ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ, ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΔΙΠΛΩΜΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ

« Τρίτα Σώματα ή Μαγνητική Δραστηριότητα σε διπλά αστρικά συστήματα ;»

Κωνσταντίνος Ζέρβας Α.Μ.: 1050804

Επιβλέπουσα: Ε.-Π. Χριστοπούλου, Επίκουρη Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Πατρών

Πάτρα, 2018 Περιεχόμενα i

Περιεχόμενα

Κατάλογος Σχημάτων ...... iv Κατάλογος Πινάκων ...... xi Περίληψη ...... 1 Abstract ...... 4 Κεφάλαιο 1 Τροχιακά χαρακτηριστικά διπλών συστημάτων . 6 1.1 Το Πρόβλημα των Δύο Σωμάτων ...... 6 1.2 Μορφή Τροχιάς ...... 10 1.2.1 Λύσεις των Εξισώσεων Κίνησης ...... 10 1.2.2 Εξίσωση Τροχιάς ...... 11 1.3 Εξίσωση Kepler ...... 17 1.3.1 Επίλυση Εξίσωσης Kepler ...... 20 1.4 Τροχιακά στοιχεία ...... 21 1.4.1 Τροχιακή (Φωτομετρική) και Γωνιακή Φάση ...... 23 1.4.2 Κυκλικές και ΄Εκκεντρες Τροχιές ...... 24 1.4.3 Σχέση τροχιακών στοιχείων με την ολική στροφορμή και ε- νέργεια ...... 26 Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 1 ...... 29 Κεφάλαιο 2 Γεωμετρικά χαρακτηριστικά διπλών συστημάτων 30 2.1 Ενεργό Βαρυτικό Δυναμικό - Δυναμικό Kopal ...... 31 2.2 Μοντέλο Roche ...... 37 2.3 Μορφολογική Ταξινόμηση Διπλών Συστημάτων ...... 42 2.4 Συστήματα Υπερεπαφής τύπου W UMa ...... 49 2.4.1 Γενικά Χαρακτηριστικά ...... 49 2.4.2 Το παράδοξο του τύπου W ...... 50 2.4.3 Δομή και Εξελικτικά Σενάρια ...... 51 2.5 Ανταλλαγή και Μεταφορά Μάζας ...... 55 2.5.1 Δείκτης Ακτίνας - Μάζας ...... 56 2.5.2 Μεταφορά Μάζας (RLOF)...... 62 2.5.3 Απώλεια Μάζας ...... 64 Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 2 ...... 70 Περιεχόμενα ii

Κεφάλαιο 3 Τρίτα σώματα ή μαγνητική δραστηριότητα σε διπλά αστρικά συστήματα ...... 74 3.1 Εισαγωγή ...... 74 3.2 Μεταβολές στο διάγραμμα O-C ...... 76 3.2.1 Διόρθωση Αστρονομικής Εφημερίδας ...... 76 3.2.2 Φυσικοί μηχανισμοί μεταβολής περιόδου ...... 77 3.3 ΄Υπαρξη τρίτου σώματος γύρω από το διπλό σύστημα (Light-Time Effect)...... 83 3.3.1 Η εξίσωση του Light-Time Effect (LITE) ...... 83 3.3.2 Κριτήρια ισχύος του LITE ...... 89 3.3.3 Μέθοδοι ανίχνευσης πολλαπλών συστημάτων ...... 90 3.3.4 Η στατιστική των πολλαπλών συστημάτων ...... 93 3.4 Μαγνητική δραστηριότητα στο διπλό σύστημα ...... 95 3.4.1 Ο μηχανισμός Applegate ...... 95 3.4.2 Ενεργειακές απαιτήσεις του μηχανισμού Applegate ...... 99 3.4.3 Επίδραση του μηχανισμού Applegate στο διάγραμμα O-C . . . 102 Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 3 ...... 108 Κεφάλαιο 4 Τεχνικές εφαρμογής της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων και εκτίμησης αβεβαιοτήτων ...... 113 4.1 Διαφορικές διορθώσεις (Differential Corrections) ...... 114 4.2 Μέθοδος Levenberg-Marquardt ...... 117 4.3 Η μέθοδος Nelder-Mead Downhill Simplex ...... 120 4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και αβεβαιοτήτων . . . . . 125 4.4.1 Σάρωση στο χώρο των λύσεων (Heuristic Scanning) και Δια- ταραχή παραμέτρων (Parameter Kicking) ...... 126 4.4.2 Μέθοδος Bootstrap ...... 128 4.4.3 Μαρκοβιανή αλυσίδα Monte Carlo και ο αλγόριθμος Metropolis- Hastings ...... 129 4.4.4 Γενετικοί Αλγόριθμοι ...... 139 Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 4 ...... 146 Κεφάλαιο 5 Ανάλυση και μελέτη μεταβολής περιόδου διπλών εκλειπτικών συστημάτων ...... 150 5.1 Το αποχωρισμένο σύστημα NSVS 14256825 ως υποψήφιο για την ύπαρξη τρίτου σώματος (LITE) ...... 150 Περιεχόμενα iii

5.1.1 Το προφίλ του αστέρα ...... 150 5.1.2 Ανάλυση του διαγράμματος O-C ...... 152 5.1.3 Συμπεράσματα ...... 162 5.2 Η περίπτωση του αποχωρισμένου συστήματος NSVS 07826147 . . . . 164 5.2.1 Το προφίλ του αστέρα ...... 164 5.2.2 Ανάλυση του διαγράμματος O-C ...... 165 5.2.3 Συμπεράσματα ...... 174 5.3 Το αινιγματικό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo ...... 175 5.3.1 Το προφίλ του αστέρα ...... 175 5.3.2 Ανάλυση του διαγράμματος O-C ...... 176 5.3.3 Συμπεράσματα ...... 191 Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 5 ...... 193 Παράρτημα ...... ix Πίνακες χρόνων ελαχίστου φωτός ...... ix Αναφορές Σχημάτων ...... xi Κατάλογος Σχημάτων iv

Κατάλογος Σχημάτων

1.1 Βαρυκεντρικό σύστημα συντεταγμένων ενός διπλού συστήματος σω- μάτων...... 6 1.2 Σχηματική αναπαράσταση βαρυκεντρικής τροχιάς ενός διπλού συστήμα- τος. Το βαρύκεντρο είναι σημειωμένο και βρίσκεται στην εστία κάθε έλλειψης...... 13 1.3 Σχετική τροχιά ενός διπλού συστήματος (με τον ένα αστέρα στην κύρια εστία) και βασικά στοιχεία της έλλειψης...... 14 1.4 Χαρακτηριστικές γωνίες ελλειπτικής τροχιάς ως απόρροια των γεω- μετρικών σχέσεων του κύκλου και της εγγεγραμμένης έλλειψης. Η σχέση μεταξύ των επιφανειών κύκλου και έλλειψης που σαρώνει το ακτινικό διάνυσμα αποτελεί και την ουσία της εξίσωσης Kepler. . . . 18 1.5 Απεικόνιση του τροχιακού επιπέδου σε σχέση με το επίπεδο του ουρα- νού (επίπεδο xy). Ο άξονας z αντιστοιχεί στην ευθεία παρατήρησης (με σημείο εκκίνησης το z = −∞) και οι τρεις χαρακτηριστικές γωνίες ορίζουν τον προσανατολισμό του τροχιακού επιπέδου. Ο θετικός άξονας x ορίζει την κατεύθυνση του βόρειου ουράνιου πόλου. . . . . 22 2.1 Γεωμετρία του προβλήματος τριών σωμάτων. Η αρχή των αξόνων βρίσκεται στο βαρύκεντρο του διπλού συστήματος ενώ το σύστημα συντεταγμένων περιστρέφεται με γωνιακή συχνότητα ω...... 32 2.2 Γεωμετρία του προβλήματος τριών σωμάτων με αρχή των αξόνων στον

αστέρα μάζας m1...... 34 2.3 Διατομή των ισοδυναμικών επιφανειών στο τροχιακό επίπεδο ενός διπλού συστήματος αστέρων με λόγο μάζας q = 0.4. Τα σημεία

Lagrange L1,L2,L3 βρίσκονται στην ευθεία που ενώνει τα κέντρα

των αστέρων, ενώ τα L4,L5 βρίσκονται στην κορυφή ισόπλευρων τριγώνων με βάσεις την ευθεία των κέντρων...... 40 2.4 Ισοδυναμικές επιφάνειες Roche. Τα κέντρα των αστέρων βρίσκονται στα σημεία O και S αντίστοιχα, ενώ το σημείο G αντιστοιχεί στο

βαρύκεντρο. Τα σημεία L1,L2 είναι εμφανές ότι αντιστοιχούν σε σημεία τομής τους...... 41 Κατάλογος Σχημάτων v

2.5 Η τιμή του βαρυτικού δυναμικού Φ συναρτήσει της απόστασης κα- τά μήκος της ευθείας που ενώνει τα κέντρα των αστέρων. Βαθειά πηγάδια δυναμικού περιβάλλουν τον αστέρα O και τον αστέρα S και στη μεταξύ τους απόσταση το δυναμικό λαμβάνει μέγιστη τιμή στη

θέση x = L1. Στις άκρες υπάρχουν άλλα δύο μέγιστα δυναμικού

που αντιστοιχούν στις θέσεις L2,L3 καθώς ο όρος του φυγόκεντρου δυναμικού υπερισχύει στις μεγάλες αποστάσεις...... 41 3 2.6 Η ενεργός ακτίνα (1 < rL < 10 ) του λοβού Roche συναρτήσει του λόγου μαζών q (0.01 < q < 10). Είναι εμφανές ότι το μικρότερο μέγεθος λοβού Roche αντιστοιχεί σε q = 1...... 43 2.7 Μορφολογία αποχωρισμένου συστήματος (AD Boo) και η καμπύλη (τύπου Algol) φωτομετρίας του. Με μπλέ χρώμα ορίζονται οι επι- φάνειες των αστέρων, με κόκκινο χρώμα η εσωτερική επιφάνεια La- grange και με μαύρο χρώμα η εξωτερική επιφάνεια Lagrange. Στην κα- μπύλη φωτομετρίας το μπλέ χρώμα αντιστοιχεί στη συνθετική καμπύλη και το κόκκινο στα πειραματικά σημεία. Τα σχήματα δημιουργήθηκαν με το λογισμικό Binary Maker 3.0 (Bradstreet and Steelman, 2002). 44 2.8 Μορφολογία ημιαποχωρισμένου συστήματος (DL Cyg) και η καμπύλη (τύπου β Lyrae) φωτομετρίας του...... 45 2.9 Μορφολογία συστήματος σε υπερεπαφή (AW UMa) και η καμπύλη (τύπου W UMa) φωτομετρίας του...... 46 2.10 Μορφολογία συστήματος σε διπλή επαφή (RZ Sct) και η καμπύλη φωτομετρίας του...... 47 2.11 Η σχέση περιόδου - δείκτη χρώματος για τα διπλά συστήματα υπερεπα- φής τύπου W UMa. ΄Οσο μικρότερη η περίοδος του συστήματος τόσο πιο εξελιγμένα τα μέλη του. Είναι χαρακτηριστικό ότι τα συστήματα τύπου W, που σημειώνονται με ×, βρίσκονται κυρίως στην κάτω αριστερά περιοχή του διαγράμματος, η οποία αντιστοιχεί σε μικρότερες περιόδους και θερμοκρασίες. Τα συστήματα τύπου A σημειώνονται με κύκλο και είναι πιο εξελιγμένα καθώς εμφανίζονται σε μεγαλύτε- ρες περιόδους και υψηλότερες θερμοκρασίες. Τα δεδομένα για την κατασκευή του διαγράμματος συλλέχθηκαν από τον Mochnacki (1985). 52 Κατάλογος Σχημάτων vi

2.12 Η σχέση του θερμικού (ζth.) και δυναμικού (ζdyn.) δείκτη ακτίνας- μάζας για αστέρες ηλιακού τύπου στην αρχή της κύριας ακολουθίας (ZAMS). Ο δεξιά κατακόρυφος άξονας (q(ζ)) αντιστοιχεί στον κρίσιμο λόγο μαζών (μάζα αστέρα που γεμίζει το λοβό Roche / μάζα συνοδού)

και για τις τιμές του οποίου ισχύει ζL = ζ, με το ζ να αντιστοιχεί σε περίπτωση διατήρησης μάζας και τροχιακής στροφορμής κατά τη μεταφορά μάζας...... 59 3.1 Διάγραμμα O-C από δεδομένα του 1982 για το σύστημα BW Vul.Η μεσαία περιοχή αντιστοιχεί σε μηδενική κλίση ευθείας και επομένως σε σωστό υπολογισμό της περιόδου του συστήματος. Η πάνω πε- ριοχή αντιστοιχεί σε θετική κλίση ευθείας και άρα η περίοδος του συστήματος είναι μεγαλύτερη από την περίοδο που χρησιμοποιήθηκε για την κατασκευή του διαγράμματος, ενώ για την κάτω περιοχή η αρνητική κλίση υποδηλώνει τη χρήση μεγαλύτερης περιόδου από την πραγματική...... 78 3.2 Μεταβολές στα διαγράμματα O-C τριών εκλειπτικών συστημάτων ε- ξαιτίας διαφορετικών φυσικών μηχανισμών που λαμβάνουν χώρα στο σύστημα...... 82 3.3 Ελλειπτική τροχιά του εκλειπτικού συστήματος (E) εξαιτίας της βα- ρυτικής αλληλεπίδρασης με τρίτο σώμα. Στο σημείο Ο βρίσκεται το βαρύκεντρο των τριών σωμάτων από το οποίο περνάει το επίπεδο του ουρανού τέμνοντας την τροχιά στα σημεία 1,3. Η ευθεία dCa αποτελεί την τομή του τροχιακού επιπέδου με το παράλληλο επίπεδο προς του ουρανού και το οποίο απέχει απόσταση αesinωsini.Η κλίση του τροχιακού επιπέδου με το επίπεδο του ουρανού είναι χάριν 0 ευκολίας ίση με i = 90o. Κάθε στιγμή η απόσταση z του εκλειπτικού συστήματος μεταβάλλεται από τον παρατηρητή με αποτέλεσμα την περιοδική μεταβολή των χρόνων ελαχίστου φωτός στο διάγραμμα O-C. 84 Κατάλογος Σχημάτων vii

3.4 Χαρακτηρισμός της περιόδου σε διάγραμμα λόγου μαζών και φασματι- κού τύπου δευτερεύοντος αστέρα για 101 διπλά εκλειπτικά συστήματα τύπου Algol. Με × αποτυπώνονται όσα αντικείμενα χαρακτηρίζονται από αυξομείωση της περιόδου κατά περιοδικό τρόπο, ενώ τα σύμ- βολα /, \ και - υποδηλώνουν αύξηση, μείωση και σταθερή περίοδο αντίστοιχα. Το σύμβολο της τελείας αντιστοιχεί σε όσα αντικείμενα δεν μπόρεσε να εξαχθεί συμπέρασμα ως προς τη μεταβολή της περι- όδου. Είναι εμφανές ότι κυκλική μεταβολή περιόδου εμφανίζουν μόνο τα συστήματα με δευτερεύοντα αστέρα μεταγενέστερου φασματικού τύπου του F5...... 96 4.1 Πιθανές γεωμετρικές τροποποιήσεις ενός τετράεδρου simplex κατά τη διάρκεια μιας επανάληψης. Η κατάλληλη αλληλουχία επαναληπτικών βημάτων και άρα γεωμετρικών τροποποιήσεων θα έχει ως αποτέλεσμα τη συρρίκνωση του simplex, δηλαδή, τη σύγκλιση της μεθόδου στο ελάχιστο της συνάρτησης ελαχιστοποίησης...... 124 4.2 Διαγνωστικά εργαλεία σύγκλισης MCMC...... 138 5.1 Διάγραμμα O-C του NSVS 14256825...... 152

5.2 Ιστογράμματα κατανομών των τροχιακών παραμέτρων (e3, A, ω3,P3) του τρίτου σώματος για το σύστημα NSVS 14256825 ως αποτέλεσμα της σάρωσης στο χώρο των λύσεων με διαταραχή στις παραμέτρους. . 154 5.3 Διδιάστατα ιστογράμματα (density plots) των παραμέτρων του τρίτου σώματος ως αποτέλεσμα της σάρωσης στο χώρο των λύσεων με δια- ταραχή στις παραμέτρους. Η χρωματική διαβάθμιση υποδηλώνει το διαφορετικό πλήθος καταμετρήσεων με το εντονότερο λευκό χρώμα να αντιστοιχεί στο μέγιστο πλήθος και άρα στην πραγματική λύση. Οι 2 τομές που απεικονίζονται αντιστοιχούν στα ζεύγη (P3, χν), (e3,P3),

(ω3,P3), (e3, ω3)...... 155 5.4 Προσαρμογή συνθετικής καμπύλης στα παρατηρησιακά δεδομένα του διαγράμματος O-C και τα υπόλοιπα της διαφοράς τους για το διπλό σύστημα NSVS 14256825, όπως προέκυψε από τη μελέτη μεταβολής της περιόδου μέσω της μεθόδου σάρωσης στο χώρο των λύσεων με διαταραχή των παραμέτρων...... 156

5.5 Διαγράμματα ίχνους και αυτοσυσχέτισης για τις παραμέτρους ω3, e3,P3,A μαζί με τις μεταγενέστερες κατανομές στις οποίες συνέκλινε η Μαρ- κοβιανή αλυσίδα κατά την εκτέλεση της μεθόδου M-H MCMC. . . . 157 Κατάλογος Σχημάτων viii

5.6 Μεταγενέστερες κατανομές και από κοινού πιθανότητες - διαγράμματα πυκνότητας (joint distributions - density plots)(Foreman-Mackey et al. 2014) για τις παραμέτρους της συνάρτησης ελαχιστοποίησης (4.1), ως αποτέλεσμα της μελέτης ύπαρξης του φαινομένου LITE στο διπλό σύστημα NSVS 14256825 με τη μέθοδο M-H MCMC...... 159 5.7 Διάγραμμα O-C του αποχωρισμένου συστήματος NSVS 07826147 αποτελούμενο από τους 293 χρόνους ελαχίστου φωτός που συγκε- ντρώθηκαν από τη βιβλιογραφία και τις παρατηρήσεις στο αστεροσκο- πείο Μυθωδία. Το χρονικό εύρος που καλύπτουν οι παρατηρήσεις αντιστοιχεί σε 14 έτη καλύπτοντας το διάστημα (2004-2017). . . . . 165 5.8 Συνθετική καμπύλη των παραμέτρων LITE για το σύστημα NSVS 07826147 και τα υπόλοιπα από τα παρατηρησιακά δεδομένα του δια- γράμματος O-C, μετά την εφαρμογή των μεθόδων ελαχιστοποίησης Nelder-Mead Downhill Simplex (NMDS) και Levenberg-Marquardt (LM)...... 166

5.9 Ιστογράμματα κατανομών των τροχιακών παραμέτρων (e3, A, ω3,P3) του τρίτου σώματος για το σύστημα NSVS 07826145 ως αποτέλεσμα της σάρωσης στο χώρο των λύσεων με διαταραχή στις παραμέτρους. . 168

5.10 Διδιάστατα ιστογράμματα (density plots) των παραμέτρων (e3,P3) του τρίτου σώματος ως αποτέλεσμα της σάρωσης στο χώρο των λύσεων με διαταραχή στις παραμέτρους. Στο αριστερά διάγραμμα είναι εμφανής η ύπαρξη καταμετρήσεων σε δύο γειτονικές περιοχές ελαχίστου και οι οποίες αποτελούν εσωτερικές περιοχές του ίδιου (ολικού) ελαχίστου, καθώς οι τιμές των παραμέτρων μεταβάλλονται από το έκτο δεκαδικό ψηφίο και ύστερα. Το δεξιά διάγραμμα αντιστοιχεί στη μεγενθυμένη περιοχή ελαχίστου όπου εμφανίζεται το μεγαλύτερο πλήθος καταμε- τρήσεων...... 168 5.11 Συνθετική καμπύλη του μοντέλου LITE για τον διπλό αστέρα NSVS 07826147 όπως προέκυψε από τη σάρωση στο χώρο των λύσεων με

διαταραχή των παραμέτρων e3, A, ω3,P3 κατά 5% των αρχικών τιμών τους για 1200 επαναλήψεις. Στο δεξιά διάγραμμα εμφανίζεται το χαρακτηριστικό της μεγαλύτερης κλίμακας του κατακόρυφου άξονα και οι τιμές του οποίου αντιστοιχούν στο πλάτος LITE (2A)...... 169 Κατάλογος Σχημάτων ix

5.12 Οι μεταγενέστερες κατανομές των παραμέτρων e3, A, ω3,P3 συνο- δευόμενες από τα αντίστοιχα διαγράμματα ίχνους της αλυσίδας και αυτοσυσχέτισης των δειγμάτων ως αποτέλεσμα της Μπαεζιανής με- θόδου M-H MCMC, για τον προσδιορισμό των παραμέτρων LITE του συστήματος NSVS 07826147...... 170 5.13 Μεταγενέστερες κατανομές και από κοινού πιθανότητες - διαγράμματα πυκνότητας για τις παραμέτρους της συνάρτησης ελαχιστοποίησης (4.1), ως αποτέλεσμα της μελέτης ύπαρξης του φαινομένου LITE στο διπλό σύστημα NSVS 07826147 με τη μέθοδο M-H MCMC...... 171 5.14 Διάγραμμα O-C του συστήματος υπερεπαφής TZ Boo αποτελούμε- νο από τους 484 αξιόπιστους χρόνους ελαχίστου φωτός που συγκε- ντρώθηκαν από τη διεθνή βιβλιογραφία. Στον πίνακα 6.3 οι χρόνοι ε- λαχίστου που συνοδεύονται από το σύμβολο (:) δεν συμπεριλήφθηκαν στην κατασκευή του διαγράμματος εξαιτίας της αβεβαιότητάς τους. Οι συνολικά 532 δημοσιευμένοι χρόνοι ελαχίστου καλύπτουν ένα χρονικό διάστημα 91 ετών (1926-2016), ωστόσο, η αβεβαιότητα του πρώτου οπτικά παρατηρήσιμου χρόνου ελαχίστου συρρικνώνει το χρονικό ε- ύρος στα 69 έτη (1948-2016). Εξαιτίας του μεγάλου πλήθους δεδο- μένων και των διαφορετικών μεθόδων φωτομετρικών παρατηρήσεων, αποδόθηκαν στατιστικά βάρη w = 1 για τις οπτικές παρατηρήσεις και w = 10 για τις φωτοηλεκτρικές και CCD...... 177

5.15 Ιστογράμματα κατανομών της περιόδου (P3) του τρίτου σώματος και του συντελεστή μεταφοράς μάζας (qmt) για το σύστημα TZ Boo, ως αποτέλεσμα της σάρωσης στο χώρο των λύσεων με διαταραχή στις παραμέτρους...... 179

5.16 Διαγράμματα πυκνότητας για τα ζεύγη παραμέτρων (qmt, e3), (ω3,P3) όπως προέκυψαν από τη σάρωση στο χώρο των λύσεων με διαταραχή των παραμέτρων. Η χρωματική διαβάθμιση υποδηλώνει το διαφορετι- κό πλήθος καταμετρήσεων, όπου τα σημεία με το εντονότερο λευκό χρώμα αντιστοιχούν στη λύση του προβλήματος, δηλαδή, στις τιμές των παραμέτρων με τη χαμηλότερη τιμή της συνάρτησης ελαχιστοπο- ίησης...... 180 5.17 Συνθετική καμπύλη για το μοντέλο LITE μαζί με την συνεισφορά του τετραγωνικού όρου εξαιτίας μεταφοράς μάζας (qmt = dP/2dE), ως αποτέλεσμα της σάρωσης στο χώρο των λύσεων με διαταραχή των παραμέτρων...... 180 Κατάλογος Σχημάτων x

5.18 Κατανομές των παραμέτρων e3,P3, A, ω3 συναρτήσει της συνάρτησης ελαχιστοποίησης χ2 (4.1), όπως προέκυψαν από την εκτέλεση του γενετικού αλγόριθμου. Η μέση τιμή και τυπική απόκλιση ορίζουν την τιμή και αβεβαιότητα της κάθε παραμέτρου...... 181

5.19 Οι μεταγενέστερες κατανομές των παραμέτρων e3, A, P3, qmt συνο- δευόμενες από τα αντίστοιχα διαγράμματα ίχνους της αλυσίδας και αυτοσυσχέτισης των δειγμάτων, ως αποτέλεσμα της Μπαεζιανής με- θόδου M-H MCMC για τον προσδιορισμό των παραμέτρων LITE και του συντελεστή μεταφοράς μάζας του συστήματος TZ Boo...... 183 5.20 Μεταγενέστερες κατανομές και από κοινού πιθανότητες - διαγράμματα πυκνότητας για τις παραμέτρους της συνάρτησης ελαχιστοποίησης (4.1), ως αποτέλεσμα της μελέτης ύπαρξης των φαινομένων LITE και μεταφοράς μάζας στο διπλό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo με τη μέθοδο M-H MCMC...... 184 5.21 Προσαρμογή συνθετικής καμπύλης στο διάγραμμα O-C του TZ Boo σύμφωνα με το μοντέλο LITE και τη συνεισφορά του τετραγωνικού όρου (qmt = dP/2dE) εξαιτίας μεταφοράς μάζας, όπως προέκυψε από τη μέθοδο M-H MCMC, μαζί με τα υπόλοιπα από τα παρατηρησιακά δεδομένα...... 186 5.22 Συνθετική καμπύλη LITE στα υπόλοιπα του διαγράμματος O-C όπως αυτά προέκυψαν από την αφαίρεση της συνθετικής καμπύλης εξαιτίας της συνεισφοράς του μηχανισμού LITE για τον πρώτο συνοδό και της μεταφοράς μαζας στον TZ Boo...... 189 Κατάλογος Πινάκων xi

Κατάλογος Πινάκων

5.1 Παράμετροι LITE για το σύστημα NSVS 14256825 από τις μεθόδους Nelder-Mead Downhill Simplex και Levenberg-Marquardt. Τα επί τοις % ποσοστά αναφέρονται στο σφάλμα της παραμέτρου σχετικά με την τιμή της...... 154 5.2 Αποτελέσματα της σάρωσης στο χώρο των λύσεων (heuristic scan-

ning) με διαταραχή των παραμέτρων (parameter kicking) e3, A, ω3,P3 κατά 5% της τιμής τους...... 154 5.3 Αποτελέσματα της μεθόδου M-H MCMC για την εκτίμηση των α- βεβαιοτήτων των παραμέτρων του τρίτου σώματος για το σύστημα NSVS 14256825. Παρατίθενται συγκριτικά και τα αποτελέσματα των Nasiroglu et al. (2017) από την εφαρμογή αντίστοιχης μεθόδου MCMC...... 157 5.4 Σύνοψη αποτελεσμάτων από τη μελέτη του φαινομένου Applegate για το σύστημα NSVS 14256825...... 161 5.5 Παράμετροι LITE για το σύστημα NSVS 07826147 από τις μεθόδους Nelder-Mead Downhill Simplex και Levenberg-Marquardt. Τα επί τοις % ποσοστά αναφέρονται στο σφάλμα της παραμέτρου σχετικά με την τιμή της...... 167 5.6 Αποτελέσματα της σάρωσης στο χώρο των λύσεων (heuristic scan-

ning) με διαταραχή των παραμέτρων (parameter perturbation) e3, A, ω3,P3 κατά 5% για 1200 επαναλήψεις...... 167 5.7 Αποτελέσματα της μεθόδου M-H MCMC για τον αντικειμενικότερο προσδιορισμό των αβεβαιοτήτων των παραμέτρων του μοντέλου LITE για το διπλό σύστημα NSVS 07826147...... 169 5.8 Σύνοψη αποτελεσμάτων από τη μελέτη του φαινομένου Applegate για το σύστημα NSVS 07826147...... 173 5.9 Παράμετροι LITE και qmt για το σύστημα TZ Boo...... 178 5.10 Αποτελέσματα της σάρωσης στο χώρο των λύσεων με διαταραχή των παραμέτρων για την επιβεβαίωση της σταθερότητας της λύσης της συ- νάρτησης ελαχιστοποίησης 4.1 για τον TZ Boo, όπως αυτή προέκυψε από τις μεθόδους NMDS και LM...... 178 5.11 Παράμετροι συνθετικής καμπύλης του διαγράμματος O-C για τον TZ Boo...... 182 Κατάλογος Πινάκων xii

5.12 Σύνοψη αποτελεσμάτων από τη μελέτη του μηχανισμού Applegate για το σύστημα TZ Boo...... 188 5.13 Παράμετροι LITE για τον δεύτερο υποψήφιο συνοδό του συστήματος TZ Boo όπως προέκυψαν από τις μεθόδους NMDS και LM. Παρατίθε- νται συγκριτικά και οι αντίστοιχες τιμές των παραμέτρων σύμφωνα με τους Nelson et al. (2016)...... 190 5.14 Χαρακτηριστικά μεγέθη από την επίλυση της συνάρτησης μάζας για τον πρώτο και δεύτερο συνοδό...... 190 6.1 Χρόνοι ελαχίστου φωτός για το διπλό εκλειπτικό σύστημα NSVS 14256825...... ix 6.2 Χρόνοι ελαχίστου φωτός για το διπλό εκλειπτικό σύστημα NSVS 07826147...... x 6.3 Χρόνοι ελαχίστου φωτός για το διπλό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo. ... xi Περίληψη 1

Περίληψη

Η φύση των διπλών αστρικών συστημάτων (γεωμετρία - μοντέλο Roche) και η μεγάλη συχνότητα εμφάνισής τους στο Σύμπαν (τουλάχιστον 50% του συνόλου των αστέρων), προσφέρουν τη μοναδική δυνατότητα υπολογισμού των βασικών αστρικών μεγεθών (μάζες, ακτίνες, θερμοκρασίες), προσδιορισμού της χημικής σύνθεσης των αστέρων, ελέγχου εξελικτικών θεωρίων μέσω της αλληλεπίδρασής τους, ακριβούς προσδιορισμού αποστάσεων, καθώς και του ελέγχου ύπαρξης συνοδών σωμάτων αστρικής ή πλανητικής φύσης. Αντικείμενο της παρούσας εργασίας αποτελεί η μελέτη ορισμένων εκ των μηχανισμών μεταβολής περιόδου στα διπλά εκλειπτικά αστρικά συστήματα και συγκεκριμένα των μηχανισμών Light-Time Effect (LITE), μαγνητικής δρα- στηριότητας (Applegate) και μεταφοράς μάζας. Η ανίχνευση των μηχανισμών μεταβολής περιόδου γίνεται μέσω της ανάλυσης διαγραμμάτων O-C (Observed- Calculated) με νέα παρατηρησιακά δεδομένα από το Αστεροσκοπείο Μυθωδία του Πανεπιστημίου Πατρών την περίοδο 2014-2017 και συγκέντρωση χρόνων ελαχίστου φωτός από τη βιβλιογραφία. Στα δύο πρώτα κεφάλαια παρουσιάζονται τα τροχιακά και γεωμετρικά χα- ρακτηριστικά των διπλών συστημάτων, καθώς και το φαινόμενο συντηρητικής ή μη μεταφοράς μάζας. Στο τρίτο κεφάλαιο αναλύεται ο μηχανισμός LITE ως το αποτέλεσμα της ύπαρξης ενός ή περισσότερων σωμάτων γύρω από το διπλό σύστημα, με την περιοδικότητα της κίνησης γύρω από το κοινό βαρύκε- ντρο να προκαλεί την εμφάνιση κυκλικής (ημιτονοειδούς) συμπεριφοράς στο διάγραμμα O-C. Η μαγνητική δραστηριότητα στο εσωτερικό των αστέρων με- ταγενέστερου του F5 φασματικού τύπου, οι οποίοι χαρακτηρίζονται από ζώνη μεταφοράς θερμότητας δια ρευμάτων (convection zone), έχει ως αποτέλεσμα την παραμόρφωση του αστέρα εξαιτίας της μεταφοράς στροφορμής διαμέσου των στρωμάτων του. Η παραμόρφωση του σχήματος του αστέρα αντιστοιχεί στον όρο τετραπολικής ροπής αδράνειας, η οποία μεταβάλλεται με αυστηρά κυκλική περιοδικότητα, έτσι ώστε οι δύο μηχανισμοί (LITE και Applegate) να προσφέρουν εναλλακτικές ερμηνείες στην ημιτονοειδή συμπεριφορά ενός διαγράμματος O-C. Επομένως, η ένδειξη για την ύπαρξη τρίτου ή περισσότερων σωμάτων γύρω από το διπλό σύστημα είναι αναγκαίο να επιβεβαιωθεί μέσω φασματοσκοπικών ή/και αστρομετρικών παρατηρήσεων. Στο τέταρτο κεφάλαιο αναπτύσσονται τα μαθηματικά εργαλεία ανάλυσης του διαγράμματος O-C, τα οποία αποτελούν τεχνικές βελτιστοποίησης για την ελαχιστοποίηση της συνάρτησης κόστους χ2. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο γίνεται η εφαρμογή των τεχνικών βελτιστο- ποίησης στα διαγράμματα O-C των διπλών εκλειπτικών συστημάτων NSVS 14256825, NSVS 07826147 και TZ Boo με νέα παρατηρησιακά δεδομένα από Περίληψη 2

το Αστεροσκοπείο Μυθωδία του Πανεπιστημίου Πατρών την περίοδο 2014- 2017 και συγκέντρωση χρόνων ελαχίστου φωτός από τη βιβλιογραφία. Το σύστημα NSVS 14256825 αποτελεί ένα αποχωρισμένο σύστημα τύπου HW Vir (sdOB+dM) στη μεταγενέστερη φάση του διπλού περιβλήματος (post- common envelope binary, PCEB). Η ανάλυση στο διάγραμμα O-C του έδειξε την αδιαμφισβήτητη ύπαρξη του μηχανισμού LITE εξαιτίας ενός συνοδού υ-

ποαστρικής μάζας M3 ' 15MJup. (για συνεπίπεδη τροχιά με το διπλό σύστη- μα). Η περιστροφή του γύρω από το κοινό βαρύκεντρο πραγματοποιείται σε

τροχιά εκκεντρότητας e3 ' 0.17 και περιόδου P3 ' 10 years, επιβεβαιώνο- ντας προηγούμενες ερευνητικές μελέτες. Ο υπολογισμός των απαραίτητων μεγεθών για το μηχανισμό Applegate σύμφωνα με τα μοντέλα λεπτού φλοιού (thin shell model), σταθερής πυκνότητας (constant density model) και διπλής ζώνης (two-zone model) έδειξε ότι τα ενεργειακά αποθέματα του δευτερεύο- ντος μέλους δεν επαρκούν για την παρατηρούμενη μεταβολή της περιόδου. Το σύστημα NSVS 07826147 αποτελεί επίσης ένα PCEB τύπου HW Vir και για το οποίο οι προγενέστερες ερευνητικές μελέτες δεν υπέδειξαν την ύπαρ- ξη κάποιας μεταβολής. Η επικαιροποίηση του διαγράμματος O-C με χρόνους ελαχίστου φωτός επέκτεινε το χρονικό εύρος του διαγράμματος στα 14 έτη (2004-2017). Η εμφανής καθοδική τάση της περιόδου κατά τα έτη 2016-2017 είχε ως αποτέλεσμα η ανάλυση του διαγράμματος O-C να υποδείξει την πιθανή

ύπαρξη ενός συνοδού μάζας M3 ' 4MJup. (για συνεπίπεδη τροχιά) με τροχιά

εκκεντρότητας e3 ' 0.44 και περιόδου P3 ' 32 years. Σύμφωνα με το αναλυτικό μοντέλο διπλής ζώνης, την έως τώρα καλύτερη δυνατή προσέγ- γιση του φυσικού μηχανισμού Applegate, ο δευτερεύων αστέρας έπρεπε να διαθέτει 13 φορές περισσότερη ενέργεια από την ήδη διαθέσιμη προκειμένου να μεταβληθεί η περίοδός του συστήματος με την αντίστοιχη περιοδικότητα του μηχανισμού LITE. Δεδομένου ότι το χρονικό εύρος του διαγράμματος O-C καλύπτει σχεδόν τη μισή περίοδο του τρίτου σώματος, είναι αναγκαίο να συλλεχθούν χρόνοι ελαχίστου φωτός στα επόμενα έτη προκειμένου να επιβεβαιωθεί η λύση της παρούσας μελέτης. Η ανάλυση της περιόδου του συστήματος υπερεπαφής (τύπου W UMa) TZ Boo, βασιζόμενη σε παρατηρησιακά δεδομένα που καλύπτουν χρονικό εύρος 69 ετών (1948-2016), επιβεβαίωσε τη φασματοσκοπικά ανιχνεύσιμη ύπαρξη ενός τρίτου σώματος. Η τροχιά του γύρω από το κοινό βαρύκεντρο πραγ-

ματοποιείται με περίοδο P3 ' 35 years και πολύ μεγάλη εκκεντρότητα e3 '

0.7, ενώ η μάζα του υπολογίστηκε με τιμή M3 ' 0.9M (για συνεπίπεδη τροχιά). Εξαιτίας του μορφολογικού τύπου υπερεπαφής λαμβάνει χώρα το φαινόμενο συντηρητικής μεταφοράς μάζας από το πρωτεύον προς το δευτερεύον μέλος του συστήματος με υπολογιζόμενο ρυθμό μεταβολής περιόδου dP/dt = −1.84 × 10−8 days year−1, ο οποίος αντιστοιχεί σε ρυθμό μεταφοράς μάζας Περίληψη 3

−8 −1 dM1/dt = −0.55×10 M year . Η ολικότητα της λύσης επιβεβαιώθηκε όχι μόνο με πολύ ισχυρή διαταραχή των παραμέτρων κατά τη σάρωση στο χώρο των λύσεων, αλλά και με χρήση του γενετικού αλγόριθμου PIKAIA. Τα υπόλοιπα της συνθετικής καμπύλης από τα σημεία του διαγράμματος O-C υποδεικνύουν την ύπαρξη μίας επιπλέον ημιτονοειδούς συνεισφοράς. Η ανάλυση των υπολοίπων σύμφωνα με τις μεθόδους Nelder Mead Downhill Simplex και Levenberg-Marquardt είχε ως αποτέλεσμα την εύρεση λύσης

για ένα επιπλέον συνοδό με τροχιακή περίοδο P4 ' 23 years, εκκεντρότητα

e4 ' 0.3 και μάζα M4 ' 0.49M (για συνεπίπεδη τροχιά), συμφωνώντας με τις αντίστοιχες τιμές της πιο πρόσφατης δημοσιευμένης μελέτης μεταβολής περιόδου του συστήματος. Ωστόσο, η αρκετά μεγάλη διασπορά των παρατηρη- σιακών δεδομένων παλαιότερων ετών δεν κατέστησε δυνατή την επιβεβαίωση της σταθερότητας της λύσης μέσω σάρωσης στο χώρο των παραμέτρων. Το βασικό μοντέλο Applegate (λεπτής ζώνης) δεν μπορεί να ληφθεί υ-

πόψιν δεδομένης της μικρής σχετικά μάζας του δευτερεύοντος μέλους (M2 =

0.21M ), ενώ σύμφωνα με το μοντέλο σταθερής πυκνότητας τα ενεργεια- κά αποθέματα του αστέρα δεν επαρκούν για τη μεταβολή της περιόδου ε- ξαιτίας μαγνητικής δραστηριότητας. Καθίσταται αναγκαία, όμως, η επίλυση του μοντέλου διπλής ζώνης για τα συστήματα υπερεπαφής προκειμένου να αποκλειστεί με απόλυτη βεβαιότητα η δυνατότητα συνεισφοράς του μηχανισμού Applegate στην παρατηρούμενη μεταβολή της περιόδου. Abstract 4

Abstract

The nature of binary star systems (geometry - Roche model) and their high frequency of occurrence in the Universe (at least 50% of all stars), offer the unique ability to calculate the fundamental physical parameters of stars (masses, radii, temperatures), determine their chemical composition, use them as distance indicators and also test the validity of evolutionary theories through their interaction, as well as the validity of the existence of third body companions of stellar or planetary nature. The aim of this thesis is the study of the period variability mechanisms in binary stars and more specific those of Light-Time Effect (LITE), Magnetic Activity (Applegate) and mass transfer. The detection of period variation mechanisms is accomplished through the analysis of O-C (Observed-Calculated) diagram which consists of observed-calculated minimum light times due to the periodic eclipses of the star members. The first two chapters present the orbital and geometric properties of binary stars, as well as the conservative and non-conservative mass transfer phenomenon. In the third chapter the LITE mechanism is analyzed as the result of orbital motion of the eclipsing pair around the common barycenter of the triple (or multiple) system. Therefore, the long-term variation of the times of minima corresponds to an apparent circular (sinusoidal) pattern in the O-C diagram. Magnetically active stars can be deformed in a variable way due to variations in the distribution of angular momentum as the star goes through its activity cycle. These modulations can be explained by the gravitational coupling of the orbit to variations in the shape of the magnetically active star. Deforma- tion of the star shape corresponds to the quadrupole moment of inertia and varies with strict cyclic periodicity, so the two mechanisms (LITE and Applegate) offer alternative interpretations of the sinusoidal behavior of an O-C diagram. Hence, the indication of the existence of a third or multiple bodies around the binary is necessary to be confirmed by spectroscopic and/or astrometric observations. The mathematical tools for the analysis of O-C diagrams are presented in chapter four and since the determination of the best fitting curve is an inverse problem, all the presented methods belong to the category of optimization techniques in order to minimize the cost function χ2. Finally, in the last chapter we implement the optimization techniques in the O-C diagrams of three eclipsing binaries: NSVS 14256825, NSVS 07826147 and TZ Boo through new times of minima carried out at Mythodea Observatory (University of Patras) during 2014-2017 and archival data from the literature. NSVS 14256825 is a post-common envelope binary (PCEB) and member of the HW Vir family (sdOB+dM). The best-fitting model indicates that the observed quasi-periodic variability can be explained by LITE as a result of a sub-stellar companion of M3 ' 15MJup. (coplanar orbit), a moderately elliptical orbit e3 ' 0.17 and orbital period P3 ' 10 years. 5

Applegate mechanism was ruled out as an alternative interpretation of the observed period variation due to the insufficient energy budget of the M-dwarf secondary according to thin shell, constant density and two-zone models. NSVS 07826147 is also a PCEB and member of the HW Vir family with no previ- ous reported period variation. Based on the archival and our new data of Mythodea Observatory, spanning 14 years (2004-2017), a downward trend appeared for the first time. As a result the analysis of O-C diagram indicated a circumbinary object with

M3 ' 4MJup. (coplanar orbit) and orbital parameters e3 ' 0.44, P3 ' 32 years. According to the analytical two-zone model, the secondary star should provide at least 13 times more energy than the already available in order to modulate binary’s period to the corresponding periodicity of LITE mechanism. Given that the time scale of the O-C diagram covers almost half of the third body period, it is necessary to collect more times of minima in subsequent years to confirm the results of the present study. The period analysis of the over-contact system TZ Boo (W UMa type), using a collec- tion of data spanning 69 years (1948-2016), confirmed the spectroscopically detectable existence of a third body. The extensively explored topology of χ2 parameter space provided the best-fit solution of a very wide orbit e3 ' 0.7 and period P3 ' 35 years of a high mass (M3 ' 0.9M , coplanar obit) circumbinary object. Because of the over-contact binary’s nature, the conservative mass transfer phenomenon occurs from the primary to the secondary member of the system with a calculated rate of continuous period decrease dP/dt = −1.84 × 10−8 days year−1 and therefore a mass-transfer rate −8 −1 dM1/dt = −0.55 × 10 M year . Heuristic scanning with parameter perturbation and the genetic algorithm PIKAIA used to confirm solution’s stability and globallity in the parameter space. The analysis of the circular (sinusoidal) trend in the residuals using Nelder Mead Downhill Simplex and Levenberg-Marquardt algorithms, indicated the presence of a second companion with orbital parameters e4 ' 0.3, P4 ' 23 years and mass M4 '

0.49M . However, the rather large dispersion of observational data from previous years did not make possible the confirmation of the stability of the solution with heuristic scanning and therefore it is necessary to collect more accurate times of minima in following years. Applegate’s thin shell model can not be taken into account given the relatively small mass of secondary member (M2 = 0.21M ) and according to constant density model the star’s energy budget is insufficient to modulate binary’s period due to magnetic activity. Ευχαριστίες

Θα ήθελα να ευχαριστήσω την κυρία Ελευθερία Παναγιώτα Χριστοπούλου, Επίκουρη Καθηγήτρια του Τμήματος Φυσικής, για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε κατά την εκπόνηση αυτής της εργασίας καθώς και καθ΄ όλη την διάρκεια των σπουδών μου. Επίσης, τον κύριο Αθανάσιο Παπαγεωργίου, μεταδιδάκτορα του Pontificia Catolica de Chile για την βοήθειά του και τις χρήσιμες συμβουλές που μου προσέφερε με μεγάλη προθυμία. Τέλος, θέλω να ευχαριστήσω την οικογένειά μου για την πολύπλευρη στήριξή τους σε όλα τα στάδια των σπουδών μου. Στο χρόνο που δεν επαρκεί. 1.1 Το Πρόβλημα των Δύο Σωμάτων 6

Κεφάλαιο 1 : Τροχιακά χαρακτηριστικά διπλών συστημάτων

1.1 Το Πρόβλημα των Δύο Σωμάτων

Η κίνηση ενός διπλού αστρικού συστήματος περιγράφεται από το πρόβλημα των δύο σωμάτων (two-body problem), δηλαδή, από τη μελέτη της κίνησης δύο σωμάτων που αλληλεπιδρούν βαρυτικά. Δεδομένου του κεντρικού βαρυτικού πεδίου η κίνηση των δύο σωμάτων περιγράφεται από τη Lagrangian

1 2 1 2 Gm1m2 L = m1ν1 + m2ν2 + , (1.1) 2 2 |r2 − r1|

ενώ η επιλογή ενός βαρυκεντρικού συστήματος συντεταγμένων έχει ως αποτέλεσμα την ισχύ της έκφρασης

m1r1 + m2r2 = 0 (1.2)

και επομένως

m1 r1 = m2 r2 . (1.3)

Σχήμα 1.1: Βαρυκεντρικό σύστημα συντεταγμένων ενός διπλού συστήματος σωμάτων. 1.1 Το Πρόβλημα των Δύο Σωμάτων 7

Ορίζοντας τη σχετική απόσταση του συστήματος

r = r1 + r2 (1.4)

και χρησιμοποιώντας την (1.3), οι αποστάσεις r1, r2 μπορούν να εκφραστούν συναρ-

τήσει της σχετικής απόστασης r και της συνολικής μάζας M = m1 + m2 ως

m2 m1 r = r , r = r . (1.5) 1 M 2 M

Είναι εμφανές από το Σχήμα 1.1 ότι θ1 = θ2 − π = θ και υποθέτοντας επιπλέον ότι οι τροχιές των δύο σωμάτων βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, τότε για τις ταχύτητές τους θα ισχύει m2 ν2 =r ˙2 + r2θ˙2 = ( )2 (r ˙2 + r2θ˙2) (1.6) 1 1 1 1 M m1 ν2 =r ˙2 + r2θ˙2 = ( )2 (r ˙2 + r2θ˙2) . (1.7) 2 2 2 2 M Αντικαθιστώντας, λοιπόν, στην εξίσωση (1.1) προκύπτει η Lagrangian του συστήμα- τος : 1 m m2 1 m m2 Gm m L = 1 2 (r ˙2 + r2θ˙2) + 2 1 (r ˙2 + r2θ˙2) + 1 2 = 2 M 2 2 M 2 r 1 m m 1 m m Gm m M = 1 2 r˙2 + 1 2 r2θ˙2 + 1 2 = 2 M 2 M Mr 1 1 GµM = µr˙2 + µr2θ˙2 + (1.8) 2 2 r όπου µ η ανηγμένη μάζα του συστήματος

m1m2 m1m2 µ = = . (1.9) M m1 + m2

Ως γνωστόν οι Λαγκρανζιανές εξισώσεις κίνησης έχουν τη γενική μορφή

d ∂L ∂L ( ) − ( ) = 0 (1.10) dt ∂q˙j ∂qj

όπου οι γενικευμένες συντεταγμένες qj αποτελούν εξ΄ ορισμού ένα γραμμικά ανεξάρ- τητο σύστημα συντεταγμένων, όπως και στην περίπτωση των πολικών συντεταγμένων (r, θ). 1.1 Το Πρόβλημα των Δύο Σωμάτων 8

Επομένως, οι εξισώσεις κίνησης του συστήματος δύο σωμάτων είναι :

 d ∂L ∂L   ( ) − ( ) = 0     dt ∂r˙ ∂r  (1.11)    d ∂L ∂L   ( ) − ( ) = 0   dt ∂θ˙ ∂θ 

και οι αντίστοιχες παραγωγίσεις των απαιτούμενων ποσοτήτων, με τη Lagrangian να δίνεται από την εξίσωση (1.8), έχουν ως αποτέλεσμα τις εκφράσεις :

 ∂L     = µr˙   ∂r˙         ∂L   2 ˙   = µr θ   ∂θ˙      . (1.12)  ∂L 2 GµM   = µrθ˙ −   ∂r r2           ∂L   = 0     ∂θ   

Αντικαθιστώντας τις τελευταίες ποσότητες στις εξισώσεις (1.11) προκύπτουν οι εξι- σώσεις κίνησης του προβλήματος δύο σωμάτων :

 GµM   µr¨ − µrθ˙2 + = 0   2   r    . (1.13)  2µrr˙θ˙ + µr2θ¨ = 0       

Είναι εμφανές ότι ∂L = µr2θ˙ = J = ολική στροφορμή (1.14) ∂θ˙ d και εφόσον ισχύει ∂L/∂θ = 0 ⇒ (∂L/∂θ˙) = 0 ⇒ ∂L/∂θ˙ = σταθερά, η ολική dt στροφορμή του συστήματος παραμένει σταθερή. Επιπλέον, η Χαμιλτονιανή του συστήματος σχετίζεται με τη Λαγκρανζιανή μέσω της σχέσης dH ∂H ∂L = = − (1.15) dt ∂t ∂t 1.1 Το Πρόβλημα των Δύο Σωμάτων 9

και εφόσον η Λαγκρανζιανή (L) του διπλού συστήματος δεν εξαρτάται ρητά από το χρόνο, συνεπάγεται ότι η Χαμιλτονιανή (H) είναι ένα ολοκλήρωμα της κίνησης. Δεδομένου ότι οι γενικευμένες ορμές ορίζονται ως

∂L pi ≡ (1.16) ∂q˙i

για το πρόβλημα των δύο σωμάτων οι γενικευμένες ορμές και συντεταγμένες δίνονται από τις σχέσεις    p = [µr,˙ µr2θ˙]   i      (1.17)  q = [r, θ]   i     

και άρα η Χαμιλτονιανή του συστήματος ισούται με

1 1 GµM H(p , p , r, θ, t) = (µr˙2 + µr2θ˙2) − ( µr˙2 + µr2θ˙2) − =⇒ r θ 2 2 r

1 1 GµM H = ( µr˙2 + µr2θ˙2) − = T + U = C. (1.18) 2 2 r Επομένως, η Χαμιλτονιανή του συστήματος δύο σωμάτων όχι μόνο είναι ολοκλήρωμα της κίνησης αλλά ισούται και με την ολική ενέργεια (C1) του συστήματος και η οποία διατηρείται σταθερή. Τελικώς στο πρόβλημα των δύο σωμάτων οι εξισώσεις κίνησης δίνονται από τις (1.13), ενώ η ολική ενέργεια και η ολική στροφορμή διατηρούνται σταθερές.

1Η ολική ενέργεια του συστήματος συμβολίζεται με C διότι στις επόμενες υποενότητες θα χρησιμοποιηθεί ο συνήθης συμβολισμός E για μια άλλη σημαντική ποσότητα, αυτή της έκκεντρης ανωμαλίας. 1.2 Μορφή Τροχιάς 10

1.2 Μορφή Τροχιάς

1.2.1 Λύσεις των Εξισώσεων Κίνησης

Οι δύο εξισώσεις κίνησης (1.13) αποτελούν ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης και επομένως χρειάζονται τέσσερις σταθερές ολοκλήρωσης για την επίλυσή τους. Τα δύο ολοκληρώματα κίνησης (1.14), (1.18) μπορούν να μετατρέψουν τις εξισώσεις κίνησης σε πρωτοβάθμιες διαφορικές εξισώσεις της ισοδύναμης μορφής

 1 J 2 GµM   µr˙2 + − = C   2 2   2 2µr r    . (1.19)  2 ˙   µr θ = J     

Οι δύο απαιτούμενες σταθερές ολοκλήρωσης για την επίλυση των παραπάνω πρωτο- τάξιων διαφορικών εξισώσεων μπορούν να είναι οι αρχικές συνθήκες των εξαρτώμε-

νων μεταβλητών, δηλαδή, οι αρχικές συνθήκες [θ0, r0]. Η δεύτερη εξίσωση κίνησης ολοκληρώνεται εύκολα με αποτέλεσμα

t J θ(t) = dt + θ (1.20) ˆ µr2(t) 0 0

με την αρχική συνθήκη θ0 να μπορεί να αντιστοιχηθεί για οποιαδήποτε χρονική στιγμή t, αν και χάριν ευκολίας προτιμάται η t = 0. Η ολοκλήρωση της πρώτης εξίσωσης κίνησης είναι πιο δύσκολη και με απευθείας ολοκλήρωση το αποτέλεσμα είναι

r µ dr t(r) = ( )1/2 (1.21) 2 ˆ 1 J 2 GµM r [C − + ]1/2 0 2 µr2 r

και επομένως με την αρχική συνθήκη r0 μπορεί να βρεθεί η ζητούμενη λύση r(t) ως η αντίστροφη t(r)−1.

Ωστόσο, οι λύσεις r(t), θ(t) δεν μπορούν στην πράξη να χρησιμοποιηθούν για την εύρεση της τροχιάς ενός διπλού συστήματος από παρατηρησιακά δεδομένα. 1.2 Μορφή Τροχιάς 11

Προκειμένου να βρούμε εκείνα τα τροχιακά χαρακτηριστικά που προσδιορίζουν την χρονική περιγραφή της τροχιάς του συστήματος απο παρατηρησιακά δεδομένα, είναι αναγκαίο να προσδιοριστεί πρώτα η μορφή της τροχιάς.

1.2.2 Εξίσωση Τροχιάς

Η απαλοιφή του χρόνου από τις λύσεις των εξισώσεων κίνησης θα μας οδηγήσει σε μια συναρτησιακή σχέση r(θ) και επομένως στην τροχιά του συστήματος. Παρατηρώντας ότι ο τελεστής ολικής παραγώγισης ως προς το χρόνο μπορεί να γραφεί στη μορφή d dθ d J d = = (1.22) dt dt dθ µr2 dθ και εφόσον ισχύουν 1 dr d(1/r) = − (1.23) r2 dθ dθ J 2 θ˙2 = , (1.24) µ2r4

είναι δυνατό η πρώτη εξίσωση κίνησης (1.13) να γραφεί στη μορφή

J 2 d2(1/r) J 2 GµM − − = − . (1.25) µr2 dθ2 µr3 r2

Η εξίσωση αυτή καλείται εξίσωση τροχιάς του διπλού συστήματος καθώς η λύση της είναι η τροχιά r(θ). Η εξίσωση τροχιάς επιλύεται πιο εύκολα εάν θέσουμε

1 u ≡ (1.26) r

με αποτέλεσμα να πάρει την τελική μορφή

d2u Gµ2M + u = ≡ β = σταθερά . (1.27) dθ2 J 2

Η συνηθισμένη μορφή γενικής λύσης δευτεροτάξιων διαφορικών εξισώσεων της πα- ραπάνω μορφής είναι u = Acosθ + β (1.28)

και η οποία μπορεί να γραφεί ως

` r(θ) = , (1.29) (1 + ecosθ) 1.2 Μορφή Τροχιάς 12

έχοντας ορίσει  1 J 2   ` = =   2   β Gµ M      . AJ 2 (1.30)  e =   2   Gµ M     

Από τη στιγμή που στις παραπάνω εξισώσεις εμφανίζεται η ολική στροφορμή J ως βαθμωτό μέγεθος και όχι ως διάνυσμα, οι τροχιές των δύο σωμάτων θα είναι αναγκαστικά συνεπίπεδες. Ο λόγος για τον ορισμό των μετασχηματισμών (1.30) είναι ότι η εξίσωση (1.29) αποτελεί τη γενική εξίσωση κωνικής τομής με τη μία εστία στην αρχή των αξόνων (στην περίπτωση του διπλού συστήματος στο βαρύκεντρο, βαρυκεντρική τροχιά) και εκκεντρότητα e. Με αυτό τον τρόπο αποκαλύπτεται η ουσία του πρώτου νόμου του Kepler σύμφωνα με τον οποίο οι πλανήτες κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές γύρω από τον ΄Ηλιο, ο οποίος λόγω της πολύ μεγαλύτερής του μάζας θεωρείται ότι καταλαμβάνει τη μία εστία της έλλειψης. Σαφώς η έλλειψη είναι κωνική τομή, ωστόσο, για το σύστημα των δύο σωμάτων πρέπει να αποδείξουμε ποιά από τις μορφές κωνικών τομών περιγράφει την τροχιά τους και από ποια παράμετρο εξαρτάται η μορφή της κωνικής τομής. Διαφορίζοντας τη λύση r(θ) (1.29) της εξίσωσης τροχιάς και μετά από μερικές αλγεβρικές πράξεις προκύπτει η ταχύτητα

J 2 2` ν = [(e2 − 1) + ] . (1.31) µ2`2 r

Αντικαθιστώντας αυτή την ταχύτητα στο ολοκλήρωμα κίνησης της ενέργειας (1.18), σε συνδυασμό με την εξίσωση (1.24), προκύπτει ότι η ολική ενέργεια του συστήματος δίνεται από την σχέση 1 GµM C = (e2 − 1) . (1.32) 2 ` 1.2 Μορφή Τροχιάς 13

Είναι εμφανές από την τελευταία εξίσωση ότι το πρόσημο της ενέργειας C θα καθο- ρίσει το πρόσημο της εκκεντρότητας e και επομένως τη μορφή της τροχιάς :

   C > 0 =⇒ e2 > 1 =⇒ υπερβολική τροχιά             C = 0 =⇒ e2 = 1 =⇒ παραβολική τροχιά  . (1.33)        C < 0 =⇒ e2 < 1 =⇒ ελλειπτική τροχιά       

Αποδεικνύεται, λοιπόν, ότι εφόσον ο πρώτος νόμος του Kepler καθορίζει ότι οι τροχιές των πλανητών είναι ελλειπτικές, τότε η ολική τροχιακή ενέργεια των πλανητών είναι αρνητική ώστε το σύστημα να είναι κλειστό-δεσμευμένο. Ομοίως οι τροχιές ενός κλειστού διπλού αστρικού συστήματος είναι ελλειπτικές, με το βαρύκεντρο να βρίσκεται στη μία εστία κάθε έλλειψης (βαρυκεντρική τροχιά), και η ολική τροχιακή ενέργεια των μελών αρνητική.

Σχήμα 1.2: Σχηματική αναπαράσταση βαρυκεντρικής τροχιάς ενός διπλού συ- στήματος. Το βαρύκεντρο είναι σημειωμένο και βρίσκεται στην εστία κάθε έλλειψης.

Τοποθετώντας το ένα σώμα στην κύρια εστία της έλλειψης και το δεύτερο να περι- φέρεται γύρω του κατά μήκος της έλλειψης, λαμβάνουμε τη σχετική τροχιά του ενός αστέρα ως προς τον άλλο όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα. 1.2 Μορφή Τροχιάς 14

Σχήμα 1.3: Σχετική τροχιά ενός διπλού συστήματος (με τον ένα αστέρα στην κύρια εστία) και βασικά στοιχεία της έλλειψης.

Είναι εμφανές από το Σχήμα 1.3 ότι η κοντινότερη απόσταση στην κύρια εστία της έλλειψης αντιστοιχεί σε γωνία θ = 0 (περίαστρο) και η μακρινότερη απόσταση σε γωνία θ = π (άπαστρο). Από την εξίσωση ελλειπτικής τροχιάς (1.29) οι αποστάσεις αυτές αντιστοιχούν σε μήκη

rmin = r(0) = `/(1 + e) (1.34)

rmax = r(π) = `/(1 − e) (1.35)

ενώ το μήκος του μεγάλου ημιάξονα (a) είναι προφανώς

1 a = (r + r ) = `/(1 − e2) . (1.36) 2 min max

Πλέον το περίαστρο, το άπαστρο και η εξίσωση ελλειπτικής τροχιάς μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει και του μεγάλου ημιάξονα ως

rmin = a (1 − e) (1.37)

rmax = a (1 + e) (1.38) a (1 − e2) r(θ) = (1.39) 1 + ecosθ Βαρυκεντρική και Σχετική Τροχιά Διπλού Συστήματος (i) Βαρυκεντρικη Τροχιά 1.2 Μορφή Τροχιάς 15

΄Οπως έχει αναφερθεί στη βαρυκεντρική τροχιά ενός διπλού συστήματος το κάθε

μέλος πραγματοποιεί μια ελλειπτική τροχιά (μεγάλου ημιάξονα a1 και a2 αντίστοιχα) με το βαρύκεντρο να βρίσκεται στην κύρια εστία της κάθε έλλειψης. Πιο συγκεκριμένα :

1. Οι αστέρες ενός διπλού συστήματος βρίσκονται πάντα σε αντιδιαμετρικές θέσεις ως προς το βαρύκεντρο.

2. Οι τροχιές και το βαρύκεντρο του συστήματος βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

3. Οι δύο αστέρες κινούνται κατά την ίδια φορά.

4. Οι δύο αστέρες έχουν ίδια περίοδο P1 = P2 και οι τροχιές τους χαρακτηρίζονται

από ίδια εκκεντρότητα e1 = e2.

5. Κάθε στιγμή ισχύουν οι εξής σχέσεις αναλογίας μεταξύ αποστάσεων, μαζών και ταχυτήτων r1 m2 ν1 = = (1.40) r2 m1 ν2

Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (1.2), (1.3) και τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα προ- κύπτουν οι εξισώσεις κίνησης για κάθε μέλος :

Gm2 Gm2 m2 3 M ¨r1 = − 3 r = − 3 ( ) r1 ( ) =⇒ r r1 M m2

3 G(m2/M) ¨r1 = 3 r1 (1.41) r1 και αντίστοιχα 3 G(m1/M) ¨r2 = 3 r2 . (1.42) r2 Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Kepler το τετράγωνο της τροχιακής περιόδου ενός σώματος μάζας m που εκτελεί τροχιά υπό κεντρικό πεδίο δυνάμεων (εξαιτίας μάζας M  m) είναι ανάλογο του κύβου του μεγάλου ημιάξονα

4π2 P 2 = a3 (1.43) GM

και σύμφωνα με το νόμο του Νεύτωνα η εξίσωση κίνησής του είναι

GM ¨r = − r . (1.44) r3 1.2 Μορφή Τροχιάς 16

΄Αρα για κάθε μέλος του διπλού συστήματος ο τρίτος νόμος του Kepler λαμβάνει τη μορφή 2 a3 2 4π 1 P1 = 3 2 (1.45) G (m2/M )

2 a3 2 4π 2 P2 = 3 2 (1.46) G (m1/M )

3 2 3 2 με βαρυκεντρικές μάζες m1 = (m2/M ) και m2 = (m1/M ). Είναι δυνατό να αποδειχθεί ότι η ταχύτητα ενός σώματος μάζας m που εκτελεί ελλειπτική τροχιά συνδέεται με τα τροχιακά χαρακτηριστικά της μέσω της σχέσης

2 1 a3 2 1 ν2 = Gm( − ) = 4π2 ( − ) (1.47) r a P 2 r a

και εφόσον η απόστασή του r(θ) (1.39) μεταβάλλεται κάθε στιγμή θα μεταβάλλεται και η ταχύτητά του. Η μεταβολή αυτή είναι ημιτονοειδής και υποδηλώνει τη μετατροπή της κινητικής ενέργειας σε δυναμική και το αντίστροφο, ενώ η στροφορμή διατηρείται σταθερή. Επομένως, σε ένα διπλό σύστημα αστέρων οι μεταβολές των ακτινικών ταχυτήτων που παρατηρούνται φασματοσκοπικά παρέχουν πληροφορίες για τις βαρυκεντρικές τροχιές των μελών του.

(ii) Σχετικη Τροχιά Η σχετική τροχιά ενός διπλού συστήματος αφορά την περιστροφή του ενός μέλους γύρω από το άλλο και όχι γύρω από το βαρύκεντρο.

Αποτελεί μια ιδεατή τροχιά με εκκεντρότητα e = e1 = e2, περίοδο P = P1 = P2 και

μεγάλο ημιάξονα a = (a1 + a2).

Η κύρια εστία καταλαμβάνεται από μάζα ίση με του βαρύκεντρου M = (m1 +m2), ενώ

η περιφορά εκτελείται από ιδεατό σώμα μάζας ίσης με της ανηγμένης µ = (m1m2)/M. Σε αυτή την περίπτωση η εξίσωση κίνησης σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα είναι GM ¨r = − r (1.48) r3 και άρα ο τρίτος νόμος του Kepler έχει τη συνήθη μορφή

2 3 2 3 4π a 4π (a1 + a2) P 2 = = . (1.49) G M G (m1 + m2) 1.3 Εξίσωση Kepler 17

1.3 Εξίσωση Kepler

΄Οπως αναφέρθηκε στην υποενότητα 1.2.1 οι θέσεις r(t) (1.21) , θ(t) (1.20) των μελών ενός διπλού συστήματος δεν μπορούν να προσδιοριστούν παρατηρησιακά, ενώ η εξίσωση τροχιάς (1.39) δεν προσδιορίζει τη χρονοεξαρτώμενη θέση των μελών παρά μόνο το σχήμα της τροχιάς. Προκειμένου να περιγραφεί η κίνηση των μελών ενός διπλού συστήματος από παρα- τηρούμενα μεγέθη είναι αναγκαία η εφαρμογή του δεύτερου νόμου του Kepler και η εξαγωγή της εξίσωσης Kepler. Η έλλειψη προκύπτει ως η προβολή ενός κύκλου ο οποίος έχει περιστραφεί γύρω από τη διάμετρό του κατά μια γωνία ψ.

Θεωρώντας ότι κάθε σημείο του κύκλου αντιστοιχεί στο ζεύγος [xc, yc] και κάθε

σημείο της εγγεγραμμένης έλλειψης στο ζεύγος [xe, ye], τότε για κάθε xc = xe θα ισχύει η σχέση ye b = = cosψ (1.50) yc a όπου a, b ο μεγάλος και μικρός ημιάξονας αντίστοιχα. Το Πυθαγόρειο Θεώρημα εξασφαλίζει ότι

b r2 = y2 + (f − x )2 = ( )2y2 + (f − x )2 (1.51) e e a c c

με f (εστιακή απόσταση) την απόσταση από το κέντρο της έλλειψης έως την εστία της. Από την εξίσωση της έλλειψης (1.39) και για γωνία θ = 0 η παραπάνω σχέση γίνεται

1 − e2 r = a − f = a = a(1 − e) =⇒ (1.52) 1 + e

f = ae = (a2 − b2)1/2 . (1.53)

Ορίζοντας τη γωνία Ε από το περίαστρο έως ένα προβαλλόμενο σημείο [xc, yc] στον

κύκλο τότε    x = acos(E)   c      . (1.54)  y = asin(E)   c      1.3 Εξίσωση Kepler 18

Χρησιμοποιώντας αυτές τις εκφράσεις για τα σημεία [xc, yc] καθώς και τον ορισμό εστιακής απόστασης (1.53), η εξίσωση Πυθαγορείου Θεωρήματος (1.51) γίνεται

r = a [1 − cos(E)] . (1.55)

Η γωνία E ονομάζεται έκκεντρη ανωμαλία. Η γωνία θ της έλλειψης ονομάζεται αληθής ανωμαλία και εκφράζει την πολική γωνία σε βαρυκεντρικές συντεταγμένες.

Σχήμα 1.4: Χαρακτηριστικές γωνίες ελλειπτικής τροχιάς ως απόρροια των γεωμετρικών σχέσεων του κύκλου και της εγγεγραμμένης έλλειψης. Η σχέση μεταξύ των επιφανειών κύκλου και έλλειψης που σαρώνει το ακτινικό διάνυσμα αποτελεί και την ουσία της εξίσωσης Kepler.

Σε αυτό το σημείο είναι δυνατό να συσχετιστούν η εμβαδική ταχύτητα του ακτινικού διανύσματος ενός υποθετικού σωματιδίου που κινείται κατά μήκος της περιφέρειας του κύκλου και η εμβαδική ταχύτητα ενός πραγματικού σωματιδίου που κινείται κατά μήκος της ελλειπτικής τροχιάς. Το υποθετικό σωματίδιο θα κινείται πάνω στον κύκλο ακτίνας ίσης με το μεγάλο ημιάξονα της έλλειψης και επομένως τα δύο σωματίδια θα έχουν την ίδια περίοδο εφόσον αυτή εξαρτάται μόνο από το μεγάλο ημιάξονα. 1.3 Εξίσωση Kepler 19

Ωστόσο, το υποθετικό σωματίδιο θα κινείται στην κυκλική τροχιά με ομοιόμορφο γωνιακό ρυθμό ταχύτητας

2π M M ω = = = . (1.56) P Δt t − T

όπου ο αρχικός χρόνος T υποδηλώνει τη στιγμή διέλευσης από το περίαστρο (E = 0). Η ποσότητα M ορίζεται ως μέση ανωμαλία και αντιστοιχεί στη γωνιακή απόσταση που διανύει το υποθετικό σωματίδιο σε χρόνο Δt κατά μήκος του κύκλου, ορίζο- ντας παράλληλα τη θέση του πραγματικού σωματιδίου πάνω στην ελλειπτική τροχιά. Επομένως, για τη μέση ανωμαλία ισχύει

M = ω (t − T ) . (1.57)

Η έκκεντρη ανωμαλία μέσω της εξίσωσης (1.55) δεν έχει ρητή εξάρτηση από το χρόνο, ωστόσο, εάν συσχετιστεί με τη μέση ανωμαλία τότε θα γίνει δυνατή η εύρεση της χρονικής της εξάρτησης. Από το δεύτερο νόμο του Kepler (νόμος των εμβαδών) προκύπτει

M A = (1.58) 2π πab

όπου A το εμβαδό της έλλειψης που σαρώθηκε σε χρόνο (t − T ) και πab το ολικό εμβαδό της έλλειψης που σαρώθηκε σε μία περίοδο. Εφόσον κάθε σημείου του κύκλου αντιστοιχεί σε ένα σημείο της έλλειψης υπό κλίμα- κα, τα εμβαδά της προηγούμενης σχέσης μπορούν να κλιμακωθούν κατά b/a (σύμ- φωνα με τη σχέση (1.50) ) έτσι ώστε

1 2 1 1 2 1 2 M B aE − fyc aE − a esin(E) = = 2 2 = 2 2 . (1.59) 2π πa2 πa πa

Το εμβαδό B αντιστοιχεί στο προβαλλόμενο προς την έλλειψη εμβαδό (γραμμοσκια- σμένο με τετραγωνάκια στο Σχήμα 1.4) που σαρώνεται από την επιβατική ακτίνα του κύκλου. Τελικά η επίλυση της τελευταίας σχέσης ως προς τη μέση ανωμαλία έχει ως απο- τέλεσμα την έκφραση

2π M = (t − T ) = E − esin(E) (1.60) P 1.3 Εξίσωση Kepler 20

που ονομάζεται εξίσωση Kepler καθώς χρησιμοποιήθηκε ο δεύτερος νόμος του Ke- pler για το συσχετισμό της μέσης και έκκεντρης ανωμαλίας. Εξισώνοντας επί πλέον την εξίσωση ελλειπτικής τροχιάς (1.39) με την έκφραση του Πυθαγορείου Θεωρήματος στην έλλειψη (1.55), προκύπτει η συσχέτιση της έκκεντρης ανωμαλίας (E) με την αληθή ανωμαλία (θ):

a(1 − e2) = a[1 − ecos(E)] (1.61) 1 + ecosθ

και η οποία μετά από κάποιες τριγωνομετρικές πράξεις γράφεται ισοδύναμα

1 + e tan(θ/2) = [ ]1/2 tan(E/2) . (1.62) 1 − e

Επομένως, ο συνδυασμός της εξίσωσης Kepler (1.60) με την εξίσωση (1.62) συσχε- τίζει τις τρεις χαρακτηριστικές γωνίες θ, E, M, με τελικό αποτέλεσμα τη χρονική εξάρτηση της αληθούς ανωμαλίας. Προϋπόθεση, όμως, για την εύρεση της θ(t) αποτελεί η εύρεση της χρονικής εξάρ- τησης της έκκεντρης ανωμαλίας E, δηλαδή, η επίλυση της εξίσωσης Kepler.

1.3.1 Επίλυση Εξίσωσης Kepler

Η εξίσωση Kepler (1.60) ανήκει στην κατηγορία υπερβατικών εξισώσεων και οι οποίες εν γένει δεν εμφανίζουν κλειστή μορφή λύσεων. Επομένως, η επίλυσή τους στηρίζεται στη χρήση αριθμητικών μεθόδων, με την επαναληπτική μέθοδο Newton-Raphson να αποτελεί την επιλεγόμενη αριθμητική μέθοδο για την επίλυση της εξίσωσης Kepler. Θέτοντας την εξίσωση Kepler ως

2π f(E) = E − esin(E) − M = E − esin(E) − (t − T ) = 0 (1.63) P

επιθυμούμε να βρούμε την τιμή της έκκεντρης ανωμαλίας E για την οποία ικανοποι είται η παραπάνω εξίσωση. Σύμφωνα με τη μέθοδο Newton-Raphson επιλέγεται μια αρχική τιμή E(0) και η οποία προσεγγίζει την καλύτερη τιμή λύσης μέσω της σχέσης

f(E(k)) E(k+1) = E(k) − (1.64) f 0(E(k)) 1.4 Τροχιακά στοιχεία 21

επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία έως ότου ικανοποιηθεί το κριτήριο

E(k+1) − E(k) | | ≤ ε , (1.65) E(k)

όπου ε μια προκαθορισμένη ανοχή. Γραφικά η επαναληπτική μέθοδος Newton-Raphson εφαρμόζεται προεκτείνοντας την εφαπτομένη στο σημείο f(E(k+1)) μέχρι την τομή του άξονα x (τιμές του E). Η τιμή αυτή του x χρησιμοποιείται ως η νέα E(k+1) και η διαδικασία επαναλαμβάνεται ξανά. Η τιμή της E για την οποία η παράμετρος ανοχής μηδενίζεται (ε = 0) αποτελεί και την καλύτερη δυνατή λύση της ζητούμενης εξίσωσης (1.63). Η εφαρμογή της Newton-Raphson στην εξίσωση Kepler πραγματοποιείται επιλέγο- ντας    E(0) = M + esin(M)          M − E(k) + esin[E(k)] . (1.66)  E(k+1) = E(k) +   (k)   1 − ecos[E ]     

Αξίζει να σημειωθεί ότι η εφαρμογή της Newton-Raphson στην εξίσωση Kepler συγκλίνει στη ζητούμενη λύση πολύ γρήγορα, ωστόσο, υπάρχουν περιπτώσεις πολύ μικρής γωνίας M και πολύ μεγάλης εκκεντρότητας e στις οποίες δεν ευρίσκεται λύση.

1.4 Τροχιακά στοιχεία

Μέχρι στιγμής γνωρίζουμε για ένα διπλό σύστημα σωμάτων-αστέρων τις εξισώσεις κίνησης (1.19), τις λύσεις τους (1.20)-(1.21), τη μορφή της τροχιάς (1.39) και την εξίσωση Kepler (1.60). Από τις δύο τελευταίες εξισώσεις προκύπτει η χρονική εξάρτηση της αληθούς ανω- μαλίας μέσω παρατηρήσιμων μεγεθών. Ωστόσο, τα παραπάνω δεν αρκούν για τον πλήρη προσδιορισμό της κίνησης ενός δι- πλού αστρικού συστήματος, καθώς οι παρατηρούμενοι διπλοί αστέρες δεν βρίσκονται πάνω στο επίπεδο του ουρανού αλλά σε ένα τροχιακό επίπεδο υπο γωνία i. Είναι αναγκαίο, λοιπόν, να υπάρχει και μια περιγραφή του προσανατολισμού του τροχιακού επιπέδου και η οποία γίνεται μέσω των τροχιακών (ή κεπλέριων) στοιχείων. Τα τροχιακά στοιχεία είναι έξι και καθορίζονται από το διάνυσμα ολικής στροφορμής J και την ολική ενέργεια του συστήματος. 1.4 Τροχιακά στοιχεία 22

Τα τροχιακά στοιχεία που ορίζουν τη μορφή της τροχιάς είναι :

1. ο μεγάλος ημιάξονας (a)

2. η εκκεντρότητα (e)

3. χρόνος του περίαστρου (T )

Τα τροχιακά στοιχεία που ορίζουν τον προσανατολισμό της τροχιάς είναι :

1. κλίση τροχιακού επιπέδου (i)

2. γωνία του αναβιβάζοντος συνδέσμου (Ω, longitude of the ascending node)

3. γωνία ή όρισμα του περίαστρου (ω, longitude of the periastron)

Εάν τα τροχιακά στοιχεία μπορούν να μετρηθούν τότε ο προσδιορισμός της κίνησης του διπλού συστήματος είναι πλήρης και είναι δυνατό να υπολογιστούν οι μάζες του συστήματος. Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνονται οι τρεις γωνίες που προσδιορίζουν τον προσα- νατολισμό του τροχιακού επιπέδου σε σχέση με το επίπεδο του ουρανού.

Σχήμα 1.5: Απεικόνιση του τροχιακού επιπέδου σε σχέση με το επίπεδο του ουρανού (επίπεδο xy). Ο άξονας z αντιστοιχεί στην ευθεία παρατήρησης (με σημείο εκκίνησης το z = −∞) και οι τρεις χαρακτηριστικές γωνίες ορίζουν τον προσανατολισμό του τροχιακού επιπέδου. Ο θετικός άξονας x ορίζει την κατεύθυνση του βόρειου ουράνιου πόλου. 1.4 Τροχιακά στοιχεία 23

Το επίπεδο παρατήρησης αντιστοιχεί στο επίπεδο xy ως εφαπτομενικό της ουράνιας σφαίρας και σχηματίζει γωνία i με το τροχιακό επίπεδο. Το σημείο N (αναβιβάζων σύνδεσμος, ascending node) αποτελεί την προέκταση του σημείου τομής των δύο επιπέδων και υποδηλώνει την κατεύθυνση αναβίβασης των μελών του συστήματος προς το εξωτερικό της ουράνιας σφαίρας. Η ένωσή του με την αρχή των αξόνων δημιουργεί το ευθύγραμμο τμήμα ON που βρίσκεται στο επίπεδο παρατήρησης. Επομένως, η γωνία Ω του αναβιβάζοντος συνδέσμου βρίσκεται στο επίπεδο παρα- τήρησης.

Το σημείο Π αντιστοιχεί στο περίαστρο του σώματος m2 και η γωνία του περίαστρου ω βρίσκεται στο επίπεδο τροχιάς, οριζόμενη ως η γωνία μεταξύ του αναβιβάζοντος συνδέσμου και του περίαστρου. Η γωνία θ αντιστοιχεί στην πολική γωνία του τροχιακού επιπέδου και ορίζεται όπως έχει αναφερθεί ως αληθής ανωμαλία.

1.4.1 Τροχιακή (Φωτομετρική) και Γωνιακή Φάση

Η τροχιακή κίνηση ενός διπλού συστήματος αστέρων εκτελείται περιοδικά και η πλήρης περιφορά των σωμάτων γύρω από το βαρύκεντρο αντιστοιχεί στην περίοδο του συστήματος ή ισοδύναμα στην εκπλήρωση ενός κύκλου (χρονικού). Μια χρήσιμη ποσότητα για την περιγραφή της κίνησης ενός διπλού συστήματος είναι η τροχιακή (ή φωτομετρική) φάση και η οποία ορίζεται ως το κλάσμα της περιόδου που έχει περάσει από ένα χρόνο αναφοράς

t − t0 Φ(t) = int( ) (1.67) P

όπου int το ακέραιο κομμάτι της φάσης και ο χρόνος αναφοράς t0 συνήθως αντιστοι- χίζεται με τη χρονική στιγμή πρωτεύοντος ελαχίστου, δηλαδή, το χρονικό σημείο της έκλειψης του θερμότερου αστέρα του συστήματος από τον ψυχρότερο. Η φάση, όπως και ο χρόνος, είναι παρατηρούμενο μέγεθος και μεταβάλλεται γραμμικά με τιμές στο διάστημα 0 ≤ Φ ≤ 1. Από τον ορισμό της μέσης ανωμαλίας (1.57) προκύπτει ότι η σχέση της με την τροχιακή φάση δίνεται από την έκφραση

M = 2π [Φ(t) − Φper.] (1.68)

t − T όπου Φ = με T το χρόνο διέλευσης από το περίαστρο. per. P 1.4 Τροχιακά στοιχεία 24

Η γεωμετρική φάση (ϑ) αντιστοιχεί στην γωνιακή φάση του συστήματος, δηλαδή, στην πολική γωνία που έχει διαγραφεί με αρχικό σημείο την κύρια (πρωτεύουσα) έκλειψη.

Ορίζοντας ως tI το χρόνο πρωτεύοντος ελαχίστου (κύρια έκλειψη) και ως tII το

χρόνο δευτερεύοντος ελαχίστου (δευτερεύουσα έκλειψη), με tII > tI , τότε η χρονική διαφορά εκπεφρασμένη ως διαφορά φάσης μεταξύ των χρόνων ελαχίστων δίνεται προσεγγιστικά από τη σχέση (Binnendijk (1960) ή Tsesevich (1973))

P P 1 (t − t ) − = ecos(ω) (1 + ) (1.69) II I 2 π sin2(i)

ή ισοδύναμα διαιρώντας με την περίοδο

(tII − tI ) 1 1 1 − = ecos(ω) (1 + ) (1.70) P 2 π sin2(i)

και η οποία περιγράφει την απόκλιση της χρονικής διαφοράς των δύο ελαχίστων από την ημιπερίοδο του συστήματος.

1.4.2 Κυκλικές και ΄Εκκεντρες Τροχιές

Η τροχιά ενός διπλού συστήματος αστέρων αποδείχτηκε ότι εν γένει είναι ελλειπτική, ωστόσο, πολλά εκλειπτικά διπλά συστήματα χαρακτηρίζονται από κυκλικές τροχιές εξαιτίας των παλιρροϊκών δυνάμεων μεταξύ των μελών. Κυκλικές Τροχιές Σύμφωνα με τον Hut (1981) οι παλιρροϊκές δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ των μελών κατά την εξέλιξη ενός διπλού αστρικού συστήματος (tidal evolution), έχουν ως αποτέλεσμα τη συνεχή μεταβολή των τροχιακών και περιστροφικών παραμέτρων. Μακροπρόθεσμα μια κατάσταση ισορροπίας θα επιτευχθεί στο σύστημα ή τα δύο μέλη θα ακολουθήσουν μια σπειροειδή κίνηση αυξανόμενου ρυθμού γύρω από το βαρύκεντρο, με αποτέλεσμα να συγκρουστούν. Η κατάσταση ισορροπίας χαρακτηρίζεται από κυκλικές, συμπεριστρεφόμενες - σύγ- χρονες (ίδια περίοδος) τροχιές των μελών. Στις κυκλικές τροχιές η θέση κάθε αστέρα είναι μια απλή συνάρτηση της τροχιακής φάσης Φ και η οποία ταυτίζεται με την γεωμετρική φάση, έτσι ώστε

ϑ = ϑ(Φ) = 2πΦ . (1.71) 1.4 Τροχιακά στοιχεία 25

Από τη σχέση (1.70) της διαφοράς φάσης των διαδοχικών χρόνων ελαχίστων προ- κύπτει ότι για κυκλικές τροχιές (e = 0)

(tII − tI ) = 0.5 (1.72) P

δηλαδή, δύο διαδοχικές εκλείψεις έχουν διαφορά φάσης ∆Φ = 0.5 . Επομένως, στα εκλειπτικά διπλά συστήματα αστέρων με σταθερή περίοδο αναμένεται η εμφάνιση του πρωτεύοντος ελαχίστου στη φάση Φ = 0 ενώ του δευτερεύοντος ελαχίστου στη φάση Φ = 0.5 . Στις κυκλικές τροχιές η τροχιακή φάση ταυτίζεται με τη φάση του περίαστρου έτσι ώστε

M = 2π Φper. . (1.73)

΄Εκκεντρες Τροχιές Εάν και πολλά (Lucy and Sweeney, 1971) διπλά εκλειπτικά συστήματα χαρακτηρίζο- νται από κυκλικές τροχιές είναι κάποια που χαρακτηρίζονται από ελλειπτικές τροχιές και εκ των οποίων ορισμένα εμφανίζουν μεγάλη εκκεντρότητα (π.χ. το σύστημα HR 6469 με e = 0.672, Scarfe et al., 1994). Οι έκκεντρες τροχιές δεν πρέπει να θεωρούνται αφύσικες στα διπλά εκλειπτικά συ- στήματα καθώς η κατάσταση ισορροπίας εξαιτίας των παλιρροϊκών δυνάμεων χρει- άζεται μεγάλο χρονικό διάστημα για να επιτευχθεί (Hut, 1981). Στην περίπτωση έκκεντρης τροχιάς η γεωμετρική φάση συνδέεται με την τροχιακή φάση μέσω της σχέσης ϑ = ϑ(Φ) = (θ + ω) − π (1.74)

όπου θ αληθής ανωμαλία και ω η γωνία του περίαστρου. Από την σχέση (1.70) είναι εμφανές ότι για ελλειπτικές τροχιές μόνο στην περίπτωση π που το όρισμα του περίαστρου είναι ίσο με ω = προκύπτει διαφορά φάσης μεταξύ 2 διαδοχικών ελαχίστων ∆Φ = 0.5, ενώ σε διαφορετική περίπτωση υπάρχει ασυμμετρία μεταξύ πρωτεύοντος και δευτερεύοντος χρόνου ελαχίστου. Στη μοναδική αυτή περίπτωση η τροχιακή φάση ταυτίζεται με τη φάση του περίαστρου (όπως και στις κυκλικές τροχιές) έτσι ώστε

M = 2π Φper. . (1.75) 1.4 Τροχιακά στοιχεία 26

1.4.3 Σχέση τροχιακών στοιχείων με την ολική στροφορμή και ενέργεια

Η κινητική ενέργεια του συστήματος ισούται με

1 1 1 K = m ν2 + m ν2 = µν2 (1.76) 2 1 1 2 2 2 2

όπου ν2 =r ˙2 + r2θ˙2. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση τροχιάς (r = `/(1+ecosθ)) υπολογίζουμε τους όρους

r2 L r˙ = θ˙ esinθ = esinθ ` `

r2θ˙ L L rθ˙ = = = (1 + ecosθ) ` r ` J όπου L = η στροφορμή ανα μάζα (specific angular momentum). µ Αντικαθιστώντας στην έκφραση της ταχύτητας προκύπτει

L ν2 = ( )2[e2sin2θ + 1 + 2ecosθ + e2cos2θ] `

L L = ( )2[e2 + 1 + 2ecosθ] = ( )2[2(1 + cosθ] − 1 + e2] ` ` L 2` L2 ` 1 − e2 = ( )2[ − (1 − e2)] = ( )[ − ] =⇒ ` r ` r ` L2 2 1 ν2 = ( )[ − ] , (1.77) ` r a όπου στο τελευταίο βήμα χρησιμοποιήθηκε η σχέση (1.36) για το μεγάλο ημιάξονα. Από το δεύτερο νόμο του Kepler ισχύει

dA J L πab = = ⇒ L = 2 , dt 2µ 2 P

όπου πab το εμβαδό της έλλειψης και P η τροχιακή περίοδος. Από τη σχέση εστιακής απόστασης (1.53) προκύπτει για την εκκεντρότητα

s b e = 1 − ( )2 (1.78) a 1.4 Τροχιακά στοιχεία 27

και άρα λύνοντας ως προς το μικρό ημιάξονα

q b = a2(1 − e2) . (1.79)

Αντικαθιστώντας την παραπάνω έκφραση για το μικρό ημιάξονα στο δεύτερο νόμο του Kepler έχουμε 4π2a2b2 4π2a3 L2 = = a(1 − e2) . P 2 P 2 ΄Ομως, από τον τρίτο νόμο του Kepler ισχύει

4π2 P 2 = a3 GM

και αντικαθιστώντας στην προηγούμενη σχέση το τετράγωνο της στροφορμης ανα μάζα γράφεται τελικά L2 = GM a(1 − e2) = GM` . (1.80)

Επομένως, το τετράγωνο της ταχύτητας (1.77) ισούται με

2 1 ν2 = GM [ − ] (1.81) r a

και άρα η κινητική ενέργεια του διπλού συστήματος γίνεται

1 1 m m 2 1 K = µν2 = 1 2 GM [ − ] =⇒ 2 2 M r a

Gm1m2 Gm1m2 K = − . (1.82) r 2a Η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι εξ΄ ολοκλήρου βαρυτική, άρα

Gm1m2 U = − (1.83) r

και η ολική ενέργεια του συστήματος ισούται με

Gm1m2 C = K + U = − < 0 . (1.84) 2a

Επομένως, επιβεβαιώνεται ότι ένα διπλό σύστημα αστέρων είναι δέσμιο (αρνητική ενέργεια) με αποτέλεσμα να εκτελεί ελλειπτική τροχιά. Το μέτρο της ολικής στροφορμής του συστήματος είναι ίσο με

J = m1L1 + m2L2 (1.85) 1.4 Τροχιακά στοιχεία 28

με  m2   2   L1 = L   M 2      2 (1.86)  m1   L2 = L   2   M   

και L = GM a(1 − e2) όπως αποδείχτηκε προηγουμένως. Τελικά για την ολική στροφορμή ισχύει

1 q J = (m m2 + m m2) GMa(1 − e2) M 2 1 2 2 1

s Ga(1 − e2) = m m 1 2 M √ 2 2 2π m1m2 a 1 − e = . (1.87) P M Αποδεικνύεται, λοιπόν, ότι η ολική ενέργεια C ενός διπλού συστήματος εξαρτάται από τις μάζες των μελών του και το μήκος του μεγάλου ημιάξονα της σχετικής τροχιάς, ενώ η ολική στροφορμή J εξαρτάται επιπλέον από την περίοδο και την εκκεντρότητα της τροχιάς.

Με άλλα λόγια, το σχήμα της έλλειψης και η περίοδος του συστήματος εξαρτώνται από την ολική ενέργεια και στροφορμή. Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 1 29

Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 1

M. Benacquista. An Introduction to the Evolution of Single and Binary Stars. Springer-Verlag New York, 2013.

L. Binnendijk. Properties of double stars; a survey of parallaxes and orbits. 1960.

G. W. Collins, II. The Foundations of Celestial Mechanics. Pachart Publishing House, 1989.

R. W. Hilditch. An Introduction to Close Binary Stars. 2001.

P. Hut. Tidal evolution in close binary systems. Astronomy and Astrophysics, 99: 126–140, June 1981.

J. Kallrath and F. E. Milone. Eclipsing Binary Stars: Modeling and Analysis. Springer, 2009.

L. B. Lucy and M. A. Sweeney. Spectroscopic binaries with circular orbits. Astronomical Journal, 76:544–556, August 1971. doi: 10.1086/111159.

C. D. Scarfe, D. J. Barlow, F. C. Fekel, R. F. Rees, R. W. Lyons, C. T. Bolton, H. A. McAlister, and W. I. Hartkopf. The spectroscopic-speckle triple system HR 6469. Astronomical Journal, 107:1529–1541, April 1994. doi: 10.1086/116963.

C. Sterken. The O-C Diagram: Basic Procedures. In C. Sterken, editor, The Light-Time Effect in Astrophysics: Causes and cures of the O-C diagram, volume 335 of Astronomical Society of the Pacific Conference Series, page 3, July 2005.

V. P. Tsesevich. Eclipsing variable stars. 1973. Κεφάλαιο 2 30

Κεφάλαιο 2 : Γεωμετρικά χαρακτηριστικά δι- πλών συστημάτων

Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάστηκαν οι εξισώσεις κίνησης ενός διπλού συστήμα- τος αστέρων με αποτέλεσμα την εύρεση των τροχιακών χαρακτηριστικών τους. Φυσική συνέχεια στη μελέτη του διπλού συστήματος αποτελεί η εύρεση του κοινού βαρυτικού τους πεδίου και τα αποτελέσματα της βαρυτικής τους αλληλεπίδρασης. Προκειμένου να μελετηθεί το βαρυτικό πεδίο του συστήματος είναι αναγκαία η χρήση ενός τρίτου βοηθητικού σώματος μάζας m, το οποίο βρίσκεται υπό την επίδραση του βαρυτικού πεδίου, ωστόσο, χαρακτηρίζεται από πολύ μικρή μάζα τέτοια ώστε να μην επηρεάζεται η κίνηση του διπλού συστήματος. Επομένως, η δυναμική του συστήματος ισοδυναμεί με αυτή ενός συστήματος τριών σωμάτων (πρόβλημα τριών σωμάτων, three body problem) και για το οποίο είναι αδύνατη η εύρεση λύσεων για τις εξισώσεις κίνησης του τρίτου σώματος. Παρόλη την αδυναμία επίλυσης του προβλήματος των τριών σωμάτων στο Σύμπαν συναντώνται συχνά τριπλά και πολλαπλά συστήματα σωμάτων δεσμευμένων υπό το κοινό τους βαρυτικό πεδίο. Ωστόσο, σε όλα αυτά τα συστήματα τα σώματα φαίνεται πως ακολουθούν μια ιεραρ- χική δομή ανάλογη του συστήματος δύο σωμάτων (Collins, 1989). Για παράδειγμα, σε ένα σύστημα τριών αστέρων τα δύο μέλη συμπεριφέρονται σαν ένα υπό κοινή τροχιά και το τρίτο μέλος κινείται γύρω από αυτά σε μακρινή απόσταση, ενώ σε ένα τετραπλό σύστημα τα μέλη χωρίζονται ανά δύο σχηματίζοντας ένα διπλό σύστημα αποτελούμενο από διπλά συστήματα. Η βαρυτική μελέτη του συστήματος τριών σωμάτων εμφανίζει πολλά κοινά με τη δυναμική μελέτη του, με το σημαντικότερο να είναι η ταύτιση των ισοδυναμικών επιφανειών (equipotential surfaces) του συστήματος με τις επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας (zero velocity surfaces) του προβλήματος τριών σωμάτων. ΄Οπως θα αποδειχθεί στη συνέχεια, η ύπαρξη ισοδυναμικών επιφανειών έχει ως απο- τέλεσμα τον καθορισμό της γεωμετρίας (σχήμα), των φυσικών χαρακτηριστικών και της εξέλιξής των μελών του διπλού συστήματος. Το μοντέλο που προκύπτει από τη μελέτη του βαρυτικού πεδίου ενός διπλού συ- στήματος αστέρων ονομάζεται μοντέλο Roche προς τιμήν του Γάλλου αστρονόμου Édouard Albert Roche, ο οποίος μελέτησε το περιορισμένο πρόβλημα τριών σωμάτων που εκτελούν κυκλική κίνηση (circular restricted three body problem). 2.1 Ενεργό Βαρυτικό Δυναμικό - Δυναμικό Kopal 31

2.1 Ενεργό Βαρυτικό Δυναμικό - Δυναμικό Kopal

Προκειμένου να εκφράσουμε το βαρυτικό πεδίο ενός διπλού συστήματος αστέρων, θεωρούμε ότι τα μέλη του συστήματος εκτελούν κυκλικές τροχιές και ότι ένα τρίτο σώμα πολύ μικρής μάζας m βρίσκεται υπό την επίδραση του βαρυτικού τους πεδίου (circular restricted three body problem). Εκτός αυτού λαμβάνουμε υπόψιν και τις εξής υποθέσεις (Kallrath and Milone, 2009):

1. Οι δύο αστέρες του συστήματος αλληλεπιδρούν βαρυτικά σαν δύο σημειακές μάζες που περιβάλλονται από άμαζα περιβλήματα (δηλαδή, οι αστέρες χαρακτη- ρίζονται από σφαιρική κατανομή μάζας).

2. Οι αστέρες περιστρέφονται γύρω από τον άξονά τους σαν στερεό σώμα, δηλαδή, απουσία διαφορικής περιστροφής.

3. Οι δυνάμεις Coriolis αγνοούνται.

4. Η περίοδος των μη ακτινικών ταλαντώσεων είναι πολύ μικρότερη της τροχια- κής περιόδου P , με αποτέλεσμα το σχήμα των μελών να εξαρτάται μόνο από το στιγμιαίο πεδίο δυνάμεων και όπως θα αποδειχτεί οι επιφάνειές τους να περιγράφονται από επιφάνειες ίσης πυκνότητας, πίεσης και δυναμικού.

5. Οι αστέρες βρίσκονται συνεχώς σε υδροστατική ισορροπία. Αυτό περιορίζει το σύστημα σε κυκλικές τροχιές με σύγχρονες περιστροφές (synchronous rota- tions) των μελών, εξαιτίας του πολύ μικρού χρόνου μεταβολής των δυνάμεων που δρουν στις επιφάνειές τους.

΄Εστω, λοιπόν, ένα διπλό σύστημα αστέρων με τα μέλη του να χωρίζονται μονίμως

από απόσταση α = α1 + α2 εκτελώντας κυκλικές τροχιές γύρω από το βαρύκεντρο, ενώ το τρίτο σώμα μάζας m απέχει απόσταση r από αυτό. Η κίνηση του συστήματος μπορεί να περιγραφεί από ένα περιστρεφόμενο σύστημα αξόνων (synodic coordinate system) με αποτέλεσμα στο τρίτο σώμα να ασκείται φυγόκεντρος δύναμη ή ισοδύναμα από ένα ακίνητο σύστημα αξόνων (sidereal coor- dinate system) με τα σώματα να περιστρέφονται και να ασκείται κεντρομόλος δύναμη στο σώμα μάζας m. Επιλέγοντας το περιστρεφόμενο σύστημα αξόνων με αρχή το βαρύκεντρο του διπλού συστήματος, τότε η γωνιακή συχνότητα περιστροφής δίνεται από τον τρίτο νόμο του Kepler και ισούται με

2 2π 2 (m1 + m2) ω = ( ) = G 3 . (2.1) P (α1 + α2) 2.1 Ενεργό Βαρυτικό Δυναμικό - Δυναμικό Kopal 32

Σχήμα 2.1: Γεωμετρία του προβλήματος τριών σωμάτων. Η αρχή των αξόνων βρίσκεται στο βαρύκεντρο του διπλού συστήματος ενώ το σύστημα συντεταγμένων περιστρέφεται με γωνιακή συχνότητα ω.

Οι δυνάμεις που ασκούνται στο τρίτο σώμα είναι η βαρυτική

(m1 + m2)m F = −G rˆ (2.2) g r2

που προέρχεται από ένα βαρυτικό δυναμικό τέτοιο ώστε Fg = −∇Ug με

(m1 + m2)m U = −G (2.3) g r

και η φυγόκεντρος δύναμη 2 Fc = mω r rˆ (2.4)

που προέρχεται από το περιστροφικό δυναμικό Uc τέτοιο ώστε Fc = −∇Uc με

1 U = − mω2r2. (2.5) c 2

Επομένως, η συνολική δυναμική ενέργεια του σωματίου m είναι

(m1 + m2)m 1 U = U + U = −G − mω2r2 . (2.6) g c r 2

΄Ομως με βάση την αρχή της επαλληλίας το βαρυτικό δυναμικό μπορεί να γραφεί ισοδύναμα στη μορφή m1m m2m Ug = −G − G (2.7) r1 r2 2.1 Ενεργό Βαρυτικό Δυναμικό - Δυναμικό Kopal 33

και τελικά η συνολική δυναμική ενέργεια του τρίτου σώματος ισούται με

m1 m2 1 U = −Gm( + ) − mω2r2 . (2.8) r1 r2 2

Διαιρώντας την παραπάνω σχέση με τη μάζα του τρίτου σώματος προκύπτει το ενεργό βαρυτικό δυναμικό U m1 m2 1 Φ ≡ = −G( + ) − ω2r2 . (2.9) m r1 r2 2 και το οποίο καλείται ενεργό καθώς αποτελείται από όρους δύο διαφορετικών αιτιών. Οι τιμές του ενεργού βαρυτικού δυναμικού είναι δυνατό να υπολογιστούν αντικαθι- στώντας σε καρτεσιανές συντεταγμένες τις αποστάσεις

   r = |r − α | = r2 + α2 + 2rαcosθ   1 1 1         2 2  r2 = |r − α2| = r + α2 − 2rcosθ . (2.10)          r2 = x2 + y2 

Το ενεργό βαρυτικό δυναμικό θεωρείται ψευδοδυναμικό καθώς αντιστοιχεί στην ύπαρξη μιας φαινομενικής φυγόκεντρου δύναμης

Fcentrifugal = −m∇Φ (2.11)

στην οποία οφείλεται η κίνηση του τρίτου σώματος στο μη αδρανειακό περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. Στο σημείο αυτό αξίζει να τονιστεί ότι το ενεργό βαρυτικό δυναμικό έχει περιορι- σμένη ισχύ καθώς δεν περιγράφει τις περιπτώσεις που το τρίτο σώμα βρίσκεται στην επιφάνεια ή στο εσωτερικό ενός αστέρα, ενώ και οι παλιρροϊκές δυνάμεις αγνοούνται εξ΄ υποθέσεως (σφαιρικοί αστέρες). Εξαιτίας της γεωμετρίας του συστήματος είναι συνετό να χρησιμοποιηθούν οι σφαι- ρικές συντεταγμένες    x = rsinθcosφ = λr             y = rcosθcosφ = µr  . (2.12)        z = rcosθ = νr        2.1 Ενεργό Βαρυτικό Δυναμικό - Δυναμικό Kopal 34

Σχήμα 2.2: Γεωμετρία του προβλήματος τριών σωμάτων με αρχή των αξόνων στον αστέρα μάζας m1.

όπου οι παράμετροι λ, µ, ν καλούνται διευθύνοντα συνημίτονα, ενώ χάριν ευκολίας τοποθετούμε την αρχή του σφαιρικού συστήματος συντεταγμένων στον αστέρα μάζας m1 και το βαρύκεντρο στον άξονα x.

M Το κέντρο μάζας του συστήματος εξαρτάται από το λόγο μαζών q = 2/M1 και οι συντεταγμένες του δίνονται από την έκφραση

P i mixi qα xc = P = . (2.13) i mi 1 + q

Χρησιμοποιώντας τις σφαιρικές συντεταγμένες (2.12) και εφόσον από το σχήμα (2.2) ισχύει    r1 = r         √   2 2   r2 = r − 2xα + α  (2.14)      q   |r| = (x − x )2 + y2   c     

το ενεργό βαρυτικό δυναμικό (2.9) γράφεται ως

Gm1 Gm2 1 2 2 2 2 Φ(λ, µ, ν) = − − √ − ω [r (1 − ν ) − 2rλxc + x ] (2.15) α r2 − 2αrλ + α2 2 c

και αντικαθιστώντας τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής (2.1) καταλήγουμε στην πλήρη μορφή του ενεργού βαρυτικού δυναμικού 2.1 Ενεργό Βαρυτικό Δυναμικό - Δυναμικό Kopal 35

Gm1 α α rλ Φ(λ, µ, ν) = − [ + q (√ − ) + α r r2 − 2αrλ + α2 α 1 r2 1 q2 + (1 + q)(1 − ν2) + ] . (2.16) 2 α2 2 1 + q Το ενεργό βαρυτικό δυναμικό μπορεί να νορμαλιστεί στην αδιάστατη μορφή του εκφρασμένο ως αΦ 1 q2 αΦ Ω = − − = − − Ωq (2.17) GM1 2 1 + q GM1 και το οποίο αντικαθιστώντας την (2.16) και την αδιάστατη μεταβλητή % = r/α γράφεται στην τελική μορφή

1 1 1 Ω(%, q) = + q (√ − %λ) + (1 + q)(1 − ν2) %2 . (2.18) % %2 − 2%λ + 1 2

Η τελική αδιάστατη μορφή του ενεργού βαρυτικού δυναμικού εισήχθη από τον Kopal (1959) και για αυτό συχνά καλείται και τροποποιημένο δυναμικό Kopal.

Το δυναμικό Kopal στην παραπάνω μορφή εξήχθη με τον τον αστέρα m1 στην αρχή

των αξόνων, ενώ εάν επιθυμούμε την εύρεσή του με σημείο αναφοράς τον αστέρα m2 τότε αρκεί η συμμετρική μετάθεση των Ω και q :

Ω 1 q − 1 1 Ω0 = + , q0 = . (2.19) q 2 q q

Είναι σημαντικό να τονιστεί ότι το τροποποιημένο δυναμικό Kopal εξήχθη στηρι- ζόμενοι στις υποθέσεις των κυκλικών και σύγχρονων τροχιών και επομένως μόνο σε τέτοιες περιπτώσεις ισχύουν τα Ω,Ω0 για τη βαρυτική περιγραφή ενός διπλού συστήματος. Η γενίκευση του βαρυτικού δυναμικού Kopal για την περίπτωση κυκλικών ασύγ- χρονων τροχιών έχει αναπτυχθεί από τους Plavec (1958) και Limber (1963) με αποτέλεσμα

1 1 1 Ω(%, q) = + q (√ − %λ) + F 2 (1 + q)(1 − ν2) %2 . (2.20) % %2 − 2%λ + 1 2

όπου F ο παράγοντας συγχρονισμού

ωrot F ≡ , (2.21) ωorb 2.1 Ενεργό Βαρυτικό Δυναμικό - Δυναμικό Kopal 36

ωrot η περιστροφική γωνιακή ταχύτητα του αστέρα και ωorb η τροχιακή γωνιακή ταχύτητά του. Είναι εμφανές ότι η μόνη διαφορά με την περίπτωση των κυκλικών σύγχρονων τροχιών είναι ότι ο φυγόκεντρος όρος είναι πολλαπλασιασμένος με F 2. Η γενικότερη περίπτωση ελλειπτικών και ασύγχρονων τροχιών μελετήθηκε από τον Wilson (1979) με αποτέλεσμα

1 1 %λ 1 Ω(%, q, δ) = + q (√ − ) + F 2 (1 + q) %2 (1 − ν2) , (2.22) % δ2 + %2 − 2%δλ δ2 2

όπου δ = D/α = δ(Φ) η στιγμιαία απομάκρυνση σε μονάδες μεγάλου ημιάξονα. Η σχέση (2.22) για το δυναμικό Kopal σε έκκεντρες τροχιές ισχύει με την προϋπόθε- ση η περίοδος των μη ακτινικών ταλαντώσεων να είναι πολύ μικρότερη της τροχιακής περιόδου P . Μία από τις υποθέσεις για την βαρυτική περιγραφή ενός διπλού αστρικού συστήμα- τος είναι η απουσία διαφορικής περιστροφής, με φυσικό επακόλουθο ο παράγοντας συγχρονισμού F να έχει την ίδια τιμή για ένα αστέρα. Στην περίπτωση των κυκλικών και σύγχρονων τροχιών λαμβάνει τιμή F = 1. Για την έκκεντρη περίπτωση ο Hut (1981) απέδειξε, απόρροια της διατήρησης της στροφορμής, ότι η γωνιακή τροχιακή ταχύτητα δίνεται από την σχέση

1 2π √ ω(t) = ( ) 1 − e2 (2.23) δ2 P

και ότι στο περίαστρο εμφανίζεται ένα είδος ψευδο-συγχρονισμού των μελών εξαιτίας των ισχυρών παλιρροϊκών δυνάμεων. Αντικαθιστώντας, λοιπόν, την απόσταση του περίαστρου (δ = 1 − e) στην παραπάνω σχέση, προκύπτει ο ψευδο-συγχρονισμός στο περίαστρο

s 1 + e F = . (2.24) (1 − e)3

Συμπερασματικά, το βαρυτικό δυναμικό ενός διπλού συστήματος αστέρων περιγράφε- ται από το τροποποιημένο δυναμικό Kopal όχι μόνο στην περίπτωση κυκλικών σύγ- χρονων τροχιών, αλλά και στις γενικευμένες περιπτώσεις κυκλικών και έκκεντρων ασύγχρονων τροχιών, με τις ανάλογες τροποποιήσεις. 2.2 Μοντέλο Roche 37

2.2 Μοντέλο Roche

Αποδείξαμε ότι το βαρυτικό δυναμικό ενός διπλού συστήματος αστέρων δίνεται από το ενεργό βαρυτικό δυναμικό ( (2.9) σε καρτεσιανές και (2.16) σε σφαιρικές συντε- ταγμένες) ή από το ισοδύναμο τροποποιημένο δυναμικό Kopal (2.18). Στο ενεργό βαρυτικό δυναμικό αντιστοιχεί μια φυγόκεντρος δύναμη (2.11) και η ισοδύναμή της εξαιτίας του δυναμικού Kopal είναι με βάση την (2.17)

Gm1 F = −m ∇Ω. (2.25) centrifugal α

Η δύναμη που οφείλεται στο ενεργό βαρυτικό δυναμικό ή ισοδύναμα στο δυναμικό Kopal αποκτάει το ρόλο της φυγόκεντρου στην περίπτωση του μη αδρανειακού περι- στρεφόμενου συστήματος συντεταγμένων, ενώ στην περίπτωση του αδρανειακού μη περιστρεφόμενου συστήματος συνεταγμένων αντιστοιχεί σε κεντρομόλο. Το σώμα μάζας m που βρίσκεται υπό την επίδραση του βαρυτικού πεδίου του διπλού συστήματος, δέχεται μια βαρυτική δύναμη (2.2) και μια φυγόκεντρο (2.4) και οι οποίες ισοδυναμούν με τη φυγόκεντρο εξαιτίας του βαρυτικού δυναμικού ( (2.11) ή (2.25) ). Επομένως, μπορούμε να γράψουμε ότι

Gm1 F = F + F = −m∇Φ = −m ∇Ω. (2.26) centrifugal g c α

Εάν, όμως, το σώμα βρισκόταν στο εσωτερικό ενός αστέρα ή στην επιφάνειά του

τότε θα δεχόταν μια δύναμη πίεσης Fp και μια βαρυτική δύναμη Fg έτσι ώστε

2 Fp + Fg = −mω r (2.27)

ενώ η δύναμη Coriolis αγνοείται εξ΄ υποθέσεως της ομοιόμορφης περιστροφής των αστέρων σαν στερεό σώμα. Η δύναμη πίεσης ανά μονάδα όγκου V προέρχεται από ένα βαθμωτό δυναμικό τέτοιο ώστε

Fp = −V ∇p (2.28)

και επομένως από τις σχέσεις (2.26)-(2.28) προκύπτει m − V ∇p = m∇Φ ⇒ −∇p = ∇Φ ⇒ (2.29) V

∇p = −ρ ∇Φ . (2.30) 2.2 Μοντέλο Roche 38

Από την τελευταία σχέση είναι εμφανές ότι τα διανύσματα ∇p, ρ ∇Φ είναι παράλληλα

∇p || ρ ∇Φ , (2.31)

ενώ για το στροβιλισμό της ισχύει

∇ × ∇p = −∇ × ρ ∇Φ = −ρ∇ × ∇Φ − ∇ρ × ∇Φ . (2.32)

Εφόσον ο στροβιλισμός κάθε βάθμωσης είναι ίσος με μηδέν τότε καταλήγουμε ότι

∇ρ × ∇Φ = 0 (2.33)

και άρα τα τρία διανύσματα είναι μεταξύ τους παράλληλα

∇p || ∇Φ || ∇ρ . (2.34)

Το συμπέρασμα από την τελευταία σχέση παραλληλίας είναι ότι επιφάνειες σταθερής πίεσης και σταθερής πυκνότητας είναι ταυτόσημες με τις επι- φάνειες σταθερού βαρυτικού δυναμικού Φ ή Ω.

Το συμπέρασμα αυτό είναι πολύ σημαντικό γιατί σημαίνει πως οι επιφάνειες σταθερού βαρυτικού δυναμικού (ισοδυναμικές επιφάνειες) ταυτίζονται με την επιφάνεια του αστέρα.

Η παραπάνω αρχή των ισοδυναμικών επιφανειών αποτελεί τον πυρήνα του Μοντέλου Roche, σύμφωνα με το οποίο η γεωμετρία των δύο αστέρων του συστήματος, δηλαδή, τα φυσικά χαρακτηριστικά, το σχήμα και ο όγκος που καταλαμβάνουν κατά τη διάρκεια της εξελικτικής τους πορείας καθορίζονται από τις ισοδυναμικές επιφάνειες του βαρυτικού δυναμικού Φ ή Ω.

Προκειμένου να βρεθούν οι ισοδυναμικές επιφάνειες Roche αρκεί να επιλυθεί η ε- ξίσωση του ενεργού βαρυτικού δυναμικού Φ (2.9) ή του τροποποιημένου δυναμικού Kopal Ω (για κυκλικές σύγχρονες τροχιές (2.18) ή για τη γενικότερη περίπτωση έκκεντρων ασύγχρονων τροχιών (2.22) ). Για παράδειγμα, η επίλυση του δυναμικού Kopal για έκκεντρες τροχιές είναι πιο εύκολο να επιλυθεί εάν επιλεχθεί σταθερή τιμή δυναμικού στον πόλο του αστέρα (θ = 0, λ = 0, ν = 1)

1 1 Ω = + q (q ) =⇒ (2.35) % 2 2 pole δ + %pole 2.2 Μοντέλο Roche 39

1 1 %λ 1 2 2 2 1 1 +q (√ − ) + F (1+q) % (1−ν ) = +q (q ) ⇒ % δ2 + %2 − 2%δλ δ2 2 % 2 2 pole δ + %pole (2.36) 1 1 1 1 %λ 1 2 2 2 = + q (q ) − q (√ − ) − F (1 + q) % (1 − ν ) . % % 2 2 δ2 + %2 − 2%δλ δ2 2 pole δ + %pole (2.37) Η τελευταία εξίσωση είναι δυνατό να λυθεί μέσω της επαναληπτικής μεθόδου Newton- Raphson για κάθε τιμή των λ, ν, με αποτέλεσμα την εύρεση της ακτίνας % και επομένως, του σχήματος και του μεγέθους του αστέρα2. Οι σταθερές τιμές δυναμικού Φ ή Ω για τις οποίες η δύναμη

Gm1 F = F + F = −m∇Φ = −m ∇Ω = 0 (2.38) g c α αντιστοιχούν σε σημεία L(x, y, z) του τροχιακού επιπέδου στα οποία η βαρυτική δύναμη εξισορροπείται από την κεντρομόλο. Τα σημεία ισορροπίας L στα οποία μηδενίζεται η συνισταμένη δύναμη που ασκε- ίται στη σημειακή μάζα m ονομάζονται σημεία Lagrange και είναι συνολικά πέντε

{L1,L2,L3,L4,L5}. Η εξίσωση (2.38) δεν επιλύεται αναλυτικά, ωστόσο, αριθμητικές μέθοδοι όπως αυτές που ανέπτυξε ο Taff (1985) προσφέρουν λύσεις με ακρίβεια της τάξης του 10−6 :

   1 2 1 3 58 4   x(L1) = z − z − z + z   3 9 81         1 1 50   2 3 4   x(L2) = z + z − z + z  3 9 81 , (2.39)      7 1127 7889   3 4   x(L3) = 1 − µ − µ − µ   12 20736 248832     

m µ 1/3 όπου µ = 2/(m1+m2) και z = ( /3) .

Στην επόμενη υποενότητα θα δείξουμε ότι τα σημεία L1,L2 καθορίζουν τη μορφο- λογία και την εξέλιξη των διπλών αστρικών συστημάτων, ενώ η θέση του σημείου

L3 παρατίθεται χάριν πληρότητας.

2Ο Mochnacki (1984) παρουσιάζει αναλυτικά την επίλυση όλων των απαραίτητων εξισώσεων της γεωμετρίας Roche για την περίπτωση σύγχρονων τροχιών και τον υπολογισμό των ακτίνων, επιφανειών και όγκων των αστέρων. 2.2 Μοντέλο Roche 40

Τα L1,L2,L3 ανήκουν στην ευθεία που ενώνει τα κέντρα των αστέρων, ενώ τα L4,L5 βρίσκονται στην κορυφή ισόπλευρων τριγώνων με βάσεις την ευθεία των κέντρων.

Σχήμα 2.3: Διατομή των ισοδυναμικών επιφανειών στο τροχιακό επίπεδο ενός διπλού συστήματος αστέρων με λόγο μάζας q = 0.4. Τα σημεία Lagrange L1,L2,L3 βρίσκονται στην ευθεία που ενώνει τα κέντρα των αστέρων, ενώ τα L4,L5 βρίσκονται στην κορυφή ισόπλευρων τριγώνων με βάσεις την ευθεία των κέντρων.

Μέσω των σημείων Lagrange αναδεικνύεται η ταύτιση των ισοδυναμικών επιφανειών με τις επιφάνειες μηδενικής ταχύτητας του προβλήματος των τριών σωμάτων, καθώς και στις δύο περιπτώσεις το τρίτο σώμα μάζας m διατηρεί σταθερή τη σχετική του θέση ως προς τους αστέρες. Η επίλυση της (2.38) αντιστοιχεί σε εύρεση θέσεων τοπικών μεγίστων του βαρυτικού δυναμικού, με αποτέλεσμα μια μικρή μετατόπιση του σώματος m να προκαλέσει την αποσταθεροποίησή του και την επιταχυνόμενη μείωση του δυναμικού.

Ωστόσο, μόνο τα L1,L2,L3 είναι σημεία ασταθούς ισορροπίας ενώ τα L4,L5 είναι δυνατό να αντιστοιχούν σε σημεία ευσταθούς ισορροπίας μόνο στις περιπτώσεις που m ο λόγος μαζών 2/(m1+m2) < 0.0385 (Murray and Dermott, 1999). Στα παρακάτω σχήματα εμφανίζονται τρεις ισοδυναμικές επιφάνειες μαζί με τα σημεία

L1,L2 για ένα διπλό σύστημα αστέρων, καθώς και η τιμή του βαρυτικού δυναμικού Φ συναρτήσει της απόστασης κατά μήκος της ευθείας που ενώνει τα κέντρα τους O και S . 2.2 Μοντέλο Roche 41

Σχήμα 2.4: Ισοδυναμικές επιφάνειες Roche. Τα κέντρα των αστέρων βρίσκονται στα σημεία O και S αντίστοιχα, ενώ το σημείο G αντιστοιχεί στο βαρύκεντρο. Τα σημεία L1,L2 είναι εμφανές ότι αντιστοιχούν σε σημεία τομής τους.

Σχήμα 2.5: Η τιμή του βαρυτικού δυναμικού Φ συναρτήσει της απόστασης κατά μήκος της ευθείας που ενώνει τα κέντρα των αστέρων. Βαθειά πηγάδια δυναμικού περιβάλλουν τον αστέρα O και τον αστέρα S και στη μεταξύ τους απόσταση το δυναμικό λαμβάνει μέγιστη τιμή στη θέση x = L1. Στις άκρες υπάρχουν άλλα δύο μέγιστα δυναμικού που αντιστοιχούν στις θέσεις L2,L3 καθώς ο όρος του φυγόκεντρου δυναμικού υπερισχύει στις μεγάλες αποστάσεις. 2.3 Μορφολογική Ταξινόμηση Διπλών Συστημάτων 42

2.3 Μορφολογική Ταξινόμηση Διπλών Συστημάτων

Το σχήμα των μελών ενός διπλού συστήματος αστέρων εξαρτάται από τις ισοδυναμι- κές επιφάνειες που καταλαμβάνουν, με αποτέλεσμα η μορφολογία τους να καθορίζεται κατα τη διάρκεια της εξελικτικής τους πορείας από την τιμή του βαρυτικού δυναμικού Ω και Ω0 (ή ισοδύναμα Φ, Φ0).

Τα σημεία L1,L2 καθορίζουν τη μορφολογία και την εξέλιξη των διπλών αστρικών συστημάτων, καθώς το καθένα ορίζει οριακές περιπτώσεις για το σύστημα. Εσωτερική επιφάνεια Lagrange (Λοβός Roche )

Το σημείο L1 ονομάζεται εσωτερικό σημείο Lagrange και ορίζει τον οριακό όγκο του αστέρα για τον οποίο η ύλη του είναι υπό τον βαρυτικό του έλεγχο, έτσι ώστε να διατηρείται το σφαιρικό του σχήμα και να μην παραμορφώνεται. Ο κρίσιμος αυτός όγκος ονομάζεται λοβός Roche και η ενεργός ακτίνα του δίνεται (με ακρίβεια τουλάχιστον 1%) από τη σχέση (Eggleton, 1983)

0.49 q2/3 r = , 0 < q < ∞ , (2.40) L 0.6 q2/3 + ln(1 + q1/3)

όπου στον αριθμητή του λόγου μαζών q βρίσκεται κάθε φορά η μάζα του αστέρα για

τον οποίο υπολογίζεται η rL. Εφόσον οι ακτίνες υπολογίζονται με βάση το νορμαλισμένο βαρυτικό δυναμικό, η πραγματική ακτίνα του λοβού Roche ισούται με

RL = rL · α (2.41)

όπου α ο μεγάλος ημιάξονας του συστήματος. Από τη σχέση (2.40) είναι εμφανές ότι το μέγεθος του λοβού Roche εξαρτάται από το λόγο μαζών q και άρα ο αστέρας με τη μεγαλύτερη μάζα χαρακτηρίζεται από μεγαλύτερο λοβό Roche. Κάθε αστέρας χαρακτηρίζεται από το δικό του λοβό Roche

και η τομή τους αντιστοιχεί στο σημείο L1. Στην περίπτωση που ο αστέρας γεμίσει πλήρως τον λοβό Roche, τότε είναι δυνατό να

διαφύγει μάζα δια μέσου του εσωτερικού σημείου Lagrange L1 προς το άλλο μέλος του συστήματος και η γεωμετρία των λοβών Roche να αλλάξει.

Από τη στιγμή που η θέση του L1 είναι γνωστή, τότε ο λοβός Roche χαρακτηρίζεται

από την εσωτερική ισοδυναμική επιφάνεια Lagrange με τιμή δυναμικού Kopal Ωin (ή L1 Ωcrit.), που για την περίπτωση κυκλικών σύγχρονων τροχιών υπολογίζεται από την εξίσωση (2.18). 2.3 Μορφολογική Ταξινόμηση Διπλών Συστημάτων 43

Εξωτερική επιφάνεια Lagrange

Το σημείο L2 ονομάζεται εξωτερικό σημείο Lagrange και αντιστοιχεί σε μια εξωτερική L2 ισοδυναμική επιφάνεια Lagrange με τιμή δυναμικού Kopal Ωout (ή Ωcrit.). Το εξωτερικό σημείο Lagrange ορίζει το μέγιστο όριο μεγέθους του διπλού συ- στήματος, καθώς δεν είναι δυνατό κάποιο μέλος να ξεπεράσει το όριο της εξωτερικής επιφάνειας Lagrange. Στην περίπτωση που το σύστημα αποκτήσει επιφάνεια ίση με την εξωτερική επιφάνεια

Lagrange τότε η ύλη διαφεύγει δια μέσου του σημείου L2.

Η ενέργεια των σωματιδίων που διαφεύγουν από το σημείο L2 δεν είναι αρκετή ώστε να διαφύγουν στο άπειρο ούτε συμπεριστρέφονται με το σύστημα, ωστόσο, για ορισμένους λόγους μαζών αποκτούν ενέργεια ικανή να εξωθηθούν στο άπειρο, ακολουθώντας σπειρωειδή τροχιά εξαιτίας της ασθενούς βαρυτικής αλληλεπίδρασης . Παράγοντας πλήρωσης (fill-out factor) Ο βαθμός πλήρωσης του λοβού Roche δίνεται από τον παράγοντα πλήρωσης ή πα- ράμετρο επαφής (fill-out factor or contact parameter)

Ω − Ωin f = , (2.42) Ωout − Ωin

όπου Ω το δυναμικό Kopal και Ωin,Ωout τα κρίσιμα δυναμικά Lagrange του αστέρα που βρίσκεται στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων. Αντίστοιχα υπολογίζεται ο παράγοντας πλήρωσης f 0 για το δεύτερο μέλος εφαρμόζο- ντας τον μετασχηματισμό (2.19).

3 Σχήμα 2.6: Η ενεργός ακτίνα (1 < rL < 10 ) του λοβού Roche συναρτήσει του λόγου μαζών q (0.01 < q < 10). Είναι εμφανές ότι το μικρότερο μέγεθος λοβού Roche αντιστοιχεί σε q = 1. 2.3 Μορφολογική Ταξινόμηση Διπλών Συστημάτων 44

Μορφολογική Ταξινόμηση Διπλών Συστημάτων Η μορφολογία των διπλών συστημάτων είναι πολύ σημαντική γιατί καθορίζει την εξελικτική τους πορεία και τα παρατηρούμενα χαρακτηριστικά τους. 0 Η σχέση των βαρυτικών δυναμικών Ω, Ω με τα κρίσιμα δυναμικά Lagrange Ωin,Ωout, δηλαδή ο παράγοντας πλήρωσης f, καθορίζει την μορφολογική ταξινόμηση των δι- πλών συστημάτων ως εξής :

1. Αποχωρισμένα Συστήματα (Detached Binaries) Συστήματα στα οποία και οι δύο αστέρες βρίσκονται εσωτερικά των λοβών Roche. ΄Οσο πιο μεγάλο το βαρυτικό δυναμικό Ω, Ω0 τόσο πιο απομακρυσμένες οι επιφάνειες των αστέρων από τους λοβούς Roche και άρα πιο σφαιρικό το σχήμα τους. ΄Οσον αφορά τον παράγοντα πλήρωσης στην περίπτωση των αποχωρισμένων συστη- μάτων ισχύει    f < 0    (2.43)    Ω > Ωin > Ωout  και άρα η εξελικτική πορεία των μελών είναι ανεξάρτητη μεταξύ τους, εφόσον δεν βρίσκονται σε επαφή. Για αυτό το λόγο αποτελούν ιδανικά συστήματα για τη μελέτη των ιδιοτήτων απομο- νωμένων αστέρων.

Σχήμα 2.7: Μορφολογία αποχωρισμένου συστήματος (AD Boo) και η καμπύλη (τύπου Algol) φωτομετρίας του. Με μπλέ χρώμα ορίζονται οι επιφάνειες των αστέρων, με κόκκινο χρώμα η εσωτερική επιφάνεια Lagrange και με μαύρο χρώμα η εξωτερική επιφάνεια Lagrange. Στην καμπύλη φωτομετρίας το μπλέ χρώμα αντιστοιχεί στη συνθετική καμπύλη και το κόκκινο στα πειραματικά σημεία. Τα σχήματα δημιουργήθηκαν με το λογισμικό Binary Maker 3.0 (Bradstreet and Steelman, 2002). 2.3 Μορφολογική Ταξινόμηση Διπλών Συστημάτων 45

2. Ημιαποχωρισμένα Συστήματα (Semi-detached Binaries) Συστήματα στα οποία ο ένας αστέρας έχει γεμίσει πλήρως το λοβό Roche, ενώ ο δεύτερος βρίσκεται εσωτερικά του δικού του λοβού Roche. Είναι δυνατό να υπάρχει μεταφορά3 μάζας διαμέσου του εσωτερικού σημείου La- grange από τον αστέρα που έχει γεμίσει το λοβό Roche προς το δεύτερο μέλος του συστήματος.

Θεωρώντας ότι ο αστέρας μάζας m1 και βαρυτικού δυναμικού Ω έχει γεμίσει το λοβό Roche τότε για τον παράγοντα πλήρωσης των μελών ισχύει

   0   f = 0   f < 0      (2.44)    0   Ω = Ωin > Ωout   Ω > Ωin > Ωout 

όπου οι τονούμενες ποσότητες αφορούν το δεύτερο μέλος (m2) με επιφάνεια εσωτε- ρική του λοβού Roche. Τα ημιαποχωρισμένα συστήματα κατατάσσονται φαινομενολογικά στα διπλά συστήμα- τα τύπου Algol.

Σχήμα 2.8: Μορφολογία ημιαποχωρισμένου συστήματος (DL Cyg) και η καμπύλη (τύπου β Lyrae) φωτομετρίας του.

3Ο αστέρας που χάνει μάζα ονομάζεται δότης ( donor), ενώ αυτός που τη συσσωρεύει ονομάζεται δέκτης ( accretor). 2.3 Μορφολογική Ταξινόμηση Διπλών Συστημάτων 46

3. Συστήματα σε Υπερεπαφή (Over-contact Binaries) Συστήματα στα οποία και τα δύο μέλη ξεπερνάνε τους λοβούς Roche και μοιράζονται κοινή φωτόσφαιρα ( common envelope). Η κοινή τους φωτόσφαιρα αντιστοιχεί σε κοινή ισοδυναμική επιφάνεια και το μέγεθος της οποίας δεν μπορεί να ξεπεράσει αυτό της εξωτερικής επιφάνειας Lagrange. Η εξελικτική πορεία των δύο μελών είναι άμεσα συνδεδεμένη, ενώ η κατάσταση θερμικής ισορροπίας είναι δυνατό να υπάρχει ή όχι. Για τον παράγοντα πλήρωσης του κάθε μέλους ισχύει

 0   f = f          0 < f < 1 . (2.45)          Ω < Ωin ,Ωin > Ωout 

Τα συστήματα σε υπερεπαφή κατατάσσονται φαινομενολογικά στα διπλά συστήματα τύπου W UMa. Η ειδική περίπτωση στην οποία τα δύο μέλη έχουν γεμίσει ακριβώς τους λοβούς Roche, θεωρείται ασταθής και ότι θα οδηγηθεί σύντομα στην περίπτωση του ημια- ποχωρισμένου ή συστήματος σε υπερεπαφή. ΄Ενα τέτοιο σύστημα (f = f 0 = 0) ονομάζεται σύστημα επαφής (contact binary).

Σχήμα 2.9: Μορφολογία συστήματος σε υπερεπαφή (AW UMa) και η καμπύλη (τύπου W UMa) φωτομετρίας του. 2.3 Μορφολογική Ταξινόμηση Διπλών Συστημάτων 47

4. Συστήματα σε Διπλή Επαφή (Double Contact Binaries) Συστήματα στα οποία και τα δύο μέλη γεμίζουν ακριβώς τους λοβούς Roche και του- λάχιστον ο ένας αστέρας περιστρέφεται υπερσύγχρονα ( supersynchronous rotation) (Wilson, 1979). Η φυσική σημασία αυτών των συστημάτων καλύπτει την περίπτωση συστημάτων Algol όπου το ένα μέλος περιστρέφεται υπερσύγχρονα σε βαθμό που να αγγίζει το λοβό Roche εξαιτίας της ταχύτατης περιστροφής. Τα συστήματα σε διπλή επαφή είναι σπάνια, ωστόσο, έχουν παρατηρηθεί.

Σχήμα 2.10: Μορφολογία συστήματος σε διπλή επαφή (RZ Sct) και η καμπύλη φωτομετρίας του.

Υπάρχει μια αντιστοιχία μεταξύ της μορφολογικής ταξινόμησης των διπλών συστη- μάτων και των καμπύλων φωτομετρίας που τους αντιστοιχούνται φαινομενολογικά. Συγκεκριμένα η αντιστοιχία αυτή αφορά τα συστήματα :

   Ημιαποχωρισμένα ⇐⇒ φωτομετρική καμπύλη τύπου Algol        . (2.46)  Υπερεπαφής ⇐⇒ φωτομετρική καμπύλη τύπου W UMa       

Ωστόσο, στο ημιαποχωρισμένο σύστημα DL Cyg που παρουσιάστηκε στο σχήμα 2.8 η φωτομετρική καμπύλη του είναι τύπου β Lyrae. 2.3 Μορφολογική Ταξινόμηση Διπλών Συστημάτων 48

Τα συστήματα με φωτομετρική καμπύλη τύπου β Lyrae δεν αντιστοιχούν σε κάποιο μορφολογικό τύπο, καθώς έχουν βρεθεί συστήματα αποχωρισμένα, ημιαποχωρισμένα και υπερεπαφής που εμφανίζουν τα ίδια χαρακτηριστικά (β Lyrae) στη φωτομετρική τους καμπύλη. Εκτός αυτού, βέβαια, υπάρχουν και ημιαποχωρισμένα συστήματα που δεν είναι τύπου Algol (π.χ. κατακλυσμιαίοι μεταβλητοί) και συστήματα υπερεπαφής που δεν είναι τύπου W UMa (π.χ. το σύστημα TU Muscae είναι τύπου β Lyrae). Βασιζόμενοι στη μορφολογική ταξινόμηση του μοντέλου Roche και στις παραπάνω παρατηρήσεις ανακύπτει ένας φυσικός ορισμός σχετικά με την έννοια των στενών διπλών συστημάτων (close binaries), σε αντίθεση με τον προγενέστερο ορισμό βασι- σμένο στην σχετική τάξη μεγέθους των διαστάσεων ενός αστέρα με την απόσταση των μελών. Σύμφωνα με τον Plavec (1968):

Στενά διπλά συστήματα είναι τα αστρικά συστήματα στα οποία ένα του- λάχιστον μέλος τους γεμίζει το λοβό Roche σε κάποιο στάδιο της εξέλι- ξής του.

Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειωθεί ότι η μορφολογική ταξινόμηση που παρουσι- άστηκε βασίζεται στο μοντέλο Roche για κυκλικές σύγχρονες τροχιές. Στη γενι- κότερη περίπτωση των ελλειπτικών ασύγχρονων τροχιών η μορφολογική ταξινόμηση βασίζεται στην ακόλουθη υπόθεση : Εφόσον το δυναμικό Kopal (2.22) είναι εξαρτώμενο της φάσης (δ = D/α = δ(Φ) ), τα διπλά συστήματα που εκτελούν έκκεντρες τροχιές θα αλλάζουν το σχήμα τους κατά την περιφορά τους, ωστόσο, ο όγκος τους θα παραμένει ουσιαστικά σταθερός ( Avni 1976, Wilson 1979 ). Σύμφωνα με τους ( Hadrava 1986, Wilson 1979 ) ο όγκος του λοβού Roche για την περίπτωση των έκκεντρων τροχιών αντιστοιχεί στο λοβό Roche που υπολογίζεται να έχει ο αστέρας στη θέση του περίαστρου. 2.4 Συστήματα Υπερεπαφής τύπου W UMa 49

2.4 Συστήματα Υπερεπαφής τύπου W UMa

2.4.1 Γενικά Χαρακτηριστικά

Η πλειοψηφία των συστημάτων υπερεπαφής χαρακτηρίζονται από τις καμπύλες φωτο- μετρίας τους ως τύπου W UMa (Σχήμα 2.9). Ο χαρακτηρισμός W UMa προέρχεται από τον πρωτότυπο μεταβλητό αστέρα W Ursae Majoris (Muller and Kempf (1903) ), του οποίου η φωτομετρική συμπεριφορά ήταν ανεξήγητη μέχρι την εμφάνιση του πρώτου φυσικού μοντέλου για συστήματα υπερεπαφής από τον Lucy (1968a, 1968b). Τα συστήματα τύπου W UMa είναι εκλειπτικά διπλά συστήματα υπερεπαφής των οπο- ίων τα μέλη έχουν ελλειψοειδή σχήματα εξαιτίας των ισχυρών φαινομένων εγγύτητας (κυρίως λόγω των παλιρροϊκών δυνάμεων). Τα μέλη τους βρίσκονται ή είναι κοντά στην κύρια ακολουθία με φασματικό τύπο εύρους A-K, με την πλειοψηφία να βρίσκεται κυρίως μεταξύ F-G. Οι πολύ μικροί λόγοι μαζών (της τάξης του q = 0.3 αλλά και ακόμα μικρότεροι) προϊδεάζουν λανθασμένα για πολυ διαφορετικές επιφανειακές θερμοκρασίες μεταξύ των μελών, δεδομένου ότι ως αστέρες κύριας ακολουθίας θα έπρεπε να ακολουθούν α η την συνηθισμένη σχέση μάζας-λαμπρότητας-ακτίνας (L ∝ M ,R ∝ M μέ α ∼ 3.5 − 4 και η ∼ 0.6 − 0.8). Οι πολύ διαφορετικές θερμοκρασίες σε συνδυασμό με το ελλειψοειδές σχήμα των αστέρων θα είχε ως αποτέλεσμα μια φωτομετρική καμπύλη τύπου β Lyrae με ανισο- ϋψείς εκλείψεις και συνεχή μεταβολή φωτεινότητας. Ωστόσο, η καμπύλη φωτομετρίας των W UMa εμφανίζει συνεχή μεταβολή φωτεινότη- τας αλλά με σχεδόν ισοβαθείς εκλείψεις, κάτι που αποκαλύπτει μέλη ίδιας περίπου θερμοκρασίας. Οι περίπου ίδιες θερμοκρασίες δικαιολογούνται θεωρητικά από τη μεταφορά μάζας- λαμπρότητας από τον ελαφρύτερο προς τον βαρύτερο αστέρα δια μέσου του εσωτερι- κού σημείου Lagrange, με αποτέλεσμα η κοινή φωτόσφαιρα να ακτινοβολεί στην ίδια θερμοκρασία. Αξιοσημείωτο χαρακτηριστικό τους αποτελεί, επίσης, η μικρή τους περίοδος (0.22 days < P < 1 days) και η συχνή εμφάνιση των ανισοϋψών μεγίστων που ακολουθούν τις εκλείψεις (φαινόμενο O’ Connel, O’Connell (1951), Milone (1968)). Το μεγαλύτερο ενδιαφέρον, ωστόσο, αποτελεί ο περαιτέρω διαχωρισμός των συ- στημάτων W UMa στις υποκατηγορίες A-τύπου και W-τύπου (Binnendijk (1965), (1970)). 2.4 Συστήματα Υπερεπαφής τύπου W UMa 50

2.4.2 Το παράδοξο του τύπου W

Τα συστήματα W UMa τύπου A ακολουθούν το προβλεπόμενο μοντέλο Roche για συστήματα υπερεπαφής που εισήγαγε ο Lucy, δηλαδή, οι μεγαλύτερης μάζας αστέρες του συστήματος χαρακτηρίζονται από μεγαλύτερη θερμοκρασία και άρα φωτεινότητα. ΄Οσον αφορά τα συστήματα τύπου A το μόνο αξιοπρόσεκτο αφορά το γεγονός ότι είναι πιο εξελιγμένα (προγενέστερου φασματικού τύπου από F5-F8) και ίσως να έχουν διαφορετική καταγωγή από τα συστήματα υπερεπαφής τύπου W. Το παράδοξο, όμως, αφορά τα συστήματα τύπου W καθώς σε αυτά ο αστέρας με τη μεγαλύτερη μάζα είναι και ο ψυχρότερος, με αποτέλεσμα να μην μπορεί να εξηγηθεί αυτή η συμπεριφορά από το μοντέλο Roche. Η ασυνέπεια αυτή έχει ως αποτέλεσμα η βαθύτερη έκλειψη να μην αντιστοιχεί στον βαρύτερο αστέρα αλλά στον ελαφρύτερο. Η επικρατέστερη εξήγηση για το παράδοξο του τύπου W αφορά την ύπαρξη ψυχρών κηλίδων (cool spots) στον βαρύτερο αστέρα, βασιζόμενη στη θεωρία ότι σε χαμηλές θερμοκρασίες τα βαρύτερα μέλη αποτελούνται από βαθύτερα στρώματα μεταφοράς θερμότητας δια ρευμάτων (convective envelope) (Rucinski, 1992). Τα βαθύτερα αυτά στρώματα θεωρητικά έχουν ως αποτέλεσμα την αυξημένη μαγνητι- κή δραστηριότητα και τη δημιουργία ψυχρών κηλίδων. Υπάρχουν όντως ενδείξεις ότι οι μεγαλύτερης μάζας αστέρες εμφανίζουν αυξημένη δραστηριότητα (Barden 1985, Bradstreet and Guinan 1988). Επίσης, η ύπαρξη πολλών κηλίδων και στα δύο μέλη αποτελεί μια εναλλακτική εξήγη- ση, όπως επίσης και η άποψη ότι ο ελαφρύτερος αστέρας είναι 5% θερμότερος από τον βαρύτερο. Η μικρή αυτή διαφορά θερμοκρασίας είναι ικανή να εξηγήσει τις φωτομετρικές κα- μπύλες τύπου W στο οπτικό μέρος του φάσματος όχι όμως και στο υπεριώδες. Η λιγότερο πιθανή εξήγηση σχετίζεται με την πρόταση περί ελάττωσης της αμαύρω- σης χείλους (limb darkening) του μεγαλύτερης μάζας μέλους, ωστόσο, δεν μπορεί να στηριχτεί από παρατηρησιακά δεδομένα στο υπέρυθρο μέρος του φάσματος. Το παράδοξο του τύπου W δεν έχει επιλυθεί ακόμα εάν και η θεωρία περί ψυχρών κηλίδων είναι η επικρατέστερη. Το μόνο βέβαιο μοιάζει να είναι πως η αιτία του παραδόξου κρύβεται στη δραστηριότητα του μεγαλύτερης μάζας αστέρα. Αυτό σημαίνει πως το μοντέλο Roche επεκτείνεται με τη θεωρία των κηλίδων και ότι δεν παύει να έχει ισχύ στην περίπτωση των συστημάτων υπερεπαφής, παρόλο που ως ακραία επιλογή θα μπορούσε να προταθεί η αδυναμία αυτή ως αποτυχία του μοντέλου με αποτέλεσμα να αμφισβητηθεί η επαφή μεταξύ των μελών τύπου W UMa. 2.4 Συστήματα Υπερεπαφής τύπου W UMa 51

2.4.3 Δομή και Εξελικτικά Σενάρια

Μια από τις ισχυρότερες ενδείξεις περί της επαφής των συστημάτων τύπου W UMa αποτελεί η σχέση της περιόδου με το δείκτη χρώματος (Σχήμα 2.11) που ανακα- λύφθηκε από τον Eggen (1961, 1967). Σύμφωνα με την οποία

όσο μικρότερη η περίοδος ενός διπλού συστήματος υπερεπαφής τόσο ψυχρότεροι και λιγότερο εξελιγμένοι οι αστέρες.

Η σχέση αυτή εξηγείται από το γεγονός ότι για την ίδια γεωμετρία Roche (συστήματα υπερεπαφής) οι μικρότερου μεγέθους αστέρες (μικρότερη επαφή και άρα μεγαλύτερη στροφορμή) θα αντιστοιχούν σε μικρότερες περιόδους. Στην περίπτωση που τα μέλη είναι ίδιου τύπου (κύρια ακολουθία) τότε θα ισχύει η σχέση μαζών-ακτίνων-θερμοκρασιών και άρα όσο μεγαλύτερος ο αστέρας τόσο μεγαλύτερη η θερμοκρασία του. Επομένως, τα συστήματα W UMa τύπου W (συνήθως φασματικού τύπου G-K) είναι μικρότερης περιόδου και λιγότερα εξελιγμένα σε σχέση με του τύπου A (συνήθως φασματικού τύπου F). ΄Οπως είναι εμφανές από το διάγραμμα τα συστήματα W UMa ξεκινάνε από περιόδους P ∼ 0.2 days και χαμηλές θερμοκρασίες που αντιστοιχούν σε δείκτη χρώματος B − V ' 1.25, με τα εμφανιζόμενα συστήματα να εμφανίζουν μικρή διασπορά κατά τον οριζόντιο άξονα. Η μαθηματική σχέση που περιγράφει την παραπάνω συσχέτιση δίνεται προσεγγιστικά (Eggen, 1961) από την B − V = 3.75logP + 4 (2.47)

και άρα όσο αυξάνεται η περίοδος αυξάνεται η θερμοκρασία, με αποτέλεσμα τα συ- στήματα αυτά να αντιστοιχούν σε πιο εξελιγμένα σε σχέση με αυτά των μικρότερων περιόδων. Το γεγονός αυτό εκφράζεται και από την αύξηση της διασποράς αυτών των συστη- μάτων, κάτι το οποίο σημαίνει ότι σε αυτές τις περιοχές περιόδων (P > 0.3d) υπάρχει ποικιλία συστημάτων και άρα διάφορα εξελικτικά στάδια. Η ικανότητα της σχέσης περιόδου-δείκτη χρώματος να προσδίδει πληροφορία σχετικά με την εξέλιξη των συστημάτων είναι πολύ χρήσιμο εργαλείο για τον έλεγχο εξελι- κτικών μοντέλων, αλλά και των εξελικτικών σταδίων των συστημάτων υπερεπαφής. 2.4 Συστήματα Υπερεπαφής τύπου W UMa 52

Με αυτό τον τρόπο ο Mochnacki (1981) συμπέρανε ότι πολλά συστήματα τύπου A πρέπει να έχουν εξελιχθεί μέσα στην κύρια ακολουθία και χαρακτηρίζονται από πολύ μικρούς λόγους μαζών (q ' 0.1). Εφόσον τα συστήματα τύπου A ακολουθούν το μοντέλο Roche είναι πολύ πιθανό η εξέλιξη αυτή να έχει προέλθει μέσω ενός μηχανισμού διατήρησης στροφορμής με απλή προσαύξηση των μαζών. Επιπλέον, πρότεινε ότι ψυχρότερα συστήματα W UMa (φασματικού τύπου G) με μεγαλύτερες τροχιές και άρα μικρότερης επαφής, πρέπει τουλάχιστον κάποια από αυτά να προέρχονται εξελικτικά από αποχωρισμένα συστήματα. Ο μηχανισμός με τον οποίο μπορεί να συμβεί το παραπάνω σενάριο είναι η απώλεια στροφορμής (Angular Momentum Loss, AML mechanism) στα αποχωρισμένα συ- στήματα, με αποτέλεσμα τη σμίκρυνση των τροχιών και την επαφή των μελών.

Σχήμα 2.11: Η σχέση περιόδου - δείκτη χρώματος για τα διπλά συστήματα υπερεπαφής τύπου W UMa. ΄Οσο μικρότερη η περίοδος του συστήματος τόσο πιο εξελιγμένα τα μέλη του. Είναι χαρακτηριστικό ότι τα συστήματα τύπου W, που σημειώνονται με ×, βρίσκονται κυρίως στην κάτω αριστερά περιοχή του διαγράμματος, η οποία αντιστοιχεί σε μικρότερες περιόδους και θερμοκρασίες. Τα συστήματα τύπου A σημειώνονται με κύκλο και είναι πιο εξελιγμένα καθώς εμφανίζονται σε μεγαλύτερες περιόδους και υψηλότερες θερμοκρασίες. Τα δεδομένα για την κατασκευή του διαγράμματος συλλέχθηκαν από τον Mochnacki (1985). 2.4 Συστήματα Υπερεπαφής τύπου W UMa 53

Η δυνατότητα μεταφοράς μάζας μεταξύ των μελών έχει οδηγήσει σε ένα άλλο πιθανό μοντέλο εξέλιξης με την ονομασία Thermal Relaxation Oscillation (TRO)(Lucy 1976, Flannery 1976). Σύμφωνα με το μοντέλο TRO η εξέλιξη του συστήματος πραγματοποιείται μέσω κύκλων θερμικής αστάθειας. Υποθέτοντας ότι η στροφορμή διατηρείται τότε η ροή μάζας από τον αστέρα μι- κρότερης μάζας προς τον μεγαλύτερης οδηγεί στην αύξηση των τροχιών και στην αποχώρηση του συστήματος. Στο σημείο αυτό οι ρόλοι αντιστρέφονται καθώς ο αστέρας μεγαλύτερης μάζας γεμίζει το λοβό Roche, με αποτέλεσμα να ξεκινήσει η μεταφορά μάζας προς το άλλο μέλος που δεν έχει συμπληρωμένο το λοβό του Roche. Το σύστημα περνάει σε μια φάση ημιαποχωρισμένων μελών η οποία διαρκεί πολύ λίγο σε σύγκριση με το θερμικό χρόνο του βαρύτερου μέλους. Τελικά οι τροχιές μικραίνουν και το σύστημα βρίσκεται ξανά σε υπερεπαφή, με τον κύκλο να ξεκινάει ξανά. Εάν και το μοντέλο TRO μοιάζει να περιγράφει πολύ καλά την εξέλιξη των συστη- μάτων υπερεπαφής, καθώς βασίζεται στην κεντρική ιδέα μεταφοράς μάζας, ωστόσο, η υπόθεση περί διατήρησης στροφορμής είναι δύσκολο να στηριχτεί δεδομένου ότι τα συστήματα υπερεπαφής χαρακτηρίζονται από έντονη μαγνητική δραστηριότητα και άρα πρέπει να συνοδεύονται από απώλεια στροφορμής. Η μεταφορά μάζας μεταξύ των μελών έχει ως αποτέλεσμα στα περισσότερα συστήματα W UMa να παρατηρείται μεταβολή της περιόδου (δP/P ' 3 × 10−5). Η μεταβολή αυτή συνήθως είναι τόσο ακανόνιστη (περίοδοι αύξησης και μείωσης περιόδου διακοπτόμενοι από φάσεις σταθερής περιόδου)4 που δεν μπορεί να εξηγηθεί ως μεταφορά μάζας μόνο προς το ένα μέλος ή από κυκλική μαγνητική δραστηριότητα. Μια ενναλακτική θεωρία προέλευσης προτείνει ότι όλα τα συστήματα W UMa είναι μέλη τριπλών (ή πολλαπλών) συστημάτων και ότι οι δυναμικές αλληλεπιδράσεις τους με τα τρίτα σώματα οδηγεί στο σχηματισμό τους ως συστήματα υπερεπαφής (Pribulla and Rucinski, 2006a). Κύριο χαρακτηριστικό της δομής των συστημάτων τύπου W UMa είναι οι πολύ διαφορετικές τους μάζες, δηλαδή, ο λόγος μαζών q είναι πάρα πολύ μικρός και πάντα q 6= 1 5.

4Η αύξηση της περιόδου αντιστοιχεί στη μεταφορά μάζας στο ένα μέλος και η μείωση της περιόδου οφείλεται στην αντίστροφη διαδικασία. 5Σε αντίθεση με τα αποχωρισμένα διπλά συστήματα που στην πλειοψηφία τους χαρακτηρίζονται από ίσες μάζες (q = 1). 2.4 Συστήματα Υπερεπαφής τύπου W UMa 54

Το χαρακτηριστικό αυτό εξηγείται σύμφωνα με το μοντέλο Roche που εισήγαγε ο Lucy (1968a) βασισμένο στην υπόθεση περί μεταφοράς ενέργειας-λαμπρότητας μεταξύ των μελών, με αποτέλεσμα την ομοιόμορφη θερμοκρασία-λαμπρότητα του κοινού περιβλήματος. Επιτρέποντας στην παράμετρο λαμπρότητας να μεταβάλλεται, το μοντέλο Roche ε- ξασφαλίζει σταθερά συστήματα μόνο στην περίπτωση που τα δύο μέλη έχουν ίσες μάζες (κάτι που δεν παρατηρείται στα W UMa) ή στην περίπτωση πολύ διαφορετικών μαζών. Είναι σημαντικό να τονίσουμε σε αυτό το σημείο ότι ο υπολογισμός του q μπορεί να γίνει μόνο φασματοσκοπικά στην περίπτωση που το σύστημα είναι διπλό φασματο- σκοπικό. Ο υπολογισμός του q είναι ανεξάρτητος των φωτομετρικών λύσεων του συστήματος και η μόνη περίπτωση στην οποία η μέθοδος φωτομετρίας είναι ικανή να αποδώσει αξι- όπιστα αποτελέσματα για τον προσδιορισμό του q, είναι όταν στο σύστημα υπάρχουν ολικές εκλείψεις (Mochnacki and Doughty, 1972). Το πιο σημαντικό ίσως χαρακτηριστικό για τη δομή των συστημάτων υπερεπαφής είναι ότι ο παράγοντας πλήρωσης f (σχέση (2.42) ) λαμβάνει πολύ μικρές τιμές (f < 0.15) (Rucinski, 1985). Αυτό δεν σημαίνει ότι τα συστήματα δεν βρίσκονται σε στενή επαφή καθώς αυτό προσδιορίζεται από τη γεωμετρία Roche, για την ακρίβεια η επαφή είναι πολύ στενή της τάξης του 5-10% της ακτίνας, αλλά ότι ο λαιμός επαφής (η λεπτή περιοχή που ενώνει τους δύο αστέρες) είναι πολύ λεπτός. Ωστόσο, ο λόγος για τον οποίο τα συστήματα υπερεπαφής έχουν πολύ μικρό παράγο- ντα πλήρωσης δεν είναι ακόμα γνωστός, όπως επίσης παραμένει μυστήριο για το αν ο βαρύτερος αστέρας είναι πιο εξελιγμένος ή το αντίστροφο. Τελικώς, είναι γεγονός ότι τα συστήματα υπερεπαφής W UMa αποτελούν τα μόνο διπλά συστήματα για τα οποία δεν γνωρίζουμε σχεδόν τίποτα για την πραγματική καταγωγή και εξέλιξή τους. Οι εξελικτικές θεωρίες που έχεουν διατυπωθεί και οι σημαντικότερες εκ των οποίων αναφέρθηκαν προηγουμένως, δεν έχουν επιβεβαιωθεί ακόμα και σήμερα. 2.5 Ανταλλαγή και Μεταφορά Μάζας 55

2.5 Ανταλλαγή και Μεταφορά Μάζας

Σύμφωνα με το μοντέλο Roche η δυνατότητα ανταλλαγής και μεταφοράς μάζας, συ- νοδευόμενη από διατήρηση ή απώλεια στροφορμής, αποτελεί το καθοριστικό στοιχείο της φύσης, δομής και εξέλιξης των διπλών συστημάτων. Η μεταφορά μάζας μπορεί να υπάρξει μόνο στην περίπτωση που κάποιος αστέρας έχει συμπληρώσει το λοβό Roche (Roche lobe overflow, RLOF) και το οποίο μπορεί να συμβεί είτε λόγω εξέλιξης του αστέρα

• κατά την πορεία του στην κύρια ακολουθία

• κατά τη μετάβασή του στον κλάδο των ερυθρών γιγάντων

• κατά τη μετάβασή του στον κλάδο των υπεργιγάντων

είτε λόγω μείωσης του μεγέθους του λοβού Roche εξαιτίας απώλειας στροφορμής και η οποία μπορεί να συμβεί στις περιπτώσεις

• μαγνητικής πέδησης (magnetic breaking)

• ακτινοβολίας βαρυτικών κυμάτων (gravitational wave radiation, GWR).

Ο λοβός Roche ορίζει την οριακή κατάσταση στην οποία ο αστέρας συγκρατεί την ύλη του υπό το βαρυτικό του πεδίο και στην περίπτωση που το μέγεθος του αστέρα ξεπεράσει το όριο αυτό, ξεκινάει η μεταφορά μάζας και στροφορμής μεταξύ των μελών. Επομένως, η γεωμετρία Roche και η ταχύτητα με την οποία οι αστέρες αντιδρούν και προσαρμόζονται σε αυτή καθορίζουν τη μεταφορά μάζας και στροφορμής. Οι χρόνοι αντίδρασης ενός αστέρα αφορούν την αντίδραση του αστέρα στη μεταβολή των καταστάσεων ισορροπίας του και καθορίζουν τη δομή και εξέλιξή του. Οι χαρακτηριστικοί χρόνοι αντίδρασης ενός αστέρα είναι ο δυναμικός, ο θερμικός και ο πυρηνικός χρόνος και ορίζονται ως εξής :

Δυναμικός Χρόνος Ο χρόνος που χρειάζεται ο αστέρας για να αντιδράσει στη μεταβολή της υδροστατικής ισορροπίας του και ισούται με

3 2R 1/2 R 3 M 1/2 tdyn. = ( ) ≈ 40 [( ) ] minutes . (2.48) Gm R M

Ο αστέρας αντιδράει γρήγορα και αδιαβατικά στη μεταβολή της κατάστασης υδρο- στατικής ισορροπίας. 2.5 Ανταλλαγή και Μεταφορά Μάζας 56

Θερμικός Χρόνος Ο χρόνος αντίδρασης στη διατάραξη της θερμικής ισορροπίας του αστέρα καλείται θερμικός και είναι ίσος με

2 Gm 7 m 2 R L tth. = = (3.0 × 10 )( ) years . (2.49) RL M R L

Πυρηνικός Χρόνος Ο χρόνος στον οποίο ένας αστέρας εξαντλεί τα πυρηνικά του καύσιμα είναι ίσος με

9 m L tnuc. = (7.0 × 10 ) years (2.50) M L

και ορίζει τον χρόνο παραμονής του στην κύρια ακολουθία.

2.5.1 Δείκτης Ακτίνας - Μάζας

Ο τρόπος με τον οποίο καθορίζεται η εξέλιξη ενός αστέρα από τη μεταφορά μάζας ή ισοδύναμα η εξάρτηση της ακτίνας του αστέρα από το ρυθμό μεταφοράς μάζας περιγράφεται από τον δείκτη ακτίνας-μάζας (Webbing, 1985)

d lnR ζ ≡ (2.51) d lnM

όπου d η παράγωγος και R, M η ακτίνα και η μάζα του αστέρα. Πιο συγκεκριμένα, η μεταβολή της κατάστασης ισορροπίας ενός αστέρα έχει ως αποτέλεσμα την εξέλιξή του και η οποία καθορίζεται συγκρίνοντας τρεις χαρακτη- ριστικούς δείκτες ακτίνας-μάζας

d lnRL ζ ≡ , όπου R η ακτίνα του λοβού Roche και L d lnM L M η μάζα του αστέρα που βρίσκεται στο λοβό

∂ lnR ζ ≡ ( ) , όπου R η ακτίνα του αστέρα και M η μάζα του, dyn. ∂ lnM X,s για ένα καθορισμένο προφίλ αστέρα και καθορισμένη τιμή εντροπίας

∂ lnReq. ζ ≡ ( ) , όπου R η ακτίνα του αστέρα σε θερμοδυναμική ισορροπία και th. ∂ lnM X eq. M η μάζα του για ένα καθορισμένο προφίλ . (2.52) 2.5 Ανταλλαγή και Μεταφορά Μάζας 57

Οι δείκτες ζL, ζdyn., ζth. ονομάζονται παλιρροϊκοί, δυναμικοί (ή αδιαβατικοί) και θερ- μικοί (ή ισορροπίας) δείκτες ακτίνας-μάζας, αντίστοιχα. Ο ρυθμός μεταφοράς μάζας μπορεί να πραγματοποιηθεί σε χρόνους συγκρίσιμους με τους χρόνους επαναφοράς ισορροπίας και επομένως, η εξέλιξη του αστέρα περιγράφε- ται σύμφωνα με τις συγκρίσεις των παραπάνω δεικτών. Δεδομένου ότι ένας από τους δύο αστέρες γεμίζει το λοβό Roche, τότε υπάρχει

μεταφορά μάζας (d lnM < 0) διαμέσου του εσωτερικού σημείου Lagrange (L1) προς το άλλο μέλος.

(i) Μεταφορά μάζας σε κλίμακα δυναμικού χρόνου (dynamical timescale mass trasnfer) Στην περίπτωση όπου

ζdyn. < ζL , (2.53)

ο ρυθμός μεταβολής της ακτίνας του αστέρα που χάνει μάζα είναι μικρότερος από το ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται η ακτίνα του λοβού Roche. Ο αστέρας δεν προλαβαίνει να επανέλθει σε υδροστατική ισορροπία (μειώνοντας την ακτίνα του) σε αυτό το χρονικό διάστημα κατά το οποίο η ακτίνα Roche μειώνεται γρηγορότερα. Η μεταφορά μάζας σε αυτή την περίπτωση συνοδεύεται από μεταβολή της κατάστασης υδροδυναμικής ισορροπίας του και πραγματοποιείται σε χρόνους συγκρίσιμους με το δυναμικό χρόνο. Θεωρητικά μοντέλα για τη μεταφορά ή απώλεια μάζας σε κλίμακα δυναμικού χρόνου υ- M πολογίζουν ότι οι ρυθμοί μεταφοράς ή απώλειας μάζας είναι περίπου 10−5 −10−4 year και διαρκούν διάστημα 104 − 105 χρόνων. Η πιθανότητα να παρατηρηθεί ένα σύστημα με τόσο γρήγορο ρυθμό μεταφοράς μάζας είναι πολύ μικρή δεδομένου του πολύ μικρού χρόνου διάρκειας του φαινομένου, σε σχέση με τον χρόνο αστρικής εξέλιξης. Ο δυναμικός δείκτης ακτίνας-μάζας εξαρτάται από το βάθος της ζώνης μεταφοράς θερμότητας δια ρευμάτων (convection zone). Για αστέρες που έχουν ζώνη μεταφοράς και για εκφυλισμένους αστέρες (αστρικά πτώματα εκτός των μελανών οπών), ο δυναμικός δείκτης λαμβάνει μικρές ή αρνητικές

τιμές και για αυτό είναι πιθανότερο να ισχύει ζdyn. < ζL και άρα να χαρακτηρίζονται από δυναμική αστάθεια και μεταφορά μάζας σε κλίμακα δυναμικού χρόνου. Εξαίρεση αποτελεί η περίπτωση στην οποία το ένα μέλος έχει πολύ μικρότερη μάζα

από το συνοδό του και τότε είναι πιθανό ο παλιρροϊκός δείκτης ζL να έχει αρνητι- 2.5 Ανταλλαγή και Μεταφορά Μάζας 58

κότερες τιμές από τον ζdyn. (ζdyn. > ζL), με αποτέλεσμα να διατηρείται η υδροστατική ισορροπία. Επιπλέον, αστέρες που δεν έχουν ζώνη μεταφοράς αλλά μόνο ζώνη ακτινοβολίας (radiation zone), χαρακτηρίζονται από πολύ μεγάλες τιμές δυναμικού δείκτη, με αποτέλεσμα να διατηρούν πάντα την υδροστατική τους ισορροπία σε μεταφορές μάζας που μπορεί να συμβαίνουν σε χρόνους συγκρίσμους με το δυναμικό χρόνο. Επομένως, οι συνθήκες στις οποίες μπορεί να εμφανιστεί δυναμική αστάθεια στο σύστημα είναι αυτές για τις οποίες ο αστέρας που γεμίζει το λοβό Roche :

1. βρίσκεται ή είναι κοντά στον κλάδο των γιγάντων

2. βρίσκεται χαμηλά στην κύρια ακολουθία

3. είναι εκφυλισμένος αστέρας .

(ii) Μεταφορά μάζας σε κλίμακα θερμικού χρόνου (thermal timescale mass trasnfer) Στην περίπτωση για την οποία

ζth. < ζL < ζdyn. (2.54)

ο ρυθμός μεταβολής της ακτίνας του λοβού Roche είναι μεγαλύτερος από το ρυθμό μεταβολής της ακτίνας του αστέρα σε θερμοδυναμική ισορροπία και μικρότερος από το ρυθμό μεταβολής ακτίνας που απαιτείται για υδροδυναμική ισορροπία. Επομένως, κατά τη μεταφορά μάζας η υδροδυναμική ισορροπία του συστήματος διατη- ρείται γιατί αποκαθίσταται γρήγορα, όμως, η θερμοδυναμική ισορροπία δεν μπορεί να διατηρηθεί καθώς ο λοβός Roche συρρικνώνεται σε χρόνους της τάξης του θερμικού χρόνου. Σε αυτή την περίπτωση ο αστέρας θεωρείται πως συρρικνώνεται σχεδόν ταυτόχρονα με το λοβό Roche, ευρισκόμενοι συνέχεια σε επαφή και με τη μεταφορά μάζας να πραγματοποιείται πιο ήπια σε σχέση με την περίπτωση μεταφοράς σε κλίμακα δυναμικού χρόνου. Η μεταφορά μάζας σε κλίμακα θερμικού χρόνου συμβαίνει κυρίως σε αστέρες κύριας ακολουθίας και για την περίπτωση που είναι αστέρες ηλιακού τύπου και νεαρής ηλικίας (zero age main sequence, ZAMS) η σχέση των δεικτών ακτίνας-μάζας φαίνεται στο σχήμα 2.12. Ο ρυθμός μεταφοράς μάζας σε κλίμακα θερμικού χρόνου έχει υπολογιστεί στις 10−7− −6 10 M /year και ταιριάζει με τον παρατηρούμενο ρυθμό απώλειας μάζας εξαιτίας αστρικών ανέμων σε αστέρες φασματικού τύπου O. 2.5 Ανταλλαγή και Μεταφορά Μάζας 59

Σχήμα 2.12: Η σχέση του θερμικού (ζth.) και δυναμικού (ζdyn.) δείκτη ακτίνας- μάζας για αστέρες ηλιακού τύπου στην αρχή της κύριας ακολουθίας (ZAMS). Ο δεξιά κατακόρυφος άξονας (q(ζ)) αντιστοιχεί στον κρίσιμο λόγο μαζών (μάζα αστέρα που γεμίζει το λοβό Roche / μάζα συνοδού) και για τις τιμές του οποίου ισχύει ζL = ζ, με το ζ να αντιστοιχεί σε περίπτωση διατήρησης μάζας και τροχιακής στροφορμής κατά τη μεταφορά μάζας.

΄Οπως είναι εμφανές από το σχήμα, εκτός από την περίπτωση όπου τα μέλη του συστήματος έχουν ίση μάζα, οι συνθήκες για μεταφορά μάζας σε κλίμακα θερμικού χρόνου αντιστοιχούν στη συνήθη περίπτωση που ο βαρύτερος αστέρας έχει γεμίσει πρώτος το λοβό Roche. Με την προϋπόθεση, βέβαια, ότι δεν έχει προηγηθεί μεταφορά μάζας σε δυναμική κλίμακα χρόνου. Επειδή η μεταφορά μάζας που πραγματοποιείται σε χρόνους της τάξης του θερμικού οφείλεται εξ΄ ολοκλήρου στην διατάραξη της θερμικής ισορροπίας του αστέρα, ο μέγιστος ρυθμός της μπορεί να θεωρηθεί ότι ισούται με

˙ M Mmax ' − . (2.55) tth. 2.5 Ανταλλαγή και Μεταφορά Μάζας 60

(iii) Μεταφορά μάζας σε κλίμακα πυρηνικού χρόνου (nuclear or or- bital timescale mass trasnfer) Η τελευταία περίπτωση είναι η μόνη που δεν αντιστοιχεί σε συρρίκνωση του λοβού Roche αλλά στην εξέλιξη του αστέρα. Στις προηγούμενες περιπτώσεις η μεταφορά μάζας ήταν αυτοτροφοδοτούμενη, υπό την έννοια ότι εκκινούσε εξαιτίας της συρρίκνωσης του λοβού Roche. Η συρρίκνωση του λοβού Roche οφείλεται σε απώλεια στροφορμής από το σύστημα, με αποτέλεσμα ο αστέρας να μην μπορεί να διατηρήσει την κατάσταση υδροδυναμικής ή θερμικής ισορροπίας του. ΄Οταν, όμως, ένας αστέρας γεμίζει το λοβό Roche εξαιτίας της εξέλιξής του τότε ισχύει

(ζdyn., ζth.) > ζL (2.56)

και η μεταφορά μάζας πραγματοποιείται σε χρόνους της τάξης του πυρηνικού χρόνου. Κατά τη διάρκεια της εξέλιξης ο λοβός Roche ταυτίζεται με την επιφάνεια του αστέρα, διατηρώντας την θερμική ισορροπία του σε αντίθεση με την περίπτωση μεταφοράς μάζας σε κλίμακα θερμικού χρόνου. Από το σχήμα 2.12 συμπεραίνουμε ότι οι συνθήκες για μεταφορά μάζας σε πυρηνικούς χρόνους αφορούν τις περιπτώσεις στις οποίες ο λόγος μαζών είναι περίπου ίσος με τη μονάδα. Ωστόσο, συμβαίνουν συχνά μετά από κάποιο προηγούμενο επεισόδιο μεταφοράς μάζας στο οποίο ο αστέρας που είχε γεμίσει το λοβό Roche έχει καταλήξει σε μικρότερη μάζα από το συνοδό του και ταυτίζεται με το λοβό ο οποίος έχει σταματήσει την

γρήγορη συστολή του (ο ζL λαμβάνει πολύ μικρές ή αρνητικές τιμές). Στην παραπάνω περιγραφή υπάρχουν εξαιρέσεις καθώς είναι δυνατό να υπάρξει α- πώλεια στροφορμής από το σύστημα6 και να συρρικνωθεί ο λοβός Roche ή περι- πτώσεις στις οποίες η διαστολή της επιφάνειας του αστέρα να υπερβαίνει το ρυθμό διαστολής του λοβού. Γενικώς, επειδή η μεταφορά μάζας στην κλίμακα πυρηνικού χρόνου είναι μεγαλύτερης διάρκειας από τις άλλες δύο περιπτώσεις, συναντάται κυρίως μεταξύ συστημάτων τύπου Algol ή σε κατακλυσμιαίους μεταβλητούς αστέρες. Θεωρώντας ότι κατά τη μεταφορά μάζας σε κλίμακα πυρηνικού χρόνου διατηρείται η

θερμική ισορροπία και η ακτίνα του αστέρα ισούται με του λοβού Roche (R = RL ⇒

6Με διαφορετικό τρόπο από τις περιπτώσεις δυναμικής και θερμικής κλίμακας. 2.5 Ανταλλαγή και Μεταφορά Μάζας 61

˙ ˙ R = RL), τότε ο ρυθμός μεταβολής της ακτίνας του αστέρα είναι ίσος με

˙ ∂R R ∂ lnReq. ˙ R = ( ) ˙ + ( ) Mtid. , (2.57) ∂t Mtid.=0 M ∂ lnM

όπου ο πρώτος όρος στο δεξί μέλος της εξίσωσης αντιστοιχεί στην μεταβολή της α- κτίνας του αστέρα εξαιτίας της εξέλιξής του, απουσία μεταφοράς μάζας οφειλόμενων7 σε παλιρροϊκές δυνάμεις (δηλαδή, εξαιτίας συρρίκνωσης του λοβού Roche). Προφανώς για το ρυθμό μεταβολής της ακτίνας του λοβού Roche ισχύει

˙ ∂RL RL ∂ lnRL ˙ RL = ( ) ˙ + ( ) Mtid. , (2.58) ∂t Mtid.=0 M ∂ lnM

ενώ από τον ορισμό των δεικτών ακτίνας-μάζας και τις προηγούμενες σχέσεις, κατα- λήγουμε στο ότι ο ρυθμός μεταφοράς μάζας υπολογίζεται από τη σχέση

M ∂ lnR ∂ lnRL M˙ = − [( ) ˙ − ( ) ˙ ] . tid. Mtid.=0 Mtid.=0 (2.59) (ζth. − ζL) ∂t ∂t

Η μεταβολή της ακτίνας του αστέρα εξαιτίας αστρικής εξέλιξης (∂ lnR/∂t) αυξάνεται γραμμικά με το χρόνο, καθώς υπακούει στη σχέση ακτίνας-μάζας-λαμπρότητας των αστέρων κύριας ακολουθίας.

΄Οσον αφορά τη μεταβολή της ακτίνας του λοβού Roche (∂ lnRL/∂t) υπάρχουν αρκετοί μηχανισμοί που μπορούν να οδηγήσουν σε ξαφνική απώλεια μάζας και στροφορμής, μεταξύ των οποίων αστρικοί άνεμοι, ακτινοβολία βαρυτικών κυμάτων και ανταλλαγή στροφορμής περιστροφής και τροχιάς (spin-orbit exchange of angular momentum). Οι μηχανισμοί αυτοί καλούνται μηχανισμοί στιγμιαίας απώλειας (spontaneous loss mechanisms) μάζας και στροφορμής και είναι ανεξάρτητοι της μεταφοράς μάζας δια παλιρροϊκών δυνάμεων (δυναμικής και θερμικής κλίμακας χρόνου) λόγω φαινομένων εγγύτητας. Οι παλιρροϊκές δυνάμεις ορίζουν από μόνες τους μια κατηγορία μεταφοράς μάζας και σχετίζονται καθαρά με το φαινόμενο μεταφοράς ή απώλειας μάζας, δηλαδή, έχουν ως άμεση συνέπεια (consequential loss mechanism) τη μεταφορά μάζας. Ο ρυθμός μεταφοράς μάζας στην κλίμακα πυρηνικού χρόνου είναι της τάξης των −11 −8 10 − 10 M /year και είναι τυπικός για απώλεια μάζας εξαιτίας αστρικών ανέμων σε ερυθρούς γίγαντες και εξαιτίας μαγνητικής πέδησης σε αστέρες κύριας ακολουθίας ηλιακού τύπου.

7Ο διαχωρισμός μεταφοράς μάζας μέσω παλιρροϊκών δυνάμεων ή άλλων μηχανισμών είναι σημαντικός καθώς και αυτοί μπορεί να συνεισφέρουν σημαντικά στη μεταφορά μάζας σε κλίμακα πυρηνικού χρόνου. Για παράδειγμα, η περίπτωση των αστρικών ανέμων. 2.5 Ανταλλαγή και Μεταφορά Μάζας 62

2.5.2 Μεταφορά Μάζας (RLOF)

Ο όρος μεταφορά μάζας περιγράφει την απλούστερη περίπτωση στην οποία όλη η ποσότητα μάζας που μεταφέρεται από το ένα μέλος (δότης, donor) λαμβάνεται εξ΄ ολοκλήρου από το άλλο μέλος (δέκτης, accretor), δηλαδή, η μεταφορά πραγματο- ποιείται χωρίς απώλεια μάζας από το σύστημα. Εφόσον η μάζα του συστήματος διατηρείται είναι φυσικό επακόλουθο να διατηρείται και η ολική στροφορμή του συστήματος. Η ολική στροφορμή του συστήματος ισούται με το άθροισμα της τροχιακής στρο- φορμής του συστήματος και της περιστροφικής στροφορμής του κάθε μέλους. Στην πραγματικότητα, όμως, η περιστροφική στροφορμή αντιστοιχεί περίπου στο 1-2% της τροχιακής στροφορμής και επομένως μπορεί να αγνοηθεί έτσι ώστε

J = Jorb. + Jspin ' Jorb. , (2.60)

με το μέτρο της ολικής στροφορμής να δίνεται από τη σχέση (1.87). Στην περίπτωση μεταφοράς μάζας, λοιπόν, ισχύει

   m + m = M   1 2           dm = −dm   1 2  (2.61)    s   Gα(1 − e2)     J = m1m2 = const.   M     

const. και εφόσον διατηρείται η ολική στροφορμή μπορούμε να γράψουμε ότι α = 2 . (m1m2) Από τον τρίτο νόμο του Kepler (1.43) έχουμε

3 1 2 4π α 3 GM 2 (const.) GM 2 P = =⇒ α = P =⇒ 3 = P =⇒ G M 4π (m1m2) 4π

1 P ∝ 3 . (2.62) (m1m2) Επομένως, ορίζοντας με δείκτη i την αρχική κατάσταση πριν την μεταφορά μάζας ισχύει P m1im2i = ( )3 (2.63) Pi m1m2 2.5 Ανταλλαγή και Μεταφορά Μάζας 63

όπου P, m1, m2 οι τελικές τιμές τροχιακής περιόδου και μαζών μετά την ολοκλήρωση της μεταφοράς μάζας. Δεδομένου ότι εξαιτίας της μεταφοράς μάζας οι παραπάνω ποσότητες μεταβάλλονται με το χρόνο, η παραγώγιση της παραπάνω σχέσης έχει ως αποτέλεσμα

˙ P m1im2i 2 m˙ 1 m˙ 2 = 3( ) [− 2 − 2 ](m1im2i) Pi m1m2 m1m2 m1m2

και εφόσον m˙ 1 = −m˙ 2, με αντικατάσταση προκύπτει

˙ 3 2 2 P m1im2i 2 m˙ 1 m˙ 1 (m1im2i) −m1m2 + m1m2 = 3( ) [− 2 + 2 ](m1im2i) = 3 2 [ 3 ]m ˙ 1 ⇒ Pi m1m2 m1m2 m1m2 (m1m2) (m1m2)

˙ 3 P (m1im2i) m1 − m2 m1im2i 3 (m1 − m2) P (m1 − m2) = 3 2 [ 2 ]m ˙ 1 = 3 ( ) m˙ 1 = 3 m˙ 1 ⇒ Pi (m1m2) (m1m2) m1m2 m1m2 Pi m1m2

˙ (m1 − m2) (m1 − m2) P = 3P m˙ 1 ⇒ dP = 3P m˙ 1dt . (2.64) m1m2 m1m2

Το αποτέλεσμα αυτό επιβεβαιώνει το γεγονός ότι η μεταφορά μάζας m˙ 1 έχει ως συνέπεια τη μεταβολή της περιόδου κατά P˙ .

Είναι σημαντικό ότι ο όρος (m1 − m2) είναι δυνατό να αλλάξει πρόσημο κατά τη μεταφορά μάζας και επομένως να αλλάξει το πρόσημο μεταβολής της περιόδου.

Για παράδειγμα, εάν ο βαρύτερος αστέρας m1 μεταφέρει μάζα (m˙ 1 < 0) προς τον ˙ ελαφρύτερο m2, τότε η μεταβολή της περιόδου είναι P < 0 και η περίοδος P ελαττώνεται, με αποτέλεσμα να ελαττώνεται και ο μεγάλος ημιάξονας α σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Kepler. Εάν η μεταφορά μάζας συνεχιστεί ακόμα και μετά το σημείο εξίσωσης μαζών, δηλαδή, ˙ και για (m1 − m2) < 0, τότε η μεταβολή της περιόδου γίνεται P > 0 και η περίοδος αυξάνεται με αποτέλεσμα να αυξάνεται και ο μεγάλος ημιάξονας. Σε μια τέτοια περίπτωση οι αστέρες εναλλάσουν τους ρόλους τους με αποτέλεσμα να αλλάζει και η γεωμετρία Roche. Δηλαδή, ο πρωτεύων και βαρύτερος αστέρας που διακρίνεται για τον μεγαλύτερο λοβό Roche, μετατρέπεται σε δευτερεύων και ο λοβός Roche μικραίνει κατά το ίδιο ποσοστό που μεταβάλλεται και ο μεγάλος ημιάξονας. Με άλλα λόγια, τα απόλυτα μεγέθη των λοβών Roche εξαρτώνται κυρίως από το με-

γάλο ημιάξονα α, όπως υποδεικνύει και η σχέση RL = rL ·α (2.41) και δευτερευόντως από το λόγο μαζών q σύμφωνα με την ενεργό ακτίνα (2.40). 2.5 Ανταλλαγή και Μεταφορά Μάζας 64

2.5.3 Απώλεια Μάζας

Η συνηθέστερη μεταφορά μάζας στα διπλά συστήματα πραγματοποιείται μη συντηρη- τικά, δηλαδή, με απώλεια μάζας και στροφορμής από το σύστημα. Οι κυριότεροι μηχανισμοί απώλειας μάζας είναι

• ο αστρικός άνεμος (stellar wind), ανεξαρτήτως του εάν ο λοβός Roche έχει γεμίσει ή όχι,

• φαινόμενα που συμβαίνουν κατά την υπερχείλιση του λοβού Roche (Roche lobe overflow, RLOF), τα οποία πραγματοποιούνται πολύ γρήγορα και σε χρόνους συγκρίσιμους με το δυναμικό χρόνο του αστέρα (2.53),

• ακαριαία καταστροφικά φαινόμενα, όπως η έκρηξη καινοφανούς ή υπερκαινοφα- νούς ενός από τους δύο αστέρες .

Απώλεια μάζας εξαιτίας αστρικού ανέμου Η απλούστερη περίπτωση απώλειας μάζας αντιστοιχεί στο μηχανισμό αστρικού α- νέμου, ο οποίος μπορεί να θεωρηθεί σφαιρικής συμμετρίας και ότι δεν έχει επίδραση στο δεύτερο μέλος. Θεωρώντας, λοιπόν, ότι ο αστρικός άνεμος λαμβάνει χώρα ως φαινόμενο στο ένα από

τα δύο μέλη, έστω στον αστέρα μάζας m1, τότε θα ισχύει

   m˙ 1 < 0           m˙ = 0  2 , (2.65)      s   Gα(1 − e2)   J = m m   1 2 M 

ενώ ισχύει και ο τρίτος νόμος του Kepler

4π2 α3 4π2 α3 P 2 = = . G M G (m1 + m2)

Η διαφόριση του τρίτου νόμου του Kepler ως προς το χρόνο μας δίνει το ρυθμό μεταβολής της περιόδου P˙ :

2 2 2 3 ˙ 12π α α˙ 4π α (m ˙ 1 +m ˙ 2) 2P P = − 2 G(m1 + m2) G(m1 + m2) 2.5 Ανταλλαγή και Μεταφορά Μάζας 65

και από τις συνθήκες μεταφοράς μάζας (2.65) προκύπτει

4π2 α3m˙ 2P P˙ = [3α2α˙ − 1 ] ⇒ G(m1 + m2) (m1 + m2)

2P˙ 3α ˙ m˙ = [ − 1 ] ⇒ P α (m1 + m2) ˙ P 1 3α ˙ (m1 + m2) = [ − m˙ 1] . (2.66) P 2(m1 + m2) α

Η ποσότητα α˙/α μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της μάζας με τη βοήθεια της σχέσης ολικής στροφορμής (2.65) ως εξής (Huang (1956), van den Heuvel (1994)) :

2 J dm1 J dq dJ = ωr1dm1 = = (2.67) q(1 + q)m2 q (1 + q)

m με q = 1/m2 και m2 = const. . ΄Αρα dJ 1 1 = ( − ) dq . (2.68) J q 1 + q

Επίσης, εξαιτίας της (2.65) ισχύει

dJ dm1 dm2 1 d(m1 + m2) 1 dα = + − + . (2.69) J m1 m2 2 m1 + m2 2 α

Από τις (2.68), (2.69) καταλήγουμε στην έκφραση

dα dq dm1 = − = − (2.70) α 1 + q m1 + m2

και άρα

α˙ (m1 + m2) + αm˙ 1 = 0 ⇒

. (2.71) α(m1 + m2) = 0

Η σχέση (2.70) ισχύει γενικώς σε κάθε περίπτωση απώλειας μάζας εξαιτίας αστρικού ανέμου, ακόμα και όταν το φαινόμενο λαμβάνει χώρα και στους δύο αστέρες. 2.5 Ανταλλαγή και Μεταφορά Μάζας 66

Τελικά η μεταβολή της περιόδου για απώλεια μάζας δια αστρικού ανέμου στον αστέρα

μάζας m1 δίνεται, με τη βοήθεια της (2.71), από τη σχέση

˙ P 2m ˙ 1 = − ⇒ (2.72) P (m1 + m2)

m˙ 1 m˙ 1 P˙ = −2P ⇒ dP = −2P dt (2.73) (m1 + m2) (m1 + m2) ˙ και εφόσον m˙ 1 < 0 η περίοδος του συστήματος θα αυξηθεί (P > 0).

Απώλεια μάζας εξαιτίας αστρικού ανέμου και Μεταφορά μάζας ε- ξαιτίας RLOF Μια πιο ενδελεχής μελέτη της απώλειας μάζας από ένα διπλό σύστημα έγινε από τους Tout and Hall (1991) και στην οποία συμπεριέλαβαν όχι μόνο την απώλεια μάζας εξαιτίας αστρικού ανέμου αλλά και το φαινόμενο υπερχείλισης του λοβού Roche (RLOF).

Σε μια τέτοια περίπτωση έστω ότι υπάρχει απώλεια μάζας με ρυθμό m˙ 1 και κάποιο

ποσοστό από αυτή συσσωρεύεται με ρυθμό m˙ 2 στο άλλο μέλος, ενώ το υπόλοιπο ˙ ποσοστό χάνεται από το σύστημα με ρυθμό M =m ˙ 1 +m ˙ 2. Οι συνθήκες του παραπάνω προβλήματος είναι

   m˙ 1 < 0    m˙ 2 > 0 (2.74)    M˙ < 0 

και η απώλεια τροχιακής στροφορμής θα ισούται με το άθροισμα της απώλειας τρο- χιακής στροφορμής του δότη και της απώλειας τροχιακής στροφορμής εξαιτίας άλλων μηχανισμών (KJ), έτσι ώστε

2π J˙ =m ˙ α2 + KJ =m ˙ α2ω + KJ. (2.75) 1 1 P 1 1

Για κυκλικές τροχιές ισχύει m1α1 = m2α2 και άρα ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα δίνει m1m2 2π G = m α ( )2 = m α ω2 (2.76) α2 1 1 P 1 1 m1m2 = αω2 (2.77) m1 + m2 2.5 Ανταλλαγή και Μεταφορά Μάζας 67

και από τις οποίες επιβεβαιώνεται επίσης ο τρίτος νόμος του Kepler για κυκλικές τροχιές P α3 ω−2 = ( )2 = . (2.78) 2π G(m1 + m2) Η ολική τροχιακή στροφορμή εξαιτίας της περιστροφής των σωμάτων ισούται με

2 2 J = m1α1ω + m2α2ω ⇒ (2.79)

m1m2 J = α2ω . (2.80) (m1 + m2) s α ∝ m1m2 (2.81) m1 + m2

όπου χρησιμοποιήθηκε και η εξίσωση (2.77). Επομένως, μπορούμε να γράψουμε ότι

˙ J m2(m ˙ 1 +m ˙ 2) = + K. (2.82) J m1(m1 + m2)

Η ισοδύναμη μορφή της τροχιακής στροφορμής για κυκλικές τροχιές δίνεται από τη σχέση (2.65) για εκκεντρότητα e = 0, έτσι ώστε

s Gα J = m1m2 (2.83) (m1 + m2)

και η διαφόριση της οποίας δίνει αποτέλεσμα

˙ J m˙ 1 m˙ 2 α˙ (m ˙ 1 +m ˙ 2) = + + − . (2.84) J m1 m2 2α 2(m1 + m2)

Ομοίως, η διαφόριση του τρίτου νόμου του Kepler έχει ως αποτέλεσμα

˙ P 3α ˙ (m ˙ 1 +m ˙ 2) = − (2.85) P 2α 2(m1 + m2)

και ο συνδυασμός της με τις εξισώσεις (2.82), (2.84) οδηγούν στην τελική έκφραση της μεταβολής της περιόδου συναρτήσει του ρυθμού απώλειας μάζας εξαιτίας αστρι- κού ανέμου και του ρυθμού μεταφοράς μάζας εξαιτίας του RLOF :

˙ P 2(m ˙ 1 +m ˙ 2) 3m ˙ 2(m1 − m2) = − − + 3K ⇒ (2.86) P (m1 + m2) m1m2 2.5 Ανταλλαγή και Μεταφορά Μάζας 68

2M˙ 3m ˙ (m − m ) 2M˙ 3m ˙ (m − m ) P˙ = P [− − 2 1 2 +3K ] ⇒ dP = P [− − 2 1 2 +3K ] dt . M m1m2 M m1m2 (2.87)

Η εξίσωση αυτή αντιστοιχεί στην περίπτωση μεταφοράς μάζας εξαιτίας του RLOF ˙ (2.64) για M = K = 0 και m˙ 1 = −m˙ 2, ενώ για την περίπτωση της απώλειας

μάζας εξαιτίας αστρικού ανέμου (2.73) οι απαιτούμενες τιμές είναι m˙ 2 = K = 0 και ˙ M =m ˙ 1. Προφανώς, η δυνατότητα της εξίσωσης να συνδυάζει όχι μόνο τη μεταφορά και απώλεια μάζας, αλλά και άλλους μηχανισμούς απώλειας στροφορμής μέσω του πα- ράγοντα K, την καθιστά πολύτιμο εργαλείο για τον ακριβέστερο προσδιορισμό της μεταβολής της περιόδου σε περιπτώσεις μεταβολής μάζας και στροφορμής. Οι μηχανισμοί απώλειας στροφορμής που εισάγονται μέσω του παράγοντα K μπορεί να αντιστοιχούν είτε σε μαγνητική πέδηση είτε σε ακτινοβολία βαρυτικών κυμάτων. Για το μηχανισμό μαγνητικής πέδησης οι van’t Veer and Maceroni (1992) υπολόγισαν ότι ο παράγοντας K υπακούει στη σχέση

K = xm(kR)2αωβ , (2.88)

όπου m η μάζα του αστέρα, (kR) η ακτίνα περιστροφής και ω η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής, ενώ η παράμετρος x περιγράφει την ομοιόμορφη (x = 1) ή διαφορική (x ≤ 1) περιστροφή του αστέρα. ΄Οσον αφορά την ακτινοβολία βαρυτικών κυμάτων, ο ρυθμός απώλειας στροφορμής δίνεται από τη σχέση (Landau and Lifshitz, 1975)

7/3 ˙ −32G 7/3 (m1m2)2 JGW R = 5 (2π) 2/3 7/3 (2.89) 5c (m1 + m2) P

και η οποία σε συνδυασμό με την (2.86) μπορεί να γραφεί στη μορφή

˙ 3 JGW R −32G m1m2(m1 + m2) = K = . (2.90) J 5c5 α5 2.5 Ανταλλαγή και Μεταφορά Μάζας 69

Απώλεια μάζας κατά το φαινόμενο RLOF Το συντηρητικό φαινόμενο μεταφοράς μάζας RLOF είναι δυνατό να μετατραπεί σε μη συντηρητικό εάν το μέλος που δέχεται τη μάζα δεν μπορεί να τη συγκρατήσει όλη εξαιτίας της ταχύτητας του φαινομένου ή στην περίπτωση που το διπλό σύστημα είναι υπερεπαφής και αγγίζει την εξωτερική επιφάνεια Lagrange.

Και στις δύο περιπτώσεις η μάζα διέρχεται από το εσωτερικό σημείο Lagrange (L1)

προς το δεύτερο μέλος και διαφεύγει από το εξωτερικό σημείο Lagrange (L2) προς το εξωτερικό του συστήματος. Από τη διαφόριση της σχέσης στροφορμής (2.84) του συστήματος και τη διαφόριση του τρίτου νόμου του Kepler (2.85) προκύπτει συνδυαστικά η σχέση

˙ ˙ ˙ P J M m˙ 1 m˙ 2 = 3[ + − − ] (2.91) P J M m1 m2

όπου M = m1 + m2 η ολική μάζα του συστήματος.

Υποθέτοντας για απλότητα ότι ο αστέρας m2 δε συγκρατεί καθόλου την εισρέουσα ˙ μάζα, τότε m˙ 2 = 0 και M =m ˙ 1. Η απώλεια στροφορμής δια μέσου του εξωτερικού σημείου Lagrange μπορεί να εκ- φραστεί ως 2π J˙ = Md˙ 2ω = Md˙ 2( ) , (2.92) P

όπου d η απόσταση του σημείο L2 από το κέντρο μαζας του διπλού συστήματος. Αντικαθιστώντας την περίοδο P από τον τρίτο νόμο του Kepler (1.43) και την ολική στροφορμή J (2.61), η εξίσωση (2.91) μετατρέπεται στην ισοδύναμη μορφή

˙ 2 P ˙ (m1 + m2) d m2 = 3M [ 2 − ] . (2.93) P m1m2 α m1(m1 + m2)

Από τη στιγμή που υπάρχει απώλεια μάζας από το σύστημα ισχύει M˙ < 0 και εφόσον η ποσότητα στην αγκύλη είναι θετική, με τον πρώτο όρο πάντα μεγαλύτερο του δεύτερου, η απώλεια μάζας κατά το φαινόμενο RLOF έχει πάντα ως αποτέλεσμα την ελάττωση της περιόδου (P˙ < 0). Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 2 70

Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 2

Y. Avni. The eclipse duration of the X-ray pulsar 3U 0900-40. Astrophysical Journal, 209:574–577, October 1976. doi: 10.1086/154752.

S. C. Barden. A study of short-period RS Canum Venaticorum and W Ursae Majoris binary systems - The global nature of H-alpha. Astrophysical Journal, 295:162–170, August 1985. doi: 10.1086/163361.

M. Benacquista. An Introduction to the Evolution of Single and Binary Stars. Springer-Verlag New York, 2013.

L. Binnendijk. The W Ursae Majoris Systems. Veroeffentlichungen der Remeis- Sternwarte zu Bamberg, 27:36, 1965.

L. Binnendijk. The orbital elements of W Ursae Majoris systems. Vistas in Astronomy, 12:217–256, 1970. doi: 10.1016/0083-6656(70)90041-3.

D. H. Bradstreet and E. F. Guinan. Mapping of surface activity on the W UMa- type system VW Cephei. In ESA Special Publication, volume 281 of ESA Special Publication, June 1988.

D. H. Bradstreet and D. P. Steelman. Binary Maker 3.0 - An Interactive Graphics-Based Light Curve Synthesis Program Written in Java. In American Astronomical Society Meeting Abstracts, volume 34 of Bulletin of the American Astronomical Society, page 1224, December 2002.

D. Bruton. Roche Lobes and the Morphologies of Close Binary Stars, 2011. URL http://astro.sfasu.edu/binstar/RocheLobes2011.pdf.

B. W. Carroll and D. A. Ostlie. An introduction to modern astrophysics and cosmology. 2006.

G. W. Collins, II. The Foundations of Celestial Mechanics. Pachart Publishing House, 1989.

O. J. Eggen. The period-colour relation for contact binaries. Royal Greenwich Observatory Bulletins, 31:101–117, 1961.

O. J. Eggen. Contact binaries, II. Memoirs of the Royal Astronomical Society, 70: 111, 1967. Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 2 71

P. P. Eggleton. Approximations to the radii of Roche lobes. Astrophysical Journal, 268:368, May 1983. doi: 10.1086/160960.

B. P. Flannery. A Cyclic Thermal Instability in Contact Binary Stars. Astrophys- ical Journal, 205:217–225, April 1976. doi: 10.1086/154266.

P. Hadrava. Roche Lobe in Eccentric Orbits. Hvar Observatory Bulletin, 10:1, 1986.

R. W. Hilditch. An Introduction to Close Binary Stars. 2001.

S. S. Huang. A dynamical problem in binary systems and its bearing on stellar evolution. Astronomical Journal, 61:49–61, 1956. doi: 10.1086/107290.

P. Hut. Tidal evolution in close binary systems. Astronomy and Astrophysics, 99: 126–140, June 1981.

J. Kallrath and F. E. Milone. Eclipsing Binary Stars: Modeling and Analysis. Springer, 2009.

Z. Kopal. Close binary systems. The International Astrophysics Series, London: Chapman & Hall, 1959.

L. D. Landau and E. M. Lifshitz. The classical theory of fields. 1975.

D. N. Limber. Surface Forms and Mass Loss for the Components of Close Binaries- General Case of Non-Synchronous Rotation. Astrophysical Journal, 138:1112, November 1963. doi: 10.1086/147711.

L. B. Lucy. The Structure of Contact Binaries. Astrophysical Journal, 151:1123, March 1968a. doi: 10.1086/149510.

L. B. Lucy. The Light Curves of W Ursae Majoris Stars. Astrophysical Journal, 153:877, September 1968b. doi: 10.1086/149712.

L. B. Lucy. W Ursae Majoris systems with marginal contact. Astrophysical Journal, 205:208–216, April 1976. doi: 10.1086/154265.

E. E. Milone. The peculiar binary RT Lacertae. Astronomical Journal, 73:708–711, October 1968. doi: 10.1086/110682.

S. W. Mochnacki. Contact binary stars. Astrophysical Journal, 245:650–670, April 1981. doi: 10.1086/158841. Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 2 72

S. W. Mochnacki. Accurate integrations of the Roche model. Astrophysical Journal Supplement Series, 55:551–561, August 1984. doi: 10.1086/190967.

S. W. Mochnacki. in Interacting Binary Stars by Pringle, J.E. and Wade, R.A. Cambridge Astrophysics Series, Cambridge: Cambridge University Press, 1985.

S. W. Mochnacki and N. A. Doughty. A model for the totally eclipsing W Ursae Majoris system AW UMa. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 156:51–56, 1972. doi: 10.1093/mnras/156.1.51.

C. D. Murray and S. F. Dermott. Solar system dynamics. 1999.

Z. E. Musielak and B. Quarles. The three-body problem. Reports on Progress in Physics, 77(6):065901, June 2014. doi: 10.1088/0034-4885/77/6/065901.

D. J. K. O’Connell. The so-called periastron effect in close eclipsing binaries ; New variable stars (fifth list). Publications of the Riverview College Observatory, 2: 85–100, August 1951.

M. Plavec. 49. Dynamical Instability of the Components of Close Binary Systems. In Liege International Astrophysical Colloquia, volume 8 of Liege International Astrophysical Colloquia, pages 411–420, 1958.

M. Plavec. Mass exchange and evolution of close binaries. Advances in Astronomy and Astrophysics, 6:201 – 278, 1968. ISSN 0065-2180. doi: http://dx.doi.org/ 10.1016/B978-1-4831-9924-5.50010-4.

T. Pribulla and S. M. Rucinski. Contact Binaries with Additional Components. I. The Extant Data. Astronomical Journal, 131:2986–3007, June 2006a. doi: 10.1086/503871.

J. E. Pringle and R. A. Wade. Interacting binary stars. Cambridge Astrophysics Series, Cambridge: Cambridge University Press, 1985.

A. Prsa. PHOEBE Science Reference. Villanova University, College of Arts and Science, Dept. of Astronomy and Astrophysics, 2011. URL http:// phoebe-project.org/.

S. M. Rucinski. Contact binaries: theory, page 113. 1985.

S. M. Rucinski. Can full convection explain the observed short-period limit of the W UMa-type binaries? Astronomical Journal, 103:960–966, March 1992. doi: 10.1086/116118. Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 2 73

S. M. Rucinski. Contact Binaries of the W UMa Type. In J. Sahade, G. E. McCluskey, and Y. Kondo, editors, Astrophysics and Space Science Library, volume 177 of Astrophysics and Space Science Library, page 111, January 1993. doi: 10.1007/978-94-011-2416-4-8.

J. Sahade, G. E. McCluskey, and Y. Kondo, editors. The Realm of Interacting Binary Stars, volume 177 of Astrophysics and Space Science Library, January 1993. doi: 10.1007/978-94-011-2416-4.

S. N. Shore, M. Livio, E. P. J. van den Heuvel, H. Nussbaumer, and A. Orr, editors. Interacting binaries, 1994.

C. Sterken and C. Jaschek. Light Curves of Variable Stars, A Pictorial Atlas. 1996.

V. Szebehely. Theory of orbits. The restricted problem of three bodies. New York: Academic Press, 1967.

L. G. Taff. Celestial mechanics: A computational guide for the practitioner. 1985.

C. A. Tout and D. S. Hall. Wind driven mass transfer in interacting binary systems. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 253:9–18, November 1991. doi: 10.1093/mnras/253.1.9.

E. P. J. van den Heuvel. Interacting binaries: topics in close binary evolution. In S. N. Shore, M. Livio, E. P. J. van den Heuvel, H. Nussbaumer, and A. Orr, editors, Saas-Fee Advanced Course 22: Interacting Binaries, pages 263–474, 1994.

F. van’t Veer and C. Maceroni. The dynamical evolution of G-type main sequence binaries. In A. Duquennoy and M. Mayor, editors, Binaries as Tracers of Star Formation, pages 237–252, 1992.

R. F. Webbing. Chapter 2.2: Stellar Evolution and Binaries of Interacting Binary Stars by Pringle, J.E. and Wade, R.A. Cambridge Astrophysics Series, Cambridge: Cambridge University Press, 1985.

R. E. Wilson. Eccentric orbit generalization and simultaneous solution of binary star light and velocity curves. Astrophysical Journal, 234:1054–1066, December 1979. doi: 10.1086/157588. 3.1 Εισαγωγή 74

Κεφάλαιο 3 : Τρίτα σώματα ή μαγνητική δρα- στηριότητα σε διπλά αστρικά συστήματα ;

3.1 Εισαγωγή

Οι φωτομετρικές παρατηρήσεις ενός διπλού εκλειπτικού συστήματος μας παρέχουν πληροφορίες υπό τη μορφή τριών διαγραμμάτων :

1. Καμπύλη Φωτός (Light Curve, LC)

2. Καμπύλη Χρώματος (Colour Curve)

3. Καμπύλη O-C (Observed minus Calculated).

Από την καμπύλη φωτός εξάγεται η φαινομενολογική ταξινόμηση του συστήματος σύμφωνα με τη γεωμετρία Roche, η κλίση του τροχιακού επιπέδου (i), η εκκεντρότητα της τροχιάς (e), τα σχετικά μεγέθη (ακτίνες) των αστέρων σε μονάδες του μεγάλου ημιάξονα (α) και ο λόγος φωτεινοτήτων των δύο μελών (Kallrath and Milone, 2009). Στην περίπτωση που η έκλειψη του συστήματος είναι ολική τότε και μόνο τότε από την καμπύλη φωτός είναι δυνατό να εξαχθεί ο φωτομετρικός λόγος μαζών των μελών του συστήματος (Mochnacki and Doughty, 1972). Από την καμπύλη χρώματος είναι δυνατό να εξαχθεί πληροφορία για το φασματικό τύπο του συστήματος, άρα για τις επιφανειακές θερμοκρασίες των μελών και κατά συνέπεια από το δείκτη χρώματος να υπολογιστεί η απόσταση του συστήματος. Η καμπύλη O-C αποτελεί ένα διάγραμμα το οποίο χρησιμοποιείται πολύ συχνά στις φυσικές επιστήμες ως εργαλείο για την ανίχνευση ασυμφωνιών μεταξύ προβλεπόμε- νων (υπολογισμένων) τιμών ενός φαινομένου και των παρατηρούμενων. Στη μελέτη διπλών εκλειπτικών συστημάτων η καμπύλη O-C αντιστοιχεί στο διάγραμ- μα των διαφορών παρατηρούμενων και προβλεπόμενων χρόνων ελαχίστου φωτός συ- ναρτήσει του χρόνου (εκφρασμένου σε κύκλους - αριθμός περιφορών του συστήματος γύρω από το βαρύκεντρο). Επομένως, στο διάγραμμα O-C αποτυπώνεται η μεταβολή της περιόδου ενός συστήμα- τος, καθώς η περίοδος ενός διπλού εκλειπτικού συστήματος ορίζεται ως το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών κύριων εκλείψεων. Το βασικότερο στοιχείο για την κατασκευή ενός διαγράμματος O-C είναι η ακρίβεια του τύπου (οπτικού, φωτογραφικού, φωτοηλεκτρικού και CCD) παρατηρησιακών δεδομένων, καθώς οι εμφανιζόμενες μεταβολές O-C θα πρέπει να είναι μεγαλύτερου μεγέθους από τα σφάλματα των παρατηρήσεων (Lombard and Koen, 1993). 3.1 Εισαγωγή 75

Δεδομένου ότι οι παρατηρήσεις παλαιότερων δεκαετιών εμφανίζουν μεγάλα σφάλ- ματα, το γεγονός αυτό καθιστά σε κάποιες περιπτώσεις δύσκολη την εξαγωγή α- ξιόπιστων συμπερασμάτων σχετικά με την μεταβολή της περιόδου, από τη στιγμή που συνήθως απαιτούνται ακριβείς παρατηρήσεις τουλάχιστον μιας δεκαετίας ή ακόμα και τριών δεκαετιών (Sterken, 2005) για την εμφάνιση ισχυρών ενδείξεων μεταβολής περιόδου. Με άλλα λόγια, η εύρεση της σωστής εφημερίδας (χρόνος αναφοράς ενός ελαχίστου

και περίοδος - (T0,ref.,P ) ενός συστήματος έγκειται στην ακρίβεια των παρατηρησια- κών δεδομένων και κατ΄ επέκταση μόνο τότε η κατασκευή8 του διαγράμματος O-C με βάση αυτή την εφημερίδα μπορεί να αποτελέσει χρήσιμο εργαλείο για την ανίχνευση μεταβολής της περιόδου ενός αστέρα μεταβαλλόμενης φωτεινότητας. Η διαφορετική τάξη μεγέθους σφαλμάτων του τύπου παρατηρησιακών δεδομένων μπορεί να αντιμετωπιστεί κατά την κατασκευή του διαγράμματος με την αντιστοίχιση του κάθε τύπου με διαφορετικό στατιστικό βάρος. Για παράδειγμα, τα οπτικά παρατηρησιακά δεδομένα μπορούν να αντιστοιχηθούν σε στατιστικό βάρος w = 1, τα φωτογραφικά με w = 5 και τα φωτοηλεκτρικά ή CCD με w = 10 (Zasche et al., 2009).

8Η εύρεση αστρονομικής εφημερίδας και η κατασκευή του διαγράμματος O-C αποτέλεσαν αντικείμενο της προπτυχιακής μου διπλωματικής εργασίας με τίτλο ῾῾Επεξεργασία Αστρονομικής Εικόνας και μελέτη της περιόδου με Διαφορική Φωτομετρία του διπλού αποχωρισμένου εκλειπτικού συστήματος NSVS 07826147᾿᾿ και από όπου μπορούν να ευρεθούν οι αντίστοιχες διαδικασίες στην υποενότητα 6.4 . 3.2 Μεταβολές στο διάγραμμα O-C 76

3.2 Μεταβολές στο διάγραμμα O-C

3.2.1 Διόρθωση Αστρονομικής Εφημερίδας

Υποθέτοντας ότι μια κύρια έκλειψη συμβαίνει ως προς το σύστημα αναφοράς του πα-

ρατηρητή τη χρονική στιγμή T0 και η περίοδός του είναι P τότε κάθε παρατηρούμενος χρόνος ελαχίστου φωτός εξαιτίας της κύριας έκλειψης είναι ίσος με

O = T0 + E · P (3.1)

όπου E ο αριθμός περιστροφών γύρω από το βαρύκεντρο. Αντίστοιχα ο υπολογιζόμενος χρόνος ελαχίστου προκύπτει από έναν παρελθοντικό

παρατηρούμενο χρόνο ελαχίστου T0,ref. ως προς το σύστημα αναφοράς του παρατη-

ρητή και από την υπολογισμένη περίοδο Pcal. έτσι ώστε

C = T0,ref. + E · Pcal. . (3.2)

Επομένως, η διαφορά μεταξύ παρατηρούμενου και υπολογιζόμενου χρόνου ελαχίστου φωτός ισούται με

O − C = (T0 − T0,ref.) + (P − Pcal.) · E. (3.3)

Η εξίσωση αυτή είναι γραμμική ως προς τον αριθμό περιφοράς E και επομένως ορίζοντας τη γραμμική εξίσωση

O − C = κ0 + κ1E (3.4)

προκύπτει    κ = T − T   0 0 0,ref.      , (3.5)  κ = P − P   1 cal.     

δηλαδή, οι συντελεστές κ0, κ1 αντιπροσωπεύουν την απόκλιση της εφημερίδας (T0,ref.,Pcal.) από τις πραγματικές τιμές χρόνου ελαχίστου και περιόδου. 3.2 Μεταβολές στο διάγραμμα O-C 77

Οι διορθωμένες τιμές του χρόνου ελαχίστου αναφοράς και της περιόδου θα δίνονται από το ζεύγος  0   T = T + κ   0 0,ref. 0      0 (3.6)  P = P + κ   cal. 1     

και το οποίο ορίζει τη σωστή αστρονομική εφημερίδα του αστέρα

0 0 C = T0 + E · P . (3.7)

Η εξίσωση (3.4) αντιστοιχεί στην εξίσωση γραμμικής παλινδρόμησης (linear regres- sion/fit) και της οποίας οι συντελεστές (3.5) υπολογίζονται με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων (least squares method). Λαμβάνοντας υπόψιν τις παρατηρήσεις της προηγούμενης υποενότητας σχετικά με τα στατιστικά βάρη των διαφορετικών τύπων παρατηρησιακών δεδομένων και κα- τασκευάζοντας ένα διάγραμμα O-C, αναμένεται σε περίπτωση σωστού υπολογισμού εφημερίδας και μη μεταβολής περιόδου μια συμμετρία των σημείων O-C γύρω από την ευθεία y = 0, με τη διασπορά των σημείων να οφείλεται στα παρατηρησιακά σφάλματα. Εάν, όμως, η κατανομή των σημείων εμφανίζει μια θετική κλίση τότε σημαίνει πως η περίοδος του συστήματος είναι μεγαλύτερη από την περίοδο που χρησιμοποιήθηκε για την κατασκευή του διαγράμματος, ενώ μια αρνητική κλίση σημαίνει το αντίστροφο (Σχήμα 3.1). Η εμφάνιση γραμμικής μεταβολής (μη μηδενικής κλίσης) στο διάγραμμα O-C, λοιπόν, υποδηλώνει ότι η εφημερίδα του συστήματος έχει υπολογιστεί λανθασμένα και δεν έχει κάποια φυσική σημασία. Η αφαίρεση της εξίσωσης γραμμικής παλινδρόμησης (3.4) από τα σημεία του διαγράμ- ματος O-C αντιστοιχεί σε διόρθωση της εφημερίδας του συστήματος και θα πρέπει τα υπόλοιπα (residuals) της αφαίρεσης να εμφανίζουν συμμετρία γύρω από την ευθεία y = 0.

3.2.2 Φυσικοί μηχανισμοί μεταβολής περιόδου

Στην περίπτωση που κάποιο μη γραμμικό μοτίβο εμφανίζεται στην κατανομή των σημείων O-C, τότε η μεταβολή της περιόδου οφείλεται σε κάποιο φυσικό μηχανισμό τον οποίο καλούμαστε να προσδιορίσουμε. 3.2 Μεταβολές στο διάγραμμα O-C 78

Σχήμα 3.1: Διάγραμμα O-C από δεδομένα του 1982 για το σύστημα BW Vul. Η μεσαία περιοχή αντιστοιχεί σε μηδενική κλίση ευθείας και επομένως σε σωστό υπολογισμό της περιόδου του συστήματος. Η πάνω περιοχή αντιστοιχεί σε θετική κλίση ευθείας και άρα η περίοδος του συστήματος είναι μεγαλύτερη από την περίοδο που χρησιμοποιήθηκε για την κατασκευή του διαγράμματος, ενώ για την κάτω περιοχή η αρνητική κλίση υποδηλώνει τη χρήση μεγαλύτερης περιόδου από την πραγματική.

Οι μεταβολές αυτές των σημείων O-C περιγράφονται προφανώς από επιπροστιθέμε- νους μη γραμμικούς όρους στην εξίσωση (3.4) και η μορφή των οποίων εξαρτάται από το φυσικό μηχανισμό που επιδρά στο σύστημα. ΄Ενα ζήτημα που εγείρεται κάποιες φορές μεταξύ ερευνητών είναι κατά πόσο η μετα- βαλλόμενη περίοδος ενός συστήματος πραγματοποιείται κατά συνεχή ή διακεκριμένο τρόπο (απότομες μεταβολές) (Sterken, 2005). Η διακεκριμένη μεταβολή της περιόδου προσεγγίζεται από μικρά ευθύγραμμα τμήματα (Lawson and Cottrell, 1988) και τα οποία, όμως, όχι μόνο χρειάζονται συνεχείς παρατηρήσεις για να εμφανιστούν, αλλά είναι πολύ δύσκολο να εξηγηθούν αναλυτικά βάση κάποιου φυσικού μηχανισμού (Sterken, 2005). Ωστόσο, σύμφωνα με τους Kalimeris et al. (1994) η καμπύλη ενός διαγράμματος O-C μπορεί να προσεγγιστεί με συνεχή ή μη τρόπο από πολυώνυμα n βαθμού

n X j O − C = κjEN (3.8) j=0

με EN = E/c και c σταθερά τέτοια ώστε εάν Emin,Emax ο ελάχιστος και μέγιστος κύκλος που ορίζουν ένα τμήμα της καμπύλης O-C, τότε

|max(EN,min − EN,max)| < 1 . (3.9)

Οι μη γραμμικοί όροι ουσιαστικά αντιστοιχούν σε διορθώσεις της γραμμικής εφη- μερίδας (3.7) ενώ ο δευτεροβάθμιος μη γραμμικός όρος είναι συνήθως αρκετός στις 3.2 Μεταβολές στο διάγραμμα O-C 79

περισσότερες περιπτώσεις (Lombard and Koen, 1993), έτσι ώστε το διάγραμμα O-C να προσεγγίζεται από την παραβολή

2 O − C = κ0 + κ1E + κ2E . (3.10)

Παραγωγίζοντας τις εξισωσεις (3.3), (3.10) ως προς τον αριθμό περιφοράς γύρω από το βαρύκεντρο προκύπτει

 dP dP     = (P − Pc) + E   dE dE      =⇒ (3.11)  dP   = κ1 + 2κ2E   dE     

   P − Pc = κ1        dP (3.12)  = 2κ2   dE     

και επομένως ο συντελεστής κ2 του επιπροστιθέμενου τετραγωνικού όρου ισούται με το σταθερό ρυθμό μεταβολής της περιόδου του συστήματος. Οι φυσικοί μηχανισμοί στους οποίους οφείλεται η μεταβολή της περιόδου ενός διπλού αστρικού συστήματος είναι:

• ύπαρξη τρίτου ή πολλαπλών σωμάτων γύρω από το σύστημα (Light-Time Effect, LITE)

• μετάθεση της γραμμής των αψίδων (apsidal motion) στην περίπτωση έκκεντρων τροχιών

• μεταφορά μάζας μεταξύ των μελών ή απώλεια μάζας από το σύστημα

• απώλεια στροφορμής εξαιτίας ακτινοβολίας βαρυτικών κυμάτων ή μαγνητικής πέδησης

• μαγνητική δραστηριότητα σε κάποιο μέλος του συστήματος (Applegate mech- anism)

• εξέλιξη και αλλαγή της δομής των μελών του συστήματος .

Από τους παραπάνω μηχανισμούς είναι εμφανές ότι η μεταβολή στην περίοδο ενός διπλού συστήματος οφείλεται είτε στον εξωγενή παράγοντα του τρίτου ή πολλαπλών 3.2 Μεταβολές στο διάγραμμα O-C 80

σωμάτων, είτε σε ενδογενείς παράγοντες που σχετίζονται με τη γεωμετρία, τη δομή και την εξέλιξη του συστήματος.

Τρίτο ή πολλαπλά σώματα γύρω από το διπλό σύστημα Η ύπαρξη ενός τρίτου ή πολλαπλών σωμάτων γύρω από το βαρύκεντρο του διπλού συστήματος προκαλεί μεταβολή στην κίνηση του συστήματος εξαιτίας της βαρυτικής τους αλληλεπίδρασης. Το αποτέλεσμα αυτής της αλληλεπίδρασης είναι το διπλό σύστημα να βρίσκεται κάποιες στιγμές πιο κοντά στον παρατηρητή και άλλοτε να απομακρύνεται από αυτόν, έτσι ώστε αντίστοιχα οι παρατηρούμενοι χρόνοι ελαχίστου φωτός να εμφανίζονται νωρίτερα ή αργότερα στο διάγραμμα O-C με μια περιοδικότητα. Ο Irwin (1952, 1959) βελτίωσε τη μέθοδο που αναπτύχθηκε από τον Woltjer (1922) για τη μελέτη της μακροπρόθεσμης μεταβολής (long-term variation) των χρονικών σημείων ελαχίστου φωτός εξαιτίας της ύπαρξης τρίτου σώματος και από την οποία προέκυψε ότι η περίοδος μεταβάλλεται κυκλικά (περιοδικά) με ημιτονοειδή χαρακτήρα (Σχήμα 3.2αʹ). Επομένως, στην εφημερίδα του συστήματος (3.7) καθώς και στην εξίσωση (3.4) προσέγγισης της καμπύλης O-C, αναμένεται να προστεθεί ένας μη γραμμικός ημιτο- νοειδής όρος.

Μετάθεση των αψίδων Η μετακίνηση της γραμμής των αψίδων εμφανίζει επίσης ημιτονοειδή μεταβολή στην κατανομή των ελαχίστων, ωστόσο, η σημαντικότερη διαφορά από τη μορφή του δια- γράμματος O-C εξαιτίας του LITE, είναι ότι τα δευτερεύοντα ελάχιστα εμφανίζονται σε αντιδιαμετρική φάση (Lacy, 1992) από αυτά της κύριας έκλειψης εξαιτίας της εκκεντρότητας του συστήματος (Σχήμα 3.2βʹ). Επομένως, στα συστήματα υπερεπαφής δεν αναμένεται η εμφάνιση του φαινομένου μετακίνησης των αψίδων καθώς χαρακτηρίζονται από κυκλικές τροχιές εξαιτίας των ισχυρών παλιρροϊκών δυνάμεων μεταξύ των μελών. Επί πλέον οι τυπικές παρατηρούμενοι περίοδοι του LITE είναι της τάξης των 10-100 ετών ενώ εξαιτίας της μετάθεσης των αψίδων κυμαίνονται από 100 έως 2-3000 έτη (Borkovits and Hegedues, 1996). Είναι, λοιπόν, πιθανότερο μια ημιτονοειδής βραχυπρόθεσμη μεταβολή (short-term variation) της περιόδου σε ένα διάγραμμα O-C να οφείλεται στο φαινόμενο LITE παρά στη μετάθεση των αψίδων, αν και υπάρχουν περιπτώσεις (RU Mon (Khaliullina et al., 1985), U Oph (Wolf et al., 2002), κ.ά.) όπου λαμβάνουν χώρα και τα δύο φαινόμενα. 3.2 Μεταβολές στο διάγραμμα O-C 81

Μεταφορά-Απώλεια μάζας ή στροφορμής Η μεταφορά ή απώλεια μάζας περιγράφεται από μια συνεχή μεταβολή περιόδου σύμ- φωνα με τους μηχανισμούς που περιγράφηκαν στην υποενότητα 2.5 της παρούσας εργασίας και η επίδραση του φαινομένου στο διάγραμμα O-C έχει παραβολικό χαρα- κτήρα. Επομένως, το διάγραμμα O-C περιγράφεται από την δευτεροβάθμια εξίσωση (3.10) και η σταθερή μεταβολή της περιόδου δίνεται από το δευτεροβάθμιο πολυωνυμικό συντελεστή (3.12). Η μεταβολή της περιόδου εξαιτίας της απώλειας στροφορμής έχει παραβολική συ- μπεριφορά όπως και η μεταφορά-απώλεια μάζας, με τον θεωρητικό υπολογισμό της μεταβολής της περιόδου να δίνεται από τους Bradstreet and Guinan (1994). Μαγνητική δραστηριότητα στο διπλό σύστημα Η υπόθεση μεταβολής της περιόδου εξαιτίας μαγνητικής δραστηριότητας προτάθη- κε από τον Hall (1989) ως ενναλακτικός μηχανισμός εξήγησης των ημιτονοειδών μεταβολών στα διαγράμματα O-C. Τα αποτελέσματα της έρευνάς του έδειξαν ότι από 101 συστήματα τύπου Algol η ημιτονοειδής μεταβολή της περιόδου χαρακτήριζε μόνο τα 31 συστήματα που αποτε- λούνται από δευτερεύον μέλος μεταγενέστερου του F5 φασματικού τύπου. Η ισχυρή αυτή ένδειξη μαζί με την θεωρητική πρόβλεψη αστρικών μοντέλων ότι οι μεταγενέστερου του F5 φασματικού τύπου εμπεριέχουν στο εσωτερικό τους ζώνες μεταφοράς, αποτέλεσαν το θεμέλιο της θεωρίας η οποία αναπτύχθηκε αναλυτικά από τους Applegate (1992) και Lanza et al. (1998). Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή κατά την διάρκεια ενός μαγνητικού κύκλου η τροχιακή στροφορμή μεταφέρεται περιοδικά μεταξύ των εξωτερικών και εσωτερικών στρωμάτων του αστέρα διαμέσου της ζώνης μεταφοράς . Το αποτέλεσμα της ανταλλαγής στροφορμής είναι η πλάτυνση του αστέρα και επο- μένως η εμφάνιση ενός τετραπολικού όρου ροπής αδράνειας στο βαρυτικό δυναμικό του. Η κυκλική μεταβολή της τετραπολικής ροπής αδράνειας (quadruple moment) απο- τελεί την εξήγηση της εμφανιζόμενης κυκλικής μεταβολής της περιόδου σε διπλά συστήματα με μαγνητικά ενεργούς δευτερεύοντες αστέρες.

Οι παραπάνω φυσικοί μηχανισμοί επιδρούν στο σύστημα είτε μεμονωμένα είτε ως συνδυασμός, με αποτέλεσμα η μεταβολή της περιόδου να εμφα- νίζεται στο διάγραμμα O-C με σαφώς περίπλοκο χαρακτήρα. 3.2 Μεταβολές στο διάγραμμα O-C 82

(αʹ) Ημιτονοειδής μεταβολή στο διάγραμμα O-C του Y Cam (βʹ) Ημιτονοειδής μεταβολή στο διάγραμμα O-C του V523 εξαιτίας της ύπαρξης τρίτου σώματος γύρω από το σύστη- Sgr εξαιτίας της μετάθεσης των αψίδων του έκκεντρου μα. Η συνθετική καμπύλη προκύπτει από την επίλυση του συστήματος. Τα σημεία μαύρου χρώματος αντιστοιχούν μοντέλου LITE για το μελετούμενο σύστημα. Στο κάτω μέρος σε δευτερεύοντα ελάχιστα ενώ οι κύκλοι αντιστοιχούν σε του διαγράμματος εμφανίζονται σημεία του διαγράμματος που ελάχιστα κύριων έκλειψεων. Είναι εμφανές ότι βρίσκονται προκύπτουν ως τα υπόλοιπα (residuals) της αφαίρεσης της σε αντιδιαμετρικές φάσεις, σε αντίθεση με τη μορφή της συνθετικής καμπύλης από τα παρατηρησιακά δεδομένα. Ο ημιτονοειδούς μεταβολής εξαιτίας τρίτου σώματος στην οποία ημιτονοειδής χαρακτήρας των υπολοίπων μπορεί να εξηγηθεί και τα δύο είδη ελαχίστων είναι συμφασικά (Lacy, 1992). με την παρουσία ενός τέταρτου σώματος, είτε εξαιτίας μαγνη- τικής δραστηριότητας, είτε ακόμα λόγω μετάθεσης των αψίδων (Hoffman et al., 2006).

(γʹ) Παραβολική μεταβολή στο διάγραμμα O-C του TY UMa εξαι- τίας μεταφοράς μάζας. Η θετική κλίση της παραβολής αντιστοιχεί σε αύξηση της περιόδου του συστήματος με τον ρυθμό της αύξησης να δίνεται από το συντελεστή του τετραγωνικού όρου της συνθετικής παραβολής. Οι κύκλοι αντιστοιχούν σε παρατηρησιακά δεδομένα φωτογραφικού τύπου, τα τρίγωνα σε οπτικού τύπου, ενώ οι ρόμβοι σε τύπου CCD. (Nelson et al., 2016).

Σχήμα 3.2: Μεταβολές στα διαγράμματα O-C τριών εκλειπτικών συστημάτων εξαιτίας διαφορετικών φυσικών μηχανισμών που λαμβάνουν χώρα στο σύστημα. 3.3 ΄Υπαρξη τρίτου σώματος γύρω από το διπλό σύστημα (Light-Time Effect) 83

3.3 ΄Υπαρξη τρίτου σώματος γύρω από το διπλό σύστη- μα (Light-Time Effect)

3.3.1 Η εξίσωση του Light-Time Effect (LITE)

Η φαινόμενη μεταβολή της περιόδου ενός εκλειπτικού συστήματος που προκαλείται από τη μεταβολή της απόστασης του διπλού συστήματος από τον παρατηρητή, εξαι- τίας της βαρυτικής αλληλεπίδρασης του συστήματος με ένα τρίτο σώμα, αποτέλεσε πρόβλημα προς επίλυση από τον Woltjer (1922) και ύστερα από τον Irwin (1952, 1959). Η γεωμετρία του προβλήματος περιγράφει την κίνηση του εκλειπτικού συστήματος σε ελλειπτική τροχιά γύρω από το βαρύκεντρο των τριών σωμάτων και με τροχιακά χαρακτηριστικά:

• εκκεντρότητα e

• μεγάλος ημιάξονας α

• τροχιακή κλίση i

• αληθής ανωμαλία θ

• όρισμα του περίαστρου ω

• χρόνος περίαστρου T .

Το βαρύκεντρο και των τριών σωμάτων βρίσκεται στην κύρια εστία της έλλειψης και ταυτίζεται με την αρχή των αξόνων ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων xyz, με τον άξονα z να αντιστοιχεί στην ευθεία οράσεως και το επίπεδο παρατήρησης- ουρανού εφαπτόμενο του xy. Η απόσταση z ορίζει κάθε στιγμή την απόσταση του εκλειπτικού συστήματος από το επίπεδο του ουρανού και η οποία μεταβάλλεται εξαιτίας της βαρυτικής αλληλεπίδρασης με το τρίτο σώμα, έτσι ώστε (Irwin, 1952):

z = r sini sin(θ + ω) . (3.13)

Είναι βολικότερο στην περίπτωση που μελετάμε η απόσταση του εκλειπτικού συ- στήματος να υπολογίζεται από ένα παράλληλο επίπεδο με αυτό του ουρανού και το οποίο διέρχεται από το κέντρο της έλλειψης, όπου η ζητούμενη απόσταση ισούται πλέον με 3.3 ΄Υπαρξη τρίτου σώματος γύρω από το διπλό σύστημα (Light-Time Effect) 84

0 z = r sini sin(θ + ω) + α e sinω sini (3.14)

και άρα τα δύο επίπεδα συμπίπτουν στην περίπτωση που ω = 0ο ή 180ο ή στην περίπτωση κυκλικής τροχιάς (e = 0o).

Σχήμα 3.3: Ελλειπτική τροχιά του εκλειπτικού συστήματος (E) εξαιτίας της βαρυτικής αλληλεπίδρασης με τρίτο σώμα. Στο σημείο Ο βρίσκεται το βαρύκεντρο των τριών σωμάτων από το οποίο περνάει το επίπεδο του ουρανού τέμνοντας την τροχιά στα σημεία 1,3. Η ευθεία dCa αποτελεί την τομή του τροχιακού επιπέδου με το παράλληλο επίπεδο προς του ουρανού και το οποίο απέχει απόσταση αesinωsini. Η κλίση του τροχιακού επιπέδου με το επίπεδο του ουρανού είναι χάριν ευκολίας ίση 0 με i = 90o. Κάθε στιγμή η απόσταση z του εκλειπτικού συστήματος μεταβάλλεται από τον παρατηρητή με αποτέλεσμα την περιοδική μεταβολή των χρόνων ελαχίστου φωτός στο διάγραμμα O-C.

Επομένως, κάθε στιγμή η απόσταση του εκλειπτικού συστήματος μεταβάλλεται από τον παρατηρητή με αποτέλεσμα η διαφορά χρόνου μεταξύ της προβλεπόμενης θέσης του από την παρατηρούμενη να δίνεται από το στοιχείο φωτός-χρόνου (light-time) (Irwin, 1952): z0 r sini sin(θ + ω) + α e sinω sini τ = = , (3.15) c c με την προβλεπόμενη θέση να δίνεται από τη γραμμική εφημερίδα (3.7). 3.3 ΄Υπαρξη τρίτου σώματος γύρω από το διπλό σύστημα (Light-Time Effect) 85

Ισοδύναμα μπορεί να αποδειχθεί ότι η χρονική διαφορά γράφεται και ως (Irwin, 1952):

1 1 − e2 τ = A √ × [ sin(θ + ω) + esinω] (3.16) 1 − e2cos2ω 1 + ecosθ

όπου A το ημιπλάτος της ημιτονοειδούς καμπύλης με √ 1 αsini 1 − e2cos2ω A = (τ − τ ) = (3.17) 2 max min 2.590 · 1010

και 2.590 · 1010 η ταχύτητα του φωτός σε km days−1. Η διαφορά χρόνου τ καθώς και το πλάτος A αντιστοιχούν σε ημέρες και ο μεγάλος ημιάξονας α σε χιλιόμετρα, επομένως, η ποσότητα τ/A είναι αδιάστατη

τ 1 1 − e2 = √ × [ sin(θ + ω) + esinω] (3.18) A 1 − e2cos2ω 1 + ecosθ

και λαμβάνει τιμές στο διάστημα ±1. Από την εξίσωση του LITE (3.16) είναι εμφανές ότι οι άγνωστες παράμετροι του προ- βλήματος είναι οι ποσότητες asini, e, ω, θ, ωστόσο, οι τρείς τελευταίες σχετίζονται με τις χαρακτηριστικές γωνίες και τα τροχιακά χαρακτηριστικά του συστήματος. Πιο συγκεκριμένα

• η αληθής ανωμαλία θ σχετίζεται με την εκκεντρότητα και την έκκεντρη ανω- μαλία (σχέση 1.62 )

• η έκκεντρη ανωμαλία σχετίζεται με τη μέση ανωμαλία (σχέση 1.66 )

• η μέση ανωμαλία σχετίζεται μέσω της εξίσωσης Kepler (1.60) με την περίοδο, το χρόνο περίαστρου και το χρόνο περιφοράς ο οποίος δίνεται από τη γραμμική εφημερίδα (3.2) (ή την πολυωνυμική εκδοχή της).

Στην πραγματικότητα, λοιπόν, έχοντας συγκεντρωμένους χρόνους ελαχίστου φωτός από τις φωτομετρικές καμπύλες (LC) ενός εκλειπτικού συστήματος, χρησιμοποιούμε

τη γραμμική εφημερίδα (3.2) (T0,ref.,Pcal.) του συστήματος και εν συνεχεία κατα- σκευάζουμε με βάση αυτή το διάγραμμα O-C. Διαπιστώνοντας ότι η καμπύλη του διαγράμματος O-C ακολουθεί ημιτονοειδή μορ- φή, καλούμαστε να επιλύσουμε για τις δεδομένες διαφορές O-C την εξίσωση του 3.3 ΄Υπαρξη τρίτου σώματος γύρω από το διπλό σύστημα (Light-Time Effect) 86

LITE (3.16) προκειμένου να υπολογίσουμε τις συνολικά επτά (ή οκτώ9) άγνωστες παραμέτρους του προβλήματος:

1. ημιπλάτος του LITE (A ∝ αsini)

2. εκκεντρότητα e

3. όρισμα του περίαστρου ω

4. χρόνος διέλευσης από το περίαστρο T

5. περίοδος περιφοράς γύρω από το βαρύκεντρο P

0 6. περίοδος του διπλού συστήματος P

0 7. χρόνος αναφοράς ελαχίστου φωτός του διπλού συστήματος T0.

Ο υπολογισμός των πέντε πρώτων παραμέτρων αφορά εξ΄ υποθέσεως την τροχιακή κίνηση του διπλού εκλειπτικού συστήματος γύρω από το βαρύκεντρο και των τριών σωμάτων. Ωστόσο, όπως τονίστηκε στην υποενότητα (1.2) οι βαρυκεντρικές τροχιές ενός διπλού συστήματος χαρακτηρίζονται από ίδια τροχιακά χαρακτηριστικά, επομένως, η επίλυση της εξίσωσης LITE μας τροφοδοτεί αυτομάτως με τα τροχιακά χαρακτηριστικά του τρίτου σώματος. Από υπολογιστική άποψη η παραπάνω περιγραφή ισοδυναμεί με την επίλυση ενός αντίστροφου πρόβληματος καθώς επιζητείται από τα παρατηρησιακά δεδομένα του O-C να ευρεθεί η βέλτιστη συνθετική καμπύλη που τα περιγράφει, δηλαδή, να επιλύθεί η εξίσωση LITE (3.16). Υποθέτοντας, δηλαδή, ότι έχουμε συλλέξει N χρόνους ελαχίστου φωτός (σφάλματος

σi) αναζητούμε την εύρεση των επτά (ή οκτώ) παραμέτρων του προβλήματος:

0 0 {(T0,i, σi)}i=1,N → {A, e3, ω3,T3,P3,P ,T0} . (3.19)

Εφόσον οι παράμετροι συσχετίζονται μεταξύ τους η εξίσωση LITE θα μπορούσε να γραφεί ως άμεση συνάρτηση και των επτά παραμέτρων ή να επιλυθούν οι επιμέρους εξισώσεις συσχετίσεων με την εξής σειρά:

9Οι άγνωστες παράμετροι μπορεί να γίνουν οκτώ εάν χρησιμοποιηθεί πολυωνυμική αστρονομική 1 dP εφημερίδα της μορφής C = T + E · P + E2 · και άρα είναι αναγκαίος ο υπολογισμός 0,ref. ref. 2 dt του επιπλέον τετραγωνικού όρου. 3.3 ΄Υπαρξη τρίτου σώματος γύρω από το διπλό σύστημα (Light-Time Effect) 87

0 0 • υπολογισμός του χρόνου ελαχίστου Ti = T0 + Ei · P 2π • υπολογισμός της μέσης ανωμαλίας Mi = (Ti − T3) P3 e2 • υπολογισμός της έκκεντρης ανωμαλίας  = M + e sin(M ) + 3 sin(2M ) i i 3 i 2 i

1 + e3 1/2 i • υπολογισμός της αληθούς ανωμαλίας θi = 2arctan[( ) · tan( )] 1 − e3 2 • υπολογισμός του χρόνου LITE (3.16)

0 0 2 • υπολογισμός της διαφοράς (O − C)i = Ti − T0 − Ei · P − (Ei · κ2) − τ

2 PN (O − C)i 2 PN • ελαχιστοποίηση της συνάρτησης χLIT E = i=1 [ ] = i=1 [wi (O − σi 2 C)i] .

Η παραπάνω διαδικασία που ισοδυναμεί με την επίλυση της εξίσωσης LITE μέσω 2 ελαχιστοποίησης της χLIT E για την εύρεση της βέλτιστης συνθετικής καμπύλης, γίνεται με χρήση των μεθόδων βελτιστοποίησης Nelder-Mead Downhill Simplex (Nelder and Mead, 1965) και Levenberg-Marquardt (Levenberg 1944, Marquardt 1963). Ο υπολογισμός των παραμέτρων του τρίτου σώματος προσφέρει τη δυνατότητα υ- πολογισμού του κατώτατου ορίου μάζας του μέσω της συνάρτησης μάζας (Mayer, 1990)

3 3 (αsini3) (m3sini3) 1 173.15 · A 3 f(m3) = = = [q ] , (3.20) P 2 (m + m )2 P 2 2 2 3 12 3 3 (1 − e3cos ω3)

όπου A το ημιπλάτος σε ημέρες και η περίοδος P 3 σε έτη. Ωστόσο, η κλίση του τροχιακού επιπέδου μπορεί να προσδιοριστεί μόνο αστρομετρικά (Frieboes-Conde and Herczeg, 1973). Η απόσταση μεταξύ του διπλού εκλειπτικού συστήματος και του τρίτου σώματος ακολουθεί10 τις γνωστές σχέσεις

α m3 = και α + α3 = αtot. (3.21) α3 m12

10Ο μεγάλος ημιάξονας (α) του διπλού συστήματος υπολογίζεται από τη συνάρτηση μάζας και θεωρούμε χάριν απλότητας ότι η τροχιά του τρίτου σώματος είναι συνεπίπεδη με την εσωτερική τροχιά (βαρυκεντρική τροχιά γύρω από το κέντρο μάζας του διπλού συστήματος) του εκλειπτικού συστήματος. 3.3 ΄Υπαρξη τρίτου σώματος γύρω από το διπλό σύστημα (Light-Time Effect) 88

και άρα εάν η απόσταση του διπλού συστήματος από τη Γη είναι ίση με d τότε η γωνιακή απόσταση του τρίτου σώματος από το εκλειπτικό σύστημα ισούται με (Albayrak et al., 1999) αtot. α (rad) = . (3.22) 3 d Επιπλέον, η ύπαρξη του τρίτου σώματος προκαλεί μεταβολή της συστημικής ακτινικής ταχύτητας του εκλειπτικού συστήματος με περιοδικότητα εξαρτώμενη από την περίοδο του τρίτου σώματος, έτσι ώστε η μεταβολή της δίνεται από τη σχέση (Mayer, 1990)

Vr = K [cos(θ + ω) + ecosω] (3.23)

όπου K το πλάτος της μεταβολής σε km/sec

A 5156 K = 2 2 1/2 . (3.24) P3 [(1 − e )(1 − e cosω)]

Ωστόσο, το γεγονός ότι η μεταβολή της ταχύτητας εμφανίζει περιοδικότητα της τάξης

της περιόδου του τρίτου σώματος, καθιστά σε περιπτώσεις μεγάλης περιόδου P3 δύσκολη την ανίχνευση της μεταβολής στα διαγράμματα φασματοσκοπικών ταχυ- τήτων (RV, radial velocities) εξαιτίας του μικρού πλάτους K. Συνοψίζοντας, η επίλυση της εξίσωσης LITE μάς τροφοδοτεί με τις τροχιακές πα- ραμέτρους του τρίτου σώματος και με τη βέλτιστη συνθετική καμπύλη O-C που περιγράφει τα παρατηρησιακά δεδομένα. Η αφαίρεση της συνθετικής καμπύλης από τα παρατηρησιακά δεδομένα έχει ως απο- τέλεσμα την εμφάνιση υπολοίπων στο διάγραμμα O-C τα οποία είτε θα είναι συμμε- τρικά ως προς την ευθεία y = 0 στην περίπτωση που εξηγείται πλήρως το σύστημα από το μηχανισμό LITE, είτε θα εμφανιστεί κάποιο μοτίβο σχετικό με τους φυσικούς μηχανισμούς που αναφέρθηκαν στην προηγούμενη υποενότητα. Για παράδειγμα, η εμφάνιση ενός ημιτονοειδούς μοτίβου στα υπόλοιπα του διαγράμ- ματος O-C μπορεί να σημαίνει την ύπαρξη ενός τέταρτου σώματος γύρω από το εκλειπτικό σύστημα με αποτέλεσμα η μεταβολή της περιόδου να οφείλεται αθροιστικά και στα δύο επί πλέον σώματα, έτσι ώστε

0 0 2 τ = τ1 + τ2 ⇒ (O − C)i = Ti − T0 − Ei · P − (Ei · κ2) − τ1 − τ2 . (3.25)

Ο μόνος περιορισμός σε μια τέτοια περίπτωση πολλαπλών σωμάτων είναι ο κάθε συνοδός να βρίσκεται πιο μακριά από τον προηγούμενο σύμφωνα με την προβλεπόμενη ιεραρχία των πολλαπλών συνοδών εκλειπτικών συστημάτων (Chambliss, 1992). 3.3 ΄Υπαρξη τρίτου σώματος γύρω από το διπλό σύστημα (Light-Time Effect) 89

Ομοίως, οποιοσδήποτε συνδυασμός μηχανισμών μεταβολής περιόδου ενός εκλειπτι-

κού συστήματος προστίθεται αθροιστικά ως συνεισφορά στη διαφορά (O − C)i του κάθε παρατηρησιακού σημείου.

3.3.2 Κριτήρια ισχύος του LITE

Η εμφάνιση του LITE στα διαγράμματα O-C από μόνη της αποτελεί μια υπόθεση εξήγησης της μεταβολής της περιόδου, η οποία θα πρέπει να ικανοποιεί επί πλέον τα ακόλουθα κριτήρια, όπως διατυπώθηκαν από τους Frieboes-Conde and Herczeg (1973):

1. Οι τιμές του διαγράμματος O-C θα πρέπει να συμφωνούν με την θεωρητική περιγραφή, δηλαδή, με τη συνθετική καμπύλη LITE.

2. Τα δευτερεύοντα ελάχιστα πρέπει να ακολουθούν ίδια συμπεριφορά με τα πρω- τεύοντα.

3. Η συνάρτηση μάζας πρέπει να προσδιορίζει κατώτατο όριο μάζας για το τρίτο σώμα τέτοιο ώστε να δικαιολογεί την παρουσία ή απουσία του στο φάσμα.

4. Η περίοδος του τρίτου σώματος θα πρέπει να δικαιολογεί την μεταβολή της ακτινικής συστημικής ταχύτητας του εκλειπτικού συστήματος.

Ο Mayer (1990) θεώρησε ως επιπλέον κριτήριο την ανίχνευση συνεισφοράς του τρίτου σώματος στην καμπύλη φωτός του εκλειπτικού συστήματος, αν και η συνεισφορά φωτός ενός τρίτου σώματος σε μια φωτομετρική καμπύλη μπορεί να προέρχεται από προβαλλόμενο σώμα που να μην ανήκει βαρυτικά στο σύστημα. Εκτός αυτών των κριτηρίων, η ύπαρξη ενός συνοδού στο διπλό εκλειπτικό σύστημα προκαλεί δυναμικά φαινόμενα ως διαταραχές της Κεπλέριας κίνησης και οι οποίες

είναι ανιχνεύσιμες στις περιπτώσεις μακροχρόνιων διαταραχών της τάξης της P3 και 0 μεγέθους της τάξης του λόγου P /P3 (Soderhjelm (1975), (1982) ). Για δεδομένες μάζες του διπλού εκλειπτικού συστήματος, το ημιπλάτος του LITE αυξάνει με την αύξηση της περιόδου του τρίτου σώματος. Επομένως, για μεγάλες περιόδους (πολλών δεκαετιών) η ανίχνευση της ημιτονοειδούς μεταβολής είναι συνήθως αδύνατη εξαιτίας της έλλειψης μεγάλης ακρίβειας (μικρότερο σφάλμα από τις χρονικές μεταβολές) παλαιότερων παρατηρησιακών δεδομένων. Επίσης, οι περίοδοι τρίτου σώματος μικρότερου του ενός έτους καθιστούν δύσκολη όχι μόνο την ανίχνευση του ημιπλάτους LITE αλλά και την περιοδική μεταβολή των ακτινικών ταχυτήτων (3.23) προερχόμενων από φασματοσκοπικές μελέτες. 3.3 ΄Υπαρξη τρίτου σώματος γύρω από το διπλό σύστημα (Light-Time Effect) 90

Με άλλα λόγια, η ανίχνευση του φαινομένου LITE στα διαγράμματα O-C υπόκειται σε ένα περιορισμένο εύρος παρατηρούμενων περιόδων που κυμαίνεται μεταξύ 10-100 ετών (Borkovits and Hegedues, 1996), δεδομένης πάντα της ακρίβειας των παρατη- ρησιακών δεδομένων. Το εύρος των ανιχνεύσιμων περιόδων LITE μέσω της μελέτης του διαγράμματος O-C διαφέρει από το αντίστοιχο εύρος περιόδων ανίχνευσης τρίτου ή πολλαπλών σωμάτων με τη μέθοδο φασματοσκοπίας (μικρότερες περίοδοι) ή τη μέθοδο αστρομετρίας (μεγαλύτερες περίοδοι) (Mayer, 1990). Το γεγονός αυτό, σε συνδυασμό με τη μη οπτική επιβεβαίωση του συνοδού και τη φαινόμενη μεταβολή της περιόδου εξαιτίας του LITE, καθιστά την ανίχνευση του φαινομένου μέσω του διαγράμματος O-C περιορισμένης βεβαιότητας για την ύπαρξη τρίτου ή πολλαπλών σωμάτων γύρω από το εκλειπτικό σύστημα. Ωστόσο, οι περιορισμοί αυτοί καθιστούν ταυτόχρονα το διάγραμμα O-C ένα ισχυρό εργαλείο ανίχνευσης συνοδών εκλειπτικών συστημάτων καθώς μπορεί να ανιχνεύσει τρίτα ή πολλαπλά σώματα σε μια ενδιάμεση περιοχή περιόδων όπου οι άλλες μέθοδοι αδυνατούν, όπως επίσης και πολύ μικρές μάζες που δεν είναι φασματικά ανιχνεύσιμες. Επομένως, οι μεθόδοι διαγράμματος O-C, φασματοσκοπίας και αστρομετρίας είναι συμπληρωματικές όσον αφορά την ανίχνευση συνοδών σωμάτων στα εκλειπτικά συ- στήματα και άρα η συνδυαστική χρήση τους είναι απαραίτητη για την εξακρίβωση της υπόθεσης του LITE.

3.3.3 Μέθοδοι ανίχνευσης πολλαπλών συστημάτων

Η ολιστική μελέτη κάθε αστρικού συστήματος συντελείται από τις εξής τρεις με- θόδους:

• φωτομετρία

• φασματοσκοπία

• αστρομετρία.

΄Οπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη υποενότητα, οι μέθοδοι αυτές είναι συμπληρω- ματικές στην προσπάθεια ανίχνευσης τρίτων ή πολλαπλών σωμάτων που αποτελούν ενιαίο βαρυτικό σύστημα με ένα διπλό εκλειπτικό σύστημα αστέρων. Οι τρόποι ανίχνευσης πολλαπλών σωμάτων με χρήση των παραπάνω μεθόδων δίνονται συνοπτικά (Mayer, 2004):

1. Φωτομετρικές παρατηρήσεις 3.3 ΄Υπαρξη τρίτου σώματος γύρω από το διπλό σύστημα (Light-Time Effect) 91

• Ανάλυση χρόνων ελαχίστου φωτός μέσω διαγραμμάτων O-C προς ανα- ζήτηση του LITE. • Ανίχνευση συνεισφοράς στη φωτομετρική καμπύλη του εκλειπτικού συ- στήματος εκ μέρους του τρίτου σώματος. Η συνεισφορά πρέπει να είναι συμβατή με το LITE, αν και μπορεί να είναι αμφίβολη καθώς μπορεί να προέρχεται από προβαλλόμενο αστέρα. • Εμφάνιση μεταβαλλόμενων βαθών εκλείψεων στη φωτομετρική καμπύλη. Η περίπτωση να οφείλεται σε τρίτο ή πολλαπλά σώματα είναι δυνατή μόνο για συγκεκριμένες τιμές παραμέτρων.

2. Φασματοσκοπικές παρατηρήσεις

• Συνεισφορά του τρίτου ή πολλαπλών σωμάτων στο φάσμα του εκλειπτικού συστήματος. Η φασματική γραμμή του συνοδού θα πρέπει να είναι ισχυρή ώστε να διακρίνεται στο φάσμα του συστήματος, ενώ υπάρχει η περίπτωση να αντιστοιχεί σε προβαλλόμενο σώμα και όχι σε πραγματικό μέλος του βαρυτικού συστήματος. • Μεταβολή της ακτινικής ταχύτητας γάμμα του εκλειπτικού συστήματος. Η εξάρτηση του πλάτους της ταχύτητας (3.24) με την περίοδο του τρίτου σώματος καθιστά μη παρατηρήσιμη τη μεταβολή σε περίπτωση πολύ με- γάλης περιόδου.

3. Αστρομετρικές παρατηρήσεις

• Εύρεση αστρομετρικών τριπλών συστημάτων μέσω της διαταραχής της τροχιάς του εκλειπτικού συστήματος εξαιτίας αόρατου συνοδού. • Ανίχνευση τρίτου ή πολλαπλών σωμάτων με άμεσες μεθόδους αστρομε- τρίας όπως η συμβολομετρία (interferometry) και η προσαρμοστική οπτική (adaptive optics). Η ανίχνευση των συνοδών βασίζεται κατά κύριο λόγο στην διακριτική ικανότητα των οργάνων, επομένως, οι συνεχείς τεχνολο- γικές βελτιώσεις προσφέρουν μεγαλύτερη ακρίβεια παρατηρησιακών δεδο- μένων. Ο κατάλογος με όλα τα οπτικά πολλαπλά συστήματα μέσω συμ- βολομετρίας βρίσκεται διαδικτυακά στη σελίδα http://ad.usno.navy.mil. 3.3 ΄Υπαρξη τρίτου σώματος γύρω από το διπλό σύστημα (Light-Time Effect) 92

΄Οσον αφορά τη φωτομετρική ανίχνευση των συνοδών ενός εκλειπτικού συστήματος, ο σημαντικότερος περιορισμός στην εύρεση του LITE μέσω διαγραμμάτων O-C αφορά στην έλλειψη πολλών χρόνων ελαχίστων (κάλυψη μεγάλου χρονικού εύρους) μεγάλης ακρίβειας. Με βάση αυτή την παρατήρηση και την έως τώρα παρουσίαση του LITE μπορούμε να συμπεράνουμε τα εξής προτερήματα της μεθόδου ανάλυσης O-C:

• Ανίχνευση συνοδών σε ενδιάμεση περιοχή περιόδων (10-100 ετών) σε σχέση με τις μικρές φασματοσκοπικές και τις πολύ μεγάλες αστρομετρικές περιόδους.

• Ανίχνευση συνοδών τόσο μικρής μάζας ώστε να μην είναι δυνατή η φασματική της ανίχνευση.

• Υπολογισμός με μεγάλη ακρίβεια των χρόνων ελαχίστων σε περιπτώσεις α- ποχωρισμένων συστημάτων καθώς χαρακτηρίζονται από ευδιάκριτα, οξέα και μεγάλου βάθους ελάχιστα. ΄Αρα καθίσταται πιθανότερη η ανίχνευση μεταβολής στους χρόνους ελαχίστων και η εμφάνιση ημιτονοειδούς μεταβολής.

• Οι μάζες του εκλειπτικού συστήματος υπολογίζονται μέσω φασματοσκοπίας ή ακόμα και ως φωτομετρικός λόγος μαζών, έτσι ώστε είναι δυνατός ο υπολογι- σμός της συνάρτησης μάζας του συνοδού.

• Ο αριθμός των ανιχνευόμενων εκλειπτικών συστημάτων στο Γαλαξία είναι αρκε- τά μεγάλος και συνεχώς αυξάνεται, ώστε οι πιθανότητες για την ανίχνευση του LITE να αυξάνονται ομοίως. Το πρόγραμμα ανίχνευσης μεταβλητών αστέρων All Sky Automated Survey (ASAS) έχει κατατάξει από 50099 αντικείμενα μεγέθους V < 14mag, 11076 ως εκλειπτικά συστήματα μεταξύ των οποίων 5384 (υπερ)επαφής, 2949 ημιαποχωρισμένα και 2743 αποχωρισμένα (Paczyński et al., 2006).

• Η ανάγκη για μεγάλο πλήθος χρόνων ελαχίστου φωτός υψηλής ακρίβειας, καθιστά την παρατήρηση εκλειπτικών συστημάτων με μικρά τηλεσκόπια τόσο μεγάλης σημασίας όσο και η φασματοσκοπική μελέτη συστημάτων με μεγάλα τηλεσκόπια. Επομένως, είναι άμεσα εφικτή η παρατήρηση όσο το δυνατό περισσότερων εκλειπτικών συστημάτων για την ανίχνευση του LITE. 3.3 ΄Υπαρξη τρίτου σώματος γύρω από το διπλό σύστημα (Light-Time Effect) 93

3.3.4 Η στατιστική των πολλαπλών συστημάτων

Δεδομένων των μεθόδων ανίχνευσης πολλαπλών συστημάτων και των αντίστοιχων περιορισμών τους, δημιουργείται αναπάντεχα το ερώτημα πόσα πολλαπλά συστήματα έχουν ανακαλυφθεί και πιο συγκεκριμένα πόσα εξ΄ αυτών έχουν ως μέλος ένα ή περισσότερα διπλά εκλειπτικά συστήματα. Η φυσική και εν μέρει μια στατιστική των διπλών και πολλαπλών συστημάτων έχει γίνει εκτεταμένα στο βιβλίο του Batten (1973), ενώ η γενική πεποίθηση της επι- στημονικής κοινότητας προσδιορίζει τουλάχιστον το μισό πλήθος των αστέρων του νυχτερινού ουρανού ως μέλη πολλαπλών συστημάτων (Mayer, 2004). Η στατιστική μελέτη των πολλαπλών συστημάτων, ωστόσο, είναι ένα πολύ δύσκολο εγχείρημα που υπόκειται σε πολλούς περιορισμούς μεταξύ των οποίων οι προτιμήσεις των ερευνητών για συγκεκριμένα αντικείμενα, η δυσκολία συγκέντρωσης και κα- τηγοριοποίησης διάσπαρτων ερευνητικών αποτελεσμάτων, ο περιορισμένος αριθμός καταλόγων και κυρίως οι περιορισμένες δυνατότητες ανίχνευσης των ίδιων των με- θόδων. Για παράδειγμα, ο Fekel (1981) δημοσίευσε μια λίστα 24 επιβεβαιωμένων και υ- ποψήφιων πολλαπλών συστημάτων με περίοδο μικρότερη των 100 χρόνων, ενώ οι Poveda et al. (1994) δημιούργησαν ένα κατάλογο από τριπλά και τετραπλά συστήματα πολύ μεγάλων περιόδων. Η μεγαλύτερη προσπάθεια δημιουργίας καταλόγου πολλαπλών συστημάτων ξεκίνησε από τον Tokovinin (1997, 2004) με τον κατάλογο MSC (multiple star catalogue) ο οποίος μέχρι και το 2007 (Tokovinin, 2007) περιείχε 943 συστήματα με αριθμό πολλαπλότητας μελών από 3 έως 6. Η μελέτη των πολλαπλών συστημάτων είναι πολύ σημαντική καθώς παρέχει ένα πολυπαραμετρικό χώρο πληροφοριών όπως ο λόγος μαζών, φωτεινοτήτων, ακτίνων, περιόδων, τροχιακών κλίσεων, που η μελέτη απλών αστέρων δεν μπορεί να διαθέσει. Τα δεδομένα αυτά σε συνδυασμό με τη στατιστική τους προσφέρονται για τον έλεγχο θεωριών-μηχανισμών δημιουργίας και εξέλιξης απλών, διπλών και πολλαπλών αστρι- κών συστημάτων. Οι Duquennoy and Mayor (1991) διαπίστωσαν μέσω στατιστικής ότι η κατανομή τροχιακών περιόδων των διπλών συστημάτων κυμαίνεται από 1 έως 109 ημέρες. Μέρος των αποτελεσμάτων της στατιστικής έρευνας του Tokovinin (1997) έδειξε ότι η μεγάλη πλειοψηφία των πολλαπλών συστημάτων ακολουθεί μια ιεραρχική δομή οργάνωσης και ότι το εσωτερικό τροχιακό επίπεδο των διπλών συστημάτων δεν είναι πάντα συνεπίπεδο με των συνοδών, αν και τα διανύσματα στροφορμής δείχνουν μια τάση για συνεπιπεδότητα. 3.3 ΄Υπαρξη τρίτου σώματος γύρω από το διπλό σύστημα (Light-Time Effect) 94

΄Οσον αφορά τα εκλειπτικά διπλά συστήματα ως μέλη πολλαπλών συστημάτων, ο Chambliss (1992) δημοσίευσε μια λίστα 80 εκλειπτικών συστημάτων των οποίων οι συνοδοί τους επιβεβαιώθηκαν με ορισμένες από τις διαθέσιμες μεθόδους φωτομετρίας, φασματοσκοπίας και αστρομετρίας. Ο αριθμός αυτός είναι μηδαμινός σε σχέση με τα καταγεγγραμένα εκλειπτικά συστη- μάτα, ωστόσο, τα αποτελέσματά του είναι σημαντικά καθώς η στατιστική συχνότητα τριπλών συστημάτων υπολογίστηκε στο 28% των εκλειπτικών συστημάτων, των τε- τραπλών συστημάτων στο 19% των τριπλών, των πενταπλών στο 33% των τετραπλών και των εξαπλών στο 20% των πενταπλών συστημάτων. Τα παραπάνω ευρήματα επιβεβαιώνουν την θεωρητική πρόβλεψη και στατιστική με- λέτη του Batten (1973) και άλλων ερευνητών, σύμφωνα με τις οποίες τα αντίστοιχα ποσοστά κυμαίνονται μεταξύ 20% − 30%. Επίσης, τα αποτελέσματα της έρευνάς του έδειξαν ότι ο συνηθέστερος τύπος εκλει- πτικών συστημάτων που ανήκουν σε πολλαπλά συστήματα αποτελείται από δύο μέλη φασματικού τύπου B5 ή προγενέστερου, ενώ και τα 13 μελετούμενα W UMa βρέθη- καν μέλη πολλαπλών συστημάτων επιβεβαιώνοντας μια από τις κυρίαρχες πεποιθήσεις της επιστημονικής κοινότητας (Pribulla and Rucinski, 2008). Οι Pribulla and Rucinski (2008) διεξήγαγαν στατιστική μελέτη προκειμένου να διαπιστώσουν πόσα συστήματα υπερεπαφής (κυρίως W UMa) πολύ μικρής περιόδου (P < 1d) είναι μέλη τριπλών συστημάτων, με απώτερο σκοπό τον έλεγχο του ρόλου του συνοδού στο σχηματισμό του συστήματος υπερεπαφής μέσω απώλειας στροφορμής. Η έρευνά τους κατέληξε στο σημαντικό ποσοστό της τάξης του 60 % − 67 % όσον αφορά τη συμμετοχή των συστημάτων υπερεπαφής σε τριπλά συστήματα, ενώ το σύνολο των ευρημάτων τους υπέδειξε την ανάγκη για περισσότερη θεωρητική και πα- ρατηρησιακή έρευνα σχετικά με την εξήγηση της προέλευσης των διπλών συστημάτων υπερεπαφής. Σημαντικό εύρημα, επίσης, σχετικά με το σχηματισμό και την εξέλιξη των συστη- μάτων υπερεπαφής αποτελεί το γεγονός ότι σχεδόν κανένα τέτοιο διπλό σύστημα δεν

ανήκει σε τριπλό σύστημα με περίοδο τρίτου σώματος μεγαλύτερη της P3 ≈ 20years (Pribulla et al., 2005). Οι στατιστικές μελέτες σχετικά με το μηχανισμό LITE είναι πολύ πιο περιορισμένες καθώς μόνο σε ορισμένες από τις προαναφερθέντες αποτέλεσε ως μηχανισμός ένα από τα κριτήρια ελέγχου πολλαπλότητας αστρικών συστημάτων. Οι Pribulla and Rucinski (2008) μελέτησαν 129 συστήματα υπερεπαφής με του- λάχιστον 15 δεδομένα χρόνων ελαχίστου υψηλής ακρίβειας φωτοηλεκτρικού ή CCD 3.4 Μαγνητική δραστηριότητα στο διπλό σύστημα 95

τύπου για το καθένα από αυτά, εκ των οποίων προέκυψε ότι τα 18 χαρακτηρίζονται από ακριβείς και σταθερές λύσεις LITE. Τέλος ο Demircan (2000) παρουσίασε μια λίστα από 58 εκλειπτικά συστήματα που εμφανίζουν το φαινόμενο LITE εκ των οποίων τα 10 είναι επιβεβαιωμένα μέλη τρι- πλών ή πολλαπλών συστημάτων, ενώ τα υπόλοιπα παρέμειναν στην κατηγορία των υποψήφιων έως ότου επέλθει επιβεβαιώση φασματοσκοπική ή αστρομετρική. Από το 2000 και έπειτα οι δημοσιευμένες έρευνες έχουν ανεβάσει τον αριθμό των υποψήφιων και επιβεβαιωμένων πολλαπλών συστημάτων με εμφανή το μηχανισμό LITE σε παραπάνω από 100 (Zasche et al., 2009).

3.4 Μαγνητική δραστηριότητα στο διπλό σύστημα

3.4.1 Ο μηχανισμός Applegate

Μια εναλλακτική εξήγηση της κυκλικής μεταβολής περιόδου στα διαγράμματα O-C δόθηκε από τον Hall (1989), διατυπώνοντας την υπόθεση ότι οι κύκλοι μαγνητικής δραστηριότητας στο μαγνητικά ενεργό μέλος ενός διπλού συστήματος προκαλούν τις μεταβολές αυτές. Η υπόθεση αυτή στηρίχτηκε στα αποτελέσματα της έρευνάς του όπως εμφανίζονται στο σχήμα (3.4) και σύμφωνα με τα οποία από 101 συστήματα Algol μόνο τα 31 με δευτερεύοντα αστέρα μεταγενέστερου φασματικού τύπου του F5 εμφανίζουν κυκλικές μεταβολές περιόδου. Σύμφωνα με αστρικά μοντέλα οι αστέρες μεταγενέστερου φασματικού τύπου του F5 χαρακτηρίζονται από ζώνη μεταφοράς και σε συνδυασμό με την υψηλή ταχύτητα περι- στροφής τους η εμφάνιση ενός αστρικού μαγνητικού δυναμό προβλέπεται θεωρητικά (Parker, 1979). Το πρώτο θεωρητικό μοντέλο θεμελίωσης της ιδέας περί κυκλικής μεταβολής περι- όδου εξαιτίας μαγνητικής δραστηριότητας εισήχθη από τους Applegate and Patter- son (1987) και οι οποίοι προκειμένου να συνδέσουν τη μαγνητική δραστηριότητα του αστέρα με τη μεταβολή της τροχιακής περιόδου του συστήματος, απέδειξαν ότι αρκεί η μεταβολή της ακτινικής συνιστώσας της βαρυτικής επιτάχυνσης. Η μεταβολή της βαρυτικής επιτάχυνσης μπορεί να συμβεί μόνο με την παραμόρφωση του σχήματος του αστέρα και η οποία παραμόρφωση μετράται μέσω της τετραπολι- κής ροπής του, επομένως, αναμένεται μια συνεισφορά της τετραπολικής ροπής στο βαρυτικό δυναμικό. Η αρχική τους πρόταση για παραμόρφωση του σχήματος του αστέρα εξαιτίας της δια- τάραξης της υδροστατικής ισορροπίας του αποδείχτηκε από τους Marsh and Pringle 3.4 Μαγνητική δραστηριότητα στο διπλό σύστημα 96

(1990) εσφαλμένη, καθώς η απαιτούμενη ενέργεια για τη μεταβολή της υδροστατικής ισορροπίας ήταν πολύ περισσότερη από την ενέργεια που μπορούσε να προσφέρει ο αστέρας. Ο Applegate (1992) τροποποίησε το αρχικό μοντέλο εξηγώντας την παραμόρφωση του αστέρα μέσω της διαφορικής περιστροφής του και επομένως της κατανομής της στροφορμής από τα εξωτερικά έως τα εσωτερικά του στρώματα.

Σχήμα 3.4: Χαρακτηρισμός της περιόδου σε διάγραμμα λόγου μαζών και φασματικού τύπου δευτερεύοντος αστέρα για 101 διπλά εκλειπτικά συστήματα τύπου Algol. Με × αποτυπώνονται όσα αντικείμενα χαρακτηρίζονται από αυξομείωση της περιόδου κατά περιοδικό τρόπο, ενώ τα σύμβολα /, \ και - υποδηλώνουν αύξηση, μείωση και σταθερή περίοδο αντίστοιχα. Το σύμβολο της τελείας αντιστοιχεί σε όσα αντικείμενα δεν μπόρεσε να εξαχθεί συμπέρασμα ως προς τη μεταβολή της περιόδου. Είναι εμφανές ότι κυκλική μεταβολή περιόδου εμφανίζουν μόνο τα συστήματα με δευτερεύοντα αστέρα μεταγενέστερου φασματικού τύπου του F5.

Με αυτό τον τρόπο το μέγεθος του αστέρα δε μεταβάλλεται ως συστολή ή διαστολή του όγκου του και άρα μετατόπιση από την κατάσταση υδροστατικής ισορροπίας, αλλά ως πλάτυνση του ισημερινού εξαιτίας διαφορικής περιστροφής του, με αποτέλεσμα τις διαδοχικές μεταβάσεις (transitions) μεταξύ καταστάσεων υδροστατικής ισορροπίας για όσο διαρκεί ο μαγνητικός κύκλος. Εάν, λοιπόν, διακοπτόταν ο μαγνητικός κύκλος τότε στην πρώτη περίπτωση ο αστέρας θα συνέχιζε την παραμόρφωσή του προκειμένου να αποκαταστήσει την υδροστατική ισορροπία του, ενώ στη δεύτερη περίπτωση θα διατηρούσε το σχήμα του καθώς θα ήταν ήδη σε μια κατάσταση υδροστατικής ισορροπίας. 3.4 Μαγνητική δραστηριότητα στο διπλό σύστημα 97

Οι τανυστές αδράνειας και τετραπολικής ροπής δίνονται από τις σχέσεις (Applegate, 1992)  3   Iik = dmxixk = d x ρ(x)xixk     ´ ´    1 (3.26)  Qik = Iik − δik T r I   3     

όπου T r I το ίχνος του τανυστή αδράνειας. Θεωρώντας ότι το διπλό σύστημα είναι στενό εκτελώντας κυκλικές σύγχρονες τρο- χιές, ο άξονας xˆ ενώνει τα μέλη και η ιδιοπεριστροφή γίνεται γύρω από τον άξονα zˆ, τότε το βαρυτικό δυναμικό ισούται με (Applegate, 1992)

GM 3 xixk GM 3 GQ Φ(x) = − − GQ ⇒ Φ(r) = − − (3.27) r 2 ik r5 r 2 r3

όπου χάριν ευκολίας έχουμε θέσει τη μοναδική συνεισφορά Qxx = Q. Ο μετασχηματισμός σε σχετικές συντεταγμένες θα έχεις ως αποτέλεσμα τον πολλα-

πλασιασμό της (3.27) με MT /M, όπου MT η ολική μάζα του συστήματος. Η σχετική ταχύτητα της κυκλικής τροχιάς ισούται με

dΦ GMT 9 Q υ2 = r = [1 + ] ⇒ (3.28) dr r 2 Mr2

∆υ ∆r 9 Q 2 = − + . (3.29) υ r 2 Mr2 Η ολική τροχιακή στροφορμή της σχετικής τροχιάς του συστήματος είναι

J = µυα (3.30)

όπου µ η ανηγμένη μάζα του συστήματος και α η ακτίνα της σχετικής τροχιάς. Η σχετική ταχύτητα συνδέεται με την απόσταση α και την επιτάχυνση της βαρύτητας g μέσω της σχέσης υ2 = αg (3.31)

και συνδυάζοντάς τη με την έκφραση της ολικής τροχιακής στροφορμής καταλήγουμε σε μια νέα μορφή του τρίτου νόμου του Kepler

J P = 2π ( )1/3 . (3.32) µg2 3.4 Μαγνητική δραστηριότητα στο διπλό σύστημα 98

Είναι εμφανές ότι η τροχιακή περίοδος του συστήματος αλλάζει είτε με τη μεταβολή της τροχιακής στροφορμής είτε με τη μεταβολή της βαρυτικής επιτάχυνσης και θεω- ρώντας συντηρητικό το σύστημα τότε η μεταβολή της περιόδου θα σχετίζεται μόνο με τη μεταβολή βαρυτικής επιτάχυνσης

∆P 2 ∆g = − ( ) . (3.33) P 3 g

Η βαρυτική επιτάχυνση μεταβάλλεται μόνο εξαιτίας της παραμόρφωσης του σχήματος του αστέρα και το οποίο μεταβάλλεται σύμφωνα με την τετραπολική ροπή. Από τη σχέση ολικής στροφορμής (3.30) και την περίοδο κυκλικής τροχιάς P = 2πr/υ προκύπτουν οι σχέσεις

 ∆r ∆υ     = −   r υ      . (3.34)  ∆P ∆υ   = −2   P υ     

Συνδυάζοντας το τελευταίο ζεύγος σχέσεων με την εξίσωση (3.29) προκύπτει ότι η μεταβολή της τροχιακής περιόδου συνδέεται με τη μεταβολή της τετραπολικής ροπής μέσω της σχέσης (Applegate and Patterson, 1987)

∆P R ∆Q = −9( )2 , (3.35) P α MR2

όπου R η ακτίνα του μαγνητικά ενεργού αστέρα. Εάν, λοιπόν, ο αστέρας πλατυνθεί εξαιτίας της διαφορικής περιστροφής του τότε ∆Q > 0 και το βαρυτικό δυναμικό (3.27) θα αυξηθεί. Αναγκαστικά η κεντρομόλος επιτάχυνση υ2/r θα αυξηθεί προκειμένου να αντισταθμίσει την βαρυτική δύναμη, ωστόσο, η απαίτηση για διατήρηση της ολικής τροχιακή στροφορμής (3.30) έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση της ταχύτητας περιστροφής υ και παράλληλα την ελλάτωση της απόστασης r. Επομένως, η πλάτυνση του αστέρα έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση της περιστροφής των μελών και της ελλάτωσης της μεταξύς τους απόστασης, έτσι ώστε η τροχιακή περίοδος του συστήματος να ελλατωθεί, όπως δηλώνει και το μείον στη σχέση (3.35). 3.4 Μαγνητική δραστηριότητα στο διπλό σύστημα 99

3.4.2 Ενεργειακές απαιτήσεις του μηχανισμού Applegate

Η τετραπολική ροπή σχετίζεται άμεσα με την κατανομή της τροχιακής στροφορμής στο εσωτερικό του αστέρα. Συγκεκριμένα, επειδή ο τανυστής αδράνειας είναι συνάρ- τηση του r2 και η τροχιακή στροφορμή είναι μεγαλύτερη στα εξωτερικά στρώματα του αστέρα, η τετραπολική ροπή εξαρτάται κυρίως από αυτά και ελάχιστα από τα εσωτερικά. Η συσχέτιση αυτή ονομάζεται φαινόμενο πλέγματος (net effect) και σημαίνει στην πράξη πως εάν τροχιακή στροφρομή μεταφέρεται από τα εσωτερικά στρώματα προς τα εξωτερικά, τότε η πλάτυνση των τελευταίων θα είναι μεγαλύτερη και η τετραπολική ροπή θα αυξηθεί λόγω της ισχυρής της εξάρτησης με τα εξωτερικά στρώματα. Σε μια τέτοια περίπτωση, λοιπόν, η παράγωγος dQ/dJ είναι θετική, όπου J η τροχιακή στροφορμή των εξωτερικών στρωμάτων του αστέρα, ενώ κατά τη μεταφορά στροφορμής από τα εξωτερικά στα εσωτερικά η εικόνα αντιστρέφεται. Προκειμένου να υπολογιστεί η ποσότητα dQ/dJ αρκεί να θεωρήσουμε ένα λεπτό

κέλυφος μάζας Ms, ακτίνας R, γωνιακής ταχύτητας Ω, περιστρεφόμενο στο βαρυτικό δυναμικό μιας σημειακής μάζας M ευρισκόμενης στο κέντρο του. Το λεπτό κέλυφος αντιπροσωπεύει ένα εξωτερικό στρώμα του αστέρα και η μάζα M

τον υπόλοιπο αστέρα, επομένως, Ms  M. Θεωρώντας ότι η παραμόρφωση του αστέρα γίνεται στο εξωτερικό κέλυφος κατά ψ, τότε η πολική και ισημερινή ακτίνα

του κελύφους είναι αντίστοιχα Rp = R − ψ, Re = R + ψ. Αγνοώντας το βαρυτικό δυναμικό του κελύφους και ταυτίζοντάς το με ισοδυναμική επιφάνεια βάση του μοντέλου Roche, προκύπτει για την παραμόρφωση ψ (Applegate, 1992) ψ 1 Ω2R3 = . (3.36) R 3 GM 2 Η ροπή αδράνειας του κελύφους είναι I = M R2 και άρα η τετραπολική ροπή του s 3 s ισούται με 1 Ω2R3 Q = M R2 , (3.37) 9 s GM με αποτέλεσμα η παράγωγος dQ/dJ να δίνεται από τη σχέση (Applegate, 1992)

dQ 1 ΩR3 = . (3.38) dJ 3 GM

Η απαιτούμενη μεταφορά τροχιακής στροφορμής ∆J μεταξύ των στρωμάτων του αστέρα προκειμένου να μεταβληθεί η τροχιακή περίοδος του συστήματος κατά ∆P , προκύπτει συνδυάζοντας την τελευταία σχέση του dQ/dJ με την σχέση μεταβολής 3.4 Μαγνητική δραστηριότητα στο διπλό σύστημα 100

περιόδου-τετραπολικής ροπής (3.35) (Applegate, 1992):

GM 2 α ∆P ∆J = − ( )2 . (3.39) R R 6π

Επομένως, η αύξηση της τροχιακής στροφορμής του αστέρα ισοδυναμεί με μεταφορά στροφορμής από τα εσωτερικά προς τα εξωτερικά στρώματα και προκαλεί μείωση της περιόδου, όπως υποδηλώνει η ύπαρξη του μείον. Το αποτέλεσμα αυτό είναι ταυτόσημο με της σχέσης (3.35) καθώς η αύξηση τροχιακής στροφορμής προκαλεί την πλάτυνσή του, δηλαδή, την αύξηση της τετραπολικής ροπής και τελικά την μείωση της τροχιακής περιόδου. Η απαιτούμενη ενέργεια για τη μεταφορά της τροχιακής στροφορμής μεταξύ των στρωμάτων του αστέρα υπολογίζεται από την έκφραση (Applegate, 1992)

(∆J)2 ∆E = Ωdr∆J + , (3.40) 2Ieff

όπου Ωdr = Ωs − Ω∗ η γωνιακή ταχύτητα διαφορικής περιστροφής, Ieff = IsI∗/(Is +

I∗) η ενεργός ροπή αδράνειας και οι ποσότητες με αστερίσκο υποδηλώνουν το εσω- τερικό μέρος του αστέρα. Η μεταφορά στροφορμής ∆J προς το εξωτερικό κέλυφος θα το αναγκάσει να περι-

στραφεί με γωνιακή ταχύτητα ∆Ω = ∆J/Is, όπου

Ms ∆Ω GM α P ∆P = ( )2( )2 (3.41) M Ω 3R3 R 2π P

με αναμενόμενη ∆Ω . Ωdr χωρίς να αποτελεί μονόδρομη απαίτηση. Εάν η ενεργειακή απαίτηση (3.40) εφοδιαστεί με την λαμπρότητα του αστέρα, τότε εφόσον έχουμε διαφορική περιστροφή και όχι μετατόπιση από την υδροδυναμική ισορροπία, θα υπάρξει μια διαφορά χρώματος καθώς η λαμπρότητα μεταβάλλεται ενώ η μέση ακτίνα του αστέρα παραμένει σταθερή. Η μεταβολή της φωτεινότητας δίνεται από τη σχέση (Applegate, 1992)

∆E ∆Lrms = π (3.42) Pmod

όπου Pmod η περιοδική διαμόρφωση (modulation) της τροχιακής περιόδου. 3.4 Μαγνητική δραστηριότητα στο διπλό σύστημα 101

Για την απαιτούμενη μεταφορά στροφορμής ∆J και ισοδύναμα μεταβολή φωτεινότητας

∆Lrms, απαιτείται ροπή (Applegate, 1992)

∆J π GM 2 α ∆P N = π = ( )2 (3.43) Pmod 3 R R Pmod

και δεδομένου ότι προέρχεται από το εσωτερικό μαγνητικό πεδίο του αστέρα, προ- σεγγιστικά ισχύει B2 N ∼ (4πR2)∆R ∼ 0.1B2R3 (3.44) 4π με ∆R ∼ 0.1R. Επομένως, το απαιτούμενο μαγνητικό πεδίο για τη μεταφορά στροφορμής ∆J είναι προσεγγιστικά ίσο με 2 2 GM α 2 ∆P B ∼ 10 4 ( ) . (3.45) R R Pmod

Για τις συνηθισμένες τιμές περιόδου P ' 1day και Pmod ' 50years η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι της τάξης των μερικών kilogauss. Η πολύ μικρή τιμή του μαγνητικού πεδίου υποδηλώνει ότι η ροπή (3.43) δρά πολύ αργά και άρα το μαγνητικό πεδίο δεν έχει να αντισταθμίσει κάποιες δυνάμεις αποστα- θεροποίησης της κατάστασης υδροδυναμικής ισορροπίας. ΄Αρα ο μοναδικός ρόλος του είναι η μεταφορά της στροφορμής μεταξύ των στρωμάτων του αστέρα με τελικό αποτέλεσμα τη μεταβολή της τροχιακής περιόδου, ενώ κατά τη διάρκεια όλης της διαδικασίας η υδροστατική ισορροπία μεταβαίνει ανενόχλητη από την παρουσία του πεδίου σε διαδοχικές καταστάσεις ισορροπίας. Τελικώς, ο μαγνητικός κύκλος αποτελείται από δύο φάσεις. Στην πρώτη φάση η ύπαρξη του μαγνητικού πεδίου προκαλεί τη μεταφορά στοφορ- μής από τα εσωτερικά προς τα εξωτερικά στρώματα του αστέρα, με αποτέλεσμα την αύξηση της διαφορικής περιστροφής και την αναγκαστική μείωση φωτεινότητας του αστέρα, καθώς τα περισσότερα ενεργειακά αποθέματα χρησιμοποιούνται για την περιστροφή. Η πλάτυνση του αστέρα και η ταχύτατη διαφορική περιστροφή του προκαλούν μείωση της τροχιακής περιόδου του συστήματος. Στη δεύτερη φάση η μεταφορά στροφορμής ακολουθεί την αντίστροφη πορεία και η ασθενής εξάρτηση των εσωτερικών στρωμάτων με την τετραπολική ροπή προκαλεί την περιστροφή του αστέρα προσεγγιστικά ως στερεό σώμα. Κατά αυτή την πορεία τα περισσότερα ενεργειακά αποθέματα χρησιμοποιούνται για τη μεταφορά θερμότητας μέσω της ζώνης μεταφοράς και άρα την αύξηση της φωτεινότητας του αστέρα. Σε αυτή τη φάση η μείωση της πλάτυνσης του αστέρα και η αργή διαφορική περιστροφή του έχουν ως αποτέλεσμα την αύξηση της τροχιακής περιόδου του συστήματος. 3.4 Μαγνητική δραστηριότητα στο διπλό σύστημα 102

Συνοψίζοντας, η ενεργειακή απαίτηση για μεταβολή της περιόδου εξαρτάται από τη

μεταφορά στροφορμής, τη διαφορική περιστροφή Ωdr και τη μάζα του εξωτερικού κελύφους. Επομένως, όσο μειώνεται η διαφορική περιστροφή ή αυξανόμενης της μάζας του εξωτερικού κελύφους μειώνονται και οι ενεργειακές απαιτήσεις του μηχανισμού..

3.4.3 Επίδραση του μηχανισμού Applegate στο διάγραμμα O-C

Θεωρώντας ότι η τροχιακή γωνιακή ταχύτητα ω(t) εμπεριέχει ένα σταθερό όρο ω0, μια σταθερή παράγωγο ω˙ και έναν ημιτονοειδή όρο, τότε έχουμε (Applegate, 1992)

ω(t) = ω0 +ωt ˙ + Asin(νt) . (3.46)

Δεδομένου ότι η τροχιακή φάση ορίζεται ως

t 0 0 φ(t) = ω(t ) dt (3.47) ˆ 0

και οι εκλείψεις συμβαίνουν σε τροχιακές φάσεις φ(tE) = 2πE = ω(tE) tE, τότε οι εκλείψεις αναμένονται με βάση την (3.46) σε φάση

1 A 2πE = ω t + ωt˙ 2 − cos(νt ) . (3.48) 0 E 2 E ν E

Εφόσον ο χρόνος του κέντρου της έκλειψης ισούται με

2πE tE = = P0 · E (3.49) ω0

έχουμε για τον παρατηρούμενο χρόνο, με βάση τους διορθωτικούς όρους της (3.48),

1 AP0 O = t = P E + P PE˙ 2 + cos(P νE). (3.50) E 0 2 0 2πν 0

Επομένως, είναι εμφανές ότι στην περίπτωση του μηχανισμού Applegate αν χρησι- μοποιηθεί η δευτεροβάθμια εφημερίδα

1 C = P E + P PE˙ 2 (3.51) 0 2 0 3.4 Μαγνητική δραστηριότητα στο διπλό σύστημα 103

τότε στο διάγραμμα O-C εμφανίζεται μια ημιτονοειδής μεταβολή πλάτους

Pmod O − C = AP , (3.52) 0 (2π)2

όπου η Pmod η περιοδική διαμόρφωση της τροχιακής περιόδου με τιμή

2π P = . (3.53) mod ν

Με άλλα λόγια ο ταλαντωτικός όρος της εξίσωσης (3.46) προκαλεί μια ημιτονοειδή μεταβολή της περιόδου, με πλάτος στο διάγραμμα O-C (3.52) και πλάτος περιοδικής διαμόρφωσης ∆P A = , (3.54) P0 ω0 έτσι ώστε τα δύο πλάτη συνδέονται μέσω της σχέσης

∆P O − C = 2π , (3.55) P Pmod

με το δείκτη μηδέν της περιόδου να έχει αφαιρεθεί. Από την τελευταία σχέση είναι εμφανές ότι το πλάτος του O−C θα αυξάνει γραμμικά

με την περίοδο διαμόρφωσης Pmod για σταθερό ∆P/P , ενώ εξίσου σημαντικό απο- τέλεσμα είναι ότι η τροχιακή περίοδος του συστήματος δεν είναι αυστηρά περιοδική αλλή ημι-περιοδική (quasi-periodic). Οι μεταβολές, δηλαδή, που αναμένονται να εμφανιστούν σε ένα διάγραμμα O-C εξαιτίας του μηχανισμού Applegate είναι μια ημιτονοειδής μεταβολή (γραμμική α- ύξηση ακολουθούμενη από γραμμική ελάττωση) και η οποία θα εμφανίζει μικρές

διακυμάνσεις στην περίοδό της εξαιτίας της περιοδικής διαμόρφωσης Pmod. Το γεγονός αυτό καθιστά επικρατέστερο το μηχανισμό Applegate σε περιπτώσεις ημι-περιοδικής μεταβολής της περιόδου σε αντίθεση με το μηχανισμό LITE ο οποίος είναι αυστηρά περιοδικός (Kopal, 1978). Τα παρατηρησιακά δεδομένα υποδεικνύουν ότι μια μεταβολή της περιόδου της τάξης του ∆P/P ' (1−3)×10−5 είναι δυνατό να εξηγήθεί μέσω του μηχανισμού Applegate όχι μόνο για βραχυπρόθεσμες αλλά και για μακροπρόθεσμες μεταβολές, η οποία αντιστοιχεί σε μεταβολές λαμπρότητας ∆L/L ' 0.1 και διαφορικής περιστροφής ∆Ω/Ω ' 0.01 (Lanza et al., 1998). Το μοντέλο του Applegate προβλέπει ότι ο μηχανισμός μεταβολής της περιόδου εξαιτίας μαγνητικής δραστηριότητας θα συνοδεύεται από τις εξής ενδείξεις: 3.4 Μαγνητική δραστηριότητα στο διπλό σύστημα 104

• ημι-περιοδική μεταβολή της τροχιακής περιόδου

• ίδιους κύκλους (περιόδους) στο διάγραμμα O-C και στην καμπύλη φωτός

• κάθε άλλη ένδειξη μαγνητικής δραστηριότητας (π.χ. κηλίδες) θα πρέπει να χαρακτηρίζεται από την ίδια περίοδο

• η μεταβολή φωτεινότητας θα οφείλεται μόνο στην μεταβολή της θερμοκρασίας και επομένως ο φωτεινότερος αστέρας θα είναι και ο πιο θερμός (μπλε χρώμα- τος)

• δεδομένης της εξάρτησης της φωτεινότητας από τη διαφορική περιστροφή και την τετραπολική ροπή τότε:

– είτε η μέγιστη φωτεινότητα εμφανίζεται στην ίδια φάση με το ελάχιστο του διαγράμματος O-C (μικρότερη περίοδος) και ο αστέρας χαρακτηρίζεται από τη μεγαλύτερη δυνατή διαφορική περιστροφή-πλάτυνση – είτε η μέγιστη φωτεινότητα εμφανίζεται στην ίδια φάση με το μέγιστο του διαγράμματος O-C (μεγαλύτερη περίοδος) και ο αστέρας χαρακτηρίζεται από τη μικρότερη διαφορική περιστροφή-πλάτυνση.

Η πρώτη επιβεβαίωση του μηχανισμού Applegate με την τήρηση όλων των κριτηρίων και προβλέψεων έγινε από τον Hall (1991) για το διπλό εκλειπτικό σύστημα CG Cyg. Η έρευνά του έδειξε ότι το σύστημα ικανοποιεί τις ενεργειακές απαιτήσεις του μηχανι- σμού, χαρακτηρίζεται από ίδιους κύκλους με συμφασικά μέγιστα (μέγιστη διαφορική περιστροφή) στα διαγράμματα φωτός και O-C , ενώ ο αστέρας γίνεται πιο μπλέ κατά την αύξηση της φωτεινότητας, όπως ακριβώς προβλέπεται από το μοντέλο. ΄Οπως έχει αναφερθεί, η βασικότερη προϋπόθεση για την ύπαρξη του μηχανισμού Applegate είναι κάποιο από τα μέλη του συστήματος να εμφανίζει τις ικανές συνθήκες για τη δημιουργία μαγνητικού δυναμό, δηλαδή, να περιστρέφεται ταχύτατα και να έχει ζώνη μεταφοράς. Επιπλέον, αυτή η απαίτηση δεν αποκλείει την ύπαρξη μαγνητικού δυναμό και στα δύο μέλη του συστήματος έτσι ώστε το φαινόμενο να εμφανίζεται και στους δύο αστέρες, όπως έχει προταθεί και στην περίπτωση του συστήματος TY Boo (Christopoulou et al., 2012b). Ωστόσο, η προσέγγιση του Applegate αποτελεί μια πρώτη προσέγγιση στην οποία λαμβάνεται υπόψιν μόνο η περιστροφική ενέργεια στην τετραπολική ροπή, αγνοείται η περιστροφική αντίδραση του συμπαγούς πυρήνα του αστέρα εξαιτίας της διατήρησης 3.4 Μαγνητική δραστηριότητα στο διπλό σύστημα 105

στροφορμής, ενώ η ισχύς του μοντέλου καταρρέει για μάζες εξωτερικού κελύφους

Ms ≥ 0.1M (μοντέλο λεπτού κελύφους - thin shell model). Το μοντέλο Applegate τέθηκε σε ακόμα λεπτομερέστερες βάσεις κατά τη διάρκεια των χρόνων και με επιπλέον προσθήκες από τους Lanza et al. (1998), Rüdiger et al. (2002), Brinkworth et al. (2006), Lanza (2006) και Völschow et al. (2016). Πιο συγκεκριμένα, οι Lanza et al. (1998) επέκτειναν το μοντέλο του Applegate λαμ- βάνοντας υπόψιν και τη μαγνητική ενέργεια στην τετραπολική ροπή, με αποτέλεσμα οι Tian et al. (2009) να εξάγουν την εξής προσεγγιστική σχέση για την απαιτούμενη ενέργεια του μηχανισμού:

∆E Msec Rsec Tsec αbin ∆P Pmod = 0.233( )3( )−10( )−4( )4( )2( )−1 , (3.56) Esec M R 6000K R s yr

όπου η ενέργεια του δευτερεύοντος μέλους ισούται με

Esec = Pmod · Lsec , (3.57)

με την απαιτούμενη ενέργεια του μηχανισμού να δίνει ίδιας τάξης μεγέθους αποτε- λέσματα με το αρχικό μοντέλο του Applegate (1992). Οι Brinkworth et al. (2006) εξήγαγαν μια αναλυτική έκφραση για την τετραπολική ροπή συμπεριλαμβάνοντας και την μεταβολή της περιστροφικής ταχύτητας του πυρήνα του μαγνητικά ενεργού αστέρα επιπλέον του εξωτερικού κελύφους, έτσι ώστε οι ενεργειακές απαιτήσεις του μηχανισμού να αυξηθούν μερικές τάξεις μεγέθους. Το μοντέλο των Brinkworth et al. (2006) εισάγει τη δυνατότητα περιγραφής του μαγνητικά ενεργού αστέρα από ένα προφίλ ακτινικής πυκνότητας ρ(r) και βασιζόμενοι σε αυτό το μοντέλο οι Völschow et al. (2016) εξήγαγαν τρία διαφορετικά μοντέλα αυξανόμενης ακρίβειας. Η πρώτη τους προσέγγιση υποθέτει τη σταθερή πυκνότητα ( constant density model) του αστέρα σε όλα του τα στρώματα με αποτέλεσμα οι ενεργειακές απαιτήσεις του μηχανισμού να είναι έως και τρεις τάξεις μεγέθους μεγαλύτερες από το μοντέλο λεπτού κελύφους (Applegate, 1992), ενώ το ελάχιστο (σύγχρονη περιστροφή του

πυρήνα με το εξωτερικό κέλυφος, Ω1 = Ω2) ενεργειακό κατώφλι (energy threshold) του μηχανισμού δίνεται από τη σχέση

∆E ∆P αbin Msec Rsec Pmod Lsec ' 1.1 · 107( )( )2( )2( )−3( )−1( )−1 . (3.58) Esec Pbin R M R yr L

Από την παραπάνω σχέση είναι εμφανής η εξάρτηση των ενεργειακών απαιτήσεων του μηχανισμού από τα τροχιακά χαρακτηριστικά του διπλού συστήματος και τις απόλυτες 3.4 Μαγνητική δραστηριότητα στο διπλό σύστημα 106

παραμέτρους του μαγνητικά ενεργού μέλους. Επιπλέον, είναι ανεξάρτητη της περι- στροφής του δευτερεύοντος αστέρα με αποτέλεσμα το μοντέλο να μην προϋποθέτει την περιστροφή του. Η δεύτερη προσέγγισή τους είναι επίσης ένα αναλυτικό μοντέλο βασιζόμενοι στην κατανομή πυκνότητας του δευτερεύοντος αστέρα, μόνο που πλέον ορίζονται διαφο- ρετικές κατανομές για τον πυρήνα και το εξωτερικό κέλυφος ( two zone model).Η διάκριση αυτή έχει ως αποτέλεσμα το ελάχιστο ενεργειακό κατώφλι του μηχανισμού να δίνεται από την έκφραση

v 2 u 2 2 ∆E MsecR u α MsecP ∆P sec t bin bin 2 = k1 2 (1 ± 1 − k2G 5 ) , (3.59) Esec PbinPmodLsec Rsec Pbin

όπου k1, k2 δύο συντελεστές των οποίων ο αριθμητικός υπολογισμός για τυπικά διπλά συστήματα στη μεταγενέστερη φάση κοινού περιβλήματος (post common envelope binaries) έχει ως αποτέλεσμα k1 = 0.133, k2 = 3.42 (Völschow et al., 2016). Η αριθμητική επίλυση της παραπάνω εξίσωσης προϋποθέτει την ικανοποίηση της κρίσιμης συνήθηκης 2 2 αbinPbinMsec ∆P A ≡ k2G 5 ≤ 1 (3.60) Rsec Pbin προκειμένου να υπάρξει πραγματική λύση για το μοντέλο διπλής ζώνης. Η παράμετρος A καλείται παράμετρος Applegate (Völschow et al., 2016) και στο όριο A → 1 το μοντέλο διπλής ζώνης ταυτίζεται με το μοντέλο σταθερής πυκνότητας, δηλαδή, το μοντέλο σταθερής πυκνότητας αποτελεί το όριο του μοντέλου διπλής ζώνης για την ακραία περίπτωση στην οποία το εξωτερικό κέλυφος και η ταχύτητα περιστροφής του εξαφανίζονται. Οι δύο αυτές προσεγγίσεις αποτελούν αναλυτικά μοντέλα περιγραφής μεταβολής της περιόδου ενός διπλού συστήματος αστέρων με ενεργά μαγνητικά μέλος και η συνεισφορά του πυρήνα του δευτερεύοντος μέλους έχει ως αποτέλεσμα την πολύ μεγαλύτερη ενεργειακή απαίτηση του μηχανισμού σε σχέση με το αρχικό μοντέλο του Applegate (1992). Το τρίτο μοντέλο που παρουσίασαν οι Völschow et al. (2016) στην ερευνητική τους εργασία είναι ένα αριθμητικό μοντέλο το οποίο επιβεβαιώνει τα αποτελέσματα του μοντέλου διπλής ζώνης. Συμπερασματικά, ο μηχανισμός Applegate πρέπει πάντα να μελετάται ως πιθανή εξήγηση μεταβολής περιόδου σε διπλά συστήματα με τουλάχιστον ένα μαγνητικά ενεργό μέλος. 3.4 Μαγνητική δραστηριότητα στο διπλό σύστημα 107

Ωστόσο, εάν και την πρώτη δεκαετία από τη δημοσίευση της βασικής μορφής του (Applegate, 1992) αποτέλεσε κατά πολλούς ισχυρότερη εκδοχή μεταβολής περιόδου έναντι του μηχανισμού LITE, η έρευνα του Lanza (2005), (2006) έδειξε ότι στις περισσότερες περιπτώσεις διπλών συστημάτων με δευτερεύον μέλος μεταγενέστερου φασματικού τύπου, η μαγνητική δραστηριότητα δεν προσφέρει τα απαιτούμενα ενερ- γειακά αποθέματα για την μεταβολή της περιόδου. Οι αυξημένες ενεργειακές απαιτήσεις του μηχανισμού επιβεβαιώνονται και από τα αυξημένης ακρίβειας μοντέλα σταθερής πυκνότητας και διπλής ζώνης (Völschow et al., 2016). Επομένως, η κυκλική μεταβολή της περιόδου ενός εκλειπτικού συστήματος πρέπει να ελέγχεται διεξοδικά σύμφωνα με τους ισοδύναμους μηχανισμούς LITE, Apple- gate ή άλλων μοντέλων περιοδικής μεταβολής στροφορμής, εάν και οι θεωρητικές μελέτες καθώς και τα παρατηρησιακά δεδομένα αναδεικνύουν τον μηχανισμό LITE ως επικρατέστερο για την κυκλική μεταβολή της περιόδου. ΄Οπως έχει αναφερθεί στην παρουσίαση του φαινομένου LITE (ενότητα 3.3) τα πο- λυετή παρατηρησιακά δεδομένα υψηλής ακρίβειας για την κάλυψη πολλών κύκλων, σε συνδυασμό με την ύπαρξη φασματοσκοπικών και αστρομετρικών δεδομένων, προ- σφέρουν το ασφαλέστερο πλαίσιο επιβεβαίωσης του μηχανισμού LITE. Η επικρατέστερη εκδοχή μεταβολής περιόδου εξαιτίας του μηχανισμού LITE έναντι του μηχανισμού Applegate προκαλεί την ανάγκη περαιτέρω μελέτης διπλών εκλειπτι- κών συστημάτων, προκειμένου να ενισχυθούν η στατιστική πολλαπλών συστημάτων και οι αντίστοιχες εξελικτικές θεωρίες (υποενότητα 3.3.4). Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 3 108

Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 3

B. Albayrak, F. Fikri Özeren, F. Ekmekçi, and O. Demircan. Period Variation of Six RS CVn-Type Binaries with Possible Light-Time Effect. Revista Mexicana de Astronomia y Astrofisica, 35:3, April 1999.

J. H. Applegate. A mechanism for orbital period modulation in close binaries. Astrophysical Journal, 385:621–629, February 1992. doi: 10.1086/170967.

J. H. Applegate and J. Patterson. Magnetic activity, tides, and orbital period changes in close binaries. Astrophysical Journal, Part 2 - Letters to the Editor, 322:L99–L102, November 1987. doi: 10.1086/185044.

A. H. Batten. Binary and multiple systems of stars. 1973.

T. Borkovits and T. Hegedues. On the invisible components of some eclipsing binaries. Astronomy and Astrophysics Supplement, 120:63–75, November 1996.

D. H. Bradstreet and E. F. Guinan. Stellar Mergers and Acquisitions: The Formation and Evolution of W Ursae Majoris Binaries. In A. W. Shafter, editor, Interacting Binary Stars, volume 56 of Astronomical Society of the Pacific Conference Series, page 228, 1994.

C. S. Brinkworth, T. R. Marsh, V. S. Dhillon, and C. Knigge. Detection of a period decrease in NN Ser with ULTRACAM: evidence for strong magnetic braking or an unseen companion. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 365: 287–295, January 2006.

C. R. Chambliss. Eclipsing binaries in multiple-star systems. Astronomical Society of the Pacific, 104:663–677, August 1992.

P.-E. Christopoulou, A. Papageorgiou, T. Vasileiadis, and S. Tsantilas. A Holistic View of the W UMa Type TY Boo. Astronomical Journal, 144:149, November 2012b. doi: 10.1088/0004-6256/144/5/149.

O. Demircan. Period Changes as a Tool to Study Unseen Components Around Eclipsing Binaries. In C. Ibanoglu, editor, NATO Advanced Science Institutes (ASI) Series C, volume 544 of NATO Advanced Science Institutes (ASI) Series C, page 615, 2000.

A. Duquennoy and M. Mayor. Multiplicity among solar-type stars in the solar neighbourhood. II - Distribution of the orbital elements in an unbiased sample. Astronomy and Astrophysics, 248:485–524, August 1991. Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 3 109

F. C. Fekel, Jr. The properties of close multiple stars. Astrophysical Journal, 246: 879–898, June 1981. doi: 10.1086/158981.

H. Frieboes-Conde and T. Herczeg. Period variations of fourteen eclipsing binaries with possible light-time effect. Astronomy and Astrophysics Supplement, 12:1, October 1973.

D. S. Hall. The relation between RS CVn and Algol. Space Science Reviews, 50: 219–233, June 1989. doi: 10.1007/BF00215932.

D. S. Hall. A connection between long-term luminosity variations and orbital period changes in chromospherically active binaries. Astrophysical Journal, Part 2 - Letters, 380:L85–L87, October 1991. doi: 10.1086/186179.

D. I. Hoffman, T. E. Harrison, B. J. McNamara, W. T. Vestrand, J. A. Holtzman, and T. Barker. The Case for Third Bodies as the Cause of Period Changes in Selected Algol Systems. Astronomical Journal, 132:2260–2267, December 2006. doi: 10.1086/508411.

J. B. Irwin. The Determination of a Light-Time Orbit. Astrophysical Journal, 116: 211, July 1952. doi: 10.1086/145604.

J. B. Irwin. Standard light-time curves. Astronomical Journal, 64:149, May 1959. doi: 10.1086/107913.

A. Kalimeris, H. Rovithis-Livaniou, and P. Rovithis. On the orbital period changes in contact binaries. Astronomy and Astrophysics, 282:775–786, February 1994.

J. Kallrath and F. E. Milone. Eclipsing Binary Stars: Modeling and Analysis. Springer, 2009.

A. I. Khaliullina, K. F. Khaliullin, and D. I. Martynov. Apsidal motion and the third body in the system RU Monocerotis. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 216:909–922, October 1985. doi: 10.1093/mnras/216.4. 909.

Z. Kopal, editor. Dynamics of close binary systems, volume 68 of Astrophysics and Space Science Library, 1978. doi: 10.1007/978-94-009-9780-6.

C. H. S. Lacy. An exact solution of the ephemeris-curve problem. Astronomical Journal, 104:2213–2216, December 1992. doi: 10.1086/116395. Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 3 110

A. F. Lanza. On the orbital period modulation of RS CVn binary systems. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 364:238–246, November 2005.

A. F. Lanza. Internal stellar rotation and orbital period modulation in close binary systems. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 369:1773–1779, July 2006.

A. F. Lanza, M. Rodono, and R. Rosner. Orbital period modulation and magnetic cycles in close binaries. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 296: 893–902, June 1998.

W. A. Lawson and P. L. Cottrell. RY SGR - Pulsation period variations reinterpreted. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 231:609–615, April 1988. doi: 10.1093/mnras/231.3.609.

K. Levenberg. A method for the solution of certain problems in least squares. Quarterly of Applied Mathematics, 2(2):164–168, 1944.

F. Lombard and C. Koen. The Analysis of Indexed Astronomical Time Series - Part Two - the O-C / Observed - Calculated / Technique Reconsidered. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 263:309, July 1993. doi: 10.1093/ mnras/263.2.309.

D. W. Marquardt. An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters. SIAM Journal on Applied Mathematics, 11(2):431–441, 1963. doi: 10.1137/0111030.

T. R. Marsh and J. E. Pringle. Changes in the orbital periods of close binary stars. Astrophysical Journal, 365:677–680, December 1990. doi: 10.1086/169521.

P. Mayer. Eclipsing binaries with light-time effect. Bulletin of the Astronomical Institutes of Czechoslovakia, 41:231–236, July 1990.

P. Mayer. Systems with the third body. In R. W. Hilditch, H. Hensberge, and K. Pavlovski, editors, Spectroscopically and Spatially Resolving the Components of the Close Binary Stars, volume 318 of Astronomical Society of the Pacific Conference Series, pages 233–241, December 2004.

S. W. Mochnacki and N. A. Doughty. A model for the totally eclipsing W Ursae Majoris system AW UMa. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 156:51–56, 1972. doi: 10.1093/mnras/156.1.51. Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 3 111

J. A. Nelder and R. Mead. A Simplex Method for Function Minimization. The Computer Journal, 7(4):308–313, 1965.

R. H. Nelson, D. Terrell, and E. F. Milone. A critical review of period analyses and implications for mass exchange in W UMa eclipsing binaries: Paper 3. New Astronomy Reviews, 70:1–26, February 2016.

B. Paczyński, D. M. Szczygieł, B. Pilecki, and G. Pojmański. Eclipsing binaries in the All Sky Automated Survey catalogue. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 368:1311–1318, May 2006.

E. N. Parker. Cosmical magnetic fields: Their origin and their activity. 1979.

A. Poveda, M. A. Herrera, C. Allen, G. Cordero, and C. Lavalley. Statistical studies of visual double and multiple stars. II. A catalogue of nearby wide binary and multiple systems. Revista Mexicana de Astronomia y Astrofisica, 28:43–89, April 1994.

T. Pribulla and S. M. Rucinski. Multiplicity of Contact Binary Stars. In S. Hubrig, M. Petr-Gotzens, and A. Tokovinin, editors, Multiple Stars Across the H-R Diagram, page 163, 2008.

T. Pribulla, D. Chochol, J. Tremko, and J. M. Kreiner. The Light-Time Effect in Short-period Eclipsing Binaries. In C. Sterken, editor, The Light-Time Effect in Astrophysics: Causes and cures of the O-C diagram, volume 335 of Astronomical Society of the Pacific Conference Series, page 103, July 2005.

G. Rüdiger, D. Elstner, A. F. Lanza, and T. Granzer. Orbital period modulation in close binaries due to cyclic alpha 2-dynamo activity. Astronomy and Astrophysics, 392:605–611, September 2002.

S. Soderhjelm. The three-body problem and eclipsing binaries - Application to algol and lambda Tauri. Astronomy and Astrophysics, 42:229–236, August 1975.

S. Soderhjelm. Studies of the stellar three-body problem. Astronomy and Astrophysics, 107:54–60, March 1982.

C. Sterken. The O-C Diagram: Basic Procedures. In C. Sterken, editor, The Light-Time Effect in Astrophysics: Causes and cures of the O-C diagram, volume 335 of Astronomical Society of the Pacific Conference Series, page 3, July 2005. Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 3 112

Y. P. Tian, F. Y. Xiang, and X. Tao. Period investigation of two RS CVn-type binary stars: RU Cancri and AW Herculis. Astrophysics and Space Science, 319: 119–124, February 2009.

A. Tokovinin. Statistics of multiple stars. In C. Allen and C. Scarfe, editors, Revista Mexicana de Astronomia y Astrofisica Conference Series, volume 21 of Revista Mexicana de Astronomia y Astrofisica Conference Series, pages 7–14, August 2004.

A. Tokovinin. Dynamics of Multiple Stars: Observations. In N. St.-Louis and A. F. J. Moffat, editors, Massive Stars in Interactive Binaries, volume 367 of Astronomical Society of the Pacific Conference Series, page 615, 2007.

A. A. Tokovinin. MSC - a catalogue of physical multiple stars. Astronomy and Astrophysics Supplement, 124:75–84, July 1997. doi: 10.1051/aas:1997181.

M. Völschow, D. R. G. Schleicher, V. Perdelwitz, and R. Banerjee. Eclipsing time variations in close binary systems: Planetary hypothesis vs. Applegate mechanism. Astronomy and Astrophysics, 587:A34, March 2016. doi: 10.1051/ 0004-6361/201527333.

M. Wolf, P. Harmanec, R. Diethelm, K. Hornoch, and P. Eenens. Apsidal motion and light-time effect in eclipsing binaries HS Herculis and U Ophiuchi. Astronomy and Astrophysics, 383:533–539, February 2002. doi: 10.1051/ 0004-6361:20011729.

J. Woltjer, Jr. On a special case of orbit determination in the theory of eclipsing variables. Bulletin of the Astronomical Institutes of the Netherlands, 1:93, June 1922.

P. Zasche, A. Liakos, P. Niarchos, M. Wolf, V. Manimanis, and K. Gazeas. Period changes in six contact binaries: WZ And, V803 Aql, DF Hya, PY Lyr, FZ Ori, and AH Tau. New Astronomy, 14:121–128, February 2009. doi: 10.1016/j. newast.2008.06.002. Κεφάλαιο 4 113

Κεφάλαιο 4: Τεχνικές εφαρμογής της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων και ε- κτίμησης αβεβαιοτήτων

Στο κεφάλαιο 3 η μελέτη του φαινομένου ύπαρξης τρίτου σώματος γύρω από ένα διπλό αστρικό σύστημα είχε ως αποτέλεσμα την ανάγκη επίλυσης της εξίσωσης LITE (3.16), δηλαδή, τον προσδιορισμό των τροχιακών παραμέτρων του τρίτου σώματος. Το πρόβλημα αυτό συγκαταλέγεται στην κατηγορία αντίστροφων προβλημάτων, κα- θώς επιζητείται η βέλτιστη συνθετική καμπύλη που περιγράφει τα παρατηρησιακά δεδομένα. Η επίλυση του αντίστροφου προβλήματος ισοδυναμεί με την ελαχιστοποίηση της διαφοράς μεταξύ των φωτομετρικών δεδομένων και των συνθετικών δεδομένων της εφημερίδας του συστήματος, μέσω της συνάρτησης ελαχιστοποίησης

N N 2 X (O − C)i 2 X 2 χ = [ ] = wi (O − C)i , (4.1) i=1 σi i=1

0 0 2 όπου (O − C)i = Ti − T0 − Ei · P − (Ei · κ2) − τ. Η ελαχιστοποίηση της συνάρτησης χ2 μπορεί να πραγματοποιηθεί με διάφορες τεχνι- κές επίλυσης, όπως η προσαρμογή καμπύλης ελαχίστων τετραγώνων ή στοχαστικές διαδικασίες. ΄Ολες οι τεχνικές επίλυσης αντίστροφων προβλημάτων καλούνται τεχνικές βελτι- στοποίησης (optimization) και διακρίνονται σε αυτές που προϋποθέτουν ή όχι τον υπολογισμό παραγώγων της συνάρτησης ελαχιστοποίησης. Το συγκεκριμένο αντίστροφο πρόβλημα είναι μη γραμμικό με αποτέλεσμα ο χώρος των λύσεων11 να εμφανίζει τοπικά ελάχιστα και ευρείες κοιλάδες, έτσι ώστε η εύρεση του ολικού ελαχίστου (πραγματική λύση) να αποτελεί ένα πολύ δύσκολο εγχείρημα. Η κυριότερη αιτία για τη μορφολογία του χώρου λύσεων είναι η συσχέτιση (corre- lation) των παραμέτρων, ενώ σημαντικές πηγές παραμόρφωσης αποτελούν η έλλειψη παρατηρησιακών δεδομένων, η χαμηλή ακρίβειά τους και η δυσκολία εκτίμησης των παραμέτρων (Kallrath and Milone, 2009).

11Ο N-διάστατος χώρος που δημιουργείται από τις N παραμέτρους του προβλήματος. 4.1 Διαφορικές διορθώσεις (Differential Corrections) 114

4.1 Διαφορικές διορθώσεις (Differential Corrections)

Η πρώτη εφαρμογή της μεθόδου διαφορικών διορθώσεων στα διπλά εκλειπτικά συ- στήματα έγινε από τους Wyse and Kron (1939) και Kopal (1943), για τον προσδιο- ρισμό των φυσικών παραμέτρων τους. Αργότερα οι Wilson and Devinney (1971) ενσωμάτωσαν τη μέθοδο διαφορικών διορ- θώσεων στον μέχρι σήμερα πιο διαδεδομένο υπολογιστικό κώδικα μοντελοποίησης εκλειπτικών συστημάτων (Wilson-Devinney, WD), ενώ η συνδυαστική χρήση της με τη μέθοδο Levenberg-Marquardt (Wilson, 1993) κατέστησε ακόμα πιο αποδοτική την βελτιστοποίηση των λύσεων φωτομετρικών καμπύλων. Η μέθοδος διαφορικών διορθώσεων ανήκει στην κατηγορία αλγορίθμων τύπου Gauss- Newton χωρίς δεύτερες παραγώγους. Βασίζεται στο γεγονός ότι οι πίνακες βάθμω- σης (gradient) και ο Εσσιανός (Hessian) της συνάρτησης ελαχιστοποίησης έχουν μια ειδική μορφή και κυρίως ότι οι όροι πρώτης τάξης της συνάρτησης υπερισχύουν των όρων δεύτερης τάξης, κάτι το οποίο δε συμβαίνει εάν τα υπόλοιπα (residuals) της λύσης είναι πολύ μεγάλα. Ωστόσο, στην πράξη η μοντελοποίηση εκλειπτικών συστημάτων μέσω επίλυσης των φωτομετρικών καμπύλων φαίνεται να υπακούει στην υπόθεση μικρών υπολοίπων, ενώ η επιτυχία της μεθόδου βασίζεται στην εγγύτητα της αρχικής επιλεγμένης λύσης ως προς την πραγματική καθώς και στην μη ισχυρή συσχέτιση των παραμέτρων (Kallrath, 1993). Ο μαθηματικός φορμαλισμός της μεθόδου για την εύρεση των διορθωτικών όρων 2 PN (O − C)i 2 ελαχιστοποίησης της συνάρτησης χ = i=1 [ ] είναι ο εξής : σi Η συνάρτηση ελαχιστοποίησης δίνεται στη μορφή

χ2 = (O − A · x)T · W · (O − A · x) (4.2)

όπου O ο πίνακας αποτελούμενος από μια στήλη με τα παρατηρησιακά δεδομένα, A ∂C(xi) ο πίνακας με στοιχεία Ai = , W ο πίνακας στατιστικών βαρών με στοιχεία ∂xi 2 Wi = (1/σi) και x ο πίνακας παραμέτρων αποτελούμενος από μια στήλη. Το μη γραμμικό πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων γραμμικοποιείται με την απαίτηση

∇χ2 = 0 ⇐⇒ 2A(x) · W · d(x) = 0 (4.3)

όπου d(x) = O − C(xi) ο πίνακας των αστάθμιστων υπολοίπων.

Για δεδομένη αρχική λύση xi ορίζεται ένα διορθωτικό διάνυσμα ∆xi τέτοιο ώστε η

ποσότητα xi + ∆xi να υπακούει τη συνθήκη γραμμικοποίησης. 4.1 Διαφορικές διορθώσεις (Differential Corrections) 115

Αντικαθιστώντας την άγνωστη λύση x με την μετατοπισμένη αρχική xi + ∆xi η παραπάνω συνθήκη αποκτάει τη μορφή

A(xi + ∆xi) · W · d(xi + ∆xi) = 0 (4.4)

και την οποία αναπτύσσοντας σε ανάπτυγμα Taylor προκύπτει

T T [A(xi) + ∆xi G] · W · [d(xi) + A (xi) · ∆xi] = 0 (4.5)

∂ ∂d(xi) όπου G = ( ) ο πίνακας του Hess. ∂xi ∂xi Ο πολλαπλασιασμός στην παραπάνω έκφραση (αγνοώντας τους δεύτερους όρους του

∆xi) έχει ως αποτέλεσμα

T T A(xi) · W · d(xi) + [d (xi) · W · G(xi) + A(xi) · W · A (xi)]∆xi = 0 (4.6)

και χρησιμοποιώντας την υπόθεση μικρών υπολοίπων, δηλαδή, της πολύ μικρής συ- νεισφοράς του πίνακα του Hess

T T ||d (xi) · W · G(xi)∆xi||  ||A(xi) · W · A (xi)∆xi|| , (4.7)

λαμβάνουμε τις εξισώσεις

T [A(xi) · W · A (xi)] · ∆xi = −A(xi) · W d(xi) . (4.8)

Η παραπάνω μορφή είναι ακριβώς ίδια με την περίπτωση γραμμικής μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων √ T minxi || W (y − A xi)||, y = −d(xi) . (4.9)

και η λύση τους μας δίνει τον ζητούμενο ελαχιστοποιητή (minimizer), δηλαδή, το τοπικό ελάχιστο.

Ο υπολογισμός του διορθωτικού διανύσματος ∆xi δίνεται από την έκφραση

−1 ∆xi = −C · A(xi) · W d(xi) (4.10)

T −1 όπου C = A(xi) · W · A (xi) και ο αντίστροφος C ονομάζεται πίνακας συνδια- κύμανσης (convariance). Τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα συνδιακύμανσης, δεδομένων των υποθέσεων που

έχουν διατυπωθεί, περιέχουν τα σφάλματα δxi των λύσεων (xi ± δxi). 4.1 Διαφορικές διορθώσεις (Differential Corrections) 116

Εξαιτίας της γραμμικοποίησης είναι αναγκαίο η παραπάνω διαδικασία να επαναληφθεί

με xi+1 = xi +∆xi μέχρι την ικανοποίηση κάποιου κριτηρίου επαναλήψεων ή συνήθως σfit ' σdata του όπου v u fit u(N/N − m − 1) σ = t PN , (4.11) i=1 wiχ η οποία ως τυπική απόκλιση αποτελεί ένα μέτρο της ποιότητας της παρεμβολής (fit), νορμαλισμένη ως προς τον αριθμό των ελεύθερων παραμέτρων m του συστήματος και των παρατηρησιακών σημείων N. Η εξ΄ υποθέσεως απαίτηση της παραπάνω μεθόδου είναι η κατάληξη στην βέλτιστη διορθωμένη λύση x με τα σφάλματά της να δίνονται από τον πίνακα συνδιακύμανσης. Ωστόσο, τα ακόλουθα προβλήματα είναι δυνατό να προκύψουν κατά την εκτέλεση της μεθόδου (Kallrath and Linnell (1987), Kallrath (1993)):

1. Η μέθοδος διαφορικών διορθώσεων είναι τοπική διαδικασία, δηλαδή, απαιτείται η αρχική λύση να βρίσκεται κοντά στο τοπικό ελάχιστο της τελικής λύσης, διαφορετικά είναι πολύ πιθανό η μέθοδος να αποκλίνει. Η πολύ μεγάλη τιμή του σfit ύστερα από μερικές επαναλήψεις είναι δείγμα της απόκλισης της μεθόδου.

2. Ακόμα και αν η αρχική λύση είναι κοντά σε τοπικό ελάχιστο, η μη γραμμικότη- τα του προβλήματος και οι ισχυρές συσχετίσεις των παραμέτρων καθιστούν πολύ δύσκολη τη σύγκλιση κατά τη διάρκεια των επαναλήψεων (Wilson and Biermann, 1976).

3. Η σύγκλιση σε μια ακριβή λύση απαιτεί ακριβείς τιμές των παραγώγων, ει- δικά κατά τις τελευταίες επαναλήψεις. Ωστόσο, η ακρίβεια των παραγώγων

εξαρτάται από την επιλογή των προσαυξήσεων ∆xi και η οποία είναι δύσκολα ελέγξιμη. Επιπλέον, οι περισσότερες μερικές παράγωγοι υπολογίζονται αριθ- μητικά σε κάθε επανάληψη και όχι αναλυτικά, επομένως, σε συνδυασμό με την επιλογή των προσαυξήσεων ο χρόνος υπολογισμού και η πιθανότητα απόκλισης της μεθόδου αυξάνει.

4. Ο πίνακας C που περιέχει όλες τις μερικές παραγώγους και την πληροφορία για τον υπολογισμό του πίνακα συνδιακύμανσης, πολύ συχνά εφκυλίζεται. Οι κανονικές εξισώσεις (4.8) είναι πιθανό να μην αποτελούν ένα καλώς τοποθε- τημένο σύστημα προς επίλυση στην περίπτωση ταυτόχρονης ύπαρξης πολλών

ελεύθερων παραμέτρων xi. Οι Wilson and Biermann (1976) εισήγαγαν τη μέθοδο πολλαπλών υποσυνόλων (method of multiple subsets) προκειμένου να αντιμετωπίσουν το πρόβλημα χωρίζοντας τις παραμέτρους σε υποσύνολα και ασκώντας επαναλήψεις σε κάθε ένα από αυτά. Ωστόσο, δεν υπάρχει κάποιος 4.2 Μέθοδος Levenberg-Marquardt 117

συστηματικός αλγόριθμος για την εφαρμογή της, με αποτέλεσμα ο χρήστης να πρέπει να προσαρμόζει κάθε φορά το πρόβλημα προς επίλυση.

5. Οι διαφορικές διορθώσεις τείνουν να ταλαντώνονται πολλές φορές με την α- ύξηση των επαναλήψεων, δηλαδή, η τυπική απόκλιση σfit δεν είναι μονοτονική φθίνουσα συνάρτηση των επαναλήψεων. Εάν το βήμα των επαναλήψεων είναι πολύ μεγάλο, τότε η μέθοδος μπορεί να ταλαντώνεται μεταξύ των τοιχωμάτων ενός τοπικού ελάχιστου και να μην συγκλίνει σε κάποια λύση. Σε μια τέτοια περίπτωση χρειάζεται η ελλάτωση του βήματος.

6. Είναι πολύ δύσκολος ο έλεγχος μοναδικότητας της λύσης, δηλαδή, εάν η λύση ανήκει σε ένα τοπικό ελάχιστο ή σε ολικό (πραγματική λύση). Το πιο πιθανό είναι πως η μέθοδος θα συγκλίνει σε τοπικό ελάχιστο και για αυτό η επιλογή αρχικής λύσης αποτελεί πολύ σημαντικό κριτήριο για την επιτυχία της μεθόδου. Για παράδειγμα, δύο τοπικά ελάχιστα μπορεί να χαρακτηρίζονται από την ίδια τιμή τυπικής απόκλισης σfit. Σε κάθε περίπτωση επαφίεται στο χρήστη η τελική επιλογή των παραμέτρων ως προς τη φυσικότητά τους σε σχέση με το σύστημα που μελετά.

4.2 Μέθοδος Levenberg-Marquardt

Η αυξημένη πιθανότητα απόκλισης της μεθόδου διαφορικών διορθώσεων κατά τη δι- άρκεια των επαναλήψεων οδήγησε τον Levenberg (1944) στην επέκταση και βελτίωση της μεθόδου. Ο Marquardt (1963) βελτίωσε και άλλο τη μέθοδο του Levenberg με αποτέλεσμα την δημιουργία του ομώνυμου αλγόριθμου Levenberg-Marquardt για την επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Οι Hill (1979) και Djurasevic (1992) ήταν οι πρώτοι που εφάρμοσαν τη μέθοδο στα εκλειπτικά συστήματα, ενώ ο αλγόριθμος ενσωματώθηκε και στον κώδικα WD (Kallrath et al., 1998). Οι περισσότεροι αλγόριθμοι για τον υπολογισμό μη γραμμικών παραμέτρων με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων χρησιμοποιούν δύο διαφορετικές προσεγγίσεις, είτε προσεγγίζουν τη συνάρτηση ελαχιστοποίησης με μια σειρά Taylor, είτε χρησιμοποιο- ύνται μέθοδοι καθόδου (descent methods). ΄Ολες οι μη γραμμικές μέθοδοι βελτιστοποίησης είναι επαναληπτικές, ξεκινάνε από μια αρχική λύση και μέσω επαναλήψεων συγκλίνουν σε τοπικό ελάχιστο, ενώ οι περισσότερες από αυτές χρησιμοποιούν μεθόδους καθόδου. 4.2 Μέθοδος Levenberg-Marquardt 118

Μια επαναληπτική μέθοδος χαρακτηρίζεται ως καθοδική όταν (Madsen et al., 2004):

1. ικανοποιεί το κριτήριο καθόδου (descending condition) F (xi+1) < F (xi), ώστε να αποφεύγεται η σύγκλιση σε κάποιο μέγιστο και να μειώνεται η πιθανότητα σύγκλισης σε σαγματικό σημείο,

2. διαθέτει μια παράμετρο h που να δηλώνει την κατεύθυνση καθόδου,

3. διαθέτει μια παράμετρο α που να δηλώνει το βηματισμό προς αυτή την κατεύ θυνση.

Η διαδικασία εύρεσης του βηματισμού καλείται αναζήτηση ευθείας (line search), ενώ δύο μέθοδοι εύρεσης της κατεύθυνσης καθόδου είναι η απότομη κάθοδος (steepest descent) και η μέθοδος Newton. Κατά γενική ομολογία η πολύ μικρή τιμή της παραμέτρου κατεύθυνσης καθόδου (υπόθεση μικρών υπολοίπων) αποτελεί την καλύτερη δυνατή επιλογή για οποιαδήποτε προσέγγιση ελαχιστοποίησης επιλεχθεί. Σε μια τέτοια περίπτωση, ο υπολογισμός της κατεύθυνσης καθόδου μπορεί να γίνει με τη μέθοδο περιοχής εμπιστοσύνης (trust region) ή με μεθόδους απόσβεσης (damped). Το πλεονέκτημα του αλγόριθμου Levenberg-Marquardt είναι ότι αποτελεί μια υβρι- δική περίπτωση των μεθόδων απότομης καθόδου και Gauss-Newton, ενώ ο υπολογι- σμός της κατεύθυνσης καθόδου βασίζεται στην damped Gauss-Newton. Η απαίτηση γραμμικοποίησης ∇χ2 = 0 για τη συνάρτηση ελαχιστοποίησης χ2 = PN PN 2 i=1 wifi(xi) = i=1(O − C)i προϋποθέτει τις συνεχείς δεύτερες παραγώγους των fi(xi) και άρα το ανάπτυγμα Taylor

f(x + h) = f(x) + J(x)h + O(||h||2) ' f(x) + J(x)h , (4.12)

όπου η υπόθεση μικρών υπολοίπων επιβάλει ||h2|| → 0, ενώ το βήμα καθόδου έχει επιλεχθεί ίσο με τη μονάδα12. Στην κλασική μέθοδο Gauss-Newton οι κανονικές εξισώσεις γραμμικοποίησης του προβλήματος, αντίστοιχες των (4.8), δίνονται από τη σχέση

T T (J J)hgn = −J f (4.13)

PN ∂f(xi) όπου f = f(x) = i=1 f(xi) και J = [ ] ο Ιακωβιανός (Jacobian) πίνακας, ∂xi ενώ η νέα λύση μετά από κάθε επανάληψη είναι xi+1 = xi + hgn.

12α = 1 =⇒ f(x + αh) = f(x + h). 4.2 Μέθοδος Levenberg-Marquardt 119

Η κατεύθυνση αυτή είναι καθοδική για την χ2 καθώς

T 2 0 T T T hgn(χ ) = hgn(−J f) = −hgn(J J)hgn < 0 . (4.14)

Η αντίστοιχη παράμετρος καθοδικής κατεύθυνσης hlm ή ισοδύναμα το βήμα στην damped Gauss-Newton δίνεται από τις κανονικές εξισώσεις (Levenberg, 1944)

T T (J J + µI)hlm = −J f (4.15)

όπου µ ≥ 0 η παράμετρος απόσβεσης (damping parameter) και I ο ταυτοτικός πίνακας. Ωστόσο, για μεγάλες τιμές του µ ο αλγόριθμος του Levenberg αργεί πάρα πολύ να συγκλίνει εξαιτίας της μικρής τιμής της βαθμίδας. Για την αποφυγή αυτού του προ- βλήματος ο Marquardt αντικατέστησε τον ταυτοτικό πίνακα με τα διαγώνια στοιχεία του J T J, έτσι ώστε να υπάρχει μεγάλος βηματισμός σε περιοχές μικρής βαθμίδας (Marquardt, 1963):

T T T (J J + µdiag(J J))hlm = −J f . (4.16)

Η ύπαρξη της παραμέτρου απόσβεσης µ λαμβάνει τους εξής καθοριστικούς ρόλους:

1. Για όλα τα µ > 0 ο πίνακας συντελεστών είναι θετικός και αυτό εξασφαλίζει

ότι η παράμετρος hlm ορίζει καθοδική κατεύθυνση (όπως στην (4.14) ).

1 1 0 2. Για μεγάλες τιμές του µ λαμβάνουμε h ' − J T f = − (χ2) , δηλαδή, lm µ µ ο βηματισμός είναι μικρός στην κατεύθυνση της απότομης καθόδου. Τότε ο αλγόριθμος προσεγγίζει τη μέθοδο της απότομης καθόδου και είναι χρήσιμος στις περιπτώσεις που η τρέχουσα επανάληψη βρίσκεται μακριά από τη λύση, διότι στα τελευταία στάδια σύγκλισης η μέθοδος καθόδου είναι πάρα πολύ αργή (linear convergence) και με κίνδυνο να μη συγκλίνει (Frandsen et al., 2004).

3. Για μικρές τιμές του µ οι κανονικές εξισώσεις λαμβάνουν την αντίστοιχη μορφή

της damped Gauss-Newton (hlm ' hgn) και επομένως ο αλγόριθμος προσεγ- γίζει τη μέθοδο Gauss-Newton. Μια τέτοια περίπτωση είναι χρήσιμη κατά τις τελευταίες επαναλήψεις στις οποίες ο αλγόριθμος Gauss-Newton συγκλίνει ταχύτατα (quadratic convergence) (Frandsen et al., 2004).

Επομένως, η παράμετρος απόσβεσης καθορίζει όχι μόνο την καθοδική κατεύθυνση αλλά και το βηματισμό, με αποτέλεσμα να μην χρειάζεται η χρήση της μεθόδου εύρεσης ευθείας. 4.3 Η μέθοδος Nelder-Mead Downhill Simplex 120

Η υβριδικότητα του αλγόριθμου Levenberg-Marquardt τον καθιστά αποδοτικότερο από την απλή μέθοδο διαφορικών διορθώσεων, καθώς η παράμετρος απόσβεσης καθιστά ασφαλέστερη και ταχύτερη τη σύγκλιση προς την τελική λύση. Ωστόσο, η δυσκολία της μεθόδου έγκειται στο μηχανισμό που θα ορίσει την αλ- λαγή μεταξύ των δύο μεθόδων. Μια ευριστική μέθοδος επιλογής της παραμέτρου απόσβεσης έχει δοθεί από τους Kallrath et al. (1998). Αν και η μέθοδος Levenberg-Marquardt παρουσιάζει αρκετά πλεονεκτήματα, συντη- ρεί εξαιτίας της χρήσης παραγώγων τα αντίστοιχα προβλήματα της μεθόδου διαφορι- κών διορθώσεων.

4.3 Η μέθοδος Nelder-Mead Downhill Simplex

Τα προβλήματα εξαιτίας της ύπαρξης παραγώγων σε μεθόδους βελτιστοποίησης μπο- ρούν να συνοψιστούν σε προβλήματα ακρίβειας (σύγκλισης) και υπολογιστικού χρόνου όσον αφορά τον υπολογισμό των μερικών παραγώγων. Η αντιμετώπιση αυτών των προβλημάτων μπορεί να στηριχτεί είτε στη χρήση μεθόδων με αναλυτικό υπολογισμό παραγώγων (Proctor and Linnell, 1972), είτε στη χρήση μεθόδων άμεσης αναζήτησης (direct search)(Murray 1972, Lootsma 1972). Το μειονέκτημα των μεθόδων αναλυτικού υπολογισμού παραγώγων είναι ότι δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για μεγάλο αριθμό παραμέτρων, ενώ το πλεονέκτημα των μεθόδων άμεσης αναζήτησης είναι ότι δεν βασίζονται στη χρήση παραγώγων και είναι πολύ αποδοτικοί σε προβλήματα με περισσότερες από δύο παραμέτρους. Επομένως, οι μέθοδοι άμεσης αναζήτησης αποτελούν ιδανική επιλογή για την επίλυση μη γραμμικών προβλημάτων καθώς η αποδοτικότητά τους έγκειται στην αποτελεσμα- τική σύγκλιση και στην ακρίβεια υπολογισμού όλων των απαραίτητων παραμέτρων του προβλήματος. Οι Spendley et al. (1962) εισήγαγαν τη μέθοδο Simplex, η οποία συμπληρώθηκε από τους Nelder and Mead (1965) και χρησιμοποιήθηκε πρώτη φορά για την μοντελοπο- ίηση εκλειπτικών συστημάτων από τους Kallrath et al. (1998) με την ενσωμάτωσή της στον κώδικα WD. Η αποδοτικότητα του αλγόριθμου Nelder-Mead Downhill Simplex έχει επιβεβαιωθεί με τα χρόνια και έχει ενσωματωθεί και στο λογισμικό πακέτο PHOEBE (Prša and Zwitter, 2005) που δρα μεταξύ άλλων και ως πρόγραμμα διεπαφής με τον κώδικα WD. ΄Οπως κάθε μέθοδος άμεσης αναζήτησης έτσι και η Simplex εξασφαλίζει σίγουρη σύγκλιση, εφόσον δεν βασίζεται στον υπολογισμό παραγώγων αλλά στον υπολογισμό τιμών της συνάρτησης ελαχιστοποίησης. 4.3 Η μέθοδος Nelder-Mead Downhill Simplex 121

Συγκεκριμένα, η μέθοδος Simplex βασίζεται στον υπολογισμό των τιμών της συ-

νάρτησης ελαχιστοποίησης στις ακμές (pi) ενός γεωμετρικού πολυτόπου (simplex) m + 1 κορυφών στο χώρο λύσεων m διαστάσεων, με τις m παραμέτρους (xi) να αποτελούν τις συντεταγμένες των ακμών:

pi = (x1, . . . , xi−1, xi + si, xi+1, . . . , xm) , (4.17)

όπου si το μέγεθος του βήματος κατά τη διάρκεια μιας επανάληψης. Δηλαδή, σε μία διάσταση το simplex ορίζει μια ευθεία, σε δύο διαστάσεις ένα τρίγωνο, σε τρείς διαστάσεις ένα τετράεδρο κ.ο.κ. . Η κατασκευή του αρχικού simplex εξαρτάται από τη διάσταση m, μία αρχική ακμή p1 και ένα διάνυσμα s = (s1, s2, . . . , sm) που ορίζει τα βήματα για κάθε παράμετρο. Επομένως, ο χρήστης αρκεί να ορίσει το αρχικό διάνυσμα παραμέτρων και η διαδικασία κατασκευής των υπόλοιπων ακμών του αρχικού simplex ορίζεται στο εσωτερικό του αλγόριθμου. Μια μαθηματική απεικόνιση της διαδικασίας κατασκευής του αρχικού simplex δίνεται από τη σχέση (Press, 2007)

pi = p1 + s ei , (4.18)

όπου p1 το αρχικό διάνυσμα, pi τα εναπομείναντα m διανύσματα που θα κατασκευα- στούν γύρω από το αρχικό με s τη σταθερά που χαρακτηρίζει την χωρική κλίμακα

του προβλήματος και ei μοναδιαία διανύσματα. Η εύρεση του ελαχίστου (λύσης) της συνάρτησης ελαχιστοποίησης βασίζεται στην κίνηση του πολυτόπου μέσα στο χώρο των λύσεων, στην αρχική έκδοση της μεθόδου μέσω της γεωμετρικής διαδικασίας της ανάκλασης ( reflection) και στην βελτιωμένη έκδοση των Nelder-Mead με την προσθήκη των επιπλέον γεωμετρικών διεργασιών της επέκτασης ( expansion), συστολής ( contraction) και συρρίκνωσης (shrinkage ή πολλαπλή συστολή - multiple contraction). Κατά τη διάρκεια κάθε επανάληψης ο αλγόριθμος προσπαθεί να βελτιώσει τα δια-

νύσματα pi, καθώς υπολογίζει τις ακμές με τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές συνάρτησης και αντικαθιστά το διάνυσμα που αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη τιμή συ- νάρτησης με αυτό που προκύπτει από τις γεωμετρικές διεργασίες του αλγόριθμου. Με αυτό τον τρόπο το simplex κινείται κατά τη διάρκεια των επαναλήψεων μέσα στο χώρο των λύσεων μειώνοντας το μέγεθός του και καταλήγοντας να συρρικνωθεί γύρω από το τοπικό (κατά πάσα πιθανότητα) ελάχιστο. 4.3 Η μέθοδος Nelder-Mead Downhill Simplex 122

Οι γεωμετρικές πράξεις του αλγόριθμου αντιστοιχούν στους τελεστές αˆ (ανάκλαση), βˆ (συστολή), γˆ (επέκταση), δˆ (συρρίκνωση) και οι τιμές των οποίων πρέπει να τηρούν τις ανισώσεις α > 0, 0 < β < 1, γ > 1 και 0 < δ < 1 (Nelder and Mead, 1965). Στον πρότυπο αλγόριθμο των Nelder and Mead (1965) οι τελεστές λαμβάνουν τιμές {α, β, γ, δ} = {1, 0, 5, 2, 0.5}, ενώ οι Parkinson and Hutchinson (1972) προ- τείνουν για τη βελτιστοποίηση φωτομετρικών καμπύλων τις τιμές {α, β, γ, δ} = {1, 0.35, 2, 0.5}. Η γεωμετρική τροποποίηση του πολυτόπου (Σχήμα 4.1) με βάση τις τέσσερις βασικές πράξεις του αλγόριθμου στηρίζεται στα εξής βήματα (Nelder and Mead, 1965), (Gao and Han, 2012):

1. Αρχικοποίηση του simplex. Δίνεται από το χρήστη ένα αρχικό διάνυσμα

παραμέτρων p1 και ο αλγόριθμος υπολογίζει τις υπόλοιπες ακμές του πολυ- τόπου.

2. Ταξινόμηση των ακμών. Υπολογισμός των τιμών της συνάρτησης σε κάθε ακμή και ταξινόμησή τους κατά αύξουσα σειρά (η μικρότερη τιμή αντι- στοιχεί στην καλύτερη λύση):

f(p1) < f(p2) < . . . < f(pm+1) (4.19)

3. Υπολογισμός του βαρύκεντρου. Υπολογισμός του βαρύκεντρου του πολυτόπου για τις m καλύτερες ακμές:

m 1 X pcentroid = pi (4.20) m i=1

4. Ανάκλαση. Υπολογισμός του σημείου ανάκλασης από τη σχέση

preflect = pcentroid + α(pcentroid − pm+1) , (4.21)

εάν f(p1) ≤ f(preflect) < f(pm), δηλαδή, η τιμή της συνάρτησης στο βαρύκε- ντρο είναι καλύτερη από τη δεύτερη χειρότερη τιμή συνάρτησης στο πολύτοπο

τότε αντικαθίσταται το χειρότερο σημείο pm+1 με το σημείο ανάκλασης preflect και επιστρέφουμε στο βήμα 2.

5. Επέκταση. Εάν f(preflect) < f(p1), δηλαδή η τιμή της συνάρτησης στο βαρύκεντρο είναι η μέχρι τώρα καλύτερη από την καλύτερη τιμή του πολυτόπου, 4.3 Η μέθοδος Nelder-Mead Downhill Simplex 123

τότε υπολογίζεται το σημείο επέκτασης

pexpand = pcentroid + γ(preflect − pcentroid) (4.22)

και αν f(pexpand) < f(preflect) τότε αντικαθίσταται το χειρότερο σημείο pm+1

με το σημείο επέκτασης pexpand και επιστρέφουμε στο βήμα 2, διαφορετικά αντικαθίσταται το χειρότερο σημείο με το σημείο ανάκλασης και επιστρέφουμε στο βήμα 2.

6. Εξωτερική συστολή. Εάν f(pm) ≤ f(preflect) < f(pm+1) τότε υπολο- γίζεται το εξωτερικό σημείο συστολής

poutcon. = pcentroid + β(preflect − pcentroid) (4.23)

και εάν f(poutcon.) ≤ f(preflect) τότε αντικαθίσταται το χειρότερο σημείο

pm+1 με το σημείο εξωτερικής συστολής poutcon., διαφορετικά πηγαίνουμε στο βήμα 8.

7. Εσωτερική συστολή. Εάν f(preflect) ≥ f(pm+1) τότε υπολογίζεται το εσωτερικό σημείο συστολής

pincon. = pcentroid − β(preflect − pcentroid) (4.24)

και αν f(pincon.) < f(pm+1) τότε αντικαθίσταται το χειρότερο σημείο pm+1

με το σημείο εσωτερικής συστολής pincon., διαφορετικά πηγαίνουμε στο βήμα 8.

8. Συρρίκνωση. Αντικατάσταση όλων των σημείων εκτός από το καλύτερο p1 , δηλαδή για 2 ≤ i ≤ n + 1, με αυτά που ορίζονται από τη σχέση

pi = p1 + δ(pi − p1) (4.25)

και επιστροφή στο βήμα 2.

Ο αλγόριθμος επαναλαμβάνεται έως ότου ικανοποιηθεί κάποιο κριτήριο της μορφής (Kallrath and Milone, 2009)

m+1 2 1 X 2 2 σ = (f(pi) − f(paverage)) ≤ ε , (4.26) m i=1 4.3 Η μέθοδος Nelder-Mead Downhill Simplex 124

όπου ε μια τιμή ανοχής (για παράδειγμα 10−8) και

m+1 1 X f(paverage) = pi (4.27) m + 1 i=1

η τιμή της συνάρτησης για τη μέση τιμή των ακμών.

Σχήμα 4.1: Πιθανές γεωμετρικές τροποποιήσεις ενός τετράεδρου simplex κατά τη διάρκεια μιας επανάληψης. Η κατάλληλη αλληλουχία επαναληπτικών βημάτων και άρα γεωμετρικών τροποποιήσεων θα έχει ως αποτέλεσμα τη συρρίκνωση του simplex, δηλαδή, τη σύγκλιση της μεθόδου στο ελάχιστο της συνάρτησης ελαχιστοποίησης.

Κατά τη διάρκεια εκτέλεσης του αλγόριθμου οι πράξεις δεν επιτελούνται μεταξύ όλων

των διανυσμάτων pi (εκτός από τον υπολογισμό του πρώτου simplex) με αποτέλεσμα να εκτελείται με γρήγορες σχετικά υπολογιστικές ταχύτητες, όχι όμως και ταχύτερες από τη μέθοδο διαφορικών διορθώσεων. Συγκεκριμένα, σχεδόν από τις πρώτες επαναλήψεις επιτυγχάνεται σύγκλιση, ωστόσο, στην περιοχή του ελαχίστου ο χρόνος σύγκλισης αυξάνει σημαντικά και ειδικά στις περιπτώσεις που υπάρχουν ισχυρές συσχετίσεις των παραμέτρων. Η διάσταση του αρχικού simplex δεν λαμβάνει περιορισμούς και άρα έχει τη δυνα- τότητα να εκτελέσει ολική (global) αναζήτηση στο χώρο των λύσεων. 4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και αβεβαιοτήτων 125

Ακόμα και έτσι όμως είναι πιο πιθανό, εξαιτίας της μη γραμμικότητας του προβλήμα- τος, το simplex να καταλήξει σε κάποιο τοπικό ελάχιστο είτε λόγω μικρού αρχικού μεγέθους, είτε λόγω των μεγάλων κοιλάδων σε περίπτωση ισχυρών συσχετισμών των παραμέτρων. Η αναζήτηση του ολικού ελαχίστου με τις μεθόδους βελτιστοποίησης είναι πολύ δύσκολη στα μη γραμμικά προβλήματα ακόμα και με χρήση μεθόδων άμεσης αναζήτη- σης. Με την χρήση, όμως, μεθόδων ευριστικής αναζήτησης (heuristic scanning) ή γενετικών αλγόριθμων είναι δυνατό να επιβεβαιωθεί η ολικότητα του ελαχίστου. Τέλος, η απουσία υπολογισμού παραγώγων καθιστά αδύνατο τον υπολογισμό των αβεβαιοτήτων των παραμέτρων μέσω του πίνακα συνδιακύμανσης. Επομένως, μια πολύ καλή τακτική αντιμετώπισης μη γραμμικών προβλημάτων βελ- τιστοποίησης, είναι η αρχική αναζήτηση λύσης με τη μέθοδο άμεσης αναζήτησης Nelder-Mead Downhill Simplex και εν συνεχεία με τη μέθοδο διαφορικών διορθώσε- ων Levenberg-Marquardt.

4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και α- βεβαιοτήτων

΄Ολες οι μέθοδοι επίλυσης αντίστροφων μη γραμμικών προβλημάτων είναι πιθανότερο να συγκλίνουν σε κάποιο τοπικό ελάχιστο της συνάρτησης του προβλήματος και να αποδώσουν υπερεκτιμημένες τιμές αβεβαιότητας των παραμέτρων (Deb and Singh, 2011). Η μη γραμμικότητα του προβλήματος και η ισχυρή συσχέτιση των παραμέτρων μορ- φοποιούν το χώρο λύσεων ως ένα χώρο με πολλές κορυφές και ευρείες κοιλάδες, καθιστώντας τη σύγκλιση σε ολικό ελάχιστο πολύ δύσκολη, με τη γειτονική περιοχή του ολικού ελαχίστου να είναι συνήθως αρκετά επίπεδη και με πολλά τοπικά ελάχιστα. Επιπλέον, η περίπτωση δεδομένων μικρής ακρίβειας (noisy data) και εκφυλισμένων τιμών παραμέτρων καθιστούν το ολικό ελάχιστο όχι ως ένα σημείο συνοδευόμενο από την αβεβαιότητά του, αλλά, ως μια περιοχή με την αντίστοιχη αβεβαιότητά της και με αρκετά κοντινά μεταξύ τους ελάχιστα (Prša and Zwitter, 2005). Οι παραπάνω δυσκολίες είναι δυνατό να αντιμετωπιστούν με τη χρήση των μεθόδων σάρωσης στο χώρο των λύσεων και διαταραχής των παραμέτρων ή με τη χρήση γενετικών αλγόριθμων. 4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και αβεβαιοτήτων 126

4.4.1 Σάρωση στο χώρο των λύσεων (Heuristic Scanning) και Δια- ταραχή παραμέτρων (Parameter Kicking)

Η μέθοδος σάρωσης στο χώρο των λύσεων (heuristic scanning, Prša and Zwitter (2005), Christopoulou and Papageorgiou (2013), Papageorgiou et al. (2015)) έχει αποδειχτεί αποδοτική στον προσδιορισμό του ολικού ελαχίστου καθώς όχι μόνο απο- φεύγει τα τοπικά ελάχιστα στο χώρο λύσεων, αλλά και διότι υπολογίζει ικανοποιητικά τις πραγματικές αβεβαιότητες των παραμέτρων. Τα πλεονεκτήματα αυτά την καθιστούν απαραίτητη στον υπολογισμό των τιμών των παραμέτρων, των σφαλμάτων τους καθώς και της σταθερότητάς τους (εύρεση ολικού ελαχίστου) με αποτέλεσμα να δρα ενισχυτικά των μεθόδων βελτιστοποίησης. Από υπολογιστική άποψη αποτελεί μια μέθοδο σάρωσης παραμέτρων βασισμένη στη στοχαστική μέθοδο Monte Carlo (Metropolis and Ulam, 1949), προκειμένου να χαρτογραφήσει τις συσχετίσεις των παραμέτρων και τον εκφυλισμό της συνάρτησης κόστους (π.χ. της συνάρτησης χ2). Πιο συγκεκριμένα, επιλέγεται αρχικά, μέσω του αλγόριθμου υλοποίησης της μεθόδου, μια ομάδα από αρχικά σημεία του χώρου λύσεων και εν συνεχεία εκκινείται η ελα- χιστοποίηση από κάθε τέτοιο σημείο με τη μέθοδο διαφορικών διορθώσεων ή με τις μεθόδους Nelder-Mead Downhill Simplex και Levenberg-Marquardt. Η επιλογή των σημείων, που αποτελούν τις παραμέτρους επίλυσης-προσαρμογής (adjustment) του προβλήματος, μπορεί να γίνει από γειτονικά πλεγματικά σημεία (gridding), από στοχαστικά διασκορπισμένα (stohastically dispersed) ή κατανεμη- μένων από μια συνάρτηση κατανομής πιθανοτήτων (probability distribution function, PDF) (Prša and Zwitter, 2005). Οι ελαχιστοποιήσεις πραγματοποιούνται επαναληπτικά, δηλαδή, μετά από κάθε ελαχι- στοποίηση η τελική τιμή αποτελεί τη νέα τιμή εκκίνησης των διαφορικών διορθώσεων για τη νέα επανάληψη. Ο αλγόριθμος μετά το τέλος των ελαχιστοποιήσεων ταξινομεί τις τελικές λύσεις σύμφωνα με την τιμή της συνάρτησης κόστους και αποδίδει αντίστοιχα ένα στατιστικό βάρος σε κάθε παράμετρο. Εφόσον οι παράμετροι με τη μικρότερη τιμή συνάρτησης κόστους χαρακτηρίζονται από το μεγαλύτερο στατιστικό βάρος, τότε τα σημεία αυτά αποτελούν και τους βασικότερους υποψήφιους για το ολικό ελάχιστο. Η αντιμετώπιση των δεδομένων μικρής ακρίβειας και του εκφυλισμού των παραμέτρων πραγματοποιείται με χρήση των ανιχνευτών σύγκλισης ( convergence tracers) και των περιοχών συσσώρευσης ( attractors) των ανιχνευτών. 4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και αβεβαιοτήτων 127

Οι ανιχνευτές σύγκλισης αποτελούν διδιάστατες τομές του χώρου των παραμέτρων και στις οποίες ανιχνεύονται-καταγράφονται οι τιμές των παραμέτρων σε κάθε επα- νάληψη. Οι περιοχές συσσώρευσης αντιστοιχούν σε περιοχές όπου έχουν συγκε- ντρωθεί οι περισσότεροι ανιχνευτές σύγκλισης. Δεδομένου ότι η περιοχή ολικού ελαχίστου σε μια τέτοια περίπτωση χαρακτηρίζεται από πολλά γειτονικά ελάχιστα και των οποίων το βάθος εξαρτάται από το στατιστι- κό βάρος κάθε σημείου του συνόλου των δεδομένων, είναι λογικό ότι οι περιοχές συσσώρευσης ανιχνευτών σύγκλισης αντιστοιχούν στο ολικό ελάχιστο. Στις περιπτώσεις ισχυρών συσχετίσεων, όμως, ο εκφυλισμός των παραμέτρων είναι αρκετά μεγάλος ώστε να μην είναι εύκολος ο προσδιορισμός του ολικού ελαχίστου στις περιοχές συσσώρευσης και μόνο η επιβολή επιπλέον περιορισμών στις παρα- μέτρους μπορεί να οδηγήσει στην αποσυσχέτιση (disentagle) των παραμέτρων. Προκειμένου να αυξηθεί η πιθανότητα εύρεσης του ολικού ελαχίστου είναι δυνατό να χρησιμοποιηθεί παράλληλα με τη σάρωση στο χώρο των λύσεων η μέθοδος διαταραχής των παραμέτρων ( parameter kicking). Δηλαδή, στο τέλος κάθε επανάληψης της ευριστικής μεθόδου ασκείται σε κάθε παράμετρο μια διαταραχή και η οποία είναι ικανή να αποσταθεροποιήσει τη λύση και να διαφύγει του τοπικού ελαχίστου. Η μέθοδος διαταραχής των παραμέτρων σκιαγραφεί την περιοχή του χώρου εντός του ελαχίστου. Το μέγεθος της διαταραχής εξαρτάται από το βάθος του ελαχίστου και ορίζεται από τη διασπορά μιας Γκαουσιανής κατανομής πιθανοτήτων (Gaussian PDF). ΄Οσο πιο βαθύ το ελάχιστο τόσο πιο ισχυρή η διαταραχή, ενώ ο αριθμός των διαδο- χικών διαταραχών αυξάνει το ποσοστό σύγκλισης στις ακολουθούμενες επαναλήψεις της ευριστικής σάρωσης. Μια διαταραχή της τάξης του (5 − 10)% της τιμής της παραμέτρου είναι συνήθως αρκετή για την ανίχνευση του χώρου του ελαχίστου. Οι σταθμισμένες τελικές παράμετροι τοποθετούνται σε ιστογράμματα των οποίων η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση αντιστοιχούν στην πραγματική τιμή και στο σφάλμα των παραμέτρων. Οι εκτιμήσεις αυτές είναι απόλυτα στατιστικές και δεν εξαρτώνται από τα υπολογιστικά σφάλματα των αριθμητικών υπολογισμών της μεθόδου. Προκειμένου, λοιπόν, να υπάρξει κάποιο αξιόπιστο στατιστικό αποτέλεσμα είναι α- ναγκαίος μεγάλος αριθμός επαναλήψεων και σε συνδυασμό με το μεγάλο αριθμό αρχικών σημείων και του επιλεγμένου αριθμού διαταραχών, ο υπολογιστικός χρόνος αυξάνεται γραμμικά για κάθε επιπλέον σάρωση και διαταραχή. Συμπερασματικά, η επίλυση ενός αντίστροφου μη γραμμικού προβλήματος συνοδε- ύεται από την αναγκαιότητα εύρεσης του ολικού ελαχίστου. Επομένως, η τακτι- κή της σύγκλισης σε λύση του προβλήματος με χρήση των μεθόδων Nelder-Mead 4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και αβεβαιοτήτων 128

Downhill Simplex και Levenberg-Marquardt, είναι απαραίτητο να συμπληρωθεί από τις μεθόδους Heuristic Scanning και Parameter Kicking για τον προσδιορισμό της πραγματικής λύσης. Σε μια τέτοια περίπτωση η σάρωση στο χώρο των λύσεων θα ξεκινά από την τελική τιμή σύγκλισης της μεθόδου Levenberg-Marquardt και κάθε επανάληψή της θα ακολουθείται από διαταραχή της κάθε παραμέτρου.

4.4.2 Μέθοδος Bootstrap

Η εκτίμηση των αβεβαιοτήτων των παραμέτρων που προκύπτουν από τις μεθόδους σύγκλισης μπορεί να πραγματοποιηθεί και με τη μέθοδο Bootstrap (Efron (1979), Press et al. (1993), Newman and Barkema (1999)) που αποτελεί μια τεχνική Monte Carlo. Η τεχνική bootstrap βασίζεται στην επαναληπτική δημιουργία νέων συνθετικών δε- δομένων δειγματοληψίας (resampling) από τα υπόλοιπα που προέκυψαν από την προσαρμογή της βέλτιστης καμπύλης ελαχίστων τετραγώνων. Σε κάθε τέτοιο σετ δειγμάτων εφαρμόζεται μέθοδος ελαχιστοποίησης (π.χ. δια- φορικές διορθώσεις) και οι αβεβαιότητες των παραμέτρων προκύπτουν ως τυπικές αποκλίσεις από τις τελικές κατανομές των παραμέτρων. Πιο συγκεκριμένα, τα βήματα της μεθόδου bootstrap είναι τα εξής (Papageorgiou, 2015):

1. Δημιουργία ενός νέου δείγματος (M = {Mi}) μέσω τυχαίας δειγματοληψίας

(bootstrapping) από το σύνολο υπολοίπων (R = {Ri}) της βέλτιστης κα- μπύλης προσαρμογής που έχει προκύψει από μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων:

Mi = Oi + Ri , (4.28)

όπου Oi τα παρατηρησιακά δεδομένα που αποτελούν το αρχικό στατιστικό δείγμα και του οποίου αναζητούνται οι αβεβαιότητες.

2. Εφαρμογή μεθόδου ελαχιστοποίησης ελαχίστων τετραγώνων στο νέο συνθε- τικό δείγμα και προσαρμογή βέλτιστης καμπύλης με καταγραφή των αποτελε- σμάτων.

3. Επιστροφή στο βήμα 1 και επανάληψη όλης της διαδικασίας χιλιάδες φορές.

Η τελική τιμή και αβεβαιότητα για κάθε παράμετρο προκύπτει από την αντίστοιχη μέση τιμή και τυπική απόκλιση του ιστογράμματος της παραμέτρου. ΄Οπως και στην 4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και αβεβαιοτήτων 129

περίπτωση υπολογισμού αβεβαιοτήτων μέσω της μεθόδου ευριστικής ανάλυσης, οι αβεβαιότητες προκύπτουν από τη στατιστική των λύσεων και όχι από τα αριθμητικά σφάλματα των μεθόδων.

4.4.3 Μαρκοβιανή αλυσίδα Monte Carlo και ο αλγόριθμος Metropolis- Hastings

Η εκτίμηση των αβεβαιοτήτων με τις μεθόδους heuristic scanning ή bootstrap βα- σίζεται στη στατιστική των λύσεων, δηλαδή, στον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης της μέσης τιμής της αντίστοιχης κατανομής τιμών των παραμέτρων. Ωστόσο, η προσέγγιση των τιμών των λύσεων μέσω της στατιστικής συχνότητας εμφάνισής τους (frequentist methods) συνοδεύεται από το εγγενές μειονέκτημα ότι η μέση τιμή συχνοτικής εμφάνισης μιας παραμέτρου δεν είναι απαραίτητα και η πραγ- ματική τιμή της. Με άλλα λόγια, η συχνοτική στατιστική προσέγγιση (frequentist inference) στη- ρίζεται στην υπόθεση ότι οι παράμετροι έχουν μία συγκεκριμένη τιμή για ένα σετ δεδομένων και η οποία θα αποκαλυφθεί μέσω της επαναληπτικής δημιουργίας συν- θετικών δεδομένων-δειγμάτων ως μέγιστη στατιστική πιθανότητα εμφάνισης με ένα εύρος εμπιστοσύνης (confidence interval). Η στατιστική προσέγγιση που λαμβάνει υπόψιν την πιθανοκρατική φύση (probability distribution methods) των λύσεων βασίζεται στις λεγόμενες Μπαεζιανές μεθόδους (Bayesian methods) και στηρίζεται στην υπόθεση ότι οι παράμετροι έχουν μία συ- γκεκριμένη τιμή για ένα σετ δεδομένων προερχόμενη, όμως, από μία προγενέστερη κατανομή πιθανοτήτων (prior probability distribution). Αυτή η προγενέστερη κατανομή πιθανοτήτων εμπεριέχει προγενέστερες εκτιμήσεις (πραγματικές ή θεωρητικές) για τις τιμές των παραμέτρων και εάν αποκτηθεί ένα πραγματικό σετ δεδομένων, τότε είναι δυνατό ο συνδυασμός της πρότερης πληροφο- ρίας με αυτή των δεδομένων να αποτελέσει μια μεταγενέστερη κατανομή πιθανοτήτων (posterior probability distribution), από την οποία να προκύπτουν πιθανοκρατικά οι τιμές των παραμέτρων με ένα εύρος αξιοπιστίας (credibility interval). Οι δύο στατιστικές προσεγγίσεις βασίζονται κατά κύριο λόγο στη φιλοσοφική ερ- μηνεία της έννοιας της πιθανότητας ως ενός συχνοτικού φαινομένου που περιγράφει αντικειμενικά τις τιμές των παραμέτρων ή ως ενός εγγενούς χαρακτηριστικού της φύσης που εξαρτάται από την πρότερη γνώση και ένα συγκεκριμένο σετ πραγματικών δεδομένων. Αν και η διαμάχη μεταξύ των στατιστικολόγων και επιστημόνων δεν έχει λήξει σχετικά με την ορθότερη ερμηνεία της έννοιας της πιθανότητας, ωστόσο, η δυνα- 4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και αβεβαιοτήτων 130

τότητα που προσφέρουν οι Μπαεζιανές μέθοδοι για την εκτίμηση των αβεβαιοτήτων μόνο μέσω ενός πραγματικού σετ δεδομένων και όχι από τη δημιουργία πολλών συνθετικών δεδομένων, αποτελεί ένα πλεονέκτημα που ενισχύει την αξιοπιστία των αποτελεσμάτων. Bayesian methods Η Μπαεζιανή αρχή βασίζεται στο συνδυασμό της πληροφορίας που παρέχουν τα στα- τιστικά δεδομένα (d) με μια εκ των προτέρων πληροφορία σχετικά με τις παραμέτρους (θ) του προβλήματος. Δεδομένου ότι τα στατιστικά δεδομένα αντιστοιχίζονται σε μια υπό συνθήκη κατα- νομή πιθανοτήτων (condition distribution) π(d|θ) για ένα συγκεκριμένο σετ παρα- μέτρων θ και οι οποίες αντιστοιχούν σε μια πρότερη (prior) κατανομή πυκνότητας π(θ), τότε ο συνδυασμός των παραπάνω προσδιορίζεται από μια κατανομή πιθανο- τήτων σύμφωνα με το θεώρημα του Bayes (Robert and Casella, 2005):

π(d, θ) π(d|θ) · π(θ) π(θ|d) = = , (4.29) m(d) π(d|θ) · π(θ)dθ ´ όπου π(d, θ) η κοινή κατανομή (joint distribution) των δεδομένων και των παρα- μέτρων του προβλήματος και m(d) η περιθώρια κατανομή (marginal distribution) των δεδομένων. Το ολοκλήρωμα στον παρανομαστή αποτελεί μια σταθερά ολοκλήρωσης και ο υπο- λογισμός του είναι αυτός που μπορεί να προκαλέσει το κυριότερο πρόβλημα στις Μπαεζιανές μεθόδους, όπως αντίστοιχα οι μέθοδοι μέγιστης συχνότητας εμφάνισης αντιμετωπίζουν προβλήματα σύγκλισης κατά τη διάρκεια βελτιστοποίησης. Η κατανομή πιθανοτήτων π(d|θ) αντιστοιχεί στην πιθανότητα υπό την συχνοτική πε- ριγραφή (likelihood), καθώς για δεδομένες τιμές παραμέτρων αναζητείται η κατανομή πιθανοτήτων των δεδομένων. Η κατανομή πιθανοτήτων π(θ|d) ονομάζεται μεταγενέστερη κατανομή ( posterior distribution) και ορίζει την πιθανοκρατική κατανομή των τιμών των παραμέτρων (θ) για ένα συγκεκριμένο σετ παρατηρησιακών δεδομένων (d), στην προκειμένη περίπτωση αστρονομικών δεδομένων φωτομετρίας. Λαμβάνοντας υπόψιν ότι η σχέση μεταξύ του φυσικού νοήματος των παραμέτρων με τα παρατηρησιακά δεδομένα καθορίζεται από ένα συγκεκριμένο φυσικό μοντέλο (M), τότε η φόρμουλα του Bayes μπορεί να γραφεί στην ισοδύναμη μορφή (Ford, 2006):

π(d, θ|M) π(d|θ,M) · π(θ|M) π(θ|d,M) = = , (4.30) m(d|M) π(d|θ,M) · π(θ|M)dθ ´ 4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και αβεβαιοτήτων 131

δηλαδή, κάθε κατανομή πιθανοτήτων είναι μια κατανομή υπό τη συνθήκη του συγκε- κριμένου μοντέλου M. Μαρκοβιανές αλυσίδες (Markov chains) Ως Μαρκοβιανή αλυσίδα ορίζεται μια ακολουθία από τυχαίως παραγόμενα σετ με- ταβλητών και η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως χρονικά εξελίξιμη, με την πιθανότητα μετάβασης στην επόμενη κατάσταση να εξαρτάται από το παρόν σετ μεταβλητών στο οποίο βρίσκεται η αλυσίδα (Robert and Casella, 2005). Από τον παραπάνω ορισμό είναι προφανές ότι το κύριο χαρακτηριστικό μιας Μαρ- κοβιανής αλυσίδας είναι η συνάρτηση μέσω της οποίας καθορίζονται οι διαδοχικές μεταβάσεις μεταξύ των καταστάσεων. Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται πυρήνας μετάβασης K (transition kernel) και αντι- στοιχεί σε μια πυκνότητα κατανομής πιθανοτήτων, τέτοια ώστε κάθε καινούργιο σετ

παραμέτρων θn+1 να καθορίζεται από την πυκνότητα K(θn, θn+1). Γενικά, ένας πυρήνας μετάβασης ισοδυναμεί με μία συνάρτηση K ορισμένη στο θ × B(θ) τέτοια ώστε (i) ∀d ∈ θ η ποσότητα K(d, ·) είναι μια μετρούμενη πιθανότητα (ii) ∀A ∈ B(θ) η ποσότητα K(·,A) είναι ένα μετρούμενο μέγεθος. ΄Οταν το σετ παραμέτρων θ είναι διακριτό τότε ο πυρήνας μετάβασης αντιστοιχεί απλά

σε έναν πίνακα μετάβασης K με στοιχεία πxy = π(θn = y | θn−1 = x) για x, y ∈ θ, ενώ στη συνεχή περίπτωση ο πυρήνας αντιστοιχεί στην υπό συνθήκη πυκνότητα

K(θn, θn+1) της μετάβασης K(θ, ·), έτσι ώστε π(θ ∈ A|x) = A K(θn, θn+1)dθn+1. ´ Κάθε σετ παραμέτρων (θn)n∈N καλείται μοντέλο ή διεργασία Markov και μπορεί να μεταβάλλεται γραμμικά ή συνεχώς με το χρόνο. Ωστόσο, ο Hastings (1970) απέδειξε ότι η χρήση ψευδο-τυχαίων γεννητριών (pseudo-random generators) και η αναπα- ράσταση των αριθμών σε έναν υπολογιστή έχουν ως αποτέλεσμα την διακριτοποίηση του χώρου λύσεων και επομένως και της Μαρκοβιανής αλυσίδας. Η πιο τυπική περίπτωση μετάβασης σε μια διακριτή Μαρκοβιανή αλυσίδα δίνεται από την διεργασία τυχαίου περιπάτου (random walk)

θn+1 = θn + n , (4.31)

όπου η νέα κατάσταση (θn+1 ) προκύπτει από την την προηγούμενη (θn) και n μια μικρή, τυχαία και ανεξάρτητη μετακίνηση των διαδοχικών καταστάσεων που εξασφαλίζει την εργοδικότητα της Μαρκοβιανής διεργασίας, δηλαδή, τη δυνατότη- τα να μεταβεί από μία κατάσταση σε οποιαδήποτε άλλη κατάσταση μη μηδενικής πιθανότητας. 4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και αβεβαιοτήτων 132

Το γεγονός ότι κάθε νέα κατάσταση εξαρτάται μόνο από την αμέσως προηγούμενη και όχι από τις καταστάσεις που έχουν προηγηθεί καλείται ιδιότητα Markov, ενώ η τυχαιότητα κατά την παραγωγή της νέας κατάστασης αντικατοπτρίζει το στοχαστικό χαρακτήρα της μεθόδου Monte Carlo. Μια εργοδική αλυσίδα καλείται ισοδύναμα και αμείωτη (irreducible), ενώ μπορεί να αποδειχθεί ότι μια εργοδική αλυσίδα είναι απεριοδική και θετικά επαναλήψιμη (positive recurrent). Η θετική επαναληψιμότητα εξασφαλίζει το μη απειρισμό της πιθανότητας των διακριτών καταστάσεων (Robert and Casella, 2005). Ο πυρήνας μετάβασης, για μία συνάρτηση πιθανοτήτων π(θ0|θ), μπορεί γενικά να έχει τη μορφή (Chib and Greenberg, 1995)

0 0 0 0 K(θ, dθ ) = π(θ |θ) dθ + r(θ) δθ(dθ ) , (4.32)

0 0 όπου θ = θn η αρχική κατάσταση, θ = θn+1 η νέα κατάσταση, π(θ|θ) = 0, δθ(dθ ) =  0   1, εάν θ ∈ dθ  0 0 και r(θ) = 1 − Rn π(θ |θ) dθ η πιθανότητα η αλυσίδα να  0, διαϕορετικά  ´ παραμείνει στην ίδια κατάσταση θ. Είναι δυνατό να αποδειχθεί (Tierney (1994), Gilks et al. (1995)) ότι η εργοδικότη- τα της αλυσίδας εξασφαλίζει ότι κατά τη n-στη επανάληψη ο πυρήνας μετάβασης K(θ, dθ0) θα συγκλίνει στη μεταγενέστερη κατανομή π(θ|d) έαν και μόνο αν ισχύει, επιπλέον της εργοδικότητας, το κριτήριο αντιστρεψιμότητας ( reversibility) (Ford, 2006)

π(θ|d)π(θ|θ0) = π(θ0|d)π(θ0|θ) . (4.33)

Η μεταγενέστερη κατανομή π(θ|d) στην οποία θα συγκλίνει η αλυσίδα ονομάζεται στατική (stationary) κατανομή ή κατανομή ισορροπίας (equilibrium) καθώς όλα τα νέα δείγματα (θ) που παράγονται αντιστοιχούν πλέον σε αυτή την κατανομή

π(θn+1|θn) = π(θn|θn−1) . (4.34)

Η περίοδος η οποία χρειάζεται για τη σύγκλιση στη στατική κατανομή ονομάζεται δο- κιμαστική (burn-in) και τα δείγματα που παράγονται κατά τη διάρκειά της αγνοούνται στην τελική στατιστική εκτίμηση των παραμέτρων. Στην πραγματικότητα η στατική κατανομή αποτελεί προσέγγιση της πραγματικής κατανομής (κατανομή στόχος, target distribution) που περιγράφει τα παρατηρησιακά δεδομένα και την οποία, όμως, δεν γνωρίζουμε από πριν ώστε να τη χρησιμοποιήσουμε για δειγματοληψία και να εξάγουμε στατιστικά τις τιμές των παραμέτρων. 4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και αβεβαιοτήτων 133

Επομένως, η δυνατότητα δειγματοληψίας από μια στατική κατανομή που προσεγγίζει την κατανομή στόχο καθιστά τη μέθοδο Markov Chain Monte Carlo (MCMC) πολύ χρήσιμο εργαλείο στην εκτίμηση των πραγματικών αβεβαιοτήτων των παραμέτρων ενός φυσικού μοντέλου δεδομένου ενός σετ παρατηρησιακών δεδομένων. Ο αλγόριθμος Metropolis-Hastings (λαμβάνοντας το όνομά του από τους Metropolis et al. (1953), Hastings (1970)) είναι μια τεχνική υλοποίησης της μεθόδου MCMC, η οποία εκκινεί από μια δοκιμαστική κατανομή και τελικά εξασφαλίζει τη σύγκλιση στη μεταγενέστερη στατική κατανομή πιθανοτήτων, παρέχοντας το κριτήριο αποδοχής ή απόρριψης της νέας κατάστασης κατά τη διεργασία Markov (Robert, 2015). Αλγόριθμος Metropolis-Hastings Ο αλγόριθμος Metropolis-Hastings (M-H) προσφέρει τη δυνατότητα κατασκευής μίας αντιστρεπτής κατανομής μετάβασης π(θ0|θ) από μία μη αντιστρεπτή υποψήφια συνάρτηση κατανομής (nonreversible candidate transition probability distribution function, CTPDF) q(θ0|θ) και η οποία καθορίζει τη σύνθεση της νέας δοκιμαστικής κατάστασης (trial state, θ0). Ο σκοπός του αλγόριθμου είναι η κατασκευή δοκιμαστικών καταστάσεων σύμφωνα με την υποψήφια συνάρτηση κατανομής και εν συνεχεία η αποδοχή ή η απόρριψη της δοκιμαστικής κατάστασης ως την επόμενη νέα κατάσταση της Μαρκοβιανής αλυσίδας. Το κριτήριο αποδοχής ή απόρριψης της νέας δοκιμαστικής κατάστασης από τον αλ- γόριθμο M-H καθορίζεται μέσω της πιθανότητας αποδοχής (acceptance probability) (Ford, 2005)

π(θ0|d) q(θ|θ0) π(d|θ0) q(θ|θ0) α(θ0|θ) = min{ , 1} = min{ , 1} , (4.35) π(θ|d) q(θ0|θ) π(d|θ) q(θ0|θ)

με τη βοήθεια της οποίας ορίζεται η μη κανονικοποιημένη μεταγενέστερη κατανομή μετάβασης (transition distribution) στη νέα κατάσταση

π(θ0|θ) = q(θ0|θ) α(θ0|θ) (4.36)

και η οποία είναι εγγυημένα εργοδική και αντιστρεπτή, με την προϋπόθεση όμως και η προτεινόμενη (proposal) κατανομή q(θ0|θ) να είναι εργοδική. Ο αλγόριθμος M-H εξασφαλίζει μέσω του λόγου q(θ|θ0)/q(θ0|θ) τη χρήση ακόμα και μη συμμετρικής συνάρτησης προτεινόμενης κατανομής q(θ0|θ), ενώ στην περίπτωση που επιλεχθεί συμμετρική κατανομή τότε ο λόγος αυτός λαμβάνει τιμή ίση με τη μονάδα και η πιθανότητα αποδοχής ταυτίζεται με την περίπτωση του αλγόριθμου Metropolis (Chib and Greenberg, 1995). 4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και αβεβαιοτήτων 134

Το γεγονός ότι η προτεινόμενη συνάρτηση κατανομής q(θ0|θ) διαταράσσει την τω- ρινή κατάσταση της αλυσίδας και η πιθανότητα αποδοχής α(θ0|θ) είτε αποδέχεται είτε απορρίπτει τη δοκιμαστική κατάσταση ως νέα, αποτελεί και το χαρακτηριστικό γνώρισμα του τυχαίου περιπάτου. Ο τελεστής min εξασφαλίζει ότι η πιθανότητα αποδοχής δεν θα υπερβεί τη μοναδιαία τιμή, ενώ η δοκιμαστική κατάσταση είτε θα γίνει αποδεκτή με πιθανότητα α είτε θα απορριφθεί με πιθανότητα α − 1. Η εμφάνιση του λόγου π(d|θ0)/π(d|θ) στην πιθανότητα αποδοχής καθιστά περιττή την κανονικοποίηση της π(d|θ) καθώς η σταθερά κανονικοποίησης απαλείφεται. Τελικώς, η πιθανότητα μετάβασης (4.36) αποτελεί τη ζητούμενη αντιστρέψιμη συνάρ- τηση της οποίας ο πυρήνας μετάβασης θα συγκλίνει μετά από κάποιες επαναλήψεις στη στατική κατανομή από την οποία θα γίνεται η δειγματοληψία για την στατιστική εκτίμηση των αβεβαιοτήτων των παραμέτρων. Εάν και ο αλγόριθμος M-H εξασφαλίζει τη σύγκλιση της Μαρκοβιανής αλυσίδας στην μεταγενέστερη κατανομή π(θ|d), ωστόσο, δεν προσδιορίζει το πότε θα επιτευχθεί η σύγκλιση. Ο ρυθμός σύγκλισης καθορίζεται αποκλειστικά από την επιλογή της προτεινόμενης συνάρτησης κατανομής q(θ0|θ) και η οποία θα πρέπει να έχει περίπου την ίδια μορφή με τη μεταγενέστερη κατανομή προκειμένου να επιτευχθεί σχετικά γρήγορα η σύγκλιση. Η πιο αποδοτική επιλογή προτεινόμενης συνάρτησης κατανομής είναι θεωρητικά η ίδια η μεταγενέστερη κατανομή π(θ|d), ωστόσο, αυτό δεν είναι εφικτό καθώς ο σκοπός του αλγόριθμου είναι ο υπολογισμός της μεταγενέστερης κατανομής. Μια κοινή επιλογή προτεινόμενης κατανομής είναι η Γκαουσιανή κατανομή με κέντρο γύρω από την κατάσταση θ και η οποία λαμβάνει τη μορφή (Ford, 2005)

0 2 0 1 (θ µ − θµ) q(θ µ|θµ) = q exp[− ] , (4.37) 2 2β2 2πβµ µ

με το δείκτη µ να προσδιορίζει τα στοιχεία των διανυσμάτων θ. Δεδομένου ότι τα παρατηρησιακά σφάλματα των αστρονομικών δεδομένων φωτομε- τρίας πιστεύεται ότι περιγράφονται από Γκαουσιανές κατανομές με καλά καθορισμένες διακυμάνσεις, τότε η συνάρτηση κατανομής πιθανοτήτων των παρατηρησιακών δεδο- μένων για δεδομένες παραμέτρους θ του μοντέλου θα προσεγγίζεται ως π(d|θ) ∝ 2 2 exp[−χ (θ)/2] = exp[−χn/2]. 4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και αβεβαιοτήτων 135

Επιλέγοντας μια ομοιόμορφη εκ των προτέρων (prior) κατανομή των παραμέτρων π(θ) ∼ 1 τότε η μεταγενέστερη κατανομή πιθανοτήτων ισούται προσεγγιστικά με

2 2 π(θ|d) = π(d|θ) · π(θ) ∼ exp[−χ (θ)/2] = exp[−χn/2] (4.38)

και η οποία αντιστοιχεί στην κατανομή ισορροπίας εφόσον η αλυσίδα Markov θα συγκλίνει σε αυτή την κατανομή ανεξαρτήτως από που θα ξεκινήσει. ΄Αρα, λοιπόν, μια αποδοτική μορφή προτεινόμενης κατανομής είναι η Γκαουσιανή (4.37). Ο συνδυασμός της Γκαουσιανής προτεινόμενης κατανομής (4.37) και της μεταγε- νέστερης κατανομής (4.38) έχει ως αποτέλεσμα η πιθανότητα αποδοχής να ισούται με (χ2 − χ2 ) α(θ0|θ) = min{exp[ n n+1 ], 1} (4.39) 2 για αποδεκτές τιμές παραμέτρων θ0 και α(θ0|θ) = 0 για μη αποδεκτές τιμές, όπου χ2 το άθροισμα των τετραγώνων των υπολοίπων του μοντέλου από τα παρατηρησιακά δεδομένα. Επομένως, η μέθοδος M-H MCMC βασίζεται στην αποδοχή ή την απόρριψη τιμών των παραμέτρων του μοντέλου που κατασκευάζονται δειγματοληπτικά (sampling) μέσω των προτεινόμενων κατανομών q(θ0|θ) με τελικό σκοπό τον προσδιορισμό της μεταγενέστερης κατανομής πιθανοτήτων π(θ|d). Τα βήματα εφαρμογής του αλγόριθμου M-H είναι τα ακόλουθα (Ford, 2005):

1. Αρχικοποίηση της αλυσίδας με ένα αρχικό διάνυσμα παραμέτρων θ που αντι- στοιχεί στην κατάσταση n = 0.

2. Σύνθεση μιας δοκιμαστικής κατάστασης θ0 σύμφωνα με την προτεινόμενη κα- τανομή q(θ0|θ) (η μορφή της προτεινόμενης κατανομής έγκειται στο χρήστη, π.χ. μια κανονική κατανομή)

3. Υπολογισμός της πιθανότητας αποδοχής α(θ0|θ).

4. Επιλογή ενός τυχαίου αριθμού u από μια ομοιόμορφη κατανομή με τιμή μεταξύ 0 και 1.

5. Εάν u ≤ α(θ0|θ) τότε η δοκιμαστική κατάσταση γίνεται αποδεκτή ως νέα 0 0 και άρα θn+1 = θ , ενώ στην αντίθετη περίπτωση όπου u > α(θ |θ) τότε η

δοκιμαστική κατάσταση απορρίπτεται και άρα θn+1 = θ.

6. Τίθεται n = n + 1 και επιστροφή στο βήμα 2. 4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και αβεβαιοτήτων 136

Κατά την εκτέλεση του βήματος 4 με την τυχαιότητα της επιλογής του αριθμού u δίνε- 2 2 ται η πιθανότητα στην περίπτωση που χn+1 ≥ χn να γίνουν αποδεκτές περιοχές του χώρου των παραμέτρων με μεγαλύτερη τιμή χ2 και άρα να γίνει συλλογή δειγμάτων από όλη την έκταση του χώρου των παραμέτρων και να καλυφθούν επομένως ακόμα και τα άκρα της στατικής κατανομής. Στην περίπτωση χρήσης μεθόδων μέγιστης στατιστικής πιθανότητας είναι πιθανό τέτοιες περιοχές να απορριφθούν. Οι τιμές των παραμέτρων και των αβεβαιοτήτων τους υπολογίζονται μέσω ιστογραμ- μάτων ως μέσες τιμές συνοδευόμενες από την τυπική τους απόκλιση, ενώ οι τομές υπερεπιφανειών του χώρου των παραμέτρων αντιστοιχούν σε διδιάστατα ιστογράμ- ματα στα οποία αποτυπώνεται η περιοχή σύγκλισης. Η συνάρτηση αποδοχής α(θ0|θ) ουσιαστικά επιφέρει ισορροπία μεταξύ δύο επιθυ- μητών περιορισμών του αλγόριθμου: (α) την δειγματοληψία από περιοχές υψηλής 0 πιθανότητας μέσω του λόγου π(d|θ )/π(d|θ) και (β) την εξερεύνηση όσο το δυνατόν μεγαλύτερου χώρου και την αποφυγή δειγματοληψίας μόνο από μία συγκεκριμένη 0 περιοχή μέσω του λόγου q(θ|θ )/q(θ0|θ). Το εύρος της προτεινόμενης κατανομής q(θ0|θ) καθορίζει το ρυθμό σύγκλισης. Σε

περίπτωση που επιλεχθεί πολύ μεγάλο εύρος (σq) τότε ένα μεγάλο ποσοστό δοκι- μαστικών καταστάσεων θα απορριφθούν (α ) και η σύγκλιση θα είναι πολύ αργή, εφόσον η πιθανότητα μετάβασης θα είναι πολύ μικρή και η αλυσίδα θα παραμένει σε κάθε κατάσταση για πολλές επαναλήψεις έως ότου πραγματοποιηθεί μια μετάβαση. Στην αντίθετη περίπτωση μικρού εύρους της προτεινόμενης κατανομής τότε ο λόγος αποδοχής-απόρριψης α(θ0|θ) είναι μεγάλος (α ∼ 1) και επομένως οι περισσότερες (ή όλες εάν το εύρος είναι πολύ μικρό και άρα πάντα α = 1, δειγματολήπτης Gibbs) δοκιμαστικές καταστάσεις θα είναι αποδεκτές. Σε αυτή την περίπτωση η αλυσίδα πραγματοποιεί μεταβάσεις σύμφωνα με τη διεργασία τυχαίου περιπάτου και ο αριθμός των απαιτούμενων βημάτων για σύγκλιση θα καθορίζεται προσεγγιστικά από το λόγο 2 2 L /σq , όπου L η απόσταση που πρέπει να καλυφθεί στο χώρο των παραμέτρων (Ford, 2005). Στην περίπτωση πολύ μικρού εύρους, όμως, η εξερεύνηση του χώρου πραγματο- ποιείται με αργό ρυθμό και άρα απαιτούνται αρκετές επαναλήψεις για την επίτευξη σύγκλισης. Η εύρεση ενός ενδιάμεσου εύρους της προτεινόμενης κατανομής απο- τελεί και την ιδανική επιλογή για την εξοικονόμηση υπολογιστικού χρόνου και την αποδοτική σύγκλιση. Η εύρεση του επιθυμητού λόγου αποδοχής-απόρριψης ή ισοδύναμα του αποδοτικού εύρους της προτεινόμενης κατανομής μπορεί να πραγματοποιηθεί με διάφορες τεχνικές μεταξύ των οποίων: 4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και αβεβαιοτήτων 137

1. Δοκιμαστικές πιθανές τιμές εύρους σε κάθε προτεινόμενη κατανομή έως ότου επιτευχθεί ο επιθυμητός λόγος αποδοχής-απόρριψης, μέσω του ελέγχου του ποσοστού των αποδεκτών δοκιμαστικών καταστάσεων (Gelman et al., 2013). Συνήθως γίνεται αποδεκτή η τιμή ενός εύρους για το οποίο περίπου το 50% των προτεινόμενων καταστάσεων απορρίπτονται.

2. Δοκιμαστικές πιθανές τιμές εύρους σε κάθε προτεινόμενη κατανομή με χρήση μιας ψευδο-Μαρκοβιανής αλυσίδας (Ford, 2005). Κατά τη διάρκεια αυτής της διεργασίας πραγματοποιούνται κάποια βήματα στα οποία αυξάνεται ή μειώνεται το εύρος της προτεινόμενης κατανομής για κάθε παράμετρο προκειμένου να επιτευχθεί ο επιθυμητός λόγος αποδοχής. Στο τέλος αυτής της διεργασίας κρατώνται σταθερές οι τιμές του εύρους δοκιμαστικής κατανομής κάθε παρα- μέτρου και εκκινεί μια πραγματική αλυσίδα M-H MCMC.

Εκτός, όμως, από την εύρεση ενός αποδοτικού εύρους προτεινόμενης κατανομής, είναι αναγακαία η επιβεβαιώση ότι η μέθοδος MCMC έχει εφαρμοστεί κατάλληλα ώστε η δειγματοληψία να πραγματοποιείται από την μεταγενέστερη κατανομή, δηλαδή, ότι έχει επιτευχθεί σύγκλιση στην στατική κατανομή. Ο προσδιορισμός της επίτευξης σύγκλισης περιπλέκεται εξαιτίας δύο παραγόντων: (α) το τελικό προϊόν της σύγκλισης δεν είναι μία τιμή αλλά ένα τυχαίο δείγμα από τιμές (κατανομή) και πρέπει να γίνει διάκριση μεταξύ της διακύμανσης της τελικής σύγκλισης από τα προγενέστερα δείγματα δοκιμαστικής περιόδου, (β) τα δείγματα είναι σειριακά συσχετισμένα καθώς αποτελούν προϊόν και μέρος της Μαρκοβιανής αλυσίδας, επομένως, υπάρχει κάποιος βαθμός αυτοσυσχέτισης (au- tocorrelation) και ο οποίος για μεγάλες τιμές στο εύρος [-1,1] υποδεικνύει ότι η αλυσίδα δεν έχει απομακρυνθεί αρκετά από την αρχική κατάσταση ώστε να συγκλίνει στη στατική κατανομή, όπου τα παραγόμενα δείγματα είναι ανεξάρτητα με σχεδόν μηδενικό βαθμό συσχέτισης. Υπάρχουν αρκετές διαγνωστικές μέθοδοι σύγκλισης (Cowles and Carlin, 1996), ωστόσο, οι δύο πιο συχνά χρησιμοποιούμενες και αξιόπιστες είναι τα διαγράμμα- τα ίχνους ( trace plots) (Σχήμα4.2αʹ) στα οποία αποτυπώνεται η τιμή μιας παρα- μέτρου συναρτήσει των επαναλήψεων και η δημιουργία διαγραμμάτων αυτοσυσχέτισης ( autocorrelation plots) (Σχήμα 4.2βʹ) μέσω των οποίων ανιχνεύεται ο αριθμός των ισχυρά συσχετισμένων δειγμάτων. Μέσω αυτών των διαγραμμάτων γίνεται οπτική ανίχνευση του αριθμού των δειγμάτων που πρέπει να αγνοηθούν ως μέλη της δοκιμαστικής περιόδου και μετά το πέρας της οποίας η αλυσίδα Markov έχει συγκλίνει στη στατική κατανομή, ώστε τα παραγόμενα δείγματα να προκύπτουν από αυτή. 4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και αβεβαιοτήτων 138

(αʹ) Διαγράμματα ίχνους (trace plots) για συνθετικά δεδομένα κανονικής κατανομής με κέντρο το μηδέν και τελικό σκοπό την εύρεση της μέσης τιμής μέσω της μεταγενέστερης κατανομής. Το αριστερό διάγραμμα ίχνους αντιστοιχεί σε εύρος προτεινόμενης κατανομής ίσο με 0.5 ενώ το δεξιά για εύρος 0.01. Στην πρώτη περίπτωση η αλυσίδα έχει συγκλίνει σχεδόν αμέσως στην στατική κατανομή, ενώ τα μικρά βήματα στη δεύτερη περίπτωση καθυστερούν τη σύγκλιση.

(βʹ) Διάγραμμα αυτοσυσχέτισης δειγμάτων (autocorrelation plot). Είναι εμφανές ότι για μεγάλη διακύμανση της προτεινόμενης κατανομής ο βαθμός αυτοσυσχέτισης είναι πολύ μεγάλος, ενώ για μικρότερα εύρη τα δείγματα ανεξαρτητοποιούνται μετά τις πρώτες 30-40 επαναλήψεις.

Σχήμα 4.2: Διαγνωστικά εργαλεία σύγκλισης MCMC. 4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και αβεβαιοτήτων 139

Επίσης, είναι δυνατό να επιλεχθεί ως μέθοδος ανίχνευσης σύγκλισης η χρήση πολλών Μαρκοβιανών αλυσίδων οι οποίες ξεκινούν από διαφορετικές αρχικές καταστάσεις, προκειμένου να ανιχνευθεί η σύγκλιση στην ίδια περιοχή του χώρου των παραμέτρων. Αξίζει να σημειωθεί ότι ο αλγόριθμος M-H δεν προϋποθέτει την εκ των προτέρων γνώση της σταθεράς νορμαλισμού της π(θ|d). Επιπλέον, το σημαντικότερο πλεο- νέκτημα κάθε Μπαεζιανής μεθόδου, όπως και η M-H MCMC, είναι ότι η μεταγενέστε- ρη πιθανότητα μετάβασης εξαρτάται αποκλειστικά και μόνο από τα παρατηρησιακά δεδομένα και την προγενέστερη γνώση των παραμέτρων του μοντέλου. Το χαρακτηριστικό αυτό αποτελεί και το σημαντικότερο πλεονέκτημα σε σχέση με τις συχνοτικές δειγματοληπτικές μεθόδους, όπως οι heuristic scanning και bootstrap, οι οποίες βασίζουν την εκτίμηση των αβεβαιοτήτων στη δημιουργία συνθετικών δε- δομένων. Με άλλα λόγια, η μεταγενέστερη πιθανότητα μετάβασης είναι μια πραγματική κα- τανομή πιθανοτήτων για τις τιμές των παραμέτρων του προβλήματος σε αντίθεση με την κατανομή μέγιστης πιθανότητας των συνθετικών δεδομένων και εξαιτίας αυτής της διαφοράς οι Μπαεζιανές μέθοδοι προσφέρουν ακριβέστερες εκτιμήσεις των αβεβαιοτήτων. Η πιο κοινή κριτική στις Μπαεζιανές μεθόδους βασίζεται στην ανάγκη προσδιορισμού της προγενέστερης κατανομής πιθανοτήτων των παραμέτρων του μοντέλου και η οποία είναι ικανή να επηρεάσει τη μεταγενέστερη κατανομή σε περίπτωση που τα παρατηρησιακά δεδομένα προσφέρουν πολύ λίγους περιορισμούς στις παραμέτρους. Ωστόσο, στις περισσότερες περιπτώσεις τα παρατηρησιακά δεδομένα παρέχουν ισχυ- ρούς περιορισμούς στις τιμές που μπορούν να λάβουν οι παράμετροι και άρα η επιλογή προγενέστερης κατανομής επηρεάζει ελάχιστα τον υπολογισμό της μεταγενέστερης.

4.4.4 Γενετικοί Αλγόριθμοι

Οι γενετικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται μεταξύ άλλων και ως ευριστικές μέθοδοι βελτιστοποίησης αντίστροφων προβλημάτων, με σκοπό την εύρεση της περιοχής ολικού ελαχίστου του χώρου των παραμέτρων. Η υλοποίηση τους βασίζεται στις βασικές ιδέες της βιολογικής εξέλιξης των ειδών μέσω της διαδικασίας της φυσικής επιλογής (Darwin, 1859). Ως φυσική επιλογή ορίζεται η διαδικασία κατά την οποία οι φυσικοί οργανισμοί που είναι καλύτερα προσαρμοσμένοι στο περιβάλλον, τείνουν να παράγουν περισσότερους απογόνους κατά μέσο όρο από ότι οι λιγότερο καλά προσαρμοσμένοι οργανισμοί. Προκειμένου η φυσική επιλογή να οδηγήσει σε μια μεγάλης κλίμακας εξελικτική διαδικασία, ο Δαρβίνος διέκρινε ως απαραίτητα στοιχεία (1) την κληρονομικότητα 4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και αβεβαιοτήτων 140

( inheritance), δηλαδή, τον τρόπο με τον οποίο οι γονείς μεταβιβάζουν την προσαρ- μοστικότητά ( fitness) στους απογόνους και (2) την ποικιλομορφία ( variation) μεταξύ ενός πληθυσμού, έτσι ώστε να υπάρχει ένα φάσμα προσαρμοστικότητας προκειμένου να δράσει η φυσική επιλογή. Μια αναλυτική περιγραφή για την ενσωμάτωση αυτών των ιδεών σε ένα υπολογιστικό πλαίσιο δίνεται από τον (Goldberg, 1989), ωστόσο, για την ανάπτυξη της βασικής λειτουργίας ενός γενετικού αλγόριθμου είναι απαραίτητος ο ορισμός των εννοιών του γενότυπου ( genotype) και του φαινότυπου ( phenotype). Ο γενότυπος αναφέρεται στη γενετική σύνθεση ενός ατόμου (individual) και η οποία αποθηκεύεται σε χρωμοσόματα (chromosomes) υπο τη μορφή γραμμικών γονιδιακών ακολουθιών. Ο φαινότυπος αποτελεί την εξωτερική εκδήλωση του γενότυπου, δηλα- δή, το ίδιο το άτομο που επιτελεί όλες τις βιολογικές λειτουργίες και τα χαρακτηρι- στικά του οποίου μπορούν να παρατηρηθούν άμμεσα ή εμμεσα. Ο φαινότυπος είναι μια αποκωδικοποιημένη ( decoded) μορφή του γενότυπου σε συν- δυασμό με χαρακτηριστικά του περιβάλλοντος, με την έννοια της αποκωδικοποίησης να αντιστοιχεί συνήθως στις διαδικασίες της ανάπτυξης και της εξέλιξης. Επο- μένως, ο φαινότυπος περιλαμβάνει και χαρακτηριστικά που δεν είναι εγγεγραμμένα- κωδικοποιημένα ( encoded) στον γενότυπο. Η υψηλή (χαμηλή) προσαρμογή ενός φαινότυπου στο περιβάλλον ερμηνεύεται ως υψηλή (χαμηλή) επιτυχία της αναπαργωγικής διαδικασίας και άρα ο φαινότυπος επιδρά άμεσα στο σύνολο των γενότυπων της επόμενης γενιάς. Με άλλα λόγια, οι φαινότυποι που προσαρμόζονται καλύτερα αντιγράφουν πιο συχνά το γενότυπό τους στην επόμε- νη γενιά και άρα ο συνολικός μελλοντικός πληθυσμός (ανεξαρτήτου φαινότυπου) θα χαρακτηρίζεται επί το πλείστον από τους καλύτερα προσαρμοσμένους φαινότυπους. Εάν οι συνθήκες του περιβάλλοντος ήταν αμετάβλητες, τότε ο ολικός πληθυσμός θα σύγκλινε με τη πάροδο του χρόνου στο φαινότυπο της υψηλότερης προσαρμο- στικότητας που υπήρχε στο αρχικό ολικό σύνολο γενότυπων (gene ensemble).Η ταχύτητα της σύγκλισης εξαρτάται από τη σχέση μεταξύ προσαρμοστικότητας και αναπαραγωγικής επιτυχίας. Σε μια τέτοια περίπτωση, όμως, το αρχικό φάσμα προσαρμοστικότητας ή ισοδύναμα η ποικιλομορφία μεταξύ των ειδών θα έτεινε στην εξαφάνιση, καθώς θα επιβίωνε μόνο ο καλύτερα προσαρμοσμένος φαινότυπος. Μετά την επίτευξη της σύγκλισης, λοιπόν, η οποιαδήποτε δραστική αλλαγή στις περιβαλλοντικές συνθήκες θα καθιστούσε τον τελικό πληθυσμό ως χαμηλής προσαρμοστικότητας, με αποτέλεσμα την εξαφάνισή του με την πάροδο του χρόνου. 4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και αβεβαιοτήτων 141

Δεδομένου ότι στην πραγματικότητα οι περιβαλλοντικές συνθήκες μεταβάλλονται συνεχώς ενώ η ζωή εξακολουθεί να υπάρχει και να εξελίσσεται, συμπεραίνουμε ότι η ποικιλομορφία διατηρείται και αποτελεί το βασικότερο στοιχείο στη διατήρηση της εξέλιξης. Η διατήρηση της ποικιλομορφίας προέρχεται κυρίως από την ίδια τη διαδικασία της κληρονομικότητας. Οι βασικές διεργασίες της κληρονομικότητας είναι η μεγάλης κλίμακας επανασύνθε- ση ( recombination) του γενετικού υλικού - γενότυπου, μέσω των διεργασιών της χρωμοσωμικής διασταύρωσης ( crossover) και αναστροφής ( inversion), ενώ επιπλέον ποικιλομορφίες προκαλεί η διαδικασία της μετάλλαξης ( mutation). Αυτές οι λειτουργίες της κληρονομικότητας αποτελούν και τις βασικές ιδέες ανάπτυ- ξης των γενετικών αλγόριθμων (Holland (1975), Goldberg (1989)), με αποτέλεσμα τα βασικά βήματα ενός γενετικού αλγόριθμου να είναι τα εξής - για ένα φαινότυπο στόχο στον οποίο επιθυμείται η σύγκλιση και εφοδιασμένοι με ένα κριτήριο ανοχής - (Charbonneau, 1995):

1. Κατασκευή ενός τυχαίου αρχικού πληθυσμού (gene ensemble) και εκτίμηση της προσαρμοστικότητας (fitness) των μελών του.

2. Κατασκευή ενός νέου πληθυσμού μέσω της αναπαραγωγής επιλεγμένων φαι- νότυπων του αρχικού πληθυσμού.

3. Εκτίμηση της προσαρμοστικότητας του κάθε νέου μέλους του πληθυσμού.

4. Αντικατάσταση του παλιού πληθυσμού με το νέο πληθυσμό.

5. Εάν ο καλύτερα προσαρμοσμένος φαινότυπος ταιριάζει με το φαινότυπο στόχο, σύμφωνα με το κριτήριο ανοχής, τότε έχει επιτευχθεί η σύγκλιση, διαφορετικά επιστροφή στο βήμα 2.

΄Οσον αφορά την επίλυση του αντίστροφου προβλήματος που προκύπτει από τα δεδο- μένα ενός διαγράμματος O-C, ο γενετικός αλγόριθμος θα υπολογίσει το φαινότυπο που αποτελείται από τις επτά (ή οκτώ) παραμέτρους που ελαχιστοποιούν τη συνάρ- τηση (4.1), δηλαδή, το φαινότυπο με την καλύτερη προσαρμογή στα παρατηρησιακά δεδομένα. Τα παραπάνω βήματα του αλγόριθμου ορίζουν ένα προσαρμοστικό πλάνο που δεν διαφέρει πολύ από τη νοοτροπία της μεθόδου Monte Carlo. Ωστόσο, ο γενετικός χαρακτήρας που καθιστά τη διαφορετικότητα των δύο μεθόδων έγκειται στην ιδέα της κληρονομικότητας και η οποία εφαρμόζεται μέσω των τελεστών : 4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και αβεβαιοτήτων 142

• Διασταύρωσης ( crossover), διχοτομείται τυχαία κάθε γενότυπος και επανα- συνδέεται η αρχή του ενός με το τέλος ενός άλλου, ώστε να δημιουργηθεί ένας καινούργιος γενότυπος. Ο κάθε γενότυπος μπορεί να θεωρηθεί ως μια σειρά ψηφίων (γονιδίων) που απαρτίζουν τις τιμές των παραμέτρων που τον αποτελούν.

• Μετάλλαξης ( mutation), μεταβάλλεται τυχαία ένα στοιχείο του γενότυπου και προκύπτει μια μεταλλαγμένη μορφή του αρχικού γενότυπου.

• Επιλογής ( selection), επιλέγεται ο καλύτερα προσαρμοσμένος φαινότυπος που αντιστοιχεί στο σετ παραμέτρων για το οποίο η συνάρτηση ελαχιστοποίησης λαμβάνει τη μικρότερη τιμή.

Υπάρχουν πολλές τεχνικές με τις οποίες μπορούν να επιτελεστούν οι λειτουργίες κληρονομικότητας, δηλαδή, οι διεργασίες διασταύρωσης και μετάλλαξης. Η υπο- λογιστική ρουτίνα PIKAIA (Charbonneau, 2002) χρησιμοποείται σε προβλήματα βελτιστοποίησης με χρήση γενετικού αλγόριθμου. Η εφαρμογή της προϋποθέτει τον εφοδιασμό της υπορουτίνας με ένα σετ παραμέτρων περιορισμένων από ένα εύρος επιτρεπόμενων-προβλεπόμενων τιμών και μια συνάρτηση ελαχιστοποίησης. Η υπολογιστική ρουτίνα PIKAIA ενσωματώθηκε σε driver γραμμένο σε γλώσσα FORTRAN από τον Papageorgiou (2015) για τη βελτιστοποίηση του αντίστροφου προβλήματος των παρατηρησιακών δεδομένων διαγράμματος O-C με υποψήφιο τρίτο σώμα ή/και μεταφορά μάζας. Δηλαδή, την ελαχιστοποίηση της συνάρτησης (4.1). Τα βήματα του αλγόριθμου, κατά αντιστοιχία με τα προαναφερθέντα γενικά βήματα ενός γενετικού αλγόριθμου, είναι τα εξής:

1. Επιλογή του εύρους των τιμών των παραμέτρων του προβλήματος με κριτήρια φυσικής σημασίας. Πέρα από το φυσικό περιορισμό των τιμών των παραμέτρων, το εύρος εν γένει μπορεί να είναι το οποιοδήποτε δεδομένου του ολικού (global) χαρακτήρα σάρωσης του παραμετρικού χώρου από το γενετικό αλγόριθμο. Ωστόσο, ο περιορισμός των τιμών σε κάποιο προτιμώμενο-αναμενόμενο εύρος θα επιταχύνει τη διαδικασία σύγκλισης.

2. Δημιουργία του αρχικού πληθυσμού φαινότυπων με τυχαίο τρόπο.

3. Υπολογισμός της τιμής της συνάρτησης ελαχιστοποίησης (4.1) για κάθε φαινότυπο- λύση και ταξινόμησή τους κατά αύξουσα σειρά. Εφαρμογή των τελεστών δια- σταύρωσης και μετάλλαξης σε επιλεγμένα ζεύγη φαινότυπων κατά τυχαίο τρόπο. 4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και αβεβαιοτήτων 143

4. Εκτίμηση της προσαρμοστικότητας των νέων φαινότυπων μέσω της τιμής της συνάρτησης ελαχιστοποίησης και μεταφορά τους στην επόμενη γενιά μέσω αντικατάστασης των παλιών φαινότυπων.

5. ΄Ελεγχος των τιμών των νέων λύσεων και αποδοχή ή μη βάσει του αν έχουν φυσικά αποδεκτές τιμές.

6. Εάν δεν ικανοποιείται κάποιο κριτήριο σύγκλισης ή δεν έχει ολοκληρωθεί ο καθορισμένος αριθμός επαναλήψεων τότε επιστροφή στο βήμα 3.

Αρχικά εισάγονται τα παρατηρησιακά δεδομένα και ο χώρος των παραμέτρων γεμίζει ομοιόμορφα από σετ δοκιμαστικών καταστάσεων (φαινότυπων) με τυχαίες τιμές πα- ραμέτρων. Στη συνέχεια υπολογίζεται το θεωρητικό μοντέλο για κάθε φαινότυπο και το α- ποτέλεσμα συγκρίνεται με τα παρατηρησιακά δεδομένα μέσω του υπολογισμού των υπολοίπων ελαχίστων τετραγώνων, δηλαδή, του υπολογισμού της τιμής της συ- νάρτησης ελαχιστοποίησης (4.1) για κάθε γενότυπο και την απόδοση μιας τιμής προσαρμοστικότητας (fitness) αντιστρόφως ανάλογης του χ2. Η προσαρμοστικότητα του κάθε γενότυπου αντιστοιχίζεται με μια πιθανότητα επι- βίωσης (survival probability) και η οποία λαμβάνει τη μέγιστη μοναδιαία τιμή για το γενότυπο με την υψηλότερη τιμή προσαρμογής. Ο αρχικός πληθυσμός δοκιμαστικών γενότυπων ταξινομείται κατά αύξουσα σειρά σύμφωνα με την τιμή προσαρμογής και επιλέγεται τυχαία ένα πλήθος γενότυπων οι οποίοι θα υποστούν τις διεργασίες κληρονομικότητας. ΄Εστω ότι η συνάρτηση ελαχιστοποίησης έχει μόνο δύο παραμέτρους έτσι ώστε χ2(x, y) = 0, τότε κάθε φαινότυπος θα αποτελείται από ένα ζεύγος τιμών (x, y). Εάν επιλέξουμε τυχαία δύο φαινότυπους και τους οποίους ονομάζουμε γονείς (parents), καθώς από το γενότυπό τους θα προκύψουν νέοι απόγονοι (offsprings), τότε η διεργασία κληρονομικότητας έχει ως εξής:

1. Φαινότυποι τυχαία επιλεγμένων γονέων

   P h(P 1) x = 0.14429 y = 0.72317         P h(P 2) x = 0.71281 0.83459        4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και αβεβαιοτήτων 144

2. Κωδικοποίηση (encoding) των φαινότυπων σε γενότυπους

   Gn(P 1) 1442972317        ,  Gn(P 2) 7128183459       

όπου κάθε σειρά από ψηφία αντιστοιχεί σε ένα χρωμόσωμα.

3. Αναπαραγωγή (breeding)

(αʹ) Διασταύρωση (crossover), έστω στο γονίδιο=4

     Gn(P 1) 1442972317   Gn(O1) 1448183459           ↓↑    ⇒  Gn(P 2) 7128183459   Gn(O2) 7122972317             

(βʹ) Μετάλλαξη (mutation), έστω στο γονίδιο=7 του απογόνου O2

Gn(O2) 7122972317 7122978317

4. Αποκωδικοποίηση (decoding) γενότυπων των απογόνων σε φαινότυπους

   P h(O1) x = 0.14481 y = 0.83459        . (4.40)  P h(O2) x = 0.71229 y = 0.78317       

Αυτοί οι δύο απόγονοι θα αντικαταστήσουν τους γενότυπους των γονέων τους και πλέον το σύνολο των φαινότυπων θα αποτελεί μια νέα γενιά. Η διαδικασία εκκινεί ξανά για τη νέα γενιά στην οποία θα υπάρξει εκ νέου ταξινόμηση βάση προσαρμοστικότητας και ξανά μια τυχαία επιλογή φαινότυπων για τη διαδικασία της αναπαραγωγής. Αξίζει να σημειωθεί ότι οι διεργασίες διασταύρωσης και μετάλλαξης πραγματοποιο- ύνται κατά τυχαίο τρόπο σύμφωνα με ένα κριτήριο πιθανοτήτων, για παράδειγμα, η τυχαία επιλογή ενός αριθμού R ∈ [0, 1] και η πραγματοποίηση των διεργασιών εάν ο αριθμός είναι μικρότερος από ένα λόγο πιθανοτήτων p. Η τυχαιότητα των διεργασιών και η ύπαρξη μεγάλου αριθμού φαινότυπων εξασφαλίζει τη μη γραμμικότητα των νέων γενιών με των προηγούμενων καθώς και την ολική 4.4 Μέθοδοι προσδιορισμού ολικού ελαχίστου και αβεβαιοτήτων 145

εξερεύνηση του χώρου των παραμέτρων, με αποτέλεσμα την εύρεση του ολικού ελαχίστου. Συνεπώς, η σύγκλιση του αλγόριθμου στο ολικό ελάχιστο εξαρτάται από τον αριθμό των επαναλήψεων (γενεών) αλλά κυρίως από το πλήθος των φαινότυπων, δηλαδή, των δοκιμαστικών λύσεων. Η χρήση γενετικών αλγόριθμων σε προβλήματα βελτιστοποίησης αποτελεί την πιο σίγουρη μέθοδο για τον προσδιορισμό της περιοχής ολικού ελαχίστου της συνάρτησης ελαχιστοποίησης. Ωστόσο, δεν είναι ικανή να προσδιορίσει με ακρίβεια τις τιμές των παραμέτρων της ολικής λύσης. Επομένως, η καλύτερη τακτική επίλυσης ενός προβλήματος βελτιστοποίησης είναι αρχικά ο προσδιορισμός της περιοχής ολικού ελαχίστου με χρήση γενετικού αλ- γόριθμου, στη συνέχεια ο ακριβής προσδιορισμός των τιμών των παραμέτρων με τις μεθόδους Nelder-Mead Downhill Simplex και Levenberg-Marquardt και τέλος ο προσδιοριδμός των αβεβαιοτήτων με κάποια τεχνική Monte Carlo (Bootstrap ή M-H MCMC). Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 4 146

Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 4

P. Charbonneau. Genetic Algorithms in Astronomy and Astrophysics. Astrophys- ical Journal Supplement Series, 101:309, 1995.

P. Charbonneau. Release Notes for PIKAIA 1.2. NCAR Technical Note 451+STR (Boulder: National Center for Atmospheric Research), 2002.

S. Chib and E. Greenberg. Understanding the Metropolis-Hastings Algorithm. The American Statistician, 49(4):327–335, 1995. ISSN 00031305.

P.-E. Christopoulou and A. Papageorgiou. An Extensive Analysis of the Triple W UMa Type Binary FI Boo. Astronomical Journal, 146:157, December 2013.

M. K. Cowles and B. P. Carlin. Markov Chain Monte Carlo Convergence Diagnostics: A Comparative Review. Journal of the American Statistical Association, 91(434):883–904, 1996. ISSN 01621459.

C. Darwin. On the Origin of Species by Means of Natural Selection. Murray, London, 1859.

S. Deb and H. P. Singh. Physical parameters of 62 eclipsing binary stars using the All Sky Automated Survey-3 data - I. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 412:1787–1803, April 2011.

G. Djurasevic. An analysis of active close binaries (CB) based on photometric measurements. III - The inverse-problem method: an interpretation of CB light curves. Astrophysics and Space Science, 197:17–34, November 1992. doi: 10. 1007/BF00645069.

B. Efron. Bootstrap Methods: Another Look at the Jackknife. Ann. Statist., 7(1): 1–26, 1979.

E. B. Ford. Quantifying the Uncertainty in the Orbits of Extrasolar Planets. Astronomical Journal, 129:1706–1717, March 2005.

E. B. Ford. Improving the Efficiency of Markov Chain Monte Carlo for Analyzing the Orbits of Extrasolar Planets. Astrophysical Journal, 642:505–522, May 2006. doi: 10.1086/500802.

P. E. Frandsen, K. Jonasson, H.B. Nielsen, and O. Tingleff. Unconstrained Optimization, 3rd edition. Informatics and Mathematical Modelling, Technical University of Denmark, DTU, 2004. Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 4 147

F. Gao and L. Han. Implementing the Nelder-Mead Simplex Algorithm with Adaptive Parameters. Comput. Optim. Appl., 51(1):259–277, 2012. ISSN 0926- 6003.

A. Gelman, J.B. Carlin, H.S. Stern, D.B. Dunson, A. Vehtari, and D.B. Rubin. Bayesian Data Analysis. Chapman & Hall/CRC Texts in Statistical Science. Taylor & Francis, 2013. ISBN 9781439840955.

W.R. Gilks, S. Richardson, and D. Spiegelhalter. Markov Chain Monte Carlo in Practice. Chapman & Hall/CRC Interdisciplinary Statistics. Taylor & Francis, 1995. ISBN 9780412055515.

D. E. Goldberg. Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. Addison-Wesley, 1989.

W. K. Hastings. Monte Carlo Sampling Methods Using Markov Chains and Their Applications. Biometrika, 57(1):97–109, 1970. ISSN 00063444.

G. Hill. Description of an Eclipsing Binary Light Curve Computer Code with Application to Y-Sextus and the W-Ursae Code of Rucinski. Publications of the Dominion Astrophysical Observatory Victoria, 15:297, 1979.

J. H. Holland. Adaptation in Natural and Artificial Systems. University of Michigan Press, 1975.

J. Kallrath. Gradient free determination of eclipsing binary light curve parameters - derivation of spot parameters using the simplex algorithm. IAU Commission on Close Binary Stars, 21:39–51, 1993.

J. Kallrath and A. P. Linnell. A new method to optimize parameters in solutions of eclipsing binary light curves. Astrophysical Journal, 313:346–357, February 1987. doi: 10.1086/164971.

J. Kallrath and F. E. Milone. Eclipsing Binary Stars: Modeling and Analysis. Springer, 2009.

J. Kallrath, E. F. Milone, D. Terrell, and A. T. Young. Recent Improvements to a Version of the Wilson-Devinney Program. Astrophysical Journal, 508:308–313, November 1998. doi: 10.1086/306375.

Z. Kopal, editor. An Application of the Method of Least Squares to the Adjustment of Photometric Elements of Eclipsing Binaries, volume 86 of Proceedings of the American Philosophical Society, 1943. American Philosophical Society. Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 4 148

K. Levenberg. A method for the solution of certain problems in least squares. Quarterly of Applied Mathematics, 2(2):164–168, 1944.

F.A. Lootsma. Numerical Methods for Non-linear Optimization. Academic Press, 1972. ISBN 9780124556508.

K. Madsen, H.B. Nielsen, and O. Tingleff. Methods for Non-Linear Least Squares Problems, 2nd edition. Informatics and Mathematical Modelling, Technical University of Denmark, 2004.

D. W. Marquardt. An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters. SIAM Journal on Applied Mathematics, 11(2):431–441, 1963. doi: 10.1137/0111030.

N. Metropolis and S. Ulam. The Monte Carlo Method. Journal of the American Statistical Association, 44(247):335–341, 1949. ISSN 01621459.

N. Metropolis, A.W. Rosenbluth, Marshall R.N., Augusta T.H., and E. Teller. Equation of State Calculations by Fast Computing Machines. The Journal of Chemical Physics, 21(6):1087–1092, 1953.

W. Murray. Numerical Methods for Unconstrained Optimization. Academic Press, 1972.

J. A. Nelder and R. Mead. A Simplex Method for Function Minimization. The Computer Journal, 7(4):308–313, 1965.

M. E. J. Newman and G. T. Barkema. Monte Carlo methods in statistical physics. Clarendon Press, Oxford, 1999.

A. Papageorgiou. Observational study and modeling of close eclipsing binary stars of W UMa type. PhD thesis, University of Patras, Department of Physics, 2015. URL http://hdl.handle.net/10889/8794.

A. Papageorgiou, P.-E. Christopoulou, T. Pribulla, and M. Vaňko. Refined investigation of the low-amplitude contact binary V1003 Her. Astrophysics and Space Science, 357:59, May 2015.

J.M. Parkinson and D. Hutchinson. An investigation into the efficiency of variants on the simplex method. In F.A. Lootsma, editor, Numerical Methods for Nonlinear Optimization, pages 115–135. Academic Press, 1972. Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 4 149

W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, and B. P. Flannery. Numerical Recipes in FORTRAN; The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, New York, NY, USA, 2nd edition, 1993. ISBN 0521437164.

W.H. Press. Numerical Recipes 3rd Edition: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, 2007. ISBN 9780521880688.

D. D. Proctor and A. P. Linnell. Computer Solution of Eclipsing Binary Light Curves by the Method of Differential Corrections. Astrophysical Journal Supplement Series, 24:449, October 1972. doi: 10.1086/190261.

A. Prša and T. Zwitter. A Computational Guide to Physics of Eclipsing Binaries. I. Demonstrations and Perspectives. Astrophysical Journal, 628:426–438, July 2005. doi: 10.1086/430591.

C. P. Robert. The Metropolis-Hastings algorithm. ArXiv e-prints, April 2015.

C. P. Robert and G. Casella. Monte Carlo Statistical Methods (Springer Texts in Statistics). Springer-Verlag New York, Inc., 2005. ISBN 0387212396.

W. Spendley, G. R. Hext, and F. R. Himsworth. Sequential application of simplex designs in optimisation and evolutionary operation. Technometrics, 4(4):441– 461, November 1962.

L. Tierney. Markov Chains for Exploring Posterior Distributions. Ann. Statist., 22(4):1701–1728, 1994.

R. E. Wilson. Computation Methods and Organization for Close Binary Observ- ables. In K.-C. Leung and I.-S. Nha, editors, New Frontiers in Binary Star Research, volume 38 of Astronomical Society of the Pacific Conference Series, page 91, January 1993.

R. E. Wilson and P. Biermann. TX CANCRI - Which component is hotter. Astronomy and Astrophysics, 48:349–357, May 1976.

R. E. Wilson and E. J. Devinney. Realization of Accurate Close-Binary Light Curves: Application to MR Cygni. Astrophysical Journal, 166:605, June 1971. doi: 10.1086/150986.

A. B. Wyse and G. E. Kron. An application of the method of least squares to the determination of the photometric elements of eclipsing binaries. Lick Observatory Bulletin, 19:17–31, 1939. doi: 10.5479/ADS/bib/1939LicOB.19.17W. Κεφάλαιο 5 150

Κεφάλαιο 5: Ανάλυση και μελέτη μεταβολής περιόδου διπλών εκλειπτικών συστημάτων

Στο παρόν κεφάλαιο θα μελετηθεί η μεταβολή της περιόδου ορισμένων διπλών εκλει- πτικών συστημάτων μέσω της ανάλυσης των διαγραμμάτων O-C, εφαρμόζοντας τις τεχνικές ελαχίστων τετραγώνων που παρουσιάστηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο. Η υλοποίηση των μεθόδων ελαχιστοποίησης της συνάρτησης (4.1) για την περίπτωση τρίτου σώματος (LITE) ή/και τη μεταφορά μάζας έγινε σε γλώσσα προγραμματισμού Python από τον Papageorgiou (2015). Συνοψίζοντας τα συμπεράσματα από τη μελέτη των τεχνικών ελαχιστοποίησης, οι τακτικές που μπορούν να ακολουθηθούν για την εύρεση της πραγματικής λύσης της εξίσωσης (4.1), δηλαδή, την εύρεση του ολικού ελαχίστου, είναι:

• προσδιορισμός της περιοχής ολικού ελαχίστου μέσω γενετικού αλγόριθμου, ακριβής υπολογισμός των παραμέτρων μέσω των μεθόδων Nelder-Mead Down- hill Simplex και Levenberg-Marquardt και ακριβής προσδιορισμός των αβε- βαιοτήτων μέσω κάποιας εκ των μεθόδων Monte Carlo (Bootstrap ή M-H MCMC).

• εύρεση λύσης μέσω των μεθόδων Nelder-Mead Downhill Simplex και Levenberg- Marquardt, επιβεβαίωση της ολικότητας μέσω Heuristic Scanning with Pa- rameter Kicking (perturbation) και ακριβής προσδιορισμός των αβεβαιοτήτων μέσω κάποιας εκ των μεθόδων Monte Carlo (Bootstrap ή M-H MCMC).

5.1 Το αποχωρισμένο σύστημα NSVS 14256825 ως υ- ποψήφιο για την ύπαρξη τρίτου σώματος (LITE)

5.1.1 Το προφίλ του αστέρα

Το διπλό αποχωρισμένο σύστημα NSVS 14256825 ανήκει στην κατηγορία των εκλει- πτικών συστημάτων που βρίσκονται στη μεταγενέστερη φάση του κοινού περιβλήμα- τος [post common envelope binary (PCEB) Paczynski (1976), Han et al. (2003)]. Ανακαλύφθηκε μέσω του Northern Sky Variability Survey (NSVS) (Woźniak et al., 2004), ενώ οι Wils et al. (2007) ανίχνευσαν μεταβολή της φωτεινότητάς του μεταξύ 13.22-14.03 mag (V). Η φασματοσκοπική μελέτη του συστήματος (Almeida et al., 2012) το κατηγοριο- ποίησε ως τύπου HW Vir (sdOB+dM), δηλαδή, αποτελούμενο από ένα υπονάνο (subdwarf) φασματικού τύπου OB και ένα καφέ νάνο συνοδό φασματικού τύπου M. 5.1 Το αποχωρισμένο σύστημα NSVS 14256825 ως υποψήφιο για την ύπαρξη τρίτου σώματος (LITE) 151

Οι φωτομετρικές και φασματοσκοπικές παρατηρήσεις του συστήματος οδήγησαν στην εξαγωγή των εξής φυσικών και γεωμετρικών παραμέτρων: i = 82.5o ± 0.3o, α =

0.80 ± 0.04 R , R1 = 0.188 ± 0.010 R , R2 = 0.162 ± 0.008 R , M1 = 0.419 ±

0.070 M και M2 = 0.109 ± 0.023 M (Almeida et al., 2012). Οι χρόνοι ελαχίστου φωτός (κύριες και δευτερεύουσες εκλείψεις) έχουν καταγραφεί για το αντικείμενο από τους Wils et al. (2007), Kilkenny and Koen (2012), Beuer- mann et al. (2012), Almeida et al. (2013), Lohr et al. (2014), Nasiroglu et al. (2017) και καλύπτουν 153 εκλείψεις σε ένα χρονικό διάστημα 17 ετών (1999-2016). Η ανάλυση του διαγράμματος O-C από τους Beuermann et al. (2012) είχε ως

αποτέλεσμα την πρόταση για ύπαρξη ενός συνοδού πλανήτη με μάζα ∼ 12MJup. και περίοδο ∼ 20yrs, ενώ η συλλογή επιπλέον χρόνων ελαχίστου από τους Almeida et al. (2013) οδήγησε τους τελευταίους στην υπόθεση περί ύπαρξης δύο συνοδών πλανητών

με μάζες ∼ 8MJup., ∼ 3MJup. και περιόδους ∼ 6.9yrs, ∼ 3.5yrs αντίστοιχα. Ωστόσο, η δυναμική ανάλυση του συστήματος από τους Wittenmyer et al. (2013) έδειξε ότι το μοντέλο των δύο συνοδών είναι εξαιρετικά ασταθές για χρονική κλίμακα λιγότερη των χιλίων ετών. Επιπλέον, η εκτενής ανάλυση της τοπολογίας του παραμετρικού χώρου της συ- νάρτησης ελαχιστοποίησης χ2 για το μοντέλο του ενός συνοδού από τους Hinse et al. (2014), είχε ως αποτέλεσμα την εύρεση δύο διαφορετικών τοπικών ελαχίστων και το συμπέρασμα αναγκαιότητας περισσότερων χρόνων ελαχίστου φωτός για τον περιορισμό των παραμέτρων. Η συνεισφορά των Nasiroglu et al. (2017) με 83 επιπλέον χρόνους ελαχίστου φωτός επέκτεινε το χρονικό εύρος του διαγράμματος O-C στα 18 χρόνια (1999-2016) με αποτέλεσμα η ανάλυσή τους να καταλήξει σε μία λύση LITE με περίοδο τρίτου σώμα-

τος ∼ 10yrs και μάζα ∼ 15MJup., ενώ τα υπόλοιπα του διαγράμματος αποκλείουν την ύπαρξη δεύτερου συνοδού. Ακόμη, οι ίδιοι μελέτησαν το ενδεχόμενο ύπαρξης του φαινομένου Applegate και κατέληξαν στο ότι τα ενεργειακά αποθέματα του μαγνητικά ενεργού μέλους δεν επαρκούν για την παρατηρούμενη μεταβολή κυκλικής περιόδου. Σκοπός της παρούσας μελέτης είναι η επικαιροποίηση του διαγράμματος O-C και η ανάλυσή του για την εξαγωγή συμπερασματών σχετικά με την ύπαρξη του φαινομένου LITE ή του μηχανισμού Applegate. Από το Αστεροσκοπείο Μυθωδία περιλαμβάνο- νται δύο χρόνοι ελαχίστου από παρατηρήσεις που πραγματοποιήθηκαν κατά το έτος 2017 (Manthopoulou, Senior thesis, 2016). 5.1 Το αποχωρισμένο σύστημα NSVS 14256825 ως υποψήφιο για την ύπαρξη τρίτου σώματος (LITE) 152

5.1.2 Ανάλυση του διαγράμματος O-C

Η κατασκευή του διαγράμματος O-C βασίστηκε στη γραμμική εφημερίδα των Beuer- mann et al. (2012)

C = 2454274.208923(4) + 0.1103741324(3) · E (BJD) (5.1)

και στους χρόνους ελαχίστου που συλλέχθηκαν από τη βιβλιογραφία και τις παρα- τηρήσεις που πραγματοποιήθηκαν στο αστεροσκοπείο Μυθωδία του Πανεπιστημίου Πατρών (Πίνακας 6.1, Παράρτημα). Στο σχήμα 5.1αʹ απεικονίζεται το διαγράμμα O-C του συστήματος έχοντας συμπε- ριλάβει όλους τους διαθέσιμους χρόνους ελαχίστου φωτός και όπως είναι εμφανές τα σημεία με κόκκινο χρώμα χαρακτηρίζονται από μεγάλα παρατηρησιακά σφάλματα, έτσι ώστε να μην αποτελούν αξιόπιστη πηγή πληροφορίας. Το γεγονός αυτό κατέστησε αδύνατη την εύρεση λύσης εξαιτίας του μεγάλου θο- ρύβου και για αυτό το λόγο η ανάλυση της μεταβολής της περιόδου στηρίχτηκε στο διάγραμμα του σχήματος 5.1βʹ, όπου έχουν αφαιρεθεί τα έξι αυτά σημεία που αντιστοιχούν στους κύκλους -26586.0, -12390.0, -5931.0, 316.0, 1018.0, 3737.0 (Πίνακας 6.1, Παράρτημα).

(αʹ) Διάγραμμα O-C αποτελούμενο από τους συνολικά 157 διαθέσιμους χρόνους ελαχίστου φωτός. Με κόκκινο χρώμα αντιστοιχούν οι έξι χρόνοι (βλ. κείμενο) με πολύ μεγάλα σφάλματα και οι οποίοι δεν αποτελούν αξιόπιστη πηγή πληροφορίας για την μελέτη της μεταβολής περιόδου.

Σχήμα 5.1: Διάγραμμα O-C του NSVS 14256825. 5.1 Το αποχωρισμένο σύστημα NSVS 14256825 ως υποψήφιο για την ύπαρξη τρίτου σώματος (LITE) 153

(βʹ) Διάγραμμα O-C αποτελούμενο από τους αξιόπιστους χρόνους ελαχίστου σύμφωνα με το εύρος των σφαλμάτων τους. Η μελέτη και η ανάλυση της μεταβολής περιόδου του συστήματος στηρίχτηκε σε αυτό το διάγραμμα των 151 χρόνων ελαχίστου, καλύπτοντας ένα χρονικό εύρος 11 ετών (2007-2017).

Σχήμα 5.1: Διάγραμμα O-C του NSVS 14256825.

Ορίζοντας μια αρχική λύση που να περιγράφει όσο το δυνατόν καλύτερα την εικόνα του διαγράμματος 5.1βʹ, εκκινήθηκε η διαδικασία εύρεσης ελαχίστου της συνάρτησης ελαχιστοποίησης (4.1) για την περίπτωση της γραμμικής εφημερίδας 5.1. Στη συνάρ- τηση ελαχιστοποίησης ελήφθη υπόψιν μόνο ο παράγοντας LITE καθώς το σύστημα είναι αποχωρισμένο και δεν είναι δυνατό να χαρακτηρίζεται από μεταφορά μάζας. Αρχικά προσεγγίστηκε το ελάχιστο μέσω της μεθόδου Nelder-Mead Downhill Sim- plex και εν συνεχεία με τη μέθοδο Levenberg-Marquardt, ώστε να υπολογιστούν και οι αβεβαιότητες των παραμέτρων μέσω του πίνακα συνδιακύμανσης. Τα αποτελέσματα των μεθόδων δίνονται στον πίνακα 5.1. Εν συνεχεία είναι απαραίτητη η επιβεβαίωση της ολικότητας του ελαχίστου μέσω των μεθόδων Heuristic Scanning και Parameter Kicking, σκιαγραφόντας παράλληλα τον παραμετρικό χώρο, όπως ακριβώς περιγράφηκε στην υποενότητα 4.4.1. Η σάρωση στο χώρο των παραμέτρων εφαρμόστηκε αρχικά για 500 επαναλήψεις

με διαταραχή των παραμέτρων e3, A, ω3 κατά 5% της τιμής τους στο τέλος κάθε επανάληψης και προσαρμόζοντας όλες (επτά) τις παραμέτρους της συνάρτησης ε- λαχιστοποίησης. Εν συνεχεία ο χώρος σαρώθηκε ξανά από τις τελικές τιμές της

πρροηγούμενης σάρωσης και διαταράσσοντας την τιμή της P3 κατά 5% για 500 επαναλήψεις. 5.1 Το αποχωρισμένο σύστημα NSVS 14256825 ως υποψήφιο για την ύπαρξη τρίτου σώματος (LITE) 154

Τα αποτελέσματα της σάρωσης στο χώρο των λύσεων συνοδευόμενης από διαταραχή στις παραμέτρους δίνονται στον πίνακα 5.2 και τα οποία εξάγονται από τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση του ιστογράμματος κατανομής (Σχήμα 5.2) κάθε παραμέτρου.

Πίνακας 5.1: Παράμετροι LITE για το σύστημα NSVS 14256825 από τις μεθόδους Nelder-Mead Downhill Simplex και Levenberg-Marquardt. Τα επί τοις % ποσοστά αναφέρονται στο σφάλμα της παραμέτρου σχετικά με την τιμή της. Parameter Value Error

e3 0.153314 ±0.026434 (17.24%) A (days) 0.000551 ±0.000001 (1.93%) ω3 (rad) 3.221586 ±0.209300 (6.50%) P3 (years) 9.68 ±0.34 (3.54%) T3 (BJD) 2456501.1348 ±101.7892 (0.18%) −9 Pbin. (days) 0.11037416 ±1.79 × 10 (0.00%) T0 (BJD) 2454274.2085 ±0.0000258 (0.00%)

Πίνακας 5.2: Αποτελέσματα της σάρωσης στο χώρο των λύσεων (heuristic scanning) με διαταραχή των παραμέτρων (parameter kicking) e3, A, ω3,P3 κατά 5% της τιμής τους. Parameter Value Error

e3 0.153330 ±0.000002 A (days) 0.00055145 ±0.77 × 10−9 ω3 (rad) 3.22156 ±0.00002 P3 (years) 9.67919 ±0.00002 T3 (BJD) 2456501.1221 ±0.0103 −13 Pbin. (days) 0.11037416 ±4.28 × 10 T0 (BJD) 2454274.2085 ±0.00

Σχήμα 5.2: Ιστογράμματα κατανομών των τροχιακών παραμέτρων (e3, A, ω3,P3) του τρίτου σώματος για το σύστημα NSVS 14256825 ως αποτέλεσμα της σάρωσης στο χώρο των λύσεων με διαταραχή στις παραμέτρους. 5.1 Το αποχωρισμένο σύστημα NSVS 14256825 ως υποψήφιο για την ύπαρξη τρίτου σώματος (LITE) 155

Η σκιαγράφηση του χώρου των παραμέτρων μπορεί να αποτυπωθεί και σε διδιάσταστα ιστογράμματα (density plots) κάθε παραμέτρου, είτε συναρτήσει της ανηγμένης τιμής της συνάρτησης ελαχιστοποίησης (reduced χ2) είτε συναρτήσει άλλης παραμέτρου. Τα διαγράμματα στο σχήμα 5.3 αντιστοιχούν σε τομές του χώρου των παραμέτρων με τη χρωματική διαβάθμιση να υποδηλώνει το διαφορετικό πλήθος καταμετρήσεων. Επομένως, τα σημεία με το εντονότερο λευκό χρώμα αντιστοιχούν στη λύση του προ- βλήματος, δηλαδή, στις τιμές των παραμέτρων με τη χαμηλότερη τιμή της συνάρτησης ελαχιστοποίησης.

Σχήμα 5.3: Διδιάστατα ιστογράμματα (density plots) των παραμέτρων του τρίτου σώματος ως αποτέλεσμα της σάρωσης στο χώρο των λύσεων με διαταραχή στις παραμέτρους. Η χρωματική διαβάθμιση υποδηλώνει το διαφορετικό πλήθος καταμετρήσεων με το εντονότερο λευκό χρώμα να αντιστοιχεί στο μέγιστο πλήθος και άρα στην πραγματική λύση. Οι τομές που απεικονίζονται αντιστοιχούν στα ζεύγη 2 (P3, χν), (e3,P3), (ω3,P3), (e3, ω3). 5.1 Το αποχωρισμένο σύστημα NSVS 14256825 ως υποψήφιο για την ύπαρξη τρίτου σώματος (LITE) 156

Οι τιμές των παραμέτρων που προέκυψαν από τη μέθοδο σάρωσης στο χώρο των λύσεων με διαταραχή των παραμέτρων μπορούν να θεωρηθούν ότι αντιστοιχούν σε ολικό ελάχιστο, καθώς η διαταραχή της τάξης του 5% είχε ως αποτέλεσμα την ακρίβεια μέχρι και το πέμπτο δεκαδικό ψηφίο κατά τη διάρκεια των επαναλήψεων, αλλά και σε σχέση με τα αποτελέσματα των μεθόδων Nelder-Mead Downhill Simplex και Levenberg-Marquardt. Η συνθετική καμπύλη με βάση τις τιμές του πίνακα 5.2 απεικονίζεται στο σχήμα 5.4 μαζί με τα παρατηρησιακά δεδομένα και τα υπόλοιπα από τη διαφορά τους.

0000 0000

0000

00000 00000

0000 00000

0000

-C (days) -C (days) -C 000000 0000

0000 00000

0000

00000 000

0 000 0000 000 0000 000 0000 0 000 0000 000 0000 000 0000

Σχήμα 5.4: Προσαρμογή συνθετικής καμπύλης στα παρατηρησιακά δεδομένα του διαγράμματος O-C και τα υπόλοιπα της διαφοράς τους για το διπλό σύστημα NSVS 14256825, όπως προέκυψε από τη μελέτη μεταβολής της περιόδου μέσω της μεθόδου σάρωσης στο χώρο των λύσεων με διαταραχή των παραμέτρων.

Τα σφάλματα των τιμών που προέκυψαν από τη σάρωση στο χώρο των παραμέτρων είναι εμφανώς υπερεκτιμημένα (Πίνακας 5.2) και για την αντικειμενική εκτίμησή τους χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος M-H MCMC, τα αποτελέσματα της οποίας δίνονται στον πίνακα 5.3. Η σύγκλιση της Μαρκοβιανής αλυσίδας στη μεταγενέστερη κατανομή στόχο (poste- rior target distribution) ελέγθηκε μέσω διαγραμμάτων ίχνους και αυτοσυσχέτισης των δειγμάτων κάθε μεταβλητής. Ενδεικτικά παρατίθενται στο σχήμα 5.5 ορισμένα διαγράμματα ανίχνευσης σύγκλισης μαζί με τις μεταγενέστερες κατανομές για τις

παραμέτρους ω3, e3,P3,A. 5.1 Το αποχωρισμένο σύστημα NSVS 14256825 ως υποψήφιο για την ύπαρξη τρίτου σώματος (LITE) 157

Πίνακας 5.3: Αποτελέσματα της μεθόδου M-H MCMC για την εκτίμηση των αβεβαιοτήτων των παραμέτρων του τρίτου σώματος για το σύστημα NSVS 14256825. Παρατίθενται συγκριτικά και τα αποτελέσματα των Nasiroglu et al. (2017) από την εφαρμογή αντίστοιχης μεθόδου MCMC.

Παρούσα εργασία Nasiroglu et al. (2017) Parameter Value Error Value Error

e3 0.166 ±0.020 0.175 (+0.012, -0.003) A (days) 0.000532 ±0.000016 0.000566 (+0.000018, -0.000014) ω3 (rad) 3.23 ±0.01 1.57 (+0.27, -0.22) P3 (years) 9.7 ±0.1 9.95 (+0.46, -0.36) T3 (BJD) 2456501.12 ±0.01 2457938.5 (+246.5, -161.8) −9 −9 −9 Pbin. (days) 0.11037416 ±1 × 10 0.110374099 (+2 × 10 , −3 × 10 −5 T0 (BJD) 2454274.207 ±0.002 2455793.840051 ±2 × 10

Σχήμα 5.5: Διαγράμματα ίχνους και αυτοσυσχέτισης για τις παραμέτρους ω3, e3,P3,A μαζί με τις μεταγενέστερες κατανομές στις οποίες συνέκλινε η Μαρ- κοβιανή αλυσίδα κατά την εκτέλεση της μεθόδου M-H MCMC.

Για την εκτέλεση του αλγόριθμου M-H MCMC ορίστηκαν 1200000 επαναλήψεις και μία δοκιμαστική περίοδος (burnin) στην οποία αγνοήθηκαν τα πρώτα 20000 δείγματα, προκειμένου να αποφευχθούν οι συσχετίσεις των αρχικών τιμών των δειγμάτων με την εκτίμηση της μεταγενέστερης κατανομής. 5.1 Το αποχωρισμένο σύστημα NSVS 14256825 ως υποψήφιο για την ύπαρξη τρίτου σώματος (LITE) 158

Επιπλέον, για τη διευκόλυνση της σύγκλισης και την ελλάτωση του φαινομένου της σειριακής (αυτο)συσχέτισης των δειγμάτων κάθε παραμέτρου, επιλέχθηκε η λέπτυνση ( thinning) (Owen, 2015) της Μαρκοβιανής αλυσίδας κρατώντας μόνο τα δείγματα κάθε 50ης επανάληψης. Με αυτό τον τρόπο η διαδικασία της σύγκλισης επιταχύνεται καθώς για την εκτίμηση της μεταγενέστερης κατανομής χρησιμοποιούνται μόνο τα δείγματα κάθε 50ης επα- νάληψης, ενώ σε αντίθετη περίπτωση η αλυσίδα θα χρειαζόταν περισσότερο χρόνο για τη διέλευσή της μέσα στον παραμετρικό χώρο χρησιμοποιώντας όλα τα ισχυρώς συσχετιζόμενα δείγματα. Στην περίπτωση ισχυρά συσχετιζόμενων δειγμάτων είναι πιθανό να επηρεαστεί η αντικειμενικότητα-ανεξαρτησία των εκτιμώμενων σφαλμάτων, εάν και αρκετοί επι- στήμονες ισχυρίζονται το αντίθετο (Gilks et al. (1995), Owen (2015)). Από το σχήμα 5.5 είναι εμφανές ότι η σύγκλιση της αλυσίδας έχει επιτευχθεί στη στατική μεταγενέστερη κατανομή, καθώς η μίξη της αλυσίδας είναι ομοιόμορφη στα διαγράμματα ίχνους, ο βαθμός αυτοσυσχέτισης είναι σχεδόν μηδενικός και η τελική κατανομή έχει την αναμενόμενη κανονική μορφή. Οι μεταγενέστερες στατικές κατανομές κάθε παραμέτρου αλλά και οι διδιάστατες από κοινού κατανομές (joint distributions), εμφανίζονται στο σχήμα 5.6 συνοδευόμενες από τις μέσες τιμές και αβεβαιότητές τους. Η χρωματική διαβάθμιση των διαγραμμάτων πυκνότητας ισοδυναμεί με το πλήθος των καταμετρήσεων, έτσι ώστε οι σκοτεινότερες περιοχές να αντιστοιχούν στο μεγαλύτε- ρο πλήθος καταμετρήσεων και επομένως στην πραγματική λύση που χαρακτηρίζεται από τη μικρότερη τιμή συνάρτησης ελαχιστοποίησης. Οι καλά οριοθετημένες και σχηματισμένες τομές του ελαχίστου (σχήμα 5.6) επιβεβαι- ώνουν τη σύγκλιση στη μεταγενέστερη κατανομή κάθε παραμέτρου, ενώ αποτελούν παράλληλα και ένα δείγμα της ολικότητας ή έστω της μοναδικότητας του ελαχίστου για ένα εύρος περιοχής του παραμετρικού χώρου. Σε διαφορετική περίπτωση ύπαρξης αρκετών τοπικών ελαχίστων ή/και μη καλού πε- ριορισμού των παραμέτρων εξαιτίας θορυβωδών ή ελλιπούς πλήθους παρατηρησιακών δεδομένων, θα είχε ως αποτέλεσμα την επιμήκυνση του ελαχίστου και σε άλλες περιοχές του παραμετρικού χώρου υποδεικνύοντας με αυτό τον τρόπο την οδήγηση της λύσης και σε γειτονικό ελάχιστο. Για τον υπολογισμό της μάζας του τρίτου σώματος (σχέση 3.20) χρησιμοποιήθηκαν

οι αστρικές μάζες M1 = 0.419 M , M2 = 0.109 M για το πρωτεύον και δευτερεύον μέλος αντίστοιχα, σύμφωνα με τη φασματοσκοπική ανάλυση των Almeida et al. 5.1 Το αποχωρισμένο σύστημα NSVS 14256825 ως υποψήφιο για την ύπαρξη τρίτου σώματος (LITE) 159

(2012), και για συνεπίπεδη κλίση (i = 82.5o) με την εσωτερική τροχιά του διπλού συστήματος. Λαμβάνοντας υπόψιν τα παραπάνω η μάζα του τρίτου σώματος υπολογίστηκε στις

14.95 MJup. και ο μεγάλος ημιάξονας της τροχιάς του α3 ' 3.58 au, έτσι ώστε η

τροχιά του να θεωρηθεί σταθερή δεδομένου ότι αbin. = 0.80 au (Almeida et al.,

2012) και είναι δύο τάξεις μεγέθους μεγαλύτερη από το όριο σταθερότητας ' 0.2αbin.

(για ebin. ' 0, Holman and Wiegert (1999)).

Σχήμα 5.6: Μεταγενέστερες κατανομές και από κοινού πιθανότητες - διαγράμματα πυκνότητας (joint distributions - density plots)(Foreman-Mackey et al. 2014) για τις παραμέτρους της συνάρτησης ελαχιστοποίησης (4.1), ως αποτέλεσμα της μελέτης ύπαρξης του φαινομένου LITE στο διπλό σύστημα NSVS 14256825 με τη μέθοδο M-H MCMC. 5.1 Το αποχωρισμένο σύστημα NSVS 14256825 ως υποψήφιο για την ύπαρξη τρίτου σώματος (LITE) 160

Σύμφωνα με τους Hatzes and Rauer (2015) τα σώματα με μάζα μεταξύ 0.3MJup. <

M < 60MJup. κατατάσσονται στην κατηγορία αέριων γιγάντων πλανητών (giant gaseous planets), βασιζόμενοι στην εμπειρική σχέση πυκνότητας-μάζας που εξήγαγαν από ένα μεγάλο δείγμα καφέ νάνων, πλανητών και αστέρων. Ακολουθώντας τον ορισμό με τον οποίο ένα υπο-αστρικό αντικείμενο είναι πλανήτης γίγαντας όταν δεν χαρακτηρίζεται από καύση δευτερίου, τότε ο διαχωρισμός μεταξύ

πλανητών και καφέ νάνων οριοθετείται στις 13MJup. (Burrows et al., 2001). Ωστόσο, η διάκριση αυτή καταρρίπτεται από τα παρατηρησιακά δεδομένα που υπο-

δεικνύουν ένα όριο M ≈ 25 − 30 MJup. διαχωρισμού υπο-αστρικών σωμάτων και χαμηλής μάζας αστέρων (Udry (2010), Schneider et al. (2011)). Εάν και σε αυτό το όριο διακρίνονται κάποια διαφορετικά χαρακτηριστικά των σωμάτων με αντίστοιχες μάζες, ωστόσο, ο διαχωρισμός μεταξύ καφέ νάνων και πλανητών εξακολουθεί να μην είναι ευδιάκριτος (Hatzes and Rauer, 2015). Δεδομένου ότι το δευτερεύον μέλος του συστήματος είναι νάνος μεταγενέστερου φασματικού τύπου M και άρα μαγνητικά δραστήριο, ελέγχθηκε η δυνατότητα με- ταβολής της περιόδου μέσω του μηχανισμού Applegate. Για τον υπολογισμό των απαραίτητων ποσοτήτων για όλες τις προσεγγίσεις-μοντέλα Applegate (υποενότητα 3.4.3) υλοποιήθηκε υπολογιστικό πρόγραμμα σε γλώσσα Fortran.

Οι τιμές του ημιπλάτους A = 0.000532 days και της περιόδου Pmod = P3 = 9.7yrs του διαγράμματος O-C (Πίνακας 5.3) καθορίζουν τη σχετική μεταβολή της περιόδου σύμφωνα με το βασικό μοντέλο Applegate (σχέση 3.55)

∆P O − C = 2π ' 2 × 10−6 . Pbin Pmod

Υιοθετώντας τις απόλυτες παραμέτρους του δευτερεύοντος μέλους M2 = 0.109M ,

R2 = 0.162R , T2 = 2550K και μεγάλο ημιάξονα του διπλού συστήματος abin =

0.80R (Almeida et al., 2012) υπολογίστηκαν οι απαιτούμενες μεταβολές τετραπο- λικής ροπής (σχέση 3.35) και ενέργειας (σχέση 3.40) του αστέρα για την παρατηρού μενη μεταβολή της περιόδου

a2 M ∆P ∆Q = bin 2 = 1.42 × 1047g cm2 9 Pmod

(∆J)2 ∆E ' = 2.33 × 1040erg , (5.2) 2Ieff με την περιστροφή του εξωτερικού κελύφους να θεωρείται σύγχρονη με τον πυρήνα 2 του αστέρα (Ωdr = 0) και 2Ieff = Is = (2/3)0.1M2R2 (Applegate, 1992). 5.1 Το αποχωρισμένο σύστημα NSVS 14256825 ως υποψήφιο για την ύπαρξη τρίτου σώματος (LITE) 161

Η ενέργεια του δευτερεύοντος αστέρα υπολογίστηκε ως Esec = Pmod · Lsec = 1.17 × 1039erg (σχέση 3.57) και άρα το σχετικό ενεργειακό κατώφλι του μηχανισμού ισούται

με ∆E/Esec ' 20. Εάν και η ένταση του μαγνητικού πεδίου υπολογίστηκε σε B = 53087G (σχέση 3.45) και συμφωνεί με τη θεωρητικά προβλεπόμενη ένταση για μαγνητικά δραστήριο αστέρα,

όπως επίσης και η μεταβολή της φωτεινότητας ∆Lrms = 0.06L (Applegate, 1992), ωστόσο, υπολογίστηκε ότι χρειάζεται 20 φορές περισσότερη ενέργεια να παραχθεί από τον αστέρα προκειμένου να προκληθεί η παρατηρούμενη μεταβολή περιόδου. Επομένως, ο μηχανισμός Applegate δεν μπορεί να εξηγήσει την προκύπτουσα μετα- βολή ∆P = 1.8 sec στην περίοδο του μελετούμενου συστήματος. Στον πίνακα 5.4βʹ παρατίθενται οι ενεργειακές απαιτήσεις του μηχανισμού Applegate για όλες τις προσεγγίσεις [thin shell model (Applegate (1992), Tian et al. (2009)), constant density model (Brinkworth et al. (2006), Völschow et al. (2016)), two zone model (Völschow et al., 2016)] όπως αυτές περιγράφηκαν στην υποενότητα 3.4.3, ενώ στον πίνακα 5.4αʹ συγκεντρώνονται οι υπόλοιπες χαρακτηριστικές ποσότητες του μοντέλου Applegate.

Πίνακας 5.4: Σύνοψη αποτελεσμάτων από τη μελέτη του φαινομένου Applegate για το σύστημα NSVS 14256825.

(αʹ) Χαρακτηριστικές παράμετροι του δευτερεύο- ντος αστέρα για το βασικό μοντέλο Applegate (thin shell model, Applegate (1992) ). Parameter Value −6 ∆P/Pbin 1.89 × 10 ∆P 1.8 sec ∆Q 1.42 × 1047g cm2 39 Esec 1.17 × 10 erg ∆E/Esec (Ωdr = 0) 20 ∆E/Esec (Ωdr 6= 0) 40 ∆Lrms (Ωdr = 0) 0.06L ∆Lrms (Ωdr 6= 0) 0.1L

(βʹ) Σύγκριση των μεγεθών σχετικής απαιτούμενης ενέργειας για την παρατηρούμενη μεταβολή της περιόδου με βάση διαφορετικές προσεγγίσεις του μηχανισμού Applegate κατά σειρά αυξανόμενης ακρίβειας των μοντέλων.

Esec/erg ∆E/Esec (Ωdr = 0) ∆E/Esec ∆E/Esec ∆E/Esec Applegate (1992) Tian et al. (2009) Volschow et al. (2016) Volschow et al. (2016) Thin shell Thin shell Constant density Two zone model (εξ.5.2) model (εξ. 3.56) model (εξ.3.58) model (εξ.3.59) 1.17 × 1039 20 10.2 3828 197.5 5.1 Το αποχωρισμένο σύστημα NSVS 14256825 ως υποψήφιο για την ύπαρξη τρίτου σώματος (LITE) 162

Είναι εμφανές ότι τα μοντέλα διπλής ζώνης και σταθερής πυκνότητας κατανομής του δευτερεύοντος αστέρα, προϋποθέτουν μία και δύο τάξεις μεγέθους μεγαλύτερα ενεργειακά αποθέματα από τα διαθέσιμα προκειμένου να μεταβληθεί η περίοδος του συστήματος εξαιτίας της μαγνητικής δραστηριότητας.

5.1.3 Συμπεράσματα

Η συλλογή όλων των δημοσιευμένων χρόνων ελαχίστου φωτός για το διπλό σύστημα NSVS 14256825 και η επικαιροποίηση του διαγράμματος O-C με δύο επιπλέον σημεία από παρατηρήσεις του αστεροσκοπείου Μυθωδία, είχε ως αποτέλεσμα την κάλυψη σχεδόν ενός πλήρους κύκλου και τον περιορισμό των παραμέτρων του μοντέλου LITE. Ο περιορισμός των παραμέτρων, δηλαδή, ο καλός καθορισμός του ολικού ελαχίστου εξαιτίας των αρκετών παρατηρησιακών δεδομένων υψηλής ακρίβειας επιβεβαιώθηκε με χρήση των τεχνικών ελαχιστοποίησης Nelder-Mead downhill simplex, Levenberg- Marquardt, Heuristic scanning with parameter kicking και M-H MCMC. ΄Οσον αφορά την υπόθεση του τρίτου σώματος (LITE) οι παρατηρούμενες μεταβολές στο διάγραμμα O-C μπορούν να εξηγηθούν από την παρουσία ενός συνοδού με

ελάχιστη μάζα στο εύρος των γιγάντων αέριων πλανητών - καφέ νάνων (M3 ∼

15MJup.), σε τροχιά εκκεντρότητας e = 0.17 και με τροχιακή περίοδο P3 ∼ 10years γύρω από το κοινό βαρύκεντρο με το εκλειπτικό σύστημα. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης του διαγράμματος O-C σύμφωνα με το μοντέλο LITE δίνονται στον πίνακα 5.3, ενώ οι πολύ καλά καθορισμένες μεταγενέστερες μονοδιάστατες και από κοινού κατανομές (σχήμα 5.6) υποδεικνύουν τον πολύ καλό περιορισμό των παραμέτρων. Η τυχαία διασπορά και το πολύ μικρό πλάτος των υπολοίπων του διαγράμματος O-C (σχήμα 5.4) δεν υποδεικνύουν την ύπαρξη μιας δευτερεύουσας (secular) μεταβολής της περιόδου εξαιτίας κάποιου επιπλέον μηχανισμού, σε αντίθεση με προηγούμενες μελέτες που αδυνατούσαν να περιορίσουν τις παραμέτρους (Beuermann et al. (2012), Hinse et al. (2014) ) ή προέβλεπαν την ύπαρξη και δεύτερου συνοδού (Almeida et al. (2013) ) εξαιτίας ελλιπών δεδομένων και αυξημένου θορύβου. Τα αποτελέσματα της παρούσας μελέτης συμφωνούν με τα αντίστοιχα των Nasiroglu et al. (2017) των οποίων η ανάλυση υπέδειξε επίσης την ύπαρξη συνοδού με παρόμοιες παραμέτρους LITE. Επιπλέον, μελετήθηκε η περίπτωση της μεταβολής περιόδου εξαιτίας μαγνητικής δραστηριότητας του δευτερεύοντος μέλους (μηχανισμός Applegate) σύμφωνα με το βασικό μοντέλο λεπτού κελύφους (Applegate (1992), Lanza et al. (1998), Tian et al. 5.1 Το αποχωρισμένο σύστημα NSVS 14256825 ως υποψήφιο για την ύπαρξη τρίτου σώματος (LITE) 163

(2009)) και τις ακριβέστερες προσεγγίσεις του μοντέλου σταθερής πυκνότητας και διπλής ζώνης (Völschow et al., 2016). Η απαιτούμενη ελάχιστη ενέργεια για την επιβεβαίωση του μηχανισμού είναι τουλάχι- στον 10 φορές μεγαλύτερη από την παραγόμενη πυρηνική ενέργεια στο εσωτερικό του δευτερεύοντος αστέρα σύμφωνα με το μοντέλο λεπτού κελύφους και τουλάχιστον 200 φορές σύμφωνα με το ακριβέστερο μοντέλο διπλής ζώνης. Επομένως, ο μηχανισμός Applegate δεν μπορεί να θεωρηθεί ικανός να προκαλέσει τη μεταβολή της περιόδου

του συστήματος με μια περιοδικότητα Pmod = P3 ∼ 10yr και ημιπλάτος A ∼ 46sec. Ο μηχανισμός LITE, λοιπόν, είναι ο επικρατέστερος για την εξήγηση της μεταβολής της περιόδου του συστήματος NSVS 1425682, με την ύπαρξη του μεγάλης μάζας συνοδού σε σχετικά έκκεντρη τροχιά να μην αντιτίθεται στις θεωρίες σχηματισμού πλανητών γύρω από διπλά συστήματα. Ορισμένες από αυτές θα μπορούσαν να εξηγήσουν την ύπαρξη του συνοδού είτε και κατά τη διάρκεια της φάσης κοινού περιβλήματος (common envelope) του συστήματος (πλανήτης πρώτης γενιάς) είτε με την δημιουργία πρωτοπλανητικού δίσκου από εκτι- νασσόμενη μάζα κατά τη φάση υπερεπαφής (πλανήτης δεύτερης γενιάς) (Veras et al. (2011), Veras and Tout (2012), Portegies Zwart (2013), Zorotovic and Schreiber (2013), Völschow et al. (2014), Veras et al. (2017)). Ωστόσο, τα εξελικτικά σενάρια σε συνδυασμό με την ύπαρξη συνοδών στα PCEB’s εμφανίζουν σε αρκετές περιπτώσεις προβλήματα δυναμικής σταθερότητας του συ- στήματος (Hinse et al. (2012), Horner et al. (2012), Goździewski et al. (2015) ), εάν και υπαχουν και οι εξαιρέσεις (Beuermann et al. (2010), Völschow et al. (2014)). Κρίνεται αναγκαία, λοιπόν, και η δυναμική μελέτη του τριπλού συστήματος προκει- μένου να ελεγχθεί η σταθερότητά του. Καταλήγοντας, η υπόθεση του συνοδού (LITE) είναι η επικρατέστερη για την ε- ξήγηση της μεταβολής περιόδου του διπλού συστήματος, ενώ η συλλογή επιπλέον χρόνων ελαχίστου φωτός είναι ικανή να την ισχυροποιήσει, καθώς στα επόμενα 2-3 έτη αναμένεται η κάλυψη του εμφανιζόμενου ελαχίστου στο διάγραμμα O-C. 5.2 Η περίπτωση του αποχωρισμένου συστήματος NSVS 07826147 164

5.2 Η περίπτωση του αποχωρισμένου συστήματος NSVS 07826147

5.2.1 Το προφίλ του αστέρα

Το αποχωρισμένο σύστημα NSVS 07826147 ανήκει όπως και το NSVS 14256825 στην κατηγορία PCEB τύπου HW Vir, δηλαδή, ενός εκλειπτικού συστήματος με το

πρωτεύον μέλος να είναι ένας θερμός (Teff = 22000−40000K) υπονάνος φασματικού τύπου B (sdB) και το δευτερεύον μέλος ένας χαμηλής μάζας καφέ νάνος φασματικού τύπου (dM). Ο αστέρας ανακαλύφθηκε από τους Kelley and Shaw (2007) ως υποψήφιο διπλό sdB+dM και με σχετικά μεγάλη τροχιακή περίοδο 3.88 h για συστήματα τύπου HW Vir. Οι απόλυτες παράμετροι του συστήματος αποκτήθηκαν μέσω φασματοσκοπικής και φωτομετρικής μελέτης αρχικά από τους For et al. (2010), ενώ αργότερα βελ- τιώθηκαν με επιπλέον φωτομετρικές παρατηρήσεις από τους Lee et al. (2017). Οι

τιμές των μαζών και ακτίνων των μελών υπολογίστηκαν ως M1 = 0.442 ± 0.012M ,

M2 = 0.124 ± 0.005M , R1 = 0.172 ± 0.002R , R2 = 0.157 ± 0.002R , με τις

ενεργές θερμοκρασίες να αντιστοιχούν σε T1 = 29230 ± 500 K, T2 = 3089 ± 600 K. Επιπλέον χρόνοι ελαχίστου φωτός συλλέχθηκαν από τους Drake et al. (2010), Liying and Shengbang (2010), Backhaus et al. (2012), Lohr et al. (2014), καθώς και από τα ερευνητικά προγράμματα μελέτης εκλειπτικών συστημάτων και ανίχνευσης εξωπλανητών B.R.N.O.13 και DWARF14. Κατά τα έτη 2014 και 2017 συλλέχθηκαν έξι επί πλέον χρόνοι ελαχίστου για το αντικείμενο από το αστεροσκοπείο Μυθωδία του Πανεπιστημίου Πατρών και οι οποίοι συμπεριλαμβάνονται μαζί με όλους τους βιβλιογραφικούς στον πίνακα 6.2. Ο συνολικός αριθμός των χρόνων ελαχίστου που συγκεντρώθηκαν είναι 583, ωστόσο, για την ελάττωση του φαινομένου διασποράς των σημείων που συλλέχθηκαν από τους Lohr et al. (2014), εξαιτίας της σχετικά μικρής ακρίβειας του προγράμματος ανίχνευσης εξωπλανητών SuperWASP15, οι από μέρους τους 317 δημοσιευμένοι χρόνοι ελαχίστου συμπτύχθηκαν σε δέσμες (bins) των δύο εβδομάδων με τον τελικό αριθμό να μειώνεται στους 25. Το χρονικό έυρος που καλύπτεται στο διάγραμμα O-C αγγίζει τα 14 χρόνια (2004- 2017) και η μελέτη μεταβολής της περιόδου του συστήματος έχει γίνει κατά το παρελθόν από τους Backhaus et al. (2012), Lohr et al. (2014) και Lee et al. (2017), χωρίς να έχει παρατηρηθεί κάποια μεταβολή.

13http://var2.astro.cz/EN/brno/index.php 14http://astronomy.science.upjs.sk/projectdwarf/ 15http://www.superwasp.org/ 5.2 Η περίπτωση του αποχωρισμένου συστήματος NSVS 07826147 165

Οι Zhu et al. (2015), (2016) έχουν προτείνει μια κυκλική μεταβολή με περίοδο 7.5 ετών εξαιτίας ενός μικρής μάζας συνοδού χωρίς, όμως, να παρουσιάζουν κάποια εμπεριστατωμένη ανάλυση.

5.2.2 Ανάλυση του διαγράμματος O-C

Η κατασκευή του διαγράμματος O-C (Σχήμα 5.7) βασίστηκε στη γραμμική εφημερίδα των Lee et al. (2017)

C = 2456021.8529058(20) + 0.16177045211(32) · E (BJD) (5.3)

και στους χρόνους ελαχίστου που συλλέχθηκαν από τη βιβλιογραφία και τις παρα- τηρήσεις που πραγματοποιήθηκαν στο αστεροσκοπείο Μυθωδία του Πανεπιστημίου Πατρών (Πίνακας 6.2, Παράρτημα).

Σχήμα 5.7: Διάγραμμα O-C του αποχωρισμένου συστήματος NSVS 07826147 αποτελούμενο από τους 293 χρόνους ελαχίστου φωτός που συγκεντρώθηκαν από τη βιβλιογραφία και τις παρατηρήσεις στο αστεροσκοπείο Μυθωδία. Το χρονικό εύρος που καλύπτουν οι παρατηρήσεις αντιστοιχεί σε 14 έτη καλύπτοντας το διάστημα (2004-2017).

Η σχετικά μεγάλη διασπορά των σημείων του διαγράμματος O-C οφείλεται στην μικρή κλίμακα του κατακόρυφου άξονα και σε ορισμένα μεγάλα παρατηρησιακά σφάλματα κυρίως των προγραμμάτων ανίχνευσης εξωπλανητών SuperWASP, B.R.N.O. και Dwarf, εξαιτίας της μικρής σχετικά ακρίβειας που προσφέρει η ταυτόχρονη σάρωση μεγάλων τμημάτων του ουρανού. 5.2 Η περίπτωση του αποχωρισμένου συστήματος NSVS 07826147 166

Το γεγονός αυτό αναμένεται να παραμορφώσει αρκετά το χώρο των παραμέτρων με αρκετά τοπικά ελάχιστα καθιστώντας δύσκολο τον προσδιορισμό του ολικού ελα- χίστου, όπως εξηγήθηκε αναλυτικά στο κεφάλαιο 4. Η δυσκολία του εγχειρήματος επιβεβαιώθηκε κατά την εφαρμογή των μεθόδων Nelder- Mead Downhill Simplex (NMDS) και Levenberg-Marquardt (LM), καθώς για δια- φορετικές αρχικές συνθήκες η συνθετική καμπύλη μετά την ολοκλήρωση της διαδι- κασίας ελαχιστοποίησης ήταν διαφορετική σε ορισμένες περιπτώσεις. Η αδυναμία σύγκλισης της μεθόδου LM σε ορισμένες περιπτώσεις διαφορετικών αρχικών συνθηκών οδήγησε σε έναν αρχικό προσδιορισμό των παραμέτρων μέσω της μεθόδου M-H MCMC και ακολούθως εφαρμόστηκαν οι NMDS και LM. Στο σχήμα 5.8 δίνεται η συνθετική καμπύλη μετά την εφαρμογή των NMDS-LM μαζί με τα υπόλοιπα από τα παρατηρησιακά δεδομένα, η ομοιόμορφη διασπορά των οποίων γύρω από τον οριζόντιο άξονα δεν υποδηλώνει την ύπαρξη κάποιου επιπλέον φαινομένου μεταβολής της περιόδου. Η σταθερότητα της λύσης ελέγχθηκε μέσω της σάρωσης στο χώρο των λύσεων (HS) εφαρμόζοντας διαταραχή της τάξης του 5% στις αρχικές τιμές των παραμέτρων

e3, A, ω3,P3 για 1200 επαναλήψεις. Τα αποτελέσματα των NMDS-LM και HS δίνονται στους πίνακες 5.5 και 5.6 αντίστοι- χα.

− −

− − −

− − − − −

Σχήμα 5.8: Συνθετική καμπύλη των παραμέτρων LITE για το σύστημα NSVS 07826147 και τα υπόλοιπα από τα παρατηρησιακά δεδομένα του διαγράμματος O-C, μετά την εφαρμογή των μεθόδων ελαχιστοποίησης Nelder-Mead Downhill Simplex (NMDS) και Levenberg-Marquardt (LM). 5.2 Η περίπτωση του αποχωρισμένου συστήματος NSVS 07826147 167

Πίνακας 5.5: Παράμετροι LITE για το σύστημα NSVS 07826147 από τις μεθόδους Nelder-Mead Downhill Simplex και Levenberg-Marquardt. Τα επί τοις % ποσοστά αναφέρονται στο σφάλμα της παραμέτρου σχετικά με την τιμή της.

Parameter Value Error

e3 0.43466926 ±0.039821 (9.16%) A (days) 0.00029404 ±0.000006 (1.86%) ω3 (rad) 3.948238 ±0.061153 (1.55%) P3 (years) 31.53 ±0.35 (1.10%) T3 (BJD) 2446506.9946 ±13.919 (0.03%) −10 Pbin. (days) 0.16177047 ±4.55 × 10 (0.00%) T0 (BJD) 2456021.8531 ±0.000002 (0.00%)

Πίνακας 5.6: Αποτελέσματα της σάρωσης στο χώρο των λύσεων (heuristic scanning) με διαταραχή των παραμέτρων (parameter perturbation) e3, A, ω3,P3 κατά 5% για 1200 επαναλήψεις. Parameter Value Error −7 e3 0.43466899 ±5 × 10 A (days) 0.000294037655 ±5 × 10−11 −7 ω3 (rad) 3.9482384 ±5 × 10 −6 P3 (years) 31.533222 ±4 × 10 T3 (BJD) 2446506.9945841 ±0.001 Pbin. (days) 0.161770471965 ±0.0 −11 T0 (BJD) 2456021.853118 ±2 × 10

Οι τελικές τιμές των παραμέτρων προέκυψαν από τη μέση τιμή και τυπική απόκλιση ιστογραμμάτων στα οποία καταγράφηκαν οι καταμετρούμενες τιμές των παραμέτρων για το σύνολο των επαναλήψεων (σχήμα 5.9), ενώ η σκιαγράφηση του χώρου των λύσεων αποτυπώνεται ενδεικτικά στα διαγράμματα πυκνότητας του σχήματος 5.10. 5.2 Η περίπτωση του αποχωρισμένου συστήματος NSVS 07826147 168

Σχήμα 5.9: Ιστογράμματα κατανομών των τροχιακών παραμέτρων (e3, A, ω3,P3) του τρίτου σώματος για το σύστημα NSVS 07826145 ως αποτέλεσμα της σάρωσης στο χώρο των λύσεων με διαταραχή στις παραμέτρους.

Το γεγονός ότι οι κατανομές των καταμετρήσεων εμφανίζουν μέγιστες τιμές στα όρια των ιστογραμμάτων, δικαιολογείται από τις δύο γειτονικές περιοχές που εμφανίζονται στα διαγράμματα πυκνότητας. Δεδομένου ότι οι τιμές των παραμέτρων μεταβάλλονται από το έκτο δεκαδικό ψηφίο και ύστερα, είναι λογικό να υποτεθεί ότι οι δύο περιοχές αποτελούν γειτονικές εσωτερικές περιοχές του ίδιου ολικού ελαχίστου.

Σχήμα 5.10: Διδιάστατα ιστογράμματα (density plots) των παραμέτρων (e3,P3) του τρίτου σώματος ως αποτέλεσμα της σάρωσης στο χώρο των λύσεων με διαταραχή στις παραμέτρους. Στο αριστερά διάγραμμα είναι εμφανής η ύπαρξη καταμετρήσεων σε δύο γειτονικές περιοχές ελαχίστου και οι οποίες αποτελούν εσωτερικές περιοχές του ίδιου (ολικού) ελαχίστου, καθώς οι τιμές των παραμέτρων μεταβάλλονται από το έκτο δεκαδικό ψηφίο και ύστερα. Το δεξιά διάγραμμα αντιστοιχεί στη μεγενθυμένη περιοχή ελαχίστου όπου εμφανίζεται το μεγαλύτερο πλήθος καταμετρήσεων.

Η συνθετική καμπύλη για το μοντέλο LITE ως αποτέλεσμα της σάρωσης στο χώρο με διαταραχή των παραμέτρων δίνεται στο σχήμα 5.11, όπου στο δεξιά διάγραμμα είναι εμφανές το χαρακτηριστικό της μεγαλύτερης κλίμακας του κατακόρυφου άξονα, καθώς οι τιμές του ορίζουν το εύρος του πλάτους LITE (2A). 5.2 Η περίπτωση του αποχωρισμένου συστήματος NSVS 07826147 169

Σχήμα 5.11: Συνθετική καμπύλη του μοντέλου LITE για τον διπλό αστέρα NSVS 07826147 όπως προέκυψε από τη σάρωση στο χώρο των λύσεων με διαταραχή των παραμέτρων e3, A, ω3,P3 κατά 5% των αρχικών τιμών τους για 1200 επαναλήψεις. Στο δεξιά διάγραμμα εμφανίζεται το χαρακτηριστικό της μεγαλύτερης κλίμακας του κατακόρυφου άξονα και οι τιμές του οποίου αντιστοιχούν στο πλάτος LITE (2A).

Για την αντικειμενικότερη εκτίμηση των αβεβαιοτήτων των παραμέτρων, καθώς και της περαιτέρω διερεύνησης του παραμετρικού χώρου, εφαρμόστηκε η Μπαεζιανή μέθοδος M-H MCMC και τα αποτελέσματα της οποίας δίνονται στον πίνακα 5.7.

Πίνακας 5.7: Αποτελέσματα της μεθόδου M-H MCMC για τον αντικειμενικότερο προσδιορισμό των αβεβαιοτήτων των παραμέτρων του μοντέλου LITE για το διπλό σύστημα NSVS 07826147.

Parameter Value Error

e3 0.435 ±0.002 A (days) 0.00343 ±0.00008 ω3 (rad) 3.95 ±0.01 P3 (years) 31.55 ±0.12 T3 (BJD) 2446506.992 ±0.010 −8 Pbin. (days) 0.16177048 ±1.13 × 10 T0 (BJD) 2456021.85 ±0.01

Για την εκτέλεση του αλγόριθμου M-H MCMC ορίστηκαν 1900000 επαναλήψεις και μία δοκιμαστική περίοδος (burnin) 30000 δειγμάτων, ενώ επιλέχθηκε η λέπτυνση (thinning) της αλυσίδας συλλέγοντας τα δείγματα κάθε 50ης επανάληψης προκει- μένου να διευκολυνθεί η σύγκλιση της αλυσίδας και να ελλατωθεί το φαινόμενο της σειριακής συσχέτισης των δειγμάτων. 5.2 Η περίπτωση του αποχωρισμένου συστήματος NSVS 07826147 170

Οι μεταγενέστερες κατανομές συνοδευόμενες από τα διαγράμματα ίχνους και αυτο-

συσχέτισης των παραμέτρων e3, A, ω3,P3 δίνονται στο σχήμα 5.12. Ο μηδενικός βαθμός αυτοσυσχέτισης των δειγμάτων και η πολύ καλή μίξη της αλυσίδας όπως αυτή αποτυπώνεται στα διαγράμματα ίχνους, επιβεβαιώνουν τη σύγκλιση στις μετα- γενέστερες κανονικές κατανομές των παραμέτρων.

Σχήμα 5.12: Οι μεταγενέστερες κατανομές των παραμέτρων e3, A, ω3,P3 συνο- δευόμενες από τα αντίστοιχα διαγράμματα ίχνους της αλυσίδας και αυτοσυσχέτισης των δειγμάτων ως αποτέλεσμα της Μπαεζιανής μεθόδου M-H MCMC, για τον προσδιορισμό των παραμέτρων LITE του συστήματος NSVS 07826147.

Οι από κοινού κατανομές των παραμέτρων συνοδευόμενες από τη μέση τιμή και αβεβαιότητά τους απεικονίζονται στο σχήμα 5.13, όπου οι πολύ καλά διαμορφωμένες περιοχές ελαχίστου επιβεβαιώνουν τη σύγκλιση της αλυσίδας στις μεταγενέστερες κατανομές των παραμέτρων. Θεωρώντας ότι το τρίτο σώμα εκτελεί συνεπίπεδη τροχιά με την εσωτερική τροχιά

του διπλού συστήματος και χρησιμοποιώντας τις τιμές μαζών M1 = 0.442 M , M2 = o 0.124 M και τροχιακής κλίσης i = 86.8 (Lee et al., 2017), υπολογίστηκαν η μάζα και ο μεγάλος ημιάξονας της τροχιάς του τρίτου σώματος (σχέση 3.20) με τιμές

M3 = 3.85 MJup., α3 = 8.21 au. 5.2 Η περίπτωση του αποχωρισμένου συστήματος NSVS 07826147 171

Σχήμα 5.13: Μεταγενέστερες κατανομές και από κοινού πιθανότητες - διαγράμ- ματα πυκνότητας για τις παραμέτρους της συνάρτησης ελαχιστοποίησης (4.1), ως αποτέλεσμα της μελέτης ύπαρξης του φαινομένου LITE στο διπλό σύστημα NSVS 07826147 με τη μέθοδο M-H MCMC.

Η πολύ μεγάλη περίοδος του τρίτου σώματος σε συνδυασμό με το μικρό σχετικά ημι- πλάτος LITE καθιστούν αδύνατη την ανίχνευση μεταβολής της συστημικής ακτινικής ταχύτητας του διπλού συστήματος φασματοσκοπικά, καθώς το πλάτος της μεταβολής km αντιστοιχεί σε τιμή KRV = 0.06 /sec (σχέση 3.24). 5.2 Η περίπτωση του αποχωρισμένου συστήματος NSVS 07826147 172

΄Οσον αφορά τη δυναμική σταθερότητα του τριπλού συστήματος η σχετικά μεγάλη εκ-

κεντρότητα (e3 = 0.44) της τροχιάς του τρίτου σώματος γύρω από το διπλό σύστημα δεν διαταράσσει την δυναμική ισορροπία, καθώς ικανοποιείται το όριο σταθερότητας a3 > 0.2 · abin (Holman and Wiegert, 1999), δεδομένου ότι abin = 1.033 au (Lee et al., 2017). Ο μεταγενέστερος φασματικός τύπος (M) του δευτερεύοντος μέλους υποδηλώνει την ύπαρξη ζώνης μεταφοράς (convection zone), καθιστώντας αναγκαία τη μελέτη του φαινομένου Applegate για τη διερεύνηση της δυνατότητας μεταβολής της περιόδου εξαιτίας της μαγνητικής δραστηριότητας του αστέρα.

Οι τιμές του ημιπλάτους A = 0.00343 days και της περιόδου Pmod. = P3 = 31.6 years του διαγράμματος O-C (Πίνακας 5.7) καθορίζουν τη σχετική μεταβολή της περιόδου σύμφωνα με το βασικό μοντέλο Applegate (σχέση 3.55)

∆P O − C = 2π ' 4 × 10−7 . Pbin. Pmod.

Με βάση τις τιμές των απόλυτων παραμέτρων του δευτερεύοντος μέλους M2 =

0.124 M , R2 = 0.157 R , L2 = 0.002 L και μεγάλο ημιάξονα του διπλού συστήμα-

τος abin = 1.033 R (Lee et al., 2017), υπολογίστηκαν οι απαιτούμενες μεταβολές τετραπολικής ροπής (σχέση 3.35) και ενέργειας (σχέση 3.40) για την παρατηρούμενη μεταβολή της περιόδου

a2 M ∆P ∆Q = bin 2 = 5.32 × 1046g cm2 9 Pmod

(∆J)2 ∆E ' = 1.03 × 1040erg . 2Ieff

Εφόσον η παραγόμενη πυρηνική ενέργεια του δευτερεύοντος αστέρα ισούται με Esec = 39 Pmod. · L2 = 7.63 × 10 erg τότε το σχετικό ενεργειακό κατώφλι του μηχανισμού

Applegate είναι ίσο με ∆E/Esec ' 1.35, δεδομένου ότι τα δύο μέλη περιστρέφονται σύγχρονα. Σύμφωνα με την προσέγγιση των Tian et al. (2009) (σχέση 3.56) οι ενεργειακές απαιτήσεις του μηχανισμού καλύπτονται από το δευτερεύον μέλος του συστήματος,

καθώς το αντίστοιχο ενεργειακό κατώφλι υπολογίζεται με τιμή ∆E/Esec ' 0.69. Ωστόσο, το αυξημένης ακρίβειας μοντέλο διπλής ζώνης (σχέση 3.59) των Völschow et al. (2016) απαιτεί 13 φορές περισσότερη ενέργεια από την παραγόμενη (∆E/Esec ' 13.4). 5.2 Η περίπτωση του αποχωρισμένου συστήματος NSVS 07826147 173

Στον πίνακα 5.8βʹ παρατίθενται οι ενεργειακές απαιτήσεις του μηχανισμού Applegate για όλες τις προσεγγίσεις [thin shell model (Applegate (1992), Tian et al. (2009)), constant density model (Brinkworth et al. (2006), Völschow et al. (2016)), two zone model (Völschow et al., 2016)] όπως αυτές περιγράφηκαν στην υποενότητα 3.4.3, ενώ στον πίνακα 5.8αʹ συγκεντρώνονται οι υπόλοιπες χαρακτηριστικές ποσότητες του μοντέλου Applegate.

Πίνακας 5.8: Σύνοψη αποτελεσμάτων από τη μελέτη του φαινομένου Applegate για το σύστημα NSVS 07826147.

(αʹ) Χαρακτηριστικές παράμετροι του δευτερεύο- ντος αστέρα για το βασικό μοντέλο Applegate (thin shell model, Applegate (1992) ). Parameter Value −7 ∆P/Pbin 3.74 × 10 ∆P 0.005 sec ∆Q 5.32 × 1046g cm2 39 Esec 7.63 × 10 erg ∆E/Esec (Ωdr = 0) 1.35 ∆E/Esec (Ωdr 6= 0) 2.70 ∆Lrms (Ωdr = 0) 0.01L ∆Lrms (Ωdr 6= 0) 0.02L

(βʹ) Σύγκριση των μεγεθών σχετικής απαιτούμενης ενέργειας για την παρατηρούμενη μεταβολή της περιόδου με βάση διαφορετικές προσεγγίσεις του μηχανισμού Applegate κατά σειρά αυξανόμενης ακρίβειας των μοντέλων.

Esec/erg ∆E/Esec (Ωdr = 0) ∆E/Esec ∆E/Esec ∆E/Esec Applegate (1992) Tian et al. (2009) Volschow et al. (2016) Volschow et al. (2016) Thin shell Thin shell Constant density Two zone model (εξ.5.2) model (εξ. 3.56) model (εξ.3.58) model (εξ.3.59) 7.63 × 1039erg 1.35 0.69 275.7 13.4

Στηριζόμενοι στο μοντέλο διπλής ζώνης το οποίο λαμβάνει υπόψιν του τη διαφορετική κατανομή πυκνότητας στα στρώματα του αστέρα (υποενότητα 3.4.3) και επομένως αποτελεί την καλύτερη δυνατή προσέγγιση του μοντέλου Applegate, συμπεραίνουμε ότι η μαγνητική δραστηριότητα του δευτερεύοντος μέλους δεν επαρκεί ώστε να προκαλέσει μεταβολή στην τετραπολική ροπή του αστέρα ικανή να μεταβάλει την περίοδό του κατά την παρατηρούμενη ∆P ' 0.005 sec. 5.2 Η περίπτωση του αποχωρισμένου συστήματος NSVS 07826147 174

5.2.3 Συμπεράσματα

Το διπλό εκλειπτικό σύστημα NSVS 07826147 ανήκει στην κατηγορία των PCEB’s τύπου HW Vir, δηλαδή, ένα αποχωρισμένο σύστημα αποτελούμενο από ένα πολύ θερμό υπο-νάνο αστέρα φασματικού τύπου B και έναν ψυχρό καφέ νάνο φασματικού τύπου M. Η επικαιροποίηση του διαγράμματος O-C με έξι επιπλέον χρόνους ελαχίστου φωτός από παρατηρήσεις που πραγματοποιήθηκαν στο αστεροσκοπείο Μυθωδία του Παν. Πατρών, είχε ως αποτέλεσμα την επέκταση του χρονικού εύρους στα 14 έτη και στο οποίο έγινε για πρώτη φορά εμφανής με μεγάλη ακρίβεια (σ = 2.592) μία τάση για ελάττωση της περιόδου (O − C ∼ −20sec, cycles=11724.0, 11724.5). Δεδομένης της μορφολογικής ταξινόμησης του συστήματος ως αποχωρισμένου, μελε- τήθηκε η μεταβολή της περιόδου σύμφωνα με το μοντέλο LITE, εφαρμόζοντας τις τε- χνικές ελαχιστοποίησης Nelder-Mead Downhill Simplex και Levenberg-Marquardt στην αντίστοιχη συνάρτηση ελαχιστοποίησης (εξ. 4.1). Η ολικότητα της λύσης επιβεβαιώθηκε μέσω σάρωσης στο χώρο (heuristic scanning) των λύσεων με ισχυρή διαταραχή των παραμέτρων (parameter perturbation) της τάξης του 5% της αρχικής τιμής τους, ενώ για την αντικειμενικότερη εκτίμηση των αβεβαιοτήτων των παραμέτρων εφαρμόστηκε η Μπαεζιανή μέθοδος M-H MCMC. Τα αποτελέσματα των μεθόδων υπέδειξαν την ύπαρξη ενός συνοδού μάζας M '

4MJup. και τροχιακής περιόδου P3 ' 32 years γύρω από το κοινό βαρύκεντρο με το διπλό σύστημα, ο οποίος ανήκει στην περιοχή γιγάντων πλανητών χωρίς, όμως, να είναι δυνατό να διευκρινιστεί εάν αποτελεί καφέ νάνο (Hatzes and Rauer, 2015). Επιπλέον, ελέγχθηκε η δυνατότητα μεταβολής της περιόδου του συστήματος εξαι- τίας του μαγνητικά ενεργού δευτερεύοντος αστέρα, υπολογίζοντας τις απαραίτητες ποσότητες του μηχανισμού Applegate για τις τιμές ημιπλάτους A = 0.00343 days

και περιόδου Pmod. ' 32 years που προέκυψαν από το μοντέλο LITE. Εάν και σύμφωνα με τη βελτιωμένη έκδοση του βασικού μοντέλου Applegate (Lanza et al. (1998), Tian et al. (2009)) τα ενεργειακά αποθέματα του αστέρα επαρκούν

(∆E/Esec ' 0.69) για την εξήγηση της παρατηρούμενης μεταβολής της περιόδου εξαιτίας μαγνητικής δραστηριότητας, ωστόσο, το ακριβέστερο μοντέλο διπλής ζώνης

(Völschow et al., 2016) προϋποθέτει τουλάχιστον 13 φορές (∆E/Esec ' 13.4) περισσότερη ενέργεια από την παραγόμενη στο εσωτερικό του αστέρα. Καταλήγοντας, το σύστημα NSVS 07826147 αποτελεί υποψήφιο για την ύπαρξη του μηχανισμού LITE, με το τρίτο σώμα, όμως, να μην μπορεί να ανιχνευθεί φασματο- σκοπικά εξαιτίας της πολύ μικρής του μάζας και του μικρού ημιπλάτους ακτινικής ταχύτητας του εκλειπτικού συστήματος ως προς το κοινό κέντρο μάζας. 5.3 Το αινιγματικό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo 175

Δεδομένου ότι τα σημεία του διαγράμματος O-C καλύπτουν σχεδόν το ήμισυ της περιόδου του τρίτου σώματος γύρω από το διπλό σύστημα, είναι απαραίτητη η συλ- λογή επιπλέον χρόνων ελαχίστου φωτός στα επόμενη έτη ώστε να επιβεβαιωθούν τα αποτελέσματα της παρούσας μελέτης.

5.3 Το αινιγματικό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo

5.3.1 Το προφίλ του αστέρα

Το διπλό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo αποτελεί ένα από τα πιο ενδιαφέροντα και ασυνήθιστα συστήματα τύπου W UMa, καθώς η περίοδός του έχει καταγραφεί κατά καιρούς με διάφορες μεταβολές έπειτα από την ανακάλυψή του από τους Guthnick and Preger (1927), ενώ ακόμα και η κατηγοριοποίησή του ως υποτύπου A ή W τίθεται υπό αμφισβήτηση (Pribulla et al. (2009), Christopoulou et al. (2011)). Η περίοδος του συστήματος έχει μελετηθεί από αρκετούς ερευνητές με τον Hoffmann (1978) να καταγράφει τη πρώτη μεταβολή της περιόδου και η οποία χαρακτηρίστηκε ως ξαφνική μεταβολή από τον ίδιο (Hoffmann, 1980) και μετέπειτα από τον Grobel (1989), ο οποίος ανίχνευσε μία ελάττωση κατά 0.6 sec μεταξύ των ετών 1977-1978. Οι Qian and Liu (2000) βασιζόμενοι σε 82 χρόνους ελαχίστου φωτός υποστήριξαν ότι κατά το διάστημα 1948-1995 η περίοδος του συστήματος μεταβλήθηκε ξαφνικά τρεις φορές χαρακτηρίζοντας μια ενιαία σταθερή ελάττωση της περιόδου κατά dP/dE = −0.96 × 10−10 days cycle−1 (dP/dt = −11.8 × 10−8 days yr−1), ενώ οι Awadalla et al. (2006) υποστήριξαν δύο ξαφνικές μεταβολές (η πρώτη ως dP/dE = −1.95 × 10−10 days cycle−1 ενώ η δεύτερη μόλις είχε αρχίσει να εμφανίζεται) στο διάστημα 1968-2003 αγνοώντας τα πρώτα φωτοηλεκτρικά δεδομένα (1948). Η ερμηνεία των παραπάνω φάσεων μείωσης της περιόδου δόθηκε στηριζόμενη στους μηχανισμούς μεταφοράς μάζας από το πρωτεύον μέλος μεγαλύτερης μάζας προς το δευτερεύον ή/και το μαγνητικό κύκλο του δευτερεύοντος μέλους, χωρίς να αποκλε- ίεται η απώλεια μάζας και στροφορμής από το σύστημα. Οι Pribulla and Rucinski (2006b) πρότειναν την ύπαρξη ενός τρίτου σώματος με

περίοδο P3 = 34.0 ± 0.5 years και εκκεντρότητα e3 = 0.58 ± 0, 04, ενώ οι Albayrak et al. (2006) επιβεβαίωσαν το φαινόμενο LITE με περίοδο P3 = 28.07 years και εκκεντρότητα e = 0.37 συνοδευόμενο από μεταφορά μάζας με ρυθμό ελάττωσης περιόδου dP/dE = −0.176×10−10 days cycle−1 (dP/dt = −2.16×10−8 days yr−1). Η φασματοσκοπική μελέτη των Pribulla et al. (2009) αποκάλυψε την ύπαρξη ενός συνοδού με περίοδο 9.48 days, κυκλική τροχιά και πιθανό σενάριο να αποτελεί ένα διπλό αποχωρισμένο σύστημα με μία φασματική γραμμή. Ωστόσο, η αστρομετρική 5.3 Το αινιγματικό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo 176

μελέτη των Rucinski et al. (2007) δεν είχε ως αποτέλεσμα την ανίχνευση ενός ορατού συνοδού για απόσταση < 5”, εάν και η ύπαρξή του είναι πιθανό να βρίσκεται μεταξύ 0”.3 − 0”.5. Σύμφωνα με τους Pribulla et al. (2009) το πρωτεύον μέλος του TZ Boo αντιστοιχεί σε μεταγενέστερο φασματικό τύπο μεταξύ F −G5, ενώ ο υπέρυθρος δείκτης χρώματος J − K = 0.454 του Two Micron All Sky Survey (2MASS) αντιστοιχεί σε φασματικό τύπο G7V. Η τελευταία δημοσιευμένη φωτομετρική μελέτη για τον αστέρα, επεκτείνοντας το χρο- νικό εύρος του διαγράμματος O-C στα 63 έτη (1948-2010), έγινε από τους Christopoulou et al. (2011) και από την οποία προέκυψε ότι ο μηχανισμός LITE είναι ο επι- κρατέστερος για την ερμηνεία της κυκλικής μεταβολής της περιόδου εξαιτίας της

ύπαρξης ενός συνοδού μάζας M3 = 0.99M (για συνεπίπεδη τροχιά), περιόδου

P3 = 31.18 ± 0.31 years και μεγάλης εκκεντρότητας e3 = 0.64 ± 0.06. Η μακροπρόθεσμη ελάττωση της περιόδου υπολογίστηκε με συντελεστή dP/dE = −0.17 × 10−10 days cycle−1 (dP/dt = −2.1 × 10−8 days yr−1) με την ερμηνεία της μεταφοράς μάζας από τον βαρύτερο προς τον ελαφρύτερο αστέρα και/ή την απώλεια στροφορμής εξαιτίας μαγνητικής πέδησης, να προδιαγράφει την εξελικτική πορεία του συστήματος υπερεπαφής σε έναν ταχέως περιστρεφόμενο αστέρα. Η τελευταία δημοσιευμένη μελέτη μεταβολής της περιόδου του συστήματος έγινε από τους Nelson et al. (2016) και σύμφωνα με την οποία το σύστημα συνοδεύεται από

δύο σώματα με τιμές περιόδου P3 = 45.5 years, P4 = 22.4 years και εκκεντρότητας e3 = 0.83, e4 = 0.30, ενώ χαρακτηρίζεται από ρυθμό μεταβολής περιόδου dP/dt = 0.46 × 10−7 days yr−1 εξαιτίας της μεταφοράς μάζας.

5.3.2 Ανάλυση του διαγράμματος O-C

Η κατασκευή του διαγράμματος O-C (σχήμα 5.14) βασίστηκε στο γραμμικό μέρος της εφημερίδας των Christopoulou et al. (2011)

C = 2452500.1602(17) + 0.29715993(16) · E (HJD) (5.4)

και στους χρόνους ελαχίστου φωτός που συλλέχθηκαν από τη διεθνή βιβλιογραφία (Πίνακας 6.3, Παράρτημα). Δεδομένου του μορφολογικού τύπου (υπερεπαφής) του συστήματος, η συνάρτηση ελαχιστοποίησης (εξ. 4.1) για την επίλυση του αντίστροφου μη γραμμικού προβλήμα- τος αποκτά την πλήρη μορφή της, δηλαδή, λαμβάνεται υπόψιν και ο τετραγωνικός όρος 5.3 Το αινιγματικό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo 177

2 2dP (E κ2 = E /2dE) που καθορίζει τη σταθερή μεταβολή της περιόδου εξαιτίας της μεταφοράς μάζας μεταξύ των μελών. Ο αρχικός προσδιορισμός της λύσης της συνάρτησης ελαχιστοποίησης πραγματοποι- ήθηκε μέσω της μεθόδου Nelder-Mead Downhill Simplex (NMDS) και εν συνεχεία με χρήση της μεθόδου Levenberg-Marquardt (LM) κατέστη δυνατός ο υπολογι- σμός και των αβεβαιοτήτων των οκτώ παραμέτρων της εξίσωσης μέσω του πίνακα συνδιακύμανσης. Τα αποτελέσματα των μεθόδων δίνονται στον πίνακα 5.9.

Σχήμα 5.14: Διάγραμμα O-C του συστήματος υπερεπαφής TZ Boo αποτελούμενο από τους 484 αξιόπιστους χρόνους ελαχίστου φωτός που συγκεντρώθηκαν από τη διεθνή βιβλιογραφία. Στον πίνακα 6.3 οι χρόνοι ελαχίστου που συνοδεύονται από το σύμβολο (:) δεν συμπεριλήφθηκαν στην κατασκευή του διαγράμματος εξαιτίας της αβεβαιότητάς τους. Οι συνολικά 532 δημοσιευμένοι χρόνοι ελαχίστου καλύπτουν ένα χρονικό διάστημα 91 ετών (1926-2016), ωστόσο, η αβεβαιότητα του πρώτου οπτικά παρατηρήσιμου χρόνου ελαχίστου συρρικνώνει το χρονικό εύρος στα 69 έτη (1948- 2016). Εξαιτίας του μεγάλου πλήθους δεδομένων και των διαφορετικών μεθόδων φωτομετρικών παρατηρήσεων, αποδόθηκαν στατιστικά βάρη w = 1 για τις οπτικές παρατηρήσεις και w = 10 για τις φωτοηλεκτρικές και CCD. 5.3 Το αινιγματικό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo 178

Πίνακας 5.9: Παράμετροι LITE και qmt για το σύστημα TZ Boo.

Parameter Value Error

e3 0.697549 ±0.018853 (2.70%) A (days) 0.025135 ±0.000596 (2.37%) ω3 (rad) 6.070481 ±0.033727 (0.56%) −1 −10 −10 qmt = dP/2dE (days cycle ) −0.107164 × 10 ±0.003457 × 10 (3.23%) P3 (years) 34.51 ±0.35 (1.00%) T3 (HJD) 2448594.0603 ±55.1187 (0.11%) −8 Pbin. (days) 0.29715989 ±1.20 × 10 (0.00%) T0 (HJD) 2452500.1581 ±0.000198 (0.00%) Οι τιμές των παραμέτρων προέκυψαν από τη βέλτιστη προσαρμογή της συνθετικής καμπύλης σύμφωνα με τις μεθόδους Nelder-Mead Downhill Simplex και Levenberg-Marquardt. Τα επί τοις % ποσοστά αναφέρονται στο ποσοστιαίο σφάλμα σχετικά με την τιμή της παραμέτρου.

Η ολικότητα του ελαχίστου επιβεβαιώθηκε μέσω σάρωσης στο χώρο των λύσεων με διαταραχή των παραμέτρων (heuristic scanning with parameter perturbation) αλλά και με χρήση του γενετικού αλγόριθμου PIKAIA, με τα αποτελέσματα των δύο μεθόδων να δίνονται στον πίνακα 5.10.

Πίνακας 5.10: Αποτελέσματα της σάρωσης στο χώρο των λύσεων με διαταραχή των παραμέτρων για την επιβεβαίωση της σταθερότητας της λύσης της συνάρτησης ελαχιστοποίησης 4.1 για τον TZ Boo, όπως αυτή προέκυψε από τις μεθόδους NMDS και LM.

(αʹ) Οι τιμές των παραμέτρων συνοδευόμενες από την αβεβαιότητά τους όπως προέκυψαν από τη σάρωση στο χώρο των λύσεων για διαταραχή των παραμέτρων e3, A, ω3, qmt, P3 και T3 κατά 5% και 2% της αρχικής τιμής τους αντίστοιχα, για 1200 επαναλήψεις. Parameter Value Error −9 e3 0.696754175 ±2.67 × 10 A (days) 0.02504501623 ±8.69 × 10−11 −9 ω3 (rad) 6.072931335 ±4.6 × 10 −1 −10 −20 qmt = dP/2dE (days cycle ) −0.1062166063 × 10 ±5.94 × 10 −8 P3 (years) 34.47752697 ±5 × 10 −6 T3 (HJD) 2448597.1019861 ±8 × 10 −17 Pbin. (days) 0.29715989299 ±5.56 × 10 −11 T0 (HJD) 2452500.158133 ±1.46 × 10

Συγκεκριμένα, η σάρωση στο χώρο των λύσεων πραγματοποιήθηκε για 1200 επα-

ναλήψεις εφαρμόζοντας διαταραχή στις παραμέτρους e3, A, ω3, qmt, P3 και T3 κατά 5% και 2% της αρχικής τιμής τους αντίστοιχα. 5.3 Το αινιγματικό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo 179

Πίνακας 5.10: Αποτελέσματα του γενετικού αλγόριθμου για την επιβεβαίωση της ολικότητας της λύσης της συνάρτησης ελαχιστοποίησης 4.1 για τον TZ Boo, όπως αυτή προέκυψε από τις μεθόδους NMDS και LM.

(βʹ) Εκτίμηση των τιμών των παραμέτρων LITE και qmt με χρήση του γενε- τικού αλγόριθμου PIKAIA. Οι αβεβαιότητες που συνοδεύουν τις παραμέτρους δεν είναι υψηλής ακρίβειας καθώς υπολογίζονται προσεγγιστικά ως τυπική απόκλιση από ένα μεγάλο δείγμα φαινότυπων. Parameter Value Error

e3 0.64052856 ±0.0090910 A (days) 0.0243 ±0.0002 ω3 (rad) 6.03 ±0.01 −1 −10 −10 qmt = dP/2dE (days cycle ) 0.050 × 10 ±0.003 × 10 P3 (years) 33.94 ±0.11 T3 (HJD) 2448513.59 ±28.84 Pbin. (days) 0.29715973 ±0.00 T0 (HJD) 2452500.16 ±0.06

Κατά τη διάρκεια των επαναλήψεων η σταθερότητα των παραμέτρων ισοδυναμούσε σε ακρίβεια επτά δεδαδικών ψηφίων, με αποτέλεσμα η αρχική λύση να αντιστοιχεί με μεγάλη βεβαιότητα σε ολικό ελάχιστο. Οι τιμές των παραμέτρων συνοδευόμενες από την αβεβαιότητά τους προέκυψαν από τη μέση τιμή και τυπική απόκλιση των ιστογραμμάτων καταμέτρησης των τιμών για κάθε επανάληψη (σχήμα 5.15), ενώ η σκιαγράφηση της περιοχής ολικού ελαχίστου δίνεται ενδεικτικά στα διαγράμματα πυκνότητας του σχήματος 5.16.

Σχήμα 5.15: Ιστογράμματα κατανομών της περιόδου (P3) του τρίτου σώματος και του συντελεστή μεταφοράς μάζας (qmt) για το σύστημα TZ Boo, ως αποτέλεσμα της σάρωσης στο χώρο των λύσεων με διαταραχή στις παραμέτρους. 5.3 Το αινιγματικό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo 180

Σχήμα 5.16: Διαγράμματα πυκνότητας για τα ζεύγη παραμέτρων (qmt, e3), (ω3,P3) όπως προέκυψαν από τη σάρωση στο χώρο των λύσεων με διαταραχή των παραμέτρων. Η χρωματική διαβάθμιση υποδηλώνει το διαφορετικό πλήθος καταμετρήσεων, όπου τα σημεία με το εντονότερο λευκό χρώμα αντιστοιχούν στη λύση του προβλήματος, δηλαδή, στις τιμές των παραμέτρων με τη χαμηλότερη τιμή της συνάρτησης ελαχιστοποίησης.

Η συνθετική καμπύλη για το μοντέλο LITE μαζί με τη συνεισφορά του τετραγωνικού όρου εξαιτίας μεταφοράς μάζας (qmt) δίνεται στο σχήμα 5.17, όπως προέκυψε από τη σάρωση στο χώρο των λύσεων με διαταραχή των παραμέτρων.

−

−

−

− − −

Σχήμα 5.17: Συνθετική καμπύλη για το μοντέλο LITE μαζί με την συνεισφορά του τετραγωνικού όρου εξαιτίας μεταφοράς μάζας (qmt = dP/2dE), ως αποτέλεσμα της σάρωσης στο χώρο των λύσεων με διαταραχή των παραμέτρων. 5.3 Το αινιγματικό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo 181

Η εκτέλεση του γενετικού αλγόριθμου PIKAIA ορίστηκε για 120 αρχικούς φαι- νότυπους και οι οποίοι εξελίχθηκαν σύμφωνα με τη διεργασία κληρονομικότητας (υποενότητα 4.4.4) για 4000 γενιές. Οι τελικές τιμές των παραμέτρων αντιστοιχούν στους φαινότυπους με τη χαμηλότερη τιμή συνάρτησης ελαχιστοποίησης (4.1) και οι οποίες προσδιορίστηκαν από τη μέση τιμή των κατανομών τους συναρτήσει της χ2 (σχήμα 5.18).

Σχήμα 5.18: Κατανομές των παραμέτρων e3,P3, A, ω3 συναρτήσει της συνάρ- τησης ελαχιστοποίησης χ2 (4.1), όπως προέκυψαν από την εκτέλεση του γενετικού αλγόριθμου. Η μέση τιμή και τυπική απόκλιση ορίζουν την τιμή και αβεβαιότητα της κάθε παραμέτρου.

Για την αντικειμενικότερη εκτίμηση των αβεβαιοτήτων των παραμέτρων καθώς και της περαιτέρω διερεύνησης του παραμετρικού χώρου, εφαρμόστηκε η Μπαεζιανή μέθοδος M-H MCMC, τα αποτελέσματα της οποίας δίνονται στον πίνακα 5.11 και η αντίστοιχη συνθετική καμπύλη στο σχήμα 5.21. 5.3 Το αινιγματικό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo 182

Πίνακας 5.11: Παράμετροι συνθετικής καμπύλης του διαγράμματος O-C για τον TZ Boo.

Παρούσα εργασία Christopoulou et al. (2011) Parameter Value Error Value Error

e3 0.70 ±0.02 0.6344 ±0.0593 A (days) 0.0242 ±0.0006 0.033 ±0.001 ω3 (rad) 6.07 ±0.01 4.8 ±0.1 −1 −10 −10 −10 −10 qmt = dP/2dE (days cycle ) −0.07 × 10 ±0.01 × 10 −0.085 × 10 ±0.04 × 10 P3 (years) 34.50 ±0.11 31.18 ±0.31 T3 (HJD) 2448597.10 ±0.01 2448919.276 ±138.533 −8 −7 Pbin. (days) 0.29715982 ±5.6 × 10 0.29715993 ±1.6 × 10 T0 (HJD) 2452500.156 ±0.001 2452500.1608 ±0.0017

Nelson et al. (2016) Parameter Value Error e3 0.830 ±0.008 A (days) 0.0290 ±0.0007 ω3 (rad) 3.95 ±0.02 −1 −10 −10 qmt = dP/2dE (days cycle ) 0.18 × 10 ±0.03 × 10 P3 (years) 45.5 ±0.6 T3 (HJD) 2442499 ±118 Pbin. (days) 0.2971604 na T0 (HJD) 2452500.188 na Αποτελέσματα της μεθόδου M-H MCMC για τον αντικειμενικότερο προσδιορισμό των αβεβαιοτήτων των παραμέτρων του μοντέλου LITE και του συντελεστή μεταφοράς μάζας (qmt). Παρατίθενται συγκριτικά και τα αποτελέσματα των Christopoulou et al. (2011) όπως προέκυψαν από την εφαρμογή της μεθόδου NMDS, καθώς και των Nelson et al. (2016) εφαρμόζοντας την πολυωνυμική μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων για δύο συνοδούς (LITE).

Για την εκτέλεση του αλγόριθμου M-H MCMC ορίστηκαν 2000000 επαναλήψεις και μία δοκιμαστική περίοδος (burnin) 40000 δειγμάτων, ενώ επιλέχθηκε η λέπτυνση (thinning) της αλυσίδας συλλέγοντας τα δείγματα κάθε 50ης επανάληψης προκει- μένου να διευκολυνθεί η σύγκλιση της αλυσίδας και να ελλατωθεί το φαινόμενο της σειριακής συσχέτισης των δειγμάτων. Οι μεταγενέστερες κατανομές συνοδευόμενες από τα διαγράμματα ίχνους και αυτο-

συσχέτισης των παραμέτρων e3, A, P3, qmt δίνονται στο σχήμα 5.19. Ο μηδενικός βαθμός αυτοσυσχέτισης των δειγμάτων και η πολύ καλή μίξη της αλυ- σίδας, όπως αυτή αποτυπώνεται στα διαγράμματα ίχνους, επιβεβαιώνουν τη σύγκλιση στις μεταγενέστερες κανονικές κατανομές των παραμέτρων. 5.3 Το αινιγματικό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo 183

Σχήμα 5.19: Οι μεταγενέστερες κατανομές των παραμέτρων e3, A, P3, qmt συνοδευόμενες από τα αντίστοιχα διαγράμματα ίχνους της αλυσίδας και αυτοσυ- σχέτισης των δειγμάτων, ως αποτέλεσμα της Μπαεζιανής μεθόδου M-H MCMC για τον προσδιορισμό των παραμέτρων LITE και του συντελεστή μεταφοράς μάζας του συστήματος TZ Boo.

Οι από κοινού κατανομές των παραμέτρων συνοδευόμενες από τη μέση τιμή και αβεβαιότητά τους απεικονίζονται στο σχήμα 5.20, όπου οι πολύ καλά διαμορφωμένες περιοχές ελαχίστου επιβεβαιώνουν τη σύγκλιση της αλυσίδας στις μεταγενέστερες κατανομές των παραμέτρων. Η ύπαρξη τρίτου σώματος Θεωρώντας ότι το τρίτο σώμα εκτελεί συνεπίπεδη τροχιά με την εσωτερική τρο-

χιά του διπλού συστήματος και χρησιμοποιώντας τις τιμές μαζών M1 = 0.99 M , o M2 = 0.21 M και τροχιακής κλίσης i = 85.45 (Christopoulou et al., 2011), υπολογίστηκαν η μάζα και ο μεγάλος ημιάξονας της τροχιάς του τρίτου σώματος

(εξ. 3.20) με τιμές M3 = 0.89 M , α3 = 7.76 au. Στον πίνακα 5.14 συνοψίζονται όλες οι ποσότητες που προκύπτουν από την επίλυση της συνάρτησης μάζας του τρίτου σώματος, ενώ παρατίθενται προς σύγκριση και 5.3 Το αινιγματικό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo 184

Σχήμα 5.20: Μεταγενέστερες κατανομές και από κοινού πιθανότητες - διαγράμ- ματα πυκνότητας για τις παραμέτρους της συνάρτησης ελαχιστοποίησης (4.1), ως αποτέλεσμα της μελέτης ύπαρξης των φαινομένων LITE και μεταφοράς μάζας στο διπλό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo με τη μέθοδο M-H MCMC. 5.3 Το αινιγματικό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo 185

οι αντίστοιχες τιμές από τις προηγούμενες ερευνητικές μελέτες των Christopoulou et al. (2011) και Nelson et al. (2016). Η μάζα του συνοδού είναι συγκρίσιμη με αυτή του βαρύτερου μέλους του συστήμα- τος υπερεπαφής και σύμφωνα με τη φασματοσκοπική μελέτη των Pribulla et al. (2009) είναι πολύ πιθανό να αντιστοιχεί σε ένα διπλό αποχωρισμένο σύστημα που περιστρέφεται γύρω από τον TZ Boo. Το σενάριο αυτό θα μπορούσε να δικαιολογήσει, μέσω των εκλείψεων του συνοδού αποχωρισμένου συστήματος, το συχνά μεταβαλόμενο πλάτος στις φωτομετρικές κα- μπύλες (LC’s) του TZ Boo (Awadalla et al., 2006) καθώς και την εναλλαγή μεταξύ των υποτύπων A/W. Ωστόσο, η μαγνητική δραστηριότητα ή/και οι αργές αναπάλσεις ενός μόνο αστέρα συνοδού είναι εξίσου πιθανές αιτίες των παρατηρούμενων φωτομετρικών μεταβολών του διπλού συστήματος υπερεπαφής. Σύμφωνα με τη σχέση (3.24) το πλάτος μεταβολής της συστημικής ακτινικής ταχύτη- km τας του TZ Boo υπολογίστηκε με τιμή KRV = 6.93 /sec και η οποία συμφωνεί με km τις τιμές της ακτινικής ταχύτητάς του V12 = −46.47 ± 0.12 /sec και της ακτινικής km ταχύτητας του συνοδού V34 = −54.64 ± 0.12 /sec (Pribulla et al., 2009). Συνοψίζοντας, η ανάλυση του διαγράμματος O-C για το διπλό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo σύμφωνα με το μηχανισμό LITE είχε ως αποτέλεσμα την ανίχνευση ενός

συνοδού μάζας M3 = 0.89 M και ο οποίος εκτελεί ελλειπτική τροχιά μεγάλης

εκκεντρότητας e3 = 0.7 γύρω από το διπλό σύστημα, με τροχιακή περίοδο P3 = 34.50 years. Μεταφορά Μάζας ΄Οσον αφορά τη μακροπρόθεσμη μεταβολή (long-term variation) εξαιτίας του συ- −10 −1 ντελεστή qmt = dP/2dE = (−0.07 ± 0.01) × 10 days cycle (dP/dE = −0.14 × 10−10 days cycle−1) του τετραγωνικού όρου της εξίσωσης (4.1), αυτή αντιστοιχεί στη σταθερή ελάττωση της περιόδου μέσω συντηρητικής μεταφοράς μάζας από το πρωτεύον προς το δευτερεύον μέλος του συστήματος, σύμφωνα με την εξίσωση (2.64)

dP (M − M ) dM = 3P 1 2 1 . dt M1M2 dt

Δεδομένου ότι ο ρυθμός μεταβολής περιόδου μπορεί να υπολογιστεί μέσω του συ- ντελεστή του τετραγωνικού όρου μεταφοράς μάζας ως

dP sec dP days 1 cycle sec days ( ) = ( ) · ( ) · (86400 ) · (365.25 ) , (5.5) dt year dE cycle 0.27831460 days day year 5.3 Το αινιγματικό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo 186

−10 −1 η παρατηρούμενη μείωση dP/dE = −0.14 × 10 days cycle της περιόδου αντιστοι- −3 −1 −8 −1 χεί σε ρυθμό μεταβολής dP/dt = −1.59×10 sec year = −1.84×10 days year . Επομένως, ο ρυθμός μεταφοράς μάζας από το βαρύτερο προς το ελαφρύτερο μέλος του συστήματος είναι ίσος με

dP dM1 /dt M1M2 −8 −1 = = −0.55 × 10 M year , dt 3P (M1 − M2)

όπου οι μάζες M1 = 0.99 M , M2 = 0.21 M προέκυψαν από τη φωτομετρική μοντελοποίηση του συστήματος από τους Christopoulou et al. (2011) βασιζόμενοι στο φασματοσκοπικό λόγο μαζών q = 0.207 ± 0.005 (Pribulla et al., 2009). Ο πραγματικός ρυθμός μεταφοράς μάζας μπορεί να είναι μικρότερος από τον υπολογι- ζόμενο εξαιτίας της απώλειας στροφορμής από το σύστημα. Εφόσον η φωτομετρική (Christopoulou et al., 2011) και φασματοσκοπική (Pribulla et al., 2009) μελέτη του συστήματος υποδεικνύει τον TZ Boo ως ένα βαθύ σύστημα υπερεπαφής με χαμηλό λόγο μαζών (f = 52%, q = 0.207), η μακροπρόθεσμη μεταβολή της περιόδου συμφωνεί με τα συμπεράσματα των Qian (2001a, 2001b, 2003), Qian and Yang (2005), Qian et al. (2005), σύμφωνα με τα οποία τα ψυχρά, μικρού λόγου μαζών συστήματα υπερεπαφής συνοδεύονται από ελάττωση της περιόδου. Η συνθετική καμπύλη για το μοντέλο LITE μαζί με τη συνεισφορά του τετραγωνικού όρου εξαιτίας μεταφοράς μάζας (qmt) και τα υπόλοιπα από τα παρατηρησιακά σημεία δίνεται στο σχήμα 5.21, σύμφωνα με τις τιμές των παραμέτρων που προέκυψαν από τη Μπαεζιανή μέθοδο M-H MCMC (πίνακας 5.11).

−

−

− − −

Σχήμα 5.21: Προσαρμογή συνθετικής καμπύλης στο διάγραμμα O-C του TZ Boo σύμφωνα με το μοντέλο LITE και τη συνεισφορά του τετραγωνικού όρου (qmt = dP/2dE) εξαιτίας μεταφοράς μάζας, όπως προέκυψε από τη μέθοδο M-H MCMC, μαζί με τα υπόλοιπα από τα παρατηρησιακά δεδομένα. 5.3 Το αινιγματικό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo 187

Ο μηχανισμός Applegate Η σχετική μεταβολή της περιόδου ή ισοδύναμα ο ρυθμός μεταβολής της σύμφωνα με το βασικό μοντέλο Applegate (εξ. 3.55) αντιστοιχεί σε

∆P O − C = 2π ' 2.4 × 10−5 , Pbin. Pmod.

για τιμές ημιπλάτους A = 0.0242 days και περιόδου Pmod. = P3 = 34.5 years, επομένως, το πλάτος της μεταβολής περιόδου ισούται με ∆P = 0.62 sec.

Με βάση τις τιμές των απόλυτων παραμέτρων του δευτερεύοντος μέλους M2 =

0.21 M , R2 = 0.56 R , L2 = 0.33 L και μεγάλο ημιάξονα του διπλού συστήμα-

τος abin = 1.99 R (Christopoulou et al., 2011), υπολογίστηκαν οι απαιτούμενες μεταβολές τετραπολικής ροπής (σχέση 3.35) και ενέργειας (σχέση 3.40) για την παρατηρούμενη μεταβολή της περιόδου

a2 M ∆P ∆Q = bin 2 = 2.17 × 1049g cm2 9 Pmod

(∆J)2 ∆E ' = 3.73 × 1041erg . 2Ieff

Εφόσον η παραγόμενη πυρηνική ενέργεια του δευτερεύοντος αστέρα ισούται με Esec = 42 Pmod. · L2 = 1.38 × 10 erg τότε το σχετικό ενεργειακό κατώφλι του μηχανισμού

Applegate είναι ίσο με ∆E/Esec = 0.27 για σύγχρονη περιστροφή. Σύμφωνα με την βελτιωμένη εκδοχή του βασικού μοντέλου από τους Tian et al. (2009) (σχέση 3.56), οι ενεργειακές απαιτήσεις του μηχανισμού καλύπτονται από το δευτερεύον μέλος του συστήματος καθώς το αντίστοιχο ενεργειακό κατώφλι

υπολογίζεται με τιμή ∆E/Esec = 0.14. Ωστόσο, το βασικό μοντέλο του μηχανισμού Applegate (Applegate, 1992; Lanza et al., 1998; Tian et al., 2009) στηρίζεται στην υπόθεση του λεπτού εξωτερικού

φλοιού (thin shell model, Mshell ' 0.1M ) και επομένως δεν επαρκεί ως προσέγ- γιση να εξηγήσει τη μεταβολή της περιόδου διπλών συστημάτων με χαμηλή μάζα

δευτερεύοντος μέλους, όπως και στην περίπτωση του TZ Boo με μάζα M2 = 0.21M . Το βελτιωμένο μοντέλο σταθερής πυκνότητας του αστέρα (constant density model) (Völschow et al., 2016) βασίζεται στο μοντέλο πεπερασμένου πάχους φλοιού (Brinkworth et al., 2006) και σύμφωνα με το οποίο τα ενεργειακά αποθέματα του δευτερεύοντος

μέλους του συστήματος TZ Boo υπολογίστηκαν ως μη επαρκή (∆E/Esec ' 23) για την παρατηρούμενη μεταβολή της περιόδου. 5.3 Το αινιγματικό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo 188

Το σταθερό προφίλ πυκνότητας, όμως, είναι μια πρώτης τάξης προσέγγιση του μοντέλου πεπερασμένου φλοιού και με σχετικά μικρή τιμή της σχετικής μεταβολής

ενέργειας (∆E/Esec ' 23). Επομένως, θα υπολογιστούν μελλοντικά οι ενεργειακές απαιτήσεις του μηχανισμού και σύμφωνα με το μοντέλο διπλής ζώνης (two-zone model, Völschow et al., 2016) προκειμένου να αποκλειστεί με βεβαιότητα το ενδεχόμενο συνεισφοράς του μηχανι- σμού Applegate στην παρτηρούμενη μεταβολή περιόδου. Στον πίνακα 5.12βʹ παρατίθενται οι ενεργειακές απαιτήσεις του μηχανισμού Applegate για τις προσεγγίσεις του λεπτού φλοιού και του προφίλ σταθερής πυκνότητας, όπως αυτές περιγράφηκαν στην υποενότητα 3.4.3, ενώ στον πίνακα 5.12αʹ συγκεντρώνονται οι υπόλοιπες χαρακτηριστικές ποσότητες του μοντέλου Applegate.

Πίνακας 5.12: Σύνοψη αποτελεσμάτων από τη μελέτη του μηχανισμού Applegate για το σύστημα TZ Boo.

(αʹ) Χαρακτηριστικές παράμετροι του δευτερεύο- ντος αστέρα για το μοντέλο λεπτού φλοιού (thin shell model, Applegate (1992) ). Parameter Value −5 ∆P/Pbin 2.4 × 10 ∆P 0.62 sec ∆Q 2.17 × 1049g cm2 42 Esec 1.38 × 10 erg ∆E/Esec (Ωdr = 0) 0.27 ∆Lrms (Ωdr = 0) 0.85L

(βʹ) Σύγκριση των μεγεθών σχετικής απαιτούμενης ενέργειας για την παρατηρούμενη μεταβολή της περιόδου με βάση τις προσεγγίσεις λεπτού φλοιού και σταθερής πυκνότητας του αστέρα.

Esec/erg ∆E/Esec (Ωdr = 0) ∆E/Esec ∆E/Esec Applegate (1992) Tian et al. (2009) Volschow et al. (2016) Thin shell Thin shell Constant density model (εξ.5.2) model (εξ. 3.56) model (εξ.3.58) 1.38 × 1042 erg 0.27 0.14 23.27

΄Υπαρξη δεύτερου συνοδού ; ΄Οπως είναι εμφανές από το διάγραμμα υπολοίπων (σχήμα 5.21) υπάρχει μία επιπλέον ημιτονοειδής συνεισφορά και η οποία είναι πιθανό να αντιστοιχεί σε έναν δεύτερο συνοδό ή σε συνεισφορά του μηχανισμού Applegate. 5.3 Το αινιγματικό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo 189

Η εφαρμογή των μεθόδων Nelder-Mead Downhill Simplex και Levenberg-Marquardt είχε ως αποτέλεσμα την εύρεση της λύσης του σχήματος 5.22. Ωστόσο, η μεγάλη διασπορά των σημείων και η ελλιπής πληροφορία για τις ακρι- βείς τιμές αβεβαιότητας των παρατηρησιακών δεδομένων, κατέστησε δύσκολη την εύρεση σταθερής λύσης μέσω σάρωσης στο χώρο των λύσεων με διαταραχή στις παραμέτρους.

Σχήμα 5.22: Συνθετική καμπύλη LITE στα υπόλοιπα του διαγράμματος O-C όπως αυτά προέκυψαν από την αφαίρεση της συνθετικής καμπύλης εξαιτίας της συνεισφοράς του μηχανισμού LITE για τον πρώτο συνοδό και της μεταφοράς μαζας στον TZ Boo.

Οι τιμές των τροχιακών παραμέτρων του δεύτερου συνοδού δίνονται στον Πίνακα 5.13 συνοδευόμενες από τις αβεβαιότητές τους, ενώ παρατίθενται συγκριτικά και οι αντίστοιχες τιμές όπως προέκυψαν από την ανάλυση των Nelson et al. (2016). Τα αποτελέσματα της ανάλυσης των υπολοίπων υποδεικνύουν την ύπαρξη ενός δεύ

τερου συνοδού γύρω από το διπλό σύστημα με τιμές εκκεντρότητας e4 = 0.3 και

περιόδου P4 ' 23 years, συμφωνώντας με τις αντίστοιχες τιμές των Nelson et al. (2016). Θεωρώντας ότι η τροχιακή του κίνηση είναι συνεπίπεδη (i = 85.45o) με του διπλού συστήματος, υπολογίστηκαν η μάζα και ο μεγάλος ημιάξονας της τροχιάς του (εξ.

3.20) με τιμές M4 = 0.49 M , α4 = 6.76 au. Στον πίνακα 5.14 δίνονται όλες οι σχετικές ποσότητες που προκύπτουν από τη συνάρτηση μάζας για το τέταρτο σώμα, καθώς και οι αντίστοιχες τιμές των Nelson et al. (2016). 5.3 Το αινιγματικό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo 190

Πίνακας 5.13: Παράμετροι LITE για τον δεύτερο υποψήφιο συνοδό του συστήματος TZ Boo όπως προέκυψαν από τις μεθόδους NMDS και LM. Παρατίθενται συγκριτικά και οι αντίστοιχες τιμές των παραμέτρων σύμφωνα με τους Nelson et al. (2016).

Παρούσα εργασία Nelson et al. (2016) Parameter Value Error Value Error

e4 0.322266 ±0.081374 (25.25%) 0.303 ±0.032 A (days) 0.01587649 ±1 × 10−12 (0.0%) 0.0150 ±0.0004 ω4 (rad) 5.003054 ±0.150684 (3.01%) 4.8 ±0.1 P4 (years) 22.7357 ±0.2081 (0.92%) 22.4 ±0.05 T4 (HJD) 2448911.3356 ±204.4002 (0.42%) 2441084.0 ±131.0 −8 Pbin. (days) 0.29716006 ±1.5 × 10 0.2971604 na T0 (HJD) 2452500.1596 ±0.0004 2452500.188 na

Πίνακας 5.14: Χαρακτηριστικά μεγέθη από την επίλυση της συνάρτησης μάζας για τον πρώτο και δεύτερο συνοδό.

Παρούσα εργασία Christopoulou et al. (2011) Nelson et al. (2016) Quantity Value Value Value f(m3) 0.16 0.2 0.062 M3 (M ) 0.89 0.99 - α12sini3 5.75 5.80 5.03 α3 (au) 7.76 7.04 -

Παρούσα εργασία Nelson et al. (2016) Quantity Value Value f(m4) 0.041 0.034 M4 (M ) 0.49 - α12sini4 2.76 2.58 α4 (au) 6.76 -

Δεδομένου ότι η μάζα του τέταρτου σώματος είναι μεγαλύτερη από το δευτερεύον μέλος του διπλού συστήματος και λίγο μεγαλύτερη από το μισό της μάζας του τρίτου σώματος, εγείρονται ερωτήματα σχετικά με τη φασματική ανίχνευση του δεύτερου συνοδού. Επιπλέον, η διαφορά μίας αστρονομικής μονάδας μεταξύ των τροχιών των δύο συ-

νοδών (α3 = 7.76 au, α4 = 6.76 au) καθιστά αναγκαία τη μελέτη της δυναμικής σταθερότητας του τετραπλού συστήματος, καθώς και τη διερεύνηση της δυνατότητας αστρομετρικής τους ανίχνευσης. 5.3 Το αινιγματικό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo 191

5.3.3 Συμπεράσματα

Το διπλό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo εξακολουθεί να αποτελεί ένα από τα πιο ενδιαφέροντα και ασυνήθιστα συστήματα τύπου W UMa, καθώς σύμφωνα με τις έως τώρα μελέτες χαρακτηρίζεται από ασταθείς μεταβολές περιόδου και φωτεινότητας, ενώ ακόμα και η φασματικά επιβεβαιωμένη ύπαρξη του ενός συνοδού του δεν έχει επιβεβαιωθεί αστρομετρικά (Pribulla et al., 2009). Με βάση τους δημοσιευμένους χρόνους ελαχίστου φωτός του διαγράμματος O-C μελετήθηκε η μεταβολή της περιόδου του συστήματος, εφαρμόζοντας τις τεχνικές ελαχιστοποίησης Nelder-Mead Downhill Simplex και Levenberg-Marquardt για την εύρεση της βέλτιστης συνθετικής καμπύλης σύμφωνα με το μοντέλο LITE και τη μεταφορά μάζας μεταξύ των μελών. Η σταθερότητα της λύσης επιβεβαιώθηκε μέσω σάρωσης στο χώρο των λύσεων με διαταραχή στις παραμέτρους, ενώ η ολικότητά της επιβεβαιώθηκε με χρήση του γενετικού αλγόριθμου PIKAIA. Προκειμένου να διερευνηθεί ακόμα περισσότερο ο χώρος των παραμέτρων και για την αντικειμενικότερη εκτίμηση των αβεβαιοτήτων των παραμέτρων, εφαρμόσθηκε η Μπαεζιανή μέθοδος M-H MCMC, με τις πολύ καλά καθορισμένες μεταγενέστερες μονοδιάστατες και από κοινού κατανομές (σχήμα 5.20) να υποδεικνύουν τον πολύ καλό περιορισμό των παραμέτρων. Τα αποτελέσματα των μεθόδων υπέδειξαν την ύπαρξη ενός συνοδού ο οποίος εκτελεί

τροχιακή κίνηση γύρω από το διπλό σύστημα με πολύ μεγάλη εκκεντρότητα (e3 =

0.7), περιόδο P3 = 34.5 years και μέγιστη απόσταση από το κοινό βαρύκεντρο a3 = 7.76 au. Θεωρώντας ότι οι τροχιές των τριών σωμάτων είναι συνεπίπεδες (i = 85.45o), υπο-

λογίστηκε η μάζα του με τιμή M3 = 0.89 M και η οποία είναι συγκρίσιμη με τη

μάζα του βαρύτερου μέλους του διπλού συστήματος (M1 = 0.99 M ). Επομένως, είναι δυνατό να ενισχύει την υπόθεση των Pribulla et al. (2009), σύμφωνα με την οποία αντιστοιχεί σε ένα διπλό αποχωρισμένο σύστημα, ωστόσο, δεν αποκλείεται και η ύπαρξη ενός μονού συνοδού. Αξίζει να σημειωθεί ότι οι Christopoulou et al. (2011) επικαιροποίησαν τη λύση τους χωρίς αυτή να αλλάξει σημαντικά και επιβεβαίωσαν τη σταθερότητά της με χρήση σάρωσης στο χώρο των λύσεων με διαταραχή των παραμέτρων (Christopoulou and Papageorgiou, 2015). Τα αποτελέσματά τους εμφανίζουν μικρή απόκλιση από αυτά της παρούσας μελέτης (Πίνακες 5.11, 5.14) εξαιτίας της έλλειψης των νέων παρατηρησιακών δεδομένων. 5.3 Το αινιγματικό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo 192

Συγκριτικά με την πιο πρόσφατη λύση των Nelson et al. (2016) υπάρχει ορισμένη

απόκλιση στις χαρακτηριστικές τιμές της περιόδου (P3 = 45.5 years) και της εκ-

κεντρότητας (e3 = 0.83) του τρίτου σώματος. Οι τιμές αυτές προέκυψαν από την προσαρμογή δύο ημιτονοειδών καμπύλων και ενός παραβολικού όρου μέσω της πο- λυωνυμικής μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων, υποδεικνύοντας παράλληλα την ύπαρξη

ενός δεύτερου συνοδού με περίοδο P4 = 22.4 years και εκκεντρότητα e4 = 0.30. Η ένδειξη για την ύπαρξη ενός επιπλέον συνοδού επιβεβαιώνεται και από την παρούσα μελέτη με την εφαρμογή των στατιστικών μεθόδων NMDS και LM, χωρίς, όμως, να είναι δυνατό να επιβεβαιωθεί η σταθερότητα-ολικότητα της λύσης μέσω σάρωσης στο χώρο των παραμέτρων ή με χρήση γενετικού αλγόριθμου. Οι τροχιακές παράμετροι του τέταρτου σώματος υπολογίστηκαν με τιμές παραπλήσιες με αυτές των Nelson et al. (2016) (Πίνακας 5.11) και πιο συγκεκριμένα η τροχιά

του δεύτερου συνοδού υπολογίστηκε με περίοδο P4 = 22.7 years και εκκεντρότητα e4 = 0.32. Από την επίλυση της συνάρτησης μάζας για συνεπίπεδη τροχιά του τέταρτου σώματος με αυτή του διπλού συστήματος, υπολογίστηκε η μέγιστη απόσταση του δεύτερου

συνοδού με τιμή α4 = 6.76 au από το κοινό βαρύκεντρο, ενώ η μάζα του αντιστοιχεί

σε M4 = 0.49 M . Δεδομένης της μικρής μεταξύ τους απόστασης των δύο συνοδών και της μεγάλης μάζας τους, κρίνεται αναγκαία όχι μόνο η φασματοσκοπική και αστρομετρική διερεύ νηση ύπαρξης του δεύτερου συνοδού, αλλά και της δυναμικής σταθερότητας του συστήματος. Η μελέτη του μηχανισμού Applegate σύμφωνα με τα μοντέλα λεπτού φλοιού (thin shell model) και σταθερής πυκνότητας (constant density model) έδειξε ότι τα ε- νεργειακά αποθέματα του δευτερεύοντος μέλους δεν επαρκούν για την εξήγηση της παρατηρούμενης μεταβολής της περιόδου. Ωστόσο, κρίνεται αναγκαία η μελέτη του μηχανισμού σύμφωνα με το αυξημένης ακρίβειας μοντέλο διπλής ζώνης (two-zone model) προκειμένου να αποκλειστεί με μεγάλη βεβαιότητα το ενδεχόμενο συνεισφοράς του μηχανισμού ακόμα και στα υ- πόλοιπα του διαγράμματος O-C που αντιστοιχούν στην ένδειξη ύπαρξης του δεύτερου συνοδού. Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 5 193

Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 5

B. Albayrak, S. O. Selam, K. Yüce, M. Helvacı, and T. Ak. Monitoring Possible Light-Time Effect in the Orbital Period of Some Eclipsing Binaries at the Ankara University Observatory. Astrophysics and Space Science, 304:131–133, August 2006.

L. A. Almeida, F. Jablonski, J. Tello, and C. V. Rodrigues. A photometric and spectroscopic study of NSVS 14256825: the second sdOB+dM eclipsing binary. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 423(1):478–485, 2012.

L. A. Almeida, F. Jablonski, and C. V. Rodrigues. Two Possible Circumbinary Planets in the Eclipsing Post-common Envelope System NSVS 14256825. Astrophysical Journal, 766:11, March 2013.

J. H. Applegate. A mechanism for orbital period modulation in close binaries. Astrophysical Journal, 385:621–629, February 1992. doi: 10.1086/170967.

N. S. Awadalla, M. A. Hanna, A. S. Saad, and A. B. Morcos. Study of magnetic activity and period variations of TZ Bootis system. Contributions of the Astronomical Observatory Skalnate Pleso, 36:47–57, February 2006.

U. Backhaus, S. Bauer, and K. Beuermann. The quest for companions to post- common envelope binaries. I. Searching a sample of stars from the CSS and SDSS. Astronomy and Astrophysics, 538:A84, February 2012.

K. Beuermann, F. V. Hessman, S. Dreizler, T. R. Marsh, S. G. Parsons, D. E. Winget, G. F. Miller, M. R. Schreiber, W. Kley, V. S. Dhillon, S. P. Littlefair, C. M. Copperwheat, and J. J. Hermes. Two planets orbiting the recently formed post-common envelope binary NN Serpentis. Astronomy and Astrophysics, 521: L60, October 2010.

K. Beuermann, P. Breitenstein, B. Debski, J. Diese, P. A. Dubovsky, S. Dreizler, F. V. Hessman, K. Hornoch, T.-O. Husser, G. Pojmanski, M. Wolf, P. R. Woź- niak, P. Zasche, B. Denk, M. Langer, C. Wagner, D. Wahrenberg, T. Bollmann, F. N. Habermann, N. Haustovich, M. Lauser, F. Liebing, and F. Niederstadt. The quest for companions to post-common envelope binaries. II. NSVS14256825 and HS0705+6700. Astronomy and Astrophysics, 540:A8, April 2012.

C. S. Brinkworth, T. R. Marsh, V. S. Dhillon, and C. Knigge. Detection of a period decrease in NN Ser with ULTRACAM: evidence for strong magnetic braking or Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 5 194

an unseen companion. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 365: 287–295, January 2006.

A. Burrows, W. B. Hubbard, J. I. Lunine, and J. Liebert. The theory of brown dwarfs and extrasolar giant planets. Reviews of Modern Physics, 73:719–765, July 2001.

P.-E. Christopoulou and A. Papageorgiou. A New Look at the Eclipse Timing Variation Diagram Analysis of Selected 3-body W UMa Systems. In S. M. Rucinski, G. Torres, and M. Zejda, editors, Living Together: Planets, Host Stars and Binaries, volume 496 of Astronomical Society of the Pacific Conference Series, page 210, July 2015.

P.-E. Christopoulou, A. Parageorgiou, and I. Chrysopoulos. First Modern Photometric Investigation of the Puzzling W UMa Type Close Binary System of TZ Bootis. Astronomical Journal, 142:99, October 2011.

A. J. Drake, E. Beshore, M. Catelan, S. G. Djorgovski, M. J. Graham, S. J. Kleinman, S. Larson, A. Mahabal, and R. Williams. Discovery of eclipsing white dwarf systems in a search for Earth-size companions. ArXiv e-prints, September 2010.

B.-Q. For, E. M. Green, G. Fontaine, H. Drechsel, J. S. Shaw, J. A. Dittmann, A. G. Fay, M. Francoeur, J. Laird, E. Moriyama, M. Morris, C. Rodríguez-López, J. M. Sierchio, S. M. Story, A. Strom, C. Wang, S. M. Adams, D. E. Bolin, M. Eskew, and P. Chayer. Modeling the System Parameters of 2M 1533+3759: A New Longer Period Low-Mass Eclipsing sdB+dM Binary. Astrophysical Journal, 708:253–267, January 2010.

D. Foreman-Mackey, D. W. Hogg, and T. D. Morton. Exoplanet Population Inference and the Abundance of Earth Analogs from Noisy, Incomplete Catalogs. Astrophysical Journal, 795:64, November 2014.

W.R. Gilks, S. Richardson, and D. Spiegelhalter. Markov Chain Monte Carlo in Practice. Chapman & Hall/CRC Interdisciplinary Statistics. Taylor & Francis, 1995. ISBN 9780412055515.

K. Goździewski, A. Słowikowska, D. Dimitrov, K. Krzeszowski, M. Żejmo, G. Kanbach, V. Burwitz, A. Rau, P. Irawati, A. Richichi, M. Gawroński, G. Nowak, I. Nasiroglu, and D. Kubicki. The HU Aqr planetary system Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 5 195

hypothesis revisited. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 448: 1118–1136, April 2015.

R. Grobel. A Major Period Change in the System TZ Bootis. Information Bulletin on Variable Stars, 3299, March 1989.

P. Guthnick and R. Preger. Beobachtungen veraenderlicher Sterne I. Kleine Veroeffentlichungen der Universitaetssternwarte zu Berlin Babelsberg, 1:4.1–4.36, 1927.

Z. Han, P. Podsiadlowski, P. F. L. Maxted, and T. R. Marsh. The origin of subdwarf B stars - II. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 341: 669–691, May 2003.

A. P. Hatzes and H. Rauer. A Definition for Giant Planets Based on the Mass–Density Relationship. The Astrophysical Journal Letters, 810(2):L25, 2015.

T. C. Hinse, J. W. Lee, K. Goździewski, N. Haghighipour, C.-U. Lee, and E. M. Scullion. New light-travel time models and orbital stability study of the proposed planetary system HU Aquarii. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 420:3609–3620, March 2012.

T. C. Hinse, J. W. Lee, K. Goździewski, J. Horner, and R. A. Wittenmyer. Revisiting the proposed circumbinary multiplanet system NSVS 14256825. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 438:307–317, February 2014.

M. Hoffmann. The W Ursae Majoris system TZ Bootis. Astronomy and Astrophysics Supplement, 33:63–85, July 1978.

M. Hoffmann. A 3.5 year secondary period in the W UMa system TZ Bootis. Astronomy and Astrophysics Supplement, 40:263–269, May 1980.

M. J. Holman and P. A. Wiegert. Long-Term Stability of Planets in Binary Systems. Astronomical Journal, 117:621–628, January 1999.

J. Horner, T. C. Hinse, R. A. Wittenmyer, J. P. Marshall, and C. G. Tinney. A dynamical analysis of the proposed circumbinary HW Virginis planetary system. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 427:2812–2823, December 2012.

J. Juryšek, K. Hoňková, and L. Šmelcer. B.R.N.O. Contributions #40 Times of minima. Open European Journal on Variable Stars, 179:1, 2017. Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 5 196

N. Kelley and J. S. S. Shaw. Combined NSVS/2MASS database search for Cool Algols and Eclipsing Subdwarf B Stars. Journal of the Southeastern Association for Research in Astronomy, 1:13–16, September 2007.

D. Kilkenny and C. Koen. Detection of an increasing orbital period in the subdwarf B eclipsing system NSVS 14256825. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 421(4):3238–3241, 2012.

A. F. Lanza, M. Rodono, and R. Rosner. Orbital period modulation and magnetic cycles in close binaries. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 296: 893–902, June 1998.

J. W. Lee, J.-H. Youn, K. Hong, and W. Han. Long-term CCD Photometry and Physical Properties of the sdB+M Eclipsing System 2M 1533+3759. Astrophysical Journal, 839:39, April 2017.

Z. Liying and Q. Shengbang. A photometric study of a new short period eclipsing sdB binary NSVS 07826147. Astrophysics and Space Science, 329:107–112, October 2010.

M. E. Lohr, A. J. Norton, D. R. Anderson, A. Collier Cameron, F. Faedi, C. A. Haswell, C. Hellier, S. T. Hodgkin, K. Horne, U. C. Kolb, P. F. L. Maxted, D. Pollacco, I. Skillen, B. Smalley, R. G. West, and P. J. Wheatley. Period and amplitude variations in post-common-envelope eclipsing binaries observed with SuperWASP. Astronomy and Astrophysics, 566:A128, June 2014.

E. Manthopoulou. Period variation of the binary systems : NSVS 14256825,YY Gem and BS UMa. Senior Thesis, 2016.

I. Nasiroglu, K. Goździewski, A. Słowikowska, K. Krzeszowski, M. Żejmo, S. Zola, H. Er, W. Ogłoza, M. Dróżdż, D. Koziel-Wierzbowska, B. Debski, and N. Karaman. Is There a Circumbinary Planet around NSVS 14256825? Astronomical Journal, 153:137, March 2017.

R. H. Nelson, D. Terrell, and E. F. Milone. A critical review of period analyses and implications for mass exchange in W UMa eclipsing binaries: Paper 3. New Astronomy Reviews, 70:1–26, February 2016.

A. B. Owen. Statistically efficient thinning of a Markov chain sampler. ArXiv e-prints, 2015. Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 5 197

B. Paczynski. Common Envelope Binaries. In P. Eggleton, S. Mitton, and J. Whelan, editors, Structure and Evolution of Close Binary Systems, volume 73 of IAU Symposium, page 75, 1976.

A. Papageorgiou. Observational study and modeling of close eclipsing binary stars of W UMa type. PhD thesis, University of Patras, Department of Physics, 2015. URL http://hdl.handle.net/10889/8794.

S. Portegies Zwart. Planet-mediated precision reconstruction of the evolution of the cataclysmic variable HU Aquarii. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 429:L45–L49, February 2013.

T. Pribulla and S. M. Rucinski. Contact Binaries with Additional Components. I. The Extant Data. Astronomical Journal, 131:2986–3007, June 2006b.

T. Pribulla, S. M. Rucinski, H. DeBond, A. De Ridder, T. Karmo, J. R. Thomson, B. Croll, W. Ogłoza, B. Pilecki, and M. Siwak. Radial Velocity Studies of Close Binary Stars. XIV. Astronomical Journal, 137:3646–3654, March 2009.

S. Qian. A possible relation between the period change and the mass ratio for W-type contact binaries. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 328:635–644, December 2001a. doi: 10.1046/j.1365-8711.2001.04931.x.

S. Qian. Orbital period changes of contact binary systems: direct evidence for thermal relaxation oscillation theory. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 328:914–924, December 2001b.

S. Qian. Are overcontact binaries undergoing thermal relaxation oscillation with variable angular momentum loss? Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 342:1260–1270, July 2003.

S. Qian and Q. Liu. Orbital period studies of the two contact binaries TZ Bootis and Y Sextantis. Astronomy and Astrophysics, 355:171–175, March 2000.

S. Qian and Y. Yang. Improved astrophysical parameters for the overcontact binary FG Hydrae. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 356: 765–772, January 2005.

S.-B. Qian, Y.-G. Yang, B. Soonthornthum, L.-Y. Zhu, J.-J. He, and J.-Z. Yuan. Deep, Low Mass Ratio Overcontact Binary Systems. III. CU Tauri and TV Muscae. Astronomical Journal, 130:224–233, July 2005. Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 5 198

S. M. Rucinski, T. Pribulla, and M. H. van Kerkwijk. Contact Binaries with Additional Components. III. A Search Using Adaptive Optics. Astronomical Journal, 134:2353–2365, December 2007.

J. Schneider, C. Dedieu, P. Le Sidaner, R. Savalle, and I. Zolotukhin. Defining and cataloging exoplanets: the exoplanet.eu database. Astronomy and Astrophysics, 532:A79, August 2011.

Y. P. Tian, F. Y. Xiang, and X. Tao. Period investigation of two RS CVn-type binary stars: RU Cancri and AW Herculis. Astrophysics and Space Science, 319: 119–124, February 2009.

S. Udry. Detection and characterization of exoplanets: from gaseous giants to super-Earths. In In the Spirit of Lyot 2010, 2010.

D. Veras and C. A. Tout. The great escape - II. Exoplanet ejection from dying multiple-star systems. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 422: 1648–1664, May 2012.

D. Veras, M. C. Wyatt, A. J. Mustill, A. Bonsor, and J. J. Eldridge. The great escape: how exoplanets and smaller bodies desert dying stars. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 417:2104–2123, November 2011.

D. Veras, N. Georgakarakos, I. Dobbs-Dixon, and B. T. Gänsicke. Binary star influence on post-main-sequence multi-planet stability. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 465:2053–2059, February 2017.

M. Völschow, R. Banerjee, and F. V. Hessman. Second generation planet formation in NN Serpentis? Astronomy and Astrophysics, 562:A19, February 2014.

M. Völschow, D. R. G. Schleicher, V. Perdelwitz, and R. Banerjee. Eclipsing time variations in close binary systems: Planetary hypothesis vs. Applegate mechanism. Astronomy and Astrophysics, 587:A34, March 2016. doi: 10.1051/ 0004-6361/201527333.

P. Wils, G. di Scala, and S. A. Otero. NSVS 14256825: A New HW Vir Type System. Information Bulletin on Variable Stars, 5800, October 2007.

R. A. Wittenmyer, J. Horner, and J. P. Marshall. On the dynamical stability of the proposed planetary system orbiting NSVS 14256825. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 431:2150–2154, May 2013. Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 5 199

P. R. Woźniak, S. J. Williams, W. T. Vestrand, and V. Gupta. Identifying Red Variables in the Northern Sky Variability Survey. Astronomical Journal, 128: 2965–2976, December 2004.

L. Zhu, S. Qian, W. Liao, E. Zhao, and L. Li. Substellar objects around the sdB eclipsing Binaries. In Journal of Physics Conference Series, volume 728 of Journal of Physics Conference Series, page 072023, 2016.

L. Y. Zhu, S. B. Qian, W. P. Liao, E. F. Lajus, B. Soonthornthum, E. G. Zhao, and L. Liu. Circumbinary Planets Orbiting around POST Common Envelope Binaries. Publication of Korean Astronomical Society, 30:289–292, September 2015.

M. Zorotovic and M. R. Schreiber. Origin of apparent period variations in eclipsing post-common-envelope binaries. Astronomy and Astrophysics, 549:A95, January 2013. Παράρτημα ix

Παράρτημα

Πίνακες χρόνων ελαχίστου φωτός

Πίνακας 6.1: Χρόνοι ελαχίστου φωτός για το διπλό εκλειπτικό σύστημα NSVS 14256825.

Date Cycles Time of Minima (+2400000, BJD) error (sec) Ref. 10/06/1999 -26586.0 51339.803273 37.0656 2 24/09/2003 -12390.0 52906.673899 46.7424 2 06/09/2005 -5931.0 53619.579776 46.3968 2 22/06/2007 0.0 54274.208800 8.6400 1 30/06/2007 72.0 54282.155900 17.2800 1 30/06/2007 73.0 54282.266100 17.2800 1 04/07/2007 108.0 54286.129100 8.6400 1 11/07/2007 172.0 54293.193200 8.6400 1 12/07/2007 180.0 54294.076200 8.6400 1 12/07/2007 181.0 54294.186600 8.6400 1 13/07/2007 190.0 54295.179900 8.6400 1 27/07/2007 316.0 54309.087000 86.4000 1 27/07/2007 317.0 54309.197300 8.6400 1 28/07/2007 325.0 54310.080400 8.6400 1 01/08/2007 362.0 54314.164200 8.6400 1 13/10/2007 1018.0 54386.569297 49.1616 2 08/08/2008 3737.0 54686.676900 41.2128 2 24/07/2009 6914.0 55037.335340 1.5552 2 07/08/2009 7037.0 55050.911370 1.9008 2 23/10/2016 30904.0 57685.210140 1.0368 5 27/10/2016 30941.0 57689.293990 2.3328 5 14/06/2017 33026.5 57919.479077 6.0480 6 15/06/2017 33027.0 57919.534267 6.0480 6

Ο πίνακας δίνεται ενδεικτικά λόγω του μεγάλου μεγέθους του, με τις στήλες να αναφέρονται από αριστερά προς τα δεξιά: στην ημερομηνία παρατήρησης (Date), στον αριθμό περιφοράς (Cycles) γύρω από το κοινό βαρύκεντρο, στο χρόνο ελαχίστου σε βαρυκεντρικό σύστημα συντεταγμένων (BJD), στο σφάλμα σε sec καθώς και στις βιβλιογραφικές αναφορές (Ref.) από τις οποίες έγινε η συλλογή τους. Οι αναφορές αντιστοιχούν στις εξής ερευνητικές εργασίες - αστεροσκοπεία: (1) Wils et al. (2007), (2) Beuermann et al. (2012), (3) Kilkenny & Koen (2012), (4) Almeida et al. (2013), (5) Nasiroglu et al. (2017), (6) Αστεροσκοπείο Μυθωδία Πανεπιστημίου Πατρών (2017). Παράρτημα x

Πίνακας 6.2: Χρόνοι ελαχίστου φωτός για το διπλό εκλειπτικό σύστημα NSVS 07826147.

Date Cycles Time of Minima (+2400000, BJD) error (sec) Ref. 09/05/2004 -17844.5 53135.132481 4.3115 4 04/06/2004 -17687.5 53160.575791 2.8660 4 18/06/2004 -17597.0 53175.201270 2.9485 4 04/07/2004 -17502.0 53190.559510 4.1527 4 18/07/2004 -17413.0 53204.965600 2.0030 4 05/08/2004 -17301.0 53223.061840 2.9839 4 19/08/2004 -17213.0 53237.260490 2.6044 4 04/09/2004 -17114.5 53253.263940 2.0012 4 20/09/2004 -17019.0 53268.701740 4.5575 4 16/12/2005 -14224.5 53720.780010 4.9985 4 12/05/2006 -13315.5 53867.830440 5.2697 4 23/06/2006 -13055.5 53909.838570 3.7015 4 24/02/2007 -11533.0 54156.140790 5.7905 4 11/03/2007 -11444.0 54170.571950 7.8496 4 06/06/2007 -10904.5 54257.849120 2.9666 4 21/06/2007 -10813.5 54272.575140 2.4109 4 06/07/2007 -10716.5 54288.234520 2.7520 4 27/02/2008 -9259.5 54523.939495 2.1600 1 28/02/2008 -9259.5 54523.939495 4.3200 1 06/03/2008 -9253.0 54524.990915 1.2960 1 20/05/2014 4800.0 56798.350986 0.8640 8 01/07/2014 5060.0 56840.411385 7.7760 8 03/07/2014 5072.0 56842.352625 2.5920 8 04/07/2014 5079.0 56843.484973 1.7280 8 13/06/2017 11724.0 57918.449471 2.5920 8 14/06/2017 11724.5 57918.530341 2.5920 8

Ο πίνακας δίνεται ενδεικτικά λόγω του μεγάλου μεγέθους του, με τις στήλες να αναφέρονται από αριστερά προς τα δεξιά: στην ημερομηνία παρατήρησης (Date), στον αριθμό περιφοράς (Cycles) γύρω από το κοινό βαρύκεντρο, στο χρόνο ελαχίστου σε βαρυκεντρικό σύστημα συντεταγμένων (BJD), στο σφάλμα σε sec καθώς και στις βιβλιογραφικές αναφορές (Ref.) από τις οποίες έγινε η συλλογή τους. Οι αναφορές αντιστοιχούν στις εξής ερευνητικές εργασίες, προγράμματα ανίχνευσης εξωπλανητών και αστεροσκοπεία: (1) For et al. (2010), (2) Liying et al. (2010), (3) Backhaus et al. (2012), (4) Lohr et al. (2014), (5) Lee et al. (2017), (6) B.R.N.O., (7) Project Dwarf, (8) Αστεροσκοπείο Μυθωδία Πανεπιστημίου Πατρών. Παράρτημα xi

Πίνακας 6.3: Χρόνοι ελαχίστου φωτός για το διπλό σύστημα υπερεπαφής TZ Boo.

Date Cycles Time of Minima (+2400000, HJD) error (sec) Ref. 03/04/1926 -93858.5 24609.2410 vis: * 27/05/1948 -66633.0 32699.4900 vis * 29/05/1948 -66626.5 32701.4280 vis * 26/05/1949 -65411.0 33062.6188 pe * 21/03/1950 -64402.5 33362.3160 vis * 19/03/1961 -50887.5 37378.4100 vis: * 19/03/1961 -50887.5 37378.4110 vis: * 19/03/1961 -50887.5 37378.4160 vis * 19/03/1961 -50887.5 37378.4170 vis * 19/03/1961 -50887.5 37378.4180 vis * 22/05/1967 -43301.0 39632.8418 pe * 26/05/1967 -43287.5 39636.8506 pe * 02/06/1967 -43264.0 39643.8368 pe * 24/06/1967 -43191.0 39665.5380 vis * 25/06/1967 -43184.5 39667.4480 vis * 29/06/1967 -43171.0 39671.4710 vis * 12/07/1967 -43130.5 39683.5040 vis * 05/09/1967 -42942.5 39739.3680 vis * 14/06/1968 -41990.0 40022.3980 vis: * 16/06/1968 -41983.0 40024.4720 vis: * 25/06/1968 -41953.0 40033.3790 vis: * 26/06/1968 -41952.5 40033.5370 vis: * 30/06/1968 -41936.0 40038.4540 vis * 01/07/1968 -41932.5 40039.4380 vis: * 18/07/1968 -41875.5 40056.4260 vis * 28/07/1968 -41842.0 40066.3830 vis * 29/07/1968 -41838.5 40067.4370 vis * 18/05/2011 10769.5 55700.4569 ccd 108 18/05/2011 10769.5 55700.4583 ccd 108 20/05/2011 10776.0 55702.3880 ccd 108

Ο πίνακας δίνεται ενδεικτικά λόγω του μεγάλου μεγέθους του, με τις στήλες να αναφέρονται από αριστερά προς τα δεξιά: στην ημερομηνία παρατήρησης (Date), στον αριθμό περιφοράς (Cycles) γύρω από το κοινό βαρύκεντρο, στο χρόνο ελαχίστου σε βαρυκεντρικό σύστημα συντεταγμένων (BJD), στο σφάλμα σε sec καθώς και στις βιβλιογραφικές αναφορές (Ref.) από τις οποίες έγινε η συλλογή τους. Οι χρόνοι ελαχίστου που αντιστοιχούν σε τύπους δεδομένων που συνοδεύονται από (:) δεν συμπερίληφθηκαν στο διάγραμμα O-C, καθώς δεν θεωρούνται αξιόπιστης βεβαιότητας. Οι αναφορές που σημειώνονται με αστερίσκο (*) δίνονται στην ηλεκτρονική μορφή της πρωτότυπης ερευνητικής εργασίας των Christopoulou et al. (2011) ενώ η αναφορά (108) αντιστοιχεί στη βάση δεδομένων Bob Nelson’s Database of Eclipsing Binary O-C Files (https://www.aavso.org/bob-nelsons-o-c-files). Αναφορές Σχημάτων xi

Αναφορές Σχημάτων

[Εξώφυλλο] c Karen Teramura, University of Hawai, Institute for Astronomy (http://www.ifa.hawaii.edu/info/press-releases/WideBinaryStars/) [Σχήμα 1.1] M. Benacquista. An Introduction to the Evolution of Single and Binary Stars. Springer-Verlag New York, 2013. [Σχήμα 1.2] The Nebraska Astronomy Applet Project (NAAP Labs) (Eclipsing Binary Simulator : http://astro.unl.edu/naap/ebs/animations/ebs.html) [Σχήμα 1.3] M. Benacquista. An Introduction to the Evolution of Single and Binary Stars. Springer-Verlag New York, 2013. [Σχήμα 1.4] G. W. Collins, II. The Foundations of Celestial Mechanics. Pachart Publishing House, 1989. [Σχήμα 1.5] M. Benacquista. An Introduction to the Evolution of Single and Binary Stars. Springer-Verlag New York, 2013. [Σχήμα 2.1] M. Benacquista. An Introduction to the Evolution of Single and Binary Stars. Springer-Verlag New York, 2013. [Σχήμα 2.3] M. Benacquista. An Introduction to the Evolution of Single and Binary Stars. Springer-Verlag New York, 2013. [Σχήμα 2.4] J. E. Pringle and R. A. Wade. Interacting binary stars. Cambridge University Press,1985. [Σχήμα 2.5] J. E. Pringle and R. A. Wade. Interacting binary stars. Cambridge University Press, 1985. [Σχήμα 2.6] M. Benacquista. An Introduction to the Evolution of Single and Binary Stars. Springer-Verlag New York, 2013. [Σχήμα 2.11] S. M. Rucinski. Contact Binaries of the W UMa Type. In J. Sahade, G. E. McCluskey, and Y. Kondo, editors, Astrophysics and Space Science Library, volume 177 of Astrophysics and Space Science Library, 1993. [Σχήμα 2.12] J. E. Pringle and R. A. Wade. Interacting binary stars. Cambridge University Press, 1985. [Σχήμα 3.1] C. Sterken. The O-C Diagram: Basic Procedures. The Light-Time Effect in Astrophysics: Causes and cures of the O-C diagram, volume 335 of Astronomical Society of the Pacific Conference Series, 2005. [Σχήμα 3.2α] D. I. Hoffman, T. E. Harrison, B. J. McNamara, W. T. Vestrand, J. A. Holtzman, and T. Barker. The Case for Third Bodies as the Cause of Period Changes in Selected Algol Systems. Astronomical Journal, 132:2260–2267, December 2006. Αναφορές Σχημάτων xii

[Σχήμα 3.2β] C. H. S. Lacy. An exact solution of the ephemeris-curve problem. Astronomical Journal, 104:2213–2216, December 1992. [Σχήμα 3.2γ] S. Qian. A possible relation between the period change and the mass ratio for W-type contact binaries. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 328:635–644, December 2001. [Σχήμα 3.3] J. B. Irwin. The Determination of a Light-Time Orbit. Astrophysical Journal, 116: 211, July 1952. [Σχήμα 3.4] D. S. Hall. The relation between RS CVn and Algol. Space Science Reviews, 50: 219–233, June 1989. [Σχήμα 4.1] W.H. Press. Numerical Recipes 3rd Edition: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, 2007.