Modely Stochastické Volatility

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY

MODELY STOCHASTICKÉ VOLATILITY

Diplomová práce Martin Diviš

Vedoucí práce: Mgr. Ondřej Pokora, Ph.D. Brno 2015

Bibliografický záznam

Autor: Bc. Martin Diviš Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky Název práce: Modely stochastické volatility

Studijní program: Matematika

Studijní obor: Finanční matematika

Vedoucí práce: Mgr. Ondřej Pokora, Ph.D.

Akademický rok: 2014/2015

Počet stran: IX + 69 Klíčová slova: Evropská opce, volatilita, Blackův-Scholesův model, Wienerův proces, CIR proces, modely stochastické volatility, kalibrace Hestonova modelu, Lévyho procesy

Bibliographic Entry

Author Bc. Martin Diviš Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics Title of Thesis: Stochastic volatility models

Degree programme: Mathematics

Field of Study: Financial Mathematics

Supervisor: Mgr. Ondřej Pokora, Ph.D.

Academic Year: 2014/2015

Number of Pages: IX + 69 Keywords: European option, volatility, Black-Scholes model, Wiener process, CIR process, stochastic volatility models, calibration of the Heston model, Lévy process

Abstrakt

V diplomové práci se zabýváme oceňováním evropských opcí a jejich závislostí na volatilitě. Blackův-Scholesův model má mnoho slabin. Největší slabinou je předpoklad konstantní volatility. V diplomové práci jsou popsány typy volatilit, které se nevyvíjí konstantně. Zabýváme se zejména stochastickou volatilitou. Ta je sice matematicky nejkomplikovanější, ale také nejpřesnější. Popisujeme modely stochastické volatility, například Hestonův model, 3/2 model či SABR model. Tyto modely si dokážou poradit s častými problémy při oceňování opcí jako je například volatily smile či silné chvosty reálných pravděpodobnostních rozdělení. Nejslavnější Hestonův model kalibrujeme v Excelu. Také se zaměřujeme na Lévyho procesy, které si poradí se skoky podkladového aktiva.

Abstract

Throughout this diploma thesis we deal with the valuation of European options and their dependence on volatility. The Black-Scholes model has many weaknesses. The biggest weakness is the forecast of the constant volatility. In this diploma thesis, there are described several types of volatility, which do not develop constantly. We deal particularly with the stochastic volatility. On the one hand, it is the most complex from the mathematic point of view, but on the other hand the most accurate. We describe stochastic volatility model, for instance Heston model, 3/2 model or SABR model. These models are able to deal with frequent problems during the valuation of options such as volatility smile or other fat tails of real probability distributions. The most famous Heston model is calibrated in Excel. Also, we focus on Levy's processes, which deal with the jumps of an underlying asset.

Poděkování

Na tomto místě bych rád poděkoval doktoru Ondřeji Pokorovi za skvělé vedení diplomové práce. Vyzdvihl bych jeho ochotu, cenné rady a motivující přístup.

Za výbornou výuku předmětů finanční matematiky bych chtěl poděkovat docentu Martinu Kolářovi a doktoru Pokorovi. Nabyté znalosti z jejich předmětů jsem zúročil nejen při psaní diplomové práce.

Rád bych poděkoval také svým rodičům za podporu během studia.

Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji diplomovou práci vypracoval samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány.

Brno 14. prosinec 2014 ……………………………… Martin Diviš

Obsah

Úvod ...... IX 1. Ekonomické a matematické pojmy ...... 1 1.1. Finanční deriváty ...... 1 1.2. Matematické věty a definice...... 4

2. Blackův-Scholesův model ...... 12 2.1. Předpoklady Blackova-Scholesova modelu ...... 12 2.2. Odvození Blackova-Scholesova modelu ...... 13 2.3. Garmanův-Kohlhagenův model ...... 21

3. Oceňování finančních derivátů ...... 23 3.1. Arbitrážní teorie oceňování ...... 23 3.2. Zajištění...... 24 3.3. Risk neutrální míra ...... 25 3.4. Metoda Monte Carlo ...... 27 3.4.1. Generátory náhodných čísel ...... 31

4. Volatilita ...... 33 4.1. Historická volatilita ...... 33 4.2. Implikovaná volatilita ...... 34 4.3. Deterministická volatilita ...... 39 4.4. Stochastická volatilita ...... 39 4.4.1. Mean-reverting proces ...... 40 4.4.2. CIR proces ...... 41 4.4.3. Ho-Lee model ...... 42

5. Metody stochastické volatility ...... 43 5.1. Hestonův model ...... 44 5.1.1. Hestoův model se skoky ...... 47 5.2. GARCH model ...... 48 5.3. 3/2 model ...... 49 5.4. Steinův model ...... 49 5.5. CEV model ...... 50 5.6. SABR volatility model ...... 51 5.7. Chenův model ...... 53 5.8. Shrnutí ...... 54

6. Výpočet a kalibrace Hestnova modelu ...... 55

VII

7. Lévyho procesy ...... 60 7.1. Mertonův jump diffusion model ...... 64

Závěr ...... 66

Seznam použité literatury ...... 67

VIII

Úvod

Na počátku sedmdesátých let dvacátého století dochází k přelomu v oceňování finančních derivátů. Pánové Black, Scholes a Merton publikují Blackův-Scholesův model, za který později obdrží Myron Scholes a Robert Merton Nobelovou cenu za ekonomii. Blackův-Scholesův model je skutečně impozantní model, který většinou dokáže odhadnout správnou cenu evropské opce. Avšak v obdobích finančních krizí, kdy je na trhu vysoká volatilita, model příliš nefunguje.

V diplomové práci se zaměříme na slabiny Blackova-Scholesova modelu. Hlavní slabinou je předpoklad, že volatilita se vyvíjí konstantně. Další slabinou je předpoklad lognormálních cen podkladového aktiva, který ne zcela správně popisuje reálné pravděpodobnostní rozdělení v extremních hodnotách. Blackův-Scholesův model také nedokáže popsat skoky ve vývoji podkladového aktiva. Také se zaměříme na důležitý předpoklad risk neutrality a s ním spojenou nutnost zajištění.

Na začátků práce si popíšeme finanční deriváty a zadefinujeme si důležité matematické pojmy, které se využívají při oceňování finančních derivátů. V druhé kapitole si odvodíme slavný Blackův-Scholesův model. Dále si popíšeme rizikově neutrální oceňování a zajištění. Na konci třetí kapitoly se budeme věnovat numerické metodě Monte Carlo, která má veliké praktické využití nejen při oceňování finančních derivátů. Čtvrtá kapitola bude patřit volatilitě. Popíšeme si historickou, implikovanou, deterministickou a hlavně stochastickou volatilitu. Ukážeme si na grafech, proč není vhodné, aby se využívala konstantní volatilita. Tyto grafy zachycují volatility smile, skew, term structure a surface. Také se zaměříme na modelování stochastické volatility pomocí mean-reverting procesu, které ještě vylepšíme CIR procesem.

Pátá kapitola je pojmenována stejně jako diplomová práce tzn. Modely stochastické volatility. Popíšeme si celkově sedm modelů. Naši pozornost zaměříme na nejslavnější Hestonův model a ukážeme si, jak si poradí se slabinami Blackova-Scholesova modelu. Také popíšeme výhody ostatních modelů stochastické volatility a zmíníme jejich praktické využití. Zaměříme se samozřejmě i na nevýhody těchto komplikovaných modelů.

S matematickou složitostí a přesností bohužel souvisí i obtížná kalibrace. S ní si pokusíme poradit v předposlední kapitole při kalibraci Hestonova modelu, která bude zpracována pomocí metody Monte Carlo v Excelu. Výsledek porovnáme s (Mikhailov, Nögel, 2003).

Poslední kapitola je věnována Lévyho procesům. Tyto procesy mají velkou budoucnost nejen ve finanční či pojistné matematice, protože dokážou zachytit skoky trajektorie v grafu. Také v této kapitole na grafech budeme demonstrovat slabiny Blackova-Scholesova vzorce, které by měly být největší motivací pro využívání Lévyho procesů či modelů stochastické volatility.

1. Ekonomické a matematické pojmy

1.1. Finanční deriváty

Finanční deriváty jsou instrumenty, které mají svojí hodnotu odvozenou z hodnoty podkladového aktiva. Podkladovým aktivem můžeme chápat komodity, úrokové míry, měnové kurzy, akcie anebo akciový index. Dochází k určitému časovému zpoždění mezi sjednáním obchodu a jeho plněním. Mají podobu smlouvy mezi dvěma stranami. Základními typy derivátů jsou futures, forwardy, swapy a opce. Motivy pro koupi finančních derivátů jsou zajištění, spekulace a arbitráž. Zajištění (hedging) se využívá jako obranný mechanismus před nečekaným pohybem ceny. Spekulace využívá pákový efekt, který mnohonásobně zvětšuje zisky a ztráty z dané investice. Arbitráž je možnost dosažení bezrizikového zisku. S rostoucí globalizací jsou možnosti arbitráže na vyspělých trzích téměř nulové (Jílek, 2010). V diplomové práci budu předpokládat, že arbitráž neexistuje.

Forward je termínovaný kontrakt, který uzavírá prodávající s kupujícím, kde se zavazuje, že ve předem dohodnutém termínu od prodávajícího odkoupí nebo kupujícímu odprodá předem dohodnuté množství aktiva za předem dohodnutou cenu. Dané podmínky si volí mezi sebou kupující a prodávající. Forwardy se obchodují na OTC trzích. Futures se na rozdíl od forwardu obchoduje na burze, která stanoví standardní podmínky kontraktu. Swap můžeme definovat jako dohodu o časově omezené výměně plateb mezi dvěma anebo více subjekty. Většinou se stejně jako forwardy realizují mimo burzu (Ulrychová, 2008). V diplomové práci se nejvíce zaměřím na opce. Opce se zásadně liší od ostatních finančních derivátů tím, že protistrany si nejsou rovny. Kupující opce má právo si zvolit, zda opci uplatní či nikoli. Prodávající opce podle toho musí nebo nemusí uplatnění uskutečnit. Proto není hodnota opce na počátku nulová (u ostatních derivátů je na počátku nulová), ale kupující musí prodávajícímu zaplatit tzv. opční prémii (která je cenou opce), která je odměnou pro prodávajícího za jeho znevýhodněnou pozici (Jílek, 2010). Opční prémie je součet vnitřní hodnoty a časové hodnoty.

Nejjednodušší dělení typů opcí je podle druhu práva, které svému majiteli opce poskytuje. Rozdělujeme call opce a put opce. Vlastník call opce má právo koupit aktivum za předem dohodnutou cenu ve předem dohodnutém čase. Zatímco vlastník put opce má právo prodat aktivum za předem dohodnutou cenu. Dohodnutá cena se nazývá realizační cena (strike price) a datum realizace opce se nazývá datum expirace. Opce také dělíme podle možnosti uplatnění. Rozlišujeme evropské opce, americké opce a exotické opce. Evropské opce lze uplatnit pouze v době expirace. Americké opce lze uplatnit po celou dobu jejich existence, tedy od upsání kontraktu až po datum expirace. Exotické opce jsou kombinací evropských a amerických opcí (Ulrychová, 2008). V diplomové práci budu popisovat evropské opce.

1 Vnitřní hodnota opce popisuje zisk, který by vlastník opce dosáhl jejím okamžitým uplatněním. Jenom opce v penězích (in-the-money) mají vnitřní hodnotu. Opce, kterou nelze uplatnit se ziskem, má nulovou vnitřní hodnotu. Vnitřní hodnota je tedy vždy nezáporná. Výše vnitřní hodnoty závisí na vztahu mezi současnou cenou a realizační cenou (Jílek, 2010).

Časová hodnota opce představuje zpeněžitelnost opce i volatilitu podkladového aktiva. Časová hodnota opce klesá s tím, jak se blíží datum expirace. Tento pokles není lineární. Nejprudší pokles registruje časová hodnota opce těsně před splatností. V době splatnosti opce je časová hodnota rovná nule (Jílek, 2010). Časová hodnota je největší, pokud je spotová cena blízko realizační ceně. Pokud se tyto ceny výrazně liší, blíží se časová hodnota opce k nule. Časová hodnota je velmi závislá na volatilitě. Pokud je volatilita vysoká, mohou nastat i extremní situace. Proto jsou opce někdy považovány jako obchody s volatilitou. Významnost volatility při oceňování opcí si ukážeme v dalších kapitolách. Hodnotu opce v čase expirace nazýváme payoff dané opce. Předpokládejme, že máme call opci s realizační cenou K a spotová cena daného aktiva v čase expirace je S. Jestliže platí S > K, tak se vyplatí opci prodat za spotovou cenu se ziskem S - K. Jinak je opce bezcenná. Pro hodnotu call opce v čase expirace V(S,T) tedy platí z

neboli

V(S,T) = max(S-K; 0) = (Ulrychová, 2008).

Obdobně popíšeme hodnotu put opce v čase expirace. Jestliže bude spotová cena S aktiva nižší než realizační cena K, nakoupíme si na trhu aktivum za spotovou cenu S a následně ho prodáme za realizační cenu K, zisk bude K - S. Jinak je hodnota opce nulová, proto z

neboli

V(S,T) = max(0; K-S) = (Ulrychová, 2008).

Na obrázku 1 vidíme graf call opce. Pokud je spotová cena aktiva větší než realizační cena, tak ji vlastník call opce uplatní. Pokud je spotová cena větší než

2 realizační cena a opční prémie, tak má vlastník opce zisk. Zisk držitele call opce je ztrátou prodejce call opce a naopak.

Obr. 1. Dlouhá pozice v call opci. Na obrázku si všimněme, jak zisk či ztráta call opce zavisí na realizační ceně RC a spotové ceně, která je na horizontální ose.

Na obrázku 2 vidíme graf put opce. Pokud je spotová cena aktiva nižší než realizační cena, tak ji vlastník put opce uplatní. Pokud je spotová cena nižší než realizační cena a opční prémie, tak má vlastník opce zisk. Zisk držitele put opce je ztrátou prodejce put opce a naopak.

3 Obr. 2. Dlouhá pozice v put opci. Na obrázku si všimněme, jak zisk či ztráta put opce zavisí na realizační ceně RC a spotové ceně, která je na horizontální ose.

1.2. Matematické věty a definice

V této kapitole si definujeme základní matematické pojmy. Seznámíme se se stochastickým procesem, Wienerovým procesem, lineární a kvadratickou variací, Itovým procesem, Itovým lematem, Radonovou-Nikodýmovou derivací, Cameronovou-Martinovou větou a v závěru kapitoly si zopakujeme normální a lognormální rozdělení. Tyto důležité pojmy budeme používat při odvození Blackova-Scholesova modelu a v dalších kapitolách.

Matematické pojmy si budeme definovat obdobně jako ve studijních skriptech k předmětu Stochastická analýza (Kolář, 2013). Pro rozšíření nebo pro obohacení těchto pojmů lze využít následující knihy: Ross (1996) a Melicherčík, Olšárová, Úradníček (2005). Heuristické vysvětlení některých pojmů lze nalézt taky v knihách Hull (2012), Wilmott (2000) a Wilmott (2009).

Definice 1:

Stochastický proces X = X(t), t  T, kde T je indexová množina, je soubor náhodných veličin na pravděpodobnostním prostoru (, ,P).

Proto pro každé t z indexové množiny T je X(t) náhodná veličina. Obvykle t označuje čas. Vzpomeňme si, že náhodná veličina je funkce Z:   R. Každé uskutečnění náhodného procesu X se nazývá trajektorie. X(t) označuje stav procesu v čase t. Je-li T konečná nebo spočetná množina, pak X(t) je stochastický proces v diskrétním čase. Je-li T nespočetná množina, například interval, pak X(t) je stochastický proces ve spojitém čase. Nabývá-li X(t) diskrétních hodnot, máme stochastický proces s diskrétními hodnotami. Nabývá-li X(t) spojitých hodnot, máme stochastický proces se spojitými hodnotami. Celkem tedy máme čtyři typy stochastických procesů. Nejdříve si definujme stochastický proces s diskrétními hodnotami, konkrétně Poissonův proces, který využijeme v kapitole Lévyho procesy. Tento proces má velké využití nejen v pojistné matematice.

Definice 2: (Poissonův proces)

Poissonův proces s intenzitou je proces N = nabývající hodnoty v takový, že

1. N(0) = 0 a pro s < t je N(s) < N(t).

3. Je-li s < t, pak počet N(t) - N(s) událostí v intervalech [s, t] je nezávislý na N(s), to je počtu událostí v [0, s]. N(t) je počet příchodů, událostí do času t. N je tzv. čítací proces.

V diplomové práci se budeme hlavně zabývat stochastickým procesem se spojitými hodnotami ve spojitém čase, což je například Wienerův proces, který se velmi často využívá ve finanční matematice při modelování cen akcií nebo oceňování opcí. Historie tohoto procesu úzce souvisí s historií finanční matematiky. Jako první tento proces objevil Louis Bachelier v roce 1900, když ve své práci odvodil první vzorec pro cenu opce. Model i výsledek se překvapivě blíží mnohem pozdějšímu modelu Blacka a Scholese (Black, Scholes, 1973).

Definice 3: (Wienerův proces)

Reálný stochastický proces {W(t); } na pravděpodobnostním prostoru (, ,P) se nazývá Wienerův proces, jestliže platí: 1. W(0) = 0 (1a) 2. S pravděpodobností 1 je funkce t W(t) spojitá v t (spojitost trajektorií).

(1b) 3. Přírůstky W(t) - W(s) mají rozdělení N(0; t - s). Pro libovolné

0 < < < … < jsou přírůstky W( ), W( ) - W( ), …, W( ) - W( ) navzájem nezávislé a mají normální rozdělení N(0, (1c)

Variace je míra proměnlivosti funkce na daném intervalu.

Definice 4:

Nechť D = je dělení intervalu tedy 0 = = T. Kvadratickou variaci funkce f na intervalu definujeme jako

pokud limita existuje.

5 Nyní si uvedeme dvě důležité vlastnosti kvadratické variace. Jejích důkazy lze nalézt v (Kolář, 2013).

1. Kvadratická variace diferencovatelné funkce f na intervalu je 0. 2. Kvadratická variace Wienerova procesu W(t) na intervalu je T.

Definice 5:

Nechť W(t) je Wienerův proces na prostoru (, ,P). Symbolem M budeme označovat třídu stochastických procesů f(t, ): ∞ ) ×   R takových, že:

 f(t, ) je neanticipativní

 f(t, ) je -měřitelná, kde jsou Borelovské množiny na ∞ )

 platí P{ dt < ∞} = 1

Definice 6:

Nechť W(t) je Wienerův proces na pravděpodobnostním prostoru (, ,P). Jednodimenzionální Itôův proces je stochastický proces tvaru:

kde u, v  M. Člen je obyčejný Riemannův integrál a

je Itôův stochastický integrál (Kolář, 2013).

Když v jednodimenzionálním Itôově procesu převedeme na levou stranu, dostaneme stochastický diferenciál dX(t, ) = u(t, )dt + v(t, )dW, kde u(t, ) je drift a často se značí pomocí r, v(t, ) je volatilita a často se zapisuje pomocí . Na obrázku 3 vidíme možné trajektorie pohybu ceny akcie modelované pomocí Wienerova procesu. Obrázek je modelovaný podle rovnice



kde , r = 0, t  ,  = 0,2.

Obr. 3. Vývoj ceny akcie. Vidíme, že se cena akcie vyvíjí náhodně. Některé akcie téměř stále stoupají, jiné zase klesají a další kolísají okolo své počáteční ceny.

Věta 7: (Itôovo lemma)

Nechť X(t, ) je Itôův proces se stochastickým diferenciálem dX(t, )= u(t, )dt + v(t, )dW(t), kde u(t, ) a v(t, ) jsou procesy třídy M. Nechť g(t,x): ∞) × R  R je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce. Potom Y(t) = g(t,X(t)) je opět Itôův proces. Jeho stochastický diferenciál má tvar

kde

se počítá podle pravidel dtdt = dtdW = 0 a dWdW = dt. Tato pravidla platí podle definice kvadratické variace.

Definice 8:

Nechť P a Q jsou ekvivalentní rizikově neutrální míry tzn. P(A) = 0  Q(A) =

0 na jevovém poli (, ) a pro náhodnou veličinu platí

 

Pak se nazývá Radonova-Nikodýmova derivace pravděpodobnostní míry

Q vzhledem k pravděpodobnostní míře P (Kolář, MF002).

Při oceňování složitějších typů opcí se využívá Cameronova-Martinova věta.

Věta 9: (Cameronova-Martinova)

Nechť W(t): t   je Wienerův proces na pravděpodobnostním prostoru (, ,P). Nechť Q je pravděpodobnostní míra, jejíž Radonova-Nikodýmova derivace vzhledem k P je

Pak je Wienerův proces vzhledem k Q, kde je reálná konstanta různá od nuly.

Jedním z nejdůležitějších spojitých rozdělení je normální rozdělení. Normální rozdělení má velký význam nejen v teorii pravděpodobnosti a statistice. Náhodné děje vyskytující se v přírodě lze dobře modelovat právě normálním rozdělením, například výška v populaci, IQ, chyby měření. Také náhodné veličiny v ekonomii se často řídí normálním rozdělením nebo jejich rozdělení může být normálním rozdělením velmi dobře aproximováno, například zisk z akcie při nízké volatilitě. Normální rozdělení se také nazývá Gaussovo rozdělení.

Definice 10: Normální rozdělení

Normální rozdělení pravděpodobnosti s parametry a  , kde a  0, je pro definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru funkce

 

Normální rozdělení se značí N( , ). Rozdělení N( ,1) je standardizované normální rozdělení. Standardizované normální rozdělení má hustotu pravděpodobnosti

8 Charakteristiky normálního rozdělení: Střední hodnota normálního rozdělení je E(X)= .

Rozptyl normálního rozdělení je D(X)=  .

Medián tohoto rozdělení je . Tedy medián je roven střední hodnotě. Koeficient šikmosti i koeficient špičatosti normálního rozdělení je nulový.

Na obrázku 4 si všimněme hustoty pravděpodobnosti normálního rozdělení. Okolo 68 % této pravděpodobnosti je koncentrováno nalevo a napravo o jednu směrodatnou odchylku od střední hodnoty, zatímco hodnoty odchýlené o tři směrodatné odchylky nalevo či napravo od střední hodnoty jsou velmi řídké. Proto říkáme, že toto rozdělení má lehké chvosty.

Obr. 4. Hustota pravděpodobnosti normálního rozdělení. Všimněme si, že střední hodnota je opravdu rovna mediánu a také modusu. Hustota pravděpodobnosti normálního rozdělení je symetrická a proto má toto rozdělení nulovou šikmost.

9 Na obrázku 5 jsou vykresleny čtyři různé hustoty pravděpodobnosti normálního rozdělení. Hnědá křivka popisuje standardizované normální rozdělení.

Obr. 5. Hustota pravděpodobnosti normálního rozdělení s různými středními hodnotami a rozptyly. Zelená křivka má nulovou střední hodnotu a rozptyl má 0,2. Hnědá křivka má nulovou střední hodnotu a rozptyl má 1. Červená křivka má nulovou střední hodnotu nulovou má rozptyl 5. Střední hodnota modré křivky je -2 a rozptyl je 0,5.

Logaritmicko-normální rozdělení je nejčastější alternativou normálního rozdělení pro jednostranně ohraničená data. Ve fyzice se využívá při měření hmotnosti nebo objemu. Ve financích může popisovat spotovou cenu akcie nebo opční prémii.

Definice 11: Logaritmicko-normální rozdělení

Logaritmicko-normální (také lognormální) rozdělení s parametry a  je spojité rozdělení pravděpodobnosti kladné reálné náhodné veličiny X takové, že náhodná veličina ln(X) má normální rozdělení se střední hodnotou a rozptylem  . Lognormální rozdělení se označuje LN( , ).

Hustota pravděpodobnosti logaritmicko-normálního rozdělení má tvar

 

10 Charakteristiky logaritmicko-normálního rozdělení:



Střední hodnota logaritmicko-normálního rozdělení je E(X)= .

Rozptyl tohoto rozdělení je D(X)=   .

Medián je .

  Koeficient šikmosti je =

Na obrázku 6 jsou znázorněny tři různé hustoty pravděpodobnosti lognormálního rozdělení. Všimněme si, že lognormální rozdělení nikdy nenabývá záporných hodnot.

Obr. 6. Hustota pravděpodobnosti lognormálního rozdělení se stejnou střední hodnotou a různými rozptyly. Všechny křivky mají nulovou střední hodnotu. Červená křivka má rozptyl 0,25. Zelená křivka má rozptyl roven 0,5. Rozptyl modré křivky je 1.

11 2. Blackův-Scholesův model

V oblasti oceňování opcí nastal největší průlom začátkem sedmdesátých let dvacátého století, kdy Fischer Black, Myron Scholes a Robert Merton odvodili model, který je v současnosti známý jako Blackův-Scholesův model. Základy tohoto modelu byly položeny v článcích (Black, Scholes, 1973) a (Merton, 1973). Tento významný objev byl oceněn v roce 1997 Nobelovou cenou, kterou však obdrželi jen Robert Merton a Myron Scholes. Fischer Black se tohoto významného ocenění bohužel nedožil.

2.1. Předpoklady Blackova-Scholesova modelu

1. Podkladové aktivum je popsáno lognormálním geometrickým Brownovým pohybem - tato podmínka není naprosto nutná. Slouží jen ke zjednodušení odvození Blackova-Scholesova modelu. Volatilita nemusí být k nalezení řešení konstantní, ale může záviset pouze na čase. Dokonce nevadí, pokud je volatilita také závislá na ceně podkladového aktiva, ale analytické řešení je velmi náročné a již nedostaneme Blackův-Scholecův vzorec v podobě, jak je znám. Problém však lze vyřešit i numericky. U driftu S musí být zabráněno arbitráži (což je možnost bezrizikového zisku). Není možno uvažovat drift, který leží v určitém rozpětí.

2. Bezriziková úroková míra r je známa v čase - tento požadavek opět pomáhá najít analytické řešení. Pokud r je konstantní, bude odvození mnohem jednodušší. V praxi je úroková míra často závislá na čase, ale je předem známa. Analytický vzorec existuje pro cenu jednoduššího kontraktu. V realitě však není úroková míra předem známa a je stochastická nebo alespoň tak podle dat vypadá. Stochastickou úrokovou míru však v diplomové práci řešit nebudeme. Modelovala by se podobně jako stochastická volatilita. Tzn. stochastická úroková míra bývá modelována například Vašíčkovým modelem nebo CIR procesem. Oba procesy jsou popsány v podkapitole ke stochastické volatilitě. Také předpokládáme, že úroková míra pro půjčení i pro zapůjčení je stejná.

3. Nejsou zde žádné dividendy podkladového aktiva - lze odvodit modifikaci Blackova-Scholesova modelu i s dividendami. Ovšem my budeme pro zjednodušení předpokládat, že dividendy nejsou.

4. Delta hedging je prováděn spojitě - tento předpoklad je v praxi nemožný. Hedging lze dělat jenom v diskrétním čase. Čas mezi rehedgingem často závisí na transakčních poplatcích na trhu s podkladovým aktivem. Čím jsou poplatky menší, tím je rehedging častější.

5. Neexistují žádné transakční poplatky podkladového aktiva – dynamický delta hedging je v realitě častokrát drahý, protože u většiny podkladových aktiv existuje rozdíl mezi cenou prodeje a nákupu.

12 6. Neexistuje arbitráž - samozřejmě že možnost arbitráže existuje, mnoho lidí díky ní vydělalo velké peníze. V celé diplomové práci však předpokládáme neexistenci arbitráže. Ovšem je důležité zdůraznit, že jsme z modelu vyloučili závislost na arbitráži. I když můžeme být k tomuto předpokladu kritičtí, je tento předpoklad důležitý pro odvození Blackova-Scholesova modelu.

7. Jedná se o evropskou opci - je nutné předpokládat, že opci lze využít pouze v době expirace. Pro oceňování amerických opcí, které je možné využít kdykoliv během data platnosti, se využívá numerická matematika.

Toto jsou nejdůležitější předpoklady. Předpokladů však existuje více (Wilmott, 2001).

2.2. Odvození Blackova-Scholesova modelu

Odvození Blackovy-Scholesovy rovnice provedeme podobně jako v (Kolář, 2013). Blackova-Scholesova rovnice je výsledkem modelu vývoje ceny akcie. Předpokládejme, že pohyb ceny akcie je popsán geometrickým Wienerovým procesem 

neboli



kde značí Wienerův proces (1).

Nechť

Máme tedy

Podle Itôova lemmatu (2) dostaneme

kde

 což platí podle definice kvadratické variace, protože dtdt = dtdW = 0 a dWdW = dt.

Tedy

   

proto

 

kde

Dostáváme, že

 

má normální rozdělení

 

respektive

   

má lognormální rozdělení (3).

Budeme předpokládat existenci bezrizikového aktiva s konstantní úrokovou mírou r. Vyjdeme z rovnice pro cenu akcie , která se řídí geometrickým Wienerovým procesem. Hodnota V je cena evropské call opce s danou realizační cenou K a časem expirace T. Zisk z této opce v čase T je proto . Výplata V závisí na spotové ceně S a t  a je tedy funkcí dvou proměnných V(S,t). Hodnota V(S,t) je cena opce v čase t, v situaci, kdy cena akcie je rovna S. Z Itôova lemmatu máme

Za dS dosadíme , proto

 

a dtdW jsou členy vyššího řádu, které jsou rovny nule, zatímco platí = dt.

Dostáváme tedy

 

Vhodnou kombinací a sestavíme portfolio z akcií a opcí, jehož výnos za čas dt je jen deterministický. Tak tedy lze eliminovat vliv stochastického členu dW.

Označme  hodnotu portfolia složeného z jedné opce a akcie, tedy



Pro přírůstek hodnoty portfolia za čas dt máme



Po dosazení a dostaneme

 

je vidět, že se stochastický člen vyruší.

Přírůstek  se musí kvůli neexistenci arbitráže rovnat zisku z bezrizikového aktiva s úrokovou mírou r, proto

 

Dosazením za  a  dostaneme



tedy



Toto je Blackova-Scholesova parciální diferenciální rovnice. Tato rovnice je obecně platná pro libovolný derivát, proto je nutné doplnit podmínku, která nám určí příslušný typ derivátu. Tuto podmínku nazýváme koncovou. Pro call opci bude koncová podmínka ve tvaru

a pro put opci bude zápis ve formě

Princip řešení Blackovy-Scholesovy rovnice s danou koncovou podmínkou je založený na sérii transformací původní parabolické rovnice, kterými ji převedeme do tvaru tzv. rovnice vedení tepla

kde (x,t)  (-∞,∞) × (0,T) s počáteční podmínkou u(x,0). Tento postup řešení uvedeme pro obecný derivát s koncovou podmínkou (Ulrychová, 2008). Více k této problematice můžeme nalézt v (Ševčovič, Stehlíková, Mikula, 2009).

Následující transformace provedeme podobně jako v (Ulrychová, 2008). Nejdříve provedeme transformaci času, což je transformace plynutí času od expirace T k počátečnímu času t = 0. Mějme novou proměnnou  = T - t, pro kterou bude platit

 

tedy 

Koncová podmínka bude pro případ evropské call opce. Pokud dále budeme uvažovat dt = -d, pak musí platit .  Rovnice potom (6) bude mít tvar

   ∞ 

Transformací času jsme z koncové podmínky dostali počáteční podmínku Nyní provedeme logaritmickou transformaci ceny akcie. Zavedeme substituci S= a zavedeme novou funkci  

tedy  

Proto platí

pak tedy platí

Dále platí

proto lze psát

   

17 Díky výše uvedeným úpravám dostáváme po dosazení rovnice (6) ve tvaru  

  ∞ ∞ 

Jelikož je definováno na oboru kladných reálných čísel, pak x musí být definováno na všech reálných číslech. Toto platí, protože exponenciální funkce má definiční obor všechna reálná čísla a obor hodnot všechna kladná reálná čísla.

Po další transformaci    a po jejich úpravách dostaneme rovnici vedení tepla.

Platí tedy

  

Jednotlivé členy rovnice proto budou

    

   

    

Po dosazení, vynásobení rovnice (7) členem  a následných algebraických úpravách, dostáváme rovnici ve tvaru



  ∞ ∞  

kde

 

Konstanty , určíme tak, aby A i B bylo rovna nule

 a



 Výsledný tvar rovnice pro funkci u tedy bude





  ∞ ∞  

Výraz je rovnice vedení tepla. Obecné řešení rovnice vedení tepla je  konvolucí Gaussova jádra s počáteční podmínkou .

kde značí operaci konvoluce. Gaussovo jádro je v rovnici konvoluční jádro. Hodnota konvoluce funkce s jádrem v bodě x je integrál ze součinu funkce s otočenou funkcí konvolučního jádra posunutou do bodu x.

Přitom je Gaussovo jádro s hustotou N(0,2t),

platí tedy



Při výpočtu využijeme Fourierovu transformaci. Řešení rovnice vedení tepla je uvedeno například v knize (Jost, 2013). Vidíme, že Gaussovo jádro má stejný tvar jako hustota normálního rozdělení s rozptylem 2t. Přestože počítáme parciální diferenciální rovnici, v řešení se objeví prvek náhodnosti. Narozdíl od jiných modelů, kde předpokládáme normální rozdělení, v Blackově-Scholesově modelu k normalitě rozdělení dojdeme pomocí odvození.

19 Integrováním součinu počáteční podmínky a Gaussova jádra a upravením pomocí zpětných transformací dostaneme hodnotu evropské call opce.

Připomeňme si, že platí  = T - t, kde  je čas do expirace, T je datum expirace a t je kalendářní čas.

Proto řešení pro evropskou call opci podle Blackova-Scholesova modelu je ve tvaru

kde



tedy

 a kde je distribuční funkce standardizovaného normálního rozdělení

∞ časová proměnná t je v době vytvoření opce rovna nule.

Stejným postupem můžeme vypočítat cenu evropské put opce nebo na její určení využít put-call paritu. Cena put opce je daná vztahem

Hodnota opce závisí na následujících pěti proměnných: K .... realizační cena (strike price)

... současná cena (spot price)  ... volatilita

.... datum expirace

..... kalendářní čas r ..... bezriziková úroková míra

20 Čím více roste realizační cena, tím je u call opce menší šance, že v době expirace bude mít opce zisk, proto s rostoucím K je call opce levnější. U put opce je to naopak, tedy s rostoucím K je put opce dražší.

Čím více roste současná cena, tím je u call opce větší šance, že v době expirace bude mít opce zisk, proto s rostoucím je call opce dražší. U put opce je to naopak, tedy s rostoucím je put opce levnější. Put opce je potencionální příjem v budoucnosti. Pokud roste r, jeho současná hodnota klesá a tím i hodnota put opce. Call opce je potencionální výdej v budoucnosti, tedy je to naopak.

S rostoucí volatilitou pravděpodobnost velkého růstu i velkého poklesu roste. Pro majitele akcie se tyto vlivy přibližně vyrovnávají, ale majitel call (respektive put) opce profituje z růstu (respektive poklesu), zatímco při poklesu (respektive růstu) je jeho ztráta omezena opční prémií. Delší čas znamená větší nejistotu (podobně jako u volatility), tedy stejný argument jako pro volatilitu demonstruje, že call a put rostou přímo úměrně s rozdílem času (Kolář, Křivánková, 2013). Tento růst díky časové hodnotě však není lineární.

Blackův-Scholesův model má mnoho rozšíření a modifikací. Například pokud podkladovým aktivem opce je akcie, která vyplácí dividendy, musí být Blackův-Scholesův model pro tento případ náležitě upraven. Nebo například za komodity místo obdržených dividend musíme někdy platit poplatky za jejich uskladnění. Dalším velmi rozšířeným podkladovým aktivem opcí jsou měnové páry. K jejich oceňování se využívá Garmanův-Kohlhagenův model, jenž je jen další úspěšnou modifikací Blackova-Scholesova modelu.

2.3. Garmanův-Kohlhagenův model

Zde si ukážeme, že Garmanův-Kohlhagenův model není o nic složitější než Blackův-Scholesův model (viz str. 20). K popisu Garmanova-Kohlhagenova modelu nás může také motivovat jeho možná spojitost s modelem stochastické volatility SABR (11). Vylepšením Blackova-Scholesova modelu je Hestonův model (10). Domnívám se, že vylepšením Garmanova-Kohlhagenova modelu je SABR model, protože na trhu s měnovými páry se objevuje volatility smile, který SABR dokáže výborně popsat. Na vysoce volatilních trzích je aproximace ceny opce podle Blackova-Scholesova modelu či Garmanova-Kohlhagenova modelu velmi nepřesná a opce se musí modelovat podle modelů stochastické volatility nebo podle Lévyho procesů (12). Navíc Blackův-Scholesův model a Garmanův-Kohlhagenův model musí splňovat mnoho úvodních předpokladů, které vždy nemusí zcela nutně platit. Každopádně je užitečné Garmanův-Kohlhagenův model znát, protože je často využívaný v praxi.

Garmanův-Kohlhagenův model, který je rozšířením Blackova-Scholesova modelu, je využíván pro analytické oceňování evropských opcí na FX (foreign exchange) trzích. Dokáže si poradit s úrokovou mírou pro obě dvě měny. Model vyžaduje, aby realizační cena a určitá spotová cena byla vyjádřena jako poměr

21 jednotky domácí měny za jednotku cizí měny. Výsledek pak také vyjde v těchto jednotkách. Garmanův-Kohlhagenův model pro call a put opci vypadá následovně:

kde



je měnová spotová míra, je realizační cena, je distribuční funkce standardizovaného normálního rozdělení, je domácí rizikově neutrální úroková míra, je zahraniční rizikově neutrální úroková míra, je čas do expirace,  je konstantní volatilita FX míry (Garman, Kohlhagen, 1983). Všimněme si, že se od Blackova-Scholesova modelu liší jen nepatrně. Hlavní výhodou Garmanova-Kohlhagenova modelu je jeho jednoduchost. Stejně jako v Blackově-Scholesově modelu stačí zjistit všechny parametry a dosadit je do vzorce. Nedostatkem Garmanova-Kohlhagenova modelu je závislost na mnoha předpokladech. Například, že úrokové míry jsou risk- neutrální a stejně jako volatilita jsou konstantní a že pohyb cen je popsán lognormálním rozdělením. Pokud není splněn některý z těchto předpoklad, stálo by za zvážení použití SABR model.

22 3. Oceňování finančních derivátů

V minulé kapitole jsme si odvodili Blackův-Scholesův vzorec. Také jsme si ukázali předpoklady Blackova-Scholesova modelu, které musí platit, abychom mohli vzorec použít. V této kapitole se budeme zabývat některými předpoklady, které častokrát nemusí být splněny a vedou k nepřesnostem v oceňování finančních derivátů. Popíšeme si arbitrážní teorii oceňování. Zdůrazníme si důležitost zajištění (hedging) v Blackově-Scholesově vzorci. Rozebereme, často problémový, předpoklad risk neutrality. A na konci kapitoly si popíšeme numerickou metodu Monte Carlo, která se velmi často používá při oceňování finančních derivátu, pokud je analytické řešení příliš komplikované. Tato kapitola je praktická, pomůže nám se zaměřit na důležité okolnosti oceňování, které se využijí ve velmi rozšířené metodě Monte Carlo.

3.1. Arbitrážní teorie oceňování

Popišme si v této podkapitole arbitrážní teorii oceňování (arbitrage pricing theory, dále APT). Definice a věty z této oblasti si zde stručně a mnohdy jednodušeji charakterizujeme.

Bezrizikové aktivum (například forward F) má v čase t = 0 hodnotu F. V čase t = T bude mít hodnotu F .

Arbitráž je možnost, jak bez rizika zajistit zisk z ničeho. Je způsobena rozdíly mezi cenami na trhu. Kdyby existovala arbitráž, tak je možno koupit podkladové aktivum za L a prodat jej za 2L, takže by byl stoprocentně zajištěný zisk L.

Pravděpodobnostní míra na množině všech tržních scénářů je risk neutrální míra (rovnovážná pravděpodobnostní míra), jestliže je hodnota podkladového aktiva v čase nula rovna diskontovanému očekávání vzhledem k pravděpodobnostní míře π v čase jedna. Tedy

Základní věta APT: Rizikově neutrální míra existuje právě tehdy, když neexistuje arbitráž.

Hedging aktiva B pomocí aktiv . Portfolio = ( ) je replikující portfolio pro B, jestliže

kde , jsou ceny B resp. .

23 Martingál je heuristicky řečeno férová hra. Podle základní věty APT plyne z neexistence arbitráže existence risk-neutrální míry (může jich být i více). Trh bez arbitráže se nazývá úplný, jestliže existuje právě jedna risk-neutrální míra. Trh je neúplný, pokud existuje více risk-neutrálních měr.

Věta o úplnosti trhu: Nechť M je trh bez arbitráže s bezrizikovým aktivem. Existuje-li pro každý derivát replikující portfolio, pak je trh úplný. Naopak je-li M úplný a risk-neutrální míra dává kladnou pravděpodobnost každému scénáři, pak pro každý derivát existuje replikující portfolio (tedy derivát má jednoznačně určenou cenu) (Kolář, 2014).

3.2. Zajištění

Obchodování s opcemi by bylo pouhým hazardem, kdyby se nevyužívalo zajištění (hedging). Jedním z klíčových předpokladů Blackova-Scholesova vzorce je existence delta hedgingu (zajištění). Bez jakéhokoliv zajištění by neplatil předpoklad rizikově neutrální míry a Blackův-Scholesův model by se nedal odvodit. V této práci budeme zajištěním většinou uvažovat delta hedging. V praxi se však častěji využívá zajištění s nějakou protistranou pomocí například futures. V (Wilmott, 2000) je toto zajištění pojmenováno jako statický hedging. Jakékoliv odstranění náhodnosti pohybu aktiva je obecně nazýváno zajištěním. Perfektní eliminace rizika, využívající korelaci mezi dvěma instrumenty (v našem případě opcí a jejím podkladovým aktivem) je obecně nazýváno delta hedging (první parciální derivace Blackova-Scholesova vzorce podle spotové ceny). Delta opce portfolia je sumou delt inviduálních opcí.

Dynamický hedging je spojité zajištění, protože portfolio často (téměř spojitě) přezajišťujeme. Toto lze pouze na velmi likvidním trhu s velmi malými transakčními poplatky.

Gamma (druhá parciální derivace Blackova-Scholesova vzorce podle spotové ceny) určuje citlivost delty. Určuje také jak často a jak moc musí být portfolio přezajišťováno, aby byla delta rovna nule. V delta neutrální pozici je gamma částečně zodpovědná za splnění předpokladu bezrizikové míry a neexistence arbitráže. Malé gamma znamená, že delta se mění pomalu, proto portfolio není nutno, tak často přezajišťovat, aby bylo delta neutrální. To samé platí i naopak. Delta hedging je necitlivý na změny podkladového aktiva, pouze pokud jsou změny malé. Pokud jsou změny velké, musíme využít i gamma hedging, aby bylo porfolio imunní a dal se využít předpoklad risk neutrality. Theta (první parciální derivace Blackova-Scholesova vzorce podle času) měří citlivost hodnoty opce na změnu času. Theta je jiný typ parametru než například delta, protože čas je deterministická proměnná, proti plynutí času se nemá smysl jistit. Theta se v praxi někdy používá jako náhrada za gammu (Kolář, Křivánková, 2013).

24 Vega (první parciální derivace Blackova-Scholesova vzorce podle volatility) měří citlivost na změnu volatility. Volatilita, i díky tomu, že je obtížně měřitelná a dokonce i obtížně odhadnutelná, je jiná než ostatní parametry. Vega je užitečná jenom v ojedinělých situacích. Hodnota portfolia je závislá na jeho parametru volatility, pokud chceme provádět vega hedging, musíme zajistit, že hodnota portfolia je necitlivá na tento parametr. To znamená, že zajišťujeme opci s podkladovým aktivem i s jinou opcí, pak jsou delta i vega rovny nule.

S delta hedgingem je spojeno několik praktických i teoretických problémů. Praktický problém je, že zajištění se dá provádět pouze v diskrétním čase a musíme platit transakční poplatky. Teoretickým problémem je, že neznámé hodnoty parametru, které vstupují do Blackova-Scholesova vzorce, úplně přesně. Například, jak je v této práci popsáno, volatilita je obtížně měřitelná. Mnoho problému je odstraněno, pokud využijeme statický hedging (koupíme a prodáme více likvidních kontraktů k redukování nezajištěného peněžního toku v originálním kontraktu). V některých případech, kdy je peněžní tok v kontraktu plně staticky zajištěn, není potřeba matematického modelu (Wilmott, 2000).

Statický hedging je například využití futures. Pokud víme, že za rok dostaneme zaplaceno od zahraniční firmy určitý peněžní obnos v dolarech, sjednáme si s libovolnou protistranou na burze futures, abychom se nemuseli obávat měnového rizika (změna kurzu mezi měnami) koruny vůči dolaru. Tímto finančním derivátem se obě strany zavážou vyplatit si za rok určitou částku podle nynějšího měnového kurzu.

3.3. Risk neutrální míra

Pokud chceme správně oceňovat pomocí Blackova-Scholesova modelu (viz str. 20), musí být kromě základních předpokladů, jako je například neexistence arbitráže a počítaní evropské opce, zajištěno, že volatilita není konstantní a že existuje zajištění (hedging). Uvažovat konstantní volatilitu vede k nemalým nepřesnostem při zvýšené volatilitě. Proto se v praxi využívá historická či implikovaná volatilita. Ještě přesnější modely uvažují stochastickou volatilitu. Volatilita je detailně popsána v další kapitole. Existence zajištění je neméně důležité, protože díky tomu můžeme rizikově neutrálně oceňovat. Můžeme předpokládat, že férová hodnota opce je cena očekávané výplaty v době expirace. Pro reálné oceňování žádné očekávání nezískáme, což ho činí obtížně použitelným. Budeme tedy pracovat s bezrizikovou úrokovou mírou r. Jedním ze základních předpokladů nutných k odvození Blackova-Scholesova vzorce je, že delta hedging je dělán spojitě. Proto zajištěním v této práci většinou myslíme delta hedging. Samozřejmě v praxi nelze provádět spojitý delta hedging. Proto pokud chceme co nejpřesnější zajištění, využijeme i gamma a vega hedging.

Pokud se úroková míra vyvíjí stochasticky, což může v reálném světě nastat a není to ojedinělé, musíme si reálnou úrokovou míru přetransformovat na risk

25 neutrální míru. Analytické odvození je již velmi složité. Proto se na popis stochastické úrokové míry využívá hlavně Vašíčkův model a CIR proces. Tyto modely se, jak v příští kapitole uvidíme, využívají také pro popis stochastické volatility. Kvůli náročnosti stochastické úrokové míry se při odvození Blackova-Scholesova modelu či Garmanova-Kohlhagenova modelu předpokládá existence rizikově neutrální úrokové míry, která je předem známá a konstantní. Takto se oceňují opce na akcie, měnové páry. Se stochastickou úrokovou mírou se pracuje u opcí na dluhopisy či swaption (opce na úrokový swap). Tato podkladová aktiva jsou totiž více likvidní a často se zobchodují ještě před datem expirace. U oceňování opcí na komodity musíme být obzvlášť opatrní. Risk neutrální oceňování lze využít jen na méně volatilní komodity bez sezonní složky, jako je například zlato či diamanty. Zatímco komodity jako elektřina či benzín, které jsou sezonní a jsou více volatilní, se musí oceňovat složitěji, například pomocí Pilopovičova dvou-faktorového modelu (Wilmott, 2000).

Risk neutralita je propojená se zajištěním, protože zajištění eliminuje risk. V jednoduchých modelech dokáže zajištění vymazat veškeré riziko z opční pozice. Zajištění také eliminuje závislost na opční hodnotě a směru pohybu podkladového aktiva. Pokud se nestaráme o to, zda podkladové aktivum poroste nebo bude klesat, nemusíme se starat ani o pravděpodobnost růstu či poklesu. Podkladové aktivum modelované pomocí risk neutrálního geometrickýho Brownova pohyb má stejnou volatilitu jako aktivum popsáno reálným geometrickým Brownovým pohybem, ale předpokládá bezrizikovou úrokovou míru a proto nemá reálný drift. Je nutno zdůraznit, že rizikově neutrální oceňování je možné pouze, pokud zajištění dokáže eliminovat riziko. Pokud je zajištění nemožné, nedává rizikově neutrální oceňování smysl. Proto klíčovými předpoklady pro odvození Black – Scholesova vzorce je možnost delta hedgingu a neexistence arbitráže. Bez využití zajištění by obchodování s deriváty bylo díky pákovému efektu příliš riskantní. Zajištění je důležité pro risk management a odstranění nejistoty.

Základní zajištěním je delta hedging. Pokročilejší matematickým zajištěním je gamma, vega. V praxi se často také využívá statistický hedging. Dynamický hedging je pojem, který souvisí s průběžným zajišťováním a využíváním gamma a vega hedgingu podkladového aktiva. Pro gamma a současně vega neutrální (rovno nule) portfolio musíme mít k dispozici nejméně dvě opce. V reálném světě není častokrát úroková míra konstantní, ale vyvíjí se stochasticky. Abychom mohli využít rizikově neutrálního oceňování, musíme si drift transformovat. Pro modelování úrokové míry využíváme Vašíčkův či CIR model. Těmito modely se musí oceňovat zejména dluhopisy, protože jsou velmi likvidní. To znamená, že během životnosti často mění majitele. Proto nestačí popsat přesnou cenu pouze v době expirace. Při změně majitele totiž záleží na aktuální ceně, kterou velmi ovlivňuje současná úroková míra. Často se takto modeluje Callable dluhopis, který dává emitentovi právo dluhopis kdykoliv

26 odkoupit zpátky. Těmito metodami se oceňují také swaptions, captions a floortions.

Nyní si uvedeme vztah, pomocí něhož lze převést reálnou míru na rizikově neutrální míru. Veličina λ se nazývá tržní cena rizika a platí

kde čitatel je očekávaný zisk přidaný k bezrizikové míře a jmenovatel je míra rizika.

Výměnou pravděpodobnostní míry za ekvivalentní můžeme dosáhnout změny koeficientu driftu (Cameronova-Martinova věta pro konstantní drift, Girsanova věta pro obecný stochastický drift). Používá se také následující alternativní terminologie. Výběr pravděpodobnostní míry určuje "svět," ve kterém platí určitá cena rizika. Zjednodušeně řečeno pravděpodobnostní míra je cena rizika. Cena rizika rovna nule pak odpovídá risk-neutrálnímu světu.

Je důležité zdůraznit a ocenit, že risk neutrální oceňování je pouze pomocný nástroj k získání řešení Blackovy-Scholesovy parciální diferenciální rovnice. Řešení, které získáme, je správné ve všech světech, nejen ve světě, kde jsou investoři rizikově neutrální. Pokud se totiž přesuneme z rizikově neutrálního světa do rizikově averzního světa, stanou se dvě věci. Očekávaná růstová míra ceny akcie se změní, diskontní míra výplaty ze změn derivátu se také změní. Tyto změny se vždy vyruší (Hull, 2012). Tento efekt platí nejen pro akcie.

3.4. Metoda Monte Carlo

Jednodušší typy finančních derivátů lze oceňovat analyticky pomocí Blackova-Scholesova modelu (viz str. 20), Garmanova-Kohlhagenova modelu či jiných modelů. Tyto modely jsou na málo volatilních úplných trzích (tzn. existuje dostatečné zajištění) dostatečně přesné. Všechny finanční deriváty však nedokážeme popsat analytickým vzorcem nebo je vzorec natolik komplikovaný, že se ani nevyužívá. Tyto deriváty oceňujeme pomocí numerické matematiky. Nejznámější metodou je metoda Monte Carlo, která byla poprvé výrazněji využita za druhé světové války k modelování neuronu při výzkumu atomové bomby. Od té doby se metoda Monte Carlo rozšířila do mnoha oblastí, jako jsou hazardní hry, počítačové hry, předpověď počasí, atd. Metoda Monte Carlo nemůže proto chybět ani ve finanční matematice, kde se musí mnohdy oceňovat složitější finanční deriváty. Nemůže také chybět v této diplomové práci, protože se využívá k praktickému výpočtu modelů stochastické volatility. Proto si ji podrobně popíšeme, abychom ji mohli využít ke kalibraci Hestonova modelu (10). Stručný postup metody Monte Carlo:

1. Vygenerujeme náhodná čísla z normálního nebo rovnoměrného (uniformalního) rozdělení

27 2. Provedeme simulaci podle zadané rovnice (nejčastěji geometrického Brownova pohybu) 3. Obdržíme náhodný výběr všech simulací 4. Najdeme nové pravděpodobnostní rozdělení (nemusí již být normální), které nejlépe popisuje náhodný výběr z bodu 3. Počítáme střední hodnotu či jiné číselné charakteristiky. 5. Provedeme testy, které dokážou, že jsme zvolili správné pravděpodobnostní rozdělení. Doporučuje se také provést backtesting (testování minulých výsledků).

Blackův-Scholesův model i Garmanův-Kohlhagenův model předpokládá lognormální rozdělení neboli že exponent má normální rozdělení. I v metodě Monte Carlo se stává, že nejvhodnější popis náhodného výběru je normální rozdělení. Je nutné to však dostatečně otestovat. Nestačí provést Kolmogorovův-Smirnovům test, protože tento test obtížně rozeznává správnost zadané směrodatné odchylky od skutečné. Proto se doporučuje provést několik různých testů normality.

Přesnost a efektivnost výpočtu metodou Monte Carlo je ovlivněna těmito faktory:

1. kvalitou generátoru náhodných čísel, resp. pseudonáhodných čísel 2. přesnou korelační maticí, pokud jsou náhodné složky korelované 3. výběrem vhodného algoritmu výpočtu 4. správně zvoleným pravděpodobnostním rozdělením náh. výběru 5. počtem simulací 6. kontrolou přesnosti získaného výsledku

Chyba výsledku získaná pomocí n simulací je . Pokud je simulací pouze

1000, tak je chyba mírně větší než 3 %. Pokud je simulací 10000, pak je chyba 1 %, což už je přijatelnější. V Hestonově modelu budeme mít ještě více simulací, aby byl výsledek co nejpřesnější. Metoda Monte Carlo poněkud pomalu konverguje. Mnohdy se v praxi využívá pouze 1000 simulací.

Pokud náhodné složky nejsou korelované, tak testujeme, že korelace není ve výsledcích. Pokud jsou korelované, tak se korelační matice dá získat z finančních serverů. Někdy se však nějaký korelační koeficient musí odhadnout, a pak backtestingem potvrdit jeho správnost.

Hlavní výhodou metody Monte Carlo je její jednoduchost, která je však podmíněna výše zmíněnými faktory. Pokud jsou tyto faktory splněné, pak metoda Monte Carlo dává nejpřesnější výsledky ve srovnání s jinými metodami numerické matematiky. Další výhodou je, že metoda Monte Carlo jde modelovat v mnoha počítačových programech. Metoda si také celkem snadno poradí s korelací. Modely metody Monte Carlo jdou snadno upravit. Metoda může modelovat, jak opce nezávislé na cestě realizace, tak i opce, které jsou závislé na cestě realizace. Navíc je metoda Monte Carlo uznávaná širokou finanční komunitou.

28 Základem k teorii oceňování finančních derivátů je Wienerův proces a geometrický Brownův pohyb ceny pokladového aktiva či úrokové míry. Geometrický Brownův pohyb vede k odvození Black-Scholesova vzorce. Musíme rozlišovat mezi oceňováním opcí, jejichž podkladovým aktivem jsou akcie, indexy, měnové páry nebo komodity. Některé totiž mají úrokovou míru deterministickou, jiné zase stochastickou.

Férová hodnota ve světě, kde platí předpoklady k odvození Blackova- Scholesova modelu, je současná hodnota očekávané výplaty v čase expirace při platnosti rizikově neutrálního (deterministická úroková míra r = geometrického Brownova pohybu pro podkladové aktivum. Proto

 , kde všechny parametry již byly popsány v minulé kapitole. Pak platí

za předpokladu, že se očekává rizikově neutrální geometrický Brownův pohyb, ne reálný.

Tyto úvahy vedou k odhadu hodnoty opce pomocí následujících jednoduchých kroků:

1. Simulování rizikově neutrálního Brownova pohybu, začíná se s počáteční spotovou cenou přes celý časový horizont až do expirace. Takto obdržíme jednu realizaci ceny podkladového aktiva. 2. Pro tuto realizaci se spočítá výplata opce 3. Provede se mnohem více simulací, čím obdržíme mnohem více realizací 4. Vypočítá se průměrná výplata přes všechny realizace 5. Vezme se současná hodnota (diskontovaná) průměru, což je hodnota opce

První krok tohoto algoritmu vyžaduje náhodná čísla ze standardizovaného normálního rozdělení nebo nějaké jeho vhodné aproximace. Potřebujeme spojitý geometrický Brownův pohyb diskretizovat. Pomocí Itôova lemmatu (2) dostaneme

 

diskretizaci provedeme Eulerovou metodou, která dává do rovnosti

. Potom

 

kde je náhodné vygenerované číslo ze standardizovaného normálního rozdělení. Poznamenejme, že časový krok nemusí být příliš malý, protože máme výplatu, která závisí pouze na finální hodnotě podkladového aktiva. Jelikož je evropská opce nezávislá na cestě realizace, můžeme simulovat

29 konečnou cenu podkladového aktiva jedním velkým skokem, využitím časového kroku T (Wilmott, 2001).

Pokud využíváme simulace pro oceňování opcí, musíme opce simulovat geometrickým Brownovým pohybem s rizikově neutrální mírou. Geometrický Brownův pohyb s reálnou mírou je teoreticky neopodstatněný pro oceňování opcí.

Výše zmíněnou metodu můžeme použít dokonce i na ocenění opce, která je závislá na cestě realizace. Dobrým příkladem je oceňování Asijské opce, což je opce, jejíž hodnota závisí na průměru cen podkladového aktiva. Důvodem pro používání těchto opcí je, že znemožňují velkým investorům manipulovat s cenami podkladového aktiva těsně před dobou expirace. Asijská call opce má následující výplatní funkci

, pro geometrický průměr Asijské call opce existuje analytické vyjádření, zatímco pro aritmetický průměr nikoliv, proto se dá spočítat pouze metodou Monte Carlo. Výpočet plain vanilla (klasické) call opce i Asijské call opce pomocí metody Monte Carlo lze naleznout v (Wilmott, 2001). Nalezneme jej na přiloženém CD v excelovském souboru. Metoda Monte Carlo se nevyužívá pouze pro oceňování opcí, lze ji také využít pro odhad rozdělení výnosů u nezajištěné opční pozice. V této situaci nás zajímá celé rozdělení výnosů, nestačí nám pouze průměr a očekávaná hodnota. Je to proto, že při držení nezajištěné pozice nelze zaručit výnos, který bychom dostali při zajištěné pozici. Je nutné mít reálný drift jako jeden z parametrů. Bylo by chybné odhadovat pravděpodobnostní hustotu z výnosu nezajištěné pozice pomocí rizikově neutrálního driftu.

Proto pokud se simuluje to, co se stane v budoucnosti v nezajištěné pozici, měl by se využívat geometrický Brownův pohyb s reálnou mírou pro podkladové aktivum. Dá se odhadnout hustota pravděpodobnosti, očekávání a směrodatná odchylka. Což je velmi užitečné pro risk management. Proto platí důležitá poučka, že pro oceňování se má využívat geometrický Brownův pohyb s rizikově neutrální mírou a pro analýzu nezajištěné budoucnosti se má využívat s reálnou mírou. V knize (Wilmott, 2001) je popsána metoda Monte Carlo nejen pro deterministickou úrokovou míru, ale také pro stochastickou úrokovou míru. Excelovský soubor k metodě je opět doložen na CD.

Když simulujeme geometrický Brownův pohyb, nezáleží, jaké rozdělení zvolíme, pokud je časový krok malý. Vše co potřebujeme zajistit je, že rozptyl rozdělení musí být konečný a konstantní. Pokud limita časového kroku konverguje k nule, simulace má stejné pravděpodobnostní vlastnosti bez ohledu na pravděpodobnostním rozdělení. Toto platí díky centrální limitní větě. Pokud

30 normální rozdělení nejlépe popisuje danou situaci a potřebujeme vzít větší časový krok, musíme generovat normálně rozdělené náhodné proměnné.

3.4.1. Generátory náhodných čísel

Některé generátory náhodných čísel jsou přesné, jiné jsou zase špatné. Například proto, že se opakují již v konečné velikosti vzorku nebo ukazují autokorelaci. Některé generátory jsou rychlé, jiné pomalé. Proto často využíváme náhodná čísla z uniformálního (rovnoměrného) rozdělení, která po transformaci kvalitně aproximují normální rozdělení. Užitečné uniformální rozdělení, které je jednoduché pro tabulkové procesory a navíc velmi rychlé, je následující aproximací normálního rozdělení:

kde jsou nezávislé náhodné proměnné generované z uniformního rozdělení od nuly do jedničky. Toto rozdělení je velmi podobné normálnímu, má střední hodnotu rovnou nule, standardní odchylku jedna a třetí moment nulový. Liší se až čtvrtým a vyšším momentem.

Pokud je potřeba generovat robustní normální rozdělení náhodných čísel, pak nejjednodušší technikou je Boxova-Mullerova metoda, kterou využiji k praktickému výpočtu Hestonova modelu v předposlední kapitole. Tato metoda změní náhodné uniformální proměnné na normální. Boxova-Mullerova metoda vezme dvě náhodná uniformální čísla a mezi nulou a jedničkou a jejich kombinací vytvoří dvě čísla a , která jsou obě ze standardizovaného normálního rozdělení (Wilmott, 2001)

Podívejme se na zápis této metody v programátorském prostředí Excelu Visual Basic.

Function BoxMuller( ) Randomize

Do x = 2 * Rnd( ) - 1

y = 2 * Rnd( ) - 1

dist = x * x + y * y

31 Loop Until dist < 1 BoxMuller = x * Sqr(-2 * Log(dist) / dist)

End Function

Jelikož je tento zápis málo efektivní, v souboru, kde je kalibrován Hestonův model, je použita efektivnější modifikace. Najdete ji v souboru Hestonův model.xlsm v prostředí VBA.

32 4. Volatilita

V této kapitole se zaměříme na volatilitu, protože je to jediný parametr v Blackově-Scholesově vzorci (viz str. 20), který nelze pozorovat. Navíc volatilita významně ovlivňuje výši opční prémie. Správnost oceňování opcí velmi záleží na přesnosti odhadu vývoje volatility. Volatilita je směrodatná odchylka změny ceny určitého finančního aktiva oproti očekávání. Z matematické definice vyplývá, že směrodatná odchylka je nezáporná. Proto když chceme modelovat volatilitu, musíme zvolit takový model, kde volatilita v každém okamžiku vyjde nezáporně.

Při oceňování derivátů je volatilita velmi důležitá, protože nám ukazuje, jak se cena aktiva pohybovala v čase, a jak moc se odchylovala oproti očekávání. Autoři Blackova-Scholesova modelu předpokládali, že volatilita je konstantní, proto tento model není nejvhodnější při reálném obchodování. Model má problém určit správnou cenu opce zejména v době spekulativních bublin a krizí, tedy v období, kdy volatilita velmi kolísá. Skutečné rozdělení obchodování aktiv se totiž liší od lognormálního rozdělení (3), což by se dalo využít k arbitráži, tedy k bezrizikovému zisku.

Blackův-Scholesův model je i přesto velmi užitečný, protože dává základ pro další sofistikovanější modely uvažující volatilitu jako závislou na čase, což je nazýváno deterministická volatilita. Případně volatilitu závisející na čase i na náhodě, taková volatilita se nazývá stochastická a podrobně se na ni zaměříme v této práci, kde si ukážeme nejznámější modely stochastické volatility. V praxi se často využívá také historická volatilita a implikovaná volatilita. Tyto pojmy si nyní vysvětlíme.

4.1. Historická volatilita

Nejjednodušší pro výpočet je historická volatilita, právě proto se v praxi často využívá. Zadefinujme si n + 1 ...... počet pozorování

...... cena akcie na konci i-tého intervalu, kde i = 0, 1, . . . , n  ...... délka časového intervalu v letech

Označme = ln a nechť s je odhad střední směrodatné odchylky ,

kde je střední hodnota .

33 Střední směrodatná odchylka je   . Proto pro odhad střední směrodatné odchylky platí

  Odhad  tedy je

 

4.2. Implikovaná volatilita

Jak jsme uvedli v předchozí kapitole, Blackův-Scholesův model předpokládá, že se ceny akcie mění podle geometrického Wienerova procesu (4), proto pravděpodobnostní rozdělení cen akcie je lognormální (3).

Empirické výsledky však ukazují nemalou odchylku od tohoto předpokladu. Tabulka 1 obsahuje procenta dnů, kdy pohyby kurzů jsou větší než 1, 2, 3, 4, 5, 6 středních směrodatných odchylek (v tabulce značeno SSO). Porovnejme podíly ve 2. a 3. sloupci tabulky 1.

realita lognormální (% dnů) (% dnů)

> 1 SSO 25,00 32,00

> 2 SSO 5,00 5,00

> 3 SSO 1,30 0,27

> 4 SSO 0,30 0,01

> 5 SSO 0,08 0,00

> 6 SSO 0,03 0,00

Tab. 1. Porovnaní skutečných a modelovaných podílu dnů. Vidíme, že se podíly, až na druhý řádek, liší. Lognormální rozdělení vůbec nepředpokládá, že by pohyb kurzů byl větší než 5 směrodatných odchylek. Tohoto bychom mohli využít. Stačilo by nakoupit opce hluboko out the money, podle Blackova-Scholesova modelu by byly téměř zadarmo, a čekat. Protože velké výkyvy mají v realitě, na rozdíl od lognormálním modelu, nenulovou pravděpodobnost, některé opce by se dostaly in the money (Kolář, Křivánková, MF003).

34 Implikovanou volatilitu zjistíme tak, že ze skutečných tržních cen opcí dopočítáme volatilitu v Blackově-Scholesově vzorci, která vede k této ceně. Při použití Blackova-Scholesova modelu v praxi se dovoluje, aby volatilita závisela na realizační ceně opce a čase do expirace. Pokud by Blackův-Scholesův model přesně platil, potom by tato volatilita byla konstantní pro všechny realizační ceny K. Ve skutečnosti však volatilita závisí na K a vznikají efekty zvané jako volatility smile a volatility skew.

Na obrázku 7 vidíme teoretický volatility smile - graf, který dostaneme, když jako podkladové aktivum bereme opci na směnný kurz. Levý i pravý chvost skutečného rozdělení je větší než u lognormálního rozdělení.

Obr. 7. Volatility smile (teoretický). Levou půlku volatility smile dostaneme, když máme call opci s realizační cenou . Opce bude in the money pro > . Pravděpodobnost, že > , je větší pro skutečné rozdělení než pro lognormální. Jelikož je větší pravděpodobnost, je větší i očekávání, potom je větší cena opce a také volatilita. Proto se zvedne graf implikované volatility a vznikne levá půlka volatility smile. Z put-call parity plyne, že implikovaná volatilita je stejná pro put i call opci se stejnými parametry. Pravou půlku, díky stejným argumentům, dostaneme, když máme put opci s realizační cenou .

Na obrázku 8 je volatility smile. Podkladovým aktivem je opce na směnný kurz eura vůči dolaru. Obrázek je podobný předchozímu obrázku, i když se mírně liší v pravém chvostu daného rozdělení.

Obr. 8. Volatility smile (Bloomberg). Graf je zkopírovaný z finančního terminálu Bloomberg. Na vodorovné ose máme realizační cenu a na svislé ose máme volatilitu. V pravém horním rohu jsou popsány jednotlivé křivky, tedy například žlutá křivka popisuje opci na měsíc, zatímco tyrkysová křivka udává opci na čtyři roky. Je zřejmé, že opce na delší dobu má větší volatilitu.

Obrázek 9 znázorňuje teoretický volatility skew - graf, který vznikne, pokud jako podkladové aktivum uvažujeme opci na akcii.

Obr. 9. Volatility skew (teoretický). Levý chvost je u skutečného rozdělení větší než u lognormálního rozdělení, pravý chvost je, ale na rozdíl od volatility smile, menší. Proto obdržíme jen levou půlku volatility smile. Celkově dostaneme graf směřující šikmo dolů, který se nazývá volatility skew.

36 Na obrázku 10 vidíme volatility skew., který dostaneme, pokud jako pokladové aktivum máme opci na akcii společnosti Google. Obrázek je velmi podobný předchozímu obrázku. Minimum však najdeme v bodě 120 % moneyness, což je ukazatel, který nám říká, jestli je opce in the money (ITM), at the money (ATM) nebo out the money (OTM). Opce, která má moneyness větší než 100%, je in the money. Opce s moneyness menší než 100% je out the money. Zjednodušeně řečeno, Moneyness je realizační cena v procentech.

Obr. 10. Volatility skew (Bloomberg). Graf je opět zkopírovaný z Bloombergu. Obrázek znázorňuje opci na tři měsíce. Na vodorovné ose je moneyness a na svislé ose je volatilita. Největší volatilita je pro nejmenší moneyness.

Obrázek 11 nám znázorňuje volatility term structure. U skutečných cen opcí totiž nezávisí implikovaná volatilita pouze na realizační ceně, ale také i na čase do expirace, proto vzniká časová struktura volatility neboli volatility term structure. Na obrázku je ukázaná opce na akcii Googlu.

37 Obr. 11. Volatility term structure. Obrázek je stažen z Bloombergu. Opce má moneyness 100 %, takže je at the money a realizační cena se nemění. Na vodorovné ose grafu máme čas do expirace opce od roku 2014 až do roku 2023. Na svislé ose grafu je volatilita. Funkce volatility je kromě počátečních hodnot rostoucí.

Volatilita závisí i na očekávání. Volatilita bývá rostoucí funkcí času, pokud je současná volatilita historicky nízká. A tak investoři očekávají, že dojde k jejímu nárůstu. Naopak, pokud je současná volatilita historicky vysoká, pak volatilita bývá klesající funkcí času. Současná závislost volatility na čase a na realizační ceně se nazývá plocha volatility neboli volatility surface. Jednotlivými časovými řezy plochy volatility získáme volatility smiles nebo volatility skews v závislosti na podkladovém aktivu pro různé časy expirace. Jednotlivé řezy plochy grafu v druhé ose jsou volatility term. Čím je čas do expirace větší, tím je většinou volatility smile (skew) méně výrazný.

Obrázek 12 se nazývá volatility surface. Jako pokladové aktivum je využita opce na akcii Googlu. Grafem je plocha, která závisí na moneyness a na čase do expirace a udává odpovídající volatilitu. Graf je v podstatě spojením předešlých obrázků, tedy volatility skew a volatility term structure.

Obr. 12. Volatility surface. Obrázek pochází z terminálu Bloomberg. Na vodorovných osách máme moneyness a term. Moneyness je v podstatě procentuální vyjádření realizační ceny a na grafu je definován od 30 % až po 300 %. Term neboli čas do expirace je definován od roku 2014 do roku 2023. Na svislé ose je volatilita. Volatilita je v obrázku největší pro nízké hodnoty moneyness a času do expirace.

38 V souvislosti s předchozími fakty se nabízí otázka, jaká je reálná role Blackova-Scholesova modelu při praktickém oceňování opcí. Podle některých názorů slouží hlavně jako interpolační nástroj, který pomáhá k tomu, aby konkrétní opce, zejména na OTC trzích, byly oceněny konzistentně s ostatními opcemi dostupnými na burze (Kolář, Křivánková, MF003). V následujících podkapitolách se zaměříme na deterministickou a zejména stochastickou volatilitu, které se snaží přesněji popsat spravedlivou cenu opcí.

4.3. Deterministická volatilita

Jednoduchý Blackův-Scholesův model předpokládá, že volatilita je konstantní nebo závislá na čase. Ale tržní data ukazují, že implikovaná volatilita kolísá s realizační cenou (strike price). Takové chování není konzistentní s volatilitou, která je deterministickou funkcí času. Blackův-Scholesův model může být upraven, budeme-li předpokládat, že aktuální volatilita je zároveň deterministickou funkcí času i realizační ceny, tedy jejím grafem je plocha (surface). Toto rozšíření Blackova-Scholesova modelu může zajistit konzistenci s tržní cenou. Všechny požadavky, jako deterministická volatilita a Blackova-Scholesova parciální diferenciální rovnice, jsou stále platné. Interpretace opční hodnoty jako budoucí hodnoty očekávané výplaty, za předpokladu rizikově neutrální geometrického Brownova pohybu, jsou také splněny. Bohužel Blackův-Scholesův vzorec již není správný. Deterministické modely jsou jednoduché a populární, ale nedokážou zachytit pohyb implikované volatility dostatečně dobře (Wilmott, 2009). Proto se v další části práce budeme podrobně věnovat modelům stochastické volatility, které jsou komplikovanější a popisují volatilitu přesněji. Nejdříve se podíváme na stochastickou volatilitu, které je věnována další podkapitola.

4.4. Stochastická volatilita

Na finančních trzích lze vidět, že volatilita se může měnit, například v závislosti na stavu trhu. Predikovat stav trhu je velmi náročné, protože závisí na různých okolnostech, jako je měnový kurz, politická situace či přírodní katastrofy. Tyto okolnosti investor s běžnými informacemi může jen velice obtížně předpokládat, a proto jsou pro něj náhodné. Takovouto náhodnou volatilitu měnící se v čase tedy nejlépe popisuje stochastická volatilita.

Na akciovém trhu, který má rostoucí trend, volatilita klesá, respektive se udržuje na nižší úrovni. Při poklesu trendu naopak volatilita roste. Volatilita se nechová jako cena akcie, která může růst vícenásobně. Volatilita má tendenci se vracet k průměrným hodnotám, proto většina modelů má charakter mean reverting procesu. Kdybychom volatilitu modelovali pomoci geometrického Brownova pohybu, tak by její hodnoty mohly být dlouhé období velmi vysoké (Lalič, 2012). Dále uvedené modely v této kapitole popisují jako Itôovy procesy.

39 4.4.1. Mean-reverting proces Mean-reverting proces slouží k modelování stochastického procesu, který má tendenci vracet se ke svému průměru. Pomocí tohoto procesu můžeme modelovat například úrokové sazby a stochastickou volatilitu (viz str. 39). Po svých autorech je proces pojmenován Ornsteinův-Uhlenbeckův.

Proces můžeme zapsat pomocí stochastické diferenciální rovnice



kde je Wienerův proces (1), je hodnota okamžité volatility (úrokové míry) v čase t, parametr  popisuje volatilitu volatility tohoto procesu a pro parametry platí , Parametr určuje, jakou rychlostí se proces vrací ke své průměrné hodnotě α (speed of reversion). Čím je větší, tím se proces rychleji vrací po odchýlení k průměru. Střední hodnota a rozptyl jsou následující:



Pro tedy platí



Dlouhodobá střední hodnota je rovna průměru .Dlouhodobá volatilita je 

Tento proces pro představující úrokovou sazbu se nazývá Vašíčkův model (Lalič, 2012).

Nevýhodou tohoto modelu je, že navzdory vlastnosti mean-reversion dovoluje hodnotám okamžité volatility nabývat záporné hodnoty. Volatilita je definována jako směrodatná odchylka, proto nikdy nemůže být záporná.

Obrázek 13 ukazuje procentuální změnu okamžité volatility v závislosti na čase. V tomto grafu jsou parametry = 2, a  . Graf nabývá minima okolo času 3 a maxima před časem 8. Všimněme si, že procentuální změna je jak kladná, tak záporná v závislosti na čase. Jelikož parametr  je poměrně vysoký, procentuální změna okamžité volatility se v čase často a mnohdy i razantně mění.

Obr. 13. Mean-reverting proces. Vidíme, že mean-reverting proces nabývá i záporných hodnot. Volatilita, jak již bylo uvedeno, záporná být nemůže, proto tento model není ideální. Musíme zavést jiný model, který tyto nedostatky odstraní.

4.4.2. CIR proces

Možnost zápornosti volatility odstraňuje CIR proces, který zavedli Cox, Ingersoll a Ross (Cox, Ingersoll, Ross, 1985).

Stochastická diferenciální rovnice má v tomto případě tvar



s analogickým významem parametru jako v mean-reverting procesu (8), modelujeme tedy opět okamžitou volatilitu Koeficient driftu, obdobně jako ve výše uvedeném procesu, způsobuje mean-reversion. Zároveň platí a

. Koeficient volatility z volatility  však zabraňuje hodnotám dostat se do záporných hodnot. Pokud hodnota volatility klesne na nulu, pak je volatilita z volatility nulová a rovnice se stává deterministickou s kladným driftem. Volatilita se proto určitě vrátí do kladných hodnot. Kdyby nebylo kladné, mohlo by se stát, že by proces nabýval záporných hodnot. Proto , oproti mean-reverting procesu, nemůže být záporné či nulové.

Obrázek 14 popisuje procentuální změnu okamžité volatility v závislosti na čase. Graf nabývá maxima okolo času 3 a minima po čase 1. V grafu vidíme, že okamžitá volatilita je vždy kladná.

Obr. 14. CIR proces. Na rozdíl od mean-reverting procesu, okamžitá volatilita v grafu nikdy nenabývá záporných hodnot, proto je CIR proces vhodný pro její modelování. V Hestonově modelu, který je jeden z nejznámějších modelů stochastické volatility, nalezneme také CIR proces.

K modelování okamžité úrokové míry či v našem případě okamžité volatility se také může použít Ho-Leeho model. Tento model si stručně rozebereme ve zbytku této podkapitoly.

4.4.3. Ho-Lee model

Ho-Leeho model předpokládá, že vývoj okamžité volatility je popsán stochastickou diferenciální rovnicí



Ho-Leeho model nemá vlastnost mean-reversion, ani mechanismus jak zabránit záporným hodnotám okamžité volatility. Jedná se totiž o obecný Itôův proces. Je však možné jej vhodnou volbou funkce času nakalibrovat tak, aby popisoval okamžitou volatilitou přesně (Hull, 2012).

42 5. Modely stochastické volatility

Volatilita je obtížně měřitelná a často se mění, proto se zavádějí modely stochastické volatility. Nejpopulárnější modelem je Hestonův model. Tyto modely často mají několik parametrů. Každý z těchto parametrů se může změnit a přizpůsobit historickým datům nebo ještě častěji změnit podle teoretické ceny kalibrované trhem. Stochastické modely dokážou lépe postihnout dynamiku obchodovaných opcí než deterministické modely. Každopádně odlišné trhy se chovají rozdílně. Část z nich se takto chová, protože je to způsob k nalezení cen opcí. Akcioví obchodníci porovnávají implikovanou volatilitu (viz str. 34) oproti realizační ceně. Obchodníci s měnami srovnávají implikovanou volatilitu s deltou. S těchto důvodů se implikovaná volatilita chová rozdílně na obou trzích (Wilmott, 2009). V modelech stochastické volatility je rozptyl stochastický proces, který ovlivňuje sám sebe. Modely stochastické volatility mají využití v oceňování opcí, různých derivátů na opcích založených i v jiných oblastech finanční matematiky. Volatilita má snahu se po delší době vracet na svou střední hodnotu. Modely stochastické volatility řeší nedostatky v Blackově-Scholesově modelu (viz str. 20). Blackův-Scholesův model, jak již bylo zmíněno, předpokládá, že volatilita je konstantní po celou dobu platnosti dané opce a volatilita neovlivňuje její změny v ceně, což je velmi nepřesné zejména v obdobích vysoké volatility. Blackův- Scholesův model také nedokáže vysvětlit pozorované vlastnosti implikované volatility, jako například volatility smile a skew. Implikovaná volatilita totiž kolísá s rozdílnou realizační cenou a dobou expirace. Pokud začneme předpokládat, že volatilita není konstantní, ale je stochastická (viz str. 39), pak budeme schopni přesněji odhadnout cenu dané opce.

Připomeňme si základní model s konstantní volatilitou. Předpokládejme, že cena podkladového aktiva se vyvíjí podle geometrického Wienerova procesu (4)



kde je konstantní drift,  je konstantní volatilita a je standardní Wienerův proces. Řešení stochastické diferenciální rovnice dostaneme ve tvaru

 

Pomocí dalších úprav, uvedených v předešlé kapitole, bychom dostali Blackův-Scholesův vzorec.

V modelech stochastické volatility nahradíme konstantní volatilitu  za funkci volatility , která modeluje rozptyl ceny podkladového aktiva . Funkce rozptylu je také modelovaná podle Wienerova procesu a tvar závisí na jednotlivém modelu stochastické volatility

kde a jsou funkce rozptylu a má standardní normální rozdělení a je korelováno s a platí

kde je konstantní korelační koeficient. Wienerův proces není závislý na předešlých Wienerových procesech a (Gatheral, 2006).

5.1. Hestonův model

Hestonův model je nejpoužívanější model stochastické volatility. Hlavní výhodou tohoto modelu je, že poskytuje relativně přesné řešení evropské call opce.

Předpokládejme, že je cena podkladového aktiva a je determinována jako stochastický proces

kde proměnnou , kterou můžeme chápat jako okamžitý rozptyl, modelujeme pomocí CIR procesu (9). Tedy diferenciální rovnice má tvar

kde je průměrná dlouhodobá volatilita, je rychlost s jakou se volatilita vrátí ke svému dlouhodobému průměru, 0 je volatilita procesu rozptylu . Všimněme si, že v rovnici stochastického procesu je rozptyl pod odmocninou, proto se u modelu stochastické volatility často zaměňuje volatilita a rozptyl. Vzhledem k tvaru rovnice je však význam obou proměnných stejný. Dále je koeficient driftu. Přírůstky a jsou Wienerovy procesy (1) (Heston, 1993). V Hestonově modelu předpokládáme, že rozptyl je náhodný proces s dispozicí se vrátit ke svému dlouhodobému průměru 0 rychlostí . Pokud je 0, pak deterministická část procesu je asymptoticky stabilní a platí . Proces rozptylu je vždy pozitivní a pokud pro parametry platí , pak nemůže dosáhnout nuly. Protože okamžitou volatilitu modelujeme pomoci CIR procesu (9), jsou parametry modelu obdobné jako v předchozí kapitole.

Zatím nebylo dokázáno, že proces rozptylu se má modelovat zrovna podle CIR procesu. I přesto se model často využívá v praxi, protože CIR proces dobře popisuje proces rozptylu na vyzkoušených datech. Pokud bychom chtěli model rozšířit, pak bychom dovolili, aby proměnné byly závislé na čase. Pokud bychom položili = r, tzn. drift roven risk neutrální míře, tak bychom mohli přidat další CIR proces, který by stochasticky modeloval nejen rozptyl ale i úrokovou míru.

44 Wienerovy procesy a jsou korelované s korelačním koeficientem ρ a platí

kde má normální rozdělení s nulovou střední hodnotou a rozptylem dt a kde -1 < ρ < 1. Pokud ρ≠0, pak je Hestonův model korelovaný a platí

kde je Wienerův proces nezávislý na . Hestonův model pak bude vypadat následovně

Empirické studie ukázaly, že logaritmická cena podkladového aktiva nemá normální rozdělení, ale má těžší chvosty a vyšší vrchol (maximum) než normální rozdělení.

Koeficient ρ je korelace mezi logaritmickou cenou podkladového aktiva a volatilitou podkladového aktiva. Pokud ρ > 0, pak když roste volatilita, tak roste i cena. Pokud ρ < 0, potom když roste volatilita, tak cena klesá. Korelační koeficient ρ ovlivňuje šikmost distribuční funkce ceny podkladového aktiva. Pokud ρ = 0, pak je šikmost rozdělení nulová. Pozitivní korelační koeficient způsobuje těžký pravý chvost a negativní korelační koeficient zapříčiňuje těžký levý chvost (Yang, 2013).

Parametr je volatilita procesu rozptylu nebo také volatilita volatility . Tento parametr způsobuje špičatost hustoty pravděpodobnosti. Pokud =0, volatilita je deterministická, takže distribuční funkce ceny podkladového aktiva napodobuje normální rozdělení. Rostoucí zapříčiní růst špičatosti. Čím je větší , tím je volatilita více nestálá, proto má trh větší šanci extrémního pohybu. Růst volatility způsobí těžký levý i pravý chvost.

Parametr určuje, jak rychle se proces rozptylu vrátí ke své dlouhodobé průměrné hodnotě . Obecně by se dalo říci, že velký rozptyl ceny velmi často doprovází velká volatilita, což s největší pravděpodobností implikuje malý parametr Danou situaci lze sledovat i na reálných trzích.

Hestonův model je velmi využívaný ve finančnictví díky svým přednostem:

 poskytuje relativně přesné řešení evropské call opce  je schopný vysvětlit chování cen podkladového aktiva, i když jeho distribuční funkce nemá normální rozdělení  přesně odpovídá grafu implied volatility surface cen opcí na trhu

45  umožňuje negativní korelaci mezi cenou podkladového aktiva a volatilitou

Ačkoli Hestonův model má rozsáhle využití, setkáme se u něj i s nedostatky:

 díky složitosti Hestonova modelu se obtížně hledají správné parametry pro kalibraci dáného modelu  vytvořené ceny z Hestonova modelu jsou citlivé na parametry, takže schopnost modelu velmi závisí na správné kalibraci (Yang, 2013)  předpoklad risk-neutrality (viz str. 25) je problémový (těžko se můžeme zajistit, pokud modelujeme volatilitu stochasticky)

Nyní se podívejme na graf volatility surface v Hestonově modelu od Wolframu, který lze naleznout na internetové adrese (Wolfram1, 2014):

http://demonstrations.wolfram.com/VolatilitySurfaceInTheHestonModel/

Můžeme si zvolit kombinaci parametrů dle libosti, tak abychom Hestonův model co nejlépe pochopili. Náhled grafu nalezneme na dalším obrázku.

Obrázek 15 je volatility surface v Hestnově modelu. Grafem je plocha, která závisí na moneyness a na čase do expirace (v měsících), a udává odpovídající volatilitu. Jak již bylo uvedeno volatility surface je spojením volatility skew a volatility term structure.

Obr. 15. Volatility surface v Hestnově modelu. Na vodorovných osách je moneyness a čas do expirace v měsících. Na webových stránkách jde parametry změnit nebo graf libovolně otočit. Hestonův model si poradí i na vysoce volatilních trzích. Avšak na těchto trzích občas nastává situace, že podkladové aktivum se nevyvíjí spojitě, ale v jeho vývoji nalezneme nespojité skoky. Proto si ukážeme i Hestonův model se skoky, který obsahuje Lévyho procesy.

5.1.1. Hestonův model se skoky

V kapitole na Lévyho procesy si popíšeme využití skoků. Lévyho procesy dokážou vyřešit také problém s rozdílnými chvosty a popsat podkladové aktivum, které nemá spojitou trajektorii. Na tomto místě Lévyho proces přidáme do nejznámějšího modelu stochastické volatility a vytvoříme téměř dokonalý model. Nevýhodou bude náročnost výpočtu a velmi obtížná kalibrace. Tento problém v diplomové práci však nebudeme řešit. Popis ke kalibraci lze nalézt v knize (Kyprianou, Schoutens, Wilmott, 2005).

Skoky nastávají stejně často jako Poissonův proces a procentní velikost skoku má lognormální rozdělení. Rozhodli jsme se zaměřit na spojitou verzi se skoky v procesu ceny akcie, což znamená, že Hestonův model bude rozšířen o dividendu q. Jelikož jsme v této práci dividendu neuvažovali, není pro zjednodušení problém položit dividendu nule. Vzhledem k rizikově neutrálnímu oceňování platí = r. Pak bude Hestonův model se skoky vypadat následovně:

kde je spotová cena, kde P = je nezávislý Poissonův proces s parametrem intenzity Pro střední hodnotu platí E( ) = . je procentní velikost skoku. Předpokládá se, že během času t je identicky, nezávisle a lognormálně pravděpodobnostně rozdělena s nepodmíněnou střední hodnotou . Kniha (Kyprianou, Schoutens, Wilmott, 2005) uvádí, že Log(1 + ) má normální rozdělení s následujícími parametry  

Proces rozptylu 0 zůstává stejný jako v klasickém Hestonově modelu.

kde význam proměnných a parametrů je stejný jako ve výše zmíněném Hestonově modelu. Přírůstky a jsou Wienerovy procesy a opět platí

a , P jsou nezávislé (i na a ).

5.2. GARCH model

Model zobecněné autoregresní podmíněné heteroskedasticity je populární model pro odhad stochastické volatility. Tento model předpokládá, že náhodnost procesu rozptylu kolísá s rozptylem, na rozdíl od Hestonova modelu (13), který kolísá s odmocninou z rozptylu.

GARCH model je zobecněním ARCH modelu, který je používán k popisu časových řad. ARCH modely jsou často využívány k modelování finančních časových řad. Proto se GARCH(1,1) a jiné jeho varianty využívají k modelování stochastické volatility.

Standardní GARCH(1,1) model má následující tvar

parametry modelu nejsou detailně okomentovány, protože mají stejný význam jako parametry v Hestonově modelu.

GARCH model může být rozšířen pomocí mnoha variant:

 NGARCH - nelineární GARCH je také známý jako nelineární asymetrický GARCH(1,1)  IGARCH - jednotný GARCH je omezenou verzí GARCH modelu  EGARCH - exponenciální GARCH je využívaný při oceňování aktiv  QGARCH - kvadratický GARCH se používá na modelování asymetrických efektů způsobených positivními či negativními ekonomickými šoky  GJR-GARCH - Glosten,Jagannathan,Runkle GARCH je podobný QGARCH modelu a také modeluje asymetrické efekty  TGARCH - prahový GARCH je podobný GJR-GARCH modelu  fGARCH – rodinný GARCH má do sebe vnořeny symetrické a asymetrické vlastnosti variant GARCH modelů

Podmíněná volatilita z GARCH modelů však není stochastická, od času t je volatilita úplně deterministická a je určená předchozími hodnotami (Brooks, 2014).

5.3. 3/2 model

3/2 model je podobný jako Hestonův model (10), ale náhodnost procesu rozptylu kolísá s . Také deterministická složka dt u procesu rozptylu se liší. 3/2 model má tvar

Pokud platí = , pak proces rozptylu po vytknutí lze psát jako

pokud vytkneme , pak proces rozptylu je ve tvaru

což je Hestonův proces rozptylu (10b) vynásobený okamžitým rozptylem

. Oproti Hestonově modelu (10) se liší parametr a platí .

Opět platí, že je cena podkladového aktiva, je koeficient driftu, a jsou Wienerovy procesy. Součin je rychlost s jakou se volatilita vrátí ke svému dlouhodobému průměru . Vracení procesu bude závislé tedy i na rozptylu . Pro vyšší hodnoty se bude proces rychleji blížit směrem ke svému dlouhodobému průměru a naopak. Na rozdíl od Hestonova modelu, 3/2 model dokáže vysvětlit stálou volatilitu růsty a poklesy.

Parametr je znovu volatilita rozptylu. Větší hodnoty parametru vedou ke větší špičatosti a tedy těžkým chvostům na obou stranách. Kdyby pak by proces rozptylu neměl žádnou náhodnou složku (Koleva, 2012).

Volatilita modelovaná dynamickým 3/2 modelem dovoluje větší odchylku od dlouhodobého průměru. To může být vysvětleno rozdílným exponentem u a rychlostí s jakou se volatilita vrátí ke svému dlouhodobému průměru, která závisí i na svém rozptylu . Za zmínku stojí, že trajektorie v Hestonově modelu má tendenci se posouvat směrem k nule, což je rozdílné oproti 3/2 modelu. 3/2 model je schopen popsat větší odchylku rozptylu , která není neobvyklá pro mnoho trhů. V Hestonově modelu může za určitých podmínek nastat, že je volatilita blízko nuly (Drimus, 2011).

5.4. Steinův model

Steinův model je popsán následující dvojicí stoch. dif. rovnic

kde , a k jsou pozitivní konstanty. Přírůstky a jsou Wienerovy procesy. Všimněme si, že ve Steinově modelu není u stochastické složky rozptyl . Pokud by byl, musel by být s nulovým exponentem. Proto by se dalo polemizovat, zdali je Steinův model modelem stochastické volatility. Význam ostatních proměnných a parametrů je totožný s výše uvedenými modely stochastické volatility. Deterministický člen je stejný jako u Hestonova modelu (13). Podstatné je, že v tomto modelu je volatilita řízena aritmetickým Ornsteinovým-Uhlenbeckovým procesem, který má tendencí se vracet zpátky k průměrné dlouhodobé volatilitě (E. Stein, J. Stein, 1991).

Všechny tyto modely stochastické volatility se liší exponentem ϕ u okamžitého rozptylu . V závislosti na tvaru okamžitého rozptylu tedy rozlišujeme tyto modely podle exponentu ϕ v Tabulce 2.

ϕ = 0 Steinův model

ϕ = Hestonův model

ϕ = 1 GARCH model

ϕ = 3/2 model

Tab. 2. Porovnání modelů podle exponentu nad rozptylem. Výše uvedené modely stochastické volatility se nejzásadněji liší exponentem ϕ u okamžitého rozptylu u stochastické diferenciální rovnice přírůstku Nejčastěji se využívá Hestonův a 3/2 model. Zatímco Steinův a GARCH model jsou poněkud odlišné a lze diskutovat, jestli to jsou modely stochastické volatility.

5.5. CEV model

Model konstantní elasticity rozptylu popisuje vztah mezi volatilitou a cenou. Jedná se o stochastický model, který se pokouší popsat stochastickou volatilitu a pákový efekt. Model je široce rozšířen ve finanční praxi, zejména se využívá pro modelování akcií a komodit. V roce 1975 ho vymyslel John Cox.

CEV model popisuje následující stochastická diferenciální rovnice

 kde konstantní parametry , γ splňují podmínky  , . Přírůstek je deterministický člen, přírůstek je stochastický člen. Parametr  je rozptyl. Drift opět značíme jako . Cena cenného papíru je Parametr popisuje vztah mezi volatilitou a cenou a má klíčový význam v CEV modelu. Pro trhy, kde , čemuž se říká pákový efekt, platí, že když roste volatilita, pak klesá hodnota podkladového aktiva. Tento jev můžeme pozorovat na akciovém trhu. Pro jiné trhy, kde neboli inverzní pákový efekt, platí, že když roste volatilita, pak roste i cena podkladového aktiva. Toto je časté pro trhy s komoditami (Emanuel, MacBeth, 1982). Jelikož CEV model neobsahuje svůj vlastní stochastický proces pro volatilitu, můžeme polemizovat, že CEV model není doopravdy modelem stochastické volatility, ale model lokální volatility.

5.6. SABR volatility model

SABR model je rozšířením Blackova modelu a CEV modelu. Ovšem tento model není ryze modelem oceňování opcí, ale je to model stochastické volatility. SABR model se snaží zachytit a popsat volatility smile na trhu s finančními deriváty, proto je schopný napodobit smile efekt u volatility smile. Zkratka SABR je odvozená od „Stochastic alpha, beta, rho“, což jsou parametry modelu. SABR je velmi využíván ve finančnictví. Zejména k odvození úrokové sazby na trhu s finančními deriváty.

SABR model popisuje jednoduchý forward F, což může být například forwardová míra LIBOR nebo forwardová cena akcie. SABR může být upraven i na modelování jiných finančních derivátů.

SABR model popisují následující stochastické diferenciální rovnice



 

Parametr  popisuje volatilitu at the money forwardu . SABR je dynamický model ve kterém ,  jsou charakterizovány stochastickými proměnnými, jejíž časový vývoj je popsán výše uvedeným systémem stochastických rovnic. Počáteční hodnoty a  jsou současná forwardová cena a volatilita. Přírůstky a jsou korelované Wienerovy procesy s korelačním koeficientem . Konstantní parametry α, splňují α , Parametr α ovlivňuje volatilitu volatility . Pokud je α = 0, pak dostaneme CEV model. Exponent je parametr šikmosti. Kromě speciálních případů , 1 1, není známo analytické vyjádření distribuční funkce. V obecných 2 případech musíme tento problém řešit aproximativně pomocí asymptotického

51 řešení. SABR model byl poprvé publikován v září 2002 v článku (Hagan, Kumar, Lesniewski, Woodward, 2002).

Parametry , ovlivňují stupeň volatility smile. Parametr α, popisující volatilitu volatility (rozptylu), ovlivňuje koeficient šikmosti. Jelikož parametr  se nezřídka vyskytuje na trhu, je často označován jako ATM volatility.

SABR model sice neurčí téměř přesně, jako ostatní modely stochastické volatility, cenu opce, je ale využíván jako odhad volatility smile, který je potom použit jako vstup do Blackova modelu.

Pokud 0, je to stochastický normální model. Pokud 1, jedná se o 1 stochastický lognormální model. Pokud , je to stochastický CIR model. 2 Parametr se odhaduje první a není až tak důležitý, neboť nemá velký vliv na tvar volatility smile (Rouah, 2008).

Závěrem se podívejme na graf od Wolframu, kde nalezneme zde popisovaný SABR model. Graf je k nalezení na (Wolfram2, 2014): http://demonstrations.wolfram.com/ImpliedAndLocalVolatilityDynamicsIn TheSABRModel/

Na obrázku 16 lze vidět implikovanou volatilitu v SABR modelu. Na vodorovných osách je logaritmus z podílu forwardu a realizační ceny a čas. Na svislé ose nalezneme implikovanou volatilitu.

Obr. 16. Implikovaná volatilita v SABR modelu. Model lze změnit i na model lokální volatility. Opět si můžeme graf od Wolframu libovolně otočit či jinak upravit.

5.7. Chenův model

Chenův model popisuje vývoj úrokových sazeb. I když primárně nemodeluje volatilitu, jedná se o další model stochastické volatility. Je to jeden z typů třífaktorového modelu a popisuje úrokovou míru jako pohyb řízený třemi zdroji tržního rizika, proto se Chenův model skládá ze tří stochastických diferenciálních rovnic.

Dynamika úrokové sazby v Chenově modelu je popsána stochastickou diferenciální rovnicí

kde je krátkodobá průměrná hodnota úrokové sazby a je okamžitý rozptyl (volatilita) úrokové sazby. Vývoj krátkodobé průměrné hodnoty je popsán následující rovnicí,

kde , 0 je konstantní dlouhodobá průměrná hodnota krátkodobé průměrné hodnoty a je volatilita krátkodobé průměrné hodnoty. Vývoj volatility úrokové míry popisuje rovnice

kde , je dlouhodobá průměrná hodnota volatility a je volatilita volatility. , a jsou standardní Wienerovy procesy, u kterých se předpokládá, že jsou korelovány následovně:

(Chen, 1996).

Všimněme si, že každá ze tří rovnic Chenova modelu vychází z CIR procesu (9). Proto parametry , které udávají, s jakou rychlostí se procesy vrací ke svým průměrným hodnotám, musí být kladné A také průměrné hodnoty , , musí být kladné. Průměrná hodnota je vždy kladná, protože se modeluje pomocí CIR procesu. Nebudeme zde předpokládat, že by stochastická diferenciální rovnice, která modeluje , mohla být deterministická. Daná úvaha vysvětluje, proč model předpokládá, že platí , , , .

53 Výše uvedená varianta Chenova modelu je jedna z mnoha. Odlišné varianty Chenových modelů jsou také využívány v celosvětových finančních institucích.

5.8. Shrnutí

V této kapitole je popsáno sedm nejznámějších modelů stochastické volatility. Jelikož vědecká komunita není jednotná a nestanovila striktní pravidla, co všechno musí model splňovat, dalo by se polemizovat, jestli některé modely jsou doopravdy modely stochastické volatility. GARCH, Steinův a CEV model jsou sporné a nedá se jednoznačně říci, že to jsou modely stochastické volatility. Naopak Chenův model je modelem stochastické volatility, většinou však nemodeluje volatilitu, ale popisuje úrokovou míru. Opravdu všechny kritéria modelů stochastické volatility tedy splňuje pouze Hestonův, 3/2 a SABR model.

Jak již bylo zmíněno, kalibrace modelů stochastické volatility je velmi obtížná, proto v této diplomové práci budeme kalibrovat pouze Hestonův model. Připomeňme si, že Hestonův model se využívá pro popis ceny evropské call opce.

Všechny výše zmíněné modely mají velké využití ve financích, zejména v oceňování finančních derivátů. Bohužel jsou však problémy s kalibrací. Sebemenší chyba kalibrace totiž může zapříčinit nepoužitelnost modelu. Proto banky a jiné finanční instituce mnohdy raději neuvažují stochastickou volatilitu a do Blackova-Scholesova modelu (viz str. 20) dosadí, místo konstantní volatility, volatilitu historickou či implikovanou (viz str. 34). Výsledky oceňování opcí pomocí Hestonova modelu jsou však přesnější než při využití Black-Scholesova modelu s historickou či implikovanou volatilitou. V jednoduchosti je síla, a proto finanční instituce často nepoužívají modely stochastické volatility. Modely stochastické volatility jsou však stále zdokonalovány. Každým rokem přibývá mnoho zajímavých článků na danou problematiku. A třeba nakonec budou modely stochastické volatility natolik přesné anebo kalibrace natolik jednoduchá, že se jejich využití ve finančnictví ještě rozšíří.

54 6. Výpočet a kalibrace Hestonova modelu

V minule kapitole jsme si popsali modely stochastické volatility. V této kapitole se podíváme na praktický výpočet a kalibraci Hestonova modelu, který je neznámějším modelem stochastické volatility. Výpočet je proveden v Excelu. K diplomové práci je v ISu přiložen soubor Hestonův model.xlsm. Grafické prostředí tohoto souboru je autorské, VBA kód je stažen z internetu a upraven. Výpočet provedeme numerickou metodou Monte Carlo (viz str. 27), kterou jsme si podrobně popsali ve třetí kapitole. Pro zjednodušení se předpokládá existence rizikově neutrální míry. Jako generátor náhodných čísel je využita Boxova-Mullerova metoda. Excel, i když to tak na první pohled nevypadá, lze také použít k modelování. Excel je navíc výborně graficky zpracovaný a má své programátorské prostředí Visual Basic (VBA). Je vhodný nejen na metodu Monte Carlo, což lze vidět v knize (Wilmott, 2001). Jeho velikou výhodou je jednoduchost. I bez znalosti maker a práce ve VBA se dají vytvořit zajímavé programy. Samozřejmě na numerický výpočet něčeho tak složitého jako je Hestonův model je potřeba pokročilá práce ve Visual Basicu. Hestonův model (10) rozšiřuje Blackův-Scholesův model a zahrnuje speciální případy. Neuvažuje lognormální rozdělení výnosu podkladového aktiva. Tento předpoklad, jak si ukážeme v poslední kapitole na Lévyho procesy, neplatí. Také zahrnuje pákový efekt a hlavně důležitou mean-reverting vlastnost volatility. I přes výše zmíněné fakta, je Hestonův model stále relativně snadno analyticky řešitelný. Navíc volatility surface generovaný Hestonovým vypadá jako empirický implied volatility surface. U Hestonova modelu je díky jeho složitosti důležité snažit se zjednodušit jeho numerický výpočet. Komplikací je koncept rizikově neutrálního oceňování (viz str. 25). Je totiž nemožné vytvořit bezrizikové portfolio, pokud tvrdíme, že volatilita kolísá stochasticky (viz str. 39).

Modely stochastické volatility sice dokážou vylepšit nedostatky Blackova- Scholesova modelu, ale není jednoduché je správně nakalibrovat. V diplomové práci je ke kalibraci využit článek (Mikhailov, Nögel, 2003), který byl publikován ve Wilmottově časopise. Model se kalibruje podle European plain vanilla calls (evropských jednoduchých call opcí).

Zápis Hestonova modelů je v (Mikhailov, Nögel, 2003) stejný jako v předchozí kapitole diplomové práce, jen jsou jinak značeny proměnné. Pro přehlednost využijeme již zmíněné výše popsané proměnné a model tedy bude vypadat následovně:

nezapomeňme na předpoklad rizikově neutrální míry, proto = .

55 Jednotlivé proměnné budou mít stejně jako v (Mikhailov, Nögel, 2003) následující hodnotu, viz Tabulka 3. Všimněme si, že rizikově neutrální míra je rovna nule a že rychlost vracení se volatility k průměru je jedna.

Počáteční volatilita ( ) 0,1

Průměrná dlouhodobá volatilita (α) 0,1

Rychlost vracení se volatility k průměru (λ) 1

Volatilita volatility (ξ) 0,2

Korelační koeficient (ρ) -0,3

Spotová cena ( ) 1

Rizikově neutrální míra (r) 0

Doba expirace v letech (T) 5

Tab. 3. Kalibrace Hestonova modelu. Předpokládá se přiměřeně vysoká volatilita. Pro obrovskou volatilitu by mělo smysl do Hestonova modelu (10) zahrnout Lévyho procesy (12) a využít Hestonův model se skoky, který jsme si ukázali v předchozí kapitole.

V (Mikhailov, Nögel, 2003) se rovněž píše, že počet realizací v metodě Monte Carlo bude 150 000. I když se jedná o velký počet realizací, který bude náročný na výpočetní techniku, nejdůležitější je přesnost výpočtu. Počet

časových kroků bude 150. Proto je δt = . Realizační ceny zvolíme okolo spotové ceny. Proto nastavíme minimální realizační cenu 0,5 a maximální 1,5. Zvolíme-li pět realizačních cen, pak dostaneme hodnoty realizační ceny 0,5, 0,75, 1, 1,25, 1,5.

Na obrázku 17 je Hestonův model nakalibrovaný podle výše uvedeného (Mikhailov, Nögel, 2003). Jedná se o printscreen ze souboru Hestonův model.xlms, který je přiložen k diplomové práci. λ je 1, tento parametr se bude na dalších obrazcích měnit.

Obr. 17. Hestonův model pro λ = 1. Program obsahuje tlačítko pro výpočet, graf implikované volatility, kde vidíme volatility skew (musí být však program správně nakalibrovaný). Všechny proměnné lze změnit, aby vyšla jiná cena opce. Pokud však proměnná zčervená, je zadaná hodnota chybná, protože pro ni není Hestonův model definován.

V (Mikhailov, Nögel, 2003) kalibrovali rychlost vracení se volatility k dlouhodobému průměru následujícími hodnotami λ = 1, 2, 4. Proto tento parametr budeme měnit i v našem modelu.

Obrázek 18 znázorňuje Hestonův model pro jinou rychlost vracení se volatility k průměru než obrázek 17. Parametr λ je 2.

Obr. 18. Hestonův model pro λ = 2. Při porovnání těchto dvou obrázku zjistíme, že se výsledky téměř nemění. Dokonce ikdyž je λ = 4, tak výsledek je

57 opět téměř totožný. Printscreen již nebudu přikládat. Z předchozího vyplývá, že parametr λ výsledek téměř vůbec neovlivňuje. Je to dáno i poměrně nízkou volatilitou volatility, protože pak volatilita tolik nekolísá a nepotřebuje se rychle vrátit. A také tím, že se počáteční volatilita rovná průměrné dlouhodobé volatilitě.

Na závěr kapitoly se zaměřme na porovnání analytických a numerických výsledků z (Mikhailov, Nögel, 2003) a numerických výsledků pomocí přiloženého excelovského souboru pro λ = 1, 2, 4. V Tabulce 4 jsou ve sloupcích všechny zmíněné metody, v řádcích je pak realizační cena. Hodnoty tabulky jsou ceny opce.

Realizační Analytické MC MC MC MC

cena řešení článek λ = 1 λ = 2 λ = 4

0,5 0,543017 0,545298 0,542742 0,542146 0,541066

0,75 0,385109 0,387548 0,383313 0,38452 0,38418

1 0,273303 0,275695 0,270012 0,273145 0,273996

1,25 0,195434 0,197629 0,191216 0,195536 0,197368

1,5 0,14121 0,143341 0,136543 0,141525 0,143848

Tab. 4. Porovnání výsledků Hestonova modelu. Všimněme si, že výsledky jsou téměř totožné. Metoda Monte Carlo je velmi přesná. Nejvíce se od analytického řešení liší Monte Carlo s λ = 1 při realizační ceně 1,5. Rozdíl je však jen 0,00467, což jsou přibližně 3 %.

V Tabulce 5 jsou uvedeny rozdíly hodnot spočítaných metodou Monte Carlo a analytickým řešením při různých realizačních cenách. V posledním sloupci je součet absolutních hodnot rozdílů.

58 Rozdíly při Monte Carlo Monte Carlo Monte Carlo Monte Carlo

různé RC článek λ = 1 λ = 2 λ = 4

0,5 0,002281 -0,00028 -0,00087 -0,00195

0,75 0,002439 -0,0018 -0,00059 -0,00093

1 0,002392 -0,00329 -0,00016 0,000693

1,25 0,002195 -0,00422 0,000102 0,001934

1,5 0,002131 -0,00467 0,000315 0,002638

0,011438 0,014247 0,002035 0,008145

Tab. 5. Porovnání rozdílů různých metod. Vidíme, že metoda Monte Carlo s λ = 2, λ = 4 vychází přesněji než metoda na (Mikhailov, Nögel, 2003). Jednoznačně nejlepší je metoda s λ = 2 se součtem rozdílů pouhé dvě tisíciny. Vzhledem k tomu, že metoda Monte Carlo, vyjde při každé nových simulacích trochu jinak, vygeneroval jsem metodu s λ = 2 vícekrát a přesto byl maximální součet rozdílů jen tři tisíciny. To ukazuje, že Boxova-Mullerova metoda pro generování náhodných čísel a další předpoklady metody přiložené k diplomové práci byly nejen správné, ale dokonce lepší než v metodě Monte Carlo z (Mikhailov, Nögel, 2003).

Doporučuji si vyzkoušet přiložený soubor s metodou Monte Carlo. Díky podmíněnému formátování v Excelu je soubor přehledný a upozorňuje na chybná zadání. Nemusíme se bát zvolit vyšší počet realizačních cen než pět, soubor je na to také připraven. Nedoporučuji kvůli výpočetní náročnosti výrazně zvyšovat počet realizací či počet časových kroků. Pokud změníme jednotlivý parametr kalibrace, tak bude výsledek samozřejmě jiný. Pokud zvýšíme jakýkoliv parametr kalibrace, tak cena opce bude vyšší. Pouze zvýšení korelačního koeficientu výsledek téměř nezmění. Samozřejmě můžeme změnit všechny parametry kalibrace a sledovat, jak se bude měnit výsledek. Vzhledem k počtu parametrů a jejich kombinací by to bylo velmi časově náročné. Aby bylo možno porovnat výsledky kalibrace s různou rychlostí vracení se volatility k dlouhodobému průměru s výsledky z článku (Mikhailov, Nögel, 2003), bylo výhodnější nevyužívat data z Bloombergu a raději použít stejnou spotovou cenu jako ve zmiňovaném článku.

59 7. Lévyho procesy

Původně nebylo zamýšleno se v diplomové práci věnovat Lévyho procesům. I když jsou modely stochastické volatility nezanedbatelným vylepšením Blackova-Scholesova vzorce (viz str. 20) a vzorců, z něho odvozených, některé chování podkladových aktiv nedokážou dostatečně přesně popsat. Jedná se hlavně o nespojitý vývoj podkladového aktiva. Tyto skoky dokážou popsat právě Lévyho procesy, jejiž využití a krása si zaslouží, aby byly popsány. Alespoň krátce se o těchto procesech zmíníme.

Podstatné vylepšení oceňování finančních derivátů dokáže, kromě využívání modelů stochastické volatility, přinést i využití Lévyho procesů. Lévyho procesy mají klíčovou roli v mnoha odvětvích. Ve fyzice popisují turbulenci a laserové ochlazení. V ekonomii modelují spojité časové řady. V pojistné matematice dokážou vypočítat pojistné riziko. Využívají se samozřejmě také ve finanční matematice. Lévyho procesy dokážou finanční aktivum ocenit, jak při předpokladu risk neutrální míry (viz str. 25), tak i při předpokladu reálné světové míry. Reálná světová míra se využívá na neúplném trhu (neexistence dokonalého zajištění pro daný finanční derivát). Pro modelování neúplného trhu se často využívá Mertonův jump diffusion model. Ve finanční matematice začínají být Lévyho procesy hodně využívané, protože dokážou popsat finanční trh mnohdy přesněji než modely založené na Brownově pohybu. Především lépe zachytí vysoce volatelní trhy, kde oceňování podle Blackova-Scholesova modelu, který je odvozen z Brownova pohybu (1), selhává kvůli předpokladu normality a konstantní volatility. Skutečné empirické rozdělení přírůstků podkladového aktiva má silnější chvosty a často zápornou šikmost. Navíc trajektorie podkladového aktiva nemusí být spojitá a může obsahovat výrazné skoky způsobeny například špatnou politickou či ekonomickou situací, například silné depreciace ukrajinské hřivny či ruského rublu. Lévyho procesy dokážou lépe empirické rozdělení popsat a jsou budoucností vývoje nejen ve finanční matematice. Byla by tedy chyba se o nich v diplomové práci nezmínit. Výše uvedené si ukážeme na obrazcích 19, 20 a 12.

Na obrázku 19 vidíme velké cenové změny (skoky) na velmi likvidním měnovém páru USD/JPY. V grafu jsou data od října 1997 až po říjen 2004.

Obr. 19. Skoky ve vývoji měnového páru USD/JPY. Jak americký dolar, tak japonský jen, nepatří mezi měny ekonomicky nestabilních státu. Přesto v grafu lze vidět několik skoků. Ten největší je v říjnu 1998. Těžko by v daném datu Garmanův-Kohlhagenův model využívaný na oceňování opcí na měnové páry, správně popsal cenu opce.

Na obrázku 20 je srovnání empirického rozdělení denních logaritmických výnosů pro měnový pár GBP/USD a normálního rozdělení.

61 Obr. 20. Srovnání empirického a normálního rozdělení denních výnosů. Vidíme, že rozdělení se líší. Empirické rozdělení má silnější chvosty a nenulovou šikmost.

V risk neutrálním světě je implikovaná volatilita konstatní k realizační ceně a k době expirace. Díky tomu vzniká volatility surface, který je podrobně popsán ve čtvrté kapitole (viz obr. 12). Lévyho procesy poskytují vhodné nástroje k adekvatnímu a konzistentnímu popisu všech výše zmíněných pozorování a grafů jak v realném tak v risk neutrálním světě (Papapantoleon, 2008).

Definice Lévyho procesu: Adaptovaný stochastický proces X se nazývá Lévyho proces, jestliže platí:

1. (12a)

2. X má přírůstky nezávislé na minulosti, tzn. je nezávislé na hodnotách procesu do času s (12b)

3. X má stacionární přírůstky, tzn. má stejné rozdělení jako (12c) 4. X je stochasticky spojitý, proto pro každé a t 0 platí

Adaptovaným stochastickým procesem myslíme takový stochastický proces, který nepředvídá budoucnost.

Lévyho procesy si můžeme představit jako analogii spojité náhodné procházky. Nejjednodušším příkladem Lévyho procesu je (deterministický) lineární drift. Geometrický Brownův pohyb a Poissonův proces představují nejobvyklejší Lévyho procesy. Geometrický Brownův pohyb (4) je jediný (nedeterministický) Lévyho proces se spojitou trajektorií na celém jeho definičním oboru. Dalším, zejména v pojistné matematice, známým příkladem je složený Poissonův proces (Kudlačák, 2011). Součet lineárního driftu, geometrického Brownova pohybu a složeného Poissonova procesu je opět Lévyho proces. Tento proces je často nazýván jako jump-diffusion proces neboli Lévyho jump-diffusion proces. Existují totiž i jump-diffusion procesy, které nejsou Lévyho procesy.

Na obrázku 21 vidíme výše zmíněné Lévyho procesy. Využítí Lévyho procesů je enormní. Na geometrickém Brownově pohybu je postavéna celá finanční matematika. Složený Poissonův proces je extrémně důležitý pro pojistnou matematiku. Využití určitě najde i Lévyho jump-diffusion proces. Mohl

62 by být využit například na modelování trhů s obrovskou volatilitou, kde zcela jistě dochází ke skokům podkladového aktiva.

Obr. 21. Typické trajektorie některých Lévyho procesů. Nalevo nahoře je lineární drift. Napravo nahoře lze vidět Brownův pohyb. Nalevo dole je složený Poissonův proces a napravo dole vidíme Lévyho jump-diffusion proces.

Při předpokladu reálné světové míry modelujeme cenu podkladového aktiva jako exponenciálu Lévyho procesu

kde 0 ≤ t ≤ T, S je spotová cena, L je Lévyho proces, jehož rozdělení pravděpodobnosti je odhadnuto z množiny dostupné pro jednotlivou akcii. L je Lévyho jump-diffusion proces, což je součet lineárního driftu, geometrického Brownova pohybu a složeného Poissonova procesu. Vlastnosti trajektorie Lévyho procesu L ovlivňují spotovou cenu S. Například pokud L je striktně skokový Lévyho proces, bude i S striktně skokový proces. Tento fakt dokáže popsat mikrostruktury cenové fluktuace (Papapantoleon, 2008). Zmiňme výhody Lévyho procesů. Lévyho procesy umí lépe zachytit vlastnosti trhu, protože můžeme pracovat s rozdílnými pravděpodobnostními rozděleními. Lévyho procesy kvalitněji kontrolují momenty rozdělení, což implikuje, že Lévyho procesy dovolují vývoj cen s rozdělení se silnými chvosty.

63 Díky Lévyho procesů také můžeme do modelů zahrnout skoky v pohybu cen. V mnohých případech můžeme narazit na neúplný trh (neexistence dokonalého zajištění pro daný finanční derivát, a proto neplatnost předpokladu rizikově neutrálního oceňování), což někdy lépe popisuje realitu, hlavně pokud je volatilita vysoká. Stejně jako modely stochastické volatility, například SABR, tak i komplikovanější Lévyho procesy umí popsat křivku volatility smile u Blackova- Scholesova vzorce. Stejně jako u modelů stochastické volatility se k výpočtu často využívá metoda Monte Carlo. Lévyho procesy můžou, díky výše zmíněným vlastnostem, vyřešit nedostatky Blackova-Scholesova modelu. Bohužel je to na úkor jednoduchosti výpočtu. Což je hlavní nevýhoda Lévyho procesu, stejně jako mnohdy obtížná kalibrace (Kudlačák, 2011).

Stejně jako modely stochastické volatility i Lévyho procesy dokážou zajistit přesnější oceňování nejen opcí. I když by podrobný popis Lévyho procesů byl na další diplomovou práci, ukažme si jejich využití ještě v Mertonově jump diffusion modelu. Již v dřívější kapitole jsme Lévyho procesy demonstrovali v Hestonově modelu se skoky.

7.1. Mertonův jump diffusion model

Mertonův jump diffusion model je model, který popisuje cenu akcie, jenž zahrnuje malé a časté rozptýlení (diffusive) pohybu dohromady s velkými náhodnými skoky (jumps). Zahrnutí skoků popíše lépe krizové scénáře vyznačující se zvýšenou volatilitou než Blackův-Scholesův model, který předpokládá konstantní volatilitu, rizikově neutrální oceňování a existenci úplných trhů, kde existuje dokonalé zajištění. Skoky můžou způsobovat díky vyšší ceně časové hodnoty opce vyšší cenu opční prémie než Blackův-Scholesův model a také závislost na averzi k riziku u investora. Mertonův jump diffusion model lze popsat následovně:



kde je spotová cena, je Wienerův proces, je drift,  je volatilita. Na rozdíl od geometrického Brownova pohybu, poslední člen v stochastické diferenciální rovnici reprezentuje skoky, je velikost skoku, je počet skoků závislých na čase je Poissonův proces (viz str. 4), který má následující pravděpodobnostní funkci

kde je průměr počet skoků za jednotku času. Parametr může být popsán jakýmkoliv rozdělením pravděpodobnosti, často se popisuje lognormálním rozdělením. V daném rozdělení je i parametr skokové volatility (Joshi, 2008).

I když existuje více variant Mertonova jump diffusion modelu, doporučuji vybrat výše zmíněný model, protože nic není lepší než obrázek, který situaci ilustruje. Snad jen interaktivní obrázek, který je dostupný na internetové adrese (Wolfram3, 2014):

64 http://demonstrations.wolfram.com/OptionPricesInMertonsJumpDiffusion Model/

Na obrázku 22 vidíme porovnání Mertonova jump diffusion modelu (popsán modrou spojitou trajektorií) a Blackova-Scholesova modelu (popsán přerušovanou čárou) popisující cenu call opce.

Obr. 22. Porovnání Mertonova jump diffusion modelu a Blackova-Scholesova modelu. Obrázek ilustruje, že se tyto modely dost liší. Parametry modelů lze změnit na výše zmíněné internetové adrese.

65 Závěr

V praxi se opce oceňují zejména pomocí Blackova-Scholesova modelu či modelů z něj odvozených, jako je například Garmanův-Kohlhagenův model. Je tomu tak hlavně díky jednoduchosti Blackova-Scholesova vzorce. Není obtížné si ve vhodném softwaru vytvořit kalkulačku, která cenu opce spočítá. Avšak i slavný Blackův-Scholesův model má mnoho nedostatků. Největším jeho nedostatkem je předpoklad konstantní volatility. V dnešní době jsou již obchodníci s opcemi natolik zkušení, že do Blackova- Scholesova vzorce dosazují historickou či implikovanou volatilitu. Výpočet těchto volatilit není příliš komplikovaný, ale nedokáže dostatečně dobře predikovat volatilitu v obdobích finančních krizí, kdy je volatilita výrazně zvýšená.

V diplomové práci jsem se zaměřil na stochastickou volatilitu, která má nejlepší predikční schopnosti budoucího vývoje volatility. Vlastnost mean- reverting zajistí, že se volatilita vždy vrací ke svému dlouhodobému průměru. Dokáže však také kvůli volatilitě z volatility významně oscilovat. Myslím si, že díky svým vlastnostem dokáže nejlépe popsat překvapivá období zvýšené volatility, která nastávají hlavně během finančních krizí. K modelování stochastické volatility by se měl využívat CIR proces, protože kromě vlastnosti mean-reverting také zajistí, že volatilita nabývá nezáporných hodnot.

CIR proces nalezneme také v modelech stochastické volatility, kde modeluje okamžitý rozptyl podkladového aktiva. Modely stochastické volatility si dovedou poradit s většinou slabin Blackova-Scholesova modelu a dokážou nejpřesněji aproximovat správnou cenu evropské opce. V praxi ovšem zatím nejsou příliš rozšířené, protože není jednoduché je správně kalibrovat. Modely stochastické volatility jsou stále vyvíjeny a je velice pravděpodobné, že se v budoucnosti jejich praktické využití rozšíří.

Vzhledem k obtížné kalibraci jsem v šesté kapitole v Hestonově modelu nevyužil aktuální data z Bloombergu, ale zvolil jsem spotovou cenu, která se dala dobře porovnat s (Mikhailov, Nögel, 2003). I díky tomu, že k vygenerování náhodných čísel je využita Boxova-Mullerova metoda, metoda Monte Carlo v diplomové práci popisuje přesněji analytické řešení než (Mikhailov, Nögel, 2003). Nejpřesnější řešení je pro rychlost vracení se volatility k průměru rovnu dvěma.

Ke zlepšení oceňování finančních derivátů mohou kromě modelů stochastické volatility přispět také Lévyho procesy, které si dokonce dokáží poradit i se skoky ve vývoji podkladového aktiva. Velmi zajímavým spojením těchto modelů je Hestonův model se skoky, který je popsán v páté kapitole. Vzhledem k tomu, že finanční matematika je poměrně mladým oborem, bude stále docházet k vývoji oceňování finančních derivátů. Tento vývoj bude zaměřen na modely stochastické volatility a na Lévyho procesy. Pokud bude vývoj úspěšný, může se finanční matematika dočkat další Nobelovy ceny za ekonomii.

66 Seznam použité literatury

[1] Black Fisher, Scholes Myron. The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, 1973, Vol. 81, No. 3 pp. 637654.

[2] Brooks Chris. Introductory Econometrics for Finance. Cambridge: Cambridge University Press, 2014. ISBN 9781107661455.

[3] Chen Lin. Interest Rate Dynamics, Derivatives Pricing and Risk Management. New York: Springer, 1996. ISBN 978-3-540-60814-1.

[4] Cox John, Ingersoll Jonathan, Ross Stephen. A Theory of the Term Structure of Interest Rates. Econometrica, 1985, Vol. 53, No. 2 pp. 385407.

[5] Drimus Gabriel. Closed form convexity and cross-convexity adjustments for Heston prices. Quantitative Finance, 2011, Vol. 11, No. 8 pp. 11371149.

[6] Emanuel David, MacBeth James. Further Results of the Constant Elasticity of Variance Call Option Pricing Model. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1982 , Vol. 17, No. 4 pp. 533554.

[7] Garman Mark, Kohlhagen Steven. Foreign currency option values. Journal of International Money and Finance, 1983, Vol. 2, No. 3 pp. 231237.

[8] Gatheral Jim. The volatility surface: a practitioner's guide. Chichester: Wiley & Sons, 2006. ISBN: 978-0-471-79251-2.

[9] Hagan Patrick, Kumar Deep, Lesniewski Andrew, Woodward Diana. Managing Smile Risk. Working Paper, 2002 [cit. 14. 12. 2014]. Dostupné z http://www.wilmott.com/pdfs/021118_smile.pdf

[10] Heston Steven. A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options. The Review of Financial Studies, 1993 Vol. 6 No. 2 pp. 327343.

[11] Hull, John. Options, futures and other derivatives. Edinburgh: Pearson, 2012. ISBN 978-0-13-216494-8.

[12] Jílek, Josef. Finanční a komoditní deriváty v praxi. Praha: Grada, 2010. ISBN 978-80-247-3696-9.

[13] Joshi, Mark. The Concepts and Practice of Mathematical Finance. Cambridge: Cambridge University Press, 2008.

67 ISBN 978-0521514088.

[14] Jost Jurgen. Partial Differential Equations. New York: Springer, 2013. ISBN 978-1-4614-4808-2.

[15] Kolář Martin. Studijní materiály k předmětu MF001, Stochastické procesy ve finanční matematice. Masarykova Univerzita, Brno. Přírodovědecká fakulta, 2014.

[16] Kolář Martin. Studijní materiály k předmětu MF002, Stochastická analýza. Masarykova Univerzita, Brno. Přírodovědecká fakulta, 2013.

[17] Kolář Martin, Lenka Křivánková. Studijní materiály k předmětu MF003, Oceňování finančních derivátů. Masarykova Univerzita, Brno. Přírodovědecká fakulta, 2013.

[18] Koleva Dessislava. Option Pricing under Heston and 3/2 Stochastic Volatility Models: an Approximation to the Fast Fourier Transform. Master's Thesis. Aarhus University, 2012.

[19] Kudlačák Ján. Lévyho procesy a oceňovanie derivátov na neúplných trhoch. Diplomová práca. Univerzita Komenského, Bratislava. Fakulta matematiky, fyziky a informatiky, 2011.

[20] Kyprianou Andreas, Schoutens Wim, Wilmott Paul. Exotic option pricing and advanced Lévy models. Chichester: Wiley & Sons, 2005. ISBN 978-0-470-01684-80-470-01684-1

[21] Lalič, Marko. Základné stochastické procesy vo financiách [online]. Technická Univerzita v Košiciach, 2012 [cit. 14. 12. 2014]. Dostupné z http://www3.ekf.tuke.sk/seminar/archiv/Lalic_Marko.pdf

[22] Melicherčík Igor, Olšarová Ladislava, Úradníček Vladimír. Kapitoly z finančnej matematiky. Bratislava: Epos, 2005. ISBN 808-057-651-3.

[23] Merton, Robert. Theory of Rational Option Pricing. Bell Journal of Economics and Management Science, 1973, Vol. 4, No. 1 pp. 141183.

[24] Mikhailov Sergei, Nögel Ulrich. Heston's Stochastic Volatility Model, Implementation, Calibration and Some Extensions. Fraunhofer Institute for Industrial Mathematics, Kaiserslautern, 2003. Wilmott Magazine, pp. 7494.

[25] Papapantoleon Antonis. An Introduction to Lévy Processes with Applications in Finance. University of Freiburg, 2008. [cit. 14. 12. 2014]. Dostupné z http://arxiv.org/pdf/0804.0482.pdf

68 [26] Ross Sheldon. Stochastic Processes. Chichester: Wiley & Sons, 1996. ISBN: 978-0-471-12062-9.

[27] Rouah Fabrice. The SABR model. Working Paper, 2008 [cit. 14. 12. 2014]. Dostupné z http://www.frouah.com/finance%20notes/The%20SABR%20Model. pdf

[28] Stein Elias, Stein Jeremy. Stock Price Distributions with Stochastic volatility: An Analytic Approach. The Review of Financial Studies, 1991, Vol. 4, No. 4.

[29] Ševčovič Daniel, Stehlíková Beáta, Mikula Karol. Analytické a numerické metódy oceňovania finančných derivátov. Bratislava, STU: 2009. ISBN 9788022730143.

[30] Ulrychová Lucia. Aproximácie cien opcií v modeloch so stochastickou volatilitou. Diplomová práca. Univerzita Komenského, Bratislava. Fakulta matematiky, fyziky a informatiky, 2008.

[31] Wilmott, Paul. Paul Wilmott on quantitative finance. Chichester: Wiley & Sons, 2000. ISBN 0-471-87438-8.

[32] Wilmott, Paul. Paul Wilmott introduces quantitative finance. Chichester: Wiley & Sons, 2001. ISBN 0-471-49862-9.

[33] Wilmott, Paul. Frequently asked questions in quantitative finance. Chichester: Wiley & Sons, 2009. ISBN 978-0-470-74875-6.

[34] Wolfram1, 2014. Volatility Surface in the Heston Model [cit. 14. 12. 2014]. Dostupné z http://demonstrations.wolfram.com/VolatilitySurfaceInTheHestonMo del/

[35] Wolfram2, 2014. Implied and Local Volatility Dynamics in the SABR Model [cit. 14. 12. 2014]. Dostupné z http://demonstrations.wolfram.com/ImpliedAndLocalVolatilityDyna micsInTheSABRModel/

[36] Wolfram3, 2014. Option Prices in Merton's Jump Diffusion Model [cit. 14. 12. 2014]. Dostupné z http://demonstrations.wolfram.com/OptionPricesInMertonsJumpDiff usionModel/

[37] Yang Yuan. Valuing a European Option with the Heston model. Master's Thesis. Rochester Institute of Technology. School of Mathematical Sciences, 2013.