Inhaltsverzeichnis

1 Prinzipe und S¨atze der Dynamik 5 1.1 Bezeichnungen ...... 5 1.2 Das Variationsprinzip ...... 6 1.3 Das Prinzip von Hamilton ...... 9 1.4 Befreites Funktional ...... 13 1.5 Gemischte Formulierung ...... 13 1.6 Anmerkung zur Diskretisierung ...... 14 1.7 Die Lagrange’schen Gleichungen 1. Art ...... 14 1.8 Das Prinzip der virtuellen Arbeit ...... 16 1.9 Integraltransformationen ...... 19 1.9.1 Laplace-Transformation ...... 20 1.9.2 Fourier-Transformation ...... 22

2 Das Beispiel einer Windkraftanlage 25 2.1 Aufgabenstellung ...... 25 2.2 L¨osung ...... 25

3 Dynamische Stabilit¨at 31 3.1 Vorbetrachtungen ...... 31 3.2 Das Verfahren von Hill ...... 32 3.3 Das Verfahren von Floquet ...... 36

4 Numerische Lösung im Zeitbereich 39 4.1 Lösung mit Ansatzfunktionen ...... 39 4.2 Lösung ub¨ er Exponentialfunktionen ...... 41 4.3 Bewertung der Näherungen ...... 43 4.4 Das Differenzenverfahren ...... 48 4.5 Nichtlineare Bewegungsgleichungen ...... 49 4.6 Fehlerabschätzung und Zeitschrittsteuerung ...... 54 4.6.1 Diskrete Fehlervorabschätzung mit angepaßter Zeitschrittsteuerung (Auf- satz) ...... 55 4.7 Zeitdiskretisierung mittels diskontinuierlicher Hamilton-Darstellung (Aufsatz) 67

5 Ausbreitungsprobleme - Wave Propagation 81 5.1 Wellenausbreitung in Festk¨orpern ...... 81 5.1.1 Teil I - Grundlagen ...... 81 5.1.2 Teil II - Vertiefende Betrachtungen ...... 88 2 INHALTSVERZEICHNIS

5.2 Wellenausbreitung im Wasser ...... 95 5.2.1 Semi-FEM Formulierung ...... 98 5.3 Transformation in den Zeitbereich ...... 100 5.3.1 Darlegung der Strategie ...... 100 5.3.2 Algebraische Approximation ...... 103

6 Regelung und dynamische Analyse elastischer Strukturen 113 6.1 Grundlagen ...... 113 6.1.1 Vergleich der Eigenwerte ...... 115 6.2 Ausgewählte Veröffentlichungen ...... 116 6.2.1 Zeitschrittverfahren fur¨ Strukturen mit idealer momentaner Regelung und Zeitverzug (Aufsatz) ...... 116 6.2.2 Zeitschrittverfahren bei Untersuchung geregelter Strukturen (Aufsatz) 124

7 Werkstoffe mit Gedächtnis 133 7.1 Innere Variablen - Grundlagen ...... 133 7.2 Innere Variablen - Ergänzungen ...... 137 7.3 Fraktionale Ableitung ...... 138 7.4 Numerische Behandlung elastischer Strukturen mit nachlassendem Gedächtnis 140

8 Menscheninduzierte Schwingungen 151 8.1 Beeintr¨achtigung von Mensch und Bauwerk ...... 151 8.1.1 Mensch - Bauwerk - Interaktion ...... 151 8.1.2 Menscheninduzierte Lastfunktion ...... 152 8.1.3 Massenbelegung ...... 154 8.1.4 Gebrauchstauglichkeit ...... 154

9 Signalanalyse 159 9.1 Diskrete Fourier-Reihenentwicklung ...... 159 9.2 Abtasttheorem ...... 165

10 Interaktionen von Boden - Struktur 167 10.1 Darstellung des Bodens im Frequenzbereich ...... 167 10.2 Darstellung des Bodens im Zeitbereich ...... 169 10.3 Kopplung von Boden und Struktur im Zeitbereich ...... 170 10.4 Ausgewählte Veröffentlichungen ...... 172 10.4.1 FEM-Like Representation of unbounded Soil (Aufsatz) ...... 172 Vorwort

Die Baudynamik behandelt das Schwingungsverhalten von Strukturen des Bauingenieur- wesens, eventuell im Zusammenwirken mit angrenzenden Medien und beschreibt die Pro- blemlösung als Funktion in Raum und Zeit. Während in der Lehrveranstaltung Baudyna- ” mik“ als Pflichtfach des Vertiefungsstudiums das Hauptaugenmerk den linearen Systemen Mu¨ + Du˙ + Ku = r und der Lösung im modalen Raum gilt, stehen hier komplexe Auf- gabenstellungen, moderne numerische Methoden, verallgemeinerte Stabilitätsaussagen und Dämpfungskonzepte bzw. -phänomene im Vordergrund.

Die Eingangs skizzierten Prinzipe und Sätze der Dynamik erweisen bei der exemplarisch dargelegten Anwendung auf das System Windkraftanlage ihre Leistungsfähigkeit, zeigen aber auch die Vielfalt und Vielzahl der notwendigen, nicht trivialen Zwischenschritte, um schließ- lich zu einem neuen Typ von Bewegungsgleichungen mit dem Phänomen der dynamischen Stabilität zu gelangen. Die numerisch sehr aufwendige Behandlung dieses Problems wird zum Anlaß genommen, die Zeitschrittlöser genauer zu analysieren und Aspekte wie Fehlerschätzer, Zeitschrittsteuerung und Rechenaufwand zu untersuchen. Breiten Raum nimmt auch die Modellierung und numerische Behandlung des Phänomens Dämpfung“ ein; einmal im Rahmen der Abstrahldämpfung bei Ausbreitungsprozessen im ” Boden und im Wasser und zum anderen bei der Beschreibung von Stoffgesetzen mit Gedächt- nis. Die Kopplung verschiedener Problembereiche wie Struktur und Boden wird fur¨ die typische Situation einer quasistarren Fundamentplatte skizziert. Das grundsätzliche Vorgehen bei der Konzeption und Umsetzung von Regelstrategien fur¨ elastische Strukturen wird exemplarisch ub¨ er die Zielfunktion der Energieminimierung dargelegt, wobei auch das Problem der Zeitverzögerung zwischen Messung und Einwirkung des Aktuators Eingang findet. Ein kurzer Abriß zur Signalanalyse und eine in sich abgeschlossene Beschreibung zur Bewer- tung menscheninduzierter Schwingungen beenden den Umdruck.

Einige an passender Stelle eingefugte¨ Texte aus Tagungsberichten und wissenschaftlichen Arbeiten runden das vorliegende Skript ab und belegen zugleich die Aktualit¨at der Stoﬀaus- wahl. 4 Vorwort

Frau Dipl.-Ing. Carolin Trinks, Herr Dr.-Ing. Nils Wagner und Herr Dipl.-Ing. Stefan Witte haben wichtige Zuarbeiten geleistet. Frau Ines Lemke, Sekret¨arin am Lehrstuhl, hat den Hauptteil der LATEX - Dateien erstellt. Herr cand.ing. Mirko Sch¨adlich hat das Zusam- menfugen¨ vieler Bild- und Textdateien zu einem einheitlichen Ganzen besorgt und dabei manche Verbesserungen eingebracht.

Anregungen und Hinweise, in welcher Form auch immer, von allen Leserinnen und Lesern werden vom Autor gern entgegengenommen und sind ausdruc¨ klich erwunsc¨ ht.

Dresden, im September 2001 Prof. Dr.-Ing. habil. P. Ruge Kapitel 1

Prinzipe und S¨atze der Dynamik

1.1 Bezeichnungen

Im internationalen Sprachgebrauch haben sich einige Bezeichnungen durchgesetzt, die im folgenden aufgelistet werden. T : Kinetische Energie einer Elementarmasse dm:

1 T = x˙ T x˙ dm. 2 Z Bei einem starren K¨orper ist eine Aufteilung in Translations- und Rotations- anteil sinnvoll. 1 1 T = mx˙ T x˙ + ωT Jω. (1.1.1) 2 S S 2 x˙ : ist die absolute Ableitung des Ortsvektors x nach der Zeit, ω : die Spalte der Drehgeschwindigkeiten bezuglic¨ h einer Inertialbasis, J : ist die Matrix der Massentr¨agheitsmomente,

x˙ S : die Geschwindigkeit des Schwerpunktes S. p : Impuls

p = mx˙ (1.1.2)

L : Drehimpuls

L = Jω (1.1.3)

W : Sammelbegriﬀ fur¨ die Arbeit

W = QT dx (1.1.4) Z Q : Sammelbegriff fur¨ eine Kraftgröße; kann sowohl Kraft [N] als auch Moment [Nm] sein. U : Potential. Falls die Arbeit W einer Kraftgröße Q unabhängig ist vom Integrati- onsweg, nennt man Q speziell eine Potentialkraft und die negative Arbeit speziell Potential.

U = W falls Q Potentialkraft. (1.1.5) − 6 1. PRINZIPE UND SATZE¨ DER DYNAMIK

UEl. : Elastisches Potential. Falls σ = E : 1 U = T EdV allgemein; El 2 Z 1 2 U = E u0 + zϕ0 dx dA (1.1.6) El. 2 Z 1 2 2 = EIϕ0 + 2z EAu0ϕ0 + EAu0 dx einachsige Dehnung. 2 s Z h i L : Lagrangefunktion

L = T U . (1.1.7) −

H : Hamiltonfunktion

H = T + U . (1.1.8)

q : Kinematische Parameter; Verschiebungen oder Drehungen (1.1.9)

δu : Virtuelle Verschiebung; Variation der Verschiebung. (1.1.10)

1.2 Das Variationsprinzip

Extremalaussagen wie das Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie in der Gleichge- wichtslage, hier fur¨ einen schubstarren Biegebalken mit Streckenlast,

` ` 1 2 U = EIw00 dx qwdx, 2 − Z0 Z0 ` : L¨ange, EI : Biegesteiﬁgkeit, w : Durchsenkung, q : Streckenlast, (1.2.1)

k¨onnen zur Formulierung der Zustandsgleichungen und zur direkten Diskretisierung herangezogen werden. In der Sprache der Mathematik ist das Potential (1.2.1) ein Funktional (Ab- bildung einer Funktion w(x) auf eine skalare Gr¨oße). Die wirkliche Gleichgewichtsbiegelinie w(x) wˆ(x) beschreibt den minimalen Wert U des Funktionals. → Min ` ` 1 2 U (wˆ) = EI(wˆ00) dx qwˆdx = U . (1.2.2) 2 − Min Z0 Z0 Der Trick der Variationsrechnung besteht darin, die sogenannte Extremale wˆ in eine lineare Vielfalt

w(x) = wˆ(x) + v(x) (1.2.3)

einzubetten. ist dabei der sogenannte Variationsparameter und v(x) die Variationsfunktion. Fur¨ = 0 wird ω(x) oﬀensichtlich zur gesuchten Extremale wˆ(x). Mit Hilfe der Darstellung (1.2.3) wird das Potential U in (1.2.1) unter anderem eine gew¨ohnliche Funktion des Para- meters . Die notwendige Bedingung fur¨ ein extremales U ist das Verschwinden der partiellen 1.2 Das Variationsprinzip 7

Ableitung von U nach .

` ` 1 2 U = U() = EI wˆ00 + v00 dx q (wˆ + v) dx. 2 − Z Z 0 0 ` ` ∂U = EI wˆ00 + v00 v00dx qvdx = 0. (1.2.4) ∂ − Z Z 0 0 Der die extremale Situation kennzeichnende Parameter ist mit ˆ = 0 bereits bekannt. ∂u = 0. (1.2.5) ∂ ˆ=0

Mithin bleibt folgende Gleichung zur Berechnung von wˆ(x).

EIwˆ00v00 qv dx = 0. (1.2.6) − Z Durch zweimalige Integration gelangt man zu einer Darstellung,

` ` EIwˆ0000 q vdx + EIwˆ00v0 EIwˆ000v = 0, (1.2.7) − − 0 Z 0 die im runden Klammerteil (. . . ) die bekannte Differentialgleichung der Balkenbiegung enthält. Der eckige Klammeranteil [. . . ] beschreibt die Randstetigkeiten in Durchsenkung und Nei- gung, die von der Variationsfunktion v(x) dann identisch erfullt¨ sein mussen,¨ falls die Rand- bedingungen der exakten Biegelinie wˆ(x) nicht die Querkraft EIwˆ000 oder das Moment EIwˆ00 betreffen.

Im Rahmen dieser Lehrveranstaltung ist es bedeutsam, daß die Gleichung (1.2.6) auch durch formales Ableiten des Funktionals U in (1.2.1) nach w(x) erzeugt werden kann. Mathematisch ist dies allerdings auf keinen Fall statthaft, da der Differentialquotient nur fur¨ Ableitungen nach skalaren Größen erklärt ist. Deshalb benutzt man auch nicht eine Formulierung wie etwa

` `

dU = EIw00 dw00 dx q(dw)dx (1.2.8) − Z Z 0 0 sondern man hat ein besonderes Diﬀerentiationssymbol δ eingefuhrt.¨ − − ` `

δU = EIw00δw00dx q δw dx = 0. δw v. (1.2.9) − ≡ Z0 Z0 Die Variationsfunktion v(x) ist oﬀenbar identisch mit der Variation δw der L¨osungsfunktion. Die Formulierung mit Hilfe des Variationssymbols δ ist kompakter als der Weg ub¨ er die -Darstellung w(x) = wˆ(x) + v(x) , doch ist dabei die saubere mathematische Grund- − − legung nicht mehr klar erkennbar. Den Variationsparameter beziehungsweise den Forma- lismus der δ Variation kann man auch dann mit Gewinn heranziehen, wenn das Minimum − einer quadratischen Form 1 Q = xT Qx xT r; Q, r gegeben, (1.2.10) 2 − 8 1. PRINZIPE UND SATZE¨ DER DYNAMIK

gesucht wird.

T QMin = Q (xˆ) . x = [x1 . . . xn] . (1.2.11)

Notwendige Bedingung fur¨ einen Extremwert ist das Verschwinden aller n partiellen Ablei- tungen. Deren Zusammenfassung

∂Q/∂x1 . . = grad Q = 0, (1.2.12)   x ∂Q/∂x  n    in einer Spalte bezeichnet man auch mit dem Gradienten. Zur konkreten Darstellung des Gra- dienten wird man die quadratische Form ausmultiplizieren, einen typischen Summanden differenzieren und daraus auf eine allgemeingultige¨ Darstellung schließen. Mit dem δ Formalismus − bildet man formal den totalen Zuwachs nach den Regeln der Produktdifferentiation, 1 δQ = δxT Qx + xT Qδx 2δxT r = 0, (1.2.13) 2 − isoliert die Variation δx einheitlich auf einer Seite, hier links, 1 δQ = δxT Q + QT x r = 0, (1.2.14) 2 − und fragt nach Bedingungen fur¨ das Verschwinden des Produktes in (1.2.14). Fur¨ beliebige Variationen δx bleibt dafur¨ nur das Verschwinden der geschweiften Klammer. 1 Q + QT x = r, x = xˆ. (1.2.15) 2 Dies ist eine Bestimmungsgleichung fur¨ die Extremale x = xˆ mit grundsätzlich symmetri- scher Koeffizientenmatrix.

Der Weg ub¨ er die Einbettung der Extremale in Gl.(1.2.10)

x = xˆ + v (1.2.16)

fuhrt¨ das Extremalproblem auf eine partielle Ableitung ∂Q/∂ zuruc¨ k. 1 Q = (xˆ + v)T Q (xˆ + v) (xˆ + v)T r, 2 − 1 1 ∂Q/∂ = xˆT Qv + vT Qxˆ + vT Qv vT r, 2 2 − ∂2Q/∂2 = vT Qv. (1.2.17)

Die 2. Ableitung gibt zun¨achst Auskunft ub¨ er den Charakter des Extremalpunktes. Fur¨ positiv deﬁnite Matrix Q, das heißt

vT Qv > 0 fur¨ v beliebig, aber = 0, (1.2.18) 6 bezeichnet der L¨osungspunkt ein Minimum. Die 1. Ableitung verschwindet an der Stelle des L¨osungspunktes x = xˆ mit = 0. ∂Q 1 = 0 = vT Q + QT xˆ r . (1.2.19) ∂ 2 − =0

1.3 Das Prinzip von Hamilton 9

Fur¨ beliebige nichtverschwindende Variationsrichtungen v ist die Gleichung (1.2.19) nur durch das Verschwinden der Klammer zu erfullen.¨ 1 Q + QT xˆ = r. (1.2.20) 2 Dies ist dieselbe Bestimmungsgleichung wie in (1.2.15). Das anhand der quadratischen Form Q skizzierte Vorgehen l¨aßt sich geometrisch an dem Paraboloid in Bild (1.2.1) veranschaulichen, welches die Funktion Q(x1, x2) darstellt.

Q 6

x2 >

v1 v3 z xˆ - 6 Qˆ ? N v3

x1 s

Abbildung 1.2.1: Minimalpunkt xˆ mit Abtastrichtungen vi.

Qˆ = Q(xˆ) = QMin ist nur dann Minimalpunkt, wenn in beliebigen Richtungen v in beliebigem Abstand v von Qˆ ausgehend kein tieferliegender Punkt der Funktion Q(x) | | vorhanden ist als Qˆ.

1.3 Das Prinzip von Hamilton1

Das Hamiltonsche Variationsprinzip sagt aus, daß das Integral I1 ub¨ er die Lagrangefunktion

L = T U , − genommen in einem beliebigen Zeitintervall t t , dann einen stationären Punkt des Funk- 2 − 1 tionals darstellt, wenn man statt beliebiger Nachbarlösungen die exakte zeitveränderliche Lösungsfunktion einsetzt.

t2 I = (T U)dt station¨ar. (1.3.1) 1 − → tZ1

1Sir William Hamilton (1805-65), irischer Mathematiker und Astronom. 10 1. PRINZIPE UND SATZE¨ DER DYNAMIK

Notwendige Bedingung fur¨ einen station¨aren Punkt ist das lokale Verschwinden des Zuwach- ses.

δI1 = δ L dt = 0. (1.3.2) tZ1 Diese Aussage gilt nur fur¨ Potentialprobleme. Nichtpotentialkr¨afte Q, einerlei ob skalar oder vektoriell, werden als virtuelle Arbeit mit δq = v hinzugefugt:¨

t2 δ L dt + QT δq dt = 0. (1.3.3) tZ1 Z Hier und im folgenden bezeichnet v die Variation der Freiheitsgrade δq; nicht etwa die Ge- schwindigkeit. Eine weitere Ausgestaltung der zunächst recht kargen“ Formel gelingt durch implizi- ” tes Ableiten; oder genauer implizites Variieren. Dazu benötigt man die Erkenntnis, daß die Lagrangefunktion L = T U eine Funktion der kinematischen Freiheitsgrade q und deren − Ableitungen q˙ ist. Der Weg ub¨ er den Variationsparameter , q(t) = qˆ(t) + v(t), q˙ (t) = qˆ˙(t) + v˙ (t), ∂ ∂ q(t) = v(t), q˙ (t) = v˙ (t) (1.3.4) ∂ ∂ erlaubt zunächst eine äußere Ableitung formal nach den Freiheitsgraden und nachfolgend eine innere Ableitung nach dem Parameter . Der Lösungspunkt schließlich wird durch den Wert ˆ = 0 markiert. → t2 T T ∂I1 δI1 = = grad L v + grad L v˙ dt = 0. (1.3.5) ∂  q q˙  =0 Z " # " # t1  

Durch einmaliges partiellesIntegrieren l¨aßt sich die Spalte v der Variationsfunktionen einseitig, hier zum Beispiel links, herausziehen.

t2 T t2 • T δI1 = v grad L grad L dt + grad L v = 0. (" q # − " q˙ # )  q˙ !  tZ1 t1 v = δq.   (1.3.6)

Falls der Randterm identisch verschwindet, das heißt

grad L = grad L = 0 (1.3.7) " q˙ # " q˙ # t1 t2 oder

[v]t1 = [v]t2 = 0, (1.3.8)

bleibt fur¨ ansonsten beliebige Variationsfunktionen das Verschwinden der geschweiften Klam- mer als notwendige Bedingung fur¨ den station¨aren Charakter des Hamiltonfunktionals.

• • vT grad L grad L + Q dt = 0 grad L grad L + Q = 0. (1.3.9) q − q˙ → q − q˙ Z ( " # ) " # 1.3 Das Prinzip von Hamilton 11

In dieses Endergebnis lassen sich die Nichtpotentialkräfte nahtlos einfugen.¨ Reaktionskräfte sind a priori nicht in (1.3.9) enthalten, da ihre virtuelle Arbeit grundsätzlich Null ist. Glei- chung (1.3.9) nennt man die Lagrange’schen Gleichungen 2. Art2. Im Rahmen von Näherungsberechnungen auf der Grundlage des Hamiltonprinzips macht der Randterm R in (1.3.6) gewisse Schwierigkeiten:

T t2 R = grad L δq =! 0. (1.3.10)  q˙ !  t1   Falls der erste Faktor

grad L q˙ in beiden Zeitpunkten t1 und t2 fur¨ die exakte Lösung verschwindet, kann die Variation δq beliebig sein. Ansonsten muß δq, also die Abweichung von der exakten Lösung, zu Null werden, was im Rahmen einer Näherungslösung in der Regel nicht zu erreichen ist. Damit scheidet das Hamiltonprinzip in der Form (1.3.3) als Näherungskonzept aus. Sein Wert liegt dann ausschließlich in der Möglichkeit, die Bewegungsgleichung des Systems auf sogenannte analytische Weise herzuleiten.

Beispiel:

Die numerische Berechnung der Periodendauer T eines Pendels (man denke an eine schwingende Glocke) l¨aßt sich auf der Basis des station¨aren Funktionals (1.3.1) durchfuhren,¨ falls man die Zeit- punkte t1, t2 den Umkehrlagen des Pendels zuordnet.

. t1 = 0 : ϕ1 = α; ϕ1= 0. . t = T/2 : ϕ = α; ϕ = 0. (1.3.11) 2 2 − 2

6 α ϕ l l cos ϕ O n ? g m : ? m t

Abbildung 1.3.1: Physikalisches Pendel im Schwerefeld

Kinetische und potentielle Energie mit einer beliebigen Konstanten c lassen sich problemlos anschrei-

2Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813) gilt neben Euler als der bedeutendste Mathematiker seiner Zeit. 12 1. PRINZIPE UND SATZE¨ DER DYNAMIK

ben, m . 2 T = `2 ϕ , U = mgl cos ϕ + c 2 − L = T U, q ϕ; • − • ≡ 2 . grad. L = m` ϕ , grad L = mg` sin ϕ. (1.3.12) ϕ ϕ Offensichtlich verschwindet der Anteil grad L des Randterms in den Zeitpunkten t1 und t2, so daß q˙ eine noch zu formulierende Näherungslösung ψ fur¨ ϕ(t) keinen Beschränkungen an den Zeiträndern unterliegt. Bei der Konzeption von ψ(t) läßt man sich von der Erkenntnis leiten, daß die Lösung periodisch ist mit maximalem Ausschlag vom Betrag α. Die einfachste Näherung mit diesen Eigenschaften ist eine Kosinus-Funktion. t . 2π t ψ(t) = α cos 2π , ψ (t) = α sin 2π . T − T T t t Allgemein: ψ(t) = a cos 2π + a cos 4π + . . . . (1.3.13) 1 T 2 T Ein gangbarer Weg zur Auswertung der Integrale,

T/2 2 2 m 2 2 2π t ∗ I1 = ` α sin 2π + mg` cos ψ(t) dt + c , (1.3.14) " 2 T T # Z0 besteht darin, die Kosinus-Funktion cos ψ(t) als Taylorreihe darzustellen. Hilfreich ist außerdem eine t Zeittransformation 2π T = τ. π m 2π T I = `2α2 (sin τ)2 + mg` 1 2 T 2π τZ=0 1 1 ∗ 1 α2 (cos τ)2 + α4 (cos τ)4 . . . dτ + c ; − 2 24 T T t = τ, dt = dτ. (1.3.15) 2π 2π

Laut Hamilton wird der Ausdruck I1 in (1.3.1) stationär; folgerichtig muß die Variation δI1 verschwinden. Insbesondere anhand des allgemeinen Ansatzes in (1.3.13) erkennt man die wesentlichen Variablen des Problems: dies sind die Linearfaktoren ai; im Fall des eingliedrigen Ansatzes ist demnach α der freie Parameter des Hamiltonintegrals in (1.3.1). Notwendige Bedingung fur¨ einen stationären Lösungspunkt ist also das Verschwinden der partiellen Ableitung nach α. π ∂I 2π T α2 1 = 0 = α m`2 (sin τ)2 + mg` (cos τ)2 + (cos τ)4 . . . dτ. ∂α T 2π − 6 Z0 2π 2 π π α2 3 m`2 = mg` π + . . . , → T 2 2 − 6 8 2π 2 g α2 = 1 . (1.3.16) T ` − 8 Das Näherungsergebnis in (1.3.16) stellt die Periodendauer T als Funktion der Amplitude α des Pendelausschlages dar. Fur¨ α 0 erhält man die Periode TL des a priori linearisierten Pendels mit .. → der Bewegungsgleichung ` ϕ +gϕ = 0.

1 2 ` 2 T = TL , T = 4π . 2 L 1 α g − 8 z. B. α = 1[Rad] = 57[Gradq ] : T = T 1, 07. L · 1.4 Befreites Funktional 13

1.4 Befreites Funktional

Die Probleme mit dem Randterm R lassen sich durch einen formalen Kunstgriﬀ beseitigen; dazu wird die Variationsformulierung in (1.3.3) um die virtuelle Arbeit der Zeitrand- impulse erweitert.

t2 t2 T t2 T δI2 = δ L dt + Q δq dt grad L δq = 0. (1.4.1) −  q˙ !  tZ1 tZ1 t1   Beim Ausvariieren“ tilgen sich alle Randterme, so daß die Variationen keinen Restriktionen ” am Rand mehr unterliegen. In diesem Fall spricht man von einem befreiten Funktional“; ” oder auf Englisch weak formulation“. ”

1.5 Gemischte Formulierung

Die Probleme der Strukturdynamik sind in der Regel orts- und zeitabhängig. Nach der Orts- diskretisierung erscheinen T und U als typische quadratische Formen mit Massen- und Stei- figkeitsmatrix, wobei M intern noch von den Freiheitsgraden q selbst abhängig sein kann. 1 T = q˙ T Mq˙ , M = M(q); 2 1 U = qT Kq. (1.5.1) 2 Mit Hilfe der Impulse p = Mq˙ läßt sich die kinetische Energie alternativ darstellen.

1 T 1 T T = p M− p, T = p q˙ T . 2 2 3 − 2 Mit p = Mq˙ . (1.5.2)

Beide Formulierungen in (1.5.2) lassen sich ub¨ er die Deﬁnitionsgleichung fur¨ die Impulse 1 T in die Ausgangsform T = 2 q˙ Mq˙ zuruc¨ kfuhren.¨ Entscheidet man sich fur¨ die Variante T3 in (1.5.2), erscheint in der Variationsformulierung (1.4.1) mit L = T U eine neuartige 3 − Kombination von kinetischer Energie und Potential; die sogenannte Hamiltonfunktion H.

t2 t2 T T T t2 δI3 = 0 = δ p q˙ T2 U dt + Q δq dt δq p . − − − t1 Z Z t1 t1 1 T 1 1 T H = T + U = p M− p + q Kq. (1.5.3) 2 2 2 Die Variation des 1. Summanden, einmalige partielle Integration und Ordnen nach den Va- riationen δp, δq liefert die notwendige Bedingung fur¨ einen stationären Lösungspunkt, die nur dann erfullt¨ ist, wenn die eckigen Klammern je fur¨ sich verschwinden. Das sind die sogenannten kanonischen Gleichungen der Dynamik; sie stellen offenbar ein System 1. Ordnung dar.

t2 t2 ∂H ∂H δI = 0 = δpT q˙ dt δqT q˙ + Q dt. 3 − ∂p − ∂q − tZ1 tZ1 ∂H ∂H q˙ = 0, p˙ + = Q. → − ∂p ∂q 14 1. PRINZIPE UND SATZE¨ DER DYNAMIK

∂H 1 1 T ∂H 1 = M− + M− p; = (K + K) q. ∂p 2 ∂q 2 Falls M = MT , K = KT :

1 q˙ M− p = 0 oder Mq˙ p = 0, − − p˙ + Kq = Q.

1.6 Anmerkung zur Diskretisierung

Das befreite Hamiltonfunktional (1.5.3),

t2 t2 T T T t2 δI3 = δ p q˙ H dt + Q δq dt δq p , (1.6.1) − − t1 Z Z t1 t1 oder in ausvariierter Form im Gewand gewichteter Residuen,

t2 t2 ∂H ∂H δI = 0 = δpT q˙ dt δqT p˙ + Q dt, (1.6.2) 3 − ∂q − ∂q − tZ1 tZ1 kann als Ausgangspunkt einer N¨aherungsrechnung genutzt werden, da die Variationen nun- mehr keinerlei Stetigkeitsbedingungen zu erfullen¨ haben. Fur¨ einen simplen Ein-Massen- 1 p2 1 2 Schwinger mit Steiﬁgkeit k und Masse m, H = 2 m + 2 kq , ist zum Beispiel ein linearer Ansatz naheliegend,

q(t) = qT h(t), p(t) = pT h(t), t 1 h p0(t) h(t) = −t , p = , " h # " p1(t) # doch ist die entstehende Ub¨ ertragungsgleichung,

q Az1 = Bz0, z = , (1.6.3) " p/m # numerisch instabil, wie sp¨ater noch gezeigt werden wird.

1.7 Die Lagrange’schen Gleichungen 1. Art

Die Charakteristik der Lagrangeschen Gleichungen 2. Art in (1.3.9) besteht darin, daß sie sich als notwendige Bedingungen einer Variationsformulierung ergeben, wobei Reaktionen automatisch eliminiert werden. Im Gegensatz dazu enthalten die Lagrangeschen Gleichungen 1. Art alle Reaktionskräfte. Allerdings mehr in einer indirekten Art und Weise, da zunächst die geometrischen Bindungen in Form impliziter Bindungsgleichungen im Vordergrund stehen. Die Bindungskräfte lassen sich daran anschließend als λ-fache des Gradienten darstellen; das ist eine sogenannte explizite Formulierung der Zwangskräfte Q.

Bindungsgleichungen: Ni(q) = 0, (1.7.1) Bindungskr¨afte: Qi = λi grad Ni. q 1.7 Die Lagrange’schen Gleichungen 1. Art 15

Anmerkung:

Die Gultigk¨ eit dieser expliziten Formulierung wird aus der Fuhrung¨ einer Perle l¨angs einer Kurve f(x) in der x y Ebene deutlich. Die Bindungsgleichung in impliziter Form − N = y f(x) = 0; q = x, q = y, − 1 2 fuhrt¨ auf die zugeh¨orige Bindungskraft

N, x f, x Q = λ = λ − . N, y 1 Die Tangente t in Richtung von dx,

x 1 x = , dx = dx y = f(x) f, x ist oﬀensichtlich senkrecht zur Bindungskraft, wie es sein muß. Ein spezielles Beispiel macht das Vor- gehen im Detail deutlich:

Beispiel:

x Ebenes Pendel in der x x -Ebene im Schwerefeld. Pendellänge `. Koordinaten q = 1 . 1 − 2 x 2 Es werden also zunächst zwei unabhängige Lageparameter eingefuhrt,¨ obwohl ein ebenes Pendel lediglich einen einzigen Freiheitsgrad besitzt; in der Regel wählt man den Winkel ϕ gegenub¨ er der Lotrichtung.

Bindungsgleichungen: N = x2 + x2 `2 = 0, 1 1 2 − 2x1 Bindungskr¨afte: Q1 = λ1 grad N1 = λ1 . q 2x 2 .. 0 Lagrangesche Gleichung 1. Art: m q= λ1 grad N1 + . q mg

Insgesamt enth¨alt die Formulierung 3 Unbekannte (x1(t), x2(t), λ1(t)) und 3 Bestimmungsgleichungen:

2 2 2 1. x1 + x2 ` = 0. .. − 2. m x1= λ12x1 .. 3. m x2= λ12x2 + mg.

Generalisierte Koordinaten zeichnen sich dadurch aus, daß sie die Bindungsgleichungen identisch erfullen.¨ Hier bietet sich wie bereits erw¨ahnt der Winkel ϕ an, der die Koordinaten x1, x2 festlegt.

x1 = ` sin ϕ; x2 = ` cos ϕ. 2 2 2 2 2 N1 = ` sin ϕ + ` cos ϕ ` 0...... 2 − ≡ x = ` ϕ sin ϕ ϕ sin ϕ , 1 − .. .. . 2 x = ` ϕ cos ϕ ϕ sin ϕ . 2 − − .. mϕ +`sinϕ = mg. → Diese exemplarische Darstellung am ebenen Pendel vermittelt den Eindruck einer ausgespro- chen komplizierten Prozedur. In der Regel benutzt man deshalb von vornherein generalisierte Koordinaten. 16 1. PRINZIPE UND SATZE¨ DER DYNAMIK

1.8 Das Prinzip der virtuellen Arbeit

Das d’Alembert’sche Prinzip3 besagt, daß die virtuelle Arbeit der Reaktionen f r zu jedem Zeitpunkt der Bewegung verschwindet. Es verbleibt nur die Arbeit der Massenbeschleunigun- gen und der eingepr¨agten Kraftgr¨oßen.

.. T .. T u dm f e f r δu = u dm f e δu = 0 (1.8.1) − − − Z Z Die Bezeichnung nach d’Alembert ist nicht allgemein ublic¨ h; teilweise spricht man auch vom Lagrangeschen Prinzip. Insgesamt kann man feststellen, daß die grundsätzlichen Beschrei- bungen der klassischen Dynamik im 18. Jahrhundert formuliert wurden. Wesentliche Beiträge wurden dabei von d’Alembert (Traité de dynamique, 1743); Lagrange (Mécanique analytique, 1788) und Euler4 (1750) veröffentlicht. Heutzutage spricht man ub¨ erwiegend zusammenfassend vom Prinzip der virtuellen Arbeiten, wobei die virtuellen Weggrößen nichts anders als differentielle Lageänderungen beschreiben. Bei der Beruc¨ ksichtigung von eingeprägten Kraft- größen f e mit dem Potential U hat man zusätzlich zur Formulierung als virtuelle Arbeit δuT f e die Möglichkeit, diesen Anteil als Variation des Potentials darzustellen.

f e Potentialkraft: δuT f e = δU. (1.8.2) − Bezeichnet man die verbleibenden eingepr¨agten Nichtpotentialkr¨afte wie bisher mit Q, nimmt das d0 Alembertsche Prinzip folgende Form an:

δuT (u¨dm Q) + δU = 0. (1.8.3) − Z Z Die Integration erstreckt sich ub¨ er das gesamte geometrische Gebiet G der Problemformu- lierung. Bei nur einer diskreten Punktmasse entfällt diese Integration. Der Weg ub¨ er die virtuellen Arbeiten (gelegentlich spricht man auch vom Leistungssatz) beginnt pauschal mit dem Beschleunigungsvektor x¨, den Reaktionskräften f r ohne diese näher auszufuhren,¨ weil sie ohnehin später wegfallen und den eingeprägten Kräften.

Zum Beispiel beim Pendel:

0 mx¨ = + f r. (1.8.4) " mg #

Alsdann wird der Ortsvektor (s.Abb. 1.3.1) als Funktion der echten Freiheitsgrade beschrieben. Hier

sin ϕ cos ϕ x(t) = ` δx = ` δϕ = `tδϕ. (1.8.5) cos ϕ → sin ϕ " # " − # Die Variation δx und die Ableitungen nach der Zeit folgen hieraus. Bei Systemen mit mehreren Freiheitsgraden kann dies mit l¨angeren Rechnung verbunden sein. Hier

v = x˙ = `tϕ˙; x¨ = `nϕ˙ 2 + `tϕ.¨ (1.8.6)

3Jean Lerond d’Alembert (1717-83), franz¨osischer Physiker und Aufkl¨arungsphilosoph. 4Leonhard Euler (1707-1783); schweizer Mathematiker. 1.8 Das Prinzip der virtuellen Arbeit 17

Die virtuellen Arbeiten 0 δxT mx¨ = δxT + f r (1.8.7) { } (" mg # ) oder die Leistung

0 vT mx¨ = vT + f r (1.8.8) { } (" mg # ) lassen sich schließlich als Produkte darstellen, δϕ m`2ϕ¨ + mg` sin ϕ + 0 = 0, 2 ϕ˙ m` ϕ¨ + mg` sin ϕ + 0 = 0, (1.8.9) woraus fur¨ beliebige Variationen δϕ beziehungsweise beliebige Geschwindigkeiten ϕ˙ das Ver- schwinden der geschweiften Klammer folgt. Dies fuhrt¨ dann auf die Bewegungsgleichung.

Beispiel:

Die unterschiedliche Art und Weise der Herleitung von Bewegungsgleichungen l¨aßt sich sehr sch¨on beim Doppelpendel nach Bild (1.8.1) darlegen.

- x

ϕ1 3 l ?g

ϕ2 l

Abbildung 1.8.1: Doppelpendel mit Bezeichnungen

Nach dem d’Alembertschen Prinzip werden zun¨achst die Bewegungsgleichungen fur¨ jede Punktmasse formuliert, wobei die Reaktionskr¨afte in den starren Stangen nur pauschal notiert werden.

.. 0 m x = + s , 1 mg 1 .. 0 m x = + s , (1.8.10) 2 mg 2 Die Ortsvektoren werden sogleich als Funktion der generalisierten Koordinaten formuliert, sin ϕ s x = ` 1 = ` 1 , 1 cos ϕ c 1 1 sin ϕ s x = x + ` 2 = x + ` 2 . (1.8.11) 2 1 cos ϕ 1 c 2 2 18 1. PRINZIPE UND SATZE¨ DER DYNAMIK

und diﬀerenziert beziehungsweise variiert:

c δx = ` 1 δϕ , 1 s 1 − 1 c δx = δx + ` 2 δϕ . (1.8.12) 2 1 s 2 − 2 Die Zusammenfassung beider Gleichungen zu einer Matrizengleichung enthält die sogenannte Jaco- bimatrix J. Sie vermittelt den Zusammenhang zwischen den Vektoren x1, x2 und den tatsächlichen Bewegungsmöglichkeiten, dargestellt durch die zwei Freiheitsgrade ϕ1, ϕ2.

c1 0 x1 s1 0 δϕ1 δ = `  −  . x c c δϕ 2 1 2 2  s s   − 1 − 2  Kurz δx = Jδϕ, J = ∂x/∂ ϕ. (1.8.13)

Faßt man die Bewegungsgleichungen (1.8.10) und die Reduktion auf die tats¨achlichen Freiheitsgrade ϕ in (1.8.11) ebenso zusammen,

s1 .. c1 m x= f e + f r, x = `   , (1.8.14) s1 + s2    c1 + c2    und multipliziert dies von links mit δxT , so verschwinden die Reaktionen und es entsteht eine Zwi- schenform, ...... 2 2c1 s1 2s1 c1 +c1 s2 s1 c2 2s1 m` .. − .. .. − .. = mg` − , (1.8.15) c s + s s c + c s 2 1 2 − 2 1 2 − 2 die schließlich durc h zweifac hesAbleiten der trigonometrischen Funktionen, • ...... 2 s = ϕ c = ϕ c ϕ s , i i i i i − i i • .. . .. . 2 c = ϕ s = ϕ s ϕ c , (1.8.16) i − i i − i i − i i Ordnen und Tilgung gewisser Terme,

2c (ϕ¨ c ϕ˙ 2s ) 2s ( ϕ¨ s ϕ˙ 2 c ) 1 1 1 − 1 1 − 1 − 1 1 − 1 1 +c (ϕ¨ c ϕ˙ 2s ) s ( ϕ¨ s ϕ˙ 2c )  1 −−−2 2 − 2 2 − 1 −−−−2 2 − 2 2  g 2s1  − − − − − − − − − − − − − − − − −  = − . (1.8.17)  c (ϕ¨ c ϕ˙ 2s + ϕ¨ c ϕ˙ 2s )  ` s2  2 ∼∼∼1 1 ...1 1 ,,,,2 2 2 2  −  − −   s ( ϕ¨ s ϕ˙ 2 c ϕ¨ s ϕ˙ 2c )   2 ∼∼∼1 1 ...1 1 ,,,,2 2 2 2   − − − − −    zu einer vorletzten Form vereinfacht werden kann.

2 2 2 2ϕ¨1(c1 + s1) + −−−ϕ¨2 (c1c2 + s1s2) + ϕ˙ 2(s1c2 s2c1) g 2s − = − 1 . (1.8.18)  ϕ¨ (c c + s s ) + ϕ¨ (c2 + s2) + ϕ˙ 2(s c c s )  ` s ∼∼∼1 1 2 1 2 ,,,,2 2 2 ...1 2 1 − 2 1 − 2   Hier lohnt das Einbringen bekannter trigonometrischer Beziehungen und es bleibt schließlich eine ver- bluﬀend¨ einfache Form der endgultigen¨ Bewegungsgleichung, die hier eine Massenmatrix als Funktion der Freiheitsgrade ϕ selbst enth¨alt.

2 2 cos(ϕ1 ϕ2) ϕ˙ 2 g 2 sin ϕ1 − ϕ¨ + sin(ϕ1 ϕ2) = − . (1.8.19) cos(ϕ ϕ ) 1 − ϕ˙ 2 ` sin ϕ 1 − 2 − 1 − 2 1.9 Integraltransformationen 19

Der Weg ub¨ er die Lagrangeschen Gleichungen 2. Art wird hier im Telegrammstil referiert:

Grundgleichung:

• grad T grad T + grad U = 0. q˙ − q q c c x˙ = `ϕ˙ 1 , x˙ = x˙ + `ϕ˙ 2 . (1.8.20) 1 1 s 2 1 2 s − 1 − 2 kinetische Energie: • m T = T + T = (x˙ 2 + x˙ 2). (1.8.21) 1 2 2 1 2 Ausmultiplizieren, Ordnen, Additionstheoreme:

m`2 T = 2ϕ˙ 2 + ϕ˙ 2 + 2ϕ˙ ϕ˙ cos(ϕ ϕ ) . (1.8.22) 2 1 2 1 2 1 − 2 Potential mit beliebigem konstanten Anteil c∗: • ∗ U = mg`(3 2c c ) + c . (1.8.23) − 1 − 2 Gradientenbildung:

2ϕ˙ + ϕ˙ cos(ϕ ϕ ) grad T = m`2 1 2 1 − 2 , (1.8.24) ϕ˙ ϕ˙ + ϕ˙ cos(ϕ ϕ ) 2 1 1 − 2

2s grad U = mg` 1 , (1.8.25) ϕ s 2

ϕ˙ ϕ˙ grad T = m`2 − 1 2 sin(ϕ ϕ ). (1.8.26) ϕ +ϕ˙ ϕ˙ 1 − 2 1 2 Ableiten: • 2 2 cos(ϕ1 ϕ2) 2 ϕ˙ 2(ϕ˙ 2 ϕ˙ 1) grad T = m` − ϕ¨ + m` sin(ϕ1 ϕ2) − . ϕ˙ cos(ϕ ϕ ) 1 − ϕ˙ (ϕ˙ ϕ˙ ) 1 − 2 1 2 − 1 (1.8.27)

Einfugen¨ aller Anteile in die Grundform der Lagrangeschen Gleichung 2. Art gibt in der Tat die schon vorher erarbeitete Bewegungsgleichung.

1.9 Integraltransformationen

Die Integraltransformationen beruhen auf einer Projektion der Problemformulierung (Bewe- gungsgleichung) in einen L¨osungsraum, welcher dem Problem verwandt ist. Im Fall eines viskoelastischen Systems

du˙ + ku = 0 (1.9.1) 20 1. PRINZIPE UND SATZE¨ DER DYNAMIK

ist die angepaßte L¨osung

zt k u(t) = u e− , z = (1.9.2) 0 d eine Exponentialfunktion. Eine Projektion der Bewegungsgleichung (1.9.1) in den L¨osungs- ” raum“ (1.9.2), realisiert durch eine Integraldarstellung,

∞ zt (du˙ + ku)e− dt = 0, (1.9.3) Zt=0 Ub¨ erfuhrt¨ die Problemformulierung (1.9.1) im Zeitbereich in eine korrespondierende Formu- lierung im Spektralbereich (man sagt auch Frequenzbereich) mit einem Parameter z (oft wird auch ein anderer Buchstabe benutzt).

1.9.1 Laplace5-Transformation

Durch die Abbildung

∞ zt L[u(t)] = L(z) = u(t) e− dt , Z t=0 (1.9.4) Laplace-Transformation, z C|

wird die Laplace-Transformation deﬁniert. Ableitungen im Integranden werden dadurch zu algebraischen Funktionen in z.

∞ zt zt ∞ ∞ zt u˙ e− dt = u e− + z ue− = u0 + zL(z). t=0 t=0 0 − Z h i Z ∞ zt 2 u¨ e− dt = u˙ zu + z L(z). (1.9.5) − 0 − 0 Zt=0 Die Ausfuhrung¨ der Integration (1.9.3) der Diﬀerentialgleichung mit Hilfe von (1.9.5) ergibt eine Gleichung

(dz + k)L(z) = du0 (1.9.6)

zur Berechnung von L(z); das ist die Darstellung

u0 L(z) = k (1.9.7) z + d der L¨osung im Frequenzbereich. Das selbe Ergebnis folgt aus der direkten Laplace-Transfor- mation der L¨osung in (1.9.2):

k t u(t) = u0 e− d ,

∞ k u0 k ∞ d t zt L[u(t)] = u0 e− e− dt = k− exp + z t , (1.9.8) t=0 + z − d Z d t=0 u0 L(z) = . k d + z Verfugt¨ man also ub¨ er eine Sammlung von Paaren [u(t), L(z)], so kann man von einer bekannten Laplace-Transformierten L(z) auf die korrespondierende Funktion u(t) im Zeitbereich

5Pierre-Simon Laplace (1749-1827); einer der bedeutendsten franz¨osischen Mathematiker 1.9 Integraltransformationen 21 schließen. Die Ruc¨ ktransformation vom Frequenz- in den Zeitbereich nennt man auch inverse Transformation; zum Beispiel

u0 k 1 d t L− k = u0 e− ; ( d + z )

1 1 at allgemeiner L− = e− . (1.9.9) a + z

f(t) L[f(t)] = L(z)

∞ zt f(t) L(z) = f(t)e− dt t=0 1 Z f(t) = L− [f(z)] f(z) 1 1 z t 1 z2 tn, nIN n! zn+1 at 1 e z a − δ(t t ); δ(t) e zt0 ; e0 = 1 − 0 − sin at a z2 + a2 cos at z z2 + a2 f˙(t) zL f(o) − f¨(t) z2L f˙(o) z f(o) − − t L[f(u)] f(u)du z 0 t Z f (u)f (t u)du L[f ] L[f ] 1 2 − 1 · 2 Z 0 af1(t) + bf2(t) aL[f1] + bL[f2] 1 J0(at) z2 + a2 (Bessel6-Funktion 1. Art, nullter Ordnung) q

Tabelle 1.9.1: Laplace-Korrespondenz zwischen Funktionen im Zeitbereich (t) und im Frequenzbe- reich(z).

Anmerkung: Die Korrespondenzen

du˙ + ku = δ(t), ∞ δ(t)dt = 1, Z0 u0 = 0 L(dz + k) = 1 (1.9.10) → 22 1. PRINZIPE UND SATZE¨ DER DYNAMIK

und

du˙ + ku = 0, u = 0, 0 6 L(dz + k) = du0 (1.9.11)

zeigen alternative M¨oglichkeiten zur Einbringung einer Kurzzeitbelastung als Einheitsimpuls.

Einheitsimpuls I=1. ! 1 a) du0 = 1 u0 = d . → (1.9.12) b) F h =! 1 F = 1 . → h h: Kurzzeitintervall mit konstanter Kraft F [Newton].

Fur¨ den Fall eines Ein-Massen-Schwingers

mu¨ + du˙ + ku = δ(t)

mit Belastung durch einen Einheitsimpuls gelten ¨ahnliche Zusammenh¨ange:

Entweder:

mu¨ + du˙ + ku = δ(t), u0 = 0, u˙ 0 = 0 L(mz2 + dz + k) = m(u˙ + zu ) + du +1 (1.9.13) → 0 0 0 Null oder | {z }

mu¨ + du˙ + ku = 0, u = 0, u˙ = 0 0 0 6 L(mz2 + dz + k) = mu˙ + u (zm + d) (1.9.14) → 0 0 Null | {z } Einheitsimpuls I=1. ! 1 a) mu˙ 0 = 1 u˙ 0 = m . (1.9.15) ! → b) F h = 1 F = 1 . → h

1.9.2 Fourier7-Transformation

Eine weitere h¨auﬁg benutzte Integraltransformation ist die

Fourier-Transformation + ∞ ist (1.9.16) F [u(t)] = F (s) = u(t)e− dt; s IR t= Z −∞ Anhand eines Beispiels

√t2 ∞ √t2 ist u(t) = e− , F = e− e− dt Z−∞ 6Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846); deutscher Mathematiker und Astronom. 7Joseph Fourier (1768-1839); franz¨osischer Mathematiker. 1.9 Integraltransformationen 23 wird die Transformation durchgefuhrt.¨ 0 t ist ∞ t ist F = e e− dt + e− e− dt 0 Z−∞ Z 0 1 t(1 is) 1 t(1+is) ∞ = e − + e− 1 is t= 1 is t=0 − −∞ − − 1 1 2 = + = . 1 is 1 + is 1 + s2 − Die inverse Fouriertransformation

1 1 ∞ +ist (1.9.17) F − [F (s)] = 2π F (s)e ds = F (t) s= Z −∞ reproduziert die Originalfunktion F (t) = u(t):

1 1 ∞ 2 ist F − [F (s)] = e ds 2π 1 + s2 Z−∞ 1 1 = 2 ∞ cos st ds π 1 + s2 Z0 t = e−| |.

Bei der eigenen Herleitung von integraltransformierten Funktionen ist größte Sorgfalt gebo- ten; das Arbeiten mit Grenzwerten und komplexen Variablen erfordert einige Erfahrungen. Die numerische Berechnung der inversen Integraltransformationen erfolgt am besten durch Gauß-Integration und fur¨ eine Folge diskreter Variablenwerte. Hat man wie beim Ausbrei- tungsproblem des Dehnstabes die Darstellung im Frequenzbereich bereits ermittelt, 1 F (s) = F (η) = , 1 η2 − so beginnt die Darstellungp der Lösung F (t) = u(t) im Zeitbereich 1 1 u(t) = ∞ eiηtdη 2π η= 1 η2 Z −∞ − zunächst mit Symmetriebpetrachtungen; gerade-ungerade Funktion? Von mechanischem In- teresse ist lediglich eine reelle Lösung u(t); damit verbleibt 1 1 u(t) = 2 ∞ cos ηt dη, η2 1. 2π η=0 1 η2 ≤ Z − 1 1 1 = p cos ηt dη. π 0 1 η2 Z − 1 1 1 1 π 1 u(t = 0) = p dη = = . π η=0 1 η2 π 2 2 Z − 1 1 1 u(t = tˆ) = p cos ηtˆdη. π 0 1 η2 Z − Die Besselfunktion 1. Art undp 0. Ordnung kann integral formuliert werden, 1 2 2 1 J = (1 t )− 2 cos(zt)dt, 0 π − Z0 wie in Handbuc¨ hern nachzulesen ist; z.B. in: 24 1. PRINZIPE UND SATZE¨ DER DYNAMIK

- Abramowitz, Milton, Stegun, Irene: Handbook of Mathematical Functions. Verlag Harri Deutsch (1984)

1 dort speziell S. 104, Gleichung 9.1.20 mit ν = 0 und Γ 2 = √π. 1 Die Diskrepanz zwischen J0(t = 0) = 1 und u(t = 0) = 2 folgt aus der Normierung, hier 2π, der inversen Fouriertransformation. In der Literatur existieren dafur¨ unterschiedliche Versio- nen. Kapitel 2

Das Beispiel einer Windkraftanlage

Die Wirksamkeit der vorstehend geschilderten Sätze der Dynamik wird nachfolgend an einem nicht trivialen technischen System demonstriert. Als wesentlich erweist sich dabei eine geeignete Beschreibung der Kinematik und eine sorgfältige Unterscheidung zwischen der Va- riation δx des Ortsvektors x und dem Differential dx zum Beispiel als Geschwindigkeitsvektor x˙ = dx/dt.

2.1 Aufgabenstellung

Gegeben ist das Modell einer Windkraftanlage. Fur¨ eine Drehung ϕ3 = Ωt der Rotorachse mit konstanter Drehgeschwindigkeit Ω ist die Bewegungsgleichung des Systems aufzustellen. Freiheitsgrade sind die elastisch gebundenen Neigungen α1 um die Hochachse a1 und α2 um die horizontale Achse a2. Gesucht ist die Bewegungsgleichung. Die Drehung α nennt man auch Wenden“, die Drehung α Nicken“. Die Winkel α , α 1 ” 2 ” 1 2 werden, weil elastisch gebunden, als klein unterstellt, sin α α. Die Nutzdrehung“ ϕ = Ωt ∼ ” 3 nimmt beliebige Werte an. Hier sollen insbesondere die Beitr¨age des Flugels¨ und der Drehfe- dern CW und CN zur Bewegungsgleichung dargestellt werden. Der Flugel¨ soll der Einfachheit halber durch eine starre Stange der L¨ange f und der Masse mF = ρAf beschrieben werden.

2.2 L¨osung

Als Ausgangspunkt soll das d’Alembertsche Prinzip (Prinzip der virtuellen Arbeiten) benutzt werden:

δxT x¨dm δxT Q + δU = 0. (2.2.1) − Z Z Z

Ergebnis der Analyse wird die Bewegungsgleichung des Systems sein, die dann anschließend durch geeignete Methoden zu lösen sein wird. Mit x wird der Ortsvektor von einem beliebigen Festpunkt (hier 0) zu einem beliebigen Massenpunkt dm im Flugelpunkt¨ P beschrieben. Virtuelle Verschiebung δu und δx, beziehungsweise u¨ und x¨ sind jeweils identisch. u und x unterscheiden sich nur durch fest vorgegebene Größen, die beim Differenzieren und Variieren ohnehin verschwinden. 26 2. DAS BEISPIEL EINER WINDKRAFTANLAGE

a1 6

a2 k

0 + P a3 CN M = ξ ϕ3

M CW

f 2 3

W +

Abbildung 2.1.1: Schematische Darstellung der Anlage mit entsprechender Bezeichnung

Der Schlussel¨ fur¨ eine erfolgreiche und durchschaubare Systemanalyse liegt in der ge- eigneten Kinematik; dazu geh¨ort auch die Wahl von Bezugsbasen. Relativ zur raumfesten Bezugsbasis E,

E = e1 e2 e3 , d E = 0, (2.2.2) h i bewegt sich die fest mit der Gondel verbundene Basis A. Fur¨ kleine Neigungen α1, α2 l¨aßt sich die Ver¨anderung dA der Basis A gegenub¨ er E ub¨ er das Kreuzprodukt mit dem Winkelvektor α formulieren. 0 α α 0 0 α − 3 2 2 dA = Aα˜, α˜ = α 0 α = 0 0 α . (2.2.3)  3 − 1   − 1  α2 α1 0 α2 α1 0  −   −  Der Ortsvektor x von Onach P,   

x = ξ cos ϕa1 + ξ sin ϕa2 + ga3, (2.2.4) läßt sich als Produkt von drei fur¨ die Kinematik wesentlichen Anteilen aufspalten. cos ϕ sin ϕ 0 ξ − x = a1 a2 a3  sin ϕ cos ϕ 0   0  = AFr. (2.2.5) h i 0 0 1 g         Die Basis F beschreibt die Relativdrehung des Flugels¨ gegenub¨ er der Gondelbasis A; A und F sind beide zeitveränderlich. Die Koordinatenspalte r enthält zeitunveränderliche Größen. Die Variation δx betrifft alle Größen, die noch frei sind. δF ist Null, da die Nutzdrehung ϕ = Ωt als vorgegeben zu betrachten ist.

δx = δAFr = Aδα˜Fr. (2.2.6) 2.2 L¨osung 27

Bei der zeitlichen Ableitung hingegen ist die Zeitabh¨angigkeit der Nutzdrehung zu beachten.

x˙ = AF˙ r + AFr˙ . (2.2.7)

Die Ableitung F˙ l¨aßt sich im Detail ausrechnen,

cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 d − − − F˙ = sin ϕ cos ϕ 0 = cos ϕ sin ϕ 0 Ω, (2.2.8) dt    −  0 0 1 0 0 0         kann aber auch mit einer schiefsymmetrischen Drehmatrix G3 formuliert werden,

0 1 0 ˙ − F = FΩ  1 0 0  = FΩG3, (2.2.9) 0 0 0     und ordnet sich somit vollkommen der allgemeinen Formel (2.2.3) unter. Mit A˙ = A α˜˙ nach (2.2.3) und F˙ nach (2.2.9) erh¨alt man den Geschwindigkeitsvektor,

x˙ = A α˜˙ F + FG3Ω r (2.2.10) und weiter die Beschleunigung zun¨achst als Ableitung von (2.2.7):

x¨ = AF¨ r + 2A˙ Fr˙ + AFr¨ . (2.2.11)

Mit A˙ = Aα˜˙ gilt

A¨ = A˙ α˜˙ + Aα¨˜ = Aα˜˙ α˜˙ + Aα¨˜, wobei der unterstrichene quadratische Teil im Rahmen einer Linearisierung unterdruc¨ kt wird:

A¨ = Aα.¨˜ (2.2.12)

Mit F˙ = FΩG3 aus (2.2.9) und Ω˙ = 0 gilt

¨ ˙ ˙ 2 2 F = FΩG3 + FΩG3 = FΩ G3, 1 0 0 G2 = 0 1 0 . (2.2.13) 3 −   0 0 0     Mit (2.2.12) und (2.2.13) kann jetzt der Beschleunigungsvektor bezuglic¨ h der gondelfesten Basis A angeschrieben werden:

˜ ˜ 2 2 x¨ = A α¨F + 2α˙ FG3Ω + FΩ G3 r.

cos ϕ sin ϕ 0 α1 0 0 α2 − F = sin ϕ cos ϕ 0 , α = α , α˜ = 0 0 α ,    2   − 1  0 0 1 0 α2 α1 0      −   0 1 0  1 0 0   − G = 1 0 0 , G2 = 0 1 0 . (2.2.14) 3   3 −   0 0 0 0 0 0         28 2. DAS BEISPIEL EINER WINDKRAFTANLAGE

Die Darstellung der virtuellen Arbeit δWT der Massenbeschleunigungen (sie ergab sich bekanntlich aus der Variation der kinetischen Energie und anschließender partieller Zeitintegra- tion),

T δWT = (δx) x¨ ρAdξ, (2.2.15) Z wird erleichtert durch ein Herausziehen des Faktors δ α˜ in (2.2.6) nach rechts. δx = Aδα˜Fr = A(Fr)δα. (2.2.16) − Fur¨ die schiefsymmetrische Darstellung eines Produktes Br mit einer Orthonormalbasis f B, BT B = BBT = 1 gilt (Br) = B˜rBT . (2.2.17)

Probe:f Das Vektorprodukt u v zweier Vektoren u~ und ~v , deren Koordinatendarstellungen u~ = Bu , ~v = × B Bv bezuglic¨ h einer gemeinsamen Basis B gegeben sind, berechnet sich zu ~u ~v = B(u v ) = B × B × B Bu˜B vB.

Mit Hilfe der Formel (2.2.17) kommt man ub¨ er ~u ~v = (Bu )Bv = (Bu˜ BT )B v = Bu˜ v × B B B B B B 1 g zum selben Resultat, falls nur B Orthonormalbasis| {z } ist. Ende der Probe.

Mit (2.2.17) l¨aßt sich δx in (2.2.16) als δx = AF˜rFT δα, − δxT = δαT F˜rT FT AT = +δαT F˜rFT AT , (2.2.18) − darstellen und die virtuelle Arbeit δWT weiterfuhren.¨ 1.T eil 2.T eil 3.T eil +f/2 T T T ˜ ˜ 2 2 δWT = δα F ˜rF A A ( α¨F + 2α˙ FG3Ω + FΩ G3)rρAdξ. (2.2.19) f/2 Z− 1 z}|{ z }| { z }| { Die Einzelauswertung wird fur¨ jeden| {z } der 3 Teile in (2.2.19) separat vorgefuhrt.¨ 1 T T ˜ dWT = δα F ˜r F α¨F rρAdξ. (2.2.20) Z (2.2.17):(FT α¨) | {z } = δαT F ˜r( ˜r)FT α¨gρAdξ − Z f/2 1 T T T δWT = δα F ˜r˜r dξ F ρAα¨. (2.2.21) f/2 (Z− ) Mit ξ 0 g 0 − f/2 r =  0  , ˜r =  g 0 ξ  , ξdξ = 0, − f/2 g 0 ξ 0 Z−     f/2     2 1 3 ξ dξ = f , mF = ρAf (2.2.22) f/2 12 Z− 2.2 L¨osung 29

1 wird δWT zu einer typischen Bilinearform.

1 T δWT = δα J1α¨, 2 s2f 2 f 2 g + 12 cs 12 0 2 − 2 2 J = m f 2 c f , 1 F  sc 12 g + 12 0  − 2 0 0 f  12   1 1 s2 = sin2 ϕ = (1 cos 2ϕ), c2 = (1 + cos 2ϕ), 2 − 2 1 cs = sin 2ϕ. c = cos ϕ, s = sin ϕ. 2 g2 2 24 f 2 + 1 cos 2ϕ sin 2ϕ 0 mF f − g2 − J1 = sin 2ϕ 24 + 1 + cos 2ϕ 0 . (2.2.23) 24  − f 2  0 0 2    

Der 2. Arbeitsanteil wird ohne weiteren Kommentar ausgewertet:

(2) T T ˜ δWT = δα F ˜r F 2α˙ F G3ΩrρAdξ Z (2.2.17):(KT 2α˙ ) | {z } = δαT F ˜r(G r)( FgT 2α˙ )ΩρAdξ, 3 − Z 0 1 0 ξ 0 − g G3r =  1 0 0   0  =  ξ  , 0 0 0 g 0        0 0 1   (G3r) = ξG2 = ξ  0 0 0  , 1 0 0 g  −  0 g 0  0 0 0 − ˜r(G3r) = g 0 ξ ξG2 = ξ ξ 0 g ,  −    0 ξ 0 0 0 0     g     +f/2 2 0 0 0 mF f I2 = ˜r(G3r)dξρA =  1 0 0  , f/2 12 Z− 0 0 0 g   δW (2) = δαT FI FT 2Ωα˙   T − 2 sin 2ϕ 1 + cos 2ϕ 0 m f 2 − − J = FI FT = F 1 + cos 2ϕ sin 2ϕ 0 , 2 2 24   0 0 0   δW (2) = 2Ω δαT J α˙ .   (2.2.24) T − 2 30 2. DAS BEISPIEL EINER WINDKRAFTANLAGE

Der 3. Arbeitsanteil der Massenbeschleunigung ergibt sich zu Null. +f/2 (3) T T 2 2 δWT = δα F ˜r F F G3 r Ω ρAdξ, f/2 Z− 1 1 0 0 | {zξ} ξ G2r = 0 1 0 0 = 0 , 3 −     −   0 0 0 g 0        0 g 0 ξ  0 − ˜r(G2r) = g 0 ξ 0 = 1 ( ξg), 3 −  −      − 0 ξ 0 0 0          +f/2   (3) T 2 δWT = δα FΩ ρA( g)e2 ξdξ = 0. (2.2.25) − f/2 Z− Das elastische Potential der Drehfedern stellt sich als quadratische Form der Winkel α1, α2 dar: C 0 0 1 W 1 U = αT 0 C 0 α = αT Kα. 2  N  2 0 0 0   δU = δαT Kα.  (2.2.26)

Zusammenfassend fuhrt¨ das d’Alembertsche Prinzip in der Zwischenform (2.2.1) hier mit den Anteilen

δ U + (x¨dm)T δx = 0 (2.2.27) Z Z nur des Flugels¨ und der Drehfedern auf eine Darstellung δαT J α¨ 2Ω J α˙ + Kα = 0, (2.2.28) { 1 − 2 } die bei beliebigen Variationen δα nur durch eine identisch verschwindende geschweifte Klam- mer zu erfullen¨ ist; das ist die gesuchte Bewegungsgleichung.

J1α¨ 2Ω J2α˙ + Kα = 0. − g2 2 24 f 2 + 1 cos 2ϕ sin 2ϕ 0 mF f − g2 − J1 = sin 2ϕ 24 + 1 + cos 2ϕ 0 24  − f 2  0 0 2     sin 2ϕ 1 + cos 2ϕ 0 m f 2 − − J = F 1 + cos 2ϕ sin 2ϕ 0 , ϕ = Ωt. (2.2.29) 2 24   0 0 0    2  Die 3. skalare Gleichung mF f /12 α¨3 = 0 in (2.2.29) besagt, daß α˙ 3, also die Winkelgeschwin- digkeit um die a3-Achse, konstant ist. Das entspricht genau der Eingangsvoraussetzung einer konstanten Flugeldreh¨ ung mit α˙ 3 = Ω = const. Dies ist eine lineare Differentialgleichung mit periodischen Koeffizienten; sie wird auch Hill’sche Differentialgleichung genannt. Die Stabilität der Lösungen α(t) ist insbesondere eine Funktion der Drehgeschwindigkeit Ω : α = α(t, Ω). Die numerische Lösung ist relativ aufwendig und gelingt mit Hilfe der Verfahren von Hill oder Floquet; dies gehört zum Problemkreis dynamische Stabilität“ und ” ist in Kapitel 3 ausfuhrlic¨ h beschrieben. Kapitel 3

Dynamische Stabilit¨at

Die statischen Stabilitätsprobleme Knicken“, Beulen“, Biegedrillknicken“, Kippen“ und ” ” ” ” so weiter, setzen zeitlich unveränderliche Lasten voraus. Sind die fur¨ das Systemversagen verantwortlichen Lasten zeitlich veränderlich in Form harmonischer Funktionen, also F (t) = F0 cos Ωt oder F (t) = F0 sin Ωt, so ist das Versagen sowohl von der Kraftamplitude F0 als auch von der Erregerfrequenz abhängig und man spricht von kinetischer Stabilität“oder auch ” dynamischer Stabilität“. ”

3.1 Vorbetrachtungen

Bei zeitveränderlichen Belastung wird auch die Massenträgheit der Struktur aktiviert, so daß die Bewegungsgleichung eines diskretisierten Systems drei wesentliche Anteile enthält: Massenmatrix M, die ublic¨ he statische Steifigkeitsmatrix K und eine Stabilitätsmatrix“ S ” mit F0 cos Ωt als möglichen Vorfaktor.

Mu¨ + Ku F cos ΩtSu = 0. (3.1.1) − 0 Die Spalte u(t) enthält die Freiheitsgrade. Bei zunächst kontinuierlichen Systemen entstehen die Matrizen M, K, S aus typischen quadratischen Funktionalanteilen; zum Beispiel fur¨ den Biegebalken: 1 M ρAw2dx. ↔ 2 Z 1 2 1 2 K EIw00 dx oder EIϕ0 dx. ↔ 2 2 Z Z 1 2 S EIw0 dx. (3.1.2) ↔ 2 Z In der Sprache der Mathematik ist (3.1.1) ein System linearer Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten. Die Lösung u(t) zeichnet sich dadurch aus, daß sie sich im Rhythmus einer typischen Zeitspanne T wiederholt, die durch die Erregerfrequenz festgelegt wird.

u(t + kT ) = u(t), k N, T = 2π/Ω. (3.1.3) ∈ Gesucht ist die Lösung u(t) und dabei insbesondere deren Stabilität; also die Frage, ob die Lösung mit zunehmender Zeit ub¨ er jedes Maß hinauswächst (instabil) oder nicht. 32 3. DYNAMISCHE STABILITAT¨

3.2 Das Verfahren von Hill1

Ein erster Lösungsweg nach Hill beschreibt die Lösung u(t) als Summe harmonischer Funk- tionen mit Vielfachen von (Ω/2), multipliziert mit der Exponentialfunktion, welche den fur¨ die Stabilität entscheidenden Parameter λ enthält.

u(t) = x(t)eλt, Ω Ω Ω x(t) = a + a cos t + a cos 2 t + a cos 3 t . . . 0 1 2 2 2 3 2 Ω Ω Ω + b sin t + b sin 2 t + b sin 3 t + . . . . (3.2.1) 1 2 2 2 3 2

Diese Lösung (falls sie tatsächlich die Differentialgleichung (3.1.1) zu lösen gestattet) ist dann stabil, falls der komplexe Exponent λ negativen Realteil besitzt:

Stabilit¨at fur¨ α 0 mit λ = α + iβ. ≤

Der Ansatz (3.2.1) mit Vielfachen der halben Erregerfrequenz Ω erklärt sich zum Beispiel aus dem Wechselspiel zwischen der aufgeprägten Längsverschiebung u cosΩt am Krafteinlei- E ∼ tungspunkt E in Bild 3.2.1 und der dadurch eventuell initiierten Querverschiebung w(x, t).

u F0 cos Ωt - l

- ? w uE

Abbildung 3.2.1: Knickstab mit harmonischer Axialkraft

Fur¨ einen Balken mit dehnstarrer Mittellinie, das heißt ds = dx (die Verkurzung¨ uE ergibt sich nur aufgrund der Durchsenkung w(x), es erfolgt keine Verzerrung in Richtung u), gilt die kinematische Beziehung

! ds2 = (dx + du)2 + (dw)2 = dx2, (3.2.2)

abzulesen aus Bild 3.2.2 an einem inﬁnitesimalen Element der L¨ange dx.

w w u duu ?

ds = dx ?dw

Abbildung 3.2.2: Kinematik am inﬁnitesimalen Element dx.

1George William Hill (1838-1914), amerikanischer Mathematiker und Astronom. 3.2 Das Verfahren von Hill 33

Aus (3.2.2) folgt bei Vernachl¨assigung des quadratischen Terms von du die einfache Beziehung

1 2 du = w0 dx −2 ` 1 2 u (t) = w0(x, t) dx (3.2.3) E −2 Z 0 zwischen Quer- und L¨angsverschiebung. Ist uE(t) harmonisch mit Ω, resultiert daraus nach (3.2.3) fur¨ w(t) ein harmonisches Zeitverhalten mit Ω/2.

Ω u (t) exp(iΩt) w(t) exp(i t) mit E ∼ → ∼ 2 w2 exp(iΩt). ∼ Die folgende Ableitung ist so konzipiert, daß die Diﬀerentialgleichung mit periodischen Koeﬃzienten (3.1.1) verallgemeinert wird.

Au¨ + Bu˙ + Cu = 0, (3.2.4)

A = A0 + Ac cos Ωt + As sin Ωt,

B = B0 + Bc cos Ωt + Bs sin Ωt,

C = C0 + Cc cos Ωt + Cs sin Ωt,

und die L¨osungsmenge beschr¨ankt wird: Ω Ω x(t) = a + a cos t + b sin t. (3.2.5) 0 1 2 1 2 Mit den Ableitungen

u˙ = (x˙ + λx)eλt, u¨ = (x¨ + 2λx˙ + λ2x)eλt , (3.2.6) und den Additionstheoremen Ω 1 Ω Ω cos Ωt cos t = cos t + cos 3 t , 2 2 2 2 Ω 1 Ω Ω cos Ωt sin t = sin 3 t sin t , 2 2 2 − 2 Ω 1 Ω Ω sin Ωt cos t = sin 3 t + sin t , 2 2 2 2 Ω 1 Ω Ω sin Ωt sin t = cos t cos 3 t (3.2.7) 2 2 2 − 2 erhält man nach Einsetzen in (3.2.4) 3 Gleichungsblöcke fur¨ a0, a1, b1; diese Blöcke entstehen Ω aus 3 Koeffizientenvergleichen: fur¨ die zeitkonstanten Anteile, die Anteile mit Faktor cos 2 t Ω Ω Ω und mit Faktor sin 2 t. Weitere Anteile cos3 2 t, sin3 2 t bleiben ubrig¨ und signalisieren den Näherungscharakter dieses Vorgehens.

2 (λ A∗ + λB∗ + C∗)c = 0, T T T T c = a0 a1 b1 , (3.2.8) h i 34 3. DYNAMISCHE STABILITAT¨

A0 0 0 B0 0 0 1 1 A∗ =  0 A0 0  , B∗ =  0 2 Bc + B0 2 Bs + ΩA0  , (3.2.9) 1 1 0 0 A0 0 Bs ΩA0 Bc + B0    2 − − 2     

C0 0 0 1 1 1 2 1 1 Ω C∗ =  0 2 Cc + C0 4 ΩBs 4 Ω A0 2 Cs + 4 ΩBc + 2 B0  . (3.2.10) 1 −1 −Ω 1 1 1 2 0 Cs + ΩBc B0 Cc + C0 + ΩBs Ω A0  2 4 − 2 − 2 4 − 4    Das System (3.2.8) ist ein Eigenwertproblem, dessen Eigenwerte λ insgesamt zu berechnen sind, um schließlich ub¨ er Realteile zu verfugen.¨ Der Sonderfall λ = 0 erlaubt die Berechnung der Stabilitätsgrenzen, nicht aber der vollständigen Stabilitätsbereiche.

Ein ub¨ erschaubares Beispiel, der harmonisch axial belastete Euler’sche Knickstab nach Bild (3.2.1), soll mit Hilfe des vorbereiteten Formelsatzes analysiert werden. Gesucht ist das Stabilit¨atsversagen als Funktion der Kraftamplitude F0 und der Erregerfrequenz Ω. Dazu wird die Diﬀerentialgleichung

0000 00 .. EIw + F0cosΩt w + ρA w= 0, w = w(x, t), (3.2.11)

mit Hilfe eines Ansatzes n x w(x, t) = sin kπ f (t) (3.2.12) ` k Xk=1 fur¨ jeden Index k separat im Ortsbereich (x) identisch gelöst, und es verbleibt eine gewöhnliche Differentialgleichung im Zeitbereich (t).

k4π4 F k2π2 .. EI f 0 cos Ωtf + ρA f = 0. (3.2.13) `4 k − `2 k k 2 Division mit ρA erzeugt 2 Faktoren, die als Eigenfrequenz des schwingenden Biegebalkens - ωk - und als relative Euler’sche Knicklast - µ - identifiziert werden können. .. f +ω2(1 2µ cos Ωt)f = 0, k k − k kπ 4 EI F `2 1 ω2 = , µ = 0 . (3.2.14) k ` ρA π2EI 2k2 Im Prinzip entspricht dieser Gleichung (3.2.14) die Ausgangsgleichung (3.1.1) dieses Abschnittes; allerdings ist in (3.2.14) die Anzahl der Freiheitsgrade gleich 1, weil die Lösung fur¨ jeden Index k separat durchgefuhrt¨ werden kann. Im Folgenden wird dieser Index fortgelassen und der beschränkte Ansatz (3.2.5) eingebracht. Der konstante Anteil a0 ist dabei identisch Null. Aus Ωt Ωt f = a cos + b sin (3.2.15) 1 2 1 2 eingesetzt in (3.2.14) mit k = 1 folgt nach Koeffizientenvergleich ein homogenes Gleichungssystem: Ω2 cos-Anteile : + ω2 µω2 a = 0, − 4 − 1 Ω2 sin-Anteile : + ω2 + µω2 b = 0. (3.2.16) − 4 1 Fur¨ nichttriviale Lösungen, das heißt a = 0, b = 0, mussen¨ die runden Klammern in (3.2.16) ver- 1 6 1 6 schwinden, wodurch 2 kritische Erregerfrequenzen bestimmt werden.

Ω1,kritisch = 2ω 1 + µ,

Ω2,kritisch = 2ωp1 µ. (3.2.17) − p 3.2 Das Verfahren von Hill 35

Bei der Auflösung nach (3.2.17) geht man davon aus, daß der Axialkraftparameter µ gegeben ist und der kritische Ω-Wert gesucht wird. Man kann genau so gut Ω vorgeben und die dazugehörigen kritischen µ-Werte angeben. Ω2 Ω2 µ = 1, µ = 1 . (3.2.18) 1,kritisch 4ω2 − 2,kritisch − 4ω2

Eine Rechnung mit dem vollständigen Ansatz aus Gleichung (3.2.1), was den Stabilitätsbereich betrifft, Ω Ω f(t) = a cos t + b sin t eλt, (3.2.19) 1 2 1 2 fuhrt¨ nach einem erneuten Koeffizientenvergleich auf ein homogenes System fur¨ den Eigenwert λ.

2 Ω 2 + ω (1 µ) 0 0 Ω 2 1 0 a1 4 2 − − Ω 2 + λ + λ = 0. (3.2.20) 0 + ω (1 + µ) Ω 0 0 1 b1 (" − 4 # − ) Ω Die Auswertung fur¨ eine Erregerfrequenz 2ω = 1, die zwischen den kritischen Werten fur¨ Ω in (3.2.17) liegt, fuhrt¨ auf eine L¨osungsmenge Ω λ2 = ω2 2 4 + µ2 fr = 1, (3.2.21) − 2ω h p i die einen reellen Anteil mit positivem Vorzeichen enth¨alt:

λ = ω 4 + µ2 2 > 0. (3.2.22) 1 − r hp i Daraus kann man schließen, daß die Grenzwerte in (3.2.17) folgenden Stabilitätsbereich umschließen: Ω 1 µ 1 + µ. (3.2.23) − ≤ 2ω ≤ kritisch p p Fur¨ einen verbesserten Ansatz mit je 3 cos- und sin-Anteilen, Ωt 3Ωt 5Ωt f(t) = a cos + a cos + a cos (3.2.24) 1 2 3 2 5 2 Ωt 3Ωt 5Ωt + b sin + b sin + b sin (3.2.25) 1 2 3 2 5 2 erhält man homogene Systeme, die sich fur¨ die a und b -Koeffizienten nur im 1. Hauptdiagonalele- i− i ment unterscheiden. 2 Ω 1 µ 2 µ 0 4ω 2 − − 9Ω x = a fur¨ (-) Zeichen, µ 1 2 µ x; (3.2.26)  4ω 2  − − −25Ω x = b fr (+) Zeichen. 0 µ 1 2  − − 4ω    Die Ergebnisse aus (3.2.26) oder aus (3.2.17) beziehungsweise (3.2.23) trägt man in Form sogenannter 2 EIπ 1 Stabilitätskarten auf; Bild 3.2.3. Ist die Kraftamplitude F zum Beispiel zu F = 2 vorgegeben, 0 0 ` · 5 das heißt µ = 0.1, dann gibt es 2 recht schmale Instabilitätsbereiche mit Ω Ω 0, 33, 0, 5 (3.2.27) 2ω ≈ 2ω ≈ 1 2 und einen größeren, sogenannten Hauptinstabilitätsbereich Ω 0, 95 1, 05. (3.2.28) ≤ 2ω ≤ 36 3. DYNAMISCHE STABILITAT¨

Abbildung 3.2.3: Stabilit¨atskarte fur¨ Eulerstab

3.3 Das Verfahren von Floquet2

Ein alternatives vollnumerisches Verfahren zur Hill’schen Methode ist das Vorgehen nach Flo- quet. Ausgangspunkt ist dabei ein System 1. Ordnung mit einer T-periodischen Systemmatrix S.

z˙ = S(t)z, S(t + T ) = S(t). (3.3.1)

Der Ub¨ ergang von einem System 2. Ordnung

Au¨ + Bu˙ + Cu = 0 (3.3.2)

zu einem doppelt so großen System 1. Ordnung z˙ = Sz mit

0 1 u S = , z = , (3.3.3) A 1C A 1B v " − − − − # " # wurde schon mehrfach genutzt. Die Idee von Floquet besteht darin, das System (3.3.1) ub¨ er eine vollst¨andige Periode mit 0 t T numerisch zu integrieren. Dazu benutzt man eines der ≤ ≤ bekannten Zeitschrittverfahren; also eine der Pij-Varianten. Man teilt die gesamte Periode in n Zeitschritte h mit T = nh, wie im Bild 3.3.1 skizziert. Pro Zeitschritt mittelt man zum Beispiel die periodisch zeitver¨anderliche Systemmatrix

tj 1 S = S(t)dt, (3.3.4) ij h tZi

2Gaston Floquet (1847-1920), franz¨osischer Mathematiker. 3.3 Das Verfahren von Floquet 37

T global: U¨ z0 = z1 0 - 1

0 1 2 3 4 5 t lokal: - 0 h 2h 3h 4h 5h

T Abbildung 3.3.1: Unterteilung der Periode in 5 Zeitschritte mit h = 5 und berechnet nacheinander die Ub¨ ertragung vom Zeitpunkt i zum Zeitpunkt j; hier speziell fur¨ n = 5:

h 1 S = S(t)dt, (3.3.5) 01 h Z0 1 L z = R z z = U¨ z mit U¨ = L− R , (3.3.6) 01 1 01 0 → 1 01 0 01 01 01

2h 1 S = S(t)dt, (3.3.7) 12 h Zh 1 L z = R z z = U¨ z mit U¨ = L− R (3.3.8) 12 2 12 1 → 2 12 1 12 12 12 und so weiter bis

5h=T 1 S = S(t)dt, (3.3.9) 45 h 4Zh 1 L z = R z z = U¨ z mit U¨ = L− R . (3.3.10) 45 5 45 4 → 5 45 4 45 45 45 Ub¨ er diese Zwischenschritte hinweg l¨aßt sich die Ub¨ ertragung ub¨ er die gesamte Periode darstellen:

z5 = U¨ 45U¨ 34U¨ 23U¨ 12U¨ 01z0. (3.3.11)

Allgemeiner ausgedruc¨ kt:

zn = U¨ ij z0 (3.3.12) n o oder besser Y

z1 = Uz¨ 0. (3.3.13)

Hier erscheint die fur¨ eine Periode typische Ub¨ ertragungsmatrix. Dies ist wieder die bekannte Form einer Diﬀerenzengleichung, die mit Hilfe des Ansatzes

z1 = λz0 (3.3.14) 38 3. DYNAMISCHE STABILITAT¨

gel¨ost wird:

U¨ λ1 z = 0. (3.3.15) − 0 Die in der Regel komplexen Eigenwerte λ, bei n echten Freiheitsgraden sind dies 2n λ-Werte, geben Auskunft ub¨ er die mechanische Stabilit¨at des Systems.

λ = α + iβ; λ 1 : Stabiles Verhalten. | | ≤ (3.3.16) λ > 1 : Instabiles Verhalten. | | Da nur dem betragsgr¨oßten Eigenwert eine entscheidende Bedeutung zukommt, lohnt sich hier der Einsatz eines Vektoriterationsverfahrens. Kapitel 4

Numerische L¨osung im Zeitbereich

4.1 L¨osung mit Ansatzfunktionen

Mit Hilfe der modalen Analyse gelingt eine analytische L¨osung der linearen Bewegungsglei- chung

Mu¨ + Du˙ + Ku = r(t), (4.1.1) wobei der Modalmatrix eine entscheidende Bedeutung zukommt. Fur¨ gedämpfte Schwin- gungssysteme ist das Auftreten komplexer Zahlen in der Regel unvermeidbar; erst im aller- letzten Schritt der Rechnung wird der imaginäre Lösungsanteil, weil physikalisch irrelevant, abgestoßen. Die Lösung nichtlinearer Bewegungsgleichungen mit beliebig nichtlinearen Anteilen n (u(t)), hier als System 1. Ordnung formuliert,

u˙ v = 0, − Mv˙ + Du˙ + Ku = r(t) + n(u), (4.1.2) gelingt in aller Regel nicht mit Hilfe analytischer Funktionen. Stattdessen approximiert man die Lösungen u(t), v(t) durch einfach zu handhabende Ansatzfunktionen; so zum Beispiel durch Polynome mit der Zeit t als unabhängig veränderlicher Größe. In Anbetracht heftig schwankender Zeitverläufe der Lösungen ist es ratsam, den gesamten interessierenden Zeitbe- reich t t nicht durch einen globalen Ansatz vom Anfangspunkt t bis zum Endpunkt A ≤ ≤E A t ub¨ erbruc¨ ken zu wollen. Vielmehr unterteilt man die gesamte Spanne t t in mehrere E E − A Zeitschritte der Länge h und beschränkt sich zum Beispiel auf lineare Ansätze. Es ist bequem, eine lokale Zeit von t0 = 0 bis t1 = h im aktuellen Zeitschritt der Länge h einzufuhren.¨ Die Ansätze werden normiert auf die bekannten Zustandsgrößen u0, v0 am Zeitschrittanfang und auf die gesuchten Zustandsgrößen u1, v1 am Zeitschrittende:

t t u(t) = u 1 + u , 0 − h 1 h t t v(t) = v 1 + v . (4.1.3) 0 − h 1 h 40 4. NUMERISCHE LOSUNG¨ IM ZEITBEREICH

Mit Hilfe dieser linearen Ansätze ist es möglich, das System (4.1.2) von Bewegungsgleichungen - zunächst ohne Nichtlinearitäten n - im Zeitbereich von t = 0 bis t = h zu integrieren. h h (u˙ v) d t = 0 u u (v + v ) = 0. (4.1.4) − → 1 − 0 − 2 0 1 Z0 h (Mv˙ + Du˙ + Ku r) d t = 0. − Z0 h M(v v ) + D(u u ) + K (u + u ) = i . (4.1.5) → 1 − 0 1 − 0 2 0 1 r h ir = r(t) d t. Z0 Die Integration der gegebenen Erregung geschieht entweder analytisch oder numerisch. Die Gleichungssysteme (4.1.4) und (4.1.5) erlauben die Berechnung von 2 Gruppen unbekannter Zustandsgrößen; es sind dies die Parameter u1 und v1 am Zeitschrittende. Ein geordnetes Anschreiben, links die Unbekannten, rechts die Bekannten, erhellt die Struktur des Integra- tionsergebnisses:

1 h 1 u 1 h 1 u 0 − 2 1 = 2 0 + . (4.1.6) h K + D M v D h K M v i " 2 # " 1 # " − 2 # " 0 # " r # Die besonders einfache algebraische Form der oberen Blockgleichung in (4.1.6) erm¨oglicht eine nicht-numerische Elimination zum Beispiel der Spalte v1, 2 v = (u u ) v , (4.1.7) 1 1 − 0 h − 0

wodurch die untere Blockgleichung in (4.1.6) nur noch die Unbekannten u1 enthält. 2 h 2 h M + D + K u = M + D K u + 2 M v + i . (4.1.8) h 2 1 h − 2 0 0 r Fur¨ symmetrische Teilmatrizen M, D, K ist die Koeffizientenmatrix linker Hand in (4.1.8) ebenfalls symmetrisch, was die Lösung ganz wesentlich vereinfacht.

Ein h¨oherer Ansatz anstelle des linearen in (4.1.3) l¨aßt bessere Ergebnisse erwarten; recht einfach auszuwerten ist ein kubischer Ansatz.

u(t) = u0ϕ1(t) + hv0ϕ2(t) + u1ϕ3(t) + hv1ϕ4(t),

Mv(t) = M [v0ϕ1(t) + hv˙ 0ϕ2(t) + v1ϕ3(t) + hv˙ 1ϕ4(t)] . (4.1.9) 2 3 ϕ1(t) 1 3τ + 2τ − 2 3  ϕ2(t)   τ 2τ + τ  t ϕ(t) = = − 2 3 , mit τ = und ϕ3(t) 3τ 2τ h    2− 3   ϕ4(t)   τ + τ     −   6    h h 1 ϕd t =   . (4.1.10) 0 12 6 Z    1   −    Die normierten Ansatzfunktionen ϕ1(t) bis ϕ4(t) sind die bekannten kubischen Hermitepoly- nome, die bei der Formulierung des Weggrößenverfahrens fur¨ die Balkenbiegung ebenfalls eine 4.2 Lösung ub¨ er Exponentialfunktionen 41 wichtige Rolle spielen; dort werden sie allerdings in der Ortsveränderlichen formuliert, hier in der Zeitvariablen. Die Produkte Mv˙ 0 und Mv˙ 1 im Ansatz (4.1.9) fur¨ die Geschwindigkeiten werden durch die untere Bewegungsgleichung in (4.1.2) dargestellt:

Mv˙ = Dv Ku + r , r = r(t ). 0 − 0 − 0 0 0 0 Mv˙ = Dv Ku + r , r = r(t + h). (4.1.11) 1 − 1 − 1 1 1 0 Eine abermalige Integration der Bewegungsgleichungen (4.1.2), vgl. (4.1.5),

h h M u˙ d t = Mv d t → Z0 Z0 h M(u u ) = [6 Mv + h(Mv˙ ) + 6 Mv h(Mv˙ )] ; 1 − 0 12 0 0 1 − 1 h (Mv˙ + Du˙ + Ku) d t = ir, (4.1.12) Z0 mit Mv˙ 0, Mv˙ 1 aus (4.1.11) fuhrt¨ auf ein gekoppeltes Gleichungssystem fur¨ die Unbekannten u1 und v1.

Az1 = Bz0 + R, u 12hi z = , R = r , hv h2(r r ) " # " 0 − 1 # 12hD + 6h2K 12M h2K A = − , 12M h2K 6M hD " − − − # 12hD 6h2K 12M h2K B = − − . (4.1.13) 12M h2K 6M hD " − − # Die Koeffizientenmatrix A in (4.1.13) ist symmetrisch, falls alle 3 Systemmatrizen M, D, K ihrerseits symmetrisch sind, was in der Regel zutrifft. Der Aufwand zur Berechnung des Produktes Bz0 in (4.1.13) läßt sich deutlich reduzieren, falls man z1 ub¨ er den Zuwachs gegenub¨ er z0 darstellt:

u0 z1 = z0 + ∆z mit z0 = " hv0 # 2 12h Ku0 A∆z = (B A)z0 + R, (B A)z0 = − . (4.1.14) → − − " 12hMv0 #

4.2 L¨osung ub¨ er Exponentialfunktionen

Die Formulierung in (4.1.2), ein System von Diﬀerentialgleichungen in der sogenannten Nor- malform,

u˙ 0 1 u 0 = + , v˙ M 1K M 1D v M 1r " # " − − − − # " # " − # kurz z˙ = Sz + ˜r, (4.2.1) 42 4. NUMERISCHE LOSUNG¨ IM ZEITBEREICH

gibt Anlaß zu einer Darstellung der homogenen L¨osung in exponentieller Form.

z(t) = exp(St)z0. mit z0 = z(t0).

z˙(t) = S exp(St)z0 = Sz. (4.2.2)

Fur¨ die numerische Realisierung der exp- Funktion greift man auf die bekannten Reihenent- wicklungen, zum Beispiel nach Taylor, zuruc¨ k. 1 exp(St) = 1 + St + S2t2 + . . . . (4.2.3) 2 Eine andere nach Pad benannte gebrochen rationale Entwicklung ist hier bei Lösung von Zeitproblemen sehr viel geeigneter. Zunächst wird die Pad-Entwicklung einer skalaren exp- Funktion vorgefuhrt.¨ 1 + a t + a t2 + + a tm et 1 2 · · · m = P . (4.2.4) ∼ 1 + b t + + b tn mn 1 · · · n Die Koeffizienten ai, bi folgen aus einem Koeffizientenvergleich mit einer Taylorentwicklung t fur¨ e . Fur¨ die P11- Entwicklung ist die Rechnung im folgenden dargestellt. t2 1 + a t 1 + t + + . . . = 1 = P . 2 1 + b t 11 1 t2 1 + t + + . . . (1 + b t) = 1 + a t. 2 1 1 1 Koeffizienten von t : b1 + 1 = a1. 1 Koeffizienten von t2 : b + = 0. 1 2 1 1 b = . a = + . → 1 −2 1 2 1 1 + 2 t P11 = . (4.2.5) 1 1 t − 2 Durch ähnliche Rechnungen lassen sich weitere Darstellungen finden; die Tabelle (4.2.1) zeigt die Entwicklungen bis m = 2, n = 3.

m = 0 m = 1 m = 2

1 1 + t 1 + t + 1 t2 n=0 2 1 1 1 1 1 + 1 t 1 + 2 t + 1 t2 n=1 2 3 6 1 t 1 1 t 1 1 t − − 2 − 3 1 1 + 1 t 1 + 1 t + 1 t2 n=2 3 2 12 1 t + 1 t2 1 2 t + 1 t2 1 1 t + 1 t2 − 2 − 3 6 − 2 12 1 1 + 1 t 1 + 2 t + 1 t2 n=3 4 5 20 1 t + 1 t2 1 t3 1 3 t + 1 t2 1 t3 1 3 t + 3 t2 1 t3 − 2 − 6 − 4 4 − 24 − 5 20 − 60

t Tabelle 4.2.1: Pmn-Entwicklungen fur¨ e . 4.3 Bewertung der N¨aherungen 43

Die Beschreibung der Lösung (4.2.2) mit Hilfe der P11-Entwicklung fur¨ exp(St), 1 + 1 St exp(St) 2 , (4.2.6) ∼ 1 1 St − 2 erlaubt die Berechnung der Spalte z(t), 1 1 1 St z(t) = 1 + St z . (4.2.7) − 2 2 0 Die Zustandsgrößen z1 am Ende eines Zeitschrittes der Länge h vom Anfangszeitpunkt t0 = 0 aus gemessen können ub¨ er (4.2.7) explizit in den Systemmatrizen M, D, K beschrieben werden.

1 h 1 1 h 1 − 2 z = 2 z . (4.2.8) h M 1K 1 + h M 1D 1 h M 1K 1 h M 1D 0 " 2 − 2 − # " − 2 − − 2 − # 1 Die Inverse, M− , l¨aßt sich durch Multiplikation der unteren Blockzeile mit M von links vollst¨andig beseitigen.

1 h 1 u 1 h 1 u − 2 1 = 2 0 . (4.2.9) h K M + h D v h K M h D v " 2 2 # " 1 # " − 2 − 2 # " 0 # Multipliziert man schließlich noch die erste Blockzeile mit D und addiert das Ergebnis zur unteren Blockzeile (Linearkombinationen sind erlaubt) so erh¨alt man eine Form,

1 h 1 u 1 h 1 u − 2 1 = 2 0 , (4.2.10) h K + D M v D h K M v " 2 # " 1 # " − 2 # " 0 # die exakt mit der Version (4.1.6) ub¨ ereinstimmt. Eine lineare Approximation der Zustands- größen einerseits und eine P11-Padentwicklung andererseits sind offenbar gleichwertig. Auf ähnliche Weise läßt sich zeigen, daß kubische Ansätze und eine P22-Entwicklung zu identi- schen Beziehungen fuhren.¨

4.3 Bewertung der N¨aherungen

Lösungen fur¨ Ingenieurprobleme im Raum werden durch die Randbedingungen wesentlich mitbestimmt und von daher auch auf endliche Werte beschränkt; es gibt dabei keinen Rand ohne Bedingungen. Lösungen fur¨ Ingenieurprobleme in der Zeit werden durch die Anfangsbedingungen mitbestimmt. Weder im noch am Ende des Lösungszeitbereiches gibt es Fixpunkte fur¨ die Lösung. Daher kommt dem Lösungsverhalten mit zunehmenden Abstand vom Startpunkt t0 eine wesentliche Bedeutung fur¨ die Bewertung einer Näherungslösung zu. Als Bewertungs- grundlage wählt man einen simplen Ein-Massen-Schwinger mit bekannter Lösung, die sich auch in Form einer Ub¨ ertragungsgleichung zwischen zwei Zeitpunkten 0 und 1 mit der Spanne h darstellen läßt.

= Ein-Massen-Schwinger: ⇒ 44 4. NUMERISCHE LOSUNG¨ IM ZEITBEREICH

Bewegungsgleichung: mu¨ + k u = 0. v0 2 k 2π Exakte L¨osung: u(t) = u0 cos ωt + ω sin ωt mit ω = m , T = ω . Ub¨ ertragungsgleichung (exakt):

u cos α h sin α u h z = 1 = α 0 , α = ωh = 2π . (4.3.1) 1 v α sin α cos α v T " 1 # " − h # " 0 # Kurz z1 = Uz¨ 0.

Hierzu ¨ahnliche Ub¨ ertragungsgleichungen liefert die lineare Approximation (4.1.6) mit D = 0, M = m und K = k,

1 h u 1 h u − 2 1 = 2 0 (4.3.2) h k m v h k m v " 2 # " 1 # " − 2 # " 0 # und die kubische Approximation (4.1.13).

6h2k 12m h2k 6h2k 12m h2k − z = − − z . (4.3.3) 12m h2k 6m 1 12m h2k 6m 0 " − − # " − # Gleichungen der Art (4.3.1), (4.3.2), (4.3.3) nennt man Diﬀerenzengleichungen. Der Zustand

zk im k. Zeitpunkt l¨aßt sich als Vielfaches des Startzustandes darstellen, wobei die charakteristische Zahl λ Auskunft ub¨ er das L¨osungsverhalten mit wachsendem k gibt.

k 1 zk = z0λ . z1 = z0λ . (4.3.4) Die Zahl λ l¨aßt sich durch Einsetzen des Ansatzes (4.3.4) in die Gleichungen (4.3.1)-(4.3.3) konkret berechnen. Falls λ komplex ausf¨allt, ist eine Darstellung in Polarkoordinaten hilfreich fur¨ die Bewertung.

Falls λ komplex: β λ = α + iβ = r eiϕ. r2 = α2 + β2. tan ϕ = . α λk = rkei kϕ. λk = rk 1. (4.3.5) | | | | · z = rk z . | k | | | | 0 |

r > 1 : Divergenz. (Die Lösung wächst ub¨ er alle Grenzen) r = 1 : Grenzstabil. r < 1 : Numerische Dämpfung. (4.3.6)

Die Stabilität der Lösungen folgt direkt aus dem Betrag der Länge r des Zeigers.

Auswertung der exakten Ub¨ ertragungsgleichung (4.3.1) • λz = U¨ z . (U¨ λ1)z = 0. 0 0 − 0 Nichttriviale L¨osungen folgen aus

det(U¨ λ1) = 0 = (cos α λ)2 + (sin α)2. − − λ = cos α i sin α = 1 eiα. → · 4.3 Bewertung der N¨aherungen 45

Wie zu erwarten, entspricht der Wert λ fur¨ die exakte L¨osung einem Einheitszeiger (Be- trag Eins) in der komplexen Zahlenebene. Die Richtung wird durch den Winkel ϕ = α angegeben.

Auswertung fur¨ den linearen Ansatz (4.3.2) liefert ein homogenes System •

1 h 1 h − 2 λz = 2 z (4.3.7) h k m 0 h k m 0 " 2 # " − 2 #

mit der L¨osung

α2 1 4 iα k h λ = − = 1 eiϕ1 . α = h = 2π. α2 · m T 1 + 4 r 2 2 1 α + α2 α 2 − 4 tan ϕ1 = 2 , λ = 2 = 1. (4.3.8) α | | 2 1 4 α − 1 + 4

Auswertung fur¨ den kubischen Ansatz (4.3.3) liefert ein homogenes System •

6α2 12 α2 6α2 12 α2 − λz = − − z (4.3.9) 12 α2 6 0 12 α2 6 0 " − − # " − #

mit der notwendigen Bedingung

6α2(1 + λ) (12 α2)(λ 1) det − − = 0 (4.3.10) (12 α2)(λ 1) 6(λ + 1) " − − − #

und den L¨osungen

(12 α2) + i 6α (12 α2) i 6α λ = − , λ = − − . (4.3.11) 1 (12 α2) i 6α 2 (12 α2) + i 6α − − − Aus der Darstellung mit reellem Nenner

(12 α2)2 36α2 i 12α(12 α2) λ = − − − = 1 eiϕ3 , (12 α2)2 + 36α2 · − (12 α2)2 36α2 2 + 12α(12 α2) 2 λ 2 = − − − = 1, | | [(12 α2)2 + 36α2]2 − 12α(12 α2) tan ϕ = − , (4.3.12) 3 (12 α2)2 36α2 − −

l¨aßt sich der Betrag von λ, hier abermals zu Eins, und der Winkel ϕ, hier ϕ3 fur¨ den kubischen Ansatz berechnen. 46 4. NUMERISCHE LOSUNG¨ IM ZEITBEREICH

r ϕ Exakte L¨osung 1 α 4α Lineare Approximation fur¨ u, v 1 arctan 4 α2 12α−(12 α2 ) Kubische Approximation fur¨ u, v 1 arctan (12 α2)2− 36α2 − − Tabelle 4.3.1: Betrag r und Richtung ϕ des Parameters λ.

h α: Maß fur¨ die Zeitschrittl¨ange α = T 2π. m T: Eigenschwingungsdauer des repr¨asentativen Ein-Massen-Schwingers. T = 2π k . p

Zusammenfassend lassen sich die charakteristischen Werte des komplexen Parameters λ, nämlich der Betrag r und die Richtung ϕ des zugeordneten Zeigers in der komplexen Zahle- nebene, gemäß Tabelle (4.3.1) darstellen. Offenbar sind beide Näherungsverfahren unabhängig vom Zeitschrittparameter grenzstabil; man spricht dann auch von absolut stabilen Verfahren (eng. unconditionally stable). Der sogenannte Phasenwinkel ϕ weicht dagegen vom exakten Wert α ab und gibt Anlaß zur Definition des prozentualen Phasenfehlers p. α ϕ p = − 100 [%] . (4.3.13) α · 1 4α Linear : p = 1 arctan 100. (4.3.14) L − α 4 α2 · − 1 12α(12 α2) Kubisch : p = 1 arctan − 100. (4.3.15) K − α (12 α2)2 36α2 · − − Die Auftragung der Phasenfehler in Bild (4.3.1) vermittelt einen Eindruck von den Qua-

pL, pK 8 (1-atan(x/(1-x*x/4))/x)*100 7 (x-atan(12*x*(12-x*x)/((12-x*x)**2-36*x*x)))*100/x

α T 0 2πh 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

h Abbildung 4.3.1: Phasenfehler pL, pK ub¨ er dem Zeitschrittparameter α = 2π T .

lit¨atsunterschieden zwischen linearer und kubischer Approximation. 4.3 Bewertung der N¨aherungen 47

Fur¨ kleine α-Werte macht es einen Sinn, die arctan-Funktion als Taylorreihe

x2 x4 x6 arctan x = x 1 + . . . (4.3.16) − 3 5 − 7 α darzustellen. Fur¨ die lineare Approximation (x = α2 ) stellt sich pL als quadratische (1 4 ) Funktion in α dar. −

4 α2 1 pL 1 2 1 2 4 100 ≈ ( − 4 α " − 3 1 α + α #) − − 2 16 α2 α2 α2 α4 1 1 + 1 1 + 100 ≈ − 4 − 3 2 − 16 α2 p + O(α4) 100 [%] . (4.3.17) L ≈ 12 · Eine ¨ahnliche Rechnung fur¨ den kubischen Ansatz ergibt eine Polynomdarstellung 4. Grades:

7α4 p + O(α6) 100 [%] . (4.3.18) K ≈ 40 · Die charakteristische Entwicklung der Phasenfehler fur¨ kleine α-Werte l¨aßt sich auch aus dem Graph der Funktionen pL, pK ersehen, wenn man eine logarithmische Darstellung wie im Bild (4.3.2) w¨ahlt. Aus einer Potenz n. Grades,

p(α) = c αn (4.3.19) wird durch Logarithmieren eine Gerade mit der Steigung n.

Def. Def. ln p = ln c + n ln α. ln p = p,˜ ln α = α˜ p˜ = ln c + n α˜. (4.3.20) →

100-100/x*atan(4*x/(4-x*x)) 0.1 100-100/x*atan(12*x*(12-x*x)/((12-x*x)**2-36*x*x))

0.01

0.001

0.0001

1e-005

1e-006

1e-007

1e-008 1e-005 0.0001 0.001 0.01 0.1 1

Abbildung 4.3.2: Phasenfehler p˜ = ln pL; ln ηK ub¨ er α˜ = ln α. 48 4. NUMERISCHE LOSUNG¨ IM ZEITBEREICH

4.4 Das Diﬀerenzenverfahren

Das in der Literatur häufig erwähnte Differenzenverfahren beschreibt die Geschwindigkeit u˙ als Differenzenquotient ∆u u u u˙ = j − i = u˙ (4.4.1) ∼ ∆t h ij zwischen zwei Zeitpunkten i und j mit der dazwischenliegenden Zeitspanne h. Die Beschleu-

nigung ergibt sich analog, wobei die Diﬀerenz von 2 Geschwindigkeiten u˙ ij und u˙ jk ben¨otigt wird. ∆u˙ u˙ u˙ u¨ = jk − ij = u¨ . (4.4.2) ∼ ∆t h j

(4.4.1) und (4.4.2) zusammengenommen stellen die Beschleunigung u¨j im Zentrum des sogenannten Doppelstreifens i j k dar: − − 1 u¨ = (u 2u + u ). (4.4.3) j h2 j − j k Auf eine identische Darstellung fuhrt¨ eine quadratische Interpolation der Zustandsgr¨oßen u , u , u im Doppelstreifen mit Koordinaten t = h, t = 0, t = +h, i j k i − j k t(t h) (t + h)(t h) (t + h)t u(t) = u − + u − + u , (4.4.4) i 2h2 j ( h2) k 2h2 − 1 u˙ (t) = [(2t h)u 4 t u + (2t + h)u ] , 2h2 − i − j k 1 u¨(t) = [2u 4u + 2u ] . (4.4.5) 2h2 i − j k Die Diﬀerenzen (4.4.1), (4.4.3) oder die Ableitungen (4.4.5) des quadratischen Ansatzes (4.4.4) werden zur Diskretisierung der Bewegungsgleichung

Mu¨ + Du˙ + Ku = r (4.4.6)

in der Art genutzt, daß Gleichung (4.4.6) im Mittelpunkt j bei t = 0 des Zeitintervalls erfullt¨ sei. 1 1 M(u 2u + u ) + D( u + u ) + Ku = r . (4.4.7) h2 i − j k 2h − i k j j Gleichungen der Art (4.4.7) begrunden¨ sogenannte 2-Schritt-Verfahren, da die Berechnung der Zustandsgrößen uk die Kenntnis von 2 vorhergehenden Zuständen ui und uj voraussetzt. Die Stabilität des Verfahrens (4.4.7) wird wie ublic¨ h am repräsentativen, ungedämpften Ein- Massen-Schwinger ohne Erregung analysiert.

mu¨ + k u = 0. h2k m(u 2 u + u ) + h2k u = 0. = α2, (4.4.8) → i − j k j m j = i + 1; k = i + 2.

Der Ansatz

n un = u0λ (4.4.9)

ub¨ erfuhrt¨ die Diﬀerenzengleichung (4.4.8) in eine quadratische Gleichung fur¨ λ,

(1 2λ + λ2) + α2λ = 0, (4.4.10) − 4.5 Nichtlineare Bewegungsgleichungen 49 mit 2 L¨osungen.

α2 α2 Reell : λ = 1 α 1. 1,2 − 2 4 − r α2 α2 Komplex : λ = 1 iα 1 . (4.4.11) 1,2 − 2 − 4 r Der Betrag der reellen Lösung ist stets größer oder gleich 1. Der Betrag der komplexen Lösung,

α2 2 α2 α4 α4 Komplex : λ 2= 1 + α2 1 = 1 α2 + + α2 = 1, (4.4.12) | | − 2 − 4 − 4 − 4 ist stets 1; allerdings ist die Lösung fur¨ λ nur solange komplex, wie der Radikand positiv bleibt: α2 h m 1 0; α = 2π , T = 2π . (4.4.13) − 4 ≥ T k r Dadurch wird der Zeitschritt h auf einen maximal erlaubten Wert beschränkt. α hπ T = 1 h . (4.4.14) 2 T ≤ → ≤ π Verfahren, die nur fur¨ einen begrenzten Zeitschritt h numerisch stabil sind, nennt man bedingt stabile Verfahren. Das Differenzenverfahren ist ein typischer Vertreter dieser Grup- pe.

Eine konkrete Ingenieuraufgabe wird in der Regel durch ein System von n Bewegungsglei- chungen beschrieben; Finite-Element-Darstellungen erreichen schnell Gr¨oßenordnungen von einigen Hundert Freiheitsgraden der Anzahl n. Dementsprechend hat das unged¨ampfte Sy- stem n Eigenfrequenzen,

ω1 < ω2 < < ωn, · · · 2π T1 > T2 > . . . Tn, Tj = , (4.4.15) ωj mit Eigenschwingungsdauern Tj, deren kleinste, Tn, umso kleiner wird, je mehr Freiheitsgra- de man zur Systembeschreibung einbringt. Der kritische Zeitschritt h = T/π muß sich an der ungunstigsten,¨ also kleinsten, Eigenschwingungsdauer orientieren, wodurch die Zeitschritte so außerordentlich klein werden (z. B. 1/1000 sec), daß die Rechenzeiten unvertretbare Aus- maße annehmen.

Unabhängig von der Stabilitätsfrage stellt sich das Ergebnis des Differenzenverfahrens bei bekannten Zuständen ui, uj als Gleichungssystem fur¨ uk dar: h h M + D u = M( u + 2u ) + Du h2Ku + h2r . (4.4.16) 2 k − i j 2 i − j j 4.5 Nichtlineare Bewegungsgleichungen

M¨ogliche Quellen von Nichtlinearit¨aten in der Strukturdynamik sind

das Stoﬀgesetz • 50 4. NUMERISCHE LOSUNG¨ IM ZEITBEREICH

die Geometrie (zum Beispiel sin ϕ = ϕ) • 6 die Verzerrungs-Verschiebungsbezeichnungen. • Ein typisches Beispiel fur¨ die letzte Gruppe ist die Dynamik eines geraden Balkens mit behinderter L¨angsverschiebung, wie im Bild (4.5.1) skizziert. In diesem Fall baut sich bei p q - ? - x, u j ?w ρ, A, E, I

Abbildung 4.5.1: Balken mit behinderter L¨angsverschiebung

der Biegung automatisch eine Längskraft auf, die in nichtlinearer Weise von w(x) abhängt. Diesen Effekt erfaßt nur eine nichtlineare Darstellung der Dehnung

1 2 (z) = u0 + w0 + zw00, (4.5.1) 2 da nur dann die L¨angskraft L,

1 2 L = σdA = EdA = EA u0 + w0 2 Z Z mit zdA = zsA = 0, (4.5.2) Z aus der Integration der Spannungen ub¨ er dem Querschnitt A als Funktion der Durchsenkung w(x) erscheint. Die Problembeschreibung soll hier ub¨ er das Prinzip von Hamilton erfolgen:

t1 δ (T U + W )dt = 0 . − tZ0

Fur¨ die kinetische Energie und die Arbeit der ¨außeren Kr¨afte folgt 1 T = ρA w˙ 2 + u˙ 2 dx, W = (pu + qw)dx 2 Z Z und unter Beachtung von (4.5.2) sowie

z2dA = I Z ergibt sich fur¨ das elastische Potential:

2 1 2 1 2 1 1 2 U = E dxdA = EIw00 dx + EA u0 + w0 dx . (4.5.3) 2 2 2 2 Z Z Z 4.5 Nichtlineare Bewegungsgleichungen 51

Als erster L¨osungsschritt wird die Diskretisierung im Ort durchgefuhrt;¨ und zwar linear fur¨ die L¨angsverschiebung u(x, t) und kubisch fur¨ die Querverschiebung w(x, t). Dabei kommen wiederum Hermite-Polynome zu Einsatz: x T 1 a u0(t) u(x, t) = u (t)hu(x), hu(x) = − x , u(t) = , " a # " u1(t) #

1 0 3 2 1 w0(t) − x T  0 1 2 1   a   aw0(t)  w(x, t) = w (t)hw(x), hw(x) = − x2 , w(t) = (4.5.4). 0 0 3 2 a2 w1(t)  −   3     0 0 1 1   x   aw (t)   −   a3   10  Die Elementlänge wird dabei mit a bezeichnet. Die Größenp= p(x, t) und q = q(x, t) in (4.5.3) stehen fur¨ die gegebene Längsbelastung und die Querbelastung; sie können sowohl konstant als auch veränderlich in Ort und Zeit sein. Durch Einsetzen der Ansätze (4.5.4) in das Hamiltonfunktional (4.5.3) reduziert sich die Ausfuhrung¨ der Variation auf die noch zeitveränderlichen Knotenparameter u(t) mit δu(t) und w(t) mit δw(t). Die Geschwindig- keitsterme werden sogleich partiell integriert; zum Beispiel:

t1 a t1 a t1 1 2 1 T T T δ ρAw˙ (x, t)dx dt = δ ρAw˙ hwhw w˙ dx dt = δw˙ Mww˙ dt 2 2 t0 tZ0 Z0 tZ0 Z0 Z t1 T | {z } T t1 = δw Mww¨ dt + δw Mww˙ n . (4.5.5) − t0 Z t0 Mw ist dabei die ublic¨ he Elementmassenmatrix: a T Mw = ρA hw(x)hw(x)dx . Z0 Der Zeitrandterm in (4.5.5) verschwindet fur¨ den Fall, daß die Variationen δwT an den Zeiträndern identisch Null sind. Diese Argumentation trifft hier zu, da das Hamiltonfunktio- nal nicht etwa zur numerischen Lösung im Zeitbereich verwendet wird, sondern zur Darstel- lung der Bewegungsdifferentialgleichung im Zeitbereich. Die Lösung dieser Aufgabe ist dann ein vollkommen neuer selbständig zu konzipierender Vorgang.

Nach Ausfuhrung¨ aller Variationen und partieller Integrationen und Ordnen nach Faktoren δu(t), δw(t) erscheint das Hamiltonfunktional als Summe zweier Anteile:

t1 δ (T U + W )dt = 0 = − tZ0

t1 a T T T 1 2 = δu (t) ρAh h u¨ + EAh0 h0 u + EAh0 w0 ph dxdt + . . . u u u u 2 u − u tZ0 Z0

t1 a T T T 1 2 + δw (t) ρAh h w¨ + EIh00 h00 w + EA u0 + w0 w0h0 qh dxdt. w w w w 2 w − w tZ0 Z0 (4.5.6) 52 4. NUMERISCHE LOSUNG¨ IM ZEITBEREICH

Die Integration im Ort ist zwischen festen Grenzen auszufuhren,¨ die Integration in der Zeit innerhalb eines beliebigen Intervalls. Fur¨ beliebige Variationen δu(t), δw(t) innerhalb dieses Intervalls ist Gleichung (4.5.6) nur erfullbar,¨ wenn die geschweiften Klammern je fur¨ sich verschwinden. Dies fuhrt¨ auf Elementebene (Index E) auf eine Bewegungsdiﬀerentialgleichung,

MEq¨E + KEqE = eE + nE

mit

a T ρAhuhu dx 0 0 u(t) ME =  a  , qE = , R 0 ρAh hT dx " w(t) #  w w   0   R 

a T EAhu0 hu0 dx 0 0 KE =  a  , R 0 EIh h T dx  w00 w00   0   R 

a a 1 2 p(x, t)hu(x)dx 2 hu0 (x)w0 (x, t)dx 0 0 eE(t) =  a  , nE(t) = EA  a  , R R q(x, t)h (x)dx − w u + 1 w 2 h (x)dx  w   0 0 2 0 w0   0   0   R   R  (4.5.7)

die in vollkommener Analogie auch die Bewegungsgleichung

Mq¨ + Dq˙ + Kq = e + n (4.5.8)

des Gesamtsystems bestimmt; der Vollst¨andigkeit halber ist noch ein D¨ampfungsanteil hinzugefugt¨ worden. An dieser Stelle sei nochmal daran erinnert, daß das Hamiltonfunktional zur Diskretisierung im Ort benutzt wurde und im Zeitbereich zur analytischen Herleitung der Bewegungsgleichung (4.5.8).

Die konkrete numerische Behandlung dieses Systems (4.5.8) ist bereits weitgehend vorge- zeichnet. Nach den Vorbereitungen im Rahmen der ﬁniten Zeitub¨ ersetzung wird man (4.5.8) als System 1. Ordnung darstellen

Mv˙ + Dq˙ + Kq = e + n, M(q˙ v) = 0, (4.5.9) − und eine Zeitdiskretisierung vornehmen; zum Beispiel linear im Zeitintervall der L¨ange h. t t q(t) = q 1 + q , 0 − h 1 h t t v(t) = v 1 + v . (4.5.10) 0 − h 1 h 4.5 Nichtlineare Bewegungsgleichungen 53

Die Behandlung der Nichtlinearität n(t) erfolgt zweckmäßig ebenfalls in Form einer linearen Interpolation. t t n(t) = n 1 + n . (4.5.11) 0 − h 1 h Die Spalte n1 = n(t = h) am Ende des Zeitintervalls enthält die noch unbekannten Zustands- größen q1 eben dort. Eine Taylorentwicklung d n(t) = n + n t n(1) = n + n˙ h (4.5.12) 0 dt → 1 0 0 0 mit a ˙ hu0 w0w0dx n˙ = EA  0  (4.5.13) a R − w˙ u + 1 w 2 + w (u˙ + w w˙ ) h dx  0 0 2 0 0 0 0 0 w   0   R h i  ist sehr gut geeignet zur Darstellung von n1. Bei hohen Anforderungen an die Rechengenau- igkeit wird man es nicht bei der Approximation (4.5.12) bewenden lassen und das Ergebnis (1) q1 dieser Aktion als (1.) momentan bestverfugbares¨ Zwischenergebnis in eine neuerliche Rechnung im selben Zeitschritt einfließen lassen:

(2) (1) n1 = n(q1 ). (4.5.14)

Diese Iteration im Zeitschritt wird beendet, falls sich fur¨ zwei Iterationsstufen (i) und (i + 1) (i) (i+1) die Werte q1 und q1 im Rahmen vorzugebender Genauigkeitsanforderungen nicht mehr unterscheiden.

Die Ub¨ ertragungsgleichung

(i+1) (i) Az1 = Bz0 + k(e) + s(n ) (4.5.15) aus der Integration des Systems (4.5.9) mit Hilfe des linearen Ansatzes (4.5.10) stellt sich wie folgt dar.

(i+1) 1 h 1 q 1 h 1 q − 2 1 = 2 0 + D + h K M v D h K M v " 2 # " 1 # " − 2 # " 0 # 0 h 0   + h (i) . (4.5.16) e(t)dt " 2 (n0 + n1 ) #  0   R  Bei dieser speziellen linearen Interpolation der Zustandsgr¨oßen wird man einen Block von Unbekannten, zum Beispiel v1, ohne Inversion eliminieren, 2 v(i+1) = q(i+1) q v 1 1 − 0 h − 0 → h 2 h 2 K + D + M q(i+1) = K + D + M q + 2 h 1 − 2 h 0 h h 2Mv + e(t)dt + n + n(i) . (4.5.17) 0 2 0 1 Z0 54 4. NUMERISCHE LOSUNG¨ IM ZEITBEREICH

Statt der linearen Interpolation (4.5.11) der Nichtlinearit¨aten ist auch eine kubische Ver- sion denkbar,

n(t) = n0 ϕ1(t) + h n˙ 0 ϕ2(t) + n1 ϕ3(t) + h n˙ 1 ϕ4(t), (4.5.18)

mit den bereits in (4.1.9), (4.1.10) dargelegten Formfunktionen ϕj(t). Zur erstmaligen Be- (1) rechnung der Spalte n1 wird man auch hier wie in (4.5.12) eine lineare Extrapolation heranziehen:

(1) n1 = n0 + n˙ 0h. (4.5.19) (1) Die entsprechende Spalte n˙ 1 läßt sich dann durch quadratische Interpolation der Zustands- (1) größen n0, n˙ 0, n1 nach (4.5.19) darstellen. t2 t2 t2 n(t) = n 1 + n˙ t + n , n(1) = n + n˙ h; 0 − h2 0 − h 1 h2 1 0 0 2t 2t 2t n˙ (t) = n + n˙ 1 + n , 0 −h2 0 − h 1 h2 2 2 n˙ (1) = n + n˙ (1 2) + (n + n˙ h) = n˙ (t = h) = n˙ . (4.5.20) 1 0 −h 0 − 0 0 h 0 Der nachfolgend zitierte Fachaufsatz zeigt das weitere Vorgehen bei kubischer Interpola- tion und enthält einige Ergebnisse:

Ruge, P.; Cai, J.: Finite Zeit¨ubersetzung mit Extrapolation in der nichtlinearen Struk- turdynamik., Archive of Applied Mechanics 61 (1991), S.67-78.

4.6 Fehlerabsch¨atzung und Zeitschrittsteuerung

Die Stabilitätseigenschaften einzelner Zeitschrittverfahren als auch die Beurteilung der aus ihrer Anwendung zwangsläufig resultierenden Fehler (da Näherungsverfahren) wurden in den vorherigen Abschnitten eingehend beschrieben. Allen Verfahren gleich war ein stets konstanter, numerischer Integrationsschritt im Orts- als auch Zeitbereich. Eine Bewertung des Fehlers fur¨ die Methode der Ansatzfunktionen, in diesem Fall Polynome, erfolgte unter 4.3. Der folgende Abschnitt enthält einen Fachaufsatz aus der Zeitschrift ”Communications in Numerical Methods in Engineering” der das Thema Zeitschrittsteuerung mit Hilfe von a priori (lat.: im voraus) Fehlerschätzungen näher beleuchtet. Spielt sich das ganze dabei im Zeitbereich ab (time domain) spricht man von sogenannten adaptiven Zeitschrittverfahren. Die Größe des Zeitschritt wird dabei, wie im folgenden Fall, durch eine a priori Fehlerrechnung stets neu ub¨ erpruft¨ und ggf. korrigiert. 4.6 Fehlerabschätzung und Zeitschrittsteuerung 55

4.6.1 Diskrete Fehlervorabsch¨atzung mit angepaßter Zeitschrittsteuerung

A PRIORI LOCAL ERROR ESTIMATION WITH ADAPTIVE TIME-STEPPING1

P. RUGE TECHNICAL UNIVERSITY DRESDEN, GERMANY

SUMMARY

An a priori local error estimator for one-step implicit time-stepping schemes of Pade-type´ is presented; such algorithms are widely used in structural dynamics. The proper time-step h to be done can be calculated by matching a given local accuracy. The numerical process to evaluate h is straight forward and explicit. A simple example shows some signiﬁcant features of the method presented.

Key Words: Adaptive time-stepping; a priori error estimator; Pade´ series expansions

INTRODUCTION

Error estimation and mesh-adaptation are essential processes when solving engineering problems in structural dynamics by numerical methods. The accuracy of stepping schemes in structural dynamics depends on the method chosen and especially on the time step size h. Typical and more or less traditional ways of estimating the local error - that is the error per step - use two different step sizes or compare results given by integration methods of different order. However, these methods are time consuming and need a lot of additional calculation. There are some so-called a posteriori methods which are based on the concept of post-processing technique. Once a time step has been evaluated, the error which has occurred is calculated and is taken to predict a rather optimal step size for the next time interval. Zienkiewicz and coworkers [1], Wiberg and coworkers [2], [3], [4] have published several papers dealing with a posteriori local error estimators and adaptive time-stepping schemes in dynamic analysis without significant additional numerical effort. Their approaches need the accelerations u¨0, u¨1 at the time-step boundaries in order to estimate the local error. For the whole family of Newmark schemes they found the local error eu concerning the nodal quantities u to be quadratic with respect to the time step h. 1 e = β h2(u¨ u¨ ). u − 6 1 − 0 1 h2 β = : e = (u¨ u¨ ). (4.6.1) 4 u 12 1 − 0 The original Newmark scheme, unconditionally stable and without numerical damping, is characteri- 1 zed by β = 4 , details are explained in [2] by Wiberg, Li and Zeng. A totally different idea to find a posteriori schemes without significant additional evaluations starts

1erschienen in ”Communications in Numerical Methods in Engineering” 15. S.479-491 (1999) 56 4. NUMERISCHE LOSUNG¨ IM ZEITBEREICH

from discontinuous Galerkin representations of the equations of motion. Wiberg [5], [7] and Ruge [6] presented algorithms which take the discrepancies within the time gap between adjacent steps to establish a time-step adaptation. The aim of this paper is to present and explain an a priori error estimation for one-step implicit methods which allows to ﬁnd a nearly optimal time-step size before solving the transition equation for the

actual time-step. The formulas are derived for Pade´ P11 representations; that is Newmark’s scheme with optimal parameters. The transition process itself is an implicit algorithm; the calculation of the optimal time-step according to a ﬁxed accuracy is a pure explicit process.

A PRIORI LOCAL ERROR

The linear part of state equations can be written in the so-called normal form

u˙ 0 I u 0 = + ; (4.6.2) v˙ M 1K M 1D v M 1f " # " − − − − # " # " − # short form z˙ = Sz + r. 0 I u 0 S = , z = , r = . M 1K M 1D v M 1f " − − − − # " # " − # The nodal degrees of freedom u and the corresponding velocities v are the unknown quantities; mass M, viscous damping D, stiffness K and excitation forces f are given.

The analytical solution

St z(t) = e z0, z0 = z(t = 0), (4.6.3)

of the homogeneous equation, specialized for a time step from t0 = 0 to t1 = h,

Sh z1 = e z0, z1 = z(t = h), (4.6.4)

can be realized by power series expansions.

Taylor’s expansion

h2 h3 eSh = I + Sh + S2 + S3 + . . . (4.6.5) 2 3!

h2 can be continued until inﬁnity. The coefﬁcients h, 2 and so on do not depend on the greatest order Ex where the series is truncated. Consequent (4.6.5) allows to represent the exact solution z1 .

∞ hj zEx = I + Sj z . (4.6.6) 1  j!  0 Xj=1   An alternative Pade´ series expansion, in general

n n 1 m m Sh P = (I + β hS + + β h S )− (1 + α hS + + α h S ) e (4.6.7) mn 1 · · · n 1 · · · m ∼

is characterized by coefficients αj, βj which depend on the orders m and n of the representation. In other words, a simple continuation towards infinity with saving the coefficients from lower series expansions is not possible. On the other hand, Pade’´ s series are able to describe more or less 4.6 Fehlerabschätzung und Zeitschrittsteuerung 57 all known proper time stepping schemes. They can be regarded as ideal tool in order to produce numerical realizations of the exponential function exp(Sh). Here in this paper the P11 representation

1 h − h P = I S I + S (4.6.8) 11 − 2 2 for the solution of the homogeneous state equation,

1 h − h zP = I S I + S z , (4.6.9) 1 − 2 2 0 will be analyzed in order to describe the error e compared with the exact solution from equation (4.6.6)

e = zEx zP . (4.6.10) 1 − 1 The superscripts ’P’ and ’Ex’ denote the Pade-appro´ ximation and the exact solution, respectively. As a ﬁrst step towards an explicit formulation of the error it is necessary to ﬁnd an explicit representation P of z1 without an inversion. Here once more one can use a Taylor’s series expansion,

1 2 3 4 h − h h h h 1 S = I + S + S2 + S3 + S4 + . . . − 2 2 4 8 16 with a product

1 k h − h h I S I S = 1 + lim Sk, (4.6.11) − 2 − 2 k 2 →∞ which should be the identity matrix 1; the only error part is represented by the highest power k, which tends to inﬁnity. With (4.6.11) it is possible to formulate the matrix product

1 j h − h ∞ h I S I + S = I + 2 Sj, (4.6.12) − 2 2 2 Xj=1 Ex P searched for in (4.6.9) in a totally explicit manner. The next step takes z1 from (4.6.6) and z1 from P (4.6.9) with (4.6.12) in order to establish the error of the numerical result z1 . 1 1 1 1 e = zEx zP = h3 S3 + h4 S4 + . . . z , 1 − 1 6 − 4 24 − 8 0 h3 e S3z . (4.6.13) ∼ −12 0 According to the inner structure of the state vector zT = [uT vT ] the error vector e in (4.6.13) contains the error eu concerning the nodal quantities u and the error ev concerning the nodal velocities.

T T T e = eu ev . (4.6.14) h i This simultaneous treatment of u and v is an extension of the common error-treatment (4.6.1) with 3 only eu involved. The evaluation of the product S z0 should be done with care in order to minimize the numerical effort. In detail, 3 successive algebraic equations with identical coefﬁcient matrix M,

Ma = Dv + Ku a , − 0 0 0 → 0 Mb = Da + Kv b , − 0 0 0 → 0 Mc = Db + Ka c (4.6.15) − 0 0 0 → 0 58 4. NUMERISCHE LOSUNG¨ IM ZEITBEREICH

have to be solved; ﬁrst for a0 (that is the acceleration corresponding with u0 and v0), then for b0 and c0 which together describe the product

3 3 3 b0 eu h 3 h b0 e∗ = S z0 = . e = = S z0 = . (4.6.16) " c0 # " ev # −12 −12 " c0 #

ERROR NORM

A proper error indicator should be characterized by a suitable norm η of e; the simplest one is the Euclidian vector norm

e = √eT e = eT e + eT e . (4.6.17) | | u u v v q However, here is no sense in calculating such a norm, due to the different physical quantities involved in e. Instead one should use an energy norm; either measured absolutely

T K 0 e abs= e Q e, Q = , (4.6.18) k k " 0 M #

T or relatively compared with the initial overall system energy zIniQzIni: eT Q e e rel= T . (4.6.19) k k zIniQ zIni Alternatively independent vector norms

e = eT e , e = eT e . (4.6.20) | u| u u | v| v v q q for e and e can be taken to indicate the local errors. At last, e and e can be combined by u v | u| | v| introducing signiﬁcant amplitudes Au, Av for u and v in order to establish two dimensionless members :

eu ev eu; ev = | | + | |. (4.6.21) | | Au Av Whichever of the norms η is taken,

η e ; e ; e ; e ; e ; e , (4.6.22) k kabs k krel | u| | v| | u v| it is possible by means of the a priori error e at the beginning of the actual time step to achieve a given accuracy η¯ by a properly chosen time-step h. The following formula uses the relative energy norm (4.6.19):

T T 6 (u Ku + v Mv)Ini K 0 h 144η¯ 3 T 3 , Q = (4.6.23) ≤ (S z0) Q(S z0) " 0 M #

The differences between the common a posteriori error eu in equation (4.6.1) and the a priori error eu from equation (4.6.16) will be shown in the example. For systems without viscous damping, D = 0, it is interesting to have a look at the product

1 3 M− Kv S z0 = −1 1 (4.6.24) " M− KM− Ku # 4.6 Fehlerabsch¨atzung und Zeitschrittsteuerung 59 and the corresponding error energy norm

3 T 3 T 1 1 e = (S z ) Q(S z ) = v KM− KM− Kv + k kabs 0 0 T 1 1 1 1 u KM− K(M− M)M− KM− Ku. (4.6.25)

This norm is constant whatever the values u and v are during the time stepping process.

! e = constant. (4.6.26) k kabs This property is similar to the well-known invariance of the system energy

T T u Ku + v Mv = ESys = constant. (4.6.27)

Equation (4.6.26) can be realized by modal transformation

u = Xuˆ; v = Xvˆ. XT KX = Λ, XT MX = I.

Λ = diag (λ1, . . . λn). (4.6.28)

With (4.6.28) the system energy transforms into

T T T T ESys = uˆ X KXuˆ + vˆ X MXvˆ = n (uˆjλjuˆj + vˆjvˆj) = constant, (4.6.29) Xj=1 the error energy transforms into

n e = λ3 (uˆ λ uˆ + vˆ vˆ ) . (4.6.30) k kabs j j j j j j Xj=1

From (4.6.29) each modal part ()j must be invariant; consequently each part in (4.6.30) is invariant, too, with respect to any pair (uˆj, vˆj). Besides the error h3 e = S3z h −12 0 of the solution z1 = P11z0 of the homogeneous equation of motion, z˙ = Sz, there is an error er contributed by the solution of the inhomogeneous differential equation z˙ = Sz + r and there may be an additional error en, caused by nonlinear parts n; z˙ = Sz + n(z). By means of Duhamel’s representation,

t S(t τ) z(t) = e − r(τ)dτ, Z0 h S(h τ) z1 = e − r(τ)dτ, (4.6.31) Z0 of the inhomogeneous solution it is possible to describe z1 by means of the exact representation of the transition matrix TEx from equation (4.6.6),

j S(h τ) ∞ (h τ) j e − = 1 + − S = T , , (4.6.32) j! Ex Xj=1 60 4. NUMERISCHE LOSUNG¨ IM ZEITBEREICH

and by means of the P11-representation from equation (4.6.12).

j S(h τ) ∞ (h τ) j e − = 1 + 2 − S = T . (4.6.33) 2 P Xj=1 The error er is caused by the difference between TEx and TP . h 1 e = (h τ)3S3 + . . . r(τ)dτ. (4.6.34) r −12 − Z0 A linear interpolation τ τ r(τ) = r 1 + r (4.6.35) 0 − h 1 h of the given excitation r results in an explicit description of the leading part of the error er: 1 h 4 h4 e = S3r + S3r . (4.6.36) r −12 5 0 20 1 Otherwise er can be calculated by numerical integration as exact as is it wanted. The contribution of any nonlinear parts n can be estimated by a linear extrapolation of n, too.

n(τ) = n0 + n˙ 0τ; n0 = n(z0), dn n˙ = . (4.6.37) 0 dτ z0

Once more it is an easy task to evaluate the corresponding error-integral. h 1 e = (h τ)3S3 + . . . (n + n˙ τ)dτ, n −12 − 0 0 Z0 1 h 4 h5 e = S3n + S3n˙ . (4.6.38) n −12 − 4 0 20 0 The total error is the sum of all three parts from (4.6.13), (4.6.36), (4.6.38).

e = eh + er + en, h3 h h h h2 e = S3 z + r + r + n + n˙ . (4.6.39) −12 0 5 0 20 1 4 0 20 0 Each of the parts in (4.6.39) especially z0, n0, n˙ 0 are known in the initial point of the actual time step; with them it is possible to ﬁx h a priori in such a way that a given error-norm is met. The most essen-

tial error-part in (4.6.39) is given by the homogeneous solution, represented by z0. Nevertheless, the other parts inﬂuence the error. In some special situations, if for example a system starts to vibrate

with z0 = 0, then the other parts play the essential role.

TIME-STEP-FIXING

The length h of the time-step to be done is determined by the ﬁxed value η¯ as shown in (4.6.23) for z = 0. 0 6

z0 = 0 : 6 6 T T h (u Ku + v Mv)Ini η¯ 3 T 3 h. (4.6.40) 144 ≤ (S z0) Q(S z0) → 4.6 Fehlerabsch¨atzung und Zeitschrittsteuerung 61

If at the very beginning of the integration process z0 is equal to zero, then the other parts r0, r1 and n0 with identical power of h are taken to describe the normalized error.

z0 = 0 : 3 h 3 h e∗ = S z∗, z∗ = (4r + r + 5n ), −12 0 0 20 0 1 0 T 6 3 T 3 (e∗) Qe∗ h S z0∗ Q S z0∗ T = T η¯. z0∗ Q z0∗ 144 z0∗ Q z0∗ ≤ 6 T h z¯0 Qz¯0 η¯ 3 T 3 h. 144 ≤ (S z¯0) Q(S z¯0) → z¯0 = 4r0 + r1 + 5n0. (4.6.41)

There is no proﬁt, however, from changing the time-step length for each separate step: The coefﬁcient matrix A of the time-stepping scheme,

Az1 = Bz0 + if + in, if : from integrating f,

in : from integrating n, contains the time-step h and has to be decomposed for each new value h. Here the actual quotient η 0 is calculated by taking the actual values z0 and h = h0. T 6 e0 Qe0 T h0 3 T 3 η 0 = T , e0 Qe0 = (S zˆ0) Q(S zˆ0); (zˆ0 Q zˆ0)Ini 144 1 1 1 zˆ = z + h r + r + n . (4.6.42) 0 0 0 5 0 20 1 4 0 If η 0 differs more than a certain amount from the ﬁxed value η¯, > µη¯ if η 0 µ > 1, ( < η¯/µ, T T 6 (u Ku + v Mv)Ini K 0 hnew = 144 η¯ 3 T 3 , Q = (4.6.43) → (S z0) Q(S z0) " 0 M # then h0 is no more accepted and is replaced by a new step size hnew for the time step to come; this value meets exactly the local error estimator (4.6.16) in the previous chapter. The parameter µ in (4.6.43) describes the interval where the current step size is accepted; the greater µ, the greater is the deviation from the error bound η¯. Suitable values for η¯ and µ should be found by numerical experiments. EXAMPLE

A simple linear damped vibration system with 3 degrees of freedom gives an impression of how the time-stepping based upon an a priori local error estimation works. The matrices involved are listed below, 0.4 0.1 0.2 4 1 0 − − − M = 1, D = 0.1 0.2 0.1 , K = 1 2 1 , f = 0,  − −   − −  0.2 0.1 0.4 0 1 3  − −   −  the initial conditions    

uT = 1 0 0 , v = 0 (zT Qz) = uT Ku + vT Mv = 4 0 0 → Ini 0 0 0 0 h i 62 4. NUMERISCHE LOSUNG¨ IM ZEITBEREICH

are characterized by an unit displacement of the ﬁrst mass. The inﬂuence of three different error bounds,

2 4 6 η¯ = 10− ; 10− ; 10− ;

and of 2 different acceptance parameters,

µ = 10; 100

upon the displacements and the development of the time-step versus time is shown in some typical figures 4.6.1 until 4.6.5. The difference in the number of time-step changes between µ = 10 and µ = 100 is approximately 2 4 five, compared with three within the first 40 s. Obviously the results for η¯ = 10− and η¯ = 10− are 6 rather rough approximations whereas the analysis with η¯ = 10− meets very well further results with 6 η¯ < 10− .

2 A comparison between the a posteriori Zienkiewicz/Zhu error-norm eT e with e = h (u¨ u¨ ) u u u 12 j − j and the Pade-error-nor´ m can be made only with respect to the eu part of the complete a priori 3 − Pade-error´ eT = eT eT = h (S3z )T . i u v − 12 i The corresponding results shown in fig. 4.6.6 with a logarithmic scale indicate rather identical values; there are only some downward peaks which do not fit together. However, one should keep in mind that there is an essential difference between both errors: Pade’´ s error is an a priori one whereas the other one is an a posteriori error estimator. From fig. 4.6.7 one can realize the essential importance T of the energy norm of the error, containing eu as well as ev. The absolute velocity error ev ev is much T greater than the absolute displacement error eu eu. The energy norm seems to be the only proper means to indicate the behaviour of the error versus time. The energy-error curve meets almost all T error-velocity maximum points, but is still much smoother than the ev ev-curve. If for the sake of proofing the analytical result (4.6.26) the same system is treated with D = 0, T T then once more the separate error norms eu eu and ev ev in fig. 4.6.8 are still oscillating whereas the energy-norm of both errors eu, ev together turns out to be constant; just as is was predicted in (4.6.26).

CONCLUSION

Of course, the simple example can show no more but tendencies of an adaptive time-stepping scheme with an a priori error estimation. Especially nonlinear examples from structural dynamics have to be examined in order to find optimal strategies in combining proper values for the error bound η and the acceptance parameter µ. Nevertheless, the method presented here offers an interesting alternative compared with a posteriori adaptation schemes: The error of the time-step to be done can be fixed explicitly by using an energy norm with both state variables u as well as v being incorporated simultaneously. 4.6 Fehlerabschätzung und Zeitschrittsteuerung 63

2 Displacement u_1 1.5 Displacement u_2 Time step h 1

0.5

-0.5 Displacements, Time step

-1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Time t

Abbildung 4.6.1: Displacements u1, u2 and time-step length h versus time. Acceptance parameter µ = 10; energy norm of error: η¯ = 10−2

1.2 1 Displacement u_1 Displacement u_2 0.8 Time step h 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 Displacements, Time step -0.6 -0.8 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Time t

Abbildung 4.6.2: Displacements u1, u2 and time-step length h versus time. Acceptance parameter µ = 10; η¯ = 10−4

1.2 1 Displacement u_1 Displacement u_2 0.8 Time step h 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 Displacements, Time step -0.6 -0.8 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Time t

Abbildung 4.6.3: Displacements u1, u2 and time-step length h versus time. Acceptance parameter µ = 100; η¯ = 10−4 64 4. NUMERISCHE LOSUNG¨ IM ZEITBEREICH

1 Displacement u_1 Displacement u_2 0.8 Time step h

0.6

0.4

0.2

Displacements, Time-step -0.2

-0.4

-0.6

-0.8 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Time t [s]

Abbildung 4.6.4: Displacements u1, u2 and time-step length h versus time. Acceptance parameter µ = 10; η¯ = 10−6

1 0.8 Displacement u_1 Displacement u_2 0.6 Time step h 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4

Displacements, Time step -0.6 -0.8 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Time t

Abbildung 4.6.5: Displacements u1, u2 and time-step length h versus time. Acceptance parameter µ = 100; η¯−6

0.001 Pade 0.0001 Zienkiewicz/Zhu 1e-05

1e-06

1e-07 Error norm 1e-08

1e-09

1e-10 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Time t

T Abbildung 4.6.6: Norms eu eu of the displacement error calculated by using the Zienkiewicz/Zhu estimator and the Pad´e estimator. Fixed time step h=0.326 [s] 4.6 Fehlerabsch¨atzung und Zeitschrittsteuerung 65

0.01 0.001 u-error v-error 0.0001 error energy 1e-05 1e-06

Error norm 1e-07 1e-08 1e-09 1e-10 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Time t

T T T T Abbildung 4.6.7: Norms eu eu (u-error), ev ev (v-error) and eu Keu + ev Mev (error energy norm) versus time. h=0.326 [s]

0.1 u-error v-error 0.01 error energy

0.001

0.0001 Error norm

1e-05

1e-06 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Time t

T T T T Abbildung 4.6.8: Norms eu eu, ev ev and eu Keu + ev Mev versus time without damping 66 4. NUMERISCHE LOSUNG¨ IM ZEITBEREICH

Literaturverzeichnis

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4.7 Zeitdiskretisierung mittels diskontinuierlicher Hamilton- Darstellung

Quadratic time-interpolation versus discontinuous Hamilton approach2

P. Ruge, N. Wagner Technische Universit¨at Dresden, Germany

Abstract

Time-step solvers in structural dynamics can be elaborated by using different basic ideas. Keywords are Hamiltonian variational formulations, power-series expansions for the analytical exponential transition matrix exp(St), either Taylor-like or Pade-lik´ e, or a direct interpolation by using normalized interpolation functions for the nodal quantities. Here in this paper it is shown that a simple quadratic interpolation for the nodal quantities q and the nodal velocities v results in a time-transition equation which is totally identical to a Hamiltonian based discontinuous formulation. This direct approach is absolutely simple, compared with the sophisticated Hamiltonian way, leads to a direct time-step control in a natural manner and can be combined with a quadratic interpolation of nonlinear parts. Furthermore it is possible to establish an a priori error-estimator.

Introduction

This contribution deals with multiple DOF-systems, written in a ﬁrst order manner, . q= v, . M v +Dv + Kq = f + n, M = MT , D = DT , K = KT , n = n(q, v); (4.7.1) with mass M, damping D, stiffness K, given forces f and any nonlinear parts n. The modal quantities . q from discretization in the space domain and their derivatives q= v with respect to time are taken to be independent state variables. The corresponding linear homogeneous part of (4.7.1), rewritten in standard hypermatrix manner,

q • 0 1 q = , v M 1K M 1D v " # " − − − − # " # . q 0 1 or z= Sz with z = , S = , (4.7.2) v M 1K M 1D " # " − − − − # can be solved by an exponential representation in the time domain.

z(t) = exp (St)z0, z0 = z(t = 0). (4.7.3)

2erschienen in Acta Technica Acad. Sci. Hung.“ 108 (1-2), S. 161-175 (1997-99) ” 68 4. NUMERISCHE LOSUNG¨ IM ZEITBEREICH

To achieve numerical results it is absolutely necessary to ﬁnd a numerical realization of the more or less symbolic exponential formulation. A Taylor-like series expansion,

1 eSt 1 + St + S2t2 + , (4.7.4) ∼ 2 · · · generates explicit unstable time-stepping schemes. Pade’´ s expansion however,

St n n 1 m m e (1 + b St + + b S t )− (1 + a St + + a S t ) = P , (4.7.5) ≈ 1 · · · n 1 · · · m mn generates implicit schemes with controllable overall qualities.

Besides series expansions there are time-ﬁnite elements based on mixed variational formulations or on a corresponding weighted residual formulation. Borri, Mello and Atluri [1] gave a general formulation towards hybrid time-ﬁnite-elements, Aharoni and Bar-Yoseph [2] concentrated on relaxed continuity conditions within the time gap between adjacent time steps. Li & Wiberg [3], [4] and Ruge [5] presented results for vibration systems including a simultaneous time-step adaptation. Ruge included nonlinear parts and found a transition equation

1 2 5 h h2 h M + 3 D + 18 hK 6 D 9 K − − 2 z1 = 1 M + 1 D + 7 hK M + h D h K " − h 3 18 6 − 18 #

1 M + 2 D 2 hK M q h 3 − 9 z + c(n, f). z = . (4.7.6) 1 M + 1 D h K 0 0 v " − h 3 − 9 # " # Short form Az1 = Bz0 + c,

between the initial values z¯0 given and the values z1 at the interval end, searched for. The interpolation behind this equation is a linear one; for the quantities q and the velocities v. In addition, the nonlinear part n has been interpolated there in a linear manner, too.

q(t) = q 1 t + q t , 0 − h 1 h v(t) = v 1 t + v t , 0 t h. (4.7.7) 0 h 1 h  − t t ≤ ≤ n(t) = n0 1 + n1 .  − h h The way towards this result (4.7.6) needs some algebraic operations and is rather sophisticated. At ﬁrst glance there seems to be no possibility to achieve a symmetric coefﬁcient matrix A on the left side in the case of symmetric system matrices M = MT , D = DT , K = KT . Nevertheless Ruge [5] found a special linear combination A∗ = L A,

1 1 L A z = L B z + L c, L = . 1 0 h 1 2 h1 " 3 − 3 # 2 h2 D + 3 hK M 6 K q L A = A∗ = 2 − 2 , z = , (4.7.8) M h K 2 hM h D v " − 6 − 3 − 6 # " # h D 3 K M if + in L B = B∗ = − , L c = c∗ = 2 , M h M h ( f n ) " 3 # " 6 − 1 − 1 # T with a modiﬁed symmetric matrix A∗ = (A∗) . The column c∗ contains the given forces f and the nonlinear parts, interpolated in the same linear manner as the nodal degrees of freedom and nodal 4.7 Zeitdiskretisierung mittels diskontinuierlicher Hamilton-Darstellung (Aufsatz) 69 velocities:

h if = f(t)d t, f1 = f(t = h). Z0 h h i = n(q(t), v(t))d t = (n + n ), n 2 0 1 Z0 n0 = n(q0, v0), n1 = n(q1, v1). (4.7.9)

Direct approach by quadratic interpolation

Here the nodal quantities q(t), v(t) are interpolated by quadratic functions.

t 2 t t2 t2 q(t) = q 1 + q 2 + v t + , 0 − h 1 h − h2 1 − h t 2 t t2 t2 v(t) = v 1 + v 2 + a t + . (4.7.10) 0 − h 1 h − h2 1 − h

The acceleration a1 at the end of the actual time interval of length h can be described by the equations of motion

M a = D v K q + f + n ; (4.7.11) 1 − 1 − 1 1 1 this is by collocation. A different quadratic interpolation

t2 t2 t2 q(t) = q 1 + v t + q , 0 − h2 0 − h 1 h2 t2 t2 t2 v(t) = v 1 + a t + v , (4.7.12) 0 − h2 0 − h 1 h2 emphasizes the initial quantities (q0, v0) and (v0, a0), known, whereas the alternative version (4.7.10) is especially inﬂuenced by the unknown quantities (q1, v1) and (v1, a1) at the end of the actual time step. Here the ﬁrst interpolation (4.7.10) will be developed in detail. The nonlinear parts n will be presented by quadratic interpolations, too. Either by

t2 t2 t2 n(t) = n 1 + n• t + n , 0 − h2 0 − h 1 h2 d n• = n(q(t), v(t)) 0 d t (q0,v0)

or by

t 2 t t2 t2 n(t) = n 1 + n 2 + n• t + . (4.7.13) 0 − h 1 h − h2 1 − h 70 4. NUMERISCHE LOSUNG¨ IM ZEITBEREICH

The integration task for the governing differential equations (4.7.1) is very simple.

h (Mv˙ + Dq˙ + Kq f n)dt = 0 − − → Z0 h 2h h2 M(v v ) + D(q q ) + K q + q v 1 − 0 1 − 0 3 0 3 1 − 6 1 h 2h h2 = i + n + n n˙ . (4.7.14) f 3 0 3 1 − 6 1 h M (q˙ v) = 0 − → Z0 h 2h h2 M(q q ) = Mv + Mv ( Dv Kq + f + n ) . (4.7.15) 1 − 0 3 0 3 1 − 6 − 1 − 1 1 1 Ma1 | {z } Assembling both results (4.7.14) and (4.7.15) for q1 and v1 in one common equation generates the typical transition relation between z0 given and z1 searched for.

2 h2 D + 3 hK M 6 K q1 h2 2 − h2 = M K hM D v1 " − 6 − 3 − 6 # " # h D 3 K M q0 if + in − h + h2 ; M M v0 ( f n ) " 3 # " # " 6 − 1 − 1 # h if = f(t)dt, f1 = f(t = h); Z0 h h h2 2h i = n dt = n n˙ + n . n 3 0 − 6 1 3 1 Z0 Short form: Az1 = Bz0 + c. (4.7.16)

Obviously this result (4.7.16) is identical with the transition process (4.7.8) which is based on a

discontinuous variational formulation or, alternatively, on a P12 Pade-e´ xpansion of the exponential representation (4.7.3) as has been shown by Ruge [5]. However, the numerical approach shown here is extremely simple and has some advantages which are assembled in the following table.

Approximation Time step Method Stability functions for Symmetry adaptation q(t), v(t), n(t) by error control By means of Discontinuous Not direct out linear discontinuity Variational Formulation of the process Unconditional control stable; No direct

P12-expansion undeﬁned Not direct possibility out numerical of the process damping By velocity Direct quadratic Direct out quadratic and acceleration interpolation of the process control

Tabelle 4.7.1: Properties of time-discretization methods with identical transition matrices A, B 4.7 Zeitdiskretisierung mittels diskontinuierlicher Hamilton-Darstellung (Aufsatz) 71

The quadratic approximation for all quantities including the nonlinear parts improves their representation compared with the linear version. h Linear : i = (n + n ). n 2 0 1 h h2 Quadratic : i = (2n + n ) n˙ . (4.7.17) n 3 1 0 − 6 0 Time-step-adaptation strategies by controlling some special errors are straight at hand, too.

Error indicator

Individual interpolations for q(t) and v(t) in equation (4.7.10) can be used to calculate any velocity either by v(t) or q˙ (t). Here in (4.7.10) both functions are normalized with respect to v1. However, with regard to v0 there may exist a difference between q˙ (t = 0) and v(t = 0) = v0. 2 ∆v = q˙ (t = 0) v(t = 0) = (q q ) (v + v ). (4.7.18) 0 − h 1 − 0 − 0 1 This error is an a posteriori one and is the same as in the discontinuous variational approach by Ruge

[5]. Here an additional error is indicated by the initial acceleration a0; on the one hand a0 can be calculated by v˙ (t = 0) and on the other hand by collocation for the equations of motion: 2 v˙ (t = 0) = ( v + v ) a , h − 0 1 − 1 Ma = Dv Kq + f + n . (4.7.19) 0 − 0 − 0 0 0

The description of the acceleration a1 at the end of the actual time-interval by collocation in (4.7.11), (4.7.15) is part of the transition equation itself. After this equation (4.7.16) has been solved, a1 can be calculated by simply using equation (4.7.15) which follows from integrating q˙ v = 0: − 6 2 a = (q q ) + (v + 2v ). (4.7.20) 1 h2 0 − 1 h 0 1

Finally the difference ∆a0 searched for can be calculated as follows:

∆a = v˙ (t = 0) a 0 − 0 → 2 ∆a = (v v ) (a + a ), 0 h 1 − 0 − 0 1 a0 from Ma0 = Dv0 Kq0 + f0 + n0, 6 − − 2 a from a = (q q ) + (v + 2v ). (4.7.21) 1 1 h2 0 − 1 h 0 1

Alternatively, one can control the force M∆a without calculating a0 from equation (4.7.19): 6 4 6 2 M∆a = K M q + D M v + Mq Mv f n . (4.7.22) 0 − h2 0 − h 0 h2 1 − h 1 − 0 − 0

Error estimation

The discrepancies (4.7.18) and (4.7.21) or (4.7.22) concerning velocities and accelerations can be used as error indicators even in situations with nonlinear parts. 72 4. NUMERISCHE LOSUNG¨ IM ZEITBEREICH

If the analysis is restricted to linear state equations, it is possible to establish an exact a priori local

error estimator. Starting point is the Pade´ P12-representation

1 2 1 − 1 P = 1 Sh + S2h2 1 + Sh (4.7.23) 12 − 3 6 3 for the solution of the homogeneous linear state equation:

P ade z1 = P12 z0. (4.7.24)

This approach creates the same transition equation (4.7.16) as the quadratic interpolation as has been pointed out before. Ex The error e of this result (4.7.24) compared with the exact solution z1 ,

e = zEx zP ade, zEx = TExz , 1 − 1 1 0 ∞ hj TEx = exp(Sh) = 1 + Sj, (4.7.25) j! Xj=1

will be elaborated explicitly. The essential step is the fact that the transition matrix P12 can be formulated without any matrix-inversion. If the denominator part in P12 is assumed such that the identity matrix is numerically superior to the two following parts Sh and S2h2, then the inversion

1 2 (1 Z )− 1 + Z + Z + . . . , − ∼ 2 1 Z = Sh S2h2 (4.7.26) 3 − 6 can be done by using Taylors’s expansion. The ﬁrst series part including h4S4,

1 2 5 2 2 2 3 3 1 4 4 (1 Z)− = 1 + hS + h S + h S + h S + . . . , (4.7.27) − 3 18 27 364

are taken to describe the transition matrix P12 according to equation (4.7.23)

1 1 P = (1 Z)− 1 + Sh = 12 − 3 1 1 1 1 + hS + h2S2 + h3S3 + h4S4 + . . . . (4.7.28) 2 6 36 Finally by using (4.7.23) and (4.7.28) it is possible to describe the local error e as a function of the time step h.

e = zEx zP = (TEx P )z , 1 − 1 − 12 0 1 1 TEx P = h4S4 h4S4 + O(h5), − 12 24 − 36 1 e = h4S4z . (4.7.29) → 72 0

According to the inner structure of the state vector zT = uT vT the error vector e in (4.7.29) contains the error eu concerning the nodal quantities uh and the errori ev concerning the nodal velocities.

T T T e = eu ev . (4.7.30) h i 4.7 Zeitdiskretisierung mittels diskontinuierlicher Hamilton-Darstellung (Aufsatz) 73

4 The evaluation of the product S z0 should be done with care in order to minimize the numerical effort. In detail, 4 successive algebraic equations with identical coefﬁcient matrix M have to be solved.

c0 0 1 e∗ = S S [S(Sz )] = , S = ; { 0 } d M 1K M 1D " 0 # " − − − − # Ma = Dv + Ku a . − 0 0 0 → 0 Mb = Da + Kv b . − 0 0 0 → 0 Mc = Db + Ka c ! − 0 0 0 → 0 Md = Dc + Kb d ! (4.7.31) − 0 0 0 → 0 Besides the error h4 e = S4z H 72 0 of the homogeneous solution there can be an error er contributed by the excitation part r of the equations of motion, z˙ = Sz + r.

By means of Duhamel’s formula,

t S(t τ) 0 z(t) = e − r(τ)dτ, r = , M 1f Z0 " − # h S(t τ) z1 = e − r(τ)dτ, (4.7.32) Z0 and by using the series expansions for the exponential function, for the exact representation as well as for the P12-representation it is possible to calculate the error er. h e = TEx(h τ) P (h τ) r(τ)dτ. r − − 12 − Z0 1 TEx(h τ) P (h τ) = (h τ)4S4 + O(h5). (4.7.33) − − 12 − 72 − The integral (4.7.33) can be evaluated by using any numerical or exact method. If, for example, r is interpolated in a quadratic manner, 2 h 4 2 h r(τ) = r τ (τ h) + r τ (h τ) + r τ τ , 0 h2 − 2 − c h2 − 1 h2 − 2 h r = r(τ = 0); r = r τ = ; r = r(τ = h), (4.7.34) 0 c 2 1 er is straight at hand: 1 1 e = h5S4[25r + 20r 3r ] . (4.7.35) r 72 0 c − 1 210

Error Norm

A proper error indicator should be characterized by a suitable norm η of e; the simplest one is the Euclidian vector norm

e = √eT e = eT e + eT e . (4.7.36) | | u u v v q 74 4. NUMERISCHE LOSUNG¨ IM ZEITBEREICH

However, here is no sense in calculating such a norm, due to the different physical quantities involved in e. Instead one should use an energy norm; either measured absolutely

T K 0 e abs= e Q e, Q = , (4.7.37) k k " 0 M #

T or relatively compared with the initial overall system energy zIniQzIni: eT Q e e rel= T . (4.7.38) k k zIniQ zIni Whichever of the norms η is taken, it is possible by means of the a priori error e at the beginning of the actual time step to achieve a given accuracy η¯ by a properly chosen time-step h. The following formula uses the relative energy norm (4.7.38):

T T 8 (u Ku + v Mv)Ini K 0 h 5184 η¯ 4 T 4 , Q = ; z0 = 0. (4.7.39) ≤ (S z0) Q(S z0) " 0 M # 6

Time-step-ﬁxing

The length h of the time-step to be done is determined by the ﬁxed value η¯ as shown in equation (4.7.39) for z = 0. If at the very beginning of the integration process z is equal to zero, then the 6 0 other parts r0, rc and r1 with identical power of h are taken to describe the normalized error.

z0 = 0 : 4 h 4 h e = S r∗, r∗ = (25r + 20r 3r ), r 72 210 0 c − 1 T 8 4 T 4 (er) Q er h (S r∗) Q(S r∗) T = T η¯. r∗ Q r∗ 5184 r∗ Q r∗ ≤ 8 T h r∗ Qr∗ η¯ 4 T 4 h. (4.7.40) 5184 ≤ (S r∗) Q(S r∗) → There is no proﬁt, however, from changing the time-step length for each separate step: The coefﬁcient matrix A of the time-stepping scheme in equation (4.7.16),

Az1 = Bz0 + Az1 = Bz0 + c,

contains the time-step h and has to be decomposed for each new value h. Here the actual quotient η 0 is calculated by taking the actual values z0 and h = h0.

T 8 e0 Q e0 T h0 4 T 4 η0 = T , e0 Qe0 = (S zˆ0) Q(S zˆ0); (zˆ0 Q zˆ0)Ini 5184 h zˆ = z + (25r + 20r 3r ). (4.7.41) 0 0 210 0 c − 1

If η 0 differs more than a certain amount from the ﬁxed value η¯,

> µη¯ if η 0 µ > 1, ( < η¯/µ, (4.7.42) 4.7 Zeitdiskretisierung mittels diskontinuierlicher Hamilton-Darstellung (Aufsatz) 75

then h0 is no more accepted and is replaced by a new step size hnew for the time step to come evaluated by means of the local error estimator (4.7.39) in the previous chapter. The parameter µ in (4.7.42) describes the interval where the current step size is accepted; the greater µ, the greater is the deviation from the error bound η¯. Suitable values for η¯ and µ should be found by numerical experiments.

Example

A simple linear damped vibration system with 2 degrees of freedom gives an impression on how the method with an a priori local error estimation works. The matrices are listed below,

2 0 0.8 0.4 6 2 M = , D = − , K = − , 0 1 0.4 0.4 2 4 " # " − # " − # 0 f = = const., " 10 # the initial conditions are altogether equal to zero:

q0 = 0, v0 = 0.

Throughout the treatment of this example an absolute energy norm of the error is used.

8 h 4 T 4 K 0 η = (S zˆ0) Q(S zˆ0), Q = , 5184 " 0 M # h zˆ = z + r; rT = 0 0 0 10 (4.7.43) 0 0 5 h i At the very beginning with z0 = 0 the ﬁrst time step follows from 5184η¯ 1 h10 = , β = bT Qb with b = S4r. (4.7.44) β 5 The value η¯ of the error norm must be given by the calculating engineer. Before the time-stepping algorithm steps into the next interval to be done, the actual norm η0 with using zˆ0 and h from the last step is calculated by equation (4.7.43) in order to judge about changing the step size or not according to equation (4.7.42). If η0 is no more accepted then a new step size based upon η¯ is calculated by solving the algebraic equation

h8(α + 2hγ + h2β) η¯ 5184 = 0, − T 4 α = a Q a, a = S z0, 1 β = bT Q b, b = S4r, 5 γ = aT Q b = bT Q a, (4.7.45) resulting from equation (4.7.44) for h. Instead of solving equation (4.7.45) by iteration one can use the very good approximation from 5184 h8 η¯; α = aT Qa, a = S4z . (4.7.46) ≈ α 0 6 From fig.(4.7.1) and fig.(4.7.2) the influence of 2 different absolute error-norms η¯ = 10− and 2 η¯ = 10− can be seen very clearly. If the acceptance parameter µ is set to unity, η = 1, then 76 4. NUMERISCHE LOSUNG¨ IM ZEITBEREICH

every time step is changed according to (4.7.45) or (4.7.46). Otherwise, for example with η = 2, only some few step-changes occur as is shown in ﬁg.(4.7.3).

The development of the different norms versus time in ﬁg.(4.7.4) and ﬁg.(4.7.5) shows the decisi- T T ve role of the energy norm of the error compared with the eu-norm, eu eu and the ev-norm ev ev. Of course, for µ = 1, the energy norm of the error must equal η¯.

−6 Abbildung 4.7.1: Displacements u1 and u2 versus time with η¯ = 10 , µ = 2. Comparison with exact results.

Conclusion

Variational approaches in space and time are very often used in the structural dynamics commu- nity. On the other hand there are a developments in linear dynamics which are based upon proper representations of the exponential exp(Sh) of the transition matrix. Discontinuous Hamiltonian approaches can be used in linear as well as in nonlinear dynamics; however the theory and the algebra behind seems to be rather sophisticated. Here in this paper a new method has been presented which simply integrates the state equations by using quadratic independent interpolation functions for the state variables. The direct outcome of this procedure is a symmetric coefﬁcient matrix on the left side if the system matrices M, D, K are symmetric themselves. Furthermore there are velocity and acceleration discontinuities, too, due to the independent approaches for displacements u and velocities v, which can be used as error indicators. As a P12-Pade´ representation for exp(Sh) results in identical time-stepping coefﬁcient matrices compared with the quadratic interpolation, this relation has been used in this paper to establish an a priori error-estimator for linear dynamic systems. This estimator uses an energy-like norm in order to

combine displacement errors eu and velocity errors ev in a consistent manner. 4.7 Zeitdiskretisierung mittels diskontinuierlicher Hamilton-Darstellung (Aufsatz) 77

−2 Abbildung 4.7.2: Displacements u1 and u2 versus time with η¯ = 10 , µ = 2. Comparison with exact results.

Abbildung 4.7.3: Time-step h versus time for two acceptance parameters µ = 1 and µ = 2. η¯ ﬁxed to 10−6. 78 4. NUMERISCHE LOSUNG¨ IM ZEITBEREICH

T T T −6 Abbildung 4.7.4: Error norms eu eu, ev ev and energy norm e Qe versus time for µ = 2, η¯ = 10 . Logarithmic scale.

T T T −6 Abbildung 4.7.5: Error norms eu eu, ev ev and e Qe versus time for µ = 1, η¯ = 10 . Logarithmic scale. 4.7 Zeitdiskretisierung mittels diskontinuierlicher Hamilton-Darstellung (Aufsatz) 79

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Ausbreitungsprobleme - Wave Propagation

5.1 Wellenausbreitung in Festk¨orpern

Ein Schwerpunkt der bisherigen Darstellung war die numerische Integration von Bewegungs- gleichungen im Zeitbereich. Wesentlicher Gesichtspunkt dabei war die Sicherstellung der Sta- bilit¨at des Ub¨ ertragungsverhaltens. Diese besondere Eigenschaft resultierte aus der grundle- genden Forderung, daß die harmonische Schwingung eines unged¨ampften Ein-Massen-Schwin- gers physikalisch richtig wiedergegeben wird. Notwendige Bedingung dafur¨ war die Erhaltung T der Norm des Zustandsvektors zk = uk vk in einem beliebigen Zeitpunkt tk im Vergleich mit dem Startvektor z0. h i

5.1.1 Teil I - Grundlagen

Bei Ausbreitungsproblemen stellen sich die grundsätzlich zu fordernden Qualitäten einer Zeitdiskretisierung deutlich anders dar. Entscheidend hierbei ist die richtige Abstimmung zwischen der Ortsschrittweite hx und der Zeitschrittweite ht, die durch die Wellenaus- breitungsgeschwindigkeit c bestimmt wird. Die Existenz einer solchen Größe bei elastischen Systemen läßt sich recht gut beim eindimensionalen massebehafteten Stab nachweisen. Mit dem Elastizitätsmodul E, Querschnitts- fläche A, Massendichte ρ (Masse pro Volumen) und Längsverschiebung u = u(x, t) fuhrt¨ der Schwerpunktsatz fur¨ ein Massenpartikel dm = ρA dx auf eine partielle Differentialgleichung, die Bewegungsgleichung des Systems

ρAu¨ = E A u00, die meist mit einem neuen Parameter c2 = E/ρ versehen wird: 2 2 c u00 u¨ = 0, c = E/ρ. (5.1.1) − Die physikalische Dimension von c ist in der Tat die einer Geschwindigkeit. E N m3 kg m 1 m3 m2 c2 = = = = . (5.1.2) ρ m2 kg s2 · m2 · kg s2 Desweiteren l¨aßt sich einfach nachprufen,¨ daß alle analytischen Funktionen der Variablen- kombinationen ξ = x + c t und η = x c t, − uf = f(ξ), ξ = x + c t, u = g(η), η = x c t, g − uges(x, t) = cf uf (x, t) + cgug(x, t) = cf f(ξ) + cgg(η) = u(x, t), (5.1.3) 82 5. AUSBREITUNGSPROBLEME - WAVE PROPAGATION

die Bewegungsgleichung (5.1.1) identisch erfullen.¨ Diese Lösungsfunktion wird auch Wellen- ansatz nach d’Alembert genannt. Mit den partiellen Ableitungen ∂u(x, t) ∂f ∂ξ ∂g ∂η u0 = = c + c = c f, +c g, , ∂x f ∂ξ dx g ∂η dx f ξ g η ∂2u(x, t) ∂ξ ∂η u00 = = c f, + c g, = c f, +c g, , ∂x2 f ξ ∂x g η ∂x f ξξ g ηη ∂u(x, t) ∂f ∂ξ ∂g ∂η u˙ = = c + c = c cf, +c ( c)g, , ∂t f ∂ξ ∂t g ∂η ∂t f ξ g − η ∂2u(x, t) ∂ξ ∂η u¨ = = c cf, + c ( c)g, = c c2f, +c c2g, (5.1.4) ∂t2 f ξξ ∂t g − ηη ∂t f ξξ g ηη läßt sich diese Aussage verifizieren:

2 2 2 2 c u00 u¨ = c (c f, +c g, ) c c f, +c c g, = 0! (5.1.5) − f ξξ g ηη − f ξξ g ηη Die typische Kombination (5.1.3) der Variablen x und t l¨aßt sich auch im gewohnten Sepa- rationsansatz wiederﬁnden,

u(x, t) = U(x)f(t), f(t) = a cos ωt + b sin ωt = Re ceiωt , (5.1.6)

der die partielle Bewegungsgleichung (5.1.1) in eine gew¨ohnliche Gleichung

2 2 c U 00 + ω f(t) = 0 (5.1.7)

ub¨ erfuhrt.¨ Man spricht auch vom Produktansatz nach Bernoulli1. Die L¨osung U(x),

ω ω i ω x U(x) = A cos x + B sin x = Re Ce c , (5.1.8) c c n o l¨aßt sich sowohl reell als auch komplex darstellen und mit dem Zeitanteil f(t) zur Ge- samtl¨osung zusammenfugen.¨

i ω (x c t) u(x, t) = U(x)f(t) = Re C˜e c . (5.1.9) n o Die besondere Darstellungsart (5.1.3) nach der Regel

Wo x steht, steht auch der Partner c t “ (5.1.10) ” erlaubt auf sehr einfache Weise das Fortschreiben einer gegebenen Anfangssituation u(x, t = 0) in die Zukunft mit t > 0.

Beispiel

Einem beidseitig unbegrenzten Dehnstab nach Bild (5.1.1) wird die skizzierte Auslenkung in Sta- blängsrichtung aufgeprägt; man denke dabei an ein Gummiband, das man in den Punkten L und R festhält und im Punkt M um ein Maß a nach rechts auslenkt. Zum Zeitpunkt t = 0 wird das Band aus der Anfangssituation

2 x 2 2 a 1 2 ; x h . u(x, t = 0) = − h ≤ (5.1.11) ( 0 ; x2 h2. ≥ 1Jacob (Jacques) Bernoulli (1654-1705), Schweizer Mathematiker. 5.1 Wellenausbreitung in Festkörpern 83 heraus freigegeben. Fur¨ t > 0 ist lediglich nach der Regel (5.1.10) zu verfahren, wobei eine gleichbe- rechtigte Beruc¨ ksichtigung beider Lösungstypen f(x c t) und g(x + c t) zu gewährleisten ist. − a x + c t 2 a x c t 2 u(x, t > 0) = 1 + 1 − . (5.1.12) 2 − h 2 − h " # " # Der linke Summand auf der rechten Seite von (5.1.12) steht dabei fur¨ den Anteil der Welle, welcher sich gemäß Bild (5.1.1) nach links ausbreitet und der rechte Summand fur¨ den Anteil der mit wachsendem t in Richtung der positiven x-Achse fortschreitet. h 2 h Die Wellenfronten L und R legen jeweils die Wege sL = sR = c t zuruc¨ k. Fur¨ t1 = c und t2 = c sind die zugehörigen Verschiebungssituationen im Bild 5.1.1 dargestellt.

6u a L R t = 0. - x

M h h

6 a 2 t = h . h h h h c

h t2 = 2 . - c

h h Abbildung 5.1.1: Verschiebungssituation fur¨ t = 0; c ; 2 c .

Die Anfangsenergie

E0 = (EKin + EP ot)0; (EKin)0 = 0, 1 h 2 4 h3 4 a2 E = 2 E Au 0 d x = E A a2 = E A, (5.1.13) P ot · 2 h4 3 3 h Z0 muß fur¨ beliebige Zeitpunkte erhalten bleiben. Mit den Ableitungen fur¨ die in x-Richtung laufende Welle,

0 a a c E u (x, t) = (x c t), u˙ = (x c t), c2 = , (5.1.14) −h2 − h2 − ρ

a c gilt die Energieerhaltung fur¨ den Zeitpunkt t = h/c mit u˙ = 2 (x h), 1 h − 1 2h a2c2 2 E = 2 ρA u˙ 2dx = ρA h3, Kin · 2 h4 3 Z0 1 2h 2 a2 2 E = 2 E A u 0 dx = E A h3, P ot · 2 h4 3 Z0 a2 2 c2ρ 2 4 a2 E = E A + = E A = E , (5.1.15) ges h 3 E 3 3 h 0 84 5. AUSBREITUNGSPROBLEME - WAVE PROPAGATION

und alle sp¨ateren Zeitpunkte.

Die Charakteristik (5.1.3) der Verschiebung u(x, t) = a f(x + c t) + b g(x c t) gilt in gleicher − Weise fur¨ die Dehnung ε = u0, die L¨angskraft L = E A u0 und die Spannung σ = L/A.

Die zeitlich ver¨anderliche Krafteinleitung

t F (x = 0, t) = F sin π (5.1.16) 0 T

am Kopf eines Rammpfahles nach Bild (5.1.2) ist betragsgleich mit der L¨angskraft L(L > 0 : Zug) an der Stelle x = 0. t L(x = 0, t) = F sin π . (5.1.17) − 0 T

Ein Fortschreiben dieser Situation (5.1.17) fur¨ Werte x = 0 nach der Regel (5.1.10), 6 F 6 F(t) F0 ? - - t L T ? x

a F a − 0 2

Abbildung 5.1.2: Systemskizze des Rammpfahles und zeitlicher Verlauf der Kr¨afte

π L(x, t) = +F0 sin (x c t), (5.1.18) Tc −

gibt sofort die allgemeine Lösung in Ort und Zeit. Nach der Zeitspanne T (Ende der Krafteinwirkung des Rammbärs) hat die Stoßwelle den Weg c T = a zuruc¨ kgelegt; der Längskraftverlauf ub¨ er der Stablänge, x L(x, T ) = F sin π 1 , (5.1.19) − 0 − a ist in Bild (5.1.2) dargestellt.

Die numerische Lösung von Wellenausbreitungsproblemen muß mit der Physik der Ausbrei- tung verträglich sein. Eine Anfangssituation nach Bild (5.1.3) darf nach einem Zeitschritt ht 5.1 Wellenausbreitung in Festkörpern 85

- x

hx hx hx hx 1 2 3 4

Abbildung 5.1.3: Skizze der Anfangssituation

aufgrund der Ausbreitungsgeschwindigkeit c nicht weiter als bis zum Punkt x = hx + c ht vorgedrungen sein. Mit 4 linearen Ortselementen und entsprechenden Systemmatrizen, 2 1 0 0 1 1 0 0 − A hx 1 4 1 0 E A 1 2 1 0 M = ρ   ; K =  − −  , 6 0 1 4 1 hx 0 1 2 1    − −   0 0 1 4   0 0 1 2     −  A h  E A    M = ρ x B. K = A, 6 hx M ist dabei die Massenmatrix des Dehnstabes mit kontinuierlicher Massenverteilung, liefert das absolut stabile Newmarkverfahren 2 mit h 2 h 2 t K + M u = t K + M u + 2Mv , 2 h 1 − 2 h 0 0 t t 2 0 h u =   , v = 0, h = x , u = u(h ) 0 0 0 t c 1 t    0      ein Gleichungssystem fur¨ u1, 2 2 A + B u = A + B u , 3 1 − 3 0 7 1 0 0 1 5 0 0 2 2 − 1 1 14 1 0 1 5 2 5 0 0 1 10  − −  u =     =   , 3 0 1 14 1 1 3 0 5 2 5 0 3 0  − −         0 0 1 14   0 0 5 2   0   0   −        T        u1 = 0.3923 0.7461 0.0536 0.00383 , h i dessen Lösung u1 = u(t = ht) die grundsätzliche Forderung u3 = u4 = 0 nicht exakt erfullt.¨ Abhilfe kann hier das zentrale Differenzenverfahren schaffen, das sich bei Aufgaben der eindimensionalen Wellenausbreitung als Zeitlöser bewährt hat, obwohl es nur bedingt stabil ist. Wie schon fruher¨ dargelegt, wird die Lösung u(t) der Bewegungsgleichung

Mu¨ + Ku = r , u = u(t), (5.1.20)

2Nathan Mortimore Newmark (1910-1981); amerikanischer Ingenieur und Wissenschaftler. 86 5. AUSBREITUNGSPROBLEME - WAVE PROPAGATION

ub¨ er 3 Zeitpunkte (t = h , t = 0, t = +h ) hinweg quadratisch interpoliert; dabei L − t M R t wird eine lokale Zeitz¨ahlung mit Zeitnullpunkt in Doppelstreifenmitte benutzt.

2 2 t(t ht) ht t t(t + ht) u(t) = uL −2 + uM −2 + uR 2 , 2ht ht 2ht 1 u˙ (t = 0) = ( uL + uR), 2ht − 1 u¨ = 2 (uL 2uM + uR). (5.1.21) ht − Aus der Forderung, daß der Ansatz (5.1.21) die Bewegungsgleichung (5.1.20) im Zeitpunkt t = tM = 0 erfullen¨ möge, resultiert die maßgebliche Differenzengleichung 1 2 M(uL 2uM + uR) + KuM = rM . (5.1.22) ht − Der erste Zeitschritt benötigt 2 Zustandsspalten, u = u(t = h ), u = u(t = 0), zur L − t M Berechnung der Spalte uR = u(t = +ht) am Ende des 1. Zeitschrittes.

Der Anfangswert u0 ist vorgegeben; uL l¨aßt sich nach (5.1.21) ub¨ er die gegebene Anfangsge- schwindigkeit

uR uL u˙ 0 = − uL = uR 2htu˙ 0 (5.1.23) 2ht → − ausdruc¨ ken.

Zuruc¨ k zur konkreten Anwendung: die numerischen Lösung der in Bild 5.1.3 skizzierten Auf- gabe, die hier mit Hilfe des Differenzenverfahrens erfolgt. Nach einer Vielzahl von Fehlversu- chen fand man eine spezielle Integrationsform fur¨ die Generierung der Massenmatrix mit einer geradezu idealen Auswirkung auf das Lösungsverhalten. Dazu wird die Elementmassenmatrix in sogenannter lumped“ Form dargestellt, d.h. die Elementmasse wird als am geometrischen ” Ort des Freiheitsgrades konzentriert angenommen:

ρhxA 1 0 ρhxA 2 1 MEle = statt . (5.1.24) 2 " 0 1 # 6 " 1 2 #

Fur¨ das Beispiel aus Bild 5.1.3 stehen damit die Matrizen

1/2 0 0 0 0 1 0 0 M = ρA hxA, A =   ; 0 0 1 0    0 0 0 1    1 1 0 0 − E A 1 2 1 0 K = B, B =  − −  , hx 0 1 2 1  − −   0 0 1 2   − 

fur¨ die ﬁnite Zeitub¨ ersetzung bereit, die im folgenden ohne weiteren Kommentar ausgefuhrt¨ wird. Ausgangspunkt ist dabei (5.1.22). 5.1 Wellenausbreitung in Festk¨orpern 87

1. Zeitschritt:

2 0 u0 =   ; u˙ 0 = 0 uL = uR = uht ; uM = u0. 0 →    0  1   2 E A 2 ρAhxA2uht = 2 ρAhxAu0 Bu0. ht ht − hx 2 2 2 E ht c ht Mit 2 = 2 2 = 1 : ρ hx c ht 4 4 0

−1 0 2 1 2uht = 2u0 A Bu0 =    −  . uht =   . − 0 − 0 0        0   0   0        2. Zeitschritt:

2 0 0 1 uL = u0 =   ; uM = uht =   . 0 0      0   0     

2 0 2 0 − − − 0 2 2 0 u = u + 2 u A 1 B u =   +     =   . (5.1.25) 2ht − L M − M 0 0 − 1 1      −     0   0   0   0          Die eingerahmte L¨osungsformel (5.1.25) gilt entsprechend fur¨ alle folgenden Zeitschritte.

3. Zeitschritt:

0 0 1 0 uL =   ; uM =   . 0 1      0   0      0 0 0 0 1 0 1 0 u3 ht =  −  +    −  =   . 0 2 − 2 0          0   0   1   1       −    4. Zeitschritt:

0 0 0 0 uL =   ; uM =   . 1 0      0   1      0 0 0 0 0 0 0 0 u4 ht =   +     =   . 1 0 − 1 0  −     −     0   2   2   0          88 5. AUSBREITUNGSPROBLEME - WAVE PROPAGATION

5. Zeitschritt:

0 0 0 0 uL =   ; uM =   . 0 0      1   0      0 0 0 0 0 0 u5 ht =   +   =   . 0 0 0        1   0   1   −     −  6. Zeitschritt bis 9. Zeitschritt:

0 0 2 0 − 0 1 0 1 u6ht =   ; u7ht =  −  ; u8ht =   ; u9ht =  −  . 1 0 0 0  −         0   0   0   0         

Die in Bild 5.1.4 skizzierten Verschiebungssituationen stellen das exakte Ausbreitungsverhalten dar.

5.1.2 Teil II - Vertiefende Betrachtungen

5.1.2.1 Ausbreitung in elastischen Kontinua (wave propagation in elastic conti- nua)

Ausbreitungsprobleme zeichnen sich durch wandernde Wellen mit der Ausbreitungsgeschwin- digkeit c [m/s] aus. Bei offenen Gebieten folgt daraus Energieabstrahlung nach außen, wodurch die Erschutterungen¨ am Entstehungsort gemildert werden. Man spricht deshalb auch von Abstrahldämpfung (radiation damping). Bei geschlossenen Gebieten mit reflektierenden Rändern oder auch bei Gebieten mit Schichtfugen können stehende Wellen entstehen mit typischen Eigenfrequenzen. Bei einer schlagartigen Erschutterung¨ können auch in geschlossenen Gebieten Ausbreitungserscheinungen von Bedeutung sein. Typische Ausbreitungsgeschwin- digkeiten z. B. in Stahl mit

m km c 5 100 = 18 360 Stahl ≈ s h oder in Beton mit m km c 4 000 = 14 400 Beton ≈ s h weisen darauf hin, daß das Phänomen der Wellenausbreitung in abgeschlossenen Körpern nur in Sonderfällen von Belang sein wird. In der Akustik luftgefullter¨ Räume ist die Ausbrei- tungsgeschwindigkeit mit

m km c = 344 = 1 238 bei 20◦C Luft s h dagegen in der Regel von Bedeutung. 5.1 Wellenausbreitung in Festk¨orpern 89

u 2 6

t = 0 6 t = 5ht

hx - 1 6 1 t = ht 6 t = 6ht

- 1 6 1 t = 2ht 6 t = 7ht

- 1 6 1 t = 3ht 6 t = 8ht

6 - 2

t = 4ht 6 t = 9ht

- 1

Abbildung 5.1.4: Darstellung der Wellenausbreitung mit hx = c ht.

5.1.2.2 Wellenausbreitung im Stab

Wesentliche Phänomene der Wellenausbreitung lassen sich an einem viskoelastisch gebetteten Dehnstab nach Bild (5.1.5) studieren. Die Bewegungsgleichung läßt sich recht einfach an einem infinitesimalen Element der Länge dx ablesen.

ρAdx u¨ = dN k dx u d dx u˙; N = EAu − − 0 Dampfung d = ¨ = Ns , A[m2] = Querschnitt. Länge m2 (5.1.26) k = Steifigkeit = N , Länge m2

ρ = Masse = kg , Volumen m3 90 5. AUSBREITUNGSPROBLEME - WAVE PROPAGATION

x, u - k - - f (t) ∞

d - - N(x=0,t) f(t)

N - N + dN

k dx u d dx u˙

Abbildung 5.1.5: Viskoelastisch gebetteter Dehnstab mit Totalschnitt bei x=0 und x.

Fur¨ dx 0 folgt aus (5.1.26) die Bewegungsgleichung in Form einer partiellen Differential- → gleichung, da die gesuchte Längsverschiebung u sowohl vom Ort x als auch von der Zeit t abhängt. k d ρ u00 u u˙ = u.¨ (5.1.27) − EA − EA E

5.1.2.2.1 Wellenausbreitung ohne Dämpfungsbettung Zunächst wird die Situation ohne Dämpfung mit d = 0 behandelt, um den Formelapparat zu entlasten. Desweiteren wird eine Sinuslast

f(t) = fˆsin Ωt (5.1.28)

am freien Stabende angenommen und die dazugeh¨orige Antwort ebenfalls harmonisch ange- setzt:

u(x, t) = Re u(x)C eiΩt , { } u¨(x, t) = Ω2u(x, t). (5.1.29) − Diese komplexe Formulierung erleichtert den Ub¨ ergang zum elastisch gebetteten Dehnstab mit zusätzlicher viskoser Dämpfung; die Integrationskonstante C kann ebenso komplex sein: C = CR + iCI . Als Resultat des Ansatzes (5.1.29) verbleibt nur noch eine gewöhnliche Differentialgleichung.

u (x, t) = λ2u(x, t), λ2 = k (1 η2). 00 EA −

2 (5.1.30) η2 = Ω η = Erregerfrequenz. k ` → Eigenfrequenz ρA ` Die Einfuhrung¨ des bekannten Frequenzverhältnisses η ist dynamisch begrundet:¨ Durch Er- weiterung des Nenners mit einer beliebigen Länge ` erhält man dort eine resultierende Er- ” satzfeder“ kl[N/m] und eine resultierende Ersatzmasse“. Der Quotient dieser Größen stellt ” 5.1 Wellenausbreitung in Festkörpern 91 in der Tat eine Eigenkreisfrequenz dar, wobei fur¨ η = 1 hier wie auch sonst fur¨ normale Schwinger eine besondere Situation gekennzeichnet ist. Die Differentialgleichung in (5.1.30) hat zwei Lösungen, exp(λx) und exp( λx), wobei − die erste physikalisch sinnlos ist, da eine Krafteinwirkung nur am freien Rand x = 0 im Bild (5.1.5) mit zunehmendem Abstand von der Krafteinwirkungsstelle nicht exponentiell anwachsen kann. Damit verbleibt nach (5.1.29) eine Lösung mit zwei harmonischen Anteilen, die je nach Erregungsanteil in (5.1.28) zum Tragen kommt.

λx u(x, t) = Re e− (CR + iCI )(cos Ωt + i sin Ωt) . n λx λx o u(x, t) = C e− cos Ωt C e− sin Ωt; R − I k λ = 1 η2. η 1! (5.1.31) rEA − ≤ p Die reelle Darstellung in (5.1.31), dort 2. Zeile, gilt in dieser Form nur fur¨ η-Werte kleiner/gleich Eins. Fur¨ η2-Werte größer Eins schreibt man λ zweckmäßig in imaginärer Form und fuhrt¨ einen modifizierten Parameter λ˜ ein. k η2 > 1 : λ = i η2 1 = iλ.˜ rEA − i(λ˜x pΩt) u(x, t) = Re e− − (CR + iCI ) u(x, t) = C ncos(λ˜x Ωt) + C sin(oλx˜ Ωt). (5.1.32) R − I − In diesem Zusammenhang gibt λ˜ offenbar die Anzahl der Schwingungen auf der Länge 2 π Metern an; man nennt λ˜ die Wellenzahl“. Die entsprechende Größe Ω im Zeitbereich steht ” fur¨ die Anzahl der Schwingungen in 2 π Sekunden. Wellenzahl λ˜ : Anzahl Schwingungen im Ortsbereich pro 2 π Meter. (5.1.33) Kreisfrequenz Ω : Anzahl Schwingungen im Zeitbereich pro 2 π Sekunden.

η2 1 { }

Die Konstanten CR und CI in (5.1.32) bestimmen sich aus dem Kr¨aftegleichgewicht am freien Stabende.

fˆsin Ωt + N(x = 0, t) = 0. N = EAu0(x, t). fˆsin Ωt + EA( λ) [C cos Ωt C sin Ωt] = 0. → − R − I fˆ C = 0; C = . R I −λEA ˆ f λx 2 u(x, t) = e− sin Ωt , η 1. (5.1.34) √kEA 1 η2 ≤ − Diese L¨osung besagt, daß kurzp nach dem Beginn der Krafteinwirkung bereits der gesamte Stab in Bewegung ger¨at, wobei die Verschiebungen allerdings exponentiell mit der Entfernung vom Krafteinwirkungspunkt abklingen. Mit der Verschiebung fˆ u(x = 0, t) = sin Ωt (5.1.35) √kEA 1 η2 − p 92 5. AUSBREITUNGSPROBLEME - WAVE PROPAGATION

l¨aßt sich eine dynamische Ersatzfeder K fur¨ den Krafteinwirkungspunkt deﬁnieren. f(x = 0, t) K = = √kEA 1 η2, η2 1. (5.1.36) u(x = 0, t) − ≤ p η2 1 { }

Mit der allgemeinen Lösung (5.1.34) und u (x, t) = λ˜C sin(λx˜ Ωt) + λC˜ cos(λx˜ Ωt) 0 − R − I − (5.1.37) u0(x = 0, t) = +λC˜ R sin Ωt + λC˜ I cos Ωt ist abermals das Kräftegleichgewicht am freien Stabende bei x=0 zu erfullen.¨ ! fˆsin Ωt + EAλ˜[CR sin Ωt + CI cos Ωt] = 0. fˆ k C = 0, C = ; λ˜ = η2 1. I R ˜ → −EAλ rEA − ˆ p u(x, t) = f cos(λx˜ Ωt) . (5.1.38) √kEA√η2 1 − − − Das Argument (λx˜ Ωt) im Cosinus der Gleichung (5.1.38) verweist auf die typische x-t- − Kombination eines Ausbreitungsproblems mit der sogenannten Phasengeschwindigkeit cP Ω cP = ; x = cP t . λ˜ 2 c0 E 2 Ω cP = , c0 = , η = 1 ! (5.1.39) 1 ρ k 1 s ρA ≥ − η2 q Die Diskrepanz zwischen cP (η) und der Ausbreitungsgeschwindigkeit c0 = E/ρ kennzeich- net dispersive Systeme. Fur¨ η , das heißt Ω , geht c(η) in c ub¨ er. Fur¨ η 1 → ∞ → ∞ 0 p → wächst c(η) ub¨ er jedes Maß hinaus.

Die Verschiebung an der Stelle x = 0, fˆ u(x = 0, t) = cos Ωt, −√kEA η2 1 − Ωfˆ u˙(x = 0, t) = p sin Ωt, (5.1.40) √kEA η2 1 − ist hier fur¨ η2 1 nicht zeitsyncp hron zur Kraftanregung; wohl aber die Geschwindigkeit. ≥ Daraus resultiert die Definition eines Ersatzdämpfers an der Kraftangriffsstelle. f(x = 0, t) 1 D = = √kEA η2 1. (5.1.41) u˙(x = 0, t) Ω − p K Eine alternative Darstellung folgt aus der Defini- tion einer komplexen Steifigkeit an dem Ersatzsy- - ˆ iΩt · f(t) = f e stem in Bild (5.1.6). ·· D Abbildung 5.1.6: Viskoelastisches Ersatzsy- stem Aus dem Kräftegleichgewicht fêiΩt = K u(x = 0, t) + D u˙(x = 0, t) (5.1.42) 5.1 Wellenausbreitung in Festkörpern 93 und einem harmonischen Ansatz u(x = 0, t) = uˆ eiΩt, u˙(x = 0, t) = iΩuˆ eiΩt, (5.1.43) folgt auf naturlic¨ he Weise eine komplexe Ersatzfeder S. fˆ = (K + DiΩ)uˆ = Suˆ. S = K + iΩD. η2 < 1 : S = K = √EAk 1 η2. (5.1.44) 2 − 2 2 Ωp η = 1 : S = O. η = k . ρA η2 > 1 : S = iΩD = i√EAk η2 1. − Insgesamt gibt es also eine durchgängigep Formulierung der Ersatzviskoelastizität des einseitig unbegrenzten Dehnstabes: S = √EAk 1 η2. − η2 < 1 : Ersatzfederp η2 = 1 : S = O. (5.1.45) η2 > 1 : Ersatzdmpfer Dem Wert η = 1 kommt offenbar eine besondere Bedeutung zu. Infolge verschwindender ˜ k Steifigkeit wachsen fur¨ η = 1, das heißt Ω = ρA , die Amplituden ub¨ er jedes Maß hinaus. Dies ist die Resonanzsituation; die dazugehörigeq Frequenz Ω˜ mit η = 1 nennt man auch cutoff-Frequenz, da sie den Bereich η2 < 1 ohne Abstrahldämpfung vom folgenden Bereich η2 > 1 mit Abstrahldämpfung trennt. η2 < 1 : Keine Abstrahldämpfung = keine Ausbreitung; c = 0. ⇒ P η2 > 1 : Abstrahldämpfung (5.1.46) 2 η 2 E 2 Ω cP = c0 . c0 = , η = η2 1 ρ k − ρA p 5.1.2.2.2 Wellenausbreitung mit Bettungsdämpfung Die Bewegungsgleichung (5.1.27) wird fur¨ einen harmonischen Ansatz u(x, t) = u(x) eiΩt (5.1.47) zeitfrei. 2 2 u00(x, t) = λ u(x, t) mit λ = α + iβ. k Ω2ρA Ωd α = − , β = . (5.1.48) EA EA Zur Darstellung der Lösung u(x) = C eλx benötigt man λ als komplexe Zahl: λ = (a + ib) , λ2 = a2 b2 + 2iab − a2 b2 = α ; 2ab = β (5.1.49) → − α + r2 r2 α a2 = > 0 , b2 = − > 0 , r2 = a2 + b2 . 2 2 94 5. AUSBREITUNGSPROBLEME - WAVE PROPAGATION

Die allgemeine Lösung (a+ib)x (a+ib)x iΩt u(x, t) = Aeˆ + Bê− e (5.1.50) h i wird an die Randbedingung bei x=0 angepaßt; hier zunächst mit komplexer Amplitude Fˆ fur¨ die Last: F (t) = Fˆ eiΩt . ! Mit EAu0(x = 0) + Fˆ = 0 (5.1.51) folgt (Aˆ Bˆ)EAλ + Fˆ = 0 , λ = a + ib . → − Nach Einsetzen von Aˆ aus (5.1.51) in die allgemeine Lösung (5.1.50) verbleibt dort noch die komplexe Konstante Bˆ = BR + iBI . ˆ ax i(bx+Ωt) F (a+ib)x iΩt u(x, t) = e e + Bˆ + Bê− e . (5.1.52) "−λEA # Aus physikalischen Grunden¨ muß der exp(ax)-Anteil entfallen, da die Verschiebung u(x → , t) mit zunehmendem Abstand x von der Lastangriffsstelle gegen Null gehen muß. ∞ → ∞ Daraus folgt das Verschwinden der eckigen Klammer in (5.1.52) und folglich eine Bestim- mungsgleichung fur¨ Bˆ: Fˆ Fˆ + Bˆ = 0 Bˆ = , λ = a + ib. (5.1.53) "−λEA # → λEA Das Endergebnis fur¨ u(x, t) läßt sich komplex darstellen oder auch reell, je nach Formulierung der Erregung. Komplex : F (t) = FêiΩt ˆ F λx iΩt u(x, t) = e− e . λ = a + ib. (5.1.54) λEA Reell :

F (t) = FC cos Ωt + FS sin Ωt = Re (F iF )eiΩt . Fˆ = F iF . { C − S } C − S e ax u(x, t) = − F [a cos(Ωt bx) + b sin(Ωt bx)] (5.1.55) EA(a2 + b2){ C − − +F [a sin(Ωt bx) b cos(Ωt bx)] . S − − − } Die Verschiebung u(x = 0, t) an der Lastangriffsstelle nach Gleichung (5.1.54), Fˆ u(x = 0, t) = eiΩt = ueˆ iΩt λEA infolge der Erregung F (t) = FêiΩt = F (x = 0, t) weist eine zeitfreie Proportionalität der Amplituden uˆ und Fˆ aus. Fˆ = λEAuˆ . λ = a + ib , α + r2 r2 α a2 = , b2 = − , r2 = a2 + b2 , 2 2 k Ω2ρA Ωd α = − , β = . (5.1.56) EA EA 5.2 Wellenausbreitung im Wasser 95

Der komplexe Proportionalit¨atsfaktor

S = (a + ib)EA (5.1.57) in (5.1.56) repräsentiert den Ersatz des halbunendlichen Stabes durch eine viskoelastische Punktlagerung mit einer Ersatzfeder K = aEA und einem viskosen Ersatzdämpfer D = b Ω EA. Im Fall der Bettungsdämpfung gibt es nur einen durchgängigen Bewegungstyp, der keine Ausbreitungscharakteristik aufweist. Folglich gibt es auch keine Ausbreitungs- oder Phasengeschwindigkeit und damit auch keine Dispersion.

5.2 Wellenausbreitung im Wasser

Die klassische technische Hydrodynamik gilt unter folgenden Voraussetzungen

Reibungsloses, isotropes, homogenes Medium. • Temperaturunabhängigkeit. • Konstante Ausbreitungsgeschwindigkeit c. • Geschwindigkeit v der Masseteilchen klein gegenub¨ er c. • Dynamische Druckänderung p klein gegenub¨ er statischem Druck p . • 0 Dichteänderung dρ klein gegenub¨ er Ruhedichte ρ [Masse/Volumen]. • Der Impulssatz

p d ,x dV ρ v = p dV ρv˙ = grad p (5.2.1) dt −  ,y  → − p,z     fur¨ ein infinitesimales Wasserteilchen dm = ρdV verknupft¨ die Geschwindigkeit v und die dynamische Druckänderung p. Druck- und Dichteänderung sind ub¨ er die adiabatische Zu- standsgleichung miteinander ub¨ er die Schallgeschwindigkeit c verknupft:¨

∂p = c2∂ρ. (5.2.2)

Die Kontinuit¨atsgleichung bilanziert den Massenstrom durch ein Element,

in x-Richtung : (ρvx),xdx dydz dt, in y-Richtung : (ρvy),y dy dx dz dt, in z-Richtung : (ρvz),z dz dx dy dt, mit der Dichte¨anderung im Wasserteilchen: ∂ρ ∂ρ 1 ∂p ρ div v + = 0. = . (5.2.3) ∂t ∂t c2 ∂t Durch Divergenzbildung von Gleichung (5.2.1) und Elimination von v mittels (5.2.3) erh¨alt man eine reine Druckformulierung:

c2∆p p¨ = 0. − ∆p = p,xx + p,yy + p,zz. (5.2.4) 96 5. AUSBREITUNGSPROBLEME - WAVE PROPAGATION

Harmonische L¨osungen

p(x, t) = p(x)eiωt (5.2.5)

mussen¨ die Helmholtzgleichung ω2 ∆p + k2p = 0, k2 = (5.2.6) c2 mit der Wellenzahl k erfullen.¨ Eine sehr ausfuhrlic¨ he Darlegung der akustischen Grundlagen bietet:

- Skudrzyk, E.: Die Grundlagen der Akustik. Springer-Verlag, Wien 1954.

Eine wichtige Problemklasse der Baudynamik ist die Analyse des Systems Staumauer- Staubecken im Fall eines Erdbebens. Das Staubecken wird dabei als sehr lang mit l z → ∞ angenommen. Ein ebenes Modell wie im Bild (5.2.1) beschreibt das Problem ausreichend rea-

listisch. Eine horizontale Bodenerregung az teilt sich bei starrer Mauer allen Kontaktﬂ¨achen

x ` h z → ∞ z, w

- az = w¨

Abbildung 5.2.1: Staubecken mit sehr großer Ausdehnung in L¨angsrichtung

zwischen Damm und Wasser mit . Am Boden (x=0) werden aufgrund einer angenommenen Reibungsfreiheit keine Kr¨afte ub¨ ertragen. Ub¨ er den Impulssatz (5.2.1) kann die Erdbebenbe- schleunigung az in eine zugeordnete Randbedingung fur¨ den Druckgradienten umgerechnet werden.

ρa = p . (5.2.7) z − ,z Der hydrodynamische Druck p(x, z, t) auf die Staumauer folgt aus der L¨osung der Bewe- gungsgleichung (5.2.4)

c2(p + p ) p¨ = 0 ,xx ,zz − unter Beachtung der Randbedingungen: z = 0 : p = ρa . ,z − z x = 0 : p = 0. ,x (5.2.8) x = h : p = 0. z : p = 0, p = 0. → ∞ ,z 5.2 Wellenausbreitung im Wasser 97

Ein Separationsansatz x π p(x, z, t) = p (z, t) cos (2j 1) , j = 1, 2, . . . (5.2.9) j h 2 − Xj=1 reduziert das Problem (5.2.8) auf die Variablen z und t. Ein zusätzlicher harmonischer Ansatz iΩt pj(z, t) = pj(z) e (5.2.10) transformiert die Formulierung in den Frequenzbereich π 2 Ω2 p = (2j 1) p p . p = p (z). (5.2.11) j,zz 2h − j − c2 j j j Diese Gleichungh ist fur¨ jedesi j separat zu lösen, wobei eine Form entsteht wie im Abschnitt 5.1.2 π 2 p = p λ2; λ2 = (2j 1) (1 η2). j,zz j j j 2h − − j Ω h i η = . (5.2.12) j c π (2j 1) 2h − Die Lösung im Frequenzbereich kann in Anlehnung an die dortige Entwicklung realisiert werden. Dazu wird vorbereitend die in x konstante Beschleunigung az = aˆ ub¨ er die Höhe der Staumauer korrespondierend mit der Reihenentwicklung (5.2.9) der Druckverteilung in x-Richtung dargestellt: a (x) x π z = aˆ cos (2j 1), aˆ j h 2 − Xj=1 ( 4) aˆ = ( 1)j − . (5.2.13) j − (2j 1)π − Die zeitliche Veränderung wird harmonisch als Sinusfunktion angenommen. aˆ cos x π (2j 1) az(x, t) = aˆ j h 2 sin Ωt. (5.2.14) j=1 − P Damit lassen sich die noch freien Konstanten CR,j, CI,j des Lösungsanteils

λj z λj z p (z, t) = C e− cos Ωt C e− sin Ωt j R,j − I,j ub¨ er die Randbedingung

∂p ! j = ρaˆ sin Ωt (5.2.15) ∂z − j z=0 berechnen,

ρ CR,j = 0, CI,j = aˆj, −λj wodurch der Druckverlauf insgesamt bestimmt ist: x π p(x, z, t) = P cos (2j 1), j h 2 − j=1 X x π p (x, z, t) = Q cos (2j 1). ,z − j h 2 − Xj=1 aˆj λj z λj z Pj = ρ sin Ωt e− , Qj = ρaˆj sin Ωt e− ; λj π Ω λ = (2j 1) 1 η2, η = . (5.2.16) j 2h − − j j c π (2j 1) q 2h − 98 5. AUSBREITUNGSPROBLEME - WAVE PROPAGATION

An der Kontaktfläche z = 0 zwischen Staumauer und Wasser ergeben sich fur¨ Druck Pj und Druckgradient Qj als Träger der Lasteinwirkung (ρaˆj sin Ωt) mit

aˆj Pj(z = 0, t) = ρ sin Ωt, Qj(z = 0, t) = ρaˆj sin Ωt λj identische Verh¨altnisse wie in Abschnitt 5.1.2 beim Dehnstab, wobei auch hier die spezielle Form der Belastung durch die dynamische Fluid-Ersatzfeder K eliminiert werden kann.

Qj(z = 0, t) Kj = = λj. Pj(z = 0, t) π Ω λ = (2j 1) 1 η2, η = . j 2h − − j j c π (2j 1) q 2h − π Ω2 λj = 1 : λ1 = 1 . (5.2.17) 2h − cπ 2 s 2h Nach den Ausfuhrungen¨ in Abschnitt 5.1.2 ist es offenbar, daß die Formulierung (5.2.17) fur¨ alle η W erte gilt. Fur¨ η2 < 1 repräsentiert K eine Fluidfeder“, fur¨ η2 > 1 wird die − j ” Abstrahldämpfung maßgeblich. Die hier dargelegten Zusammenhänge fur¨ das Medium Wasser gelten gleichermaßen fur¨ das Medium Luft; allgemein fur¨ reibungsfreie Fluide und Gase unter den eingangs erwähnten Einschränkungen.

5.2.1 Semi-FEM Formulierung

Der bisherige halb-analytische Separationsansatz (5.2.9), x π p(x, z, t) = eiΩt p (z) cos (2j 1), (5.2.18) j h 2 − Xj=1 setzt hinsichtlich der Variablen x eine identische Entwicklung der Erdbebenbeschleunigung (5.2.13) ub¨ er die Höhe der Staumauer voraus. Diese Einschränkung läßt sich durch ein FEM- Ansatzkonzept vermeiden. Dabei wird auf den Zusammenhang

c2∆p p¨ = 0, − Rand R : p p¯ = 0, 0 − (5.2.19) Rand R : p p¯ = 0, 1 ,n − ,n ∆p : Laplace-Operator; z.B. ∆p = p,xx + p,yy + p,zz

δ 1 c2 (grad p)T (grad p)dG + (δp)p¨dG δ p¯ p dR = 0 2 − ,n 1 Z Z Z (5.2.20) δp = 0 auf R , grad p = p , : Nablaoperator , 0 5 5 zwischen Bewegungsgleichung und Variationsformulierung zuruc¨ kgegriﬀen. Der schichtwei- sen Diskretisierung des Wassers entsprechend Bild (5.2.2) entspricht ein linearer Ansatz pro Schicht j,

iΩt T p(x, z, t) = e pj (z)h(xj ),

pj(z) 1 xj/hj pj = , h(xj) = − (5.2.21) " pj+1(z) # " xj/hj # 5.2 Wellenausbreitung im Wasser 99

Fuge j + 1 xj = hj hj xj Schicht j Fuge j x = 0 x j z Fuge 0

Abbildung 5.2.2: Lagenweise Diskretisierung mit

p¯0,x = 0 fur¨ die Grundfuge. (5.2.22)

Einbringen des Ansatzes (5.2.21) in die Variationsformulierung (5.2.20) und Integration ub¨ er die Schichtdicke hj und Ausfuhrung¨ der Variation ergibt eine Formulierung mit pj = p(z)

c2 ∞ δpT H p + δpT H p dz Ω2 ∞ δpT H p dz = 0, 11 ,z 00 ,z − 00 Zz=0 Z0 1 1 1 hj 2 1 H11 = − , H00 = , (5.2.23) hj 1 1 6 1 2 − ! ! die durch partielle Integration wieder in eine gew¨ohnliche Bewegungsgleichung zuruc¨ kgefuhrt¨ werden kann.

c2 H p (z) c2 H p Ω2 H p = 0. (5.2.24) 11 j − 00 j,zz − 00 j Fur¨ den Fall von n = 4 Schichten entsteht aus (5.2.24) ein gekoppeltes System von Fluidglei- chungen.

c2Mp = (c2K Ω2M)p(z) , h = h¯ , ,zz − j

2 1 0 0 0 1 4 1 0 0 h¯   M = 6 0 1 4 1 0 ,    0 0 1 4 1     0 0 0 1 2      (5.2.25) 1 1 0 0 0 p − 0 1 2 1 0 0 p1 1  − −    K = ¯ 0 1 2 1 0 , p = p2 . h  − −     0 0 1 2 1   p3   − −     0 0 0 1 1   p = 0   −   4      Die Modalmatrix X des Paares Kx = γMx mit

T T X KX = diag kj, X MX = diag mj, (5.2.26) 100 5. AUSBREITUNGSPROBLEME - WAVE PROPAGATION

transformiert mittels

p(z) = Xϕ(z) (5.2.27)

das System (5.2.25) auf n entkoppelte Gleichungen.

c2m ϕ = (c2k Ω2m )ϕ (z). j j,zz j − j j ϕ = ϕ λ2, → j,zz j j k Ω2 k m Ω2 λ2 = j = j 1 j . (5.2.28) j m − c2 m − k c2 j j j Diese Endform entspricht vollkommen der Formulierung (5.2.12). Die Ruc¨ ktransformation in den Originalraum gelingt nach (5.2.27) durch Multiplikation mit der Modalmatrix.

Beispiel

3 Fur¨ eine konstante Bebenbeschleunigung az mit ρaz = 1[N/m ] ﬁndet man fur¨ h = 100[m] Er- h gebnisse fur¨ den Druck p(x = 2 , z = 0) in der Literatur:

Meise, Th.: Randelementverfahren zur Berechnung der Ausbreitung skalarer Wellen im 3D-Zeit- und Frequenzbereich. Mitt.Nr. 90-6 des SFB 151, Tragwerksdynamik, Ruhr-Uni-Bochum (1990). Seite 120 ﬀ. j 4ρa ( 1) − x π p(x, z, t) = z − e( zλj +iΩt) cos (2j 1), − π (2j 1)λ h 2 − j=1 j X − π Ω λ = (2j 1) 1 η2, η = . (5.2.29) j 2h − − j j c π (2j 1) q 2h − ρa = 1, h = 100, Ω = 0 η = 0 : z → h n 4( 1)j 200 π p(x = , z = 0, t = 0) = − · cos (2j 1) 2 − π2(2j 1)2 4 − j=1 X − 800 √2 1 1 1 = 1 + + + 60, 2. − π2 2 − − 9 25 49 · · · ≈

5.3 Transformation in den Zeitbereich

5.3.1 Darlegung der Strategie

Fur¨ die eindimensionale Wellenausbreitung im viskoelastisch gelagerten Dehnstab und die Wellenausbreitung in reibungsfreien Fluiden wurden typische Formulierungen im Frequenz- bereich gefunden, die das Ph¨anomen der Abstrahld¨ampfung beinhalten. Unendlicher Dehnstab: ω2 √ 2 2 S = EAk 1 η , η = k . (5.3.1) − ρA p Unendliches Staubecken:

π 2 ω Sj = (2j 1) 1 ηj , ηj = π . 2h − − c (2j 1) q 2h − 5.3 Transformation in den Zeitbereich 101

Bei der Herleitung dieser Beziehungen wurden harmonische Schwingungen unterstellt, doch gelten die Gleichungen (5.3.1) oﬀenbar fur¨ beliebige Frequenzen ω. Bekanntlich ist jede Er- regung durch Fourierreihen darstellbar; auch zum Beispiel eine Eigenschwingung mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0, wenn man nur den Anfangsimpuls mv0 in eine Kurzzeitbelastung F h = mv0 umrechnet wie im Kapitel 1.9 beschrieben. Um die weiteren Entwicklungen von Bezeichnungs-Ballast zu befreien, wird von einer normierten Form der Steiﬁgkeit ausgegangen. Diese folgt aus (5.3.1), wenn alle Materialpara- meter den Wert 1.0 annehmen. In diesem vereinfachten Fall stimmen Erregerfrequenz ω und dimensionslose Frequenz η ub¨ erein.

S = 1 ω2, − ω∗ = 1 : Eigenfrequenzp . ω : Frequenz harmonischer Zeitfunktionen der Zustandsgrößen; z(t) = zêxp(iωt). fˆ = Su.ˆ f(t) = fêxp(iωt), u(t) = uˆ exp(iωt). (5.3.2)

Die grundlegende Idee bei der Transformation der Formulierung (5.3.2) in den Zeitbe- reich besteht darin, zun¨achst die nicht-algebraische Form √1 ω2 in eine algebraische Form − umzuwandeln, diese dann rein formal linear in iω darzustellen und damit eine direkt korrespondierende Beschreibung im Zeitbereich zu realisieren.

1. Schritt: Algebraisierung p + iωp + + (iω)αp 2 0 1 α ˆ 2 1 ω = · · · β ; f = 1 ω u.ˆ (5.3.3) − q0 + iωq1 + + (iω) qβ − p · · · p 2. Schritt: Linearisierung durch Einfuhrung¨ zus¨atzlicher Freiheitsgrade

Azˆ + iωBzˆ = ˆf. (5.3.4)

3. Schritt: Korrespondierendes System 1. Ordnung im Zeitbereich.

Az + Bz˙ = f; z = z(t) (5.3.5)

Die gebrochene Form (5.3.3) geht zuruc¨ k auf Wolf, der die numerische Realisierung der Ab- strahld¨ampfung in vielen Aufs¨atzen und Buchartikeln behandelt hat. Die Motivation zur Approximation (5.3.3) folgt aus der modalen Elimination im Rahmen der “Modalen Synthe- se“. Dabei werden z. B. die inneren Freiheitsgrade u1 und u2 des im Bild 5.3.1 skizzierten System eliminiert. Ausgehend von einem Originalsystem 1. Ordnung beziehungsweise einer linearen Form in (iω),

Az + Bz˙ = f(t) (A + iωB)zˆ = ˆf , → z(t) = zˆ exp(iωt), f(t) = ˆf exp(iωt), (5.3.6) Acc + iωBcc Ace + iωBce zˆc ˆfc = ˆ , " Aec + iωBec Aee + iωBee # " zˆe # " 0 # werden die inneren Freiheitsgrade zˆe eliminiert.

(A + iωB ) (A + iωB )(A + iωB ) 1 (A + iωB ) zˆ = ˆf . (5.3.7) cc cc − ce ce ee ee − × ec ec c c 102 5. AUSBREITUNGSPROBLEME - WAVE PROPAGATION

Die dazu erforderliche Invertierung der sogenannten λ-Matrix gelingt mit Hilfe der Links- und Rechtsmodalmatrix des Matrizenpaares Aee; Bee: (A + λB )x = 0 λ , . . . , λ ; X = [x . . . x ] . ee ee → 1 ne 1 ne (AT + λBT )y = 0 λ , . . . , λ ; Y = [y . . . y ] . (5.3.8) ee ee → 1 ne 1 ne Die Modalmatrizen diagonalisieren das Paar Aee, Bee, T Y AeeX = diag (αj); j = 1, . . . , ne. T Y BeeX = diag (βj) (5.3.9) und erm¨oglichen die Darstellung der Inversen

1 1 T (A + iωB )− = X diag Y (5.3.10) ee ee α + iωβ j j in Gleichung (5.3.7):

n T e `jrj (Acc + iωBcc) zˆc = ˆfc; " − j=1 αj + iωβj # P (5.3.11) L = [`1 . . . `ne ] = (Ace + iωBce)X,

R = [r1 . . . rne ] = (Aec + iωBec)Y.

Bei nur einem ¨außeren Freiheitsgrad uc im Koppelpunkt C stellt (5.3.11) genau die gebro-

- uc - u1 - u2 2 k 1 k 2 k

m m 2 d 1 d 2 d

1 k

Abbildung 5.3.1: Schwingungssystem mit 2 inneren Freiheitsgraden u1, u2.

chenen rationale Form (5.3.3) dar mit der Ordnung α = β + 1 im Zähler. Fur¨ das System in Bild (5.3.1) mit den dazugehörigen Matrizen 2 2 0 3 2 0 − − M = m diag 0; 1; 1 , D = d 2 3 1 , K = k 2 3 1 , { }  − −   − −  0 1 3 0 1 3  −   −  und der Bewegungsgleichung     Mu¨ + Du˙ + Ku = f(t), 1 ˆ f(t) = fc exp(iωt)  0  , 0   T   u (t) = uˆc uˆ1 uˆ2 exp(iωt), iω = λ, h i 5.3 Transformation in den Zeitbereich 103 erhält man die vollständige Originalform

3k + 2λd 2(k + λd) 0 fˆ − c 2(k + λd) mλ2 + 3λd + 3k (k + λd) uˆ = 0  − −    0 (k + λd) mλ2 + 3λd + 3k 0  −        und die auf die Zustandsgr¨oßen u,ˆ fˆ kondensierte gebrochen rationale Form.

12 + 28(iω) + 34(iω)2 + 26(iω)3 + 11(iω)4 + 2(iω)5 fˆ = uˆ . c 8 + 16(iω) + 14(iω)2 + 6(iω)3 + (iω)4 c m = 1 kg; d = 1 Ns/m; k = 1 N/m. (5.3.12)

5.3.2 Algebraische Approximation

Hier nun ist der umgekehrte Weg von einer gebrochen rationalen Form zum linearen System in (iω) zu konzipieren und als Vorbereitung dafur¨ zun¨achst diese gebrochene Form

fˆ = Su,ˆ p + p (iω) + + p (iω)M+1 2 ˜ 0 1 M+1 S = 1 ω S = · · · M (5.3.13) − → q0 + q1(iω) + + qM (iω) p · · · zu erzeugen. Ein beliebiger Koeffizient, z. B. q0, kann dabei zu 1 normiert werden. Die verbleibenden 2(M + 1) Koeffizienten können z. B. durch 2(M + 1)-malige Kollokation

! S˜ = S˜(ω ) = 1 ω2 = S ; j = 1, . . . , 2(M + 1), (5.3.14) j j − j j q oder durch Minimierung des Fehlerquadrates in einem vorzugebenden Intervall [ωMin, ωMax] berechnet werden. Bew¨ahrt hat sich insbesondere die Fehlerquadratmethode (least squares)

s S S˜ Minimum. (5.3.15) k j − j k→ Xj=1

Die Abgleichstellen ωj können dabei im Intervall gleichmäßig verteilt sein oder auch gehäuft an Stellen mit starker Veränderung der Funktion S(ω). Infolge des Nenners in (5.3.13) fuhrt¨ die Extremwertaufgabe (5.3.15) auf ein nichtlineares Gleichungssystem fur¨ die Koeffizienten pj, qj.

Eine modiﬁzierte Fehlernorm s ∆ = Q S P Minimum , k j j − j k→ Xj=1 M k Qj = q0 + (iωj) qk, (5.3.16) Xk=0 M+1 k Pj = (iωj) pk Xk=0 wichtet jeden Fehlersummanden in (5.3.15) individuell mit Qj und fuhrt¨ auf lineare Be- stimmungsgleichungen. Vorweg allerdings ist jede Diﬀerenz Q S P in ihren reellen und j j − j 104 5. AUSBREITUNGSPROBLEME - WAVE PROPAGATION

imagin¨aren Anteil aufzuspalten, um damit den reellen Betrag darzustellen:

∆ = (Re) + i(Im) = (Re)2 + (Im)2, j k j j k j j (Re) = S q S ω q S qω2q p + ω2p . . . , j Rj 0 − Ij j 1 − Rj j 2 · · · − 0 j 2 (Im) = S q + S ω q S ω2q ω p + ω3p . . . . (5.3.17) j Ij 0 Rj j 1 − Ij j 2 · · · − j 1 j 3 Sj = SRj + i SIj .

Das entstehende Gleichungssystem wird fur¨ einen Approximationsparameter M = 2 mit 7 zugeordneten Koeﬃzienten, von denen q0 schließlich zu 1 normiert wird, im Detail ausge- schrieben:

M=2:

T p = p0 p1 p2 p3 q0 q1 q2 ; q0 = 1. h i

Gradientenbildung:

s C C grad ∆ = 0 Cp = 0. C = 11 12 , −→ " C12 C22 # Xj=1 2 1 0 ωj 0 2 − 4  0 ωj 0 ωj  C11,j = 2 4 − , (5.3.18) ωj 0 ωj 0  −   0 ω4 0 ω6   − j j    1 0 ω2 − j C = (S2 + S2 ) 0 ω2 0 , 22,j Rj Ij  j  ω2 0 ω4  − j j    S ω S ω2S − Rj j Ij j Rj 2 3  ωjSIj ωj SRj ωj SIj  C12,j = − − . ω2S ω3S ω4S  j Rj j Ij j Rj   − −   ω3S ω4S ω5S   j Ij j Rj − j Ij   

Sj = SRj + i SIj .

Die reelle Koeffizientenmatrix C ist symmetrisch und die Blöcke C11 und C22 sind vollkommen gleich strukturiert. Durch Vorgabe von q0 = 1 reduziert sich das System (5.3.18) um 5.3 Transformation in den Zeitbereich 105 eine Gleichung und die entsprechende (hier die 5.) Spalte definiert die rechte Seite. q =1 Cp = 0 0 C˜ p˜ = r. s−→ 2 ˜ ˜ 2 2 2 C = Cj, r = rj, Sj = SRj + SIj . Xj=1 Xj=1 2 ωjSIj ω SRj j SRj 2 3 p0  ωj SRj ωj SIj  −  ωjSIj  p C11,j 1 3 4 2   ωj SIj ωj SRj    ωj SRj  p2 C˜ =  − −  , r = − , p˜ = . (5.3.19) j  4 5  j  3    ωj SRj ωj SIj  ω S  p3  −   j Ij       −     2 2   0   q1   ˜ T ωj Sj 0       C12,j   2 2   q2   4 2  S ω    0 ω S   j j     j j        5.3.2.1 Lineare Darstellung

Eine im Parameter λ = iω lineare Darstellung der Beziehung fˆ = S˜ u,ˆ p + p λ + + p λM+1 S˜ = 0 1 · · · M+1 , λ = iω, (5.3.20) 1 + q λ + + q λM 1 · · · M gelingt durch kontinuierliche Abspaltung linearer Anteile aus (5.3.20) mittels Ausmultiplizie- ren und Koeﬃzientenvergleich der λ-Terme. Beginnend mit der Startsituation P (0) uˆ = fˆ, Q(0) P (0) = p(0) + p(0)λ + + p(0) λM+1, (5.3.21) 0 1 · · · M+1 Q(0) = 1 + q(0)λ + + q(0)λM 1 · · · M wird das Vorgehen fur¨ die Entwicklungsstufe M=4 im Detail vorgefuhrt.¨

1. Abspaltung: (0) (0) P ! R = S(0) + , M = 4. Q(0) Q(0) (0) (0) (0) S = s0 + λs1 : separierter Anteil. (5.3.22) (0) (0) (0) 2 (0) 3 (0) R = r0 + λr1 + λ r2 + λ r3 : Residuum der Ordnung M-1=3. (0) (0) Die Koeﬃzienten sk und rk folgen auf explizite Weise aus einem Koeﬃzientenvergleich. ! S(0)Q(0) + R(0) = P (0) λ5 : s(0)q(0) = p(0) s(0); 1 4 5 → 1 λ4 : s(0)q(0) + s(0)q(0) = p(0) s(0); 0 4 1 3 4 → 0 3 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) λ : s0 q3 + s1 q2 + r3 = p3 r3 ; → (5.3.23) λ2 : s(0)q(0) + s(0)q(0) + r(0) = p(0) r(0); 0 2 1 1 2 2 → 2 λ1 : s(0)q(0) + s(0) + r(0) = p(0) r(0); 0 1 1 1 1 → 1 λ0 : s(0) + r(0) = p(0) r(0). 0 0 0 → 0 106 5. AUSBREITUNGSPROBLEME - WAVE PROPAGATION

Der eigentliche Trick“ des Verfahrens besteht nun darin, den verbleibenden nichtlinearen (0) (0) ” Rest R /Q durch eine neue Variable oder auch Zustandsgr¨oße v1 zu ersetzen.

(0) P (0) (0) fˆ = uˆ = [s + λs ]uˆ + vˆ1, Q(0) 0 1 Def R(0) vˆ1 = u.ˆ (5.3.24) Q(0)

Aus Vergleich mit der linken Seite fˆ in (5.3.24) kann v als Kraftgr¨oße identiﬁziert werden. − − 1

2. Abspaltung:

Durch Auflösung der Definitionsgleichung (5.3.24) fur¨ die neue Variable vˆ1 nach der Verschie- bung uˆ des Originalsystem entsteht abermals ein unechter Bruch, der durch Ausmultiplizieren in einen linearen Teil und einen Rest aufgespalten werden kann.

(0) (0) (1) Q Q ! (1) R uˆ = vˆ1; = S + . R(0) R(0) R(0)

(1) (1) (1) S = s0 + λs1 , (5.3.25) (1) (1) (1) 2 (1) R = r0 + λr1 + λ r2 .

(1) (1) Koeﬃzienten rk , sk aus Vergleich der λ-Potenzen.

λ4 : s(1)r(0) = q(0) s(1). 1 3 4 → 1 λ3 : s(1)r(0) + s(1)r(0) = q(0) s(1). 0 3 1 2 3 → 0 λ2 : s(1)r(0) + s(1)r(0) + r(1) = q(0) r(1). (5.3.26) 0 2 1 1 2 2 → 2 λ1 : s(1)r(0) + s(1)r(0) + r(1) = q(0) r(1). 0 1 1 0 1 1 → 1 λ0 : s(1)r(0) + r(1) = q(0) = 1 r(1). 0 0 0 0 → 0

Einfuhrung¨ einer neuen Variablen v2,

(1) (1) uˆ = [s0 + λs1 ] vˆ1 + vˆ2, Def R(1) R(0) vˆ2 = vˆ1 vˆ1 = vˆ2, (5.3.27) R(0) → R(1) mit der Bedeutung einer Verschiebung, korrespondierend mit uˆ.

3. Abspaltung:

Durch Ausmultiplizieren des unechten Bruchs aus (5.3.27),

(0) (0) (2) R R ! (2) R vˆ1 = vˆ2; = S + , R(1) R(1) R(1)

(2) (2) (2) S = s0 + λs1 , (5.3.28)

(2) (2) (2) R = r0 + λr1 , 5.3 Transformation in den Zeitbereich 107

entsteht eine weitere Variable v3 korrespondierend mit der Kraftgröße v1 (2) (2) vˆ1 = [s0 + λs1 ]vˆ2 + vˆ3, Def R(2) R(1) vˆ3 = vˆ2 vˆ2 = vˆ3. (5.3.29) R(1) → R(2) Aus S(2)R(1) + R(2) = R(0) folgen die Koeffizienten λ3 : s(2)r(1) = r(0) s(2). 1 2 3 → 1 2 (2) (1) (2) (1) (0) (2) λ : s0 r2 + s1 r1 = r2 s0 . → (5.3.30) λ1 : s(2)r(1) + s(2)r(1) + r(2) = r(0) r(2). 0 1 1 0 1 1 → 1 λ0 : s(2)r(1) + r(2) = r(0) r(2). 0 0 0 0 → 0 M=4. Abspaltung: die letzte M=4. Abspaltung generiert eine M. Variable vM = v4 korrespondierend mit der Weggröße v2. (1) (1) (3) R R ! (3) R vˆ2 = vˆ3; = S + , R(2) R(2) R(2)

(3) (3) (3) (3) (3) S = s0 + λs1 , R = r0 .

→ (3) (3) vˆ2 = [s0 + λs1 ] vˆ3 + vˆ4, (5.3.31) (3) Def R (2) (3) vˆ4 = vˆ3 R vˆ4 = R vˆ3. (5.3.32) R(2) → Aus S(3)R(2) + R(3) = R(1) folgen die Koeffizienten: λ2 : s(3)r(2) = r(1) s(3). 1 1 2 → 1 λ1 : s(3)r(2) + s(3)r(2) = r(1) s(3). (5.3.33) 0 1 1 0 1 → 0 λ0 : s(3)r(2) + r(3) = r(1) r(3). 0 0 0 0 → 0 Die letzte Definitionsgleichung (5.3.32) fur¨ v4 läßt sich direkt ohne weitere Abspaltung in linearer Version anschreiben. Insgesamt ist damit die gebrochene rationale Anfangsformulie- rung P (0)(λM+1) uˆ = fˆ Q(0)(λM ) in eine Folge von M + 1 = 5 linearen Gleichungen ub¨ erfuhrt¨ worden mit M = 4 zusätzlichen Variablen. (5.3.24) [s(0) + λs(0)]uˆ + vˆ = fˆ. → 0 1 1 (5.3.27) [s(1) + λs(1)]vˆ + vˆ = u.ˆ → 0 1 1 2 (5.3.29) [s(2) + λs(2)]vˆ + vˆ = vˆ . (5.3.34) → 0 1 2 3 1 (5.3.31) [s(3) + λs(3)]vˆ + vˆ = vˆ . → 0 1 3 4 2 (5.3.32) [r(2) + λr(2)]vˆ = r(3)vˆ . → 0 1 4 0 3 108 5. AUSBREITUNGSPROBLEME - WAVE PROPAGATION

Die zusammenfassende Matrizenformulierung gilt sowohl im Frequenzbereich als auch im Zeitbereich. Azˆ + λBzˆ = ˆf,

Azˆ(t) + Bz˙(t) = f(t).

z(t) = zˆ exp(iωt), f(t) = ˆf exp(iωt).

(0) so 1 0 0 0 u f (1)  1 s0 1 0 0  v1 0 − −(2)     A = 0 1 s 1 0 , z = v2 , f = 0 ,  − 0   (3)   v   0   0 0 1 s0 1   3     − −(4)       0 0 0 1 s   v4   0   − 0            B = diag s(0) s(1) s(2) s(3) s(4) . (5.3.35) 1 − 1 1 − 1 1 n o (4) (2) (3) (4) (2) (3) s0 = r0 /r0 , s1 = r1 /r0 . (5.3.36) Die M+1 Gleichungen aus (5.3.34) sind so normiert worden, daß die tridiagonale Koeffi- zientenmatrix Symmetrieeigenschaften besitzt, was die numerische Lösung erleichtert und zudem die Konzeption eines zugeordneten Schwingungssystems mit Dämpfern und Federn ermöglicht. Diese Möglichkeit ist allerdings in keiner Weise unabdingbare Voraussetzung fur¨ die Gultigk¨ eit der geschilderten Methode; sie kommt lediglich dem Bedurfnis¨ des Ingenieurs nach Veranschaulichung entgegen. Die wechselnde physikalische Bedeutung der zusätzlichen Variablen als Weggrößen oder Kraftgrößen war Anlaß fur¨ die Formulierung mixed internal ” variables“ in der Literatur: Ruge, P.; Trinks, C.; Witte, S.: “Time-domain analysis of unbounded media using mixed-variable formulations.“ Earthquake Engineering and Structural Dynamics 30, 899-925 (2001).

Die sukzessive Linearisierung nichtlinearer algebraischer Steiﬁgkeitsformulierungen im Fre- quenzbereich gelingt nicht nur wie vorstehend dargelegt fur¨ skalare Beziehungen (0) M 1 (0) M+1 [Q (λ )]− [P (λ )] uˆ = fˆ (5.3.37) sondern in vollkommen analoger Weise auch fur¨ Mehrfreiheitsgrad-Formulierungen (0) M 1 (0) M+1 T [Q (λ )]− [P (λ )] uˆ = fˆ, uˆ = [uˆ1 . . . uˆn], (5.3.38)

in Matrizenform. Folgerichtig sind die zus¨atzlichen inneren Variablen ihrerseits Spalten v1, v2, . . . mit jeweils n skalaren Variablen.

Beispiel 1:

In Kapitel 5.3 wurde das dort im Bild (5.3.1) skizzierte Schwingungssystem auf die am freien Knoten deﬁnierten Zustandsgr¨oßen fˆc und uˆc kondensiert. (0) 5 (0) 4 [P (λ )/Q (λ )]uˆc = fˆc.

P (0) = 12 + 28λ + 34λ2 + 26λ3 + 11λ4 + 2λ5,

Q(0) = 8 + 16λ + 14λ2 + 6λ3 + λ4. 5.3 Transformation in den Zeitbereich 109

(0) Hier ist es bequemer, den Wert q0 = 8 ungleich 1 zu belassen.

1. Abspaltung:

P (0) R(0) = ( 1 + 2λ) + , R(0) = 20 + 28λ + 16λ2 + 4λ3. Q(0) − Q(0) R(0) ( 1 + 2λ)uˆ + vˆ = fˆ ; vˆ = uˆ . → − c 1 c 1 Q(0) c 2. Abspaltung

Q(0) 1 λ R(1) = + + , R(1) = 2 3λ λ2. R(0) 2 4 R(0) − − − 1 λ R(1) + vˆ + vˆ = uˆ ; vˆ = vˆ . → 2 4 1 2 c 2 R(0) 1 3. Abspaltung:

R(0) R(2) = ( 4 4λ) + , R(2) = 12 + 8λ. R(1) − − R(1) R(2) ( 4 4λ)vˆ + vˆ = vˆ ; vˆ = vˆ . → − − c 3 1 3 R(1) 2 4. und letzte Abspaltung:

R(1) 3 λ R(3) 1 = + , R(3) = . R(2) −16 − 8 R(2) 4 3 λ R(3) vˆ + vˆ = vˆ , vˆ = vˆ . → −16 − 8 3 4 2 4 R(2) 3 1 (12 + 8λ)vˆ = vˆ bzw. (48 + 32λ)vˆ = vˆ . → 4 4 3 4 3 Die 5 mit Pfeil ( ) versehenen Gleichungen bestimmen die Matrizen A und B des Systems (5.3.35) → 1. Ordnung.

Azˆ + λBzˆ = ˆf. 1 1 0 0 0 uˆ fˆ − c c 1 1 1 0 0 vˆ 0  − 2 −   1    A = 0 1 4 1 0 , zˆ = vˆ2 , ˆf = 0 ,  − − 3       0 0 1 1   vˆ3   0   16 −       0 0 0 1 48   vˆ4   0   −            B = diag 2 1 4 1 32 . (5.3.39) − 4 − 8 Die 5 Eigenwerte dieses Systems aus dem homogenen Problem (A + λB)zˆ = 0 sind mit

λ = 0, 389531 1, 068685i; 1,2 − λ = 1, 721131 0, 8151345i; 3,4 − λ = 1, 278677 5 − identisch mit den Eigenwerten aus dem homogenen Originalproblem

(λ2M + λD + K)x = 0, M = diag 0 1 1 , { } 110 5. AUSBREITUNGSPROBLEME - WAVE PROPAGATION

welches als Hypersystem

K 0 D M x + λ = 0 (5.3.40) 0 M M 0 λx − der numerischen L¨osung zugefuhrt¨ wird. Infolge der singul¨aren Massenmatrix brechen Standardrou- tinen mit einer entsprechenden Fehlermeldung ergebnislos ab; die alternative Formulierung (5.3.39) hingegen wird ohne Probleme abgearbeitet.

Die analytischen L¨osungen zum Beispiel fur¨ den Dehnstab, Ω2 S = √EAk 1 η2, η2 = , (5.3.41) − k ρA p gelten fur¨ zeitharmonisches Verhalten der Zustandsgr¨oßen,

z(t) = zˆ exp(iΩt),

also auch der Erregung. Periodisch Erregungen mit einer Periodendauer T können als Summe harmonischer Erregungen mit Frequenzen Ωj = j2π/T dargestellt werden; fur¨ nichtperiodi- sche Erregungen (man sagt auch transiente Erregungen) wie zum Beispiel einen Stoß (Impuls) bleibt nur die formale Definition einer gegen Unendlich strebenden Periodendauer T . → ∞ Die zugeordneten Frequenzen ub¨ erstreichen jetzt konsequenterweise das gesamte Frequenz- band, so daß die dynamische Steifigkeit (5.3.41) auch fur¨ einen Impuls insbesondere in der Lesart F h = 1 mit F = 1/h gilt. Dies soll an einem Beispiel demonstriert werden: · Beispiel 2:

Dazu wird die normierte Steiﬁgkeit S S˜ = = 1 η2 √EAk − p als gebrochen rationales Polynom

P p + iηp + + (iη)7p S˜ = 0 1 · · · 7 , M = 6, ≈ Q 1 + iηq + + (iη)6q 1 · · · 6 dargestellt. Die Koeﬃzienten pk, qk folgen aus der Minimierung des Fehlerquadrates

s=51 S˜ Q P Minimum, η = (j 1)∆η, k j j − j k→ j − j=1 X im Intervall [0; 3.0] mit der Schrittweite ∆η = 0.06:

p0 = 0.9983, p1 = 3.2388, p2 = 6.7765, p3 = 10.032 , p4 = 10.6432, p5 = 9.2762, p6 = 4.8352, p7 = 2.4746, q1 = 3.2257, q2 = 6.3440, q3 = 8.2185, q4 = 8.0416, q5 = 4.8348, q6 = 2.4747.

Die Bilder (5.3.2) und (5.3.3) zeigen die Verläufe von Real- und Imaginärteil von S˜ und P/Q. Fur¨ M = 6 ist die Ub¨ ereinstimmung sehr gut; aber auch eine gröbere Anpassung mit nur M = 3 ist bereits befriedigend. Die Umsetzung der gebrochenen algebraischen Formulierung mit M = 6 in ein System 1. Ordnung nach Gleichung (5.3.35), (5.3.36)

Az + iηBz = 0, 5.3 Transformation in den Zeitbereich 111

Abbildung 5.3.2: Realteil der normierten Steifigkeit S˜ = 1 η2. − p (0) −3 (0) s0 = 0.25084 10 , s1 = 0.99995, (1) · −1 (1) s0 = 0.20696 10 , s1 = 2.00586, (2) − · (2) s0 = 0.49492, s1 = 1.76956, s(3) = 6.49354, s(3) = 2.28737, 0 − 1 − s(4) = 0.11785, s(4) = 0.80910 10−1, 0 1 − · s(5) = 1.60956 10+2, s(5) = 2.69639 10+2, 0 · 1 · s(6) = 8.38419 10−4, s(6) = 2.85412 10−3, 0 − · 1 · erlaubt die Berechnung der Systemantwort auf einen Impuls mit F = 1/h im ersten Zeitintervall [0; h] im Zeitbereich; h=0.01 s. Die Lösung erfolgte rein numerisch mit linearen Ansätzen beziehungsweise der Padé-P11-Entwicklung. Fur¨ die jeweils zu Eins gesetzten Systemdaten, N kg N E = 1 , A = 1 m2, ρ = 1 , k = 1 , m2 m3 m2 zeigt Bild (5.3.4) die Verschiebung uc(t); die exakte Lösung

u(t) = J0(t), J0(0) = 1, als Besselfunktion 1. Art, nullter Ordnug wird durch die Version mit M=6 oﬀenbar sehr gut angen¨ahert. 112 5. AUSBREITUNGSPROBLEME - WAVE PROPAGATION

Abbildung 5.3.3: Imagin¨arteil der normierten Steiﬁgkeit S˜ = 1 η2. − p

Abbildung 5.3.4: Verschiebungs-Zeitfunktion fur¨ elastisch gebetteten Dehnstab Kapitel 6

Die Regelung elastischer Strukturen und ihre dynamische Analyse

6.1 Grundlagen

In Sondersituationen ist es schwierig, unwirtschaftlich, ästhetisch unbefriedigend oder auch einfach mit großen Unwägbarkeiten verbunden, ein Bauwerk so zu konzipieren, daß es allen nur denkbaren Belastungen standhält. Man denke dabei insbesondere an die Lastfälle Erd- beben und Windböen, aber auch an die komplexe Beanspruchung leichter Tragwerke durch sich bewegende Menschen. Durch ein sorgfältig abgestimmtes Zusammenwirken von Bauwerk, Sensoren und Aktua- toren ist es im modernen Tragwerksentwurf möglich, extreme Situationen durch Messungen zu registrieren und daraufhin besondere Komponenten der Struktur zu aktivieren und zwar so, daß im Enstehen begriffene kritische Bauwerkssituationen quasi auf halbem Wege“ auf- ” gehalten und abgemindert werden. Die Aktivierung der Gegenwirkung erfordert grundsätzlich Energie, die im Katastrophen- fall eventuell nur in sehr beschränktem Maße zur Verfugung¨ steht. Aus diesem Grund wird als Zielfunktion fur¨ die Auslegung einer Regelung sehr oft die Minimierung der Gesamtenergie gewählt:

E = E + E + E Minimum ges kin verf stell −→

Ekin : kinetische Energie

Everf : Verformungsenergie

Estell : Energie der Stellgr¨oßen (6.1.1)

Dabei sind die Stellgrößen u die Kräfte/Momente, welche aufgrund der aktivierten Gegen- wirkungen auf das System einwirken und somit zunächst auf der Lastseite der Zustandsglei- chungen erscheinen:

q˙ v = 0 − Mv˙ + Dq˙ + Kq = f + Bu .

B : Eingriﬀsmatrix (6.1.2) 114 6. REGELUNG UND DYNAMISCHE ANALYSE ELASTISCHER STRUKTUREN

Die Eingriffsmatrix enthält die Information, auf welche Knoten (Freiheitsgrade) die jeweiligen Stellgrößen einwirken. In den angefugten¨ Tagungsbeiträgen (s. Abschnitt 6.2) [1] Ruge, P.: Time-Discretization Methods for Structural Systems with Instantaneous • Optimal Control and Delay

[2] Ruge, P.: Dynamic Stability in Active Structural Control using Time-Discretization • Methods

wird das Energieminimum (6.1.1) als integrales Gutekriterium¨ I (cost functional, performance index) zur Bestimmung der Stellgröße u benutzt. Grundsätzlich ist auch möglich, die drei Energieanteile untereinander zu wichten. Die notwendige Einbindung der Zustandsglei- chungen (6.1.2) in die Bestimmung von u geschieht ub¨ er die Methode der Lagrange’schen Multiplikatoren. Da die Meßwerte ohnehin diskret mit einer gewissen Abtastrate anfallen, ist es sinnvoll, den Index I und auch die Bewegungsgleichungen in diskreter Form Ij fur¨ den Zeitpunkt tj zu formulieren. Fur¨ eine lineare Approximation der Knotenwerte q und v wie im Aufsatz [1] folgt daraus eine Form (Gl.(6.2.7) in [1]), die in der Tat eine Darstellung von u1 erlaubt; (Gl.(6.2.9) in [1]). Grundsätzlich, insbesondere aber bei einem Zeitverzug (time-delay) zwischen Messung und Einwirkung ist die Frage der dynamischen Stabilität des geregelten Systems zu prufen,¨ da es denkbar ist, daß die aktivierte Gegenwirkung die schwingende Struktur sozusagen auf ” dem falschen Fuß“ erwischt. Die diskretisierten Ub¨ ertragungsgleichungen ohne Zeitverzug (m = 0)

(S G1) zj = (T + G0) zj 1 (6.1.3) − − und mit Zeitverzug (m > 0)

m m Szj = Tj 1 + G0F zj m 1 + G1F zj m , − − − − 1 F = (S G )− (T + G ) (6.1.4) − 1 0 werden durch den typischen Potenzansatz

j zj = z0λ , λ = α + iβ , (6.1.5)

gelöst, wobei insbesondere im Fall (m > 0) ein erheblicher numerischer Aufwand entsteht. Andererseits ist nur der betragsgrößte Eigenwert λmax von Interesse, da er allein die Stabilität bestimmt:

λ = r = α2 + β2 1 : Stabilit¨at | max| max ≤ rmax p > 1 : Instabilit¨at. (6.1.6)

In Tabelle 6.2.1 im Aufsatz [2] fällt auf, daß die Eigenwerte σj fur¨ m = 0 aus dem Eigenwert- problem 1 σx = Fx mit F = (S G )− (T + G ) (6.1.7) − 1 0 alle auch fur¨ m > 0 auftreten; dort aber durch zusätzliche Eigenwerte λ ergänzt werden. Der Beweis gelingt ub¨ er die Potenzierung von (6.1.7) : σmx = Fmx (6.1.8) 6.1 Grundlagen 115 und die Annahme, daß das Eigenwertproblem zu (6.1.4) mit m > 0

m+1 m m λ Sy = λ Ty + (G0 + λG1) F y (6.1.9) fur¨ die L¨osungsmenge

m m yj = xj , λj = σj mit σ y = F y (6.1.10) nicht zu einem Widerspruch mit (6.1.10) fuhrt.¨ Damit ergibt sich:

m+1 m m σ Sx = σ Tx + (G0 + σG1) σ x (S G ) σm+1x = (T + G ) σmx . (6.1.11) −→ − 1 0 In der Tat ist das Ergebnis (6.1.11) mit (6.1.10) vertr¨aglich.

6.1.1 Vergleich der Eigenwerte

Im Aufsatz [2] beschreibt der Multiplikator λ in Gleichung (6.2.62) z1 im Frequenzbereich:

(6.2.62) : z1 = z(t = h) = λz0 , β λ = α + iβ = reiϕ , r2 = α2 + β2 , tan ϕ = . (6.1.12) α Die alternative Darstellung im Zeitbereich:

(6.2.63) : z = z eνh , ν = δ iω (6.1.13) 1 0 − stellt den Zusammenhang her zwischen (rj, ϕj ) einerseits und (δj, ωj) andererseits.

δh r = e− , ϕ = ωh ln r δ = j , ω = ϕj . (6.1.14) −→ j − h j h

Begrundet¨ durch elementare Zusammenh¨ange am Ein-Massen-Schwinger

mu¨ + du˙ + ku = 0 mit u(t) = u eνt , ν = δ iω 0 − mν2 + dν + k = 0 d d 2 k d k d2 ν = = i 1 , −→ 1,2 −2m 2m − m −2m m − 4mk s r r d δ k δ = , ω = ω˜ 1 ξ2 , ξ = , ω˜ = , (6.1.15) −→ 2m − ω˜ rm p können auch ω˜ (effective natural eigenfrequency) und ξ (damping ratio; Dämpfungsgrad d) als Funktionen von rj und ϕj beschrieben werden: 1 (6.2.63) : ω˜ = ϕ2 + ln2 r , j h j j qln rj ξj = . (6.1.16) − ω˜jh 116 6. REGELUNG UND DYNAMISCHE ANALYSE ELASTISCHER STRUKTUREN

6.2 Ausgewählte Veröffentlichungen

Im folgenden sind zwei Aufsätze präsentiert, die in einer Fachzeitschrift bzw. auf einer internationalen Tagung veröffentlicht wurden. Beide beschäftigen sich mit der Thematik des aktuellen Kapitels, der Regelung elastischer Systeme, wobei jedoch dem Aspekt der dynamischen Stabilität besondere Bedeutung zukommt. Es wird jeweils ein typisches Beispiel in der Theorie und der Umsetzung dargestellt, welches auf der Minimierung der Gesamtenergie beruht. Die Aufgabenstellung in beiden Aufsätzen ist identisch, die Lösung des Problems wird aber unter verschiedenen Gesichtspunkten betrachtet. In [1] steht die Bestimmung eines optimalen Zeitschrittes im Vordergrund, während in [2] eine Analyse der modalen Daten erfolgt.

6.2.1 Zeitschrittverfahren fur¨ Strukturen mit idealer momentaner Rege- lung und Zeitverzug

Time-Discretization Methods for Structural Systems with Instantaneous Optimal Control and Delay1

Peter Ruge, Faculty of Civil Engineering, Dresden University of Technology

Abstract

The numerical treatment of control concepts with time delay in structural dynamics neces- sitates numerically stable tools in order to give reliable information about the system under consideration. The main aspect of this contribution is to establish an unconditionally stable time discretization method for the state variables and to study the dynamic stability of the system by means of the largest eigenvalue of the corresponding algebraic eigenvalue problem. Some comments are made upon the numerical treatment by means of a vector iteration process.

1 Introduction

It is common practice in structural dynamics with optimal control and time delay to represent the solutions by truncated Taylor’s series. However, the numerical stability of such polynomials is not unconditionally guaranteed. On the other hand, there are well established implicit time stepping schemes with unconditional stability and there is still a current flow of new ideas especially in connection with error estimators [1], [2]. Since the control forces u are defined by means of the state variables at distinct time instants it is a natural choice to take into account only these distinct values by means of a linear interpolation. A corresponding interpolation in the time domain for the nodal quantities from the space-finite-element

discretization is straight at hand. Such an approach has been proved to be identical to a P11-PadÇ representation which is unconditionally stable [2]. As a result the ﬁnal state equations are pure difference equations. The dynamic stability of this system

1erschienen in: Fortschritt-Berichte VDI“, Reihe 11 Nr. 268, (1998), S.315-322 ” 6.2 Ausgewählte Veröffentlichungen 117 can be studied by means of the eigenvalues of the corresponding nonlinear but algebraic eigenvalue problem. The control scheme is taken from Chung [4] and coauthors: The feedback gain matrix is obtained through an instantaneous quadratic performance index. The influence of the time-delay is treated by means of a special compensation scheme.

2 Time Discretization

Structures in engineering are continuous in space and time. The disretization in the space domain is assumed to be done already; as a result there remains a ﬁrst order system of equations of motion in the time domain. q˙ v = 0, − Mv˙ + Dq˙ + Kq = f + Bu. u : Control forces. f : External excitation forces. T q = q1 . . . qn ; nodal displacements and slopes.

T h i v = v1 . . . vn ; nodal velocities. B : locationh matrixi of control forces. (6.2.1)

Between two consecutive observation time instants t=0 and t=h the only available information to deﬁne the control forces results from the nodal quantities; therefore it is reasonable to describe u(t) by linear interpolation. t t u(t) = u 1 + u . (6.2.2) 0 − h 1 h A similar approximation for the corresponding nodal quantities seems to be a natural choice: t t q(t) = q 1 + q , 0 − h 1 h t t v(t) = v 1 + v . (6.2.3) 0 − h 1 h Using these approximations (6.2.2), (6.2.3) it is a very simple task to integrate the state equations (6.2.1) within the actual time interval [0, h]. h h h q q = (v + v ) v = v + q q , 1 − 0 2 0 1 → 2 1 − 2 0 1 − 0 h h M(v v ) + D(q q ) + K(q + q ) = r + B(u + u ), 1 − 0 1 − 0 2 0 1 f 2 0 1 h rf = f(t)dt. (6.2.4) Z0 One set of the quantities, for example v1, can be eliminated by the ﬁrst equation in (6.2.4) and there remains a descretized equation of order n which equals the number of the original degrees of freedom. h h 2 Sq = Tq + hMv + r + B(u + u ), 1 0 0 2 f 4 0 1 h h v = q q v . 2 1 1 − 0 − 2 0 h h 2 h h 2 S = M + D + K, T = M + D K. (6.2.5) 2 4 2 − 4 118 6. REGELUNG UND DYNAMISCHE ANALYSE ELASTISCHER STRUKTUREN

The control forces u0, u1 are determined such that the instantaneous quadratic objective function T T T I1 = q1 Kq1 + v1 Mv1 + u1 Ru1, R = RT , K = KT , M = MT , (6.2.6)

at any instant time node is minimized. The discretized state equations (6.2.4) are added to I1 by means of two sets of Lagrange multipliers λ1, λ2.

T h I∗ = I + λ (v + v ) q + q 1 1 1 2 1 0 − 1 0 h + λT M(v v ) + D(q q ) + K(q + q ) 2 1 − 0 1 − 0 2 1 0 h r B(u + u ) Minimum. (6.2.7) − f − 2 0 1 → R is a symmetric positive deﬁnite matrix for weighting the input control forces. Multipliers λ1, λ2 and

control forces u1 are found by partial differentiatings of I1∗ (6.2.7) with respect to u1 and z1:

∂I1∗ ! h T = 0 = 2Ru1 B λ2, ∂u1 − 2 ∂I ! h 1∗ = 0 = 2Kq λ + D + K λ , ∂q 1 − 1 2 2 1 ∂I1∗ ! h = 0 = 2Mv1 + λ1 + Mλ2. (6.2.8) ∂v1 2 The result, especially concerning u, u = Gz , G = G G , zT = qT vT , 1 − 1 q v 2 h i h i h 1 T 1 h 1 T 1 G = R− B S− K, G = R− B S− M, (6.2.9) q 4 v 2 is true for any arbitrary index j, u = Gz , (6.2.10) j − j and can be inserted into the discretized equations (6.2.5) of motion with v1 eliminated. h h 2 Sq = Tq + hMv + r B G(z + z ), 1 0 0 2 f − 4 0 1 h h v = q q v . (6.2.11) 2 1 1 − 0 − 0 2

3 Dynamic Stability

The time behavior of the quantities q1, v1 in equation (6.2.11) with respect to an initial input signal q0 = x, v0 = y is characterized by the eigenvalues σ of the solutions of equation (6.2.11). q = σjx, v = σjy for r 0. j j f ≡ β σ = α + iβ = r eiϕ. r2 = α2 + β2, tan ϕ = . (6.2.12) α The dynamic stability depends on the norm r of the largest complex eigenvalue and is guaranteed if the largest norm does not exceed the value 1.

σ = r 1 : Dynamically stable. | | ≤ σ = r > 1 : Dynamically unstable. (6.2.13) | | 6.2 Ausgewählte Veröffentlichungen 119

The resulting eigenvalue problem for (6.2.11) with (6.2.12), h 2 λ S x = T x + hM y B G (1 + λ)x − 4 q h 2 B G (1 + λ)y, − 4 v h (λ + 1)y = (λ 1)x, (6.2.14) 2 − can be condensed to simple order n by eliminating the eigenvector y: λ(λ 1)S x = (λ + 1)T x + 2(λ 1)M x − − 2 2 (λ + 1) Uqx (λ 1)Uvx. − 4 − − 2 h 1 h 1 1 T U = P S− K, U = P S− M, P = B R− B , q 16 v 4 h h 2 h h 2 S = M + D + K, T = M + D K; (6.2.15) 2 4 2 − 4 or

2 (λ A2 + λA1 + A0)x = 0,

A2 = S + Uq + Uv, h 2 A = S T 2M + 2U = K 2M + 2U , 1 − − q 2 − q A = T + 2M + U U . (6.2.16) 0 − q − v

4 Delayed Feedback

The action of control forces u in systems with time delay T=mh lags the measurement of the variables z by T. Therefore the performance index has to be evaluated with u1 m instead of u1: − T T T I1∗ = q1 Kq1 + v1 M v1 + u1 mR u1 m + I1. (6.2.17) − − Partial differentiations as before result in optimal control forces

u1 m = G z1, uj m = G zj, (6.2.18) − − − − with variables z = z(t = jh) which are not available at t = (j m)h, where the signal is measured. j − Chung and coauthors [4] solved this problem by a so-called compensation technique. Initially the control forces u1 m and u0 m in the homogeneous equations of delayed motion, − − S q1 = T q0 + hM v0 + B(u0 m + u1 m), (6.2.19) − − are taken from the theoretical optimization process (6.2.18):

Sq˜ 1 = Tq˜ 0 + hM v0. 2 2 h 1 h 1 T S˜ = S + P S− M + K , P = B R− B , 4 4 2 2 h 1 h T˜ = T + P S− M + K , 4 4 q = F q + F v , → 1 q 0 v 0 2 qj = Fqqj 1 + Fvvj 1, vj = vj 1 + (qj qj 1) − − − − h − − 1 1 Fq = S˜− T˜ , Fv = S˜− h M. (6.2.20) 120 6. REGELUNG UND DYNAMISCHE ANALYSE ELASTISCHER STRUKTUREN

The results for qj and vj in (6.2.20) can be taken to describe zj by means of zj 1, − qj Fq Fv qj 1 zj = = − = F zj 1, (6.2.21) 2 2 − " vj # " h (Fq 1) h Fv 1 # " vj 1 # − − − zj 1 by means of zj 2, − − zj 1 = F zj 2, − − and ﬁnally to describe zj by zj m: − 2 zj = F(F zj 2) = F (F zj 3) = . . . ; − − m zj = F zj m. (6.2.22) − This time delayed representation for zj results in control forces (6.2.18) m u1 m = G F z1 m = G˜ qq1 m G˜ vv1 m, − − − − − − − m u0 m = G F z0 m = G˜ qqv m G˜ vvv m, − − − − − − − m m G F = Gq Gv F = G˜ q G˜ v , (6.2.23) which can be veriﬁed in the realh control processi (6.2.19):h i 2 h h m S q1 = T q0 + hM v0 + rf B G F (z1 m + z m), 2 − 2 − − h h v = q q v . G Fm = G˜ G˜ . (6.2.24) 2 1 1 − 0 − 2 0 q v Once more, the corresponding homogeneoushequation is solvi ed by a power representation. j j j zj = z0λ , uj = xλ , vj = yλ . (6.2.25) Here the eigenvalue is called λ instead of σ, used before for the situation without delay. After eliminating the velocity-part y by h (λ + 1)y = (λ 1)x 2 − as in equation (6.2.14), the resulting eigenvalue problem contains the n-ordered eigenvector x, only, accompanied by a highest degree m+2 of λ : (λ + 1)λm+1S x = (λ + 1)λmT x + 2(λ 1)λmM x − h 2 B G˜ (λ + 1)2x − 4 q h B G˜ (λ2 1)x. (6.2.26) − 2 v −

5 Eigenvalue Problem

A structure with n nodal degrees of freedom q including a lag T=mh between monitoring and actuating is represented by an algebraic eigenvalue problem with n(m+2) eigenvalues λj and eigenvectors xj. m+2 m+1 m 2 λ S + λ Am+1 + λ Am + λ A2 + λA1 + A0 x = 0. h 2 A = S T 2M = K 2M, A = 2M T; m+1 − − 2 − m − h h h 2 A = B G˜ + G˜ , A = B G˜ , 2 2 2 q v 2 q h h A = B G˜ G˜ . (6.2.27) 0 2 2 q − v 6.2 Ausgewählte Veröffentlichungen 121

Standard eigenvalue solvers, however, are developed for only pairs A, B of matrices; consequently (6.2.27) has to be rewritten in the standard form Axˆ + λBxˆ = 0. Here A and B are presented for the special value m=4.

m=4 6 5 4 2 (λ S + λ A5 + λ A4) + (λ A2 + λA1 + A0) x = 0, Axˆ + λBxˆ = 0, A0 A1 A2 0 A4 A5 x 0 0 0 0 0 1 λx  −    0 0 0 0 1 0 λ2x A =  −  , xˆ =  3  ,  0 0 0 1 0 0   λ x   −     0 0 1 0 0 0   λ4x   −     0 1 0 0 0 0   λ5x       −    0 0 0 0 0 S 0 0 0 0 1 0   0 0 0 1 0 0 B =   . (6.2.28)  0 0 1 0 0 0     0 1 0 0 0 0     1 0 0 0 0 0      Since the largest eigenvalue λp, p = n(m + 2), only is needed to decide upon stability or not, here a vector iteration process towards xˆp is a proper choice. Starting with an arbitrary trial vector v0 for xˆp successive vectors v1, v2, . . . approach xˆp. 1 B vk+1 = A vk; k = 0, 1, . . . . (6.2.29) −R k

m=4

T T T T T T T vk ak bk ck dk ek fk . h i ak+1 bk b c  k+1  1  k  ck+1 = dk ,   Rk    dk+1   ek       e   f   k+1   k    1   S fk+1 = A0ak + A1bk + A2ck + A4ek + A5fk . (6.2.30) −Rk h i Replacing the vectors ak until ek in the last equation for fk+1 by the results ak+1, . . . , already known, can improve the convergence rate signiﬁcantly 1 1 1 1 Sf = A b + A c + A d + k+1 −R R 0 k R 1 k R 2 k k k k k 1 A + A f . (6.2.31) R 4 5 k k The actual approximation Rk for λp can be found by solving the scalar condensed form, R6s + R5a + + R a + a = 0, 5 · · · 1 0 T T s = v¯k S vk, aj = v¯k Ajvk, (6.2.32) 122 6. REGELUNG UND DYNAMISCHE ANALYSE ELASTISCHER STRUKTUREN

corresponding with the matrix eigenvalue problem (6.2.28) for the largest root Rk.

6 Example

The practicability of the time-discretization process presented here is demonstrated by means of a 3-DOF-structure with a tendon control system as shown in ﬁg. 2. This example has been studied thoroughly by Chung [4] and coauthors.

- q3, v3

- q2, v2

- q1, v1 Active tendon α ? ···········

Actuator • •

Abbildung 6.2.1: 3-DOF-system with tendon control device

Relevant parameters of the system are taken from their paper [4].

M = 981 1 [kg], 2 741 700 1 641 600 369 100 − K = 1 641 600 3 022 200 1 624 800 [N/m],  − −  369 100 1 624 800 1 333 600  −   382.8 57.3 61.7  − D = 57.3 456.9 2.6 [N/m],  − −  61.7 2.6 437.5  −   1  B =  0  , 0    β 0, 25 8 R = = = 6.4157 10− , 16k cos2 α 16 372 100 cos2 36◦ · c · β : weighting factor; kc : tendon stiffness; α : tendon inclination

The quality of time-stepping methods is governed by the product

α = 2πhfmax, 6.2 Ausgewählte Veröffentlichungen 123

of time-step length h times largest effective natural frequency fmax[Hz]. Here the largest frequency of the uncontrolled system,

f = 11.49 [Hz] α = 72.19 h, max → yields a parameter α, which should not exceed a value of about 0.3 in order to restrict the phase-error to 1.0 % if a linear time interpolation is used. The corresponding time-step α 0.3 h = = 0.004 [s] 72.19 72.19 ∼ should be smaller than 0.004 seconds. In other words, a time step h=0.01 seconds as used by Chung falsiﬁes the dynamic behavior. This situation can be improved by smaller time steps; that means dividing the sampling rate into smaller parts. Or one should use a better interpolation scheme; for example a cubic approximation for the nodal quantities q and v. Then a maximum phase-error of about 0.6 % is accompanied by α 1.5; that means a time step until h = 1.5 = 0.02 should be ∼ 72.19 accepted. The cubic approach for controlled systems with delay will be elaborated in a separate paper.

7 Conclusion

The reliability of the results in structural dynamics of systems with control and delay depends main- ly on the quality of the time-stepping scheme used. The essential properties are characterized by the amplitude-error and the phase-error. Explicit schemes like truncated Taylor’s expansions for the transition matrix are not even unconditionally stable. Linear and cubic interpolations for the nodal quantities save the amplitude but nevertheless have to be used with care concerning the phase-error.

References

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[2] P. Ruge: Hybrid time-ﬁnite-elements with time-step-adaptation by discontinuity control. Com- putational Mechanics, 17, 392-397 (1996).

[3] A. K. Agrawal; J. N. Yang: Effect of ﬁxed time delay on stability and performance of actively controlled civil engineering structures. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 26, 1169-1185 (1997).

[4] L. L. Chung; Y. P. Wang; C. C. Tung: Instantaneous control of structures with time-delay consideration. Engineering Structures, 19, 465-475 (1997) 124 6. REGELUNG UND DYNAMISCHE ANALYSE ELASTISCHER STRUKTUREN

6.2.2 Das Problem der dynamischen Stabilit¨at von Zeitschrittverfahren bei Untersuchung geregelter Strukturen

DYNAMIC STABILITY IN ACTIVE STRUCTURAL CONTROL USING TIME-DISCRETIZATION METHODS2

P. Ruge ∗

∗ Technical University of Dresden (Dresden Institute of Technology) Faculty of Civil Engineering Chair of Dynamik der Tragwerke D-01062 Dresden, Germany e-mail: [email protected]

Key words: Dynamic stability, Time delay systems, Structural control, Time-discretization, Nonli- near Eigenvalue problem.

Abstract. Active control in structural dynamics is based on discrete signal processing; typically with time delay included. Here the differential-difference equations in the time domain are discretized from the very beginning of the solution process: The control forces are interpolated in a linear manner; an additional cubic interpolation of the state variables results in a pure difference equation, representing the dynamic system under consideration. The dynamic stability is characterized by the eigenvalues of a corresponding nonlinear but algebraic eigenvalue problem. Since the stability is described by the eigenvalue with largest norm, only, a vector iteration process for this special situation is added.

1 INTRODUCTION

Time discretization methods in structural dynamics are widely used and are still under development. A quick glance at the international journal literature shows a continuous flow of new ideas especially in connection with error estimators and time step adaptation2,3. Special Pade-representations´ , simple interpolations for the state variables and sophisticated variational approaches have been presented with resulting time stepping schemes which are partially identical. One of the most essential properties of such schemes is the numerical stability without respect to the time step length. An important fact in real time active control applied to problems from structural dynamics is the discrete time nature of the control process itself as Soong1 has pointed out: Strictly speaking control algorithms can only be executed in discrete time since sensors and actuators are connected by a digitized signal flow with time delay. Since the control forces u are defined by means of the state variables at distinct time points it is a natural choice to take into consideration only these distinct values. In other words a total discretization within the time domain should be a good decision. Of course, attention has to be paid to the numerical stability of the discretization process; there are several schemes which have been proved

to be unconditionally stable. Among them are so-called P11 and P22 - Pade´ representations which

2erschienen in: Proc. 4th World Congress on Computational Mechanics WCCM’98“, Buenos ” Aires (1998) 6.2 Ausgewählte Veröffentlichungen 125

on the other hand can be established by linear interpolation (P11) or cubic interpolation (P22) of the state variables. Consequently, the resulting state equations are no more differential-difference equations but pure difference equations. The dynamic stability of the solutions with respect to time delay can be studied by means of the eigenvalues of the corresponding nonlinear but algebraic eigenvalue problem. An alternative way decouples the equations of motion by modal transformation and by neglecting the coupling effect among the different modes due to feedback control4. Truncated Taylor’s series expansions, too, have been used but with problems concerning the numerical stability. Here the full n degree of freedom coupled system is treated simultaneously. The main aspect of this contribution is to study the dynamic stability of the system under consideration.

2 TIME DISCRETIZATION

Structures in engineering are continuous in space and time. In a first step the space is discretized by finite elements and there remains a first order system of equations of motion in the time domain:

q˙ v = 0, − Mv˙ + Dq˙ + Kq = f + Bu. u : Control forces. f : External excitation forces. T q = q1 . . . qn ; nodal displacements and slopes.

T h i v = v1 . . . vn ; nodal velocities. B : locationh matrixi of control forces. (6.2.33)

According to reliable and effective developments in structural dynamics without control here the nodal quantities are interpolated in a cubic manner within a local interval [0,h].

q(t) = q0 φ1(t) + hv0 φ2(t) + q1 φ3(t) + hv1 φ4(t);

v(t) = v0 φ1(t) + hv˙ 0 φ2(t) + v1 φ3(t) + hv˙ 1 φ4(t). φ 1 0 3 2 1 1 −  φ2   0 1 2 1   t/h  φ = = − 2 2 . φ3 0 0 3 2 t /h    −   3 3   φ4   0 0 1 1   t /h     −     0 t h.    ≤ ≤ q0 = q(t = 0); v1 = v(t = h), (6.2.34)

The accelerations v˙ 0 = a(t = 0) and v˙ 1 = a(t = h) are no independent quantities by themselves: they are eliminated by means of the main equation of motion in (6.2.33);

Mv˙ = Dv + Kq f Bu ; k = 0; 1, (6.2.35) k − k k − k − k h i this is by collocation. Between two consecutive sampling points the only available information about the control forces is u0 and u1. Therefore it is reasonable to describe u(t) by linear interpolation. t t u(t) = u 1 + u . (6.2.36) 0 − h 1 h 126 6. REGELUNG UND DYNAMISCHE ANALYSE ELASTISCHER STRUKTUREN

Using these approximations (6.2.35) and (6.2.36) it is a simple task to integrate the state equations (6.2.33) within the interval [0,h] under consideration. The resulting transition equation

Sz1 = Tz0 + ru + rf . 12hD + 6h2K 12M h2K S = − , 12M h2K 6M hD " − − − # 12hD 6h2K 12M h2K q T = − − , z = . 12M h2K 6M hD hv " − − # " # h 2 h 12h 0 Bu dt 6Bh (u0 + u1) 12h 0 fdt ru = 2 = 2 ; rf = 2 , (6.2.37) h B(u u ) Bh (u0 u1) h (f f ) " R 0 − 1 # " − # " 0R− 1 #

consists of the control forces u0, u1, yet undetermined. They are ﬁxed such that the quadratic objective function

T T T Ij = qj Kqj + vj Mvj + uj Ruj, R = RT , K = KT , M = MT (6.2.38)

at any instant time node j is minimized; this is the so-called instantaneous feedback control concept. The discretized state equations (6.2.37) are added to (6.2.38) by means of Lagrange multipliers λ.

T Ij∗ = Ij + λ [Szj Tzj 1 ru rf ] Minimum. (6.2.39) − − − − → R is a symmetric positive deﬁnite matrix for weighting the input control forces. Multipliers λ and

control forces u1 are determined by partial differentiating of Ij∗ (6.2.39) with respect to uj and zj:

∂Ij∗ ! 2 T 2 T = 0 = 2Ruj [6h B h B ]λ, ∂uj − −

∂Ij∗ ! K 0 = 2Qzj + Sλ, Q = 1 . ∂zj " 0 h2 M # 1 2 T 2 T 1 u = R− [6h B h B ]S− Qz . (6.2.40) → j − − j This result is true for any arbitrary index j and can be inserted into the discretized equations (6.2.37) of motion.

6BR 1 6BT BT S 1Q(z + z ) Sz = Tz h4 − − − 0 1 + r . (6.2.41) 1 0 − BR 1 6BT BT S 1Q(z z ) f " − − − 0 − 1 #

3 DYNAMIC STABILITY

The sensitivity of the homogeneous difference equation (6.2.41) with respect to initial perturbati-

ons z0 can be studied by a characteristic solution

j zj = z0σ (6.2.42)

with a parameter σ which allows to analyse the stability of the system by means of the norm r of σ.

σ = α + iβ = r(cos ϕ + i sin ϕ), r2 = α2 + β2; j ijϕ zj = z0 r e . (6.2.43) 6.2 Ausgewählte Veröffentlichungen 127

An initial perturbation z0 will be restricted to the initial quantity in any further instant time nodes only if the maximum norm of each of the values σ does not exceed the critical value 1. σ 1 : Stability. | | ≤ σ > 1 : Instability. (6.2.44) | | In other words, whether instability occurs or not depends on the very eigenvalue σ with largest norm; that means, only this one eigenvalue has to be calculated by solving the eigenvalue problem corresponding with the difference equation (6.2.41) and the solution (6.2.42):

4 36P 6P 1 T + h − S− Q z = 6P P 0 ( " − # )

4 36P 6P 1 1 T K 0 σ S + h − S− Q z . P = BR− B . Q = (6.2.45). 6P P 0 0 1 M ( " − # ) " h2 # The inversion of matrix S in equation (6.2.45) has not to be done in the real numerical process, of course.

Time interval under consideration

u0 u1 - t z 0 }| h{ T=mh - t - T - T + h

Interval where feedback signal | is measured{z }

Abbildung 6.2.2: Time delay T

4 TIME DELAY Systems with time delay T = mh, where m is the number of delayed time steps between measuring the signal and actuating according to the signal onto the structure do not differ too much from the foregoing equations. The only difference is the right side of the state equations (6.2.33), where u(t T ) has to be interpolated by means of the control forces u m, u m+1 instead of u0, u1. − − − r = f + Bu(t T ); T = mh. − t t u(t T ) = u m 1 + u m+1 , 0 t h. (6.2.46) − − − h − h ≤ ≤ The performance index Ij∗ (6.2.39), however, has to be evaluated with u(zj m) because the appli- − cation of the control forces lags the measurement of the variables z by T = mh. T T T Ij∗ = qj Kqj + vj Mvj + uj m Ruj m − − T +λ [Szj Tzj 1 ru rf ] , − − − − 2 6Bh (uj m + uj m 1) ru = 2 − − − . (6.2.47) " Bh (uj m uj m 1) # − − − − 128 6. REGELUNG UND DYNAMISCHE ANALYSE ELASTISCHER STRUKTUREN

Partial differentiations as before result in optimal control forces

uj m = Gzj, − − 1 2 T 2 T 1 G = R− 6h B h B S− Q, (6.2.48) − with variables z which are not available at the time step j m. A ﬁrst possibility is to use the delayed j − quantities zj m instead of zj: −

uj m = G zj m. (6.2.49) − − − Another concept, based on a compensation scheme described by Chung, Wang and Tung5, conserves the eigen-properties of the ideal control system without delay, but adds additional eigenmodes, which have to be inspected with respect to dynamic stability. They insert the proper control forces (6.2.48)

into the homogeneous time delayed system according to (6.2.37) with u0 u m and u1 u1 m. → − → −

Sz1 = Tz0 + G0z0 + G1z1.

4 36P 6P 1 1 T G = h − S− Q, P = BR− B , 0 6P P " − #

4 36P 6P 1 G = h − S− Q. (6.2.50) 1 6P P " − #

This equation can be solved for z1 with a matrix F which forwards z0 towards z1.

(S G )z = (T + G )z − 1 1 0 0 1 z = F z , F = (S G )− (T + G ). (6.2.51) 1 0 − 1 0 This relation is true for any two consecutive time nodes:

zk = F zk 1, zk 1 = Fzk 2, . . . ; − − − 2 zk = F(F zk 2) = F zk 2, . . . ; (6.2.52) → − −

and ﬁnally relates zk to zk m as it is needed to establish the feedback forces (6.2.48): − m uj m = G zj = G F zj m. (6.2.53) − − − − The corresponding time delayed difference equation based upon the compensation scheme contains an index range from (j) until (j-m-1).

m m Szj = T zj 1 + G0F zj m 1 + G1F zj m. − − − − 1 F = (S G )− (T G ); G , G in (6.2.50). (6.2.54) − 1 − 0 0 1

This equation is solved by a power representation of zj with respect to an eigenvalue called λ in order to distinguish λ from σ in equation (6.2.45) where delay is omitted.

z = z λj j 0 → λm+1S λmT λG Fm G Fm z = 0. (6.2.55) − − 1 − 0 0

5 EIGENVALUE EVALUATION A structure with n nodal degrees of freedom is represented by an eigenvalue problem (6.2.45) of 6.2 Ausgewählte Veröffentlichungen 129 order p = 2n if time delay is excluded. Including the lag T = mh between measuring z and actuating with u(z) onto the structure results in an algebraic equation (6.2.54) of order p = 2n(m + 1). Order of eigenvalue problem = number of eigensolutions: p = 2n(m + 1). T = mh. (6.2.56) Standard eigenvalue solvers, however, are developed for only pairs A, Z of matrices; consequently (6.2.54) has to be rewritten in the standard form Ax = λZx. Here the inner structure of A and Z is demonstrated for the special situation m = 4; that means T = 4h. m=4 Ax = λZx, m m G0F G1F 0 0 T z0 0 0 0 0 1 λz    0  2 A = 0 0 0 1 0 , x = λ z0 ,    3   0 0 1 0 0   λ z0       0 1 0 0 0   λ4z     0   0 0 0 0 S    0 0 0 1 0   Z = 0 0 1 0 0 . (6.2.57)    0 1 0 0 0     1 0 0 0 0      Since the largest eigenvalue λp, p = 2n(m+1), only is needed in order to decide whether the system is stable or not, here a vector iteration process towards xp has been established. Starting with an arbitrary trial vector v0 for zp, successive iterated vectors v1, v2, . . . approach xp. The convergence is the better the more the eigenvalues differ from each other concerning their norm. 1 Vectoriteration: Zvk+1 = Avk; k = 0, 1, . . . . (6.2.58) Rk

The actual eigenvalue approximation Rk can be found by solving the condensed eigenvalue (6.2.59) problem corresponding with (6.2.54) for the largest root. Rm+1s = Rmt + R g + g R . 1 0 → k T T s = v¯k S vk, t = v¯k T vk, T m T m g1 = v¯k G1F vk, g0 = v¯k G0F vk. j = 0, 1, . . . , m + 1. (6.2.59) The solution of the linear system (6.2.58) should be done with care concerning the inner structure of the hypermatrices A and Z in (6.2.57). The m + 1 different parts of the hypercolumn vk+1 following vk can be calculated in a consecutive manner: m=4 1 Zvk+1 = Avk, Rk T T T T T T vk = ak bk ck dk ek . h1 1 i 1 ak+1 = bk, bk+1 = ck, ck+1 = dk, Rk Rk Rk 1 dk+1 = ek. Rk 1 m m Sek+1 = [G0F ak + G1F bk + Tek] . (6.2.60) Rk 130 6. REGELUNG UND DYNAMISCHE ANALYSE ELASTISCHER STRUKTUREN

Besides (S G ) as part of F = (S G ) 1(T + G ) the matrix S defined in (6.2.37) has to be − 1 − 1 − 0 decomposed in (6.2.60); not only due to the coefficient matrix in (6.2.60) but also in order to calculate the first two products on the right side of (6.2.60):

m 1 m m G F a = aˆ S− Q F a = aˆ or S aˆ = Q F a . 0 k → k k m 1 m m G F b = bˆ S− Q F b = bˆ or S bˆ = Q F b . (6.2.61) 1 k → k k

6 EXAMPLE

- q3, v3

- q2, v2

- q1, v1 Active tendon α ? ···········

Actuator • •

Abbildung 6.2.3: 3-DOF-system with tendon control device

M = 981 1 [kg],

2 741 700 1 641 600 369 100 − K = 1 641 600 3 022 200 1 624 800 [N/m],  − −  369 100 1 624 800 1 333 600  −    382.8 57.3 61.7 − D = 57.3 456.9 2.6 [N/m],  − −  61.7 2.6 437.5  −    1 B =  0  , 0     6.2 Ausgewählte Veröffentlichungen 131

β 0, 25 8 R = = = 6, 4157 10− , 16k cos2 α 16 372 100 cos2 36◦ · c ·

β : weighting factor; kc : tendon stiffness; α : tendon inclination

The most essential information about a linear system is given by the modal data; here especially by the 2n(1+m) eigenvalues λ of the delayed system (6.2.50) or by the 2n eigenvalues σ of the system (6.2.45) without delay. The dynamic stability is guaranteed if the norm of λ or σ does not exceed the value 1. The results listed in table 6.2.1 are calculated for a time-step h = 0.01 seconds.

σ1,2 σ3,4 σ5,6

0.96495 0.67492 0.74628 m=0 0.14508i 0.27258i 0.57751i σ : 0.9758 < 1 | |max

λ1,2 λ3,4 λ5,6 λ7,8 λ9,10 0.96495 0.14822; 0.67492 0.74628 m=2 − 0.14508i 0.66610 0.27258i 0.57751i λ : 0.9758 < 1 | |max

0.96495 0.67492 0.74628 0.58404 m=4 0.14508i 0.27258i 0.57751i 0.38976i λ : 0.9758 < 1 | |max

0.96495 0.67492; 0.74168 0.74628 m=6 0.14508i 0.27258i 0.46498i 0.57751i λ : 0.9758 < 1 | |max

0.96495 0.67492; 0.76669 0.74628 m=8 0.14508i 0.27258i 0.45346i 0.57751i λ : 0.9758 < 1 | |max

0.96495 0.80132; 0.67492 0.59524 0.74628 m=10 0.14508i 0.39268i 0.27258i 0.17619i 0.57751i λ : 0.9758 < 1 | |max Tabelle 6.2.1: Eigenvalues λ(with delay) and σ (without delay). h=0.01 s

The whole range from m = 0 until m = 10 is dynamically stable; furthermore all of the three σ-pairs reappear as λ-pairs but some of the λ-pairs can interrupt the σ-chain. The results of table 6.2.1 match the eigenvalues presented by Chung5; though some eigenvalues have been omitted there. Furthermore instead of λ they have shown the corresponding damping ratio ζ and the effective natural eigenfrequency ω˜. The relation between λ = α + iβ and ω˜, ζ follows from comparing the solution of the difference equation,

1 iϕ 2 2 2 z1 = z(h) = z0λ , λ = α + iβ = r e , r = α + β , tan ϕ = β/α, (6.2.62) 132 6. REGELUNG UND DYNAMISCHE ANALYSE ELASTISCHER STRUKTUREN

with the solution of the differential equation in the time domain.

z(t) = z eνt, z = z eνh. ν = δ + iω. 0 1 0 − νh δh iωh e = e− e . (6.2.63) → The deﬁnitions for ω˜ and ζ, δ ω = ω˜ (1 ζ2), ζ = (6.2.64) − ω˜ p together with (6.2.62), (6.2.63) result in an equation to switch from λ to ω˜, ζ: 1 ω˜ = (ln r )2 + ϕ2, j h j j qln rj ζj = . (6.2.65) − hω˜j

7 CONCLUSION

The reliability of the results presented by Chung5 and coauthors depends on the numerical stability

of their Taylor-polynomial-representation of the exponential exp(SSysh)-function.

0 1 S = . (6.2.66) Sys M 1K M 1D " − − − − # j This process is not unconditionally stable; that means, unstable solutions zj = z0λ can be caused by the dynamic system itself or by the solution procedure. The forgoing example fails, for example, if the time step is enlarged to h = 0.05s. The time-discretizations presented here are known to be unconditionally stable. If reliable results are essential, and of course this is a must in computational dynamics, then one should use the algorithm of this paper.

REFERENCES

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[5] L. L. Chung, Y. P. Wang and C. C. Tung, Instantaneous control of structures with time-delay consideration, Engineering Structures, 19, 465-475 (1997) Kapitel 7

Werkstoﬀe mit Ged¨achtnis

7.1 Innere Variablen - Grundlagen

Stoffgesetze, im einfachsten Fall das bekannte Hooke’sche1 Gesetz σ = E, verknupfen¨ die Spannungen σ mit den Dehnungen . Die Spannung σ(t) zu einem Zeitpunkt t ist fur¨ Hoo- ke’sches Material proportional zur Dehnung (t) im selben Zeitpunkt t. Dieser einfache Zusammenhang gilt nicht fur¨ Werkstoffe mit Gedächtnis. Die Spannung σ(t) ist fur¨ diese Stoffe eine Funktion aller Dehnungen (τ) im Zeitbereich τ t; also der ge- ≤ samten Zeit vor dem aktuellen Zeitpunkt t. Der Einfluß einer Dehnung (τ) auf die Spannung σ(t) wird eine Funktion E(t τ) der Zeitspanne t τ sein. Nach diesen Vorbemerkungen − − erscheint ein Stoffgesetz fur¨ einen einachsigen Zustand in der Form

t ∂E(t τ) σ(t) = E(t τ = 0)(t) − (τ)dτ (7.1.1) − − ∂τ Z0 mechanisch plausibel. Die sogenannte Gedächtnisfunktion E(t τ) tritt an die Stelle des kon- − stanten Elastizitätsmoduls E des klassischen Hooke’schen Gesetzes. Die Gedächtnisfunktion E(t τ) bewertet sozusagen die Dehnung (τ) bezuglic¨ h ihrer Wirkung auf die Spannung − σ(t) im Zeitpunkt t. Bei der konkreten Formulierung der E-Funktion unterstellt man zunächst pauschal ein exponentiell nachlassendes Gedächtnis.

N E(t τ) = e exp[ b (t τ)]. (7.1.2) − k − k − Xk=0

Dies ist als Arbeitshypothese zu verstehen, die durch die physikalische Wirklichkeit zu bestä- tigen ist und bei vielen Werkstoffen des Bauwesens zutrifft. Die Koeffizienten ek, bk sind Stoffdaten. Die Anzahl der Summanden in (7.1.2), dargestellt durch N, wird festgelegt durch einen befriedigenden Abgleich zwischen Stoffgesetz und Wirklichkeit. Mit (7.1.2) erscheint

1Robert Hooke (1635-1703), englischer Wissenschaftler; wichtige Beitr¨age auf den Gebieten der Physik, Chemie, Biologie und Meteorologie. 134 7. WERKSTOFFE MIT GEDACHTNIS¨

das Stoﬀgesetz (7.1.1) in spezieller Form.

N t σ(t) = E (t) e b exp[ b (t τ)](τ)dτ , 0 − k  k − k −  Xk=1 Z0  N E = e = e + + e .  (7.1.3) 0 k 0 · · · N Xk=0 Bedenkt man, daß die Dehnung im konkreten Fall noch als Differentialform der Verschiebun- gen u darzustellen ist, wird klar, daß (7.1.3) schließlich zu einer Integrodifferentialgleichung fuhrt.¨ Gleichungen von diesem Typ sind unangenehm und können hier durch einen Kunstgriff vermieden werden. Dazu definiert man die durch geschweifte Klammern eingefaßte Funktion in (7.1.3) zu einer neuen Zustandsgröße y (t); die sogenannte Innere Variable“. k ” t Def. y (t) = b exp[ b (t τ)](τ)dτ. (7.1.4) k k − k − Z0 Der entscheidende Schritt, Beseitigung der Integraldarstellung, gelingt durch die äquivalente Beschreibung der Definitionsgleichung (7.1.3) mittels einer Differentialgleichung. . yk +bk yk = bk(t). (7.1.5)

Diese Gleichung nennt man auch Evolutionsgleichung, da sie das Zeitverhalten des Werkstoﬀes charakterisiert. Die homogene L¨osung dieser Gleichung ohne Index k lautet

bt y(t) = y0e− , (7.1.6)

und damit l¨aßt sich die Partikularl¨osung nach der Methode der Variation der Konstanten als sogenanntes Duhamel2-Integral darstellen.

bk(t τ) yk(t) = bke− − (τ)dt. (7.1.7) Z0 Dies ist genau die Definitionsgleichung (7.1.4), womit die Gleichwertigkeit der Formulierung (7.1.5) nachgewiesen ist. Zusammengenommen läßt sich durch den einachsigen Sonderfall das Stoffgesetz eines Mate- rials mit exponentiell nachlassendem Gedächtnis wie folgt rein differentiell darstellen:

T σ(t) = E0(t) e y(t), E0 = e0 + e1 + + eN . . − · · · yk (t) + bk yk(t) = bk(t), k = 1, . . . , N. T T e = [e1 . . . eN ], y = [y1 . . . yN ]. (7.1.8)

Zu einer symmetrischen Matrizendarstellung der N + 1 Gleichungen in (7.1.8) gelangt man

durch Multiplikation der k. Evolutionsgleichung mit dem Faktor (ek/bk):

T T . σ E0 e 0 0 . = − + ek . (7.1.9) 0 e diag ek y 0 diag y " # " − # " # " bk # " # 2Jean Marie Constant Duhamel (1797-1872), franz¨osischer Mathematiker. 7.1 Innere Variablen - Grundlagen 135

Der Wert der Stoffgesetze (7.1.8) und(7.1.9) liegt auch darin begrundet,¨ daß sie sich durch mechanisch anschauliche Feder-Dämpfer-Systeme darstellen lassen; sogenannte rheologische Modelle. Dies soll hier fur¨ die Ordnungszahl N = 2 gezeigt werden. Um die gedankliche Umsetzung zu erleichtern, werden dazu die differentiell definierten Größen σ, , e durch ihre diskreten Analoga F (Kraft), u (Verschiebung), k (Federzahl) ersetzt. Speziell N = 2. σ F, u, e k. → → → F = (k + k + k )u (k y + k y ), 0 1 2 − 1 1 2 2 k1 . y1 + k1(y1 u) = 0, b1 − k2 . y2 + k2(y2 u) = 0. (7.1.10) b2 − Formuliert man fur¨ das skizzierte rheologische Modell in Bild (7.1.1) mit den drei Freiheits- graden u (Verschiebung der Traverse), y1, y2 (Verschiebungen der inneren Knotenpunkte) die drei Gleichgewichtsgleichungen,

Traverse: F = (k0u) + k1(u y1) + k2(u y2), . − − Knoten 1: d1 y1 +k1(u y1) = 0, − . − Knoten 2: d y +k (u y ) = 0, − 2 2 2 − 2 so stellt man eine Ub¨ ereinstimmung mit den Gleichungen (7.1.10) des Stoﬀgesetzes fest, falls man nur di = ki/bi setzt.

d1 k1

d2 k2

-u

k0u - y1 k (u y ) F 1 − 1 - 1 2 F k (u y ) 2 − 2 - y2

- d1y˙1 k1(u y1) 1 − - d2y˙2 k2(u y2) 2 −

Abbildung 7.1.1: Rheologisches Modell

Die bisher dargelegten Zusammenh¨ange fur¨ den einachsigen Spannungs-Dehnungs-Zustand 136 7. WERKSTOFFE MIT GEDACHTNIS¨

lassen sich direkt auf 2- und 3-dimensionale Kontinua ub¨ ertragen. Das Stoffgesetz fur¨ homogene isotrope Werkstoffe enthält 2 unabhängige Materialdaten; zum Beispiel E-Modul und Querdehnungszahl ν, oder Gleitmodul G und Kompressionsmodul K. E Eν σ = + δ , ij 1 + ν ij (1 + ν)(1 2ν) ij kk −

σ 1 ν ν ν 0 0 0 11 − 11 σ22 ν 1 ν ν 0 0 0 22   1  −    σ33 E(1 + ν)− ν ν 1 ν 0 0 0 33   =  −    .  σ12  (1 2ν)  0 0 0 1 2ν 0 0   12    −  −     σ23   0 0 0 0 1 2ν 0   23     −     σ   0 0 0 0 0 1 2ν     13     13     −    Kurz σ = E. (7.1.11)

Bisher wurde nur der E-Modul durch eine Familie FE von Parametern dargestellt, F e , . . . , e ; b , . . . , b ; y , . . . , y E. (7.1.12) E { 0 N 1 N 1 N } Jetzt ist zusätzlich die Querdehnungszahl durch eine Familie Fν von weiteren Parametern darzustellen: F e , . . . , e ; b , . . . , b ; y , . . . , y ν . (7.1.13) ν { 0 N 1 N 1 N } In das Stoffgesetz fur¨ homogenes isotropes Material gehen demnach insgesamt 2N innere Variable ein, doch bleibt die äußere Form von (7.1.9) vollkommen erhalten. T 11 12 T . σ(6) E E (6) 0(6,6) 0 (6) = (6,6) (6,2N) + (6,2N) . (7.1.14). 12 22 y " 0(2N) #   " y(2N) # " 0(2N,6) D(2N,2N) # " (2N) # E(2N,6) E(2N,2N) Die eingeklammerten Indizes in (7.1.14) geben die Anzahl der Zeilen (1. Ziffer) und Spalten (2. Ziffer) wieder. Die weitere Rechnung benötigt die Darstellung der Dehnungen durch die Verschiebungen, 1 = (u + u ) (7.1.15) ij 2 i,j j,i approximiert die Verschiebungen durch normierte FEM-Ansätze h(ξi), T u(ξ1, ξ2, ξ3) = uˆ hu(ξ1, ξ2, ξ3) T y(ξ1, ξ2, ξ3) = yˆ hy(ξ1, ξ2, ξ3) (7.1.16) mit Knotenparametern uˆ, yˆ und beschreibt des Problem einschließlich der Massenbeschleu- nigungen in Form eines Differentialgleichungssystems fur¨ die Knotenparameter uˆ, yˆ.

•• • M11 0 uˆ 0 0 uˆ K11 K12 uˆ f + + T = , (7.1.17) " 0 0 # " yˆ # " 0 D22 # " yˆ # " K12 K22 # " yˆ # " 0 # Def. oder als System 1. Ordnung mit v als zusätzlicher Zustandsgröße; v = (uˆ).. M 0 0 v 0 M 0 v • 0 − 11 11  0 K11 K12   uˆ  +  M11 0 0   uˆ  =  f  . (7.1.18) T 0 K K22 yˆ 0 0 D22 yˆ 0  12          Dieses System läßt sich mit Hilfeder mo dalen Analyse in bekannter ArtundWeise behandeln. 7.2 Innere Variablen - Ergänzungen 137

7.2 Innere Variablen - Erg¨anzungen

Die ublic¨ he Form Mu¨ + Du˙ + Ku = r(t) (7.2.1) linearer Bewegungsgleichungen ergibt sich aufgrund von Koppelkräften f zwischen den Massen eines Kontinuums oder eines diskreten Systems. f = Du˙ Ku, Mu¨ = f + r. (7.2.2) − − Ergänzt man diese Formulierung (man nennt sie auch Stoffgesetz oder Evolutionsgleichung) auf der Kraftseite in Analogie zur Verschiebungsseite, f˙ + Cf = Du˙ Ku, f(t = 0) = f , (7.2.3) − − 0 so kann die homogene Lösung Ct f(t) = e− f , f˙ = Cf, (7.2.4) 0 − zur Darstellung der Partikularlösung in Form des Duhamel-Integrales genutzt werden: t C(t τ) f(t) = e− − (Ku(τ) + Du˙ τ)dτ. (7.2.5) − Z0 Aus dieser Darstellung läßt sich sehr klar die physikalische Konsequenz des erweiterten Stoff- gesetzes (7.2.3) erschließen: Die Deformationen u, u˙ zu einem beliebigen Zeitpunkt τ vor dem aktuellen Zeitpunkt t mit τ t werden entsprechend des Abstandes t τ gewichtet. ≤ − Wegen des negativen Exponenten C spricht man hier in (7.2.5) von einem Material mit ex- − ponentiell nachlassendem Gedächtnis. Vereint eine Gesamtstruktur klassisches Material mit gedächtnisbehaftetem Material, vereint man die Zustandsgleichungen

Mv˙ + Du˙ + Ku = fG + r(t), u˙ v = 0, − f˙ + Cf = D u˙ K u (7.2.6) G G − G − G zu einem gemeinsamen System 1. Ordnung 1 0 0 u • 0 1 0 u 0 − 0 M 0 v + K D 1 v = r . (7.2.7)      −      0 0 1 fG KG DG C fG 0           DieLösung unter Einbeziehung der Anfangsbedingungen  u0, v0, fG0 kann numerisch oder analytisch ub¨ er die modale Analyse erfolgen. Die Zustandsgrößen fG nennt man auch innere Variable. Anstelle der hier vorgestellten Interpretation von fG als Kraftgrößen gibt es in der Literatur auch alternative Deformations-Darstellungen. Offenbar fugt¨ sich das Beschreibungs- konzept fur¨ die Abstrahldämpfung, wie es im Kapitel 5.1.2 erläutert wurde, zwanglos in die Theorie der Werkstoffe mit Gedächtnis ein. Selbstverständlich ist es ub¨ er die Duhamel-Form (7.2.5) möglich, die inneren Variablen fG zu eliminieren. Die dann entstehende Integrodiffe- rentialgleichung t C(t τ) Mv˙ + Dv + Ku + e− − (KGu + DGu˙ )dτ = r(t), (7.2.8) Z0 ist allerdings nur numerisch mit relativ großem Aufwand lösbar, da vom Zeitpunkt t=0 mit u0, v0 beginnend alle folgenden Zustandsgrößen uj; vj in allen Zeitpunkten tj fur¨ die Aus- wertung des Gedächtnisintegrals vorgehalten werden mussen.¨ Die Variante (7.2.7) mit dem erweiterten Zustandsraum ist auf jeden Fall vorzuziehen. 138 7. WERKSTOFFE MIT GEDACHTNIS¨

7.3 Fraktionale Ableitung

Das Konzept der Werkstoffe mit nachlassendem Gedächtnis beschränkt sich nicht allein auf den Typ des exponentiellen Gedächtnisses. Verbreitet sind auch Formulierungen der Art d t u(τ) ˜f = C dτ, 0 < α < 1, (7.3.1) G − dt (t τ)α Z0 − mit irrationaler Abhängigkeit des Gedächtnisses vom Abstand t τ. Auch hierzu gibt es eine − korrespondierende integralfreie Alternative, ˜f = Γ(1 α)CDαu, G − − Γ : Gammafunktion (verall. Fakultät). (7.3.2) Γ(n) = (n 1)! fur¨ nIN 0; − \ 1 Γ 2 = √π. Das Symbol Dα steht dabei formal fur¨ eine nichtganzzahlige (eben α te) Ableitung, wofur¨ − die Bezeichnung fraktionale Ableitung“ (fractional derivative) ublic¨ h ist. ” dα 1 d t u(τ) Dαu = u(t) = dτ, 0 < α < 1. (7.3.3) (dt)α Γ(1 α) dt (t τ)α − Z0 − Fur¨ Ableitungsordnungen α 1 ist die dem Integral vorgestellte ganzzahlige Ableitung zu ≥ n > 1 zu vergrößern; 1 dn t u(τ) Dαu = dτ, Γ(n α) dtn (t τ)α+1 n − Z0 − − (n 1) α < n. (7.3.4) − ≤ 3 1 Beispiel: α = n = 2; n α = . 2 → − 2 2 t 3 1 d u(τ) 2 D u = 1 2 1 dτ. Γ dt 0 (t τ) 2 2 Z − Beispiel: α = 1 n = 2; n α = 1 → − 1 d d t d D1u = u(τ)dτ = u(t) = u.˙ Γ(1) dt dt dt { } Z0 Ublic¨ herweise ersetzt man f˜G in (7.3.1), (7.3.2) durch ˜f = Γ(1 α)f G − G mit der korrespondierenden Differentialdarstellung:

f = CDαu, G − 1 d t u(τ) f = C dτ. (7.3.5) G −Γ(1 α) dt (t τ)α − Z0 − Die Diﬀerentiation des Parameterintegrals in (7.3.5) kann mittels der Leibniz3-Regel durchgefuhrt¨ werden.

3Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), deutscher Mathematiker und Philosoph; Mitbegrunder¨ der Diﬀerentialrechnung. 7.3 Fraktionale Ableitung 139

Allg.

d g(t) dg df g(t) ∂ F (τ, t)dτ = F (t, g) F (t, f) + F (τ, t)dτ. dt dt − dt ∂t Zf(t) Zf(t) Hier: d t u(τ) u(t) t α u(τ) I = dτ = 1 0 dτ. (7.3.6) dt (t τ)α 0α · − − (t τ)α+1 Z0 − Z0 − Diese singul¨are Darstellung kann durch eine regul¨are Form u t du/dτ I = 0 + dτ (7.3.7) tα (t τ)α Zτ=0 − ersetzt werden, wie man durch eine partielle Integration realisiert:

t u˙ (τ) u t t α u dτ = dτ (t τ)α (t τ)α − (t τ)α+1 Zτ=0 − − 0 Z0 − u(t) u(0) t α u = dτ. (7.3.8) 0α − tα − (t τ)α+1 Z0 − Zusammenfassend l¨aßt sich die ged¨achtnisbehaftete Ruc¨ kstellkraft auch mit isoliertem An- fangsterm darstellen: 1 u t u˙ (τ) f = C 0 + dτ . (7.3.9) G −Γ(1 α) tα (t τ)α − Zτ=0 −

Numerische L¨osung:

1 Die numerische L¨osung fur¨ den exemplarischen Parameter α = 2 wird in beiliegendem Auf- satz:

Ruge, P.; Wagner, N.: Consistent Numerical Analysis of Damped Structures with Fading ” Memory“ im Detail fur¨ lineare Ans¨atze

τj τj u(τj) = uj 1 1 + uj , − − h h τj τj v(τj) = vj 1 1 + vj , (7.3.10) − − h h im j-ten Zeitintervall mit der lokalen Zeit τj beschrieben. Ausgangspunkt ist das System 1. Ordnung im Zeitbereich.

1 Mv˙ + Du˙ + Ku + D 2 Cu = r(t), u˙ v = 0. (7.3.11) − Bisher waren bei Systemen ohne Gedächtnisintegrale die Operatoren der linken Seiten der Zustandsgleichungen in der Regel unabhängig vom Zeitintervall konstant. Hier ist der Ope- 1 rator D 2 eine Funktion der Vorgeschichte, die von Zeitschritt zu Zeitschritt zunimmt; also nicht konstant ist. Aus diesem Grund muß zunächst das Gedächtnisintegral fur¨ den aktuellen Bereich zwischen t = (n 1)h und t = nh bereitgestellt werden; das ist in Gleichung − 140 7. WERKSTOFFE MIT GEDACHTNIS¨

(7.4.19) geschehen. Anschließend wird diese Bewegungsgleichung dann im aktuellen Intervall mit Hilfe der linearen Ansätze (7.3.9) integriert. Das Ergebnis in Gleichung (7.4.22) beinhal- tet offensichtlich und folgerichtig alle Zustandsgrößen uj der Vergangenheit. Die im Aufsatz beschriebene modale Transformation bietet den Vorteil einer vollkommenen Entkoppelung der Bewegungsgleichungen mit der zusätzlichen Möglichkeit einer modalen Reduktion. Al- lerdings sind die Koeffizienten aj und bj der Diagonalformen in Gleichung (7.4.9) komplexe Zahlen.

7.4 Numerische Behandlung elastischer Strukturen mit nachlassendem Ged¨achtnis

Consistent numerical analysis of damped structures with fading memory

P. Ruge Technische Universit¨at Dresden Chair of Structural Dynamics, D-01062 Dresden, Germany e-mail: [email protected]

N. Wagner Technische Universit¨at Dresden Structural Dynamics, D-01062 Dresden, Germany e-mail: [email protected]

Abstract: Using the concept of fading memory to describe dynamic systems with damping material has proved to be a powerful tool in structural dynamics. A broken algebraic memory function turns over to the theory of fractional derivatives. In structural dynamics with corresponding algebraic systems of high order it is common practice to use time-discretization methods. However, there arise

problems from initial conditions in fractional derivatives besides displacements u0 and velocities v0. This paper presents a fully consistent discretization in the time-domain starting with nothing but u0 and v0. If all memory-dependent parts are eliminated from the discretized representation, there re- main the well-known time-stepping schemes for systems with viscous damping. Here the theory and results for linear time-ﬁnite-elements are presented.

Keywords: Fractional derivatives, fading memory, viscoelastic damping, time-ﬁnite-elements

Damping described by fractional derivatives

Today more or less sophisticated damping models are added to traditional viscous dampers, quite popular in structural dynamics. A rather great field of physically consistent descriptions of the phenomena damping is opened by materials with fading memory. An exponentially fading memory gave occasion to define the theory of internal variables. An algebraic memory indirect proportional 7.4 Numerische Behandlung elastischer Strukturen mit nachlassendem Gedächtnis 141 with respect to the distance in time between the actual time-instant t and the preceeding time- instant τ where the damping forces Cu˙ are acting onto the structure leads to a representation of the corresponding force

1 u t u˙ (τ) f = C 0 + dτ (7.4.1) c −Γ(1 α) tα (t τ)α − Zτ=0 − or alternatively

1 d t u(τ) f = C dτ, (7.4.2) c −Γ(1 α) dt (t τ)α − Z0 − which meets exactly the deﬁnition of fractional derivatives in analysis.

f = CDαu; c − 1 d t u(τ) Dαu = dτ; α < 1. (7.4.3) Γ(1 α) dt (t τ)α − Z0 − The only reason for using the Gamma-function in (7.4.1) as a separate factor to C is to generate a total correspondence to the fractional derivative Dα. All of these formulations, especially equation (7.4.1), α can be taken as Duhamel-integrals with forces Cu˙ and a transferfunction (t τ)− . Although α can 1 − take any value between 0 and 1, the value 2 meets typical situations in engineering applications and was adopted for this study, too. Consequently, starting point of this contribution are the space-domain discretized equations of motion

1 Mv˙ + Du˙ + D 2 Cu + Ku = r(τ), u˙ v = 0, (7.4.4) − with altogether 2 nF nodal quantities; nF nodal deformations u and nF nodal velocities v.

Numerical methods in literature

There are two properties of the problem (7.4.4) under consideration which cause a rather great numerical effort:

The number n of nodal degrees of freedom. • F The fractional derivative itself which can be treated only by means of series expansions. • Before stepping into the time-solution some authors (Fenander, 1996; Suarez and Shokooh, 1997) anticipate a modal transformation in order to get a totally uncoupled system of one-degree-of-freedom members. However, this can be achieved only by treating a pair A, B of only 2 matrices. Such a pair can be constructed by deﬁning two additional state variables,

1 1 p = D 2 u, q = D 2 v. (7.4.5)

These new variables can be inserted into the equations of motion from (7.4.4),

1 1 1 MD 2 D 2 v + C D 2 u + Dv + Ku = r(τ), 1 1 D 2 D 2 u v = 0, (7.4.6) − 142 7. WERKSTOFFE MIT GEDACHTNIS¨

and generate a corresponding matrix-system with only two matrices A, B but with an overall-order of 4nF .

1 BD 2 z = Az + ˜r. 1 0 0 0 0 1 0 0 u 0 1 0 0 0 0 1 0 p B =   , A =   , z =   . (7.4.7) 0 0 1 0 0 0 0 1 v        0 0 0 M   K C D 0   q     − − −          The left-eigenvectors Y and right-eigenvectors X of the pair A, B,

Ax = λBx, X = [x . . . x ] , → 1 4nF AT y = λBT y, Y = [y . . . y ] , (7.4.8) → 1 4nF

can be used to decouple the system (7.4.7) of order 4nF by means of a modal transformation

z(τ) = Xξ(τ) : T 1 T T Y BX D 2 ξ(τ) = Y AXξ(τ) + Y ˜r(τ), T T Y BX = diag bj, Y AX = diag aj.

j = 1, . . . , 4nF . (7.4.9)

The task to be done now concerns nothing but 4nF SDOF-oscillators. The integration can be done directly or by Laplace-transformations. However, the back-transformation needs series expansions

and the initial conditions p0 and q0 have to be deﬁned in order to get the whole solution in the time-domain ﬁxed to the essential initial values u0, v0. There are authors (Bagley and Calico, 1991) which claim the representation

z(τ) = xeλτ (7.4.10)

1 λτ to solve the system (7.4.7) in the time-domain. However, this is not true because D 2 acting onto e does not reproduce nothing but the exponential function! It should be emphasized here, that the modal transformation is based on the modal matrices X, Y, which have to be calculated in a domain of order 4nF . 1 1 If instead of α = 2 a smaller value, for example α = 4 is used in order to describe the fading memory, then the state variables z contain 8 groups of quantities.

T z = u p1 p2 p3 v q1 q2 q3 , h 1 1 1 i p1 = D 4 u, p2 = D 4 p1, p3 = D 4 p2; 1 1 1 q1 = D 4 v, q2 = D 4 q1, q3 = D 4 q2. (7.4.11)

Assumed that 1/α is an integer number, the total amount ntot of quantities is

ntot = 2nF /α.

Alternative solution strategies which are based upon time-discretization from the very beginning of the numerical analysis are typically the

central difference method (Koh and Kelley, 1990; Shokooh and Suarez, 1999), the • average acceleration method (Koh and Kelley, 1990) and a • 7.4 Numerische Behandlung elastischer Strukturen mit nachlassendem Ged¨achtnis 143

suitable truncation of Grunw¨ ald’s operator (Enelund, Fenander and Olson, 1997; Padovan, • 1987).

Both strategies need additional initial values besides u0 and v0. The central difference method is a two-point algorithm. u1 must be calculated separately, for example by Taylor’s expansion. 1 u u + hv + h2a . (7.4.12) 1 ∼ 0 0 2 0 The time step size is called h, a0 is the initial value of the accelerations a which are calculated by means of collocation with respect to the equation of motion.

1 Ma = Dv Ku + r CD 2 u . (7.4.13) 0 − 0 − 0 0 − |0 However, the last part in (7.4.13) can not be described in a numerically proper manner caused by 1 1 the singular property of D 2 u . To meet this problem Shokooh and Suarez (1999) replace D 2 u by |0 |0 D1u = v ; of course, this is a mechanical crime. The average acceleration method, too, suffers |0 0 from this crime. This paper presents a one-step-algorithm in the time-domain with independent approximations for u(τ) and v(τ) only, which is physically consistent and which tackles directly the integral representation t 1 1 u0 u˙ (τ) 1 fC = CD 2 u = C + dτ , √π = Γ , (7.4.14) − −√π √t √t τ 2 Zτ=0 − of the damping forces caused by fading memory.

Linear approximation

Here especially linear approximations τj τj u(τj) = uj 1 1 + uj , − − h h τj τj v(τj) = vj 1 1 + vj , (7.4.15) − − h h for the nodal quantities u, v within the j-th time-interval with a local time τj[0, h] are used as shown in ﬁg. (7.4.1) . h2 hj time front - τ - τj τ = t- 0 1 2 j-1 j n-1 n

j. time interval actual | {z } time| in{zterv}al

Abbildung 7.4.1: Notations

In order to simplify the formulas only constant time-steps throughout the whole time-axis are used.

The contribution t u˙ (τ) Ij = dτ τ=(j 1)h √t τ Z − − 144 7. WERKSTOFFE MIT GEDACHTNIS¨

of the interval of order j, appearing in equation (7.4.14), is described by differentiating u(τ); then u˙ is constant in time. t uj uj 1 dτ Ij = − − . (7.4.16) h τ=(j 1)h √t τ Z − − The ﬁnal result for Ij depends on whether the time node of number j (that is the end-node of the interval under consideration) equals the actual time front with number n or not.

t t uj uj 1 dτ Ij = − − " τ=(j 1)h − τ=jh# h √t τ Z − Z − jh uj uj 1 dτ = − − . h τ=(j 1)h √t τ Z − − uj uj 1 I = 2 − − t jh t (j 1)h . (7.4.17) j − h − − − − j=n p p t un un 1 dτ 2 In = − − = (un un 1) t (n 1)h. τ=(n 1)h h √t τ h − − − − Z − − p (7.4.18)

Taking these representations together with the integral-free part in (7.4.14) it is possible to replace the integro-differential equation (7.4.4) by a pure differential equation with integer-valued derivatives. The situations j < n and j = n (even j = n) can be put together into one summation rule.

1 u0 2 Mv˙ + Du˙ + Ku + C + (un un 1) t (n 1)h √π √t h − − − − n 1 p 2 − (uj uj 1) t jh t (j 1)h = r(τ), − h − − − − − −  j=1 X h p p i u˙ v = 0. (7.4.19) −  So far the integration with respect to the variable τ is ﬁnished. The next and last step concerns the integration of the system (7.4.19) with respect to the front time interval with t/h [n 1, n]. ∈ − This integration, exact where it is possible and by using the linear approximations (7.4.15) where it is

necessary, leads to a totally discretized one-step formulation, which allows un and vn to be calculated by means of un 1 and vn 1. − − h M(vn vn 1) + D(un un 1) + K (un 1 + un) − − − − 2 − h 4 h + C 2u0(√n √n 1) C(un un 1) rπ − − − 3rπ − − n 1 4 h − 3 3 3 C (uj uj 1) (n j 1) 2 2(n j) 2 + (n j + 1) 2 = ir, − 3rπ − − − − − − − Xj=1 h i nh ir = r(t)dt, t=(n 1)h Z − h un un 1 = (vn 1 + vn). (7.4.20) − − 2 − 7.4 Numerische Behandlung elastischer Strukturen mit nachlassendem Ged¨achtnis 145

The last equation can be used to eliminate the velocities vn, yet unknown. 2 vn = (un un 1) vn 1. (7.4.21) h − − − − In doing so, there remains an algebraic equation of simple order nF in order to calculate the values un, 2 h 4 h M + D + K + C un = h 2 3rπ ! 2 h 4 h M + D K + C un 1 + 2Mvn 1 h − 2 3rπ ! − − 4 h 3 + C u (√n √n 1) 3 π −2 0 − − r n 1 − 3 3 3 + (uj uj 1)[(n j 1) 2 2(n j) 2 + (n j + 1) 2 ] + ir, − − − − − − −  Xj=1  2 nh vn = (un un 1) vn 1, ir = r(t)dt,  (7.4.22) h − − − − t=(n 1)h Z − and afterwards vn by equation (7.4.21). If all system-matrices, M, D, K as well as C, are symmetric then the overall coefﬁcient matrix in (7.4.22) which has to be decomposed is symmetric, too. And furthermore, common sparsety properties of M, D, K, C are saved. The process (7.4.22) starts with putting u0, v0 into the scheme and with the output of u1. No more information to start the algorithm is necessary.

If C is put to zero, C = 0, then the equations (7.4.20) until (7.4.22) are totally identical with the Pade-´ P11-scheme presented elsewhere in literature. This scheme is unconditionally stable if D, too, is put to zero. In other words, the process presented here ﬁts very well into the Pade-fr´ ame or into the frame of independent approximations for u(t) and v(t). A proceeding paper will show algorithms and results for higher-order approximations.

Example

By means of the time-stepping scheme shown in equation (7.4.22) it is possible to realize solutions for systems of arbitrary order nF of degrees of freedom assembled in u. However, in order to make a comparison with results from literature, especially from (Shokooh and Suarez, 1999)and to restrict the amount of data involved, a system

m 0 c1 + c3 c3 1 k1 + k3 k3 f1 u¨ + − D 2 u + − u = (7.4.23) 0 m c c + c k k + k f " # " − 3 2 3 # " − 3 2 3 # " 2 # with only two degrees of freedom will be treated here. The parameters in (7.4.23) are as follows:

m = 1[kg], ω2m rad k = ω2m, k = ω2m, k = with ω = 10 , 1 2 3 10 s 3 c1 c = 2mη ω 2 , c = c , c = . 1 2 1 3 10 146 7. WERKSTOFFE MIT GEDACHTNIS¨

Altogether 5 different situations concerning the damping ratio η, the initial conditions u0, v0 and the excitation f have been treated numerically; the time step chosen was h=0.005 [s].

0 Case a : u0 = 0, v0 = , η = 0.05, f = 0. " 1 # 0 Case b : u0 = 0, v0 = , η = 0.5, f = 0. " 1 # 20 Case c : u0 = 0, v0 = 0, η = 0.1, f = h(t 0), " 10 # − h(t 0) : Heaviside Function with step at t¯ = 0. − 10 Case d : u0 = 0, v0 = 0, η = 0.1, f = sin 10 t. " 0 # 0 Case e : u0 = , v0 = 0, η = 0.1, f = 0. " 1 # The results for the cases a) and b) in ﬁg. (7.4.2) and ﬁg. (7.4.3) are very similar to results published

in (Shokooh and Suarez, 1999). Increasing the damping ratio from ηa = 0.05 to ηb = 0.5 indeed smooths the displacements signiﬁcantly. The results for case c) are shown in ﬁg. (7.4.4). Due to the exciting step-function the displacements

show convergence towards the static solutions u1 = 0.1917 and u2 = 0.1083.

rad The excitation frequency Ω = 10 s for case d) just equals the eigenfrequency ω = 10 of the undamped system. Indeed, the resultsh i in ﬁg. (7.4.5) indicate growing amplitudes.

In case e) the vibration starts with an initial displacement u2. The response curves in ﬁg. (7.4.6) show the typical behaviour of a damped oscillation with a tendency towards the static equilibrium position. Contrary to that there have been reported results in literature, (Shokooh and Suarez, 1999) 1 , based on replacing the initial fractional derivative D 2 u by u˙ which are unreliable from a mechanical point of view.

Conclusion

The vibrations of damped structures with fading memory have been treated numerically by simply integrating the ﬁrst order system of equations of motion in the time domain. In doing so, the nodal quantities u and v have been interpolated independently from each other in a linear manner within each time step of length h. The integration process itself is divided into two main parts. In the ﬁrst step

the memory integral is evaluated starting from the very beginning with the initial conditions u0, v0 passing several time intervals in between until the actual time interval under consideration. In the second step the state equations of ﬁrst order are integrated along this actual time interval. The time stepping scheme coming out of this process can be regarded as a generalization of the well-known Pade-f´ amily; special properties of the matrices involved like sparsety and symmetry can be saved in order to reduce the numerical effort of decomposing the coefﬁcient matrix of the time stepping scheme. Improved results can be achieved by smaller time steps (h-version) or higher interpolation functions (p-version). However, there is one main advantage in favour of linear shape functions: one

set of nodal quantities, here vk, can be eliminated without numerical effort. 7.4 Numerische Behandlung elastischer Strukturen mit nachlassendem Ged¨achtnis 147

Abbildung 7.4.2: Displacements u1 and u2 versus time concerning case a) with η = 0.05, u0 = 0, T v0 = [0 1].

Abbildung 7.4.3: Displacements u1 and u2 versus time concerning case b) with η = 0.5, u0 = 0, T v0 = [0 1]. 148 7. WERKSTOFFE MIT GEDACHTNIS¨

Abbildung 7.4.4: Displacements u1 and u2 versus time concerning case c) with η = 0.1, Heaviside.

Abbildung 7.4.5: Displacements u1 and u2 versus time concerning case d) with η = 0.1, resonance excitation. 7.4 Numerische Behandlung elastischer Strukturen mit nachlassendem Ged¨achtnis 149

T Abbildung 7.4.6: Displacements u1 and u2 versus time concerning case e) with η = 0.1, u0 = [0 1], v0 = 0. 150 7. WERKSTOFFE MIT GEDACHTNIS¨

Literaturverzeichnis

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[8] Suarez, L.E., Shokooh, A., 1997, ”An eigenvector expansion method for the solution of motion containing fractional derivatives”, Journal of Applied Mechanics, 64, 629-635. Kapitel 8

Menscheninduzierte Schwingungen

8.1 Beeintr¨achtigung von Mensch und Bauwerk

Fußgängerbauwerke, Tribunen,¨ Tanzsäle, Sporthallen, Treppenkonstruktionen und andere Zweckbauten können zu menscheninduzierten Schwingungen angeregt werden. Diese Gefähr- dung nimmt ständig zu: Hochleistungsbaustoffe, ehrgeizige Architekten, Ingenieure und Bau- herren, Erhöhung der Gebäudeattraktivität durch filigrane schwebende“ Elemente sind Stich- ” worte dieser Entwicklung. Die sachverständige Behandlung dieser komplexen Situation obliegt dem Bauingenieur, dessen Denken und Handeln statisch geprägt ist. Dabei ist jedoch nicht auszuschließen, daß die dynamischen Lasten fur¨ die Dimensionierung maßgeblich sind. Bei den Auswirkungen der Schwingungen geht es neben der eigentlichen Strukturbean- spruchung auch um eine Beeinträchtigung von Personen und um eine Schädigung sekundärer Bauteile. Da der Mensch mit im Spiel ist, einerseits als Verursacher der Schwingungen, andererseits als Betroffener, erweist sich der Problemkreis als schwierig und nicht klar abtrennbar im Sinne einer sauberen technischen Reglementierung. Dies wird um so deutlicher, wenn man die Sensibilität und Empfindlichkeit des Menschen auf Schwingungen bzw. Erschutterungen¨ als Bewertungsmaß mit heranzieht. Hinzu kommt die Tatsache, daß durch den Menschen erzeugte Schwingungen ein weites Streufeld aufweisen. Fur¨ die konkrete Schwingungsbeur- teilung von Bauwerken und Menschen steht dem berechnenden Ingenieur die DIN 4150 zur Verfugung.¨

8.1.1 Mensch - Bauwerk - Interaktion

Die Problemklasse menscheninduzierte Tragwerksschwingungen“ stellt im Grunde genom- ” men ein in sich abgeschlossenes Wechselwirkungssystem nach Bild (8.1.1) dar. Bei mutwilli- gem Aufschaukeln zum Beispiel wird der schwingungserregende Mensch von der Zielfunktion - extremale Bewegung - geleitet sein. Dazu registrieren körpereigene Sensoren - die Sinne und das Gleichgewichtsorgan - den momentanen Bewegungszustand, melden diesen zum Gehirn und werden dort in Impulse fur¨ den Bewegungsapparat - körpereigene Aktuatoren - umge- setzt. Dieser Regelkreis erfährt eine naturlic¨ he Beschränkung durch die Leistungsfähigkeit des Menschen und die ihm eigene Bewegungscharakteristik. Da die biodynamische Modellierung erst in den Anfängen steckt, ist eine dynamische Analyse des gekoppelten Systems Mensch - Tragwerk zum heutigen Zeitpunkt nicht realisierbar. Stand der Technik ist eine Entkopplung zwischen Tragwerk und Mensch derart, daß die 152 8. MENSCHENINDUZIERTE SCHWINGUNGEN

menscheninduzierte Erregung ruc¨ kwirkungsfrei als periodische Belastung fur¨ verschiedene Bewegungssituationen vorgegeben wird und die dazugehörige Tragwerksreaktion als Zeit- funktion berechnet wird. Die Belastungsfunktio- nen werden weitgehend durch Bewegungen auf einer festen Unterlage ermittelt; also entkoppelt A von einer verformbaren Unterstutzung.¨ Naturlic¨ h sind diese Lastfunktionen in gewissen Grenzen abhängig von der individuellen Bewegungsrhyth- S mik eines jeden Menschen. Beim Zusammenwir- A ken mehrerer Menschen erhebt sich die Frage S- Sensor nach der Synchronisation der Einzelbewegungen. A A- Aktuator Dazu bedarf es zum Beispiel einer Taktvorga- S be; zum Beispiel durch mitreißende Musik oder durch rhythmisches Agieren einer Initialgruppe. Bei Strukturbewegungen ist damit zu rechnen, Bauwerk daß der Gleichgewichtssinn des Menschen zu ei- Abbildung 8.1.1: Regelkreis Mensch-Bauwerk ner Angleichung an den Schwingungstakt der Struktur fuhrt.¨ Sehr deutlich wird dies beim Gehen ub¨ er einen schwankenden Steg, wobei eine stabile Fortbewegung nur in geeigneter Interaktion mit der Struktur möglich ist.

8.1.2 Menscheninduzierte Lastfunktion

Allgemein anerkannter Sachstand in der Baudynamik ist der Ersatz des Teilsystems ”Mensch” durch eine menscheninduzierte periodische Lastfunktion f(t) fur¨ die Entfaltungsdauer T einer typischen Bewegungsphase. Der Zeitspanne T zugeordnet ist die Erregerkreisfrequenz Ω = 2π 1 1 T s oder die Erregerfrequenz f = T [Hz]. In der Regel werden drei harmonische Anteile einer Fourierentwicklung mit f, 2f und 3f oder entsprechend mit Ω, 2Ω und 3Ω benotigt, um ¨ einen Bewegungsablauf wie H¨andeklatschen mit rhythmischer Bewegung im Stehen nach Bild (8.1.2) ausreichend zu beschreiben; dort gilt T = 0.416 sec.

0.15

0.1

0.05

0 ...... Kraftamplitude

-0.05 Normierte -0.1

-0.15 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Zeit t in [sec]

Abbildung 8.1.2: Qualitativer Verlauf der Lastfunktion 8.1 Beeintr¨achtigung von Mensch und Bauwerk 153

f(t) = m g [1 + α sin(Ωt) + α sin(2Ωt φ ) + α sin(3Ωt φ )] (8.1.1) · 1 2 − 2 3 − 3

m : Menschenmasse, g : Erdbeschleunigung, αi : Lastanteil des i -ten Fouriergliedes, φi : Phasenverschiebung. In der Regel enthalten Standardwerke wie das von Bachmann und Coautoren mit dem Titel “Vibration Problems in Structures – Practical Guidelines“, Birkhäuser Verlag 1995, als Ein- 1 Ω gangsgröße den Bewegungstyp mit einer zugeordneten Grunderregungsfrequenz f = T = 2π in der Dimension Hertz [Hz]; siehe Tabelle 8.1.1. Die Beschränkung auf die ersten drei harmonischen Anteile ergibt sich aus der Auswertung diverser Laborversuche. Somit wirken insgesamt drei Erregerfrequenzen Ω, 2Ω, 3Ω beziehungsweise 2πf, 4πf, 6πf auf das Tragwerk ein, von denen keine in der Nähe einer Tragwerkseigenfrequenz liegen soll, um eine Resonanz auszuschließen. Daraus resultiert die Forderung

fEigen > 3fGrunderregung

Die Belegungsdichte sollte realistisch abgeschätzt werden. Selbst bei einer rhythmischen Be- wegung am Ort wie Hupfen,¨ Schunkeln, Händeklatschen mit Auf- und Abwärtsbewegung des Körpers durch Kniebeugen ist ein gewisser Bewegungsraum notwendig; ansonsten ist eine Be- wegung kaum möglich. Fur¨ den oben genannten Lastfall Klatschen mit Wippen“ sind mehr ” als vier Menschen pro Quadratmeter nicht vorstellbar; dies entspricht einer Massenbelegung von 4 75 = 300 kg . Weitere Werte sind in Tabelle 8.1.1 wiedergegeben. · m2

Aktivit¨at Frequenz Fourierkoeﬃzienten αi - Phasenlage φi Belegungsdichte 2 Bemerk. [ Hz ] α1 α2 φ2 α3 φ3 [ Personen / m ] π π vertikal 2.0 0.4 0.1 2 0.1 2 2.4 0.5

Gehen vorwärts 2.0 0.2 0.1 1 ≈ α 1 = 0.1 2 seitlich 2.0 α 1 = 0.1 α 3 = 0.1 2 2 Laufen 2.0 - 3.0 1.6 0.7 0.2 normal 2.0 1.8 1.3 *) 0.7 *) Fitnesstraining 0.25 ≈ 3.0 1.7 1.1 *) 0.5 *) Extremfall bis zu 0.50 Hupfen¨ hoch 2.0 1.9 1.6 *) 1.1 *) *)φ2 = φ3 = π(1 -tpf) 3.0 1.8 1.3 *) 0.8 *) tp - Kontaktzeit Tanzen 2.0 - 3.0 0.5 0.15 0.1 4, Extremfall bis 6 ≈ Händeklatschen 1.6 0.17 0.10 0.04 ohne feste Bestuhlung 4 ≈ m. rhyth. Beweg. Extremfall bis 6 ≈ im Stehen 2.4 0.38 0.12 0.02 mit fester Bestuhlung 2 - 3 ≈ normal 1.6 0.024 0.010 0.009 Händeklatschen 2.4 0.047 0.024 0.015 2 bis 3 ≈ intensiv 2.0 0.170 0.047 0.037 seitliches sitzend 0.6 α 1 = 0.4 2 Schunkeln stehend 0.6 α 1 = 0.5 3 bis 4 2 ≈

Tabelle 8.1.1: Dynamische Kenngr¨oßen nach Bachmann. φ1 = 0 154 8. MENSCHENINDUZIERTE SCHWINGUNGEN

8.1.3 Massenbelegung

Bei einer dynamischen Analyse des Tragwerkes ist auf jeden Fall die Massenbelegung durch die Menschen zu beruc¨ ksichtigen. Bei relativ leichten Stahl- und Seilkonstruktionen macht die menschliche Nutzmasse einen wesentlichen Anteil aus und erniedrigt die Eigenfrequenzen im Vergleich zur Dynamik der reinen Tragkonstruktion. Bei Fußgängerbruc¨ ken unter freiem Himmel ist eine mögliche Auflast durch Schnee, Eis ebenfalls zu beruc¨ ksichtigen; nicht nur als statische Last sondern als zusätzlich verteilte träge Masse längs der Bruc¨ ke. Die volle Mitwirkung der Menschenmasse bei der Berechnung der Systemmasse wird in der Regel nicht gegeben sein: Im Sonderfall des Hupfens¨ wird zum Beispiel offenbar, daß in der Flugphase“ ” ohne Kontakt zwischen Mensch und Tragwerk die mitschwingende Menschenmasse gleich Null ist; in der Kontaktphase hingegen sind Tragwerks- und Menschenmasse kinematisch gekoppelt. Diese Schwierigkeiten resultieren aus der Abbildung des Wechselwirkungssystems Mensch-Tragwerk auf eine wechselwirkungsfreie Kraftanregung.

8.1.4 Gebrauchstauglichkeit

Die Frage nach der Gebrauchstauglichkeit bei menscheninduzierten Tragwerksschwingungen bezieht sich sowohl auf das Tragwerk als auch auf die Beﬁndlichkeit der Menschen. Der Mensch reagiert im wesentlichen auf folgende Faktoren:

Faktoren der Schwingung / Erschutterung¨ • - Intensit¨at und Verteilung der Schwingung,

- Frequenzverteilung in der Bewegung (mono- oder multifrequent),

- Dauer der Schwingung / Erschutterung,¨

- Gr¨oße der Verschiebungs-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsamplituden,

Faktoren der menschlichen Wahrnehmung • - Position stehend, sitzend, liegend oder sich bewegend,

- T¨atigkeit,

- Gesundheitszustand, Alter und Geschlecht,

Faktoren der Umgebung • - Ub¨ erlagerung von St¨oreinﬂussen,¨

- Akzeptanz von Schwingungen aus typischen Bewegungsabl¨aufen (in Verkehrsmitteln auftretendes Schaukeln).

Aus der Vielfalt der Einflußfaktoren ist die Frage nach der tolerierbaren Größe der auftreten- den Schwingungen nur schwer zu beantworten. Zur praktischen Beurteilung von gemessenen bzw. berechneten Schwingungsgrößen (Beschleunigungen, Geschwindigkeiten, Verschiebun- gen) werden meist Anhaltswerte herangezogen. Es handelt sich dabei um Richtwerte, bei deren Ub¨ er- bzw. Unterschreitung nicht zwangsläufig ein unzulässiger Zustand eintritt. Sie 8.1 Beeinträchtigung von Mensch und Bauwerk 155 beschreiben also vielmehr vertretbare Größenordnungen und nur selten feststehende Gren- zen. Dies liegt an den zu erwartenden Streuungen dieser Größen infolge der individuellen Beurteilung durch Menschen. In Petersen werden einige Verträglichkeitsgrenzen aus verschiedenen Standards und Unter- suchungsergebnissen mehrerer Autoren Ellingwood, Wheeler zusammengetragen und vergli- chen. Hierbei wird fur¨ die Beurteilung möglicher lotrechter Schwingungen die größte Auslen- kung als maßgebend betrachtet. Kurzzeitige Erschutterungen¨ werden nach DIN 4150 ub¨ er einen frequenzbewerteten Komfort- wert KB erfaßt: E Ω KB = v , f = . (8.1.2) 2 2π √ 5,6 2 1 + f r Ev : Extremwert der Geschwindigkeit, f : Grundfrequenz der periodischen Systemschwingung.

Diese Gleichung geht von einer Grundschwingung von f[Hz] aus, so daß dem Wert Ev eine Extremalverschiebung 1 1 E = E = E (Kurve 1 in Abb. 8.1.3) (8.1.3) u Ω v 2πf v zugeordnet ist. Ersetzt man E in (8.1.2) durch Gleichung (8.1.3) so erh¨alt man mit KB 12 v ≤ einen Schwellwert fur¨ die extremale Verschiebung, der nicht ub¨ erschritten werden sollte.

2 f 2 1 + KB f 5,6 E 1 + = 15r . DIN4150. (8.1.4) u ≤ 0.8f 2 5, 6 f2 s Andere Autoren und Codes geben ähnliche Verträglichkeitsgrenzen fur¨ Menschen an. Wheeler zum Beispiel unterscheidet zwischen der Empfindlichkeit stehender und gehender Menschen. Stehende Person E 5.6 . (Kurve 2a in Abb. 8.1.3) u ≤ f 1.4 Wheeler: (8.1.5) Gehende Person E 3.8 . (Kurve 2b in Abb. 8.1.3) u ≤ f Nach British Standard Code gilt 12.7 BS: E . (Kurve 3 in Abb. 8.1.3) (8.1.6) u ≤ f 1.5 Die gemeinsame Auftragung aller 4 Funktionen (8.1.4), (8.1.5), (8.1.6) in Abbildung (8.1.3) zeigt qualitativ gleiche Verläufe. Bei einer Frequenz von 3 Hz legt DIN 4150 zum Beispiel eine extremale Schwingweite von rund 2 Millimetern fest; ein scheinbar sehr kleiner Wert, der aber durch viele Experimente unterlegt ist. Fur¨ die Bewertung eines Signals, repräsentiert durch den jetzt zeitlich veränderlichen KB-Wert, unter Einbeziehung der Einwirkungsdauer tE wird in DIN 4150 ein KBt-Wert definiert

t E t τ 1 − 2 KBt = e h [KB(τ)] dτ, h = 0.125s. (8.1.7) sh τ=0 Z Diese Formel ist insbesondere fur¨ die online–Messung an Bauwerken geeignet.

Hinsichtlich der Gebrauchstauglichkeit eines Tragwerkes selbst unterscheidet man ebenfalls 156 8. MENSCHENINDUZIERTE SCHWINGUNGEN

20 . . 2a . . . . . ] 2b . unzul¨assig . . mm . [ . 3 .

in . .

ˆ . s 1 . 2 ...... eg ...... wingungsw zul¨assig . h . . Sc . . . 0.2 ...... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Frequenz in [Hz]

Abbildung 8.1.3: Vertr¨aglichkeitsgrenzen der Schwingwege

kurzzeitige und andauernde (station¨are) Erschutterungen.¨

Kurzzeitige Erschutterungen¨ werden zum einen auf der Fundamentebene und zum anderen auf der Deckenebene des obersten Vollgeschosses jeweils ub¨ er die maximale Geschwindigkeit bewertet. Die Bewertung auf der Fundamentebene ist frequenzabhängig und wird differenziert nach der Gebäudenutzung. Gewerblich genutzte Bauten, Industrie- 1 bauten und ähnlich strukturierte Bauten

Wohngeb¨aude und in ihrer Konstruktion 2 und/oder ihrer Nutzung gleichartige Bau- ten

Bauten, die wegen ihrer besonderen Erschutterungsempﬁndlic¨ hkeitn nicht de- 3 nen nach 1 und 2 entsprechen und besonders erhaltenswert (z.B. Denkmalschutz) sind. Die Bewertung auf der Deckenebene des obersten Vollgeschosses ist frequenzunabh¨angig

mm 1 vmax = 40 s

mm 2 vmax = 15 s . 8.1 Beeintr¨achtigung von Mensch und Bauwerk 157

...... 50 ...... ] ......

sec ...... 1 . mm ...... [ ......

in ...... 40 ......

eit ...... 30 ...... windigk ...... h ...... 2 ...... 20 ...... winggesc ...... h ...... 15 ...... Sc ...... 3 ...... 10 ...... 8 ...... 5 ...... 3 ...... 0 ...... 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Frequenz in [Hz]

Abbildung 8.1.4: Frequenzabh¨angige Bewertung auf Fundamentebene

mm 3 vmax = 8 s .

Fur¨ station¨are Erschutterungen¨ werden folgende Grenzwerte angegeben, mm v = 5 ; horizontal, oberstes Geschoß, max s mm v = 10 ; vertikal, Deckenmitte, max s bei deren Einhaltung keine Sch¨aden zu erwarten sind, wie es in DIN 4150 etwas unscharf formuliert ist. 158 8. MENSCHENINDUZIERTE SCHWINGUNGEN Kapitel 9

Signalanalyse

9.1 Diskrete Fourier-Reihenentwicklung

Die Fourier-Reihenentwicklung einer periodischen Funktion f(t) = f(t + T ) mit der Periodendauer T wurde im Abschnitt 2.5 behandelt. Dabei wird die unendliche Reihe

a ∞ f(t) = 0 + (a cos Ωt + b sin kΩt) 2 k k Xk=1 a ∞ = 0 + c cos(kΩt ϕ ) 2 k − k Xk=1 a ∞ = 0 + Re (a ib )eikΩt 2 k − k Xk=1 2π T = , c2 = a2 + b2, Ω k k k bk tan ϕk = , (9.1.1) ak nach dem n-ten Paar abgebrochen, somit durch eine endliche Reihe F (t) approximiert, n a f(t) F (t) = 0 + c cos(kΩt ϕ ), (9.1.2) ≈ 2 k − k Xk=1 und die Koeﬃzienten ak, bk durch die Minimierung des Fehlerquadrates bestimmt. T I = [f(t) F (t)]2 dt Minimum. − −→ Z0 2 T a = f(t) cos kΩt dt, k = 0(1)n, k T Z0 2 T b = f(t) sin kΩt dt, k = 1(1)n. (9.1.3) k T Z0 Ein wichtiges Ergebnis dieser Entwicklung sei hier in Erinnerung gerufen: Eine kurzzeitige Krafteinwirkung ub¨ er eine Zeitspanne h enth¨alt eine beliebige Menge von harmonischen Erregungsanteilen. Die Antwort eines Schwingungssystems auf diese sogenannte breitbandige Erregung wird an den Resonanzstellen relativ groß sein. 160 9. SIGNALANALYSE

Mit anderen Worten: Liegt die gemessene Antwort u(t) des Schwingers als Menge digitaler Wertepaare

(uj, tj)(uo, to), ..., (u2n, t2n); (u2n+1, t2n+1) = (uo, to + T ), (9.1.4)

mit einer Periode T vor, so findet man im zugehörigen Amplituden-Frequenzdiagramm die Eigenfrequenzen der Struktur an den Stellen der Amplituden-Extremwerte. Im konkreten Fall heißt das, daß die Eigenfrequenzen zum Beispiel eines Kirchturms durch eine Messung gewonnen werden können, indem man an geeigneter Stelle einen möglichst harten Stoß anbringt (Kantholz, Eisenstange, Hochspringen ohne elastisches Nachfedern beim Aufkommen) und die Antwort des Systems als digitale Signalkette (uj, tj) registriert. Die Umsetzung dieser Datenmenge in das Amplituden-Frequenzdiagramm geschieht durch die diskrete Fourierreihenentwicklung.

Dabei wird die diskrete Punktmenge (uj, tj) durch eine analytische Funktion U(t) im Zeitbereich mit einer Periodendauer T interpoliert. 1 U(t) = a + (a cos jΩt + b sin jΩt), 2 o j j Xj=1 T Ω = . (9.1.5) 2π Die obere Grenze der Summation wird hier zunächst noch offengelassen. Ist diese Perioden- dauer dem Meßschrieb nicht ohne weiteres zu entnehmen, definiert man einen entsprechenden Zeitbereich, von dem man meint, daß die Schwingungscharakteristik darin enthalten ist; dazu bedarf es einiger Erfahrung. Im Zweifelsfall legt man der im folgenden beschriebenen diskreten Fourier–Reihenentwicklung mehrere alternative Periodendauern zugrunde und vergleicht die dazugehörigen Resultate. Der Schilderung der Berechnungsdetails soll eine Bilanz der gesuchten Koeffizienten aj, bj in (9.1.5) und der zur Verfugung¨ stehenden Bestimmungsgleichungen vorangestellt werden. Durch die Vorgabe von n Meßwertpaaren (uj, tj) können n/2 Paare ak, bk bestimmt werden. Demnach wird man die Zeitperiode T nach Bild (9.1.1) in eine gerade Anzahl von Zeitab- schnitten h unterteilen.

T h = n ; n gerade. ΩT = 2π.

u0 u1 u2 ! un = u0 - t

h t = 0 t = T

Abbildung 9.1.1: Unterteilung der Periode T; hier n = 8

Die insgesamt n Bestimmungsgleichungen fur¨ die Koeﬃzienten ak, bk werden durch Dis- kretisierung der Integraldarstellungen (9.1.3) fur¨ eine analytische Funktion f(t) gewonnen. 9.1 Diskrete Fourier-Reihenentwicklung 161

Dazu wird das Zeitdifferential dt durch den Zeitschritt h ersetzt. T dt h = ; −→ n j j 2π t jh = T = ; −→ n n Ω T n 1 − T (..) dt (...) . (9.1.6) −→ n Z0 Xj=0 Ohne weitere Maßnahmen erhält man dadurch die gesuchten Darstellungen der Entwicklungs- koeffizienten.

n 1 2 − k n a = u cos 2π j ; k = 0, ..., . k n j n 2 Xj=0 n 1 2 − k n n b = u sin 2π j ; k = 0 , 1, ..., 1, . k n j n { } 2 − 2 Xj=o k = 0 : b0 0 { n} ≡ k = : b n 0 da sin jπ = 0. (9.1.7) 2 2 ≡ n o Die Koeffizienten b und b n ergeben sich grundsätzlich zu Null, so daß bei n Meßpaaren 0 2 (u , t ) insgesamt n + 1 Koeffizienten a und n 1 Koeffizienten b festgelegt sind. j j 2 k 2 − k Gegebene Eingangsgrößen n Meßpaare uj, tj.

(u0, t0 = 0); (u1, h); (un 1, (n 1)h). − − (9.1.8) 1.P aar n.P aar

Berechenbare Ausgangsgr¨oßen

( n + 1) Koeﬃzienten a und ( n 1) Koeﬃzienten b : 2 k 2 − k n 1 2 − a = u , 0 n j Xj=0

2 n 1 1 n 1 − − a n = uj cos(πj) a n = uj cos(πj). 2 n → 2 n Xj=0 Xj=0

n 1 2 − k ak = n uj cos 2π n j j=0  n n 1 k = 1, ..., 1. 2 P− k  2 − bk = n uj sin 2π n j  j=0 P   2 2 2 ck = ak + bk 162 9. SIGNALANALYSE

Interpolationsfunktion U(t):

a0 t U(t) = + a n cos(nπ ) 2 2 T n 1 2 − 2π 2π + (a cos k t + b sin k t). (9.1.9) k T k T Xk=1 k k. Teilfrequenz: fk = T .

Ersetzt man in Gleichung (9.1.9) die eingeklammerte Darstellung fur¨ a n – die sich in genau 2 dieser Form aus dem Ableitungsprozeß ergibt – durch die alternative Form mit der einge-

1 kreisten , so erreicht man dadurch eine Ub¨ ereinstimmung der Interpolationsfunktion U (t) mit den vorgegebenen Meßwerten uj in den Zeitpunkten tj.

U(tj) = uj. (9.1.10)

Bei n = 8 Meßwerten gehen aufgrund der Periodizit¨at der trigonometrischen Funktionen lediglich 3 verschiedene sin–cos–Werte in die Berechnung (9.1.8),(9.1.9) der Koeﬃzienten ein.

n = 8 : π abs cos (lπ) = abs sin (2l + 1) = 1, 2 π abs sin (lπ) = abs cos (2l + 1) = 0, 2 π π √2 abs sin (2l + 1) = abs cos (2l + 1) = ; 4 4 2 l = 0, ..., 10. (9.1.11)

Diese Eigenschaft bleibt in analoger Weise auch fur¨ h¨ohere Abtastrasten n = 2p, p N, erhal- ∈ ten und fuhrt¨ zu sehr eﬀektiven Rechenverfahren wie der Fast Fourier Transformation (FFT).

Beispiel:

Anhand einer vorgegebenen periodischen Funktion

k=20 Ω f(t) = c sin jπt, Ω = π f = 1 = 0, 5 T = 2[s] j 1 → 1 2π → j=1 X mit der Grundfrequenz Ω fur¨ k = 1, Ω = π f = Ω1 = 0, 5 [Hz] T = 1 = 2[s] und 1 1 → 1 2π → 1 f1 der dazugeh¨origen Periodendauer T1 fur¨ das gesamte Signal soll die Wirkung einer Verf¨alschung der Periodendauer mit TF ourier = T1 im Rahmen einer diskreten Fourier–Reihenentwicklung aufgezeigt 6 2 2 werden. Dazu wird besonders das Linienspektrum der Amplituden Aj = aj + bj als Funktion der Frequenzen q

f = j j TF ourier

betrachtet. Bei exakter Wiedergabe mussen¨ die vorgegebenen cj –Werte der Funktion f(t), hier speziell mit k = 20 und dem zugeh¨origen Graph in (9.1.2), c1 bis c5 : 0.3 0.1 2.0 0.2 0.1 9.1 Diskrete Fourier-Reihenentwicklung 163

c6 bis c10 : 0.0 0.3 0.1 0.0 0.2 c11 bis c15 : 0.1 1.6 0.2 0.0 0.1 c16 bis c20 : 0.3 0.0 0.1 0.8 0.1, reproduziert werden; ebenso die dazugeh¨origen Frequenzen f = 1 = Ωj = jπ = j ; j = 1, ..., k = 20. j Tj 2π 2π 2

Wählt man als Periodendauer der Fourier–Entwicklung speziell den Wert TF ourier = T1 = 2 sec mit f1 = 0.5 Hz, so findet man im Bild (9.1.3) in der Tat die Koeffizienten c1 bis c20 wieder. Dort nicht auf- getragen uber der Ordnungszahl j sondern uber der Frequenz f = j . Eine geringe Abweichung ¨ ¨ j TF ourier der Auswerteperiode T gegenub¨ er T von plus/minus 10%, das heißt T = T (1 0.1), F ourier 1 F ourier 1 verfälscht das Linienspektrum bereits relativ stark. Offenbar ist die numerische Analyse digitaler Si- gnale mit besonderer Sorgfalt durchzufuhren!¨

Abbildung 9.1.2: Eingangssignal fur¨ die diskrete Fourier-Reihenentwicklung 164 9. SIGNALANALYSE

2 ’test1a.dat’ 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 Amplitude 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Frequenz f [Hz]; TF ourier = 1.8 sec

2 ’test2a.dat’ 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 Amplitude 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Frequenz f [Hz]; TF ourier = 2.0 sec

2 ’test3a.dat’ 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 Amplitude 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Frequenz f [Hz]; TF ourier = 2.2 sec

Abbildung 9.1.3: Linienspektren fur¨ verschiedene Periodendauern, TF ourier = 1.8; 2.0; 2.2[sec] 9.2 Abtasttheorem 165

9.2 Abtasttheorem

Der Rechenaufwand der diskreten Fourier – Reihenentwicklung h¨angt maßgeblich von der Abtastrate n ab. Um bei der Signalanalyse einen Schwingungsanteil mit der minimalen Peri- odendauer TMin zu erfassen, ist wie aus Bild (9.2.1) ersichtlich mehr als zweimaliges Abtasten w¨ahrend der Periode TMin erforderlich.

1.5 ...... h ...... 1 ...... ? . . . . . 0.5 ...... oße ¨ . . ? ...... 0 ...... Zustandsgr ...... -0.5 ...... -1 ...... Tmin . . . . . . . .- ...... -1.5 ...... 0 2 4 6 8 10

Zeit t

Abbildung 9.2.1: Abtasten einer Schwingung mit Periodendauen Tmin

Im Fall h = TMin/2 ist es denkbar, daß jeweils nur die Nullstellen registriert werden. Deshalb ist das sogenannte Abtasttheorem von Shannon einzuhalten. Kleinste zu analysierende Periodendauer TMin mit zugeh¨origer Frequenz fmax = 1/TMin

T 1 , h < Min oder h < . (9.2.1) → 2 2fmax

Umgekehrt sollte bei gegebener Abtastweite h die größte im Signal enthaltene Frequenz den Wert 1 f = f < f (9.2.2) N 2h · V orh. N nicht ub¨ erschreiten. Ansonsten kann es zu dem sogenannten alaising–Effekt (Verfälschung; Vieldeutigkeit) kommen. Die Grenzfrequenz fN in (9.2.1) nennt man auch Nyquist–Frequenz. 166 9. SIGNALANALYSE Kapitel 10

Interaktionen von Boden - Struktur

10.1 Darstellung des Bodens im Frequenzbereich

Die typische Situation fur¨ eine Boden-Fundament Interaktion ist im Bild (10.1.1) dargelegt. Die Spannungen tc (tractions) in der Kontaktfuge k¨onnen unter der Voraussetzung zeithar-

1 `1 `1 Boden Boden

Abbildung 10.1.1: Boden-Fundament System monischer Zustandsgr¨oßen

u = u(x)eiΩt, t = t(x)eiΩt ub¨ er eine BEM-Diskretisierung mit den Verschiebungen uc in der Kontaktfuge verknupft¨ werden:

Hjuc = Gjtc mit Hj = H(Ωj) und Gj = G(Ωj). (10.1.1)

Die Matrizen Hj und Gj sind jeweils fur¨ konkret vorzugebende Frequenzen Ωj zu berechnen. Bei der BEM-Analyse sind zunächst die Zustandsgrößen an allen Oberflächen zu interpo- lieren. Durch Kondensation auf die Koppelgrößen uc, tc, das heißt Elimination aller anderen 168 10. INTERAKTIONEN VON BODEN - STRUKTUR

Randgrößen, erhält man schließlich die Form (10.1.1). Diese gemischte Darstellung kann in eine Steifigkeitsformulierung umgewandelt werden:

1 tc = Gj− Hjuj. (10.1.2)

Die Spannungen tc könnten längs einer Randlinie zum Beispiel linear approximiert worden sein, wie im Bild (10.1.2) skizziert. Durch eine Reduzierung der Streckenlast“ t in die Knoten ” entstehen äquivalente Knotenlasten r wie bei einer FEM-Diskretisierung.

h 1 x t r = t ϕ dx. t = tT ϕ, ϕ = − h , t = 0 . x t Z0 " h # " 1 # h h 2 1 r = A t, A = ϕϕT dx = . (10.1.3) Ele Ele 6 1 2 Z0 " #

Eine Ub¨ ertragung dieser element-orientierten Vorgehensweise auf alle Spannungsvektoren

r1 r0 6 6 t0 t1 -

h - h -

Abbildung 10.1.2: Umwandlung von t(x) in ¨aquivalente Knotenlasten r0, r1.

t in (10.1.2) fuhrt¨ auf die Knotenlasten f . Die Matrix A wird auch mit Fl¨achenmatrix“ c c ” bezeichnet.

1 fc = Atc = AGj− Hjuc. (10.1.4)

In vielen Situationen ist die Fundamentplatte im Vergleich mit den anderen Systemkom- ponenten quasi starr. Mit dieser Annahme lassen sich alle Verschiebungskomponenten uc in der Koppelfuge zwischen Boden und Fundamentkörper als Funktion der sechs Starrkörper- freiheitsgrade d (Deformationen) darstellen. Dieser Prozeß wurde in der Lehrveranstaltung Baudynamik“ als Reduktion der Deformationen“ bezeichnet. Der Verschiebungsvektor u ” ” P in einem Koppelpunkt P wird dabei mit Hilfe des Vektors rBP vom Bezugspunkt B des Körpers zum Punkt P als Funktion der Kinemate uB, ϕB = ϕ repräsentiert:

u = u ˜r ϕ, P B − BP 0 r r r − 3 2 1 ˜r = r 0 r , r = r . (10.1.5)  3 − 1   2  r2 r1 0 r3  −        uB uP = RBP d, RBP = 1 ˜rBP , dB = . − " ϕ # h i 10.2 Darstellung des Bodens im Zeitbereich 169

Diese Darstellung gilt in entsprechender Weise fur¨ alle in uc enthaltenen Knotenverschiebun- gen u1 bis un,

u1 RB1 . . uc =  .  =  .  dB = RdB, (10.1.6) u R  n   Bn      wobei als Bezugspunkt B in der Regel der Körperschwerpunkt S gewählt wird; dies ist aber in keiner Weise zwingend erforderlich. Die äqivalente Knotenkraft fP im Knoten P entsprechend (10.1.4) wird ebenso rein statisch in den Bezugspunkt B reduziert.

fP fP T kBP = = = RBP fP . (10.1.7) MB ! ˜rBP fP !

Dies gilt analog fur¨ alle in fc enthaltenen Knotenkr¨afte:

T T kB = R fc , kB = F1 F2 F3 M1 M2 M3 . (10.1.8) h i Als Ergebnis der Reduktion am starren K¨orper wird aus (10.1.4) eine Steiﬁgkeitsformulierung

T 1 kB = R AGj− Hj R dB = KjdB,

fB uB kB = , dB = , (10.1.9) " mB # " ϕB = ϕ # die den gesamten Boden fur¨ eine vorgegebene harmonische Situation mit f(t) = exp(iΩt) wiedergibt. Fur¨ einen homogenen und isotropen Boden muß eine mechanisch konsistente Steiﬁgkeitsmatrix Kj eine partielle Entkopplung realisieren:

? 0 0 0 ? 0 u1 0 ? 0 ? 0 0 u    2  0 0 ? 0 0 0 u3 K =   , d =   . (10.1.10)  0 ? 0 ? 0 0   ϕ1       ? 0 0 0 ? 0   ϕ2       0 0 0 0 0 ?   ϕ     3      10.2 Darstellung des Bodens im Zeitbereich

Eine gewisse Menge von Steiﬁgkeitsmatrizen Kj nach (10.1.9) in einem vorzugebenden Inter- vall [Ω1, Ωn] kann wie im Abschnitt 5.3 beschrieben werden durch ein Matrizenpolynom:

1 K = [Q(Ω)]− P(Ω), M+1 k P(Ω) = P0 + (iΩ) Pk, (10.2.1) Xk=1 M k Q(Ω) = 1 + (iΩ) Qk, Xk=1 interpoliert werden. Dem nachgehefteten Aufsatz mit dem Titel FEM-Like Representation ” of Unbounded Soil “ sind Details des Vorgehens zu entnehmen. Die im Parameter iΩ nichtlineare Darstellung in (10.2.1) kann durch sukzessives Abspalten in eine lineare Formulierung 170 10. INTERAKTIONEN VON BODEN - STRUKTUR

ub¨ erfuhrt¨ werden, wobei neben den Zustandsgr¨oßen kB und dB zus¨atzlich innere Variable vB entstehen.

[A + (iΩ)B]zˆB = ˆfB,

dB kB zB = , fB . (10.2.2) " vB # " 0 #

Die bisherige Abhandlung galt fur¨ harmonische Schwingungen; die zugeordnete Darstel- lung im Zeitbereich ub¨ er die Beziehung

z(t) = zˆ eiΩt, z˙ = iΩ zˆ eiΩt (10.2.3)

ist oﬀenbar

AzB + Bz˙B = fB(t). (10.2.4)

Die Bewegungsgleichung fur¨ den Fundamentk¨orper,

M d¨ = k (10.2.5) F B − B mit der 6 6 Massenmatrix M enth¨alt den Teil ( k ) des Nullpaares (+k , k ) aus × F − B B − B den Kr¨aften in der Kontaktfuge. Gleichung (10.2.5) eingesetzt fur¨ kB in (10.2.2) ergibt die Bewegungsgleichung fur¨ das gekoppelte System Boden-Fundament:

M 0 k d F ¨z + Az + Bz˙ = Err , z = B , (10.2.6) " 0 0 # " 0 # " v #

kErr : Außere¨ Erregungen.

Die singuläre Massenmatrix kann im Rahmen des Padé-P11-Verfahrens problemlos verar- beitet werden. Ansonsten empfiehlt sich die Einfuhrung¨ zusätzlicher Freiheitsgrade pB = d˙ B mit MF d¨B = MF p˙ B.

10.3 Kopplung von Boden und Struktur im Zeitbereich

Die aufgehende Struktur hat, wie im Bild (10.3.1) skizziert, gemeinsame Knotenpunkte mit

dem Fundamentk¨orper und damit Deformationen d1 bis dk (im Bild: k=3), die vollkommen durch die Kinemate dB des Fundamentk¨orpers mit dem Bezugspunkt B bestimmt sind.

d1 RB1 . . dK =  .  =  .  dB = RBdB. (10.3.1) d R  k   Bk      Die verbleibenden Freiheitsgrade der Gesamtmenge

T dSK = dK dS (10.3.2) h i der Struktur werden mit dS bezeichnet. Damit reduziert sich die Arbeit der Struktur

δA = δdT [M d¨ + D d˙ + K d r ] (10.3.3) SK SK SK SK SK SK SK − SK 10.3 Kopplung von Boden und Struktur im Zeitbereich 171

1 B rBQ q Q

Abbildung 10.3.1: Fundamentk¨orper mit aufgehender Struktur ub¨ er die kinematische Kopplung

dK RB 0 dB dSK = = = Rˆ dˆ (10.3.4) " dS # " 0 1 # " dS # entsprechend dem Vorgehen im Abschnitt (10.2) auf die Form ˆ ˆ δAˆ = δdˆT Rˆ T [M Rˆ d¨ + D Rˆ d˙ + K Rˆ dˆ r ] , SK SK SK − SK

T T mit Mˆ SK = Rˆ MSKRˆ , Dˆ SK = Rˆ DSK Rˆ ,

T T Kˆ SK = Rˆ KSKRˆ , ˆrSK = Rˆ rSK. (10.3.5) Die Systemmatrizen in der Bewegungsgleichung fur¨ das Gesamtsystem enthalten schließlich wie nachfolgend markiert die Beitr¨age der Subsysteme Boden/Fundament und aufgehende Struktur.

T T T M¨z + Dz˙ + Kz = r , z = dS dB v , h i dS : Freiheitsgrade der Struktur außerhalb der Koppelzone an den Fundamentkörper. dB : 6 Starrkörperfreiheitsgrade, definiert bezuglic¨ h des beliebigen Körperpunktes B. v : Innere Variablen des Bodens. 172 10. INTERAKTIONEN VON BODEN - STRUKTUR

MSK 0

rSK

M = MF 0 , r =

0 0 0

DSK KSK D = , K = A B

Abbildung 10.3.2: Zuordnung der Teilstrukturen in die Gesamtstruktur

10.4 Ausgewählte Veröffentlichungen

10.4.1 Beschreibung des unbegrenzten Bodenhalbraumes in Anlehnung an die Methode der ﬁniten Elemente

FEM-LIKE REPRESENTATION OF UNBOUNDED SOIL1

P. Ruge and C. Trinks Lehrstuhl Dynamik der Tragwerke Technische Universitat¨ Dresden, Germany e–mail: [email protected]

Keywords: Soil-Structure-Interaction, Radiation Damping, Time-Domain Formulation, Spurious Modes

Abstract. Soil-structure interaction problems are characterized by FEM-like numerical models in the time-domain for the structure, possibly with nonlinear parts, and by BEM-like models in the frequency-domain for the soil.

1veröffentlicht auf der ECCM-2001 (European Conference on Computational Mechanics), Juni 2001, Krakau (Polen) 10.4 Ausgewählte Veröffentlichungen 173

Here, an overall time-domain representation is achieved by a matrix-valued rational interpolation for the discrete dynamic stiffnesses of the soil. Spurious modes with corresponding unstable solutions within the soil part, now transformed into the time-domain, are eliminated by a real-valued modal reduction process despite the original complex eigenspace. Thus, the whole coupled system is described by real numbers in a FEM-like mode with symmetry properties if the BEM-generated matrices are symmetric themselves.

10.4.1.1 Introduction

In engineering practise, there is a wide range of applications where soil–structure interaction has to be taken into account. Consider for example the response of structures to earthquakes, the assessment of vibrations caused by rotating machinery or the dynamic interaction of adjacent foundations through the soil. An outline of related topics together with concepts has been given by Wolf and Song [14]. Generally, in a soil–structure interaction analysis two distinct parts of a dynamic system have to be considered – the structure and the unbounded soil. Typically, the structure together with an irregular adjacent soil region is treated by finite elements and can behave non-linearly. Numerical modelling of the infinite soil has been a major research issue in the field of Computational Dynamics. A comprehensive review of computerized analysis methods with special regard to the effects of soil– structure interaction has been given by Antes and Spyrakos [1]. Although finite element models can handle arbitrary geometry and complex material behaviour of the bounded structure, major difficulties arise when infinite domains are discretized because waves are reflected at artificial boundaries. So far, various approximations of the radiation condition have been developed, with transmitting boundaries being local in space and time. A comparison of such formulations and their limitations has been given by Wolf [9]. For linear problems, applications of the boundary element method are of advantage, since radiation in infinite domains is represented quite well. Boundary element formulations are based on fundamental solutions which can either be formulated in space and time or in the frequency domain. In the first case, a rather troublesome evaluation of convolution integrals is required. Therefore, boundary element models in the spectral domain are used preferably, to calculate dynamic stiffness matrices K(Ω) of the soil which relate the components of a generalized loading vector fC to those of a generalized displacement vector uC (fig.(10.4.1)):

T uC = u v w φu φv φw . (10.4.1) Altogetherh, using the ﬁnite element methodi for the structure and the boundary element method for the unbounded medium is the best way of dynamically analyzing soil–structure interaction problems. However, boundary element formulations of the dynamic stiffness K(Ω) are valid for harmonic ex- citations of a particular frequency Ω only. In this paper, a method for interpolating discrete values of dynamic stiffness matrices K(Ωj) by a continuous rational function is proposed. Once a force– displacement relationship of the form

ˆfC = K(Ω)uˆC K˜ (Ω)uˆC (10.4.2) ≈ 1 K˜ (Ω) Q + iΩQ + + (iΩ)M Q − P + iΩP + + (iΩ)M+1P ≈ 0 1 · · · M 0 1 · · · M+1 is obtained, this formulation can be transformed into the time–domain applying conceptsof linear system theory. Accordingly, ratios of two polynomials in (iΩ) correspond to a system of ordinary linear ﬁrst–order differential equations,

Az(t) + Bz˙(t) = R(t) (10.4.3) 174 10. INTERAKTIONEN VON BODEN - STRUKTUR

∞ f − C U

fC u, φu K - ∞ - ∞ v, φv

where the state vector z(t) contains the components of the generalized displacement vector uC (t) and additional internal variables vi(t). Thus, transient soil–structure interaction problems can be analyzed in the time–domain, combining the ﬁnite element model of the bounded structure with formulation (10.4.3).

10.4.1.2 Approximation of Dynamic Stiﬀness

Over the last 30 years, there have been constant activities to find simple models for the soil, consisting of masses, springs and dashpots. A review of the early work on such lumped–parameter models has been given in the foreword of a book by Wolf [13]. In this connection, the main problem is to define an adequate model and to determine the corresponding masses, damping and stiffness coefficients. It can be said, that the various physical models developed so far have either been applied to very special situations or restricted to SDOF–problems. For example, both De Barros and Luco [2] and Jean, Lin and Penzien [4] determined mass, damping and stiffness coefficients of specific models by matching the approximate force–displacement relation to the exact solution of the mixed boundary value problem of the rigid foundation on an elastic halfspace. In both cases, a nonlinear optimization problem was solved. De Barros and Luco [2] considered only a SDOF-System, Jean and coworkers [4] assumed the coupling terms between different degrees of freedom to be zero. Wolf [10] proposed a systematic procedure to develop consistent lumped–parameter models for the scalar case. Since this technique is based on a partial fraction expansion of a scalar rational stiffness formulation, it cannot be extended to multidimensional problems. However, in this paper a generalization of the curve fitting process introduced for the scalar case by Wolf will be presented, such that the coefficient matrices

Pi, Qi in (10.4.2) can be determined. So far, the procedure mentioned above has been applied to a number of SDOF–problems [10, 13]. In a following paper [12] the coupling between the horizontal and rocking degrees of freedom was considered by selecting a speciﬁc model with an eccentricity e to represent the coupling. Again, this artiﬁcial, very special model cannot be applied to any other situation. In [11] the author addressed the

matrix case in a more general way by modelling each dynamic stiffness coefﬁcient Kij independently, but in exactly the same way as for the scalar case. Another idea presented by Paronesso and Wolf [5] is to circumvent the coupling by introducing additional degrees of freedom in such a way that the corresponding expanded dynamic stiffness matrix has a diagonal structure. Assuming that each

coefficient Kij is interpolated by a rational function of denominator degree M, both approaches 10.4 Ausgewählte Veröffentlichungen 175

[11, 5] lead to an amount of up to M N 2 unknowns in a time–domain analysis, where N denotes × the number of interface variables involved. Efforts to process directly the total matrices – thereby reducing the number of unknowns – have also been reported by Weber [8] and Feltrin [3]. Here, an approximation process is presented which is performed in the z–domain rather than in the frequency domain. A so–called bilinear transformation is used to establish the link between z–domain and frequency domain. Weber [8] and Feltrin [3] introduced several methods for the determination of the coefﬁcients of a rational approximation of the dynamic compliance H(z). However, these methods require a singular value decomposition of a related Hankel matrix. In this paper, an algorithm for the approximation of discrete, matrix–valued dynamic stiffnesses is proposed which does require neither transformation into another domain nor the calculation of eigenvalues. As mentioned before, a true MDOF–formulation will be elaborated based on the least– squares technique introduced by Wolf [10]. Numerical details will be presented in the following section. Here, the coupling between interface variables will be fully preserved. As a consequence the number of degrees of freedom involved in a time–domain analysis will be decreased to (M + 1) N. Finally, × the rational dynamic stiffness formulation in the frequency domain can be transformed into a system of linear ﬁrst–order differential equations in the time–domain following a straightforward numerical procedure.

10.4.1.3 Numerical Realization

In order to determine the coefﬁcient matrices Pi, Qi in (10.4.2) and (10.4.4), the discrepancy between the rational approximation K˜ (Ω) and an accurate force–displacement relation K(Ω) is minimized.

P(Ω) = P + Z (iΩ)kP 1 0 k=1 k K(Ω) K˜ (Ω) = [Q(Ω)]− P(Ω) with (10.4.4) ≈ M k Q(Ω) = Q0 + Pk=1(iΩ) Qk P Discrete values K(Ωj) can either be determined analytically for simple problems or by solving the corresponding mixed boundary–value problem numerically. In the method presented in this paper, discrete values K(Ω)j are assumed to be known from a boundary element analysis. In formulation (10.4.2) the degree of the numerator polynomial is chosen to be Z = (M + 1) corresponding to a denominator of degree M. In fact, the proposed algorithm could be applied to rational approximations of arbitrary degrees Z and M as given in (10.4.4). Consider, for example, an elastically restrained rod with spring stiffness per unit length kg. The corresponding dynamic stiffness can be formulated analytically,

k(a ) = k 1 a2 (10.4.5) 0 stat − 0 q using a dimensionless frequency a0 and the static stiffness coefﬁcient kstat.

ρA a0 = Ω , kstat = EAkg. (10.4.6) s kg p The value of (10.4.5) is a real constant for Ω = 0 and approaches a purely imaginary, linear function in (iΩ) for Ω . Thus, the asymptotic behaviour of the dynamic stiffness of the soil can → ∞ only be modeled using rational formulations like (10.4.2).

As mentioned above, the coefﬁcient matrices Pi, Qi are determined by analogy with a least–squares process introduced by Wolf [10]. The total error which has to be minimized is obtained by adding up 176 10. INTERAKTIONEN VON BODEN - STRUKTUR

the norms of s complex discrepancy matrices. Here, s is the number of frequencies (Ωj) involved in the procedure.

s s = ∆ = ∆ minimize. (10.4.7) j k jk → Xj=1 Xj=1 Formulation of the discrepancy matrix ∆j is of essential importance for the following algorithm. Strictly speaking, the discrepancy between a speciﬁc approximate and the corresponding accurate stiffness matrix is:

1 ∆ = K(Ω ) K˜ (Ω ) = K(Ω ) [Q(Ω )]− P(Ω ). (10.4.8) j j − j j − j j 1 For a matrix Qi of order N = 3 the elements of the inverse Qi− can be calculated, so that analyical expressions of (10.4.8) can be derived. However, evaluating the norm of (10.4.8) and the gradient of (10.4.7) with respect to all unknown matrix elements involved would lead to a nonlinear system of equations for those parameters. The difﬁculties associated with such a nonlinear least– squares problem have been discussed in more detail by Smart, Friswell and Lees [7]. To circumvent those problems, the discrepancy matrix is reformulated:

∆ = Q(Ω )K(Ω ) P(Ω ). (10.4.9) j j j − j One has to be aware of the fact, that in doing so, each term in the sum (10.4.7) is weighted individually. However, evaluation of (10.4.9) will lead to a system of linear algebraic equations in which only the elements of one and the same matrix row will be coupled. In a ﬁrst step, the complex discrepancy matrix ∆ = Q K P is split into its real and imaginary j j j − j part.

∆j = ∆Rj + i∆Ij (10.4.10) ∆ = Q K Ω Q K Ω2Q K P + Ω2P , → Rj 0 Rj − j 1 Ij − j 2 Rj · · · − 0 j 2 · · · ∆ = Q K + Ω2Q K Ω2Q K Ω P + Ω3P → Ij 0 Ij j 1 Rj − j 2 Ij · · · − j 1 j 3 · · · The scalar norm of a matrix is defined as the sum of the squares of all matrix elements. For a complex valued matrix M this value can also be expressed as the sum of the scalar products of its l l rows mR and mI . Here and in the following upper indices are used to denote rows and lower indices are used to denote columns. Applying the above definition to (10.4.10), the norm ∆j of a specific l l discrepancy matrix ∆j can be formulated in terms of the rows qi of Qi and pi of Pi.

1 1 dR dI 2 2  dR   dI  ∆ = + i , j . .  .   .   N   N   d   d   R   I  N   T  T l l l l ∆j = dR dR + dI dI , (10.4.11) Xl=1 dl = ql K Ω ql K Ω2ql K pl + Ω2pl , R 0 Rj − j 1 Ij − j 2 Rj · · · − 0 j 2 · · · dl = ql K + Ω ql K Ω2ql K Ω pl + Ω3pl . I 0 Ij j 1 Rj − j 2 Ij · · · − j 1 j 3 · · ·

In (10.4.11) N is equal to the number of interface variables. Finally, the gradient of ∆j in (10.4.11) l l can be formulated with respect to the rows pi, and qi. A system of linear algebraic equations for just 10.4 Ausgewählte Veröffentlichungen 177 those parameters results. In what follows, the situation is demonstrated for the case of an uneven degree M of the denominator. P(Ω) = P + iΩP + + (iΩ)M+1P , 0 1 · · · M+1 Q(Ω) = Q + iΩQ + + (iΩ)M Q , 0 1 · · · M 1 1 qj pj . . Qj = . = qj1 qjN , Pj = . = pj1 pjN   · · ·   · · · qN h i pN h i  j   j      For a specific matrix row l the unknown parameters are assembled in a vector xl. T xl = pl pl pl ql ql ql , 0 1 · · · M+1 0 1 · · · M h s i grad∆ = 0, ∆ = ∆j, xl Xj=1 Cxl = 0; (10.4.12) s C11,j C12,j C = T , " C12,j C22,j # Xj=1 In the following, Ω is used to denote a diagonal matrix of order N. Ω 0 j · · · .. Ωj = Ωj1 =  0 . 0  0 Ω  j   · · ·  Furthermore, the index j will be omitted for clarity.

1 0 Ω2 0 0 (iΩ)M+1 − ··· 0 Ω2 0 Ω4 (iΩ)M+1 0  − ··· −  Ω2 0 Ω4 0 0 (iΩ)M+3 − ···  4 6 M+3  C =  0 Ω 0 Ω (iΩ) 0  , 11  − ··· −   ......   ......     0 (iΩ)M+1 0 (iΩ)M+3 (iΩ)2M 0   − − ··· −   (iΩ)M+1 0 (iΩ)M+3 0 0 (iΩ)2(M+1)   ···    S ΩG Ω2S (iΩ)M−1S Ω(iΩ)M−1G − ··· ΩGT Ω2S Ω3G Ω(iΩ)M−1G (iΩ)M+1S  ··· − −  Ω2S Ω3GT Ω4S (iΩ)M+1S Ω(iΩ)M+1G C =  − ···  , 22  ......   ......   M−1 M−1 T M+1 2M−2 2M−2   (iΩ) S Ω(iΩ) G (iΩ) S (iΩ) S Ω(iΩ) G   − ···   Ω(iΩ)M−1GT (iΩ)M+1S Ω(iΩ)M+1GT Ω(iΩ)2M−2GT (iΩ)2M S   − ··· −    KT ΩKT Ω2KT (iΩ)M−1KT Ω(iΩ)M−1KT − R I R ··· − R I 2 3 M−1 M+1 ΩKT Ω KT Ω KT ··· Ω(iΩ) KT (iΩ) KT  − I − R I − I R  Ω2KT Ω3KT Ω4KT (iΩ)M+1KT Ω(iΩ)M+1KT R − I − R ··· − R I  ......  C =  ......  . 12  . . . . .   M−1KT M−1KT M+1KT 2M−2KT 2M−2KT   (iΩ) R Ω(iΩ) I (iΩ) R (iΩ) R Ω(iΩ) I   − − ··· −   Ω(iΩ)M−1KT (iΩ)M+1KT Ω(iΩ)M+1KT Ω(iΩ)2M−2KT (iΩ)2M KT   − I R − I ··· − I R   (iΩ)M+1KT Ω(iΩ)M+1KT (iΩ)M+3KT (iΩ)2M KT Ω(iΩ)2M KT   − R I − R ··· − R I    178 10. INTERAKTIONEN VON BODEN - STRUKTUR

The coefﬁcient matrix C is symmetric, with a symmetric sub–matrix Sj and a skew–symmetric sub–matrix Gj in C22,j.

S = K KT + K KT , G = K KT K KT . j Rj Rj Ij Ij j Ij Rj − Rj Ij Equation (10.4.12) has to be solved for each set of rows. In order to obtain a non–homogeneous

system of linear equations, one set of coefﬁcients has to be normalized. Typically, Q0 is chosen.

1 q0 . Q0 =  .  = 1. qN  0    s s ql normalized Cxl = 0 0→ C˜ x˜l = rl , (10.4.13) −→  j j Xj=1 Xj=1   T 2 T M 1 T ΩK Ω K Ω (iΩ) − K I R · · · I Ω2KT Ω3KT (iΩ)M+1 KT  R I R  − 3 T 4 T · · · M+1 T Ω KI Ω KR Ω (iΩ) KI  C − − · · ·   11,j . . .. .   . . . .   M+1 M+1 2M   (Ω) KT Ω (iΩ) KT (iΩ) KT  C˜ =  R − I · · · R  , j  Ω (iΩ)M+1 KT (iΩ)M+3 KT Ω (iΩ)2M KT   I R I   2 − 3 · · · M+1   Ω S Ω G (iΩ) S   3 T 4 · · · − M+1   Ω G Ω S Ω (iΩ) G   C˜ T · · ·   12,j . . .. .   . . . .     (iΩ)M+1 S Ω (iΩ)M+1 GT (iΩ)2M S   − · · · −    T kl l R p0 l T l  Ω kI  p1 T   Ω2 kl pl  R  2  − .   .   .   .       M 1 l T   pl  l  Ω (iΩ) − kI  T  M  rj = , (x˜) =   with  M+1 l T   pl   (iΩ) kR   M+1     l   Ωg  q1  l     2   ql   Ω sl   2     .   .   .   .     M 1   l   Ω (iΩ) − g   qM   l        T KT = k1 T k2 T kN , · · · h i g1 s1 T . T . G = G = . = g1 gN , S = S = . = s1 sN . −   · · ·   · · · gN h i sN h i         In order to obtain the total of (2M + 2) N coefficients, equation (10.4.13) has to be solved N– × times. Here, it is advantageous that the coefficient matrix C˜ has to be assembled and decomposed only once in the whole process. However, the right–hand vector rl in (10.4.13) successively contains 10.4 Ausgewählte Veröffentlichungen 179 the respective columns of KT , G and S for each set of rows solved for. It should be noticed that the scalar formulation introduced by Wolf [10, 13] is included as a special case in the proposed matrix formulation.

10.4.1.4 Examples

The proposed algorithm has been applied successfully to a number of multidimensional problems. As a ﬁrst example, a massless, square rigid foundation of width 2B = 2 [m] resting on a homogeneous halfspace with

N kg 1 G = 2.0 107 , ρ = 2.0 103 , ν = , · m2 · m3 3 as shown in fig.(10.4.1) is considered. A set of 97 discrete 6 6 dynamic stiffness matrices × K(Ωj) stemming from a boundary element analysis has been used as input data for the interpolation algorithm. A frequency domain ranging from Ω1 = 0 to Ω97 = 96π (∆Ω = π) has been covered. Results are shown in fig.(10.4.2), fig.(10.4.3) and fig.(10.4.4).

8e-09 exact M = 3 M = 5 6e-09

4e-09

2e-09

0 50 100 150 200 250 300 Frequency [1/s]

Abbildung 10.4.2: Real part of N33(Ω) of rigid foundation resting on halfspace

In a second example, a homogeneous soil layer of thickness h = 5 [m] resting on rigid bedrock is considered. The respective dynamic flexibility curve given in fig.(10.4.5) is much more uneven and shows three distinct peaks corresponding to the cutoff–frequency and higher eigenfrequencies of the layer. Here, a dimensionless frequency a0, ΩB a0 = , cs has been used, where B denotes half the width of the foundation and cs the shear wave velocity, G cs = ρ . The input data consisted of 84 discrete stiffness matrices, covering a frequency range from a0,1 =q0 to a0,84 = 4.08. The input values have not been spaced equally over this frequency range, but have been concentrated around the cutoff frequency (a = 0.314 a = 0.942, ∆a = 0.016). 0,5 · · · 0,45 0 As can be seen in fig.(10.4.5), an approximation of degree M = 5 which covers the whole input range smoothes out all peaks. Since no rational function will be capable of reproducing such an irregular 180 10. INTERAKTIONEN VON BODEN - STRUKTUR

4e-09 exact M = 3 M = 5 2e-09

-2e-09

-4e-09

0 50 100 150 200 250 300 Frequency [1/s]

Abbildung 10.4.3: Imaginary part of N33(Ω) of rigid foundation resting on halfspace

4e-09 Real part, exact Real part, M = 5 Imaginary part, exact 2e-09 Imaginary part, M = 5

-2e-09

-4e-09

0 50 100 150 200 250 300 Frequency [1/s]

Abbildung 10.4.4: Dynamic ﬂexibility coeﬀ. N15(Ω) of rigid foundation resting on halfspace

curve, several independent approximations should be used. Furthermore, it is advisable to apply the proposed procedure only to those parts of the dynamic stiffness matrix which are truely coupled.

Thus, the final matrices Qi, Pi can be obtained by combining the results of a scalar approximation of the vertical w and torsional component θ of K(Ω) with those of a two–dimensional matrix–valued approximation for the horizontal u (v) and rotational component φv (φu, respectively). Fig.(10.4.6) shows the results for the vertical component of the dynamic flexibiblity N33(Ω) which have been obtained using only the first 52 input values (a = 0, , a = 1.49). 0,1 · · · 0,52 Special emphasise is given to the fact that an approximation of degree M = 7 is capable of reproducing an imaginary part Im N = 0 below the cutoff–frequency. In fig.(10.4.7) the results { 33} of a matrix–valued approximation of the coupled horizontal u and rotational component φv using only the first 37 input values (a = 0, , a = 0.801) are presented. Here, two distinct peaks of the 0,0 · · · 0,36 dynamic flexibility component N11(a0) are reproduced with very good agreement. Despite the excellent results presented above, one has to be aware of the possibility of K˜ (Ω) (N˜ (Ω)) taking infinite values, if the determinante of the denominator polynomial Q(Ω) (P(Ω), respectively) 10.4 Ausgewählte Veröffentlichungen 181

0.35 exact 0.3 M = 5 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Dimensionless frequency a_0

Abbildung 10.4.5: Real part of N33(a0), rigid foundation on a layer over rigid bedrock.

0.5 Real part, exact 0.4 Real part, M = 4 0.3 Real part, M = 7 Imaginary part, exact 0.2 Imaginary part, M = 4 0.1 Imaginary part, M = 7 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Dimensionless frequency a_0

Abbildung 10.4.6: Dyn. ﬂexibility coeﬀ. N33(a0), rigid foundation on layer over bedrock

becomes zero for real values of Ω. Furthermore, the ﬁrst order system (10.4.3) corresponding with the spectral domain representation (10.4.2) can contain spurious, unstable homogeneous solutions. Thus, time–stepping schemes will collapse due to these instabilities. So far, it has not been possible to avoid the spurious modes of the polynomials a priori. However, it is important to notice that a variation of the degree of approximation M and of the amount s of discrete values K(a0,j) involved in the minimizing process can be used to optimize the corresponding matrices Qi and Pi.

10.4.1.5 Time–Domain Analysis

In this section, implementation of a rational dynamic stiffness approximation like (10.4.2) into a time– domain analysis is addressed. The well–known strategy of constructing lumped–parameter models from a scalar rational function cannot be extended to the matrix case since it is based on a partial fraction expansion of K˜ (Ω). A more general procedure applicable to multidimensional problems has been proposed by Ruge, Trinks and Witte [6]. The essential idea is to split the rational function into a series of linear functions. In a starting step 182 10. INTERAKTIONEN VON BODEN - STRUKTUR

0.3 Real part, exact 0.25 Real part, M = 7 Im. part, exact 0.2 Im. part, M = 7 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Dimensionless frequency a_0

Abbildung 10.4.7: Dyn. ﬂexibility coeﬀ. N11(a0), rigid foundation on layer over bedrock

there appears a linear part

(0) (0) S0 + λS1 , λ = iΩ (10.4.14) and a remainder part 1 Q + λQ + + λjQ + − R (10.4.15) 0 1 · · · j · · · which is replaced by the deﬁnition of new variables, vˆ1. 1 ˆf = Q + + λM Q − P + λP + + λM+1P uˆ (10.4.16) C 0 · · · M 0 1 · · · M+1 C ! (0) (0) = S0 + λS1 uˆC +vˆ1; Def 1 (0) (0) M − M 1 vˆ1 = Q0 + + λ QM R0 + + λ − RM 1 uˆC . (10.4.17) · · · · · · − The matrices involved are simply obtained by comparing the coefﬁcients at λk.

M+1 (0) (0) λ : PM+1 = QM S1 S1 ; M (0) (0) → (0) λ : PM = QM S0 + QM 1S1 S0 ; − M 1 (0) (0) (0) → (0) λ − : PM 1 = QM 1S0 + QM 2S1 + RM 1 RM 1; . − − − − → − . λ(0) : P = Q S(0) + R(0) R(0). 0 0 0 0 → 0 In a next step, the deﬁnition of vˆ1 is rewritten in an inverse manner in order to create another linear part and so on. 1 (0) M 1 (0) − M uˆC = R0 + + λ − RM 1 Q0 + + λ QM vˆ1 (10.4.18) · · · − · · · ! (1) (1) = S0 + λS1 vˆ1 + vˆ2; 1 Def (0) M 1 (0) − (1) M 2 (1) vˆ2 = R0 + + λ − RM 1 R0 + + λ − RM 2 vˆ1. (10.4.19) · · · − · · · − Finally, thenonlinear λ–representationis transformed into a set of M+ 1 matrix–valued linear equations.

(A + λB) zˆ = ˆf. (10.4.20) 10.4 Ausgewählte Veröffentlichungen 183

(0) S0 1 0 0 0 0 zˆ0 (1) · · ·  1 S0 1 0 0 0   vˆ1  . − . −. ·.· · . . . . A = ...... , zˆ = . ,  ......   .   (M+1)     0 0 0 1 S 1  vˆM 1  0   −   · · · − (M)     0 0 0 0 1 S   vˆM   · · · − 0        (0) (1) (M 1) (M) ˆT B = diag S S S − S , f = ˆfC 0 0 . 1 − 1 · · · 1 − 1 · · · n o h i Obviously, A is a well–banded matrix and A, B together are real–symmetric if the BEM–created dynamic stiffnesses K are symmetric themselves.

10.4.1.6 Spurious modes

The dynamical FEM–like soil–system (10.4.20) of first order in the frequency domain has been established by means of a least–squares approach within a fixed frequency interval [ΩMin; ΩMax]. The validity of the FEM–soil–model outside this range depends on the smoothness of the frequency– stiffness function. In situations with strong peaks as shown in fig.(10.4.5), (10.4.6) and (10.4.7) the model will be restricted to the neighbourhood of the interpolation interval. Thus, the spectral properties of the system

Az + Bz˙ = 0 (10.4.21)

outside [ΩMin; ΩMax] should be examined with respect to artiﬁcial instability. Eigensolutions

z(t) = zˆ exp(λt) (10.4.22)

with positive real part δ in λ = δ + iω represent so–called spurious modes and have to be eliminated. Otherwise, classical time–solving codes will fail. In principle, this elimination is done by modal reduction with only those complex eigenvectors zj, j = 1, . . . , r which belong to consistent eigenvalues with δ 0. ≤ Z = z z z z = Z z z , r 2n. 1 · · · r r+1 · · · 2n Red r+1 · · · 2n ≤ h i h i A˜ = ZT AZ , B˜ = ZT BZ (10.4.23) → Red Red Red Red However, due to the complex modes, the resulting reduced matrices A˜ , B˜ are complex, too. Thus, the whole soil–structure interaction problem has to be treated in the complex plane, a fact which is very disadvantageous and more or less prohibitive. Fortunately, this complex valued modal reduction can be avoided by using the orthogonality condition,

(A + λB) z = 0, Z = z z , 1 · · · 2n h i ZT AZ = diag a , ZT BZ = diag b ; a , b C (10.4.24) { j} { j} j j ∈ in such a way that instead of complex pairs z = z iz linear combinations are used to establish R I a real–valued pseudo–modal matrix Y R instead of Z C. ∈ ∈

Y = zR,1 zI,1 zR,n zI,n . (10.4.25) " · · · #

| {z } | {z } 184 10. INTERAKTIONEN VON BODEN - STRUKTUR

Here, it is assumed for simplicity that there are no purely real eigensolutions. Since corresponding

members zR,j, zI,j of one eigenpair are not orthogonal with respect to A and B, the pseudo–modal matrix Y decouples the pair A, B in such a way that there remains a block–diagonal form with 2 2 × elementary matrices Aj, Bj. YT AY = diag A ; YT BY = diag B . (10.4.26) { j} { j} Aj,11 Aj,12 Bj,11 Bj,12 Aj = , Bj = . " Aj,21 Aj,22 # " Bj,21 Bj,22 # Thus, a full–space real–valued transformation z = Yz˜ YT AY + λYT BY z˜ = 0 → recovers the eigen values λ from n sets of 2 2 ordered elementary eigenvalue problems: × 0 (Aj + λBj) z˜j = ; j = 1, , n. (10.4.27) " 0 # · · · In soil–structure–interaction problems as shown in ﬁg (8)

f f C qC − C

Figure 8: Model of cooling tower resting on halfspace

with quantities in the coupling interface qC , internal variables qV within the soil and quantities qS belonging to the structure,

ASS ASC ASV qS BSS BSC BSV q˙ S  ACS ACC ACV   qC  +  BCS BCC BCV   q˙ C  = 0 (10.4.28) AV S AV C AV V qV BV S BV C BV V q˙ V         a restricted projection       

qC qF = = YRedq˜F (10.4.29) " qV # with only proper parts of Y results in a real–valued reduced system.

ASS ASF YRed qS BSS BSF YRed q˙ S T T + T T ˙ = 0 " YRedAF S YRedAF F YRed # " q˜F # " YRedBF S YRedBF F YRed # " q˜F # (10.4.30) 10.4 Ausgewählte Veröffentlichungen 185

10.4.1.7 Conclusions

In the past, FEM–like soil–structure interaction models for unbounded soil in the time–domain suffered from matrix–valued dynamical coupling without diagonal properties in the interface and from spurious modes within the FEM–like algebraic soil representation. This paper presented a true matrix–valued rational representation in the frequency domain obtained by a least–squares approach, offers a true rational transition process from the frequency into the time–domain by a successive separation of linear spectral parts and shows a real–valued modal reduction procedure for the elimination of spurious modes. Altogether, the resulting FEM–like soil–structure model in the time–domain is real– valued, symmetric if the original soil–BEM–matrices are symmetric themselves and contains no artiﬁcial instabilities caused by the soil part.

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