Variedades Diferenciáveis Publicações Matemáticas Variedades Diferenciáveis Elon Lages Lima impa Copyright © 2011 by Elon Lages Lima Impresso no Brasil / Printed in Brazil Capa: Noni Geiger / Sérgio R. Vaz Publicações Matemáticas • Introdução à Topologia Diferencial – Elon Lages Lima • Criptografia, Números Primos e Algoritmos – Manoel Lemos • Introdução à Economia Dinâmica e Mercados Incompletos – Aloísio Araújo • Conjuntos de Cantor, Dinâmica e Aritmética – Carlos Gustavo Moreira • Geometria Hiperbólica – João Lucas Marques Barbosa • Introdução à Economia Matemática – Aloísio Araújo • Superfícies Mínimas – Manfredo Perdigão do Carmo • The Index Formula for Dirac Operators: an Introduction – Levi Lopes de Lima • Introduction to Symplectic and Hamiltonian Geometry – Ana Cannas da Silva • Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) – Carlos Gustavo T. A. Moreira e Nicolau Saldanha • The Contact Process on Graphs – Márcia Salzano • Canonical Metrics on Compact almost Complex Manifolds – Santiago R. Simanca • Introduction to Toric Varieties – Jean-Paul Brasselet • Birational Geometry of Foliations – Marco Brunella • Introdução à Teoria das Probabilidades – Pedro J. Fernandez • Teoria dos Corpos – Otto Endler • Introdução à Dinâmica de Aplicações do Tipo Twist – Clodoaldo G. Ragazzo, Mário J. Dias Carneiro e Salvador Addas Zanata • Elementos de Estatística Computacional usando Plataformas de Software Livre/Gratuito – Alejandro C. Frery e Francisco Cribari-Neto • Uma Introdução a Soluções de Viscosidade para Equações de Hamilton-Jacobi – Helena J. Nussenzveig Lopes, Milton C. Lopes Filho • Elements of Analytic Hypoellipticity – Nicholas Hanges • Métodos Clássicos em Teoria do Potencial – Augusto Ponce • Variedades Diferenciáveis – Elon Lages Lima • O Método do Referencial Móvel – Manfredo do Carmo • A Student's Guide to Symplectic Spaces, Grassmannians and Maslov Index – Paolo Piccione e Daniel Victor Tausk • Métodos Topológicos en el Análisis no Lineal – Pablo Amster • Tópicos em Combinatória Contemporânea – Carlos Gustavo Moreira e Yoshiharu Kohayakawa • Uma Iniciação aos Sistemas Dinâmicos Estocásticos – Paulo Ruffino • Compressive Sensing – Adriana Schulz, Eduardo A.B.. da Silva e Luiz Velho • O Teorema de Poncelet – Marcos Sebastiani • Cálculo Tensorial – Elon Lages Lima • Aspectos Ergódicos da Teoria dos Números – Alexander Arbieto, Carlos Matheus e C. G. Moreira • A Survey on Hiperbolicity of Projective Hypersurfaces – Simone Diverio e Erwan Rousseau • Algebraic Stacks and Moduli of Vector Bundles – Frank Neumann • O Teorema de Sard e suas Aplicações – Edson Durão Júdice IMPA - [email protected] - http://www.impa.br - ISBN: 978-85-244-0267-8 \MAIN2" 2007/5/23 page What win I if I gain the thing I seek? A dream, a breath, a froth of fleeting joy. Pref´acio Estas notas s~ao uma reimpress~ao n~ao modificada do texto de um curso introdut´orio sobre Variedades Diferenci´aveis, que lecio- nei algumas vezes no IMPA, anos atr´as. Ao escrev^e-las, vali-me dos apontamentos do meu ent~ao aluno Jair Koiller. A presente edi¸c~ao foi digitada por Rogerio Dias Trindade. As figuras foram produzidas por Francisco Petrucio.´ A todas estas pessoas, meus agradecimentos. Rio de Janeiro, maio de 2007 Elon Lages Lima \MAIN2" 2007/5/23 page \MAIN2" 2007/5/23 page Conteudo´ Cap´ıtulo I - C´alculo Diferencial . 1 1. Espa¸co euclidiano de dimens~ao p . 1 2. Casos particulares . 4 3. Derivadas de ordem superior . 6 4. Vers~ao intr´ınseca da regra da cadeia . 8 5. A desigualdade do valor m´edio . 11 6. Derivadas parciais . 13 7. O teorema da fun¸c~ao inversa . 15 8. Forma local das submers~oes e o teorema das fun¸c~oes impl´ıcitas . 16 9. A forma local das imers~oes . 20 10. O teorema do posto . 22 11. Campos de vetores em Rn . 28 12. Refer^encias . 30 Cap´ıtulo II - Superf´ıcies nos Espa¸cos Euclidianos . 31 1. Parametriza¸c~oes . 31 2. A no¸c~ao de superf´ıcie . 34 3. Mudan¸ca de coordenadas . 36 4. O espa¸co tangente . 42 5. Como obter superf´ıcies . 46 6. Exemplos de superf´ıcies . 52 7. Grupos e Algebras´ de Lie de matrizes . 60 8. Campos de vetores tangentes a uma superf´ıcie . 63 \MAIN2" 2007/5/23 page Cap´ıtulo III - Vetores Normais, Orientabilidade e Vizinhan¸ca Tubular . 70 1. Campos de vetores normais a uma superf´ıcie . 71 2. Superf´ıcies Orient´aveis . 80 3. A vizinhan¸ca tubular de uma superf´ıcie compacta . 86 4. A vizinhan¸ca tubular de uma superf´ıcie n~ao-compacta 93 Cap´ıtulo IV - Variedades Diferenci´aveis . 102 1. Sistemas de coordenads locais . 102 2. Mudan¸ca de coordenadas . 105 3. Variedades diferenci´aveis . 106 4. Exemplos de variedades . 108 5. Variedades definidas por uma cole¸c~ao de inje¸c~oes . 113 6. Variedades de Grassmann . 123 Cap´ıtulo V - Aplica¸c~oes Diferenci´aveis entre Variedades . 129 1. Aplica¸c~oes diferenci´aveis . 130 2. O espa¸co tangente . 134 3. A derivada de uma aplica¸c~ao diferenci´avel . 137 4. Algumas identifica¸c~oes naturais . 139 5. A aplica¸c~ao esf´erica de Gauss . 141 6. Estruturas de variedade em um espa¸co topol´ogico . 143 \MAIN2" 2007/5/23 page Cap´ıtulo VI - Imers~oes, Mergulhos e Subvariedades . 147 1. Imers~oes . 147 2. Mergulhos e subvariedades . 151 3. Subvariedades . 154 4. O espa¸co tangente a uma variedade produto. Derivadas parciais . 156 5. A classe de uma subvariedade . 157 6. Imers~oes cujas imagens s~ao subvariedades . 159 7. A curva de Kronecker no toro . 163 Cap´ıtulo VII - Submers~oes, Transversalidade . 168 1. Submers~oes . 168 2. Rela¸c~oes de simetria . 172 3. Grupos de Lie . 175 4. Transversalidade . 177 5. Transversalidade de fun¸c~oes . 181 6. Aplica¸c~oes de posto constante . 183 Cap´ıtulo VIII - Parti¸c~oes da Unidade e suas Aplica¸c~oes . 186 1. Fun¸c~oes auxiliares . 186 2. Algumas no¸c~oes topol´ogicas . 190 3. Parti¸c~oes da unidade . 193 4. O lema de Urysohn diferenci´avel . 196 5. Aplica¸c~oes diferenci´aveis em subconjuntos arbitr´arios de variedades . 199 \MAIN2" 2007/5/23 page Cap´ıtulo IX - M´etricas Riemannianas . 205 1. Variedades riemannianas . 205 2. A norma da derivada . 211 3. A dist^ancia intr´ınseca . 215 4. A topologia geral de uma variedade . 219 5. Isometrias . 222 Cap´ıtulo X - Espa¸cos de Fun¸c~oes . 230 1. Fun¸c~oes semicont´ınuas em uma variedade . 230 2. Espa¸cos de fun¸c~oes . 233 3. Invari^ancia da topologia de W 1(M; N) . 237 4. Estabilidade de certas aplica¸c~oes diferenci´aveis . 243 5. Aproxima¸c~oes em classe C1 . 251 6. Topologias de classe Cr . 259 Cap´ıtulo XI - Os Teoremas de Imers~ao e Mergulho de Whitney . 269 1. Conjuntos de medida nula em uma variedade . 270 2. Imers~oes . 274 3. Imers~oes injetivas e mergulhos . 379 4. Espa¸cos de Baire . 286 \MAIN2" 2007/5/23 page 1 Cap´ıtulo I C´alculo Diferencial Apresentamos neste cap´ıtulo alguns resultados cl´assicos do C´al- culo Diferencial em espa¸cos euclidianos. Enfatizamos o aspecto geom´etrico do Teorema da Fun¸c~ao Inversa, que aplicaremos para obter as \formas locais" de certas aplica¸c~oes diferenci´aveis. Esses resultados ser~ao amplamente utilizados no estudo das superf´ıcies e das variedades diferenci´aveis. Omitimos a maior parte das demonstra¸c~oes, pois o objetivo principal deste cap´ıtulo ´e fixar a nota¸c~ao e a terminologia para os subsequen¨ tes. As demonstra¸c~oes omitidas podem ser encontradas nas refer^encias citadas no fim deste cap´ıtulo. 1 Espa¸co euclidiano de dimens~ao p Como se sabe, o espa¸co euclidiano de dimens~ao p ´e o conjunto Rp de todas as sequ¨^encias x = (x1; : : : ; xp) de p numeros´ reais. Os vetores e1 = (1; 0; : : : ; 0), e2 = (0; 1; 0; : : : ; 0); : : : ; ep = (0; : : : ; 1) constituem a base natural de Rp. Seja U um subconjunto aberto do Rm. \MAIN2" 2007/5/23 page 2 2 [CAP. I: CALCULO´ DIFERENCIAL Uma fun¸c~ao vetorial f : U Rn fica perfeitamente determi- ! nada por suas coordenadas f 1; : : : ; f n : U R; ! definidas pela rela¸c~ao f(x) = (f 1(x); : : : ; f n(x)); x U: 2 Escrevemos f = (f 1; : : : ; f n). Rm Rn f(U) U f f(x) x Figura 1.1. Diz-se que a aplica¸c~ao f : U Rn ´e diferenci´avel no ponto ! x U quando existe uma transforma¸c~ao linear T : Rm Rn tal 2 ! que r(h) f(x + h) = f(x) + T h + r(h); com lim = 0: · h 0 h ! j j (O don´ınio natural de uma aplica¸c~ao cuja diferenciabilidade que- remos investigar ´e um conjunto aberto, a fim de que seja arbitr´ario o modo pelo qual o ponto vari´avel x + h tende para o ponto x.) E´ f´acil de ver que as condi¸c~oes acima implicam: f(x + th) f(x) T h = lim − · t 0 t ! o que ´e interpretado geometricamente pela Figura 1.2: \MAIN2" 2007/5/23 page 3 [SEC. 1: ESPAC¸O EUCLIDIANO DE DIMENSAO~ P 3 Rm Rn f U T h x + h f(x + h) f(x) x Figura 1.2. E´ unica,´ portanto, a transforma¸c~ao linear T : Rm Rn que d´a ! a boa aproxima¸c~ao de f perto de x. Ela ´e chamada a derivada de f no ponto x e ´e indicada por f 0(x) ou Df(x). A aplica¸c~ao f ´e diferenci´avel no ponto x se, e somente se, cada uma de suas coordenadas f i o for. E al´em disso vale a equa¸c~ao Df(x) h = (Df 1(x) h; : : : ; Df n(x) h): · · · Se T ´e uma transforma¸c~ao linear de Rm em Rn, isto ´e, T 2 (Rm; Rn), a matriz de T em rela¸c~ao as` bases usuais do Rm e do RLn i ´e a matriz (tj) com n linhas e m colunas cujo elemento (i; j) ´e a i-´esima coordenada do vetor T e ; imaginando cada T e como · j · j vetor-coluna, temos: M(T ) = (T e T e T e ): · 1 · · · · j · · · · m A matriz associada a T = f 0(x) chama-se matriz jacobiana de f no ponto x e ´e indicada por Jf(x).