͖͑χϑΎξ͖̐˨ͱ Weighted Arithmetic Mean in Ancient India ̊І ˨ͻ˨ξϑІ˨ ͬϟͻ˨ξ ̙ϟϑϑ˨

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The strong temptation is, and has æ­Áҝ םë× ×­ “Á¼“Ì× Á¨ žÎ¯×­»×¯“ E¼ Ł¯¼ ¨“×į 杯©­×š always been, to select one observation thought to žĮEĮł Á““ÜÎÒ ë̵¯“¯×µì ¯¼ ×­¯Ò Ò×ׯÒׯ“µ ҝ¼ÒĮ 0 ÜÒÒ ¯× ×Á be the best, rather than to corrupt it by averaging ΝÌΝҝ¼× ×­ šÌ×­ Á¨  š¯×“­į 歝¼ ×­ šÌ×­ ¯Ò š¯¨¨Î¼× ¯¼ with others of suspected lesser value. š¯¨¨Î¼× ÌÁÎׯÁ¼Ò Á¨ ×­ š¯×“­Į Ü× ÌÎ­ÌÒ ×­ ¼Ü»ÎÁÜÒ ¼Á坵 ¯šÒ ¯¼ ×­ æÁγ Á¨  “ÁµÁÒÒÜÒ µ¯³ έ»©ÜÌ× a­ÜÒį µ×­ÁÜ©­ ×­ žÎ¯×­»×¯“ E¼ Łµ¯³ ×­ š“¯»µ ­å ÁåÎÒ­šÁ杚 ×­¯Ò Á““ÜÎΝ¼“ Á¨ ×­ žÎ¯×­»×¯“ E¼ ÒìÒם»ł ¼Áæ ҝ»Ò  ¼×Üε “Á¼“Ì× ×Á ÜÒ æ­Á ­å ©ÎÁæ¼ ¯¼ ­¯Ò æÁγĮÞ oÎì Ν“¼×µìį έ»©ÜÌ×ōÒ æÁγ ­Ò ’¼ ÜÌ æ¯×­ ¯×į ¯×Ò ¯¼×ÎÁšÜ“ׯÁ¼ »ÜÒ× ­å ¼šš  “Á¼“Ì×ܵ “³¼Á浝š©š ’ì \ׯ©µÎ ¯¼ [24] ŁÌĮ ĄāłĮ Òܒ׵×ìĮ a­ ¯š Á¨ žĮEĮ Ò  Ò×ׯÒׯ“µ Òׯ»ם Ì̝ÎÒ ¯¼ žÒ »¼×¯Á¼š ε¯Îį ×­ žÎ¯×­»×¯“ E¼ Ŋ“Á»’¯¼ÒŌ ғ¯¼×¯¨¯“ ×Ν×¯ÒÒ Á¨ ÜÎÁ̝ Íܯם µםĮ ҝåÎµ ¼Ü»’ÎÒ ¯¼×Á  Ò¯¼©µ ¼Ü»’ÎĮ ž¼“¯¼× 2¼š¯¼ »×­»ׯ“Òį Ò̝“¯µµì ×­ »×­»ׯ“Ò Á¨ έ»©ÜÌ×į ߝࡏߟ ȘɾǞɛʕǞɾʿ ȩǀ ɾǕƚ ɟǞɾǕȒƚɾǞż ›ƚŏȘ Ì̝ÎÒ ×Á ’ Ν̵× æ¯×­ åίÁÜÒ ¯šÒ Á¨ Ŋ“Á»’¯¼ׯÁ¼ŌĮ 2¼ ×­ ¯¼Ü©Üε ¯ÒÒܝ Á¨ ¨ˆÜ}¶ˆį æ ­š ҝ¼ ×­× \åÎµ ғ­ÁµÎÒ Á¼ ­¯Ò×ÁÎì Á¨ Ò×ׯÒׯ“Ò ­å ’¼ ÒҝÎׯ¼© έ»©ÜÌ× ­š ¯¼×ÎÁšÜ“š  Ìί¼“¯Ìµ Á¨ “Á»ÌÁүׯÁ¼ ×­× ¯× ¯Ò Á¼µì ¨ÎÁ» ×­ ĂĈ×­ “¼×ÜÎì ŪŬ ×­× Á¼ “Á»Ò “ÎÁÒÒ æ­¯“­ »µª¶™Ë ×æÁ ÒÁµÜׯÁ¼Ò Á¨  “Îׯ¼ ÍÜšÎׯ“ ÍÜׯÁ¼ ×­ Üҝ Á¨ ×­ žÎ¯×­»×¯“ E¼ Ò  ΝÌΝҝ¼××¯å åµÜ ¨ÁÎ ¯¼ ׭͝ åί’µÒ ×Á ÌÎÁšÜ“ ¼Á×­Î ÒÁµÜׯÁ¼ Á¨ ×­ ¼ì š× “Á»Ìίү¼© »ÁΝ ×­¼ ×æÁ Á’ҝÎ坚 åµÜÒĮ a­ì ÍÜׯÁ¼į  Ìί¼“¯Ìµ æ¯×­ »Á»¼×ÁÜÒ “Á¼ÒÍܝ¼“Ò ¯¼ ҝ ¯¼  æÁ㠚םš ĂćĄĆ Á¨ ×­ ¼©µ¯Ò­ Ò×ÎÁ¼Á»Î 0¼Îì »×­»ׯ“Ò [6]Į 2¼ ¨“×į ×­ ¼» Á¨ ×­¯Ò Ìܒµ¯“ׯÁ¼ ¯Ò +µµ¯’μš ×­ ε¯Ò× Ü¼»’¯©ÜÁÜÒ Üҝ Á¨ ×­ žÎ¯×­»×¯“ ¯¼Ò̯͚ ’ì ×­ םλ ¨ˆÜ}¶ˆ Üҝš ¯¼ 2¼š¯¼ »×­»ׯ“Ò E¼ ¯¼  Ò×ׯÒׯ“µ ҝ¼ÒĮ 2¼ ­¯Ò ÌΝүš¼×¯µ ššÎÒÒ × ×­ ¨ÁΠέ»©ÜÌ×ōÒ µæ Á¨ “Á»ÌÁүׯÁ¼Į \¯¼“ ŊŁ¨¯¼š¯¼© ’ìł ž»Î¯“¼ \×ׯÒׯ“µ žÒÒÁ“¯ׯÁ¼ ¯¼ ĂĊĈĂį ­ÜΓ­¯µµ ¯Ò¼­Î× “Á»’¯¼ׯÁ¼Ō ¯Ò Á¼ Á¨ ×­ »¼¯¼©Ò Á¨ ×­ \¼Ò³Î¯× æÁΚ [8] Ν»Î³Ò Ł į ÌĮ Ăąłĭ ¨ˆÜ}¶ˆ Ł[6]į ÌĮ Ăąłį Á¼ “¼ 寝æ ×­ žÎ¯×­»×¯“ E¼ ×ÁÁ Ò ×­ ÁÜדÁ» Á¨  ¨ˆÜ}¶ˆı …I fully expected that I would find some good examples of mean taking in ancient astronomy; 2¼ ҝ“ׯÁ¼ ąį æ Ò­µµ ÍÜÁם Ò×ם»¼×Ò Á¼ žĮEĮ ¨ÎÁ» and, perhaps, also in ancient physics. I have not “­ÌםÎÒ ¯¼ 2¼š¯¼ ί׭»×¯“ “µµš µªÌÇ}­}ĵÜã}Ü}¨ˆÇ} found any.And I now believe that no such examples Ł“Á»ÌÜ×ׯÁ¼Ò ̝Îׯ¼¯¼© ×Á »¯ë×ÜÎÒł æ­¯“­ ššÎÒÒ ×­ will be found in ancient science. 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E¼į +ÜÒÒ ­š Ν»㝚 µ™}¶™ Á““ÜÎÒ ë̵¯“¯×µì ¯¼ ­¯Ò æÁγ ŁĂćĄĆłĮ *ÎÁ» Á’ҝÎ坚 ¯¼ ĂĉāĊĭ š“µ¯¼ׯÁ¼Ò 11◦ ¼š 11◦ 32′ 28′′į ­ Òׯ»×Ò ×­ š“µ¯¼ׯÁ¼ ×Á ’ ’ÁÜ× 11◦ 16′į  ÎÁܼšš åµÜ Á¨ ×­ ë“× it has been customary certainly to regard as an žĮEĮ 11◦ 16′ 14′′Į *ÎÁ» Á’ҝÎ坚 š“µ¯¼ׯÁ¼Ò 4◦ 6′į 4◦ 10′į axiom the hypothesis that if any quantity has been 4◦ 1′į 4◦ 3′į 3◦ 55′į 4◦ 7′į 4◦ 10′į 4◦ 12′į 4◦ 4′į 4◦ 0′ ¼š 4◦ 5′į determined by several direct observations, made ­ ÒÒ¯©¼Ò ×­ š“µ¯¼ׯÁ¼ ×Á ’ ÎÁܼš 4◦ 4′į æ­¯“­ ¯Ò ©¯¼ under the same circumstances and with equal care, 9 ′  ÎÁܼš¯¼© šÁæ¼ Á¨ ×­ ë“× žĮEĮ 4◦ 4 11 Į a­ÁÜ©­ ­ šÁÒ the arithmetic mean of the observed values affords ¼Á× š¨¯¼ ×­ žÎ¯×­»×¯“ E¼ ¼šį ¯¼ “­ Á¨ ×­ ’Áå the most probable value, if not rigorously, yet very “ҝÒį ×­ »¯šŅ쩝 ×ÁÁ »ד­Ò ­¯Ò ÒÒ¯©¼š Òׯ»םį nearly at least, so that it is always safe to adhere to ¯Ò¼­Î× ¨µÒ ×­× ×­ םλ ŮǪШµ™Ðª}¯¯ µ™}¶™ »³Ò ¯× it.ÞÞ ß a­ םλ Üҝš æÒ Ŋ“¼×Ν Á¨ ©Îå¯×ìŌĮ +ÜÒÒ »¼×¯Á¼Ò ×­× ­ æÒ æΝ Á¨ ×­ »×­Áš Ò¯¼“ ĂĈĊĆ ŁÒ [23]į ÌĮ ĂĆłĮ ÞÞ*ÎÁ» ×­ ¼©µ¯Ò­ ×μҵׯÁ¼ ’ì Į0Į å¯Ò Á¨ _¨™»Çª} µ»ÐÓË »ÇÅ»ÇÓµ »™¯™ËЪӵ ª¶ ˙Ðª»¶ªÓË »¶ªªË Ë»¯™µ }µª™¶ÐªÓµ Ła­ÁÎì Á¨ ×­ »ÁׯÁ¼ Á¨ ×­ ­坼µì ’Áš¯Ò »Á导© ’ÁÜ× ×­ Òܼ ¯¼ “Á¼¯“ ҝ“ׯÁ¼Òł ’ì Į*Į +ÜÒÒĹ ÍÜÁםš ’ì +ĮĮ XÁÒÒ¯ ¯¼ ŊVÎÁ’’¯µ¯×ì ¯¼ E×ÎÁµÁ©ìŌį ¯¼ }Ð} C»—™¯ª¶£ ¢»Ç C™ÐÇ»¯»£ã }¶— _™ËЪ¶£ ŁšÒĮ *Į VåÒ ¼š žĮĮ *ÁΒÒłĮ ¯Î³­ÜҝÎĮ ăāāĊĮ ÌĮ ĄąĮ

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a­¯Ò ÒÒÜ»ÌׯÁ¼ ×­× ×­ žÎ¯×­»×¯“ E¼ Á¨  Ò× Á¨ Ë}µ}Ç}««Óĭ »¼ »ÒÜΝ Á¨  µ¯¼ ҝ©»¼×į Ł­Îł »¼ Á’ҝÎåׯÁ¼Ò ÌÎÁ寚Ò ¯×Ò »ÁÒ× Îµ¯’µ Òׯ»ם ŁÁÎ ’Ò× šÌ×­Į ΝÌΝҝ¼××¯åł ¯Ò × ×­ ÎÁÁ× Á¨ ×­ “µÒÒ¯“µ ×­ÁÎì Á¨ a­ åÎҝ ¯Ò ܼšÁܒםšµì םÎҝĮ 2¼ ­¯Ò “Á»»¼×Îì Á¼ »ÒÜΝ»¼× ÎÎÁÎÒ šåµÁ̝š ¯¼ εì ĂĊ×­ “¼×ÜÎì ’ì έ»©ÜÌ×ōÒ ×Νׯҝį Vί׭âš³Ò勻Ǣ Ł“Į ĉćą ŪŬł ë̵¯¼Ò Į*Į +ÜÒÒ ¼š V¯ÎΝŅ\¯»Á¼ >̵“Į ž©¯¼į ×­ žÎ¯×­»×¯“ ×­× ×­ æÁΚ }ª­ã} ’Áå š¼Á×Ò ×­ ÒÜ» Á¨ ×­ ÌÎÁšÜ“×Ò E¼ ¯Ò “¼×ε ×Á +ÜÒÒōÒ š¯Ò“ÁåÎì Á¨ ×­ ¼Áλµ ŁÁÎ Á¨ ×­ µ¼©×­ ¼š šÌ×­ Á¨ ×­ ҝ“ׯÁ¼Ò ¯¼×Á æ­¯“­ ×­ +ÜÒÒ¯¼ł š¯Ò×ί’ÜׯÁ¼ æ­¯“­ ¯Ò Á¨ ¨Ü¼š»¼×µ ¯»ÌÁÎ×¼“ ë“åׯÁ¼ ­Ò ’¼ Òܒš¯å¯šš µÁ¼© ¯×Ò µ¼©×­Į a­ÜÒį ×Á ¯¼ Ò×ׯÒׯ“Ò ¼š ­Ò “Îܓ¯µ Ì̵¯“ׯÁ¼Ò ¯¼ ×­ ¼×Üε “­ µÁ¼© Ò¯š Á¨  ҝ“ׯÁ¼ ¯Ò ÒÒ¯©¼š ×­ ÌÎÁšÜ“× Á¨ ¯×Ò Ò“¯¼“Ò Ò æµµ Ò ×­ ÒÁ“¯µ ғ¯¼“ÒĮ 2¼ššį ÒÁ» Á¨ ×­ µ¼©×­ æ¯×­ ×­ šÌ×­ Á¨ ×­ ҝ“ׯÁ¼Į a­ “Á¼š¼Òš Ì­Îҝ ̯Á¼Î¯¼© “Á¼×ί’ÜׯÁ¼Ò Á¨ +ÜÒÒ Ν ΝÒÌÁ¼Ò¯’µ ¨ÁÎ ×­ ¨Ó«}ĵ}ª­ã} ¯Ò ×Á ’ Νš Ò Ŋ×­ “Á»’¯¼ׯÁ¼ Ł¯ĮĮį ÒÜ»ł Á¨ ×­ »Î©¼“ Á¨ »×­»ׯ“µ Ò×ׯÒׯ“Ò ¯¼ ×­ ¨Áλ ×­× æ Ł¯»Ìµ¯“¯× “Á¼×ί’ÜׯÁ¼Ò Á¨ ×­ µÁ¼©ł Ò¯šÒ ŁÁ¨ ×­ ҝ“ׯÁ¼ÒłŌĮ ³¼Áæ ¯× ×ÁšìĮ a­ ÍÜÁםš Ì­Îҝ Á¨ έ»©ÜÌ× »ì ×­¼ ’ ×μҵםš ³³Î ¼š +Î坻¯±Î Á’ҝÎå Ł[3]į ÌĮ ĂĆął ×­×į ׯµµ Ò ¨ÁµµÁæÒ Ł“¨Į [4]į ÌĮ ĄĂăłĭ ×­ ĂĊ×­ “¼×ÜÎìį »ÁÒ× Á¨ ×­ ­¯Ò×Áί“µ ë»ÌµÒ Á¨ ×­ žÎ¯×­»×¯“ E¼ ̝Îׯ¼ ×Á ŊÌÌÎÁ믻ׯ¼©  ŋ×Îܝō ÁÎ ’Ò× In an excavation whose face and base have the åµÜ Á¼ ×­ ’Ò¯Ò Á¨ Ν̝םš »ÒÜΝ»¼×ÒŌ ¼š ×­× ¯× same measurements, the mean depth is given by Ŋ×ÁÁ³  µÁ¼© ׯ» ’¨ÁΝ ×­ ¼ÁׯÁ¼ Á¨  ΝÌΝҝ¼××¯å åµÜ the sum of the products of the lengths and depths Ò ¼ ¼×¯×ì ¯¼ ¼š Á¨ ¯×ҝµ¨ »Î©šŌĮ žšÁµÌ­ Wܝםµ× of the sections divided by the total length. ŁĂĈĊćńĂĉĈąłį æ­Á ¯¼å¼×š ×­ “Á¼“Ì× Á¨ ×­ ¯Ľ ¨»µµ™ µ»ã™¶ ŁåÎ© »¼ł “­Î“םίñš ’ì ×­ »¼ åµÜÒ Á¨ »ÒÜ͚ 2¼ Ò컒ÁµÒĭ 2¨ ¼ ë“åםš Ν©¯Á¼ Á¨ ܼ¯¨Áλ µ¼©×­ Ł’Ü× åί’µÒį ¯Ò Ν©ʝš Ò Á¼ Á¨ ×­ ¨¯ÎÒ× Ò“¯¼×¯Ò×Ò ×Á Üҝ ×­ åί’µ šÌ×­ł “Á»ÌÎ¯ÒÒ n ҝ“ׯÁ¼Ò Á¨ µ¼©×­Ò ℓ1,...,ℓn žÎ¯×­»×¯“ E¼ Ò ×­ ΝÌΝҝ¼××¯å åµÜ Á¨  ÌÁÌܵׯÁ¼Į ¼š šÌ×­Ò d1,...,dn ΝÒ̝“×¯åµì ŁÒ *¯©ÜΝ Ăłį ×­¼ ×­ ³³Î ¼š +Î坻¯±Î Ν»γ ×­× ×­¯Ò ×μүׯÁ¼ ¨ÎÁ» »¼ šÌ×­ d Á¨ ×­ ë“åׯÁ¼ ¯Ò š¨¯¼š ×Á ’ ×­ Νµ åµÜ ×Á  ΝÌΝҝ¼××¯å åµÜ ŊæÒ ¼ ¯»ÌÁÎ×¼× ℓ d + + ℓ d “Á¼“Ì×ܵ “­¼©ŌĮ d = 1 1 ··· n n . ℓ + + ℓ 2¼ ×­ ¼ë× Ò“ׯÁ¼į æ Ò­µµ ¼Áæ ҝ ×­¯Ò 1 ··· n “Á¼“Ì×ܵ¯ñׯÁ¼ Á¨ ×­ žÎ¯×­»×¯“ E¼ Ò  ΝÌΝҝ¼××¯å åµÜ ¯¼  Ĉ×­ “¼×ÜÎì ×Νׯҝ Á¨ έ»©ÜÌ× ¼š ÒܒҝÍܝ¼× ¼“¯¼× 2¼š¯¼ ×ΝׯҝÒĮ

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̊͑́ϻ˨;́ Ύ̐ϑ ߞߜߝߣ Ͼ̥͖͇͑ϑ̥̙ ˨ࡏͻࡏ ͖; ˨;͖̥̐;ϑ ͖;̙͖˨ ृߡ · ͖͑χϑΎξ͖̐˨ͱ

×­ Ò×ם»¼×Ò ¯¼ ×­ Áί©¯¼µ ×ΝׯҝÒĮ έ»©ÜÌ×ōÒ ¨ÁΠ杯©­×š ί׭»×¯“ »¼ Á““ÜÎÒ åÎì “µÎµì ¯¼ åÎÒÒ Ν ë̵¯¼š ¯¼ ×­ “Á»»¼×Îì Á¼ ­¯Ò ×Νׯҝ ’ì ]ÎǢš­΋“‹ÎìōÒ ×Ν×»¼× Á¨ »¯ë×ÜΝ ÌÎÁ’µ»Ò Á¼ ©ÁµšĮ Vί׭âš³Ò勻Ǣ ׯ׵š mˆË}¶ˆĵ¨ˆËūã} Ł“Į ĉćą ŪŬłĮ :¨ˆÐ}ĵÜã}Ü}¨ˆÇ} Ł»×­»ׯ“µ ÌÎÁ“ÒÒÒ ÌÎׯ¼¯¼© ×Á ë“åׯÁ¼Òł ¯Ò »¼×¯Á¼š ¯¼ ×­ µ¯Ò× Á¨ “Á¼×¼×Ò Á¨ ߟࡏߞ ÚɥɾǕʬƇŏǺŏ࢈ɯ vȀȀʕɯɾɟŏɾǞʲƚ CʾŏȒɔȀƚ ]ÎǢš­΋“‹ÎìōÒ µÁ¼©Î םë× TˆÐūǏ£}¶ūªÐ}Į 2× ¯Ò åÎì µ¯³µì ×­× ¯¼ ×­¯Ò “­ÌםÎį ]ÎǢš­΋“‹Îì ­š ëÌÁܼšš Á¼ ×­ “Á¼“Ì× Á¨ p ÍÜÁם ’µÁæ ¼ ëÎ“¯Ò ©¯å¼ ¯¼ Vί׭âš³Ò勻ǢōÒ æ¯©­×š ί׭»×¯“ »¼ ŁÁÎ × µÒ× ×­ ί׭»×¯“ »¼ł “Á»»¼×Îì ×Á ¯µµÜÒ×Îם έ»©ÜÌ×ōÒ Ìί¼“¯Ìµ ÍÜÁםš ¯¼ ×­ ÒÌ¯Î¯× Á¨ Ò×ׯÒׯ“Òį Ò æÒ šÁ¼ ’ì ­¯Ò Ì͚“ÒÒÁÎ ’Áå Ł[10]į ÌĮ ĂĄćĹ [18]į oÁµĮ 222į ÌĮ ĉćĊĹ [4]į ÌÌĮ ĄĂăńĄĂĄłĭ έ»©ÜÌ×Į f¼¨ÁÎ×ܼםµìį ×­¯Ò “­ÌםΠ¯Ò ×Á×µµì »¯ÒÒ¯¼© ¨ÎÁ» ×­ 寵’µ »¼ÜғίÌ× Á¨ TˆÐūǏ£}¶ūªÐ} Ł[19]į ÌĮ ¯¯¯łĮ trimśaddhastā˙ tu yā vāpī dairghyeṇāṣṭau pṛthutvataḥ | tatrāntaḥ pañcakhātāni vedādyairbhuja ߟࡏߠ ›ŏǕũʲǭɟũżũɟʿŏ࢈ɯ _ȩɟȒʕȀŏɾǞȩȘ ȩǀ ɟǞɾǕȒƚɾǞż khaṇḍakaiḥ ›ƚŏȘ ǞȘ CʾżŏʲŏɾǞȩȘ ÚɟȩųȀƚȒɯ || vedhaścanavasaptāgatridvisankhyoyathākramam˙ | 2¼ åÎҝ ą Á¨ ­ÌםΠĈ Á¨ ×­ +}¶ūªÐ}ĵˈÇ}ĵË}¶£Ç}¨}˙ ŁĉĆā ŪŬłį khātakānāmsamārajjuryā'trasyācchīghramucyatām˙ || E­‹åǢ΋“‹Îì “Á¼Ò¯šÎÒ ¼ ë“åׯÁ¼ 歝Ν ×­ ­ÁίñÁ¼×µ ßß ΝÒ Ν ¼Á× “Á¼Ò×¼× ¼š »ÁΝÁåÎį å¼ ¯¼ ¼ì ­ÁίñÁ¼×µ A pool of water 30 cubits in length and 8 ҝ“ׯÁ¼į ×­ µ¼©×­Ò ¼š æ¯š×­Ò Ν ¼Á× “Á¼Ò×¼× ŁÒ *¯©ÜΝ cubits in width comprises within it five portions ăłĮ E­‹åǢ΋“‹Îì Ì̵¯Ò  Ŋ»¯šÌÁ¯¼×Ō ×ì̝ ÎܵĮ Á¼Ò¯šÎ of excavation by which its length is subdivided n åÎׯ“µ ҝ“ׯÁ¼Ò Á¨ ×­ ë“åׯÁ¼ µÁ¼© ¯×Ò µ¼©×­Ĺ ¼š into (five) parts measuring 4, 5, 6, 7, 8 cubits, the »ÒÜΝ ×­ µ¼©×­ Á¨ ×­ ×ÁÌ ¼š ×­ µ¼©×­ Á¨ ×­ ’Á××Á» corresponding depths measuring respectively 9, 7, Á¨ “­ åÎׯ“µ ҝ“ׯÁ¼Į Á¼Ò¯šÎ ×­ ­µ¨ Á¨ ×­ ÒÜ»Ò Á¨ 7, 3, 2 (cubits). Say quickly what is the mean depth ×­Ò n Òׯ»×Ò Á¨ ×­ µ¼©×­Ò Á¨ ×­ ¨“ ¼š ×­ ’ҝĮ of the excavation. E­‹åǢ΋“‹Îì ÌΝғί’Ò ׳¯¼© ×­ »¼ µ¼©×­ Ò ×­ ’Áå Ł­µåšł ¼Ü»’Î š¯å¯šš ’ì ×­ ¼Ü»’Î nĮ a­ÜÒį \ÁµÜׯÁ¼ĭ a­ ΝÒ Á¨ ×­ ¨¯å ÌÁÎׯÁ¼Ò Á¨ ë“åׯÁ¼ Ν ¯¨ t ,t ,...,t Ν ×­ ×ÁÌŅµ¼©×­Ò ¼š b ,...,b Ν ×­ (4 9 =) 36įŁ5 7 =) 35į (6 7 =) 42į (7 3 =) 21į 1 2 n 1 n × × × × “ÁÎΝÒÌÁ¼š¯¼© ’Á××Á»Ņµ¼©×­Òį ×­¼ ×­ »¼ µ¼©×­ ¯Ò (8 2 =) 16 æ¯×­ ÒÜ» 150 ÒÍÜΝ “Ü’¯×ÒĮ aÁ×µ µ¼©×­ ¯Ò 30 × ©¯å¼ ’ì ((t1 + b1)+ +(tn + bn)) /2nĮ \¯»¯µεìį Á¼ “Ü’¯×ÒĮ a­Î¨ÁΝį ×­ »¼ šÌ×­ ¯Ò 150 30į ¯ĮĮį 5 “Ü’¯×ÒĮ ··· ÷ ©×Ò ×­ »¼ 毚׭Į a­ ÌÎÁšÜ“× ©¯åÒ ¼ Òׯ»ם Á¨ ×­ a­ “Á»»¼×Îì µÒÁ ©¯åÒ ×­ Òׯ»ם Á¨ ×­ åÁµÜ» Á¨ ΝĮ ž æÁγ¯¼© Òׯ»ם Á¨ ×­ åÁµÜ» Á¨ ×­ ë“åׯÁ¼ ¯Ò ×­ ë“åׯÁ¼ Ò ×­ ÌÎÁšÜ“× Á¨ ¯×Ò ÒÜΨ“ Νį ¯ĮĮį (30 × ©¯å¼ ’ì ×­ ÌÎÁšÜ“× Á¨ ×­¯Ò Òׯ»םš Ν æ¯×­ ×­ šÌ×­Į 8 =) 240 ÒÍÜΝ “Ü’¯×Òį ¼š ×­ »¼ šÌ×­ 5 “Ü’¯×ÒĮ a­ÜÒį ×­ Òׯ»םš åÁµÜ» ¯Ò 1200 “Ü’¯“ “Ü’¯×ÒĮ

ߟࡏߟ ìɟǭƇǕŏɟũżũɟʿŏ࢈ɯ ʕɯƚ ȩǀ ɟǞɾǕȒƚɾǞż ›ƚŏȘ ǞȘ CʾżŏʲŏɾǞȩȘ ÚɟȩųȀƚȒɯ 2¼ ­¯Ò םë× _ǪÌ}Ъ­ˆ ŁåÎҝ ĉĉłį ]ÎǢš­΋“‹Îì Ł“Į ĈĆā ŪŬł ÌΝҝ¼×Ò ×­ ¨ÁµµÁ毼© ÌÎÁ’µ» Á¼ ×­ »¼ šÌ×­ Á¨ ¼ ë“åׯÁ¼ Á¨ ܼ¯¨Áλ µ¼©×­ ¼š šÌ×­į ’Ü× åί’µ 毚׭ Ł[11]į ÌĮ ĂĄĊłĭ

tricatuḥpañcakahastāḥ pṛthutā viṣamāt tu yasya khātasya | aṣṭau hastā vedho dvādaśa dairghye kathaya phalam || In an excavation of uneven width, whose width at (three) different places are 3, 4 and 5 cubits, the _Ǟǃʕɟƚ ߞࡇ ÷Ǖƚ ƚʾżŏʲŏɾǞȩȘ ɔɟȩųȀƚȒ żȩȘɯǞƇƚɟƚƇ ųʿ ›ŏǕũʲǭɟũżũɟʿŏ depth is 8 cubits and length is 12 cubits. Tell me the volume (of the excavation). a­ åÎҝ Á¨ E­‹åǢ΋“‹Îì ¯Ò Ł[14]į ÌĮ ĂąĄ Ł\¼Ò³Î¯×łĹ ÌĮ ăĆĉ Ł ¼©µ¯Ò­łłĭ \ÁµÜׯÁ¼ĭ a­ »¼ 毚׭ ¯Ò (3+4+5)/3 = 4 “Ü’¯×Ò ¼š ×­ Òׯ»םš åÁµÜ» 12 4 8 = 384 “Ü’¯“ “Ü’¯×ÒĮ kṣetraphalamvedhaguṇa˙ msamakhātevyāvahārika˙ m˙ × × p­¯µ έ»©ÜÌ× ¯¼×ÎÁšÜ“Ò 杯©­×š ί׭»×¯“ gaṇitam | »¼į ]ÎǢš­΋“‹ÎìōÒ ë»Ìµ ¯¼åÁµåÒ Ò¯»Ìµ ί׭»×¯“ mukhatalayutidalamathasatsankhyāpta˙ msyātsamī˙ »¼Į 2¼ ҝ“ׯÁ¼ ąĮąį æ Ò­µµ ҝ ×­× ×­ ¨Áλܵ karaṇam || ßßž Ŋ“Ü’¯×Ō ¯Ò ¼ ¼“¯¼× ܼ¯× Á¨ µ¼©×­ Á¨ ÎÁܼš 18 ¯¼“­Òį ’ҝš Á¼ ×­ µ¼©×­ Á¨ ×­ ¨ÁΝλ ¨ÎÁ» ×­ ×¯Ì Á¨ ×­ »¯ššµ ¨¯¼©Î ×Á ×­ ’ҝ Á¨ ×­ µ’ÁæĮ 2¼ \¼Ò³Î¯×į ×­ “Ü’¯× ¯Ò “µµš ¨}ËÐ} ÁÎ ­}Ç} Łµ¯×Îµµìį ×­ ¨ÁΝλłĮ

ߢ ̊͑́ϻ˨;́ Ύ̐ϑ ߞߜߝߣ · ͖͑χϑΎξ͖̐˨ͱ

The usual measure (i.e., the volume) of a regular excavation is given by the product of its area and its depth. Now (to obtain a working estimate of the dimensions, i.e., length and width, of an irregular excavation), take the half of the sums of the top and bottom (dimensions, i.e., lengths, resp. widths) and divide (the halved number) by the number (of sections). That is the mean (length, resp. width, of the excavation).

E­‹åǢ΋“‹Îì ©¯åÒ ҝåÎµ ¼Ü»Î¯“µ ëÎ“¯ÒÒ Á¼ ë“åׯÁ¼Į

ߟࡏߡ $ǕũɯǺŏɟũżũɟʿŏ࢈ɯ _ȩɟȒʕȀŏɾǞȩȘ ȩǀ ɟǞɾǕȒƚɾǞż ›ƚŏȘ ǞȘ CʾżŏʲŏɾǞȩȘ ÚɟȩųȀƚȒɯ a­ Ò×ׯÒׯ“µ ί׭»×¯“µ »¼ ¯Ò µÜ“¯šµì šÒ“ί’š ’ì _Ǟǃʕɟƚ ߟࡇ ÷Ǖƚ ƚʾżŏʲŏɾǞȩȘ ɔɟȩųȀƚȒ żȩȘɯǞƇƚɟƚƇ ųʿ $ǕũɯǺŏɟũżũɟʿŏ ­‹Ò³΋“‹Îì ¯¼ ­¯Ò ×Νׯҝ <Ǐ¯ˆÜ}ÐǏ ¯¼ ×­ “Á¼×ë× Á¨ Òׯ»ׯ¼© ×­ åÁµÜ» Á¨ ¼ ë“åׯÁ¼ 歝¼ µµ ׭͝ 0Îį »¼ µ¼©×­ ¯¼ “Ü’¯×Ò ¯Ò (10 + 11 + 12) 3 = 11į ÷ š¯»¼Ò¯Á¼Ò åÎì ŁÒ *¯©ÜΝ ĄłĮ 0ÁæåÎį ­ šÁÒ ¼Á× šÁÌ× »¼ ’Νš×­ ¯Ò (6 + 5 + 7) 3=6¼š »¼ šÌ×­ ÷ ¼ì Ŋ»¯šÌÁ¯¼×Ō ×ì̝ ÎܵĮ ­‹Ò³΋“‹Îì ÒìÒ Ł[12]į ÌĮ ĂĆĂĹ [16]į ¯Ò (2 + 4 + 3) 3=3Į ì ­‹Ò³΋“‹ÎìōÒ Ìί¼“¯Ìµį ×­ ÷ ÌĮ ùƳĭ Òׯ»םš åÁµÜ» ¯Ò (11 6) 3 = 198 “Ü’¯“ “Ü’¯×ÒĮ × × 2¼ ­¯Ò ×Νׯҝ +}¶ūªÐ} :}ӵӗǏ Ł“Į ĂĄĆā ŪŬłį F‹Î‹ì¼Ż gaṇayitvāvistārambahuṣusthāneṣutadyutirbhājyā˙ V¼ŻšŻ¯× ×ÁÁ »³Ò  Ò×ם»¼× Ò¯»¯µÎ ×Á ×­× Á¨ | sthānakamityā samamitirevam˙ dairghye ca ­‹Ò³΋“‹Îì Á¼ ×­ »¼ 毚׭į µ¼©×­ ÁÎ šÌ×­ Á¨ ¼ vedhe ca ¯ÎΝ©ÜµÎ ë“åׯÁ¼ ¼š Á¼ ×­ “Á¼ÒÍܝ¼× Òׯ»ׯÁ¼ Á¨ ¯×Ò kṣetraphalamvedhaguṇa˙ mkhāteghanahastasa˙ nkhyā˙ åÁµÜ»Ĺ ¯× ¯Ò ¨ÁµµÁ杚 ’ì  ¼Ü»Î¯“µ ëÎ“¯Ò Ł[21]į ÌĮăĂłĮ syāt || ߟࡏߢ bŏȡƚɹŏ 4ŏǞʲŏDzȨŏ࢈ɯ mƚʕɟǞɯɾǞż ģƚɟɯǞȩȘ ȩǀ The width of the ditch is to be measured at several ɾǕƚ ŏʶ ȩǀ ŏɟǃƚ ŸʕȒųƚɟɯ places. The mean width of the ditch is defined to 2¼ ­¯Ò “Á»»¼×Îì Á¼ <Ǐ¯ˆÜ}ÐǏ ׯ׵š ӗ—¨ªÜª¯ˆËª¶Ǐ Ł“Į ĂĆąĆ be the quotient of the sum of the widths divided by ŪŬłį +¼ŻÒŻ ¯å±À »³Ò ×­ ¨ÁµµÁ毼© Ν»γ Ł[16]į ÌĮ the number of places (at which the measurements ùƳ æ­¯µ ë̵¯¼¯¼© ­‹Ò³΋“‹ÎìōÒ åÎÒÒ Á¼ »ÒÜί¼© are taken). Likewise, the mean length and mean ¯ÎΝ©ÜµÎ Ò­ÌÒ ÍÜÁםš ’ÁåĮ depth are determined. Then the estimated volume of the ditch will be the product of the estimated yathāyathābahuṣusthāneṣuvistārādikamgaṇyate˙ area (obtained as the product of the mean length tathā tathā samamitiḥ sūkṣmasūkṣmatarā syāditi and the mean breadth) and the mean depth. spaṣṭam | The more and more the number of places at which 2¼ ×­ ¼ë× åÎҝ Ł[12]į ÌĮ ĂĆĂĹ [16]į ÌĮ Ăąćłį ­‹Ò³΋“‹Îì the measurements of width, etc., are taken, the ҝ×Ò ×­ ¨ÁµµÁ毼© ëÎ“¯Ò Á¼ “Á»ÌÜׯ¼© ×­ åÁµÜ» Á¨ ¼ closer and closer will the mean measures be to the ¯ÎΝ©ÜµÎ Ò­̝ĭ truevaluesand [consequently]the computation[of the volume] will be more and more accurate. bhujavakratayādairghyamdaśeśārkakarairmitam˙ | a­ >æ Á¨ >ٝ FÜ»’ÎÒį  ’Ò¯“ ̯µµÎ Á¨ ×­ ×­ÁÎì triṣu sthāneṣu ṣaṭpañcasaptahastā ca vistṛtiḥ || Á¨ ÌÎÁ’’¯µ¯×ìį Ò××Ò ×­× ×­ һ̵ »¼ “Á¼åÎ©Ò ×Á yasya khātasya vedho'pi dvicatustrikaraḥ sakhe | ×­ š¯Ò×ί’ÜׯÁ¼ »¼ Ł¯ĮĮį ×­ ×Îܝ »¼ł Ò ×­ һ̵ tatra khāte kiyantaḥ syurghanahastāḥ pracakṣva Ò¯ñ ¯¼“ΝҝÒĮ ž »×­»ׯ“µµì ÌΝ“¯Ò åÎÒ¯Á¼ Á¨ ×­¯Ò me || ¨Ü¼š»¼×µ Ìί¼“¯Ìµ æÒ Ò×םš ¼š ÌÎÁ坚 ’ì 4“Á’ Î¼Áܵµ¯ ŁĂćĆąńĂĈāĆł ¯¼ ­¯Ò ҝ»¯¼µ ×Νׯҝ ŮÇË »¶«™Ð}¶—ª Taking measurements of the curved sides of an Ła­ žÎ× Á¨ Á¼±×Üί¼©łį Ìܒµ¯Ò­š ÌÁÒ×­Ü»ÁÜÒµì ¯¼ ĂĈĂĄ ŪŬĮ irregular ditch at three places, the lengths obtained ž Îܚ¯»¼×Îì ¨Áλ Á¨ ×­ µæ ¯Ò ¯»Ìµ¯“¯× ¯¼  Ò×ם»¼× Á¨ are 10, 11 and 12 cubits; breadths 6, 5 and 7 cubits; +Į Κ¼Á ŁĂĆāĂńĈćł ¯¼ ­¯Ò <ª™Ç —™ <ӗ» Ů¯™}™ Ła­ ÁÁ³ Á¼ and depths 2, 4 and 3 cubits. O friend! Tell me the +»Ò Á¨ ­¼“łį æί×ם¼ ÎÁܼš ĂĆćĄ ŪŬ ¼š Ìܒµ¯Ò­š volume of the ditch in cubic cubits. ÌÁÒ×­Ü»ÁÜÒµì ¯¼ ĂććĄ ŪŬĮ a­ Ò×ם»¼× Á¨ +¼ŻÒŻ “¼ ’

̊͑́ϻ˨;́ Ύ̐ϑ ߞߜߝߣ Ͼ̥͖͇͑ϑ̥̙ ˨ࡏͻࡏ ͖; ˨;͖̥̐;ϑ ͖;̙͖˨ ृߣ · ͖͑χϑΎξ͖̐˨ͱ

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ߤ ̊͑́ϻ˨;́ Ύ̐ϑ ߞߜߝߣ · ͖͑χϑΎξ͖̐˨ͱ

šÜί¼© ×­ ÌÎÁ“ÒÒ Á¨ Ν¨¯¼»¼×Į \ÜÌÌÁҝ ×­× n ̯“Ò Á¨ k1 =1,k2 =2,k3 =3,k4 =4¼š w1 =1,w2 =2,w3 = ©Áµš Á¨ 杯©­×Ò w1,...,wn ܼ¯×Ò æ¯×­ ΝÒ̝“×¯å ¨¯¼¼ÒÒ 3,w4 =4Į a­ÜÒį ×­ åÎ© ­Ëū}ã} v1,...,vn Ü}Ƕū} Ν »¯ëš ÜÌį »µ×š ¼š Ν¨¯¼šĮ >× ×­ 1 1+2 2+3 3+4 4 30 杯©­× Á¨ ×­ Ν¨¯¼š ©Áµš ’ w ܼ¯×Ò ¼š ¯×Ò ¨¯¼¼ÒÒ ’ k = × × × × = =3. v Ü}Ƕū}Į a­ š¯¨¨Î¼“ w + + w w æÁܵš ’ ×­ 1+2+3+4 10 1 ··· n − »ÁÜ¼× Á¨ ¯»ÌÜίׯÒ ×­× ©× ’ÜÎ¼× ÁÜ× šÜί¼© ×­ ÌÎÁ“ÒÒ 2¼ ×­ ҝ“Á¼š ë»Ìµ Ŀ0ă ŁĂĈ Ν“×ÁĮį ĂĈ åÎÒÁł Ł¯¯łŀį n =4į Á¨ Ν¨¯¼»¼×Į a­ Ν¨¯¼»¼× ÌÎÁ“ÒÒ šÁÒ ¼Á× ¯¼åÁµå ¼ì 1 w1 =1,w2 =2,w3 =3,w4 =4µˆËū} ¼š k1 = 2 ,k2 = “­¼© ¯¼ ×­ »ÁÜ¼× Á¨ ÌÜΝ ©ÁµšĮ a­Î¨ÁΝį ÍÜׯ¼© ×­ 1 1 1 ,k3 = ,k4 = ­Ëū}ã}Į a­ÜÒį ×­ åÎ© ­Ëū}ã} »ÁÜ¼× Á¨ ÌÜΝ ©Áµš ¯¼ ×­ ©©Î©ם Á¨ ×­ Áί©¯¼µ ̯“Ò 3 4 5 Ŀ¯ĮĮį (w1v1 + + wnvn)/16 ܼ¯×Òŀ æ¯×­ ×­ »ÁÜ¼× Á¨ 1 1 1 1 ··· 1 2 +2 3 +3 4 +4 5 163 ÌÜΝ ©Áµš ¯¼ ×­ ¼æ ̯“ Ŀ¯ĮĮį (vw)/16 ܼ¯×Òŀį æ Ò ×­ k = × × × × = . 1+2+3+4 600 ¨ÁµµÁ毼© ΝµׯÁ¼ ’×杝¼ ×­ ¨¯¼¼ÒÒ ¼š ×­ 杯©­× Á¨ ×­ Ν¨¯¼š ©Áµšĭ 2× ×­¼ Ì̝ÎÒ ×­×į æ¯×­¯¼ Ąāā  į ×­ 杯©­×š ί׭»×¯“ »¼ ­š ίҝ¼ ¯¼ ¼“¯¼× 2¼š¯ Ò ¼ ë“× w v + + w v v = 1 1 ··· n n . U9XkV »×­»ׯ“µ “Á¼“Ì×į ¨ÎÁ» »¯ë×ÜΝ ÌÎÁ’µ»Ò ¯¼åÁµå¯¼© w “Á»ÌÜ×ׯÁ¼Ò Á¼ ©ÁµšĮ *ÎÁ» ×­ εì ҝ坼׭ “¼×ÜÎìį žµÁ¼© æ¯×­ ×­ Ò×ם»¼× ŁąĮĂł Á¼ 杯©­×š žĮEĮį ¼“¯¼× ×­ 杯©­×š ί׭»×¯“ »¼ æÒ “Á¼“¯åš ¯¼ ¯×Ò 2¼š¯¼ םë×Ò µÒÁ »¼×¯Á¼ ×­¯Ò »Áš¯¨¯š ¨ÁλܵĮ Ò×ׯÒׯ“µ å×Î ’ì έ»©ÜÌ× ¼š ÒܒҝÍܝ¼× 2¼š¯¼ FÁæ ÒÜÌÌÁҝ ×­× Á¼ æ¯Ò­Ò ×Á ¨Áλį ¨ÎÁ» ×­ ¯¼¯×¯µ »×­»ׯ“¯¼Òį ¼š Ì̵¯š ŁÒÁ»æ­× ¯¼ ×­ ÒÌ¯Î¯× Á¨ ̯“Ò Á¨ ©Áµšį  ¼æ ̯“ Á¨ ©Áµš Á¨  “Îׯ¼ Ò̝“¯¨¯š Ü}Ƕū} “µ“ܵÜÒł ×Á ÌÎÁ’µ»Ò ¯¼åÁµå¯¼© Òׯ»ׯÁ¼ Á¨ ×­ š¯»¼Ò¯Á¼Ò Á¨ ¼ ë“åׯÁ¼Į v′ Ł’ì Òܯ×’µì š±ÜÒׯ¼© ×­ »ÁÜ¼× Á¨ ¯»ÌÜίׯÒłĮ žÎ©Ü¯¼© p ¼Áæ ÍÜÁם ÒÁ» Á¨ ×­ Ò×ם»¼×Ò ¯¼ ¼“¯¼× 2¼š¯¼ Ò ’¨ÁΝį ¯× “¼ ’ ҝ¼ ×­× ×­ 杯©­× w′ Á¨ ×­ ΝÍܯ͚ ̯“ Á¨ ©Áµš 毵µ ×­¼ ’ םë×Ò Á¼ ×­ ׭͝ ÎܵÒ ŁąĮĂłį ŁąĮăł ¼š ŁąĮĄłĮ a­Î Ν ҝåÎµ Á×­Î ¨Áλܵ Á¼ µµ¯©ׯÁ¼ ¯¼ ×­Ò םë×Ò æ­¯“­ Ν w1v1 + + wnvn ¼Á× ’¯¼© »¼×¯Á¼š ¯¼ ÁÜÎ ÌΝҝ¼× Îׯ“µĮ \Á» Á¨ ×­Ò w′ = ··· , U9XjV v′ ÌÎÁ’µ»Ò Ν µ©’ί“ĭ ¨ÁÎ ¯¼Ò×¼“į ×­ ÌÎÁ’µ» Á¨ ¨¯¼š¯¼© ×­ ܼ³¼Áæ¼ ¨¯¼¼ÒÒ ÁÎ ×­ ܼ³¼Áæ¼ æ¯©­× Á¨ Á¼ Á¨ ×­ æ­¯“­ ¯Òį »×­»ׯ“µµìį  Ν̭ÎÒ¯¼© Á¨ Îܵ ŁąĮăłĮ 2¼š¯¼ “Á»ÌÁ¼¼×Ò ¨ÎÁ» ×­ š× ’ÁÜ× ×­ »¯ë×ÜΝ ¼š ¯×Ò Á×­Î Ü×­ÁÎÒ ë̵¯“¯×µì »¼×¯Á¼ ×­¯Ò Îܵ ×ÁÁĮ “Á»ÌÁ¼¼×ÒĮ µÁæį æ »³  ’ߝ¨ Ν¨Î¼“ ×Á ×­ Ì̵¯“ׯÁ¼ Á¨ 杯©­×š ί׭»×¯“ »¼ ¯¼ ×­ ¼“¯¼× 2¼š¯¼ ×Νׯҝ ¼»š Ŋ³ÒŻ‹µǢ E¼ÜғίÌ×Ō Ł“Į Ąāā ŪŬłĮ ߠࡏߠ ìɟǭƇǕŏɟũżũɟʿŏ࢈ɯ _ȩɟȒʕȀŏɾǞȩȘ ȩǀ ɾǕƚ ĦƚǞǃǕɾƚƇ ࡏ›ࡏ ǀȩɟ ȀȀǞǃŏɾǞȩȘ ߠࡏߟ ĦƚǞǃǕɾƚƇ ɟǞɾǕȒƚɾǞż ›ƚŏȘ ǞȘ ɾǕƚ $ŏǺɹũȀǭ 2¼ ­¯Ò ×Νׯҝ TˆÐūǏ£}¶ūªÐ}į ]ÎǢš­΋“‹Îì Ò××Ò ×­ Îܵ ŁąĮĂł ¯¼ ›ŏȘʕɯżɟǞɔɾ ×­ ¨ÁµµÁ毼© æÁÎšÒ Ł[19]į ÌĮ 楳ĭ a­ 杯©­×š ί׭»×¯“ »¼ ¯Ò š¨¯¼š ¯¼ 0Ă Ăć åÎÒÁ Ł¯¯ł hemaguṇavarṇayogehemaikyahṛtebhavedvarṇaḥ Á¨ ×­ ³ÒŻ‹µǢ E¼ÜғίÌ×į ¯¼ ×­ “Á¼×ë× Á¨ “Á»ÌÜׯ¼© ×­ || ­Ëū}ã} Á¨ ©Áµš ¯¼  »¯ë×ÜΝĮ a­ Ò×ם»¼× ¯¼ ×­ »¼ÜғίÌ× The sum of the products of weight and fineness of ¯Ò Ł[17]į ÌĮ ąćłĭ (several pieces of) gold, divided by the sum of the weights (of those pieces) of gold, shall become the kṣayam˙ samguṇya˙ kanakāstadyutirbhājayet tataḥ fineness (of the resultant piece). samyutaireva˙ kanakairekaikasya kṣayo hi saḥ a­ Ò» Ìί¼“¯Ìµ ¯Ò µÒÁ Ò×םš ¯¼ š¯¨¨Î¼× æÁÎšÒ Having multiplied the [weights of the] pieces of ¯¼ _ǪÌ}Ъ­ˆ Ł[11]į ÌĮ ĉĉłĮ Á×­ םë×Ò »¼×¯Á¼ ×æÁ Ò¯»¯µÎ gold with their kṣaya, let their sum (i.e., the sum of ¼Ü»Î¯“µ ë»ÌµÒ Ò ëÎ“¯ÒÒ Á¼ ×­ ’Áå Ìί¼“¯ÌµĹ the products) be divided by the sum of the [weights ×­Î Ν Òµ¯©­× š¯¨¨Î¼“Ò ¯¼ ×­ ¼Ü»Î¯“µ š× ¯¼ ×­ ×æÁ ofthe]piecesofgold.Theresultistheaveragekṣaya. åÎÒ¯Á¼ÒĮ a­ ¨¯ÎÒ× ëÎ“¯Ò ¯¼ TˆÐūǏ£}¶ūªÐ} ¯Ò Ł[19]į ÌĮ 楳ĭ

a­ÜÒį ¯¨ n ̯“Ò Á¨ ©Áµš Á¨ 杯©­×Ò w1,...,wn ܼ¯×Ò ­å dvādaśadaśakaikādaśavarṇakanavapañcasaptadaśa māṣāḥ ΝÒ̝“×¯å ­Ëū}ã} k1,...,knį ×­¼ ×­ åÎ© ­Ëū}ã} ¯Ò ©¯å¼ ’ì | kanakasya samāvarte jāyante varṇake kasmin || w1k1 + + wnkn k = ··· . 12 10 11 w1 + + wn When gold pieces of fineness , , and ··· varṇa with respective weights 9, 5, and 17 māṣa aæÁ ¼Ü»Î¯“µ ë»ÌµÒ Ν æÁ㝚 ÁÜ× Ò ¯µµÜÒ×ÎׯÁ¼Ò are combined (i.e., melted together), what is the Ł[17]į ÌÌĮ ąćńąĈłĮ 2¼ ×­ ¨¯ÎÒ× ë»Ìµ Ŀ0Ă ŁĂć åÎÒÁł Ł¯¯¯łŀį n =4į fineness of the produced gold? 0¯Ò×Áί¼Ò Á¨ »×­»ׯ“Ò š¯¨¨Îš ¯¼ ×­¯Î Òׯ»×Ò Á¨ ×­ šם Á¨ ×­¯Ò æÁγ ’Ü×  Ν“¼× Κ¯Á“ΒÁ¼ šׯ¼© Á¨ ×­ םë× × ×­ f¼¯åÎÒ¯×ì Á¨ Kë¨ÁΚōÒ Ášµ¯¼ >¯’ÎίÒ ÒÜÌÌÁÎ×Ò ×­ 寝æ Á¨ ғ­ÁµÎÒ µ¯³ Į ×× ×­× ×­ Áί©¯¼µ åÎÒ¯Á¼ Á¨ ×­ ×Νׯҝ æÒ “Á»ÌÁҝš ÎÁܼš ×­ ×­¯Îš “¼×ÜÎì ŪŬ ÁÎ ε¯ÎĮ

̊͑́ϻ˨;́ Ύ̐ϑ ߞߜߝߣ Ͼ̥͖͇͑ϑ̥̙ ˨ࡏͻࡏ ͖; ˨;͖̥̐;ϑ ͖;̙͖˨ ृߥ · ͖͑χϑΎξ͖̐˨ͱ

219 a­ ÒÁµÜׯÁ¼ ¯Ò ©¯å¼ ¯¼ ¼ ¼“¯¼× “Á»»¼×Îì Ł[19]į ÌĮ 16 Į a­ “Á»»¼×Îì µÒÁ ÌÁ¯¼×Ò ÁÜ× ×­× ×­ 杯©­×š »¼ 219 楳 Ò ¨ÁµµÁæÒĮ a­ ÌÎÁšÜ“×Ò Á¨ ×­ 杯©­× ¼š ×­ ¨¯¼¼ÒÒ Á¨ Á¨ ×­ Ü}Ƕū}Ò Á¨ ×­ Áί©¯¼µ ̯“Ò ¯Ò 19 Į ×­ ©Áµš ̯“Ò Ν 9 12 = 108į 5 10 = 50 ¼š 17 11 = 2¼ TˆÐūǏ£}¶ūªÐ} Ł[19]į ÌĮ ććł Ò æµµ Ò _ǪÌ}Ъ­ˆ Ł[11]į ÌĮ ĊāńĊĂłį × × × 187Į a­ ÒÜ» Á¨ ×­Ò ׭͝ ÌÎÁšÜ“×Ò ¯Ò (108 + 50 + 187 =) ]ÎǢš­΋“‹Îì šÒ“ί’Ò ×­ ¨Áλܵ ŁąĮĄł ¼š  ¼Ü»Î¯“µ 345Į a­ ÒÜ» Á¨ ×­ 杯©­×Ò ¯Ò (9+5+17 =) 31Į K¼ š¯å¯Ò¯Á¼į ëÎ“¯Ò Á¼ ¯×Į 345 4 ×­ ΝÒܵ×¼× ¨¯¼¼ÒÒ ¯¼ Ü}Ƕū} ¯Ò 31 = 11 31 Į 2¼ ×­ åÎÒ¯Á¼ ¯¼ _ǪÌ}Ъ­ˆ Ł[11]į ÌĮ ĉĊłį ×­ 杯©­× Á¨ ×­ " # ߠࡏߡ ›ŏǕũʲǭɟũżũɟʿŏ࢈ɯ ģƚɟɯǞȩȘ ȩǀ ĦƚǞǃǕɾƚƇ ࡏ›ࡏ ×­¯Îš ©Áµš ̯“ ¯Ò ©¯å¼ ×Á ’ 16 ¯¼Òםš Á¨ 17Ĺ ¯¼ ×­¯Ò “ҝį 2 ǞȘ ȀȀǞǃŏɾǞȩȘ ×­ ΝÒܵ×¼× ¨¯¼¼ÒÒ æ¯µµ ’ 11 15 Ü}Ƕū}Į p ¼Áæ ÍÜÁם ×­ ҝ“Á¼š ëÎ“¯Ò ¨ÎÁ» TˆÐūǏ£}¶ūªÐ} Ł[19]į ÌĮ E­‹åǢ΋“‹Îì Ò××Ò ×­ ÎܵÒ ŁąĮĂį ąĮăł ¯¼  “Á¼š¼Òš ¨Áλ 楳į Ν“×¯¨ì¯¼©  Ò̝µµ¯¼© ÎÎÁÎĮÞÞ ¯¼ ×­ ¨¯ÎÒ× ÌÎ× Á¨ åÎҝ ĂćĊ Á¨ +}¶ūªÐ}ĵˈÇ}ĵË}µ£Ç}¨}˙ Ò ¨ÁµµÁæÒ Ł[14]į ÌĮ ĉĈłĭ sārdhaikādaśadaśakārdhāṣṭamavarṇāḥ kvavarṇake yogāt kanakakṣayasamvargo˙ miśrasvarṇāhṛtaḥ kṣayojñeyaḥ | | tryamśaṣaḍa˙ mśārdhānvitapañcacatussaptamāṣāḥ˙ E­‹åǢ΋“‹Îì ×­¼ ©¯åÒ  ¼Ü»Î¯“µ ë»Ìµ Ł¯¼ åÎÒÒ syuḥ || ĂĈāńĂĈĂĮĆłį 歝Ν ×­ ¨Áλܵ ŁąĮĂł Á¼ 杯©­×š žĮEĮ ­Ò ×Á ’ What is the fineness [of the gold piece obtained] »ÌµÁ읚Į a­¯Ò ¯Ò ¨ÁµµÁ杚 ’ì ­¯Ò Ò×ם»¼× Á¨ Îܵ ŁąĮĄł ¼š 1 1 ×æÁ ¼Ü»Î¯“µ ë»ÌµÒ Á¼ ¯×Į when [three gold pieces of] 11 2 , 10 and 7 2 varṇa 1 1 1 p »¼×¯Á¼ ­Î ×­× Á¼ Á¨ ×­ ÌÎÁ’µ»Ò Ò×םš ’ì [with respective weights] 5 3 , 4 6 , 7 2 māṣa are combined [into one]? E­‹åǢ΋“‹Îì ¯¼ ­¯Ò “­ÌםΠÁ¼ »¯ë×ÜΝ ÌÎÁ’µ»Ò ŁăćĉĮĆį ăĈĄĮĆł ¯Ò ¼ ë»Ìµ Á¨ æ­× ¯Ò ¼Áæ ם띚 Ò  ŊÜד­ ’×Ōį a­ ÒÁµÜׯÁ¼ ¯Ò ©¯å¼ ¯¼ ×­ ¼“¯¼× “Á»»¼×Îì Ł[19]į ÌĮ ¯ĮĮį  Îܵ ¯¼ ©»’µ¯¼© æ­¯“­ ¼ÒÜÎÒ ÌÎÁ¨¯× ¨ÁÎ  ÌÎׯ“ܵÎ ćął Ò ¨ÁµµÁæÒĮ a­ ÌÎÁšÜ“×Ò Á¨ ×­ 杯©­×Ò ¼š ×­ ¨¯¼¼ÒÒ ÌÎÒÁ¼ ¯ÎΝÒ̝“×¯å Á¨ ­¯Ò 寓×ÁÎì ÁÎ µÁÒÒĮ a­ ŊÜד­ ’×Ō ¼š 16 23 368 25 250 E­‹åǢ΋“‹ÎìōÒ ÌÎÁ’µ» Ν Á¨×¼ »¼×¯Á¼š ’ì Ü×­ÁÎÒ Á¨ ×­ ©Áµš ̯“Ò Ν 3 2 = 6 į 6 10 = 6 15 15 225 × × š¯Ò“ÜÒÒ¯¼© ×­ ­¯Ò×ÁÎì Á¨ ÌÎÁ’’¯µ¯×ìĮ Ł*ÁÎ ¯¼Ò×¼“į ҝ [9]į ÌĮ ¼š 2 2 = 4 Į a­ ÒÜ» Á¨ ×­Ò ׭͝ ÌÎÁšÜ“×Ò ¯Ò 1911 ×637 102 ĉĮł 12 = 4 Į a­ ÒÜ» Á¨ ×­ 杯©­×Ò ¯Ò 6 = 17 µˆËū}Į K¼ 637 25 š¯å¯Ò¯Á¼į ×­ ¨¯¼¼ÒÒ “Á»Ò ÁÜ× Ò 68 =968 Ü}Ƕū}Į 2¼ ×­ åÎÒ¯Á¼ ¯¼ _ǪÌ}Ъ­ˆ Ł[11]į ÌĮ Ċāłį ×­ 杯©­× Á¨ ×­ ߠࡏߢ ÚɥɾǕʬƇŏǺŏɯʲũȒǭ࢈ɯ ëʕɔɔȀƚȒƚȘɾ 1 1 ¨¯ÎÒ× ©Áµš ̯“ ¯Ò ©¯å¼ ×Á ’ 5 2 ¯¼Òםš Á¨ 5 3 Ĺ ×­ ¨¯¼µ 40 2¼ ­¯Ò “Á»»¼×Îì Á¼ ×­ “­ÌםΠ+}¶ūªÐˆ—¨ãˆã}¨ū Á¨ ×­ ¼ÒæÎ ¯¼ ×­¯Ò “ҝ 毵µ ’ 9 103 Ü}Ƕū}Į a­ »Áš¯¨¯š ¨Áλܵ ŁąĮăł ¯Ò Ò×םš ’ì ]ÎǢš­΋“‹Îì ¯¼ ×Νׯҝ Lj¨µ} ZŨÓÐū} Zª——¨ˆ¶Ð} Łćăĉ ŪŬł ’ì έ»©ÜÌ×į ’Á×­ TˆÐūǏ£}¶ūªÐ} Ł[19]į ÌĮ ćął ¼š _ǪÌ}Ъ­ˆ Ł[11]į ÌĮ Ċāł ¯¼ ×­ Vί׭âš³Ò勻Ǣ Ł“Į ĉćą ŪŬł ÌÁ¯¼×Ò ÁÜ× ×­× ×­ ×Á̯“ Á¨ ¨ÁµµÁ毼© æÁΚÒĭ “Á»ÌÜ×ׯÁ¼Ò Á¼ ©Áµš šÁÒ ¼Á× Á““ÜÎ ¯¼ ×­ “­ÌםΠ¼š ×­Î¨ÁΝį ­ ¯¼×ÎÁšÜ“Ò  åÎҝ Á¨ ­¯Ò Áæ¼ Á¼ ×­ Á»¯×םš varṇasuvarṇavadhaikyam˙ vipakvakanakena ×Á̯“Į Vί׭âš³ ÒìÒ Ł[10]į ÌĮ Ĉāłĭ bhājitam˙ varṇaḥ iha gaṇitādhyāye suvarṇagaṇitam˙ nāsti | The sum of the products of the fineness and the tadartha śloko'yam (weights of several pieces of) gold, divided by the 0¯Ò Îܵ šÒ“ί’Ò ×­ ¨Áλܵ ŁąĮĄł ¼š ŁąĮĂłĭ (weight of the) refined gold, becomes the fineness (of the refined gold). suvarṇahemasamvargānekīkṛtya˙ vibhājayet | iṣṭavarṇena tatsankhyā˙ hemayogena varṇakaḥ a­ ¨ÁµµÁ毼© ëÎ“¯Ò ¯Ò Ò× ¯¼ ’Á×­ ×­ םë×Ò Ł[11]į ÌĮ ĊĂĹ || [19]į ÌĮ ćąłĭ Takethesumoftheproductsofthefinenessandthe weight of the several pieces of gold. Dividing it by pañcāṣṭaṣaṭsuvarṇādvādaśanavakārdhapañcadaśavarṇāḥ the fineness of the desired (refined gold) gives the | pakvāḥ ṣoḍaśa dṛṣṭāstad varṇaka ucyatāmāśu amount (the weight of the refined gold); dividing || it by the sum of the weights of the (pieces of) gold Gold pieces of weights 5, 8 and 6 suvarṇa and gives the fineness (of the refined gold). respectivefineness12,9and(15 1 =)14 1 varṇa, − 2 2 mixed together and refined, are seen to reduce to Vί׭âš³ ¯µµÜÒ×Î×Ò ­¯Ò Îܵ æ¯×­ ¼ ë»Ìµ Ł[4]į ÌĮ ăĉĊł 16 suvarṇa in all. Quickly state the varṇa of the ¯¼åÁµå¯¼© ׭͝ ̯“Ò Á¨ ©Áµšĭ Á¼ Á¨ 杯©­× 5 ËÓÜ}Ƕū} ¼š refined gold. ¨¯¼¼ÒÒ 12 Ü}Ƕū}į Á¼ Á¨ 杯©­× 6 ËÓÜ}Ƕū} ¼š ¨¯¼¼ÒÒ 13 Ü}Ƕū}į ¼š Á¼ Á¨ 杯©­× 7 ËÓÜ}Ƕū} ¼š ¨¯¼¼ÒÒ 14 Ü}Ƕū}Į FÁם ×­× ×­ ÒÜ» Á¨ ×­ 杯©­×Ò Á¨ ×­ Áί©¯¼µ ̯“Ò a­ÜÒį ×­ ÒÜ» Á¨ ×­ ÌÎÁšÜ“×Ò ¯Ò 60 + 78 + 98 = 236Į 2¨ ¯Ò 19 ËÓÜ}Ƕū}Ĺ ×­ÜÒ ×­Î ­Ò ’¼  ΝšÜ“×¯Á¼ Á¨ 3 ËÓÜ}Ƕū} ×­ ΝÒܵ×¼× ¨¯¼¼ÒÒ ¯Ò 16 Ü}Ƕū}į ×­¼ ×­ »ÁÜ¼× Á¨ ©Áµš ¯¼ 236 šÜί¼© ×­ ÌÎÁ“ÒÒĮ a­ ¼“¯¼× “Á»»¼×Îì š¯Ò“ÜÒÒÒ ×­ ×­ »¯ë×ÜΝ ¯Ò 16 ËÓÜ}Ƕū}į ¯ĮĮį 14 ËÓÜ}Ƕū} ¼š 12 µˆËū}Į a­ 236 1 ÌÎÁ’µ» ¯¼ š×¯µ Ł[19]į ÌÌĮ ćąńććł ¼š ©¯åÒ ×­ ¨¯¼µ ¼ÒæÎ ¨¯¼¼ÒÒ ¯Ò ©¯å¼ ’ì 18 į ¯ĮĮį 13 9 Ü}Ƕū}Į ÞÞa­ š¯×ÁÎ <Į\Į \­Ü³µ ¼Á×Ò ×­× ×­ Á¼µì 寵’µ »¼ÜғίÌ× Ŋ¯Ò ¨Üµµ Á¨ ÎÎÁÎÒ ¼š ¯¼““ÜΓ¯ÒŌ Ł[19]į ÌĮ Ł¯¯¯łłĮ

ߝߜ ̊͑́ϻ˨;́ Ύ̐ϑ ߞߜߝߣ · ͖͑χϑΎξ͖̐˨ͱ

ߠࡏߣ $ǕũɯǺŏɟũżũɟʿŏ࢈ɯ _ȩɟȒʕȀŏɾǞȩȘ ȩǀ ɾǕƚ a­ ¨Áλܵ ŁąĮĂł šÒ“ί’š ’ì ­‹Ò³΋“‹Îì ©¯åÒ ×­ ĦƚǞǃǕɾƚƇ ɟǞɾǕȒƚɾǞż ›ƚŏȘ ǞȘ ȀȀǞǃŏɾǞȩȘ ¨¯¼¼ÒÒ

2¼ ×­ ¨ÁµµÁ毼© åÎҝ Ł[12]į ÌĮ ĊĈĹ [15]į ÌĮ Ăĉăłį ­‹Ò³΋“‹Îì (10 13) + (4 12) + (2 11) + (4 10) 240 »³Ò  “Á»Ì“× ¼š µÜ“¯š ÌΝҝ¼×ׯÁ¼ Á¨ ×­ ÎܵÒ ŁąĮĂłį × × × × = 10 + 4 + 2 + 2 20 ŁąĮăł ¼š ŁąĮĄł ¯¼ ­¯Ò ×Νׯҝ <Ǐ¯ˆÜ}ÐǏĮ a­ ¨¯ÎÒ× µ¯¼ ÌΝғί’Ò ×­ ¨Áλܵ ¨ÁΠ杯©­×š ί׭»×¯“ »¼ ŁąĮóŠ׭ ¼ë× µ¯¼ = 12 Ü}Ƕū}. ¯Ò Á¼ ÎܵÒ ŁąĮăł ¼š ŁąĮĄłĮ 2¼ ­¯Ò “Á»»¼×Îì Á¼ <Ǐ¯ˆÜ}ÐǏ ׯ׵š ӗ—¨ªÜª¯ˆËª¶Ǐ Ł“Į suvarṇavarṇāhatiyogarāśau svarṇaikyabhakte ĂĆąĆ ŪŬłį +¼ŻÒŻ ¯å±À ë̵¯¼Ò ×­ ÒÁµÜׯÁ¼ ¯¼ š×¯µĮ kanakaikyavarṇaḥ | 2¼Òםš Á¨ Ì̵쯼© ×­ ¨Áλܵ ŁąĮĂł Ò×ί©­×æìį +¼ŻÒŻ varṇo bhavecchodhitahemabhakte varṇoddhṛte æÁÎ³Ò ÁÜ× ×­ ÒÁµÜׯÁ¼ ¨ÎÁ» ¨¯ÎÒ× Ìί¼“¯ÌµÒį »³¯¼© ¼ śodhitahemasankhyā˙ || ¯»Ìµ¯“¯× Ì̵¯“ׯÁ¼ Á¨ ×­ Ŋ2¼åÎҝ Xܵ Á¨ a­ÎŌĮ +¼ŻÒŻōÒ The sum of the products of the weights and the ëÌÁүׯÁ¼ ÌÎÁ寚Òį ¯¼ Òҝ¼“į  ÌÎÁÁ¨ Á¨ ×­ Ìί¼“¯ÌµÒ fineness of the (pieces of) gold, divided by the sum ŁąĮĂł ¼š ŁąĮăłĮ žÒ ×­ ÌÒÒ© ¯Ò µÁ¼© Ł[15]į ÌĮ ĂĉĆńĂĉćłį æ of the weights of the (pieces of) gold, defines the ÒÜ»»ίñ ’µÁæ ¯×Ò Òҝ¼×¯µ “Á¼×¼×Į fineness of the mixture of the gold pieces. The sum, \ÁµÜׯÁ¼ Ł+¼ŻÒŻ ¯å±Àłĭ a­ ¨¯¼¼ÒÒ ¼š ×­ 杯©­× divided by the weight of the purified gold, defines Ν ¯¼ ¯¼åÎҝ ÌÎÁÌÁÎׯÁ¼Į the fineness of the purified gold; and (the sum) 1 divided by the fineness of the purified gold, defines \ÜÌÌÁҝ ×­ ¨¯¼¼ÒÒ Á¨ µµ ×­ ©Áµš ̯“Ò ’“Á»Ò the amount (weight) of the purified gold. Ü}Ƕū}Į a­¼ ×­ 杯©­× Á¨ ×­ ¨¯ÎÒ× Ì¯“ ŁÁ¨ Áί©¯¼µ ¨¯¼¼ÒÒ 13 Ü}Ƕū} ¼š 杯©­× 10 µˆËū}ł ’“Á»Ò (13 10 =) 130 µˆËū}Į × ­‹Ò³΋“‹Îì ­Ò ¯¼š¯“םš ×­× ×­ ’Áå ÎÒܵ×Ò ¨ÁµµÁæ \¯»¯µεìį ×­ 杯©­×Ò Á¨ ×­ Ν»¯¼¯¼© ׭͝ ̯“Ò Á¨ ©Áµš ¨ÎÁ» ×­ 杵µŅ³¼Áæ¼ ¯¼åÎҝ Îܵ Á¨ ׭͝ ¯¼ ί׭»×¯“Į 2¼ ¼ ŁÁ¨ Áί©¯¼µ 杯©­×Ò 4į 2 ¼š 4 µˆËū}ł ’“Á» (12 4 =) 48į × ε¯Î åÎҝ Á¨ <Ǐ¯ˆÜ}ÐǏį ­‹Ò³΋“‹Îì ­Ò »Ì­Ò¯ñš ×­× (11 2 =) 22 ¼š (10 4 =) 40 µˆËū}Į × × ×­¯Ò Îܵ ­Ò Ì̵¯“ׯÁ¼Ò ¯¼ ÌÎÁ’µ»Ò ¯¼åÁµå¯¼© ÍܼׯׯÒ 0¼“ ×­ ×Á×µ 杯©­× Á¨ ×­ Áί©¯¼µ ̯“Ò Á¨ ©Áµš ¯¼ ¼ æ­¯“­ Ν ¯¼åÎҝµì Νµםšį ¯ĮĮį 歝Ν ×­ ¯¼“Νҝ Á¨ Á¼ µµÁì Á¨ ¨¯¼¼ÒÒ 1 Ü}Ƕū} æÁܵš ’ 130 + 48 + 22 + 40 = 240 Íܼׯ×ì ΝÒܵ×Ò ¯¼ ×­ š“Νҝ Á¨ ×­ Á×­Î ¼š 寓 åÎÒĮ µˆËū}Į a­Î¨ÁΝį ¨ÁÎ 20 (= 10 + 4 + 2 + 4) µˆËū}į ×­ ¨¯¼¼ÒÒ 0 ×­¼ ©¯åÒ ×­ ¨ÁµµÁ毼© ë»ÌµÒ 歝Ν ×­ ¯¼åÎҝ Îܵ 240 1 Á¨ ©Áµš ­Ò ×Á ’ × = 12 Ü}Ƕū}Į Á¨ ׭͝ ¯Ò ×Á ’ Ì̵¯š Ł[12]į ÌĮ ĉĂĹ [15]į ÌĮ ĂĄĈłĭ 20 a­ ¼ë× åÎҝ" Á¨ ­‹Ò³΋“‹Îì# ©¯åÒ ×­ ҝ“Á¼š ÌÎ× Á¨ jīvānām˙ vayaso maulye taulye varṇasya hemani | ­¯Ò ëÎ“¯Ò Á¼ ÎܵÒ ŁąĮăł ¼š ŁąĮĄłĮ 0 Ò³Ò Ł[15]į ÌĮ Ăĉąłĭ bhāgahāre ca rāśīnām˙ vyastam˙ trairāśikam˙ viduḥ ßß || ˙ In (problems involving) the age of living beings and te śodhanena yadi ca vimśatiruktamāṣāḥ syuḥ their value, the weight and fineness of objects of ṣoḍaśā”śu vada varṇamitistadā kā ˙ | gold, the division of heaps (of grain),Þ the use of the cecchodhitam bhavati ṣoḍaśavarṇahema te vimśatiḥ˙ kati bhavanti tadā tu māṣāḥ inverse rule of three is well-known. || ž¨×Î ­¯Ò åÎҝ Ò×ׯ¼© ÎܵÒ ŁąĮĂłį ŁąĮăł ¼š ŁąĮĄłį ­‹Ò³΋“‹Îì ©¯åÒ ¼ ëÎ“¯Ò ¯¼ ×æÁ ÌÎ×Ò ¯¼ ­¯Ò ¼ë× If the 20 māṣa (of gold) mentioned above reduces ×æÁ åÎҝÒĮ a­ ×æÁ ÌÎ×Ò “ÁÎΝÒÌÁ¼š ×Á ×­ ×æÁ ÌÎ×Ò Á¨ to 16 when refined, tell me quickly what will be the ­¯Ò ×­ÁΝ» Á¼ ×­ ׭͝ ÎܵÒĮ a­ ¨¯ÎÒ× åÎҝį ÍÜÁםš ’µÁæį fineness (of the refined gold). On the other hand, if, ¯Ò Á¼ ×­ Îܵ ŁąĮĂł Á¼ 杯©­×š ί׭»×¯“ »¼ Ł[12]į ÌĮ ĊĉĹ on purification, it becomes gold of 16 varṇa, then [15]į ÌĮ ĂĉĄłĭ what is the number of māṣa to which the 20 māṣa will become reduced? viśvārkarudradaśavarṇasuvarṇamāṣā digveda locanayugapramitāḥ krameṇa | āvartiteṣu vada teṣu suvarṇavarṇastūrṇam˙ \ÁµÜׯÁ¼ĭ 2¼ ×­ ¨¯ÎÒ× “ҝį ’ì ¨Áλܵ ŁąĮăłį ×­ ¨¯¼¼ÒÒ suvarṇagaṇitajña vaṇigbhavetkaḥ 240 = 15 || Á¨ ×­ Ν¨¯¼š ©Áµš 毵µ ’ 16 Ü}Ƕū}Į 2¼ ×­ ҝ“Á¼š 13 12 11 “ҝį ’ì ¨Áλܵ ŁąĮĄłį ×­ 杯©­× Á¨ ×­ Ν¨¯¼š ©Áµš 毵µ ’ (Four types of gold pieces of) fineness , , 240 " # and 10 varṇa, and weights 10, 4, 2 and 4 māṣa 16 = 15 µˆËū}Į 2¼ ×­ ¨¯ÎÒ× “ҝį 4 µˆËū} Á¨ ¯»ÌÜίׯÒ ©Á× ’ÜÎ¼× ÁÜ×Ĺ ¯¼ ×­ ҝ“Á¼š “ҝį 5 µˆËū} Á¨ ¯»ÌÜίׯÒ ©Á× ’ÜÎ¼× respectively, are melted together. Tell me quickly " # O merchant, thou expert on the mathematics of ÁÜ×Į gold (or golden mathematician), what will be the ž Ò¯»¯µÎ Ò×ם»¼× ¼š ëÎ“¯Ò Á¼ µµ¯©ׯÁ¼ Ò ×­× Á¨ fineness of the (new piece of) gold? ­‹Ò³΋“‹Îì ¯Ò µÒÁ ©¯å¼ ’ì F‹Î‹ì¼Ż V¼ŻšŻ¯× Ł[20]į ÌĮćāłĮ ßß2¼ ÒÁ» åÎÒ¯Á¼Òį ×­ æÁΚ ¨}ܙРÁ““ÜÎÒ ¯¼ ̵“ Á¨ ܪ—Ó¨ūĮ 2¼ ×­¯Ò åÎҝį ×­Î ¯Ò ¼ ܼšÎµì¯¼© ÒÒÜ»ÌׯÁ¼ ×­× ÁµšÎ ×­ µ¯å¯¼© ’¯¼©į µÒҝΠ¯Ò ×­ “Ì“¯×ì ¨ÁÎ æÁγ ¼š Á×­Î Íܵ¯×¯Ò ¼š ×­Î¨ÁΝį µÒҝΠ¯Ò ×­ Üׯµ¯×ì ŁåµÜł ¼š ­¼“ µÒҝΠ¯Ò ×­ 橝 Ł¯¼ “ҝ Á¨ ­Ü»¼ ’¯¼©Òł ÁÎ Ìί“Į Þ a­ ’¯©©Î ×­ Ò¯ñ Á¨  »ÒÜΝ ’ì æ­¯“­ ×­ ­Ì ¯Ò »ÒÜ͚į ×­ Ò»µµÎ 毵µ ’ ×­ ¼Ü»’Î Á¨ »ÒÜΝÒĮ

̊͑́ϻ˨;́ Ύ̐ϑ ߞߜߝߣ Ͼ̥͖͇͑ϑ̥̙ ˨ࡏͻࡏ ͖; ˨;͖̥̐;ϑ ͖;̙͖˨ ृ ߝߝ · ͖͑χϑΎξ͖̐˨ͱ

ߡ vȘ˚ʕƚȘżƚ ȩǀ ȘżǞƚȘɾ vȘƇǞŏȘ Ì̝ÎŅ¼šŅ¯¼³ĮÞÞ a­ÜÒį ¯× ¯Ò ̝έÌÒ ¼Á×  “Á¯¼“¯š¼“ ×­× æ Ò ¼ ɟǞɾǕȒƚɾǞż ŏȘƇ Ȁǃƚųɟŏ ¯¼“ΝÒ¯¼© Üҝ Á¨ ×­ žÎ¯×­»×¯“ E¼ ¯¼ ÜÎÁ̝ ¨×Î ­Î šÌ×ׯÁ¼ Á¨ ×­ 2¼š¯¼ “Á»ÌÜ×ׯÁ¼µ »×­ÁšÒ ’ҝš Á¼ p ¼Áæ Á¨¨Î  ¨æ ÌÁÒÒ¯’µ ë̵¼ׯÁ¼Ò ¨ÁÎ ×­ εì ×­ š“¯»µ ÒìÒם»Į Á““ÜÎΝ¼“ Á¨ ×­ ©¼Îµ žÎ¯×­»×¯“ E¼ ¯¼ ¼“¯¼× 2¼š¯ a­ Á““ÜÎΝ¼“ Á¨  “­ÌםΠŊÁ¼ »¯ë×ÜΝŌ Ł™Ľ µ™Ë»¯»ł ¯¼ ¼š ¯×Ò šµ읚 ¯¼×ÎÁšÜ“ׯÁ¼ ¯¼ ÜÎÁ̝Į a­ ­¯Ò×ÁÎì Á¨ εì 2×µ¯¼ æÁÎ³Ò Á¼ ί׭»×¯“ æÒ ÌÎÁ’’µì ¯¼¨µÜ¼“š »ÁšÎ¼ ί׭»×¯“ Ì̝ÎÒ ×Á ­Áµš  ³ìĮ ’ì ×­ µªÌÇ}­}ĵÜã}Ü}¨ˆÇ} “­ÌםΠ¯¼ ¼“¯¼× 2¼š¯¼ םë×Ò Ł[5]į ÌĮ 㥥łĮ ߡࡏߝ ÷Ǖƚ vȒɔŏżɾ ȩǀ ɾǕƚ 4ƚżǞȒŏȀ ëʿɯɾƚȒ ŏȘƇ ɾǕƚ °ɔƚɟŏɾǞȩȘ ȩǀ 4ǞʲǞɯǞȩȘ ߡࡏߞ ÷Ǖƚ vȒɔŏżɾ ȩǀ Ȁǃƚųɟŏ a­ š“¯»µ ÒìÒם» Áί©¯¼םš ¯¼ 2¼š¯Į 2¼ Ò̯ם Á¨ ×­ Ò×ÎÁ¼© p »ì ¨¯¼š ¯× ¯¼“Νš¯’µ ×­× µ×­ÁÜ©­ ×­ ¼“¯¼× +͝³Ò šåÁ““ì ’ì *¯’Á¼““¯ Ł“Į Ăăāă ŪŬł ¼š ÒܒҝÍܝ¼× ғ­ÁµÎÒį ­š š¨¯¼š žÎ¯×­»×¯“ E¼ ¨ÁÎ ×æÁ ¼Ü»’ÎÒį ¯× æÁܵš ׳ ¯× ×ÁÁ³ ¼Îµì ¨¯å “¼×ÜίÒ ¨ÁÎ ×­ 2¼š¯¼ š“¯»µ ÒìÒם» ×Á ÎÁܼš ×æÁ ×­ÁÜÒ¼š »ÁΝ ìÎÒ ¨ÁÎ ×­ ¯š Á¨ žĮEĮ Á¨ n ©× ““Ìםš ¼š Ò×¼šΚ¯ñš ¯¼ ÜÎÁ̝į ÒÁ»×¯» ÎÁܼš ¼Ü»’ÎÒ ×Á »Î© ¯¼ ÜÎÁ̝Į a­ “ד­ ­Î ҝ»Ò ×Á ’ ×­ ĂĈ×­ “¼×ÜÎìĮ a¯µµ ×­¼į XÁ»¼ ¼Ü»ÎµÒ æÎ ¯¼ ÜҝĮ a­ ×­× ×Ášìį æ¯×­ ÁÜÎ ×ί¼¯¼© ¯¼ µ©’Î ¨ÎÁ» ¼ εì ©į å¼×ܵ šÁÌׯÁ¼ Á¨ ×­ š“¯»µ ÒìÒם» ¯Ò “Á¼Ò¯šÎš Á¼ Á¨ æ ×¼š ×Á ×­¯¼³ Á¨ žĮEĮ ¨ÁÎ ×æÁ ¼Ü»’ÎÒ Ò Ŋ(a + b)/2Ō ×­ ¨“×ÁÎÒ ¨ÁÎ ×­ »×­»ׯ“µ ¼š ғ¯¼×¯¨¯“ Ν¼¯ÒÒ¼“ ¯¼ ¼š ­¼“ ¨¯¼š Ŋ(a1 + + an)/nŌ  ¼×Üε ©¼Îµ¯ñׯÁ¼Į ß ··· ÜÎÁ̝Į Ü× ×­ åÎì ¨ÁλܵׯÁ¼ Ŋ(a + + a )/nŌ ¯Ò ÒÁ»×­¯¼© 1 ··· n a­¼³Ò ×Á ×­ š“¯»µ ÒìÒם»į ¼“¯¼× 2¼š¯¼Ò “Áܵš ¯¼×ί¼Ò¯“µµì µ©’ί“ Łæ­×­Î ëÌΝÒҝš ×­ÎÁÜ©­ Ò컒ÁµÒ šåµÁÌ ¼× ¼š ÒìÒם»ׯ“ »×­ÁšÒ ¨ÁÎ ¨Ü¼š»¼×µ ÁÎ æÁÎšÒłĮ ž¼š ÒÁ ¯Ò ×­ ¯š Á¨ ©¼Îµ¯ñ¯¼© ¨ÎÁ» 2 ×Á ¼ ί׭»×¯“ Á̝ÎׯÁ¼Ò µ¯³ šš¯×¯Á¼į Òܒ×ΓׯÁ¼į Β¯×ÎÎì nĮ žÒ »Ì­Ò¯ñš ¯¼ ҝ“ׯÁ¼ ăĮĂį ×­ +͝³ žĮEĮ »Üµ×¯Ìµ¯“ׯÁ¼į š¯å¯Ò¯Á¼Į a­¯Î »×­ÁšÒ æÎ Òµ¯©­× åί¼×Ò æÒ Òҝ¼×¯µµì  ©Á»×ί“ “Á¼“Ì×į ×­ »¯šŅÌÁ¯¼× Á¨ ×­ µ¯¼

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׳¯¼© ×­ »¼ šÌ×­ Ò  ΝÌΝҝ¼××¯å åµÜ »Á¼© to the Present Day. American Statistical Association ©¼Ü¯¼µì š¯¨¨Î¼× åµÜÒĮ a­¯Ò Ò×ׯÒׯ“µ “Á¼“Ì× Á““ÜÎÒ ¯¼ Presidential Address. 1971. ?iiT,ff;HiQMXm+?B+;QX ×­ »±ÁΠםë×Ò Á¨ ÌÎÁ»¯¼¼× Ò×ÎÁ¼Á»ÎŅ»×­»ׯ“¯¼Ò 2/mf biB;H2`f2Bb2M?`iXT/7 µ¯³ έ»©ÜÌ× ¼š ­‹Ò³΋“‹Îìį æ­Áҝ ¼©µ¯Ò­ [9] Ian Hacking. The Emergence of Probability: A Philosophical Study ×μҵׯÁ¼Ò [4] ­å ’¼ 寵’µ ¨ÁÎ ×­ ÌÒ× ăāā ìÎÒĮ of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference. ž¼š ì×į ×­ ’ܼš¼× Á““ÜÎΝ¼“ Á¨ žÎ¯×­»×¯“ E¼ Cambridge University Press. 1975 ¯¼ ¼“¯¼× 2¼š¯¼ »×­»ׯ“Ò םë×Ò ©×Ò ÁåÎµÁÁ³š ¯¼ ““Áܼ×Ò Á¼ ­¯Ò×ÁÎì Á¨ Ò×ׯÒׯ“ÒĮ \­Áܵš æ ¯¼ 2¼š¯ “µ¯¼© [10] V.D. Heroor (tr.) Brahmaguptagaṇitam. Chinmaya ×Á ÁÜÎ “ܵ×ÜΝ Á¨ “ܵׯåםš ¯©¼Á쓝 ’ÁÜ× ¼“¯¼× 2¼š¯¼ International Foundation Shodha Sansthan, Ernakulam. ғ¯¼“ĵ 2014 p ¼š ×­ Îׯ“µ æ¯×­  Ν»γ Á¨ 寚 EÜ»¨ÁΚ [11] V. Kutumbashastri (ed.) and Sudyumnacharya (Hindi tr.) The ×Á ×­ Ü×­ÁÎ ¯¼ ×­ “Á¼×ë× Á¨ ×­ Îׯ“µ [7]Į EÜ»¨ÁΚ Pātigaṇitasāra of Srīdharācārya. Rashtriya Sanskrit Sansthana. Á’ҝÎåÒ ×­× ¯× ¯Ò ¯¼×ÎÒׯ¼© ×­× Ŋš¯Î× ¼š ©Áµš æÎ ×­ ×æÁ 2004 Ì̵¯“ׯÁ¼ÒŌ Á¨ ×­ žÎ¯×­»×¯“ E¼ ¯¼ 2¼š¯Į VÎ­ÌÒ ×­× ¯Ò Ò컒Áµ¯“ Á¨ ×­ ìÁ©¯“ Íܵ¯×ì ¯¼ 2¼š¯¼ Ò̯ί×ܵ ×Κ¯×¯Á¼į [12] K.S. Patwardhan, S.A. Naimpally and S.L. Singh (eds.) Līlāvatī ÁÎ ×­ ëÌΝÒÒ¯Á¼ Ðūˆ­ˆ µˆÐūª µˆÐūª Ðūˆ­ˆ Ł»Á¼ì ¯Ò »Üšį »Üš ¯Ò of Bhāskarācārya. Motilal Banarasidass. 2001 »Á¼ìł Á¨ \ί X»³Î¯Ò­¼ı ! [13] R.L. Plackett. The Principle of the Arithmetic Mean, in Studies intheHistoryofStatisticsandProbability. 1 (eds. E.S. Pearson and ŨŪŲŵŶžųŬūŮŬŴŬŵŻź 2 ×­¼³ µµ ×­ ΝšÎÒ Á¨ [7] ¨ÁÎ M.G. Kendall). Griffin, London. 1970: 121–126 ×­¯Î ¼×­ÜÒ¯Òׯ“ ΝÒÌÁ¼ÒÒ ¼š ¨ÁÎ ÌÁ¯¼×¯¼© ÁÜ× ×­ ×ì̯¼© ÎÎÁÎÒĮ 2 Ò̝“¯µµì ×­¼³ žå¯¼Ò­ \×­ì ¨ÁΠҝåÎµ [14] M. Rangācārya˙ (ed. with English translation and notes).The “ÁÎΝ“×¯Á¼Ò ¼š ¯»ÌÎÁ坻¼×Ò ¯¼ ×­ ×μҵׯÁ¼Ò Á¨ ×­ Gaṇita-sāra-sangraha˙ of Mahāvīrācārya. Govt. of Madras, \¼Ò³Î¯× åÎҝÒĮ Madras. 1912 [15] A. Padmanabha Rao. Bhāskarācārya's Līlāvatī Part I. Chinmaya International Foundation Shodha Sansthan, Ernakulam. 2015 áƚǀƚɟƚȘżƚɯ [16] A. Padmanabha Rao. Bhāskarācārya's Līlāvatī Part II. Chinmaya [1] P.C. Mahalanobis. Sankhyā. 1933. 1(1): 1–4 International Foundation Shodha Sansthan, Ernakulam. 2014

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