ANALISIS´ REAL II YAMILET QUINTANA 2020 Programa Interuniversitario de Doctorado en Matematicas´ INTEC - UASD - PUCMM Republica´ Dominicana Content is licensed under CC by 4.0 Creative Commons Attribution 4.0 International License Edition 1.0 supported by LATEX Cover design by Yamilet Quintana Contenido 1 Funcionales lineales positivos y medidas regulares ...........7 1.1 Medidas regulares7 1.1.1 Medidas exteriores de Borel.................... 16 1.2 Ejercicios propuestos 19 1.3 Teorema de representacion´ de Riesz para funcionales lineales positivos 22 1.3.1 El problema de representacion´ de funcionales lineales..... 22 1.4 Ejercicios propuestos 35 1.5 Aproximacion´ de funciones medibles por funciones continuas 41 p ≤ 1 1.5.1 Densidad de Cc(X) en L (X;µ), 1 p < ............. 41 1.5.2 El teorema de Luzin......................... 42 1.6 Ejercicios propuestos 44 2 Medidas complejas y algunas de sus propiedades .................................................... 46 2.1 Medidas complejas 46 2.2 Ejercicios propuestos 54 2.3 Teorema de Radon-Nikodym y Teorema de descomposicion´ de Lebesgue 57 2.4 Ejercicios propuestos 78 2.5 Teorema de Radon-Nikodym versus dualidad de los espacios Lp 81 2.6 Ejercicios propuestos 94 2.7 Conceptos de convergencia en Teor´ıa de la Medida y su interrelacion´ 97 2.7.1 Equicontinuidad para familias de medidas............ 106 2.7.2 Caracterizacion´ de la convergencia en Lp ............. 109 2.8 Ejercicios propuestos 113 2.9 Teorema de representacion´ de Riesz para funcionales lineales continuos 115 2.10 Ejercicios propuestos 122 3 3 Diferenciacion´ e integracion´ en R ............................ 126 3.1 Teorema Fundamental del Calculo´ en el contexto de teor´ıa de la medida126 3.2 Relacion´ entre la diferenciacion´ de medidas y diferenciacion´ de funciones 132 3.3 Teorema de cambio de variable 135 3.4 Ejercicios propuestos 136 4 Estrategia y criterios de evaluacion´ del curso .............. 138 4.1 Estrategia de evaluacion´ 138 4.2 Criterios de evaluacion´ 139 Bibliograf´ıa .................................................... 142 ´Indice alfabetico´ ............................................... 142 Introduccion´ Este material es una exposicion´ sistematica´ de los contenidos del curso de Analisis´ Real II del Programa Interuniversitario de Doctorado en Matematicas,´ ofertado en forma conjunta por el Instituto Tecnologico´ de Santo Domingo (INTEC), la Uni- versidad Autonoma´ de Santo Domingo (UASD) y la Pontificia Universidad Catolica´ Madre y Maestra (PUCMM), bajo el auspicio tecnico´ y financiero del Ministerio de Educacion´ Superior, Ciencia y Tecnolog´ıa (MESCyT). Su estructura esta´ en concordancia con la del programa de Analisis´ Real II, aunque al estar fuertemente influenciado por la experiencia y practica´ docente de la autora en distintas instituciones de educacion´ superior, tambien´ ha sido escrito con la pre- tension´ de que pueda ser un texto utilizable por todo aquel que requiera fortalecer su aprendizaje en algunos de los contenidos presentados. El texto se inicia con algunas sugerencias didactico-metodol´ ogicas´ (cfr. [3]) que pueden servir como ayuda en el momento de afrontar el proceso de ensenanza-˜ aprendizaje de un curso de estas caracter´ısticas. Seguidamente se presenta el Cap´ıtulo 1 relativo a funcionales lineales positivos y medidas regulares. El Cap´ıtulo 2 esta´ dedicado a examinar los Teoremas de Radon-Nikodym y de descomposicion´ de Le- besgue (incluyendo algunas de las versiones debiles´ de este).´ El tercer Cap´ıtulo com- prende un breve estudio sobre diferenciacion´ de medidas y diferenciacion´ de fun- ciones a valores reales, para luego abordar el Teorema Fundamental del Calculo´ en el contexto de Teor´ıa de la Medida, mientras que en el cuarto y ultimo´ Cap´ıtulo se recogen la estrateg´ıa y criterios de evaluacion´ adoptados a lo largo del curso. Vale la pena mencionar que, errores, omisiones u opiniones expresadas en este material, el cual no ha sido sometido a revision´ editorial, son de exclusiva responsa- bilidad de la autora. Finalmente, agradeciendo al Comite´ Academico´ del Programa Interuniversitario de Doctorado en Matematicas´ la oportunidad de dictar este curso, y a la Direccion´ de Recursos de Aprendizaje del INTEC el apoyo tecnico´ desde el Aula Virtual del INTEC, la autora espera que este material sirva de gu´ıa, est´ımulo y referencia, tanto a los participantes del programa, como a todas aquellas personas que tengan la opor- tunidad de leerlo. Y. Quintana 5 Sugerencias didactico-metodol´ ogicas´ A continuacion´ presentaremos algunas sugerencias didactico-metodol´ ogicas´ que pueden servir como ayuda en el momento de afrontar el proceso de ensenanza-˜ aprendizaje del curso (ver [3]), incluso cuando este proceso incluye actividades de formacion´ mediadas por Tecnolog´ıas Digitales Disponibles (TDD). 1. El profesor debe presentar el contenido en forma no confusa y arbitraria, re- spetando y destacando las relaciones de este´ con otros ambitos´ del conocimiento matematico´ y ademas,´ debe tomar en cuenta el nivel de los conocimientos previos de cada estudiante, tambien´ debe construir sus propias estrategias didactico-metodol´ ogicas,´ que le permitan motivar la presentacion´ de nuevos conceptos y resultados. 2. Recuerdese´ que un aprendizaje significativo requiere de una predisposicion´ por parte del alumno y del profesor, de modo que ambos actores deben tener interes´ por la dinamica´ que exige un proceso de ensenanza-aprendizaje˜ activo. 3. El estudiante no debe pasar a la etapa de solucion´ de problemas si no tiene claro los esquemas de conocimientos teoricos´ y la fijacion´ de estos´ en su memo- ria comprensiva ya que la informacion´ retenida por simple repeticion´ se pierde al no llegar a conectarse con nuestra estructura mental. 4. El estudiante debe escribir con sus propias palabras las definiciones y resul- tados e interpretarlos, debe llenar los detalles omitidos en los ejemplos y de- mostraciones. 5. Una tarea esencial del estudiante es resolver la mayor cantidad de ejercicios (recuerde que la Matematica´ no se aprende pasivamente), ya que estos´ le per- mitiran´ consolidar los nuevos conceptos y resultados. Ademas,´ se recomienda resolver los ejercicios sin consultar las ayudas, dejando estas ultimas´ para cuando se encuentre dificultad en la solucion.´ 6. En caso de dudas, el estudiante debe preguntar al profesor o anotar las mismas para consultarlas en las horas destinadas para tal fin. Tambien,´ puede salir de sus dudas consultando la bibliograf´ıa indicada. 7. Por ultimo,´ es necesario verificar el grado de conocimientos adquiridos. Se recomienda al profesor plantear las evaluaciones de tal manera que el estudi- ante demuestre que ha logrado formar solidos´ esquemas teoricos´ y que estos´ forman parte de su memoria comprensiva. Ademas,´ las evaluaciones deben contener problemas donde el estudiante aplique los conocimientos teoricos´ y procidimentales adquiridos. 6 1. Funcionales lineales positivos y medidas regulares 1.1 Medidas regulares 7 1.1.1 Medidas exteriores de Borel 1.2 Ejercicios propuestos 19 1.3 Teorema de representacion´ de Riesz para fun- cionales lineales positivos 22 1.3.1 El problema de representacion´ de funcionales lineales 1.4 Ejercicios propuestos 35 1.5 Aproximacion´ de funciones medibles por fun- ciones continuas 41 p 1.5.1 Densidad de Cc(X) en L (X;µ), 1 p < ≤ 1 1.5.2 El teorema de Luzin 1.6 Ejercicios propuestos 44 La idea central este cap´ıtulo es conectar los conceptos de Medida y Topolog´ıa a partir de la construccion´ de ciertas medidas haciendo uso de funcionales lineales definidos sobre espacios de funciones continuas. En la seccion´ 1.1 presentaremos la definicion´ de medidas regulares y sus propiedades. En la seccion´ 1.3 estudiaremos la con- struccion´ de ciertas medidas haciendo uso de funcionales lineales definidos sobre es- pacios de funciones continuas. Finalmente, la seccion´ 1.5 nos ocuparemos de dos resultados sobre aproximaxion´ de funciones: El teorema de densidad de las funciones continuas con soporte compacto en Lp(X;µ), 1 p < , y el teorema de Luzin sobre aproximacion´ de funciones medibles por funciones≤ continuas.1 1.1 Medidas regulares Empezaremos recordando algunos preliminares topologicos.´ Sea (X;τ) un espacio topologico.´ • Un entorno abierto de un punto x 2 X, es un subconjunto A ⊆ X tal que x 2 A:˚ Es decir, existe U 2 τ tal que x 2 U ⊆ A. 7 8 Y. Quintana • X es un espacio Hausdorff si cualquier par de puntos distintos en X poseen entornos abiertos disjuntos. Es decir, para todo x;y 2 X, x , y existen U;V 2 τ tales que x 2 U, y 2 V y U \ V = ;. • X es localmente compacto si para cualquier x 2 X y U abierto con x 2 U, existe un entorno compacto K de x contenido en U. • X es σ-compacto si es la union´ numerable de subconjuntos compactos. A partir de ahora supondremos que (X;τ) un espacio Hausdorff localmente com- pacto y denotaremos por B(X) a la σ-algebra´ de Borel en X. Definicion´ 1.1 Una medida µ : B(X) ! [0;1] es medida de Borel si µ(K) < 1; para todo compacto K ⊆ X: Definicion´ 1.2 Una medida µ : B(X) ! [0;1] es regular exterior en cada E 2 B(X) si µ(E) = inffµ(V ): E ⊆ V;V abierto g: Definicion´ 1.3 Una medida µ : B(X) ! [0;1] es regular interior en cada E 2 B(X) si µ(E) = supfµ(K): K ⊆ E; K compacto g: µ : B(X) [0; ] es regular si es regular exteriory regular interior. ! 1 Ejemplo 1.1 La restriccion´ de la medida de Lebesgue sobre Rn a la σ-algebra´ de Borel B(Rn) es una medida de Borel regular. ! 1 Ejemplo 1.2 Sea N con la topolog´ıa discreta y µ0 : P(N) [0; ] dada por µ0(A) = card(A). Entonces µ0 es una medida de Borel regular. 2 Ejemplo 1.3 Sea (X;τ) Hausdorff localmente compacto. Fijado x0 X, consid- ! f g eremos la medida de Dirac en x0, δx0 : B(X) 0;1 dada por ( 2 1; si x0 E; 2 δx0 (E) := para E B(X): 0; si x0 < E; Entonces, δx0 es una medida de Borel regular.