Ludolph Van Ceulen in Hollandse Kringen NAW 5/11 Nr

1 1

Steven Wepster Ludolph van Ceulen in Hollandse kringen NAW 5/11 nr. 1 maart 2010 63

Steven Wepster Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Postbus 80010 3508 TA Utrecht [email protected]

Geschiedenis Ludolph van Ceulen in Hollandse kringen

In december van dit jaar is het vier eeuwen geleden dat rekenmeester Ludolph van Ceulen in deze competitiestrijd was om aan concurre- overleed. Op de webpagina www.ludolphvanceulen.nl is te zien welke activiteiten in het kader rende collega’s vraagstukken voor te leggen, van het Van Ceulenjaar plaatsvinden. Van Ceulens levensloop en wiskundige carrière worden waarbij je dan hoopte dat je ze zelf wel op kon hieronder beschreven door Steven Wepster. lossen maar de concurrentie niet. Soms werden zulke vraagstukken zelfs wel aangesla- Het waren roerige tijden in de Lage Landen naar eigen zeggen werd hij een paar jaar la- gen op openbare plaatsen. Zo bijvoorbeeld bij de Noordzee. Het verzet tegen de Spaanse ter ook rekenmeester [14]. Mogelijk heeft hij sloeg Willem Goudaen vraagstukken aan de overheersing groeide en leidde op den duur in Antwerpen contact gehad met rekenmees- kerkdeur te Haarlem, eenmaal in 1580 en nog tot de vorming van de Republiek der Zeven ters zoals Michiel Coignet, Jan Pauwels, en eens in 1583. Hierdoor raakte hij verwikkeld Verenigde Nederlanden. Vooral na de Spaan- Bartholomeus Cloot. Cloot vestigde zich om- in een ruzie met Klaas Pieterszoon van De- se Furie te Antwerpen in 1574, maar ook al streeks 1574 eveneens in Delft. Zestien jaar venter (ook wel bekend als Nicolaus Petri) eerder trokken veel Vlamingen naar het noor- later trouwde de weduwe van de toen over- en Ludolph van Ceulen. Alledrie hebben ze den en zorgden daar voor een enorme intel- leden Cloot met Van Ceulen, die inmiddels hun verhaal op schrift gesteld en uitgegeven, lectuele impuls. Leiden kreeg een eigen uni- weduwnaar was na het verlies van zijn eer- maar die van Goudaen is onvindbaar zodat versiteit in 1575. Prins Maurits, zoon van de in ste vrouw. Uit zijn beide huwelijken had Van we slechts op de getuigenissen van zijn te- 1584 vermoorde Willem van Oranje, behaal- Ceulen twaalf kinderen te onderhouden. genstanders kunnen afgaan. de belangrijke militaire successen met zijn Op het eerste pamﬂet uit 1580 loofde modern geleid leger. Maurits had hierbij veel Rekenmeesters Goudaen een kan wijn uit voor het vinden hulp van zijn vriend en vertrouweling Simon Met een school voor rekenen en´ schermen van de hoogte van een gegeven vierhoek (zie Stevin, een van de ge¨ımmigreerde Vlamin- in een van de belangrijkste steden van Hol- Figuur 1). Op verzoek van de Amsterdamse gen. Het was ook de tijd waarin de rekenen land vestigde Van Ceulen al snel de aandacht notaris en poorter Hermannus Grapheus los- schermmeester Ludolph van Ceulen zich ma- van kooplieden en regenten op zich. Scher- te Petri het vraagstuk op en deed de uitwer- nifesteerde. Vierhonderd jaar na zijn overlij- men behoorde met paardrijden, musiceren en king aan de opsteller toekomen, vergezeld den blikken we terug. dansen tot de essentiele¨ vaardigheden die el- van een vergelijkbare tegenopgave. Goudaen Op 28 januari 1540 werd Van Ceulen ge- ke jongeling van goeden huize zich behoorde vond de ingediende oplossing onvoldoende, boren in Hildesheim (in het tegenwoordi- eigen te maken. Daarnaast had de meester overigens zonder daarvoor inhoudelijke ar- ge Nedersaksen, ongeveer tussen Hannover verstand van rekenen en interest (rente) en gumenten te geven of zelfs maar te zeggen en Gottingen).¨ Over zijn jeugd en adoles- zodoende kon hij de vaders adviseren bij ﬁ- dat de oplossing fout was. Ook loste hij Pe- centie weten we niet veel meer dan dat hij nanciele¨ aangelegenheden. tri’s tegenvraag niet op: in plaats daarvan na- met zijn broer enige tijd in Antwerpen ver- Rekenmeesters kwamen aan de kost door gelde hij die aan de kerkdeur alsof het een bleef. Lang voor de grote intellectuele uit- het geven van rekenles. Om voldoende in- vraagstuk van hemzelf was! Dat bracht Pe- tocht naar het noorden vertrok Van Ceulen al komsten te hebben moest er reclame ge- tri ertoe om met enkele getuigen (waaron- naar Delft. Blijkens een document in het Ant- maakt worden. De concurrentie was groot en der Grapheus) in Haarlem om opheldering en werps stadsarchief heeft Van Ceulen zich al er waren nog geen algemeen aanvaarde maat- de uitgeloofde kan wijn te gaan vragen. Weer in 1562 in Delft gevestigd als schermmeester; staven voor kwaliteit. Een veelgebruikt middel gaf Goudaen geen krimp. Dat kon Petri slecht

1 1 2 2

64 NAW 5/11 nr. 1 maart 2010 Ludolph van Ceulen in Hollandse kringen Steven Wepster

Goudaen deze binnen drie maanden oploste, Archimedes te vertalen. Dat is een kort werk- zou hij aanspraak mogen maken op “een ﬁj- je waarin Archimedes de verhouding tussen nen Silveren beker: welcke gratuiteyt ja meer- omtrek en diameter van een cirkel (tegen- dere hem van rechtsweghen sal toecomen als woordig wel bekend als het getal π) insluit 10 1 eenen hoochverstandigen die niet alleen met tussen 3 71 en 3 7 , verkregen door afschatten woorden dan oock met der daet bethoont van de omtrek van een in- en omgeschreven dat hy is (ghelijck hy hem selven beschrijft) 96-hoek. een Correcteur ende restaurateur der erreur- Van Ceulens belangstelling voor cirkelme- en inder vervallen (soo hy seyt) const Alge- ting kwam mede voort uit een tweede twist Figuur 1 Goudaens opgave. Gegeven: de lengte van de vier zijden, AE ⊥ DC ⊥ BC. Gevraagd: AE. Hint: het bra, den welcken ick God bevele van soo goe- waar hij bij betrokken was. Ditmaal was de q 44215 119 juiste antwoord luidt AE = 25 78961 + 3 562 . der herten als ick gaerne ware zijnen ende wederpartij Simon van der Eycke, oftewel Du een yder goede vrient.” Het zijn smakelijke Chesne vanwege zijn afkomst uit Frankrijk, verkroppen, en hij merkte op “dattet zij- verhalen om te lezen, daarnaast leren we er Doleˆ om precies te zijn. Die had in 1584 te ne scherpsinnicheydt ghehelicken niet en ook iets van. Zo was het blijkbaar gebruike- Delft (waar hij woonachtig was) een boek betaemt / yemants werck te reproberen oft lijk om een vraagstuk te beantwoorden met doen publiceren Quadrature du cercle: ou ma- straffen / dan op conditie / dat hy metter- niet slechts een uitwerking, maar daarbij ook nière de trouver un carré égal au cercle donné daet bewijse voor ooghen stelle ende wech een wedervraag. Verder zien we onze beide waarin hij verklaarde dat de verhouding van neeme de faulten [...] wandt t’betaempt ny- verslaggevers morele argumenten gebruiken: de omtrek en diameter van een cirkel gelijk 39 2 mandt een ander te straffen in t’ghene hy selfs ze verwachten een inhoudelijke afhandeling is aan ( 22 ) = 3.14256 .... Van der Eycke niet doen en can.” [8] in plaats van gegooi met modder, en ze ver- gaf hiermee weliswaar een goede schatting Aangezien Petri geen hoge pet op had wachten dat gemaakte beloften worden waar- die ook nog tussen de grenzen van Archime- van het oordeel dat Goudaen zelve over deze gemaakt. des in ligt (hij had dan ook diens 96-hoeken kwesties zou kunnen vellen, besloot hij zijn gebruikt), maar de aanspraak op exactheid verweer met het inroepen van de hulp van Regenten kon hij niet waarmaken. Waar hij 91 pagi- de “Mathematissche professeurs vanden uni- We zagen al dat Petri Van Ceulen in e´en´ adem na’s nodig had om dit resultaat wereldkun- versiteijt tot Leyden hoewel my onbekent” en noemde met Stevin. Dat betekent dat Van dig te maken, had Van Ceulen er slechts zes verder van Stevin, Van Ceulen, de Alkmaar- Ceulen in 1584 een zekere reputatie had die nodig (Kort claar bewijs dat die nieuwe ghe- se burgemeester en vestingbouwer Adriaan de grenzen van de stad Delft oversteeg. Reeds vonden proportie eens circkels iegens zyn di- Anthonisz., Coignet, en wie hem maar als ge- vier jaar hield hij toen zijn schermschool in de ameter te groot is ende over zulcx de qua- degen wiskonstenaar voorkwam [8]. De enige kapel van het Sint Agathaklooster. Dat deed dratura circuli des zelven vinders onrecht zy) die op dat moment voor mathematische pro- inmiddels niet meer als klooster dienst maar om te laten zien dat de omgeschreven 192- fesseur door kon gaan was de extraordinarius bood onderdak aan het hof van Willem van hoek al een kleinere waarde voor π impli- Rudolf Snellius, vader van Willebrord. Oranje. Vandaar dat het tegenwoordig beter ceert. Onverschrokken publiceerde Van der Van Ceulens versie van de gebeurtenissen bekend staat als het Prinsenhof. Vermoede- Eycke daarop in een nieuw boekje (Claerder kunnen we lezen in zijn eveneens in 1584 gelijk heeft Willems zoon Maurits er schermles Bewys Op De Quadratuere Des Circkels...) publiceerde verslag [9]. Ludolph arriveerde op gekregen van onze schermmeester, die ove- een andere ‘exacte’ waarde voor π namelijk p√ 21 juni 1583 in Haarlem. Aanvankelijk wilde rigens een pensioen van 25 gulden ’s jaars 320 − 8 ≈ 3.14460 .... Hij zag zelf wel in Goudaen hem het inzien van de aangeslagen ontving van het stadsbestuur. In dat stads- dat dat buiten de Archimedische grenzen ligt opgave beletten, maar de Delftenaar bleef bestuur zat een paar jaar later Jan Cornets maar dat gaf blijkbaar niets [15]. Van Ceulen aandringen en kreeg tenslotte vluchtig inza- de Groot, kapitaalkrachtig handelaar, vader tenslotte maakte een eind aan de discussie ge. ’s Avonds loste hij de opgave op “also daer van de beroemde Hugo, en goed bevriend met de “tot dolen geboren” stadsgenoot van weynich constryckheyt in gheleghen was” en met Simon Stevin. De contacten van Stevin en Franse afkomst in het boekje Proefsteen ende volgende dag wilde hij zijn uitwerking aan De Groot blijken onder andere uit hun geza- de claerder wederleggingh dat het claarder Goudaen geven, maar die weigerde het in ont- menlijke inspanningen tot het verbeteren van bewijs (so dat ghenaempt is) op de gheroem- vangst te nemen. Er zat voor Ludolph niets an- windmolens en het doen van valproeven; bo- de ervindingh vande quadrature des circkels ders op dan zijn oplossing openbaar aan te vendien droeg Stevin zijn boek l’Arithmetique een onrecht te kennen gheven, ende gheen slaan en vervolgens naar Delft terug te reizen. (1585) aan De Groot op. In datzelfde boek be- waerachtich bewijs is, waarin hij liet zien dat Goudaen deed daarop zijn best om zijn con- weerde Stevin dat Van Ceulen van plan was 3.141557587 < π < 3.141662746, wat hij current zwart te maken. Er schijnt een aantal een verhandeling over algebra te schrijven vermoedelijk verkregen had uit een in- en om- malen achtereen weer hetzelfde gebeurd te (het is echter nooit verschenen). Die twee ken- geschreven 384-hoek. Het is in deze periode zijn als Petri reeds was overkomen: Goudaen den elkaar dus blijkbaar ook, en hoe kan het geweest dat Jan Cornets het Archimedes-stuk weigerde steeds opnieuw inhoudelijk in te ook anders: Stevin en Maurits hadden elkaar vertaalde, en het is nu dus duidelijk waarom gaan op de aangeboden oplossing. in 1581 aan de Leidse universiteit ontdekt. Ludolph daar blij mee was. In zijn boekje behandelde Ludolph beide Al deze personen zaten dus in hetzelfde net- opgaven: die van Goudaens uit 1580 en ook werk. Leiden Petri’s wedervraag die Goudaen in 1583 ge- Ook De Groot en Van Ceulen konden goed We maken een sprong van een kleine tien jaar plagieerd had. Aan het eind van het boek- met elkaar overweg, zoals blijkt uit de vrien- en landen in 1594. In dat jaar, ongeveer aan je vinden we twee nieuwe uitdagingen voor dendienst die de eerste bewijst door voor Van het begin van de studie van zijn veelbeloven- de Haarlemse rekenmeester (zie kader). Zo Ceulen de Circuli dimensio (cirkelmeting) van de zoon Hugo, werd Jan de Groot benoemd als

2 2 3 3

Steven Wepster Ludolph van Ceulen in Hollandse kringen NAW 5/11 nr. 1 maart 2010 65

Van Ceulen aan Goudaen L het voetpunt van de loodlijn uit G. Ver- het korter kan: zodra je de diameter van de Het eerste probleem dat Van Ceulen aan der zijn I en K het midden van respectie- cirkel kent, zijn twee zijden in rechthoekige Goudaen opgeeft betreft een koordenvier- velijk de cirkel en zijde AD. Al eerder heeft driehoek AKI bekend, etcetera. hoek ABCD met gegeven zijden van ach- Van Ceulen laten zien hoe de diagonaal De tweede opgave van Van Ceulen aan tereenvolgens 6, 12, 9, en 8 (zie Figuur 2). BD van de koordenvierhoek uit te rekenen. Goudaen (zie Figuur 3) komt terug op Vanuit D is de middellijn DF van de cirkel Daarmee zijn alle zijden van driehoek ABD p. 222 van [11]. Gegeven een cirkel met getrokken welke de zijde BC snijdt in E. bekend. Dan is ook BH bekend (bijvoor- middelpunt A en twee loodrecht op elkaar Gevraagd: de lengte van BE, EC, DE, en beeld via oppervlakte en de stelling van staande middellijnen CH = BD = 8. G ligt EF. Heron) en dus tevens AH, HD. Door ge- op BD zodanig dat BD : BG = BG : GD In wezen dezelfde vraag komt voor op lijkvormigheid van driehoeken BHD, BAG (zo formuleert hij het niet in 1584 maar p. 210 van [11] (p. 196 in de Latijnse editie volgen nu BG en AG, daarna DG uit recht- wel in de Fondamenten). GF heeft leng- [12]). echter met AB = 6, BC = 8, CD = 9 hoekige driehoek BDG. Dan zijn alle zijden te 4 en staat loodrecht op BD. De rechte en AD = 18; de middellijn BG snijdt de zij- van driehoek AGD bekend en dus ook GL, AF snijdt de cirkel in I; BI snijdt CH in de AD in F (ontbreekt in ﬁguur). In Figuur AL, LD. De oplossing volgt tenslotte uit de K. Gevraagd naar BK, IK, CK en HK. Dit 4 staat zijn uitwerking. De rode draad, zon- gelijkvormigheid van de driehoeken GLF, vraagstuk lijkt misschien lastiger maar kan der in details te treden, is als volgt. Zij H IKF, en BHF. bijna helemaal met gelijkvormigheid wor- het voetpunt van de loodlijn uit B op AD en Snellius merkt in zijn commentaar op dat den opgelost.

Figuur 2 Van Ceulens eerste opgave voor Goudaen

Figuur 3 Van Ceulens tweede opgave voor Goudaen Figuur 4 Van Ceulens eerste opgave voor Goudaen met uitwerking in de Fondamenten

3 3 4 4

66 NAW 5/11 nr. 1 maart 2010 Ludolph van Ceulen in Hollandse kringen Steven Wepster

houdingen aan elkaar gelijk zijn [4]. Van Ceu- len doorzag de onjuistheid van de beweringen snel en liet de geleerde discreet adviseren (mogelijk via hun beider leerling Willebrord Snellius [3] (p. 199)) om het boek niet in de handel te brengen: het zou schadelijk kunnen zijn voor diens reputatie. Scaliger was echter niet onder de indruk van wat hij noemde een vechtbaas. Hoe zou zo iemand toch in zo korte tijd de diepte van zijn academische inzichten kunnen peilen? Laat hem maar zijn kritiek op papier zetten en publiceren! Aldus nalatende het boek terug te trekken, haalde hij zich de kritiek van Franc¸ois Viete,` Adriaan van Roo- men en (wat later) Christoph Clavius op de hals, kritiek die hij overigens even licht terzij- de wuifde. Van Ceulen was er zich blijkbaar van be- wust dat ook zijn eigen reputatie en daarmee zijn bronnen van bestaan op het spel stonden. Hij bevond zich weliswaar in een uitste- kend netwerk, maar als relatieve buitenstaan- der zonder academische positie en zonder kennis van klassieke talen kon hij niet anders dan eerbied tonen voor de hooggeleerde Sca- liger. Dat gold des te meer daar die een van de tutors was van de jonge Hugo de Groot. Ludolph kon dus niet openlijk de toegewor- pen handschoen oppakken. Toch liet hij het er niet bij zitten.

Vanden Circkel Nauwelijks twee jaar later verscheen Vanden Circkel [10], het boek waarmee Van Ceulen zich bij latere generaties grote roem verwor- ven heeft. Ludolph droeg het boek op aan

Collection Frits Lugt, Institut Néerlandais, Parijs Maurits van Oranje. Jacob de Gheijn, die niet Figuur 5 De Gheijns schets voor de titelplaat van Vanden Circkel veel later zo ongeveer de positie van huiskun- stenaar aan Maurits’ hof verwierf, tekende de een der curatoren van de Leidse universiteit sephus Justus Scaliger, een waarlijk erudiet titelplaat (Figuur 5) en Jan Orlers, neefje van — niet zo heel verbazend, aangezien het ge- humanist en ﬁloloog met (helaas voor hem) de universitair secretaris Jan van Hout, jubel- bruikelijk was dat een Delftse burgemeester ietwat minder verstand van Geometria en de Van Ceulen dichterlijk toe. Eens te meer in het universiteitsbestuur zat. Wellicht ver- zelfs met een hekel aan Archimedes. Sterker zien we hierin bewijzen van het uitstekende bazender is dat tegelijk Ludolph Van Ceulen nog: hij was ervan overtuigd dat hij drie klas- netwerk van Van Ceulen. verhuisde naar Leiden. In juni opende hij er sieke problemen (driedeling van een hoek, Nogal wat wiskundegeschiedenissen ver- zijn schermschool in de Faliebagijnkerk, waar verdubbeling van een kubus, en kwadratuur melden meer of minder gedetailleerd dat Van ook de universiteitsbibliotheek en het ana- van een cirkel) had opgelost met passer- en Ceulen in het boek twintig decimalen van π tomisch theater werden gevestigd. Ludolph lineaalconstructies. In het boek ‘bewees’ hij uitrekende. Hij gebruikte daarvoor in wezen vond een hulpschermmeester in Pieter Bailly, beweringen die, modern gezegd, erop neer- dezelfde techniek als Archimedes maar hij √ 9 √ een kleurrijk ﬁguur die tevens schrijfmeester komen dat π = 10 en π = 5 3, zonder kon het rekenwerk makkelijker inrichten om- en tweede pedel van de universiteit was, al- dat hij in die twee verschillende resultaten dat hij zich minder gelegen liet liggen aan het thans totdat uitkwam dat hij studenten bege- een tegenstrijdigheid zag. Volledigheidshal- klassieke onderscheid tussen meetkunde en leidde naar dames van lichte zeden. Ook Van ve moeten we er dan wel bij vermelden dat rekenkunde. Het nadeel van de methode is Ceulen heeft zich later van hem moeten ont- de ene waarde betrekking had op de verhou- dat de convergentie uiterst traag gaat, elke doen en wel wegens oneerlijke concurrentie ding tussen omtrek en diameter van een cir- verdubbeling van het aantal zijden levert nog op sportschoolgebied. kel, en de andere op de verhouding tussen minder dan een decimaal extra op. Van Ceu- In 1594 verscheen ook Cyclometrica ele- cirkeloppervlak en het vierkant op de straal len had dan ook een 15×231-hoek nodig voor menta duo, een prachtig boek van de kort van de cirkel; Scaliger negeerde dus het door het resultaat van 20 decimalen (Willebrord tevoren naar Leiden gelokte hoogleraar Jo- Archimedes bewezen resultaat dat beide ver- Snellius bracht later een verbetering aan

4 4 5 5

Steven Wepster Ludolph van Ceulen in Hollandse kringen NAW 5/11 nr. 1 maart 2010 67

waardoor de convergentie aanmerkelijk snel- ler gaat). Hij had zijn 20 decimalen al in 1586 De 17-hoek in Vanden circkel gevonden, kort nadat hij de beschikking kreeg Als voorbeeld van Ludolphs berekening van de zijden van een ingeschreven n-hoek nemen over Jan de Groots Archimedesvertaling, en we hier n = 17. Eerst neemt hij een halve cirkel met straal 2 waarvan de boog verdeeld in hij had zijn resultaat rondgestuurd aan de be- is 17 gelijke delen, elk deel komt dus overeen met de zijde van een 34-hoek en die stelt hij langrijkste wiskundigen in de Lage Landen, gelijk aan x. (In de zgn. Cossische algebra van die tijd is het symbool voor de onbekende waaronder Stevin, Adriaan Anthonisz., en Ru- , het kwadraat daarvan , en de derdemacht ; de notatie voorziet niet in meer dan eén´ dolf Snellius. Overigens hadden ook ande- onbekende.) In Figuur 6 is CD een zijde van de 34-hoek. CD is evenwijdig aan de middellijn ren kort tevoren aardig wat decimalen van π AB; bijgevolg staat boog AD over 9 zijden en boog DB over 8 zijden. √ gevonden: Viete` 10, Van Roomen 14, en (in Eerder al heeft Ludolph laten zien dat wat x ook zij (mits 0 < x < 2), AD = 2 + x en √ het Westen toen nog niet bekend) Jamshid al- BD = 2 − x (dit volgt uit AI : DI = DI : IB en de stelling van Pythagoras). Nu neemt hij Kash¯ ¯ı zelfs 16. E halverwege boog DB zodat EB de koorde is onder 4 zijden van de veelhoek. Er volgt dan p √ Interessanter dan de π-berekening is een dat EB = 2 − 2 + x. Net zo met N halverwege boog EB, en vervolgens met O halverwege r ander onderwerp in het boek, waarover Van q p √ NB, komt hij op CD = OB en dus x = 2 − 2 + 2 + 2 + x. Van deze zestiendegraads- Ceulen uitgebreid gecorrespondeerd had met vergelijking geeft hij als oplossing 1845367189266039904794 < x < 1845367189266039904795 Adriaan van Roomen, een breed georienteerd¨ 10000000000000000000000 10000000000000000000000 (de laatste decimaal van beide breuken is 1 te groot). De zijde van de 17-hoek volgt tenslotte humanistisch geleerde verbonden aan de uni- met behulp van hoekverdubbeling. versiteiten van Leuven en Wurzburg.¨ Hun cor- Er waren op dat moment slechts drie personen die algebraische vergelijkingen bij zulke respondentie betrof het berekenen van koor- problemen konden opstellen: de andere twee waren Van Roomen en Viete.` Geen van hen den in cirkels, in het bijzonder de zijden van kon met Van Ceulen wedijveren in het oplossen ervan. We weten niet op welke manier Van regelmatige veelhoeken. In 1593 publiceerde Ceulen oplossingen van dergelijke hogeregraads vergelijkingen vond. Hij wist nog niet dat Van Roomen hierover in zijn boek Methodus de 17-hoek construeerbaar is met passer en lineaal. Polygonorum [13]. Hierin daagde hij de wis- De oorspronkelijke tekst luidt als volgt [10] (f. 18r): kundige wereld uit met een ingewikkeld ogen- “Besiet den hier teghenghestelden Figuer: Ick neme CD is een syde des 34 houcx / dan de vergelijking van graad 45. Viete` herken- is den Boghe AFCD negenmael / ende DEB achtmael soo groot / als den Boge CD. De de het probleem ogenblikkelijk als de alge- q q r q bra¨ısche formulering van het verdelen in 45 rechte DB doet 2 − 1 / ende AD 2 + 1 ende EB moet zijn 2 − 2 + 1 / ende 1 v gelijke stukjes van van een cirkelomtrek. s u s 15 r q u r q De kleinste positieve oplossing is dus de leng- NB doet 2 − 2 + 2 + 1 . Item BO (die gelijck is CD) doet t2 − 2 + 2 + 2 + 1 te van de zijde van een 45 × 15 = 675- s r q hoek en de andere positieve oplossingen (die gelijck 1 : Dat is 1 gelijck 2 − 2 + 2 + 2 + 1 / Ofte 2 − 4 + 1 / gelijc Viete` ook gaf) zijn de diagonalen in die figuur. r q 1845367189266039904794 De opgave heeft praktische betekenis omdat 2 + 2 + 1 / &c. Comt voor 1 10000000000000000000000 te cort / ende 5 te lanc / verstaet 360◦/675 = 320; langs deze weg is het dus op’t eynde. Ende vinde hier door de syden des 17.51.68 houcx. Des 17 houcx syde doet 0 3674990356331406631488 mogelijk om sin 1 te vinden en dat was be- 10000000000000000000000 / ende 9 te lanck.” langrijk voor het maken van goniometrische tafels. Van Ceulen verwees expliciet naar Van Roomen, die enerzijds hem een aantal vergelijkingen had gestuurd om op te lossen, en anderzijds had gevraagd om de afmetin- gen van bepaalde ingeschreven veelhoeken, zonder erbij te zeggen wat het verband tussen de twee soorten vragen was. Gaandeweg ontdekte Ludolph dat verband. Hij ontwikkel- de daarna zijn eigen manier om vergelijkin- Figuur 6 Van Ceulens figuur bij de 17-hoek (bovenste helft). gen bij de problemen op te stellen en de oplossingen numeriek te vinden. In Vanden Circkel vinden we enkele hoofdstukken waar- ligers Cyclometria. Het slachtoffer werd niet meetkundige Charles de Bouelle circa 1475– in Van Ceulen de zijden van de (construeer- met naam genoemd, maar wie bekend was 1567) naar het rijk der fabelen. Een afzonder- bare) regelmatige k × 2n-hoeken uitrekende met zijn werk kon het verband niet missen lijk deel van zo’n 80 pagina’s handelde over voor k ∈ {3, 4, 5, 15}. In een ander hoofdstuk (zie: [4], [2] (p. 124)). Daarnaast bevatte het interestrekening. berekende hij de zijden van de regelmatige 7, boek goniometrische tafels (vermoedelijk van 9, 11, 13, 14, 17,18, 19,...-hoeken en zodoende Clavius) met een uiteenzetting over construc- Duytsche Mathematique kwam hij tot een complete tabel voor de zij- tie en gebruik ervan, en een stuk of hon- De belangstelling die Maurits had voor de den van de regelmatige driehoek tot en met derd problemen van allerhande soort, zoals (wiskundige) wetenschappen diende onder- tachtighoek (zie kader). enkele Diophantische vraagstukken. Ook ver- meer een praktisch doel, namelijk de orga- Een van de laatste hoofdstukken van het wees Ludolph een circkelquadratuur van Ca- nisatie van zijn leger en het voeren van de boek bevatte een verborgen kritiek op Sca- rolus Bovillus (de Franse filosoof, mysticus en strijd tegen de Spaanse troepen. Hij had daar-

5 5 6 6

68 NAW 5/11 nr. 1 maart 2010 Ludolph van Ceulen in Hollandse kringen Steven Wepster

Figuur 7 Deze prent in ets en gravure van de schermschool, naar een tekening van Jan Cornelisz. Woudanus, geeft de situatie weer in Van Ceulens sterfjaar. Met een toelichting in boekdruk in het Duits, Latijn en Frans.

bij behoefte aan praktisch geschoolde vak- docenten zelfs benoemd tot professor, hoe- hun voormalige student Frans van Schooten mensen op het gebied van landmeten en ves- wel de ‘echte’ professoren van de universiteit senior de leemte. tingbouw. Een opleiding hiertoe bestond niet schamper op hen neerkeken. Waarom waren juist deze twee docenten en om in de lacune te voorzien gaf hij Stevin Dat juist Van Ceulen als docent werd aan- aangesteld? Waarom niet Simon Stevin zelf? opdracht om het programma voor een der- gesteld mag wel enigszins verrassend zijn. Misschien had Maurits hem te hard nodig. gelijke opleiding op te stellen. Aan die op- Immers, hij was al 60 jaar oud; in de tien Adriaan Metius zou zeker een goede kandi- dracht voldeed Stevin en het programma be- laatste jaren van zijn leven bleef hij er les- daat voor het docentschap zijn geweest als helsde, naast grondige beheersing van reke- geven hoewel hij het veldwerk steeds vaker hij niet net naar Franeker was vertrokken. nen (inclusief worteltrekken) en meetkunde, oversloeg. Symon van Merwen was acht jaar Maar waarom niet de 28-jarige Jan Pietersz. alles wat nodig was om nuttige ingenieurs op jonger en een leeftijdsgenoot van Stevin. Over Dou, landmeter van de stad Leiden, die sa- te leiden. Ook veldwerk ontbrak niet. De zo- hem weten we niet heel veel maar Otterspeer men met zijn collega Johan Sems in 1600 genaamde ‘Duytsche Mathematique’ waar in [7] (p. 200) noemt hem “vooral landmeter en een handboek voor de landmeters het licht de landstaal werd onderwezen aan gewone inventieveling” en daarnaast iemand die ve- liet zien? Dou was trouwens ook al met Van lieden, werd in 1600 opgericht en op voor- le functies in de stad vervulde, en verdedi- Merwen, Van Ceulen, en Jan van Hout be- dracht van Maurits werden Ludolph van Ceu- gingswerken aanlegde. Toevalligerwijs over- trokken geweest bij het maken van een be- len en Symon Fransz van Merwen aangesteld leed Van Merwen evenals Van Ceulen in 1610 lastingtabel plus handleiding (heruitgegeven als docenten. De school werd gehuisvest in de zodat de Duytsche Mathematique in dat jaar door het jubilerende Wiskundig Genootschap Faliebagijnkerk. Enkele jaren later werden de zonder docenten kwam te zitten; weldra vulde in 1879 [1]). Ik stel mij voor dat er twee as-

6 6 7 7

Steven Wepster Ludolph van Ceulen in Hollandse kringen NAW 5/11 nr. 1 maart 2010 69

pecten aan de benoeming van Van Ceulen daan? In [10] stonden er slechts 20, en die begrijpen. Dat komt niet alleen door de wijd- zijn. Enerzijds houdt het een erkenning in had de rekenmeester al lang daarvoor bere- lopigheid van de inhoud, maar vooral door- door het establishment (lees: Maurits en het kend. Na 1596 moet hij dus zijn berekeningen dat Willebrord Snellius het in het Latijn ver- bestuur van de Leidse universiteit) van zijn hebben voortgezet. Iets hiervan vinden we in taald heeft [12]. Die vertaling heeft op zich al kwaliteiten en van zijn werk, zoals hij dat in de postuum uitgegeven Fondamenten [11]. iets dat de wenkbrauwen doet rijzen: Snelli- Vanden Circkel had vastgelegd en dat van in- Het boek bevat zes hoofdstukken waarvan us, klassiek opgevoed en de klassieke talen ternationaal niveau was; mogelijk zelfs ook de eerste twee handelen over rekenkunde en machtig, vertaalde het werk van een van zijn een erkenning van zijn ‘gelijk’ tegenover cir- elementaire meetkunde. In het derde hoofd- leermeesters die zelf slechts Nederduytsch kelrechters zoals Scaliger. Maurits lijkt zich stuk verbindt Van Ceulen rekenkundige ope- sprak. De vertaling is een daad van achting. over de meester te ontfermen, weliswaar niet raties met meetkundige constructies. Hierin Extra boeiend is het boek omdat Snellius op geheel volgens het gangbare patronagemo- staat bijvoorbeeld een op de stelling van Pto- veel plaatsen zijn eigen commentaar toevoeg- del maar toch ook niet ver daarvanaf. Ander- lemaeus gebaseerde manier om bij twee (con- de. We kunnen daarin een dialoog zien tus- zijds is het niet voor te stellen dat Maurits strueerbare) lijnstukken met lengte a en b sen de rekenmeester en de academicus, tus- zijn nieuwe ingenieursschool en het krijgs- een lijnstuk met lengte ab te construeren. sen iemand die vooral toepassingsgericht is belang ervan ondergeschikt zou maken aan De laatste drie hoofdstukken bevatten diver- en iemand die zich vooral beladen weet met vriendjespolitiek. Daaruit zouden we dan kun- se soms erg lastige meetkundige problemen. de erfenis van een traditie. Een van de knel- nen aﬂeiden dat het in zijn ogen een meer- Waar de eerste hoofdstukken best bruikbaar punten in die dialoog is de kwestie van het sa- waarde had boven eventuele alternatieven zijn geweest als studiemateriaal voor de Duyt- mengaan van meetkunde en rekenkunde. In om de oude rekenmeester aan te stellen, en sche Mathematique, geldt dit zeker niet voor de rekenmeestertraditie was dat al helemaal dat hij het zinvol achtte om de jongelieden de laatste. geen problematisch punt meer. Het meten van juist door hem te laten onderrichten. Wellicht Deze Fondamenten zijn beslist niet het be- velden was zelfs onmogelijk als niet de zijden speelde hierin ook Van Ceulens expertise in loofde algebraboek dat Stevin voorzien had van dat veld in getallen werden uitgedrukt. de wapenkunde een rol. (ook Van Ceulen maakte bij herhaling gewag In de Fondamenten blijkt dat Ludolph van van zo’n boek). Het lijkt erop dat deze publi- Ceulen zich wel degelijk bezighield met die Fondamenten catie eerder is ingegeven door de ﬁnanciele¨ kwestie. Het is eens te meer een bewijs dat Van Ceulen overleed op 31 december 1610. noden van de weduwe dan door de cohesie hij functioneerde op een niveau dat ver uit- Enkele dagen later werd hij begraven in de van het materiaal. Hoe dan ook, er staan 32 stak boven dat van de rekenmeesters. Terecht Pieterskerk, en niet lang daarna werd over- decimalen van π in en geen 35: de laatste heeft de regentenklasse hem opgemerkt en eenkomstig de wens van de overledene het paar decimalen schijnen te stammen uit on- kansen gegeven. Gezien zijn niet-klassieke graf voorzien van een steen met π in 35 deci- gepubliceerde documenten. achtergrond en onkunde van de klassieke ta- malen. Deze steen is bij een renovatie van de Niettemin vormen de Fondamenten wel len is het mooi dat hij langs de omweg van kerk verloren gegaan maar inmiddels vervan- degelijk een belangrijke bron om de wiskunde Duytsche Mathematique uiteindelijk toch gen door een replica. de van Van Ceulen in het bijzonder, en meer professor is geworden. Ludolph van Ceulen is Waar kwamen deze 35 decimalen van- in het algemeen de wiskunde van die tijd, te duidelijk meer dan louter π. k

Referenties 1 David Bierens de Haan, editor. Feest-gave Ceulen. In Denkschriften der mathematisch- 11 Ludolph van Ceulen. De arithmetische en ge- van het Wiskundig Genootschap te Amster- naturwissenschaftlichen Klasse, volume 116, ometrische fondamenten, van mr. Ludolf van dam onder de zinspreuk: “Een onvermoei- pp. 85–129. Verlag der Österreichischen Akademie Ceulen; met het ghebruyck van dien in veele de arbeid komt alles te boven”, ter gelegen- der Wissenschaften, Wien, 1979. verscheydene constige questien, soo geomet- heid der viering van zijn honderdjarig bestaan. rice door linien, als arithmetice door irrationale Haarlem, 1879. Bevat facsimile-herdrukken van 6 Friedrich Katscher. New documents on Lu- ghetallen, oock door den regel Coss, ende de Jan van Hout e.a. “Corte onderrichtinge di- dolph van Ceulen. Regionaal Archief Leiden, tafelen sinuum ghesolveert. Joost van Colster enende tot het maecken vande reductien vande G2006A23 en Jacob Marcus, Leiden, 1615. jaer-custingen tot gereede penningen” (Leiden 7 Willem Otterspeer. Het bolwerk van de vrijheid: 12 Ludolph van Ceulen en Willebrord Snellius. Fun- 1599) en Johan de Witt “Waerdye van lyf-renten de Leidse universiteit, 1575–1672. Bert Bakker, damenta arithmetica et geometrica cum eorun- naer proportie van los-renten” (’s Gravenhage 2000. dem usu in variis problematis, geometricis, par- 1671). 8 Nicolaus Petri. Vanden twee geometrische tim solo linearum, ductu, partim per numeros 2 Paul P. Bockstaele. The correspondence of Adri- vraeghen, inden jaren 81. ende 83. by Willem irrationales, & tabulas sinuum, & algebram so- aan van Roomen. Number 9 in Mededelingen Goudaen binnen Haerlem aenden kercke gh- lutis. Leiden, 1615. uit het Seminarie voor geschiedenis van de estelt. Cornelis Claesz, Amsterdam, 1584. 13 Adriaan van Roomen. Ideae mathematicae pars wiskunde en de natuurwetenschappen aan de prima, sive methodus polygonorum, qua lat- Katholieke universiteit te Leuven. Katholieke 9 Ludolph van Ceulen. Solutie ende werckinghe erum, perimetrorum & arearum eujuscunque Universiteit Leuven Dept. wiskunde, 1977. op twee geometrische vraghen by Willem Goudaen inde jaeren 1580 ende 83 bin- polygoni investigandorum ratio exactissima & 3 Liesbeth C. de Wreede. Willebrord Snellius nen Haerlem aenden kerckdeure ghestelt: certissima; una cum circuli quadratura conti- (1580-1626): a humanist reshaping the math- mitsgaders propositie van twee andere ge- nentur. Van Keerbergen, Antwerpen, 1593. ematical sciences. PhD thesis, Utrecht, 2007. ometrische vraghen. Cornelis Claesz, Amster- 14 Antwerps stadsarchief: zie [6]; rekenmeester: 4 Jan P. Hogendijk. The scholar and the fencing dam, 1584. zie het voorwoord van [10]. master: the exchanges between Joseph Justus 10 Ludolph van Ceulen. Vanden circkel. Daerin 15 Nicolaus van Cusa had deze waarde al ge- Scaliger and Ludolph van Ceulen on the circle gheleert werdt te vinden de naeste proportie noemd, en Regiomontanus had hem weerlegd, quadrature (1594–1596). to appear in Historia des circkels-diameter tegen synen omloop... zoals postuum gepubliceerd in 1559 [5] (p. 108), Mathematica, 2010. noch de tafelen sinuum, tangentium ende [2] (p. 94). 5 Friedrich Katscher. Einige Entdeckungen über secantium...ten laetsten van interest.... Jan die Geschichte der Zahl Pi sowie Leben und Andriesz., Delft, 1596. Werk von Christoffer Dybvad und Ludolph van

7 7