December 10, 2013 7.2: Radio Astronomers Can Detect Clouds Of

현대물리학: December 10, 2013

숙제 7 풀이

문제 7.2: Radio astronomers can detect clouds of hydrogen in our galaxy too cool to radiate in the optical part of the spectrum by means of the 21-cm spectral line that corresponds to the ﬂipping of the electron in a hydrogen atom from having its spin parallel to the spin of the proton to having it antiparallel. Find the magnetic ﬁeld experienced by the electron in a hydrogen atom. 해답 : 스핀이 같은 방향에서 반대 방향으로 정렬될 때의 에너지 차이가 수소원자에서 방출되는 21-cm 파장의 빛을 만들어내므로, hc ∆E = = +µ B − (−µ B) = 2µ B λ B B B 임을 손쉽게 알 수 있다. 그러면 우리가 아는 값으로부터 자기장 B를 구하면 아래와 같은 값을 얻을 수 있다. hc B = = 0.051 T 2µBλ

1 문제 7.5: Protons and neutrons, like electrons, are spin- 2 particles. The nuclei of ordinary helium 4 atoms, 2 He, contain two protons and two neutrons each; the nuclei of another type of helium 3 4 atom, 2 He, contain two protons and one neutron each. The properties of liquid 2 He and liquid 3 2 He are diﬀerent because one type of helium atom obeys the exclusion principle but the other does not. Which is which, and why? 4 해답 : 전체 스핀을 계산해보면, 짝수개의 반정수 스핀 입자로 구성된 2 He은 반드시 정수의 스핀을 3 가져야 하므로 보존이 되고 홀수개의 반정수 스핀 입자로 구성된 2 He 은 반정수의 스핀을 가져야 3 하므로 페르미온이 된다. 파울리의 배타원리는 페르미온에만 적용되므로 2 He은 배타원리를 다르게 된다.

문제 7.8: What is true in general of the properties of elements in the same period of the periodic table? Of elements in the same group? 해답 : 같은 주기의 원소들은 전자의 껍질 구조가 같기 때문에 구조적은 성질은 비슷하다. 그러나 전자의 구조에 따라서 많은 성질들이 달라지기 때문에 공통적인 성질은 따로 찾기 어렵다. 다만 같은 그룹의 원소들은 최외각 전자 구조가 n만 다를 뿐, 완전히 같기 때문에 화학적으로 굉장히 비슷하다.

문제 7.12: Verify that atomic subshells are ﬁlled in order of increasing n + l, and within a group of given n + l in order of increasing n.

1 현대물리학: December 10, 2013

해답 : 문제에 주어진 것처럼, n + l의 순서로 전자 껍질을 나열해보도록 하자.

n + l 전자 껍질 n이 증가하는 순서로 정렬 n + l = 1 1s 1s n + l = 2 2s → 2s n + l = 3 3s 2p → 2p → 3s n + l = 4 4s 3p → 3p → 4s n + l = 5 5s 4p 3d → 3d → 4p → 5s n + l = 6 6s 5p 4d → 4d → 5p → 6s n + l = 7 7s 6p 5d 4f → 4f → 5d → 6p → 7s n + l = 8 8s 7p 6d 5f → 5f → 6d → 7p → 8s

위의 순서는 Figure 7.12와 정확히 일치하므로 문제에 주어진 것과 같이 n + l이 증가하는 방향으로 전자 껍질에 전자가 차게 되고 같은 n + l중에서는 n이 증가하는 순서로 전자가 차곡차곡 쌓이게 된다.

문제 7.13: The ionization energies of Li, Na, K, Rb, and Cs are, respectively, 5.4, 5.1, 4.34, 4.2, and 3.9eV . All are in group 1 of the periodic table. Account for the decrease in ionization energy with increasing atomic number. 해답 : 모든 원소는 수소와 같은 형태로 n번째 s쉘에 전자를 하나 가지고 있으며 원소 번호가 커짐에 따라서 최외각 전자는 점점 멀어지게 된다. 각각의 경우 최외각 전자의 위치는 1s부터 5s에 위치하게 되므로 원자 핵에 의해 작용하는 전자기력이 약해져서 점점 더 쉽게 이온화가 가능해진다.

문제 7.14: The ionization energies of the elements of atomic numbers 20 through 29 are very nearly equal. Why should this be so when considerable variations exist in the ionization energies of other consecutive sequences of elements? 해답 : 원소 번호 20번부터 29번까지의 원자들은 최외각전자로 4s쉘을 가지고 있다. 이 경우에 이 온화 에너지는 Eﬀective nuclear charge에 의존하게 되는데, 대체로 원소 번호가 하나씩 올라감에 따라서 양성자와 전자가 하나씩 증가하기 때문에 거의 비슷한 전하를 가지게 되고, 최외각 전자가 같은 쉘에 존재하여 거리가 비슷하기 때문에 비슷한 이온화 에너지를 가지게 된다.

문제 7.16: The effective nuclear charge that acts on the outer electron in the sodium atom is 1.84e. Use this figure to calculate the ionization energy of sodium. 해답 : Effective nuclear charge가 Ze이고 최외각 전자의 주양자수가 n일 때,

Z2E 1.842E E = 1 = 1 = −5.12eV n n2 9 이므로 이온화 에너지는 5.12eV 가 된다.

문제 7.17: Why are Cl atoms more chemically active than Cl− ions? Why are Na atoms more chemically active than Na+ ions? 해답 : Cl의 경우에는 가장 바깥의 쉘에 전자가 하나 부족하고 Na의 경우에는 가장 바깥의 쉘에 전자가 하나만 존재한다. 일반적으로 원자는 최외각에 전자가 없을 경우에 원자의 eﬀective 전하량 이 낮아져서 다른 물질과의 반응을 꺼리게 된다. 이러한 이유로 Cl은 하나의 전자를 받아서, Na는 하나의 전자를 버려서 Cl−와 Na+가 되어 보다 안정적이게 된다.

2 현대물리학: December 10, 2013

문제 7.18: Account for the general trends of the variation of atomic radius with atomic number shown in Fig. 7.11. 해답 : 일반적으로 같은 주기의 원소들은 1족이 가장 큰 크기를 가지게 되고 원소 번호가 하나씩 올라 갈수록 점점 작아지게 된다. 이유는 전자의 쉘은 그대로이지만 양성자의 수는 증가하여 전자기력이 강해지기 때문에 원자의 크기가 점점 작아지는 것이다. 그러나 주기가 커질수록 원자를 구성하는 양성자와 전자의 숫자가 많아지기 때문에 더 먼 전자껍질까지 전자가 차게 되고, 또한 양성자가 너무 많아져서 크기가 커지므로 높은 주기의 원소일 수록 작은 주기의 원소에 비해서 커지게 된다.

문제 7.21: Why is the normal Zeeman effect observed only in atoms with an even number of electrons? 해답 : 전체 스핀이 0이 되어야만 normal Zeeman effect가 관찰되고 그렇지 않은 경우에는 anomalous Zeeman effect가 관측된다. 그러므로 전체 스핀이 0이 되는 경우를 위해서는 짝수개의 전자가 있어야만 한다.

문제 7.22: Why is the ground state of the hydrogen atom not split into two sublevels by spin-orbit coupling? 해답 : Ground state에서는 전자가 1s 쉘에 존재하고 이 때의 스핀은 1/2, 각운동량은 0이 된다. 그러면 가능한 전체 각운동량의 값이 1/2밖에 없기 때문에 spin의 orientation은 하나밖에 존재하지 않고 이 때문에 singlet 이 된다.

문제 7.24: An atom has a single electron outside closed inner shells. What total angular momentum J can the atom have if it is in a P state? In a D state? 해답 : 안쪽의 쉘들은 각운동량과 스핀이 0이 되므로 가장 바깥의 전자만 고려하면 된다. 먼저 스핀은 전자 하나의 경우이므로 1/2가 되고, 각운동량은 전자가 P state에 있으면 1, D state에 있으면 2가 된다. 그러므로 각각의 경우에 대해서 전체 각운동량 J는 P state에 대해서 3/2, 1/2이 가능하고 D state에 대해서 5/2, 3/2이 가능하다.

문제 7.26: (a) What are the possible values of L for a system of two electrons whose orbital quantum numbers are l1 = 1 and l2 = 3? (b) What are the possible values of S? (c) What are the possible values of J?

해답 : (a) L이 가능한 값은 |l1 − l2|부터 l1 + l2까지 가능하므로 2, 3 그리고 4가 될 수 있다. (b) 각 전자의 스핀은 1/2이므로 L과 같은 방법으로 계산하면 S는 0과 1 이 가능하다. (c) 이제 전체 각운동량 J 또한 위와 유사한 방법으로 |L − S|부터 L + S까지 가능하므로, 0, 1, 2, 3, 4, 그리고 5가 가능하다.

문제 7.30: The magnesium atom has two 3s electrons outside ﬁlled inner shells. Find the term symbol of its ground state. 해답 : 먼저 전자가 n = 3인 쉘에 존재한다. 그리고 s쉘에 있기 때문에 각 전자의 각운동량 l = 0 이고 이 때문에 각운동량 L은 손쉽게 0이 됨을 알 수 있다. 또한, 각 전자의 경우에는 s = 1/2이므로 가능한 스핀 S는 0과 1인데, 두 전자가 같은 방향의 스핀을 가지지 않아야 하는 배타원리에 의해 서 자동적으로 0이 된다. 그러면 J는 가능한 경우가 0밖에 없다. 이제 term symbol로 나타내보면, 아래와 같다. 1 ground state of magnesium = 3 S0

3 현대물리학: December 10, 2013

문제 7.32: In a carbon atom, only the two 2p electrons contribute to its angular momentum. The 3 ground state of this atom is P0, and the ﬁrst four excited states, in order of increasing energy, 3 3 1 1 are P1, P2, D2, and S0. (a) Give the L, S, and J values for each of these ﬁve states. (b) Why 3 do you think the P0 state is the ground state? 해답 : (a) 문제를 풀면서, S > L인지 아닌지에 따라서 multiplicity가 달라진다는 점에 유의하여 잘 살펴보도록 하면, LSJ 3 P0 1 1 0 3 P1 1 1 1 3 P2 1 1 2 1 D2 2 0 2 1 S0 0 0 0 위와 같이 각각의 경우에 대한 값들을 얻을 수 있다. (b) 전자의 구성을 살펴보면 전자의 자기모멘트 값이 각각 1/2를 이루는, 즉 같은 방향으로 전자의 스핀이 배열되어 에너지가 낮은 상태가 되는 안정적인 상태는 3P 임을 손쉽게 알 수 있다. 다만 3 여기에서 전체 각운동량이 작을수록 다른 입자에 의해서 받는 영향이 적기 때문에 P0가 ground state 일 것이다.

2 문제 7.33: Why is it impossible for a 2 D3/2 state to exist? 해답 : 문제에서 주어진 상황이 ground state라고 가정하자. 그러면 D는 L의 값이 2임을 알려주고, 또한 multiplicity가 2 라는 점에서 S 는 1/2 임을 알 수 있다. 그런데, n = 2일 때, L이 2가 되는 전자 구조는 존재하지 않기 때문에 주어진 상황은 얻어질 수가 없다. 왜냐하면 가능한 ground state 의 전자 구성은 n = 2일 때, 2si, 2pj이고 이 때, i는 1과 2, j는 1부터 6까지 가능하다. 모든 경우에 대해서 L은 0 아니면 1이기 때문이다.

2 문제 7.38: The ground state of chlorine is P3/2. Find its magnetic moment (see previous exercise). Into how many substates will the ground state split in a weak magnetic ﬁeld? 해답 : Term symbol로부터, S는 1/2, L은 1, 그리고 J는 3/2이다. 그러면 37번 문제로부터, J(J + 1) − L(L + 1) + S(S + 1) µ = pJ(J + 1)g µ where g = 1 + J J B J 2J(J + 1) 이제 주어진 식에 대입해서 magnetic moment를 구해보면 아래와 같다.

r15 15/4 − 2 + 3/4 µ = 1 + µ = 2.58µ J 4 2(15/4) B B 그리고 weak magnetic field에서 위와 같은 ground state는 2J+1개로 나누어진다. 즉, 4개가 된다. (MJ = −J, ··· , J) 그 이유는 기존의 normal Zeeman effect뿐만 아니라 anomalous Zeeman effect 가 작용하기 때문이다.

문제 7.39: Explain why the x-ray spectra of elements of nearby atomic numbers are qualitatively very similar, although the optical spectra of these elements may diﬀer considerably. 해답 : x-ray 스펙트럼의 경우는 최외각 전자에 의한 전이가 아니라 내부의 쉘에 전자가 안착하면 서 나오는 빛을 측정하는 것이다. 그렇기 때문에 비슷한 원소 번호를 가진 원자들은 같은 내부 쉘 구조를 가지고 있기 때문에 비슷한 파장의 x-ray를 방출하게 된다.

4 현대물리학: December 10, 2013

문제 7.44: Which of the following elements would you expect to have energy levels divided into singlet and triplet states: Ne, Mg, Cl, Ca, Cu, Ag, Ba? 해답 : 각각의 원소 번호는 10, 12, 17, 20, 29, 47, 그리고 56으로 각각의 원자에서 최외각 전자는 2p6, 3s2, 3p5, 4s2, 4s1, 5s1, 그리고 6s2의 구성을 이룬다. (Table 7.4 참조) 이 때에 최외각 전자의 스핀 방향에 따라서 어떤 경우에는 S가 0이 되고, 또 어떤 경우에는 1이 될 수가 있다. 먼저 4s1, 그리고 5s1의 경우에는 S 가 항상 1/2 만 가능하다. 3p5의 경우도 복잡하지만 전자의 갯수가 홀수 개이기 때문에 반정수배의 스핀을 가지게 된다. 반면에 2p6는 정수배의 스핀을 가지고 있지만 S가 3,2,1 그리고 0이 가능하여 우리가 원하는 것과는 상당히 다른 경우이다. 나머지 3s2, 4s2, 그리고 6s2 의 경우는 헬륨과 같은 전자 구조를 가지고 있어서 전자가 같은 방향으로 정렬되면 S는 1이 되고, 전자가 반대 방향으로 정렬되면 S는 0이 되어서 triplet과 singlet state 들로 나뉘게 된다. 즉 이에 해당하는 Mg, Ca, Ba 원소들이 정답이다.