)] 1 ξ (t) = 0, o teo- − ◦ 0 0 − ◦ 0 6 rema da fun¸cão inversa garante que ϕ 1 ξ é um difeomorfismo − ◦ de uma vizinhan¸ca U de t R sobre uma vizinhan¸ca V de x R 0 ∈ 0 ∈ (Fig. 2.6). Consequen¨ temente, ξ = ϕ (ϕ 1 ξ): U ξ(U ) é um ◦ − ◦ 0 → 0 homeomorfismo. Em outras palavras, a exponencial ξ : R S1 → é um homeomorfismo local. A conclusão é que em cada intervalo “MAIN2” 2007/5/23 page 42

42 [CAP. II: SUPERFÍCIES NOS ESPAÇOS EUCLIDIANOS aberto (a, b) R com b a 2π, a exponencial ⊂ − ≤ ξ : (a, b) S1 → é uma parametriza¸cão do c´ırculo. Ela é geometricamente mais significativa que as parametriza¸cões ϕi descritas anteriormente.

π p = (cos t, sin t) = x, √1 x2 “ − ”

ξ t − t ( 1, 0) x (1, 0) 0

-1 0 x 1 ϕ−1 ξ : (0, π) ( 1, 1) ◦ → − t x = cos t 7→ Figura 2.11.

4 O espa¸co tangente

Uma caracter´ıstica importante das superf´ıcies diferenciáveis é que elas possuem, em cada ponto, uma aproxima¸cão linear, que é seu plano tangente. Sejam M = M m Rn uma superf´ıcie de dimensão m e classe ⊂ Ck (k 1). Seja ϕ: U U uma parametriza¸cão com p = ϕ(x) ≥ 0 → ∈ M, x U . O espa¸co tangente a M no ponto p é o espa¸co vetorial ∈ 0 de dimensão m m T M = ϕ0(x) R . p · “MAIN2” 2007/5/23 page 43

[SEC. 4: O ESPAC¸O TANGENTE 43

∂ϕ Os vetores (x) = ϕ (x) e , i = 1, . . . , m formam uma base de ∂xi 0 · i T Mp . Esta defini¸cão só terá utilidade se mostramos que o espa¸co tangente em p independe da escolha da parametriza¸cão ϕ. Seja ψ : V V uma outra parametriza¸cão em p. Seja ξ = ψ 1 0 → − ◦ ϕ: ϕ 1(U V ) ψ 1(U V ) a mudan¸ca de coordenadas, como − ∩ → − ∩ p = ϕ(x) = ψ(z). Ora, ξ é difeomorfismo, logo ξ (x) Rm = Rm. 0 · Finalmente, pela regra da cadeia, temos

m m m ϕ0(x) R = ψ0(z) ξ0(x) R = ψ0(z) R . · · · ·

U V ϕ * ∩ Y ψ

1 - 1 ϕ− (U V ) ψ− (U V ) ∩ ξ ∩

Rn 0 0 ϕ (x) I ψ (z)

Rm - Rm ξ0(x)

A proposi¸cão abaixo dá uma caracteriza¸cão para T Mp que é bastante significativa por seu conteudo´ geométrico:

Proposi¸cão 2. Os elementos de T Mp são os vetores-velocidade em p dos caminhos diferenciáveis contidos em M que passam por p. Mais precisamente,

n T M = v =λ0(0); λ: ( ε, ε) M R diferenci´avel, λ(0)=p . p { − → ⊂ } “MAIN2” 2007/5/23 page 44

44 [CAP. II: SUPERF´ICIES NOS ESPAC¸OS EUCLIDIANOS

Demonstra¸cão: Seja v T M . Por defini¸cão do espa¸co tangente ∈ p T M , existe uma parametriza¸cão ϕ: U U com ϕ(x) = ϕ tal p 0 → que ϕ(x + tu) ϕ(x) m v = ϕ0(x) u = lim − , u R . · t 0 t ∈ 7→ Escolhendo ε > 0 suficientemente pequeno, a imagem do caminho t ( ε, ε) x + tu Rm está toda contida em U . Assim v é ∈ − → ∈ 0 o vetor velocidade em t = 0 do caminho em M, λ(t) = ϕ(x + tu), λ(0) = p. Por outro lado, seja λ: ( ε, ε) M um caminho diferenciável − → com λ(0) = p. Consideremos uma qualquer parametriza¸cão ϕ: U U tal que p U. Podemos supor, sem perda de ge- 0 → ∈ neralidade, que λ(t) U para todo t ( ε, ε). Então, pela Pro- ∈ ∈ − posi¸cão 1, o caminho ϕ 1 λ: ( ε, ε) U Rm é diferenciável e, − ◦ − → 0 ⊂ escrevendo u = (ϕ 1 λ) (0), temos u = [ϕ (x)] 1 λ (0). Portanto − ◦ 0 0 − · 0 λ (0) = ϕ (x) u, como quer´ıamos demonstrar. 0 0 · m O espa¸co vetorial tangente T Mp é um subespa¸co vetorial de R e, por conseguinte, passa pela origem. Nas ilustra¸cões geométricas, porém, sempre desenhamos a variedade afim tangente p+T Mp que e paralela a T Mp e passa por p.

p + T Mp

Figura 2.12. “MAIN2” 2007/5/23 page 45

[SEC. 4: O ESPAC¸O TANGENTE 45

O espa¸co tangente em um ponto de uma superf´ıcie de dimensão zero consiste apenas do vetor zero. O espa¸co tangente T Up a uma superf´ıcie de dimensão n, U Rn, é igual a todo o Rn. n⊂ n O espa¸co tangente (T S )p a` esfera unitária S consiste em todos os vetores v Rn+1 que são perpendiculares a p. De fato, ∈ n+1 p⊥ = v R ; v, p = 0 { ∈ h i } é um subespa¸co vetorial de dimensão n do Rn+1. Além disso, se v (T Sn) , então v = λ (0), onde λ: ( ε, ε) Sn é um ∈ p 0 − → caminho diferenciável com λ(0) = p. Diferenciando a identidade λ(t), λ(t) = 1, obtemos h i

2 λ0(t), λ(t) = 0, h i e, pondo t = 0, vem v, p = 0. Portanto (T Sn) p . Como o h i p ⊂ ⊥ espa¸co tangente a Sn em p tem dimens˜ao n, resulta que

n (T S )p = p⊥.

Terminamos esta se¸cão definindo o referencial móvel associado a uma parametriza¸cão. Sejam M = M m uma superf´ıcie de classe Ck em Rn, e ϕ: U 0 → U M uma parametriza¸cão em M. Denominamos referencial ⊂ móvel associado a ϕ no ponto p = ϕ(x) ao conjunto

∂ϕ ∂ϕ (x) = (x), . . . , (x) Bϕ ∂x1 ∂xm base do espa¸co tangente a M no ponto p. Um vetor tangente ∂ϕ v T M se escreve da forma v = α (x). Consideremos o ∈ p i ∂xi problema de determinar as coordenadasP de v com respeito a uma nova base (y), originada de outra parametriza¸c˜ao ψ : V V Bψ 0 → tal que ψ(y) = p. “MAIN2” 2007/5/23 page 46

46 [CAP. II: SUPERF´ICIES NOS ESPAC¸OS EUCLIDIANOS

Seja ξ a mudan¸ca de coordenadas, isto ´e,

1 ϕ [ϕ− (U V )] = ψ ξ. ∩ ◦

Então ϕ0(x) = ψ0(y) ξ0(x) (regra da cadeia) e · ∂ϕ (x) = ϕ0(x) e = ψ0(y) (ξ0(x) e ) ∂xj · j · · j ∂ξi = ψ0(y) (x) e · ∂xj · i Xi ∂ξj = (x) ψ0(y) e ∂xj · · i Xi ∂ξi ∂ψ = (x) (x). ∂xj · ∂yi Xi A rela¸cão acima mostra que a matriz de passagem da base (x) Bψ para a base (y) de T M é a matriz jacobiana de ξ no ponto x. Bψ p Podemos resumir tudo isto nas equa¸cões

∂ϕ ∂ψ v = α (x) = β (y) i ∂xi i ∂yi X ∂ξi X β = (x) α . i ∂xj · j Xj 5 Como obter superf´ıcies

Seja M um subconjunto de Rn. Se queremos mostrar que M é uma superf´ıcie, é necessário obtermos parametriza¸cões de vizinhan¸cas de todos os pontos de M; esta tarefa, requerida pela defini¸cão, pode vir a ser trabalhosa. Nesta se¸cão apresentamos outras maneiras de se obterem superf´ıcies. “MAIN2” 2007/5/23 page 47

[SEC. 5: COMO OBTER SUPERF´ICIES 47

5.1 O gráfico de uma aplica¸cão C k. Sejam U Rm aberto e f : U Rn uma aplica¸cão de classe ⊂ → Ck. Então o gráfico de f,

G(f) = (x, f(x)); x U { ∈ } é uma superf´ıcie de dimensão m e classe Ck no Rm+n. Realmente, ϕ: U G(f), ϕ(x) = (x, f(x)), é uma parame- → triza¸cão de todo o conjunto G(f). E´ claro que nem toda superf´ıcie é um gráfico: a esfera Sn, por exemplo, não o é. Generalizando, nenhuma superf´ıcie compacta pode ser, globalmente, um gráfico. Localmente, toda superf´ıcie de classe Ck é o gráfico de uma aplica¸cão da mesma classe. Provemos isto.

Proposi¸cão 3. Seja M m Rn uma superf´ıcie de classe Ck. ⊂ Então todo ponto p M possui uma vizinhan¸ca V , parametrizada ∈ por uma aplica¸cão de classe Ck ψ : V V , da forma ψ(y) = 0 → (y, f(y)), y V Rm. ∈ 0 ⊂ Demonstra¸cão: Seja ϕ: U Rm U M uma parame- 0 ⊂ → ⊂ triza¸cão de uma vizinhan¸ca U de p = ϕ(x). Escolhamos uma decomposi¸cão Rn = Rm Rn m de tal modo que a primeira ⊕ − proje¸cão π : Rn Rm leve T M isomorficamente sobre Rm (Lema → p 2, se¸cão 10 do Cap. I). Seja η = π ϕ: U Rm Rm. ◦ 0 ⊂ → Então η (x) = π ϕ (x): Rm Rm é um isomorfismo. Pelo 0 ◦ 0 → teorema da fun¸cão inversa, η é um difeomorfismo C k de uma vizinhan¸ca menor, U x, sobre uma vizinhan¸ca V π(p). Indi- 1 3 0 3 quemos com ξ = η 1 : V U o difeomorfismo inverso. Então − 0 → 1 ψ = ϕ ξ : V Rm V = ψ(v ) Rn é uma nova parame- ◦ 0 ⊂ → 0 ⊂ triza¸cão de uma vizinhan¸ca de p. Da rela¸cão

π ψ = π (ϕ ξ) = (π ϕ) ξ = η ξ = id ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ V0 “MAIN2” 2007/5/23 page 48

48 [CAP. II: SUPERFÍCIES NOS ESPAÇOS EUCLIDIANOS segue-se que a primeira coordenada de ψ(y), relativa a` decomposi¸cão Rn = Rm Rn m, é y. Chamemos f(y) a segunda co- ⊕ − ordenada. Então ψ(y) = (y, f(y)), y V0 . Nota-se que ψ = 1 ∈ (π V )− : V0 V , isto é, a parametriza¸cão que faz de V um gráifco | → m n m m é simplesmente a inversa local da proje¸cão π : R R − R m ⊕ → que leva T Mp sobre R isomorficamente.

ϕ T Mp π U 0 η V0 x U1 ξ

Figura 2.13.

5.2 Superf´ıcies definidas implicitamente. Seja f : R3 R dada por f(x, y, z) = x2 + y2 + z2. Então → f C , e a esfera unitária S2 fica definida implicitamente pela ∈ ∞ equa¸cão f(x, y, z) = 1. Se g(x, y, z) = x2 + y2 z2, então g 1(c) é − − uma superf´ıcie de classe C para cada c = 0 (um hiperbolóide de ∞ 6 uma folha para c > 0, um hiperbolóide de duas folhas para c < 0). Por outro lado a equa¸cão g(x, y, z) = 0 define um par de cones com vértice comum. Por um argumento topológico (conexão) vê- se que nenhuma vizinhan¸ca aberta do vértice 0 = (0, 0, 0) em “MAIN2” 2007/5/23 page 49

[SEC. 5: COMO OBTER SUPERF´ICIES 49

1 2 1 g− (0) é homeomorfa a um aberto do R . Logo g− (0) não é uma superf´ıcie. O teorema abaixo dá condi¸cões suficientes para que a equa¸cão f(x) = c defina uma superf´ıcie.

Proposi¸c˜ao 4. Sejam U Rm+n aberto e f : U Rn uma ⊂ → aplica¸c˜ao de classe Ck. Seja c Rn. Consideremos o conjunto ∈

m+n n M = p U.f(p) = c e f 0(p): R R ´e sobrejetora { ∈ → }

Ent˜ao

1 (i) M ´e aberto em f − (c).

(ii) Supondo que M é não vazio, M é superf´ıcie de dimensão m e classe Ck do Rm+n, e

(iii) (T M) = Ker f (p) para todo p M. p 0 ∈

Demonstra¸cão: (i) imediato. (ii) Seja p M. ∈ Pelo teorema as fun¸cões impl´ıcitas (se¸cão 8 do Cap. I), existem uma decomposi¸cão Rm+n = Rm Rn com p = (x , y ), vizinhan¸cas ⊕ 0 0 p Z Rm+n, x V Rm, e uma aplica¸cão ξ : V Rn, de ∈ ⊂ 0 ∈ ⊂ → classe Ck, tal que G(ξ) = Z f 1(c). Assim ϕ: V Z f 1(c), ∩ − → ∩ − dada por ϕ(x) = (x, ξ(x)) é uma parametriza¸cão de classe C k de uma vizinhan¸ca aberta de p f 1(c). Pela Observa¸cão 2, se¸cão ∈ − 8 do Cap. I, vem Z f 1(c) M, o que conclui a demonstra¸cão ∩ − ⊂ de (ii). “MAIN2” 2007/5/23 page 50

50 [CAP. II: SUPERF´ICIES NOS ESPAC¸OS EUCLIDIANOS

Rn Rn U

f M p c

V Rm

Figura 2.14. (iii) Seja v T M . Consideremos um caminho λ: ( ε, ε) M ∈ p − → tal que λ(0) = p e λ (0) = v. Então f (p) v = f (λ(0)), λ (0) = 0 0 · 0 0 (f λ)0(0) = 0, pois f λ é constante (= c). Portanto v Ker f 0(p). ◦ ◦ ∈ m+n Como T Mp e Ker f 0(p) são subespa¸cos m-dimensionais do R e T M Ker f (p) segue-se que T M = Ker f (p). p ⊂ 0 p 0 Observa¸cões: 1) Sejam U Rm aberto e f : URn uma aplica¸cão diferenciável. ⊂ Um ponto c Rn chama-se valor regular de f quando, para cada ∈ x U tal que f(x) = c, a derivada f (x): Rm Rn é uma ∈ 0 → transforma¸cão linear sobrejetiva. Se não existe x U tal que f(x) = c então c é trivialmente um ∈ valor regular de f. Quando n = 1, o funcional linear f (x): Rm 0 → R ou é zero ou é sobrejetiva. Neste caso o numero´ real c é valor regular de f se, e somente se, f (x) = 0 para todo x f 1(c). 0 6 ∈ − Por exemplo, seja f : R3 R dada por f(x, y, z) = x2 +y2 z2. → 3 − Representando por (dx, dy, dz) a base canônica de (R )∗, então f (x, y, z) = 2x dx + 2y dy 2z dz. Segue-se que f (x, y, z) = 0 0 − 0 somente para x = y = z = 0; como f(0, 0, 0) = 0, vemos que 0 R é o unico´ valor não-regular de f. ∈ “MAIN2” 2007/5/23 page 51

[SEC. 5: COMO OBTER SUPERF´ICIES 51

O teorema que acabamos de provar se reescreve da seguinte maneira, tendo em vista a deﬁni¸c˜ao de valor regular:

Teorema 1. Sejam U Rn aberto e f : U Rn m de classe Ck, ⊂ → − k 1. Se c Rn m é um valor regular de f, ou bem f 1(c) é ≥ ∈ − − vazio ou bem é uma superf´ıcie m-dimensional de classe C k em Rn. Além disso, para cada p f 1(c), o espa¸co tangente T [f 1(c)] é ∈ − − p o nucle´ o de f (p): Rn Rn m. 0 → − Observa¸cões: 1 2) A imagem inversa f − (c) pode ser uma superf´ıcie sem que c seja um valor regular. Por exemplo, seja f : R2 R dada por 2 → 1 f(x, y) = y . 0 R não é valor regular de f mas f − (0) = eixo ∈ 2 dos x é uma superf´ıcie C∞ de dimensão 1 em R . 3) Mesmo quando c Rn não é valor regular de f : U Rn, ∈ → o primeiro enunciado do teorema garante que M = f 1(c) − ∩ p U; f 0(p) é sobrejetiva é uma superf´ıcie. Convém notar que { ∈ } 1 M não é necessariamente denso em f − (c). Por exemplo, seja 2 2 f : R R dada por f(x, y) = x y. Como f 0(x, y) = 2xy dx + 2 → x dy, f 0(p) = 0 se, e só se, p está no eixo dos y. Neste exemplo a imagem inversa de 0 R é a união dos eixos ∈ coordenados x e y (não é superf´ıcie), enquanto que M consiste no eixo dos x menos a origem. Localmente, qualquer superf´ıcie M m Rn, de classe Ck ⊂ (k 1), pode ser definida implicitamente, isto é, como imagem ≥ inversa de um valor regular de uma aplica¸cão de classe C k. Mais precisamente:

Proposi¸cão 5. Seja M m Rn uma superf´ıcie de classe Ck ⊂ (k 1). Para cada ponto p M, existe um aberto Ω em Rn, ≥ ∈ contendo p, e uma aplica¸cão g : Ω Rn m, de classe Ck, tal que → − 0 Rn m é um valor regular de g e M Ω = g 1(0). ∈ − ∩ − “MAIN2” 2007/5/23 page 52

52 [CAP. II: SUPERF´ICIES NOS ESPAC¸OS EUCLIDIANOS

Demonstra¸cão: Pela Proposi¸cão 3, dado p M, existe uma ∈ decomposi¸cão Rn = Rm Rn m em soma direta e uma vizinhan¸ca ⊕ − aberta U de p em M tal que a proje¸cão π : Rn Rm (relativa → a` decomposi¸cão acima) aplica U homeomorficamente sobre um aberto U Rm e ϕ = (π U) 1 : U U é uma parametriza¸cão de 0 ⊂ | − 0 → classe Ck tendo-se evidentemente ϕ(x) = (x, f(x)), onde f : U 0 → Rn m é de classe Ck. Ponhamos Ω = U Rn m. Então Ω é − 0 × − aberto em Rn. Definamos g : Ω Rn m por g(x, y) = f(x) y. → − − E´ imediato que U = Ω M = f 1(0). Além disso, em cada ponto ∩ − (x, y) Ω, a derivada g (x, y): Rm Rn m Rn m é dada por ∈ 0 ⊕ − → − g (x, y) (u, v) = f (x) u v. Para qualquer v Rn m, temos 0 · 0 · − ∈ − v = g (x, y) (0, v), logo g é uma submersão. Em particular, 0 · − 0 Rn m é um valor regular de g. ∈ −

6 Exemplos de superf´ıcies

1) A esfera Sn definida implicitamente. Seja f : Rn+1 R definida por f(x) = x, x . Como f (x) h = → h i 0 · 2 x, h , todo real não nulo c é valor regular de f C ∞. Se c < 0 h i 1 1 ∈ então f − (c) é vazio. Se c > 0 então f − (c) é a esfera de dimensão n com centro na origem 0 Rn+1 e raio c. O espa¸co tangente a ∈ esta esfera no ponto p é o nucleo´ de f 0(p), a saber, o conjunto de todos os vetores v Rn+1 tais que p, v = 0, ou seja, o hiperplano ∈ h i perpendicular a p. 2) O toro de dimensão 2 Seja U = R3 eixo dos z . A fun¸cão f : U R, dada por − { } → f(x, y, z)z2 + x2 + y2 2 2, é de classe C . A derivada f (p) − ∞ 0 é = 0 para todo p = (x, y, z) fora do c´ırculo S = (x, y, z) 6 p { ∈ R3; x2 + y2 = 4, z = 0 . Quando p S, f (p) = 0. Portanto } ∈ 0 0 R é o unico´ valor não-regular de f. para 0 < c < 4, f 1(c) é ∈ − “MAIN2” 2007/5/23 page 53

[SEC. 6: EXEMPLOS DE SUPERF´ICIES 53 o toro gerado pela rota¸c˜ao de um c´ırculo de raio √c cujo centro percorre S.

z p = (x, y, z) z

√c g b 2 (x, y, 0) y y

S x b = x2 + y2 2 x p −

Figura 2.15.

O leitor deve tentar imaginar a forma das superf´ıcies (des- conexas e não-compactas) f 1(c) quando c 4. − ≥ O toro T 2 = f 1(i) é também a imagem da aplica¸cão g : R2 − → R3 dada por g(s, t) = 2u(t) + v(s, t), onde u(t) = (cos t, sen t, 0) e v(s, t) = (cos s cos t, cos s sen t, sen s). Se I, J R são dois · · ⊂ intervalos abertos de comprimento 2π então g : I J R2 é uma × 2→ parametriza¸cão C∞ de um subconjunto aberto de T . 3) Matrizes de posto constante Seja M(m n; R) o espa¸co vetorial das matrizes reais m n × × e indiquemos com M(m n; k) M(m n, R) o subconjunto × ⊂ × formado pelas matrizes m n de posto k. Isto significa que cada × matriz X M(m n, k) tem um menor k k que é = 0, mas ∈ × × 6 todos os seus menores de ordem > k são nulos. Vamos mostrar que M(m n, R) é uma superf´ıcie de classe × C e dimensão k (m + n k) em M(m n, R) Rmn. ∞ · − × ≈ Escrevamos as matrizes X M(m n; R) em blocos X = ∈ × A B , onde A é k k, B é k (n k), C é (m k) k e D C D! × × − − × “MAIN2” 2007/5/23 page 54

54 [CAP. II: SUPERF´ICIES NOS ESPAC¸OS EUCLIDIANOS

é (m k) (n k). − × − Seja W = X M(m n, R); det A = 0 . E´ evidente que W { ∈ × 6 } é aberto em Rmn. Afirma¸cão: W M(m n; k) = X W D = CA 1B . De fato, ∩ × { ∈ | − } A B o posto de X = é igual ao posto do produto C D!

Ik 0 A B A B 1 = 1 . CA− Im k! C D! 0 D CA− B! − − −

Consequen¨ temente, o posto de X é k se, e somente se, D CA 1=0. − − Parametrizamos U = W M(m n; k) por meio da aplica¸cão ∩ × de classe C , ϕ: U U, definida no aberto ∞ 0 →

k2 k(n k) (m k) k U = (A, B, C) R R − R − × ; det A = 0 0 ∈ × × 6 A B e dada por ϕ(A, B, C) = 1 . C CA− B! E´ claro que ϕ ´e uma parametriza¸c˜ao pois π ϕ = id, onde ◦

A B π : (A, B, C). C D! 7→

Se X M(m n; k) é arbitrária, existe um difeomorfismo de ∈ × classe C , h: M(m n, R) M(m n, R), que deixa M(m n, k) ∞ × → × × invariante e tal que h(X) U. (h é, por exemplo, uma conveniente ∈ troca de linhas e de colunas). Então X h 1(W ) M(m n, k) e ∈ − ∩ × h 1 ϕ é uma parametriza¸cão C de h 1(U) = h 1(W ) M(m − ◦ ∞ − − ∩ × n; k). “MAIN2” 2007/5/23 page 55

[SEC. 6: EXEMPLOS DE SUPERF´ICIES 55

M h

X U

ϕ Rk(m+n−k)

Figura 2.16.

4) O grupo especial linear ou unimodular Identificamos o espa¸co vetorial M(n p, R) das matrizes reais × com n linhas e p colunas com o espa¸co euclidiano Rnp. Se A é uma matriz n p, representamos por A1, . . . , Ap os × vetores-coluna de A. O espa¸co M(n p, R) tem uma base canônica × E ; 1 r n, 1 s p : o elemento (r, s) de E é igual a 1 { r,s ≤ ≤ ≤ ≤ } r,s e os restantes são nulos. Se A = (ai ) M(n, R), indicamos com Ar a matriz j ∈ s (n 1) (n 1) obtida de A pela elimina¸cão da r-ésima linha − × − e s-ésima coluna. O grupo linear GL(Rn) é o subconjunto aberto de M(n, R) formado pelas matrizes invert´ıveis ou, equivalentemente, pelas matrizes com determinante diferente de zero. 2 A fun¸cão real det: Rn M(n, R) R é de classe C , pois ≈ → ∞ det(X) é n-linear nos vetores colunas de X. Pela expressão geral da derivada de uma fun¸cão n-linear, tem-se

n 1 i n det0(X) H = det(X , . . . , H , . . . , X ), X, H M(n, R). · ∈ Xi=1 “MAIN2” 2007/5/23 page 56

56 [CAP. II: SUPERF´ICIES NOS ESPAC¸OS EUCLIDIANOS

Em particular, para X = I = matriz identidade n n, ×

i i det0(I) H = det(e , . . . , H , . . . , e ) = h = tra¸co de H · 1 n i Xi Xi e ∂ det r+s r r (X) = det0(X) Er,s = ( 1) det Xs . ∂xs · − Consideremos a restri¸cão det: GL(Rn) R. Da expansão do → determinante ao longo de uma linha (ou coluna), segue-se que, dada A GL(Rn), existe algum menor det(Ar) = 0. Isto mostra ∈ s 6 que det: GL(Rn) R é uma submersão de classe C . Em outras → ∞ palavras, todo real não-nulo c é valor regular de det GL(Rn). | Conclui-se que o conjunto

n n 1 SL(R ) = x GL(R ); det X = 1 = (det)− (1) { ∈ }

2 é uma superf´ıcie de dimensão n2 1 e classe C em Rn . SL(Rn) − ∞ é chamado grupo especial linear ou grupo unimodular. Evidente- mente, XY SL(Rn) X, Y SL(Rn) ∈ . 1 n ∈ ⇒ (X− SL(R ) ∈ Ou seja, SL(Rn) é um subgrupo de GL(Rn), que é uma su- n perf´ıcie C∞. O espa¸co tangente a SL(R ) em I é o conjunto de todas as matrizes de tra¸co nulo, em virtude do Teorema 1 e de ser det0(I) H = tra¸co de H. · 5) O grupo ortogonal Dada uma matriz m n, X = (xi ), chama-se transposta de X × j a` matriz n m X = (xj), que se obtém de X trocando ordena- × ∗ i damente suas linhas por suas colunas. “MAIN2” 2007/5/23 page 57

[SEC. 6: EXEMPLOS DE SUPERF´ICIES 57

A transposi¸c˜ao goza das seguintes propriedades:

X∗∗ = X,

(X + Y )∗ = X∗ + Y ∗,

(c X)∗ = c X∗, · · (XY )∗ = Y ∗X∗,

I∗ = I, n n 1 1 X GL(R ) X∗ GL(R ), (X∗)− = (X− )∗. ∈ ⇒ ∈ Uma matriz real n n X diz-se simétrica se X = X, e × ∗ anti-simétrica se X = X. As marizes simétricas e as matrizes ∗ − anti-simétricas formam subespa¸cos vetoriais (Rn) e (Rn) de n n S A M(n, R), de dimensões (n + 1) e (n 1), respectivamente. 2 2 − Dada uma matriz arbitrária X M(n, R), então ∈ n XX∗, X + X∗ (R ), ∈ S n X X∗ (R ), − ∈ A 1 1 X = (X + X∗) + (X X∗). 2 2 − Esta ultima´ identidade mostra que M(n, R) = (Rn) (Rn). S ⊕ A O grupo ortogonal O(Rn) é o conjunto de todas as matrizes reais n n, X, tais que XX = I. O leitor deve verificar que × ∗ O(Rn) é um subgrupo de GL(Rn). Geometricamente, um operador linear em Rn é uma isometria (isto é, preserva distâncias) se, e somente se, sua matriz com respeito a` base canônica do Rn é ortogonal. Vamos demonstrar que O(Rn) é uma superf´ıcie compacta de n 2 dimensão (n 1) e classe C em Rn . 2 − ∞ Consideremos a aplica¸cão de classe C∞

n n (n+1) f : M(n, R) (R ) R 2 , f(X) = XX∗. → S ≈ “MAIN2” 2007/5/23 page 58

58 [CAP. II: SUPERF´ICIES NOS ESPAC¸OS EUCLIDIANOS

Se mostrarmos que I (Rn) é valor regular de f então, aplicando ∈ S n 1 o Teorema 1, concluiremos que O(R ) = f − (I) é superf´ıcie C∞ n n 2 de dimensão n2 (n + 1) = (n 1) em Rn . − 2 2 − 1 n Seja portanto X f − (I) = O(R ). Queremos provar que a ∈ n derivada f 0(X): M(n, R) (R ), dada por f 0(X) H = XH∗ + → S · SX HX , é sobrejetiva. Dada S (Rn), seja V = Então ∗ ∈ S 2 · SX ∗ SX S S f (X) V = X + X = (XX ) + XX = S. 0 · 2 2 · ∗ ∗ 2 2 ∗ Nota. Para achar V M(n, R) tal que XV ∗ + V X∗ = S, apela- ∈ S mos para a sorte. Tentamos achar V tal que XV = V X = ∗ ∗ 2 · SX Esta ultima´ igualdade fornece imediatamente V = 2 · Observemos que O(Rn) é subconjunto fechado de M(n, R), por ser a imagem inversa de I pela fun¸cão cont´ınua f. Quando identi- 2 ficamos M(n, R) Rn , O(Rn) passa a ser subconjunto da esfera ≈ 2 de centro em O Rn e raio √n, pois cada vetor linha de uma ∈ matriz X O(Rn) tem comprimento 1. ∈ 2 Portanto, o grupo ortogonal é fechado e limitado em Rn , ou seja, é compacto. O grupo ortogonal O(Rn) tem duas componentes conexas

O+(Rn) = X O(Rn); det X > 0 , { ∈ } n n O−(R ) = X O(R ); det X < 0 . { ∈ } Esta afirma¸cão equivale a dizer que, dadas duas matrizes ortogonais X e Y de determinante positivo, existe um caminho cont´ınuo λ: [0, 1] O+(Rn) → tal que λ(0) = X e λ(1) = U. Os Exerc´ıcios A), B) e C) abaixo fornecem um roteiro para a demonstra¸cão deste fato. “MAIN2” 2007/5/23 page 59

[SEC. 6: EXEMPLOS DE SUPERF´ICIES 59

Em resumo, O(Rn) é um subgrupo de GL(Rn) que é uma su- n perf´ıcie C∞. O espa¸co tangente a O(R ) em I é o nucleo´ de f 0(I), isto é, o subespa¸co de M(n, R) formado pelas matrizes anti- simétricas. Note-se que O+(R2) é canonicamente isomorfo a S1 pela cor- cos θ sen θ respondência (cos θ, sen θ) − . 7→ sen θ cos θ !

Exerc´ıcios A) Seja α: [a, b] M um caminho cont´ınuo numa superf´ıcie → diferenciável M m Rn. Dada uma base ortonormal u , . . . , ⊂ { 1 u T M , existem aplica¸cões cont´ınuas v , . . . , v : [a, b] m} ⊂ α(a) 1 m → Rn tais que v (a) = u , . . . , v (a) = u e, para cada t [a, b], 1 1 m m ∈ v (t), . . . , v (t) é uma base ortonormal de T M . { 1 m } α(t) [Sugestão: Existe uma parti¸cão finita de [a, b] por meio de intervalos justapostos, em cada um dos quais α toma valores numa vizinhan¸ca parametrizada de M. Basta então considerar o caso em que α([a, b]) U e existe uma parametriza¸cão ϕ: U U M. ⊂ 0 → ⊂ Tome p U tal que ϕ(p ) = α(a) e uma base u0, . . . , u0 Rm 0 ∈ 0 0 { 1 m} ⊂ tal que ϕ (p ) u0 = u , i = 1, . . . , m. Defina w , . . . , w : [a, b] 0 0 · i i 1 m → Rn pondo w (t) = ϕ (ϕ 1(α(t))) u0 e obtenha v , . . . , v ortonor- i 0 − · i 1 m malizando os wi por Gram-Schmidt.] B) Sejam u , . . . , u e w , . . . , w bases ortonormais po- { 1 m+1} { 1 m+1} sitivas do espa¸co Rm+1. Existem m + 1 aplica¸cões cont´ınuas v , . . . , v : [0, 2] Rm+1 tais que v (0) = u , v (1) = w 1 m+1 → i i i i (i = 1, . . . , m + 1) e, para cada t [0, 2], v (t), . . . , v (t) ∈ { 1 m+1 } é uma base ortonormal (necessariamente positiva) de Rn+1. m [Sugestão: Seja vm+1 = α: [0, 1] S um caminho cont´ınuo m → em S , ligando um+1 a wm+1 . Usando o exerc´ıcio anterior, obtenha v , . . . , v : [0, 1] Rm+1 cont´ınuas, com v (0) = u e, para 1 m → i i “MAIN2” 2007/5/23 page 60

60 [CAP. II: SUPERFÍCIES NOS ESPAÇOS EUCLIDIANOS cada t [0, 1], B(t) = v (t), . . . , v (t), α(t) sendo uma base or- ∈ { 1 m } tonormal de Rm+1. Por continuidade, B(t) é positiva para todo t [0, 1]. Usando indu¸cão, obtenha caminhos cont´ınuos ∈ v , . . . , v : [1, 2] (T Sm) = Rm come¸cando com 1 m → vm+1 v (1), . . . , v (1) e terminando com w , . . . , w , mantendo-se { 1 m } { 1 m} sempre ortonormais.]

C) O grupo O(Rm) possui duas componentes conexas. [Sugest˜ao: As colunas de uma matriz ortogonal m m, de × determinante positivo, constituem uma base ortonormal positiva do espa¸co Rm.]

7 Grupos e Algebras´ de Lie de matrizes

Um subgrupo G GL(Rn) chama-se um grupo de Lie (de ⊂ n2 matrizes) quando é uma superf´ıcie C∞ do espa¸co M(n, R) = R . Exemplos de grupos de Lie de matrizes são O(Rn) e SL(Rn). Evidentemente, o próprio GL(Rn) e o grupo trivial, reduzido a` matriz identidade, são grupos de Lie. Os grupos de Lie de matrizes são também chamados grupos de Lie lineares. Dado um grupo de Lie de matrizes G GL(Rn), o espa¸co veto- ⊂ rial tangente (T G)I a G no ponto I = matriz identidade chama-se a algebr´ a de Lie do grupo G. Vejamos a explica¸cão para este nome. Dadas duas matrizes n n, A e B, chama-se colchete de Lie × de A e B a` matriz n n: ×

[A, B] = AB BA. −

A opera¸c˜ao (A, B) [A, B] entre matrizes n n ´e bilinear, → × “MAIN2” 2007/5/23 page 61

[SEC. 7: GRUPOS E ALGEBRAS´ DE LIE DE MATRIZES 61 isto ´e, satisfaz:

[A + A0, B] = [A, B] + [A0, B]

[A, B + B0] = [A, B] + [A, B0] [αA, B] = α[A, B] = [A, αB].

Em vez de comutatividade, tem-se [A, B] = [B, A] (anti- − comutatividade). Em vez de associatividade, tem-se a identidade de Jacobi

[A, [B, C]] + [C, [A, B]] + [B, [C, A]] = 0.

Estas propriedades seguem-se diretamente da defini¸cão. Seja A M(n, R) um subespa¸co vetorial de matrizes n n, tal ⊂ × que A, B A [A, B] A. Nestas condi¸cões, A chama-se uma ∈ ⇒ ∈ algebr´ a de Lie de matrizes. Evidentemente, o conjunto M(n, R) de todas as matrizes reais n n é uma algebra´ de Lie. O mesmo ocorre com o subespa¸co × formado pela unica´ matriz 0. Dada qualquer matriz quadrada A, tem-se [A, A] = 0 e portanto [sA, tA] = st[A, A] = 0, sejam quais forem os numeros´ reais s, t. Segue-se que todo subespa¸co vetorial A, de dimensão 1, de M(n, R) é uma algebra´ de Lie, na qual [A, B] = 0 sempre. n Seja A = T O(R )I o espa¸co vetorial tangente ao grupo de Lie O(Rn) na matriz identidade. Sabemos que A é o conjunto das matrizes anti-simétricas n n. E´ fácil verificar que o colchete de × duas matrizes anti-simétricas ainda goza desta propriedade. Em outras palavras, A, B A [A, B] A. Portanto, A é uma ∈ ⇒ ∈ algebra´ de Lie. n Da mesma maneira, se = SL(R ) então T GI consiste das matrizes de tra¸co nulo. Como tr(AB) = tr(BA), vemos que “MAIN2” 2007/5/23 page 62

62 [CAP. II: SUPERFÍCIES NOS ESPAÇOS EUCLIDIANOS tr([A, B]) = 0 sejam quais forem A, B M(n, R). Em parti- ∈ cular, A, B T G = [A, B] T G , donde T G é uma algebra´ de ∈ I ∈ I I Lie. Propomo-nos agora a demonstrar que, seja qual for o grupo de Lie de matrizes G GL(Rn), o espa¸co vetorial tangente T G é ⊂ I uma algebra´ de Lie de matrizes. Para isso, usaremos a exponencial de uma matriz. Dada A ∈ M(n, R), pomos A2 A3 An eA = I + A + + + + + . . . 2! 3! · · · n! Demonstra-se em Algebra´ Linear que esta série sempre converge e que, quando AB = BA, tem-se

eA eB = eA+B. · (s+t)A sA tA A A 0 Em particular, e = e e , e e− = e = I, donde A A 1 A· · e é invert´ıvel, com (e )− = e− . Derivando termo a termo a série de potências, obtemos d etA = A etA. dt · Em particular, f : R GL(Rn), definido por f(t) = etA, é → um caminho C∞ cujo vetor velocidade no ponto t = 0 é A. Um resultado mais preciso é o seguinte: Lema. Seja G M(n, R) um grupo de Lie de matrizes. Dada ⊂ A T G , tem-se etA G para todo t R. ∈ I ∈ ∈ A demonstra¸cão deste lema será adiada para a se¸cão seguinte. Aqui, o usaremos para demonstrar o resultado abaixo. Proposi¸cão 6. Seja G um grupo de Lie de matrizes. Dadas A, B T G , tem-se [A, B] T G . Em outras palavras, o espa¸co ∈ I ∈ I vetorial tangente a G na matriz identidade é uma algebr´ a de Lie. “MAIN2” 2007/5/23 page 63

[SEC. 8: CAMPOS DE VETORES TANGENTES A UMA SUPERF´ICIE 63

Demonstra¸cão: Para todo t R, ponhamos α(t) = etA e β(t) = ∈ etB. Em virtude do Lema, temos α G e β(t) G para todo t, ∈ ∈ logo podemos considerar o caminho λ: [0, ) G, definido por ∞ → λ(t) = α(√t)β(√t)α( √t)β( √t). Escrevendo − − t2A2 t2B2 α(t) = I + tA + + ρ(t) e β(t) = I + tB + + σ(t), 2 2 ρ(t) σ(t) onde lim = lim = 0, um cálculo simples mostra que t 0 t2 t 0 t2 → → ε(t) λ(t) = I + t[A, B] + ε(t), onde lim = 0. Logo, λ0(0) = [A, B]. t 0 t Como λ(t) G para todo t 0,→vemos que [A, B] T G . ∈ ≥ ∈ I Observemos, para finalizar, que o espa¸co vetorial tangente T G num ponto X G consiste em todas as matrizes X A, onde X0 0 ∈ 0 A T G . Com efeito, os caminhos diferenciáveis ∈ I λ: ( ε, ε) G, com λ(0) = X são os da forma λ(t) = X µ(t), − → 0 0 · onde µ: ( ε, ε) G é diferenciável, com µ(0) = I. Portanto − → λ (0) = X µ (0) = X A, A T G . Por motivo análogo, 0 0 · 0 0 ∈ I T G = BX ; B T G . X0 { 0 ∈ I } 8 Campos de vetores tangentes a uma superf´ıcie

Seja M m Rn uma superf´ıcie de classe Ck. Um campo de ⊂ vetores em M é uma aplica¸cão v : M Rn. Em conformidade → com a defini¸cão geral (vide se¸cão 3), diremos que o campo v é de classe Cr quando, para cada ponto p M, existe uma pa- ∈ rametriza¸cão ϕ: U U, de classe Ck, com p U, tal que 0 → ∈ v ϕ: U Rn é de classe Cr. No caso de ser r k, seja qual ◦ 0 → ≤ for a parametriza¸cão ψ : V V , de classe Ck, com p V , tem-se 0 → ∈ v ψ = (v ϕ) (ϕ 1 ψ), logo v ψ Cr. Assim, a no¸cão de ◦ ◦ ◦ − ◦ ◦ ∈ campo de classe Cr tem sentido intr´ınseco (isto é, não depende da “MAIN2” 2007/5/23 page 64

64 [CAP. II: SUPERFÍCIES NOS ESPAÇOS EUCLIDIANOS escolha da parametriza¸cão) desde que r k, onde k é a classe da ≤ superf´ıcie M. O campo v : M Rn diz-se tangente a` superf´ıcie M quando → v(p) T M para todo p M. ∈ p ∈ Um subconjunto aberto U M é ainda uma superf´ıcie de ⊂ classe Ck. Logo tem sentido considerar campos de vetores tangentes definidos em U. Em particular, se ϕ: U U é uma pa- 0 → rametriza¸cão de classe Ck, um campo v de vetores tangentes de classe Cr em U fica determinado por uma aplica¸cão v : U Rn, 0 0 → de classe Cr, tal que v (x) T M para todo x U , sendo o 0 ∈ ϕ(x) ∈ 0 campo v : U Rn definido a partir de v por v = v ϕ 1, isto é, → 0 0 ◦ − v(p) = v0(x), p = ϕ(x). ∂ϕ Por exemplo, dada a parametriza¸cão ϕ, os vetores (x), ∂x1 ∂ϕ . . . , (x) constituem, para cada x U , uma base do espa¸co ∂xm ∈ 0 ∂ϕ vetorial tangente T M , p = ϕ(x). As aplica¸cões : U Rn) p ∂xj 0 → k 1 (j = 1, . . . , m) são de classe C − e por conseguinte os m cam- n pos de vetores tangentes vj : U R , definidos por vj(ϕ(x)) = ∂ϕ → (x), são de classe Ck 1 em U. Eles constituem o referencial ∂xj − móvel associado a` parametriza¸cão ϕ. Seja v : M Rn um campo de vetores tangentes. Em cada → ponto p = ϕ(x) da vizinhan¸ca parametrizada U o vetor v(p) se ∂ϕ escreve como combina¸cão linear dos vetores básicos (x) T M ∂xj ∈ p assim: m ∂ϕ v(p) = αj(x) (x), p = ϕ(x). ∂xi Xj=1 Isto define m fun¸cões reais α1, . . . , αm : U R. Mostraremos 0 → que, se r k 1, então v Cr se, e somente se, as fun¸cões ≤ − ∈ α1, . . . , αm : U R, acima definidas, são de classe Cr, para cada 0 → parametriza¸cão ϕ: U U, de classe Ck. Mais geralmente, temos: 0 → “MAIN2” 2007/5/23 page 65

[SEC. 8: CAMPOS DE VETORES TANGENTES A UMA SUPERF´ICIE 65

Proposi¸cão 7. Sejam v , . . . , v : M Rn campos vetoriais 1 m → de classe Cr (r k) tangentes a uma superf´ıcie M m Rn, de ≤ ⊂ classe Ck, tais que, em cada ponto p M, v (p), . . . , v (p) ∈ { 1 m } é uma base de T M . Todo campo vetorial tangente v : M p → Rn se escreve, de modo unic´ o, em cada ponto p M, como m ∈ i 1 m v(p) = α (p)vi(p). Isto define m fun¸cões reais α , . . . , α : i=1 M R.PO campo v é de classe Cr se, e somente se, as fun¸cões → αi são de classe Cr. Demonstra¸cão: Se α1, . . . , αm : M R são de classe Cr, é i r → claro que v = Σ α vi é de classe C . Reciprocamente, suponhamos v Cr. Para demonstrar que as fun¸cões αi são de classe ∈ Cr, como se trata de um fato local, podemos admitir que se tem uma parametriza¸cão ϕ: U U, de classe Ck, aplica¸cões 0 → de classe Cr, v, v , . . . , v : U Rn, α1, . . . , αm : U R, tais 1 m 0 → 0 → que v (x), . . . , v (x) é uma base de T M e { 1 m } ϕ(x) v(x) = α1(x)v (x) + + αm(x)v (x), 1 · · · m para todo x U . Sejam V (x) a matriz n m cujas colunas são os ∈ 0 × vetores v1(x), . . . , vm(x) e A(x) o vetor coluna cujas coordenadas são α1(x), . . . , αm(x). As aplica¸cões x V (x), x v(x) são de 7→ 7→ classe Cr em U . Em cada ponto x U , a matriz V (x) possui 0 ∈ 0 uma submatriz m m invert´ıvel. Restringindo, se necessário, o × aberto U0 , podemos supor que esta matriz é a mesma em todos os pontos e, por simplicidade de nota¸cão, admitiremos que ela é formada pelas m primeiras colunas de V (x), ou seja, que V (x) = P (x) , onde P (x) é m m invert´ıvel e Q(x) é (n m) m. A Q(x) × − × aplica¸cão x P (x) 1 é de classe Cr em U , o mesmo se dando 7→ − 0 com a aplica¸cão x B(x), onde B(x) = (P (x) 1, 0) é uma matriz 7→ − m n cujas ultimas´ n m colunas são nulas. Como B(x) V (x) = × − · “MAIN2” 2007/5/23 page 66

66 [CAP. II: SUPERFÍCIES NOS ESPAÇOS EUCLIDIANOS matriz identidade m m, temos × A(x) = B(x) V (x) A(x) = B(x) v(x). · · · Logo x A(x) = (α1(x), . . . , αm(x)) é de classe Cr em U , como 7→ 0 quer´ıamos demonstrar. Corolário. Seja r k 1. Um campo vetorial v : M Rn, ≤ − → tangente a M, é de classe Cr se, e somente se, para cada parame- k triza¸cão ϕ: U0 U, de classe C , e cada p = ϕ(x) U, tem-se m → ∈ j ∂ϕ 1 m R v(p) = α (x) j (x), onde as fun¸cões α , . . . , α : U0 , j=1 ∂x → assim definidas,P são de classe Cr. Com efeito, dada ϕ, restrinjamos v ao aberto U, onde estão ∂ϕ definidos os campos Pela proposi¸cão anterior, v Cr em U ∂xj · ∈ se, e somente se, as fun¸cões αj são de classe Cr. Vimos que, em cada vizinhan¸ca parametrizada U de uma su- k k 1 perf´ıcie de classe C , existem campos de classe C − que constituem uma base do espa¸co tangente em cada ponto de U. Mostra- remos agora que o mesmo não ocorre com campos de classe C k, a menos que a superf´ıcie já fosse de classe Ck+1. Proposi¸cão 8. Seja M m Rn uma superf´ıcie de classe Ck. ⊂ Se cada ponto p M possui uma vizinhan¸ca na qual se podem ∈ definir m campos tangentes linearmente independentes de classe Ck, então M é de classe Ck+1. Demonstra¸cão: Dado um ponto arbitrário p M, mostraremos 0 ∈ que existe uma vizinhan¸ca de p0 que pode ser munida de uma parametriza¸cão de classe Ck+1. Por hipótese, podemos definir, numa vizinhan¸ca U de p , m campos v , . . . , v : U Rn de 0 1 m → classe Ck que constituem, em cada p U, uma base do espa¸co ∈ tangente T M . Seja Rn = Rm Rn m uma decomposi¸cão em soma p ⊕ − direta tal que a proje¸cão correspondente π : Rn Rm aplique → “MAIN2” 2007/5/23 page 67

[SEC. 8: CAMPOS DE VETORES TANGENTES A UMA SUPERF´ICIE 67

Rm T Mp0 isomorficamente sobre . Restringindo U, se necessário, podemos admitir que ϕ = (π U) 1 seja uma parametriza¸cão de | − classe Ck, definida em U = π(U). Para cada x U e cada vetor 0 ∈ 0 u Rm, o vetor v = ϕ (x) u T M é caracterizado, entre os ∈ 0 · ∈ ϕ(x) vetores tangentes a M no ponto ϕ(x), pela propriedade π v = u. · Para todo x U , seja V (x) a matriz n m cujas colunas são ∈ 0 × os vetores v1(ϕ(x)), . . . , vm(ϕ(x)). Então x V (x) é de classe k 7→ C em U0 e cada matriz V (x) tem posto m. Podemos admitir P (x) que V (x) = , onde P (x) é m m invert´ıvel e Q(x) é Q(x) × (n m) m. A aplica¸cão x P (x) 1 é de classe Ck em U . Pondo − × 7→ − 0 B(x) = V (x) P (x) 1, como as colunas de V (x) geram T M , · − ϕ(x) vemos que as colunas de B(x) também têm essa propriedade. Além k disso, x B(x) é de classe C em U0 . Mas é claro que B(x) = I 7→ m , onde I = matriz identidade m m. Logo, os vetores C(x) m × w1(x), . . . , wm(x), que constituem as colunas de B(x), dependem k de x em classe C e são tais que π wi(x) = ei = i-ésimo vetor m · básico de R . Notando que os vetores wi(x) são tangentes a M no ponto ϕ(x), segue-se que w (x) = ϕ (x) e para todo x U . i 0 · i ∈ 0 ∂ϕ k Como as aplica¸cões x (x) = ϕ0(x) ei são de classe C em 7→ ∂xi · U0 , para i = 1, . . . , m, concluimos que a parametriza¸cão ϕ é de classe Ck+1, o que termina a demonstra¸cão. A seguir, estenderemos para superf´ıcies o teorema de existência e unicidade de curvas integrais de campos vetoriais, que foi demonstrado no Cap´ıtulo I para o caso de abertos no espa¸co euclidiano. Dado um campo vetorial tangente v : M m Rn, uma curva → integral de v, com origem num ponto p M, é um caminho dife- ∈ renciável λ: ( ε, +ε) M, com λ(0) = p e λ (t) = v(λ(t)) para − → 0 todo t. “MAIN2” 2007/5/23 page 68

68 [CAP. II: SUPERF´ICIES NOS ESPAC¸OS EUCLIDIANOS

Proposi¸cão 9. Seja v um campo de vetores tangentes de classe Ck 1 (k 2) numa superf´ıcie M m Rr de classe Ck. Para − ≥ ⊂ cada ponto p M existe uma curva integral de v em M, com ∈ origem p. Duas curvas integrais de v com origem p coincidem numa vizinhan¸ca de 0. Demonstra¸cão: Dado p M, seja ϕ: U U M uma para- ∈ 0 → ⊂ metriza¸cão Ck de uma vizinhan¸ca U de p em M. Definimos um campo de vetores u: U Rm, de classe Ck pela condi¸cão: 0 →

ϕ0(x) u(x) = v(ϕ(x)), para todo x U . · ∈ 0 A regra da cadeia mostra que µ: ( ε, ε) U é uma curva integral − → 0 de u com origem p = ϕ 1(p) se, e somente se, ϕ µ: ( ε, ε) U 0 − ◦ − → é uma curva integral de v com origem p = ϕ(p0). A Proposi¸cão 6 segue-se então da Proposi¸cão do Cap´ıtulo I. Corolário 1. Sejam W Rr um aberto, M m W uma superf´ıcie ⊂ ⊂ de classe Ck (k 2) e v : W Rr um campo de vetores de ≥ → classe Ck 1 em W , tal que v(p) T M para todo p M. Se − ∈ p ∈ λ: ( ε, ε) Rr é uma curva integral de v com origem num ponto − → p M então existe δ > 0 tal que t < δ λ(t) M. ∈ | | ⇒ ∈ Com efeito, a restri¸cão de v a M é um campo de vetores tangentes a M, de classe Ck. Pela Proposi¸cão 6, para todo p M ∈ existe uma curva integral de v, com origem p, contida em M. Por unicidade, essa curva é a restri¸cão de λ a uma vizinhan¸ca de 0. Corolãrio 2. Seja G M(n, R) um grupo de Lie. Para toda ⊂ matriz A T G , e todo t R, tem-se etA G. ∈ I ∈ ∈ Dada A, consideremos o campo de vetores v : GL(Rn) → M(n, R), definido por v(X) = AX. O caminho λ: R GL(Rn), → definido por λ(t) = etA X é uma curva integral de v com origem · X. Quando x G, tem-se v(X) T G . (Vide observa¸cão final ∈ ∈ X da se¸cão anterior.) Segue-se do Corolário 1 que, para cada x G, ∈ “MAIN2” 2007/5/23 page 69

[SEC. 8: CAMPOS DE VETORES TANGENTES A UMA SUPERF´ICIE 69 existe ε > 0 tal que etA X G sempre que t < ε. Em particular, · ∈ | | tomando X = I, temos etA G para t < ε. Dado qualquer t real, ∈ | | escrevemos t = t + + t com t < ε, . . . , t < ε. Conclui- 1 · · · k | 1| | k| mos que etiA G, i = 1, . . . , k, e portanto (sendo G um grupo) ∈ etA = et1A et2A etkA G. · · · · · · ∈ “MAIN2” 2007/5/23 page 70

Cap´ıtulo III

Vetores Normais, Orientabilidade e Vizinhan¸ca Tubular

Consideraremos, neste cap´ıtulo, o seguinte problema: quais são as superf´ıcies de classe Ck, M m Rn que podem ser obtidas ⊂ como imagem inversa M m = f 1(c) de um valor regular c Rn m − ∈ − para uma aplica¸cão f : U Rn m, de classe Ck, definida numa → − vizinhan¸ca aberta U M no espa¸co Rn? ⊃ Veremos que, para n m = 1, ou seja, quando M é uma hi- − perf´ıcie, M é imagem inversa de um valor regular de aplica¸cão definida num aberto de Rn se, e somente se, M é orientável. Vere- mos também que, para uma hiperf´ıcie M, ser orientável equivale a` existência de um campo cont´ınuo de vetores normais em M. No caso geral, em que n m pode ser > 1, orientabilidade é − uma condi¸cão necessária porém não suficiente. Para obter uma condi¸cão suficiente, introduzimos a no¸cão de vizinhan¸ca tubular, que constitui um dos conceitos básicos mais importantes no estudo “MAIN2” 2007/5/23 page 71

[SEC. 1: CAMPOS DE VETORES NORMAIS A UMA SUPERFÍCIE 71 das variedades diferenciáveis. Demonstraremos o teorema de Whitney, segundo o qual M m ⊂ Rn é imagem inversa de um valor regular de aplica¸cão definida numa sua vizinhan¸ca se, e somente se, existem em M n m campos − cont´ınuos de vetores normais, linearmente independentes em todos os pontos de M.

1 Campos de vetores normais a uma superf´ıcie

Diremos que um vetor u Rn é normal a` superf´ıcie M m Rn ∈ ⊂ no ponto p M quando u for perpendicular a todos os vetores ∈ tangentes a M no ponto p, isto é, quando se tiver u, v = 0 para h i todo v T M . O conjunto dos vetores normais a M m no ponto p ∈ p é um subespa¸co vetorial de dimensão n m (= codimensão de M) − do espa¸co euclidiano Rn. Indicaremos este subespa¸co vetorial com T M ou νM . Em cada ponto p Rn, o espa¸co Rn se decompõe p⊥ p ∈ na soma direta Rn = T M νM . p ⊕ p Um campo de vetores normais a` superf´ıcie M m Rn é uma ⊂ aplica¸cão v : M Rn tal que v(p) νM para todo p M. → ∈ p ∈ Conforme a defini¸cão geral (se¸cão 3 do Cap. II), diz-se que v ∈ Cr quando, para cada ponto p M existe uma parametriza¸cão ∈ ϕ: U U, cuja classe é a mesma de M, tal que p U e v 0 → ∈ ◦ ϕ: U Rn é de classe Cr. Quando r k, esta no¸cão tem sentido 0 → ≤ intr´ınseco, isto é, não depende da parametriza¸cão ϕ escolhida. Mostraremos logo adiante, porém, que uma superf´ıcie de classe Ck não se pode esperar que existam muitos campos de vetores k 1 normais de classe superior a C − . Exemplos de campos de vetores normais 1) v : Sn Rn+1, dado por v(p) = p, é um campo normal C . → ∞ “MAIN2” 2007/5/23 page 72

72 [CAP. III: VETORES NORMAIS, ORIENTABILIDADE E VIZINHANC¸A

2) Para toda M m Rn, v : M Rn, dado por v(p) = 0 em todos ⊂ → os pontos p M, é normal, de classe C . ∈ ∞ 3) Sejam U R2 aberto e ϕ: U R3 um mergulho de classe Ck, 0 ⊂ 0 → com U = ϕ(U ). Então v : U R3, definido pelo produto vetorial 0 → v(p) = ϕ0(x) e1 ϕ0(x) e2 , p = ϕ(x), é um campo de vetores · × k 1 · normais de classe C − , diferente de zero em todos os pontos da superf´ıcie U. O Exemplo 3 se generaliza para hiperf´ıcies, mediante o conceito de produto vetorial de n vetores em Rn+1, que recordaremos agora. Dados v , . . . , v Rn+1, indiquemos com [v , . . . , v ] a matriz 1 s ∈ 1 s (n + 1) s cujo i-ésimo vetor coluna é v . O produto vetorial de n × i vetores v , . . . , v Rn+1 é o vetor v = v v caracterizado 1 n ∈ 1 × · · · × n por v, h = det[v , . . . , v , h], para todo h Rn+1. Em particular, h i 1 n ∈ para i = 1, . . . , n + 1, temos v, e = ( 1)n+i+1 det(αi), onde αi h ii − · é a matriz n n cujos vetores colunas são obtidos de v , . . . , v × 1 n pela omissão da i-ésima coordenada. Isto fornece a expressão v = n+1 n+i+1 i ( 1) det(α ) ei , o que permite considerar v = v1 i=1 − · × · · · × vPn como um “determinante simbólico” v = det[v1, . . . , vn, E], no qual os elementos da ultima´ coluna E são os vetores e1, . . . , en+1 . Tal determinante deve ser desenvolvido segundo os elementos da ultima´ coluna. O produto vetorial v = v v Rn+1 é linear em 1 × · · · × n ∈ cada um dos seus fatores. Além disso, v é perpendicular ao subespa¸co gerado por v , . . . , v , pois v, v = 0. Com efeito, este 1 n h ii produto escalar é, para todo i n, um determinante com duas ≤ colunas iguais. A aplica¸cão (v , . . . , v ) v v é de classe 1 n 7→ 1 × · · · × n C . Notamos que v v = 0 se, e somente se, os ve- ∞ 1 × · · · × n 6 tores v1, . . . , vn são linearmente independentes. Finalmente, como det[v , . . . , v , v v ] = v v 2 0, concluimos que, 1 n 1 × · · · × n | 1 × · · · × n| ≥ se os v são independentes, então v , . . . , v , v v é uma i { 1 n 1 × · · · × n} “MAIN2” 2007/5/23 page 73

[SEC. 1: CAMPOS DE VETORES NORMAIS A UMA SUPERFÍCIE 73 base positiva do espa¸co Rn+1. Para uso na demonstra¸cão da Proposi¸cão 5, abaixo, notemos n Rn i o seguinte: se w1, . . . , wn são tais que wj = αj vi , (j = ∈ i=1 1, . . . , n), então w w = det(αi ) v v P. Para provar 1 ×· · ·× n j · 1 ×· · ·× n isto, indiquemos com A a matriz n n (αi ). Então [w , . . . , w ] = × j 1 n [v , . . . , v ] A. Seja A a matriz n (n + 1) obtida acrescen- 1 n · × tando a A uma ultima´ coluna, igual a e . Para cada vetor h n+1 ∈ Rn+1 teremos então [w e, . . . , w , h] = [v , . . . , v , h] A e portanto 1 n 1 n · det[w , . . . , w , h] = det A det[v , . . . , v , h]. Como det A = det A, 1 n · 1 n concluimos que det[w , . . . , w , h] = det A det[v , . . . ,ev , h], e por- 1 n · 1 n tanto w w = dete A (v v ). e 1 × · · · × n · 1 × · · · × n Exemplo 4) Seja M n Rn+1 uma hipersuperf´ıcie de classe Ck. Dada uma ⊂ k parametriza¸cão ϕ: U0 U, de classe C , define-se em U um → k 1 campo v de vetores normais de classe C − , pondo-se, para cada ∂ϕ ∂ϕ p = ϕ(x) U, v(p) = 1 (x) (x). Como em cada ∈ ∂x1 × · · · × ∂xn ∂ϕ ∂ϕ ponto p = ϕ(x) U os vetores tangentes (x), . . . , (x) ∈ ∂x1 ∂xn são linearmente independentes, vemos que v(p) = 0 para todo 6 p U. Além disso, como νMp tem dimensão 1, se tomarmos outra ∈ n parametriza¸cão ψ : V0 V , e definirmos w : V R por w(p) = ∂ψ ∂ψ → → (y) (y), p = ψ(y), teremos w(p) = a(p) v(p) com ∂x1 × · · · × ∂xn · a = 0, para todo p U V . Pela ultima´ observa¸cão feita acima, 6 ∈ ∩ vemos que a(p) é o determinante da matriz de passagem da base ∂ϕ ∂ϕ ∂ψ ∂ψ (x), . . . , (x) para a base (y), . . . , (y) , onde ∂x1 ∂xn ∂x1 ∂xn p = ϕ(x) = ψ(y). Ora,esta é a matrizjacobiana do difeomorfismo 1 1 1 ϕ− ψ : ψ− (U V ) ϕ− (U V ). Com efeito, escrevendo ◦ 1 ∩ → i ∩ ξ = ϕ− ψ, a matriz jacobiana (αj) de ξ no ponto y é caracterizada ◦ i por ξ0(y) ej = αjei . Como ψ = ϕ ξ, temos ψ0(y) ej = · i ◦ · P “MAIN2” 2007/5/23 page 74

74 [CAP. III: VETORES NORMAIS, ORIENTABILIDADE E VIZINHANC¸A

i ϕ0(x) ξ0(y) ej = ϕ0(x) αjϕ0(x) ei . Da´ı verifica-se que a · · · i · matriz de passagem dos ϕP0(x) ei para os ψ0(y) ej é a matriz · · jacobiana de ξ no ponto y. Outros exemplos de campos de vetores normais resultam da proposi¸cão seguinte. Lembremos o gradiente de uma fun¸cão real diferenciável f : U R, definida num aberto U Rn, introduzido → ⊂ na Se¸cão 3 do Cap´ıtulo I. Tem-se

∂f ∂f grad f(p) = (p), . . . , (p) . ∂x1 ∂xn

Proposi¸cão 1. Seja f : U R uma fun¸cão real de classe Cr, → definida no aberto U Rn. Seja c um numer´ o real. Se M Rn ⊂ 1 n ⊂ é uma superf´ıcie contida em f − (c), então grad f : M R é um r 1 → campo de vetores normais, de classe C − em M.

Demonstra¸cão: Para cada p M e cada v T M , seja ∈ ∈ p λ: ( ε, +ε) M um caminho diferenciável, com λ(0) = p e − → λ0(0) = v. Então f(λ(t)) = c para todo t e por conseguinte (f λ) = 0. Logo grad f(p), v = f (p) v = (f λ) (0) = 0. ◦ 0 h i 0 · ◦ 0 Isto mostra que grad f(p) é normal a M. Por outro lado, é evidente que grad f Cr 1. ∈ −

Corolário. Seja M m = f 1(c) Rm+n uma superf´ıcie ob- − ⊂ tida como imagem inversa de um valor regular de uma aplica¸cão f : U Rn, de classe Ck no aberto U Rm+n. Escrevamos → ⊂ f = (f 1, . . . , f n). Então grad f 1, . . . , grad f n : M Rm+n são k 1 → campos de vetores normais de classe C − em M, os quais constituem uma base de νM em cada ponto p M. p ∈ “MAIN2” 2007/5/23 page 75

[SEC. 1: CAMPOS DE VETORES NORMAIS A UMA SUPERF´ICIE 75

Com efeito, se c = (c1, . . . , cn) então M (f i) 1(ci) para cada ⊂ − i = 1, . . . , n e portanto grad f i é normal a M, pela Proposi¸cão 1. Além disso, como c é valor regular de f, em cada ponto p M = ∈ f 1(c) a derivada f (p): Rm+n Rn é sobrejetiva. As n linhas − 0 → da matriz de f 0(p) são portanto linearmente independentes. Ora, essas linhas são os vetores grad f i(p).

Seja M m Rm+n uma superf´ıcie de classe Ck. Para cada ⊂ ponto p M existem Ω Rm+n aberto, com p Ω e f : Ω Rn 0 ∈ ⊂ 0 ∈ → de classe Ck tal que 0 Rn ´e um valor regular de f e Ω M = 1 ∈ ∩ f − (0). (Cfr. Proposi¸c˜ao 5, Cap. II.)

Sejam f 1, . . . , f n : Ω R as fun¸cões coordenadas de f. Como → vimos, grad f 1, . . . , grad f n : U Rm+n são campos vetoriais de → classe Ck 1 em U, que formam em cada ponto p U uma base do − ∈ espa¸co normal. Portanto, um campo arbitrário de vetores normais v : U Rm+n determina univocamente (e é determinado por) n → fun¸cões reais α1, . . . , αn : U R tais que → n v(p) = αi(p) grad f i(p) α=1 X para cada p U. Quando r k 1, o campo v é de classe C r ∈ ≤ − se, e somente se, as fun¸cões αi são de classe Cr. Isto decorre da seguinte Proposi¸cão 2. Sejam v , . . . , v : M m Rm+n campos vetoriais 1 n → de classe Cr (r k), normais a uma superf´ıcie de classe Ck, ≤ tais que, em cada ponto p M, v (p), . . . , v (p) é uma base ∈ { 1 n } do espa¸co normal νM . Todo campo normal v : M Rm+n se p → escreve, de modo unic´ o, em cada ponto p M, como v(p) = ∈ α1(p) v (p) + + αn(p) v (p). Isto define n fun¸cões reais · 1 · · · · n α1, . . . , αn : M R. O campo v é de classe Cr se, e somente → se, as fun¸cões αi o são. “MAIN2” 2007/5/23 page 76

76 [CAP. III: VETORES NORMAIS, ORIENTABILIDADE E VIZINHANC¸A

Demonstra¸cão: Omitida, por ser análoga a` da Proposi¸cão 7, Cap´ıtulo II. Mostraremos a seguir que, se M m Rm+n é de classe Ck, ⊂ porém não de classe Ck+1, M admite localmente n campos de k 1 vetores normais linearmente independentes de classe C − , porém não de classe Ck.

Proposi¸cão 3. Seja M m Rm+n uma superf´ıcie de classe Ck. Se ⊂ todo ponto de M possui uma vizinhan¸ca na qual se podem definir n campos de vetores normais linearmente independentes de classe Ck, então M é de classe Ck+1. Demonstra¸cão: Sejam v , . . . , v : M m Rm+n campos nor- 1 n → mais de classe Ck, definidos no aberto U M, linearmente in- ⊂ dependentes em cada ponto. Para cada p U, seja V (p) a ∈ matriz (m + n) n cujas colunas são os vetores v (p). Como × i V (p) tem posto n, sem perda de generalidade podemos supor que A(p) V (p) = , onde A(p) é n n invert´ıvel. Pondo W (p) = B(p) × I V (p) A(p) 1, vemos que W (p) = n , onde I = matriz · − C(p) n identidade n n e C(p) é m n. Eviden temen te, p W (p) é × × 7→ de classe Ck em U e, como as colunas de W (p) são combina¸cões lineares das de V (p), concluimos que as colunas de W (p) formam, em cada ponto p U, uma base do espa¸co normal νM . ∈ p Consideremos agora a matriz Z(p), com m linhas e m + n colunas, definida como Z(p) = ( C(p), I ), onde I = matriz − m m identidade m m. Efetuando a multiplica¸cão por blocos, temos × Z(p) W (p) = C(p) I + I C(p) = C(p) + C(p) = 0. Isto · − · n m · − significa que as linhas de Z(p) e as colunas de W (p) são duas a duas ortogonais. Como estas formam uma base de νMp , segue-se que as linhas de Z(p) definem em U m campos vetoriais tangentes, de classe Ck, linearmente independentes em cada ponto. “MAIN2” 2007/5/23 page 77

[SEC. 1: CAMPOS DE VETORES NORMAIS A UMA SUPERF´ICIE 77

Pela Proposi¸c˜ao 8 do Cap´ıtulo II, concluimos que M C k+1. ∈

3.1 Observa¸c˜oes; a faixa de Moebius

1) Se, num aberto U de uma superf´ıcie M m Rn acham-se defini- ⊂ dos s campos de vetores normais v , . . . , v : U M, de classe Cr, 1 s → linearmente independentes em cada ponto de U, então os vetores vi podem ser supostos ortonormais, isto é, todos de comprimento 1, dois a dois ortogonais. Com efeito, se tal não for o caso, aplicaremos aos vi o processo de ortogonaliza¸cão de Gram-Schmidt, substituindo-os por u1, . . . , us , onde

v1 u20 u = , u = , u0 = v (v , u )u 1 v 2 u 2 2 − 2 1 1 | 1| | 20 | n 1 un0 − un = , un0 = vn vn, ui ui . un0 − h i | | Xi=1 2) Seja M m Rm+1 uma hiperf´ıcie Ck (k 1) que possui um ⊂ ≥ campo cont´ınuo de vetores normais unitários v : M Rm+1. Seja → γ : [a, b] M um caminho cont´ınuo em M com γ(a) = γ(b). → Então, dada qualquer fam´ılia cont´ınua a um parâmetro u(t), de vetores normais unitários ao longo de γ (isto é, t u(t) é cont´ınua 7→ e, para cada t [a, b], u(t) T M é normal a M no ponto γ(t)), ∈ ∈ γ(t) tem-se necessariamente u(a) = u(b).

Figura 3.1. “MAIN2” 2007/5/23 page 78

78 [CAP. III: VETORES NORMAIS, ORIENTABILIDADE E VIZINHANC¸A

Com efeito, indiquemos por v(t) o vetor v(γ(t)). Então v(t) depende continuamente de t [a, b]. Ora, u(t), v(t) = 1 e, ∈ h i sendo [a, b] conexo, deve ser u(t), v(t) constante. Em particular, h i u(s), v(s) = u(b), v(b) . Como v(a) = v(b) segue-se que u(a) = h i h i u(b). 3) Vejamos agora um exemplo de uma superf´ıcie M 2 R3 que ⊂ não possui campo cont´ınuo de vetores normais que não se anula em ponto algum. Pela Observa¸cão 1, esta superf´ıcie não pode ser definida implicitamente. Trata-se da faixa de Moebius. A faixa de Moebius M é o espa¸co obtido do retângulo [0, 2π] × (0, 1) pela identifica¸cão dos pontos (0, t) e (2π, 1 t), t percorrendo − o intervalo (0, 1). (0, 1) (2π, 1) (0, 1) (2π, 0)

(0, 0) (2π, 0) (0, 0) (2π, 1)

Figura 3.2.

Figura 3.3.

Como superf´ıcie em R3, a faixa de Moebius ´e obtida pela rota¸c˜ao de um segmento de reta aberto, de comprimento 1, cujo “MAIN2” 2007/5/23 page 79

[SEC. 1: CAMPOS DE VETORES NORMAIS A UMA SUPERFÍCIE 79 centro se apoia num c´ırculo de raio 1. Enquanto o centro do segmento desliza sobre o c´ırculo, o segmento realiza uma rota¸cão de 180◦ até o final da primeira volta. Uma descri¸cão mais precisa é dada pela aplica¸cão de classe C∞

f : (0, 1) R R3, × → 1 onde f(s, t) = γ(t) + s δ(t), sendo γ(t) = (cos t, sen t, 0) e − 2 t t δ(t) = cos γ(t) + sen e . 2 · 2 · 3

Figura 3.4.

A imagem de f é a faixa de Moebius M 2 R3. Para cada intervalo ⊂ aberto I R de amplitude 2π a restri¸cão de f a (0, 1) J ⊂ ≤ × parametriza um subconjunto aberto de M. ∂f 1 O caminho v : [0, 2π] R3 definido por v(t) = , t → ∂s 2 × ∂f 1 t t t , t = cos t sen , sen t sen , cos é cont´ınuo,v(t) = ∂t 2 − 2 − 2 2 | | 1 para to dot, e v(t) é normal a` faixa de Moebius no ponto γ(t) (no centro da faixa) para todo t [0, 2π]; é importante notar que ∈ v(0) = v(2π), enquanto que γ(0) = γ(2π). A Observa¸cão 2 mos- − tra que não pode existir um campo cont´ınuo de vetores normais não nulos na faixa de Moebius M. “MAIN2” 2007/5/23 page 80

80 [CAP. III: VETORES NORMAIS, ORIENTABILIDADE E VIZINHANC¸A

2 Superf´ıcies Orient´aveis

A existência ou não de um campo cont´ınuo de vetores normais unitários em uma hiperf´ıcie M n Rn+1 está ligada ao conceito ⊂ mais geral de orientabilidade que estudaremos agora. Um atlas de classe Ck numa superf´ıcie M m Rn é uma cole¸cão ⊂ A de parametriza¸cões ϕ: U U M, de classe Ck, tal que os 0 → ⊂ conjuntos abertos U formam uma cobertura de M. Duas parametriza¸cões de classe Ck, ϕ: U U e ψ : V V 0 → 0 → dizem-se coerentes se, ou bem U V = , ou bem U V = e a ∩ ∅ ∩ 6 ∅ mudan¸ca de coordenadas ξ = ϕ 1 ψ tem determinante jacobiano − ◦ positivo em todos os pontos de seu dom´ınio ψ 1(U V ). − ∩ Um atlas A chama-se coerente quando todos os pares de parametriza¸cões ϕ, ψ A são coerentes. ∈ Uma superf´ıcie M diz-se orientável quando existe um atlas coerente em M. Uma vez escolhido um atlas coerente , P dizemos que M está orientada. As parametriza¸cões que são coerentes com aquelas de são chamadas de positivas, as outras são P ditas negativas. Cada subconjunto aberto W de uma superf´ıcie orientável M é também uma superf´ıcie orientável. Realmente, dado um atlas coerente em M, a cole¸cão das restri¸cões ϕ ϕ 1(U W ) das P PW | − ∩ parametriza¸cões ϕ: U U, ϕ , é um atlas coerente em W . 0 → ∈ P A seguinte proposi¸cão fornece exemplos de superf´ıcies orientá- veis.

Proposi¸cão 4. Seja M m Rn uma superf´ıcie de classe Ck, ⊂ k 1. Se existem n m campos cont´ınuos de vetores normais ≥ −n v1, . . . , vn m : M R tais que v1(p), . . . , vn m(p) são linear- − → − mente independentes em cada ponto p M, então M é orientável. ∈ “MAIN2” 2007/5/23 page 81

[SEC. 2: SUPERF´ICIES ORIENTAVEIS´ 81

Demonstra¸cão: Seja o conjunto das parametriza¸cões de classe P Ck, ϕ: U U M, tais que: 0 → ⊂ (i) U0 é conexo. (ii) para cada x U , a matriz n n, Aϕ(x), cujas colunas são ∈ 0 × ϕ0(x) e1, . . . , ϕ0(x) em , v1(ϕ(x)), . . . , vn m(ϕ(x)), tem determi- · · − nante positivo. Vamos mostrar que é um atlas coerente em M. P Seja p M, arbitrário. Consideremos uma parametriza¸cão de ∈ classe Ck, ϕ: U U M, com U Rm conexo e p U. Então 0 → ⊂ 0 ⊂ ∈ ou ϕ , ou (por infelicidade) det[Aϕ(x)] < 0 para todo x U . ∈ P ∈ 0 Neste caso, substitu´ımos ϕ pela parametriza¸cão ψ : V U dada 0 → por ψ(x1, . . . , xm) = ϕ( x1, . . . , xm), que certamente pertence a` − cole¸cão . Isto mostra que as imagens das parametriza¸cões per- P tencentes a constituem uma cobertura de M. P Resta provar que, dadas ϕ: U U e ψ : V V , elementos 0 → 0 → de com U V = ϕ, então ϕ 1 ψ : ψ 1(U V ) ϕ 1(U V ) tem P ∩ 6 − ◦ − ∩ → − ∩ determinante jacobiano positivo em cada ponto z ψ 1(U V ). ∈ − ∩ Seja ϕ(x) = ψ(z). Escrevamos m i ψ0(z) e = β ϕ0(x) e ; j = 1, . . . , m. · j j · i Xi=1 i i Então det[Aψ(z)] = det(βj) det[Aϕ(x)], logo det(βj) > 0. Mas a matriz jacobiana de ϕ 1 ψ em z é precisamente (βi), o que − ◦ j conclui a demonstra¸cão. Corolário. Se M m Rn é a imagem inversa de um valor regular ⊂ de uma aplica¸cão de classe Ck f : U Rn m ( U Rn aberto), → − ⊂ então M é orientável. Aten¸cão: A rec´ıproca da Proposi¸cão 4 e de seu corolário é falsa em geral. A condi¸cão de orientabilidade é mais fraca do que a existência de n m campos cont´ınuos de vetores normais linear- − mente independentes em cada ponto. Existem exemplos de superf´ıcies M m Rn orientáveis que não possuem n m campos ⊂ − “MAIN2” 2007/5/23 page 82

82 [CAP. III: VETORES NORMAIS, ORIENTABILIDADE E VIZINHANÇA cont´ınuos de vetores normais linearmente independentes em cada ponto. Tais exemplos são complicados e fogem ao n´ıvel deste texto. Estudamos a seguir um caso especial em que a rec´ıproca é verdadeira, a saber, quando M é uma hiperf´ıcie.

Proposi¸cão 5. Seja M n Rn+1 uma hiperf´ıcie de classe Ck. ⊂ Então M é orientável se, e somente se, existe um campo cont´ınuo de vetores normais u: M n Rn+1, com u(p) = 0 para todo → 6 p M. ∈ Demonstra¸cão: Metade da proposi¸cão resulta da Proposi¸cão 4. Basta então mostrar que se pode definir numa hiperf´ıcie orientável M n Rn+1 um campo cont´ınuo de vetores normais u: M ⊂ → Rn+1, com u(p) = 1 para todo p M. Seja um atlas coerente | | ∈ P em M. Dado p M, tomemos uma parametriza¸cão ϕ: U U ∈ 0 → pertencente a , com p = ϕ(x) U, consideremos o produto ve- P ∈ torial w(p) = ϕ (x) e ϕ (x) e (vide Se¸cão 1) e ponhamos 0 · 1 × · · · × 0 · n u(p) = w(p)/ w(p) . Isto definirá um campo de vetores normais | | unitários u: M Rn+1, de classe Ck 1, desde que mostremos que → − u(p) ν M não depende da escolha da parametriza¸cão ϕ . ∈ p ∈ P Como a dimensão de νpM é 1, só existem dois valores unitários normais a M no ponto p, os quais diferem apenas em sinal. Deve- mos então verificar que, se ψ : V V é outra parametriza¸cão em 0 → , com p = ψ(y) V , teremos ψ (y) e ψ (y) e = a w(p), P ∈ 0 · 1 ×· · ·× 0 · n · com a > 0. Isto porém resulta de ser a o determinante jaobiano 1 da mudan¸ca de coordenadas ϕ− ψ, o qual é positivo em virtude da coerência do atlas . (Vide Exemplo 4, na Se¸cão 1). P Observa¸cão: Ficou demonstrado acima que se u: M n Rn+1 é → um campo cont´ınuo de vetores normais unitários numa hiperf´ıcie de classe Ck então M é orientável e n é automaticamente de k 1 k classe C − . E reciprocamente, se M é orientável de classe C k 1 então existe em M um campo de classe C − de vetores normais “MAIN2” 2007/5/23 page 83

[SEC. 2: SUPERFÍCIES ORIENTAVEIS´ 83 unitários. Daremos agora um exemplo de uma superf´ıcie compacta P 2 ⊂ R4 não orientável. E´ um fato topológico, cuja demonstra¸cão es- capa as` finalidades destas notas, que toda hiperf´ıcie compacta M n Rn+1 é necessariamente orientável. ⊂ Exemplo: O plano projetivo P 2 R4 (cf. Hilbert e ⊂ Cohn-Vossen, “Geometry and Imagination”, pag. 340). Seja f : R3 R4 a aplica¸cão de classe C definida por f(x, y, z) = → ∞ (x2 y2, xy, xz, yz). O plano projetivo é o conjunto P 2 = f(S2), − imagem por f da esfera unitária S2 R3. Afirmamos que P 2 é ⊂ 4 uma superf´ıcie de dimensão 2 e de classe C∞ no R . Isto será feito em etapas (i), (i)) e (iii). (i) Provemos inicialmente que, dados p, q S2, f(p) = f(q) se, e ∈ somente se, p = q. Com efeito, é evidente que f(p) = f( p). Por outro lado se − f(p) = (a, b, c, d), p = (x, y, z) S2, então tem-se: ∈ (I) x2 y2 = a, xy = b, xz = c, yz = d − (II) x2 y2 = a, dx2 = bc, cy2 = bd, bz2 = cd, x2 +y2 + − z2 = 1.

Se b = c = c = 0, as equa¸cões (I) mostram que pelo menos duas (donde exatamente duas) das coordenadas x, y, z são nulas, a restante devendo ser necessariamente igual a 1. Neste caso, f 1(0, 0, 0, 0) = (0, 0, 1), f 1(1, 0, 0, 0) = ( 1, 0, 0) e − − f 1( 1, 0, 0, 0) = (0, 1, 0). − − Se algum dos numeros´ b, c, d for = 0, as equa¸cões (II) determi- 6 narão x2, y2, z2, enquanto as 3 ultimas´ equa¸cões (I) mostram que uma escolha de sinal numa coordenada determina o sinal das ou- 1 tras duas, donde f − (a, b, c, d) consiste de exatamente dois pontos ant´ıpodas p = (x, y, z) e p = ( x, y, z). − − − − “MAIN2” 2007/5/23 page 84

84 [CAP. III: VETORES NORMAIS, ORIENTABILIDADE E VIZINHANC¸A

(ii) Mostremos agora que, em cada ponto p = (x, y, z) S2, a ∈ derivada f (p): R3 R4 leva o plano tangente (T S2) R3 inje- 0 → p ⊂ tivamente no R4.

Isto ´e feito observando a matriz jacobiana

2x 2y 0 − y x 0 Jf(x, y, z) =   z 0 x    0 z y     Dois dos menores 3 3 de Jf são 2 (x2 + y2) e 2y(x2 + y2). × × Logo Jf tem posto 3 exceto quando x = y = 0. Segue-se que f (p): R3 R4 é injetora para todo p S2 a, a , a = (0, 0, 1). 0 → ∈ −{ − } Os pontos a são examinados separadamente: A matriz jacobiana Jf mostra que

f 0( a) e = e e f 0( a) e = e . · 1 3 · 2 4 Como os planos tangentes a S2 nos pontos a coincidem e são 2 gerados por e1 e e2 , resulta que dim[f 0( a) (T S ) a] = 2. · (iii) Pelo resultado acima, para cada parametriza¸cão de classe C , ϕ: U S2, de um subconjunto aberto de S2, a aplica¸cão ∞ 0 → f ϕ: U R4 é uma imersão C . Se ϕ(U ) é suficientemente pe- ◦ 0 → ∞ 0 queno para não conter par algum de pontos ant´ıpodas, então f ϕ ◦ será 1 1. Resta mostrar que f ϕ é um homeomorfismo de U − ◦ 0 sobre um subconjunto aberto U = f ϕ(U ) de P 2. Isto é verdade ◦ 0 porque f : S2 P 2 é uma aplica¸cão aberta: Dado um subcon- → junto aberto A S2, suponhamos, por absurdo, que f(A) não ⊂ seja aberto em P 2. Então existe uma sequ¨ência de pontos x S2 n ∈ tais que f(x ) f(y), y A e f(x ) / f(A). Esta ultima´ rela¸cão n → ∈ n ∈ “MAIN2” 2007/5/23 page 85

[SEC. 2: SUPERFÍCIES ORIENTAVEIS´ 85 significa que x / A e x / A = x; x A . Como S2 n ∈ n ∈ − {− ∈ } é compacta, podemos supor (considerando uma subsequ¨ência, se necessário) que x / A ( A). Pela continuidade de f, no entanto, ∈ ∪ − f(x) = f(y) f(A), donde x = y A, contradi¸cão. ∈ ∈ 2 2 A superf´ıcie de classe C∞ P = f(S ) é compacta pois é imagem cont´ınua por f do compacto S2.

O plano projetivo é concebido “abstratamente” como o espa¸co quociente S2/E da esfera unitária S2 pela rela¸cão de equivalência E cujas classes de equivalência são p, p , p S2. Dotamos { − } ∈ S2/E da topologia co-induzida pela aplica¸cão canônica π : S2 → S2/E.

Notemos que E é precisamente a rela¸cão de equivalência determinada por f : S2 P 2. Por f ser aberta e do diagrama clássico →

f - S2 P 2 π f(π(x)) = f(x) ? f S2/E resulta que f¯: S2/E P 2 é um homeomorfismo. → Portanto, a superf´ıcie P 2 R4 é uma imagem “concreta” do ⊂ plano projetivo S2/E, no espa¸co euclidiano R4.

Resta apresentar uma justificativa para a não-orientabilidade de P 2. Uma razão é que P 2 contém uma faixa de Moebius, a imagem por f de uma faixa equatorial em S2, como mostra a figura 3.5. “MAIN2” 2007/5/23 page 86

86 [CAP. III: VETORES NORMAIS, ORIENTABILIDADE E VIZINHANC¸A

B0 M 0 A f N A B

f(A) = f(A0) = M; f(B) = f(B0) = N.

Figura 3.5.

Se P 2 fosse orientável e A fosse um atlas coerente em P 2, as restri¸cões a M das parametriza¸cões de P 2, pertencentes a A, forne- ceriam uma orienta¸cão de M, o que é imposs´ıvel. Em particular, não existe aplica¸cão de classe C1, g : W R2 → definida num aberto W R4 contendo P 2 tal que P 2 = g 1(c), ⊂ − onde c R2 é valor regular de g. ∈

3 A vizinhan¸ca tubular de uma superf´ıcie compacta

Seja M m Rm+n uma superf´ıcie de classe Ck, k 1. ⊂ ≥ Diz-se que o segmento [p, a] = p+t(a p); 0 t 1 ´e normal { − ≤ ≤ } a M no ponto p se p M e v = a p νM . ∈ − ∈ p

a Rm+n v T Mp p M m

Figura 3.6.

A bola normal (de dimensão n) B⊥(p; ε) é a reunião dos seg- “MAIN2” 2007/5/23 page 87

[SEC. 3: A VIZINHANC¸A TUBULAR DE UMA SUPERF´ICIE COMPACTA 87 mentos normais a M no ponto p, de comprimento < ε. Logo

m+n B⊥(p; ε) = x R ; x p < ε, x p, v = 0 v T M { ∈ | − | h − i ∀ ∈ p}

B1(p; ε) p ε M

p + vMp

Figura 3.7.

Diz-se que o numero´ real ε > 0 ´e um raio normal admiss´ıvel para um subconjunto X M quando, dados dois segmentos [p, a] ⊂ e [q, b], normais a M, de comprimento < ε, com p = q X, tem-se 6 ∈ [p, a] [q, b] = . ∩ ∅ q p < ε < ε X a b

Figura 3.8.

Em outras palavras, B (p; ε) B (q; ε) = se p = q X e ε ⊥ ∩ ⊥ ∅ 6 ∈ for um raio normal admiss´ıvel para X. Demonstraremos agora o teorema da vizinhan¸ca tubular para superf´ıcies M m Rm+n, compactas, de classe 2. ⊂ ≥ O leitor pode provar, como exerc´ıcio, que em nenhuma vizinhan¸ca da origem existe um raio normal admiss´ıvel para a curva “MAIN2” 2007/5/23 page 88

88 [CAP. III: VETORES NORMAIS, ORIENTABILIDADE E VIZINHANÇA y = x4/3, de classe C1 no plano R2. Devemos considerar, portanto, superf´ıcies de classe Ck, k 2. ≥ Proposi¸cão 4. Seja M m Rm+n uma superf´ıcie compacta de ⊂ classe Ck, k 2. Então: ≥ (1) Existe ε > 0, raio normal admiss´ıvel para M. (p = q em M B (p; ε) B (q; ε) = ). 6 ⇒ ⊥ ∩ ⊥ ∅

(2) A reuni˜ao Vε(M) = B⊥(p; ε) dos segmentos normais a p M ∈ M de comprimento

(3) A aplica¸cão π : V (M) M, que associa a cada ponto q ε → ∈ Vε(M) o pé do unic´ o segmento normal que o contém, é de k 1 classe C − .

Vε(M) p ε ε

B⊥(p; ε)

Figura 3.9.

Demonstra¸c˜ao: (i) A proposi¸c˜ao vale localmente: todo ponto p M pertence 0 ∈ a um aberto U M para o qual existe raio normal admiss´ıvel ⊂ εU > 0. “MAIN2” 2007/5/23 page 89

[SEC. 3: A VIZINHANC¸A TUBULAR DE UMA SUPERF´ICIE COMPACTA 89

Com efeito, em virtude das observa¸cões que seguem o Corolário da Proposi¸cão 1, existe uma parametriza¸cão ϕ: V V , de classe 0 → Ck, de uma vizinhan¸ca p V M e n campos de vetores normais 0 ∈ ⊂ unitários, de classe Ck 1, v , . . . , v : V Rm+n, mutuamente or- − 1 n → togonais em cada ponto. (A ortonormalidade justifica-se por 3.1.)

n m+n k 1 Consideremos a aplica¸cão Φ: V0 R R , de classe C − , × n → 1 n dada por Φ(x, α , . . . , α ) = ϕ(x) + αivi(ϕ(x)). Geometrica- i=1 mente, Φ é a extensão de ϕ que aplica,Pisométrica e linearmente, a variedade linear x Rn sobre a variedade linear ϕ(x) + νM , { } × p para cada x V . ∈ 0

Φ V V 0 0 × M

V Rn 0 ×

Figura 3.10.

Para cada x V , a matriz jacobiana de Φ no ponto (x, 0) tem ∈ 0 por colunas os vetores

∂ϕ (x), 1 i m e v (ϕ(x)), m + 1 j m + n. ∂xi ≤ ≤ j ≤ ≤

Os m primeiros formam uma base para T Mϕ(x) enquanto que os n ultimos´ constituem uma base para νMϕ(x) . Por conseguinte, Φ (x, 0): Rm+n Rm+n ´e um isomorﬁsmo. 0 → “MAIN2” 2007/5/23 page 90

90 [CAP. III: VETORES NORMAIS, ORIENTABILIDADE E VIZINHANC¸A

Seja ϕ(x0) = p0 . Pelo teorema da fun¸cão inversa, existe uma m n vizinhan¸ca aberta de (x0, 0) em R R , que se aplica difeo- × m+n morficamente sobre uma vizinhan¸ca de p0 em R . Podemos tomar a primeira do tipo U Bn(ε), onde x U V Rm 0 × 0 ∈ 0 ⊂ 0 ⊂ e raio ε > 0. Se escrevemos U = ϕ(U0), Φ transforma difeomorficamente U Bn(ε) na reunião V (U) de todos os segmentos 0 × ε normais de origem em U e comprimento < ε (ver Figura 3.10). Dados p = q U, tem-se B (p; ε) B (q; ε) = , pois dois 6 ∈ ⊥ ∩ ⊥ ∅ segmentos normais de comprimentos < ε, com origem em dois pontos distintos ϕ(x), ϕ (x) U, são imagens de segmentos da 0 ∈ forma x I, x I , com x = x , I e I contidos em raios da × 0 × 0 6 0 0 bola Bn(ε). Logo os segmentos dados Φ(x I) e Φ(x I ) são × 0 × 0 disjuntos. O retângulo comutativo (onde π1 é a proje¸cão do produto no primeiro fator)

π - Vε(U) U 6 6

Φ ϕ

π U Bn(ε) 1- U 0 × 0

m+n mostra que Vε(U) é aberto em R e que a aplica¸cão π : V (U) U é de classe Ck 1. ε → − (ii) A proposi¸cão vale globalmente. Por compacidade, M pode ser recoberta por um numero´ finito U1, . . . , Ur de vizinhan¸cas, cada uma das quais possui raio normal admiss´ıvel ε1, . . . , εr . Seja ε > 0 inferior a todos os εi e tal que 2ε é numero´ de Lebesgue da cobertura U1, . . . , Ur . Afirmamos que ε é raio normal “MAIN2” 2007/5/23 page 91

[SEC. 3: A VIZINHANÇA TUBULAR DE UMA SUPERFÍCIE COMPACTA 91 admiss´ıvel para M. Com efeito, dados dois segmentos normais [p, a] e [q, b] de comprimento < ε, ou p e q pertencem ao mesmo U , ou p q 2ε. No primeiro caso, os segmentos dados são i | − | ≥ disjuntos pois ε < εi . No segundo caso, são disjuntos porque um triângulo não pode ter dois lados menores que ε e o terceiro 2ε. ≥ q p 2ε < ε < ε ≥ M b a

Figura 3.11.

As demais afirma¸cões da proposi¸cão têm caráter local e portanto seguem-se de (i). Com efeito,

Vε(M) = Vε(U) [ m+n é um subconjunto aberto do R e π : Vε(M) M é de classe k 1 → C − . Diremos que a vizinhan¸ca tubular Vε(M) é equivalente ao espa¸co produto M Bn(ε) se existir um difeomorfismo h: M Bn(ε) × × → Vε(M) com as seguintes propriedades:

(i) O triˆangulo

M Bn(ε) h - V (M) × ε

π1 s + π M “MAIN2” 2007/5/23 page 92

92 [CAP. III: VETORES NORMAIS, ORIENTABILIDADE E VIZINHANC¸A

é comutativo, isto é, π h = π . ◦ 1 1 (ii) Para cada p M, h é uma isometria da “fibra” π− (p) = ∈ 1 p Bn(ε) sobre a “fibra” π 1(p) = B (p; ε). × − ⊥ Nestas condi¸cões diremos que h é uma equivalência entre estes conjuntos. Exemplo 1 1 A aplica¸cão h: S1 , V (S1), dada por h(z, t) = × − 2 2 → 1/2 1 (1 + t)z é uma equivalência entre a vizinhan¸ca tubular V1/2(S ) 1 1 do c´ırculo e o produto de S1 pelo intervalo , . − 2 2 Proposi¸cão 5. Seja M m Rm+n uma sup erf´ıciecompacta de ⊂ classe C∞. As seguintes condi¸cões acerca de M são equivalentes: 1 1) M = f − (a), onde a é valor regular de uma aplica¸cão de classe C , f : U Rn, U Rm+n aberto. ∞ → ⊂

2) Existem em M n campos de vetores normais de classe C∞, linearmente independentes em todos os pontos.

2’) Existem em M n campos de vetores, de classe C∞, transversais a M em todos os pontos (isto ´e, em cada p M, os ∈ n campos geram um suplemento para T Mp).

3) Toda vizinhan¸ca tubular de M ´e equivalente a um produto.

1 Demonstra¸cão: 1) 2). Basta tomar v1(p) = grad f (p), ..., n ⇒ vn(p) = grad f (p). 2) 2’) Evidente. ⇒0 2) 2) Basta projetar, em cada ponto, os vetores dois campos ⇒ transversais sobre o espa¸co normal. 2) 3) Podemos supor que os n campos são unitários e dois ⇒ n a dois ortogonais. Seja h: M B (ε) Vε(M) definido por 1 n i × → h(x, α , . . . , α ) = x + Σ α vi(x). “MAIN2” 2007/5/23 page 93

[SEC. 4: A VIZINHANC¸A TUBULAR DE UMA SUPERF´ICIE NAO˜ COMPACTA 93

3) 1) Consideremos o diagrama ⇒

−1 π V (M) h - M Bn(ε) 2 - Bn(ε) ε ×

π s + π1 M

Seja f = π h 1 : V (M) Rn. Então 0 Rn é valor regular de 2 ◦ − ε → ∈ f C e M = f 1(0). ∈ ∞ − Observa¸cão: O teorema é válido para superf´ıcies compactas de classe Ck, 2 k < . A demonstra¸cão acima não se aplica porque ≤ ∞ k 1 a proje¸cão da vizinhan¸ca tubular tem classe C − apenas.

4 A vizinhan¸ca tubular de uma superf´ıcie n˜ao compacta

Nesta se¸cão consideramos superf´ıcies M m Rm+n de classe ⊂ 2, não necessariamente compactas. ≥ Dada uma fun¸cão cont´ınua ε: M R, estritamente positiva, → escrevemos Vε(M) = B⊥(p; ε(p)), onde B⊥(p; ε(p)) é, como p M ∈ antes, a bola aberta normalS a M no ponto p, com raio ε(p). Proposi¸cão 6. Se M m Rm+n é de classe 2, existe uma ⊂ ≥ fun¸cão ε: M R, cont´ınua, estritamente positiva, tal que → (1) V (M) é aberto em Rm+n, e M V (M). ε ⊂ ε (2) Se p = q em M, então B (p; ε(p)) B (q; ε(q)) = . 6 ⊥ ∩ ⊥ ∅ Assim, cada ponto x V (M) pertence a um unico´ segmento ∈ ε normal [p, a), com p M e a p = ε(p). ∈ | − | “MAIN2” 2007/5/23 page 94

94 [CAP. III: VETORES NORMAIS, ORIENTABILIDADE E VIZINHANC¸A

(3) A proje¸cão π : V (M) M, que associa a cada ponto x ε → ∈ V (M) o pé do unic´ o segmento normal que o contém, é de k 1 classe C − .

(4) Para cada ponto p M existe uma vizinhan¸ca U M e ∈ 1 ⊂ um homeomorﬁsmo h da imagem inversa π− (U) sobre o produto U Bn (onde Bn Rn ´e a bola aberta de centro 0 × ⊂ e raio 1) tal que o diagrama

1 h - n π− (U) U B ×

π π1 R © U comuta.

Vε(M) é chamada a vizinhan¸ca tubular da superf´ıcie M de raio ε. Para provarmos a Proposi¸cão 6, precisamos de dois lemas: Lema 1. Seja M m Rm+n uma superf´ıcie de classe 2. Mesmo ⊂ ≥ que M não seja compacta, todo subconjunto compacto K M ⊂ possui um raio normal admiss´ıvel αK > 0. Ou seja, dois segmentos normais a M, de comprimento < αK com origem em dois pontos distintos de K, são sempre disjuntos. Além disso, αK pode ser tomado de tal modo que se VαK (K) = B⊥(p; αK ), então p K ∈ tem-se V (K) M = K. S αK ∩ Demonstra¸cão: Seja L M uma vizinhan¸ca compacta de K. ⊂ Segue-se da demonstra¸cão da Proposi¸cão 4 que existe um raio normal admiss´ıvel αL para L. Tomando 1 α = min α , d(K, M L) , K 2 { L − } “MAIN2” 2007/5/23 page 95

[SEC. 4: A VIZINHANÇA TUBULAR DE UMA SUPERFÍCIE NAO˜ COMPACTA 95 então V (K) M = K. De fato, q V (K) M [q M e αK ∩ ∈ αK ∩ ⇒ ∈ d(q, K) α < d(K, M L)] [q M e q / M L] q L. ≤ K − ⇒ ∈ ∈ − ⇒ ∈ Como q V (K), existe p K tal que p q α < α ∈ αK ∈ | − | ≤ K L e [p, q] é segmento normal a M no ponto p. Ora, p, q L e ∈ p q < α , logo q = p K. | − | L ∈

VαK (K) K M

Figura 3.12.

Lema 2. Seja M m Rm+n uma superf´ıcie de classe CK (K 2). ⊂ ≥

(1) Existe uma sequ¨ˆencia de conjuntos compactos K1, K2, . . . , contidos em M tais que Ki int Ki+1 e M = Ki . ⊂ i=1 S (2) Existem tamb´em numer´ os reais ε ε > 0 tais que, 1 ≥ 2 ≥ · · · para p K , q K e p = q, tem-se: ∈ i ∈ j 6

(a) B⊥(p; ε ) B⊥(q; ε ) = . i ∩ j ∅

K K2 3 K1

Figura 3.13. “MAIN2” 2007/5/23 page 96

96 [CAP. III: VETORES NORMAIS, ORIENTABILIDADE E VIZINHANC¸A

Demonstra¸cão: A afirma¸cão (1) resulta simplesmente de ser a superf´ıcie M um espa¸co localmente compacto com base enu- merável. Quanto a` afirma¸cão (2), pelo Lema 1 existe, para cada i N, ∈ um numero´ real αi > 0, raio normal admiss´ıvel para Ki , com V (K ) M = K . αi i ∩ i Tomamos, por motivos técnicos, α α . . . 1 ≥ 2 ≥ Pomos ε = α e ε = α . Suponhamos definidos ε ε 1 2 2 3 1 ≥ · · · ≥ s de modo que ε α e a condi¸cão (a) do enunciado seja válida i ≤ i+1 para i, j s. Definimos, por indu¸cão, o numero´ ε de tal modo ≤ s+1 que:

s 1 − (*) 0 < ε < min α , ε , d K int K , V (K ) . x+1 s+2 s s+1 − s εi i i=1 [ Então a condi¸cão (a) será válida para i, j s + 1. ≤ Com efeito, temos três casos a considerar: o 1¯ caso: i, j s. Hipótese de indu¸cão. ≤ o 2¯ caso: i = s e j = s + 1. Então a afirma¸cão é trivialmente correta, pois ε α . s ≤ s+1 o 3¯ caso: p K K e q K , i < s. ∈ s+1 − s ∈ i0 0 Consideremos dois segmentos normais a M, [p, a] com comprimento < εs+1 e [q, b] com comprimento < εi0 . Como p s 1 ∈ K int K e [q, b] V (K ) − V (K ), a equa¸cão (*) s+1 s εi0 i0 εi i − ⊂ ⊂ i=1 mostra que εs+1 < d(p, [q, b]). Logo [p, aS] [q, b] = . Isto conclui ∩ ∅ a demonstra¸cão do Lema 2. Demonstra¸cão da Proposi¸cão 6: Seja, com a nota¸cão do Lema ∞ R 2, V (M) = Vεi (Ki). Introduzamos ε: M , uma fun¸cão i=1 → cont´ınua estritamenS te positiva definida por ε(p) = dist(p, Rm+n − “MAIN2” 2007/5/23 page 97

[SEC. 4: A VIZINHANC¸A TUBULAR DE UMA SUPERF´ICIE NAO˜ COMPACTA 97

V (M)). Como 0 < ε(p) εi para p Ki Ki 1 , segue-se ≤ ∈ − − que V (M) V (M) e, por conseguinte, cada ponto x V (M) ε ⊂ ∈ pertence a um unico´ segmento normal a M.

Vε(M)

Figura 3.14.

m+n (1) Provemos que Vε(M) é aberto em R . Consideremos uma cobertura de M por vizinhan¸cas parametrizadas U, em cada uma das quais estão definidos n campos de vetores normais unitários, m+n k 1 mutuamente ortogonais, v1, . . . , vn : U R , de classe C − . m → Seja ϕ: U0 R U uma parametriza¸cão de U. O conjunto ⊂ → n m m A = (x, y) U0 R ; y < ε(ϕ(x)) é aberto em R R . { ∈ 1 × | | } i × Como Φ: A π− (U), definido por Φ(x, y) = ϕ(x)+Σ y vi(ϕ(x)) → 1 m+n é um difeomorfismo, resulta que π− (U) é aberto em R . Mas 1 Vε(M) = π− (U), quando U percorre a cobertura tomada. Logo V (M) é aberto. ε S (2) O diagrama comutativo

1 π - π− (U) U 6 6 Φ ϕ

π1 - A U0 “MAIN2” 2007/5/23 page 98

98 [CAP. III: VETORES NORMAIS, ORIENTABILIDADE E VIZINHANÇA mostra que π Ck 1. ∈ − (3) Basta tomar h: U Bn π 1(U) definida por h(p, y) = × → − Φ(ϕ 1(p), ε(p) y). Então h é um homeomorfismo e π h(p, y) = − · ◦ (ϕπ Φ 1 Φ) (ϕ 1(p), ε(p), y) = p, o que conclui a demonstra¸cão 1 ◦ − ◦ − da Proposi¸cão 6. Aten¸cão: A no¸cão de vizinhan¸ca tubular, dada por este teorema, será generalizada num cap´ıtulo posterior, com o objetivo de obter uma proje¸cão π : V (M) M com a mesma classe de diferencia- ε → bilidade que M. Lembremos que Bn = x Rn; x < 1 . { ∈ | | } Defini¸cão. Dada uma superf´ıcie M m Rm+n de classe 2, di- ⊂ ≥ zemos que uma vizinhan¸ca tubular Vε(M) é equivalente ao espa¸co produto M Bn se existir um homeomorfismo h: M Bn V (M) × × → ε tal que o diagrama

n h - M B Vε(M) ×

π1 s + π M seja comutativo. Nestas condi¸cões diremos que h é uma equivalência. Proposi¸cão 7. Seja M m Rm+n uma superf´ıcie de classe C . ⊂ ∞ Então cada uma das condi¸cões abaixo acarreta a seguinte:

1 (1) M = f − (a), onde a ´e valor regular de uma aplica¸c˜ao de classe C , f : U Rn, U Rm+n aberto. ∞ → ⊂

(2) Existem em M n campos de vetores normais de classe C∞, linearmente independentes em todos os pontos. “MAIN2” 2007/5/23 page 99

[SEC. 4: A VIZINHANC¸A TUBULAR DE UMA SUPERF´ICIE NAO˜ COMPACTA 99

(3)’ Existem em M n campos de vetores, de classe C∞, transversais a M em todos os pontos.

(3) Toda vizinhan¸ca tubular de M ´e equivalente a um produto.

Demonstra¸cão: (1) (2). Basta tomar v (p) = grad f i(p), 1 i n. ⇒ i ≤ ≤ (2) (2) . Evidente. ⇒ 0 (2) (3). Podemos supor que os n campos são unitários e dois ⇒ n a dois ortogonais. Seja h: M B Vε(M) o homeomorfismo 1 n × → i definido por h(x, α , . . . , α ) = x + ε(x)Σ α vi(x). Então h é uma equivalência. Aten¸cão: Provaremos mais adiante neste livro que a fun¸cão ε: M R pode ser tomada de mesma classe que a superf´ıcie → M. Com isto seremos capazes de provar a implica¸cão (3) (1), ⇒ como se segue: Consideremos o diagrama

∞ h C - n π2 - n Vε(M) ∈ M B B ×

π s + π1 M

Seja f = π h 1 : V (M) Bn. Ent˜ao 0 Rn ´e valor regular de 2 ◦ − ε → ∈ f C e M = f 1(0). ∈ ∞ −

Aplica¸cões 1) Na Se¸cão 3 vimos que a faixa de Moebius não pode ser definida implicitamente. Isto também decorre da Proposi¸cão 7, pois não existe homeomorfismo h: M ( 1, 1) V (M), onde V (M) é × − → ε ε “MAIN2” 2007/5/23 page 100

100 [CAP. III: VETORES NORMAIS, ORIENTABILIDADE E VIZINHANÇA qualquer vizinhan¸ca tubular da faixa de Moebius. Com efeito, V (M) M é conexo (verifique!) enquanto que h 1(V (M) M) = ε − − ε − M ( 1, 1) M 0 não é conexo. × − − × { } 2) Admitindo o enunciado mais forte da Proposi¸cão 7, a ser demonstrado posteriormente, podemos provar que todo grupo de Lie de matrizes pode ser definido como imagem inversa de um va- 2 lor regular. Sejam Gm Rn , um grupo de Lie de matrizes ⊂ de codimensão k = n2 m e X G um elemento diferente − ∈ de I. Consideremos a aplica¸cão ϕ : GL(Rn) GL(Rn) dada X → por ϕX (Y ) = XY . ϕX é um difeomorfismo de classe C∞, cujo inverso é ϕX−1 . Além disso ϕX (G) = G. O isomorfismo 2 2 ϕ (I): Rn Rn , dado por Y XY , leva (T G) em (T G) . X0 → 7→ I X Escolhamos A1, . . . , Ak , base de um suplemento de (T G)I em n2 { } R . Então XA1, . . . , XAk é base de um suplemento de (T G)X . Em suma, os k = n2 m campos v (X) = X A são transversais − i · i a G em todos os seus pontos.

A1 Ak

I XAk XA1 T GI

T G X X G

Figura 3.15. Observa¸cão: A solu¸cão acima obtida para o problema de carac- terizar as superf´ıcies que podem ser definidas “implicitamente” é “MAIN2” 2007/5/23 page 101

[SEC. 4: A VIZINHANÇA TUBULAR DE UMA SUPERFÍCIE NAO˜ COMPACTA 101 devida a H. Whitney (Annals of Math. 37 (1936) pg. 865). Ela representa tudo o que se pode dizer sem usar os métodos da topologia algébrica. Fica faltando saber em que condi¸cões sobre M uma vizinhan¸ca tubular Vε(M) é equivalente a um produto. Como vimos, M deve ser orientável. Mas tal condi¸cão está muito longe de ser suficiente. Para abordar este problema de maneira eficiente é indispensável considerar as classes caracter´ısticas da superf´ıcie M. A literatura sobre este assunto é vasta. Veja-se, por exemplo, N. Steenrod – “The Topology of Fibre Bundles-- (Princeton Univ. Press, 1951). No caso presente, o problema deve ser enunciado do seguinte modo: “Em que condi¸cões um espa¸co topológico X é homeomorfo a uma superf´ıcie M m Rn que possui uma vizinhan¸ca tubular equi- ⊂ valente a um produto?” Tais espa¸cos topológicos foram estudados por J.H.C. Whitehead, que os chamou de π-variedades (Annals of Math. 41 (1940) pg. 825). Ver também as notas de J. Milnor “Differential Topology. “MAIN2” 2007/5/23 page 102

Cap´ıtulo IV

Variedades Diferenci´aveis

A no¸cão de superf´ıcie M m Rn, desenvolvida nos cap´ıtulos ⊂ anteriores, ainda que adequada para muitos propósitos, possui contudo dois inconvenientes. O primeiro é de caráter estético: não se pode pensar na superf´ıcie em si mesma, sem fazer referência ao espa¸co euclidiano que a contém. O segundo inconveniente é de ordem prática: existem na natureza objetos importantes, semelhantes a superf´ıcies, que não se apresentam contidos num espa¸co euclidiano. Tais são, por exemplo, os espa¸cos projetivos (como o P 2, introduzido no Cap´ıtulo III e artificiosamente imerso em R4) e, mais geralmente, as variedades Grassmanianas. A grosso modo, uma variedade diferenciável é como uma superf´ıcie, só que não precisa estar contida em um espa¸co euclidiano.

1 Sistemas de coordenadas locais

Seja M um espa¸co topológico. Um sistema de coordenadas locais ou carta local em M é um homeomorfismo x: U x(U) de → um subconjunto aberto U M sobre um aberto x(U) Rm. ⊂ ⊂ “MAIN2” 2007/5/23 page 103

[SEC. 1: SISTEMAS DE COORDENADAS LOCAIS 103

Dizemos que m é a dimensão de x: U x(U). → Para cada p U tem-se x(p) = (x1(p), . . . , xm(p)). Os numeros´ ∈ xi = xi(p), i = 1, . . . , m são chamados as coordenadas do ponto p M no sistema x. ∈

Exemplos:

1) Coordenadas cartesianas

Sejam M = Rm, U Rm um aberto e x: U Rm a aplica¸cão ⊂ → de inclusão, x(p) = p. As coordenadas introduzidas em U pelo sistema x são denominadas “coordenadas cartesianas”.

2) Coordenadas polares

Sejam M = R2, α um numero´ real arbitrário e U R2 o α ⊂ complementar da semi-reta r = (t cos α, t sen α).t 0 . { ≥ } Construimos um sistema de coordenadas locais x: U R2 α → como se segue: Consideramos a faixa V = (ρ, θ) R2; ρ > α { ∈ 0, α < θ < α + 2π e definimos ϕ: V U por ϕ(ρ, θ) = ρ eiθ = } α → α (ρ cos θ, ρ sen θ). E´ claro que ϕ é uma bije¸cão cont´ınua (a rigor, C∞). Aplicando o teorema da fun¸cão inversa vê-se que ϕ é um difeomorfismo; seja x: U V R2 o difeomorfismo inverso α → α ⊂ de ϕ.

As coordenadas introduzidas em Uα chamam-se “coordenadas polares”. “MAIN2” 2007/5/23 page 104

104 [CAP. IV: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS´

r ϕ α + 2π x α Vα

2 Uα = R r −

Figura 4.1.

3) Parametriza¸cões de superf´ıcies Seja ϕ: U U uma parametriza¸cão do subconjunto aberto 0 → U, contido na superf´ıcie M m Rn. O homeomorfismo inverso ⊂ x = ϕ 1 : U U Rm é um sistema de coordenadas locais − → 0 ⊂ em M.

U M

x ϕ

Figura 4.2.

Um atlas de dimensão m sobre um espa¸co topológico M é uma cole¸cão A de sistemas de coordenadas locais x: U Rm em → “MAIN2” 2007/5/23 page 105

[SEC. 2: MUDANC¸A DE COORDENADAS 105

M, cujos dom´ınios U cobrem M. Os dom´ınios U dos sistemas de coordenadas x A são chamados as vizinhan¸cas coordenadas ∈ de A. Por exemplo, os sistemas de coordenadas que são os inversos das parametriza¸cões em uma superf´ıcie M m Rn formam um ⊂ atlas de dimensão m sobre M. Um espa¸co topológico M no qual existe um atlas de dimensão m chama-se uma variedade topológica de dimensão m. Em outras palavras, M é uma variedade topológica de dimensão m se, e somente se, cada ponto de M tem uma vizinhan¸ca homeomorfa a um aberto do Rm. Exemplos: 1) Seja X um conjunto qualquer. Consideremos em X a topologia discreta. A fam´ılia de fun¸cões ϕ : x 0 R0, onde x X, x { } → { } ∈ ∈ é um atlas de dimensão 0 em X. 2) Toda superf´ıcie M m Rn é uma variedade topológica de di- ⊂ mensão m. Observa¸cão: Sejam M um espa¸co topológico e A uma cole¸cão de cartas x: U x(U) Rm(x), cujos dom´ınios U formam uma → ⊂ cobertura aberta de M. E´ poss´ıvel provar que a dimensão m das cartas locais é constante em cada componente conexa de M (teorema da invariância da dimensão). Na defini¸cão que demos a constância de m é postulada. Em todos os casos que consideraremos a seguir, (variedades diferenciáveis) o fato de m ser constante decorre imediatamente do teorema da fun¸cão inversa.

2 Mudan¸ca de coordenadas

Dados os sistemas de coordenadas locais x: U Rm e y : V → → Rm no espa¸co topol´ogico M, tais que U V = , cada ponto ∩ 6 ∅ “MAIN2” 2007/5/23 page 106

106 [CAP. IV: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS´ p U V tem coordenadas xi = xi(p) no sistema x e coordenadas ∈ ∩ yi = yi(p) relativamente ao sistema y. A correspondˆencia

(x1(p), . . . , xm(p)) (y1(p), . . . , ym(p)) ←→ estabelece um homeomorﬁsmo ϕ = y x 1 : x(U V ) y(U V ) xy ◦ − ∩ → ∩ que ´e chamado mudan¸ca de coordenadas. M

U V

x y

y x−1 ◦

Figura 4.3.

Se z : W Rm ´e outro sistema de coordenadas locais tal que → U V W = ent˜ao ∩ ∩ 6 ∅ ϕ = ϕ ϕ : x(U V W ) z(U V W ). xz yz ◦ xy ∩ ∩ → ∩ ∩ 1 Tem-se ϕxx = idx(U) e ϕxy = (ϕyx)− .

3 Variedades Diferenci´aveis

Um atlas A sobre um espa¸co topológico M diz-se diferenciável, de classe Ck (k 1), se todas as mudan¸cas de coordenadas ≥ ϕ , x, y A são aplica¸cões de classe Ck. Escreve-se então xy ∈ “MAIN2” 2007/5/23 page 107

[SEC. 3: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS´ 107

A Ck. Como ϕ = (ϕ ) 1, segue-se que os ϕ são, de ∈ yx xy − xy fato, difeomorfismos de classe Ck. Em particular, se escrevemos ϕ : (x1, . . . , xm) (y1, . . . , ym), então o determinante jacobiano xy 7→ ∂yi det é não-nulo em todo ponto de x(U V ). ∂xj ∩ Seja A um atlas de dimensão m e classe Ck num espa¸co to- pológico M. Um sistema de coordenadas z : W Rn em M diz-se → admiss´ıvel relativamente ao atlas A se, para todo sistema de coordenadas locais x: U Rm, pertencente a A, com U W = , as → k∩ 6 ∅ mudan¸cas de coordenadas ϕxz e ϕzx são de classe C . Em outras palavras, se A z é ainda um atlas de classe Ck em M. ∪ { } Exemplos: 1) Se A é um atlas de classe Ck em M e x: U Rm pertence a A → então, para cada subconjunto aberto V U, a restri¸cão y = x V é ⊂ | admiss´ıvel em rela¸cão a A. Se ξ : x(U) Rm é um difeomorfismo → de classe Ck, então ξ x: U Rm é admiss´ıvel relativamente a A. ◦ → 2) Seja A o atlas de classe C∞ em R que consiste de uma unica´ carta local x = id: R R. Seja z : R R o sistema de coorde- → → nadas dado por z(t) = t3. Então z não é admiss´ıvel em rela¸cão a 3 1/3 A pois, embora ϕxz(t) = t seja de classe C∞, ϕzx(t) = t não é diferenciável em t = 0. Um atlas A, de dimensão m e classe Ck, sobre M, diz-se máximo quando contém todos os sistemas de coordenadas locais que são admiss´ıveis em rela¸cão a A. Todo atlas de classe C k em M pode ser ampliado, de modo unico,´ até se tornar um atlas máximo de classe Ck: basta acrescentar-lhe todos os sistemas de coordenadas admiss´ıveis. Defini¸cão. Uma variedade diferenciável, de dimensão m e classe Ck é um par ordenado (M, A) onde M é um espa¸co topológico de Hausdorff, com base enumerável e A é um atlas máximo de “MAIN2” 2007/5/23 page 108

108 [CAP. IV: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS´ dimensão m e classe Ck sobre M. A exigência de que o atlas seja máximo não é essencial mas é conveniente. Em alguns contextos admitem-se variedades não- Hausdorff ou sem base enumerável. Na realidade, porém, os teoremas mais importantes exigem estas hipóteses. E´ o caso dos teoremas de imersão de Whitney, que veremos no Cap´ıtulo X. Em termos mais expl´ıcitos, para provar que (M, A) é uma variedade diferenciável de dimensão m e classe Ck devemos verificar que i) M é um espa¸co topológico de Hausdorff com base enumerável.

ii) A é uma cole¸cão de homeomorfismos x: U Rm, de conjun- → tos abertos U M sobre abertos x(U) Rm. ⊂ ⊂ iii) Os dom´ınios U dos homeomorfismos x A cobrem M. ∈ iv) Dados x: U Rm e y : V Rm pertencentes a A com → → U V = , então ϕ : x(U V ) y(U V ) é um homeo- ∩ 6 ∅ xy ∩ → ∩ morfismo de classe Ck.

v) Dado um homeomorfismo z : W Rm de um aberto W → ⊂ M sobre um aberto z(W ) Rm, tal que ϕ e ϕ são de ⊂ zx xz classe Ck para cada x A, então z A. ∈ ∈ Para todo r k, uma variedade de classe Ck pode ser olhada ≤ como variedade de classe Cr, pois qualquer atlas de classe Ck está contido num unico´ atlas máximo de classe Cr.

4 Exemplos de variedades

1) Os Espa¸cos Euclidianos Consideremos em Rm o atlas A contendo o unico´ sistema de coordenadas x = id: Rm Rm. E´ claro que A ´e um atlas de classe → “MAIN2” 2007/5/23 page 109

[SEC. 4: EXEMPLOS DE VARIEDADES 109

m C∞ e dimensão m em R . Para cada k = 0, 1, . . . , seja Ak o k m ∞ m atlas máximo de classe C em R que contém A. O par (R , Ak) é uma variedade de dimensão m e classe Ck. Considerar o espa¸co Rm como variedade Ck significa admitir, em cada aberto U Rm, não ⊂ somente as coordenadas cartesianas dos seus pontos como também qualquer sistema de coordenadas “curvil´ıneas” y : U Rm, dado → por um difeomorfismo de classe Ck de U sobre o conjunto y(U) ⊂ Rm, que é necessariamente aberto. E´ claro que A A 0 ⊃ 1 ⊃ · · · ⊃ A . Quanto mais diferenciável quer-se o atlas, menos cartas locais ∞ são admiss´ıveis.

Seja B o atlas de classe C∞ em R que consta do unico´ sistema de coordenadas t R t3 R. O par (R, B) ´e uma variedade ∈ 7→ ∈ diferenci´avel de classe C∞. Notemos que (R, B) = (R, A ). 6 ∞

2) Subvariedades abertas Um subconjunto aberto W de uma variedade Ck tem uma estrutura natural de variedade de classe Ck, dada pelo atlas máximo em W , formado por todos os sistemas de coordenadas admiss´ıveis x: U Rm em M, cujos dom´ınios U estão contidos em W . → 3) Superf´ıcies em Rn Toda superf´ıcie de dimensão m e classe Ck, M m Rn, é uma ⊂ variedade diferenciável de dimensão m e classe Ck, com o atlas A formado pelos sistemas de coordenadas x: U Rm, inversos → das parametriza¸cões ϕ: U Rm U M, de classe Ck. A 0 ⊂ → ⊂ Proposi¸cão 1 do Cap´ıtulo II mostra que A é um atlas de classe Ck. Na realidade, A é um atlas máximo de classe Ck. De fato, seja z : W z(W ) Rm um sistema de coordenadas, admiss´ıvel → ⊂ em rela¸cão a A. Então ψ = z 1 : z(W ) Rm W M é um − ⊂ → ⊂ homeomorfismo. Para cada p W existe uma parametriza¸cão ∈ ϕ: U U, p U M, de classe Ck. Como z é admiss´ıvel, 0 → ∈ ⊂ “MAIN2” 2007/5/23 page 110

110 [CAP. IV: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS´

ϕ 1 ψ : z(U V ) ϕ 1(U W ) é um difeomorfismo de classe Ck. − ◦ ∩ → − ∩ Portanto, ϕ (ϕ 1 ψ): z(U W ) U W é uma parametriza¸cão ◦ − ◦ ∩ → ∩ de classe Ck de uma vizinhan¸ca de p. Como p W é arbitrário, ∈ segue-se que ψ = z 1 : z(W ) W é uma parametriza¸cão de classe − → Ck, i.e., z A. Então A é máximo. ∈ 4) Produto de variedades Sejam (M m, A) e (N n, B) variedades de classe Ck. Vamos introduzir no espa¸co topológico produto M N uma estrutura × de variedade de dimensão m + n e classe Ck, por meio do atlas A B formado pelso sistemas de coordenadas x y : U V × × × → Rm+n, dados por (x y)(p, q) = (x(p), y(q)), x A, y B. × ∈ ∈ Como (x y ) (x y) 1 = (x x 1) (y y 1), segue-se que 1 × 1 ◦ × − 1 ◦ − × 1 ◦ − A B é um atlas de classe Ck. Este atlas está contido num unico´ × atlas maximal de classe Ck, que define em M N a estrutura de × variedade produto.

5) O espa¸co projetivo real de dimensão n Na geometria projetiva clássica, para simplificar o enunciado de vários teoremas, era costume acrescentar ao Rn um hiperplano ideal no infinito, como se segue: (1) Se dá a cada reta λ no Rn um unico´ “ponto no infinito” pλ . (2) A igualdade pλ = pµ ocorre se, e somente se, as retas λ e µ são paralelas. (3) O hiperplano H contém os pontos “ideais” p e somente estes. A reunião Rn H λ ∪ chamava-se o espa¸co projetivo de dimensão n. Desejando aplicar métodos anal´ıticos a` geometria projetiva, considerava-se o espa¸co euclidiano Rn imerso em Rn+1, definido pela condi¸cão xn+1 = 1. Aparecia assim uma bije¸cão natural do espa¸co projetivo de dimensão n sobre o conjunto de todas as retas do Rn+1 passando pela origem. Realmente, a cada ponto ordinário p Rn corresponde a reta que liga este ponto a` origem; e ∈ a cada ponto “ideal” pλ corresponde a reta, contida no hiperplano “MAIN2” 2007/5/23 page 111

[SEC. 4: EXEMPLOS DE VARIEDADES 111 xn+1 = 0, passando pela origem e paralela a λ. Por conseguinte, o espa¸co projetivo podia ser imaginado como o conjunto de todas as retas que passam pela origem em Rn+1. Como cada reta do Rn+1 intersecta a esfera unitária Sn em exatamente dois pontos ant´ıpodas, somos conduzidos a` seguinte defini¸cão formal: O espa¸co projetivo real de dimensão n é o espa¸co quociente da esfera unitária Sn pela rela¸cão de equivalência p q p = q, ∼ ⇔ p, q Sn. ∀ ∈ Os pontos de P n são portanto os conjuntos

[p] = p, p , p Sn. { − } ∈ Seja π : Sn P n a aplica¸cão canônica π(p) = [p]. Damos → a P n a topologia quociente, isto é, a topologia co-induzida pela aplica¸cão canônica. Em outras palavras, declaramos que o subconjunto A P n é aberto quando π 1(A) é aberto em Sn. Então ⊂ − π : Sn P n é cont´ınua. Além disso, dado um espa¸co topológico → X, uma aplica¸cão f : P n X é cont´ınua se, e somente se, f → ◦ π : Sn X é cont´ınua. → Se U Sn é aberto então π 1(π(U)) = U ( U) é aberto ⊂ − ∪ − em Sn, logo π(U) P n é aberto. Portanto π : Sn P n é uma ⊂ → aplica¸cão aberta. Mostremos que P n pode ser munido da estrutura de variedade diferenciável de dimensão n e classe C∞: (1) Como Sn tem base enumerável e π : Sn P n é uma → aplica¸cão cont´ınua e aberta, segue-se que P n tem base enumerável (cf. Elon L. Lima, Elementos de Topologia Geral, pag. 337). Se p = q Sn não são ant´ıpodas, existem vizinhan¸cas p V e q W 6 ∈ ∈ ∈ em Sn tais que V W = e V ( W ) = . Isto significa que π(V ) ∩ ∅ ∩ − ∅ e π(W ) são vizinhan¸cas disjuntas de π(p) e π(q), respectivamente. Logo P n é de Hausdorff. Sendo ainda Sn compacta e π cont´ınua, vê-se que o espa¸co projetivo P n = π(Sn) é compacto. “MAIN2” 2007/5/23 page 112

112 [CAP. IV: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS´

n (2) P possui um atlas [A], de classe C∞ e dimens˜ao n. n Seja A o atlas C∞ em S que consiste nos sistemas de coordenadas locais

n x = (ϕ) : U B (0, 1) R i i i −→ n ⊂ 1 i n+1 1 i 1 i+1 n+1 (x , . . . , x , . . . , x ) (x , . . . , x − , x , . . . , x )

(ver Se¸cão 2). Para cada i = 1, . . . , n + 1, a aplica¸cão canônica π : Sn P n → leva os hemisférios Ui homeomorficamente sobre o mesmo subconjunto aberto W P n. Definimos um sistema de coordenadas i ⊂ locais w : W Rn por w = x+ (π U +) 1, i = 1, . . . , n + 1. i i → i i ◦ | i − A cole¸cão A = w1, . . . , wn+1 é um atlas de dimensão n em n { } P . Para provar que A C∞, observemos o seguinte. Dado ∈ n p Wi Wj , temos p = π(x), para um unico´ x S tal ∈ i ∩ 1 i 1 i+1 ∈n+1 que x > 0. Então wi(p) = (x , . . . , x − , x , . . . , x ). Se j + 1 j 1 j+1 x > 0, então x Uj e portanto wj(p) = (x , . . . , x − , x n+1 ∈ j + , . . . , x ). Se, porém, for x < 0, então x Uj e por- 1 j 1 j+1 n−+1 ∈ tanto wj(p) = ( x , . . . , x − , x , . . . , x ). Segue-se que − 1 − − − o dom´ınio wj wi− é a reunião de dois abertos disjuntos, num dos 1◦ + + 1 1 + + 1 quais wj wi− = xj (xi )− e, no outro, wj wi− = xj α (xi )− , ◦ ◦ 1 ◦ ◦ ◦ onde α(x) = x. Vê-se que w w− C . − j ◦ i ∈ ∞ Para cada k = 0, 1, . . . , , indiquemos por [A]k o unico´ atlas k ∞ n máximo de classe C que contém A. O par (P , [A]k) é o espa¸co projetivo real de dimensão n visto como variedade de classe C k. “MAIN2” 2007/5/23 page 113

[SEC. 5: VARIEDADES DEFINIDAS POR UMA COLEC¸AO˜ DE INJEC¸OES˜ 113

5 Variedades definidas por uma cole¸cão de inje¸cões

Seja X um conjunto. Se X possui estrutura de variedade dife- renciável, então sua topologia fica perfeitamente determinada pelo atlas. De modo preciso:

Lema 1. Sejam X um conjunto (sem estrutura topológica) e A uma cole¸cão de inje¸cões x: U X Rn satisfazendo as seguintes ⊂ → condi¸cões:

(1) Para cada x A, x: U Rn, x(U) ´e aberto em Rn. ∈ →

(2) Os dom´ınios U das aplica¸c˜oes x A cobrem X. ∈

(3) Se x: U Rn e y : V Rn pertencem a A e U V = , → → ∩ 6 ∅ então x(U V ) e y(U V ) são abertos em Rn e a aplica¸cão ∩ ∩ y x 1 : x(U V ) y(U V ) é de classe Ck. (Segue-se que ◦ − ∩ → ∩ y x 1 = (x y 1) 1 é um difeomorfismo de classe Ck). ◦ − ◦ − − Nestas condi¸cões, existe uma e somente uma topologia em X relativamente a` qual A é um atlas de classe Ck em X.

Demonstra¸cão: Unicidade. Seja τ uma topologia em X tal que A é um atlas de classe Ck sobre (X, τ). Então os dom´ınios U dos homeomorfismos x: U x(U) Rn são elementos de τ e cobrem → ⊂ X. Se A X é aberto então A U τ logo x(A U) é aberto em ⊂ ∩ ∈ ∩ Rn. Por outro lado, se A X é tal que x(A V ) é aberto em Rn ⊂ 1 ∩ para todo x A, então A = x− (x(A V )) é aberto em X. ∈ x A ∩ Conclusão: A τ x(A U)S∈é aberto em Rn para cada x A. ∈ ⇔ ∩ ∈ Isto mostra a unicidade de τ e nos dá uma pista para demonstrar a “MAIN2” 2007/5/23 page 114

114 [CAP. IV: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS´

Existência. Declaramos um subconjunto A X aberto se, e ⊂ somente se, x(A U) Rn é aberto para todo x: U Rn em ∩ ⊂ → A. Deixamos como exerc´ıcio para o leitor verificar, usando as condi¸cões (1), (2) e (3), que isto define realmente uma topologia em X, segundo a qual cada conjunto U X é aberto e cada ⊂ x: U x(U) Rn é um homeomorfismo. → ⊂ A topologia de uma variedade M pode ser visualizada assim: se um ponto variável p M tende para um ponto p M, e se ∈ 0 ∈ x: U Rn é um sistema de coordenadas locais em p , mais cedo → 0 ou mais tarde o ponto p estará em U e x(p) tenderá para x(p0) no Rn. Devemos adicionar mais hipóteses ao Lema 1 se desejamos que a topologia de X tenha base enumerável. Lema 2. A topologia X, definida pelo “atlas” A satisfazendo (1), (2) e (3) tem base enumerável se, e somente se

(4) A cobertura de X por meio dos dom´ınios U das aplica¸cões x A admite subcobertura enumerável. ∈ Demonstra¸cão: ( ) Se (4) se verifica então X é união enu- ⇒ merável de abertos U, cada um dos quais tem base enumerável sendo homeomorfo a um aberto do Rn. Logo X tem base enu- merável. ( ) Resulta do conhecido Teorema de Lindelöf: Num espa¸co ⇐ topológico com base enumerável, toda cobertura aberta admite uma subcobertura enumerável. Observa¸cão: A topologia de X, obtida de acordo com o Lema 1, é localmente de Hausdorff. Quer dizer, se p = q são pontos de X 6 pertencentes ao mesmo dom´ınio U de uma aplica¸cão x A, então ∈ p e q possuem vizinhan¸cas disjuntas pois U é aberto em X e é homeomorfo ao espa¸co de Hausdorff x(U) Rn. ⊂ “MAIN2” 2007/5/23 page 115

[SEC. 5: VARIEDADES DEFINIDAS POR UMA COLEC¸AO˜ DE INJEC¸OES˜ 115

Em cada caso concreto, a aplica¸cão dos Lemas 1 e 2 com o propósito de definir uma estrutura de variedade diferenciável deve ser seguida de investiga¸cão sobre a Hausorffcidade da topologia de X. Esta investiga¸cão poderá ser abreviada usando o

Lema 3. A topologia de X, definida por um “atlas” A satisfazendo (1), (2) e (3) é de Hausdorff se, e somente se, cumpre:

(5) Para qualquer par de sistemas de coordenadas x: U Rm, → y : V Rm com U V = , n˜ao existe sequ¨ˆencia de pontos → ∩ 6 ∅ z x(U V ) tal que z z x(U V ) e (y x 1)(z ) i ∈ ∩ i → ∈ − ◦ − i → z y(V U). 0 ∈ −

Demonstra¸cão: ( ) Se a topologia de X não é de Hausdorff ⇒ então existem pontos p = q X com a propriedade: toda vizin- 6 ∈ han¸ca de p e toda vizinhan¸ca de q têm interse¸cão não vazia. Consideremos sistemas de coordenadas x: U x(U) Rm em → ⊂ p e y : V y(V ) em q. Então U V = . Como a topologia → ∩ 6 ∅ de X é localmente de Hausdorff, necessariamente p / V e q / U. ∈ ∈ Sejam U U . . . um sistema fundamental enumerável de 1 ⊇ 2 ⊇ vizinhan¸cas de p e V V . . . um sistema fundamental de 1 ⊇ 2 ⊇ vizinhan¸cas de q. Escolhamos, para cada i, p V U . Então i ∈ i ∩ i x(p ) = z x(p) x(U V ) e y x 1(z ) = y(p ) y(q) i i → ∈ − ◦ − i i → ∈ y(V U). − ( ) Se existem sistemas de coordenadas x: U Rm e y : V ⇐ → → Rm, com U V = e sequ¨ência de pontos z x(U V ) tais ∩ 6 ∅ i ∈ ∩ que z z x(U V ) e (y x 1)(z ) z y(V U) então i → ∈ − ◦ − i → 0 ∈ − x 1(z ) p = x 1(z) U V e y 1(y x 1(z )) = x 1(z ) − i → − ∈ − − ◦ − i − i → q = y 1(z ) V U. Como p = q a sequ¨ência x 1(z ) tem dois − 0 ∈ − 6 − i “limites”. Logo X não é de Hausdorff. “MAIN2” 2007/5/23 page 116

116 [CAP. IV: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS´

U V

q p

x(U) y x−1 y(V ) ◦ y(V − U)

x(U − V ) z0 z zi

Figura 4.4.

Exemplos:

1) Variedades não-Hausdorff A topologia de X dada pelo Lema 1 é, como vimos, localmente de Hausdorff. Nem sempre, porém, o atlas A define uma topologia de Haus- dorff em X. Vejamos um exemplo. Seja X = A B C, onde A = (s, 1) ∪ ∪ { ∈ R2; s 0 , B = (s, 1) R2; s 0 e C = (s, 0) R2; s > 0 . ≤ } { − ∈ ≤ } { ∈ } A a C

B b

Figura 4.5. “MAIN2” 2007/5/23 page 117

[SEC. 5: VARIEDADES DEFINIDAS POR UMA COLEC¸AO˜ DE INJEC¸OES˜ 117

Consideremos o atlas A = x, y sobre X, onde x: A C R { } ∪ → é dada por x(s, t) = s e y : B C R é definida por y(s, t) = s. ∪ → As condi¸cões (1), (2) e (3) do Lema 1 são claramente satisfeitas (com k = ), mas a topologia de X definida pelo atlas A não é ∞ de Hausdorff: duas quaisquer vizinhan¸cas dos pontos a = (0, 1) e b = (0, 1) em X têm pontos em comum. − Este exemplo não é tão artificial quanto possa parecer. X é homeomorfo ao espa¸co quociente R2/E do plano R2 pela rela¸cão de equivalência E cujas classes são as retas verticais x = constante, x 1, e os gráficos das fun¸cões g (x) = (1 x2) 1 + a, x < 1, | | ≥ a − − | | a R arbitrário. ∈

A a C

B b

Figura 4.6. “MAIN2” 2007/5/23 page 118

118 [CAP. IV: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS´

Com efeito: Seja f : R2 X deﬁnida por →

(1 x, 1) A, se x 1 − ∈ ≥ f(x, y) = (x + 1, 1) B, se x 1  − ∈ ≤ − (ea, 0) C, se (x, y) Graf(g ) ∈ ∈ a   E´ fácil ver que E é a rela¸cão de equivalência em R2 definida por ϕ.

Consideremos a aplica¸cão canônica ϕ: R2 R2/E e a bije¸cão → f¯: R2/E X definida por f¯(ϕ(x, y)) = f(x, y). →

f R2 - X ϕ ? f R2/E

Como f é cont´ınua e aberta, segue-se que a topologia de X é a co-induzida por f. Resulta da´ı que f¯: R2/E X é um → homeomorfismo.

A seguir, apresentaremos outro exemplo de “variedade” de dimensão 1 que não é de Hausdorff.

Seja X = A A A A a , a , a , a , onde A = 1 ∪ 2 ∪ 3 ∪ 4 ∪ { 12 23 34 14} 1 (x, x) R2; x > 0 , A = ( x, x) R2; x > 0 , A = A , { ∈ } 2 { − ∈ } 3 − 1 A = A , a = (0, 1), a = ( 1, 0), a = (0, 1) e a = (1, 0). 4 − 2 12 23 − 34 − 14 “MAIN2” 2007/5/23 page 119

[SEC. 5: VARIEDADES DEFINIDAS POR UMA COLEC¸AO˜ DE INJEC¸OES˜ 119

A1 a12

a23 a14

a34

A3 A4

Figura 4.7.

Consideremos o atlas A = x , x , x , x sobre X deﬁnido { 12 23 34 14} por

x : A a A R 12 1 ∪ 12 ∪ 2 → (x, y) x 7→ x : A a A R 23 2 ∪ 23 ∪ 3 → (x, y) y 7→ x : A a A R 34 3 ∪ 34 ∪ 4 → (x, y) x 7→ x : A a A R 14 1 ∪ 14 ∪ 4 → (x, y) y 7→

As condi¸cões (1), (2) e (3) do Lema 1 são claramente satisfeitas (com k = ) mas a topologia de X definida pelo atlas A não é ∞ de Hausdorff: duas quaisquer vizinhan¸cas dos pontos a12 e a23 têm em comum pontos de A2 . Apesar de parecer o contrário, este “MAIN2” 2007/5/23 page 120

120 [CAP. IV: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS´ exemplo é ainda menos artificial do que o anterior, pois o espa¸co topológico X que acabamos de definir é o quociente de R2 0 − { } pela rela¸cão de equivalência cujas classes são as orbitas´ do sistema de equa¸cões diferenciais x˙ = x, y˙ = y. Como se sabe, a orbita´ − deste sistema que passa pelo ponto (x, y) R2 0 é a curva ∈ − { } parametrizada t (x et, y e t). Com exce¸cão dos pontos (x, 0) e 7→ · · − (0, y), localizado sobre os eixos, tais curvas são ramos de hipérbole:

Figura 4.8.

2) Espa¸cos Projetivos (bis)

Encaremos o espa¸co projetivo P n como o conjunto de todas as retas H Rn+1 que passam pela origem. ⊂ “MAIN2” 2007/5/23 page 121

[SEC. 5: VARIEDADES DEFINIDAS POR UMA COLEC¸AO˜ DE INJEC¸OES˜ 121

x3 H U ∈ 3

(y1, y2, 1)

R2 ⊂ R3 x2 (x3 = 1) O

(y1, y2, 0) 1 H0 / U x ∈ 3

Figura 4.9.

Os elementos H P n podem ser descritos por um sistema de ∈ coordenadas homogêneas. Cada vetor não-nulo v = (y1, . . . , yn+1) ∈ H é uma base de H e para cada real t = 0, tv é ainda uma base 6 de H. As coordenadas y1, . . . , yn+1, definidas a menos de um fator arbitrário t = 0, se chamam as coordenadas homogêneas de H. 6 Podemos introduzir coordenadas não-homogêneas em P n desde que trabalhemos localmente. Para cada α = 1, 2, . . . , n + 1, seja Uα o conjunto de todas as retas, passando pela origem em Rn+1, cujas coordenadas homogêneas y1, . . . , yn+1 satisfazem a condi¸cão yα = 0. Seja x : U Rn definida por x (H) = 6 α α → α (yα) 1(y1, . . . , yα 1, yα+1, . . . , yn+1). Geometricamente, x (H) − − α ∈ Rn é obtida pela interse¸cão da reta H com o hiperplano yα = 1, omitindo-se depois a α-ésima coordenada. Afirma¸cão: a fam´ılia A = x : U Rn α = 1, . . . , n + 1 satisfaz as condi¸cões dos { α α → | } lemas anteriores, ou seja:

1) x : U Rn ´e uma bije¸c˜ao, para cada α = 1, . . . , n + 1. α α → “MAIN2” 2007/5/23 page 122

122 [CAP. IV: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS´

n 2) Os dom´ınios Uα cobrem P .

3) Seja α < β. Ent˜ao

U U = H P n; v = (y1, . . . , yn+1) H 0 , yα = 0 = yβ , α ∩ β { ∈ ∀ ∈ −{ } 6 6 } logo n β 1 x (U U ) = y R ; y − = 0 α α ∩ β { ∈ 6 } e x (U U ) = y Rn; yα = 0 β α ∩ β { ∈ 6 } s˜ao abertos do Rn. Al´em do mais,

1 x (x )− : x (U U ) x (U U ) β ◦ α α α ∩ β → β α ∩ β

é um difeomorfismo de classe C∞ definido por

1 n β 1 1 1 α 1 α β 2 β n (x ,. . ., x ) (x − )− (x ,. . ., x − , 1, x ,. . ., x − , x ,. . ., x ). 7→ ·

n 4) A cobertura de P por meio dos Uα ´e ﬁnita.

5) Sejam α < β e zi xα(Uα Uβ) uma sequ¨ência tendendo para ∈ ∩ 1 n x xα(Uα Uβ). Se indicamos zi = (xi , . . . , xi ) então a sequ¨ência ∈ − β 1 β 1 de numeros´ reais (xi − )i N converge para zero, pois z − = 0. Por conseguinte, a sequ¨ência∈

1 β 1 1 1 α 1 α β 2 β n x (x )− (z )=(x − )− (x ,. . ., x − , 1, x ,. . ., x − , x ,. . ., x ) β ◦ α i i i i i i i i não converge. Logo a topologia de P n é de Hausdorff. “MAIN2” 2007/5/23 page 123

[SEC. 6: VARIEDADES DE GRASSMANN 123

6 Variedades de Grassmann

n+r A variedade de Grassmann Gr(R ) ´e o conjunto de todos os subespa¸cos vetoriais de dimens˜ao r do espa¸co euclidiano Rn+r.

3 G2(R )

Figura 4.10.

n n+1 Em particular, P = G1(R ). n+r Os elementos H Gr(R ) podem ser descritos por coordena- ∈ i das homogêneas, dadas por uma matriz real (n+r) r, Y = (yj), de 1 n+r × 1 n+r posto r, cujas colunas v1 = (y1, . . . , y1 ), . . . , vr = (yr , . . . , yr ) formam uma base de H. E´ fato conhecido que todas as outras r r k k bases de H são da forma w1 = a1 vk, . . . , wr = ar vk , onde k=1 k=1 A = (ai ) é uma matriz r r inPvert´ıvel. Então asPcoordenadas j × homogêneas Y A, A GL(Rr), do elemento H G (Rn+r), estão ∈ ∈ r definidas a menos de multiplica¸cão a` direita por uma matriz invert´ıvel r r. × Podemos introduzir coordenadas não-homogêneas em n+r Gr(R ), desde que trabalhemos localmente. Estabele¸camos primeiro algumas nota¸cões. “MAIN2” 2007/5/23 page 124

124 [CAP. IV: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS´

Dados um subconjunto α = i < < i 1,. . ., n + r { 1 · · · r} ⊂ { } com r elementos e uma matriz Y M((n + r) r), denotamos ∈ × por α(Y ) a submatriz r r de Y formada pelas linhas de ordem × i1, . . . , ir . Analogamente, indicamos por α∗ o complementar de α em 1, . . . , n + r e α (Y ) a submatriz n r de Y formada pelas { } ∗ × linhas que n˜ao foram usadas em α(Y ). Valem as equa¸c˜oes:

α(Y A) = α(Y ) A e α∗(Y A) = α∗(Y ) A. · · · · n+r Para cada α = i1, . . . , ir como acima, seja Uα Gr(R ) o { } n+r ⊂ conjunto de todos os r-planos H Gr(R ) tais que a proje¸cão Rn+r Rr ∈ ortogonal πα : α sobre o subespa¸co gerado pelos vetores → Rr básicos ei1 , . . . , eir leva H isomorficamente sobre α . Isto significa que para cada matriz Y de coordenadas homogêneas de H, α(Y ) é invert´ıvel. x3

H0 U 6∈ {1,2}

H U ∈ {1,2} p

x1 π{1,2}p

Figura 4.11.

nr Vamos definir agora uma bije¸cão xα : Uα R que será n+r→ um sistema de coordenadas locais em Gr(R ). Os valores de “MAIN2” 2007/5/23 page 125

[SEC. 6: VARIEDADES DE GRASSMANN 125 x serão dados como matrizes n r, como se segue: dado um α × subespa¸co H U , seja Y uma qualquer matriz de coordena- ∈ α das homogêneas de H. Escrevemos x (H) = α (Y α(Y ) 1) = α ∗ · − α (Y ) α(Y ) 1. ∗ · − Notemos que Y = Y α(Y ) 1) é a unica´ matriz de coordenadas 0 · − homogêneas de H tal que α(Y0) = Ir . Então xα está bem definida. Além disso, x é 1 1: se H, K U são representados por α − ∈ α matrizes Y0 , Z0 com α(Y0) = α(Z0) = Ir e xα(H) = xα(K), então α∗(Y0) = α∗(Z0), logo Y0 = Z0 , donde H = K. Notemos finalmente que x (U ) = Rnr: dada uma matriz W Rnr, seja α α ∈ W a unica´ matriz (n + r) r tal que α (W ) = W e α(W ) = I . × ∗ r E´ claro que W tem posto r. Seja H o subespa¸co do Rn+r gerado pfelas colunas de W . Então H Uα e xα(Hf) = W . f f ∈ Rn+r Apliquemos osflemas da Se¸cão 3 para mostrar que Gr( ) é uma variedade de classe C∞ e dimensão nr, compacta. As duas primeiras afirma¸cões são ob´ vias:

(1) Cada x : U Rnr ´e uma bije¸c˜ao. α α → n+r (2) Os dom´ınios Uα cobrem Gr(R ).

(3) Sejam α, β dois subconjuntos de 1, . . . , n+r , com r elemen- { } tos, tais que U U = . Consideremos as aplica¸cões cont´ınuas α ∩ β 6 ∅ α˜ : M(n r) M(n+r) r), dada por α˜(W ) = W (α (W ) = W , × → × ∗ α(W ) = I ), e β : M((n + r) r) M(r r), Y β(Y ). Então r × → × 7→ x (U U ) = (β α˜) 1[GL(Rr)]. Consequen¨ temenfte, x f(U U ) α α ∩ β ◦ − α α ∩ β é abferto em Rnr. Além disso, dada W M(n r), o subespa¸co 1 ∈ × H = xα− (W ) tem por base as colunas da matriz W = α˜(W ). Logo x x 1(W ) = β (α˜(W )) β(α˜(W )) 1. Isto evidencia clara- β ◦ α− ∗ · − mente que a mudan¸ca de coordenadas x x 1 : x (fU U ) β ◦ α− α α ∩ β → x (U U ) é de classe C . β α ∩ β ∞ “MAIN2” 2007/5/23 page 126

126 [CAP. IV: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS´

(4) Pelo Lema 1, as n+r bije¸cões x : U Rnr definem uma r α α → topologia em G (Rn+r), em rela¸cão a` qual formam um atlas A r de classe C∞. Como A é finito, esta topologia possui base enu- merável. n+r (5) Gr(R ) é um espa¸co de Hausdorff. Sejam α = β e W x (U U ) uma sequ¨ência tendendo 6 i ∈ α α ∩ β para W x (U U ). Então β(α˜(W )) não é invert´ıvel. Logo a ∈ α α − β sequ¨ência [β(α˜(W ))] 1 não converge e portanto x x 1(W ) = i − β ◦ α− i β (α˜(W )) [β(α˜(W ))] 1 não converge. ∗ i · i − A variedade de Grassmann é compacta. Com efeito, seja V (Rn+r) o conjunto de todas as matrizes (r + n) r de posto r × r. Para cada Y V (Rn+r) seja H = π(Y ) o subespa¸co gerado ∈ r pelas colunas de Y . Isto define uma aplica¸cão natural

π : V (Rn+r) G (Rn+r). r → r

Provemos inicialmente que π é cont´ınua: para cada α = i1, . . . , ir , 1 { } denotamos por Vα = π− (Uα) o conjunto de todas as matrizes Y V (Rn+r) tais que α(Y ) é invert´ıvel. Como V é aberto em ∈ r α V (Rn+r), basta provar que π V é cont´ınua. Considerando o sis- r | α tema de coordenadas x : U Rrn, vê-se que x (π V ): Y α α → α ◦ | α 7→ α (Y ) α(Y ) 1. Logo π V é cont´ınua. ∗ · − | α Consideremos agora o conjunto C de todas as matrizes (n+r) r cujas colunas v1, . . . , vr satisfazem a condi¸cão vi, vj = × (n+r)r h i δij . Evidentemente C é fechado e limitado em R , logo com- n+r pacto. Como cada H Gr(R ) possui uma base ortonormal, n+r ∈ Gr(R ) = π(C) é compacto.

Nota: Apresentamos agora um modo intr´ınseco de introduzir co- n+r ordenadas locais em Gr(R ). Para cada par α = (E, F ) de subespa¸cos do Rn+r com E F = Rn+r e dim E = r, seja U o ⊕ α conjunto de todos os H G (Rn+r) tais que H F = 0 . Isto ∈ r ∩ { } “MAIN2” 2007/5/23 page 127

[SEC. 6: VARIEDADES DE GRASSMANN 127 significa que a proje¸cão π : E F E leva H isomorficamente E ⊕ → sobre E. Definimos os sistemas de coordenadas

x : U (E, F ) α α → L pela regra x (H) = π (π H) 1 : E F . Geometricamente, α F ◦ E| − → xα(H) = u é a transforma¸cão linear de E em F cujo gráfico é H (ver Figura 4.12).

H G (R3) ∈ 1

v πF vF

πE E vE 0

Figura 4.12.

Nesta versão aparece uma novidade: os sistemas de coordenadas locais x têm por imagem espa¸cos vetoriais (E, F ) (de α L dimensão rn) ao invés de tomarem valores no Rrn. Porém, se for do nosso desejo, podemos passar em qualquer instante para matrizes n r. × A versão intr´ınseca se relaciona com a anterior do seguinte modo: cada subconjunto α = i1, . . . , ir 1, . . . , n + r define Rr Rn { } ⊂ { Rn+}r um par α = ( α, α∗ ) de subespa¸cos suplementares em , onde “MAIN2” 2007/5/23 page 128

128 [CAP. IV: VARIEDADES DIFERENCIAVEIS´

Rr Rn∗ α é gerado por ei1 , . . . , eir e α pelos restantes. A transforma¸cão ∗ 1 Rr Rn linear u = xα(H) = πα (πα H)− : α α∗ tem por matriz ◦ | Rr Rn→ associada as` bases canônicas de α e α∗ exatamente a matriz xα(H) definida na versão original. Sejam α = (E, F ) e α0 = (E0, F 0). A mudan¸ca de coordenadas x 0 x 1 : (E, F ) (E , F ) faz corresponder a u = x (H) α ◦ α− L → L 0 0 α ∈ (E, F ) a transforma¸cão linear u = x 0 (H) (E , F ) como se L 0 α ∈ L 0 0 segue: Seja u˜: E E F definida por u˜(x) = x+u(x). Então a imagem → ⊕ de u˜ é H. Como π 0 u˜: E E é um isomorfismo. Por conse- E ◦ → 0 guinte, u = (x 0 x 1)(u) é dada por u = π 0 u˜ (π 0 u˜) 1. 0 α ◦ α− 0 F ◦ ◦ E ◦ − Isto mostra que x 0 x1 C . α ◦ α ∈ ∞ “MAIN2” 2007/5/23 page 129

Cap´ıtulo V

Aplica¸c˜oes Diferenci´aveis entre Variedades

Vimos no Cap´ıtulo I o que se entende por aplica¸c˜ao diferenci´a- vel entre espa¸cos euclidianos. Este conceito se generaliza de modo natural, pois uma variedade se comporta localmente como se fosse um subconjunto aberto de um espa¸co euclidiano.

Sendo assim, pode-se desenvolver um cálculo diferencial em variedades: para definir a no¸cão de derivada de uma aplica¸cão f : M N entre variedades, associaremos a cada p M um → ∈ espa¸co vetorial, chamado o espa¸co tangente a M no ponto p e indicado por T Mp . A derivada f 0(p) será uma transforma¸cão linear de T Mp para T Nf(p) .

Os teoremas da fun¸cão inversa e das fun¸cões impl´ıcitas, as formas locais, os conceitos de imersão, mergulho e submersão se es- tendem ao contexto das variedades. O conteudo´ geométrico dessas idéias será explorado nos Cap´ıtulos V, VI e VII. “MAIN2” 2007/5/23 page 130

130 [CAP. V: APLICAC¸OES˜ DIFERENCIAVEIS´ ENTRE VARIEDADES

1 Aplica¸c˜oes diferenci´aveis

Sejam M m, N n variedades de classe Cr (r 1). Diz-se que ≥ uma aplica¸cão f : M N é diferenciáel no ponto p M se exis- → ∈ tem sistemas de coordenadas x: U Rm em M, y : V Rn em → → N, com p U e f(U) V tais que y f x 1 : x(U) y(V ) Rn ∈ ⊂ ◦ ◦ − → ⊂ é diferenciável no ponto x(p).

M N f U p V f(p) = q

x y

Rm Rn y ◦ f ◦ x−1 x(p) y(p) x(U) y(V )

Figura 5.1.

A aplica¸cão f = y f x 1 é denominada a expressão de f xy ◦ ◦ − nas coordenadas locais x, y. Observe-se que, em particular, f : M N é cont´ınua no ponto → p M. ∈ Como as mudan¸cas de coordenadas em M e N são difeomorfismos de classe Cr, a defini¸cão de diferenciabilidade independe dos sistemas de coordenadas x, y: para todo par de sistemas de coordenadas x : U Rm em M e y : V Rn em N, com p U , 0 0 → 0 0 → ∈ 0 f(U ) V , a aplica¸cão f 0 0 = y f (x ) 1 será diferenciável 0 ⊂ 0 x ,y 0 ◦ ◦ 0 − no ponto x0(p). Dizemos que f : M N é diferenciável se f for diferenciável → em todos os pontos de M. “MAIN2” 2007/5/23 page 131

[SEC. 1: APLICAC¸OES˜ DIFERENCIAVEIS´ 131

Dizemos finalmente que f : M N é de clase Ck (k r) se, → ≤ para cada p M, existem sistemas de coordenadas locais x: U ∈ → Rm em M, y : V Rn em N, com p U e f(U) V tais que → ∈ ⊂ y f x 1 : x(U) y(V ) é de classe Ck. ◦ ◦ − → Segue-se da defini¸cão que uma aplica¸cão f : M N é de classe → Ck quando existem um atlas A sobre M e um atlas B sobre N tais que para cada y B existe x A relativamente aos quais a ∈ ∈ expressão de f é de classe Ck. Isto implica que, para toda carta x : U Rm do atlas máximo 0 0 → de M e para toda carta y : V Rn do atlas máximo de N com 0 0 → f(U ) V , a expressão local f 0 0 será de classe Ck. Com efeito, 0 ⊂ 0 x ,y dado p M, sejam x A e y B tais que f : x(U) y(V ) é de ∈ ∈ ∈ xy → classe Ck. Então f 0 0 : x (U U ) y (V V ) pode ser escrita y x 0 ∩ 0 → 0 ∩ 0 como

1 1 1 1 f 0 0 = y0 f (x0)− = y0 y− y f x− x (x0)− y x ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ 1 1 k = (y0 y− ) f (x (x0)− ) = ϕ 0 f ϕ 0 C . ◦ ◦ xy ◦ ◦ yy ◦ xy ◦ xx ∈ Quando dissermos que f : M N é de classe Ck admitiremos, → ao menos implicitamente, que M e N são de classe Cr, r k. ≥ A composta de duas aplica¸cões f : M N e g : N P de → → classe Ck é também uma aplica¸cão de classe Ck. Um difeomorfismo f : M N é uma bije¸cão diferenciável cuja → 1 inversa é também diferenciável. Se ambas f e f − são de classe Ck, dizemos que f é um difeomorfismo de classe Ck. Exemplos: 1) Sejam U Rm um aberto e f : U Rn uma aplica¸cão. Po- ⊂ → demos considerar o conjunto U como uma variedade de classe C k (Exemplo 1, Se¸cão 4 do Cap. IV). Então f é diferenciável no sentido das variedades se, e somente se, f é diferenciável no sentido do Cap´ıtulo I. Mais geralmente, se M m Rn e N p Rq são ⊂ ⊂ “MAIN2” 2007/5/23 page 132

132 [CAP. V: APLICAÇOES˜ DIFERENCIAVEIS´ ENTRE VARIEDADES superf´ıcies de classe Ck então uma aplica¸cão f : M m N p é de → classe Cr (r k) no sentido de variedades se, e somente se, o é no ≤ sentido da Se¸cão 3 do Cap´ıtulo II. 2) Sejam M m uma variedade de classe Ck e x: U Rm um → sistema de coordenadas em M. Consideremos em U sua estrutura natural de subvariedade aberta de M (Exemplo 2, Se¸cão 4 do Cap. IV). Então x é um difeomorfismo de classe Ck de U sobre x(U). 1 De fato, a expressão de ambas x e x− nos sistemas de coordenadas locais x e id: Rm Rm é a aplica¸cão identidade de x(U). → Em particular, dada uma parametriza¸cão ϕ: U U M em 0 → ⊂ uma superf´ıcie de classe Ck, M m Rn, vê-se que ϕ e ϕ 1 são ⊂ − difeomorfismos de classe Ck. 3) Os caminhos diferenciáveis são as aplica¸cões diferenciáveis α: I M, onde I é um intervalo aberto da reta real. A condi¸cão → de diferenciabilidade de α exige que α seja cont´ınua e que, dado um sistema de coordenadas x: U Rm em M, para todo subin- → tervalo J tal que α(J) U, a composta x α: J x(U) seja um ⊂ ◦ → caminho diferenciável em Rm. 4) As fun¸cões reais diferenciáveis são as aplica¸cões diferenciáveis f : M R. Para todo sistema de coordenadas x: U Rm em → → M, a fun¸cão composta f x 1 : x(U) R deve ser uma fun¸cão ◦ − → diferenciável de m variáveis reais, definida num aberto x(U) Rm. ⊂ r 5) Sejam M, N1, N2 variedades de classe C . Uma aplica¸cão f : M N N é de classe Ck (k r) se, e somente se, f = → 1 × 2 ≤ (f .f ), onde as coordenadas f : M N e f : M N são de 1 2 1 → 1 2 → 2 classe Ck. Realmente, considerando em N N os sistemas de 1 × 2 coordenadas locais do tipo y y : V V Rn1 Rn2 (ver 1 × 2 1 × 2 → × Exemplo 4, Se¸cão 4 do Cap. IV), vê-se que (y y ) f x 1 = 1 × 2 ◦ ◦ − (y f x 1, y f x 1). Lembremos, em seguida, que uma 1 ◦ 1 ◦ − 2 ◦ 2 ◦ − aplica¸cão g = (g , g ): x(U) Rn1 Rn2 é de classe Ck se, e 1 2 → × “MAIN2” 2007/5/23 page 133

[SEC. 1: APLICAC¸OES˜ DIFERENCIAVEIS´ 133 somente se, ambas g : x(U) Rn1 e g : x(U) Rn2 s˜ao de 1 → 2 → classe Ck.

6) Sejam A o atlas máximo de classe Ck sobre R que contém o sistema de coordenadas id: R R, e B o atlas máximo de classe → Ck sobre R que contém y : R R definida por y(t) = t1/3. Então → A = B (ver Exemplo 1, Se¸cão 4 do Cap. IV) e M = (R, A) 6 e N = (R, B) são duas estruturas distintas de variedade C k no mesmo conjunto R. A fun¸cão f : M M definida por f(t) = t1/3 → não é diferenciável. No entanto, a fun¸cão g : M N, g(t) = t1/3 → é um difeomorfismo de classe Ck.

7) Consideremos a aplica¸c˜ao f : G (Rn+r) G (Rn+r) que asso- r → n cia a cada subespa¸co de dimens˜ao r, H Rn+r, seu complemento ⊂ ortogonal f(H) = H⊥.

Afirma¸cão: f é um difeomorfismo de classe C∞.

Figura 5.2.

⊥ Como (H ) = H, é suficiente provar que f C . Para cada ⊥ ∈ ∞ α = i , . . . , i , vê-se que f(U ) = U ∗ . Calculemos a expressão { 1 r} α α de f nos sistemas de coordenadas x : U Rrn, y ∗ : U ∗ α α → α α → Rrn. Seja H U , arbitrário. Então x (H) = α (Y ) onde Y ∈ α α ∗ 0 0 é a matriz (n + r) r de coordenadas homogêneas de H tal que × α(Y0) = Ir . Analogamente, yα∗ (H⊥) = α(Z0), onde Z0 é a matriz (n + r) n, que representa H , tal que α (Z ) = I . As colunas × ⊥ ∗ 0 n “MAIN2” 2007/5/23 page 134

134 [CAP. V: APLICAÇOES˜ DIFERENCIAVEIS´ ENTRE VARIEDADES de Z0 , sendo vetores de H⊥, são ortogonais as` colunas de Y0 , base de H. Isto significa que tY Z = 0. Sem perda de generalidade, 0 · 0 podemos supor que α = 1, . . . , r , logo Y0 e Z0 podem ser escritas Ir B { } Y0 = , Z0 = , onde A = xα(H) é n r e B = yα∗ (H⊥) A In × é r n. Então tY Z = I B = tA I = B + tA = 0. Logo × 0 · 0 r · · n B = tA. Conclusão: y ∗ f (x + α) 1 : A tA, portanto − α ◦ ◦ − 7→ − f C . ∈ ∞

2 O espa¸co tangente

Recordemos que o espa¸co tangente T M a uma superf´ıcie M m p ⊂ Rn, num ponto p M, é o conjunto de todos os vetores v Rn que ∈ ∈ são vetores-velocidade, em p, de caminhos diferenciáveis contidos em M. Porém, se M é uma variedade diferenciável, os “vetores tangentes v T M ” deverão ser obtidos abstratamente, pois M não ∈ p está contida em nenhum espa¸co euclidiano. Apresentamos agora uma das maneiras de se construir o espa¸co tangente. Seja M m uma variedade de classe Ck e seja p um ponto de M. Indicamos por o conjunto de todos os caminhos λ: J M, Cp → definidos num intervalo aberto J, contendo 0, tais que λ(0) = p e λ é diferenciável em 0. (Ver Exemplo 3 da Se¸cão 1.) Se λ ∈ Cp e x: U Rm é um sistema de coordenadas em M, com p U, → ∈ pode acontecer que a imagem λ(J) não esteja inteiramente contida em U. Em vista disso, toda vez que escrevemos x λ, estamos ◦ admitindo que o dom´ınio de λ foi suficientemente reduzido a um intervalo aberto menor J , contendo 0, tal que λ(J ) U. 0 0 ⊂ “MAIN2” 2007/5/23 page 135

[SEC. 2: O ESPAC¸O TANGENTE 135

Diremos que dois caminhos λ, µ são equivalentes, e es- ∈ Cp creveremos λ µ, quando existir um sistema de coordenadas ∼ locais x: U Rm em M, com p U, tal que x λ: J Rm → ∈ ◦ → e x µ: I Rm têm o mesmo vetor-velocidade em t = 0, isto é, ◦ → (x λ) (0) = (x µ) (0). ◦ 0 ◦ 0

Vale a pena observar que, neste caso, a igualdade (x λ) (0) = (x µ) (0) será verdadeira para todo sistema de co- ◦ 0 ◦ 0 ordenadas x: U Rm em M, p U. Resulta da´ı que a rela¸cão → ∈ λ µ é de fato uma rela¸cão de equivalência em . ∼ Cp

O vetor-velocidade λ˙ de um caminho λ é, por defini¸cão, a ∈ Cp classe de equivalência de λ. Ou seja, λ˙ = µ ; { ∈ Cp µ λ . Portanto, dados λ, µ , tem-se λ˙ = µ˙ se, e somente ∼ } ∈ Cp se, (x λ) (0) = (x µ) (0) para algum (logo para todo) sistema ◦ 0 ◦ 0 de coordenadas locais x: U Rm em M, com p U. → ∈

O conjunto quociente / será indicado por T M e será cha- Cp ∼ p mado o espa¸co tangente a` variedade M no ponto p. Veremos que T Mp possui todas as propriedades “desejáveis” para um espa¸co tangente.

Por exemplo, pode-se dar a T Mp uma estrutura natural de espa¸co vetorial sobre R, da seguinte maneira:

Cada sistema de coordenadas locais x: U Rm em M, com → p U, dá origem a uma bije¸cão x¯ = x¯(p): T M Rm, definida ∈ p → por x¯(λ˙ ) = (x λ) (0). E´ evidente que x¯ está bem definida e é ◦ 0 injetora. Mostremos que x¯ e sobrejetora. Dado v Rm, seja λ ∈ ∈ dado por λ(t) = x 1[x(p) + tv]. Então x¯(λ) = (x λ) (0) = v. Cp − ◦ 0 “MAIN2” 2007/5/23 page 136

136 [CAP. V: APLICAC¸OES˜ DIFERENCIAVEIS´ ENTRE VARIEDADES

M U λ˙ p

v = x(λ) x(p) x λ Rm ◦

Figura 5.3.

Damos a T Mp uma estrutura de espa¸co vetorial real, exigindo que a bije¸cão x¯: T M Rm venha a ser um isomorfismo. Em p → outras palavras, as opera¸cões de soma e produto de um vetor por um numero´ real são definidas pelas equa¸cões

1 λ˙ + µ˙ = (x¯)− (x¯(λ˙ ) + x¯(µ˙ )), 1 c λ˙ = (x¯)− (c x¯(λ˙ )). · · O fato crucial é que estas opera¸cões não dependem da escolha do sistema de coordenadas x. Com efeito, dado y : V Rm em → M, com p V , então y¯ = (y x¯ 1) x¯: T M Rm. ∈ ◦ − 0 ◦ p →

T Mp x y © R Rm - Rm (y x−1)0 ◦ “MAIN2” 2007/5/23 page 137

[SEC. 3: A DERIVADA EM UMA APLICAC¸AO˜ DIFERENCIAVEL´ 137

Como (y x 1) (x(p)) é um isomorfismo, os sistemas de coor- ◦ − 0 denadas x e y originam a mesma estrutura de espa¸co vetorial em T Mp . Dados um sistema de coordenadas locais x: U Rm em M ∂ ∂→ e um ponto p U, indicamos por (p), . . . , (p) a base ∈ ∂x1 ∂xm Rm de T Mp que é levada pelo isomorfismo x¯: T Mp sobre a →∂ base canônica e , . . . , e . As` vezes escreveremos em vez de { 1 m} ∂xi ∂ ∂ (p). O vetor básico T M é a classe de equivalência de ∂xi ∂xi ∈ p qualquer caminho λ tal que (x λ) (0) = e . ∈ Cp ◦ 0 i

3 A derivada em uma aplica¸c˜ao diferenci´avel

Sejam M m, N n variedades diferenciáveis e f : M N uma → aplica¸cão diferenciável no ponto p M. ∈ A derivada de f no ponto p é a transforma¸cão linear f 0(p): T M T N que associa a cada v = λ˙ T M o elemento p → f(p) ∈ p f (p) v = (f λ) T N , vetor-velocidade do caminho f λ 0 · ◦ · ∈ f(p) ◦ ∈ . Cf(p)

(f ◦ λ) λ˙ f f(p) J p λ N 0 M f ◦ λ

Figura 5.4.

Devemos verificar que f 0(p) é uma transforma¸cão linear bem definida. Tomemos assim sistemas de coordenadas x: U Rm → em M, com p U e y : V Rn em N, com f(p) V e f(U) V . ∈ → ∈ ⊂ “MAIN2” 2007/5/23 page 138

138 [CAP. V: APLICAC¸OES˜ DIFERENCIAVEIS´ ENTRE VARIEDADES

Dado v = λ˙ T M , então (y f λ) (0) = (y f x 1 x λ) (0) = ∈ p ◦ ◦ 0 ◦ ◦ − ◦ ◦ 0 f (x λ) (0). xy0 ◦ ◦ 0 Isto mostra que: 1) O vetor velocidade do caminho f λ ◦ ∈ depende apenas do vetor velocidade de λ. Por conseguinte, Cf(p) f (p) v = (f λ) está bem definido. 2) O diagrama 0 · ◦ ·

0 f (p) - T Mp T Nf(p)

x y ? ? m - n R 0 R fxy

é comutativo. Logo f 0(p): T Mp T Nf(p) é uma transforma¸cão → ∂ ∂ linear, cuja matriz em rela¸cão as` bases de T M e de ∂xi p ∂yi ∂yi T N é a matriz jacobiana da aplica¸cão f : x(U) Rn f(p) ∂xj xy → no ponto x(p). Proposi¸cão 1. (Regra da cadeia.) Sejam M, N, P variedades diferenciáveis, f : M N uma aplica¸cão diferenciável no ponto → p M e g : N P uma aplica¸cão diferenciável no ponto f(p) ∈ → ∈ N. Então g f : M P é diferenciável no ponto p M e (g ◦ → ∈ ◦ f) (p) = g (f(p)) f (p): T M T P . 0 0 ◦ 0 p → gf(p) Demonstra¸cão: Consideremos os sistemas de coordenadas x: U x(U) em M, y : V y(V ) em N e z : W z(W ) em → → → P , tais que p U, f(U) V e g(V ) W . ∈ ⊂ ⊂ Ora, f = y f x 1 : x(U) Rm y(V ) Rn é dife- xy ◦ ◦ − ⊂ → ⊂ renciável em x(p) e g = z g y 1 : y(V ) Rn z(W ) Rp yz ◦ ◦ − ⊂ → ⊂ é diferenciável em y(f(p)). Pela regra de cadeia usual (Cap´ıtulo I, Se¸cão 4) resulta que g f = z (g f) x 1 : x(U) z(W ) é yz ◦ xy ◦ ◦ ◦ − → “MAIN2” 2007/5/23 page 139

[SEC. 4: ALGUMAS IDENTIFICAÇOES˜ NATURAIS 139 diferenciável no ponto x(p). Logo g f : M P é diferenciável ◦ → no ponto p M. Dado v = λ˙ T M , então ∈ ∈ p

(g f)0(p) λ˙ = (g f λ)· = (g (f λ))· ◦ · ◦ ◦ ◦ ◦ = g0(f(p)) (f λ)· = g0(f(p)) f 0(p) λ.˙ · ◦ · · Observa¸c˜oes:

1) Se f = id: M M então f (p) = id: T M T M para todo → 0 p → p p M. ∈ 2) Se f : M N é um difeomorfismo então, para todo → p M, f 0(p): T Mp T Nf(p) é um isomorfismo, cujo inverso ∈ 1 → 1 é (f − )0(f(p)) = [f 0(p)]− .

4 Algumas identiﬁca¸c˜oes naturais

1) T (Rm) = Rm para todo p Rm. p ∈ Consideremos o sistema de coordenadas x = id: Rm Rm. dλ → O isomorfismo id: T (Rm) Rm, λ˙ (0) Rm, fornece a p → 7→ dt ∈ identifica¸cão desejada. Estamos identificando, em cada p Rm, a ∈ cole¸cão λ˙ = µ ; µ λ com o vetor v Rm tal que µ (0) = v { ∈ Cp ∼ } ∈ 0 para todo µ λ˙ . ∈ p v

Figura 5.5.

2) O espa¸co tangente a uma superf´ıcie Temos duas deﬁni¸c˜oes para o espa¸co tangente a uma superf´ıcie M m Rn, de classe Ck: O espa¸co tangente “concreto”, que foi ⊂ “MAIN2” 2007/5/23 page 140

140 [CAP. V: APLICAÇOES˜ DIFERENCIAVEIS´ ENTRE VARIEDADES definido no Cap´ıtulo II e o espa¸co tangente “abstrato”, constru´ıdo na Se¸cão 2 deste capitulo. Identificaremos cada vetor tangente “abstrato” λ˙ com o vetor “concreto” v Rn tal que v = µ (0) para todo µ λ˙ . ∈ 0 ∈ Isto é equivalente a considerar a aplica¸cão de inclusão i: M n k → R (que é de classe C ) e identificar T Mp com sua imagem pela derivada i (p): T M T (Rn) Rn. 0 p → p ≡ 3) Espa¸co tangente a um subconjunto aberto Seja U um subconjunto aberto de uma variedade M m de classe Ck. U pode ser visto como uma variedade de dimensão m e classe Ck (ver Exemplo 2, Se¸cão 4 do Cap. IV). Na defini¸cão de T M , p U, não há perda de generalidade em p ∈ se considerar somente os caminhos λ: J M, λ , tais que → ∈ Cp λ(J) U. Isto significa que T U = T M . ⊂ p p Formalmente, estamos considerando a aplica¸cão de inclusão i: U M e identificando T U com T M por meio do isomorfismo → p p i (p): T U T M . 0 p → p Estas três identifica¸cões acarretam algumas outras: 4) A derivada no sentido das variedades é generaliza¸cão natural da derivada em Rn. (Ver Exemplo 1, Se¸cão 1.) Dada uma aplica¸cão diferenciável f : U Rn (U Rm aberto), → Rn ⊂ a presente no¸cão de derivada f 0(p): T Up T ( )f(p) se reduz a` →Rm Rn Rn “antiga”, através das identifica¸cões T Up = , T ( )f(p) = .

0 f f (p) - n - Rn U R T Up T ( )f(p)

0 0 id id i (p) id (p)

? ? ? Df(p) ? U - Rn Rm - Rn “MAIN2” 2007/5/23 page 141

[SEC. 5: A APLICAC¸AO˜ ESFERICA´ DE GAUSS 141

5) Sejam M m uma variedade diferenciável e x: U x(U) Rm → ⊂ um sistema de coordenadas locais em M. Então x é um difeomorfismo de U sobre x(U).

0 x - x (p) - Rm U x(U) T Mp T ( )x(p)

x id x(p) id ? ? ? ? x(U) id- x(U) Rm id - Rm

Para cada p U, a derivada x (p): T U T (Rm) coincide ∈ 0 p → x(p) com o isomorfismo x¯: T M Rm (ver Se¸cão 2). p → De agora em diante será abandonada a nota¸cão temporária x¯.

6) Sejam M uma variedade diferenciável e λ: J M, λ , → ∈ Cp um caminho em M (λ(0) = p). A derivada λ (0): R T M é 0 → p dada por λ (0) r = (λ α ) , onde α (t) = rt. Identificaremos a 0 · ◦ r · r aplica¸cão linear λ (0) com o vetor velocidade λ (0) 1 = λ˙ T M , 0 0 · ∈ p abandonando, de agora em diante, a nota¸cão λ˙ . Mais geralmente,, seja λ: (a, b) M um qualquer caminho diferenciável. Para cada → c (a, b) escrevemos λ (c) em vez de λ (c) 1 e dizemos que λ (c) ∈ 0 0 · 0 ∈ T Mλ(c) é o vetor-velocidade do caminho λ(t) em t = c.

5 A aplica¸c˜ao esf´erica de Gauss

Seja M m Rm+1 uma hiperf´ıcie orientável de classe Ck, ⊂ k 2. Vimos no Cap´ıtulo III (Proposi¸cão 5) que existe um campo ≥ u: M Rm+1, de classe Ck 1, de vetores unitários, normais a M. → − “MAIN2” 2007/5/23 page 142

142 [CAP. V: APLICAC¸OES˜ DIFERENCIAVEIS´ ENTRE VARIEDADES

u(p) u(p) Sm

M m p 0

Figura 5.6.

Como u(p) Sm para todo p M, vemos que u: M Sm ´e k 1 ∈ ∈ → de classe C − (cfr. Se¸c˜ao 3 do Cap. II).

Em cada ponto p M, os espa¸cos tangentes T Mp e m ∈ Rm+1 T (S )u(p) , considerados como subespa¸cos do , são iguais, já que ambos são o complemento ortogonal de u(p). Por conseguinte, a derivada de u é um endomorfismo u (p): T M T M . 0 p → p O numero´ real K(p) = det(u0(p)) chama-se a curvatura gaussiana de M no ponto p. Em cada componente conexa de M há duas escolhas, u e u, para um campo cont´ınuo de vetores − unitários normais a M. Quando a dimensão de M é par, det(u (p)) = det( u (p)), e a curvatura gaussiana K(p) não de- 0 − 0 penderá da escolha de u. Se m é ´ımpar, K(p) está definido a menos de sinal. Uma propriedade importante da derivada u (p): T M T M 0 p → p é que ela é auto-adjunta, isto é, u (p) v, w = v, u (p) w para h 0 · i h 0 · i todos v, w T M . Para provar isto, seja ϕ: U U uma pa- ∈ p 0 → rametriza¸cão de uma vizinhan¸ca U de p M. Sejam ϕ(x ) = p, ∈ 0 ϕ (x ) v = v, ϕ (x ) w = w. Para cada x U , tem-se 0 0 · 0 0 0 · 0 ∈ 0 u(ϕ(x)), ϕ (x) w = 0. Por diferencia¸cão, segue-se que h 0 · 0i

u0(p) ϕ0(x ) v , ϕ0(x) w + u(p), ϕ00(x ) (v , w ) = 0. h · 0 · 0 · 0i h 0 · 0 0 i “MAIN2” 2007/5/23 page 143

[SEC. 6: ESTRUTURAS DE VARIEDADE EM UM ESPAC¸O TOPOLOGICO´ 143

Portanto u (p) v, w = u(p)ϕ (x ) (v , w ) . Como ϕ (x ) é, h 0 · i −h 00 0 · 0 0 i 00 0 pelo teorema de Schwarz, uma forma bilinear simétrica, segue-se que u (p) v, w = u (p) w, v . h 0 · i h 0 · i Os valores próprios da transforma¸cão linear u0(p) são, portanto, numeros´ reais k k . Estes numeros´ são deno- 1 ≥ · · · ≥ m minados de curvaturas principais de hiperf´ıcie M no ponto p. E´ claro que K(p) = k k . 1 · · · · · m Grande parte da Geometria Diferencial Clássica é estudada usando a aplica¸cão de Gauss. Muitas propriedades topológicas globais de M se refletem no comportamento de K.

6 Estruturas de variedade em um espa¸co topol´ogico

Dada uma variedade diferenciável (M, A), é fácil definir outra estrutura de variedade diferenciável (M, B), de mesma classe que a anterior, sobre o mesmo espa¸co topológico M. Basta considerar um homeomorfismo ϕ: M M que não seja um difeomorfismo, → e definir

1 n n B = x ϕ: ϕ− (U) R ; x: U R em A . { ◦ → → } E´ claro que B herda de A a propriedade de ser um atlas di- ferenciável máximo. Entretanto, do fato de ϕ não ser um difeomorfismo, deduz-se imediatamente que B = A. Isto se exprime 6 dizendo que os atlas A e B definem em M estruturas distintas de variedade diferenciável. Por outro lado a aplica¸cão

ϕ: (M, B) (M, A) → é um difeomorfismo (verifica¸cão trivial), o que se exprime dizendo que as duas estruturas de variedade que estamos considerando em “MAIN2” 2007/5/23 page 144

144 [CAP. V: APLICAC¸OES˜ DIFERENCIAVEIS´ ENTRE VARIEDADES

M são distintas, porém equivalentes. Estas considera¸cões sugerem algumas perguntas: 1) Dada uma variedade diferenciável (M, A) será poss´ıvel definir em M uma nova estrutura não equivalente a` primeira? Ou seja, existirá outro atlas diferenciável máximo B, sobre M, tal que (M, A) não é difeomorfa a (M, B)? (Problema da unicidade da estrutura diferenciável.) 2) Dada uma variedade topológica M, isto é, um espa¸co topoló- 0 gico, munido de um atlas máximo A0 , de classe C , existirá um atlas diferenciável A A ? Em outras palavras, admitirá toda ⊂ 0 variedade topológica uma estrutura de variedade diferenciável? (Problema da existência de uma estrutura diferenciável.) 3) Uma variedade M, de classe Ck, admitirá uma estrutura de variedade de classe Cs com s > k? O problema 1) foi resolvido por J. Milnor (Annals of Mathe- matics, vol. 64 (1956), págs. 395-405). Já se sabia que, em di- mensões baixas, (1,2,3) duas estruturas diferenciáveis quaisquer numa variedade eram equivalentes. Esperava-se que a unicidade (a menos de um difeomorfismo) fosse válida em todos os casos. Surpreendentemente, Milnor obteve exemplos de várais estruturas diferenciáveis não equivalentes na esfera S7. O problema 2) foi resolvido por S. Smale e, independente- mente, por M. Kervaire. Existem variedades topológicas que não admitem estrutura de variedade diferenciável. Aqui, novamente, surge uma pergunta natural: como deve ser a topologia de uma variedade de classe C0 para que ela admita uma estrutura dife- renciável? O problema 3) foi resolvido por H. Whitney (Annals of Ma- thematics, vol. 37 (1936) págs. 645-680). Todo atlas máximo 1 A1 , de classe C , sobre uma variedade M, contém um atlas A de “MAIN2” 2007/5/23 page 145

[SEC. 6: ESTRUTURAS DE VARIEDADE EM UM ESPAÇO TOPOLOGICO´ 145 classe C∞. (Isto será demonstrado mais adiante, no Cap´ıtulo XI.) Mais do que isso: Whitney demonstrou que A pode ser tomado anal´ıtico. Em termos menos precisos: toda variedade de classe C 1 admite uma estrutura de classe C∞ e, até mesmo, uma estrutura anal´ıtica. Uma discussão mais completa dos problemas e resultados acima mencionados foge ao n´ıvel deste livro. Um problema antigo e de maior dificuldade é o da classifica¸cão das variedades diferenciáveis de uma dada dimensão n (duas variedades M n, N n pertencem a` mesma “classe de difeomorfismo” se, e somente se, são difeomorfas). Este problema está resolvido em dimensões 1 e 2. Uma variedade diferenciável M 1 é difeomorfa ao c´ırculo

S1 = (x, y) R2; x2 + y2 = 1 , { ∈ } se for compacta, ou a` reta R, se não for compacta. A classifica¸cão das variedades M 2 não é tão simples mas está completa- mente feita. Duas variedades de dimensão 2 são difeomorfas se e só se são homeomorfas. Para a classifica¸cão (por homeomorfismos) das M 2 compactas, veja-se Seifert-Threlfall, “Lecciones de Topo- logia”, Cap´ıtulo VI. Uma M 2 compacta orientável e caracterizada pelo seu gênero (numero´ de “asas” acrescentadas a uma esfera para obter M 2). Elas são: a esfera (gênero 0), o toro (gênero 1), etc. Uma M 2 compacta não orientável é caracterizada pelo seu “recobrimento orientável”, dado por uma variedade compacta orientável M 2 e uma aplica¸cão regular

π : M 2 M 2 f → tal que π 1(q) tem 2 pontos, para cada q M 2. Por exemplo, − f ∈ o plano projetivo é recoberto pela esfera, a “garrafa de Klein” pelo toro, etc. Para a classifica¸cão das M 2 não compactas, veja- se Kererkjartó: “Vorlesungen uber Topologie”, Berlin, 1932. Em “MAIN2” 2007/5/23 page 146

146 [CAP. V: APLICAÇOES˜ DIFERENCIAVEIS´ ENTRE VARIEDADES dimensão 3, sabe-se que toda variedade topológica M 3 possui uma estrutura diferenciável, e que duas variedades diferenciável M 3 e N 3 são difeomorfas se e somente se são homeomorfas. Mas o problema de classificar as variedades M 3 por homeomorfismos tem resistido as` tentativas dos topólogos. Em particular, não se sabe se uma variedade compacta, simplesmente conexa, de dimensão 3, é ou não homeomorfa a` esfera S3 (conjectura de Poincaré). S. Smale demonstrou que uma variedade simplesmente conexa M n, que tem os mesmos grupos de homologia de uma esfera Sn, é homeomorfa a Sn, se n = 3, 4. Os casos n = 3, 4 continuam em aberto. 6 “MAIN2” 2007/5/23 page 147

Cap´ıtulo VI

Imers˜oes, Mergulhos e Subvariedades

O objetivo principal deste cap´ıtulo é introduzir o conceito de subvariedade. Intuitivamente, uma subvariedade M m N n está situada em ⊂ N de modo análogo a uma superf´ıcie M m Rn, situada em Rn. ⊂ E´ feita, também, uma discussão elementar das rela¸cões que existem entre as no¸cões de imersão e de mergulho. A curva de Kronecker no toro é discutida em detalhe. Trata-se de um exemplo importante, inclusive do ponto-de-vista histórico, de uma imersão injetiva R T 2 cuja imagem é densa. →

1 Imers˜oes

Sejam M m, N n variedades de classe Ck (k 1) e f: M N ≥ → uma aplica¸c˜ao diferenci´avel. “MAIN2” 2007/5/23 page 148

148 [CAP. VI: IMERSOES,˜ MERGULHOS E SUBVARIEDADES

Um ponto p M diz-se um ponto regular de f quando a ∈ derivada f (p): T M T N ´e injetiva. Caso contr´ario, p diz-se 0 p → f(p) um ponto singular ou cr´ıtico de f.

Tomando coordenadas locais x: U Rm em M e y : V Rn → → em N, com f(U) V , a derivada f (p), p U, transforma-se na ⊂ 0 ∈ derivada f (x(p)): Rm Rn, onde f = y f x 1. Em outras xy0 → xy ◦ ◦ − palavras, o diagrama abaixo ´e comutativo.

0 f (p) - T Mp T Nf(p)

0 x (p) y0(f(p)) ? ? m - n R 0 R fxy(x(p))

Um ponto p U M ´e regular para f se, e somente se, ∈ ⊂ fxy0 (x(p)) ´e injetiva.

O conjunto dos pontos regulares p M de uma aplica¸c˜ao de ∈ classe Ck, f : M N, (k 1) pode ser vazio. Por exemplo, isto → ≥ ocorre sempre que dim M > dim N.

Proposi¸cão 1. (Forma local das imersões em variedades.) Seja p M um ponto regular para a aplica¸cão f : M N de classe ∈ → Ck, k 1. Então existe um sistema de coordenadas x: U Rm ≥ → em M, com p U, e um difeomorfismo de classe Ck, y : V ∈ → Rm Rn m, (V N aberto) tais que f(U) V e f = y f × − ⊂ ⊂ xy ◦ ◦ x 1 : x(U) x(U) 0 Rm Rn m é a aplica¸cão de inclusão, − → × { } ⊂ × − isto é, fxy(w) = (w, 0). Em particular, o conjunto dos pontos regulares p M de f é aberto em M. ∈ “MAIN2” 2007/5/23 page 149

[SEC. 1: IMERSOES˜ 149

M f f(p) U V p Rn−m y x y(V )

fxy x(U) × 0 0 Rm x(U)

Figura 6.1.

Demonstra¸c˜ao: Dados quaisquer sistemas de coordenadas x: U Rm em M e z : V Rn em N, com f(U) V , conside- → → ⊂ remos os diagramas

0 f - f (p) - U V T Mp T Nf(p)

0 x z x (p) z0(f(p)) ? ? ? ? - m - n x(U) z(V ) R 0 R fxz fxz(x(p))

m n Observemos que x(U) R é aberto, fxz : x(U) R é k ⊂ → de classe C e fxz0 (x(p)) é injetiva. Logo, pela forma local das imersões (Cap´ıtulo 1, se¸cão 9), restringindo se necessário os dom´ınios, conclui-se que existe um difeomorfismo de classe Ck, ξ : z(V ) x(U) W Rm Rn m (0 W Rn m aberto), tal → × ⊂ × − ∈ ⊂ − que (ξ f )(u) = (u, 0). ◦ xz “MAIN2” 2007/5/23 page 150

150 [CAP. VI: IMERSOES,˜ MERGULHOS E SUBVARIEDADES

f U - V

x z ? ? fxz x(U) - z(V )

ξ R ? x(U) W ×

Concluimos a demonstra¸cão tomando y = ξ z. ◦ Observa¸cão: O difeomorfismo de classe Ck, y : V y(V ) → ⊂ Rn, será um sistema de coordenadas em N se a classe de N for exatamente igual a k. Uma aplica¸cão diferenciável f : M N diz-se uma imersão se → todo ponto p M é um ponto regular para f, isto é, a derivada ∈ f (p): T M T N é injetiva para cada p M. 0 p → f(p) ∈ Proposi¸cão 2. Seja f : M m N n uma imersão de classe Ck. → Uma aplica¸cão g : P r M m é de classe Ck se, e somente se, g é → cont´ınua e f g : P r N n é de classe Ck (k 1). ◦ → ≥ Demonstra¸cão: Suponhamos que g seja cont´ınua e que f g ◦ ∈ Ck. Pela Proposi¸cão 1, para cada p P existem um sistema de ∈ coordenadas x: U Rm em M, com g(p) U, e um difeomor- → ∈ fismo de classe Ck, y : V Rm Rn m, (V N aberto) tais → × − ⊂ que f(U) V e f = y f x 1 : x(U) Rm Rn m é da ⊂ xy ◦ ◦ − → × − forma fxy(w) = (w, 0). Como g é cont´ınua, podemos encontrar um sistema de coordenadas z : Z Rr em P , com p Z, tal que → ∈ g(Z) U. Portanto (f g) = y f g z 1 : z(Z) Rm Rn m ⊂ ◦ zy ◦ ◦ ◦ − → × − “MAIN2” 2007/5/23 page 151

[SEC. 2: MERGULHOS E SUBVARIEDADES 151 faz sentido e é da forma (f g) = (g , 0). Como f g Ck, ◦ zy zx ◦ ∈ segue-se que (f g) Ck, logo g Ck. Conclusão: g Ck. ◦ zy ∈ zx ∈ ∈ A rec´ıproca é ob´ via.

Exerc´ıcio. Encontrar uma imers˜ao f : R R2, de classe C , e → ∞ uma aplica¸c˜ao descont´ınua g : R R tais que f g : R R2 seja → ◦ → de classe C∞.

Corolário. Sejam N uma variedade de classe Ck, pelo menos, M um espa¸co topológico e f : M N uma aplica¸cão cont´ınua. → Então existe no máximo uma estrutura de variedade Ck em M que torna f uma imersão de classe Ck. Demonstra¸cão: Suponhamos que existam dois atlas máximos de classe Ck em M, A e B, tais que f : (M, A) N e f : (M, B) N → → são imersões de classe Ck. A aplica¸cão identidade g : (M, A) → (M, B) é cont´ınua e f g = f : (M, A) N. Pela Proposi¸cão 2, ◦ → resulta que g Ck. Isto significa que para cada x: U Rm em ∈ → A e y : V Rn em B, com U V = , a mudan¸ca de coordena- → ∩ 6 ∅ das y x 1 é de classe Ck. Analogamente, a aplica¸cão identidade ◦ − (M, B) (M, A) é de classe Ck, logo todas as mudan¸cas de coor- → denadas x y 1, x A e y B, também são de classe Ck. Como ◦ − ∈ ∈ A e B são atlas máximos de classe Ck, conclui-se que A = B.

2 Mergulhos e subvariedades

Sejam M m, N n variedades de classe Ck (k 1). ≥ Diz-se que uma aplica¸cão f : M N é um mergulho se → (i) f é uma imersão.

(ii) f ´e um homeomorﬁsmo de M sobre o subespa¸co f(M) N. ⊂ “MAIN2” 2007/5/23 page 152

152 [CAP. VI: IMERSOES,˜ MERGULHOS E SUBVARIEDADES

Na Se¸cão 6 veremos exemplos de imersões injetivas que não são homeomofismos sobre sua imagem.

Observa¸cão: Quando f : M N é um mergulho de classe Ck, → a Proposi¸cão 2 fica simplificada, pois não será preciso supor que g é cont´ınua. De fato, se f g Ck, então g = f 1 (f g) é ◦ ∈ − ◦ ◦ cont´ınua.

Uma subvariedade M m de classe Ck de uma variedade N n de classe Cr (r k) é um subconjunto M N, com a topologia ≥ ⊂ induzida pela de N, e dotado de uma estrutura de variedade C k tal que a aplica¸cão de inclusão i: M N é um mergulho de → classe Ck.

Segue-se do corol´ario anterior que existe no m´aximo uma estrutura de variedade Ck que faz de M uma subvariedade Ck de N.

Devido a` importância do conceito, explicitamos as condi¸cões que devem ser verificadas a fim de que M seja uma subvariedade de classe Ck de N.

(i) M ´e uma variedade de classe Ck.

(ii) M N e a topologia de M ´e induzida pela de N. ⊂

(iii) Para cada p M, existem sistemas de coordenadas y : V ∈ → Rn em N e x: U Rm em M tais que p U V e y → ∈ ⊂ ◦ x 1 : x(U) Rn é uma imersão de classe Ck. (Então y x 1 − → ◦ − é necessariamente um mergulho, pois a topologia de U é induzida pela de V .) “MAIN2” 2007/5/23 page 153

[SEC. 2: MERGULHOS E SUBVARIEDADES 153

Intuitivamente, M est´a situada em N assim como uma superf´ıcie de classe Ck em Rn.

V U p M y

n y(V ) x R

y x−1 x(U) ◦ Rm x(p)

Figura 6.2.

Exemplos

1) As subvariedades de classe Ck de Rn são precisamente as superf´ıcies M Rn, de classe Ck. ⊂ 2) Sejam M e N variedades de classe Ck e f : M N um mer- → gulho de classe Ck. Então f(M) é uma subvariedade de classe Ck de N.

3) Um subconjunto aberto U N, considerado como variedade ⊂ (ver Exemplo 2, Se¸cão 4 do Cap. IV) é uma subvariedade de N, da mesma classe e dimensão. Reciprocamente, toda variedade n-dimensional M n N n é um subconjunto aberto de N. Real- ⊂ mente, para cada par x, y como em (iii), y x 1 : x(U) Rn é, ◦ − → “MAIN2” 2007/5/23 page 154

154 [CAP. VI: IMERSOES,˜ MERGULHOS E SUBVARIEDADES pelo teorema da fun¸cão inversa, uma aplica¸cão aberta. Segue-se que M = [y 1 (y x 1)(x(U))] é um subconjunto aberto de N. − ◦ ◦ − Em particular,S se uma variedade conexa N n contém uma subvariedade compacta M n, de mesma dimensão, então M = N.

3 Subvariedades

Na prática, as três condi¸cões que devemos verificar para que M seja uma subvariedade de classe Ck de N podem ser simplificadas pelas seguintes proposi¸cões.

Proposi¸cão 3. Sejam N uma variedade Cr e M um subconjunto de N. Suponhamos que para cada p M exista um sis- ∈ tema de coordenadas y : V Rn em N, com p V , e uma → ∈ aplica¸cão injetiva x: M V Rm tais que x(M V ) é aberto ∩ → ∩ e y x 1 : x(M V ) Rn é um mergulho de classe Ck. Então ◦ − ∩ → existe uma (unic´ a) estrutura de variedade Ck em M que o torna uma subvariedade de classe Ck de N.

Demonstra¸cão: Dotando M da topologia induzida pela de N, cada aplica¸cão x = (y x 1) 1 y : M V x(M V ) será um ◦ − − ◦ ∩ → ∩ homeomorfismo. A cole¸cão A de todas estas aplica¸cões x: M ∩ V x(M V ) é um atlas de classe Ck em M. Realmente, se → ∩ x: M V Rm relaciona-se com y : V Rn da maneira indicada ∩ → m → n no enunciado e x1 : M V1 R relaciona-se com y1 : V1 R , e ∩ → 1 1 1 → 1 se M V V = , então x x = (y x− ) (y y ) (y x ) ∩ ∩ 1 6 ∅ 1 ◦ − 1 ◦ 1 ◦ 1 ◦ − ◦ ◦ − ∈ Ck. A unicidade da estrutura de variedade em M é um fato geral, visto na Se¸cão 2. “MAIN2” 2007/5/23 page 155

[SEC. 3: SUBVARIEDADES 155

N V

M ∩ V

M y

Rn−m

y(M V ) 0 ∩ π1

Figura 6.3.

Proposi¸cão 4. Seja N n uma variedade de classe Cr. Para que um subonjunto M N sejam uma subvariedade de dimensão m ⊂ e classe Ck (k r) de N é necessário e suficiente que, para cada ≤ p M, exista um aberto V N, p V , e um difeomorfismo de ∈ ⊂ ∈ classe Ck y : V Rm Rn m tal que y(M V ) Rm 0 . → × − ∩ ⊂ × { } ( ) A condi¸cão é necessária. Resulta imediatamente da forma ⇒ local das imersões (Proposi¸cão 1) e da defini¸cão de subvariedade. ( ) A condi¸cão é suficiente. Resulta imediatamente da Pro- ⇐ posi¸cão 3, tomando

x = (π y) (M V ): M V Rm. 1 ◦ | ∩ ∩ → Corolário. Seja N uma variedade de classe Cr. Dado M N, ⊂ se cada p M possui uma vizinhan¸ca V em N tal que M V é ∈ ∩ uma subvariedade de dimensão m e classe Ck de N (k r) então ≤ M é uma subvariedade de dimensão m e classe Ck de N. “MAIN2” 2007/5/23 page 156

156 [CAP. VI: IMERSOES,˜ MERGULHOS E SUBVARIEDADES

Observa¸cão: Espa¸co tangente a uma subvariedade. Seja M m N n uma subvariedade de classe Ck. Em ⊂ cada ponto p M identificamos o espa¸co tangente T M ∈ p com um subespa¸co de T Np , por meio da aplica¸cão linear injetiva i (p): T M T N , onde i: M N é a inclusão. 0 p → p → Como casos especiais deste procedimento, tem-se as identifica¸cões T U = T N para um subconjunto aberto e T M Rn p p p ⊂ quando M m Rn é uma superf´ıcie. ⊂ 4 O espa¸co tangente a uma variedade produto. Derivadas parciais

Seja M m N n um produto de variedades Ck (ver Exemplo 4, × Se¸cão 4 do Cap. IV). Em cada ponto (p, q) M N, o espa¸co tangente ∈ × T (M N) contém dois subespa¸cos importantes E, F . O × (p,q) primeiro, E, consta de todos os vetores-velocidade λ0(0) de caminhos do tipo λ(t) = (λ1(t), q), enquanto que o segundo, F , é formado pelos vetores-velocidade µ0(0) dos caminhos da forma µ(t) = (p, µ (t)). Tomando um sistema de coordenadas x y em 2 × torno de (p, q), vê-se facilmente que o isomorfismo (x y) : T (M × 0 × N) Rm Rn leva E sobre Rm 0 e F sobre 0 Rn. (p,q) → × × × Consequen¨ temente, T (M N) = E F . × (p,q) ⊕ Do Exemplo 5, Se¸cão 1, do Cap. V, resulta que as proje¸cões π : M N M, π : M N N, e as inclusões i : M M q 1 × → 2 × → q → × ⊂ M N, j : N p N M N são de classe Ck. As duas × p → × ⊂ × primeiras são as coordenadas da aplica¸cão identidade de M N, × enquanto que as duas ultimas´ têm uma coordenada constante e a outra é a identidade. As rela¸cões π i = id: M M e π j = id: N N 1 ◦ q → 2 ◦ p → acarretam (pela regra da cadeia) que iq e jp são mergulhos de “MAIN2” 2007/5/23 page 157

[SEC. 5: A CLASSE DE UMA SUBVARIEDADE 157 classe Ck (logo M q e p N são subvariedades Ck de M N) × × × e que as derivadas de π1 e π2 em (p, q) são sobrejetoras. E´ ob´ vio que T (M q) = E e T (p N) = F . × (p,q) × (p,q) Identificamos E e F com T Mp e T Nq respectivamente, por meio dos isomorfismos i (p): T M E e j (q): T N F . q0 p → p0 q → Escrevemos finalmente T (M N) = T M T N . × (p,q) p ⊕ q As derivadas parciais de uma aplica¸cão diferenciável f : M N P são aplica¸cões lineares ∂ f(p, q): T M T P × → 1 p → f(p,q) e ∂ f(p, q): T N T P , definidas como sendo as derivadas 2 q → f(p,q) das aplica¸cões f i : M P e f j : N P nos pontos p M ◦ q → ◦ p → ∈ e q N, respectivamente. ∈ Tomando em M N sistemas de coordenadas locais do tipo × x y, a “nova” no¸cão de derivada parcial reduz-se a “antiga”, × vista na Se¸cão 6, Cap´ıtulo I. Por conseguinte, valem todos os resultados locais vistos no Cap´ıtulo I, tais como o teorema das fun¸cões impl´ıcitas, o teorema da fun¸cão inversa e a forma local das submersões. O leitor está convidado a estender formalmente as generaliza¸cões destes teoremas ao contexto das variedades.

5 A classe de uma subvariedade

Na defini¸cão de subvariedade, não demos muita aten¸cão a` sua classe de diferenciabilidade. Por isso, talvez seja interessante es- clarecer, por meio de um exemplo, que uma variedade N, de classe Ck, pode possuir uma subvariedade M, de classe Cr, r < k, de tal modo situada em N que não existe em M uma estrutura de variedade Cr+1 tomando-a uma subvariedade de N. Seja N = R2, com sua estrutura habitual de variedade de clase C e M = (x, y) R2; x4 = y3 . Então M = f 1(0), onde ∞ { ∈ } − f : R2 R é a fun¸cão de classe C definida por f(x, y) = x4 y3. → ∞ − “MAIN2” 2007/5/23 page 158

158 [CAP. VI: IMERSOES,˜ MERGULHOS E SUBVARIEDADES

Se 0 R fosse um valor regular de f, M seria uma subvariedade ∈ 2 de classe C∞ do R . (Se¸cão 5.2, Cap. II.) Tal não é o caso. Apesar disso, M é ainda uma subvariedade de classe C1 do R2, pois é o gráfico da fun¸cão y = x4/3, de classe C1.

y = x4/3

Figura 6.4.

Suponhamos que M pudesse receber uma estrutura de variedade de classe C2 do R2. A proje¸cão π : R2 R, π(x, y) = x, → daria origem a uma fun¸cão ϕ = π M : M R, de classe C2. | → Como ϕ é um homeomorfismo e em nenhum ponto de M o espa¸co 2 tangente T Mp é vertical, ϕ seria um difeomorfismo de clase C . Sua inversa ϕ 1 : R M seria uma aplica¸cão de classe C2, do tipo − → t (t, g(t)), g C2. Isto implicaria imediatamente g(t) = t4/3, 7→ ∈ uma contradi¸cão, pois t4/3 não é C2. O homeomorfismo ϕ = π M pode ser usado para transportar a | estrutura de variedade C∞ de R para M: o sistema de coordenadas ϕ: M R está contido em um unico´ atlas máximo A C em → ∈ ∞ M. No entanto, a variedade de classe C∞ (M, A) é apenas uma subvariedade de classe C1 de R2, pois a inclusão i: M R2 é de → classe C1 mas não é de classe C2. Podem-se dar exemplos semelhantes para cada r. Por exemplo, o gráfico de y = y r+1 é somente uma subvariedade | | de classe Cr de R2. “MAIN2” 2007/5/23 page 159

[SEC. 6: IMERSOES˜ CUJAS IMAGENS SAO˜ SUBVARIEDADES 159

6 Imers˜oes cujas imagens s˜ao subvariedades

Uma imersão f : M N pode deixar de ser um mergulho por → dois motivos: (i) f não é injetiva. O exemplo t´ıpico é a aplica¸cão de classe C , f : R R2, ∞ → definida por f(t) = (2 cos t + t, sen t).

f(R)

Figura 6.5.

(ii) f é injetiva mas f : M f(M) N não é um homeo- → ⊂ morfismo, onde f(M) tem a topologia induzida pela de N. (Ver Fig. 6.6.)

Figura 6.6.

Notemos que em nenhum dos exemplos da Fig. 6, f(R) é uma subvariedade de R2. Notemos também que f : R f(R) (com a → topologia induzida) não é aberta. “MAIN2” 2007/5/23 page 160

160 [CAP. VI: IMERSOES,˜ MERGULHOS E SUBVARIEDADES

Uma imersão de classe Ck (k 1) f : M N é localmente ≥ → injetiva. Mais precisamente, cada ponto p M possui uma vizi- ∈ nhan¸ca U tal que f U é um mergulho (Proposi¸cão 1). | Quando dim M = dim N, uma imersão f : M N é na rea- → lidade um difeomorfismo local: cada ponto p M possui uma ∈ vizinhan¸ca U que é levada difeomorficamente por f sobre uma vizinhan¸ca de f(p). Em particular, quando dim M = dim N, uma imersão é uma aplica¸cão aberta. A proposi¸cão abaixo mostra em que condi¸cões a imagem de uma imersão f : M N é uma subvariedade. → Proposi¸cão 5. Seja f : M m N n uma imersão de classe Ck → (k 1). Então f(M) é uma subvariedade de dimensão m e classe ≥ Ck de N se, e somente se, f : M f(M) é uma aplica¸cão aberta → (f(M) com a topologia induzida pela de N). Em particular, se f é um mergulho então f(M) é uma subvariedade de N. Demonstra¸cão: ( ) Suponhamos que f : M f(M) seja aberta. ⇒ → Cada ponto p M possui uma vizinhan¸ca U, dom´ınio de um sis- ∈ tema de coordenadas x: U Rm tal que f U é um mergulho (ver → | Proposi¸cão 1) e f(U) = V é aberto em f(M).

N U f p f(U) M f(p) x x˜

x(U)

Figura 6.7. “MAIN2” 2007/5/23 page 161

[SEC. 6: IMERSOES˜ CUJAS IMAGENS SAO˜ SUBVARIEDADES 161

As aplica¸cões x¯ = x (f U) 1 : V Rm, assim obtidas, defi- ◦ | − → nem um atlas de classe Ck em f(M). Pela Proposi¸cão 3, f(M) é de fato uma subvariedade de classe Ck de N.

( ) Reciprocamente, suponhamos que f(M) seja uma subva- ⇐ riedade de classe Ck de N. Então, pela Proposi¸cão 2, f : M → f(M) é uma imersão de classe Ck, e portanto uma aplica¸cão aberta.

f i Ck M f(M) ∈ N

. . . logo f Ck. i f Ck ∈ ◦ ∈

Exemplos:

1) A aplica¸cão f : R R2, dada por f() = eit, é uma imersão C → ∞ tal que f : R f(R) = S1 é uma subvariedade C do R2. → ∞

2) Seja g : S2 R4 definida por g(x, y, z) = (x2 y2, xy, xz, yz). → − Então g : S2 g(S2) é uma imersão C aberta, pois P 2 = g(S2) → ∞ é uma subvariedade do R4.

Observa¸c˜oes:

1) Note-se que, na Proposi¸c˜ao 5, n˜ao estamos supondo f injetiva!

2) Será mostrado brevemente que uma aplica¸cão de classe C 1 não pode transformar uma variedade em outra de dimensão maior. Por conseguinte, não será preciso admitir, no enunciado da Proposi¸cão 5, que f(M) é m-dimensional. “MAIN2” 2007/5/23 page 162

162 [CAP. VI: IMERSOES,˜ MERGULHOS E SUBVARIEDADES

3) Um problema interessante é o de investigar condi¸cões suficientes para que uma imersão f : M N seja um mergulho. Por exem- → plo, quando M é compacta toda imersão injetiva f : M N é → um homeomorfismo sobre f(M), logo um mergulho. Isto porque toda aplica¸cão cont´ınua e injetiva de um espa¸co compacto sobre um espa¸co de Hausdorff é um homeomorfismo. Outra condi¸cão suficiente é a seguinte.

4) Mergulhos pr´oprios.

Dada uma sequ¨ência (pn) em uma variedade M, escrevemos p para indicar que (p ) não possui nenhuma subsequ¨ência n → ∞ n convergente. Dada uma aplica¸cão f : M N entre variedades, → chama-se conjunto-limite de f ao conjunto

L(f) = q N; q = lim f(p ), p em M . { ∈ n n → ∞ }

Uma aplica¸cão f : M N, entre variedades, denomina-se → aplica¸cão própria quando é cont´ınua e p em M acarreta n → ∞ f(p ) em N. Em outras palavras, L(f) = . E´ fácil ver, n → ∞ ∅ pela propriedade de Bolzano-Weierstrass, que isto é equivalente a dizer que para cada compacto K N, f 1(K) M é compacto. ⊂ − ⊂ Toda aplica¸cão própria é fechada. Em particular, uma imersão injetiva própria é um mergulho e, além disso, f(M) é um subconjunto fechado de N. A inclusão i: R R2, i(x) = (x, 0) é um mergulho próprio de → R em R2. Um segmento de reta aberto e limitado em R2 é imagem de um mergulho R R2 que não é uma aplica¸cão própria. → “MAIN2” 2007/5/23 page 163

[SEC. 7: A CURVA DE KRONECKER NO TORO 163

As figuras abaixo são exemplos ilustrativos de mergulhos não próprios de R em R2.

Figura 6.8.

7 A curva de Kronecker no toro

O toro de dimensão 2, T 2 R3, é a imagem de R2 pela ⊂ aplica¸cão f : R2 R3, de classe C , dada por f(x, y) = (2 cos 2πx+ → ∞ cos 2πy cos 2πx, 2 sen 2πx + cos 2πy sen 2πx, sen 2πy). · · E´ fácil ver que (i) f : R2 R3 é uma imersão de classe C . → ∞ (ii) f(x, y) = f(x , y ) = x x Z, y y Z. 0 0 0 − ∈ 0 − ∈ Mostremos agora que a aplica¸cão f : R2 T 2 é aberta. Resul- → tará então da Proposi¸cão 5 que T 2 é uma superf´ıcie de dimensão 3 2 e classe C∞ no espa¸co R . Seja Z Z R2 o subgrupo aditivo formado pelos vetores de × ⊂ coordenadas inteiras. Dados w, w R2, temos f(w) = f(w ) 0 ∈ 0 ⇔ “MAIN2” 2007/5/23 page 164

164 [CAP. VI: IMERSOES,˜ MERGULHOS E SUBVARIEDADES w w Z Z, ou seja, a rela¸cão de equivalência definida por − 0 ∈ × f em R2 tem por classes de equivalência as classes laterais do subgrupo Z Z R2. Consideremos a aplica¸cão canônica π : R2 × ⊂ → R2/Z Z, tomando valores no grupo quociente R2/Z Z (munido × × da topologia quociente). Dado A R2 aberto, temos π 1(π(A)) = ⊂ − A + r, uma reunião de abertos. Segue-se que π(A) é aberto r Z Z ∈ × emSR2/Z Z, donde π é uma aplica¸cão aberta. Notemos ainda × que o grupo quociente R2/Z Z é compacto, pois é a imagem do × compacto [0, 1] [0, 1] R2 pela aplica¸cão cont´ınua π. × ⊂ Temos o diagrama comutativo clássico:

f - R2 T 2 π ? f R2/Z Z × onde f¯ é a bije¸cão cont´ınua induzida por f. Como T 2 R3 é ⊂ Hausdorff e o dom´ınio de f é compacto, segue-se que f¯ é um homeomorfismo. Consequen¨ temente f é aberta, pois f¯ constitui uma “equivalência” entre f e π. Assim T 2 R3 é uma superf´ıcie C e f : R2 T 2 é uma ⊂ ∞ → imersão. Através do homeomorfismo f¯, transporta-se para o grupo quociente R2/Z Z a estrutura de variedade C que T 2 possui, o que × ∞ torna π uma imersão e f¯ um difeomorfismo, ambos C∞. As imagens dos caminhos x f(x, y ), y f(x , y) chamam- 7→ 0 7→ 0 se respectivamente os paralelos e os meridianos de T 2. “MAIN2” 2007/5/23 page 165

[SEC. 7: A CURVA DE KRONECKER NO TORO 165

Consideremos os caminhos no toro do tipo T f λ(t), λ(t) = 7→ ◦ (t, at) R2. ∈ f t λ λ(t) 0 f(λ(t))

R2 R

Figura 6.9.

Se a = m/n é um numero´ racional (na forma mais simples) então fλ(R) é uma curva fechada em T 2. Com efeito, fλ(0) = fλ(n) pois λ(0) = (0, 0) e λ(n) = (n, m) Z Z. Geometrica- ∈ × mente, fλ(R) intersecta cada meridiano n vezes e cada paralelo m vezes. Suponhamos agora que a seja um numero´ irracional. Então, para s = t R, o ponto λ(s) λ(t) = (s t, a (s t)) R2 jamais 6 ∈ − − · − ∈ terá ambas as coordenadas inteiras. Por conseguinte, f λ: R ◦ → T 2 é uma imersão injetiva. Sua imagem f λ(R) é chamada a curva ◦ de Kronecker no toro. Geometricamente, a curva de Kronecker dá infinitas voltas em torno de cada paralelo e de cada meridiano do toro, fazendo com todos eles um anguloˆ constante.

Figura 6.10. “MAIN2” 2007/5/23 page 166

166 [CAP. VI: IMERSOES,˜ MERGULHOS E SUBVARIEDADES

Provaremos agora que a curva de Kronecker é um subconjunto denso do toro. Como f é um homeomorfismo local de R2 sobre T 2, é suficiente mostrar que os pontos de R2 que se aplicam por f em pontos da curva de Kronecker formam um conjunto denso em R2. Explicitamente, devemos provar que o conjunto

X = (t + m, at + n); t R, m, n Z { ∈ ∈ } é denso em R2 quando a é irracional. Usaremos o Lema. Se a é um numer´ o irracional, então o conjunto G = ma+ { n; m, n Z é denso em R. ∈ } Demonstra¸cão: Como G é subgrupo aditivo de R é suficiente mostrar que para cada ε > 0 existe g G com 0 < g < ε (com ∈ efeito, se isto ocorrer, os multiplos´ kg, k Z, decomporão a reta ∈ em intervalos de comprimento < ε). Escrevamos G+ = g { ∈ G; g > 0 . Suponhamos, por absurdo, que 0 < β = inf G+. } Afirma¸cão: neste caso, β G+. Realmente, se fosse β / G+, ∈ ∈ existiriam, pela defini¸cão de ´ınfimo, elementos distintos de G+ arbitrariamente próximos de β. A diferen¸ca entre dois dos tais elementos é arbitrariamente pequena e é ainda um elemento de G+. Portanto β G+. Afirma¸cão: G é gerado por β. Dado g G, ∈ ∈ escrevamos g = qβ +r, q Z, 0 r < β. Então r = g qβ G, | | ∈ ≤ | |− ∈ logo r = 0, donde g G e portanto g G. Escrevamos a = nβ e | | ∈ ∈ a + 1 = mβ como elementos de G. Então 1 = (m n)β, ou seja, − β é racional, donde a é racional, o que é uma contradi¸cão. Isto conclui a demonstra¸cão do lema. Mostremos agora que X é denso em R2. Dado (x, y) R2 e ∈ ε > 0, existem, pelo lema, m, n Z tais que y ax am˜ n < ε. ∈ | − − − | Escrevamos t = x + m˜ , m = m˜ . Então (t + m, at + n) = (x, ax + − am˜ + n). Logo d((x, y), (t + m, at + n)) < ε. “MAIN2” 2007/5/23 page 167

[SEC. 7: A CURVA DE KRONECKER NO TORO 167

Por vários motivos, a imersão injetiva f λ: R T 2 não é ◦ → um mergulho. Um deles é que a curva de Kronecker f λ(R) não ◦ é localmente conexa. Outro é que, em virtude da Proposi¸cão 4, quando m < n, uma subvariedade M m N n não pode ser um ⊂ subconjunto denso de N. “MAIN2” 2007/5/23 page 168

Cap´ıtulo VII

Submers˜oes, Transversalidade

Os conceitos de valor regular e submersão generalizam-se facilmente ao contexto das Variedades Diferenciáveis, assim como todos os resultados obtidos em cap´ıtulos anteriores: a forma local das submersões, o teorema da fun¸cão inversa, etc... Vários exemplos serão discutidos: as aplica¸cões do c´ırculo S1 e dos planos projetivos P n, os grupos de Lie. Concluimos o cap´ıtulo com uma exposi¸cão do conceito de transversalidade, introduzido por René Thom.

1 Submers˜oes

Seja f : M N uma aplica¸c˜ao de classe Ck, k 1. Um ponto → ≥ c N diz-se um valor regular de f se, para cada p f 1(c), a ∈ ∈ − derivada f (p): T M T N ´e sobrejetiva. 0 p → c “MAIN2” 2007/5/23 page 169

[SEC. 1: SUBMERSOES˜ 169

Quando c N f(M) então c é obviamente um valor regular ∈ − de f. Se algum c f(M) é valor regular de f, então dim M ∈ ≥ dim N. O resultado abaixo estende o Teorema 1, Cap´ıtulo II. Proposi¸cão 1. Seja c N um valor regular de uma aplica¸cão m n ∈ k 1 f : M N , de classe C (k 1). Então, ou bem f − (c) é → 1 ≥ vazio, ou bem f − (c) é uma subvariedade (m n)-dimensional de k 1 − M, de classe C . O espa¸co tangente a f − (c) em cada ponto p é o nucle´ o de f (p): T M T N . 0 p → c Demonstra¸cão: Se f 1(c) = , seja p f 1(c). Tomemos − 6 ∅ ∈ − coordenadas x: U Rm em M, p U e y : V Rn em N, → ∈ → c = f(p) V , com f(U) V . Então y(c) é valor regular da ∈ ⊂ aplica¸cão f = y f x 1 : x(U) Rn. xy ◦ ◦ − →

M N

f −1(c) f

U p V c x y m x(U) R fxy y(V ) Rn y(c)

Figura 7.1.

1 Pelo Teorema 1, Cap´ıtulo II, fxy− (y(c)) é uma superf´ıcie de dimensão m n e classe Ck no Rm. Pela Proposi¸cão 5, − x 1(f 1(y(c))) = f 1(c) U e uma subvariedade de classe Ck de − xy− − ∩ “MAIN2” 2007/5/23 page 170

170 [CAP. VII: SUBMERSOES,˜ TRANSVERSALIDADE

1 M. Do corolário da Proposi¸cão 4 resulta que f − (c) é uma subvariedade de M. A afirma¸cão sobre o espa¸co tangente é deixada para o leitor. Proposi¸cão 2 (Forma local das submersões para variedades.) Seja f : M N uma aplica¸cão de classe Ck (k 1). Suponha → ≥ que no ponto p M a derivada f (p): T M T N seja sobre- ∈ 0 p → f(p) jetiva. Então existem um sistema de coordenadas y : V Rn em → N, f(p) V , e um mergulho de classe Ck, x: U Rn Rm n, ∈ → × − (x será um sistema de coordenadas em M se M Ck) tais que ∈ x(U) = W Z, f(U) V e f = y f x 1 : W Z Rn é × ⊂ xy ◦ ◦ − × → da forma fxy(w, z) = w. Em particular, o conjunto X dos pontos p M onde f tem derivada sobrejetiva é aberto e f X é uma ∈ | aplica¸cão aberta.

N n M m V p f U f(p)

x y Zn−m

fxy y(V ) = W n W n

Figura 7.2.

Demonstra¸cão: Resulta imediatamente da forma local das sub- mersões. (Vide Se¸cão 8, Cap. I.) Deixamos ao leitor a verifica¸cão dos detalhes. Diz-se que uma aplica¸cão diferenciável f : M N é uma sub- → mersão se todo c N for valor regular de f. Isto é equivalente ∈ a dizer que para cada p M a derivada f (p): T M T N é ∈ 0 p → f(p) sobrejetiva. “MAIN2” 2007/5/23 page 171

[SEC. 1: SUBMERSOES˜ 171

Observa¸cões: 1) Pela Proposi¸cão 2, toda submersão é uma aplica¸cão aberta. 2) Se f : M N é uma submersão, então dim M dim N. → ≥ 3) Quando dim M = dim N os conceitos de submersão, imersão e difeomorfismo local coincidem. 4) As imersões e as submersões são chamadas aplica¸cões de posto máximo. (O posto de uma aplica¸cão diferencável f : M N, no → ponto p M, é a dimensão da imagem de f (p).) ∈ 0 Proposi¸cão 3. Seja f : M N uma submersão sobrejetiva de → classe Ck. Uma aplica¸cão g : N P é de classe Ck se, e somente → se, g f : M P é de classe Ck. ◦ → Demonstra¸cão: Suponhamos que g f : M P seja de classe ◦ → Ck. Dado c N, arbitrário, existe a M tal que c = f(a). ∈ ∈ Sejam x: U Rn Rm n, a U, um difeomorfismo de classe Ck → × − ∈ (U M aberto) e y : V Rn, c V , um sistema de coordenadas ⊂ → ∈ em N tais que f(U) V e f = y f x 1 : (w, z) w. Então ⊂ xy ◦ ◦ − 7→ g f x 1 = g y 1 f : (w, z) gy 1(w). Por hipótese, g f ◦ ◦ − ◦ − ◦ xy 7→ − ◦ ◦ x 1 : x(U) P é de classe Ck. Por conseguinte g y 1 : y(V ) P − → ◦ − → é de classe Ck, logo g Ck. A rec´ıproca é ob´ via. ∈ Corolário. Sejam M uma variedade de classe Ck, N um conjunto e f : M N uma aplica¸cão sobrejetiva. Então existe no máximo → uma estrutura de variedade de classe Ck em N que torna f uma submersão de classe Ck. k Demonstra¸cão: Sejam N1 e N2 estruturas de variedade C em N tais que f = f : M N e f = f : M N são am- 1 → 1 2 → 2 bas submersões de classe Ck. Consideremos a aplica¸cão identidade i: N N . Como i f = f é de classe Ck segue-se 1 → 2 ◦ 1 2 da proposi¸cão que i: N N é de classe Ck. Analogamente, 1 → 2 j : N N é de classe Ck. Por conseguinte, N = N . 2 → 1 1 2 “MAIN2” 2007/5/23 page 172

172 [CAP. VII: SUBMERSOES,˜ TRANSVERSALIDADE

Exemplo O espa¸co projetivo P n tem a unica´ estrutura diferenci´avel que torna π : Sn P n uma submers˜ao de classe C . → ∞

Observa¸cão. O leitor não deixará de perceber a assimetria exis- tente entre a Proposi¸cão 2 do Cap´ıtulo VI e a Proposi¸cão 3 do Cap´ıtulo VII, bem como entre seus corolários. Esta assimetria resulta do fato seguinte: se f : M N é uma → submersão sobrejetiva de classe C1, então a topologia de N fica perfeitamente determinada por f e M, pois f é uma aplica¸cão cont´ınua e aberta. Segue-se da´ı que N tem a topologia co-induzida por f. Por outro lado, para uma imersão injetiva f : M N, a to- → pologia de N não determina a de M. As figuras abaixo ilustram várias topologias em M R2 para as quais i: M R2 é uma ⊂ → imersão C∞:

Figura 7.3.

2 Rela¸c˜oes de simetria

2.1 - Aplica¸c˜oes do c´ırculo S1

A aplica¸cão exponencial ξ : R S1, dada por ξ(t) = eit, é uma → 1 submersão de classe C∞ de R sobre S . “MAIN2” 2007/5/23 page 173

[SEC. 2: RELAC¸OES˜ DE SIMETRIA 173

Pela Proposi¸cão 3, um aplica¸cão f : S1 M, do c´ırculo S1 → numa variedade diferenciável M, é de classe Ck se, e somente se, g = f ξ : R M é um caminho de classe Ck em M. ◦ →

g=f ξ ξ ◦ ? R f - S1 M

Na realidade, as aplica¸cões g : R M do tipo g = f ξ são → ◦ precisamente os caminhos em M tais que g(t + 2π) = g(t) para todo t R. Mais geralmente, os caminhos periódicos de classe ∈ Ck, g : R M (de per´ıodo p R), induzem, por passagem ao → ∈ quociente, as aplica¸cões de classe Ck, g¯: S1 M. →

g 2πit ξp ξp(t) = e p ? R g - S1 M

A aplica¸cão exponencial ξ : R S1 é também uma imersão → de classe C∞. Pela Proposi¸cão 2 do Cap´ıtulo VI, uma aplica¸cão g : M R é de classe Ck se, e somente se, ξ g : M S1 é de → ◦ → classe Ck. O c´ırculo S1 pode também ser considerado como o grupo quociente R/Z do grupo aditivo dos numeros´ reais pelo subgrupo Z dos numeros´ inteiros. Com efeito, o homomorfismo ξ : R S1 → “MAIN2” 2007/5/23 page 174

174 [CAP. VII: SUBMERSOES,˜ TRANSVERSALIDADE induz, por passagem ao quociente, um isomorfismo ξ : R/Z S1, ≈ o qual é um homeomorfismo pois R/Z é compacto e S1 é de Haus- 1 dorff. A estrutura de variedade C∞ em R/Z, transportada de S pelo homeomorfismo ϕ, é a unica´ que faz da proje¸cão canônica π : R R/Z uma submersão. → Considera¸cões análogas podem ser feitas a respeito da identifica¸cão do grupo quociente Rn/Zn com o toro n-dimensional T n = S1 S1. (Vide Se¸cão 7, Cap. III, para o caso n = 2.) × · · · × 2.2 - Aplica¸cões do espa¸co projetivo P n E´ fácil de ver que a proje¸cão canônica π : Sn P n é uma → submersão de classe C . Por conseguinte, uma aplica¸cão g : P n ∞ → M é de clase Ck se, e somente se, g π : Sn M é de classe Ck. ◦ → Em outras palavras, as aplica¸cões de classe Ck definidas em P n são obtidas, por passagem ao quociente, das aplica¸cões f : Sn M → de classe Ck tais que f(p) = f( p) para todo p Sn. − ∈

f π g(π(p)) = f(p) ? R g P n - M

Por dualidade, uma aplica¸cão f : M Sn é da classe Ck se, → e só se, π f : M P n é de classe Ck, pois π é também uma ◦ → imersão. 2.3 - Um difeomorfsmo entre P 1 e S1 Consideremos a aplica¸cão de classe C , f : S1 S1, definida ∞ → por f(z) = z2. E´ claro que f é sobrejetiva e f(z) = f(w) ⇔ “MAIN2” 2007/5/23 page 175

[SEC. 3: GRUPOS DE LIE 175 z = w. f induz uma bije¸cão cont´ınua (logo um homeomorfismo, pois P 1 é compacto) de classe C , g : P 1 S1, caracterizada por ∞ → g π = f. ◦

f - S1 S1 π g ? P 1

Pela regra da cadeia, para provar que g : P 1 S1 é um di- → feomorfismo local, basta mostrar que f é uma imersão. Isto é claro, pois f (z): T (S1) T (S1) é dada por f (z) h = 2z h 0 z → z2 0 · · (multiplica¸cão de numeros´ complexos). Logo g : P 1 S1 é um → difeomorfismo de classe C∞.

Nota: Este fato ´e v´alido apenas para n = 1.

3 Grupos de Lie

Um grupo de Lie é uma variedade G, de classe C∞, dotada de uma estrutura de grupo cuja multiplica¸cão m: G G G, × → m(x, y) = xy, é uma aplica¸cão de classe C∞. Provemos que, para cada x G, as aplica¸cões ∈ ` : G G, ` (y) = xy (transla¸cão a` esquerda por x), x → x r : G G, r (y) = yx (transla¸cão a` direita por x), x → x ξ : G G, ξ(x) = x 1 (inversão) → − são difeomorfismos de classe C∞. “MAIN2” 2007/5/23 page 176

176 [CAP. VII: SUBMERSOES,˜ TRANSVERSALIDADE

Da teoria dos grupos sabemos que `x , rx e ξ s˜ao bije¸c˜oes. A rigor,

1 (`x)− = `x−1 1 (rx)− = rx−1 1 (ξ)− = ξ.

Basta mostrarmos, então, que as aplica¸cões acima são de classe C∞. Consideremos em G G a estrutura de variedade produto. × Então j : G G G definida por j (y) = (x, y) é um mergulho x → × x de classe C . Como ` = m j segue-se que ` C . Analo- ∞ x ◦ x x ∈ ∞ gamente, i : G G G, i (y) = (y, x) é um mergulho de classe x → × x C e r = m i C . ∞ x ◦ x ∈ ∞ Para provar que ξ C faremos uso do Teorema das Fun¸cões ∈ ∞ Impl´ıcitas. A multiplica¸cão m: G G G num grupo de Lie é × → uma submersão, pois

∂ m(x, y) = (m j )0(y) = `0 (y): T G T G 2 ◦ x x y → xy

é um isomorfismo. Por conseguinte, a equa¸cão m(x, y) = e (e G é o elemento ∈ neutro de G) define, na vizinhan¸ca de cada x G, uma aplica¸cão ∈ η C tal que m(x, η(x)) = x η(x) = e. Então η(x) = x 1, ou ∈ ∞ · − seja η(x) = ξ(x). Assim, temos ξ C . ∈ ∞ A teoria dos grupos de Lie é um ramo importante da Ma- temática que se origina das Variedades Diferenciáveis e tem aplica- c˜¸oes importantes a` Geometria, as` Equa¸cões Diferenciais e a` F´ısica. Os grupos de Lie de matrizes foram discutidos no fim do Cap´ıtulo II. “MAIN2” 2007/5/23 page 177

[SEC. 4: TRANSVERSALIDADE 177

4 Transversalidade

Sejam f : M N uma aplica¸cão de classe Ck e S N → ⊂ uma subvariedade Ck de N. Em que condi¸cões a imagem inversa 1 k f − (S) é uma subvariedade de classe C de M? Uma resposta a esta questão é dada por meio da no¸cão de transversalidade. Trata- se de uma generaliza¸cão natural do conceito de valor regular. Por meio desta no¸cão pode-se dar um significado preciso ao fato de duas figuras se intersectarem em “posi¸cão geral”. Sejam f : M m N n uma aplica¸cão de classe Ck e Ss N n → ⊂ uma subvariedade de classe Ck. Diz-se que f é transversal a S no ponto p f 1(S) quando ∈ − f (p) T M +T S = T N , ou seja, quando a imagem de f (p) 0 · p f(p) f(p) 0 junto com o espa¸co tangente a S em f(p) geram T Nf(p) . Diz-se que f é transversal a S se, para todo ponto p f 1(S), f é transversal a S em p. ∈ − M

f(M) f N S

Figura 7.4.

Exemplos 1) S = c . { } Então f é transversal a c se, e somente se, c é valor regular de f. 2) f(M) S = . ∩ ∅ “MAIN2” 2007/5/23 page 178

178 [CAP. VII: SUBMERSOES,˜ TRANSVERSALIDADE

Então f é automaticamente transversal a S. 3) Se f é uma submersão então f é transversal a S, qualquer que seja a subvariedade S N. ⊂ Observa¸cão: Se f(M) S = e f é transverssal a S então ∩ 6 ∅ dim M + dim N dim S. Em outras palavras, quando dim M + ≥ dim S < dim N, dizer que f : M N é transversal a S significa → que f(M) S = . ∩ ∅ Recordemos que, dada uma subvariedade Ss N n de classe ⊂ Ck, existe, para cada q S, um difeomorfismo de classe Ck, ∈ y : V Rs Rn s (q V N aberto), tal que y(V S) Rs 0 → × − ∈ ⊂ ∩ ⊂ × (Proposi¸cão 4, Se¸cão 3, Cap. VI). Seja U M tal que f(U) V ⊂ ⊂ e consideremos a segunda proje¸cão π : Rs Rn s Rn s. × − → −

V U M f p N − f 1(S) S y Rn−1 π Rs 0 0 ×

Figura 7.5.

A condi¸c˜ao de transversalidade pode ser reduzida a` de valor regular:

Lema. A aplica¸cão f : M N é transversal a S nos pontos → de U f 1(S) se, e somente se, 0 Rn s é valor regular de ∩ − ∈ − π y (f U): U Rn s. ◦ ◦ | → − “MAIN2” 2007/5/23 page 179

[SEC. 4: TRANSVERSALIDADE 179

Demonstra¸cão: Seja p U f 1(S) = [π y (f U)] 1(0). ∈ ∩ − ◦ ◦ | − Ponhamos f(p) = q. Então (y f) (p) T M = y (q) f (p) T M = ◦ 0 · p 0 · 0 · p E e y (q) T S = Rs 0 . Como y (q): T N Rs Rn s é um 0 · q × { } 0 q → × − isomorfismo, as condi¸cões

(i) f (p) T M + T S = T N 0 · p q q (ii) E + Rs 0 = Rs Rn s × { } × − n s (iii) π(E) = R −

(iv) [π y (f U)] (p) T M = Rn s ◦ ◦ | 0 · p −

M 0 N f (p) T Mp · f 0(p) p T Sq q S T Mp

y0(q) Rn−s E π Rs 0 0

Figura 7.6. são todas equivalentes, o que conclui a demonstra¸cão. Dada uma subvariedade Ss N n, o numero´ n s chama-se a ⊂ − codimensão de S em N. Proposi¸cão 4. Seja f : M N uma aplica¸cão de classe Ck, → transversal a uma subvariedade S N, de classe Ck. Então ⊂ “MAIN2” 2007/5/23 page 180

180 [CAP. VII: SUBMERSOES,˜ TRANSVERSALIDADE

(i) Ou bem f 1(S) = ou bem f 1(S) é uma subvariedade de − ∅ − classe Ck de M, cuja codimensão em M é igual a` codimensão de S em N.

1 1 (ii) Neste caso, T (f − (S))p = f 0(p)− [T Sf(p)] para todo p f 1(S). ∈ −

Demonstra¸cão: Para cada p f 1(S), seja q = f(p) V . ∈ − ∈ Considere um difeomorfismo y : V Rs Rn s de classe Ck como → × − o do lema. Seja U p um aberto de M tal que f(U) V . Pela 3 ⊂ hipótese de transversalidade, pelo lema e pela Proposi¸cão 1, vê-se que f 1(S) U = [π y (f U)] 1(0) é uma subvariedade de M, de − ∩ ◦ ◦ | − dimensão m (n s) e classe Ck. O espa¸co tangente a f 1(S) U − − − ∩ em p é o nucleo´ de (π y f)0(p), que é evidentemente a imagem 1 ◦ ◦ inversa de [f 0(p)]− T Sq . A proposi¸cão fica provada lembrando o corolário da Proposi¸cão 4, Se¸cão 3, Cap. VI.

Corolário 1. Se f : M N é uma submersão de classe Ck então, → para toda subvariedade S N de classe Ck, f 1(S) é o conjunto ⊂ − vazio ou uma subvariedade de M de classe Ck.

Corolário 2. Sejam N n, Ss M m subvariedades de classe Ck. ⊂ Se N S = e se em cada ponto p N S, T N + T S = T M , ∩ 6 ∅ ∈ ∩ p p p então N S é uma subvariedade de M cuja dimensão é n+s m. ∩ − Além disso T (N S) = T N T S . ∩ p p ∩ p Em particular, se M 2, N 2 R3 são de classe Ck tais que, ⊂ em cada ponto p M N, os planos tangentes T M e T N são ∈ ∩ p p distintos, então M N é uma curva de classe Ck em R3. ∩ Outro caso especial ocorre quando M n, Sm n M m são tais − ⊂ que T N T S = T M em todo p N S. Então N S é uma p ⊕ p p ∈ ∩ ∩ variedade de dimensão 0, isto é, um conjunto discreto de pontos em M. “MAIN2” 2007/5/23 page 181

[SEC. 5: TRANSVERSALIDADE DE FUNC¸OES˜ 181

Figura 7.7. Se duas subvariedades N, S M são tais que T N + T S = ⊂ p p T M em todo ponto p N S, dizemos que N e S estão em p ∈ ∩ posi¸cão geral, ou que se cortam transversalmente.

5 Transversalidade de fun¸c˜oes

Diz-se que duas aplica¸cões diferenciáveis f : M P , g : N → → P são transversais nos pontos p M, q N, se f(p) = g(q) = ∈ ∈ r P e T P = f (p) T M + g (q) T N . ∈ r 0 · p 0 · q Seja f g : M N P P definida por (f g)(p, q) = × × → × × (f(p), g(q)). A diagonal ∆ = (p, p); p P P P é uma { ∈ } ⊂ × subvariedade de P P difeomorfa a P através da aplica¸cão δ: × P P × P

δ : P P P ∆ → × δ(p) = (p, p)

Proposi¸cão 5. Duas aplica¸cões diferenciáveis f : M P , g : N → → P são transversais nos pontos p M, q N (f(p) = g(q) = r) ∈ ∈ se, e somente se, f g : M N P P é transversal a ∆ P P × × → × ⊂ × em (p, q). “MAIN2” 2007/5/23 page 182

182 [CAP. VII: SUBMERSOES,˜ TRANSVERSALIDADE

Demonstra¸c˜ao: Da Algebra´ Linear sabemos que, dados dois subespa¸cos A, B E de um espa¸co vetorial E, temos A + B = E, ⊂ se, e somente se, (A B) + D = E E, onde D ´e a diagonal de × × E E. O resultado segue-se da´ı, tomando ×

A = f 0(p) T M , B = g0(q) T N , E = T P · p · q r A B = (f g)0(p, q) T (M N) = f 0(p) g0(q) T M T N × × · × (p,q) × · p × q D = T ∆r,r) .

Quando f : M P , g : N P são transversais em todos os → → pares p M, q N com f(p) = g(q) dizemos simplesmente que f ∈ ∈ e g são transversais. Por exemplo, se uma das aplica¸cões f, g for uma submersão, então f e g serão transversais.

Proposi¸cão 6. Se duas aplica¸cões f : M P , g : N P , de → → classe Ck (k 1), são transversais então o conjunto Q = (p, q) ≥ { ∈ M N; f(p) = g(q) é uma subvariedade de M N, de classe Ck × } × e dim Q = dim M + dim N dim P . − Demonstra¸cão: Basta observar que Q = (f g) 1(∆) e aplicar × − as Proposi¸cão 4 e 5.

Exemplos Qualquer aplica¸cão f : M N de classe Ck é transversal a → i: N N, pois a ultima´ é uma submersão. Por conseguinte, → Q = (p, q) M N; q = f(p) é uma subvariedade de classe Ck { ∈ × } de M N, e dim Q = dim M. Obviamente, Q é o gráfico de f. × Isto podia ser visto de outro modo, pois Q é a imagem de M pelo mergulho f˜: M M N, f˜(p) = (p, f(p)). → × Sejam f : M m N n uma submersão de classe Ck e Γ = → (p, q) M M; f(p) = f(q) o gráfico da equivalência indu- { ∈ × } zida por f. Então Γ é uma subvariedade de N, de classe Ck e dimensão 2m n. − “MAIN2” 2007/5/23 page 183

[SEC. 6: APLICAC¸OES˜ DE POSTO CONSTANTE 183

6 Aplica¸c˜oes de posto constante

Lembremos que o posto de uma aplica¸cão diferenciável f : M m N n no ponto p M é a dimensão da imagem da sua → ∈ derivada f (p): T M T N . 0 p → f(p) Se f : M m N n é de classe Ck, onde k 1, então o posto → ≥ de f num ponto p M é uma fun¸cão semi-cont´ınua inferiormente ∈ do ponto p. Isto significa que cada ponto p M possui uma ∈ vizinhan¸ca V tal que o posto de f em todos os pontos de V é maior do que ou igual ao posto de f no ponto p. E´ claro o que significa dizer que f : M m N n tem posto → constante. Por exemplo, imersões e submersões são aplica¸cões de posto constante. Sejam G, H grupos de Lie e f : G H um homomorfismo → diferenciável. Então f tem posto constante. Com efeito, sendo f um homomorfismo, dados a, p G arbitrários, temos f(a p) = ∈ · f(a) f(p), o que se pode escrever como f ` = ` f : G H, · ◦ a f(a) ◦ → usando as transla¸cões a` esquerda ` : G G e ` : H H. a → f(a) → Tomando p, q G quaisquer e pondo a = gp 1, temos então os ∈ − diagramas comutativos:

0 `a `a G G T Gp T Gq −−−−→ −−−−→ f f f 0(p) f 0(q)     H H T Hf(p) 0 T Hf(q) ` y −−f−(−a→) y y −−`f−(−a→) y

onde as derivadas à0 e `f0 (a) são tomadas nos pontos p e f(p) respectivamente. Como estas transforma¸cões lineares são isomorfismos, concluimos que f 0(p) e f 0(q) têm o mesmo posto. “MAIN2” 2007/5/23 page 184

184 [CAP. VII: SUBMERSOES,˜ TRANSVERSALIDADE

Proposi¸cão 7. (Teorema do posto para variedades.) Seja f : M m N n uma aplica¸cão de classe Ck (k 1) de posto constante → ≥ r, entre variedades de classe Ck. Para todo ponto p M exis- ∈ tem sistemas de coordenadas x: U Rm em M, com p U, e → ∈ y : V Rn em N, com q = f(p) V , tais que y f x 1 : (x1, . . . , → ∈ ◦ ◦ − xr, xr+1, . . . , xm) (x1, . . . , xr, 0, . . . , 0). 7→ Demonstra¸cão: Consequ¨ência imediata do teorema do posto em espa¸cos euclidianos. (Vide Se¸cão 10, Cap. I.)

Proposi¸cão 8. Seja f : M m N n de classe Ck (k 1) e posto → ≥ constante r. Para cada q N, se f 1(q) = então f 1(q) é uma ∈ − 6 ∅ − subvariedade de classe Ck e dimensão m r em M. − Demonstra¸cão: Dado p f 1(q), tomemos coordenadas x, y ∈ − como na Proposi¸cão 7. Sejam x(U) = U U Rr Rm r e 1 × 2 ⊂ × − y(q) = (a, 0) Rr Rn r. Então x(U f 1(q)) = a U , o que ∈ × − ∩ − × 2 permite considerar x (U f 1(q)) como um sistema de coordena- | ∩ − das locais em f 1(q), tomando valores no aberto U Rm r. − 2 ⊂ − Como aplica¸cão da Proposi¸cão 8, concluimos que, se f : G H → é um homomorfsimo C∞ entre grupos de Lie, seu nucleo´ K = 1 f − (e) é um subgrupo normal fechado, o qual é uma subvariedade de G e portanto um grupo de Lie. A Proposi¸cão 8 permite ainda estender para variedades os resultados finais da Se¸cão 10, Cap I. Enunciaremos tais fatos sem demonstra¸cão. O leitor poderá supri-las.

Proposi¸cão 9. Seja f : M m N n uma aplica¸cão de classe Ck → (k 1). Para cada r = 0, 1, . . . , s (s = min m, n ) seja A o ≥ { } r interior do conjunto dos pontos p M nos quais f tem posto r. ∈ Então A = A A é (aberto e) denso em M. 0 ∪ · · · ∪ s Corolário 1. O posto de f é constante em cada componente conexa de um subconjunto aberto e denso A M. ⊂ “MAIN2” 2007/5/23 page 185

[SEC. 6: APLICAC¸OES˜ DE POSTO CONSTANTE 185

Corolário 2. Se f é injetora, então m n e o conjunto dos ≤ pontos p M onde f tem posto m é aberto e denso em M. ∈ Corolário 3. Se f é aberta, então m n e o conjunto dos pontos ≥ p M nos quais f tem posto n é aberto e denso em M. ∈ “MAIN2” 2007/5/23 page 186

Cap´ıtulo VIII

Parti¸c˜oes da Unidade e suas Aplica¸c˜oes

1 Fun¸c˜oes auxiliares

Indicaremos com B(r) = x Rm; x < r a bola aberta de { ∈ | | } centro em 0 Rm e raio r. Quando houver necessidade, escreve- ∈ remos Rm(r) em vez de B(r). Seja M m uma variedade de classe Ck. Dados um ponto p M ∈ e um aberto p A M existem sempre um aberto U, com ∈ ⊂ p U A, e um sistema de coordenadas x: U Rm tal que ∈ ⊂ → x(U) = B(3). [Tomamos um qualquer sistema de coordenadas y em torno de p; por transla¸c˜ao, podemos supor que y(p) = 0. Existe r > 0 tal que y 1(B(r)) A. Pomos U = y 1((r)) e x = h y onde − ⊂ − ◦ h: Rm Rm ´e a homotetia h(v) = 3v/r.] → Quando tivermos um tal sistema de coordenadas usaremos le- 1 tras U, V , W para representar os conjuntos U = x− (B(3)), 1 1 V = x− (B(2)), W = x− (B(1)). “MAIN2” 2007/5/23 page 187

[SEC. 1: FUNC¸OES˜ AUXILIARES 187

U V M W

x B(3) B(2) B(1) 3 2 1 0

Figura 8.1.

A estes sistemas de coordenadas x: U B(3) associaremos → fun¸c˜oes ϕ : M R, de classe Ck, tais que: x → a) 0 ϕ (q) 1 para todo q M; ≤ x ≤ ∈ b) ϕ (W ) = 1, ϕ (M V ) = 0. x x −

Uma fun¸cão ϕx com as propriedades acima será chamada uma fun¸cão auxiliar do sistema de coordenadas x. Para se provar a existência de fun¸cões auxiliares basta exibir uma fun¸cão ϕ: Rm R, de classe C , tal que → ∞ a’) 0 ϕ(y) 1 para todo y Rm; ≤ ≤ ∈ b’) ϕ(y) = 1 para y 1, ϕ(y) = 0 para y 2. | | ≤ | | ≥ De fato, a fun¸cão ϕ : M R, definida por x → ϕ(x(q)), se q U, ϕx(q) = ∈ (0, se q M V ∈ − “MAIN2” 2007/5/23 page 188

188 [CAP. VIII: PARTIÇOES˜ DA UNIDADE E SUAS APLICAÇOES˜ será evidentemente uma fun¸cão auxiliar. Comecemos com a fun¸cão α: R R, definida por α(t) = → exp( 1/t) para t > 0, e α(t) = 0 para t 0. − ≤

− 1 α(t) = e t

0 t

Figura 8.2.

Como α é claramente C em R 0 e todas as suas derivadas ∞ −{ } tendem para 0 quando t 0, resulta que α é uma fun¸cão de classe → C∞ em R. Consideremos agora a fun¸cão β : R R, de classe C , definida → ∞ por β(t) = α(t + 2) α( t 1). Então β(t) = exp[(t + 2)(t + 1)] 1 · − − − para 2 < t < 1 e β(t) = 0 para os demais valores de t. − −

1 β(t) = e (t+1)(t+2) −2 < t < −1

2 1 t − −

Figura 8.3. “MAIN2” 2007/5/23 page 189

[SEC. 1: FUNC¸OES˜ AUXILIARES 189

+ 1 Seja b = ∞ β(s) ds = − β(s) ds. A integral indefinida 2 Z−∞ Z− 1 + γ(t) = ∞ β(s) ds b Z−∞ é uma fun¸cão de classe C tal que 0 γ(t) 1 e γ(t) = 1 para ∞ ≤ ≤ t 1. Além disso, γ cresce de 0 para 1 quando t varia de 2 a ≥ − − 1. −

γ(t) 1

−2 −1 t

Figura 8.4.

Deﬁnamos ﬁnalmente ϕ: Rm R por ϕ(x) = γ( x ) → −| |

ϕ(t) 1

−2 −1 1 2 t

Figura 8.5. “MAIN2” 2007/5/23 page 190

190 [CAP. VIII: PARTIC¸OES˜ DA UNIDADE E SUAS APLICAC¸OES˜

A norma x em Rm considerada acima deve provir de um pro- | | duto interno, x = x, x 1/2, | | h i a fim de que x x seja uma fun¸cão de classe C em Rm 0 . 7→ | | ∞ − { } Como γ é constante perto de x = 0, resulta que ϕ C . ∈ ∞ Mais geralmente, para cada numero´ real ε > 0, existe uma fun¸cão ϕ : Rm R, de classe C , tal que 0 ϕ (x) 1 para ε → ∞ ≤ ε ≤ todo x, ϕ (x) = 0 para x 2ε. Basta tomar ϕ (x) = ϕ(x/ε). ε | | ≥ ε

2 Algumas no¸c˜oes topol´ogicas

Seja M uma variedade de classe Ck. As fun¸cões auxiliares serão usadas na Se¸cão 3 para obter “parti¸cões da unidade” em M. Recordemos primeiramente, nesta se¸cão, alguns conceitos da Topologia Geral. (I) Dados um espa¸co topológico X e uma aplica¸cão f : X → Rm, o suporte de f é, por defini¸cão, o fecho do conjunto

x X; f(x) = 0 . { ∈ 6 } Usaremos a nota¸cão supp(f) para indicar o suporte de f. Dado x X, dizer que x / supp(f) significa que f se anula em todos os ∈ ∈ pontos de uma vizinhan¸ca de x. Exemplo. Usando as nota¸cões da Se¸cão 1, vê-se que as fun¸cões auxiliares ϕ : M R têm como suporte os conjuntos x → 1 1 V = x− (B(2)) = x− (B(2)).

Observemos que existem fun¸c˜oes auxiliares deﬁnidas em M com suportes arbitrariamente pequenos. Basta notar que dado “MAIN2” 2007/5/23 page 191

[SEC. 2: ALGUMAS NOÇOES˜ TOPOLOGICAS´ 191 um sistema de coordenadas y em torno de um ponto p M, com 1 ∈ y(p) = 0, as imagens inversas y− (B(r)) constituem uma base de vizinhan¸cas de p, quando r percorre um intervalo (0, α). (II) Uma fam´ılia = (C ) de subconjuntos de um espa¸co C α α A topológico X chama-se localmente∈ finita quando todo ponto x X ∈ possui uma vizinhan¸ca que intersecta apenas um numero´ finito de Cα’s. Mais precisamente, é localmente finita se, e somente se, para C cada x X existem uma vizinhan¸ca V x e um subconjunto ∈ 3 finito α , . . . , α A tais que { 1 r} ⊂ V C = α α , . . . , α . ∩ α 6 ∅ ⇒ ∈ { 1 r} Exemplos 1) A fam´ılia que consiste de todos os intervalos de reta (n, + ) C ∞ ⊂ R, n = 0, 1, 2, . . . é localmente finita. 2) Toda fam´ılia finita é localmente finita. Uma fam´ılia = (C ) C α α A de subconjuntos de X diz-se pontualmente finita quando todo∈ ponto x X pertence somente a um numero´ finito de C ’s. Toda ∈ α fam´ılia localmente finita é pontualmente finita. A rec´ıproca é falsa: cada ponto p R pertence no máximo a um numero´ finito de in- ∈ tervalos (1/n, 2/n), n = 1, 2, 3, . . . mas toda vizinhan¸ca de 0 R ∈ intersecta uma infinidade de tais intervalos. Dada uma fam´ılia localmente finita = (C ) de subconjun- C α tos de X, segue-se da defini¸cão de compacidade por cobertura abertas que um conjunto compacto K X só poderá intersectar ⊂ um numero´ finito de conjuntos C . Ou seja, dado K X com- α ⊂ pacto, existe um subconjunto finito A = α , . . . , α A tal 0 { 1 r} ⊂ que K C = = α A . A demonstra¸cão é fácil e é deixada ∩ α 6 ∅ ∈ 0 para o leitor. Em particular, dada uma fam´ılia localmente finita = (C ) num espa¸co compacto X, tem-se C = salvo para um C α α ∅ numero´ finito de ´ındices α. “MAIN2” 2007/5/23 page 192

192 [CAP. VIII: PARTIC¸OES˜ DA UNIDADE E SUAS APLICAC¸OES˜

Quando (Cα)α A é uma fam´ılia localmente finita de subcon- ∈ juntos de um espa¸co topológico X, tem-se Cα = Cα . Toda variedade diferencáel é um espa¸coSlocalmenSte compacto. Uma fam´ılia = (C ) de subconjuntos de um espa¸co localmente C α compacto X é localmente finita se, e somente se, cada conjunto compacto K X intersecta apenas um numero´ finito de C ’s. ⊂ α Mais exatamente, dado K, deve existir A = α , . . . , α A tal 0 { 1 s} ⊂ que C K = implica α A . α ∩ 6 ∅ ∈ 0 (III) Um espa¸co topológico com base enumerável goza da propriedade de Lindelöf: Toda cobertura aberta de X admite uma subcobertura enumerável. Da´ı se conclui sem dificuldade que se X é um espa¸co topológico com base enumerável e = (C ) é uma C α fam´ılia localmente finita de subconjuntos de X, então C = ex- α ∅ ceto para um subconjunto enumerável de α’s. Esta é a situa¸cão que encontraremos nas variedades diferenciáveis.

(IV) Seja X um espa¸co topológico. Dada uma cole¸cão (ϕα)α A de fun¸cões ϕ : X R, tais que a fam´ılia (supp(ϕ )) dos seus∈ α → α α A suportes é pontulamente finita, então a soma ∈

ϕ = ϕα α A X∈ tem sentido. De fato, para cada x X existe um conjunto finito ∈ de ´ındices A = α , . . . , α A tal que ϕ (x) = 0 se α / A . 0 { 1 r} ⊂ α ∈ 0 Definimos então ϕ(x) = ϕ (x) + + ϕ (x). α1 · · · αr Se (supp(ϕα))α A é localmente finita e as ϕα são cont´ınuas então ϕ é cont´ınua.∈ Com efeito, para cada x X existem uma 0 ∈ vizinhan¸ca V x e ´ındices α , . . . , α em A tais que ϕ(x) = 3 0 1 r ϕ (x) + + ϕ (x) para todo x V . α1 · · · αr ∈ “MAIN2” 2007/5/23 page 193

[SEC. 3: PARTIC¸OES˜ DA UNIDADE 193

3 Parti¸c˜oes da unidade

r Sejam M uma variedade de classe C e ϕ = ϕα a soma de α A k ∈ uma fam´ılia (ϕα)α A de fun¸cões de classe C em MP cujos suportes formam uma fam´ılia∈ localmente finita. Cada p M possui uma ∈ vizinhan¸ca V tal que ϕ(q) = ϕ (q) + + ϕ (q), para todo q p α1 · · · αr ∈ Vp . [Os ´ındices α1, . . . , αs são os mesmos para todos os pontos q k ∈ Vp .] Isto mostra que ϕ = ϕα é de classe C , por ser localmente α A ∈ uma soma finita de fun¸cõesPde classe Ck. Além disso, sendo M um espa¸co topológico com base enumerável, necessariamente ϕ 0 α ≡ salvo para uma quantidade enumerável de ´ındices α. Defini¸cão. Seja M uma variedade de classe Cr. Uma parti¸cão da unidade de classe Ck (k r) em M é uma fam´ılia de fun¸cões k ≤ (ϕα)α A , de classe C , tais que ∈ 1) Para todos os p M e α A, ϕ (p) 0; ∈ ∈ α ≥ 2) A fam´ılia = (supp(ϕα))α A é localmente finita em M; C ∈ 3) Para todo p M tem-se ϕα(p) = 1. ∈ α A P∈ Em vista de 2), a soma em 3) é finita em cada ponto p M. ∈ Tem-se também 0 ϕ (p) 1 por causa de 3) e de 1). ≤ α ≤ A defini¸cão acima inclui o caso de parti¸cões da unidade finitas, ϕ + + ϕ = 1. E´ suficiente tomar ϕ 0 salvo para um 1 · · · n α ≡ numero´ finito de ´ındices α. E´ claro que toda parti¸cão da unidade em uma variedade compacta é finita (ver Se¸cão 2, Observa¸cão 2).

Seja = (Cα)α A uma cobertura de M. Dizemos que uma C ∈ parti¸cão da unidade ϕβ = 1 está subordinada a` cobertura β B C ∈ se, para todo β B, existeP α A tal que supp(ϕ ) C . ∈ ∈ β ⊂ α Intuitivamente, a cobertura é uma medida do tamanho dos C suportes das fun¸cões ϕβ , no seguinte sentido: “MAIN2” 2007/5/23 page 194

194 [CAP. VIII: PARTIC¸OES˜ DA UNIDADE E SUAS APLICAC¸OES˜

Dadas duas coberturas , de um conjunto X, dizemos que C C0 é mais fina que , ou refina , ou é um refinamento de C C0 C C0 C C0 quando, para todo C , existe algum C tal que C C . ∈ C 0 ∈ C0 ⊂ 0 Por exemplo, uma parti¸cão da unidade Σ ϕβ = 1 está subordinada a` uma cobertura = (C ) se, e somente se, os suportes das C α fun¸cões ϕ formam uma cobertura que refina . β C A rela¸cão “ é mais fina que ” é reflexiva e transitiva mas C C0 não é anti-simétrica.

Dizemos que uma parti¸cão da unidade ϕα = 1 é estri- α A ∈ tamente subordinada a uma cobertura quandoP = (Cα)α A C C ∈ tem ´ındices no mesmo conjunto que as fun¸cões ϕα e, além disso, supp(ϕ ) C para todo α A. α ⊂ α ∈ Proposi¸cão 1. Sejam M uma variedade diferenciável e uma C cobertura aberta de M. Então possui uma refinamento = C U U1, U2, . . . localmente finito, formado por dom´ınios de sistemas { } m de coordenadas xi : Ui R tais que xi(Ui) = B(3) para todo i. → 1 1 Além disso, pondo Vi = xi− (B(2)) e Wi = xi− (B(1)), os Wi’s ainda constituem uma cobertura (localmente finita) de M.

Demonstra¸cão: Sendo um espa¸co de Hausdorff localmente compacto, com base enumerável, M pode ser escrito como reunião enumerável M = K de compactos tais que K int K para i i ⊂ i+1 i = 1, 2, . . . S O compacto K2 pode ser coberto com um numero´ finito de conjuntos aberto do tipo W cujos U’s correspondentes estão contidos no interior de K e em algum aberto da cobertura . Analoga- 3 C mente, a “faixa” compacta K int K pode ser coberta por um 3 − 2 numero´ finito de conjuntos do tipo W tais que cada um dos U’s correspondentes está contido em K K e em algum conjunto 4 − 1 aberto C . ∈ C “MAIN2” 2007/5/23 page 195

[SEC. 3: PARTIC¸OES˜ DA UNIDADE 195

K3 intK2 K3 U − K p 1 K2

Figura 8.6. Fazendo o mesmo racioc´ınio para K int K , K = int K , 4 − 3 r 4 etc., obtemos uma cobertura enumerável W , W , . . . de M e, { 1 2 } correspondentemente, uma cobertura = U , . . . , U , . . . . U { 1 n } A cobertura refina , por constru¸cão, e é localmente finita U C de uma maneira especial pois cada Ui , estando contido em algum Kj , intersecta apenas um numero´ finito dos outros U’s. Observa¸cão: Quando M é compacta, a Proposi¸cão 1 é trivial. A cobertura = U , . . . , U é finita, obtida imediatamente da U { 1 n} defini¸cão de compacidade por cobertura de abertos.

Corolário. Dada uma cobertura aberta =(Cα)α A de uma va- k C ∈ riedade M C , existe uma parti¸cão da unidade ψi = 1, ∈ i N ∈ de classe Ck, subordinada a` cobertura . P C Demonstra¸cão: Seja = U , U , . . . a cobertura de M ob- U { 1 2 } tida na demonstra¸cão da Proposi¸cão 1. Consideremos a fam´ılia R k de fun¸cões auxiliares ϕxi : M , de classe C , associadas aos → Rm sistemas de cordenadas xi : Ui . A soma ϕ = ϕxi será → i bem definida pois é localmente finita. Pondo ψi = ϕPx /ϕ então U i Σ ψi = 1 e obtemos a desejada parti¸cão da unidade.

Teorema 1. Dada uma cobertura aberta = (Cα)α A de uma va- k C ∈ riedade M de classe C , existe uma parti¸c˜ao da unidade ϕα = α A P∈ “MAIN2” 2007/5/23 page 196

196 [CAP. VIII: PARTIC¸OES˜ DA UNIDADE E SUAS APLICAC¸OES˜

1, de classe Ck, estritamente subordinada a` cobertura . C Demonstra¸cão: Seja ψi = 1 parti¸cão da unidade subordinada i N a , obtida pelo corolárioP∈ anterior. Assim, para cada i N, existe C ∈ α A tal que U C . Tomemos uma “fun¸cão de escolha” ∈ i ⊂ α f : N A, isto é, U C para todo i N. → i ⊂ f(i) ∈ Ponhamos ψα = ψi . Como é localmente finita, tem-se f(i)=α U P

Vi = V i . f([i)=α f([i)=α

Logo supp(ψα) = V i . f(i)=α S Afirmamos que (supp(ψα))α A é uma fam´ılia localmente finita. De fato, como é localmente ∈finita, dado p M existem V p e U ∈ 3 J = i , . . . , i N tais que { 1 r} ⊂ U V = i J. i ∩ 6 ∅ ⇒ ∈ Seja A = f(J). Se supp(ψ ) V = então U V = para 0 α ∩ 6 ∅ i ∩ 6 ∅ algum i tal que f(i) = α. Então U V = . Segue-se que i J, i ∩ 6 ∅ ∈ e portanto α = f(i) A . Em suma, supp(ψ ) V = ∈ 0 α ∩ 6 ∅ ⇒ α A . Consequen¨ temente (supp(ψ )) é localmente finita. A ∈ 0 α demonstra¸cão fica conclu´ıda pondo

ψ = ψα e ϕα = ψα/ψ. α A X∈ Ent˜ao Σ ϕ = 1 e supp(ϕ ) C . α α ⊂ α 4 O lema de Urysohn diferenci´avel

Seja M uma variedade diferenci´avel, de classe Ck. Uma parti¸c˜ao da unidade de classe Ck subtordinada a uma cobertura M = U V , ∪ “MAIN2” 2007/5/23 page 197

[SEC. 4: O LEMA DE URYSOHN DIFERENCIAVEL´ 197 formada por dois abertos, consiste de duas fun¸cões de classe C k, ϕ, ψ : M R, tais que ϕ, ψ 0, ϕ + ψ = 1, supp(ϕ) U e → ≥ ⊂ supp(ψ) V . Isto nos leva a` ⊂ Aplica¸cão 1 (Lema de Urysohn diferenciável). Sejam F , G dois subconjuntos não vazios, fechados e disjuntos, de uma variedade M Ck. Existe uma fun¸cão f : M R de classe Ck, tal que ∈ → 0 f 1, f(F ) = 0 e f(G) = 1. ≤ ≤ Demonstra¸cão: Como F G = , temos uma cobertura aberta ∩ ∅ M = (M f) (M G). Seja f + g = 1 uma parti¸cão da unidade − ∪ − de classe Ck tal que supp(f) M F e supp(g) M g. A ⊂ − ⊂ − fun¸cão f : M R cumpre as condi¸cões requeridas. → Como aplica¸cão do lema de Urysohn diferenciável, mostremos que, dado um subconjunto fechado F de uma variedade dife- renciável M Ck, existe uma fun¸cão f : M R de classe Ck que ∈ → se anula precisamente nos pontos de F . Aplica¸cão 2. Seja F um subconjunto fechado de uma variedade M de classe Ck. Então existe uma fun¸cão f : M R, de classe k 1 → C , tal que F = f − (0). Demonstra¸cão: Primeiro caso: F = K é compacto e M = Rm. 1 Para cada i N seja V = x Rm; d(x, K) < . ∈ i ∈ i Então todos os V ’s são abertos, V V . . . e K = V . i 1 ⊃ 2 ⊃ i Pela Aplica¸cão 1 existe, para cada i, uma fun¸cão de classe C , T ∞ f : Rm R, tal que 0 f 1, f (K) = 0 e f (Rm V ) = 1. i → ≤ i ≤ i i − i As fun¸cões fi podem anular-se em pontos de Vi que não estão ∞ em K. Mas se encontrarmos constantes αi > 0 tais que f = cifi i=1 seja uma fun¸cão de classe C∞, então f vai anular-se somenPte nos pontos de K. Realmente, x / K implica x Rm V para algum ∈ ∈ − i i, logo f (x) = 1, donde f(x) = 0. i 6 Encontremos agora tais constantes ci > 0. “MAIN2” 2007/5/23 page 198

198 [CAP. VIII: PARTIC¸OES˜ DA UNIDADE E SUAS APLICAC¸OES˜

Para cada i N, fi é constante fora do compacto V i . Sendo as- ∈ (j) sim, todas as derivadas fi , j = 1, 2, 3, . . . , são fun¸cões cont´ınuas com suporte compacto e, por conseguinte, são limitadas. Ou seja, para cada i = 1, 2, . . . e para cada j = 0, 1, 2, . . . , e para cada j = 0, 1, 2, . . . existe uma constante M > 0 tal que f (j)(x) < M ij | i | ij Rm (0) para todo x . [Aqui fi = fi e Mi0 = 1 para todo i]. ∈ 1 Escolhamos numeros´ reais αij tais que 0 < αij i e ≤ 2 Mij αi,j+1 αij para todo i = 1, 2, . . . e j = 0, 1, 2, . . . Isto pode ser ≤ 1 feito tomando α = e, após escolhermos α , α , . . . , i0 2i 1j 2j 1 αi,j, . . . , pondo αi,j+1 = min αi,j , i . 2 Mi,j+1 ∞ (j) Então, para cada j 0 fixo, a série αkjfi é dominada por ≥ i=1 ∞ 1 P Rm i , e portanto converge absoluta e uniformemente em . i=1 2 P Consideremos a “diagonal” αi = αii , i = 1, 2, . . . . Nota-se que i > j = ci αij . Logo cifi , bem como todas as séries ≤ i (j) P Rm cifi , convergem uniformemente no . i (∗) P Resulta da´ı que f = Σ cifi é uma fun¸cão de classe C∞, com (j) (j) f = Σ cifi . Isto conclui a demonstra¸cão do primeiro caso. Observa¸cão: A fun¸cão que acabamos de construir é constante (igual a Σ c ) fora da vizinhan¸ca V K. i 1 ⊃ Tomando f/Σ ci ao invés de f, podemos sempre supor que f = 1 fora de uma dada vizinhan¸ca de K.

Segundo caso (geral): Seja = ( ) uma cobertura localmente U Ui ﬁnita de M, formada por dom´ınios de sistemas de coordenadas 1 1 1 Ui = xi− (B(3)). Ponhamos Vi = xi− (B(2)) e Wi = xi− (B(1)).

(*) Vide AERn, Cap´ıtulo VI, Prop.7. “MAIN2” 2007/5/23 page 199

[SEC. 5: APLICAC¸OES˜ DIFERENCIAVEIS´ EM SUBCONJUNTOS ARBITRARIOS´ 199

Para cada i N, seja K = W F . Então K é um subcon- ∈ i i ∩ i junto compacto de Vi e F = Ki . Usando o difeomorfismo xi : Ui B(3) obtemos, pelo primeiro caso, uma fun¸cão de classe k → S 1 C f : M R tal que f (M v ) = 1 e f − (0) = K . i → i − i i i M Ui xi(Ki) Ki Vi 3 F 2 xi 1 Wi

Figura 8.7. Definimos f : M R pondo f(p) = f (p) f (p) f (p) . . . . → 1 · 2 · 3 Cada ponto p M possui uma vizinhan¸ca V que interesecta ∈ apenas um numero´ finito de conjuntos Ui1 , . . . , Uis . Então f = f f f em V pois nesta vizinhan¸ca as outras f ’s são iden- i1 · i2 · · · is i ticamente 1. Além disso, f(p) = 0 f (p) = 0 para algum ⇔ i i p K para algum i p F . Isto conclui a demonstra¸cão. ⇔ ∈ i ⇔ ∈ 5 Aplica¸cões diferenciáveis em subconjuntos arbitrários de variedades

Sejam M, N variedades de classe Ck, pelo menos, e X M um ⊂ subconjunto arbitrário. Uma aplica¸cão f : X N diz-se de classe → Ck se, para cada ponto p X, existe uma aplica¸cão f : V N, ∈ p p → de classe Ck, definida numa vizinhan¸ca aberta V M de p, tal p ⊂ que f = f em V X. p o ∩ Exemplos 1) Se V M é um subconjunto aberto e f : V N é uma ⊂ → aplica¸cão de classe Ck, então f X : X N é de classe Ck para | → “MAIN2” 2007/5/23 page 200

200 [CAP. VIII: PARTIÇOES˜ DA UNIDADE E SUAS APLICAÇOES˜ todo subconjunto X V . Em particular, a aplica¸cão de inclusão ⊂ i: X M é de classe Ck. → 2) No caso em que X M é uma subvariedade de classe Ck, tem- ⊂ se duas defini¸cões para o conceito “f : X N é de classe C k”. A → primeira é a da Se¸cão 1, Cap. V, considerando-se X como uma variedade diferenciável. Na segunda defini¸cão, olhamos para X simplesmente como um subconjunto de M. Devemos mostrar que estas defini¸cões são equivalentes. Pela Proposi¸cão 4, Se¸cão 3, Cap. VI, para cada ponto p X ∈ existe uma vizinhan¸ca p V M e um difeomorfismo ∈ p ⊂ s m s x: V U W R R − p → × ⊂ × (m = dim M, s = dim X) de classe Ck tal que x(V X) = u 0 . p ∩ ×{ }

M p X Vp f N

W π 0 U 0 π × U

Figura 8.8.

Se f : X N é de classe Ck no sentido da Se¸cão 1, Cap. V → então definimos f : V N por f = f x 1 π x, onde π : U p p → p ◦ − ◦ ◦ × W U 0 é a primeira proje¸cão. Como π(x(q)) = x(q) para → × todo q X V , temos f (X V ) = f (X V ) e é claro que ∈ ∩ p p| ∩ p | ∩ 0 f é de classe Ck na vizinhan¸ca aberta V M. Logo f Ck no p p ⊂ ∈ sentido da defini¸cão recente. “MAIN2” 2007/5/23 page 201

[SEC. 5: APLICAC¸OES˜ DIFERENCIAVEIS´ EM SUBCONJUNTOS ARBITRARIOS´ 201

Reciprocamente, suponhamos que, para cada p X, exista ∈ uma aplica¸cão de classe Ck, f : V N, definida na vizinhan¸ca V p p → p de p e coincidindo com f em V X. Como a inclusão i: X V p ∩ ∩ p → V é de classe Ck, vê-se que f = f i: X V N é de classe p p ◦ ∩ p → Ck. Logo f Ck como aplica¸cão entre variedades. ∈

Mostraremos agora que toda aplica¸cão f : X Rn, de classe → Ck num subconjunto X M, é a restri¸cão de uma aplica¸cão ⊂ g : V Rn, de classe Ck, definida numa vizinhan¸ca aberta V → do subconjunto X. Mais tarde iremos generalizar este resultado, considerando aplica¸cões f : X N, onde N é uma variedade → diferenciável. Em outras palavras, o Exemplo 1 é o mais geral poss´ıvel. Antes, porém, demonstremos o

Lema. Seja U um subconjunto aberto de uma variedade dife- renciável M Cr. Sejam f : U Rn uma aplica¸cão de classe ∈ → Ck (k r) e ϕ: M R uma fun¸cão de classe Ck cujo suporte ≤ → está contido em U. Então a aplica¸cão λ: M Rn, definida por → λ(p) = ϕ(p)f(p) se p U e f(p) = 0 se p M U, é de classe Ck. ∈ ∈ − Demonstra¸cão: E´ evidente que λ é de classe Ck em U. Além disso λ é de classe Ck em M supp(ϕ), visto que é identicamente − zero neste conjunto. Ora, uma aplica¸cão diferenciável em dois abertos é diferenciável na reunião destes. Logo λ C k em M = ∈ U (M supp(ϕ)). ∪ − Por abuso de nota¸cão, escrevemos ϕ(p) f(p) em vez de λ(p), · mesmo quando p / U. ∈ Este lema justifica a defini¸cão de suporte como sendo o fecho e não apenas o conjunto dos pontos onde a fun¸cão não se anula. “MAIN2” 2007/5/23 page 202

202 [CAP. VIII: PARTIC¸OES˜ DA UNIDADE E SUAS APLICAC¸OES˜

Aplica¸cão 3. Seja M uma variedade de classe Cr. Dada uma aplica¸cão f : X Rn, de classe Ck (k r) definida num subcon- → ≤ junto X M, existe uma aplica¸cão g : V Rn, definida numa ⊂ → vizinhan¸ca aberta V M de X, tal que g X = f. ⊂ |

Demonstra¸cão: Seja uma cobertura de X por abertos de M U tais que, para cada U , existe uma aplica¸cão f : U Rn, de ∈ U U → classe Ck, que coincide com f em U X. A reunião dos conjuntos ∩ U é uma sub-variedade aberta V M. Seja ϕU = 1 ∈ U ⊂ U ∈U uma parti¸cão da unidade de classe Ck, estritamente subPordinada a` cobertura . Para cada U , a aplica¸cão λU = ϕU fU é de classe k U ∈ U C (vide lema anterior) e a fam´ılia (supp λU )U é localmente k ∈U finita. Logo, g = λU é de classe C em V . Quando p X, U ∈ ∈U g(p) = ϕU (p)fU (Pp) = ϕU (p)f(p) = f(p), pois podemos, na U U soma, desprezarP as parcelasP ϕU (p) fU (p) com p / U. Isto conclui · ∈ a demonstra¸cão.

Quando X M ´e um subconjunto fechado, a Aplica¸c˜ao 3 pode ⊂ ser consideravelmente melhorada, como se segue:

Aplica¸cão 4 (Teorema de Tietze diferenciável). Seja X um subconjunto fechado de uma variedade M Cr. Toda aplica¸cão ∈ f : X Rn, de classe Ck (k r), pode ser estendida a uma → ≤ aplica¸cão h: M Rn, de classe Ck, definida em toda a varie- → dade.

Demonstra¸cão: Pela Aplica¸cão 3, existe uma aplica¸cão g:V → Rn, de classe Ck, que estende f a uma vizinhan¸ca V do subconjunto fechado X. “MAIN2” 2007/5/23 page 203

[SEC. 5: APLICAC¸OES˜ DIFERENCIAVEIS´ EM SUBCONJUNTOS ARBITRARIOS´ 203

V M

Figura 8.9.

Consideremos um conjunto aberto U tal que X U U V . ⊂ ⊂ ⊂( ) Isto pode ser feito pois M é um espa¸co topológico normal ∗ . Seja λ: M R uma fun¸cão de classe Ck tal que λ(X) = 1, → λ(M U) = 0 (cf. Aplica¸cão 1). Então h: M Rn, definida por − → h(p) = λ(p) g(p) se p V e h(p) = 0 se p M V , é de classe · ∈ ∈ − Ck e coincide com f em X.

Observa¸cões finais 1) A Aplica¸cão 3 continua verdadeira se substituimos Rn por qualquer variedade N Ck. (Este resultado mais forte será provado ∈ no Cap´ıtulo , quando faremos uso dos instrumentos adequados: mergulho em Rn e vizinhan¸ca tubular). 2) Por outro lado, a Aplica¸cão 4 não é válida para aplica¸cões que tomam valores numa variedade arbitrária. Por exemplo, a identidade i: S1 S1 não pode ser estendida a uma aplica¸cão → F : R2 S1, de classe C2. Com efeito, suponhamos por absurdo → que isto pudesse ocorrer. Escrevamos F (x, y) = (f(x, y), g(x, y)). Como F S1 = id, tem- | se f(cos t, sen t) = cos t, g(cos t, sen t) = sen t,

(*) Vide ETG, pag. 235. “MAIN2” 2007/5/23 page 204

204 [CAP. VIII: PARTIÇOES˜ DA UNIDADE E SUAS APLICAÇOES˜ para todo t R. Portanto, se escrevermos ∈ ∂f ∂f ∂g ∂g df = dx + dy e dg = dx + dy, ∂x ∂y ∂x ∂y a integral curvil´ınea abaixo é calculada imediatamente:

I = f dg g df = cos t (sen t) sen t d(cos t) S1 − S1 · − · Z 2π Z = (cos2 t + sen2 t) dt = 2π. Z0 Por outro lado, como S1 é o bordo do disco D2, o Teorema de Green fornece: ∂g ∂f ∂g ∂f I = f g dx + f g dy I ∂x − ∂x ∂y − ∂y ZS ∂f ∂g ∂f ∂g = 2 dxdy. 2 ∂x ∂y − ∂y ∂x ZZD Ora, a expressão dentro dos colchetes na integral dupla acima é identicamente nula, pois é o determinante cujas colunas são os ∂F ∂F vetores = F (x, y) e e = F (x, y) e , os quais são coli- ∂x 0 · 1 ∂y 0 · 2 neares por serem tangentes a S1 no mesmo ponto F (x, y). Assim I = 0, uma contradi¸cão. “MAIN2” 2007/5/23 page 205

Cap´ıtulo IX

M´etricas Riemannianas

1 Variedades riemannianas

Uma métrica riemanniana numa variedade diferenciável M é uma correspondência que associa a cada ponto p M um produto ∈ interno no espa¸co tangente T Mp . Seja g uma métrica riemanniana em M. Indicamos com gp(u, v) ou g(p; u, v) o produto interno dos vetores u, v T M . Quando ∈ p não há perigo de confusão usamos a nota¸cão u, v ou simples- h ip mente u, v . h i O comprimento ou norma do vetor tangente u T M é defi- ∈ p nido da maneira ob´ via por

u = u = g(p; u, u). | | | |p Uma variedade diferenciáel ondep está definida uma métrica riemanniana chama-se uma variedade riemanniana. Em termos mais precisos, trata-se de um par (M, g) onde g é uma métrica riemanniana na variedade M. Uma métrica riemanniana em que os produtos internos nos diversos espa¸cos tangentes não estão relacionados entre si não tem “MAIN2” 2007/5/23 page 206

206 [CAP. IX: METRICAS´ RIEMANNIANAS interesse. E´ desejável que o produto interno dependa pelo menos continuamente do ponto p M, num sentido que faremos preciso ∈ a seguir. A cada sistema de coordenadas em M, x: U Rm associamos → a fun¸cão gx : x(U) Rm Rm R, × × → definida por gx(x(p); a, b) = x (p) 1 a, x (p) 1 b . Notemos h 0 − · 0 − · ip que, para cada p U, tem-se um produto interno em Rm, dado ∈ por (a, b) gx(x(p); a, b). 7→ Consideremos também as fun¸cões

gx : U R, 1 i, j m, ij → ≤ ≤ ∂ ∂ definidas por gx (p) = gx(x(p); e , e ) = (p), (p) . ij i j h∂xi ∂xj ip Se a = (α1, . . . , αm) e b = (β1, . . . , βm) são vetores em Rm, 1 i ∂ 1 j ∂ então u = x0(p)− a = α i (p) e v = (x0(p)− b = β j (p), · i ∂x · j ∂x x x i j logo g (x(p); a, b) = g(Pp; u, v) = gij(p)α β . P i,j P Defini¸cão. Diz-se que a métrica riemanniana g em M é de classe Ck se, para cada sistema de coordenadas x em M, a fun¸cão gx : x(U) Rm Rm R é de classe Cr ou, equivalentemente, se × × → as fun¸cões gx : U R são de classe Cr. ij → “MAIN2” 2007/5/23 page 207

[SEC. 1: VARIEDADES RIEMANNIANAS 207

Exemplos 1) A métrica euclidiana. Sejam M = Rm e g(p, u, v) = u, v = i i m m h i u v para u, v T (R )p R . i ∈ ≡ 2)P Toda superf´ıcie M m Rn de classe Ck possui uma métrica ⊂ k 1 riemanniana natural, de classe C − . Basta considerar, em cada espa¸co tangente T M Rn, o produto interno induzido de Rn. p ⊂ Com efeito, dado um sistema de coordenadas x: U Rm em M, → sua inversa ϕ = x 1 : x(U) U Rn é uma parametriza¸cão de − → ⊂ classe Ck. Consequen¨ temente, a fun¸cão gx : x(U) Rm Rm R, × × → dada por gx(x(p); u, v) = ϕ (x(p)) u, ϕ (x(p)) v , é de classe Ck 1. h 0 · 0 · i − Observemos que

∂ϕ ∂ϕ gx (p) = (x(p)), (x(p)) . ij ∂xi ∂xj 3) Seja f : M N uma imersão de classe Ck. Dada uma métrica → riemanniana h Cr em N, definimos uma métrica riemanniana g ∈ em M pondo

g(p; u, v) = h(f(p); f 0(p) u, f 0(p) v) · · ou seja, u, v = f (p) u, f (p) v . h ip h 0 · 0 · if(p) Diz-se que a métrica riemanniana g é induzida pela imersão f. E´ fácil de ver que u, v é de fato um produto interno em T M e h ip p que, além disso, h Cr implica g Cs, s = min k 1, r . ∈ ∈ { − } No exemplo anterior, a métrica riemanniana natural em uma superf´ıcie M m Rn é induzida pela aplica¸cão de inclusão ⊂ i: M Rn. → A defini¸cão de métrica riemanniana de classe Cr pode ser for- mulada mais elegantemente, em termos de métricas induzidas. Se g é uma métrica riemanniana numa variedade M e x: U Rm é → um sistema de coordenadas em M, então gx é a métrica induzida “MAIN2” 2007/5/23 page 208

208 [CAP. IX: METRICAS´ RIEMANNIANAS em x(U) pela imersão x 1 : x(U) M. Dizemos que g Cr se − → ∈ gx : x(U) Rm Rm R é de classe Cr para todo sistema de × × → coordenadas x: U Rm. Sejam x: U Rm e y : V Rm sis- → → → temas de coordenadas numa variedade M, de classe Ck, munida de uma métrica riemanniana g. Suponhamos U V = . Nas ∩ 6 ∅ exposi¸cões clássicas de Análise Tensorial desempenham um papel proeminente as fórmulas que relacionam as fun¸cões gx : U V R ij ∩ → com as fun¸cões gy : U V R. Vamos apresentá-las, como uma ij ∩ → homenagem a` tradi¸cão. Para cada ponto q U V , seja (∂xα/∂yi) a matriz jacobiana 1 ∈ ∩ de x y− no ponto y(q). ◦ ∂ m ∂xα ∂ Então i (q) = i α (q). Segue-se que: ∂y α=1 ∂y · ∂x P α β x ∂ ∂ ∂x ∂x ∂ ∂ gij(q) = i , j = i j α , β ∂y ∂y q ∂y ∂y ∂x ∂x q Xα,β ∂xα ∂xβ = gx (q). ∂yi ∂yj αβ Xα,β y k 1 Note-se que isto exibe gij como fun¸cão de classe C − das x gαβ ; assim não se pode esperar obter uma métrica riemanniana de classe Ck numa variedade de classe Ck. Estudaremos agora as métricas riemannianas que se podem definir num subconjunto aberto U Rm. Lembremos que uma ⊂ transforma¸cão linear G (Rm) chama-se positiva definida quando ∈ L é simétrica (isto é G u, v = u, G v para quaisquer u, v Rm) h · i h · i ∈ e, além disso G u, u > 0 para todo u = 0 em Rm. h · i 6 Seja G: U (Rm) uma aplica¸cão de classe Ck, tal que G(p) → L é positiva definida, para todo p U. Definiremos uma métrica ∈ riemanniana g, de classe Ck em U, pondo

(*) g(p; u, v) = G(p) u, v , p U, u, v Rm. h · i ∈ ∈ “MAIN2” 2007/5/23 page 209

[SEC. 1: VARIEDADES RIEMANNIANAS 209

Reciprocamente, dada a métrica g Ck em U, reobtemos G ∈ do seguinte modo. Para p U fixo, cada vetor u Rm define ∈ ∈ um funcional linear v g(p; u, v) em Rm. A este funcional cor- 7→ responde um unico´ vetor G(p) u tal que a equa¸cão (*) acima se · verifica. Evidentemente u G(p) u é linear e a matriz de G(p) 7→ m· em rela¸cão a` base canônica de R é (gij(p)) = (g(p; ei, ej)), de modo que G: U (Rm) assim definida, é de classe Ck. → L Quando não houver perigo de confusão, escreveremos u, v h ip e u , em vez de g(p; u, v) e g(p; u, u), respectivamente, para | |p indicar o produto interno e a norma de vetores u, v (T U) , p ∈ p relativamente a` métrica riemanniana g. Note-se que T Up difere de Rm apenas porque o produto interno pode ser diferente. As nota¸cões u, v e u indicarão o produto interno e a norma usuais h i | | do espa¸co euclidiano Rm. Lema. Sejam = (Rm) o subespa¸co vetorial de (Rm) for- S S L mado pelas transforma¸cões lineares simétricas e = (Rm) o P P subconjunto de formado pelas transforma¸cões positivas defini- S das. Então é um subconjunto aberto convexo de e a aplica¸cão P S f : , definida por f(P ) = P 2, é um difeomorfismo C de P → S ∞ sobre si mesmo. P Demonstra¸cão: Sabe-se da Algebra´ Linear que todo operador positivo definido tem uma unica´ raiz quadrada positiva; logo f é uma bije¸cão de sobre si mesmo. Deixamos para o leitor o P trabalho de provar que é aberto em e convexo. Resta então P S mostrar que, para cada P , a derivada f (P ): , dada por ∈ P 0 S → S f (P ) H = P H + HP , é injetiva (e portanto um isomorfismo). 0 · Sabemos que os autovalores de P são todos positivos e que Rm possui uma base ortonormal formada por autovetores de P . Então, se P H + HP = 0, para cada um desses autovetores u Rm, com ∈ P u = λ u, λ > 0, teremos P (H u) = H(P u) = H(λ u) = · · · − − · λ(H u). Como P não pode admitir o autovalor negativo λ, − · − “MAIN2” 2007/5/23 page 210

210 [CAP. IX: METRICAS´ RIEMANNIANAS devemos ter H u = 0 para todos os elementos de uma base de · Rm, donde H = 0. O lema está demonstrado. Dado P , escreveremos √P = f 1(P ) . ∈ P − ∈ P Proposi¸cão 1. Seja g : U Rm Rm R uma métrica rieman- × × → niana de classe Ck num aberto U Rm. Existe uma aplica¸cão ⊂ Γ: U (Rm), de classe Ck, tal que, para cada p U, o opera- → L ∈ dor Γ(p) é positivo e v = Γ(p) v , v Rm. Em outras palavras, | |p | · | ∈ a norma de v T U , dada pela métrica riemanniana g é igual a` ∈ p norma euclidiana usual do vetor Γ(p) v. · Demonstra¸cão: Seja G: U (Rm) definida por g(p; u, v) = → L G(p) u, v . Usando o Lema, seja Γ(p) = G(p). Então, para h · i quaisquer v Rm e p U, temos: ∈ ∈ p v = Γ(p)2 v, v 1/2 = Γ(p) v, Γ(p) v 1/2 = Γ(p) v . | |p h · i h · · i | · | Isto conclui nosso estudo local das métricas riemannianas. Em seguida, provaremos a existência global de uma métrica riemanniana em qualquer variedade. Proposi¸cão 2. E´ poss´ıvel definir uma métrica riemanniana de clase Ck 1 em qualquer variedade M Ck. − ∈ Demonstra¸cão: Seja = (U ) uma cobertura localmente finita U i de M por dom´ınios de sistemas de coordenads x : U Rm com i i → xi(Ui) = B(3), para cada i = 1, 2, 3, . . . . Seja ϕi : M R uma k → fun¸cão auxiliar de classe C , associada ao sistema xi . (Vide Se¸cão 1, Cap. VIII.) Em cada vizinhan¸ca coordenada U M uma i ⊂ métrica riemanniana g Ck 1 é induzida do Rm pondo i ∈ − g (p; u, v) = x0 (p) u, x0 (p) v . i h i · i · i Obtemos uma métrica riemanniana g em M pondo

∞ g(p; u, v) = ϕ (p) g (p; u, v). i · i Xi=1 “MAIN2” 2007/5/23 page 211

[SEC. 2: A NORMA DA DERIVADA 211

[Como sempre, entendemos que ϕ (p) g (p; u, v) = 0 se p / U ]. Os i · i ∈ i detalhes podem ser verificados facilmente. Por exemplo, se u = 0 6 é um elemento de T Mp , então

g(p; u, u) = ϕ (p) g (p; u, u) > 0, i · i Xi pois ϕ (p) > 0 e g (p; u, u) > 0 para todo i tal que p V . i i ∈ i

2 A norma da derivada

Inicialmente recordaremos alguns fatos sobre normas em espa- cos¸ de aplica¸cões lineares. Sejam E, F espa¸cos vetoriais de dimensão finita, dotados de produtos internos, os quais indicaremos com o mesmo s´ımbolo u, v , enquanto u representará uma das normas induzidas por h i | | eles. Quando definimos a norma de uma transforma¸cão linear T : E F como T = sup T u ; u E, u = 1 , tornamos → | | {| · | ∈ | | } (E; F ) um espa¸co vetorial normado. Esta defini¸cão é conve- L niente por várias razões, uma das quais sendo que faz sentido em dimensão infinita. Uma desvantagem séria porém é que T T 7→ | | não é uma fun¸cão diferenciável em (E; F ). L Exemplo. Seja R2 com o produto interno usual. Dados x, y ∈ R, consideremos a transforma¸cão linear T : R2 R2, cuja ma- x 0 → triz relativa a` base canônica é 0 y . Para cada vetor unitário u = (cos θ, sen θ), temos T u = x2 cos2 θ + y2 sen2 θ. Por | · | conseguinte, T = √M, onde M é o máximo da fun¸cão θ | | p 7→ x2 cos2 θ + y2 sen2 θ. Um simples exerc´ıcio de cálculo nos mos- · · tra que T = max x , y . Da´ı resulta que a fun¸cão T T | | {| | | |} 7→ | | não é diferenciável, pois compondo-a com a aplica¸cão diferenciável “MAIN2” 2007/5/23 page 212

212 [CAP. IX: METRICAS´ RIEMANNIANAS

(x, y) x 0 obtemos (x, y) max x , y , a qual não é dife- 7→ 0 y 7→ {| | | |} renciável nas diagonais do plano. A fim de eliminar esta dificuldade, introduziremos agora um produto interno em (E; F ). L A cada A (E; F ) corresponde sua adjunta A (F ; E), ∈ L ∗ ∈ L caracterizada pela igualdade

A v, w = v, A∗ w , v E, w F. h · i h · i ∈ ∈ O produto interno de duas transforma¸cões lineares A, B ∈ (E; F ) será definido por L

A, B = tr(A∗B), h i onde tr significa o tra¸co. Note-se que A B (E), de modo que ∗ ∈ L seu tra¸co tem sentido. Se tomarmos bases ortonormais em E e F e supusermos que as matrizes de A e B, relativas a essas bases, são respectivamente (aij) e (bij) então as matrizes de A∗ e B∗, relativas as` mesmas bases, são as transpostas (aji) e (bji). Portanto

A, B = tr(A∗B) = a b . h i ij ij X,j Vemos pois que, se E = Rm e F = Rn, o produto interno A, B coincide com o produto interno euclidiano usual em Rnm, h i quando fazemos as identiﬁca¸c˜oes

(Rm; Rn) M(n m; R) Rnm. L ≈ × ≈

Vemos ainda que tr(A∗B) = tr(BA∗) = tr(AB∗) = tr(B∗A). Os axiomas do produto interno são facilmente verificados. Ob- temos uma nova defini¸cão de norma de uma transforma¸cão linear “MAIN2” 2007/5/23 page 213

[SEC. 2: A NORMA DA DERIVADA 213

A (E; F ), no caso em que E e F têm produtos internos, a ∈ L saber A = A, A = tr(A A). || || h i ∗ A fun¸cão A A 2 pé agora depclasse C em (E; F ), en- 7→ || || ∞ L quanto que A A é C exceto no ponto 0 (E; F ). 7→ || || ∞ ∈ L Para todo v E, vale a desigualdade ∈ A v A v . | · | ≤ || || · | | Com efeito, ela é equivalente a A v, A v A 2 v, v , ou h · · i ≤ || || · h i seja, a A A v, v tr(A A) v, v . h ∗ · i ≤ ∗ · h i Para provar esta ultima,´ observemos que o operador A A ∗ ∈ (E) é simétrico e não-negativo, logo existe uma base ortonormal L u1, . . . , um E tal que A∗A ui = λi ui , com λi 0. Seja { i } ⊂ · · ≥ v = Σ α vi . A desigualdade que queremos provar torna-se

Σ λ (αi)2 (Σ λ ) (Σ(αj)2), i ≤ i · o que é evidente, pois os λ são 0. i ≥ Seja agora f : M N uma aplica¸cão diferenciável entre varie- → dades riemannianas. Em cada ponto p M, a derivada de f é uma ∈ transforma¸cão linear f (p): T M T N , entre espa¸cos veto- 0 p → f(p) riais com produtos internos, de modo que tem sentido considerar as normas f (p) e f (p) discutidas acima. | 0 | || 0 || Proposi¸cão 3. Seja f : M m N n uma aplica¸cão de classe Ck+1, → entre variedades que possuem métricas riemannianas de classe C k. A fun¸cão λ: M R, definida por λ(p) = f (p) 2, é de classe Ck. → || 0 || Demonstra¸cão: Como se trata de um problema local, admitimos que f : U V é uma aplica¸cão de classe Ck+1 de um aberto → U Rn, e são dadas métricas riemannianas g em U, e h em V , ⊂ ambas de classe Ck. “MAIN2” 2007/5/23 page 214

214 [CAP. IX: METRICAS´ RIEMANNIANAS

Para cada p U, indiquemos com E = T U o espa¸co eucli- ∈ p p diano Rm com o produto interno g = , e, para q V , seja p h ip ∈ F = T V o espa¸co Rn com o produto interno h = , . Sejam q q q h iq G: U (Rm) e H : V (Rn) as aplica¸cões de classe Ck tais → L → L que, para quaisquer p U, q V , tem-se u, v = G(p) u, v , ∈ ∈ h ip h · i u, v Rm e w, z = w, H(q) z , onde w, z Rn. Indi- ∈ h iq h · i ∈ quemos com f (p)# : F E , q = f(p) a adjunta da deri- 0 q → p vada f (p): E F . Quando considerarmos f (p) como trans- 0 p → q 0 forma¸cão linear de Rm em Rn, sua adjunta será indicada, como de costume, por f (p) . Para todos v Rm, w Rn, p U e q V , 0 ∗ ∈ ∈ ∈ ∈ temos

# # v, G(p)f 0(p) w = G(p) v, f 0(p) w) h · i h · · i # = v, f 0(p) w = f 0(p) v, w h · ip h · iq = f 0(p) v, H(q) w = v, f 0(p)∗ H(q) w . h · · i h · i

# # 1 Portanto G(p)f 0(p) = f 0(p)∗ H(q), ou seja, f 0(p) = G(p)− f 0(p)∗ H(f(p)). Concluimos, ﬁnalmente, que

2 # 1 f 0(p) = tr(f 0(p) f 0(p)) = tr[G(p)− f 0(p)∗ H(f(p))], || || o que mostra ser λ: U R, definida por λ(p) = f (p) 2, uma → || 0 || fun¸cão de classe Ck. A proposi¸cão está demonstrada. Se desejarmos usar a norma

f 0(p) = sup f 0(p) u ; u T M , u = 1, q = f(p) , | | {| · |q ∈ p | |p } ent˜ao podemos apenas aﬁrmar o seguinte:

Proposi¸cão 4. Seja f : M m N n uma aplica¸cão de classe Ck+1, → entre variedades dotadas de métricas riemannianas de classe C k. A fun¸cão µ: M R, definida por µ(p) = f (p) , é cont´ınua. → | 0 | “MAIN2” 2007/5/23 page 215

[SEC. 3: A DISTANCIAˆ INTR´INSECA 215

Demonstra¸cão: Podemos admitir que f : U V é de classe → Ck+1 entre abertos U Rm, V Rn, munidos de métricas rie- ⊂ ⊂ mannianas, g em U, h em V , ambas de classe Ck. Pela Proposi¸cão 1, existem aplica¸cões cont´ınuas Γ: U (Rm) e ∆: V (Rn) → L → L tais que v = Γ(p) v e w = ∆(q) w para quaisquer v Rm | |p | · | | |q | · | ∈ e w Rn. Então ∈ m µ(p) = sup f 0(p) v ; v R , v = 1 {| · |f(p) ∈ | |p } m = sup ∆(f(p)) f 0(p) v ; v R , Γ(p) v = 1 {| · · | ∈ | · | } 1 m = sup ∆(f(p)) f 0(p) Γ(p)− u ; u R ; u = 1 {| · · · | ∈ | | } 1 = ∆(f(p)) f 0(p) Γ(p)− , | · · | onde a ultima´ norma é a do sup em (Rm; Rn). Como L : (Rm, Rn) R é cont´ınua, a proposi¸cáo está demonstrada. | | L →

3 A distˆancia intr´ınseca

Numa variedade riemanniana M, faz sentido falar em muitos conceitos geométricos. Por exemplo, podemos definir o comprimento de um caminho α: [a, b] M, de classe C1, imitando o → b 3 que se faz em R , isto é, pondo `(α) = α0(t) dt. Nesta ex- | | Za pressão, α (t) = α (t), α (t) é a norma do vetor tangente | 0 | h 0 0 iα(t) α (t) T M , segundo o produto interno definido pela métrica 0 ∈ α(t) p de M. Podemos também considerar α (t) como a norma da de- | 0 | rivada α (t): R T M . Pela Proposi¸cão 4, segue-se que o in- 0 → α(t) tegrando α (t) é uma fun¸cão cont´ınua de t e portanto a integral | 0 | que define `(α) tem sentido. Um caminho α: [a, b] M diz-se seccionalmente de classe C1 → se α é cont´ınuo e existe uma parti¸cão a = t < t < < t = b 0 1 · · · m tal que α = α [t , t ] é de classe C1 para todo i = 0, 1, . . . , n 1. i | i i+1 − “MAIN2” 2007/5/23 page 216

216 [CAP. IX: METRICAS´ RIEMANNIANAS

Usaremos a nota¸c˜ao α = α0, . . . , αn 1 para indicar um caminho { − } seccionalmente C1. Ainda neste caso podemos deﬁnir o comprimento de α por

`(α) = `(α ) + + `(α ). 1 · · · n A aditividade da integral mostra que `(α) não depende da escolha da parti¸cão. No que se segue, M será uma variedade riemanniana conexa, de classe Ck. Dados dois pontos arbitrários p, q M, existe um caminho ∈ α: [0, 1] M seccionalmente de classe Ck, tal que α(0) = p e → α(1) = q. Com efeito, consideremos um qualquer caminho cont´ınuo β : [0, 1] M ligando p a q e tomemos uma parti¸cão 0 = t < → 0 t < < t = 1 tal que β([t , t ]) U para cada i = 1 · · · n i i+1 ⊂ i 0, . . . , n 1, onde Ui é o dom´ınio de um sistema de coordenadas − m xi : Ui R cuja imagem é convexa. Para cada i = 0, . . . , n 1 → 1 − seja αi : [ti, ti+1] M a imagem por xi− do segmento de reta m → 1 em R que liga x (β(t )) a x (β(t )), ou seja, α (t) = x− [(1 i i i i+1 i i − t)xi(β(ti))+txi(β(ti+1))], ti t ti+1 . Então α = α0, . . . , αn 1 ≤ ≤ { − } é um caminho seccionalmente de classe C1 ligando p a q. Podemos então definir a distância intr´ınseca d(p, q) entre dois pontos p, q de uma variedade riemanniana conexa como d(p, q) = inf `(α); α seccionalmente C1 em M, ligando p a q . { } Proposi¸cão 5. Seja M uma variedade diferenciável, com uma métrica riemanniana de classe C0. A distância intr´ınseca acima definida satisfaz os axiomas que definem um espa¸co métrico. Demonstra¸cão: Sem duvida,´ d(p, q) = 0, d(p, q) 0, d(p, q) = ≥ d(q, p) e d(p, r) d(p, q) + d(q, r). Resta verificar que p = q ≤ 6 ⇒ d(p, q) > 0. Segue-se do axioma de Hausdorff que existe uma “MAIN2” 2007/5/23 page 217

[SEC. 3: A DISTANCIAˆ INTRÍNSECA 217 vizinhan¸ca U do ponto p tal que q / U. Podemos supor que U está ∈ contido no dom´ınio de um sistema de coordenadas x em M tal que x(U) = B(1) e x(p) = 0. Então U é compacto. pela Proposi¸cão 4, vemos que 0 < δ = sup x (r) ; r U < . Como q está no {| 0 | ∈ } ∞ exterior de U, para cada caminho α: [a, b] M, seccionalmente → C1, ligando p a q, existe α [a, b] tal que α(c) está na fronteira ∈ de U, ou seja, x(α(c)) = 1. Resulta da´ı que | | c c 1 (x α)0(t) dt δ α0(t) dt δ `(α). ≤ | ◦ | ≤ | | ≤ Za Za 1 Portanto, `(α) para todo caminho seccionalmente C1 ligando ≥ δ p a q, donde d(p, q) > 0. M

U q p α(0) α

x(α(c))

0 = x(p)

Figura 9.1.

Empregaremos o adjetivo “intr´ınseco” para qualificar todos os conceitos de espa¸co métrico relativos a` distância intr´ınseca d. Proposi¸cão 6. A topologia de M definida pela distância intr´ınseca coincide com a topologia original de M. Demonstra¸cão: Seja p M. ∈ “MAIN2” 2007/5/23 page 218

218 [CAP. IX: METRICAS´ RIEMANNIANAS

(i) Toda vizinhan¸ca p V M cont´em uma bola intr´ınseca ∈ ⊂ de centro em p. Com efeito, seja x: V Rm um sistema de 1 → coordenadas em torno de p tal que p U U V V , com ∈ ⊂ ⊂ 1 ⊂ x(p) = 0 x(U) = B(1). Pelo argumento da Proposi¸c˜ao 5, tem-se ∈

1 q M V q M U d(p, q) ∈ − ⇒ ∈ − ⇒ ≥ δ ·

1 1 Em outras palavras, d(p, q) < q V , isto é, B p; V . δ ⇒ ∈ δ ⊂ (ii) Toda bola intr´ınseca de centro p e raio ε > 0 contém uma vizinhan¸ca coordenada do ponto p. Seja x: V Rm um qualquer sistema de coordenadas em → torno de p. Podemos supor que x(p)=0 e que δ= sup x (r) 1 ; r {| 0 − | ∈ V < . Seja B uma bola aberta no espa¸co euclidiano, contida } ∞ em x(V ), com centro na origem e raio menor que ε/δ. Escrevamos 1 U = x− (B). Afirmamos que U está contido na bola intr´ınseca B(p; ε), de centro p e raio ε. De fato, dado q U podemos ligar ∈ q e p pelo caminho α: [0, 1] M dado por α(t) = x 1(t x(q)). → − · Como x(q) < ε/δ temos | |

1 `(α) = α0(t) dt = 0 | | Z 1 1 1 = [x0(x− (tx(q)))]− x(q) dt · ≤ Z0 1 ε δ x(q) dt < δ = ε. ≤ | | · δ Z0

Isto mostra que d(p, q) < ε, ou seja U B(p; ε), o que conclui a ⊂ demonstra¸c˜ao. “MAIN2” 2007/5/23 page 219

[SEC. 4: A TOPOLOGIA GERAL DE UMA VARIEDADE 219

4 A topologia geral de uma variedade

4.1 - Propriedade de Hausdorff Consideremos novamente o Exemplo 1, Se¸cão 5, Cap. IV, onde uma variedade não-Hausdorff M foi definida pelo atlas A = [x, y], com x: A C R, y : B C R, (A C) ∪ → ∪ → ∪ ∩ (B C) = C e x C = y C. ∪ | | Existe uma unica´ métrica riemanniana em M em rela¸cão a qual x e y são isometrias. Esta métrica é induzida por x em A C ∪ e por y em B C. ∪ A variedade riemanniana M é conexa: para ligar os pontos a e b por um caminho cont´ınuo, devemos partir de a, seguir ao longo de C até certo ponto, retornar pelo mesmo caminho e chegarmos assim em b. a A

C B b

Figura 9.2. Vemos que existem caminhos de comprimentos arbitrariamente pequenos ligando a e b, logo d(a, b) = 0 muito embora a = b. 6 Portanto a implica¸cão p = q d(p, q) > 0 (ponto crucial da 6 ⇒ Proposi¸cão 4) pode não ser verdadeira em uma variedade não- Hausdorff M. A distância intr´ınseca define apenas uma pseudo- métrica em M. Outro fato ainda mais desagradável é que a topologia (não- Hausdorff) de M definida pela pseudo-métrica intr´ınseca jamais irá coincidir com a topologia original de M. Realmente, a topologia original de M sempre é localmente de Hausdorff, enquanto “MAIN2” 2007/5/23 page 220

220 [CAP. IX: METRICAS´ RIEMANNIANAS que a topologia definida por uma pseudo-métrica autêntica nunca é localmente de Hausdorff. No exemplo acima, o ponto b pertence a toda pseudo-bola cen- trada em a mas não está em nenhuma vizinhan¸ca coordenada do ponto a.

4.2 - O axioma da base enumer´avel

Aos objetos que forem quase variedades diferenciáveis, faltando ser cumprida apenas a exigência da base enumerável, chamaremos, a` falta de nome melhor, de multiplicidades diferenciáveis. De qualquer maneira, uma multiplicidade diferenciável tem base enumerável localmente, isto é, cada ponto p M posui uma ∈ vizinhan¸ca (de coordenadas) que tem base enumerável. Por conseguinte, uma multiplicidade é um espa¸co E1, embora não necessariamente E2. E´ realmente fácil dar exemplos de multiplicidades diferencáveis que não possuem base enumerável de abertos. Basta considerar a soma topológica de uma quantidade não enumerável de cópias de uma variedade diferenciável não vazia M0 . Ou equivalentemente, seja M = M A o produto cartesiano de uma variedade dife- 0 × renciável M0 com um espa¸co discreto e não-enumerável A. Estes exemplos são triviais porque fornecem uma multiplicidade M não- conexa. Por outro lado, não é tão fácil obter exemplos de multiplicidades conexas sem base enumerável, embora tais objetos existam (ver R. Nevanlinna, “Uniformisierung”, pag. 51, para um exemplo bi-dimensional e Milnor “Der Ring der Vektorraumbundel”,¨ pag. 39, para um caso unidimensional). Todos os resultados dos Cap´ıtulos IV e VII, bem como as Pro- posi¸cões 5 e 6 deste cap´ıtulo, se aplicam as` multiplicidades dife- renciáveis. “MAIN2” 2007/5/23 page 221

[SEC. 4: A TOPOLOGIA GERAL DE UMA VARIEDADE 221

Proposi¸cão 7. Seja M uma multiplicidade conexa de classe Ck. As seguintes condi¸cões são equivalentes:

(i) M possui base enumerável (i.e., M é uma variedade). (ii) M admite parti¸cões da unidade (i.e., toda cobertura aberta de M admite uma parti¸cão da unidade de classe Ck a ela subordinada). k 1 (iii) Existe uma métrica riemanniana de classe C − em M.

Demonstra¸cão: (i) (iii) Corolário 1 da Proposi¸cão 1, Cap´ıtulo VIII. ⇒ (ii) (iii) Proposi¸cão 1, Cap´ıtulo IX. ⇒ (ii) (i) Pela Proposi¸cão 4, M é um espa¸co metrizável. ⇒ Como, além disso, M é conexo e localmente compacto, segue-se que M tem base enumerável. (Vide ETG, Corolário, pag. 225). Corolário. Seja M uma multiplicidade diferenciável conexa e N uma variedade de classe C1. Se existe uma imersão f : M N → de classe C1 então M é uma variedade. Com efeito, tomando uma métrica riemanniana de classe C 0 em N, a imersão f induz em M uma métrica riemanniana de classe C0. Pela Proposi¸cão 7, M possui base enumerável, ou seja, é uma variedade. Observa¸cão: O corolário acima não é trivial, mesmo se f for injetiva, pois a topologia de M pode ser consideravelmente mais fina do que a induzida por f. Obviamente, o resultado é imediato quando f for um mergulho. Exemplo. No espa¸co euclidiano Rn, sua métrica usual coincide com a métrica intr´ınseca. Por outro lado, numa superf´ıcie M m Rn, a distância usual em Rn não induz em M sua métrica ⊂ intr´ınseca, nem mesmo quando M é um subconjunto aberto de “MAIN2” 2007/5/23 page 222

222 [CAP. IX: METRICAS´ RIEMANNIANAS

Rn (ou seja, m = n), salvo se esse aberto é convexo. Por exemplo, se omitirmos do plano R2 o segmento [ 1, +1] do eixo dos − y, obteremos um aberto no qual a distância intr´ınseca entre os pontos ( 1, 0) e (1, 0) é 2√2, em vez de 2. Na esfera Sn Rn+1, − ⊂ a distância intr´ınseca entre dois pontos p, q é o comprimento do menor dos arcos de c´ırculo máximo que ligam p a q. (Se p = q, 6 − há apenas 2 desses arcos. Se p = q, há uma infinidade, todos de − mesmo comprimento, π.) E´ claro que se S M é uma subvarie- ⊂ dade e dS, dM indicam as distâncias intr´ınsecas respectivas, então d (p, q) d (p, q) para quaisquer p, q S. M ≤ S ∈ 5 Isometrias

Em toda esta se¸cão, M m e N n designarão variedades de classe Ck+1 dotadas de métricas riemannianas de classe Ck. Seja f : M N diferenciável. Diremos que sua derivada → f (p): T M T N , q = f(p), preserva o produto interno quando 0 p → q f (p) u, f (p) v = u, v para quaisquer u, v T N . Como se h 0 · 0 · iq h ip ∈ p sabe, isto ocorre se, e somente se, f 0(p) preserva a norma, ou seja, f (p) u = u para todo u T M . | 0 · |q | |p ∈ p Quando uma aplica¸cão diferenciável f : M N preserva o → produto interno em todos os pontos p M, dizemos que f é uma ∈ imersão isométrica de M em N. Isto implica, em particular, que dim M dim N e que f é localmente injetiva. Se, além disso, f ≤ for um homeomorfismo de M sobre f(M), diremos que f é um mergulho isométrico de M em N. Uma imersão isométrica de uma variedade riemanniana em outra de mesma dimensão chama- se uma isometria local. Uma isometria f : M N é uma bije¸cão → diferenciável cuja derivada, em todos os pontos, preserva o produto interno. Toda isometria é um difeomorfismo. Exemplos. 1) Seja J R um intervalo aberto. Para que um ⊂ “MAIN2” 2007/5/23 page 223

[SEC. 5: ISOMETRIAS 223 caminho f : J M, de classe C1, seja uma imersão isométrica, → é necessário e suficiente que em todos os pontos t J, seu vetor ∈ velocidade f 0(t) tenha comprimento 1. Quando isto ocorre, então, para cada intervalo fechado [a, b] J, o caminho f [a, b] tem com- ⊂b b| primento b a, pois `(f [a, b]) = f 0(t) dt = dt = b a. Re- − | a | | a − ciprocamente, se o comprimentoZde cada caminhoZ restrito f [a, b] | é b a então, para cada t J devemos ter f 0(t) = 1. Com efeito, − ∈ | | b fixando a em J, obtemos t a `(f [a, t]) = f 0(s) ds para − ≤ | a | | qualquer t > a em J. Derivando em rela¸cão a tZ, vem 1 = f (t) , | 0 | como quer´ıamos. Em virtude deste fato, um caminho cujo vetor velocidade tem comprimento 1 em todos os pontos diz-se parametrizado pelo comprimento de arco. E´ interessante observar que para todo caminho f : J M, de → classe Cr (r 1), tal que f (t) = 0 para todo t J, existe uma ≥ 0 6 ∈ reparametriza¸cão, isto é, um difeomorfismo ϕ: I J, de classe → Cr, tal que f ϕ: I M é parametrizado pelo comprimento ◦ → de arco. Com efeito, escolhamos um ponto a J e definamos t ∈ λ: J R pondo λ(t) = f 0(s) ds. (Aqui λ(t) < 0 se t < a.) → a | | Evidentemente, λ Cr eZ λ (t) = f (t) > 0. Segue-se que λ é ∈ 0 | 0 | crescente e é um difeomorfismo de J sobre um intervalo aberto I R. Seja ϕ = λ 1 : I J. Então o caminho reparametrizado ⊂ − → f ϕ: I M é tal que, para cada 0 = λ(t) I, temos ◦ → ∈

1 f 0(t) (f ϕ)0(s) = f 0(ϕ(s)) ϕ0(s) = f 0(t) = | | = 1. | ◦ | | · | | · λ0(t)| λ0(t)

Por conseguinte, f ϕ é parametrizado pelo comprimento de arco. ◦ Um caso particular: f : R R2, definida por f(t) = (cos t, sen t), → é uma imersão isométrica da reta no plano, cuja imagem é o c´ırculo unitário S1. “MAIN2” 2007/5/23 page 224

224 [CAP. IX: METRICAS´ RIEMANNIANAS

2) Seja λ: J R2 um caminho de classe Cr (r 1), parame- → ≥ trizado pelo comprimento de arco. Aplicaremos a faixa aberta U = J R R2 em R3, pondo f(x, y) = (λ(x), y) R2 R. × ⊂ ∈ × Então f : U R3 é uma imersão isométrica. Se λ for um homeo- → morfismo sobre λ(J), então f será um mergulho isométrico e, por conseguinte, uma isometria de U sobre a superf´ıcie f(U), que é chamada o cilindro reto de base λ(J). 3) Seja f : R2 R4 definida por f(x, y) = (cos x, sen x, cos y, → sen y). Então f é uma imersão isométrica, cuja imagem f(R2) é um toro (de dimensão 2) em R4. Com efeito, a rela¸cão de equi- valência induzida por f tem como classes de equivalência as classes laterais do subgrupo Z Z R2 e portanto existe uma decom- × ⊂ posi¸cão:

f R2 - R4 π ? f R2/Z Z ×

No diagrama acima, π é o difeomorfismo local canônico de R2 sobre o toro T 2 = R2/(Z Z). (Vide Cap´ıtulo VI, Se¸cão 7). Como × f¯ π = f C , segue-se da Proposi¸cão que f¯ C . Como f¯ ◦ ∈ ∞ ∈ ∞ é claramente uma imersão biun´ıvoca e T 2 é compacto, concluimos que f¯ é um mergulho do toro T 2 em R2, cuja imagem coincide com f(R2). Mais geralmente, de modo análogo, podemos definir, para cada inteiro m, uma imersão isométrica f : Rm R2m, de classe C , → ∞ cuja imagem é um toro de dimensão m. Em outras palavras, em “MAIN2” 2007/5/23 page 225

[SEC. 5: ISOMETRIAS 225 cada toro pode-se introduzir uma métrica riemanniana que o torna localmente isométrico ao espa¸co euclidiano. Note-se que não pode existir uma imersão isométrica f : R2 R3 cuja imagem seja o toro. Mais geralmente, não existe → uma superf´ıcie compacta M 2 R3 que seja localmente isométrica ⊂ ao plano R2. Isto resulta de fatos conhecidos de Geometria Di- ferencial pois uma superf´ıcie localmente isométrica ao plano tem curvatura gaussiana identicamente nula, enquanto que toda superf´ıcie compacta M 2 R2 deve possuir pelo menos um ponto ⊂ cuja curvatura gaussiana é positiva. (Vide M.P. do Carmo “Ele- mentos de Geometria Diferencial”, pág. 106, Exerc. 14.) 4) Seja T : Rn Rn um operador ortogonal. Munido do seu pro- → duto interno natural, Rn é uma variedade riemanniana e T é uma isometria. Consequen¨ temente, se M m Rn é uma superf´ıcie tal ⊂ que T (M) = M, então f = T M é uma isometria de M. (Bem | entendido, estamos considerando em M a métrica riemanniana n n 1 n 1 induzida de R .) Em particular, como T (S − ) = S − para toda transforma¸cão T O(Rn), obtemos uma infinidade de iso- ∈ metrias f : Sn 1 Sn 1 considerando as restri¸cões a` esfera Sn 1 − → − − de operadores ortogonais em Rn. Assim temos a aplica¸cão ant´ıpoda α: p p, as reflexões (x1, . . . , xn) (x1, . . . , xi . . . , xn), etc. 7→ − 7→ − Outras superf´ıcies podem ser transformadas sobre si mesmas por meio de certos operadores ortogonais. (Diz-se então que a superf´ıcie exibe um certo tipo de simetria.) Por exemplo, o toro de revolu¸cão, obtido como por rota¸cão de um c´ırculo vertical em torno do eixo x = y = 0, admite as isometrias (x, y, z) (x, y, z), 7→ − (x, y, z) (x, y, z), p p, etc. 7→ − 7→ − 5) Sabemos que, dadas uma imersão f : M m N m, de classe → Ck+1, e uma métrica riemanniana h em N, de classe Ck, existe uma métrica riemanniana g em M, de classe Ck, que torna f uma isometria local. Basta tomar g = métrica induzida por f. (Vide “MAIN2” 2007/5/23 page 226

226 [CAP. IX: METRICAS´ RIEMANNIANAS

Se¸cão 1, Cap. IX.) Consideremos agora a situa¸cão oposta. Dada a imersão f, entre variedades de mesma dimensão, supomos que M possui uma métrica riemanniana e queremos saber se existe uma métrica em N que torna f uma isometria local. Condi¸cão necessária e suficiente para que isto ocorra é a seguinte: Se p, q ∈ M são tais que f(p) = f(q), então a transforma¸cão linear f (q) 1 0 − ◦ f (p): T M T N é uma isometria linear. 0 p → q Com efeito, em cada ponto p M, a derivada f (p): T M ∈ 0 p → T Nf(p) é um isomorfismo linear. Logo existe um unico´ produto interno em T N que a torna uma isometria. Se q M é outro f(p) ∈ ponto tal que f(p) = f(q), o produto interno induzido por f 0(q) em T N coincide com o anterior, pois f (p) = f (q) L, onde f(q) 0 0 ◦ L: T M T M é a isometria f (q) 1 f (p). Assim, existe uma p → q 0 − ◦ 0 métrica riemanniana em N que torna f uma isometria local. Sendo f Ck+1, isto faz com que tal métrica (induzida localmente por ∈1 k f − ) seja de classe C . A rec´ıproca é ob´ via. Como exemplo de tal situa¸cão, sejam M m uma variedade com uma métrica riemanniana de classe Ck e f: M m N m um difeomorfismo local de classe Ck+1 → com a seguinte propriedade: dados p, q M com f(p) = f(q), ∈ existe uma isometria ϕ: M M, de classe Ck+1, tal que f ϕ = → ◦ f e ϕ(p) = q. Então existe uma métrica riemanniana de classe Ck em N que torna f uma isometria local. Com efeito, temos f (ϕ(p)) ϕ (p) = f (p), ou seja ϕ (p) = f (p) 1 f (p), sempre que 0 ◦ 0 0 0 0 − ◦ 0 f(p) = f(q). Como ϕ (p): T M T M é uma isometria linear, 0 p → q o resultado segue-se. Aplica¸cões: existem métricas riemannianas no espa¸co projetivo P m e no toro T m = Rm/(Z Z) que × · · · × tornam as aplica¸cões canônicas π : Sm P m e π : Rm T m → 0 → isometrias locais. Com efeito, a aplica¸cão ant´ıpoda ϕ: Sm Sm → é uma isometria tal que π(p) = π(q) q = ϕ(p). Além disso, ⇔ π (p) = π (q) a = q p Zm. A transla¸cão ϕ: x x + a é 0 0 ⇔ − ∈ 7→ uma isometria de Rm tal que π ϕ = π e ϕ(p) = q. A métrica de ◦ 0 “MAIN2” 2007/5/23 page 227

[SEC. 5: ISOMETRIAS 227

P n que torna π : Sm P m uma isometria local chama-se métrica → el´ıptica. A métrica de T m que torna π : Rm T m uma isometria 0 → local é chamada métrica achatada. 6) Seja G um grupo de Lie. Uma métrica riemanniana em G diz-se invariante a` esquerda quando, para todo g G, a transla¸cão a` es- ∈ querda ` : h gh é uma isometria de G. Analogamente se define g 7→ métrica invariante a` direita de métrica bi-invariante. Em todo grupo de Lie, existe uma métrica invariante a` esquerda. Basta considerar um produto interno na algebra´ de Lie T Ge e estendê-lo por transla¸cão a` esquerda, isto é, impondo que, para cada g G, a ∈ derivada ` (e): T G T G seja uma isometria. Isto é suficiente g0 e → g para que cada derivada ` (h): T G T G preserve o produto g0 h → gh interno. De maneira análoga se mostra que todo grupo de Lie pode ser munido de uma métrica invariante a` direita. 7) Mostraremos agora que o grupo ortogonal O(Rm), conside- 2 rado como superf´ıcie em (Rm) = Rm , herda deste espa¸co eucli- L diano uma métrica bi-invariante. Com efeito, associemos a cada A (Rm) a aplica¸cão linear ` : (Rm) (Rm) que consiste ∈ L A L → L na multiplica¸cão a` esquerda por A, ou seja, ` (X) = A X. Consi- A · deremos em (Rm) o produto interno X, Y = tr(X Y ). Então, L h i ∗ se A: Rm Rm for ortogonal, ` : (Rm) (Rm) também será → A L → L ortogonal, pois ` (X), ` (Y ) = AX, AY = tr(X A AY ) = h A A i h i ∗ ∗ tr(X Y ) = X, Y . A rec´ıproca também vale: se ` for ortogo- ∗ h i A nal, A o será. A demonstra¸cão é deixada a cargo do leitor. De qualquer modo, concluimos que, para cada A 0(Rm), ` é uma ∈ A isometria de (Rm). Por conseguinte, se G (Rm) é um grupo L ⊂ L de Lie que contém a transforma¸cão ortogonal A, então À(G) = G e, por conseguinte, a restri¸cão ` G é uma isometria de G, quando A| tomamos neste grupo sua métrica riemaniana natural, induzida de (Rm). Por exemplo, o grupo unimodular SL(Rm) contém o L grupo ortogonal. Logo, para cada A O(Rm), a transla¸cão a` es- ∈ “MAIN2” 2007/5/23 page 228

228 [CAP. IX: METRICAS´ RIEMANNIANAS

m querda À é uma isometria de SL(R ). Evidentemente, para cada m m A O(R ), À é uma isometria de O(R ), ou seja, a métrica ∈ 2 natural do grupo ortogonal (induzida pelo espa¸co euclidiano Rm ) é invariante a` esquerda. (Mas a métrica natural de SL(Rm) não é invariante a` esquerda.) Tudo o que foi dito acima se aplica para a transla¸cão a` direita r : X X A. Basta notar que A 7→ · tr(XY ) = tr(Y X). Segue-se que a métrica riemanniana natural de O(Rm) é bi-invariante. 8) Seja f : M N uma imersão isométrica. Então f preserva → o comprimento de arco, isto é, se λ: [a, b] M é um caminho → de classe C1, então `(f λ) = `(λ). Com efeito, para cada t ◦ ∈ [a, b], temos (f λ) (t) = f (λ(t)) λ (t) . O resultado segue-se | ◦ 0 | | 0 ◦ 0 | por integra¸cão. Reciprocamente, se f : M N é de classe C 1 e → preserva comprimento de arco, então, para cada p M e para cada ∈ u T M com u = 1, podemos obter um caminho λ: ( ε, +ε) ∈ p | | − → M, de classe C1, parametrizado pelo comprimento de arco (vide Exemplo 1), tal que λ(0) = p e λ (0) = u. Então f λ também será 0 ◦ parametrizado pelo comprimento de arco. Por conseguinte f (p) | 0 · u = f (λ(0)) λ (0) = (f λ) (0) = 1. Assim, a transforma¸cão | | 0 · 0 | | ◦ 0 | linear f (p): T M T N leva vetores de comprimento 1 em 0 p → f(p) vetores de comprimento 1. Logo f 0(p) preserva normas e f é uma imersão isométrica. Se considerarmos as variedades riemannianas M e N como espa¸cos métricos, munidos das distâncias intr´ınsecas, uma imersão isométrica f : M N satisfaz a condi¸cão d(f(p),f(q)) d(p, q). → ≤ Com efeito, para todo caminho λ: [a, b] M, seccionalmente C 1, → com λ(a) = p e λ(b) = q, o caminho f λ liga f(p) a f(q) e tem o ◦ mesmo comprimento que λ. Podem eventualmente existir caminhos em N, ligando f(p) a f(q), que não são da forma f λ, onde ◦ λ liga p a q em M. Por isso pode acontecer que d(f(p), f(q)) < d(p, q). (Vide f : R R2, f(t) = (cos t, sen t).) Mas quando f é → “MAIN2” 2007/5/23 page 229

[SEC. 5: ISOMETRIAS 229 uma isometria (difeomorfismo cuja derivada, em cada ponto, preserva o produto interno) então d(f(p), f(q)) = d(p, q) para quaisquer p, q M e portanto f : M N é também uma isometria no ∈ → sentido de espa¸cos métricos. “MAIN2” 2007/5/23 page 230

Cap´ıtulo X

Espa¸cos de Fun¸c˜oes

1 Fun¸c˜oes semicont´ınuas em uma variedade

Seja X um espa¸co topológico. Uma fun¸cão real f : X R → diz-se semicont´ınua inferiormente no ponto a X quando, para ∈ cada ε > 0, existe uma vizinhan¸ca V de a tal que x V implica ∈ f(a) ε < f(x). De modo análogo se define semi-continuidade − superior. Exemplos 1) Uma fun¸cão é cont´ınua se, e somente se, é semicont´ınua inferior e superiormente. 2) Um subconjunto A X é aberto se, e somente se, sua fun¸cão ca- ⊂ racter´ıstica f : X R (definida por f(A)=1, f(X A)=0) é semi- → − cont´ınua inferiormente. Analogamente, um subconjunto fechado é caracterizado pela semi-continuidade superior de sua fun¸cão caracter´ıstica.

3) Se f1, . . . , fs são fun¸cões semicont´ınuas inferiormente (resp. superiormente) então o mesmo se dá para f = inf f , . . . , f (resp. { 1 s} g = sup f , . . . , f ). { 1 s} “MAIN2” 2007/5/23 page 231

[SEC. 1: FUNC¸OES˜ SEMICONT´INUAS EM UMA VARIEDADE 231

4) Seja ([a, b]; Rn) o conjunto de todos os caminhos cont´ınuos e R retificáveis α: [a, b] Rn com a métrica d(α, β) = sup α(t) → a t b | − β(t) . Então a fun¸cão comprimento de arco, ≤ ≤ | `: ([a, b]; Rn) R R → é semicont´ınua inferiormente, como se sabe da Análise. Proposi¸cão 1. Sejam g, h: M R, respectivamente, fun¸cões → semicont´ınuas inferior e superiormente numa variedade M C k, ∈ tais que h(p) < g(p) para cada p M. Então existe uma fun¸cão ∈ f : M R, de classe Ck, tal que h(p) < f(p) < g(p) para todo → p M. ∈ Demonstra¸cão: Para cada p M escrevamos a = 1 [g(p) + ∈ p 2 h(p)]. Então h(p) < ap < g(p), logo existe uma vizinhan¸ca Vp de p em M tal que h(q) < a < g(q) para todo q V . Em p ∈ p outras palavras, existe uma cobertura aberta = (Vp)p M de M V ∈ e uma fam´ılia de numeros´ reais (ap)p M tais que q Vp h(p) < ∈ ∈ ⇒ ap < g(q). Consideremos uma parti¸cão da unidade ϕp = p M 1 estritamente subordinada a` cobertura . A fun¸cão Pf∈ : M V → R, de classe Ck, que estamos procurando, é obtida pela “média ponderada” f = apϕp . Com efeito, dado q M, temos p M ∈ ∈ h(q) < a < g(q) sePq V e ϕ (q) = 0 se q / V . Logo h(q) = p ∈ p p ∈ p ϕp(q) h(q) < apϕp(q) = f(q) < ϕp(q)g(q) = g(q). p · p p CorolP ário 1. SejaP = (C ) umaPcobertura localmente finita C α α A de uma variedade M Ck. Seja∈ (a ) uma fam´ılia de numer´ os ∈ α α A reais positivos, com ´ındices no mesmo∈ conjunto A. Então existe uma fun¸cão f : M R, de classe Ck, tal que p C 0 < → ∈ α ⇒ f(p) < aα .

Demonstra¸cão: Podemos supor que os conjuntos Cα são fechados, pois a fam´ılia (Cα)α A também é localmente finita. Defina- ∈ “MAIN2” 2007/5/23 page 232

232 [CAP. X: ESPAÇOS DE FUNÇOES˜ mos g : M R pondo g(p) = inf a ; p C . Se provarmos que → { α ∈ α} g é semicont´ınua inferiormente então existirá, pela Proposi¸cão 1, uma fun¸cão f : M R tal que 0 < f(p) < g(p) a para todo → ≤ α p M. Em verdade, a fun¸cão g é semicont´ınua inferiormente de ∈ um modo bastante curioso: cada ponto p M possui uma vizin- ∈ han¸ca V tal que q V g(q) g(p) (todo ponto é m´ınimo p ∈ p ⇒ ≥ local). Com efeito, cada ponto p M possui uma vizinhan¸ca V ∈ p que intersecta apenas um numero´ finito de conjuntos Cα1 , . . . , Cαs . Como estes conjuntos são fechados, restringindo as vizinhan¸cas Vp , se necessário, podemos supor que cada Vp só intersecta os Cαi que contêm p. V p Cα

V 0p

Cα0

Figura 10.1. Em outras palavras, dado q V , se q C então p C . Logo ∈ p ∈ α ∈ α g(q) = inf a ; q C inf a ; p C = g(p). { α ∈ α} ≥ { α ∈ α} Corolário 2. Seja g : M Rn uma aplica¸cão cont´ınua numa → variedade M de classe Ck. Dada uma fun¸cão cont´ınua ε: M R → com ε(p) > 0 para todo p M, existe uma aplica¸cão f : M Rn, ∈ → de classe Ck, tal que g(p) f(p) < ε(p) para todo p M. | − | ∈ Demonstra¸cão: Consideremos primeiro o caso n = 1. Como ε(p) > 0 tem-se, para todo p M, g(p) ε(p) < g(p) + ε(p). Pela ∈ − “MAIN2” 2007/5/23 page 233

[SEC. 2: ESPAC¸OS DE FUNC¸OES˜ 233

Proposi¸c˜ao 1, existe uma aplica¸c˜ao f : M R, de classe C k, tal → que g(p) ε(p) < f(p) < g(p)+ε(p) para todo p M. O caso geral − ∈ resulta da´ı, considerando cada coordenada de g separadamente.

2 Espa¸cos de fun¸c˜oes

Sejam X um espa¸co topológico e Y um espa¸co métrico. Denotemos por W 0(X; Y ) o conjunto das aplica¸cões cont´ınuas f : X Y , dotado da topologia na qual as vizinhan¸cas básicas → de uma aplica¸cão f W 0(X; Y ) são os conjuntos W 0(f; ε), onde ∈ ε: X R+ é uma fun¸cão cont´ınua e W 0(f; ε) = g W 0(X; Y ); → { ∈ d(f(x), g(x)) < ε(x) x X . ∀ ∈ } Quando ε descreve as fun¸cões cont´ınuas > 0 em X, W 0(f; ε) descreve um sistema fundamental de vizinhan¸cas de f. Esta topologia é denominada a topologia de Whitney de classe C0. Se X não for compacto, W 0(X; Y ) não será metrizável, pois nenhum dos seus pontos terá sistema fundamental enumerável de vizinhan¸cas; no entanto, usaremos a nota¸cão d(f, g) < ε significando que d(f(x), g(x)) < ε(x) para todo x X. ∈ Um outro modo de obter um sistema fundamental de vizinhan¸cas de f W 0(X; Y ) é considerar os conjuntos W (f; U), onde ∈ U é um aberto contendo o gráfico G(f) em X Y e W (f; U) = × g W 0(X; Y ); G(g) U . { ∈ ⊂ } Para verificar a equivalência entre as duas defini¸cões, basta notar que, dada ε: X R cont´ınua e positiva, então o conjunto U = → (x, y) X Y ; d(y, f(x)) < ε(x) é um aberto que contém G(f) e { ∈ × } W (f; U) W 0(f; ε). Reciprocamente, dado o aberto U X Y ⊂ ⊂ × contendo G(f), definimos a fun¸cão cont´ınua positiva ε: X R → pondo, para cada x X, ε(x) = dist[(x, f(x)), X Y U]. Então ∈ × − W 0(f; ε) W (f; Y ). ⊂ “MAIN2” 2007/5/23 page 234

234 [CAP. X: ESPAC¸OS DE FUNC¸OES˜

U G(f) G(g)

Figura 10.2. Pelo Corolário 2, quando M é uma variedade de classe C k, as aplica¸cões f : M Rn de classe Ck formam um subconjunto → denso de W 0(M; Rn). Mais adiante mostraremos que este fato é verdadeiro se Y = N é qualquer variedade diferenciável. (Vide Corolário da Proposi¸cão 9.) Outra topologia que as` vezes se considera no conjunto das aplica¸cões cont´ınuas f : X Y , de um espa¸co topológico X num → espa¸co métrico Y , é a topologia da convergência uniforme nos compactos. O espa¸co topológico correspondente será denotado por C0(X; Y ). As vizinhan¸cas básicas de uma aplica¸cão cont´ınua f : X Y são descritas nesta topologia por dois “parâmetros”: → uma parte compacta K X e um numero´ real δ > 0. Estas ⊂ vizinhan¸cas são os conjuntos

V (f; K, δ) = g C0(X; Y ); d(f(x), g(x)) < δ, x K . { ∈ ∀ ∈ } E´ claro que a aplica¸c˜ao identidade

i: W 0(X; Y ) C0(X; Y ) → é cont´ınua, isto é, a topologia de Whitney é mais fina que a da convergência uniforme nas partes compactas. Se M é uma variedade diferenciável, o espa¸co C0(M; Y ) é me- trizável. Se, além disso, o espa¸co métrico Y tiver base enumerável, o mesmo ocorrerá com C0(M; Y ). (Vide ETG, pags. 362, 363.) “MAIN2” 2007/5/23 page 235

[SEC. 2: ESPAC¸OS DE FUNC¸OES˜ 235

Quando X é compacto, toda fun¸cão cont´ınua ε: X R atinge → o seu m´ınimo, e portanto a outra aplica¸cão identidade

j : C0(X; Y ) W 0(X; Y ) → também é cont´ınua. Neste caso W 0(X; Y ) = C0(X; Y ) é me- trizável por d(f, g) = sup d(f(x), g(x)).x X . { ∈ } E´ evidente que quando M é uma variedade de classe Ck, as aplica¸cões f : M Rn de classe Ck também formam um subcon- → junto denso de C0(M; Rn), pois a topologia de Whitney é mais fina. Para o estudo das variedades diferenciáveis é mais interessante considerar a topologia de Whitney de classe Ck, que definiremos agora. Sejam M e N variedades diferenciáveis de classe Ck (k 1). ≥ Admitamos que exista um mergulho ϕ: N Rn de classe Ck. → (Para simplificar a nota¸cão vamos supor que N Rn é uma su- ⊂ perf´ıcie de classe Ck.) Mostraremos no próximo cap´ıtulo que esta hipótese adicional não é uma restri¸cão; isto é, toda variedade pode ser mergulhada em algum espa¸co euclidiano. k 1 Escolhamos uma métrica riemaniana em M, de classe C − (isto é, pelo menos de classe C0). Indiquemos com W 1(M; N) o conjunto das aplica¸cões f: M → N de classe C1, dotado da topologia na qual as vizinhan¸cas básicas de uma aplica¸cão f W 1(M; N) são os conjuntos ∈ W 1(f; ε) = g W 1(M, N); f(p) g(p) < ε(p) e { ∈ | − | f 0(p) g0(p) < ε(p) . | − | } Na expressão acima, ε: M R é uma fun¸cão cont´ınua e → positiva e f (p) g (p) é a norma da aplica¸cão linear f (p) | 0 − 0 | 0 − g (p): T M Rn (tomada em qualquer dos sentidos da Se¸cão 3, 0 p → “MAIN2” 2007/5/23 page 236

236 [CAP. X: ESPAC¸OS DE FUNC¸OES˜

Cap. IX). Observemos que T Nf(p) e T Ng(p) são subespa¸cos do n R , logo podemos considerar f 0(p) e g0(p) como transforma¸cões n lineares de T Mp em R . O leitor verificará que W 1(M; N) é um espa¸co de Hausdorff. Doravante, sempre que empregamos a nota¸cão W 1(M; N), es- taremos admitindo tacitamente que M é uma variedade de classe Ck, munida de uma métrica riemaniana de classe Ck 1, (k 1) e − ≥ que N é uma superf´ıcie de classe Ck em algum espa¸co euclidiano. Mostraremos na Se¸cão 3 que a topologia de W 1(M; N) independe da métrica riemaniana escolhida em M e do mergulho de N em algum espa¸co euclidiano. Em geral, W 1(M; N) não é metrizável. No entanto, escreveremos frequen¨ temente f g < ε significando que f(p) g(p) < | − |1 | − | ε(p) e f (p) g (p) < ε(p) para todo p M. | 0 − 0 | ∈ Uma outra topologia no conjunto de todas as aplica¸cões f : M N de classe C1 é a topologia da convergência uniforme → de classe C1 nos subconjuntos compactos de M. Este espa¸co to- pológico será denotado por C1(M; N). As vizinhan¸cas básicas de uma aplica¸cão f C1(M; N) são os conjuntos V 1(f; K, δ), onde ∈ K M é um subconjunto compacto, δ um numero´ real positivo e ⊂ V 1(f; K, δ) = g C1(M; N); f(p) g(p) < δ e f (p) g (p < δ { ∈ | − | | 0 − 0 | para todo p K . ∈ } A aplica¸cão identidade

i: W 1(M; N) C1(M; N) → é cont´ınua, isto é, a topologia de Whitney de classe C 1 é mais fina que a topologia C1 da convergência compacta. Obviamente, quando M é compacto, tem-se W 1(M; N) = C1(M; N). O espa¸co C1(M; N) é metrizável, com base enumerável. “MAIN2” 2007/5/23 page 237

[SEC. 3: INVARIANCIAˆ DA TOPOLOGIA DE W 1(M; N) 237

3 Invariˆancia da topologia de W 1(M; N)

Mostraremos nesta se¸cão que a topologia de W 1(M; N) não depende da métrica riemaniana escolhida em M nem da maneira como N está mergulhada no espa¸co euclidiano. Para isto, examinaremos o comportamento de W 1(M; N) como functor das “variá- veis” M e N.

Sejam M, M1 , M2 variedades riemanianas e N, N1 , N2 superf´ıcies no espa¸co euclidiano. Uma aplica¸c˜ao ϕ: M M , de 1 → 2 classe C1, induz uma aplica¸c˜ao

1 1 ϕ∗ : W (M ; N) W (M ; N), 2 → 1 definida por ϕ (f) = f ϕ. ∗ ◦ Por outro lado, uma aplica¸cão de classe C1, ϕ: N N , 1 → 2 induz 1 1 ϕ : W (M; N1) W (M; N2), ∗ → definida por ϕ (f) = ϕ f. ∗ ◦ Tem-se (ϕ ψ)∗ = ψ∗ ϕ∗ e (ϕ ψ) = ϕ ψ . Além disso, ◦ ◦ ◦ ∗ ∗ ◦ ∗ (id)∗ = id e (id) = id, de modo que se ϕ é um difeomorfismo ∗ 1 1 então ϕ∗ é uma bije¸cão, com (ϕ∗)− = (ϕ− )∗. Analogamente, 1 1 (ϕ )− = (ϕ− ) . ∗ ∗ 1 Ocorre o seguinte: quando ϕ: N1 N2 é de classe C , a 1 → 1 aplica¸cão induzida ϕ : W (M.N1) W (M; N2) é cont´ınua e ∗ → portanto, quando ϕ é um difeomorfismo, ϕ é um homeomorfismo. ∗ Isto será demonstrado logo mais. Infelizmente, porém, nem todas as aplica¸cões ϕ: M M de 1 → 2 classe C1 induzem aplica¸cões ϕ : W 1(M ; N) W 1(M ; N) que ∗ 2 → 1 são cont´ınuas. Mesmo assim, quando ϕ é um difeomorfismo, ϕ∗ é um homeomorfismo.

Examinemos primeiro ϕ∗. “MAIN2” 2007/5/23 page 238

238 [CAP. X: ESPAC¸OS DE FUNC¸OES˜

Se a variedade M não é compacta, existe uma fun¸cão cont´ınua positiva ε: M R tal que inf ε(p); p M = 0. Então, para → { ∈ } qualquer f W 1(M; N), a vizinhan¸ca básica W 1(f; ε) não contêm ∈ aplica¸cões constantes (exceto, possivelmente, f). Em outras palavras, quando M não é compacta, as alica¸cões constantes formam um subconjunto discreto do espa¸co W 1(M; N). Segue-se da´ı que a inclusão natural c: N W 1(M; N), a qual → associa a cada ponto q N a aplica¸cão constante c : M N ∈ q → (com c (p) = q para todo p M), é descont´ınua se M não for q ∈ compacta e se dim N > 0. Por outro lado, se tomarmos uma variedade reduzida a um ponto a, então W 1(a; N) é homeomorfa a N pela aplica¸cão W 1(a; N) N que leva cada f W 1(a; N) em sua imagem → ∈ f(a) N. Assim, se M é uma variedade não-compacta e se ∈ dim N > 0, então a aplica¸cão ϕ: M a, de classe C1, induz → uma aplica¸cão ϕ : W 1(a; N) W 1(M; N), a qual é descont´ınua ∗ → pois equivale a c: N W 1(M; N) através do homeomorfismo → natural W 1(a; N) N. ≈ A proposi¸cão abaixo será util´ mais adiante. Proposi¸cão 2. Seja ϕ: M M uma aplica¸cão de classe C1. 1 → 2 Dados um compacto K M e um numer´ o η > 0, existe um ⊂ 1 numer´ o δ > 0 tal que f, g W 1(M ; N), f g < δ em ϕ(K) ∈ 2 | − |1 implicam fϕ gϕ < η em ϕ(K). | − |1 Demonstra¸cão: Tomemos um numero´ real A sup ϕ (p) ; ≥ {| 0 | p K e ainda com A 1. Ponhamos δ = η/A. Então, ∈ } ≥ se f, g W 1(M ; N) são tais que f(q) g(q) < δ para todo ∈ 2 | − | q ϕ(K), segue-se que f(ϕ(p)) g(ϕ(p)) < δ η e ∈ | − | ≤ (fϕ)0(p) (gϕ)0(p) = f 0(ϕ(p)) ϕ0(p) g0(ϕ(p)) ϕ0(p) | − | | · − · | f 0(ϕ(p)) g0(ϕ(p)) ϕ0(p) < δ A η ≤ | − | · | | · ≤ para todo p K, como quer´ıamos demonstrar. ∈ “MAIN2” 2007/5/23 page 239

[SEC. 3: INVARIANCIAˆ DA TOPOLOGIA DE W 1(M; N) 239

Corolário. Se M for compacta, então toda ϕ: M M de 1 1 → 2 classe C1 induz ϕ : W 1(M ; N) W 1(M ; N) cont´ınua. ∗ 2 → 1 Com efeito, dada uma fun¸cão cont´ınua positiva ε: M R, 1 → temos η = inf ε(p); p M > 0. Pela proposi¸cão, existe uma { ∈ 1} fun¸cão cont´ınua positiva (constante) δ : M R tal que g 2 → ∈ W 1(f; δ) gϕ W 1(fϕ; η) W 1(fϕ; ε), o que prova a continui- ⇒ ∈ ⊂ dade de ϕ∗. Refinaremos agora o argumento acima e concluiremos que ϕ∗ é cont´ınua quando ϕ é própria. Proposi¸cão 3. Seja ϕ: M M uma aplica¸cão própria de 1 → 2 classe C1. Então ϕ : W 1(M ; N) W 1(M ; N) é cont´ınua. ∗ 2 → 1 Demonstra¸cão: Dada ε: M R cont´ınua e positiva, defini- 1 → remos η : M R pondo η(p) = ε(p)/(1 + ϕ (p) ), para todo 1 → | 0 | p M . Obteremos em seguida uma fun¸cão cont´ınua δ : M R ∈ 1 2 → tal que 0 < δ(ϕ(p)) < η(p) para todo p M . Para isso, considere- ∈ 1 mos uma cobertura localmente finita M2 = Kα por conjuntos a A ∈ compactos Kα . Como ϕ é própria, para cadaS α A a imagem ∈ inversa ϕ 1(K ) é compacta, logo a = inf η(p); p ϕ 1(K ) é − α α { ∈ − α } > 0, salvo se ϕ 1(K ) = , em cujo caso poremos a = 1. Pelo − α ∅ α Corolário 1 da Proposi¸cão 1, existe δ : M R cont´ınua tal que 2 → 0 < δ(q) < a para todo q K . Dado qualquer p M , tem-se α ∈ α ∈ 1 ϕ(p) K para algum α. Segue-se que δ(ϕ(p)) < a η(p), como ∈ α α ≤ quer´ıamos. Afirmamos que, dadas g, f W 1(M ; N), se g W 1(f; δ) ∈ 2 ∈ então gϕ W 1(fϕ; ε). Com efeito, de g f < δ em M , segue- ∈ | − | 2 se trivialmente que gϕ fϕ < δϕ < ε em M . Além disso, de | − | 1 g f < δ em M concluimos que, em M vale: | 0 − 0| 2 1

(gϕ)0 (fϕ)0 = g0ϕ ϕ0 f 0ϕ ϕ0 g0ϕ f 0ϕ ϕ0 < | − | | · − · | ≤ | − | · | | < g0ϕ f 0ϕ (1 + ϕ0 ) < δ (1 + ϕ0 ) < ε. | − | · | | · | | “MAIN2” 2007/5/23 page 240

240 [CAP. X: ESPAC¸OS DE FUNC¸OES˜

A Proposi¸cão 3 está demonstrada. Corolário 1. Se a aplica¸cão ϕ: M M , de classe C1, for 1 → 2 um homeomorfismo sobre um subconjunto fechado de M2 , então ϕ : (M ; N) W 1(M ; N) será cont´ınua. ∗ 2 → 1 Com efeito, neste caso ϕ é própria. Corolário 2. A topologia de W 1(M; N) não depende da métrica riemaniana tomada em M. Com efeito, se g, h são métricas riemanianas de classe C 0 em M, ponhamos M1 = (M, g) e M2 = (M, h). A aplica¸cão identidade i: M1 M2 é um difeomorfismo, o qual induz, pela → 1 1 Proposi¸cão 1, um homeomorfismo i∗ : W (M2; N) W (M1; N). → 1 Como i∗ = identidade, vemos que as topologias de W (M1; M) e 1 W (M2; M) são a mesma. Observa¸cões: 1) Segue-se da Proposi¸cão 2 que ϕ : C1(M ; N) C1(M ; N) é ∗ 2 → 1 cont´ınua, seja qual for ϕ: M M de classe C1. 1 → 2 2) O leitor atento observará que W 1(M; N) possui uma estrutura uniforme natural, definida pelos conjuntos W 1(ε) = (f, g) { ∈ W 1(M; N) W 1(M; N); f g < ε . (Vide ETG, pag. 145.) Em × | − |1 } rela¸cão a esta estrutura uniforme, a aplica¸cão ϕ∗ da Proposi¸cão 3 é uniformemente cont´ınua. Proposi¸cão 4. Uma aplica¸cão ϕ: N N , de classe C1, in- 1 → 2 duz, através da regra ϕ (f) = ϕ f, uma aplica¸cão cont´ınua 1 1 ∗ ◦ ϕ : W (M; N1) W (M; N2). ∗ → Antes, um resultado auxiliar:

Lema 1. Fixemos uma cobertrua localmente ﬁnita =(Kα)α A C ∈ da variedade M, por meio de conjuntos compactos Kα . Uma base de vizinhan¸cas para f W 1(M; N) pode ser obtida considerando- ∈ se todas as fam´ılias a˜ = (aα)α A de numer´ o reais aα > 0, com ∈ “MAIN2” 2007/5/23 page 241

[SEC. 3: INVARIANCIAˆ DA TOPOLOGIA DE W 1(M; N) 241

´ındices em A, e pondo, para cada fam´ılia a˜,

W 1(f; a˜)= g W 1(M; N); g f 0 para todo α A. α α ∈ Além disso, W 1(f; a˜) W 1(f; ε). Reciprocamente, dada a fam´ılia ⊂ a˜, pelo Corolário 1 da Proposi¸cão 1, existe uma fun¸cão cont´ınua ε: M R tal que p K = 0 < ε(p) < a . Logo W 1(f; ε) → ∈ α α ⊂ W 1(f; a˜). Demonstra¸cão da Proposi¸cão 4: Seja f W 1(M; N ). Fixe- ∈ 1 ∞ mos uma cobertura localmente finita M = Ki por compactos. i=1 Para provar a continuidade de ϕ no ponto fS, dada uma sequ¨ência ∗ ˜b = (bi) de numeros´ reais positivos, devemos achar uma sequ¨ência a˜ = (a ), a > 0, tal que g f < a em K ϕ g ϕ f < b , i i | − |1 i i ⇒ | ◦ − ◦ |1 i i = 1, 2, 3, . . . . Isto será feito em duas etapas. a 1¯ etapa - Para cada i = 1, 2, 3, . . . seja Li uma vizinhan¸ca compacta de f(K ). Então a = dist[f(K ), N L ] é um numero´ i i i 1 − i positivo tal que f g < a em K g(K ) L . | − | i i ⇒ i ⊂ i Como ϕ é uniformemente cont´ınua em Li , podemos diminuir, se necessário, os numeros´ positivos a , de modo que x, y L , i ∈ i x y < a ϕ(x) ϕ(y) < b . | − | i ⇒ | − | i Resulta da´ı que g f < a em K implica ϕg ϕf < b em | − | i i | − | i Ki . a 2¯ etapa - Analisemos agora a expressão (ϕg) (ϕf) . Sejam | 0 − 0| N Rr e N Rs. Usando a Aplica¸cão 3, Cap´ıtulo VIII, pode- 1 ⊂ 2 ⊂ mos supor que ϕ é a restri¸cão de uma aplica¸cão Φ: V Rs, 1 → r de classe C onde V é uma vizinhan¸ca aberta de N1 em R . “MAIN2” 2007/5/23 page 242

242 [CAP. X: ESPAC¸OS DE FUNC¸OES˜

[A razão para introduzirmos Φ é que, para p, q N , p = q, ∈ 1 6 Φ (p) Φ (q): Rr Rs faz sentido, enquanto que ϕ (p) ϕ (q) 0 − 0 → 0 − 0 nada significa.] Se g W 1(M; N ) temos ∈ 1

(ϕf)0 (ϕg)0 = (Φf)0 (Φg)0 = Φ0f f 0 Φ0g g0 | − | | − | | · − · | = Φ0f f 0 Φ0g f 0 + Φ0g f 0 Φ0g g0 | · − · · − · | Φ0f Φ0g f 0 + Φ0g f 0 g0 . ≤ | − | · | | | | · | − |

Vamos impor, agora, as restri¸cões finais aos ai . Como Φ : L (Rr, Rs) é uniformemente cont´ınua, podemos 0 i → L bi supor que x, y Li , x y < ai Φ0(x) Φ0(y) sup f 0 < ∈ | − | ⇒ | − | · | Ki | | 2 · bi Podemos supor também que ai sup Φ0 < · Li | | 2 · Então, se g W 1(M; N ) é tal que g f < a em K , tem-se ∈ 1 | − |i i i

(Φg)0 (Φf)0 Φ0g g0 f 0 + Φ0g Φ0f f 0 | − | ≤ | | · | − | | − | · | | b b < i + i = b . 2 2 i

Corol´ario. A topologia de W 1(M; N) n˜ao depende da maneira como N se acha mergulhada no espa¸co euclidiano.

r s Sejam ϕ1 : N R e ϕ2 : N R dois mergulhos de classe 1 → → C de N em espa¸cos euclidianos. Ponhamos N1 = ϕ1(N), N2 = 1 ϕ2(N). A aplica¸cão ϕ = ϕ2 ϕ1− : N1 N2 é um difeomorfismo 1 1 ◦ →1 de classe C , logo ϕ : W (M; N1) W (M; N2) é cont´ınua e, na ∗ → 1 1 realidade, é um homeomorfismo pois (ϕ )− = (ϕ− )∗. ∗ “MAIN2” 2007/5/23 page 243

[SEC. 4: ESTABILIDADE DE CERTAS APLICAC¸OES˜ DIFERENCIAVEIS´ 243

4 Estabilidade de certas aplica¸c˜oes diferenci´aveis