Análisis Real

ANALISIS´ REAL II

YAMILET QUINTANA

2020

Programa Interuniversitario de Doctorado en Matematicas´ INTEC - UASD - PUCMM Republica´ Dominicana Content is licensed under CC by 4.0

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Cover design by Yamilet Quintana Contenido

1 Funcionales lineales positivos y medidas regulares ...... 7 1.1 Medidas regulares7 1.1.1 Medidas exteriores de Borel...... 16 1.2 Ejercicios propuestos 19 1.3 Teorema de representacion´ de Riesz para funcionales lineales positivos 22 1.3.1 El problema de representacion´ de funcionales lineales..... 22 1.4 Ejercicios propuestos 35 1.5 Aproximacion´ de funciones medibles por funciones continuas 41 p ≤ ∞ 1.5.1 Densidad de Cc(X) en L (X,µ), 1 p < ...... 41 1.5.2 El teorema de Luzin...... 42 1.6 Ejercicios propuestos 44

2 Medidas complejas y algunas de sus propiedades ...... 46 2.1 Medidas complejas 46 2.2 Ejercicios propuestos 54 2.3 Teorema de Radon-Nikodym y Teorema de descomposicion´ de Lebesgue 57 2.4 Ejercicios propuestos 78 2.5 Teorema de Radon-Nikodym versus dualidad de los espacios Lp 81 2.6 Ejercicios propuestos 94 2.7 Conceptos de convergencia en Teor´ıa de la Medida y su interrelacion´ 97 2.7.1 Equicontinuidad para familias de medidas...... 106 2.7.2 Caracterizacion´ de la convergencia en Lp ...... 109 2.8 Ejercicios propuestos 113 2.9 Teorema de representacion´ de Riesz para funcionales lineales continuos 115 2.10 Ejercicios propuestos 122

3 3 Diferenciacion´ e integracion´ en R ...... 126 3.1 Teorema Fundamental del Calculo´ en el contexto de teor´ıa de la medida126 3.2 Relacion´ entre la diferenciacion´ de medidas y diferenciacion´ de funciones 132 3.3 Teorema de cambio de variable 135 3.4 Ejercicios propuestos 136

4 Estrategia y criterios de evaluacion´ del curso ...... 138 4.1 Estrategia de evaluacion´ 138 4.2 Criterios de evaluacion´ 139

Bibliograf´ıa ...... 142

Índice alfabetico´ ...... 142 Introduccion´ Este material es una exposicion´ sistematica´ de los contenidos del curso de Analisis´ Real II del Programa Interuniversitario de Doctorado en Matematicas,´ ofertado en forma conjunta por el Instituto Tecnologico´ de Santo Domingo (INTEC), la Uni- versidad Autonoma´ de Santo Domingo (UASD) y la Pontificia Universidad Catolica´ Madre y Maestra (PUCMM), bajo el auspicio tecnico´ y financiero del Ministerio de Educacion´ Superior, Ciencia y Tecnolog´ıa (MESCyT). Su estructura esta´ en concordancia con la del programa de Analisis´ Real II, aunque al estar fuertemente influenciado por la experiencia y practica´ docente de la autora en distintas instituciones de educacion´ superior, tambien´ ha sido escrito con la pre- tension´ de que pueda ser un texto utilizable por todo aquel que requiera fortalecer su aprendizaje en algunos de los contenidos presentados. El texto se inicia con algunas sugerencias didactico-metodol´ ogicas´ (cfr. [3]) que pueden servir como ayuda en el momento de afrontar el proceso de ensenanza-˜ aprendizaje de un curso de estas caracter´ısticas. Seguidamente se presenta el Cap´ıtulo 1 relativo a funcionales lineales positivos y medidas regulares. El Cap´ıtulo 2 esta´ dedicado a examinar los Teoremas de Radon-Nikodym y de descomposicion´ de Le- besgue (incluyendo algunas de las versiones debiles´ de este).´ El tercer Cap´ıtulo com- prende un breve estudio sobre diferenciacion´ de medidas y diferenciacion´ de funciones a valores reales, para luego abordar el Teorema Fundamental del Calculo´ en el contexto de Teor´ıa de la Medida, mientras que en el cuarto y ultimo´ Cap´ıtulo se recogen la estrateg´ıa y criterios de evaluacion´ adoptados a lo largo del curso. Vale la pena mencionar que, errores, omisiones u opiniones expresadas en este material, el cual no ha sido sometido a revision´ editorial, son de exclusiva responsa- bilidad de la autora. Finalmente, agradeciendo al Comite´ Academico´ del Programa Interuniversitario de Doctorado en Matematicas´ la oportunidad de dictar este curso, y a la Direccion´ de Recursos de Aprendizaje del INTEC el apoyo tecnico´ desde el Aula Virtual del INTEC, la autora espera que este material sirva de gu´ıa, est´ımulo y referencia, tanto a los participantes del programa, como a todas aquellas personas que tengan la oportunidad de leerlo.

Y. Quintana

5 Sugerencias didactico-metodol´ ogicas´

A continuacion´ presentaremos algunas sugerencias didactico-metodol´ ogicas´ que pueden servir como ayuda en el momento de afrontar el proceso de ensenanza-˜ aprendizaje del curso (ver [3]), incluso cuando este proceso incluye actividades de formacion´ mediadas por Tecnolog´ıas Digitales Disponibles (TDD).

1. El profesor debe presentar el contenido en forma no confusa y arbitraria, re- spetando y destacando las relaciones de este´ con otros ambitos´ del conocimiento matematico´ y ademas,´ debe tomar en cuenta el nivel de los conocimientos previos de cada estudiante, tambien´ debe construir sus propias estrategias didactico-metodol´ ogicas,´ que le permitan motivar la presentacion´ de nuevos conceptos y resultados. 2. Recuerdese´ que un aprendizaje significativo requiere de una predisposicion´ por parte del alumno y del profesor, de modo que ambos actores deben tener interes´ por la dinamica´ que exige un proceso de ensenanza-aprendizaje˜ activo. 3. El estudiante no debe pasar a la etapa de solucion´ de problemas si no tiene claro los esquemas de conocimientos teoricos´ y la fijacion´ de estos´ en su memoria comprensiva ya que la informacion´ retenida por simple repeticion´ se pierde al no llegar a conectarse con nuestra estructura mental. 4. El estudiante debe escribir con sus propias palabras las definiciones y resultados e interpretarlos, debe llenar los detalles omitidos en los ejemplos y demostraciones. 5. Una tarea esencial del estudiante es resolver la mayor cantidad de ejercicios (recuerde que la Matematica´ no se aprende pasivamente), ya que estos´ le per- mitiran´ consolidar los nuevos conceptos y resultados. Ademas,´ se recomienda resolver los ejercicios sin consultar las ayudas, dejando estas ultimas´ para cuando se encuentre dificultad en la solucion.´ 6. En caso de dudas, el estudiante debe preguntar al profesor o anotar las mismas para consultarlas en las horas destinadas para tal fin. Tambien,´ puede salir de sus dudas consultando la bibliograf´ıa indicada. 7. Por ultimo,´ es necesario verificar el grado de conocimientos adquiridos. Se recomienda al profesor plantear las evaluaciones de tal manera que el estudiante demuestre que ha logrado formar solidos´ esquemas teoricos´ y que estos´ forman parte de su memoria comprensiva. Ademas,´ las evaluaciones deben contener problemas donde el estudiante aplique los conocimientos teoricos´ y procidimentales adquiridos.

6 1. Funcionales lineales positivos y medidas regulares

1.1 Medidas regulares 7 1.1.1 Medidas exteriores de Borel

1.2 Ejercicios propuestos 19

1.3 Teorema de representacion´ de Riesz para funcionales lineales positivos 22 1.3.1 El problema de representacion´ de funcionales lineales

1.4 Ejercicios propuestos 35

1.5 Aproximacion´ de funciones medibles por funciones continuas 41 p 1.5.1 Densidad de Cc(X) en L (X,µ), 1 p < ≤ ∞ 1.5.2 El teorema de Luzin

1.6 Ejercicios propuestos 44

La idea central este cap´ıtulo es conectar los conceptos de Medida y Topolog´ıa a partir de la construccion´ de ciertas medidas haciendo uso de funcionales lineales definidos sobre espacios de funciones continuas. En la seccion´ 1.1 presentaremos la definicion´ de medidas regulares y sus propiedades. En la seccion´ 1.3 estudiaremos la construccion´ de ciertas medidas haciendo uso de funcionales lineales definidos sobre espacios de funciones continuas. Finalmente, la seccion´ 1.5 nos ocuparemos de dos resultados sobre aproximaxion´ de funciones: El teorema de densidad de las funciones continuas con soporte compacto en Lp(X,µ), 1 p < , y el teorema de Luzin sobre aproximacion´ de funciones medibles por funciones≤ continuas.∞

1.1 Medidas regulares

Empezaremos recordando algunos preliminares topologicos.´ Sea (X,τ) un espacio topologico.´

• Un entorno abierto de un punto x ∈ X, es un subconjunto A ⊆ X tal que x ∈ A.˚ Es decir, existe U ∈ τ tal que x ∈ U ⊆ A.

7 8 Y. Quintana

• X es un espacio Hausdorﬀ si cualquier par de puntos distintos en X poseen entornos abiertos disjuntos. Es decir, para todo x,y ∈ X, x , y existen U,V ∈ τ tales que x ∈ U, y ∈ V y U ∩ V = ∅.

• X es localmente compacto si para cualquier x ∈ X y U abierto con x ∈ U, existe un entorno compacto K de x contenido en U.

• X es σ-compacto si es la union´ numerable de subconjuntos compactos.

A partir de ahora supondremos que (X,τ) un espacio Hausdorﬀ localmente compacto y denotaremos por B(X) a la σ-algebra´ de Borel en X.

Deﬁnicion´ 1.1 Una medida µ : B(X) → [0,∞] es medida de Borel si

µ(K) < ∞, para todo compacto K ⊆ X.

Deﬁnicion´ 1.2 Una medida µ : B(X) → [0,∞] es regular exterior en cada E ∈ B(X) si µ(E) = inf{µ(V ): E ⊆ V,V abierto }.

Deﬁnicion´ 1.3 Una medida µ : B(X) → [0,∞] es regular interior en cada E ∈ B(X) si µ(E) = sup{µ(K): K ⊆ E,K compacto }.

µ : B(X) [0, ] es regular si es regular exteriory regular interior. → ∞

Ejemplo 1.1 La restriccion´ de la medida de Lebesgue sobre Rn a la σ-algebra´ de Borel B(Rn) es una medida de Borel regular.

→ ∞ Ejemplo 1.2 Sea N con la topolog´ıa discreta y µ0 : P(N) [0, ] dada por µ0(A) = card(A). Entonces µ0 es una medida de Borel regular.

∈ Ejemplo 1.3 Sea (X,τ) Hausdorﬀ localmente compacto. Fijado x0 X, consid- → { } eremos la medida de Dirac en x0, δx0 : B(X) 0,1 dada por ( ∈ 1, si x0 E, ∈ δx0 (E) := para E B(X). 0, si x0 < E,

Entonces, δx0 es una medida de Borel regular. Cap´ıtulo1. Funcionales lineales positivos y medidas regulares 9

(1) Las deﬁniciones 1.2y 1.3 de regularidad exterior e interior de una medida µ : B(X) [0, ] → ∞ nos dicen que estas propiedades estan´ asociadas a los borelianos B(X). Sin embargo, estas nociones podr´ıan ser validas´ solo´ sobre los abiertos U τ. Por ejemplo, µ : B(X) [0, ] ∈ → ∞ se dice regular interior sobre conjuntos abiertos si:

µ(U) = sup µ(K): K U,K compacto , para cada U τ. { ⊆ } ∈

(2) Las definiciones 1.2y 1.3 tienen una extensi on´ natural a medidas ν : A [0, ] definidas → ∞ sobre σ-algebras´ A tales que B(X) A , con ν finita en compactos de X: ⊂ • ν : A [0, ] es regular exterior en cada E A si → ∞ ∈ ν(E) = inf ν(V ): E V,V abierto . { ⊂ } • ν : A [0, ] es regular interior en cada E A si → ∞ ∈ ν(E) = sup ν(K): K E,K compacto . { ⊂ } • ν : A [0, ] es regular si es regular exterior y regular interior. → ∞

Proposicion´ 1.1 Dada µ : B(X) → [0,∞] una medida de Borel regular exterior. Supongamos que para cada U ∈ τ tenemos

µ(U) = sup{µ(K): K ⊂ U,K compacto }. (1.1)

Entonces:

(I) Todo B ∈ B(X) con µ(B) < ∞ satisface que

µ(B) = sup{µ(K): K ⊂ B, K compacto }.

(II) Si X es σ-compacto, entonces µ es regular.

Demostracion.´ (I) Sean B ∈ B(X) con µ(B) < ∞. Es claro que

sup{µ(K): K ⊂ B, K compacto } ≤ µ(B).

De manera que nuestro problema se reduce a mostrar que

µ(B) ≤ sup{µ(K): K ⊂ B, K compacto }.

Dado > 0. Como µ es regular exterior, existe un abierto V ∈ τ tal que B ⊂ V , µ(V ) < µ(B) + . 2 10 Y. Quintana

\ ∈ \ − As´ı V B B(X) y µ(V B) = µ(V ) µ(B) < 2 . Usando nuevamente la regularidad exterior de µ, existe un abierto U ∈ τ tal que V \ B ⊂ U, µ(U) < . 2 Ahora por (1.1), existe un compacto K ⊂ X tal que K ⊂ V , µ(K) > µ(V ) − . 2 Deﬁnamos C := K \ U. Como X es Hausdorﬀ y K es compacto; K es cerrado, luego C ⊂ K es un subconjunto cerrado de K y por tanto C es compacto. Ademas,´ C ⊂ V \ U ⊂ B, B \ C ⊂ (B \ K) ∪ U ⊂ (V \ K) ∪ U, en consecuencia µ(B \ C) ≤ µ(V \ K) + µ(U) < , y µ(B) = µ(C ∪ (B \ C)) = µ(C) + µ(B \ C) < µ(C) + . Por lo tanto,

µ(B) < µ(C) + ≤ sup{µ(K): K ⊂ B, K compacto } + , de donde se deduce que

µ(B) ≤ sup{µ(K): K ⊂ B, K compacto }.

{ } (II) Sean Kj j N una sucesion´ creciente de subconjuntos compactos de X con [ ∈ X = Kj.S olo´ debemos mostrar que µ es regular interior. j N ∈ Sea B ∈ B(X). Si µ(B) < ∞ entonces por (I):

µ(B) = sup{µ(K): K ⊂ B, K compacto }.

Si µ(B) = ∞, usando que X es σ-compacto, tenemos que   [  ∩  ∩  ∩ µ(B) = µ(B X) = µ B Kj = lim µ(B Kj),   j j N →∞ ∈ ∩ ∞ ∈ ∈ luego, lim µ(B Kj) = . Por lo que para cada n N existe jn N tal que j →∞ ∩ µ(B Kjn ) > n. ∩ ≤ ∞ ∩ ∈ Como µ(B Kjn ) µ(Kjn ) < y B Kjn B(X), otra vez aplicando (I): ∩ { ⊂ ∩ } µ(B Kjn ) = sup µ(K): K B Kjn ,K compacto , Cap´ıtulo1. Funcionales lineales positivos y medidas regulares 11

⊂ y utilizando las propiedades del supremo, obtenemos que existe un compacto Cn ∩ B Kjn tal que µ(Cn) > n. Luego, { ⊂ } ≥ sup µ(K): K B, K compacto µ(Cn) > n, lo que implica que

sup{µ(K): K ⊂ B, K compacto } = ∞ = µ(B).

Lo cual completa nuestra demostracion.´

Deﬁnicion´ 1.4 Una medida µ : B(X) → [0,∞] se dice de Radon si µ es medida de Borel regular interior.

El siguiente resultado es preparatorio para el Teorema de representacion´ de Riesz, y nos permitira´ construir una medida de Radon a partir de una medida de Borel regular exterior que es regular interior sobre conjuntos abiertos, ademas´ de mostrarnos otras conexiones entre las distintas nociones de regularidad que hemos visto hasta ahora. → ∞ Teorema 1.1 Si µ1 : B(X) [0, ] una medida de Borel regular exterior que → ∞ satisface (1.1). Deﬁnamos µ0 : B(X) [0, ] por ⊂ ∈ µ0(B) := sup µ1(K): K B, K compacto , para cada B B(X). (1.2)

Entonces las siguientes propiedades se satisfacen:

(I) µ0 es de Radon, coincide con µ1 sobre compactos y abiertos, y ≤ ∈ µ0(B) µ1(B) para todo B B(X).

(II) Si X es σ-compacto, entonces µ0 = µ1.

(III) Si f : X → R es una funcion´ continua con soporte compacto, entonces Z Z f (x)dµ0(x) = f (x)dµ1(x). (1.3) X X

(IV) Dada µ : B(X) → [0,∞] una medida de Borel, regular interior sobre conjuntos abiertos. Entonces Z Z f (x)dµ(x) = f (x)dµ1(x), X X

para cualquier funcion´ continua con soporte compacto f : X → R, si y ≤ ≤ ∈ solo´ si, µ0(B) µ(B) µ1(B) para todo B B(X). 12 Y. Quintana

Demostracion.´ Seguiremos los enfoques de [11, 12]. ∅ (I) Primero veamos que µ0 es una medida. Por deﬁnicion´ µ0( ) = 0. Supongamos { } que Bj j N es una sucesion´ de conjuntos de Borel, disjuntos dos a dos. Deﬁnamos ∈ [ B := Bj, j N ∈ X ⊂ queremos ver que µ0(B) = µ0(Bj). Elijamos cualquier compacto K B. Como j N ∩ ∞ ∈ µ1(Bj K) < , por la parte (I) de la Proposicion´ 1.1, tenemos que ∩ ∩ ∈ µ0(Bj K) = µ1(Bj K), para todo j N, luego, X X X ∞ ∩ ∞ ∩ ≤ ∞ µ1(K) = µ1 Bj K = µ0 Bj K µ0 Bj . j=1 j=1 j=1 Tomando supremo sobre todos los compactos K ⊂ B obtenemos:

X ≤ ∞ µ0(B) µ0 Bj . (1.4) j=1

X ∞ ≤ ∞ Para mostrar que µ0 Bj µ0(B), es suﬁciente suponer que µ0(B) < . Luego, j=1 ≤ ∞ ∈ µ0(Bj) µ0(B) < , para todo j N. ⊂ − Dado > 0 elijamos una sucesion´ de compactos Kj Bj tales que µ1 Kj > µ0 Bj j ∈ ∈ ∪ ··· ∪ ⊂ 2− , para todo j N. Entonces, para todo n N, la union´ K1 Kn B es un compacto y

Xn Xn ≥ ∪ ··· ∪ − µ0(B) µ1 (K1 Kn) = µ1 Kj > µ0 Bj , j=1 j=1 y haciendo n → ∞ obtenemos:

X ≥ ∞ − µ0(B) µ0 Bj , j=1

X ≥ ∞ de esta ultima´ desigualdad se deduce que µ0(B) µ0 Bj y por (1.4) concluimos j=1 X∞ que µ0(B) = µ0 Bj . Por lo tanto, µ0 es una medida. j=1 Cap´ıtulo1. Funcionales lineales positivos y medidas regulares 13

Ademas,´ una consecuencia inmediata de (1.2) es que µ0(K) = µ1(K), para todo ⊂ compacto K X. Como µ1 satisface (1.1) entonces µ0(U) = µ1(U) para todo abierto ⊂ ⊂ U X. Usando que µ0(K) = µ1(K), para todo compacto K X se deduce que µ0 es regular interior, y por tanto una medida de Radon. Finalmente, la desigualdad ≤ ∈ µ0(B) µ1(B), para todo B B(X) se deduce directamente de la deﬁnicion´ de µ0. (II) Basta aplicar la parte (II) de la Proposicion´ 1-C1 y considerar la deﬁnicion´ de µ0. (III) Nuestro plan para esta parte sera´ mostrar una propiedad mas´ general que (III):

Demostraremos que si f es una funcion´ µ0-integrable con soporte compacto, entonces se satisface la identidad (1.3). Para ello mostraremos la identidad (1.3) sobre los siguientes conjuntos de funciones

(a) Funciones medibles (b) Funciones medibles (c) Funciones µ0- Borel, simples y con so- Borel con soporte com- integrables con soporte porte compacto. pacto. compacto.

(a) Supongamos primero que g : X → R es una funcion´ medible Borel, simple y con soporte compacto. Entonces Xm ∈ g(x) = αjχBj (x), x X, j=1 ∈ ∈ ∞ donde αj R y Bj B(X) con µ1(Bj) < . Por la parte (I) de la Proposicion´ 1.1; µ0(Bj) = µ1(Bj) y por tanto, Z Xm Xm Z g(x)dµ0(x) = αjµ0(Bj) = αjµ1(Bj) = g(x)dµ1(x). X j=1 j=1 X

(b) Sea f : X → R una funcion´ medible Borel con soporte compacto, entonces → existe una sucesion´ de funciones medibles Borel, simples gn : X R tales que ≤ ≤ ≤ ··· 0 g1(x) g2(x) , y

lim gn(x) = f (x), n ∈ →∞ ∈ para todo x X. Por lo que gn tiene soporte compacto para cada n N. Luego por el Teorema de convergencia monotona´ de Lebesgue obtenemos: Z Z Z Z f (x)dµ0(x) = lim gn(x)dµ0 = lim gn(x)dµ1(x) = f (x)dµ1(x). n n X →∞ X →∞ X X

(c) Ahora bien, si h es una funcion´ µ0-integrable con soporte compacto, entonces deﬁniendo las funciones Borel medibles + h (x) := max{h(x),0}, h−(x) := max{−h(x),0}, x ∈ X, 14 Y. Quintana tenemos que ambas tienen soporte compacto y por (b) tenemos Z Z ∞ h±(x)dµ0(x) = h±(x)dµ1(x) < , X X luego, Z Z Z + − h(x)dµ0(x) = h (x)dµ0(x) h−(x)dµ0(x) X ZX ZX + − = h (x)dµ1(x) h−(x)dµ1(x) ZX X ∞ = h(x)dµ1(x) < . X

Como las funciones continuas a soporte compacto son µ0-integrables, entonces la identidad identidad (1.3) tambien´ es satisfecha por estas funciones. (IV) (=⇒) Demostraremos esta implicacion´ mostrando los siguientes tres postu- lados: (A) Dada µ : B(X) → [0,∞] una medida de Borel tal que Z Z f (x)dµ(x) = f (x)dµ1(x), (1.5) X X para cualquier funcion´ continua con soporte compacto f : X → R. Entonces ≤ ≤ µ(K) µ1(K), µ1(U) µ(U), para cualquier U ⊂ X abierto y K ⊂ U compacto. (B) Dada µ : B(X) → [0,∞] como en (A). Supongamos ademas´ que µ satisface (1.1). Entonces µ(K) = µ1(K), µ(U) = µ1(U), para cualquier compacto K ⊂ X y cualquier abierto U ⊂ X. (C) Dada µ : B(X) → [0,∞] como en (B). Entonces ≤ ≤ ∈ µ0(B) µ(B) µ1(B), para todo B B(X). (1.6)

Demostracion´ del postulado (A): Fijados U ⊂ X abierto y K ⊂ U compacto, el Lema de Urysohn garantiza que existe una funcion´ continua con soporte compacto f : X → R tal que | ≡ ⊂ ≤ ≤ ∀ ∈ f K 1, supp(f ) U, 0 f (x) 1, x X. Luego por (1.5) tenemos que Z Z Z Z Z ≤ ≤ dµ(x) f (x)dµ(x) = f (x)dµ1(x) = f (x)dµ1(x) dµ1(x), K X X supp(f ) U Cap´ıtulo1. Funcionales lineales positivos y medidas regulares 15 R R y como µ(K) = dµ(x) y µ (U) = dµ (x), entonces obtenemos que K 1 U 1 ≤ µ(K) µ1(U).

Como µ1 es regular exterior: ≤ ⇒ ≤ | ⊂ ⊂ µ(K) µ1(U) µ(K) inf µ1(U) K U X y U abierto = µ1(K). Nuevamente por (1.5) tenemos que Z Z Z Z Z ≤ ≤ dµ1(x) f (x)dµ1(x) = f (x)dµ(x) = f (x)dµ(x) dµ(x), K X X supp(f ) U R R y como µ (K) = dµ (x) y µ(U) = dµ(x) obtenemos que 1 K 1 U ≤ µ1(K) µ(U).

Y usando que µ1 es regular interior sobre conjuntos abiertos: ≤ ⇒ | ⊂ ≤ µ1(K) µ(U) µ1(U) = sup µ1(K) K U y K compacto µ(U). Por lo tanto, ≤ ≤ µ(K) µ1(K), µ1(U) µ(U), para cualquier U ⊂ X abierto y K ⊂ U compacto. Demostracion´ del postulado (B): Si U ⊂ X es abierto, entonces por el postulado (A):

µ(U) = sup{µ(K)|K ⊂ U y K compacto } ≤ | ⊂ ≤ sup µ1(K) K U y K compacto = µ1(U) µ(U), por lo que µ(U) = µ1(U). ∞ ∈ Sea K compacto, entonces µ1(K) < . Como µ1 es regular exterior, existe U τ ⊂ ∞ tal que K U y µ1(U) < . Usando que µ y µ1 coinciden sobre conjuntos abiertos: − \ − \ µ(K) = µ(U) µ(U K) = µ1(U) µ1(U K) = µ1(K).

Demostracion´ del postulado (C): Sea µ como en el postulado (B), entonces ≤ ≤ ∈ µ0(B) µ(B) µ1(B) para todo B B(X). Para un B ∈ B(X) ﬁjado, por el postulado ⊂ µ0(B) = sup µ1(K): K B y K compacto = sup{µ(K): K ⊂ B y K compacto } ≤ µ(B) ≤ inf{µ(U): B ⊂ U ⊂ X y U abierto } ⊂ ⊂ = inf µ1(U): B U X y U abierto = µ1(B) 16 Y. Quintana

(IV) (⇐=) Por deﬁnicion´ de la integral y la parte (III) tenemos que Z Z Z Z ≤ ≤ f (x)dµ0(x) f (x)dµ(x) f (x)dµ1 = f (x)dµ0(x), X X X X para cualquier funcion´ continua con soporte compacto f : X → [0,∞), por tanto tambien´ para cualquier funcion´ continua con soporte compacto f : X → R.

1.1.1 Medidas exteriores de Borel Algunas veces puede ser mas´ conveniente definir una medida de Borel a partir de una medida definida sobre una σ-algebra´ que contenga a los borelianos. En esta seccion´ estudiaremos aquellas medidas exteriores sobre espacios Hausdorff localmente compactos que satisfacen propiedades de regularidad convenientes y mostraremos que las medidas resultantes son regulares exteriores y/o interiores sobre la σ-algebra´ de Borel. Recordemos que una funcion´ conjuntista ν : P(X) → [0,∞] se dice medida exterior si satisface: (a) ν(∅) = 0. (b) Si A ⊆ B ⊆ X entonces ν(A) ≤ ν(B).   [  X ⊆ ∈   ≤ (c) Si Aj X para j N, entonces ν  Aj ν(Aj).   j N j N ∈ ∈ Si ν : P(X) → [0,∞] es una medida exterior, A ∈ P(X) se llama ν-medible si satisface ν(E) = ν(E ∩ A) + ν(E ∩ Ac), (1.7) para todo E ∈ P(X).

Recuerde: Real Analysis I: Chapter 2, Prof. W. Urbina, [14].

Denotemos por M la familia de todos los subconjuntos ν-medibles de X, es decir: M = M (ν) := {A ∈ P(X): A es ν-medible}.

El Teorema o procedimiento de Caratheodory´ garantiza que: 1. M es una σ-algebra.´ 2. La restricion´ µ = ν : M [0, ] es una medida. |M → ∞ 3. El espacio de medida (X,M ,µ) es completo. Consulte [12, Theorem 2.4, pags.´ 58-61]. Cap´ıtulo1. Funcionales lineales positivos y medidas regulares 17

Deﬁnicion´ 1.5 Una medida ν : A → [0,∞] se dice regular si es regular exterior y regular interior.

Supongamos que ν : A [0, ] es regular. Si (X,B (X),ν ) denota la completacion´ de → ∞ ∗ ∗ (X,B(X), ν ), entonces ν∗ tambien´ es regular (ver Ejercicio 1.11). |B(X)

Deﬁnicion´ 1.6 Una medida exterior ν : P(X) → [0,∞] se dice medida exterior de Borel si satisface:

(a) Si K ⊆ X es compacto, entonces ν(K) < ∞ . ⊂ ∪ (b) Si K1,K2 X son compactos disjuntos, entonces ν(K1 K2) = ν(K1)+ν(K2). (c) ν(A) = inf{ν(U): A ⊆ U ⊆ X,U abierto}, para todo A ⊆ X.

(d) ν(U) = sup{ν(K): K ⊆ U,K compacto}, para todo abierto U ⊆ X.

Las nociones de regularidad vuelven a aparecer para restricciones sobre los borelianos de medidas exteriores de Borel, como muestra el siguiente resultado:

Teorema 1.2 Sea ν : P(X) → [0,∞] una medida exterior de Borel. Entonces | su restriccion´ a la σ-algrebra´ de Borel ν B(X) es una medida de Borel regular exterior y regular interior sobre conjuntos abiertos.

Demostracion.´ Siguiendo [11, 12] podemos dar una demostracion´ directa del Teo- rema 1.2 sin hacer uso del Teorema de Caratheodory.´ Consideremos { ⊆ { ⊆ }} AFIN := E X : ν(E) = sup ν(K): K E,K compacto , (1.8) y { ⊆ ∩ ∈ ⊆ } A := A X : A K AFIN para todo compacto K X . (1.9) Mostraremos que

• A es una σ-algebra´ tal que B(X) ⊂ A .

• La funcion´ conjuntista | → ∞ µ := ν A : A [0, ] es una medida de Borel regular exterior y regular interior sobre conjuntos abiertos.

•( X,A ,µ) es un espacio de medida completo.

• A es una σ-algebra.´ 18 Y. Quintana

∈ ∈ ⊆ ∈ X A porque K AFIN , para todo K X compacto. Asumamos ahora A A y ⊆ ∩ ∈ ∈ c ∩ ∈ K X compacto, entonces A K AFIN . Ademas,´ como K AFIN entonces A K A (ver Ejercicio 1.14), y por lo tanto Ac ∈ A . FIN [ FIN { } ⊂ ⊆ Sean Aj j N A y A := Aj. Fijado K X compacto, entonces por la deﬁnicion´ ∈ j N ∩ ∈∈ ∈ de A tenemos que Aj K AFIN , para todo j N. Tambien´ tenemos (ver Ejercicio 1.14): ∩ ∈ \ ∪ ··· ∪ ∈ Bj := Aj K AFIN , y Ej+1 := Bj+1 (B1 Bj) AFIN , ∈ para todo j N, con E1 = B1. Los conjuntos Ej son disjuntos dos a dos, y [ [ ∩ Ej = Bj = A K. j N j N ∈ ∈ Usando la condicion´ (A) de la deﬁnicion´ 1.6, tenemos ν(A∩K) ≤ ν(K) < ∞. Luego ∩ ∈ (ver Ejercicio 1.13), A K AFIN , y como K es un compacto arbitrario tenemos que A ∈ A , y en consecuencia A es una σ-algebra.´

• B(X) ⊆ A .

Sea F ⊂ X cerrado. Si K ⊆ X es compacto, entonces F ∩ K ⊆ K es cerrado y por tanto ∩ ∈ ⊆ ∈ compacto. Luego F K AFIN para cualquier K X compacto, as´ı que F A . Por lo tanto, hemos mostrado que A contiene todos los subconjuntos cerrados de X y como A es σ-algebra,´ tamben´ contiene a todos los subconjuntos abiertos de X, y por tanto B(X) ⊆ A . | → ∞ • µ := ν A : A [0, ] es una medida de Borel regular exterior y regular interior sobre conjuntos abiertos.

Primero veamos que µ es medida: Por definicion,´ µ(∅) = 0. Sean {A } ⊂ A una [ j j N ∞∈ sucesion´ de subconjuntos disjuntos dos a dos, y A := Aj. Si µ(Aj) < para todo j N ∈ X ∈ ∞ j, entonces Aj AFIN (ver Ejercicio 1.16) y por tanto µ(A) = µ(Aj) (ver Ejercicio j=1 ∞ ≥ ∞ 1.13). Si µ(Aj) < para algun´ j, entonces µ(A) µ(Aj) y por tanto µ(A) = . Como B(X) ⊆ A , entonces haciendo uso de la condicion´ (A) de la definicion´ 1.6 obtenemos que µ(K) < ∞ para todo K ⊆ X compacto. As´ı que µ es una medida de Borel. µ es regular exterior: Por la condicion´ (C) de la definicion´ 1.6:

ν(A) = inf{ν(U): A ⊆ U ⊆ X,U abierto}, ∀A ⊆ X.

Como B(X) ⊆ A , si A ∈ B(X) entonces µ(A) = ν(A), y µ(U) = ν(U), para todo U ∈ τ, luego µ(A) = inf{µ(U): A ⊆ U ⊆ X,U abierto}, ∀A ⊆ X. Cap´ıtulo1. Funcionales lineales positivos y medidas regulares 19

µ es regular interior sobre conjuntos abiertos: Por la condicion´ (D) de la deﬁnicion´ 1.6: ν(U) = sup{ν(K): K ⊆ U,K compacto}, ∀U ∈ τ. Como U ∈ τ ⊂ B(X), todo subconjunto compacto de X es boreliano y B(X) ⊆ A , entonces µ(U) = ν(U) y µ(K) = ν(K), para todo U ∈ τ y K compacto. Luego,

µ(U) = sup{µ(K): K ⊆ U,K compacto}, ∀U ∈ τ.

•( X,A ,µ) es un espacio de medida completo.

Sea E ∈ A con µ(E) = 0, veamos que si B ⊂ E entonces B ∈ A . Como µ(E) = 0 y B ⊂ E ∈ entonces µ(B) = 0 y por deﬁnicion´ de AFIN , tenemos que B AFIN , luego usando el Ejercicio 1.16 obtenemos que B ∈ A . Por lo tanto, (X,A ,µ) es completo.

1. El Teorema 1.2 tambien´ puede ser deducido usando el Teorema de Caratheodory´ y las condiciones (A) y (B) de la deﬁnicion´ 1.6 para mostrar que la σ-algebra´ de los conjuntos ν- medibles contiene a la σ-algebra´ de Borel.

2. Que la medida de Borel resultante por este enfoque tiene las propiedades de regularidad requeridas es consecuencia inmediata de las condiciones (C) y (D) de la deﬁnicion´ 1.6.

3. Este enfoque de demostracion´ se deja como ejercicio (ver Ejercicio 1.10), as´ı como tambien´ la veriﬁcacion´ de que la σ-algebra´ A dada en (1.9) coincide con la σ-algebra´ M de subconjuntos ν-medibles de X.

1.2 Ejercicios propuestos

Ejercicio 1.1 Sea X un espacio Hausdorﬀ. Muestre que las siguientes aﬁrma- ciones son equivalentes:

(a) X es localmente compacto.

(b) Si K es compacto, U abierto y K ⊂ U. Entonces existe un abierto V relati- vamente compacto, tal que K ⊂ V ⊂ V ⊂ U.

Ejercicio 1.2 Demuestre que X es σ-compacto, si y solo´ si, existe una sucesion´ { } S creciente de subconjuntos compactos Kj j N, tales que X = j∞=1 Kj. ∈ 20 Y. Quintana

Ejercicio 1.3 Muestre que la restriccion´ de la medida de Lebesgue sobre Rn a la σ-algebra´ de Borel B(Rn) es una medida de Borel regular.

Ejercicio 1.4 Considere el espacio topologico´ (N,P(N)). Muestre que:

(a)( N,P(N)) es Hausdorﬀ localmente compacto.

(b) B(N) = P(N). (c) La medida contadora es una medida de Borel regular.

∈ Ejercicio 1.5 Sea (X,τ) Hausdorﬀ localmente compacto. Fijado x0 X, consid- → ∞ eremos la medida de Dirac en x0, δx0 : B(X) [0, ] dada por ( ∈ 1, si x0 E, ∈ δx0 (E) := para E B(X). 0, si x0 < E,

Muestre que δx0 es una medida de Borel regular.

Ejercicio 1.6 Demuestre que si (X,τ) es un espacio Hausdorﬀ localmente compacto para el cual todo abierto es σ-compacto, entonces toda medida de Borel µ : B(X) → [0,∞] es regular.

Ejercicio 1.7 Sea (X,τ) Hausdorﬀ localmente compacto. Una medida µ : B(X) → [0,∞] es de Radon si µ es de Borel y regular interior. Muestre que la siguiente medida es de Borel, pero no es de Radon: Sea X un conjunto no numerable, considere (X,P(X)) y ν : B(X) → [0,∞] dada por ( 0, si E es numerable , ν(E) = ∞, si E es no numerable ,

Ejercicio 1.8 Considere f : X → R una funcion´ medible Borel con soporte compacto. Demuestre que → (a) Existe una sucesion´ de funciones medibles Borel, simples gn : X R tales que ≤ ≤ ≤ ··· 0 g1(x) g2(x) , y

lim gn(x) = f (x), n →∞ para todo x ∈ X. ∈ → (b) Para cada n N, gn : X R tiene soporte compacto. Cap´ıtulo1. Funcionales lineales positivos y medidas regulares 21

♣ Ejercicio 1.9 ( ) Muestre con un ejemplo que las hipotesis´ sobre la medida µ1 no pueden ser removidas de la parte (I) del Teorema 1-C1.

Ejercicio 1.10 Sea (X,A ,ν) un espacio de medida. Deﬁnamos: ⊆ ⊆ (a) A0 P(X) como la coleccion´ de todos los subconjuntos E X tales que E = A ∪ B, donde A ∈ A y B ⊆ C para algun´ C ∈ A con ν(C) = 0. → ∞ ∈ (b) ν0 : A0 [0, ] la funcion´ conjuntista dada por ν0(E) = ν(A), donde E A0 es descrito en la parte (a). Demuestre que

• A0 es una σ-algebra´ que contiene a A .

• ν0 es una medida que extiende a ν.

•( X,A0,ν0) es un espacio de medida completo.

Ejercicio 1.11 Sea A ⊆ P(X) una σ-algebra´ tal que B(X) ⊆ A . Supong- amos que ν : A → [0,∞] es regular y sea (X,B (X),ν ) la completacion´ de ∗ ∗ | X,B(X), ν B(X) . Demuestre que ν∗ tambien´ es regular.

Ejercicio 1.12 Sea A ⊆ P(X) una σ-algebra´ tal que B(X) ⊆ A . Supongamos que ν : A → [0,∞] es regular y que el espacio de medida (X,A ,ν) es σ-ﬁnito y | sea (X,B∗(X),ν∗) la completacion´ de X,B(X), ν B(X) . Demuestre que ⊆ | A B∗(X), y ν = ν∗ A .

Ejercicio 1.13 Sea (X,A ,ν) un espacio de medida. Considere la familia { ⊆ { ⊆ }} AFIN := E X : ν(E) = sup ν(K): K E,K compacto . { } ⊂ Sea Ej j N AFIN una sucesion´ de conjuntos disjuntos dos a dos y deﬁna ∈ [∞ E := Ej. j=1 Demuestre que

X∞ (a) ν(E) = ν(Ej). j=1 ∞ ∈ (b) Si ν(E) < entonces E AFIN . Sugerencia: revisar argumentos en la demostracion´ de la parte (I) del Teorema 1-C1. 22 Y. Quintana

∈ Ejercicio 1.14 Muestre que si E0,E1 AFIN entonces ∪ ∈ ∩ ∈ ∩ c ∈ E0 E1 AFIN ,E0 E1 AFIN ,E0 E1 AFIN .

Ejercicio 1.15 Sea (X,A ,ν) un espacio de medida, con ν medida exterior de Borel. Consideremos A0 como en el Ejercicio 1.10y AFIN como en el Ejercicio 1.13 y deﬁnamos { ⊂ ∩ ∈ ⊂ } M := A X : A K AFIN para todo compacto K X .

¿Que´ relacion´ existe entre las σ-algebras´ A0 y M ? Sugerencia: revisar la demostracion´ del Teorema 2-C1.

Ejercicio 1.16 Sea (X,A ,ν) un espacio de medida, con ν medida exterior de Borel. Considere AFIN como en el Ejercicio 1.13y M como en el Ejercicio 1.14 ∈ ∈ ∞ Demuestre que A AFIN , si y solo´ si, A M y ν(A) < .

1.3 Teorema de representacion´ de Riesz para funcionales lineales positivos

En esta seccion´ estudiaremos la construccion´ de ciertas medidas haciendo uso de funcionales lineales deﬁnidos sobre espacios de funciones continuas. Nuestro objetivo sera´ enunciar y demostrar el Teorema de representacion´ de Riesz.

1.3.1 El problema de representacion´ de funcionales lineales

La representacion´ de funcionales lineales ha sido tema fundamental de estudio desde el surgimiento del Analisis´ Funcional. En particular, la representacion´ de funcionales continuos. Desde 1903 el problema de representacion´ de funcionales continuos fue atacado por Hadamard y en 1904 por Frechet,´ aunque ﬁnalmente fue resuelto por Frigyes Riesz entre 1907 y 1909. Cap´ıtulo1. Funcionales lineales positivos y medidas regulares 23

Frigyes Riesz (1888-1956) demostro´ el Teorema de Representacion,´ que hoy lleva su nombre, para el dual de las funciones continuas sobre un intervalo compacto C∗[a,b], el cual se encuentra contenido en el conjunto de funciones de variacion´ acotada sobre [a,b], por medio del uso de la integral de Riemann- Stieltjes; el inconveniente que tuvo era que la funcion´ de variacion´ acotada que se encontraba no era unica´ y ademas,´ no pod´ıa generalizar el mismo argumento para el dual de Ck[a,b].

Algunas de las contibuciones de F. Riesz fueron demostradas mientras era profesor de secundaria entre 1905-1912. Fue uno de los primeros en comprender la importancia de la teor´ıa de Lebesgue, y a partir de esta comprension´ descubrio´ pro- fundos resultados matematicos´ en torno a la simbiosis de los campos nacientes de Integracion´ de Lebesgue y el Analisis´ Funcional. Un bosquejo claro de las contribuciones de F. Riesz puede consultarse en:

A. Csaszr´ a,´ D. Petz, A panorama of the Hungarian real and functional analysis in the 20th century, in A Panorama of Hungarian Mathematics in the Twentieth Century, (J. Horvath,´ ed.), Bolyai Society Mathematical Studies, No. 14, Springer-Verlag, New York (2006), 211 244. −

La siguiente es una muy breve cronolog´ıa de la evolucion´ de la representacion´ de funcionales lineales despues´ del resultado de F. Riesz:

Los inconvenientes que tuvo F. Riesz desaparecieron cuando Johann Radon (1887-1956) tuvo la idea de reemplazar a las funciones de variacion´ acotada por funciones deﬁnidas sobre subconjuntos de Rn. La generalizacion´ del teorema de F. Riesz para el cubo [a,b]n fue dada por Radon en 1913. 24 Y. Quintana

Para el ano˜ 1937, Stefan Banach (1892-1945) logro´ demostrar una version´ mas´ general del teorema teorema de F. Riesz, considerando ahora un espacio metrico´ compacto.

Hacia 1938, A. A. Markov (1856-1922) logra demostrar el teorema de representacion´ para espacios normales.

En 1940, Pavel Aleksandrov (1896-1982) lo prueba para espacios completamente regulares. Cap´ıtulo1. Funcionales lineales positivos y medidas regulares 25

Finalmente, el caso mas´ general, que es para espacios Hausdorﬀ compactos, lo demostro´ Shizuo Kakutani (1911-2004) en 1941.

Examinaremos una version´ del resultado de Kakutani, que requerira´ espacios de Hausdorﬀ localmente compactos y funcionales lineales positivos. Sea (X,τ) Hausdorﬀ localmente compacto y B(X) su σ-algebra´ de Borel.

Deﬁnicion´ 1.7 Una funcion´ f : X → R se dice de soporte compacto si su soporte

{ ∈ } 1 \{ } supp(f ) := x X : f (x) , 0 = f − (R 0 )

es compacto.

Denotaremos por Cc(X) al conjunto de las funciones continuas con soporte compacto. Note que Cc(X) tiene estructura de espacio vectorial real (ver Ejercicio 1.19).

Algunos autores usan la notacion´ C00(X) para referirse a Cc(X).

→ Deﬁnicion´ 1.8 Un funcional lineal Λ : Cc(X) R es positivo si ≥ ⇒ ≥ ∀ ∈ f 0 Λ(f ) 0, f Cc(X).

Ejemplo 1.4 Sea µ : B(X) → [0,∞] una medida de Borel. Consideremos el → funcional lineal Λµ : Cc(X) R dado por Z Λµ(f ) := f (x)dµ(x). (1.10) X Este funcional esta´ bien deﬁnido (ver Ejercicio 1.21) y es positivo.

El Teorema de representacion´ de Riesz asegura que cualquier funcional lineal sobre Cc(X) tiene la forma integral (1.10). 26 Y. Quintana

→ { } ⊂ Lema 1.1 Dados Λ : Cc(X) R funcional lineal positivo y fn n N Cc(X) ∈∈ una sucesion´ de funciones que converge uniformemente a alguna f Cc(X). Si existe K ⊂ X compacto tal que ⊂ ∈ supp(fn) K, para todo n N,

entonces Λ(f ) = lim Λ(fn). n →∞ → | − | Demostracion.´ Como fn f uniformemente, entonces la sucesion´ εn := sup fn(x) f (x) x X ∈ converge a 0. Por el Lema de Urysohn existe una funcion´ continua de soporte compacto φ : X → [0,1] tal que φ ≡ 1. Ademas,´ se satisface que K − ≤ − ≤ ∀ ∈ εnφ fn f εnφ, n N. − ≤ − ≤ ∈ Luego, por positividad de Λ: εnΛ(φ) Λ(fn) Λ(f ) εnΛ(φ), para todo n N. | − | ≤ ∈ Lo que implica que Λ(fn) Λ(f ) εnΛ(φ), para todo n N. Y como lim εn = 0, n | − | →∞ concluimos que lim Λ(fn) Λ(f ) = 0. Por lo tanto, n →∞

lim Λ(fn) = Λ(f ). n →∞ Cap´ıtulo1. Funcionales lineales positivos y medidas regulares 27

→ Teorema 1.3 (Teorema de representacion´ de Riesz) Sea Λ : Cc(X) R un funcional lineal positivo. Entonces Λ admite las siguientes representaciones integrales: → ∞ (I) Existe una unica´ medida de Radon µ0 : B(X) [0, ] tal que Z ∀ ∈ Λ(f ) = Λµ0 (f ) = f (x)dµ0(x), f Cc(X). (1.11) X

→ ∞ (II) Existe una unica´ medida de Borel regular exterior µ1 : B(X) [0, ] tal que Z ∀ ∈ Λ(f ) = Λµ1 (f ) = f (x)dµ1(x), f Cc(X), (1.12) X

y adicionalmente, µ1 es regular interior sobre conjuntos abiertos en X.

Demostracion.´ Seguiremos los enfoques de las referencias [11, 12]. Paso 1: Construccion´ de una medida exterior a partir de Λ. Sea τ la topolog´ıa asociada a X como espacio Hausdorff localmente compacto. Definamos la funcion´ → ∞ conjuntista ντ : τ [0, ] por { ∈ ≤ ≤ ⊂ } ∀ ∈ ντ (U) := sup Λ(f ): f Cc(X),0 f 1,supp(f ) U , U τ. (1.13) Y ahora definamos la funcion´ conjuntista ν : P(X) → [0,∞] por { ⊆ ⊆ ∈ } ∀ ∈ ν(E) := inf ντ (U): E U X,U τ , E P(X). (1.14) ∈ ⊆ ≤ Note que si U,V τ son tales que U V , entonces por (1.13) ντ (U) ντ (V ). Por lo que { ⊆ ⊆ ∈ } ∀ ∈ ν(U) := inf ντ (V ): U V X,V τ = ντ (U), U τ. Ahora mostraremos que ν : P(X) → [0,∞] es una medida exterior de Borel: ∅ ∅ (A) Por (1.14), ν( ) = ντ ( ) = 0. ≤ ∈ ⊆ ∈ (B) Como ντ (U) ντ (V ) para todo par U,V τ con U V . Entonces si A,B P(X) son tales que A ⊆ B con tenemos que ν(A) ≤ ν(B). Ahora bien, para mostrar que ν es σ-subaditiva, primero veamos que ∪ ≤ ντ (U V ) ντ (U) + ντ (V ). (1.15) ∈ ≤ ≤ ⊆ ∪ Dada f Cc(X) tal que 0 f 1 y K := supp(f ) U V. Como X es Hausdorff ∈ localmente compacto, entonces existen funciones φ,ψ Cc(X) tales que (ver Ejercicio 1.28):

supp(φ) ⊂ U, supp(ψ) ⊂ V , φ,ψ ≥ 0, φ + ψ ≤ 1, (φ + ψ) ≡ 1. K Por tanto f = φf + ψf , y ≤ Λ(f ) = Λ(φf + ψf ) = Λ(φf ) + Λ(ψf ) ντ (U) + ντ (V ). 28 Y. Quintana

De donde se deduce (1.15). { } ⊂ (C) ν es σ-subaditiva: consideremos ahora An n N P(X), queremos ver que   ∈ [∞  X∞ ν  A  ≤ ν(A ).  n n n=1 n=1 [ ⊂ ∞ ⊂ ∞ Supongamos que existe Am X tal que ν(Am) = . Ya que Am An tenemos   n=1 [∞  X∞ que ν  A  = ∞ = ν(A ).  n n n=1 n=1 ∞ ∈ Asumamos que ν(An) < para todo n N. Dado > 0 por la deﬁnicion´ de ν en { } ⊂ (1.14), existe Un n N τ tal que ∈ A ⊆ U , ν (U ) < ν (A ) + . n n τ n n 2n [ [ ∞ ∞ ⊆ ∈ ≤ ≤ Tomemos U := Un. Es claro que An U. Dada f Cc(X) tal que 0 f 1 y n=1 n=1 ⊂ ∈ supp(f ) U tenemos la compacidad de supp(f ) implica que existe n0 N tal que

[n0 ⊂ supp(f ) Un. n=1

Luego por la deﬁnicion´ de ντ en (1.13) y la propiedad (1.15) tenemos que

≤ ∪ ··· ∪ ≤ ··· Λ(f ) ντ U1 Un0 ντ (U1) + + ντ Un0 ··· < ν (A1) + + ν An0 + .

Por lo tanto, X ≤ ∞ Λ(f ) ν (An) + , n=1 ∈ ≤ ≤ ⊂ para toda f Cc(X) tal que 0 f 1 y supp(f ) U. En consecuencia, por la deﬁnicion´ de ντ (U) en (1.13) obtenemos     [∞  X∞ [∞  X∞ ν  A  ≤ ν (U) ≤ ν (A ) + =⇒ ν  A  ≤ ν (A ) + , ∀ > 0.  n τ n  n n n=1 n=1 n=1 n=1

Por lo tanto,   [∞  X∞ ν  A  ≤ ν (A ),  n n n=1 n=1 es decir, ν es σ-subaditiva. Paso 2: ν es ﬁnita sobre compactos. Cap´ıtulo1. Funcionales lineales positivos y medidas regulares 29

(D) Mostraremos primero que si K ⊆ X es compacto, entonces ∈ ≥ | ≡ ν(K) = inf Λ(f ): f Cc(X),f 0, f K 1 . (1.16) ∈ ⊂ ∈ Sea U τ tal que K U. Por el Lema de Urysohn existe una funcion´ f Cc(X) tal que ≤ ≤ ⊂ | ≡ 0 f 1, supp(f ) U, f K 1. Por lo tanto,

∈ ≥ | ≡ ≤ ≤ inf Λ(f ): f Cc(X),f 0, f K 1 Λ(f ) ντ (U). Luego,

∈ ≥ | ≡ ≤ ∀ ∈ ⊂ inf Λ(f ): f Cc(X),f 0, f K 1 ντ (U), U τ con K U, y usando (1.14) obtenemos

∈ ≥ | ≡ ≤ inf Λ(f ): f Cc(X),f 0, f K 1 ν(K). ∈ ≥ ∈ ∈ Ahora, elijamos h Cc(X) tal que h 0 y h(x) = 1, para todo x K. Para α (0,1) ﬁjado deﬁnimos { ∈ } 1 ∞ Uα := x X : h(x) > α = h− (α, ). ∈ ⊂ ≤ Entonces Uα τ y K Uα, por lo que ν(K) ντ (Uα). ∈ ≤ ≤ ∈ Ademas,´ toda g Cc(X) con 0 g 1 y supp(g) Uα satisface ≤ ≤ ∀ ∈ αg(x) α h(x), x Uα.

Por lo que ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ αg h = αΛ(g) Λ(h)= αντ (Uα) Λ(f ), 1 =⇒ ν(K) ≤ ν (U ) ≤ Λ(f ), τ α α haciendo α → 1−: ≤ ≤ 1 ν(K) ντ (Uα) lim Λ(f ) = Λ(f ). α 1 α → − Por lo tanto, ≤ ∈ ≥ | ≡ ν(K) inf Λ(f ): f Cc(X),f 0, f K 1 , de donde concluimos (1.16). Por lo tanto, ν(K) < ∞ para todo K ⊆ X compacto. Paso 3: ν es ﬁnitamente aditiva sobre subconjuntos compactos de X. ⊂ (E) Sean K0,K1 X compactos disjuntos. Por Paso 1 (i.e., (A), (B)y (C)) ν es una ∪ ≤ medida exterior, luego ν(K0 K1) ν(K0) + ν(K1). ≤ ∪ Para demostrar la desigualdad ν(K0) + ν(K1) ν(K0 K1), procederemos de la ∈ manera siguiente: por el Lema de Urysohn podemos elegir f Cc(X) tal que

0 ≤ f ≤ 1, f | ≡ 0, f | ≡ 1. K0 K1 30 Y. Quintana

∈ Dado ε > 0 por (D) existe g Cc(X) tal que ≥ | ≡ ∪ g 0, g K K 1, Λ(g) < ν(K0 K1) + ε. 0∪ 1 Tambien´ por (D) tenemos que ≤ − ∪ ν(K0) + ν(K1) Λ((1 f )g) + Λ(f g) = Λ(g) < ν(K0 K1) + ε.

Luego, ∪ ∀ ν(K0) + ν(K1) < ν(K0 K1) + ε, ε > 0 y por consiguiente ∪ ν(K0) + ν(K1) = ν(K0 K1).

Paso 4: Construccion´ y propiedades de la medida µ1. (F) Consideremos la funcion´ conjuntista | → ∞ µ1 := ν B(X) : B(X) [0, ], Por los Pasos 1, 2, 3 ν es medida exterior de Borel, y esto signiﬁca por el Teorema 1.2 que µ1 es una medida de Borel regular exterior, que es regular interior sobre conjuntos abiertos. Es decir, para mostrar la parte (II)s olo´ debemos ver que ∀ ∈ Λ(f ) = Λµ1 (f ), f Cc(X). Para ello es suﬁciente mostrar que Z ≤ ∀ ∈ Λ(f ) f (x)dµ1(x), f Cc(X). (1.17) X ∈ Consideremos f Cc(X) y

K := supp(f ), a := inf{f (x)}, b := sup{f (x)}. x X x X ∈ ∈ Fijado ε > 0 elijamos ··· y0 < a < y1 < y2 < < yn 1 < yn = b − tales que − yj yj 1 < ε, j = 1,...,n. − Para cada j = 1,...,n deﬁnamos n o ∈ ≤ 1 ∞ ∩ 1 −∞ Ej := x K : yj 1 < f (x) yj = f − (yj 1, ) f − ( ,yj], − − ∈ as´ı que cada Ej B(X). Ademas,´

[n ∩ ∅ Ej Ek = , si j , k, y K = Ej. j=1 Cap´ıtulo1. Funcionales lineales positivos y medidas regulares 31

∈ Como µ1 es regular exterior, existen U1,...,Un τ tales que ⊂ ε Ej Uj, µ1 Uj < µ1 Ej + , supf < yj + ε, (1.18) n Uj para todo j = 1,...,n. ∈ Como X es Hausdorﬀ localmente compacto, existen funciones φ1,...,φn Cc(X) tales que (ver Ejercicio 1.28):

Xn Xn φ ≥ 0, supp φ ⊂ U , φ ≤ 1, φ ≡ 1. (1.19) j j j j j K j=1 j=1

Luego por (1.18), (1.19) y el Paso 2 obtenemos

Xn ≤ f = φjf , φjf yj + ε φj, j=1 y n X ε µ (K) ≤ Λ φ , Λ φ ≤ µ U < µ E + . 1 j j 1 j 1 j n j=1 As´ı; Xn Xn Xn Xn ≤ | | − | | Λ(f )= Λ φjf yj + ε Λ φj = yj + a + ε Λ φj a Λ φj j=1 j=1 j=1 j=1 n X ε ≤ y + |a| + ε µ E + − |a|µ (K). j 1 j n 1 j=1 Ya que

n X ε y + |a| + ε µ E + − |a|µ (K) j 1 j n 1 j=1 n n X ε X = y + ε µ E + y + |a| + ε j 1 j n j j=1 j=1 Xn ≤ − | | yj ε µ1 Ej + ε (2µ1(K) + b + a + ε) j=1 Z ≤ | | f (x)dµ1(x) + ε (2µ1(K) + b + a + ε), X concluimos que Z ≤ | | Λ(f ) f (x)dµ1(x) + ε (2µ1(K) + b + a + ε), X 32 Y. Quintana lo que implica la desigualdad (1.17). Por otro lado, Z Z − − ≤ − − Λ(f ) = Λ( f ) ( f )(x)dµ1(x) = f (x)dµ1(x), X X de donde se decude que Z ≤ f (x)dµ1(x) Λ(f ). X Por lo tanto, Z ∀ ∈ Λ(f ) = f (x)dµ1(x) = Λµ1 (f ), f Cc(X). X Esto completa la demostracion´ de la parte (II).

Paso 5: Construccion´ y propiedades de la medida µ0. → ∞ (G) Consideremos la funcion´ conjuntista µ0 : B(X) [0, ] dada por { ⊆ ⊆ } ∀ ∈ µ0(B) = sup ν(K): K B, K X compacto , B B(X).

Por la parte (I) del Teorema 1.1 y el Paso 4, µ0 es una medida de Radon. Por la parte (III) del Teorema 1.1 y la segunda parte del Paso 4 obtenemos que

Λµ0 = Λµ0 = Λ.

Paso 6: Unicidad de las medidas µ0 y µ1. Por la parte (IV) del Teorema 1.1 cualquier medida de Borel µ : B(X) → [0,∞] que sea regular interior sobre abiertos y satisfaga Λµ = Λ coincide con ν sobre todos los compactos y abiertos de X. Por lo tanto, cualquier medida de Radon µ : B(X) → ∞ [0, ] que satisfaga Λµ = Λ esta´ dada por { ⊆ ⊆ } ∀ ∈ µ(B) = sup ν(K): K B, K X compacto = µ0(B), B B(X).

Esto garantiza la unicidad de µ0. Analogamente,´ cualquier medida de Borel regular exterior µ : B(X) → [0,∞] que sea regular interior sobre abiertos y satisfaga Λµ = Λ esta´ dada por { ⊆ ⊆ ∈ } ∀ ∈ µ(B) = inf ν(U): B U X,U τ = ν(B) = µ1(B), B B(X).

Esto garantiza la unicidad de µ1 y concluye la demostracion.´

Teorema 1.4 Las medidas de Borel µ0 y µ1 dadas en las partes (I)y (II) del Teorema 1.3 coinciden sobre subconjuntos compactos y subconjuntos abiertos de X. Ademas,´ ≤ ∈ µ0(B) µ1(B), para todo B B(X).

Demostracion.´ Es una consecuencia directa de la parte (I) del Teorema 1.1.

El siguiente resultado es el rec´ıproco del Teorema 1.1: Cap´ıtulo1. Funcionales lineales positivos y medidas regulares 33

→ ∞ Corolario 1.1 Dada µ0 : B(X) [0, ] una medida de Radon, deﬁnamos { ⊆ ⊆ ∈ } ∈ µ1(B) := inf µ0(U): B U X,U τ , para todo B B(X). (1.20)

Entonces µ1 es una medida de Borel regular exterior, regular interior sobre conjuntos abiertos y { ⊆ } ∈ µ0(B) := inf µ1(K): K B, K compacto , para todo B B(X). (1.21)

Demostracion.´ Sea µ1 la unica´ medida de Borel regular exterior sobre X, que es regu- → lar interior sobre conjuntos abiertos y satisface Λµ1 = Λµ0 , para cualquier Λ : Cc(X) R funcional lineal positivo. El Teorema 1.4 garantiza que µ0 y µ1 coinciden sobre subconjuntos compactos y subconjuntos abiertos de X. Mientras que por el Teorema 1.3, al ser µ1 es regular exterior se satisface (1.20). Analogamente,´ como µ0 es regular interior, entonces la identidad (1.21) es satisfecha.

→ ∞ Corolario 1.2 Cualquier medida de Radon µ0 : B(X) [0, ] es regular exterior sobre subconjuntos compactos de X.

Demostracion.´ Tomando B = K en (1.20), tenemos que µ1(K) = µ0(K) , para cualquier K ⊂ X.

Teorema 1.5 Sean µ0 y µ1 las medidas de Borel dadas en las partes (I)y (II) del Teorema 1.3. Si µ : B(X) → [0,∞] es una medida de Borel regular interior sobre subconjuntos abiertos de X, entonces ⇐⇒ ≤ ≤ ∈ Λ = Λµ µ0(B) µ(B) µ1(B), para todo B B(X).

Demostracion.´ Es una consecuencia directa de la parte (IV) del Teorema 1.1.

En el siguiente teorema impondremos una condicion´ topologica´ adicional sobre X para garantizar que toda medida de Borel sobre X sea regular.

Teorema 1.6 Sea X un espacio Hausdorﬀ localmente compacto.

(I) Si X es σ-compacto, entonces cualquier medida de Borel sobre X que sea regular interior sobre subconjuntos abiertos es regular.

(II) Si cualquier subconjunto abierto de X es σ-compacto, entonces cualquier medida de Borel sobre X es regular. 34 Y. Quintana

Demostracion.´ (I) Sea µ : B(X) → [0,∞] una medida de Borel regular interior sobre → ∞ subconjuntos abiertos y consideremos µ0,µ1 : B(X) [0, ] las medidas de Borel → asociadas al funcional lineal positivo Λ : Cc(X) R en las partes (I)y (II) del Teo- rema de representacion´ de Riesz 1.3. Como µ es regular interior sobre subconjuntos abiertos, por la parte (III) del Teorema de representacion´ de Riesz 1.3 tenemos que

≤ ≤ ∈ µ0(B) µ(B) µ1(B), para todo B B(X).

Por otro lado, como X es σ-compacto, la parte (II) del Teorema 1.1 nos dice que µ0 = µ = µ1. Por lo tanto, µ es regular. (II) Sea µ : B(X) → [0,∞] una medida de Borel. Veamos que µ es regular interior sobre subconjuntos abiertos: Fijado U ∈ τ, como U es σ-compacto, existe una sucesion´ de conjuntos compactos K ⊆ U tal que K ⊂ K , para todo n ∈ [ n n n+1 N y U = Kn. Por lo que n N ∈ µ(U) = lim µ(Kn), n →∞ consecuentemente,

µ(U) = sup{µ(K): K ⊆ U,K compacto}.

Luego por la parte (I) µ es regular.

(1) La condicion´ “cualquier subconjunto abierto de X es σ-compacto” es mas´ debil´ que imponer que X sea segundo numerable. Esto es debido al siguiente hecho topologico´ (ver Ejercicio 1.29): X Hausdor localmente compacto Todo abierto de X ﬀ = y segundo numerable ⇒ es σ-compacto

(2) La condicion´ “cualquier subconjunto abierto de X es σ-compacto” no puede ser removida de la parte (II) del Teorema 1.6, incluso si X es compacto. De hecho, Dieudonne´ construyo´ un espacio (X,Ω) Hausdorﬀ compacto, y una medida de Borel µ sobre X tales que existe x0 X ∈ tal que el conjunto abierto U := X x no es σ-compacto y satisface \{ 0} µ(U) = 1, µ(K) = 0, K U compacto. ∀ ⊆ Deﬁnamos la funcion´ conjuntista µ : B(X) [0, ] por 0 → ∞ µ (B) = sup µ(K): K B es compacto , 0 { ⊆ } entonces µ (U) = 0 = µ ( x ), pero µ (X) = 1. Por lo tanto, µ no es una medida. 0 0 { 0} 0 0 Para una descripcion´ detallada de la construccion´ del espacio (X,Ω) y de la medida µ de Dieudonne´ consulte el Ejercicio 18 de [11, pag.´ 59] o los Ejemplos 3.6 y 3.9 de [12]. Cap´ıtulo1. Funcionales lineales positivos y medidas regulares 35

(3) El Teorema 1.6 tambien´ proporciona una demostracion´ alternativa de la regularidad de la medida exterior de Lebesgue en Rn.

Recuerde: Real Analysis: Chapter 2, Prof. W. Urbina, [14].

Corolario 1.3 Sea X un espacio Hausdorﬀ localmente compacto tal que todo subconjunto abierto es σ-compacto. Entonces para cualquier funcional lineal → → positivo Λ : Cc(X) R existe una unica´ medida de Borel µ : B(X) R tal que Λ = Λµ.

Demostracion.´ Basta aplicar el Teorema de Representacion´ de Riesz 1.3 y la parte (II) del Teorema 1.6.

(1) Una clase importante de espacios Hausdorff localmente compactos que satisface las hipotesis´ del Teorema 1.6 y el Corolario 1.3 es la clase de espacios Hausdorff localmente compactos que son segundo numerables. Por ello, algunos autores prefieren por ejemplo definir el concepto de medidas de Radon sobre esta clase de espacios.

(2) Si X es Hausdorﬀ compacto, es claro que C(X) = Cc(X), donde C(X) denota al espacio de todas las funciones f : X R continuas. Desde el punto de vista del Analisis´ Funcional es → interesante conocer el espacio dual de C(X), i.e., el espacio de todos los funcionales lineales y acotados sobre C(X). De hecho, cualquier funcional lineal acotado sobre C(X) puede expresarse como la diferencia de dos funcionales lineales positivos sobre C(X) (ver Ejercicio 1.31). (3) Si cualquier abierto de X es σ-compacto entonces el Corolario 1.3 y el Ejercicio 1.31 garantizan que cualquier funcional lineal y acotado sobre C(X) puede ser un´ıvocamente represen- tado por una medida de Borel signada.

1.4 Ejercicios propuestos

Ejercicio 1.17 Dados (X,Ω) espacio topologico´ y f ,g : X → R. Demuestre que | ≡ (a) x < supp(f ), si y solo´ si, existe un entorno abierto V de x tal que f V 0. (b) Las siguiente contencion´ es satisfecha:

supp(f + g) ⊆ supp(f ) ∪ supp(g). 36 Y. Quintana

Ejercicio 1.18 Sean (X,τ) Hausdorﬀ localmente compacto y C(X) el espacio de ∈ ∈ todas las funciones τ-continuas sobre X. Dada f C(X) muestre que f Cc(X) si y solo´ si existe K ⊂ X compacto tal que f (x) = 0 para todo x ∈ X \ K.

Ejercicio 1.19 Dado (X,Ω) espacio topologico,´ muestre que el conjunto Cc(X) es espacio vectorial real.

Ejercicio 1.20 Sean (X,Ω) compacto y f : X → R continua. Demuestre que f alcanza supremo e ´ınﬁmo, es decir, al menos existen un x0 y un x1 en X tales que { ∈ } f (x0) = inf f (x): x X , { ∈ } f (x1) = sup f (x): x X .

Ejercicio 1.21 Sea µ : B(X) → [0,∞] una medida de Borel. Demuestre que ∈ toda funcion´ f Cc(X) es µ-integrable.

Ejercicio 1.22 Use la deﬁnicion´ 1.4 para mostrar que toda medida de Radon µ : B(X) → [0,∞] es localmente ﬁnita.

Ejercicio 1.23 Sean (X,Ω) Hausdorﬀ compacto y µ : B(X) → [0,∞] una medida de Borel regular. Asumamos que µ(X) = 1. Demuestre que existe un conjunto compacto K ⊂ X tal que µ(K) = 1 pero µ(H) < 1 para todo subconjunto compacto H estrictamente contenido en K a.

aEl conjunto K suele llamarse portador o soporte de la medida µ.

Ejercicio 1.24 Este ejercicio muestra que las medidas µ0 y µ1 en el Teorema de representacion´ de Riesz 1.3 no necesitan ser iguales. Considere R2 dotado con la metrica´ ρ : R2 × R2 → [0,∞) dada por ( | − | y1 y2 , si x1 = x2, ρ((x1,y1),(x2,y2)) = | − | 1 + y1 y2 , si x1 , x2,

y B(R2) ⊆ P(R2) la σ-algebra´ de Borel de (R2,ρ). Muestre que:

(a)( R2,ρ) es localmente compacto. ∈ 2 ⊂ ⊂ (b) Si f Cc(R ) entonces existe un conjunto ﬁnito Sf R tal que supp(f ) × { } × 2 Sf R. Sugerencia: Muestre que el conjunto x R es abierto en (R ,ρ) 2 [ para cada x ∈ R. Use este hecho junto con la identidad R = {x} × R y la x R ∈ Cap´ıtulo1. Funcionales lineales positivos y medidas regulares 37

∈ compacidad de supp(f ) para deducir que existen x1,...,xn R tales que [n { } Sf = xj . j=1

2 → (c) Deﬁnina el funcional lineal positivo Λ : Cc(R ) R por Z n Z X ∞ X ∞ Λ(f ) := f (x,y)dy = f (xj,y)dy. x S j=1 ∈ f −∞ −∞

Sea µ : B(R2) → [0,∞] la medida de Borel asociada con este funcional v´ıa el Teorema de Representacion´ de Riesz, i.e., Z ∈ 2 f (x,y)dµ(x,y) = Λ(f ), para toda f Cc(R ), R2 entonces 2 µ({(u,v)}) = 0, para todo (u,v) ∈ R .

(d) Sea E = R × {0}, veriﬁque que E es cerrado. Si µ es regular interior, entonces µ(E) = 0. Si µ es regular exterior, entonces µ(E) = ∞.

Ejercicio 1.25 Este ejercicio muestra que la hipotesis´ “ser una medida de Borel” no puede ser removida de la parte (II) del Teorema 1.6. Sea (X,Ω) el espacio topologico´ deﬁnido por X := N ∪ {∞} y

Ω := {U ⊆ X : U ⊆ N o card(X \ U) < ∞}, ∞ es decir, (X,Ω) es la compactiﬁcacion´ de Alexandroﬀ de N por el punto x0 = . Demuestre que:

(a) Si ∞ ∈ U entonces la condicion´ card(X \ U) < ∞ es equivalente a la compacidad de X \ U.

(b)( X,Ω) es Hausdorﬀ, compacto y todo subconjunto de X es σ-compacto. Ademas,´ B(X) = P(X).

(c) Considere la medida de contar µ : P(X) → [0,∞] dada por µ(A) = card(A), para todo A ∈ P(X). La medida µ no es de Borel, es regular interior pero no es regular exterior.

Ejercicio 1.26 Pushforward de una medidaa: Sean (X,A ,µ) un espacio de medida, Y un conjunto y φ : X → Y una funcion.´ El pushforward de A es la σ- algebra´ deﬁnida por

1 φ A := {B ⊆ Y : φ− (B) ∈ A } ⊆ P(Y ), ∗ 38 Y. Quintana

y el pushforward de la medida µ es deﬁnido como la funcion´ conjuntista φ µ : φ A → [0,∞] dada por ∗ ∗ 1 φ µ(B) := µ(φ− (B)), para todo B ∈ φ A . ∗ ∗ Demuestre que:

(a)( Y ,φ A ,φ µ) es un espacio de medida. ∗ ∗ (b) Dadas (X,A ∗,µ∗) y (Y,(φ A )∗,(φ µ)∗) las completaciones de los espacios de medida (X,A ,µ) y (Y ,φ∗ A ,φ ∗µ), respectivamente. Entonces, ∗ ∗ 1 (φ µ)∗)(E) = µ∗(φ− (E)), para todo E ∈ (φ A )∗ ⊆ φ A ∗. ∗ ∗ ∗

Deduzca que (Y,(φ A )∗,(φ µ)∗) es completo si (X,A ,µ) es completo. ∗ ∗ (c) Encuentre un ejemplo en donde (φ A )∗ φ A ∗ ∗ ∗ aEl pushforward de una medida µ tambien´ es conocido con el nombre de medida imagen de µ.Basicamente´ el procedimiento detras´ de la deﬁnicion´ del pushforward de una σ-algebra´ y de una medida permite transferir la estructura de espacio de medida de (X,A ,µ) al conjunto Y a traves´ de la funcion´ φ : X Y . →

Ejercicio 1.27 Sean (X,τX), (Y ,τY ) dos espacios Hausdorﬀ localmente compactos y B(X), B(Y ) sus respectivas σ-algebras´ de Borel. Dadas φ : X → Y una → ∞ funcion´ continua y µX : B(X) [0, ] una medida. Usando las deﬁniciones dadas en el ver Ejercicio 1.26 demuestre que

(a) B(Y ) ⊆ φ B(X). ∗

(b) Si µX es regular interior, entonces φ µX es regular interior. ∗ B(Y )

Ejercicio 1.28 (♣) Sea X un espacio Hausdorﬀ localmente compacto. Dados ⊂ ⊂ ∪ ··· ∪ U1,...,Un X abiertos y K U1 Un compacto. Demuestre que existen → funciones continuas f1,...,fn : X R con soporte compacto, tales que

Xn ≥ ≤ ⊂ fj 0, fj 1, supp fj Uj, j=1

Xn ∈ para todo j = 1,...,n y fj(x) = 1 para todo x K. Es decir, las funciones fj j=1 forman una particion´ de la unidad.

Ejercicio 1.29 Sea X un espacio Hausdorﬀ localmente compacto. Demuestre que Cap´ıtulo1. Funcionales lineales positivos y medidas regulares 39

(a) Si X es segundo numerable, entonces todo subconjunto abierto de X es σ-compacto.

(b) Si cualquier subconjunto abierto de X es σ-compacto, entonces X es primer numerable.

Ejercicio 1.30 Sea (X,A ,µ) un espacio de medida. Una medida signada λ en (X,A ) es una funcion´ conjuntista λ : A → R que es σ-aditiva, es decir, para { } ⊂ cualquier sucesion´ En n N A de subconjuntos disjuntos dos a dos se satisface ∈   X∞ [∞  X∞ |λ(E )| < ∞, y λ E  = λ(E ). n  n n n=1 n=1 n=1

Denotaremos por S = S (X,A ) al conjunto de todas las medidas signadas en (X,A ). Demuestre que:

(a) S dotado con la norma k · k : S → [0,∞) dada por

kλk := |λ|(X), para cada λ ∈ S ,

es un espacio de Banach.

(b) Si f ∈ L1(X,µ) y deﬁnimos Z ∈ µf (E) = f (x)dµ(x), para cada E A , E ∈ entonces µf S .

es una isometr´ıa o embebimiento isometrico´ de L1(X,µ) en S . Y por lo tanto, S contiene un subespacio cerrado isometricamente´ isomorfo a L1(X,µ) a.

aDebido a la identiﬁcacion´ entre espacios isometricamente´ isomorfos, algunos autores sim- plemente dicen que L1(X,µ) es un subespacio cerrado de S .

Ejercicio 1.31 (♣) Sea (X,Ω) un espacio Hausdorﬀ compacto para el cual todo subconjunto abierto es σ-compacto. Denotemos por B(X) ⊆ P(X) su σ-algebra´ de Borel y por C(X) = Cc(X) al espacio de todas las funciones continuas a valores reales sobre X. Demuestre que 40 Y. Quintana

(a) C(X) dotado con la norma del supremo k · k : C(X) → [0,∞) dada por

kf k := sup|f (x)|, para cada f ∈ C(X), x X ∈ es un espacio de Banach.

(b) Si S = S (X,B(X)) el espacio de las medidas de Borel signadas como en ∈ → el Ejercicio 1.30 y para λ S deﬁmos el funcional lineal Λλ : C(X) R por Z Λλ(f ) := f (x)dλ(x), X k k k k entonces Λλ = λ . Sugerencia: Use el Teorema de descomposicion´ de Hahn y el hecho de que cualquier medida de Borel sobre X es regular por el Teorema 1.6.

(c) Cualquier funcional lineal acotado sobre C(X) es la diferencia de dos funcionales lineales positivos. Sugerencia: Para f ∈ C(X) tal que f ≥ 0 demuestre que

Λ+(f ) := sup{Λ(hf ): h ∈ C(X),0 ≤ h ≤ 1} = sup{Λ(g): g ∈ C(X),0 ≤ g ≤ f }. (1.22)

Es claro que

sup{Λ(hf ): h ∈ C(X),0 ≤ h ≤ 1} ≤ sup{Λ(g): g ∈ C(X),0 ≤ g ≤ f }.

Para demostrar la desigualdad contraria, muestre que para toda g ∈ C(X) con 0 ≤ g ≤ f y todo ε > 0 existe h ∈ C(X) tal que 0 ≤ h ≤ 1 y Λ(g − hf ) < ε. Es decir, encuentre una funcion´ φ ∈ C(X) tal que 0 ≤ φ ≤ 1.

( ≤ ε 0, si f (x) 2 Λ , φ(x) = ≥ kε k 1, si f (x) Λ , k k φg y luego deﬁna h := f . Una vez la igualdad (1.22) este´ establecida, demuestre que Λ+(f ) se extiende a un funcional lineal positivo sobre C(X).

(d) Denotemos por C∗(X) el espacio de todos los funcionales lineales y acotados sobre C(X). La aplicacion´ Ψ : S → C∗(X) dada por ∈ Ψ (λ) = Λλ, para cada λ S ,

es biyectiva. Sugerencia: use el Teorema de representacion´ de Riesz 1.3. Cap´ıtulo1. Funcionales lineales positivos y medidas regulares 41 1.5 Aproximacion´ de funciones medibles por funciones continuas

Para ﬁnalizar el cap´ıtulo1, en esta secci on´ nos ocuparemos de dos resultados sobre aproximaxion´ de funciones: El teorema de densidad de las funciones continuas con soporte compacto en Lp(X,µ), 1 ≤ p < ∞, y el teorema de Luzin sobre aproximacion´ de funciones medibles por funciones continuas. Nuestro objetivo sera´ enunciar y demostrar ambos resultados.

p ≤ ∞ 1.5.1 Densidad de Cc(X) en L (X,µ), 1 p <

Teorema 1.7 Sean (X,τ) Hausdorﬀ localmente compacto, B(X) su σ-algebra´ → ∞ ≤ ∞ de Borel, µ : B(X) [0, ] regular, y 1 p < . Entonces Cc(X) es denso en Lp(X,µ).

Demostracion.´ Seguiremos los enfoques de las referencias [2, 13]. p ∈ Paso 1: Veriﬁquemos que Cc(X) es un subconjunto de L (X,µ). En efecto, si f Cc(X) entonces f es acotada y Z k kp | |p ≤ k kp f Lp(X,µ) = f (x) dµ(x) µ(supp(f )) f . X ∞ Paso 2: Sea S el conjunto de las funciones simples que se anulan fuera de conjuntos de medida cero. Un razonamiento similar al usado en la demostracion´ del Theorem 4.7 (ver Real Analysis: Chapter 4, Prof. W. Urbina, [14]), nos permite mostrar que S es denso en Lp(X,µ). ∈ ∞ Paso 3: Densidad de Cc(X) en S: Sean E B(X) tal que µ(E) < y ε > 0, conve- ε p nientemente tomaremos δ = 2 . Usando que µ es regular, encontramos K compacto y U abierto tales que K ⊂ E ⊂ U, µ(K) > µ(E) − δ y µ(U) < µ(E) + δ. ∈ ≤ ≤ Luego, aplicando el Lema de Urysohn, encontramos g Cc(X) con 0 g 1 tal ≤ ⊂ que χK g y supp(g) U. Entonces k − kp k − − kp g χE Lp(X,µ) = (g χK ) + (χK χE) Lp(X,µ) ≤ k − kp k − kp g χK Lp(X,µ) + χK χE Lp(X,µ) 1 1 1 = (µ(U \ K)) p + (µ(E \ K)) p < 2(δ) p = ε.

p ∈ p Paso 4: Densidad de Cc(X) en L (X,µ): Finalmente, sea h L (X,µ) por el Paso 2 existe s ∈ S tal que p ε kh − sk < , Lp(X,µ) 2 ∈ ahora por el Paso 3 para la funcion´ simple s podemos encontrar g Cc(X) tal que p ε ks − gk < , Lp(X,µ) 2 42 Y. Quintana por lo tanto, k − kp k − − kp h g Lp(X,µ) = (h s) + (s g) Lp(X,µ) p p ε ε ≤ kh − sk + ks − gk < + = ε. Lp(X,µ) Lp(X,µ) 2 2

1.5.2 El teorema de Luzin

Teorema 1.8 (Teorema de Luzin) Consideremos (X,τ) un espacio Hausdorﬀ localmente compacto, B(X) su σ-algebra´ de Borel, µ : B(X) → [0,∞] una medida de Borel regular interior sobre X, una funcion´ medible Borel f : X → R y un subconjunto E ∈ B(X) tal que µ(E) < ∞. Para cualquier ε > 0 existe un ⊂ \ | compacto K E tal que µ(E K) < ε y f K es continua.

Demostracion.´ Seguiremos los enfoques de las referencias [2, 13]. ∈ ∞ { } Sean E B(X) tal que µ(E) < y ε > 0. Consideremos In n N una sucesion´ de ∈ todos los intervalos abiertos con extremos racionales. Para cada n ∈ N la regularidad ⊂ ⊂ interior de µ implica la existencia de conjuntos compactos Cn,Dn E tales que Cn 1 ⊂ 1 \ f − (In) y Dn f − (R In), y ε µ(E \ (C ∪ D )) < . n n 2n Veremos que el conjunto \ ∪ K := (Cn Dn) n N ∈ satisface los requerimientos del Teorema. Es claro que K es compacto, y tambien´ que X \ ≤ \ ∪ µ(E K) µ(E (Cn Dn)) < ε. n N ∈ ∈ ∈ Por otro lado, si x K y V es un entorno abierto de f (x), entonces existe n0 N ∈ ⊂ tal que x In0 V . Entonces el conjunto ∩ \ ∩ W = Cn0 K = (X Dn0 ) K ⊂ ⊂ | es un entorno abierto de x en K y f (W ) In0 V . Por lo tanto f K es continua en cada x ∈ K. Cap´ıtulo1. Funcionales lineales positivos y medidas regulares 43

(1) El enunciado original del teorema demostrado por Luzin es el siguiente:

Sea f1(x),f2(x),...,fn(x),... una sucesion´ de funciones medibles que suponemos convergente y tiende a una funcion-l´ ´ımite f (x) para x en el intervalo 0 x 1, excepto quizas´ en los puntos ≤ ≤ de un conjunto de medida cero. Segun´ un importante teorema del Sr. Egoroﬀ (Comptes rendus, 30 de enero de 1911), existe un conjunto P perfecto y no denso con las siguientes propiedades:

1) La sucesion´ f1,f2,...,fn,... converge uniformemente a f en este conjunto P . 2) La medida de P es mayor que 1 ε,(ε > 0 tan pequeno˜ como se quiera). − Suponiendo que fn(x) es un polinomio (n = 1,2,3, ldots) obtendremos el siguiente resultado: si f (x) es una funcion´ deﬁnida en el intervalo 0 leqx 1 de clase 1 (segun´ el Sr. Baire), entonces ≤ en este intervalo existe un subconjunto perfecto y no denso P con las propiedades: 1) La funcion´ f (x) es continua en P (f es continua). |P 2) La medida de P es mayor que 1 ε,(ε > 0 tan pequeno˜ como se quiera). − La medida a la que hace referencia Luzin, es por supuesto la medida de Lebesgue en R, al igual que la nocion´ de funciones medibles es en el sentido Lebesgue.

(2) El enunciado usual del Teorema de Luzin (para la medida de Lebesgue) en muchos libros de texto es el siguiente (ver Ejercicio 1.33):

Sea f :[a,b] R una funcion´ medible (Lebesgue). Entonces para cualquier ε > 0 existe un → conjunto compacto K [a,b] tal que f es continua y µ(K) > b a ε. ⊆ |K − − (3) La version´ del Teorema 1.8 para funciones f : X C fue estudiada en Theorem 4.8 (ver → Real Analysis: Chapter 4, Prof. W. Urbina, [14]).

Concluiremos esta seccion´ con algunos datos biograﬁcos´ sobre Luzin.

Nikolai Nikolaevich Luzin Nikolai Nikolaevich Luzin (este apellido algunas veces tambien´ es escrito como Lusin) (1883-1950) fue un matematico´ sovietico´ conocido por su trabajo en Teor´ıa Descrip- tiva de Conjuntos y aspectos del Analisis´ Matematico´ con fuertes conexiones con Topolog´ıa General. En 1912 Luzin viaja de Gottingen¨ a Paris, donde permanece hasta 1914. Durante este periodo publica una serie de papers, entre los cuales aparece el siguiente:

N. Lusin, Sur les propriet´ es´ des fonctions mesurables, Comptes Rendus Heb- domadaires des Seances´ de l’Academie´ des Sciences 154 (1912), 1688-1690. Disponible en: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31070/f1.item.r=Lusin

Este paper contiene la demostracion´ original del Teorema de Luzin, dando respuesta a la formulacion´ informal hecha por J. E. Littlewood: “cualquier funcion´ medible es casi una funcion´ continua”. 44 Y. Quintana

El contenido de estas contribuciones de Luzin durante el periodo 1912-1914 (salvo una), ser´ıa luego incorpo- rado a su tesis doctoral The Integral and Trigonometric Series (1915) dirigida por Dmitri F. Egoroﬀ.

En la decada´ de los anos˜ 20 del siglo pasado, Luzin organizo´ un famoso seminario de investigacion´ en Moscow State University. Entre sus estudiantes doctorales se cuentan algunos de los mas´ famosos matematicos´ sovieticos:´ Pavel Aleksandrov, Nina Bari, Aleksandr Khinchin, Andrey Kolmogorov, Alexander Kronrod, Mikhail Lavrentyev, Alexey Lyapunov, Lazar Lyusternik, Piotr Novikov,´ Lev Schnirelmann y Pavel Urysohn. Para mayor informacion´ con conexiones historicas´ sobre el trabajo de Luzin, consulte:

E. R. Phillips, Nicolai Nicolaevich Luzin and the Moscow school of the theory of functions, Historia Math. 5 (3) (1978), 275-305.

1.6 Ejercicios propuestos

n Ejercicio 1.32 Utilice los resultados de la Clase # 3 para demostrar que Cc(R ) es denso en Lp(Rn), 1 ≤ p < ∞. Deduzca entonces que p ≤ ∞ (a) Cc(R) es denso en L (R), 1 p < . (b) C[a,b] es denso en Lp[a,b], 1 ≤ p < ∞. p ≤ ∞ (c) Cc((a,b)) es denso en L [a,b], 1 p < . En particular, cualquier funcion´ en Lp[a,b] puede ser aproximada por funciones continuas f en [a,b] para ∈ las cuales f (a) = f (b). Sugerencia: Note que f Cc((a,b)), si y solo´ si, f es continua en [a,b] y se anula cerca de los puntos a y b.

Ejercicio 1.33 Demuestre que el siguiente enunciado es equivalente a la primera parte del enunciado dado por Luzin en 1912a: Sea f : [0,1] → R una funcion´ medible (Lebesgue). Entonces para cualquier ε > 0 existe un conjunto ⊆ | − compacto K [0,1] tal que f K es continua y µ(K) > 1 ε. Cap´ıtulo1. Funcionales lineales positivos y medidas regulares 45

aVer segundo inciso de las observaciones al ﬁnal de la demostracion´ del Teorema 1.8.

Ejercicio 1.34 Sean (X,τ) Hausdorﬀ localmente compacto y µ : B(X) → [0,∞] medida regular. Muestre que:

(a) Dados E ∈ B(X) con µ(E) < ∞ y ε > 0 existen K compacto y U ∈ τ con K ⊂ E ⊂ U y µ(U \ K) < ε.

(b) Para E,K y U como en (a), se tiene que µ(X\(K∪U c)) < ε y la restriccion´ de ∪ c la funcion´ caracter´ıstica χE al conjunto K U es una funcion´ continua. Xn ∞ (c) Sea s = ajχEj una funcion´ simple con µ(Ej) < para cada j = 1,...,n, j=1 ⊆ | \ entonces existe A X cerrado tal que s A es continua y µ(X A) < ε.

Ejercicio 1.35 Sean (X,τ) Hausdorﬀ localmente compacto, µ : B(X) → [0,∞] medida regular. Muestre que f : X → R es una funcion´ B(X)-medible, si y ⊆ | solo´ si, para cualquier ε > 0 existe A X cerrado tal que f A es continua y µ(X \ A) < ε.

Ejercicio 1.36 Demuestre el siguiente corolario del Teorema de Luzin: Sean (X,τ) Hausdorff localmente compacto, B(X) su σ-algebra´ de Borel, µ : B(X) → [0,∞] una medida de Borel regular sobre X, una funcion´ medible Borel f : X → ∈ ∞ | ≡ R y un subconjunto E B(X) tal que µ(E) < y f X E 0. Para cualquier ε > 0 ∈ ∈ \ ∈ \ existen g Cc(X) y A B(X) tales que µ(A) < ε, f (x) = g(x) para cada x X A y kgk ≤ kf k . Sugerencia: Considere primero el caso en que f es acotada: en- ∞ ∈ 1∞ { } tonces f L (X,µ), aplique el Teorema 1.7 para encontrar una sucesion´ gn nN k − k en Cc(X) tal que lim f gn L1(X,µ) = 0. Use convenientemente el Teorema de n →∞ | Egoroff y la regularidad de µ para encontrar un compacto K tal que f K es continua en K. Aplique el Teorema de extension´ de Tietze. Si f es no aco- { ∈ | | ≥ } { } tada considere los conjuntos Gn = x X : f (x) n . Muestre que Gn N es una sucesion´ creciente de subconjuntos de X de medida finita con interseccion´ ∈ vac´ıa, por eso lim µ(Gn) = 0. Use este hecho, para encontrar un n N tal que f n →∞\ ε · sea acotada en X Gn con µ(Gn) < 2 . La funcion´ f χX Gn es acotada. \ 2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades

2.1 Medidas complejas 46

2.2 Ejercicios propuestos 54

2.3 Teorema de Radon-Nikodym y Teorema de descomposicion´ de Lebesgue 57

2.4 Ejercicios propuestos 78

2.5 Teorema de Radon-Nikodym versus dualidad de los espacios Lp 81

2.6 Ejercicios propuestos 94

2.7 Conceptos de convergencia en Teor´ıa de la Medida y su interrelacion´ 97 2.7.1 Equicontinuidad para familias de medidas 2.7.2 Caracterizacion´ de la convergencia en Lp

2.8 Ejercicios propuestos 113

2.9 Teorema de representacion´ de Riesz para funcionales lineales continuos 115

2.10 Ejercicios propuestos 122

Nuestro proposito´ sera´ examinar los Teoremas de Radon-Nikodym y de descomposicion´ de Lebesgue (incluyendo algunas de las versiones debiles´ de este).´ En este cap´ıtulo empezaremos introduciendo la nocion´ de medidas complejas y sus propiedades.

2.1 Medidas complejas

Deﬁnicion´ 2.1 Sea (X,A ) un espacio medible. Una funcion´ conjuntista µ : A → C es una medida compleja si es σ-aditiva, es decir, para cualquier { } ⊂ sucesion´ En n N A de subconjuntos disjuntos dos a dos se satisface ∈   X∞ [∞  X∞ µ(E ) < ∞, y µ E  = µ(E ). n  n n n=1 n=1 n=1

El triple (X,A ,µ) se llama espacio de medida compleja.

46 Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 47

(1) Es claro que µ( ) = 0, y al tomar µ valores complejos tenemos que para cada E A : ∅ ∈ µ(E) = Re(µ)(E) + iIm(µ)(E),

donde Re(µ),Im(µ) : A R son medidas signadas (ver Ejercicio 1.30). → X∞ (2) La convergencia de la serie µ(En) es ahora parte de los requisitos de la deﬁnicion´ 2.1 (a n=1 diferencia de lo requerido para medidas positivas, donde la serie pod´ıa ser o no convergente).

[∞ (3) Ya que la union´ En no cambia si se permutan los sub´ındices, toda reordenacion´ de la serie n=1 X∞ X∞ µ(En) debe ser convergente, por lo tanto la serie µ(En) es absolutamente convergente. n=1 n=1 (4) Las medidas positivas que hasta ahora hemos estudiado no constituyen un caso particular de medidas complejas, excepto en el caso de medidas positivas ﬁnitas.

No nos detendremos enunciando algunas propiedades que ya conocemos para medidas para medidas positivas. No obstante, si recordaremos que propiedades como la siguiente A,B ∈ A ,A ⊂ B =⇒ µ(A) ≤ µ(B), carecen de sentido ya que en C no tenemos establecido un orden. De hecho, incluso en el caso real puede ocurrir que (ver Ejercicio 2.2)

µ(A) = −µ(B \ A) , 0, µ(B) = 0. Luego, de A,B ∈ A ,A ⊂ B y µ(B) = 0, no se puede concluir que µ(A) ≤ µ(B). → ∞ Ejemplo 2.1 Sean (X,A ) un espacio medible y µj : A [0, ] medidas positivas y ﬁnitas sobre A , j = 1,2,3,4, entonces la funcion´ conjuntista µ : A → C dada por − − ∈ µ(E) = (µ1(E) µ2(E)) + i (µ3(E) µ4(E)), para todo E A ,

es una medida compleja (ver Ejercicio 2.4).

Sea (X,A ) un espacio medible. Si E ∈ A denotaremos por J (E) a la familia de { } ⊂ todas las sucesiones En n N A de subconjuntos disjuntos dos a dos tales que ∈ [∞ E = En. n=1

Es decir,    [  { } ⊂ ∩ ∅ ∞  J (E) =  En n N A : En Em = , n , m, y E = En.  ∈   n=1  48 Y. Quintana

Por la deﬁnicion´ 2.1 para cada E ∈ A tenemos que

X | | ≤ ∞ | | { } ∈ µ(E) µ(En) , para toda sucesion´ En n N J (E). ∈ n=1 Luego,   X  | | ≤  ∞ | | { } ∈  µ(E) sup µ(En) : En n N J (E).  ∈  n=1  As´ı, tiene sentido que consideremos el siguiente problema:

Problema 1-C4: Determinar una medida positiva λ : A → [0,∞] tal que

(i) |µ(E)| ≤ λ(E), para todo E ∈ A .

(ii) Si ν : A → [0,∞] es una medida positiva que satisface (I) entonces λ(E) ≤ ν(E), para todo E ∈ A .

Deﬁnicion´ 2.2 Para (X,A ,µ) espacio de medida compleja, llamaremos variacion´ de µ a la funcion´ conjuntista |µ| : A → [0,∞] dada por   X  | |  ∞ | | { } ∈  ∈ µ (E) := sup µ(En) : En n N J (E), para todo E A . (2.1)  ∈  n=1 

De la deﬁnicion´ de la variacion´ de µ se desprenden los siguientes hechos:

(I) |µ(E)| ≤ |µ|(E), para todo E ∈ A . Esta desigualdad puede ser estricta (ver Ejer- cicio 2.4).

(II) Si mostramos que la variacion´ de µ es una medida positiva sobre A que satisface la condicion´ (II) del Problema 1-C4, habremos resuelto dicho problema.

Teorema 2.1 Sea (X,A ,µ) un espacio de medida compleja, entonces la funcion´ conjuntista |µ| : A → [0,∞] es una medida positiva sobre A .

Demostracion.´ Seguiremos los enfoques de las referencias [2,4,5,8, 11, 13]. Como µ(∅) = 0 entonces |µ|(∅) = 0. As´ı que nuestro problema se reduce a demostrar que |µ| es σ-aditiva. ∈ { } ∈ ∈ { } ∈ Sean E A y En n N J (E). Para cada n N consideremos Enm m N J (En), entonces ∈ ∈ [ [ ∞ ∞ ∈ E = En y En = Enm para cada n N. n=1 m=1 Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 49

Luego, por la deﬁnicion´ de |µ| tenemos que

X X X | | ≥ ∞ | | ∞ ∞ | | µ (E) µ(En) = µ(Enm) . n=1 n=1 m=1 { } Como Enm m N ha sido tomada arbitrariamente en J (En), al tomar supremo sobre ∈ J (En) obtenemos   X X  | | { } ∈ ≥  ∞ ∞ | | { } ∈  sup µ (E): Enm m N J (En) sup µ(Enm) : Enm m N J (En), ∈  ∈  n=1 m=1  pero | | | | { } ∈ µ (E) = sup µ (E): Enm m N J (En) , ∈ as´ı que   X X  | | ≥  ∞ ∞ | | { } ∈  µ (E) sup µ(Enm) : Enm m N J (En).  ∈  n=1 m=1  Por otro lado,     X X  X X   ∞ ∞ | | { } ∈  ≥ ∞  ∞ | | { } ∈  sup µ(Enm) : Enm m N J (En) sup µ(Enm) : Enm m N J (En),  ∈   ∈  n=1 m=1  n=1 m=1  y por deﬁnicion´ de |µ|, para cada n ∈ N tenemos que   X  | |  ∞ | | { } ∈  µ (En) = sup µ(Enm) : Enm m N J (En).  ∈  m=1  Luego,   X X  X | | ≥  ∞ ∞ | | { } ∈  ≥ ∞ | | µ (E) sup µ(Enm) : Enm m N J (En) µ (En).  ∈  n=1 m=1  n=1 Por lo tanto, X | | ≥ ∞ | | µ (E) µ (En). (2.2) n=1 Para demostrar la desigualdad inversa a (2.2) consideremos una sucesion´ arbi- { } ∈ traria Bm m N J (E) y deﬁnamos los conjuntos ∈ ∩ ∈ Bnm := En Bm, para todo n,m N.

Es claro que:

X ∈ ⇒ { } ∈ ⇒ ∞ ∩ n0 N ﬁjado = Bn0m m N J (En0 ) = µ(En0 ) = µ(En0 Bm), ∈ m=1 50 Y. Quintana

y X ∈ ⇒ { } ∈ ⇒ ∞ ∩ m0 N ﬁjado = Bnm0 n N J (Bm0 ) = µ(Bm0 ) = µ(En Bm0 ). ∈ n=1 Por lo tanto,

X∞ X∞ X∞ |µ(B )| = µ(E ∩ B ) m n m m=1 m=1 n=1 X X X X ≤ ∞ ∞ | ∩ | ∞ ∞ | ∩ | µ(En Bm) = µ(En Bm) , m=1 n=1 n=1 m=1 y por deﬁnicion´ de |µ|: X X ∞ | ∩ | ∞ | | ≤| | µ(En Bm) = µ(Bnm) µ (En), m=1 m=1 entonces X X ∞ | | ≤ ∞ | | µ(Bm) µ (En). m=1 n=1 { } Como Bm m N ha sido tomada arbitrariamente en J (E), al tomar supremo sobre J (E) obtenemos∈

X | | ≤ ∞ | | µ (E) µ (En). (2.3) n=1 Finalmente, de (2.2) y (2.3) se deduce que |µ| es σ-aditiva.

Ademas´ de ser una medida (positiva) la variacion´ |µ| tiene la siguiente propiedad inesperada:

Teorema 2.2 Sea (X,A ,µ) un espacio de medida compleja, entonces |µ|(X) < ∞.

Demostracion.´ Ya que para todo E ∈ A tenemos que µ(E) = Re(µ)(E) + iIm(µ)(E), esencialmente cualquier propiedad de µ puede ser deﬁnida y examinada a partir de las propiedades de las medidas signadas Re(µ) e Im(µ)(E). Como para todo E ∈ A tenemos que |µ(E)| ≤ |Re(µ)(E)| + |Im(µ)(E)|, entonces X X X ∞ | | ≤ ∞ | | ∞ | | { } ∈ µ(En) Re(µ)(En) + Im(µ)(En) , para toda En n N J (E), ∈ n=1 n=1 n=1 luego al tomar supremo sobre J (E) obtenemos |µ|(E) ≤ |Re(µ)|(E) + |Im(µ)|(E), para todo E ∈ A . Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 51

De manera que podemos reducir nuestro problema a mostrar que las medidas |Re(µ)|,|Im(µ)| : A → [0,∞] son ﬁnitas. Supongamos que existe E ∈ A tal que |Re(µ)|(E) = ∞, entonces para cada M ∈ ∞ { (M)} ∈ (0, ), existe En n N J (E) tal que ∈

X∞ (M) Re(µ) E > M. n n=1

En particular, para M = 2(1 + |Re(µ)(E)|) > 0 y N ∈ N tenemos que

N X (M) X∞ (M) Re(µ) E + Re(µ) E >M. n n n=1 n=N+1 Luego, N X (M) Re(µ) E > 2(1 + |Re(µ)(E)|), n n=1 de esta ultima´ desigualdad se deduce que existe un conjunto ﬁnito de ´ındices 1 ≤ ··· ≤ j1 < j2 < < jm N tal que

m X (M) Re(µ) E > 1 + |Re(µ)(E)|. (2.4) js s=1

m [ (M) Deﬁnamos A := E , entonces A ⊂ E y de (2.4) se deduce que |Re(µ)(A)| > 1. js s=1 Tomando B := E \ A, obtenemos

|Re(µ)(B)| = |Re(µ)(E) − Re(µ)(A)| ≥ ||Re(µ)(A)| − |Re(µ)(E)|| ≥ 1.

Como |Re(µ)| es una medida, debemos tener que

|Re(µ)|(E) = |Re(µ)|(A) + |Re(µ)|(B), pero |Re(µ)|(E) = ∞, por lo tanto: |Re(µ)|(A) = ∞, o |Re(µ)|(B) = ∞, o |Re(µ)|(A) = |Re(µ)|(B) = ∞. En conclusion,´ hemos demostrado que si |Re(µ)|(E) = ∞, entonces existen A,B ∈ A tales que E = A ∪ B, A ∩ B = ∅, y

|Re(µ)(A)| > 1, |Re(µ)(B)| = ∞. | | ∞ Con este resultado en mente, supongamos ahora que Re(µ)(X) = . Tomemos B0 := ∈ ∪ | | X, entonces existen A1,B1 A disjuntos, tales que B0 = A1 B1 con Re(µ)(A1) > 1 | | ∞ | | ∞ ∈ y Re(µ)(B1) = . Otra vez, como Re(µ)(B1) = , entonces existen A2,B2 A ∪ | | | | ∞ disjuntos, tales que B1 = A2 B2 con Re(µ)(A2) > 1 y Re(µ)(B2) = . Iterando este { } ⊂ proceso podemos conseguir una sucesion´ de conjuntos disjuntos An n N A tales que ∈ | | ∈ Re(µ)(An) > 1, para todo n N. 52 Y. Quintana

[∞ Si C = An, por la σ- aditividad de Re(µ) obtenemos n=1

X∞ Re(µ)(C) = Re(µ)(An). n=1

X∞ Ahora bien, la serie Re(µ)(An) no es convergente, ya que necesariamente n=1 | | lim Re(µ)(An) , 0, pues lim Re(µ)(An) > 1. n n →∞ →∞

X∞ La contradiccion´ en la convergencia de la serie Re(µ)(An) se desprende de haber n=1 supuesto que |Re(µ)|(X) = ∞. Por lo tanto, |Re(µ)|(X) < ∞. Usando un razonamiento similar podemos mostrar que |Im(µ)|(X) < ∞, y como |µ|(X) ≤ |Re(µ)|(X) + |Im(µ)|(X) podemos ﬁnalmente deducir que |µ(X)| < ∞.

El Teorema 2.2 nos permite introducuir la siguiente deﬁnicion.´

Deﬁnicion´ 2.3 Para (X,A ,µ) espacio de medida compleja, llamaremos variacion´ total de µ al numero´ no negativo |µ|(X)

Un hecho inmediato que se desprende de la deﬁnicion´ 2.2 y los Teoremas 2.1y 2.2 es el siguiente: Dado (X,A ,µ) un espacio de medida compleja, para todo E ∈ A se tiene que

|µ(E)| ≤ |µ|(E) ≤ |µ|(X) < ∞, por lo tanto, el conjunto

{µ(E): E ∈ A } es un conjunto acotado en C, de hecho, {µ(E): E ∈ A } ⊆ D(0,|µ|(X)), donde D(0,|µ|(X)) = {z ∈ C : |z| ≤ |µ|(X)} es el disco cerrado centrado en el origen y de radio |µ|(X). Esta propiedad se expresa a veces diciendo que µ es de variacion´ acotada.

Teorema 2.3 Sean (X,A ,µ) un espacio de medida compleja y |µ| la variacion´ de µ, entonces |µ| es la solucion´ del Problema 1-C4. Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 53

Demostracion.´ Ya hemos visto por la deﬁnicion´ 2.2 y los Teoremas 2.1y 2.2 que |µ| es una medida positiva y ﬁnita sobre A que satisface

|µ(E)| ≤ |µ|(E), para todo E ∈ A .

Es decir, la medida |µ| satisface la condicion´ (I) del Problema 1-C4. As´ı que para mostrar que |µ| es la solucion´ del Problema 1-C4, solo´ debemos veriﬁcar que se satisface la propiedad de minimalidad (II) expresada en el referido problema. Asumamos entonces, que ν : A → [0,∞] es una medida tal que |µ(E)| ≤ ν(E) para todo E ∈ A . Si E ∈ A es tal que ν(E) = ∞, no hay nada que demostrar, as´ı que podemos ∞ { } ∈ | | ≤ suponer que ν(E) < . Consideremos En n N J (E), como µ(En) ν(En) para ∈ cada n ∈ N y ν es σ-aditiva, tenemos que   X∞ X∞ [∞  |µ(E )| ≤ ν(E ) = ν  E  = ν(E), n n  n n=1 n=1 n=1 por lo que X ∞ | | ≤ µ(En) ν(E). n=1 Luego, tomando supremo sobre J (E) obtenemos   X  | |  ∞ | | { } ∈  ≤ µ (E) = sup µ(En) : En n N J (E) ν(E).  ∈  n=1  As´ı que |µ|(E) ≤ ν(E) para todo E ∈ A , y por tanto, la medida |µ| es la solucion´ del Problema 1-C4.

Otro resultado importante que se desprende de la demostracion´ del Teorema 2.2 es el siguiente:

Corolario 2.1 Si µ : A → R es una medida signada, entonces las funciones + conjuntistas µ ,µ− : A → [0,∞) deﬁnidas por |µ|(E) + µ(E) µ+(E) := , 2 |µ|(E) − µ(E) µ (E) := , − 2 para todo E ∈ A , son medidas positivas y acotadas tales que

+ |µ| = µ + µ−, (2.5) + µ = µ − µ−. (2.6) 54 Y. Quintana

Demostracion.´ Ver Ejercicio 2.5.

+ Las medidas µ y µ− se suelen llamar parte positiva y parte negativa de µ, respectivamente. La descomposicion´ (2.8) del Corolario 2.1 se llama descomposicion´ de Jordan de la medida µ, y nos permite deducir la siguiente descomposicion´ para medidas complejas:

Si (X,A ,µ) un espacio de medida compleja, tomando la descomposicion´ de Jor- dan de las medidas Re(µ) y Im(µ), obtenemos que

+ + µ = (Re(µ)) − (Re(µ))− + i (Im(µ)) − (Im(µ))− ,

es decir, toda medida compleja sobre A puede descomponerse en la forma dada en el Ejemplo 2.1.

2.2 Ejercicios propuestos

Ejercicio 2.1 Sea (X,A ,µ) un espacio de medida compleja. Muestre que si A,B ∈ A y A ⊂ B, entonces µ(B \ A) = µ(B) − µ(A). Es decir, µ es aditiva.

Ejercicio 2.2 De´ un ejemplo de un espacio de medida real (X,A ,µ) para el cual existan conjuntos A,B ∈ A con A ⊂ B, µ(B) = 0, pero

µ(A) = −µ(B \ A) , 0.

→ ∞ Ejercicio 2.3 Sea (X,A ) espacio medible y µj : A [0, ] medidas positivas y ﬁnitas sobre A , j = 1,2,3,4. Demuestre que la funcion´ conjuntista µ : A → C dada por − − ∈ µ(E) = (µ1(E) µ2(E)) + i (µ3(E) µ4(E)), para todo E A ,

es una medida compleja.

Ejercicio 2.4 Sean X = {x,y} y µ : P(X) → C la medida compleja dada por   0, si E = ∅,   1, si E = {x}, µ(E) :=   −i, si E = {y},   1 − i, si E = X.

Determine las medidas Re(µ), Im(µ) y |µ|. Veriﬁque que |µ(X)| < |µ|(X). Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 55

Ejercicio 2.5 Demuestre que si µ : A → R es una medida signada, entonces las + funciones conjuntistas µ ,µ− : A → [0,∞) deﬁnidas por |µ|(E) + µ(E) µ+(E) := , 2 |µ|(E) − µ(E) µ (E) := , − 2 para todo E ∈ A , son medidas positivas y acotadas tales que

+ |µ| = µ + µ−, (2.7) + µ = µ − µ−. (2.8)

Sugerencia: Use un razonamiento similar al de la demostracion´ del Teorema 2.2.

Ejercicio 2.6 Sea A = P(N), para cada n ∈ N considere (−1)n µ({n}) := . n2 (a) Termine de deﬁnir µ de manera que µ : A → R sea una medida signada. + (b) Determine expl´ıcitamente el par (µ ,µ−) correspondiente a la descomposicion´ de Jordan de µ.

(c) ¿Podra´ hacerse lo mismo que en las partes (a) y (b) si para cada n ∈ N se considera (−1)n µ({n}) := ? n Justiﬁque su respuesta.

Ejercicio 2.7 Sea (X,A ,µ) un espacio de medida compleja. Si E ∈ A denotaremos por J 0(E) a la familia de todas las particiones ﬁnitas de E, esto es,    [  { } ⊂ ⊂ ∩ ∅ ∈  J 0(E) =  En n S A : S N es ﬁnito ,En Em = , n , m, n,m S, y E = En.  ∈   n S  ∈ Demuestre que

 n  X  |µ|(E) = sup |µ(E )| : {E ,...,E } ∈ J (E).  k 1 n 0  k=1  56 Y. Quintana

Ejercicio 2.8 Sean (X,A ,µ) un espacio de medida tal que µ : A → R es una + medida signada y (µ ,µ−) el par correspondiente a la descomposicion´ de Jordan de µ. Demuestre que para todo A ∈ A se tiene que

µ+(A) = sup{µ(E): E ∈ A y E ⊂ A},

µ−(A) = −inf{µ(E): E ∈ A y E ⊂ A}.

Ejercicio 2.9 Sea (X,A ,µ) un espacio de medida tal que µ(X) < ∞. Deﬁna

ρ(A,B) := µ(A \ B) + µ(B \ A), para todo A,B ∈ A ,

y considere la siguiente relacion´ sobre A : A ∼ B, si y solo´ si, ρ(A,B) = 0. De- muestre que

(a) ∼ es una relacion´ de equivalencia sobre A .

(b) Si A / denota el espacio cociente obtenido a partir de la relacion´ de ∼ ∼ × → equivalencia , entonces ρ induce una aplicacion´ ρ˜ : A / A / ∼ ∼ ∞ [0, ) tal que el par A / , ρ˜ es un espacio metrico´ completo. ∼ ∈ 1 → (c) Para cualquier f L (X,µ) la medida signada µf : A R dada por Z ∈ µf (E) = f (x)dµ(x), para todo E A , E → induce una funcion´ Ψ : A / R continua. ∼

Ejercicio 2.10 (♣) (Teorema de descomposicion´ de Hahn). Dada µ una medida signada sobre el espacio medible (X,A ). Demuestre que existe un conjunto A ∈ A tal que para cualquier E ∈ A se tiene que

(a) µ(E) ≥ 0, cuando E ⊂ A.

(b) µ(E) ≤ 0, cuando E ⊂ X \ A.

Si A0 ∈ A es otro conjunto con la misma propiedad, entonces para cualquier a E ∈ A se tiene µ(E) = 0 cuando E ⊂ A 4 A0 .

aLa particion´ X = A (X A) es llamada una descomposicion´ de Hahn de X con respecto a µ. ∪ \

Ejercicio 2.11 (♣) Sean (X,A ,µ) un espacio de medida tal que µ : A → R es + una medida signada y (µ ,µ−) el par correspondiente a la descomposicion´ de Jordan de µ. Demuestre que existen A,B ∈ A tales que Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 57

(a) X = A ∪ B y A ∩ B = ∅.

+ (b) Para todo E ∈ A , µ (E) = µ(E ∩ A) y µ−(E) = −µ(E ∩ B).

Ejercicio 2.12 (♣) ¿Que´ relacion´ existe entre los Ejercicios 2.10y 2.11? Justi- ﬁque su respuesta.

2.3 Teorema de Radon-Nikodym y Teorema de descomposicion´ de Lebesgue

El objetivo de esta seccion´ sera´ presentar y demostrar el Teorema de Radon-Nikodym, y luego utilizar este resultado para dar una demostracion´ del Teorema de descomposicion´ de Lebesgue. Mencionaremos algunas extensiones del Teorema de Radon- Nikodym y ﬁnalmente veremos dos consecuencias del Teorema de descomposicion´ de Lebesgue. Empecemos recordando el siguiente hecho:

Si (X,A ,µ) es un espacio de medida, toda funcion´ medible f : X → [0,∞] induce → ∞ una medida µf : A [0, ] dada por Z ∈ µf (E) = f (x)dµ(x), para todo E A . E Theorem 3.4. Real Analysis: Chapter 3, Prof. W. Urbina, [14].

La integral dada por µf (E) suele llamarse integral indeﬁnida de f en E, y la medida µf tiene dos propiedades inmediatas (ver Ejercicio 2.14):

Propiedad 1: µf (A) = 0 siempre que µ(A) = 0. Propiedad 2: Para g : X → [0,∞] medible: Z Z g(x)dµf (x)= g(x)f (x)dµ(x), X X y escribimos dµf = f dµ.

La Propiedad 1 de µf nos permite introducir la siguiente deﬁnicion:´

Deﬁnicion´ 2.4 Sea (X,A ,µ) es un espacio de medida. Una medida ν : A → [0,∞] es absolutamente continua con respecto a µ si

ν(A) = 0, siempre que µ(A) = 0,A ∈ A . 58 Y. Quintana

En tal caso, usaremos la notacion´ ν µ.

La deﬁnicion´ anterior y la Propiedad 2 de µf dan lugar al siguiente cuestiona- miento: Dados (X,A ,µ) un espacio de medida y ν : A → [0,∞] otra medida sobre A . ¿Existe una funcion´ medible f : X → [0,∞] tal que d ν = f dµ? Es claro que para que se cumpla d ν = f dµ, la condicion´ ν µ es necesaria. Sin embargo, en general ν µ no es una condicion´ suﬁciente. → ∞ → Por ejemplo, tomemos m : M [0, ] la medida de Lebesgue en R y µ0 : M ∞ ∈ [0, ] dada por µ0(A) = card(A), para todo A M. Entonces m µ0, pero para f : → [0,∞) dada por R   1 , x 0,  x2 , f (x) =    0, x = 0, se tiene que dm , f dµ0. Ver tambien´ Ejercicio 2.19.

Problema 2.1 Demuestre que no existe una funcion´ medible f : R → [0,∞) tal que Z ∈ m(E) = f (x)dµ0(x), para todo E M. E

Como veremos en esta seccion,´ el Teorema de Radon-Nikodym es el resultado que nos entregara´ la condicion´ suﬁciente para garantizar la existencia (y unicidad) de una funcion´ medible f : X → [0,∞] tal que d ν = f dµ. De la deﬁnicion´ 2.4 pueden deducirse algunas observaciones importantes:

(1) Para λ S = S (X,A ), consideremos su descomposicion´ de Jordan: ∈ + λ = λ λ−, − donde λ+,λ : A : [0, ). Ya que la deﬁnicion´ 1-C5 es valida´ para ν : A [0, ), (i.e., − → ∞ → ∞ ν medida ﬁnita), entonces

+ λ µ y λ− µ = λ(A) = 0, siempre que µ(A) = 0. ⇒ Sin embargo, no es claro a priori que la condicion´ λ(A) = 0, siempre que µ(A) = 0 implique + λ (A) = 0 y λ−(A) = 0, siempre que µ(A) = 0

Supongamos que para A A : λ(A) = 0, siempre que µ(A) = 0. Sea An n N J (A), ∈ { } ∈ ∈ entonces como An A para cada n N, µ es positiva y µ(A) = 0, tenemos que µ(An) = 0 ⊂ ∈ para cada n N. ∈ Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 59

Luego, por nuestra hipotesis´ λ(An) = 0, para cada n N. Por lo que ∈

X∞ λ(An) = 0, para toda An n N J (A). | | { } ∈ ∈ n=1

Tomando supremo sobre J (A), obtenemos λ (A) = 0. Ahora consideremos las descomposi- | | ciones de Jordan de λ y λ . Entonces: | | + λ(A) = λ (A) λ−(A), + − λ (A) = λ (A) + λ−(A), | | y como λ(A) = 0 = λ (A), de la primera identidad obtenemos que λ+(A) = λ (A), y de la | | − segunda que 0 = λ (A) = 2λ+(A). Por lo tanto, | | + λ (A) = 0 = λ−(A).

(2) La observacion´ (1) nos dice que podemos ampliar la deﬁnicion´ de continuidad absoluta a medidas en S = S (X,A ), y por lo tanto a medidas complejas sobre A .

(3) De la observacion´ (1) tambien´ se desprende que la condicion´ λ(A) = 0, siempre que µ(A) = 0 implica λ (A) = 0, siempre que µ(A) = 0 | |

Deﬁnicion´ 2.5 Sea (X,A ,µ) es un espacio de medida. Una medida λ ∈ S = S (X,A ) o λ : A → C es absolutamente continua con respecto a µ si

λ(A) = 0, siempre que µ(A) = 0,A ∈ A .

En tal caso, usaremos la misma notacion´ de la deﬁnicion´ 2.4 λ µ.

Finalmente, cuando µ es una medida compleja podemos dar una deﬁnicion´ de continuidad absoluta a traves´ de |µ|:

Deﬁnicion´ 2.6 Sea (X,A ,µ) es un espacio de medida compleja. Una medida λ ∈ S = S (X,A ) o λ : A → C es absolutamente continua con respecto a µ si

λ(A) = 0, siempre que |µ|(A) = 0,A ∈ A .

En tal caso, usaremos la misma notacion´ de la deﬁnicion´ 2.4 λ µ.

Necesitaremos algunas otras nociones preliminares antes de enunciar y demostrar el Teorema de Radon-Nikodym. Sean (X,A ) un espacio medible y λ,ν : A → C dos medidas complejas. 60 Y. Quintana

Deﬁnicion´ 2.7 Diremos que λ esta´ concentrada en E si para todo A ∈ A se cumple que λ(A) = λ(A ∩ E).

Deﬁnicion´ 2.8 Diremos que λ y ν son mutuamente singulares cuando existen A,B ∈ A disjuntos, tales que λ esta´ concentrada en A y ν esta´ concentrada en B. En tal caso, usaremos la notacion´ textcolorredλ ⊥ ν.

Las deﬁniciones 2.7y 2.8 tambi en´ tienen sentido para medidas positivas no ﬁnitas.

Ejemplo 2.2 Considere m : M → [0,∞] la medida de Lebesgue en R y para ∈ → { } x0 R ﬁjado, la medida de Dirac en x0, δx0 : M 0,1 dada por ( ∈ 1, si x0 E, ∈ δx0 (E) := para E M. 0, si x0 < E,

Entonces m y δx0 son mutuamente singulares (ver Ejercicio 2.16).

Ejemplo 2.3 Sean (X,τ) Hausdorﬀ localmente compacto y µ : B(X) → [0,∞] una medida de Borel, entonces E = supp(µ) es un conjunto donde µ se concentra (ver Ejercicio 2.17).

Ejemplo 2.4 Si (X,A ,µ) es un espacio de medida, → ∞ µf µ, para toda f : X [0, ] medible.

Algunas propiedades elementales deducidas de las deﬁniciones anteriores son las siguientes.

Proposicion´ 2.1 Sean (X,A ,µ) un espacio de medida y λ,ν : A → C medidas complejas.

(I) Si λ µ y z ∈ C, entonces zλ µ.

(II) Si λ esta´ concentrada en E y z ∈ C, entonces zλ esta´ concentrada en E. En particular, si λ ⊥ ν y z,w ∈ C, entonces zλ ⊥ wν. (III) µ esta´ concentrada en E, si y solo´ si, µ(X \ E) = 0.

(IV) λ esta´ concentrada en E, si y solo´ si, |λ| esta´ concentrada en E. En particular, si λ ⊥ ν, entonces |λ| ⊥ |ν|.

(V) Si λ µ, entonces |λ| µ y tanto λ como |λ| estan´ concentradas en todo conjunto donde µ este´ concentrada. Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 61

(VI) Si ν |λ| y λ µ, entonces ν µ.

(VII) Si λ ⊥ µ y ν ⊥ µ, entonces (λ + ν) ⊥ µ.

(VIII) Si λ µ y ν µ, entonces (λ + ν) µ.

(IX) Si λ µ y ν ⊥ µ, entonces λ ⊥ ν.

(X) Si λ µ y λ ⊥ µ, entonces λ = 0.

Demostracion.´ Seguiremos los enfoques de las referencias [2,7, 11, 12]. Las propiedades (I), (II)y (III) son consecuencias inmediatas de las deﬁniciones 2.5y 2.7 (verif ´ıquelas). (IV): (=⇒) Sea E ∈ A tal que λ esta´ concentrada en E. Consideremos B ∈ A tal que B ⊆ X \ E, entonces como λ esta´ concentrada en E:

λ(B) = λ(B ∩ E) = λ(∅) = 0.

De donde se deduce que { } ∈ \ λ(Bn) = 0, para toda Bn n N J (X E), ∈ y en consecuencia,

X ∞ | | { } ∈ \ λ(Bn) = 0, para toda Bn n N J (X E). ∈ n=1 Tomando supremo sobre J (X \E), obtenemos |λ|(X \E) = 0, y por la propiedad (III), |λ| esta´ concentrada en E. (⇐=) Si |λ| esta´ concentrada en E, entonces por (III) |λ|(X\E) = 0. Sea A ∈ A , como A∩(X \E) ⊆ X \E entonces |λ|(A∩(X \E)) ≤ |λ|(X \E) = 0. As´ı que0 ≤ |λ(A∩(X \E))| ≤ |λ|(A ∩ (X \ E)) = 0, de donde se deduce que λ(A ∩ (X \ E)) = 0. Por lo tanto, usando la σ-aditividad de λ:

λ(A)= λ[(A ∩ E) ∪ (A ∩ (X \ E))] = λ(A ∩ E) + λ(A ∩ (X \ E))= λ(A ∩ E), es decir, λ esta´ concentrada en E. Ahora supongamos que λ ⊥ ν entonces

(V): Procediendo como en la observacion´ (1); sea A ∈ A tal que µ(A) = 0, entonces { } ∈ ∈ para cualquier An n N J (A) se tiene que µ(An) = 0, para cada n N. Como λ µ ∈ ∈ tenemos que λ(An) = 0, para cada n N. Luego,

X ∞ | | { } ∈ λ(An) = 0, para toda An n N J (A). ∈ n=1

Tomando supremo sobre J (A), obtenemos |λ|(A) = 0. Por tanto, |λ| µ. Supongamos que µ esta´ concentrada en E ∈ A , entonces µ(X \ E) = 0 y como |λ| µ, tenemos que |λ|(X \ E) = 0, lo que implica por (III) que |λ| esta´ concentrada en E. Luego aplicando (IV), obtenemos que λ esta´ concentrada en E. (VI): Sea A ∈ A tal que µ(A) = 0. Como λ µ, por (V) tenemos que |λ| µ, as´ı que |λ|(A) = 0. Ahora usando que ν |λ| obtenemos que ν(A) = 0. Por lo tanto, ν µ. (VII): Debemos mostrar que existen dos conjuntos disjuntos A,B ∈ A tales que λ + ν esta´ concentrada en A y µ esta´ concentrada en B. Como λ ⊥ µ y ν ⊥ µ, existen ∈ ∩ ∅ ∩ Ai,Bi A , i = 1,2 tales que A1 B1 = = A2 B2 y    λ esta´ concentrada en A1  ν esta´ concentrada en A2    y y  y    µ esta´ concentrada en B1,  µ esta´ concentrada en B2. ∩ ∈ Tomemos B = B1 B2, entonces para E A tenemos que ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ µ(E B) = µ(E (B1 B2)) = µ((E B1) B2) ∩ = µ(E B1), porque µ esta´ concentrada en B2, = µ(E), porque µ esta´ concentrada en B1.

As´ı obtenemos que µ esta´ concentrada en B. Mientras que de (IV) obtenemos que | | | | λ esta´ concentrada en A1 y ν esta´ concentrada en A2.

Entonces usando (III) podemos decucir que ⊆ \ ⊆ \ λ(C1) = 0, siempre que C1 X A1 y ν(C2) = 0, siempre que C2 X A2.

∩ \ ∩ \ En particular, para E (X A1) y E (X A2) tenemos ∩ \ ∩ \ λ(E (X A1)) = 0 = ν(E (X A2)).

Note que ∩ \ ∩ ∩ \ ∩ \ ∩ \ ∩ \ ∪ [E (X A1)] [E (X A2)] = E [(X A1) (X A2)] = E [X (A1 A2)], Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 63 por lo que ∩ \ ∪ ∩ \ ∪ λ(E [X (A1 A2)]) = 0 = ν(E [X (A1 A2)]). (2.9) Tambien,´ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ B (A1 A2)=( B A1) (B A2) = [B2 (B1 A1)] [B1 (B2 A2)] ∩ ∅ ∪ ∩ ∅ ∅ = (B2 ) (B1 ) = . ∪ Luego tomando A = A1 A2, solo´ nos resta veriﬁcar que λ+ν esta´ concentrada en A. En efecto, ya que E = (E ∩ A) ∪ (E ∩ (X \ A)), entonces usando (2.9) obtenemos

(λ + ν)(E)= λ(E) + ν(E) = λ[(E ∩ A) ∪ (E ∩ (X \ A))] + ν [(E ∩ A) ∪ (E ∩ (X \ A))] = λ(E ∩ A) + λ(E ∩ (X \ A)) + ν(E ∩ A) + ν(E ∩ (X \ A)) = λ(E ∩ A) + ν(E ∩ A) =( λ + ν)(E ∩ A).

Por lo tanto, (λ + ν) ⊥ µ. (VIII): Sea A ∈ A tal que µ(A) = 0, por hipotesis´ λ µ y ν µ tenemos que λ(A) = 0 = ν(A). Luego, (λ+ν)(A) = λ(A)+ν(A) = 0, lo que implica que (λ+ν)(A) = 0, siempre que µ(A) = 0. Es decir, (λ + ν) µ. (IX): Sean A,B ∈ A disjuntos tales que ν esta´ concentrada en A y µ esta´ concentrada en B. Como λ µ, por la propiedad (V) λ esta´ concentrada en B, por lo tanto λ ⊥ ν. (X): Como λ µ y λ ⊥ µ, por (IX), tenemos que λ ⊥ λ, as´ı que existen A,B ∈ A disjuntos tales que λ esta´ concentrada tanto en A como en B. Por (IV), |λ| esta´ concentrada tanto en A como en B. Luego, para cualquier E ∈ A tenemos

|λ(E)| ≤ |λ|(E) = |λ|(E ∩ A) ≤ |λ|(A) = |λ|(A ∩ B) = |λ|(∅) = 0, ya que |λ| esta´ concentrada en B, as´ı que λ(E) = 0. 64 Y. Quintana

Teorema 2.4 (Radom-Nikodym para medidas positivas) Sean (X,A ,µ) un espacio de medida σ-ﬁnitay ν : A → [0,∞] una medida. Entonces las siguientes aﬁrmaciones son equivalentes

(I) ν es σ-ﬁnitay ν µ.

(II) Existe una funcion´ medible f : X → [0,∞) tal que Z ν(E) = f (x)dµ(x), para todo E ∈ A . (2.10) E

Si (I) se satisface, entonces f es unica´ µ-a.e. Ademas,´ f ∈ L 1(X,µ), si y solo´ si, ν(X) < ∞, y para g ∈ L 1(X,ν) se tiene que Z Z g(x)dν(x) = g(x)f (x)dµ(x). (2.11) X X La funcion´ f recibe el nombre de derivada de Radom-Nikodym y suele deno- tarse como d ν f = . d µ

(1) La identidad (2.10) nos dice que ν = µ , por lo que ν µ es condicion´ necesaria. f (2) Este teorema responde a la pregunta: ¿Existe una funcion´ medible f : X [0, ) tal que → ∞ d ν = f dµ? SI, cuando µ y ν son σ-ﬁnitas. Por tanto, esta condicion´ es suﬁciente.

(3) El Teorema 2.4 tambien´ nos dice que toda medida σ-ﬁnita y absolutamente continua con respecto a otra medida σ-ﬁnita admite una representacion´ integral a traves´ de alguna funcion´ medible.

Demostracion.´ (Teorema 2.4). Seguiremos los enfoques de las referencias [2,6,7, 11, 12]. (II)= ⇒ (I): Supongamos que existe f : X → [0,∞) medible que satisface (2.10). Veamos primero que ν µ: Sea E ∈ A tal que µ(E) = 0, entonces Recuerde la parte v) de Proposition 3.1. Real Analysis: Chapter 3, Prof. W. Urbina, [14]

Z (Z ) f (x)dµ(x) = sup s(x)dµ(x): s : X → [0,∞] es simple y s(x) ≤ f (x), para todo x ∈ X E E = 0. Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 65

Por lo que ν(E) = 0, es decir, ν µ. { } ⊂ ⊂ ∈ Como µ es σ-finita, existe An n N A tal que An An+1, para cada n N, µ(An) < [ ∈ ∞ ∞ , y X = An. Definiendo n=1 { ∈ } ∩ 1 ∈ En := x An : f (x) < n = An f − ([0,n)), n N, ∈ ⊂ ∈ tenemos que En A , En En+1, para cada n N. ∈ ≤ Note que x En implica que 0 f (x) < n. Luego, Z ≤ ≤ ∞ 0 ν(En) = f (x)dµ(x) < nµ(En) nµ(An) < . En Y finalmente, [∞ [∞ ∩ 1 En = An f − ([0,n)) = X, n=1 n=1 por lo que ν es σ-finita. (I)=⇒ (II): demostraremos esta parte en tres pasos. Paso 1: (Unicidad µ-a.e.) Dados (X,A ,µ) un espacio de medida y ν : A → [0,∞] una medida σ-finita. Si f ,g : X → [0,∞) son un par de funciones que satisfacen (2.10), entonces ellas coinciden µ-a.e. { } ⊂ ⊂ Como (X,A ,ν ) es un espacio de medida σ-finita, existe Bn n N A tal que Bn [ ∈ ∈ ∞ ∞ ∈ Bn+1, para cada n N, ν(Bn) < , y X = Bn. Para cada n N definamos n=1 { ∈ ⊆ } An := E A : E Bn , µn := µ . An ∈ Verifique que (X,An,µn) es un espacio de medida, para cada n N. Recuerde la definicion´ 2.1. Real Analysis: Chapter 2, Prof. W. Urbina, [14].

Tomando E = Bn, por (2.10) tenemos que Z Z Z Z f (x)dµn(x) = f (x)dµ(x) = ν(Bn) = g(x)dµ(x) = g(x)dµn(x). Bn Bn Bn Bn ∈ 1 − ∈ 1 ∈ As´ı que f ,g L (X,µn) y f g L (X,µn) para todo n N. Luego, Z − ∈ (f (x) g(x))dµ(x) = 0, para todo E An. E − O equivalentemente, f g = 0, µn- a.e. Es decir, el conjunto { ∈ } En := x Bn : f (x) , g(x) 66 Y. Quintana satisface µ(En) = µn(En) = 0, y por tanto el conjunto

[ { ∈ } ∞ B := x X : f (x) , g(x) = En n=1 satisface µ(B) = 0. Lo que demuestra el Paso 1. Paso 2: Dados (X,A ) un espacio medible y µ,ν : A → [0,∞] dos medidas ﬁnitas tales que ν µ. Entonces existe una funcion´ medible h : X → [0,∞) tal que Z ν(E) = h(x)dµ(x) para todo E ∈ A . E Empecemos notando que como µ(X) < ∞ y ν(X) < ∞, entonces la medida ν + µ : A → [0,∞] tambien´ es ﬁnita. Luego si f ∈ L 2(X,ν + µ), por la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos s Z Z q |f (x)|d(ν + µ)(x) ≤ c |f (x)|2 d(ν + λ)(x), con c = ν(X) + µ(X). X X

Luego, L2(X,ν+µ) ⊂ L1(X,ν+µ). Consideremos el funcional lineal Λ : L2(X,ν+µ) → R dado por Z Λ(f ) := f (x)dν(x), X entonces para toda f ∈ L2(X,ν + µ) Z Z | | ≤ | | ≤ | | ≤ k k Λ(f ) f (x) dν(x) f (x) d(ν + µ)(x) c f L2(X,ν+µ). X X

Es decir, Λ es un funcional lineal acotado en L2(X,ν +µ) y ya que este´ es un espacio de Hilbert, por el Teorema de representacion´ de Riesz 1.3, existe g ∈ L 2(X,ν + µ) tal que Z Z f (x)dν(x) = f (x)g(x)d(ν + µ)(x), para toda f ∈ L 2(X,ν + µ), (2.12) X X esto implica que Z Z Z f (x)(1 − g(x))d(ν + µ)(x) = f (x)d(ν + µ)(x) − f (x)g(x)d(ν + µ)(x) X ZX ZX = f (x)d(ν + µ)(x) − f (x)dν(x) (2.13) ZX X = f (x)dµ(x), X para toda f ∈ L 2(X,ν + µ). Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 67

Ademas,´ la desigualdad 0 ≤ g < 1 es valida´ (ν + µ)-a.e. En efecto, si consideramos los conjuntos

{ ∈ } { ∈ ≥ } E0 := x X : g(x) < 0 y E1 := x X : g(x) 1 ,

∈ 2 entonces aplicando (2.12) a la funcion´ f = χE0 L (X,ν + µ) tenemos Z Z ≤ ≤ 0 ν(E0) = χE0 (x)dν(x) = g(x)d(ν + µ)(x) 0. X X Por lo tanto, Z g(x)d(ν + µ)(x) = 0, E0 − y esta igualdad implica que la funcion´ χE0 g = 0, (ν+µ)-a.e. Por lo tanto, (ν+µ)(E0) = 0. ∈ 2 Mientras que aplicando (2.13) a la funcion´ f = χE1 L (X,ν + µ), obtenemos Z Z ≤ − ≤ 0 µ(E1) = χE1 (x)dµ(x) = χE1 (x)(1 g(x))d(ν + µ)(x) 0, X X de donde se deduce que µ(E1) = 0. Y ya que ν µ tenemos que ν(E1) = 0. As´ı, (ν + µ)(E1) = ν(E1) + µ(E1) = 0, es decir, 0 ≤ g < 1 es valida´ (ν + µ)-a.e. Deﬁniendo ( ∈ ∪ 0, si x E0 E1, g˜(x) := ∈ \ ∪ g(x), si x X (E0 E1), tenemos que 0 ≤ g˜(x) < 1 para todo x ∈ X, y se matienen las identidades (2.12) y (2.13) para g˜: Z Z f (x)dν(x) = f (x)g˜(x)d(ν + µ)(x), Z X ZX f (x)(1 − g˜(x))d(ν + µ)(x) = f (x)dµ(x), X X para toda f ∈ L 2(X,ν + µ). ∈ 2 Ahora, aplicando (2.13) a la funcion´ χE L (X,ν + µ), obtenemos Z Z − − ∀ ∈ µ(E) = χE(x)(1 g˜(x))d(ν + µ)(x) = (1 g˜(x))d(ν + µ)(x), E A , X X es decir,

∈ µ(E) = µˆ1 g˜(E), para todo E A , donde µˆ = ν + µ, − 68 Y. Quintana y por la Propiedad 2, para toda funcion´ f se tiene que Z Z Z − f (x)dµ(x) = f (x)dµˆ1 g˜(x)= f (x)(1 g˜(x))dµˆ(x), X X − X luego, R R f (x)dµ(x) = f (x)(1 − g˜(x))d(ν + µ)(x), para toda f medible, X X con lo que la identidad (2.13) es valida´ para toda funcion´ f , medible, este´ o no contenida en L 2(X,ν + µ). Ahora deﬁnamos la funcion´ medible h : X → [0,∞) por g˜(x) h(x) := , x ∈ X, 1 − g˜(x) aplicando (2.12) a la funcion´ f = χE tenemos que Z Z ν(E) = χE(x)dν(x) = χE(x)g˜(x)d(ν + µ)(x) X X Z " # 1 − g˜(x) = χE(x)g˜(x) − d(ν + µ)(x) X 1 g˜(x) Z " # g˜(x) − = χE(x) − (1 g˜(x))d(ν + µ)(x) X 1 g˜(x) Z − = χE(x)h(x)(1 g˜(x))d(ν + µ)(x), y aplicando (2.13) a la funcion´ f = χEh, ZX Z = χE(x)h(x)dµ(x) = h(x)dµ(x). X E Z Por lo tanto, ν(E) = h(x)dµ(x), para todo E ∈ A , y el Paso 2 queda demostrado. E Paso 3: Asumamos (I), entonces como ν y µ son σ-ﬁnitas existen dos sucesiones { } { } ⊂ An n N, Bn n N A tales que ∈ ∈ ⊂ ∞ ⊂ ∞ ∈ An An+1, ν(An) < ,Bn Bn+1, µ(Bn) < , para todo n N y

[∞ [∞ An = X = Bn. n=1 n=1 ∩ Deﬁniendo Xn := An Bn, tenemos que [ ⊂ ∞ ∞ ∈ ∞ Xn Xn+1, ν(Xn) < , µ(Xn) < , para todo n N y X = Xn. n=1 Usando ahora que ν µ y el Paso 2 obetenemos que para cada n ∈ N existe una → ∞ funcion´ medible hn : Xn [0, ) tal que Z ∈ ⊆ ν(A) = hn(x)dµ(x), para todo A A tal que A Xn. (2.14) A Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 69

Luego, Z Z Z ( ) ( )= ( ) = ( ) ( ) = | ( ) ( ) hn x dµ x ν Xn hn+1 x dµ x hn+1 Xn x dµ x . Xn Xn Xn ∈ ∩ ∈ Ahora dado E A , consideremos En := E Xn, para cada n N. Entonces

[ ⊂ ∈ ∞ En En+1, para todo n N y E = En. n=1

Recuerde la parte iv) del Theorem 2.1. Real Analysis: Chapter 2, Prof. W. Urbina, [14]. Por lo tanto, Z ν(E) = lim ν(En) = lim hn(x)dµ(x) por (2.14), n n E →∞ Z →∞ n Z Z ˜ ˜ = lim hn(x)dµ(x) = lim hn(x)dµ(x) = lim f (x)dµ(x) n E n E n E →∞ Z n →∞ n →∞ n = lim χE (x)f (x)dµ(x) n n Z→∞ X = χE(x)f (x)dµ(x) por el Teorema de convergencia monotona´ de Lebegue, ZX = f (x)dµ(x), Recuerde Theorem 3.2. Real Analysis: Chapter 3, Prof. W. Urbina, [14]. E Es decir, se satisface (II).

(1) La demostracion´ de (2.11) ha sido omitida, porque ya fue demostrada en el Theorem 3.4. Real Analysis: Chapter 3, Prof. W. Urbina, [14].

(2) La hipotesis´ µ σ-ﬁnita no puede ser removida del Teorema 2.4. Ver Ejercicio 2.19.

(3) La implicacion´ (I)= (II) sigue siendo valida´ si ν no es σ-finita, pero en este caso el inte- ⇒ grando f en (2.10) puede tomar el valor . Ver Ejercicio 2.24. ∞ (4) Si (X,A ,µ) un espacio de medida σ-finitay ν : A R es una medida signada. Si ν µ, → entonces ν+ µ y ν µ, y como ν+ y ν son medidas finitas (y por tanto σ-finitas), − − podemos aplicar el Teorema 2.4a ν+ y ν . Es decir, existen f ,f : X [0, ) tales que − 1 2 → ∞ Z Z + ν (E) = f1 dµ, y ν−(E) = f2 dµ, para todo E A , E E ∈

+ dν = f1 dµ, y dν− = f2 dµ. 70 Y. Quintana

As´ı que Z + ν(E)= ν (E) ν−(E) = (f1 f2)dµ, para todo E A . − E − ∈ Tambien,´ es sencillo deducir que

+ + dν = d(ν ν−) = d(ν ) d(ν−) =( f f )dµ. − − 1 − 2 En particular, note que Z Z + ν (X) = f1 dµ, y ν−(X) = f2 dµ, X X

y como ν (X) < entonces f L 1(X,µ), j = 1,2. Y por tanto, f := f f L 1(X,µ). ± ∞ j ∈ 3 1 − 2 ∈ Luego, Z ν(E) = f3 dµ, para todo E A , y dν = f3dµ. E ∈

(5) Rec´ıprocamente, si existe una funcion´ f L 1(X,µ) tal que ∈ Z ν(E) = f dµ, para todo E A , E ∈ entonces ν µ. (6) Unicidad en L1(X,µ): Si f L 1(X,µ) es una funcion´ que satisface (2.12) y (2.13), toda ∈ funcion´ g L 1(X,µ) tal que f g tambien´ satisface (2.12) y (2.13). Por lo tanto, es comun´ ∈ ∼ hallar en la literatura la frase “existe una unica´ f L1(X,µ) que satisface (2.12) y (2.13)”, ∈ para la parte (II) del Teorema 2.4.

(7) Tambien´ es frecuente encontrar como enunciado del Teorema de Radon-Nikodym para medidas positivas la implicacion´ (I)= (II) del Teorema 2.4. En vista de que la implicacion´ ⇒ (II)= (I) del Teorema 2.4, fue estudiada en Analisis´ Real I, hemos decidido adoptar la ⇒ presentacion´ dada en [12] del Teorema 2.4 por su caracter´ ilustrativo.

(8) La demostracion´ de la implicacion´ (I)= (II) del Teorema 2.4 es debida a Jonh von Neu- ⇒ mann. Existe otra demostracion´ de esta implicacion´ que utiliza la descomposicion´ de Hahn de la medida signada ν αµ, α Q. Para los detalles de esta demostracion´ se puede consultar − ∈ [9, Theorem 23] o tambien´ [6, Theorem B].

(9) Cuando (X,A ,µ) un espacio de medida y ν : A R es una medida signada, existen exten- → siones del Teorema 2.4 donde la hipotesis´ µ es σ-ﬁnita es removida, pero estas extensiones requieren condiciones mas´ fuertes que la absoluta continuidad sobre la medida ν [12, Theo- rem 5.26]. Por ejemplo, D. H. Fremlin introduce la nocion´ “verdadera continuidad de ν”, la cual es equivalente a la absoluta continuidad de ν cuando µ es σ-ﬁnita. Mientras que H. Konig¨ reformula el criterio de Fremlin en terminos´ de la nocion´ de “regularidad interior de ν con respecto a µ”. Estos resultados pueden consultarse en:

D. H. Fremlin, Measure Theory. Volumes 1-5. Torres Fremlin, Colchester, 2000- 2008. (Theorem 232B). https://www1.essex.ac.uk/maths/people/fremlin/mt.htm Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 71

H. Konig,¨ New versions of the Radon-Nikodym´ theorem, Arch. Math. (Basel) 86 (3) (2006), 251-260. https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2Fs00013-005-1495-7.pdf

Una discusion´ detallada sobre la equivalencia de estas nociones puede consultarse en[12, Section 5.4].

Dado (X,A ,µ) un espacio de medida. Para f ∈ L 1(X,µ) la medida compleja → µf : A C dada por Z ∈ µf (E) := f (x)dµ(x),E A , E recibe el nombre de integral indeﬁnida de f . Como caracter´ısticas principales de µf tenemos:

(a) µf es σ-aditiva.

(b) µf es la combinacion´ lineal de medidas positivas: Z Z Z Z + − + − µf (E) = Re(f ) dµ Re(f )− dµ + i (Im(f )) dµ i (Im(f ))− dµ E E E E + − + − = µRe(f ) (E) µRe(f )− (E) + iµIm(f ) (E) iµIm(f )− (E), para todo E ∈ A . Recuerde la deﬁnicion´ 3.4. Real Analysis: Chapter 3, Prof. W. Urbina, [14].

Teorema 2.5 (Radom-Nikodym) Sea (X,A ,µ) un espacio de medida σ-ﬁnita y ν : A → C una medida compleja. Entonces las siguientes aﬁrmaciones son equivalentes

(I) ν µ.

(II) Existe una funcion´ f ∈ L 1(X,µ) tal que Z ν(E) = f (x)dµ(x), para todo E ∈ A . (2.15) E

Ademas,´ si (I) se satisface, entonces f es unica´ µ-a.e., y para g ∈ L 1(X,|ν|) se tiene que Z Z g(x)dν(x) = g(x)f (x)dµ(x). (2.16) X X

Demostracion.´ (II)= ⇒ (I): Supongamos que existe f ∈ L 1(X,µ) que satisface (2.15). Por la propiedad (B) tenemos que para cada E ∈ A

+ − + − ν(E) = µf (E) = µRe(f ) (E) µRe(f )− (E) + iµIm(f ) (E) iµIm(f )− (E). 72 Y. Quintana

Procediendo como en la primera parte de la demostracion´ del Teorema 2.4, tenemos que µRe(f )± µ y µIm(f )± µ. Usando las propiedades (I)y (VIII) de la + − + − Proposicion´ 2.1, tenemos que (µRe(f ) µRe(f )− ) µ y i(µIm(f ) µIm(f )− ) µ y por lo tanto, ν µ. (I)=⇒ (II): Ya que ν puede descomponerse en la forma

+ + ν = (Re(ν)) − (Re(ν))− + i (Im(ν)) − (Im(ν))− , la absoluta continuidad de ν con respecto a µ implica que (Re(ν))± µ y (Im(ν))± µ. Como estas medidas son positivas entonces aplicamos a cada una de ellas el Teorema → ∞ 2.4, encontrando cuatro funciones medibles f1,f2,f3,f4 : X [0, ) tales que Z Z + ∈ (Re(ν)) (E) = f1 dµ, y (Re(ν))−(E) = f2 dµ, para todo E A , E E Z Z + ∈ (Im(ν)) (E) = f3 dµ, y (Im(ν))−(E) = f4 dµ, para todo E A , E E + d(Re(ν)) = f1 dµ, y d(Re(ν))− = f2 dµ, + + d(Im(ν)) ν = f3 dµ, y d(Im(ν))− = f4 dµ, − − ∈ Tomando f (x) := (f1(x) f2(x)) + i(f3(x) f4(x)), para todo x X, y procediendo como en la segunda parte de la demostracion´ del Teorema 2.4 obtenemos (II), y tambien´ podemos mostrar la unicidad µ-a.e. de f . Finalmente, la demostracion´ de (2.16) se deja como ejercicio (ver Ejercicio 2.25).

El siguiente resultado es una consecuencia del Teorema 2.4.

Teorema 2.6 (Descomposicion´ de Lebesgue) Sean (X,A ,µ) un espacio de medida σ-ﬁnitay ν : A → [0,∞] una medida σ-ﬁnita. Entonces existe un unico´ par de medidas νa,νs : A → [0,∞] tal que

ν = νa + νs, νa µ, νs ⊥ µ, νa ⊥ νs. (2.17)

El par( νa,νs) recibe el nombre de descomposicion´ de Lebesgue de ν con respecto a µ.

Demostracion.´ Seguiremos el enfoque de [12]. Paso 1: Existencia. Consideremos la medida λ := ν+µ, esta medida es σ-ﬁnita por hipotesis,´ y por deﬁnicion´ es claro que ν λ y µ λ. Luego aplicando el Teorema 2.4, tenemos que existen funciones medibles f ,g : X → [0,∞) tales que Z Z ν(E) = f (x)dλ(x), µ(E) = g(x)dλ(x), para todo E ∈ A . (2.18) E E Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 73

Consideremos el conjunto medible

A := {x ∈ X : g(x) > 0}, y las funciones conjuntistas νa,νs : A → [0,∞] dadas por

νa(E) := ν(E ∩ A), νs(E) := ν(E ∩ (X \ A)), para cada E ∈ A . (2.19)

De (2.19) se desprende que νa y νs son medidas sobre A que satisfacen ν = νa + νs (veriﬁque esta aﬁrmacion).´ Ademas,´ por (2.19) tambien´ tenemos que

νs(A) = νs(∅) = 0, | y como g (X A) = 0, por (2.18) tenemos que \ Z µ(X \ A) = g(x)dλ(x) = 0. X A \ Por lo tanto, νs ⊥ µ. Sea E ∈ A tal que µ(E) = 0. Por (2.18) Z Z χE(x)g(x)dλ(x) = g(x)dλ(x) = µ(E) = 0. X E

Por lo tanto, χEg = 0 λ-a.e. As´ı que χE Ag = χEχAg = 0 λ-a.e. y en consecuencia, ∩ Z ∩ µ(E A)= χE A(x)g(x)dλ(x) = 0. E A ∩ ∩ Pero g(x) > 0 para todo x ∈ E ∩ A, de manera que la igualdad anterior implica que

0 = λ(E ∩ A) = ν(E ∩ A) + µ(E ∩ A)= ν(E ∩ A).

Es decir, Z νa(E) = f (x)dλ(x) = ν(E ∩ A) = 0. E A ∩ Por lo tanto, νa µ. Finalmente, por la parte (IX) de la Proposicion´ 2.1 se deduce que νa ⊥ νs. Paso 2: Unicidad. Asumamos que existen otras medidas ν˜a,ν˜s : A → [0,∞] que tambien´ satisfacen (2.17). Es decir,

ν = νã + ν˜s, νã µ, ν˜s ⊥ µ, νã ⊥ ν˜s.

Veremos que νa = ν˜a y νs = ν˜s. Como νs ⊥ µ y ν˜s ⊥ µ, existen conjuntos medibles A,A˜ ∈ A tales que:

νs(A) = 0, µ(X \ A) = 0, ν˜s(A˜) = 0, µ(X \ A˜) = 0. 74 Y. Quintana

Usando que X \ (A ∩ A˜) = (X \ A) ∪ (X \ A˜) obtenemos

µ(X \ (A ∩ A˜)) = µ(X \ A) + µ(X \ A˜) = 0.

Dado E ∈ A , tenemos que

νs(E ∩ (A ∩ A˜)) = 0 = ν˜s(E ∩ (A ∩ A˜)), y por tanto, νa(E ∩ (A ∩ A˜)) = ν(E ∩ (A ∩ A˜)) = ν˜a(E ∩ (A ∩ A˜)). Ademas´ µ(E \ (A ∩ A˜)) = 0, por lo que

νa(E \ (A ∩ A˜)) = 0 = ν˜a(E \ (A ∩ A˜)), y por tanto, νs(E \ (A ∩ A˜)) = ν(E \ (A ∩ A˜)) = ν˜s(E \ (A ∩ A˜)). Lo anterior implica que

νa(E)= νa(E ∩ (A ∩ A˜)) = ν˜a(E ∩ (A ∩ A˜)) = ν˜a(E), νs(E)= νs(E \ (A ∩ A˜)) = ν˜s(E \ (A ∩ A˜)) = ν˜s(E)

Lo que demuestra la unicidad.

El analogo´ de (2.17) para el caso en que ν : A → C es una consecuencia del Teorema 2.5.

Teorema 2.7 (Descomposicion´ de Lebesgue para ν medida compleja) Sean (X,A ,µ) un espacio de medida σ-ﬁnitay ν : A → C. Entonces existe un unico´ par de medidas complejas νa,νs : A → C tal que

ν = νa + νs, νa µ, νs ⊥ µ, νa ⊥ νs. (2.20)

Problema 2.2 Demuestre el Teorema 2.7.

El siguiente resultado es una consecuencia del Teorema 2.7.

Proposicion´ 2.2 (Representacion´ polar de una medida compleja) Sean (X,A ,µ) un espacio de medida compleja, entonces existe una funcion´ h ∈ L 1(X,|µ|) tal que |h(x)| = 1 para todo x ∈ X y

dµ = hd|µ|. (2.21)

Demostracion.´ Seguiremos el enfoque de [1,7, 11]. Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 75

Como µ |µ| y ya vimos en el Teorema 2.2 que |µ| es finita (y por tanto σ-finita), el Teorema 2.7 garantiza la existencia de una funcion´ f ∈ L 1(X,|µ|) que verifica (2.87). Demostraremos que |f | = 1 |µ|-a.e. { ∈ | | } { } ∈ Para r > 0 consideremos el conjunto medible Axr := x X : f (x) < r y An n N J (Ar). Entonces ∈

X X Z XZ X ∞ | | ∞ | | ≤ ∞ | | | | ∞ | | | | µ(An) = f (x)d µ (x) f (x) d µ (x) < r µ (An) = r µ (Ar). n=1 n=1 An n=1 An n=1

As´ı que tomando supremo sobre J (Ar) obtenemos que | | ≤ | | µ (Ar) r µ (Ar). | | ∈ | | ≥ | | Y de esta desigualdad se deduce que µ (Ar) = 0 si r (0,1). Entonces f 1 µ -a.e. Por otro lado, si |µ|(E) > 0 usando (2.87) tenemos que Z | | 1 | | µ(E) ≤ | | f (x)d µ (x) = | | 1. (2.22) µ (E) E µ (E) Ahora consideremos el disco cerrado D = D(0,1) = {z ∈ C : |z| ≤ 1} y tomemos ⊂ \ ∈ 1 cualquier disco cerrado D(z0,r) C D, con r (0,1). Para B = f − (D(z0,r)) vamos a mostrar que |µ|(B) = 0. Supongamos que |µ|(B) > 0, entonces Z | | Z − 1 | | µ (B) − 1 | | z0 | | f (x)d µ (x) = | | z0 | | f (x)d µ (x) µ (B) B µ (B) µ (B) B Z 1 | | − | | = | | µ (B)z0 f (x)d µ (x) µ (B) B Z Z 1 | | − | | = | | z0 d µ (x) f (x)d µ (x) µ (B) B B Z 1 − | | = | | (z0 f (x)d µ (x) µ (B) B Z ≤ 1 | − | | | | | z0 f (x) d µ (x) µ (B) B Z ≤ 1 | | | | r d µ (x) = r. µ (B) B

Es decir, Z − 1 | | ≤ z0 | | f (x)d µ (x) r, µ (B) B y esta desigualdad contradice (2.22). Consecuentemente, |µ|(B) = 0. Por lo tanto, |f | ≤ 1 |µ|-a.e. Sea C = {x ∈ X : |f (x)| , 1}, hemos demostrado que |µ|(C) = 0, entonces podemos deﬁnir h : X → C por ( 1, si x ∈ C, h(x) = f (x), si x ∈ X \ C. 76 Y. Quintana

Es claro que |h(x)| = 1, para todo x ∈ X, y como

Z Z Z Z h(x)d|µ|(x) = d|µ|(x) + h(x)d|µ|(x) = |µ|(C) + h(x)d|µ|(x) X C X C X C Z \ Z Z \ = h(x)d|µ|(x) = f (x)d|µ|(x) ≤ f (x)d|µ|(x) < ∞ X C X C X \ \ tenemos que h ∈ L 1(X,|µ|). Finalmente, usando que h = f |µ|-a.e. obtenemos que

dµ = hd|µ|.

Los siguientes resultados son consecuencia de la Proposicion´ 2.2.

Corolario 2.2(F ormula´ de integracion´ compleja) Sean (X,A ,µ) un espacio de medida compleja y dµ = hd|µ| la descomposicion´ polar de µ. Entonces para toda g ∈ L1(X,|µ|) se tiene que Z Z g(x)dµ(x) = g(x)h(x)d|µ|(x). X X

Problema 2.3 Demuestre el Corolario 2.2.

Corolario 2.3 (Regla de la cadena) Sean (X,A ,µ) un espacio de medida σ- ﬁnita, ν una medida positiva y ﬁnita sobre A y λ una medida compleja sobre A . Si λ ν y ν µ, entonces

dλ dλ dν = . dµ dν dµ

Problema 2.4 Demuestre el Corolario 2.3.

Johann Karl August Radon

Johann Karl August Radon (1887-1956) fue un matematico´ austr´ıaco conocido por su trabajo en Teor´ıa de Integracion´ y Teor´ıa de la Medida. En 1913 aparecio´ su celebre´ Teor´ıa y aplicacion´ de funciones absolutamente aditivas: Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 77

J. Radon, Theorie und Anwendungen der abso- lut additiven Mengenfunktionen, Sitzber, der Math. Naturwiss. Klasse der Kais. Akademie der Wiss. Wien (1913), 112 Bd. Abt II a/2.

Este trabajo combina de manera original las teor´ıas de integracion´ de Stieltjes, Lebesgue y Hellinger, y presenta por primera vez la demostracion´ del Teorema 3.4 (Real Analysis: Chapter 3, Prof. W. Urbina, [14]), o el Teorema 2.4 para X = Rn.

En abril de 1917, presento´ el trabajo Sobre la deﬁnicion´ de funciones por sus integrales a lo largo de ciertos planos:

J. Radon, Uber¨ die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwarte¨ langs¨ gewisser manningfaltigkeiten,, Ber. Verh. Sachs.¨ Akad. Wiss. Math.-Nat., Leipzig, Vol. 69 (1917), 262-277.

Este trabajo contiene la celebre´ Transformada de Radon, la cual representa la solucion´ del problema inverso de deteminacion´ de una funcion´ en dos variables a partir de sus integrales de l´ınea. A ﬁnales de la decada´ del sesenta esta transformada permitio´ uno de los desarrollos tecnologicos´ mas´ impresionantes del siglo XX: el procesamiento de imagenes´ medicas´ a traves´ de lo que actualmente se conoce como Tomograf´ıa Computarizada, tematica´ por la que el ingeniero y f´ısico Allan M. Cormack (1924-1998) y Sir Godfrey N. Hounsﬁeld (1919-2004) recibieron el premio Nobel de Medicina y Fisiolog´ıa en 1979. En 2003, la Academia de Ciencias de Austria fundo´ el Instituto de Matematica´ Computacional y Aplicada (RICAM, por sus siglas en ingles)´ en honor a Johann Radon (ver https://www.ricam.oeaw.ac.at).

Otton Marcin Nikodym

Otton Marcin Nikodym (1887-1974) fue un matematico´ polaco conocido por sus contribuciones en Teor´ıa de la Medida y Analisis´ Funcional, y uno de los dieciseis´ miembros fundadores de la Sociedad Matematica´ Polaca en 1912. 78 Y. Quintana

En septimebre 1929, mientras se encontraba en Varso- via participando en el I Congreso de Matematicas´ de los Pa´ıses Eslavos, presenta por primera vez la demostracion´ del Teorema 3.4 (Real Analysis: Chapter 3, Prof. W. Urbina, [14]), o el Teorema 2.4, extendi- endo el resultado de Radon de 1913.

Parte de ese trabajo fue publicado en el siguiente paper (ver IV. Theor´ eme):`

O. Nikodym, Sur une gen´ eralisation´ des integrales´ de M. Radon,Fundamenta Mathematicae 15 (1930), 131-179. Disponible en: http://matwbn.icm.edu.pl/ ksiazki/fm/fm15/fm15114.pdf

El trabajo de Nikodym abarco´ diversas areas´ de investigacion.´ Aunque sus contribuciones iniciales estuvieron centradas en Teor´ıa de la Medida, tambien´ se in- tereso´ en ret´ıculos booleanos, y al establecerse en Estados Unidos en 1948, enfoco´ sus intereses de investigacion´ hacia el estudio de la Teor´ıa de Operadores sobre Es- pacios de Hilbert, basado en ret´ıculos booleanos. Estos estudios culminaron en su libro The Mathematical Apparatus for Quantum-Theories, based on the Theory of Boolean Lattices publicado en 1966. Tambien´ estuvo interesado en la Didactica´ de las matematicas:´ Escribio´ tres volumenes´ de Didactica´ de las matematicas´ puras dirigidos a la escuela secundaria, pero publico´ solo´ los dos primeros en 1930 y 1938. Ante la escasa respuesta de los maestros hacia sus metodos´ para mejorar la ensenanza˜ de las matematicas,´ Nikodym se desanimo´ y termino´ quemando el manuscrito del tercer volumen. Tambien´ presento´ charlas divulgativas en radio como: Logica´ e intuicion´ en Ciencia, Sobre el inﬁnito, Sobre paradojas en la logica,´ ¿Para que´ sirve el algebra?,´ Sobre diferentes tipos de espacios, El misterio de la gravitacion,´ y Sobre la importancia de la teor´ıa. Estas charlas fueron publicadas en 1946 como un libro, titulado Let’s look deeply inside the mind.

2.4 Ejercicios propuestos

Ejercicio 2.13 Sean (X,A ,µ) un espacio de medida y f : X → [0,∞] una → ∞ funcion´ medible. Demuestre que la funcion´ conjuntista µf : A [0, ] dada Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 79

por Z ∈ µf (E) = f (x)dµ(x), para todo E A , E es una medida sobre A .

Ejercicio 2.14 Bajo las hipotesis´ del ejercicio 2.13, muestre que la medida → ∞ µf : A [0, ] satisface las siguientes propiedades: ∈ (a) Para A A , µf (A) = 0 siempre que µ(A) = 0. (b) Para g : X → [0,∞] medible, se satisface Z Z g(x)dµf (x) = g(x)f (x)dµ(x). X X

Ejercicio 2.15 Sean (X,A ) es un espacio medible y µ,ν : A → [0,∞] sobre A . Demuestre que µ ⊥ ν, si y solo´ si, existe C ∈ A tal que µ(C) = 0 y ν(X \ C) = 0.

Ejercicio 2.16 Considere m : M → [0,∞] la medida de Lebesgue en R y para ∈ → { } x0 R ﬁjado, la medida de Dirac en x0, δx0 : M 0,1 dada por ( ∈ 1, si x0 E, ∈ δx0 (E) := para E M. 0, si x0 < E,

Demuestre que m y δx0 son mutuamente singulares. Sugerencia: δx0 puede con- { } \{ } centrarse en x0 y tambien´ en R x0 .

Ejercicio 2.17 Sean (X,τ) Hausdorﬀ localmente compacto y µ : B(X) → [0,∞] una medida de Borel. Muestre que E = supp(µ) es un conjunto donde µ se concentra.

Ejercicio 2.18 Sean (X,A ) es un espacio medible y µ,ν : A → [0,∞] sobre A , tales que µ(A) ≤ ν(A), para todo A ∈ A . → ∞ ≤ ∈ (a) Para f : X [0, ] medible, muestre que µf (A) νf (A), para todo A A .

(b) Muestre que si g ∈ L1(X,ν) entonces g ∈ L1(X,µ).

Ejercicio 2.19 Sean X = {x} y A = P(X). Deﬁna las medidas µ,ν : A → [0,∞] por µ(∅) = 0, µ(X) = ∞, ν(∅) = 0 y ν(X) = 1. Muestre que ν µ, pero no existe → ∞ una funcion´ medible f : X [0, ] tal que µf (X) = ν(X). 80 Y. Quintana

Ejercicio 2.20 Considere las medidas µ,ν : B(R) → [0,∞] dadas por Z x2 µ(E) = e− dx, ZE 2 ν(E) = ex dx, E

para todo E ∈ B(R). Muestre que (a) µ es ﬁnita.

(b) µ ν y ν µ.

(c) ¿Sera´ cierto que si tenemos un espacio medible (X,A ) y dos medidas ν,µ sobre A , entonces la relacion´ ν ∼ µ, si y solo´ si, ν µ es una relacion´ de equivalencia? Justiﬁque su respuesta.

Ejercicio 2.21 Sean (X,A ,µ) es un espacio de medida y λ,ν : A → [0,∞] dos medidas sobre A . (a) ¿Cuales´ de las propiedades dadas en la Proposicion´ 2.1 siguen siendo validas´ para estas medidas?

(b) ¿Existen propiedades en la Proposicion´ 2.1 que pueden ser modificadas para adaptarse a las condiciones impuestas sobre estas medidas? Si su respuesta es afirmativa, realice y demuestra la modificacion.´ Si su respuesta es negativa, just´ıquela.

Ejercicio 2.22 Sean (X,A ) un espacio medible y µ,ν : A → [0,∞] dos medidas sobre A . Demuestre que si para cualquier ε > 0 existe δ > 0 tal que

E ∈ A y µ(E) < δ ⇒ ν(E) < ε,

entonces ν µ.

Ejercicio 2.23 Sean (X,A ,µ) un espacio de medida σ-ﬁnita y ν ∈ S (X,A ). Demuestre que ν µ, si y solo´ si, para cualquier ε > 0 existe δ > 0 tal que

E ∈ A y µ(E) < δ ⇒ |ν|(E) < ε.

Ejercicio 2.24 (♣) Sea (X,A ) un espacio medible. Demuestre que si µ y ν son dos medidas sobre A tales que µ es finita y ν µ, entonces existe un conjunto E ∈ A tal que X \ E puede expresarse como una union´ numerable de conjuntos de medida ν finita, y tal que para cualquier C ⊂ E, ν(C) = 0 o ν(C) = ∞. Sugerencia: Sea L = sup{µ(E): E ∈ A }, verifique que L = µ(X) < ∞. Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 81

{ } ⊂ Muestre que existe una sucesion´ En n N A tal que L = lim µ(En). ∈ n →∞

Ejercicio 2.25 Demuestre la identidad (2.16) del Teorema 2.5.

Ejercicio 2.26 Enuncie y demuestre el analogo´ del Teorema de Radom- Nikodym para el caso de medidas complejas. Sugerencia: ver deﬁnicion´ 2.6.

Ejercicio 2.27 Determine la descomposicion´ de Lebesgue de las medidas del Ejercicio 2.20.

Ejercicio 2.28 Sean (X,A ) un espacio medible, y λ,µ,ν tres funciones conjuntistas sobre A . Imponga condiciones sobre estas funciones, de manera que se cumplan las siguientes identidades:

d(λ+ν) dλ dν (a) dµ = dµ + dµ .

1 dλ dν − (b) dν = dλ .

d λ dλ (c) dµ| | = dµ . Sugerencia: Revise el Corolario 2.3.

2.5 Teorema de Radon-Nikodym versus dualidad de los espacios Lp

El Cap´ıtulo 4 del curso Analisis´ Real I estuvo dedicado al estudio de las propiedades basicas´ de los espacios Lp(X,µ). En esta seccion´ examinaremos otra propiedad fundamental de estos espacios: su dualidad. Espec´ıcamente estudiaremos al espacio dual de Lp(X,µ) a la luz del Teorema de Radon-Nikodym. Sea (X,A ,µ) un espacio de medida, y para 1 ≤ p ≤ ∞ consideremos el espacio de Lebesgue Lp(X,µ). Como sabemos: p k · k (i)( L (X,µ), p) es un espacio normado, con

 1  R p  |f (x)|p dµ(x) , si 1 ≤ p < ∞, k k  X f p =    esssup{|f (x)| : x ∈ X}, si p = ∞.

(ii)( Lp(X,µ),d) es espacio metrico´ completo (es decir, un espacio de Banach), con k − k ≤ ≤ ∞ d(f ,g) = f g p, 1 p . 82 Y. Quintana

En particular, L2(X,µ) es un espacio de Hilbert.

Recuerde Real Analysis: Chapter 4, Prof. W. Urbina, [14].

Para poder abordar el estudio del espacio dual de Lp(X,µ), necesitaremos recor- dar algunas pocas nociones preliminares sobre espacios normados.

Deﬁnicion´ 2.9 Sea V espacio vectorial sobre un cuerpo K(= R o C), dotado con una norma k · k : V → [0,∞). Un funcional lineal Λ : V → K se dice acotado si existe una constante c > 0 tal que

|Λ(x)| ≤ ckxk para todo x ∈ V.

La norma de un funcional lineal acotado Λ : V → K se deﬁne como ( ) |Λ(x)| kΛk := sup : x ∈ V ,x , 0 . (2.23) kxk

El conjunto de todos los funcionales lineales acotados sobre V es denotado por V 0 y es llamado el espacio dual topologico´ de V .

Note que si V es el dual algebraico de V entonces V V . En particular, si dim(V ) < entonces ∗ 0 ⊆ ∗ ∞ V 0 = V ∗.

En esta seccion´ siempre consideraremos a (X,A ,µ) un espacio de medida (positiva) ﬁjado.

Proposicion´ 2.3 Sean 1 ≤ p,q ≤ ∞ exponentes conjugados y g ∈ Lq(X,µ). En- p → tonces la aplicacion´ Λg : L (X,µ) C dada por Z ∈ p Λg(f ) := f (x)g(x)dµ(x), para toda f L (X,µ), X es un funcional lineal y continuo tal que k k ≤ k k Λg g q. (2.24)

Demostracion.´ Seguiremos el enfoque de [6,7, 10, 11, 12]. Ya que p y q son exponentes conjugados, por la desigualdad de Holder¨ tenemos que Z Z | | ≤ | | ≤ k k k k Λg(f ) = f (x)g(x)dµ(x) f (x)g(x) dµ(x) f p g q. X X Por lo que Λg esta´ bien deﬁnido y ademas,´ |Λ (f )| g ≤ k k ∈ p k k g q, para toda f L (X,µ), f , 0. (2.25) f p Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 83

Como la linealidad de Λg se desprende de la linealidad de la integral, usando la deﬁnicion´ 1-C6 obtenemos (2.24). De manera que nuestro problema se reduce a mostrar la continuidad de Λg. ∈ p { } ⊂ p k − k Sean f L (X,µ) y fn n N L (X,µ) tales que lim fn f p = 0. Entonces dado ∈ n ∈ k − k →∞≥ ε > 0, existe n0 N tal que fn f p < ε, siempre que n n0. ≥ Luego si n n0, de la linealidad de Λg y la desigualdad de Holder¨ obtenemos − − ≤ k − k Λg(fn) Λg(f ) = Λg(fn f ) fn f p < ε.

Por lo tanto Λg es continua.

(1) Para la demostracion´ de la continuidad de Λg hemos aplicado mutatis mutandis la definicion´ de continuidad para espacios metricos.´ Sin embargo, dado que Λg es lineal, es suficiente mostrar su continuidad en f = 0. O incluso trabajar solo´ con sucesiones de Cauchy, dado que tanto Lp(X,µ) como C son espacios de Banach. 2 (2) En el caso particular p = q = 2, Λg coincide con el producto interno asociado a L (X,µ) como espacio de Hilbert. Ademas,´ por ser Λg acotado el Teorema de representacion´ de Riesz nos garantiza que la igualdad en (2.24) es alcanzada, y cualquier funcional lineal sobre L2(X,µ) tiene la forma de Λg , para una unica´ funcion´ g. (3) ¿Diferentes elementos de Lq(X,µ) definen diferentes funcionales sobre Lp(X,µ)? (4) ¿Habra´ igualdad en (2.24) si p y q son exponentes conjugados distintos de 2? p (5) ¿Existen funcionales lineales y continuos en L (X,µ) que no tengan la forma de Λg ? (6) ¿Que´ relacion´ existe entre el dual topologico´ de Lp(X,µ) y Lq(X,µ)?

p q El siguiente resultado nos permite establecer la relacion´ entre [L (X,µ)]0 y L (X,µ) cuando 1 < p < ∞ y q es el exponente conjugado de p.

Teorema 2.8 Sea Λ : Lp(X,µ) → C un funcional lineal y continuo, 1 < p < ∞, ∈ q 1 1 entonces existe una funcion´ g L (X,µ), p + q = 1, tal que Z ∈ p Λ(f ) = Λg(f ) = f (x)g(x)dµ(x), para toda f L (X,µ). (2.26) X Ademas,´ g es unica´ (como clase de equivalencia), y k k k k Λ = g q. (2.27)

Si µ es σ-ﬁnita,(2.26) y (2.27) tambien´ son validas´ para p = 1.

Demostracion.´ Seguiremos los enfoques de las referencias [4,7, 10, 11, 12]. Obviare- mos el caso elemental Λ ≡ 0. Dividiremos la demostracion´ en tres pasos: 84 Y. Quintana

Paso 1: µ es finita. Paso 2: µ σ-finita. Paso 3: µ infinita (pero no σ-finita).

∈ p ∈ ≤ ∞ Paso 1: Si µ es ﬁnita, entonces χE L (X,µ), para todo E A , 1 p < . Consid- eremos la funcion´ conjuntista ν : A → C dada por ∈ ν(E) := Λ(χE), para todo E A .

Veamos que ν es una medida compleja sobre A : ∈ { } ∈ Sea A A y An n N J (A), entonces ∈ m m  m   m  X X X  [  ν(A )= Λ(χ ) = Λ χ  = Λ χSm = ν  A . (2.28) n An  An  n=1 An  n n=1 n=1 n=1 n=1 Como "Z # 1 "Z # 1 p p p p χ − χSm = χ (x) − χSm (x) dµ(x) = χ Sm (x) dµ(x) A n=1 An p A n=1 An [A n=1 An] X X \ 1   m  p   [  = µA \ A  −→ 0, cuando m → ∞,   n n=1 y Λ es continuo, entonces

Xm − − S −→ → ∞ Λ(χA) Λ χA = Λ(χA) Λ χ m A 0, cuando m . n n=1 n n=1

Es decir, Xm − lim Λ(χA) Λ χA ,= 0 m n →∞ n=1 luego X∞ X∞ Λ Λ ⇒ (χA) = χAn = ν(A) = ν(An), n=1 n=1 por lo tanto,   [∞  X∞ ν  A  = ν(A) = ν(A ),  n n n=1 n=1 y en consecuencia, ν es σ-aditiva. Es claro que ν(∅) = Λ(χ ) = Λ(0) = 0. As´ı que ν es una medida compleja. ∅∈ Ahora, consideremos A A tal que µ(A) = 0, entonces χA = 0 µ-a.e. por lo que

ν(A) = Λ(χA) = Λ(0) = 0, Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 85

por tanto, ν µ y por el Teorema de Radon-Nikodym (ver Teorema 2.5), existe una unica´ g ∈ L1(X,dµ) tal que dν = g dµ, y debido a la deﬁnicion´ de ν tenemos Z ∈ Λ(χE)= ν(E) = χE(x)g(x)dµ(x), para todo E A . (2.29) X Y por linealidad de la integral, obtenemos que para toda funcion´ simple s : X → C se tiene Z Esto nos dice que los funcionales Λ y Λ coinciden Λ(s) = s(x)g(x)dµ(x) = Λ (s). g g sobre las funciones simples. X

Luego si f ∈ L∞(X,dµ), como µ es ﬁnita, existe una sucesion´ de funciones simples { } k − k sn n N tal que lim f sn = 0 (ver Ejercicio 2.32). ∈ n ∞ Ahora bien, →∞ Z | − | ≤ | − || | ≤ k − k k k −→ Λg(f ) Λg(sn) f (x) sn(x) g(x) dµ(x) f sn g 1 0, ∞ n X →∞ y por continuidad de Λ (ver Ejercicio 2.29): | − | ≤ k kk − k −→ Λ(f ) Λ(sn) Λ f sn 0. ∞ n →∞   lim Λg(sn) = Λg(f ),  n  →∞ Por lo tanto:    lim Λ(sn) = Λ(f ).  n →∞ ∈ ≥ | − | Luego, dado ε > 0 podemos elegir n0 N tal que si n n0, entonces Λg(f ) Λg(sn) < ε | − | ε 2 y Λ(f ) Λ(sn) < 2 . De donde se deduce que | − | ≤ | − | | − | | − | | − | Λ(f ) Λg(f ) Λ(f ) Λ(sn) + Λ(sn) Λg(f ) = Λ(f ) Λ(sn) + Λg(sn) Λg(f ) < ε, | − | es decir, Λ(f ) Λg(f ) = 0 y en consecuencia, Λ(f ) = Λg(f ). k − k ≤ ∞ Note que tambien´ debido que µ es ﬁnita, lim f sn p = 0, para 1 p < . n Supongamos ahora que p = 1. Sea A ∈ A tal→∞ que µ(A) > 0, entonces Z Z | | | | ≤ k kk k g(x)dµ(x) = χA(x)g(x)dµ(x) = ν(A) = Λ(χA) Λ χA 1, A X lo que implica que Ver Ejercicio 2.33 o recuerde Theorem 3.11. Real Analysis: Chapter 3, Prof. W. Urbina, [14].

kgk ≤ kΛk. (2.30) ∞ Mientras que si 1 < p < ∞, tomando la funcion´ h : X → C dada por   g(x) , si x ∈ g 1 ( \{0}),  g(x) − C h(x) :=  | |   1  1, si x ∈ g− ({0}), 86 Y. Quintana tenemos que h es medible y

|h(x)| = 1, y h(x)g(x) = |g(x)|, para todo x ∈ X. (2.31)

Deﬁniendo { ∈ | | } | |q 1 ∈ An := x X : g(x) < n ,f n(x) := χAn (x) g(x) − h(x), para todo x X, ∈ ⊂ p tenemos que fn L∞(X,µ) L (X,µ), y usando (2.31): Z Z Z | |q | |q 1| | | |q 1 g(x) dµ(x) = g(x) − g(x) dµ(x) = χAn (x) g(x) − h(x)g(x)dµ(x) A A X n Zn ≤ k kk k = fn(x)g(x)dµ(x) = Λ(fn) Λ fn p. (2.32) X Por otro lado,

p(q 1) = q, porque p y q son exponentes |f (x)|p = χ (x)|g(x)|p(q 1) = χ (x)|g(x)|q, − n An − An conjugados por lo que Z Z k kp | |p | |q fn p = fn(x) = g(x) dµ(x), An An Z si |g(x)|q dµ(x) , 0, usando (2.5) obtenemos que An

p p p 1 q p q p 1 = , porque p y q son expo- kf k − ≤ kΛk =⇒ kf k ≤ kΛk =⇒ kf k ≤ kΛk . − q n p n p n p nentes conjugados

Luego, Z | |q ≤ kΛkq χAn (x) g(x) dµ(x) . (2.33) X Z Note que (2.33) sigue siendo valida,´ aunque |g(x)|q dµ(x) = 0 (ver Ejercicio 2.34), An y de (2.33) se deduce que k k ≤ k k g q Λ . (2.34)

En conclusion,´ hemos demostrado que para todo 1 ≤ p < ∞ existe una funcion´ ∈ q 1 1 g L (X,µ), con p + q = 1 tal que (2.26) es cierta para toda funcion´ simple f .

Y ahora usando que el conjunto de las funciones simples es denso en Lp(X,µ) para 1 ≤ p < ∞: Recuerde Theorem 4.7. Real Analysis: Chapter 4, Prof. W. Urbina, [14]. ∈ p { } Para f L (X,µ) existe hn n N sucesion´ de funciones simples, tal que ∈ k − k lim f hn p = 0, n →∞ Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 87 y por continuidad de Λ: Z | − | ⇒ − lim Λ(f ) Λ(hn) = 0= lim Λ(f ) hn(x)g(x)dµ(x) = 0, n n →∞ →∞ X Luego, Z Λ(f ) = lim hn(x)g(x)dµ(x). (2.35) n →∞ X Por otro lado, aplicando la desigualdad de Holder¨ y la densidad de las funciones simples en Lp(X,µ) obtenemos Z Z Z f (x)g(x)dµ(x) − h (x)g(x)dµ(x) = (f (x) − h (x))g(x)dµ(x) n n X X Z X ≤ | − || | f (x) hn(x) g(x) dµ(x) X ≤ k − k k k −→ f hn p g q 0, n →∞ Por lo tanto, Z Z − lim f (x)g(x)dµ(x) hn(x)g(x)dµ(x) = 0, n →∞ X X y en consecuencia, Z Z f (x)g(x)dµ(x) = lim hn(x)g(x)dµ(x). (2.36) n X →∞ X Comparando (2.35) y (2.36) obtenemos Z Λ(f ) = f (x)g(x)dµ(x). X k k ≤ k k Finalmente, de (2.30) y (2.34) obtenemos que g q Λ , y la Proposicion´ 2.3 garantiza que se verifica (2.27). { } ∈ ≤ ∞ Paso 2: Si µ es σ-finita, sea An n N J (X). Fijado p tal que 1 p < , como µ(A ) < ∞ entonces las funciones f ∈∈ Lp(X,µ) tales que χ f = 0µ-a.e. forman n (X An) n p \ p un subespacio cerrado de L (X,µ) que puede identificarse con L (An, µ ), para A An ∈ ∈ ∩ cada n N (ver Ejercicio 2.35). Luego, para cada n N tomamos µˆn = µ y A An Λ p → ∩ definimos un funcional lineal An : L (An,µˆn) C dado por Λ Λ An (f ) = (f ). Entonces por la definicion´ 2.9: (| | ) ΛA (f ) kΛ k = sup n : f ∈ Lp(A ,µˆ ),f 0 . An k k n n , f p (| | ) ≤ Λ(f ) ∈ p k k sup k k : f L (X,µ),f , 0 = Λ , f p 88 Y. Quintana

Λ por lo que An es continuo. As´ı que aplicando el Paso 1 obtenemos que para cada ∈ ∈ q n N existe gn L (An,µˆn), tal que Z Z Λ An (f ) = f (x)gn(x)dµˆn(x) = χAn (x)f (x)gn(x)dµ(x). An X Si f ∈ Lp(X,µ) entonces S f = lim χ m A f . m n=1 n →∞ Luego, por continuidad de Λ:   Xm  S   Λ(f ) = lim Λ χ m A f = lim Λ χA f  m n=1 n m  n  →∞ →∞ n=1 Xm Xm = lim Λ χA f = lim ΛA χA f (2.37) m n m n n →∞ n=1 →∞ n=1 Xm Z = lim χA (x)f (x)gn(x)dµ(x) m n →∞ n=1 X Z  m  X  = lim  gn(x)f (x)dµ(x). (2.38) m   →∞ X n=1

 m  m [  X Como µ A  < ∞, por el Paso 1 la funcion´ g esta´ asociada al funcional ΛSm .  n n n=1 An n=1 n=1 Luego,

Xm S ≤ k k gn = Λ m A Λ . (2.39) n=1 n n=1 q

X∞ Consideremos la serie g := gn. Esta serie converge puntualmente, ya que para n=1 ∈ cada x X, solo´ un sumando gn(x) puede ser diferente de cero (veriﬁque esta aﬁr- macion´ ). En particular,

X∞ X∞ g = |g |. (2.40) n n n=1 n=1 Ahora por el Lema de Fatouy(2.39) obtenemos Recuerde el Theorem 3.3. Real Analysis: Chapter 3, Prof. W. Urbina, [14].

q q Z Z Xm Z Xm | |q ≤ g(x) dµ(x)= liminf gn(x) dµ(x) liminf gn(x) dµ(x) m m X X →∞ n=1 →∞ X n=1 ≤k Λkq, Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 89 lo que signiﬁca que k k ≤ k k g q Λ . (2.41) Finalmente, para cada x ∈ X

 m  X  lim f (x) gn(x) = f (x)g(x), m   →∞ n=1 as´ı que utilizando (2.40) y (2.41):

 m  m X  X f (x) g (x) = |f (x)| |g (x)| ≤ |f (x)||g(x)|,  n  n n=1 n=1 y como f ∈ Lp(X,µ) y g ∈ Lq(X,µ), tenemos que |f ||g| ∈ L1(X,µ). Luego, podemos aplicar el Teorema de convergencia dominada de Lebesgue a la derecha de (2.38), obteniendo: Recuerde el Theorem 3.7. Real Analysis: Chapter 3, Prof. W. Urbina, [14].

Z  m  Z X  Λ(f )= lim  gn(x)f (x)dµ(x)= f (x)g(x)dµ(x). m   →∞ X n=1 X Y nuevamente obtenemos (2.26). Mientras que (2.27) puede deducirse de la Proposicion´ 2.3y(2.41). Paso 3: Si µ es inﬁnita, pero no σ-ﬁnita. Fijemos p tal que 1 < p < ∞. Como Λ es no nulo, existe h ∈ Lp(X,µ) tal que para cada f ∈ Lp(X,µ) podemos encontrar un unico´ α ∈ C y una unica´ fˆ ∈ Ker(Λ) tales que

f = αh + fˆ y Λ(f ) = α. (2.42)

∈ p \ ∈ p Λ(f ) Sea h L (X,µ) Ker(Λ), para cada f L (X,µ) considere α = Λ(h) , entonces la funcion´ fˆ = (f − αh) ∈ Ker(Λ), f = αh + fˆ , y Λ(f ) = α. Esto es consecuencia de que Ker(Λ) es subespacio de codimension´ 1 en Lp(X,µ).

Sea A := {x ∈ X : h(x) , 0}, como h ∈ Lp(X,µ) se deduce que A es µ σ-finito y ∈ p procediendo como en el Paso 2 las funciones f L (X,µ) que se anulan fuera de A forman un subespacio cerrado de Lp(X,µ) que puede identificarse con Lp(A, µ ) A A (ver Ejercicio 7.). Luego, tomamos µˆ = µ y definimos el funcional lineal Λ∩ : A A A Lp(A,µˆ) → C dado por ∩ ΛA(f ) = Λ(f ). ∈ q Como en el Paso 2, ΛA es continuo y existe g L (A,µˆ), tal que Z Z ΛA(f ) = f (x)g(x)dµˆ(x) = χA(x)f (x)g(x)dµ(x), (2.43) A X 90 Y. Quintana para toda f ∈ Lp(A,µˆ), y k k ≤ k k ≤ k k g q ΛA Λ . (2.44) Ahora bien, si u ∈ Lp(X,µ) es una funcion´ que se anula en A, entonces Z Λ(u) = 0 = u(x)g(x)dµ(x) (2.45) X En efecto, por (2.42) tenemos que u = αh + uˆ y Λ(u) = α, pero h se anula fuera de A, esto implica que α = 0 y u = uˆ. Igualmente, de las hipotesis´ sobre u y g, deducimos que ug = 0 µ-a.e. Por lo que si f ∈ Lp(X,µ) es arbitraria, por (2.43) y (2.42) tenemos que

Λ(f ) = Λ(χAf ) + Λ(χ(X A)f ) = ΛA(f ) Z \ Z = χA(x)f (x)g(x)dµ(x) + χ(X A)(x)f (x)g(x)dµ(x) \ ZX X = f (x)g(x)dµ(x). X Mientras que (2.27) puede deducirse de la Proposicion´ 2.3y(2.44). Unicidad de g: Si µ es σ-finita. Fijemos p tal que 1 ≤ p < ∞ y sean g,gˆ ∈ Lq(X,µ), 1 1 p + q = 1, tales que Z f (x)(g(x) − gˆ(x))dµ(x) = 0, para toda f ∈ Lp(X,µ). (2.46) X { } ∈ ∈ ∈ p ∈ Sea An n N J (X), si E A entonces χEχAn = χE An L (X,µ), para cada n N. Por (2.46)∈ tenemos que ∩ Z − χAn (x)(g(x) gˆ(x))dµ(x) = 0. (2.47) E − ∈ q ∞ − ∈ 1 Como g gˆ L (X,µ) y µ(An) < , obtenemos que χA (g gˆ) L (X,µ), y esto junto − n ∈ − con (2.47) implica que χAn (g gˆ) = 0 µ-a.e. para cada n N. Por lo que g gˆ = 0 µ-a.e. Si µ infinita, pero no σ-finita. Fijemos p tal que 1 < p < ∞, atendiendo a los ∈ q 1 1 resultados y notaciones del Paso 3 para mostrar la unicidad de g L (X,µ), p + q = 1, es suficiente mostrar que si existe otra funcion´ gˆ ∈ Lq(X,µ), que satisface (2.26) y (2.27), entonces χ(X A)gˆ = 0 µ-a.e. \ Si no fuese as´ı, existir´ıa B ∈ A , tal que B ∩ A = ∅, µ(B) , 0 y gˆ no se anula en B. Como gˆ ∈ Lq(X,µ) y q , ∞, B tiene que ser µ σ-finito. Por lo tanto, existe C ∈ A tal que C ⊂ B, 0 < µ(C) < ∞ y Z gˆ(x)dµ(x) , 0. (2.48) C ∈ p Pero χC L (X,µ) y como demostramos en el Paso 3, Λ(χC) = 0, lo que contradice (2.48). Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 91

Los ejemplos siguientes demuestran que el Teorema 2.8 no siempre puede am- pliarse al caso p = ∞, incluso cuando µ es σ-ﬁnita, ni a p = 1 cuando µ no es σ-ﬁnita.

Ejemplo 2.5 Considere m : M → [0,∞] la medida de Lebesgue en R y | L∞[0,1] := L∞([0,1], m M [0,1]) (ver Ejercicio 2.35). Sea W el subespacio de ∩ L∞[0,1] dado por

W := {f ∈ L∞[0,1] : lim f (x) = r < ∞}, x 1 → si f ∈ W deﬁna Λ : W → R por Λ(f ) = r. Entonces Λ es un funcional lineal y k k ˜ → continuo, y Λ = 1 (verif´ıquelo). Por el Ejercicio 2.37 existe Λ : L∞[0,1] R tal que Λ˜ = Λ y kΛ˜ k = kΛk. W Si suponemos que existe g ∈ L1[0,1] tal que g representa a Λ v´ıa (2.26) entonces Z g no puede ser nula µ-a.e. Tomando A ∈ M ∩ [0,1] tal que g(x)dm(x) , 0, A reduciendo, si fuese necesario, al conjunto A, podemos obtener B ∈ M ∩ [0,1] tal que [1 − δ,δ] ∩ B = ∅ para algun´ δ > 0 suﬁcientemente pequeno,˜ mateniendo la condicion´ Z g(x)dm(x) , 0, (2.49) B ∈ Luego, la representacion´ de Λ por g v´ıa (2.26) es imposible, ya que χB W y Λ(χB) = 0, contradice (2.49)(verif´ıquelo).

Ejemplo 2.6 Sean X = {x,y}, A = P(X) y µ la medida sobre A definida medi- { } { } ∞ 1 ante µ( x ) = 1 y µ( y ) = . Entonces, L (X,µ) es identificable con C y L∞(X,µ) 2 h 1 i es identificable con C . Luego en este caso, L (X,µ) 0 ( L∞(X,µ)(verif´ıquelo, Ejercicio 2.40).

Podemos resumir los resultados obtenidos sobre la dualidad de los espacios Lp en los siguientes puntos:

(1) Si 1 < p < entonces el dual de Lp(X,µ) es isometricamente´ isomorfo a Lq(X,µ) como ∞ espacios de Banach, donde q es el exponente conjugado de p. La correspondencia entre p q [L (X,µ)]0 y L (X,µ) viene dada por (2.26). Como p, a su vez, es el exponente conjugado de q resulta que p q p [L (X,µ)]00 = [L (X,µ)]0 = L (X,µ), es decir, Lp(X,µ) es un espacio reﬂexivo, (coincide con su doble dual).

h 1 i (2) Si p = 1 y µ es σ-finita, entonces L (X,µ) 0 tambien´ se identifica con L∞(X,µ), pero ni aun´ 1 siendo µ finita se puede asegurar que el dual de L∞(X,µ) coincida con L (X,µ). No obstante, 92 Y. Quintana

1 para medidas σ-ﬁnitas existe un subespacio cerrado Y de [L∞(X,µ)]0 tal que L (X,µ) es isometricamente´ isomorfo a Y como espacios de Banach. (3) Como una consecuencia, es util´ tener presente que si 1 < p < , entonces ∞ ( Z )

f p = sup f (x)g(x)dµ(x) : g q 1 , (2.50) k k X k k ≤ para toda f Lp(X,µ). Cuando µ es σ-ﬁnita (2.55) tambien´ es valida´ para p = 1 o p = ∈ ∞ (ver Ejercicio 2.41).

Proposicion´ 2.4 Dados (X,A ,µ) un espacio de medida σ-ﬁnita y 1 ≤ q < ∞, 1 < p ≤ ∞ exponentes conjugados. Sea f : X → C (o f : X → [0,∞]) funcion´ medible tal que para todo g ∈ Lq(X,µ) se tiene que f g ∈ L1(X,µ). Entonces f ∈ Lp(X,µ).

[ { } ⊂ ∞ ∞ Demostracion.´ Sea An n N A sucesion´ creciente tal que X = An y µ(An) < ∈ n=1 para cada n ∈ N. Ya que f g ∈ L1(X,µ), si y solo´ si, |f |g ∈ L1(X,µ), podemos suponer que f ≥ 0. { } Sea sn una sucesion´ creciente de funciones simples no negativas tal que lim sn = f N n { } →∞ puntualmente. Deﬁnamos s0 := χA sn, entonces s0 es tambien´ creciente, lim s0 = f n n n N n n ∈ p ∈ | | ≤ | || | ∈ 1 →∞ puntualmente, y sn0 L (X,µ), para cada n N. Como sn0 g f g L (X,µ), aplicando el Teorema de convergencia dominada de Lebesgue tenemos que Z Z −→ Λn(g) := s0 (x)g(x)dµ(x) f (x)g(x)dµ(x). (2.51) n n X →∞ X Entonces deﬁniendo Z Λ(g) := f (x)g(x)dµ(x), para toda g ∈ Lq(X,µ), (2.52) X tenemos que Λ es un funcional lineal y continuo sobre Lq(X,µ) (ver Ejercicio 2.42). Ahora, por el Teorema 2.8 existe fˆ ∈ Lp(X,µ) tal que Z Λ(g) = fˆ(x)g(x)dµ(x), para toda g ∈ Lq(X,µ), (2.53) X Luego, de (2.52) y (2.53) se deduce que Z (f (x) − fˆ(x))g(x)dµ(x) = 0, para toda g ∈ Lq(X,µ). (2.54) X Y ahora empleando un razonamiento similar al usado para mostrar la unicidad en la demostracion´ del Teorema 2.8, podemos concluir que f − fˆ = 0 µ-a.e. y en consecuencia f ∈ Lp(X,µ). Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 93

Henri Leon´ Lebesgue Henri Leon´ Lebesgue (1875-1941) fue un matematico´ frances´ conocido por haber formulando las bases de la Teor´ıa de la Medida en 1901 al dar la deﬁnicion´ de lo que conocemos hoy como intengral de Lebesgue, generalizando la integral de Riemann al extender el concepto del area´ debajo de una curva para incluir muchas funciones discontinuas. Esta generalizacion´ de la integral de Riemann revoluciono´ el Calculo´ Integral. A partir de 1898, Lebesgue estuvo interesado, -y de hecho estudio´ detalladamente-, las contribuciones de Baire sobre funciones discontinuas y se dio cuenta de que se pod´ıa lograr mucho mas´ en ese tema. Este interes´ estaba vinculado a su deseo de obtener una demostracion´ de la convergencia de los desarrollos trigonometricos´ de Fourier (series de Fourier). Sobre la base del trabajo de otros, incluido el de Emile´ Borel y Camille Jordan, Lebesgue formulo´ la nocion´ de conjuntos medibles en la recta, y de funciones integrables (en el sentido Lebesgue) en su famoso paper Sur une gen´ eralisation´ de l’integrale´ deﬁnie´ :

H. Lebesgue, Sur une gen´ eralisation´ de l’integrale´ deﬁnie´ , Comptes rendus hebdo- madaires des seances´ de l’Academie´ des sciences Tome CXXXII No. 1 (1901), 1025-1028. Disponible en: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k30888

Mas´ tarde habr´ıa una considerable rivalidad entre Baire y Lebesgue. La primera vez que pelearon fue en 1904, cuando Baire dio el Cours Peccot en el College` de France, y visiblemente molesto porque Lebesque hab´ıa sido invitado un ano˜ antes, pregunto´ quien´ ten´ıa mas´ derecho a dictar tal curso. Al ano˜ siguiente el College` de France volvio´ a invitar a Lebesgue... Sobre la base de estas conferencias Lebesgue escribio´ dos monograf´ıas Leçons sur l’integration´ et la recherche des fonctions primitives (1904) y Leçons sur les series´ trigonometriques´ (1906). Sin embargo, su trabajo recibio´ una recepcion´ hostil de analistas clasicos,´ especialmente en Francia. Tambien´ se peleo´ con Borel durante la primera guerra mundial; durante ese conflicto belico´ Le- besgue trabajo´ para la defensa de Francia, y en este momento Borel tambien´ estaba haciendo una tarea similar. Es interesante notar que Lebesgue no se concentro´ a lo largo de su carrera en el campo que el´ mismo hab´ıa comenzado. Esto podr´ıa atribuirse a que su trabajo era una generalizacion´ sorprendente, y el mismo Lebesgue tem´ıa las generalizaciones. Una vez escribio:´ “ Reducida a teor´ıas generales, la matematica´ ser´ıa una forma hermosa sin contenido. Morir´ıa rapidamente”´ . Aunque los desarrollos posteriores demostraron que sus temores no tienen fundamento, esto nos permite comprender el curso que siguio´ su propio trabajo. Fuente: J. J. O’Connor, E. F. Robertson, Henri Leon´ Lebesgue. https://mathshistory. st-andrews.ac.uk/Biographies/Lebesgue 94 Y. Quintana 2.6 Ejercicios propuestos

Ejercicio 2.29 Sea (V,k · k) un espacio normado. Demuestre que un funcional lineal Λ : V → K es acotado, si y solo´ si, es continuo.

Ejercicio 2.30 Sea (V,k · k) un espacio normado. Demuestre que si dim(V ) < ∞ entonces V 0 = V ∗.

Ejercicio 2.31 Sea (V,k · k) un espacio normado. Demuestre que el espacio dual V 0 dotado con la norma ( ) |Λ(x)| kΛk := sup : x ∈ V ,x , 0 , kxk

es un espacio de Banach.

Ejercicio 2.32 Sea (X,A ,µ) un espacio de medida ﬁnita. Demuestre que si ∈ { } f L∞(X,µ), entonces existe una sucesion´ de funciones simples sn n N tal que k − k ∈ lim f sn = 0. n ∞ →∞

Ejercicio 2.33 Sean (X,A ,µ) un espacio de medida ﬁnita, D ⊆ C cerrado y f ∈ L1(X,µ). Demuestre que: Z 1 (a) Si para todo A ∈ A con µ(A) > 0 se tiene que f (x)dµ(x) ∈ D, en- µ(A) A tonces f (x) ∈ D µ-a.e. Z 1 (b) Si f (x) ∈ D µ-a.e., entonces f (x)dµ(x) ∈ D. µ(A) A Sugerencia: Para la parte (a): dado ε > 0, considere un disco cerrado { ∈ | − | ≤ } ⊂ \ 1 B = z C : z z0 ε C D y A = f − (B). Suponga que µ(A) > 0 y llegue a 1 \ una contradiccion.´ Muestre que µ(f − (C D)) = 0. Para la parte (b): Use que 2, por lo que puede tomar = [ ]×[ ]. Muestre que existen ∈ [ ] C R R D a,b c,dR x1 a,b e y ∈ [c,d] tales que Re(f ) dµ = x µ(X) y Im(f ) dµ = y µ(X). 1 X 1 X 1

Ejercicio 2.34 (♣) Sean X un conjunto no vac´ıo, V un espacio vectorial real reticulado de funciones a valores reales sobre X, Λ : V → R un funcional lineal positivo, y V˜ el conjunto de todas las funciones sobre X que son l´ımites puntuales de sucesiones crecientes de funciones en V , esto es ( → −∞ ∞ { } ⊂ ) ˜ f : X [ , ] : existe hn n N V creciente, tal que V = ∀ ∈ ∈ . x X, f (x) = limn hn(x) →∞ Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 95

+ Considere F := {f ∈ V : f ≥ 0} y V := V˜ ∩ F y deﬁna la aplicacion´ Λ∗ : F :→ [0,∞] por n o  ∈ ˜ ≤  inf Λ(g): g V y f g ,  Λ∗(f ) :=    ∞, si no existe g ∈ V˜ tal que f ≤ g. Demuestre que | | (a) Λ∗ V + = Λ V + . (b) Para todo f ,g ∈ F y α ∈ [0,∞) se tiene:

i) f ≤ g ⇒ Λ∗(f ) ≤ Λ∗(g).

ii) Λ∗(αf ) = αΛ∗(f ).

iii) Λ∗(f + g) ≤ Λ∗(f ) + Λ∗(g). { } ⊂ (c) Propiedad de Beppo Levi. Si fn n N F es una sucesion´ de funciones { } ∈ crecientes, entonces Λ∗(fn) n N es una sucesion´ creciente y ∈ lim Λ∗(fn) = Λ∗ lim fn . n n →∞ →∞

Ejercicio 2.35 Sean (X,A ,µ) un espacio de medida y A ∈ A . Demuestre que

(a) La familia A ∩ A := {E ∩ A : E ∈ A } es una σ-algebra´ de subconjuntos de A. A ∩ A recibe el nombre de σ-algebra´ inducida sobre A.

(b) La funcion´ conjuntista µ deﬁne una medida sobre (A,A ∩ A), lla- A A mada medida inducida sobre∩ A. El espacio (A,A ∩ A, µ ) recibe el A A nombre de espacio inducido. ∩

{ ∈ p } YA := f L (X,µ): χ(X A)f = 0µ-a.e. \ es un subespacio cerrado de Lp(X,µ). Υ → (d) Bajo las mismas hipotesis´ de la parte (c), la aplicacion´ : YA Lp(A, µ ) dada por Υ (f ) = f , es un isomorﬁsmo isometrico.´ A A ∩

Ejercicio 2.36 Sean (V,k · k) un espacio normado, Λ : V → K un funcional lineal no nulo y Ker(Λ) su nucleo.´ Demuestre Λ es continuo, si y solo´ si, Ker(Λ) es cerrado. 96 Y. Quintana

Ejercicio 2.37 Forma anal´ıtica del Teorema de Hahn-Banach. Sean (V,k · k) un espacio normado y W ⊂ V un subespacio cerrado no trivial, y Λ : W → K un funcional lineal no nulo. Demuestre que existe un funcional lineal Λ˜ : V → K tal que

(a) Λ˜ = Λ. W (b) kΛ˜ k = kΛk.

Ejercicio 2.38 Use el ejercicio anterior para demostrar que si (V,k · k) un es- ∈ \{ } pacio normado y x0 V 0 , entonces existe un funcional lineal y continuo → k k k k Λ : V K tal que Λ(x0) = x0 y Λ = 1.

Ejercicio 2.39 Veriﬁque cada aﬁrmacion´ hecha en el Ejemplo 1. de la Clase # 6.

Ejercicio 2.40 Veriﬁque cada aﬁrmacion´ hecha en el Ejemplo 2. de la Clase # 6.

Ejercicio 2.41 ∞ 1 1 Demuestre que si 1 < p,q < y p + q = 1 entonces (Z ) k k k k ≤ f p = sup f (x)g(x)dµ(x): g q 1 , (2.55) X para toda f ∈ Lp(X,µ). Cuando µ es σ-ﬁnita (2.55) tambien´ es valida´ para p = 1 o p = ∞.

Ejercicio 2.42 (♣) Teorema de cierre de Steinhaus. Sean X espacio de Banach, → ∈ Y espacio normado y Tn : X Y un operador lineal y continuo para cada n N. { } Suponga que Tn n N converge puntualmente en X, es decir, ∈

lim Tn(x) = Tx, n →∞ para cada x ∈ X. Demuestre que el operador lineal T : X → Y deﬁnido por ∈ T (x) := Tx, para cada x X,

es un operador lineal y continuo. Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 97 2.7 Conceptos de convergencia en Teor´ıa de la Medida y su interrelacion´

En Teor´ıa de la Medida se manejan diferentes conceptos de convergencia. Por ejemplo, la convergencia en norma Lp, convergencia la uniforme, la convergencia puntual a.e., etc. Familiarizados ya con el concepto de medida compleja, en esta seccion´ nos ocuparemos de analizar con cierta profundidad la interrelacion´ entre los diversos conceptos de convergencia propios de Teor´ıa de la Medida. Seguiremos los enfoques de [7, 10, 11, 12].

Deﬁnicion´ 2.10 Sea (X,A ,µ) un espacio de medida, 1 ≤ p < ∞, { } ⊂ p ∈ p { } fn n N L (X,µ), y f L (X,µ). Diremos que fn n N converge a f en media de∈ orden p si ∈ Z | − |p lim fn(x) f (x) dµ(x) = 0. (2.56) n →∞ X

La unica´ diferencia entre la convergencia en media de orden p y la convergencia en Lp(X,µ) (o convergencia en norma Lp(X,µ)) radica en que en la deﬁnicion´ 2.10 estamos considerando funciones, mientras que en la convergencia norma Lp(X,µ) consideramos clases de funciones. Por lo tanto, para esta nocion´ de convergencia podemos deducir muchas propiedades, a partir de las ya conocidas para la convergencia en norma Lp(X,µ). Recuerde Real Analysis: Chapter 4, Prof. W. Urbina, [14]. 98 Y. Quintana

≤ ∞ { } ⊂ p Lema 2.1 Sean (X,A ,µ) un espacio de medida, 1 p < , fn n N L (X,µ), y f ∈ L p(X,µ). ∈ −→ ∈ p | | ≤ (I) Si fn f µ-a.e. y existe g L (X,µ) tal que fn g µ-a.e. para todo n ∈ →∞ −→ n N, entonces fn f en media de orden p. n →∞ { } ⊂ p (II) Si fn n N L (X,µ) es de Cauchy en media de orden p, entonces existe ∈ p∈ −→ h L (X,µ) tal que fn h en media de orden p. n →∞ −→ (III) Si fn f en media de orden p, entonces existe una subsucesion´ n { } →∞ fnk k N tal que ∈ −→ fn f µ-a.e. k k →∞ −→ −→ (IV) Si fn f en media de orden p, y fn g en media de orden p, en- n n tonces→∞f = g µ-a.e. →∞ ≤ ∞ ∞ −→ (V) Si 1 p < q < , µ(X) < , y fn f en media de orden q, entonces n −→ →∞ fn f en media de orden p. n →∞ −→ −→ (VI) Si fn f en media de orden p, gn g en media de orden p, y n n { } →∞⊂ →∞ −→ αn n N C es tal que lim αn = α, entonces fn + gn f + g en media ∈ n n −→ →∞ →∞ de orden p, y αnfn αf en media de orden p. n →∞ Demostracion.´ −→ ∈ (I) Como fn f µ-a.e., existe A A tal que n →∞ ∈ \ lim fn(x) = f (x), para todo x A y µ(X A) = 0, n →∞ ∈ p | | ≤ ∈ ∈ y como g L (X,µ) es tal que fn g µ-a.e. para todo n N, existe B A tal que para todo n ∈ N: | | ≤ ∈ \ fn(x) g(x), para todo x B y µ(X B) = 0. ∩ ∈ Luego, tomando C = A B, tenemos que dado ε > 0 existe n0 N tal que | − | ≥ \ fn(x) f (x) < ε, siempre que n n0 y µ(X C) = 0, ademas,´ | | ≤ ∈ fn(x) g(x), para todo x C. Ahora bien, para x ∈ C | − | | − − | ≤ | − | | − | f (x) g(x) = f (x) fn(x) + fn(x) g(x) fn(x) f (x) + fn(x) g(x) ≤ | − | | | ≤ | − | fn(x) f (x) + fn(x) + g(x) fn(x) f (x) + 2g(x) ≤ ≥ ε + 2g(x), siempre que n n0. Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 99

Es decir, |f − g| ≤ 2g µ-a.e., de donde | − | | − − | ≤ | − | | − | fn(x) f (x) = fn(x) g(x) + g(x) f (x) fn(x) g(x) + g(x) f (x) ≤ 2g(x) + 2g(x) = 4g(x), x ∈ C. Por lo tanto, |f − f |p ≤ (4g)p ∈ L 1(X,µ) y podemos aplicar el Teorema de convergen- n −→ cia dominada de Lebesgue obteniendo que fn f en media de orden p. n →∞ (II) Se deduce de la completitud de los espacios Lp(X,µ), 1 ≤ p < ∞. Recuerde Theorem 4.5. Real Analysis: Chapter 4, Prof. W. Urbina, [14]. (III) Basta aplicar Theorem 4.6. Real Analysis: Chapter 4, Prof. W. Urbina, [14]. (IV) Es consecuencia de (III). (V) Se deduce de los siguientes hechos: como µ(X) < ∞ y 1 ≤ p < q < ∞, entonces q ⊂ p ∈ − ∈ q L (X,µ) L (X,µ) y como para cada n N, fn f L (X,µ) se cumple que

1 1 k − k ≤ p q k − k fn f p (µ(X)) − fn f q.

Recuerde el Theorem 4.2. Real Analysis: Chapter 4, Prof. W. Urbina, [14].

(VI) Ver Ejercicio 2.43.

La propiedad (III) puede no ser valida´ para la sucesion´ completa. Ver Ejercicio 2.44.

{ } Teorema 2.9 (Egorov) Sean (X,A ,µ) un espacio de medida ﬁnita, fn n N ∈ sucesion´ de funciones medibles a valores complejos y f : X → C funcion´ med- −→ ∈ ible. Supongamos que fn f µ-a.e., entonces para todo ε > 0 existe A A n \ −→→∞ tal que µ(X A) < ε y fn f uniformemente en A. n →∞

Demostracion.´ Para n,k ∈ N consideremos los conjuntos \ 1 A = x ∈ X : |f (x) − f (x)| ≤ . (2.57) k,n m k m n ≥ { } ⊂ Si para cualquier sucesion´ nk k N N deﬁnimos el conjunto ∈ \ A := Ak,nk , (2.58) k N ∈ −→ entonces fn f uniformemente en A. Por tanto, nuestro problema se reduce a n mostrar que A→∞∈ A y para ε > 0, µ(X \ A) < ε. Notemos las siguientes propiedades de los conjuntos Ak,n. Ver Ejercicio 2.45. 100 Y. Quintana

∈ ∈ (a) Ak,n A , para todo n,k N. [ −→ (b) X = Ak,n, ya que fn f µ-a.e. n n N →∞ ∈ ⊂ (c) Ak,n+1 Ak,n. Luego, para ε > 0 y k ∈ , existe n ∈ tal que µ(X \ A ) ≤ ε . N k N k,nk 2k Por lo que ﬁjado ε > 0, deﬁniendo A como en (2.58), tendremos que A ∈ A y −→ fn f uniformemente en A. n →∞ \ \ T S \ Finalmente, X A = X k N Ak,nk = k N X Ak,nk , y en consecuencia, ∈ ∈   [  X∞ X∞ ε µ(X \ A) = µ X \ A  ≤ µ X \ A ≤ = ε.  k,nk  k,nk 2k k N k=1 k=1 ∈

(a) La conclusion´ del Teorema 2.9 es que redeﬁniendo las funciones fn sobre un conjunto de medida arbitrariamente pequena,˜ podemos convertir una sucesion´ que converge puntualmente en otra que converge uniformemente; notese´ la analog´ıa con el Teorema de Luzin, 1.8.

(b) El Teorema 2.9 no puede extenderse al caso de medidas σ-ﬁnitas: Por ejemplo, considere la sucesion´ χ[n,n+1] n Z converge puntualemente a 1 sobre R, pero si consideramos en R la { } ∈ medida de Lebesgue m, la conclusion´ del Teorema 2.9 no se cumple.

sobre la sucesion´ fn n N. Ver Ejercicio 2.46. { } ∈

Motivados por el Teorema 2.9 introducimos la siguiente deﬁnicion:´ { } Deﬁnicion´ 2.11 Dados (X,A ,µ) un espacio de medida, fn n N sucesion´ de ∈ funciones medibles a valores complejos y f : X → C funcion´ medible. Diremos { } que fn n N converge casi uniformementea f , si y solo´ si, para todo ε > 0 existe A ∈ A tal∈ que µ(X \ A) < ε y | − | −→ sup fn(x) f (x) 0. (2.59) x A n ∈ →∞ { } Cuando fn n N converja casi uniformente a f , usaremos la notacion´ ∈ −→ fn f µ-a.u. n →∞ Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 101

(1) Si fn n N es una sucesion´ de funciones medibles acotadas, con las deﬁniciones y notaciones { } ∈ introducidas, tenemos la siguiente cadena de implicaciones: −→ −→ −→ fn n f unif.= fn n f µ-a.u.= fn n f µ-a.e. →∞ ⇒ →∞ ⇒ →∞ [(2)] Adicionalmente, si en la parte (1) suponemos que µ(X) < , entonces ∞ −→ −→ fn n f µ-a.e.= fn n f µ-a.u. →∞ ⇒ →∞ Ademas,´ no existen otras implicaciones.

(3) La convergencia µ-a.u. disfruta de las propiedades de la convergencia µ-a.e., por ejemplo, unicidad del l´ımite salvo en conjuntos de medida cero, la convergencia de la suma de dos sucesiones convergentes a la suma de sus funciones l´ımite, etc.

{ } Deﬁnicion´ 2.12 Dados (X,A ,µ) un espacio de medida, fn n N sucesion´ de ∈ funciones medibles a valores complejos y f : X → C funcion´ medible. Diremos { } que fn n N converge en medidaa f , si ∈ { ∈ | − | } −→ µ( x X : fn(x) f (x) > ε ) 0, para todo ε > 0. (2.60) n →∞ { } Cuando fn n N converja en medida a f , usaremos la notacion´ ∈ −→ fn f µ-med. n →∞

(1) En Teor´ıa de Probabilidad esta convergencia se llama en convergencia en probabilidad.

(2) La sucesion´ del Ejercicio 2.44. converge en medida a 0, y muestra que ni aun´ en el caso en que µ(X) < la convergencia en medida implica convergencia µ-a.e. ∞

Proposicion´ 2.5 (Propiedades de la convergencia en medida) Sea (X,A ,µ) un espacio de medida. −→ −→ (I) Si fn f µ-med. y fn g µ-med., entonces f = g µ-a.e. n n →∞ →∞ −→ −→ ∈ (II) Si fn f µ-med., gn g µ-med., y α C, entonces n n −→→∞ →∞−→ fn + gn f + g µ-med., y αfn αf µ-med. n n →∞ →∞ Demostracion.´ (I) Si ε > 0 se tiene que ε [ ε {x ∈ X : |f (x) − g(x)| > ε} ⊂ x ∈ X : |f (x) − f (x)| > x ∈ X : |f (x) − g(x)| > . n 2 n 2 102 Y. Quintana

Luego, n o n o { ∈ | − | } ≤ ∈ | − | ε ∈ | − | ε µ( x X : f (x) g(x) > ε ) µ x X : fn(x) f (x) > 2 + µ x X : fn(x) g(x) > 2 −→ 0. n →∞ (II) Procediendo como en la demostracion´ de la parte (I), tenemos que n o n o { ∈ | − | } ⊂ ∈ | − | ε S ∈ | − | ε x X : (fn + gn)(x) (f + g)(x) > ε x X : fn(x) f (x) > 2 x X : gn(x) g(x) > 2 . Luego, { ∈ | − | } ≤ { ∈ | − | ε } { ∈ | − | ε } µ( x X : f (x) g(x) > ε ) µ( x X : fn(x) f (x) > 2 ) + µ( x X : fn(x) g(x) > 2 ) −→ 0. n →∞ −→ −→ Por lo tanto, fn + gn f + g µ-med. Finalmente, supongamos que fn f n n →∞∈ −→ →∞ µ-med., y consideremos α C. Si α = 0, es inmediato que αfn αf µ-med, por n lo que asumiremos que α ∈ C \{0}. En este caso, para ε > 0 se tiene→∞ que n o { ∈ | − | } ∈ | − | ε −→ µ( x X : αfn(x) αf (x) > ε ) = µ x X : fn(x) f (x) > 0. α n | | →∞ −→ Por lo tanto, αfn αf µ-med. n →∞

−→ Proposicion´ 2.6 Sea (X,A ,µ) un espacio de medida. Si fn f µ-a.u., en- n −→ →∞ tonces fn f µ-med. n →∞ −→ Demostracion.´ Supongamos que fn f µ-a.u., y consideremos ε > 0 y δ > 0. En- n ∈ ∈ →∞ \ tonces existen A A y n0 N tales que µ(X A) < ε y {| − |} ≥ sup fn(x) f (x) < δ, siempre que n n0. x A ∈ ≥ { ∈ | − | ≥ } ⊂ \ Ya que para todo n n0: x X : fn(x) f (x) δ X A, entonces { ∈ | − | ≥ } ≤ \ µ( x X : fn(x) f (x) δ ) µ(X A) < ε. −→ Por lo tanto, fn f µ-med. n →∞

Corolario 2.4 Si (X,A ,µ) un espacio de medida ﬁnita, entonces la convergencia puntual µ-a.e. determina la convergencia en medida.

−→ ∈ Demostracion.´ Supongamos que fn f puntualmente, salvo en un conjunto B n →∞ ∈ ≥ A con µ(B) = 0. Esto signiﬁca que dado ε > 0, existe n0 N tal que si n n0 entonces | − | ∈ \ fn(x) f (x) < ε, para cada x X B, Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 103

−→ −→ por lo que fn f µ-a.e., y por el Teorema 2.9 podemos deducir que fn f n n µ-a.u. en X \ B, ya→∞ que µ(X \ B) = µ(X) < ∞. Finalmente, aplicando la Proposicion´→∞ 2.6 −→ obtenemos que fn f µ-med. n →∞

{ } Deﬁnicion´ 2.13 Dados (X,A ,µ) un espacio de medida y fn n N sucesion´ de { } ∈ funciones medibles a valores complejos. Diremos que fn n N es de Cauchy en medida si ∈ { ∈ | − | } −→ µ( x X : fn(x) fm(x) > δ ) 0, para todo δ > 0. (2.61) n,m →∞ Como cabr´ıa esperar, la siguiente es la conexion´ entre la convergencia en medida y la deﬁnicion´ 2.13: { } Proposicion´ 2.7 Dados (X,A ,µ) un espacio de medida, fn n N sucesion´ de ∈ funciones medibles a valores complejos y f : X → C funcion´ medible. Entonces −→ { } fn f µ-med., si y solo´ si, fn n N es de Cauchy en medida. n ∈ →∞ Demostracion.´ ⇒ −→ (= ) Supongamos que fn f µ-med., entonces para δ > 0 se tiene que n →∞ δ[ δ {x ∈ X : |f (x) − f (x)| > δ} ⊂ x ∈ X : |f (x) − f (x)| > x ∈ X : |f (x) − f (x)| > , n m n 2 m 2 y la condicion´ (2.61) se deduce de (2.60). ⇐ { } −→ ( =) Supongamos que fn n N es de Cauchy en medida. Mostraremos que fn f ∈ n µ-med. en dos pasos. →∞ { } Paso 1: fn n N contiene al menos una subsucesion´ que converge casi uniforme- ∈ 1 ∈ { } ⊂ mente a f . Tomemos δk = k , k N y seleccionemos una sucesion´ nk k N N estric- 2 ≥ ∈ tamente creciente tal que para todo n,m nk se tenga que 1 µ({x ∈ X : |f (x) − f (x)| > δ }) < . n m k 2k

Deﬁniendo \ n ∈ | − | o ∈ Ek := x X : fnj (x) fnj+1 (x) > δk , k N, j k ≥ tenemos que E ∈ y µ(E ) < 1 , para cada k ∈ . k A k 2k N ∈ \ ≥ Por otro lado, si x X Ek y s > j k:

X X | − | − ≤ 1 ≤ 1 fn (x) fn (x) = fn (x) fn (x) . (2.62) s j r+j r 2r 21 j j r s 1 j r s 1 − ≤ ≤ − ≤ ≤ − 104 Y. Quintana

∈ 1 \ Es decir, dado ε > 0, tomando k N tal que 1 k < ε y A := X Ek, tenemos que \ { } 2 − µ(X A) < ε y fns s N es de Cauchy en la metrica´ uniforme sobre A. Como ε > 0 ∈ → −→ es arbitrario, existe f : X C medible tal que fn f µ-a.u. Ademas,´ por la s s −→ →∞ Proposicion´ 2.6 tenemos que fn f µ-med. s s −→ →∞ −→ Paso 2: fn f µ-med. implica que fn f µ-med. Es suﬁciente notar que s s n para δ > 0 →∞ →∞ δ[ δ {x ∈ X : |f (x) − f (x)| > δ} ⊂ x ∈ X : |f (x) − f (x)| > x ∈ X : |f (x) − f (x)| > , n n ns 2 ns 2 entonces, n o n o { ∈ | − | } ≤ ∈ | − | δ ∈ | − | δ µ( x X : fn(x) f (x) > δ ) µ x X : fn(x) fns (x) > 2 + µ x X : fns (x) f (x) > 2 , y como n o ∈ | − | δ −→ { } µ x X : fn(x) fns (x) > 2 0, porque fn n N es de Cauchy en medida, n,s ∈ →∞ n o ∈ | − | δ −→ −→ µ x X : fn (x) f (x) > 0, porque fn f µ-med., se deduce que s 2 s s s →∞ →∞ { ∈ | − | } −→ −→ µ( x X : fn(x) f (x) > δ ) 0. Por lo tanto, fn f µ-med. n n →∞ →∞

Corolario 2.5 Sean (X,τ) un espacio topologico´ Hausdorﬀ localmente compacto, A una σ-algebra´ que contiene a B(X) y µ una medida sobre A que satisface las propiedades de regularidad dadas por el Teorema de representacion´ de Riesz 1.3. Si f : X → C y A ∈ A son tales que f es medible y acotada sobre ∞ { } ⊂ A y µ(A) < , entonces existe una sucesion´ fn n N Cc(X) tal que ∈ { } k k (I) fn n N esta´ acotada en la norma uniforme por χA f . ∈ ∞ −→ (II) fn f µ-a.e. n →∞ | k ≤ Demostracion.´ Podemos suponer que χA f 1 µ-a.e. Por el Teorema de Luzin 1.8, ⊂ { } existe un compacto K A y una sucesion´ gk k N de funciones continuas sobre K, tal ∈ | | ≤ ∈ que para todo k N gk 1 y 1 µ({x ∈ X : χ (x)f (x) , g (x)}) < , A k 2k −→ por lo que fk f µ-med. Entonces, por la Proposicion´ 2.7 y teniendo presente k que la convergencia→∞ casi uniforme implica la convergencia puntual µ-a.e., tenemos −→ que existe una subsucesion´ gn χA f µ-a.e. Por lo tanto, basta tomar fn := gn , s s s →∞ para cada n ∈ N. Ejercicio 2.47. Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 105

≤ ∞ −→ Proposicion´ 2.8 Sean (X,A ,µ) un espacio de medida y 1 p < . Si fn f n −→ →∞ en media de orden p, entonces fn f µ-med. n →∞ { } ⊂ p ∈ p −→ Demostracion.´ Sean fn n N L (X,µ) y f L (X,µ) tales que fn f en media ∈ n de orden p. Como para ε > 0 y x ∈ X tenemos que →∞ | − | ⇒ | − |p p fn(x) f (x) > ε = fn(x) f (x) > ε implica que Z | − |p p { ∈ | − | } fn(x) f (x) dµ(x) > ε µ( x X : fn(x) f (x) > ε ), entonces

x X: f (x) f (x) >ε { ∈ | n − | } Z Z ≤ { ∈ | − | } 1 | − |p ≤ 1 | − |p −→ 0 µ( x X : fn(x) f (x) > ε ) < p fn(x) f (x) dµ(x) fn(x) f (x) dµ(x) 0, ε εp n X →∞ x X: f (x) f (x) >ε { ∈ | n − | } −→ por lo tanto, fn f µ-med. n →∞

≤ ∞ −→ Corolario 2.6 Sean (X,A ,µ) un espacio de medida y 1 p < . Si fn f n { } −→→∞ en media de orden p, entonces existe una subsucesion´ fk k N tal que fk f ∈ k µ-a.u. →∞

Demostracion.´ Basta aplicar sucesivamente las Proposiciones 2.8y 2.7 (en este orden).

Como el Teorema 2.9s olo´ es cierto cuando µ(X) < , el Corolario 2.6 mejora considerablemente ∞ la propiedad (III) del Lema 2.1.

Corolario 2.7 Sean (X,A ,µ) un espacio de medida y 1 ≤ p < ∞. Si { } ⊂ p −→ ∈ p | | ≤ fn n N L (X,µ), fn f µ-a.e., y existe g L (X,µ) tal que fn g µ- ∈ n ∈ →∞ −→ a.e., para todo n N, entonces fn f µ-med. n →∞ Demostracion.´ Ver Ejercicio 2.48. 106 Y. Quintana

Para ﬁnalizar, en la Figura 2.1 mostramos un esquema de las implicaciones de los conceptos de convergencia sobre un espacio de medida (X,A ,µ) estudiados en esta seccion.´

Figura 2.1: Tipos de convergencia y sus implicaciones.

2.7.1 Equicontinuidad para familias de medidas Nuestro objetivo ahora sera´ extender la nocion´ de equicontinuidad de un conjunto de funciones al contexto de medidas para determinar bajo que´ condiciones podemos { } ⊂ p garantizar que una sucesion´ de funciones fn n N L (X,dµ) converja en media de orden p, 1 ≤ p < ∞. ∈ Esta extension´ arrojara´ como consecuencia El teorema de convergencia de Vitali sobre integracion´ termino´ a termino´ . Una buena opcion´ para conocer el contexto historico´ en el que aparecio´ este teorema es el siguiente art´ıculo.

J. R. Choksi, El teorema de convergencia de Vitali sobre integracion´ termino´ a termino´ , La Gaceta de la RSME, 11 (3) (2008), 475-488. Traducido por J. M. Almira.

{ } Deﬁnicion´ 2.14 Sean (X,A ,µ) un espacio de medida y νj j J una familia de medidas positivas o complejas sobre A . Diremos que ∈ { } { } ⊂ (I) νj j J es equicontinua si para toda sucesion´ decreciente An n N A tal ∈ ∈ Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 107

\ ∅ ∈ que An = y para cada ε > 0, existe N = N(ε) N tal que n N ∈ | | ∈ ≥ νj (An) < ε, para todo j J, y todo n N.

{ } (II) νj j J es uniformemente absolutamente continua con respecto a la medida∈µ, si para cada ε > 0, existe δ = δ(ε) > 0 tal que si A ∈ A y µ(A) < δ entonces | | ∈ νj(A) < ε, para todo j J. { } En este caso ususaremos la notacion:´ νj j J µ. ∈

{ } Proposicion´ 2.9 Sean (X,A ,µ) un espacio de medida y νj j J una familia de medidas complejas sobre A . ∈

{ } ∈ { } (I) Si νj j J es equicontinua y para cada j J νj µ, entonces νj j J µ. ∈ ∈ { } (II) Si νj j J µ entonces ∈ ∈ (a) νj µ, para todo j J. {| |} (b) νj j J µ. ∈ ∞ { } Ademas,´ si µ(X) < entonces la familia νj j J es equicontinua. ∈ { } Demostracion.´ (I) Supongamos que νj j J no es uniformemente absolutamente con- ∈ { } ⊂ tinua, entonces existira´ un ε > 0, una sucesion´ de conjuntos medibles An n N A y { } ⊂ ∈ una sucesion´ jn n N J tales que ∈ 1 µ(A ) < , (2.63) n 2n+1 | | ≥ ∈ νjn (An) ε, para todo n N. (2.64) [ Deﬁnamos ahora los conjuntos Cn := Ak, entonces por (2.63) k n X ≥ 1 1 ∈ µ(Cn) < = , n N. 2k+1 2n k n ≥ \ [ { } \ ∅ Como Cn n N es decreciente, tomando C := Cn tendremos tambien´ que (Cn C) = ∈ n N n N y ∈ ∈ ≤ ≤ 1 ∈ 0 µ(C) µ(Cn) < , n N, 2n | | de donde se deduce que µ(C) = 0. Utilizando que νjn µ obtenemos que νjn µ para todo n ∈ N, y en consecuencia | | \ | | ≥ | | νjn (Cn C) = νjn (Cn) νjn (An), 108 Y. Quintana [ \ ∅ pero (Cn C) = , junto con la cadena de desigualdades anterior y (2.64) nos lle- n N ∈ { } varan´ a una contradiccion´ con la equicontinuidad de νj j J . ∈ (II) Demostremos la parte (A): Sea A ∈ A tal que µ(A) = 0, entonces es inmediato { } que para cualquier ε > 0, tomando δ = ε, tendremos que µ(A) < δ, y como νj j J es uniformemente absolutamente continua con respecto a la medida µ tendremos∈ que | | ∈ νj(A) < ε, para todo j J, ∈ ∈ de donde se deduce que νj(A) = 0, para todo j J. Es decir, νj µ para todo j J. Para la parte (B) procederemos de la manera siguiente: supongamos primero { } ∈ que la familia νj j J esta´ compuesta solo´ de medidas reales. Para cada j J sea ∈ { } (Ej,Fj) la descomposicion´ de Hahn de X, respecto de νj. Entonces como νj j J es uniformemente absolutamente continua con respecto a la medida µ, dado ε∈ > 0, existe δ = δ(ε) > 0 tal que si A ∈ A y µ(A) < δ entonces | | ∈ νj(A) < ε, para todo j J.

Como µ(A) < δ entonces ∩ ∩ ∈ µ(A Ej) < δ y µ(A Fj) < δ, para todo j J.

+ Luego, si (νj−,νj ) es la descomposicion´ de Jordan de νj obtenemos que

∩ νj−(A) = νj(A Fj) < ε, + ∩ νj (A) = νj(A Ej) < ε, para todo j ∈ J. Por lo tanto,

+ ∈ νj(A) = νj (A) + νj−(A) < 2ε, para todo j J. {| |} Es decir, νj j J µ. ∈ { } Ahora, si las medidas de la familia νj j J son complejas, entonces las familias n o n o ∈ Re ν y Im ν son familias de medidas reales, y se deduce inmediata- j j J j j J mente que∈ cada una de∈ estas familias es uniformemente absolutamente continua con respecto a la medida µ. As´ı que por el caso anterior, dado ε > 0, existen δ1,δ2 > 0 ∈ tales que si A A y µ(A) < δ = min(δ1,δ2) entonces

| | | | ∈ Re νj (A) < ε, y Im νj (A) < ε, para todo j J.

Por lo que

| | ≤ | | | | ∈ νj (A) Re νj (A) + Im νj (A) < 2ε para todo j J. {| |} Es decir, νj j J µ. ∈ Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 109

Finalmente, si µ(X) < ∞ consideremos una sucesion´ decreciente {A } ⊂ A tal \ n n N ∅ { } ∈ que An = , como µ es ﬁnita, la sucesion´ µ(An) n N es una sucesion´ decreciente ∈ n N ∈ { } ⊂ tal que lim µ(An) = 0. En consecuencia, para toda sucesion´ decreciente An n N A n\ ∈ →∞ ∅ ∈ ≥ tal que An = y todo δ > 0 existe n0 N tal que µ(An) < δ, siempre que n n0. n N ∈ {| |} Por otro lado, usando que νj j J µ tambien´ tenemos que para todo ε > 0 existe ˜ ∈ ∈ ˜ | | ∈ δ > 0 tal que para todo A A con µ(A) < δ se tiene que νj (A) < ε, para todo j J. Por lo tanto combinando estos dos ultimos´ resultados obtenemos que la familia { } νj j J es equicontinua. ∈

Corolario 2.8 Sean (X,A ,µ) un espacio de medida y ν una medida compleja sobre A , entonces ν µ, si y solo´ si, para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo A ∈ A con µ(A) < δ se tiene que |ν(A)| < ε.

Demostracion.´ Ver Ejercicio 2.51.

2.7.2 Caracterizacion´ de la convergencia en Lp

Si 1 ≤ p < ∞, la convergencia en media de orden p esta´ caracterizada por el siguiente resultado:

Teorema 2.10 Sea (X,A ,µ) un espacio de medida. Para que una sucesion´ de { } ⊂ p ≤ ∞ funciones fn n N L (X,µ), 1 p < , admita un l´ımite en media de orden p ∈ { } es necesario y suﬁciente que fn n N sea de Cauchy en medida y que la familia de medidas ∈ | |p d νn := fn d µ (2.65) sea equicontinua.

−→ Demostracion.´ Necesidad: Supongamos que fn f en media de orden p, entonces n −→ →∞ { } por la Proposicion´ 4-C7 fn f µ-med. y en consecuencia fn n N es de Cauchy n ∈ en medida. As´ı que nuestro problema→∞ se reduce a mostrar que la familia de medidas {ν } dada por (2.65) es equicontinua. n n N \ ∈ { } ⊂ ∅ Sea An n N A una sucesion´ decreciente tal que An = . Dado ε > 0, selec- ∈ n N ∈ ∈ cionemos n0 N tal que Z | − |p ≥ fn(x) fn0 d µ(x) < ε, siempre que n n0. (2.66) X 110 Y. Quintana

∈ Tambien´ podemos seleccionar m0 N tal que Z | |p ≥ ≤ ≤ fn(x) d µ(x) < ε, siempre que m m0 y 1 n n0. (2.67) Am ≥ ≥ Utilizando (2.66) y (2.67), para todo n n0 y m m0 tenemos

1 1 Z ! p Z ! p | |p | − |p fn(x) d µ(x) = (fn(x) fn0 (x)) + fn0 (x) d µ(x) Am Am 1 1 Z ! p Z ! p ≤ | − |p | |p fn(x) fn0 (x) d µ(x) + fn0 (x) d µ(x) Am Am 1 < 2ε p , ∈ ≥ y esta desigualdad junto con (2.67) nos dice que para todo n N y m m0, νn(Am) < p { } 2 ε. Es decir, νn n N es equicontinua. ∈ Suficiencia: Demostraremos ahora que las condiciones son suficientes, separando en dos casos. Caso 1: µ es finita. Obviaremos el caso en que µ ≡ 0, porque es inmediato. Dado ε > 0, para todo k,m ∈ N definamos los conjuntos medibles ( ) ε A := x ∈ X : |f (x) − f (x)|p > . (2.68) k,m k m µ(X) { } Como fn n N es de Cauchy en medida, se cumple que ∈ −→ µ(Ak,m) 0. (2.69) k,m →∞ ∈ Por su definicion´ en (2.65), sabemos que νn µ, para todo n N. Ademas,´ por { } hipotesis´ νn n N es equicontinua. Entonces, por la parte (I) de la Proposicion´ 5-C7 { } ∈ ∈ ∈ νn n N µ. Esto nos permite tomar δ > 0 tal que para todo n N y A A con µ(A) ∈< δ se tiene que ε ν (A) < . (2.70) n 2p ∈ Debido a (2.69) podemos fijar n0 N tal que ≥ µ(Ak,m) < δ, siempre que k,m n0. (2.71) ∈ ≥ ε Combinando (2.70) y (2.71) obtenemos que para todo n N y k,m n0, νn(Ak,m) < 2p , ≥ lo cual unido a (2.68) justifica las siguientes acotaciones para todo k,m n0: Z Z Z | − |p | − |p | − |p fk(x) fm(x) d µ(x) = fk(x) fm(x) d µ(x) + fk(x) fm(x) d µ(x) X A X A k,m \ k,m 1 1 p ≤ p p νk(Ak,m) + νm(Ak,m) + ε < 2ε. (2.72) Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 111

Luego, utilizando que Lp(X,µ) es un espacio metrico´ completo se deduce la conver- { } gencia en media de orden p de la sucesion´ fn n N. ∈ Caso 2: µ no es finita. Recordemos que el conjunto B := {x ∈ X : f (x) 0} es n [ n , ∈ de medida σ-finita para cada n N. Por lo tanto, el conjunto B := Bn tambien´ n N ∈ es de medida σ-finita y cada νn esta´ concentrada en B. Sin perdida´ de generalidad, podemos suponer que X = B, es decir, podemos suponer que µ es σ-finita. [ { } Sea Es s N una sucesion´ creciente de conjuntos medibles, tal que X = Es y ∈ s N ∞ ∈ ∈ µ(Es) < para cada s N. Definiendo A := X \ E , para cada s ∈ . Tenemos que {A } una sucesion´ de- s s \ N s s N ∅ { } ∈ creciente de conjuntos medibles y As = . Como νn n N es equicontinua, dado ∈ s N ε > 0 es posible seleccionar j ∈ N tal que∈ ∈ νn(Aj) < ε, para todo n N. (2.73) ∞ Como µ(Ej) < , y nuestras hipotesis´ se mantienen para Ej, podemos aplicar el ∈ ≥ Caso 1. De manera que existe n1 N tal que para todo k,m n1 la desigualdad (2.72) cuando la integral se toma sobre Ej. Luego teniendo presente (2.73), obtenemos que ≥ para todo k,m n1: Z Z Z | − |p | − |p | − |p fk(x) fm(x) d µ(x) = fk(x) fm(x) d µ(x) + fk(x) fm(x) d µ(x) X Ej Aj " #p 1 1 ≤ p p p 2ε + νk(Aj) + νm(Aj) < (2 + 2 )ε, (2.74) y nuevamente, utilizando que Lp(X,µ) es un espacio metrico´ completo se deduce la { } convergencia en media de orden p de la sucesion´ fn n N. ∈

Corolario 2.9 Si (X,A ,µ) es un espacio de medida ﬁnita, 1 ≤ p < ∞ y { } ⊂ p { } fn n N L (X,µ), entonces para que fn n N converja en media de orden p, ∈ { } ∈ es suﬁciente que fn n N sea de Cauchy en medida y que para todo ε > 0 exista M > 0 tal que ∈ Z | |p fn(x) dµ(x) < ε. x X: f (x) M { ∈ | n |≥ }

Demostracion.´ Ver Ejercicio 2.52.

Corolario 2.10 Si (X,A ,µ) es un espacio de medida, 1 ≤ p < ∞ y { } ⊂ p { } fn n N L (X,µ), entonces para que fn n N converja en media de orden p, ∈ ∈ 112 Y. Quintana

{ } es suﬁciente que fn n N sea de Cauchy en medida y que exista una funcion´ g ∈ L p(X,µ) tal que ∈ | | ≤ ∈ fn g µ-a.e., para todo n N.

| |p ∈ Demostracion.´ Basta con demostrar que las medidas dνn := fn dµ, n N forman una familia equicontinua. Sea dν := gpdµ, ya que la medida ν es ﬁnita, si {A } ⊂ A es una sucesion´ decre- \ k k N ∅ { } ∈ ciente con Ak = , entonces ν(Ak) k N es una sucesion´ decreciente y lim ν(Ak) = ∈ k k N →∞ 0. ∈ ∈ ≥ Luego, dado ε > 0 podemos elegir n0 N tal que ν(Ak) < ε, siempre que k n0. ∈ ≥ Por lo que para todo n N y todo k n0 tendremos que ≤ νn(Ak) ν(Ak) < ε. { } { } Por lo tanto, la familia νn n N es equicontinua, y como la sucesion´ fn n N es de Cauchy en medida, las hipotesis´ ∈ de suﬁciencia del Teorema 2.10 son satisfechas.∈

Corolario 2.11 (Teorema de convergencia de Vitali) Sean (X,A ,µ) es un espa- { } ⊂ 1 → cio de medida finita, fn n N L (X,µ) y f : X C una funcion´ medible tales −→ ∈ que fn f µ-a.e. Supongamos que dado ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo n A ∈ A con→∞µ(A) < δ se tiene Z | | ∈ fn(x) dµ(x) < ε, para todo n N. (2.75) A ∈ 1 −→ Entonces f L (X,µ) y fn f en media de orden 1. n →∞ −→ Demostracion.´ Como fn f µ-a.e. y µ es finita, por el Corolario 2.4 tenemos que n −→ →∞{ } fn f µ-med. Luego, fn n N es de Cauchy en medida. n ∈ →∞ | | ∈ Demostraremos ahora que las medidas dνn := fn dµ, n N forman una familia equicontinua. { } En efecto, la condicion´ (2.75) implica que la familia de medidas νn n N es uniformemente absolutamente continua con respecto a µ, y como µ es finita,∈ la parte { } (II) de la Proposicion´ 2.9 garantiza la equicontinuidad de νn n N. ∈ 1 { ∈} Luego, por el Teorema 2.10, existe g L (X,µ) tal que fn n N converge a g en 1 ∈ −→ L (X,µ). Es sencillo chequear entonces que f = g µ-a.e. y por lo tanto fn f en n media de orden 1. →∞

Debido a que tener la certidumbre de que la condicion´ (2.75) se cumple no es necesariamente sencillo, y siendo esta condicion´ mas´ debil´ que la condicion´ sobre la Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 113 existencia de una funcion´ g ∈ L p(X,µ) del Corolario 2.7, resulta conveniente tener otro tipo de criterio que garantice la tesis del Teorema de convergencia de Vitali. Tal criterio esta´ dado en la siguiente proposicion:´

Proposicion´ 2.10 (Teorema de Vitali-Hahn-Saks) Sean (X,A ,µ) es un espa- { } ⊂ 1 ∈ cio de medida ﬁnita y fn n N L (X,µ) Supongamos que para todo A A Z ∈ { } {| |} la sucesion´ fndµ n N converge. Entonces la sucesion´ fn n N satisface la A ∈ ∈ condicion´ (2.75).

Demostracion.´ Consulte, por ejemplo [7, Proposicion´ 6.17].

Algunos comentarios ﬁnales (I) El Corolario 2.10 es un resultado mas´ preciso que el Teorema de convergencia dominada de Lebesgue. En efecto, bajo las hipotesis´ de este Teorema la { } { } sucesion´ fn n N converge en medida (Corolario 2.7) y, por tanto, fn n N es de Cauchy en medida.∈ No obstante, el Teorema de convergencia dominada∈ de Lebesgue es un resultado mas´ practico´ .

(II) El Teorema de convergencia de Vitali (Corolario 2.11) valdr´ıa para 1 < p < ∞ si {| |p} imponemos que la sucesion´ fn n N satisfaga la condicion´ (2.75). ∈ (III) Tambien´ en el Teorema de convergencia de Vitali (Corolario 2.11) podemos −→ sustituir la hipotesis´ fn f µ-a.e. (de caracter´ practico)´ por una mas´ debil:´ n −→ →∞ fn f µ-med. Si hacemos esto, las condiciones del nuevo enunciado pasan n a ser→∞ necesarias, pues la condicion´ (2.75) es equivalente a la equicontinuidad { } de la familia de medidas νn n N. ∈

2.8 Ejercicios propuestos

−→ −→ Ejercicio 2.43 Suponga que fn f en media de orden p, gn g en me- n n { } ⊂ →∞ →∞ dia de orden p, y αn n N C es tal que lim αn = α. Demuestre que ∈ n →∞ −→ (a) fn + gn f + g en media de orden p. n →∞ −→ (b) αnfn αf en media de orden p. n →∞

Ejercicio 2.44 Sea 1 < p < ∞. Considere en Lp([0,1]) la sucesion´ de funciones 114 Y. Quintana

deﬁnida inductivamente de la forma siguiente:

f1 := 1, f2 := χ 1 , f3 := χ 1 , f4 := χ 1 , f5 := χ 1 1 , [0, 2 ] [ 2 ,1] [0, 4 ] [ 4 , 2 ]

f6 := χ 1 3 , f7 := χ 3 , f8 := χ 1 , f9 := χ 1 1 , f10 := χ 1 3 , [ 2 , 4 ] [ 4 ,1] [0, 8 ] [ 8 , 4 ] [ 4 , 8 ]

f11 := χ 3 1 , f12 := χ 1 5 , f13 := χ 5 3 , f14 := χ 3 7 , f15 := χ 7 ,... [ 8 , 2 ] [ 2 , 8 ] [ 8 , 4 ] [ 4 , 8 ] [ 8 ,1] Muestre que: −→ p −→ (a) fn 0 en L [0,1] y por lo tanto, fn 0 en media de orden p. n n →∞ →∞ (b) La subsucesion´ f := χ converge a 0 a.e. pero la sucesion´ {f } no nk 0, 1 n n N 2k ∈ converge a 0 para cada x ∈ [0,1].

{ } Ejercicio 2.45 Sean (X,A ,µ) un espacio de medida ﬁnita, fn n N sucesion´ de ∈ funciones medibles a valores complejos y f : X → C funcion´ medible. Suponga −→ ∈ que fn f µ-a.e. Para n,k N considere los conjuntos n →∞ \ 1 A = x ∈ X : |f (x) − f (x)| ≤ . k,n m k m n ≥ Muestre que: ∈ ∈ (a) Ak,n A , para todo n,k N. [ (b) X = Ak,n. n N ∈ ⊂ (c) Ak,n+1 Ak,n.

{ } Ejercicio 2.46 Sean (X,A ,µ) un espacio de medida, fn n N sucesion´ de fun- ∈ ciones medibles a valores complejos y f : X → C funcion´ medible. Suponga ∈ 1 | | ≤ ∈ que existe g L (X,µ) tal que fn g µ-a.e., para todo n N. Demuestre que −→ −→ si fn f µ-a.e. entonces fn f µ-a.u. n n Sugerencia→∞ : Siga el esquema de demostraci→∞ on´ del Teorema 2.9, sustituyendo la hipotesis´ de la ﬁnitud de µ por la acotacion´ µ-a.e. que ahora se supone.

Ejercicio 2.47 ∈ Veriﬁque que la sucesion´ dada por fn := gns , para cada n N, satisface la conclusion´ del Corolario 2.5. Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 115

Ejercicio 2.48 Demuestre el Corolario 2.7. Sugerencia: use el Teorema de convergencia dominada de Lebesgue y la Proposicion´ 2.8.

Ejercicio 2.49 Considere sobre X = [0,1] la medida de Lebesgue m. Determine → los tipos de convergencia satisfechos por la sucesion´ hn : [0,1] R, dada por: n ∈ hn(x) = x , n N.

Ejercicio 2.50 Considere sobre X = R la medida de Lebesgue m. En cada uno −→ de los casos siguientes decida si fn 0 segun´ se indica: n Tipo de convergencia →∞ Sucesion´

(i) en media de orden p. ∈ ∈ (a) fn(x) = χ n,n+ 1 (x), x R, n (ii) uniformemente. [ n ] N. (iii) casi uniformemente. − (b) fn(x) = nχ[0, 1 ](x) nχ[ 1 ,0](x), n − n (iv) puntualmente. x ∈ R, n ∈ N. x ∈ ∈ (v) en casi todo punto (es de- (c) fn(x) = 1+nx2 , x R, n N. cir, a.e.).

Justiﬁque su respuesta.

Ejercicio 2.51 Demuestre el Corolario 2.8. Sugerencia: Aplique la Proposicion´ { } 2.9 a una familia νj j J que consista de una sola´ medida. Esto es considere que el conjunto de ´ındices∈J esta´ formado por un solo´ elemento.

Ejercicio 2.52 Demuestre el Corolario 2.9. Sugerencia: Muestre que las medi- | |p ∈ das dνn := fn dµ, n N forman una familia equicontinua y aplique el Teorema 2.10.

2.9 Teorema de representacion´ de Riesz para funcionales lineales continuos

El proposito´ de esta seccion´ es realizar un estudio similar al que hicimos en la Clase # 2 cuando tratamos con funcionales lineales positivos sobre Cc(X). No obstante en esta ocasion´ consideraremos funcionales continuos, los cuales no necesariamente son positivos. Los resultados que estudiaremos constituyen otro v´ınculo entre la Teor´ıa de la Medida y el Analisis´ Funcional. Seguiremos los enfoques de [7,9, 11, 12]. 116 Y. Quintana

Asumiremos que (X,τ) es un espacio Hausdorﬀ localmente compacto. Se puede mostrar que el espacio Cc(X) dotado con la norma uniforme, no es un espacio completo (ver por ejemplo, [7, pag.´ 362]): Usando el Lema de Urysohn es posible con- { } ⊂ ∈ | ≡ | ≡ struir una sucesion´ gn n N Cc(R) tal que para cada n N, gn [ n,n] 1 y gn R ( (n+1),n+1) 0. ∈ ∈ → − \ − Expl´ıcitamente, para cada n N, gn : R R viene dada por   0, si x ≤ −(n + 1),   x + n + 1, si − (n + 1) < x < −n,  g (x) =  1, si − n ≤ x ≤ n, n   −  n x + 1, si n < x < n + 1,  0, si x ≥ n + 1.

La Figura 2.2 muestra el graﬁco´ de la funcion´ gn.

Figura 2.2: Graﬁco´ de gn.

Luego, si definimos x ∈ ∈ fn(x) := e−| |gn(x), para todo x R, n N, { } x la sucesion´ fn n N, es de Cauchy en Cc(R) pero converge puntualmente a e−| | < ∈ { } Cc(R). Por lo tanto, fn n N no es convergente en Cc(R). Por otro lado, un espacio∈ normado y su completacion´ poseen el mismo espacio dual (topologico),´ por tanto, como nos interesa trabajar con espacios completos, nuestro primer objetivo sera´ estudiar la clausura de Cc(X) en C(X). Definicion´ 2.15 Sea f ∈ C(X). Diremos que f tiende a cero en el infinito, o que f se anula en el infinito, si para todo ε > 0 existe K ⊂ X compacto tal que

|f (x)| < ε, para todo x ∈ X \ K. (2.76)

x (a) Por ejemplo, la funcion´ e−| | C0(R). ∈ Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 117

(b) C (X) C (X) (ver Ejercicio 2.53). c ⊂ 0 (c) C0(X) es un espacio vectorial (ver Ejercicio 2.54).

k · k Proposicion´ 2.11 El espacio normado (C0(X), ) un espacio de Banach y ∞ Cc(X) es denso en C0(X).

k·k ⊂ Demostracion.´ Como (C(X), ) es completo y C0(X) C(X), el problema de mostrar ∞ que C0(X) es completo se reduce mostrar que C0(X) es cerrado en C(X). { } ⊂ ∈ k − k −→ Sean fn n N C0(X) y f C(X) tales que fn f 0. ∈ ∞ n ∈ k − k →∞ε Entonces, dado ε > 0 existe n0 N tal que fn f < . 0 ∞ 2 Sea K ⊂ X un compacto tal que para todo x ∈ X \ K se tenga que ε |f (x)| < , n0 2 entonces para todo x ∈ X \ K tenemos | | ≤ | − | | | ≤ k − k | | f (x) f (x) fn (x) + fn (x) fn f + fn (x) < ε. 0 0 0 ∞ 0 ∈ Por lo que f C0(X), y en consecuencia C0(X) es cerrado en C(X). ∈ ⊂ Veamos ahora que Cc(X) es denso en C0(X): dados f C0(X) y ε > 0, sea K X ε un compacto tal que para todo x ∈ X \ K se tenga que |f (x)| < . 2 Como X es localmente compacto, existe U ∈ τ tal que U es compacto y K ⊂ U. ∈ ≤ ≤ | ≡ | ≡ Por el lema de Urysohn, existe g Cc(X) tal que 0 g 1 con g K 1 y g X U 0. ∈ k − k \ Por lo que f g Cc(X) y f f g < ε. ∞

Si A es una σ-algebra´ sobre X, denotemos por MA (X) al conjunto de todas las medidas complejas sobre A . Entonces MA (X) tiene estructura de espacio normado k · k → ∞ si lo dotamos con la norma : MA (X) [0, ) dada por

kµk = |µ|(X). Ejercicio 2.55.

Ademas,´ si V denota al espacio de todas las funciones medibles y acotadas sobre X, entonces V y MA (X) estan´ en dualidad separante mediante la forma bilineal × → B : V MA (X) C dada por Z B(f ,µ) := f (x)dµ(x). Ejercicio 2.56. X ⊂ Como C0(X) V cabr´ıa preguntarse si C0(X) y MA (X) tambien´ estan´ en dualidad separante, o si existe alguna relacion´ entre MA (X) y el dual topologico´ de C0(X). El siguiente resultado nos muestra que toda medida en MA (X) produce un funcional lineal y continuo en C0(X): 118 Y. Quintana

∈ → Proposicion´ 2.12 Si µ MA (X) entonces el funcional Λµ : C0(X) C deﬁnido por Z ∈ Λµ(f ) := f (x)dµ(x), para toda f C0(X), (2.77) X es lineal, continuo y k k ≤ k k Λµ µ . (2.78)

Demostracion.´ La linealidad y la continuidad de Λµ son inmediatas. As´ı que solo´ mostraremos la desigualdad (2.78): ya que Z Z | |≤ | | | | ≤ k k | | k k | | k k k k Λµ(f ) f (x) d µ (x) f d µ (x) = f µ (X) = f µ , X ∞ X ∞ ∞ de donde se deduce (2.78).

Deﬁnicion´ 2.16 Sea A una σ-algebra´ sobre X tal que B(X) ⊂ A . Una me- ∈ | | dida de Borel compleja µ MA (X) es llamada regular si su variacion´ µ es una medida regular en el sentido de la deﬁnicion´ dada en el Cap´ıtulo1.

Denotaremos por RegA (X) al subconjunto de MA (X) constituido por las medidas regulares.

Proposicion´ 2.13 RegA (X) es subespacio vectorial de MA (X).

| | | || | ∈ ∈ Demostracion.´ Como αµ = α µ para todo α C y toda µ MA (X), entonces la · × → multiplicacion´ por escalares : C RegA (X) RegA (X) dada por ·(α,µ) := αµ, ∈ ∈ es estable, esto es, αµ RegA (X), para todo α C y toda RegA (X). ∈ As´ı que nuestro problema se reduce a mostrar que si λ,µ RegA (X) entonces ∈ λ + µ RegA (X). Por el Teorema 2.2 sabemos que |λ+µ| es una medida positiva ﬁnita. Veamos que |λ + µ| es regular interior. ∈ ⊂ ⊂ ⊂ Dados E A , ε > 0 y K1,K2 X compactos, tales que K1 E, K2 E y ε ε |λ|(E \ K ) < y —µ|(E \ K ) < , 1 2 2 2 ∪ ⊂ entonces tomando K = K1 K2, tenemos que K E y | | \ ≤ | | \ | | \ ≤ | | \ | | \ λ + µ (E K) λ (E K) + µ (E K) λ (E K1) + µ (E K2) < ε. De donde se deduce que

|λ + µ|(E) = sup{|λ + µ|(K): K ⊂ E,K compacto}, Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 119 esto es, |λ + µ| es regular interior. Por otro lado, dados E ∈ A , ε > 0 y K ⊂ X compacto tal que K ⊂ (X \ E) y |λ + µ|((X \ E) \ K) < ε. Entonces, como X es Hausdorﬀ K es cerrado, as´ı que U = X \ K es abierto y E ⊂ U. Luego,

|λ + µ|(U \ E) = |λ + µ|[(X \ K) \ E] = |λ + µ|[(X \ E) \ K] < ε, por la ﬁnitud y la regularidad interior de |λ + µ|, se deduce que:

|λ + µ|(E) = inf{|λ + µ|(U): E ⊂ U,U abierto}, esto es, |λ + µ| es regular exterior. ∈ Por lo tanto, λ + µ RegA (X).

Note que en la demostracion´ de la Proposicion´ 2.13 para mostrar que λ+µ es regular es suﬁciente | | mostrar la regularidad interior de λ + µ , ya que toda medida positiva ﬁnita sobre una σ-algebra´ | | que contiene a los borelianos, si es regular interior es regular. Ver por ejemplo, [7, Proposicion´ 3.4].

Teorema 2.11 (Representacion´ de Riesz para funcionales lineales continuos) → Para cada funcional lineal y continuo Λ : C0(X) C existe una unica´ medida ∈ µ RegA (X) tal que ∈ Λ(f ) = Λµ(f ), para toda f C0(X). (2.79)

Ademas,´ kΛk = kµk. (2.80)

→ Demostracion.´ Dado Λ : C0(X) C un funcional lineal y continuo, podemos duponer sin perdida´ de generalidad que kΛk = 1. Empezaremos construyendo un funcional → lineal y positivo Φ : Cc(X) C tal que | | ≤ | | ≤ k k ∈ Λ(f ) Φ( f ) f , para toda f Cc(X). (2.81) ∞ + { ∈ ≥ } + → Consideremos Cc (X) = f Cc(X): f 0 , deﬁnamos Φ1 : Cc (X) C por {| | ∈ ≤ } ∈ + Φ1(f ) = sup Λ(g) : g Cc(X) y g f , para toda f Cc (X), (2.82) ≥ ∈ + por lo que Φ1(f ) 0 para toda f Cc (X) y | | ≤ | | ≤ k k ∈ + Λ(f ) Φ1( f ) f , para toda f Cc (X). (2.83) ∞ ∈ + ≤ ≤ Ademas,´ si f ,g Cc (X) y f g entonces Φ1(f ) Φ1(g), y Φ1(cf ) = cΦ1(f ), para todo ∈ c R+. 120 Y. Quintana

∈ + Demostremos ahora que Φ1(f +g) = Φ1(f )+Φ1(g), siempre que f ,g Cc (X). Dado ˜ ∈ + | ˜| ≤ | | ≤ ε > 0 escojamos f ,g˜ Cc (X) tales que f f , g˜ g y ε ε Φ (f ) ≤ |Λ(f˜)| + y Φ (g) ≤ |Λ(g˜)| + . (2.84) 1 2 1 2

Sean α,β ∈ C tales que |α| = |β| = 1, αΛ(f˜) = |αΛ(f˜)| y βΛ(g˜) = |βΛ(g˜)|, entonces por (2.84) tenemos que ≤ | ˜ | | | Φ1(f ) + Φ1(g) Λ(f ) + Λ(g˜) + ε = αΛ(f˜) + βΛ(g˜) + ε = Λ(αf˜ + βg˜) + ε ≤ | ˜| | | Φ1( f + g˜ ) + ε ≤ Φ1(f + g) + ε, ≤ y como ε > 0 es arbitrario, obtenemos que Φ1(f ) + Φ1(g) Φ1(f + g). ∈ | | ≤ Para mostrar la desigualdad contraria, sea h Cc(X) tal que h f + g y consid- { ∈ } ∈ eremos el conjunto abierto U := x X :(f + g)(x) > 0 y las funciones f1,g1 Cc(X) deﬁnidas por f (x)h(x) g(x)h(x) f (x) := χ (x) y g (x) := χ (x) x ∈ X. 1 U f (x) + g(x) 1 U f (x) + g(x) | | ≤ | | ≤ Note que por construccion´ f1 + g1 = h, f1 h y g1 h. Luego, | | | | ≤ | | | | ≤ Λ(h) = Λ(f1) + Λ(g1) Λ(f1) + Λ(g1) Φ1(f ) + Φ1(g), ∈ | | ≤ ≤ y como h Cc(X) es tal que h f + g, obtenemos que Φ1(f + g) Φ1(f ) + Φ1(g). ∈ + Y por lo tanto, Φ1(f + g) = Φ1(f ) + Φ1(g), siempre que f ,g Cc (X). ∈ Ahora, extendamos Φ1 a Cc(X) por linealidad: ya que cada f Cc(X) puede descomponerse como

+ + f = Re(f ) − Re(f )− + i Im(f ) − Im(f )− , → deﬁnimos Φ : Cc(X) C por h + − i h + − i Φ(f ) := Φ1 Re(f ) Φ1 (Re(f )−) + i Φ1 Im(f ) Φ1 (Im(f )−) , ∈ para toda f Cc(X). → Φ : Cc(X) C es lineal, Ejercicio 2.57. → Tambien´ Φ : Cc(X) C es positivo por construccion,´ y por (2.82) satisface (2.80). Aplicando el Teorema 1.3, sea ν la medida de Borel regular interior asociada a Φ. Como { ∈ ≤ ≤ } ν(X) = sup Φ(f ): f Cc(X) y 0 f 1 , y |Φ(f )| ≤ 1 siempre que kf k ≤ 1, entonces ν(X) ≤ 1. Luego, por la observacion´ precedente, ν es una medida regular.∞ Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 121

∈ Ahora por (2.83) tenemos que para toda f Cc(X) se cumple que Z | | ≤ | | | | k k Λ(f ) Φ( f ) = f (x) dν(x) = f 1, (2.85) X por lo que (| | ) Λ(f ) ∈ k k ≤ sup k k : f Cc(X), f 1 , 0 1, f 1 y esto signiﬁca que Λ es un funcional lineal de norma a lo sumo 1, con respecto a la 1 norma L (X,ν) sobre Cc(X). 1 Como Cc(X) es denso en L (X,ν), Λ se puede extender un´ıvocamente a todo L1(X,ν), ver Ejercicio 2.58. ˜ 1 → ∈ Sea Λ : L (X,ν) C tal funcional lineal. Por el Teorema 2.8, existe g L∞(X,ν) tal que Z Λ˜ (f ) = f (x)g(x)dν(x), para toda f ∈ L1(X,ν), (2.86) X y como Λ˜ = Λ, entonces Cc(X) Z ∈ Λ(f ) = f (x)g(x)dν(x), para toda f Cc(X). X ∈ Ademas,´ como g L∞(X,ν) usando que Cc(X) es denso C0(X) en (Proposicion´ 2.11), podemos deducir que Z ∈ Λ(f ) = f (x)g(x)dν(x), para toda f C0(X). X Por lo tanto, tomando dµ = g dν, obtenemos Z ∈ Λ(f ) = f (x)dµ(x), para toda f C0(X), X con lo que hemos demostrado (2.79). Por otro lado, como kΛk = 1 y d|µ| = |g|dν, por (2.86) nos queda que: k k | | | | ≥ {| | ∈ k k ≤ } µ = µ (X) = intX g(x) dν(x) sup Λ(f ) : f C0(X), y f 1 = 1, ∞ pero ν(X) ≤ 1 y kgk ≤ 1, por lo que necesariamente, ν(X) = 1 y g = 1 ν-a.e., as´ı que ∞ kµk = |µ|(X) = ν(X) = 1 = kΛk, lo que demuestra la identidad (2.80). Ya que |µ| = ν y ν es regular, entonces µ es regular. ∈ Finalmente, mostremos la unicidad de µ: ya que µ RegA (X) basta mostrar que R f (x)dµ(x) = 0, para toda f ∈ C (X)=⇒ µ = 0. X 0 122 Y. Quintana

Por la Proposicion´ 2.2, sea h ∈ L1(X,|µ|) tal que |h(x)| = 1 para todo x ∈ X y dµ = hd|µ|. (2.87) R Entonces, si f ∈ C (X) es tal que f (x)dµ(x) = 0, por (2.87) tenemos que 0 X Z Z 0 = f (x)dµ(x) = f (x)h(x)d|µ|(x). X X { } ⊂ Luego, para cualquier sucesion´ fn n N C0(X) tenemos que Z ∈ Z Z − | | | |2 | | − | | (h(x) fn(x))h(x)d µ (x) = h(x) d µ (x) fn(x)h(x)d µ (x) X ZX Z X | | − | | = d µ (x) fn(x)h(x)d µ (x) X Z X | | − | | − = µ (X) fn(x)dµ(x)= µ (X) 0 X = |µ|(X). { } ⊂ Es decir, para cualquier sucesion´ fn n N C0(X) tenemos que Z ∈ Z | | − | | ≤ − | | µ (X) = (h(x) fn(x))h(x)d µ (x) h(x) fn(x) d µ (x), X X ⊂ 1 | | y como Cc(X) C0(X) y Cc(X) es denso en L (X, µ ) podemos escoger la sucesion´ { } fn n N de manera que ∈ Z − | | −→ h(x) fn(x) d µ (x) 0. n X →∞ Por lo tanto, |µ|(X) = 0 lo que implica que µ = 0.

(a) El Teorema 2.11 permite inducir la aplicacion´ Ψ : [C (X)]0 Reg (X) dada por 0 → A Ψ (Λ) = µ, donde Λ y µ estan´ relacionados a traves´ de (2.79). La aplicacion´ la aplicacion´ Ψ es lineal. Ver Ejercicio 2.59. (b) Ψ es sobreyectiva. Ver Ejercicio 2.60. (c) Y por (2.80) Ψ es una isometr´ıa.

Estas observaciones nos permiten concluir que

RegA (X) es un subespacio de MA (X) isometricamente´ isomorfo a [C0(X)]0.

2.10 Ejercicios propuestos Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 123

Ejercicio 2.53 Sea (X,τ) espacio de Hausdorﬀ localmente compacto. Muestre ⊂ que Cc(X) C0(X).

Ejercicio 2.54 Sea (X,τ) espacio de Hausdorﬀ localmente compacto. Muestre que C0(X) tiene estructura de espacio vectorial.

Ejercicio 2.55 Sean (X,τ) espacio de Hausdorﬀ localmente compacto, A una σ-algebra´ sobre X, y MA (X) el conjunto de todas las medidas complejas sobre A . Muestre que MA (X) tiene estructura de espacio normado si lo dotamos con k · k → ∞ la norma : MA (X) [0, ) dada por

kµk = |µ|(X).

Ejercicio 2.56 Sean U,V,W tres espacios vectoriales sobre el cuerpo K. Una × → ∈ × aplicacion´ B : U V W se llama bilineal, si para cada par (u0,v0) U V las → → aplicaciones Bu0 : V W y Bv0 : U W definidas por ∈ Bu0 (v) := B(u0,v), para todo v V, ∈ Bv0 (u) := B(u,v0), para todo u U, son lineales. × → ≡ Una aplicacion´ bilineal B : U V W se llama no degenerada cuando Bu0 0 ≡ y Bv0 0, solo´ en el caso en que u0 = 0 y v0 = 0, respectivamente. Cuando W = K la aplicacion´ bilineal B se denomina forma bilineal. Se dice que dos espacios U y V estan´ en dualidad separante si B : U × V → K es una forma bilineal no degenerada. Con estas nociones en mente, considere X un espacio Hausdorff localmente compacto, A una σ-algebra´ sobre X, MA (X) el conjunto de todas las medidas complejas sobre A y V el conjunto definido por

V := {f : X → C : f es medible y acotada}.

Demuestre que:

(a) Si M (X,C) denota al espacio de todas las funciones medibles, entonces V es subespacio vectorial de M (X,C). ∈ ∈ 1 | | (b) Para µ MA (X) y cualquier f L (X, µ ) deﬁna la integral de f con respecto a µ mediante la expresion:´ Z "Z Z # + f (x)dµ(x) := f (x)d(Re(µ)) (x) − f (x)d(Re(µ))−(x) X X X "Z Z # + +i f (x)d(Im(µ)) (x) − f (x)d(Im(µ))−(x) . X X 124 Y. Quintana

× → Entonces la aplicacion´ B : V MA (X) C dada por Z B(f ,µ) := f (x)dµ(x), X es una forma bilineal.

→ Ejercicio 2.57 Demuestre que la aplicacion´ Φ : Cc(X) C deﬁnida en la demostracion´ del Teorema 2.11 es lineal. Sugerencia: use la misma tecnica´ em- pleada para demostrar la linealidad de la integral a partir de la integral de funciones positivas.

∈ Ejercicio 2.58 En la demostracion´ del Teorema 2.11 se vio´ que toda f Cc(X) cumple que Z | | ≤ | | | | k k Λ(f ) Φ( f ) = f (x) dν(x) = f 1, (2.88) X por lo que (| | ) Λ(f ) ∈ k k ≤ sup k k : f Cc(X), f 1 , 0 1, f 1 y esto signiﬁca que Λ es un funcional lineal de norma a lo sumo 1, con respecto 1 a la norma L (X,ν) sobre Cc(X). 1 Use este hecho y la densidad de Cc(X) en L (X,ν) para demostrar que existe un funcional lineal y continuo Λ˜ : L1(X,ν) → C tal que

Λ˜ = Λ, y kΛ˜ k = kΛk. Cc(X) ∈ 1 \ { } ⊂ Sugerencia: Si f L (X,ν) Cc(X) existe una sucesion´ fn n N Cc(X) tal que −→ 1 ∈ fn f en L (X,ν). n →∞

Ejercicio 2.59 Demuestre que la linealidad de la aplicacion´ inducida por el → Teorema 2.11 Ψ : [C0(X)]0 RegA (X) dada por Ψ (Λ) = µ,

donde Λ y µ estan´ relacionados a traves´ de la identidad ∈ Λ(f ) = Λµ(f ), para toda f C0(X).

Sugerencia: use Ejercicio 2.56 y Proposicion´ 2.13. Cap´ıtulo2. Medidas complejas y algunas de sus propiedades 125

→ Ejercicio 2.60 Demuestre que la aplicacion´ Ψ : [C0(X)]0 RegA (X) deﬁnida en el ejercicio anterior es sobreyectiva. Sugerencia: use la Proposicion´ 2.12 y la unicidad dada en el Teorema 2.11.

Ejercicio 2.61 Demuestre que C0(X) y RegA (X) estan´ en dualidad separante. 3. Diferenciacion´ e integracion´ en R

3.1 Teorema Fundamental del Calculo´ en el contexto de teor´ıa de la medida 126

3.2 Relacion´ entre la diferenciacion´ de medidas y diferenciacion´ de funciones 132

3.3 Teorema de cambio de variable 135

3.4 Ejercicios propuestos 136

En este cap´ıtulo presentamos un breve estudio sobre diferenciacion´ de medidas y de funciones a valores reales, para luego abordar el Teorema Fundamental del Calculo´ en el contexto de Teor´ıa de la Medida. Tambien´ abordaremos el problema del cambio de variable en integracion,´ como un problema inicial de espacios de medida.

3.1 Teorema Fundamental del Calculo´ en el contexto de teor´ıa de la medida

La siguientes son dos formas comunes en las que encontramos en la literatura al Teorema Fundamental del Calculo:´

Hipotesis´ simpliﬁcada: Supongamos que f ∈ C[a,b]. Sea F cualquier primitiva de f en [a,b], (i.e. F’(x)=f(x), para todo x ∈ [a,b]). Entonces,

Z x F(x) = f (t)dt + F(a). a

126 Cap´ıtulo3. Diferenciaci on´ e integracion´ en R 127

Hipotesis´ ampliada: Supongamos que f ∈ R[a,b]. Sea F cualquier primitiva de f en [a,b], (i.e. F’(x)=f(x), para todo x ∈ [a,b]). Entonces,

Z b f (t)dt = F(b) − F(a). a Este Teorema tambien´ es conocido como: • Segundo Teorema Fundamental del Calculo´ integral. • Regla de Newton-Leibniz. • Regla de Barrow (en honor al matematico´ ingles´ Isaac Barrow, profesor de Isaac Newton). Teniendo la nocion´ de derivada de Radon-Nikodym, estamos interesados en presentar un analogo´ de este resultado cuando tratamos con medidas. Sin embargo, dν sabemos que el Teorema de Radon-Nikodym garantiza la existencia de dµ , pero proporciona una v´ıa para su calculo.´ A pesar de este hecho; cuando ν es una medida compleja sobre M(Rn) existe un metodo´ para calcular dν dm (x).

Deﬁnicion´ 3.1 Dados (X,τ) un espacio Hausdorﬀ y A una σ-algebra´ en X tal que B(X) ⊂ A . Diremos que una medida µ : A → [0,∞] es boreliana si

µ(K) < ∞, para todo compacto K ⊆ X.

Sea x ∈ R denotaremos por I(x) a la clase de todos los intervalos que contienen a x, i.e., I(x) = {I ⊆ R : I es un intervalo y x ∈ I}.

Deﬁnicion´ 3.2 Sea µ una medida de Borel sobre B(R). Para cada ε > 0 deﬁ- namos ( ) µ(I) ∆(µ,ε,x) := sup : I ∈ I(x), m(I) < ε , (3.1) m(I) ( ) µ(I) ∆(µ,ε,x) := inf : I ∈ I(x), m(I) < ε . (3.2) m(I) Llamaremos derivada superior de µ (con respecto a m) en x, al valor

D(µ,x) := lim ∆(µ,ε,x), (3.3) ε 0 → y derivada inferior de µ (con respecto a m) en x, al valor

D(µ,x) := lim ∆(µ,ε,x). (3.4) ε 0 → 128 Y. Quintana

Deﬁnicion´ 3.3 Sea µ una medida de Borel sobre B(R). Si existe algun´ x ∈ R tal que D(µ,ε,x) = D(µ,ε,x), (3.5) diremos que µ es diferenciable (o derivable) en x. En tal caso, denotaremos a tal valor comun´ por D(µ,x) y lo llamaremos derivada de µ en x.

(i) Como las funciones ∆(µ,ε,x) y ∆(µ,ε,x) son monotonas´ en ε > 0 (ver Ejercicio 4.), los l´ımites (3.3) y (3.4) existen (ﬁnitos o inﬁnitos).

(ii) Para µ M (X) tambien´ podemos deﬁnir la derivada de µ en x mediante ∈ A D(µ,x) := D(Re(µ),x) + iD(Im(µ),x), (3.6)

siempre que las derivadas del lado derecho de (3.6) existan.

(iii) Cuando µ esta´ deﬁnida en un boreliano V de R, podemos asumir que µ 0 en R V . Esto ≡ \ permitira´ incluir en nuestro estudio medidas deﬁnidas en un boreliano.

Proposicion´ 3.1 Sean µ y ν dos medidas de Borel sobre B(R) (positivas o reales). Supongamos que D(µ,x) + D(ν,x) esta´ bien deﬁnido (es decir, no es una indeterminacion´ del tipo ∞ − ∞), entonces

D(µ + ν,x) ≤ D(µ,x) + D(ν,x). (3.7)

Analogamente,´ si D(µ,x) y D(ν,x) son ﬁnitas, entonces

D(µ + ν,x) ≥ D(µ,x) + D(ν,x). (3.8)

En particular, si µ y ν son diferenciables en x, entonces µ + ν es diferenciable en x y D(µ + ν,x) = D(µ,x) + D(ν,x). (3.9)

Demostracion.´ Si la suma en la parte derecha de (3.7) es ∞ no tenemos nada que demostrar. En otro caso, dadas k(µ) y k(ν) constantes tales que k(µ) > D(µ,x) y k(ν) > D(ν,x), existe δ > 0 tal que µ(I) < k(µ)m(I) y ν(I) < k(ν)m(I), para cada I ∈ I(x) con m(I) < δ. Por lo que (µ + ν)(I) < k(µ) + k(ν), para cada I ∈ I(x) con m(I) < δ, m(I) de donde se deduce que D(µ + ν,x) ≤ k(µ) + k(ν), (3.10) Cap´ıtulo3. Diferenciaci on´ e integracion´ en R 129 y tomando ´ınﬁmo en la parte derecha de (3.10) con respecto a todas las constantes admisibles, obtenemos (3.7). Un razonamiento similar permite obtener (3.8) (ver Ejercicio 3.5). Finalmente, (3.8) es una simple consecuencia de lo ya demostrado.

∈ Teorema 3.1 (Teorema Fundamental del Calculo´ para medidas) Sea µ MA (X), entonces:

(I) La funcion´ D(µ) := D(µ,·) existe m-a.e.

(II) D(µ) ∈ L1(R). ⊥ (III) Existe una medida compleja µs sobre B(R) tal que µs m y D(µs) = 0 m-a.e. y se tiene que Z µ(A) = µs(A) + D(µ,x)dm(x). (3.11) A

Demostracion.´ Siguiendo [7, 11], demostraremos este Teorema en cinco pasos: Paso 1: Para toda medida µ de Borel y positiva sobre B(R), la funcion´ D(µ,·) es B(R)-medible. Veamos primero que la funcion´ ∆(µ,ε) := ∆(µ,ε,·) es B(R)-medible para cualquier ε > 0. Para ello es suﬁciente demostrar que los conjuntos {∆(µ,ε) > a} con a ∈ R, son borelianos. Esto es cierto, cuando {∆(µ,ε) > a} = ∅. ∈ En otro caso, si ∆(µ,ε,x0) > a para algun´ x0 R, entonces existe un intervalo ∈ abierto I con x0 I, µ(I) < ε y tal que µ(I) > am(I). Luego, ∆(µ,ε,x) > a para todo ∈ { } x I, es decir, x0 es un punto interior del conjunto ∆(µ,ε) > a , y como fue elegido arbitrariamente, tenemos que {∆(µ,ε) > a} es abierto, esto es {∆(µ,ε) > a} ∈ B(R). Finalmente, usando que 1 D(µ,x) = lim ∆ µ, ,x , n n →∞ obtenemos que la funcion´ D(µ) es B(R)-medible. { } Paso 2: Todo conjunto ﬁnito de intervalos abiertos I1,...,Ir contiene un subco- { } junto de intervalos abiertos disjuntos dos a dos, Ij1 ,...,Ijp tal que

p  r  X 1 [  m I ≥ m I . (3.12) js 3  s s=1 s=1 Podemos suponer sin perdida´ de generalidad que los intervalos estan´ ordenados mediante ≥ ≥ ··· ≥ m(I1) m(I2) m(Ir). 130 Y. Quintana

{ } Tomemos Ij1 := I1 y eliminemos del conjunto I2,...,Ir aquellos intervalos cuya interseccion´ con I1 son no vac´ıos. Es claro que la longitud m(I1) es mayor que la tercera parte de la medida de Lebesgue de I1 unido con los intervalos extra´ıdos.

Sea Ij2 el primer intervalo posterior a I1 que no fue retirado, y repetimos el proceso de extraer aquellos intervalos que tienen interseccion´ no vac´ıa con Ij2 . Como el { } numero´ de intervalos de I1,...,Ir es ﬁnito, este proceso tambien´ lo sera.´

Sean Ij1 ,Ij2 ,...,Ijp los intervalos seleccionados y denotemos por Ajs a la union´ del intervalo Ijs con los intervalos extra´ıdos en el s-esimo´ paso. Entonces tenemos que

 p  p p  p   r  [  X X 1 1 [  1 [  m I  = m I ≥ m A ≥ m A  = m I .  js  js 3 js 3  js  3  s s=1 s=1 s=1 s=1 s=1 Y as´ı la desgualdad (3.12) queda demostrada.

Paso 3: Si µ : B(R) → [0,∞] es de Borel y para cierto A ∈ B(R) se tiene que µ(A) = 0, entonces D(µ) = 0, m-a.e. sobre A. Como µ es positiva, tambien´ lo son D(µ) y D(µ). Ademas,´ tambien´ tenemos que D(µ) ≤ D(µ). Como A ∈ B(R) y por el Paso 1 D(µ) es B(R)-medible, el conjunto

B := {x ∈ A : D(µ,x) > 0} ∈ B(R). Luego si demostramos que m(B) = 0, habremos demostrado simultaneamente´ la existencia m-a.e. de D(µ) en A y su medibilidad en A. ∈ ⊂ Supongamos que m(B) > 0 entonces existen a > 0 y Ba B(R) tales que Ba B, m(B ) > 0 y D(µ) > a. Como m es regular interior, podemos suponer sin perdida´ de a m(Ba) ∈ generalidad que Ba es compacto. Sea β > 0 , como D(µ) > a sobre Ba; para cada x Ba ∈ existe un intervalo abierto Ix tal que x Ix, m(Ix) < β y µ(Ix) > am(Ix). [ [r ⊂ ⊂ Pero Ba Ix, y por la compacidad de Ba existen I1,I2,...,Ir tales que Ba Is. x B s=1 ∈ a Ahora, sean Ij1 ,Ij2 ,...,Ijp elejidos como en el Paso 2, y deﬁnamos { ∈ ≤ } Kβ := x R : d(x,Ba) β , {| − | ∈ } donde d(x,Ba) = inf y x : y Ba . Entonces ⊂ ≤ ≤ Ijs Kβ, para todo 1 s p. Por lo que

 p  p p  p   r  [  X X [  a [  a µ(K ) ≥ µ I  = µ(I ) > a m(I ) = am I  ≥ m I  > m(B ). β  js  js js  js  3  s 3 a s=1 s=1 s=1 s=1 s=1

1 n o Tomando β := , n ∈ N, tenemos que K 1 es una sucesion´ decreciente y [ n n n N ∈ ∞ K 1 = Ba. Ademas,´ como µ es de Borel y K1 es compacto, tenemos que µ(K1) < , n n N ∈ Cap´ıtulo3. Diferenciaci on´ e integracion´ en R 131 y en consecuencia lim µ K 1 = µ(Ba). Por lo que n n →∞ ≥ a µ(Ba) µ K 1 > m(Ba). n 3 ⊂ Pero como Ba A y µ(A) = 0, entonces µ(Ba) = 0. De donde se deduce que la hipotesis´ m(Ba) > 0 es falsa. Por lo tanto, m(B) = 0, y en consecuencia D(µ) existe m-a.e. en A, (con lo que hemos demostrado (I)) y es medible en A.

Paso 4: Si µ es una medida compleja sobre B(R) y µ ⊥ m, entonces D(µ) = 0, m-a.e. Como D(µ) := D(Re(µ)) + iD(Im(µ)) y de µ ⊥ m se deduce que Re(µ) ⊥ m y Im(µ) ⊥ m, podemos reducir nuestra demostracion´ al caso en que µ es real. + + En tal caso, µ = µ − µ−, donde (µ ,µ−) la descomposicion´ de Jordan de µ, por lo + que si µ ⊥ m entonces µ ⊥ m y µ− ⊥ m. As´ı pues, podemos reducir aun´ mas´ nuestra demostracion´ al caso en que µ es positiva. Pero, si µ es positiva y µ ⊥ m, existe B ∈ B(R) tal que µ esta´ concentrada en B y m(B) = 0. Tomando A = R \ B, tenemos que µ(A) = 0 y por el Paso 3 que D(µ) = 0 m-a.e. sobre A. Como m(R \ A) = m(B) = 0, entonces D(µ) = 0 m-a.e. en R. Paso 5: Si µ es una medida compleja sobre B(R) y µ m, entonces D(µ), existe dµ ∈ 1 m-a.e. y coincide con la derivada de Radon-Nikodym dm L (R). Si µ es una medida compleja sobre B(R), consideremos (µa,µs) su descomposicion´ de Lebesgue con respecto a m, es decir, ⊥ ⊥ µ = µa + µs, µa m, µs m, µa µs.

Si D(µa) y D(µs) existen, por la Proposicion´ 1-C9 tenemos que D(µ) = D(µa) + D(µs) y ⊥ como µs m, por el Paso 4 tenemos que D(µs) = 0 m-a.e. en R. Por lo tanto, podemos reducir nuestro estudio al caso en que µs = 0.

Por otra parte, si µs = 0, entonces µ = µa y procediendo como en la primera parte de la demostracion´ del Paso 4, podemos reducir nuestro problema al caso en que µ es real. Por lo tanto, solo´ necesitamos mostrar que si µ es real y µ m entonces D(µ) dµ ∈ 1 existe m-a.e. y coincide con la derivada de Radon-Nikodym dm L (R). → dµ Fijemos una funcion´ f : R R en la clase de dm que sea medible Borel. Para cada r ∈ Q consideremos los conjuntos A := {x ∈ R : f (x) < r} y B := {x ∈ R : f (x) ≥ r}, y deﬁnamos la medida positiva ν mediante Z ν(E) := (f (x) − r)dµ(x), para todo E ∈ B(R). E B Z ∩ Como µ(E) = f (x)dm(x), entonces E Z ν(E) ≥ (f (x) − r)dm(x) = µ(E) − r m(E). (3.13) E 132 Y. Quintana

Por la deﬁnicion´ de ν, ella esta´ concentrada en B, as´ı que ν(A) = 0 y utilizando el Paso 4 tenemos que D(ν) = 0 m-a.e. sobre A. En otras palabras, el conjunto E := {x : f (x) < r < D(µ,x)} es un boreliano y m(E ) = 0. r [ r ∈ Como f (x) < D(µ,x) si y solo´ si x Er se deduce que r Q ∈ D(µ) ≤ f , m-a.e. (3.14) Y como este resultado es valido´ para cualquier medida real, en particular (3.14) es − d( µ) − dµ cierto para µ, de donde obtenemos que d− m = d m . En consecuencia, D(−µ) ≤ −f , m-a.e., pero D(−µ) = −D(µ), por lo que D(µ) ≥ f , m-a.e. (3.15) Finalmente, de (3.14) y (3.15) se deduce que D(µ) = D(µ) = f m-a.e. De manera que hemos tambien´ demostrado (II)y (III).

3.2 Relacion´ entre la diferenciacion´ de medidas y diferenciacion´ de funciones

Las medidas de positivas Borel sobre B(R) estan´ en correspondencia biun´ıvoca (salvo una constante aditiva) con las funciones crecientes y continuas a la derecha (o continuas a la izquierda con una ligera modificacion´ en la definicion´ de la correspondencia). Por tanto es de esperar que exista una relacion´ entre la diferenciacion´ de medidas y funciones. En esta seccion´ estudiaremos brevemente las clases de funciones vinculadas a las medidas que nos ocupan, caracterizando a las medidas complejas de Borel sobre B(R) con estas funciones. Definicion´ 3.4 Dado I ⊂ R un intervalo. Una funcion´ F : I → C es llamada de variacion´ acotada sobre I, si F puede expresarse como − − F = (F1 F2) + i(F3 F4),

donde cada Fj es creciente, acotada y continua a la derecha sobre I, j = 1,2,3,4.

Denotaremos por BV(I) al conjunto de todas las funciones a variacion´ acotada sobre I y por BV0(R) al conjunto de todas las funciones de variacion´ acotada sobre R, tales que lim F(s) = 0. s →∞ Cap´ıtulo3. Diferenciaci on´ e integracion´ en R 133

(I) BV(R) tiene estructura de espacio vectorial y BV0(R) BV(R) es un subespacio de codi- ⊂ mension´ 1.

(II) Toda G BV(R) se expresa de manera unica´ como G = F + c donde F BV0(R) y c es una ∈ ∈ funcion´ constante (ver Ejercicio 3.7).

(III) Prolongando de manera constante cada Fj a la izquierda y a la derecha de I, j = 1,2,3,4 en la deﬁnicion´ 3.4, podemos reducir el estudio de la relacion´ entre funciones de variacion´ acotada y medidas complejas al caso en que el dominio es R.

Teorema 3.2 Existe una correspondencia uno a uno entre las funciones en BV0(R) y las medidas en MM(R). Esta correspondencia esta´ dada por la formula:´ F(x) = µ{(−∞,x]} (3.16)

Demostracion.´ Por el Ejercicio 3.2, podemos reducir nuestra demostracion´ al caso de medidas y funciones a valores reales: + → → Sean (µ ,µ−) la descomposicion´ de Jordan de la medida µ : M R y Fj : R R, + j = 1,2, las funciones deﬁnidas para µ y µ− como en la parte (a) del Ejercicio 3.2. − Entonces, tomando F = F1 F2 tenemos que F es de variacion´ acotada, a valores reales, lim F(t) = 0, y satisface (3.16). t →∞ → Rec´ıprocamente, si G : R R es una funcion´ de variacion´ acotada, existen G1,G2 : R → R, crecientes, acotadas, continuas a la derecha, que satisfacen la condicion´

lim Gj(t) = 0, j = 1,2. t →∞ Por la parte (b) del Ejercicio 3.2 cada Gj deﬁne un´ıvocamente una medida posi- − tiva y acotada µj en B(R) que veriﬁca (3.16). Luego, µ := µ1 µ2 es una medida real que satisface (3.16). Ademas,´ si µ es expresada a traves´ de su descomposicion´ de Jordan, esto es; µ = + + µ − µ−, y F y F− son las funciones determinadas segun´ la parte (a) del Ejercicio + 3.2, entonces la funcion´ F := F − F− tiene que coincidir con G debido a la condicion´ (3.16).

Teorema 3.3 ( Equivalencia entre la diferenciacion´ de medidas y la diferenciacion´ de funciones) Sea µ una medida boreliana en R (positiva o compleja) y F una funcion´ asociada a µ (monotona´ creciente y continua a la derecha en el caso en que µ ≥ 0; de variacion´ acotada si µ es compleja). Dado x ∈ R, F es derivable en x si y solo´ si, µ es derivable en x. En cualquiera de los casos se tiene que D(µ,x) = F0(x).

Para la demostracion´ de este resultado pueden consultarse las demostraciones de [7, Teorema 7.6] o [11, Theorem 7.1]. 134 Y. Quintana

Corolario 3.1 Toda funcion´ de variacion´ acotada es diferenciable m-a.e.

Demostracion.´ Sean F ∈ BV(R) y µ la medida compleja asociada a F. Por el Teorema 3.3, F es diferenciable, si y solo´ si, µ lo es. Y por la parte (I) del Teorema 3.1, F diferenciable m-a.e.

Teorema 3.4 Si f ∈ L1(R) y deﬁnimos Z Z x F(x) := χ( ,x](t)f (t)dm(t) = f (t)dt, (3.17) R −∞ −∞ entonces F es una funcion´ continua, de variacion´ acotada y

F0(x) = f (x) m-a.e. (3.18)

− − ≥ ∈ 1 Demostracion.´ Como f = (f1 f2) + i(f3 f4), donde fj 0 y fj L (R), j = 1,2,3,4, entonces − − F = (F1 F2) + i(F3 F4), (3.19) donde Z x Fj(x) = fj(t)dt, j = 1,2,3,4. −∞ ≥ Es claro que cada Fj es creciente porque cada fj 0. Ademas,´ cada Fj es continua y ∈ 1 acotada pues fj L (R), y lim Fj(t) = 0. Por lo tanto, F es una funcion´ de variacion´ t acotada y lim F(t) = 0. →∞ t Sea µ la→∞ medida boreliana asociada a F, es inmediato que dµ = f dm, (3.20) y por (3.20) tenemos F0(x) = D(µ,x) = f (x), para casi todo x.

El Teorema 3.4 pareciera darnos una v´ıa para calcular integrales: dados f L1(R) y [a,b] un ∈ intervalo compacto, si F es una funcion´ continua, de variacion´ acotada, tal que F0(x) = f (x) m-a.e., entonces Z b f (t)dt = F(b) F(a). (3.21) a − La igualdad (3.18) esta´ basada en (3.17) y en la igualdad Z b Z b Z a f (t)dt = f (t)dt f (t)dt = F(b) F(a). (3.22) a − − −∞ −∞ Sin embargo, este razonamiento es incorrecto, pues las hipotesis´ sobre F no garantizan que F sea la integral indeﬁnida de f . Ver Ejercicio 3.8. Cap´ıtulo3. Diferenciaci on´ e integracion´ en R 135 3.3 Teorema de cambio de variable

Un cambio de variable puede ser presentado sin hacer referencia a la diferenciacion´ de las funciones involucradas, cuando es presentado como un problema inicial de espacios de medida:

Problema 1-C9: Supongamos que (X,A ) y (Y,C ) dos espacios medibles y g : X → Y una aplicacion´ medible. Dada ν una medida positiva sobre C , determinar una medida µ sobre A tal que

1 µ(g− (E)) = ν(E), para todo E ∈ C .

(A) Si g : X Y es un isomorﬁsmo de espacios medibles, el Problema 1-C9 tiene solucion´ → unica,´ dada precisamente por µ(g 1(E)), para todo E C . − ∈ (B) Si f L1(Y ,ν) entonces ∈ Z Z f (y)dν(y) = f (g(x))dµ(x). (3.23) Y X

El interes´ en solucionar el Problema 1-C9 proviene de la intencion´ de poder tomar X y g de manera que sea factible obtener µ y que la integral del lado derecho de (3.23) pueda ser calculada de forma mas´ sencilla que la integral del lado izquierdo de (3.23).

→ Sean Y =:= I1 , X := I2 dos intervalos reales (acotados o no), y g : X Y una funcion´ sobreyectiva y creciente (y por tanto medible Borel). Consideremos la medida positiva µ sobre los borelianos de Y asociada a la funcion´ g. Como los intervalos del tipo (a,b] ⊂ X son imagenes´ por g de intervalos del tipo (c,d] ⊂ Y con g(c) = a y g(d) = b, deﬁniendo si fuese necesario

+ g(y0) := g(y0 ) = x0, donde y0 denota el extremo izquierdo del intervalo Y , x0 el extremo izquierdo del + intervalo X, y g(y0 ) = lim g(t). t y+ → 0 Tenemos que

m((a,b])= b − a = g(d) − g(c) { } 1 = µ (c1,d1] = µ(g− ((a,b])).

En otras palabras, si S = {(a,b]:(a,b] ⊂ X} tenemos que

1 m((a,b]) = µ(g− ((a,b])), para todo (a,b] ∈ S. 136 Y. Quintana

Como la σ-algebra´ generada por S coincide con B(X), las medidas m y µ˜ dada por 1 µ˜((a,b]) := µ(g− ((a,b])) son σ-ﬁnitas sobre S, entonces, ellas coinciden sobre B(X). Es decir, 1 m(E) = µ(g− (E), para todo E ∈ B(X). Por lo tanto, µ es solucion´ del Problema 1-C9, y por la observacion´ (B) tenemos que:

Teorema 3.5 (Cambio de variable en la integral de Lebesgue sobre intervalos → en R) Sean Y =:= I1 , X := I2 dos intervalos reales (acotados o no), y g : X Y una funcion´ sobreyectiva y monotona,´ entonces para toda f ∈ L1(Y ) tenemos Z Z f (y)dm(y) = f (g(x))dg(x), si g es creciente, (3.24) Y X Z Z f (y)dm(y) = − f (g(x))dg(x), si g es decreciente. (3.25) Y X

3.4 Ejercicios propuestos

Ejercicio 3.1 De´ al menos 4 ejemplos de medidas borelianas vistas a lo largo del curso.

Ejercicio 3.2 Caracterizacion´ de las medidas borelianas sobre M. Considere M la σ-algebra´ de Lebesgue en R y S = {(a,b]: a < b, a,b ∈ R}. Demuestre que

(a) Para toda medida boreliana µ : M → [0,∞] y para todo a ∈ R la funcion´ F : R → R deﬁnida por ( µ((a,x]), si x > a, F(x) := −µ((x,a]), si x ≤ a,

es creciente y continua a la derecha.

(b) Para toda funcion´ F : R → R creciente y continua a la derecha existe una unica´ medida boreliana µ : M → [0,∞] tal que para cualquier (c,d] ∈ S se tiene µ((c,d]) = F(b) − F(c).

Ejercicio 3.3 Sea M(Rn) la σ-algebra´ de Lebesgue en Rn. Demuestre que toda n → ∞ medida boreliana µ : M(R ) [0, ] es regular. En particular, si MM(R) denota al espacio de todas las medidas sobre M, entonces RegM(R) = MM(R). Sugerencia: en Rn todo conjunto abierto es σ-compacto. Cap´ıtulo3. Diferenciaci on´ e integracion´ en R 137

Ejercicio 3.4 Muestre que las funciones ∆(µ,ε,x) y ∆(µ,ε,x) son monotonas´ en ε > 0.

Ejercicio 3.5 Demuestre la desigualdad (8) de la Proposicion´ 3.1.

Ejercicio 3.6 Considere sobre BV(R) la siguiente relacion´ binaria: F ∼ G, si y solo´ si, lim F(s) − G(s) = 0. Muestre que ∼ es una relacion´ de equivalencia. s →∞

∈ ∈ Ejercicio 3.7 Demuestre que para toda G BV(R) existe una unica´ F BV0(R) tal que G = F + c donde c es una funcion´ constante. Sugerencia: Si G ∈ BV(R) \ BV0(R) entonces lim G(s) = c con c , 0. s →∞

Ejercicio 3.8 De´ un ejemplo de una funcion´ de variacion´ acotada F que sea discontinua, satisfaga que F0(x) = f (x) m-a.e., para alguna funcion´ medible f , pero Z b f (t)dt , F(b) − F(a). a 4. Estrategia y criterios de evaluacion´ del curso

4.1 Estrategia de evaluacion´ 138

4.2 Criterios de evaluacion´ 139

Este cap´ıtulo contiene la estrategia y los criterios de evaluacion´ del curso, presentados durante la primera clase del curso v´ıa Zoom y acordados en consenso con los alumnos, as´ı como tambien´ algunas modiﬁcaciones del cronograma de evaluacion´ que surgieron durante el desarrollo de este curso.

4.1 Estrategia de evaluacion´

El 30% de la evaluacion´ del curso correspondera´ a la entrega de problemas asigna- dos. El 70% restante correspondera´ al examen ﬁnal, el cual se realizara´ en dos partes consistiendo de cinco problemas de los propuestos a lo largo del curso. La duracion´ de cada examen sera´ de tres horas lectivas, y luego de su entrega se procedara´ a la realizacion´ de un debate virtual con el objeto de complementar la evaluacion´ escrita con una evaluacion´ oral.

138 Cap´ıtulo4. Estrategia y criterios de evaluaci on´ del curso 139 4.2 Criterios de evaluacion´

Los objetivos (en forma de capacidades) en los que se enfocara´ la evaluacion´ del curso son los siguientes:

• Comprension´ y expresion.´

• Capacidad de identiﬁcacion´ y resolucion´ de problemas en teor´ıa de la medida e integracion.´

•H abitos´ de trabajo individual.

El ultimo´ objetivo esta´ suﬁcientemente explicado con su enunciado y su evaluacion´ sera´ hecha por revision´ de las soluciones a los problemas propuestos y observacion´ directa en las clases virtuales. Para los dos primeros objetivos, los criterios tomados en cuenta a la hora de evaluar el aprendizaje de los alumnos seran´ los siguientes:

Trabajo escrito Nro. 1: (8%) Bloque 1: Problemarios 1,2,3 (Tema 1) Fecha de entrega: 31-07-2020 (Semana 5)

Trabajo escrito Nro. 2: (22%) Bloque 2: Problemarios 5,6,7,8 (Tema 2) Fecha de entrega: 18-09-2020 (Semana 12)

Examen ﬁnal: (70%) El examen ﬁnal se realizara´ en dos partes consistiendo de cinco problemas de los propuestos a lo largo del curso. La duracion´ de cada examen sera´ de tres horas lectivas, y luego de su entrega se procedara´ a la realizacion´ de un debate virtual con el objeto de complementar la evaluacion´ escrita con una evaluacion´ oral.

Examen final (Parte I): (40%) Problemarios 1,2,3,4,5 (Tema 1 + Tema 2) * Fecha: 20-08-2020 (Semana 8) 99K Nueva Fecha: 27-08-2020 (Semana 9) Examen final (Parte II): (30%) Problemarios 6,7,8,9 (Tema 2 + Tema 3) † Fecha: 24-09-2020 (Semana 13) 99K Nueva Fecha: 29-09-2020 (Semana 14) Fecha final: 15-10-2020 (Semana 16) ‡

Por cada Bloque de ejercicios y Examen ﬁnal, se evaluaran´ los siguientes conceptos con su respectivo porcentaje:

*Cambio motivado por la presentacion´ del examen extraordinario de Analisis´ Real I el d´ıa 20-08- 2020. †Cambio motivado por d´ıa feriado 24-09-2020. ‡Ajuste de ﬁnal del cronograma de evaluaciones. 140 Y. Quintana

• Presentacion:´ 20%.

• Operacion:´ 20%.

Con respecto a capacidad de identiﬁcacion´ y resolucion´ de problemas en teor´ıa de la medida e integracion:´ • Procedimientos: 30%. Se hara´ enfasis´ en:

- Uso correcto de la simbolog´ıa propia de los temas vistos en clase y conocimiento de las propiedades a la hora de operar cada ejercicio. -S ´ıntesis y analisis´ de resultados. -B usqueda´ y uso de fuentes de informacion.´ - Planteamiento y resolucion´ de problemas. - Sistematizacion.´ - Formulacion´ y constrastacion´ de hipotesis.´ - Autonom´ıa en el aprendizaje.

• Operacion:´ 20%.

• Razonamiento: 30%. Este criterio implica: 1) Saber decidir cual´ es el procedimiento mas´ oportuno en cada situacion,´ 2) saber interpretar correctamente uan representacion´ semiotica´ para expresar un concepto y resaltar sus caracter´ısticas mas´ relevantes, 3) sistematizar y resumir conclusiones de un trabajo realizado e interpretar las ideas matematicas´ presentes en el,´ 4) traducir los elementos de un problema de un modo de expresion´ a otro y argumentar las estrategias mas´ oportunas.

Una version´ del criterio de Dylan Selterman (Universidad de Maryland) Dos estudiantes A y B de un curso X presentaran´ un examen. Cada estudiante debe escribir su examen de forma individual, por lo cual es imposible que dos redacciones de un problema del examen sean exactamente iguales. El profesor del curso admite que no tiene recursos suﬁcientes para mostrar que los estudiantes se copiaron la solucion´ de alguna pregunta del examen, sino tan solo´ suponer que hay copia cuando la redaccion´ de la solucion´ de un problema es inusualmente similar (80% a 90% de coincidencia, incluyendo errores). As´ı que en tal caso tiene previsto colocar 0 puntos en ese problema. No obstante, el profesor ofrece a cada estudiante simultaneamente´ un trato segun´ las condiciones siguientes:

(I) Si A y B conﬁesan que se copiaron la solucion´ de un problema del examen, se les anulara´ el puntaje de dos problemas del examen.

(II) Si A conﬁesa, pero B guarda silencio. La solucion´ copiada sera´ corregida para A, mientras que a B se le anularan´ tres preguntas del examen.

(III) Si B conﬁesa, pero A guarda silencio. La solucion´ copiada sera´ corregida para B, mientras que a A se le anularan´ tres preguntas del examen. Cap´ıtulo4. Estrategia y criterios de evaluaci on´ del curso 141

(IV) Si A y B guardan silencio, sera´ anulada la pregunta del examen para los dos, tal y como estaba previsto. Bibliografıa´

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142 Indice´ alfabetico´

aplicacion´ acotado, 82 bilineal, 123 positivo, 25 no degenerada, 123 medida Borel absolutamente continua, 57 σ-algebra,´ 8 boreliana, 127 compleja, 46 conjunto de Borel,8 ν-medible, 16 de Borel compleja regular, 118 convergencia exterior, 16 casi uniformemente, 100 exterior de Borel, 17 en media de orden p, 97 en medida, 101 exterior regular, 17 regular,8 descomposicion´ regular exterior,8 de Jordan, 54 regular interior,8 dualidad separante, 123 norma entorno de un funcional lineal acotado, 82 compacto de x,8 entorno abierto de un punto,7 parte espacio negativa de µ, 54 σ-compacto,8 positiva de µ, 54 de medida compleja, 46 problema inicial de espacios de medida, dual topologico,´ 82 135 Hausdorﬀ,8 propiedad localmente compacto,8 de Beppo Levi, 95 formula´ regla de la cadena, 76 de integracion´ compleja, 76 representacion´ polar de una medida com- familia de medidas equicontinua, 106 pleja, 74 forma bilineal, 123 sucesion´ Frigyes Riesz, 23 de Cauchy en medida, 103 funcion´ de soporte compacto, 25 teorema de variacion´ acotada, 132 de convergencia de Vitalli, 112 que se anula en el inﬁnito, 116 de descomposicion´ de Hahn, 56 funcional lineal de descomposicion´ de Lebesgue, 72

143 144 Y. Quintana

de descomposicion´ de Lebesgue caso complejo, 74 de Egorov, 99 de Hahn-Banach, 96 de Luzin, 42 de Radom-Nikodym, 71 para medidas positivas, 64 de representacion´ de Riesz, 27 para funcionales lineales continuos, 119 de Vitali-Hahn-Saks, 113 fundamental del Caculo,´ 126 fundamental del Calculo´ para medidas, 129 variacion´ de una medida compleja, 48 Cap´ıtulo4. Estrategia y criterios de evaluaci on´ del curso 145