Anhang 1: Fachsprache und Symbolik des absoluten Differentialkalküls Tensor: Hamilton führt den Terminus "Tensor" ein, um damit die Länge einer Quater­ nion zu bezeichnen: (TQ)2 = (SQ)2 _ (VQ)2, T ist die Abkürzung für Tensor. Die Größe (TQ)2 ist stets positiv, da (VQ)2 wegen i 2 = P = P = -1 stets negativ ist (Harnilton 1; III, S. 227). Der Tensor eines Vektors ist dessen vorzeichenlose Länge. Auch zerlegt Hamilton Quaternionen wie folgt: Q =TQ·UQ, T ist wiederum der Tensor und U der sogenannte Versor der Quaternion. Im Falle eines Vektors, dargestellt auf einer geraden Linie, ist T die Strecke auf der Linie und U ein imaginäres Einheitselement, das die Richtung der Linie bestimmt (Hamilton 1; In, S. 372): "When we operate by the characteristics T and U on a straight line, regarded as a vector, we obtain as the tensor of this line a signless number expressing its length; and, as the versor of the same line, an imaginary unit, determining its direetion". Die Länge eines Vektors als Tensor zu bezeichnen, bürgert sich ein, z.B. definiert Tait sein inneres und äußeres Produkt zweier Vektoren durch Saß = -TaTßcos8 und Vaß = TaTßsin 8· TJ (Crowe; S. 122) und Heaviside definiert: "The tensor of a vector is its size, or magnitude appart from direction" (I, S. 142). Auch Föppl verwendet Tensor in diesem Sinne (1; S. 6), Abraham jedoch spricht stattdessen, um Verwechslungen mit dem Voigtschen Tensorbegriff zu vermeiden, vom "Betrag des Vektors" (Abrahm 4; I, S. 5 f.). Schließlich erwähnen noch Ignatowsky 1909 (I, S. 93) und Coffin 1911 (S. 3) diese Hamiltonsche Bedeutung von Tensor. An Hamiltons Definition von Tensor knüpft Gibbs an. Für ihn ist ein "right tensor" eine Größe, die, modern geschrieben, auf die Form a o 0b 0)0 ( o 0 c Anhang 1 223 gebracht werden kann. Diese Form entspricht einem Produkt aus den Faktoren a 0 o 1 ( o 0 Das aber bedeutet nichts anderes, als daß in einer Dyadic nur die Koeffizi­ enten in der Hauptdiagonale =1= 0 sind. Gibbs beschreibt seine Definition des "right tensors", während er die Dyadenrechnung auf die Elastiziätstheorie an­ wendet (1; S. 68). Bei einer Formänderung ändern sich die Längen gemäß p' = {aii +bjj +ckk}p, Gibbs transformiert also das Spannungsellipsoid auf Haupt­ achsen. Die Größen a, b, c sind positive Skalare, die die drei Verlängerungen bzw. Verkürzungen beschreiben, die i, j, k die Hauptachsen der Formände• rung. Die Reihenfolge der Verlängerungen bzw. Verkürzungen ist unwichtig, da aii +bjj +eH gleich dem Produkt aus aii +jj+H, ii+bjj +kk, ii+jj+ckk ist. Gibbs definiert: "A dyadic which is reducible to this form we shall call a right tensor. The displacement represented by a right tensor is called a pure strain. A right tensor is evidently self-conjugate". Auch Wilson definiert den right tensor in dieser Weise (Wilson 1; S. 351 ff.). Voigt denkt an Hamiltons Definition von Tensor, als er seine eigenen Ten­ soren 1898 einführt. Diese betrachtet Voigt als verallgemeinerte Hamiltonsche Tensoren, indem nun alle Koeffizienten, die beim Produkt zweier Vektoren ent­ stehen, =1= 0 sind: "Die zunächst vielleicht zu fürchtende Collision mit der glei­ chen Bezeichnung in der Quaternionentheorie ist in Wirklichkeit nicht vorhan­ den; jener Name bezieht sich dort nur, statt auf den allgemeinen Fall, wo drei beliebige, zu einander normale Tensoren (hier Dehnungen) auftreten, auf den speciellen, wo diese drei gleiche Grösse haben und wo demgemäss das Tensortri­ pel in einen Scalar übergeht. Die Einführung des Namens 'Tensor' in dem oben auseinandergesetzten Sinne stellt somit nur eine Erweiterung der älteren Be­ deutung desselben dar, und ein Bedenken dürfte aus der Uebereinstimmung der Bezeichnungen nicht herzuleiten sein" (Voigt 2; S. VI). Voigt geht in gewissem Sinn den umgekehrten Weg wie Gibbs und Wilson. Für diese sind "right ten­ sors" spezielle Dyadics, Voigt dagegen verwandelt Hamiltons spezielle Tensoren in allgemeinere Tensoren. In einer späteren Arbeit erweitert Voigt seine Unter­ suchungen auf "n-stufige gerichtete Größen" (s. S. 122-124). Zur Verbreitung des Fachwortes "Tensor" siehe Tabelle 7 (s. S. 217). Christoffel führt kein spezielles Fachwort für Tensoren ein, er spricht le­ diglich von einem "vollständigen System von Transformationsrelationen" (5; S. 57, s. S. 64). 1888 bezeichnet Ricci seine Tensoren als "sistemi di funzioni" (8; S. 215), vielleicht in Anlehnung an "sistemi di integrali" , denen er 1886/7 zwei Arbeiten gewidmet hat (Ricci 4; 6). Diese kurz als "sistemi" bezeichneten 224 Anhang 1 Tensoren sind entweder ko- oder kontravariant. Ricci und Levi-Civita sprechen generell von "systemes" (1; S. 130). Ricci bleibt auch nach dem Erscheinen der allgemeinen Relativitätstheorie bei seiner Bezeichnungsweise "sistemi". Die gemischten Tensoren sind eine Schöpfung Einsteins und Großmanns, die diese schon in ihrer ersten Arbeit 1913 einführen (Großmann 2; S. 295). Sie bezeichnen diese zunächst nur durch untere Indizes, wobei sie ko- und kontrava­ riante Indizes durch einen Strich voneinander abtrennen. 1914 führt Einstein in Anlehnung an Ricci und Levi-Civita die Schreibweise mit oberen und unteren Indizes ein (8; S. 1035). Zur Schreibweise der Tensoren siehe Tabelle 8 (S. 232). Der Fundamentaltensor: Der Fundamentaltensor gik ist mit dem Linienelement durch ds 2 = gikdxidxk verbunden. Die Bezeichnungsweise "Linienelement" geht auf Gauß zurück. Rie­ mann und z.B. Beez, die mit ihren Arbeiten zur nichteuklidischen Geometrie beitragen, bedienen sich ebenfalls der Gaußschen Terminologie. Lipschitz, Ricci und Levi-Civita sprechen dagegen in Analogie zur Invariantentheorie von Form bzw. Christoffel von homogenen Differentialausdrücken zweiten Grades. Auf Ricci geht die Bezeichnung "fundamental" zurück. Der Fundamentaltensor wird erst später, nämlich durch Einstein und Großmann, unabhängig vom Linienele­ ment bezeichnet. Folgende Zusammenstellung soll einen Überblick vermitteln: Gauß 1828: Linearelement (4; S. 344), elementum lineare (5; § 12) Riemann 1854: Linienelement (2; S. 277) Lipschitz 1869: quadratische Form von n Differentialen (1; S. 73) Christoffel 1869: homogener Differentialausdruck zweiten Grades (5; S. 46) Beez 1876: Linearelernent, Curvenelement, Linienelement (3; S. 375, 373, 397) Ricci 1884 und später: forma differenziale quadratica (2; S. 142), (5; S. 200) Ricci 1892: forme fondamentale (10; S. 292) Ricci/Levi-Civita 1901: quadrique ou forme fondamentale (1; S. 133) Wright 1908: quadratic form in n variables (4; S. 10) Kottler 1912: Bogenelement (S. 1666) Anhang 1 225 Einstein/Großmann 1913: Linienelement (Einstein 5; S. 286), (Großmann 2; S. 293) Einstein/Großmann 1913/14: kovarianter Fundamentaltensor, Fundamen­ taltensor (1; S. 230) Einstein 1914, 1916: Fundamentaltensor (8; S. 1036), (12; S. 25) Wey11918: metrische Fundamentalform, Fundamental­ tensor (1; S. 25, 34) Bemerkung: Manche Autoren verwenden neben den hier erwähnten Fachwör• tern auch noch andere. Die Liste ist nicht so zu verstehen, daß die Autoren nur dieses Fachwort benutzen, sondern vielmehr, daß sie dieses Fachwort bevor­ zugen. Ricci z.B. spricht meistens von Formen, aber gelegentlich kommt auch "elemento lineare" vor (Ricci 6; S. 215 und 9; S. 273 und öfter). Der Krümmungstensor: Die der Geometrie nahestehenden Autoren bevorzugen den Ausdruck Krüm• mungsmaß oder Krümmungstensor, der nach Riemann oder Riemann und Chri­ stoffel benannt wird. Die übrigen Autoren verzichten auf das Beiwort "Krüm• mung". Gauß 1828: Krümmungsmaß (4; S. 344), mensura curva­ turae (5; § 12) Riemann 1854: Krümmungsmaass (2; S. 280) Lipschitz 1869: Koeffizienten einer quadrilinearen Form, Form, Krümmungsmaß (1; S. 74,84 f., 94) Christoffel 1869: Koeffizienten einer quadrilinearen Form G4 (5; S. 58) Beez 1874-79: Krümmungsmaß (1; 2; 3; 4) Ricci 1892: systeme quadruple covariant (10; S. 294) Ricci/Levi-Civita 1901: systeme de Riemann (1; S. 142) Wright 1908: Riemann symbol (4; S. 23) Kottier 1912: Einstein/Großmann 1913: Einstein/Großmann 1913/14: Riemannscher Differentialtensor, Christoffelsche Vier-Indizes-Symbole erster und zweiter Art (1; S. 256 f.) 226 Anhang 1 Einstein 1914, 1916: Riemann-Christoffelscher Tensor (8; S. 1053), (12; S. 39) Hessenberg 1917/18: Riemann Christoffelscher Krümmungstensor (2; S. 190) Weyl1918: Riemannscher Krümmungstensor, Raum­ krümmung (1; S. 108) Schouten 1918: Riemann-Christoffelscher Affinor (4; S. 64) Christoffelsymbole: Bereits Gauß verwendet in seiner Flächentheorie Abkürzungen für die Größen, die später nach Christoffel benannt werden (5; § 11): m = flll, m' = f 121 = f 211 , m" = f 221 , n = f 1l2, n' = f 122 = f 212 , m" = f 222 (s. S. 20). Sich an Gauß anlehnend führt Kar! Eduard Senff 1831 dennoch and~re, durch zwei Ziffern wiedergegebene Symbole ein: (0, Q), (0,1), (O,~) für f jj1 und (1, Q) ,(1,1), (1,~) für Cj2 mit i,j = 1,2 (Reich 1; S. 290). Christoffel benützt bereits 1868 in seiner differentialgeometrischen Arbeit Allgemeine Theorie der geodätischen Dreiecke für den zweidimensionalen Fall die Symbole {} (4; S. 302 f.): Gegeben sei eine beliebige Fläche mit dem Linienelement 2 ds = E dp2 + 2F dp dq + G dl. Die Differentialgleichung der geodätischen Linie schreibt Christoffel in Form der beiden Gleichungen: 2 p q a p = _ {11} (a )2 _2 {I 2} apaq _ {2 2} (a )2, as2 1 as 1 as as 1 as 2 p q a q = _ {11} (a )2 _2 {21} apaq _ {2 2} (a )2 as2 2 as 2 as as 2 as Anhang 1 227 mit _1 (C ßE +F ßE _ 2F ßF) {\1 } 2~ ßp ßq ßq _1 (2E ßF _ F ßE _ E ßE) {\1 } 2~ ßp ßp ßq _1 (C ßE _ F ßC) {\2 } 2~ ßq ßp 1 _1 (E ßC _ F ßE) {22 } 2~ ßp ßq { 2 2 } _1 (2C ßF _ F ßC _ C ßC) 1 2~ ßq ßq ßp 22} = _1 (E ßC +F ßC _ 2F ßF) , { 2 2~ ßq ßp ßq ~ = EC - F2. In seiner 1869 erschienenen Arbeit Ueber die Transformation der homoge­ nen DiJferentialausdrücke zweiten Crades macht ChristoffeI, von der Differen­ tialform F = LWikßXißXk (i,k=l, ... ,n) i,k ausgehend, von folgenden zwei Arten von Symbolen Gebrauch: und s. S. 62 (5; S.