Universidad Austral de Chile Facultad de Ciencias de la Ingeniería Escuela de Ingeniería en Obras Civiles
“ANÁLISIS COMPARATIVO DE MÉTODOS DE CÁLCULO DE ESTRUCTURAS FORMADAS POR BARRAS, CONSIDERANDO EFECTOS DE SEGUNDO ORDEN.”
Para optar al título de: Ingeniero Civil en Obras Civiles
Profesor Patrocinante Sr. Julio Lopetegui Torres Ingeniero Civil, Dr. en Ingeniería
Profesores Informantes Sr. José Soto Miranda Ingeniero Civil, M. Sc. Eng. Civil
Sr. Adolfo Castro Bustamante Ingeniero Civil, M. Sc. Eng. Civil
ÁNGELA PATRICIA GONZÁLEZ AVILÉS VALDIVIA − CHILE 2009
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Agradecimientos
A Dios por permitirme concluir esta etapa de mi vida brindándome fortaleza y protección
A mis hermanos y padres Patricia y Hernán por su amor y apoyo incondicional
A mi Abuela Sonia Por su preocupación y ayuda
A mis pastores Maritza y Henrique por ceer siempre en mí
A mis amigos por su palabras de aliento y consejo
Índice general
Índice general i
Índice temático i
Índice de anexos iii
Índice de figuras iv
Índice de tablas vi
Índice de gráficos vi
Resumen vii
Summary viii
Índice temático
Capítulo I: Introducción
1.1. Planteamiento del problema 1
1.2. Objetivos 9
1.3. Metodología 10
Capítulo II: Métodos de análisis Elástico de segundo orden.
2.1. Conceptos generales 11
2.1.1. Inestabilidad de una barra 11
2.1.2. Pandeo elástico 13
2.1.3. Pandeo inelástico 15
2.1.4. Pandeo lateral-torsional 16
2.2. Método de la Matriz Geométrica 19
ii
Capítulo III: Efectos de segundo orden considerados en las normas de diseño.
3.1. Recomendaciones del Instituto nacional del acero ICHA 24
3.2. Método de análisis de segundo orden establecido en el código AISC 27
3.2.1. Consideraciones generales 27
3.2.2. Análisis de segundo orden por un análisis elástico de primer
orden amplificado. Método de amplificación de momentos 29
3.2.3. Método de análisis de segundo orden directo 32
3.3. Código Europeo, EC3 36
3.3.1. Consideraciones generales 36
3.3.2. Análisis de la estabilidad de un marco y factor de
amplificación de momentos de primer orden 39
3.4. Resumen y comparaciones 42
Capítulo IV: Programas computacionales
4.1. SAP2000 44
4.1.1. Introducción 44
4.1.2. Forma cúbica deformada 46
4.1.3. Fuerzas P-Δ en los elemento pórtico 47
4.1.4. Análisis inicial P-Δ 49
4.2. PROGES 50
4.2.1. Introducción 50
4.2.2. Fundamentos teóricos de PROGES 51
Capítulo V: Estructura tipo marco plano analizada
5.1. Modelo de la estructura en Proges 57
iii
5.2. Modelo de la estructura en SAP2000 57
5.2.1. Casos de carga 57
5.2.2. Casos de análisis 58
5.2.3. Combinaciones 60
5.3. Resultados 62
Capítulo VI: Comentarios y conclusiones
6.1. Conclusiones generales 69
6.1.1 Respecto a los métodos estudiados 69
6.1.2. Respecto a las normas estudiadas 71
6.2. Aportaciones más significativas 72
6.3. Futuras líneas de investigación 74
Capítulo VII: Bibliografía 75
Índice de anexos
Anexo A: Funciones de estabilidad 78
Anexo B: Análisis por el Método de la matriz geométrica 84
Anexo C: Archivos de entrada y salida de datos 95
Anexo D: Cálculo de Factores B2 y FA 119
iv
Índice de figuras
Figura 1.1.1. Efecto P-Δ y P-δ 2
Figura 1.1.2. Diagrama de carga-deformación 3
Figura 1.1.3. Tipos de análisis 4
Figura 1.1.4. Interacción entre el sistema estructural y los miembros que la
Componen 4
Figura 2.1.1.1. Estabilidad de una barra rígida 11
Figura 2.1.1.2. Curvas carga-rotación de columnas 13
Figura 2.1.2.1. Columna Euler 13
Figura 2.1.4.1. Deformación lateral-torsional de viga en flexión 17
Figura 2.1.4.2. Deformación lateral-torsional de viga en flexión, detalle 17
Figura 2.2.1. Convención de signos 20
Figura 3.2.1.1. Efecto P-Δ y P-δ en vigas columna 28
Figura 3.2.2.1. Amplificación de momento 29
Figura 3.2.2.2. Curvatura que ocasionan los momentos aplicados en los extremos de los elementos 31
Figura 3.3.1.1. Imperfección de pórtico traslacional 38
Figura 3.3.1.2. Imperfección en el elemento 38
Figura 3.3.1.3. Esfuerzos horizontales equivalentes 39
Figura 3.3.2.1. Pórtico de edificación con las vigas unidas a los pilares en cada planta 41
Figura 4.1.1.1. Efecto P-Δ en SAP2000 45
Figura 4.1.2.1. Geometría deformada 46
Figura 4.1.4.1. Análisis no lineal estático 49
v
Figura 4.2.1.1. Diagrama de flujo de programa Proges 50
Figura 4.2.2.1. Ecuaciones de estabilidad para un segmento de columna 51
Figura 5.1. Marco analizado por los tres métodos 56
Figura 5.1.1. Modelo de marco en Proges 57
Figura 5.2.1.1. Casos de carga en SAP2000 58
Figura 5.2.2.1. Caso de análisis de PP en SAP2000 58
Figura 5.2.2.2. Caso de análisis de SC en SAP2000 59
Figura 5.2.2.3. Caso de análisis de Pdelta en SAP2000 59
Figura 5.2.2.4. Especificación de efecto P-Delta 60
Figura 5.2.3.1. Datos de las propiedades del material 61
Figura 5.3.1. Fuerzas internas en cada barra 63
Figura A.1. Fuerzas alojadas en cada uno de los planos principales de la barra 78
Figura A.2. Viga columna sujeta a momentos en sus extremos 79
Figura A.3. Viga columna sujeta a momentos en sus extremos 80
Figura A.4. Gráfico de funciones de estabilidad 82
Figura A.5. Viga-columna sujeta a momentos y desplazamientos en los extremos 83
Figura B.1. Modelo de marco y condiciones de carga 84
Figura B.2. Sistema de coordenadas globales y locales considerados en método 1 84
Figura B.3. Barra 1 del marco 85
Figura B.4. Barra 2 del marco 87
Figura B.5. Barra 3 del marco 88
Figura B.6. Determinación de las fuerzas longitudinales 91
vi
Figura B.7. Geometría y combinaciones de carga 92
Figura B.8. Valores del determinante de Ktotal usando la matriz geométrica 93
Figura B.9. Formas de modos de pandeo correspondientes a λ λ 93
Índice de Tablas
Tabla 3.3.1.1. Imperfecciones de los elementos 39
Tabla 3.3.1.2. Factores de imperfecciones para las curvas de pandeo 39
Tabla 3.4.1. Tipos de análisis de acuerdo al origen de las fuerzas y deformación 42
Tabla 4.2.2.1. Valores de para la matriz de rigidez 53
Tabla 5.3.1. Resultados de desplazamientos y fuerzas internas de los elementos 62
Tabla 5.3.2. Valores de deformación vs carga aplicada en nudos 2 y 3 63
Tabla 5.3.3. Cálculo del factor B2 66
Tabla 5.3.4. Cálculo del factor αcr 67
Tabla B.1 Valores de deformación vs factor carga λ 94
Índice de gráficos
Gráfico 5.3.1. Curvas de carga vs deformación 64
Gráfico 5.3.2. Variación porcentual de los desplazamientos obtenidos por los tres
Métodos con respecto un análisis lineal. 65
Gráfico 5.3.3. Variación porcentual de desplazamientos de MG vs PROGES 65
Gráfico 5.3.4. Curva factores de amplificación (B2 y FA) vs carga 68
Gráfico B.2. Curva factores de amplificación (B2 y FA) vs carga 94
vii
Resumen
Con el objeto de determinar de qué forma influyen las cargas axiales sobre una estructura esbelta de acero, y dar a conocer una manera más directa de obtener los esfuerzos considerando la geometría deformada de dicha estructura, se muestran en la presente memoria los resultados obtenidos a partir de un Análisis Elástico de Segundo Orden y un Análisis Elástico de Primer Orden realizado a una estructura de acero tipo marco. Se presentan y comparan tres métodos mediante los cuales se realizan los cálculos, considerando la deformación de la estructura y los elementos que la componen sobre los cuales estarán actuando las fuerzas, representadas por el peso propio de los elementos y la sobrecarga.
Se complementa lo anterior con el estudio de distintos códigos de diseño, en los cuales se plantean los tipos de análisis requeridos (sean estos lineales o no lineales) dependiendo principalmente de las condiciones de arriostramiento de una edificación, su altura y cargas impuestas sobre esta.
A partir de la curva de carga vs deformación obtenida a través de cada método se concluye que para situaciones especificas de marcos no arriostrados, sometidos a cargas laterales y axiales de mediana magnitud, es conveniente realizar un análisis de segundo orden, debido a que las deformaciones pueden hacer que los esfuerzos en los elementos aumenten de manera significativa, afectando la estabilidad de la estructura, asimismo se evita comprobar la esbeltez de cada uno de sus elementos, como ocurre en el caso de realizar un Análisis Lineal, sin considerar la deformación de la estructura y sus elementos en una primera instancia.
viii
Summary
With the intention of determining how they influence the axial loads a slim steel structure, and presenting one more a way more direct to obtain the efforts considering the deformed geometry of this structure, the results obtained from an Elastic Analysis of Second Order and an Elastic Analysis of First realised Order are in the present memory a steel type frame. Three methods appear and compare by means of which the calculations are realised, considering the deformation of the structure and the elements compose that it on which the forces will be acting, represented by the own weight of the elements and the overload.
The previous thing with the study of different codes from design is complemented, in which the types of required analyses consider mainly (they are these linear or nonlinear) depending on the conditions of bracing of a construction, their height and loads imposed on this.
From the load curve versus deformation obtained through each method one concludes that for specific situations of marks nonbraced, put under loads lateral axial Y of median magnitude, he is advisable to realise an analysis of second order, because the deformations can cause that the efforts in the elements increase of significant way, affecting the stability of the structure, also is avoided to verify the slenderness of each of their elements, as it happens in the case of realising a linear Analysis, without considering the deformation of the structure and its elements in one first instance.
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Capitulo I Introducción
Capítulo I Introducción
1.1. Planteamiento del problema
El empleo de aceros de alta resistencia y de otros materiales como el aluminio, así como la utilización de nuevas formas constructivas, han hecho que las estructuras modernas, estén generalmente formadas por elementos muy esbeltos, en los que los fenómenos de inestabilidad adquieren una importancia fundamental, que hace aumentar la trascendencia del problema de pandeo de columnas, que puede considerarse como la base para el estudio de todos los problemas de inestabilidad. (Lopez, 1992) Si en los edificios tradicionales de reducida esbeltez son las cargas gravitatorias las de mayor relevancia, a medida que aumentan su altura, son las cargas laterales debidas a la acción progresiva del viento las que adquieren una preponderancia creciente, por lo que requieren una especial atención. (Perles, 2003) El avance de la tecnología ha permitido desarrollar programas computacionales para el análisis estructural, la mayoría de ellos se basan en análisis elásticos de la estructura, o bien, incorporan los efectos de segundo orden, mediante factores que amplifican las fuerzas obtenidas a partir de un análisis de primer orden . Cuando se trata de edificaciones de acero esbeltas, sin arriostramiento y sometidas a grandes fuerzas axiales y cargas laterales como el viento, se deben tener cuidados especiales, ya que éstas pueden sufrir deformaciones que obliguen a incorporar la no linealidad geométrica en los cálculos, más bien dicho, realizar un análisis de segundo orden riguroso, debido a que estos efectos pueden ser significativos e influir en el comportamiento de la estructura, aumentando los esfuerzos generados en los elementos que conforman el sistema estructural. Para obtener los esfuerzos internos de cada elemento de la estructura (fuerzas axiales, fuerzas cortantes, momentos de flexión, etc.) se pueden realizar distintos tipos de análisis los cuales se mencionan a continuación:
¾ Análisis elástico de primer orden
El análisis elástico de primer orden es el comunmente empleado por los programas de cálculo matricial y tiene como inconveniente el que no pone de manifiesto la posible existencia de la inestabilidad. Para este tipo de cálculo: δ . 1.1.1 Donde: K: Es la matriz de rigidez de la estructura
1
Capitulo I Introducción
P: Son las acciones exteriores sobre la estructura Δ: Son las deformaciones calculadas por el programa
Como se puede observar, en ningún momento aparece la presencia de la inestabilidad, dado que δ es proporcional a P, de manera que para asegurar la estabilidad de una estructura, por este proceso de cálculo, se debe verificar que en ninguno de los elementos de la estructura se produzca pandeo. En los métodos de cálculo elástico de primer orden, se analiza la estructura obteniendo los esfuerzos sobre las barras y las longitudes de pandeo de éstas, para posteriormente comprobar a pandeo dichas barras. Lo que no puede determinarse por este método es la carga crítica de pandeo de la estructura, ni el coeficiente de seguridad respecto a dicha carga. (Hernández et al, 1994).
Figura 1.1.1. Efecto P-Δ y P-δ Fuente: Elaboración propia
¾ Análisis elástico de segundo orden
En el análisis elástico de segundo orden el equilibrio se formula sobre la estructura deformada. Este tipo de análisis tiene en cuenta los momentos producidos por los esfuerzos de los extremos de la barras combinados con los desplazamientos que se han producido en dichas barras. Si estos desplazamientos son los de los extremos de la barras, se les denomina efecto P-Δ, si los desplazamientos son los que se producen en el interior de la barra, suponiendo que sus extremos no han sufrido movimientos, se les denomina P-δ (figura 1.1.1). (Hernández et al, 1994) Como el principio de superposición no es siempre válido (ver nota 1), se debe acudir a un reparto de cargas especificado, que se incrementa por pasos mediante un multiplicador de carga
2
Capitulo I Introducción
(figura 1.1.2). Se escogen incrementos tan pequeños que permitan suponer un comportamiento lineal durante este aumento de la carga.
Figura 1.1.2. Diagrama de carga-deformación Fuente: Elaboración propia
La configuración deformada que se obtiene al acabar cada aumento especificado de la carga, es la geometría de referencia para el siguiente paso. Así pues, la teoría elástica de segundo orden consiste en resolver una sucesión de análisis de primer orden de una estructura cuya geometría cambia en cada paso con respecto a los anteriores. Estos cálculos pronto se hacen inmanejables a mano y se necesitan programas informáticos. Se estudia con mayor detalle este tipo de análisis en el capítulo 2 de esta memoria.
Nota1: El Principio de superposición constituye la base de gran parte del análisis estructural. Puede enunciarse como sigue: el desplazamiento o esfuerzo total en un punto de una estructura sometida a varias cargas se puede determinar sumando los desplazamientos o esfuerzos que ocasiona cada una de las cargas que actúa por separado. Para que esto sea válido es necesario que exista una relación lineal entre las cargas, esfuerzos y desplazamientos. Requisitos para que el principio de superposición sea aplicable: 1. El material estructural debe comportarse de manera elástico-lineal, a fin de que sea válida la ley de Hooke y la carga sea proporcional al desplazamiento. 2. La geometría de la estructura no debe sufrir cambios importantes cuando se apliquen las cargas. Si los desplazamientos son grandes, entonces cambian considerablemente la posición y orientación de las cargas. Un ejemplo es el caso de una columna sometida a una carga de pandeo. (Hibbeler, 1997).
¾ Análisis inelástico de primer orden
El análisis inelástico de primer orden incluye los efectos de que algún elemento pueda ceder de varias formas, pero normalmente mediante un modelo de rótula plástica. (Hernández et al, 1994).
3
Capitulo I Introducción
¾ Análisis inelástico de segundo orden
Un cálculo de segundo orden inelástico es el único método que se presenta como riguroso en el análisis estructural. Pero no existe en la actualidad ningún programa disponible para oficinas de cálculo que pueda realizar este tipo de análisis. (Hernández et al, 1994)
Figura 1.1.3. Tipos de análisis Fuente: Elaboración propia
En el diseño basado sobre un análisis elástico, es necesario emplear métodos aproximados para considerar los efectos de estabilidad sobre los elementos y el sistema interdependiente. El método tradicional de diseño para marcos de acero, usa los factores de longitud efectiva dentro de las ecuaciones de interacción viga-columna, para considerar el comportamiento del sistema. (Maleck et al, 2004) Este método es ampliamente usado para el diseño de columnas de acero en los códigos. Pero esta basado en un modelo de columna aislada y no predice el comportamiento real de estabilidad del marco como un todo, es decir, el pandeo de las columnas y la deformación lateral del marco. (Tong et al, 2007)
Figura 1.1.4. Interacción entre el sistema estructural y los miembros que la componen Fuente: Elaboración propia
4
Capitulo I Introducción
Se mencionan algunas dificultades asociadas con el uso del método de longitud efectiva:
1. No puede considerar con exactitud la interacción entre el sistema estructural y sus elementos. Como resultado este método no predice con exactitud los esfuerzos a los cuales van a estar sometidos los miembros de una estructura.
2. En un análisis elástico de primer orden, con los factores de amplificación B1 y B2, (ver nota 2) se consideran solo los efectos de segundo orden pero no la redistribución de estos esfuerzos en la estructura. Este método proporciona una estimación conservadora de la capacidad última de carga que puede soportar una estructura.
Nota2: B1 es un factor de amplificación para considerar efectos de segundo orden causados por desplazamientos entre puntos de intermedios (P-δ) y B2 es un factor de amplificación para considerar efectos de segundo orden causados por desplazamientos en los extremos del elemento, cuando no esta arriostrado (P-Δ); ver figura 3.2.1.(AISC, 2005)
3. El método requiere de un proceso que consume mucho tiempo, pues luego de realizar un análisis de primer orden de la estructura, se debe chequear la capacidad de cada uno de sus elementos (vigas y columnas), involucrando el cálculo de los factores de longitud efectiva K. (Kim S. E. et al, 1999)
Por otro lado un análisis mas exacto (incluyendo propiedades inelásticas del material) de segundo orden debe incluir los factores que se enumeran a continuación:
1. Las propiedades de los elementos en las diversas etapas del proceso de carga, que deben definirse por medio de relaciones fuerza axial-momento-curvatura (M-P-φ) realistas.
2. Los cambios que el comportamiento inelástico y las articulaciones plásticas introducen en las rigideces de los elementos.
3. Los cambios en las rigideces y desplazamientos de las columnas, ocasionadas por las fuerzas axiales que actúan sobre ellas.
4. Los momentos, fuerzas axiales y cortantes, resultantes de la interacción de la cargas verticales con los desplazamientos laterales de los entrepisos (efecto P-Δ) y con los desplazamientos del eje de las columnas con respecto a la recta que une sus extremos (efecto P-δ), figura 1.1.1.
5
Capitulo I Introducción
5. Los cambios en las longitudes de las columnas ocasionados por las fuerzas axiales y por la deformación por flexión del edificio en conjunto
6. Las deformaciones por cortante. (Lopez, 1992).
Un análisis de este tipo, comunmente llamado Análisis Avanzado, ofrece un medio mas directo de evaluar los esfuerzos en los elementos y el sistema estructural, pero la capacidad computacional y sofware requeridos para este tipo de análisis, no se encuentra fácilmente disponible para el diseño profesional en la actualidad. Como mínimo se requiere de un simple análisis elástico para un diseño preliminar rápido, mientras que un método avanzado de cálculo se puede ocupar para resolver problemas poco usuales, de tal forma de asegurar que los resultados sean correctos. (Maleck et al, 2004) Por otra parte, la estabilidad de los elementos por separado y la estabilidad de la estructura como un todo, puede ser tratado de manera mas exacta por la determinación de los máximos esfuerzos de la estructura através de un Análisis elástico de Segundo Orden. (Kim S. E. et al, 1999) A través de este análisis se pretende proporcionar un modelo que considere el fenómeno de inestabilidad que afecta tanto a los elementos como al sistema estructural en forma directa. Las ventajas de este tipo de análisis son las siguiente:
1. Simplifica los procedimientos de diseño, al eliminar la necesidad de calcular los factores de longitud efectiva. (Maleck et al, 2004)
2. Se pueden usar métodos de diseño mas transparentes, estimando las fuerzas y resistencias internas reales de los elementos dentro del sistema estructural. (Maleck et al, 2004)
3. Considera la estabilidad del sistema estructural y sus elementos directamente, por lo que no se requiere chequear cada miembro por separado. (Kim S. E. et al, 1999).
4. Es un método que puede ser programado, a diferencia de aquellos en los que se requiere comprobar la capacidad de cada elemento de la estructura y el cálculo de los factores de longitud efectiva K. (Kim S. E. et al, 1999).
En nuestro país, normalmente no se requiere llevar a cabo un análisis de segundo orden para las estructuras que se van a diseñar, esto debido a que la norma Nch 433, diseño sísmico de edificios, no permite deformaciones mayores que 0.002H, siendo H la altura total o entrepisos de un edificio; el Manual de diseño para estructuras de acero, preparado por el Instituto chileno del
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Capitulo I Introducción
acero (ICHA, 2000) establece que los efectos de segundo orden P-Δ se deben considerar en los casos en que los desplazamientos laterales totales o entre niveles de la estructura superen los siguientes valores:
• 0.015 H/R para cargas normales más sísmicas no mayoradas. (Norma NCh 2369, Diseño Sísmico de Estructuras e Instalaciones Industriales). Siendo R el factor de modificación de la respuesta sísmica que varía entre 2 y 5. • 0.004H para cargas normales mas viento no mayoradas.
A pesar de lo dicho anteriormente, es importante comenzar a investigar y tener conocimientos teóricos acerca del tema, debido a que el progresivo desarrollo y aumento de la población en Chile, obliga a construir edificios cada vez mas altos, y es justamente en este tipo de construcciones en donde se generan los problemas de estabilidad, que deben ser tradados en forma eficiente y responsable. En esta memoria se realizará un Análisis Elástico de Segundo Orden a una edificación tipo marco plano, que es una estructura usada a menudo en edificios y se compone de vigas y columnas que están articuladas o bien son rígidas en sus conexiones. La carga en un marco ocasiona flexión en sus miembros y debido a las conexiones rígidas, esta estructura es generalmente indeterminada desde el punto de vista del análisis. (Hibbeler, 1997) Se plantean tres métodos de análisis, los cuales consideran los efectos de la geometría deformada en los cálculos, estos son:
Método 1
Análisis elástico de segundo orden, utilizando la Matriz Geométrica de la estructura, la cual se genera a partir de las relaciones no lineales entre fuerzas y desplazamientos del elemento. Estas se ven reflejadas en la matriz de rigidez no lineal de éste:
. 1.1.2 Donde
= Matriz de rigidez elástica convencional
= Matriz de rigidez geométrica que depende no solamente de la geometría, sino también de las fuerzas internas del miembro existente.
Método 2
Se modela la estructura en un programa que realiza un Análisis Elástico de segundo orden en base a las ecuaciones diferenciales. El cálculo se realiza en forma iterativa, determinando en
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Capitulo I Introducción
cada paso el valor de la fuerza axial, y se considera terminado cuando el incremento de la fuerza axial en dos pasos consecutivos es menor que la tolerancia determinada. El programa usado en este trabajo para ilustrar este método es el programa llamado Proges, y sus carácterísticas serán analizadas el el capítulo 4 de esta memoria.
Método 3
Se modela la estructura en SAP2000, para luego analizarla utilizando la opción que permite incorporar el efecto P-Δ en el análisis.
Cabe mencionar que los métodos propuestos solo se limitan a considerar la no linealidad geométrica, es decir, un Análisis Elástico de segundo orden (ver figura 1.1.2), como hipótesis se supone que el material trabaja en el rango elástico, por lo que no se considera la degradación plástica del material en los análisis que se realizarán a la estructura. Se dedica también un capítulo a la revisión del AISC y el Eurocódigo 3 (EC 3), para determinar cuando estas especificaciones demandan un análisis de segundo orden de la estructura, y los métodos que se proponen en ambas especificaciones para incorporar estos efectos en el análisis.
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Capitulo I Introducción
1.2. Objetivos
Objetivos generales
• Comparar resultados de esfuerzos y desplazamientos obtenidos a través de un Análisis Elástico de Segundo Orden, realizado a un marco plano de acero no arriostrado, sometido a grandes esfuerzos axiales y cargas laterales, por medio de los tres métodos de cálculo propuestos.
• Determinar si los esfuerzos (momento, fuerza axial y corte) en cada elemento de la estructura aumentan en forma significativa, luego de efectuar un Análisis Elástico de segundo orden, y hasta que punto es recomendable realizar un Análisis Elástico sin tomar en cuenta el efecto que las cargas axiales junto con las cargas laterales puedan provocar en una estructura.
Objetivos específicos
• Aportar conocimiento y presentar las ventajas que conlleva realizar un analisis considerando los efectos de segundo orden, para que los resultados sean cada vez mas exactos, y de esta manera lograr que el proceso de diseño de cada elemento se lleve a cabo en forma directa, sin que implique el cálculo de distintos factores, para simular efectos que en el análisis no estén siendo considerados.
• Dar a conocer las fórmulas básicas en las que están basados los métodos de cálculo que incorporan la geometría deformada, y mostrar como se lleva a cabo un análisis de segundo orden utilizando estas fórmulas, mediante el método de la Matriz Geométrica.
• Dar a conocer los resultados que entrega SAP2000, realizando un análisis de segundo orden a una estructura tipo marco, e identificar la manera de llevar a cabo este tipo de análisis por medio de este programa.
• Determinar en que situaciones los códigos de diseño que se estudian en esta memoria, exigen un Análisis Elástico de segundo orden de la estructura, y las condiciones que se establecen para realizar los cálculos.
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Capitulo I Introducción
1.3. Metodología
Se da comienzo a esta memoria realizando un estudio de los tres métodos de cálculo propuestos, (que se mencionan en la parte introductoria de esta memoria) para realizar un Análisis Elástico de segundo orden a una estructura, a través de estos tres métodos, la edificación será un marco plano sometido a cargas laterales y axiales. (Ejemplo que se encuentra en el capitulo 11, página 684 del libro llamado “Mechanics of structures: Variational and Computational Methods”, Wunderlich et al, 2003) Se establecen ciertas restricciones que debe tener este marco para que el modo de fallo sea por pandeo general de Euler y no se produzca ninguna otra fuerza crítica, ya sea pandeo inelástico, local, lateral o flexo-torsional, antes que la carga crítica de Euler. Se define la carga lateral y las cargas axiales puntuales, a las cuales estará sometido el marco no arriostrado, se tendrá cuidado en que dicha carga axial no sea demasiado grande como para hacer que la matriz se vuelva inestable (singular), ya que de ser así, se obtendrían resultados erroneos. Se modela la estructura en SAP2000 y PROGES para realizar Análisis Elástico de segundo orden utilizando estos programas, luego se realiza el cálculo utilizando el método de la Matriz Geométrica, para posteriormente comparar los resultados obtenidos.
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Capitulo II Métodos de Análisis Elástico de segundo orden
Capítulo II Métodos de Análisis Elástico de segundo orden.
En los últimos años se han producido numerosos esfuerzos para mejorar la exactitud del análisis de una viga-columna, basados en el método de los desplazamientos, cuando se considera la no linealidad geométrica. Estos desarrollos se han centrado predominantemente en dos aproximaciones: implementación de los elementos finitos incorporando matrices de rigidez geométricas, o tratando de obtener funciones de estabilidad mediante la resolución de la ecuación diferencial del equilibrio. (Ortega, 2007) Se comienza este capítulo citando los conceptos generales en los que se basa el análisis estructural, para luego estudiar el método de análisis de segundo orden utilizando la Matriz Geométrica en la sección 2.2
2.1. Conceptos generales
2.1.1. Inestabilidad de una barra.
Se comienza considerando una barra rígida, con un resorte en su soporte y cargada axialmente en su otro extremo (figura 2.1.1.1), luego se toma momento con respecto al punto A y se iguala a cero:
Figura 2.1.1.1. Estabilidad de una barra rígida Fuente: Saouma, 1999.
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Capitulo II Métodos de Análisis Elástico de segundo orden
θ 0 con θ (ver nota 1) θ θ 0 θ 0 . 2.1.1.1 Donde: P = Es la fuerza axial en el extremo B de la barra Δ = Es el desplazamiento en el extremo B de la barra θ = Es el ángulo de rotación de la barra con respecto a su posición inicial k = Es la constante de rigidez del resorte en el extremo A de la barra
Nota1:Δ=Lθ solo para un desplazamiento pequeño ya que en estricto rigor Δ=Lsenθ
Aquí hay tres posibilidades:
¾ Equilibrio estable: P < k / L, θ = 0 ¾ Equilibrio indiferente: P = k / L, θ puede tomar cualquier valor ¾ Equilibrio inestable: P > k / L, θ = 0
Así se define la carga crítica como: . 2.1.1.2
La primera ecuación indica que la columna puede permanecer recta cualquiera sea el valor de P, y la segundo muestra que cuando P alcanza un valor determinado, K / L, es posible un estado de equilibrio con una configuración ligeramente deformada; es decir, cuando la carga vale K / L, pueden presentarse un número infinito de configuraciones en equilibrio, una recta y las demás ligeramente deformadas; a este fenómeno, que corresponde el estado de equilibrio indiferente, y consiste en la existencia de dos o mas posibles configuraciones en equilibrio para una misma carga, se le llama Bifurcación del Equilibrio, y es cacterístico de los fenómenos de pandeo; la carga que lo ocasiona es la carga crítica del sistema Pcr. (Lopez, 1992) Para un gran desplazamiento se tiene:
θ 0 con θ (ver nota 1)
θ θ 0 . 2.1.1.3
θ . 2.1.1.4 θ
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Capitulo II Métodos de Análisis Elástico de segundo orden
Figura 2.1.1.2. Curvas carga-rotación de columnas Fuente: Elaboración propia
2.1.2. Pandeo elástico
Se presenta la teoría de deformación de la columna originada con Leonhard Euler 1744. Ésta se basa en los supuestos de que un miembro inicialmente recto está cargado concéntricamente, y las fibras permanecen elásticas hasta que ocurre la deformación, además cuando la columna se deforma, se debe asumir un pandeo simple como se muestra en la figura 2.1.2.1. Notar que la columna tampoco está perfectamente recta, y en todos los casos se presenta una imperfección menor.
Figura 2.1.2.1. Columna Euler Fuente: Saouma, 1999.
A partir de las ecuaciones A.1, A.2 y A.3 (ver anexo A) se pueden obtener las ecuaciones 2.1.2.1, 2.1.2.2, 2.1.2.3, introduciendo las siguientes condiciones:
0 ≠ 0
0 . 2.1.2.1 0 . 2.1.2.2 φ φ 0 . 2.1.2.3
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Capitulo II Métodos de Análisis Elástico de segundo orden
Y para este caso en particular: . 2.1.2.4
. 2.1.2.5
: ó
Derivando dos veces las ecuaciones 2.1.2.1, 2.1.2.2 y 2.1.2.3 (ver referencia Lopez,1992) se obtiene lo siguiente: 0 . 2.1.2.6 0 . 2.1.2.7 φ φ 0 . 2.1.2.8
Estas tres ecuaciones son independientes entre sí, pues en cada una aparece solo un desplazamiento, lineal o angular, lo que indica que una pieza comprimida doblemente simétrica puede mantenerse en equilibrio en la configuración deformada descrita por cualquiera de ellas; hay por consiguiente tres formas de pandeo independientes entre sí, ya que en cada una de las ecuaciones aparece una sola componente de desplazamiento, de manera que el pandeo se presenta por flexión, alrededor de cualquiera de los dos ejes principales de las secciones transversales, o por torsión, alrededor del eje longitudinal de la barra, y tres cargas críticas, que se calculan resolviendo cada una de las ecuaciones de equilibrio. Las dos primeras, correspondiente a pandeo por flexión respecto a cada uno de los ejes principales, se obtienen aplicando la teoría de Euler, pero ésta no permite calcular la tercera. En un problema dado interesa conocer la menor de las tres, que es la carga de Euler de pandeo por flexión alrededor del eje de menor momento de inercia o la de pandeo por torsión. (López, 1992) Para el caso particular en que las secciones transversales tienen dos ejes de simetría se llega a las ecuaciones 2.1.2.6, 2.1.2.7 y 2.1.2.8 que son independientes una de la otra, como se mencionó anteriormente. A continuación se determina la carga crítica de pandeo, utilizando la ecuación 2.1.2.1, la cual tiene la siguiente forma de solución:
. 2.1.2.9
Con λ / la ecuación 2.1.2.9 se escribe:
λ λ . 2.1.2.10
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Capitulo II Métodos de Análisis Elástico de segundo orden
Si la existencia de restricciones exteriores o la geometría de las secciones transversales es simétrica, de manera que la columna se pandea mantaniendose en uno de sus planos de simetría, se puede calcular la carga crítica igualando el momento exterior en una sección transversal cualquiera, ocasionado por la fuerza P, con el momento resistente interior que aparece en esa misma sección, y resolviendo la ecuación correspondiente; por ejemplo, si la columna se flexiona alrededor de su eje x se tiene que / , y si se supone que los desplazamientos de su eje son suficientemente pequeños para que la curvatura I/R pueda considerarse igual a / , se llega a 0 . 2.1.2.11
Esta constituye la ecuación de equilibrio de la columna ligeramente deformada; su solución proporciona la carga que puede mantenerla en equilibrio en estas condiciones, es decir, la carga crítica de pandeo elástico o carga crítica de Euler. (López, 1992) π . 2.1.2.12
2.1.3 Pandeo inelástico
La obtención de la fórmula de Euler, que permite calcular la carga crítica de piezas rectas comprimidas axialmente, está basada en la suposición fundamental de que la pieza se comporta elásticamente hasta la iniciación del pandeo, por lo tanto las ecuaciones deducidas anteriormente para Pcr no son aplicables a columnas cortas o de longitud intermedia, en las que se alcanza el límite de proporcionalidad antes que el esfuerzo crítico de pandeo elástico. (López, 1992) 2 2 La fórmula σcr = π E/(L/r) es válida únicamente para el intervalo de valores de la relación de esbeltez a los que corresponden esfuerzos críticos no mayores que el límite de proporcionalidad (σcr ≤ σLP), de manera que es aplicable hasta que:
π σ σ ec. 2.1.3.1 /
Despejando L/r se obtiene
π ec. 2.1.3.2 σ
σLP = fy / 2 : Es el esfuerzo correspondiente al límite de proporcionalidad. La ecuación anterior permite calcular la relación de esbeltez mínima para la que es aplicable la fórmula de Euler, la que deja de serlo para esbelteces menores puesto que para ellas
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Capitulo II Métodos de Análisis Elástico de segundo orden
σcr > σLP, es decir, el límite de proporcionalidad se sobrepasa antes de iniciarse el pandeo y éste se presenta en el intervalo inelástico. (López, 1992) Engesser y Considere fueron los primeros en advertir la posibilidad de modificar la fórmula de Euler para hacerla aplicable al cálculo de la carga crítica de pandeo inelástico introduciendo la teoría del “Módulo Tangente”. Las hipótesis en las que se basa este modelo fueron expuestas por Shanley en 1947 y son las siguientes: • Los desplazamientos laterales del eje de la columna son pequeños en comparación con las dimensiones de sus secciones transversales. • Las secciones transversales planas permanecen planas y normales al eje deformado, después de la flexión • El diagrama esfuerzo deformación del material de la columna da la relación entre el esfuerzo y deformación en cualquiera de sus fibras longitudinales • El plano de flexión es un plano de simetría de todas las secciones transversales. (López, 1992).
2.1.4. Pandeo lateral-torsional
En el desarrollo de las ecuaciones de diseño, el caso de una viga simplemente apoyada con momento constante a través de su sección es usualmente usado como el caso básico de pandeo lateral – torsional, ya que es el caso de carga más desfavorable. Consideremos una viga I, flexionada en su plano de mayor resistencia por la acción de dos momentos iguales y de sentido contrario aplicados en sus extremos, como se muestra en la figura 2.1.4.1. Además, admitiremos las siguientes hipótesis:
¾ La sección transversal de la viga es constante ¾ Los esfuerzos normales máximos están en intervalo elástico en el instante en que se inicia el pandeo ¾ La deformación de la viga al flexionarse y retorcerse es de tal naturaleza que no cambia la forma de sus secciones transversales ¾ Las cargas exteriores permanecen paralelas a sus direcciones originales al desplazarse, angular o linealmente, sus puntos de aplicación
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Capitulo II Métodos de Análisis Elástico de segundo orden
Figura 2.1.4.1 Deformación lateral-torsional de viga en flexión Fuente: Saavedra, 2005
Los extremos de la viga están simplemente apoyados e impedidos de rotar en torno al eje Z, pero libres de alabearse. En la condición deflectada lateralmente de la viga el momento externo Mx sobre la sección se proyecta en las direcciones ξ, η, ζ, como se ve en la figura 2.1.4.2
~ . 2.1.4.1 ~ ~ . 2.1.4.2
~ . 2.1.4.3
Figura 2.1.4.2 Deformación lateral-torsional de viga en flexión, detalle Fuente: Saavedra, 2005
Las ecuaciones de equilibrio son: . 2.1.4.4 . 2.1.4.5 . 2.1.4.6
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Capitulo II Métodos de Análisis Elástico de segundo orden
La primera de estas ecuaciones es independiente para v, mientras que la segunda y la tercera están acopladas, lo que nos muestra que los desplazamientos u y β no pueden existir independientemente uno del otro. Las ec. 2.1.4.5 y 2.1.4.6 pueden reducirse diferenciando la segunda con respecto a z y eliminando d2u / dz2; ello nos conduce a la siguiente ecuación diferencial, que rige el fenómeno torsional: 0 . 2.1.4.7 Esta ecuación permite una solución distinta de la trivial del tipo: π . 2.1.4.8
en que βmax es el ángulo de giro al centro de la luz. Sustituyendo la ec. 2.1.4.8 en la ec. 2.1.4.7 se obtiene: π π π 0 . 2.1.4.9
Dado que β no es nulo, el paréntesis de la ecuación anterior debe ser nulo, conduciendo al Momento Flector Crítico para el cual se inicia el pandeo lateral torsional. Reduciendo, obtenemos la ecuación diferencial de equilibrio, que rige el fenómeno torsional:
π π . 2.1.4.10 ,
En que: L = Largo total de la viga E = Módulo de elasticidad del acero
Iy = Inercia de la sección de la viga con respecto al eje y G = Módulo de corte del acero J = Constante de torsión de la sección
Cw = Constante de alabeo de la sección
Este momento de pandeo elástico corresponde a una deformación lateral torsional (β,u) indeterminada. El primer término de la raíz corresponde a la resistencia al pandeo lateral ofrecida por la torsión de St. Venant (torsión pura) y la flexión lateral, mientras el segundo término corresponde a la resistencia ofrecida por el alabeo de las alas. (Saavedra, 2005).
Se estudia a continuación el primer método de análisis, que se usará posteriormente para determinar los esfuerzos en la estructura propuesta.
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Capitulo II Métodos de Análisis Elástico de segundo orden
2.2. Método de la Matriz Geométrica para incorporar efectos de segundo orden
Este método consiste en la utilización de funciones aproximantes de tipo polinómico, cúbicas y lineales para los desplazamientos transversales de flexión y longitudinales debidos a los esfuerzos axiales, respectivamente, que interpolan en cada nodo de la discretización ciertas variables del problema consideradas como incognitas. (Ortega, 2007)
De esta forma se llega a la matriz de rigidez , que refleja las relaciones no lineales entre fuerzas y desplazamientos del elemento, a través de la matriz de rigidez del elemento no lineal
, que depende no solamente de la geometría, sino también de las fuerzas internas del elemento existente. La matriz de rigidez total del elemento permite plantear la ecuación de equilibrio de éste.
Donde: = Matriz de rigidez total del elemento. = Vector desplazamiento nodal del elemento referido al sistema de referencia que se muestra a continuación. = Vector fuerza del elemento con extremos empotrados debido a la presencia de carga intermedia. = Vector de fuerza nodal como se muestra en la figura 2.2.1 .
= Matriz de rigidez elástica.
= Matriz de rigidez geométrica.
θ θ
Figura 2.2.1. Convención de signos Fuente: Wunderlich et al, 2003
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Capitulo II Métodos de Análisis Elástico de segundo orden
Si se utilizan las Funciones de Estabilidad (ver anexo A), la matriz de rigidez en dos dimensiones para un elemento viga-columna queda de la siguiente manera:
0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0
Donde: sii y sij son los coeficientes de rigidez del miembro obtenidos a partir de las Funciones de Estabilidad elástica de una viga-columna. Estos coeficientes se pueden expresar de distintas formas según sea la fuerza de compresión o tracción, como:
Para una barra en compresión (N0 < 0) 2 11 4 2 1 15 6300
1 11 2 2 1 30 12600
1 1 11 6 2 1 10 1400
| | λ 6 1 2 12 2 1 5 700
Para una barra en tracción (N0 > 0)
2 11 4 2 1 15 6300
1 11 2 2 1 30 12600
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Capitulo II Métodos de Análisis Elástico de segundo orden
1 1 11 6 2 1 10 1400
| |
6 1 2 12 2 1 5 700
Para obtener la matriz de rigidez kt se usan las aproximaciones polinómicas de las
Funciones de Estabilidad sii y sij que se dan anteriormente en cada caso; se utiliza solo hasta el segundo término debido que de ahí en adelante los términos son pequeños, y no influyen mayormente en la matriz por lo que se pueden despreciar; de esta manera la matriz de rigidez total para un elemento esta expresada en términos de (Matriz de rigidez Elástica) y
(Matriz de rigidez Geométrica)
Así por ejemplo para un elemento empotrado en ambos extremos se tiene la siguiente matriz geométrica:
0 0 0 0 0 0 6 6 0 0 5 10 5 10 2 0 0 10 15 10 30 θ 0 0 0 0 0 0 6 6 0 0 5 10 5 10 θ 2 0 0 10 30 10 15
Esta matriz se agrega a la Matriz de rigidez Elástica que se utiliza normalmente para análisis de primer orden ke, que para un elemento empotrado en ambos extremos es la siguiente:
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Capitulo II Métodos de Análisis Elástico de segundo orden
/ 0 0 / 0 0 0 12 6 0 12 6 0 6 4 0 6 2 θ / 0 0 / 0 0 0 12 6 0 12 6 0 6 2 0 6 4 θ
Se da a continuación la matriz geométrica de cada elemento dependiendo de las condiciones de apoyo.
¾ Elemento empotrado-articulado
0 0 0 0 0 0 6 6 0 0 0 5 5 5 0 – 0 0 5 5 5 θ 0 0 0 0 0 0 6 6 0 0 0 5 5 5 θ 0 0 0 0 0 0
¾ Elemento articulado-empotrado
0 0 0 0 0 0 6 6
0 0 0 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 θ 6 6 0 0 0 5 5 5 θ 0 0 0 5 5 5
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Capitulo II Métodos de Análisis Elástico de segundo orden
¾ Elemento articulado-articulado
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 θ 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 4 4 θ 0 0 0 0 0 0 N0 es negativo en compresión y positivo en tracción. (Wunderlich, 2003).
Notar que los valores que conforman la Matriz Geométrica corresponden al segundo término de la serie polinomial que representan las funciones de estabilidad dadas anteriormente, pues el primer término de la función polinómica corresponde a la Matriz de Rigidez Elástica usada sin considerar la carga axial. Como alternativa a las aproximaciones que se vieron antes para las funciones de estabilidad, se tiene un sistema de expresiones que usan series de expansión, éstas tienen un alta grado de convergencia dentro de los primeros diez términos de la serie de expansión. De forma mas simple, si ρ=P/(π2EI/L2) esta entre -2 y 2 se pueden utilizar las siguientes funciones:
2 0.01 0.543 0.004 0.285 4 15 4 8.183 0.01 0.543 0.004 0.285 2 30 4 8.183
Estas expresiones se pueden aplicar tanto a miembros en tracción (P positivo) como en compresión (P negativo). (Kim et al, 2004)
La limitación que existe al usar estos campos de desplazamientos, es que los elementos sólo son capaces de representar curvaturas con variación lineal o campos de deformación axial constante. En particular, la variación de la curvatura a lo largo de la longitud de la pieza no se modela con exactitud. En este sentido se emplean frecuentemente polinomios de mayor grado asociados a grados de libertad internos al elemento para resolver estos problemas. (Ortega, 2007)
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Capítulo III Efectos de segundo orden considerados en las normas de diseño
Capítulo III Efectos de segundo orden considerados en las normas de diseño.
En este capítulo se indica lo establecido en distintos códigos de diseño, con respecto a la estabilidad de la estructura, y cuando se requiere en cada una de estas normas, incorporar los efectos de segundo orden en un análisis realizado. Se comienza revisando el manual ICHA (Instituto Nacional del Acero), luego el AISC (American Institute of Steel Construction) y por último el código europeo EC3 (Eurocódigo 3), poniendo énfasis en los tipos de análisis que se proponen en cada una de las normas, para considerar los efectos de segundo orden en una estructura. Finalmente se presenta un resumen con los conceptos mas importantes, para poder ver de forma clara las diferencias o semejanzas que puedan existir entre ellas.
3.1. Recomendaciones del Instituto nacional del acero ICHA
A continuación se profundiza el tema mencionado en la introducción, respecto a como se llevan a cabo los análisis realizados en Chile, a través de lo establecido en el manual de diseño para estructuras de acero. Los análisis sísmicos tradicionales hechos en Chile no consideran el efecto P-Δ, cubriéndolo por vía: a) De la calibración que se ha hecho de los factores R (factor de modificación de la respuesta sísmica que varía entre 2 y 5) respecto de la experiencia sísmica concreta. b) De la fijación de un límite a la deformación horizontal máxima calculada. c) Del establecimiento de un corte basal mínimo de diseño, que incrementa las fuerzas sísmicas en las estructuras de períodos largos.
Esta práctica se ha demostrado adecuada para nuestra realidad, al no observarse fallas de importancia producidas por el efecto P-Δ. En la norma NCh 433, Diseño Sísmico de Edificios, no se permite sobrepasar la deformación máxima H/500, de lo contrario se debe modificar la estructura, este límite máximo establecido para el desplazamiento, cuando se trata de cargas sísmicas, implica que no se requiere un análisis de segundo orden de la estructura. En la NCh 2369, Diseño Sísmico de Estructuras e Instalaciones Industriales, se fija un límite de 0,015H/R, más allá del cual se debe efectuar análisis P-Δ y verificar que la estructura, los equipos y elementos no estructurales vinculados a ella puedan aceptar deformaciones mayores. En ese caso, el análisis se debe hacer con las fuerzas sísmicas reducidas de la norma. Con esto no se busca, claro está, reproducir el fenómeno sísmico real, sino darle a la estructura una resistencia adicional a la que resultaría de no considerar el efecto P-Δ.
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Capítulo III Efectos de segundo orden considerados en las normas de diseño
Concretamente, en cuanto a considerar o no los efectos de segundo orden en una estructura, en el punto 6.1 del manual de diseño ICHA se establece los siguiente: Los efectos de segundo orden, P-Δ se considerarán en los casos en que los desplazamientos laterales totales o entre niveles de la estructura superen los siguiente valores: • 0.015H/R para cargas normales mas sísmicas no mayoradas (Nch 2369, diseño sísmico de estructura e instalaciones industriales). • 0.004H para cargas normales mas viento no mayoradas. • 0.002H para cargas normales mas sísmicas no mayoradas (Nch 433, diseño sísmico de edificio), ver nota 1 Donde: H = Corresponde al alto total del edificio o entre niveles R = Es el factor de modificación de la respuesta sísmica, que varía entre 2 y 5
Nota1: En el caso del diseño sísmico de edificios, si se supera la deformación máximo establecida de 0.002H se debe modificar la estructura
Lo establecido por el manual ICHA, respecto a los desplazamientos producidos por fuerzas laterales se encuentra en el punto 15.3.3 de este manual y dice lo siguiente: Las deformaciones o desplazamientos laterales debido a las cargas de viento o sismo, u otras, no deben exceder los valores límites especificados o tolerables (esto es realizando un análisis solo con las cargas laterales sobre la estructura): • Edificios con cargas sísmicas, Nch 433 0.002H • Estructuras industriales, Nch 2369 0.015H/R • Viento en edificios altos, práctica norteamericana 0.0025H (AISC, Wind & Seismic Loads for Buildings, 1996)
Resumiendo y precisando lo dicho hasta aquí, se ve que el análisis y la verificación de las columnas de marcos puede efectuarse de los siguientes modos: ¾ Si la deformación lateral sísmica calculada es menor que los límites establecidos en las normas NCh 433 y NCh 2369, no considerar el efecto P-Δ y utilizar los valores K de los
Nomogramas (AISC) para determinar Pn. ¾ Si la deformación lateral resulta mayor que esos límites, pero la carga horizontal no es de origen sísmico y ha sido estimada adecuadamente en su magnitud, efectuar directamente un análisis de segundo orden o P-Δ, utilizando las fórmulas de interacción con:
φ φ . 3.1.1 φ′ ó í
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Capítulo III Efectos de segundo orden considerados en las normas de diseño
¾ Si la deformación lateral es mayor que los límites antes aludidos, y la carga es de origen sísmico, con magnitud reducida por el factor R, efectuar el análisis P-Δ directamente con el programa de análisis estructural, o efectuar dos análisis de primer orden equivalentes
(método de amplificación de momentos AISC). Los valores Pu y Mu obtenidos de este
análisis, son comparados en las fórmulas de interacción con valores de Pn y Mn calculados considerando las esbelteces de columna basadas en los factores K provenientes del método de los Nomogramas o de otros semejantes. (ICHA, 2000) El análisis de segundo orden puede ser reemplazado por dos análisis de primer orden equivalentes, aplicando el método de amplificación de momentos, éste es igual al que se propone en el AISC y se estudia en la sección 3.2.
Fórmulas de interacción:
Las fórmulas que se dan a continuación (sección 10.1 del manual de disño ICHA), sirven para verificar que el elemento resista la carga a la que estará siendo sometido, como se puede ver
K está implicitamente presente en esta fórmula mediante el valor de Pn, de esta manera se verifica también la estabilidad del elementos cuando se ha realizado un Análisis Elástico de primer orden.
8 0.2 1.0 ec. 3.1.2 φ φ 9 φ φ 0.2 1.0 3.1.3 φ 2φ φ φ
0.877 . 3.1.4 λ
1 λ π 89.2 λ . 3.1.5 1 λ π 89.2 Donde:
Pu = Resistencia a la compresión requerida, (N)
Pn = Resistencia nominal a la compresión, (N)
Mu = Resistencia a la flexión requerida, (N-mm)
Mn = Resistencia nominal a la flexión, (N-mm)
φ=φc = Factor de resistencia a la compresión = 0,85
φb = Factor de resistencia a la flexión = 0.85 (para marcos no arriostrados) K = Factor de longitud efectiva de pandeo
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Capítulo III Efectos de segundo orden considerados en las normas de diseño
r = Radio de giro (mm) E = Modulo de elásticidad (N-mm)
Fy = Límite de fluencia especificado (N-mm) 2 Ag = Area bruta del elemento (mm ) l = Longitud del elemento (mm) x = Subíndice relacionado a la flexión según el eje mayor. y = Subíndice relacionado a la flexión según el eje menor.
A través de estos párrafos se ve que en los procesos de análisis y diseño se plantean situaciones distintas de acuerdo a la naturaleza y exactitud de las carga, o tipo de análisis realizado, los valores obtenidos nunca serán los reales ya que se aplican diversos factores, haciendo que el proceso sea confuso e inexacto. Por otra parte, se debe tener cuidado al confiar solo en los desplazamientos para determinar si es necesario o no realizar un análisis de segundo orden, pues cuando la estructura es esbelta y esta sometida a cargas axiales de magnitud considerable, puede ser que un análisis de primer orden, al no considerar éstas fuerzas, entregue resultados erróneos de desplazamiento, menores al límite máximo de defomación que permite la norma (lo que implica que no es necesario un análisis de segundo orden), pero que a través de un análisis de segundo orden, se obtengan desplazamientos mayores, y mas aún, que éstos sobrepasen el límite máximo, lo cual indicaría que las fuerzas axiales no se pueden despreciar. Lo anterior puede darse en situaciones en que los desplazamientos estén en el límite de los valores máximos y la estructura este siendo sometida a una gran carga axial, por esta razón es recomendable efectuar el análisis de segundo orden cuando esto ocurra.
3.2. Método de análisis de segundo orden establecido en el código AISC 3.2.1. Consideraciones generales
Los métodos de diseño usualmente se basan en un análisis elástico de la estructura, en este código se entregan tres métodos de diseño los cuales son: En ASD (diseño por tensiones admisibles), el cálculo de esfuerzos está basado en un Análisis Elástico de primer orden, y los efectos de la geometría no lineal están implícitamente considerados para los elementos, al momento de realizar el diseño de cada uno de ellos. En el Diseño Plástico (PD) se permite la redistribución de fuerzas inelásticas a través del sistema estructural. Ya que la no linealidad geométrica y los efectos graduales que se van produciendo no son considerados dentro del análisis, estos se aproximan en los elementos por medio de las ecuaciones de diseño, las cuales se pueden encontrar en el código AISC; en ella se aplican factores, que dependen de la longitud del miembro, esfuerzo al que esta siendo sometido, condiciones de apoyo, tipo de arriostramientos,
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Capítulo III Efectos de segundo orden considerados en las normas de diseño
etc. que reflejan las condiciones de esbeltez de un elemento, y se establecen límites para calcular el esfuerzo máximo que una pieza puede resistir en base a estos factores. En LRFD (diseño por factores de carga y resistencia) un Análisis Elástico de primer orden con factores de amplificación, o un Análisis Elástico de segundo orden directo, es usado para considerar la no linealidad geométrica, y los esfuerzos últimos de elementos viga-columna están implícitamente reflejados en el diseño por las ecuaciones de interacción. (Kim S. E. et al, 1999). En general, el análisis para obtener las cargas de servicio (o efectos de cargas de momento de pandeo, corte, fuerza axial y momento torsional) sobre los elementos está demostrado que es el mismo tanto para LRFD como para ASD. Los métodos elásticos de análisis estructural son usados excepto cuando el estado límite es el mecanismo de colapso plástico. (Kim S. E. et al, 1999). El caso más común en donde se debe considerar un análisis de segundo orden es el de una estructura de varios pisos, que debe confiarse en las rigideces de las interacciones entre vigas y columnas, para resistir el pandeo bajo cargas laterales (viento o terremoto). Este es el caso de marcos no arriostrados. En este caso los desplazamientos laterales Δ (también llamados pandeo o deformaciones) causan momentos de pandeo adicional debido a las cargas de gravedad (ΣP) actuando en las posiciones en donde se han producido los desplazamientos Δ. El análisis debe incluir este efecto secundario P-Δ. Hay varios grados de sofisticación que son usados en los análisis para incluir estos efectos. Tanto en el LRFD como en el ASD los efectos de segundo orden pueden ser calculados, como una parte del análisis, o ellos pueden ser considerados usando las fórmulas que se dan en la especificación. (Salmon G. C. et al, 1990). En cuanto a la estabilidad de la estructura, en este código se establece que debe ser considerada desde el punto de vista de la estructura como un todo, incluyendo no solo los elementos a compresión, sino también vigas, sistema de tirantes y conexiones. La estabilidad individual de los componentes también debe ser considerada.
Figura 3.2.1.1: Efecto P-Δ y P-δ en vigas columna Fuente: AISC, 2005
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Capítulo III Efectos de segundo orden considerados en las normas de diseño
En general, es esencial que un análisis de segundo orden exacto sea realizado a la estructura. El análisis debería considerar la influencia de los efectos de segundo orden (tanto P-Δ como P-δ mostrados en la figura 3.2.1.1) y de flexión, corte y deformaciones axiales.
3.2.2. Análisis de segundo orden por un análisis elástico de primer orden amplificado. Método de amplificación de momentos.
Según el AISC este método aplicado apropiadamente constituye un método de análisis de segundo orden aceptable. Se definen factores de amplificación B1 y B2 que son usados para estimar los efectos de segundo orden producidos por las fuerzas de primer orden. Los efectos de las cargas de primer orden que no están asociados a pandeo lateral se multiplican por B1, para estimar los efectos P-δ sobre los momentos Mnt (momentos producidos cuando no hay deformación lateral del marco) y los efectos que se producen en presencia de carga lateral se multiplican por B2, para estimar los efectos P-Δ sobre los momentos Mlt (momentos producidos cuando hay deformación lateral del marco). (ver fig 3.2.1.1). Los efectos de estos factores de amplificación sobre los momentos se muestran en la figura 3.2.2.1
Figura 3.2.2.1. Amplificación de momento. Fuente: Elaboración propia.
Ambos tipos de momentos pueden ser inducidos por cargas de gravedad. Mnt se define como el momento desarrollado en un elemento de un marco arriostrado. Mlt es el momento desarrollado dentro de un elemento debido a la deformación lateral de un marco. Si el momento
B1Mnt se suma algebraicamente al momento B2Mlt se obtiene una buena aproximación al valor
Mr resultante en la mayoría de los casos. Se recomienda un análisis de segundo orden de este tipo si B2 > 1.2
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Capítulo III Efectos de segundo orden considerados en las normas de diseño
Para llevar a cabo este análisis se deben realizar los cálculos que se muestran a continuación. El esfuerzo de flexión Mr, y el esfuerzo axial Pr de segundo orden requerido serán determinados como sigue:
. 3.2.2.1
. 3.2.2.2 Donde:
1 . 3.2.2.3 1 /
Para elementos sujetos a compresión axial B1 puede ser calculado en base a una estimación de primer orden Pr = Pnt + Plt.
Nota: B1 es una amplificación para considerar efectos de segundo orden causados por desplazamientos entre puntos de intermedios (P-δ) y B2 es una amplificación para considerar efectos de segundo orden causados por desplazamientos laterales de marcos no arriostrados (P-Δ)(figura 3.2.1). Para miembros en los cuales B1 ≤ 1.05, es conservador amplificar la suma de momentos con pandeo lateral y sin pandeo lateral (como los obtenidos para el caso de análisis elástico de primer orden) por el amplificador B2, en otras palabras, Mr = B2(Mnt + Mlt). 1 1 . 3.2.2.4 ∑ 1 ∑ Donde: • α = 1 (LRFD) • α = 1.6 (ASD)
• Mr = Esfuerzo de flexión de segundo orden requerido usando combinaciones de carga LRFD o ASD, (Kip-in o N-mm)
• Mnt = Momento de primer orden usando combinaciones de carga LRFD o ASD,
asumiendo que no hay deformación lateral en el marco, (Kip-in o N-mm)
• Mlt = Momento de primer orden usando combinaciones de carga LRFD o ASD, causada por deformación lateral en el marco, (Kip-in o N-mm)
• Pr = Esfuerzo axial de segundo orden requerido usando combinaciones de carga LRFD o ASD, (Kips o N)
• Pnt = Fuerza axial de primer orden usando combinaciones de carga LRFD o ASD, asumiendo que no hay traslación lateral en el marco, (Kips. o N)
• ΣPnt = Carga vertical total soportada por el piso usando combinación de de cargas LRFD o ASD incluyendo cargas de gravedad de la columna, (Kips o N)
• Plt = Fuerza axial de primer orden usando combinaciones de carga LRFD o ASD causada solamente por la deformación lateral del marco, (Kips o N)
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Capítulo III Efectos de segundo orden considerados en las normas de diseño
• Cm = Coeficiente asumiendo que no hay deformación lateral del marco, cuyo valor deberá ser tomado como: (i) Para vigas columnas no sujetas a carga transversal entre soportes en el plano de pandeo.
0.6 0.4 / . 3.2.2.5
Donde M1 y M2, obtenidos a partir de un análisis de primer orden, son los momentos menor y mayor magnitud respectivamente, en los extremos de esa porción del elemento no arriostrado en el plano de pandeo bajo consideración. M1/M2 es positivo cuando los elementos tienen curvaturas distintas (figura 3.2.3(b)), y negativo cuando tienen una curvatura (figura 3.2.3(a)).
Figura 3.2.2.2. Curvatura que ocasionan los momentos en los extremos de la barra Fuente: Elaboración propia
(ii) Para vigas columnas sujetas a carga transversal entre soportes, el valor de Cm será determinado por cualquier análisis o tomar conservadoramente como igual a 1 para todos los casos.
• Pe1 = Resistencia a pandeo crítico elástico del elemento en el plano de pandeo, calculado en base al supuesto de que el marco está arriostrado, (Kips o N) π . 3.2.2.6
• ΣPe2 = La carga crítica de pandeo elástico para el piso determinado por el análisis del modo de pandeo, (Kips o N)
Para marcos sin arriostramiento, la resistencia de las columnas es igual a:
π . 3.2.2.7
Para todos los tipos de sistemas resistentes de carga lateral está permitido usar:
∑ . 3.2.2.8
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Capítulo III Efectos de segundo orden considerados en las normas de diseño
Donde:
E = Módulo elástico del acero (29000 Ksi o 200000 Mpa)
RM = 1 para sistemas de marcos arriostrados; = 0.85 para marcos de momento y sistemas combinados, a menos que se justifique un valor mayor a través de un análisis I = Momento de inercia en el plano de pandeo (in4o mm4) L = Altura del piso en (in o mm)
K1 = Factor de longitud efectiva en el plano de pandeo, calculado en base al supuesto de que no hay deformación lateral, igual a 1, a menos que un análisis indique que un valor mas pequeño debe ser usado
K2 = Factor de longitud efectiva en el plano de pandeo, calculado en base al supuesto de que el marco se puede deformar lateralmente.
ΔH = Deformación de primer orden entre piso debido a fuerzas laterales, (in o mm). ΣH = Corte de piso producido por la fuerza lateral usada para calcular ΔH, (Kips o N)
Este método solo es válido cuando cuando el valor de la relación de amplificación con pandeo lateral Δ2nd / Δ1st orden (o B2), determinado a partir de un análisis de primer orden, no exceda 1.5, de lo contrario, AISC recomienda realizar un análisis de segundo orden exacto de la estructura. Por otra parte en el apéndice 7 del AISC se propone un método que permite usar los factores de amplificación incluso cuando B2 > 1.5.
3.2.3. Método de análisis de segundo orden directo (Apendice 7 AISC).
Este método considera aquellos parámetros potenciales que pueden afectar la estabilidad de una estructura de acero tipo marco. Se consideran tres de los aspectos más importantes del comportamiento de estabilidad: no linealidad geométrica, deformación plástica, y estado límite de elementos. Estos aspectos gobiernan en última instancia las deformaciones de marcos bajo cargas aplicadas y el resultado de los efectos de las cargas en la estructura.
¾ No linealidad geométrica e imperfecciones.
En el desarrollo y calibración del método de análisis directo las imperfecciones geométricas iniciales son conservadoramente asumidas para las columnas igual a L/1000 donde L es la longitud del elemento en el marco, y para marcos una deformación de H/500 donde H es la altura de piso.
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Capítulo III Efectos de segundo orden considerados en las normas de diseño
¾ Deformación plástica.
Considera la deformación plástica a través de la sección transversal y a lo largo del elemento. El término se denomina esfuerzo residual y se supone que tiene un valor máximo de 0.3Fy en el borde para ser distribuido de acuerdo a la llamada Lehigh Pattern una variación lineal en el borde y tensión uniforme en el centro.
¾ Cargas teóricas
Las cargas teóricas serán aplicadas al costado de los sistemas de marcos, para considerar los efectos de las imperfecciones geométricas, inelasticidad o ambos. Las cargas teóricas son cargas laterales que se aplican en cada nivel del marco, especificados en términos de las cargas de gravedad aplicadas en ese nivel. La carga de gravedad usada para determinar la carga teórica será igual a la carga de gravedad mayor asociada con la combinación de carga que está siendo evaluada. Las cargas teóricas serán aplicadas en la dirección que actúan los efectos desestabilizantes bajo la combinación de carga especificada.
Condiciones de análisis
(1) Los métodos de análisis en los que se desprecien los efectos P-δ sobre el desplazamiento lateral de la estructura están permitidos cuando las cargas axiales en todos los elementos en los que se considera rigidez de flexión para contribuir a la estabilidad lateral de la estructura satisfacen los siguientes límites:
0.15 . 3.2.3.1
Donde:
Pr = Esfuerzo de compresión axial requerido bajo combinaciones de cargas dadas por ASD o LRFD, (Kips o N) 2 2 PeL = π EI /L α = 1 (LRFD) o 1.6 (ASD)
(2) Una carga teórica, Ni = 0.002Yi, aplicada independientemente en dos dirección ortogonales, será aplicada como una carga lateral en todas las combinaciones. Esta carga será adicional a las otras cargas laterales
Donde:
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Capítulo III Efectos de segundo orden considerados en las normas de diseño
Ni = Carga lateral teórica aplicada en el nivel i, (Kips o N)
Yi = Carga de gravedad desde la combinación de carga LRFD o 1.6 veces la combinación de carga ASD aplicada en el nivel i, (Kips o N)
(3) La rigidez de flexión reducida, EI*
0.8 . 3.2.3.2 1 0.5 . 3.2.3.3 4 1 0.5
Será usada para todos los elementos cuya rigidez a la flexión se considere para contribuir a la rigidez lateral de la estructura
Donde: I = Momento de inercia con respecto al eje de pandeo, in4 (mm4)
Pr = Esfuerzo de compresión axial requerido bajo combinaciones de carga LRFD o ASD, (Kips o N)
Py = Afy, esfuerzo producido en el miembro, (Kips o N) α = 1 (LRFD) α = 1.6 (ASD)
En lugar de usar τb < 1 donde αPr / Py > 0.5, τb = 1 puede ser usado para todos los elementos, lo que proporciona que una carga teórica adicional de 0.001Yi sea agregada a la carga teórica requerida en (2).
(4) Una rigidez axial reducida, EA*
0.8 . 3.2.3.4
Será usada para elementos cuya rigidez axial este considerada para contribuir a la estabilidad lateral de la estructura, donde A es el área de la sección del elemento.
Aplicando estas condiciones el diseño puede llevarse a cabo de la siguiente manera: Para el diseño de los elementos, luego de un análisis de este tipo se debe verificar para cada sección lo establecido en el capitulo H de este código, determinando el esfuerzo de la columna nominal, Pn, usando K = 1 (notar que no es necesario el cálculo de K).
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Capítulo III Efectos de segundo orden considerados en las normas de diseño
Ecuaciones de interacción
En en capítulo H del AISC se establece lo siguiente:
La interacción de flexión y compresión en los elementos para los cuales 0.1 ≤ (Iyc/Iy) ≤ 0.9, que están forzados a pandearse en uno de sus ejes (x y/o y) estarán limitados por las ecuaciones 3.2.3.5 y 3.2.3.6, donde Iyc es el momento de inercia con respecto al eje y del ala en compresión, in4. (mm4).
8 0.2 1.0 ec. 3.2.3.5 9
Para 0.2 1.0 ec. 3.2.3.6 2
Donde:
Pr = Fuerza de compresión axial requerida, (Kips o N)
Pc = Fuerza de compresión axial admisible (φPn o Pn/ LRFD o ASD respectivamente), (Kips o N)
Pn = Fcr Ag
Mr = Fuerza de flexión requerida, (Kips-in o N-mm)
Mc = Fuerza de flexión admisible, (Kips-in o N-mm) x = Subíndice relativo al eje fuerte de pandeo y = Subíndice relativo al eje débil de pandeo
Y luego para el cálculo de Fcr se establecen las siguientes fórmulas basadas en el factor de longitud efectiva K
/ 0.658 4.71 0.44 . 3.2.3.7 0.877 4.71 0.44 Con: . 3.2.3.8
Se permite por lo tanto el cálculo de Fe con K = 1 en la ecuación 3.2.3.8 si el análisis estructural incorpora los efectos de segundo orden de manera rigurosa, de esta manera Pn ya no depende del factor K.
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Capítulo III Efectos de segundo orden considerados en las normas de diseño
Se sugiere que en la mayoría de las estructuras formadas por barras, los amplificadores de pandeo lateral de segundo orden (o el equivalente B2), calculado con la rigidez reducida, debe ser conservadoramente no mayor a Δ2nd / Δ1st orden = 2.5 ya que en los niveles más grandes de amplificación, pequeños cambios en las cargas de gravedad o rigideces resultan en grandes cambios en relación a deflexiones del modo de pandeo y fuerzas de segundo orden internas, debido a la no linealidad. (AISC, 2005)
3.3. Código Europeo, EC3 3.3.1. Consideraciones generales
En la siguiente sección se da a conocer la forma que tiene el Eurocódigo 3 para tratar el asunto de la estabilidad de un marco plano. Acorde con en Eurocódigo 3 (2005), la verificación de la estabilidad de los pórticos o de los elementos individuales, debe ser llevada a cabo considerando las imperfecciones y los efectos de segundo orden. Para la verificación de la estabilidad estructural, se debe optar por uno de los tres procedimientos descritos en el apartado 5.2.2(3) del Eurocódigo 3. El primer procedimiento consiste en realizar un análisis global de todo el pórtico, considerando los efectos de segundo orden (P-Δ y P-δ), las imperfecciones del pórtico traslacional y de cada elemento. Con este procedimiento solo se requerirá verificar la resistencia de la sección mas solicitada. El segundo procedimiento permite realizar un análisis global de todo el pórtico, considerando parcialmente los efectos de segundo orden (solo P-Δ) y las imperfecciones del pórtico traslacional. Como el efecto P-δ y las imperfecciones de los elementos individuales no estan siendo considerados en el enálisis global, la estabilidad de cada elemento deberá ser verificada y adicional a esto, es necesario verificar también la resistencia de la sección. Por último el tercer procedimiento propone emplear el método de la columna equivalente para evaluar la estabilidad del pórtico y de los elementos estructurales. Con este procedimiento los esfuerzos internos que deben ser usados tanto en la verificación de la resistencia de la sección como en la verificación de la estabilidad de los elementos, son calculados de acuerdo a la teoría de primer orden sin considerar imperfecciones. (Yong, 2007) En el punto 5.2.1.2 del eurocodigo, en cuanto a la influencia de las deformaciones, se establece lo siguiente: Se podrá utilizar teoría de primer orden en los siguientes casos: ¾ Pórticos arriostrados ¾ Pórticos intraslacionales
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Capítulo III Efectos de segundo orden considerados en las normas de diseño
¾ Métodos de cálculo en los que se consideren indirectamente los efectos de segundo orden (con el factor de amplificación e imperfección inicial) (Eurocodigo, 2003)
Tipos de estructuras definidas en esta especificación En el Eurocodigo 3 se clasifican las estructuras en 3 tipos: a) Elementos estructurales simples
Las vigas simplemente apoyadas y las piezas aisladas traccionadas o comprimidas son isostáticas. Las celosías pueden ser isostáticas o hiperestáticas. b) Vigas continuas y pórticos arriostrados
En el caso de vigas continuas y pórticos en los que los efectos de segundo orden sean despreciables o se hayan eliminado con medios adecuados, se analizarán las distribuciones de sobrecargas que produzcan las solicitaciones más desfavorables para la resistencia de las piezas aisladas y la de sus uniones. c) Pórticos no arriostrados
Estos deben analizarse para la distribución de sobrecarga más desfavorable teniendo en cuenta los desplazamientos de los nudos. Asimismo se analizará la resistencia de las piezas aisladas tal como se describe en b) (Eurocódigo 3, 2003)
Imperfecciones
En el análisis de la estabilidad se deben tener en cuenta los efectos de las imperfecciones, los cuales incluyen las tensiones residuales y las imperfecciones geométricas tales como la falta de verticalidad de los pórticos y la falta de rectitud en los elementos. La imperfección equivalente a nivel de pórtico (figura 3.3.1.1) producida por una fuerza lateral, puede ser determinada por medio de la siguiente expresión:
φ . 3.3.1.1 200 2 2 1.0 . 3.3.1.2 √ 3
1 0.5 1 . 3.3.1.3
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Capítulo III Efectos de segundo orden considerados en las normas de diseño
Donde: h = Altura (m) de la estructura m = Número de pilares por piso, incluyendo solo aquellos que llevan una carga superior al 50% de la carga total
Figura 3.3.1.1. Imperfección de pórtico traslacional Fuente: Yong, 2007
Por otro lado, la imperfección a nivel del elemento tiene una forma sinusoidal, y su amplitud eo depende de las curvas de pandeo, del tipo de análisis a realizar y de la longitud del elemento.
Figura 3.3.1.2. Imperfección en el elemento Fuente: Eurocódigo, 2003
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Capítulo III Efectos de segundo orden considerados en las normas de diseño
Curva de pandeo Análisis elástico Análisis plástico
ver tabla 3.3.1.2 eo / L eo / L
ao 1/350 1/300 a 1/300 1/250 b 1/250 1/200 c 1/200 1/150 d 1/150 1/100 Tabla 3.3.1.1. Imperfecciones de los elementos Fuente: Yong, 2007
Curva de pandeo ao a b c d Factor de imperfección α 0.13 0.21 0.34 0.49 0.76 Tabla 3.3.1.2. Factores de imperfecciones para las curvas de pandeo Fuente: Yong, 2007
Cuando se analicen los pandeos dentro y fuera del plano, todas estas imperfecciones deben ser consideradas en la dirección mas desfavorable. Estas imperfecciones se pueden tomar en cuenta en forma de fuerzas ficticias como se muestra en la figura 3.3.1.2 y 3.3.1.3:
Figura 3.3.1.3. Esfuerzos horizontales equivalentes Fuente : Eurocodigo 3, 2003
3.3.2. Análisis de la estabilidad de un marco y factor de amplificación de momentos de primer orden.
Para realizar un análisis de primer orden elástico es necesario que el marco sea intraslacional, esto ocurre si se cumple una de las dos condiciones siguientes: (1) Marco intraslacional cuando el pórtico esta debidamente arriostrado. Un marco puede considerarse arriostrado cuando su rigidez está asegurada por un sistema de arriostramiento de forma que su respuesta a cargas horizontales en su plano es
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Capítulo III Efectos de segundo orden considerados en las normas de diseño
suficientemente rígida para que se pueda considerar que todas las cargas horizontales son resistidas por el sistema de arriostramiento.
(2) Tambien se puede considerar intraslacional dependiendo magnitud de las cargas que se estén aplicando a la estructura, y se determina de la siguiente forma:
¾ Se clasificará un pórtico como intraslacional cuando su respuesta a los esfuerzos horizontales contenidos en su plano es tal que sean despreciables las solicitaciones adicionales debidas a desplazamientos horizontales de sus nudos. esto se verifica con la siguiente condición
0.1 ec. 3.3.2.1 Donde:
Vsd = Valor de cálculo de la carga vertical total
Vcr = Valor elástico crítico de la carga vertical total considerando un estado traslacional.
¾ Para los pórticos planos de edificación con vigas unidas a los pilares en cada planta (fig
3.3.1) se puede utilizar la expresión 3.3.2.2 para el valor de Vsd/Vcr, por lo tanto: Cuando se utilice la teoría de primer orden, los desplazamientos horizontales de cada planta producida por las cargas horizontales y verticales de cálculo, y las imperfecciones debidas a un desplazamiento horizontal inicial, aplicadas como esfuerzos horizontales equivalentes, deberán cumplir el criterio:
δ 0.1 ec. 3.3.2.2 Donde:
δ = Desplazamiento horizontal entre piso producido por las fuerzas laterales mas la fuerza ficticia h = Altura entre plantas H = Reacción horizontal total en el piso producido por las fuerzas laterales V = Carga vertical de diseño sobre la estructura en un piso
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Capítulo III Efectos de segundo orden considerados en las normas de diseño
Figura 3.3.2.1. Pórtico de edificación con las vigas unidas a los pilares en cada planta Fuente: Eurocódigo 3, 2003
En caso de no cumplirse (1) ni (2) se considera el pórtico como traslacional, y en su dimensionamiento se tendrán en cuenta los efectos de los desplazamientos horizontales de sus nudos y también deberán cumplirse los requisitos relativos a la estabilidad global. (Eurocódigo 3, Dec 2003)
Método de amplificación de momentos
En el método propuesto por este código, los momentos resultantes del análisis elástico de primer orden se incrementarán multiplicándolos por el cociente: 1 . 3.3.2.3 1 Donde:
Vsd = Valor de cálculo de la carga vertical total
Vcr = Valor elástico crítico de la carga vertical total considerando un estado no arriostrado.
FA = Factor que amplifica los esfuerzos obtenidos luego du un análisis de primer orden. Los momentos debidos al desplazamiento son los asociados a los desplazamientos horizontales de una planta respecto a la inferior. Están originados por la carga horizontal y también pueden deberse a la carga vertical si la estructura o la carga es asimétrica. En los pórticos de edificación (fig. 3.3.1), se puede emplear también la siguiente aproximación, para determinar Vsd / Vcr δ . 3.3.2.4
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Capítulo III Efectos de segundo orden considerados en las normas de diseño
No se utilizará el método de amplificación de momentos cuando el cociente de las cargas
Vsd / Vcr sea mayor que 0.25. (Eurocódigo 3, 2003).
3.4. Resumen y comparaciones
En cuanto al tema de la estabilidad ambos códigos coinciden en que ésta debe ser tratada como un todo en la estructura, considerando tanto el efecto P-δ como el P-Δ producto de las fuerzas axiales y laterales actuando sobre las deformaciones de los elementos.
El código AISC utiliza los factores B1 y B2 para tratar ambos efectos, sin embargo no incluye deformaciones iniciales en el análisis elástico de primer orden, cuyos resultados serán amplificados por éstos valores. La normativa Europea utiliza un factor de amplificación FA para considerar los efectos de segundo, además de incluir el los cálculos imperfecciones iniciales, tanto para cada elemento como para el desplazamiento lateral del marco, en el análisis realizado.
El factor de amplificación B2 del AISC es similar al entregado por el EC3 FA , pero con ambas fórmulas se llega a resultados distintos, el límite máximo establecido a partir del cual es necesario realizar un análisis de segundo orden de acuerdo al AISC es cuando B2 ≥ 1.2 mientras que para el EC3 este límite se da cuando Vsd / Vcr ≥ 0.1 lo que en la fórmula 3.3.2.3 da un valor de FA = 1.11, a partir de éstos valores se debe realizar un análisis de segundo orden mediante la amplificación de momentos como se especifica en cada normativa, sin embargo cuando B2 > 1.5, para el AISC, y Vsd / Vcr > 0.25 Î FA=1.33, para EC3, se debe llevar a cabo un análisis de segundo orden mas riguroso. En el manual de diseño ICHA se trabaja con el mismo método empleado por el AISC, tanto para los análisis realizados (aplicando análisis de primer orden o la amplificación de momentos) como para el diseño de los elementos basados en las ecuaciones de interacción. La diferencia está en que las normas chilenas son mas restrictivas en cuanto a la deformación lateral de las estructuras y éstas son las que determinan si es necesario o no analizar una determinada estructura considerando los efectos de segundo orden. En la tabla 3.4.1 se puede ver en forma resumida lo establecido en cuanto a las deformaciones.
Origen Norma Deformación Δ Análisis Verificación Símico Nch 433 Δ < 0,002H No p-Δ usar K Nch 2369 Δ < 0,015H/R No p-Δ usar K Sísmico Nch 433 Δ > 0,002H Modificar la estructura Nch 2369 Δ > 0,015H/R p-Δ usar K No sísmico Nch 433 Δ > 0,002H p-Δ sin k (viento) Nch 2369 Δ > 0,015H p-Δ sin k Tabla 3.4.1. Tipos de análisis de acuerdo al origen de las fuerzas y deformación Fuente: Elaboración propia
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Capítulo III Efectos de segundo orden considerados en las normas de diseño
Nótese pues la diferencia fundamental entre el análisis P-Δ, cuanto las fuerzas horizontales intervienen en sus magnitudes reales, y el utilizable en la verificación sísmica. Debido a que Chile es un país sísmico, y estas fuerzas no son fáciles de estimar se tienen mayores restricciones y son estas fuerzas que generalmente gobierna a la hora de realizar un análisis y verificar la estructura.
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Capítulo IV Programas computacionales
Capítulo IV Programas computacionales
En este capítulo se estudian dos programas computacionales, los cuales se van a usar para realizar el Análisis Elástico de segundo orden de la estructura, se comienza con el programa SAP2000 para determinar de que forma se puede llevar a cabo este tipo de análisis utilizando este programa para finalizar en la sección 4.2 dando a conocer las bases de cálculo que se utilizan en Proges.
4.1. SAP2000 4.1.1. Introducción
Cuando las cargas que actúan sobre la estructura y los resultados de las deformaciones son bastante pequeños, la relación carga-deformación para la estructura es lineal. Para la mayor parte de los análisis, SAP2000 supone un comportamiento lineal, esto permite formar las ecuaciones de equilibrio usando la geometría original (no deformada) de la estructura. Estrictamente hablando, las ecuaciones de equilibrio debieran referirse a la geometría de la estructura luego de la deformación. Las ecuaciones de equilibrio lineal son independientes de la carga aplicada y los resultados de la deformación. Así los resultados de diferentes cargas dinámicas o estáticas se pueden superponer, siendo esto eficiente desde el punto de vista computacional. Si las cargas sobre la estructura y los resultados de las deformaciones son grandes, entonces el comportamiento carga-deformación pasa a ser no lineal. SAP2000 es capaz de considerar la no linealidad geométrica en forma de efectos P-Δ, mediante un proceso iterativo en un análisis no lineal estático.
¾ Efecto P-Δ: cuando se presentan grandes esfuerzos dentro de una estructura (fuerzas y momentos), las ecuaciones de equilibrio escritas para la geometría original y para la deformada pueden diferir significativamente incluso si las deformaciones son pequeñas.
Para muchas estructuras de edificios, el efecto P-Δ generalmente ocurre en las columnas debido a la carga muerta y viva. Las fuerzas axiales en las columnas están comprimiendo los elementos, haciendo que la estructura sea más flexible ante las cargas laterales. (Computers and structures, Inc. Abril 2007) SAP2000 considera el efecto P-Δ de forma diferente para los componentes de marcos arriostrados y no arriostrados. Para los marcos arriostrados, el efecto P-Δ se limita a la estabilidad individual del elemento. Para los elementos de un marco no arriostrado, los efectos de la
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Capítulo IV Programas computacionales
deformación lateral, deben ser adicionados a los efectos de la estabilidad de cada miembro. SAP2000 asume que los momentos producidos por el efecto P-Δ en marcos arriostrados son producto de las cargas muertas o vivas sobre la estructura. Mientras que en los marcos no arriostrados, son producto de otro tipo de cargas como son las de viento o sismo. Para los efectos de estabilidad de un miembro individual y la deformación lateral en marcos no arriostrados, los momentos son amplificados por los factores B1 y B2 tal como se especifica en el código AISC en el método LRFD y AASHTO-LRFD. El usuario de SAP2000 debe saber que la opción de análisis por defecto en este programa no contempla el efecto P-Δ ya que solo realiza una iteración para este efecto. El usuario debe activar la opción de analisis P-Δ y el número máximo de iteraciones para el análisis, ver figura 4.1.1.1 (Computers and Structures, Inc, 2000)
Figura 4.1.1.1. Efecto P-Δ en SAP2000 Fuente: Elaboración propia
Lo que hace el efecto P-Δ esencialmente es modificar las carácteristicas de la estructura, afectando los resultados de todos los otros análisis realizados. Los supuestos mas importantes en los que se basa SAP2000 para realizar este tipo de análisis se dan a continuación: ¾ El efecto P-Δ es considerado solamente en elementos de tipo marco. ¾ Se considera solamente el efecto de un esfuerzo de magnitud considerable provocado por la fuerza axial sobre la deformación transversal por corte y momento. ¾ Se asume que todas las deformaciones y rotaciones van a ser pequeñas
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Capítulo IV Programas computacionales
¾ Se asume que la forma de la deformada transversal de un elemento del marco es cúbica cuando es producida por momentos y lineal cuando es producida por corte ¾ Se asume que las fuerzas axiales P-Δ van a ser constantes a lo largo del elemento. (Computers and Structures, 1998)
4.1.2. Forma cúbica deformada
Si el equilibrio es examinado en la configuración original (usando la geometría sin deformar), el momento en la base es M=FL, y decrece linealmente a cero en el extremo cargado de la columna. Si en lugar de esto, el equilibrio está considerado en la configuración deformada, hay un momento adicional causado por la fuerza axial P actuando sobre el desplazamiento transversal Δ.
Figura 4.1.2.1. Geometría deformada Fuente: Computers and structures, 2007
El momento ya no varía linealmente a lo largo de la longitud; la variación depende del lugar sobre la forma deformada. El momento en la base es ahora M=FL+PΔ. Si la fuerza de compresión es demasiado grande, la rigidez transversal tiende a cero y la deformación Δ tiende a infinito, por lo tanto la estructura tiende a pandearse. El valor teórico de P en el cual ocurre esto es llamado Carga de Pandeo de Euler para una columna y está dado por la siguiente fórmula: π . 4.1.2.1 k El efecto P-Delta exacto de la carga axial sobre la deformación transversal y rigidez es una función mas bien complicada de la relación fuerza P para la carga de pandeo Pcr. La verdadera forma deformada de la viga, y por lo tanto el efecto sobre el diagrama de momento, se describe por funciones cúbicas bajo carga axial cero, funciones hiperbólicas bajo tracción, y funciones trigonométricas bajo compresión.
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Capítulo IV Programas computacionales
El efecto PDelta se puede presentar en cualquier configuración de viga, ya sea simplemente apoyada, empotrada-empotrada, etc. el efecto P-Delta se puede aplicar localmente o en elementos individualmente, o globalmente al sistema estructural como un todo. La característica clave es que una gran fuerza axial, actuando sobre una pequeña deformación transversal, produce un momento significativo que afecta al comportamiento del elemento o la estructura. Si la deformación es pequeña, entonces el momento producido es proporcional a la deformación. (Computers and Structures, Oct 1998)
4.1.3. Fuerzas P-Δ en los elemento pórtico
La forma cúbica de la deformada es integrada a lo largo de la longitud de cada elemento de marco, tomando en cuenta la deformada dentro del elemento. Para este propósito la forma deformada transversal se asume como cúbica para flexión y lineal para corte entre los extremos rígidos del elemento. La verdadera forma deformada puede diferir algo de la deformación cúbica lineal asumida en las siguientes situaciones: ¾ Los elementos con propiedades de sección no prismáticos. En este caso la deformada P- Delta se calcula como si el elemento fuera prismático usando el promedio de las propiedades de todo el largo del elemento. ¾ Cargas actuando a lo largo de la longitud del elemento. En este caso la deformada P-delta se calcula usando extremos empotrados y la fuerza aplicada en los extremos del elemento. ¾ Una fuerza grande P-Delta actuando sobre el elemento. La verdadera forma deformada es realmente la descrita por funciones trigonométricas bajo una compresión grande, y por funciones hiperbólicas bajo una tracción grande.
El supuesto de la forma cúbica es usualmente una buena aproximación excepto bajo fuerzas de compresión cerca de la carga de pandeo con ciertas restricciones en los extremos. Sin embargo se pueden obtener excelentes resultados dividiendo los miembros estructurales en 2 o más partes.
Fuerzas axiales P-Δ SAP2000 modifica las ecuaciones de equilibrio para incluir el efecto P-Δ debido a un solo sistema de fuerzas axiales actuando en los elementos del modelo de marco. Estas ecuaciones modificadas son usadas para todos los análisis siguientes que son aplicados en la estructura. Los resultados de estos diferentes análisis se pueden superponer. Las fuerzas axiales que crea el efecto P-Δ vienen del cálculo de un análisis iterativo realizado a la estructura, con una combinación de cargas estáticas específicas.
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Capítulo IV Programas computacionales
Análisis iterativo Se realiza un análisis preliminar para determinar todas las fuerzas axiales en la estructura. Las ecuaciones de equilibrio son luego reformuladas y resueltas nuevamente tomando en cuenta estas fuerzas axiales. El segundo análisis puede producir fuerzas axiales diferentes en los elementos si las rigideces modificadas causan una redistribución de las fuerzas. Además de la iteración, se requiere de cada ecuación de equilibrio reformulada y resuelta hasta que las fuerzas y deformaciones convergen, es decir, hasta que no hayan cambios significativos entre una iteración y la siguiente.
Criterio de convergencia Se puede especificar una tolerancia relativa al desplazamiento, con la cual medir la convergencia. Este valor, por defecto, es 0.003. si el cambio relativo entre el deplazamiento de una iteración a la siguiente es menor que la tolerancia, entonces no se realizan mas iteraciones. El cambio relativo entre los deplazamientos está definido como la relación entre el cambio máximo de desplazamiento y el mayor desplazamientos producido en cualquier iteración. Cabe destacar que rotaciones y traslaciones son tratadas de igual manera. (ver figura 4.1.1.1)
Número máximo de iteraciones Se debe especificar un número máximo de iteraciones que el programa debe realizar. Esto se usa para prevenir el tiempo de cálculo excesivo. La iteración inicial es llamada la iteración “zero-th”. Éste es el análisis lineal estandar que siempre se realiza tanto si se especifica o no la combinación de carga P-Δ. Este parámetro limita el número de iteraciones adicionales realizadas para el efecto de la combinación de carga P-Δ. Si el número de iteraciones máxima es cero, entonces el sistema será igual a uno en donde no se especifica combinación de carga P-Δ. (ver figura 4.1.1.1)
Fallo de convergencia Si la convergencia no se obtiene después de que se hayan efectuado un número máximo de iteraciones, los resultados del análisis pueden carecer de sentido, este fallo se puede deber a varias causas: ¾ Fueron permitidas muy pocas iteraciones. Usualmente un número razonable es de 2 a 5, aunque se pueden requerir mas, dependiendo de cada problema en particular. ¾ Se ha usado una tolerancia de convergencia muy pequeña o una muy grande. En cualquiera de los dos casos se obtendrían resultados sin sentido. ¾ La estructura esta cerca de la carga crítica de pandeo. Esto se puede impedir arriostrando la estructura para impedir el pandeo o disminuyendo la carga axial aplicada. (Computers and Structures, 1998)
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Capítulo IV Programas computacionales
4.1.4. Análisis inicial P-Δ
Para muchas aplicaciones, es adecuado considerar el efecto P-Δ sobre la estructura bajo un sistema de cargas (usualmente de gravedad), y considerar todos los otros análisis como lineales usando la Matriz de rigidez desarrollada para este sistema de cargas P-Δ. Esto permite que todos los resultados de los análisis sean superpuestos para efectos de diseño. Para hacer esto, se define un caso de análisis no lineal, que tiene a lo menos las siguientes características: ¾ Un sistema llamado “PDELTA” ¾ Las condiciones iniciales comienzan desde cero ¾ Se aplica el caso de carga que causará el efecto P-Δ; a menudo se tratará de carga muerta y una fracción de la carga viva ¾ Para la no linealidad geométrica, escoger efectos P-Δ
Figura 4.1.4.1. Análisis no lineal estático Fuente: Elaboración propia
Nos referiremos a este caso estático no lineal como el caso inicial P-Δ. Se puede definir o modificar otros casos de análisis lineales de modo que usen la rigidez del caso PDELTA. (Computers and structures, 2007) El efecto P-delta escencialmente modifica las características de la estructura afectando los resultados de todos los otros análisis realizados por ejemplo las cargas estáticas lineales como
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Capítulo IV Programas computacionales
peso propio y sobrecarga. Debido a que se utiliza una matriz de rigidez constante para todos esos análisis lineales, los resultados se pueden superponer, lo que resulta eficiente desde el punto de vista computacional. (Computers and structures, 1998)
4.2. PROGES 4.2.1. Introducción
En este apartado se muestra el proceso de cálculo que sigue este programa y los fundamentos teóricos en los cuales está basado para realizar el análisis estructural.
Figura 4.2.1.1. Diagrama de flujo de programa Proges Fuente: Lopetegui, 2006
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Capítulo IV Programas computacionales
100 % ec. 4.2.1.1 PROGES tiene la ventaja de ser un programa abierto, debido a que esta escrito en lenguaje Fortran, permite realizar cálculo estático y dinámico de estructuras de barra, incluyendo efectos de segundo orden, que es lo que interesa para esta tesis, no es tan conocido y usado como SAP2000, pero entrega resultados de una gran variedad de problemas con una buena precisión. En la figura 4.2.1.1 se muestra el diagrama de flujo que se utiliza en este programa. Para modelar una estructura se puede usar un programa llamado Datos.exe, en el cual se ingresan las coordenadas de la estructura, las barras, las características de las barras, es decir inercias, areas, radios de giro, etc. se ingresan también las cargas en los nudos y barras de acuerdo a los códigos indicados en el manual de uso, luego este programa genera un archivo de datos (.dat) que Proges leerá, entregando los resultados en un archivo de salida con extención .dat. Los archivos de entrada y salida de datos se muestran en el anexo C de esta memoria.
4.2.2. Fundamentos teóricos de PROGES
El método que usa Proges consiste en formar la matriz de rigidez para el elemento, a partir de las Funciones de Estabilidad (ver Anexo A) obtenidas mediante la resolución de la ecuación diferencial del equilibrio (ec. 4.2.2.9), considerando los efectos de segundo orden causados por la inestabilidad elástica del elemento. Para esto se definen los valores de Fi con i variando de 1 hasta 7 los cuales corresponden a los valores de la matriz de rigidez considerando la fuerza axial a través del término ε, que es a su vez función de la fuerza axial, y que en los cálculo lineales no se considera. Proges, a diferencia del método de la Matriz Geométrica, trabaja en base a la fuerza axial, esto quiere decir que en cada paso iterativo se va incrementando la fuerza axial sobre los elementos y se finalizan las iteraciones cuando se cumple la ec. 4.2.1.1
Figura 4.2.2.1. Ecuaciones de estabilidad para un segmento de columna Fuente: Liew et al, 1999
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Capítulo IV Programas computacionales
A continuación se deduce la ecuación diferencial de equilibrio para el elemento diferencial mostrado en la figura 4.2.2.1 Haciendo momento respecto a b se obtiene lo siguiente 0 . 4.2.2.1 . 4.2.2.2
A partir de la sumatoria de fuerzas horizontales se tiene 0 . 4.2.2.3 0 . 4.2.2.4
Diferenciando la ecuación 4.2.3 respecto a x se tiene
. 4.2.2.5 Utilizando la ec. 4.2.5 se tiene que 0 . 4.2.2.6
Si se reemplaza M por el siguiente valor se llega a la ec. 4.2.2.9 . 4.2.2.7 0 . 4.2.2.8 0 ec. 4.2.2.9
|N | . 4.2.2.10
(Liew et al, 1999) La solución de la ecuación diferencial ec. 4.2.2.9 es la que se muestra a continuación: Compresión:
A B C D Tracción:
A B C D
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Capítulo IV Programas computacionales
Los valores de A B C y D se obtienen de acuerdo a las condiciones de borde de cada problema en particular, estas constantes y la forma en que se llega a los valores de F1 y F2 dados en la tabla 4.2.2.1, que corresponden a las funciones de estabilidad sii y sij respectivamente, se muestran en detalle en el anexo A de esta memoria.
Tabla 4.2.2.1. Valores de para la matriz de rigidez Fuente: Lopetegui, 2006
En la tabla 4.2.2.1 se muestran los valores de para el caso de carga axial de compresión, de tracción y cuando no hay carga axial.
Se definen a continuación las matrices de rigidez modificadas por los factores Fi, los cuales incorporan la fuerza axial para los elementos con distintas condiciones de borde.
¾ Elemento empotrado en ambos extremos
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
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Capítulo IV Programas computacionales
¾ Elemento empotrado-articulado
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
¾ Elemento articulado-empotrado
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
¾ Elemento articulado en ambos extremos
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
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Capítulo IV Programas computacionales
Los elementos F de las matrices corresponden a los siguientes valores:
. . .
Donde:
lc , Ec , Ic , son valores medios aproximados de los largos de las barras, módulo de elasticidad y momento de inercia. i : 1, 2,… , 7
Se puede notar en la tabla 4.2.2.1 que para valores de ε = 0 la matriz es la Matriz de rigidez lineal que se utiliza para cálculos de primer orden. Al realizar los cálculos el programa converge rapidamente si la carga axial a la que está siendo sometida la estructura es proporcional a la deformación, es decir, si se trabaja en el rango lineal. Para valores mayores de P se requiere de mas iteraciones para realizar los cálculos, hasta que el programa no puede continuar, por que las deformaciones son muy grandes y no hay covergencia. Esto sucede cuando se esta cerca del valor crítico, si se alcanza este valor la matriz se vuelve singular, y mas alla de este valor el sistema se vuelve inestable, y los resultados entregados por el programa van a ser incorretos. (Lopetegui, 2006)
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Capítulo V Estructura tipo marco plano analizada
Capítulo V Estructura tipo marco plano analizada
Se muestra en la figura 5.1 el marco plano que será analizado bajo las condiciones de carga y apoyo indicadas, por los tres métodos propuestos los cuales son:
¾ Método 1: Análisis de Segundo Orden utilizando la Matriz Geómetrica ¾ Método 2: Análisis de Segundo Orden utilizando Proges ¾ Método 3: Análisis de Segundo Orden utilizando SAP2000
Antes de realizar los análisis se establecen ciertas hipótesis las cuales son las siguientes:
¾ El elemento que se analiza debe ser esbelto y de sección constante doblemente simétrica ¾ No se considera la plasticidad del material ¾ La columna esta debidamente arriostrada para que no se produzca pandeo lateral ni flexo- torsional. ¾ La columna esta debidamente atiesada para que no se produzca pandeo local
Las hipótesis permiten realizar el análisis de la estructura, considerando que el Pcr de la estructura será el que se produzca por pandeo general o de Euler alrededor de su eje fuerte y no se producirá ningúna otra fuerza crítica antes de que se alcance esta carga crítica.
Figura 5.1. Marco analizado por los tres métodos Fuente: Wunderlich et al, 2003
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Capítulo V Estructura tipo marco plano analizada
El marco de la figura 5.1 se encuentra en el capítulo 11 (página 684) del libro llamado “Mechanics of structures: Variational and Computational Methods” (ver referencia), el cual fue analizado en dicho libro por el método de la Matriz Geométrica para considerar los efectos de segundo orden, se realizaron dos iteraciones y los resultados obtenidos se pueden ver en la tabla 5.3.1. Los cálculos realizados por el primer método se encuentran en el anexo B de esta memoria.
5.1. Modelo de la estructura en PROGES
Se modeló luego la estructura en PROGES discretizando cada elemento en cuatro partes, como se muestra en la figura 5.1.1
Figura 5.1.1. Modelo de marco en PROGES Fuente: Elaboración propia
Los archivos de entrada y salida de datos para el modelo de la figura 5.1.1 en PROGES se encuentran en el anexo C de esta memoria.
5.2. Modelo de la estructura en SAP2000
Se parte especificando las unidades de medida en las que se trabaja, las cuales son KN-m, luego se define el tipo de material y las secciones que se usarán para las dos columnas y las vigas que componen el marco.
5.2.1. Casos de carga
Una vez que se ha dibujado éste, se definen tres casos de carga: ¾ PP: En el cual se encuentran las cargas verticales ¾ SC: En el cual se encuentran las cargas horizontales ¾ Pdelta: PP + 0.25SC (las cargas no se especifican directamente como en los casos anteriores, sino que se definen en el caso de análisis, ver figura 5.2.2.3)
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Capítulo V Estructura tipo marco plano analizada
Figura 5.2.1.1. Casos de carga en SAP2000 Fuente: Elaboración propia Los distintos casos de carga se superponen a través de las combinaciones que se especifican mas adelante en este capítulo.
5.2.2. Casos de análisis
El análisis para el caso de carga Pdelta es de tipo no lineal escogiendo como parámetro geométrico no lineal “P-delta” (ver figura 5.2.2.3 y 5.2.2.4), y para PP y SC el análisis del tipo lineal estático, y son realizados una vez que termina el caso de análisis “Pdelta” (ver figuras 5.2.2.1 y 5.2.2.2), es decir, utilizando la matriz de rigidez que se obtiene a partir del análisis no lineal realizado, por lo que en los tres casos de carga se esta considerando la influencia de la carga axial del caso PP, sobre las deformaciones y esfuerzos internos generados en la estructura.
Figura 5.2.2.1. Caso de análisis de PP en SAP2000 Fuente: Elaboración propia
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Capítulo V Estructura tipo marco plano analizada
Figura 5.2.2.2. Caso de análisis de SC en SAP2000 Fuente: Elaboración propia
Figura 5.2.2.3. Caso de análisis de Pdelta en SAP2000 Fuente: Elaboración propia
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Capítulo V Estructura tipo marco plano analizada
Figura 5.2.2.4 Especificación de efecto P-Delta Fuente: Elaboración propia
5.2.3. Combinaciones
Se definen dos combinaciones de carga:
¾ C1: PP + SC + Pdelta Se superponen los tres casos de carga definidos, por lo que la deformación resultante será la suma de la deformación producida por la carga lateral (SC), y cargas axiales (PP) y la deformación producto del cálculo iterativo de la carga axial (PP) actuando sobre el desplazamiento que se produce por la carga lateral
¾ C2: PP + SC En esta combinación se superponen solo dos casos de carga: las axiales (PP) y las laterales (SC), sin embargo, el que no se incluya el caso de carga Pdelta, no significa que no se este tomando en cuenta la no linealidad geométrica de la estructura, no hay que olvidar que estos casos parten luego del análisis Pdelta por lo que la rigidez del marco es menor, y esto se ve reflejado en la influencia que tiene la carga axial en la matriz de rigidez reformulada por el análisis no lineal Pdelta. La idea de estudiar este caso de carga, es saber si la matriz de rigidez que se forma es similar a alguna de las formadas por los otros dos métodos, a través de la comparación de resultados, cabe destacar también que esta matriz no se ve influenciada por el factor 0,25 (ver figura 5.2.2.3 “scale factor”) ya que al ir cambiar este valor no hubo mayor variación entre los resultados entregados por SAP2000 C2.
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Capítulo V Estructura tipo marco plano analizada
Otra consideración importante es que en el análisis através de SAP2000 no se toma en cuenta el peso de los elementos (ver figura 5.2.3.1), ya que este programa calcula el peso propio automáticamente incorporando nuevas fuerzas a la estructura, este hecho puede hacer que los resultados sean diferentes a los entregados por el primer y segundo método (ver nota 1), por esta razón el peso de los elementos se iguala a cero en SAP2000. La idea es que las condiciones del modelo sean semejantes para los tres métodos, y de esta forma poder evaluar de manera correcta las diferencias que pudieran existir.
Nota1: Se verifica la situación anterior de la siguiente manera: Se realiza un análisis elástico lineal, para la estructura mostrada en la figura 5.1, considerando la masa (mass per unit volume) = 7.849kg/m3 y peso (weiht per unit volume) = 76.9729 kN/m3 (figura 5.2.6) y el desplazamiento que se obtiene en el nudo 3 fue de 6.78 cm, definiendo como cero estos dos valores se obtuvo un desplazamiento de 7.85 cm, que es mayor y se acerca bastante al obtenido por un análisis lineal realizado.
Figura 5.2.3.1. Datos de las propiedades del material Fuente: Elaboración propia
Finalmente se realiza el análisis de la estructura, luego se revisan los valores de la deformación en el nudo tres y las fuerzas internas obtenidas para cada elemento, tanto para la combinación C1 como para la C2. Todo lo dicho anteriormente indica que el programa SAP2000 llevará a cabo el análisis de la siguiente forma:
1. Comienza realizando el análisis no lineal del caso de carga Pdelta especificado como PP+0.25SC (de acuerdo al cápitulo 4.1 de esta memoria) y considerando como parámetro
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Capítulo V Estructura tipo marco plano analizada
no lineal el efecto “P-delta”, en esta etapa se realizan las iteraciones correspondientes hasta que se obtiene la convergencia especificada. 2. En cada paso iterativo del análisis Pdelta la matriz de rigidez se reformula hasta que se obtiene la convergencia, y se forma la matriz de rigidez final, la cual considera la pérdida de rigidez de la estructura por el efecto de la carga axial aplicada, que corresponde a todas las cargas verticales sobre ésta. 3. A continuación realiza los análisis de tipo lineal estático correspondientes al PP y SC, pero usando la matriz de rigidez final que se forma al finalizar el caso de análisis Pdelta.
El archivo de salida de datos que entrega SAP2000, en donde se especifica cada uno de los pasos que se llevan a cabo y la iteraciones realizadas en cada uno de ellos, se encuentra en el anexo C de esta memoria (ver archivos C.7, C.8, C.9).
5.3. Resultados
En la tabla 5.3.1 se muestran los resutados de fuerzas y desplazamientos obtenidos a partir de los tres métodos de análisis, los cuales se comparan con un análisis lineal de primer orden, para la estructura con las condiciones de carga mostradas en la figura 5.1.
Método 1 Método 2 Método 3 Método 3 1º Orden M. Geom. Proges SAP2000 C2 SAP2000 C1 Lineal
1 U2 (cm) -15.423 -14.21 -15.61 -17.91 -7.831
2 θ2 0.01211 0.0355 0.013 0.013 0.00553
3 M(1,1) (KNm) 1055.30 1021.83 1066.83 1246.37 584.20
4 M(1,2) (KNm) -705.40 -679.10 -712.52 -844.41 -363.80
5 V(1,1) (KN) -233.90 -228.28 -273.1 -283.12 -154.50
6 V(1,2) (KN) -161.90 -156.28 -165.1 -193.11 -82.50
7 V(2,2) (KN) 100.50 97.91 101.25 144.44 66.40
8 V(2,3) (KN) 40.50 37.91 41.25 24.44 6.40
9 V(3,3) (KN) 79.40 73.28 82.60 90.01 0.00
10 N1(KN) -1150.50 -1147.91 -1151.25 -2244.44 -1116.4
11 N2(KN) -79.40 -73.28 -82.60 -89.99 0.00
12 N3(KN) -2059.50 -2062.09 -2058.75 -4175.56 -2093.60 Tabla 5.3.1. Resultados de desplazamientos y fuerzas internas de los elementos. Fuente: Elaboración propia
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Capítulo V Estructura tipo marco plano analizada
Donde:
U2 = desplazamiento producido en el nudo 2 (ver figura 5.1)
θ2 = ángulo que se forma en el nudo 2 M, V y N = están definidos como se muestra en la figura 5.3.1
Figura 5.3.1. Fuerzas internas en cada barra Fuente: Elaboración propia
A continuación se determina la curva de carga-deformación, para poder visualizar con mayor claridad las diferencias entre los tres métodos propuestos.
Cargas puntuales (KN) 1º orden Mat. Geom SAP2000 C2 SAP2000 C1 Proges N2x N2z N3 Δ (cm) Δ (cm) Δ (cm) Δ (cm) Δ (cm) 0 50 100 1,76 1,9 1,9 2,01 1,81 5 100 200 2,10 2,33 2,34 2,54 2,22 10 200 400 2,45 2,85 2,86 3,17 2,71 15 300 600 2,79 3,43 3,44 3,86 3,25 20 400 200 3,14 4,08 4,1 4,62 3,85 25 500 1000 3,49 4,81 4,83 5,48 4,53 30 600 1200 3,83 5,63 5,65 6,44 5,28 35 700 1400 4,18 6,56 6,6 7,52 6,13 40 800 1600 4,53 7,63 7,68 8,76 7,10 45 900 1800 4,87 8,87 8,94 10,18 8,21 50 1000 2000 5,22 10,33 10,43 11,85 9,51 55 1100 2200 5,57 12,06 12,2 13,82 11,03 60 1200 2400 5,91 14,16 14,35 16,2 12,83 65 1300 2600 6,26 16,47 17,03 19,13 15,02 70 1400 2800 6,60 19,99 20,43 22,82 17,72 75 1500 3000 6,95 24,2 24,92 27,66 21,13 80 1600 3200 7,23 29,86 31,1 34,26 25,56 85 1700 3400 7,64 37,81 40,15 43,82 31,53 90 1800 3600 7,99 49,64 54,67 59,06 39,96 Tabla 5.3.2. Valores de deformación vs carga aplicada en nudos 2 y 3 Fuente: Elaboración propia
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Capítulo V Estructura tipo marco plano analizada
N2x (KN) : Carga puntual sobre el nudo 2 en dirección x (ver figura 5.1)
N2z (KN) : Carga puntual sobre el nudo 2 en dirección z (ver figura 5.1)
N3 (KN) : Carga puntual sobre el nudo 3 en dirección z (ver figura 5.1) Δ (cm) : Desplazamiento en el nudo 3 (ver figura 5.1)
Esto se llevó a cabo haciendo variar las cargas N2x , N2z y N3 en la estructura y evaluando los desplazamientos en el nudo 3. Los resultados obtenidos por cada método se muestran en la tabla 5.3.2. Luego se grafican estos valores para confeccionar las curvas que se muestran en la gráfico 5.3.1
Carga N2x (KN) 95 90 85 Análisis lineal 80 75 70 Matriz 65 Geométrica 60 55 SAP2000 C1 50 45 40 SAP2000 C2 35 30 25 Proges 20 15 10 5 0 Δ (cm) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
Gráfico 5.3.1. Curvas de carga vs deformación Fuente: Elaboración propia
A través de este gráfico se puede ver que ya desde la carga N2x= 45 KN se comienza a presentar una gran diferencia entre los desplazamientos entregados por cada método, en comparación con un análisis lineal, cabe destacar también la semenjanza entre la curva generada por SAP2000 C2 y el Método de Matriz Geométrica, los valores de desplazamientos y esfuerzos obtenidos con cada método son casi iguales. Las conclusiones acerca de los anteriormente expuesto se ven en el capítulo 6 de esta memoria.
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Capítulo V Estructura tipo marco plano analizada
Variación porcentual de los desplazamientos obtenidos por % los tres métodos con respecto a un análisis lineal 700
600
500 Matriz Geométrica 400 SAP2000C2
300 SAP2000C1
200 PROGES
100
0 N2x (KN) 0 102030405060708090100
Gráfico 5.3.2. Variación porcentual de los desplazamientos obtenidos por los tres métodos con respecto un análisis lineal. Fuente: Elaboración propia.
Variacion porcentual de desplazamientos de % MG con respecto a PROGES 26 24 22 20 18 16 14 12 Variación de MG 10 vs PROGES 8 6 4 2 0 N2x (KN) 0 102030405060708090100
Gráfico 5.3.3. Variación porcentual de desplazamientos de MG con respecto a Proges Fuente: Elaboración propia
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Capítulo V Estructura tipo marco plano analizada
Por otra parte, como se vió en el capítulo 3, hay ciertos paramétros definidos tanto en el
AISC como en el Eurocódigo, B2 y FA respectivamente, que establecen cuando es necesario realizar un análisis de segundo orden de la estructura, en la tabla 5.3.3 y 5.3.4 se tiene el resultado de estos valores para el marco de la figura 5.1. El procedimiento de cálculo para obtener los valores B2 y FA se muestra en el anexo D, las fórmulas usadas para cada caso son las siguientes:
Para el AISC
1 ∑ 1 con Σ ∑ 1 ∑ Donde:
ΣPnt = Carga vertical total soportada por el piso, usando combinación de cargas (N)
RM = 0,85 para marcos no arriostrados ΣH = Corte de piso producido por la fuerza lateral usada para calcular delta H (N) L = Altura de piso (mm)
ΔH = Deformación de primer orden entrepiso, debido a fuerzas laterales (mm) α = 1.6 factor de seguridad
SC N2x (N) ΣPnt (N) ΣH (N) ΔH (mm) ΣPe2 B2 < 1,5 5000 360000 77000 26,8 19537313,4 1,03 10000 660000 82000 30,4 18342105,3 1,06 15000 960000 87000 34,1 17348973,6 1,09 20000 1260000 92000 37,7 16594164,5 1,13 25000 1560000 97000 41,4 15932367,1 1,18 30000 1860000 102000 45 15413333,3 1,23 35000 2160000 107000 48,6 14971193,4 1,30 40000 2460000 112000 52,3 14562141,5 1,37 45000 2760000 117000 55,9 14232558,1 1,44 50000 3060000 122000 59,5 13942857,1 1,54 55000 3360000 127000 63,2 13664557 1,64 60000 3660000 132000 66,8 13437125,7 1,77 65000 3960000 137000 70,5 13214184,4 1,92 70000 4260000 142000 74,1 13031039,1 2,09 75000 4560000 147000 77,7 12864864,9 2,31 80000 4860000 152000 81,4 12697788,7 2,57 85000 5160000 157000 85 12560000 2,91 90000 5460000 162000 88,6 12433408,6 3,36 Tabla 5.3.3. Cálculo del factor B2 Fuente: Elaboración propia
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Capítulo V Estructura tipo marco plano analizada
Para el Eurocodigo 1 δ 0.1 1 Donde: δ = Desplazamiento horizontal entre piso producido por las fuerzas laterales mas las fuerzas ficticias h = Altura entre plantas H = Reacción horizontal total en el piso producido por las fuerzas laterales y fuerzas ficticias V = Carga vertical de diseño sobre la estructura en un piso
FA = Factor de amplificación (semejante a B2)
Vsd = Valor de cálculo de la carga vertical total
Vcr e = Valor elástico crítico de la carga vertical total considerando un estado no arriostrado φ = Imperfección inicial aplicada a la carga vertical total (ver ec. 3.3.1.1)
SC N2x = Sobrecarga lateral puntual en el nudo 2 dirección x (ver figura 5.1)
SC N2x (N) V (N) φV(N) SC+φV (N) H (N) δ(mm) αcr < 0,25 FA 5000 360000 1101,6 6101,6 78180 27,7 0,01 1,01 10000 660000 2019,6 12019,6 84100 32 0,03 1,03 15000 960000 2937,6 17937,6 90020 36,3 0,04 1,05 20000 1260000 3855,6 23855,6 95900 40,6 0,06 1,07 25000 1560000 4773,6 29773,6 101770 44,8 0,08 1,09 30000 1860000 5691,6 35691,6 107700 49,1 0,10 1,11 35000 2160000 6609,6 41609,6 113610 53,4 0,12 1,14 40000 2460000 7527,6 47527,6 119530 57,7 0,14 1,17 45000 2760000 8445,6 53445,6 125450 62,1 0,17 1,20 50000 3060000 9363,6 59363,6 131360 66,4 0,19 1,23 55000 3360000 10281,6 65281,6 137280 70,7 0,21 1,27 60000 3660000 11199,6 71199,6 143200 75 0,23 1,31 65000 3960000 12117,6 77117,6 149120 79,3 0,26 1,35 70000 4260000 13035,6 83035,6 155040 83,6 0,28 1,40 75000 4560000 13953,6 88953,6 160950 87,9 0,31 1,45 80000 4860000 14871,6 94871,6 166870 92,2 0,33 1,50 85000 5160000 15789,6 100789,6 172790 96,5 0,36 1,56 90000 5460000 16707,6 106707,6 178710 100,8 0,38 1,62 Tabla 5.3.4. Cálculo del factor αcr Fuente: Elaboración propia
En la tabla 5.3.3 se muesta que a partir de ΣPnt = 1860 KN se debe realizar un análisis aproximado de segundo orden con el método de amplificación de momentos de acuerdo al código AISC, éste se puede utilizar solo hasta que ΣPnt = 3060 KN ya que a partir de este valor
B2 es mayor que 1.5 y se exige un análisis de segundo orden mas exacto, incorporando la rigidez reducida, imperfecciones iniciales, etc, como se vió en la sección 3.2.3, mientras que el
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Capítulo V Estructura tipo marco plano analizada
Eurocódigo exige un análisis de segundo orden cuando V = 2160 KN y se puede utilizar el método de cálculo aproximado que se propone hasta que V = 3960 KN, en donde el valor de αcr es mayor a 0.25 y se debe efectuar un análisis de segundo orden mas exacto (ver tabla 5.3.5).
Se grafican los valores de B2 y FA contra la carga N2x aplicada, y se pueden visualizar las diferencias que existen entre los códigos de diseño en el gráfico 5.3.4.
SC N2x (N) 100000 90000 80000 70000 60000 AISC 50000 EC 3 40000 30000 20000 10000 0 B2 y FA 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6
Gráfico 5.3.4. Curva factores de amplificación (B2 y FA) vs carga Fuente: Elaboración propia
Con respecto a la práctica en Chile, lo usual es limitar las deformaciones de las estructuras ante las cargas laterales, como se menciona en Nch 433 o Nch 2369, a través de este parámetro se determina cuando es necesario llevar a cabo un análisis de segundo orden de la estructura, si se supone que las cargas laterales son de viento, la deformación máxima permitida es de 0.004H que para la estructura de la figura 5.1 es de 3.2 cm, de partida la deformación que se genera en este marco es mucho mayor a la máxima permitida, ésta se obtiene a partir de un análisis lineal de primer orden de la estructura y es de 7.83 cm (ver tabla 5.3.1) por lo que hay que considerar el efecto P-delta para este caso. Ahora bien, si se quita la carga puntual horizontal de 82.5 kN en el nudo 2 la deformación obtenida por un análisis elástico de primer orden es de 1.84 cm lo que indica que no es necesario hacer un análisis de segundo orden, pero al realizar dicho análisis la deformación en el nudo 2 es de 3.67 cm que supera la máxima permitida por norma. Con esto se puede ver que no es tan simple tomar una decisión respecto a si considerar o no el efecto de la carga axial en una estructura, solo a través de las deformaciones, se demuestra que ante una carga axial considerable se pueden tener problemas de inestabilidad, que a través de un análisis de primer orden no se alcancen a percibir, dependiendo del tipo de marco, aun cuando la carga lateral sea pequeña y un análisis de primer orden entregue resultados de deformaciones menores a los máximos permitidos.
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Capítulo VI Comentarios y conclusiones
Capítulo VI Comentarios y conclusiones
6.1. Conclusiones generales
Luego del análisis realizado a la estructura de la figura 5.1 por los tres métodos de cálculo propuestos se concluye lo siguiente:
6.1.1 Respecto a los métodos estudiados
La deformación que se obtiene en el nudo tres a partir de un análisis elástico de primer orden del marco, es considerablemente menor a la que se obtiene por un análisis elástico de segundo orden (ver tabla 5.3.1), por consiguiente los resultados de los esfuerzos también van a ser mayores, esto se debe a que la fuerza axial en la estructura es muy grande y un análisis de primer orden en esta situación no entrega resultados completamente acertados.
Los resultados que se tienen para el método 1 (Matriz Geométrica) y el método 3 (SAP2000) con la combinación de cargas C2 (ver sección 5.2.3 combinaciones de carga) son similares, de igual manera la curva de carga vs deformación para estos dos métodos siguen la misma trayectoria (gráfico 5.3.1), se puede decir a partir de esto, que SAP2000 genera una matriz de rigidez final, luego de realizar el proceso de iteraciones (en el caso de análisis no lineal Pdelta), similar a la matriz que se obtiene utilizando las aproximaciones polinómicas de las funciones de estabilidad, para considerar los efectos de la geometría deformada en la rigidez de la estructura, no es el caso de el método utilizado en PROGES, aquí los desplazamientos obtenidos para cada valor de carga son inferiores a los obtenidos por los otros dos métodos, el gráfico 5.3.3 muestra la variación porcentual entre las deformaciones que se obtienen a partir del método de la Matriz geométrica y Proges, esta se incrementa a medida que aumenta la carga sobre la estructura, la diferencia fundamental está en que PROGES utiliza las funciones de estabilidad trigonómetricas e hiperbólicas para valores de ε > 0.1 (ver tabla 4.2.1), y utiliza las aproximaciones polinómicas para valores de ε < 0.1, es decir, la geometría deformada de los elementos, que se toma en cuenta en este programa, es de mayor exactitud, por otra parte PROGES realiza la iteración en forma incremental variando la fuerza axial. Se concluye que para cargas muy grandes (en este caso a partir de 60 KN en la tabla 5.3.2) las aproximaciones polinómicas para las funciones de estabilidad subestiman en cierta medida la capacidad de la estructura, dando como resultado mayores deformaciones.
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Capítulo VI Comentarios y conclusiones
En la combinación C2 no se incluye el caso de carga Pdelta, esto no quiere decir que en los cálculos no este siendo considerada la geometría deformada, porque como se dijo anteriormente los casos de análisis SC y PP, pese a ser lineales, comienzan luego de que se han realizado las iteraciones del caso de análisis Pdelta, es decir sobre la geometría deformada de la estructura (ver figuras 5.2.2.2 y 5.2.2.3).
Con respecto a la combinación C1= PP+SC+Pdelta en SAP2000, se puede ver que los resultados son evidentemente mayores a los entregados por los otros dos métodos, no tan solo en deformación, sino que también en las fuerzas internas producidas en los elementos, llama la atención que las fuerzas axiales para los elementos 1 y 3 son considerablemente mayores a las que se obtienen en las otras situaciones, ver tabla 5.3.1
A través del gráfico 5.3.1 se puede ver que las deformaciones comienzan a presentar mayores diferencias a partir N2x = 30 KN, en el gráfico 5.3.2 se muestra esta variación en forma de pocentaje, y para este valor de carga promedia alrededor de un 50,13% por sobre los resultados de un análisis lineal, por supuesto las deformaciones, luego de este valor, comienzan a ser cada vez mayores, desviandose de la recta que representa el analisis lineal, para dar forma a una parábola; estas deformaciones van a afectar el comportamiento de la estructura, es decir que a partir de este valor ya se hace necesario realizar un análisis de segundo orden de la estructura.
Esto coincide con lo que se establece en AISC mediante el factor B2 (tabla 5.3.3). Por otra parte el Eurocódigo, mediante el factor αcr , indica que es necesario un análisis de segundo orden cuando N2x = 35 KN como se muestra en la tabla 5.3.4
Con respecto a las iteraciones realizadas, en el proceso de análisis de la estructura, a través de PROGES y SAP2000, se pudo notar que a medida que aumentaba la carga axial el número de iteraciones requerido para que el sistema llegara a la convergencia era mayor, por ejemplo en el caso de Proges se necesitaron 5 iteraciones al aplicar la carga de 1050 KN y 2100 KN en los nudos 2 y 3 repectivamente (ver archivo C.2) mientras que cuando se aplicó una carga de 1800 kN y 3600 kN en los nudos 2 y 3, el número de iteraciones fue 7 (ver archivo C.6) y para cargas mayores se producía un error en el programa es decir no había convergencia. Al comparar cada paso iterativo para cargas mayores a 1700 kN (ver archivos C.3 y C.4) se pudo ver que los desplazamientos entre la última y penúltima iteración no eran iguales, lo que indica que no había convergencia, esto sucede porque al comenzar a llegar a la carga crítica de pandeo se tienen grandes diferencias de deformación ante pequeños incrementos en la fuerza axial y como PROGES va comparando las fuerzas axiales entre una iteración y otra el sistema converge, aun cuando los desplazamientos sean muy distintos, esto indica que se debe aplicar un factor de carga cuando la deformación de la estructura se hace mayor.
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Capítulo VI Comentarios y conclusiones
Algo similar ocurre en SAP2000 con respecto a las iteraciones; en el análisis no lineal P-delta, este programa realiza una cierta cantidad de pasos, dentro de los cuales se realizan iteraciones que convergen de acuerdo a lo que el usuario ha especificado previamente (criterio de convergencia, ver capitulo 4.1), para 1050kN y 2100 kN en los nudos 2 y 3 repectivamente se tienen dos iteraciones en cada paso (ver archivo C.7), mientras que para 1800 kN y 3600 kN el número de iteraciones desde el paso uno al diez va en aumento, por ejemplo en un paso se tiene hasta 7 iteraciones (ver archivo C.8), si las cargas son mayores ya no hay convergencia en algunos pasos, para el número limitado de iteraciones que ha sido especificado previamente por el usuario (ver figura 4.1.1), en esta situación SAP2000 disminuye los incrementos a la mitad para alcanzar la convergencia (ver archivo C.9).
Mediante el método de la Matriz Geométrica se calcula el factor λ, que amplifica todas las cargas de la estructura de la figura 5.1, para que esta se vuelva inestable, el cálculo se puede ver en detalle en el anexo B de esta memoria, el procedimiento se aplica a la estructura para las distintas cargas que se muestran en la tabla 5.3.2 y así obtener el gráfico B.1, en el cual se puede apreciar que dichos factores son menores y la diferencia entre uno y el consecutivo es también menor, a medida que la deformación aumenta y a medida de que la carga aplicada se va acercando a la crítica, esto comprueba que mientras mas cerca se este de este valor crítico, la diferencia entre los desplazamientos crece ante pequeños incrementos de la fuerza axial.
6.1.2. Respecto a las normas estudiadas
Existen diferencias claras entre las dos normas estudiadas con respecto al tema de análisis. En los métodos usados por el AISC no se toma en cuenta la imperfección del pórtico traslacional ni de los elementos, por lo que se debe emplear la longitud de pandeo de los elementos al verificarlos utilizando las fórmulas de interacción dadas en esta especificación (sección 3.2), en cambio el EC3 permite emplear la longitud del elemento (sin los coeficientes de longitud efectiva) al verificar cada elemento, siempre que el análisis estructural de segundo orden sea realizado introduciendo la imperfección del pórtico cuando se deforma lateralmente.
En ambos códigos de diseño se presentan alternativas para llevar a cabo los análisis, ya sean de primer o segundo orden, del tipo de análisis escogido depende el posterior diseño de la estructura, por ejemplo si el análisis es de primer orden elástico es necesario verificar la estabilidad de cada miembro, sin embargo si se realiza un análisis de segundo orden, incluyendo las imperfecciónes iniciales que se indican, solo se requiere chequear la capacidad del miembro mas solicitado, esto indica que un análisis de segundo orden de la estructura permite simplificar los cálculo a la hora de diseñar los elementos.
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Capítulo VI Comentarios y conclusiones
Con respecto a la situación en Chile se concluye que no se ha profundizado en el tema de análisis de segundo orden de las estructuras, debido a que este tipo de cálculos se hace necesario cuando la estructura es muy alta o está sometida a grandes cargas axiales como por ejemplo los edificios en altura en donde la influencia de las acciones horizontales es importante.
En Chile el acero se comenzó a utilizar como material de construcción a mediados del siglo XIX. En un principio, se levantaron solo puentes y actualmente alrededor del 1% de los edificios mas altos que existen en nuestro país se construyeron en base a acero y el resto se levanta con acero u hormigón o solo con este último elemento. Además, el presidente del Instituto Chileno del Acero, Elías Arze, dijo en una entrevista que a pesar de que el acero no se utiliza masivamente en edificaciones de altura en el país, sí es un elemento importante en la construcción de edificios habitacionales de hasta cinco pisos y en bodegas industriales, y en cuanto a las normas de las cuales se dispone para edificaciones en altura, según miembros de la directiva del Colegio de Ingenieros e Instituto Chileno del Acero, son “más estrictas” que las aplicadas actualmente en Estados Unidos. (Portal del medio ambiente, 2001).
En cuanto a las funciones de estabilidad, (sii y sij) y su implementación en los programas de estructuras existentes, la dificultad radica en que estas son exponenciales y trigonométricas, como se muestra en en anexo A, por lo que se requieren distintos tipos de funciones de acuerdo con el signo del esfuerzo axial, además son indeterminadas cuando P = 0. Con el fin de solucionar estos problema se presentaron en esta tesis las aproximaciones a estas funciones en forma polinómica (sección 2.2).
Finalmente, se puede ver que la idea de llevar a cabo un análisis elástico de segundo orden de la estructura es principalmente llegar a obtener resultados que reflejen las condiciones reales del problema, y de esta manera simplificar luego el diseño, chequeando solamente que el miembro que este siendo mas solicitado resista la carga que resulte luego del análisis.
6.2. Aportaciones mas significativas
En este trabajo se han presentado los aspectos que determinan la estabilidad de una estructura, y tres maneras de abordar el tema de un análisis elástico de segundo orden, primero desde el punto de vista teórico, exponiendo los métodos utilizados luego de la revisión de libros y revistas, luego desde el punto de vista computacional, utilizando dos programas de cálculo Proges y SAP2000, y en tercer lugar a través de normas de diseño: AISC y EC3. Ésto permite enriquecer los conceptos que se tienen en cuanto a la influencia de las deformaciones geómetricas cuando se lleva a cabo el análisis de una estructura, y da pie a un estudio mas completo acerca del tema.
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Capítulo VI Comentarios y conclusiones
La tesis muestra los pasos a seguir para realizar un análisis de segundo orden a una estructura tipo marco, usando el programa SAP2000, y verifica los resultados obtenidos a través de la comparación con otros métodos de cálculos.
La tesis presenta un estudio comparativo de las normas AISC y EC3, con respecto a la estabilidad de marcos traslacionales o no arriostrados. De los resultados comparativos obtenidos, se han detectado diferencias significativas, sobre todo a la hora de determinar cuando se hace necesario un análisis de segundo orden de la estructura, mediante los factores de amplificación B2 (para
AISC) y FA (EC3), cuyos valores son distintos, como se pudo ver en la tabla 5.3.2.
Se muestra la forma en que se deducen las funciones de estabilidad, asi mismo se muestra a través de un ejemplo bien detallado como llevar a cabo un análisis elástico de segundo orden utilizando las aproximaciones polinómicas de las Funciones de Estabilidad, con esto se logra establecer las bases para que posteriormente se lleven a cabo estudios y verificaciones mas completos que permitan validar sus resultados y así poder utilizarlos en nuestro país.
La tesis presenta los estudios recientes que se han efectuado respecto a análisis elástico de segundo orden y los problemas de inestabilidad que pueden haber en una estructura, asi como también la manera de considerarlos en los análisis. Es importante comenzar a tomar en cuenta estos factores en Chile ya que hoy en día existe la tendencia a diseñar y construir este tipo de edificaciones. Un ejemplo claro es la Torre Titaniun (ver nota 1) que es uno de los primeros de varios edificios de altura que pueden llegar a construrirse en Chile y es importante conocer el comportamiento de estas estructuras tal y como se estudian en otros países.
Nota1: Con 192 metros de altura, Titanium La Portada será uno de los edificios más altos de la región y el primero en altura que se construye en Chile, en el centro de negocios denominado El Golf, donde se ubican las oficinas de las principales compañías nacionales y extranjeras presentes en el país. El edificio que se entregará a mediados del 2009 ya tiene construidos los siete niveles de subterráneos (1350) y 15 de los 52 pisos que será destinado exclusivamente a oficinas de plantas libres de entre 1.350 y 1.950 metros cuadrados. Diseñado por el arquitecto chileno, Abraham Senerman Lamas, Titanium La Portada pertenece a Inmobiliaria Titanium, creada para el desarrollo de proyectos emblemáticos y de renovación urbana. Con un diseño de vanguardia, el proyecto incorporó tecnología de última generación que apunta a convertirlo en un edificio sustentable que ya cuenta con la pre certificación del Consejo Norteamericano de edificios verdes, LEED CS, para edificios de plantas libres y que una vez concluido, espera obtener la certificación GOLD. Titanium La Portada cuenta con asesores de gran prestigio, entre los que destaca Joseph Colaco, revisor de las materias de cálculo estructural del edificio, quien ha trabajado en diferentes proyectos como la torre Burj Dubai. (www.Urbanity.es, 2008)
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Capítulo VI Comentarios y conclusiones
6.3. Futuras líneas de investigación
Se puede profundizar en el tema del análisis no lineal considerando la degradación del material, es decir realizar un análisis de segundo orden inelástico además se puede estudiar que sucede con el pandeo local de los elementos.
Realizar el análisis de segundo orden elástico a un edificio en altura utilizando la matriz geométrica del elemento y luego modelarla en SAP2000 para comparar los resultados, también se pueden incluir otro tipo de estructuras, para ver la respuesta de estas frente a los análisis en donde se incluyen los efectos de segundo orden.
Otra posibilidad sería estudiar diferentes tipos de aproximaciones a las funciones de estabilidad, y determinar cual de todas ellas tiene mejor convergencia y se aproxima mejor a los resultados exactos, para poder emplearlas en un programa computacional.
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Capítulo VII Bibliografía
Capítulo VII Bibliografía
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Anexo A Funciones de Estabilidad
Anexo A Funciones de estabilidad
Ecuaciones de equilibrio de segundo orden
Las ecuaciones de equilibrio de segundo orden se deducen tomando como base la configuración deformada del eje de la barra, teniendo en cuenta la interacción de las diferentes fuerzas exteriores al modificarse los efectos de algunas a causa de las deformaciones producidas por otras; como las deformaciones y las fuerzas interiores dejan de ser independientes, al plantear las ecuaciones de equilibrio deben considerarse todos los elementos mecánicos simultáneamente. El objeto fundamental que se persigue al obtener las ecuaciones de equilibrio de segundo orden es utilizarlas en el estudio de problemas de inestabilidad que no pueden resolverse por medio de las de primer orden, basadas en el equilibrio de las fuerzas que actuan sobre la barra no deformada. En a figura A.1 se han dibujado por separado las fuerzas alojadas en cada uno de los planos yz y xz, con el fin de poder deducir las ecuaciones de equilibrio para la barra deformada; P aparece en ambas puesto que su linea de acción coincide con la intersección de los dos planos.
Figura A.1. Fuerzas alojadas en cada uno de los planos principales de la barra Fuente: López, 1999
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Anexo A Funciones de Estabilidad
φ A. 1
φ A. 2
φ φ 0 A. 3
σ
son las rigideces a la flexión
son las rigideces por torsión y por resistencia al alabeo de St. Venant
Estas tres ecuaciones no son independientes entre sí, pues en las dos primeras, que corresponden a flexión alrededor de los ejes principales de las secciones, aparece también el el ángulo de torsión φ, y en la tercera, que representa la condición de equilibrio alrededor del eje longitudinal de la barra, los desplazamientos u y v. (Lopez, 1992). Estas ecuaciones son la base para el cálculo fuerzas que puedan producir pandeo en una barra, y se reducen de acuerdo a las condiciones de borde y restricciones que presente cada problema en particular.
Análisis de un elemento viga columna
Figura A.2. Viga columna sujeta a momentos en sus extremos Fuente: Liew, 1999
La ecuación de la elástica de la viga, deducida teniendo en cuenta los momentos flexionantes adicionales producidos por la fuerza P al obrar sobre el eje deformado por la acción del par aplicado en el extremo, permite determinar el ángulo de giro θA en función del momento
MA, la fuerza P y las otras propiedades de la viga (figura A.1).
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Anexo A Funciones de Estabilidad
Si si se acepta que las deformaciones son pequeñas de manera que puede utilizarse la expresión simplificada de la curvatura, la ecuación diferencial de la elástica es:
. . 4
La solución de esta ecuación, teniendo en cuenta las condiciones de borde, proporciona una expresión que permite calcular la flecha v en un punto cualquiera del eje de la barra, en función de sus propiedades geométricas y mecánicas, de la fuerza P y de los momentos en los dos extremos; utilizandola es fácil obtener en ángulo de giro en A y, partiendo de él, la rigidez angular y el factor de transporte angular correspondiente. Las expresiones de la rigidez angular y el factor de tranporte de las barras flexo- comprimidas son bastante complejas pero, pueden escribirse en función de ciertos coeficientes que dependen de la intensidad de la fuerza axial y que, conocidos como Funciones de Estabilidad, han sido tabulados por varios autores. (Lopez, 1992).
Figura A.3. Viga columna sujeta a momentos en sus extremos Fuente: Liew, 1999 . .4 0 . . 5
La solución de la ecuación diferencial A.5 es la siguiente:
. . 6 Con /
Aplicando las siguientes condiciones de borde se obtienen los valores de las constantes de la ec. A.6:
x = 0 Î y = 0 y” = MA / EI
x = L Î y = 0 y” = -MB / EI
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Anexo A Funciones de Estabilidad
Asi se obtiene la ecuación A.7 que es la deformación de la viga en función de x que va a lo largo de la longitud.
1 cos 1 1 cos 1 . . 7
Derivando la ecuación A.7 se obtiene el angulo de giro en función de x
1 cos 1 1 cos 1 cos sen . . 8
Se evalua esta función en x = 0 y x = L para obtener los ángulos de giro en los extremos
1 cos 1 1 1 1 0 . . 9
1 1 1 1 cos 1 . . 10
Se definen los valores φ y ψ, y luego se ordenan los resultados en una matriz
1 1 1 1 φ
θ φ θ φ
La inversa de esta matriz permite obtener los valores de los momentos en función de los los angulos θA y θB, para definir de esta manera los valores de sii y sij
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Anexo A Funciones de Estabilidad
. . 11 . . 12 cos . . 13 2 2cos . . 14 2 2cos
Estas funciones consideran el efecto p-δ dentro del elemento
Figura A.4. Gráfico de Funciones de Estabilidad Fuente: Liew et al, 1999
Ahora para considerar el efecto P-Δ, se da un desplazamiento a la viga-columna de la figura A.3 en el extremo B como se muestra en la figura A.5, con esto se deducen las siguientes ecuaciones:
. . 15 . . 16
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Anexo A Funciones de Estabilidad
Del equilibrio de momentos en torno al punto A se tiene que:
0 0 . . 17 1 . . 18
Reemplazando MA y MB en ec A.18
1 . . 19
Con / y ordenando los elemento se llega a la ec. A.20
2 2 . . 20
Figura A.5. Viga columna sujeta a momentos en los extremos y desplazamientos Fuente: Liew, 1999
Escribiendo en forma matricial los resultados de MA , MB y S para los nodos A y B de la viga-columna se llega a la siguiente matriz de rigidez que incorpora la deformación P-δ y P-Δ producidas en los elementos.
0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0
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Anexo B Análisis de la estructura por el Método de la Matriz Geométrica
Anexo B Análisis de la estructura por el Método de la Matriz Geométrica
En este anexo se muestra en detalle el análisis realizado a la estructura por medio del Método de la Matriz Geométrica.
Figura B.1. Modelo de marco y condiciones de carga Fuente: Wunderlich et al, 2003
Figura B.2. Sistema de coordenadas glovales y locales considerados en método 1 Fuente: Wunderlich et al, 2003
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Anexo B Análisis de la estructura por el Método de la Matriz Geométrica
Se comienza realizando un análisis elástico de primer orden a la estructura para determinar los valores de N1, N2 y N3 que son las fuerzas axiales sobre las barras uno, dos y tres, para determinar las correspondientes matrices geométricas.
N1 = -1116,37kN N2 = 0 N3 = - 2093,63kN
Luego se definen las matrices de rigidez elástica y geométrica para cada elemento como se explica en el capítulo 2
Barra 1 con N1 = -1116.37kN
Figura B.3. Barra 1 del marco Fuente: Wunderlich et al, 2003
/ 0 0 / 0 0 0 12 6 0 12 6 0 6 4 0 6 2 θ / 0 0 / 0 0 0 12 6 0 12 6 0 6 2 0 6 4 θ
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Anexo B Análisis de la estructura por el Método de la Matriz Geométrica
0 0 0 0 0 0 0 2109.375 8437.5 0 2109.375 8437.5 0 8437.5 45000 0 8437.5 22500 0 0 0 0 0 0 0 2109.375 8437.5 0 2109.375 8437.5 0 8437.5 22500 0 8437.5 45000
0 0 0 0 0 0 6 6 0 0 5 10 5 10 2 0 0 1 10 15 10 30 θ 0 0 0 0 0 0 6 6 0 0 5 10 5 10 θ 2 0 0 10 30 10 15
0 0 0 0 0 0 0 167.46 111.64 0 167.46 111.64 0 111.64 1190.8 0 111.64 297.7 0 0 0 0 0 0 0 167.46 111.64 0 167.46 111.64 0 111.64 297.7 0 111.64 1190.8
Por lo tanto kT = ke + kg queda expresado de la siguiente manera
0 0 0 0 0 0 0 1941.92 8325.86 0 1941.92 8325.86 0 8325.86 43809.20 0 8325.86 22797.7 0 0 0 0 0 0 0 1941.92 8325.86 0 1941.92 8325.86 0 8325.86 22797.7 0 8325.86 43809.20
Rotando en 90º se tiene la matriz de rigidez en las coordenadas glovales
1941.92 0 8325.86 0 1941.92 8325.86 0 0 0 0 0 0 8325.86 0 43809.20 0 8325.86 22797.7 0 0 8325.86 0 1941.92 8325.86 1941.92 0 0 0 0 0 8325.86 0 22797.7 0 8325.86 43809.20
Las fuerzas que se generan en la elemento empotrado en sus extremos por la carga distribuida son las siguientes:
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Anexo B Análisis de la estructura por el Método de la Matriz Geométrica
/2 36 /12 48 /2 36 48 /12
Barra 2 con N2 = 0 (solo se tiene la matriz de rigidez elástica para este elemento)
Figura B.4. Barra 2 del marco Fuente: Wunderlich et al, 2003
/ 0 0 / 0 0 0 3 3 0 3 0 0 3 3 0 3 0 θ / 0 0 / 0 0 0 3 3 0 3 0 0 0 0 0 0 0 θ
0 0 0 0 0 0 2 0 522 5220 0 522 0 2 0 5220 52200 0 5220 0 2 0 0 0 0 0 0 3 0 522 5220 0 522 0 3 0 0 0 0 0 0 3
La viga esta horizontal por lo que sus coordenadas locales coinciden con las glovales por lo tanto no es necesario rotarla Las fuerzas que se generan en la elemento empotrado en sus extremos por la carga distribuida son las siguientes:
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Anexo B Análisis de la estructura por el Método de la Matriz Geométrica
5 /8 37.5 /8 75 3 /8 22.5
Barra 3 con N3 = -2093,63kN
Figura B.5. Barra 3 del marco Fuente: Wunderlich et al, 2003
/ 0 0 / 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 θ / 0 0 / 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 θ
0 0 0 0 0 0 0 1/4 0 0 1/4 0 0 0 0 0 0 0 θ 0 0 0 0 0 0 0 1/4 0 0 1/4 0 0 0 0 0 0 0 θ
Como no se está considerando la deformación axial de los elementos la matriz total en este caso es igual a la matriz geométrica
0 0 0 0 0 0 0 523.41 0 0 523.41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 523.41 0 0 523.41 0 0 0 0 0 0 0
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Anexo B Análisis de la estructura por el Método de la Matriz Geométrica
Al rotar en 90º se tiene:
523.41 0 0 523.41 0 0 3 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 3 523.41 0 0 523.41 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4
Se superponen las matrices de cada uno de los elementos para conformar la matriz de rigidez gloval total que es la siguiente:
1941.92 0 8325.86 1941.92 0 8325.86 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8325.86 0 43809.20 8325.86 0 22797.7 0 0 0 0 0 0 1941.92 0 8325.86 . 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 522 5220 0 522 0 0 0 0 8325.86 0 22797.7 . 5220 . 0 5220 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 523.41 0 0 0 0 0 0 522 5220 0 522 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 523.41 0 0 523.41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
Y como el valor -523.41 se suma a 1941.92 por lo tanto la matriz de rigidez total se reduce a una matriz de 4x4 que se da a continuación:
1418.51 8325.86 8325.86 96009.2 82.5 36 0 118.5 0.0 48 75 123
Se resuelve entonces el siguiente sistema de ecuaciones:
1418.51 8325.86 2 118.5 8325.86 96009.2 2 123
2 0.15482228 2 0.01214497
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Anexo B Análisis de la estructura por el Método de la Matriz Geométrica
Ahora se determinan las fuerza resultantes para cada miembro Para el elemento 1
0 0 0 0 0 0 0 36 0 1941.92 8325.86 0 1941.92 8325.86 0 0 0 8325.86 43809.20 0 8325.86 22797.7 0 48 0 0 0 0 0 0 0 36 0 1941.92 8325.86 0 1941.92 8325.86 0.1548 0 0 8325.86 22797.7 0 8325.86 43809.20 0.00121 48 235.533 0 1060.1521 163.535 0 708.986 Para el elemento 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 522 5220 0 522 0 0 37.5 0 5220 52200 0 5220 0 0.0121 75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 522 5220 0 522 0 0 22.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100.897 708.968 0 40.897 0 Para el elemnto 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 523.41 0 0 523.41 0 0.15482 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 523.41 0 0 523.41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 81.035 0 0 81.035 0
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Anexo B Análisis de la estructura por el Método de la Matriz Geométrica
Figura B.6. Determinación de las fuerzas longitudinales Fuente: Wunderlich et al, 2003
El equilibrio de estas fuerzas permitirá determinar las nuevas fuerzsas axiales que se actuarán en cada elemento para comenzar con la siguinete iteración, todo esto se realiza hasta que los valores de las defomaciones son iguales entre el último paso y el anterior.
0: 0 ⇒ 82.5 163.535 81.035 0: 0 ⇒ 81.035
0: 0 ⇒ 1050 100.897 1151.897 0: 0 ⇒ 40.887 2100 2059.113
Se determinará a continuación el factor de carga crítica de pandeo para el marco propuesto utilizando el Método de la Matriz Geométrica
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Anexo B Análisis de la estructura por el Método de la Matriz Geométrica
Figura B.7. geometría y combinaciones de carga Fuente: Wunderlich et al, 2003
Con las condiciones de carga se determinará el factor de carga (λ) que multiplica a todas las cargas y para el cual la matriz total del sistema es cero, esto se realizará de la siguiente forma: Tomando la matriz lineal del elemento la cual es la siguiente:
2109.38 8325.50 8437.50 97200.00
Ahora se toma la matriz geométrica total y se multiplica por el factor de carga 687.45 115.05 115.05 1386.03
λ 0
687.45 115.05 687.45 115.05 λ 0 115.05 1386.03 115.05 1386.03 939582λ 67801922λ 133839844 0 λ 72.162λ 142.446 0
λ 2.031 λ 70.13
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Anexo B Análisis de la estructura por el Método de la Matriz Geométrica
Figura B.8. Valores del determinante de Ktotal usando la matriz geométrica Fuente: Wunderlich et al, 2003
Figura B.9. Formas de modos de pandeo correspondientes a λ λ Fuente: Wunderlich et al, 2003
En la tabla B.1 se muestran los factores de carga aplicados a las fuerzas axiales para los distintos desplazamientos obtenidos a través del método de la Matriz Geométrica que se ven en la tabla 5.3.2.
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Anexo B Análisis de la estructura por el Método de la Matriz Geométrica
Matriz Geométrica Factor de Carga Δ (cm) λ 1,9 1010,32 2,33 637,18 2,85 368,19 3,43 258,16 4,08 198,25 4,81 160,51 5,63 134,51 6,56 115,47 7,63 100,87 8,87 89,29 10,33 79,83 12,06 71,9 14,16 65,11 16,47 59,17 19,99 53,85 24,2 48,97 29,86 44,37 37,81 39,9 49,64 35,39 Tabla B.1. Valores de deformación vs factor carga λ Fuente: Elaboración propia
Factor de carga λ 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 Δ (cm) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
Gráfico B.1. Valores de deformación vs factor carga λ Fuente: Elaboración propia
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Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
Este anexo muestra 9 archivos que corresponden a los archivos de entrada de datos, en donde se define la estructura con sus coordenadas, geometría propiedades del material, etc, generados por Datos.exe, y salida de datos, en donde se muestran los resultados de desplazamientos y fuerzas internas de los elementos asi como también el número de iteraciones realizadas para los análisis de segundo orden, generados por el programa PROGES y SAP2000. Se define N2 como la carga aplicada en el nudo dos y N3 la carga aplicada en el nudo tres del marco de la figura 5.1
ARCHIVO C.1 Archivo de entrada de datos PROGES
* Ejemplo libro Mechanics of Structures. Capítulo 11 página 648. 13 12 45000.200000000. 7. 2 .00100000 1 1.00000 1.40000 1.30000 **COORDENADAS PRINCIPIO 1 .0000 .0000 .0000 111111 2 .0000 .0000 8.0000 101010 3 10.0000 .0000 8.0000 101010 4 10.0000 .0000 4.0000 101111 5 .0000 .0000 2.0000 101010 6 .0000 .0000 4.0000 101010 7 .0000 .0000 6.0000 101010 8 2.5000 .0000 8.0000 101010 9 5.0000 .0000 8.0000 101010 10 7.5000 .0000 8.0000 101010 11 10.0000 .0000 7.0000 101010 12 10.0000 .0000 6.0000 101010 13 10.0000 .0000 5.0000 101010 **FIN COORDENADAS **TIPOS PRINCIPIO 1 88. 86840. 48090. 10. 210. 80. 5049. 3757. 2 88. 45000. 76070. 7. 210. 80. 3548. 4610. **BARRAS PRINCIPIO 1 1 5 11 2 0. 0. 2 5 6 11 2 0. 0. 3 6 7 11 2 0. 0. 4 7 2 11 2 0. 0. 5 2 8 11 1 0. 0. 6 8 9 11 1 0. 0. 7 9 10 11 1 0. 0. 8 10 3 11 1 0. 0.
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Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
9 3 11 01 2 0. 0. 10 11 12 11 2 0. 0. 11 12 13 11 2 0. 0. 12 13 4 11 2 0. 0. **FIN BARRAS **CASOS 1a **CARGA-BARRAS a 1 2 1 9.000 .000 .000 .000 a 2 2 1 9.000 .000 .000 .000 a 3 2 1 9.000 .000 .000 .000 a 4 2 1 9.000 .000 .000 .000 a 5 2 1 -6.000 .000 .000 .000 a 6 2 1 -6.000 .000 .000 .000 a 7 2 1 -6.000 .000 .000 .000 a 8 2 1 -6.000 .000 .000 .000 **FIN CARGA-BARRAS **CARGA-NUDOS a 2 .0000 .0000 .0000 -83.0000 .0000 -1050.00 a 3 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 -2100.00 000000000000000000000 **FIN CARGA-NUDOS ******************************************************************************
ARCHIVO C.2 Archivo de salida de datos PROGES N2 = 1050 KN y N3 = 1100 KN
RESULTADOS: PASO ITERATIVO 5 DEFORMACIONES: CASO DE CARGA a angulo phi en (rad), traslaciones en (cm) resultados en el sistema global de coordenadas NUDO PHI-Y U W 1 .00000000 .00000000 .00000000 2 -.01112040 -14.17447199 -.49693220 3 -.03553531 -14.21412399 -.44633909 4 -.03553531 .00000000 .00000000 5 -.01676635 -1.83890550 -.12423305 6 -.02385672 -6.06042909 -.24846610 7 -.02168679 -10.76323754 -.37269915 8 -.00339253 -14.18438499 1.25299275 9 .00150283 -14.19429799 1.43539574 10 .00406738 -14.20421099 .69582770 11 -.03553531 -10.66059299 -.33475432 12 -.03553531 -7.10706199 -.22316955
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Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
13 -.03553531 -3.55353100 -.11158477
FUERZAS EN LOS APOYOS: CASO DE CARGA: a ************************************************************************************* PTO COORDENADAS REACCIONES EN LOS APOYOS NR X(M) Z(M) MIY(KNM) VIX(KN) VIZ(KN) ------1 .000 .000 1021.829 228.277 1147.913 4 10.000 4.000 .000 -73.277 2062.087 ************************************************************************ FUERZAS EN LOS APOYOS: 1021.829 155.000 3210.000 ********************************************************************** FUERZAS INTERIORES EN LOS EXTREMOS DE LAS BARRAS: CASO DE CARGA a Convencion de signos: momentos y fuerzas como vectores en el sistema local de coordenadas las fuerzas longitudinales de compresiàn son positivas ------BARRA MOMENTO FLECTOR FUERZA LONG. CORTANTE TENSIONES NR MYM MYN S QZM QZN SIG I SIG K (KNM) (KN) (KN) (KN/CM2) ------1 1021.83 -562.17 1147.91 -228.28 210.28 41.84 28.89 2 562.17 -111.15 1147.91 -210.28 192.28 28.89 16.18 3 111.15 309.39 1147.91 -192.28 174.28 16.18 21.76 4 -309.39 679.10 1147.91 -174.28 156.28 21.76 32.18 5 -679.10 454.35 73.28 97.91 -82.91 14.28 9.83 6 -454.35 265.95 73.28 82.91 -67.91 9.83 6.10 7 -265.95 114.37 73.28 67.91 -52.91 6.10 3.10 8 -114.37 .00 73.28 52.91 -37.91 3.10 .83 9 .00 .00 2062.09 73.28 -73.28 23.43 23.43 10 .00 .00 2062.09 73.28 -73.28 23.43 23.43 11 .00 .00 2062.09 73.28 -73.28 23.43 23.43 12 .00 .00 2062.09 73.28 -73.28 23.43 23.43 ------PASO ITERATIVO 5 PORCENTAJE DE CAMBIO .00000 EN LA BARRA NR 9 EN EL CASO DE CARGA 1 *****************************************************************************
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Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
ARCHIVO C.3 Archivo salida de datos PROGES con N2 = 1700 KN y N3 = 2400 KN
RESULTADOS: PASO ITERATIVO 5 ======DEFORMACION ES: CASO DE CARGA a ------µNGULO PHI EN (RAD), TRASLACIONES EN (CM) RESULTADOS EN EL SISTEMA GLOBAL DE COORDENADAS ------NUDO PHI-Y U W ------1 .00000000 .00000000 .00000000 2 -.02645384 -29.40217258 -.81767418 3 .01392006 -29.53816194 -.73661745 4 -.07384540 .00000000 .00000000 5 -.03277029 -3.53973433 -.20441855 6 -.04870691 -11.98287198 -.40883709 7 -.04654417 -21.81264825 -.61325564 8 -.00971621 -29.43616992 3.62714740 9 .00301719 -29.47016726 4.37421376 10 .01109856 -29.50416460 2.50633335 11 -.07384540 -22.15362146 -.55246309 12 -.07384540 -14.76908097 -.36830873 13 -.07384540 -7.38454049 -.18415436
FUERZAS EN LOS APOYOS: CASO DE CARGA: a ***************************************************************************** PTO COORDENADAS REACCIONES EN LOS APOYOS NR X(M) Z(M) MIY(KNM) VIX(KN) VIZ(KN) ------1 .000 .000 1819.004 322.341 1798.883 2 .000 8.000 .000 .000 .000 4 10.000 4.000 .000 -239.341 3241.117 5 .000 2.000 .000 .000 .000 6 .000 4.000 .000 .000 .000
98
Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
7 .000 6.000 .000 .000 .000 ****************************************************************************** FUERZAS EN LOS APOYOS: 1819.004 83.000 5040.000 FUERZAS INTERIORES EN LOS EXTREMOS DE LAS BARRAS: CASO DE CARGA a ======BARRA MOMENTO FLECTOR FUERZA LONG. CORTANTE TENSIONES NR MYM MYN S QZM QZN SIG I SIG K (KNM) (KN) (KN) (KN/CM2) ------1 1819.00 -1110.65 1798.88 -322.34 322.34 67.87 49.42 2 1110.65 -314.08 1798.88 -322.34 322.34 49.42 28.68 3 314.08 507.43 1798.88 -322.34 322.34 28.68 33.71 4 -507.43 1288.64 1798.88 -322.34 322.34 33.71 54.06 5 -1288.64 1033.32 239.34 98.88 -113.88 27.90 22.91 6 -1033.32 731.65 239.34 113.88 -128.88 22.91 17.02 7 -731.65 386.22 239.34 128.88 -143.88 17.02 10.27 8 -386.22 .00 239.34 143.88 -158.88 10.27 2.72 9 .00 .00 3241.12 239.34 -239.34 36.83 36.83 10 .00 .00 3241.12 239.34 -239.34 36.83 36.83 11 .00 .00 3241.12 239.34 -239.34 36.83 36.83 12 .00 .00 3241.12 239.34 -239.34 36.83 36.83 ------PASO ITERATIVO 5 PORCENTAJE DE CAMBIO .00013 EN LA BARRA NR 11 EN EL CASO DE CARGA 1 ******************************************************************************
ARCHIVO C.4 Archivo salida de datos PROGES con N2 = 1700 KN y N3 = 2400 KN
RESULTADOS: PASO ITERATIVO 6 ======DEFORMACIONES: CASO DE CARGA a µNGULO PHI EN (RAD), TRASLACIONES EN (CM) RESULTADOS EN EL SISTEMA GLOBAL DE COORDENADAS ------NUDO PHI-Y U W ------1 .00000000 .00000000 .00000000
99
Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
2 -.02645385 -29.40219353 -.81767424 3 .01392006 -29.53818316 -.73661742 4 -.07384546 .00000000 .00000000 5 -.03277032 -3.53973736 -.20441856 6 -.04870694 -11.98288165 -.40883712 7 -.04654420 -21.81266491 -.61325568 8 -.00971621 -29.43619094 3.62714805 9 .00301719 -29.47018835 4.37421381 10 .01109856 -29.50418576 2.50633312 11 -.07384546 -22.15363737 -.55246307 12 -.07384546 -14.76909158 -.36830871 13 -.07384546 -7.38454579 -.18415436
FUERZAS EN LOS APOYOS: CASO DE CARGA: a ****************************************************************************** PTO COORDENADAS REACCIONES EN LOS APOYOS NR X(M) Z(M) MIY(KNM) VIX(KN) VIZ(KN) ------1 .000 .000 1819.006 322.342 1798.883 2 .000 8.000 .000 .000 .000 4 10.000 4.000 .000 -239.342 3241.117 5 .000 2.000 .000 .000 .000 6 .000 4.000 .000 .000 .000 7 .000 6.000 .000 .000 .000 ****************************************************************************** FUERZAS EN LOS APOYOS: 1819.006 83.000 5040.000
FUERZAS INTERIORES EN LOS EXTREMOS DE LAS BARRAS: CASO DE CARGA a ======BARRA MOMENTO FLECTOR FUERZA LONG. CORTANTE TENSIONES NR MYM MYN S QZM QZN SIG I SIG K (KNM) (KN) (KN) (KN/CM2) ------1 1819.01 -1110.65 1798.88 -322.34 322.34 67.87 49.42 2 1110.65 -314.08 1798.88 -322.34 322.34 49.42 28.68 3 314.08 507.43 1798.88 -322.34 322.34 28.68 33.71 4 -507.43 1288.64 1798.88 -322.34 322.34 33.71 54.06 5 -1288.64 1033.32 239.34 98.88 -113.88 27.90 22.91
100
Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
6 -1033.32 731.65 239.34 113.88 -128.88 22.91 17.02 7 -731.65 386.22 239.34 128.88 -143.88 17.02 10.27 8 -386.22 .00 239.34 143.88 -158.88 10.27 2.72 9 .00 .00 3241.12 239.34 -239.34 36.83 36.83 10 .00 .00 3241.12 239.34 -239.34 36.83 36.83 11 .00 .00 3241.12 239.34 -239.34 36.83 36.83 12 .00 .00 3241.12 239.34 -239.34 36.83 36.83 ------PASO ITERATIVO 6 PORCENTAJE DE CAMBIO .00020 EN LA BARRA NR 5 EN EL CASO DE CARGA 1 ******************************************************************************
ARCHIVO C.5 Archivo salida de datos PROGES con N2 = 1800 KN y N3 = 3600 KN
RESULTADOS: PASO ITERATIVO 7 DEFORMACIONES: CASO DE CARGA a µNGULO PHI EN (RAD), TRASLACIONES EN (CM) RESULTADOS EN EL SISTEMA GLOBAL DE COORDENADAS ------NUDO PHI-Y U W ------1 .00000000 .00000000 .00000000 2 -.03307898 -36.93112568 -.87841857 3 .01725968 -37.11074797 -.77442708 4 -.09277687 .00000000 .00000000 5 -.04117982 -4.44592927 -.21960464 6 -.06123522 -15.05958931 -.43920928 7 -.05845594 -27.41333332 -.65881393 8 -.01205709 -36.97603125 4.66403424 9 .00380772 -37.02093682 5.58004381 10 .01379718 -37.06584240 3.24997089 11 -.09277687 -27.83306098 -.58082031 12 -.09277687 -18.55537399 -.38721354 13 -.09277687 -9.27768699 -.19360677
FUERZAS EN LOS APOYOS: CASO DE CARGA: a ******************************************************************************
101
Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
PTO COORDENADAS REACCIONES EN LOS APOYOS NR X(M) Z(M) MIY(KNM) VIX(KN) VIZ(KN) ------1 .000 .000 2281.904 399.135 1932.521 2 .000 8.000 .000 .000 .000 4 10.000 4.000 .000 -316.135 3407.479 5 .000 2.000 .000 .000 .000 6 .000 4.000 .000 .000 .000 7 .000 6.000 .000 .000 .000
****************************************************************************** FUERZAS EN LOS APOYOS: 2281.904 83.000 5340.000
FUERZAS INTERIORES EN LOS EXTREMOS DE LAS BARRAS: CASO DE CARGA a
BARRA MOMENTO FLECTOR FUERZA LONG. CORTANTE TENSIONES NR MYM MYN S QZM QZN SIG I SIG K (KNM) (KN) (KN) (KN/CM2) ------1 2281.90 -1397.71 1932.52 -399.14 399.14 81.44 58.42 2 1397.71 -394.33 1932.52 -399.14 399.14 58.42 32.29 3 394.33 642.68 1932.52 -399.14 399.14 32.29 38.76 4 -642.68 1624.88 1932.52 -399.14 399.14 38.76 64.33 5 -1624.88 1292.35 316.14 132.52 -147.52 35.35 28.85 6 -1292.35 907.69 316.14 147.52 -162.52 28.85 21.33 7 -907.69 475.27 316.14 162.52 -177.52 21.33 12.88 8 -475.27 .00 316.14 177.52 -192.52 12.88 3.59 9 .00 .00 3407.48 316.14 -316.14 38.72 38.72 10 .00 .00 3407.48 316.14 -316.14 38.72 38.72 11 .00 .00 3407.48 316.14 -316.14 38.72 38.72 12 .00 .00 3407.48 316.14 -316.14 38.72 38.72 ------PASO ITERATIVO 7 PORCENTAJE DE CAMBIO .00000 EN LA BARRA NR 10 EN EL CASO DE CARGA 1
******************************************************************************
102
Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
ARCHIVO C.6 Archivo salida de datos PROGES con N2 = 1800 KN y N3 = 3600 KN
RESULTADOS: PASO ITERATIVO 8 DEFORMACIONES: CASO DE CARGA a µNGULO PHI EN (RAD), TRASLACIONES EN (CM) RESULTADOS EN EL SISTEMA GLOBAL DE COORDENADAS ------NUDO PHI-Y U W ------1 .00000000 .00000000 .00000000 2 -.06391487 -71.67280935 -1.03936835 3 .03299048 -72.04669562 -.83031583 4 -.18011674 .00000000 .00000000 5 -.07985513 -8.60839027 -.25984209 6 -.11900624 -29.21922458 -.51968417 7 -.11350814 -53.22415346 -.77952626 8 -.02309677 -71.76628092 9.63794781 9 .00745375 -71.85975249 11.36532374 10 .02647833 -71.95322406 6.87232669 11 -.18011674 -54.03502172 -.62273687 12 -.18011674 -36.02334781 -.41515791 13 -.18011674 -18.01167391 -.20757896
FUERZAS EN LOS APOYOS: CASO DE CARGA: a
****************************************************************************** PTO COORDENADAS REACCIONES EN LOS APOYOS NR X(M) Z(M) MIY(KNM) VIX(KN) VIZ(KN) ------1 .000 .000 4402.456 741.040 2286.610 2 .000 8.000 .000 .000 .000 4 10.000 4.000 .000 -658.040 3653.390 5 .000 2.000 .000 .000 .000 6 .000 4.000 .000 .000 .000 7 .000 6.000 .000 .000 .000
******************************************************************************
103
Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
FUERZAS EN LOS APOYOS: 4402.456 83.000 5940.000
FUERZAS INTERIORES EN LOS EXTREMOS DE LAS BARRAS: CASO DE CARGA a ------BARRA MOMENTO FLECTOR FUERZA LONG. CORTANTE TENSIONES NR MYM MYN S QZM QZN SIG I SIG K (KNM) (KN) (KN) (KN/CM2) ------1 4402.46 -2723.54 2286.61 -741.04 741.04 140.69 96.97 2 2723.54 -770.17 2286.61 -741.04 741.04 96.97 46.10 3 770.17 1260.80 2286.61 -741.04 741.04 46.10 58.88 4 -1260.80 3164.73 2286.61 -741.04 741.04 58.88 108.46 5 -3164.73 2499.71 658.04 286.61 -301.61 69.33 56.33 6 -2499.71 1738.30 658.04 301.61 -316.61 56.33 41.45 7 -1738.30 898.46 658.04 316.61 -331.61 41.45 25.04 8 -898.46 .00 658.04 331.61 -346.61 25.04 7.48 9 .00 .00 3653.39 658.04 -658.04 41.52 41.52 10 .00 .00 3653.39 658.04 -658.04 41.52 41.52 11 .00 .00 3653.39 658.04 -658.04 41.52 41.52 12 .00 .00 3653.39 658.04 -658.04 41.52 41.52 ------PASO ITERATIVO 8 PORCENTAJE DE CAMBIO .00772 EN LA BARRA NR 5 EN EL CASO DE CARGA 1 ******************************************************************************
ARCHIVO C.7 Archivo salida de datos SAP2000 con N2 = 1050 KN y N3 = 1100 KN
SAP2000 Advanced Version 10.1.0.0 (Analysis Build 8511) File: ...ritorio\TESIS\analisis_libro_estabilidad\ejemplo_libro_estabilidad.LOG B E G I N A N A L Y S I S 2008/11/26 14:40:46 MAXIMUM MEMORY BLOCK SIZE (BYTES) = 63.452 MB NUMBER OF JOINTS IN THE MODEL = 4
N O N L I N E A R S T A T I C A N A L Y S I S 14:40:46
CASE: PDELTA
104
Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
STARTING FROM ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS
LOAD CONTROL TYPE = FORCE NUMBER OF STAGES = 0
TYPE OF GEOMETRIC NONLINEARITY = P-DELTA INCLUDE ELASTIC MATERIAL NONLINEARITY = YES INCLUDE INELASTIC MATERIAL NONLINEARITY = YES METHOD TO USE WHEN HINGES DROP LOAD = UNLOAD ENTIRE STRUCTURE SAVE POSITIVE INCREMENTS ONLY = YES
MINIMUM NUMBER OF SAVED STEPS = 10 MAXIMUM NUMBER OF SAVED STEPS = 100 MAXIMUM NUMBER OF NULL STEPS = 50 MAXIMUM NUMBER OF TOTAL STEPS = 200
MAXIMUM NUMBER OF ITERATIONS PER STEP = 15 RELATIVE FORCE CONVERGENCE TOLERANCE = 0.000100 RELATIVE EVENT TOLERANCE = 0.010000 E L E M E N T F O R M A T I O N 14:40:46
NUMBER OF FRAME ELEMENTS FORMED = 3
STEP 0 NUMBER OF EIGENVALUES BELOW SHIFT = 0 Stiffness matrix formed, number of negative eigenvalues = 0
STEP 1, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.100000, MAX = 0.100000 Unbalance/tolerance = 3.782161, Iteration 1 did not converge! STEP 1, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.100000, MAX = 0.100000 Unbalance/tolerance = 0.185632, Iteration 2 converged Saved as Output Step 1 NUMBER OF EIGENVALUES BELOW SHIFT = 0 Stiffness matrix formed, number of negative eigenvalues = 0
STEP 2, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.200000, MAX = 0.200000 Unbalance/tolerance = 4.041771, Iteration 1 did not converge! STEP 2, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.200000, MAX = 0.200000 Unbalance/tolerance = 0.209037, Iteration 2 converged Saved as Output Step 2 NUMBER OF EIGENVALUES BELOW SHIFT = 1 Stiffness matrix formed, number of negative eigenvalues = 1
105
Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
. . . STEP 10, INCREMENT = 0.100000, SUM = 1.000000, MAX = 1.000000 Unbalance/tolerance = 4.251770, Iteration 1 did not converge! STEP 10, INCREMENT = 0.100000, SUM = 1.000000, MAX = 1.000000 Unbalance/tolerance = 0.379138, Iteration 2 converged Saved as Output Step 10
TOTAL NUMBER OF CONVERGED STEPS SAVED = 10 TOTAL NUMBER OF CONVERGED STEPS NOT SAVED = 0 TOTAL NUMBER OF NULL STEPS = 0 ------TOTAL NUMBER OF ALL STEPS = 10
TOTAL NUMBER OF ITERATIONS CONVERGED = 20 TOTAL NUMBER OF ITERATIONS DISCARDED = 0 FOR CONVERGED STEPS ONLY: AVERAGE NUMBER OF ITERATIONS PER STEP = 2.00 MAXIMUM NUMBER OF ITERATIONS PER STEP = 2
TIME FOR INITIALIZING ANALYSIS = 0.03 TIME FOR CONTROLLING ANALYSIS = 0.02 TIME FOR FORMING STIFFNESS MATRIX = 0.00 TIME FOR SOLVING STIFFNESS MATRIX = 0.09 TIME FOR CALCULATING DISPLACEMENTS = 0.00 TIME FOR DETERMINING EVENTS = 0.00 TIME FOR UPDATING STATE = 0.01 ------TOTAL TIME FOR THIS ANALYSIS = 0.15
E L E M E N T F O R M A T I O N 14:40:47
NUMBER OF FRAME ELEMENTS FORMED = 3
L I N E A R E Q U A T I O N S O L U T I O N 14:40:47
FORMING STIFFNESS AT THE END OF CASE: PDELTA
TOTAL NUMBER OF EQUILIBRIUM EQUATIONS = 15 NUMBER OF NON-ZERO STIFFNESS TERMS = 102
NUMBER OF EIGENVALUES BELOW SHIFT = 1
106
Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
L I N E A R S T A T I C C A S E S 14:40:47
USING STIFFNESS AT THE END OF CASE: PDELTA
TOTAL NUMBER OF CASES TO SOLVE = 2 NUMBER OF CASES TO SOLVE PER BLOCK = 2
LINEAR STATIC CASES TO BE SOLVED:
CASE: SC CASE: PP A N A L Y S I S C O M P L E T E 2008/11/26 14:40:47 ******************************************************************************
ARCHIVO C.8 Archivo de salida de datos SAP2000 N2 = 1800 KN N3 = 3600 KN
SAP2000 Advanced Version 10.1.0.0 (Analysis Build 8511) File: ...ritorio\TESIS\analisis_libro_estabilidad\ejemplo_libro_estabilidad.LOG
B E G I N A N A L Y S I S 2008/11/26 16:41:59
MAXIMUM MEMORY BLOCK SIZE (BYTES) = 63.452 MB
NUMBER OF JOINTS IN THE MODEL = 4
N O N L I N E A R S T A T I C A N A L Y S I S 16:41:59
CASE: PDELTA
STARTING FROM ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS
LOAD CONTROL TYPE = FORCE NUMBER OF STAGES = 0
TYPE OF GEOMETRIC NONLINEARITY = P-DELTA INCLUDE ELASTIC MATERIAL NONLINEARITY = YES INCLUDE INELASTIC MATERIAL NONLINEARITY = YES METHOD TO USE WHEN HINGES DROP LOAD = UNLOAD ENTIRE STRUCTURE SAVE POSITIVE INCREMENTS ONLY = YES
MINIMUM NUMBER OF SAVED STEPS = 10
107
Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
MAXIMUM NUMBER OF SAVED STEPS = 100 MAXIMUM NUMBER OF NULL STEPS = 50 MAXIMUM NUMBER OF TOTAL STEPS = 200
MAXIMUM NUMBER OF ITERATIONS PER STEP = 15 RELATIVE FORCE CONVERGENCE TOLERANCE = 0.000100 RELATIVE EVENT TOLERANCE = 0.010000
E L E M E N T F O R M A T I O N 16:41:59
NUMBER OF FRAME ELEMENTS FORMED = 3
STEP 0 NUMBER OF EIGENVALUES BELOW SHIFT = 0 Stiffness matrix formed, number of negative eigenvalues = 0
STEP 1, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.100000, MAX = 0.100000 Unbalance/tolerance = 3.760876, Iteration 1 did not converge! STEP 1, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.100000, MAX = 0.100000 Unbalance/tolerance = 0.349515, Iteration 2 converged Saved as Output Step 1 NUMBER OF EIGENVALUES BELOW SHIFT = 1 Stiffness matrix formed, number of negative eigenvalues = 1 . . .
STEP 6, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.600000, MAX = 0.600000 Unbalance/tolerance = 6.188632, Iteration 1 did not converge! STEP 6, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.600000, MAX = 0.600000 Unbalance/tolerance = 1.091078, Iteration 2 did not converge! STEP 6, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.600000, MAX = 0.600000 Unbalance/tolerance = 0.193231, Iteration 3 converged Saved as Output Step 6 NUMBER OF EIGENVALUES BELOW SHIFT = 1 Stiffness matrix formed, number of negative eigenvalues = 1
STEP 7, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 6.302207, Iteration 1 did not converge! STEP 7, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 1.349814, Iteration 2 did not converge!
108
Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
STEP 7, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 0.290422, Iteration 3 converged Saved as Output Step 7 NUMBER OF EIGENVALUES BELOW SHIFT = 1 Stiffness matrix formed, number of negative eigenvalues = 1
STEP 8, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.800000, MAX = 0.800000 Unbalance/tolerance = 7.528346, Iteration 1 did not converge! STEP 8, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.800000, MAX = 0.800000 Unbalance/tolerance = 2.054113, Iteration 2 did not converge! STEP 8, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.800000, MAX = 0.800000 Unbalance/tolerance = 0.562710, Iteration 3 converged Saved as Output Step 8
NUMBER OF EIGENVALUES BELOW SHIFT = 1 Stiffness matrix formed, number of negative eigenvalues = 1 STEP 9, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.900000, MAX = 0.900000 Unbalance/tolerance = 9.834490, Iteration 1 did not converge! STEP 9, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.900000, MAX = 0.900000 Unbalance/tolerance = 3.691540, Iteration 2 did not converge! STEP 9, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.900000, MAX = 0.900000 Unbalance/tolerance = 1.390398, Iteration 3 did not converge! STEP 9, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.900000, MAX = 0.900000 Unbalance/tolerance = 0.524199, Iteration 4 converged Saved as Output Step 9
NUMBER OF EIGENVALUES BELOW SHIFT = 1 Stiffness matrix formed, number of negative eigenvalues = 1 STEP 10, INCREMENT = 0.100000, SUM = 1.000000, MAX = 1.000000 Unbalance/tolerance = 14.421259, Iteration 1 did not converge! STEP 10, INCREMENT = 0.100000, SUM = 1.000000, MAX = 1.000000 Unbalance/tolerance = 8.647807, Iteration 2 did not converge! STEP 10, INCREMENT = 0.100000, SUM = 1.000000, MAX = 1.000000 Unbalance/tolerance = 5.195010, Iteration 3 did not converge! STEP 10, INCREMENT = 0.100000, SUM = 1.000000, MAX = 1.000000 Unbalance/tolerance = 3.123235, Iteration 4 did not converge! STEP 10, INCREMENT = 0.100000, SUM = 1.000000, MAX = 1.000000
109
Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
Unbalance/tolerance = 1.878382, Iteration 5 did not converge! STEP 10, INCREMENT = 0.100000, SUM = 1.000000, MAX = 1.000000 Unbalance/tolerance = 1.129911, Iteration 6 did not converge! STEP 10, INCREMENT = 0.100000, SUM = 1.000000, MAX = 1.000000 Unbalance/tolerance = 0.679747, Iteration 7 converged Saved as Output Step 10
TOTAL NUMBER OF CONVERGED STEPS SAVED = 10 TOTAL NUMBER OF CONVERGED STEPS NOT SAVED = 0 TOTAL NUMBER OF NULL STEPS = 0 ------TOTAL NUMBER OF ALL STEPS = 10
TOTAL NUMBER OF ITERATIONS CONVERGED = 30 TOTAL NUMBER OF ITERATIONS DISCARDED = 0 FOR CONVERGED STEPS ONLY: AVERAGE NUMBER OF ITERATIONS PER STEP = 3.00 MAXIMUM NUMBER OF ITERATIONS PER STEP = 7
TIME FOR INITIALIZING ANALYSIS = 0.03 TIME FOR CONTROLLING ANALYSIS = 0.06 TIME FOR FORMING STIFFNESS MATRIX = 0.00 TIME FOR SOLVING STIFFNESS MATRIX = 0.05 TIME FOR CALCULATING DISPLACEMENTS = 0.00 TIME FOR DETERMINING EVENTS = 0.00 TIME FOR UPDATING STATE = 0.00 ------TOTAL TIME FOR THIS ANALYSIS = 0.14
E L E M E N T F O R M A T I O N 16:41:59
NUMBER OF FRAME ELEMENTS FORMED = 3
L I N E A R E Q U A T I O N S O L U T I O N 16:42:00 FORMING STIFFNESS AT THE END OF CASE: PDELTA
TOTAL NUMBER OF EQUILIBRIUM EQUATIONS = 15 NUMBER OF NON-ZERO STIFFNESS TERMS = 102
NUMBER OF EIGENVALUES BELOW SHIFT = 1
L I N E A R S T A T I C C A S E S 16:42:00
USING STIFFNESS AT THE END OF CASE: PDELTA
110
Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
TOTAL NUMBER OF CASES TO SOLVE = 2 NUMBER OF CASES TO SOLVE PER BLOCK = 2
LINEAR STATIC CASES TO BE SOLVED:
CASE: SC CASE: PP A N A L Y S I S C O M P L E T E 2008/11/26 16:42:00 ******************************************************************************
ARCHIVO C.9 Archivo salida de datos SAP2000 N1 = 3000 KN y N2 = 6000 KN
SAP2000 Advanced Version 10.1.0.0 (Analysis Build 8511) File: ...ritorio\TESIS\analisis_libro_estabilidad\ejemplo_libro_estabilidad.LOG
B E G I N A N A L Y S I S 2008/11/27 04:04:41
MAXIMUM MEMORY BLOCK SIZE (BYTES) = 63.452 MB
NUMBER OF JOINTS IN THE MODEL = 4
N O N L I N E A R S T A T I C A N A L Y S I S 04:04:41
CASE: PDELTA
STARTING FROM ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS LOAD CONTROL TYPE = FORCE NUMBER OF STAGES = 0
TYPE OF GEOMETRIC NONLINEARITY = P-DELTA INCLUDE ELASTIC MATERIAL NONLINEARITY = YES INCLUDE INELASTIC MATERIAL NONLINEARITY = YES METHOD TO USE WHEN HINGES DROP LOAD = UNLOAD ENTIRE STRUCTURE SAVE POSITIVE INCREMENTS ONLY = YES
MINIMUM NUMBER OF SAVED STEPS = 10 MAXIMUM NUMBER OF SAVED STEPS = 100 MAXIMUM NUMBER OF NULL STEPS = 50 MAXIMUM NUMBER OF TOTAL STEPS = 200
111
Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
MAXIMUM NUMBER OF ITERATIONS PER STEP = 15 RELATIVE FORCE CONVERGENCE TOLERANCE = 0.000100 RELATIVE EVENT TOLERANCE = 0.010000
E L E M E N T F O R M A T I O N 04:04:41
NUMBER OF FRAME ELEMENTS FORMED = 3
STEP 0 NUMBER OF EIGENVALUES BELOW SHIFT = 0 Stiffness matrix formed, number of negative eigenvalues = 0
STEP 1, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.100000, MAX = 0.100000 Unbalance/tolerance = 3.753022, Iteration 1 did not converge! STEP 1, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.100000, MAX = 0.100000 Unbalance/tolerance = 0.522032, Iteration 2 converged Saved as Output Step 1 NUMBER OF EIGENVALUES BELOW SHIFT = 1 Stiffness matrix formed, number of negative eigenvalues = 1 . . . STEP 7, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 17.427511, Iteration 1 did not converge! STEP 7, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 15.472271, Iteration 2 did not converge! STEP 7, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 13.716015, Iteration 3 did not converge! STEP 7, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 12.138262, Iteration 4 did not converge! STEP 7, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 10.725045, Iteration 5 did not converge! STEP 7, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 9.462641, Iteration 6 did not converge! STEP 7, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 8.337767, Iteration 7 did not converge! STEP 7, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 7.337735, Iteration 8 did not converge! STEP 7, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 6.450558, Iteration 9 did not converge!
112
Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
STEP 7, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 5.665011, Iteration 10 did not converge! STEP 7, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 4.970668, Iteration 11 did not converge! STEP 7, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 4.357916, Iteration 12 did not converge! STEP 7, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 3.817944, Iteration 13 did not converge! STEP 7, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 3.342723, Iteration 14 did not converge! STEP 7, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 2.924974, Iteration 15 did not converge! Iteration limit reached - step size reduced STEP 7, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.650000, MAX = 0.650000 Unbalance/tolerance = 2.527319, Iteration 1 did not converge! STEP 7, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.650000, MAX = 0.650000 Unbalance/tolerance = 1.125076, Iteration 2 did not converge! STEP 7, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.650000, MAX = 0.650000 Unbalance/tolerance = 0.501927, Iteration 3 converged Saved as Output Step 7 NUMBER OF EIGENVALUES BELOW SHIFT = 1 Stiffness matrix formed, number of negative eigenvalues = 1
STEP 8, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.750000, MAX = 0.750000 Unbalance/tolerance = 30.416275, Iteration 1 did not converge! STEP 8, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.750000, MAX = 0.750000 Unbalance/tolerance = 48.161497, Iteration 2 did not converge! STEP 8, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.750000, MAX = 0.750000 Unbalance/tolerance = 74.888017, Iteration 3 did not converge! STEP 8, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.750000, MAX = 0.750000 Unbalance/tolerance = 115.159552, Iteration 4 did not converge! Iteration is diverging - step size reduced STEP 8, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 4.440217, Iteration 1 did not converge! STEP 8, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 3.543306, Iteration 2 did not converge! STEP 8, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000
113
Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
Unbalance/tolerance = 2.820297, Iteration 3 did not converge! STEP 8, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 2.241838, Iteration 4 did not converge! STEP 8, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 1.779607, Iteration 5 did not converge! STEP 8, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 1.410839, Iteration 6 did not converge! STEP 8, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 1.117148, Iteration 7 did not converge! STEP 8, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.700000, MAX = 0.700000 Unbalance/tolerance = 0.883656, Iteration 8 converged Saved as Output Step 8 NUMBER OF EIGENVALUES BELOW SHIFT = 1 Stiffness matrix formed, number of negative eigenvalues = 1
STEP 9, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.800000, MAX = 0.800000 Unbalance/tolerance = 140.556213, Iteration 1 did not converge! STEP 9, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.800000, MAX = 0.800000 Unbalance/tolerance = 1502.110, Iteration 2 did not converge! STEP 9, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.800000, MAX = 0.800000
Unbalance/tolerance = 77149.004, Iteration 3 did not converge! STEP 9, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.800000, MAX = 0.800000 Unbalance/tolerance = 21622.244, Iteration 4 did not converge! STEP 9, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.800000, MAX = 0.800000 Unbalance/tolerance = 1.2945E+07, Iteration 5 did not converge! Iteration is diverging - step size reduced STEP 9, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.750000, MAX = 0.750000 Unbalance/tolerance = 19.493804, Iteration 1 did not converge! STEP 9, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.750000, MAX = 0.750000 Unbalance/tolerance = 80.825120, Iteration 2 did not converge! STEP 9, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.750000, MAX = 0.750000 Unbalance/tolerance = 959.130529, Iteration 3 did not converge! STEP 9, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.750000, MAX = 0.750000 Unbalance/tolerance = 7093.285, Iteration 4 did not converge! Iteration is diverging - use N-R iteration STEP 9, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.750000, MAX = 0.750000
114
Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
Unbalance/tolerance = 13.757421, Iteration 1 did not converge! NUMBER OF EIGENVALUES BELOW SHIFT = 2 Stiffness matrix formed, number of negative eigenvalues = 2 STEP 9, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.750000, MAX = 0.750000 Unbalance/tolerance = 0.961144, Iteration 2 converged Saved as Output Step 9 NUMBER OF EIGENVALUES BELOW SHIFT = 2 Stiffness matrix formed, number of negative eigenvalues = 2 STEP 10, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.850000, MAX = 0.850000 Unbalance/tolerance = 46.436573, Iteration 1 did not converge! STEP 10, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.850000, MAX = 0.850000 Unbalance/tolerance = 116.068811, Iteration 2 did not converge! STEP 10, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.850000, MAX = 0.850000 Unbalance/tolerance = 327.068595, Iteration 3 did not converge! STEP 10, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.850000, MAX = 0.850000 Unbalance/tolerance = 734.188658, Iteration 4 did not converge! Iteration is diverging - step size reduced STEP 10, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.800000, MAX = 0.800000 Unbalance/tolerance = 6.774654, Iteration 1 did not converge! STEP 10, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.800000, MAX = 0.800000 Unbalance/tolerance = 8.118202, Iteration 2 did not converge! STEP 10, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.800000, MAX = 0.800000 Unbalance/tolerance = 10.710712, Iteration 3 did not converge! STEP 10, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.800000, MAX = 0.800000 Unbalance/tolerance = 13.909831, Iteration 4 did not converge! Iteration is diverging - use N-R iteration STEP 10, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.800000, MAX = 0.800000 Unbalance/tolerance = 4.778948, Iteration 1 did not converge! NUMBER OF EIGENVALUES BELOW SHIFT = 2 Stiffness matrix formed, number of negative eigenvalues = 2 STEP 10, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.800000, MAX = 0.800000 Unbalance/tolerance = 0.043626, Iteration 2 converged Saved as Output Step 10 NUMBER OF EIGENVALUES BELOW SHIFT = 2 Stiffness matrix formed, number of negative eigenvalues = 2
STEP 11, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.900000, MAX = 0.900000
115
Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
Unbalance/tolerance = 18.693088, Iteration 1 did not converge! STEP 11, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.900000, MAX = 0.900000 Unbalance/tolerance = 21.212880, Iteration 2 did not converge! STEP 11, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.900000, MAX = 0.900000 Unbalance/tolerance = 24.062073, Iteration 3 did not converge! STEP 11, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.900000, MAX = 0.900000 Unbalance/tolerance = 27.234189, Iteration 4 did not converge! Iteration is diverging - step size reduced STEP 11, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.850000, MAX = 0.850000 Unbalance/tolerance = 2.486097, Iteration 1 did not converge! STEP 11, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.850000, MAX = 0.850000 Unbalance/tolerance = 1.424457, Iteration 2 did not converge! STEP 11, INCREMENT = 0.050000, SUM = 0.850000, MAX = 0.850000 Unbalance/tolerance = 0.806385, Iteration 3 converged Saved as Output Step 10 NUMBER OF EIGENVALUES BELOW SHIFT = 2 Stiffness matrix formed, number of negative eigenvalues = 2
STEP 12, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.950000, MAX = 0.950000 Unbalance/tolerance = 12.981530, Iteration 1 did not converge! STEP 12, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.950000, MAX = 0.950000 Unbalance/tolerance = 9.396195, Iteration 2 did not converge! STEP 12, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.950000, MAX = 0.950000 Unbalance/tolerance = 6.786876, Iteration 3 did not converge! STEP 12, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.950000, MAX = 0.950000 Unbalance/tolerance = 4.910114, Iteration 4 did not converge! STEP 12, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.950000, MAX = 0.950000 Unbalance/tolerance = 3.548174, Iteration 5 did not converge! STEP 12, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.950000, MAX = 0.950000 Unbalance/tolerance = 2.566172, Iteration 6 did not converge! STEP 12, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.950000, MAX = 0.950000 Unbalance/tolerance = 1.854816, Iteration 7 did not converge! STEP 12, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.950000, MAX = 0.950000 Unbalance/tolerance = 1.341245, Iteration 8 did not converge! STEP 12, INCREMENT = 0.100000, SUM = 0.950000, MAX = 0.950000 Unbalance/tolerance = 0.969564, Iteration 9 converged Saved as Output Step 11
116
Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
NUMBER OF EIGENVALUES BELOW SHIFT = 2 Stiffness matrix formed, number of negative eigenvalues = 2
STEP 13, INCREMENT = 0.050000, SUM = 1.000000, MAX = 1.000000 Unbalance/tolerance = 2.551232, Iteration 1 did not converge! STEP 13, INCREMENT = 0.050000, SUM = 1.000000, MAX = 1.000000 Unbalance/tolerance = 0.536109, Iteration 2 converged Saved as Output Step 12
TOTAL NUMBER OF CONVERGED STEPS SAVED = 12 TOTAL NUMBER OF CONVERGED STEPS NOT SAVED = 1 TOTAL NUMBER OF NULL STEPS = 0 ------TOTAL NUMBER OF ALL STEPS = 13
TOTAL NUMBER OF ITERATIONS CONVERGED = 47 TOTAL NUMBER OF ITERATIONS DISCARDED = 40 FOR CONVERGED STEPS ONLY: AVERAGE NUMBER OF ITERATIONS PER STEP = 3.62 MAXIMUM NUMBER OF ITERATIONS PER STEP = 9
TIME FOR INITIALIZING ANALYSIS = 0.03 TIME FOR CONTROLLING ANALYSIS = 0.11 TIME FOR FORMING STIFFNESS MATRIX = 0.01 TIME FOR SOLVING STIFFNESS MATRIX = 0.08 TIME FOR CALCULATING DISPLACEMENTS = 0.05 TIME FOR DETERMINING EVENTS = 0.00 TIME FOR UPDATING STATE = 0.00 ------TOTAL TIME FOR THIS ANALYSIS = 0.28
E L E M E N T F O R M A T I O N 04:04:42
NUMBER OF FRAME ELEMENTS FORMED = 3
L I N E A R E Q U A T I O N S O L U T I O N 04:04:42
FORMING STIFFNESS AT THE END OF CASE: PDELTA
TOTAL NUMBER OF EQUILIBRIUM EQUATIONS = 15 NUMBER OF NON-ZERO STIFFNESS TERMS = 102
117
Anexo C Archivos de entrada y salida de datos
NUMBER OF EIGENVALUES BELOW SHIFT = 2
L I N E A R S T A T I C C A S E S 04:04:42 USING STIFFNESS AT THE END OF CASE: PDELTA TOTAL NUMBER OF CASES TO SOLVE = 2 NUMBER OF CASES TO SOLVE PER BLOCK = 2 LINEAR STATIC CASES TO BE SOLVED: CASE: SC CASE: PP
A N A L Y S I S C O M P L E T E 2008/11/27 04:04:42
118
Anexo D Cálculo de Factores B2 y FA
Anexo D
Cálculo de Factores B2 y FA
En este anexo se muestra en detalle el cálculo de los factores B2 y FA para el primer valor de la tabla
Para el AISC
Se definen los siguientes valores para las ecuaciones utilizadas:
ΣPnt = Carga vertical total soportada por el piso, usando combinación de cargas (N)
RM = 0,85 para marcos no arriostrados ΣH = Corte de piso producido por la fuerza lateral usada para calcular delta H (N) L = Altura de piso (mm)
ΔH = Deformación de primer orden entrepiso, debido a fuerzas laterales (mm) α = 1.6 factor de seguridad
Para ejemplificar se usan los siguientes valores:
Carga en nudo 1 horizontal =82.5 KN Carga en nudo 1 vertical =100 KN Carga en nudo 2 vertical =200 KN L = 60 KN
ΣPnt = Carga en nudo 1 + Carga en nudo 2 + L = 360000 N ΣH = 154500 N (no se considera la imperfección inicial)
ΔH = 83.2 mm (no se considera la imperfección inicial) L = 8000 mm
1 ∑ 1 con Σ ∑ 1 ∑
154500 8000 con Σ 0.85 12627404 N 83.2
1 1.0477953 1.6 360000 1 12627404
119
Anexo D Cálculo de Factores B2 y FA
Para el Eurocodigo
Se definen los siguientes valores para las ecuaciones utilizadas:
δ = Desplazamiento horizontal entre piso producido por las fuerzas laterales mas las fuerzas ficticias h = Altura entre plantas H = Reacción horizontal total en el piso producido por las fuerzas laterales y fuerzas ficticias V = Carga vertical de diseño sobre la estructura en un piso
FA = Factor de amplificación (semejante a B2)
Vsd = Valor de cálculo de la carga vertical total
Vcr = Valor elástico crítico de la carga vertical total considerando un estado no arriostrado.
Para ejemplificar se usan los siguientes valores:
Carga en nudo 1 horizontal = 82.5kN Carga en nudo 1 vertical =100kN Carga en nudo 2 vertical = 200kN L = 60 KN
V = Carga en nudo 1 + Carga en nudo 2 + L = 360000 N H = 155600 N (considera la imperfección inicial) δ = 84 mm (considera la imperfección inicial) h = 8000 mm
1 δ 0.1 1
84 360000 0.0242931 8000 155600
1 1.0248979 1 0.0242931
120