SveuˇciliˇsteJ.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveuˇciliˇsninastavniˇckistudij matematike i informatike

Marina Bariˇsi´c Matematika u Rubikovoj kocki

Diplomski rad

Osijek, 2011. SveuˇciliˇsteJ.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveuˇciliˇsninastavniˇckistudij matematike i informatike

Marina Bariˇsi´c Matematika u Rubikovoj kocki

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Ivan Mati´c Komentor: dr. sc. Ljerka Juki´cMati´c

Osijek, 2011. Sadrˇzaj

1. Uvod 1

2. Stoˇ je Rubikova kocka? 2 2.1. Povijest Rubikove kocke ...... 2 2.2. Varijacije Rubikove kocke ...... 4 2.2.1. Rubik 360 ...... 4 2.2.2. Sudokocka ...... 4 2.2.3. Square one ...... 5 2.2.4. ...... 5 2.2.5. Oktogonalna prizma ...... 5 2.2.6. Magiˇcnakugla ...... 5 2.2.7. Oblo ...... 6 2.3. Izgled i grada Rubikove kocke ...... 6 2.4. Broj konfiguracija Rubikove kocke ...... 7 2.5. Algoritmi za rjeˇsavanje Rubikove kocke ...... 8 2.6. Natjecanja ...... 9

3. Matematika u Rubikovoj kocki 11 3.1. Oznake i notacija ...... 11 3.2. Grupa i podgrupe Rubikove kocke ...... 13 3.2.1. Grupa Rubikove kocke ...... 13 3.2.2. Podgrupe ...... 15 3.3. Generatori ...... 15 3.4. Simetriˇcnagrupa ...... 16 3.4.1. Parnost ...... 18 3.5. Homomorfizam grupa ...... 19 3.6. Djelovanje grupe ...... 20 3.7. Konfiguracije Rubikove kocke ...... 21 3.7.1. Valjane konfiguracije Rubikove kocke ...... 24 3.8. Graf ...... 25 3.8.1. Cayley graf ...... 25 3.8.2. Boˇzanskialgoritam ...... 26 3.9. Strategije za rjeˇsavanje Rubikove kocke ...... 29 3.9.1. Komutatori ...... 29 3.9.2. Konjugacija ...... 30 3.9.3. Strategije ...... 30 3.10. Rubikova kocka u danaˇsnjoj kulturi ...... 33

4. Saˇzetak 36

5. Summary 37

6. Zivotopisˇ 38 1

1. Uvod

U ovom diplomskom radu obradena je zabavna slagalica Rubikova kocka i njezina pri- mjena u matematici. Diplomski rad je podijeljen u dva poglavlja: ˇstoje Rubikova kocka i matematika u Rubikovoj kocki.

U prvom poglavlju dan je odgovor na pitanje ˇsto je Rubikova kocka. Opisan je njezin nastanak te ˇzivotopis njezinog tvorca Ern¨oaRubika. Detaljno je opisana struk- tura kocke i predstavljene su mnoge njezine varijacije koje su nastale tijekom vremena. Cilj igre s Rubikovom kockom je sloˇzitiRubikovu kocku u poˇcetnipoloˇzaj, pa su u pr- vom poglavlju opisane razliˇcitemetode za pomo´cpri slaganju te su prikazani rezultati i zanimljivosti s natjecanja u slaganju kocke koja se ˇcestoodrˇzavaju.

U drugom poglavlju opisana je matematika koja se nalazi u Rubikovoj kocki te razliˇcitipojmovi koji se vrlo lagano mogu objasniti uz pomo´cRubikove kocke: grupa, podgrupa, generatori, cikliˇcka grupa, homomorfizam grupa, parnost i graf su samo neki pojmovi koji pokazuju vaˇznostminijaturne igraˇcke. Takoder, u radu su opisane konfiguracije Rubikove kocke, koje su konfiguracije valjane i dane su neke strategije kako ju rijeˇsitiuz pomo´cmatematike. A ˇstoje boˇzanskialgoritam i boˇzanskibroj? Odgovori se mogu prona´ciu ovom radu. 2

2. Stoˇ je Rubikova kocka?

Rubikova kocka je mehaniˇcka igraˇcka oblika kocke koja je nastala 1974. godine u Budimpeˇsti.Tijekom osamdesetih godina proˇslogstolje´cabila je najtraˇzenijai najpo- pularnija igraˇcka. Do 2009. godine prodano je preko 350 milijuna primjeraka, a s njom se igralo viˇseod jedne petine svjetskog stanovniˇstva. Smatra se da je Rubikova kocka najpoznatija igraˇcka na svijetu. U medicinskom rjeˇcnikumogu se na´cipoj- movi ”Rubikov zglob” i ”Kockin palac” koji oznaˇcavaju bolesti koje nastaju opsesivnim rjeˇsavanjem Rubikove kocke, a od 1980. godine u Americi postoji grupa lijeˇcenih ”kockara” nazvana ”Cubaholics” koja pomaˇzeljudima koji su ovisni o rjeˇsavanju Ru- bikove kocke.

2.1. Povijest Rubikove kocke Rubikovu kocku sluˇcajno je izumio Ern¨oRubik, inˇzenjer arhitekture i profesor na fakul- tetu primjenjenih umjetnosti u Budimpeˇsti(Slika 2.1.).

Slika 2.1. Ern¨oRubik

Ern¨oRubik je roden 13. srpnja 1944. godine u Budimpeˇsti,Madarska. Njegova majka je bila umjetnica i pjesnikinja, a otac strojarski tehniˇcari avio inˇzenjer. Ern¨oje 1967. godine diplomirao na Fakultetu tehniˇckihznanosti u Budimpeˇsti,nakon ˇcega je zavrˇsiosrednju ˇskolu dekorativne umjetnosti interijera. Od 1971. do 1975. godine radio je kao arhitekt, nakon ˇcegazapoˇcinjeakademsku karijeru kao profesor. Oˇzenio se 1977. godine arhitekticom interijera i 1978. godine dobiva k´cerAnnu. Ern¨oRubik je postao urednik magazina za igre i puzzle, nakon ˇcegaje osnovao vlastiti ’Rubik Studio’ koji se bavi dizajnom namjeˇstaja, igrica i mnogih drugih vari- jacija na temu ’Rubikove kocke’. Godine 1990. imenovan je za predsjednika Madarske akademije za inˇzenjerstvo i osnovao je ’International Rubik Foundation’ koja pomaˇze i podrˇzava u radu nadarene inˇzenjerei studente industrijskog dizajna.

Ern¨oje bio fasciniran geometrijom 3D oblika i prouˇcavaju´ciobjekte u prostoru napravio je prvi uzorak kocke sastavljene od 26 malih kockica razliˇciteboje. Ern¨oje dobio inspiraciju od oblih, glatkih kamenˇci´cas obale Dunava koji su mu dale rjeˇsenje kako napraviti cilindriˇcneoblike i osovine u kocki. Nakon poˇcetnogoduˇsevljenjazbog kombinacija razliˇcitihboja na kocki, Ern¨oRubik se zapitao kako vratiti kocku u ’poˇcetnostanje’. Shvatio je da nasumiˇcnimokretanjem 3

kocke za svog ˇzivota ne´ceuspjeti vidjeti kocku s kojom je zapoˇceo. Tek nakon oz- biljnog promiˇsljanjao logici svakog pokreta kocke, nakon mjesec dana naˇsaoje pravu kombinaciju od mogu´cih43 trilijuna. Sve se to dogodilo u prolje´ce1974. godine, a ve´c 1975. godine Ern¨oRubik je prijavio igraˇcku’Rubikovu kocku’ Madarskom zavodu za patente. Izum je najprije nazvan Magiˇcna kocka (mad. B¨uv¨osKocka), a 1980. godine ime joj je promijenjeno u Rubikova kocka u ˇcastizumitelju.

Pod nazivom ’Rubikova kocka’ je poznata gotovo u svim jezicima osim u njemaˇckom, ˇzidovskom, kineskom, portugalskom i islandskom. U ˇzidovskom jeziku nazivaju je Madarskom kockom, a u ostalima Magiˇcnomkockom.

U to vrijeme Madarska je bila izolirana iza ”Zeljezneˇ zavjese” i tek se poˇcetkom 1978. ta ˇcudna igraˇcka pojavila u Madarskim trgovinama igraˇcaka. U poˇcetkuje pro- daja tekla slabo sve dok ju nisu otkrili dvojica Madara: poslovni ˇcovjek Tiber Laszi koji ju je odnio 1979. godine na izloˇzbuigraˇcaka u N¨urnberg i Tom Kremer koji je stupio u kontakt s Ideal Toy Company koja je ”pokazala” Rubikovu kocku cijelom svi- jetu. U meduvremenu, engleski matematiˇcarDavid Singmaster otkrio je fenomenalne matematiˇcke osobine kocke o kojima piˇseu ˇclankuu ˇcasopisu ’Scientific Americans’, 1979. godine, ˇcimesi je Rubikova kocka osigurala joˇsve´cupozornost javnosti. Inter- nacionalni interes za kocku poˇcinje1980. godine, a ve´c1981. potraˇznjaje nadmaˇsila kapacitete proizvodnje.

Zanimljivo je da su u to vrijeme dvojica inovatora prijavila svoje izume sliˇcneRu- bikovoj kocki. Terutoshi Ishige je 1976. godine Japanskom zavodu za patente prijavio kocku nalik Rubikovoj kocki, dok je Amerikanac Larry Nichols prijavio svoju kocku i prije Rubika, no sve su ga kompanije za proizvodnju igraˇcaka odbile te je nesretni Larry Nichols cijeli svoj ˇzivot proveo u siromaˇstvu.

Vrlo sliˇcneslagalice nastale su vrlo brzo nakon Rubikove kocke (Slika 2.2.). Ern¨oRu- bik patentirao je i 4 × 4 × 4 Kocku osvete (eng. Revenge cube) koja je zahtjevnija zbog svojih 3.7 × 1045 mogu´cihkonfiguracija, a pojavile su se takoder 2 × 2 × 2 Dˇzepna kocka (eng. ) koja nema srediˇsnjegdijela i lakˇsaje za slaganje jer ima 3, 674, 160 razliˇcitihkonfiguracija te 5×5×5 Profesorska kocka (eng. Professor’s cube) teˇzaverzija Rubikove kocke jer ima 2.83 × 1074 mogu´cihkonfiguracija.

Slika 2.2. Varijacije Rubikove kocke

Godine 2005. grˇckiinovator Panagiotis Verde konstruirao je 6 × 6 × 6 Rubikovu kocku koja ima 1.57 × 10116 mogu´cihkonfiguracija, a 2007. uspjeˇsnoje konstruirao i 7 × 7 × 7 kocku koja ima 1.95 × 10160 mogu´cihkonfiguracija. 4

Te kocke su izradene V-cube tehnologijom. Odlikuju se odliˇcnomkvalitetom, vrlo lako se okre´cui njihov savrˇsenimehanizam im omogu´cava da gotovo nikad ne zap- inju. No, vrlo su zahtjevne jer sadrˇzemnogo ve´cibroj razliˇcitih kombinacija nego standardna kocka. Nemaju fiksirane centre (ˇstopove´cava broj mogu´cihkonfiguracija i do 6.29 × 10116 za 6 × 6 × 6 kocku, i 7.80 × 10160 za 7 × 7 × 7 kocku) pa je zbog toga izazov joˇsve´ci, a i pogreˇsnaorijentacija moˇzedovesti do nemogu´cnostislaganja kocke.

Godine 2008. predstavljen je prvi primjerak elektroniˇcke 3 × 3 × 3 Rubikove kocke, a 2009. godine predstavljena je i druga elektroniˇcka kocka nazvana ’Rubik’s TouchCube’ koja radi na senzore koji su osjetljivi na dodir (Slika 2.3.). Stranice se okre´cupovlaˇcenjemprsta po povrˇsinikocke, a kocka ima ugraden mehanizam koji se brine da se registriraju samo dodiri na onoj strani kocke koja je okrenuta prema gore.

Slika 2.3. Elektroniˇckiprimjerak Rubikove kocke

2.2. Varijacije Rubikove kocke Od same pojave Rubikove 3 × 3 × 3 kocke do danas pojavile su se brojne varijacije koje su u osnovi sliˇcneRubikovoj kocki:

2.2.1. Rubik 360 Rubik 360 predstavljen je u veljaˇci2009. godine. Sas- toji se od 3 prozirne sfere u kojima se nalazi 6 ˇsarenih kuglica. Cilj je da se ˇsarenekuglice iz unutarnje sfere kroz srediˇsnjusferu, koje ima samo dvije rupice, pre- mjeste u utore iste boje na vanjskoj sferi, pritom da su utor i kuglica iste boje. Rubik 360 nije mogu´ceras- taviti pa sloˇziti u ˇzeljenipoloˇzaj te ima samo jedno Slika 2.4. Rubik 360 rjeˇsenje.

2.2.2. Sudokocka Sudokocka je varijacija Rubikove 3 × 3 × 3 kocke. Sve strane kocke su iste boje i sadrˇzebrojeve od 1 do 9. Slaganje ove kocke teˇzeje od Rubikove kocke jer svaki broj mora biti na toˇcnoodgovaraju´coj poziciji, a centralni broj mora takoder biti u odgovaraju´coj orijentaciji. Kod Sudokocke postoji viˇseod jednog Slika 2.5. Sudokocka rjeˇsenja. 5

2.2.3. Square one Square One je varijacija originalne Rubikove kocke koja zakretanjem daje tijelo koje nema oblik kocke. Sastoji se od triju slojeva. Gornji i donji sloj podi- jeljeni su kao pita u 8 dijelova: 4 kutna koja oblikom podsje´caju na zmaja i 4 rubna dijela u obliku trokuta. Srednji sloj podijeljen je u 2 dijela duˇzneke linije jednog od preostala dva sloja. Svaki se sloj moˇzeslo- Slika 2.6. Square One bodno zakretati.

2.2.4. Pyraminx

Pyraminx je slagalica u obliku tetraedra. Svaka je strana obojena razliˇcitombojom, te je podijeljena na 9 trokuta koji su razdijeljeni u 3 sloja: prvi sloj sadrˇzi jedan trokut, drugi sloj sadrˇzitri trokuta, a tre´cisloj sadrˇzi5 trokuta. Cilj slagalice je vratiti strane tetrae- dra u originalni poloˇzaj. Slika 2.7. Pyraminx

2.2.5. Oktogonalna prizma

Oktogonalna prizma mehaniˇckije identiˇcna3 × 3 × 3 Rubikovoj kocki. No, vertikalni kutni stupci bojom se ne podudaraju s vertikalnim stupcima koji ˇcine lice. Zbog toga se kutni stupci mogu smjestiti u bilo koji kut. To olakˇsava slaganje, no neke kombinacije stupaca ne mogu se dobiti legalnim potezima. Slika 2.8. Oktogonalna prizma

2.2.6. Magiˇcnakugla

Magiˇcna kugla poznata je i kao Rubikova sfera. Mehaniˇckije identiˇcna3 × 3 × 3 Rubikovoj kocki u operacijama i rjeˇsenju. No, puno ju je teˇzeuhvatiti i zakretati njezine dijelove od standardne Rubikove kocke. Slika 2.9. Magiˇcnakugla 6

2.2.7. Oblo

Oblo je trodimenzionalna obla slagalica koju je izumio zagrepˇcaninMarko Pavlovi´c. Sastoji se od vanjskog dijela koji je u jednom komadu u koji se slaˇzudrugi dijelovi koji su obojani u 4 boje. Oblo je izvrsna didaktiˇcka igraˇcka za djecu predˇskolskog uzrasta.

Slika 2.10. Oblo

Opisano je nekoliko slagalica koje su nastale na temelju Rubikove kocke. Ostale varijacije koje nisu nabrojene su: Equator slagalica, , , Rainbow cube, Picture cube, Aleksandrova zvijezda, Rubikova zmija i mnoge druge.

2.3. Izgled i grada Rubikove kocke Iako ima raznih ”veliˇcina”,kad se govori o standardnoj Rubikovoj kocki misli se na kocku 3 × 3 × 3 (Slika 2.11.).

Slika 2.11. Standardna Rubikova kocka

Svaka strana kocke podijeljena je na 9 sukladnih kvadrata, toˇcnije,kocka se sastoji od 27 jednakih pomiˇcnihkockica koje su povezane. 26 kockica se nalaze na povrˇsini kocke, a srednja kockica se ne vidi, a i ne postoji. Centralna kockica svake strane je mehanizam koji omogu´cujerotaciju odredenih dijelova kocke. Jezgru kocke ˇcinetri osi koje se presijecaju i drˇzena mjestu 6 centralnih kockica, tj. drˇzeRubikovu kocku na okupu. Preostale povrˇsinske kockice nisu u matematiˇckom smislu kockice jer su iznutra izdubljene. Sve su uklopljene na odgovaraju´camjesta tako da tijelo ima izgled kocke (Slika 2.12.).

Slika 2.12. Grada Rubikove kocke 7

Kocka ima 6 strana, a svaka strana sastoji se od 9 kvadrata. Svaka strana kocke je razliˇciteboje. Kocka ima 12 rubnih kockica ˇcijesu dvije strane obojene razliˇcitim bojama, 8 kutnih kockica ˇcijesu tri strane obojene razliˇcitimbojama i 6 centralnih kockica obojenih jednom bojom. Kad se razliˇcitislojevi kocke naizmjeniˇcnookre´cu kvadrati mijenjaju mjesto i boju te tako za svaki okret nastaje jedinstvena kombinacija boja. Kad je svaka strana kocke jedne boje, onda se kaˇzeda je Rubikova kocka rijeˇsena. Standardne boje Rubikove kocke su bijela nasuprot ˇzute,zelena nasuprot plave te naranˇcastanasuprot crvene, a duljina stranice joj iznosi 5.7 cm.

2.4. Broj konfiguracija Rubikove kocke Rubikova kocka ima 6 obojenih strana, 26 kockica i 54 malih kvadrata. Razlikuju se rubne, kutne i centralne kockice. 8 kutnih kockica mogu se medusobno izmjenjivati, ali nikad ne mogu zauzeti mjesto rubne kockice. Takoder, 12 rubnih kockica ne mogu dospjeti na ugao kocke. Kako bi se izraˇcunaobroj konfiguracija kocke, treba izraˇcunati broj permutacija kutnih i rubnih kockica.

8 kutnih kockica mogu se rasporediti na 8! = 40320 naˇcina.Svaka kutna kockica ima tri orijentacije (boje) pa se prethodni broj mora pomnoˇzitis 38. Kada je kocka gotovo sloˇzena,broj mogu´cihpoteza se smanjuje. Kad je na odgovaraju´cemjesto postavljena predzadnja kockica, zadnja ima samo jednu orijentaciju pa se 38 mora podijeliti s 3, ˇstodaje 37 = 2187. Slijedi da je ukupan broj rasporeda kutnih kockica

40320 × 2187 = 88, 179, 840.

12 rubnih kockica mogu se rasporediti na 12! = 479, 001, 600 naˇcina.Kad je postavl- jena tre´caodozada rubna kockica, preostale dvije mogu se raspodijeliti samo na jedan naˇcinpa prethodni broj treba podijeliti s 2 (parnost permutacija rubnih kockica mora biti jednak parnosti permutacija kutnih kockica), ˇstodaje 239, 500, 800 naˇcina. Svaka rubna kockica ima dvije orijentacije (boje), pa novo dobiveni broj treba pomnoˇzitis 212. Taj broj se takoder mora prilagoditi jer zadnja rubna kockica ima fiksan poloˇzaj. Dakle, 212 treba podijeliti s 2, ˇstodaje 211 = 2048. Ukupan broj rasporeda rubnih kockica je

239, 500, 800 × 2048 = 490, 497, 638, 400.

Ovo daje 43 trilijuna konfiguracija Rubikove kocke, tj.

88, 179, 840 × 490, 497, 638, 400 = 43, 252, 003, 274, 489, 856, 000.

Za predodˇzbu,ako je za svaki okret potrebna jedna sekunda, potrebno je 1.4 × 1012 godina da se prode kroz sve konfiguracije. Za usporedbu, Svemir je star oko 1.4 × 1010 godina. 8

2.5. Algoritmi za rjeˇsavanje Rubikove kocke Osnovni problem Rubikove kocke je prona´cialgoritam koji ´cesloˇzitikocku u poˇcetni poloˇzaj, tj. u poloˇzaj gdje je svaka strana kocke u jednoj boji. Svaka osoba koja slaˇze kocku, koristi algoritam koji je zapravo niz koraka koji dovode do rjeˇsenjaRubikove kocke. No, bez pomo´ci,rjeˇsavanje Rubikove kocke moˇzetrajati mjesecima. Postoje razni pristupi koji se razlikuju po kompleksnoˇs´cui brojem poteza, a svrha im je pomo´ci prilikom slaganja kocke.

U nekim metodama kre´cese od slaganja kutnih kockica i njihovog pravilnog zakre- tanja, a nakon toga i rubnih kockica i pravilnog zakretanja onih koji nisu u pravom poloˇzaju.

Najpopularnija je metoda koju je razvio i objavio je 1981. godine u knjizi Notes on Rubik’s ’Magic Cube’. Ta metoda ukljuˇcujeslaganje ”sloj po sloj”. Pomo´cunje kocka se moˇzesloˇzitiu manje od jedne minute. Slijedi njezin kratki opis:

Metoda ”sloj po sloj”

a. Prvi sloj

• Formirati kriˇzu boji gornje strane kocke • Umetnuti 4 kutne kockice prvog sloja na odgovaraju´camjesta

b. Srednji sloj

• Umetnuti 4 rubne kockice

c. Zadnji sloj

• Formirati kriˇzu boji donje strane kocke • Umetnuti kutne kockice na kutna mjesta • Okrenuti kutne kockice u pravilni poloˇzaj • Zamijeniti poloˇzaje rubnih kockica ako je potrebno

Razvijene su i brojne ”brzinske” metode za slaganje kocke u ˇstokra´cemvremenu. Jednu od takvih metoda razvila je Jessica Friedrich. Njezina metoda takoder ukljuˇcuje slaganje ”sloj po sloj”.

Vrlo je popularna i metoda Larsa Petrusa koja se ˇcestokoristi na natjecanjima jer daje rjeˇsenjeve´cu nekoliko koraka.

Larsova metoda koristi 7 osnovnih koraka za rjeˇsavanje Rubikove kocke, a to su:

1. Pravilno sloˇziti2 × 2 × 2 blok

2. Proˇsiritina 2 × 2 × 3 pritom da se ne uniˇstiblok 2 × 2 × 2

3. Ispraviti orijentaciju rubnih kockica 9

4. Rijeˇsitiprva dva sloja

5. Zamijeniti kutne kockice na zadnjem sloju

6. Pravilno orijentirati kutne kockice na zadnjem sloju

7. Zamijeniti poloˇzaj rubnih kockica

I na kraju, ako niti jedna metoda za slaganje kocke ne pomaˇze,kocka se moˇze lagano rastaviti pomo´cuodvijaˇca: gornji sloj kocke se zaokrene za 45◦ i uz pomo´codvijaˇca kocka se rastavi tako da se niti jedan dio ne slomi te se lagano moˇzeponovno sastaviti u poˇcetnipoloˇzaj.

2.6. Natjecanja U slaganju Rubikove kocke odrˇzavaju se mnogobrojna natjecanja, a cilj je sloˇzitiRu- bikovu kocku u ˇstokra´cemvremenu. Od 2003. godine sve je ve´cibroj nacionalnih i medunarodnih prvenstva u brzom slaganju kocke, a ˇcakih je 33 odrˇzano2006. go- dine. Svjetska udruga Rubikove kocke organizira natjecanja u slaganju Rubikove kocke jednom rukom ili nogom. Takoder, organiziraju se natjecanja gdje se Rubikova kocka slaˇzeispod vode u ”jednom dahu” ili pak vezanih oˇciju(natjecatelj promatra kocku, planira naˇcinkako sloˇzitikocku, a zatim na temelju zapam´cenih koraka vezanih oˇciju slaˇzekocku).

Prvo natjecanje odrˇzanoje 13. oˇzujka 1981. godine u M¨unchenu, a organizirala ga je Guinnessova knjiga svjetskih rekorda. Pobjednik tog natjecanja bio je Nijemac Jury Froeschl kojemu je bilo potrebno 38 sekundi da sloˇzikocku.

Prvo svjetsko natjecanje odrˇzanoje 5. lipnja 1982. godine u Budimpeˇsti.Kocka je bila izmjeˇsanakompjutorski. Od 19 natjecatelja, najbrˇzeju je sloˇzioˇsesnaestgodiˇsnji Minh Thai, vijetnamski uˇcenikiz Los Angelesa. Potrebno mu je bilo 22.95 sekundi.

Od 2003. godine pobjednik natjecanja se odreduje u dvije kategorije. U prvoj kat- egoriji uzima se prosjeˇcno vrijeme najboljih tri od pet pokuˇsaja, a u drugoj najbolje vrijeme jednog pokuˇsaja. U oˇzujku2007. godine Francuz Thibaut Jacquinot je postao prvi natjecatelj kojemu je bilo potrebno manje od 10 sekundi da sloˇzi kocku. Sloˇzioje kocku u 9.86 sekundi.

Trenutno najbolje vrijeme u jednom pokuˇsaju slaganja Rubikove kocke postavio je Australac Feliks Zemdegs 7. oˇzujka 2011. Koristio je metodu Jessice Friedrich i sloˇzio je kocku za nevjerojatnih 5.66 sekunde. SestnaestogodiˇsnjiFeliksˇ takoder ”drˇzi”rekord u prosjeˇcnomvremenu slaganja kocke koji trenutno iznosi 7.64 sekunde.

17. oˇzujka 2010. godine, 134 uˇcenika Osnovne ˇskole Dr. Challoner’s u Amershamu u Engleskoj su oborili svjetski Guinessov rekord za najve´cibroj ljudi koji su sloˇzili Rubikovu kocku u 12 minuta. Prethodni rekord je ostvaren u prosincu 2008. godine u SAD-u kada je sudjelovalo 96 natjecatelja. 10

Cakˇ se i znanstvenici natjeˇcutko ´ceizraditi najboljeg robota koji ´cenajbrˇzesloˇziti Rubikovu kocku. Robota Rubya su osmislili studenti australskog SveuˇciliˇstaSwinburne (Slika 2.13.). Ruby uz pomo´csofisticiranog softvera rjeˇsava kompleksne algoritme i pronalazi brzinsko rjeˇsenjeza Rubikovu kocku. Prije nego li poˇcneslagati kocku, on skenira poˇcetnipoloˇzaj kocke kako bi ”znao” koji razultat treba dobiti. Super pamet- nom i brzom androidu su bile potrebne 10.18 sekunde da sloˇzikocku. Prethodni rekord je postavio robot Cubinator kojemu su bile potrebne 18.2 sekunde.

Slika 2.13. Robot Ruby

No, iako se smatralo da roboti nisu brˇziod ˇcovjeka u slaganju kocke, ipak je napredna tehnologija pobijedila. U listopadu 2011. godine, robot Cuberstormer II je sloˇziorubikovu kocku za nevjerojatnih 5.35 sekundi (Slika 2.14.). Cuberstormer II koristi kameru mobilnog telefona koji memorira slike dijelova kocke, te potom blue- toothom ˇsaljeupute dvjema ”rukama” koje okre´cukocku velikom brzinom u poˇcetni poloˇzaj.

Slika 2.14. Robot Cuberstormer II

Zanimljivo je da ´cese 19.11.2011. godine u Hrvatskoj po prvi puta odrˇzatinatjecanje u slaganju Rubikove kocke. Natjecanje ´cese odrˇzatiu Zagrebu i bit ´cesluˇzbeno WCA natjecanje koje ´cese odrˇzatipa pravilima WCA (). 11

3. Matematika u Rubikovoj kocki

S Rubikovom kockom se moˇzeraditi samo jedno: zaokretati jednu od 6 strana oko osi koja prolazi srediˇstemte strane i kocke tako da se nakon okreta ponovno dobije kocka. Stoga, zaokrenuti jednu stranu Rubikove kocke znaˇcirotirati jednu stranu za pravi kut u smjeru kazaljke na satu. Ta jednostavna radnja ima veliku ulogu u matematici i otvara ˇsiroko podruˇcjeza istraˇzivanje.

3.1. Oznake i notacija Rubikova kocka se sastoji od 27 minijaturnih kockica, od kojih su 26 vidljivih, a koc- kica koja je u srediˇstuzapravo ni ne postoji. Kako bi se lakˇseprouˇcavala, notacija Rubikove kocke se ne´cevezati za boje, ve´c´cese koristiti imena i slova. Na kocki se nalazi 8 kutnih kockica koje imaju 3 vidljive strane, 12 rubnih kockica koje imaju dvije vidljive strane te 6 srediˇsnjihkockica koje imaju jednu vidljivu stranu.

Uobiˇcajna je notacija koja je potekla od Davida Singmastera, pa se prema njemu naziva Singmasterova notacija. On pretpostavlja da se na poˇcetkuodabralo koja strana ´cebiti gore, naprijed i desno te da se to ne´cemijenjati (to se postiˇzetako da se zapamte boje srediˇstaprednje, gornje i desne strane) (Slika 3.1.). Notacija za 6 strana Rubikove kocke glasi: desna strana (r), lijeva strana (l), gornja strana (u), donja strana (d), prednja strana (f), straˇznjastrana (b) (notacija strana je preuzeta iz engleskog jezika).

Slika 3.1. Notacija strana Rubikove kocke

Kutne kockice se oznaˇcavaju tako da se nabroje vidljive strane u smjeru kazaljke na satu. Tako na primjer, kockica koja se nalazi u gornjem, desnom, prednjem kutu se oznaˇcava sa urf (ili rfu ili fur). Kada nije vaˇznokoja je strana prva navedena govori se o neorijentiranim kockicama. No, kad se govori o orijentiranim kockicama, vaˇznoje koja je strana prva navedena. Tada su orijentirane kutne kockice urf, rfu, fur razliˇcite.

Na isti naˇcinse imenuju rubne i srediˇsnjekockice. Tako se na primjer, srediˇsnja kockica na desnoj strani oznaˇcava sa r jer je to jedina vidljiva strana te srediˇsnje koc- kice.

Takoder, postoje prostori u kojima kockice ”ˇzive”. Oznaˇcenisu na isti naˇcinkao i kockice. Ako je Rubikova kocka u poˇcetnompoloˇzaju tj. ako je rijeˇsena,svaka kockica se nalazi u prostoru kockice istog naziva (urf kockica se nalazi u urf prostoru). Ako 12

se rotira strana kocke, kockice mijenjaju svoj poloˇzaj, a prostori se ne miˇcu. Samo srediˇsnjekockice uvijek ostaju u istom prostoru.

Osnovni potez na Rubikovoj kocki je rotacija jedne strane za pravi kut u smjeru kazaljke na satu. Singmasterova notacija za 6 osnovnih poteza glasi: • F (eng. Front): rotacija prednje strane • B (eng. Back): rotacija straˇznjestrane • U (eng. Up): rotacija gornje strane • D (eng. Down): rotacija donje strane • L (eng. Left): rotacija lijeve strane • R (eng. Right): rotacija desne strane Slijed osnovnih poteza ˇcinipotez. Na primjer, LRRRD znaˇciredom okrenuti lijevu, triput zaredom desnu i jednom donju stranu kocke za pravi kut u smjeru kazaljke na satu.

Kada apostrof ili eksponent −1 slijedi slovo, to znaˇcida tu stranu kocke treba okrenuti suprotno od kazaljke na satu za pravi kut (90◦). Slovo kojeg slijedi eksponent 2, npr. D2 znaˇcida tu stranu treba okrenuti za 180◦. Znaˇci,ako je X bilo koji osnovni potez, eksponent oznaˇcava koliko puta treba taj osnovni potez izvrˇsiti: X2=XX, X3 = XXX,..., Xn = XXX...X(n puta). Ako se osnovni potez ponovi 4 puta, efekt je isti kao da se nije niti jedna radnja izvrˇsila. Na primjer, X4 = I = X0, gdje je X bilo koji osnovni potez, a I oznaˇcava ”niˇstane raditi”.

Takoder, ako se izvede okret jedne strane za pravi kut pa se zatim izvede u suprot- nom smjeru, to je isto kao i ”niˇstane raditi” (XX−1 = X−1X = I).

Ako se izvede potez XY, npr: FR tj. okret prvo prednje, a onda desne strane za pravi kut, kocka ´cese u poˇcetnostanje vratiti tako da se prvo napravi okret desne strane (R−1), pa okret prednje strane (F −1) u suprotnom smjeru kazaljke na satu.

Op´cenitovrijedi: (XY...Z)−1 = Z−1 ...Y −1X−1, gdje su X,Y,...,Z osnovni potezi.

Okret jedne strane u suprotnom smjeru kazaljke na satu za 90◦ ima isti efekt kao i okret te strane u smjeru kazaljke na satu za 270◦ (X−1 = X3).

Iz svega navedenog slijedi da se uzastopnim okretanjem jedne strane razlikuju samo 4 poteza: X0,X1,X2,X3, gdje je X bilo koji od mogu´cih6 osnovnih poteza.

Primjer 3.1 R9 = R1+4+4 = R1R4R4 = RII = R (okrenuti desnu stranu devet puta je isto kao okrenuti desnu stranu jedanput). 13

Zbog toga, za okretanje jedne strane kocke, za potpun opis svih mogu´cihsituacija 0 1 2 3 dovoljan je ˇcetveroˇclaniskup: C4 = {X ,X ,X ,X }.

Na temelju ˇcinjenicada osnovni potezi ne mijenjaju prostore srediˇsnjihkockica te da kutne kockice mogu do´cisamo na mjesto kutnih kockica, a rubne na mjesto rubnih, mogu se prouˇcavati mogu´cekonfiguracije Rubikove kocke:

8 kutnih kockica mogu se raspodijeliti na 8! naˇcina. Svaka kutna kockica ima tri orijentacije pa se prethodni broj mora pomnoˇziti s 38. 12 rubnih kockica mogu se raspodijeliti na 12! naˇcina.Svaka rubna kockica ima dvije orijentacije pa se prethodni broj mora pomnoˇziti s 212. Sve zajedno daje ukupno 212388!12! mogu´cihkonfiguracija Rubikove kocke. To je oko 5.19 × 1020, odnosno 519 trilijuna mogu´cihkonfiguracija.

Iako su, teoretski gledano, sve ove konfiguracije mogu´ce,nisu sve valjane! Samo uz pomo´cvaljanih konfiguracija sa moˇzeizvrˇsitiskup poteza koji omogu´cujuvra´canje Rubikove kocke u poˇcetnipoloˇzaj, tj. mogu´ceje ”rijeˇsiti”Rubikovu kocku.

3.2. Grupa i podgrupe Rubikove kocke 3.2.1. Grupa Rubikove kocke Prije daljnjeg razmatranja Rubikove kocke, prisjetit ´cemose ˇstoje to grupa.

Definicija 3.1 Neka je G neprazni skup. Svako preslikavanje ∗ : G × G → G sa Kartezijevog produkta skupa G sa samim sobom u skup G zove se binarna operacija na skupu G.

Definicija 3.2 Grupa je algebarska struktura koje se sastoji od nepraznog skupa G i binarne operacije ∗ koja je definirana za svaka dva elementa iz G,

(a, b) 7→ a ∗ b sa G × G u G,

i ima sljede´casvojstva:

1. Zatvorenost: ∀a, b ∈ G, a ∗ b ∈ G.

2. Asocijativnost: ∀a, b, c ∈ G, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).

3. Neutralni element: ∃e ∈ G tako da je a ∗ e = e ∗ a = a ∀a ∈ G (neutralni element je jedinstven, te se ponekad oznaˇcavai s 1).

4. Inverzni element: ∀a ∈ G ∃a0 ∈ G tako da je a ∗ a0 = a0 ∗ a = e.

Prema tomu, grupa je par (G, ∗).

Definicija 3.3 Grupa (G, ∗) je komutativna ili Abelova ako je

a ∗ b = b ∗ a, ∀a, b ∈ G. 14

Definicija 3.4 Grupa se naziva konaˇcnom ukoliko je skup G konaˇcan.

Definicija 3.5 Broj elemenata neke konaˇcnegrupe G se oznaˇcavas |G| ili red (G) i zove se red grupe G.

Tada, skup svih mogu´cihpoteza na Rubikovoj kocki se moˇzeoznaˇcitis G, pritom se dva poteza smatraju istim ako daju isti rezultat (npr. okret desne strane je isto kao i okret desne strane u suprotnom smjeru tri puta). Binarna operacija ∗ se moˇzedefinirati na idu´cinaˇcin: ako su X i Y dva poteza, tada X ∗ Y oznaˇcava potez gdje se prvo izvrˇsiopotez X pa zatim potez Y. Par (G, ∗) ˇcinigrupu.

Treba provjeriti sva svojstva kako bi se pokazalo da je skup (G, ∗) grupa: 1. Zatvorenost: jedan potez, nakon kojeg slijedi drugi potez ponovno daje potez koji je element skupa G. 2. Asocijativnost: u ovom sluˇcaju radi se operaciji koja je kompozicija funkcija, a kompozicija funkcija je uvijek asocijativna.

3. Neutralni element: potez koji niˇstane mijenja na kocki.

4. Inverzni element: svaki potez se moˇzeizvesti unatrag i time ga poniˇstiti(nakon svakog poteza nekim potezom iz skupa se moˇzevratiti kocka u poˇcetnostanje).

Stoga, skup svih poteza Rubikove kocke na kojem je definirana operacija uzastopnog izvodenja elemenata tog skupa oznaˇcenonadopisivanjem, je grupa.

No, grupa Rubikove kocke (G, ∗) nije Abelova, ne zadovoljava svojstvo komuta- tivnosti. To se lagano moˇzeprimjetiti na kocki: kocka razliˇcitoizgleda nakon DR, nego nakon RD.

Nekomutativnost grupe Rubikove kocke je vrlo vaˇznosvojstvo. Kad bi svaka dva poteza komutirala rjeˇsavanje kocke bi bilo trivijalno. Trebalo bi se samo prebrojati ko- liko puta su izvedeni potezi na pojedinim stranama i svaku stranu okrenuti do sljede´ceg viˇsekratnika od 4, jer je 4 red grupe ˇcijise elementi sastoje od kombinacija jednog od osnovnih poteza. Na primjer, ako je 5 puta izveden osnovni potez R i 2 puta osnovni potez D, da vrijedi komutativnost, kocka bi se vratila u svoj poˇcetni poloˇzaj ako se izvede 3 puta osnovni potez R i 2 puta osnovni potez D.

Izvodenje poteza je komutativno samo ako se radi o potezima sa samo jednom stra- nom.

Red grupe Rubikove kocke je broj koji oznaˇcava koliko ima razliˇcitih konfiguracija kocke koje se mogu dobiti primjenom osnovnih poteza, a taj broj iznosi 4.3 × 1019.

Binarna operacija ∗ ˇcestose izostavlja, pa se tako umjesto g∗h moˇzepisati samo gh. Stoga, grupa (G, ∗) se moˇzezapisati samo sa G i oznaˇcava grupu na kojoj je definirana navedena binarna operacija. 15

3.2.2. Podgrupe Kako bi se pokuˇsalarazumjeti grupa Rubikove kocke ˇcijije red ogroman, treba se krenuti od jednostavnije situacije: razmatranja njezinih podgrupa. Zbog preglednosti i manjeg broja sluˇcajeva pogodnije su za objaˇsnjenjei ilustriranje razliˇcitihpojmova.

Definicija 3.6 Neka je (G, ∗) grupa. Neprazni podskup H ⊆ G je podgrupa od G ako je H s obzirom na operaciju ∗ takoder grupa.

Primjer 3.2

0 1 2 3 • Ve´cspomenuti ˇcetveroˇclaniskup C4 = {X ,X ,X ,X }, gdje je X jedan od mogu´cih 6 osnovnih poteza (R, L, U, D, F, B) je podgrupa grupe Rubikove kocke. To su najjednostavnije podgrupe. Njihov red iznosi 4 jer broj elemenata u skupu je 4. Grupa C4 ima i jedno dodatno svojstvo: nije bitan redoslijed izvodenja poteza (isti je rezultat nakon okreta jedne strane za 90◦, pa za 180◦ ili obrnuto), tj. vrijedi svojstvo komutativnosti.

• LR je podgrupa (tj. svake dvije suprotne strane ˇcinepodgrupu): to je takoder trivijalna grupa jer okreti dviju suprotnih strana su nezavisni i ima 16 elemenata.

• R2U 2 je podgrupa: ta se grupa sastoji od svih poteza koji se mogu dobiti izvodenjem okreta prvo desne pa gornje strane za 180◦ u smjeru kazaljke na satu. Ponavl- jaju´ci R2U 2 6 puta zaredom, kocka se vra´cau svoj poˇcetnipoloˇzaj.

Za rjeˇsavanje Rubikove kocke veliku ulogu imaju klase (eng. coset) koje se defini- raju na sljede´cinaˇcin:

Definicija 3.7 Neka je H podskup grupe G, tada za g ∈ G vrijedi:

• gH = {gh : h ∈ H} je lijeva klasa podgrupe H u grupi G

• Hg = {hg : h ∈ H} je desna klasa podgrupe H u grupi G.

3.3. Generatori Definicija 3.8 Neka je S ⊂ G. Sa hSi oznaˇcavamonajmanju podgrupu od G koja sadrˇziS.

Definicija 3.9 Neka je S ⊂ G podskup grupe G. S generira G (S je skup generatora od G) ako G = hSi, tj. svaki element grupe G se moˇzezapisati kao konaˇcanprodukt elemenata iz S i njezinih inverza (inverzi nisu nuˇzniako se radi o konaˇcnojgrupi).

Primjer 3.3

• Svaki element grupe G se moˇzezapisati kao konaˇcanslijed osnovnih poteza Ru- bikove kocke, stoga je G = hD, U, L, R, F, Bi.

• Svaki element grupe C4 se moˇzezapisati uz pomo´cosnovnog poteza X, stoga za svaki X = D, U, L, R, F, B, vrijedi C4 = hXi. 16

Definicija 3.10 Grupa G je cikliˇcka ako je generirana jednim jedinim elementom, tj. ako postoji g ∈ G sa svojstvom da je G = hgi. Element g se zove generator grupe G.

Primjer 3.4 Grupa C4 je cikliˇckagrupa. Njezin generator je osnovni potez X.

Sljede´capropozicija je veoma korisna za Rubikovu kocku jer govori da je umjesto svojstava svih mogu´cih5 × 1020 poteza, dovoljno razumjeti svojstva 6 osnovnih poteza Rubikove kocke.

Propozicija 3.1 Neka je S ⊆ G podskup konaˇcnegrupe G. Neka su zadovoljena sljede´cadva uvjeta:

1. Svaki element iz S i inverz svakog elementa iz S zadovoljavaju svojstvo P.

2. Ako g ∈ G i h ∈ G zadovoljavaju svojstvo P, tada i gh zadovoljava svojstvo P.

Tada, svaki element iz hSi zadovoljava svojstvo P.

±1 ±1 ±1 Dokaz : Svaki element iz hSi se moˇzezapisati u obliku s1 · s2 ··· sn , gdje je n ∈ N, a si, i = 1, . . . , n elementi iz S. Dokaz se provodi indukcijom po n:

±1 1. Baza indukcije: za n=1, s1 zadovoljava svojstvo P.

±1 ±1 2. Induktivna pretpostavka: pretpostavimo da s1 ··· sn−1 zadovoljava svojstvo P.

±1 ±1 3. Korak indukcije: uz pomo´cinduktivne pretpostavke vrijedi: produkt (s1 ··· sn−1) ±1 sn je produkt dvaju elemenata koji zadovoljavaju svojstvo P, pa zbog toga i on takoder zadovoljava svojstvo P. 2

Kako se radi o konaˇcnoj grupi, poput grupe Rubikove kocke, primijetimo da smo iz uvjeta 1. prethodne propozicije mogli izbaciti dio da inverzi elemenata iz S za- davoljavaju svojstvo P. Zaista, svaki element s ∈ S je konaˇcnogreda (jer je red el- emenata manji ili jednak redu grupe) te postoji n ∈ N takav da je sn = e. Odakle je s · sn−1 = sn−1 · s = e, pa je s−1 = sn−1. No, tada prema uvjetu 2. prethodne propozicije direktno slijedi da i s−1 zadovoljava svojstvo P.

3.4. Simetriˇcnagrupa Prije nego li se poˇcnu prouˇcavati konfiguracije kockica Rubikove kocke, prvo treba krenuti od konfiguracija bilo kojih n objekata.

Neka su dani objekti oznaˇcenis 1, 2, . . . , n. Tada postoji bijekcija σ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n} koja svakom objektu 1, 2, . . . , n pridruˇzujetoˇcnojedan objekt iz skupa {1, 2, . . . , n}. Funkcija σ definira razmjeˇstaj (permutacije) danih n objekata. Stoga, umjesto prouˇcavanja skupa svih mogu´cihrazmjeˇstaja, moˇzese prouˇcavati bijekcija {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}.

Skup svih bijektivnih preslikavanja nekog konaˇcnogskupa na sebe je grupa. 17

Definicija 3.11 Simetriˇcnagrupa stupnja n je skup bijekcija (permutacija) sa {1, 2, . . . , n} u {1, 2, . . . , n} na kojem je definirana binarna operacija kompozicije i oznaˇcavase sa Sn.

Simetriˇcnagrupa Sn je grupa svih permutacija skupa {1, 2, . . . , n}.

Dokaz da je Sn grupa je trivijalan: kompozicija bijekcija je opet bijekcija, svaka bijekcija ima inverz koji je bijekcija, te je identiteta bijekcija.

Elemente simetriˇcnegrupe i naˇcinkako ih zapisati najbolje je prikazati na primjeru Rubikove kocke gdje se ˇzeli opisati kako i gdje se miˇcesvaka kockica i svaka strana kockica kad se izvede neki osnovni potez. Primjer 3.5 Kad se rastvori kocka, desna strana Rubikove kocke izgleda ovako:

u u u f r r r b f r r r b f r r r b d d d Ako se rotira desna strana za pravi kut, tj. izvede se osnovni potez R, tada desna strana izgleda:

f f f d r r r u d r r r u d r r r u b b b

Dakle, R(rfu)=rub: kutna kockica rfu premjestila se u prostor rub, tj. na mjesto gdje je prije bila kutna kockica rub (r strana kockice leˇziu r strani prostora, f strana kockice leˇziu u strani prostora, i u strana kockice leˇziu b strani prostora). To vrijedi i za ostale kutne kockice: R(rub) = rbd, R(rbd) = rdf, R(rdf) = rfu. Sliˇcnose mogu opisati i rubne kockice: R(ru) = rb, R(rb) = rd, R(rd) = rf, R(rf) = ru.

Ako se to sve zapiˇsekao ”i 7→ j” ˇstoznaˇci R(i) = j dobiva se: rfu 7→ rub, rub 7→ rbd, rbd 7→ rdf, rdf 7→ rfu ru 7→ rb, rb 7→ rd, rd 7→ rf, rf 7→ ru Ti podaci govore ˇstoosnovni potez R radi svakoj kockici na Rubikovoj kocki, stoga oni definiraju R. Kra´cese piˇse: R = (rfu rub rbd rdf)(ru rb rd rf) Pritom, (rfu rub rbd rdf) i (ru rb rd rf) se zovu ciklusi ili cikliˇcke permutacije.

Na sliˇcannaˇcin,svaki osnovni potez ili slijed poteza na Rubikovoj kocki se moˇze promatrati kao permutacija (preuredivanje) kockica. 18

Primjer 3.6 Potez FFRR se moˇzezapisati kao permutacija: FFRR=(df uf)(dr ur)(br fr fl)(dbr ufr dfl)(ulf urb drf).

Definicija 3.12 Ciklus ili cikliˇckapermutacija (i1i2 ··· ik) je element τ ∈ Sn definiran s τ(i1) = i1, τ(i2) = i3, . . . , τ(ik−1) = ik, τ(ik) = i1 i τ(j) = j ako je j 6= ir ∀r. Duljina ciklusa je k, a supp τ oznaˇcavaskup brojeva (i1i2 ··· ik) koji se pojavljuju u ciklusu. Ciklus duljine k se zove k-ciklus.

Definicija 3.13 Dva ciklusa su disjunktna ako je njihov presjek prazan skup, tj. ako T nemaju zajedniˇckihelemenata (supp σ supp τ = ∅).

Lema 3.1 Ako su σ, τ ∈ Sn dva disjunktna ciklusa, onda je στ = τσ.

Dokaz : Neka je i ∈ {1, . . . , n}. Poˇstoje στ = τσ, postoje dvije mogu´cnosti: • i∈ / supp σ i i∈ / supp τ. U tom sluˇcaju, σ(i) = i i τ(i) = i, stoga (σ ◦ τ)(i) = τ(i) = i i (τ ◦ σ)(i) = σ(i) = i

• Inaˇce, i je element toˇcnojednog ciklusa σ ili τ. Bez smanjenja op´cenitosti, pretpostavimo da je i∈ / supp σ i i ∈ supp τ. Tada, σ(i) = i, stoga (σ◦τ)(i) = τ(i). T S druge strane, (τ ◦σ)(i) = σ(τ(i)). Poˇstoje τ(i) ∈ supp τ i supp σ supp τ = ∅, τ(i) ∈/ supp σ. Dakle, σ(τ(i)) = τ(i). Stoga ponovno vrijedi (στ)(i) = (τσ)(i). Dakle, (στ)(i) = (τσ)(i) = i, ∀i, ˇstopokazuje da vrijedi στ = τσ. 2

Primjedba 3.1 Svaki ciklus τ ∈ Sn se moˇzeprikazati kao produkt disjunktih ciklusa, tj. ciklusa koji ne sadrˇzeiste brojeve (elemente).

U prethodnom primjeru, R koji oznaˇcava rotaciju desne strane Rubikove kocke za pravi kut, sastoji se od dva disjunktna ciklusa: (rfu rub rbd rdf) i (ru rb rd rf).

3.4.1. Parnost

Svaka permutacija u Sn se moˇzezapisati kao konaˇcanprodukt 2-ciklusa. Ciklus duljine 2 se zove transpozicija.

Primjer 3.7 Osnovni potez R se moˇzeprikazati kao produkt 6 transpozicija: R=(rfu rub rbd rdf)(ru rb rd rf)=(rfu rub)(rfu rbd)(rfu rdf)(ru rb)(ru rd)(ru rf)

Parnost ciklusa duljine n je odreden brojem transpozicija od kojih je sastavljen. Ako je n paran, potreban je neparan broj transpozicija, pa je permutacija neparna. Ako je n neparan, potreban je paran broj transpozicija, pa je permutacija parna.

Vaˇznaˇcinjenicao parnosti Rubikove kocke koja ima veliku ulogu prilikom rjeˇsavanja kocke glasi:

Teorem 3.1 Rubikova kocka je parna, tj. uvijek se paran broj kockica ne nalazi u svom poˇcetnompoloˇzaju. 19

Dokaz: Dokaz se provodi matematiˇckom indukcijom gdje n oznaˇcava broj rotacija strane.

1. Baza indukcije: za n=0, niti jedna kockica nije promijenila svoj poloˇzaj, 0 je paran.

2. Induktivna pretpostavka: P(n): pretpostavimo da je poslije n rotacija paran broj kockica promijenilo svoj poloˇzaj.

3. Korak indukcije: na temelju P(n) treba pokazati da tvrdnja vrijedi za P(n+1). Svaki potez se sastoji od osnovnih poteza. Na primjer, permutacija osnovnog poteza F glasi: F = (fl fu fr fd)(flu fur frd fdl) = (fl fu)(fl fr)(fl fd)(flu fur) (flu frd)(flu fdl). Poˇstose svaki ciklus duljine 4 moˇzezapisati kao 3 2-ciklusa, za osnovni potez dobije se 6 2-ciklusa, pa je parnost svakog osnovnog poteza paran. Poˇstose nakon n poteza izmijeni paran broj kockica, te poˇstoje n+1 potez osnovni potez koji je takoder paran, ukupno se dobije paran broj izmijen- jenih kockica. 2

Budu´cida je svaka permutacija Rubikove kocke parna, ne postoji potez koji ´ce promijeniti poloˇzaj samo jednom paru kockica. To znaˇci,ako se dvije kockice ne nalaze u svom poˇcetnompoloˇzaju, onda mora postojati joˇskockica koje se ne nalaze u svom poˇcetnom poloˇzaju.

3.5. Homomorfizam grupa Definicija 3.14 Neka su (G, ∗) i (H,?) grupe. Homomorfizam grupe G u grupu H je preslikavanje φ : G → H za koje vrijedi

φ(a ∗ b) = φ(a) ? φ(b), ∀a, b ∈ G.

Homomorfizam je preslikavanje medu algebarskim strukturama koje se moˇzejed- nostavno prikazati na Rubikovoj kocki.

Primjer 3.8

• Moˇzese definirati preslikavanje φkut : G → S8 na sljede´cinaˇcin:svaki potez iz G preureduje kutne kockice te je na takav naˇcindefinirana permutacija 8 neori- jentiranih kutnih kockica. Znaˇci,svaki M ∈ G definira neku permutaciju σ ∈ S8. Neka je φkut(M) = σ, tj. φkut(M) je element od S8 koji opisuje ˇstoM radi s neorijentiranim kutnim kockicama. Na primjer, iz prethodnog primjera moˇzese vidjeti da se R sastoji od dva disjunktna ciklusa (rfu rub rbd rdf) i (ru rb rd rf). Stoga, φkut(R)=(rfu rub rbd rdf).

• Sliˇcnose moˇzedefinirati homomorfizam φrub : G → S12 tako da je φrub(M) el- ement od S12 koji opisuje ˇstoM radi s neorijentiranim rubnim kockicama. Na primjer, φrub(R) =(ru rb rd rf). 20

• Konaˇcno,moˇzese definirati homomorfizam kocke φkocka : G → S20 koja opisuje permutacije svih 20 neorijentiranih rubnih i kutnih kockica. Na primjer, φkocka(R)=(rfu rub rbd rdf)(ru rb rd rf).

Definicija 3.15 Jezgra Ker(φ) homomorfizma φ grupe G u grupu H je skup svih elemenata iz G koje φ preslikava u neutralni element 1φ grupe H, tj.

Ker(φ) = {g ∈ G : φ(g) = 1φ}.

Primjer 3.9 Jezgra homomorfizma φkocka : G → S20 se sastoji od svih poteza na Rubikovoj kocki koji ne mijenjaju poloˇzajniti jedne kockice, tj. Ker(φkocka) se sastoji od svih poteza koji djeluju na orijentaciju, a ne na poloˇzajkockica. Taj skup je vrlo vaˇzanjer ako se sve kockice nalaze na pravom poloˇzaju,ali nemaju pravilnu orijentaciju, treba samo na´ciprave poteze iz tog skupa koji ´ceutjecati samo na orijentaciju kockica.

Na temelju definiranih pojmova: parnost permutacija i homomorfizam grupa moˇze se opisati joˇsjedan pojam vezan za grupu Rubikove kocke, a to je alterniraju´cagrupa (eng. alternating group). Taj pojam ´cebiti vaˇzanprilikom dokazivanja valjanosti konfiguracija Rubikove kocke. Produkt parne i neparne permutacije je neparna permutacija. Produkt dviju parnih ili dviju neparnih permutacije je parna permutacija. Inverz parne permutacije je paran, a inverz neparne je neparna permutacija. Stoga, moˇzese definirati podgrupa od Sn koja se sastoji od svih parnih permutacija. Ta grupa se zove alterniraju´cagrupa i oznaˇcava se sa An.

Primjer 3.10 Neka je M ∈ G jedan od osnovnih poteza: D, U, L, R, F, B. Tada, φkocka(M) je produkt 2 4-ciklusa. Poˇstoje svaki 4-ciklus neparan, produkt 2 4-ciklusa je paran. Stoga, preslikavanje φkocka(M) je parno. Poˇstosvi osnovni potezi generiraju skup G, to znaˇcida je preslikavanje φkocka(M) parno ∀M ∈ G, tj. φkocka(M) ∈ A20, ∀M ∈ G.

Stoga, φkocka(M) = φkut(M)φrub(M), pa ili su φkut(M) i φrub(M) parni, ili su oba neparni, tj. φkut(M) i φrub(M) imaju isti predznak ˇstoje vrlo vaˇznaˇcinjenica za dokazivanje koja je konfiguracija Rubikove kocke valjana.

3.6. Djelovanje grupe Djelovanje grupe je joˇsjedan u nizu matematiˇckihpojmova koji se na jednostavan naˇcinmoˇzerazumjeti uz pomo´cRubikove kocke.

Definicija 3.16 (Desno) djelovanje grupe grupe (G, ∗) na neprazni skup A je preslikavanje A × G → A koje zadovoljava sljede´casvojstva:

1. (a · g1) · g2 = a · (g1 ∗ g2) ∀g1, g2 ∈ G, a ∈ A 2. a · e = a ∀a ∈ A (e je neutralni element grupe G).

Primjer 3.11 Neka je G grupa Rubikove kocke i C jedna konfiguracija Rubikove kocke. Tada vrijedi: 21

1. Nakon ˇstose primijeni potez M1, dobije se nova konfiguracija Rubikove kocke C· M1. Nakon primjene poteza M2, konfiguracija postaje (C· M1) · M2. Znaˇci, na poˇcetnukonfiguraciju primijenjen je potez M1M2. Drugi naˇcinpisanja nove konfiguracije je C·(M1M2). Stoga je (C·M1)·M2 = C·(M1M2), za sve konfiguracije C i poteze M1M2 ∈ G. 2. Ako se ne primijeni niti jedan potez (neutralni element e ∈ G), tada se konfigu- racija ne mijenja, tj. C· e = C. Znaˇci,elementi grupe Rubikove kocke (elementi su potezi na Rubikovoj kocki) djeluju na elemente nekog skupa (skup konfiguracija Rubikove kocke). Primjedba 3.2 Ako postoji djelovanje grupe G na skup A, onda se kaˇze ”G djeluje na A”.

Primjer 3.12 Grupa G djeluje na skup svih konfiguracija Rubikove kocke (skup sadrˇzi i konfiguracije koji nisu valjane). Definicija 3.17 Neka G djeluje na skup A. Orbita od a ∈ A je skup {a · g : g ∈ G}.

Primjer 3.13 G djeluje na skup svih konfiguracija Rubikove kocke. Orbita poˇcetne konfiguracije je skup svih valjanih konfiguracija Rubikove kocke.

3.7. Konfiguracije Rubikove kocke Rubikova kocka je ”jednostavna” slagalica iza koje stoji ”ozbiljna” matematika. No, glavni cilj ove slagalice je iz bilo koje konfiguracije, skupom poteza se vratiti u poˇcetni poloˇzaj, tj. u poloˇzaj gdje je svaka strana kocke u jednoj boji.

Konfiguracije Rubikove kocke odredene su sa 4 podatka1: • poloˇzaj kutnih kockica • poloˇzaj rubnih kockica • orijentacija kutnih kockica • orijentacija rubnih kockica

Prvi podatak se moˇzeopisati kao preslikavanje σ ∈ S8 koje premjeˇstakutne kockice iz svog poˇcetnogpoloˇzaja u neki novi poloˇzaj. Drugi podatak se moˇzeopisati kao preslikavanje τ ∈ S12 koje premjeˇstarubne kockice u novi poloˇzaj. Za tre´ci i ˇcetvrtipodatak vaˇznaje samo pravilna notacija. Osnovna ideja je za- pamtiti notaciju poˇcetneorijentacije i zapisati na koji se naˇcinnotacija nove orijentacije razlikuje od notacije poˇcetne orijentacije.

Notacija orijentacija kutnih kockica se moˇzeopisati na sljede´cinaˇcin:Svaka kutna kockica ima 3 mogu´ce orijentacije koje se mogu numerirati brojevima 0, 1 i 2. Neka se Rubikova kocka nalazi u poˇcetnompoloˇzaju i neka jedna strana svakog kutnog prostora sadrˇzibroj kao ˇstoslijedi: 1Oznake i notacija su preuzete iz [3], poglavlje 6, str. 20. 22

1 se nalazi na u strani ufl prostora 2 se nalazi na u strani urf prostora 3 se nalazi na u strani ubr prostora 4 se nalazi na u strani ulb prostora 5 se nalazi na d strani dbl prostora 6 se nalazi na d strani dlf prostora 7 se nalazi na d strani dfr prostora 8 se nalazi na d strani drb prostora

Znaˇci,svaki kutni prostor ima numeriranu jednu stranu. Stoga, svakoj kutnoj kock- ici jedna strana leˇzina numeriranoj strani kutnog prostora. Ta strana neka je oznaˇcena s 0. Sljede´cedvije strane, gledaju´ciu smjeru kazaljke na satu, neka su oznaˇcenes 1 i 2 (Slika 3.2.).

Slika 3.2. Numeracija strana kutnih kockica

Tada se na svakoj strani kutnih kockica nalazi broj. Ako se Rubikova kocka nalazi u bilo kojoj konfiguraciji, orijentacija kutnih kockica se opisuje na sljede´cinaˇcin: za svaki i izmedu 1 i 8, treba na´cistranu kutnog prostora koja je oznaˇcenasa i, pritom xi oznaˇcava broj koji se nalazi na strani kutne kockice koja ”ˇzivi”na toj strani kutnog prostora. Stoga, orijentacija kutnih kockica se oznaˇcava sa uredenom 8-orkom x = (x1, . . . , x8). Budu´cida kutna kockica koja je triput zaokrenuta ima istu ori- jentaciju kao i kutna kockica koja je nula puta zaokrenuta, xi se moˇzepromatrati kao element skupa cijelih brojeva modulo 3 (element iz Z/3Z), tj. x je uredena 8-orka elemenata iz (Z/3Z).

Na isti naˇcinse moˇzeopisati orijentacija rubnih kockica. Rubni prostori neka budu oznaˇcenina sljede´cinaˇcin:

1 se nalazi na u strani ub prostora 2 se nalazi na u strani ur prostora 3 se nalazi na u strani uf prostora 4 se nalazi na u strani ul prostora 5 se nalazi na b strani lb prostora 6 se nalazi na b strani rb prostora 23

7 se nalazi na f strani rf prostora 8 se nalazi na f strani lf prostora 9 se nalazi na d strani db prostora 10 se nalazi na d strani dr prostora 11 se nalazi na d strani df prostora 12 se nalazi na d strani dl prostora

Svaka rubna kockica ima stranu koja leˇzina numeriranoj strani rubnog prostora. Ta strana oznaˇcenaje s 0, a druga strana rubne kockice oznaˇcenaje s 1. Stoga, yi je broj koji se nalazi na strani rubne kockice koja se nalazi na strani rubnog prostora numeriran sa i. To definira y ∈ (Z/2Z)12.

Opisane orijentacije kockica najlakˇseje razumjeti na primjeru:

Primjer 3.14 Treba na´cix i y nakon ˇstose primijeni osnovni potez R na kocku koja se nalazi u poˇcetnompoloˇzaju. U poˇcetnojkonfiguraciji, desna Na stranama kutnih prostora strana Rubikove kocke izgleda: nalaze se brojevi: u u u 2 3 f r r r b f r r r b f r r r b d d d 7 8

Dakle, oznaˇcavanjestrana kut- Rotacijom desne strane kocke za nih kockica glasi: 90◦, dobiva se: 0 0 1 2 2 1 2 1 0 2 1 0

1 2 1 2 0 1 2 0 0 0 2 1

Kad se izvrˇsiosnovni potez R, kutne kockice na lijevoj strani su netaknute pa je x1 = 0, x4 = 0, x5 = 0 i x6 = 0. Sa dijagrama se oˇcitava: x2 = 1, x3 = 2, x7 = 2 i x8 = 1. Stoga, x = (0, 1, 2, 0, 0, 0, 2, 1)

Na isti naˇcinse moˇzepokazati orijentacija rubnih kockica: 24

Poˇcetnakonfiguracija: Numeracija strana rubnih prostora:

u u u 2 f r r r b f r r r b 7 6 f r r r b d d d 10

Numeracija rubnih kockica: Rotacija desne strane za 90◦:

0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0

Sa dijagrama se oˇcitavada niti jedna rubna kockica nije promijenila svoju ori- jentaciju nakon ˇstose primijenio osnovni potez R, pa je y = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0).

Stoga, svaka konfiguracija Rubikove kocke se moˇzeopisati sa σ ∈ S8, τ ∈ S12, x ∈ (Z/3Z)8 i y ∈ (Z/2Z)12, tj. svaka konfiguracija Rubikove kocke je uredena 4-orka (σ, τ, x, y).

Primjedba 3.3 Poˇcetnakonfiguracija Rubikove kocke je (1, 1, 0, 0).

3.7.1. Valjane konfiguracije Rubikove kocke No, od mogu´cih5.19 × 1020 konfiguracija Rubikove kocke, nisu sve valjane. Konfigu- racija Rubikove kocke je valjana ako se moˇzedobiti slijedom poteza na kocki koja se nalazi u poˇcetnompoloˇzaju.

Sljede´citeorem daje karakterizaciju valjanih konfiguracija:

Teorem 3.2 Konfiguracija (σ, τ, x, y) je valjana ako i samo ako P P sgn σ = sgn τ, xi ≡ 0(mod 3) i yi ≡ 0(mod 2).

Dokaz ovog teorema se moˇzena´ciu [3], poglavlje 11, str. 35.

1 Teorem pokazuje da od svih mogu´cihkonfiguracija Rubikove kocke, ”samo” je 12 valjana. To znaˇcida postoji viˇseod 4.3×1019 valjanih konfiguracija, ˇstonije mali broj.

Primjer 3.15 Osnovni potez R se moˇzezapisati kao:

R=(rfu rub rbd rdf)(ru rb rd rf) 25

Ciklus kutnih kockica se sastoji od neparnog broja transpozicija, pa preslikavanje σ ∈ S8 ima predznak −1. Ciklus rubnih kockica sa sastoji od neparnog broja transpozicija, pa preslikavanje τ ∈ S12 takoder ima predznak −1. P Orijentacija kutnih kockica je x = (0, 1, 2, 0, 0, 0, 2, 1), pa vrijedi xi ≡ 0(mod 3). Ori- P jentacija rubnih kockica je y = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), pa vrijedi yi ≡ 0(mod 2). Stoga, osnovni potez R je valjana konfiguracija.

3.8. Graf Svaka permutacijska grupa ima svoju grafiˇckuinterpretaciju. Za poˇcetak,pitanje glasi: ˇstoje graf?

Definicija 3.18 Graf je uredeni par (V,E) koji se sastoji od

• skupa V ˇcijise elementi zovu vrhovi

• skupa E ˇcijisu elementi neuredeni parovi {{v1, v2}| v1, v2 ∈ V } koji se zovu bridovi.

Definicija 3.19 Ako je svakom elementu iz E pridruˇzenureden par iz V, onda se graf zove usmjereni graf ili digraf (eng. directed graph).

Graf se prikazuje crteˇzomu ravnini u kojem se vrhovi grafa prikazuju toˇckama, bridovi kao spojnice toˇcaka, a usmjereni bridovi kao spojnice sa strelicom.

Ako e = {v1, v2} pripada skupu E, tada se kaˇzeda je e brid od v1 do v2 (ili od v2 do v1). Put od vrha v do vrha w je konaˇcanslijed bridova od v do w. Ako taj put postoji, onda se kaˇzeda su vrhovi v i w povezani. Ako je svaki par vrhova povezan, kaˇzese da je graf (V,E) povezan. Stupanj vrha v je broj bridova incidentnih s v, a oznaka je stupanj(v) ili deg(v).

Definicija 3.20 Udaljenost vrhova v i w u grafu je duljina d(v, w) najkra´ceg puta koji spaja v i w. Ako v i w nisu povezani tada je d(v, w) = ∞. Dijametar grafa je najve´caudaljenost:

diam (V,E)= max {d(v, w)| v, w ∈ V }.

3.8.1. Cayley graf

Neka je G = hg1, g2, ··· , gni permutacijska grupa, tada vrijedi:

Definicija 3.21 Cayley graf od G je graf (V,E) ˇcijisu vrhovi V elementi od G, a bridovi se odreduju sljede´cimuvjetom: ako x i y pripadaju V=G, tada postoji brid od x do y (ili od y do x) ako i samo ako y = g ∗ x ili x = g ∗ y, za neki g ∈ G.

Definicija 3.22 Cayley digraf od G je digraf (V,E) ˇcijisu vrhovi V elementi od G, a bridovi se odreduju sljede´cimuvjetom: ako x i y pripadaju V=G, tada postoji brid od x do y ako i samo ako y = x ∗ g, za neki g ∈ G. 26

Cayley graf je koristan naˇcinda se dobije uvid u strukturu grupe i podgrupa Ru- bikove kocke.

Svojstva koja opisuju Cayley graf za grupu Rubikove kocke su:

• Svaki g ∈ G je vrh.

• Svakom generatoru grupe s ∈ S je dodijeljena boja cs.

• Za neki g ∈ G, s ∈ S, elementi koji odgovaraju g i gs su spojeni usmjerenim bridom koji je boje cs. Cayley graf za grupu Rubikove kocke bi imao 43 trilijuna vrhova, no ipak, moˇzese prikazati Cayley graf za manje podgrupe.

Cayley graf za podgrupu grupe Rubikove kocke generiran osnovnim potezom R izgleda:

Slika 3.3. Cayley graf

Pitanje je kako bi izgledao Cayley graf za grupu generiranu sa U? On bi izgledao isto kao i za grupu generiranu sa R. Ako dvije grupe imaju isti Cayley graf, tada one imaju istu strukturu, pa se za njih kaˇzeda su izomorfne. Dvije izomorfne grupe imaju jednak red i isti utjecaj na kocku. Na primjer, potez FFRR ima isti utjecaj na kocku kao i potez RRBB kad bi L strana sada bila prednja.

Stoviˇse,rjeˇsenjeRubikoveˇ kocke je zapravo put u grafu od vrhova koji su povezani u trenutni poloˇzaj kocke do vrhova koji su povezani u identitetu. Broj poteza u najkra´cem mogu´cemrjeˇsenjuje udaljenost izmedu tih vrhova. Dijametar Cayleyevog grafa od G je broj poteza najboljeg mogu´cegrjeˇsenjanajgoreg mogu´cegsluˇcaja.

3.8.2. Boˇzanski algoritam Drugi naziv za traˇzenjedijametra Cayleyevog grafa grupe Rubikove kocke je boˇzanski algoritam (iako se taj naziv koristi i za oznaˇcavanje jednog teˇzegproblema). To je algoritam koji daje osnovne poteze koji iz bilo koje konfiguracije vode ka poˇcetnom poloˇzaju, a broj tih osnovnih poteza se zove boˇzanskibroj. Dijametar Cayleyevog grafa je nerijeˇsenproblem za mnoge slagalice, te ga je ˇcaki uz pomo´craˇcunalajako teˇsko prona´ci. 27

Slagalice kojima je naden dijametar su:

Slagalica Dijametar Pyraminx 11 (bez poteza vrha) Skewb 11 2 × 2 × 2 Rubikova kocka 14 (u QTM)

Dijametri su pronadeni uz pomo´craˇcunala.

Mnogi ljudi su se bavili otkrivanjem boˇzanskog algoritma za Rubikovu kocku. Taj problem i danas pobuduje veliki interes kod matematiˇcarai oboˇzavatelja Rubikove kocke.

Postoji dva puta za traˇzenjeboˇzanskog algoritma i boˇzanskog broja:

1. Osnovni potezi su okreti bilo koje strane za 90◦ ili za 180◦. Stoga, u ovom sluˇcaju, boˇzanski broj je dijametar Cayleyevog grafa grupe G koja je generirana sa skupom hL, R, U, D, F, B, L2,R2,U 2,D2,F 2,B2i. Takva metrika u kojoj je i okret za 180◦ osnovni potez kra´ce´cese zvati i pisati HTM (eng. half-turn metric).

2. Osnovni potezi su okreti bilo koje strane za 90◦. Boˇzanskibroj je dijametar Cayleyevog grafa grupe G koja je generirana sa skupom hL, R, U, D, F, Bi. Takva metrika ´cese zvati QTM (eng. quarter-turn metric).

Potrebno je najmanje 18 poteza kako bi se sloˇzilaRubikova kocka i taj broj oznaˇcava donju granicu. Pitanje je, koliko je potrebno najviˇsepoteza, tj. koliko iznosi gornja granica?

Smatra se da je najteˇzisluˇcaj za rjeˇsavanje Rubikove kocke kad se sve kutne i rubne kockice na Rubikovoj kocki nalaze u pravilnom poloˇzaju, a rubne kockice nisu pravilno orijentirane. Taj sluˇcaj, kada je poloˇzaj kocke najdalji od poˇcetnogpoloˇzaja, je nazvan ”superflip”. 1992. g. Dik T. Winter je pokazao da se taj sluˇcaj moˇzerijeˇsitiu 20 osnovnih poteza u HTM, a Michael Reid i Jerry Bryan su 1995. g. pokazali da je potrebno 24 osnovnih poteza u QTM. Medutim, 1998. g. Reid je otkrio poloˇzaj ko- jemu treba 26 osnovnih poteza u QTM kako bi se vratio u poˇcetnipoloˇzaj, taj poloˇzaj je nazvan ”superflip sastavljen sa 4 toˇckice”.

Prve gornje granice su temeljene na ”ljudskim” algoritmima. Smatralo se da boˇzanski broj iznosi oko 100. No, takav pristup nije bio zadovoljavaju´ci,te su se traˇzilinovi naˇcinii poˇcelasu se koristiti raˇcunala.

Kombiniraju´cinajgore mogu´cesluˇcajeve, Morwen Thistlethwaite je otkrio da gornja granica iznosi oko 52. Douglas Hofstadter je detaljno opisao Thistlethwaiteov algori- tam u ˇcasopisu’Scientific American’, 1981. g. Njemaˇckiprofesor matematike Herbert Kociemba je 1992. g. poboljˇsaoThistlethwait- eov algoritam. Pomo´cutog algoritma, u ve´cinisluˇcaja je bilo potrebno manje od 21 poteza da bi se sloˇzilaRubikova kocka. Michael Reid je 1995. godine dokazao da se svaka konfiguracija moˇzerijeˇsitiu najviˇse 28

29 osnovnih poteza u HTM i u 42 osnovnih poteza u QTM.

1997. g. Richard Korf je objavio svoj algoritam. Korfov algoritam daje optimalno rjeˇsenje,ali ne analizira najgore sluˇcajeve i ne zna se koliko osnovnih poteza je potrebno ovom algoritmu.

Za daljnja poboljˇsanja,veliku ulogu je imao Silviu Radu koji je svojom metodom pokazao da se svaka konfiguracija moˇzerijeˇsitiu 27 osnovnih poteza u HTM i 35 os- novnih poteza u QTM.

No, ˇcakni super raˇcunalanisu mogla istraˇzitisve mogu´cekonfiguracije kako bi se pronaˇsaonajbolji put do rjeˇsenja.Profesor Gene Cooperman i njegov student Daniel Kunkle sa SveuˇciliˇstaNortheastern razvili su inteligentnu matematiˇckui raˇcunalnu strategiju kako bi raˇcunaluolakˇsalizadatak. Na primjer, ako je jedna strana u istoj boji, zadatak je rijeˇsen. Takoder, dvije konfiguracije smatrane su identiˇcnimaako su dvije boje samo medusobno zamjenjene. Na temelju toga, broj konfiguracija je sman- jen na neˇstoviˇseod 1 × 1018. Nadalje, otkrili su da se 15000 konfiguracija moˇzerijeˇsiti okretanjem za pola kruga bez okreta za ˇcetvrtinu kruga te da je za njihovo rjeˇsenje potrebno 13 ili manje poteza. Te konfiguracije nazvali su ”posebne konfiguracije”. Po- tom su istraˇzilikako bilo koju konfiguraciju pretvoriti u ”posebnu konfiguraciju”.

U proces raˇcunanjaukljuˇcilisu i super raˇcunalokojemu su omogu´cilida izravno dolazi do podataka preciznim pohranjivanjem na tvrdom disku bez pretraˇzivanja. To ga je dodatno ubrzalo kao i koriˇstenjenjihovih strategija. Nakon 63 sata rada, raˇcunalo je doˇslodo zakljuˇcka da je potrebno izvesti najviˇse16 osnovnih poteza da bi se bilo koja konfiguracija sloˇzilau posebnu. Na temelju tog podatka, doˇslisu do zakljuˇcka da je 29 osnovnih poteza dovoljno za rjeˇsavanje svih konfiguracija Rubikove kocke. Budu´ci da to nije bilo dovoljno za ostvarenje rekorda, dalje su istraˇzivali i ustvrdili su da se svaka konfiguracija moˇzerijeˇsitiu najviˇse26 osnovnih poteza u HTM. Sve te rezultate, Gene Cooperman i Daniel Kunkle su predstavili 29. srpnja 2007. g. u Waterloou u Ontariju.

Kalifornijski programer Tomas Rokicki je 2008. g. dokazao da je dovoljno najviˇse 25 osnovnih poteza za rjeˇsavanje Rubikove kocke, a iste godine je objavio da ima dokaz da su dovoljna 22 osnovna poteza u HTM. Godinu dana kasnije dao je dokaz da je taj broj jednak 29 u QTM.

Metode za traˇzenjeboˇzanskog broja lakˇsese primjenjuju u HTM nego u QTM. Konaˇcno,smatra se, ali nije joˇssasvim dokazano da boˇzanskibroj u QTM iznosi 26. Op´cenitovrijedi da se n×n×n Rubikova kocka moˇzeoptimalno rijeˇsitiu Θ(n2/log(n)) osnovnih poteza.

Godine 2010. Tomas Rokicki, Herbert Kociemba, Morley Davidson i John De- thridge su objavili trenutaˇcnizadnji dokaz u otkrivanju boˇzanskog broja. Uz pomo´c raˇcunalapokazali su da se sve konfiguracije Rubikove kocke mogu rijeˇsitisa maksi- malno 20 osnovnih poteza u HTM. Istraˇzivaˇcisu doˇslido rezultata tako da su problem sveli na potprobleme koji su bili dovoljno mali kako bi stali u memoriju modernog 29

raˇcunalate se na takav naˇcinproblem brˇzerjeˇsavao. Koriste´ciznanje o simetrijama te program kojeg su sami napisali, svaki potproblem je uspjeˇsnorijeˇsente su na kraju doˇslido rezultata. Istraˇzivaˇcitvrde: ”Trebalo je 15 godina nakon predstavljanja kocke da se nade raspored kockica iz kojeg se zagonetka moˇzerijeˇsitiu 20 osnovnih poteza. Primjereno je da 15 godina nakon toga moˇzemo dokazati da se kockice mogu posloˇziti u 20 osnovnih poteza iz svih pozicija”.

No, interes za boˇzanskialgoritam i boˇzanskibroj sigurno ne´ceprestati. Taj prob- lem ´cese i dalje istraˇzivati i tko zna ˇstodonosi budu´cnost.

Postoji joˇsjedan problem vezan za graf grupe Rubikove kocke koje glasi: je li Cayley graf za grupu Rubikove kocke Hamiltonov graf ?

Definicija 3.23 Hamiltonov ciklus na grafu G je ciklus koji sadrˇzisve vrhove od G. Graf koji ima Hamiltonov ciklus zove se Hamiltonov graf.

Hamiltonov ciklus je slijed bridova koji formiraju put u grafu tako da se kroz svaki vrh prode toˇcnojedanput.

Tada, problem grupe Rubikove kocke glasi: Neka je G grupa Rubikove kocke. Ima li Cayleyev graf od G Hamiltonov ciklus, tj. moˇzeli se svaka konfiguracija Rubikove kocke ”posjetiti” toˇcnojedanput koriste´ciosnovne poteze R, L, U, D, F, B?

To je poseban sluˇcaj op´cenitog nerijeˇsenogproblema: za proizvoljnu permutacijsku grupu sa danim skupom generatora, je li njezin Cayleyev graf Hamiltonov? No, joˇsse ne zna efikasni algoritam za rjeˇsavanje tog problema.

3.9. Strategije za rjeˇsavanje Rubikove kocke Postoje ljudi koji samo pogledaju Rubikovu kocku i odmah znaju kako ju vratiti u poˇcetno stanje. No ipak, ve´cinatreba neke strategije, ˇstojednostavnije to bolje, za pomo´cpri rjeˇsavanju. Vaˇzni pojmovi za rjeˇsavanje kocke su pojam komutatora i pojam konjugiranja. Radi se o matematiˇckimpojmovima koji se lagano mogu razumjeti uz pomo´cRubikove kocke.

3.9.1. Komutatori Komutator je kombinacija dvaju poteza tako da se prvo izvede jedan potez pa drugi potez, zatim se prvi potez izvede u suprotnom smjeru i na kraju se izvede drugi potez takoder u suprotnom smjeru. Op´cioblik komutatora je: [M,P ]=MPM −1P −1, gdje su M i P bilo koji potezi na Rubikovoj kocki.

Primjer 3.16 Odredimo komutator poteza M = LF i poteza P = L2R, (pritom ko- ristimo formulu za inverz i ˇcinjenicuda je inverz kvadrata osnovnog poteza on sam, tj. (L2)−1 = L2): 30

[M,P ] = [LF, L2R] = LF L2RF −1L−1R−1L2.

Ako potezi M i P komutiraju (na primjer, ako su oba iz grupe C4), njihov komutator je jednak I. Iz te ˇcinjenicepotjeˇcenaziv za komutator.

Komutatori se koriste kada se s dva poteza M i P moˇzepuno toga napraviti, no oni uzrokuju neke neˇzeljene efekte koji se uz pomo´c M −1P −1 eliminiraju. Cestoˇ se ˇzele zamjeniti dvije, tri ili ˇcetirikockice i te se zamjene biljeˇzeuz pomo´cciklusa. Razliˇcitim potezima nastaju ciklusi kockica koji dovode do rjeˇsenjaRubikove kocke.

Ve´cinomse komutatori koriste za zaokretanje kutnih kockica koji imaju pravilan poloˇzaj, ali nisu pravilno orijentirani te za postizanje ciklusa. Imaju joˇsjedno svojstvo koje se odnosi na dva osnovna poteza koji se nalaze na susjednim stranama: ako se dva puta provede njihov komutator dobije se 3-ciklus rubnih kockica i sve kutne kockice ostanu na mjestu, a triput provedeni komutator zamjenjuje toˇcnodva para kutnih kockica tako da se niti jedna rubna kockica ne pomakne.

3.9.2. Konjugacija Konjugacija je joˇsjedan koristan pojam za izgradnju naredbi za rjeˇsavanje Rubikove kocke. Potezi dobiveni konjugiranjem su potezi koji se sastoje od prvog poteza, zatim drugog poteza i na kraju prvi potez u suprotnom smjeru.

Konjugiranje poteza M potezom P je potez P −1MP i oznaˇcava se

M P = P −1MP .

Konjugiranje se najviˇseprimjenjuje kada se ˇzeledobiti odredeni ciklusi rubnih ili kutnih kockica.

3.9.3. Strategije U odjeljku o algoritmima pokazane su neke metode za rjeˇsavanje Rubikove kocke. No, postoje odredene matematiˇcke ideje koje su vrlo korisne za rjeˇsavanje kocke2.

Uz poznate osnovne poteze R, L, U, D, F, B, neka MR oznaˇcava okret srednjeg dijela koji je paralelan s desnom stranom u smjeru kazaljke na satu za 90◦.

Neka se prvo krene s rjeˇsavanjem kutnih kockica. Pretpostavka je da se ˇzelikutna kockica lfd premjestiti u poloˇzaj urf kutne kockice. Tada se uˇcinipotez R−1DR i dobije se jedan od tri sljede´casluˇcaja:

1. Rijeˇsenesu sve kutne kockice.

2. Sve su kutne kockice rijeˇsene,samo se dvije moraju zamijeniti.

3. Sve su kutne kockice rijeˇsene,samo se 3 moraju cikliˇckipermutirati.

2Strategije i oznake su preuzete iz [7], poglavlje 15, str 286. 31

U 2. sluˇcaju potez UF [R,U]3F −1 = UFRUR−1U −1RUR−1U −1RUR−1U −1F −1 napravi cikluse (ubr ufl) i (uf ul ub ur). No, ako kutne kockice koje se trebaju za- mijeniti nisu u ubr i ufl poloˇzaju, samo se rotira Rubikova kocka tako da prva kockica bude u ubr poloˇzaju, drugu kockicu nekim potezom X staviti u ufl poloˇzaj te tada napraviti potez iznad pa potez X−1.

U 3. sluˇcaju potez [RDR−1,U] = RDR−1URD−1R−1U −1 permutira 3 kutne kock- ice (brd urb ulb). Takoder, ako se kutne kockice ne nalaze u brd, urb i ulb poloˇzajima, primijeni se trik opisan u 2. sluˇcaju.

Nakon ˇstosu sve kutne kockice vra´ceneu svoj poˇcetnipoloˇzaj, kako bi se rijeˇsile 2 −1 −1 2 rubne kockice (ignoriraju´ciorijentaciju) moˇzese primijeniti potez MRU MR U MR −1 2 U MR. Taj potez napravi ciklus (uf ul ur).

Za pravilno orijentiranje kutnih kockica koriste se potezi kao na primjer (R−1D2RB−1 U 2B)2 koji djeluje na kutnu kockicu ufr u smjeru kazaljke na satu i na kutnu kockicu bld u suprotnom smjeru kazaljke na satu.

3 −1 3 Za pravilnu orijentaciju rubnih kockica se koristi potez (MRU) U(MR U) U koji 4 djeluje na rubne kockice uf i ub, a potez (MRU) djeluje na rubne kockice ub i ul, te rubne kockice df i db.

Slijedi tablica sa korisnim potezima koji djeluju samo na odredene kockice, dok ostale kockice na Rubikovoj kocki ostaju netaknute:

Potez Uˇcinak 2 −1 −1 2 −1 2 MRU MR U MRU MR 3-ciklus rubnih kockica (uf ul ur) 3 −1 3 (MRU) U(MR U) U djeluje na rubne kockice uf i ub (R2U 2)3 permutira (uf ub)(fr br) 4 (MRU) djeluje na rubne kockice ub,ul i df,db (R−1D2RB−1U 2B)2 ufr+, bld++ [R,U]3 = (RUR−1U −1)3 permutira (ufr dfr)(ubr ubl) F 2L2U 2(F 2L2)3U 2L2F 2 permutira (uf ub)(ur ul) (D2R2D2(F 2R2)2U)2 permutira (ufl ubr)(dfr dbl) 2 2 2 2 (MRUMRU ) permutira (ufl ubr)(ufr ubl) RDR−1URD−1R−1U −1 3-ciklus kutnih kockica (brd urb ulb) Tablica 2.1. Potezi i njihovi uˇcinci3

Jedan je pristup rjeˇsavanju Rubikove kocke koriste´ciraˇcunalo,koji se naziva metoda podgrupa, da se krene od konstruiranja podgrupa:

Gn = 1 ⊂ Gn−1 ⊂ ... ⊂ G1 ⊂ G0 = G gdje je G = hR, L, F, B, U, Di grupa Rubikove kocke, te se provode sljede´cestrategije:

• Neka g0 ∈ G predstavlja ˇzeljenipoloˇzaj Rubikove kocke. 3Tablica preuzeta iz [7], poglavlje 15, str. 288. 32

• Treba odrediti konaˇcanskup klasa prikazan s Gk+1/Gk:

rk Gk+1/Gk = ∪i=1gk+1,iGk+1, rk > 1, ∀0 ≤ k < n

(pritom vrijedi: mn−1 = 1 i gn,1 = 1).

0 −1 • (Korak 1): Ako je g0 ∈ g1,iG1 (i ∈ {1, . . . , n1}) tada g1 = g1,i i g1 = g1 g0 (pritom 0 g1 ∈ G1).

0 0 • (Induktivan korak): Ako je definiran gk ∈ Gk i ako je gk ∈ gk+1,jGk (j ∈ 0 −1 0 0 {1, . . . , n1}), tada gk+1 = gk+1,j i gk+1 = gk+1gk (pritom gk+1 ∈ Gk+1).

−1 −1 −1 −1 • Sve zajedno daje 1 = gn gn−1gn−2 . . . g1 g0, stoga vrijedi

g0 = g1g2 . . . gn−1gn.

Treba se izabrati takav slijed podgrupa Gi tako da su klase kra´ces relativno jednos- tavnim potezima na Rubikovoj kocki ˇsto´cerezultirati da rjeˇsenje g0 = g1g2 . . . gn−1gn ne bude predugo. Taj se pristup rjeˇsavanju kocke lako moˇzeprikazati na jednostavnom primjeru kao ˇstoje ”kut-rub” metoda:

Primjer 3.17 Neka je G1 podgrupa koja ne utjeˇcena kutne kockice, G2 podgrupa koja ne utjeˇcena kutne i rubne kockice, G3 podgrupa koja ne utjeˇcena kutne i rubne kockice niti na orijentaciju kutnih kockica i G4 = {1}, tada vrijedi:

G4 = {1} ⊂ G3 ⊂ G2 ⊂ G1 ⊂ G0 = G. Ideja je sljede´ca:

1. Neka g0 ∈ G oznaˇcavatraˇzenipoloˇzajRubikove kocke. −1 2. Potez oznaˇcens g1 premjesti sve kutne kockice u pravilni poloˇzaj,stoga je g1 g0 ∈ 0 −1 G1. Neka je g1 = g1 g0. −1 0 3. Potez oznaˇcens g2 premjesti sve rubne kockice u pravilni poloˇzaj,stoga je g2 g1 ∈ 0 −1 0 G2. Neka je g2 = g2 g1. −1 0 4. Potez oznaˇcens g3 pravilno orijentira kutne kockice, stoga je g3 g2 ∈ G3. Neka 0 −1 0 je g3 = g3 g2.

5. Potez oznaˇcens g4 pravilno orijentira rubne kockice.

6. Rjeˇsenjeje g0 = g1g2g3g4. MatematiˇcarMorwen Thistlethwaite razvio je jednu od najboljih metoda podgrupa koju je primijenio za raˇcunanjeboˇzanskog broja:

Primjer 3.18 Thistletwaite je problem podijelio na manje potprobleme, tj. podije- 2 2 lio je grupu Rubikove kocke na sljede´cepodgrupe: G1 = hR, L, F, B, U ,D i, G2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 hR, L, F ,B ,U ,D i, G3 = hR ,L ,F ,B ,U ,D i, i G4 = {1}. Uz pomo´craˇcunalapokazao je sljede´ceˇcinjenice: 33

• Postoji konaˇcanskup susjednih klasa oblika {g1,i| 1 ≤ i ≤ n1} od G/G1 tako da je svaki g1,i najviˇse 7 poteza dugaˇcak(i n1 = 2048). Taj skup poteza djeluje samo na orijentaciju rubnih kockica.

• Postoji konaˇcanskup susjednih klasa oblika {g2,i| 1 ≤ i ≤ n2} od G1/G2 tako da je svaki g2,i najviˇse 13 poteza dugaˇcak(i n2 = 1082565). Taj skup poteza djeluje samo na orijentaciju kutnih kockica.

• Postoji konaˇcanskup susjednih klasa oblika {g3,i| 1 ≤ i ≤ n3} od G2/G3 tako da je svaki g3,i najviˇse 15 poteza dugaˇcak(i n3 = 29400). Taj skup poteza premjesti sve kutne i bridne kockice u pravilni poloˇzaj.

• Postoji konaˇcanskup susjednih klasa oblika {g4,i| 1 ≤ i ≤ n4} od G3/G4 tako da je svaki g4,i najviˇse 17 poteza dugaˇcak(i n4 = 663552). Dakle, Rubikovu kocku moˇzese sloˇzitiu najviˇse 7 + 13 + 15 + 17 = 52 poteza.

Pokazana su dva od mnogobrojnih primjera u kojima se koristi strategija nazvana metoda podgrupa za rjeˇsavanje Rubikove kocke uz pomo´craˇcunala.

3.10. Rubikova kocka u danaˇsnjoj kulturi Rubikova kocka ve´c30-ak godina privlaˇcipaˇznjucijelog svijeta. Dobila je svoje mjesto i u engleskom rjeˇcniku,a u Muzeju moderne umjetnosti u New Yorku nalazi se stalna izloˇzbaposve´cenaRubikovoj kocki.

Slaganje Rubikove kocke koriˇstenoje u mnogim filmovima i TV serijama kao naˇcin pokazivanja inteligencije glavnih likova. Stoga, Rubikova se kocka pojavljuje u fil- movima Armageddon, Dude, Where’s My Car?, My Name is Khan, 3 Idiots, Let the Right One In, Wall-E, Hellboy, Being John Malkovich i TV serijama The Fresh Prince of Bel-Air, Seinfeld, Doctor Who, Everybody Hates Chris, The Simpsons i mnogim drugim. Rubik, nevjerojatna kocka je crtani film u kojemu je glavni lik osjetljiva Rubikova kocka, a Rubikova kocka se pojavljuje i u glazbenom spotu pjesme Viva Forever grupe Spice Girls.

Rubikova kocka se redovito pojavljuje kao motiv u umjetnosti. U New York-u se nalazi skulptura u obliku Rubikove kocke, a veliki primjerak Rubikove kocke izgraden je na Sveuˇciliˇstuu Michiganu (Slika 3.4.). Takoder, umjetnici su razvili stil u kojem se kao motiv koristi kocka i nazvali su ga Umjetnost Rubikove kocke ili Rubikov kubizam. 34

Slika 3.4. Skulptura Rubikove kocke u Michiganu

Postoje razliˇcitekomercijalizacije Rubikove kocke. Pojavljuje se kao motiv na mod- nim dodacima, knjigama, biljeˇznicama,privjescima i na mnogim drugim predmetima.

Popularnost Rubikove kocke ne prestaje. Ta minijaturna igraˇcka jedan je od rijetkih primjeraka koji se koristi i za zabavu i za ”ozbiljno” uˇcenje.Ve´csu otkrivene njezine velike prednosti, a tko zna ˇstosve donosi budu´cnost. 35

Literatura

[1] F. M. Bruckler¨ , Grupa Rubikove kocke, Pouˇcak, 36(2008), 4-15.

[2] D. Butkovic´, Predavanja iz linearne algebre, Osijek, 2006.

[3] J. Chen, Group Theory and the Rubik’s Cube, http://www.math.harvard.edu/ jjchen/docs/Group Theory and the Rubik’s Cube.pdf, 20.9.2011.

[4] T. Davis, Group Theory via Rubik’s Cube, 2006., http://geometer.org/rubik/group.pdf, 20.9.2011.

[5] A. Horvatek, Rubikova kocka, http://public.carnet.hr/ ahorvate/materijali.html, 31.8.2011.

[6] W. D. Joyner, Mathematics of the Rubik’s cube, http://www.permutationpuzzles.org/rubik/webnotes/rubik.pdf, 20.9.2011.

[7] W. D. Joyner, Adventures in Group Theory: Rubik’s Cube, Merlin’s Machine, and Other Mathematical Toys, The Johns Hopkins University Press, 2002.

[8] D. Kunkle & C. Cooperman, Twenty-Six Moves Suffice for Rubik’s Cube, Pro- ceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC ’07), ACM Press, 2007.

[9] J.Trajber, Rubikova kocka - Priruˇcnikza slaganje, Prosvjeta, Zagreb, 1982.

[10] http://www.index.hr/xmag/clanak/otkriveni-svi-nacini-na-koje-se-moze-sloziti- rubikova-kocka/506792.aspx, 31.8.2011.

[11] http://web.mit.edu/sp268/www/rubik.pdf, 20.9.2011.

[12] http://www.math.uchicago.edu/ may/VIGRE/VIGRE2007/REUPapers/FINALAPP/Travis.pdf, 20.9.2011

[13] http://en.wikipedia.org/wiki/Rubik’s Cube, 31.8.2011.

[14] http://www.rubikovakocka.com, 31.8.2011.

[15] http://www.rubiks.com/world/history.php, 31.8.2011. 36

4. Saˇzetak

Ovaj diplomski rad sastoji se od dvaju poglavlja: ˇstoje Rubikova kocka i matematika u Rubikovoj kocki.

Na samom poˇcetkunalazi se opis nastanka Rubikove kocke i opisan je ˇzivot njezinog tvorca Ern¨oaRubika. Prikazane su mnogobrojne varijacije Rubikove kocke koje su nastale tijekom vremena. Nadalje, u radu su opisani algoritmi za slaganje Rubikove kocke, a i prikazani su rezultati s natjecanja u slaganju Rubikove kocke koji su jako zanimljivi.

U drugom se poglavlju pokuˇsava objasniti koja se matematika nalazi u Rubikovoj kocki i kako Rubikova kocka moˇzebiti vrlo koristan primjer za objaˇsnjavanje matemati- ˇckihpojmova. U radu se pokuˇsavaju razumjeti pojmovi: grupa, podgrupa, generatori, parnost, cikliˇcka grupa, homomorfizam grupa, graf i mnogi drugi uz pomo´cminijaturne igraˇcke Rubikove kocke. Opisane su konfiguracije Rubikove kocke, pokazane koje kon- figuracije su valjane, te su dane matematiˇcke strategije kako iz bilo koje konfiguracije vratiti Rubikovu kocku u poˇcetnipoloˇzaj. U radu se opisuje razvoj i znaˇcenjeboˇzanskog algoritma i boˇzanskog broja.

Na kraju se moˇzezakljuˇcitida je Rubikova kocka mala igraˇcka velikog znaˇcenja. To je sjajan izum koji i nakon 30 godina plijeni paˇznjujer je jednostavna i zabavna igraˇcka s velikom koristi u obrazovanju. 37

5. Summary

This paper contains two chapters: What is Rubik’s cube and Mathematics in Rubik’s cube.

The first chapter describes the development of the Rubik’s cube and the life of Ern¨oRubik, her creator. The chapter as well explains variations, which were intro- duced over time, of the Rubik’s cube. In addition, it describes algorithms for compo- sition of Rubik’s cube shows interesting results from competitions.

The second chapter deals with mathematics in the Rubik’s cube and how Rubik’s cube can be very useful example for explaining mathematics terms. The paper explains terms as: group, subgroup, generators, parity, cyclic group, group homomorphisms, graph and others therms with the help of the toy Rubik’s cube. Configurations of the Rubik’s cube are described and it is shown which configurations are valid. Math- ematics strategies dealing with how to return Rubik’s cube to the first position are presented as well. The development and meaning of god’s algorithm and god’s number are described as well in this chapter.

In conclusion one can say that the Rubik’s cube is a small toy with a great meaning. It is a brilliant invention which even after 30 years captures attention because it can be seen as a simple and fun toy but it is interesting enough to be used in education. 38

6. Zivotopisˇ

Marina Bariˇsi´crodena je 13. travnja 1987. g. u Dakovu.

Osnovnu ˇskolu Vladimira Nazora u Dakovu zavrˇsava 2001. g. i upisuje Op´cugim- naziju A. G. Matoˇsa,takoder u Dakovu. Nakon zavrˇsenesrednje ˇskole, 2006. g. upisuje sveuˇciliˇsni nastavniˇckistudij matematike i informatike na Odjelu za matematiku u Os- ijeku.