Alla Ricerca Di Pianeti Extrasolari: Casi Di Studio in Statistica Stellare
Total Page：16
File Type：pdf, Size：1020Kb
Università degli Studi di Padova Dipartimento di Scienze Statistiche Corso di Laurea Magistrale in Scienze Statistiche Alla ricerca di pianeti extrasolari: casi di studio in Statistica stellare Relatore: Prof.ssa Alessandra Rosalba Brazzale Dipartimento di Scienze Statistiche Laureando: Umberto Simola Matricola N: 1056444 Anno accademico 2013/2014 Challenge me. Doubt me. Disrespect me. Tell me i am older. Tell me i am slower. Tell me i can no longer fly. I want you to. Michael Jordan Ringraziamenti Desidero innanzitutto ringraziare la mia relatrice, la prof.ssa Alessandra Brazzale, per avermi concesso l’opportunità di approfondire un tema che da sempre mi affascina, per le conversazioni stimolanti e motivanti che ab- biamo avuto modo di intrattenere in questi mesi e per la libertà di iniziativa che mi ha lasciato. Ringrazio inoltre i professori, in particolare il prof. Sartori ed il prof. Mazzuco per la cortesia e la disponibilità che mi hanno dimostrato nell’indi- rizzarmi su alcuni aspetti metodologici dell’elaborato. Grazie inoltre a tutti gli amici che ho avuto modo di conoscere in questi cinque anni di Scienze Statistiche ed in particolar modo a Carlo, Ilaria e Camilla, con i quali ho condiviso le gioie e i dolori della stesura della tesi in questi mesi. Un grazie particolare anche ai miei amici “parigini” Fabrizio, Gabriele, Giulia e Federico, cui ci lega un’amicizia di vecchia data la cui distanza geografica ha rafforzato. Desidero inoltre ringraziare gli “astronomi” Andrea e Michele, per avermi aiutato nella scelta dell’argomento di tesi e per essersi sempre dimostrati estremamente disponibili nel rispondere alle mie domande e curiosità di carattere astronomico. Ringrazio infine i miei genitori, mia sorella e i miei parenti, che mi sono sempre stati vicini ed incoraggiato nello studio. v vi Indice Elenco delle figure ix Elenco delle tabelle xiii Introduzione 1 1 Identificazione di pianeti extrasolari 3 1.1 Breve storia dei pianeti extrasolari . 3 1.2 Metodi per l’individuazione di pianeti extrasolari . 5 1.2.1 Metodi diretti . 5 1.2.1.1 Coronografia ottica . 6 1.2.1.2 Tecniche interferometriche . 6 1.2.2 Metodi indiretti . 7 1.2.2.1 Metodo della Velocità Radiale . 7 1.2.2.2 Metodo del Transito . 15 1.2.2.3 Metodo Astrometrico . 18 1.2.2.4 Metodo del Gravitational Lensing . 19 1.2.2.5 Metodo Pulsar Timing . 21 1.2.2.6 Confronto tra i metodi indiretti . 22 2 Stima dei parametri orbitali di pianeti extrasolari 25 2.1 L’anomalia vera . 25 2.1.1 La matrice di dati . 26 2.1.2 L’equazione di Keplero . 27 2.2 Il modello statistico di partenza . 29 2.3 Un primo modello: sistema binario stella-pianeta con orbita circolare . 30 2.3.1 Stima dei parametri orbitali del pianeta extrasolare 51 Pegasi b .......................... 30 2.4 Una complicazione: sistema binario stella-pianeta con orbita eccentrica . 36 2.4.1 Analisi per 51 Pegasi b senza assumere la circolarità dell’orbita . 39 vii viii Indice 2.4.2 Analisi per HD 131496 b . 45 2.4.3 Ulteriori considerazioni sull’algoritmo usato per recu- perare i parametri orbitali . 50 3 Approccio bayesiano per la stima dei parametri orbitali di un pianeta extrasolare 55 3.1 Il modello statistico di partenza . 57 3.2 Sistema binario stella-pianeta con orbita circolare . 57 3.2.1 Distribuzioni a priori . 57 3.2.2 Stima dei parametri orbitali del pianeta extrasolare 51 Pegasi b .......................... 60 3.3 Sistema binario stella-pianeta con orbita eccentrica . 64 3.3.1 Distribuzioni a priori . 64 3.3.2 Analisi per 51 Pegasi b senza assumere la circolarità dell’orbità . 65 3.3.3 Analisi per HD 131496 b . 65 Conclusioni 71 Appendice 73 A Modelli non lineari 75 A.1 Cos’è un modello non lineare? . 75 A.2 Minimi Quadrati non lineari . 76 A.2.1 Metodo di Gauss-Newton . 78 A.2.2 Metodo di Levenberg-Marquardt . 80 A.2.3 Metodo di Quasi-Newton . 81 A.2.4 Convergenza dei metodi del gradiente . 82 A.2.5 Confronto tra i metodi del gradiente e condizioni di arresto . 83 A.3 Metodo della massima verosimiglianza . 84 A.4 Teoria asintotica . 86 A.4.1 Consistenza dello stimatore . 86 A.4.2 Normalità asintotica dello stimatore . 87 A.4.3 Problemi di verifica di ipotesi . 87 B Statistica bayesiana 89 B.1 Il teorema di Bayes . 89 B.2 Indici di sintesi della distribuzione a posteriori . 90 B.3 Algoritmi Markov Chain Monte Carlo . 91 B.3.1 Le catene di Markov . 91 B.3.2 Gibbs-Sampling . 92 B.3.3 Metropolis-Hastings . 93 Indice ix B.3.4 Adaptive Metropolis-Hastings . 93 B.3.5 Convergenza degli algoritmi MCMC . 95 C La ricerca del periodo orbitale del pianeta extrasolare e l’at- tività stellare 97 C.1 La Trasformata di Fourier . 98 C.2 Il periodogramma di Lomb-Scargle . 99 C.3 Il periodogramma di Lomb-Scargle generalizzato . 100 C.3.1 La probabilità di falso allarme . 101 C.4 Problemi distorsivi legati all’attività stellare . 103 C.4.1 Limb Darkening . 103 C.4.2 Rotazione stellare . 104 C.4.3 Starspots ed eterogeneità superficiale della stella . 104 C.4.4 Atmosfera stellare . 104 C.4.5 Problematiche tipiche del metodo del transito . 105 D Codice R 107 D.1 Modello Frequentista: Sistema Binario Orbita Circolare . 107 D.2 Modello Frequentista: Sistema Binario Orbita Eccentrica . 111 D.3 Modello Bayesiano: Sistema Binario Orbita Circolare . 121 D.4 Modello Bayesiano: Sistema Binario Orbita Eccentrica . 126 D.5 Modello Bayesiano: Sistema Binario Orbita Eccentrica esteso 130 Riferimenti Bibliografici 136 x Indice Elenco delle figure 1.1 L’esopianeta Fomalhaut b, scoperto attraverso tecniche inter- ferometriche. Nei due anni in cui è stato monitorato, si nota come l’esopianeta si stia muovendo lungo un’orbita kepleriana. [http://spacetelescope.org/images/html/heic0821a.html] . 7 1.2 Rispetto alla situazione iniziale, il redshift si manifesta con uno spostamento sistematico delle linee spettrali della stella verso il rosso dello spettro, mentre il blueshift con uno verso il blu. [http://www.astro.cornell.edu . 9 1.3 Attraverso l’analisi spettroscopica è possibile individuare una periodica fase di blueshift alternato a refshift di cui è respon- sabile lo “star’s wobble”. Da ciò si deduce la possibile pre- senza di un pianeta extrasolare orbitante attorno alla stella. [http://exoplanets.org/doppler.html] . 10 1.4 Condizione geometrica affinchè il metodo della velocità radia- le possa essere utilizzato per ricercare pianeti extrasolari. Per i=90◦ l’orbita è vista di taglio e la velocità radiale oscilla tra vs e - vs, passando due volte per lo zero ad ogni ciclo orbitale. Per i=0 invece l’orbita è vista di faccia e, pertanto, la ve- locità radiale della stella appare sempre nulla all’osservatore. [Lasunncty] . 11 1.5 Velocità radiale della stella 51 Pegasi, depurata dalle fluttua- zioni sistematiche degli strumenti di misurazione. Dall’ispe- zione di questo grafico è possibile ricavare immediatamente il periodo orbitale, l’ampiezza e i valori massimi e minimi della velocità radiale della stella. [www.exoplanets.org] . 12 1.6 L’asse y rappresenta il piano del cielo mentre la circonferenza è la stella. Sia a il semiasse maggiore del pianeta e i l’inclina- zione del piano orbitale rispetto al piano del cielo. Il transito del pianeta extrasolare è osservabile, indirettamente, purchè h sia minore di R, il raggio della stella. 16 1.7 Il transito di un pianeta provoca un’attenuazione nel flusso di fotoni emessi dalla stella. [www.cnes.fr] . 17 xi xii Elenco delle figure 1.8 Spostamento del Sole nel piano del cielo, dovuto all’azione dei pianeti che compongono il sitema planetario. [Solarysystem- barycenter.gif] . 20 1.9 A sinistra si nota come la stella che transita in corrispondenza di quella presa a riferimento funzioni come una lente. Nel caso in cui la stella ospiti un esopianeta, non vi è solo un effetto primario, ma anche uno secondario, evidenziato dal picco che rende la funzione del flusso di luminosità asimmetrica (b). [www.eso.org] . 21 2.1 L’anomalia vera νt ha per vertice la stella s e per lati la dire- zione del periastro e la posizione p del pianeta lungo l’orbita. L’anomalia media Mt ha per vertice il centro dell’orbita e per lati cz e cy. L’anomalia eccentrica Et ha per vertice ancora il centro dell’orbita e per lati cz e cx. [web.nmsu.edu] . 28 2.2 Periodogramma di Lomb-Scargle per 51 Pegasi. Dall’analisi grafica si nota un picco di frequenza poco prima del raggiun- gimento del quinto giorno del periodo orbitale. 31 2.3 Curva che interpola le misurazioni della velocità radiale di 51 Pegasi, assumendo che l’orbita sia circolare. 33 2.4 Analisi grafica dei residui. 34 2 2.5 Grafico dei contorni per i parametri V0, K, P , t0 e log(s ) usando la statistica di Wald (linea tratteggiata), il test radice con segno (linea blu) e l’approssimazione di Skovgaard (linea rossa). 35 2.6 Curva che interpola le misurazioni della velocità radiale di 51 Pegasi nei corrispondenti valori dell’anomalia vera, assumen- do che l’orbita sia eccentrica. 42 2.7 Analisi grafica dei residui. 42 2 2.8 Grafico dei contorni per i parametri K, !, V0, e log(s ) usando la statistica di Wald (linea tratteggiata), il test radice con segno (linea blu) e l’approssimazione di Skovgaard (linea rossa). 43 2.9 Analisi grafica della devianza, o somma dei residui al qua- drato, dei modelli costruiti, usando il vettore completo per le epoche di passaggio al periastro.