La Obra De Daniel G. Quillen Natàlia Castellana

La Gaceta de la RSME, Vol. 11 (2008), Núm. 3, Págs. 573–588 573

Las Medallas Fields Sección a cargo de

Leovigildo Alonso Tarrío y Ana Jeremías López

La obra de Daniel G. Quillen

por Natàlia Castellana

Daniel Grey Quillen es sin lugar a dudas uno de los matemáticos cuyas ideas y trabajos en el último cuarto del siglo XX han ejercido una mayor influencia en el desarrollo de las mate- máticas, especialmente en álgebra, geometría y topología. Daniel Quillen recibió la medalla Fields en 1978 en el Congreso Internacional de Matemáti- cos celebrado en Helsinki. Ese mismo año tam- bién fueron premiados Pierre Deligne, Charles Fefferman y Grigory Margulis. La principal con- tribución de Quillen que le hizo acreedor de tal reconocimiento fue el desarrollo de la teoría K algebraica. En relación a esto, Hyman Bass escribe lo siguiente en su autobiografía [3]: By this time various people from algebra, topology, number theory, alge- Daniel G. Quillen en Oxford. braic geometry and algebraic groups had acquired a kind of peripheral in- terest in aspects of this newly developing algebraic K-theory. To assemble these diverse people and points of view, I organized a K-theory conference in the early 1970’s at the Battelle Institute in Seattle. Its proceedings were published in three thick volumes of the Springer Lecture Notes in Mathematics. This was a watershed event, and gave the subject its defi- nitive form. From among several efforts to construct higher K-functors, Quillen arrived at the conference with the second of his constructions 574 Las Medallas Fields

accompanied by an abundance of powerful foundational tools, new cal- culations, and proofs of outstanding conjectures. This magniﬁcient work later earned him the Fields medal.1 Una constante en el trabajo de Quillen es la maestría con la que combina técnicas de diferente naturaleza en la introducción de nuevas teorías, en el desarrollo de téc- nicas y en el cálculo concreto. La aparente simplicidad con la que aborda problemas difíciles sólo pueden ser fruto de su profundo conocimiento e intuición a la hora de utilizar técnicas dispares y de «generalizar para simpliﬁcar». En esta modesta reseña desarrollaremos brevemente algunas de las principales áreas a las que Quillen ha contribuido en mayor medida. Intentaremos exponer sus contribuciones más relevantes a la elaboración de nuevas teorías y resolución de conjeturas y problemas agrupados en diferentes temas.

1. Biografía

Daniel Grey Quillen nació en Orange (New Jersey) el 22 de junio de 1940. Su padre era ingeniero químico aunque se dedicó a la docencia como profesor de física en un instituto. Daniel Quillen se graduó en Harvard en 1961 donde realizó su tesis doctoral bajo la supervisión de Raoul Bott. Recibió el grado de doctor en 1964 a los 24 años. En su tesis, Formal properties of over-determined systems of linear partial differential equations, trató aspectos formales de la teoría de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Aunque muy pronto sus intereses cambiaron hacia el campo de la topología algebraica. Como curiosidad destacaremos que Bott cuenta con dos medallistas Fields entre sus estudiantes de doctorado ya que también fue el director de tesis de S. Smale (medalla Fields en 1966) cuando estaba en la Universidad de Michigan. Después de finalizar su doctorado, Quillen fue contratado por el Massachusetts Institute of Technology (MIT). Permaneció en este instituto hasta que aceptó una oferta de la Universidad de Oxford en 1984 para ocupar la cátedra Waynflete en Ma- temática Pura en el Magdalen College. Se jubiló en 2006. Actualmente esta cátedra está ocupada por Raphaël Rouquier. Durante el tiempo que permaneció en el MIT realizó estancias fuera del instituto que marcaron enormemente su trabajo. Durante el año académico 1968–69 obtuvo una beca Sloan Fellow para realizar una estancia en París donde conoció a Grothen- dieck, que había recibido la medalla Fields en 1966 junto a M. Atiyah y S. Smale,

1En esos tiempos, varias personas de álgebra, topología, teoría de homotopía, geometría algebraica y grupos algebraicos habían mostrado un cierto interés periférico en aspectos de la nueva teoría K algebraica que se estaba desarrollando. Para reunir estas personas y sus diferentes puntos de vista, organicé un congreso en teoría K a principios de los años 70 en el Battelle Institut de Seattle. Las actas del congreso se publicaron en tres grandes volúmenes de la serie de Springer Lecture Notes in Mathematics. Este evento marcó un hito en la teoría y le dio su forma definitiva. De entre los diferentes esfuerzos por construir los funtores de teoría K superior, Quillen llegó al congreso con la segunda de sus construcciones, acompañada por una abundancia de poderosas herramientas fundacionales, nuevos cálculos y demostraciones de conjeturas establecidas. Este magnífico trabajo le valió posteriormente la medalla Fields. La Gaceta ? Secciones 575 y que influenció sus ideas sobre la teoría K algebraica. En el curso siguiente 1969– 70, Quillen fue miembro visitante en el Institute for Advanced Study de Princeton donde esta vez entró en contacto con las ideas de Atiyah sobre teoría K topológica. Finalmente volvió a París en el curso 1973–74 con una beca Guggenheim. No sólo recibió la medalla Fields en 1978 sino que, como reconocimiento a sus trabajos en teoría K algebraica, recibió en 1975, junto a H. Bass, el premio Cole que otorga la American Mathematical Society por sus contribuciones al álgebra. Daniel Quillen ha dirigido varias tesis doctorales: Kenneth Brown (1971), Howard Hiller (1978), Jeanne Duflot (1980), Mark Baker (1981), Varghese Mathai (1986) y Jacek Brodzki (1990). En el aspecto más personal, H. Bass [2] destaca la precocidad de D. Quillen no sólo como matemático sino también como padre, ya que a los 24 años ya tenía dos de sus cinco hĳos junto a su mujer Jean, violinista. También menciona su estilo de vida retirado, así como sus pocas apariciones públicas.

2. Álgebra homotópica

Si exceptuamos el concepto de grupo fundamental, la noción de homotopía fue introducida por Brouwer en los años veinte en sus trabajos sobre el grado de una aplicación, pero la teoría de homotopía no se inició hasta los años treinta cuando Hurewicz introdujo los grupos de homotopía superiores y probó su conexión con los grupos de homología. Después de la tesis de J.-P. Serre en 1951 sobre la sucesión espectral de Leray-Serre para una ﬁbración, se calcularon algunos grupos de homo- topía relevantes. Pero desde el punto de vista conceptual, dos de los hechos más importantes en la teoría fueron la publicación de los libros Calculus of functors de Gabriel y Zisman, y Homotopical Algebra de Quillen, ambos en 1967. Especialmen- te el trabajo de Quillen inauguró una nueva fase en el desarrollo de la teoría de homotopía y con él la teoría alcanzó un nivel diferente de abstracción. La base del trabajo de Quillen se encuentra en los trabajos previos de Kan sobre complejos semisimpliciales. La axiomatización de Quillen constituye una clariﬁca- ción de conceptos muy importante así como una generalización que cubre muchas situaciones algebraicas. El desarrollo de esta teoría se encuentra en los trabajos [17] y [20]. Citando sus propias palabras [17], Homotopical algebra or non-linear homological algebra is the generalization of homological algebra to arbitrary categories which results by consi- dering a simplicial object as being a generalization of a chain complex.2 El interés de Quillen en ese momento era el de construir una buena teoría de cohomología para anillos conmutativos y en ese sentido mantenía conversaciones con Lichtenbaum y Schlesinger. La construcción y análisis de funtores derivados le llevó a considerar objetos simpliciales en una categoría y las propiedades de estos

2El álgebra homotópica o álgebra homológica no lineal es la generalización del álgebra homológi- ca a categorías arbitrarias que se obtiene al considerar un objeto simplicial como una generalización de un complejo de cadenas. 576 Las Medallas Fields objetos análogas a las que se satisfacen en la categoría homotópica. Seguía así los trabajos de Kan, y se inspiraba en la teoría de categorías derivadas de Verdier que aprendió en un seminario dirigido por R. Hartshorne sobre dualidad de Grothendieck. En este proceso se da cuenta de la similitud que se produce a un cierto nivel entre situaciones a priori diferentes como es la teoría de homotopía y la cohomología de anillos conmutativos, y describe una noción de teoría de homotopía que uniformiza muchas situaciones aparentemente dispares. La definición básica en la teoría es la de categoría de modelos. Es una categoría cerrada por límites y colímites finitos con tres familias distinguidas de morfismos cerradas por composición y conteniendo la identidad y que satisfacen ciertos axiomas inspirados en la teoría de homotopía en topología. Las familias son cofibraciones, fibraciones y equivalencias débiles. Por ejemplo, uno de los axiomas establece que dado un diagrama A / X > f i p B / Y donde i es una cofibración, p es una fibración y, o bien i o bien p son una equivalencia débil, entonces existe f : B → X de forma que el diagrama es conmutativo. Dada una categoría de modelos C, la categoría homotópica asociada, Ho(C), se obtiene a partir de C invirtiendo formalmente todas las equivalencias débiles. De los axiomas no se deduce que un isomorfismo en la categoría homotópica provenga de una equivalencia débil y para ello se introduce la noción de categoría de modelos cerrada. Uno de los conceptos importantes es la de equivalencia de Quillen entre dos categorías de modelos mediante funtores adjuntos que satisfacen ciertas condi- ciones técnicas y que determina cuando dos categorías de modelos tienen categorías homotópicas equivalentes. Sorprende el hecho de que con una serie de axiomas establece un contexto sufi- cientemente general en el que es posible desarrollar la maquinaria básica de la teoría de homotopía. Este lenguaje con sus técnicas se usa en gran variedad de situaciones y continúa usándose en áreas de gran desarrollo y actualidad como la teoría de categorías superiores. Por ejemplo, en situaciones geométricas como la teoría de G- espacios, especialmente en la teoría de homotopía estable donde permite formalizar su estructura, y en situaciones menos geométricas como los complejos de cadenas o anillos conmutativos simpliciales. Aparte del desarrollo axiomático de la teoría, Quillen [17] dio varios ejemplos de teorías de homotopía y de cómo definir grupos de homología y cohomología en ciertas categorías de modelos. Entre los ejemplos destaca la estructura de categoría de modelos para la categoría sA de objetos simpliciales asociada a la categoría A. En particular, en [18] Quillen utiliza la estructura de categoría de modelos en sA cuando A es la categoría de anillos para construir una teoría de cohomología para anillos conmutativos conocida como la cohomología de André-Quillen (ya que fue construida independientemente por Michel André). Esta teoría de coholomogía ha sido estudiada por H. Miller y P. Goerss ya que, en el caso en que el anillo es La Gaceta ? Secciones 577 la cohomología módulo p de un espacio topológico, juega un papel importante en la sucesión espectral de Adams inestable. Es decir, el álgebra homotópica de este anillo asociado a un espacio topológico nos proporciona información sobre el propio espacio. Otra de las situaciones estudiadas por Quillen, y en la que el uso de su no- ción de teoría de homotopía permitió obtener un resultado plenamente satisfactorio, fue la descripción de la teoría de homotopía racional. Como consecuencia de que la homotopía de las esferas módulo torsión fuese sencilla, se creía que la teoría de homotopía racional debería serlo también mediante una descripción con un modelo algebraico más simple que los modelos de Kan de espacios simpliciales. Por teoría de homotopía racional se entendía el estudio de la categoría de los espacios simple- mente conexos que se obtiene al localizar con respecto a la familia de aplicaciones que son isomorfismos en los grupos de homotopía salvo torsión. En el artículo [20] Quillen describe la equivalencia entre la teoría de homotopía racional y la teoría de homotopía de las álgebras de Lie diferenciales reducidas sobre los racionales. Esta equivalencia se entiende tensorizando los grupos de homotopía con los racionales. Asimismo describe otro modelo algebraico equivalente: las coalgebras diferenciales graduadas sobre los racionales coconmutativas y 1-conexas. Esta última descripción se interpreta mediante el paso a la homología racional. D. Sullivan en 1977 [35] describe otro modelo algebraico para la homotopía racional motivado por el estudio de las clases de isomorfía de variedades diferenciables compactas. Sullivan analiza el tipo de homotopía racional mediante el complejo de de Rham y describe los ahora llamados modelos minimales de Sullivan.

3. La conjetura de Adams

Desde que en 1931 los trabajos de Hopf sobre aplicaciones entre variedades le lle- varan a probar que hay aplicaciones esenciales de S3 a S2; uno de los grandes retos en teoría de homotopía es el cálculo de los grupos de homotopía de las esferas, o, gracias S m al teorema de Freudhental, sus grupos de homotopía estables πn = l´ımm πm+n(S ). Una forma de obtener información sobre estos grupos es a través de otras teorías de cohomología. En este sentido una herramienta importante, que fue estudiada por S J. Frank Adams, es el J-morfismo J : πn−1(SO) → πn−1 que relaciona la teoría K de fibrados vectoriales reales sobre un espacio con los fibrados esféricos sobre el mismo.

Este morfismo es un caso particular del morfismo KR(X) → Sph(X) que a un fibrado vectorial real le hace corresponder el fibrado esférico correspondiente, donde Sph(X) denota el anillo de Grothendieck de fibrados esféricos sobre X. Cuando X = Sn, en n la versión reducida de estas teorías ocurre que KeR(S ) = πn−1(SO) para n > 1 y n S Sphg(S ) = πn−1. Para poder analizar Sph(X) es necesario describir invariantes para fibraciones esféricas. Por ejemplo, tenemos las clases de Stiefel-Whitney en cohomología cu- ya definición usa las operaciones estables de Steenrod en cohomología módulo p. Para poder obtener invariantes en teoría K imitando la construcción en cohomo- logía módulo p se necesitan operaciones en esta teoría. Adams define operaciones 578 Las Medallas Fields

ψk : Kn(X) → Kn(X) en términos de potencias exteriores de fibrados vectoriales. R R Para que fueran estables necesitó invertir coeficientes y así se obtienen clases carac- k 1 terísticas ρ (ξ) ∈ KR(X; Z[ k ]) en teoría K. De esta forma el objetivo era estudiar cuándo dos elementos tienen diferente imagen por el morfismo J, o cuándo tienen la misma imagen. En [1], Adams plantea la siguiente conjetura: Conjecture (1.2): If k is an integer, X is a finite CW -complex and y ∈

KR(X), then there exists a non-negative integer e = e(k, y) such that ke(ψk − 1)y maps to zero in J(X),3 donde J(X) es el cociente de KR(X) por el subgrupo generado por [ξ] − [η] tales que ξ y η tienen ﬁbrados esféricos equivalentes. Este enunciado se reescribe de la siguiente forma: la composición

ψk−1 h 1 i BO −−−→ BO −→ BSph k es homotópicamente nula. La conjetura de Adams permite calcular la imagen del morfismo J y de hecho el propio Adams la probó en el caso en que el fibrado virtual y puede expresarse como suma de fibrados de dimensión ≤ 2. En el artículo [19] Quillen describió un método para resolver esta conjetura ba- sado en los métodos de homotopía étale desarrollados por M. Artin y B. Mazur en el campo de la geometría algebraica. En este trabajo prueba cómo esta conjetura se transforma en una más asequible en el nuevo contexto. Fue Friedlander [9] quien finalizó este programa ideado por Quillen probando la conjetura en el caso complejo. Sullivan [34] también obtuvo una demostración utilizando técnicas de geometría algebraica moderna y atribuye a Quillen el mérito de ser el primero en darse cuenta de la relación entre la geometría algebraica en característica p y la conjetura de Adams, refiriéndose a la estrategia diseñada en [19]. La primera demostración que apareció publicada fue la de Quillen en 1971, [22]. Su idea se basa en aproximar los espacios clasificadores BO y BU de la teoría K real y compleja por espacios clasificadores de grupos discretos. Si k es la clausura alge- r braica del cuerpo de p elementos y GL(k) = l´ımn GLn(k), demostró que existe una aplicación BGL(k) → BU que induce un isomorfismo en homología o cohomología módulo l, con l primo y l 6= p. Así pues se redujo al estudio de la composición

ψk−1 h 1 i BGL (pr) −→ BU −−−→ BU −→ BSph . m k En esta situación, la influencia de los trabajos de Atiyah en la teoría K de los espacios clasificadores de grupos finitos es fundamental ya que implican que la aplicación r BGLm(p ) → BU viene inducida por una representación virtual compleja del grupo r GLm(p ). Quillen utilizó otra vez de forma magistral técnicas de teoría de repre- sentación modular de grupos finitos —desarrollada por Brauer— para ver que la

3 Conjetura (1.2): Si k es un entero, X un CW -complejo ﬁnito e y ∈ KR(X), entonces existe un entero no negativo e = e(k, y) tal que ke(ψk − 1)y tiene imagen nula en J(X). La Gaceta ? Secciones 579 demostración podía reducirse a representaciones complejas de dimensión 1 con grupo estructural en el normalizador del toro maximal en U(n), casos que ya habían sido resueltos por Adams [1]. Este trabajo y los métodos utilizados inﬂuyeron en gran medida su investigación y posteriores trabajos, sobre todo sus trabajos en teoría K algebraica y cohomología de grupos.

4. Cobordismo

La invención de la teoría de cohomología generalizada llamada cobordismo fue una de las contribuciones que permitieron a Thom obtener la medalla Fields en 1958. Definió los anillos de cobordismo orientado y no orientado que fueron generalizados a cobordismo complejo por Milnor y Novikov. Atiyah estudió cómo estas construcciones dan lugar a teorías de homología y cohomología complejas. La contribución de Quillen en este campo fue la de mostrar cómo la teoría de las leyes formales de grupo y sus métodos permiten realizar cálculos en teoría de cobordismo. En la teoría de cobordismo, la variedades diferenciables se clasifican módulo la relación de ser cobordantes. Dos variedades M0 y M1 son cobordantes si existe una variedad W tal que ∂W = M0 ∪M1. Esta relación de equivalencia junto con la unión disjunta y el producto define el anillo de cobordismo. En función de la estructura del fibrado tangente que se preserva hablamos de cobordismo orientado, no orientado o complejo. Esta clasificación se reduce a un problema en teoría de homotopía gracias a la construcción de Thom-Pontryagin que nos dice que la clase de una variedad en este anillo depende del tipo de homotopía de una cierta aplicación. Los méto- dos anteriores requerían de cálculos difíciles pero Quillen descubrió una estrategia completamente nueva usando leyes formales de grupo que evita estas dificultades de forma espectacular para dar una conclusión satisfactoria a la teoría. En [21] Quillen introduce en esta teoría un lenguaje económico para conseguir que el artículo fuese lo más elemental y autocontenido posible. El formalismo que introduce está influenciado por el trabajo de Grothendieck en motivos. Esencial- mente describe el anillo de cobordismo complejo como una teoría de cohomología multiplicativa universal con buenas clases de Chern para fibrados complejos. Una ley formal de grupo sobre un anillo R conmutativo con unidad es una serie de potencias F (x, y) ∈ R[[x, y]] tal que F (x, 0) = F (0, x) = x, F (x, y) = F (y, x), y F (x, F (y, z)) = F (F (x, y), z). La teoría de las leyes formales de grupo fue estudiada por algebristas como Lazard con motivaciones que no estaban relacionadas con la to- pología algebraica y el cobordismo. Fue Quillen quien en su trabajo relacionó las dos teorías probando que el anillo de Lazard [14] de la teoría formal de grupo universal es isomorfo al anillo de cobordismo complejo. De esta forma, muchos aspectos de la teoría se vuelven completamente algebraicos. Así, en este trabajo no sólo se describe el anillo de los coeficientes del cobordismo complejo sino que además, mediante la versión correspondiente del anillo universal de Lazard pero para leyes formales de grupo p-típicas, identifica los coeficientes de la teoría de cohomología de Brown- Peterson BP en la localización en un primo p de los coeficientes del cobordismo 580 Las Medallas Fields complejo. En un posterior trabajo [23] explota estas construcciones y cálculos en una teoría de cohomología sin conocer explícitamente los coeficientes como la construcción de clases características, el anillo de operaciones estables o las potencias de Steenrod introducidas por Landweber, Novikov y tom Dieck.

5. Teoría K algebraica

El trabajo de Quillen más reconocido al otorgarle la medalla Fields fue el que realizó en el campo de la teoría K algebraica. Las técnicas desarrolladas permiten aplicar los métodos de teoría de homotopía a álgebra pura. El impacto de este trabajo es seguramente comparable en mucha medida al que tuvo la introducción del álgebra homológica. Los orígenes de la teoría K algebraica se encuentran en las consideraciones generales del trabajo de Grothendieck [13]. Éste, motivado por su trabajo en geometría algebraica y su demostración del teorema de Riemann-Roch en variedades algebraicas, tuvo la idea de asociar un grupo abeliano K(C) a una categoría C con una colección E de diagramas E0 → E → E00. Este grupo se define como el grupo abeliano libre generado por las clases de isomorfía de objetos de C, módulo ciertas relaciones del tipo [E] = [E0] + [E00]. Esta construcción se denomina hoy en día el grupo de Grothendieck. Mencionamos como curiosidad que la letra K viene de la palabra klassen que significa clase en alemán. Si R es un anillo y P(R) es la categoría de módulos proyectivos finitamente generados por la izquierda, K(R) es el grupo abeliano libre generado por las clases de isomorfía [P ] de módulos proyectivos finitamente generados módulo las relaciones [P ⊕ Q] − [P ] − [Q]. Esta construcción es funtorial para homomorfismos de anillos. Su interés radica en el estudio de los módulos proyectivos que no son libres. Si R es ∼ un cuerpo entonces K(R) = Z. Una de las primeras motivaciones para considerar la teoría K de un anillo fue el hecho de que contiene ciertos invariantes algebraicos y clases de obstrucción que apa- recen en situaciones en geometría o topología. Por ejemplo, las obstrucciones de Wall a que un complejo X que es un retracto de un complejo finito sea homotópicamente equivalente a un complejo finito se encuentran en K(Z[π1X]), o las obstrucciones a que una equivalencia homotópica sea composición de ciertas equivalencias simples de tipo contracciones y expansiones viven en los grupos de torsión de Whitehead que se definen a partir de GL(Z[π1(X)]). Otro ejemplo clásico de grupo de Grothendieck viene dado por la teoría K topoló- gica que fue introducida por Grothendieck en el contexto de variedades algebraicas y desarrollada por Atiyah y Hirzebruch para CW -complejos. La teoría K real o compleja viene definida por la categoría de fibrados de espacios vectoriales reales o complejos, sobre un espacio Hausdorff compacto X. Se denota habitualmente K(X). Atiyah recibió la medalla Fields por sus numerosas e importantes contribuciones y aplicaciones de la teoría K a la geometría y a la topología. La relación entre la teoría K de un anillo y la teoría K topológica viene dada por un resultado de Swan que nos La Gaceta ? Secciones 581 dice que si R es el anillo de funciones continuas de X en el cuerpo C, entonces hay una equivalencia entre la categoría de fibrados complejos sobre X y la categoría de R-módulos proyectivos. Dicha equivalencia viene dada por el funtor que a un fibrado le asigna el R-módulo de sus secciones. De ahí se sigue que K(X) =∼ K(R). El gran desarrollo del estudio de la teoría K topológica y sus aplicaciones se debió en gran parte al hecho de dar lugar a una teoría de cohomología generalizada graduada gracias al teorema de periodicidad de Bott. En concreto es posible definir una teoría de cohomología generalizada de la siguiente forma. Para un espacio topológico X se define Ke n(X) := Ke(Σn(X)) donde Σn(−) designa el funtor sus- pensión iterado n veces. Ya hemos mencionado cómo la teoría K algebraica puede verse como una extensión de la teoría K topológica en grado cero, por lo que era natural buscar una definición para Kn(R), n > 0. La primera construcción es de Bass que define K1(R) como H1(GL(R); Z). Fue un gran paso para el desarrollo de la teoría. Milnor, Bass, Heller y Swan entre otros desarrollaron sucesiones exactas de seis términos para diagramas cartesianos de anillos y analizaron la teoría K de anillos de polinomios. El siguiente paso lo dio Milnor al definir K2. Para generalizar y definir la teoría K algebraica superior la idea de Quillen en 1969 consistió en construir un espacio topológico que se corresponde a GL(R) y estudiar su homotopía. La estrategia es simple y sorprendente: la construcción plus. Dado un espacio topológico X y un subgrupo normal perfecto P ≤ π1(X), Quillen consigue un nuevo espacio X+, que se obtiene pegando 2-celdas y 3-celdas a X, y una aplicación continua X → X+ de forma que induce un isomorfismo en homología entera y el núcleo de la aplicación inducida en el grupo fundamental es justamente P . En el caso particular en que X = BGL(R), el conmutador de + GL(R) es un subgrupo perfecto y Quillen define Ki(R) = πi(BGL(R) ) para i ≥ 1. Esta construcción aparece en el informe de las actas del Congreso Internacional de Matemáticos de 1970 en Niza [26]. No sólo comprobó que su definición coincidía con las de Bass y Milnor para i = 1, 2 sino que además se podían utilizar técnicas de teoría de homotopía para el cálculo ya que éste se reduce al cálculo de la homología de BGL(R). Sus ideas se inspiran en su resolución de la conjetura de Adams y le permiten hacer cálculos concretos. Por ejemplo, uno de los grandes logros de su teoría es el cálculo de la teoría K de los cuerpos finitos. Sea Fq el cuerpo de q elementos con q una potencia de un primo p. La idea brillante de Quillen es la de construir un + q modelo topológico para BGL(Fq) usando espacios conocidos. Si F ψ es la fibra homotópica de la aplicación ψq × id: BU → BU × BU, Quillen construye una q aplicación BGL(Fq) → F ψ mediante la noción de levantamiento de Brauer y la + q teoría de representación modular. Quillen prueba que BGL(Fq) ' F ψ . Con esta sorprendente descripción el cálculo de la teoría K se reduce al cálculo de los grupos de homotopía de la fibra homotópica de una fibración cuyos grupos de homotopía i se conocen. De esta forma K2i(Fq) = 0 y K2i−1(Fq) = Z/(q − 1) para i ≥ 1. En [28] Quillen da otra construcción equivalente mediante la categoría P(R) de los R-módulos proyectivos finitamente generados. Uno de los problemas con su construcción plus es que los teoremas conocidos hasta ese momento para la teoría K se basaban en el estilo de la construcción de Grothendieck. Otra vez pone de 582 Las Medallas Fields manifiesto su genial habilidad para simplificar generalizando la situación. De hecho construye la teoría K para una categoría exacta C extendiendo el grupo de Grot- hendieck. Definió la construcción Q de una categoría exacta C, una nueva categoría asociada QC de forma que π1(BQC) = K(C) es el grupo de Grothendieck y define Ki(C) = πi+1(BQC), donde el funtor B es la realización geométrica del nervio de la categoría. En el primer capítulo de [28], Quillen desarrolla las herramientas ne- cesarias para el análisis del tipo de homotopía del nervio de una categoría, como los conocidos Teoremas A y B sobre comparación de tipo de homotopía de nervios de categorías, que son fundamentales en este tipo de estudio. Esta construcción tan general permite definir la teoría K superior de esquemas a partir de la categoría de fibrados. Una vez Quillen anunció sus construcciones y resultados, los hechos se precipi- taron. Bass organizó un congreso en Seattle en septiembre de 1972 acerca de los nuevos acontecimientos. Fue el propio Bass quien animó a Quillen a escribir [28] en 1973 convirtiéndolo en un pieza maestra de exposición, técnicas para cálculos y demostraciones elegantes de los resultados que anteriormente había anunciado. El trabajo [28] es de una riqueza extraordinaria ya que a la definición añade las técnicas más importantes para el cálculo como el uso de resoluciones, dévissage y localización así como el desarrollo de ejemplos importantes como la teoría K de esquemas y de anillos donde generaliza resultados previos y responde a preguntas abiertas. En el congreso de Seattle, Gersten anunció la siguiente conjetura: si R es un anillo regular y F su cuerpo de fracciones, entonces Kn(R) se inyecta en Kn(F ). Cuando escribía el artículo [28] Quillen descubrió una demostración de la conjetura de Gersten para anillos locales de variedades no singulares sobre un cuerpo. La conjetura general sigue sin estar resuelta. La idea de Quillen para demostrar la conjetura de Gersten se usó en otros contextos como la cohomología de de Rham, o para definir clases de Chern en teoría K superior y probar una fórmula de Riemann- Roch general [11]. En [28], Quillen deja un par de problemas sin resolver. Primero, ver que la de- finición a partir de la construcción plus coincide con la definición a partir de la construcción Q y, segundo, la existencia de sucesiones exactas de localización. En lo que respecta a la primera cuestión, Segal influenció el trabajo de Quillen ya que en 1970 estaba desarrollando su teoría de espacios de lazos infinitos a partir de ca- tegorías monoidales simétricas. El propio Quillen redactó en 1971 un manuscrito al respecto, On the group completion of a simplicial monoid (que se publicó mu- cho después como apéndice en [10]), probando que la construcción plus y la cons- trucción Q coinciden. Otra vez, la relación se expresa con una gran simplicidad: + ΩBQP(R) ' K0(R) × BGL(R) . Curiosamente el autor de la segunda parte [12] no es Quillen sino D. Grayson, que lo escribe a partir de conversaciones con Quillen. Quillen [29] también contribuyó al estudio de la teoría K para anillos de enteros probando que sus grupos de teoría K son finitamente generados. En 1972, Lichten- baum [15] conjeturó que la teoría K de un anillo de enteros está relacionada con los valores de la función zeta del cuerpo. A raíz de algunos cálculos, Lichtenbaum modificó su conjetura salvo potencias de 2. La conexión expresada en esta conjetura entre la teoría K del anillo y la función zeta del cuerpo se produce a través de la La Gaceta ? Secciones 583 cohomología étale del anillo. Soulé construyó y estudió clases de Chern étales. En [28] Quillen sugiere la existencia de una sucesión espectral empezando en la cohomo- logía étale del anillo y convergiendo a una cierta compleción de la teoría K superior. En el caso en el que R fuera un anillo de enteros, esta sucesión espectral daría lugar a las fórmula conjeturadas por Lichtenbaum. Con el trabajo de Friedlander en teoría K étale, Dwyer y Friedlander [8] construyeron la sucesión espectral conjeturada por Quillen que converge a la teoría K étale. Estas conjeturas de Quillen-Lichtenbaum siguen abiertas en el caso general aunque han sido probadas en muchas situaciones gracias al trabajo de Voevodsky, Rognes, Weibel y otros.

6. La pregunta de Serre sobre módulos proyectivos

En 1976 Quillen [30] resolvió un problema planteado por Serre en 1955 en su artículo [33]. Si A es el anillo de coordenadas de una variedad afín V , Serre analiza la correspondencia entre A-módulos de tipo finito y haces coherentes sobre V . Me- diante el funtor de secciones, establece una correspondencia biunívoca entre clases de fibrados vectoriales y A-módulos proyectivos de tipo finito. Poniendo de manifies- to que los fibrados triviales se corresponden a los módulos libres, hace la siguiente observación:

r Signalons que, lorsque V = K (auquel cas A = K[X1,...,Xr]), on ignore si’l existe des A-modules projectifs de type finie qui ne soint pas libres, ou, ce qui revient au même, s’il existe des espaces fibrés algébriques à fibres vectorielles, de base Kr, et non triviaux.4 A Serre le disgustaba que esta pregunta fuera llamada conjetura, ya que él no la consideraba como tal. El propio Serre probó que los módulos proyectivos sobre un anillo de polinomios son establemente libres. Entre los matemáticos que se interesa- ron en este problema y al que dedicaron esfuerzos se encuentran Bass y Swan. En 1976 Quillen [30] y Suslin [36] resolvieron el problema planteado por Serre de forma independiente pero utilizando el mismo método de inducción en el número de variables y con un mismo resultado clave para la inducción. Si f : A → B es un morfismo de anillos, decimos que F es un B-módulo inducido a partir de A si F = B ⊗A E donde E es un A-módulo. El paso clave en la demostración es el siguiente: Sea A un anillo y E un A[t]-módulo de tipo finito; si el A(t)-módulo E ⊗A[t] A(t) es inducido a partir de A entonces E es inducido a partir de A. Mientras Quillen utiliza resultados de Horrocks sobre haces sobre la recta pro- yectiva de un anillo, Suslin usa una versión algebraica en teoría de módulos de este resultado, demostrada por Swan. Posteriormente, Vaserstein dio otra demostración combinando las ideas de Qui- llen y Suslin que es más general ya que es cierta reemplazando el cuerpo K por un anillo regular de dimensión ≤ 2.

4 r Señalemos que, cuando V = K (en este caso A = K[X1,...,Xr]), se ignora si existen A- módulos proyectivos de tipo finito que no sean libres, o, lo que lo es lo mismo, si existen espacios fibrados algebraicos de fibras vectoriales, de base Kr, y no triviales. 584 Las Medallas Fields

7. Cohomología de grupos

Los trabajos de Quillen en cohomología de grupos están claramente influencia- dos por las ideas, métodos y técnicas empleados en su resolución de la conjetura de Adams. Evens y Venkov probaron que si G es un grupo finito y R es un anillo conmutativo noetheriano, el álgebra H∗(BG; R) es finitamente generada. Este resultado sugiere el uso de conceptos de álgebra conmutativa para su estudio y entender estos conceptos en términos de la estructura de grupo de G. Esta es brevemente una de las ideas del trabajo de Quillen en la cohomología de grupos y que llevó a cabo en el caso en que R = Fp. Por ejemplo, Atiyah y Swan habían conjeturado que ∗ la dimensión de Krull de H (BG; Fp) es igual al p-rango de G, es decir, el rango del p-subgrupo abeliano maximal de G. Fue Atiyah quien le explicó a Quillen su conjetura sobre la dimensión de Krull que fue el inicio del trabajo de Quillen en [24] así como discusiones con Segal sobre la teoría K equivariante. Quillen combina la maestría para realizar cálculos explícitos de cohomología de grupos con el desarrollo de nuevas ideas y técnicas para entender su estructura. En su resolución de la conjetura de Adams, Quillen calcula la cohomología de GL(k) donde k es la clausura algebraica de Fp. Posteriormente usó en [27] las ideas de este artículo para calcular la teoría K de los cuerpos finitos pero además, usando técnicas similares, calcula la cohomología de GLn(Fpr ) para coeficientes en Fl con l 6= p. Las aplicaciones van más lejos de ser un simple cálculo ya que, por ejemplo, da una respuesta positiva a una conjetura de Sullivan sobre la posibilidad de realizar ciertas álgebras como cohomologías de espacios topológicos. Es en [24] donde Quillen establece el puente sólido entre el álgebra conmutativa y la cohomología de grupos. En resumen, Quillen describe la cohomología de un grupo ∗ de Lie salvo elementos nilpotentes y determina la dimensión de Krull de H (BG; Fp) de una forma satisfactoria y elegante. Influenciado por los trabajos de Atiyah y Segal en teoría K, Quillen otra vez es capaz de simplificar generalizando la situación, y desarrolla sus ideas en el contexto de la cohomología G-equivariante. Para concretar, ∗ expondremos el caso de H (BG; Fp). La estrategia de Quillen es la de entender al máximo la cohomología del grupo a partir de los morfismos de restricción a la cohomología de sus p-subgrupos abelianos elementales. De alguna forma, esta estrategia aparece en el cálculo que realiza en el trabajo anterior [25] de la cohomología de los grupos Spin. Considera el morfismo ∗ Q ∗ obtenido al combinar las restricciones H (BG; Fp) → H (BV ; Fp) donde el producto se toma sobre todos los p-subgrupos elementales abelianos de G. De hecho, esta aplicación tiene su imagen en el límite inverso de estas cohomologías tomado sobre la categoría Ap(G) de los p-subgrupos elementales abelianos de G con morfismos dados por conjugación por elementos de G. Quillen prueba que el morfismo H∗(BG; ) → l´ım H∗(BV ; ) tiene núcleo y conúcleo nilpotente. Es en este artícu- Fp ←− Fp lo en el que introduce la noción de F -isomorfismo como un morfismo de Fp-álgebras con núcleo y conúcleo nilpotente. El propio Quillen ve que este resultado también se cumple para cierto tipo de grupos discretos y para algunos grupos profinitos usando cohomología continua. La aplicación más directa de este resultado es una respuesta afirmativa a la conjetura de Atiyah y Swan sobre la dimensión de Krull. La Gaceta ? Secciones 585

∗ En la segunda parte de este artículo analiza la variedad de H (BG; Fp) desde el punto de vista de la geometría algebraica y el papel que juegan los p-subgrupos abelianos elementales. Usando los resultados de la primera parte, Quillen describe una estratificación de la variedad mediante clases de conjugación de p-subgrupos elementales abelianos. Como consecuencia obtiene una correspondencia entre ideales ∗ primos minimales de H (BG; Fp) y clases de conjugación de p-subgrupos elementales abelianos maximales de G. Su estudio del papel que juega la familia de p-subgrupos elementales abelianos de G sigue en [31] pero de una forma diferente. Quillen estudia la realización geométrica del conjunto parcialmente ordenado Sp(G) definido por los p-subgrupos elementales abelianos de G que ya había sido considerado en el trabajo de K. Brown y lo compara con el nervio de la categoría Ap(G). En este trabajo aparece una de las conjeturas de Quillen: |Ap(G)| es contráctil si y sólo si G tiene un p-subgrupo normal no- trivial. Él mismo la resolvió en el caso en que G es resoluble pero el caso general continúa siendo un problema abierto. Este análisis del nervio de la categoría, junto con sus trabajos previos, puede considerarse el inicio del estudio de la cohomología de los grupos a partir de diferentes familias de subgrupos usando herramientas como las descomposiciones homológicas del espacio clasificador como colímite de espacios clasificadores de subgrupos. No hay ninguna duda de que los resultados y técnicas de [27], [24] y [31] han ejercido una gran influencia en el estudio posterior de la cohomología de grupos módulo p.

8. Cohomología cíclica

La homología cíclica puede entenderse como una linealización de la teoría K análoga al estudio de un grupo de Lie mediante su álgebra de Lie. Fue introducida por Connes [4] y Tsygan [37] de forma independiente en los años ochenta, y está estrechamente ligada a la teoría K. En realidad la homología cíclica es una modi- ficación de la homología de Hochschild. Esta idea de linealización se expresa en los primeros trabajos de Quillen en homología cíclica con J.-L. Loday [16] donde describen una interpretación de la homología cíclica en términos de la homología de álgebras de Lie de matrices. La relación entre la homología cíclica y la homología de Hochschild se formalizó con la sucesión exacta larga de periodicidad construida por A. Connes, donde se puede interpretar la homología de Hochschlid como una obstrucción a la periodicidad de la homología cíclica por un operador S : HCn(A) → HCn−2(A). En [16], Quillen y Loday prueban la existencia de tal sucesión exacta larga para cualquier álgebra asociativa con unidad sobre un anillo conmutativo. Además dan un paso más en la interpretación de la homología cíclica probando la relación entre la homología cíclica periódica y la cohomología de de Rham. A. Connes inició el desarrollo de la geometría no conmutativa que tiene en la (co)homología cíclica una de sus herramientas fundamentales. Principalmente por la 586 Las Medallas Fields existencia del carácter de Chern entre la teoría K-algebraica y la homología cíclica. Este morfismo permite detectar clases en teoría K-algebraica. En [32], Quillen propone una descripción de la homología cíclica en términos de extensiones de álgebras que le permite no sólo generalizar resultados previos de Connes sino también definir el carácter de Chern mediante la noción de traza superior e índice. Este artículo está dedicado a Grothendieck y expresa la siguiente reflexión: It is clear from the present paper, with its extensive use of complexes and formulas, that a true Grothendieck understanding of cyclic homology remains a goal for the future. Indeed the inverse limit formula for cyclic homology described above is a strong indication that there is a much simpler foundation for the subject.5 Utilizando sus construcciones, juntamente con Cuntz, realizan contribuciones muy significativas e importantes a este campo. Demuestran el teorema de escisión para álgebras sobre un cuerpo de característica cero [5], que es una herramienta fundamental en el cálculo mediante el uso de extensiones de álgebras. Además cons- truyen análogos no conmutativos de ciertas nociones básicas en variedades siguiendo las ideas de Connes en el contexto de álgebras no conmutativas [6], y describen la versión no conmutativa de la cohomología de de Rham [7] iniciada por Connes. Fi- nalmente, destacamos su trabajo en cohomología cíclica periódica bivariante. Esta cohomología resulta ser el contexto apropiado para definir el carácter de Chern desde la versión algebraica de la teoría K bivariante.

9. Para terminar

No encuentro mejor manera de terminar un artículo sobre la obra de Daniel Quillen que citar las propias palabras de Bass en [2]. Mathematical talent tends to express itself either in problem-solving or in theory-building. It is with rare cases like Quillen that one has the satisfaction of seeing hard, concrete problems solved with general ideas of great force and scope and by the unification of methods from diverse fields of mathematics. Quillen has had a deep impact on the perceptions and the very thinking habits of a whole generation of young algebraists and topologists. One studies his work not only to be informed, but to be edified.6

5Queda claro de este artículo, con su amplio uso de complejos y fórmulas, que una verdadera comprensión de la homología cíclica en el sentido de Grothendieck permanece como un objetivo para el futuro. De hecho, la fórmula para la homología cíclica como límite inverso descrita anteriormente es una fuerte indicación de que hay unos fundamentos más simples para esta teoría. 6El talento matemático tiende a expresarse o bien a través de la resolución de problemas o bien en la construcción de teorías. Sólo en raras ocasiones como el caso de Quillen uno tiene la satisfacción de ver problemas concretos y difíciles resueltos con ideas generales de una gran fuerza y alcance que uniﬁcan métodos de diversos campos de las matemáticas. El trabajo de Quillen ha tenido un gran impacto en las percepciones y la forma de pensar de toda una generación de jóvenes algebristas y topólogos. Uno estudia su trabajo no sólo para estar informado, sino para ediﬁcarse. La Gaceta ? Secciones 587

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Natàlia Castellana, Departament de Matemàtiques, Universitat Autònoma de Barcelona Correo electrónico: [email protected]