Anhang 1: Fachsprache und Symbolik des absoluten Differentialkalküls

Tensor: Hamilton führt den Terminus "Tensor" ein, um damit die Länge einer Quater• nion zu bezeichnen: (TQ)2 = (SQ)2 _ (VQ)2, T ist die Abkürzung für Tensor. Die Größe (TQ)2 ist stets positiv, da (VQ)2 wegen i 2 = P = P = -1 stets negativ ist (Harnilton 1; III, S. 227). Der Tensor eines Vektors ist dessen vorzeichenlose Länge. Auch zerlegt Hamilton Quaternionen wie folgt: Q =TQ·UQ, T ist wiederum der Tensor und U der sogenannte Versor der Quaternion. Im Falle eines Vektors, dargestellt auf einer geraden Linie, ist T die Strecke auf der Linie und U ein imaginäres Einheitselement, das die Richtung der Linie bestimmt (Hamilton 1; In, S. 372): "When we operate by the characteristics T and U on a straight line, regarded as a vector, we obtain as the tensor of this line a signless number expressing its length; and, as the versor of the same line, an imaginary unit, determining its direetion". Die Länge eines Vektors als Tensor zu bezeichnen, bürgert sich ein, z.B. definiert Tait sein inneres und äußeres Produkt zweier Vektoren durch

Saß = -TaTßcos8 und Vaß = TaTßsin 8· TJ (Crowe; S. 122) und Heaviside definiert: "The tensor of a vector is its size, or magnitude appart from direction" (I, S. 142). Auch Föppl verwendet Tensor in diesem Sinne (1; S. 6), Abraham jedoch spricht stattdessen, um Verwechslungen mit dem Voigtschen Tensorbegriff zu vermeiden, vom "Betrag des Vektors" (Abrahm 4; I, S. 5 f.). Schließlich erwähnen noch Ignatowsky 1909 (I, S. 93) und Coffin 1911 (S. 3) diese Hamiltonsche Bedeutung von Tensor. An Hamiltons Definition von Tensor knüpft Gibbs an. Für ihn ist ein "right tensor" eine Größe, die, modern geschrieben, auf die Form

a o 0b 0)0 ( o 0 c Anhang 1 223 gebracht werden kann. Diese Form entspricht einem Produkt aus den Faktoren

a 0 o 1 ( o 0

Das aber bedeutet nichts anderes, als daß in einer Dyadic nur die Koeffizi• enten in der Hauptdiagonale =1= 0 sind. Gibbs beschreibt seine Definition des "right tensors", während er die Dyadenrechnung auf die Elastiziätstheorie an• wendet (1; S. 68). Bei einer Formänderung ändern sich die Längen gemäß p' = {aii +bjj +ckk}p, Gibbs transformiert also das Spannungsellipsoid auf Haupt• achsen. Die Größen a, b, c sind positive Skalare, die die drei Verlängerungen bzw. Verkürzungen beschreiben, die i, j, k die Hauptachsen der Formände• rung. Die Reihenfolge der Verlängerungen bzw. Verkürzungen ist unwichtig, da aii +bjj +eH gleich dem Produkt aus aii +jj+H, ii+bjj +kk, ii+jj+ckk ist. Gibbs definiert: "A dyadic which is reducible to this form we shall call a right tensor. The displacement represented by a right tensor is called a pure strain. A right tensor is evidently self-conjugate". Auch Wilson definiert den right tensor in dieser Weise (Wilson 1; S. 351 ff.). Voigt denkt an Hamiltons Definition von Tensor, als er seine eigenen Ten• soren 1898 einführt. Diese betrachtet Voigt als verallgemeinerte Hamiltonsche Tensoren, indem nun alle Koeffizienten, die beim Produkt zweier Vektoren ent• stehen, =1= 0 sind: "Die zunächst vielleicht zu fürchtende Collision mit der glei• chen Bezeichnung in der Quaternionentheorie ist in Wirklichkeit nicht vorhan• den; jener Name bezieht sich dort nur, statt auf den allgemeinen Fall, wo drei beliebige, zu einander normale Tensoren (hier Dehnungen) auftreten, auf den speciellen, wo diese drei gleiche Grösse haben und wo demgemäss das Tensortri• pel in einen Scalar übergeht. Die Einführung des Namens 'Tensor' in dem oben auseinandergesetzten Sinne stellt somit nur eine Erweiterung der älteren Be• deutung desselben dar, und ein Bedenken dürfte aus der Uebereinstimmung der Bezeichnungen nicht herzuleiten sein" (Voigt 2; S. VI). Voigt geht in gewissem Sinn den umgekehrten Weg wie Gibbs und Wilson. Für diese sind "right ten• sors" spezielle Dyadics, Voigt dagegen verwandelt Hamiltons spezielle Tensoren in allgemeinere Tensoren. In einer späteren Arbeit erweitert Voigt seine Unter• suchungen auf "n-stufige gerichtete Größen" (s. S. 122-124). Zur Verbreitung des Fachwortes "Tensor" siehe Tabelle 7 (s. S. 217). Christoffel führt kein spezielles Fachwort für Tensoren ein, er spricht le• diglich von einem "vollständigen System von Transformationsrelationen" (5; S. 57, s. S. 64). 1888 bezeichnet Ricci seine Tensoren als "sistemi di funzioni" (8; S. 215), vielleicht in Anlehnung an "sistemi di integrali" , denen er 1886/7 zwei Arbeiten gewidmet hat (Ricci 4; 6). Diese kurz als "sistemi" bezeichneten 224 Anhang 1

Tensoren sind entweder ko- oder kontravariant. Ricci und Levi-Civita sprechen generell von "systemes" (1; S. 130). Ricci bleibt auch nach dem Erscheinen der allgemeinen Relativitätstheorie bei seiner Bezeichnungsweise "sistemi". Die gemischten Tensoren sind eine Schöpfung Einsteins und Großmanns, die diese schon in ihrer ersten Arbeit 1913 einführen (Großmann 2; S. 295). Sie bezeichnen diese zunächst nur durch untere Indizes, wobei sie ko- und kontrava• riante Indizes durch einen Strich voneinander abtrennen. 1914 führt Einstein in Anlehnung an Ricci und Levi-Civita die Schreibweise mit oberen und unteren Indizes ein (8; S. 1035). Zur Schreibweise der Tensoren siehe Tabelle 8 (S. 232).

Der Fundamentaltensor: Der Fundamentaltensor gik ist mit dem Linienelement durch ds 2 = gikdxidxk verbunden. Die Bezeichnungsweise "Linienelement" geht auf Gauß zurück. Rie• mann und z.B. Beez, die mit ihren Arbeiten zur nichteuklidischen Geometrie beitragen, bedienen sich ebenfalls der Gaußschen Terminologie. Lipschitz, Ricci und Levi-Civita sprechen dagegen in Analogie zur Invariantentheorie von Form bzw. Christoffel von homogenen Differentialausdrücken zweiten Grades. Auf Ricci geht die Bezeichnung "fundamental" zurück. Der Fundamentaltensor wird erst später, nämlich durch Einstein und Großmann, unabhängig vom Linienele• ment bezeichnet. Folgende Zusammenstellung soll einen Überblick vermitteln:

Gauß 1828: Linearelement (4; S. 344), elementum lineare (5; § 12) Riemann 1854: Linienelement (2; S. 277) Lipschitz 1869: quadratische Form von n Differentialen (1; S. 73) Christoffel 1869: homogener Differentialausdruck zweiten Grades (5; S. 46) Beez 1876: Linearelernent, Curvenelement, Linienelement (3; S. 375, 373, 397) Ricci 1884 und später: forma differenziale quadratica (2; S. 142), (5; S. 200) Ricci 1892: forme fondamentale (10; S. 292) Ricci/Levi-Civita 1901: quadrique ou forme fondamentale (1; S. 133) Wright 1908: quadratic form in n variables (4; S. 10) Kottler 1912: Bogenelement (S. 1666) Anhang 1 225

Einstein/Großmann 1913: Linienelement (Einstein 5; S. 286), (Großmann 2; S. 293) Einstein/Großmann 1913/14: kovarianter Fundamentaltensor, Fundamen• taltensor (1; S. 230) Einstein 1914, 1916: Fundamentaltensor (8; S. 1036), (12; S. 25) Wey11918: metrische Fundamentalform, Fundamental• tensor (1; S. 25, 34)

Bemerkung: Manche Autoren verwenden neben den hier erwähnten Fachwör• tern auch noch andere. Die Liste ist nicht so zu verstehen, daß die Autoren nur dieses Fachwort benutzen, sondern vielmehr, daß sie dieses Fachwort bevor• zugen. Ricci z.B. spricht meistens von Formen, aber gelegentlich kommt auch "elemento lineare" vor (Ricci 6; S. 215 und 9; S. 273 und öfter).

Der Krümmungstensor: Die der Geometrie nahestehenden Autoren bevorzugen den Ausdruck Krüm• mungsmaß oder Krümmungstensor, der nach Riemann oder Riemann und Chri• stoffel benannt wird. Die übrigen Autoren verzichten auf das Beiwort "Krüm• mung".

Gauß 1828: Krümmungsmaß (4; S. 344), mensura curva• turae (5; § 12) Riemann 1854: Krümmungsmaass (2; S. 280) Lipschitz 1869: Koeffizienten einer quadrilinearen Form, Form, Krümmungsmaß (1; S. 74,84 f., 94)

Christoffel 1869: Koeffizienten einer quadrilinearen Form G4 (5; S. 58) Beez 1874-79: Krümmungsmaß (1; 2; 3; 4) Ricci 1892: systeme quadruple covariant (10; S. 294) Ricci/Levi-Civita 1901: systeme de Riemann (1; S. 142) Wright 1908: Riemann symbol (4; S. 23) Kottier 1912: Einstein/Großmann 1913: Einstein/Großmann 1913/14: Riemannscher Differentialtensor, Christoffelsche Vier-Indizes-Symbole erster und zweiter Art (1; S. 256 f.) 226 Anhang 1

Einstein 1914, 1916: Riemann-Christoffelscher Tensor (8; S. 1053), (12; S. 39) Hessenberg 1917/18: Riemann Christoffelscher Krümmungstensor (2; S. 190) Weyl1918: Riemannscher Krümmungstensor, Raum• krümmung (1; S. 108) Schouten 1918: Riemann-Christoffelscher Affinor (4; S. 64)

Christoffelsymbole: Bereits Gauß verwendet in seiner Flächentheorie Abkürzungen für die Größen, die später nach Christoffel benannt werden (5; § 11):

m = flll, m' = f 121 = f 211 , m" = f 221 , n = f 1l2, n' = f 122 = f 212 , m" = f 222

(s. S. 20). Sich an Gauß anlehnend führt Kar! Eduard Senff 1831 dennoch and~re, durch zwei Ziffern wiedergegebene Symbole ein:

(0, Q), (0,1), (O,~) für f jj1 und (1, Q) ,(1,1), (1,~) für Cj2 mit i,j = 1,2 (Reich 1; S. 290). Christoffel benützt bereits 1868 in seiner differentialgeometrischen Arbeit Allgemeine Theorie der geodätischen Dreiecke für den zweidimensionalen Fall die Symbole {} (4; S. 302 f.): Gegeben sei eine beliebige Fläche mit dem Linienelement

2 ds = E dp2 + 2F dp dq + G dl.

Die Differentialgleichung der geodätischen Linie schreibt Christoffel in Form der beiden Gleichungen:

2 q a p = _ {11} (ap)2 _2 {I 2} apaq _ {2 2} (a )2, as2 1 as 1 as as 1 as

2 p q a q = _ {11} (a )2 _2 {21} apaq _ {2 2} (a )2 as2 2 as 2 as as 2 as Anhang 1 227 mit

_1 (C ßE +F ßE _ 2F ßF) {\1 } 2~ ßp ßq ßq

_1 (2E ßF _ F ßE _ E ßE) {\1 } 2~ ßp ßp ßq

_1 (C ßE _ F ßC) {\2 } 2~ ßq ßp

1 _1 (E ßC _ F ßE) {22 } 2~ ßp ßq

{ 2 2 } _1 (2C ßF _ F ßC _ C ßC) 1 2~ ßq ßq ßp

22} = _1 (E ßC +F ßC _ 2F ßF) , { 2 2~ ßq ßp ßq

~ = EC - F2. In seiner 1869 erschienenen Arbeit Ueber die Transformation der homoge• nen DiJferentialausdrücke zweiten Crades macht ChristoffeI, von der Differen• tialform F = LWikßXißXk (i,k=l, ... ,n) i,k ausgehend, von folgenden zwei Arten von Symbolen Gebrauch:

und

s. S. 62 (5; S. 48 L). Diese später sogenannten Christoffelsymbole 1. und 2. Art setzen sich gegenüber den von Riemann und Lipschitz verwendeten Bezeichnungen (siehe Tabelle 8, S. 232) durch. Ricci ist eine Ausnahme, er benützt 'in seiner ersten Arbeit zwar [r/] (2; S. 143), aber schon in seiner nächsten führt er an deren Stelle die Größen ars,i ein (3; S. 181), die zu seinen übrigen Bezeichnungen passen. Erst in der gemeinsam mit Levi-Civita veröffentlichten Arbeit kommen wieder Christoffelsymbole vor, und zwar diejenigen zweiter Art (1; S. 138). 228 Anhang 1

Einstein und Großmann machen erstmals in ihrem Entwurf von den Chri• stoffelsymbolen (beider Arten) Gebrauch (1; S. 249). 1915 führt Einstein in seiner Arbeit Zur allgemeinen Relativitätstheorie erstmals die Christoffelsym• bole 2. Art als Gravitationsfeldkomponenten ein:

IJ fiT =_{!J }. /L1I a' s. S. 204 (9; S. 783). In seiner allgemeinen Relativitätstheorie von 1916 ver• ll wendet Einstein im mathematischen Teil generell {/L } und im physikalischen r Bereich f~1I (s. S.207). Weyl benützt in seinem Lehrbuch Raum, Zeit, Materie beide Bezeich• nungsweisen gleichzeitig. In der dritten Auflage führt er die Größen

als die Komponenten des affinen Zusammenhangs und die Größen

im Falle eines metrischen Raumes ein (WeyI2; S. 101, 112). Für die Darstellung der Riemannschen Geometrie und der allgemeinen Relativitätstheorie bleibt Weyl bei den alten Christoffelsymbolen [ ], {} (2; S. 119, 215). Im Gegensatz zu Weyl verwendet Pauli in seinem Encyklopädieartikel Re• lativitätstheorie (1920) ausschließlich die f:

und die von Christoffel eingeführten Klammern werden nur noch in Form eines hi• storischen Rückblicks erwähnt (Pauli; S. 63).

Rechenoperationen: Addition und Multiplikation sind, was die Fachsprache anbelangt, unproblema• tisch. Ricci führt 1892 folgende Operation ein (10; S. 291).

T T '" y(rt 2''' p)X - '" X L...J TI T2'''TpTp +I'''Tm - L...J Tp+I"'Tm , Tl T2 ···rp Tp+l "'Tm wodurch zwei Tensoren in ein "systeme compose covariant d'ordre m - p" ver• wandelt wird (s. S. 80). 1901 bezeichnen Ricci und Levi-Civita diese Operation entsprechend als "composition" (Ricci/Levi-Civita 1; S. 133). Damit ist es Anhang 1 229 möglich, aus einem ko- bzw. kontravarianten Tensor durch Überschiebung mit dem Fundamentaltensor sogenannte reziproke Systeme zu erhalten:

~ a(P1Q!la(P2Q2) ••• a(PmQm)x L...J P1P2"'Pm PtP2"'Pm

(Ricci 10; S. 292). Einstein und Großmann bezeichnen die Multiplikation als "äußere Multi• plikation" und die Composition als "innere Multiplikation": "Die der gewöhn• lichen Vektoranalysis entnommenen Bezeichnungen rechtfertigen sich, weil jene Operationen sich letzten Endes als besondere Fälle der hier betrachteten erge• ben" (Einstein/Großmann 1; S. 247). 1916 beschreibt Einstein folgende drei Operationen: die äußere Multiplika• tion, die Verjüngung und die innere Multiplikation (12; S. 23 f.). Die Verjüngung definiert Einstein wie folgt: "Aus jedem gemischten Tensor kann ein Tensor von einem um zwei kleineren Range gebildet werden, indem man einen Index kovari• anten und einen Index kontravarianten Charakters gleichsetzt und nach diesem Index summiert ('Verjüngung')" (s. S. 206). Nachdem Ricci und Levi-Civita keine gemischten Tensoren eingeführt hatten, konnte bei ihnen diese Operation nicht auftreten. Die innere Multiplikation ist nun, so schreibt Einstein, eine Kombination der äußeren Multiplikation mit der Verjüngung, die innere Multi• plikation wird deshalb auch gemischte Multiplikation genannt (Einstein 12; S. 23). Aus der Reziprozität wird nun die "Bildung neuer Tensoren vermittelst des Fundamentaltensors" (Einstein 12; S. 28), z.B. AI' = gl"1 Au. Während Hessenberg 1917/18 noch von "Komposition und Faltung" spricht (2; S. 197), bürgert sich das Fachwort Verjüngung rasch ein, es findet sich z.B. bei Weyl (1; S. 40), Pauli (S. 40) und Blaschke (1; II, S. 143). Im Französischen wird daraus "contraction", z.B. Juvet (S. 26) und Assier de Bompiani (5. 12), im Englischen entsprechend "contraction". Anstelle der inneren Multiplikation führt Schouten die "Überschiebung" ein (6; S. 28-32), in dieser ist die Faltung enthalten, die nichts anderes als die Überschiebung einer Größe in sich ist. Aus der Reziprozität wird schließlich das

"Heben und Senken der Zeiger", so bei Hessenberg (2; S. 195), "Herauf- und Heruntersetzen von Indizes", bei Pauli (5. 507), "Herauf- und Herunterziehen der Indizes", bei Schouten (6; S. 39), usw.

Während Christoffel formal die kovariante Ableitung ausführte, stammt die Bezeichnung von Ricci (5;). Einstein und Großmann fassen die ko- und kontra• variante Ableitung unter der Bezeichnung "Erweiterung" zusammen: "Als Er• weiterung eines kovarianten (kontra.varianten) Tensors vom Range), bezeichnen 230 Anhang 1 wir den kovarianten (kontravarianten) Tensor vom Range A+1, der durch 'kova• riante (kontravariante) Differentiation' aus jenem hervorgeht" (Einstein/Groß• mann 1; S. 248), s. S. 195, 197. Das Fachwort "Erweiterung" setzt sich nicht durch, daran mag auch die Entdeckung der Parallelverschiebung Anteil haben. Es bleibt bei der Bezeichnung "kovariante Ableitung, kovariante Differentiation, kovariantes Differential", z.B. bei Pauli (S. 86), Schouten (6; S. 63), Eddington (S.81). Folgender Überblick über die von den einzelnen Autoren behandelten Re• chenoperationen ist problematisch, da es nicht immer möglich ist, eine Grenze zu ziehen, was als Rechenoperation aufzufassen ist und was nicht. Bei der Zu• sammenstellung ist zwar ein möglichst breiter Blickwinkel angewendet worden; die von Einstein und Großmann teilweise sehr ausführlich behandelte Divergenz und die verallgemeinerte Laplacesche Operation (s. S. 198) wurden jedoch nicht berücksichtigt.

Ricci 1892: somme, produit, systemes composants, systemes nkiproques, derivation co• variante et contrevariante (10; S. 291--:297) Ricci/Levi-Civita 1901: addition, multiplication, composition, systemes reciproques, derivation covariante et contrevariante (1; S. 132-135, 138 ff.) Einstein/Großmann 1913: Einstein/Großmann 1913/14: Summe, äußeres Produkt, inneres Produkt, gemischtes Produkt, Reziprozität, Erweite• rung, Divergenz (1; S. 246-250) Einstein 1914: äußeres Produkt, inneres Produkt, gemisch• tes Produkt, Reziprozität, Erweiterung, Divergenz (8; S. 1038 f., 1043, 1047-1052) Einstein 1916: äußere Multiplikation, Verjüngung, innere und gemischte Multiplikation, Erweiterung (12; S. 23 ff., 32) Hessenberg 1917/18: Tensorprodukt, Komposition und Faltung, Heben und Senken der Zeiger (= Indizes) (2; S. 195-197) Wey11918: Addition, Multiplikation, Verjüngung, Diffe• rentiation (1; S. 35-40, 91-97, 103 ff.) Anhang 1 231

Pauli 1920: Addition, Multiplikation, Verjüngung, Herauf• und Heruntersetzen von Indizes, Differentiation (S. 48-50) Schouten 1924: Multiplikation, Überschiebung (dazu gehört auch die Faltung), Herauf- und Herunterziehen der Indizes, lineare Übertragung (darunter fällt das sog. kovariante Differential) (6; S. 23-32, 39, 62-66)

Symbolik: Um ko- und kontravariante Indizes unterscheiden zu können, schreibt Ricci die einen unten, die anderen eingeklammert oben an:

(10; S. 290). Auf der Grundlage von Riccis und Levi-Civitas Methodes (1901) ringen Einstein und Großmann nicht nur um den Inhalt, sondern auch um die Schreibweise des absoluten Differentialkalküls. Zunächst verzichten sie auf das Hoch- und Tiefsetzen der Indizes: "So viele Vorteile diese letztere Bezeich• nung auch bietet, so haben uns doch Komplikationen in zusammengesetzteren Gleichungen gezwungen, die obigen Bezeichnungen zu wählen, also kovariante Tensoren mit lateinischen, kontravariante mit griechischen, gemischte mit deut• schen Buchstaben zu bezeichnen. Kovariante und kontravariante Tensoren sind besondere Fälle der gemischten Tensoren" (Einstein/Großmann 1; S. 246). 1914 jedoch kehrt Einstein zur Riccischen Schreibweise zurück, er läßt aber die Klam• mern um die kontravarianten Indizes weg (Einstein 8; S. 1035). Auf Einstein und Großmann geht der Buchstabe 9 zur Bezeichnung des Fundamentaltensors zurück (Einstein 5; S. 286), (Großmann 2; S. 293), sie führen ihn schon 1913 ein. Nach Treder (S. 7) hat Einstein bei der Wahl dieses Buchstabens sowohl an Gravitation als auch an Gauß gedacht. In der sich anschließenden Tabelle sind die Plätze nicht ausgefüllt, wenn die Autoren die Größe nicht durch ein eigenes Symbol, sondern durch Überschie• bung ausgedrückt haben. Die Indizes wurden nicht vereinheitlicht, sondern in einer Art wiedergegeben, wie sie bei den einzelnen Autoren vorkommen. Vor• zeichen und Faktoren wurden weggelassen. t--? Tabelle 8: Vergleich der Symbolik W t--? f moderne Bezeichnung kovarianter kontra- gemischter gik ijk r}k Rijk' R~kl Tensor varianter Tensor Tensor ::;> ::r Gauß 1828 (5) E,F,G m,m/,m" k ::;'" n,n',n ll O

Lipschitz 1869 (1) aa,b fa,g,h [u,b,g,h,]+ (u,b,g,h)

Christoffel 1869 (5) (i 1 i2 ·· ·il') Wik [\h] {ir' } (gkhi)

Riemann 1861 (3) bl"L' PV,L,t 'll (a', l"t''')

y(r,r, ··r~) Ricci 1892 (10) Yr1 r2 ··Tm. Ur> ar6 ,t ar3 ,tu

y(rtr2 'T m ) Ricci/Levi-Civita 1901 (1) Yrlr2 "T m Ur> ar6 ,t {r/ } ar$,tu A(o,o, ··a.) KottIer A a1 Q'2' O'p Coß [al] {a/}

Einstein (5) 1913 Ti1i2 "1).. 8 i112 "1), .:trI' ·r>../ 6} "'$j,l. gik Großmann (2)

Einstein/Großmann 1913/14 (1) Tili2···1). 8iI12'''1), .:trI ··r A/,,)" '3# gl'" [r,:] {r,: } (ik,Im) {ik,Im}

Einstein 1914 (8) AI' [1'/] { 1'0" } ".. gl'" K;"A Einstein 1915 (9) AI'·· { I' "} fO 11 ..• gl'" [1'/] (J 1 JJ.V (ik,Im) {ik,Im} Einstein 1916 (12) AI'· {I' "} fO v ... gl'" [1'/] a ' lAll B~OT Xk,··.kß Hessenberg 1917/18 (2) 11"'10, aik [i/] {i/ } (iHm)

TI'··· . Weyl 1918 (1) 11 .•. gik [h/] {hi '} J r~l Rij,hk Rjhk TI' . Weyl 1919 (2) LI •.. gik [h/], fi,h' {h'}i ' f;" Rij,hk Rhk

a r6L . Pauli 1920 ikl ... gik rr,ü ri" Rhijk Rijk > 1800 1850 1875 1900 1910 =::r" ~ ; Differentialgeometrie Riemann 2 Darboux Res 2 ()q Gauß & Beltrami 2 Bianchi 3 Bianchi 6 LC 3 Schauten 4 = . .. ~ .. , .. ~ 1828 64/6568 .. 99 . 1917 18

Invariantentheorie Cayle:y 3 Gauß.--'1 Boole.-..--..Sylvester 3 1801 41 46 51 o.öG1 CO ~ '"1 : Dilferentialformen j j j CJl '"1 ~ [ und -invarianten wCJl"'O Christoffel 5 Lie 2 Ricci/LC 1 (?~::r" Riemann 3 Ricd 2 Ricci 10 Wrighi 4 (ngold 1869 i6 84 92 1901 02 = CO 1-0. CJl := CJl , Elastizitätstheorie 0=(') Voigt.2 '"1 = ::r" CO Cauchy 3, 4 Lame 1 Clebsch 2 Saint-Venanl Curie 2 . VoiJ!t. 9 gr()q 182i ; 52 62 83 _0.(') 94 98 I ~ CO ::r" : Vektorrechnung =:'"1 '"1 Graßmann 2 Graßmann 3 AbT I -10.4 0 Hamilton 4 Kelland-Tait Gibbs 2 Wilson I CJl l~J= 1844 53 62 73~ ~ 1901 . 1881-84 =~ 0 ~ 0- ; Relativitätstheorie ..... ()q Ab,6 E5 (') ..... E2 Min 2 Som 4 Gr 2 E 12 Wey(2 ~CJl 1905 08 10 13 16 18 -(') Abkiirzungen: Abr: Abraham, E: Einstein, Gr: Großmann, Hes: Hessenberg, LC: Levi-Civita., Min: Minkowski, Som: Sommerfeld = ::r" CO ()q= Anhang 3: Kurzfassung der einzelnen A b• schnitte

S. 13 1 Einleitung

Der Tensorkalkül ist ein formaler Kalkül, der nicht nur in der Differentialgeo• metrie und Physik Anwendung findet, sondern auch in der Chemie, in den Ingenieurwissenschaften, ja sogar in der Psychologie. Über seinen Ursprung findet man in der Literatur vor allem vier Meinungen: 1. Der Tensorkalkül verdankt seine Entstehung dem Kristallographen W. Voigt, 2. er geht auf Ricci und Levi-Civita zurück, 3. er stammt von Ricci und Einstein und 4. am Anfang stehen Gibbs' Dyaden. In der Tat haben alle diese Ansichten etwas Richtiges anzubieten. Den historischen Weg nachzuzeichnen ist das Ziel der vorliegenden Arbeit. Als Schlußpunkt der Untersuchung wurde die Veröffentlichung der Relati• vitätstheorie gewählt. Diese bedeutete einen gewaltigen Einschnitt nicht nur in der Physik, sondern auch für den Tensorkalkül, der dadurch aus seinem Schat• tendasein gerissen wurde. Die Relativitätstheorie verwandelte den Tensorkalkül in ein traditionelles, mathematisches Teilgebiet, dessen Weiterentwicklung aber dennoch stattfand. Dies zeigt z.B. die 1986 veröffentlichte Arbeit von Moore und Spencer über "Holors", die alle geometrischen Größen umfassen.

S. 19 2 Tensoren ohne Tensorbegriff

Unter Vorformen von Tensoren sind einzelne Größen zu verstehen, die in der Tat Tensoren sind, ohne daß es zu der Zeit, als sie aufgestellt wurden, einen Tensorbegriff oder Tensorkalkül gab.

S. 19 2.1 Vorformen von Tensoren in der Differentialgeometrie 2.1.1 Die Gaußsche Flächentheorie

Gauß gelangte in seiner 1828 veröffentlichten Flächentheorie auf der Grundlage eines Linienelementes zum biegungsinvarianten Krümmungsmaß. Metrik und Krümmungsmaß waren erste Beispiele von Tensoren. Gauß benützte die Be• zeichnungsweisen absolut und invariant. Er führte einen neuen Flächenbegriff ein, der mit dem einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit identisch ist. Anhang 3 235

S. 22 2.1.2 Differentialparameter

Der Begriff Differentialparameter und deren Theorie gehen auf Lame zurück. Während dieser nur einen Spezialfall behandelte, leitete Beltrami 1864/65 die Differentialparameter für den allgemeinen Fall her und zeigte deren absolute Eigenschaften. Beltrami unterschied allgemein zwischen absoluten, d.h. bie• gungsinvarianten Eigenschaften einer Fläche und relativen Eigenschaften, die von der speziellen Form der Fläche abhängen.

S. 26 2.1.3 Der Riemannsche Krümmungstensor 2.1.3.1 Riemann

Riemann verallgemeinerte in seinen Hypothesen (1854, publ. 1868) Gauß' Flä• chenbegriff zu dem einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit und Gauß' Krüm• mungsmaß zu einem Krümmungsmaß für beliebige Mannigfaltigkeiten. Was das Linienelement und das Krümmungsmaß anbelangte, so bezeichnete sie Riemann als "innere Maßverhältnisse" . Im Zusammenhang mit Betrachtungen über die Wärmeleitung beschäftigte sich Riemann in seiner Arbeit Commentatio (1861, publ. 1876) mit quadratischen Differentialformen. Äquivalenzbetrachtungen führten ihn zu einem analytischen Ausdruck, der mit dem später nach ihm benannten Krümmungstensor identisch ist.

S. 29 2.1.3.2 Riemanns Nachfolger

Durch Riemanns Hypothesen angeregt leitete Lipschitz 1869 auf der Grundlage der Theorie der Differentialformen den Krümmungstensor als Verallgemeine• rung des Gaußschen Krümmungsmaßes ab. Zu vergleichbaren Ergebnissen ka• men auch andere Autoren, z.B. Beez, der sich in späteren Arbeiten auch mit Riemanns Commentatio auseinandersetzte.

S. 34 2.2 Vorformen von Tensoren in der Elastizitätstheorie

Mit Navier begann 1821 die Theorie der mathematischen Elastizitätstheorie.

S. 34 2.2.1 Der Cauchysche Spannungs- und Verzerrungstensor

Cauchy führte 1827, indem er Zug und Druck zusammenfaßte, den Begriff Span• nung ein. Diese stellte er in Form eines symmetrischen Tensors zweiter Stufe (sechs verschiedene Komponenten) dar. Gleichzeitig beschäftigte sich Cauchy mit den durch Spannungskräfte hervorgerufenen Formänderungen. Auch diese stellten eine dem Spannungstensor analoge Größe dar, den Verzerrungstensor. 236 Anhang 3

S. 38 2.2.2 Weitere Charakteristika des Spannungs- und/oder Verzerrungstensors

Lame betrachtete 1852 Spannung und Verzerrung unter dem Begriff Elasti• zität. Er zeigte, daß der Spannungs- bzw. Verzerrungstensor bei linearen Koordinatentransformationen dieselbe Form behält. Rankine führte 1856 die "Axes of Elasticity" ein und stellte diese in einen Zusammenhang mit der al• gebraischen Invariantentheorie Sylvesters. Clebsch benützte 1861 die zweifache Indexschreibweise für den Spannungstensor: tik, i, k = 1,2,3, mit tik = tki.

S. 43 3 Die Theorie der Formen und Invarianten 3.1 Anfänge der Formentheorie

Eine erste Theorie der Formen lieferte Gauß 1801, auf ihn geht die Bezeichnung Form zurück. In Zusammenhang mit den Diskriminanten binärer Formen zwei• ten Grades führte er den Äquivalenzbegriff ein, den er auch auf ternäre Formen übertrug. Gauß bediente sich implizit Invariantenüberlegungen, ohne das Wort invariant zu bennützen.

S. 47 3.2 Anfänge der Invariantentheorie 3.2.1 Die britische Schule

Am Anfang der Entwicklung stand Boole, er untersuchte 1841 Formen von n Variablen im Hinblick auf eine möglichst allgemeine Theorie der linearen Transformationen. Diese Gedanken führte Cayley weiter, der nach Invarianten, Cayley bezeichnete sie als Hyperdeterminanten, von Multiliniearformen fragte. Diese berechnete er mittels seines D-Prozesses. Sylvester führte 1851 die Begriffe ko- und kontravariant sowie invariant in die Theorie der Formen ein. Für ihn war die Invariantentheorie identisch mit dem Formenkalkül.

S. 53 3.2.2 Ausbau der Formen- und Invariantentheorie

Auf den Ergebnissen der britischen Schule aufbauend entwickelte sich die Inva• riantentheorie zu einem der wichtigsten algebraischen Teilgebiete in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts. Hermite fügte die Theorie der assoziierten Formen hinzu, in Italien sorgte Brioschi für die Verbreitung und den weiteren Ausbau der Invariantentheorie. In Deutschland stand Aronhold am Anfang einer neuen Epoche, indem er die sog. symbolische Bezeichnungsweise schuf, die vor allem Clebsch und Gordan zu großem Erfolg führte. Anhang 3 237

S. 57 4 Die Entwicklung eines Tensorbegriffs und eines Tensorkalküls

Ein Tensorbegriff wurde unter verschiedenen Bezeichnungen und unabhängig voneinander in drei verschiedenen Gebieten entwickelt: In der Theorie der Dif• ferentialinvarianten, der Kristallographie und der Vektorrechnung. Die Ergeb• nisse waren nicht äquivalent, da sie sich auf unterschiedlichen Verallgemeine• rungsniveaus befanden. Auch die Bezeichnungsweisen wichen stark voneinander ab.

S. 57 4.1 Die Theorie der quadratischen Differentialformen bzw. Differentialinvarianten

Die algebraische Invariantentheorie war das Vorbild für die Entwicklung der Theorie der quadratischen Differentialformen, die nach 1868 einsetzte und sich in der Folgezeit als ein eigenständiges Gebiet etablieren konnte. Die Differenti• algeometrie wurde davon kaum berührt.

S. 59 4.1.1 Die kovariante Ableitung

An Aronhold anknüpfend hatte sich Christoffel bereits als Invariantentheore• tiker ausgewiesen, als er sich 1869 der Theorie der quadratischen Differential• formen zu widmen begann. Unter Verwendung der später nach ihm benannten Chistoffelsymbole berechnete er den Krümmungstensor und untersuchte dessen spezielle Eigenschaften. Durch die Einführung der kovarianten Ableitung gelang es Christoffel erstmals, aus einem Tensor einen neuen Tensor abzuleiten.

S.65 4.1.2 Der absolute Differentialkalkül

Der absolute Differentialkalkül ist das Werk Riccis und wird deshalb auch als Ricci-Kalkül bezeichnet.

S. 67 4.1.2.1 Vorbereitende Arbeiten

Ricci plante, wie er in seiner ersten Arbeit 1884 ausführte, eine Reihe von Veröffentlichungen über quadratische Differentialformen. Er orientierte sich an• fangs an Christoffei, bevor er 1886 eigene Wege einschlug, dies auch in der Fach• sprache und in der Bezeichnungsweise. Die Frage nach Differentialparametern k-ter Ordnung führte Ricci zum Krümmungstensor und dessen Transformati• onsgleichungen; außerdem verallgemeinerte er das Problem der orthogonalen Flächensysteme. Mit drei seiner Arbeiten aus den Jahren 1884-1886 bewarb er sich um den Premio Reale der Accademia dei Lincei, den er aber nicht erhielt. Beltrami begründete die Ablehnung, indem er die Vorarbeiten für die Anwend• barkeit des Kalküls als zu kompliziert und den Kalkül deshalb als ungeeignet einschätzte. 238 Anhang 3

S. 71 4.1.2.2 Der Ausbau des absoluten Differentialkalküls

1887 führte Ricci die von ihm sog. kovariante Ableitung ein, 1888 deren kon• travariantes Analogon. Er unterschied dafür zwischen ko- und kontravarianten Systemen, das sind Tensoren. Die wesentliche Eigenschaft dieser Größen ist, unabhängig von den Variablen zu sein. Die Änderung der Differentiationsrei• henfolge lieferte den entscheidenden Zusammenhang mit dem Krümmungsten• sor. Ricci konnte zeigen, daß auch für die ko- und kontravariante Ableitung die Produktregel der normalen Ableitung galt; außerdem war ihm, wie eine Veröffentlichung Padovas zeigt, die Bianchische Identität bekannt. Als mögli• che Anwendungsgebiete seiner Ergebnisse nannte Ricci Geometrie und Physik, insbesondere die Elastizitätstheorie. 1893 bezeichnete Ricci seine Theorie als "absoluten Differentialkalkül" .

S. 75 4.1.2.3 Anwendungen

In seinen späteren Arbeiten wies Ricci mit aller Deutlichkeit auf die völlig ver• schiedenen Anwendungsgebiete seines absoluten Differentialkalküls hin, um da• mit dessen Vielseitigkeit zu demonstrieren. 1901 bewarb sich Ricci abermals um den Premio Reale der Accademia dei Lincei. Unter seinen fünf eingereichten Schriften befanden sich zwei Monographien, nämlich eine 1898 veröffentlichte Darstellung der Flächentheorie und ein Manuskript über Elastizitätstheorie. Auch diesmal hatte er keinen Erfolg. Luigi Bianchi rechtfertigte die Ablehnung damit, daß der absolute Differentialkalkül, wie die Anwendungen zeigten, zwar nützlich, aber nicht unersetzlich sei.

S. 78 4.1.2.4 Gesamtdarstellungen

Eine erste Gesamtdarstellung seiner Ergebnisse veröffentlichte Ricci 1892 in französischer Sprache. Er definierte Tensoren mittels ihres Transformationsver• haltens, behandelte die algebraischen Rechenoperationen sowie die kovariante Ableitung, um dann die diversen Anwendungsmöglichkeiten aufzuzeigen. Eine weitere, noch ausführlichere Gesamtdarstellung publizierte er 1901, ebenfalls in französischer Sprache, zusammen mit seinem Schüler Levi-Civita. Dieser Abhandlung steht folgender Ausspruch Poincares gleichsam als Motto voraus: "Eine gute Bezeichnungsweise hat dieselbe philosophische Bedeutung wie eine gute Klassifikation in den beschreibenden Naturwissenschaften". Nur das erste Kapitel war dem absoluten Differentialkalkül, die folgenden fünf Kapitel dessen Anwendung in der Physik und Geometrie gewidmet. Anhang 3 239

S. 83 4.1.2.5 Besprechungen

Riccis Arbeiten wurden sowohl im Jahrbuch über die Fortschritte der Mathe• matik als auch im Bulletin des Sciences Mathematiques regelmäßig besprochen. Darüber hinaus erschienen auch umfangreiche Besprechungen einzelner Arbei• ten in anderen mathematischen Zeitschriften.

S. 87 4.1.3 Theorie der Differentialinvarianten

Einen weiteren Zugang zur Theorie der Differentialinvarianten lieferte das Grup• penkonzept.

S.88 4.1.3.1 Gruppenkonzept und dessen Verbindung mit dem absoluten Differentialkalkül

In demselben Jahr 1884, in dem Ricci seinen ersten Beitrag zum absoluten Dif• ferentialkalkül veröffentlichte, widmete Lie mit Hilfe des Gruppenkonzeptes der Theorie der Differentialinvarianten eine umfangreiche Abhandlung. Lie defi• nierte den Begriff Differentialinvariante und zeigte, daß sich Differentialinvari• anten als Lösungen vollständiger Systeme von partiellen Differentialgleichungen darstellen lassen. Als Beispiele führte er das Gaußsche Krümmungsmaß und die Differentialparameter vor. Zorawski definierte analog zur Theorie der endlichen Gruppen auch für unendliche Gruppen eine Erweiterung. Diese ließ ihn Fragen nach der Anzahl der möglichen Biegungsinvarianten beantworten. Levi-Civita versuchte 1893/94, das Gruppenkonzept mit dem absoluten Differentialkalkül in Verbindung zu bringen.

S. 93 4.1.3.2 Riccis Konzepte in neuer Symbolik

Sowohl Hessenberg als auch Maschke schufen unabhängig voneinander für die Theorie der Differentialinvarianten eine neue Symbolik. Obwohl zu ganz un• terschiedlichen Ergebnissen kommend, stützten sich beide auf die algebraische Invariantentheorie und die dort üblichen Bezeichnungsweisen.

S. 97 4.1.3.3 Verallgemeinerungen von Riccis Konzepten

Somigliana, Pascal und DeDonder verallgemeinerten Riccis Ergebnisse dahin• gehend, daß sie nicht nur quadratische, sondern möglichst beliebige Differen• tialformen in Betracht zogen. Pascal beschäftigte sich mit dem Fall, daß der metrische Tensor des Linienelementes als nicht symmetrisch vorausgesetzt wird. Sinigallia und Pascal untersuchten verallgemeinerte Differentialparameter. 240 Anhang 3

S. 101 4.1.3.4 Anwendungen des Gruppenkonzeptes

Von Zorawski ausgehend fragte Haskins nach der Anzahl der verallgemeinerten Differentialparameter. Forsyth untersuchte die Anzahl der Differentialinvarian• ten von Flächen im Falle, daß auch höhere Ableitungen der Fundamentalgrößen zugelassen sind.

S.105 4.1.3.5 Wrights Lehrbuch

Eine erste Gesamtdarstellung der Theorie der Differentialinvarianten schuf Wright 1908. Er schilderte den absoluten Differentialkalkül, die auf dem Grup• penkonzept Lies aufbauende Theorie und die von Maschke eingeführte Symbolik samt ihrer Vorteile.

S. 107 4.1.3.6 Differentialinvarianten und Vektorrechnung

Waelsch, Ingold und Shaw versuchten, die Theorie der Differentialinvarianten mit Hilfe der Vektorrechnung anzugehen.

S.108 4.1.3.7 Die Theorie der Differentialinvarianten als eigen• ständiges Gebiet

Von Ricci und Lie ausgehend begann sich die Theorie der Differentialinvarian• ten als ein selbständiges mathematisches Gebiet herauszukristallisieren. Dieses florierte insbesondere zwischen 1899/1900 und 1909/10, Beiträge hierzu kamen nicht nur aus Italien, sondern aus aller Welt.

S. 111 4.2 Kristallographie

Der Name "Tensor" wurde 1898 von Voigt eingeführt. Auf ihn geht nicht nur die Bezeichnung zurück, er schuf gleichzeitig einen Tensorbegriff und eine Ten• sorrechnung (Tensoralgebra).

S. 111 4.2.1 Voraussetzungen

Symmetriebetrachtungen spielten in der Kristallographie wohl schon immer eine Rolle. Diese führten in den Jahren 1887-1891 zur Einführung des Gruppenbe• griffes. P. Curie unterschied 1894 vier verschiedene Arten von Symmetrien, eine fünfte war aus den übrigen vier zusammengesetzt. Anhang 3 241

S. 113 4.2.2 Voigts Einführung des Tensorbegriffs

Voigt begann sein 1898 erschienenes Werk Elemente der I

S. 122 4.2.3 Tensoren höherer Ordnung

Schon 1900 zog Voigt auch Tensoren höherer Ordnung, insbesondere 3. und 4. Ordnung in Erwägung. Er bezeichnete die Tensorkomponenten mit Hilfe der der Ordnung entsprechenden Anzahl von Indizes, eine Schreibweise, die er auch in seinen späteren Arbeiten verwendete.

S. 124 4.2.4 Tensoranalysis

Im Jahre 1904 führte Voigt fünf verschiedene Arten von Produkten und eine Art von Summenbildung als Rechenoperationen ein.

S.126 4.2.5 Voigts "Kristallphysik" von 1910

Die Darstellung ist an die Monographie von 1898 angelehnt. Vektoren und Tensoren erscheinen zusammengefaßt als "gerichtete Größen".

S. 128 4.2.6 Die Rezeption der Voigtschen Tensoren in der Vektor• rechnung, Elektrodynamik und Elastizitätstheorie

Max Abraham behandelte 1901 im Rahmen seines Encyklopädieartikels Geo• metrische Grundbegriffe auch die Voigtschen Tensoren. 1904 brachte Abraham diese auch in die Neubearbeitung von Föppls Einführung in die Maxwellsche Theorie der Elektrizität ein. Love und Tedone machten 1906 in der Elastizitäts• theorie von Voigts Tensorbegriff Gebrauch. 242 Anhang 3

S.129 4.2.7 Weiterentwicklung der Voigtschen Tensoren

Eine grundlegende Eigenschaft der Voigtschen Tensoren war die Symmetrie. Unter dem Einfluß der linearen Vektorfunktionen verallgemeinerte R. Weber die Tensoren, indem er die Symmetriebedingung fallen ließ: Voigts 6-komponentige Tensoren 2. Stufe wurden zu allgemeinen, 9-komponentigen Tensoren 2. Stufe; symmetrische Tensoren waren bei R. Weber nichts anderes als spezielle Tenso• ren.

S. 133 4.3 Vektorrechnung

Auch in der Vektorrechnung wurde eine Art Tensorbegriff und Tensorkalkül eingeführt.

S. 133 4.3.1 Lineare Vektorfunktionen

Schon die beiden Begründer der Vektorrechnung, Hamilton und Graßmann, verwendeten lineare Vektorfunktionen, Hamilton schuf die Bezeichnung. Er widmete diesen in seinen Elements 01 Quaternions 1866 ein umfangreiches Ka• pitel. Graßmann führte in seiner Theorie der Ebbe und Flut einen von ihm sog. Affinitätsfaktor ein, in seinen Ausdehnungslehren von 1844 bzw. 1862 be• handelte er sog. offene bzw. lückenhafte Produkte. An Hamilton anknüpfend veröffentlichte Tait in seiner Introduction to Quaternions 1873 seine Untersu• chungen über lineare Vektorfunktionen, wobei er sich auch mit deren Anwen• dung beschäftigte. Sein wichtigstes Anwendungsbeispiel war bemerkenswerter• weise die Elastizitätstheorie. Tait legte die Beziehungen zwischen dem Span• nungstensor und den linearen Vektorfunktionen offen, der einer symmetrischen (self-conjugate) linearen Vektorfunktion entspricht.

S. 139 4.3.2 Dyadics

Gibbs verwandelte Hamiltons Quaternionenkalkül in den dreidimensionalen Vektorkalkül. In seinem 1881/84 privat gedruckten Werk Vector Analysis unter• suchte Gibbs lineare Vektorfunktionen, die er Dyadics bezeichnete. Für diese führte er spezielle Rechenoperationen ein, wobei er auch an Differential- und Integraloperationen dachte.

S. 142 4.3.3 Rezeption

Was die Vektorrechnung anbelangte, so orientierte sich Heaviside in seiner Elec• tromagnetic Theory 1893 an Gibbs. Er interpretierte lineare Vektorfunktionen als lineare Operatoren mit dyadischer Struktur. Als Anwendungsgebiete nannte Anhang 3 243

Heaviside die Elastizitätstheorie und die Theorie des Elektromagnetismus. Hea• visides Werk war das Vorbild für Föppl. In seiner Geometrie der WirbelfeIder 1897 behandelte Föppl ausführlich lineare Vektorfunktionen. Gibbs' Werk wurde erst in der Bearbeitung von Wilson 1901 breiten Krei• sen bekannt. Wilson verallgemeinerte die Dyadics mittels äußerer Multipli• kation zu Triadics, Tetradics,..., Polyadics, die Tensoren 3.,4., ... , n-ter Stufe entsprachen. Für diese schuf er aber keine Theorie. Jaumann interpretierte lineare Vektorfunktionen als bi lineare Abbildun- gen.

S. 146 4.3.4 Die Synthese mit den Voigtschen Tensoren

Diese Entwicklung lief speziell im deutschen Sprachraum ab, da Voigts Tensoren vor allem hier bekannt waren. Bereits 1901 versuchte Abraham, gleichzeitig Dyadics und Voigts Tensoren zu behandeln. Ähnlich verfuhr er 1904/5 in seiner Einführung in die Maxwellsehe Theorie der Elektrizität. Vergleichbare Wege schlugen auch Jahnke 1905, Valentiner 1907,1912, Ignatowsky 1909, Gans 1909 und Budde 1914 ein.

S. 149 4.3.5 Weitere Entwicklungen

Die von Gibbs 1888 vorhergesagten Richtungskämpfe in der Vektorrechnung fanden tatsächlich statt. Diese warfen auch auf die Tensorrechnung ihre Schat• ten, indem sie zu weiteren Neuschöpfungen führten.

S.150 4.3.5.1 Die Binäranalyse

Waelsch entwickelte die Binäranalyse. Von der Invariantentheorie herkommend versuchte er, Gebilden und Transformationen des Raumes binäre Formen zuzu• ordnen. Dies erlaubte es ihm, die Methoden der algebraischen Invariantentheo• rie anzuwenden.

S. 151 4.3.5.2 Die "Omografie vettoriali"

Burali-Forti und Marcolongo schufen die Omografie vettoriali, lineare Opera• tionen des Raumes, welche Vektoren in Vektoren transformieren. Diese Größen wendeten die Autoren in der Mechanik, Elastizitätstheorie, Hydrodynamik, Wärmeleitung und Elektrodynamik an. 244 Anhang 3

S. 152 4.3.5.3 Die Affinoranalysis

Den Begriff "Affinor" führte Jung ein. Schouten entschied sich in seiner Dis• sertation Grundlagen der Vektor- und Affinoranalysis 1914 für diesen, da die allgemeinsten Größen der Analysis den affinen Transformationen entsprächen. Schoutens Werk umfaßte alle vorangegangenen Theorien und war auf größte Allgemeinheit ausgerichtet. Er stellte jedoch an seine Leser ziemlich hohe An• forderungen, da die von ihm verwendete Bezeichnungsweise und Fachsprache sehr differenziert war.

S. 160 5 Tensoren in der Relativitätstheorie

Die Relativitätstheorie ist das spektakulärste und einflußreichste Gebiet, in dem die Tensorrechnung Anwendung fand. Vor der Relativitätstheorie standen meh• rere, aber nicht untereinander äquivalente Arten von Tensorkalkül bereit: der absolute Differentialkalkül, die Voigtschen Tensoren und die linearen Vektor• funktionen, d.h. die daraus abgeleiteten Größen wie Dyadics,..., Polyadics, Dia• tensoren, Affinoren, usw. Nur dem absoluten Differentialkalkül lag ein Funda• mentaltensor zugrunde, invariantentheoretische Überlegungen spielten hier eine wesentlich wichtigere Rolle als in den übrigen Varianten. Die Tensoren des abso• luten Differentialkalküls und die Voigtschen Tensoren wurden mittels indizierter Komponenten beschrieben; in der Vektorrechnung dagegen wurden die Tenso• ren selbst als Größen bezeichnet. Was den Tensorkalkül anbelangt, so bewirkte die Relativitätstheorie eine Synthese aller Möglichkeiten, wobei der absolute Differentialkalkül als der umfassendste und der geeignetste Kalkül dominierte.

S.160 5.1 Einsteins mathematische Voraussetzungen

Während seiner Studienzeit an der ETH in Zürich 1896-1900 hatte Einstein die grundlegenden mathematischen Gebiete kennengelernt. Ein Sonderfall war, daß er eine zweisemestrige Vorlesung über Infinitesimalgeometrie und eine einse• mestrige Vorlesung über projektive Geometrie bei Geiser hörte. Dadurch wurde er früh mit Gauß' Flächentheorie und mit invarianten Denkmodellen vertraut. Einstein hörte keine Vorlesung über Vektorrechnung, diese hatte er vielleicht näher kennengelernt, als er privat Föppls Elektrizitätslehre und Voigts Com• pendium der theoretischen Physik durcharbeitete. Anhang 3 245 s. 167 5.2 Spezielle Relativitätstheorie

1905 veröffentlichte Einstein seine später sog. spezielle Relativitätstheorie unter dem Titel Zur Elektrodynamik bewegter [(örper, hier formulierte er erstmals sein Relativitätsprinzip. Was die verwendeten mathematischen Hilfsmittel betrifft, so sprach Einstein davon, daß die Lorentztransformationen eine Gruppe bilden. Bei der Formulierung der Maxwellschen Gleichungen erwähnte er spezielle, in der Theorie des Elektromagnetismus wichtige Vektoren, ohne von einer allge• meinen vektoriellen Darstellung und einem Vektorkalkül Gebrauch zu machen.

S. 168 5.2.1 Minkowskis Raum-Zeit

Schon in einem im November 1907 gehaltenen Vortrag legte Minkowski der speziellen Relativitätstheorie eine vierdimensionale, nichteuklidische Mannig• faltigkeit, die Raum-Zeit, zugrunde. Daraus resultierte die Notwendigkeit einer vierdimensionalen, mathematischen Darstellung. Minkowski benützte zunächst vierdimensionale Vektoren und vierdimensionale, sechskomponentige sog. Trak• toren, die schiefsymmetrisch waren. 1908 ersetzte er seine Vektoren und Trak• toren durch Raum-Zeit-Vektoren I. Art (vier Komponenten) und 11. Art (sechs Komponenten, schiefsymmetrisch). Diese betrachtete er als Matrizen, was ihm erlaubte, den Matrizenkalkül anzuwenden. Durch entsprechende Multiplikatio• nen gelangte er zu neuen physikalischen Größen. In einem 1908 gehaltenen und 1909 veröffentlichten Vortrag machte er aus Einsteins Relativitätspostulat sein Postulat der absoluten Welt bzw. Weltpostulat. Dies ermöglichte eine gleich• artige Behandlung der drei Raum- und der einen Zeitkoordinate. Minkowski unterschied zwischen raum· und zeitartigen Vektoren.

S. 174 5.2.1.1 Einsteins unmittelbare Reaktion auf Minkowski

Einstein hielt Minkowskis mathematische Darstellung für zu kompliziert. In Zusammenarbeit mit Laub kehrte er wieder zum dreidimensionalen Fall zurück, doch wählten die Autoren nun eine vektorielle Darstellung, auch einige Vektor• operationen wurden angewandt.

S. 175 5.2.2 Vierdimensionale Tensoren, vierdimensionaler Vektorkalkül

Minkowskis 1908 publizierte Abhandlung Die Grundgleichungen für die elektro• magnetischen Vorgänge in bewegten [(örpern war der Ausgangspunkt für viele Physiker, sich dem Problem einer geschickten Mathematisierung der speziellen Relativitätstheorie zuzuwenden. Das Ziel war, Minkowskis Matrizenrechnung durch eine verallgemeinerte, vierdimensionale Vektorrechnung zu ersetzen. 246 Anhang 3

S. 176 5.2.2.1 Max Abraham

Zwar unterschied Abraham wie Minkowski zwischen Vektoren I. und 11. Art, die schiefsymmetrisch waren. Gleichzeitig aber führte Abraham vierdimensionale Tensoren ein, und zwar unter der Bezeichnung Tensor, für die Voigt das Vorbild war. Für diese Tensoren, Abraham bezeichnete sie als Welttensoren, galt die Symmetriebedingung. Da Abraham nur Tensoren 2. Stufe in Erwägung zog, hatten diese zehn anstatt sechzehn Komponenten. Als Beispiele nannte er den Gravitationstensor und den elektromagnetischen Spannungstensor.

S. 177 5.2.2.2 Gilbert N. Lewis

Lewis begann mit dem dreidimensionalen Fall, für den er 0- Vektoren (= Ska• lare), I-Vektoren, 2-Vektoren (schiefsymmetrisch) und 3-Vektoren, die eine Vo• lumeneinheit bedeuten, einführte. Im vierdimensionalen Fall ergaben sich ana• log I-Vektoren mit vier Komponenten, 2- Vektoren mit sechs Komponenten (schiefsymmetrisch), 3-Vektoren mit vier Komponenten und 4-Vektoren mit ei• ner Komponente als Pseudoskalar.

S.178 5.2.2.3 Arnold Sommerfeld

In seiner 1910 erschienenen Arbeit Zur Relativitätstheorie führte Sommerfeld Vektoren 1., 11. und 111. Art ein, er bezeichnete sie nach der Anzahl ihrer Kom• ponenten als Vierer- Sechser- und Vierervektoren. Für diese entwickelte er Re• chenoperationen, indem er skalare, vektorielle und tensorielle Produkte bildete. Dem Tensorprodukt lag wiederum der Voigtsche Tensorbegriff zugrunde. Die tensorielle Multiplikation war so definiert, daß aus der Multiplikation zweier sechskomponentiger, schiefsymmetrischer Vektoren 11. Art ein symmetrischer Tensor 2. Stufe mit zehn Komponenten entstand. Darüber hinaus definierte Sommerfeld für den vierdimensionalen Fall Div, Rot und Grad.

S. 181 5.2.2.4 Max von Laue

Seine 1911 veröffentlichte Arbeit Zur Dynamik der Relativitätstheorie begann Laue mit der Einführung des symmetrisch vorausgesetzten Spannungstensors aus der Elastizitätstheorie. Laue zog zwar auch unsymmetrische Tensoren in Be• tracht, ohne jedoch diese Gedanken zu vertiefen. Sein vierdimensionaler Welt• tensor ist mit seinen zehn Komponenten wieder symmetrisch vorausgesetzt. In der Tat hatten einige Interpretatoren der speziellen Relativitätstheo• rie, nämlich Abraham, Sommerfeld und Laue, schon vor Einsteins allgemeiner Relaltivitätstheorie den Voigtschen Tensorbegriff und damit die Bezeichnung Tensor in die spezielle Relativitätstheorie eingeführt. Anhang 3 247

S. 184 5.3 Allgemeine Relativitätstheorie 5.3.1 Die Rezeption des absoluten Differentialkalküls in der Differentialgeometrie und in der Physik

Die Differentialgeometrie wurde von Geometern beherrscht, von denen vielleicht viele den absoluten Differentialkalkül kannten, diesen aber nicht für ein geeig• netes Mittel hielten. Diese Kritiker hielten Riccis Methoden vor, zu formal, zu abstrakt und bar jeder geometrischen Veranschaulichung zu sein. Unter den Physikern dürfte vor Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie die Kenntnis des absoluten Differentialkalküls nicht allzu verbreitet gewesen sein. Daß er aber nicht gänzlich unbekannt war, zeigen die Erwähnungen bei Abraham 1901, Tedone 1906 in der Elastizitätstheorie und Bateman 1910 in der Theorie des Elektromagnetismus. Auch Kottier war, wie seine Arbeit aus dem Jahre 1912 zeigte, mit dem absoluten Differentialkalkül bestens vertraut. Im Sommer 1912 war Einstein, der gerade von Prag nach Zürich zurückge• kehrt war, durch seinen Freund Großmann auf Riccis und Levi-Civitas Veröffent• lichung von 1901 aufmerksam gemacht worden.

S. 189 5.3.2 Einsteins und Großmanns Zusammenarbeit

Im Jahre 1912 faßte Einstein den Gedanken, die spezielle Metrik durch eine all• gemeine, nichteuklidische zu ersetzen. In der Folgezeit bearbeitete Einstein den physikalischen und Großmann den mathematischen Teil. In einer ersten Publi• kation von 1913 führten die Autoren ko- und kontravariante Tensoren ein, die durch lateinische und griechische Buchstaben mit tiefgestellten Indizes vonein• ander unterschieden wurden. Neu ist, daß Einstein und Großmann unter dem Einfluß des absoluten Differentialkalküls die als Tensoren bezeichneten Größen nicht mehr als symmetrisch voraussetzten und gemischte Tensoren einführten, die durch :t...,... dargestellt wurden. Im 1913/14 veröffentlichten Entwurjpräsentierten Einstein und Großmann Rechenoperationen für Tensoren. Während Ricci und Levi-Civita von Multi• plikation und Komposition sprachen, wählten Einstein und Großmann die Be• zeichnungen äußeres und inneres Produkt. Die ko- und kontravariante Ableitung faßten sie unter dem Namen "Erweiterung" zusammen. Vektoren I. Art bzw. Vierervektoren entsprachen Tensoren 1. Ranges, Vektoren 11. Art bzw. Sech• servektoren Tensoren 2. Ranges. Damit war die Synthese des in der speziellen Relativitätstheorie verwendeten Vektorkalküls, Voigtsche Tensoren inbegriffen, und des absoluten Differentialkalküls vollzogen. Mit Hilfe der von Christoffel eingeführten Symbole behandelten Einstein und Großmann auch die Grundla• gen des sog. Riemannschen Differentialtensors bzw. der Christoffelschen Vier• Indizes-Symbole, wobei die Autoren analog zu den Christoffelsymbolen mit drei 248 Anhang 3

Indizes zwischen 1. Art (vierfach kovariant) und 2. Art (dreifach kovariant und einfach kontravariant) unterschieden.

S.199 5.3.3 Die Jahre 1914-1916

1914 verließ Einstein Zürich und übersiedelte nach Berlin. Für seine weite• ren Untersuchungen übernahm er das gemeinsam mit Großmann ausgearbei• tete Fundament, er veränderte nur Kleinigkeiten. In den Berliner Sitzungsbe• richten erschien 1914 seine Darstellung Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, in der er ein umfangreiches Kapitel der mathematischen Ge• staltung widmete. Hier führte er für die Tensoren die Schreibweise mit hoch• und tiefgestellten Indizes ein. Neu hinzu kam vor allem ein Kapitel über die geodätische Linie, die er mit Hilfe der Christoffelsymbole darstellte und die die Bewegungsgleichung eines materiellen Punktes ist. Im physikalischen Teil führte Einstein Größen r~q als Komponenten des Gravitationsfeldes ein, die er aber noch nicht mit den Christoffelsymbolen {} gleichsetzte, sondern anders definierte. 1915 entdeckte Einstein Fehler in seiner physikalischen Schlußweise, vor al• lem im Kovarianzprinzip. Von Juli bis Oktober steckte er in einer tiefen Krise. Im November gelang ihm der Durchbruch, indem er zu einem allgemeineren Kovarianzprinzip zurückkehrte, wovon eigentlich er und Großmann drei Jahre vorher ausgegangen waren. Noch in demselben Jahr veröffentlichte er seine Ergebnisse in Form von drei kleineren Arbeiten. In seiner Abhandlung Zur allgemeinen Relativitätstheorie setzte er erstmals die Komponenten des Gravi• tationsfeldes r gleich den Christoffelsymbolen { }. Durch Zerlegung des Rie• mannschen Tensors gelangte er zu neuen Feldgleichungen. Diese ermöglichten auch die Erklärung der Perihelbewegungen der Planeten. In seinem 1916 erschienenen Meisterwerk Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie würdigte Einstein im Vorwort seine Vorläufer, nämlich die Mathematiker Minkowski, Gauß, Riemann, Christoffel, Ricci und Levi-Civita. Auch äußerte er gegenüber seinem Freund Großmann tiefe Dankbarkeit. Ein• steins mathematische Darstellung ähnelte der von 1914. Neu hinzugekommen waren lediglich die später nach ihm benannte Summationsbedingung und die Rechenoperation "Verjüngung". Im physikalischen Teil erhielten die Feldglei• chungen ihre endgültige Form.

S.208 5.4 Die Geometrisierung der Relativitätstheorie

Schon im 19. Jahrhundert versuchten mehrere Autoren, die Mechanik auf der Grundlage der nichteuklidischen Geometrie darzustellen. In Einsteins spezieller Relativitätstheorie von 1905 fehlt diese Verbindung mit der nichteuklidischen Anhang 3 249

Geometrie. Diese leisteten spätere Interpretatoren, allen voran Minkowski, in• dem er den Begriff der vierdimensionalen Mannigfaltigkeit einführte. Herglotz bemühte sich um das Problem des starren Körpers auf der Basis der Bewegungs• gruppen. Felix Klein sah den Gruppenbegriff als wesentlich in der speziellen Re• lativitätstheorie an. Diese war für ihn nichts anderes als eine Invariantentheorie bezüglich einer speziellen Gruppe, die sich den projektiven Maßbestimmungen zuordnen ließ. Kottier bemühte sich um eine vierdimensionale Kurventheorie und Wilson und Lewis stellten 1913 ausführlich die vierdimensionale, nichteukli• dische Geometrie vor, um diese auf Mechanik und Elektrodynamik anzuwenden. In Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie von 1916 fehlte eine konse• quente Geometrisierung. Die Differentialgleichung der geodätischen Linie war der Ausgangspunkt für die Definition der Parallelverschiebung in der Riemann• schen Geometrie, die ca. ein Jahr nach Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie unabhängig voneinander Hessenberg, Levi-Civita und Schouten gelang. Damit lag die Verbindung der allgemeinen Relativitätstheorie mit der Riemannschen Geometrie auf der Hand. Wesentliche Beiträge zur Geometrisierung der all• gemeinen Relativitätstheorie leistete Weyl, der, wie auch Peres, den Zusam• menhang der Parallelverschiebung mit dem Riemannschen Krümmungstensor aufdeckte. Weyls Lehrbuch Raum, Zeit, Materie wurde zu einem Klassiker der Relativitätstheorie. Der von Weyl 1919 geschaffene Begriff des affinen Zusam• menhangs, den Schouten zur linearen Übertragung verallgemeinerte, spielte in Zukunft in der Differentialgeometrie eine zentrale Rolle.

S. 213 6 Schlußbetrachtung

Der absolute Differentialkalkül hat seine Wurzeln in der Invariantentheorie, fol• gerichtig fehlen ihm geometrische Aspekte. Ricci hatte mit seinem Kalkül in• ternationalen Erfolg bei den Mathematikern, die sich mit der Theorie der Dif• ferentialinvarianten beschäftigten, dagegen wurde in der Differentialgeometrie von seinem absoluten Differentialkalkül kein Gebrauch gemacht. Formale Me• thoden wie der Tensorkalkül fanden in der Differentialgeometrie kaum Einlaß. Den Physikern war der absolute Differentialkalkül bis auf wenige Ausnahmen weitgehend unbekannt. Das Wort Tensor ist eine Schöpfung Voigts. Hätte dieser die neueren Ent• wicklungen in der Vektorrechnung gekannt, so hätten sich seine Überlegungen erübrigt. Von Symmetriebeziehungen ausgehend führte Voigt mit seinen Ten• soren Größen ein, die den Bedürfnissen der Elastizitätstheorie angepaßt waren. Die Rezeption der Voigtschen Tensoren war identisch mit der Verbreitung des Fachwortes Tensor, das Abraham, Sommerfeld und Laue auch für die mathema• tische Gestaltung der speziellen Relativitätstheorie gebrauchten. Als Einstein 250 Anhang 3 und Großmann die Bezeichnung Tensor auf die Riccischen Systeme übertrugen, benannten sie die allgemeinsten Größen nach den speziellsten. Mit dem Erfolg der allgemeinen Relativitätstheorie einher ging der Erfolg des absoluten Differentialkalküls, d.h. des Tensorkalküls. Andere Bezeichnungs• weisen, wie sie Schouten und Struik vorschlugen, konnten sich nicht durchset• zen. Auch Ricci wurde nachträglich mit vielerlei Ehren überschüttet. Levi• Civita verglich ihn mit Apollonios und dessen Kegelschnittlehre. Apollonios konnte nicht ahnen, daß 1800 Jahre später ein Kepler kommen würde, der mit Hilfe der elliptischen Planetenbahnen ein Weltbild revolutionierte. In der Tat paßte Riccis absoluter Differentialkalkül perfekt auf Einsteins allgemeine Rela• tivitätstheorie. Einstein drückte später seine Hochachtung vor der Mathematik mit folgenden Worten aus: "Das eigentlich schöpferische Prinzip aber liegt in der Mathematik." Verzeichnis der Figuren

Fig. 1 (S. 113): Pierre Curie (2; S. 134), Darstellung der fünf möglichen Arten von Symmetrie Fig. 2 (S. 130): R.H. Weber (1; S. 379), Veranschaulichung eines asym• metrischen Tensors Fig. 3 (S.134): R.W. Hamilton (4; S. 44), graphische Darstellung der Multiplikation und Addition von Vektoren Fig. 4 (S. 174): Minkowski (3; S. 8), raum- und zeitartige Vektoren, Vor- und Nachkegel

Verzeichnis der Tabellen

Tab. 1 (S.84): Besprechungen der Werke Riccis im Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik Tab. 2 (S. 86): Besprechungen der Werke Riccis im Bulletin des Siences mathematiques Tab. 3 (S. 92): Zorawski (1; S. 41), Anzahl der Biegungsinvarianten Tab. 4 (S. 109): Zusammenstellung der Arbeiten über Differential- invarianten Tab. 5 (S. 156): Schouten (1; S. 95), mögliche Multiplikationen in der Affinoranalysis Tab. 6 (S. 157): Schouten (1; S. 151), Voigtsche Tensoroperationen in Schoutenscher Bezeichnungsweise Tab. 7 (S. 217): Die Voigtschen Tensoren und ihre Rezeption (Chronologie) Tab. 8 (S. 232): Vergleich der Symbolik Verzeichnis der Abbildungen, Abbildungs• nachweis

Abb. 1: Portrait des 26-jährigen Gauß (Original in der Göttinger Stern• warte), Titelblätter der Disquisitiones arithmeticae und der Disquisitiones generales circa superjicies curvas (Gauß 2 und 5) Abb. 2: Elwin Bruno Christoffel (1829-1900). Aus: Gedenkschrift zur 150. Wiederkehr des Geburtstages, Heimatblätter des Kreises Aachen 34/35, 1978/9, S. 6 Abb. 3: Gregorio Ricci Curbastro (1853-1925). Aus: Opere, Bd. 1, Rom 1956 Abb. 4: Tullio Levi-Civita (1873-1941). Aus: Opere, Bd. 1, Bologna 1954 Abb. 5: Woldemar Voigt (1850-1919). Deutsches Museum, München. Titelblatt Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der [(rystalle und Inhaltsverzeichnis (Voigt 1) Abb. 6: Max Abraham (1875-1922). Aus: Physikalische Zeitschrift 24, 1923, S. 49. Inhaltsverzeichnis seiner Arbeit Geometrische Grundbegriffe (Abraham 1) Abb. 7: Marcel Großmann (1878-1936), aus (KoHras 2); Tensorbegriff aus (Großmann 2; S. 295) Abb. 8: Albert Einstein (1879-1955). Deutsches Museum, München. Einleitung zur allgemeinen Relativitätstheorie (Einstein 12) Abb. 9: Dirk Jan Struik: Grundzüge der mehrdimensionalen Differential• geometrie (Struik 1) und Widmung Verzeichnis der Abkürzungen

Abh. Akad. Berlin Abhandlungen der königlichen Akademie der Wissenschaften, Berlin Abh. Ges. Wiss. Abhandlungen der königlichen Gesellschaft Göttingen der Wissenschaften, Göttingen, mathemati• sche Classe Acta math. Acta mathematica Amer. Journ. Math. American Journal of Mathematics Ann. Phys. Annalen der Physik Ann. mat. Annali di Matematica pura ed applicata Ann. Sc. mat. fis. Annali di Scienze matematiche e fisiche Ann. Sc. Annals of Science Annuario Univ. Padova Annuario della Reale Universita di Padova Arch. Math. Phys. Archiv der Mathematik und Physik Arch. Hist. Ex. Sc. Archive for History of Exact Sciences Arch. Int. Hist. Sc. Archives Internationales d'Histoire des Sciences Atti Ist. Veneto Atti deI Reale Istituto Veneto di Science, Lettere ed Arti Ber. Ges. Wiss. Leipzig Berichte über die Verhandlungen der königlich sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, mathematisch-physikalische Klasse Brit. Journ. Phil. Sc. The British Journal for the Phylosophy of Science Bull. Amer. Math. Soc. Bulletin of the American Mathematical Society Bull. Sc. math. Bulletin des Sciences mathematiques Bull. Soc. Phi10m. Bulletin de la Societe Philomatique de Paris Cambridge Math. Journ. Cambridge Mathematical Journal Cambridge Dublin Math. Cambridge and Dublin Mathematical Journal Journ. Comm. Soc. Gott. Commentationes Societatis Regiae scientia• rum Gottingensis, Classis mathem. 254 Verzeichnis der Abkürzungen

CR Comptes Rendus de l'Academie des Sciences, Paris DSB Dietionary of Scientific Biography Enseignem. math. L'Enseignement mathematique Encykl. Math. Wiss. Encyklopädie der Mathematischen Wissen- schaften Giorn. mat. Giornale di matematica di Battaglini GGA Göttingisehe Gelehrte Anzeigen Hist. math. Historia mathematica Hist. Stud. Phys. Sc. Historical Studies in the Physical Sciences Jahrb. Fortsehr. Math. Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik Jahrb. Radioak. Elektr. Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik Jber. DMV Jahresbericht der deutschen Mathematiker• vereinigung Journ. Math. Journal für die reine und angewandte Mathematik Journ. phys. Journal de physique Math. Ann. Mathematische Annalen Math. Int. The Mathematical Intelligencer Math. Sem. ber. Mathematische Semesterberichte Math. Ztschr. Mathematische Zei tschrift Mem. Ac. Sc. Belgique Memoires de I' Academie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique, Classe des Sciences Mem. Ac. Sc., Memoires de l'Academie des Sciences de Inst. France l'Institut de France Mem. Ace. Lincei Memorie del Classe di Scienze Fisiche, Mathematiche e Naturali, Accademia dei Lincei Verzeichnis der Abkürzungen 255

Mem. Ace. Sc. Bologna Memorie della Reale Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna Mem. Soc. itaI. Sc. Memorie di matematica e di scienze fisiche e naturali della Societa italiana delle Scienze Monatsber. Akad. Berlin Monatsberichte der Akademie der Wissen• schaften, Berlin Monatsh. Math. Phys. Monatshefte für Mathematik und Physik Nachr. Ges. Wiss. Nachrichten der Königlichen Gesellschaft Göttingen der Wissenschaften, Göttingen, mathema• tisch-physikalische Klasse Naturwiss. Die Naturwissenschaften NTM-Schriftenr. NTM-Schriftenreihe für Geschichte der Naturwissenschaften, Technik und Medizin PhiI. Mag. Philosophical Magazine PhiI. nato Philosophia naturalis PhiI. Trans. Philosophical Transactions of the Royal Society London Phys. BI. Physikalische Blätter Phys. Ztschr. Physikalische Zeitschrift Physis Physis. Rivista internazionale di Storia della Scienza Proc. Amer. Ac. Proceedings of the American Academy of Arts and Seiences Proc. Irish Acad. Proceedings of the Royal Irish Academy Proc. London Math. Proccedings of the London mathematical Soc. Society Proc. R. Soc. London Proceedings of the Royal Society of London Rend. Ace. Lincei Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei, Classe di scienze fisiche, mathematiche e naturali Rend. Cire. Mat. Rendiconti deI Circolo Matematico di Palermo Palermo 256 Verzeichnis der Abkürzungen

Rend. Ist. Lombardo Rendiconti deI Reale Istituto Lombardo di Scienze e Lettere, Classe di Scienze Mate• matiche e Naturali Rend. Sem. Mat. Rendiconti del Seminario Matematico della Univ. Padova Reale Universita di Padova Rendiconto del adu• Rendiconto deI adunanza solenne, Atti della nanza sol. Ace. Lincei Accademia dei Lincei Rev. gen. Sc. Revue generale des Sciences pures et appliquees Riv. Stor. Sc. Rivista di Storia della Scienza Scientia Scientia (Rivista di scienza) Sitzungsber. Akad. Sitzungsberichte der königlich preußischen Berlin Akademie der Wissenschaften, Berlin Sitzungsber. Akad. Sitzungsberichte der mathematisch natur• Wien wissenschaftlichen Klasse der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien Stud. Hist. Phil. Sc. Studies in History and Philosophy of Science Techn. Mech. Technische Mechanik Trans. Amer. Math. Transactions of the American Mathematical Soc. Society Trans. Connecticut Transactions of the Connecticut Academy of Ac. Arts and Sciences Verh. Ak. Wetensch. Verhandelingen der Koninklijke Nederlandse Amsterdam Akademie van Wetenschappen, Amsterdam Verh. Schweiz. Verhandlungen der Schweizerischen Naturfor• Naturf. Ges. schenden Gesellschaft = Actes de la Societe helvetique des Sciences Naturelles Vierteljahresschr. Vierteljahresschrift der Naturforschenden Naturf. Ges. Zürich Gesellschaft Zürich ZAMM Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik Ztschr. Math. Phys. Zeitschrift für Mathematik und Physik Literaturverzeichnis

Zitierweise Zitiert wird mit Hilfe von Klammern durch Nennung des Autors bzw. des Her• ausgebers bzw. des Stichwortes, unter dem die Quelle im Literaturverzeichnis aufzufinden ist. Sind dort unter einem Autor mehrere Arbeiten aufgelistet, so steht hinter dem Autor die Nummer der Arbeit. Geht der Autor aus dem Satz klar hervor, so erscheint dessen Name nicht nochmals innerhalb der Klammer. Wurde die Arbeit von zwei oder mehreren Autoren verfaßt, so werden die Na• men durch / getrennt wiedergegeben. Bandzahlen werden durch römische Zif• fern festgehalten. Um Mißverständnissen vorzubeugen, wurden Seitenangeben immer durch S. gekennzeichmet. Z.B. Apolin... (S. 357) bzw. (Apolin; S. 357) Abraham (2; S. 20) bzw. (Abraham 2; S. 20), Einstein (1; I, S. 100) bzw. (Einstein 1; I, S. 100), (Ricci/Levi-Civita 1; S. 125).

Bemerkungen Sind von einem Werk mehrere Ausgaben erschienen, so beziehen sich die Seiten• zahlen auf die mit· gekennzeichnete Ausgabe. Gab es von einem Werk mehrere Auflagen, so wurde nach der im Literaturverzeichnis vermerkten zitiert, gele• gentlich wurden frühere oder spätere Auflagen, nach denen nicht zitiert wurde, im Literaturverzeichnis in Klammern miterwähnt. Herausgeber und Überset• zer, die den jeweiligen Werken noch etwas hinzufügten, z.B. Anmerkungen oder Ergänzungen, wurden durch Verweise festgehalten. Lexika- bzw. Enzyklopädie• artikel ohne Autor stehen unter dem jeweiligen Stichwort " ". Was die Aka• demieberichte anbelangt, so sind die jeweiligen Klassen, mathematische Klasse, usw., schon im Verzeichnis der Abkürzungen mitberücksichtigt. Es wurden nur die Lebensdaten der Autoren der Quellen und nicht der Sekundärliteratur angegeben, doch ließen sich diese Daten nicht in jedem Fall ermitteln; dies gilt insbesondere für Sterbedaten. Auch konnten die Vornamen der Autoren der Se• kundärliteratur nicht in jedem Fall aufgeschlüsselt werden, manchmal mußten die Abkürzungen der Vornahmen stehenbleiben. Englischsprachige Titel wur• den, den Gepflogenheiten des National Union Gatalog folgend, generell klein geschrieben. 258 Literaturverzeichnis

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(Für das Register wurden die Seiten 13-250 berücksichtigt)

Abraham, Max (1875-1922) 128, 129, Affinorfeld 157 133,146,147,149,176-178,183, 185-187, 217, 218, 222, 241, 243, analog, Analogie, -schlüsse 25, 39, 46, 246,247,249 108, 121, 127, 131, 134, 169, 173, 177, 189, 213, 215, 224 absolut (assoluta) (ohne absoluter Differentialkalkül) 21-24, 55, 57, Apolin, A. 149, 215 60, 67, 75, 78, 92, 93, 152, 173, ApoIIonios von Perge (ca. 262-190 174, 190, 192, 196, 213, 235, 245 v.ehr.) 219,250 absolute Invariante 55, 60, 67, 75, 93, d'Arcais, Francesco (1849-1927) 81 192, 196 Aronhold, Siegfried (1819-1884) 54, 55, absoluter Differentialkalkül (Ricci) 75, 56, 59, 89, 95, 236, 237 238 Assier de Bompiani, Raoul Henri 17 Accademia dei Lincei 71, 77, 98, 184, 214, 237, 238 Ausdehnungsgrößen, ausgedehnte Größen siehe extensive Größen adjungierte Form (Gauß) 46 Axes of Elasticity (Rankine) 40, 236 Äquivalenz von Formen (Gauß) 45, 46, 236 axialer Vektor und Tensor (Voigt) 115, 125-127 Äquivalenzhypothese, -prinzip 192

ästhetische Kriterien 169 Bachmann, Paul 43 affiner Zusammenhang 228, 249 Barbotte, Jean 16

Affinitätsfaktor (Graßmann) 136, 242 Bateman, Harry (1882-1946) 187,247

Affinor (Jung) 152, 153, 244 Bauer, Edmond 14, 15

Affinoranalysis, Affinoren 133, 152• Beez, Richard (1827-1902) 32, 33, 67, 160,244 224, 225, 235 Namen- und Sachverzeichnis 317

Belhoste, Bruno 34, 47 Blaschke, Wilhelm (1885-1962) 212, 229 Beltrami, Eugenio (1835-1900) 23-26, 33, 41, 42, 68, 70, 75, 80, 81, Bleuler, Hermann (1837-1922) 162 89,91-93,98, 101, 195,208,213, 233, 235, 237 Bochner, Salomon 16, 213 Berlin 32, 54, 59, 60, 163, 196, 200, Boole, George (1815-1864) 47,48,50, 219, 248 58, 233, 236

Besso, Micheie (1873-1955) 175, 205 Born, Max (1882-1970) 183, 208 Bottazini, Umberto 54 Betsch, Christian (1888-1934) 150

Betten, Josef 14, 16 Bouligand, Georges (* 1889) 16, 17 Braunmühl, Anton Edler von (1853- Betti, Enrico (1823-1892) 65 1908) 84, 85 Bianchi, Luigi (1856-1928) 75-77,,87 Brill, Alexander (1842-1935) 65 101,21.5,216,233,238 Brillouin, Leon (1889-1969) 15,36 Bianchi-Identität: siehe Identität von Bianchi Brioschi, Francesco (1824-1897) 53, 54, 67,236 Bibik, Jiri 189 Bucherer, Alfred Heinrich (1863-1927) Biegungsinvariante 91 , 92 104,,105 , 143 239 Budde, Emil (1842-1921) 148,217,243 bilineare Abbildung (Jaumann) 146, 158, 243 Bürgerrecht 150

Bilinearform 13, 59, 94 Bulletin des Sciences mathematiques 85, 86, 87, 145, 239 Binäranalyse 107, 150, 151, 160,243 Binet, Jacques Philippe Marie (1786- Burali-Forti, Cesare (1861-1931) 145, 1856) 47, 53 151, 152, 243 Burau, Werner 59 Biquaternion 134, 138 Butzer, Paul Leo 59 Bitensor (Voigt) 123, 124

Bivektor 115, 134, 138, 152, 154, 157 Cauchy, Augustin (1789-1857) 34-38, 40, 47, 53, 120, 233, 235 318 Namen- und Sachverzeichnis

Cayley, Arthur (1821-1895) 47-50, 52- Covariante (Aronhold, Christoffel) 54, 58, 89, 95, 103, 177, 233, 236 55, 60

Cayleyscher n-Prozeß 49, 50, 106, Cremona, Luigi (1830-1903) 166 236 Crilly, Tony 48, 50 Cesaro, Ernesto (1859-1906) 76 Crowe, Michael J. 133, 137, 143, 149, Chemla, Karine 58 222

Christoffel, Elwin Bruno (1829-1900) Curie, Pierre (1859-1906) 112, 113,217, 29, 30, 32, 33, 41, 58, 59, 60-65, 233, 240, 241 67, 72, 77, 82, 83, 89, 101, 105, 106, 163, 164, 201, 202, 204, 205, Darboux, Gaston (1842-1917) 87, 101, 213, 223-227, 229, 232, 233, 237, 233 247, 248 Dedekind, Richard (1831-1916) 28 Christoffelsymbole 20, 31, 32, 62, 63, DeDonder, Theophile (1872-1957) 100, 67-69, 71, 82, 94, 96, 98, 100, 101, 103, 104, 109, 110, 239 101, 108, 187, 197, 200, 201, 204, 218, 226-228, 232, 237, 247, 248 Deformation eines Vektors (R. Weber) 131 Christoffelsymbole (Christoffel) 62, 63, 226, 227, 237 DeMaria, Michelangelo 17

Christoffelsymbole als Komponenten Determinante (= Diskriminante) einer des Gravitationsfeldes 204, 207, Form (Gauß) 45 228,248 Deviator, deviatorisch (Schouten) 155, Christoffelsymbole, verallgemeinerte 156 98, 100, 101 Diatensor 148, 160, 244

Christoffelsymbole, Symbolik 226• Differentialgleichung 50,52,53, 70, 74, 228,232 88-90, 92, 93, 100, 102, 103, 106, Clark, Ronald W. 188 110, 164, 165, 187, 196, 198, 199, 226,239 Clebsch, Alfred (1833-1872) 41, 56, 89, 233, 236 Differentialinvariante (Lie) 89, 239 Differentialoperator 108, 141-143, 157 Clifford, William K. (1845-1879) 208 -159, 173, 177, 178, 181, 182; Coffin, Joseph George (* 1877) 146, 222 Beltramischer Differentialopera• tor: siehe Differentialparameter Namen- und Sachverzeichnis 319

Differentialparameter 22-26, 33, 39, Eddington, Arthur Stanly (1882• 57, 68-70, 80,81, 83, 87, 88, 91, 1944) 230 92, 94, 95, 97, 98, 100-102, 104, 105, 107, 108, 131, 142, 195,235, Einstein, Albert (1879-1955) 16, 160• 237,239,240 168,174,178,186-190,192,193, 195-208, 213, 215, 217-219, 221, Differentialparameter, symbolischer 224-226, 228-234, 244-250 107, 108 Einstein, Mileva, siehe Marie Dini, Ulisse (1845-1918) 65 Eisenstein, Gotthold (1823-1852) 47 Dirichlet, Lejeune Gustav Peter (1805-1859) 163 Elastizitätstensor (Larne) 38

Diskriminante 25, 45, 52, 236 Elektrodynamik 83,128,137,151,152, 167,174-176,210,243,249 Divergenz 142, 143, 181, 182, 195, 197, 198, 230, 246 Elektromagnetismus, elektromagne• tisch 128,133,138,142,145,148, Dombrowski, Peter 21 157, 170, 175, 180, 181, 242, 243, 247 Double multiplication von Dyaden 144, 145 Ellipsoid (Deformations-, Spannungs-, Tensor-, Verzerrungs-, Fläche dual, Dualität, Dualraum, Dualismus zweiten Grades) 37-39, 77, 120, 13,46,58,159,172,175,179,194 122, 127, 128, 132, 137, 142, 145, 147, 176, 180, 223 Duschek, Adalbert (1895-1957) 15 Encyklopädie der mathematischen Dyade, dyadisch 16, 132, 140-148, Wissenschaften 112, 128,129,146, 152-154, 157, 158,234 149, 176, 186, 212, 217, 228, 241 Dyadentripel 148 Enneper, Alfred (1830-1885) 164 Dyadic 133, 137, 139-151, 158, 160, E 1 P 209 218, 223, 242-244 ranger rogramm Erweiterung (= kovariante und kontra• Dyade, Dyadic (Gibbs) 140 variante Ableitung) (Großmann, Einstein) 19.5, 197, 198, 201, 229, Earman, John 199, 202 230,247

Eckert, Michael 178 ETH 59, 160, 189, 190, 244

Ewald, Paul Peter (1888-1985) 216 320 Namen- und Sachverzeichnis extensive Größe, ausgedehnte Größe, Frissard, Pierre 15, 16 Ausdehnungsgröße (Graßmann) 107, 135, 136, 211 Fundamentaltensor (Einstein) 192, 193, 196, 231

Faltung 229, 230, 231 Fundamentaltensor, nicht symmetrisch 97, 99, 239 Farwell, Ruth 28, 29 Fundamentaltensor: Fachsprache, Fedorov, Evgraph Stepanovic (1853• Symbolik 224, 225, 231, 232 1919) 111 Galison, Peter Louis 169, 173 Feldgleichungen der Gravitation 190, 196, 198, 199, 204, 207, 248 Gans, Richard (1880-1954) 147,217, 243 Ferraris, Galileo (1847-1897) 143 Gauß, Carl Friedrich (1777-1855) 19• Fiedler, Wilhelm (1832-1912) 161, 162 22, 24, 26, 28, 29, 34, 43-47, 52• Finsler, Paul (1894-1970) 18 55, 57, 58, 67, 75, 82, 89, 91-93, 150, 164, 165, 188, 189, 202, 204, Flächenbegriff (Gauß) 21, 234, 235 205, 213, 224-226, 232, 233, 235, 236, 244, 248 Form (Gauß) 43, 236 Gaußsches Krümmungsmaß 20, 21, 28, Flückiger, Max 174 30,31,32,57,80,90,91,94,165, Föppl, August Otto (1854-1924) 129, 234, 235, 239 142, 143, 147, 166, 222, 241, 243, Gedankenexperiment 190 244 Geiser, Carl Friedrich (1843-1934) 59, Fokker, Adriaan Daniel (1887-1972) 161-166, 188, 192,244 199, 200 geodätisch mitbewegtes Bezugssystem Forsyth, Andrew Russell (1858-1942) (Schouten) 211 102-104, 110, 240 geodätische Krümmung 76, 91 Francesco, Domenico de 208 geodätische Linien 164, 165, 200, 204, Frank, Philipp (1884-1966) 188 206, 207,210, 211, 226, 248, 249; siehe auch kürzeste Linien Frei, Günther 163 gerichtete Größen (= Vektoren und Frenet und Serretsche Formeln, vier• Tensoren) (Voigt) 119, 122, 124, dimensional (Kottler) 209 126, 133, 223 Namen- und Sachverzeichnis 321

Gericke, Helmuth 26 Gravitationsproblem, -theorie 189, 190, 192, 193, 195 Gerretsen, Johan Cornelius Hendrik (1907-1983) 16 Großmann, Marcel (1878-1936) 162• 164, 166, 188-199, 201, 202, 205, Gibbs, Josiah Willard (1839-1903) 16, 216-218, 224, 225, 228-233, 244, 129, 132, 139-149, 152, 154, 157, 247, 248, 250 158, 216, 222, 223, 233, 234, 242, 243 Gruppe, Gruppenbegriff, -theorie, -konzept 76, 77, 88-93, 95, 101• Glick, Thomas F. 17 106,111,112,150,154,167,171, Glymour, Clark 199, 202 196, 208, 209, 212, 239, 240, 245, 249 Goenner, Hubert F.M. 17

Göttingen 111,115,128,129,168,170, Hadamard, Jacques (1865-1963) 216 178,208 Hall, G.G. 14, 15 Goldberg, Stanley 129, 175 Hamilton, William Rowan (1805-1865) Goodstein, Judith R. 81, 214 129, 133-135, 137, 138-140, 149, 222, 223, 233, 242 Gordan, Paul (1837-1912) 43, 89, 106, 236 Harmonie, prästabilierte 174

Gorelik, Gennady E. 17 Haskins, Charles Nelson (1874-1942) 100-105, 109, 110, 240 Goursat, Edouard (1858-1936) 16 Haussner, Robert (1863-1948) 85 Gradient 131, 143, 181, 195, 246 Heath, Robert Samuel (1858-1931) 208 Graßmann, Hermann (1809-1877) 107, 133, 135-137, 139, 140, 146, 148, Heaviside, Oliver (1850-1925) 142, 143, 149, 151, 154, 155, 158, 233, 242 222, 242, 243

Grattan-Guiness, Ivar 34 Heinrich, Werner 17

Gravitationsfeld, Schwerefeld 190, 192, Herbart, Johann Friedrich (1776-1841) 193, 195, 196, 198, 199,201,202, 26 204, 207, 210, 248 Herglotz, Gustav (1881-1953) 208, 209, Gravitationsfeld, statisches 190, 195, 249 199 Hermann, Robert 81 322 Namen- und Sachverzeichnis

Hermite, Charles (1822-1901) 53, 81, Ingold, Louis (1872-1935) 107, 108, 236 110, 233

Herzog, Albin (1852-1909) 161, 162 innere Maßverhältnisse (Riemann) 27, 213, 235 Hesse, Ludwig Otto (1811-1874) 54, 166 Integrabilitätsbedingungen 62, 64, 94

Hessenberg, Gerhard (1874-1925) 93- Integralinvarianten 93, 100, 103 95, 101, 110, 211, 212, 226, 229, 230,,,,232 233 239 249 Invariante (Aronhold) 54, 55

Hiersemann, Lothar 142 Invariante (Ricci) 78

Hilbert, David (1862-1943) 84,85,202 Invariante (Sylvester) 52,236

Hirsch, Arthur (1866-1948) 161 inverser Tensor (R. Weber) 132

Hörig, Heinrich 157, 158 isometrische Abbildung 21

Holor 18, 234 Jablonowskische Gesellschaft 77, 78 Homographie: siehe Omografie vetto• riali Jacobi, Carl Gustav Jacob (1804-1851) 47, 53,54, 164, 166 Hurwitz, Adolf (1859-1919) 161, 162 Jahnke, Eugen (1863-1921) 148, 157, Hyperdeterminante, hyperdeterminant 243 (Cayley) 48, 49, 52, 236 Jahrbuch über die Fortschritte der Ma• thematik 83, 97, 110, 143, 145, Identität von Bianchi 75, 238 157, 239 Identität von Ricci 73 James, George Oscar 87 Ignatowsky, Waldemar von (* 1875) 147,208,217,222,243 Jaumann, Gustav (1863-1924) 145-147, 152, 153, 243 imaginäre Zeit: it (Minkowski) 168, 169 Jung, Franz (1872-1957) 149, 152-154, 158,244 Inbegriff eines Systems von Funktionen (Großmann) 194 Juvet, Gustave (1896-1936) 17, 229

Indexschreibweise 32, 41, 58, 68, 122, 213, 218, 219, 236, 241 Kästner, Siegfried 15 Namen- und Sachverzeichnis 323

Kafka, Heinrich (1886-1959) 17 KottIer, Friedrich (1886-1965) 187, 188, 195, 209, 224, 225, 232, 247, Kaluza, Theodor Franz Eduard (1885• 249 1954) 208 kovariant (Sylvester) 51, 236 Kayser, Rudolf (1889-1964) 188 kovariante Ableitung (ChristoffeI) 63, Kegel, Vor- und Nachkegel (Minkow- 64, 237 ski) 173, 174 kovariante Ableitung (Ricci) 71, 72, Kelland, Philip (1808-1879) 137, 138, 238 233 kovariante Ableitung des Fundamen• Kepler, Johannes (1571-1630) 219, taltensors 64, 80 250 Kovarianzprinzip 202, 205, 248 Killing, Wilhelm (1847-1923) 208 Kox, Anne J. 17 Klein, Felix (1849-1925) 17,65,81, 112,153,154,208,209,215,249 Kron, Gabriel (1901-1968) 14

Klingbeil, Eberhard 14 Kronecker, Leopold (1823-1891) 32

Knee, Christopher 28, 29 Krümmungstensor, Fachsprache und Symbolik 225, 226, 232 Knoblauch, Johannes (1855-1915) 104, 109, 110, 184 Krümmungstensor, -maß (Beez) 33

Knobloch, Eberharcl 54, 59 Krümmungstensor (ChristoffeI) 62, 63,237 Königsberg 54, 111 Krümmungstensor (Einstein, Groß• Kollros, Louis (1878-1959) 163, 189, mann: Riemannscher Differen• 190 tialtensor) 198, 225, 247

Komposition 80, 82, 197, 228-230 Krümmungstensor, -maß (Lipschitz) kontinuierliche Gruppe 76, 77, 88-90 31,32,235 kontravariant (Sylvester) 52, 236 Krümmungstensor, -maß (Maschke) 96,97 kontravariante Ableitung (Ricci) 72, 236 Krümmungstensor (Ricci) 67, 69, 72, 237, 238 Kortum, Hermann (1836-1904) 32 324 Namen- und Sachverzeichnis

Krümmungstensor, -maß (Riemann) Levi-Civita, Tullio (1873-1941) 15, 16, 27, 29, 225, 232, 235 77, 79, 81-83, 87, 92, 93, 100• 102, 104-106, 108, 110, 186-189, Kühne, Hermann (1867-1907) 109, 193, 194, 196, 197, 200, 202, 204, 110 205, 208, 210-212, 214, 215, 219, kürzeste Linie 22, 211 224, 225, 227, 228, 230-234, 238, 239, 247-250 Kyoto-Vorlesung 188 Lewis, Gilbert Newton (1875-1946) 177-179, 183, 210, 246, 249 Lagrange, Joseph Louis (1736-1813) 43 Lichnerowicz, Andre 15

Laguerre, Edmond Nicolas (1834• Lichtgeschwindigkeit 167, 189 1886) 81 Lie, Sophus (1842-1899) 75, 77, 88-91, Lame, Gabriel (1795-1870) 23, 38, 39, 100, 102-106, 108-110, 233, 239, 60, 80, 98, 142, 233, 235, 236 240

Lampe, Emil 54 Liebisch, Theodor (1842-1922) 111• 113, 115, 217 Lang, Herbert (1891-1976) 17,208 lineare Übertragung 231, 249 Laplace, Pierre Simon de (1749-1827) 164 lineare Vektorfunktion (Hamilton) 135,242 Laplacesche Operation (= Erweiterung und Divergenz) 198, 230 Lipschitz, Rudolf (1832-1903) 30-34, 41, 58, 59, 65, 67, 77, 89, 208, Laub, Jakob Johann (1882-1962) 174, 224, 225, 227, 232, 235 175,245 Lorentz, Hendrik Antoon (1853-1928) Laue, Max von (1879-1960) 128, 177, 149, 167 181,182,193,217,218,246,249 Lorentztransformation 167, 168, 170• Lecat, Maurice (1884-1951) 17 172, 176 245

Legendre, Adrien Marie (1752-1833) Loria, Gino (1862-1954) 85 43 Love, Augustus Edward Hough (1863• Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646• 1940) 129, 217, 241 1716) 151

Leichtweiß, Kurt 64 Namen- und Sachverzeichnis 325

Lückenausdruck, lückenhafte Produkte, McCormmach, Russell 163, 221 lückenhaltig (Graßmann) 137, 140, 242 Mehmke, Rudolf (1857-1944) 149

Mehra, Jagdish 202 Mannigfaltigkeit (Riemann) 26, 235 Merkur 190, 202 Mannigfaltigkeit vierdimensionale, Metageometrie 33 nichteuklidische (Minkowski) 168, 245, 249 Metrik 19, 21, 22, 57, 160, 165, 187, 190, 234; Marcolongo, Roberto (1862-1943) 145, siehe auch Fundamentaltensor 151, 152, 243 Meyenn, Kar! von 218 Marie, Mileva (1875-1948) 166 Maschke, Heinrich (1853-1908) 95, 97, Meyer, Franz (1856-1934) 47, 53, 97, 101, 106-110,213,239,240 107, 110 Miller, Arthur 175 Mathematikerkongreß, internationaler, Cambridge (1912) 190 Minding, Ferdinand (1806-1885) 89, 91,92 Mathematikerkongreß, internationaler, Heidelberg (1904) 145 Minkowski, Hermann (1864-1909) 147, 151,161,168-177,179,183,187, Mathematikerkongreß, internationaler, Rom (1908) 149 190, 193, 199, 201, 204, 208, 233, 245, 246, 248, 249 Matrix, -schreibweise, Matrizenkalkül, Minnigerode, Bernhard (1837-1896) -rechnung 15, 18, 19, 25,41, 98• 100,122,140,141,171,172,175• 111, 112 178, 183, 245 missing link 190

Maurer, Ludwig (1859-1927) 59, 163 Modultheorie 15

Maxwell, James Clerk (1831-1879) Monge, Gaspard (1746-1818) 34 138 Moon, Parry 18 Maxwell- (Hertz)sche Gleichungen 167, 168, 187,245 Moore, Clarence Lemuel Elisha (1876-1931) 186,214,234 Maxwellsche Theorie 65,128,129,142, 147, 166,241,243 Mügge,Otto (1858-1932) 112 326 Namen- und Sachverzeichnis

Müller, Carl Heinrich (1855-1927) Päsler, Max 15 129, 217 Pais, Abraham 164, 188, 189, 202 München 65, 178, 218 Palatini, Attilio (1889-1949) 17 Multilinearform 13, 48, 59 Parallelverschiebung 211, 212, 249

Nablaoperator, -affinor 141, 143, Paris 17, 28, 100, 113, 118 157, 158 Parshall, Karen Hunger 47, 50, 52, 54 Navier, Claude Louis Marie Henri Pascal, Ernesto (1865-1940) 98-101, (1785-1836) 34, 235 109, 110, 239 Nelson, Edward 15 Pauli, Wolfgang (1900-1958) 212, 229, Neumann, Franz (1798-1895) 111 230-232

Nijenhuis, Albert 153 Peano, Giuseppe (1858-1932) 151

Noether, Fritz (1884-1941) 208 Peres, Joseph (1890-1962) 211,212, 249 Noether, Max (1844-1921) 53, 54 Perihelbewegung 190, 202, 204, 248 Nordström, Gunnar (1881-1923) 199 Peschl, Ernst 30 Nordströmsehe Gravitationstheorie 199 Pfaffsche Form 100

Norton, John 192, 202 Physikerkongreß, internationaler, Paris (1900) 113, 118 Nowak, Gregory 26 Pick, Georg (1859-1942) 188, 189 Nuvoli, Lidia 58 Planck, Max (1858-1947) 187 offenes Produkt (Graßmann) 136, Poincare, Henri (18.54-1912) 81, 100, 140,242 215, 238

Omografie vettoriali 151, 152, 243 polarer Vektor und Tensor (Voigt) 116, 125-127

Padova, Ernesto (1845-1896) 65, 75, Polyadics (Wilson) 144, 146, 150, 158, 81,238 160, 218, 243, 244

Padua 65, 76, 81, 219 Polyquadrik 150, 151 Namen- und Sachverzeichnis 327

Portnoy, Esther 26 Reich, Karin 17, 23, 60, 149, 151, 184, 186, 212, 215 Postulat der Relativität (Minkowski) 170 Relativitätspostulat (Einstein) 213, 245 Potential, -theorie, -vektoren 77, 83, 169,208 Relativitätsprinzip (Prinzip der Re• lativität) 167-171,208,245 prästabilierte Harmonie: siehe Har• mome reziprok, Reziproke 25, 50, 51, 58, 72, 74, 82, 141, 142, 144, 172, 197, Prag 188, 189, 247 229,230 Prandtl, Ludwig (1875-1953) 149 Reziprozität (Tensoroperation) 197, Preis der Accademia dei Lincei, Pre• 200, 229, 230 mio Reale 71, 77, 98, 214, 216 Reziprozitätsgesetz (Hermite) 53 237,238 Reziprozitätsgesetz der tangentialen Pricha, Willibald 178 Spannungskomponenten (Cau• projektive Geometrie 161-163, 166, chy) 36 190, 191,209,213,244,249 Ricci, Gregorio (18.53-1925) 15, 16,65 Prozeß 49, 50, 94, 106, 236 -78, 80-88, 92, 93, 97-103, 105, 106, 108-110, 160, 184, 186-189, Pyenson, Lewis 169, 170, 174 193, 194, 196, 197,200-202, 204, 205, 210, 212-216, 218, 219, 223, Quaternion 133-140, 149, 151, 154, 224, 227-234, 237-240, 247-250 155, 222, 223, 242 Ricci-Identität: siehe Identität von Quaternionenfunktion (linear quater• Ricci nion funetion) 134, 13,5, 139, 140 Riemann, Bernhard (1826-1866) 26-30, 32, 57, 58, 65, 67, 77, 82, 164, 188, 189, 202, 204, 205, 213, 224, Rankine, William John Macquor 225, 227, 232, 233, 235, 248 (1820-1872) 39-41, 236 Rotation, curl 141, 143, 181,246 Raum-Zeit-Vektoren (Minkowski, Roth, L. 77 Sommerfeld) 171-173, 175, 178, 245 Rothe, Hermann (1882-1923) 17 Reeves, Barbara J. 17 328 Namen- und Sachverzeichnis

Rothe, Rudolf (1873-1942) 109, 110, Silver, Brian 1. 14 149, 150 Sinigallia, Luigi (* 1864) 100, 101, 109, rotierende Scheibe 190 110, 239

Rowe, David E. 157 sistemi: siehe Systeme

Rudio, Ferdinand (1856-1929) 161 Sohnke, Leonhard (1842-1897) 111

Runge, Carl (1856-1927) 17, 111 Sokolnikoff, Ivan Stephen (1901-1976) 15, 34 Saint-Venant, Barre de, Adhemar Somigliana, Carlo (1860-1955) 98,109, Jean Claude (1797-1886) 41, 233 110, 239 Sanchez-Ron, Jose 17 Sommerfeld, Arnold (1868-1951) 147, Sauer, Tilman 186 168, 177-179, 181, 183, 187-189, 193, 199, 208, 217, 218, 233, 246, Schlegel, Viktor (1843-1905) 139, 143, 249 145, 216 Somov, Pavel Osipovic (1852-1919) Schmidt, Harry 15 146

Schoenflies, Arthur (1853-1928) 111, Spannung (strain) (Tait) 138 112 Spannungsbegriff, -tensor (Cauchy) Scholz, Erhard 26, 112, 135, 211, 212 34-37, 235

Schouten, Jan Arnoldus (1883-1971) Spannungstensor (Clebsch) 41 17, 18, 153-158, 160, 211, 214, 217-219, 226, 229-231, 233, 244, Spencer, Domina Eberle 18, 234 249,250 Speziali, Pierre 81,87,214 Schultz-Piszachich, Wolfgang 14, 15 Spielrein, Jean (* 1887) 158 Sechservektoren 178-183,187,198, 246, 247 Stachel, John 190, 202, 204

Seelig, Carl 162, 163, 189 Stäckel, Paul (1862-1919) 84, 85

Senff, Karl Eduard (1810-1849 a.St.) Stammbach, Urs 163 226 starrer Körper 208, 249 Shaw, James Byrnie (1866-1948) 108, 110,240 Steiner, Jakob (1796-1863) 163, 166 Namen- und Sachverzeichnis 329 strain, pressure (Rankine) 39-41 Tensor = Länge einer Quaternion 133, 222 Struik, Dirk Jan (* 1894) 18, 157, 212, 214, 215, 219, 220, 250 Tensor, gemischter (Großmann) 194,247 Strukturgruppen 111 Tensor, schiefsymmetrisch, n-ter Stufe Summationsbedingung (Einstein) 198 206,248 Tensorbegriff (Voigt) 115, 119,217, Sylvester, James Joseph (1814-1897) 223, 240 50-53, 58, 89, 233, 236 Tensoren, Rechenoperationen (Fach• symbolische Methode, symbolic me• sprache) 228-231 thod (Maschke) 95, 97, 106-108, 239, 240 Tensorfeld 13, 14, 128, 146, 186 symbolische Substitution (Aronhold) Tensortripel 116-122, 125-129, 147, 55,56, 236 148, 152, 241

Symmetrie, -betrachtungen bei Kristal- Theorem der Relativität (Minkowski) len 111-117, 240, 241, 249 170

Symmetrieklassen der Kristalle 112 Theorema egregium 21

Synge, John Lighton (* 1897) 17 Timerding, Heinrich Emil (1873-1945) 149 Systeme, sistemi, ko- und kontravari• ant (Ricci) 73, 223, 224, 238 Timoshenko, Stephen Prokofievic 129

Timpe, Aloys (1882-1959) 129, 217 Tait, Peter Guthrie (1831-1901) 137, 138, 141,216,233,242 Todhunter, Isaac (1820-1884) 38, 39, 41 Tazzioli, Rossana 32, 208 Toeplitz,Otto (1881-1940) 84,85 Tedone, Orazio (1870-1922) 129, 186, 187,217,241,247 Tonnelat, Marie-Antoinette 167

Tensor, Fachsprache und Symbolik Tonolo, Angelo 69, 71 222-224,231,232 Traktor (Minkowski) 169-171,245 Tensor, Herkunft des Wortes 111 Transformationsgruppe (Lie) 88, 89 330 Namen- und Sachverzeichnis

Transformationsrelation 60, 63, 64, Vitali, Giuseppe (1875-1932) 17 223 Vivanti, Giulio (1859-1949) 84, 85 Transvektionsprozeß 106 Vizgin, Vladimir P. 17 Treder, Hans-Jürgen 231 Voigt, Woldemar (1850-1919) 15, 16, Triadic (Triaden) 144, 151, 154, 243 lU, 113-126, 128, 129, 131-133, 146-150, 152, 153, 155-158, 160, Trivektor (Voigt) 122, 123 166, 167, 176, 178, 181-184, 189, Truesdell, Clifford Ambrose 42 216-218, 222, 223, 233, 234, 240• 242, 244, 246, 247, 249

Überschiebung 13, 62, 69, 82, 106, Voss, Aurel (1845-1931) 34 188, 202, 229, 231 Waelsch, Emil (1863-1924) 107, 109, Valentiner, Siegfried (1876-1971) 147, 110, 150, 157, 160, 243 148,217,243 Wärmeleitung 28, 29, 67, 74, 78, 81, Varcollier, Henri 15 83, 118, 127, 152,243

Varicak, Vladimir (1865-1942) 208 Wang, C.C. 42

Veblen,Oswald (1880-1960) 16,22, Wangerin, Albert (1844-1933) 22 107 Weatherburn, Charles Ernest (1884- Vektor (Gibbs) 139 1974) 212, 214

Vektor (Harnilton) 133 Weber, Heinrich (1842-1913) 28 Vektorfeld 13, 128, 143, 147, 153, 157, Weber, Heinrich Friedrich (1843-1912) 180, 186 163

Verjüngung 13, 62, 69, 206, 229-231, Weber, Rudolf H. (1874-1920) 129-132, 248 148, 182, 217, 242

Veronese, Giuseppe (1854-1917) 81 Weierstraß, Kar! (1815-1897) 164,219

Versor 134, 146, 158, 222 Weingarten, Julius (1836-1910) 89

Vielbeine 107, 151 Wellstein, Josef (1869-1919) 131

Vierkant, begleitendes 209 Weltbund zur Förderung der Quater• nionen 149 Namen- und Sachverzeichnis 331

Weltlinienelement (Sommerfeld) 179

Weltpostulat, Relativitätspostulat (Minkowski) 173, 174, 245

Welttensoren 176, 177, 182, 183, 246

Weyl, Hermann (1885-1955) 157, 163, 211, 212, 215, 225, 228-230, 232, 249

Wilson, Edwin Bidwell (1879-1964) 130, 132, 141, 143-147, 150, 158, 178,186,210,214,216,223,233, 243,249

Wright, Joseph Edmund (1878-1910) 105-107, 109, 110, 187, 224-226, 233,240

Wussing, Hans 88, 89

Zahar, Elie 204

Zehnertensoren 176, 177

Ziegler, Renatus 208

Zorawski, Kasimir (1866-1953) 91, 92, 100, 102-105, 109, 110, 239, 240

Zürich 59, 160, 162, 163, 188-190, 200, 244, 247, 248

Zweig, Adam 14 SN 1 Scholz, E.: Symmetrie, Gruppe, Dualität. Zur Beziehung zwischen theoretischer Mathematik und Anwendung in Kristallographie und Baustatik des 19. Jahrhunderts, 1989 (ISBN 3-7643-1974-7) SN 2 Grattan-Guinness, 1.: Convolutions in French Mathematics, 1800-1840. From the Calculus and Mechanics to Mathematical Analysis and Mathematical Physics, Volume I: The Settings, 1990 (ISBN 3-7643-2237-3) SN 3 Grattan-Guinness, 1.: Convolutions in French Mathematics, 1800-1840. From the Calculus and Mechanics to Mathematical Analysis and Mathematical Physics, Volume 11: The Turns, 1990 (ISBN 3-7643-2238-1) SN 4 Grattan-Guinness, 1.: Convolutions in French Mathematics, 1800-1840. Fram the Calculus and Mechanics to Mathematical Analysis and Mathematical Physics, Volume 111: The Data, 1990 (ISBN 3-7643-2239-X) SN 5 Kipnis, N.: History of the Principle of Interference of Light, 1990 (ISBN 3-7643-2316-7) SN 6 Hentschel, K.: Interpretationen und Fehlinterpretationen der speziellen und der allgemeinen Relativitätstheorie durch Zeitgenossen Albert Einsteins, 1990 (ISBN 3-7643-2438-4) SN 7 Medvedev, FA: Scenes fram the History of Real Functions, 1991 (ISBN 3-7643-2572-0) SN 8 Busard, H.L.L.. , Folkerts, M. (Eds): Robert of Chester's (?) Redaction of Euclid's Elements, the so-ca lied Adelard 11 Version, Volume I, 1992 (ISBN 3-7643-2658-1) SN 9 Busard, H.L.L.., Folkerts, M. (Eds): Robert of Chester's (?) Redaction of Euclid's Elements, the so-calied Adelard 11 Versinon, Volume 11, 1992 (ISBN 3-7643-2727-8) SN 10 Benoit, P, Chemla, K, Ritter, J.: Histoire de fractions, fractions d'histoire, 1992 (ISBN 7643-2693-X) SN 11 Reich, K.: Die Entwicklung des Tensorkalküls. Vom absoluten Differentialkalkül zur Relativitätstheorie, 1992 (ISBN 3-7643-2814-2) BIRKHÄUSER

Forthcoming title

SN 12 / Science Networks • Historical Studies

G.E. Gorelik I V.V. Frenkel Matvei Petrovich Bronstein and the Soviet Theoretical Physics in the Thirties

1992. 300 pages. Hardcover ISBN 3-7643-2752-9

Matvei Petrovich Bronstein with his short life and tragic death (1906-1938) may be seen as a symbol of his time and his country. One of the most remarkable features of Soviet history was the impressive advance of its physical sciences against the burtal and violent background of totalitarianism. Soviet advances in nuclear and space technology form an important part of world history. These achievements had their roots in the 305, when Bronstein's generation entered science. Among his friends were the famous physicists Lev Landau and George Gamow. Bronstein worked in the vast field of theoretical physics, ranging from nuclear physics to astrophysics and from relativistic quantum theory to cosmology. His pioneering work on quantizing gravitation goes beyond the history of physics, because today the quantum theory of gravitation occupies a special place in fundamental physics. Bronstein was also a master of scientific explanation thanks to his profound knowledge, enthusiasm as a teacher and a gift for literature. This enabled hirn to write popular sci• ence for children, the widest and most responsive group of readers. He became a writer with the help of his wife Lidiya Chukovskaya, known now as an outstanding writer and fighter for human rights. Bronstein's Iife was c10sely intertwined with the social, historical and scientific context of one of the most tragic and intriguing periods of Russian history.

Publication date: February 1994

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V.P. Vizgin Unified Field Theories in the first third of XXth centruy

1994. Approx. 355 pages. Hardcover ISBN 3-7643-2679-4

Despite the rapidly expanding ambit of physical research and the continual appearance of new branches of physics, the main thrust in its development has been the attempt at a theoretical synthesis of the entire body of physical knowledge. Vladimir Vizgin's work presents perhaps the first systematic historico-scientific study of the formation and development of the unified field theories in the general context of 20th century physics. Concentrating on the first three decades of the century and drawing extensivelyon Russian sourees, the author analyses the first successes, failures and paths of further development of the unified field theories. He presents the evolution of these theories as a process of interaction/competition between the geometrie field and quantum research programs, and ascertains the relevance of these theories for fundamental concepts in modern field theory.

Publication date: February 1994

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