Complemento Para Apostila Do Metrô/SP Cód.: 0735 - 3ª Edição
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Complemento - 1 COMPLEMENTO PARA APOSTILA DO METRÔ/SP CÓD.: 0735 - 3ª EDIÇÃO Matemática 1. Equações e Sistemas de Duas Equações com Duas Incógnitas do Primeiro Grau .........03 2. Unidades de Medidas ..............................................................................................10 3. Perímetros e Áreas de Figuras Planas .......................................................................17 4. Volumes e Áreas de Sólidos Geométricos ..................................................................22 5. Relações no Triângulo Retângulo .............................................................................27 Atualidades .......................................................................................35 Central de Concursos 2 - Complemento Central de Concursos Complemento - 3 1. EQUAÇÕES E SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITAS DO PRIMEIRO GRAU 1. Introdução 2. Forma Geral de uma Equação do Primeiro Grau 3. Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação 4. Resoluções de Equações do Primeiro Grau 5. Problemas do Primeiro Grau 6. Sistemas de Duas Equações do Primeiro Grau 7. Problemas Envolvendo Sistemas de Duas Equações 1. INTRODUÇÃO 3. CONJUNTO VERDADE E CONJUNTO UNIVERSO DE UMA EQUAÇÃO Equação é toda sentença matemática aberta que expri- ma uma relação de igualdade. A palavra equação tem o Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores prefixoequa , que em latim quer dizer “igual”. Exemplos: que a variável pode assumir. Indica-se por U. • 2x + 8 = 0 • 5x – 4 = 6x + 8 Conjunto Verdade é o conjunto dos valores de U, que • 3a – b – c = 0 tornam verdadeira a equação. Indica-se por V. Não são equações: O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo. V U • 4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) Determine o número inteiro que satisfaz a equação • x – 5 < 3 (Não é igualdade) x + 2 = 5. • 5 2 (não é sentença aberta, nem igualdade) O conjunto dos números inteiros é o conjunto uni- verso da equação. O número 3, que satisfaz a equação, forma o conjunto 2. FORMA GERAL DE UMA EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU verdade, podendo ser indicado por: V = {3} A equação geral do primeiro grau é da forma: ax + b = 0 (a 0) 4. RESOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU Considere a equação: 2x - 8 = 3x -10 Resolver uma equação, significa determinar o conjunto verdade dessa equação. A letra x é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa “desconhecida”. Para resolvermos equações do primeiro grau, devemos lembrar que: Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que a) podemos transformar uma equação em outra equação sucede, 2º membro. equivalente mais simples. 5x – 8 = 2x – 10 3x = –2 b) podemos adicionar ou subtrair um mesmo número a ambos os membros da igualdade. Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo x – 5 = 0 x – 5 + 5 = 0 + 5 x = 5 da equação. c) podemos multiplicar ou dividir ambos os membros 2x – 8 = 3x – 10 de uma equação por um número diferente de zero. 4x = 8 4x : 4 = 8 : 4 x = 2 Central de Concursos 4 - Complemento Exercício Resolvido 5. PROBLEMAS DO PRIMEIRO GRAU Resolva as seguintes equações, em U = Z São problemas, cujas resoluções envolvem uma equa- ção do primeiro grau. a) 2x – 8 = 10 b) 3 – 7(1-2x) = 5 – (x+9) Para se resolver um problema do primeiro grau, devemos: a) Chamar de “x” o que o problema está pedindo. c) b) Transformar em linguagem matemática o enunciado Resolução: do problema. a) 2x – 8 = 10 c) Montar a equação do primeiro grau correspondente. d) Resolver a equação e interpretar a resolução de Agruparemos inicialmente os termos semelhantes acordo com o enunciado do problema. e depois isolaremos a variável x. Exemplos de transformação de linguagem comum 2x = 10 + 8 x = 9 em linguagem matemática Resposta: V = {9} b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9) Inicialmente eliminaremos os parênteses aplicando a propriedade distributiva: 3 – 7 + 14x = 5 – x – 9 Agora agruparemos os termos semelhantes e depois isolaremos a variável x. 14x + x = 5 – 9 – 3 + 7 15x = 0 x = 0 Resposta: V= {0} Exercícios Resolvidos c) 01. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se Inicialmente reduziremos as frações ao mesmo que André é 4 anos mais novo do que Carlos. denominador, “tirando” o mmc dos dois membros, e eliminando esse denominador. Resolução: Primeiro passaremos o problema da linguagem na- tural, para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo: Agora agruparemos os termos semelhantes e depois a = c - 4. isolaremos a variável x. Assim: c + a = 22 c + (c - 4) = 22 2c - 4 = 22 2x + 3x = 60 5x = 60 x = 12. 2c = 22 + 4 2c = 26 c = 13 a = 13 – 4 = 9 Resposta: V= {12} Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 9 anos. Central de Concursos Complemento - 5 02. A população de uma cidade A é o triplo da popu- lação da cidade B. Se as duas cidades juntas têm 04. O valor de x na equação é: uma população de 100.000 habitantes, quantos a) habitantes têm a cidade B? b) Resolução: Identificaremos a população da cidade A com a c) letra a e a população da cidade B com a letra b. d) Pelo enunciado, temos que: a = 3b. Dessa forma, poderemos escrever: e) a + b = 100.000 3b + b = 100.000 4b = 100.000 b = 25.000 05. O valor de x na equação é: a) 18 Resposta: A cidade B tem 25.000 habitantes. b) 19 c) 16 03. Uma casa com 260m2 de área construída possui 3 d) 15 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada e) 14 quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m2? Situação Problema Resolução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra x. 06. A soma de três números inteiros e consecutivos 3x + 140 = 260 3x = 260 –140 3x = 120 é 18. Então podemos afirmar que: x = 40 a) o menor é 6 b) o maior é par Resposta: Cada quarto tem 40m2. c) 10 é o dobro do menor d) 3 é o dobro do termo médio e) nenhum dos termos é par EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 07. O número cujo triplo é igual a ele mesmo au- Resolver as seguintes equações mentado de 50 unidades é: do 1º grau, sendo U = Q: a) 25 b) 30 c) 33 01. O valor de x que satisfaz a equação 3x - 5 = 4 é: a) 1 d) 20 b) 2 e) 15 c) 3 d) 4 08. O número 192 foi dividido em três partes, tais e) 5 que a segunda é o dobro da primeira, e a ter- ceira parte excede a segunda de 12 unidades. 02. Se 1 - 2x = 4, quanto vale 8x + 3 ? As partes valem: a) - 13 a) 36 ,72, 84 b) - 9 b) 24, 48, 72 c) 16 c) 100, 82, 30 d) 19 d) 48, 42, 84 e) 51 e) 64, 64, 64 03. Na equação 4(x + 1) - 5(x - 3) = x + 9, o valor de “x” é: a) 10 b) 9 c) 6 d) 5 e) 4 Central de Concursos 6 - Complemento 09. A soma da idade que eu tenho hoje, com o tri- 6. SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU plo da idade que eu tinha há 4 anos, é igual ao dobro da idade que eu terei daqui a dois anos. Definição Qual é minha idade atual? a) 6 Dizemos que duas equações do 1º grau, formam um b) 8 sistema quando possuem uma solução comum (mesma c) 10 solução). Nesse caso as duas equações têm o mesmo d) 12 conjunto universo. e) 14 Propriedades 10. Se da metade da sua idade tirarmos a terça parte da mesma, obteremos 6. Qual a sua idade? Vamos ver dois métodos práticos para resolver um a) 36 anos sistema, usando as seguintes propriedades: b) 28 anos c) 18 anos a) podemos multiplicar (ou dividir) os coeficientes de d) 48 anos uma equação por qualquer número diferente de zero. e) 56 anos b) A soma de dois números simétricos ou opostos é sempre zero. 11. A diferença entre o quádruplo do antecessor e o dobro do sucessor de certo número encon- c) podemos somar (ou subtrair) membro a membro tramos 68. O triplo desse número vale: duas equações. a) 37 b) 38 No conjunto solução de um sistema, devemos colocar c) 39 o par de números dentro de parênteses, por ser um par d) 111 ordenado, primeiro x depois y. e) 333 1º) Método da adição: 12. Qual é o número que somado a dois quartos dele Esse método consiste em adicionarmos as duas próprio, mais três quartos dele próprio dá 45? equações membro a membro, observando que nesta a) 20 operação deveremos eliminar uma variável. b) 40 c) 16 Exercícios Resolvidos d) 45 e) 60 01. Resolver pelo método da adição o seguinte sistema: Resolução: 1º) somamos as duas equações membro a membro: Logo: 2x = 14 x = 7 2º) Escolhemos a 1ª equação para fazer a substituição de x por 7. Gabarito dos Exercícios de Fixação x + y = 9 01. C 02. B 03. D 04. D 7 + y = 9 y = 9 – 7 y = 2 05. C 06. C 07. A 08. A 09. B 10. A 11. D 12. A S = {(7;2)} Central de Concursos Complemento - 7 02. Resolver pelo método da adição o seguinte sistema: 04. Resolver pelo método da adição o seguinte sistema: Resolução: 1º) somamos as duas equações membro a membro: Resolução: Note que as equações não possuem coeficientes opostos, logo, se somarmos membro a membro, não eliminaremos nenhuma variável. Logo: x = x = 8 1º) Para a resolução deste sistema, devemos escolher uma variável para ser eliminada Para isso, multipli- 2º) Voltamos na 1ª ou 2ª equação e substituiremos x por 8.