Pontifícia Universidade Católica de São Paulo PUC - SP
Roseli Alves de Moura
Um estudo sobre a Instituzioni Analitiche de Maria Gaetana Agnesi: Álgebra e Análise na Itália setecentista
Doutorado em Educação Matemática
São Paulo 2017
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo PUC - SP
Roseli Alves de Moura
Um estudo sobre a Instituzioni Analitiche de Maria Gaetana Agnesi: Álgebra e Análise na Itália setecentista
Doutorado em Educação Matemática
Tese apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de Doutor em Educação Matemática sob a orientação do Prof. Dr. Fumikazu Saito
São Paulo 2017
Banca Examinadora
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Dedico este trabalho ao meu pai e minha mãe!
Nada a ser feito seria suficiente para demonstrar o quanto sou grata pela honra de ser filha deles!
Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura:______Local e Data:______
AGRADECIMENTOS
Esta pesquisa não seria possível, sem o apoio institucional da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP) e da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), pela concessão da bolsa de estudos, sem a qual não poderia ter feito o curso de doutorado. Agradeço à todos os professores do Programa de Estudos de Pós-graduados em Educação Matemática da PUC-SP e, principalmente, ao professor Dr. Saddo, por seu apoio e estímulo, sempre. Ao meu orientador, professor Dr. Fumikazu Saito que, com incontestável competência e paixão pela pesquisa, soube orientar e conduzir este trabalho, além de estimular sempre à reflexões acerca da necessidade e, contribuição de pesquisas dessa natureza à Educação Matemática. Aos professores Arlete de Jesus Brito, Barbara Lutaif Bianchini e Nilson José Machado que, durante a qualificação, contribuíram com valiosas dicas e sugestões e, em especial, ao professor Gabriel Loureiro de Lima cuja revisão de alguns tópicos foi fundamental no sentido de auxiliar à abordagem epistemológica deste trabalho, considerada no século XVIII, mas com releitura no espaço e tempo do século XXI. Cabe também agradecer à Biblioteca Ambrosiana de Milão, na Itália, e seus bibliotecários, particularmente o Coordenador Dr. Nino Cellamaro que, não somente presencialmente, durante os meses de julho de 2013 e julho de 2015, mas ao longo de todo a pesquisa, auxiliou no levantamento e encaminhamento de materiais substanciais para o desenvolvimento deste trabalho. Palavras não seriam suficientes para agradecer o apoio de inúmeros amigos, mas notadamente Daniela Violato que, além de responsável pela revisão da tradução italiana necessária ao longo do pesquisa, esteve ao meu lado durante todo o percurso, sempre com uma palavra amiga... e a doce Camila Valala, pela força e estímulo, nesta fase final! Aos colegas do grupo de pesquisa Heema, pelas contribuições no meio do caminho e, principalmente à amiga Ana Rebeca Miranda Castillo, pelo esmero na revisão final, Regina Thaíse Ferreira Bento e Angela Maria dos Santos, companheiras de jornada, sempre ao lado, ora com entusiasmo, ora aconchego. A troca, a teia de emoções e sentimentos que se estabeleceu ao longo desse período, sem dúvidas, tem nos transformado.... graças a Deus! Agradeço a todos os amigos da Faculdade de Engenharia Industrial – FEI, em especial ao Prof. Aristóteles Antonio da Silva, eterno professor e colega de trabalho e ao Prof. Fábio Gerab, sempre com palavras de incentivo e lembrando que, na verdade, animus vincit omnia. Gratidão aos meus filhos, principalmente minha filha Mayra Moura, com a revisão da tradução inglesa, pais, irmãos e amigos! Perdão pela ausência; necessária... e acima agradeço à DEUS, que esteve ao meu lado por todo o tempo, e sempre há de estar!
Vivo autem jam non ego; vivit vero in me Christus. (Gálatas, 2-20) Maria Gaetana Agnesi
“Porque se chamavam homens Também se chamavam sonhos E sonhos não envelhecem Em meio a tantos gases lacrimogênios Ficam calmos, calmos Calmos, calmos, calmos... E lá se vai mais um dia...” Trecho da música “Clube da Esquina 2” Milton Nascimento - Lô Borges - Marcio Borges
“Eu vejo um horizonte trêmulo Eu tenho os olhos úmidos Eu posso estar completamente enganado, posso estar correndo pro lado errado Mas a dúvida é o preço da pureza, e é inútil ter certeza...” Trecho da música “Infinita Highway” Humberto Gessinger
RESUMO
Neste trabalho apresentamos um estudo sobre a introdução da Álgebra e da Análise em Milão no século XVIII, tendo por foco a obra intitulada Instituzioni Analitiche ad uso della giuveniu Italiana, publicada por Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) em 1748. Dividida em dois grandes volumes, a Instituzioni Analitiche abarca conhecimentos ligados à Álgebra e ao Cálculo, que começaram a ser disseminados naquela época. Esses novos campos de investigação matemática, entretanto, se desenvolveram e se disseminaram num cenário bastante complexo em que se entrelaçaram questões de ordem religiosa, política e econômica, e estavam estreitamente relacionadas ao conhecimento de uma nova ciência emergente. Assim, este trabalho tem como objetivos: contextualizar e identificar quais conhecimentos matemáticos foram mobilizados e abordados na obra de Agnesi. Além disso, buscamos entre outros pontos, apresentar alguns indícios que situam a Instituzioni Analitiche no processo que conduziu à especialização moderna. Para tanto, analisamos o primeiro volume de Instituzioni Analitiche, sobre a qual incidimos análises específicas. O estudo dessa obra, bem como a resolução de equação quadrática de Agnesi, revelou-nos o caráter multifacetado das matemáticas setecentistas, manifestado na predileção de Agnesi em publicar uma obra de matemática pura num contexto em que se destacavam estudos de matemáticas mistas. As questões de ordem epistemológica e matemática implicadas na obra de Agnesi apontam para o intrincado e complexo processo da construção do conhecimento matemático moderno propiciando uma visão mais contextualizada e atualizada de história que pode ser explorada por educadores matemáticos.
Palavras-chave: História da Matemática. Educação Matemática. Matemáticas Mistas. Matemática Pura. Álgebra. Maria Gaetana Agnesi.
ABSTRACT
In this work we present a study on the introduction of the Algebra and Analysis in Milan in the eighteenth century, with the focus on the work entitled Instituzioni Analitiche ad uso della giuveniu Italiana, published by Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) in 1748. Divided into two large volumes, the Instituzioni Analitiche includes knowledge related to Algebra and Calculus, which began to be disseminated at that time. These new fields of mathematical research, however, have developed and spread in a very complex scenario in which intertwined issues of religious, political and economic, and were closely related to the knowledge of a new emerging science. This work aims to: contextualize and identify which mathematical knowledge were mobilized and discussed the work of Agnesi. In addition, we seek among others, present some evidence to place the Instituzioni Analitiche in the process leading to modern expertise. Therefore, we analyzed the first volume of Instituzioni Analitiche on which we focus specific analyzes. The study of this work, as well as the quadratic equation solving Agnesi, showed us the multifaceted character of eighteenth-century mathematics, manifested in Agnesi predilection to publish a pure mathematical work in a context that stood out studies of mixed mathematics. The issues of epistemological and mathematics involved in the work of Agnesi point to the intricate and complex process of building the modern mathematical knowledge providing a more contextualized and updated view of history that can be exploited by mathematics educators.
Keywords: Mathematic History. Mathematic Education. Mixed Mathematical. Pure Mathematical. Algebra. Maria Gaetana Agnesi.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Maria Gaetana Agnesi: Busto de Fraccaroli – Palazzo di Brera em Milão28 Figura 2 - Residência da Família Agnesi: Via Pantano, Milão ...... 32 Figura 3 - Frontispício de Instituzioni Analitiche ...... 52 Figura 4 - Recurso utilizado por Agnesi para definir problemas determinados com solução única ...... 99 Figura 5 - Recurso utilizado para definir problemas indeterminados: Ângulo inscrito na circunferência ...... 100 Figura 6 - Utilização da terceira e quarta proporcional ...... 104 Figura 7 - Cubo inscrito na esfera ...... 105 Figura 8 - Equação obtida por proporção entre segmentos ...... 114 Figura 9 - Obtenção de lugar geométrico: Parábola ...... 115 Figura 10 - Representação geométrica equação de segundo grau: Casos I) e II) .. 131 Figura 11 - Representação geométrica equação de segundo grau: Casos III) e IV) ...... 135 Figura 12 - Recurso utilizado por Reyneau na resolução da equação de segundo grau ...... 141
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ...... 13 1.1 METODOLOGIA ...... 21
2. MARIA GAETANA AGNESI E A INSTITUZIONI ANALITICHE ...... 27 2.1 MARIA GAETANA AGNESI E A SOCIEDADE MILANESA NO SETECENTOS ...... 28
2.2 SOBRE OS TUTORES DE AGNESI ...... 46
2.3 INSTITUZIONI ANALITICHE AD USO DELLA GIUVENTÚ ITALIANA: PUBLICAÇÃO E REPERCUSSÃO...... 50
2.4 CÁLCULO E ANÁLISE NA ITÁLIA DO SÉCULO XVIII: AS MATEMÁTICAS-MISTAS E A MATEMÁTICA PURA ...... 63
3. INSTITUZIONI ANALITICHE AD USO DELLA GIUVENIU ITALIANA (1748)...... 75 3.1 SOBRE A OBRA E SEU PROPÓSITO ...... 75 3.1.1 A obra de Maria Gaetana Agnesi – Aspectos Gerais ...... 88
3.2 ASPECTOS GERAIS DAS OBRAS DE REYNEAU, CLAIRAUT, SAUNDERSON E EULER .... 117
3.3 A RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE SEGUNDO GRAU NAS OBRAS DE AGNESI, REYNEAU, CLAIRAUT, SAUNDERSON E EULER...... 125 3.3.1 Resolução de Equações em Instituzioni Analitiche: Casos I) xx + ax – bb = 0 e II) xx – ax – bb = 0 ...... 130 3.3.2 Resolução de Equações em Instituzioni Analitiche: Casos III) xx + ax + bb = 0 e IV) xx – ax + bb = 0 ...... 135
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS ...... 149
REFERÊNCIAS ...... 154
APÊNDICE A – CORRESPONDÊNCIAS DE MARIA GAETANA AGNESI (1718- 1799): BAM - BIBLIOTECA AMBROSIANA DE MILÃO ...... 178 APÊNDICE B – ÍNDICE DA OBRA INSTITUZIONI ANALITICHE AD USO DELLA GIOVENTÚ ITALIANA - 1748 ...... 188 APÊNDICE C – QUESTÕES DE GEORGE BERKELEY NA OBRA O ANALISTA OU DISCURSO SOBRE UM MATEMÁTICO INFIEL (1734) ...... 193 ANEXO A – FRONTISPÍCIOS E ÍNDICES DOS LIVROS ELENCADOS DO SÉCULO XVIII ...... 202
1. INTRODUÇÃO
Vários estudos dedicados à Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) e à sua principal obra, intitulada Instituzioni Analitiche ad uso Della Gioventú Italiana (1748)1, encontram-se disponíveis na literatura especializada em história da ciência e da matemática2. No que se refere à história da matemática, pouco espaço foi lhe dedicado. C. Boyer, por exemplo, em History of Analytic Geometry, apenas observa que Instituzioni Analitiche “não inclui nenhum material novo” (BOYER, 1956 apud KRAMER, 1970-1990, p. 76), ao tratar da geometria analítica que ele supostamente teria encontrado na obra de Agnesi. O historiador D. J. Struik, por sua vez, em História Concisa da Matemática não traz nenhum comentário acerca do trabalho de Agnesi, mas em seu A Source Book in Mathematics 1700-1800, incluiu uma seleção do trabalho de Agnesi referindo-se a ela como “a mais honrada mulher matemática desde Hypatia” (STRUIK apud TRUESDELL, 1989, p. 114). O historiador Howard Eves, entretando, em uma edição ampliada de Introdução à História da Matemática, acrescentou uma seção nova sobre Agnesi, com uma breve biografia e comentários sobre a origem da expressão “Bruxa de Agnesi” (EVES, 1995, pp. 479-83)3. Ao lado de estudos mais gerais de história da matemática, encontramos outros mais específicos, que procuraram discorrer sobre aspectos mais pontuais da vida e da obra de Agnesi, partindo contudo, de diferentes bases. Dentre esses, nos deparamos, por exemplo, com o estudo de C.Truesdell (1989), que compara, de forma pejorativa, a Instituzioni Analitiche com a Introductio it Analysin Infinitorum, publicada no mesmo ano, por L. Euler (1707-1783). Ao lado dele, encontramos também outros estudos, tal como The World of Maria Gaetana Agnesi, em que M. Mazzotti (2007) narra a história da vida e da obra de Agnesi.
1 Doravante indicaremos a obra por Instituzioni Analitiche.
2 Há vários estudos dedicados à Agnesi e à sua obra, vide, por exemplo: A.F.Frisi (1799); J.F. Montucla (1802); A.Amati (1899); L.Anzoletti (1900); B.Carrara (1918); C.Benazzoli (1939); A.Masotti (1940); J.F.Labrador (1951); E. Krammer (1970-90); L.Olson (1974); G.Tilche (1984); C.Truesdell (1989); P. Sessa (1999); C.Pasini (1999); F.Minonzio (2006); M.Mazzotti (2007); A.Cupillari (2007); P.Findlen (2011); C.S.Roero (2014).
3 Em relação a Curva de Agnesi, vide, por exemplo: G.Loria (1930); D.J.Struik (1969); L.Tenca (1957); H.Kennedy (1969); T.Perl (1978); M.Checchi (1982); D.Deal (1986); G.Breoni (2000). 14
Embora os estudos de Truesdell e Mazzotti busquem dar um enfoque mais contextualizado, são, entretanto, diferentes em suas abordagens. Truesdell, que é notoriamente um estudioso da obra de Euler, analisa a obra de Agnesi considerando apenas seu caráter essencialmente matemático. Diferentemente, Mazzotti busca compreender a obra de Agnesi de forma mais contextualizada, inserindo-a no contexto do “Iluminismo Católico”, vigente na ocasião, como abordamos adiante. Referindo-se a Truesdell, Mazzotti advoga a favor de Agnesi ao considerar que, uma comparação do trabalho dela com os livros de Euler, ou ensaios de quaisquer outros matemáticos italianos a ela contemporâneos, pode ser enganosa por incorrer no risco de negligenciar as diferenças nos propósitos de cada autor e suas específicas e divergentes orientações culturais4. Dentre as investigações mais recentes, encontramos ainda o estudo de P. Findlen (2011) que, ao comentar a respeito da oportunidade em reconsiderar o legado de Maria Gaetana Agnesi, face o aparecimento simultâneo dos estudos de Mazzotti, F.Minonzio e A.Cupillari, procura contextualizar Agnesi e sua obra com vistas a reavaliar o seu lugar no cenário intelectual do setecentos milanês. Nesse sentido, Findlen busca em sua análise, reforçar a ideia de que a obra de Agnesi publicada em vernáculo, estava relacionada a questões de ordem política, religiosa e cultural. Ela observa que “[...] Instituzioni Analitiche foi concebida para ultrapassar as realizações da Minerva francesa Châtelet” (FINDLEN, 2011, p. 256)5, conduzindo-nos a presumir que a obra era mais um material de divulgação, do que instrucional. Embora historiadores da matemática tenham se debruçado sobre os assuntos, temas e propósitos dessa obra, encontramos poucos estudos que procuram situar a Instituzioni Analitiche no processo que conduziu à especialização moderna. Assim, neste trabalho, buscamos, entre outros pontos, apresentar alguns indícios de que a obra de Agnesi é parte de um contexto em que a própria matemática começava a se especializar6.
4 Na mesma direção também vão os estudos de A.Cupillari (2007) e F.Minonzio (2006), que abordam sobre a vida e obra de Agnesi sob um olhar filosófico e matemático.
5 Em língua inglesa, lê-se: Analytical Institutions was designe to surpass the accomplishments of the french Minerva Châtelet. (FINDLEN, 2011, p. 256)
6 Sobre o processo de especialização moderna, consulte: J.Lorenzo (1971); L.Pepe (1981,1982); F.Palladino (1984); M.E.Baron e H.J.Bos (1985); P.Ernest (1994); P.Dear (1995); C.S.Roero (1998); M.Paty (2005); A.Castañeda (2006); M.T.G.Astudillo (2011); T.Roque (2012, 2014); F.Saito (2015). 15
Dividida em dois grandes volumes, a Instituzioni Analitiche abarca conhecimentos ligados à Álgebra e ao Cálculo7, que começaram a ser disseminados àquela época. Esses novos campos de investigação matemática, entretanto, se desenvolveram e se disseminaram num cenário bastante complexo em que se entrelaçaram questões de ordem religiosa, política e econômica, como observam Mazzotti, Minonzio e Findlen, e estavam estreitamente relacionadas ao conhecimento de uma nova ciência emergente. Essas questões, que definem algumas condições ligadas à publicação da obra de Agnesi, nos dão acesso ao processo de construção de conhecimento, bem como aos caminhos percorridos pela “Análise” no século XVIII. Entretando, convém salientar que, por “Análise”, devemos entender “método de resolução de problemas”. Segundo Hankins (1990), esse método recorria à Álgebra e sobretuto ao Cálculo Diferencial e Integral e às suas aplicações à mecânica8. Ao longo do setecentos, a Análise, entendida nesses termos, se fortalecera, em certa medida, decorrente de seu potencial para solucionar problemas mecânicos cada vez mais complexos. Alguns destes problemas permitiram aos matemáticos daquele período não só aperfeiçoá-la, mas também desenvolver outros tantos novos campos de investigação. Assim, os desdobramentos relacionados ao desenvolvimento da Análise e de sua disseminação, devem ser encontrados não só no contexto social, político e até religioso do século XVIII, mas também no ambiente intelectual, em que novas ideias e outras tantas propostas e formas de investigar a natureza e as matemáticas, estavam em discussão. Em linhas gerais, a primeira metade do setecentos foi palco de inúmeros focos de negociação filosófica, social e política estreitamente relacionados ao processo de renovação científica que vinha se estabelecendo desde os séculos anteriores (ROSSI, 2001). Nesse particular, Cunningham (2007) salienta que:
“[...] a ironia em relação ao seiscentos e setecentos, seria que a era das grandes descobertas científicas e da suposta "revolução científica" seria marcada, simultaneamente, pela experiência religiosa
7 Utilizaremos neste trabalho, iniciais maiúsculas para nos referirmos aos ramos da matemática tais como Álgebra, Cálculo e Análise. Sabemos, contudo, que essa terminologia seria adotada apenas ao longo do século XIX, de forma mais contundente e delimitada.
8 Convém também observar que Isaac Newton (1642-1726) utilizou este mesmo termo com vista a diferenciá-lo de outro, “síntese”. O método analítico para Newton, entretanto, estava relacionado com os procedimentos experimentais. Mais a esse respeito, vide T.L.Hankins (1990). 16
crescendo de forma significativa, mais do que antes. (CUNNINGHAM, 2007, p. 89)
Seria no final do século que se acentuariam as mudanças em relação às crenças, favorecendo um maior questionamento em relação às tradições, como também propiciando o fortalecimento de convicções religiosas extremistas e outros elementos culturais, muitas vezes desconsiderados, até então (HAZARD apud CUNNINGHAM, 2007, p. 88). No que diz respeito à Itália, ao longo do século XVIII já se manifestavam algumas ideias radicais, principalmente em relação às convicções religiosas, como observa Vianello (1933), ao destacar que, naquela época, diferentemente de outros pontos da Europa, tais como a França, a Inglaterra e a Alemanha, a Itália não lutava contra nobres, padres ou estrangeiros. Os italianos buscavam desvincular-se dos costumes e das instituições, que se encontravam viciadas, de modo a promover mudanças em diferentes setores da sociedade. Essas mudanças e outras transformações pelas quais passava a Itália era decorrente não só dos movimentos de amadurecimento da ideia de unidade nacional, em que prevalecia o despotismo político, mas também do desfecho do que comumente conhecemos por Revolução Científica, segundo apontam muitos historiadores da ciência9. Nesse contexto, floresceu a ideia de que o novo conhecimento, que rompera com a velha ordem de mundo, impulsionaria os homens para o futuro. Consequentemente, como afirma Alfonso-Goldfarb (1994), o rompimento com o passado lançava a ciência para uma nova era em que a experimentação e a precisão acabaram gerando um modelo para a nova ciência emergente. Essa nova abordagem dada ao conhecimento, deslocou antigos critérios de investigação, valorizando uma “filosofia matemática”. Entretanto, o processo de assimilação e divulgação de novos conhecimentos seguiu padrões diferentes, conforme regiões e instituições na Europa, e na perspectiva da “filosofia matemática”, a exploração dos novos métodos do Cálculo e a possibilidade de sua aplicação em diferentes frentes do conhecimento passou a adquirir papel preeminente, naquele período.
9 Apesar da Revolução Científica ser um processo, alguns estudiosos apontam o século XVIII como finalizador. Mais a esse respeito, vide: A.Rubpert Hall (1988); A.M.Alfonso-Goldfarb (1994). 17
Segundo Mazzotti (2001), até a década de 1730, apesar da controvérsia entre as escolas newtonianas e leibnizianas, não havia problemas significativos em relação à tradução de obras de matemática a partir da notação fluxional, para a notação diferencial, pois era uma prática comum e não apresentava problemas particulares10. Todavia, a partir daquele período, parece ter se acentuado a divergência de opiniões. Assim, tanto encontramos alguns estudiosos que eram adeptos às ideias de Leibniz, pois se interessavam pela dimensão algorítmica do Cálculo e suas possíveis aplicações nos mais diferentes campos de conhecimento, quanto encontramos os newtonianos que exaltavam a possibilidade de mudança, mas com preocupações voltadas ao significado geométrico de sua prática matemática, em especial, aplicações à mecânica celeste. Em linhas gerais, essa discordância tinha como pano de fundo o debate entre dois possíveis métodos de investigação, o sintético e o analítico. O método sintético correspondia àquele em que as soluções recorriam às construções geométricas, seguindo o modelo geométrico euclidiano, tal como fizera Newton em seu Principia Mathematica (ROQUE, 2012). Por sua vez, o método analítico tinha por base a Análise, e era definido como método de resolução de problemas matemáticos. Diferentemente do método sintético, o analítico incluía a Álgebra e recorria ao Cálculo Diferencial e Integral e às suas aplicações em mecânica11. Seria no setecentos que surgiriam inúmeros manuais com o propósito de disseminar o método analítico junto à comunidade científica12. Nesse cenário, em que a Análise adquiria cada vez mais adeptos e importância, Agnesi se manifestará da seguinte maneira na “carta ao leitor”:
[...] especialmente hoje em dia, o estudo da análise é necessário, visto o progresso que é feito a partir dela, e que ainda possamos aguardar o que está por vir. Mas não quero, nem devo, me deter em elogios a esta ciência, que aponta não necessitar deles, muito menos vindos de
10 Newton considerava grandezas como variáveis como dependentes do tempo e, relacionadas à ideia de movimento. Essas variáveis receberam o nome de quantidades fluentes, correspondendo à ideia de velocidades (ou fluxões). No Cálculo atual, referem-se à derivada de um espaço percorrido, por exemplo. A ideia de diferencial em Leibiniz, por sua vez, procurou considerar a variação de dois valores sucessivos de uma sequência, incluindo os infinitamente pequenos.
11 Mais a esse respeito, vide T.L.Hankins (2002, pp. 17-45).
12 Mais a esse respeito, vide A.Castañeda (2006, pp. 254-257) 18
mim. (AGNESI, 1748, p. 1, GAETANA, 1801, p. XXI, tradução nossa).13
Agnesi não se alonga em sua argumentação, e não justifica, ao longo de sua obra, quanto às razões que a levaram a considerar necessário o estudo da Análise, e as melhorias oriundas desse conhecimento. É provável que sua afirmação decorra do fato de constatar, enquanto estudiosa, que a Itália era carente de materiais adequados sobre o assunto, em voga naquele momento. Sobre isso, o estudioso Minonzio (2006, p. 65) destaca em suas considerações acerca da obra de Agnesi, que no trecho em destaque da carta ao leitor, ela demonstra perceber a complexidade da investigação da Análise naquele período, e que dentro daquele horizonte de estudos, a obtenção de resultados não constituiria tarefa simples ou estanque. Contudo, apesar de observarmos na leitura do tratado, uma Agnesi consciente de estar vivendo um momento relevante e necessário para o estudo da Análise, seu texto nos leva a questionar sobre as razões e as motivações que a impeliram a escrever sua obra. Frente a isso, em primeira instância, presumimos que este tratado sobre Análise e Cálculo, Instituzioni Analitiche, fazia parte de um processo que procurava contribuir para a introdução do estudo do “método analítico”, em Milão. Apesar do aparente antagonismo entre os métodos sintético e analítico, Agnesi conduziu seu trabalho a partir da geometria cartesiana, em constante diálogo com o tratamento analítico da Álgebra e do Cálculo, como veremos mais adiante. Mas cabe aqui observar que a obra de Agnesi não foi pioneira nesse sentido. Com efeito, um levantamento bibliográfico revelou-nos que, naquela época, os italianos já tinham à disposição alguns tratados que versavam sobre o assunto. Contudo, uma primeira análise desses tratados nos forneceu indícios de que abordagem dada por Agnesi à Análise, em Instituzione Analitiche, era significativamente distinta. Diferentemente desses materiais largamente disseminados naquela época, Instituzioni Analitiche pareceu-nos ser um tratado de matemática pura e não de matemática-mista, muito em voga naquele período.
13 Em língua italiana, lê-se: [...] in oggi spezialmente, sia necessario lo studio dell´analisi e quali progressi si sieno con questa fatti, si facciano tuttora e possano sperarsi nell´avvenire; che però non voglio, né debbo trattenermi qui in lodando quella scienza che punto non ne abbisogna, e molto meno da me. (AGNESI, 1748, p. 1). 19
Segundo Brown (1991, p. 81), o termo “matemáticas mistas” provavelmente tem suas origens em 1600, e sendo mencionado por Montucla em 1799. Por sua vez, Oki (2013, p. 82) acrescenta que a origem do termo "matemáticas mistas” esteja relacionada à classificação aristotélica das ciências, em que entidades matemáticas não podem ser verdadeiramente separadas das coisas sensíveis, mas apenas captadas, a partir delas. As referências mais conhecidas e influentes à respeito das “matemáticas mistas” no século XVII, são as obras de Francis Bacon; Of the Proficience and Advancement of Learnings (1605) e De Dignitae et Augmentis Scientiarum (1623). Bacon, em seu sistema de representação, ou “árvore de conhecimento”, inclui as "matemática mistas", como ramo da metafísica (OKI, 2013, pp. 82-3). Naquele contexto, disciplinas como a astronomia e a música, por exemplo, eram consideradas “mistas”, uma vez que extraíam seus princípios da geometria e da aritmética, respectivamente, para descrever e, em certa medida, explicar fenômenos astronômicos e musicais. Contudo, tanto a geometria quanto a aritmética, especificamente, se inseriam na categoria da “matemática pura”, por exigirem altos níveis de abstração. No transcurso do setecentos, sob o impacto da filosofia newtoniana desde o século precedente e do desenvolvimento da análise algébrica, ocorreram muitas mudanças na classificação da matemática. As “matemáticas-mistas” acabaram sendo definidas de diferentes modos, sobretudo na Europa continental da segunda metade do século14. No final do século, D.Diderot (1713-1784) e J.D’Alembert (1717-1783), não obstante as inúmeras controvérsias entre ambos, incluíram entre as “matemáticas- mistas”, em sua enciclopédia15, os estudos de mecânica, astronomia, óptica, acústica, pneumática e a análise de jogos de azar. A “matemática pura", por sua vez, manteve os mesmos dois ramos tradicionais; a aritmética e a geometria. (OKI, 2013, p. 84). Ao
14 Por exemplo, Hankins (2002, pp. 10-11) aponta que nesse período, esse conjunto de disciplinas incluía a astronomia, a óptica, a estática, a hidráulica, a gnomonica (disciplina relativa aos relógios de sol), a geografia, a horometria (relativa aos relógios), a navegação, a agrimensura e as fortificaçõe.
15 Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, etc. (Paris, 1751) 20
longo do século XIX, o termo “matemáticas mistas” começou a entrar em declínio, cedendo lugar à ideia, hoje bastante conhecida, de matemática aplicada16. Como veremos mais adiante, é no contexto em que a concepção de uma disciplina mista para outra aplicada, que devemos entender a motivação de Agnesi em escrever um tratado de matemática pura. Mas, mesmo sob esse aspecto, a obra de Agnesi também não foi pioneira. Embora não houvessem obras publicadas na Itália desse período, especificamente sob a perspectiva da matemática pura, livros textos de matemática dedicados ao ensino, com o enfoque similar ao que foi dado por Agnesi, já haviam sido produzidos na Europa, porém, em língua francesa17. De fato, a publicação de inúmeras obras dedicadas à Análise, assegura que, ao longo do século XVIII, se estabelecia um movimento que fortalecia todo um processo posterior. Uma análise comparativa preliminar entre algumas dessas obras, com a Instituzioni Analitiche, acabou nos mostrando que a abordagem de alguns conteúdos constantes na obra de Agnesi se distingue de outras, não somente em função da organização, mas principalmente pelo tratamento matemático. Agnesi, além de enfatizar a necessidade do estudo da Análise, faz transparecer, em algumas passagens da Instituzioni Analitiche, a sua preocupação no que diz respeito ao acesso de material matemático adequado aos jovens, como também à falta de profissionais qualificados para o ensino de Cálculo18. Essas primeiras constatações nos conduziram a alguns questionamentos, não somente com relação a escolha de Agnesi em escrever um tratado de matemática pura, mas também quanto ao seu uso no ensino de Cálculo e Álgebra. Em que medida um tratado sobre matemática pura seria mais interessante do que um de matemática-mista considerando-se os conteúdos a serem ensinados? Além disso, que fatores poderiam ser considerados determinantes com relação à sua opção por escrever sobre matemática pura? Como essa predileção pela matemática pura se manifestou em seu tratado? O tratamento por ela dado à Análise matemática, proporcionou sua divulgação em solo italiano? Que relações podem ser estabelecidas entre a publicação de Instituzioni Analitiche e o interesse
16 As terminologias “matemáticas-mistas” e “matemática aplicada” foram abordadas nas 8as. e 9as. Edição da Encilopedia Britannica (1875-89). Mais a esse respeito, vide G.I.Brown (1991, p. 81).
17 Vide, por exemplo, a obra de C.Reyneau (1708).
18 Agnesi comenta a esse respeito na introdução de sua obra: (AGNESI, op.cit., pp. 1-2; GAETANA, Analytical Institutions, 1801, p. XVIII) 21
pelo estudo da Análise em Milão, daquele período? Todas essas questões podem ser respondidas se compreendermos o contexto em que a obra de Agnesi foi publicada. Dessa forma, buscamos com este trabalho responder a seguinte questão: Em que contexto matemático, científico e histórico se insere a Instituzioni Analitiche de Agnesi? Para respondermos a essa questão, selecionamos o primeiro volume de Instituzioni Analitiche, sobre o qual incidimos análises específicas, conforme metodologia de investigação descrita mais adiante. Nossa escolha foi motivada pelo fato de que o segundo volume do tratado, que discute especificamente o Cálculo, já foi diversas vezes abordado por historiadores, em detrimento ao primeiro volume. Além disso, nossa opção também está relacionada à constatação de que o tratamento dado por Agnesi à resolução de equação quadrática, que é apresentada no primeiro volume, aponta para outros aspectos ligados à apropriação e à transmissão do conhecimento matemático. Desse modo, o objetivo de nossa investigação é revisitar a Instituzioni Analitiche com vistas a compreender o processo de construção de conhecimento, inserindo Agnesi e sua obra, num contexto mais amplo.
1.1 Metodologia
Nossa investigação se baseou em tendências historiográficas atualizadas da história da ciência19. Dessa forma, este trabalho considerou a articulação de três esferas de análise, a saber: epistemológica, historiográfica e contextual. Essas três esferas foram articuladas tendo por foco os documentos originais, que se organizaram em rede, de modo a contextualizar o documento original aqui analisado, isto é, a Instituzione Analitiche20. Segundo Alfonso-Goldfarb e Ferraz, para que um documento seja devidamente contextualizado, de modo a restituí-lo à malha histórica, é necessário que consideremos três níveis, ou esferas de análise:
19 M.H.R.Beltran; F.Saito e L.S.P.Trindade (2014), M.Alfonso-Goldfarb e M.H.R.Beltran (2004), F.Saito (2015).
20 Mais a respeito das três esferas de análise, vide A.M.Alfonso-Goldfarb (2008). 22
A primeira dessas esferas [isto é, a epistemológica] se refere aos aspectos intrínsecos das teorias e práticas científicas sob estudo, combinando a crítica textual (assumida a partir de um modelo filológico) e a análise teórico contextual interna ao texto (através da análise epistêmica de seus principais conceitos e argumentos). A segunda, uma esfera propriamente historiográfica, concerne às várias formas através das quais já se analisou um determinado problema, documento. Finalmente, a terceira diz respeito ao contexto propriamente histórico, com destaque para as circunstâncias sob as quais foi elaborada a documentação em análise. (ALFONSO- GOLDFARB; FERRAZ, 2013, p. 45)
A esfera epistemológica se refere a um conjunto de conhecimentos e ações compartilhados pelos contemporâneos de Agnesi, que são mobilizados para se compreender a dimensão interna do documento. Para tanto, analisamos o primeiro volume de Instituzioni Analitiche ao lado de outras obras e documentos do mesmo período, de forma a constituirmos uma rede de textos, como descrevemos adiante. Por meio dessa rede de textos, buscamos estabelecer um diálogo entre os mesmos, com vistas a levantar uma gama de questões ligadas ao conhecimento matemático, no contexto do setecentos italiano. A partir dessa análise, articulada à esfera contextual, buscamos compreender em que medida um movimento que se instaurava na Itália, no período que Agnesi elaborou sua obra, relaciona-se às suas escolhas. Sobre isso, privilegiamos em nosso estudo, um olhar mais acurado em torno do movimento de reforma religiosa conhecido por “Catolicismo Iluminado”, que indiretamente influenciou Agnesi na escrita da Instituzioni Analitiche. No que tange à esfera contextual propriamente dita, contemplamos em nossa análise um conjunto de relações de diferentes ordens, que pôde ser detectado por meio de outros documentos. Nesse particular, a análise de suas correspondências foi de fundamental importância para entender melhor o “fazer matemático” daquela época, especificamente, no que diz respeito à elaboração da obra aqui analisada. Essas duas esferas foram ainda articuladas à outra, historiográfica, que busca analisar e evidenciar os critérios da escrita da história. Assim, os estudos sobre Agnesi e suas obras passaram por um crivo historiográfico de modo a evitarmos anacronismos. Sob essa perspectiva, a própria seleção de documentos originais, bem como outras considerações de ordem teórica acerca das fontes que consultamos, resultou desse estudo historiográfico. Este trabalho pautou-se, portanto, em diferentes fontes de estudos. Consultamos não somente documentos originais, como outros estudos a respeito da história da Análise e do Cálculo. 23
Na primeira fase de nossa pesquisa, recorremos à versão inglesa de Institutioni Analitiche, publicada em 1801, que se encontra disponibilizada no site Archive21. Posteriormente, consultamos a obra original italiana, que está disponibilizada no site Internet Culturale22, a qual foi cotejada com a obra inglesa. Neste último ano, adquirimos a obra original de Instituzioni Analitiche, recentemente publicada e impressa nos Estados Unidos23, que também foi cotejada com as versões anteriores. Embora tenhamos encontrado a tradução francesa do volume 2, da edição de 1775, depositada na Biblioteca Nacional da França, não a utilizamos neste trabalho, visto que o recorte de nossa pesquisa se restringiu ao volume 1, da obra original italiana. Além de nossa fonte primária de análise (isto é, o volume 1 de Instituzioni Analitiche), consultamos também outros documentos, dentre os quais: Analyse Demontrée ou la Methode de résoudre le problème des mathématique (1708) de Charles René Reyneau (1656-1728); Elemens D’Algebre (1746) de Alexis Claude de Clairaut (1713-1765); Elemens D’Algebre (edição de 1756) de Nicholas Saunderson (1682-1739); e Elements of Algebra24 (edição traduzida de 1828) de Euler. Todas essas obras foram facilmente localizadas via internet e, especificamente em relação à obra de Euler, utilizamos uma edição inglesa de 1828, visto que a mesma apresentava, além de uma biografia do autor no início do oitocentos, alguns adendos e comentários de Joseph Louis-Lagrange (1736-1813). Esta edição nos pareceu especialmente relevante, tendo em vista que Lagrange foi um dos estudiosos setecentistas que buscou uma aproximação com Agnesi, após seu abandono dos estudos matemáticos. Essa documentação foi complementada por outros estudos e documentos que acessamos a partir de duas visitas realizadas à Biblioteca Ambrosiana de Milão25. Na primeira visita à biblioteca, realizada em julho de 2013, tomamos contato com o grande volume de publicações e documentos originais que estão disponíveis aos estudiosos
21 Vide: Agnesi (1801), disponível em https://archive.org/details/analyticalinstit00agnerich , Acesso em: 03 ago. 2012.
22 Vide: Agnesi (1748), disponível em https://archive.org/details/BUSA298_184, Acesso em: 26 mai. 2013.
23 Vide: Agnesi (1748)
24 Do original Vollständige Anleitung zur Algebra (1770)
25 Doravante indicada por BAM. 24
da vida e trabalho de Agnesi. Naquela ocasião, tivemos acesso às suas correspondências ao longo da elaboração de Instituzioni Analitiche, como também às anotações de Agnesi ao longo de sua infância26. Além disso, consultamos outros documentos que nos permitiram ter uma ideia do contexto, bem como do panorama intelectual de Milão no período em que viveu Agnesi. Assim, incorporamos à nossa rede de textos, a obra intitulada Propositiones Philosophicae27, publicado por Agnesi em 1738, que nos ajudou a conhecer um pouco mais da autora, bem como nos forneceu informações sobre os debates e embates ligados a ciências e matemáticas daquela época em Milão. No que diz respeito a estudos sobre Agnesi e sua obra, segundo Truesdell (1989, p. 130), a literatura disponível é, em sua maioria, de autores italianos. A primeira referência biográfica que se tem notícia data de 1753, e encontra-se na obra de Giammaria Mazzuchelli, sendo que a maioria de seus biógrafos posteriores escreveu com fins apologéticos. Sobre isso, consideramos pertinente em nossa investigação, um estudo aprofundado do Elogio Storico Du Dona Maria Gaetana Agnesi Milanese dell’Accademia dell’Instituto delle Scienze, e de Lettrice Onoradia di Matematiche nella Università di Bologna, de Antonio Francesco Frisi (1734-1817), impresso em Milão de 1799 e reimpresso em 1965, então com nove anexos, apêndices e comentários de Arnoldo e Giusepina Masotti. Cabe aqui observar que Frisi era um religioso da Catedral de Monza, além de historiador e irmão mais novo de Paolo Frisi, amigo e correspondente de Agnesi. Também destacamos a obra de Luisa Anzoletti (1863-1925), Maria Gaetana Agnesi, publicada em 1900, com quase 600 páginas, incluindo genealogia e detalhes da vida de Agnesi, que foi de grande auxílio para compreender outros aspectos do contexto setecentista italiano. Frente a essa vasta documentação, principalmente de cárater biográfico, não houve tempo hábil para adentrarmos nestas obras em nossa visita a Milão em 2013,
26 Os documentos e manuscritos de Agnesi estão hoje quase todos depositados na Biblioteca Ambrosiana de Milão (BAM: códices 180-204 sup.). Em nosso trabalho, consultamos alguns desses documentos e manuscritos originais. No apêndice A apresentamos uma síntese dos documentos e manuscritos que podem ser consultados na BAM (http://www.ambrosiana.eu)
27 Em Propositiones philosophicae, quas crebis disputationibus Domi habilis coram clarissimis viris explicabat ex tempore, et ab obiectis vindicabat Maria Caietana de’Agnesis/MDCCXXXVIII, Agnesi apresenta 191 teses, que compõem um volume de 132 páginas. A obra foi escrita em latim, versando sobre filosofia natural e os alguns embates do período em questão. 25
o que nos conduziu a uma segunda visita à Biblioteca Ambrosiana, em julho de 2015. Nesta última visita à biblioteca, a investigação de algumas correspondências específicas entre os estudiosos; Jacopo Francesco Riccati (1676-1754), Ramiro Rampinelli (1697-1759) e Agnesi, se mostrou necessária, pois favoreceu a uma maior compreensão das circunstâncias que conduziram Agnesi a escrever um tratado sobre matemática pura. Além disso, tanto este material quanto as obras de Frizi e Anzoletti, em especial, não seriam encontradas em bibliotecas brasileiras. Esses documentos foram organizados e analisados à luz de diferentes estudos realizados por historiadores, tais como os de Truesdell, Mazzotti, A. Masotti, Minonzio, Findlen, S.Mazzone e C.S. Roero. Apesar de nosso olhar estar direcionado para as considerações de ordem historiográfica atualizadas, também nos pautamos na leitura de historiadores clássicos da história da matemática, a saber: Boyer e Struik. Todos os documentos e estudos selecionados foram analisados e balizados considerando as três esferas que dimensionaram nossa análise. Assim, iniciamos o Capítulo 2 discorrendo sobre Agnesi e sua obra Instituzione Analitiche, com vistas a apresentar não somente o ambiente intelectual milanês, como as possíveis influências que ela teria recebido, e que podem ter motivado seu trabalho. Na sequência de nossa investigação, levando em consideração que o ambiente intelectual europeu daquele período se detinha em questões e discussões acerca de filosofia natural, discorremos sobre as circunstâncias pelas quais o Cálculo e Análise matemática chegaram à península itálica. No Capítulo 3 apresentamos a obra Instituzioni Analitiche, tendo por base a edição de 1748, e analisamos alguns tópicos matemáticos explorados no primeiro volume da obra. Na sequência, apresentamos outras obras que indiretamente referem-se aos mesmos assuntos e conteúdos abordados por Agnesi em Instituzioni Analitiche, e buscamos compará-las. As obras escolhidas foram Elemens D’Algebre (1746), de Clairaut, Elemens D’Algebre (edição de 1756), de Saunderson, Elements of Algebra, (edição de 1828), de Euler e Analyse Demontrée ou la Methode de résoudre le problème des mathématique (1708), de Reyneau. Contudo, a comparação entre essas obras se restringiu basicamente ao enfoque dado pelos autores à resolução de equações quadráticas. Com relação às citações apresentadas, indicamos em notas de rodapé, os escritos originais, nos casos que dizem respeito às quatro obras analisadas em paralelo. Em função de utilizarmos algumas versões diferentes da obra Instituzioni 26
Analitiche, a notação AGNESI foi escolhida quando nos reportarmos ao original italiano de 1748, e GAETANA na tradução inglesa, de 1801. Porém, somente citamos em nota de rodapé o texto em italiano toscano, idioma escolhido por Agnesi na obra original. Com este trabalho, esperamos contribuir para a educação matemática, se considerarmos que, Agnesi, na obra Instituzioni Analitiche, além de apresentar conhecimentos matemáticos importantes, mobiliza diferentes conceitos matemáticos em sua abordagem, favorecendo à maior percepção e crítica quanto ao processo de produção do conhecimento matemático. Sobre isso, Dias e Saito reforçam que:
Esses tratados que foram deixados à margem pela tradicional historiografia da história da matemática têm revelado novas evidências, dando-nos uma compreensão mais contextualizada do processo da construção do conhecimento matemático. (DIAS; SAITO, 2014, p. 1228).
A compreensão de tais constatações propicia uma formação de educadores matemáticos mais críticos e autônomos, no sentido de se situarem quanto ao seu efetivo papel, estimulados por uma aprendizagem reflexiva e investigatória, e consequentemente, passível de ecoar em sua prática. Transcendendo a utilização da história da matemática enquanto recurso pedagógico, estas reflexões também favorecem à mobilização, compreensão e melhor articulação de alguns princípios, muitas vezes subjacentes, mas que fulguram no entorno e no contexto de nossa sociedade atual, no âmbito da educação matemática, principalmente.
27
2. MARIA GAETANA AGNESI E A INSTITUZIONI ANALITICHE
Nos dias de hoje, Maria Gaetana Agnesi é relativamente conhecida. Sabemos que seu nome está associado à curva denominada “Curva de Agnesi” ou “Curva da Bruxa”28, que consta em um dos tópicos de Instituzioni Analitiche29, e que ela, ainda jovem, abandonou os estudos matemáticos para dedicar o restante de sua vida ao assistencialismo30. Para termos uma ideia das razões que levaram Agnesi a escrever Instituzioni Analitiche e ter abandonado seus estudos, devemos situá-la no cenário intelectual milanês, tendo como pano de fundo alguns aspectos do “Catolicismo Iluminado”, movimento responsável pela disseminação da filosofia natural na Itália setecentista. Desse modo, buscamos neste capítulo compreender o lugar da Instituzione Analitiche em malhas contextuais mais amplas, de modo a abarcar parte do processo de circulação dos discursos e da divulgação da Análise e do Cálculo, particularmente com relação à “matemática pura” e às “matemáticas mistas”, na Itália do século XVIII.
28 Na expressão Bruxa de Agnesi ou Witch of Agnesi segundo H.Eves (1995, p. 482) aponta que houve um erro, cometido pela autora, confundindo a expressão “versiera” (ou versorio), relativa à curva estudada anteriormente por Guido Grandi (1671-1742), com “aversiera” que em latim, sinifica “Avó do Diabo”. Contudo, a historiografia contemporânea sugere que, o equivoco teve origem na tradução da obra em inglês por John Colson (1680-1760) em 1760, que confundiu “la versiera”, com ”l’aversiera”, cuja tradução na língua inglesa é “witch”. Mais a esse respeito, vide: G.L.Alexanderson (2013); G.Breoni (2000); M.Checci (1982); E.Kramer (1970-1990); M.Mazzotti (2007); F.Minonzio (2006); C.Truesdell (1989).
29 A abordagem dada por Agnesi à curva que leva seu nome, pode ser verificada nos exemplos VIII e XXII do Livro 3 da obra Instituzioni Analitiche (1748)
30 Agnesi passou o restante de sua vida se dedicando aos pobres e mulheres doentes. Seu trabalho propiciou o surgimento do Pio Albergo Trivulzio, em Milão, onde atuou como diretora a partir de 1771, segundo E.Krammer (1970-1990, p. 77). Verificamos em nossa visita à Milão em 2013, que o abrigo cuidava de indigentes àquela época e, atualmente, é um patrimônio público, transformado em asilo e hospital. 28
2.1 Maria Gaetana Agnesi e a sociedade milanesa no setecentos
Maria Gaetana Agnesi nasceu em Milão, então capital de um ducado sob o domínio austríaco, em 16 de maio de 1718, e faleceu em 09 de janeiro de 1799. Ela era a mais velha entre 21 irmãos e desde cedo nutriu interesse pelo estudo de línguas, de ciências e de matemática, influenciada por seu pai Pietro Agnesi (1690-1752)31.
Figura 1 – Maria Gaetana Agnesi: Busto de Fraccaroli – Palazzo di Brera em Milão
Fonte: A.Zanardi (1901)
Grande parte de seu interesse por esses assuntos foi decorrência, provavelmente, do convívio social propiciado por seu pai. Na casa de Agnesi, desde
31 Cf. estudos de: Carrara (1918, p. 7); C.Truesdell (1989, p. 115); T.Perl (1978, p.54); S.I.B.Gray (1999, p. 265); P.Findlen (2011, p. 251). 29
sua infância, eram promovidos encontros com intelectuais dos quais ela participava ativamente, e que com o passar do tempo, acabaram sendo nela centralizados. As pessoas se situavam em círculos ao seu redor e de sua irmã Maria Teresa Agnesi (1720-1795), jovem musicista que acompanhava tocando cravo32. Esses encontros não eram exclusividade da família Agnesi. Naquela época, diferentes famílias por toda a Europa promoviam reuniões com a finalidade não somente de discutir, mas também de divulgar os novos desdobramentos da filosofia natural e das matemáticas. Na Itália, Agnesi e seus interlocutores utilizavam o termo conversazione (conversa) para se referir tanto a esses encontros, quanto ao círculo de participantes mais assíduos. Em seus estágios iniciais, as conversazioni teriam sido abertas principalmente para a elite local, em que se destacavam os membros da Sociedade Arcadia, principal sociedade literária da península33, além de senadores, magistrados e eclesiásticos de várias afiliações. Porém, segundo Mazzotti (2007), Pietro tinha planos ambiciosos para Agnesi e, a partir de 1730, começou a usar seu salão para atrair visitantes estrangeiros de prestígio, particularmente os relacionados à corte de Viena e ao Sacro Império Romano. Desde a infância, as crianças da família Agnesi haviam sido educadas por professores particulares, e sua progressão acompanhada por acadêmicos eclesiásticos que frequentavam assiduamente as conversazioni. Assim, ao chegarem à adolescência, os meninos já estavam preparados para entrar nos colégios religiosos, enquanto as meninas continuavam seus estudos em casa, sob a supervisão dos melhores professores disponíveis (FRISI, 1965, p. 30). Especificamente no que diz respeito à Agnesi, tem-se notícia de que seu pai havia optado por organizar e financiar um programa privado de estudos, consistindo em uma variação do tradicional currículo jesuíta, divergindo, porém, em alguns pontos
32 A impressão que Agnesi despertava nas pessoas ao colocar seus pontos de vista nos referidos encontros foi retratada posteriormente por seus biógrafos. Muitos estudiosos da vida de Agnesi referem-se às correspondências trocadas entre o escritor e parlamentar francês Charles De Brosses (1709-1774) com a Condessa Clelia Borromeo Del Grillo (1684-1777), que chega a considerá-la mais estupenda do que a Catedral de Milão. Mais a esse respeito, vide: C. Brosses (1799).
33 A Sociedade Arcadia estava vinculada à Accademia dei Transformati em Milão no setecentos especificamente, destacando-se pelo interesse nas ciências. A Condessa Clelia Grillo Borromeo se distinguiu nesse estímulo, com reuniões em sua casa, promovendo discussões científicas e naturalistas, e evitando-se outras, de cárater teológico ou poético. A esse respeito, consulte: C.S.Roero (2014); F.Roberto (1975); sobre a Sociedade Arcadia, cf.: C.Vianello (1933). 30
essenciais. Para tanto, contratou tutores que, em sua maioria, eram clérigos pertencentes a diferentes ordens, tais como Girolamo Tagliazucci (1674-1751), Carlo Belloni, Francesco Manara (1714-1782), Serafino Brancone (1710-1774), e Michele Casati (1699-1782). Dentre esses tutores, apenas Casati mantinha uma relação mais estreita com Agnesi, visto que os clérigos se dedicavam ao ensino e aos deveres pastorais, o que muitas vezes os mantinham afastados de Milão por longos períodos. Estes tutores também eram pregadores influentes e participavam ativamente dos debates sobre a reforma religiosa e educacional, representando principalmente, as ordens religiosas Teatina34 e Somachiana35. Agnesi viveu numa época em que a Europa passava por transformações políticas e religiosas36. Agnoleto (2000) observa que, para compreendermos as mudanças e as transformações ocorridas em Milão no início do setencentos, é preciso considerá-las em sua complexidade e não apenas abordá-las como um resultado decorrente de um movimento oscilatório entre dois diferentes paradigmas: da crise e do novo modelo de crescimento econômico. Sobre isso, Anderson (1996) salienta, em relação à estrutura da sociedade e da economia europeia, de forma geral:
[...] a mudança foi lenta, geograficamente desigual e resistente por parte de tradições poderosas e de seus interesses. Porém, em particular na vida econômica, as forças de mudança se tornarvam mais efetivas à medida em que se chegava ao final do século. (ANDERSON, 1996, p. 75, tradução nossa).
A esse respeito, Mazzotti (2007, p. 24) aponta que, naquele período, se instaurava em Milão um processo de aristocratização das elites dominantes. Um pequeno número de famílias patrícias e feudais que, em continuidade à tradição mítica das comunas medievais, institucionalizou uma série de mecanismos para excluir
34 A Ordem dos Teatinos, ou Ordem de São Gaetano, designada posteriormente Ordem dos Clérigos Regulares da Divina Providência, é uma ordem religiosa masculina fundada em 1524 por São Gaetano. Surgindo no período da Reforma Católica, além de São Gaetano, outros teatinos foram proclamados santos pela Igreja, dentre os quais, Santo André Avellino, sendo ambos os santos, significativos na vida de Agnesi. Mais a esse respeito, vide L.Giambene (1937)
35 A congregação dos padres Somaschi foi fundada na Itália no século XVI por Jerônimo Emiliani (1486- 1531), posteriormente canonizado. Seu nome formal é Ordo Clericorum Regulariu um Somascha. Mais a esse respeito, vide: M.Tentorio (1979); F. Roberto (1975).
36 A esse respeito, vide: E.Cassirer (1967); F.Venturi (1969); P.Mathias (1972); R.F.Jones (1982); C.Capra (1984); G. Rudé (1988); F.H.Cohen (1994); P.Rossi (2001); R.A.Moura (2004); H. Butterfield (2003) 31
outros grupos sociais, concorrentes para o exercício do poder. Decorrente desse processo, as oportunidades de aspirar a profissões de maior prestígio e a possibilidade de se candidatar a algum cargo no governo ou da magistratura, principalmente, foram corroídas por uma legislação cada vez mais discriminatória37. Os assentos parlamentares, por exemplo, estavam reservados a primogênitos de famílias senatoriais e, no âmbito da educação, o surgimento de um exclusivo tipo de formação especificamente criada para os filhos da elite dominante, acabavam por fortalecer tal processo de exclusão. Ainda, de modo similar à época medieval feudal, as famílias ricas da península itálica, em Milão notadamente, eram muito ligadas a títulos. A esse respeito, embora a família de Agnesi fizesse parte dessa aristocracia local, Pietro Agnesi, enquanto descendente de comerciantes bem-sucedidos do século anterior, não era considerado nobre. Além disso, devemos aqui considerar que, no primeiro quartil do século XVIII, Milão ainda estava sob a dominação espanhola que, segundo Verga (1931, p. 353), além de sujeitar sua atividade econômica ao poderio de monopólios, a corrupção havia se infiltrado praticamente em todos os órgãos, incluindo a indústria e o comércio. Sobre isso Mazzotti (2007) aponta que, em meados de 1740, a situação financeira do pai de Agnesi, que era comerciante, não era das melhores, chegando inclusive a pedir dinheiro emprestado. Esta realidade iria determinar a forma como Pietro conduziria a vida dos filhos, sobretudo a da jovem Agnesi, como discorremos mais adiante. Isso é notório, por exemplo, a partir das correspondências trocadas por Agnesi e seus tutores38, que culminou na elaboração da Instituzione Analitiche em 1748. Algumas escolhas feitas por Agnesi ao longo da elaboração de sua obra estão diretamente relacionadas à rede de correspondentes que ela mantinha, dos quais, destacam-se seu último tutor Rampinelli e a família Riccati, em especial o pai, Jacopo Francesco Riccati39, o qual nos deteremos, oportunamente.
37 A esse respeito, vide: M.Mazzotti (2004); C.Capra (1984); F.Pino (1979); F.Venturi (1969); E.Verga (1931); C.Vianello (1933).
38 Na Biblioteca Ambrosiana de Milão, constatamos a existência de 122 manuscritos com referência à Agnesi ou manuscritos escritos por ela própria, e cotejamos um grande número dessa correspondência em nosso trabalho.
39 Jacopo Riccati (1676-1754) e os filhos Vincenzo Riccati (1707-1775), Giordano Riccati (1709-1790) e Francesco Riccati (1718-1791) são personagens representativos da Análise matemática italiana no setecentos. A versão revisada por A. Masotti em 1965, p. 41, da obra de P.Frisi (1799), aponta para alguns estudos desta familía. 32
Figura 2 - Residência da Família Agnesi: Via Pantano, Milão
Fonte: A.Zanardi (1901)
Mazzoti (2007) observa que o período em que Pietro recebia convidados em sua casa para as conversazioni, além de ter sido uma fase de intensa exposição pública, a ponto de Agnesi ficar afastada algum tempo por motivo de saúde40, era parte da tentativa de Pietro, seu pai, de fazer parte da nobreza imperial. Nas conversasioni ele transformava a filha, de um “prodígio multilíngue” para uma jovem
40 Além de ter que ser imobilizada muitas vezes para não se machucar, em função dos ataques nervosos no início de 1730, há relatos sobre uma suposta tentativa de suicídio de Agnesi. Os biógrafos creditam sua doença à tristeza decorrente da morte de sua mãe, além da exagerada exposição pública. De qualquer forma, a cura de suas convulsões (provavelmente epilepsia), foi atribuída à intervenção direta de São Gaetano, santo católico que a família tinha uma especial devoção, e que pode se verificar pela própria escolha de seu nome, Maria Gaetana. São Gaetano também foi o fundador da Ordem Teatina, também conhecida como Congregação dos Clérigos Regulares da Divina Providência, à qual Agnesi manteve uma profunda conexão espiritual ao longo da vida. Os padres teatinos eram assíduos frequentadores da casa de Agnesi, sendo que, tanto ela quanto um de seus irmãos, receberam o nome do santo teatino. Mais a esse respeito, vide: A.F Vezzosi (1780); F.Frisi (1799, pp.27-29); L.Anzoletti (1900, p.124); B.Carrara (1918, p. 7); P.Findlen (2011, p. 251); M. Mazzotti (2007, p.32). 33
eloqüente e persuasiva. Assim, por volta 1739, aos vinte anos de idade, Agnesi estava capacitada para argumentar sobre assuntos filosóficos e matemáticos, tendo dominado a técnica, até então reservada aos homens. Um dos indícios a esse respeito, é a publicação em 1739 das Propositiones de Agnesi. Essa obra foi publicada no mesmo ano em que o pai de Agnesi havia comprado um feudo imperial, permitindo-lhe finalmente usar o título de Don. Com isso, em sua busca para inventar uma genealogia nobre para sua família, Pietro deixava de ser um mero comerciante. Consequentemente, Agnesi entrava para a nobreza. (FRISI, 1799, p. 51). Não era somente o pai de Agnesi que utilizava as conversazioni com objetivos difusos, mas também os próprios frequentadores das reuniões. Belloni, de família aristocrática de Pávia e um dos tutores de Agnesi, que, tendo recebido uma educação filosófica sólida, e se especializado em direito como a maioria de seus ancestrais, se associou com Pietro Agnesi. Ele utilizava tais encontros como parte de uma estratégia maior para desligar-se da atmosfera provincial de Pávia e entrar na fase milanesa de cultura, como assegura Mazzoti (2007), o que pode ser evidenciado em função de sua participação entusiástica nas atividades em Milão. Os encontros intelectuais na casa de Agnesi eram diferentes de outras reuniões promovidas naquele período, em função, por exemplo, da repercussão da obra de Francesco Algarotti, Il Newtonianismo per le dame, de 1737. A obra de Algarotti oferecia ao leitor a filosofia newtoniana como algo novo e excitante para se ler, enquanto as conversazioni de Agnesi eram mais formais, com perguntas e respostas alternadas do latim para o italiano. Além disso, Agnesi tinha ligeira preferência por assuntos ligados às matemáticas, tema de discussão que não era abordado na obra de Algarotti41.
41 Francesco Algarotti (1712-1764), dentre outros, inspirado pelo escritos de Bernard Fontenelle (1657- 1757) e pelos encontros promovidos no Castelo de Cirey, França, por Voltaire (1694-1778) e Marqueza Gabriele Émilie De-Châtelet (1706-1749), publicou em 1737 a obra intitulada Il Newtonianismo per la donne ovvero dialoghi sopra la luce i colori e l´atrazione. Nesta obra, Algarotti tinha o propósito de difundir a filosofia natural newtoniana e, para tanto, procurou apresentá-la sob a forma de diálogo entre um filósofo e uma mulher. Naquela época, tal modelo de relação entre gêneros não era desconhecida pela sociedade francesa, ambiente inspirador de Algarotti; contudo, na Itália, mostrava-se relativamente novo e interessante, tanto no que diz respeito ao assunto abordado, quanto ao público a quem se direcionava. Contudo, ao longo da obra, Algarotti sugeriu a associação do pensamento matemático abstrato e prática com masculinidade, em oposição a uma inclinação supostamente feminina para sentimentos, imaginação e habilidades sociais. Mais a esse respeito vide: F.Algarotti (1737); M.Mazzotti (2001), (2007), C.Avelsgaard (1988); M.L.Betri (2004); M.Glotz (1949). 34
Mas nessas reuniões não se discutiam apenas questões de ordem científica e matemática. Segundo alguns historiadores, outros assuntos relativos por exemplo, à ciência e à religião, também eram discutidos. A esse respeito, entretanto, devemos tomar o cuidado de não cometermos anacronismos, e interpretarmos que haveria ali um conflito entre ciência e religião. Como bem observa Anderson (1996, p. 174), naquela época, o universo físico refletia mais do que nunca o poder e a perfeição de Deus após os descobrimentos de Newton, não obstante o surgimento de críticos quanto à infalibilidade da bíblia42. Além disso, como enfatiza Mazzotti (2001, 2007), a estreita relação entre ciência e religião, assume, na experiência de vida de Agnesi, um significado muito especial. O “Catolicismo Iluminado” foi determinante, para compreendermos sua obra e suas escolhas. Minonzio (2006, p. 51) observa que foi em 1737 que, Agnesi, motivada pelo interesse por estudos filosóficos, passou a se interessar pelas matemáticas. Anzoletti (1900, pp 141-42) e Frisi (1965, pp. 34-5) apontam que, em 1733, Agnesi escrevera para seu tutor Manara, acerca de sua preocupação com problemas “insolúveis” sobre balística. Frisi enfatiza que, em correspondência datada de 03 de julho de 1735, entre Agnesi e seu tutor Belloni, ela manifestara o interesse pela leitura e comentários acerca da obra do Marques de L’Hôpital43. No que diz respeito ao projeto de elaboração de Instituzioni Analitiche, Minonzio (2006, pp. 50-51) afirma que a ideia surgiu porque ela teria se desinteressado em elaborar os comentários sobre o tratado de L’Hôpital. Tal hipótese, entretanto, não é confirmada por outros historiadores44 que observam que seu interesse estaria condicionado à chegada de seu tutor Rampinelli, na década de 1740, como também observamos mais adiante. De qualquer modo, é provável que a intenção de escrever a obra tenha sido prescedida por um período de gestação da mesma, até porque, como Gray e Malakyan (1999, p. 262) asseguram, contemporâneos de Agnesi
42 Mais a esse respeito, vide, por exemplo, G.Berkeley (2010), A.Calazans (2014).
43 A obra de Guillaume François Antoine de L’Hôpital, Traité Analytique des Sections Coniques (publicada em 1707), é citada nas correspondências de Agnesi. A obra de F.Frisi (1965) com comentários de A.Masotti e E. Kramer (1970-1990, p. 75), há relatos sobre o envolvimento de Agnesi na resolução de problemas complexos de balística, assim como seu interesse em fazer um comentário crítico ao tratado de Guillaume de L’Hôpital. Esses comentários nunca foram publicados, porém, os manuscritos de Agnesi - BAM O.199-O.200, trazem indícios de que Agnesi tinha intenção de publicá- los.
44 Notadamente M.Mazzotti (2007) e A.Masotti (1965) na obra comentada de Frisi (1799). 35
consideraram sua obra como o mais compreensivo livro texto sobre o Cálculo que havia sido escrito, desde a obra de L’Hôpital. Por sua vez, constatamos que ao longo da década de 1730, em Milão, as discussões sobre a renovação da educação, conhecimento, devoção e liturgia insinuavam o surgimento de um “Catolicismo Iluminado”. Nos salões da casa de Pietro, as aparições de Agnesi e suas conversazioni, seriam decisivas para o estabelecimento de uma rede de alianças políticas, religiosas e culturais, como enfatiza Mazzotti (2007, p. 38). Ele ainda reforça que a própria publicação de 1727, na infância de Agnesi, quanto ao direito das mulheres ao estudo45, propiciou uma ligação entre grupos que lutavam por reformas, desejosos por obter o patrocínio do imperador distante. Este movimento teria sido decisivo para fazer germinar e florescer o que Mazzotti denomina “Iluminismo Católico”. No que diz respeito ao “Catolicismo Iluminado”, devemos aqui ter cautela, tal como adverte Mazzoti, e não utilizá-lo para identificar (ou mesmo rotular) um único movimento, visto que deve ser compreendido num contexto muito mais amplo46. De fato, Gonçalvez e Haddad (2009) recordam que o problema é que o Iluminismo, sob a égide da irreligião, se mostra um fenômeno longe de se constituir hegemônico:
[...] não apenas um Iluminismo facilmente identificado com as Luzes francesas; há, por exemplo, o “Enlightenment” inglês, o “Aufklärung” alemão e a “Prosveshenie” russa. Cada movimento tem seus marcos cronológicos; cada um, suas obsessões: a tolerância religiosa, o despotismo, a crítica do conhecimento, o materialismo. (BELAVAL, 1978 apud GONÇALVES;HADDAD, 2009, p. 3).
Assim, Mazzotti (2007) reforça que, ao se referir ao “Catolicismo Iluminado”, não estaria rotulando um movimento explicitamente, mas buscando apontar para um projeto que buscou reformar o catolicismo naquele espaço e tempo, ou seja, no contexto da sociedade civil milanesa, o que, segundo ele, se mostraria de forma mais evidente no movimento conhecido como Muratoriano.
45 Agnesi declamou aos nove anos de idade, o discurso Em Defesa do direito da mulher a estudar as artes e as ciências, sem quaisquer limitações, em latim, orientada pelo seu primeiro tutor.
46 Em seus estudos M.Mazzotti salienta que a configuração geográfica da Iluminação Católica foi variada, e defende que a reforma católica teria tido significados diferentes para um bispo jansenista e um padre jacobino, por exemplo. Mais a respeito do Iluminismo, vide: E.Cassirer (1967); D.Goodman (1994); T.Hankins (1990, 2002). Sobre educação no período iluminista, vide E.Lama (1958). Sobre o catolicismo no iluminismo, vide E.Rosa (1969, 1981) 36
Ludovico Antonio Muratori (1672-1750) e as variações do Jansenismo ocuparam um papel significativo na vida cultural e religiosa da península italiana durante a primeira metade do século XVIII, sobretudo nas regiões de Piemonte, Lombardia, Emilia, a República de Veneza, Toscana e Roma (ROSA, 1999, p. 128, p. 183). A esse respeito, sabemos que a doutrina jansenista se caracterizou pela rígida moral e uma perspectiva pessimista sobre a condição humana, enfatizando o papel da graça e desvalorizando a função de boas obras e sacramentos, condenada pelos papas, inúmeras vezes47. Em seu tempo, Muratori abordou a questão da liberdade de pensamento e religião, sustentando que o espírito crítico não somente era compatível com a religião, mas também necessário para a sobrevivência no mundo. Uma crítica saudável quanto à investigação científica deveria ser estimulada pela igreja, uma vez que a busca da verdade seria, ao final, uma busca por Deus. Desse modo, Muratori defendeu a criação de missões populares e novas escolas dedicadas ao ensino da “verdadeira” doutrina cristã. O religioso também era adepto à modernização da educação do clero e a substituição da língua latina pelas vernáculas, de modo similar ao defendido por Tagliazucci, que viria a ser tutor de Agnesi. O movimento, em seu apogeu (1740- 1750), foi apoiado tanto por cardeais, quanto por periódicos literários, tais como Novelle Letterarie de Florença, como também pelo Papa Bento XIV, que considerou Muratori "a luz da ciência italiana" (PASTOR, p. 16 apud MAZZOTTI, 2007, p.39). Apesar das características comuns entre o “Catolicismo Iluminado” e o Jansenismo, sobretudo em relação à teologia agostiniana, o reconhecimento da importância do retorno à igreja primitiva e o estímulo à reforma educacional, os católicos iluminados tiveram o cuidado de se distinguir dos jansenistas, por estarem sempre “conscientes” da autoridade do papa, se contrapondo aos jansenistas “hereges”, pontua Mazzotti (2007). Além disso, a principal diferença entre os grupos, encontrava-se na prática do cristianismo humanitário. Para o “Catolicismo Iluminado” a prática da caridade fazia do cristianismo uma força de transformação social. No início das conversazioni de Agnesi, os católicos iluminados estavam convencidos de que a impiedade e heresia só poderiam ser revertidas mediante a
47 Mais a respeito do jansenismo e diversas ordens, vide: A.C.Jemolo (1928); M.Rosa (1969); M.Tentório (1979); M.Manacorda (1985). 37
combinação do mais puro espírito da igreja primitiva, com a aquisição do conhecimento moderno. Assim, na teologia defenderam a tradição patrística e escolástica, ao invés das inovações jesuítas do século XVII, excluindo ainda a metafísica aristotélica do estudo da filosofia natural. Para este grupo, a leitura de textos aristotélicos, ainda comuns em universidades e colégios jesuítas, deveria ser substituída pelas doutrinas de Rene Descartes (1596-1650), Nicolas Malebranche (1638-1715)48, Isaac Newton, e os experimentalistas holandeses. Os católicos iluminados acreditavam que a religião não era um obstáculo, mas sim um meio pelo qual a sociedade seria transformada, e que essa transformação deveria, necessariamente, passar por uma crítica das formas tradicionais, sob as quais o conhecimento havia sido produzido e legitimado. Por sua vez, essa luta de poder pelo discurso sobre as verdades, adquiria contornos próprios em regiões sob a égide do movimento protestante49. A instrução popular, por exemplo, defendida pela reforma, se concretizara na Alemanha com a primeira instituição de escolas de vila em 1642, em Gotha, e em 1695 em Halle (MANACORDA, 1985, p. 235). Em 1717, instituía-se a obrigatoridade das Dorfschulen no reino da Prússia sob o governo de Frederico Guilherme I, e as escolas técnicas- científicas ou Realschulen, em Berlim de 1747. O historiador Manacorda (1985, p. 236) salienta que, essas iniciativas estatais, principalmente na Alemanha, refletiam as diretrizes políticas em que se pautavam o então moderno sistema de instrução estatal obrigatória, orientado para os estudos científico-técnicos, em nome do Absolutismo Iluminado. Além disso, as reformas educacionais instauradas em regiões protestantes, buscavam difundir um ideal de educação voltado para as aplicações e para o trabalho (BRITO, 2012, p. 31-32), atendendo aos interesses calvinistas, que cumpririam assim suas vocações; e luteranos, que alcançariam a salvação. Esse modelo de ensino em vigor ainda ao longo do setecentos, sinaliza que os discursos, não obstante caracterizarem-se por ideais racionalistas, não haviam se “desligado de todos os discursos místicos e religiosidade” (SHUBRING, 2002b apud BRITO, 2012, p. 32). Sobre isso, Anderson (1996) acrescenta que:
48 Malebranche foi um padre da Congregação do Oratório, filósofo, matemático e membro da Academia das Ciências Francesa.
49 Mais a esse respeito, vide M.A.J. Brito (2012). 38
“O século XVIII foi, em um sentido real, uma época da razão, se por razão entendemos hostilidade aos dogmas tradicionais, mas o alcance efetivo desta razão estava limitado a certos grupos sociais, a certas zonas geográficas e a certos indivíduos”. (ANDERSON, 1996, p. 183, tradução nossa)
É nessa paisagem sociocultural, quando questões de ordem religiosa se mesclaram com outras tantas educacionais, que devemos entender as aspirações e motivações de Agnesi. De forma geral, as instituições de ensino passaram por reformulações ao longo da era moderna. Naquela época, a nova elite e as novas formas de orientação política emergiram da crise das instituições republicanas das cidades-estados renascentistas. Anderson (1996) assinala que, quanto à estrutura complexa e reacionária da Europa; “tanto as relações internacionais como o governo e a administração dos estados europeus estavam atormentados com os vícios de épocas passadas” (ANDERSON, 1996, p. 7, tradução nossa). Assim, centradas na figura do príncipe, as instituições de ensino seriam constituídas por um discurso político que substituía a “virtude política suprema”, a “justiça do cidadão” pela “prudência do príncipe”50. Como mencionamos anteriormente, a ocupação de cadeiras parlamentares constituíam privilégios hereditários, reservados exclusivamente para os primogênitos das famílias senatoriais, acentuando um processo de exclusão. Em consequência disso, havia sido criado um exclusivo modelo de escolaridade para os filhos das elites dominantes. Tal modelo se consolidara nos Colégios Jesuítas da educação para a nobreza (seminaria nobilium) que, desde o final do século XVI, funcionava de forma efetiva como instrumento para a reprodução das elites católicas em todo o mundo. Inicialmente distribuídos estrategicamente para combater a propagação da Reforma, foram rapidamente abraçados por países católicos, em especial à custa da alta sociedade local. Acredita-se que em 1749 havia 669 desse tipo de instituição51. Milão teria sido a primeira cidade italiana a sediar um destes colégios a partir de 1574, criado no contexto de uma estratégia mais ampla da Contrarreforma, adquirindo rapidamente uma sólida reputação, e com alcance estendido desde a Áustria, Polonia, Hungria e Bohemia. Estes colégios aceitavam alunos filhos de
50 Especificamente sobre a situação de Milão no período, vide S. Agnoleto (2000).
51 A esse respeito: Vide M.Mazzotti (2007). 39
comerciantes ou de famílias de artesãos, mediante a comprovação de valoração de duas ou três gerações do “estado de nobreza”. O pai de Agnesi, consciente de que a sua família tinha acabado de começar uma transição longa e difícil em “status social”, sabia que nesta fase não havia esperança de que uma faculdade para os nobres aceitasse seus filhos. Desse modo, e no sentido de melhor prepará-los, ele contrata tutores para enviá-los posteriormente, às escolas administradas pelos padres somaschi, que estavam mais dispostos a receber outros grupos sociais. Contratado para ensinar e preparar o irmão mais novo de Agnesi para ser admitido no colégio, Abbé Niccoló Gemelli foi o primeiro, dentre os tutores de Agnesi, que atentara para seu talento natural para as línguas clássicas. O eclesiástico percebeu que a jovem tinha muita facilidade em memorizar uma proporção significativa de palestras, apenas ouvindo-as. Gemelli foi, provavelmente, o primeiro tutor de Agnesi, até Pietro encontrar outros. Foi sob a tutela dele que, em 1727, Agnesi traduziu e declamou um discurso (oratio) latino, intitulado Oratio Academica Qua oftenditur, Artium liberalism studia a Femineo sexu neutiquam abborrere (Em Defesa do direito da mulher a estudar as artes e as ciências, sem quaisquer limitações). A esse respeito, é preciso compreender que esse discurso não estava circunscrito a um movimento feminista ou de gênero, mas era decorrente de uma prática que começou a se intensificar a partir do século XVIII. Naquela época, tornara-se aceitável e elegante para as mulheres “educadas”, manterem-se informadas das novas descobertas científicas, mesmo que superficialmente (LOGAN, 1994). Algumas mulheres estudiosas, tal como Agnesi, tiveram acesso, fosse trabalhando de forma independente, fosse atuando como assistente de intelectuais, às novas ideias científicas e matemáticas que circulavam na ocasião52. Notadamente, na Itália, algumas mulheres empenharam-se em discutir diferentes aspectos da nova ciência, tendo não somente acesso, como também participação ativa tanto em universidades53 quanto em academias científicas, que é o caso de Maria Gaetana Agnesi.
52 Destacam-se neste período a Marquesa Gabriele Émilie De-Châtelet, responsável pela difusão do conhecimento da física de Newton e da metafísica de Leibniz, na França, e Marie-Anne Paulze Lavoisier (1758-1836), que atuou como assistente de seu marido, Antoine-Laurent de Lavoisier (1743- 1794).
53 Laura Maria Caterina Bassi (1711-1778) foi a primeira mulher a ocupar a cadeira de Física na Universidade de Bologna em 1732. Mais a esse respeito, vide: M.Cavazza (1995, 1997); P.Findlen (1993, 1994, 1995, 1999, 2005, 2011). 40
Nesse mesmo período em que Agnesi traduziu e declamou seu discurso, o filho primogênito de Pietro foi enviado ao Colégio de San Giorgio em Novi, uma instituição administrada pelos padres somaschi (ANZOLETTI, 1900, pp. 85-86). Com relação à metodologia de ensino utilizada nos colégios jesuítas é importante destacar que, como estes foram principalmente projetados para os estudantes primogênitos, os quais herdariam privilégios políticos e econômicos, o ensino tinha como principal propósito proporcionar a aquisição de competências sociais relevantes. Quanto aos demais filhos, o colégio constituíria uma alternativa à compreensão do “suficiente”, capacitando-os a seguir uma carreira burocrática no exército ou na Igreja, sendo que esta dupla finalidade se refletia nos conteúdos e nos métodos de ensino (BRIZZI apud MAZZOTTI, 2007, p. 24). Assim, os estudos começavam com dois ciclos bienais, durante os quais os alunos mais jovens iniciavam o latim, que era ensinado paralelamente ao catecismo, ignorando as línguas vernáculas, a aritmética e a gramática grega. Isso se justificava porque entendia-se que a compreensão da estrutura lógica da gramática latina auxiliaria a “moldar” a mente (forma mentis) de cada aluno de forma adequada, até porque, o conteúdo dos textos selecionados iria inspirá-los a cultivar as virtudes aristocráticas, ao passo que as técnicas do estilo e retórica facilitariam uma futura vida pública. No que diz respeito ao programa de ensino, este consistia basicamente na leitura das obras de Cícero, em função de apresentar um estilo puro e elogiar as virtudes aristocráticas, além de Ovídio e Sêneca, dentre outros. A utilização de técnicas mnemônicas mais sofisticadas como parte do treinamento à arte da eloquência também era oferecida para os que desejassem continuar em cursos avançados, principalmente em filosofia e direito. Nos primeiros anos, permitia-se incluir aulas de lógica e física, baseadas em textos aristotélicos, e nos últimos anos o ensino de metafísica e filosofia moral (BRIZZI, apud MAZZOTTI, 2007, p. 27). As academias eram disponibilizadas e utilizadas pelos melhores alunos, uma vez que eles próprios organizavam atividades facultativas, estimulando competições e disputas com distribuição de medalhas, prêmios e/ou privilégios. Especificamente em música54, era grande o cuidado para o ensino dos instrumentos musicais, com as
54 M.S.Anderson (1996, p. 194) destaca que ao longo do século XVIII, se fortalecia a ideia de considerar a música como uma ciência. 41
preferências dos alunos para o violino, viola e, particularmente na década de 1730, o cravo, que ganhava popularidade. A irmã de Agnesi se destacou na sociedade milanese, sob este aspecto. Os alunos que se interessavam pela carreira militar estudavam geografia, em associação com a fortificação, álgebra, geometria e perspectiva. Em um momento em que as academias militares ainda eram raras, os colégios jesuítas ofereciam a formação técnica necessária para os futuros oficiais de alto escalão, salienta Mazzoti (2007). Nesse contexto, Roberto (1975) destaca a crítica de Tanzi Carlantonio, secretário perpétuo da Accademia Dei Transformati, sobre a formação dada nesses colégios. Embora ele tivesse predileção pela literatura, muito em voga na Itália naquela época55, suas críticas defendiam um ensino mais completo, em que se deveria incluir as matemáticas. Nesse particular, Domenico Soresi (1711-1778), que fôra ensinado por alguns dos tutores de Agnesi56, era um dos acadêmicos que se destacara no seu empenho pela reforma dos métodos de ensino na região da Lombardia, sobretudo. Soresi seria um dos inúmeros contemporâneos de Agnesi a referenciá-la em seus trabalhos, cuja espinha dorsal era o ensino de jovens e mulheres (BERRA, 1919, pp.59-60; ROBERTO, 1975, pp. 44-47). Em linhas gerais, este foi o ensino oferecido aos irmãos de Agnesi, porém, com relação a ela, Pietro optou por financiar um programa privado de estudos consistindo em uma variação desse tradicional currículo jesuíta, mas divergindo em alguns aspectos essenciais. Este diferencial de estudos foi, provavelmente, determinante na história de Agnesi e orientou suas escolhas, principalmente em relação à sua obra matemática. No que diz respeito ao método de estudos iniciais, tivemos a oportunidade de encontrar nos manuscritos de Agnesi listas de termos latinos e respectivas traduções gregas, como também listas de termos hebraicos e suas traduções para o latim. Alguns escritos sobre a vida de Alexandre de Curtius Rufus constam neste rol de
55 Mais a este respeito, vide: T.Carlantonio (1766).
56 Casati e Tagliazucci segundo L.Berra (1919). 42
manuscritos, traduzidos em italiano, francês, alemão e grego57. Como não há vestígios de exercícios gramaticais em seus apontamentos, é provável que, parte de sua aprendizagem tenha se consolidado a partir da leitura direta dos autores clássicos, a julgar pelo que acontecia não somente na Itália Católica, mas também em regiões protestantes. Ainda, sobre os livros de filosofia natural, escritos por católicos iluminados, e o surgimento de propostas de modificação do currículo tradicional, é digno de nota assinalar, que já se mostrava uma prática usual de alguns matemáticos jesuítas e filósofos naquele período58. Além disso, ao longo do século precedente, os debates acerca de modos de divulgação tanto do saber quanto da moral, já haviam favorecido o aumento de discussões sobre educação entre os protestantes, como recorda Brito:
Tanto essa possibilidade de iluminação dos luteranos quanto aquela disciplina de vida exigida pelos calvinistas pressupunham a purificação pessoal, a disseminação de uma moral voltada para a virtude e o desenvolvimento do conhecimento intelectual. Caberia às pessoas agir de acordo com a moral protestante, promover o conhecimento da natureza e difundir tanto aquela quanto este. As discussões sobre os modos de divulgação do saber e da moral colaboraram para que se avolumassem discussões sobre educação, nos meios eruditos protestantes (BRITO, 2012, pp. 14-5)
Alguns exemplos desse tipo de ensino foram propostos por J. Milton (1608- 1674) em seu Tratado de Educação 59, como também por Joaquim Jungius (1587-
57 Rufus foi um senador e historiador romano, que viveu, segundo alguns estudiosos, na época do imperador Cláudio, na primeira metade do século I, ou entre os reinados de Nero e Vespasiano. Verificamos este material na BAM, especificamente nos manuscritos correspondentes aos estudos iniciais de Agnesi.
58 A esse respeito, há de se considerar que houve reações de religiosos dentro da congregação jesuítica, que se opunham a qualquer perda de poder da metafísica aristotélica. Os textos de Roger Boscovich sobre filosofia natural, dentre outros, ilustram as estratégias da Companhia de Jesus, às vésperas da sua dissolução, com o interesse de reverter este quadro. Para detalhes sobre esse movimento vide: U.Baldini(1982a, 1982b, 1992), além do Disponível em http://www-history.mcs.st- and.ac.uk/Biographies/Boscovich.html, Acesso em: 09 mar. 2015.
59No ideal de escola, proposta de J.Milton em seu Tractate of Education (1650), priorizava-se os estudos de latim, grego, italiano e hebreu, a partir da leitura de textos e não através da memorização da gramática. Este material escolhido também deveria conduzir os alunos ao amor, à virtude e à obediência. Além da religião, seriam estudados os seguintes assuntos: agricultura, moral, poesia, história natural, economia, textos de comédias e tragédias, política, leis, teologia, história, retórica, lógica. Quanto à matemática, o currículo abarcava a aprendizagem de astronomia, geografia, trigonometria, estudo de fortificações, de aritmética e geometria. Mais a esse respeito, vide M.A.J.Brito (2012, pp. 17-18). 43
1657) e Christoph Helwig (1581-1617) que, em conjunto, escreveram a obra Von der Didactica oder Lehrkunst Wolfgangi Ratichii (Da didática ou arte de ensinar de Wolfgang Ratike) (1621), defendendo o estabelecimento de um ensino a partir da leitura de textos realizada pelos próprios alunos (BRITO, 2012, p. 18). Quanto aos estudos filosóficos de Agnesi, estes seriam baseados segundo a estrutura básica do livro publicado pelo teólogo e filósofo Edmond Pourchot (1651- 1734) de 1695, que teve inúmeras edições, e vieram a ser muito acessíveis ao longo do século seguinte (MAZZOTTI, 2007). Pourchot, embora atualmente esquecido, foi considerado um dos professores de filosofia mais célebres, que ensinou na Universidade de Paris, sendo indicado para ser seu reitor inúmeras vezes. Seu livro foi elaborado para um curso universitário de filosofia, apresentando uma filosofia que julgava ser “útil”, em virtude de aumentar o conhecimento de Deus e enaltecer as virtudes cristãs. Embora a ordenação dos tópicos apresentados na obra de Pourchot seja apresentada de forma bastante tradicional para a época, iniciando pela lógica, seguida da metafísica, geometria, física geral e especial, e ética, Mazzotti (2007) enfatiza que a obra provavelmente foi a responsável por introduzir muitas das doutrinas de autores a ele contemporâneos, dentre os quais, Descartes e Malebranche. A Lógica abre o curso por razões didáticas, segundo o autor, e a Metafísica, na sequência, é apresentada como forma suprema do conhecimento humano. Em função de sua importância, a Metafísica era dividida em Ontologia; como ciência de Deus, e Pneumatologia; enquanto ciência das entidades espirituais. O intelecto ontológico humano seria aquele em que se poderia atingir o mais alto nível de certeza. Tendo em vista essa escala de valores, a geometria, as físicas (filosofia natural), e a ética, estariam aquém da metafísica. Apesar disso, o curso de Pourchot sugeria haver uma maior afinidade entre as verdades geométricas e a metafísica, por serem ambas acessíveis por atos de intelecção pura. A esse respeito, Mazzotti (2007) observa que, embora a seção de geometria se restringisse a algumas definições e teoremas básicos da geometria euclidiana, ela, entretanto, antecedia a abordagem da física em um curso universitário francês. Esta característica dá indícios que a obra de Pourchot apresentava a filosofia natural já em processo de matematização. Assim, seguindo a proposta de Malenbranche, Pourchot empresta o termo “atenção” dessa filosofia como um pré-requisito para aquisição do conhecimento, e a define como uma forma de discurso natural, e que em termos 44
escolares, garantiria o bom desempenho do ato de intelecção e da vontade – que seriam as faculdades básicas da mente humana. Observamos que Agnesi, em seus estudos, não se deteve nas seções sobre lógica da obra de Pourchot. Suas anotações referem-se à seção da metafísica, constando também apontamentos em relação à teoria cartesiana sobre a mente e sobre a doutrina das ideias, além da visão malebranchiana de Deus. Esses apontamentos, destaca Mazzotti (2007), seriam indicadores de uma visão “Católica Iluminada” do conhecimento. Segundo ele, tais teorias sublinham a cognição humana como um processo passivo, dando ênfase ao significado religioso da aquisição do conhecimento. Contudo, não há constatações se estas anotações surgem em consequência de sua autonomia e escolha, ou se elas são fruto de orientações de seus tutores quanto a tais estudos. As anotações de Agnesi em sua correspondência enquanto tutorada, se confundem com as de Casati e de outros tutores, insinuando que a estudiosa trabalhava com uma variedade de materiais. Sobre isso, Agnesi enfatiza na justificativa de sua obra60, que os materiais de estudos eram muito fragmentados, dificultando o acesso aos interessados. Como exemplo, Agnesi se refere às Atas de Leipizig, ou Acta Eruditorum61, e às Memórias da Academia de Paris. As Acta Eruditorum era uma revista alemã cuja primeira edição surgiu em 1682, na Universidade de Leipzig, que tinha como objetivo fornecer artigos e resumos de publicações relevantes da época, dentre uma ampla gama de tópicos62. Esta publicação se tornaria referência entre os estudiosos daquele período, tendo Leibniz dentre seus editores, enquanto professor naquela Universidade. Talvez a maior contribuição das Actas Eruditorum, resida no fato de ter publicado tantos trabalhos de estudiosos alemães, quanto de estrangeiros, não somente estimulando a investigação científica nos países alemães, como também informando estudiosos estrangeiros, quanto à contribuição alemã para o corpo do conhecimento científico63. Contudo, é
60 Que nos deteremos em maiores detalhes oportunamente, neste trabalho.
61 Periódico fundado pelo próprio Leibniz, dedicada à divulgação de pesquisas científicas.
62 Os tópicos publicados nas Actas de Leipzig incluiam medicina, matemática, física, direito, história, geografia e teologia. Em pouco tempo, este periódico havia se tornado a publicação alemã mais conhecida na época.
63 Mais a este respeito, vide: J. Grossi (1726). Disponível em http://eulerarchive.maa.org/publications/journals/ActaEruditorum.html, Acesso em: 18 jul. 2016. 45
significativo que muitos desses artigos e comentários, quando não se apresentavam originalmente em latim, eram traduzidos para este idioma. As Memórias da Academia de Paris, por sua vez, eram publicações editadas pela Academia de Ciências de Paris, criadas em 1666 durante o reinado de Luis XIV (1638-1715). Em 1793 a academia foi extinta, com a extinção de todas as academias na França, tendo sido criado, dois anos depois, o Instituto Nacional de Ciências e Artes64. De modo geral, essas duas publicações eram fontes de informações e de conhecimentos que traziam os novos desdobramentos de uma nova ciência nascente e constituíam-se como um dos materiais de estudos a que os estudiosos tinham acesso naquela época. A esse respeito, estudos recentes sinalizam que a biblioteca de Agnesi era muito rica e, segundo Roero (2014, p. 294), é provável que Agnesi, em contato com vários materiais de estudo, soube escolher os exemplos mais apropriados para aprimorar os conceitos mais difíceis, além de acrescentar considerações pessoais. No que diz respeito à tutoria literária e filosófica de Agnesi, havia o acompanhamento e assistência espiritual, desde a infância, especialmente com utilização de textos de espiritualidade teatina, tendo sido dedicada à Agnesi uma versão milanesa de um ensaio de Andrea Avellino (1521-1608), um dos primeiros teatinos e santos da Igreja. O ensaio era fundamentado na ideia de que seria essencial viver em desprezo a si mesmo e ao mundo, e recomendava completa submissão aos superiores, os pais em especial, uma vez que a vida do cristão seria um eterno combate entre a carne e o espírito. Segundo a dedicatória, não haveria espírito mais apto para isso do que o de Agnesi65. Avellino foi considerado protetor da cidade de Milão, tendo sido erguida em sua homenagem, a capela de San Antonio, um dos lugares preferidos por Agnesi para meditação. A principal característica da espiritualidade teatina era o combate espiritual
64 As memórias da academia são passíveis de aquisição no site da biblioteca digital Archive: E. Chambers e J. Martyn (1742). Disponível em https://archive.org/details/philosophicalhis03acaduoft Acesso em: 11 ago. 2015.
65 M.Mazzotti (2007) lamenta não ter obtido cópia dessa particular edição, mas tais observações foram feitas por Frisi, biografo e irmão de Paolo Frisi, amigo de Agnesi. Tal tema teria sido desenvolvido em um texto mais importante e famoso por um discípulo de Avellino, Lorenzo Scupoli, em Combattimento Spirituale (1589), e que havia se tornado uma referência importante na Contrareforma, do qual Agnesi também tinha uma edição, de 1724, na biblioteca da família. 46
e sua reinterpretação da busca pela pobreza e desapego ao mundo, no espírito da igreja primitiva. Suas raízes e fontes teológicas são encontradas principalmente nas tradições agostinianas e tomistas, acreditando que a atividade intelectual era essencial para a vida espiritual. Este grupo também era hostil em relação à teologia e pedagogia jesuítica. Assim, mediante o entorno da vida de Agnesi desde sua infância até a vida adulta, não nos parece absurda sua opção pelo abandono às coisas “mundanas”, após a morte de seu pai em 1752, como tampouco, em função de suas escolhas, ser apontada como um enigma psicológico por alguns estudiosos (TRUESDELL, 1989; MAZZOTTI, 2001). Mostra-se notório que a orientação dada pelo “Catolicismo Iluminado” setecentista, cuja ideologia os tutores de Agnesi abraçaram, fez de fato, eco na vida da jovem estudiosa.
2.2 Sobre os tutores de Agnesi
Na residência dos Agnesi, no inicio da década de 1730, Pietro contratara o então conhecido padre Tagliazucci, ex-secretário do Duque de Modena e professor de literatura grega e italiana na Faculdade de San Carlo, para auxiliar sua filha nos estudos (FRISI, 1965, p. 26). De natureza austera e com gosto pela simplicidade, segundo Mazzotti (2007, p. 28), o tutor priorizava os estudos de Dante, Petrarca e os clássicos de Homero, Virgílio, Horácio e Cícero, demonstrando sua antipatia por autores latinos posteriores, dentre os quais Sêneca, argumentando que sua linguagem era muito artificial. Atitudes como esta provocavam reações amargas, pois se posicionava contrário, sob muitos aspectos, ao currículo dos colégios jesuítas. Seus métodos pedagógicos, por sua vez, refletiam a influência da filosofia cartesiana. Tagliazucci utilizava exemplos e exercícios destinados, principalmente, à formação e fortalecimento da “razão” dos alunos, permitindo-lhes comparar, combinar e desmontar ideias, de forma diferente do que era apregoado na metodologia jesuítica. Segundo Tagliazucci, “a razão” seria mantida pela faculdade superior da mente humana, que compreendia e refletia sobre “juízos” e “vontades”. A “razão inferior”, ou animal, seria somente um mero instrumento da “razão superior”, sendo projetada para 47
se sentir, imaginar e desejar, como também seria uma consequência do pecado original e da queda posterior da condição humana, tendo em vista que esta parte inferior da mente resistia aos preceitos da razão. Daí a importância e necessidade de uma educação correta e equilibrada, para moldar a conduta civil e religiosa dos seres humanos (TAGLIAZUCCI, pp.37-45 apud MAZZOTTI, 2007, p. 29). Quanto ao desenvolvimento da faculdade “analítica”, o qual se referia como capacidade de abstração, o religioso teve um cuidado especial, até porque a expressão “analítica” era um termo recorrente no século XVIII, cujo significado não era restrito somente à matemática, mas também a uma variedade de processos e práticas, além desta. Assim, com relação a esta faculdade fundamental do pensamento, Tagliazucci argumentava que era particularmente difícil para os jovens estudantes, e uma grande responsabilidade para o professor, transitar entre o particular e o concreto para o geral e abstrato, acreditando que seria somente através da construção sobre o que fosse conhecido e familiar que o aluno poderia adquirir habilidades analíticas. A esse respeito, os melhores exemplos seriam fornecidos pela álgebra e geometria, visto que nenhuma outra disciplina necessitaria de maior intensidade de raciocínio, aliado ao fato do “progresso maravilhoso que adiviriam de jovens devidamente treinados nestas disciplinas” (TAGLIAZUCCI, pp.37-45 apud MAZZOTTI, 2007, p. 29). O tutor utilizou a mesma técnica metodológica ao passar da geometria para as humanidades, e em especial com relação à utilização das técnicas de retórica e eloquência, rejeitando mais uma vez a metodologia jesuíta baseada em técnicas mnemônicas, o que, segundo o estudioso, somente perpetuaria a produção de “papagaios”. O exercício da “razão” do aluno seria um dom divino que deveria iluminar e guiar todos os esforços humanos. Outro método menos convencional seria a adoção do vernáculo, mais familiar e concreto para os alunos, assim como o recurso de traduções não literais de outras línguas de modo a tentar captar e alcançar a intenção original do autor, objetivo estreitamente relacionado com o ideal de educação da Accademia Dei Transformati, como observado anteriormente. No seu ensino, Tagliazucci também deu ênfase aos exercícios de retórica e disputa, com o propósito de erradicar o típico estilo de disputas jesuítas, por considerá-los repletos de inúteis e sutis sofismos. O tutor de Agnesi desvalorizava, acima de tudo, metáforas extravagantes, amplificações, e afetações linguísticas. 48
Em relação a tais aspectos de sua formação, atentamos que Agnesi, aos cuidados desse tutor, aprimorou suas habilidades de oratória, o que pode ser verificado pelo seu posicionamento nas conversazioni, como também viria a influenciar provavelmente, em sua opção por escrever um tratado matemático em vernáculo. Lembramos que Agnesi primava por intercalar suas apresentações nas conversazioni, pelo uso do latim, em paralelo ao italiano, em um período que a arte da oratória, principalmente, era normalmente proibida para as mulheres. Presume-se que a partida de Tagliazucci de Milão, além da morte de sua mãe, foi um dos motivos que desencadeou a misteriosa doença de Agnesi em finais de 1730, afastando-a dos estudos por um breve período. Ao retornar, contudo, seu pai continuou empenhado em investir em sua educação, escolhendo com atenção seus tutores, e procurando se certificar que a filha se cercasse por figuras proeminentes no cenário daquela época. Tais tutores eram todos eclesiásticos, com exceção de Conde Belloni. Estes eclesiásticos participavam ativamente dos debates sobre possibilidades de reforma religiosa e educacional na Itália, como já discorremos anteriormente. Manara66 foi professor de lógica e física experimental da Universidade de Pávia, Rampinelli foi professor de Faculdade em Bologna e Milão e, a partir de 1747, em Pávia. O tutor Brancone, foi bispo e professor da Universidade de Nápoles, enquanto Casati foi um padre teatino. Conde Belloni67, além de erudito e amigo de Agnesi, como sugere sua correspondência, foi quem apresentou as obras de Isaac Newton à jovem e a acompanhou em um estudo sobre o tratado de curvas de François de Guillame François de L’Hôpital (1661-1704). O sacerdote teatino da Igreja de San Antonio, Casati, também conhecido por seus costumes rigorosos, era adepto à tradição agostiniana e em teologia moral, razão pela qual um número de historiadores eclesiásticos o descrevem como um jansenista. Parte das correspondências e manuscritos de Agnesi revela que a relação que se estabelecia entre ela e Casati era mais estreita, quando comparada com os demais tutores. Ela compartilhava suas angústias em relação à família, saúde do pai, como
66 Sobre Franceso Manara, vide notas de A. Masotti e G. Masotti em A.F.Frisi, (1965). Sobre o tutor vide L. Anzoletti (1900, pp. 140-141).
67 Agnesi dedica sua obra Propositiones Philosophicae ao Conde Belloni Cf. B.Carrara (1918, p. 8); F.Minonzio (2006, p. 44) 49
também comentários pessoais e sob muitos aspectos, irônicos, sobre o funcionamento das conversazioni e suas próprias performances públicas (MAZZOTTI, 2007, p. 45). A maioria de suas cartas data de 1739, quando o clérigo deixou Milão, mudando-se para Turim. Embora aspirasse seguir para a pregação na carreira eclesiástica e tudo indicasse que assim seria, por ter sido um aluno brilhante, Casati acabou se tornando professor de filosofia e teologia, e assistente espiritual de uma congregação religiosa leiga de comerciantes hospedados na casa Theatina de San Antonio. É nesse período que ele dá aulas particulares para Agnesi. Como Casati era bem versado em filosofia moral, foi indicado por Muratori, para ocupar a primeira cadeira nesta disciplina, que viria a ser estabelecida pela Universidade Real de Turim, posteriormente. Nessa ocasião, atuou durante anos como conselheiro real sobre as reformas litúrgicas e pedagógicas, sendo nomeado bispo de Mondovi, em 1753. O clérigo transformaria sua diocese, nas palavras de Mazzotti (2007, p. 45), em um verdadeiro laboratório para catequização e projetos sociais. O sacerdote, profundamente influenciado pelo espírito reformista Muratoriano, foi responsável por redesenhar o currículo dos seminários, criar novas bibliotecas, e fundar um instituto de educação para órfãos. Dentre outros que comentaram acerca da relevância de seu papel, destaca-se Giovanni Battista Beccaria (1716-1781), um dos estudiosos italianos que se debruçou no estudo da eletricidade, escrevendo na ocasião, que Casati havia libertado de preconceitos e ignorância a cidade de Mondovi, “como nenhum outro fizera anteriormente” (MAZZOTTI, 2007, p. 45). Seriam as atitudes de Casati que favoreceriam de forma efetiva, a criação de um “clero iluminado”, verdadeiramente iluminado. Em relação ao papel de Casati na educação italiana, destaca-se seu incentivo à Soresi, filho de um pedreiro piemontês, para além do nível elementar. Posteriormente, Soresi foi ordenado sacerdote e enviado à Milão para continuar a sua educação, tornando-se reconhecido autor de ensaios pedagógicos que defendiam não somente a possibilidade, como também a utilidade e a necessidade da educação das mulheres e dos pobres 68.
68 Mais a esse respeito, vide: L.Berra (1919). 50
O tutor de Agnesi viria a entrar para a história da igreja católica em função de seu zelo pela atividade pastoral e catequética, principalmente após a publicação do seu catecismo em 1765. Preocupado com o que acreditava ser “estágios do desenvolvimento intelectual”, Casati produziu três versões diferentes do catecismo para crianças, cuja escrita foi considerada clara e parecida com seu estilo de pregação, vindo a ser um dos catecismos mais influentes da Igreja Católica. O clérigo teve como objetivo oferecer aos seus leitores a pura doutrina dos Evangelhos, livre de toda opinião humana, e adaptada para a mente da criança. Este catecismo influenciou de modo significativo o curso de filosofia de Agnesi, enquanto sua tutorada. Um exemplo de tal influência refere-se a um breve ensaio sobre ética proposto como guia em sua exploração do conhecimento humano. A questão era: Qual é o objetivo da vida humana e a fonte da felicidade natural? Neste ensaio, além de uma descrição teleológica do universo, da complexidade e da demarcação clara que se estabelece entre os diferentes níveis de realidade – apontados pelo clérigo como desde a matéria bruta até à alma humana, o trabalho acaba por demonstrar a maior realização possível do intelecto humano. Tal realização e fonte de perfeita felicidade natural, consistiria no conhecimento intelectual de Deus, identificando Agostinho a referência, no que diz respeito à contemplação das verdades eternas. Não somente a filosofia agostiniana como também a filosofia tomista seriam importantes fontes de inspiração para Agnesi, em função desses intelectuais católicos que a influenciaram. Contudo, apesar da influência do ambiente em que ela se encontrava e a relevância do papel dos seus tutores e correspondentes em sua vida, documentos revelam que Agnesi teve autonomia em suas escolhas, ao longo da elaboração de sua obra Instituzioni Analitiche, e que nem sempre iam ao encontro com aquilo que era apregoado por muitos. Sobre isso, adentraremos adiante, na obra Instituzioni Analitiche, mas consideraremos a princípio, as circunstâncias de sua elaboração e publicação.
2.3 Instituzioni Analitiche ad uso della giuventú Italiana: Publicação e Repercussão
A publicação da obra Instituzioni Analitiche ad Uso della Gioventú Italiana, em 1748, causou um grande entusiasmo junto à comunidade acadêmica na ocasião, por 51
ter sido considerado, segundo Truesdell (1989, p. 124), um dos primeiros e mais completos materiais sobre assuntos de Cálculo e de Análise matemática. Por “análise” devemos aqui entender, tal com definira Agnesi na introdução de sua obra, um “método de resolução de problemas”:
Análise de quantidades finitas, que comumente se chama Álgebra Cartesiana, é um método com que se resolve problemas combinando quantidades finitas, ou seja, a partir de determinada quantidade e condições dadas e conhecidas, se conhece outra incógnita, e com que se investiga por meio de determinadas operações e métodos, que me proponho a explicar nesta seção. (AGNESI, 1748, p. 26; GAETANA, 1801, p. 1, tradução nossa)69
Truesdell (1989, pp. 135-136) assinala que, já existiam na Itália, obras abordando o Cálculo Integral e Diferencial desde o início do setecentos. Contudo, a historiografia contempoânea tem se contraposto e apontado não haver indícios de que tais trabalhos tenham sido criados com propósitos semelhantes aos da obra de Agnesi (ROERO, 2014; MINONZIO, 2006; MAZZOTTI, 2007). Em nosso trabalho, optamos por relativizar tais posicionamentos, tendo em vista que, como Agnesi diz pouco em sua obra e em suas correspondências, quanto as suas intenções nessa empreitada, há de se ter cautela ao nos referirmos sobre o propósito de seu trabalho. Além disso, se mostra usual um autor nem sempre deixar explícito em seus escritos, o que condiz com seu real objetivo. Sobre isso, Bariani (2006), adverte, aludindo a LaCapra, que a historiografia contemporânea tem se mostrado mais aberta a abraçar movimentos, que apontam na escrita da história, tendências de avanço, quando comparadas com práticas mais antigas. Apesar disso, seguindo algumas dessas tendências, um historiador ainda corre o risco de apoiar-se “em um realismo documental arquivístico, que trata os artefatos como jazidas de fatos na reconstituição das sociedades e culturas do passado” (BARIANI, 2006, p.295). Como consequência, algumas considerações, muitas vezes apriorísticas, podem evocar uma compreensão simplificada da linguagem e do significado, além de propiciar uma análise histórica reducionista, no que tange a levantamento documental, por exemplo.
69 Em língua italiana, lê-se: Analisi delle quantità finite, che comunemente chiamasi Álgebra Cartesiana è um método, com cui tratando quantità finite si sciolgono i Problemi; cioè da certe quantità, e condizioni date e cognite, si viene in cognizione d’altre incognite, e che si cercano, per mezzo di alcune operazioni, e metodi, che parte a parte mi proponho di spiegare ne’ seguenti capi (AGNESI, op.cit., p. 26). 52
Entretanto, ao compararmos a Instituzioni Analitiche de Agnesi com outras obras de mesmo gênero, tais como Quadratura circuli et hyperbolae per infinita hyperbolae et parábolas geometrice exhibita (1703) de Guido Grandi (1671-1742), e De Constructione Equationum Differentialiu Primi Gradus (1707) de Gabriele Manfredi (1681-1761), notamos que o enfoque dado à Análise se mostra distinto. Diferentemente dessas obras, que tratam de questões de ordem prática, principalmente problemas hidráulicos e fluvias, a Instituzioni Analitiche é notoriamente um tratado teórico, ou seja, de matemática pura, como abordamos mais adiante.
Figura 3 - Frontispício de Instituzioni Analitiche
Fonte: M.G.Agnesi (1748)
A impressão de Instituzioni Analitiche também tem sido considerada um modelo de tipografia em relação aos manuais em voga na época. Considerando que era um tratado matemático com muitas fórmulas e diagramas, estando portanto, sujeito a erros (MINONZIO, 2006, p. 63; FINDLEN, 2011, p. 257), o impressor Giuseppe Richini transferiu suas instalações para a casa de Agnesi, e ela mesma administrou a impressão da obra. O propósito de Agnesi era revisar todo o processo de produção, sobretudo atentando às dificuldades técnicas relativas à composição dos caracteres e fórmulas matemáticas em todas as páginas, do início ao fim (FINDLEN, 2011, p. 258). 53
Quanto à essa particularidade de Instituzioni Analitiche, o trabalho apresenta ilustrações cuidadosamente numeradas em anexo, ao final. Suas páginas, de grandes dimensões, permitiam ser abertas para fora, favorecendo ao leitor a visualização das referências ao longo da leitura do texto. Após a publicação da obra em 1748, Agnesi continuou a divulgá-la. Segundo Frisi (1799, pp. 57-58), como ela mantinha amizade com Gaspard Moïse Augustin de Fontanieu (1694-1767), aproveitou a oportunidade para enviar muitas cópias de Instituzioni Analitiche para Paris, incluindo uma para o rei francês (FINDLEN, 2011, p. 266). Fontanieu, por sua vez, também enviou uma cópia para a Royal Society, aproveitando o ensejo, visto que seus membros, àquela ocasião, estavam admirados e inspirados pelas atividades científicas estimuladas por Clelia Grillo Borromeo (1684- 1777), em Milão70. Cabe ainda observar que, antes mesmo da publicação oficial, Agnesi enviou uma cópia de sua obra para o filósofo natural e presidente da Academia de Ciências de Bologna, Jacopo Bartolommeo Beccari (1682-1766), um conhecido de seu pai (FINDLEN, 2011, p. 260) e, em consequência disso, Agnesi foi convidada para fazer parte da Academia de Bologna, às vésperas da publicação de Instituzioni Analitiche71. Ela também estimulou à distribuição estratégica da versão final para o então secretário da Academia de Ciências de Bologna, Francesco Maria Zanotti (1692-1777), chegando às mãos da acadêmica Laura Bassi (1711-1778), então professora em Bologna, e única mulher admitida na Academia de Ciências naquela ocasião (FINDLEN, 2011). Ainda, por ocasião da publicação em 1748, além de presentes72 e homenagens, Agnesi seria convidada pelo então Papa Bento XIV, Prospero Lambertini (1675-1758)
70 Com relação à recepção de Instituzioni Analitiche na Royal Society ver cartas da Royal Society II.20 (Maria Gaetana Agnesi, 18 de janeiro de 1749), Boas Hall (1982) e M.Cavazza (2002) apud P.Findlen (2011, p. 266).
71 Archivio dell Antica Accademia delle Scienze dell’Istituto, Bologna, cartas recebidas, fasc. 2 (1741- 1750). A.B. (Agnesi ao Istituto delle Scienze, Milão, 12 de junho e 26 de junho de 1748). Maiores detalhes acerca de sua relação com a comunidade científica em Bologna na Biblioteca da Universidade de Bologna, ms. 4557 (Autografi, V, 41) Cf. P.Findlen (2011). Também verificamos em BAM O.201.n.19 e n.36.
72 O papa Bento XIV encomendou uma medalha e uma coroa de ouro incrustado com pedras preciosas e mandou que o cardeal Ruffo entregasse a Agnesi. Mais a esse respeito, vide: P.Findlen (2011, p. 269). 54
para ensinar matemática e ciências na Universidade de Bologna73, mas não aceitou a nomeação (KRAMMER, 1970-90, p. 75; FINDLEN, 2011, p. 270). O pontífice tinha a reputação de ser um defensor das mulheres estudiosas, incentivando uma revitalização de estudos científicos e educação universitária na Itália. Após receber uma cópia de Instituzioni, Lambertini escreveu para Agnesi:
Neste lugar onde nos encontramos para tomar um pouco de ar, o cardeal Antonio Ruffo nos presenteou com os dois tomos de suas Instituzioni Analitiche. Nós realizamos o estudo de análise no início de nossa juventude, mas depois abandonamos isso completamente, tendo-nos consagrados a aqueles estudos que pertencem ao que a Divina Providência nos selecionou. Portanto, sabemos da análise apenas o suficiente para compreender a sua importância, e estamos verdadeiramente convencidos disso quando encontramos alguém que é verdadeiramente um professor deste assunto, que é para a glória de nossa Itália. Tanto quanto somos capazes de compreender o seu trabalho, olhando para os capítulos e, especialmente, lendo alguns capítulos da análise de quantidades finitas, estamos em uma posição capaz de sustentar firmemente que você é, sem dúvida, considerada dentre os líderes, dentre os professores de análise, e que o seu trabalho será muito útil, e contribuirá para a reputação acadêmica da Itália e da nossa Academia de Ciências, em Bologna, para a qual você esta sendo admitida, para nossa grande satisfação. (BENTO XIV, 1749 apud FINDLEN, 2011, p. 264, tradução nossa) 74
Bento XIV, no ano seguinte, também escreve ao Senado de Bologna:
Algum tempo atrás, a renomada Maria Gaetana Agnesi enviou-nos um presente, que são suas obras, e que foram recebidas com aplausos do público. Como era justo e certo, agradecemos a ela. Algum tempo depois, por meio de nosso Cardeal Secretário de Estado, ela indicou seu desejo de ser professora honorária em nossa célebre Universidade de Bologna. Estando bem informados sobre exemplos antigos e recentes, sabemos que não é contrário ao costume da universidade
73 Mais a respeito da recomendação do papa: BAM O. 202: Diploma e Lettere del Sommo Pontefice Benedetto XIV, colle quali é commendato l’opera delle Ilma. Donna Maria Gaetana Agnesi, e le é conferita la Cattedra Danoranie Di Matematica nell’Universidade di Bologna.
74 Em língua inglesa, lê-se: In this place where we now find ourselves to take a little bit of air, Cardinal Antonio Ruffo presented us with the two tomes of your Analytical Institutions. We undertook the study of analysis in the first flower of our youth but then abandoned it completely, having been consecrated to those studies which belong to that state for which Divine Providence selected us. Therefore we know just enough analysis to understand its importance and to be truly convinced that when we find someone who is truly a Professor of this subject, it is to the glory of our Italy. As much as we are able to understand your work by glancing at the table of chapters and especially reading some chapters of the analysis of finite quantities, we are in a position to be able to firmly sustain that you are without a doubt numbered among the leading Professors of Analysis, that your work will be very useful, and that it will contribute to the scholarly reputation of Italy and our Academy of Sciences in Bologna, to which you have been admitted to our great satisfaction. Manuscrito BAM O.202 sup., C 2, Bento XIV para Agnesi, Castel Gandolfo, 21 de junho de 1749. P. Findlen (2011, p. 264). 55
oferecer até às mulheres, esse sinal notável de nossa honra e estima, quando elas alcançam este grau eminente de conhecimento que Agnesi alcançou. Com toda consideração devida, recomendamos a petição acima referida, permanecendo apenas para vocês dar-lhe a benção apostólica. (BENTO XIV, 1750 apud FINDLEN, 2011, p. 269-70, ANZOLETTI, 1900, p. 271, tradução nossa) 75
Como observa Findlen, esta carta redigida pelo papa não deixa espaço para dúvidas de que havia um critério de excepcionalidade para considerarem Agnesi, ou mesmo Bassi, na ocasião, aptas a serem aceitas como professoras na universidade, em contrapartida à sugestão de alguns biógrafos posteriores, de que Agnesi havia sido convidada porque seu pai fôra professor em Bologna76. A esse respeito, Minonzio (2006, p. 114) também acrescenta que, nem Frisi (1799), como tampouco Anzoletti (1900) ou Tilche (1984), principais biógrafos de Agnesi de períodos distintos, fazem menção a esta possibilidade. Além desta controvérsia, Bento XIV também atribuiu à Agnesi o interesse em entrar para a universidade, enquanto Agnesi creditou esse interesse ao papa. Tal ambiguidade levanta algumas dúvidas quanto à sinceridade da surpresa de Agnesi, posteriormente, ao ouvir falar dos planos em torná-la professora em Bologna, destaca Findlen (2011, p. 270). Convém ressaltar que, Bento XIV, foi considerado como o último de uma linha de papas pós Contrarreforma, que direcionou seu papado no sentido de considerar e proporcionar uma reflexão quanto à possível ruptura com a tradição contínua de papas renascentistas principescos (CUNNINGHAM, 2007, p. 83). Além de ser simpatizante da nova ciência, em consonância com seu amigo Muratori, também defendia uma simplicidade evangélica equilibrada.
75 Em língua inglesa, lê-se: Some time ago, the renowned Maria Gaetana Agnesi sent you a gift of her works which have met with public applause. As was only right and proper, we thanked her. Some time afterwards, by means of our Cardinal Secretary of State, she indicated her desire to obtain an honorary lectureship in the subject of her profession in our celebrated University of Bologna. Being well informed about ancient and recent examples, we know that it is not contrary to the custom of the university to offer even women this remarkable sign of our honorable esteem when they achieve that eminent degree of knowledge that Agnesi achieved. With every due consideration, we recommend the abovementioned petition for them, remaining only to give you the Apostolic Benediction. O original da carta está na BAM, BUB.ms. 279, n. 32, Bento XIV ao Senado de Bologna, Roma, 24 de junho de 1750. P. Findlen (ibidem, pp. 269-70), L.Anzoletti (1900, p. 271)
76 Acerca de tais insinuações, e quanto ao pai de Agnesi ser lembrado, erroneamente, como professor em Bologna, vide: E.Kramer (1970-2000) e F.Minonzio (2006, pp. 113-114) 56
Assim, após o pedido do papa ao senado, Agnesi foi aceita como professora honorária na Universidade de Bologna no dia 07 de julho de 1750. O estudioso Beccari seria o portador da notícia, que escreve à ela explicando sobre seus deveres, como também a incentivando para ir à Bologna:
Desde os tempos mais antigos de Bologna, têm-se ouvido sobre pessoas de seu sexo em suas cadeiras universitárias públicas. É a sua vez de manter essa tradição na posse de tal honra, na verdade você deve torná-la ainda mais extraordinária (BECCARI, 1750 apud FINDLEN, 2011, p.270, tradução nossa) 77
Contudo, após o recebimento desta carta, Agnesi responde: “Eu realmente sinto a grandeza de um benefício para o qual eu nunca teria coragem de aspirar, e senti-lo ainda mais forte, sabendo perfeitamente bem que eu não mereço isso” (AGNESI, 1750 apud FINDLEN, 2011, p. 270)78. Ou seja, Agnesi agradece a nomeação, mas não vai para Bologna. Todavia, o senado conferiu sua cátedra a revelia, e Agnesi permaneceu como professora honorária de matemática, na universidade de Bologna, até 1796 (MASOTTI, 1940, p. 12; FINDLEN, 2011, p. 271)79. O clérigo Vincenzo Riccati, filho do Conde Jacopo, e que fazia parte de uma influente rede de estudiosos80, também afirmou que qualquer pessoa que quisesse estudar a ciência precisava ler o maravilhoso livro de Agnesi, “[...] com precisão de método, com profundidade e clareza de doutrina” (RICCATI, 1749 apud FINDLEN, 2011, p. 262, tradução nossa)81.
77 Em língua inglesa, lê-se: Since the most ancient times Bologna has heard people of your sex from its public university chairs. It is your turn to maintain this tradition in the possession of this honor, indeed you should render it even more extraordinary. Original da carta em BAM O.201 sup., C 46v, Beccari a Agnesi, Bologna, 08 de julho de 1750, Cf. P.Findlen (2011, p. 270).
78 Em língua inglesa, lê-se: I truly feel the greatness of a benefice to which I would never have dared to aspire, and feel it even more strongly knowing perfectly well that I do not merit it. Correspondência Agnesi (175), Cf. Grossi (1843) apud P.Findlen (2011, p. 270).
79 Mais detalhes a esse respeito: BAM O.202 sup., C 13 (Despacho do Senado de Bologna, 5 de outubro de 1750); C. 10 (Cardeal Silvio Valenti Gonzaga de Agnesi, Roma, 14 de Outubro de 1750); C.8 (Bento XIV a Agnesi, Roma, 26 de setemro de 1750). Carta incentivando Agnesi a ir para Bologna, vide: O.201. C 48 (Luigi del Giudice a Agnesi, Bologna, 21 de julho de 1750) Cf. P.Findlen (2011, p. 272).
80 A respeito de como esta rede funcionava, vide carta de Dom Salvadore Corticelli para Paolo Frisi em que se discute a recepção positiva das Instituições Analíticas de Agnesi, que pode ser verificada em BAM. Bacalhau, Y. 148 sup, c. 98r (Corcelli para Frisi, Bologna, 07 de junho de 1751) apud P.Findlen (2011, p. 262)
81 Em língua inglesa, lê-se: [...] with precision of method, with profundity, and clarity of doctrine. BAM. O. 201 n.37, Vincenzo Riccati a Agnesi, Bologna, 28 de junho de 1749 e P.Findlen (idem) 57
A imperatriz Maria Teresa d’Áustria, por sua vez, em resposta escrita pelo Conde Gian Luca Pallavicini82, após receber um exemplar de Instituzioni, comenta:
A cultura diligente da juventude é uma das coisas que são mais caras à sua majestade; e ela ouviu com grande prazer, que uma pessoa de seu mérito, depois de adquirir mais aplausos de literatos no exercicío desses bons estudos, veio para ilustrar, e acrescentar ornamento para a Ciência mais sublime. (PALLAVICINI, 1749, apud TILCHE, 1984, p. 92; MINONZIO, 2006, p. 65, tradução nossa)83
Em certa medida decorrente dessa ampla divulgação e repercussão de sua publicação, Instituzioni Analitiche acaba sendo recomendada pela Academia Francesa para ser traduzida para a língua francesa, no ano seguinte. Por sua vez, a obra somente despertaria o interesse dos ingleses em 1760, especificamente pelo lucasiano Johnathan Colson (1680-1760), professor na Universidade de Cambridge84. Segundo Truesdell (1989), Colson ficara impressionado com o material de Agnesi, se predispondo a estudar italiano para traduzi-lo já no final da vida, mas não sobreviveu para promover sua impressão, que viria a acontecer somente em 1801. A introdução da tradução inglesa de Instituzioni Analitiche tem como editor John Hellins (1749-1829)85, responsável pela supervisão desse processo que fôra
82 Sobre essa correspondência: BAM. O.201 n.39-40.
83 Em língua italiana lê-se: La diligente coltura della gioventù è una delle cose, che stanno più a cuore alla maestà sua; e però ha sentito con molto piacere, che una Persona del di lei merito, dopo essersi acquistata sempre gli applausi de'Letterati nell'esercizio de' buoni studi, sia giunta ad illustrare, e ad accrescere ornamento fino alle Scienze più Sublimi (MINONZIO, 2006, p. 65)
84 Ser titular da Cátedra Lucasiana de Matemática é considerado até hoje um dos mais prestigiados cargos acadêmicos. A posição foi oficialmente estabelecida em 1664 pelo Rei Charles II, da Inglaterra, tendo Isaac Newton como um dos seus titulares, e da mesma forma, Stephen Hawking, até 2009. Para maiores informações sobre Colson, vide Dicionary of National Biography, volume 4, pp. 861-862 apud C.Truesdell op. cit. p. 128, que o aponta como opositor de De Moivre, e famoso somente como tradutor de Agnesi.
85 J.Hellins foi um pároco, matemático e astrônomo autodidata, chegando a ser nomeado assistente no Observatório Real de Greenwich, onde estudou línguas e, posteriormente, foi admitido como membro da Royal Society (1796). Ele ganhou a medalha Copley, em 1798, em decorrência da resolução de um problema físico-astronômico, demonstrando que a utilização de séries convergentes poderia ser útil no cálculo das perturbações dos movimentos da Terra, Marte e Venus, decorrente de suas atrações mútuas. Além de ter publicado Instituzioni Analitiche em 1801, publicou outros escritos, dentre os quais "Philosophical Transactions: Dois teoremas para calcular Logaritmos” (1780); “Novo método para encontrar a Igualdade de raízes de uma equação por Divisão” (1782) e “Método de Halley de computar a Quadratura melhorada do Círculo“ (1794). Mais a esse respeito, vide Anderson (2004). 58
interrompido em 1760, por ocasião do falecimento de Colson. Todavia foi Baron Francis Maseres (1731-1824) quem subsidiou a publicação86. Em confronto com o original italiano de Agnesi, comparados em nosso trabalho, observamos que a tradução inglesa não é literal. O tradutor Colson sugere que os jovens e mulheres talvez pudessem se beneficiar com o material, mas em sua abordagem ele traz somente um resumo dos tópicos, e não apresenta o grande número de exemplos, que caracteriza principalmente o Livro 1 de Institutioni Analitiche. Contudo, embora diferente da obra original, há de se considerar que a distância de mais de cinquenta anos da publicação italiana em relação à publicação da tradução inglesa, dificulta uma comparação à mesma. Qualquer que fosse o período histórico considerado, tal procedimento se sustenta, levando-se em consideração o fluxo de novas ideias que sempre surgem. Ademais, lembramos que no interlúdio entre as publicações, houve a Revolução Francesa, dentre outros acontecimentos significativos; período esse que, nas palavras de Richards:
Pelo menos desde o século XVII, a estranha combinação de certeza epistemológica e poder ontológico que caracteriza a matemática tornou um grande foco de negociação filosófica, social e cultural. No século XVIII, todos esses fatores estavam em jogo, e pensadores matemáticos lutavam para assimilar e estender a análise que tinham herdado a partir do século XVII. Uma combinação de convicções educacionais e suposições históricas apoiou uma matemática humanista essencialmente definida por sua flexibilidade e amplitude. Essa matemática era uma expressão de l'esprit humain, que era desdobramento de uma narrativa histórica progressiva. A Revolução Francesa alterou drasticamente as paisagens históricas e educacionais que apoiaram esta abordagem do século XVIII [...] no meio do século XVIII, a matemática estava em fluxo. (RICHARDS, 2006, p.700, tradução nossa) 87
86 Francis Maseres estudou advocacia e matemática, se formando em 1752 no Clare College, Cambridge. Sua primeira publicação intitulada “A dissertation on the use of the negative sign in álgebra” é de 1758. Maseres subsidiou muitas publicações matemáticas, em particular o trabalho de Hellins e as traduções de Colson. Cf. E.Arthur (s.d) Disponível em http://www.biographi.ca/en/bio/maseres_francis_6E.html. Acesso em: 17 de outubro de 2015.
87 Em língua inglesa, lê-se: At least since the seventeenth century, the strange combination of spistemological certainty and ontological power that characterizes mathematics has made it a major focus of philosophical, social, and cultural negotiation. In the eighteenth century, all of these factors were at play as mathematical thinkers struggled to assimilate and extend the analysis they had inherited from the seventeenth century. A combination of educational convictions and historical assumptions supported a humanistic mathematics essentialy defined by its flexibility and breadth. This mathematics was an expression of l’esprit humain, which was unfolding in a progressive historical narrative. The French Revolution dramatically altered the historical and educational landscapes that had supported 59
Com relação à tradução inglesa da obra de Agnesi especificamente, Mazzotti (2001, p. 679) salienta que a mesma se situa em um contexto peculiar, realçado pelos debates britânico e continental quanto à natureza da Álgebra e as bases do Cálculo. De fato, Francis Maseres e o clérigo John Hellins, promotores dessa tradução já no início do século XIX, viram a obra de Agnesi como uma valiosa introdução para a Álgebra e o Cálculo na tradição newtoniana, geométrica no caso, apresentando este último, em oposição àqueles autores britânicos que criticavam o Cálculo fluxional. Este ponto de vista pode ser constatado na apresentação da tradução de Instituzioni Analitiche, onde Hellins escreve ainda na introdução que a "[...] álgebra é criteriosamente aplicada à geometria superior, o que a torna uma excelente introdução à doutrina das fluxões.“ (GAETANA, 1801)88 Por sua vez, Findlen (2011, p. 267) relembra que a intenção de Colson ao traduzir Instituzioni Analitiche, em meados do setecentos, ancorava-se em uma perspectiva diferente. Colson aspirava uma tradução em uma linguagem mais popular e compreensível para a maioria das mulheres inglesas que não tivessem o benefício de uma educação em línguas, filosofia e matemática, nos moldes do que ocorrera, ainda em 1738, com a publicação da obra Il Newtonianismo per le dame, de Francesco Algarotti (1712-1764). Sobre isso, o editor John Hellins (1801, p. vi), salienta também que, inicialmente, a tradução inglesa havia sido intitulada The Plan of the Ladie’s System of Analytics, e fôra escrita nestes moldes; “artigo por artigo”, como forma de persuasão e encorajamento às mulheres. O trabalho foi interrompido no tópico 256 do Livro 1, mediante o falecimento de Colson, e somente retomado ao final do século, por Hellins89. A repercussão da tradução inglesa da obra de Agnesi, alcançaria inclusive a América do Norte, posteriormente90. Assim, tendo em vista o hiato existente entre a publicação italiana de Instituzioni Analitiche e sua tradução para o inglês, retomaremos de modo breve alguns aspectos this eighteenth-century […] in the middle of the eighteenth century, mathematics was in flux. (RICHARDS, 2006, p.700)
88 Em língua inglesa, lê-se: […] algebra is judiciously applied to the higher geometry, which renders it an excellent introduction to the doctrine of fluxions. (GAETANA, 1801)
89 Este manuscrito de Colson e os dois volumes da tradução original do mesmo, podem ser encontrados na sala de manuscritos em Cambridge University Library: ms. 954 (Ee. II.36) and mss. 955–956 (Ee. II. 37, 38). Cf. P.Findlen (2011, p. 267)
90 Para maiores detalhes, vide: P.Findlen (2011) 60
que consideramos relevantes e reveladores em relação a estas duas obras. A detecção de algumas especificidades em ambas as obras favorece à uma melhor compreensão do “fazer matemático” deste período, que nos propusemos a estudar. Na introdução da obra de 1801, Hellins tece elogios ao trabalho de Colson, mas alerta acerca de possíveis erros encontrados em seu trabalho, referindo-se principalmente à supressão de valores ou de quantidades no volume II. Porém, uma vez que não tinha a versão italiana para comparar e verificar a origem de tais erros, ele se compromete a elaborar um suplemento ao material, enaltecendo na apresentação, as habilidades superiores de Agnesi, as quais, segundo ele; são perceptíveis no livro IV, notadamente. (AGNESI, 1801, pp.xv-xi). Entretanto, não encontramos indícios de que Hellins tenha publicado o suplemento mencionado, até porque ele próprio lamenta o estado lastimável que se encontrava a Europa após a Revolução Francesa, creditando a este episódio, a impotência que sente em relação à própria impossibilidade de saber mais sobre Agnesi e seu trabalho. O editor também enfatiza que Agnesi primou pela clareza da apresentação desses conteúdos matemáticos, aspecto este que parece ter favorecido sua recomendação como material para o ensino. A configuração dos escritos pode ser exemplificada a partir de dois tópicos extraídos das obras. Na versão original italiana temos:
Nas quantidades simples, somando e escrevendo uma após a outra, deixando, cada uma delas o sinal que tem, se temos que somar a com b com c, dará soma a + b + c ; se temos que somar a com - b, será a soma de a - b; tendo que somar a com a com b com b, será o soma a + a + b + b ; advertindo que aqui , a + a é o mesmo que 2a, b + b é o mesmo que 2b, e por conseguinte, a soma será 2a +2b. Então, para resumir as quantidades expressas pelas mesmas letras, apenas a mesma letra bastará para manter esta letra, que pode conter muitas unidades, quantas vezes ela for colocada. No entanto, a soma de ac com ac com ac, ou seja, ac + ac + ac será 3ac, e este número é chamado coeficiente numérico. Se a quantidade a ser adicionada pelas mesmas letras que se referem tiverem mais coeficientes, os coeficientes são somados pela ordinária regra de aritmética, então a soma de 2a com 5a com b mais 4b será 7a + 5b , assim como a soma de a com 3b com - 2c com 7c com 5a será a + 3b - 2c + 7c + 5a , mas a + 5a é 6ª, e -2c + 7c é 5c, portanto, a soma será 6a + 3b + 5c (AGNESI, 1748, p.4- 5, tradução nossa) 91
91 Em língua italiana lê-se: Le quantitá femblici fi fommano tra loro com lo fcrivere uma dopo láltra, lasfciando a ciafcuna di loro que segno, che hanno. Abbiafi da fommare a com b com c, far pa la fomma a + b + c; abbiafi da fommare a com – b, farà la fomma a – b; abbiaffi da fommare a com a com b com b, farà la fomma a + a + b + b; ma qui avvertafi, che a + è lo fteffo che 2a, e b + b è lo fteffo che 2b; e 61
O mesmo assunto é apresentado por Colson, no referido tópico da versão inglesa, da seguinte forma:
Em seguida, é ensinada a adição de quantidades simples utilizando números inteiros, sendo explicada por um número suficiente de exemplos: além disso, a utilização de coeficientes numéricos é mostrada. (GAETANA, 1801, p.v, tradução nossa)92
Assim, estas são algumas diferenças observadas entre o original italiano e sua tradução inglesa da obra de Agnesi, fugindo ao escopo de nosso trabalho enveredar em uma análise maior. Todavia, tais traços observados em Instituzioni Analitiche, de 1748, nos dão indícios de que a mesma representa o estágio do conhecimento em Análise matemática, na metade do século XVIII, na Itália. Em função dessas considerações, relacionaremos, em momento oportuno deste trabalho, aspectos relevantes de alguns tratados matemáticos publicados ao longo do setecentos, e escritos sob a mesma perspectiva da obra de Agnesi, em paralelo à análise do original italiano de Instituzioni Analitiche. Com relação à indicação do segundo volume do tratado de Agnesi para tradução francesa, em 1749, Minonzio (2006, p. 76-77) destaca que a Academia de Paris não escolheu seus matemáticos mais reconhecidos para esta tarefa, e este episódio acabou por fortalecer os comentários de Truesdell (1989, p. 127-128) acerca da suposta inferioridade da obra de Agnesi93. Por sua vez, Findlen (2011, p. 266) assinala que os acadêmicos Dourtous de Mairan (1678-1771) e De Montigni (1714-1782), recomendaram de modo verdadeiro e não cerimonial, a necessidade da tradução francesa de Instituzioni Analitiche, enfatizando a ordem, clareza e precisão, como características fundamentais da mesma. A.Masotti (1940, p. 12) aponta também que os acadêmicos asseguraram não
però la fomma farà 2a +2b. Quindi per fommare le quantità efpreffe dalle medefime lettere, bafterà alla fteffa lettera prefiggere tal numero, che contenga tante unità, quante volte effa è pofta: e però la fomma di ac com ac com ac, cioè ac + ac + ac farà 3ac, e quefto numero fi chiama coefficiente numerico. Che fe le quentità da fommarfi dalle fteffe lettere denominate averanno in oltre coefficiente numerici, fi fommino effi coefficienti com la regola ordinaria delláritmetica; cosi la fomma di 2a con 5a com b com 4b farà 7a + 5b; così la fomma di a com 3b con - 2c com 7c com 5a farà a + 3b – 2c + 7c + 5a, ma a + 5a fanno 6a, e – 2c + 7c fanno 5c, dunque la fomma farà 6a + 3b + 5c (AGNESI, op.cit., p.4-5).
92 Em língua inglesa, lê-se: Then is taught the addition of simple quantities being integers, and explained by a sufficient number of examples: also, the use of numeral coefficients is shown (GAETANA, 1801, p.v).
93 A esse respeito, o estudo de F.Minonzio (2006, pp. 125-127) traz uma argumentação detalhada sobre as críticas de C.Truesdell (1989) à obra de Agnesi. 62
haver em nenhuma outra língua, um tratado que guiasse os estudiosos de uma forma tão completa. Nas palavras de Mairan:
Este trabalho é caracterizado pela cuidadosa organização, clareza e precisão. Não há outro livro, em nenhuma língua, capaz de conduzir o leitor a penetrar tão profundamente, ou rapidamente, nos conceitos fundamentais da análise. Nós consideramos este tratado o mais completo e melhor escrito desse gênero. (MAIRAN, 1749 apud KRAMER, 1970-1990, p. 76, tradução nossa) 94
Apesar de ter sido somente publicado em 1775, estudos recentes trazem evidências de que os comentários de Charles Bossut (1730-1814), adicionados à tradução francesa da obra, atestam ainda para a utilidade da mesma, como livro texto de Cálculo Integral, admirando a clareza e precisão da autora, sob esta perspectiva (FINDLEN, 2011, p. 266). Sobre isso, temos os elogios de Pier Domenico Soresi, que se reporta ao trabalho de Agnesi em inúmeras cartas com seus correspondentes e em seu Treatise on the Education of Girls, em 1774 (FINDLEN: 2011, pp. 281-282; 2005, pp. 12-13). Roero (2014, pp. 296-7) por sua vez, assinala que, Joseph-Louis Lagrange comenta em suas correspondências com Giulio Carlo Fagnani, que utilizou o tratado de Agnesi no curso de Analisi Sublime na Accademia de Artiglieria di Torino, em 177595. Além disso, presume-se que em 1762, Lagrange tentou consultar Agnesi em nome da Universidade de Turin (ALEXANDER, 2012, p. 712), mas sua busca se mostrou infrutífera, tendo em vista que ela já havia abandonado seus estudos matemáticos, se negando a recebê-lo. Neste modesto estudo que fizemos, podemos notar que o tratado matemático de Agnesi teve significativa repercussão, e isso provavelmente estava relacionado com o conteúdo de sua obra. De fato, como discorremos a seguir, o Cálculo e a Análise estavam se disseminando não só em solo italiano, mas também por todo o continente europeu.
94 Em língua inglesa, lê-se: This work is characterized by its careful organization, its clarity, and its precision. There is no other book, in any language, which would enable a reader to penetrate as depply, or a rapidly, into the fundamental concepts of analysis. We consider this treatise the most complete and best written work of its kind (MAIRAN, 1749).
95 Mais a esse respeito, vide: C.S.Roero (2014). 63
2.4 Cálculo e Análise na Itália do século XVIII: As Matemáticas-Mistas e a Matemática Pura
A Instituzione Analitiche foi publicada em 1748, momento considerado de transição na história da matemática, em que um misto de certeza epistemológica, em meio à busca pela compreensão e descobertas da extensão da Análise matemática, revelava uma inquietude. Este período seria entremeado por intensas discussões filosóficas, políticas e sociais, que ressoavam na matemática. Nas palavras do historiador Richards:
O desenvolvimento de um assunto que há milênios havia sido sintetizado pela geometria foi nos séculos XVI e séculos XVII unido à álgebra, ou análise, e sua essência estava sendo redefinida. A partir de uma perspectiva moderna, a análise diferia da geometria ao ser livre de compromissos ontológicos; seu foco era o desenvolvimento de um simbolismo operatório que poderia capturar as relações entre uma variedade de objetos diferentes. (RICHARDS, 2006, p. 700, tradução nossa)96
Podemos dizer que, naquela época, se instaurava uma ampliação na concepção do que se entendia como conhecimento algébrico, em função da extensão de alcance do método analítico. Dentre outras consequências, a Álgebra e sua notação simbólica, não se restringia mais, sob muitos aspectos, a uma “técnica” auxiliar da geometria, mas tinha adquirido um novo significado, conferindo-lhe certa autonomia. Segundo estudos recentes em história da matemática, a Instituzioni Analitiche foi publicada nesse contexto, com o propósito de divulgar e de disseminar o estudo e o ensino de Cálculo entre os italianos. Contudo, é importante assinalar que os termos Análise, Álgebra e Cálculo no setecentos são utilizados de forma generalizada nas obras analisadas neste trabalho e não devem ser confundidas com o significado atribuído a eles nos dias nos dias de hoje, visto que a matemática estava em processo de formalização e os conceitos se apresentavam novos, como observamos. Segundo
96 Em língua inglesa, lê-se: A subject that for millennium, had been epitomized by geometry was in the sixteenth and seventeenth centuries joined by algebra, or analysis, and its essence was being redefined. From a modern perspective, analysis differed from geometry in being free of ontological commitments; its focus was instead on the development of an operative symbolism that could capture the relations among a variety of diferente objects (RICHARDS, op.cit., p. 700) 64
Baron (1985, p. 43), seria principalmente após os trabalhos de Euler, notadamente, que o Cálculo se incorporaria ao que hoje chamamos Análise. Além disso, a Análise também se desenvolveria em constante interação com as ciências naturais, não havendo, na maioria dos tratados da época, uma distinção clara entre a Análise matemática e os diversos campos de aplicação. Esta transição do Cálculo para a Análise envolvia não somente uma divisão entre campos do saber, que viria a ocorrer posteriormente, mas também de uma transformação em sua natureza, de geométrica para algébrica. Ainda, esta transformação se mostraria de modo paulatino, o que pode ser verificado, em certa medida, mediante o confronto das obras elencadas em nosso trabalho. Anderson (1996) salienta ter sido na época em que Agnesi completou a impressão do primeiro volume de Instituzioni, que o fluxo de ideias e publicações se acelerou na Europa, de forma generalizada. Entretanto, o processo de disseminação e o interesse pelos estudos de Análise e de Cálculo na península itálica não foi homogêneo. Isso porque o método analítico não era muito bem recebido pela maioria dos italianos. Segundo Mazzoti (2007), em finais do século XVII, havia resistência à recepção da Análise e do Cálculo principalmente no que dizia respeito às suas aplicações no estudo de fenômenos naturais, visto que ainda se encontrava muito viva as tradições de índole galileana que defendiam o “purismo geométrico”, atribuindo um papel secundário para o Cálculo e as então novas técnicas algébricas97. A esse respeito, Mazzotti relata que:
[...] atribuíram um papel derivado e secundário para as técnicas algébricas, e do cálculo também. A inferioridade da análise foi, de uma só vez, epistemológica e social. A álgebra foi realmente associada com a engenharia prática e às artes, enquanto a geometria sintética ao estilo dos antigos, se sobressaia sobre quaisquer outras formas de conhecimento humano – além da teologia – em função da sua certeza, elegância e relevância metafísica. (MAZZOTI, 2007, p. 108, tradução nossa)98
97 P. Mancosu (1996) traz um estudo sobre a concepção aristotélica da ciência, ainda em voga no setecentos, atrelada a uma análise do discurso matemático no século XVII, e suas relações com as matemáticas-mistas.
98 Em língua inglesa, lê-se: [...] they attributed a derivative and secondary role to the algebraic techniques and to calculus as well. The inferiority of analysis was at once epistemological and social. Algebra was indeed associated with practical engineering and the arts, while synthetic geometry in the style of the ancients towered over any other forms of human knowlege – apart from theolgy – for certainty, elegance, and metaphysical relevance. (MAZZOTI, 2007, p. 108) 65
Principalmente instalados na região de Pádua, os opositores ao método analítico, em especial ao uso de técnicas algébricas, tinham concepções profundamente enraizadas na concepção galileana de conhecimento. Foi durante sua estada em Pádua, entre 1592 e 1610, que Galileu Galilei (1564-1642) havia formulado a lei da queda livre. Na ocasião, embora sua preocupação consistisse no estudo do movimento, buscando descobrir “como” um corpo caia, as leis naturais eram escritas em linguagem geométrica sintética, não envolvendo fórmulas algébricas. Essa aversão às técnicas algébricas também foi expressa por Vincenzo Vivani (1622-1703), representativo opositor e considerado o último discípulo de Galileu, que listou uma série de deficiências dos métodos algébricos, alegando que os mesmos não permitiam a mesma eloquência que os métodos sintéticos (MAZZOTTI, 2007). Mazzotti ainda observa que tal resistência às técnicas do cálculo e às possibilidades de sua aplicação não devem ser entendidas como uma consequência do isolamento cultural, mas sim como uma escolha deliberada de alguns estudiosos que não aceitavam a Análise como instrumento privilegiado para a investigação de fenômenos e possibilidade de descobertas de novas verdades. No entanto, a despeito dessa resistência, após a morte de Vivani, as novas técnicas de resolução de equações foram ganhando espaço paulatinamente, principalmente decorrente do interesse de autoridades locais no controle dos rios, lagoas e sistemas de irrigação, tendo em vista que as novas técnicas possibilitavam a resolução de diferentes problemas experimentais de hidráulica e geomorfologia fluvial. Embora essa nova matemática representasse o modelo da razão iluminista99, a resistência no que tange às novas técnicas e descobertas, ou o domínio da filosofia natural, não se restringia à península italiana. Nesse particular, destacamos aqui o posicionamento do acadêmico francês Michel Rolle (1652-1719), um autodidata que pesquisou matemática estreitando contato com inúmeros pensadores contemporâneos, mas se posicionando de modo reacionário aos trabalhos de Newton, Leibinz e Descartes. Em função de uma crítica ao Cálculo leibniziano, especificamente, Rolle teve uma discussão polêmica com Pierre Varignon (1654-
99 Na segunda metade do século, matemáticos franceses como D’Alembert, defendiam a matemática como grande motor de uma revolução “capaz de afetar todos os aspectos das ciências naturais” (HANKINS, 2002, p. 1). 66
1722), por volta de 1700, mas foi convencido da importância do tema100. Detalhes dessa querela, somente seriam publicados pela Academia de Ciências, em 1703, como relata Blay:
Essa oposição, extremamente ativa de 1700 em diante, foi liderada por Michel Rolle. Sua crítica se baseou em dois argumentos, um que enfatizava a inadequação e falta de um rigor lógico dos conceitos e princípios fundamentais do novo cálculo, e outro que pretendeu mostrar (com a ajuda de exemplos habilmente selecionados) que o novo cálculo conduzia ao erro, visto que não levava aos mesmos resultados obtidos por meio de métodos clássicos algebricamente, inspirados em Fermat e, especialmente, em Hudde. (BLAY, 1999 apud O’CONOR, J.J.; E.F.ROBERTSON, tradução nossa)101
Outro estudioso que questionou o método analítico foi o inglês George Berkeley (1685-1753). Em sua obra intitulada O Analista: ou discurso sobre um matemático infiel, de 1734, Berkeley apresentou uma crítica polêmica, cujos alvos principais foram os trabalhos de Newton (Método das Fluxões) e Leibniz (Calculo differentialis). A esse respeito, Calazanz (2014) destaca que, por trás dessa crítica aos fundamentos do Cálculo infinitesimal, sua estratégia principal era a de desqualificar o julgamento do livre-pensador contra a religião (CALAZANS, 2014, p. 2). Segundo Berkeley:
[...] se removermos o véu e olharmos de baixo dele, colocando de lado as expressões, voltarmos nossa atenção para considerar as próprias coisas que se supõem serem expressas ou sinalizadas por ela, descobriremos um grande vazio, muita escuridão e confusão, ou melhor, se eu não estiver equivocado, descobriremos impossibilidades e contradições diretas (BERKELEY apud CALAZANS, 2014, p. 4, grifo nosso).
Por intermédio dessa fala, o estudioso Calazans situa o contexto de Berkeley no final do século XVII, ao depor contra os objetos do método das fluxões102. Na obra O Analista, Berkeley acusa Newton e Leibniz “de usarem símbolos para representar
100 Mais a esse respeito, vide J.J.O’Conor e E.F.Robertson. Disponível em http://www-history.mcs.st- andrews.ac.uk/Biographies/Rolle.html, Acesso em: 21 de jul. 2016.
101 Em língua inglesa, lê-se: This opposition, extremely active from 1700 on, was led by Michel Rolle. The burden of his critique rested on two arguments, one stressing the inadequacy and the lack of logical rigour of the fundamental concepts and principles of the new calculus, the other pretending to show (with the aid of cleverly selected examples) that the new calculus led to error, insofar as it did not yield the same results obtained in the classical, algebraically inspired methods of Fermat and, more especially, Hudde. (BLAY, 1999). Disponível em http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Rolle.html Acesso em: 21 jul 2016.
102 Mais a esse respeito vide: Calazans (2014). 67
determinadas entidades matemáticas sem que de fato eles tenham compreendido o que elas são” (CALAZANS, 2014, p. 4). Se atentarmos para o fato de que Berkeley era empirista, dentre inúmeros contemporâneos a ele, não nos parece equivocada sua argumentação, visto que sua aparente divergência se fundamenta em uma concepção possivelmente diversa do que ele considerava objetos matemáticos. Mediante este panorama, observamos que a obra O Analista reflete esse período de transição, o que justifica o surgimento dessa pluralidade de posicionamentos. Assim, frente à divergência entre essas ideias, emerge a necessidade de trazer à luz, não somente essa problemática, mas uma ponderação frente a esse panorama; sobretudo, para não incorrermos no risco de anacronismos103. Com relação à repercussão dos trabalhos de Newton e Leibniz em solo italiano, podemos dizer que essas novas técnicas foram introduzidas principalmente a partir do início do século XVIII, quando então começaram a surgir os primeiros tratados ligados à Análise nas regiões de Pisa e Bologna, principalmente. A primeira publicação italiana sobre equações diferenciais foi escrita por Guido Grandi, um monge que ensinou na Universidade de Pisa, e publicada em 1703, sob o título Quadratura circuli et hyperbolae per infinita hyperbolae et parábolas geometrice exhibita, de 1703 (MATHIAS, 1997). Quatro anos depois, em 1707, o suíço Jakob Hermann (1678-1733) deu início ao estudo dos métodos empregados por Leibniz ao lecionar na Universidade de Pádua e, em 1720, a análise infinitesimal foi regularmente estudada na Universidade de Bologna (ROERO, 1998). Gabriele Manfredi, professor de matemática nesta universidade naquela ocasião, também havia escrito em 1707 uma obra intitulada De Constructione Equationum Differentialiu Primi Gradus, que, segundo Smith, teria sido “[...] muito estimado por Leibniz” (SMITH, 1958, p. 512). Estes trabalhos, como já observamos anteriormente abordavam problemas de ordem prática, e foram gradativamente introduzindo na península itálica as técnicas matemáticas de cálculo. Mas, no que diz respeito à região de Milão, ela se manteve relativamente à margem desses desdobramentos, uma vez que a sociedade Lombarda era menos
103 No Anexo B de nosso trabalho, apontamos as 67 Questões levantadas por Berkeley ao final de sua obra, com o propósito de suscitar reflexões acerca dessas argumentações que geraram tantos debates naquele período. 68
aberta a inovações. Os membros da elite eram educados em faculdades religiosas cujos currículos foram projetados para cultivar e reproduzir valores tradicionais104. Como já mencionamos, as instituições de ensino na Europa Continental haviam passado por reformulações ao longo da era moderna, tendo em vista que novas elites e a nova ordem política haviam emergido da crise das instituições republicanas das cidades-estados renascentistas. Este processo de aristocratização gerou um modelo de educação que se estabelecera nos colégios jesuítas sendo, especificamente no Colégio Jesuíta de Brera e na Universidade de Pávia, que se concentraria o ensino das matemáticas pura e mista. De acordo com Minonzio (2006), foi somente com a chegada de Rampinelli em Milão, na década de 1740, que as novas técnicas matemáticas de Cálculo começaram a ser ensinadas na região da Lombardia. Rampinelli, tornou-se tutor de Agnesi e o principal incentivador na elaboração de Instituzioni Analitiche, a partir de então. Correspondências trocadas entre Agnesi, Rampinelli, e outros estudiosos trazem algumas evidências acerca do enfoque dado à obra Instituzioni Analitiche. Segundo Soppelsa (1985), em suas cartas enviadas a Jacopo Francesco Riccati, Agnesi deixa transparecer seu interesse pelo tratamento das técnicas de diferenciação e integração, deixando claro que não se interessava em pesquisar “matemáticas-mistas”, não obstante debater estas questões com o grupo que frequentava sua residência, como acrescenta Findlen (2011, p. 258). Como já mencionamos anteriormente, a distinção entre matemáticas pura e mista é muito antiga, porém, recebeu atenção especial a partir dos séculos XVI e XVII. Ao longo desse período as matemáticas-mistas foram entendidas de diversas maneiras. No final do século XVIII, Oki (2013, pp. 90-1) salienta que, D'Alembert e Diderot conseguiram preservar a classificação baconiana das ciências, apesar de suas diferentes posições quanto à interpretação da filosofia natural de Newton. Contudo, seria o desenvolvimento da Análise matemática, o elemento que, gradualmente enfraqueceria a classificação baconiana. Na segunda metade do século XVIII, a Análise adquiriu, paulatinamente, cárater autônomo no âmbito da geometria e da álgebra, e passou a demonstrar sua potencialidade como linguagem da ciência, em função da possiblidade de sua utilização, nas mais diversas situações.
104 Mais a esse respeito, vide: M. Rosa (1969, 1981, 1999). 69
Um dos movimentos que favoreceram essa autonomia, diz respeito à algumas influências e motivações de estudiosos. D’Alembert, por exemplo, foi influenciado pelo legado cartesiano e malebranchiano, que reforçou a ideia de que a matemática deveria ser tomada como base para a verdade científica. Para Malebranche, o verdadeiro conhecimento existiria apenas em relações quantitativas precisas entre os objetos da experiência, das quais D'Alembert passaria a se referir, posteriormente, como exemplos "físicos-matemático", considerando-as uma das subdivisões da “matemática” (BROWN, 1991, p. 85). Segundo essa visão, a matemática seria a chave para todas as outras ciências e a fonte de todo o conhecimento absoluto. Assim, para os filósofos naturais do setecentos, frente à filosofia mecanicista herdada dos antecessores, a matemática “tornara-se o mais perfeito exemplo do pensamento racional e o modelo com o qual as outras ciências se veriam confrontadas”. (HANKINS, 1990, p. 17) Em paralelo, e como consequência desse processo de mudança que germinou a partir dos escritos elaborados sob pressupostos malebranchianos sobretudo, os novos temas de Cálculo, suas aplicações em função dos desenvolvimentos em mecânica, óptica e astronomia, acabaram por distanciar as “matemáticas-mistas” pouco a pouco, da categoria "metafísica", segundo a classificação baconiana. Brown (1991, p. 88) salienta que foi a partir das diferentes noções estabelecidas por Bacon e D’Alembert em relação ao significado do termo “quantidade”, que realocou os novos desdobramentos e as novas ramificações das matemáticas-mistas, na segunda metade do setecentos. Enquanto Bacon se referia à "quantidade" determinada, a partir de causas fixas e constantes, D'Alembert advogava que uma "quantidade" tanto poderia ser aplicada a objetos que se situariam independentes de coisas reais, quanto a objetos que envolvessem coisas físicas. Ou seja, D’Alembert relacionou "quantidade" a objetos abstratos que poderiam fazer referência não só a geometria e álgebra, mas também a mecânica, astronomia, e óptica. Com isso, as matemáticas viriam a ser divididas em pura, com as subdivisões de aritmética e geometria; e mistas, com as subdivisões de mecânica, geometria astronômica, ótica, acústica, pneumática e análise de jogos de azar. Uma das consequências dessas novas divisões, é que a Álgebra, com subdivisões de Cálculo Diferencial e Integral, passou a ser considerada uma ramificação da aritmética, em consequência, ramificação da matemática pura. Importante salientar que esse diferencial contrasta com o lugar ocupado pelo estudo do Cálculo na primeira metade 70
do setecentos. Neste período, que coincide com a fase em que Agnesi estuda e discute seus pressupostos, este estudo estava principalmente relacionado ao das matemáticas mistas, na visão de um grande número de estudiosos, como podemos verificar em nosso trabalho. Assim, é provável que a recusa de Agnesi em escrever um tratado com exemplos extraídos das “matemáticas-mistas”, antes da metade do setecentos, e publicar uma obra voltada para a “matemática pura”, deve-se ao fato de ela acreditar que escrever sob esse enfoque, era o suficiente, e que a matemática pura podia ser utilizada para todas as outras. Esta atitude é um indicativo de que uma possível razão de sua escolha, resida no fato de que Agnesi considerava que o ensino de matemática pura antecedia ao das mistas, e esta última se subordinaria à primeira. Em certa medida, este posicionamento sinaliza que ela vislumbrava o processo que se instaurava, além de dar indícios de que a matemática estava no caminho da especialização moderna. De fato, se compararmos a Instituzione Analitiche com outras obras que foram publicadas na Itália, naquele período, notaremos uma ligeira diferença de abordagem. Como já mencionamos, as obras italianas buscaram, em linhas gerais, suprir as necessidades da instrução superior, mas embasadas em outras vertentes. As Institutiones Analyticae105 (1738) de Domenico Chelucci (1681-1754), por exemplo, foi destinada às escolas técnicas, e não oferecia elementos suficientes, na perspectiva da difusão dessa nova Análise que surgia, assegura Minonzio (2006, p. 88). Minonzio ainda acrescenta que a obra de Fortunato da Brescia, ou Girolamo Ferrari; Elementa Mathematica, publicada no mesmo período, acena para um enfoque mais próximo do final do seiscentos. Apesar de buscar sustentação nas obras de Descartes, Newton e Leibniz, os escritos matemáticos de Fortunato ancoravam-se em uma perspectiva analítica mais defasada, ao mesmo tempo distante da matemática pura, e não se alinhavam aos trabalhos dos Bernoulli, que eram referências do período.
105 Publicado em Roma, assegura-se que a obra, fruto da experiência didática de Domenico, no Collegio Nazareno em 1705 e na Università della Sapienza em 1713, tenha se transformado em dois manuais de instrução, principalmente para o Curso de Artilharia de Modena. Sob o título original Institutiones analyticae aerunque usus in geometria: cum appendice De construcione promatum solidorum (1738) foi utilizado no Corso di matematiche ad uso degli aspirante Alla Scuola d’Artiglieria e Genio di Modena. Mais a esse respeito: Minonzio (2006, pp. 87-88) 71
Quanto à obra Del calcolo differenziale e integrale106, de Domenico Corradi d’Austria (1677-1756), publicada em 1743-1744, Minonzio (2006, p. 94) observa que, embora apresentasse uma conexão com o Cálculo infinitesimal desenvolvido por Newton e Leibniz, seu trabalho seguia por um caminho distinto. Corradi, em sua obra matemática procurou apresentá-la via matemática sintética, e sob muitos aspectos, próxima da matemática grega107. Por sua vez, muito além das fronteiras italianas, Truesdell (1989) salienta que o tratado francês de Reyneau, elaborada a pedido de Nicolas Malebranche (1638- 1715), e intitulada Analyse Demontrée ou la Methode de résoudre le problème des mathématique, já se encontrava disponível desde 1708108. Contudo, apesar da obra ter influenciado Agnesi na composição de seu tratado matemático, observa-se que o material havia sido publicado quase meio século antes de Instituzioni Analitiche. Agnesi, provavelmente, tivera acesso ao tratado de Reyneau, visto que ela faz referência a ele em sua Instituzioni: “[...] penso que o renomado padre Reyneau, em benefício comum, deu à luz o utilíssimo livro De l’analise demonstrée, um trabalho digno e que todos os elogios podem ter” (AGNESI, 1748, p. 15, tradução nossa). Além desta obra, ela teve acesso a outras, principalmente àquelas publicadas pelo grupo de Malebranche, dentre as quais o Traité Analytique dês Sections Coniques (1696) de Guillaume de L’Hôpital (CARRARA, 1918), como já mencionamos anteriormente. Vale ainda observar que, além desta, outras obras que tratavam de Análise e de Cálculo, datando principalmente do final do século XVII e abordando questões relacionadas a problemas mecânicos, também circularam naquela época, como aponta Astudillo (2011, p. 417). Nesse particular, devemos ainda considerar os artigos de Cálculo diferencial publicados por Leibiniz na Acta Eruditorum entre 1684 e 1686, não obstante serem breves em sua maioria, nem sempre claros e muitas vezes com erros, mas permitiriam o acesso a este novo “fazer matemático” que surgia, acrescenta Astudillo.
106 De Calcoli Differenziale, e Integrale Memorie Analitiche di Domenico de Corradi d’Austria, Patrizio modenese, Commesario Generale delle munizioni da Guerra e Colonnello del regimento di Artiglieria di S.A.S. Il Signor Duc adi Modena a Sua Eccellenza La Signora Contessa D.Clelia Grilla-Borromea in Modena per Francesco Torri (1743)
107 O estudioso Minonzio (2006) apresenta um estudo detalhado dessas obras italianas, contrastando- as com Instituzioni Analitiche.
108 Vide frontispício da obra, juntamente com sumário de conteúdos no Anexo A de nosso trabalho. 72
Dentre alguns estudiosos que escreviam sobre tais temas, cujo centro de atividades era a Basiléia, na Suiça, principalmente, destacam-se os trabalhos dos irmãos Jacob Bernoulli (1654-1705) e Jean Bernoulli (1667-1748) (BARON; BOS, 1985, p. 41). Os irmãos Bernoulli, além de terem estudado tais artigos, mediante utilização do simbolismo leibniziano, começaram a publicar também, nessa mesma revista. Assim, seria sob a orientação de Jean Bernoulli que L’Hôpital publicaria sua Analyse des infiniment petits, em 1696, e que viria a tornar-se o livro mais utilizado ao longo do século seguinte, pelos estudiosos que se proporiam a também estudar e compreender as novas técnicas que surgiam. Posteriormente, já no setecentos, muitos livros textos de matemática com proposta para o ensino foram produzidos, principalmente na segunda metade do século, na França. Relevante considerar que seria o período de consolidação das academias de ciências, e estes trabalhos surgiam principalmente em decorrência do esforço destes acadêmicos, que não estavam diretamente ligados às universidades, necessariamente. Com relação ao método empregado nestas obras, o enfoque dado às equações algébricas já se mostrava bem mais evidente num período posterior, ou seja, o método analítico já se verificava de forma mais explícita. Mesmo que alguns livros tivessem a pretensão de apresentar estudos em mecânica, por exemplo, as aplicações se referiam principalmente ao estudo de equações algébricas e aritmética, com pouca utilização de exemplos que se relacionassem a elementos da geometria. Desse período, a obra que mais se destacou foi Cours de mathématique à l’usage des gardes du pavillion et de la marine de Etienne Bézout (1730-1783), um tratado constituído por seis volumes publicados entre 1764 e 1769 (ASTUDILLO, 2011, p. 421; SILVA, 2000, p. 122). Pouco depois, em 1770, Euler publicou sua Elements of Algebra, com o estímulo da Academia de Ciências de São Petersburgo, obra que alcançou o maior número de edições em língua alemã, como atesta Silva (2009, p. 33), além de uma quantidade significativa de traduções para outras línguas, posteriormente. A esse respeito, lembremos que a Alemanha se destacava naquela época, com políticas educacionais mais orientadas para estudos técnicos e científicos, segundo Manacorda (1985, p. 235) e, diretamente relacionadas ao Absolutismo Iluminado, que tinham Frederico II da Prússia e Maria Teresa da Áustria, como protagonistas. 73
Manacorda (1985, p. 236) também sugere que, neste período, as línguas nacionais começaram a se consolidar, e as produções escritas a diminuir o uso do latim. Euler, com incontestável produção científica, acabou se legitimando como representante do ambiente acadêmico científico desse período. Orientado por Jean Bernoulli, as publicações do estudioso representam 25% do que foi produzido ao longo de todo o século XVIII, com destaques para assuntos de Álgebra e Análise, enfatiza Silva (2009, p.34). Frente a esse quadro, cabe refletir que não era certamente fácil enquadrar os problemas matemáticos e delimitá-lo em divisões estabelecidas, visto se inserirem em uma perspectiva muito mais ampla e ainda não fundamentada, diferente da dos dias atuais. Assim, no próximo capítulo, vamos dedicar especial atenção a algumas partes da Instituzioni Analitiche, com vistas a apontar para indícios e outros aspectos que sugerem que, apesar de receber a orientação de escrever um tratado de matemática mista, Agnesi optou por publicar um tratado de matemática pura.
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3. INSTITUZIONI ANALITICHE AD USO DELLA GIUVENIU ITALIANA (1748)
A Instituzioni Analitiche é constituída por dois volumes perfazendo um total de mais de mil páginas. No primeiro volume, que se encontra dividido em seis capítulos, Agnesi faz, inicialmente, uma exposição da álgebra elementar, em seguida, apresenta as equações algébricas e discorre sobre geometria analítica plana, expondo ao final o método de pesquisa de máximos e mínimos. No segundo volume, que se encontra dividido em três livros, Agnesi trata nos dois primeiros sobre Cálculo Diferencial e Integral e, no terceiro, aborda o método inverso das tangentes109. Como mencionamos no capítulo anterior, a Instituzioni Analitiche é um tratado de matemática pura, o que pode ser constatado, inclusive, na sua organização. Neste capítulo apresentamos a obra e apontamos para alguns aspectos relevantes nela encontrados, tendo por foco a resolução de equação de segundo grau.
3.1 Sobre a obra e seu propósito
Agnesi inicia Instituzioni Analitiche com uma apresentação e uma carta ao leitor e, em seguida, uma dedicatória à Imperatriz Maria Teresa da Áustria. A dedicatória não é muito extensa e nela a autora esclarece-nos pouco, sobre o seu propósito em escrevê-la. Sobre isso, em sua carta ao leitor, Agnesi justifica que Instituzioni Analitiche, em italiano, favoreceria a aprendizagem matemática de seus irmãos:
109 A capitulação detalhada da obra encontra-se no Apêndice B deste trabalho. 76
Finalmente, não era meu objetivo inicialmente, publicar essa obra por mim iniciada, mas dei prosseguimento, em língua italiana, para minha particular diversão ou, no máximo, para instruir algum dos meus irmãos mais jovens, que apresentassem inclinação para a matemática. (AGNESI, 1748, p.2a; GAETANA, 1801 p. XXIII, tradução nossa)110
Importante mencionar que o livro texto por ela utilizado na instrução de seus irmãos era Analyse Demontrée ou la Methode de résoudre le problème des mathématique (1708), de Reyneau. Segundo Truesdell (1989), é bem provável que Agnesi tenha publicado sua Instituzioni Analitiche estimulada pelo estudo do tratado de Reyneau, visto que fôra criticado por Montucla e por D’Alembert (1717-1783)111 em função dos supostos erros e pela inacessibilidade à maioria dos jovens, principalmente em decorrência de sua difícil linguagem. Deste modo, inspirada pela obra de Reyneau, Agnesi provavelmente escrevera seu tratado não somente para beneficiar seus irmãos, mas também outros jovens italianos. Agnesi enfatiza que o maior impeditivo para a compreensão da Análise matemática seria a falta de acesso, por parte da juventude principalmente, à estudiosos que soubessem e quisessem ensiná-la:
Embora seja clara a necessidade dessa ciência (análise) para estimular os nossos jovens para um estudo sério sobre isso, entretanto, grandes são as dificuldades a serem superadas nessa empreitada. Sabemos que, não se encontram em toda cidade, pelo menos em nossa Itália, pessoas que saibam ou queiram ensinar.“ (AGNESI, 1748, p. 1, GAETANA, 1801, p. XXI, grifo nosso, tradução nossa)112
Assim, nos parece que a preocupação de Agnesi não consistia somente quanto à falta de pessoas que soubessem os conteúdos que ela se dispôs a escrever, mas
110 Em língua italiana, lê-se: Finalmente, siccome non è stata mia mente da principio il publicar colle stampe la presente opera da me cominciata, e proseguita in Lingua Italiana, per mio particolar divertimento, o al più per istruzione d’alcuno de miei minori fratelli, che inclinato fosse alle matematiche facoltà. (AGNESI, op.cit., p.2a)
111 Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783) foi um dos principais representantes do Iluminismo francês e um dos principais articuladores e editores da Enciclopédie. Sua primeira dissertação (1739) foi uma crítica apontada a alguns erros encontrados na obra de Reyneau, inaugurando uma rica série de pesquisas em análise. Mais a esse respeito: M.Paty (2005)
112 Em língua italiana, lê-se: Ma quanto è chiara la necessitá di lei, onde la gioventù ardentemente s'invogli di farne acquisto, grandi altrettanto sono le difficoltà che vi s´incontrano, sendo noto e fuor di dubbio che non ogni città, almeno nella nostra Italia, à persona che sappiano o vogliano insegnarla. (AGNESI, op. cit., p. 1) 77
também em relação à falta de pessoas que “quisessem” ensinar esta Análise que surgia. Além disso, é possível que ela estivesse preocupada com o acesso, por parte dos jovens, à material matemático escrito em vernáculo. Essa preocupação de Agnesi em tornar a Análise e o Cálculo acessíveis à juventude, está relacionado, por um lado, aos ideiais muratorianos de organizar “a educação da juventude e treiná-la” (MURATORI, 1749, p. 32 apud VENTURI, 1969, p. 181). De fato, como assinala Minonzio (2006, p. 65), este seria um aspecto que se integrava, sem muito esforço, ao programa absolutista iluminado de Maria Teresa d’Áustria113. Por outro lado, sua preocupação também reside na crença de que havia carência de material adequado para este ensino. Com efeito, Agnesi observa em sua obra que:
Ninguém mais tem dúvida, que é absolutamente necessário que os bons livros sejam escritos com clareza e método, por isso é que, embora assuntos em análise estejam sendo publicados e impressos, também estão desconectados, sem ordem e espalhados, nas obras de muitos autores, principalmente, nas "Atas de Leipzig", nas "Memórias da Academia de Paris", e em outros jornais. Por isso certamente não poderia um principiante, reduzir os materiais com método, mesmo tendo todos os livros fornecidos, apesar do renomado Padre Renau que, para o bem comum, deu a luz ao utilíssimo livro L'Analise Demontrée, trabalho digno de todos os louvores. (AGNESI, 1748, p. 1a, GAETANA, 1801, p. XXII, tradução nossa, grifo nosso) 114
Assim, segundo Agnesi, embora já houvesse materiais escritos sobre Análise, eles se encontravam fragmentados e desorganizados nas Actas Eruditorium e nas Memórias da Academia, notadamente, o que dificultaria o acesso a tal estudo, principalmente para os jovens. Aliado a esses obstáculos, os trabalhos e os estudos de Análise contidos nesses materiais estavam em grande parte escritos em latim115.
113 A esse respeito, vide: M.Manacorda (1985); U.Baldini (1982a, 1982b); F.Cambi (1999)
114 Em língua italiana, lê-se: Non v’à dubbio, in parte buoni libri, quando essi sieno com quella chiarezza, che basta scritti, e con quel metodo, che pur troppo è necessario; quindi è, che quantunque le cose analitiche sieno tutte pubblicate com le stampe, purê perchè esse sono scollegate, senz’ordine, e sparse quà, e là nell’opere di molti autori, e principalmente negli "Atti di Lipsia", nelle "Memorie dell’Accademia di Parigi", ed in altri giornali cosicchè non potrebbe certamente um principiante ridurre a metodo le materie, quando anche egli fosse di tutti i libri fornito, pensò il rinomato padre Renau al comune vantaggio, e diede de ala luce L´utillissimo livro de L´analise demontrée, opera degna ditutte quelle lodi. (AGNESI, op.cit., p. 1a)
115 U.Baldini (1982b) traz um estudo sobre o panorama diferenciado, e sob muitos aspectos reativos, em relação “às matemática” da época, na Itália pontualmente, nessa primeira metade do setecentos. 78
Para Agnesi, era necessário ensinar Análise e publicar materiais adequados para introduzir tais técnicas. Isso é notório na passagem em que ela afirma que:
[...] peço ao leitor para refletir que, crescendo a ciência dia após dia, após a edição do livro [de Reyneau], muitas são as novas e importantes descobertas de outros autores em diferentes obras, como era sucedido anteriormente; assim evitar que os estudiosos tenham o trabalho de buscar entre tantos livros, repescando métodos recém- inventados, parece utilíssima e necessária uma nova instrução de análise (AGNESI, 1748, p. 2, GAETANA, 1801, p. XXII, tradução nossa, grifo nosso)116
Além disso, ela acrescenta:
[...] que tenha a devida clareza, e simplicidade, omitindo todo o “supérfluo”, sem deixar nada que possa ser útil ou necessário, e que proceda com aquela ordem natural, em que consiste a melhor instrução, e a maior luz. (AGNESI, 1748, p. 2; GAETANA, 1801, p. XXIII, tradução nossa).117
Notamos aqui que Agnesi primava por ordem e clareza, principalmente no que dizia respeito aos métodos, como bem observa no excerto que se segue: “[...] no ato de lidar com vários métodos, desfila em minha mente algumas extensões, e várias outras coisas, as quais por aventura, não carecem de novidade e invenção.” (AGNESI, 1748, p. 17; GAETANA, 1801, p. XXIII, tradução nossa, grifo nosso)118. Além de não se propor em apresentar novidades, observamos que o discurso de Agnesi preserva as características de uma clássica apresentação de obra cartesiana. De fato, ao longo de seu trabalho, ela procura manter o formalismo analítico, independente de considerações mecânicas ou empíricas, uma vez que seu propósito não era escrever um tratado de matemática-mista.
116 Em língua italiana, lê-se: Mas su questo punto io prego il cortese lettore a riflettere che crescendo le scienze di giorno in giorno, dopo l’edizione del ladato libro moltissimi, ed importantissimi sono stati i nuovi ritrovamenti inseriti dai loro autori in diverse opere, come era succeduto negli anterior; quindi per iscemare agli studiosi la fática di andare fra tanti libri ripescando i metodi di recente invenzione, mi sembravano utilissime, e necessarie nuove instituzioni di Analisi. (AGNESI, op.cit., p.2)
117 Em língua italiana, lê-se: che sai dotata della dovuta chiareza, e semplicità, omettendo tutto il supérfluo, senza lasciare cosa alcuna, che esser possa utile o necessária, e che proceda com quell’ordine naturale, in cui forse consiste la miglio istruzione, ed il maggior lumen. (AGNESI, idem)
118 Em língua italiana, lê-se: Nell’atto poi di maneggiare vari metodi, mi si sono parate ala mente alcune estensioni, e parecchie diverse cose, le quali per aventura, non faranno prive di novità, e d’invenzione. (AGNESI, ibidem, p.17) 79
Com relação à dedicatória da obra, Agnesi tece uma homenagem à Imperatriz Maria Teresa da Áustria enaltecendo a necessidade da mulher buscar o conhecimento:
É este pensamento que tem apoiado o meu trabalho, e não sinto os riscos dessa empreitada. Pois, se em algum momento pode haver uma justificativa para a ousadia de uma mulher, que se aventura a seguir o rápido desenvolvimento de uma Ciência que não conhece limites, nem mesmo aqueles do próprio infinito, deve acontecer neste período glorioso, no qual uma MULHER reina, e reina com aplausos e admiração universal. Parece-me de fato, que, nesta era, com todo o empreendimento claro, e a partir do VOSSO nome e reinado, devem as Mulheres esforçarem-se para promover a glória de seu sexo, cada uma na medida do que possa ser feito, para contribuir e aumentar esse brilho, que envolve VOSSA Majestade. (AGNESI, 1748, n.p.; GAETANA, 1801, p.XVIII, tradução nossa)119
A esse respeito, é relevante lembrar, que o papel ocupado pela mulher estudiosa ao longo do século XVIII, e particularmente na Itália, tem sido amplamente discutido atualmente por inúmeros historiadores120. Bertucci (2013, p. 236) observa que, na realidade, tais mulheres conceberam diferentes estratégias para adquirir reputação e crédito naquela ocasião, e estavam profundamente enraizadas no contexto local, que apoiava a trajetória de cada uma delas. No caso específico de Agnesi, a sua dedicatória à Imperatriz tinha em vista ganhar credibilidade e reconhecimento. Truesdell (1989, p. 120) recorda também que os talentos dessas mulheres no setecentos eram suscetíveis ao exagero em suas expressões, por parte de ambos os gêneros, ou seja, refletiam o modo de vida e a forma de elas se relacionarem, até porque era um período em que o poder era exercido por rainhas, imperatrizes e até mesmo esposas.
119 Em língua italiana, lê-se: Questo pensiero mi â sostenuta nella fatica, e non mi â lasciato sentire il rischio dell impresa; e veramente se in qualche tempo poteva giustificarsi l'ardimento di una donna, che tentasse seguire i rapidi voli di una Scienza, che spazia mai sempre negli Infiniti, in quel tempo essere ciò doveva, nel quale regna una DONNA, e regna con universale ammirazione. Parmi in fatti, che in questa età, che fra tutte le venture chiara, ed altera avrà da VOI il nome, debbano le Donne tutte servire alla gloria del loro sesso, e ciascuna, per quanto le può venir fatto, contribuire all'accrescimento dello Splendore, ne quale VOI lo avvolgete. (AGNESI, ibidem, n.p.)
120 A esse respeito vide: P.Findlen (1993, 1995, 1999, 2005); M.Cavazza (1995, 1997); S.I.B.Gray (1999); L.S.Gristein (1987); L.Hunter (1997); R.F.Iacobassi (1970); W.Johnson (1994); E.F.Keller (1985); S.G.Kohlstedt (1997); M.O.Lynn (1992); M.Mazzotti (2001, 2007); P.Philips (1990); C.Poers (1988); A.T. Schafer (1981); P. Bertucci (2013); M.L.Betri (2004); M.L.Dubrey-Jacotin (1971); P.Ernest (1995); L.Schiebinger (1987, 1989); E.P.Sedeno (1994); E. Seymor (1995); S.Spencer (1984); G.J.Tee (1983); M.Terral (1995); G.B.Logan (1994). O trabalho destes estudiosos citados em nossa bibliografia aponta para o papel da mulher no cenário científico europeu e/ou italiano, especificamente. 80
Ademais, embora alguns estudos enfatizem o cárater supostamente feminista da dedicatória de Agnesi à imperatriz, tais trabalhos utilizam como fonte de referência somente a tradução inglesa do Instituzioni Analitiche121. Em nossa análise, com o cotejamento do original italiano e a tradução em inglês, constatamos que esta última, utiliza-se de superlativos de forma generalizada, além de não constituir uma tradução literal, o que amplia, em certa medida, essa possibilidade de conotação feminista, apontada por alguns historiadores. Observamos também que, tanto em seus comentários, quanto posteriormente após a publicação e ao longo da circulação da obra, Agnesi adotou uma postura de divulgadora, ampliando com sua dedicatória e correspondências, a esfera de seus relacionamentos. No que tange à concepção, produção e promoção de sua Instituzioni Analitiche, embora Agnesi tivesse uma atitude empreendedora nesse sentido, notamos que, além de ter sido estimulada e financiada por seu pai, Pietro Agnesi122, ela também recebeu contribuições e orientações de outros estudiosos. A esse respeito, como vimos anteriormente, entre os anos de 1738 e 1748, Agnesi se correspondeu com vários estudiosos, dentre os quais, Rampinelli e Jacopo Riccati. Em Milão de 1741, Rampinelli se tornaria tutor de Agnesi, e principal incentivador no desenvolvimento de suas habilidades em Álgebra, o que alargaria o horizonte de estudos da jovem com relação ao então relativamente novo, Cálculo diferencial e integral. Após sua partida, em 1747, o clérigo continuou sua tutoragem. Nas palavras de Agnesi:
[...] acho que, no entanto, estaria emaranhada no grande labirinto de dificuldades insuperáveis, se não tivesse a segura guia, e sábia liderança do padre Don Ramiro Rampinelli - Monaco Olivetano, agora professor de Matemática na Universidade Real de Pávia, e me reconheço muito em débito por todos esses avanços dos quais fui capaz com meu pequeno talento. (AGNESI, 1748, p. 1a; GAETANA, 1801, p. XXI, tradução nossa).123
121 Veja-se como exemplo desse tipo de abordagem o estudo de T.Perl (1978, p. 55).
122 A esse respeito, vide: M.Mazzotti (2207); P.Findlen (2011); C.Truesdell (1989) e E.Kramer (1970- 90).
123 Em língua italiana, lê-se: [...] mi troverei tuttavia inticata nel gran labirinto d’ insuperabili difficoltà se trata non me n’ avesse la sicura guida e saggia direzione del dottissimo padre don Ramiro Rampinelli monaco olivetano, ora professore di matemática nella regia Università di Pávia, a cui mi riconosco 81
De fato, o clérigo havia chegado a Milão, trazendo em sua bagagem uma longa experiência como estudioso da Análise e Cálculo, na Itália. Além disso, as habilidades de Rampinelli como professor também são elogiadas por outros estudiosos a ele contemporâneos, como pode ser verificado nas palavras de Brognoli:
Ele sacrificou tudo pela instrução da juventude [...] ele era acessível, de modéstia singular, de uma modéstia quase infantil, eu diria, cheio de respeito em relação aos colegas, removendo todo tipo de controvérsia. Ele não tinha nada mais do que seu coração, a se dobrar, e se humilhar no ensino, pelas habilidades dos outros, estudando maneiras mais fáceis de comunicar suas ideias aos outros, e transmitir seu conhecimento, seguindo o método que pensava ser mais adequado frente aos variados gênios, e ao pensamento de outras pessoas. (BROGNOLI, 1785, p. 85, tradução nossa)124
No que diz respeito ao “estilo de ensinar”, Mazzone e Roero (2010, p. 4) observam que Agnesi herdaria desse tutor, os mesmos sentimentos em relação ao ensino, defendendo a necessidade de um método claro e organizado nesta empreitada, embora não tenhamos evidências de que ela tenha atuado como professora. Agnesi também se correspondeu com o Conde Jacopo Riccati e, posteriormente, com seus filhos Giordano Riccati (1709-1790) e Vincenzo Riccati125. Segundo Mazzotti (2007, p. 113), Agnesi foi apresentada ao Conde Riccati por Rampinelli, em meados de 1745, e na correspondência trocada entre eles, notadamente, ela deixa claro seu objetivo em escrever uma obra de matemática pura, apesar da sugestão do estudioso por uma abordagem matemática, com aplicações do Cálculo. Além disso, antes mesmo dela iniciar a correspondência com os Riccati, o filósofo natural veneziano Giovanni Francesco Crivelli (1691-1743), havia solicitado a Agnesi uma breve dissertação sobre a aurora boreal, a ser divulgada em uma segunda
altamente debitrice di tutti que’ progressi (quali essi sieno) de’ quali è stato capace il mio picciol talento. (AGNESI, op.cit., p.1a).
124 Em língua italiana, lê-se: Sacrificatosi tutto all’ istruzione della gioventù [...] Egli di acesso facile, d’uma modéstia singolare, d’ uma verecondia direi quase fanciullesca, pien di rispeto verso i Colleghi, lontan dalle contese null’altro avea più a cuore, che di piegare, ed abbassar il suo ingegno all’ altrui capacità, studiando i modi più facili per comunicare agli altri le sue idee, e transfondere il suo sapere col seguire quel método ch’ei credea ai vari geni, e ai pensamenti altrui più atto, e più confacente.(BROGNOLI, 1785, p.85)
125 A esse respeito, vide: M.L.Soppelsa (1985). 82
edição de seu livro de física em 1744126, no que ela concordara, mediante condição de seu nome não fosse mencionado (TENTORIO apud MAZZOTTI, 2007, p. 112). Este convite dá indícios que Agnesi não era uma mera aprendiz, como insinua Truesdell:
O intercâmbio com Riccati revela que Maria Gaetana era ainda uma estudante, uma séria. Ela precisava ser guiada, e ao mesmo tempo ela não iria colocar nada em seu livro que não fosse verificado por ela própria. (TRUESDELL ,1989, p. 134, tradução nossa)127
Sobre Conde Riccati, sabemos que estudara em Padua, mas vivera a maior parte de sua vida em Veneza. O Conde, mais conhecido pelas “Equações de Riccati”, que também foram estudadas pela família Bernoulli, teve seus trabalhos publicados postumamente. Tanto ele quanto seus filhos foram personalidades relevantes no cenário intelectual daquela época, na elaboração de trabalho sobre equações diferenciais, como também por serem alguns dos responsáveis pela difusão das teorias de Newton na península itálica (SMITH, 1958, p. 513). Em seu primeiro contato com Conde Riccati, em julho de 1745, Agnesi pede para verificar a solidez de seus estudos matemáticos, enviando alguns trechos e constatações, que retornariam com anotações e sugestões, posteriormente. A seguir, um trecho desta primeira carta, datada de 20 de julho de 1745: Dentre os muitos débitos que eu tenho pelo meu estimado professor Padre Don Ramiro Rampinelli, destaco a honra que ele me concedeu de Vossa Senhoria, assim como do seu digníssimo filho Conde Giordano, se dignarem a lançar seus olhares de experts sobre minha produção de título Instituzioni Analitiche, que com meu pouco talento tenho me aprofundado, seguindo a guia e direção de um grande homem nas faculdades matemáticas; com a ideia de facilitar, quando possível, à juventude, a este estudo muito difícil e trabalhoso, reduzindo à ordem e clareza o que for capaz, e que não foi ainda, que eu saiba, tentado ser feito. O fato é que eu tenho sido razoavelmente bem sucedida, então por isso é que recorro ao oráculo infalível de V.S.Ilma, do qual o alto saber e doutrina é assegurada, não somente pela fama pública, mas também pelo testemunho de autoridade de Padre Don Ramiro que disse isso, “Oh quantas vezes! Sendo fato de digna e honrosa comemoração, não sem grande inveja do grande bem que seria reverenciá-lo de perto,
126 A obra intitulada Elementi di Phisica, considerada referência, foi originalmente publicada em 1731. Crivelli, além de associado à Academia de Bologna, também era da Royal Academia sde Londres. Disponível em: http://www.treccani.it/enciclopedia/giovanni-francesco-crivelli_(Dizionario_Biografico)/, Acesso em: 25 ago 2015.
127 Em língua inglesa, lê-se: The interchange with Riccati reveals Maria Gaetana as being still a student, an earnest one. She must be guided, at the same time, she will not put into her book anything she cannot by herself verify.(TRUESDELL, 1989, p. 134) 83
e admirar suas nobres qualidades.” Imploro, portanto, a V.S.Ilma, me honrar com a sua crítica acadêmica e ao mesmo tempo a graça de colocar nas margens a correção, porque tanto da parte do P.Rampinelli, quanto da minha parte, sendo meu preceptor modesto demais, se absteve de pronunciar a sentença do meu trabalho, e me remete para sua infalível decisão, conselho e ajuda. (AGNESI, 1745 apud MAZZONE; ROERO, 2010, p. 5, tradução nossa, grifo nosso) 128
Neste trecho da carta, além de solicitar orientações e críticas ao seu trabalho, Agnesi parece revelar uma das possíveis intenções ao escrever sua obra. Apesar de alguns estudos129 apontarem que Agnesi tenha mencionado pouco, quanto ao seu propósito ao elaborar sua Instituzioni Analitiche, sobretudo se considerarmos o que Agnesi escreve na introdução da obra, constatamos nesta carta, a confirmação de seu interesse em escrever para os jovens. Segundo Agnesi, para que um jovem se beneficiasse de tais estudos, seria imprescindível que o material fosse o mais claro possível, seu compromisso neste caso. Agnesi também demonstra em suas cartas que se sentia honrada com a oportunidade de estar se comunicando com Conde Jacopo Riccati, como relata em carta de 19 de agosto de 1748:
Oh como eu agradeço, se vossa senhoria der a honra de me informar sobre suas descobertas! Oh, que suspiro de ver realizado o seu trabalho em torno dos princípios e métodos da Física! Que será o meu prazer e lucro! Que será benefício para a república literária! Se eu fosse capaz de corresponder com algo próprio e meu, digno de sua consideração, mas eu estou merecendo apenas rastejar no chão e colocar as minhas pequenas questões perante Vossa Senhoria e seu
128 Em língua italiana, lê-se: Fra le molte sovragrandi obbligazioni, che io professo al chiaríssimo P. Don Ramiro Rampinelli, ascrivo l’onore che V.Sa. Ill.ma mi accorda di sottoporre all’ occhio suo purgatissimo ed a quello del Sig.re Conte Giordano di lei digníssimo figlio, sotto titolo d’ Instituzioni Analitiche, quel tanto che la picciolezza del mil talento há saputo approfittare, seguendo la scorta e direzione di sì gran Uomo nelle matematiche facoltà; com ide adi facilitare, per quanto sai possibile, ala Gioventù uno studio per se stesso cotanto difficile e laborioso, riducendolo a quell’ ordine e chiarezza di cui esso è capace, la qual cosa da veruno, ch’io sappia, non è stata per anco tentata di fare. Il punto sta ch’io vi sia, almeno tollerabilmente riuscita, quindi è che recorro all’ oracolo accertatissimo di V.S. IlI.ma, del di cui alto sapere e dottrina me ne assicura, non meno la pubblica fama, che l’ autorevole testimonianza del P. Don Ramiro suddetto, com cui, oh quante volte! se n’ è fatta degna ed onorevole commemoranza, non senza ia grande invidia verso chiunque há il gran bene di trataria e riverirla da vicino, ed ammirarne le eccelse doti. Supplico per tanto V.S.ll. ma ad onorarmi della dotta sua critica e farmi nel tempo stesso la grazia di contraporre in margine la correzione, giacché il P.Rampinelli come mio troppo parziale, anzi come mio troppo modesto Precettore, ricusa di pronunciarne sentenza, e mi rimette all’ infallibile disappassionata di lei decisione, consiglio ed ajuto. (AGNESI, 1745)
129 Sobre estes estudos vide: M. Mazzotti (2001, p. 658). 84
entendimento superior, apenas para trazer luz e utilidade. (AGNESI, 1748, tradução nossa) 130
Porém, ao corresponder-se com o Conde, Agnesi tinha, provavelmente, outras intenções. É importante considerar que, àquela época, muitos estudiosos enviavam material para os Riccati em busca por aprovação e possibilidades de divulgação. O reconhecido Bernard Le Bovier de Fontenelle (1657-1757), com sua obra Geometry of the Infinite, e Domenico Corradi d’Austria, com seu primeiro volume de De’Calcoli Differenziale e Integrale Memorie Analitiche, são alguns personagens que assim o fizeram, apesar de terem recebido críticas desfavoráveis131. Ou seja, é bem possível que Agnesi tinha em vista conquistar o apoio e a aprovação do Conde, para divulgar sua obra. Nesse particular, não faltaram elogios ao trabalho da Agnesi. Como resposta à primeira carta de Agnesi, Conde Riccati acolhe de forma positiva o envio desses primeiros manuscritos de Agnesi, como pode ser atestado em carta de 18 de agosto de 1745: Fiquei muito emocionado em ver um tratado de análise cartesiana; e que uma jovem pesquise este elevado, delicado e confuso assunto. Tenho a satisfação de ter empregado as horas livres de lazer em estudos assim, e agora me encontro grandemente honrado em dar meu julgamento, seja ele qual for, sobre a sua sublime produção. Portanto vestirei a roupagem de crítico, minha inclinação, e vestirei de modo que talvez eu deva parecer indiscreto: ou me retiro em silêncio, que é contra minha natureza, e o que ela sempre me ordenou. Dito isto, ao longo de todo o trabalho, compreendo que há pouco a ser removido ou adicionado. Apesar de que vai passar pelas mãos de Conde Giordano, meu filho, e ainda de Padre Vincenzo da Companhia de Jesus, meu outro filho, e estudioso de Matemática em Bologna, e que estará, em alguns dias, passando alguns dias conosco (RICCATI, 1745, tradução nossa)132.
130 Em língua italiana, lê-se: Oh quanto le sarò obbligata se mi farà l' onore di comunicarmi le sue scoperte! Oh quanto sospiro di veder compiuta l'Opera sua intorno ai principj e metodi della Fisica! quale sarà il profitto e piacere mio!, quale ne risulterà vantaggio alla Repubblica letteraria ! Così fossi io capace di corriponderle con alcuna cosa mia, che fosse degna di Lei; ma io non posso che rader terra, e sottoporre le piccole cose mie a superiore intendimento di V.S.Ill.ma a solo fine di trarne lume e profitto. Correspondência disponível na BAM O-201 sup.Lettere, M.G.Agnesi a J. Riccati n. 1.2.
131 As correspondências com os comentários de tais obras datam de 16 de agosto de 1729 e 27 de junho de 1743, de Jacopo e Giordano, respectivamente, à Don Ramiro Rampinelli. Maiores detalhes, vide: C.S.Roero (2014) e M.L.Soppelsa (1985).
132 Em língua italiana, lê-se: Ed io sono rimasto soprafatto nello scorrere um compiuto trattato di Analisi Cartesiana, che uma giovine Dama poggi tant’alto in materie così delicate ed astruse. Io mi compiaccio d’aver impiegate le ore d’ozio e libere dalle cure domestiche in sì fatti studi perché mi veggio impartito l’onore di darei l mio giudizio, qualunque si possa essere, sopra le di Lei sublimi produzioni. Vestirò dunque la persona di critico onninamente aliena dalla mia inclinazione, e la vestirò in modo tale che 85
Conde Giordano e Padre Vincenzo eram filhos de Jacopo Riccati e, com relação à possibilidade de adição ou remoção de algum tópico do trabalho, Giordano Riccati, envia uma carta ao amigo Rampinelli, datada do dia posterior em relação à de seu pai, em 19 de agosto de 1745:
Nós lemos avidamente os últimos escritos e encontramos todas as razões para admirar a grande inteligência da Senhorita, a precisão do método, e clareza de suas explanações. Em suma, humildemente à Sra. Condessa me curvo e, é certo que, com toda a sinceridade, por causa da licença graciosamente permitida, o senhor meu Pai e eu, vamos dizer-lhe nossa respeitosa opinião (RICCATI, 1745 apud MAZZONE; ROERO, 2010, p. 7, tradução nossa) 133
Assim, Giordano escreve em concordância com o pai Jacopo Riccati e, a partir de então, a correspondência passa a ser mais dinâmica ao longo daquele período subsequente134. Na maioria das vezes, Agnesi agradece aos Riccati e, principalmente a Jacopo, pelos comentários sobre Cálculo Integral, que constariam no segundo capítulo de seu terceiro livro, Em carta datada de 01 de outubro de 1746, Agnesi questiona Giordano acerca de algumas observações em relação à Álgebra cartesiana. Os comentários e anotações sobre o assunto retornariam em 01 de dezembro de 1746, e seriam recebidos com entusiasmo tanto por Agnesi quanto por Rampinelli, que já estavam se preparando para iniciar a impressão do primeiro livro. Posteriormente, entre 1747 e 1748, a comunicação entre eles buscou esclarecer pontos específicos das explanações, comentários com relação ao estágio em que se encontrava a publicação, ou quanto uma questão específica da possibilidade de incluir na obra de Agnesi, um método para polinômios que Conde Jacopo havia criado. Na ocasião, Riccati também sugeriu a inclusão de um apêndice
comparirò forse indiscreto: né mi ritiro tutta via taccia, eseguendo contro mio gênio ciò che mi vien comandato. Sebbene, avendo letta ala sfuggita l’ opera intiera, compreendo che pochissimo ci è da levare, o da aggiungnere...Non ostante ciò passeranno per mano del Conte Giordano mio figlio, ed anco del P. Vincenzo della Compagnia di Gesù, altro mio figliuolo e Lettore di Matematica in Bologna, il quale fra pochi giorni se ne verrà a stare parecchi giorni com esso noi (J.RICCATI, 1745). Em BAM O-201 sup.Lettere di M.G.A e di Var Illustri suoi Corrispondenti: Jacopo Riccati n. 1.2.
133 Em língua italiana, lê-se: Abbiamo scorso con avidità le dottissime scritture, ritrovando per tutto motivi di ammirare l'ingegno grande della Dama, l'esattezza del metodo, e la chiarezza della dettattura [....] In somma Ella inchini divotamente la Sig.ra Contessa e l' assicuri, che con tutta sincerità, stante la licenza da essa benignamente permessaci, il Sig.r Padre ed io, le indicheremo la rispettosa nostra opinione (G.RICCATI, 1745)
134 Maiores detalhes com relação às demais cartas, vide: S.Mazzone e C.S.Roero (2010) 86
referente a um método de resolução de equações cúbicas, elaborado por Suzzi, um de seus alunos. Agnesi educadamente negou, preferindo a abordagem de Girolamo Cardano (1501-1576) de dois séculos antes, para o mesmo problema. (SOPPELSA, 1985, pp. 132-34 apud FINDLEN, 2011, p. 258)]. Dentre os diferentes assuntos tratados nessas cartas, destacamos que algumas negativas e escolhas são consequências do enfoque que Agnesi queria dar à sua obra. Agnesi decidiu publicar um tratado de matemática pura, escolha que parece estar relacionada à sua predileção pela filosofia cartesiana e seu interesse em divulgar o Cálculo na Itália, sugerindo também que seu pensamento estava alinhado ao de muitos estudiosos que defendiam a reforma do catolicismo naquele momento, dentre os quais, seus tutores anteriores. Entretanto, sua correspondência com a família Ricatti revela que, para estes seus correspondentes, seria interessante que seus estudos se voltassem às mecânicas e, portanto, às matemáticas-mistas. Encontramos indícios a esse respeito, em uma carta endereçada a Jacopo Riccati, em 01 de outubro de 1746. Nela, em agradecimento ao Conde pelos comentários sobre a seção do Cálculo Integral a ser inserida no Livro 3 de sua obra, Agnesi escreve:
Eu devo pedir um particular agradecimento ao excelente Conde Giordano (filho de Jacopo) pelo trabalho que teve com a álgebra cartesiana e, desde que o senhor me disse que ele tem examinado seus dignos comentários, eu sempre faço questão de perguntar (se não for inconveniência excessiva). (AGNESI, 1746 apud MAZZONE; ROERO, 2010, p. 10, tradução nossa)135
A princípio, Agnesi se mostra interessada nos comentários e nas críticas, além de estar aberta para possíveis sugestões, contudo, ela acrescenta, na mesma carta:
[...] sobre a quadratura de várias curvas que V.Sa. tem mencionado, realmente não tenho pensado sobre elas, mas aquelas que dependam do conhecimento das coisas físicas, deixei-as de propósito; porque como V.S. tem visto, eu não quero me comprometer com coisas da física, e deixei todos esses problemas que dependam delas, para não estender-me além da análise pura e aplicá-la à geometria. (AGNESI, 1746 apud MAZZOTTI, 2001, p. 678; MAZZONE; ROERO, 2010, pp.
135 Em língua italiana, lê-se: La prego di rendere a mio nome le grazie più distinte al Sig.r Conte Giordano per l’incomodo che si è preso in ordine all’Álgebra Cartesiana e giacchè ella mi disse che egli há già esaminato le degnissime sue annotazioni vorrei inoltrarmi a pregarla (quando non le fosse di soverchio incomodo). (AGNESI, 1746) 87
12-13; SOPPELSA, 1985, p. 128; TRUESDELL, 1989, p. 133, grifo nosso, tradução nossa)136
Ou seja, como podemos observar nesta citação, Agnesi parece deixar claro que não tem interesse em trabalhar com coisas “físicas”, apesar de viver em um momento que emergia o interesse por este tipo de estudos em matemáticas mistas, como já salientamos anteriormente. Todavia, cabe observarmos que a rede de correspondentes de Agnesi era ampla, e constatamos em outras correspondências que, embora Agnesi não manifestasse o interesse em abordar assuntos tratados pelas matemáticas mistas, preferência de Ricatti, ela mantinha correspondência com outros estudiosos, sobre essa temática. De fato, além dos antigos tutores encontramos em sua correspondência, cartas de Giovanni Bianchi (1693-1775), mais conhecido como Jano Planco, um renomado filósofo e médico da cidade de Rimini e professor de anatomia em Siena, no período de 1741 a 1744 (ARRIGHI, 1971, cartas 1 e 2 apud MAZZOTTI, 2007, p. 112), como também alguns filósofos naturais, sobretudo em assuntos abordados em Propositiones Philosoficae, sua obra anterior. Na ocasião, os assuntos tratados na maioria dessas cartas eram sobre matemáticas-mistas, mas então por que Agnesi se negou a escrever um tratado sobre essa temática, posteriormente? Como mencionamos anteriormente, é possível que seu propósito fosse divulgar o Cálculo e a Análise matemática a partir da perspectiva do ensino de matemática pura, mas não por meio de suas aplicações, por considerar que a necessidade da aprendizagem da primeira, antecedesse a esta última. Além disso, também é provável que ela não quisesse sobrepor sua obra à de seu tutor Rampinelli. A esse respeito, Mazzone e Roero (2010, p. 16) presumem que Agnesi não queria publicar uma obra cujo tema já havia sido explorado por Rampinelli. De fato, Rampinelli, antes de sua ida à Milão, escreveu textos introdutórios sobre
136 Em língua italiana, lê-se: [...] riguardo alle quadrature di varie curve da V.S.Ill.ma accennate, a molte di esse veramente non ho pensato, ma quelle che dipendono dalla cognizione delle cose fisiche le ho lasciate a bella posta, perché come V.S.Ill.ma ho veduto, non ho voluto impegnarmi in cose fisiche ed ho lasciati tutti quei Problemi che da esse dipendono per non estendermi oltre la pura Analisi e l’applicazione di essa alla geometria. (AGNESI, idem) 88
mecânica e hidrostática para seus alunos, fazendo uso do método analítico137. Contudo, embora não haja evidências explícitas em favor de decidir qual das duas hipóteses seja a mais verdadeira, podemos conjecturar que elas estavam estreitamente relacionadas. Isso porque o tutor de Agnesi, além de ser um estudioso, também era professor, sendo provável que suas orientações quanto à abordagem de sua tutelada tenham enveredado pelo caminho que anteceda ao da aplicação, ou seja, partindo de um embasamento matemático necessário, para posteriormente articular os conhecimentos matemáticos, no âmbito das matemáticas-mistas.
3.1.1 A obra de Maria Gaetana Agnesi – Aspectos Gerais
A primeira seção do Livro I de Instituzioni Analitiche é dedicada às noções e às operações iniciais com quantidades finitas. Esta seção apresenta inicialmente um prefácio que discorre sobre a natureza da Análise e, em seguida, trata a seu respeito, em cinquenta e sete tópicos, distribuídos em setenta páginas. Vale lembrar que, na introdução, Agnesi define Análise como método de resolução de problemas, e não distingue o Cálculo como parte integrante desse método. Após tratar da Análise, propõe na sequência fazer uma breve comparação entre a Álgebra e a Aritmética, enfatizando a vantagem da primeira em relação à segunda. De acordo com ela, uma demonstração analítica, por utilizar a Álgebra, tem a vantagem de ser generalizável e aplicável a qualquer situação, enquanto que o uso da aritmética tão somente, requereria uma nova demonstração para cada caso particular. Além disso, a Álgebra favoreceria a resolução de problemas relacionados não só a quantidades conhecidas, mas também às desconhecidas, mediante uma linguagem universal. Nesse sentido, ao utilizar-se de letras do alfabeto, ela poderia ser considerada um tipo de aritmética, à qual Agnesi denominou Aritmetica Speciosa:
[...] contudo, este tipo de Aritmética é chamado Algoritmo da Quantidade, ou Aritmética Speciosa, que é melhor do que a primeira, pois estas quantidades não se confundem nas operações, como
137 Mais a esse respeito, vide: S.Mazzone; C.S.Roero (2010, p. 16) que indicam os manuscritos inéditos de Rampinelli conservados em Pádua e Udine, como também a correspondência do estudioso com a família Riccati. 89
acontece com operações numéricas, facilitando o tratamento do Cálculo das quantidades conhecidas e desconhecidas. (AGNESI, 1748, p. 2; GAETANA, 1801, p. 27, tradução nossa)138
Agnesi também ressalta a diferença entre quantidades numéricas e algébricas, em que se observa, nesta última, o surgimento de quantidades desconhecidas, passíveis de serem tratadas pela Artimética Speciosa. Sobre isso, sabemos que a utilização de simbolismos artificiais permite generalizações impossíveis de serem alcançadas em linguagem ordinária. Ainda, segundo Lorenzo (1971, p. 26), a superação de tais estágios de particularização, tornara-se imprescindível não somente para a matemática, mas também para outras ciências, naquele período. Seria o emprego de simbolismos artificiais que favoreceria a organização da matemática como disciplina científica (LORENZO, 1971, p. 26), posteriormente. Após definir Análise e sua relação com os métodos algébricos e aritméticos, como anteriormente sinalizado, Agnesi buscou estabelecer a distinção entre números positivos e negativos fazendo alusão à ideia de opostos e recorrendo a analogias. Com relação a esta analogia, ela registra que:
Os bens (ativos) que possuímos, são positivos, mas o que os outros possuem são negativos [...] embora a quantidade do Capital que um possui seja positiva, se ele tem Débitos, essas quantidades são quantidades negativas. Da mesma forma, se um móvel é direcionado para um alvo, ou o destino de sua viagem descreve um espaço, este espaço será positivo, mas se você o levar para o lado oposto, ele descreverá um espaço que, relativamente à direção a que ele tinha que ir, será negativo. Assim, em geometria, se uma linha é conduzida para um sentido, este pode ser positivo (este traçado é arbitrário), e quando conduzida para o lado oposto, pode ser negativo. (AGNESI, 1748, p. 3; GAETANA, 1801, p. 28, tradução nossa)139
138 Em língua italiana, lê-se: [...]e però questa tal sorta di Aritmetica chiamasi Algoritmo delle quantità, o Aritmetica speciosa, ed è ben questa molto più eccellente di quella, tutto che le operazioni seno le stesse, si perchè queste quantità non si confondo no tra loro nelle operazioni, come le numeriche, si ancora perchè con la stessa facilità si trattano nel calcolo le quantità note, e le incognite. (AGNESI, op.cit, p. 2)
139 Em língua italiana, lê-se: I beni, che si posseggono, sono positivi, ma quelli, che ad altri si debbono, sono negative, [...] e però siccome sono quantità positiva i Capitali, che uno abbia, cosi sono quantità negative I Debiti. Similmente se um mobile diretto verso uno scopo, o meta del suo viaggio descriva uno spazio, fara questo spazio positivo, ma se si porterà verso la opposta parte, descriverá uno spazio, che relativamente alla meta, verso cui doveva andare, farà negativo. Quindi in Geometria se una linea condotta da una parte si assuma per positiva (il che è arbitrario) farà negativa la linea condotta verso la parte opposta. (AGNESI, ibidem, p. 3) 90
A respeito da utilização de analogias para se reportar aos números inteiros, cabe considerarmos que “o matemático não descobre; mas cria, constrói, e nesta construção criadora, o símbolo e suas regras sintáticas são certamente fundamentais, mas não o único motor da invenção” (LORENZO, 1971, p. 34). Ou seja, não obstante o cárater criativo do matemático, há de se considerar, em inúmeras situações, a necessidade de exemplos factíveis, verificados de forma ampla, ao longo da explanação de Agnesi. Sobre isso, aponta Lorenzo:
Se a formalização completa é a meta ansiada, isto não impede que, na realidade, todo texto matemático seja uma combinação de linguagem ordinária e linguagem artificial. É a combinação essencial da expressão e da construção matemática que a determina claramente. (LORENZO, 1971, p. 36)
Lorenzo acrescenta que, apesar do equilíbrio entre tais linguagens, nem sempre se verificar, o anseio pela perfeição ou rigor, tanto no campo conceitual como no expressivo, tem sido uma busca, não obstante a ocorrência de algumas lacunas. Sobre isto, notamos que este detalhamento de conceitos básicos da matemática, observado ao longo dos tópicos apresentados por Agnesi em seu trabalho, e o recurso de analogias em linguagem ordinária, em paralelo à linguagem simbólica, permite-nos inferir que, em Instituzioni Analitiche, não só as utilizava quanto as equilibrava. Tais características sugerem que a obra de Agnesi se situava em um momento de transição. Ainda, Agnesi dedica um tópico para a explicação de alguns símbolos, a serem utilizados nas resoluções de exercícios que propõe posteriormente, os quais, sob muitos aspectos, não constituíam novidade. Tais notações são as mesmas que ainda utilizamos atualmente, a saber; aquelas que designam quantidades positivas (+), as negativas (-), a igualdade (=), a desigualdade (< e >), e outras denominadas por ela como “ambíguas” (±) e (∓), além das que indicam a proporção (::) e o infinito(∞): Para as quantidades positivas, o prefixo é o sinal (+), que se diz mais; já para as quantidades negativas, utiliza-se sinal (-), que se diz menos. Quando uma quantidade, que é colocada sozinha, ou com uma série de outras, e a primeira não tem qualquer sinal como prefixo, entende-se que este sinal será sempre positivo. O sinal (±), ao qual se opõe ao outro (∓), é um sinal ambíguo, e significa o mais e o menos, isto é, o positivo e o negativo, de modo que, por exemplo, ± a significa que a quantidade “a” pode assumir ser positiva ou negativa. O sinal = significa igualdade e que a = b significa que “a” é igual a “b”, assim como a > b significa que “a” é maior do que “b” e a < b, que “a” é menor do que “b”. A igualdade de razões, que é a proporção geométrica de três ou quatro quantidades, é expressa por a,b::b,c, no caso envolvendo três quantidades, quando 91
se diz que a razão entre a e b é igual àquela entre b e c, ou por a,b::c,d, no caso envolvendo quatro quantidades, quando se diz que a está para b, assim como c está para d.Finalmente, o sinal (∞) significa o infinito, que é quantidade infinita. (AGNESI, 1748, p.3-4; GAETANA, 1801, p. 28-29, tradução nossa) 140 Depois de discorrer sobre os sinais que designam diferentes aspectos que caracterizam as quantidades, Agnesi define quantidades simples e compostas, as quais seriam separadas por “sinais”. Constata-se que tais “sinais”, segundo ela, correpondem às operações da adição e subtração nesta definição. Notamos na sequência, que as operações com quantidades simples e compostas se referem ao que atualmente chamamos monômios e polinômios, respectivamente. A esse respeito, Agnesi assinala:
Quantidade simples, incompleta, ou de um único termo, é aquela que é expressa por uma ou mais letras, não necessariamente distintas, não separadas por algum sinal, como, a, ab, aac, etc. Assim, o oposto é a quantidade composta que possui mais termos que a quantidade simples, expressas por mais letras e separadas por sinais, tais como a + b, aa - ff + bb, etc.; sendo a + b composta por dois termos, aa - ff + bb, por três termos, etc. (AGNESI, 1748, p. 4; GAETANA, 1801, p.29, tradução nossa)141
Ainda nesta seção, da mesma maneira detalhada como apresenta a simbologia adotada, Agnesi dedica atenção à seleção de inúmeros exemplos, com utilização das operações de adição, subtração e multiplicação de quantidades simples, ou termos semelhantes. Observamos que, em relação à multiplicação especificamente, ela escolhe combinar os princípios e métodos da teoria das equações algébricas
140 Em língua italiana, lê-se: Le quantità positive si distinguono in Álgebra dalle negative per mezzo di certi segni a loro presissi, alle positive si prefissi; il segno +, che dicesi più, alle negative il segno -, che dicesi meno; e quando una quantità, che o sia posta sola, o in una serie di altre sia la prima, non abbia presisso segno alcuno, s'intende sempre assetta dal segno positivo. Il segno (±), a cui è contrario l'altro (∓), é seno ambiguo, e significa il più ed il meno, cioè il positivo ed il negativo, di modo che, per esempio, (±) a vorrà dire, che la quantità a si può assumere e positiva e negativa. Il segno + significa equaglianza, e però a = b vorrà dire, che a sia eguale a b, siccome a > b significa, che a sia maggiore di b, ed a < b, che a sia minore di b. L'eguaglianza poi delle ragioni, cioè la proporzione geometrica di tre, o quattro quantità si esprimerà cosi a, b :: b, c se faranno tre, e vorrà dire, che la ragione di a alla b è eguale a quella di b alla c, ed a, b:: c, d vorrà dire, che a è alla b, come c a d. Finalmente il segno (∞) significa l'infinito, cioè che sia quantità infinita.(AGNESI, ibidem, p. 3-4)
141 Em língua italiana, lê-se: Quantità semplice, incomplesta, o di un sol termine è quella, che è espressa da una, o più lettere, ma, tra loro non distinte e separate da segno alcuno, come, a, ab, aac ec., così all'opposto è quantità composta e di più termini quella, che è espressa da più lettere tra loro separate da'segni, come a + b, aa - ff + bb, ec.; e però a + b farà di due termine, aa - ff + bb di tre, ec. (AGNESI, ibidem, p. 4) 92
utilizando a geometria cartesiana, em que se verifica a ideia de multiplicação de quantidades simples, relacionada à natureza das proporções geométricas:
Mas, em relação ao sinal que deve prefixar esses produtos, a regra geral é que se as quantidades multiplicadas são ambas positivas ou negativas, o produto prefixado será sempre positivo, e se um deles, o que quer que isto possa ser, é positivo e o outro negativo, o produto prefixado é sempre negativo. A razão para isto é, que a multiplicação nada mais é que uma proporção geométrica, na qual o primeiro termo é a “unidade”, o segundo, e o terceiro as duas quantidades que devam ser multiplicadas entre si, e o quarto é o produto. (AGNESI, 1748, p. 6; GAETANA, 1801, p. 31, tradução nossa)142
Esta explicação, ainda no início da obra, constitui o aporte de Agnesi na explanação dos exemplos utilizados, em função de sua escolha pelo método cartesiano. Nas construções geométricas elencadas posteriormente, ela faz uso das terceiras e quartas proporcionais, de modo contumaz. Em linguagem atual, constatamos que Agnesi utiliza a relação:
1 b = a x
Assim, além da utilização de proporções como ferramenta de resolução dos problemas que propõe ao longo da obra, observamos que, para Agnesi, o conceito de proporcionalidade é visto como uma justificativa para regra de sinais, na multiplicação de quantidades simples. A esse respeito ela acrescenta:
[...] como o quarto, pela natureza da proporção geométrica, deve ser múltiplo do terceiro, como o segundo é múltiplo do primeiro; se o segundo e terceiro termo são positivos, e se por exemplo temos 1, a :: b, quarto; sendo 1 a unidade, isto é, o primeiro positivo, então o quarto também deve ser positivo. (AGNESI, 1748, p. 7; GAETANA, 1801, p.32; tradução nossa)143
Agnesi repete esta citação para justificar a multiplicação nos casos em que o segundo e terceiro termos são negativos ou quando têm sinais diferentes, para
142 Em língua italiana, lê-se: Ma intorno al segno, che deveri prefiggere ed essi prodotti, è regola generale, che se le quantità moltiplicantesi sono ambe positive, o ambe negative, al prodotto si presigge sempre positivo, se una di esse, qualunque siasi, é positiva, l'altra negativa, al prodotto si presigge sempre il segno negativo. La ragione di ciò è, che la moltiplicazione altro non è, che una proporzione geometrica, il di cui primo termine sia l' unità, il secondo, e terzo termine le due quantità, che devonsi moltiplicare: ed il quarto il prodotto. (AGNESI, ibidem, p. 6)
143 Em língua italiana, lê-se: [...] poichè il quarto, per la natura della proporzione geometrica, deve essere moltiplicado del terzo, come il secondo è moltiplo del primo; se il secondo, e terzo termine sono positivi, 93
presumir o valor do quarto termo, a partir da unidade do primeiro termo. Constatamos que o cuidado e a ênfase dada a tais relações justificam-se pelo fato de ter sido um dos recursos mais utilizados posteriormente, ao longo das resoluções de problemas elencados na obra, principalmente ao estabelecer relações métricas entre as figuras apresentadas, por meio da algebrização. Ou seja, tal como observa Roque (2012, p. 352), Agnesi associa as grandezas geométricas às quantidades algébricas, nos mesmos moldes preconizados por Antoine Arnauld (1612-1694), nas obras La logique ou l’art de penser e Nouveaux éléments de gèometrie, de1660, e por outros estudiosos do século anterior, que apresentavam suas demonstrações baseadas na potência da algebrização, e não somente a partir de uma evidência visual dependente de uma figura. Isso é notório também em outras partes de Instituzioni Analitiche. Ao se referir ou apresentar resoluções algébricas que prescindam de operações com polinômios e do emprego das notações a, a2, a3, a4, etc. para representar potências de “a”, Agnesi indica tais termos como resultados de operações que envolvam relações de proporcionalidade entre segmentos, e não as relaciona ao cálculo de áreas, por exemplo, quando coloca aa como a2, tal como fazemos uso nos dias de hoje. Quanto à divisão de quantidades simples, Agnesi a define como operação oposta à multiplicação, utilizando alguns exemplos simples com alternativas de cancelamento e simplificações, nos moldes praticados atualmente. No cálculo de extração de raízes de quantidades simples, ela destaca que os resultados com radical negativo e índices pares são chamados imaginários, fazendo referência também à possibilidade de resultados que denomina de irracionais, mas não se preocupa em definí-los. No que diz respeito às operações com quantidades compostas, Agnesi explica as operações adição, subtração, multiplicação e divisão, com maior detalhamento. Na adição e na subtração de termos semelhantes, tanto quanto na utilização da propriedade distributiva para a multiplicação de polinômios, Agnesi apresenta alguns exemplos, mas se atém ao trinômio de segundo grau, elucidando-o da seguinte forma:
Se a quantidade é um binômio, ou seja, composta por dois termos, tais como a ± b, se faz o quadrado do primeiro termo, em seguida, se escreve dois retângulos, que é duas vezes o produto do primeiro termo
cioè se, per esempio, è 1, a::b, quarto, essendo l'unità, cioè il primo positivo, dova pure essere positivo il quarto. (AGNESI, ibidem, p. 7) 94
com o segundo termo e com seu sinal, de acordo com a regra de multiplicação e, finalmente, adiciona-se o quadrado do segundo termo. Então, para (a + b)2, faz-se aa + 2ab+ bb; para (a - b)2, aa - 2ab + bb; para (- a - b)2, aa + bb + 2ab. Se a quantidade é um trinômio, ou seja, possui três termos, se escreve mais dois retângulos do primeiro termo e do terceiro, e outros dois retângulos do segundo com o terceiro (entendendo que esses retângulos têm o sinal que leva em conta a multiplicação) e, finalmente, o quadrado do terceiro termo. Então, (a + b - c)2 ele fará aa + bb + 2ab - 2ac – 2bc + cc. (AGNESI, 1748, p. 18; GAETANA, 1801, p. 43, tradução nossa)144
Na sequência, ela escolhe utilizar o teorema binomial de Newton, para os casos de potências de adição ou diferença, com grau maior que dois:
Mas, ao compararmos quantidades binomiais, podemos nos servir da seguinte regra geral, não somente para elevar ao quadrado, mas para qualquer potência m, entendendo por m um número qualquer. Portanto, para elevar (p + q) a uma potência m, se fará m-1 m-1 m-2 m-1 m-2 m-3 pm+mpm-1q+m pm-2qq+m pm-3q3+m pm-4q4, etc. e 2 2 3 2 3 4 assim continuar com a mesma lei. (AGNESI, 1748, p.18; GAETANA, 1801, p.43, tradução nossa)145
Na divisão de quantidades compostas, Agnesi apresenta três casos: quando o divisor é simples e o dividendo composto, a recíproca desse caso, e quando os divisores e dividendos são quantidades compostas, da seguinte forma:
Então, dividindo aa + ab - ac por a, teremos a + b - c; dividindo xx 4ab - 6bc + xx por 2b, teremos, 2a - 3c + [...]. No segundo caso 2b você escreve o divisor abaixo do dividendo, com o uso de frações, e se em cada termo do numerador e denominador houver alguma quantidade comum, isso não pode ser cancelado; e aquilo que permanece, sempre será uma fração. Por exemplo, a divisão de
144 Em língua italiana, lê-se: Se la quantità è un binomio, cioè di due termine, come a + b, si faccia il quadrato del primo termine, indi se gli scrivano appresso i due rettangoli, cioè due volte il prodotto del primo termine nel secondo con quel segno, che porta la regola della moltiplicazione, e finalmente si aggiunga il quadrato del secondo termine. Cosi (a + b) farà aa + 2ab + bb; (a - b) farà aa - 2ab + bb; (- a - b) farà aa + 2ab + bb. Se la quantità fosse un trinomio, cioè di tre termini, si scrivano in oltre i due rettangoli del primo termine nel terzo, e due altri rettangoli del secondo nel terzo (intendendo, che questi rettangoli abbiano que´segni, che porta la moltiplicazione) e finalmente il quadrato del terzo termine. Cosi (a + b - c) farà egli aa + 2ab + bb - 2ac - 2bc + cc. (AGNESI, ibidem, p.18)
145 Em língua italiana, lê-se: Ma rispetto alle quantità binomie può servire il seguente canone generale non solo per elevarle al quadrato, ma a qualunque potestà m, intendendo per m un qualunque numero. Sia dunque (p + q) da elevarsi alla potestà m, farà essa m-1 m-1 m-2 m-1 m-2 m-3 pm+mpm-1q+m pm-2qq+m pm-3q3+m pm-4q4, ec, e così proseguendo com la stessa 2 2 3 2 3 4 legge. (AGNESI, idem) 95
3a2b 3a3b por aa - ax + ab, será o quociente [...]. (AGNESI, 1748, a - x + b p. 20-21; GAETANA, 1801, pp. 45-46, tradução nossa) 146
No terceiro caso, além de recorrer a muitos exemplos, ela apresenta as inúmeras etapas algébricas envolvidas no processo, como fazemos nos dias de hoje, explicitando o resultado (quociente), em relação ao divisor e ao dividendo.
No terceiro caso é apropriado ordenar o dividendo e o divisor em relação a algumas letras, que você acredite serem mais adequadas, o que é feito escrevendo os primeiros termos tanto do dividendo quanto do divisor, com a letra de maior dimensão ou potência; o segundo termo, em que a mesma letra terá a potência mais próxima; e assim sucessivamente até o último termo, que não contém essa letra. (AGNESI, 1748, p. 21; GAETANA, 1801, p. 46, tradução nossa)147
Agnesi resolve alguns exemplos de divisão com detalhamento das etapas na divisão de polinômios, tal como praticamos ainda, ao utilizar o “método de chaves”, descrevendo cada passagem. Segundo Agnesi, no cálculo de raízes – quadradas, cúbicas, quartas e quintas – a medida que o grau de dificuldade aumenta, o modo de resolução só difere por requerer uma maior quantidade de etapas na resolução, ao longo do processo. Na sequência dos tópicos, Agnesi apresenta operações com frações, iniciadas pela simplificação de frações simples, com pouca exemplificação, atendo-se à adição de frações com denominadores diferentes, principalmente. Ela utiliza a fatoração em tais situações, técnica que já havia sido explorada de forma significativa nos tópicos referentes à multiplicação e divisão de quantidades simples e compostas, preparando o trabalho para adição e subtração de frações algébricas, com vistas a obter denominadores iguais. O grau de dificuldade dos exercícios é gradativo e, especificamente na divisão de duas frações, Agnesi se mostra mais imediatista neste
146 Em língua italiana, lê-se: Cosi, dividendo aa + ab – ac per a, avrassi a + b – c; dividendo 4ab – 6bc xx + xx per 2b, teremos, 2a – 3c + [...] Nel secondo caso si scriva il divisore sotto al dividendo, all'uso ab delle frazioni, e se in ciascun termine del numeratore, e del denominatore vi farà qualche quantità comune, si cancelli questa; e ciò, che rimane, farà sempre una frazione. Dividendo peròndo 3a3b por 3a2 aa – ax + ab, será o quociente b [...] (AGNESI, ibidem, p. 20-21) a - x + b
147 Em língua italiana, lê-se: Nel terzo caso fa d'uopo in primo luogo ordinare il dividendo, ed il divisore relativamente ad una qualche lettera, che si crederà più a proposito, il che si fa scrivendo per primo termine e nel dividendo, e nel divisore quello, in cui questa lettera si trova alla maggior dimensione o potestà, per secondo termine quello, in cui questa stessa lettera è alla potestà più prossima; e cosi suecessivamente fino a que' termini, che affatto non contengano essa lettera, i quali faranno gli ultimi. (AGNESI, ibidem, p. 46) 96
tópico, ao manter a fração correspondente ao numerador, e inverter a fração correspondente ao denominador, transformando a divisão em multiplicação de frações. Neste caso, ela não se compromete a explicar o porquê do procedimento, de forma relativamente distinta do que faz nos tópicos anteriores, com amplo detalhamento. Dando continuidade, Agnesi trabalha com redução de raízes irracionais e posterior simplificação com redução a expressões mais simples, redução de diferentes radicais com índices iguais e diferentes, e por fim inicia as operações adição, subtração, multiplicação e divisão com radicais. A esta altura do trabalho, ela apresenta as operações com frações de denominadores iguais e diferentes, com simplificações, mas com radicais. A esse respeito, ela destaca que, quando os radicais são diferentes, eles podem ser reduzidos ao mesmo expoente. Agnesi finaliza a primeira seção abordando a divisão de frações apresentando potências do tipo a, a2, a3, a4, e sucessivamente. Nesta etapa, Agnesi faz alusão às progressões geométricas e aritméticas das bases e dos expoentes, respectivamente. De modo análogo faz a mesma abordagem com o inverso das potências e com raízes. Como anteriormente comentado, estas divisões lineares são obtidas por meio de igualdade entre razões, contudo, Agnesi não se alonga em detalhes nas explicações neste tópico. A esse respeito, verificamos que J. Riccatti (MAZZONE; ROERO, 2010), em uma de suas orientações à Agnesi, sugere um maior detalhamento quanto à explicação de potências, elencando duas possibilidades: Depois das palavras “essa quantidade a é elevada à potência zero, que a 0. é nenhuma potência”, adicionar: “de modo que 1 = ⁄a = a De fato, multiplicando tanto a/a, quanto a0 por a, não altera a igualdade, a = a0+1, grandezas manifestamente idênticas. Ou também “de modo que 1 = a0. 5 4 6 5 a 5 - 1 4 a De fato, dividindo a por a, tem-se a , e assim ⁄a = a = a , ⁄a = 3 2 1 4 - 1 3 a 3 - 1 2 a 2 - 1 1 a 1 - 1 0 a = a , ⁄a = a = a , ⁄a = a = a , portanto ⁄a = a = a , a mas ⁄a = 1” (J. RICCATI,1746 apud MAZZONE; ROERO, 2010, p. 11, tradução nossa)148.
148 Em língua italiana, lê-se: Dopo le parole “in esso la quantità (a) é elevata a potestà zero, cioè a nessuma potestà” soggiungerei: “di modo che 1 = a/a = a0. In fatti moltiplicando tanto a/a, quanto a0 per a, onde non si turbi l’egualianza, avreno a = a0+1, grandezze patentemente identiche”. O pure “ di modo 5 4 3 0 6 5 a 5 - 1 4 a 4 - 1 3 a che 1 = a . In fatti dividendo a por a, mi si presenta a , e cosi ⁄a = a = a , ⁄a = a = a , ⁄a 2 1 3 - 1 2 a 2 - 1 1 a 1 - 1 0 a = a = a , ⁄a = a = a , dunque ⁄a = a = a , ma ⁄a = 1. (J.RICCATI, 1746) 97
Agnesi (1748, p. 56) adota a primeira sugestão de Riccati149, em que observamos corresponder a mais sucinta. Constatamos que, a partir desse ponto, ela adota uma abordagem nem sempre tão detalhada, de modo diverso do que fez em relação aos conceitos matemáticos iniciais. As operações fundamentais da Álgebra detalhadamente explicitadas até então, começam a representar um instrumental, e nessa medida, Agnesi resolve os problemas posteriormente propostos. Após discorrer quanto a esses problemas, que considera os primeiros princípios de operações em Análise, Agnesi inicia o tratamento de problemas com equações. Segundo ela, os problemas de plano determinados referem-se a problemas de geometria plana que são resolvidos por meio de equações e com número finito de soluções. Após esta breve introdução, ela conceitua equação:
A equação é uma relação de igualdade entre uma ou mais quantidades que podem ser numéricas, geométricas ou físicas, que podem ser comparadas umas com as outras, ou até mesmo com o zero. O conjunto de termos que antecedem o sinal de igualdade chama-se primeiro membro da equação e o conjunto dos termos do segundo membro são chamados “homogêneos de comparação”. (AGNESI, 1748, p. 69; GAETANA, 1801, p. 94, tradução nossa)150
A esse respeito, Biagi e Basile (1983, p. 767) observam que Agnesi considera o zero como um caso especial de número ou de quantidade, uma vez que faz menção específica quanto a isso. Atualmente não fazemos distinção entre uma equação do tipo A = B e uma do tipo C = 0. O estudioso Minonzio (2006, pp.78-79), por sua vez, enaltece a clareza e o rigor da obra de Agnesi exemplificada na definição de equação. Agnesi continua sua explanação, classificando as equações da seguinte forma:
Os termos da equação são chamados homogêneos quando todos têm a mesma dimensão, como pode ser observado na equação axx - bbx = a3; de modo que o oposto de homogêneo é quando não é observada esta lei, como na equação x4- axx = a5. (AGNESI, 1748, p.69; GAETANA, 1801, p. 94, tradução nossa)151
149 Essas notas foram inseridas na obra de Agnesi com algumas modificações. Mais a esse respeito, vide: M.G.Agnesi (1748), v.2 pp. 434-442, 456-457.
150 Em língua italiana, lê-se: Equazione è um rapporto di eguaglianza, che è o più quantità, sieno esse numeriche, geometriche, o che, ânno tra loro assieme paragonate, o che ânno zero, se ad esso di paragonano. Il complesso di tutti termini, che avanti al segno d’ egualità si scrivono, e mais il primo membro dell’equazione, ed il compless tutti quelli, che si scrivono dopo, chiamasi il secondo membro, ovvero l’ homogêneo di comparazione. (AGNESI, ibidem, p. 69) 151 Em língua italiana, lê-se: I termini dell’ equazione sono omogenei quando ciascun di lo dela stessa dimensione, e però si disse, esserti nell’equazione osservata la legge degl’omogenei, come 98
Notamos que Agnesi considera homogêneos, os termos que possuem a mesma quantidade de incógnitas e que, no primeiro caso, a dimensão seria três enquanto que, no segundo, teríamos termos com quatro, três e cinco dimensões, portanto, não homogêneos. Agnesi acrescenta, em relação à terminologia: O conjunto de todos esses termos antes do sinal da igualdade é chamado de primeiro membro da equação, e o conjunto dos que estão escritos depois, é chamado de segundo membro, ou homogêneo de comparação. (AGNESI, 1748, p. 69; GAETANA, 1801, p. 94, tradução nossa)152
Acerca da expressão “homogêneo de comparação”, Biagi e Basile (1983, p. 767) ressaltam que a mesma caiu em desuso, uma vez que hoje se utilizam as expressões “primeiro e segundo membros” de uma equação. Assim, definidas e classificadas as equações, Agnesi enuncia o que considera problema:
Problema é uma proposição, na qual se pede para fazer, ou saber de algumas coisas, por meio de outras já conhecidas, sendo fornecidas algumas condições que são chamadas dados do problema; uma vez que aquelas dúvidas ou questões que você procura responder, lhe pareçam atraentes. (AGNESI, 1748, p. 70; GAETANA, 1801, p. 94, tradução nossa)153
Em seguida, Agnesi classifica os problemas como determinados e indeterminados, distinguindo-os do seguinte modo: Alguns problemas são determinados e outros indeterminados; determinados são aqueles que têm um número finito e determinado de soluções, isto é, aqueles que têm solução única ou aqueles que possuem um número de soluções maiores do que um, desde que esse número seja finito e determinado. Um exemplo de problema determinado é dividir a reta AB em dois segmentos de modo que a razão entre a medida do segmento AB e a medida do segmento maior seja igual àquela entre o segmento maior e o segmento menor. Há somente um ponto, digamos C, por meio do qual essa divisão pode ser feita. (AGNESI, 1748, p. 70; GAETANA, 1801, p. 94, tradução nossa)154 nell’equazione axx - bbx = a3; e cosi all’opposto dicesi non effersi osservata la legge delgl'omogenei, quando i termini tali non sono, come nell’equazione x4 - axx = a5. (AGNESI, idem)
152 Em língua italiana, lê-se: Il complesso di tutti que termini, che avanti al segno d'egualità si scrivono, chiamasi il primo membro dell'equazione, ed il complesso di tutti quelli, che si scrivono dopo, chiamasi il secondo membro, ovvero l'omogeoneo di comparazione. (AGNESI, idem) 153Em língua italiana, lê-se: Problema è uma proposizione, in cui si domanda di fare, o di sapere alcune cose pe mezzo di altre cose note e di alcune condizioni che si chiamano i dati del problema; siccome quelle, che si cercano, i quesiti o questioni si appellano. (AGNESI, ibidem, p. 70)
154 Em língua italiana, lê-se: I problemi altri sono determinati, altri indeterminati; determinati sono quelli, che ânno soluzioni di numero finito, e determinato, cioè quelli, che o com una sola determinazione si 99
No exemplo correspondente a problema determinado, observamos que Agnesi utiliza a proporção áurea, a partir da Figura 4 (Figura 1 do livro de Agnesi)155.
Figura 4 - Recurso utilizado por Agnesi para definir problemas determinados com solução única
Fonte: M.G.Agnesi, Analytical Institutions (1801)
Em notação atual temos que, as medidas dos segmentos em questão correspondem a:
AB AC = AC CB
Com respeito aos problemas indeterminados, Agnesi utiliza, para exemplificá- los, a propriedade de ângulo inscrito em circunferência (Figura 5), que é construída da seguinte maneira: Dado um semicírculo AED, eleva-se uma perpendicular CE, a partir de um ponto C, que pertença ao diâmetro AD do semicírculo. Admite-se, por exemplo, que CE seja igual à terça parte do diâmetro, para satisfazer a questão. Sendo dado AD e o ponto E, sabemos que se conduzirmos as linhas AE e ED, o ângulo AED será reto; e podem ser encontrados infinitos pontos E, que resolvem o problema, isto é, toda a periferia do semicírculo AED, tal como é conhecido, a partir de Euclides. Da mesma forma, se você partir do diâmetro AD, há um ponto C, por onde podemos conduzir a perpendicular CE, e pode-se dizer que CE é a média proporcional entre os segmentos AC e CD. Como são infinitos os pontos no diâmetro do semicírculo, e cada um desses pontos resolvem o problema, são infinitas as soluções para este problema e por isso pode-se dizer que ele é indeterminado. (AGNESI, p. 70; GAETANA, p. 94, tradução nossa)156 possono sciorre, o se com più, di numero però finito, e determinato. Tale sarebbe il ricercare, (Fig. 1) dove debbasi tagliare la data retta AB in modo, che tutta abbia al maggior segmento quella ragione, che â il maggior segmento al minore; imperciocchè um solo punto in essa può darsi, per esempio C, onde nasca la proprietà, che si cerca. (AGNESI, idem)
155 Doravante utilizaremos a numeração do nosso trabalho para nos referir às figuras do livro de Agnesi.
156 Em língua italiana, lê-se: Lo stesso farebbe il ricercare nel diâmetro di um dato semicircolo AED quel punto, per esempio C, da cui alzando uma perpendicolare CE terminata ala periferia, sai essa eguale 100
Figura 5 - Recurso utilizado para definir problemas indeterminados: Ângulo inscrito na circunferência
Fonte: M.G.A. Analytical Institutions (1801)
Embora não se comprometa em demonstrar propriedades geométricas, observamos na escrita de Agnesi a utilização do estilo geométrico considerado por Lorenzo (1971, p. 59), em que cada etapa de construção se justifica por um postulado, definição ou noção comum, ancorados na perspectiva da obra os Elementos157, de Euclides. No caso específico desta situação apresentada por Agnesi, em linguagem atual, corresponde às relações métricas que podem ser extraídas mediante observação da semelhança entre os triângulos retângulos, a saber: triângulos AED, ACE e ECD, com ângulos retos nos vértices E, C e C respectivamente, em que temos a relação da média proporcional obtida por:
AC . CD = CE . CE 158
Agnesi finaliza esta introdução aos problemas determinados e indeterminados, acrescentando que:
Os problemas determinados necessitam de uma única incógnita, e os indeterminados de duas. O modo de chegar às equações é o mesmo ala terza parte del diâmetro, mentre due soli di questi punti igualmente lontani dal centro soddisfanno ala questione. Che se verrà proposto di cercare suori della data AD um punto E tale, che da esso condotte all’ estremità della data AD le rette EA, Ed, sai l’angolo AED retto; si troverà, che infiniti sono i punti E, che sciolgono il problema, cioè tutta la periferia AED, come è noto dall’ Euclide; medesimamente se si cerchi nel diâmetro AD um punto C, da cui alzata la perpendicolare CE nel circolo, essa sai media proporzionale tra i segmenti AC, CD, si troverà, che ogni punto del diâmetro scioglie la questione, e perchè tali punti sono infiniti, infinite sono le soluzioni del problema, che però dicesi indeterminato. (AGNESI, idem)
157 R.Gama (1985, p. 7) salienta que, àquela época, Os Elementos constituiam o modelo para alguns estudiosos, mesmo que defendessem o ideal cartesiano de geometria.
158 Ao adotarmos a notação de segmento sem o “traço” característico, nos referimos à medida do segmento. Adotaremos a notação utilizada nos dias de hoje quando nos referirmos somente aos segmentos. Agnesi, em seu tratado matemático, não faz esta distinção. 101
tanto em um quanto no outro, mas do segundo tipo de problemas trataremos no terceiro capítulo. (AGNESI, 1748, p. 70; GAETANA, 1801, p. 94, tradução nossa) 159
Assim, nesta seção, Agnesi escolhe tratar apenas dos problemas determinados, utilizando sessenta tópicos distribuídos em pouco mais de oitenta páginas. A divisão de tais tópicos não segue necessariamente um padrão. Ela apresenta problemas, especificamente, somente ao final, pois em alguns tópicos ela tece observações com relação às operações matemáticas. Em alguns trechos, ela também apresenta conceitos matemáticos algébricos mediante uso da geometria. Antes dessas explanações ela considera que as equações são obtidas a partir da dependência das quantidades de uma em relação às outras, sendo estas em algumas circunstâncias conhecidas e dadas, ou desconhecidas, porém necessárias. Neste último caso, o procedimento a ser adotado, a princípio, é a percepção das propriedades entre linhas e figuras. Utilizando linguagem atual, em relação à Figura 5 por exemplo, e considerando AD = a, na igualdade AC.CD = CE.CE, podemos chamar AC = x, CD = a – x e CE = h e teremos x (a – x) = h2.. Neste caso, Agnesi utiliza quantidades elevadas ao quadrado, que não se referem a áreas de figuras, como já sinalizamos anteriormente, mas sim a relações entre os segmentos, nas figuras. Segundo a Álgebra cartesiana, a partir de um segmento de reta considerado a unidade, o produto de dois segmentos pode ser interpretado como outro segmento, e não mais necessariamente como a área de um retângulo, o que, segundo Roque:
[...] traz uma visão inovadora para a geometria, pois não respeita a homogeneidade das grandezas, operando com elas como se fossem números. Isto implica uma mistura entre gêneros tidos tradicionalmente como distintos, a aritmética e a geometria. (ROQUE, 2014, p. 182)
Consoante com a Álgebra cartesiana, especificamente em relação à simbologia adotada, Agnesi destaca que:
As quantidades e dados conhecidos são denominados pelas primeiras letras do alfabeto; e as incógnitas com as últimas, advertindo que, se a quantidade procurada é um segmento de reta, ela deve sempre ter
159 Em língua italiana, lê-se: I problema determinati di uma sola incógnita ânno bisogno, gl’indeterminati di due; la maneira però di arrivare all’equazione è la stessa in quelli, edin questi. Ma de’secondi tratterò particolarmente al Capo terzo. (AGNESI, idem) 102
origem e princípio em um ponto fixo e determinado. (AGNESI, 1748, p. 71; GAETANA, 1801, p. 94, tradução nossa, grifo nosso)160
A partir de então, Agnesi apresenta um esquema geral para resolução de problemas, articulado em três fases: 1) Imagina-se que a incógnita x é conhecida; 2) Identifica-se, na situação que está sendo considerada, quais as outras quantidades que dependem de x e como se dá tal dependência; 3) Escreve-se em termos algébricos a condição posta pelo problema, e se obtém a equação. Nas duas primeiras fases do procedimento ela apresenta quatro exemplos de situações, acompanhados por figuras e destacados, linguisticamente, com as expressões tais quais então161 e supondo162. A esse respeito, Biagi e Basile (1983, p. 770) sugerem que é a partir destes procedimentos por ela adotados, que um problema geométrico se transforma em um problema algébrico. De fato, Agnesi constrói e conduz sua argumentação da seguinte forma, ainda com relação à Figura 5: A partir de uma quantidade suposta, que chamamos x, por exemplo; identificamos outras quantidades que por alguma hipótese dependam de x. Então, dado AD = a, e admitindo procurar o ponto C, chamamos AC = x e CD = a – x. Então, se encontram muitas possibilidades para o ponto C. Além disso, embora muitas quantidades não sejam expressamente dadas, como a linha AD, por exemplo, elas são dadas implicitamente, observando a construção. Então, no triângulo retângulo AED, sabemos que a hipotenusa AD = a, e o lado ED = b, pela 47 do primeiro livro de Euclides163, o lado AE = √aa - bb, observando a hipótese e a construção. (AGNESI, 1748, p. 71; GAETANA, 1801, p. 94, tradução nossa, grifo nosso) 164
160 Em língua italiana, lê-se: Le quantità cognite e date soglionsi denominare, come altrove si è detto, con le prime lettere dell’alfabeto; le incognite e che si cercano, con una delle ultime, avvertendo che, se la quantità che si cerca è uma linea, debba essa avere sempre origine e principio da um punto fisso e determinato. (AGNESI, ibidem, p. 71)
161 Em italiano, alguns exemplos: “cosi essendo...”, cosi nel triangolo rettangolo AED...”, “ cosi nel semicircolo...” cosi nel triangolo rettangolo ACB...”, “cosi la 47 del primo d’Euclide (AGNESI, ibidem, p. 96)
162 Col supporre, Idem.
163 Livro I – 47: Nos triângulos retângulos, o quadrado sobre o lado que se estende sob o ângulo reto é igual aos quadrados sobre os lados que contêm o ângulo reto. Cf. Euclides (2009, p. 132)
164 Em língua italiana, lê-se: Che si cerca, si suppone già per fato, e noto col chiamarlo, per esempio, x; quindi è, che da questa quantità suposta cógnita vengono cognite e date, come si suol dire, per l’Ipotesi, altre che da questa dipendono. Cosi essendo data AD = a, e suposto C il punto cercato, e però chiamata AC = x, farà CD = a – x, e così si discorra di molte altre. In oltre sebbene molte quantità non sono expressamente date, qual’è la linea AD, lo sono però implicitamente, e come si disse, per la costruzione. 103
Agnesi continua, na sequência:
Então, no semicírculo AED, dado o diâmetro AD= a, o segmento AC=b, será CD= a – b, e pela 8. do 6º livro de Euclides165, CE= √ab – bb, ou, considerando AC = x, CE = √ax – xx, dado pela hipótese e pela própria construção. (AGNESI, 1748, p. 71; GAETANA, 1801, p. 94, tradução nossa, grifo nosso) 166
Observamos na primeira situação que, Agnesi, segundo Euclides, apresenta o teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo inscrito em uma semicircunferência, de tal maneira que a hipotenusa de tal triângulo seja igual ao diâmetro da semicircunferência. Na segunda situação, ela novamente recorre às relações métricas que podem ser extraídas da semelhança entre os triângulos retângulos AED, ACE e ECD, relacionando a medida do segmento CE̅̅̅̅, à média proporcional obtida entre as medidas dos segmentos AC̅̅̅̅ e CD̅̅̅̅̅, os quais denomina b e (a – b) ou x e (b – x), respectivamente. Estas situações têm como aporte a Figura 5. Agnesi continua a extrair as propriedades geométricas das figuras que apresenta a partir dos pressupostos dos livros de Euclides, porém, atrelando-as à linguagem algébrica paulatinamente, nos momentos em que o uso recorrente de algumas expressões, tem papel relevante. Agnesi apoia-se no 8º do livro VI de Euclides, e conduz sua demonstração concluindo que o segmento CD̅̅̅̅̅ corresponde à terceira proporcional entre os segmentos AC̅̅̅̅ e BC̅̅̅̅, da mesma forma que o segmento AD̅̅̅̅̅, em relação aos segmentos AC̅̅̅̅ e AB̅̅̅̅, enquanto a altura BD̅̅̅̅ é a quarta proporcional entre AC̅̅̅̅, AB̅̅̅̅ e BC̅̅̅̅. Tais relações podem ser constatadas a partir da observação da Figura 6, que, em linguagem atual, correspondem às relações métricas em um triângulo retângulo.
Cozì nel triangolo rettangolo AED (Fig. 2) quanto sai data l’ hipotenusa AD = a, il lato ED = b, farà, per la 47 del primo di Euclide, dato purê il lato AE = √aa - bb. (AGNESI, op.cit., p. 71).
165 Livro XV – 8º Caso em um triângulo retângulo seja traçada uma perpendicular do ângulo reto até a base, os triângulos junto à perpendicular são semelhantes tanto ao todo quanto entre si. Cf. Euclides (op.cit. p. 240).
166 Em língua italiana, lê-se: Così nel semicircolo AED; dato il diâmetro AD = a, il segmento AC = b, farà CD = a – b, e per la 8. del 6. Di Euclide farà CE = √ab - bb, o purê chiamata AC = x, farà CE =√ax - xx, data per l’ipotesi, e per la costruzione. (AGNESI, op.cit., loc.cit.) 104
Figura 6 - Utilização da terceira e quarta proporcional
Fonte: M.G.Agnesi, Analytical Institutions (1801)
A partir da semelhança entre os triângulos retângulos ABC, ADB e BDC, com ângulos retos nos vértices B, D e D respectivamente, chamamos: AC = a, AB = b, BC = c, AD = m, CD = n e BD = h. Assim, as medidas a, b e c, correspondem às medidas da hipotenusa e dos catetos do triângulo ABC, e m e n, às medidas dos segmentos AD̅̅̅̅ e DC̅̅̅̅̅, projeções dos catetos AB̅̅̅̅ e BC̅̅̅̅ sobre a hipotenusa AC̅̅̅̅. A medida do segmento BD̅̅̅̅ é representada por h e refere-se à altura do triângulo ABC.
Dentre as inúmeras relações entre os triângulos retângulos ABC, ADB e BDC, a c a b temos que = e = , correspondendo aos casos de terceira proporcional c n b m a c referidos por Agnesi, como da mesma forma, temos = , em relação à quarta b h proporcional mencionada167.
Agnesi também explora alguns exercícios geométricos sem enunciados explícitos e, somente ao final do capítulo enuncia oficialmente tais situações como problemas, apresentando e resolvendo um total de quinze. Destacamos aqui o problema 102, a título de exemplificação quanto ao procedimento adotado em suas resoluções. Nesta situação, sua proposta é inscrever um cubo em uma esfera, representada pela Figura 7.
167 Na terceira proporcional temos uma proporção em que os segundos e terceiros segmentos possuem a mesma medida, enquanto na quarta proporcional, os quatro segmentos têm medidas diferentes. 105
Figura 7 - Cubo inscrito na esfera
Fonte: M.G.Agnesi, Analytical Institutions (1801) - Construção nossa
Nesta situação, Agnesi indica o círculo KQEP que secciona a esfera, o ponto A o centro da esfera, o segmento AT̅̅̅̅, que corresponde ao raio da esfera cuja medida é igual a “a”, enquanto o segmento AR̅̅̅̅ corresponde à metade da altura do cubo. Como essa altura ou lado do cubo inscrito na esfera é igual a 2x, então o segmento AR̅̅̅̅ tem medida igual a x. Pelo ponto R, traça um círculo KSNQOF que secciona a esfera e têm inscrita uma das faces do paralelepípedo. Tendo em vista ser este paralelepípedo um cubo, infere que GR ≡ SN≡ NO, como também AR ≡ RI ≡ IO, tomando-os pela metade, assim como os ângulos formados entre os segmentos AR̅̅̅̅ e RI̅̅̅, RI̅̅̅ e IO̅̅̅, são retos. Observando o triângulo KRA, embora não comente, Agnesi utiliza o Teorema de Pitágoras:
KA2 = AR2+KR2
aa = xx + KR2 106
aa – xx = KR2
KR = √aa – xx
Além disso, temos que:
KI = KR+RI
Sabendo que o segmento RI é igual à metade do lado do cubo que é igua a x, temos:
KI = √aa - xx + x
Quanto ao segmento IQ, temos que:
IQ = KQ-KI
Observando a simetria entre os segmentos KR E RQ, temos:
KQ = 2.KR
Substituindo, na equação anterior:
IQ = 2.KR-KI
Assim:
IQ = 2.√aa – xx – (√aa – xx + x)
Logo:
IQ = √aa – xx – x
Observando a proporcionalidade no triângulo KOQ:
IO = √KI . IQ = √aa – 2xx
Como IO = x, substituindo e simplificando temos a relação:
x = √aa – 2xx 107
Consequentemente:
aa = 3xx
Ou simplesmente:
1 x = √ aa 3
Na sequência, Agnesi pontua que, uma vez que a medida do segmento AR̅̅̅̅ é
1 igual a x, logo, AR =√ aa, o que corresponderia à metade da medida do lado do 3 cubo. Agnesi estabelece que AG = AR, e pelos pontos R e G ela secciona a esfera por dois planos perpendiculares, em relação ao segmento RG̅̅̅̅ 168. Descreve então, que da relação AR ≡ RI ≡ RH, é possível, pelos pontos I e H, seccionar a esfera por dois planos perpendiculares em relação ao segmento HI̅̅̅, como também, mais dois outros planos que passam pelos segmentos SN̅̅̅̅ e FO̅̅̅̅, e são perpendiculares ao segmento NO̅̅̅̅̅. Assim, em função dessa construção, e das relações de proporcionalidade, Agnesi conclui que as arestas do cubo são iguais. A partir dessas premissas, Agnesi continua:
1 AR = RI= √ aa 3
Além disso, ela conclui, a partir do círculo KQEP, que:
2 2 1 1 RQ = √ aa e IQ= √ aa – √ aa, e IO = √KI . IQ = √ aa 3 3 3 3
Como consequência, as medidas dos lados do cubo seriam iguais, que é seu objetivo demonstrar. Agnesi finaliza essa demostração, observando que é possível encontrar inúmeras relações, a partir das relações dos segmentos observados, porém,
168 Observamos que estes planos a serem construídos referem-se aos planos paralelos correspondentes às bases superior e inferior do cubo a ser construído. 108
além de ela não se alongar quanto às notações algébricas adotadas, foge ao escopo de nosso trabalho nos determos a esse respeito169. Em síntese, o aspecto mais relevante nesta resolução de Agnesi é seu comentário final: “Da construção deste problema nasce uma demonstração sintética muito simples.” (AGNESI, 1748, p. 128; GAETANA, 1801, p.153 , tradução nossa).170 Sua resolução se mostra em conformidade com o quadro epistêmico em que sua obra está inserida, dentro da história da análise, ainda subordinada à demonstrações sintéticas, eventualmente. A esse respeito, Roque (2012) referencia três momentos significativos nos quais essa história poderia ser dividida:
Um primeiro, de natureza geométrica, em que problemas e métodos de investigação geométricas eram predominantes; um estágio analítico, ou algébrico, que começou por volta de 1740 com os trabalhos de Euler e atingiu sua forma final com Lagrange, no final do século XVIII; e o período em que foi forjada uma nova arquitetura para a análise matemática, proposta inicialmente por Cauchy no início do século XIX e continuada por diversos outros matemáticos nas décadas seguintes. (BOS, 1974 apud ROQUE, 2012, p.343)
Como observa Roque (2012, p. 353), o debate entre tradição e modernidade refletia-se, na matemática, nessa disputa entre método sintético e analítico. Assim, embora Agnesi se comprometa por algebrizar os problemas de natureza geométrica, verificamos neste último problema proposto por Agnesi e ao longo de sua obra, a alternância de enfoque por ela adotado em suas explanações, que reflete o período de transição sob o qual se encontrava. Ainda neste mesmo capítulo, Agnesi apresenta a construção das linhas no plano cartesiano, representadas por equações que não excedam ao segundo grau. Ou seja, ela utiliza polinômios em que nenhum dos termos tenha grau maior do que dois, e apresenta problemas que conduzam a essas equações. Agnesi discorre posteriormente sobre a questão de problemas indeterminados, de modo relativamente ambíguo. Segundo ela, sempre que as condições ou os dados
169 Sobre isso, Agnesi reforça que as medidas dos segmentos ̅AR̅̅̅ e RI̅̅̅ são iguais. Ela acrescenta que, se a partir do centro A, da esfera, for traçada uma linha reta até o ponto I, o valor numérico correspondente à medida do segmento AI̅ , será o dobro do valor numérico correspondente à raiz quadrada da medida do segmento ̅AR̅̅̅, ou, duas terças partes da raiz da medida do raio da esfera.
170 Em língua italiana, lê-se: Dalle costruzione di questo problema ne nasce una assai semplice dimostrazione sintetica. (AGNESI, ibidem,p. 128) 109
do problema não fornecem a mesma quantidade de equações em relação às quantidades assumidas como desconhecidas, o problema pode ser considerado indeterminado. Ela acrescenta que a obtenção de tais quantidades somente é possível a partir da suposição de outras quantidades apresentadas no problema.
Sempre que as condições, ou os dados do problema, não nos forneçam tantas equações quantas são as incógnitas assumidas, onde duas delas sempre permaneçam necessárias, o problema será indeterminado, e nós não podemos encontrar o valor de uma das quantidades desconhecidas, senão supondo o valor de uma delas conhecido, e determinando o valor da outra. Neste caso, todos os problemas indeterminados tornam-se determinados. (AGNESI, 1748, p. 99; GAETANA, 1801, p. 124, tradução nossa)171
Sobre isso, insinua-se uma contradição na fala de Agnesi ao afirmar que, ao supormos o valor de uma das incógnitas, obteremos o valor da outra, e qualquer problema indeterminado se faz determinado. De acordo com a definição dada por Agnesi, os problemas determinados são aqueles que possuem solução única ou de número finito e determinado. Além disso, Agnesi propõe, como exemplo, a situação em que a soma de dois números desconhecidos é igual a 30(x + y = 30), denominando-os (x) e (30 – x), respectivamente. Eu chamo o primeiro número (x), e então o segundo será igual a (30 – x), pela condição do problema, e como não vou ter nenhuma maneira de obter a equação, portanto, eu chamo a segunda de y, para ter como condição do problema x + y = 30. Não é possível encontrar a incógnita da outra equação, sem que se elimine uma das duas incógnitas, pois o problema é de natureza indeterminada. (AGNESI, 1748, p. 100; GAETANA, 1801, p. 125, tradução nossa) 172 Com isso, ela considera e induz:
Mas se eu atribuir um valor determinado para uma das incógnitas, supondo, por exemplo, y = 8, fazendo x = 30 – y = 22. Mas como é
171 Em língua italiana, lê-se: Qualunque volta le condizioni, o sai i dati del problema non ci soministrino tante equazioni, quanto sono le incognite assunte, onde due per necessità rimangano, il problema farà sempre indeterminato, nè potrassi mai trovarei l valore di una dele incognite, se non suposto, e determinato il valore dell`altra, nel qual caso ogni problema indeterminato si fa determinato. (AGNESI, ibidem, p. 99)
172 Em língua italiana, lê-se: Chiamo il primo numero x, se chiamerò il secondo = 30 – x, per la condizione del problema, non avró poi il modo di arrivare al´equazione; adunque chiamo il secondo y, farà per la condizione del problema x + y = 30. E poichè non è possibile il ritrovare matéria d´altra equazione, com cui eliminare uma dele due incognite, il problema è di natura sua indeterminato. (AGNESI, ibidem, p.100) 110
possível assumir infinitos valores a y, consequentemente os valores de x serão infinitos e, como resultado, o problema terá infinitas soluções. (AGNESI, 1748, p. 100; GAETANA, 1801, p. 125, tradução nossa) 173
Agnesi atribui o valor para y = 8 e x = 22, acrescentando que, tendo em vista podermos atribuir valores infinitos para y, analogamente os valores de x também seriam em quantidade infinita e, consequentemente, o problema teria um número infinito de soluções. Sabemos que este processo de supor conhecido o valor de uma das incógnitas, e assim determinar o valor de outra, não torna o problema determinado. Contudo, como Agnesi também reitera que o problema tem natureza indeterminada é provável que, na citação inicial, supostamente contraditória, seu objetivo fosse informar que o problema se tornaria determinado para cada suposição feita e não que o problema fosse determinado, de fato. Ainda com relação a esta situação, Agnesi apresenta um exemplo geométrico, a partir do qual ela dá início ao terceiro capítulo, apresentando então inúmeros problemas de indeterminação. Sua linguagem é coloquial e dialogada nos exemplos apresentados, cuja explanação e os recursos utilizados no método de substituição para resolução de equações, se apresentam similares ao que constatamos na obra Elements of Algebra de Euler de 1828174. Dando continuidade à sua explanação, Agnesi apresenta mais uma situação- problema:
Deve-se encontrar um retângulo igual a um quadrado. Se chamamos y a base do retângulo, x sua altura e por aa o quadrado dado, a única equação que pode ser obtida é aa = xy, não haveria informações de outra equação, e o problema permanece indeterminado. (AGNESI, 1748, p. 100; GAETANA, 1801, p. 125, tradução nossa)175
173 Em língua italiana, lê-se: Ma se assegnerò um valore determinato ad uma dele incognite, e supporrò, per esempio y = 8, farà x = 30 – y = 22. Ma perchè si possono assegnare sucessivamente infiniti valori ala y, così infiniti sono i valori dela x, ed in conseguenza d´infinite soluzioni è capace il problema. (AGNESI, idem)
174 Tradução da obra original de 1770. A resolução de problema similar a este da Agnesi encontra-se na seção IV, capítulo I, p. 186.
175 Em língua italiana, lê-se: Si debba ritrovare um rettangolo eguale ad um dato quadrato; si chiami y la base del rettangolo, l´altezza x, ed aa il dato quadrato; adunque farà l´equazione aa = xy, e non vavendo matéria d´altra equazione, rimane il problema indeterminato. (AGNESI, op.cit., loc.cit) 111
Notamos que Agnesi se refere à área dos retângulos e quadrados como iguais, porém, não utiliza a mesma terminologia. Ela continua:
Como, de fato, infinitos são os retângulos iguais ao quadrado dado, pode-se, de infinitas maneiras, variar a base relativamente à altura do primeiro. Mas se você adicionar à condição que a base do retângulo x x deva ser, por exemplo, igual a ⁄2, vai fazer y = ⁄2, e a equação xx ⁄2 = aa, e assim ser capaz de variar de infinitos modos uma das duas incógnitas, e de infinitos modos variar a outra, e infinitas serão as soluções para o problema. (AGNESI, 1748, p. 100; GAETANA, 1801, p. 125, tradução nossa) 176
Ou seja, ela ilustra essa situação a partir de um problema que relaciona o termo “aa” à área de um quadrado que deve ser igual à área de um retângulo com bases e altura correspondentes a y e x respectivamente. A partir disso, ela observa que essas quantidades podem assumir infinitos valores, correspondentes às possíveis soluções do problema. A singularidade neste capítulo, de modo diferente do anterior, é que Agnesi se propõe a distinguir inúmeros exemplos, não somente em relação a quais seriam as variáveis envolvidas nos problemas apresentados, mas também quanto a qual lei, expressa por alguma equação, elas estavam sujeitas. Sob essa premissa, ela continua:
Ao variar de inúmeras maneiras o valor de uma das duas incógnitas, de infinitos modos pode-se variar os valores da outra, as quais se chamarão variáveis de uma equação ou problema, e sujeitas a uma lei, que é expressa pela equação. (AGNESI, 1748, p. 151; GAETANA, 1801, p. 176, tradução nossa, grifo nosso )177
Biagi e Basile (1983, p. 771) observam que, “lei”, para Agnesi, é a condição necessária para que o problema possa ser traduzido algebricamente, dando origem a
176 Em língua italiana, lê-se: Come di fato infiniti sono i rettangoli al dato quadrato eguali, potendosi in infiniti modi variar ela base, e relativamente l´altezza di quelli. Ma se si aggiungerà la condizione, cha x x xx la base del rettangolo debba essere, per esempio, eguale ad ⁄2, farà y = ⁄2 , e l´equazione ⁄2 =aa, e cosí potendosi in infiniti modi variare una dele due incognite, in infitini si varierà l´altra, ed infinite faranno le soluzioni del problema.(AGNESI, idem)
177 Em língua italiana, lê-se: Dal variarsi adunque in infiniti modi il valore di una delle due incognite, in altrettanti infiniti modi pure si variano i valori dell'altra, quindi chiamansi esse le variabili dell' equazione o del problema, e la relazione loro o sia la legge, che osservano, viene espressa dall'equazione. (AGNESI, ibidem, p. 151). 112
uma relação entre as duas variáveis. De fato, observamos que na terminologia adotada por Agnesi, legge relaciona as duas variáveis. Convém observar que, embora Agnesi estabeleça relações de dependência entre as variáveis, sua abordagem não traz embutido o conceito de função, o qual, àquela época, não estava fundamentado. Como recorda Caraça (1951, p. 131), tais expressões podem ser consideradas “expressões analíticas”, referindo-se a um modo de se estabelecer correspondência entre duas variáveis, que estão sujeitas a uma lei matemática que define essa correspondência existente entre ambas. Assim, Agnesi tece a resolução do problema envolvendo igualdade entre as áreas do retângulo e do quadrado, pautada pela utilização da proporcionalidade direta, e exemplificada pela expressão analítica bx = ay, ao expressar que, à medida que o valor de “x” varia, “y” também varia, segundo a mesma lei:
Portanto na equação bx = ay, como sabemos, variando-se o x, y varia, mas com esta lei, tem-se que x e y tem sempre a mesma constante razão como de a por b. (AGNESI, p. 151; GAETANA, p. 176, tradução nossa)178
Posseguindo, Agnesi aborda um exemplo da utilização da proporcionalidade inversa na equação ab = xy, expressando uma lei segundo a qual o produto das duas incógnitas é sempre constante e igual ao produto de “a” por “b”: “Então, a equação ab = xy exprime a lei, que estabelece que o produto de duas incógnitas é sempre constante, e igual ao produto de “a” por “b”. (AGNESI, 1748, p. 151; GAETANA, 1801, p. 176, tradução nossa) 179. Após esta explicação, Agnesi retoma a situação abordada no capítulo anterior em relação à igualdade entre as áreas de um retângulo e de um quadrado, expressas pela equação ax = yy, tal que o quadrado de y deva ser sempre igual à área do retângulo de lados a e x: “[...] a equação ax = yy exprime, que o quadrado de y deve ser sempre igual a retângulo de x pela constante a.” 180 (AGNESI, p. 151; GAETANA,
178 Em língua italiana, lê-se: Per tanto l´equazione bx = ay ci as sapere, che variandosi la x, si varia altresi la y, ma com tal legge, che la stessa x abbia sempre però ala y la constante ragione dela a ala b. (AGNESI, ibidem, p.176)
179 Em língua italiana, lê-se: Così l´equazione ab = xy exprime la legge, che il prodotto dele due incognite sai sempre constante, ed eguale al prodotto di a in b. (AGNESI, ibidem, p.151)
180 Em língua italiana, lê-se: L´equazione ax = yy exprime, che il quadrato dela y debba sempre essere eguale al rettangolo dela x nella constante a. (AGNESI, idem) 113
p. 176, tradução nossa). Ou seja, a partir de valores correspondentes às medidas de segmentos a, x e y, Agnesi relaciona o produto entre os mesmos às áreas de quadrados e retângulos. Contudo, na sequência de sua explanação, ela não se atém à geometria com o cálculo de áreas e vai por outro caminho, que é relacionar estes resultados com a introdução da ideia de “lugar geométrico”. A esse respeito, Biagi e Basile (1983, p. 771) destacam que é justamente a partir deste ponto de sua obra que Agnesi introduz a “geometria analítica”, utilizada por Descartes181, para estudar algebricamente problemas geométricos, reproduzida em seu trabalho somente por trazer a ideia essencial do método das coordenadas. Agnesi, por meio da proporcionalidade, disserta sobre as construções às quais chama “lugar geométrico”182, da equação b.x = a.y e a.x = y.y, que correspondem a uma linha e uma parábola, respectivamente:
Das diversas leis expressas por uma equação, isto é, das diversas relações que se estabelecem entre duas incógnitas, nascem diferentes gêneros e graus de linhas, de modo que é fácil ver que o lugar geométrico da equação bx = ay será uma linha reta; até porque bx y e x tem uma razão constante que é y = ⁄a. (AGNESI, 1748, p. 152; GAETANA, 1801, p. 177, tradução nossa)183
O que, geometricamente, é apresentado por Agnesi na Figura 8:
181 A abordagem deste tipo de resolução elaborada por Descartes é apresentada com detalhes por T.Roque (2012, pp. 321-332).
182 Lugar geométrico dos pontos que satisfazem à equação dada.
183 Em língua italiana, lê-se: Dalla diverse legge che esprime l’equazione, cioè dalla diversa relazione che tra sé ànno le due incognite, diverse nascono le linee e di genere e di grado, o sai i luoghi, di modo che è facile a vedere che il luogo dell´equazione bx = ay sarà uma linea retta; imperciocché avendo la bx y ala x uma constante ragione, per essere é y = ⁄a. (AGNESI, op. cit., p. 152) 114
Figura 8 - Equação obtida por proporção entre segmentos
Fonte: M.G.Agnesi, Analytical Institutions (1801)
Assim, partindo de duas quantidades desconhecidas, ela supõe um segmento e o denomina “x”, originado de um ponto fixo, e conduzido a partir de uma linha indefinida, para a direita. Atribuindo um valor determinado a ele, Agnesi levanta outra linha à direita também, que será a linha tomada como comprimento da linha desconhecida, que denomina “y”. A partir daí, ela atribui valores aleatórios e diferentes que “x” poderia assumir e, em consequência, “y” também. A linha desconhecida, tomada a partir do ponto fixo sob a linha à direita, é chamada “a abscissa”, e a outra, ela chama “a ordenada”, utilizando o termo; “coordenadas”, ao se referir a ambas. Agnesi considera os segmentos AB = a, BC = b. Sucessivamente, atribuindo valores aleatórios para as medidas dos segmentos de reta AD̅̅̅̅, AF̅̅̅̅, AK̅̅̅̅, nomeando-os como x, e de forma correlata os segmentos DE̅̅̅̅, FG̅̅̅̅, KH̅̅̅̅, como y. Utilizando as proporções
a : b = x : y
Agnesi constrói o que denomina “linha ACEG”, conforme Figura 8, representada pela equação:
b . x = a . y
De maneira análoga, Agnesi constrói a parábola com o diferencial de considerar, a priori, o segmento BC=√ax, e aos paralelos a este, no caso da Figura 9, os segmentos DE̅̅̅̅, GF̅̅̅̅, como y. A linha formada pelos pontos ACEF e outros dão origem ao lugar geométrico representado pela lei de formação de uma parábola: 115
y . y = a . x
Segundo Agnesi:
Mas a "equação ax = yy exige uma razão constante não entre os segmentos BC, DE, etc., mas sim entre os quadrados correspondentes aos lados AB, AD etc, originando uma curva a partir dos pontos C, E, F etc, que não será uma reta. (AGNESI, 1748, p. 153; GAETANA, 1801, p. 178, tradução nossa) 184
No anexo de seu tratado, ela apresenta a figura correspondente:
Figura 9 - Obtenção de lugar geométrico: Parábola
Fonte: M.G.Agnesi, Analytical Institutions (1801)
Agnesi assegura que, a partir das diversas leis expressas pelas equações dadas, ou de diferentes relações que as duas variáveis ou quantidades desconhecidas possam estabelecer, outros lugares geométricos podem surgir. Ela acrescenta que é fácil perceber que o “lugar geométrico” da equação b.x = a.y é uma linha reta, justificando que esta percepção decorre do fato de que y e x têm uma relação b constante, uma vez que y = x, como também mediante a observação da a semelhança entre os triângulos AED, AGF, da Figura 6. Contudo, Agnesi salienta que na equação a.x = y.y, não ocorre uma relação constante entre as linhas correspondentes a x e y, mas os seus quadrados, podem ter uma relação constante com relação às linhas correspondentes AB̅̅̅̅, AD̅̅̅̅, AG̅̅̅̅̅.
184 Em língua italiana, lê-se: Ma l’ equazione ax = yy exige non già che le BC, DE, ec., ma bensì i loro quadrati abbiano uma constante ragione alle corrispondenti AB, AD ec., onde è che non saranno in uma retta, ma in uma curva i punti C, E, F, ec. (AGNESI, ibidem, p. 153) 116
Em linhas gerais, ela conclui que as equações correspondem às representações geométricas dos lugares geométricos obtidos. No caso descrito, tais representações podem corresponder a uma linha ou uma secção cônica, mas Agnesi ressalta que esta última somente ocorrerá, se a dimensão da variável exceder à segunda ordem. Ela finaliza esta seção se reportando ao trabalho de Apolônio185 acerca de lugares geométricos, ilustrando com a equação a3– x3 = y3, a possibilidade de surgir um lugar geométrico diferente daqueles obtidos. Na seção IV de sua obra, intitulada “Das equações e de Problemas Sólidos”186, Agnesi trata inicialmente da denominação de raízes de uma equação. Ela define raízes, tanto em termos de substituição em relação a um valor numérico, como em termos de resultados obtidos nas resoluções de equação, da seguinte forma:
Raíz de uma equação é aquela quantidade que substituída na equação no lugar de uma letra, segundo o qual a equação é ordenada, ou seja, no lugar da incógnita desconhecida, sabemos que todos os termos desaparecem, ou (o que daria no mesmo), raiz de uma equação é cada valor desconhecido da incógnita, ou da letra, que se apresenta como incógnita da equação. (AGNESI, 1748, p. 226; GAETANA, 1801, p. 251, tradução nossa)187
Agnesi utiliza a fatoração de soma e produto, sem especificar o grau da equação, sugerindo como mais uma forma para obtenção da raiz, salientando: “E neste sentido, diz-se que uma equação é o produto de suas raízes porque ao multiplicá-las, formamos precisamente a equação da qual elas são raízes” (AGNESI, 1748, p. 227; GAETANA, 1801, p. 252, tradução nossa)188. Sobre isso, embora ela escreva que as equações sejam obtidas mediante a multiplicação de suas raízes, na prática ela considera o produto de (x – a) por (x + b),
185 As cônicas já eram estudadas, geometricamente, na antiguidade clássica por Apolônio de Pergamo (Treatise on Conic Sections, edited by T.L.Heath, Cambridge University Press, 1896) como também ao longo do seiscentos e setecentos, notadamente as cúbicas. Mais a esse respeito, vide: A.Biagi; M.L.Basile (1983, p. 773).
186 Em língua italiana, lê-se: Delle Equazioni, e de’ Problemi Solidi.
187 Em língua italiana, lê-se: Radice di uma qualunque equazione si chiama ciascuna di quelle quantità, che sostituite nell’ equazione in luogo di quella lettera, secondo cui l ‘equazione stessa é ordinata, cioè in luogo di quella, cche as figura d’incognita, sanno svanire tutti i termini; ovvero (ciò che è lo stesso) radice d´un’equazione è ciascuno de’ valori dell’incognita, o dela lettera, che as figura d’ incognite nell equazione. (AGNESI, op. cit. p. 226)
188 Em língua italiana, lê-se: Ed in questo senso, dicesi, che ogni equazione è il prodotto dele sue radici, perchè tra loro moltiplicate formano appunto l’equazione, di cui sono esse le radici. (AGNESI, ibidem, p. 227) 117
em uma equação de segundo grau, por exemplo, e não os valores (a) e (– b), correspondentes às raízes dessa equação. Assim, embora sua linguagem se apresente equivocada, em alguns momentos de seu trabalho, suas resoluções matemáticas não evidenciam erros, se relacionada à terminologia adotada nos dias atuais. Nos dias de hoje, a obtenção das raízes de equações, que constitui o problema fundamental da teoria das equações algébricas, nos parece algo trivial. Contudo, como pontua Caraça (1951, p. 152) “Este problema, que está longe de ser simples; tão pouco simples que até há pouco mais de cem anos permaneceu envolto em denso mistério, divide-se em dois 1) A equação tem raízes? Quantas? 2) Se tem, como determiná-las?” Desde o começo do século XVII, matemáticos respondiam a estas questões, contudo, seria somente estabelecida com mais rigor que toda equação algébrica de grau “n” tem “n” raízes, no final do setecentos (CARAÇA, 1951, p. 171). Sobre isso, Agnesi assinala em seu trabalho, a partir da utilização de multiplicação de polinômios, que o produto das raízes conduz à equação apresentada, salientando que a quantidade de raízes da equação corresponde ao grau da mesma, ou seja; uma equação cúbica, terá três raízes, uma equação biquadrada, terá quatro raízes, etc. Assim, ao extrair pontos que mostram o nível de detalhamento de sua abordagem matemática, observamos sua preocupação em delinear um “passo a passo” que favoreceria o acompanhamento dos jovens aprendizes, possivelmente, o que também se verifica quando trata das resoluções de equações de segundo grau, em particular. A seguir apresentaremos os demais tratados matemáticos elencados neste trabalho de forma sucinta, como também apreciaremos as resoluções de equações quadráticas registradas nestas obras, contrastando-as com a proposta de Agnesi, em Instituzioni Analitiche.
3.2 Aspectos gerais das obras de Reyneau, Clairaut, Saunderson e Euler
Como já mencionamos, apesar de ter recebido sugestões para escrever um tratado sobre matemáticas-mistas, Agnesi dediciu publicar sobre matemática pura. 118
Entretanto, Instituzioni Analitiche não foi o único estudo deste gênero, que circulou entre os estudiosos e matemáticos daquela época, além de outros tantos tratados dedicados à matemáticas-mistas. Dentre as obras dedicadas à Análise e ao Cálculo, encontramos publicados naquela época Analyse Demontrée ou la Methode de résoudre le problème des mathématique (1708), de Reyneau, Elemens D’Algebre (1746), de Clairaut, Elemens D’Algebre (1756), de Saunderson e Elements of Algebra (1828)189, de Euler190. Astudillo (2011, p. 418) observa que a estrutura dos livros textos clássicos daquele período herdaram um “fazer matemático” nos moldes dos gregos. De fato, nas obras selecionadas, observamos a autoridade de Euclides ser evocada inúmeras vezes. Além disso, de forma geral, os livros iniciavam do seguinte modo:
A partir de umas definições iniciais em que se estabelece o significado de conceitos “primários”, que vão aparecendo ao longo do texto, vão sucedendo as proposições que caracterizam as propriedades, estrutura, regras de Cálculo em que estariam envolvidos tais conceitos. A partir de cada uma das ditas proposições é apresentado um problema ou exercício resolvido, com a pretensão de exemplificá- las. (ASTUDILLO, 2011, p. 418)
Tais considerações foram feitas a partir da análise da obra Traité Analytique des Sections Coniques (1696) de L’Hôpital, cujo aparecimento foi fruto do trabalho do grupo malebranchiano. A obra Analyse Demontrée, de Reyneau, uma das quais analisamos e sabemos ter sido estudada por Agnesi, está inserida no rol de publicações destes estudiosos. Este grupo, liderado por Nicolas Malebranche, além de compromissado com a divulgação do conhecimento daquela época, tinha como propósito introduzir a Análise Cartesiana e explicar as então novas técnicas infinitesimais, nesses termos. Segundo Astudillo (2011), se reportando a Cantoral, tais obras se caracterizavam pela utilização de uma pedagogia impressionista, requerendo do leitor um exercício maior, que além de evocar uma série de impressões, possibilitava um encadeamento lógico dos conteúdos, e que conduziam, por fim, à compreensão dos
189 Vollständige Anleitung zur Algebra (1770).
190 Ver frontispícios e respectivos sumários no Anexo A. 119
conceitos matemáticos explorados no texto. Em linhas gerais, o leitor era convidado a “ler entre linhas” (CANTORAL, 1995, p.65 apud ASTUDILLO, 2011, p. 419). Observamos que, tais artíficios sinalizados por Cantoral, mostram-se evidenciados no tratado de Reyneau, por nós analisado. Analyse Demontrée se caracteriza, notadamente, pela utilização de postulados, definições e corolários, não seguindo o mesmo padrão, contudo, com relação à forma como articula os conteúdos matemáticos. O autor convida o leitor, de forma não explícita, a “ir e vir” ao longo de sua obra, fazendo uso de três metodologias, em suas abordagens, a saber: 1) Parte de definições, até chegar a exemplificações ao final, ou; 2) A partir de um problema proposto, que denomina “situação”, subdivide-o em diferentes casos, para depois definir e/ou demonstrar e/ou apresentar corolários, ou; 3) Aborda diferentes conceitos matemáticos gradualmente, mas não seguindo uma ordenação usual, aparentemente. Na apresentação e resolução de equações de segundo grau, nosso principal interesse de análise em sua obra, distinguimos este último recurso metodológico. Reyneau apresenta as definições de equações em um primeiro momento, deixando para discriminar as possibilidades de resoluções em inúmeros e diferentes tópicos. Estes tópicos também não são divididos em relação ao grau das equações, de modo diferente de outras obras. Agnesi por sua vez, apresenta os conteúdos matemáticos de forma relativamente linear; indicando todas as operações envolvidas, apontando definições quando julga necessário, e somente ao final das explanações, exemplifica com problemas. Além disso, Agnesi é detalhista em suas resoluções, ao passo que Reyneau estabelece poucas orientações quanto ao manejo algébrico, por exemplo. Analyse Demontrée é precedida por um longo prefácio com mais de trinta páginas de orientação, no qual o autor justifica o interesse em divulgar a Análise, em função das descobertas dos anos anteriores, citando Descartes, Leibniz, Newton e L’Hôpital, enaltecendo a importância de seus trabalhos. Acerca da divisão da obra propriamente dita, a mesma se encontra dividida em oito livros, sendo que em seu primeiro livro o autor trata da Análise Simples, e comenta acerca de alguns problemas que não podem ser resolvidos desse modo, mas por Análise Composta. Os seis livros subsequentes são dedicados a Análise Composta. Segundo Reyneau, Análises Simples e Composta referem-se a: 120
Quando as equações, que a análise permite obter mediante a resolução de problemas, contêm incógnitas que não são multiplicadas por elas mesmas, ou por outras letras que representam outras incógnitas, as equações são chamadas simples; e a Análise compara estas equações segundo a Análise Simples. O primeiro livro explica a Análise Simples. Quando as letras das incógnitas são multiplicadas por elas mesmas ou por outras letras desconhecidas, as equações são chamadas compostas, e a Análise compara estas equações nomeando-as de Análise Composta. Esta Análise é o objeto dos livros seguintes. (REYNEAU, 1708, v. I, p. xv, tradução nossa) 191
Observa-se que as Análises Simples e Compostas, nomeadas por Reyneau, não se confundem com o que Agnesi denomina Quantidades Simples e Compostas. Na primeira situação, os termos presentes na identificação de equações, que no caso entende-se por equações de primeiro grau, remetem à Análise Simples. A Análise Composta, por sua vez, abarca tanto equações polinomiais de grau maior ou igual a dois, como equações não polinomiais, quando “as incógnitas são multiplicadas por outras incógnitas” presume-se, uma vez que Reyneau não se alonga, quanto a isso. Quanto às Quantidades Simples e Compostas definidas por Agnesi, observamos que correspondem aos possíveis termos de expressões literais; monômios e polinômios em linguagem atual, como já apontado. Reyneau apresenta alguns exemplos das Análises Simples e Compostas, mas somente no segundo livro ele explicita, sob a forma de um teorema, a diferença entre equações simples e equações compostas, estudadas nessas Análises. Segundo ele, as equações compostas podem ser decompostas em inúmeras equações simples, mediante a obtenção de multiplicações, procedimento que corresponde à fatoração de equações, a qual ainda utilizamos nos dias de hoje, para determinar as raízes de uma equação. Teorema I - Qualquer equação composta pode ser obtida pela multiplicação de muitas equações simples, diz-se que a equação foi composta por grau. Assim, qualquer equação de segundo grau, pode ser obtida pela multiplicação de duas equações simples. Qualquer equação de terceiro grau pode ser obtida pela multiplicação de três
191 Em francês lê-se: Quand les èquations, que l’analyse fait découvrir pour la rèsolution des problèmes, contiennent des lettres qui marquent les inconnues qui ne sont point multiplièes par elles-mèmes, ni par d’autres lettres qui reprèsentent d’autres inconnes, ce èquations s’appellent simples; l’Analyse, par raport à ces èquations, s’appelle l’Analyse simple. Le premier livre explique l’Analyse simple. Quand les lettres des inconnues font multiplièes par elles-mèmes ou par d’autres lettres des inconnues dans les èquations, on les nome des èquations composèes, l’analyse par raport à ces èquations, s’appelle l’anlyse composée: ele est le sujet des livres qui suivent le premier. (REYNEAU, 1708, v. I, p. xv) 121
equações simples, e outras. (REYNEAU, 1708, V. I, p. 57, tradução nossa) 192 Após tais observações, Reyneau inicia a resolução das equações de segundo grau. O autor orienta que quando um problema não apresenta todas as condições é necessário reduzi-los a equações mais simples. A esse respeito, notamos o emprego do método de completar quadrados, ainda em voga atualmente, nas reduções de tais equações. Reyneau aborda resoluções de equações de quaisquer graus, utilizando variados recursos, inclusive a redução de equações compostas para equações simples, quando possível. No sétimo livro o autor trabalha com aproximações e limites, explicando os métodos desenvolvidos por Newton e Leibniz, segundo suas palavras, enfatizando que esses métodos contribuíriam para a resolução de uma infinidade de outros problemas. No volume II da obra, que corresponde ao oitavo livro, Reyneau utiliza propriedades de geometria simples e composta para resolver problemas de matemáticas-mistas, mas intitula o livro de resolução em ciências e física-matemática, revelando assim, que o emprego das terminologias matemáticas-mistas, não parece constituir um padrão, necessariamente. Reyneau não define geometrias simples e compostas, porém, comenta acerca das curvas obtidas a partir da geometria simples à composta:
As curvas geométricas simples, ou de primeiro gênero, são expressas por equações que não excedam ao segundo grau, ou aquelas obtidas pelo produto de uma equação por outra e tenha apenas duas dimensões. Estas são chamadas Secções cônicas, porque podem ser obtidas a partir de um plano que secciona um cone. (REYNEAU, 1708, V.II, p. vij-viij, tradução nossa) 193
Apesar de apresentar um apêndice com figuras, constatamos que as mesmas não se referem às utilizadas por Descartes em sua The Geometry, nas resoluções de
192 Em francês lê-se: Theoreme I – Toute équation composée peut être conçue comme étant formée par la multiplication d’autant d’équations simples, que l’equation composée a de degrez. Ainsi toute équation de deux degrez, peut être conçue comme formée par la multiplication de deux équations simples. Toute équation du3. Degreé, peut être conçue formée par la multiplication de trois équations simples, e ainsi des autres. (REYNEAU, ibidem, p. 57)
193 Em francês lê-se: Les courbes geometriques les plus simples, ou du premier genre, sont celles qui s’expriment par des équations où la plus haute puissance des changeantes separees ne monte qu’au second degré, ou bien dans lesquelles le produit des changeantes multipliées l’une par l’autre, n’est que de deux dimensions, on les appelle Sections coniques, parcequ’elles peuvent se former par la section commune d’um plan e d’um cône. (REYNEAU, ibidem, p. vij-viij) 122
equações quadráticas, constrastando com o apresentado por Agnesi, em seu tratado. Entretanto, Reyneau utiliza figuras em outros estágios da obra, mas que fogem ao escopo deste trabalho, e ressalta a beleza das construções geométricas, quando relacionadas às equações algébricas (REYNEAU, 1708, p. 550). Clairaut (1713-1765) por sua vez, publica sua obra Elements of Algebra em 1746, a qual viria ser utilizada como manual de ensino na França por muitos anos, e posteriormente um livro de geometria, intitulado Elements of Geometry, no ano de sua morte194. Clairaut foi eleito para fazer parte da Academia de Ciências de Paris muito jovem, em 1731, fazendo parte do grupo de estudiosos franceses envolvidos na divulgação da filosofia newtoniana195. Ele também foi membro da Royal Society of London e das Academias de Berlin, St. Petersburg, Bologna e Uppsala, se correspondendo com inúmeros estudiosos, ao longo da vida. Com relação aos estudos em matemática, suas principais referências foram os Elementos de Euclides e a obra de L’Hôpital, a exemplo da maioria de seus contemporâneos. Clairaut transitou entre as matemáticas pura e mista, tendo estudado e publicado sobre cálculo de variações, além de equações diferenciais e integrais. Na década de 1740 ele publicou um tratado confirmando a hipótese de Newton-Huygens com relação ao achatamento da terra nos polos, fruto de suas observações na expedição que participara com o colega Maupertuis, e que viria a ser importante no que diz respeito às fundamentações posteriores no estudo de hidrostática. Em sua obra Elements of Algebra, apesar de não apresentar sumário, Clairaut detalha no prefácio sua divisão em tópicos. Utilizando o método sintético, o estudioso prima por demonstrações, axiomas e corolários ao longo de sua exposição, da mesma forma que Reyneau o faz em seu tratado. Contudo, apesar de tais características próximas ao estilo geométrico, observamos que o estilo algebraico-cartesiano196 se mostra mais evidente, na obra de Clairaut, como também na de Agnesi.
194 Disponível em http://www2.stetson.edu/~efriedma/periodictable/html/Cl.html. Acesso em: 16 de outubro de 2015.
195 Pierre Louis Moreau de Maupertuis (1698- 1759), François Marie Arouet (1694-1778) conhecido por Voltaire e Gabrielle Émilie Le Tonnelier de Breteuil (1706-1749), Marquesa de Châtelet, eram seus amigos e correspondentes.
196 Mais a respeito dos estilos matemáticos – Geométrico, Poético, Cósico, Álgebraico-cartesiano, Indivisíveis, Operacional puro, dos 휀, Sintético e Analítico, Dual, Axiomático, Formal, Semiformal vide: J.Lorenzo (1971). 123
Na primeira parte de Elements of Algebra, Clairaut explora equações de primeiro grau, iniciando com exemplos clássicos, em que explica, inclusive, como reduzir frações, numéricas e literais, à expressões mais simples, o que chamamos nos dias de hoje frações irredutíveis. (CLAIRAUT, 1745, pp. 47-8). Observamos que o que entendemos atualmente como função de primeiro grau também se inclui nesses exemplos de expressões simplificadas, o que é compreensível, tendo em vista que o conceito de função ainda estava em processo de fundamentação, àquela época. Clairaut apresenta as equações de segundo grau na segunda parte da obra e, assim como Descartes, não entra em detalhes quanto à consideração das equações com raízes negativas. Nesse tópico ele também aponta as equações de terceiro grau, de quarto e quinto graus, sucessivamente. Assim, iniciando pela apresentação de problemas genéricos, os quais, traduzidos para a linguagem algébrica correspondem às equações, ele conduz a resolução do problema, mediante o grau da equação observado. O principal diferencial verificado na obra de Clairaut em relação à de Reyneau é a organização dos conteúdos, segundo critérios mais explicítos, mas se aproxima da mesma, por não recorrer à geometria, ao contrário do observado no trabalho de Agnesi. Elements of Algebra, obra póstuma de Saunderson, constituída por dois volumes, se mostra diferente das obras de Reyneau, Clairaut e Agnesi, principalmente pelo tratamento de equações quadráticas com coeficiente de x2 diferente de um. Nicholas Saunderson era professor de matemática em Cambridge ocupando a cadeira lucasiana, posição que Colson, tradutor de Instituzioni Analitiche, viria a ocupar posteriormente. Acerca deste que o sucedeu, Saunderson (1756, V.II, p 720) dá o seguinte testemunho: “O Senhor Johh Colson, um cavalheiro cujo grande gênio e habilidades conhecidas nessas ciências vou sempre ter na mais alta admiração e estima”197. Cego desde a infância há suposições que ele tenha sido o verdadeiro autor do teorema de Bayes198. No primeiro volume de sua Elements of Algebra, verificamos que a mesma traz uma abordagem similar às demais, no que diz respeito à quantidade de exemplos
197 Em língua inglesa: The learned Mr. Johh Colson, a gentleman whose great genius and known abilities in these sciences I shall aways have in the highest admiration and esteem. (SAUNDERSON, 1756). Este testemunho também foi citado em (GAETANA, op.cit., p. xvi)
198 Para maiores detalhes, vide: J.Gascoigne (2003) e N.Saunderson (1756), obra póstuma que traz sua biografia na introdução. 124
apresentados e resolvidos. Seu tratado se mostra similar às obras de Clairaut e Reyneau, no aspecto de não recorrer às figuras geométricas na resolução de equações de segundo grau. Além disso, Saunderson também não separa as equações segundo o seu grau, o que torna sua obra semelhante à de Reyneau; contudo, sua abordagem, comparada a de seus contemporâneos, se mostra mais próxima à matemática dos dias de hoje. O último tratado analisado foi Elements of Algebra, de Euler. Publicado em 1770 com inúmeras edições posteriores, a obra foi muito utilizada no ensino, inclusive no Brasil do século XIX, por ter sido considerada a melhor introdução da Álgebra para iniciantes199. A edição póstuma de 1828, utilizada em nosso trabalho, é iniciada por uma biografia do Euler, seguida das advertências do tradutor Daniel Bernoulli (1700-1782). A obra encontra-se dividida em duas partes, que por sua vez estão divididas em seções, do seguinte modo: Parte 1: Análise de quantidades determinadas Seção 1: Análise de quantidades simples Seção 2: Dos métodos de Cálculo de quantidades compostas Seção 3: Raízes e proporções Seção 4: Equações algébricas e a resolução dessas equações Parte 2: Análise de quantidades indeterminadas As equações de segundo grau são trabalhadas na seção 4 da parte 1, que também é dividida em tópicos: Seção 4: Equações algébricas e a resolução dessas equações I- Solução de problemas gerais II- Resolução de equações de primeiro grau simples III- Solução de equações relacionadas ao capítulo anterior IV- Da resolução de duas ou mais equações de primeiro grau V- Resolução de equações quadráticas VI- Resolução de equações de segundo grau mistas VII- Extração de raízes com números poligonais VIII- Da extração de raízes quadradas de binomiais
199 Mais a esse respeito, vide C.M.S.Silva (2009) 125
Apesar da obra de Saunderson apresentar uma organização distinta das obras de Reyneau e Clairaut, ao relacionarmos sua proposta de resolução de equação de segundo grau com resoluções atuais, dentre todos os tratados analisados, a obra de Euler destaca-se mais, neste aspecto. Além de apresentar uma linguagem mais próxima à atual, o estudioso trata os assuntos matemáticos de modo mais abrangente. No que diz respeito à variedade de exemplos apresentados e resolvidos, o trabalho de Euler se mostra semelhante ao de Saunderson, com alguns acréscimos, dentre os quais; Euler trata separadamente, os casos de equações quadráticas incompletas. Ainda, é provável que dentre todas as obras confrontadas, estas duas últimas estivessem mais alinhadas com o método analítico algébrico, do que a de seus antecessores.
3.3 A resolução de equações de segundo grau nas obras de Agnesi, Reyneau, Clairaut, Saunderson e Euler
A resolução de equações quadráticas na obra Instituzioni Analitiche consta em sua seção II - Sobre Problemas Planos e Determinados. Agnesi utiliza em sua apresentação, o recurso de construções geométricas para obtenção dos valores de quantidades desconhecidas principalmente, de modo similar ao proposto por Descartes em The Geometry, de 1637. Dentre os propósitos de Descartes em sua obra, destaca-se a utilização de proporções entre segmentos de reta e de equações algébricas, com a finalidade de descrever as propriedades de diferentes curvas, associadas a estas retas. François Viète (1540-1603) já atentara à introdução de regras, sobretudo em relação à simbologia, na resolução de equações de segundo grau, contudo, “Descartes queria utilizar na geometria, para resolver problemas de construção, uma espécie de aritmética, onde regras simples de composição levassem objetos simples a outros mais complexos” (ROQUE, 2014, p. 181). Mediante tais premissas, Agnesi resolve as equações quadráticas. Em função da diversidade de conteúdos matemáticos que ela mobiliza nestas resoluções, escolhemos apresentá-las detalhadamente, lembrando que, até mesmo a tradução inglesa de Instituzioni Analitiche, convertida em pequenos tópicos e 126
usualmente desacompanhados de resoluções, aborda as equações de segundo grau segundo um padrão de procedimentos pormenorizados. Tal fato nos leva a considerar que, mesmo após mais de meio século da publicação de Instituzioni Analitiche, já em 1801, o tratamento dado por Agnesi às equações, especialmente, nos pareceu ter sido considerado ainda, relevante. Segundo Agnesi (1748, p. 112), todas as infinitas equações quadráticas seriam passíveis de ser expressas por meio de quatro formas:
Todas as infinitas equações de segundo grau são expressas pela fórmula xx ± ax ± bb = 0, que são quatro, e surgem a partir das quatro combinações de sinais, o que significa que a letra “a” expressa toda a quantidade que gera o coeficiente do segundo termo e “b” a raiz quadrada do conjunto de todos os termos conhecidos. (AGNESI, 1748, p. 112; GAETANA, 1801, p. 67, tradução nossa) 200
Ou seja, Agnesi divide em quatro, os casos de equação abordados em sua obra, quais são: I) xx + ax – bb = 0 II) xx – ax – bb = 0 III) xx + ax + bb = 0 IV) xx – ax + bb = 0
Reyneau, por sua vez, aborda as equações quadráticas em diferentes capítulos de sua Analyse Demontrée, mas não se insinua como sua preocupação, analisar uma equação a partir de seu grau. Em alguns momentos, parece-nos que seu propósito é explicar como reduzi-las, e em outros momentos, enfatizar o uso do que chamamos hoje “soma e produto de raízes”, sobretudo como método de resolução de equações. Somente no livro VIII do volume II de seu tratado, Reyneau apresenta as equações quadráticas, utilizando a seguinte tabela:
200 Em língua italiana, lê-se: Tutte le infinite equazioni di quadrática affetta vengono expresse dalla formola xx ±ax ±bb = 0, cioè dalle quatro, che nascono dalle quatro divese combinazioni de’ segni, intendendo che la lettera a esprima tutte le quantità, che formano il coeficiente del secondo termine, e b la radice quadrata del complesso di tutti i termini cogniti. (AGNESI, op.cit., p. 112) 127
Tabela 1 - Soluções de equações de segundo grau na obra de Reyneau
Primeira raiz Segunda raiz 1) xx – dx – bb = 0 1 dd 1 dd x = d + √ + bb x = d − √ + bb 2 4 2 4
2) xx + dx – bb = 0 1 dd 1 dd x = − d + √ + bb x = − d − √ + bb 2 4 2 4
3) xx – dx + bb = 0 1 dd 1 dd x = d + √ − bb x = d − √ − bb 2 4 2 4
4) xx + dx + bb = 0 1 dd 1 dd x = − d + √ − bb x = − d − √ − bb 2 4 2 4
Fonte: C.Reyneau, V.II Livro VIII (1708)
Sob o ponto de vista algébrico, os resultados apresentados por Reyneau condizem com o que ele propõe nos exemplos posteriormente apresentados. Contudo, observamos que ele comete erros, a saber: “Por exemplo, na equação axx + abc = c3, para a grandeza c3 ficar quadrática, basta multiplicar cada membro da equação por c, e neste caso teremos acxx + abcx = c4 ”. (REYNEAU, L. I, p. 7) tradução nossa201 Ou seja, ao multiplicar os termos da equação apresentada, por uma incógnita “c”, não há como assegurarmos se o equívoco de Reyneau foi multiplicar por “x” o segundo termo ou se a impressão deste termo na primeira equação seria “abx” originalmente, e não “abc", segundo o livro, nesta situação. Sobre erros como o exemplificado, apesar de Agnesi não tecer críticas à obra de Reyneau em seus apontamentos, sabemos que uma das suas principais preocupações estava voltada para o processo de impressão, após a elaboração de sua obra. Em decorrência, ela acompanhou todo esse processo, instalando a tipografia em sua própria residência, o que nos leva a presumir que problemas como estes, eram comuns na ocasião.
201 Em francês lê-se: Par exemple, dans cette équation axx + abc = c3, on peut rendre la grandeu c3 quarré em multipliant chaque membre par c, & l’on aura acxx + abcx = c4 (REYNEAU, ibidem, p. 7) 128
Truesdell (1989, p. 124), ao comentar acerca dos trabalhos de Reyneau e Agnesi, enfatiza que ela tinha um “estômago forte” por elogiar a obra de Reyneau em sua Instituzioni Analitiche (AGNESI, 1748, p. 2), tendo em vista que contemporâneos a ela, já apontavam erros neste tratado202. Clairaut, por sua vez, sustenta em sua Elemens D’Algebre, desde o início de sua exposição, que seu propósito era chegar a uma generalização. Para tanto, seria necessário:
Sempre ir do mais simples ao mais complexo, primeiro eu proponho questões numéricas, porque são aquelas que fixam na maioria das mentes dos iniciantes e, depois de ter resolvido vários problemas que diferem uns dos outros apenas pelos números dados na instrução, é fácil perceber que existe sempre uma parte da operação que é comum em todas as resoluções [...] Aproveito esta oportunidade para explicar o caminho para resolver os problemas em geral, usando, ao invés de números determinados pelas condições, as letras que expressam todos os tipos de grandezas. Então, a partir das das soluções gerais eu obtenho as soluções particulares, através da substituição por números, ao invés de letras (CLAIRAUT, 1746, p.xiv-xv, tradução nossa)203
Desse modo, Clairaut norteia seu trabalho segundo uma ordenação em que se destaca a apresentação das equações, especificamente, a partir do conhecimento do grau das mesmas. Na primeira parte da obra, ele resolve equações de primeiro grau, explicitando inclusive como reduzir frações a expressões mais simples, na segunda parte as equações de segundo grau e na terceira parte as equações de terceiro grau. Na quinta etapa, ele continua com resolução de equações de terceiro grau acrescentando as de quarto grau, mas o maior diferencial da obra de Clairaut em relação às demais é dedicar um dos tópicos de seu trabalho à resolução de equações
202 Truesdell (1989) enfatiza o trabalho de J. L. Greenberg, que lista críticas em relação à obra de Reyneau no artigo “Alexis Fontaine’s integration of ordinary differential equations and the origins of the calculus of several variables”, Annals of Science 29 (1982): 1-36, além das correções efetuadas por Clairaut, em publicação datada de 1728. Temos também, a primeira comunicação de D’Alembert para a Academia de Paris (1739), como já apontamos, se reportando a tais erros.
203 Em francês lê-se: Pour aller toujours du plus simple au plus composé, je ne propose d’abord que des questions numeriques, parce que ce sont celles qui fixent le plus l’esprit des commençans. Après em avoir rèsolu plusieurs qui ne différent les unes des autres que par les nombres donnés dans l’énoncé, on s’apperçoit aisément qu’il y a toujours une partie de l’opération qui se trouve commune dans chaque résolutions [...] je faisis cette occasion d’expliquer la maniere résoudre géneralement les Problèmes, em employant au lieu des nombre donnès par les conditions, des lettres qui expriment toutes fortes de grandeus: & je montre ensuite à tirer des solutions générales les solutions particulieres au moyen de la substituion des nombres à la place des lettres. (CLAIRAUT, 1746, p.xiv-xv) 129
de diversos graus, passíveis de serem simplificadas em equações quadráticas, mediante o recurso das técnicas de substituições. Ao longo de mais de cinquenta páginas dedicadas às equações quadráticas (CLAIRAUT, 1746, pp. 99-134), observamos que Clairaut utiliza a generalização xx + px = q, ao conduzir estas resoluções. De forma diferente de Clairaut, Reyneau e Agnesi, a forma geral Axx = Bx + C ou Axx – Bx = C, é a escolha de Saunderson no tratamento de equações quadráticas. Ou seja, ele considera equações com coeficiente do termo quadrático diferente de um. Sobre isso, após tecer alguns comentários acerca da natureza das raízes das equações, Saunderson divide ambos os membros da equação por A e considera a B C forma geral xx – x = , como também ax2 ± bx ± c = 0, ao final de sua A A argumentação. Contudo, apesar dessa generalização mais próxima da dos dias atuais, de forma similar a Reyneau, não há preocupação por encadear as resoluções de equações, a partir da verificação do seu grau, a priori. A obra de Euler, posterior às demais, apresenta a equação de segundo grau de maneira similar ao modo empregado atualmente, fazendo menção aos coeficientes a, b e c, na forma geral ax2 + bx + c = 0, mas não há preocupação em assegurar que o coeficiente “a” seja diferente de zero. Verificamos nos tópicos V e VI de seu tratado, um grande número de exemplos e exercícios, em que separa as equações incompletas (b = 0 ou c = 0) e completas, respectivamente. Com relação à utilização da geometria nas obras analisadas, atentamos que tanto os estudiosos Saunderson quanto Euler não utilizam tal recurso em suas resoluções de equações, qualquer que fosse o grau. Reyneau não apresenta no anexo de figuras de sua Analyse Demontree, as mesmas utilizadas e propostas por Agnesi, alinhada ao trabalho de Descartes. Embora Reyneau apresente figuras na obra, elas estão no apêndice, e nem sempre possuem referência a seus usos, ao longo das resoluções dos exercícios. O aspecto mais significativo da exposição de Reyneau é apresentar a Álgebra por meio de definições, corolários e axiomas, consoante com o estilo geométrico referenciado por Lorenzo (1971, p. 49). A obra de Clairaut, por sua vez, apesar de não apresentar resoluções analíticas atreladas à geometria, as resoluções das equações de segundo grau apresentadas em sua obra destacam-se pela quantidade de exemplos, e talvez por isso tenha sido 130
utilizada como manual de ensino na França por um longo período. O recurso de “completar quadrados” e a “soma e produto de raízes”, mediante conhecimento de seus coeficientes, se insinua como intersecção entre as obras, de modo generalizado. Quanto às resoluções de equações quadráticas, especificamente na obra de Agnesi, são explicitadas e separadas em quatro possibilidades, como anteriormente comentado. Apresentamos, na sequencia de nosso trabalho os quatro casos, dois a dois, como também o procedimento adotado nas resoluções, além das correspondentes representações geométricas das situações, na obra Instituzioni Analitiche:
3.3.1 Resolução de Equações em Instituzioni Analitiche: Casos I) xx + ax – bb = 0 e II) xx – ax – bb = 0
Agnesi, aborda as duas situações simultaneamente, iniciando pela identificação dos coeficientes “a” e “bb”, referentes aos termos conhecidos na construção geométrica que propõe. 204
Portanto, para construir as duas, a primeira e a segunda, tem-se 1 CA = a, AB em um ângulo reto é igual a b, e com o raio CA se 2 descreve o círculo AED. Do ponto B prolonga-se a linha BD até D, passando pelo centro C; e será BE a quantidade positiva da incógnita, que é a verdadeira raiz, ou a raiz positiva da equação xx + ax - bb = 0, assim como a raiz correspondente à BD será a falsa ou negativa. De modo contrário, BD corresponde à raiz verdadeira, e BE à raiz falsa, na equação xx - ax - bb = 0 (AGNESI, 1748, p. 112; GAETANA, 1801, p. 67, tradução nossa) 205
204 As figuras que apresentaremos no trabalho referem-se às mesmas utilizadas na obra Instituzioni Analitiche inglesa, de 1801.
205 Em língua italiana, lê-se: Adunque per costruire le due, prima, e seconda: si renda CA = ½ a, AB in angolo retto, ed eguale a b, col raggio CA si descriva il circolo AED, e dal punto B si tiri la retta BD terminata ala periferia in D, la quale passi per lo centro C; farà BE il valore positivo dell’ incógnita, cioè la radice vera, o sia positiva dell’ equazione xx + ax – bb = 0, e BD farà la falsa o negativa; siccome all’opposto farà BD la vera, e BE la falsa dell’equazione xx – ax – bb = 0. (AGNESI, op.cit., p. 112) 131
Em linguagem atual, Agnesi constrói uma circunferência (ver Figura 10) a partir 1 de um centro C, com raio AC̅̅̅̅̅, e medida igual a a, identificando o diâmetro da mesma 2 com o coeficiente “a”.
Figura 10 - Representação geométrica equação de segundo grau: Casos I) e II)
Fonte: M.G.Agnesi, Analytical Institutions (1801)
A seguir, a partir de dois pontos D e E, e um ponto B, externo ao círculo, traça um segmento BD̅̅̅̅ que passa pelo centro do círculo. A partir do ponto B, traça também o segmento AB̅̅̅̅, tangente ao círculo, denominando a medida desta distância entre os pontos A e B de “b”, raiz quadrada do coeficiente “bb”, conforme Figura 10. Agnesi finaliza este exemplo, afirmando que a solução positiva da equação é igual ao valor numérico correspondente à medida do segmento BE̅̅̅̅, que seria “x”, e o valor obtido da solução negativa à medida do segmento BD̅̅̅̅. Observamos que a medida do diâmetro do círculo adicionado ao valor da solução positiva é igual ao valor obtido da solução negativa da equação. Esta solução corresponde às raízes da equação xx + ax – bb = 0 (equação I), sendo que, a partir da mudança de sinal do coeficiente “a”, na equação xx – ax – bb = 0 (equação II), estes resultados passam a ser opostos, como Agnesi finaliza:
a aa E, de fato resolver as duas equações, são x = – ± √ + bb e 2 4 a aa a x = ± √ + bb, e pela construção, sabendo que CA = CE = CD = , 2 4 2 aa aa a AB = b, CB é igual a √ + bb, e BE é igual a√ + bb - , quantidade 4 4 2 132
positiva da incógnita na primeira equação e BD tomando como a aa quantidade negativa é igual a – V √ + bb. O mesmo acontecerá 2 4 a aa tomando BD como o valor positivo, igual a + √ + bb, da incógnita 2 4 na segunda equação, e como CB é maior do que CE, EB é igual a a aa – √ + bb, sendo o valor negativo. (AGNESI, 1748, p. 112-113; 2 4 GAETANA, 1801, p. 67-68, tradução nossa)206
Assim, na equação II) a medida do segmento BD̅̅̅̅ corresponde à solução positiva, e à medida do segmento BE̅̅̅̅, ao valor absoluto da solução negativa. A esses
a aa a aa valores Agnesi denomina; x = – ± √ + bb e x = ± √ + bb. 1 2 4 2 2 4 Buscando compreender como Agnesi chegou a esta resolução, observamos que ela utiliza o Teorema de Pitágoras, assim como proposições, axiomas e teoremas a partir da obra de Euclides, na maioria dos exemplos apresentados ao longo de sua obra. Na resolução apresentada ela comenta que o triângulo ABC é retângulo, e assim, presumimos que o procedimento adotado tenha sido o seguinte: Sabendo que o segmento AC̅̅̅̅ corresponde ao raio do círculo e que a medida do diâmetro é igual a a, temos que AC = ½ a. Da mesma forma, o segmento CE̅̅̅̅, que também correponde ao raio do círculo será CE = ½ a. Além disso a raiz positiva, que corresponde à medida do segmento BE̅̅̅̅, é igual a x, logo BE = x e quanto à medida do segmento AB̅̅̅̅, temos que AB = b. Assim, no triângulo retângulo ABC, utilizando o teorema de Pitágoras, verifica-se que: a 2 a 2 ( + x) = ( ) + b2 2 2
a aa 206 Em língua italiana, lê-se: Ed in fatti risolvendo le due equazioni, sono esse x = – ± √ + bb, ed x 2 4 a aa 푎 aa = ± √ + bb e per la costruzione essendo CA = CE = CD = , AB = b, farà CB = √ + bb, e però BE 2 4 2 4 aa a a = √ + bb - , valore positivo dela incógnita nella prima equazione, e BD presa negativa = – – 4 2 2 aa a aa √ + bb., valore negativo. Cosi farà BD presa positiva = + √ + bb, valore positivo dell’ incógnita 4 2 4 a aa nella seconda equazione, e per essere CB maggiore di CE, farà EB negativa = – √ + bb, valore 2 4 negativo. (AGNESI, ibidem, pp. 112-113) 133
a a2 + x = ±√ + b2 2 4
a a2 x = - ± √ + b2 2 4 Segundo observamos, Agnesi refere-se às medidas dos segmentos BE̅̅̅̅ e BD̅̅̅̅, como raízes positiva e negativa respectivamente, e é provável que tenha se utilizado da definição de Reyneau acerca da soma das raízes serem iguais ao oposto do coeficiente do segundo termo (no caso “a”), e seu produto corresponder ao termo independente da equação. Como o termo independente é (–bb), estas equações teriam raízes de sinais contrários, em função de serem multiplicadas. De fato, partindo dessa possibilidade e chamando essas raízes de x1 e x2, temos:
1) No caso da equação xx + ax – bb = 0
Se x1 + x2 = – a, então |x2| = a + x1
Como x2 é uma raiz negativa, com a e x1, valores positivos, temos que:
x2= – a – x1, logo; x2 = – (a + x1), ou ainda |x2| = a + x1
Temos que x1 corresponde ao valor numérico da raiz positiva da equação, e à medida do segmento BE̅̅̅̅, como também o valor numérico “a” corresponde à medida do segmento DE̅̅̅̅. Com isso, tem-se que o valor absoluto do valor
numérico negativo, correspondente a x2, é obtido a partir da adição x2=DE + EB,
logo x2 = DB. Assim, temos que a medida do segmento DB̅̅̅̅, corresponde ao
valor absoluto do valor numérico igual a x2.
2) No caso da equação xx – ax – bb = 0:
Se x1 + x2 = a então |x1| = x2 – a
De maneira análoga ao caso anterior, temos que x2 corresponde ao valor numérico da raiz positiva da equação, e à medida do segmento DB̅̅̅̅, como também o valor numérico “a” corresponde à medida do segmento DE̅̅̅̅. Com isso, tem-se que o valor absoluto do valor numérico negativo, correspondente a x1, é obtido a partir da adição x1 = DB – DE, logo x1 = EB. Assim, temos que a medida do segmento EB̅̅̅̅, corresponde ao valor absoluto do valor numérico igual a x1. Estas observações se mostram relevantes em nosso trabalho, tendo em vista que Descartes, ao ignorar a raiz negativa, apresenta somente o resultado: 134
a a2 z = + √ + b2 (DESCARTES, 1954, p. 13). 2 4
a a2 Agnesi, em contrapartida, além de fornecer a solução x = – ± √ + b2, 2 4 discorre em paralelo quanto às variações de sinais dessas raízes (AGNESI, 1748, p. 113). As demais obras confrontadas neste trabalho fazem referências às duas soluções, porém não recorrem às representações geométricas, mas somente algébricas. Ainda, na resolução deste caso de equação, observamos, por exemplo, na equação I:
xx + ax - bb = 0 xx + ax = bb x(x + a) = bb
x + a b = b x
Ou ainda:
BD BA = BA BE
Atentamos para esta proporção, por observarmos que na expressão com notação geométrica pertinente à Figura 10, o segmento BE̅̅̅̅ equivale à terceira proporcional em relação aos segmentos BD̅̅̅̅ e BA̅̅̅̅. Tal recurso de utilização das terceiras e quartas proporcionais se mostra recorrente ao longo da obra de Agnesi, o que, em linguagem atual, corresponde ao que denominamos “potência de ponto” em circunferências, ainda nos dias de hoje.
135
3.3.2 Resolução de Equações em Instituzioni Analitiche: Casos III) xx + ax + bb = 0 e IV) xx – ax + bb = 0
No segundo grupo de equações, cabe observar que o terceiro termo, que se refere ao produto das raízes, é positivo. Com isso, Agnesi inicia a resolução comentando que as raízes serão ambas negativas, ou ambas positivas: 1 A terceira e quarta fórmula são assim construídas: Tomando CA = a, 2 e AB = b, formando um ângulo reto, tal como nas construções anteriores, descreve-se com o raio CA, o semicírculo ADH, e conduzindo BD paralelo à AC. As duas retas BE e BD serão os dois valores, ou seja, as duas raízes negativas da equação xx + ax + bb = 0, e também as duas positivas da equação xx – ax + bb. (AGNESI, 1748, p. 113; GAETANA, 1801, p. 68, tradução nossa)207
Assim, a partir da construção de um semicírculo ADH, com a medida do raio CA = ½ a, sendo “a” o coeficiente das equações quadráticas, Agnesi inicia a resolução representada pela Figura 11, a seguir:
Figura 11 - Representação geométrica equação de segundo grau: Casos III) e IV)
Fonte: M.G.Agnesi, Analytical Institutions (1801)
207 Em língua italiana, lê-se: La terza, e quarta formola si costruirà così. Presa CA = ½ a, ed AB in angolo retto = b, come nelle costruzioni superiori, e descrito col raggio CA il semicirclo ADH, si conduca BD paralela ad AC, le due rette BE, BD farano i due valori, cioè le due radici negative dell’equazione xx + ax + bb = 0, e le due positive dell’equazione xx – ax + bb = 0 (AGNESI, ibidem, p. 113) 136
Pelo ponto B, Agnesi traça uma linha paralela em relação ao diâmetro AH̅̅̅̅ do semicírculo, denominando o segmento AB̅̅̅̅ de b e as medidas dos segmentos BE̅̅̅̅ e BD̅̅̅̅ correspondendo às duas raízes negativas da equação xx + ax + bb = 0, e também às duas raízes positivas da equação xx – ax + bb = 0.
a a2 Resolvendo a equação tem-se x = – ± √ – b2, no caso das raízes negativas 2 4
a a2 e, x = ± √ – b2, no caso das raízes positivas, como Agnesi finaliza: 2 4
a aa Assim, resolvendo as equações, a terceira raiz será x = – ±√ – bb, 2 4 a aa e a quarta raiz, x = ± √ – bb. Agora, conduzindo as linhas CD, CE, 2 4 aa e CI perpendicular a BD, temos que ID = IE = √ – bb e BE será a 4 a aa raiz negativa e igual a – +√ − bb, o valor negativo da incógnita 2 4 desconhecida na terceira equação, sendo BI maior do que o IE; os negativos dessa mesma terceira equação. O oposto será BD positivo a aa a aa será igual a +√ − bb, e BE positivo será igual a – √ – bb , 2 4 2 4 ambos os valores positivos da incógnita na quarta equação. (AGNESI, 1748, p.113; GAETANA,1801, p.68, tradução nossa)208
Observa-se, nesta resolução, a relação entre as medidas dos segmentos EI̅̅̅̅ , BI̅̅̅̅ e BE̅̅̅̅ , onde verifica-se a igualdade EI = BI - BE. Além disso, presume-se que Agnesi tenha utilizado o triângulo CEI, retângulo em I, utilizando o teorema de Pitágoras, tal qual nas resoluções anteriores:
EI2+CI2=CE2
a aa 208 Em língua italiana, lê-se: Imperciocchè, risolvendo le equazioni, ci dará la terza x = - ±√ – bb, e 2 4 a aa aa la quarta x = ±√ – bb; ora condotte le rette CD, CE, e CI perpendicolare a BD, farà ID = IE = √ − bb, 2 4 4 a aa e però BE negativa = − +√ – bb, valore negativo dell’incognita nella terza equazione, per esser BI 2 4 a aa maggiore di IE; negativo dela stessa terza equazione. All’oposto farà BD positiva = +√ – bb, e BE 2 4 a aa positiva = − √ – bb, ambi i valori positive dell’incognita nella quarta equazione. (AGNESI, idem) 2 4 137
Temos que CI ≡ AB e AB = b, logo CI = b (pelo paralelismo) e, analogamente, sendo CE ≡ CA ≡ BI e, sendo CA = ½ a (correspondendo ao raio do semicírculo), temos entao CE = BI = ½ a. Da igualdade EI = BI – BE, obtemos EI = ½ a – x, correpondendo x à raiz positiva da equação xx – ax + bb = 0, como assegura Agnesi. Assim, substituindo na fórmula anterior temos:
a 2 a 2 ( − x) + bb = ( ) 2 2 a 2 a 2 ( − x) = ( ) − b2 2 2
a a2 − x = ±√ − b2 2 4
a a2 x = ∓ √ − b2 2 4
a a2 Nesta situação, x = +√ − b2 corresponde à raiz relativa à medida do 2 4
a a2 segmento BD̅̅̅̅, e x = − √ − b2, à raiz relativa à medida do segmento BE̅̅̅̅, sendo 2 4 ambas positivas, e relativas às equações xx – ax + bb = 0. Quanto às raízes negativas, obtidas na equação xx + ax + bb = 0, Agnesi não faz referência à figura mas somente insinua que, para obtenção das raízes negativas, é necessário que BE = – x. Substituindo essa correspondência na equação anterior, tem-se:
a a2 − x = ∓ √ − b2 2 4
a a2 x = − ± √ − b2 2 4
Neste caso, da terceira equação, os valores absolutos das raízes negativas
a a2 correspondente à medida do segmento BE̅̅̅̅ é x= − + √ − b2, enquanto o valor 2 4 138
absoluto da raiz negativa correspondente à medida do segmento BD̅̅̅̅ é
a a2 x = − − √ − b2. 2 4 Ao final da resolução deste grupo de equações, Agnesi aventa a possibilidade da existência de raízes opostas, o que pode ocorrer se o segmento BD̅̅̅̅ tangenciar o semicírculo ADH; e o caso em que o segmento AB = b é maior do que o raio do semicírculo, correspondendo à situação em que a reta suporte relativa ao segmento BD̅̅̅̅, é externa ao círculo ADH. Pode acontecer o caso, na construção da Fig. 21209 em que a reta BD não corta, mas toca o círculo ADH, como também o caso em que ela não corta e não toca. No caso em que AC = AB, teremos ½ a = b, e os dois valores da incógnita da equação, BE e BD serão iguais, sendo um positivo e o outro negativo. Não tocará, e nem cortará quando AB é maior do que AC, ou seja, b é maior do que ½ a, e a incógnita, não terá valor, ou seja, serão imaginárias. (AGNESI, p. 114-115, GAETANA, p. 69, tradução nossa)210
Agnesi continua, apresentando a situação comentada, analiticamente:
1 O que se confronta pela resolução analítica, pois quando a = b, tem- 2 aa se que – bb = 0, e os dois valores 4 a aa a aa a a a x = − +√ -b2, x = +√ -b2 serão: x = − , e x = . E quando 2 4 2 4 2 2 2 aa é menor do que b, será √ − b2 , uma quantidade imaginária, e 4 assim, serão imaginários os valores das incógnitas. (AGNESI, 1748, p. 114-115, GAETANA, 1801, p. 69, tradução nossa)211
Contudo, Agnesi não resolve nenhum problema sob essa circunstância. Importante considerar que Descartes (1954) ignora tanto a possibilidade de raízes
209 Numeração adotada na obra original, em relação à Figura 11 de nosso trabalho.
210 Em língua italiana, lê-se: Puó darsi il caso, che nella costruzione della Fig. 21 la retta BD non tagli, ma tocchi il circolo ADH; o che nè lo tagli, nè lo tocchi; lo toccherà quando sai AC=AB, cioè ½ a = b, ed i due valori dell’incognita dell’equazione BE, BD faranno eguali, l’ uno positivo, e l’altro negativo; non lo toccherà, nè lo taglierà quando sai BA maggiore di AC, cioè b maggiore di ½ a, e l’indognita, non avrà valori, cioè faranno immaginarj. (AGNESI, ibidem, p.114-5)
211 Em língua italiana, lê-se: [...]e ciò confronta purê colla rizoluzione analítica, imperchiocchè quando aa a aa a aa a sai ½ a = b, farà – bb = 0, e però id due valori x= - +√ - b2, x = +√ - b2 faranno x = − , e 4 2 4 2 4 2 a aa x = , e quando sia a/2 minore di b, farà √ -b2 quantità immaginaria, e però immaginarj e due valori 2 4 dell’incognita. (AGNESI, idem) 139
negativas, quanto das raízes imaginárias, fazendo somente alusão às mesmas, em sua obra “[...] e se o círculo, com o seu centro no ponto C, passa pelo ponto A, não corta nem tangencia a linha BED, não há nenhuma raiz na equação e podemos assegurar que a construção do problema proposto é impossível” (DESCARTES, 1954, p. 303, tradução nossa)212. Como Lorenzo salienta, há de se considerar que em meados do século XVII os números complexos não tinham “carta de cidadania na matemática” (LORENZO, 1971, p. 80), e as equações que não apresentavam raízes reais eram consideradas “impossíveis”. A respeito da natureza das raízes, Reyneau observa em seu tratado que o coeficiente do segundo termo de uma equação corresponde ao oposto da soma das raízes da equação e, a partir desse pressuposto, ele considera as raízes como negativas e/ou positivas. O estudioso acrescenta que, uma vez que o coeficiente do terceiro termo corresponde ao produto das raízes, quando este número é negativo, consequentemente, uma das raízes também é negativa (REYNEAU, 1708, p. 65). Saunderson por sua vez, em Elements of Algebra, considera as raízes negativas ao trazer exemplos de equações completas e enfatizar que as raízes podem ser inteiras (negativas ou positivas), irracionais ou imaginárias, sendo detalhista nessa explicação. Clairaut não parece se preocupar em ressaltar a existência das possibilidades de diferenças entre as raízes, mas considera tanto a possibilidade das raízes negativas, quanto das racionais e das incomensuráveis, segundo suas palavras (CLAIRAUT, p. 121). Ainda com relação à natureza das raízes, Euler se refere às mesmas ao classificar as equações como completas e incompletas, mas sem referenciar os coeficientes a, b e c, os quais identifica na forma geral ax2 + bx + c = 0, como consequência do sinal das raízes. Contudo, ao abordar as equações incompletas, ele utiliza o método analítico em suas resoluções, salientando que, quando o coeficiente “b” for igual a zero, as
212 Em francês lê-se: Et si le cercle, qui ayant son centre au point N, passe par le point L, ne couppe ny ne touche la ligne droite MQR, il n’y aucune racine em l’Equation, de facon qu’on peut assurer que la construction du probleme proposé est impossible. (DESCARTES, 1954). Os pontos utilizados na figura da obra de Descartes foram N, L, M, Q e R análoga à de Agnesi com pontos C, A, B, E, D, de nossa tradução. 140
possíveis soluções podem ser racionais ou irracionais – mas opostas, e também raízes quadradas negativas, às quais chama “impossíveis” ou “imaginárias”. Para o caso das equações incompletas em que c = 0, ele destaca que uma das raízes será igual a zero (EULER, 1828, pp. 218-19). Com relação à soma e produto das raízes, representados pelos coeficientes das equações, constatamos ao final da explanação de Agnesi, que ela também chega às mesmas conclusões, o que pode ser verificado mediante confronto de seus resultados com as figuras apresentadas. Contudo, ela não se detém a comentários dessa ordem, ao contrário de Reyneau, que é recorrente a esse respeito. A utilização da técnica de “soma e produto de raízes”, enquanto estratégia de resolução, também é utilizada por Clairaut, como anteriormente mencionado. Reyneau, na maioria das resoluções por ele propostas, utiliza técnicas de substituições. No caso de um breve exemplo, ele apresenta a equação escrita na n forma xx – nx + p = 0, e propõe a substituição de x por y, de tal modo que; x = y + . 2 Após uma sucinta resolução com duas substituições, às quais chama de
n n2 “transposição” (REYNEAU, 1708, pp. 87-88), ele considera a raiz x = + √ – p. Ele 2 4 não se refere à outra raiz da equação tendo em vista que seu propósito, nos parece, é explicar a técnica de substituição, e não a equação quadrática que, surge como consequência de sua exemplificação. Esta estratégia de resolução se mostra recorrente ao longo de sua obra. Com relação à resolução da equação de segundo grau, especificamente a representada pela Figura 12, foi empregada em um dos exemplos em que Reyneau utiliza o recurso geométrico. No entanto, embora os resultados se apresentem corretos, não há clareza em sua explanação, principalmente em função dele escrever de forma coloquial e, ao mesmo tempo, buscar por um simbolismo. É provável que essa carência de clareza na obtenção das raízes nos primeiro e segundo casos de resolução de equação quadrática notadamente, ocorra porque as equações possuem raízes opostas. Tais casos se referem às formas xx – dx – bb = 0 e xx + dx – bb = 0, respectivamente. Sobre isso, cabe observar que Reyneau utiliza o recurso geométrico, nomeando as medidas de alguns segmentos segundo os coeficientes das equações. Como as medidas desses segmentos são positivas, talvez para que não ocorresse contradição entre essas medidas e os resultados apresentados como raízes, Reyneau se revela cuidadoso na sua 141
argumentação, mas torna confusa esta explanação. Observamos o que ele explicita a partir de um segmento AB, diâmetro de uma semicircunferência:
1 O problema expressa duas equações, onde tomaremos CD = d, 2 elevaremos a perpendicular DE = b. A partir do centro C, do diâmetro AB tem-se a semicircunferência AEB, com hipotenusa CE. AD será a raiz positiva da primeira fórmula, e DB será a raiz negativa. E o contrário, DB será a raiz positiva da segunda fórmula, e AD será a raiz negativa. (REYNEAU, 1708, L.VIII, p. 18, tradução nossa). 213
Figura 12 - Recurso utilizado por Reyneau na resolução da equação de segundo grau
Fonte: C.Reyneau, L.VIII (1708) - Construção nossa
Em linguagem atual, Reyneau obtém um triângulo retângulo CDE a partir da semicircunferência AEB e, utilizando o teorema de Pitágoras a partir das medidas “b” e “d” fornecidas, encontra as raízes das equações. Contudo, ao resolver as equações, ele procede da seguinte maneira:
2 2 1 Car214 + AD = CD (+ ½ d) + CA ou CE, ou √DC̅̅̅̅̅ + ̅DE̅̅̅ = √ dd + bb, 4 1 ainsi AD = x = ½ d +√ dd + bb , & DB = – CD ou – CE, ou 4 2 2 1 1 – √CD̅̅̅̅ + DE̅̅̅̅ (- √ dd + bb+ CD ( ½ d), ainsi DB = x = ½ d - √ dd + bb, 4 4
1 213 Em francês lê-se: Problêmes exprimez par ces deux équations, c’est-à-dire, ons era CD = d, On 2 élevera la perpendiculaire DE = b. Du centre C ave l’hypothenuse CE, on tracera la demi-cinconference AEB, & on prolongera CD de côté & d’autre jusqu’à la circonference, & AD ser ala racine positive de la première formule, & DB la racine negative. Et au contraire DB ser ala racine positive de la seconde formule, & AD la racine negative. (REYNEAU, op.cit., p.18)
214 Car corresponde a uma conjunção e forma de expressão na língua francesa, que permite apresentar a razão ou explicação do que é formulado. 142
& pour lá seconde formule, il faut prendre la racine negative du côté de 1 DA, & l’on aura x = – DA = – DC ( - ½ d) – CA ou – CE ( - √ dd + bb, 4 1 & la positive x = DB = +CB OU +CE (+√ dd + bb–CD(–½d). 4 (REYNEAU, 1708, L.VIII, p. 18)215
Admitindo a fala de Reyneau, em linguagem atual temos a raiz positiva na primeira equação como soma de dois segmentos:
AD = CD + CA
Como o segmento CA̅̅̅̅ corresponde ao raio da semicircunferência, do mesmo modo que o segmento CE̅̅̅̅, temos então:
AD = CD + CE
Utilizando o teorema de pitágoras no triângulo CDE:
2 2 AD = CD + √DC̅̅̅̅̅ + DE̅̅̅̅
Substituindo as medidas dos segmentos CD̅̅̅̅̅ e DE̅̅̅̅ a partir da hipótese inicial, obtem-se a raiz positiva:
1 1 AD = d +√ dd + bb 2 4 Para calcular a raiz negativa, observamos que Reyneau apresenta o segmento DB̅̅̅̅ como oposto ao segmento CD̅̅̅̅̅ e, de modo análogo, o segmento CE̅̅̅̅. Na síntese da demonstração, ele apresenta:
DB = (– CE) + CD (A) DB = CD + (– CE)
2 2 DB = CD – √CD̅̅̅̅̅ +DE̅̅̅̅ (B)
215 Optamos por não traduzir a resolução de Reyneau tendo em vista que nosso objetivo neste momento é observar sua abordagem sob muitos aspectos, desalinhada, e que explicitaremos melhor, na sequência. 143
1 1 DB = x = d – √ dd+bb 2 4
Assim, em nossa tentativa de decodificar a resolução de Reyneau, verificamos que, de forma não explícita, Reyneau procura apresentar as quantidades negativas obtidas a partir das medidas dos segmentos e seus valores absolutos216, por meio da adição de vetores, apesar de não ser claro em sua forma de se expressar. Por outro lado, ao sugerir o procedimento a ser seguido para obtenção das raízes nos terceiro e quarto casos de equações quadráticas, a partir de um segmento paralelo ao segmento DE̅̅̅̅, Reyneau não se equivoca. Talvez isso ocorra em função do fato das raízes serem ambas positivas, ou ambas positivas, a partir das formas gerais xx – dx + bb = o e xx + dx + bb = 0, respectivamente. Clairaut por sua vez, resolve inúmeros exemplos de equação quadrática a partir de cálculos aritméticos, adotando a forma geral xx + px = q. A seguir, um exemplo de sua abordagem, empregando x2 + px = q, de modo dialogado:
Qualquer equação do segundo grau, podemos resolver sem a comparação termo a termo com a equação geral xx + px = q, e sem aumentar o cálculo, repetir o mesmo procedimento que se segue para resolver esta equação geral. Devemos acrescentar ao primeiro e ao segundo membro, o quadrado da metade do que multiplica x, e em seguida, tirar a raiz quadrada de ambos os lados. Temos, por exemplo, a equação xx + 8x = 9 somando com 16, que é o quadrado da metade de 8, xx + 8x + 16 = 9 + 16 = 25. Em seguida, temos as duas raízes x + 4 = ± 5, isto é, x = − 4 ± 5 ou x = − 9 ou x = 1, e estes dois valores resolvem a equação xx + 8x = 9 (CLAIRAUT, 1749, p. 109-110, tradução nossa)217.
Observamos que a escolha pela utilização da técnica de “completar quadrados” para a obtenção da raiz da equação, ao invés da utilização da comparação entre os
216 Observando principalmente a substituição do segmento com mudança de sentido nas fórmulas destacadas (A) e (B) que originalmente tem medida ½ d, mas não faz o mesmo com o segmento de medida b.
217 Em francês lê-se: Lorsqu’on a une equation quelconque du second degré, on peut la résoudre sans la comparer terme à terme avec l’equation generale xx + px = q, caro n peut, sans augmenter le calcul, répéter la même procedé qu’on a suivi em resolvant cette equation générale. Il ne faut pour cela qu’ajouter aux deux member le quarré de la moitié de ce qui multiplie x dans le second terme du premier membre e prendre ensuite la racine quarrée des deux membres. Qu’on ait, par exemple, à résoudre l’Equation xx + 8x = 9, em ajoutant desdeux côtes 16, quarré de la moitié de 8, on a xx + 8x + 16 = 9 + 16 = 25. Et prenant ensuite la racine des dux côtés, on a x + 4 = 5, c’est-à-dire x = − 4 + 5 ou x = − 9 e x = 1, e ces deux valeurs resolvente également l’equation xx + 8x = 9. (CLAIRAUT, op. cit., pp. 109-10) 144
termos pela observação dos possíveis resultados pela “soma e produto de raízes”, se mostra mais atraente para Clairaut. Temos sua resolução, em simbologia atual:
x2 + 8x = 9 x2 + 8x + 16 = 9 + 16 (x + 4)2 = 25 x + 4 = ±√25 x = − 4 ±5 x = 1 ou x = – 9
Apesar da obra de Clairaut apresentar elementos que a tornam próxima à Instituzioni Analitiche, não traz uma aproximação cartesiana a partir da geometria contudo, em oposição à Agnesi. Saunderson, em Elements of Algebra, também utiliza o recurso de “completar quadrados” de modo recorrente, para resolver equações quadráticas, O estudioso emprega este recurso para generalizar a resolução da equação quadrática segundo a forma geral Axx = Bx + C, obtendo o valor ss = BB + 4AC. Segundo ele, esta última igualdade corresponderia a um “teorema geral para resolver todos os casos de equação de segundo grau”. Nos exercícios apresentados como exemplos, Saunderson (1756, pp. 183-4) parte da suposição de “ss” para resolvê-los. Dentre os inúmeros casos resolvidos selecionamos a equação:
6xx = 5x – 1
Saunderson inicia a resolução a partir da identificação dos coeficientes da equação:
A = 6, B = 5, C = – 1, BB = 25, 4AC = – 24
Na resolução, propriamente, ele obtem o valor de ss:
ss = BB + 4AC = 25 – 24 = 1
145
A partir do resultado de s = 1, ele substitui na relação a seguir, e obtém as raízes da equação:
B + s 5 + I 1 B - s 5 - 1 1 = = e = = 2A 12 2 2A 12 3
Constatamos que sua resolução é similar ao que fazemos nos dias atuais. O que Saunderson considera “ss”, corresponde ao discriminante da equação quadrática que simbolizamos com a letra ∆. Como o termo independente está no segundo membro da equação, Saunderson chama ss = BB + 4AC, enquanto atualmente consideramos ∆ = bb – 4ac. Na sequência resolutiva, as raízes obtidas correspondem
2 − b ± √b − 4ac à utilização da forma x = . 2a Nos exemplos posteriores, Saunderson continua resolvendo equações com coeficientes de xx diferentes de um, como também equações que resultem raízes irracionais, às quais chama raízes “inexprimíveis”, e as complexas, que denomina raízes “impossíveis”. Euler, por sua vez, após explicação teórica de equações, apresenta algumas equações expressas sob a forma de problemas, e as resolve, nos moldes que fazemos atualmente, deixando seis destes exercícios como tarefa, com suas correspondentes respostas. Ele considera as equações completas como equações “mistas”, definindo- as da seguinte forma:
Equação do segundo grau é dita ser mista, ou completa, quando possui três termos; ou seja, o que contém o quadrado da quantidade desconhecida, como ax2, aquele em que a quantidade desconhecida é encontrada somente no de primeira potência, como bx; e, por último, o termo que é composto por quantidades conhecidas. E podemos unir dois ou mais termos do mesmo tipo, e trazer todos os termos para um lado do sinal =, a forma geral de uma equação mista do segundo grau será ax2 ± bx ± c = 0 (EULER, 1828, p. 222, tradução nossa) 218
Verificamos que sua definição é mais próxima aos dias atuais, sendo o único dentre os autores analisados neste trabalho a apresentar uma definição nestes
218 Em língua inglesa, lê-se: Equation of the second degree is said to be mist, or complete, when three terms are found in it; namely, that which contains the square of the unknown quantity, as ax2, that, in which the unknown quantity is found only in the first power, as bx; and, Iastly, the term which is composed of known quantities. And since we may unite two or more terms of the same kind into one, 146
termos. Provavelmente por ter sido elaborada em um momento posterior e o método analítico ter se mostrado mais amadurecido. Contudo, apesar de considerar a forma geral, na sequência de sua explanação, Euler discute também a forma geral x2 + px = q, ressaltando que o primeiro membro da equação não tem raiz quadrada, e aproveita para fazer alusão a uma observação de um capítulo precedente, em sua obra219. Após esta observação, ele conduz a resolução de tal modo que a obtenção da raiz se efetive por intermédio da estratégia
1 p2 de uso do método de “completar quadrados”, obtendo a fórmula x = – p ± √ + q 2 4 (EULER, 1828, p. 223). Assim, apesar de considerar a forma geral mais próxima do que fazemos nos dias de hoje, verificamos que a estratégia de “completar quadrados”, mesmo com coeficientes diferentes, foram utilizadas tanto por Agnesi quanto pelos demais autores estudados, o que nos permite inferir que tais procedimentos eram usuais ao longo do setecentos. Por outro lado, não há como desconsiderar o cárater didático observado na obra de Euler, mesmo que comparada somente em alguns pontos, com as demais. A quantidade de problemas propostos para resolução é maior, como também a clareza e detalhamento expressos nas resoluções do estudioso. Dentre alguns destes problemas, extraímos o exemplo a seguir: “Há dois números sendo que um excede o outro em 6, e seu produto é igual a 91. Quais são estes números?” (EULER, 1828, p. 225)220 Nessa situação, Euler chama o primeiro número de x, o segundo de (x+6) e resolve a equação x.(x + 6) = 91 a partir da forma geral x2 + px = q, obtendo x2 + 6x = 91. Em seguida Euler substitui os valores p = 6 e q = 91, na fórmula resolutiva
1 p2 x = – p ± √ + q : 2 4
and bring all the terms to one side of the sign =, the general form of a mixt equation of the second degree will be ax2 ± bx ± c = 0. (EULER, 1828, p. 222)
219 Neste caso trata-se do Art. 307, p. 97. Neste artigo Euler considera o quadrado perfeito, ou seja, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
220 Em língua inglesa, lê-se: There are two numbers, the one exceeds the other by 6, and their product is 91: What are those numbers? (Euler, ibidem, p. 225) 147
1 62 x = – .6 ±√ + 91 2 4
x = – 3 ± √9 + 91 x = – 3 ± 10
x1 = 7 ou x2 = – 13
Como a questão admite duas soluções, Euler finaliza substituindo os valores, a partir da hipótese inicial concluindo que os números são 7 e 13 ou – 13 e – 7. Não somente por ter sido o último trabalho publicado dentre os analisados, a obra de Euler se destaca dentre as demais pela linguagem mais próxima à que hoje é utilizada, tanto coloquial quanto matemática, mas, sobretudo, mediante maior utilização de símbolos algébricos. Tais aspectos a aproximam da nossa Álgebra atual221. Sobre isso, D’Ambrosio destaca que:
Euler é considerado um dos pioneiros da iconografia, compreendida como o estudo das representações figuradas, tais como símbolos e imagens, sem levar em conta o valor estético que possam ter [...] A força argumentativa de uma representação simbólica fica bem ilustrada pelo número de contribuições de Euler ao que hoje consideramos símbolos matemáticos [...] A força dos símbolos, como expressão de uma verdade (verdade de acordo com critérios pré- estabelecidos), que é um importante aspecto da iconografia. (D’AMBROSIO, 2009, p. 19)
Ainda, LaPenha (1989, p. 58) observa que a obra de Euler, Elements of Algebra, foi o livro mais lido, dentre todos em matemática, após os Elementos de Euclides, sendo impresso pelo menos trinta vezes, em três edições e em sete idiomas. A edição brasileira de 1809 foi utilizada para uso como compêndio do curso matemático da então Academia Real Militar. Assim, frente a essa demanda, não nos parece haver dúvidas de que, havia a necessidade de obras sobre matemática pura, no setecentos.
221 Importante salientar que foge ao objetivo do nosso trabalho advogar por uma história cronológica, porém, ratificar que a álgebra setecentista se mostrava em processo de transformação. Lembramos que o “tempo da história das ciências não poderia ser um fiozinho lateral do curso geral do tempo [...] o tempo do aparecimento da verdade científica, o tempo da verificação, tem uma liquidez ou uma viscosidade diferente para disciplinas diferentes”. G.Canguilherm (2012, p. 13) 148
149
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
A empreitada por dimensionar a relevância do trabalho de Agnesi constituiu trabalho delicado, pois tivemos que considerar, dentre inúmeros aspectos, a intensa produtividade de escritos do período, não restrita ao âmbito da matemática (MINONZIO, 2006, p.20). Embora Agnesi referencie a obra de Reyneau, Analyse Demontrée, em sua Instituzioni Analitiche, e não se reporte aos seus erros, é provável que estes aspectos tenham sido por ela considerados, visto que, em nossa análise da obra, apesar de pontual, também observamos que o tratado de Reyneau, em relação aos demais, se mostra carente de clareza e com conteúdos expostos de forma fragmentada. Sobre isso, Agnesi, dentre os estudiosos elencados neste trabalho, ao declarar seus propósitos em escrever Instituzioni Analitiche, enfatiza reiteradamente, a necessidade de clareza, e é dessa forma que a predileção de Agnesi pela matemática pura se manifesta em seu tratado: mediante tratamento cartesiano detalhado, e mais contundente que o tratamento dado por seus contemporâneos de outras regiões, às suas obras. Sobre tais materiais analisados em nosso trabalho, constatamos a abordagem de conceitos similares e também escritos sob a ótica da então matemática pura, apresentando em suas respectivas singularidades, tanto diferenças quanto similaridades. Verificamos que alguns desses tratados se aproximavam mais do método sintético, construindo uma matemática sob a égide da geometria euclidiana, mesmo sob a proposta de escrever sobre a análise; enquanto outros apresentam abordagem mais próxima da que fazemos nos dias de hoje, com artifícios de resolução mais familiares aos nossos. Apesar dessas particularidades podemos identificar que houve um predomínio do estilo algebraico-cartesiano tal como foi apontado por Lorenzo (1971, pp. 79-93), em seu estudo. Considerando que, ao longo do século XVIII, esse deslocamento da geometria para análise algebrizada seria, sob muitos aspectos, consequência de esforços de estudiosos da época, que objetivavam a resolução de problemas da mecânica (HANKINS, 2002, p.20-21), o modus operandus de Agnesi em sua obra, nos conduziu a uma reflexão quanto à nossa forma de construir conhecimento matemático. 150
Se por um lado Agnesi escolheu o enfoque pela matemática pura, em detrimento à busca por resolução de problemas mecânicos, aliada à utilização do método sintético em inúmeros momentos de seu trabalho; por outro lado, ela utilizava a análise em suas resoluções, essencialmente algébricas. Agnesi não se detinha em demonstrações, axiomas ou definições geométricas características do estilo geométrico, tal como observa Lorenzo (1971, p.49), mas utilizava a geometria como um recurso, uma vez que ela primava pelo uso da Álgebra. Além disso, ela recorria à língua italiana para tornar mais clara suas resoluções, e favorecer o interlocutor, italiano. Assim, provavelmente o principal objetivo de Agnesi tenha sido, com efeito, introduzir e disseminar o Cálculo e a Análise em Milão, em um momento em que a matemática se mostrava em fluxo. O fato de Agnesi ter publicado um tratado de matemática pura é um indício de que a matemática começava a adquirir contornos próprios e a ganhar autonomia, principalmente a partir da manipulação de técnicas e recursos próprios, favorecendo à construção de conhecimentos essencialmente matemáticos. A esse respeito, assinalamos não somente como exemplo a obra de Euler, verificada em nosso trabalho, mas todo o corpo de publicações desse estudioso. La Penha (1989, p. 42) destaca que um terço da produção científica de Euler era considerado matemática pura, o que naquele período não era pouco, visto que a demanda, supostamente, era para as matemáticas mistas. Tais fatos evidenciam que a matemática começava a especializar-se. Igualmente, tanto o volume de edições da obra de Euler, como o fato de Lagrange e Soresi, apontados em nosso trabalho, terem se beneficiado do tratado matemático de Agnesi, podem ser tomados como indícios de que uma obra escrita sob uma perspectiva diversa da usual, também cumpria seu papel de propiciar a divulgação da Análise, pois encontrava adeptos. No caso de Agnesi, em solo italiano. Dos fatores que poderiam ser considerados determinantes com relação à sua escolha por escrever sobre matemática pura, sabemos que a preocupação com relação aos fundamentos da Análise e do Cálculo crescia ao longo do século XVIII. Mediante isso, é provável que o fato de Rampinelli ter se restringido em elaborar escritos sobre matemáticas mistas e tê-los utilizados como manuais de estudo para seus alunos, tenha acabado por estimular Agnesi a escrever sobre matemática pura. Ademais, os escritos de seu tutor não foram publicados, e não havia em território 151
italiano, material de estudo escrito sob a mesma perspectiva de Agnesi, como evidenciamos em nossa pesquisa. Paralelo a tais fatos, constatamos também que a formação de Agnesi estava estreitamente vinculada ao “Catolicismo Iluminado”, daquele período. Agnesi compartilhava dos ideais deste movimento, que defendia, dentre outros pontos, o interesse em renovar a vida religiosa através do retorno a uma teologia pura e original, associada às novas realizações da filosofia natural que, então, emergiam. Contudo, é preciso ainda desenvolver outras investigações para podermos compreender a influência dos princípios defendidos pelo “Catolicismo Iluminado” na composição da Instituzioni Analitiche. Assim, sugerimos para possíveis estudos futuros, análises específicas sobre o trabalho de Rampinelli, no sentido de compreender com mais propriedade a natureza desse movimento e sua relação com as matemáticas, bem como sobre a reforma educacional italiana daquele período em que Michele Casati e Tagliazucci tiveram importante papel. Apesar de não fazer referência explícita a Tagliazucci na sua obra matemática, sobretudo em relação ao tratamento dado à resolução das equações de segundo grau, constatamos o cuidado de Agnesi em relação à transição entre a utilização do “particular e concreto”, para o “geral e abstrato”, se aproximando do apregoado pelo tutor Tagliazucci. Da mesma forma, a relação de Institutizioni Analitiche e os trabalhos de Lagrange, estudioso que, além de tê-la estudado, buscou consultar Agnesi, mesmo que de modo infrutífero222, e do educador Soresi, cujo legado também aventa possibilidades de desdobramentos de nossa pesquisa. A trajetória e obras desses personagens sugerem uma estreita relação passível de ser estabelecida entre o trabalho de Agnesi e o interesse pelo estudo da Análise, em Milão, naquele período. Não obstante a necessidade de respeitarmos os quadros contextuais e epistemológicos em que cada obra se insiria, também se mostra relevante um olhar mais acurado à tradução inglesa de Institutizioni Analitiche, publicada meio século depois, em 1801, sob o título Analitical Institutions in Four Books. A exposição dialogada empregada por Agnesi em Institutizioni Analitiche, aliada à apresentação e a organização dos tópicos supostamente facilitadores ao estudo da Análise, quando
222 Na ocasião ela já havia abandonado a matemática, se posicionando de modo avesso a contatos dessa natureza. 152
comparada à tradução inglesa, que divide os tópicos de modo sintetizados e não se mostrando uma tradução literal, nos revela que esse “fazer matemático” por ela proposto, já havia adquirido novas feições, ao final do século XVIII. Apesar de tais mudanças, consideramos que o significado assumido pela obra de Agnesi, pode ser apropriado nas atuais reflexões sobre o ensino de matemática. Na medida em que o resgate de documentos originais propicia um diálogo entre o passado e o presente, a obra Instituzioni Analitiche há de servir como um instrumento concorrente à melhor compreensão da produção humana e do próprio conhecimento matemático223. Em paralelo a estas considerações, admitimos a equação do segundo grau como um objeto que “traz encapsulado os problemas que ficaram pelo caminho, no processo de sua constituição”, como afirma Roque (2014, p. 184). Nesse sentido, a obra de Agnesi assume um caráter representativo a esse respeito, tornando tal percurso, passível de ressignificação, mesmo que sob uma égide em que tempus regit actum. No âmbito específico do ensino de matemática, o caminho de resolução da equação de segundo grau de Agnesi, explicitado em Instituzioni Analitiche, nos conduziu à percepção da mobilização de outros conhecimentos não circunscritos ao percurso usual de resolução, observado nos dias atuais, em que se utiliza principalmente, a fórmula resolutiva224. Diferenciais como estes, viabilizam e permitem que estudantes de matemática reflitam e busquem respostas quanto às possíveis relações que os objetos matemáticos mantêm com as situações que os representem, de forma mais efetiva. Nossa investigação revelou também que, no processo da construção do conhecimento estão envolvidos outros fatores, que não são apenas matemáticos, favorecendo a articulação entre história e ensino nesse sentido. Esta consideração
223 Mais a esse respeito verificamos por exemplo, que o estudo de J.M.Alexander, Decision theory meets the Witch of Agnesi (2012) aponta uma interessante aproximação entre o trabalho de Agnesi, especificamente a curva que leva seu nome, e estudos atuais em probabilidade. O trabalho de A.Castañeda, “Formacion de um discurso escolar: el caso del máximo de uma función em la obra de L’Hôpital y Maria G.Agnesi” (2006), por sua vez, traz uma análise socioepistemológica em que se destaca o processo de formação do discurso, os elementos que o pontuam, e o tratamento didático do fenômeno de difusão do saber, verificado em tais obras.
224 Nas situações apresentadas neste trabalho observamos nas resoluções de equações quadráticas a utilização de: Razão e proporção entre segmentos, Relações métricas em triângulos retângulos, Potência de Ponto externo e tangente a uma circunferências, Teorema de Pitágoras, dentre outras. 153
constítui um elemento provocador e importante para a formação do professor, contribuindo para desmistificar a ideia ingênua de história da matemática, que se apresenta inúmeras vezes, a partir de visões estereotipadas dos matemáticos do passado, dissociados de suas características essencialmente humanas. Reflexões acerca da busca pela ascensão social ou interesses em que prevaleçam questões religiosas, por exemplo, são particularidades que a análise da obra de Agnesi nos permitiu descortinar. Assim, esperamos que nosso trabalho, em que priorizamos um estudo crítico do contexto histórico e interpretação das implicações sociais da matemática nesse contexto, reverbere na esfera da Educação Matemática, no sentido de fomentar indagações, considerações e reconsiderações, acerca do processo de produção do conhecimento matemático, desvelando novas possibilidades.
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APÊNDICE A – Correspondências de Maria Gaetana Agnesi (1718- 1799): BAM - Biblioteca Ambrosiana de Milão
Apresentamos a seguir, uma síntese das correspondências de Maria Gaetana Agnesi que se encontram disponíveis para consulta junto a Biblioteca Ambrosiana de Milão. O envio de cópia desse material é passível de consulta prévia, havendo a necessidade de pagamento (variável conforme a correspondência), além de carta avalizada por instituição de pesquisa.
1. O 180 sup. Agnesi, Maria Gaetana: Collezione di vocaboli greci coi vocaboli latini corrispondenti scritta di sua mano per propria istruzione 2. O 181 sup.Agnesi, Maria Gaetana: Collezione di vocaboli greci coi vocaboli latini corrispondenti scritta di sua mano per propria istruzione 3. O 182 sup. Agnesi, Maria Gaetana: Collezione di vocaboli ebraici coi latini corrispondenti, scritta di sua mano per propria istruzione 4. O 183 sup.Opuscolo mitologico d'incerto autore tradotto in greco da Maria Gaetana Agnesi e scritto di sua mano per propria istruzione 5. O 184 sup.Freinsheim, Iohann <1608-1660> I due libri di supplemento a Quinto Curzio colla traduzione in italiano, francese, tedesco e greco di Maria Gaetana Agnesi e scritti di sua mano 6. O 185 sup.Agnesi, Maria Gaetana: Corso di filosofia seguito da Maria Gaetana Agnesi nella prima sua età: metafisica e fisica 7. O 186 sup.Agnesi, Maria Gaetana: Corso di filosofia seguito da Maria Gaetana Agnesi nella prima sua età: fisica 8. O 187 sup. Agnesi, Maria Gaetana: Corso di filosofia seguito da Maria Gaetana Agnesi nella prima sua età: fisica 9. O 188 sup.Agnesi, Maria Gaetana: Corso di filosofia seguito da Maria Gaetana Agnesi nella prima sua età: fisica 10. O 189 sup.Agnesi, Maria Gaetana: Corso di filosofia seguito da Maria Gaetana Agnesi nella prima sua età: fisica 11. O 190 sup.Agnesi, Maria Gaetana: Corso di filosofia seguito da Maria Gaetana Agnesi nella prima sua età: fisica 12. O 191 sup.Agnesi, Maria Gaetana: Corso di filosofia seguito da Maria Gaetana Agnesi nella prima sua età: fisica 179
13. O 192 sup. Studi di Fisica Matematica seguiti da Maria Gaetana Agnesi 14. O 193 sup. Duae dissertationes de telluris figura et de viribus corporum quae moventur 15. O 194 sup.Studi di gnomonica seguiti da Maria Gaetana Agnesi 16. O 195 sup.Studi di cosmografia seguiti da Maria Gaetana Agnesi nella prima sua età 17. O 196 sup.Studi di geometria di Maria Gaetana Agnesi nella sua prima età 18. O 197 sup.Agnesi, Maria Gaetana: Compendium Ethicae sive Studi di etica seguiti da Maria Gaetana Agnesi nella prima sua età e scritti di sua mano 19. O 198 sup Agnesi, Maria Gaetana <1718-1799> Repertorio di diverse tesi sostenute in diverse accademie tenute nella propria casa 20. O 199 sup.: unità codicologica 1 Agnesi, Maria Gaetana: Equatio propositionis 4., lib. 9., p. 302., operis De sectionibus conicis Marchionis Hospitalii 21. O 199 sup.: unità codicologica 2 Agnesi, Maria Gaetana <1718-1799> Tavola, figura A 22. O 199 sup.: unità codicologica 3 Agnesi, Maria Gaetana <1718-1799>Tavola, figura B 23. O 199 sup.: unità codicologica 4 Agnesi, Maria Gaetana <1718-1799> Tavola sulla misura delle forze motrici 24. O 199 sup.: unità codicologica 5 Agnesi, Maria Gaetana <1718-1799> Studio, inc. La celebre questione della misura delle forze motrici fu primieramente... 25. O 199 sup.: unità codicologica 6 Agnesi, Maria Gaetana <1718-1799> Studio sui fenomeni naturali, inc. Ac ita quidem phenomenon habuit in quo duo praeterea stuporem... 26. O 200 sup.: unità codicologica 1Belloni, Carlo
29. O 200 sup.: unità codicologica 4 Brancone, Serafino
43. O 201 sup.: unità codicologica 49 Lettera a Maria Gaetana Agnesi, 27 settembre 1749, inc. Je n'ay recu qu'hyer l'exemplaire... 44. O 201 sup.: unità codicologica 3 Beccari, Iacopo Bartolomeo <1682-1766> Lettera a Maria Gaetana Agnesi, Bologna 12 maggio 1747, inc. Io m'era proposto di umiliare molto prima... 45. O 201 sup.: unità codicologica 5 Gravina, Giovanni Girolamo
57. Lettera a Maria Gaetana Agnesi, Bologna 6 ottobre 1750, inc. Ricevo in questo punto da uno di questi segretari... 58. O 201 sup.: unità codicologica 28 Gravina, Giovanni
69. O 201 sup.: unità codicologica 35 Casati, Michele <1699-1782> Lettera a Maria Gaetana Agnesi, Milano 1739, copia, inc. Dum montem vigiliarum proficiscebar redditae... 70. O 201 sup.: unità codicologica 39 Rampinelli, Ramiro <1697-1759> Lettera a Maria Gaetana Agnesi, Milano 1749, copia, inc. Litteras tuas perelegantes... 71. O 201 sup.: unità codicologica 38 Rampinelli, Ramiro <1697-1759> Lettera a Maria Gaetana Agnesi, Milano 1749, copia, inc. Ut latinas ad te litteras citius dare... 72. O 201 sup.: unità codicologica 48Saxe, Hermann Maurice : de <1696-1750> Lettera a Maria Gaetana Agnesi, ottobre 1749, inc. Je ne seaurois mademoisell me refuser... 73. O 201 sup.: unità codicologica 32Luchi, Bonaventura <1700-1785> Lettera a Maria Gaetana Agnesi, Padova 1 aprile 1752, inc. Pria che mi arrivasse la graziosa lettera 74. O 201 sup.: unità codicologica 23 Luchi, Bonaventura <1700-1785> Lettera a Maria Gaetana Agnesi, Padova 24 (?) 1750, inc. Ricevo in foglio volante ma segnato dal carattere... 75. O 201 sup.: unità codicologica 12 Poleni, Giovanni <1683-1761> Lettera a Maria Gaetana Agnesi, Padova 5 luglio 1749, inc. Ho ricevuti già qualche giorno li due tomi dell'insigne esimia opera... 76. O 201 sup.: unità codicologica 50 Lettera a Maria Gaetana Agnesi, Parigi 1 ottobre 1749, inc. La lettre que vous m'aves fait l'honneur... 77. O 201 sup.: unità codicologica 46 Grandjean de_Fouchy, Jean Paul <1707- 1788> Lettera a Maria Gaetana Agnesi, Parigi 13 dicembre 1749, inc. L'Academie à reccu l'exemplaire... 78. O 201 sup.: unità codicologica 47 Fontanieu, Pierre Elisabeth : de <1730-1784> Lettera a Maria Gaetana Agnesi, Parigi 15 dicembre 1749, inc. L'Academie Royale des Sciences de Paris ayant repris... 79. O 201 sup.: unità codicologica 45 Montigny, Etienne Mignot : de <1714-1782> Lettera a Maria Gaetana Agnesi, Parigi 8 dicembre 1749, inc. Permettes moi mademoiselle de joindre mon hommage... 80. O 201 sup.: unità codicologica 22 Adami, Francesco Raimondo <1711-1792> Lettera a Maria Gaetana Agnesi, Pisa 12 gennaio 1750, inc. Quantunque il signor abate... 184
81. O 201 sup.: unità codicologica 36 Jacquier, Francois <1711-1788> Lettera a Maria Gaetana Agnesi, Roma 13 luglio 1749, inc. Eram quam excellis in rebus mathematicis... 82. O 201 sup.: unità codicologica 34 Manara, Francesco Maria
93. O 201 sup.: unità codicologica 19 Cervellon,
107. O 202 sup.: unità codicologica 1Accademia dei Filodossi
118. O 204 sup.: unità codicologica 7 Agnesi, Maria Gaetana: Elogio di Ramiro Rampinelli della congregazione di Monte Oliveto, inc. E' un antico lodevolissimo istituto, e costume de' giornalisti... 119. O 204 sup.: unità codicologica 5 Agnesi, Maria Gaetana: Lettera a Giovan Battista Bertucci, inc. Non posso esprimere abbastanza con quanto piacere... 120. O 204 sup.: unità codicologica 3 Agnesi, Maria Gaetana <1718-1799> Osservazioni sull'opuscolo di Giovanni Battista Bertucci intitolato "De telluris ac siderum vita". Apografo, febbraio 1738, inc. Che avrà mai detto Vossignoria di tanto ritardar... 121. R 118 inf. Carcano, Giulio <1812-1884> Memorie di grandi e di amici 122. X 281 inf. Agnesi, Maria Gaetana: Copia di pergamena dell'Archivio di San Babila, 6 ottobre 1480, in Miscellanea Pietro Mazzucchelli
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APÊNDICE B – Índice da obra Instituzioni Analitiche Ad Uso Della Gioventú Italiana - 1748
VOLUME I Livro 1 – Da Analise de Quantidades Finitas
Capítulo I – Das primeiras notícias, e operações Da Analise de Quantidades Finitas Capítulo II – De Equações, e de Problemas planos determinados Capítulo III – Da Construção de Lugar Geométrico e de problemas indeterminados que não excedam ao de segundo grau Capítulo IV – Das equações e de Problemas Sólidos Capítulo V – Da construção de Lugares que superam o segundo grau Capítulo VI – Do Método de Máximos, e Mínimos, das Tangentes de Curvas, de Flexões fazendo uso somente da Geometria Cartesiana
VOLUME II Livro 2 – Do Cálculo Diferencial Capítulo I – Da ideia de Diferencial de diversas ordens e do Cálculo das mesmas Capítulo II – Do Método das Tangentes Capítulo III – Do Método dos Máximos e Mínimos Capítulo IV – Das Fluxões Capítulo V – Das Evoluções
Livro 3 – Do Cálculo Integral Capítulo I – Das Regras de Integração expressas na forma da álgebra finita, ou reduzidas as quadraturas Capítulo II – Das Regras de Integração fazendo uso das séries Capítulo III – Do uso Retificações de Curva, Quadratura de Espaços, Superficies e Volume de Sólidos. Capítulo IV – Do Cálculo da Quantidade Logaritmica e Exponencial
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Livro 4 – Do Método Inverso da Tangente Capítulo I – Da Construção de Equações diferenciais de primeiro grau, sem qualquer separação prévia de Indeterminado Capítulo II – Da Construção da Equações diferenciais de primeiro grau por meio de separação prévia de Indeterminado Capítulo III – Da Construção de outras Equações mais limitadas por meio de várias substituições Capítulo IV – Da Redução de Equações diferenciais de segundo grau
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APÊNDICE C – Questões de George Berkeley na Obra O Analista ou discurso sobre um matemático infiel (1734)
A tradução do texto O Analista ou discurso sobre um matemático infiel, utilizada em nosso trabalho e publicada em 2010 foi realizada principalmente a partir do texto editado por A.A.Luce e T.E.Jessop (Berkeley, 1979) assim como um cotejamento com a edição elaborada por D.Jesseph (Berkeley, 1992). Três outras traduções foram utilizadas: duas foram na língua francesa, realizadas por André Leroy (Berkeley, 1936) e por Michel Blay (Berkeley, 1999) e a outra tradução em espanhol, realizada por José A.Robles (Berkeley, 2006).
Algumas questões: pp. 666-674
Questão 1: As proporções entre extensões assinaláveis não constituiriam o objeto da geometria? Haveria alguma necessidade de considerar quantidades como infinitamente grandes ou como infinitamente pequenas?
Questão 2: A finalidade da geometria não seria medir a extensão finita e assinalável ? Não seria esse objetivo prático aquilo que primeiro conduziu o homem ao estudo da geometria?
Questão 3: Equívocos cometidos com relação ao objeto e à finalidade da geometria não teriam gerado dificuldades desnecessárias e buscas mal orientadas nessa ciência?
Questão 4: Os homens poderiam dizer propriamente que agem segundo um método científico sem que concebam claramente o objeto de que se ocupam, a finalidade a que se propõem e o método mediante o qual realizam a sua investigação?
Questão 5: Não seria suficiente [admitir] que qualquer número assinalável de partes possa estar contido em qualquer grandeza assinalável? Não seria desnecessário, assim como absurdo, supor que a extensão finita seja infinitamente divisível?
Questão 6: Em uma demonstração geométrica, os diagramas não deveria ser considerados signos de todas as possíveis figuras finitas, de todas as extensões ou magnitudes do mesmo tipo sensíveis e imagináveis? 194
Questão 7: Seria possível livrar a geometria de dificuldades e absurdos insuperáveis supondo que seu objeto verdadeiro seja a ideia abstrata geral de extensão ou a extensão externa absoluta?
Questão 8: As noções de tempo absoluto, espaço absoluto e movimento absoluto não pertenceriam à metafísica mais abstrata? Para nós, seria possível medi-los, calculá- los ou conhecê-los?
Questão 9: Os matemáticos não se engajam em disputas e paradoxos acerca do que eles não concebem nem podem conceber? A doutrina das forças não seria uma prova suficiente disso?
Questão 10: Na geometria não seria suficiente considerar a magnitude finita assinalável, sem nos envolvermos com o infinito? Não seria mais correto, em lugar de curvas, medir grandes polígonos de lados finitos, evitando assim supor que essas curvas sejam polígonos de lados infinitesimais, suposição essa que não é nem verdadeira nem concebível?
Questão 11: Muitos pontos que não são prontamente aceitos não seriam, todavia, verdadeiros? Os pontos abordados nas duas questões seguintes, não poderiam ser exemplos disso?
Questão 12: Seria possível que houvéssemos obtido uma ideia ou noção de extensão anterior à do movimento? Ou, se um homem jamais houvesse percebido o movimento, ele jamais teria sabido ou concebido que uma coisa está distante da outra?
Questão 13: A quantidade geométrica possuiria partes coexistentes? Toda quantidade não estaria em um fluxo, assim como estão o tempo e o movimento?
Questão 14: Poder-se-ia supor que a extensão seja um atributo de um Ser imutável e eterno?
Questão 15: O fato de recusarem o exame dos princípios e a distinção dos métodos empregados na matemática, não revelaria o fanatismo dos matemáticos? 195
Questão 16: Não se disseminam entre os analistas certas máximas que afrontam o bom senso? Não seria uma dessas máximas a suposição comum de que uma quantidade finita, sendo dividida por zero, torna-se infinita?
Questão 17: Os diagramas geométricos considerados de maneira absoluta ou em si mesmos, ao invés de como representantes de todas as magnitudes ou figuras finitas do mesmo tipo, não seriam a causa principal para supor que a extensão finita seja infinitamente divisível e de todas as dificuldades e absurdos daí decorrentes?
Questão 18: Do fato de as proposições geométricas serem gerais, e por conseguinte, as linhas empregadas nos diagramas converterem-se em substitutas ou representantes gerais, não deveria se seguir que não podemos limitar ou tomar em consideração (consider) o número de partes em que essas linhas particulares sejam divisíveis?
Questão 19: Quando se diz ou se infere que certa linha traçada no papel contém mais do que qualquer número assinalável de partes, na verdade, nada mais se pretende dar a entender senão que ela seria um signo que representa indiferentemente todas as linhas finitas, por maiores que sejam. Por meio de qual capacidade relativa aquela linha conteria, isto é, representaria mais do que qualquer número assinalável de partes? Não seria totalmente absurdo supor que uma linha finita, considerada (consider) em si mesma ou em sua própria natureza positiva, devesse conter um número infitinito de partes?
Questão 20: Todos os argumentos em favor da infinita divisibilidade da extensão finita não pressuporiam e implicariam que o objeto da geometria seja ou ideias gerais abstratas ou a extensão absoluta externa? E, portanto, aqueles argumentos também não cessariam e esvaneceriam juntamente com essas pressuposições?
Questão 21: A suposta divisibilidade infinita da extensão finita não tem sido uma cilada e um constante tormento para os matemáticos? Uma quantidade diminuída infinitamente e uma quantidade infinitamente pequena não seriam a mesma coisa?
Questão 22: Seria mesmo necessário considerar as velocidades de quantidades nascentes ou evanescentes, de momentos ou de infinitesimais? Não seria um motivo de repreensão aos matemáticos a introdução de coisas tão inconcebíveis? 196
Questão 23: As insistências poderiam ser verdadeiras? Dever-se-ia admitir afirmações inconsistentes e absurdas acerca de qualquer tema ou em qualquer ciência? A permissão para o emprego de infinitos não deveria ser encarada como pretexto e desculpa suficientes para admitir esse tipo de afirmações na geometria?
Questão 24: Não seria correto dizer que não se conhece propriamente uma determinada quantidade quando conhecemos [apenas] a proporção entre ela e outras quantidades dadas? Essa proporção poderia ser conhecida apenas por meio de expressões ou exponentes, sejam geométricos, algébricos ou aritméticos? As expressões em termos de linhas ou espécies não seriam úteis somente na medida em que fossem redutíveis?
Questão 25: A disposição e a inclinação mais geral da matemática não seria encontrar expressões ou notações apropriadas para as quantidades? A operação aritmética não seria o que limita e define o seu uso?
Questão 26: A analogia e o emprego de signos têm sido suficientemente considerados pelos matemáticos? Até que ponto a restrita natureza específica das coisas corresponderia aos signos?
Questão 27: Quando enunciamos um caso geral na álgebra pura, em virtude de termos total liberdade para fazer um símbolo denotar uma quantidade positiva ou negativa ou, mesmo, absolutamente nada, poderíamos então reivindicar o mesmo direito diante de um caso geométrico, no qual somos limitados por hipóteses sobre e por raciocínios a partir de propriedades e relações particulares concernentes às figuras?
Questão 28: A mudança de hipótese ou, conforme poderíamos dizer, a fallacia suppositionis não seria um sofisma que contagia profunda e amplamente todos os raciocínios modernos, tanto na filosofia mecânica quanto na geometria abstrusa e sutil?
Questão 29: Poderíamos formar uma ideia ou noção de velocidade que fosse distinta e independente de sua medida, a exemplo do que faríamos no caso do calor, se pudéssemos formar uma ideia dele que fosse distinta e independente dos graus verificados no termômetro com o qual ele é medido? Não seria isso o que se supões nos raciocínios dos analistas modernos? 197
Questão 30: O movimento poderia ser concebido em um ponto do espaço? Se não se pode fazer isso para o movimento, poder-se-ia fazê-lo para a velocidade? E se tampouco é possível fazê-lo nesse último caso, poder-se-ia conceber a velocidade primeira ou última em um mero limite, inicial ou final, do espaço descrito?
Questão 31: Se não há incrementos, poderia haver alguma ratio entre incrementos? Poder-se-iam considerar os nadas como proporcionais às quantidades reais? Ou, então, falar de suas proporções não seria dizer contrassensos? Da mesma forma, em qual sentido deveríamos compreender a proporção entre uma superfície e uma linha, entre uma área e uma ordenada? Seria possível pretender expressar proporções mútuas entre espécies e números, ainda que cada uma delas expressem propriamente quantidades não homogêneas?
Questão 32: Se todos os círculos assinaláveis pudessem ser quadrados, então, para todos os efeitos, não se quadraria o círculo tanto quanto a parábola? Ou poderia uma área parabólica ser efetivamente medida de modo mais preciso que um círculo?
Questão 33: Não seria mais correto fazer uma aproximação razoável do que se empenhar para alcançar a precisão por meio de sofismas?
Questão 34: Não seria mais decente proceder por tentativas (trials) e induções do que pretender demonstrar por meio de princípios falsos?
Questão 35: Haveria algum meio de chegar à verdade, ainda que os princípios não fossem científicos nem os raciocínios, exatos? Se houvesse algum meio para tal, ele deveria ser chamado de truque ou de ciência?
Questão 36: Poderia haver alguma ciência com relação à conclusão quando não houvesse qualquer evidência a respeito dos princípios? Um homem poderia ter qualquer evidência a respeito dos princípios sem ser capaz de compreendê-los? E, sendo assim, os matemáticos de hoje agiriam como homens de ciência quando dedicam mais esforço a aplicarem seus princípios do que a compreendê-los?
Questão 37: O maior gênio não poderia se frustrar ao lutar com falsos princípios? Quadraturas precisas poderiam ser obtidas sem novos postulata ou suposições? Se não, não se deveria preferir aqueles que fossem inteligíveis e consistentes em vez do contrário?
Questão 38: Os tediosos cálculos da álgebra e das fluxões seriam os métodos mais indicados para aperfeiçoar a mente? O costume de tudo raciocinar com signos e figuras matemáticas não impediria os homens de saber como raciocinar sem eles?
Questão 39: Qualquer que seja o desembaraço que os analistas tenham adquirido para exprimir um problema ou para encontrar expressões adequadas para quantidades matemáticas, eles deveriam necessariamente inferir que possuem uma habilidade proporcional para conceber e exprimir outros assuntos?
Questão 40: Não seria um caso ou uma regra geral que da divisão de produtos iguais por um mesmo coeficiente resultará coeficientes iguais? Contudo, esse coeficiente poderia ser interpretado como 0 ou nada? Ou haveria quem dissesse que, ao dividir a equação 2x0=5x0 por 0, os quocientes de ambos os lados são iguais? Poderia haver, portanto, um caso geral que valesse para todas as quantidades, mas que não se estendesse aos nadas ou não incluísse o caso do nada? A inclusão do nada na noção de quantidade não revelaria a incursão dos homens em raciocínios falsos?
Questão 41: Não seriam os homens capazes de no raciocínio mais geral acerca de igualdades e proporções realizarem demonstrações como as que realizam na geometria? Em tais demonstrações, eles não estariam obrigados a realizar estritamente o mesmo raciocínio que realizam na geometria? E esses seus raciocínios não seriam deduzidos dos mesmos axiomas de que são deduzidos aqueles da geometria? Portanto, a álgebra não seria tão verdadeiramente uma ciência quanto o é a geometria?
Questão 42: Não poderiam os homens raciocinar com espécies tão bem como raciocinam com palavras? As mesmas regras lógicas não vigorariam em ambos os casos? Não teríamos o direito de esperar e exigir o mesmo grau de evidência em ambos os casos?
Questão 43: Um algebrista, um fluxionista, um geômetra ou um demonstrador de qualquer coisa poderiam esperar obter indulgência por empregarem princípios ou realizarem raciocínios, ambos, incorretos? Um sinal ou espécie algébrica poderia ao final de um processo ser interpretado em um sentido que não lhe pudesse ser assinalado no início desse processo? Ou poderia qualquer suposição particular 199
pertencer a um caso geral que não fosse consistente com o raciocínio que dela se segue?
Questão 44: A diferença entre um mero calculador e um homem de ciência não seria senão que, enquanto um calcula com base em princípios claramente concebidos e por meio de regras bem demonstradas, ou outro não o faz?
Questão 45: Embora a geometria seja uma ciência, a álgebra seja admitida como tal e o método analítico seja o mais excelente método, na aplicação da análise à geometria, os homens não poderiam ter, entretanto, admitido falsos princípios e métodos equivocados de raciocínios?
Questão 46: Embora, quando os raciocínios algébricos se limitam aos signos ou às espécies que representam quantidades em geral, se admita que eles são extremamente exatos, não poderíeis, apesar de tudo, cair em erro se, quando eles forem por vós limitados a representar coisas particulares, não limitásseis a vós mesmos a raciocinar em conformidade com a natureza de tais coisas particulares? Esse erro deveria ser imputado à álgebra pura?
Questão 47: A visão dos matemáticos modernos não pareceria mais apta a alcançar a expressão obtida por um artifício do que a ciência obtida por demonstração?
Questão 48: Não poderia haver uma metafísica sólida assim como haveria uma metafísica incerta? Uma lógica sólida assim como uma lógica incerta? A análise moderna não poderia ser subsumida a uma dessas duas denominações, e a qual delas?
Questão 49: Não haveria uma philosophia prima, uma determinada ciência transcendental, que fosse superior à matemática e mais abrangente que ela e que exigisse dos nossos analistas modernos mais uma atitude de aprendizagem do que uma atitude de desprezo em relação a ela?
Questão 50: Desde a redescoberta do conhecimento matemático, não ocorreram disputas e controvérsias infindáveis entre os matemáticos? Isso não depreciaria a comprovação de seus métodos?
Questão 51: Qualquer outra coisa além da metafísica e da lógica poderia abrir os olhos dos matemáticos e livrá-los de suas dificuldades? 200
Questão 52: De acordo com os princípios aceitos, poderia uma quantidade ser reduzida a nada por meio de qualquer divisão ou subdivisão, por mais longe que se conduza essa operação?
Questão 53: Se a finalidade da geometria for a prática, se essa prática for medir e se medirmos somente extensões assinaláveis, não se seguiria que aproximações ilimitadas respondem inteiramente às intenções da geometria?
Questão 54: Não se poderia fazer por meio de quantidades finitas as mesmas coisas que são feitas atualmente por meio de quantidades infinitas? E isso não seria um grande alívio para a imaginação e o entendimento dos matemáticos?
Questão 55: Se os médicos, os anatomistas, os comerciantes de animais, dos os filomatemáticos (philomathematical), enfim, homens que admitem a doutrina das fluxões em decorrência de uma fé implícita, poderiam de bom grado insultar outros homens porque acreditam naquilo que não compreendem?
Questão 56: A filosofia corpuscular, experimental e matemática, tão cultivada ultimamente, não tem ocupado demasiadamente a atenção dos homens, da qual uma parte poderia ser empregada de maneira mais útil?
Questão 57: Não é por essa e por outras causas concorrentes que as mentes dos homens especulativos teriam declinado, provocando a degradação e o entorpecimento das mais elevadas faculdades? Não poderíamos assim explicar a mesquinhez e a intolerância predominantes entre muitos homens que se passam por homens de ciência, a sua incapacidade para coisas morais, intelectuais ou teológicas, a sua propensão a medir todas as verdades pelos sentidos e pela experiência da vida animal?
Questão 58: Seria realmente um efeito do [livre] pensamento que os mesmos homens admirem o eminente autor por suas fluxões e o ridicularizem por sua religião?
Questão 59: Se certos virtuosos filosóficos da atual época não têm religião, pode-se dizer que é por causa da falta de fé?
Questão 60: Defender questões de fé a partir de seus efeitos não seria um modo mais correto de raciocinar do que demonstrar princípios matemáticos por suas conclusões? 201
Questão 61: Não seria menos reprovável admitir questões de fé acima da razão do que aquelas contrárias à razão?
Questão 62: Não se poderia ter mais direito de admitir mistérios na fé divina do que na ciência humana?
Questão 63: Aqueles matemáticos que bradam contra os mistérios teriam alguma vez examinados os seus próprios princípios?
Questão 64: Os matemáticos, que são tão sensíveis quando se trata de questões religiosas, seriam estritamente escrupulosos em sua própria ciência? Eles não se submeteriam à autoridade, não admitiriam algo movidos pela confiança e não acreditariam em questões inconcebíveis? Eles não possuiriam seus mistérios e, ainda mais, suas incoerências e contradições?
Questão 65? Julgar de modo cauteloso, sincero e modesto sobre outros assuntos não viria a ser uma atitude digna de homens que se mostram embaraçados e perplexos acerca de seus próprios princípios?
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ANEXO A – Frontispícios e Índices dos livros elencados do Século XVIII
Analyse Demontrée ou la Methode de résoudre le problème des mathématique (1708) – Charles René Reyneau (1656-1728)
Dedicatória, Prefácio, Orientações, Aviso ao Leitor, Sem Sumário, Figuras no final, 1039 p. 203
2. Elemens D’Algebre (1746)- Alexis Claude de Clairaut (1713-1765)
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Prefácio informando as divisões, No final: Extrato de Registro da Academia de Ciências de Paris, Carta de Privilégio ao Rei, Sumário, Erratas, 383 p.
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3. Elemens D’Algebre (1756) - Nicholas Saunderson(1682-1739)
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Livro I - Dedicatória, Orientações, Sobre Saunderson (obra póstuma), Sumário, Aviso ao leitor, Introdução à Doutrina (operações com frações), 420 p.
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4. Elements of Algebra225 (tradução de 1828) - Leonhard Euler (1707-1783)
225 Título original: Vollständige Anleitung zur Algebra, publicado em 1770. 215
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Orientações da 3.edição, Dedicatória, Orientações da versão Original Alemã, Orientações de Bernoulli – Tradutor Francês, Sumário, Complementos – Lagrange (130p), 638 p.