Etnogeometrías: Patrones Geométricos Y Cultura

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Etnogeometrías: Patrones geométricos y cultura

Carlos Reynoso UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES1 http://carlosreynoso.com.ar [email protected] Versión 10.16 – Octubre de 2019

1 - Las etnogeometrías como compromisos antropológicos

Sin duda no está lejos la época en que las colecciones precedentes de esta parte del mundo abandona- rán los museos etnográficos para ocupar un lugar, en los museos de bellas artes, entre Egipto o Persia antiguos y la Edad Media europea. Pues este arte no desmerece junto a los más grandes y, durante el siglo y medio que conocemos de su historia, han ates- tiguado una diversidad superior a la de aquéllos y ha desplegado dones aparentemente inagotables de re- novación. Claude Lévi-Strauss, La vía de las máscaras

Lo primero que corresponde hacer en un trabajo que aspira a ser visceralmente antro- pológico es destacar no sólo la necesidad de imprimir un carácter transdisciplinario a cualquier emprendimiento dedicado al estudio de la geometría en la cultura sino admitir de plano que en el pasado esa iniciativa (de relevancia intelectual mayor a la que se sospecha) estuvo poquísimas veces en manos de la antropología, por más que el prefijo ‘etno-’ sugiera otra cosa. Debido al fluctuante estado de la teoría antropológica en varios momentos críticos de su historia y dado que las corrientes teóricas que se encuentran posicionadas más alto en el podio de las modas del día son de las que tienden a arrojar más calor que luz, esa ausencia no implica necesariamente una mala noticia. Pe- ro está claro que el estudio etnogeométrico en el seno de la academia podría y debería estar bastante mejor configurado disciplinariamente de lo que estuvo hasta ahora. Amén de admitir la falta de compromiso por parte de nuestra disciplina y antes de comenzar el examen de las teorías y las prácticas geométricas existentes cabe asentar que el propósito primordial de este trabajo es dar los primeros pasos para que nuestro aná- lisis de las geometrías de otros contextos culturales abandone de aquí en más el hábito de las imputaciones de minorización, de no-proposicionalidad, de condescendencia, de

1 Los aspectos técnicos de este trabajo se desarrollaron con recursos del proyecto “Redes dinámicas y mo- delización en antropología – Nuevas vislumbres teóricas y su impacto en las prácticas”, UBACYT 20020130100662 (Programación Científica 2014-2017/2018).

1 exotismo, de “pensamiento lento”, de esteticismo y de diferenciación compulsiva, clau- suras en las cuales, con diversas excusas y eufemismos, el posestructuralismo deleu- ziano y el giro ontológico (las tendencias dominantes de la antropología contemporá- nea) pretenden recluirlas todavía hoy (Reynoso 2019b: 5, 71, 228). En el momento en que se iniciaba el declive de la antropología interpretativa (y dos décadas antes de declarar insultantemente que en la cultura no existen cosas tales como “sistemas”) Clifford Geertz ni siquiera se refirió con detenimiento a la geometría en su artículo sobre “El arte como sistema cultural” (1994 [1983]), que es, en mi opinión, y solamente a la zaga de la entrevista titulada –precisamente– “I don’t do systems” (2002), el más desempoderador, snob y alejado del nivel de excelencia que jamás publicó.

Figura 1.1 – František Kupka – Izq.: Organization of graphic motives (ca. 1912) – Der.: Localisation des mobiles graphiques (1917) – Pinturas del expresionismo geométrico anticipatorias de los fractales bifurcacionales de Lyapunov [ver]. Contrástese con las imágenes tridimensionales de Tom Gidden (2017). El suyo no es un caso aislado. A lo largo de una trayectoria más que centenaria y con apenas un puñado de excepciones (Haddon 1902; Boas 1927; Lévi-Strauss 1968; por momentos Gell 1998: 200 y cap. 5) la propia sub-disciplina de la antropología del arte ha mantenido una concepción técnicamente inarticulada y esquemática sobre la geome- tría en la cultura, indigna de la riqueza, variedad y complejidad que se encuentra en los materiales sobre los que debería haber trabajado. Por un lado hay quienes están exultan- tes ante la existencia de una antropología del arte (y de una etno-estética) de las que alegan que prosperan en márgenes poco frecuentadas pero que gozan de buena salud; por el otro hay multitud de disconformes enfrascados con el mismo entusiasmo en sus respectivas deconstrucciones, demasiado fáciles y apiñadas en modas volátiles para me- recer reverencia; pero en éstas y en otras varias disciplinas centradas en tópicos del arte en la cultura no han sido muchos los que han sabido desentrañar geometrías (emic o etic) de manera técnica, científica y artísticamente solvente sin caer en los estereotipos

2 contrapuestos de la subvalorización de lo distinto o de la exaltación de sabidurías ocultas. Así y todo en la antropología del arte ha habido infinidad de observaciones de varia- do calibre a propósito de las geometrías emic o etic cuya lectura no tengo más remedio que dar aquí por ya consumada (cf. Balfour 1893: 66, 75, 117, 120, 124; Wingert 1962: 21, 38, 48, 69-70; Jopling 1971: 93; Otten 1971; Shiner 1971; Forge 1973; Flores Fratto 1978; 1985; Anderson 1989 [1979]; Mead 1979; Silver (1979); Guillon 1984; Hatcher 1985; Layton 1991; Gell 1988; Coote y Shelton 1992: 26, 141, 145; Dissanayake 1995; Van Damme 1996; 2003; Layton 2003; Bowden 2004; Coleman 2005; Morphy y Perkins 2006; Morphy 2009; Leuthold 2011: 6, 16, 128, 129). Como se verá en este estudio, no hay nada de rudimentario ni en la geometría en com- paración con la aritmética ni en las geometrías de otras culturas en relación con las nuestras; aquéllas no son supervivencias exangües de saberes tempranos ni preanuncios de conocimientos que recién llegarían a su plenitud en otros lugares, en otros tiempos y en manos de Euclides, de los no-euclideanos o de los geómetras de carrera. Son, por el contrario, manifestaciones culminantes de competencias comunicativas y de destrezas que (a caballo de la globalización) han llegado a constituirse en patrimonios inalienable- mente universales en paridad o por encima de cualesquiera otros, pero que en ese mismo plano global todavía no han sido objeto ni de una descripción a la altura de los tiempos, ni de una teorización explicativa satisfactoria, ni de una comparación sostenible, ni de una gestión capaz de revivir, perpetuar y hacer conocer las prácticas.

Figura 1.2 – Izq.: Leonardo da Vinci – Remolinos de agua – Der.: Fractal en el plano complejo: Conjunto de Julia (detalle). No es en absoluto verdad que los diseños mayormente geométricos de las otras culturas ocupen los jalones iniciales en el camino de una historia universal del arte cuyas instancias culminantes (sus obras maestras) son las que nosotros hemos hecho o las que estamos destinados a hacer en un campo en el que lo geométrico no puede sino estar al servicio de (o subordinado a) la figuración. Si ese camino lineal y acumulativo existe (si hay o no progreso en la geometría – una discusión en la que no quisiera complicarme y que depende de cómo se articule el grano fino de la idea) creo que cabe pensar que en lo que a la práctica geométrica respecta los occidentales llevamos un sensible atraso en su recorrido y que en materia reflexiva estamos bochornosamente fuera de forma. Nuestro

3 punto de vista impensadamente etnocéntrico dista de haber sido –como antes se decía– un vantage point necesario o un regard éloignée suficiente para comprender el trabajo de los otros o el de nosotros mismos en ese rubro. No estamos (y dudosamente hayamos estado alguna vez) a la vanguardia de los otros en materia de geometría. Esta debería ser entonces la primera y más imperiosa constatación que se nos impone.

Figura 1.3 – Izq.: Máscara Fang – Museo del Louvre MH 65-104.1.jpg – Dominio público. Centro: Pablo Picasso – Cabeza de mujer durmiendo (1907) – Metropolitan Museum, N.Y. – Idem. Der.: Silla “africana” Bauhaus por Marcel Breuer y Gunta Stölzl – Según Ahmed (2014: fig.. 22). En la perspectiva de unos cuantos círculos de especialistas, la teoría geométrica occidental no ha alcanzado tampoco el mismo prestigio que la alta matemática, por más que haya sido en aquélla donde se manifestó por primera vez la axiomatización, el método teoremático y el desarrollo de la lógica formal (lo que no es poco) y por más que haya sido en las aritméticas (y no en las geometrías) donde el proyecto de axiomatización de las matemáticas estuvo a punto de desbarrancarse. Baruch Spinoza sabía que la geome- tría proporcionaba un modelo del razonar cercano a lo perfecto, pero (aparte de las bellas y pocas incursiones geométicas de André Weil) los talibanes del grupo Bourbaki la excluyen junto con cualquier atisbo de grafismo del panteón de la matemática más exquisita, mientras que los cantabrigianos alineados en torno de Principia Mathematica, aferrados a números y cálculos, simplemense te han dado el luejo de ignorarla (Viljanen 2011; Osserman 1981; Whitehead y Russell 1910: 27; 1927a; 1927b). Branko Grün- baum y Geoffrey Colin Shephard, autores de uno de los libros más respetados sobre teselaciones y patrones, se vieron compelidos a repudiar la moda contemporánea que establece que la geometría debe ser abstracta y conceptual (es decir, puramente argumen- tativa) si ha de ser considerada matemática avanzada y que debe por ello renunciar a todo despliegue de dibujos o diagramas. Promover la geometría sin dibujos (como abogan autores que se proclaman "sofisticados") –dicen Grünbaum y Shephard– es como ensal- zar las virtudes de la música sin sonido, alegando que leerla en silencio directamente de las partituras es un signo de madurez analítica (1987: vii-viii). 4

Benoît Mandelbrot, el padre de la geometría fractal, lo dijo con todas la letras: hasta el día en que que llegó la temporada de los fractales las matemáticas eran iconoclastas: aborrecían las imágenes y hasta la geometría más ligada a formas, coordenadas y posiciones buscaba razonar sin apoyarse en ellas (cf. Obrist 2008). Casi lo mismo argumen- tó mucho antes nadie menos que David Hilbert [1862-1943] en uno de los dos grandes libros titulados Geometría e Imaginación (Hilbert y Cohn-Vossen 1952 [1932]).2 Inclu- so Franz Boas, en su temprano estudio del arte que él llamaba primitivo (que sólo en contadas ocasiones contempló expresiones que estuvieran más allá del arte de los indios del Noroeste de los Estados Unidos) reducía la geometría a lo convencional, reservando la idea de representación a la denotación figurativa concreta, aún en estilos en donde lo figurativo y lo geométrico están inextricablemente integrados: “When the purely decorative tendency prevails we have essentially geometrical, highly conventionalized forms; when the idea of representation prevails, we have, on the contrary, more realistic forms” (Boas 1927: 354).

Figura 1.4 – Tela Kuba de Zaire (Congo) según Eglash y Bennett (2012: 10) Mientras en las matemáticas de la corriente principal no se acepta la geometría como un componente en paridad de jerarquía, en el arte occidental la situación también dista de ser auspiciosa. Existen entonces imágenes de primera clase e imágenes de segunda cate- goría. En materia de representación, de estética y de iconología se sigue hablando de las artes geométricas como si se tratara de una forma de expresión esquemática que desco-

2 Originariamente Anschauliche Geometrie (o sea Geometría intuitiva, o gráfica, o ilustrativa). El otro texto llamado casi igual es Geometry and the Imagination, de John Conway y otros (1991). Traductores y editores mediante, ambos títulos se supone que son tributarios de Mathematics and the Imagination de Edward Kasner y James Newman (2001 [1949]). El primero en hacer referencia a la imaginación y en precisar su estatuto epistemológico fue, empero, el trabajo de Hilbert y Cohn-Vossen, 17 años anterior al de Kasner y Newman.

5 noce la plenitud que sólo se alcanza con las artes figurativas de semántica manifiesta; la geometría es entonces un callejón sin salida, un manifold ocasional, una simple anoma- lía en la que los entendidos perciben dimensiones faltantes, simbolismos abstractos y significados inexpresables, sólo proliferante en un puñado de coordenadas periféricas, una pieza en el gabinete de curiosidades del arte de lugares muy diversos del mundo, un habitus fruto de alguna suerte de coacción de la que Occidente se las arregló para es- capar la mayor parte del tiempo o a la que supo dejar atrás temprano en la historia.

Figura 1.5 – Izq: Fractal de Mandelbrot, detalle – Ejecutado por el autor en UltraFractal® Der.: Frontispicio de la Biblia Moralizadora, ”Dios arquitecto del Mundo”, París (ca. 1220-1230), Biblioteca Nacional de Austria, Viena, #2554 – Imagen en el Dominio Público. El mundo que el geómetra manipula luce como un meme o una interpolación, pero no lo es. Véase detalle en este vínculo. Contraste original pensado por Théodore Pavlopoulos (2011). Las pocas ocasiones en las que en Occidente se habló de geometría siempre se trató de la geometría euclideana plana, platónica y lineal. En el libro que aquí comienza tendremos ocasión desde el inicio de abordar las geometrías en plural, dando cabida a las muy diversas geometrías de la fractalidad compleja e hipercompleja, de los volúmenes paradójicos, de los embaldosados no periódicos, de las transformaciones recursivas y no lineales, de las propiedades emergentes, de las trayectorias multifurcadas y de las superficies curvas esféricas, parabólicas e hiperbólicas a las que aquí se darán preminencia por cuanto operan como las geometrías alternativas y descentradas a la luz de las cuales (inesperada pero consistentemente) las prácticas que consideramos más extrañas, inexplicables y heterodoxas adquieren sentido. Incluso en el arte de caballete de la pintura clásica la geometría se enclaustra en un espacio sin raíces que aparece muy tarde y fugazmente y que en la cultura burguesa conservadora se resigna a un menor impacto emocional y una cotización más baja en el

6 mercado. En ese espacio el egocentrismo de los más brillantes entre los que apostaron por la geometría jugó en contra de los objetivos del conjunto, que nunca logró constituir una masa crítica. Como siempre sucede en estos lares, cada quien jugó su propio juego y escribió su propio manifiesto explicativo, poblándolo de excusas que el tiempo se en- cargó de barrer y que siempre giran en torno de un dogma primordial: que la figuración va siempre asociada a contenidos semánticos particulares mientras que la geometría remite a prácticas pan-humanas o independientes de contexto que por lo general se exceden en abstracción. Por eso es que las antropologías de sello interpretativo mal llamadas ‘simbólicas’, al igual que las de tono estructuralista, tienden a desatender las geometrías que van más allá de las simetrías en espejo, en serie o en rosetón basadas en objetos icónicos saturados de semántica, el único factor semiológico que ha logrado mo- verles el amperímetro. Las artes geométricas de Occidente carecieron, por añadidura, de la “conciencia de clase” que acompaña al sentido de pertenencia multicultural. El movimiento de la abstrac- ción geométrica de Vassily Kandinsky, František Kupka, Kazimir Malevich, Piet Mon- drian y unos cuantos más, concretamente, no supo o no quiso inspirarse en (o aprender de) las prácticas geométricas de otros pueblos y no conoció por ello su “período africano” y “primitivista” de fertilización cruzada, de intercambio, de reciprocidad, de creci- miento, como sí lo conocieron los estilos de la puerta de al lado (el cubismo, pongamos, o el expresionismo a secas). La abstracción geométrica tampoco devino un arte popular que se replicara en graffitis o fuera aludido antes o lo sea hoy en día a través de carica- turas o memes satíricos. En la episteme en que vivimos la geometría es, literalmente, in- significante. Cierto es que Leonardo exploró premonitoriamente geometrías naturales, anticipándose a la iconología de la fractalidad: nubes, ramificaciones, nervaduras, torrentes, vórtices, torbellinos (fig. 1.2, izq.); pero las geometrías de Leonardo eran imágenes icónicas natu- ralistas que enmascaraban un juego de magnitudes significativas o ilustraban investigaciones de otros órdenes y no tanto una geometría de la naturaleza que privilegiara la idea de la geometría propiamente dicha. No hubo entonces un Leonardo que enseñara a nuestros artistas y científicos cuáles eran los códigos constructivos de los cuasicristales, de las catenarias parabólicas, de los murqanas o de las estructuras recíprocas y aperió- dicas que bastante más adelante se verán en qué consisten y que en el Islām y en una constelación de culturas escondidas ya se practicaban con dominio virtuoso, acentuando más la forma tangible y la posición relativa que la cantidad abstracta y la significación, como si el asunto girara más alrededor de una topo-logía de cualidades que de una geo- metría de cantidades o de una hermenéutica. Aun cuando en ese entonces no existía ninguna exploración previa de estos espacios hipercomplejos, František Kupka [1871-1957], un extravagante pintor checo y antisemita activo, admirador simultáneo de la teoría del caos y de la teosofía, produjo una serie de pinturas excepcionales que parecen explorar el espacio tridimensional de los exponentes de [Aleksandr] Lyapunov [1850-1928] más de ochenta años antes de que éstos fuesen técnicamente posibles y devinieran computacionalmente visualizables. Mientras que en

7 el género fractal abundan especulaciones a las que considero infundadas y que no se salen del territorio de una autosimilitud ni siquiera bien descripta (como las que urdieron Marilyn Strathern, Donna Haraway o Manuel DeLanda), tanto científicos como artistas han sabido señalar similitudes entre obras de František Kupka que incluso Mandelbrot ha reconocido fractales3 e inflexiones precisas de fractales digitales de Lyapunov (y también fractales de Newton), coincidencias que no tienen todavía una explicación plau- sible pero que sería arduo entender como obra de la mera casualidad o como efecto de una mirada subjetiva (cf. Pickover 1995; 420; Hruby 2002: 322, fig. 23 y 24; Andel y Kosinski 2007; Pavlopoulos 2011; Abraham 2013; Urban, Malečková y otros 2013; Gidden 2017; Varela Arzola S/f.; véase fig. 1.1 más arriba y 1.5 más abajo). A pesar de estas suculentas excepciones y de los desafiantes paralelismos que han esta- llado aquí y allá, el menoscabo explícito o implícito de las geometrías diferentes ha con- tribuido además al desinterés de arqueólogos, etnógrafos e historiadores del arte hacia los aspectos morfológicos y estructurales de patrones de asentamiento, artefactos, ornamentos, artes, códigos, sistemas y diseños geométricos en general. Los estudiosos aprecian cuando mucho los cambiantes valores estéticos pero ignoran (en todos los sentidos de la palabra) los pormenores generativos y transformacionales que hacen que las formas geométricas sean como son.

Figura 1.6 – Izq.: Amorpha – Fuga en dos colores de František Kupka (1912). Galería Nacional de Praga. Fotografía del autor, 1996. Der.: Fractal de Newton – Ejecutado por el autor en Fractint®. No se ha hecho ningún esfuerzo por unificar las paletas, las que en ambos casos se atienen al teorema de los cuatro colores.

3 Mandelbrot expresó este punto de vista en reportaje con el curador suizo Hans Ulrich Obrist en el año 2008, admitiendo que estaba "profundamente interesado en las pinturas de František Kupka, el primer pintor checo de vanguardia, debido a que ciertos períodos de su obra era claramente ‘fractal’” (Obrist 2008). El exponente de Lyapunov, por su parte, se usa para caracterizar la diferencia de trayectorias un un flujo caótico, un concepto que puede apreciarse en el modelado de la función logística (cf. Reynoso 2006: cap. 4.1: esp. fig. 4.2).

Fuera de una literatura etnomatemática que casi nadie lee y de una antropología mate- mática que tuvo su cuarto de hora pero que muy pocos recuerdan, los descriptores de los objetos geométricos, los códigos nomenclatorios y los modelos funcionales de los procedimientos constructivos de la arqueología o la antropología cultural es como que dan pena. Un número muy menguado de nuestros expertos conoce o cree conocer las claves que rigen el orden que seguramente hay en todos ellos pero que desde el lugar en que estamos situados pocos miembros de nuestra tribu lo alcanzan a desencriptar. En tales circunstancias la comparación y el modelado se encuentran al filo de lo imposible y es por eso que en el siglo en que han surgido las herramientas analíticas más poderosas ellas han sido utilizadas muy por debajo de su potencial. Consecuentemente, la etnogeo- metría ha devenido (por motivos que habrá que interpelar) una afición de nicho para unos pocos entendidos antes que un trabajo de referencia para todos. El añadido de una dimensión transcultural agrava el dilema. En el acto de lanzarme a escribir un libro sobre etnogeometría percibo que el nombre que yo mismo escogí para designarla emana resonancias odiosas, idénticas a las que el musicólogo ghanés Kofi Agawu (2012 [2003]) señaló en su momento a propósito de la etnomusicología. El prefijo ‘etno-’, justamente, señala una asimetría irreductible, alimentando el supuesto de que se trata de una mirada a lo que antes se llamaba Tercer Mundo desde las coordenadas de alguien que habita la zona de confort de lo que todavía se llama el Primero, dando a entender además que la tarea que le aguarda ha de ser fácil de resolver pues frente a la alteridad lo propio es siempre más sutil, rico, complejo y evolucionado que lo ajeno, como si tuviera en su haber una historia más densa y una experiencia más rica (cf. Sil- ver 1979; Flores Fratto 1978; 1985). Todo lo etno- connota además una mirada desde lejos y sobre todo desde arriba, como si se mirara desde lo más grande a lo más peque- ño. Esto hace que el observador caiga en la tentación de sentirse pre-calificado para entender cualquier fenómeno “primitivo” que se cruce en su camino, tanto más cuanto más precario, vacío de sentido, atestado de paradojas, carente de historia, inconmensurable y brutalmente exótico luzca ese fenómeno. No es de extrañar que un etnolingüista, Dan Everett (2005), llegara a decir que los Pirahã de la Amazonia, un pueblo sin geometría, poseían una cultura atravesada por todo género de déficits, ausencias, agujeros, gaps. Más ultrajante todavía que esta clase de incomprensiones es el entendimiento ilusorio, la idea bastarda de usar a los otros y a lo que ellos hacen como indicadores para mejor comprender la que nosotros maquinamos, tomando distancia y fingiendo que explora- mos primero las formas más escuálidas y embrionarias para luego seguir ahondando el camino que, como ha sido costumbre en la antropología, acompaña la evolución de lo más elemental a lo más elaborado y de lo más extraño a lo más familiar. Incluso un autor tan poco sospechable de etnocentrismo como Paulus Gerdes insinuó alguna vez que el estudio de las cesterías mozambiqueñas podía llevar a que compren- diéramos un poco mejor cómo es que surgieron en la humanidad los conceptos geomé- tricos esenciales. En medio de una iteración aluvional de expresiones parecidas, Gerdes acabó diciendo que “[e]thnographic data may be helpful in attempts to reconstruct some fragments of the emergence of geometrical concepts in weaving” y agregando otras

9 cláusulas criptoevolucionistas por el estilo que no están a la altura de (ni contribuyen a) las ideas mayormente igualitarias que desplegó en sus otros trabajos analíticos (Gerdes 2003: 13 23-24; ver también Gay y Cole 1967: 63). El propio Ward Goodenough (1951), quien dos años más tarde habría de relevar la astronomía micronesia con una exactitud y una profusión de detalles que todavía deslumbran, dice de un pueblo que desarrolló sistemas geográficos de posicionamiento astrales diez o veinte siglos antes que nosotros (operando sin escritura, a puro cerebro e imaginación geométrica) que tal vez ese pueblo había logrado engendrar una especie de ciencia incipiente. Es mi humilde opinión (a reconfirmar en este ensayo) que a medida que avanza el siglo XXI este estilo de pensamiento condescendiente está comenzando a apestar. Cierto es que Paul Radin había publicado El hombre primitivo como filósofo y el padre de la an- tropología transcultural George P. Murdock había escrito un libro titulado Nuestros con- temporáneos primitivos; pero eso había sido en 1927 y en 1934 respectivamente, épocas en las que a la antropología y a la historia del arte no le mortificaban extraviarse en enunciados que hoy serían considerados bastante más que étnica, cognitiva y política- mente incorrectos. De allí mi absoluto rechazo a la idea lévi-straussiana que en El pensamiento salvaje iguala (¡en 1962!) el pensamiento de sociedades perfectamente actuales con el de los pueblos primitivos, incapaces de “pensar” de otro modo que echando mano de objetos sin forma (que denotan “seres” y “cosas”, dice el autor) en un bricolaje que se realiza en estructuras que carecen de una geometría elaborada, la que sí se manifiesta en otros estudios que no se refieren de lleno al pensamiento. Lo que intentaré hacer en este hipertexto siempre mutante es imponer una mirada inversa, opuesta a lo que la antropología en general y la etnociencia en particular han llegado a promover. Lo que pretendo es, en efecto, modelar las prácticas de estado de arte que se llevan a cabo desde tiempos inmemoriales en enclaves culturales poco dados a la propaganda de sus propios logros: prácticas a las que nunca supimos vincular con ningún cuerpo de conocimiento y a las que hemos llamado “artes”, “artesanías”, “ergo- logías” o “sistemas simbólicos” a falta de toda comprensión verdaderamente metódica de su naturaleza científica y de la instancia de cognición situada que ellas encarnan; prácticas que desenvuelven procedimientos palpablemente sistemáticos pero no necesariamente lexicalizados, alcanzando resultados muchas veces desconcertantes por su complejidad, por su índole de cosa inexplicable o por la intratabilidad o inverosimilitud de su explicación (cf. Hutchins 1995; Resnick y otr@s 1997; Hohol 2019). La segunda constatación con la que nos estrellaremos atañe a la comprobación de que (metodológicamente hablando) en geometría no estábamos haciendo las cosas bien, con la consecuencia de que nuestras teorías obstaculizaban nuestras prácticas e impedían la comprensión de las prácticas ajenas o las disolvían en el anecdotario sin fin de la des- cripción. Cuando encontrábamos alguna solución a algún problema tortuoso nunca resultaba ser obra de nuestros propios méritos. Podríamos parafrasear esto diciendo que para llegar al resultado correcto en materia de comprensión, explicación o construcción geométrica tuvimos que calcar o clonar a los tumbos (y sin dialogar con nadie) el trabajo de otros a quienes no acabábamos de entender. La historia del hallazgo tardío de los

10 cuasi-cristales o de los teselados no periódicos en Occidente, por ejemplo, ha probado que la reflexión teórica y la formalización en las que siempre confiábamos y a las que habíamos naturalizado como las formas normales de hacer las cosas no oficiaron de heurísticas orientadoras a priori sino que se iniciaron parasitariamente, a posteriori de operaciones de prueba, error y (re)descubrimiento muchas veces fallidas y mucho más tentativas, casuales, derivativas e indiciarias que disciplinadas y axiomáticas (cf. Stein- hardt 2019; cf. cap. 5 más adelante). Lo más mortificante, empero, es que la antropo- logía del arte todavía no ha caído en la cuenta de estos hallazgos o de los de otras etno- geometrías raras (los fullerenos, los adinkra, los nitüs, las algorítmicas del etak, los objetos fractales) que cuando se reinventaron en Occidente revolucionaron campos enteros del conocimiento . Salvo alguna que otra excepción (Roger Penrose, por ejemplo, o mejor M. C. Escher o František Kupka) debimos implementar geometrías de altísima complejidad operando a máquina mediante métodos declarativos, algorítmicas recursivas o programación emer- gente porque nuestras manos no sabían cómo hacerlo y nuestras cabezas no daban en el clavo de una especificación procedimental o conexionista computacionalmente tratable (cf. Reynoso 1991). Necesitábamos organizar esas geometrías no sólo con objetivos puramente geométricos sino como heurísticas y definiciones coordinativas para articular una representación de dominios que resultaba casi imposible operacionalizar a ciegas. Al final del día, las técnicas recursivas y emergentes de modelado, más que los alardea- dos sistemas deductivos, nos están permitiendo realizar hoy casi el mismo género de geometrías, anudando vínculos nunca vistos a través de las ontologías y las fronteras culturales, aunque –claro está– con cien, quinientos, mil o dos mil años de demora (ver figs. 1.2; 1.6; 3.5; 3.6; 5.1, etc.).

Figura 1.7 – Biomorfos de Pickover según Jakubska-Busse y otros (2018: 49, fig. 4). Restan investigar las operaciones de morphing y bio-morphing propias de los grupos de transformación de imágenes planteados por Lévi-Strauss (1968 [1954]) en referencia a D’Arcy Thompson. Geometría e intuición, proponía Hilbert. El problema es que la intuición tal como acos- tumbramos practicarla siempre vuela de manera lineal y a una altura demasiado baja. En ocasiones, la resultante de aplicar modificaciones casi imperceptibles en las operaciones recursivas de funciones que son la mar de simples excede lo que se puede humanamente

11 intuir: eleve al cubo en vez de al cuadrado la fórmula de la función madre de todos los fractales (escriba por ejemplo z=z^3+c en vez de z=z^2+c, como lo hizo un día Clifford Pickover) y obtendrá un biomorfo unicelular parecido a un paramecio, una gástrula, un equinodermo o un aparato de Golgi en vez de un conjunto de Mandelbrot abstracto o del gráfico de una función lineal; aplique una perspectiva tridimensional al conjunto canó- nico, navegue un poco en el espacio volumétrico y estará graficando la ornamentación de un templo jaina o hindú, la cúpula de la mezquita Selimiye en Edirne, la estructura de un centro comercial afroposmoderno de Addis-Ababa o algún otro de entre los objetos más complejos de las etnogeometrías, aproximables hoy mediante nuevos artilugios llamados buddhabrots, mandelbulbs o mandelboxes (v. gr. Bourke 1991; Trivedi 2017; Ja- kubska-Busse & al 2018; figs. 1.7; 3.5 y 3.6 más abajo; véase p. ej. aquí). Todo esto sitúa la inducción geométrica en un plano inédito y distinto al que es propio de otras formas de inducción. Resultó de pronto evidente que los otros, los otros gené- ricos, yo diría, generalizando (indígenas, musulmanes, orientales, subalternos, ágrafos, paganos, bohemios, nómades, artistas o arquitectos góticos heterodoxos y ya veremos quiénes más), sabían operar esas cosas desde mucho antes que concibiéramos solamente la posibilidad de su existencia more geometrico. Resultó también que ellos no estaban obstaculizados por nociones equivocadas de “lo incongruente”, “lo inconsistente”, “lo falso” y “lo imposible” operadas por maestros científicos que sabían muy poco de aquellas ideas que pretendían enseñar, ideas que no eran otra cosa que un puñado de propiedades emergentes de universales geométricos escondidos que aquellos que llamamos otros o marginales supieron en ocasiones encontrar e internalizar mejor sin necesidad de ponerles nombre, de prescribir su impracticabilidad o de sujetarlos a una normativa (cf. Lu y Steinhardt 2007; Steinhardt 2019; Penrose 1974; Freudenthal 1980: 1982; Cahn, Gratias y Shechtman 1986). Con estas premisas, restablecer (o mejor dicho instaurar) algún grado de simetría actan- cial en el proyecto etno-geométrico se revela una empresa no sólo urgente sino una o- portunidad esclarecedora si es que se confiere a la dimensión trans-étnica de la geome- tría la entidad epistemológica, la reflexividad, el estatuto de paridad y el espíritu comparativo que estimo corresponde. Mientras que cuando hablamos de (pongamos por caso) etnociencia, etnomusicología e incluso etnomatemáticas mantenemos implícita una distancia entre lo que nosotros y los otros entendemos respectivamente por ciencia, por música, por arte o por cuantificación y podemos mantener incólume nuestra auto- estima y nuestro autobombo y blandir el edificio de nuestra trayectoria, cuando se trata de geometría nuestra presunta superioridad se torna de pronto más difícil de sostener. No hay dudas de que la geometría como ciencia sistemática, pautada, axiomatizada y disciplinar es un producto occidental, aunque con más intervenciones, inspiraciones e interferencias provenientes de otras culturas de lo que por lo común se admite. Entién- dase bien: aunque a veces me sienta empujado a empañar su prestigio (como lo han hecho otros con razón o sin ella) no pretendo minimizar lo que aportaron los griegos de la época clásica. En materia de lógica y de geometría teorética Euclides sigue siendo uno de mis héroes culturales y podría pasar años celebrando sus Elementos; quizá me

12 dedique a muy poco más que a eso cuando sea grande. Los estructuralistas, los posmodernos y los estudios culturales se pasan de moda; él sigue dando que hablar. Pero en materia de geometría como práctica (en el sentido de Hans Freudenthal) las artes y las artesanías de la heterodoxia o de la alteridad (cualquiera sea la denominación que les corresponda) reinan como los más rigurosos códigos elaborados que conocemos, muy por encima de lo que Occidente ha sido capaz de materializar jamás, Euclides incluido, como bien lo deja sentado Roger Penrose aquí en el segundo epígrafe del cuarto capí- tulo o Claude Lévi-Strauss en el párrafo de apertura de esta otra sección de este mismo libro. Lévi-Strauss, dije; y aunque eso no sucede con frecuencia por esta única vez estoy incondicionalmente de acuerdo con él en esta idea crucial: si hay primitivos en lo que toca a estas cuestiones, esta vez los primitivos somos nosotros. Tan es así que hay comarcas de la alta cultura local y de los altos mercados en los que a las formas artísticas venidas de África se las endiosa. Estatuillas y máscaras labradas en madera dura son imitadas por Picasso y reformuladas por los diseñadores de la Bau- haus; las mejores de estas piezas colman los principales museos, puntúan los más brillantes scripts y convocan crecientes multitudes (Bennett 2012; Ahmed 2014; fig. 1.3 más arriba). “África siempre ha sido moderna”, ha dicho en tren de encomio el artista Yoruba nigeriano Rufus Ogundele [1946-1996], en cuya obra lo figurativo y lo geomé- trico, lo tradicional y lo vanguardista se interimplican creativamente. De todas formas, no son las geometrías de África las que han logrado integrarse al arte occidental sino más bien otras manifestaciones que han impactado más fuerte en nuestra percepción, las máscaras y las esculturas antropomórficas africanas en primer lugar: estilizadas, es cier- to, escuetas, macilentas, esquemáticas a veces, cubistas en el límite, híbridas de iconis- mo y de leve abstracción pero no puramente geométricas (cf. Laude 1966; Delafosse 2012; Salami y Blackmun Visonà 2013; Shakarov y Senatorova 2015 versus LaGamma y Giuntini 2011). Si los científicos la pifiaron tanto, los humanistas mejor no les cuento. Los intelectuales, los historiadores del arte, los semiólogos, los marchands artísticos y los públicos de Occidente se han comportado de maneras sinuosas y han obedecido a agendas ocultas, como cuando se lanzaron a entronizar un arte escultórico africano que en sus contextos de origen nunca poseyó saliencia cultural de orden estético ni experimentó los refina- mientos cuasi-formales de auténtico código semiótico propios de una geometría ornamental y de una industria textil a las que nunca prestamos atención, a las que degrada- mos como epifenómenos utilitarios y cuyas virtudes en los registros de lo conceptual, lo imaginario y lo simbólico recién estamos comenzando a (re)descubrir aún si sólo las al- canzamos a comprender lagunarmente (Clifford 1996 [1988]: caps. 9 & 10; LaGamma y Giuntini 2009; Graburn 1976; cf. fig. 3 más arriba). Pero no sólo en África hay geome- trías que nos empequeñecen. Esta circunstancia hace que recién ahora, cuando se ha acabado de reunir la información básica necesaria y se han afilado los instrumentos sin- téticos, analíticos y modelizadores, estemos en condiciones de afrontar algunos de entre los acuciosos desafíos que tales geometrías de dimensionalidad compleja nos presentan.

Ahora bien, no todo lo que se llamado geometría con visos de mutar en etno-geometría puede ser incluido en este trabajo. La primera exclusión a la que nos vemos obligados afecta a los dominios del saber proclives al oscurantismo, al neo-shamanismo, al diseño inteligente y a las imaginerías psicodélicas y entópticas, sean ellos antiguos y de baja estofa (como la tensegridad de Castaneda o el modelo neuropsicológico del trance) o recientísimos y de alta alcurnia (como la ciencia de la bio-geometría o geometría sagrada), por más que algunas geometrías perfectamente respetables compartan su nombre con una de ellas y que las enigmáticas signaturas bio-geométricas sean indistinguibles de los adinkras, a los que sí se abordará con justa razón.4 Por algo ha sido que la corriente principal de la etnogeometría ha dejado a la iconografía alucinatoria, a la astro- nomía bizarra, al diseño geométrico intencional de la cultura y la naturaleza y demás tópicos del extravío horoscopero, mediático, yuppie y pequeñoburgués5 fuera del más mínimo conato de inspección; por algo es también que aquí optaré por dejar la masto- dóntica bibliografía creacionista y su geometría numerológica (salvo por un par de links vergonzantes en este mismo párrafo) huérfanas de toda referencia. La segunda y más importante de esta serie de supresiones incluye desarrollos tales como la persona fractal del recientemente fallecido Roy Wagner [1938-2018], incluyendo sus fuentes de inspiración y sus secuelas. En estudios recientes tuve oportunidad de cuestio- nar estas formas hiper-metafóricas del razonamiento “fractal” que muchos consideran pos-estructuralistas o deconstruccionistas a pesar de que ni Ralph Abraham, ni Marilyn Strathern ni Wagner mismo han leído puntillosamente o siquiera citado a Gilles De- leuze, a Giorgio Aganbem o a Jacques Derrida (cf. Wagner 1991; Abraham 1993; Stra- thern 1992; Haraway 1985 versus Reynoso 2019b). Una demarcación mínima implica dejar también fuera de consideración otras tres formulaciones esenciales que en la última década han ganado predicamento. La primera es la geometría del poder desarrollada por Doreen Massey en For space (2005) que se torna en etno- en manos de un número todavía pequeño pero creciente de especialistas en antropología. La segunda exclusión atañe al tratamiento homónimo de una parte importante del pensamiento de Baruch Spinoza por Valtteri Viljanen (2011), quien nunca se refiere ni a Massey ni a Gilles Deleuze, el primer filósofo (por su spinozismo ocasional)

4 El implacable libro de Patricia A. Helverston y Paul G. Bahn Desperately Seeking Trance Plants: Testing the "Three Stages of Trance" Model (2002), luego reimpreso como Waking the trance fixed (2005) y plasmado sin un solo dibujo, agota las críticas necesarias y suficientes al “modelo de las tres etapas” de la antropología psicodélica de los años sesenta que pretendía desentrañar los estados alterados de conciencia usando sus geometrías ópticas como signaturas indiciales. Lamentablemente tendremos que complicarnos en esta temática cuando desentrañemos el misterio de los “sólidos platónicos” escoceses del megalítico y también cuando abordemos el fraude de las geometrías sonoras de los shamanes Shipibos, comedias de enredos generosamente condimentadas con dosis parejas de cristalografía imaginaria y de perspectivismo amazónico (cf. más abajo pág. 65 y ss.; fig. 5.b; pág. 75 y ss; Reynoso 2019b). 5 Los tópicos son inaacabables: el número áureo como la firma de Dios en la naturaleza, la proporción armónica como pauta-que-conecta universal, el orificio de la pirámide como artificio para visualizar el planeta Venus, la sabiduría espontánea de los pueblos “en estado natural” como forma de entendimiento más rica y más auténtica que la del pensamiento científico, las geometrías neolíticas escocesas como precursoras de los sólidos platónicos a escala de milenios y así hasta el éxtasis. Si esperaban que este libro se consagrara a ese género de especulaciones les recomendaría que abandonen la lectura en este punto.

14 en quien podría sospecharse como alguien capaz de avalar un enfoque llamado con ese nombre. La tercera es la geometría social de Donald Black (2010 [1976]), último avatar de un envejecido positivismo. De todas estas geometrías del poder tratamos en un trabajo que se estuvo desarrollando en paralelo, que acabamos de escribir y que a pesar de la coincidencia de nombres no viene aquí excesivamente a cuento ni ha tenido que ver tampoco con alguna geometría en sentido estricto (Reynoso 2019a). Malgrado los aspectos simbólicos, semánticos y metafóricos que podría involucrar cada objeto y cada tradición que abordemos, la geometría de la que aquí se ha de tratar es la geometría plena, pura y multicultural que conocemos muy fragmentariamente desde siempre, pero de la que de ahora en más no tendrá sentido especular sobre sus “oríge- nes” oscuros, sus “períodos formativos”, su “marginalidad”, sus “formas elementales” o su teleología y a la que (y he aquí nuestra hipótesis), nuestra cultura ha sabido pensarla en fragmentos casi perfectos hace ya mucho tiempo o en algunos raros momentos luminosos bastante más tarde, pero a la que unos cuantos entre los otros pueblos y un buen número de entre los más inspirados artistas de todas partes demuestran cada día que han sabido practicarla más hondamente y mejor.

2 - Orígenes, actualidad, dilemas y promesas de las etnogeometrías

Las matemáticas no fueron inventadas nunca ni en parte alguna. … Las ideas matemáticas no están en absoluto restringidas al hombre. … Cuando la araña produce su tela, utiliza sus patas particularmente construidas como compás; las abejas resuelven un difícil problema de maximización cuando construyen sus celdas hexagonales. Max Simon (1973 [1909]: xiii)

Si bien el carácter óptimo de las geometrías enigmáticas de las telas de araña y de los panales de celdas hexagonales de las abejas se formuló primero como conjetura por Marco Terencio Varrón (36 aC) o por Papo de Alejandría (290-350 aD) fue mucho más tarde, en el siglo en que nos encontramos ahora, que la sospecha fue promovida a teorema por Thomas Hales (2001) de la Universidad de Michigan. Hales quedó en el registro histórico con la gloria de haber sido el demostrador de la conjetura geométrica bi- milenaria del panal de miel como estructura óptima de ocupación de un espacio. Pero aunque sea geométrica y etológicamente excitante, la línea de argumentos que busca conectar (o al menos aproximar) lo más sofisticado de las capacidades animales con lo más primitivo de las actividades humanas se me hace difícil de ponderar o hasta de di- gerir, en gran medida porque en muchas de sus lecturas destila ideas del evolucionismo más pedestre, el mismo que fue enfermedad infantil de la antropología un siglo y medio atrás, que siguió campando hasta hace poco y que todavía sigue aquí y allá. Por empezar no hay ninguna correlatividad y ninguna congruencia entre las capacidades intelectuales y la distancia evolutiva de los actores y de sus culturas, o como sea que se las llame: ¿Geometría hecha por arañas y por abejas sin que haya nada más (esto es, la obra de ningún otro animal) entre los logros de esos animalitos y los nuestros propios? ¿Es posible que la evolución marche en ese orden, dando semejantes saltos? ¿No hay acaso animales que sean más complejos que otros en sus capacidades y que hagan geo- metrías mejores que las de los arácnidos y los insectos? Hechos así nos hacen quedar peor a los científicos de corazón evolucionario que la superioridad del canto de los pájaros sobre la música chimpancé o que la anomalía de los loros argentinos que desde los años 50s hasta hoy, sin respeto alguno por la congruencia evolutiva, entonaban la marcha peronista ¿Loros? ¿Qué les pasó a los monos y a los delfines? ¿No se corre el riesgo de usar abejas y arañas y sus artes magistrales para devaluar la magnitud intelectual de la buena geometría o (peor aún) para pretender que pensemos (a la manera de Christopher Hallpike [1979: 281-282, 324, 339; 2011] y de otros piagetianos que con- fundían alegremente ‘palabra’ y ‘concepto’) que la geometría empírica no es la gran cosa, que es “puramente perceptual” y “pre-conceptual”, y que hay bichos innobles que la hacen tan bien o mejor que nosotros? Por aquí no hay, en fin, nada que no haga ruido. Al igual que pasa con el lenguaje o con la música a través de las especies, el hecho es que las geometrías “naturales” (zoogeo- 16 metrías, dirán los biosemiólogos) no se asemejan tampoco a las geometrías humanas ca- lificadas de “primitivas”, si es que ha existido alguna vez semejante cosa.6 Son las geo- metrías humanas más laboriosas, epigonales y postreras (los muqarnas y los mocárabes, tal vez) las que más próximas se encuentran a las geometrías naturales de los panales de abejas. Por el contrario, quien se asome a estudios tales como “Do you like paleolithic op-art?” de Slavik Jablan y Ljiljana Radović (2011) podrá experimentar una pizca de las complejidades geométricas de la más genuina Edad de Piedra. Tampoco es el caso que los teóricos tempranos de la etno-geometría se hayan ocupado de la génesis de la creación geométrica en la cultura o en el individuo como condición previa para la comprensión o el desciframiento de los fenómenos geométricos puntuales, de los que todos quieren que sean socialmente construidos. En las demostraciones que encadenaremos en este trabajo, se comprobará que nunca sucede que la ontogenia recapitule la filogenia, o que lo más básico sea lo primero y lo más complejo lo más reciente, ni que las prácticas requieran que las teorías que se les refieren se lexicalicen y se consolidem con anterioridad, ni que la tecnología digital por sí misma posibilite geo- metrías que –analógicos como nos preciamos de ser– no habrían podido hacerse, referirse o pensarse en ninguna cultura si no hubiésemos contado con tales instrumentos. Cuando se mira el registro de los hechos con un mínimo de reflexividad y sentido de la diversidad de contextos se comprueba que mucho de lo que creíamos saber no se sos- tiene. Por eso es que esbozar aunque más no sea el plan de una historia coherente, real y pedagógicamente útil de la evolución de la etnogeometría como disciplina es una faena mucho más complicada de lo que se se pensaba. Pienso enredarme en ese nudo, de todas maneras, aunque hasta cierto punto, procurando no quedar atrapado en sus trampas retóricas y en la tentación de la linealidad. No sé si se podrá. La etnogeometría tal como está no es lo mejor que puede pensarse pero es lo que hay y es a partir del conocimiento crítico de ella que se podrán construir otras alternativas. Si pretendemos conocer mejor por qué la etnogeometría llegó a ser como es, lo primero sería identificar al responsable de la fundación de este espacio. Hoy la mitad del mundo celebra al brasilero Ubiratan D’Ambrosio como el padre indiscutido de las etnomatemá- ticas o, lo que es más exacto, como el escritor que acuñó la palabra que designa a la dis-

6 No conozco en rigor geometrías res gestae verdaderamente elementales fuera de los lindes de Occiden- te. Pueblos precerámicos con tecnologías mínimas sin metales ni textiles, como los Selknam y los Yama- na de Tierra del Fuego, desplegaban geometrías exquisitas en sus pinturas corporales y en las curvaturas hiperbólicas y parabólicas de su cestería. Lo mismo sucedía con las artes geométricas neolíticas y mega- líticas (cf. Jablan y Radović 2011). A contramano de los hechos, los estudiosos relativistas del deplorable Instituto Lingüístico de Verano siguen sosteniendo (en alianza táctica con los perspectivistas y los mili- tantes del giro ontológico) que todavía existen “pueblos sin arte” y con múltiples gaps culturales y que uno de ellos es, como anticipé, el pueblo Pirahã del río Maici. No se detuvieron a pensar ni por un momento que estaban hablando de grupos humanos que habían sido víctimas de etnocidios y de intervenciones coloniales durante cinco siglos y que ellos mismos, en su militancia evangelizadora, habían jugado un papel protagónico en ese despojo (cf. Everett 2005). Tampoco repararon en que antes que los religio- sos jesuitas y evangélicos los adoctrinaran y quemaran sus fetiches esos pueblos poseían (en sus cestas, en sus peinados y tatuajes, en su pintura corporal, en sus objetos de cuero o de madera, en sus juegos de cuerdas, en sus diseños volátiles en arena) una clase de arte y ornamentación geométrica acaso tan extraordinaria como la del pueblo Shipibo o la de los tokapu incaicos pero de la que no hemos llegado a conocer los detalles (v. gr. Nimuendajú 1948).

17 ciplina que viene estudiando este campo de la antropología cognitiva desde hace bastante tiempo. No estoy afiliado a esa mitad, como se verá; tampoco me atengo a sus mitos constitutivos. Según una parte de la documentación disponible, Ubiratan introdujo la denominación en una conferencia dictada ante la American Association for the Advan- cement of Science en 1977 (D’Ambrosio 1977; 1985; 1989; Vandendriesse y Petit 2017). Ubiratan mismo, no obstante, ha sido muy moderado respecto de esa atribución de paternidad: I recently learned from Claudia Zaslavsky that Otto Raum wrote, in a review of her book, published in African Studies (1976): "(This Mathematics) might perhaps be most suitably called ethno-maths on the analogy of ethno-music, ethno-semantics, etc." And Wilbur Me- llerna, in a letter to Gloria Gilmer, published in the NEWSLETTER of the ISGEM (vol. 6, n. 1, November 1990), says that he had invented the word ethnomathematics in 1967 and that he gave a talk in 1971 using it (D’Ambrosio 2004).

Hoy en día la Web nos presta la tecnología necesaria para comprobar que la carta a Gil- mer que escribió Mellerna (1990) efectivamente existió en el lugar y en el momento preciso que Ubiratan consigna. Pronunciándose víctima de una conspiración de silencio que Mellerna atribuyó a “motivos políticos y sociológicos” él dice en su carta, crispa- damente: Dear Ms. Gilmer:

I liked and valued your "Ethnomath Approach to Curriculum Development" presentation at Salt Lake City.

When ISGEm's literature first came my way in the early 80's, I was glad to see the subject's emergence, but angry that they stole my name for it.

I used the term Ethnomathematics as the title of a speech in 1971. It was at MSU, working on my MA in Mathematics and collaborating with Dr. Victor Low, then Director of the African Studies Center. I spoke to Africanists then, Spring 1971, defining Ethno- mathematics as the study of pre-Western and non-Western Mathematics and Logic. My qualifications to do so were years of teaching Mathematics in Africa and then receiving an MA in Africa Studies from UCLA in 1967. It was there and then that I coined the term Ethnomathematics as the focus of a personal quest to merge my two loves, Africa and Mathematics.

Resistance from the Mathematics community was at first polite ridicule; this has waned. It remains for one of us to write THE definitive test, ETHNOMATHEMATICS. It must DEFINE the term with approaches from its many facets, at length, deeply; and it must DESCRIBE EXAMPLES from across time and space; and it must GENERALIZE.

The drift of some writers today is obviously motivated by a political and sociological agenda. This concerns me, as this is not how scholarship works.

I will be honored to correspond with you.

Wilbur Mellerna Mathematics Department San José City College San José, California

Mellerna omite toda mención a la práctica harto documentada de una etnomatemática bastante antigua en el seno de la antropología y de la etnolingüística del conocimiento7 y no ofrece prueba alguna de su prioridad en la invención del nombre que está en el tapete, por lo que aquí sigo considerando a D’Ambrosio apenas como el tercer postu- lante a pionero más creíble de la disciplina en cuestión, si es que de esa banalidad se trata. Si hemos de creer en lo que asevera Mellerna puede que dispute los títulos de D’Am- brosio pero no es rival para los dos pioneros más tempranos que ahora nombraré en este mismo párrafo. El reclamo de Mellerna es, bien mirado, vano. Hace tiempo se ha probado, efectivamente, que el primero en utilizar la palabra ‘etnomatemática’ y en haber sentado el precedente del dictado de conferencias sobre ese tópico disciplinar no fue ni D’Ambrosio ni Mellerna sino el ignoto precursor Ewald Fettweis [1881-1967] en la tercera década del siglo pasado y en un continente que no es América (Gerdes 1997; Rohrer 2010; Rohrer y Schubring 2011; Fettweis 1926; 1927; 1929a; 1929b; 1932; 1935; 1937a; 1937b; 1951). Aunque hay abundantes testimonios del uso de la denomi- nación entre los años 20s y los 50s, la primera vez que se usó en prensa fue en la apo- logía de la estatura de la obra de Fettweis por el temprano etnomatemático Olindo Fal- sirol [1896-?], escrita cuando Mellerna era chico: “Professore all’Accademia Pedagogica di Aachen, dove tenne lezioni di didattica, di storia delle matematiche e di etnomatematica fino al 1954, egli dedicò e viene dedicando parte considerevole della sua attività scientifica alla matematica e all’astronomia dei popoli con- sidetti primitivi” (Falsirol 1959: 262).

Tengamos en cuenta que todos etnificábamos en esos tiempos. Aquellos eran años en lo que se le adosaba el prefijo ‘etno-’ a lo que entrañara contemplar un objeto de estudio ajeno (o una objetivación, más bien) desde nuestras coordenadas: etno-semántica, etnociencia, etno-lingüística, etno-botánica, etno-entomología, etno-psicoanálisis, etno-psi- quiatría, etno-psicodrama, etno-medicina, etno-lógica, etno-semántica, etno-semiótica, etno-navegación, etc. (cf. Reynoso 1986; 1993). Decir etno- era casi lo mismo que decir “comparativo”, “diverso”, “transcultural”. [Desarrollar semblanza de Falsirol por Marcelo Bórmida] Mientras que es improbable que existan referencias a la etnomatemática anteriores a las definiciones de Fettweis, Falsirol y D’Ambrosio, en lo que a la etnogeometría concierne la situación no resulta más clara. La huella se esfuma en los despertares de un enjambre de disciplinas y en esta circunstancia ninguna conclusión es segura, aunque Paulus Gerdes, tal parece, nos lleva la delantera a todos. Al final del día, el hecho concreto es que no existe en ninguna lengua y en ninguna institución una historia suficientemente detallada y fidedigna de la especialidad que permita apoyar un veredicto sobre bases confiables sin que nadie monte en rebeldía porque no se le ha hecho justicia.

7 Véanse los estudios de Max Schmidt (1904; 1905); Theodor Kluge (1937; 1938; 1939; 1941; 1941- 1942) y (en orden cronológico) los de Conant (1896), Lounsbury (1946); Ardener (1957); Seidenberg (1962a: esp. 521-523; 1962b; 1981); Gay y Cole (1967), etcétera.

No me parece importante deslindar quién fue a fin de cuentas el científico que le puso nombre a la práctica o a la disciplina que se ocupa de ella. Ni falta que hace saberlo. Hace ya más de treinta años Paulus Gerdes había revelado el rastro de incontables nomenclaturas a las que me place intercalar otras que vinieron después. El registro comprende la Etnología Matemática (Falsirol 1959), las Matemáticas Indígenas (Gay y Cole 1967; Laney 1976), las Sociomatemáticas del África (Zaslavsky 1973), las Matemáticas Informales (Posner 1982), las Matemáticas en ambientes socio-culturales [africanos] (Touré y Doumbia 1980), las Matemáticas Espontáneas (D'Ambrosio 1982), las Mate- máticas Orales (Carraher y otros 1982; Kane 1987), las Matemáticas del Oprimido (Gerdes 1982), las Matemáticas No-Estándar (Carraher y otros 1982; Gerdes 1982; J. Harris 1987), las Matemáticas Ocultas o Cristalizadas [ frozen] (Gerdes 1982; 1985), las matemáticas experimentales o analógicas (Davis y Hersh 1985), las Matemáticas Folk (Mellin-Olsen 1986), las Matemáticas Codificadas en Know-hows (Ferreira 1987), las Matemáticas naturales o Matemáticas sin escritura (Chemillier 2007), la Matemática como Verbo (Barta, Eglash y Barkley 2014) y por supuesto la Etnomatemática de Fett- weis, la más temprana de todas hasta donde alcancé a ver. Tal como surge de sus denominaciones, muchas de estas matemáticas situadas se inclinan más a la geometría que a la aritmética pero nunca se puede estar seguro de eso. Al lado de estas búsquedas genuinas de saberes que han quedado en la periferia han habido también no pocos intentos excedidos en celo étnico y en aspavientos reivindicati- vos, el de Black Athena del polémico politólogo británico Martin Bernal [1937-2013] primero que ninguno. Bernal dedicó tres volúmenes y varios libros complementarios a demostrar que los saberes que se atribuyen a la inventiva milagrosa de los griegos reflejan saberes urdidos en otras partes y en otros tiempos y en el antiguo Continente Negro en particular (Bernal 1987; 1991; 2001; 2006; Lefkovits y McLean Rogers 1996; Adler 2016). Aunque el volumen de sus pruebas es por momentos impresionante Bernal no ha sido un autor meticuloso; la calidad de sus argumentos es desigual y su autocrítica a veces flaquea. Para dar una idea aproximada de su estatura intelectual alcanza con mencionar que él se había tragado todo el cuento de la proporción áurea y de las medidas esotéricas de las pirámides egipcias (sin mencionar en sus textos a Fibonacci o a Bada- wy), que estaba seguro que los egipcios eran negros nilóticos de piel de ébano y que Eu- clides vivió la totalidad de su vida en el delta del Nilo, visitando Grecia un par de veces y apenas de pasada (Bernal 1987: 167, 173; Eglash 2000: 15 versus Shuenemann, Pelt- zer y Welte 2017). Mucho más prudente y mejor fundamentado resulta el magnífico estudio de George Gheverghese Joseph (2011) The crest of the peacock: Non-european roots of Mathema- tics, quien acaba con varias leyendas de la historiografía geométrica constituida en un texto sugerente y por momentos sólido pero no que no llega a constituir una evidencia abrumadora. Más atendible todavía (y más sustancial) es el argumento del ya mencionado Hans Freudenthal [1905-1990], quien sugiere que lejos de haber impulsado la causa de la geometría, los afanes de los griegos para probar y formular el conocimiento por medio de métodos enrevesados gobernados por estrictas convenciones desemboca- ron en un dogmatismo aterrador, retardando y a veces poniendo en peligro la disemina- 20 ción del conocimiento geométrico (Freudenthal 1982: 444). Otros autores o bien coinciden con este diagnóstico o han formulado otros parecidos (v. gr. Kappraff 1991; Selin 2000: passim; Loeb 2003; Fenyvesi y Lähdesmäki 2017). La glorificación de lo griego, en una palabra (y eso es lo que muchos piensan hoy) va de la mano con cierta disolu- ción y pérdida de entidad de la geometría. En su formidable obra sobre embaldosados y patrones dice el inefable y recordado Branko Grünbaum [1929-2018], con quien me crucé alguna vez en Redmond –haciéndome el encontradizo– en los alrededores de Mi- crosoft Research y con quien coincidimos en desconfiar de los excesos predictivos en los que el laplaciano Ray Kurzweil incurría en ese entonces: It is curious that almost all aspects of geometry relevant to the “man in the street” are igno- red by our educational systems. Geometry has been almost squeezed out of school and university syllabuses, and what little remains is rarely of any use to people who wish to apply geometric ideas in their work—engineers, scientists, architects, artists, and the like. There are two causes of this state of affairs. At high-school level it has long been traditional to use geometry as a vehicle for teaching logical reasoning and the deductive method, without much regard for the geometric content. At the research level geometry has become no more than a specialized branch of algebra or analysis (Grünbaum y Shephard 1987: vii).

Quisiera creer que hay algo del espíritu revoltoso e insurrecto de Grünbaum y de Freu- denthal (y del Hilbert de Anschauliche Geometrie) en el libro que usted está leyendo. Aunque hoy casi no se lo menciona fuera del círculo de la educación matemática, recuerdo que cuando yo era estudiante Freudenthal tuvo sus quince minutos de fama al oponerse a los lineamientos de la “matemática moderna” basados en una teoría de conjuntos entendida a medias en el programa pedagógico de Holanda, con fuertes ecos en casi todo el mundo. Durante un tiempo su postura pareció recalcitrante, arbitraria y retrógrada hasta que con el tiempo se comprobó que guardaba algo de razón. En los Países Bajos al menos, buena parte de la “reforma educativa” en matemáticas se revirtió en beneficio de la matemática práctica del saber hacer y de una “matemática como verbo” participativa, auto-empoderadora y abierta que es hoy la que se estima técnica e ideológicamente acertada aunque está muy lejos de ser la que prevalece (cf. Barta, Eglash y Barkley 2014; Burbach 2015). Aunque el backlash anti-reforma experimentó unos cuantos excesos (algunos de ellos decididamente aberrantes),8 fue positivo que Jo- seph, Freudenthal, Grünbaum y algunos otros de la misma liga dijeran lo que tenían que decir. Aunque este sigue siendo un terreno resbaloso, estimo que se ha hecho algo de justicia y que hacía falta que se la hiciera; pero lo que habremos de ver en este libro aspira a ser, en lo que a la geometría atañe, mil veces más radical. Fundamentales para este capítulo y para el propósito de poner en valor la conceptualiza- ción sobre la etnogeometría como objeto de estudio son las sugerencias de Paulus Ger- des sobre la forma de reconocer pensamientos geométricos ocultos o latentes, las observaciones más recientes de Ron Eglash en American Anthropologist sobre las promesas y

8 La última dictadura militar argentina [1976-1983] llegó a prohibir enseñanza de las matemáticas modernas en general y más en particular la de la teoría de conjuntos, de la cual se afirmaba (de acuerdo con un tal Julio Garrido, un “científico argentino residente en España” probablemente imaginario) que contenía terminología “de neto corte marxista”: “estructura”, “conjunto”, “vector”, “clase”.

21 los obstáculos en ese campo y las de Nigel Langdon para el manual de la UNESCO en ese mismo sentido (Gerdes 1986; Eglash y otros 2006; Nigel Langdon en Keitel y otros 1989: esp. 178). Aunque suene chocante y me duela hacerlo debo decir que excluyo de plano los textos de Ubiratan D’Ambrosio del cuadro de honor de la antropología del arte porque a pesar de haber abierto el campo mayor de la ciencia etnomatemática y de haber nombrado a Ron Eglash o a Paulus Gerdes un par de veces su concepción de la etnogeometría como sub-dominio específico y primordial de la etnomatemática no está, mirándolo bien, fina y sustanciosamente desarrollada (cf. D’Ambrosio 2001). Libros enteros de las etnoma- temáticas de Ubiratan –reconocámoslo– no mencionan la palabra “geometría”, ni ponen lo geométrico en foco, ni alcanzan a entender sus aspectos prácticos, su impacto cultural o su especificidad en contextos en los que sería perentorio ahondar en esas precisas dimensiones de sentido.9 Más allá del caso de D’Ambrosio un problema que afecta a gran parte del campo es el aislamiento de los avances metodológicos en compartimentos estancos, hecho que es especialmente grave (según Michael Hann) en el caso de los métodos nomenclatorios de las isometrías de Dorothy Washburn y Donald Crowe, las cuales no se han aplicado, por ejemplo, en los estudios antropológicos de los Estados Unidos y que tampoco se aplican con regularidad en los de América Latina que dependen conceptualmente de aquéllos. Repito lo mismo en otras palabras por si no me he expresado bien: hasta la fecha la ar- queología académica, la etnografía constituida y el campo de estudio de los textiles, cesterías y cerámicas del arte precolombino y sus afines en buena parte de la ecumene no ha descripto adecuadamente las simetrías y geometrías de las diferentes culturas, in- cumpliendo su tarea esencial más allá del coleccionismo de imágenes para los textos y de la recolección y apropiación de ejemplares para las estanterías. Incluso un pensador de los quilates de Ron Eglash se ha aferrado a unas cuantas pueri- lidades hostiles a la naturaleza etic de esas geometrías venidas de la cristalografía y que él entiende que no valen la pena precisamente por su carácter exógeno. Al contrario de él me inclino a pensar que una etnogeometria basada excluyentemente en una preceptiva emic ciega a la observación pública no es probable que haga las cosas bien por cuanto corre el riesgo de privilegiar la lexicalización, la conceptualización y las nomenclaturas en detrimento de las prácticas y la representación, que es lo que sin duda debería poner- se en primer plano si de geometría se trata. Para lo primero ya fue bastante, creo, la experiencia fallida y las oportunidades perdidas en torno de la antropología componen-

9 En otro orden de cosas, impugno vigorosamente a D’Ambrosio por su adscripción acrítica al proyecto pedagógico de Edgar Morin, el cual carece de todo vínculo sincero con las ideas emancipatorias de Paulo Freire, Paulus Gerdes y D’Ambrosio mismo, y que se apoya, por añadidura, en un fallido “pensamiento complejo” difusamente transdisciplinario, antagónico a la especialización científica y a la ciencia tout court. Dicho pensamiento es un programa que acabó siendo un manto de cobertura para un grupo de presión patrocinado por la UNESCO, y que a la larga no pudo menos que devenir funcional a la pedagogía institucional, confesional y privada de la orden jesuítica y de las universidades pontificias que, malgrado sus desavenencias circunstanciales, vienen desmontando sociedades concretas y patrimonios intangibles desde la época de la Conquista (cf. D’Ambrosio 1997 versus Reynoso 2009: passim).

22 cial (Reynoso 1986), a lo que podríamos sumar los fiascos del arte para turistas, de la invención de la cultura y de las canciones tejidas de los Shipibo que referiremos en su oportunidad (Lathrap 1976; Graburn 1976; S. Mead 1976; Salvador 1976; McDonald Boyer 1976; Hobsbawm y Ranger 1992 cf. más abajo pág. 65 y ss.). Hoy por hoy los aportes de la etno-geometría como ciencia lucen como una muchedumbre de escrutinios más o menos felices a propósito de un conjunto politético de asuntos geométricos de interés a través de las culturas antes que como el corpus orgánico de una disciplina constituida respecto de la cual resulte sencillo saber en qué estado se encuentra en un lugar y en un momento dado. No puede negarse, de todos modos y para cerrar el punto, que la notación cristalográfica inaugura una instancia comparativa que habría sido dificil de imaginar por otros medios y que sienta la bases de una saludable apertura transdisciplinaria, una de las cuantas que han habido y que toca por ende investigar aquí por tediosa y corta de miras que pudiera parecer. Por eso y por las razones antes expuestas es que en este trabajo se postulan siete ejes temáticos que espero ayuden a ordenar un campo hasta ahora tan apasionante como amorfo y a motivar la puesta en marcha de las investigaciones que resta hacer. Esos siete ejes describen los que parecen ser los hitos más relevantes en el desarrollo de los estudios técnicos y en la práctica de la etnogeometría. Ellos tienen que ver con (1) el descubrimiento del carácter fractal de muchas de las geometrías de una amplia región de África como punto de partida para la comprensión de fenómenos análogos un poco más o un poco menos intensamente fractales, recursivos, contraintuitivos, no lineales y no euclideanos en otras partes del mundo; (2) las isometrías de las franjas, los espacios del plano y los giros en círculo para organizar el campo de la simetría y articular sus tipo- logías y sus procedimientos constructivos, definiendo la actuación de reglas cuyos e- nunciados bien puede que hayan sido unilateralmente etic pero que ningún nativo parece haber necesitado violar jamás para llevar a cabo sus prácticas; (3) el análisis de las configuraciones geométricas del knotwork celta-eslavo-escita, de los flujos en grafos y de las llamadas simetrías en estrella de las teselaciones del arte islámico, puestas en paralelo con los cuasi-cristales de las aleaciones complejas recién descubiertos en Occiden- te, los cuales exhiben morfologías coincidentes con las de los embaldosados aperiódicos conocidos desde la Edad Media en Irán, Siria y Anatolia que preceden por siglos a las modalidades del Islām tardío a las que, por su virtuosismo, a veces creemos que son las más representativas de todas; (4) las investigaciones y los logros conceptuales y meto- dológicos alcanzados por el geómetra holando-mozambiqueño Paulus Gerdes en las huellas de Ubiratan D’Ambrosio, de la pedagogía del oprimido de Paulo Freire y de los proyectos emancipatorios del Frente para la Liberación de Mozambique, a efectos de conocer en todas sus implicancias los poliominós y las geometrías complejas en el plano esférico, entre otras realizaciones; (5) la comprensión de las relaciones entre los grafos eulerianos y euclideanos y los diseños de flujos, ciclos y circuitos de Angola, Vanuatu y otras regiones, así como la influencia de ambos campos en las más recientes técnicas computacionales de graph based navigation; (6) una nueva comprensión de la forma en que las artes populares recursivas de la India aldeana y campesina han materializado en imágenes principios algorítmicos que sólo se han podido comprender acabadamente en 23 el último tercio del siglo XX y que tienen que ver con la programación de computadoras de propósito general, con la lingüística computacional y con las formas más avanzadas de modelado y diseño, fractalidad incluida; (7) la documentación de los últimos y más radicales avances en formas geométricas de representación encarnadas en los fullerenos, en las estructuras de tensegridad de tiendas, pelotas, cestas y tejidos a través del mundo y en los sistemas de símbolos Adinkra que comparten los Ashanti de Ghana con los cientificos dedicados a los arcanos del álgebra supersimétrica y de la teoría de cuerdas, homólogos prácticos, a su vez, de los códigos de corrección de errores del ADN, de la autocorrección en la mecánica cuántica y en la informática inteligente de avanzada; (8) la descripción sistemática de las geometrías proyectivas subyacentes a los sistemas tradicionales de navegación y de los sistemas de referencia y métodos formales (también geométricos) que han precedido por milenios a las técnicas contemporáneas de geoposicionamiento. Algunos de estos últimos elementos de juicio que echan mano de desarrollos de punta de las ciencias han sido bastardeados y exagerados por décadas e invitan a que se los trate con recaudos. En ningún momento pretendo decir –por ejemplo– que en las sociedades ágrafas se hayan anticipado enunciativamente la teoría cuántica, la fórmula de Euler, las signaturas de la biogeometría, la teoría de la tensegridad arquitectónica, el modelado recursivo, las propiedades de las nanopartículas o la teoría de cuerdas; lo que sí digo es que en Occidente hubo que esperar hasta que esos marcos teóricos estuvieran disponibles para encontrar análogos de morfologías y relaciones que en otras partes se expresaron desde hace mucho bajo la forma de prácticas geométricas que hasta hace poco ni siquiera éramos capaces de re-producir y que seguimos sin entender por completo. Digo además que las prácticas geométricas más complejas no requieren un fundamento discursivo y axiomático preliminar. Y lo que también digo es que ha sido nuestra experiencia de las variedades científicas más revolucionarias de la geometría la que (sin excluir la legitimidad de otros acercamientos) nos permite calar más hondo, adoptar una intancia metaheurística y exploratoria inédita e ir más lejos en la comprensión, expli- cación y síntesis recursiva de las prácticas geométricas de las otras culturas en un grado que resultaba prohibitivo cuando meramente contábamos con el positivismo metodo- lógico, el análisis componencial, el método comparativo evolucionista, el etnopsicoaná- lisis, las metáforas lingüísticas y semiológicas del estructuralismo, la autoimagen funda- cional de la hermenéutica, los giros ontológicos pos-sociales del perspectivismo ama- zónico, los estudios culturales, el pensamiento débil y el malentendido constitutivo de la decontrucción. Cada moda sucesiva en ciencia, en filosofía o e antropología ha sido, de algún modo, para mal o para bien, un manantial de ideas estimulantes; pero ninguna de todas las epistemologías nombradas nos ha permitido avanzar de manera revolucionaria y perdurable en la comprensión última de las geometrías otras. No está de más, empero, que en los campos de la geometría avanzada procuremos por todos los medios fantasear lo menos posible, apoyándonos en la demostración de que muchas veces los constreñimientos y potencialidades de la forma hacen que los objetos, eventos y procesos geométricos tengan que ser como son y apoyándonos también en el hecho de que han sido científicos de envergadura que no han sido y que no son exclu- 24 yentemente geómetras (incluyendo unos cuantos Premios Nóbel)10 quienes admitieron de buena gana que han sido las geometrías de estado de arte de otros pueblos –antiguos y actuales– sus principales fuentes de inspiración, que hemos sido los científicos sociales y los antropólogos del arte, la sociedad y la cultura los que (apoyándonos como podíamos en tales geometrías) suministramos algunas de las intuiciones esenciales de las ciencias contemporáneas de la complejidad y que todo esto ha sucedido demasiadas veces como para ser una pura coincidencia.

10 Cf. Hermann Weyl (1952: cap. “Ornamental symmetry”); Roger Penrose (1974); Richard Buckminster Fuller y E. J. Applewhite (1975); Peter J. Lu y Paul J. Steinhardt (2007); Paul J. Steinhardt (2019); Robert F. Curl, Harold W. Koto y Richard E. Smalley según Arthur Powell (2015: 32); Sir Roger Penrose en Jay Bonner (2017: vii-viii).

3 - Hitos de la etnogeometría (1): Fractales africanos y la búsqueda (frenética) de fractalidad en la cultura

Next time you bump into one of those idiots who starts asking you questions like, 'where is the African Mozart, or where is the African Brunel?' -- implying that Africans do not think -- send them a copy of Ron Eglash’s study of fractals in African architecture and watch their heads explode. mentalacrobatics.com

Figura 3.1 – Vista aérea de la aldea “fractal” de Labezanga en Mali. Basado en Georg Gester (1985: 62). La primera parte de este capítulo se consagrará a observar desde una perspectiva nueva la obra monumental de Ron Eglash African fractals (1999) y sus consecuencias en la in- vestigación etnogeomética tras exactos veinte años de gran impacto. No se trata de volver a resumir el libro, al que daré por bien conocido e instalado en el catálogo, sino de examinar su influencia en una diversidad de disciplinas (la antropología, el diseño y las ciencias de la educación en primer lugar) para luego interpelar una multitud de casos de posible fractalidad en otros contextos de África y en otras partes del mundo. Tampoco es menester volver a explicar los rudimentos de la fractalidad o de definir esa geometría 26 una vez más. He tratado de todo eso en múltiples ocasiones, suficientes como para dar el tema por bien sabido (Reynoso 2006; 2008; 2019d: cap. 9). La segunda sección de este capítulo tratará de sintetizar el estado actual de la búsqueda de fractalidades en otras regiones del planeta, con México en primerísimas posiciones (apenas después de África y de India, y últimamente también de Irán), no sin antes llamar la atención sobre el hecho de que India es apenas mencionada un par de veces y México no es casi nombrado en todo el transcurso del libro de Eglash (1999: 7, 47-48; cf. Kiani y Amiriparyan 2016).11 Ningún país de América lo es, en verdad, privando al caso africano de un contexto que determine su distintividad o su semejanza respecto de otros escenarios y dejando que se imponga la sensación (abismalmente equivocada) de que en África no hay nada que no sea fractal, pese a que la fractalidad no es cuestión de esencia sino de grado, tal como se comprueba en la fractalidad inconstante (y a veces muy magra) de los ejemplos muestreados por Eglash. Por diferente que sea la magnitud de las fractalidades implicadas en el Nuevo Mundo es evidente que está faltando un libro de Fractales mexicanos (o peruanos, o amazónicos, o andinos) y un desarrollo de pedagogía informática de excelencia que empareje el juego con el antológico African fractals y con Culturally situated design tools; mientras que él sí alcanzó a colaborar con un proyecto semejante en Brasil, la etnogeometría mexicana no ha tenido tampoco su Paulus Gerdes ni en el plano técnico ni en el político.

Figura 3.2 – Izq.: Asentamiento de Jola en Mlomp, Senegal, y modelo fractal (Eglash 1999: 163). Der.: Fractal ejecutado por el autor en Janus Fractals®.

11 La primera vez que Eglash menciona a fractales de la India en toda su carrera es en su tesis desarrollada entre 1990 y 1991 y publicada poco después (Eglash 1992). Lo hace, inesperadamente, en relación con la dimensión fractal del templo de Kandariya Mahadev en Khajuraho [ca. 1030 dC], con referencia a datos de A. Murphy (1991). Hoy las tecnologías de mandelboxes hipercomplejos ha revolucionado todo ese campo, como se verá de aquí a unas pocas páginas.

Conocí a Ron Eglash en 1992 en un viaje que realicé por las universidades públicas de California para establecer contacto con investigadores de ciencia cognitiva y de antro- pología de la complejidad. Él estaba entonces en el área excéntricamente llamada His- tory of Consciousness de la mágica Universidad de Santa Cruz al sur de Silicon Valley, ocupando (recuerdo) una oficina muy cercana a la de Angela Davis. Ron me presentó a sus colegas como el único otro antropólogo de la galaxia que se estaba asomando a la fractalidad. Con él estuvimos intercambiando ideas de tecnología fractal en diversos ambientes anteriores a Windows o a Linux (tales como DOS, Macintosh o SmallTalk), incomprendiendo anacrónicamente a Bateson por su indiferencia ante la fractalidad, tratando de precisar la dialéctica entre lo digital y lo analógico (confundida por Eglash con la distinción entre lo continuo y lo discreto) y aguardando en vano que James Clif- ford se presentara a dictar una clase en un aula medianamente poblada en la que espe- ramos sentados sin que Jim (cuyo Predicament of culture yo traduciría más tarde) diera señales de vida. Faltaban todavía siete años para que Eglash publicara African fractals, el libro en el que todavía encuentro ecos de aquellas conversaciones y que definitivamente catapultó la etnogeometría africana al estado de arte. Una parte importante de ese libro consiste no tanto en una exploración de campo sino en una serie de prospecciones bibliográficas de materiales de arquitectos y diseñadores de corrientes como las de Jean-Paul Bourdier, Trinh T. Minh-Ha (Bourdier y Min-Ha 1985), Georg Gester (1985) y ahora Ždímalová y Fecková-Škrabul’áková (2019), auto- r@s tod@s ell@s que publicaron imágenes fascinantes de África vista desde el aire y que el lector puede consultar más provechosamente en los volúmenes originales. Con sus imperfecciones, las imágenes son, creo, un aspecto del libro de Eglash que ilustró la auto-organización como pocas veces se había hecho y que ayudó a la difusión de la idea de una geometría distinta y de una impronta algorítmica más cultural que ligada a la naturaleza. Aquí he preferido reproducir una de aquellas imágenes (fig. 3.1) antes que las reproduciones de Ron, las que no siempre son de la más alta calidad editorial.

Figura 3.3 – Izq.: Generación recursiva de patrón fractal. Der.: Corrales Ba’Ila de Zimbabwe según Eglash (1999). Uno de los aspectos de la fractalidad que Eglash encontró en África tiene que ver con las plantas urbanas y los patrones de asentamiento que exhiben una configuración similar a la del conjunto de Mandelbrot, con sus característicos bulbos de cebolla anidados a distintas escalas. Esa peculiaridad se refleja en los kraales Ba’ila de Zimbabwe (fig. 3.3).

El problema que encuentro en imágenes como las de esas figuras, contundentes como ellas lo son, es que tienen un aire de familia con conjuntos fractales fácilmente sintetiza- bles como tales pero que no son en absoluto específicas o privativas de África (cf. fig. 3.4; comparar con figs. 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.11 y 3.13).

Figura 3.4 – Generación recursiva de un templo hindú – Según Joye Yannick (2007: 315). A esta altura del siglo XXI hay docenas de libros que se apiñan en torno a nomencladores tales como ‘Fractal Architecture’ y que despliegan ejemplos históricos y contempo- ráneos de edificios razonablemente fractales sea por su semejanza con atractores caóti- cos, por su autosimilitud o por su dimensionalidad fraccional. El problema para los lectores experimentados en estas ciencias de bajo vuelo es que nadie parece capaz de hablar sobre fractales sin contar una y otra vez la misma historia. Siempre hay que sopor- tar una pesada pedagogía de curvas monstruosas, polvos de Cantor, plasmas, costas de Inglaterra, helechos, alcachofas y otros vegetales recursivos que todo el mundo se obstina en incluir en las páginas introductorias pero que aquí, por primera vez, procura- ré ahorrarle al lector. Puede que mi propedéutica sufra un descalabro que lastime o desoriente a futuros aprendices, pero la triste verdad es que semejante redundancia pre- fatoria ya no se aguanta más. En el curso de mi vida editorial caí en ese truco un par de veces, es cierto, pero me he propuesto no volver a hacerlo (cf. Reynoso 2006).

Figura 3.5 – Fractal Mandelbox anónimo y cúpula dodecagonal del templo de Ranakpur, Rajasthan (siglo XV) – Según Kirti Trivedi (2017). Para bien o para mal, el género fractal está definitivamente instalado en la práctica ar- quitectónica y en el diseño urbano, especialidad en la que no siempre se manifiesta una

29 inspiración africanista (Trivedi 1988; 2017; Falconer 1990; Bovill 1996; Goldverger 1996; Portoghesi 2000; Ostwald 2001; Lorenz 2003; Capo 2004; Rian, Park y Ahn 2007; Yannick 2007; Situngkir 2010; J. Harris 2012; Torgovnick 2013; Dutta y Adane 2014; Sardar 2015; Vilalta 2017; Dutta y Adane 2018; Jackson S/f). En esta tesitura uno de los proyectos arquitectónicos que marcan la influencia de las ideas de Eglash en el ejercicio de otras profesiones es el de Lideta Mercato, un mercado diseñado y construido en Addis Abbaba, Etiopía, según principios constructivos derivados de la geometría, las vestimentas y diversas tradiciones fractales ya sea propias de los nativos o generadas como epifenómenos del contacto cultural (Vilalta 2017 y fig. 3.6). Tras observar otros casos como éste, cae de suyo que muchas de las arquitecturas desplegadas en diversas sociedades y en las épocas más inesperadas son tan convincentemente fractales como los ejemplos proporcionados por Eglash, cuyos criterios de se- lección y representatividad –digámoslo– nunca fueron demasiado transparentes. La más contundente de todas puede que sea la que refleja la construcción fractal de un templo hindú procedente del artículo de Joye Yannick (2007) en páginas de la inevitable revista Nexus Network Journal en el que se recuperan ideas vertidas por Kirti Trivedi (1988), un contemporáneo mío de Mumbay, tejidas por él con suma discreción once años antes que se publicara African Fractals sin que nadie señalara la importancia de que semejantes ideas se pensaran en ese lugar tan periférico y en ese tiempo tan temprano. Después de algunos años de silencio en los que se creyó que se había dedicado a otros menesteres, Trivedi ha publicado recientemente ensayos en los que alinea las abigarradas orna- mentaciones geométricas anidadas de templos hindúes y jainas con los mandelboxes tridimensionales hipercomplejos de la más poderosa tecnología fractal de culto de la segunda década del siglo tales como Incendia, Infinity Fractal, Mandelbulber y Mandel- bulb 3D (Trivedi 2017; figs. 3.4 y 3.5).

Figura 3.6 – Izq. Esponja fractal de Menger – Ejecutada por el autor en Janus Fractals®. Der.: Lideta Mercato, Addis Abbaba (Etiopía) – Según Vivalta Architecture, 2017. Otras figuras en las páginas siguientes ilustran otros fractales arquitectónicos de masa o de detalle en diferentes estilos; un rosetón de la Catedral de Notre Dame tal como era a

30 fines de 2018 –antes del incendio– se compara con una región del conjunto de Mandel- brot ampliada 37 trillones de veces (fig. 3.7). Otro artefacto que despliega figuras de innegable fractalidad es el famoso espejo celta de Desborough (albergado en el British Museum) que se muestra en la fig. 3.8 (der.). Ante la abundancia y dispersión temporal y espacial de los casos habría que imaginar mejores explicaciones que las actualmente vigentes, en las que se imaginan razones de simbolismo religioso y de analogías con las estructuras sociales específicas o con las cosmovisiones típicas de África, un género que no debería volver a practicarse después del arrepentimiento de Mary Douglas cuya bitá- cora me entretuve en narrar largamente en otras partes (cf. Reynoso 2019d). Episodios como éste no son suficientemente conocidos en la antropología y a esta altura del siglo eso es sin duda lamentable; no obstante, espero que llegue el día en el que los fenóme- nos en los que la geometría juega un papel central inspiren razonamientos mayormente geométricos, más cercanos a los de Paulus Gerdes o a los de Dmitri Tymoczko que a los de Ron Eglash o a los de las aladas paráfrasis simbólicas de la primera Mary Douglas, a los de las analogías involuntariamente convencionales de Alfred Gell o incluso a las de los símiles cosmológicos de Kirti Trivedi. En la huella de Eglash se ha ido formando un amplio conjunto de diseñadores que han llevado la práctica de la geometría fractal a un nivel que no estaba en los planes ni en la imaginación de nadie en los años 90s. Han habido unas cuantas reseñas críticas del libro de Eglash y de algunas de sus otras contribuciones. Las de Bangura (2000), Loftalian (2001) y Hill (2003) no son más que comentarios positivamente inclinados pero insus- tanciales y prematuramente envejecidas; las de James V. Rauff (1999) y Dwight D. Read (2004) son bastante más suculentas que eso.

Figura 3.7 – Izq.: Ventana de roseta del rosetón norte de Notre Dame. Fotografía del autor, feb. 2000. Der.: Conjunto fractal de Mandelbrot. Simetría dodecagonal magnificada por un factor de 37 trillones. Según Goldberger (1996: 103). La primera de ellas marca algunos puntos importantes. Rauff (1999) alega que la etno- geometría está acopiando partidarios y detractores. Los primeros celebran el reconoci-

31 miento de serias ideas geométricas en las sociedades tradicionales. Los segundos se quejan de las eventuales faltas de rigor y de la tendencia de los etnogeómetras a estancarse en consignas autoindulgentes y a perpetrar excesos posmodernos. Ambos utilizan ahora el libro de Eglash como coraza defensiva y arma de ataque. Tras esa observación Rauff comienza una prolija revisión del libro de Eglash que aquí reciclamos y parafra- seamos como un adecuado resumen del mismo. En su primer capítulo, no especialmente persuasivo (prosigue Rauff), Eglash enumera los cinco rasgos distintivos de la fractalidad: recursión, scaling, auto-similitud, infinitud (i. e. “progresión sin límite”) y dimensión fractal. El capítulo siguiente, en el que se despliegan fotografías aéreas de asentamientos africanos al lado de simulaciones de figuras fractales es el más deslumbrante de todo el libro (cf. fig. 3.1 y 3.3 más arriba). El tercer capítulo discute la falta de fractalidad en otros lugares fuera de África; es el más débil de todo el volumen, fundamentalmente debido a dos gruesos errores etnológicos. El primero de ellos es la atribución de Teotihuacán a la cultura Maya: una pifia flagrante y una muestra de desconocimiento de las culturas y geometrías del país de la puerta de al lado. El segundo error es la atribución de los dibujos en arena de Marcia Ascher en Eth- nomathematics a los Warlpiri, el pueblo aborigen que le puso nombre a los canguros y que habita un cronotopo clásico de la más vieja antropología. Rauff consigna que el análisis de Ascher referido a los Warlpiri de Australia tiene que ver con los sistemas de parentesco y que el estudio de los diseños en arena se refiere a los Malekula de las Nue- vas Hébridas, el archipiélago de unas 80 islas que hoy llamamos Vanuatu (cf. Ascher 1991: 45-61, 64, 70-77, 81-82). Rauff tiene razón. Las observaciones de Eglash sobre la fractalidad son en ambos casos inobjetables, pero el traspié antropológico no es por ello menos grosero; de hecho, está muy cerca de tornar banal el desarrollo de todo el argumento de la especificidad cultural de la fractalidad. Rauff no hace objeción a otra observación cuestionable de Eglash (1999: 45), que no es otra que la que afirma que los Kwakiutl son la única cultural con arte fractal de América del Norte. En este punto el error antropológico de Eglash es doble. Por un lado los Kwakiutl ya no deben llamarse así sino Kwakwa̱ ka̱ ʼwakw; por el otros, su arte es indistinguible del de grupos vecinos como los Salish, los Tlingit y sobre todo los Haida. Hay al menos otra crítica igual de ríspida que la de Rauff, por si les interesa. Dwight D. Read realiza una revisión del libro de Ron mayormente simpática con sus ideas, aunque con objeciones puntuales. Eglash –alega Read– no hace mayores esfuerzos por vincular las geometrías fractales encontradas con los sistemas de organización social y con la cosmología de las sociedades sur-saharianas. Tampoco le parece bien acabada la idea de que la etnomatemática es un acercamiento a la intencionalidad indígena y no tanto un simple registro de coincidencias circunstanciales. La objeción de fondo formulada por Read es esencialmente metodologica y afecta a buena parte de la estructura del libro. El argumento es el siguiente: The style of the book is equally ambivalent, varying between explicit demonstration of the fractal aspect of a particular settlement or design, and eclectic choice of examples. Eglash is comfortable with mathematical patterning in his exposition, but ignores statistical patterning. We are not provided with any sense of how examples were selected, the extent to

which they are typical or unusual examples of architecture or design, or the variability with which fractal patterning appears in different cultural groups. In part, this reflects the dicho- tomy between a topic that has to do with examining systems of thought, hence the particular pattern is crucial, versus considering the instantiation of those conceptual patterns in terms of quantitative measures appropriate for describing patterning at a phenomenological level (Read 2004: 203).

Aunque se entiende la objeción de Read, ella no guarda relación con ninguna clase de “patrón estadístico” sino que afecta más bien a la representatividad de lo que Eglash había establecido. La referencia de Read a presuntas o posibles “medidas cuantitativas para describir patrones a un nivel fenomenológico” no es una expresión feliz después de las demostraciones de Gregory Bateson en el sentido de que los números son el produc- to de la operación de contar mientras que las cantidades son el producto de la operación de medir (Bateson 1981 [1979]: 48 y ss.; Reynoso 2009). Dado que no proporciona nin- gún ejemplo de lo que aduce, no sé si Read se está refiriendo a medir o a contar, pero sea como fuere esta cuestión no se refiere a ninguna incumbencia conocida de lo que en nuestra profesión acordamos llamar estadística.

Figura 3.8 – Izq.: Espejo celta de Birdlip, Gloucestershire - Museum of Gloucester (ca. 200 aC) Der.: Espejo celta de Desborough, Northamptonshire - British Museum [924.0109.1] (50 aC-50 dC). Fotografía según Smith (1909). Ambos ejemplares contienen elegantes alusiones al problema geométrico de Apolonio. En cuanto a las consecuencias del libro de Eglash más allá de las críticas puntuales puede decirse que su obra ha desencadenado un movimiento mundial. Poco antes de morir Paulus Gerdes comenzó a citarlo encomiásticamente, admiró la belleza de sus presentaciones y modificó algunos de sus hábitos analíticos y de nomenclatura incorporando la

33 fractalidad, la auto-similitud, la recursividad, las proporciones irracionales, las secuencias de Fibonacci y la independencia de escala a su vocabulario analítico más convencional y escolar (1994a: 365; 2007: 105; 2009: 113; 2011a: 133, 159, 328, 403, 404; 2011b: 133, 159, 173, 212, 328, 381-82, 400, 403-4, 406, 472, 500, 655, 853; 2012: 147; 2014b: 198). Como no podría ser de otra manera, Gerdes fue también un autor a quien Eglash mencionó en pocas pero importantes ocasiones en distintos momentos de su obra (1999: 68, 122, 186, 222; Eglash y otros 2006: 347). Hace poco más de doce años (en una Conferencia TED del 2007) Eglash pareció otorgar mérito a la capacidad auto-organizativa del capitalismo, pero por lo demás él y Gerdes son autores próximos en materia de perspectiva de género y de posicionamiento ideológico.

Figura 3.9 – Serie de Fibonacci en la superficie de las cámaras del templo de Karnak en Luxor (reproducida con otra ilustración en Eglash [1999: 88] – Plano basado en Badawy [1965]). En la segunda década de este siglo XXI Eglash se ha convertido en el conductor indiscutido de la etnogeometría norteamericana, la cual hoy por hoy es una etnogeometría etic predominantemente fractal. Como cuestión de hecho, la fractalidad se ha encontrado mucho más allá de los contextos africanos en los que Eglash ha querido circunscri- birla, lo cual configura un problema mayor porque –según al menos un puñado de egla- shianos epigonales– no deberían haber tantos y tan buenos fractales allí donde positivamente los hay porque si así fuera la fractalidad dejaría de ser un rasgo identitario dis-

34 tintivo de lo africano y porque la geometría de África al sur del Sahara (y al norte de la selva lluviosa) dejaría de ser un caso tan excepcional (cf. Eglash y Bennett 2012; Bennett 2012; Sayed y Fahrid Ahmed 2014; Beardsley 2016; Gundaker 2016). A pesar de todo lo que hemos visto, la posición de África en un contexto supuestamente “global” no es de envidiar. Salvo cuando toca alguna exhibición mayor en el Metropo- litan o en British Museum, las grandes visiones panorámicas del arte, de la estética y de la geometría usualmente dejan el continente fuera de consideración. Se dice siempre que los chinos, los japoneses, los griegos, los romanos y eventualmente los peruanos (por obra de Machu Picchu) se han atenido a ideas estructurales rigurosas en la construcción de sus ciudades y templos y en la disposición de sus imágenes pero hasta ahí se conce- de. Sólo cuando se habla del Islām entra a tallar la geometría. La creencia habitual sigue sosteniendo que la Grecia clásica es la fuente suprema de la tradición geométrica y constructiva mientras que la antigua Babilonia ha sido la fuente primera de la tradición algebraica o computacional (cf. Seidenberg 1962b). La exclusión de África de las historias “universales” de diferentes asuntos geométricos es entonces digna de inspección. Cuando los expertos en historia del arte hablan de Á- frica parecería que lo hacen por conmiseración; en los libros en papel de ilustración las obras de arte africanas de los últimos siglos se acomodan junto a la Venus de Willen- dorf o a las pinturas de Altamira, como si hubiera un arte primitivo gourmet que vale lo que cuesta y que es signo de buen tono admirar pero que se apiña en una misma anti- güedad indefinida, un arte de museo que remite a un período (pre)histórico estilizado pero figurativo cuya carga de geometrización se detiene antes que las figuras comiencen a degenerar en estilizaciones sin carga de significación. Ni siquiera los estudios ins- criptos en la antropología del arte se han abstenido de leer los procesos que van de lo figurativo a lo geométrico (o a la inversa) a la luz de juicios de valor, debatiéndose entre la celebración de la estilización ganada o la pérdida de los simbolismos perdidos; África no ha sido una excepción. Cuando se extienden las referencias a casos al norte de África los occidentales sólo piensan en el Islām, o a lo sumo en Egipto; el hecho penoso es que –como ya se ha señalado– el África sub-Sahariana está invariablemente excluida de la idea de globalización (cf. Gundaker 2016).

Figura 3.10 – Sonata para 3 pianos y percusión de Béla Bartók. Ejemplo de geometría de la música basado en la serie de Fibonacci. Caso a cuento es el hábito de considerar cualquier relación de proporción más o menos aproximada como un caso de sección aúrea (o de sacro rectángulo). Lo cierto, sin embargo, es que mucho de lo que se dice sobre la presencia del segmento áureo aquí y allá

35 no es más que el residuo de una vieja leyenda urbana que se resiste a morir. Audrey Bennett (colaboradora ocasional de Eglash) cita al matemático y divulgador científico Keith Devlin, un autor amplio de criterio pero libre de toda sospecha de afrofilia. Es- cribe Devlin: Ciertamente, la afirmación tantas veces repetidas de que el Partenón de Atenas se basa en la proporción áurea [golden ratio] no es soportada por las mediciones concretas. De hecho, toda la historia sobre los griegos y el segmento áureo parece no tener ningún fundamento (Devlin 2005).

En musicología he llegado a apreciar sobremanera un reciente trabajo titulado algo así como “Uso y abuso del número de Fibonacci y de la Sección Áurea en la musicología actual”, un trabajo de la joven especialista en la buena y la mala numerología en la historia de la música Ruth Tatlow (2006) de la Universidad de Uppsala. Aclaremos a todo esto que ambas nociones suelen confundirse pero no son exactamente lo mismo, aunque andan cerca. El segmento áureo fue creado por Euclides más de un milenio antes que existiera la serie de Fibonacci, pero la cultura popular no lleva cuenta de esos detalles. Euclides tampoco dijo nunca que el segmento áureo (cuya razón aproximada es de 1.6180339887498948482045868..:1 y se denota φ, o phi) poseyera alguna cualidad estética específica, un mito que urdió Gustav Theodor Fechner [1801-1887], el psicólo- go favorito de Gregory Bateson a quien dediqué unos párrafos recientemente en mi libro sobre Dilemas de la Comparación, la Semejanza y la Diferencia (Reynoso 2019d). La relación entre ambos conceptos es por cierto estrecha pero un poquitín rebuscada: si se toman dos números sucesivos de la serie se comprobará que su relación en el límite es casi exactamente igual a φ. Créanme que no hay mucho más que eso, pero que eso alcanza para crear los misterios relacionales que a cada quien le venga en gana: tales impresionismos pululan, precisamente, en esta variante de la numerología.

Figura 3.11 – Geometrías anidadas en la cultura. Motivos del piso de la Catedral de Anagni, ca. 1226 (ó 1104 según otros fechados). De estilo románico, muestran triángulos de Sierpiński con 4 y 2 niveles de anidamiento.

El nombre de phi, naturalmente, lo puso alguien en homenaje a Fidias (=Phidias = Φειδίας), escultor de la estatua de Atenea en el Partenón. En un par de siglos, el segmento áureo ha conseguido un lugar permanente en el imaginario colectivo: en 1959 se lo describió en Donald en el País de las Matemáticas y en 2003 se lo nombró en El Có- digo Da Vinci de Dan Brown. No sólo aparece en docenas de películas y series (salvo, inexplicablemente, en The Simpsons o en The Big Bang Theory) sino que la música está inundada de relaciones áureas. En el tercer movimiento de la Sonata para 2 pianos y percusión (1937) de Béla Bartók [1881-1945], el pasaje introductorio a cargo del xilo- fón utiliza el llamado “ritmo de Fibonacci” que no es otro que 1:1:2:3:5:8:5:3:2:1:1 (cf. fig. 3.10). A lo que voy es que hay una rica geometría en la música (en toda la música, no sólo en la de África) y que las más de las veces esa geometría es fractal y recursiva (cf. Reynoso 2008; Toussaint 2013).12 En muchas instancias de las muy diversas geo- metrías afloran proporciones y relaciones que bien pueden ser también epifenómenos, efectos colaterales o consecuencias del análisis. Si se observa con cuidado la fig. 3.10 queda en evidencia que la “serie” de Fibonacci aparece, efectivamente, pero en un orden revuelto. Muchas veces suceden cosas parecidas, haciendo sospechar que esas series se encuentran prevalentemente en el ojo del observador.

Figura 3.12 – Capitel del templete de Isis en Filae, Asuán, Egipto. Ornamentación autosimilar reminiscente del conjunto de Cantor. Excepcionalmente se trata de cinco niveles de anidamiento – Según Makovicky (2016: 206). Contrástese con Eglash (1999: 12-13, 15, 17, 93, 99, 147-148, 206-208).

12 Sugiero echar una mirada a la página en que se muestra el uso de la serie de Fibonacci (ilustrada con la espiral logarítmica del caracol Nautilus) en la música de konnakol del sur de la India. Esa es la mejor ilustración que conozco de las geometrías latentes en el ritmo musical. La página se encuentra en este vínculo.

Cosas así no quitan que sobre todo en el dominio de la naturaleza la serie de Fibonacci y la sección áurea posean propiedades sorprendentes y se oculten en los lugares más insó- litos; ni siquiera en un libro que se quiere transgresor y crítico de las mitologías como quiere ser éste hay motivos para dudar de eso. Pero existe desesperantemente poca obra de desmixtificación seria en torno de la espesa quimera que se ha formado en torno suyo sobre todo cuando de la cultura se trata (Markowsky 1992; Livio 2002; Devlin 2007). En etnogeometría se echa de menos un estudio esclarecedor de una numerología que se ha tornado epidémica en el estudio de diseño y que merece una descontaminación como la que he comentado. Amén de eso el campo del análisis fractal de los objetos arquitec- tónicos está disperso al grado de lo increíble: una disertación de maestría titulada Frac- tal Analysis applied to ancient Egyptian Monumental Art de Jessica Robkin (2012) se refiere nada más que a cuestiones de análisis de la dimensión fractal, dejando de lado todo lo que tenga que ver con la geometría. Ni la serie de Fibonacci, ni el segmento áureo, ni las ideas de Badawy ni African fractals le merecen a Robkin una sola mención. Consideremos, de todas maneras, el estatuto de la serie de Fibonacci y del segmento áureo en la etnogeometría contemporánea. En el comienzo, Ron Eglash se refiere al tema unas cuantas veces (1999: 87-89, 110-111, 156, 205-206). Los datos en que reposa se basan en fuentes escritas antes que en la observación de indicios del uso de la serie o del segmento en edificios y artefactos. La primera referencia le viene a Eglash de los libros de Alexander Badawy [1913-1986] y en particular de Ancient Egyptian Architec- tural Design: A study of the harmonic system (Badawy 1965: 12, 24, 55, etc.). Badawy (un egiptólogo egipcio que descolló en la UCLA) dijo haber encontrado la serie de Fi- bonacci en el templo de Karnak en Luxor y en unos cuantos sitios más, tal como se muestra en la figura 3.9 más arriba. Badawy trabajó mucho con figuras y mapas, pero el respeto que ha ganado su interpretación en torno de la serie de Fibonacci le viene de su convicción de que los antiguos papiros matemáticos documentan el conocimiento que los egipcios tenían de las matemáticas implicadas. Desdichadamente, ya en este siglo, tras examinar todas y cada una de las fuentes matemáticas y las notaciones egipcias para series, proporciones y fracciones Corinna Rossi y Christopher Tout (2002) del Churchill College de Cambridge analizaron con gran respeto y minuciosidad las afirmaciones de Badawy y los documentos existentes y llegaron a la conclusión opuesta: Es importante señalar que no existe evidencia del uso de la serie de Fibonacci 1, 2, 3, , 8, 13 (o de cualquier serie parecida, tal como 1, 3, 4, 7, 11, 18 ... o 1, 4, 5, 9, 14, 23... etcétera) en ninguna fuente matemática egipcia. Los restos arquitectónicos por desdicha no ayudan porque los dibujos de Badawy mostrando el uso de la serie de Fibonacci en la arquitectura no son ni numerosos ni convincentes (Rossi y Tout 2002: 29).

Es muestra de lucidez que Eglash rechace todo cuanto se refiera a la presencia de series o rectángulos armónicos y dorados en el Partenón de Atenas. No es loable pero es com- prensible que no haya conocido las críticas que arquitectos y egiptólogos contrapusieron al modelo de Badawy. Lo que sí necesitaría alguna explicación es que Eglash acepte la numerología del análisis del templo trimilenario de Karnak como una instancia reciente de fractalidad representativa la concepción etno-matemática africana de la que se ocupa el grueso de su libro. Las distancias entre el Africa Occidental sub.sahariana y Egipto no 38 son siderales pero los tiempos involucrados se hallan milenios aparte. Lo cierto es que Fibonacci está mucho más lejos en el tiempo de los constructores de Karnak de lo que éstos lo están de Euclides y de lo que nosotros y los fractalistas africanos lo estamos de Fibonacci: son mundos de diferencia cultural y milenios de información faltante. En cuanto a Eglash y a Badawy, diré que en esta era de información en la punta de los de- dos proporcionar un ejemplo que no hacía falta y desencadenar sus consecuencias quita, creo yo, mucho más que lo que agrega. Poco sentido tiene además, me temo, ocuparse de Egipto y olvidar el Islām, pocas veces referido en el texto de Eglash a propósito de sus geometrías. Un tema de resolución pendiente es el de la presencia o la ausencia de fractales en otros enclaves culturales. Algo antes que los fractales se pusieran realmente de moda (lo que recién llegó a suceder después del surgimiento y consolidación de las computadoras personales con monitores gráficos) James A. Marshall (1987), por ejemplo, había encontrado geometrías euclideanas complejas al lado de “geometrías de Fibonacci” en antiguos sitios Hopewell en Ohio, Kentucky, Florida, Mississipi y otros estados, datados entre 400 aC y 400 dC y de una escala y complejidad comparables a las de las líneas de Naz- ca en Perú. Con la colaboración de la fallecida arqueóloga Patricia S. Essenpreis de la Universidad de Florida, Marshall concluyó su impresionante estudio preguntándose si es posible que existan otras culturas en África o en Oceanía capaces de ejecutar geome- trías similares. Essenpreis (o Marshall, no está claro) prometió reunir información sobre los sitios Hopewell para completar algún día un Atlas de estas geometrías indígenas, pero nunca supe que él o ella lo hayan hecho o que alguien más haya tomado la posta.

Figura 3.13 – Máscaras autosimilares Kwakiutl (hoy Kwakwa̱ ka̱ ʼwakw) según Audun Holme (1965). El Kwakwa̱ ka̱ ʼwakw (con su viejo nombre) es, como ya mencioné, el único estilo amerindio reconocido como fractal por Ron Eglash (1999: 45). En ese estilo hay, creo, una rica simetría axial pero poca fractalidad en el sentido estricto.

Hay a pesar de ello un museo que hospeda una Colección Hopewell que comenzó a reu- nirse a partir de aquel relevamiento, así como una extensa colección de objetos Hope- well pertenecientes al mismo Museo que reúne un amplio muestrario de piezas geomé- tricas (incluyendo no pocas esvástikas) que constituyen cabales adinkras, objetos geo- métricos denotativos que espero poder explicar de aquí a unos pocos capítulos.

Figura 3.14 – “Cosmograma” del Códice Fejérváry-Mayer, lám. 1 – Dominio Público Otra reproducciones en Krickeberg (1961: 191) y en Dehouve y Vié-Wohrer (2008: 240) Un excepcional estudio de Emil Makovicky sobre la simetria contiene un capítulo an- tológico sobre fractalidad en algunos objetos y lugares inesperados, tales como el complejo de edificios Jiu Tou Ma en la aldea Qi Yang en China, una vasija de bronce en el Instituto de Arte de Chicago, la Mezquita del Viernes en Isfahan, Irán, y la iglesia de Santa Maria en el Trastevere (fig. 3.12 más arriba). La inclusión de China e Irán en el club se la fractalidad con objetos rotundamente autoafines marca una diferencia. Salvo por el triángulo de Yang Hui a nadie se le había ocurrido antes que allí habría fractales de ese tipo. Los objetos de esta colección son mucho más convincentemente fractales

40 que los que habitualmente se encuentran en la Web y lo notable del caso es que el África sub-sahariana nada tiene que ver con ello; es la geometría de la auto-similitud y de la iteración a distintas escalas (y no la métrica áurea o la dimensión de conteo de cajas) lo que define la naturaleza de estas fractalidades. Dije hace un rato que después de Africa y de la India es en México donde se requiere dirimir la existencia y la naturaleza de las geometrías fractales que allí se encuentran según una opinión minoritaria pero empeñosa. En este libro se revisará la bibliografía mexicana simplemente como ensayo de búsquedas posibles suceptibles de acarrear hallazgos significativos, privilegiando lo geométrico por encima de lo fractal, esto es: sin desesperar si la fractalidad es poca y si lo que asoma es más bien alguna otra clase hete- rodoxa de geometría compleja. Como anticipo de lo que podría encontrarse allí invito a considerar la figura 3.14, una imagen mesoamericana reputada “fractal” por Danièle Dehouve y Anne-Marie Vié-Wohrer (2008) y Dehouve (2015) pero que no es más que un formidable ejercicio de simetría cuádruple en rosetón. Pese a la resistencia generalizada, con los años se ha acumulado una amplísima biblio- grafía sobre la fractalidad en la arqueología de México. En toda ella lo que más se a- cerca al logro de African Fractals es por un lado el estudio de Aline Lara Galicia y Da- vid Lagunas Arias y el survey de la etnóloga y socióloga comparativa Danièle Dehouve (Lara Galicia 2005; 2007; 2013; s/f; Lara Galicia y Lagunas Arias 2016; Dehouve 2017). Mientras esos textos articulan los ejes principales, hay una parva de trabajos que arran- can en los primeros años de este siglo y que aplican nociones de fractalidad al contexto mexicano con variada plausibilidad sin contrastar casi nunca con los valores de otros casos testigo y sin distinguir mayormente entre fractales genuinos y formas enrevesadas de simetrías (Oleshko y otros 2000; Burkle-Elizondo 2001; Burkle-Elizondo y Valdez- Cepeda 2001; Lorenz 2003; Burkle-Elizondo, Sala y Valdez-Cepeda 2004; Harris 2007; López Aguilar y Bali 2007; López Aguilar y Brambilla Paz 2007; Salvador García y Vilanova de Allende 2007; Dehouve 2017; Sala 2002; 2006). [Describir trabajos sobre geometría fractal en México, autor por autor] Aunque su autora conoce muy fragmentariamente la bibliografía de la geometría fractal en la cultura (desconociendo, por ejemplo, los trabajos de Paulus Gerdes y de la escuela de Kirti Trivedi, anteriores al texto de Eglash por décadas), un punto de partida interesante para elucidar la relación entre fractales y cultura en México es la que se presenta en el ensayo de la mencionada Danièle Dehouve, algunas de cuyas observaciones críti- cas sobre las interpretaciones metafóricas de lo fractal muestran un punzante sentido de la oportunidad. Dehouve propone varios estilos en la comprensión de dichas relaciones:  Los fractales como un procedimiento geométrico desarrollado en ciertas culturas (Eglash 1999). En lo personal, Dehouve se sitúa en esta categoría.  Los fractales como un procedimiento asociado con una cierta ontología (Descola 2010).

 Los fractales como una analogía que permite expresar representaciones provenientes de sociedades no europeas o de una forma de entendimiento en dichas sociedades (Wagner 1991).  Los fractales como una característica de las sociedades humanas consideradas sistemas complejos (Mosko 2005).  Los fractales como repetición de ciertos motivos en distintas escalas, fenómeno que se reproduce en cualquier cultura (Daryn 2006; Gausset 2010). Hay un serio problema con la estructura de la enumeración. Por empezar, la clasifica- ción no satisface los requisitos de exclusión, especificidad y tercero excluido que desde siempre deben regir las taxonomías. Bien podría ser que los fractales, por ejemplo, sean un procedimiento geométrico desarrollado en ciertas culturas que se asocien con una cierta ontología puntual y que permitan ciertas representaciones, y que todo ello ocurra simultáneamente. El esquema no permite seleccionar inequívocamente las respuestas y está por ello defectuosamente articulado, pero por lo menos el intento de Dehouve cons- tituye un tangible punto de partida susceptible de ser mejorado.

Figura 3.15 – Dios fractal y personalidad genealógica objetivada según Alfred Gell (2005: figs. 7.11/1 y 7.11/2). Ninguna de las figuras exhiben rasgos estrictos de scaling recursivo y anidado que corresponderían a un fractal. La imagen mayor tampoco es “plural” sino que es una unidad “contenedora”, replicando el papel de la multiplicidad que posee el colectivo que llamamos “sociedad” en Occidente. En el marco wagneriano un problema tan serio y tan trabajado en las filosofias de O- riente y Occidente como la mereología (esto es, la relación entre las partes y el todo) no está tratado tampoco con un mínimo de rigor conceptual y metodológico. El hecho es también que no todas las partes de un fractal se asemejan al todo, que el alcance, delimi- tación y denotación de las partes no están precisados y que si la similitud es un concepto

42 vago la autosimilitud lo es todavía más. Que se manifieste similitud depende a veces de coincidencias excepcionales en la parametrización; lo usual es también que ella se presente a escalas indiscernibles, micro- o nanoscópicas,13 no perceptibles al ojo humano y ocupando un porcentaje ínfimo del espacio fractal. La autosimilitud es además cuestión de grado y no de cualidad opositiva; no hay de hecho ningún instrumento que la mida.14 Por lo demás, no es verdad que Wagner haya traído la idea de fractal a la antropología en su “The fractal person” (1991), que es lo que Dehouve (2015) afirma en un artículo relacionado, sesgado hacia una visión posmoderna del caos que es como la camisa de fuerza en que ella ha quedado atrapada. Dehouve no ha buscado bien. Ron Eglash ya manejaba la idea de fractalidad y dimensión fractal en su tesis de doctorado A Cyberne- tics of Chaos (1992: 236, 237, 307, etc), elaborada a mediados de 1990; Eglash y yo, de hecho, discutimos sobre gran número de textos antropológicos anteriores al artículo de Wagner en nuestro encuentro en la Universidad de California en Santa Cruz (v. gr. Mur- phy 1991). De hecho, Eglash hasta hoy nunca mencionó a Wagner, cuyo breve artículo carece de toda elaboración formal y no había sido siquiera reseñado en antropología antes de su santificación en la literatura perspectivista bien entrado el siglo XXI. Si hay alguien que introdujo la fractalidad en las ciencias sociales fue por amplio margen Jesús Ibáñez [1928-1992] en su fallida Investigación Social de Segundo Orden, un marco de referencia ya discontinuado, atravesado por toda clase de errores de concepto, de algo- rítmica, de notación matemática y hasta de ortografía pero que es al menos seis años anterior a la fractalografía wagneriana (Ibáñez 1985; 1990: 132-138; 1991 [febrero]: 36- 37, 41, 122, 163; cf. Reynoso 2006: 5, 64, 96). Problema adicional es que las posturas de Philippe Descola y de Roy Wagner que De- houve describe no están expresadas con claridad en sus originales, lo cual he cuestio- nado largamente en otros textos (Reynoso 2019b). Lo peor de todo es que Wagner, siguiendo a Marilyn Strathern, mezcla indebidamente los conceptos de fractal y de holograma, los cuales no se implican mutuamente: corte usted un conjunto de Mandelbrot por el medio, observe lo que le queda entre manos y entenderá lo que quiero decir.15

13 Del orden de los trillones ¿por qué no?: véase fig. 3.7 en la pág. 29. 14 Es lástima que el lamentado Alfred Gell [1945-1997] haya creído el cuento de la autosimilitud fractal impulsado por Roy Wagner y Marilyn Strathern sin reparar en los matices que impone el propio Mandel- brot a las formas divergentes de autoafinidad y autosemejanza. Si se mira bien se verá que Gell no menciona a Mandelbrot ni a nadie que se atenga a una visión sistemática de la fractalidad como podrían ser Ron Eglash o Paulus Gerdes. Por ello es que el “Dios Fractal” y la “personalidad genealógica objetivada” que ilustra Gell (fig. 3.15 en estas páginas) no son “fractales” en el sentido de implementar escalas anidadas, ni se corresponden a la región geográfica del mundo donde esa clase de figuras recursivas debería encontrarse (cf. Gell 2005: 113, 185-186, 274, 308). Tampoco son formas propias de Nueva Guinea como las que estudiaron Wagner y Strathern, sino que proceden de Rurutu y de las islas Cook, respectivamente, ambas en el mero centro de la Polinesia [Desarrollar crítica de Gell: Bowden; Layton; Morphy, Winter 2007]. 15 No existe en toda la literatura científica un solo ejemplo concreto de fractal hologramático. El holograma de una papa (tubérculo de fractalidad nula los hay) no la fractaliza en absoluto. Puede hacerse desde ya un holograma de un fractal, pero esa aplicación no es privativa de esa clase de objetos. Hablar de la afinidad entre el concepto de fractalidad y el de holograma es un sinsentido insgne: ya va siendo hora de que estas clases de afirmaciones se denuncien y se traten como las banalidades que son.

Por la misma época, dos expertos en ciencias de la computación y dos arqueólogos de Londres, Diane Rees, G. G. Wilkinson, Clive Orton y Roger Grace (1988), utilizaron la idea de dimensión fractal para analizar imágenes gráficas de microdesgaste de instrumentos arqueológicos, prestando atención a los complejos patrones geométricos de las texturas (cf. además Rees y Orton 1991). Estuve presente en la primera presentación pú- blica de esos métodos en la conferencia de Computer Applications in Archaeology desarrollada en la Universidad de Birmingham en marzo de 1988; tres años antes que Wag- ner descubriera la fractalidad señalé a Orton pormenores y complicaciones del análisis que yo describiría tiempo más tarde –con Orton de nuevo presente– en una conferencia sobre complejidad impartida en Kyoto (Rees y otros 1988; Reynoso 2005; 2006: 239). La infinitud es, como se imaginará, un aspecto de la fractalidad aun más problemático. Casi todos los autores que han tratado el tema (incluido Eglash) parecen pensar que los fractales se anidan indefinidamente y que el anidamiento prosigue hasta el infinito. El problema con esta línea de argumentación es que los fractales culturales tienen, cuando mucho, tres o cuatro niveles de anidamiento (ver fig. 3.4, 3.11 y 3.12); contrariamente a lo que sostienen espíritus como Donna Haraway, Marilyn Strathern y Roy Wagner, ni el individuo como tal ni la sociedad ni las dichosas multiplicidades del perspectivismo han demostrado ser susceptibles de representarse como geometrías anidadas autoafines, como fractales en el plano complejo o (mucho menos) como hologramas. La noción de fractalidad de Gil Daryn, asimismo, se basa en una difusa definición de fractal/autosimilar derivada de Wagner y una enredada concepción de la idea de dimen- sión fractal, la cual no se usa más que metafóricamente creyendo que es un indicador de autosimilitud. El autor no mide la dimensión fractal de ningún objeto ni consigna mediciones de terceros. Ninguno de los criterios descriptivos que utiliza es de orden geomé- trico. Para darles una idea de lo que quiero decir invito a que se considere que en las 300 páginas del libro no se menciona ni una sola vez la palabra “geometría” como no sea para referirse al título del libro de Mandelbrot sin mencionar nada de él en el cuerpo del texto. El artículo de Descola, por su parte, no define fractalidad ni mal ni bien, utiliza una sola vez y al pasar el concepto de fractal sin especificar claramente sus atri- butos, no vincula (como se eperaba que lo hiciera) cada una de las ontologías existentes con alguna geometría específica y (aunque algún autor ha creído o querido leer afirmaciones de ese calibre) tampoco menciona la palabra geometría. La visión de Mark Mosko a la que Dehouve hace referencia, pos su parte, no ofrece criterios adecuados para dirimir el grado de complejidad de las sociedades ni el grado de similitud que se aceptaría como umbral de las “autosimilitudes”, el cual es un concepto impropio a partir del momento en que la dimensión fractal (sobre todo cuando se la mide faut de mieux por el método grosero del box counting) no mide similitud sino grado de complejidad (o de orden/desorden, o de abigarramiento). Lo he probado hasta el har- tazgo y lo han comprobado también otros autores más calificados que yo: cualquier dibujo enmarañado, hirsuto o revuelto más allá de cota moderada de ruido-señal posee casi la misma dimensión fractal que el conjunto de Mandelbrot (típicamente 1.9 o más), considerado por todo el mundo como el objeto matemático más complejo del universo

(Dutta y Adane 2014; 2018 versus Jones-Smith y Mathur 2016; Reynoso 2005; 2019d: cap. 9). Desde el punto de vista antropológico y geométrico, además, la propuesta de Mosko se da de narices contra el hecho de que existen sociedades tecnológicamente simples pero con geometrías (o con sistemas de parentesco, o con sistemas fonológicos) de complejidad inimaginable, tal como puede comprobar el lector en casi cualquier museo etno- gráfico del mundo donde haya cerámicas, tallas en madera, textiles, cestos, artesanias, arte corporal, máscaras, chaquiras... Para cerrar este punto diré que aunque algunos de sus puntos de vista personales me resultan sólidos, en todos los paradigmas fractales que hilvana Dehouve en su enumeración la geometría fractal no es más que antropolo- gía simbólica, hermenéutica o posmodernismo con otros nombres: una narrativa sin aristas técnicas filosas cocinadas en un caldo de analogías que habrían avergonzado a Nelson Goodman (y hasta quizá también a Mary Douglas después de su ordalía good- maniana) (cf. Reynoso 2019c: caps. 4.8 y 5). El carácter aproximativo de los cálculos y mediciones prodigados en la mayor parte de esa literatura ha disparado también algunas polémicas muchas veces ríspidas, como si nos halláramos en un terreno conjetural y especulativo semejante al de Black Athena, al de las mediciones de Richard Taylor de la dimensión fractal de los cuadros de Jackson Pollock o las búsquedas desesperanzadas de cuasicristales aperiódicos antes de los des- cubrimientos definitorios que los reposicionarían en el cuadro de honor de las ciencias del milenio (cf. Reynoso 2019c: cap. 9). Uno se pregunta en el caso de México (o en el de los textiles andinos, o el de los templos hindúes, o el de los muqarnas islámicos) si la tan socorrida fractalidad no es simplemente el nombre sustituto para una simetría la mayor parte de las veces enredada pero nada más que iterativa al lado de una autosimilitud esporádica y no demasiado exacta (cf. p. ej. http://Masdemx.com). La similitud y la diferencia (recordémoslo) son conceptos extremadamente elusivos. En los ejemplos que pueblan la bibliografía hay veces en que la fractalidad no es la característica dominante y que es la clase de iso- metría geométrica lo que deviene más saliente; no hay tampoco una clara línea de de- marcación entre lo simétrico y lo fractal, conceptos que parecen sufrir lo que los lin- güistas llaman distribución complementaria (cf. p. ej. las secuencias de embaldosados de Daud Sutton [2007]). Lectura esencial a este respecto es el conjunto de textos críticos de Michael J. Ostwald y Josephine Vaughan (2013; 2016), los cuales comprueban la extrema facilidad con la que pueden recolectarse rasgos de fractalidad arquitectónica sin mayores consecuencias conceptuales, sin casi ninguna garantía metodológica y sin que lo fractal pase a designar lo meramente complicado. Desde que el milenio comenzó se está pensando en fractales con menos rigor que el que se requiere y se está hablando de ellos mucho más de lo que realmente hace falta. Que los fractales abunden más allá de cierta cota no ha sido en definitiva una buena noticia. La fractalidad es como una moneda que se devalúa cuanta más emisión experimenta. El coleccionismo de objetos fractales puede ser un primer paso en la búsqueda de indicadores sustantivos, pero esa búsqueda debería hacerse de aquí en más en base a criterios

45 más firmes, reflexivos y consensuados. Mi persuación es que la definición de fractal de- bería ser más dura, más precisa y más restrictiva, a menos que nos resignemos a aplicar- la en términos blanda y mórbidamente metafóricos, como cuando a cualquier ordena- miento de un conjunto lo llamábamos sistema sin precisar el alcance de la idea y presu- poniendo que su cualidad de objeto sistemático no merecía demostración. Si aquí me atrevo a hablar de blandura en el tratamiento de la fractalidad es (1) porque el criterio de autosimilitud no es susceptible de medición, abre las puertas a la subjetivi- dad más caprichosa y depende del nivel de abstracción que cada quien adopte; (2) porque la dimensión fractal calculada en base al cómputo de cajas (igual que sucede con la media en las distribuciones estadísticas) dista de ser un parámetro robusto y varía con- forme al efecto de las alas de mariposa, a los más excéntricos errores de redondeo o a lo que nuestro Gregory Bateson (1979: 40-41) llamaba impredictibilidad de las secuencias divergentes; y (3) porque tres, cuatro o (con suerte) cinco niveles de anidamiento no son ni por asomo indicadores de una recursión que tiende a la infinitud. Los objetos fractales encarnan, entonces, esa clase de ideas que empieza a perder filo y significación cuando se entiende mal la geometría en la que se materializan y cuando se empiezan a encontrar objetos de ese tipo en una cantidad demasiado grande de lugares en los que se supone que no deberían estar.

4 - Hitos de la etnogeometría (2): Simetrías en la cultura

Sería pues ilusorio imaginarse, como tantos etnólo- gos e historiadores del arte siguen haciéndolo toda- vía hoy, que una máscara y, de manera más general, una escultura o un cuadro, pueden interpretarse cada cual por su cuenta, por lo que representan o por el uso estético o ritual al cual se destinan. Hemos visto que, por el contrario, una máscara no existe en sí; supone, siempre presentes a sus lados, otras másca- ras reales o posibles que habrían podido ser esco- gidas para ponerlas en su lugar. Lévi-Strauss, La vía de las máscaras.

Aquellos tracistas granadinos fueron capaces de desarrollar, en los mosaicos de la Alhambra, las 17 posibilidades que hoy conocemos desde el descubrimiento de los rayos X y la Teoría de Grupos Crista- lográficos Planos. Es más, la Alhambra es, actualmente, el único monumento construido antes del descubrimiento de la teoría de grupos que cuenta con al menos un ejemplo de cada uno de los grupos cristalográficos planos. Rafael Pérez Gómez (2004)

Las historias que han vuelto a surgir en el siglo XXI revelan que la simetría es un concepto mucho más rico y polimorfo de lo que suponíamos, en tanto que brinda la pauta que conecta diversos dominios del conocimiento y demuestra una vez más que el conocimiento de la elaboración cultural de las diversas prácticas geométricas engloba- das como simetrías podría llegar a ser esencial para comprender aspectos fundamentales de las ciencias y las matemáticas contemporáneas (cf. Weyl 1952; Shubnikov y Koptsik 1974; Hargittai 1986; 1989; Hargittai y Vanshtein 1988; Pérez Gómez 2004; Darvas 2007; Stewart 2007; Hon y Goldstein 2008; Field y Golubistsky 2009; Hargittai y Hargittai 2009; Ladd 2014; Fré 2018; Jinzenji 2018). Sin nociones amplias y rigurosas de simetría, afirmo aquí, no pueden comprenderse algunos de los conceptos básicos de la teoría de grupos y del análisis estructural de alta gama que fueron alguna vez moneda corriente en lingüística y antropología hasta que las modas comenzaron a cambiar (cf. Reynoso 1990). Tales nociones, por cierto, no acaban en las operaciones de tipificación de diseños si- métricos sino que entrañan ramificaciones que (al igual que lo hacen otros aspectos de la geometría) se extienden al dominio de la cognición, del simbolismo y de la represen- tación, por cuanto la simetría es un campo en el que se encuentran con particular nitidez los aspectos universales y particulares de un fenómeno definido con tanta claridad como muy pocos otros, un fenómeno, además, de innumerables consecuencias anidadas. Por más que se la pueda definir de casi infinitas formas, la simetría como plasmación geo- métrica no es un evento periférico o de importancia episódica; no conozco sociedad, de hecho, en la que no se presente alguna clase de simetría y donde ella no sea esencial a

47 efectos de vertebrar la representación en general, así como de vincular campos tan abso- lutamente disjuntos como las matemáticas, el arte, la cultura material y la tecnología. A punto de dar inicio a otro capítulo no quisiera incurrir en otro acto de spoiling indiscreto más allá del epígrafe que he tomado de Rafael Pérez Gómez (2004), pero una vez más mostraremos aquí de qué manera las artes y oficios geométricos de los otros pueblos se anticiparon en el orden de los siete, ocho o más siglos a los hallazgos de las formas más elaboradas de la teoría de grupos, la tecnología de rayos X, las teorías de conservación, la cristalografía y la física de estado sólido. Y una vez más han de ser los teóricos de la línea dura los que reconocieran la precedencia de artistas y artesanos de los otros pueblos sobre los círculos científicos de Occidente, un hecho que la antropología del arte y las disciplinas conexas de las humanidades todavía hoy se obstinan en ignorar. Me refiero en particular a la obra del matemático y filósofo Hermann Weyl [1885-1955] y en particular a su luminoso libro Symmetry (1952), un prodigio de inteligibilidad, hondura analítica y sensibilidad estética que ningún antropólogo del arte y ningún etno- geómetra debería darse el lujo de ignorar. Weyl no duda en otorgar prioridad al arte egipcio y pre-islámico en la intuición y sistematización de simetrías que llevarían sin discontinuidades a la teoría de la relatividad y a la mecánica cuántica, entre otros campos de la ciencia. En alguna medida el libro que se está leyendo ha buscado expresa- mente generalizar los hallazgos de Weyl a otros campos de la (etno)geometría aparte de las isometrías del plano. Antes de comenzar a re-articular el campo de las geometrías en la cultura en base a los marcos de referencias fijados por Weyl conviene esbozar una no necesariamente breve demarcación para enumerar los múltiples campos del conocimiento que muy diversos autores en un buen número de disciplinas han sistematizado en términos de simetrías. No todas esas sistematizaciones se encuentran a pocos grados de separación de los argumentos que se desarrollan en este libro. No conviene, empero, demarcar postulados científicos excomulgables o excluir líneas de investigación con demasiada prisa. Estu- dios como los que presenta el científico húngaro István Hargittai (1992) en un libro como Fivefold symmetry tocan asuntos que por momentos parecen ausentes de toda pero- cupación antropológica o etnogeométrica pero que de pronto relevan una relevancia inu- sitada, lo cual indica que las relaciones temáticas entre las ciencias no se distribuyen según proximidades y distancias lineales y uniformes sino que obedecen a una geo- metría laberíntica, no isométrica y cambiante. Basándose en un breve artículo pionero de John Roche (1985), Giora Hon del Departa- mento de Filosofía de la Universidad de Haifa y Bernard Goldstein del Departamento de Artes y Ciencias la Universidad de Pittsburgh han publicado hace poco un libro de mediano porte titulado From Summetry to Symmetry: The Making of a Revolutionary Scientific Concept (Hon y Goldstein 2008). Este libro contiene muchísima información sobre la evolución del concepto de simetría a traves del tiempo, lo cual puede llegar a ser desconcertante para el lector interesado en las geometrías de la cultura. Los autores parten de la base de que el concepto de simetría no existía con anterioridad al siglo XVIII. “Tal cual lo entendemos hoy” –dicen– el concepto sólo se forjó prácticamente en

48 el siglo XIX. El problema con esta enunciación es que el entendimiento al que se refieren Hon y Goldstein es de un carácter extremadamente técnico y no coincide con lo que en las ciencias del diseño, en la historia del arte o en la etnogeometría entendemos cotidianamente por ese concepto. Lo mismo se aplica a publicaciones como las de San- dy L. Zabell (2005), la cual ostenta el titulo sugerente de Symmetry and its discontents, pero en donde el concepto de simetría se trata en el marco de las problemáticas de la probabilidad inductiva y nombres tales como el de Évariste Galois y el de Hermann Weyl se nombran sólo al pasar o se callan del todo. El problema que se suscita ante tantas significaciones dispersas, parcialmente convergentes o irregularmente solapadas de la idea, es que con la simetría todo acaba siendo como en las “Instrucciones para subir una escalera” de nuestro Julio Cortázar, en la medida en que en este cuento el dilema fincaba en que tanto el pie izquierdo como el derecho se llaman ‘pie’, mientras que en este otro dominio del saber tanto la simetría en la que pensamos por defecto como cualesquiera otras simetrías se llaman todas ‘simetría’. A mi juicio, la historia de la simetría que es a la vez inteligible y esclarecedora para la antropología del arte y la etnogeometría comienza precisamente con el sorprendente texto de breves y compactas 46 páginas de Évariste Galois [1811-1832] que se publicó 14 años después de su muerte a raíz de las heridas que un rival le infirió en un duelo qe tuvo lugar tras una discusión por razones políticas banales. Tras ser herido en ese duelo y adivinando que no le quedaban más que unas horas de vida, Galois escribió esas pági- nas como sumido en un delirio febril. Un amigo guardó esas páginas y las publicó poco después. En esas páginas se inaugura la teoría de grupos, tras la cual ni las matemáticas ni la geometría volverían a ser las mismas. Pietro Giuseppe Fré (profesor de Física Teó- rica de la Universidad de Turín) narra ese acontecimiento con estas palabras: The theory named after him and the theorem which, within such a theory, constitutes Ga- lois’ major result, are rather difficult both at the level of the definitions and of the proofs: in addition one can honestly say that Galois theory of the solubility of algebraic equations is a rather specialized topic which, nowadays, finds relevant applications eminently in number theory and associated topics, but not too many in geometry at large and in physics. On the contrary the weapon that Galois developed to obtain his own results, namely the Theory of Groups, has proved of extraordinary conceptual relevance and fertility, being the starting point for an entirely new vision of Mathematics and in particular of Symmetry Fré 2018. 21).

Fré también nos proporciona una descripción simple de un grupo de transformación. A partir de nociones como éstas se desarrollará hacia fines del siglo XIX y principios del siglo XX una elaboración más específicas de la simetría (el estudio de los embaldosados y teselaciones) que se investigará en el capítulo siguiente. El lector interesado puede consultar alguna bibliografía reciente que permite comprender el campo de la simetría de maneras que no eran posibles veinte o treinta años atrás y penetrar más hondo en muchas de sus especialidades como la cristalografía y la difracción (v. gr. Shubnikov y Koptsik 1974; Hargittai y Vainshtein 1988; Ladd 2014). Algunas nociones ligadas a la preservación de elementos en las transformaciones han alumbrado teorías situadas en campos muy apartados de las ciencias sociales; el llamado teorema de Emmy Noether

[1882-1935], por ejemplo, se ha aplicado a la gestión de relaciones públicas y ciencia política (v. gr. Sha 2004). 

Desde el punto de vista geométrico y algebraico la mayor parte de las descripciones de diseños simétricos en la literatura etnográfica y arqueológica es algo peor que simplemente inapropiada. Nuestros especialistas carecen de un léxico para llamar a las estructuras simétricas por su nombre o por algunas de las múltiples designaciones que se han consensuado; es imposible, por lo tanto, saber qué estructuras o transformaciones espe- cíficas se manifiestan en qué culturas, regiones o períodos de la (pre)historia y cuáles o- tras están conspicuamente ausentes. Desde sus orígenes las disciplinas antropológicas han explotado la noción de estilo geométrico, pero no la han articulado de una manera útil y sistemática, contentándose con asignar cada una de las simetrías encontradas a un estilo ‘geométrico’ indiferenciado y no reconociendo como tales a un gran número de transformaciones isométricas tipificadas por los especialistas. Lo peor de todo esto es que existe una profusa producción sobre la notación y nomenclatura de patrones simétricos en otras disciplinas; pero aunque pueden encontrarse algunos precedentes dignos en estudios culturalmente sensitivos, es sólo a partir de los trabajos de Dorothy Washburn, Donald Crowe y sus colaboradores en la Universidad de Washington en Seattle a fines de la década de 1980 que el análisis de la simetría llegó a nuestras disciplinas elaborado en forma científicamente productiva (Washburn y Crowe 1988; 2001; Zaslow 1990; Crowe 2001; Washburn y Humphey 2001; Washburn 2004). Por esa época y en años subsiguientes surgen los journals más importantes de la especialidad y de temas conexos de espacio y diseño: Symmetry: Culture and Science de Symmetrion, Journal of Mathematics and the Arts de Taylor & Francis Online, Interna- tional Journal of Space Structures de SAGE. Pero el trabajo de todos los autores suma- dos a la iniciativa no habría sido lo mismo de no contar con la poderosa sistematización de Henry John Woods [1903-1984], un físico que trabajaba en el Departamento Textil de la Universidad de Leeds, que publicó cuatro tratados fundacionales sistemáticos en el Journal of the Textile Institute tomando como punto de partida el estado de arte de la simetría cristalográfica del momento (Woods 1935a; 1935b; 1935c; 1936). Es lamentable que estos esfuerzos de sistematización no hayan sido acompañados por la comunidad de los estudios etnogeométricos; de hecho, la nomenclatura ha experimentando un impacto más fuerte en humanidades tales como la historia del arte, el diseño gráfico o las ciencias de la educación que en disciplinas supuestamente más científicas tales como la arqueología. En un campo en el que las buenas iniciativas no sobre- abundan, Ron Eglash, inesperadamente, cuestionó duramente la asignación de clasifica- ciones “sacadas de la cristalografía” para la comprensión de las simetrías aborígenes, como si ese acto de “traducción” (como él lo llama) fuera cualitativamente lo opuesto a aplicar mediciones de dimensión fractal o algorítmicas recursivas a los diseños de otras culturas (Eglash 2001; 2006: 349; Rosa y Orey 2010: 11).

No obstante esta resistencia incomprensible y contradictoria, la clasificación “cristalo- gráfica” de las simetrías ha producido una descomunal cantidad de análisis de alta calidad y fuerte sustancia y ha puesto todo el campo de las simetrías en primer plano, aunque la saliencia cognitiva de las operaciones básicas en el momento de la construcción de los ejemplares (la “realidad psicológica” de los postulados teóricos, como se decía antes) quede siempre en el territorio de lo conjetural. Contrariando a Eglash, en un mundo globalizado para mal o para bien las isometrias etic se usan activa y rutinariamente en los Servicios de Educación de Ghana para reforzar los sentimientos identitarios de los actores culturales (Langdon 1989: 178).

Figura 4.1 – “Figura que representa un tiburón”, según Lévi-Strauss (fig. III de la sección de láminas; descripto en la nota #29 de la pág. 239 de Antropología Estructural). Tomado del Report mencionado por Lévi-Strauss, donde se lo etiqueta como “Haida dog fish” (Mallery 1888-1889, lám. XXV, pág. 402). Imagen en el dominio público). El error en que incurre Eglash ha puesto sobre el tapete las consecuencias más serias del aislamiento disciplinario y la falta de comprensión en el seno de las ciencias sociales de la necesidad urgente de la colaboración transdisciplinaria para la ampliación de los hori- zontes metodológicos. A raíz de ese error se ha demostrado imperativo que la antropolo- gía tome cartas en la investigación reflexiva de la historia y la contextualización cultural de los conceptos que emplea más allá del caso concreto de la simetría. Lo cierto es que ni siquiera Washburn y Crowe se han ocupado de seguir el curso de la historia del méto- do de tipificación “cristalográfico” que utilizan, haciendo como que las reformulaciones antiguas y recientes de las nomenclaturas simétricas fueran irrelevantes en la gran escala. Aquí sostengo que claramente no lo son. Todo ponderado, debo salir al cruce del hecho de que el texto de Washburn y Crowe es de los años 80s, carga con casi 40 años de

51 uso académico a sus espaldas y se ha quedado corto en cuanto a la conexión productiva de la simetría práctica con toda clase de universos conceptuales, lo cual redunda en nuestra progresiva incomprensión de las simetrías situadas en la cultura. Dos trabajos esenciales en la despareja trayectoria de la antropología del arte y de los estudios de la simetrías (uno de ellos temprano, el otro no demasiado reciente) ritman un espacio del conocimiento que desde su misma fundación ofrecía más promesas explicativas, comparativas e interpretativas de las que podía cumplir. Me refiero primero al libro de Franz Boas (1922) sobre el arte primitivo y luego al artículo de Claude Lévi-Strauss (1968 [1958 {1944-1945}]) sobre la asimetría/simetría entre los Caduveo y el desdoblamiento de la imagen en el arte del noroeste de USA, de la cultura Māori y de la antigua china. El primero, el texto de Franz Boas, ofrece un régimen de ilustración gráfica apabullante para la época, acompañándolo de interpretaciones geométricas que el propio Lévi-Strauss reconoce compactas y elegantes; el segundo saca casi todas sus ilustraciones de aquél para después estancarse en un problema apasionante de similitudes o isomorfismos entre culturas distantes en el tiempo y en el espacio para el que no puede encontrar una solución satisfactoria (cf. fig. 4.1 más arriba). Una versión moderna de ambos libros es Northwest Coast Indian Art de Bill Holm (2014). En todos estos textos clásicos centrados en el Noroeste de los Estados Unidos y más infrecuentemente en la Amazonia (y en la virtual totalidad de la imagen que los arqueólogos del mundo tienen de la simetría) la idea dominante de lo simétrico se agota en la simetría espejada con eje primordialmente vertical. El centro gravitatorio de los trabajos sobre simetría en antropología del arte antes de Washburn-Crowe es el tratamiento lévi-straussiano del desdoblamiento de la presenta- ción cuya ilustración emblemática es la que se muestra en la fig. 4.1 reproducida más arriba en la pág. 51. La cabeza se muestra de frente, para que se puedan ver los símbolos característicos del tibu- rón, pero el cuerpo está partido en toda su longitud y las dos mitades han sido extendidas sobre el plano, a derecha e izquierda de la cabeza (Lévi-Strauss 1973 [1958]: lám. iii).

La descripción de los aspectos constructivos de la simetría por parte de Lévi-Strauss es literariamente atrapante pero se deriva de los agudos análisis de H. G. Greel, Leonhard Adam y en especial Franz Boas, quien había tratado un ejemplar y también había seña- lado la similitud de los desdoblamientos chinos y americanos. En el texto lévistraussia- no no queda claro en qué cultura se origina la imagen (¿Tsimshian, Tlingit, Haida, “Kwakiutl”, Salish?). En la primera edición de Primitive art Boas (1927: 229) muestra un “pez perro” de los Haida; la figura que reproduce Lévi-Strauss tiene un aire de familia pero no es la misma. La referencia que brinda Lévi-Strauss de su figura es incom- pleta (“Tenth Annual Report, Bureau of American Ethnology, Pl. XXV”) y no se indica ni el nombre de autor de quien proviene la imagen ni el rótulo de la figura original. Ni los editores de la edición francesa de Anthropologie structurale ni sus traductores al castellano (Eliseo Verón y Eduardo Menéndez) se dieron cuenta que algo fallaba en el tratamiento de las fuentes. Ahora bien, el Décimo Reporte Anual es de 1888-1889 y se encuentra disponible en el dominio público. El trabajo principal publicado en el Reporte

52 es de Garrick Mallery, a quien Lévi-Strauss no menciona nunca. La figura XXVI de Mallery (de donde tomé el ejemplar) se define como un “Dog Fish” (una de las variedades más comunes de tiburones) y no como un tiburón a secas. El coloreado del original reduce grandemente su similitud con el gabinete metálico de China; la imagen no coincide con la figura que Boas reproduce con ese nombre; Lévi-Strauss tampoco menciona dicha variedad de tiburón.

Figura 4.2 – Izq.: Bronce descubierto en An-Yang, China – Según Lévi-Strauss (1958: 276 fig. 19). Der.: Motivo de pintura facial Caduveo [Kadiwéu] – Según Lévi-Strauss (1958: 280, fig. 21). Los espirales de la imagen a la izquierda con su rara distribución de levógiros y dextrógiros (más cuadrangulares que los Caduveo) no se perciben en la edición en castellano. Así y todo Lévi-Strauss (partiendo de la base de que las culturas de Pacífico, al igual que la china, son sociedades de máscaras) cree superar la interpretación puramente geo- métrica de Boas sumergiéndose en un ejercicio que no es estructural sino analógico, parecido a aquéllos de los que Mary Douglas había renegado en su propia obra temprana. Escribe Lévi-Strauss: La independencia recíproca del elemento plástico y el elemento gráfico corresponde a un juego más flexible entre el orden social y el orden sobrenatural, así como el desdoblamiento de la representación expresa la estricta adhesión del actor a su papel, y del rango social a los mitos, el culto y los pedigrees. Esta adherencia es tan rigurosa, que para disociar al individuo de su personaje es preciso reducirlo a pedazos. Aun cuando no supiéramos nada de la sociedad china arcaica, la sola inspección de su arte permitiría entonces reconocer la lucha de los prestigios, la rivalidad entre las jerarquías, la competencia entre los privilegios socia-

les y económicos, fundados todos en el testimonio de las máscaras y en la veneración de los linajes ([1958]: 240-241).

La imagen china que debería mostrar el parecido entre el desdoblamiento del Pacífico americano y el de China no es muy convincente, ya que no hay una cabeza de frente separada de un cuerpo hendido en la forma descripta por Boas y sólo se ve de frente una especie de cofre tridimensional del que no se ven los paneles laterales (cf. Lévi-Strauss, fig. 19; imagen proveniente de Yetts 1942; fig. 4.2, izq.). Por otra parte, un crecido número de sociedades exhibe los mismos patrones jerárquicos y parecidas manifestaciones de prestigio y sus artes no reflejan tales configuraciones de dicha manera. En el mismo trabajo Lévi-Strauss había intentado explicar una pintura facial Caduveo basado en la misma lógica metafórica (fig. 4.2, der.). Trabajando sobre materiales reco- gidos en su trabajo de campo en la década de 1930, Lévi-Strauss argumentaba que cuando los diseños de articulaban en cuadrantes, aquellos situados opuestos por el vér- tices en diagonal (el izquierdo superior y el derecho inferior, y el derecho superior y el izquierdo inferior, respectivamente) resultan casi idénticos, aunque invertidos (ver fig. 4.2, der.). Lévi-Strauss interpreta que lo que aquí se manifiesta es una oposición entre simetría y asimetría. Acto seguido, intenta mostrar que la estructura subyacente es pro- ducida por una forma partiular de organización social. Partiendo de la base de que los Caduveo son remanentes de una antigua sociedad Mbayá, el autor concluye que la estructura social Mbayá exhibía una tensión hacia la jerarquía (en la medida en que las castas eran tanto segregadas como estratificadas) y otra tensión hacia la reciprocidad (por cuanto había necesidad de cierto intercambio que mantuviera las castas juntas). La hipótesis resultante es que la oposición entre la simetría y la asimetría reflejaba la opo- sición entre jerarquía y reciprocidad en la estructura social. El antropólogo canadiense Michael P. Carroll, por desdicha, encontró que las analogías trazadas por Lévi-Strauss no se condecían con la descripción etnográfica que él mismo había proporcionado (cf. Carroll 1979). Carroll aduce que no hay ninguna prueba etno- gráfica de que exista o haya existido una tendencia hacia la reciprocidad entre los Mbayá. La única evidencia que Lévi-Strauss ofrece sobre esa tendencia proviene de sociedades vecinas, como los Guana y los Bororo. El inconveniente con este razonamiento es que no hay tampoco testimonios de diseños opositivos en el arte de estos grupos. Lo más lejos que se ha podido llegar en esta clase de inferencias estadísticas es en los trabajos del antropólogo comparativista John Fischer (1961), quien, ciñéndose a una metodología cien por ciento típica de los surveys transculturales murdockianos, encon- tró una asociación estadísticamente significativa entre la presencia de jerarquización y la ausencia de simetría en el arte. Habiendo dicho lo que tenía que decir sobre métodos comparativos y sobre la prueba de significancia de la hipótesis nula en sendos trabajos recientes, me conformo con dejar sentado estos datos sin mayores comentarios (cf. Reynoso 2011b; 2019d). En los años 80, veinte años después de los intentos postreros de Lévi-Strauss y casi se- tenta años después de Franz Boas el momento de la primera madurez de la etnogeome- tría de las simetrías culturales (redefinida conforma a nomenclaturas incubadas durante

54 medio siglo en las matemáticas y la cristalografía) llega a una arqueología norteamericana que ha olvidado el ensayo magistral de Boas y a la que sólo de tarde en tarde le interesa la obra de Lévi-Strauss. 

Sobre la base de las propuestas que llegan a la antropología por la vía de Washburn y Crowe y desde otras múltiples contribuciones convergentes, a través de las páginas que he dispuesto en la Web será posible implementar algún grado de análisis descriptivo, nomenclatorio y comparativo de diseños simétricos en objetos culturales con vistas a objetivos científicos de más amplio alcance. Un primer objetivo de esa faena será entonces (como decía René Thom) reducir la arbitrariedad de la descripción. Para ello he suministrado en mis páginas virtuales un conjunto de documentos, planillas y programas, así como el mayor muestrario de ejemplos disponibles en la red, incrementado año a año por aportes de alumnos de mis seminarios de posgrado en universidades de Es- paña y América Latina. Este análisis permitirá asignar diseños en hilera, en superficie o en roseta a cada una de las clases o isometrías existentes. El hecho es que para hileras y superficies en un solo color contrastante existen sólo siete y diecisiete clases respectivamente. La clasificación es esencial para comprender la distribución de los procesos de transformación geomé- tricos a través de las sociedades; esta distribución se basa en unos pocos elementos de juicio que son universales por definición, pero aparece de maneras específicas en distintas culturas. Todavía está faltando un mapa que establezca en qué regiones del mundo o en qué períodos históricos se favorecen o se reprimen cuáles principios constructivos de la representación. El problema radica en que no está claro ni siquiera el vocabulario descriptivo a utilizar. Investigadores que dedican su vida al estudio de cerámicas con motivos geométricos, a la cestería o a los motivos ornamentales de los textiles no han documentado tener fami- liaridad con las sistematizaciones de las formas estructurales conceptualizadas en diversos campos y disciplinas, desde las matemáticas hasta la cristalografía. Esta carencia es sin embargo justificable: no parece fácil, de cara a los artefactos y a los sitios, llegar trivialmente ni siquiera a la etapa nomenclatoria, no digamos ya a la visión comparativa. Hay algunos programas de computadora que ayudan a realizar el análisis interactivamente, pero su gestión impone un aprendizaje tan tedioso como la asimilación de los menesteres geométricos involucrados. Todos ellos presuponen además que uno ya do- mina los detalles inherentes. Mi convicción es que antes de aspirar a alguna clase de síntesis en el plano teórico es preciso familiarizarse con la práctica del análisis. En casos no necesariamente extremos es incluso necesario vencer las resistencias que inhiben ese aprendizaje, las cuales ali- mentan el supuesto de que los antropólogos tienen ya de fábrica las habilidades de sentido común y sensibilidad estética que es menester dominar para alcanzar esos objetivos.

Aunque el proceso clasificatorio se puede simplificar mediante diagramas de flujo, tuto- riales y otras herramientas pedagógicas, lo cierto es que nuestros profesionales han experimentado dificultades a la hora de realizar manualmente esa tarea. Consecuente- mente, las descripciones a las que ellos se resignan, Lévi-Strauss inclusive (“motivos en greca”, “estilos geométricos”, “entrelazados”, “hilera de triángulos”, “líneas en zigzag”, “enantiomorfos”, “diseños binarios”, “desdoblamiento de la representación”, “iteraciones”, “simetrías bilaterales”, “geometrismos”, “sucesiones de escalonados”, etc), no permiten inducir las concepciones geométricas emic que generaron los diseños, ni comprender la posible equivalencia estructural (isomorfismos, homomorfismos, difeo- morfismos, etcétera) entre piezas que lucen diferentes a primera vista, ni tampoco sistematizar qué grupos de transformación se encuentran (o cuáles están faltando) en qué contextos concretos de tiempo, cultura y lugar. Cierto es que el diagnóstico tipológico no resuelve todos los problemas de la antropología o de la fenomenología de los estilos geométricos, pero es al menos un importante punto de partida que, por añadidura, nos hace reflexionar sobre los juicios de similitud, diferencia y analogía, lo cual (habida cuenta del progresivo descrédito de la antropología como ciencia comparativa por anto- nomasia) buena falta nos estaba haciendo (cf. Reynoso 2019b). Para atenuar estas pérdidas y para recuperar algo de la solvencia técnica que alguna vez distinguió a la disciplina he confeccionado las planillas de referencia (que no repro- duciré aquí) y que son úiles para asignar con relativa facilidad los diseños a sus correspondientes clases y para organizar la estadística y las tablas de las distribuciones dentro de las culturas o a través de ellas. Cabe esperar que en diversas sociedades las proporciones en que aparecen los distintos tipos sea diferencial, o que algunos tipos (uno o dos, quizá más) no se manifiesten en absoluto. Si bien tenemos algunos avances en el estudio de las simetrías islámicas, todavía falta hacer el mapa estadístico de la distribu- ción de las isometrías en prácticamente todas las regiones del mundo. Además de ser operativas en el sentido de permitir la implementación de funciones ana- líticas y estadísticas inherentes al software de spreadsheet, las planillas pueden servir (con algo de coloración y formateo de por medio) para la presentación de resultados en monografías, tesis y ponencias. El límite de las operaciones analíticas posibles, desde la suma de operaciones simétricas por región hasta la minería de datos multidimensional, estará dado de ahora en más por el ingenio del usuario para aprovechar las capacidades de estas planillas de cálculo (o de las piezas de software que acepten importar valores separados por comas, tabulación, encolumnado o el formato que fuere). En nuestra analítica sólo se han tenido en cuenta las transformaciones isométricas, vale decir, las que pertenecen a uno de los cuatro movimientos básicos: espejado (en una lí- nea del plano), traslación, rotación (sobre un punto en el plano) y espejado con deslizamiento (glide reflection). El concepto de simetría que aquí se desenvuelve es entonces más amplio que el significado atribuido popularmente a la palabra, el cual por lo común se restringe a los espejados verticales como sucede, por ejemplo, en los análisis boasia- nos o en los estudios estructuralistas de las simetrías en la obra de Lévi-Strauss que ya hemos revisado (Boas 1922; Lévi-Strauss 1968 [1958 {1944-45}]). Aún así, las trans-

56 formaciones isométricas no cubren todo el campo; aparte de ellas existen otras más rela- cionadas a la coloración, a transformaciones, distorsiones y cambios de escala que no habrá oportunidad de examinar aquí.

Figura 4.3 – Las 7 isometrías de frisos. Basado en Darvas (Idem: 76) Lo primero que se advierte en el análisis comparativo de las manifestaciones simétricas y de la geometria en general es que en todas partes prevalece una especie de Ley de Zipf o de la Ley de [George] Miller (el mágico número 7, más o menos 2), la cual sin duda tiene que ver con constreñimientos universales de la cognición: en cualquier contexto y en cualquier variedad de representación de carácter geométrico las formas de expresión verdaderamente existentes no son (no pueden ser) ni demasiado complicadas ni astro- nómicamente numerosas (Zipf 1949; Miller 1987 [1956]). Aunque la diversidad parezca ser infinita y aunque aquí y allá existan estilos y ejemplares que se salen de la norma, en el nivel de abstracción adecuado se observa que todas las culturas fatigan una y otra vez un número ridículamente pequeño de formas lógica, gráfica y materialmente posibles.

Figura 4.4 – Simetría traslacional – Sala de las columnas de la Mezquita de Córdoba Basado en György Darvas (2007: 8).

Cada movimiento rígido en el plano pertenece a uno de los cuatro movimientos básicos que habíamos anticipado (fig. 4.3). Se dice que un patrón es simétrico si admite una o más de las cuatro isometrías del plano. Lo único que se requiere para analizar los patrones es desplegar un procedimiento mínimo a fin de reconocer cada uno de ellos y tomar nota de su ocurrencia (o su no-ocurrencia) en un estilo determinado (Washburn y Crowe 1988: 44). En la práctica, sólo interesan los patrones repetitivos, vale decir aquellos en los que se manifiesta simetría de traslación; un círculo o un cuadrado son figuras si- métricas, pero no patrones a los que se puede aplicar esta analítica.

Fig 4.5 - Los 46 patrones del plano usados por H. J. Woods (1936) Hay que insistir en que aun cuando las operaciones básicas lucen elementales, el análisis de las simetrías no siempre es fácil o de resolución fluida. Dado que cada isometría se compone de uno, dos o tres espejados, es evidente que la composición de dos espejados es una traslación (si las líneas de espejado son paralelas) o una rotación (sobre su punto de intersección, si es que las dos líneas se intersectan), mientras que la composición de tres espejados es ya sea un espejado o un espejado con deslizamiento. Tal como hemos

58 comprobado en una multitud de experiencias pedagógicas todos estos hechos complican la prueba. La complican bastante. Como sea, la planilla de referencia puede usarse entonces para asignar nomenclatura a los diseños simétricos antedichos. He sincronizado las más importantes, comenzando a detallar cuáles son las transformaciones que llevan a ellas; el investigador podrá optar por metodologías más formales o por los engañosamente simples hops y jumps de John Horton Conway, según le resulte más sencillo. Los resultados han de ser convergentes. En revisiones futuras de este trabajo se agregarán dibujos ilustrativos y enlaces de hipertexto a las galerías fotográficas de simetrías de cada tipo. Las nomenclaturas que valgan la pena serán explicadas hasta las últimas consecuencias, a fin de que pueda a- preciarse la diferencia que media entre una genuina metodología analítica y una con- cepción discursiva de estilo y diseño. El objetivo de esta elaboración es que se pueda llevar adelante la analítica con un máximo de simplicidad, plena comprensión y capacidad operativa. Aunque mi propósito de máxima es cubrir cualquier estructuración geométrica, por el momento se considerarán aquí sólo los diseños periódicos en hilera de uno y dos colores y las simetrías periódicas en superficies en un color. Para 3 colores habría 23 patrones posibles, pero sólo hay ejemplo de 12 de ellos en la literatura. Para 4 colores, Thomas Wieting (1982) ha sistematizado 96 clases, pero éstas son todavía más raras en las representaciones culturales existentes.16 Más allá de un muestrario que podría ampliarse ad nauseam nos parece esencial que el antropólogo y el estudioso del diseño geométrico en la cultura se aventure en la explora- ción del dominio de las transformaciones isométricas que está cuajando en esta década del siglo XXI, reflexionando sobre el hecho incontestable de que, al igual que sucede en el campo de las teselaciones aperiódicas, de los adinkras, de los fullerenos y de las muqarnas y mocárabes que se abordarán en capítulos subsiguientes, han sido las otras culturas, por primitivas que las hayamos considerado, las que nos llevan la delantera.

16 Esta sección del libro puede considerarse en construcción. En versiones ulteriores se detallarán casos representativos de cada una de los isometrías en la cultura. Si bien en el cuadro completo el número de clases es elevado (rondando los 300, pongamos), la cifra es baja si consideramos que existen unas 6000 unidades culturales y unos cuantos millones de ejemplares con representaciones simétricas. Con todo, no es la clase que debería realizarse manualmente en el estado actual de la tecnología. Por el momento ese estudio se encuentra completo a nivel de la especificación ilustrada para simetrías en frisos en mis páginas de Web: http://carlosreynoso.com.ar/simetria

5 - Hitos de la etnogeometría (3): Nudos celtas, embaldosados, cuasi- cristales y muqarnas islámicos

Geometry, like any other branch of mathematics, gives much more than is asked of it. When the Greek geometer Menaechmus sliced a cone to study the properties of the curves which later became known as conic sections, he had no way of fore- seeing that more than two thousand years later these same curves would be needed for understanding the paths of the planets. Similarly, when Muslim artists set out to explore two-dimensional symmetric periodic patterns, they could not have foreseen that several hundred years later symmetry would turn out to be central in an awe-inspiring range of human intellectual endeavor. Abas y Salman (2007: 45)

It is, to me, quite extraordinary how some of these Islamic designers were able to fit such improbable symmetries as 13-fold symmetric stars combined with 9-fold ones so as to create a design with such a natural-looking elegance, and a periodicity that appears at a distance not much greater than the extent of these stellar shapes themselves. Mathe- matical quasisymmetric patterns with, say 11-fold or 13-fold quasisymmetry, can now be produced in computer generated pictures, but it would only be at extremely remote places where local regions with this symmetry would be evident. If one is looking for beauty of design, with such regions of, say, 11- fold or 13-fold symmetry, then the ancient Islamic designs win hands down! Roger Penrose (2017)

Recientemente el campo de las simetrías y los embaldosados se ha transformado de manera dramática tras el Premio Nóbel 2011 concedido a Dan Shechtman por sus trabajos sobre los cuasicristales y los materiales cuasi-periódicos en aleaciones de metal, pero en materia de simetrías periódicas todo lo dicho en el capítulo anterior todavía se mantiene. El campo de los embaldosados o teselaciones [tilings] es un área de los estudios que se ocupa de diversas simetrías y pautas constructivas, un campo en el que no siempre los isomorfismos simétricos son el foco de atención ni la clave para organizar y sistematizar el método que se aplica. En el campo mayor de las teselaciones en general (que abarca disciplinas harto lejanas a la geometría) los embaldosados islámicos constituyen el grueso de las referencias. Lo primero en una sistematización de este tipo debería ser el armado de una taxonomía geométrica. El material de inicio podría ser la clasificación propuesta en estudios espe- cializados o en las enciclopedias de dominio público.

Un par de artículos de Wikipedia que son los primeros que se encuentran cuando se busca podrían ser, según todos los indicios, buenos puntos de partida.17

Figura 5.1 – Izq.: Embaldosado de Darb-i Imam en Isfahan, Irán Der.: Modelo basado en un decágono central y formas intermedias Se diría que hay un antes y un después en el estudio de las simetrías cuando entra a tallar el estudio de los embaldosados periódicos a partir del siglo XVII; y en esta última línea de estudios también hay un primer momento importante de revolución y ruptura cuando gracias a Roger Penrose se introducen embaldosados aperiódicos en la década de 1970 y un segundo momento de transformación revolucionaria que sobreviene en la primera década de este siglo cuando Shechtman, Steinhardt y Levine descubren un universo de cristales cuasi-periódicos (o de cuasi-cristales no periódicos) que irrumpen en la física y en la biología, mil años clavados después que el arte musulmán los materiali- zara en el sentido estricto de la palabra. Es esta última metamorfosis en el arte y en la ciencia por donde comenzaré el meollo de este capítulo con el objeto de poder acentuar con mayor dramatismo la prioridad temporal y conceptual de las artes blandas por encima de las ciencias duras, de las prácticas por encima de las teorías, del accionar posible más allá de lo que algunos creyeron virtualmente imposible de hacer, de intuir o de razonar (Steinhardt 2019: 7, 11, 12, 27). El trabajo de Shechtman se inscribe en una disciplina muy alejada de la antropología en la que habito, pero estimo que la lección que arroja es importante como contribución a las teorías del diseño y la geometría más allá de los constreñimientos que imponen las sucesivas teorías disciplinares, atrapadas cada una de ella en el confinamiento de sus propios dominios ontológicos. Los materiales cuasi-periódicos obedecen a arreglos regulares pero que nunca se repiten. Se trata de una configuración que es familiar en el palacio de la Alhambra en España o en el templo de Darb-i Imam (1453 dC), el de Gun- bad-i Kabud en Irán, el palacio de I'timād-ud-Daulah en Agra y en los ejemplos consig-

17 Me refiero a artículos como https://es.wikipedia.org/wiki/Patrones_geométricos_islámicos o mejor aun https://en.wikipedia.org/wiki/Islamic_geometric_patterns, ambos con intervenciones del autor.

61 nados en el célebre Pergamino Timúrida de Topkapı (Necipoğlu 1992), pero de la que hasta hace diez años se creía que no era posible que se manifestara en la naturaleza. En un material sólido los átomos se disponen de una manera ordenada que es usualmente periódica con arreglo a una simetría rotacional particular. Una disposición cuadrada posee una simetría rotacional cuádruple: si se giran los átomos 90 grados resultará una disposición igual a la que estaba al principio. Si se gira así cuatro veces se regresará al punto de partida. Una simetría triple (three-fold ) significa que el objeto puede rotarse 120 grados y lucirá igual. Lo mismo se aplica a una simetria one-fold (girándola 360 grados), doble (180°) y sexta (60°). La simetría quíntuple no se permite en cristales pe- riódicos por severas razones geométricas. Expulsado de varias organizaciones por ha- verse empecinado con una búsqueda rotacional que se juzgaba fútil, el trabajo de Shechtman sufrió embates de bullying por parte del doble premio Nóbel Linus Pauling, quien aseguraba que “Dany Shechtman dice tonterías; no hay cuasi-cristales; sólo hay cuasi-científicos”.

Figura 5.2 – Izq. Patrón de difracción de electrón de Ta1.6Te y patrón dodecagonal de Zaouïa Moulay Idriss II. – Der.: Patrón dodecagonal de Zaouïa Moulay Idriss II de Fez, Marruecos – Época Merínida (bereber, 1244-1465). Basado en Makovicky y Makovicky (2011) Shechtman dio finalmente con los cuasi-cristales en el laboratorio y revolucionó la quí- mica y la industria sintetizando materiales de propiedades asombrosas. Poco después del descubrimiento de Shechtman el término cuasicristal fue usado por primera vez por Paul Steinhardt y Dov Levine a propósito del templo de Darb-i Imam.18

18 Paul Steinhardt (2019) narra una historia estructuralmente idéntica a la de Shechtman, salvo por el hecho de que su Némesis acosador no es Linus Pauling, sino otro Premio Nóbel en actitud de trickster y abogado del diablo que esta vez no es otro que Richard Feynman. Esta clase de relatos heroicos de las búsquedas científicas de unicornios y cisnes negros es muy claramente un molde estereotipado de formes fixes narrativas con sus héroes, sus villanos y sus finales felices.

El tema toca tan centralmente el meollo de nuestra hipótesis que se impone una detallada especificación técnica que deje sentada la importancia de una forma de represen- tación independiente de la naturaleza ontológica del elemento representado: At the end of 2003 more than 22 million different chemical substances were known. For approximately 400.000 of them the crystal structure was determined. Apart from the exis- tence of a few hundred incommensurately modulated structures (IMS) and composite structures (CS), there was no reason to doubt that the ground state (i.e. the thermodynamic equi- librium state at 0 K) of all these compounds and of condensed matter in general is represented by a periodic crystal structure.

On April 8th, 1982, D. Shechtman discovered a novel phase with icosahedral diffraction symmetry in rapidly solidified Al86Mn14. This was the discovery of quasicrystals, which fundamentally changed our understanding of structural order on atomic scale. Quasicrystals (QC) rang in a paradigm change (Kuhn 2006 [1962]) in crystallography. The completely new thing on QC is that they cannot be described properly by a periodic basis structure and a periodic modulation with incommensurate ratio of length scales such as IMS, or as an incommensurate intergrowth of two or more mutually modulated periodic structures such as CS.

However, QC, IMS and CS have in common that they can be described as three-dimensional (3D) irrational sections of nD (n > 3) translationally periodic hypercrystal structures […]. All three of them form the class of known aperiodic crystals. Even twenty years after the first publication on icosahedral Al–Mn […] and more than 8000 publications later, there is still not a single QC structure known with the reliability that is normal in standard structure analysis. This is reflected, for instance, in the long-lasting and still ongoing discussion about the structure of decagonal Al–Co–Ni, the best studied decagonal QC model system so far (Steurer 2004: 391-392).

Tanto en el arte como en la ciencia cada tanto surgen espíritus inclinados a las desmen- tidas, a las denuncias de fake news y a los reclamos de precedencia. Emil Makovicky (2007), por ejemplo, ha pretendido poner en duda que existieran embaldosados deca- gonales y cuasi-periódicos en ese templo en particular, aunque (contrariando la línea editorial de la revista Science) reconoce la aperiodicidad de los patrones de la torre Gunbad-i Kabud en Marāgha, fechada entre 1196 y 1197, fecha muy anterior a la que Lu y Steinhardt asignan a aquel otro templo, configurando un caso de cuasi-cristales descubierto por él, Makovicky, sin el debido reconocimiento por parte de sus colegas (Makovicky 1992). Escribiendo en modo cómplice para los lectores más conservadores de Science, John Bohannon, enemigo existencial de Makovicky, llegó a titular un comentario diciendo que “el acertijo de los cuasi-cristales abre una lata de gusanos” (cf. Bohannon 2007). Hoy en día no hay polémica posible; Makovicky tenía por lo menos algo de razón. Los musulmanes en Irán, en Uzbekistán y en Turquía (en lo que fue el imperio Timúrida) y los artistas andaluces y marroquíes en el otro extremo del mundo islámico, igual que los artesanos pre-islámicos antes que ellos, se adelantaron a los geómetras y físicos de Occidente en varios siglos. On the one hand this pattern confirms that Islamic ornamentalists mastered the constructive geometry of all three known varieties of cartwheel quasiperiodic patterns based on a combi- nation of a quasilattice of their own special kind with a configuration composed of promi-

nent ornamental elements. On the other hand it opens our eyes to the fact that, possibly as early as the 15th century, the ‘practical mathematicians’ recognized the entire spectrum of quasiperiodicity and strove to master even the last, dodecagonal, case, and not only the decagonal (pentagonal) and octagonal ones. Finally, the hitherto held belief that the few historical pieces of strictly geometric octagonal and decagonal patterns in Morocco, nearly identical to the corresponding pieces in Andalusia, were probable Andalusian imports may have suffered a final blow by this discovery (Makovicky y Makovicky 2011: 573).

Un solo templo falso positivo no hace a la diferencia, pues los testimonios de ejemplares cuasi-cristalinos son copiosos; algunos de ellos se basan en formas octogonales, de- cagonales, dodecagonales, icosogonales y hexadecagonales; su área de dispersión es enorme y su horizonte temporal se expande por siglos (cf. Rigby 2005; Makovicky y Makovicky 2011; Makovicky 2016). Hace tres años Aboufadil, Thalal y Eldrissi (2016) desarrollaron métodos para construir otros patrones nuevos y sugirieron emplazamien- tos donde encontrar precedentes culturales. No se descartan tampoco manifestaciones de esos mismos principios en otras culturas nómades y sedentarias de Asia Central que ni siquiera se han agregado al inventario oficial.

. Figura 5.3a – Simetrías en vasija y en textil Shipibo de Perú según Emil Makovicky (2016: 164). Lo más importante para nosotros, antropólogos latinoamericanos, es que Emil Makovi- cky, el geólogo y cristalógrafo eslovaco que llevó el estudio de los embaldosados ape- riódicos a su punto culminante, escribió alguna vez un artículo sobre las sorprendentes simetrías de los Shipibo, un arte surgido (según las evidencias) hace poco más de 130 años en condiciones de las que poco se sabe (Makovicky 2011). En otro trabajo reciente, el mismo autor alterna de manera inconsútil entre las geometrías mas complicadas del Islām y el arte geométrico Shipibo-Conibo (Makovicky 2016). Aunque he conseguido fragmentos de aquí y de allá y el mismo autor se ha ocupado del tema estoy bre-

64 gando desde hace años por conseguir el primer paper; las geometrías laberínticas y fili- granadas de ese grupo de la Amazonia Peruana (estudiado tangencialmente por Gerardo Reichel-Dolmatoff) soportan comparación con lo más granado de las simetrías del Is- lām. Por desdicha, en tiempos no tan recientes fueron analizadas por Angelika Gebhart- Sayer (1985) de la Universidad de Tübingen a la manera simbólica, psicodélica y sha- mánica propia de los años 60s (“fenomenológica” se la llamaba entonces), prestando atención exclusiva a su “contexto ritual” emic y perdiendo la oportunidad de comprender los aspectos que hacen de esas simetrías y cuasi-simetrías una manifestación única en esta parte del mundo (v. gr. Charing 2012; Reynoso 2008: cap. 3).

Figura 5.3b – Manto de mujer (racoti) Shipibo-Conibo. Según Tessmann (1928: lám. II, frente a pág. 40) – Dominio público, En un trabajo casi escondido en los confines de la Web José Chamorro (S/f) realizó mientras tanto una acertada comparación entre las curvas de la geometría Shipibo y la curva fractal de Hilbert, un motivo que se encuentra con no poca frecuencia como fondo de teselaciones musulmanas. El análisis de Chamorro no aporta geométricamente mucho más que eso, pero eso ya es bastante. Literalmente, cualquiera puede comprobar la afinidad entre las curvas de Peano, de Gosper, de Moore o de Hilbert con las que articulan el fondo de los diseños Shipibo. Cualquiera podría también sintetizar las líneas en cuestión como Sistemas de Lindenmayer y comprobar con alguno de los programas fractales disponibles (con Visions of Chaos, por ejemplo) cómo es que esas líneas “suenan” musicalmente y cómo habría que configurar las definiciones coordinativas para que lo hagan de manera mucho más que aceptable. Y me complico en decir eso por las razones que ahora siguen. El siguiente estudio que menciono trae a colación un asunto más serio, acaso un fraude. Bernd Brabec de Mori y Laida Mori Silvano de Brabec (2012 [2009]) intentaron comprobar la relación entre los diseños geométricos Shipibo-Konibo y las músicas que se

65 les asocian, muy en la línea del maestro de Bernd, quien no es otro que el (etno)musicó- logo Gerhard Kubik, estudioso reconocido de las geometrías sonoras y las pautas que conectan sonidos e imágenes. El problema es que la presunta relación no soportó la evidencia presentada en su contra por los Mori y que ahora pasamos a revisar. Para comprobar la veracidad de la leyenda (perpetrada y perpetuada por Angelika Geb- hart-Sayer [1986: 210; 1987: 170-298], Theodore Lucas [1970: 118], Tim Ingold [2007: 35-37, 59] y –en una época– Bruno Illius [1994]) los Mori entrevistaron un buen núme- ro de practicantes médicos en 20 comunidades diferentes entre Orellana y Bolognesi, llegando a la conclusión de que las “canciones de diseños” o “canciones tejidas del Amazonas” grabadas en discos y representadas triunfalmente en filmes en los Estados Unidos (Martin 2005; Martin y Shipibo Shamans 2006; 2019) no eran más que una fa- bulación que los propios informantes tomaban para la chacota, tildándola de una artima- ña al estilo New Age para los boxo jonibos, esto es, los blancos. La prueba musicológica es concluyente, con ribetes de escándalo: distintos shamanes que afirmaban poder inter- pretar musicalmente las geometrías Shipibo ejecutaban canciones diferentes para los mismos diseños. Otros estudios de los mismos autores confirmaron y consolidaron su crítica, configurando una nutrida serie que redefine el estado de una cuestión que se viene arrastrando desde los psicodélicos años 60s (Brabec de Mori 2011; 2018 [2011]; Brabec de Mori y Silvano de Brabec 2009; 2012 [2009]).

Figura 5.4 – Simetrías Diaguitas según González (2016: 35 fig. 10d) Comparar el efecto Op-art con el de la figura 3.6 en la página 90 En el mejor escenario se trataba de un cabal “arte para turistas”, como clásicamente lo definiera Donald Lathrap (1976) en un artículo que Gebhart-Sayer incluyó en su bi- bliografía pero del que nada se atrevió a decir. La esposa de Bernd, Laida Mori, es Shi- pibo y pudo dar fe del engaño, traduciendo las conversaciones entre las informantes que inventaban canciones “leídas” de las pinturas geométricas, coordinando a voz en cuello la forma de engañar al gringo (nonra rinko paranai, nonra ramikanai). Aunque puso fin a una sugerente te línea de investigación e incrementó el riesgo de empujar a los investigadores hacia un exceso de errores del Tipo II por mero requisito de prudencia, el traba-

66 jo de los Brabec propinó un duro golpe para las hipótesis demasiado laxas en cuanto al valor de verdad de las analogías sinestésicas en que su geometría se funda. El género analógico, no obstante, todavía subsiste y Martin y sus shamanes cantores han lanzado un nuevo disco (Woven songs of the Amazon II), acabado de subir a Spotify en este mismo año de 2019. Otra contribución reciente al inagotable caudal del neo-shamanismo aparece en la monografía perspectivista de Paola González (2017), en la que la descripción de las geometrías Shipibo-Conibo (sumada a paralelismos con el arte geo- métrico de los Diaguita chilenos) es presentada en el seno de un tropel de analogías si- nestésicas en el que no faltan referencias a una presunta complejidad peculiar de las si- metrías (pp. 39, 44, 46), sumadas a un conjunto de enunciados sinestésicos de Bruno Illius (1994) escritos antes que él cambiara drásticamente de idea.

Figura 5.5 – Nudos “celtas” – Basado en repositorio de https://www.shutterstock.com/es/image- vector/set-celtic-patterns-ornament-corners-black-248021107?studio=1 A esas ideas se agregan citas selectas y convenientes de un autor tan desacreditado ideo- lógica y metodológicamente como Gerardo Reichel Dolmatoff (1985a) a propósito de “similitudes” que se presentarían entre las formas del arte Shipibo y los “fosfenos” Tu- kano, afirmación que no se condice con ninguna ilustración entóptica ni con la estructura geométrica de las simetrías reproducidas en sus textos. A todo eso se suma la carac- terización de “shamánicas” aplicada a imaginerías claramente fractales que podrían encontrarse tranquilamente en África (donde no hay shamanismo), una distorsión de las ideas de Washburn y Crowe (1988) acerca de similitudes entre el estilo Mojocoya y el arte visual de la cultura Diaguita (ver fig. 5.3a más arriba) y una frase de Brabec de Mo- ri y Mori de Brabec (2012 [2009]) sacada de contexto que confunde lo que éstos sostienen y hasta retuerce la ortografía de sus apellidos. Todo ello acompañado, desde ya, de un silencio absoluto respecto de posturas en contrario que González no podía des- conocer (la de los Brabec y la de Washburn-Crowe en primer lugar) y de la represión de un registro comparativo que podría refutar de un plumazo sus afirmaciones sobre las

“ilusiones ópticas” específicas del arte shamánico, como podría hacerlo el contraste entre algunos ejemplos de esas artes que ella consigna con (por ejemplo) el vibrante panel op-art de simetrías Bamileke de Camerún (mayormente islamizados) que reproduz- co más adelante (pág. 90). González sabe muy bien (pues lo dice un par de veces, sin motivo aparente) que esos efectos visuales son comunes en el Islām. Y el Islām (el africano al menos) es singular entre las muchas ontologías del mundo por no haber recurrido nunca al shamanismo. Pero también en el Viejo Mundo se cuecen habas. En este sentido, nos hemos resignado a que no importe mucho si los arquitectos y artistas turcos o musulmanes han o construido de manera deliberada sus complicadas formas ateniéndose a un plan matemático explícito del cual circunstancialmente no quedan registros, o si las han plasmado im- provisándolas en base a esquemas culturales hondamente ocultos a la conciencia. Gülru Necipoğlu nos comenta que ciertos estudiosos soviéticos, como Galina Pugachenkova y Lazar Rempel (1965), tienden a desplegar un pesado andamiaje matemático para expresar las arquitecturas Timúridas y de otros estilos islámicos pre-Otomanos como los que se documentan en los pergaminos del Museo de Topkapı. Es importante que lo diga una insider familiarizada con formas tradicionales de hacer las cosas: “Mientras que toda forma geométrica puede expresarse de manera matemática, ésa no es necesariamente la manera en que los arquitectos las concibieron” (Necipoğlu 1992: 65 n. 42). Algunas algorítmicas de la complejidad (los sistemas complejos adaptativos que se conocen como autómatas celulares, por ejemplo) nos han dejado lecciones que afectan a prácticamente a la totalidad de las algorítmicas y que dan su cuota de razón a Necipo- ğlu: todas las artes, simples y complejas, están afectadas de equifinalidad, tal que nunca puede saberse qué procedimientos tenía cada actor cultural en la cabeza al articular la solución de un problema de diseño por más que el planteo del mismo sea determinista y que el soporte material se encuentre en perfecto estado (cf. Reynoso 2006: cap 3.1). Sa- ber de qué manera se hizo algo es en cualquier contexto y circunstancia –diría el laplaciano Jacques Hadamard [1865-1963]– un problema inverso que admite infinitas respuestas posibles. Hadamard, entre paréntesis, sostenía que un problema inverso (es decir, uno que no admitiera una única solución) era un problema “mal planteado”, idea de la cual, al filo de mi jubilación, todavía no estoy seguro que sea la más refinada o la más lamentable de la historia científica. Ni que decir tiene que todos los problemas de re- construcción de un procedimiento en etnogeometría pertenecen a este raro género de retro-inducción o ingeniería reversa, la cual se sabe computable pero (aun si se pudiera aventar de un soplo el fantasma del Entscheidungsproblem) de muy incierto valor de verdad. A lo que voy es que la historia de Shechtman, sensibilizadora como lo es, pasa por encima del hecho de que en muchas artes y artesanías del mundo, particularmente en el arte islámico, las simetrías fatigosamente encontradas por él son rutinas desde hace siglos. Si se lo piensa bien, quedará claro que en el arte y la ciencia de Occidente recién se pudo resolver el problema del encaje perfecto de las varias clases de polígonos cuando el físico, matemático y filósofo de la ciencia inglés Roger Penrose escribió sus artículos

68 sobre los embaldosados [tilings] cuya construcción hoy se considera no problemática, enseñándose en todas las escuelas como si nuestros mayores hubieran conocido su me- cánica desde siempre (Penrose 1974; Senechal 1995; Lu y Steinhardt 2007). Hoy el número de aplicaciones informáticas que permiten armar teselaciones penrosianas o que las genera automáticamente puede que se acerque a la docena sin desangrarse mucho en su búsqueda (Arabeske, Bob Penrose tiling generator, Craft Design Online, Penrose Tilings Online Generator, QuasiCrystal Generator, Tess, Tim Hutton, etc). En el resto del capítulo ahondaremos en este aspecto del diseño geométrico después de un breve y necesario desvío por los sistemas geométricos de los nudos celtas.

Figura 5.6 – Frieze patterns [= patrones de frisos] en nudos celtas según Cromwell (2001: 304-305). Véase el significado de la codificación en http://carlosreynoso.com.ar/analisis-de-simtrias/. Antes que nada aclaremos que los diseños en estrella son apenas uno entre los cientos o miles de artefactos, estilos o fenómenos disponibles como objetos de estudio en la geo- metría humana. También nos podríamos haber ocupado de las geometrías cartográficas de las islas Marquesas, en las simetrías en arena de los Navajo o de los ya nombrados nudos celtas, de los cuales nos dice desafiantemente Craig Kaplan: Celtic knotwork is the intellectual cousin of the Islamic star patterns. […] Both can be redu- ced from a richly decorated rendering to an underlying geometric description. Both are hea- vy users of interlacing as an aesthetic device. But most intriguing is the fact that in both cases, the historical methods of design are now lost. Research into both Celtic knotwork and Islamic star patterns has at times required the unraveling of historical mysteries (Ka- plan 2002: 10).

Los geómetras se han lucido con modelados computacionales que permiten comprender y sintetizar esas bellas criaturas geométricas [figs. 5.5 y 5.6] aunque no hay cómo contrastar que los principios de construcción propuestos hayan tenido sustancia cognitiva y saliencia cultural. Aunque su entidad conceptual sea dudosa, el juego es igualmente ten- tador.19 La lógica de las modas, además, reclama que así sea: los diseños celtas han

19 Los nombres, textos y programas de computación claves en esta especialidad son los de Steve Abbott (S/f), John Romilly Allen (1912 y otros), George Bain 1977 [1951], Peter R. Cromwell (1993; 2001), 69 demostrado ser rentables, aunque más no sea porque (por influencia de Lord of the Rings, Lord of the Dance, Vikings o la cultura gótica) todo el mundo se los quiere tatuar y los tatuadores necesitan saber cómo se construyen esas geometrías isleñas y boreales de origen que están viviendo el punto más alto de su convulso revival global (Cromwell 1993; 2001; Sloss 2002 [1995]; Abbott 2009; Mercat 2019).

Figura 5.7 – Izq.: Embaldosados arquimedianos. Basado en Kaplan (2002: 30, fig. 2.6). Der.: Teselaciones de Laves correspondientes (Idem: 33, fig. 2.8). En ambos conjuntos el embaldosado (34.6) ocurre en dos formas espejadas.. Urge interpolar un toque de atención que acaso deje sentado un nuevo renglón en el catálogo de paralelismos entre el orientalismo hardcore de la pedagogía Occidental sobre el Islām y las múltiples variantes de la moda celta (cf. Necipoğlu 2012). En The Archaeology of Celtic Art el arqueólogo Dennis W. Harding ha escrito lo siguiente: Few topics in archaeology have spawned as many perceptions and misconceptions as Celtic art. An Internet search for ‘Celtic art’ immediately offers patterns of ‘Celtic’ interlace and knot-work, elements of later Celtic art in fact derived from Mediterranean or Germanic origins, or images of high crosses of ninth-century date or later and related icons of the early ‘Celtic’ church. For coffee-table books a dust-jacket depicting the Gundestrup caul- dron is considered representative, notwithstanding the fact that it was almost certainly of Thracian manufacture, and discovered in northern Jutland, well beyond the limits of Celtic Europe. In academic publications, Celtic art is generally synonymous with the La Tène ornamental style of the pre-Roman Iron Age, but even this equation should not pass un- qualified. Since in recent years the concept of Celts and Celtic as an ethnic descriptor has itself been questioned, it seems appropriate now to re-define and re-assess what we mean by Celtic art (Harding 2007: 1).

Retornando a los motivos geométricos islámicos que estarán en el centro de este capí- tulo, debo decir que mientras en esta monografía se ha procurado dejar al margen las

Andrew Glassner (1999a, 1999b, 2000), Christian Mercat (2019), Douglas Zongker (2001-2006). Peter Cromwell es uno de los que mejor trabajó sobre los fundamentos matemáticos de los nudos celtas, estableciendo el análisis de las simetrías presentes en ellos, especilmente en los patrones de hileras [ frieze patterns]. Todavía queda mucho por hacer en ese sentido (véanse figs. 5.5 y 5.6).

70 manifestaciones procedentes de las llamadas Altas Culturas, con las representaciones en estrella elaboradas en diversas sociedades islámicas haremos una necesaria excepción. Por empezar, existe una necesidad técnica de hacerlo así, pues sólo en el arte islámico y en muy contadas instancias se presentan todas las simetrías posibles en el plano, lo cual permite establecer el ámbito total y el límite de las opciones posibles a las demás sociedades. Aunque en un tiempo hubo discusiones en torno de la existencia de las 17 sime- trías cristalográficas en la Alhambra hoy ese problema parece definitivamente dirimido; por mal que le pese a los refutadores de leyendas, la respuesta es que sí (Blanco Blanco y Nogueira de Camargo 2011; Bodner 2013). En segundo lugar, tampoco cabe duda de que las artes de las teselaciones simétricas de la alta cultura musulmana se originan en tiempos pre-islámicos y en un abanico cultural cuyo estudio sigue incompleto el día de hoy. No parece fácil demostrar que todas las posibilidades de los grupos de simetría y de la periodicidad de los embaldosados se encuentren en contextos nómades y pre-islámicos, pero lo cierto, insisto, es que unas cuantas de ellas se originan allí. El problema con los estudios de contextos pre-is- lámicos es que la investigación actual se restringe al ámbito de otras altas tradiciones (babilónicas, sasánidas, egipcias, seléucidas, otomanas, timúridas. moghules) sin que se llegue nunca a documentar la participación de las sociedades tribales mayormente nó- mades en la gestación de los estilos, como es el caso (por ejemplo) de los kilims. Este es un campo de estudios virgen, de los pocos que quedan.

Figura 5.8 - Embaldosados de Penrose – Generados por el autor en Visions of Chaos®: Izq. “Kite and dart” [“Cometa y dardo”] – Der.: “Rombos finos y gruesos” En tercer lugar, algunos estudios de las simetrías en estrella han sido instrumentales para la recuperación y la puesta en valor de artes cuyas metodologías generativas se habían perdido en los laberintos de la historia y a las cuales una observacion partici- pante bien articulada (lejos de ser “nuestra principal fuente de mala fe” como quería Clifford Geertz) nos ha permitido recuperar (cf. Kaplan 2002; Bonner 2017). La historia de las teselaciones arranca de orígenes tan confusos y equívocos como la trayectoria del arte celta. Los antiguos romanos le pusieron nombre a la técnica y dejaron algunos embaldosados comparativamente simples que las sucesivas culturas fueron complejizando. No fue sino Johannes Kepler [1571-1630] quien las sistematizó primero que nadie en el libro II de Harmonices mundi (1619); un siglo antes Albrecht Dürer se había ocupado

71 de la construcción de polígonos regulares con regla y compás en El Manual del Pintor (1525) que sirvió desde entonces como materia prima de las elaboraciones geométricas europeas aunque los teóricos no le prestaron mayor atención. En 1891 el cristalógrafo ruso Evgraf Stepanovich Fedorov [1853-1919] en Simetría en el plano probó que cada embaldosado del plano se construye de acuerdo con uno de los 17 grupos de isometrías que revisamos en el capítulo anterior. Su texto es hoy reconocido como el comienzo de la teoría matemática de los embaldosados; ha sido traducido al inglés, pero no al castellano, y en todas las lenguas a las que se tradujo es extraordinariamente difícil de conseguir en formato digital (Fedorov 1891). Hay quien dice que la clasificación de las iso- metrías en el plano no fue más que un ejercicio de precalentamiento para lo que realmente le interesaba a Fedorov y que era la clasificación de las figuras y enrejados tridimensionales, lo que hoy se llaman space groups. Los 230 grupos espaciales que en- contró son hoy la columna vertebral de la cristalografía y juega un rol fundamental en todos los apectos de la físico-química (Fré 2018: 61). La contribución del pintor de es- cenas y cosas paradójicas Maurits Cornelis Escher [1898-1972], figura de culto de varias tribus intelectuales, es tal vez más reconocida en la actualidad que la de Fedorov, por más que no hay un modelo geométrico explícito que sustente o englobe la totalidad de sus extrañas experiencias.

Figura 5.9 – Teselaciones en estrella según Kaplan (2002: 86 y 87)

En su brillante disertación de doctorado Computer graphics and geometric ornamental design Craig Kaplan comienza recordándonos los fundamentos euclideanos básicos de los embaldosados regulares y uniformes, lo que muchas culturas situadas mundos aparte de Grecia y Roma tomaron como premisa fundante de sus experiencias en ese terreno. Pensándolo un poco, nos daremos cuenta que en el plano euclideano hay sólo tres y nada más que tres formas de diseñar embaldosados regulares homogéneos usando (1) cuadrados, (2) triángulos regulares y (3) hexágonos. En principio se puede describir un embaldosado usando un símbolo de vértice el cual es una secuencia p1, p2, …, pn que enumera, en orden, los polígonos regulares que se encuentran alrededor de cada vértice. Los embaldosados que se pueden enumerar de este modo se llaman embaldosados regulares. En el plano euclideano el resultado de esta enumeración es un conjunto de 11 embaldosados conocidos como los embaldosados arquimedeanos (fig. 5.7 izq.). Nombramos esos embaldosados colocando sus símbolos de vértice entre paréntesis. En- tre los embaldosados uniformes los embaldosados regulares son aquellos cuyos símbo- los de vértice son de la forma pq: (44) para los cuadrados, (36) para los triángulos equi- láteros y (63) para los hexágonos regulares. Tengamos en cuenta que en un símbolo de vértice abreviamos los bloques de valores repetidos usando exponenciación. La figura 5.7 muestra los únicos embaldosados arquimedianos posibles.

Figura 5.10 – Experimentos de Johannes Kepler en empaquetado de polígonos. Los 11 embaldosados arquimedeanos son los rotulados D, F, E, L, P, N, M, S, V, Ii y Mm. La figura más grande es la teselación canónica Aa que luego modificaría Penrose (fig. 5.8). Basado en Marjorie Senechal (1995:14).

Cada embaldosado uniforme posee un dual geométrico bien definido, el cual se obtiene remplazando cada uno de n lados por un vértice n-valente y viceversa. Estos embaldosados duales son monohédricos y poseen la característica de que cada vértice es regular, esto es que las líneas que parten del vértice están regularmente espaciadas alrededor de él. En el espacio euclideano los duales se llaman embaldosados de Laves y cada uno de ellos tiene el mismo nombre que su dual arquimediano. Se ilustran en la figura 5.7 (derecha) y se exponen aquí sólo porque en algunas construcciones usando el software Taprats u otras herramientas se usan para generar formas más complejas de las que se alcanzan con los arquimedianos. Un embaldosado periódico es un embaldosado del plano euclideano que exhibe simetría periódica, lo que no es sino una simetría en la que existen dos direcciones linearmente independientes de simetría traslacional. Estos embaldosados son más simples que los aperiódicos, cuyos ejemplares más conspicuos son los embaldosados de Penrose (1974). Debe tenerse cuidado de no confundir los embaldosados aperiódicos con los no-periódi- cos. Los primeros son una clase especial de estos últimos, una clase que ha recibido mucha mayor atención que muchas otras clases de embaldosados. Hay innumerables herramienta para generarlo, entre ellas una basada en Sistemas de Lindenmayer que se puede utilizar en el popular Visions of Chaos como se muestra en la figura 5.8. También generan excelentes teselados de Penrose programas como Fractal Grower. Las teselaciones de Penrose no tienen gran cosa que ver con los diseños en estrella pero sin duda fueron funcionales a una mejor comprensión de los embaldosados en general. En cuanto a los diseños islámicos en estrella, ellos se definían en tiempos de la tesis de Kaplan como una disposición periódica de motivos, definición que después de los eventos en torno de los cuasi-cristales ya no se puede sostener pero que alcanza para comenzar con la descripción de los ejemplares más comunes. Lo que estos diseños tenían en común es que con unas pocas excepciones (tal como algunos indicios sueltos en el pergamino de Topkapı) el método de construcción se había perdido hacía siglos. Usan- do como base la convicción de que los artistas musulmanes estaban bien versados en la geometría griega clásica, Kaplan intentó reconstruir los métodos generativos de no todos pero sí de unos cuantos patrones en estrella. Más allá de la disertación de Kaplan, que versa más bien sobre los aspectos constructivos, los textos escritos sobre los patrones de diseño islámicos en estrella son ya incontables. Hay que tener en cuenta que un gran porcentaje de ellos están escritos en ruso, árabe, turco y uzbeko y son por ello difíciles de localizar ya sea en bibliotecas o en la Web. En la porción restante hay sin embargo abundancia de estudios que valen la pena, aunque hay también propensión orientalista a considerar esas artes como “ornamentales”, calificativo desafortunado si los hay. Es importante también considerar la bella y sistemáticamente ordenada colección de imágenes de Daud Sutton (2007) y las láminas de líneas puras, sin comentario alguno, compiladas por J. Bourdoin (1973). Cabe que vayamos mediando este capítulo con un testimonio de la persistente mino- rización de las geometrías de las otras culturas. En un apasionante libro sobre los cuasi-

74 cristales y la geometría, Marjorie Senechal (profesora de Matemáticas de Smith Colle- ge) analiza la evolución de las teselaciones diciéndonos que Since deepest antiquity, the designers of mosaic patterns have known that the plane can be paved with squares, equilateral triangles, and regular hexagons, and some combinations of these with other polygons, but as far as we know Kepler was the first to study the question in a systematic way (Senechal 1995: 13).

Luego la autora reproduce una lámina con los experimentos de Kepler con el empaquetado de polígonos (fig. 5.10) y subraya la similitud entre la primera colección de embaldosados aperiódicos de Penrose y el mosaico Aa de Kepler, celebrando una y mil veces la idea de extender la construcción de Kepler hasta cubrir todo el plano mediante el método de sustitución, poniendo al descubierto que el orden geométrico no es necesariamente periódico y estableciendo vínculos con otras estructuras aperiódicas, los fractales y las series de Fibonacci, identificadas estas últimas por Eglash en África y bien conocidas por nuestro Gregory Bateson. Senechal no presta atención al hecho de que los constructores de los embaldosados antiguos de Irán habían no descubierto en la naturaleza sino inventado en la práctica cultural estas y otras aperiodicidades, tal como lo hemos corroborado ya sobradamente. La autora conocía por cierto los anuncios de Shechtman pero pasó por alto que este autor (al igual que Lu y que Steinhardt) sabían de la existencia de las aperiodicidades en las artes antiguas de aquellas regiones lejanas del mundo.  Mientras vamos haciéndonos a la idea de que la (pre)historia de la etnogeometría mere- cería re-escribirse, cada día que pasa se acumulan observaciones y elementos de juicio que van poniendo en crisis las más acendradas leyendas urbanas de la especialidad aunque construyendo a veces nuevas mitologías de recambio. Ilustrar cada caso pertinente insumiría un volumen mayor que el que ya va tomando este libro, pero al menos un a- contecimiento que despertó un eco desproporcionado merece mención. El ejemplo que viene a la mente es el que sigue.

Figura 5.a – Los cinco cuerpos platónicos. El tetrahedro aparece dos veces como su propio dual. Basado en György Darvas (2007: 139).

En un tiempo pareció que estaba tomando estado público que los cuerpos platónicos, gloria de la geometría volumétrica griega (fig. 5.a), ni siquiera eran griegos de origen.20 Algunos autores afirmaron que hacía tiempo se habían descubierto piezas que confor- maban el conjunto completo de cuerpos equivalentes a los sólidos platónicos en sitios neolíticos de Escocia (fig. 5.b) procedentes de una época mil años anterior a Platón.

Figura 5.b – Conjunto completo de los “cuerpos platónicos neolíticos” encontrado en Escocia. Basado en Jay Kappraff 1991: 35, fig. 1; basado a su vez en Keith Critchlow (1982). Redibujado por Bruce Brattstrom a partir de una foto de Graham Challifour. Reproducido en Sacred Geometry de Robert Lawlor (1982: 96) De acuerdo con la descripción de Kappraff en el libro de Hargittai sobre la simetría quíntuple, estos cuerpos proceden de un libro de Keith Critchlow (1982) que ha sido un renombrado best-seller de la geometría sagrada. Tanto Kappraff como en apariencia Hargittai, así como los prestigiosos Paul Sutcliffe y [Sir] Michael Francis Atiyah [1929- 2019] (“el más grande geómetra inglés después de Newton”), la disertante Gloria Judith Florez de mi querida Universidad Nacional de Colombia y el brillante Eric Weisstein de Wolfram MathWorld, han considerado que los objetos, procedentes de yacimientos escoceses innombrados y de los que se dice que están expuestos o depositados en el Ash- molean Museum de Oxford, son por completo auténticos (cf. Atiyah y Sutcliffe 2003: 3; Florez 2011: 1-2; Weisstein 2019).

Figura 5.c – Las 5 piedras auténticas del Ashmolean Museum, sin icosaedros y sin rastros de caras planas. Según J. Baez (2009). Invito sin embargo a que se examine cuidadosamente la figura 5.b. De izquierda a derecha los modelos de las bolas de piedra corresponden al cubo, al tetrahedro, al dodecaedro, al isosaedro y al octaedro tal que los bultos corresponden a “caras” de los poliedros regulares. El problema que se encuentra es que alguien agregó cintas uniendo los cen-

20 Platón nombra los cinco sólidos en su diálogo Timeo (ca. 360 aC), atribuyéndolos a su colaborador Teeteto (Θεαίτητος = Theaítētos). Los sólidos son el tetraedro, el hexaedro o cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

76 tros de las protuberancias de las bolas de piedra, tal que las caras resultan multiplicadas por 2. También sucede que ninguna de las cinco piedras del Ashmolean Museum posee exactamente las 12 caras que se requieren para ser un dodecaedro; ninguna de ellas coincide tampoco con alguna de las piedras de la fotografía (fig. 5.c). Tampoco es el caso que todas las figuras de cualquiera de las fotos de conjuntos “platónicos” procedan con certeza del mismo contexto.

Figura 5.d – Petrosfera de Towie en Aberdeenshire, fechada entre 3200 y 2500 aC. Basada en Sir John Evans (1897: 421) – Imagen en el dominio público. Hizo falta que los arqueólogos críticos de Neverendingbooks y en particular Lieven Le Bruyn demostraran con abundante documentación que todo el ruido en torno de los sóli- dos escoceses eran nada más que un fraude montado por alguien con buenos rudimentos de geometría de sólidos pero sin demasiada idea de la arqueología del neolítico tardío. El propio Critchlow, con el tiempo, reconoció que en los materiales que él trató no ha- bía ningún icosaedro, con lo cual buena parte del relato megalítico estalla en pedazos mientras que un tropel de ingenuos (Atiyah, Sutcliffe, posiblemente Hargittai y con se- guridad Kappraff) queda en evidencia (cf. Baez 2009).21 El error se propagó incluso a la versión castellana del excelente artículo sobre Sólidos Platónicos en Wikipedia, al que

21 El caso de Jay Kappraff es particularmente delicado y –en último análisis– doloroso. Las causas a las que adhiere Kappraff han sido siempre nobles, imagino, pero su credulidad se pasa de la raya y embarra a las fundaciones y proyectos editoriales para los que trabaja, llegando a agradecer en un mismo párrafo a científicos inobjetables (como el geómetra de excelencia Harold Coxeter) al lado de figuras que se saben oscurantistas, como el neopitagórico Ernest G. McClain (cf. Kappraff 1991; 1992; 2002). Respecto del fiasco de los sólidos platónicos del neolitico escocés no he sabido que Kappraff se haya sumado al mea culpa rubricado por el responsable de la engañifa. Admiro algunas de las observaciones de Kappraff pero no pongo las manos en el fuego por todo lo que dice.

77 he optado por dejarlo como está. Como consecuencia de la visceral repugnancia de los arqueólogos profesionales británicos hacia la popular numerología neolítica y megalíti- ca de Gran Bretaña, el tratamiento de los sólidos platónicos escoceses en la literatura seria fue siempre breve y esporádico. La crítica definitiva de la hipótesis de los sólidos platónicos es la del arqueólogo David Robert Lloyd (2012), profesor emérito del Trinity College de Dublin. Acordemos que, a fin de cuentas, las piedras pulidas británicas son objetos geométricos notables y muchas veces extraordinarios (cf. fig. 5.d), aunque su uso y significado sólo pueda ser objeto de conjetura; pero me consta que hay artefactos similares por todas partes, en Tierra del Fuego inclusive, a los que es muy difícil organizar en sistemas or- denados. Estas idas, vueltas y falsificaciones hacen que complejidades de las auténticas etnogeometrías tanto o más creativas que la representación de sólidos deban ser vistas de ahora en más con una desconfianza que no merecen. Por algo es que en los primeros capítulos de este libro (p. 14 y ss.) tomamos la decisión de dejar al margen las peregri- nas hipótesis emanadas de la tradición de la Geometría Sagrada y de otros vuelos parecidos de la imaginación.  Ninguna descripción de los métodos matemáticos de las formas más complejas del arte islámico quedaría completa sin considerar la enigmática historia de los muqarnas y del gigantesco proyecto editorial dedicado a esas y otras geometrías islámicas (van den Hoeven y van der Veen 2010; Harmsen 2006; Necipoğlu y Bailey 2005, etc [35 volú- menes a la fecha]; Takahashi 1973; Krömker 2007; Post, Keene y van der Veen 2009). Los muqarnas fueron introducidos a la bibliografía de Occidente (con el nombre de “arcos de estalactitas”) por Owen Jones, célebre autor del legendario The grammar of ornament (2016 [1856]), en una serie de trabajos publicados en la vorágine del deslumbra- miento de los ingleses por el arte islámico de la Alhambra y de otros monumentos descriptos por los viajeros de los años tempranos de la era victoriana (Goury, Jones y de Garangos 1842-1845; A. M. Johnson 2016; Varela Braga 2017).

Figura 5.11 – Primera teselación aperiódica de Penrose. Nótese que los prototiles (es decir, los componentes) tienen 4 formas distintas: estrellas, medias estrellas, pentágonos y rombos. Compárese con los de la figura 5.8. Nótese que ninguno de esos motivos es arquimedeano – Según Senechal (1995: 171) Podría decirse que las muqarnas son a los volúmenes colgantes de arcos, arquitrabes y cúpulas lo que los embaldosados islámicos estándar son a las paredes y a los pisos deco- rados. Geométricamente, los muqarnas son una clase entre muchas otras de simetrías tridimensionales. Su combinatoria crece consecuentemente a su dimensionalidad. La si- metría se caracteriza por periodicidad en tres dimensiones. Lo que era el número siete para la repetición en una dirección y el 17 para la repetición en dos dimensiones, eso es 230 para la repetición en tres. Esto significa que hay 230 posibilidades distintas para construir una estructura tridimensional que sea periódica en las tres direcciones del espacio. Siguiendo a Jones, los muqarnas se conocen popularmente como las “estalactitas” del arte que cuelga de los techos de mezquitas, templos y edificios musulmanes. En árabe y :respectivamente), en Irán Ahoopāy (persa مقرنس y مقرنص) en persa se los llama muqarnas y en España mucárabe. Se estima que el estilo puede rastrearse hasta mediados(آهوپای del siglo décimo tanto en el noreste de Irán como en el centro del Maghreb, así como en regiones de la Mesopotamia. Los orígenes exactos de los muqarnas se ignoran, pero se supone que las peregrinaciones, el comercio y las conquistas jugaron su parte en el fermento que condujo a ellas.

Figura 5.12 – Muqarna de Qubba Imam al-Dawr en Iraq, destruido por ISIS Imágenes publicadas por ArchNet (https://archnet.org/sites/3838) Los muqarnas también se han definido como una articulación rítmica del espacio. A las simetrías del plano los geómetras islámicos agregaron una dimensión adicional, llevando las artes geométricas a un grado de complejidad que en Occidente no hay todavía quien haya sistematizado sus matemáticas. No ha nacido aun en esta parte del mundo (y es improbable que nazca en el corto plazo) un Roger Penrose de los muqarnas tridimensionales o de las piedras pulidas neolítico británico que sea capaz de operar su magia sin recurrir a instrumentos digitales. Sucede que los geómetras ya no son en este lado del mundo lo que eran en la época de Euclides, de Arquímedes o de Kepler. Los operadores que más se aproximan a tales artífices son autómatas generadores de Mandelboxes hipercomplejos que solamente viven y son posibles en el mundo virtual; o bien son piezas de software de diseño asistido en las que, muy lejos del modelado genuino, los elementos se construyen manualmente pieza por pieza, empleando el método de ensayo y error que nuestro Marvin Harris llamaba con una frase expresiva: “tíralo contra la pared para ver si se pega”.

Figura 5.13 – Simetrías en los patrones islámicos (I) Según Bonner (2017: fig. 54) El primer ejemplo cabal y concreto de un domo en estilo de muqarna pasa por ser Qubba Imam al-Dawr in Iraq, completado en el año 1090. Desdichadamente, el templo fue reportado como destruido por ISIS en octubre de 2014; aunque las muqarnas son relativamente frágiles, el templo duró prácticamente mil años con sus ornamentos intac-

80 tos sin ninguna clase de mantenimiento. Algunas imágenes de muqarnas geométricos de dicho templo son reminiscentes de fractales y atractores extraños (cf. fig. 5.12). A pesar de estas pérdidas y de muchas otras carentes de sentido (ya que no hay representaciones humanas en esas artes, tan sólo geometrías) hoy se conservan miles de construcciones que incluyen un número crecido de muqarnas en todo el mundo. Muchas de ellas se encuentran en estado crítico y requieren operaciones de restauración o de conservación preventiva que están impulsando la creación de tecnologías específicas, comenzando por su registro fotográfico en 3D.

A fines del siglo XI los muqarnas se habían expandido por todo el mundo islámico desde España hasta la India, en donde la arquitectura musulmana se fusionó con los estilos moghules, hindúes, buddhistas y jainas. A pesar de la reconocida fractalidad de este rasgo estilístico, ni Ron Eglash ni Kirti Trivedi se han ocupado de los muqarnas en África Occiental o en India. Según las detalladas bases de datos de Shiro Takahashi, allí se encuentran muqarnas en la mezquita de Daragamba en Ghana y en Dalaba Fougoum- ba en Guinea, así como en mezquitas moghules en Agra, Delhi, Lucknow y Madhya Pradesh. Los análisis de dimensión fractal en la arquitectura islámica en general y en los muqarnas en particular son hasta el día de hoy sumamente escasos. Conozco (confieso) uno solo (Abdelsalam e Ibrahim 2019).Es curioso que ni Kirti Trivedi ni los miembros de su escuela utilicen esa categoría descriptiva en su análisis de ostensibles muqarnas visiblemente fractales existentes en la India y Pakistán y relevados en la hoy obsoleta base de datos de Takahashi. Los análisis de dimension fractal del perfil de los templos indios han sido, por el contrario, nutridos, aunque prevalece una metodología ad hoc que mezcla iteraciones a escalas cambiantes con estimaciones de segmentos áureos en series casi invariablemente breves; como sucede tantas veces, no hay criterios homo- géneos sobre lo que puede y lo que no puede ser fractal (Rian, Park y Ahn 2007;

Ostwald y Vaughan 2016; Dutta y Adane 2018). Aun en condiciones perfectibles y aparte de una extraordinaria galería de imágenes, casi siempre sale algo de todo esto.

Figura 5.14 – Simetrías en los patrones islámicos (II) Según Bonner (2017: fig. 55)  Algunos textos más o menos recientes en el estudio de las teselaciones islámicas han acometido un esfuerzo de sistematización importante vinculando, por ejemplo, dichos embaldosados con los tipos de simetrías en las guardas, los planos y las rosetas, abar- cando incluso la noción kleiniana de grupo (Abas y Salman 2007). En este último estudio se encuentra además una clasificación representativa de los grupos de simetría correspondientes un gran número de ejemplares, pero el trabajo es incompleto en muchos sentidos. Abas y Salman no suministran indicaciones sobre el origen y la cronología de cada uno de los ejemplares clasificados, entresacados de varias colecciones. Tampoco

proporcionan mucha información sobre la presencia de los grupos simétricos a través del tiempo o en determinados lugares y períodos de la historia. Unos pocos ejemplares relevados puede que procedan de muqarnas, pero este último estilo (igual que el mocá- rabe) no es objeto de distinción.

Figura 5.15 – Cuasicristal de Penrose (según Arik 2015) Tampoco se mencionan los muqarnas en el excelente Islamic geometric pattens de Jay Bonner (2017). El libro cuenta además con un brillante prólogo del ahora Sir Roger Penrose y con la colaboración general de Craig Kaplan en la realización del modelado. Las ilustraciones en color permiten demás una esclarecedora y compacta muestra de los grupos de simetría tal como se manifestaron en el Islām. Único de este libro es el tratamiento de las particularidades estilísticas de las dinastías islámicas, una por una, com- prendiendo Omeyas (642-750), Abásidas (750-1258), Tulúnidas (868-905), Omeyas de al-Andalus (756-929), Samánidas (819-999), Búyidas (945-1055), Ghaznávidas (863- 1187), Karkhánidas (840-1212), Grandes Seléucidas (1038-1194), Ghuridas (1148- 1215), Ildégidas (1136-1225), Artúquidas (1102-1409), Zángidas (1127-1250), Fatími- das (909-1171), Ayyúbidas (1171-1260), Jorésmitas (1077-1307) y Mamelucos de Egipto (1250-1517), detallando además el devenir estilístico de los musulmanes en las regiones occidentales y en la región mongol y la adopción de patrones geométricos islá- micos por parte de culturas no-musulmanas. Es apenas fragmentario y ocasional el tratamiento de los estilos musulmanes en el imperio Otomano, o entre los Safávidas de Per- sia, los Moghules de India y los musulmanes de Indonesia, archipiélago en el que hay más musulmanes que en cualquier otra nación del mundo pero que ni siquiera figura en los nutridos índices del libro. No obtante el predicamento que tienen en Occidente, Bonner considera que las variedades Otomanas, Safávidas y Moghules son más bien crepusculares y derivativas, habiendo experimentado un giro desde la geometría hacia la ornamentación floral. Se perdió entonces en esos contextos la creatividad geométrica, restringida a la copia mecánica de ornamentos históricos. Es triste notificarse que las geometrías del Taj Mahal, que en Occidente creeríamos las más sublimes de cuantas han habido, están en esa categoría.

El elemento de juicio fundamental a nuestros fines tiene que ver con el hecho de que en muy distintos contextos históricos es perfectamente posible que un estilo geométrico experimente una regresión o una parálisis conservadora y que no avance un solo paso en la dirección que va de lo más simple a lo más complejo. Es también posible que las manifestaciones que así se comportan no sean otras que las que practicamos en Occidente y que así haya sucedido con más de una de nuestras geometrías. Y la más común de todas es la de que de cara a las manifestaciones geométricas más complejas de la alteridad (como ya nos ha pasado con las esculturas afro para turistas, con las artesanías seudo- celtas, con el caldero de Gundestrup, con los sólidos pre-platónicos escoceses, o con las canciones tejidas de los Shipibo) otorguemos mayor valor a lo que vale menos, caiga- mos en la trampa de los diagnósticos sesgados o dejemos de percibir (como decía Ba- teson) las diferencias que hacen una diferencia.

6 - Hitos de la etnogeometría (4): Paulus Gerdes y la política de la representación geométrica

The use of images in mathematics certainly stands completely against the ideology of the 1960s and '70s, when the sciences were sharply classified according to whether images are or are not important. A German-born friend of mine, a great biologist and philosopher, went so far as to theorise that progress in science consists in eliminating pictures as much as possible. Mathematics was perfect because it had completely banished pictures… even from elementary textbooks. I put the pictures back. This was received in a very hostile fashion by most of my colleagues. Since then, the opposition to pictures has weakened, simply because they have been so extraordinarily fruitful and because humans are continually changing. Benoît Mandelbrot en entrevista con Hans Ulrich Obrist (2008)

Es importante recuperar el fondo del registro histórico en el que Paulus [Pierre Joseph] Gerdes [1952-2014] inició su trayectoria como uno de los etnogeómetras más destacados de todos los tiempos abrazando una perspectiva más pedagógica que antropológica y más orientada a la pedagogía de los oprimidos y a sus vías de emancipación que hacia el mero registro documental de la minucia plástica o del detalle etnográfico (Gerdes 2014 [1983]; 1985). En sus últimos años, Gerdes seguía firmando su correspondencia con la expresión “¡A luta continua!”, inspirada en las consignas del Frente de Libera- ción de Mozambique [FRELIMO] en el que participó en algun momento nuestro Marvin Harris [1927-2001], con quien Gerdes alcanzó a cruzarse algunas veces y a quien citó en alguna que otra ocasión (Gerdes 1994b: 20; Powell 2015). En esta línea política se encuentra el trabajo de Gerdes que trata de los manuscritos filosóficos de Karl Marx sobre el cálculo diferencial (Gerdes 2014 [1983]). Se lo considera un texto esencial para comprender la estructura algorítmica de la dialéctica y la ne- gación de la negación, así como los conceptos de la dinámica y lo infinitesimal. En los prolegómenos de la segunda edición del libro Gerdes se pregunta si realmente existe alguna relación entre el pensamiento de Marx y la etnomatemática. Buscando la respuesta a esa pregunta él encuentra que le ha resultado orientador el libro de Arthur Po- well y Marilyn Frankenstein Ethnomathematics: Challenging Ehnocentrism in Mathe- matical Education (1997). En la sección sobre las interrelaciones entre la cultura y el conocimiento matemático ellos incluyen el artículo de Dirk Struik [1894-2000] titulado “Marx and Mathematics”, cuyo original se había escrito cuatro años antes que Gerdes naciera (Struik 1948; 1997).22 En su introducción al paper de Struik (profesor emérito

22 Arthur Powell, editor senior del libro en que se publicó el artículo de Struik escrito medio siglo antes fue, incidentalmente, el sensitivo autor del obituario de Gerdes (Powell 2015).

86 del MIT) los editores dicen que Marx trató de comprender el cálculo diferencial en el marco de una praxis cultural, como descripción conceptual y matemática de la dinámi- ca, el movimiento y el cambio, a la luz de otra construcción cultural (la dialéctica) que era parte de la perspectiva filosófica e ideológica de un grupo cultural identificable (Po- well & Frankenstein 1997: 124). Es el mismo Dirk Struik treinta años más tarde y con 104 años a cuestas quien atribuye a Gerdes haber merecido por parte de Donald Crowe la primera mención de la palabra etno-geometría entronizándolo como su fundador. Gerdes titula su nuevo libro echando mano a esa denominación (Gerdes 2013 [2003]). El volumen consiste en una selección de artículos tempranos sobre el tema, sometidos a una minuciosa lectura crítica. Si bien Gerdes atemperó su retórica izquierdista con el correr de los años, nunca se vio que traicionara los ideales que había abrazado en su juventud, ni que adoptara otro principio que el de la más estricta igualdad intelectual a través de las culturas, ni que se de- jara tentar por la saturación semántica que impone, por ejemplo, el ala más complacien- te con la new age del pos-estructuralismo o por las retóricas desempoderadoras que se afianzaron, una tras otras, en las modas que atravesaron la antropología de Brasil, el lugar, junto o al lado de África, donde más habríamos necesitado disponer de una antro- pología dotada de espíritu combativo y pasión científica como la que él dispensó hasta el prematuro fin de sus días.

Figura 6.1 – Movimiento de un animal-Lunda pentominó según una serie de Fibonacci [1 – 2 – 3 – 5 – …]. Basado en Gerdes (2007d: 105).

Las contribuciones de Gerdes a la etnogeometría son innumerables, mucho más numerosas que las de cualquier otro autor y de una calidad y originalidad constante. Nadie sacó tanto jugo como él de lo que hasta entonces había sido un juego matemático como esos que Martin Gardner desarrollaba en su sección epónima de Scientific American (lo que en el mundo hispanohablante fue Investigación y Ciencia). Me refiero a los polio- minós, “inventados” en la década de 1980 por el matemático Solomon Gollomb [1932- 2016] autor del casi legendario Polyominoes: Puzzles, Patterns, Problems, and Patterns (1994 [1965]). Ese acto de invención se remontaría según el propio Gollomb a una char- la que él impartió en el Harvard Mathematics Club en 1953; nadie que haya estado leyendo este libro desde el principio y que tenga alguna idea de la historia transcultural de los juegos de tablero, sin embargo, puede creer que una criatura geométrica semejante podría haber sido engendrada ex nihilo por un occidental norteamericano del siglo XX, uno de los infinitos patentadores compulsivos que poblaban esa nación en esa época. Con el paso de los años Solomon se enteró que los pentominós ya existían antes de su epifanía de 1953 (aunque con otros nombres) y que, para colmo, ni siquiera eran norte- americanos. Un juego basado en pentominós había sido publicado en 1907 en los Can- terbury Puzzles por el célebre inventor de juegos de ingenio Henry Ernest Dudeney (1958 [1907]: 119-121). La observación de que con los cinco cuadrados de los pento- minós sólo se pueden armar 12 combinaciones distintivas en el juego japonés del Go se atribuye también a un antiguo maestro de ese juego que Golomb se abstiene de nombrar. Una revista británica de juegos, Fairy Chess Review, había publicado una extensa literatura sobre el asunto en los años 1930s y 1940s bajo el rótulo no de poliominós sino de “problemas de disección”.

Figura 6.2 – 12 combinaciones posibles en los pentominós. Los poliominós vienen en distintas cardinalidades. Como se veía venir, los conjuntos de una sola pieza se llaman monominós; los de dos, dominós; los de tres, trominós; los de cuatro, tetraminós, los de 5, pentominós y así sucesivamente; ellos soportan 1, 1, 2, 5 y 12 combinaciones posibles, respectivamente. Gerdes abordó las conexiones entre las combinatorias de diversos poliominós muchas veces en su vida, desarrollando más ampliamente el tema en el libro Lunda Geometry: Mirror curves, designs, knots, polyominoes, patterns, symmetries (Gerdes 2007d [1996]). El libro (que he consultado en su segunda edición) es esporádicamente agudo pero un tanto desorientador por su omisión de imágenes fotográficas de los objetos geométricos en su contexto y la sobreabundancia de dibujos del propio Gerdes de los que no se sabe si son diagramas Chokwe o Lunda reales o extensiones personales de la geometría nativa. Tampoco se sabe si los animales Lunda que él reporta y que veremos de aquí a poco están sacados de la imaginería

Chokwe o si son criaturas diseñadas en la alta civlización como las tortugas del Logo de Seymour Papert. Por lo demás, el vínculo que Gerdes construye entre las figuras Lunda, los morfismos simétricos y la fractalidad son verdaderos chispazos de genio analítico. El hecho es que los Chokwe, un pueblo de la región Lunda en África, hacen de todo con los poliominós en general y con los pentaminós en particular. Hay un juego con alguna reminiscencia del pac-man en el que un animal Lunda (como los llama Gerdes), un compuesto “flexible” de cinco cuadrados, avanza por una especie de tablero girando la cabeza y doblando. El movimiento genera un movimiento que (como se observa en la figura 6.1) genera secuencias que una vez más van formando una serie de Fibonacci, a la que Gerdes identifica en el África fractal tres años antes que Eglash hablara de ella en ese contexto.23

Figura 6.2 – Cestería Bora de Perú. Ejemplar y esquema geométrico. Según Gerdes (2013 [2007]: 51-52). Una serie de Fibonacci, que aparece con frecuencia en contextos fractales donde tam- bién se manifiestan el segmento áureo y otras proporciones características, es una secuencia en la que cada número es la suma de los dos números anteriores. Gerdes no pierde ocasión de vincular esa famosa serie a una ideación maghrebí bien conocida, pues es bien sabido que Fibonacci mismo se educó en el Maghreb y que allí conoció en el dominio público, diríamos, la serie a la que se conoce con su nombre: "As Fibonacci says himself this Italian scholar was trained when very young in Bougile (in today's Algeria, p.g.) one of the Maghrebian scientific poles of the 12th century and later he reproduced ~ in his Liber Abbaci [1202] certain aspects of the Maghrebian mathematical tradition' (Djebbar 1995, 25)”. Probably he learnt about the 'Fibonacci' sequence when he was in North Africa (Gerdes 2007d [1996]: 106).

Lo que muy pocos denotan saber es que Leonardo de Pisa, “Fibonacci” [1170-1250] fue no sólo el creador de la serie epónima sino el principal introductor en Europa de la numeración arábiga (o más bien india) en detrimento de los números romanos, los cuales ofrecieron resistencia durante siglos al amparo de decretos reales, bulas, agre-

23 Gerdes había identificado muchas instancias de fractalidad en África antes que se publicara el libro magno de Ron Eglash (1999). Véase por ejemplo Gerdes (1995; 2007d [1996]: 66-68; 175).

89 siones y hasta linchamientos según una historia que Gheverghese Joseph ha contado como nadie lo hizo antes o después, aunque recientemente le ha surgido una enconada oposición de sello anti-etno montada, tal parece, con recursos de fundamentalistas europeos de Canadá que se autodefinen como pos-multiculturalistas y blanden consignas tales como “Mathematics is essentially a European accomplishment” (Joseph 2011: 466-467; Devlin 2017 versus Duchesne 2017). De más está decir que la geometría que estamos estudiando en este trabajo sugiere más bien lo contrario. En la obra de Gerdes la cestería ocupa un lugar descollante: el autor aporta, por empezar, una nomenclatura para los tejidos básicos que habría que aplicar de aquí en más a los ejemplares de todas partes del mundo. Merecen mención los estudios adecuadamente contextualizados sobre los Bora de la Amazonia peruana por su presentación siste- mática de las técnicas de construcción geométrica que se detallan (Gerdes 2003-2004; 2013 [2007]). En el primero de esos estudios Gerdes analiza las técnicas peculiares de un estilo cestas de borde circular y fondo entrecruzado con variaciones que presentan cuadrados concéntricos dentados y establece un rico tejido comparativo con estudios de otros estilos en otras culturas.

.Figura 6.3 – Decoración simétrica de la casa de un jefe Bamileke en Camerún. Basado en Gerdes (2007c: 11) – Basado a su vez en Guidoni (1987: 127). Gerdes no era de los que reclamaban falsas precedencias históricas. Él consideraba que los primeros estudios de Brasil en los que se analizaban las posibles razones de la apa- rición de esos cuadrados concéntricos en la cestería probablemente hayan sido los de Max Schmidt (1905: 330-403) que son aquellos en los que se definió el concepto de cuadrilátero de entrecruzamiento [Geflechtsviereck]; también se habló en ellos de las propiedades matemáticas de esas morfologías y se estudió la trasposición de patrones de entrecruzamiento para otros contextos de ornamentación (cf. Schmidt 1904: 1926). Au- tor olvidadísimo hoy en día, Schmidt fue a juicio de Gerdes un importante precursor de la etnomatemática con una honda experiencia de trabajo de campo y una aguda intui-

90 ción de los problemas de la geometría. Su contribución –pensaba Gerdes– debería ser mejor conocida. Si de cestería se trata, la obra maestra de Gerdes en ese renglón acaso es Fazer Cestos e Geometria na Cultura Makhuwa do Nordeste de Moçambique (Gerdes 2007a) donde el autor proporciona una efectiva visión de conjunto de las técnicas globulares. El estudio también investiga la relación entre los objetos construidos con esa tecnología y las propiedades estructurales de ciertos materiales, en particular aleaciones de metales y derivados del carbono (cf. también Gerdes 1999b) En sus obras más tardías Gerdes (2007) utiliza criterios de simetría para poner en claro el interplay entre las pautas culturales y las posibilidades técnicas y matemáticas en ces- tería en general y en cesterías africanas en particular. Otra contribución estimulante es la noción de “música” (más exactamente, de “ritmo”) que se presenta en diversas técnicas de entretejido que surgen cuando se practica una cestería de twilling en la que las fibras que van en una dirección pasan por debajo o por encima de otras fibras que van en otro sentido. Para señalar el twilling se emplea una notación tal que 2/2 indica un tejido “sobre dos, bajo dos”, 3/3 denota “sobre tres, bajo tres”, etc. Dice Gerdes que entre las cesteras Tonga en Izambene, Mozambique, la música o canción [ndzimo] surge cuando el patrón en zigzag cambia de dirección. Algunas de estas ideas llegan hasta un punto que parece ser promisorio: es lamentable, de todos modos, que Gerdes no haya seguido esta línea de razonamiento analógico hasta las últimas consecuencias. Las contribuciones de Gerdes a la comprensión de las simetrías en diversos contextos es comparable a las que se hicieron desde los estudios de las teselaciones o embaldosados, acaso la única estructura simétrica recurrente de la etnogeometría que Gerdes nunca abordó de plano. Con las simetrías Gerdes estaba en su medio; no diré que fue él quien las puso en valor, pues los valores de unas cuantas de las simetrías del mundo no requieren de la conmiseración de ningún influencer occidental para establecerse. No pocas de esas geometrías son estremecedoras desde el vamos aun cuando no tengan ningún contenido semántico que comunicar: véase por ejemplo la vibrante simetría de la figura 6.3, que Gerdes mostró en su arrolladora y vertiginosa compilación de cestería africana sin necesidad de agregar ningún comentario. Esta es una ocasión adecuada para plantear los morfismos entre distintos regímenes de representación, lo cual podría hacer, por ejemplo, a caballo de la existencia de los kolaṁ, como sucedió alguna vez en la India tamil cuando Gift Siromoney [1932-1988] estableció un vínculo entre las gramáticas chomskyanas y las imágenes dibujadas por las mujeres en las puertas de sus casas, o cuando Przemysław Prusinkiewicz y Jim Ha- nan (1986; 1998) encontraron que los kolaṁ eran virtualmente isomorfos a la música de rāga practicada en la misma región del sur de la India (cf. Reynoso 2006).24 Una solución probable a los problemas que plantean estas analogías tal vez provenga de la teoría de grupos que algunos han encontrado concomitante al círculo de quintas en la

24 Dos capítulos más adelante volveremos a tratar esta cuestión.

91 teoría armónica de la música de Occidente. En esta coyuntura es verdaderamente importante que Dmitry Tymoczko, el musicólogo que ha introducido por primera vez en la in- vestigación modélica de avanzada, haya reconocido que un estudio de Paulus Gerdes sobre variantes de la confección de cestería en Mozambique le inspiraron ideas sobre la aplicabilidad de teoría de grupos y orbifolds (y de su propia geometría de la música) al análisis y a la composicion musical (Gerdes 2004; Tymoczko 2011; 2012). Reinte- grando las teorías etic con las prácticas emic como Ron Eglash no había sabido hacerlo (y partiendo de la base de que la teoría de grupos fijaba límites tanto a las posibilidades del análisis como a la operatoria de simetrización del artista) expresa Tymoczko: I believe that geometrical models of voice leading can help us systematize the implicit contrapuntal knowledge of previous composers, formed during thousands of hours of improvisation, yet conceptualized only crudely by contemporary theoretical standards. Like the basketweaver’s implicit knowledge of symmetry groups, this is genuine, embodied knowledge, even if it may have been articulated in an unfamiliar and occasionally untheo- retical way (Tymoczko 2012: 153).

Además de ello (y con los avances tecnológicos que están hoy al alcance de la mano) es posible que se comiencen a estudiar de una vez por todas y sin dogmatismos ni des- bordes metafóricos los isomorfismos entre distintos regímenes visuales y sonoros de la representación. Hoy en día hay una geometria de la música que es uno de los modelos más poderosos que han habido en décadas en el campo de la antropología y la sociología musical. Todavía no la hemos explorado a fondo aunque su potencialidad es manifiesta. Aunque resta mucho por explorar al menos se ha tornado evidente que la geometría es una idea demasiado poderosa como para agotarse en la plasmación de imágenes y acabar muriendo allí.

7 - Hitos de la etnogeometría (5): Nitüs, nudos, figuras de hilo, tokapus y grafos lineales.

I read … that geometry is the art of making no mistakes in long calculations. I think that this is an underestimation of geometry. Our brain has two halves: one is responsible for the multiplication of polynomials and languages, and the other half is responsible for orientation of figures in space and all the things important in real life. Mathematics is geometry when you have to use both halves. Vladimir Arnol'd según S. H. Lui (1996)

Un des principaux délassements d'Euler était la musique, et en la cultivant il y apporta tout son esprit géométrique; … il accordait à ses recherches profondes, il composa son Essai d'une nouvelle théorie de la musique, publié en 1739; ouvrage rempli d'idées neuves ou présentées sous un nouveau point de vue, mais qui n’eut pas un grand succès, apparemment par la seule raison qu’il renferme trop de géométrie pour le musicien et trop de musique pour le géomètre. Nicolas Fuss (1783)

Cuando Marcia Ascher [1935-2013] se ocupó de dar el puntapié inicial al análisis de grafos de líneas continuas y de grafos regulares consideró que lo suyo era una contribu- ción a las etnomatemáticas, perdiendo la oportunidad de hablar con mayor precisión de etno-geometría o más exactamente de etno-topología, ocurrencia esta última que propu- siera hace mucho el viejo patriarca de la antropología inglesa Edmund Leach [1910- 1989] sin despertar entonces mayores ecos, sin hacer uso de diagramas o grafos topoló- gicos o geométricos, sin hablar de ello nunca más en su vida, mezclando algunas de las mejores y de las peores ocurrencias que le hayan venido a la cabeza y sin tener (apues- to) ideas demasiado claras y comprobadamente fructuosas a esos respectos (Leach 1971 [1961]: 7, 8, 12, 18-19, 23, 26; Ascher 1988). Como siempre sucede en la interdisciplina, Asher nunca nombró a Leach; la inspiración inicial le vino de los escritos de André Sainte-Laguë [1882-1950], un matemático dedicado a la comprensión de la ideas del creador de la teoría de grafos en Occidente, Leon- hard Euler [1707-1783], cuyo texto clásico –incidentalmente– Ascher no menciona en sus bibliografías y al que estoy persuadido que ella no había leído con detenimiento en el contexto de esos trabajos.25 Esas ideas de Sainte-Laguë, de Ascher y sobre todo de

25 Cada tanto me invade la sensación de que Paulus Gerdes tampoco leyó la obra de Euler o, para el caso, la literatura técnica básica sobre teoría de grafos. Él dice que “O conceito de ‘monolinearidade’ não é o mesmo que o conceito de ‘tracejabilidade’ ou o de ‘grafo de Euler’, utilizado na Teoria de Grafos. Ao tracejar um grafo permite-se que dois segmentos da linha se toquem. Em contrapartida, ao desenhar um lusona dois segmentos não são permitidos a se tocarem mas eles podem intersectar-se” (Gerdes 2012 93

Euler merecen empero un tratamiento detallado, para el cual viene bien recuperar fragmentos de mi estudio de tesis sobre el análisis de redes sociales, una práctica derivada del álgebra que vertebra y subyace a buena parte de la teoría de grafos. Hace hoy 10 años decía yo en esa disertación: Pasando por algunos hitos preliminares de fuerte impacto, como el famoso “problema de los cuatro colores” propuesto por Francis Guthrie [1831-1899] en 1852, la historia de la teoría de las redes sociales se remonta a los orígenes de la teoría de grafos en matemáticas, creada hacia 1736 por el suizo Leonhard Euler [1707-1783]. Este matemático prodigioso, uno de los escritores más prolíficos de la historia, inventó de la noche a la mañana la teoría de grafos al resolver el famoso problema de los siete puentes sobre el río Pregel en Königs- berg, una ciudad hace tiempo impersonal que en algún momento se renombró Kaliningrado.

El problema consistía en averiguar si se puede pasar por los siete puentes sin cruzar más de una vez por cada uno de ellos. Lo que hizo Euler en su planteamiento fue como lo que acos- tumbraba hacer el antropólogo Clifford Geertz sólo que al revés: en lugar de ahondar el problema en sus más ínfimos matices de significado (como imponen los modelos de la des- cripción densa y del conocimiento local) lo despojó de todo cuanto fuese inesencial al razonamiento ulterior; en vez de subrayar su peculiaridad, lo vació de lo contingentemente es- pecífico y lo generalizó. Para ello eliminó de cuajo toda información irrelevante al cálculo de la solución, dejando sólo las masas de tierra representadas por un punto, vértice o nodo, y los puentes mismos concebidos como líneas, aristas, bordes o vínculos. La orientación y longitud de los trazos tampoco fueron tomados en consideración. Integrando a un razonamiento casi algebraico nada más que la paridad o imparidad de los grados, ni siquiera el número de nodos o de conexiones formó parte del planteo [porque el tamaño del grafo, créase o no, es irrelevante]. El grafo abstraído por él es lo que hoy se conoce como un mul- tigrafo, un grafo que admite más de una arista por vértice. […]

Aunque no utilizó esas palabras precisas, Euler advirtió que la solución del problema debe- ría considerar la paridad o imparidad del grado de los nodos, esto es, del número de aristas que inciden en ellos. Así como se llama grafo euleriano a secas a un ciclo que atraviesa cada línea del grafo exactamente una vez, se llama grafo hamiltoniano a un ciclo que pasa exactamente una vez por cada punto. […]. Algunos especialistas en etnomatemática afir- man haber encontrado grafos eulerianos (a veces más específicamente grafos planares gaussianos 4-regulares) en los diseños sona de los Chokwe de Angola o en los dibujos en arena Malekula de la isla de Vanuatu, pero no han ahondado en los detalles de los mecanis- mos cognitivos involucrados (Ascher 1988; Gerdes 2006; Demaine y otros 2007 según Reynoso 2011a: 28).

Tornando a Marcia Ascher, quien fue la primera que desarrolló el costado etno- de la problemática, ella reconoce que Sainte-Laguë implicó (sin decirlo abiertamente) que la noción del trazado de ciclos y circuitos eulerianos con una sola línea continua no sólo ha sido un dominio conceptual característico de las matemáticas de Occidente sino que podría existir o haber existido en la cultura folk y en sociedades no occidentales formali- zando una instancia particular de la idea de trayectoria, circuito o recorrido sujeto a condiciones (Sainte-Laguë 1926: 12). En rigor, Sainte-Laguë (famoso en su momento de gloria por la demostración formal –equivocadísima– de que las abejas no podían volar)

[2008]: 32 n. 1). No sé de dónde Gerdes sacó semejante idea, pero las definiciones que la pueblan distan de ser exactas: un grafo en el que las aristas no se cruzan no es un grafo euleriano sino un grafo planar. No todos los grafos planares poseen paths eulerianos. Euler fue por ciertamente el creador reconocido de la teoría de grafos, pero hasta donde conozco jamás empleó dicha terminología.

94 no pasa de una referencia a las volutas de la caligrafía de la firma de Mahoma, sin llegar a una generalización que involucre a la cultura folk o a la totalidad de las culturas otras. La primera parte del ensayo de Ascher sobre los grafos en la cultura se ocupa de los grafos lineales de los Malekula, quienes viven en Oceanía en los lugares que antes se lla- maban Nuevas Hébridas y que hoy son el archipiélago que integra la República de Va- nuatu. Los grafos habían sido estudiados por el mismísimo Alfred Cort Haddon (1936) y por A. B. Deacon (1934). Lo notable del caso es que los Malekula se imponían hacer lo mismo con esos grafos que lo que los habitantes de Königsberg procuraban lograr, esto es, determinar si había o no inscripto en ellos un ciclo o un circuito euleriano: Está, sin embargo, la cuestión de llegar a la Tierra de los Muertos. De acuerdo con los Ma- lekula, cuando un hombre muere, para llegar a la Tierra de los Muertos el fantasma debe pasar por donde un ogro parecido a una araña le traza una figura e la arena. Él debe trazar toda la figura son levantar su dedo y sin ir para atrás y, si es posible, terminar en el punto en que empezó. Si no puede superar el desafío, no puede seguir para la Tierra de los Muertos (Ascher 1988. 207).

Figura 7.1 – Grafos Malekula según Haddon y Deacon (1934). Los números indican el orden de flujo del camino por el grafo. De acuerdo con las anotaciones de Deacon, cada diseño se considera un laberinto único que los nativos deben recorrer con el dedo fluídamente, sin cometer ningún error y dis- curriendo en el orden adecuado. Las figuras sobre las que se hacen los trazos son efíme- ras, dibujadas en la arena, y no se les atribuye valor estético alguno: son geométricas pero no son arte ni pretenden serlo. Ciertos diseños (todos los cuales tienen nombre) se derivan de la religión o la mitología del lugar; otros son diseños puramente seculares y recreativos. La mayoría representa pájaros, animales, plantas o lugares. Los malekulen-

95 ses más viejos podían dibujar 30 ó 40 dibujos consecutivos sin titubear; muchos de los dibujos eran extraordinariamente difíciles y requerían un pasmoso dominio de la sime- tría. No había casi improvisación en el dibujo, tal parece. Los diseños se llaman nitüs o nitüs na-ana en Seniang y rolu en Lavarat. Nitüs deriva del verbo tüs, que significa “él dibuja” o “él pinta”, el mismo que los nativos misionalizados usan para designar la escritura de los europeos. Jacques Derrida se habría hecho un festín por esta equivalencia y por el hecho de que esta “escritura” nativa no tenía mucho que ver con la notación del lenguaje hablado sino con alguna clase de analogía geométrica en la que a él, pese a haber nacido en el Maghreb de Fibonacci y a su vocación catacrética, nunca se le ocurrió pensar (Derrida 1971 [1967]).26 Dado que grafos similares se presentan en lugares del mundo no conectados entre sí ni con factores sociales o culturales en común, es probable que la explicación “cultural” no sea la más acertada. Los detalles mitográficos divergentes bien podrían constituir una distracción que nos aleje de la casi universalidad del flujo reticular implicado. Quien más trabajó los grafos eulerianos y euclideanos derivados de la etnografía de Deacon y Haddon y de la etnomatemática de Ascher fue, lejos, Paulus Gerdes, quien los abordó en un número inusitado de sus publicaciones en términos mucho más geométri- cos y simétricos que combinatorios o topológicos, que era como Ascher los contem- plaba primariamente. [Desarrollar Demaine y otros] [Vincular con trabajo de Gerhard Kubik, con un ojo puesto en el caso Shipibo]

Figura 7.2 – Grafos lineales simétricos egipcios según Petrie (1930). Basado en Gerdes (Geometría Sona, vol. 3). Una de las mejores sistematizaciones de los grafos en arena y sus análogos es un breve y tardío artículo de Erik Demaine, Martin Demaine, Perouz Taslakian y el geómetra del ritmo Godfried Toussaint titulado “Dibujos en la arena y grafos Gaussianos” (2007). [C]

26 Queda en el terreno de lo contrafáctico pensar lo que habría sido el emprendimiento pos-estructural si Derrida hubiera escogido una (etno)geometría como alternativa al logos estructuralista en lugar de una inconvincente metáfora como la que escogió y que se refiere no la práctica sino a la ciencia de la escritura (un logos más, después de todo). Lo que le faltó para dar ese salto abductivo ha sido (como diría Hilbert) no tanto rigor lógico como imaginación en el sentido geométrico de la palabra.

Una de las manifestaciones de esta modalidad geométrica consistente en trazar líneas en torno a puntos es el puḷḷi kolaṁ del sur de la India, descripto suscintamente por Demai- ne y otros. Hemos tratado largamente sobre la geometrías de kolaṁ, puḷḷi kolaṁ, rangoli y otros grafismos en un número de trabajos. Hay un largo capítulo sobre kolaṁ y gra- máticas recursivas en mi libro sobre Complejidad y Caos: Una exploración antropoló- gica (2006: cap. 5.2.5), ampliado por otro referido al Diseño y análisis de la ciudad compleja (2010d: cap. 4); hay también una presentación con múltiples estudios de casos y archivos anexos en los cursos sobre algoritmos de complejidad en la cultura que se encuentran en este vínculo; está disponible, por último, una monografía específica en el artículo sobre Diseño artístico y arquitectónico con gramáticas complejas (Reynoso 2008a), en el que se estudia también la síntesis de músicas y motivos rítmicos basada en sistemas de Lindenmayer con aplicación a los kolaṁ de la región Karnática que se ana- lizarán desde otros ángulos en el capítuo siguiente. En el tercer volumen de su estudio sobre la geometria de los Sona Paulus Gerdes (2014d) ilustra con grafos lineales simétricos egipcios que son prácticamente iguales a los diseños que él había encontrado en Angola y que no difieren tampoco de los grafos Malekula ilustrados de Maria Ascher. Algunos de los dibujos reproducidos por Gerdes proceden de ejemplares de las antiguas colecciones de Flinders Petrie cuya extensa bi- bliografía Gerhard Kubik, extrañamente, conocía al dedillo. Escribe Kubik: Paulus Gerdes ha desarrollado varios algoritmos geométricos para construir algunas fami- lias de dibujos Sona. Uno de esos algoritmos utiliza el algoritmo de Euclides para computar el máximo común divisor de dos números naturales. Resulta interesante que el algoritmo euclideano no sólo genera dibujos tradicionales en el arte visual, sino también ritmos tradicionales en la música (Op. cit.: 126; Gerdes 1999a; Toussaint 2005).

Hay un área inmensa que la etnogeometría comparte con la etnotopología y que se refiere a grafos y dibujos sona, kolaṁ o afines de variados tipos descriptos en distintas épocas por una variedad de autores (Petrie, Haddon, Deacon, Ascher, Gerdes) que tuvo que esperar que los topólogos matemáticos elaboraran las nomenclaturas y tipología de la teoría de nudos, una rama de la topología que hoy es una disciplina reconocida con sus congresos, asociaciones, surveys y grupos de investigación específicos (Bozhüyük 1993; Murasagi 1996; Manturov 2004; Menasco y Thistletwaite 2004). Los nudos de la topología formal toman su inspiración de viejas técnicas de anudamiento estilizadas presentes en una multitud de culturas desde tiempos prehistóricos. Aunque el registro ar- queológico es incompleto debido al carácter perecedero de los materiales, hay referencias escritas a nudos en China, en Tibet y en Japón desde muy antiguo, amén de un repositorio sobredimensionado referido al knotwork de celtas y otros pueblos que ya hemos entrevisto brevemente (pág. 69 más arriba). Tras algunos esfuerzos pioneros en el siglo XIII, la teoría de nudos arranca en Occidente en el siglo XIX con Carl Friedrich Gauss; con no pocos altibajos, la teoría renace con ímpetu a comienzos del siglo XXI y ejerce alto impacto en la topología aplicada en ámbitos tan disímiles como el electro- magnetismo, la mecánica cuántica y el estudio del DNA superenrollado.

Es recién en la segunda década del siglo que corre que la teoría de nudos se instala en la etnogeometría por obra de autores heterodoxos como Slavik Jablan, Louis Kauffman, Jay Kappraff y Ljiljana Radović (Kappraff, Radović y Jablan 2016). Lugar especial merece el empeño de l@s millenials finlandes@s Kristóf Fenyvesi y Tuuli Lähdesmäki (2013) por vincular las teorías de nudos con la teorías del laberinto con los meandros, los frisos de la simetría y la matemática visual. Especialistas de ese grupo han aportado sin hacer mucha alharaca una de las pocas demostraciones existentes del método de construcción de un laberinto mediante un procedimiento de selección de áreas cuadrangulares en diagonal bien conocido por los profesionales contemporáneos, quienes durante un tiempo creyeron honestamente –en la huella de V. I. Arnol’d– que habían inventado esas y otras técnicas parecidas de permutación y enumeración (Arnol’d 1988; Phillips 1992; cf. fig. 7.3).

Figura 7.3 – Construcción de laberinto en moneda cretense de Knossos (ca. 400 aC). Método de rotación de secciones diagonales. Según Fenyvesi, Jablan y Radović (2013: 364) Lo más impactante que ha revelado el estudio matemático de laberintos arqueológicos, protohistóricos e históricos dispersos por el mundo es que el número de laberintos uni- cursales simétricos y bien diseñados admite un número inesperadamente bajo de solu- ciones posibles. Tal parece que ningún topólogo actual puede descubrir opciones que no hayan sido encontradas antes en algún lugar. Analizando el caso romano dice Anthony Phillips: Devising a unicursal maze to fill out an area in an interesting and symmetrical way is a topological problem as well as an aesthetic problem. Given constraints on size and overall organization, there is only a small number of topologically distinct solutions; this has allowed our mathematical close reading of Roman mosaic mazes, an analysis of which could probably be extended to the rich corpus of mazes in Medieval manuscripts, architecture and works of art. Each of the solutions that occur was first discovered by someone, somewhere; a fascinating element of the study of ancient mazes is the contact with these ingenious, unsung topologists of the past (Phillips 1992: 329; el subrayado es nuestro).

Ningún texto sobre las etnogeometrías puede dejar al margen las figuras de cuerdas que se componen con las manos en sociedades de todo género dispersas en todos los con- tinentes habitados. Un buen número de entre los antropólogos más tempranos se ocupó de describir los juegos de cuerdas conocidos en distintas sociedades, un rasgo cultural

98 que posee una distribución amplísima y que podría haber inspirado un desarrollo meto- dológico imponente tanto en la descripción como en el plano comparativo. Los más notables entre los antropólogos que han trabajado con figuras de cuerdas han sido sin duda Franz Boas (1888), Alfred Cort Haddon y W. H. R. Rivers (1902), Julia Pavlovna Petro- va-Averkieva [1907-1980] (1992), Caroline Augusta Furness Jayne [1873-1909] (1906), Kathleen Haddon (1912), Raúl Martínez-Crovetto (1970), Honor Maude (1971), Ana Guevara (2011), Judy McKinty (2011), José Braunstein (2017a; 2017b; 2017c), Eric Vandendriessche (2007; 2014a; 2014b; 2015) y Rodrigo Montani (2018), entre muchos otros. Entre estos trabajos hay un puñado de obras maestras de la etnografía. Hay muchos textos más, por supuesto, redondeando el millar. La bibliografía técnica que se encuentra en el portal de pgadey.com (y que es copia de otra que realizó Tom Storer) incluye una amplia sección de unos 100 trabajos sobre figuras de hilo “de interés matemático” entre los que destacan los del recordado matemático iraní Alí Reza Amir- Moez [1917-2007] (1965; 1968; 1979; 1984; Amir-Moez y Hamilton 1974; 1975-1976). La bibliografía originaria que preparó Storer para el ISFA está actualizada hasta el 2017. En esta sección se identifican unos cuantos estudios de interés entre los cuales se destaca uno del bien conocido investigador independiente Martin Probert (2014) titulado “String figures are not Knots” el cual estoy procurando conseguir a la fecha (setiembre de 2019). Hay otro gran repositorio que cubre de 1978 hasta 1993 en la página del Bulletin of the String Figures Association.

Figura 7.4 – Tokapu – Imagen de Wikimedia Commons en el dominio público. Contrástese con lámina de adinkras de Ghana en el British Museum, pág. 121 más abajo. La bibliografía sobre las figuras de cuerdas es inmensa y está parejamente distribuida a través de todo el mundo etnográfico (cf. Richard Ratajczak, Mike Garofalo). El acopio de información contextual es por cierto apabullante y en Argentina ha habido por lo menos un especialista (José Braunstein) que se ha convertido en referente global hasta el

99 día de hoy aunque no tiene un solo texto en línea. No obstante eso, el uso de la herramienta geométrica y topológica capaz de convertir la descripción etnográfica en una comparación de las etnogeometrías implicadas está recién en sus preliminares y se encuentra apenas esbozado en un manual reciente del antropólogo especializado en cultura material de la Université Paris Diderot Eric Vandendriessche (2015) quien, en apariencia, desconocía en ese momento las objeciones de Martin Probert a la formalización de las figuras de hilo por la vía de la teoría de nudos. Escribe Vandendriessche: With the concept of heart-sequence and its formalization, we have seen that analysing string figures corpora through an accurate mathematical observer’s tool helps to raise hypo- theses about how the actors created string figure algorithms. These algorithms are mathe- matically difficult both to describe and to characterize. Further research will be necessary to get a fully satisfactory formalization. Storer introduced other formal approaches that would be worth developing: the regular projections and linear-sequences, in particular. The latter approaches were inspired by Knot Theory (Murasugi 1996; Livingston 1993). In mathematics, a “knot” is defined as a closed curve (without crossing-points) in 3-dimensional space. And indeed, at first glance, a knot does seem to be a mathematical object with a close relation to string figures. For more than a century, mathematicians have tried to find mathematical tools to characterize “knots”. The point is to search what they have called “inva- riants” (polynomials, matrices, . . . ), that can be calculated for each knot, aiming to diffe- rentiate them—i.e. to be able to determine whether or not two given knots can be obtained from one another by continuous deformation of the curve (isotopic knots). No ideal invariant of knots has been found so far, and this issue remains open (Vandendriessche 2015: 355).

Aun cuando existen homologías obvias entre los laberintos malekula, los mapas sona, los puḷḷi kolaṁ y las figuras de cuerdas de buena parte del mundo etnográfico, no se han desarrollado teorías o algoritmos unificados capaces de sistematizar la metodología o de unificar las nomenclaturas a través de los casos como ha sido el caso de (por ejemplo) la geometría fractal o las isometrías del plano. Tampoco hay una identificación clara de las prácticas de las figuras de hilo con la antropología del arte o con la elicitación de materiales etnográficos para la antropología en general. Incluso en las asociaciones que se dedican de lleno a ellas (y por más que las contribuciones académicas sean apreciadas) estas se vinculan se vinculan más bien a juegos o al uso identitario del cuerpo; lo que más abunda en el mercado es por ende la literatura de autoayuda de tipo do it yourself y la literutura pasatista, destino que también afectó a las geometrías de poliominós que hemos revisado más arriba (pág. 88 y ss.). El abrumador acopio de información contextual relativa ya sea a cada una de las sociedades en que aparece la práctica (o a cada una de las ontologías en la que las sociedades se inscriben) deja sin explicar la palpable universalidad y la virtual similitud de las geo- metrías de las figuras de nudos a través de las culturas. No es inocente, en este sentido, que las prácticas geométricas se hayan descripto como juegos. A pesar de las revoluciones que ha sufrido la idea de juego en la era digital, el campo está minado con las viejas teorías del Homo ludens de Johann Huizinga (1980 [1944]), con las concepciones de René Guénon o incluso de Roger Caillois (2001 [1961]: 59) y con otras teorías arcaicas consagradas al empequeñecimiento de lo exótico y a la exotización de lo banal y que establecen, una y otra vez (como rezaba una nota periodística de Joyce Cohen [2000] pu-

100 blicada en el New York Times), que los juegos de cuerdas son “algo más que juegos de niños”, que los juegos de niños contemporáneos, los rituales serios y las etnogeometrías lúdicas o no de la edad de piedra (o de los “contemporáneos primitivos”) son práctica- mente instancias de la misma cosa y que las geometrías del juego (y por ende las geo- metrías latu sensu) son incluso anteriores a la cultura: la misma clase de argumentos cripto- o seudo-evolucionarios cuya puesta en abismo he procurado escenificar en este libro. La razón para arremeter contra esa especie discursiva ha sido simplemente porque sus argumentos pertenecen a una modalidad hermenéutica que bien puede haber puesto sobre el tapete o viralizado información cualitativa invalorable, pero que no ha logrado avanzar un ápice en explicarnos cómo es que culturas que cultivan semánticas tan peculiares y divergentes coinciden en unas pocas formes fixes de sintaxis geométrica, cuya combinatoria (en tanto grupo de transformación de las formas) es descriptible (como en una gramática) mediante en un número todavía más pequeño de factores, operaciones elementales y criterios de gramaticalidad que gozan de muy pocos grados de libertad por infinita que parezca ser su combinatoria. Ejemplo de ello es la “sucesión de operaciones” y gestos procedimentales que definen el kaninikula en Trobriand y que no es otra cosa que una serie o secuencia lineal o ramifi- cada de algoritmos, traducible de un sistema a otro y codificada décadas o siglos antes que en Occidente comenzáramos a pensar en grupos de transformación (cf. Vanden- driessche 2014b). La observación de Vandendriessche (2015: 48) respecto de que "a comparative ethnolinguistic study of the technical terms relating to the practice of string figure in different societies could then be a promising way to identify and analyse different modes of this practice’s vernacular conceptualization" nos deja con la sensa- ción de que tal organización comparativa de las reglas del juego sigue siendo una tarea pendiente de la etnogeometría cognitiva. Pensándolo bien, tal vez sea un golpe de suerte que la etnografía (en el sentido de des- cripción de las etnometodologías, diría Garfinkel) haya optado por describir estas prác- ticas como juegos, dado que el factor definitorio de los juegos (mal que le pese a Lud- wig Wittgenstein) es que están sujetos a reglas explícitas o implícitas, fijas o cambiantes, públicas o privadas pero reglas al fin. Me tienta decir, llegado a este punto, que no estaría mal redefinir una etnogeometría como el conjunto politético de las reglas del juego que definen las prácticas de la producción imaginaria en una cultura en un momento histórico, en una episteme o en un orden social determinado. Un fragmento singular de la bibliografía sobre los juegos de hilo relaciona a éstos con una especie de cognición situada, como si las geometrías fuesen una especie de repositorio dinámico de la memoria cultural. Ana Guevara (2011) de la EHESS lo ha trabajado hondamente en el entorno mapuche; el antropólogo italiano Carlo Severi ha desarrollado más ampliamente el tema desde un punto de vista que muestra afinidades con el proyecto del perspectivismo amazónico (Severi 2006; 2009; 2012; 2014; Severi y Garou 2013). Severi toma como precedente estudios referidos a los sistemas de khipus en el Perú y otros más geométricos en su empeño, como los de Tom Cummins (1994) refe-

101 ridos al tokapu. Aquél es tributario de los densos análisis etnomatemáticos de Ascher y Ascher (1981); éste se encuentra inserto en un estimulante libro imbuido del espíritu justiciero de la Edad de Oro del movimiento decolonialista sobre formas geométricas de “escritura” o “heráldica” precolombina (Hill Boone y Mignolo 1994). A la hora de las definiciones un tokapu, tokapo o t’oqapu es un conjunto de cuadrados con decoración geométrica polícroma que aparece en textiles bordados o en tejidos y también pintados en vasijas, mayormente en keros ceremoniales de la época Inka y en piezas llamadas llautos, chumpis y uncus de cumbi. No poc@s investigador@s aseguran que se trata de un sistema de escritura; entre ellos se encuentran Victoria de la Jara [1917-2000], Thomas Barthel, William Burns Glynn, Jaime Salcedo Salcedo, Mariusz Ziólkowski, Mary Frame, Gail Silverman, Margarita Gentile y Antonio Huillca Huallpa, quienes han identificado los signos o glifos alternativamente con palabras en quichua o en otra lengua o con logogramas independientes de lenguaje, nombres propios, nombres+números, textos complejos, personajes, dígitos de un sistema decimal, términos de parentesco, símbolos heráldicos de prestigio o unidades de sentido. Salvo por su intenso colorido, el eventual enmarcado y la abstracción geométrica de los tokapu los signos que los integran tienen un cierto aire de familia con los curvilíneos adinkra de los Ashanti de Ghana que revisaremos en el capítulo siguiente. Dado el fra- caso de los desciframientos divergentes de los tokapu y dado también el vacío metodo- lógico que han aportado las alternativas semiológicas del decolonialismo en la tesitura de Elizabeth Hill Boone y Walter Mignolo (1994: 199, 203-204, 208, 215 n35, 216 n48) o de Heather Allen y Andrew Reynolds (2018) en el último cuarto de siglo, intuyo que las formas más adecuadas de interrogar el modo de significación propio de este género geométrico debería inspirarse en las teorías emic multivocales, mnemotécnicas y meta- fóricas que se aplican a los adinkra de Ghana y a sus sucesores los adinkra de la teoría supersimétrica de nuestra vanguardia científica (cf. Ascher y Ascher 1981; Zuidema 1991; Arthur 1999-2001; Gates 2008; 2009; 2012; Danzy 2009; Rimpsey 2013; Osuwu 2019; ver pág. 121 y ss.). En este ámbito hay muchedumbre de interpretaciones variopintas de la geometría de los tokapu, muchas de ellas arrogándose la hazaña de su desciframiento y deslizándose por ende (igual que sucede en la inmensa literatura sobre los khipus) más hacia lo cripto- gráfico y lo especulativo que hacia lo geométrico y lo abstracto; la bibliografía, compi- lada en sitios consagrados específicamente a esa geometría enigmática (en tocapu.org, por ejemplo) se aproxima ya a los varios centenares de textos, incluyendo fuentes mo- numentales y epigráficas. No obstante, y debido sin duda al oligopolio que los enfoques pos-estructurales y deconstruccionistas han instaurado en este campo (y con una sola excepción), todavía está faltando aunque más no sea una descripción sistemática de sus geometrías y de los grupos de transformación a las que ellas pertenecen (cf. Arellano 1999; Eeckhout y Danis 2004; Martínez Armijo 2005; Rojas Silva 2008; Gentile 2010; Cummins 2011; Pasztory 2010; Silverman 2011; 2015). La única indagación estrictamente geométrica de los tokapu que conozco es la de Mary Frame (2007) titulada "Lo que Guaman Poma nos muestra, pero no nos dice sobre

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Tukapu", que acaso sea la más acabada y atinada indagación de objetos etnogeométricos desde el punto de las geometrias del plano en el sentido de Washburn y Crowe y la más minuciosa exégesis de la obra de Guaman Poma de Ayala [1535-1616] (cf. Guaman Poma de Ayala 1980 [1615]). Apéndice necesario de este capítulo sobre grafos, nudos y formas intersticiales de la et- nogeometría es, por ende, la reproducción de una sola página al azar del texto clásico de [Sir] William Matthew Flinders Petrie Decorative patterns of the Ancient World (1930), un tratado que debería servirnos (1) como recordatorio de la inabarcable y desordenada multiplicidad de los patrones geométricos del mundo antiguo, (2) como testimonio de una nomenclatura analítica decimonónica que se dilapida (igual que en los usos antropo- lógicos de hoy en día) en una suma amorfa de etiquetas típicas del coleccionista victo- riano27 y (3) como advertencia precautoria que (a la luz del poco progreso que ha habido en un siglo que llega hasta hoy y que ya pinta demasiado largo) nos proporcione a los que procuramos leer entre líneas un indicador mínimo del trabajo de taxonomía, análi- sis, comparación y sistematización que todavía nos queda por emprender. La reproduc- ción de las viñetas de Flinders Petrie ha sido complementada por una de las muchas lá- minas existentes en torno de los tokapus perteneciente a la afamada colección de Dum- barton Oaks y por una genuina tabla periódica del sistema de tokapus según Peter Eeckhout y Nathalie Danis (2004) (figs. 7.5 a 7.7).

27 Arabescos, Rosetones, Radiados, Manchas, Puntos, Giros, Skirls (?), Bolas, Cruces, Surcos, Pasos, Geometrías, Laberintos, Ondas, Festones, Líneas y puntos celtas, Trenza angular, Meandros, Grecas.

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Figura 7.5 – Patrones de Diseños geométricos de la clase de Trenzados Angulares. Basado en Flinders Petrie (1930: lám. xlvi). Compárense con el knotwork “celta” de la fig. 5.6 (pág. 69 más arriba).

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Figura 7.6 – Tokapu – Materiales de Tocapu.org. Robert Woods Bliss Collection, Dumbarton Oaks Research Library and Collection (Washington DC, USA) - Number: B-518.

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Figura 7.7 – Tokapu según Eeckhout y Danis (2004). Túnica #11. Museum of Fine Arts, Boston (Stone-Miller 1992: 181). Los motivos registrados por Guamán Poma son unos 36 en contraste con unos 230 reconocidos por estos autores en muestras más exhaustivas.

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8 - Hitos de la etnogeometría (6): Geometrías recursivas – Revisitando los Sistemas de Lindenmayer

In philosophizing the Greeks made as much use as possible of mathematics. The Indians, curiously, failed to do this, curiously because they were good mathematicians. Instead, they made as much use as possible of grammatical theory and argument. Daniel H. Ingalls (1954: 4)

A lo largo de los años y desde diferentes perspectivas me he ocupado de una rara geo- metría recursiva que, cuando se la mira desde cierto ángulo, se revela como la forma de modelado más inherentemente multicultural y de trayectoria más prolongada que ha existido a través del registro ecuménico. Me refiero concretamente a los llamados sistemas-L o sistemas de [Aristide] Lindenmayer [1925-1989], los cuales fueron en su origen una contribución insólita al modelado de las formas (geométricas) de las plantas mediante gramáticas recursivas derivadas de la lingüística chomskyana en general y en particular de la “jerarquía de la complejidad” que Chomsky presentó al mundo aquel 11 de setiembre de 1956 en el que un puñado de jóvenes talentos (Chomsky, Miller, Si- mon) decidieron inaugurar en una conferencia histórica en el MIT nada menos que la ciencia cognitiva. El nudo de la cuestión radica en que una misma gramática puede generar no sólo frases de una lengua (frases de cualesquiera lenguas, de hecho) sino que es capaz de generar también formas representativas de vegetales, lo cual implica además que el lenguaje recursivo ideado por un botánico como herramienta geométrica para dibujar plantas (cualquier picture language, en rigor) puede ser adaptado al diseño de virtualmente cualquier forma compleja bi-, tri- o tetra-dimensional de la naturaleza o de la cultura, así como de estructuras geométricas que se manifiestan no sólo en el espacio sino además en el tiempo, tales como ritmos, danzas, heterotopías, heterocronías, cronotopos, estructuras rit- manalíticas e incluso músicas del mundo (cf. Prusinkiewicz, Krithivasan y Vijayanara- yana 1989; Reynoso 2019a: cap. 5.3).28 Este nudo esconde sin embargo una faceta oscura: los etnomatemáticos y los arquitectos que utilizan herramientas digitales de avanzada saben que pueblos antiguos de la región tamil, del sudeste asiático y de otros lugares alejados y mal conocidos dominaban geo- metrías de extraordinaria complejidad que han impactado y siguen impactando fuerte- mente en la computación contemporánea. Lo que se ignora todavía (más allá de ciertas intuiciones que apuntan para el lado de las geometrías sinestésicas de la música y el ritmo, y más allá también de los significados rituales y simbólicos que se reportan rutinariamente en las etnografías) es de qué manera –cognitiva y geométricamente hablan-

28 Sobre los modelos gramaticales, generativos y transformacionales de la música y sus implicancias “visuales” y “geométricas” véase A generative Theory of Tonal Music de Fred Lerdahl y Ray Jackendoff (1983: esp. 13, 36, 39-43, 58-59, 116, 189, 219, 239, 302, 303, 302-307, 338).

107 do– se conceptualizan, se aprenden y se enseñan esas prácticas en las culturas, sean és- tas ágrafas o no. He perdido la cuenta de la cantidad de veces en que me he ocupado de los sistemas-L en distintas inflexiones de mi vida académica. La primera vez fue en Complejidad y Caos: Una exploración antropológica (2015 [1ª ed. 2006]), un texto en el que puse el acento en la naturaleza recursiva y fractal de dichos sistemas; la siguiente vez fue en un paper distribuido en mis seminarios de posgrado en Colombia, México y España y titulado Diseño artístico y arquitectónico con gramáticas complejas (2008); en la tercera oportunidad, en el libro Análisis y Diseño de la Ciudad Compleja: Perspectivas de la Antro- pología Urbana (2010c), desarrollé una de las coberturas más amplias sobre el tema entre las que hoy se consiguen en lengua castellana. En Árboles y redes: Crítica del pensamiento rizomático (2013) y en una cuarta vuelta de tuerca, me concentré en refutar todos y cada uno de los estereotipos deleuzianos sobre los modelos lingüísticos de Chomsky, demostrando que todas las geometrías imaginables y otras más que nos cues- tan imaginar pueden ser construidas tanto de maneras “rizomáticas” como de formas recursivas, arboladas y gramaticales, y poniendo en claro que los modelos arbóreos no son lo mismo que las “lógicas binarias” y que ni éstas ni aquéllos han sido urdidos en Occidente ni son criaturas de la modernidad. Por el otro lado, ni Occidente ni la Mo- dernidad (recordémoslo una vez más) han sido particularmente descollantes en las prác- ticas más creativas de la geometría compleja. En el estudio que se está leyendo no nos hemos ocupado ni nos ocuparemos de los desarrollos teóricos aplicados al objeto lingüístico o de la adecuación de los instrumentos recursivos para dar cuenta del lenguaje natural aunque sí echaremos una mirada sobre un par de elementos de juicio colaterales pero fundantes. En la década de 1950, Choms- ky (1959) introdujo cuatro tipos de lenguajes formales, clasificados según las formas de producción permitidas por sus gramáticas. Su taxonomía, que jugó un papel esencial en la gestación de la ciencia cognitiva y en la clarificación del campo de los lenguajes de programación de computadoras, se ha instalado en la historia como la Jerarquía Choms- kyana de la Complejidad (o Jerarquía de Chomsky-Schützenberger). Chomsky no in- ventó los elementos de la jerarquía, pero sí los articuló muy claramente en un conjunto sistemático, redefiniendo el contexto y los alcances de la lingüística computacional y de los modelos gramaticales latu sensu. La teoría matemática de autómatas fue creada más bien por Alan Turing [1912-1954] al analizar formalmente el problema de la no-deten- ción [Entscheidungsproblem], al cual no es menester tratar aquí (Turing 1936).29

29 Tanto en computación como en lingüística a menudo se ignora que el desarrollo de los lenguajes formales, la teoría de autómatas, los programas compiladores y los intérpretes de lenguajes de programación han dependido sobremanera de las elaboraciones de Chomsky, más allá del carácter polémico que podrían tener otras ideas del mismo autor en el campo lingüístico, las gramáticas innatas primero que ninguna. Igual que sucedió en biología molecular a partir de la importación (procedente de la lingüística) del concepto de código genético, el influjo de una ciencia humana y semiblanda sobre otras más duras y formales ha catalizado un conocimiento de alta originalidad y fuerte impacto. El mismo patrón de relaciones disciplinares se ha manifestado en otras oportunidades: por más que el pasaje de la metáfora al modelo sea un valor que aprecio particularmente, a quien mencione un modelo importante de las ciencias formales del último medio siglo será fácil replicarle epecificando cuál ha sido la metáfora de las humanidades que for- 108

Esta es una de esas ocasiones en las que encarezco leer el original del texto que todos conocemos como “los tres modelos del lenguaje” que, como hemos visto acaban mu- tando en los cuatro autómatas de la teoría clásica que devino en la base de la cual se deriva la idea de programar dispositivos tales como computadoras de propósito general no mediante tuercas, tornillos, cables y engranjes sino mediante lenguajes formales, esto es decir: no como incumbencia de la cuantificación y la ingeniería, sino como parte del amplio repertorio de problemas que los modelos lingüísticos eran capaces de resolver. Como quiera que sea, la jerarquía chomskyana se compendia en la lista de los cuatro párrafos siguientes. En esta lista las letras mayúsculas representan símbolos no terminales que pueden ser expandidos, las minúsculas símbolos terminales, y las letras griegas signos arbitrarios que pueden ser terminales o no. Cada elemento de la jerarquía comprende a los elementos anteriores. La jerarquía está compuesta por: 1) Gramáticas regulares o lineal a derecha (Tipo 3). Incluyen sólo reglas de estructura de frase o de re-escritura de tipo Ab, o AbC. Corresponden a los lenguajes y conjuntos que pueden ser tratados por autómatas de estado finito. Estos autómatas no tienen memoria. Reconocen o generan lenguajes regulares. Fueron concebidos a principios de la década de 1950 en parte por finalidades prácticas (el diseño de circuitos lógicos secuenciales) y en parte por razones especulativas (modelar la circui- tería de la actividad neuronal humana). La equivalencia entre los autómatas finitos y los lenguajes regulares fue establecida por Stephen Kleene (1956). La expresión “lenguaje regular” se reconoce imprecisa y tiempo atrás se trató de sustituirla por o- tras (“lenguaje reconocible”, “lenguaje racional”), pero la idea no prosperó. Es co- mún distinguir entre autómatas finitos deterministas y no deterministas; los primeros sólo pueden transicionar hacia uno y sólo un estado; los segundos pueden transicionar hacia más de uno. Los de la variedad no determinista no tratan ningún lenguaje que no sea tratable por los deterministas, pero son susceptibles de “programarse” en un lenguaje de más alto nivel. Para describir lenguajes regulares se suele emplear una poderosa notación algebraica, las expresiones regulares (Hopcroft y otros 2001: 37-123). Lenguajes y expresiones regulares se asemejan a (y pueden ejemplificarse mediante) los lenguajes de comando de computadora como (por ejemplo) el DOS. Una forma gráfica de representar las gramáticas regulares es mediante diagramas de estado o de transición, que Chomsky tomó de la teoría matemática de la información (Chomsky 2002 [1965]: 19, basado en Shannon y Weaver [1949: 15 y ss.]). Cada celda de un autómata celular es un autómata finito. En Reynoso (2013: 44) docu- mentamos que en Mil Mesetas Deleuze y Guattari (2006 [1980]: 22) definen el rizo- ma como una red de autómatas finitos, aunque también demostramos que la defini- ción hace agua por todas partes. 2) Gramáticas independientes de contexto (Tipo 2). Poseen reglas de tipo A, y por lo tanto no tienen restricción en cuanto a la forma que pueden tomar las reglas de muló con anterioridad las preguntas que lo gestaron, que le es conceptualmente análoga o que permite comprenderlo mejor. No pocas de las metáforas de las humanidades, por añadidura, se derivan de prácticas culturales, tal como lo hemos estado comprobando a lo largo de este libro.

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producción de la derecha. Corresponden a los lenguajes y conjuntos que pueden ser tratados por autómatas no deterministas de almacén o de pushdown (PDA). La forma de las reglas se conoce como la forma normal de Chomsky o CNF. Estos autó- matas tienen una memoria limitada y pueden, por ejemplo, llevar a cabo una compa- ración. Reconocen o generan lenguajes independientes del contexto (IC). En estos lenguajes las reglas de producción se establecen en función de los símbolos individuales, sin tener en cuenta cuáles son los símbolos vecinos. Las reglas de produc- ción consisten en: (1) una cabeza, que vendría a ser la variable que se define en cada producción; (2) un símbolo de producción, usualmente ‘’; y (3) un cuerpo de cero o más terminales y variables. A la izquierda del símbolo de producción puede haber solamente una cabeza. Los lenguajes IC poseen una notación recursiva característi- ca; un ejemplo de ellos es la notación de DTD del lenguaje XML o las reglas de los sistemas-L de tipo D0L. Los autómatas de almacén que pueden procesar estos lenguajes son una extensión de los autómatas finitos no deterministas a los cuales se les ha agregado una pila o stack que se puede leer, “empujar” o manipular solamente desde el tope de la pila, en modo last-in-first-out [LIFO]: el último en llegar es el primero en salir. También se puede expresar lo mismo como first-in-last-out, depen- diendo de la operación en el stack; la cabeza del stack ejecuta de hecho dos clases de operaciones: push (agregar un símbolo arriba de la pila) y pop (leer y remover el primer símbolo de la pila). La pila opera como una especie de memoria de tamaño in- definido, pero limitada en cada operación al último símbolo que se trató. Una vez más, hay PDA deterministas y no deterministas. Las gramáticas correspondientes a los lenguajes IC se pueden especificar mediante un diagrama arbolado, árbol de de- rivación o árbol de barrido [ parse tree].

Figura 8.1 – Gramática y lenguaje independientes de contexto. Corresponde a las reglas de re-escritura O→SN+SV; SN→D+N; SV→V+SN. Diseñado por el autor con TreeForm. 3) Gramáticas sensibles al contexto (Tipo 1). Pueden tener reglas de forma A, donde  no es un elemento vacío. Corresponden a los lenguajes y conjuntos que pueden ser tratados por autómatas ligados linealmente. Poseen una memoria auxiliar semi-infinita, limitada a la longitud de la cadena de entrada. Reconocen o generan

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lenguajes sensibles al contexto. En estos lenguajes una regla de producción se aplica a un símbolo sólo si el símbolo tiene ciertos símbolos vecinos. Los autómatas ligados linealmente son por definición no deterministas (Linz 2001: 292). 4) Gramáticas irrestrictas (Tipo 0). Son idénticas a las anteriores, excepto por el hecho que  puede ser nulo. Corresponden a los lenguajes y conjuntos susceptibles de ser tratados por máquinas de Turing. Éstas poseen memoria irrestricta y pueden efectuar cualquier computación. Reconocen o generan lenguajes recursivamente enumera- bles, también llamados parcialmente decidibles por razones más complicadas que lo que es menester explicar ahora. Aunque a los lingüistas y psicolingüistas les interesan más bien los dispositivos de capacidad más limitada, hablar de máquinas de Tu- ring involucra un asunto mucho más complejo que el que atañe a las otras clases de autómatas. Concebir esta clase de máquinas implica preguntar qué lenguajes pueden ser definidos por y para una computadora, lo cual equivale a establecer qué es lo que las computadoras pueden hacer en absoluto: como se verá en seguida, reconocer las cadenas que constituyen un lenguaje en tanto tales es una forma de expresar la reso- lución de problemas; la expresión “resolver un problema” es, por ende, un sustituto razonable de la descripción de las capacidades de las computadoras (Hopcroft y o- tros 2001: 307; Levelt 2008: 95). Del modelo de Noam Chomsky es importante explorar tanto las ideas que le precedie- ron como las que surgieron después como consecuencia del peso de uno de los autores más influyentes y citados del siglo. Lo que le precedió fue una gramática articulada en locaciones exóticas y que en Occidente se mantuvo en un segundo plano hasta que re- surgió vigorosamente ya en la segunda década del siglo XXI con los multitudinarios congresos30 dedicados a perspectivas computacionales de la lingüística modelada por el indio Dakṣiputra Pāṇini. Pāṇini [ पाणिणि ] fue autor de un tratado articulado en formato de sūtra [सूत्र], una especie de colección de aforismos inenarrablemente compactos que conforman un texto que se pensó cinco o seis siglos antes de Cristo y casi veintiseis o veintisiete siglos antes de Chomsky (Pāṇini 1962; cf. Cardona y otr@s 2009). Pāṇini encapsuló sus aforismos en un libro titulado Aṣṭādhyāyī [“los ocho miembros”], el cual pasa por ser el texto de lin- güística más antiguo que existe, aunque su autor se refiere a lingüistas anteriores que el tiempo se encargó de borrar. Lo que viene después de la jerarquía de Chomsky ha sido, por un lado, la sistematización de Lindenmayer y por el otro la epifanía etnogeomética del matemático tamil Gift Siromoney (cf. pág. 91 más arriba). El nudo de acontecimien- tos y relaciones interteoréticas que se estuvo armando en todos estos siglos es tan complejo y asimétrico que nos veremos en la necesidad de avanzar por partes. La referencia inicial de Chomsky a las reglas generativas de Pāṇini se encuentra en sus Aspectos de la Teoría de la Sintaxis y reza así: The idea that a language is based on a system of rules determining the interpretation of its infinitely many sentences is by no means novel. Well over a century ago. it was expressed

30 International Symposia of Sanskrit Computational Linguistics.

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with reasonable clarity by Wilhelm von Humboldt in his famous but rarely studied introduction to general linguistics […]. His view that a language "makes infinite use of finite means" and that its grammar must describe the processes that make this possible is, furthermore, an outgrowth of a persistent concern within rationalistic philosophy of language and mind, with this "creative" aspect of language use […]. What is more, it seems that even Pāṇini 's grammar can be interpreted as a fragment of such a "generative grammar," in essentially the contemporary sense of this term (Chomsky 1969 [1965]: v).

Figura 8.2 – Kolaṁ de la provincia de Madras según H. Gnana Durai (1929: 78, lám. E). Aunque eso es todo lo que escribió al respecto, antes y después de Chomsky Pāṇini e- jerció una poderosa aunque soterrada influencia en la lingüística científica de práctica- mente todo el mundo. Es bien sabido que Ferdinand de Saussure [1857-1913], fundador indiscutido de la lingüística científica y sanskritista en su juventud, conocía al dedillo la obra de Pāṇini. En su extenso ensayo sobre De l'emploi du génitif absolu en sanscrit que fue su tesis de doctorado presentada a la Facultad de Filosofia de la Universidad de Leipzig, Saussure (1881: 4, 5, 7, 12, 14, 27-28, 58, 60, 78) la cita abiertamente como una influencia capital en su marco de referencia. Para quienes gustan del despedaza- miento de hipótesis conspirativas, de la deconstrucción de fake news y de las refutacio- nes de leyendas, sin embargo, hay que decir que recientemente por lo menos un lin- güista destacado se atrevió a afirmar que la influencia de Pāṇini sobre la lingüística en general y sobre Saussure en particular ha sido monstruosamente exagerada (Cardona 2000). Lo notable del caso es que Cardona, si le he entendido bien, asevera que la lin- güística pāṇiniana ha ido más lejos, ha procedido más sistemáticamente y ha calado más hondo que la de sus epígonos, lingüistas contemporáneos incluidos.

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En lo que hace a Leonard Bloomfield, al padre de la lingüística conductista, éste descri- bió la obra de Pāṇini como “uno de los grandes monumentos de la inteligencia humana” (Bloomfield 1929: 274; citado por Staal 1965: 72; Rogers 1987). Es manifiesta la influencia del lingüista indio sobre Language, la obra mayor de Bloomfield (1933); tén- gase en cuenta además que Bloomfield escogió un método casi axiomático para la escritura de ese libro, un género que no es del todo ajeno a la idea de sūtra. Frits Staal (1965) dedicó un artículo entero a examinar el impacto de las reglas sensibles al contexto en el tratado de Pāṇini, una forma regular que es central en las reglas de los sistemas-L y que en el otro lado del mundo se operaba en las geometrías prácticas y se exploraba en las obras teóricas un par de milenios antes que comenzáramos a ocuparnos de esas cosas. La custión está tan clara que Peter Zilahy Ingerman (1967), especialista técnico de la RCA, propuso que se reconociera a Pāṇini como el inventor de la forma normal de Backus-Naur (BNF), a la que propuso llamar en adelante Pāṇini-Backus Form. El BNF, incidentalmente, no es sino la notación más rica y precisa que se ha consensuado para la descripción de lenguajes de programación mediante una gramática independiente de contexto como la que prevalece en la mayor parte del Aṣṭādhyāyī. Przemysław Prusin- kiewicz y Jim Hanan (1998: 4, fig. 1.2 y fig. 8.2b en esta página) describieron la ade- cuación de cláusulas pāṇinianas para la especificación de estas reglas en términos de sistemas-L.

Figura 8.2b – Relaciones entre las clases de lenguajes chomskyanas y las clases de sistemas-L. Los símbolos 0L e IL denotan sistemas-L independientes y dependientes de contexto respectivamente. Según Prusinkiewicz y Hannan (loc. cit.) La relación última de la lingüística chomskyana contemporánea con algo tan peculiar como la más antigua lingüística del sánskrito no deja de ser polémica. En esta coyuntura es de gran interés el reciente artículo del brasilero (radicado en Praga) Leonardo Valver- de (2015), quien compara la configuración de las reglas de Chomsky con la estructura de los sūtra de Pāṇini, concluyendo que las mayores similitudes se presentan no tanto en relación a las ideas vertidas en Aspectos de la Teoría de la Sintaxis sino a las categorías desarrolladas en el programa minimalista chomskyano de Principios y Parámetros. Val- verde concluye que

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[w]hat Chomsky calls Principles and Parameters model is exactly what Pāṇini calls Sāmānya (general) and Viśeṣa (particular) and all his grammar is delineated with them. If Chomsky had studied the Aṣṭādhyāyī in 1965, maybe he could advance his theory and avoid some mistakes the theory has” (loc. cit.).

Los “errores” chomskyanos están claramente identificados en las referencias que proporciona Valverde y que giran en torno de la idea de que el modelo de Pāṇini es mucho más que una gramática generativa de reglas de sustitución correspondiente a una lengua en particular. No encuentro testimonio, por mi parte, de que Chomsky haya leído verdaderamente el texto de Pāṇini, aunque para esa fecha ya existía una adecuada traduc- ción del clásico comentario Kāśikāvṛtti de Jayāditya y Vāmana que algunos consideran “una cuarta gramática” independiente y que por su entidad como modelo científico por derecho propio he puesto a disposición del lector en la bibliografía (cf. Pāṇini 1962). Ahora bien, lo notable del caso (y lo que mejor rima en el contexto de la influencia de las geometrías étnicas sobre los saberes científicos de última generación que hemos explorado en este trabajo) es que la afinidad no se limita a dos gramáticas formales dis- tanciadas en el tiempo, sino a la constatación (establecida por el talento geométrico de Siromoney) de que en la India del sur mujeres tamiles iletradas se ponían de acuerdo en ejecutar los pasos de un algoritmo recursivo capaz de trazar las figuras de un objeto fractal autoafín de altísima complejidad. Para tener sentido y con arreglo a las hipótesis que vertebran el libro que se está leyendo, la historia completa debe contemplar no sólo el camino que va de Pāṇini a Chomsky y luego el que va de Chomsky a Lindenmayer o a Siromoney, sino el que se inicia como una práctica etnogeométrica inmemorial (el kolaṁ o el algoritmo gráfico puro o templado que vertebre las prácticas) a los modelos computacionales en general. Todo lo demás es episodio, epifenómeno, comentario. La primera referencia que conozco sobre los kolaṁ procede de un artículo del ignoto H. Gnana Durai (1929) quien los describe así: On October 19th, 1927, Dr. Haddon read a paper before the Cambridge Anthropological Club on the late Mr. A. B. Deacon's investigations in Malekula, in which he referred to and showed examples of the geometrical diagrams which Mr. Deacon had discovered in that island.31 This at once recalled to my mind that analogous diagrams are constructed every day among the Hindus of the Madras Presidency. I have no knowledge on this subject re- garding the other parts of India. I propose on my return to India to investigate the subject in as great detail as possible and find out the real significance of these patterns, of which I give a few illustrations.

Very early in the morning Hindu women and girls are busy sweeping the ground in front of their houses, sprinkling water, or cowdung and water, to lay the dust. Then they proceed to make patterns over the prepared ground, stooping down as they trace the designs with a white powder (flour or ground quartz), which they take between the thumb and first finger.

Siromoney fue un historiador ocasional del kolaṁ. Afirmaba que las fuentes más antiguas sobre la práctica se remontan a los siglos XVI (Madurai Meenakshiammai Kuram) y XVII (Thiru Kutraala Kuravanji). Estas referencias literarias incluyen algún rudimen-

31 Ya revisamos los aportes de Haddon y Deacon más arriba, en la pág. 95.

114 to de preparación del terreno para la construcción de un kolaṁ y poco más que eso. Lo que aclaran en materia de geometría propiamente dicha es prácticamente cero. En otros artículos Siromoney (1978) decía que contrariamente a lo que se cree los kolaṁ no son muy antiguos, remontándose como mucho a unos 600 años; unos pocos de entre los di- seños del kolaṁ proceden de templos jainas y buddhistas. Algunos ejemplares incluyen motivos y yantras de diseños tántricos mucho más antiguos que eso.

Figura 8.3 – Kolaṁ “Las Tobilleras de Kṛṣṇa” dibujado al modo redondeado de Madras.32 Según Marcia Ascher (2002: 61) De antigüedad discutida, los kolaṁ [ರಂಗೋಲಿ] de Tamil Nadu se conocen con el nombre de aripana [आरिपिा] en Bihar, como mandana [मा更डिा] en Rajasthan, chowkpu- rana [छोवकपुिािा] en Uttar Pradesh, alpana [আলপনা] en Bengala, muggu o muggulu [telugu = ముగ్గు] en Andhra Pradesh, poovidal o pookalam [malayalam = കോലം] en Kerala, rangavalli en Karnataka y rangoli [ರಂಗೋಲಿ] en Gujarat, Kannada y Maha- rashtra. Tal como lo percibió Durai, el arte del kolaṁ guarda no pocas afinidades con la pintura africana en arena (sona) estudiada por Paulus Gerdes en Angola y con el nitüs de Vanuatu, los diseños en nudo de los celtas, el mizuhiki [水引] y el takara-musubi [菱結び紋] de Japón, el maedeub [매듭] de Corea, el panchang-jie [ 盤長] de China, el olzii-hee de Mongolia, etcétera. Especialistas en grafos eulerianos y afines los han encontrado análogos al famoso problema del vendedor viajero [TSP] (Demaine y otros 2007). Las relaciones entre las formulaciones lingüísticas expresadas en sūtra o en expresiones formales y los sistemas regulares y prácticas del arte y la imaginería han sido estudiadas

32 La ciudad que hasta 1996 se llamaba Madras se llama hoy Chennai. El estado de Madras fue rebautizado como Tamil Nadu en 1969. La lengua dominante en el estado de Tamil Nadu es el tamil, perteneciente al tronco drávida.

115 en una colección de libros muy especiales que se planificó en el Indira Gandhi National Centre for the Arts y se fue publicando como Kalātattvakośa: A Lexicon of Fundamen- tal Concepts of the Indian Arts compilado por Kapila Vatsyayan y Bettina Sharada Bäu- mer (1988: 137; 2003 [1992]: 1, 2, 277; 1996: 8-10; 2002: 71, 182, 247, 352; Baumer 2013). La serie se complementó con otras que se encuentran en curso y que se denomina Kalāmūlaśāstra, algo así como “Textos Fundamentales en las Artes” y Kalāsamālocana. Hay otros estudios que incluyen todo el rango entre las especulaciones y las hipótesis de trabajo en el tratamiento de esa relación (v. gr. Timalsina 2013; Staal 1965; 1988; Sei- denberg 1983; Briggs 1985; Kak 1987; Bhate y Kak 1993; Filliozat 1995; Bronkhorst 2001) pero todavía no se ha publicado el documento definitivo, aunque la magnífica di- sertación de doctorado de Anand Mishra (2019), acabada de escribir y disponible en lí- nea, está muy cerca de encarnar ese ideal. El problema que encuentro con la masiva bibliografía del Centro Indira Gandhi, con la tradición derivada de Pāṇini y con la impresionante serie de Simposios Internacionales de Lingüística Computacional del Sánskrito que se vienen desarrollando desde el 2007 es que todo este movimiento se centra en la India hindustánica, brahmánica, logocén- trica, discursiva e indoeuropea del norte antes que en la India karnática, tántrica, sen- sorial, geométrica y dravidiana del sur, que es donde se han manifestado las artes y prácticas del kolaṁ y los estilos afines que hemos estado entreviendo. El momento culminante en el que las ideas de Pāṇini y las de Chomsky se cruzan con las intuiciones geométricas apenas desarrolladas de la antropología del arte es cuando el ya mencionado Gift Siromoney descubre que los diseños de kolaṁ y afines del sur de la India responden a las expresiones regulares y a las reglas generativas de la gramática chomskyana. Créase o no, Siromoney nunca se refiere a Pāṇini, como si las lingüísticas computacionales del MIT le resultaran más familiares que las formalizaciones del sáns- krito. Insólitamente, Siromoney y su equipo aislaron tres tipos distintos de kolaṁ susceptibles de engendrarse mediante otros tantos formalismos, a los que llamaron kolaṁ de matriz finita, kolaṁ de matriz regular y kolaṁ de arreglo regular independiente del contexto (Siromoney, Siromoney y Krithivasan 1974). La referencias le vienen a Siro- money directamente de la jerarquía de la complejidad de Chomsky que hemos revisado al comienzo de este capítulo. Es importante señalar que en el momento en que plasmó su taxonomía Siromoney no sabía de la existencia de la geometría fractal, ni de los sistemas-L, ni de las etnomate- máticas. Con el tiempo, Marcia Ascher (2002) escribió un artículo titulado “The kolaṁ Tradition: A tradition of figure-drawing in southern India expresses mathematical ideas and has attracted the attention of computer science” en el que agradece a Rani Siromo- ney y a Kamala Krithivasan y cita obras importantes de Gift, mencionando también la publicación pionera del mencionado H. Gnana Durai (1929) con la que los kolaṁ in- gresan en la literatura científica, y refiriéndose por último al aporte fundamental de Lin- denmayer y Smith que hicieron posible la visualización de los objetos generados por los sistemas-L mediante gráficos de tortuga.

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Es también Ascher quien puso en claro la especificidad de las modalidades gráficas de la escuela de Madras en contraste contra los giros abruptos de tortuga a que fueron afec- tos los botánicos. El grupo de Madras definió así siete movimientos de kolaṁ basados en la descripción de sus movimientos que hacían las mujeres tamil. Algunos kolaṁ destacados en el repertorio (como el llamado “Las Tobilleras de Kṛṣṇa”) requieren sólo tres movimientos de kolaṁ: F: Avanzar mientras se dibuja una linea. Ra: Avanzar mientras se hace un medio giro la derecha. R2: Avanzar mientras se hace un bucle entero a la derecha. Un lenguaje que produzca las Tobilleras de Kṛṣṇa al modo de Madras comienza con la cadena R1FR2FR2FR2FR1 a partir de la cual se aplican las siguientes reglas de re-escritura: R1R1FR2FR2 y R2R1FR2FR2FR2FR1 (fig. 8.3) Esta secuencia algorítmica se puede contrastar con las reglas de re-escritura del mismo kolaṁ que desarrollé en modo de sistema-L angular en una jornada completa de programación (fig. 8.4, izq.).

Figura 8.4 – Izq.: Kolaṁ de las Tobilleras de Kṛṣṇa. Der.: Kolaṁ y rangoli diversos de Tamil Nadu con marcadores de puntos puḷḷi. Diseñado por el autor en modo sistema-L mediante el programa Lyndyhop. La semilla es –X—X y la regla de sustitución es XXFX—XFX Así como hay escuelas que alientan el desarrollo de métodos de dibujo curvilíneos con- frontadas con otras corrrientes que se conforman con geometrías rectilíneas, así también hay fuertes discusiones en lo que respecta a las diversas tecnologias computacionales en tensión recíproca. Motivados por la necesidad de desarrollar métodos sintácticos de reconocimiento de patrones y de generación de imágenes los especialistas han creado lenguajes de imágenes generados por gramáticas de vectores [array grammars] o acepta- dos por autómatas de vectores o arreglos, [array automaton] utilizando extensiones basadas en esos formalismos para superar ciertas limitaciones encontradas en las gramáti- cas independientes de contexto y los correspondientes autómatas de almacén chomskyanos como los que describimos más arriba (Siromoney, Siromoney y Krithivasan 1974;

117 cf. pág. 110). Las referencias que procuran describir “el punto de vista del actor” en la literatura de la escuela de Madras, en cambio, son en extremo ingenuas y sumarias. Si ha habido o no un proceso de elicitación, entrevistas dialógicas con los actores y, en suma, la clase de rutinas que se encuentran en lo que los antropólogos denominamos trabajo de campo, todo ello queda sin documentar. Lo más que hay son alusiones de esta naturaleza referidas por terceras partes: Experiments were conducted by Siromoney to find out how the kolaṁ practitioners store such complicated patterns in their memory and retrieve them with ease while drawing the kolaṁ. In the course of the study, it was found that kolaṁ practitioners remember, describe and draw the designs in terms of "moves" such as "going forward", "taking a right turn", "taking a u-turn to the right and so on reminiscent of the "interpretations" which are used in computer graphics as sequences of commands which control a "turtle" (Nagata y Thambu- raj 2006: 355).

Figura 8.5 – Cruces etíopes según Ron Eglash. Ron no suministra el código en notación de Lindemnayer o en movimientos de tortuga. El primer problema que encuentro en los relevamientos de Gift Siromoney y de la escuela de Madras que le sucedió (aparte del empecinamiento en seguir usando el topóni- mo de ‘Madras’ en vez del de ‘Tamil Nadu’ y en estar más pendiente de lo que decía Chomsky que de lo que había escrito Pāṇini) es que la descripción de las movidas no contempla el contexto recursivo en el que se aplica la regla, ni el número de recursiones que debe realizarse, ni el momento en el que el ciclo debe detenerse; el segundo, muy distinto y mucho más grave problema es la falta de una instancia de trabajo de campo y de investigación antropológica. La escuela de Madras ni siquiera se plantea que esta clase de indagaciones debe ser necesariamente multi-, trans- o interdisciplinaria. Los sucesores de Siromoney, como anticipé, llevarían ese formalismo al límite, con la consecuencia de que la dimensión práctica de las geometrías recursivas quedarían sin investigar.

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[Subramanian y otros – Analogía de dibujar un kolaṁ con navegación egocéntrica y con gráfico de tortuga, pp. 355-356 Nagata y otro] Aunque los antropólogos del arte angloparlantes que se ocuparon del arte de la India son probablemente legión, no ha cuajado, a decir verdad, una literatura científica sobre las artes del kolaṁ, rangoli y afines. El diseño basado en sistemas-L ha merecido un rico tratamiento en el libro clásico de Ron Eglash, aplicándose al análisis y diseño de peinado africanos y de cruces etíopes, acaso la mejor aplicación fractal de toda la etnogeometría (fig. 8.5).

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9 - Hitos de la etnogeometría (7): Etnocomputación en el límite – Adinkras, fullerenos & igluit

After a certain high level of technical skill es achie- ved, science and art tend to coalesce in aesthetics, plasticity and form. The greatest scientists are al- ways artists al well. Albert Einstein (según Archibald Henderson – Einstein Archive, 33257)

Si usted busca información en la Web (en Wikipedia, pongamos) sobre una clase particular de glifos llamados grafos adinkra los servicios de desambiguación podrían indicar- le que el término se refiere a dos sistemas diferentes. Por un lado están los símbolos adinkra desarrollados por los Ashanti de Ghana y fluctuantemente redescubiertos y reol- vidados por viajeros, exploradores, antropólogos y turistas desde por lo menos 1817 (Bowdich 1819 ; 1821 lám. e/38-39 ; Rattray 1969 [1923]; 1927: 264-266; figs. 9.2, 9.8 y 9.9 más abajo); por el otro se encontrarán los símbolos adinkra utilizados como forma de representación de algunos de los conceptos más difíciles de comprender en las nuevas teorías avanzadas de la supersimetría –la supergravedad– prerrequisitos para comprender la teoría de cuerdas, el intento más poderoso de unificar la gravedad con la mecánica cuántica a través de una igualmente compleja teoría de la representación supersimétricaen la segunda década del siglo XXI (Fig. 9.1 y Naples 2009).

Figura 9.1 – Clasificación de adinkras en física – Basado en Sylvia Naples (2009: 61, 62) Tanto en los adinkras etnográficos como en los científicos lo primero que salta a la vista es un conjunto de elementos y de relaciones entre ellos, una aplicación más de la ubicua teoría de grafos utilizada ahora en función representacional. Ahora bien, un grupo no es tanto un conjunto de elementos como un conjunto de “operadores”. La noción de un

120 grupo de esta clase ya se usaba a principios de la década de 1830 en trabajos de Évariste Galois [1811-1832], el precoz fundador de la teoría de grupos, pero recién en 1840 Ar- thur Cayley [1821-1895] proporciona una definición útil: un grupo (dice Cayley) se define mediante la ley de composición de sus miembros, un elemento de juicio que creo haber aclarado en mi añosa crítica del mal uso del concepto de grupo de transformación en el análisis de mitos propuesto por Claude Lévi-Strauss, crítica a la cual (exceptuando a Leopoldo Bartolomé) nadie entendió cuando la propuse pero a la que el tiempo le ha dado la razón (cf. Reynoso 1990 ).

Figura 9.2 - Adinkras según Thomas Edward Bowdich. Nótese que en esta pieza antigua falta el importante símbolo Sankɔfa. En su lugar se encuentran otros 15 símbolos, incluyendo nsroma (estrellas), dono ntoasuo (tambores dono dobles) y estrellas. Contrástese con panel textil de Tukapu peruano, pág. 99. Mientras que con anterioridad un grupo finito se entendía como un grupo de permuta- ciones, Cayley probó que podía entenderse como un conjunto con una operación binaria que satisface ciertas reglas, prueba a partir de la cual se gestó la teoría de las representaciones, lo que permite tomar cualquier elemento del álgebra abstracta y mapearla sobre una estructura similar más familiar o mejor conocida. Un vistazo a la figura 9.2 complementada con una experiencia de modelado en el Adinka Grapher de Ron Eglash y en

121 nLab Adinkra alcanza para comprender la análoga composicionalidad de ambos grupos y el poder clarificador de los homorfismos (cf. Carter 2009: 159-192). Lejos de mí pretender que a los etnogeómetras y a los antropólogos con inclinación cognitiva les resulte sencillo incorporar el concepto de grupos de transformación más allá de las simetrías que hemos revisado en el capítulo §4 (pág. 47 y ss). Quien se deje llevar por las sonoridades embusteras, transgresoras y didácticas de los “cuadrados mágicos”, los “dessins d’enfants” (= dibujos infantiles), las cosmologías fractales del “queso suizo” o las “curvas de Origami” que orbitan en torno a esos conceptos pronto se verá de- cepcionado. Pese a esas tácticas de denominación amigable, estas álgebras pueden llegar a ser (doy fe de ello) casi impenetrables para el profano; su curva de aprendizaje es de las más empinadas de todas las matemáticas (cf. Marcolli 2017). Lo que sí cabe recuperar de ambos conjuntos de ideas es el uso de grafos como herramientas de simplifica- ción y la captación de importantes analogías entre ambos sistemas de adinkras como primer paso para complementar nuestro entendimiento de los grupos de transformación y cuan lejos estábamos de comprender estos conceptos algebraicos cuando Lévi-Strauss (apañado por André Weil, Jean Petitot y otros bourbakianos que simpatizaban con el proyecto) fingía aplicarlos para la comprensión de la estructura de los mitos. Los adinkras se han revelado imprescindibles en los niveles más altos de ambas ciencias, pero no es que las cosas vayan a resultar más fáciles de aquí en más; por el contrario, creo que el entrecruzamiento de ambos sistemas adinkraicos nos servirá para comenzar a entender la complejidad que atraviesa el conjunto de las tranformaciones estructurales que hace que todo sistema de símbolos, por facilitador que aparente ser, configure efectivamente un sistema.

Figura 9.3 – Adinkra Nkɔnsɔnkɔnsɔ reflejado y rotado. Según Nigel Langdon (1989: 178). Sumidos en el olvido los reportes de aventureros victorianos y almacenados en las reser- vas técnicas las piezas de museo, en la antropología, en la etnoeducación y en la etno-

122 geometría en general hubo un momento en que los adinkra africanos desaparecieron de la escena académica y se redescubrieron como objeto de estudio recién un siglo más tarde. En African fractals, por ejemplo, Ron Eglash (1999) se ocupa pormenorizada- mente de las telas kente pero no en absoluto de los adinkra de los Akan de Ghana y de los Gyamen de Costa de Marfil, excepto en lo que se refiere a las curvas y espirales lo- garítmicas en las representaciones simbólicas pre-coloniales que simbolizaban el creci- miento orgánico (cf. fig. 1.3 más arriba). En Ethnomathematics and education in Africa Paulus Gerdes (2014b) se refiere a los adinkra tangencialmente, llamándolos por su nombre pero en tres únicas ocasiones, co- mentando trabajos previos de Daud Sutton (1986: 240), de Labelle Prusin (1986) y de Nigel Langdon (1989: 178). En este último trabajo Langdon documenta que la División de Educación de Maestros del Servicio de Educación de Ghana (Módulo 23) utiliza adinkra bien conocidos (como el Nkɔnsɔnkɔnsɔ) para ilustrar nociones de simetría y rotación, una intuición que ilumina tanto las operaciones básicas de los isomorfismos de la simetría en la cultura como los usos conceptuales de la adinkra en la física. En su referencia circunstancial al trabajo de Prussin (una autora muy discutida, incidentalmente, por su asertividad y su manejo de la evidencia plagado de sobreentendidos para adeptos) Gerdes solamente asienta que los motivos de los estampados adinkra, aso- ciados con el Islām, se utilizan tanto en las telas como en la arquitectura (Gerdes 2014b: 196; Prussin 1986: 240; Bourdier 2009). En antropología y en las ciencias sociales los adinkra recién recibirían tratamiento (es- pectacularmente, a decir verdad) en el provocativo artículo de William Babbit, Michael Lachney, Enoch Bulley y Ron Eglash (2015) en el cual, curiosamente, los autores no toman nota de la existencia de los glifos adinkraicos de la teoría física ni tampoco de los sistemas o “alfabetos” de símbolos descriptos por los antiguos exploradores y almacenados en los museos coloniales y en el British Museum más protagónicamente que en nin- gún otro. Esenciales respecto de los adinkra son los textos de Babbitt, Eglash & al. (2015), el de Erik Seeman (2010), los de Sylvester James Gates, Marcus T. Grisaro, Martin Roček y Warren Siegel (2001 [1983]) y los de Doran, Gates y otros (2008; 2018) junto a por lo menos dos páginas que he editado profusamente en Wikipedia, en la segunda de las cuales hasta los científicos más adustos reconocen sumariamente la precedencia etno- gráfica de la idea, haciendo reaparecer las mismas formas de representación que hemos visto en otros estudios a propósito de los mapas cognitivos y los sistemas geográficos de posicionamiento y navegación que dieron lugar a los modernos GPS y que aquí revisaremos un minuto antes de las conclusiones (cf. Reynoso 2010a). Sumando algunas referencias sustanciales de la física de estado de arte que a veces pare- cerían situarse al borde de la especulación incontrolada que animó mis paralelismos ju- veniles entre Buddhismo Tántrico y Psicoanálisis Reichiano (Reynoso 1981), vale la pena interpelar los isomorfismos emergentes entre los grafos que juegan un papel tan esencial en la vida cultural de las nombradas sociedades africanas y los grafos cientí- ficos sin los cuales las dinámicas implicadas en la teoría de la supergravedad a duras pe-

123 nas podrían entenderse. Ambos grafismos son fundamentales por cuanto proporcionan una comprensión de los códigos de información y del cuadro de sus contrastes y grados de libertad que no sería accesible por otros medios. Urge llamar la atención sobre el hecho de que fueron los físicos de avanzada (y no una gavilla de antropólogos excedidos de imaginación) los primeros en señalar los isomorfismos entre unos y otros adinkras. Debe señalarse que S. James Gates no ha sido un divulgador enrolado en teorías extravagantes como la sincronicidad jungiana, el simbolismo ocultista de René Guénon o la tensegridad de Carlos Castaneda sino que tiene en su haber un nutrido currículum de excelencia poco inclinado a dejar que el pensamiento se salga de cauce: S. James Gates is Toll Professor of Physics and Director of the Center for String and Parti- cle Theory at the University of Maryland in College Park. He serves on President Obama's Council of Advisors on Science and Technology.

La especialización más reciente de este estricto contemporáneo mío se concentra en los símbolos adinkra como representaciones razonablemente adecuadas de álgebras super- simétricas. Aunque Gates procuraba hasta hace poco no verse atrapado en la tentación especulativa de postular isomorfismos ocultos, ha llegado a formular lo siguiente: La palabra “adinkra” es de etimología Africana occidental, y originariamente se refería a símbolos visuales creados por el pueblo Akan de Ghana y por los Gyamen de Costa de Marfil para representar conceptos o aforismos. Sin embargo, los adinkras matemáticos que estudiamos sólo se vinculan a esos símbolos africanos por su nombre. Aun así, debe reco- nocerse que, al igual que sus antecesores, los adinkras matemáticos también representan conceptos que son difíciles de expresar en palabras. Más enigmáticamente, puede que ellos contengan incluso la intuición de algo más profundo, incluyendo la idea de que nuestro universo podría ser una simulación de computadora [o un código fundante del campo de la información], como en los films de Matrix (Gates 2010).

Llama la atención la cantidad de veces en que Gates (2008; 2009; 2010; 2012) consigna las relaciones entre los adinkas etnográfios y los supersimétricos desde los mismos títu- los de sus ensayos. Antes del 2005 las álgebras supersimétricas por supuesto ya existían, pero las formas de representar los conceptos, sus relaciones y sus transformaciones recíprocas no había cuajado aun en una formulación aceptada, o por lo menos útil. A fines del siglo pasado y aun a mediados de la primera década de este siglo, los códigos de representación existentes, en otras palabras, no eran los que se estaban necesitando. El estado de esta región de la ciencia dejaba mucho que desear. A principios de este siglo no había por ejemplo mención de los adinkras etnográficos (ni tampoco de los físico-teoréticos) en el esplén- dido Superspace (Gates y otros 2001). Apenas una década más tarde la situación es distinta (v.gr. Gates 2008; 2009; 2012; Mukhopadhay y Roth 2012); de todos modos, el ensayo que se está leyendo (y que estoy escribiendo desde octubre de 2017) es el primero en toda la etnogeometría en que se hace hincapié en las comunidades entre ambos sistemas de representación geométrica desde la perspectiva de las ciencias sociales. Mi idea es que si han sido los científicos duros los que debieron acercarse a objetos trabaja- dos en las ciencias blandas como única opción a la mano, es posible que todavía tengamos algo valioso que decir sobre sistemas cognitivos representacionales construidos co-

124 mo grupos de transformación y sobre objetos de estudio a los que no hemos concedido siempre todo el esfuerzo que su elucidación merece. Todavía está por elaborarse el tratamiento geométrico estricto del llamado alfabeto de adinkra (figs. 9.8 y 9.9) en tanto sistema de transformaciones y contrastes entre sus elementos más allá de las resonancias analógicas de su semántica y sus constreñimientos iconológicos. Imagino (aunque esto no es más que una hipótesis de trabajo débil y pro- visoria) que entre los elementos del conjunto median relaciones que maximizan sus diferencias preservando la simplicidad componencial y la pregnancia y adecuación mnemónica de las figuras individuales y, sobre todo, haciendo referencia a formas comunes en la percepción de la vida cotidiana. Un conjunto de extraños pensadores evolucionarios y neurocientíficos con los que he dado hace ya algún tiempo (Mark Changizi, Qiong Zhang, Hao Ye y Shinsuke Shimojo) han alentado estas pautas explicativas a propósito de la comprensión de alfabetos, repertorios glíficos y gramatológicos y colecciones de diseños de funciones semiológicas equivalentes: una conjetura adaptativa que ordena un poco el zoológico de los diseños geométricos posibles y que (considerando el tiempo que los antropólogos de la vanguardia extrema y sus epígonos han perdido con la autopoiesis, las estructuras disipativas, la genidentidad y la ecuación de Kurt Lewin, la fórmula canónica del mito, el segmento áureo, la fractalidad mal entendida, el pensamiento complejo moriniano, la teoría de catástrofes y otros espejismos seudoformales hace tiempo pasados de moda) merece investigarse hasta que venga otro modelo mejor que la suplante, lo cual ocurrirá ineluctablemente, seguramente pronto, más temprano que tarde (cf. Changizi y otos 2006; Reynoso 2010b). No todas las metáforas que apuntan a las ciencias durísimas como ésas que comenté están destinadas a darnos vergüenza en el mediano y largo plazo. Aun cuando buena parte de la literatura sobre los adinkras, la tensegridad o los fullerenos se sale frecuentemente de control, no caben dudas de la solidez de los fundamentos geométricos de la práctica ni de su naturaleza y linaje transparentemente emic. En un artículo titulado “Adinkra symbols” escribe nadie menos que Ron Eglash: Uno de los aspectos más interesantes del diseño de Adinkra es cómo los símbolos incorpo- ran elementos de geometría. Los estudiantes pueden disfrutar aprendiendo cómo pronunciar las palabras Twi que representan cuatro posibles transformaciones geométricas: adane (ah- DAWN-eh) significa "imagen invertida" o reflexión; ketowa (KET-wah) y keseye (ke-SEE- yah) significan "más pequeño" y "más grande" y se relacionan con la dilatación, que puede ser un cambio de tamaño en cualquier dirección; ntwaho (en-TWA-hoe) es la palabra para "girar" o rotación; y twe (TWEE) es la palabra para "tirar de un objeto" que se relaciona con la traslación (Eglash 2014).

Saber que los hablantes de Twi han asimilado la nomenclatura exacta que sirve de base al análisis de simetrías basado en transformaciones isométricas es una noticia importante, aunque deja a Ron Eglash descolocado en su oposición al enfoque etic que él (equivocadamente) cree proveniente de una cristalografía que siempre dependió en realidad de insumos multidisciplinarios, sin excluir a los que se originan en ciencias parecidas a las nuestras (cf. Eglash 2001; 2006: 349 versus Fré 2018: 87-88).

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El artículo de Eglash forma parte de un proyecto colectivo titulado Math is a verb y viene acompañado de una fina pieza de software (el Adinkra Grapher) para modelar grafos adinkra que admite comparación con los diseñadores científicos de grafos adinkraicos como nLab (iniciado más tarde en febrero de 2017). Eglash había nombrado los adinkra algunos años antes pero demoró hasta el 2014 para componer una pieza de software, ignorando (hasta hoy, según creo) que hay otros adinkra aparte de los que ocasional- mente menciona la antropología (cf. Eglash 2010). Lo importante es que el sistema de adinkras se comporta como un grupo de tranformación que está más al borde de constituir una escritura cabal que otros repertorios de símbolos geométricos conocidos como los glifos de la cultura del Indo en Harappa y Mohenjo Daro o la alguna vez famosa “escritura” de la Isla de Pascua (cf. Mato 1987; Willis 1998; Fianu 2007; Danzy 2009; Eglash 2010; 2014; Boateng 2011; 2014; Frimpong, Asinyo y Amankwaah 2013; Rimpsey 2013; Aboagyewaa Ntiri y Mintah 2016; Adom 2016; Adom, Asante y Kquofi 2016; Kuwornu-Adjaottor, Appiah y Nartey 2016; Aboagyewaa Ntiri y Kemevor 2018; Owusu 2019; Mobley S/f). Lejos de ser una herencia intangible ya difunta, el sistema de adinkras en Ghana está siempre generando símbolos nuevos para los artefactos de la tecnología y las innovacio- nes del ambiente construido; los diseñadores de la generación Y han agregado símbolos para Volkswagen (# 738-739), para Toyota (#742-743), la televisión, el puente Sen- chi/Adomi y la Mercedes-Benz (# 740-741). Una vez que se integra al sistema de adinkras, el símbolo de la Mercedes-Benz, por ejemplo, y que es el mismo que conocemos todos, pasa a significar más bien ‘poder’ y ‘prestigio’ (cf. numeración de G. F. Kojo Arthur 1991-2001: s/n°).

Figura 9.5 – Izq.: Carbono fullereno C60 – Ejecutado por el autor en Group Explorer 2.2. Der.: Pelota de sépak takráw de Malasia según Gerdes (2011b: 60). No todo el mundo sabe que Leonardo dibujó estas figuras (cf. R. A. Taylor 1928; Darvas : 379) Los símbolos adinkra también se han extendido desde la década de 1960 al culto cristia- no de Ghana y de otros países (católico, pentecostal o metodista) a raíz de su incuestio- nable potencial comunicativo. Hay documentadas docenas de iglesias, templos y hasta

126 catedrales africanas que exhiben adinkras en su arquitectura; unos cuantos símbolos ( fihankra, Gye Nyame, mmusuyide, Nyame biribi wᴐ soro, funtumfunafu, dεnkyεmfu- nafu)33 han sido incorporados recurrentemente al culto y a la arquitectura cristiana en Ghana desde hace ya medio siglo (Quarcoo 1968; Niedźwiedź 2012; Ossom-Bata y Apaah 2018). También están comenzando a estudiarse las simetrías inherentes y los modelos matemáticos característicos de estos sistemas simbólicos. Un artículo escrito por (aparentemente) Abibitumi Kasa suministra la clasificación de todos los grupos de simetrías rotacionales a los que pertenece el repertorio del libro de A. F. Kojo Arthur Cloth as Metaphor, un texto particularmente difícil de conseguir que incluye el detalle de nada menos que 719 simbolos adinkra, muchos de los cuales son variantes o mani- folds de otros, como bien cuadra a los miembros de grupos de transformación (Arthur 1999-2001; Kasa 2010).

Figura 9.6 – Buckminster Fuller enseñando en el peculiar Black Mountain College, Carolina del Norte. El domo alterna patrones teselados penta y hexagonales, igual que los teselados de Kaplan (2002; 2009) o las cestas de Gerdes (2011b: 60 y ss.). Basado en Motro (2012: loc.cit.) Es mi especulación que si alguno de los científicos hoy involucrados en la supersimetría y áreas conexas recibiera el Premio Nóbel, en el estado actual de la comunicación digital la noticia sobre los adinkra etnográficos y el nuevo insight que se ganaría sobre lo que Dan Sperber llamaba el simbolismo en general alcanzaría finalmente estado

33 No estaría de más que el lector busque cada uno de los nomencladores con algún navegador de la Web. Comprobará, seguramente, que hay un universo de referencias adinkraicas allá afuera.

127 público en las primeras planas. Ya se están avanzando pasos en esta dirección, instalan- do el tema de los adinkras en física al filo de lo que parece degenerar en el límite en una nueva especie de charlatanería. Es notable que esto suceda en el lado “duro” de la división entre las ciencias, aunque esto no es más que lo que cabría esperar. De unos pocos años a esta parte, en efecto, corre el rumor de que el propio James Gates Jr ha encontrado código de computación de corrección de errores en el seno de la teoría de las supercuerdas, como si un universo ahora definitivamente holográfico y virtual obedeciera a un diseño inteligente que incluye sofisticados módulos adaptativos de auto-control y auto-organización compleja.34 No hace falta más que un leve empujón para que algún antropólogo exaltado añada a este rumor (que Gates mismo no se ha esforzado en refutar) elementos que alimenten la hipótesis de que a través de su sistema de adinkras los Ashanti poseían las claves profundas de la teoría del todo contemporá- nea, biología molecular incluida. Como quiera que sea, cabe recuperar la idea de que los diseños operados por actores que alguna vez soportaron ser llamados primitivos o salvajes por una antropología que se creía bienpensante inspiraron numerosas ideas de la ciencia y la tecnología occidental; esto es sin duda preferible a que nos aferremos a la doctrina inversa. Temprano en su trayectoria de investigación Paulus Gerdes se atrevió conectar (a) la geometría de una técnica peculiarmente africana de geometría usada en el tejido de cestas con orificios pentagonales y hexagonales con (b) la geometría cristalizada de la molécula de carbono fullereno C60 y en su forma más abundante en la naturaleza, el buckminsterfullereno de 20 hexágonos y 12 pentágonos (Gerdes 1999a: 110-125; 1999b; 2007: 70-76; fig. 9.5; Ladd 2014: 113). Ésta es precisamente la estructura de una nueva forma estable del carbono descubierta en Occidente tan tarde como en 1985 por Robert F. Curl, Harold W. Koto y Richard E. Smalley, autores laureados con el premio Nóbel de Física de 1996 por obra de este descubrimiento (Powell 2015: 31). En su artículo de referencia y en otras publicaciones próximas, Curl, Koto y Smalley observaron que el C60, visible en los espectrómetros de masa, tendría la estructura molecular de un icosaedro truncado, oficiando como una especie de artefacto de Kekulé que permitía pensar las ideas así representadas de otra manera más clara y más simple. El icosaedro posee 60 simetrías rotacionales. La posibilidad de existencia de tales molé- culas estructuradas había sido predicha por el químico computacional japonés Eiji Osa- wa (1970) en un apreciado artículo sobre superaromaticidad que después de casi medio siglo todavía circula entre conocedores; pero fueron aquellos tres fueron los autores que confirmaron la conjetura y se llevaron el mérito. Antes del fullereno, las dos únicas mo- léculas estables y cristalinas de carbono eran el grafito y el diamante; después de él se han descubierto o sintetizado muchas más, cada cual con su conjunto de propiedades físicas y conceptuales inesperadas.

34 Hay un tropel de videos (algunos de ellos cabales largometrajes) que abonan esta hipótesis en https://www.youtube.com/playlist?list=PLJ0S88eyUTlY2ETqJpQfCFPyxC4BF-uba.

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Una vez más, las relaciones entre la simetría de volúmenes, el diseño en cestería de diversas partes del mundo, la arquitectura de los domos geodésicos y la representación en química son tan concretas que los paralelismos, isomorfismos, correspondencias y heurísticas latentes ciertamente producen vértigo. Una vez más fue también Paulus Ger- des, en un olvidadísimo artículo temprano, quien descubrió una valiosa pauta que conecta y quien nos proporcionó las referencias primarias para un conjunto de hallazgos de los que todavía no he podido tocar el fondo y que ahora paso a referir.

Gerdes destaca, adecuadamente, que el fullereno C60 posee el nombre que lo identifica por referencia al arquitecto heterodoxo Richard Buckminster Fuller [1895-1983], inventor del nombrado domo geodésico. En una de las muchas anotaciones biográficas sobre Fuller que escribieran su hija, la etnógrafa de la danza Allegra Fuller Snyder, o su yerno, R. Snyder, se aprecian fotografías en la que no faltan modelos geodésicos como los que adornan las páginas de los artículos de Gerdes sobre cestería e incluso una pelota del popular deporte del sépak raga malayo o el sépak takráw del sudeste asiático similar a la que se muestra más arriba en la figura 9.5, perteneciente a un tipo que Buckminster parece haber usado como fuente de inspiración para su domo geodésicco y para las pelotas que desde entonces se llaman bucky balls (Fuller y Applewhite 1975; Fuller 1981: 13; Edmonson 1987: 233; Di Carlo 2008; Motro 2012: fig. 4; Gerdes 1998; 2015 y figura 9.6).35 Huelga decir que la pelota usada en ese deporte hoy masivo e in- tegrado a las olimpíadas regionales, pan-asiáticas e internacionales es de una antigüedad difícil de calcular que, según Fuller, se remonta a tiempos precolombinos.36 Su origen seguramente se encuentra en técnicas textiles y de cestería en contextos tribales que quizá no sean tan arcaicos, adánicos y primordiales como Fuller pretende, pero que son muy anteriores a la actual industria mediática. De hecho las cestas origámicas de este tipo abundan en culturas dispersas en todas partes del mundo. Con su acostumbrada erudición Gerdes lo documenta así: The same hexagonal basket-weaving technique has been used in several other regions of Africa and the world […]. In Madagascar fish traps and transport baskets are made using it. In Kenya it is used for making cooking plates, and among the Pygmies (Zaire) for carrying baskets, as well as among various Amerindian peoples in Brazil (Ticuna, Omagua, [Pukó-

35 Los domos geodésicos de Fuller lucen similares a la estructura del C60, lo cual es un poco confuso. Lo que sucede es que los domos se construyen dividiendo los pentágonos y hexágonos en triángulos y deformándolos un poco moviendo los vértices radialmente para coincidir con la superficie de una esfera. Véase la definición oficial en las páginas de la R. Buckminster Fuller Collection en la Universidad de Stanford. Sobre las pelotas que alternan hexágonos y pentágonos véase este notable portal. 36 Por más que Buckminster Fuller (con su comitiva de hagiógrafos y detractores) parezca un personaje clonado del genoma de sabios como Lanza del Vasto, Gandalf o Rabindranath Tagore, no hay que llamarse a engaño por las resonancias hippies, yuppies o new age de ciertas ideas suyas o de sus desarrollos en torno de la sinergética. Si vemos que por momentos sus razonamientos le llevan a hablar de cosas tales como (digamos) la tensegridad, recordemos que son las suyas (y no las del antropólogo Carlos Castaneda) las ideas originales y que desde el inicio esas ideas se sustentan en un cálculo ingenieril y en logros arqui- tectónicos de primera agua, de intrincados paralelismos con estructuras presentes en el mundo etnográfico y de profunda influencia en la mejor arquitectura adaptativa del siglo XXI (Eglash 1999 [ejemplos de triángulo de Sierpinski]; Motro 2012; Skelton y Oliveira 2009; Zhang y Ohsaki 2015; Keats 2016). Jay Kappraff y otros en su línea lo consideran el fundador de la Ciencia del Diseño (Loeb 2003; Kappraff en Fenyvesi y Lähdesmäki 2017: vii).

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bye], etc.), Ecuador (Huarani), and Guyana (Yekuana). The Micmac-Algonkin Indians of Canada use it for their large eastern snowshoes, as do Eskimos in Alaska. In Asia the use of the hexagonal basket-weaving technique is well spread, from the Munda in India, the Kha- Ko in Laos, to Malayasia, Indonesia, China, Japan, and the Philippines.

Artisans all over the world discovered that if they use this open hexagonal weave to produce a basket, they have to "curve" the faces at the basket's "corners." They found that this can only be done by reducing the number of strands at the corners, and so they weave corners with pentagonal holes […]. Figure 4 displays such a pentagonal hole surrounded by five hexagonal holes. The extreme situation would be a "basket" consisting of pentagonal holes only. This happens with the Malaysian "sepak raga" ball, which has twelve pentagonal holes (Gerdes 2003).

Hay muchas otras referencias en Gerdes (1997: 52-53; 2003: 22-23; 2010) y, naturalmente, en la rica y atinente bibliografía que él recupera, a la que pocos de nosotros co- nocíamos y a la que deberíamos darle una segunda oportunidad (Faublée 1946: 28, 38; Grottanelli 1965: 8; Dunsmore 1983; Lane 1986; Ranjan, Iyer y Pandya 1986; Turn- baugh y Turnbaugh 1986: 17, 19; Somje 1993: 96; Meurant y Thompson 1995: 162). Entre los muchos textos antropológicos que le suministraron ideas Gerdes también menciona uno del antropólogo alemán-colombiano Gerardo Reichel Dolmatoff (o más exactamente Erasmus Reichel [1912-1994]), un autor que algunos considerarán tristemente célebre y que volvió a la memoria colectiva hace unos pocos años cuando en 2012 se reveló su filiación nazi y su pertenencia a las siniestras SS. El ensayo etnográfico de Reichel es el titulado Basketry as Metaphor. Arts and Crafts of the Desana Indians of the Northwest Amazon, en el cual no he sido capaz de percibir ninguno de los mensajes henchidos de conjeturas que a veces se esconden entre las líneas de los estudios proclives a un simbolismo casi oscurantista, una inclinación que impregna los escritos de Reichel pero de la que afortunadamente una parte sustancial de la obra de Gerdes está por completo exenta (Reichel Dolmatoff 1985: esp. 77).

Figura 9.7 – Construcción iterativa de un iglú según Graham Rowley (1938: 111). Las piezas son trapezoidales y se van acumulado en forma de espiral ascendente en giro contrario a la aguja del reloj sacando bloques del interior de la vivienda. En materia de estructura la pelota nombrada antes del último comentario es, incidentalmente, un fullereno en plenitud. Como todo fullereno, la configuración de la pelota comprende un número de agujeros pentagonales o más raramente hexagonales, o con más exactitud un número de orificios pentagonales cada uno de cuyos bordes es un lado de un hexágono (fig. 9.5, izq.). Como consecuencia del teorema de Leonhard Euler [1707-1783] sobre las relaciones entre el número de vértices (V ), el número de aristas

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(A) y el número de caras (C) en un poliedro convexo [V–A+F = 2], el número total de anillos pentagonales en un fullereno (incluyendo las trampas para peces litenga de los artesanos Makhuwa de Mozambique) debe ser siempre 12 (ver Malkevitch 2019).37

Figura 9.8 – Triángulo de Sierpiński en casa de piedra en Mauritania (foto: Institute Fondamental d’Afrique Noire, Dakar), triángulo de Yang Hui y detalle de la torre Eiffel. Basado en Ron Eglash (1999: 115) y en imágenes del Dominio Público. Las culturas, por salvajes que se las repute, se atienen a leyes de la forma geométrica de las que apenas tenemos conciencia y que hacen tanto al efecto estético como a la robus- tez y sostenibilidad física de los artefactos que manejan. Algunas especies vivientes y unas cuantas de las culturas estudiadas por la etnogeometría contemporánea y referidas en este libro se atienen a leyes vinculadas a la geometría fractal y a la (bio)mecánica de la tensegridad (o a ambas a la vez) que a primera vista parecen violar los principios ha- bituales de la mecánica, tales como la ley de Hooke, la ley del cuadrado-cubo de Galileo y la proporción de Poisson que nombro aquí para que el lector investigue. En un deslumbrante artículo sobre la nueva (bio)mecánica, Stephen Levin (2006) demuestra es- pectacularmente que muchos seres vivientes violan flagrantemente tales leyes, manifes- tando capacidades extraordinarias de resiliencia, auto-organización y sostenibilidad. En el curso de este libro hemos observado una y otra vez que las culturas, incluso y sobre todo las de tecnología más engañosamente modesta, llevan esa tenacidad muchísimo más hondo y más lejos. Un capítulo entero de las ciencias y algoritmos de la complejidad que estoy estudiando y llevando a la práctica desde hace 30 años (el algoritmo ge- nético y otras metaheurísticas “inspiradas en la naturaleza”) se sirven característica- mente de las propiedades de optimización de diversos procesos naturales y culturales

37 Recomiendo calurosamente leer el artículo de Joe Malkevitch que hace referencia a éste, uno de mis teoremas favoritos, conocido como “la fórmula de Euler” y vinculado en muchos sentidos al ulterior teorema de los cuatro colores.

131 para los más diversos fines, geometrías visuales y musicales incluidas (cf. Reynoso 1991: 510-512; 2006; 2008b). Por eso es que la presencia de los mismos patrones estables hexagonales ha sido regis- trada en innumerables contextos y existen desde mucho antes de que el genio absoluto de Euler descubriera por qué tenía que ser así: Old cultural elements with a hexagonal form are found in geographical regions of the world situated far from each other. For example, the Huarani (Ecuador), the Yekuana (Guyana), and the Ticuna and Omagua Indians in northwestern Brazil make big carrying baskets with hexagonal holes. The Pukóbye Indians in the northeast of Brazil interlace their headbands hexagonally, just as the Micmac-Algonkin Indians of eastern Canada do with their snowshoes. In the northern coastal zones of Mozambique, one weaves hexagonally the fish trap called lema and the carrying basket litenga. Cooking plates with hexagonal holes are plaited in Kenya, as are ladles used in boiling fruits among the Desana Indians of the northwest Amazon (see Somjee 1993, 96; Reichel-Dolmatoff 1985, 77).

In Madagascar, fish traps and transport baskets are woven hexagonally, just as the Mbuti (Congo) plait their carrying baskets (see Faublée 1946, 28, 38; Meurant and Thompson 1995, 162). Hexagonally plaited baskets are also found among the Kha-ko in Laos (see photo in Grottanelli 1965,8), as well as in China, India, Japan, Malaysia, and the Philippi- nes. On the island of Borneo (Indonesia), one meets hexagonally woven railings; and among the Munda, in India, a bird trap is interlaced in the same way. Can we, perhaps, discover in the making of these woven objects one possible germ of the idea of a regular hexagon? (Gerdes 2003: 23-24).

No he sido capaz de encontrar muchas referencias semejantes en la cestería precolombina de Argentina y Chile, pero dado que la técnica se prolonga hasta el sur de Tierra del Fuego seguramente los materiales emergerán en abundancia por poco que se busque, que es lo que aquí me limito a instar a que se haga. Sólo planteando la pregunta adecuada (decía, según recuerdo, Hans-Georg Gadamer) se encontrarán en los textos que se lean las respuestas que están haciendo falta. Lo que está faltando en las elaboraciones científicas en torno de los fullerenos en particular y de las técnicas de cestería más o menos globulares es una concepción que lleve las cartulinas con las que ilustraba sus casos Paulus Gerdes o el software ilustrador de adinkras de Ron Eglash a una realización etnocomputacional más plena, como la que el lector puede experimentar al jugar con grafos de Cayley y conjuntos algebraicos ya sea con Jenn3D o con Group Explorer, en el camino a comprender mejor las representaciones geométricas, los modelos y las metáforas, el nexo entre las propiedades, las funciones y las formas y las dinámicas recursivas en las que están envueltas. Otras estructuras geométricas que se encuentran en sociedades sin escritura y sin méto- dos de cálculo explícitos son igual de sorprendentes. Un iglú, por ejemplo, es un complejo domo teselado construido sin cálculos observables mediante bloques trapezoidales irregulares que permanece en pie, contra toda probabilidad, porque sus fuerzas internas están en equilibrio con sus cargas externas por más que la nieve que cae encima llegue a sumar un peso mayúsculo. Para lograr ese equilibrio la forma del iglú es semi-parabó- lica (no semi-circular como se cree) porque de ser otro el caso (y de no contar con re- fuerzos especiales) la estructura colapsaría. Algunos sostienen que se trata más exacta- 132 mente de una forma catenoide parabólica de revolución con una relación óptima altura- diámetro. Un profesional de la mecánica que entiende que el iglú es una forma suprema de ingeniería geométrica lo explica de este modo: The catenary, from the Latin for chain, is the shape assumed by a chain held only at the ends. A modern example of a catenary in compression is the St. Louis Arch, Missouri, USA. The equation for a catenary is derived in textbooks in engineering mechanics, and may be written y = a(cosh x/a- 1) where y is the height to any point in the surface, x is the horizontal distance to the same point, and a is a constant. The stresses in an inverted para- boloid or catenoid are exclusively compressive; the latter has the additional advantage of zero bending moment everywhere within the shell. Thus as the snow in a catenoid igloo ages and undergoes compressive creep, the sides should not buckle (Handy 1973: 277).

Dado que los antropólogos y los geómetras de la academia no se han ocupado mucho del asunto, debieron ser los ingenieros los que documentaran la dificultad del problema y se asombraran por la rareza, la no-linealidad y el genio práctico manifiesto en su reso- lución. Si se hubiera elegido otra forma de cúpula (esférica, por ejemplo, o hiperbólica) el iglú sería extremadamente inestable; con la opción elegida, por el contrario, se mantiene sólidamente en pie durante todo el proceso de construcción, descargando toda la carga en el piso. La mala noticia empero es que el estudioso que mejor lo describió pen- sara que los Inuit habían llegado a semejante hazaña ingenieril “por ensayo y error”, que es más o menos igual que decir que “encontraron” el resultado por casualidad.38 No me cabe duda que las prácticas geométricas de los pueblos ágrafos (“igualadas pero no superadas” por la ingeniería científica) merecen una explicación mejor. Acaso deba- mos reformular qué queremos decir cuando declaramos que tal o cual pueblo posee una geometría o una tecnología rudimentaria o que su geometría empírica es un arte que carece de fundamento conceptual explícito. Estructuras similares, hoy llamadas sinergéticas o recíprocas por arquitectos y artistas de las líneas new age de revistas como Leonardo y Nexus, puntúan el camino atiborrado de isomofismos definiendo pautas que conectan los hexágonos con figuras tales como las catenarias parabólicas y el triángulo de Sierpiński. Esta es una figura omnipresente en la arquitectura y en la ergología africana, a la cual se reconoce por sus extraordinarias propiedades físicas, ejemplificadas recurrentemente señalando la similitud entre la torre Eiffel y el triángulo de referencia (cf. además Qi y otros 2014). Este triángulo, dicho sea de paso, no es otro que el triángulo de Yang Hui, conocido por una ilustración de Zhu Shijie [1260-1320] del año 1303 y bien conocido por Blaise Pascal. Las propiedades de estas clases de figuras complejas son bien conocidas desde muy antiguo. Nadie menos que Benoît Mandelbrot, el creador de la geometría fractal, vincula los elementos antedichos con las estructuras de Buckminster Fuller:

38 “The Eskimo igloo thus embraces a structural perfection arrived at by trial and error, without benefit or prejudice from mathematical theory. The design process constitutes an evolutionary optimization for design of domed masonry structures, matched but hardly surpassed by modern scientific engineering” (Handy 1973: 280; el subrayado es nuestro). Entre paréntesis, los igluit no son genéricamente Inuit sino que sólo fueron construidos por esquimales del centro de Canadá (al este del Mackenzie) y de la región de Thule en Groenlandia. La enorme mayoría de los esquimales nunca ha construido ni visto un iglú.

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My claim is that (well before Koch, Peano, and Sierpiński), the tower that Gustave Eiffel built in Paris deliberately incorporates the idea of a fractal curve full of branch points. However, the A's and the tower are not made up of solid beams, but of colossal trusses. A truss is a rigid assemblage of interconnected submembers, which one cannot deform without deforming at least one submember. Trusses can be made enormously lighter than cylin- drical beams of identical strength. And Eiffel knew that trusses whose 'members' are themselves subtrusses are even lighter. See the right picture below [figura 9.8, arriba a la derecha]. The fact that the key to strength lies in branch points, popularized by Buckminster Fuller, was already known to the sophisticated designers of Gothic cathedrals. The farther we go in applying this principle, the closer we get to a Sierpiński ideal! (Mandelbrot 1982: 131-132)

Hay un alto número de asociaciones de arquitectos que están pensando en modelos de biourbanismo y en construcciones adaptativas inspirados en las geometrías de la tensegridad, en la dinámica no lineal y en los fractales. No desearía ahondar en esa tesitura aquí y ahora pues en honor a la verdad algunas de las ideas alentadas en el movimiento no me convencen tanto, las ideas comienzan a reiterarse y a volverse tibias y ya hemos tomado nota de algunas de las mejores instancias (cf. pág. 29 más arriba). Pero no por ello voy a omitir la referencia, pues si estos patrimonios de la humanidad son de veras universales, tanto derecho tenemos a husmear en estas raras geometrías alternativas, siempre extranjeras, como lo tuvimos ayer a sacar provecho del mundo más convencional de las geometrías euclideanas.

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Figura 9.8 – Alfabeto de Adinkra (I):

Figura 9.9 – Alfabeto de Adinkra (II).

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Figura 9.10 - Templo de Surya en Modhera, 1026-1027 dC. Estilo Maru-Gurhara - Construido por Bhindev I, atacado por Mahmud de Ghazna. Ubicado en Modhera, Gujarat, India. Véase galería en este vínculo.

Figura 9.11 – Mandelbox fractal – Generado en Ultrafractal®

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10 - Tareas pendientes de la etnogeometría: A modo de conclusión

Confrontation: You are mathematics educators, are you not? So let us see if you are good at mathematics. -Do you know how to construct a circle given its circumference? - Do you know how to construct angles that measure 90°, 60° or 45°, using only the strips of paper I have distributed to you? - What is the minimum number of strips of paper you need in order to be able to plait a broader strip? - Can you fold an equilateral triangle out of a square of paper? -Do you know how to construct a regular hexagon out of paper strips? I gave you five minutes. Who solved all the problems? Nobody? How is that possible? Who solved four problems? Nobody? Three of them? You failed? Do you not have the necessary mathematical abilities? No, that is not the reason; you need more time, don't you? But you are mathematicians, are you not? You need more time to analyze these non-standard problems. All right. But let me say to you that many of our (illiterate) mozambican artisans know how to solve these problems - (obviously "formulated" in another way). Paulus Gerdes (1986: 10)

Más de una vez el hábito académico de circunscribir el conocimiento geométrico a la esfera del conocimiento puramente teórico, formal o axiomático impide a los especialistas conocer en mayor profundidad el objeto que tienen entre manos, les niega acceso a los laberintos de la práctica y a los modelos mentales o esquemas que la orientan y les coarta la producción de herramientas pedagógicas para que otros aprendan lo que los practicantes de las geometrías a través de las culturas ya han aprendido sobre las formas posibles de hacer las cosas o sobre las estrategias para resolver los problemas que las cosas plantean. Esto sucede tanto en el plano de la construcción geométrica propiamente dicha como en el uso de los objetos geométricos como instrumentos culturales de cogni- ción situada que operan sobre factores, fenómenos, estructuras, memorias y universos de sentido que no se inscriben necesariamente en la esfera de la geometría. En esta tesitura, el epígrafe de Paulus Gerdes reproducido en el encabezamiento de este capítulo conclusivo corona el torbellino de las dialécticas entre la teoría y la práctica, dialécticas o dialógicas que acaso constituyan la razón de ser de una posible antropolo- gía etno-geométrica que (como en toda ciencia humana) demasiado a menudo cede a la tentación de utilizar lo que se hace en otros espacios culturales como vía regia para llegar a lo que supuestamente pensamos todos los humanos, no sin antes enajenar a otros del fruto de su trabajo para engrosar de manera unilateral, descontextualizadamente y por la fuerza un patrimonio de la humanidad cada vez más mixtificado y desleído.

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Cuando en El pensamiento salvaje Claude Lévi-Strauss (1964 [1962]) postuló la idea de la lógica de lo concreto curiosamente no consideró esa lógica como la heurística de una manifestación práctica, sino como una forma de pensar propia de la razón pura que implicaba la sustitución de la aborrecible concepción de Lévy-Bruhl por una mirada construida sobre fundamentos más sanos, aunque durísima de probar en el sentido geo- métrico de la palabra. En el contexto del presente libro, en cambio, intenté redefinir esa lógica alternativa como una lógica del saber hacer, como una práctica sustentada en un logos tácito y silente que admite ser explorado desde innumerables perspectivas (simbó- licas y científicas inclusive) y que debería tolerar también que se lo deje en las sombras o que su plena elucidación quede a veces en suspenso, atendiendo al principio del no free lunch theorem que nos ha ayudado a prescindir de los dogmas del día en todas las disciplinas en las que muchos de nosotros hemos necesitado trabajar. A fin de cuentas (y tal como le sucedió a Alan Turing con el Entscheidungsproblem) demostrar que un problema inverso es indecidible, intratable o imposible de resolver en tiempo polinómi- co es una bella y necesaria experiencia de demostración, órdenes de magnitud preferible a una resolución ilusoria como las que hemos practicado mil veces en ciencias que se presumen de una dureza mayor a la que en efecto poseen. Más importante que todo esto es que, al cabo de una minuciosa inspección, la lógica del saber hacer se revela semejante a la lógica del homomorfismo que obligó a que los modelos proposicionales más tortuosos y las nociones más abstractas de las teorías más hiperdifíciles desarrolladas por la especie humana tuvieran que reformularse no sólo en base a una escritura simbólica axiomática (que en trámites como éstos siempre revela sus cortapisas, sus sesgos y su impenetrable dificultad) sino también en términos del en- tramado visual que científicos de las más variadas confesiones entrevieron (en un rapto –literalmente– de profunda y ejemplar abducción batesoniana) en los modos de simbo- lización alternativos de los adinkras de las culturas Ashanti de Ghana y de los tokapu de Perú, en las pelotas indestructibles de los juegos malayos, en los dispositivos reticulares de pesca de Mozambique, en los grafos “eulerianos” de los Chowke, los Sona, los Bora y los isleños de Malekula, en los triángulos de Sierpiński del sur del Sahara, en las series de Fibonacci de las más diversas geometrías del ritmo, en las cestas globulares geo- désicas de la América precolombina, en la tensegridad de las tiendas de casi todos los nómades, en los nudos topológicos de los celtas, en las curvaturas y catenarias de los igluit de Thule y del Mackenzie, en los tejidos, tatuajes, esculturas y peinados fractales de África, en la fractalidad tridimensional de la arquitectura del período gótico, del Islām y de los templos jainas e hindúes de Monte Abu, Modhera y Khajuraho, en las tecnologías de sistemas de posicionamiento geográficos (GPS), graph-based navigation (G-BN) y spatial network approach (SNA) anticipadas por las geometrías de los sistemas de navegación de las culturas de Oceanía que revisaremos en breve, en las 17 iso- metrías del plano plasmadas en la Alhambra ochocientos años antes de los rayos X y de la teoría cristalográfica de grupos o en los cuasicristales aperiódicos de los embaldosados y muqarnas de Irán, Uzbekistán y Turquía, en las prácticas recursivas del kolaṁ de la India drávida y aborigen que materializan formas de pensar, codificar y ejecutar que son esenciales a la lingüística computacional y a la programación de avanzada. Con

138 frecuencia se da el caso que incluso navegantes occidentales de formación técnica y hondísima experiencia (por ejemplo) quedan sin comprender ciertos matices delicados del manejo de la cognición situada en instrumentos tales como las cartas náuticas de las islas Marshall que pronto revisaremos con más detenimiento. Algunos de aquellos navegantes (que no son necesariamente antropólogos) piensan ahora que el problema podría plantearse de una forma más sutil y reflexiva: Many of the lessons contained within the stick charts, in other words, have yet to be fully understood. “It’s quite possible that the traditional knowledge of the ocean in the Marshalls could somehow provide insight into science itself,” he says. “So often, we think about science as trying to make sense of everything else in the world, but it could also be the other way around. This local oceanographic knowledge might influence our scientific understanding as well”. (Romm 2015).

A nuestros efectos y yendo más allá de los mapas de varillas, basta enumerar sólo ésas entre otras tantas manifestaciones cuyos correlatos en las ciencias duras propios y extra- ños juzgaron alguna vez fantasiosos, exagerados o indigestado de indigenismo militante o voluntarismo esotérico, y a los que solamente cabía oponer la misma clase de resistencia conservadora saturada de un estilo invariante de sarcasmo.39 No podemos seguir sosteniendo, entonces (como nos invitan a hacer perspectivistas y deleuzianos), que para asomarnos a la compresión del otro es menester que renunciemos a la analiticidad y aprendamos a pensar más pequeño, más lento, más simple y más débil. Tampoco podemos continuar insistiendo en que tales geómetras no tenían acceso a su propia raciona- lidad, pues tantos casos como los que hemos documentado garantizan que a los efectos de la práctica tal acceso no estuvo en realidad haciendo mucha falta. Tal como hemos comprobado en cada uno de los capítulos precedentes, el análisis de una porción importante de las etnogeometrías se ilumina considerablemente cuando se realiza en base a lo que sabemos de la aritmética modular, del álgebra abstracta, de la fractalidad, de los grupos de isometría y de la teoría de nudos (cf. Kappraff en Fenyvesi y Lähdesmäki 2017: x). Para comprender cabalmente las prácticas inherentes a las geometrías de los otros pueblos (tanto ágrafos como alfabetizados), así como de los artistas heterodoxos de nuestra propia sociedad, quizá convenga abandonar la idea de que las prácticas requieren una formulación discursiva previa que esos otros no han podido o no han querido lexicalizar e instituir como las normativas a las que obedecen o las nomenclaturas a las que se atienen. Hemos comprobado aquí que sea cual fuere el dispositivo que gobierna las prácti- cas (el cerebro, el sistema límbico, el hipocampo, la memoria cultural, el cuerpo, la cog- nición situada, la inteligencia emocional, los schemata) ponerlo en marcha y mantenerlo bajo control no requiere invariablemente de un discurso preceptivo, de un modelo formal o de un lenguaje procedimental explícito. No debería sorprender tampoco que las

39 Recordemos, por si hace falta, a Bohannon y a su lata de gusanos, o a Linus Pauling y a sus cuasi-cien- tíficos, a Christopher Hallpike y a su pobre valoración de las cartografías ágrafas, a los editores de la revista Science descalificando las teselaciones aperiódicas en la cultura, a los sospechadores antiguos y (pos)modernos de la arianidad casi vikinga de los pueblos de Oceanía y a Richard Handy y las catenarias parabólicas Inuit a las que este divulgador conjeturaba encontradas por miserable casualidad.

139 habilidades prácticas no vengan acompañadas de un metalenguaje que las explique a nuestra entera satisfacción; después de todo, nadie que no se haya entrenado en esos menesteres es capaz de dar cuenta verbalmente de la estructura de la lengua que habla, o del lenguaje en el más amplio sentido, o del sistema de signos del cual su propia lengua es una instancia. La mejor analogía que se me ocurre desplegar para la comprensión de la capacidad práctica geométrica en contraste con las metodologías regidas por la razón pura de las teorías inmateriales se ejemplifica elegantemente con los sistemas micronesios de navegación en general y el sistema de los Puluwat en particular. He descripto uno de los sistemas micronesios en uno de mis primeros trabajos sobre an- tropología psicológica, De Edipo a la Máquina Cognitiva (Reynoso 1993: cap. 11.4, 247-251); volví sobre el tema en la presentación más solicitada de mis cursos sobre mapas cognitivos y luego, más recientemente, en un análisis del estado de arte de la cog- nición espacial en el siglo XXI.40 La publicación que fue instrumental en la descripción del sistema etak de los Puluwat es el libro East is a big bird: Navigation & logic in Pu- luwat Atoll, la única obra globalmente conocida del antropólogo Thomas Gladwin (1970), autor que carece al día de hoy de una página decente dedicada a él en Wikipedia o en los portales académicos y cuya memoria se ha volatilizado del registro de la antro- pología de la corriente principal.

Figura 10.1 – Izq.: Sistema Te Nohoanga de Polinesia (según George: 9, fig. 6) Der.: Compás de estrellas micronesio (según Goodenough 1953, repr. Gladwin 1970: 149) El primero se basa en 16 divisiones equidistantes, el segundo en 36 divisiones más exactas.41 Me dispenso de describir el etak porque ya lo he hecho en aquellos textos y porque co- rrería de nuevo el riesgo de que la lectura de mi resumen sustituya la imperiosa consulta

40 Las presentaciones están disponibles en http://carlosreynoso.com.ar/ciencia-cognitiva-09-mapas- cognitivos/ y en http://carlosreynoso.com.ar/espacio-memoria-y-territorio/, respectivamente. 41 Para una estimulante interpretación de estas “rosas de los vientos” que se presentan en regiones apartadas del mundo con casi exactamente las mismas 16 ó 32 divisiones del compás véase el artículo de Charles Frake (1995) en el que se incluye una referencia a un poco conocido trabajo del más desconocido aun Léopold de Saussure [1866-1925], sinólogo hermano menor de Ferdinand (cf. Saussure 1928).

140 de las fuentes y del libro de Gladwin en particular. Sólo diré que la descripción de Glad- win, tan modesta y lánguida como por momentos luce, es la base innegable de la tecno- logía de GPS y de los los actualísimos paradigmas de la Graph-Based Navigation y de la Spatial Network Approach que han revitalizado los GIS del tercer milenio (Finney 1986; Ascher 1995; Hage y Harary 2007; Edward 2015; Maloney 2018). El fundamento del etak es una geometrización del espacio utilizando una isla de referencia (que bien puede ser un punto imaginario, o incluso ser eventualmente un destino) combinando esa geometrización con una orientación egocéntrica (en vez de absoluta) y desarrollando una ingeniosa técnica de dead reckoning capaz de convertir la ecuación de |tiempo x velocidad| en simplemente |distancia|, tal como aprendimos a hacerlo en la escuela cuando éramos niños. El primer aparato de GPS que se fabricó en California fue desarrollado hacia 1983 por típicos programadores de garaje que, no obstante su bohemia, tuvieron la precaución de patentarlo. Su marca de fábrica fue, precisamente, Etak®. El fundador de la empresa Etak Inc. de Sunnyvale, California, en el corazón de Silicon Valley, fue Stanley K. Ho- ney, ingeniero y navegante todavía activo, quien (característicamente y como aplicando el principio de res nullius o res derelictae que habilitó la ocupación de tierras “salvajes” e ideas no reclamadas) se pronunció inventor del algoritmo “tradicional” [sic] que articulaba el comportamiento del aparato. El folleto en el que Honey narra su experiencia no menciona a los Puluwat, ni a Micronesia, ni a las islas Carolinas, ni al informante Hipour, ni a Thomas Gladwin, ni a su contribución maestra a la antropología del conocimiento (cf. Honey y Zavoli 1985). Mientras tanto, la página de Wikipedia referida a Honey, verdadera celebridad corpora- tiva y proto-yuppie de la navegación, sitúa el origen del etak en Polinesia y no en Mi- cronesia como es realmente el caso. No me consta tampoco que Honey haya hecho trabajo de campo en Puluwat. Aunque él se precia de haber inventado el algoritmo básico, su descripción del cálculo de dead reckoning (según algunos: ‘reconocimiento deducido’) es idéntica a la que se describe en el caso del etak o del sistema pan-polinesio te nohoanga (cf. Gladwin 1970: 144-145, 147; George 2013 versus Honey y Zavolia 1985: 5-6).42 Igualmente se origina en el texto de Gladwin la descripción del rasgo clave de la estrategia del etak después de la geometrización dinámica del espacio y del dead reckoning y que no es otra que la referencia relativa o el modelo autocentrado o egocén- trico de posicionamiento: The Navigator has a graphic display which continuously shows a vehicle's position on a map of the surrounding area […]. An arrowhead symbol in the center of the display repre- sents the position of the vehicle and points up towards the top of the map, indicating the direction the vehicle is heading. As the vehicle is driven, the map rotates and shifts about the arrowhead accordingly (Honey 1985).

42 Tal parece que “dead reckoning” (un término que carece de una razonable traducción al castellano) no se deriva de “reconocimiento deducido” ni mucho menos. Hay una interesante discusión en The Straight Dope. Allí se dice que la expresión figura en diccionarios del siglo XVII pero su primer uso técnico arranca (con su etimología usual) en Avigation de Bradley Jones (1939 [1931]: 366) un libro clásico que se mantiene en línea y en formato digital hasta el día de hoy.

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Esto es: en el espacio bidimensional contraintuitivo y bizarro al que se refiere el sistema cuando se lo describe el navegante permanece quieto y es el mundo entero el que se mueve en bloque, avanzando o girando en torno, mucho más inelásticamente que en los gráficos de tortuga de Seymour Papert o en los sistemas recursivos de Aristide Linden- mayer. El sistema es doblemente egocéntrico: la tierra está en el centro del universo, el navegante está en el centro del espacio terrestre. En universos así no hay (o no son relevantes) los puntos cardinales, salvo como curiosidad añadida tras el contacto cultural: sólo hay adelante, atrás, derecha e izquierda y todos los ángulos intermedios, todo eso relativo a un centro inmóvil que sin embargo sabemos que se mueve. Aquí sólo se navega hacia adelante o hacia arriba (que es más o menos lo mismo) en un mundo plano de pura geometría proyectiva; según la totalidad de las descripciones de la navegación oceánica y los esquemas que los informantes dibujan o trazan en la arena, ésa es la imagen que se hacen los navegantes sin haber visto jamás una pantalla de un sistema de posicionamiento digital. Lo notable del caso es que el sistema incluye una genuina “rosa de los vientos” que dis- tingue 32 posiciones en el compás, el mismo número que se encuentra en la antigua for- mulación árabe de la que se derivó nada menos que la brújula y que está en el mismo orden de magnitud de la lógica geométrica propia de las cartas portulanas (fig. 10.1; cf. Saussure 1928; Halpern 1986). Recordemos que la brújula china dividía el compás en 24 direcciones; en fecha incierta (durante la Edad Media) los 32 “puntos cardinales” se adoptaron en Occidente. En el medio de ambas se sitúa el modelo árabe, que comparte 9 estrellas y 18 azimuths con el de las islas Carolinas, coincidencia que ha desatado unas cuantas especulaciones históricas (Halpern 1986). Aunque poco se sabe de sus pormenores históricos (y habida cuenta de lo que hoy se sabe sobre el poblamiento de las islas del Pacífico), es seguro que el sistema etak estableció sus instrumentos de orientación de alta resolución siglos antes que las cartas náuticas se conocieran en Europa o que las brújulas magnéticas llegaran a Puluwat. Dicho esto, encuentro lamentable que tanto la etología como la psicología evolutiva hayan creído durante tanto tiempo y continúen sosteniendo hasta el día de hoy que el dead reckoning y las coordenadas egocéntricas de localización son características de las formas más embrionarias, pre-humanas y pre-corticales de percepción y motricidad para operar las cuales alcanza y sobra con el hipocampo, el sistema límbico o un no-cerebro como el de los insectos. Es así que A. S. Etienne y otros (1998) se concentran en el estudio del dead reckoning en una enciclopedia colectiva dedicada al estado de arte de la representación espacial en los animales peor situados en la jerarquía, mientras que Steven R. Fry y Rüdiger Wehner (2002) aseguran que las abejas almacenan hitos (landmarks) en un marco de referencia egocéntrico perteneciente a la especie de orientación espacial peor calificada de todas. Es verdad que los autores cumplen con el ritual de reconocer que tanto el sistema de orientación absoluto como el egocéntrico resultan eficaces. El problema empieza empero cuando los psicólogos de adscripción piagetiana (en la línea de C. R. Hallpike) des- merecen los logros intelectuales de las otras culturas por encontrar que están articulados

142 en torno a prestaciones naturales y ontogenéticamente primitivas a las que los occidentales mayores de edad se las ingeniaron para mantener a distancia. No es una hazaña intelectual notable –piensan estos personajes– meramente re-producir lo que la naturaleza humana (o la humanidad “en estado de naturaleza”) podría hacer por sí misma, como si la cultura no aportara ningún valor agregado a lo que los meros instintos naturales pre- cableados e innatos permiten lograr (v. gr. Pinker 2002). Comparto no pocas ideas con la psicología y la antropología evolucionaria, empezando por su cataclísmica impugna- ción de cualquier forma de relativismo. Pero fue por prejuicios irreflexivos como aqué- llos (que animalizaban al “hombre primitivo”) que la tecnología occidental demoró la invención de los sistemas de posicionamiento hasta casi acabado el siglo XX; y fue por la propia inanidad de esta forma de pensar que dicha “invención” no ha sido, ni de lejos, el milagro etiológico y el acto de creación conceptual que pretende la nueva mayoría moral del cientificismo. Todavía está por escribirse el estudio de los sistemas oceánicos de navegación en térmi- nos de sus poderosas geometrías inherentes. Pese a que el etak es claramente un modelo heterogéneo de geometría proyectiva, la palabra ‘geometría’ no parece ni una sola vez en el libro de Gladwin. Aunque la bibliografía de temas náuticos alcanza la cifra de los cientos o miles de monografías, disertaciones y ponencias, tampoco se le ha concedido espacio alguno en descipciones de otros sistemas e instrumentos de navegación, tales como las de los mapas de varillas y conchas de las islas Marianas, la del sistema polinesio Te Nohanga Te Matangi (George 2013), o los poco conocidos sistemas de Anuta y Tikopia entrevistos por David Lewis (1994 [1972]). La bibliografía antropológica sobre las cabales geo-metrías que componen los marcos de referencia de los sistemas oceánicos de navegación es extensa y en su mayor parte se encuentra tan olvidada en el seno de la disciplina como el libro de Gladwin lo estuvo hasta hoy (cf. Sarfert 1911; Damm y Sarfert 1935; Hornell 1936; Burrows y Spiro 1957; Davenport 1960; Golson 1963; Lewis 1964; Alkire 1965; 1970; Gunn 1970; Riesenberg 1972; Freedman 1980; Goodenough y Thomas 1986; Turnbull 1993; 2003; Frake 1995).

Figura 10.2 – Los 3 tipos de mapas de varillas de las islas Marshall: Mattang – Redo – Rebbelib Según Henry Lyons (1928)

143

En cuanto a la navegación basada en grafos, ella remite incuestionablemente a las prác- ticas de movimiento a través de grafos eulerianos descriptos en nuestro capítulo sobre nitus y otro grafos lineales (cf. págs. 93 y ss. más arriba). No es casual que la documen- tación originaria sobre estos grafos como recursos etno-geométricos o etno-topológicos, el libro magno de Marcia Ascher (1988), se refiera a una cultura insular (los Malekula) cuya forma más saliente de transporte (y cuya escena más recurrente en su mitología y su narrativa oral) es la navegación a través de los océanos. Ascher volvió a tratar el tema de las cartas de varillas específicas de las islas Marshall en un trabajo ulterior en el que no menciona los conceptos de grafo o de flujos en grafos, concentrándose más bien en la geometría esquemática, abstracta y simétrica de las cartas de tipo mattang y en los criterios representacionales de las cartas meddo y rebbelith, referidas a áreas concretas más pequeñas o más grandes, respectivamente, y que encarnan espacios análogos a los espacios de la navegación real, aunque cuando se navega las cartas de varillas (arqueti- po de cognición situada) ya han sido memorizadas y asimiladas corporalmente –se di- ría– y no es por tanto necesario cargarlas a bordo (Hines 1952; Ascher 1995; Davenport 1960; 1964; fig. 10.2). Dado que tampoco es casual que la consulta de cualesquiera datos en la red de redes se lleve a cabo mediante browsers de los que se piensa que son herramientas de navega- ción, no estaría de más detenerse unos minutos más en esta temática. Podría decirse, en puridad, que la virtualidad en la que moran esos artefactos es líquida, a tal extremo que Graph-Based Navigation es el nombre contemporáneo que desde la segúnda década de este siglo reciben estas técnicas situadas en la vanguardia de la tecnología pero que ca- pitaliza saberes ancestrales respecto de flujos, corrientes, circulaciones y trayectorias que en algunos contextos han sido modelados utilizando avatares de nitus, mapas de conchas y varillas, diagramas en la arena u otros dispositivos culturales (cf. Rodríguez y Godoy 2006; Hage, Harary y James 1986). Es sólo a la luz de las tecnologías computacionales avanzadas que se pueden comenzar a comprender el potencial de los mapas de varillas y otras formas análogas –frecuentemente reticulares– de representación geomé- trica de posibles desplazamientos por el espacio (Romm 2015; Kaeppler 2008). La tecnología de G-BN se combina con otra similar cuyo nombre provisorio es el de Spatial Network Approach; ambas variantes son conspicuas en las multitudinarias conferencias GIScience que se vienen reproduciendo desde 2001 y que ya van por su déci- ma edición en una seguidilla publicada indefectiblemente por Springer en la serie Lec- ture Notes on Computer Science, la que en estos días está completando sus primeros cinco mil volúmenes. Es en estas series editoriales de autoría colectiva (y no en las de Routledge, atascadas en una pequeña literatura antifundacional de los noventa) donde el lector con necesidades de apertura transdisciplinaria y actualización metodológica debe- ría empezar a buscar. A fin de completar esta sección del capítulo conclusivo con la misma secuencia de in- comprensión doméstica inicial y epifanía transdisciplinaria subsiguiente que ha ritmado la narrativa de cada uno de los hitos ya revisados se me ocurre oportuno citar las conclusiones de mi admirado Edwin Hutchins (él mismo –igual que Gladwin– un exiliado de

144 la disciplina tardíamente reconocido) a su intento por encontrar el sentido último de la navegación micronesia como uno de los mayores logros de la etnogeometría. Escribe Hutchins: Failure to take the utility of alien mental models seriously cheats us out of important in- sights. Åkerblom (1968) ends his discussion of Polynesian and Micronesian navigation with the following passage:

Polynesians and Micronesians accomplished their voyages, not thanks to, but in spite of their navigational methods. We must admire them for their daring, their enterprise and their first rate seamanship [p. 156].

I hope this chapter succeeds in laying such notions as Åkerblom’s to rest. In fact, it seems more likely to me that we who have studied Pacific navigation have accomplished what understanding we have, not thanks to, but in spite of our own cultural belief systems (1983: 224).

Habiéndonos acercado a la comprensión de los modelos oceánicos gracias al trabajo de una antropología operando en las márgenes, en estado de gracia y en su mejor momento ahora sabemos que los micronesios, en fin, no necesitaron un Euclides que formulara los teoremas de la navegación sin instrumentos, o que escribiera el catecismo de su estrategia de redes espaciales en base a una pomposa notación simbólica a imagen y semejanza de la que se despliega en las paráfrasis académicas de los Elementos de Euclides. De alguna manera, los navegantes occidentales advirtieron la eficacia práctica del etak y llamaron con ese nombre al primer aparato moderno de geoposicionamiento sin presu- poner que no iba a funcionar porque la cultura Puluwat se inscribía en una esfera onto- lógica distinta, que era lo que podría augurar que sucedería la geometría dependiente de una ontología como la que podría proponer (pongamos) un antropólogo relativista, desi- gualador y exotista como Philippe Descola. En este sentido, llamar etak a ese aparato revolucionario fue exactamente lo mismo que denominar adinkras a los alfabetos simbólicos de la supergravedad o que buscar cuasi- cristales o anillos de carbono nuevos en base a las geometrías de los grupos aperiódicos de los embaldosados islámicos. Si algo hemos aprendido en este proceso fue que en vir- tud de sus etnometodologías complejas y de sus bricolajes adaptativos los etnogeóme- tras del resto del mundo pudieron lograr lo que lograron mucho antes que nosotros, y que en la adopción intercultural de las geometrías artísticas, científicas o espaciales una misma lógica, tal parece, atraviesa el campo de principio a fin y regula (o asoma en) cada uno de los casos que están en el registro. Lejos del bien intencionado, respetuoso y atendible postulado de David Turnbull (1993; 1997) de que toda ciencia es conocimien- to local, entiendo que lo que hay es más bien una sola ciencia global híbrida y conver- gente susceptible de desarrollarse de muy diversas maneras, por poco que entendamos que el criterio maestro de cientificidad es la realización práctica sostenible, a la cual sería sano situar de una vez por todas muy por encima de los requisitos convencionales, pre-gödelianos y adventicios de consistencia lógica, completitud y valor de verdad. Si al filo de la finalización de uno de los trabajos más laboriosos que he emprendido se me permitiera expresar una petición, pediría que entre los que estamos eternamente en

145 contienda recíproca (que somos casi todos) podamos encontrar alguna vez algún punto crucial de consenso entre las muchas desavenencias formalmente indecidibles que siguen agitando el aire de las ciencias. Las refriegas más sustanciales y urgentes que se han desarrollado en el seno de la etnogeometría no han presenciado muchos casos en los que tal género de acuerdos tuvieran lugar. La conflictividad sigue siendo el ethos dominante, por ejemplo, en la disputa de Ron Eglash contra el cientificismo y la extradis- ciplinariedad de la cristalografía, o en la querella entre los que piensan que no hay fractales fuera de África y los que sostienen lo contrario, o en la pelea nunca resuelta entre el bando de Makovicky y el de Lu y Steinhardt (que acaba siendo también el bando de Sir Roger Penrose) a propósito de si existe o no aperiodicidad en el embaldosado islá- mico, o en la disputa entre los que alegan (como C. R. Hallpike, Edward R. Tregear, Abraham Fornander, Augustus H. Keane o el supremacista portorriqueño con ínfulas de canadiense Ricardo Duchesne) que las altas geometrías que posibilitaron la navegación oceánica son prerrogativa de los dolicocéfalos rubios y quienes sabemos que la historia es muy otra,43 o entre los que creen que las canciones tejidas de los Shipibo son el sonido que emana de sus geometrías simétricas cuando se alcanza un estado alterado de conciencia y los que piensan que todo es un engaño para bobos, un buen negocio para un puñado de oportunistas instalados en la consola de mandos de la industria cultural o un metarrelato psicodélico demasiado fluorescente para ser verdad. No convendria exagerar, empero, en las ilusiones de llegar a un consenso anodino; una polémica jugosa vale seguramente más que un enunciado en con que todo el mundo esté de acuerdo. Discutiendo la naturaleza cambiante de los juegos geométricos se me ocurrió escribir hace poco: Es evidente que los acentos han cambiado y las geometrías (ahora por siempre plurales) ya no son tanto la fuente y el origen de la dinámica social (el fundamento metafísico, como ha- bría dicho Foucault) sino estructuras que cambian según los resultados de luchas y polari- dades que nunca se apaciguan y que se desenvuelven multiplicativamente en un campo a través de las culturas y de las epistemes, en un ámbito del conocimiento que ya nadie por sí solo está en condiciones de comandar o de usar de coartada para imponer su ideología favorita (Reynoso 2019a: 65).

En lo que a América Latina respecta, y aparte de la eterna brega entre los humanistas simbólicos y los científicos evolucionarios y del trabajo inmenso que resta hacer en materia de sistematización y armado de los datos de referencia, la etnogeometría mantiene una cifra desmesurada de deudas pendientes. Entre las más importantes de ellas se cuen- tan (1) la plena adopción de protocolos nomenclatorios para la clasificación de las sime- trías precolombinas, históricas y contemporáneas de todo el continente como primer

43 Sobre las hipótesis de los polinesios, micronesios y maoríes como pueblos pertenecientes a la raza “aria” y sobre la grandeza de una ciencia puramente “europea” véanse Fornander (1880), Tregear (1885), Keane (1896) y Duchesne (2017) a favor versus Herman (2014) y yo mismo en minoría pero rabiosamente en contra. En la tabla periódica de aquel género alguna vez tan popular y revivido ahora por los más entusiastas de los supremacistas blancos estaría faltando una tesis sobre los melanesios como pueblos “arios”. Creo que si no se ha propuesto una idea encuadrada en semejante oxímoron no ha sido por su ostensible contrasentido, sino porque no se ha sabido encontrar en los saberes prácticos melanesios nada que a juicio de estos estudiosos haya valido humanamente la pena al extremo de obligarnos a pensar en su posible arianidad.

146 paso para articular una geometría auténticamente comparativa; (2) la adopción de herramientas de modelado que resultan indispensables a la luz del estancamiento de las viejas retóricas de siempre en el ámbito de los pomposamente llamados métodos cualitativos; (3) la complementación de los metarrelatos relativistas y perspectivistas engranados en el giro-ontológico que acentúan la diferenciación cultural a caballo de las últimas modas neo-shamánicas (v. gr. González 2016) por descripciones de orden geométrico que no silencien las similitudes que se encuentren y que no repriman la posibilidad de universales del conocimiento y de la geometría misma; (4) el tratamiento cabalmente geomé- trico de las técnicas de cestería en general y las de la cestería amazónica y fueguina en particular (o de las geometrías textiles en general y de las andino-amazónicas en especial) como otros tantos espacios y contextos en los que América Latina llegue a estar en condiciones (como el Islām lo ha estado y África lo sigue estando) de plantar sus artes geométricas en los primeros planos del mapa del mundo; (5) la búsqueda y negociación de estrategias de salida de la situación de “artes para turistas” y de invenciones culturales sub-valoradas y desempoderadoras en que se encuentran muchas de las prácticas geométricas en el mercado artístico y artesanal de la globalización; (6) el vínculo entre la etno-geometría con las teorías de estado de arte que se encuentran abocadas al estudio de la geometría del pensamiento, a la cognición situada y a la búsqueda de las primitivas geométricas de la percepción, la lógica, la escritura, el ritmo, el lenguaje y el dominio (neuro)cognitivo que cuadre, ligando lo biológico y lo aprendido y lo particular y lo general de maneras más estimulantes y abiertas a la comparación que las que hemos estado experimentando hasta ahora (cf. Evans y Chilton 2010; Mix, Smith y Gasser 2010; de Hevia, Girelli y Cassia 2012; Tenbrink y otros 2013; Chilton 2014; Hohol 2019). En el caso fueguino (y al igual que en otras ocasiones ha sucedido con tasmanios, aus- tralianos, negritos, pigmeos, pigmoides, bosquimanos, andamaneses y otros muchos de esos pueblos a los que Günter Tessmann llamaba “hombres sin Dios”, a los que Mur- dock clasificaba como primitivos y a quienes a Deleuze o a Lévi-Strauss les motivaba situar en la categoría de salvajes) hemos tenido ocasión de poner en tela de juicio el há- bito antropológico –nunca abandonado por completo– de pretender que las geometrías refinadas se corresponden con altos niveles de civilización y que a los pueblos que viven en la simplicidad sólo les cuadran ejercicios a veces ingeniosos o bellos a la vista, es cierto, pero incapaces de inspirar ideas científicas de gran calado. Frente a estos prejuicios acendrados, el objetivo del libro que aquí transita sus últimas palabras ha sido establecer la idea de que (hasta tanto no aprendamos a diferenciar sin disminuir) poner en duda la existencia de una geometría compleja e imaginativa en el seno de culturas que se pretende albergan ontologías inconmensurables que nada pueden enseñarnos en el terreno de las ciencias y de las prácticas es una línea de argumen- tación a la que no deberíamos prestar crédito nunca más.

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Referencias bibliográficas

Abas, Syed Jan. 2001. "Islamic geometrical patterns for the teaching of mathematics of symmetry" [Edición especial de Symmetry: Culture and Science]. Symmetry in Ethnomathematics, 12(1-2): 53-65. http://cmcuworkshops.net/wordpress/wp- content/uploads/isl-geo-patterns-for-teaching-symmetry.pdf. Abas, Syed Jan y Amer Shaker Salman. 2007 [1995]. Symmetries of Islamic geometrical patterns. Singapur, World Scientific Publishing. Abbott, Steve. 2009. “Steve Abbott’s computer drawn Celtic knotwork”. https://www.stevenabbott.co.uk/Knots/knots.html - https://www.stevenabbott.co.uk/Knots/knots.html#programs. Abdelsalam, Mai y Mohamed Ibrahim. 2019. “Fractal Dimension of Islamic Architecture: The case of the Mameluke Madrasas: Al-Sultan Hassan Madrasa”. Journal of Science, 32(1): 27-37. https://dergipark.org.tr/download/article-file/660186. Aboagyewaa Ntiri, Josephine y A. K. Kemevor. 2018. “Remaking of Adinkra cultural cloth through innovation”. International Journal of Research in Humanities, Arts and Literature, 6(6): 299-314. Aboagyewaa Ntiri, Josephine y Kwabena Mintah. 2016. “Challenges and Opportunities for the Textile Industry in Ghana: A Study of the Adinkra Textile Sub Sector”. International Business Research, 9(2):127-136. http://www.ccsenet.org/journal/index.php/ibr/article/download/55061/30287. Aboufadil, Youssef, Abdelmalek Thalal y Mehdi Elidrissi. 2013. “Quasi-periodic tiling in Moroccan ornamental art. Symmetry”. Culture and Science, 24(1-4): 191-204. Abraham, Ralph H. 1993. “Human Fractals: The Arabesque in Our Mind”. Visual Anthropology Review, 9(1), 52–55. doi:10.1525/var.1993.9.1.52. Abraham, Ralph H. 2013. Kupka's fractal paintings. Porter 34B Winter 2013 - Chaos, fractals, and the arts. https://www.yumpu.com/en/document/view/25659894/kupkas-fractal- paintings-ralph-abraham. Adler, Eric. 2016. Classics, the culture wars, and beyond. Ann Arbor, University of Michigan Press. Adom, Dickson. 2009. The Influence of European Elements on Asante textiles. Disertación de Maestría. Kwame Nkrumah University of Science and Technology. http://dspace.knust.edu.gh/bitstream/123456789/470/1/THE%20INFLUENCE%20OF% 20EUROPEAN%20ELEMENTS%20ON%20ASANTE%20TEXTILES.pdf. Adom, Dickson. 2016. “The influence of european elements on Asante adinkra”. International Journal of Science and research, 55(7): 1153-1158. https://www.ijsr.net/archive/v5i7/ART2016318.pdf. Adom, Dickson, Eric Appau Asante y Steve Kquofi. 2016. "Adinkra: An epitome of Asante philosophy and history". Research in Humanities and Social Sciences, 6(14): 42-53. https://www.researchgate.net/publication/306119038_Adinkra_An_Epitome_of_Asante _Philosophy_and_History. Agawu, Kofi. 2012 [2003]. “Contesting difference: A critique of Africanist ethnomusicology”. En: Martin Clayton, Trevor Herbert y Richard Middleton, The cultural story of music. A critical introduction. Nueva York, Routledge, pp. 117-126. Ahmed, Sayed. 2014. “African art: An impetus but implicit magnitude of architectural thought in Bauhaus schooling”. Global Journal of Social Sciences, 1(13): 51-70.

148

Åkerblom, Kjell. 1968. Astronomy and Navigation in Polynesia and Micronesia. Stockholm: Ethnogratiska Museet. Aldersey-Williams, H. 1995. The most beautiful molecule: The discovery of the Buckyball. Nueva York, John Wiley & Sons. Alkire, William H. 1965. Lamotrek Atoll and inter-island socioeconomic ties. Illinois Studies in Anthopology, no. 5. Urbana y Londres, University of Illinois Press. Alkire, William H. 1970. "Systems of measurement on Woleai Atoll, Caroline Islands". Anthropos, 65: 1-73. Allen, Heather J. y Andrew Reynolds (editor@s). 2018. Latin American Textualities: History, Materiality, and Digital Media. Tucson, University of Arizona Press. Allen, John Romilly. 1912. Celtic art in pagan and christian times. Londres, Methuen. https://catalog.hathitrust.org/Record/007651238. [Incluye imagen del espejo fractal de Desborough] Amir-Moez, Ali Reza. 1965. Mathematics and String Figures. Ann Arbor, Edwards Brothers. Amir-Moez, Ali Reza. 1968. Classes Residues et Figures Avec Ficelle. Lafayette, Indiana: Lafayette Printing Co. [Traducción al inglés: Bulletin of String Figures Association, 18: 90-125). Amir-Moez, Ali Reza. 1979. String figures; A Symbolic Approach. Lubbock, Western Printing Company. Amir-Moez, Ali Reza. 1984. “Mathematical interpretations of indian string figures”.The Toth- Maatian Review, 3(3): 1391-1407. Amir-Moez, Ali Reza y J. D. Hamilton. 1974. “Art and mathematics of string figures”. Journal of Recreational Mathematics, 7(1): 23-34. Amir-Moez, Ali Reza y J. D. Hamilton. 1975-1976. “Rotation of a string figure”. Journal of Recreational Mathematics, 8(3): 177-181. Andel, Jaroslav y Dorothy Kosinski (editores). 1997. Painting the Universe: František Kupka, Pioneer in Abstraction. Dallas, Dallas Museum of Art. Anderson, R. L. 1989 [1979]. Art in Primitive Societies. 2a edición. Englewood Cliffs, Prentice Hall. Ardener, Edwin. 1957. “Numbers in Africa”. Man LVII: 176. Arellano Hoffmann, Carmen. 1999. “Quipu y tocapu. Sistemas de comunicación inca”. En: F. Pease G.-Y., C. Morris, J. I. Santillana, R. Matos, P. Carcedo, L. Vetter, V. Roussakis y L. Salazar (editor@s), Los incas. Arte y símbolos. Colección y Tesoros del Perú. Lima, Banco de Crédito del Perú, pp. 215-262. Arik, Metin. 2015. “Mathematical mosaics, islamic art and quasicrytals”. Crystallography for the next generation: the legacy of IYCr Hassan II Academy of Science and Technology, Rabat, Morocco 23 April 2015. https://www.iycr2014.org/__data/assets/pdf_file/0016/111706/Session2_Arik.pdf. Arnol’d, Vladimir Igorevich. 1988. “The branched covering CP2  S4, hyperbolicity and projective topology”. Sibirskii Matematicheskii Zhurnal, 29(2): 36–47. Arthur, G. F. Kojo. 1999-2001. Cloth as Metaphor: (Re)-reading the Adinkra Cloth Symbols of the Akan of Ghana. Legon, Ghana, Centre For Indigenous Knowledge Systems (CEFIK). [Pendiente de consulta directa] Ascher, Marcia. 1983. “The Logical-Numerical System of Inca Quipus”. IEEE Annals of the History of Computing, 5(3): 268–278. doi:10.1109/mahc.1983.10090

149

Ascher, Marcia. 1988. "Graphs in cultures (I): A study in ethnomathematics". Historia Mathematica, 15: 201-227. Ascher, Marcia [Alper]. 1988. “Graphs in cultures (II): A study in ethnomathematics”. Archive for History of Exact Sciences, 39(1): 75-95. Ascher, Marcia [Alper]. 1991. Ethnomathematics. A multicultural view of mathematical ideas. Belmont, Brooks Cole Publishing Company. Ascher, Marcia [Alper]. 1995. “Models and Maps from the Marshall Islands: A Case in Ethnomathematics”. Historia Mathematica, 22(4): 347-370. Ascher, Marcia. 2002. “The kolam Tradition: A tradition of figure-drawing in southern India expresses mathematical ideas and has attracted the attention of computer science”. American Scientist, 90: 56-61. Ascher, Marcia y Robert Ascher. 1981. Code of the Quipu: A Study in Media, Mathematics and Culture, Ann Arbor, The University Press. Atiyah, Michael y Paul Sutcliffe. 2003. “Polyhedra in physics, chemistry and geometry”. Milan Journal of Mathematics, 71(1): 33-58. https://arxiv.org/pdf/math-ph/0303071.pdf. Averkieva, Julia y Mark A. Sherman. 1992. Kwakiutl string figures. Seattle, University of Washington Press. Babbitt, William, Michael Lachney, Enoch Bulley y Ron Eglash. 2015. “Adinkra Mathematics: A Study of Ethnocomputing in Ghana”. Multidisciplinary Journal of Educational Research, 5(2), 110-135. Badawy, Alexander. 1965. Ancient Egyptian Architectural Design. A study of the harmonic system. Berkeley, University of California Press. Baez, John. 2009. "Who discovered the Icosahedron?". UC Riverside. http://math.ucr.edu/home/baez/icosahedron/. Bain, George. 1977 [1951]. Celtic art: The Methods of Construction. Londres, Constable. Balfour, Henry. 1893. The Evolution of Decorative Art: An Essay upon Its Origin and Development as Illustrated by the Art of Modern Races of Mankind. Londres, Rivington, Percival & Co. https://ia800902.us.archive.org/16/items/evolutiondecora00balfgoog/evolutiondecora00 balfgoog.pdf. Ball, Philip. 2007. “Islamic tiles reveal sophisticated maths”. Nature. https://www.nature.com/news/2007/070219/full/news070219-9.html. Bangura, Abdul Karim. 2000. Revisión crítica de African fractals: modern computing and indigenous Design. Nexus Network Journal, 2(4): 165-168. Barba Delgado, Manuel E. 2017. Mucarnas y mocárabes. Estudio Comparativo. Disertacion de maestría. Maestría en Tecnología en Edificación Histórica. Escuela Politécnica de Enseñanza Superior. http://oa.upm.es/49162/. Barta, Jim, Ron Eglash y Kathy Barkley. 2014. Math is a verb: Activities and lessons from cultures around the globe. Reston, The National Council of Teachers of Mathematics. https://newsroom.unl.edu/announce/csmce/3867/20781. Bateson, Gregory. 1981 [1979]. Espíritu y naturaleza. Una unidad necesaria. Buenos Aires, Amorrortu. Bäumer, Bettina Sharada. 2013. Deciphering the Indian Arts: The Project of Fundamental Texts: Kalāmūlaśāstra. http://www.utpaladeva.in/fileadmin/bettina.baeumer/docs/Deciphering-the-Indian- Arts_2013.pdf

150

Beardsley, John (editor). 2016. Cultural landscape heritage in sub-saharan Africa. Washington, Dumbarton Oaks. Belaunde, Luisa Elvira. 2009. Kené. Arte, ciencia y tradición en diseño. Lima, Instituto Nacional de cultura. Bennett, Audrey. 2012. “Follow the Golden Ratio from Africa to the Bauhaus for a Cross- Cultural Aesthetic for Image”. DOI: 10.1080/19301944.2012.10781414. Bérczi, Sz. 2000. "Katachi U Symmetry in the Ornamental Art of the Last Thousands Years of Eurasia". FORMA, 15/1. 11-28. Tokyo. Bernal, Martin. 1987. Black Athena. The afroasiatic roots of classical civilizarion. Vol I: The fabrication of Ancient Greece 1785-1985. Rutgers University Press. Bernal, Martin. 1991. Black Athena. The afroasiatic roots of classical civilizarion. Vol II: The archaeological and documentary evidence. Rutgers University Press. Bernal, Martin. 2001. Black Athena writes back. Martin Bernal responds to his critics. Editado por David Chioni Moore. Duke University Press. Bernal, Martin. 2006. Black Athena. The afroasiatic roots of classical civilizarion. Vol III: The linguistic evidence. Rutgers University Press. Bhate, Saroja y Subhash Kak.1993. “Pāṇini’s Grammar and Computer Science”. Annals of the Bhandarkar Oriental Research Institute, 72: 79-94. Black, Donald. 2002a. “The Geometry of Law: An Interview with Donald Black”, by Aaron Bell. International Journal of the Sociology of Law, 30: 101-129. Black, Donald. 2002b. “Terrorism as Social Control. Part I: The Geometry of Destruction”. American Sociological Association Crime, Law, and Deviance Newsletter Spring:3-5. Black, Donald. 2002c. “Terrorism as Social Control. Part II: The Geometry of Retaliation”. American Sociological Association Crime, Law, and Deviance Newsletter Summer:3-5. Black, Donald. 2002d. “Pure Sociology and the Geometry of Discovery”. En: Allan V. Horwitz (editor), Toward a New Science of Sociology: A Retrospective Evaluation of The Behavior of Law. Contemporary Sociology, 31(6): 668-674. Black, Donald. 2004. “The Geometry of Terrorism.” En: Roberta Senechal de la Roche (editora), “Theories of Terrorism”. Sociological Theory, 22: 14-25. Black, Donald. 2010 [1976]. The behavior of law. Special edition. Bingley, Emerald Group. Blanco Blanco, María Francisca y Ana Lúcia Nogueira de Camargo Harris. 2011. Symmetry groups in the Alhambra. http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/blanco2011mart/BL.pdf. Bloomfield, Leonard. 1927. “On some rules of Pāṇini”. Journal of the American Orienttal Society, 47: 61-70. doi:10.2307/593241. Bloomfield, Leonard. 1929. “Review of Konkordanz Panini-Candra of Bruno Liebich (Breslau: M. & H. Marcus, 1928)”. Language, 5: 267-276. Boas, Franz. 1888. “The game of cat’s cradle”. Internationales Archiv für Ethnographie, 1: 229- 230. Boas, Franz. 1922. Primitive art. Nueva York, Dover. Boateng, Boatema. 2011. The Copyright Thing Doesn’t Work Here: Adinkra and Kente Cloth and Intellectual Property in Ghana. Minneapolis, University of Minnesota Press. Boateng, Boatema. 2014. "Adinkra and Kente cloth in history, law, and life". Textile Society of America Symposium Proceedings. 932. http://digitalcommons.unl.edu/tsaconf/932.

151

Bodner, B. Lynn. 2013. “The planar christallographic groups represented at the Alhambra”. Proceedings of Bridges 2013: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture. https://archive.bridgesmathart.org/2013/bridges2013-225.pdf. Bohannon, John. 2007. “Quasi-Crystal Conundrum Opens a Tiling Can of Worms”. Science, 315(5815), 1066. doi:10.1126/science.315.5815.1066. Bonner, Jay. 2017. Islamic geometric patterns. Their historical development and traditional methods of construction. Prólogo de Sir Roger Penrose; contribuciones de Craig Kaplan. Nueva York, Springer. Bourdier, Jean-Paul. 2009. Revisión crítica de Hatumere: Islamic design in West Africa, de Labelle Prussin. African Arts, 20(1): 12-21. Bourke, Paul. 1991. “Biomorphs. Based upon work by C. A. Pickover”. http://paulbourke.net/fractals/biomorph/. Bovill, Carl. 1996. Fractal Concepts Applied to Design. Fractal Geometry in Architecture and Design. Boston, Birkhauser. Bourdier, Jean-Paul y Trinh T. Minh-Ha. 1985. African spaces. Designs for living in UpperVolta. Nueva York, Africana Publishing Company. Bourgoin, J. 1973. Arabic geometrical pattern & design. Nueva York, Dover Publications. Bowden, Ross. 2004. “A Critique of Alfred Gell on Art and Agency”. Oceania, 74: 309-325. https://es.scribd.com/document/396410435/Bowden-A-critique-of-Alfred-Gell-on-Art- and-Agency-1-PDF. Bowdich, Thomas Edward. 1819. Mission from Cape Coast Castle to Ashantee, with a statistical account of that kingdom and geograghical notices of other parts of the interior of Africa. Londres, John Murray. https://ia802305.us.archive.org/31/items/missionfromcapec00bowd/missionfromcapec0 0bowd.pdf. Bowdich, Thomas Edward. 1821. Superstitions, customs, and arts, common to ancient egyptians, abyssinians, and ashantees. París, J. Smith. https://ia802504.us.archive.org/33/items/Essayonsupersti00Bowd/Essayonsupersti00Bo wd.pdf. Bozhüyük, Mehmet Emin. 1993. Topics in knot theory. Dordrecht, Kluwer Academic. Brabec de Mori, Bernd. 2011. “The magic of song, the invention of tradition and the structurng of time among the Shipibo, Peruvian Amazon”. Jahrbuch des Phonogrammarchivs des österreichischen Akademie der Wissenschaften, 2: 169-192. Brabec de Mori, Bernd. 2018 [2012]. “Song patterns and sung designs: The invention of tradition among Amazonian indians as a response to researcher's inquiries”. En: Pál Richter (editor), Musical traditions. Discovery, Inquiry, Interpretation and Application. XXVI European Seminar in Ethnomusicology, Budapest, pp. 266-280. https://dokumen.tips/documents/song-patterns-and-sung-designs-the-song-patterns-and- sung-designs-the-invention.html. Brabec de Mori, Bernd y Laida Mori Silvano de Brabec. 2009. "Shipibo-Konibo Art and Healing Concepts. A Critical View on the 'Aesthetic Therapy'". Viennese Ethnomedicine Newsletter, 11(2-3):.18-26. Brabec de Mori, Bernd y Laida Mori Silvano de Brabec. 2012 [2009]. “La corona de la inspiración. Los diseños geométricos de los Shipibo-Konibo y sus relaciones con cosmovisión y música”. Indiana, 26: 105-134. https://piedrapsilosofal.files.wordpress.com/2012/03/brabec_de_mori_corona-de-la- inspiracion_2009.pdf.

152

Brainerd, George. 1942. "Symmetry in primitive conventional design". American Antiquity, 8(2): 164-166. Braunstein, José, 2017a [1992]. “Las figuras de hilo del Gran Chaco: I. Figuras de los mataco orientales”. En: J. Braunstein, Juegos y lenguajes de hilo en el Gran Chaco, CreateSpace Independent Publishing Platform. Braunstein, José. 2017b [1992]. “Las figuras de hilo del Gran Chaco: II. Figuras de los wichi orientales”. En: J. Braunstein, Juegos y lenguajes de hilo en el Gran Chaco, CreateSpace Independent Publishing Platform. Braunstein, José. 2017c [1992]. “Lenguajes de hilo”. En: J. Braunstein, Juegos y lenguajes de hilo en el Gran Chaco. Scotts Valley, CreateSpace Independent Publishing Platform. Briggs, Rick. 1985. “Knowledge Representation in Sanskrit and Artificial Intelligence”. AI Magazine, 6(1): 32-39. Bronkhorst, Johannes. 2001. “Pāṇini and Euclid: Reflections on Indian geometry”. Journal of Indian Philosophy, 29: 43-80. https://www.researchgate.net/publication/226926346_Panini_and_Euclid_Reflections_o n_Indian_Geometry. Brotherson, Anna. 2008. “The ethnogeometry of the Makasai (East Timor)”. En: Cliff Godard (editor), Cross-linguistics semantics: explications, metalanguage, grammar. Amsterdam/Filadelfia, John Benjamins, pp. 259-276. Brown, Clifford T., Walter R. T. Witschey y Larry S. Liebovitch, 2005, “The Broken Past: Fractals in Archaeology”. Journal of Archaeological Method and Theory, 12(1): 37-78. Burbach, Jessica Hopson. 2015. “Self-Empowering Urban Students and Teachers: A Book Review of Math Is a Verb: Activities and Lessons from Cultures Around the World”. Journal of Urban Mathematics Education, 8(2): 119-126. Burkle-Elizondo, Gerardo. 2001. “Fractal geometry in Mesoamerica”. Symmetry. Culture and Science, 12: 201–214. https://es.scribd.com/document/238951113/52836833-Fractal- Geometry-in-Mesoamerica. Visitado en enero de 2017. Burkle-Elizondo, Gerardo y Ricardo David Valdez-Cepeda. 2001. “Do the Mesoamerican artistic and architectural works have a fractal dimension?”. En: Miroslav Michal Novak (editor), Emergent Nature. Patterns, Growth and Scaling in the Sciences. Singapur, World Scientific, pp. 431-432. http://libgen.io/book/index.php?md5=4ABB7ECB0FCEB0C6420773D5A5FD5026. Visitado en enero de 2018. Burkle-Elizondo, Gerardo, Nicoletta Sala y Ricardo David Valdez-Cepeda. 2004. “Geometric and complex analyses of Maya architecture: Some examples”. Nexus V: Architecture and Mathematics. Florencia, Kim Williams Books, pp.57-68. http://libgen.io/book/index.php?md5=0A4DA8E7FB5BB6FCDEA32547781258B8. Visitado en enero de 2018. Burrows, Edwin G. y Melford E. Spiro. 1957. An atoll culture: ethnography of Ifaluk in the Central Carolines. 2a edición. Behavior Science Monographs. New Haven, Human Relations Area Files. Cahn, John W., Denis Gratias y Dan Shechtman, 1986. "Pauling's model not universally accepted". Nature. 319 (6049): 102. Caillois, Roger. 2001 [1961]. Man, play and games. Urbana y Chicago, University of Illinois Press. Capo, Daniele. 2004. “The Fractal Nature of the Architectural Orders”. Nexus Network Journal, 6(1): 30-40.

153

Cardona, George, Gérard Huet, Amba Kulkarni, Peter Scharf (editor@s). 2009. Sanskrit Computational Linguistics: First and Second International Symposia Rocquencourt, France, October 29-31, 2007 Providence, RI, USA, May 15-17, 2008. Revised Selected and Invited Papers. Lecture Notes in Computer Science 5402 : Lecture Notes in Artificial Intelligence. Berlín y Heidelberg, Springer-Verlag. Carraher, Teresinha, David William Carraher y Analúcia Dias Schliemann. 1982. "Na vida, dez; na escola, zero: Os contextos culturais da aprendizagem de matemática". Cadernos de Pesquisa (São Paulo), 42: 79-86. Carroll, Michael P. 1979. "Lévi-Strauss on art: A reconsideration", Anthropologica, 21(2): 177- 188. Carter, Nathan. 2009. Visual group theory. Mathematical Association of America.. Chamorro, José. S/f. “Arte Shipibo y la matemática”. Onirogénia. http://www.onirogenia.com/arte/arte-shipibo-y-la-matematica/. Changizi, Mark, Qiong Zhang, Hao Ye y Shinsuke Shimojo. 2006. “The structures of letters and symbols throughout human history are selected to match those found in objects in natural scenes”. The American Naturalist, 167(5): E117.E139. https://pdfs.semanticscholar.org/0fce/6d8b12383e16b6c415e45b2bd455d9d89d3a.pdf. Charing, Howard G. 2012. The art of the Shipibo. Textile and beadwork Catalogue. https://es.scribd.com/document/88876172/The-Exquisite-Geometric-Art-of-the- Shipibo-Catalogue. Chemillier, Marc. 2007. Les mathématiques naturelles. París, Odile Jacob. Chomsky, Noam. 1959. “On certain formal properties of grammars”. Information and Control, 2(2): 137-167. Chomsky, Noam. 1969 [1965]. Aspects of the theory of syntax. Cambridge (USA), The MIT Press. Chilton, Paul. 2014. Language, Space and Mind: The Conceptual Geometry of Linguistic Meaning. Cambridge, Cambridge University Press. Clements Scholtz, Sandra. 1975. Prehistoric Plies: A structural and comparative analysis of cordage, netting, basketry and fabric from Ozark Bluff shelters. Arkansas Archaeological Survey. Research Series 9. Clifford, James. 1995 [1986]. Dilemas de la cultura. Antropología, literatura y arte en la perspectiva posmoderna. Traducción de Carlos Reynoso. Barcelona, Gedisa. Cohen, Joyce. 2000. Review: “String games: More than just child's play”. New York Times, feb 3. https://www.nytimes.com/2000/02/03/technology/review-string-games-more-than- just-child-s-play.html. Coleman, Elizabeth Burns. 2005. “Aesthetics as a cross-cultural concept”. Literature and Aesthetics, 15(1): 57-78. Conant, Levi Leonard. 1896. The Number Concept: Its Origin and Development. Nueva York, Macmillan. Coote, Jeremy y Anthony Shelton (editores). 1992. Anthropology, art, and aesthetics. Oxford, Clarendon Press. Conway, John, Peter Doyle, Jane Gilman and Bill Thurston. 1991. Geometry and the imagination in Minneapolis. Folleto de la conferencia en Minneapolis, 17 al 28 de junio. [Sin copyright]. https://arxiv.org/pdf/1804.03055.pdf. Conway, John Horton, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss.2008. The symmetries of things. Boca Raton, Londres y Nueva York, CRC Press.

154

Critchlow, Keith. 1982. Time stands still. New light on Megalithic Science. Nueva York, St. Martin's Press. Cromwell, Peter R.1993. “Celtic knotwork: Mathematical art”. The Mathematical Intelligencer, 15(1): 36-47. Cromwell, Peter R. 2001. “Celtic Knotwork: Mathematical Art”. En: Mathematical Conversations. Nueva York, Springer, pp. 302-314. Cromwell, Peter R. 2010. “ Islamic geometric designs from the Topkapı scroll: I. Unusual arrangements of stars”. Journal of Mathematics and the Arts, 4(2): 73-85. https://es.scribd.com/document/311337532/Islamic-Geometric-Designs-from-the- Topkapı-Scroll-I-Unusual-Arrangements-of-Stars. Cromwell, Peter R. 2010. "Islamic geometric designs from the Topkapı Scroll II: a modular design system". Journal of Mathematics and the Arts, 4(3): 119–136. Crowe, Donald. 2001. "Symmetries of culture". Visual Mathematics, 3(2), http://archive.bridgesmathart.org/2001/bridges2001-1.pdf. Cucker, Felipe- 2013. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics. Cambridge, Cambridge University Press. Cummins, Tom. 1994. “Representation in the sixteenth century and the colonial image of the Inca”. En: Elizabeth Hill Boone y Walter D. Mignolo (editor@s), Writing without words: Alternative literacies in Mesoamerica and the Andes, Durham, Duke University Press, pp. 188–219.. Cummins, Tom. 2011. "Tocapu. What is it, What Does it Do, and Why Is It Not a Knot?". En: Elizabeth Hill Boone y Gary Urton, Their Way of Writing. Scripts, signs, and pictographies in pre-columbian America. Washington, D. C., Dumbarton Oaks Research Library and Collection, pp. 277-317. Da Silva Gomes, Paula Gabriele y Fabiane Guimarães Vieira Marcondes. 2016. Geometria Sona: Uma proposta da inclusão da temática nas aulas de matemática da Educação Básica. XII Encontro Naional de Educação Matematica. D'Ambrosio, Ubiratan. 1977. “Science and technology in Latin America during discovery”. Impact of Science on Society, 27(3): 267-274. D'Ambrosio, Ubiratan. 1982. Mathematics for rich and for poor countries. Paramaribo, CARIMATH. D'Ambrosio, Ubiratan. 1985. “Ethnomathematics and its place in the history and pedagogy of mathematics” For the Learning of Mathematics, 5: 44-48. D'Ambrosio, Ubiratan. 1989. "On ethnomathematics". Philosophia Mathematica, 4(1): 3-14. D'Ambrosio, Ubiratan. 1997. Transdisciplinaridade. São Paulo, Editora Palas Athena. D’Ambrosio, Ubiratan. 1990. Etnomatemática. São Paulo, Editora Ática. D’Ambrosio, Ubiratan. 2000. “Historiographical Proposal for Non-Western Mathematics”. En: Helaine Selin (editora), Mathematics Across Cultures. The History of Non-Western Mathematics. Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, pp. 79–92. D’Ambrosio, Ubiratan. 2004. “A reflection on Ethnomathematics: Why teach Mathematics?”. http://vello.sites.uol.com.br/why.htm. D'Ambrosio, Ubiratan, Bruno D'Amore, Maurice Bazin, Jaime Carvalho e Silva, Marcos Cherindi, Joan Conolly, Donald Crowe, Peter Damerow, Hippolyte Fofack, Mohammes Hassan, Marcio Imnebes, Adulcarimo Ismal, Mateus Patupha, Aderemi Kuku, Sarifa Magide, Dubner Medina, Alcido Nguenha, Gaston N'Guérékata, Emilia Nhalivilo, Giavanni Nicosa, Jan Persens, Arthur Powell, Hrald Sheid & Erhard Scholz, Gert

155

Schubring, Greet Van Keymeulen y Dirk Struick. 2009. Introducing Paulus Gerdes Ethnomathematics Books. www.lulu.com. Damm, Hans y Ernst Sarfert. 1935. “Inseln um Truk”. En: Georg Thilenius (editor), Ergebnisse der Suidsee-Expedition 1908-10. Hamburgo, Hamburgische Wissenschaftliche Stiftung und Notgemeinschaft der deutschen Wissenschaft. Danzy, Jasmine. 2009. Adinkra symbols: An ideographic writing system. Disertación de Maestría, Stony Brooks University. Darvas, György. 2007. Symmetry. Cultural-historical and ontological aspects of science-arts relations: The natural and man-made world in an interdisciplinary approach. Basilea, Birkhäuser. Darvas, György y Dénes Nagy (editores). 1990. “Symmetry in a Kaleidosccope 2”, Special Issue. Symmetry: Culture and science. 1(2). International Society for the Interdisciplinary Study of Symmetry (ISIS) Daryn, Gil. 2006. Encompassing a Fractal World: The Energetic Female Core in Myth and Everyday Life. A Few Lessons Drawn from the Nepalese Himalaya. Lanham, Lexington Books. Davenport, William. 1960. "Marshall Islands navigational charts". Imago Mundi, 15: 19-26. Davis, Philip J. y Reuben Hersh. 1985 [1982]. L’Univers mathématique. Traducción de Lucien Chambadal. París, Gauthier-Villars. Deacon, A. B. 1934. "Geometrical drawings from Malekula and other islands of the New Hebrides". en: Camila. H. Wedgwood (editor) con notass de A. C. Haddon, Journal of the Royal Anthropological Institute, 64: 129-175. de Hevia Maria Dolores, Luisa Girelli y Viola Macchi Cassia. 2012. “Minds without language represent number through space: origins of the mental number line”. Frontiers in Psychology, 3. http://journal.frontiersin.org/article/10.3389/fpsyg.2012.00466/full. Visitado en setiembre de 2015. Dehouve, Danièle. 2015. “La notion de fractale en anthropologie”. ethnographiques.org, 29 - décembre 2014. Ethnologie et mathématiques [en línea]. http://www.ethnographiques.org/2014/Dehouve. Dehouve, Danièle. 2017. “El fractal: ¿una noción útil para la antropología americanista?”. Desacatos, 53: 130-149. Dehouve, Danièle y Anne-Marie Vié-Wohrer. 2008. Le Monde des Aztèques, París, Riveneuve éditions. Delafosse, Maurice. 2012. African art. Nueva York, Parkstone International. Deleuze, Gilles y Félix Guattari. 2006 [1980]. Mil mesetas. Capitalismo y esquizofrenia. Ma- drid, Pre-Textos [Mille plateaux: Capitalisme et schizophrénie. París, Les Éditions de Minuit]. Demaine, Erik D., Martin L. Demaine, Perouz Taslakian y Godfried Toussaint. 2007. “Sand drawings and gaussian graphs”. Journal of Mathematics and the Arts, http://erikdemaine.org/papers/Sona_JMA/paper.ps. Derrida, Jacques. 1971 [1967]. De la Gramatología. Traducción de Oscar del Barco y Conrado Ceretti. Buenos Aires, Siglo XXI. Descola, Philippe. 2010. “Un monde enchevêtré”. En: Philippe Descola (editor), La fabrique des images. Visions du monde et formes de la représentation. París, Somogy/Musée du Quai Branly, pp. 165-182.

156

Devlin, Keith. J. 2005. The Math Instinct: Why You're A Mathematical Genius (Along With Lobsters, Birds, Cats, And Dogs). Nueva York, Thunder's Mouth Press. Devlin, Keith J. 2007. “The myth that will not go away”. Devlin's Angle, mayo. https://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_05_07.html. Devlin, Keith J. 2017. Finding Fibonacci: The quest to rediscover the forgotten mathematical genius who changed the world. Princeton, Princeton University Press. Dissanayake, Ellen. 1995. Homo aestheticus: where art comes from and why. Seattle, University of Washington Press. Djebbar, Ahmed. 1995. “On mathematical activities in North Africa since the 9th century. Part I: Mathematics in the medieval Maghreb”. AMUCHMA Newsletter (of the African Mathematical Union Commission on the History of Mathematics in Africa), Maputo, 15: 3-42. Doran, Charles F., Michael G. Faux, Sylvester James Gates, Tristan Hübsch, Kevin M. Uga y Gregory D. Landweber. 2008. “On Graph-Theoretic Identiﬁcations of Adinkras, Supersymmetry Representations and Superﬁelds”. https://arxiv.org/pdf/math- ph/0512016.pdf. Doran, Charles F., Michael G. Faux, Sylvester James Gates, Tristan Hübsch, Kevin M. Uga, Gregory D. Landweber y R. L. Miller. 2018. “Topology Types of Adinkras and the Corresponding Representations of N-Extended Supersymmetry”. UMDEPP 0810, SUNY-O/667. https://arxiv.org/pdf/0806.0050.pdf. Duchesne, Ricardo. 2017. “Mathematics is essentially a European accomplishment”. Council of European Canadians. https://www.eurocanadian.ca/2017/09/mathematics-is-essentially- european-accomplishment.html. Dudeney, Heny Ernest. 1958 [1907]. The Canterbury Puzzles and other curious problems. Dover. Dunsmore, Susi. 1983. Sepak Raga (Takraw), The South East Asian Ball Game. Kuching, Sarawak Museum. Durai, H. Gnana. 1929. “Preliminary note on geometrical diagrams (kolam) from the Madras presidency”. Man, 29: 77-78. https://www.jstor.org/stable/2790112. Dürer, Albrecht. 1977 [1525]. The painter's manual: A manual of measurement of lines, areas, and solids by means of compass and ruler assembled by Albrecht Dürer for the use of all lovers of art with appropriate illustrations arranged to be printed in the year MDXXV / by Albrecht Dürer; translated and with a commentary by Walter L. Strauss. Nueva York, Abaris Books. Dutta, Tanisha y Vinayak S. Adane. 2014. “Symbolism in Hindu Temple Architecture and Fractal Geometry - 'Thought Behind Form'”. International Journal of Science and Research, 3(12): 489-497. https://www.ijsr.net/archive/v3i12/U1VCMTQzMjI=.pdf. Dutta, Tanisha y Vinayak S. Adane. 2018. “Trends in Fractal Dimension in Laxman and Kandariya Mahadev Temples, Khajuraho”. International Journal of Applied Engineering Research, 13(3): 1728-1741. https://www.researchgate.net/publication/329058765_Trends_in_Fractal_Dimension_in _Laxman_and_Kandariya_Mahadev_Temples_Khajuraho. Eco, Umberto. 1972. "A componential analysis of the architectural sign /Column/". Semiotica, 5(2): 97-117. Edmonson, Amy C. 1987. A Fuller explanation. The synergetic geometry of R. Buckminster Fuller. Boston, Basilea y Stuttgart, Birkhäuser.

157

Eeckhout, Peter y Nathalie Danis. 2004. “Los tocapus reales en Guamán Poma: ¿una heráldica incaica?”. Boletín de Arqueología, PCUP, 8: 305-323. https://es.scribd.com/doc/156478266/Tocapus-Reales-en-Guaman-Poma. Eglash, Ron. 1990. Software review: "Rudy Rucker's CALAB". Dynamics Newsletter, pp. 3-9. Eglash, Ron. 1992. A cybernetics of chaos. Santa Cruz, University of California Press. Eglash, Ron. 1993. “Inferring representation type from spectral estimates of fractal dimension in communication waveforms”. Journal of Social and Evolutionary Structures, 16(4): 375- 399. Eglash, Ron. 1997. “When Math Worlds Collide: Intention and Invention in Ethnomathematics”. Science, Technology, & Human values, 22(1): 79-97. Eglash, Ron. 1998. “Fractals in African settlement architecture. Culture provides a window into self-organizing phenomena”. Complexity, 4(2): 21-29. Eglash, Ron. 1999. African fractals. Modern computing and indigenous design. Piscataway, Rutgers University Press. Eglash, Ron. 2000. “Anthropological perspectives in Ethnomathematics”. En: Helaine Selin (editora), Mathematics across cultures: The history of non-western mathematics. Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, pp. 13-22. Eglash, Ron. 2001. “Rethinking symmetry in ethnomathematics” [Special issue of Symmetry: Culture and Science]. Symmetry in Ethnomathematics, 12(1-2): 159-166. https://www.academia.edu/23699519/Rethinking_Symmetry_in_Ethnomathematics. Eglash, Ron. 2010. “Adinkra Patterns and Corn Cob Energy”. New York Times “Scientists At Work” blog. http://scientistatwork.blogs.nytimes.com/author/ron-eglash/. Eglash, Ron. 2014. “Adinkra symbols”. En: Jim Barta, Ron Eglash y Cathy Barkley (editores), Math Is a Verb: Activities and Lessons from Cultures Around the World. National Council of Teachers of Mathematics, pp. 61-74. Eglash, Ron y Audrey Bennett. 2012. “Fractals in global Africa”. Critical Interventions 9/10: 4- 10. Eglash, Ron, Audrey Bennett, Casey O'Donnell, Sybillyn Jennings, Margaret Cintorino. 2006. “Culturally situated design tools”. American Anthropologist, 108(2): 347-362. Eglash, Ron y P. Broadwell. 1989. “Fractal Geometry in Traditional African Architecture”. The Dynamics Newsletter, pp. 3-8. Eglash, Ron y Toluwalogo B. Odumosu. 2005. "Fractals, complexity, and connectivity in Africa". En: G. Sica (editor), What mathematics from Africa?. Monza, Polimetrica International Scientific Publisher, p. 101-109. Etienne, Ariane S., Joëlle Berlie, Joséphine Georgakopoulos y Roland. Maurer. 1998. “Role of dead reckoning in navigation”. En: S. Healy (editor), Spatial representation in animals. Oxford, Oxford University Press, pp. 54-68. Evans, [Sir] John. 1897. The Ancient Stone implements, Weapons & Ornaments of Great Britain. Longmans, Green & Co. Evans, Vyvyan y Paul Chilton (editores). 2010. Language, Cognition and Space: The State of the Art and New Directions. Londres, Equinox. Everett, Daniel. 2005. “Cultural constraints on grammar and cognition in Pirahã: Another look at the design features of human language”. Current Anthropology, 46(4): 621-646. http://www.sil.org/americas/brasil/PUBLCNS/ANTHRO/PHGrCult.pdf. Falconer, Kenneth. 1990. Fractal Geometry in Architecture and Design. Chichester, Wiley.

158

Falsirol, Olindo. 1959. "Per una Maggiore Attenzione all’Etnologia Matematica". Rivista di Antropologia, 46: 262-266. Faublée, Jacques. 1946. L’ethnographie de Madagascar. París, Les Éditions de France et d'Outre-Mer. Faux, Michael y Sylvester James Gates, Jr. 2005. “Adinkras: A Graphical Technology for Supersymmetric Representation Theory”. Phys.Rev.D71(2005)065002, hep-th/0408004. Fedorov, Evgraf Stepanovich. 1891. "Симметрія на плоскости" (“Simetría en el plano”), Записки Императорского С.-Петербургского минералогического общества (Zapiski Imperatorskova Sankt-Petersburgskova Mineralogicheskova Obshchestva, Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society), serie 2(28): 345-390. Fejes Tóth, L. 1964. Regular figures. Nueva York, MacMillan. Fenyvesi, Kristóf y Tuuli Lähdesmäki (editores). 2017. Aesthetics of Interdisciplinarity: Art and Mathematics. Birkhäuser. Fenyvesi, Kristóf, Slavik Jablan y Ljiljana Radović. 2013. “In the footsteps of Daedalus: Labyrinth studies meets visual mathematics”. En: G. Hart y R. Sarhangi (editores), Proceedings of the Bridges 2013 World Conference, Enschede. Phoenix, Tessellation Publishing, pp. 361-368. https://pdfs.semanticscholar.org/44c4/92b11be79424ff431078b8457940eae5c648.pdf. Ferreira, E. 1991. “Por uma teoria de etnomatematica”. BOLEMA (Rio Claro), 7: 30-35. Fettweis, Ewald. 1926. “Berichte. Organisation. Die Einrichtung der Pädagogischen Akademien und die Stellung der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fächer in ihnen”. Zeitschrift für Mathematischen und Naturwissenschaftlichen Unterricht aller Schulgattungen, 451–454. Fettweis, Ewald. 1927. Das Rechnen der Naturvölker. B. G. Teubner. Fettweis, Ewald. 1929a. “Über die Erste Entstehung der Einfachen Geometrischen Formen”. Archiv für Geschichte der Mathematik, der Naturwissenschaft und der Technik, pp. 113-121. Fettweis, Ewald. 1929b. Was lernt unsere Rechenmethodik aus dem Rechnen der Naturvölker? Pädagogische Warte: Zeitschrift für Lehrerfortbildung, wissenschaftliche Pädagogik, Konferenzwesen, Tagesfragen und pädagogische Kritik, pp. 157-161. Fettweis, Ewald. 1932. “Ueber das Verhältnis des Mathematischen Denkens zum Mystischen Denken auf Niederen Kultur-Stufen”. Archeion, pp. 207-220. Fettweis, Ewald. 1935. “Arithmethik, Rasse und Kultur”. Archeion, pp. 64–75. Fettweis, Ewald. 1937a. “Ethnologie und Geschichte der Mathematik”. Anthropos: Internationale Zeitschrift für Völker- und Sprachkunde, pp. 277–283. Fettweis, Ewald. 1937b. “Ueber die Entwicklung des Räumlichen Vorstellungsvermögens bei Völkern Nichteuropider Rasse und in der Europäischen Vorzeit”. Scientia, 31(62): 13- 21. Fettweis, Ewald. 1951. Anleitung zum Unterricht in der Raumlehre. 3a edición. Verlag Ferdinand Schöningh. Fianu, D. A. G. 2007. Ghana Kente and Adinkra: History and Sociocultural significance in a contemporary Global Economy. Accra, Black Mask Ltd Field, Michael y Martin Golubitsky. 2009. Symmetry in Chaos. A search for pattern in mathematics, arts and nature. Filadelfia, SIAM. Filliozat, Pierre-Sylvain. 1995. “Sanskrit Linguistics and Mathematics in Ancient India”. Indian Horizons, 44(4): 39–50.

159

Finney, Ben R. 1986. “Re-learning a vanishing art”. The Journal of the Polynesian Society, 95(1): 41-90. Fischer, John. 1961. “Art Styles as Cultural Maps”. American Anthropologist, 63: 79-83. http://dx.doi.org/10.1525/aa.1961.63.1.02a00050. Fisher, Gwen y Blake Mellor. S/f. “On the topology of celtic knot designs”. http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/fisher/ Flores, C. A. H. 2006. Owen Jones: Design, ornament, architecture & theory in an age of transition. Nueva York, Rizzoli. Flores Fratto, Tony. 1978. “Undefining Art: Irrelevant Categorization in the Anthropology of Aesthetics”. Dialectical Anthropology, 3(2): 129-38. Flores Fratto, Tony. 1985. “The Anthropology of Aesthetics”. Dialectical Anthropology, 10(1- 2): 27-41. Florez, Gloria Judith Florez. 2011. De los poliedros a los polígonos usando herramientas tecnológicas para potenciar el avance entre niveles de razonamiento geométrico. Disertación. Universidad Nacional de Colombia. http://www.bdigital.unal.edu.co/4949/1/GloriaJudithFlórez.2011.pdf. Forge, Anthony (editor). 1973. Primitive Art & Society. Oxford, Oxford University Press. Fornander, Abraham. 1878-1880. An Account of the Polynesian Race, its Origin and Migrations, and the Ancient History of the Hawaiian People to the Times of Kamehameha I. 3 volúmenes. Londres, Trübner & Co, Ludgate Hill. Vol. 1: https://archive.org/details/accountofpolynes01fornuoft/page/n6 – Vol. 2: https://archive.org/details/accountofpolynes02fornuoft/page/n8 – Vol. 3: https://archive.org/details/accountofpolynes03fornuoft/page/n14. Frake, Charles O. 1995. “A reinterpretation of the micronesian "star compass"”. The Journal of the Polynesian Society, 104(2): 147-158. Frame, Mary. 2007. "Lo que Guarnan Poma nos muestra, pero no nos dice sobre Tukapu". Estudios y debates, 44: 9-69. http://revistaandinacbc.com/wp- content/uploads/2016/ra44/ra-44-2007-01.pdf. Frame, Michael L. y Benoît Mandelbrot. 2002. Fractals, graphics, and mathematics education. Washington, Mathematical Association of America. Frantz, Marc y Annalisa Crannell. 2011. Viewpoints: Mathematical perspective and fractal geometry in art. Princeton, Princeton University Press. Fré, Pietro Giuseppe. 2018. A conceptual history of space and symmetry. From Plato to Superworld. Cham, Springer. Freedman, Charles Thirer. 1980. Pacific ethnonavigation. Disertación de doctorado. Nueva York, New York University. Freudenthal, Hans. 1980. Weeding and Sowing: Preface to a Science of Mathematical Education. Dordrecht, D. Reidel. Freudenthal, Hans. 1982. Revisión crítica. Educational Studies in Mathematics, 13: 443-444. Friedrichs, Paul. 1970. "Shape in grammar". Language, 46(2), parte 1: 379-407. Frimpong, Asinyo, Benjamin Kwablah Asinyo y Akosua Amankwaah. 2013. Contemporary Trends in Adinkra Cloth Production: Design, Printing Technique, Base Fabric and Printing Paste. United States: Universal Research Publications. Fry, Steven N. y Rüdiger Wehner. 2002. “Honeybees store landmarks in an egocentric frame of reference”. Journal of Comparative Physiology A, 187: 1009-1016.

160

Fuller, Richard Buckminster. 1981. Critical path. Londres, St. Martin's Press. Fuller, Richard Buckminster. "What is a geodesic dome?". R. Buckminster Fuller Collection: Architect, system theorist, designer, and inventor. Stanford, Stanford Uiversity Press. Fuller, Richard Buckminster y Ed J. Applewhite. 1975. Synergetics. Explorations in the geometry of thinking. Londres, Macmillan. Furness Jayne, Caroline Augusta. 1906. String Figures and How to Make Them: a study of cat's cradle in many lands. With an ethnological introduction by Alfred C. Haddon. Nueva York, Charles Scribner's Sons. https://archive.org/details/cu31924029861469/page/n10. Fuss, Nicolas. 1839. “Éloge de Léonhard Euler” [San Petersburgo, 1783]. En: Leonhard Euler, Oeuvres Complètes en Français de L. Euler, Vol. 1, p. xii. Bruselas, Établissement Géographique près la Porte de Flandre. Gates, Sylvester James, Jr. 2008. “A Current Topic in String Theory: Adinkras – Combining African Ethos and Modern Mathematics” (at the Mali Symposium on Applied Sciences 2008 (MSAS 2008), Bamako, Mali, Aug 2. Gates, Sylvester James, Jr. 2009. “Adinkras: Borrowing from African Symbols for Theoretical Physics”. Dean Lecture, University of the District of Columbia, Washington, DC, Nov 09. Gates, Sylvester James, Jr. 2010. “Symbols of power. Adinkras and the nature of reality”. Physicsworld, 23(6): 34-39. https://web.archive.org/web/20160418235930/http://www.onbeing.org/blog/symbols- power-adinkras-and-nature-reality/2438. Gates, Sylvester James, Jr. 2012. “Adinkras as Mathematical Metaphorical Form for Reality" presentation in the "Year of Ghana" Program; Kennesaw St U, GA, 8 Nov. Gates, Sylvester James, Jr., Marcus T. Grisaro, Martin Roček y Warren Siegel. 2001 [1983]. SUPERSPACE or One thousand and one lessons in supersymmetry. Frontiers of Physics, 58: 1-548. Addison-Wesley. https://arxiv.org/abs/hep-th/0108200. Visitado en abril de 2018. Gausset, Quentin, 2010. Constructing the Kwanja of Adamawa (Cameroon). Essay in Fractal Anthropology. Berlín, Lit Verlag. Gay, John y Michael Cole. 1967. The new mathematics and an old culture. A study of learning among the Kpelle of Liberia. Nueva York, Holt, Rinehart & Winston. Gebhart-Sayer, Angelika. 1985. "The geometric designs of the Shipibo-Conibo in ritual context". Journal of Latin American Lore, 11(2): 143-175. Gebhart-Sayer, Angelika. 1986. “Una terapia estética. Los diseños visionarios del ayahuasca entre los Shipibo-Conibo” En: América Indígena (México), 46.1: 189-218. Gebhart-Sayer, Angelika. 1987. Die Spitze des Bewußtseins. Untersuchungen zu Weltbild und Kunst der Shipibo-Conibo. Münchener Beiträge zur Amerikanistik. Hohenschäftlarn, Klaus Renner. Geertz, Clifford. 1983. "Art as a Cultural System". En: Local Knowledge: Further Essays in Interpretive Anthropology. Nueva York, Basic Books. [Traducción castellana: “El arte como sistema cultural”, en: Conocimiento local: Ensayos sobre la interpretación de las culturas. Barcelona, Paidós, 1994, pp. 117-146]. Geertz, Clifford. 2002. “‘I don’t do systems’: An interview with Clifford Geertz”. En: Method and Theory in the Study of Religion. Journal of the North American Association for the Study of Religion, 14(1): 2-20. http://www.iwp.uni- linz.ac.at/lxe/sektktf/gg/GeertzTexts/Interview-_Micheelsen.htm.

161

Gell, Alfred. 1998. Art and agency. An anthropological theory. Oxford, Oxford University Press. [Traducción castellana: Arte y agencia. Revisión técnica de Guillermo Wilde. Buenos Aires, Sb, 2005]. Gell, Alfred. 2006. The art of Anthropology. Essays and diagrams. Edición de Eric Hirsch. Oxford y Nueva York, Berg. Gentile, Margarita E. 2010. "Tocapu: unidad de sentido en el lenguaje gráfico andino". Espéculo. Revista de estudios literarios. Universidad Complutense de Madrid. http://www.ucm.es/info/especulo/numero45/tocapu.html. George, Marianne. 2013. “Polynesian navigation and Te Lapa - "The Flashing"”. Time and Mind: The Journal of Archaeology, Consciousness and Culture, 5(2): 135-173. http://dx.doi.org/10.2752/175169712X13294910382900. Gerdes, Paulus, 1982. Mathematics for the benefit of the people. Paramaribo, CARIMAIH. Gerdes, Paulus. 1985. "Conditions and strategies for emancipatory mathematics education in undeveloped countries". For the Learning of Mathematics, 5(1): 15-20. Gerdes, Paulus. 1986. “How to Recognize Hidden Geometrical Thinking: a Contribution to the Development of Anthropological Mathematics”. For the Learning of Mathematics, 6(2): 10-12. http://flm-journal.org/Articles/9C2D73F45435A001FB092B669261.pdf. Gerdes, Paulus. 1989. “Sobre aritmética e ornamentação geométrica. Análise de alguns cestos de indios do Brasil”. Quipu, 6(2): 171-187. Gerdes, Paulus. 1992. “Fivefold symmetry and (basket) weaving in various cultures”. En: István Hargittai (editor), Fivefold Symmetry. Singapur, World Scientific, pp. 245-261. https://es.scribd.com/document/238547532/Five-Fold-Symmetry-by-Istvan-Hargittai. Gerdes, Paulus. 1994a. "On mathematics in the history of Sub-Saharan Africa". Historia Mathematica, 21: 345-376. Gerdes, Paulus. 1994b. “Reflections on ethno-mathematics”. For the learning of mathematics, 14(2): 19-22. Gerdes, Paulus. 1995. “Extensions of a reconstructed Tamil ring-pattern”. En: Clifford Pickover (editor), The Pattern Book: Fractals. Art and Nature. Singapur, World Scientific, pp. 377-379. Gerdes, Paulus. 1997. Ethnomathematik dasgerstellt am Beispiel der Sona Geometrie. Heidelberg, Berlín y Oxford, Spektrum Akademischer Verlag. Gerdes, Paulus. 1998. "Molecular Modeling of Fullerenes with Hexastrips". The Chemical Intelligencer, 4(1): 40-45; 1999. The Mathematical Intelligencer, 21(1): 6-12, 27. Gerdes, Paulus. 1999a. Geometry from Africa. Mathematical and Educational Explorations. The Mathematical Association of America. Gerdes, Paulus. 2002. “Mathematical communities”. The Mathematical Intelligencer, 24(2): 26–29. doi:10.1007/bf03024614 Gerdes, Paulus. 2003. Awakening of geometrical form in early culture. Minneapolis, MEP Publications. Gerdes, Paulus. 2003-2004. "Níjtyubane - Sobre alguns aspectos geométricos da cestaria Bora na Amazónia Peruana. Revista Brasileira de História da Matemática, 3(6): 3-22. Gerdes, Paulus. 2004. “Exploring Plaited Plane Patterns Among the Tonga in Inhambane (Mozambique).” Special Issue: “Culture and Science.” Symmetry in Ethnomathematics, 12 (1/2): 115–26. Gerdes, Paulus. 2006. Sona geometry from Angola: Mathematics of an African tradition. Milán, Polimetrica.

162

Gerdes, Paulus. 2007a. Otthava: Fazer Cestos e Geometria na Cultura Makhuwa do Nordeste de Moçambique. Nampula, Universidade Lúrio. Gerdes, Paulus. 2007b. Adventures in the world of matrices. Nueva York, Nova Science Publishers. Gerdes, Paulus. 2007c. African basketry: A Gallery of Twill-Plaited Designs and Patterns. www.lulu.com Gerdes, Paulus. 2007d [1996]. Lunda geometry: Mirror Curves, Designs, Knots, Polyominoes, Patterns, Symmetries. Maputo, Universidade Tecnologica. Gerdes, Paulus. 2009. L'Ethnomathematique en Africa. Lulu.com Gerdes, Paulus. 2010. Otthava: Making Baskets and Doing Geometry in the Makhuwa Culture in the Northeast of Mozambique. Lulu.com. Gerdes, Paulus. 2011a [1992]. Pitágoras africano: Um estudo em cultura e educação matemática. Maputo, Centro Moçambicano de Pesquisa Etnomatemática. Cultura, Matemática, Educação. Gerdes, Paulus. 2011b. Mundial de futebol e de trançados. Maputo, Centro Moçambicano de Pesquisa Etnomatemática. Cultura, Matemática, Educação. Gerdes, Paulus. 2012 [2008]. Geometria Sona de Angola. Matemática duma Tradição Africana. Primera edición en colores. Belo Horizonte, Boane, Mozambique, ISTEG. Gerdes, Paulus. 2012.” Ideias matemáticas originárias da África e a educação matemática no Brasil”. Topicos Educacionais, 18(1-2): 139-158. Gerdes, Paulus. 2012 [1991]. Etnomatemática: Cultura, matemática, educação. Coletânea de textos (1979-1991). Instituto Superior de Tecnologias e Gestão. Belo Horizonte, Mozambique. http://www.lili.com. Gerdes, Paulus. 2013 [2007]. Geometria y cestería de los Bora de la Amazonia peruana. Lima, Ministerio de Educación. Gerdes, Paulus. 2014 [1983]. The philosophic-mathematical manuscripts of Karl Marx on differential calculus: An introduction. www.lulu.com. https://www.marxists.org/archive/marx/works/download/Marx_Mathematical_Manuscri pts_1881.pdf. Gerdes, Paulus. 2014a. Ethnogeometry: Awakening of Geometrical Thought in Early Culture. Prólogo de Dirk J. Struik. www.lulu.com. Gerdes, Paulus. 2014b. Ethnomathematics and education in Africa. www.lulu.com Gerdes, Paulus. 2014c. Geometria de los Sona de Angola, vol. 2. Explorações educacionais e matemáticas de desenhos africanos na areia. Prefacio de Mohammed E. A. El Tom. Belo Horizonte, Boane, Mozambique, ISTEG. Gerdes, Paulus. 2014d. Geometria de los Sona de Angola. vol 3. Estudos comparativos. Belo Horizonte, Boane, Mozambique, ISTEG. Gerdes, Paulus. 2014e. Mathematics Education in Mozambique: Papers from the Early 1980s. Boane, ISTEG University. Gerdes, Paulus. 2015. “African Dance Rattles and Plaiting Polyhedra: A Journey”. The Mathematical Intelligencer, 37(2): 52–61. doi:10.1007/s00283-014-9519-4 Gerdes, Paulus y Ahmed Djebbar. 2007. Mathematics in African history and cultures. An annotated bibliography. Ciudad del Cabo, African Mathematical Union. Gerdes, Paulus y Ahmed Djebbar. 2011a. History of mathematics in Africa. AMUCHMA 25 years, vol. 1, 1986-1999. Maputo, AMUCHMA.

163

Gerdes, Paulus y Ahmed Djebbar. 2011b. History of mathematics in Africa. AMUCHMA 25 years, vol. 2, 2000-2011. Maputo, AMUCHMA. Gerster, Georg. 1964. Nubien: Goldland am Nil. Zürich y Stuttgart, Artemis Verlag. Gerster, Georg. 1985. Flugbilder: 133 aus d. Luft gegriffene Fundsachen. Basilea, Boston y Stuttgart, Birkhäuser. Gidden, Tom. 2017. “Exploring Lyapunov space”. https://medium.com/@gid/exploring- lyapunov-space-b810a8bed153. Gillon, Werner. 1984. A short history of African art. Nueva York, Facts on File Publications. Gladwin, Thomas. 1970. East is a big bird. Navigation and logic on Puluwat Atoll. Cambride (USA), Harvard Universoty Press., Goddard, Cliff. 1998. ”Universal Semantic Primes of Space – A Lost Cause?”. Paper for the LAUD symposium, April 1998. Goddard, Cliff (editor). 2008. Cross-linguistics semantics. Amsterdam, Johns Benjamins Publishing Company. Goetzfridt, Nicholas. 1992. Indigenous Navigation and Voyaging in the Pacific: A Reference Guide (Bibliographies and Indexes in Anthropology). Westport, Greenwood Press. Goetzfridt, Nicholas. 2004. “Micronesian Bibliography”. Ethnomathematics Digital Library. http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.196.5157&rep=rep1&type=p df. Goetzfridt, Nicholas. 2008. Pacific Ethnomathematics: A Bibliographic Study. Honolulu, University of Hawai'i Press. Goldberger, Ary L. 1996. “Fractals and the birth of Gothic: Reflections on the biological basis of creativity”. Molecular Psychiatry, 1: 99-104. https://is.muni.cz/el/1421/podzim2015/DU2727/Goldberger_Fractals_and_Gothics_199 6.pdf. Golomb, Solomon Wolf. 1994 [1965]. Polyominoes: Puzzles, Patterns, Problems, and Patterns. 2ª edición revisada. Princeton, Princeton University Press. Golson, Jack (editor). 1963. Polynesian navigation, a symposium on Andrew Sharp's theory of accidental voyages. Memoir n° 34. Wellington, The Polynesian Society. González, Paola. 2016. “La tradición de arte chamánico Shipibo-Conibo (Amazonía peruana) y su relación con la cultura Diaguita chilena”. Boletín del Museo Chileno de Arte Precolombino, 21(1): 27-47. https://www.researchgate.net/publication/303597021_La_tradicion_del_arte_chamanico _Shipibo-Conibo_amazonia_peruana_y_su_relacion_con_la_cultura_Diaguita_chilena. Goodenough, Ward H. 1951. "Native Astronomy in Micronesia: A Rudimentary Science". The Scientific Monthly, 73(2): 105-110. Goodenough, Ward H. 1953. “Native astronomy in the Central Carolines”. Museum Monographs. Filadelfia, The University Museum, University of Pennsylvania. https://ia800102.us.archive.org/3/items/in.gov.ignca.3797/3797.pdf. Goodenough, Ward H. 1996. "Navigation in the Western Carolines". En: L.Nader (editora), Naked Science: Anthropological Inquiry into Boundaries, Power and Knowledge. Nueva York, Routledge, pp. 29–42; Goodenough, Ward H. y Stephen D. Thomas. 1986. "Traditional navigation in the Western Pacific: A search for pattern". Expedition, 30: 3-14. https://www.penn.museum/documents/publications/expedition/PDFs/29- 3/Traditional.pdf.

164

Goury, Jules, Owen Jones y Pascual de Gayangos. 1842-1845. Plans, elevations, sections, and details of the Alhambra, from drawings taken on the spot in 1834 by Jules Goury, and in 1834 and 1837 by Owen Jones. With a Complete Translation of the Arabic Inscriptions, and an Historical Notice of the Kings of Granada from the Conquest of that City by the Arabs to the Expulsion of the Moors, by Pasqual De Gayangos. 2 volúmenes. Londres, O. Jones. Graburn, Nelson H. H.(editor). 1976. Ethnic and Tourist Arts: Cultural Expressions from the Fourth World. Berkeley y Los Angeles, University of California Press. Grottanelli, Vinigi (editor). 1965. Ethnologica: L’uomo e la civiltà. 12 volúmenes. Milán, Edizioni Labor. Grünbaum, Branko y Geoffrey Colin Shephard. 1987. Tilings and patterns. Nueva York, W. H. Freeman and Company. Guamán Poma de Ayala, Felipe. 1980 [1615]. Nueva crónica y buen gobierno. John V. Murra y Rolena Adorno (editor@s). Traducciones del quechua por Jorge L. Urioste. 3 tomos. México, Siglo Veintiuno. https://archive.org/details/15841615GuamanPomaNuevaCoronicaI - https://archive.org/details/15841615GuamanPomaNuevaCoronicaII. Guevara, Ana. 2011. “De madre a hija: juegos de hilo y memoria(s) del paisaje mapuche”. Corpus. Archivos virtuales de la alteridad americana, Vol. 1, N° 1. Guidoni, Enrico. 1987. Primitive Architecture. Nueva York, Rizzoli. Gundaker, Grey. 2016. "Blackness and the Exclusion of Sub-Saharan Africa from the “Global” History of Garden and Landscape Design", en J. Beardsley (editor), Op. cit., pp. 15-62. Gunn, Michael J. 1970. “Etak and Other Concepts Underlying Carolinian Navigation”. Disertación de doctorado, Universidad de Otago. Haddon, Alfred Cort. 1902. Evolution in art. As illustrated by the life-hisories of designs. Londres, The Walter Scott Publishing Co, Ltd. Haddon, Alfred Cort. 1934. "The geometrical designs of Raga District, North Pentecost". En: A. B. Deacon, Op. cit., pp.143-147. Haddon, Alfred Cort y William Halse Rivers Rivers. 1902. “A Method of recording string figures and tricks”. Man (2): 146-153. Haddon, Kathleen. 1912. Cat's cradles from many lands. 2a impresión. Londres, Longmans, Green and Co. https://archive.org/download/catscradlesfromm00hadduoft/catscradlesfromm00hadduoft .pdf Hage, Per y Frank Harary. 2007. Island Networks: Communication, Kinship, and Classification Structures in Oceania. Cambridge, Cambridge University Press. Hage, Per, Frank Harary y Brent James. 1986.”Wealth and hierarchy in the Kula ring”. American Anthropologist, 88: 108-115 Hales, Thomas C. 2001. "The Honeycomb Conjecture". Discrete and Computational Geometry, 25(1): 1–22. Hallpike, Christopher R. 1976. The foundations of primitive thought. Bungay, The Chaucer Press. Hallpike, Christopher R. 2011. “Political correctness and the death of cultural anthropology”. En: On Primitive society and other forbidden topics. AuthorHouse Publishing. Halpern, Michael, 1986. “Sidereal Compasses: A Case for Carolinian-Arab Links”. The Journal of the Polynesian Society, 95(4): 441-59.

165

Handy, Richard L. 1973. “The igloo and the natural bridge as ultimate structures”. Arctic, 1973- 01-01: 276-281. http://pubs.aina.ucalgary.ca/arctic/Arctic26-4-276.pdf. Hann, Michael. 2013. Symbol, pattern & symmetry. The cultural significance of structure. Londres, Bloomsbury. Haraway, Donna. 1985. "Manifiesto for cyborgs: Science, technology, and socialist feminism in the 1980's". Socialist Review, 80: 65-108. Harding, Dennis W. 2007. The Archaeology of Celtic Art. Londres y Nueva York, Routledge. Hargittai, István (editor). 1986. Symmetry: Unifying Human Understanding. Nueva York, Pergamon. Hargittai, István (editor). 1992. Fivefold symmetry. Singapur, World Scientific. Hargittai, Magdolna e István Hargittai. 2009. Visual Symmetry. New Jersey, World Scientific. Hargittai, István y B. K. Vainshtein (editores). 1988. Crystal symmetries. Shubnikov Centennial Papers. Oxford, Pergamon Press. Harmsen, Silvia. 2006. Algorithmic Computer Reconstructions of Stalactite Vaults - Muqarnas - in Islamic Architecture. Disertación de doctorado, Heidelberg. http://archiv.ub.uniheidelberg.de/volltextserver/volltexte/2007/7047/pdf/diss.pdf. Harris, James. 2007. “Integrated function systems and organic architecture from Wright to Mondrian”. Nexus Network Journal. Patterns in Architecture, 9(1): 93-102. Harris, James. 2012. Fractal architecture. Organic design philosophy in theory and practice. Albuquerque, University of Mexico Press. Harris, Marvin. 1987. “An example of traditional women's work as a mathematics resource”. For the Learning of Mathematics, 7(3): 26-28 Hatcher, Evelyn Payne. 1985. Art as culture. An introduction to the anthropology of art. With an introduction by E. Adamson Hoebel. Lanham, Nueva York y Londres, University Press of America. Heilbron, John L. 1998. Geometry civilized. History, culture, and Technique. Oxford, Clarendon Press. Herman, Doug. 2014. “How the Voyage of the Kon-Tiki Misled the World About Navigating the Pacific”. Smithsonian.com - https://www.smithsonianmag.com/smithsonian- institution/how-voyage-kon-tiki-misled-world-about-navigating-pacific- 180952478/#pdUWDEWbhcf1mlvC.99. Hilbert, David y Stephan Cohn-Vossen. 1990 [1932]. Geometry and the imagination. Traducción de Paul Nemenyi. 2a edición. Nueva York, Chelsea Publishing Company. Hill, David. 2003. “He brings a little culture to math”. Los Angeles Times, 25 de mayo. https://www.latimes.com/archives/la-xpm-2003-may-25-adna-math25-story.html. Hill Boone, Elizabeth y Walter D. Mignolo (editor@s). 1994. Writing without words: Alternative literacies in Mesoamerica and the Andes. Durham, Duke University Press. Hines, Neal O. 1952. “The secrets of the Marshallese Sticks”. Pacific Discovery, 5(5): 18-23. Hobsbawm, Eric y Terence Ranger (editores). 1992. The invention of tradition. Cambridge, Cambridge University Press. Hohol, Mateusz. 2019. Foundations of geometric cognition. Londres, Routledge. Holm, Bill. 2014 [1965]. Northwest Coast Indian Art: An Analysis of Form. 2a edición. Seattle, University of Washington Press.

166

Holme, Audun. 2010. Geometry: Our cultural heritage. 2ª edición. Berlín y Heidelberg, Springer. Hon, Giora y Bernard B. Goldstein. 2008. From Summetria to Symmetry: The making of a revolutionary scientific concept. Springer Science+Business Media. Honey, Stanley K. y W. B. Zavoli. 1985. “A novel approach to automotive navigation and map display”. Papers presented at the 1985 Conference of the Royal Institute of Navigation. York. Hopcroft, John, Rajeev Molwani y Jeffredy Ullman. 2001. Introduction to automata theory, languages and computation. 2a edición, Addison-Wesley. Horne, Clare. 2002. Geometric symmetry in patterns and tilings. Boca Raton, CRC Press. Hornell, James. 1936. The canoes of Polynesia, Fiji, and Micronesia. En: A. C. Haddon y James Hornell (editores), Canoes of Oceania. Special publication 27. Honolulu, Bernice P. Bishop Museum. Hruby, Walter (editor). 2001. Digital (re)volution in radiology. Viena, Springer Verlag. Huizinga, Johan H. 1980 [1944]. Homo Ludens: Study of the Play Element in Culture. Londres, Routledge & Kegan Paul. Hutchins, Edwin. 1995. Cognition in the Wild. Cambridge (USA), The MIT Press. Hutchins, Edwin. 1983. “Understanding Micronesian Navigation”. En: D. Gentner y A. L. Stevens (editoras), Mental Models. Hillsdale, Lawrence Erlbaum, pp. 191-225. Huylebrouck, Dirk. 2006. "Mathematics in (central) Africa before colonization". Anthropologica et Præhistorica, 117: 135-162. Huylebrouck, Dirk. 2019. “Drawings”. Politics, Managerialism, and University Governance,. 55–76. doi:10.1007/978-3-030-04037-6_4 Ibáñez, Jesús. 1985. Del algoritmo al sujeto. Madrid, Siglo XXI. Ibáñez, Jesús (editor). 1990. Nuevos avances en la investigación social. La investigación social de segundo orden. Barcelona, Anthropos. Ibáñez, Jesús. 1991. El regreso del sujeto. La investigación social de segundo orden. Santiago, Editorial Amerindia. Illius, Bruno. 1994. “La Gran Boa: Arte y cosmología de los Shipibo-Conibo”. En: Amazonía Peruana (Lima), Bulletin / Société Suisse des Américanistes, vol. 55/56: 185-212. Ingalls, Daniel H. H. 1954. “The Comparison of Indian and Western Philosophy”. JORM, 22: 1–11. Ingerman, Peter Zilahy. 1967. “Panini-Backus form suggested”. Communications of the ACM, 10(3): 137. https://www.researchgate.net/publication/220423897_Panini- Backus_Form_suggested. Ingold, Tim. 2007. Lines. A brief history. Londres y Nueva York, Routledge. Jablan, Slavik y Ljiljana Radović. 2011. "Do you like paleolithic op‐art?". Kybernetes, 40(7/8): 1045-1054. https://doi.org/10.1108/03684921111160287. Jackson, William J. S/f. The grand fractal of Hinduism. Three here and a fourth beyond. https://www.academia.edu/30736490/The_Grand_Fractal_of_Hinduism_Three_Here_a nd_a_Fourth_Beyond. Jackson, William J. S/f. Hindu temple fractals. https://www.academia.edu/347639/Hindu_Temple_Fractals.

167

Jakubska-Busse, A., M. W. Janowicz, L. Ochnio y J. M. A. Ashbourn. 2018. “Pickover biomorphs and non-standard complex numbers”. Chaos, Solitons & Fractals, 113: 46- 52. doi:10.1016/j.chaos.2018.05.001. Jespersen, John Kresten. 1988. Owen Jones and the Conventionalization of Ornament. Library Faculty and Staff Publications. 1. https://digitalcommons.ric.edu/librarypublications/1. Jinzenji, Masao. 2018. Classical mirror symmetry. Singapur, Springer Nature. Johnson, Andrea M. 2016. Incongruous Conceptions: Owen Jones’s Plans, Elevations, Sections and Details of the Alhambra and British Views of Spain. Disertación de Maestría, University of South Florida. Jones, Bradley. 1939 [1931]. Elements of practical aerodynamics. 2a edición. Nueva York, John Wiley & Sons, Inc. Jones, Owen. 2016 [1856]. The grammar of ornament. A visual reference of form and colour in architecture and the decorative arts. Princeton y Oxford, Princeton University Press. Jones-Smith, Katherine y Harsh Mathur. 2006. “Revisiting Pollock's drip paintings”. Nature, 444: E9-E10, doi:10.1038/nature05398, noviembre. http://sci- hub.cc/10.1038/nature05398. Visitado en octubre de 2016. Jopling, Carol F. 1971. Art and aesthetics in primitive societies. Nueva York, E. P. Dutton & Co. Joseph, George Gheverghese. 1991. The crest of the peacock: Non-european roots of mathematics. Princeton, Princeton University Press. Jules-Rosette, Bennetta. 1984. The messages of tourist art: An Afrian semiotic system in comparative perspective. Nueva York, Springer Science+Business Media. Kaeppler, Adrienne L. 2008. The Pacific Arts of Polynesia and Micronesia. Oxford, Oxford University Press. Kak, Subhash C. 1987. "The Pāṇinian approach to natural language processing". International Journal of Approximate Reasoning, 1 (1): 117–130. doi:10.1016/0888-613X(87)90007- 7 Kane, Abdoulaye Elimane. 1987. Les systèmes de numération parlée des groupes ouestatlantiques et Mande. Contribution à Ia recherche sur les fondaments et l'histoire de la pensée logique et mathématique en Afrique de l'Ouest. Disertación de doctorado. Lille, L’Harmattan. Kaplan, Craig S. 2000. “Computer generated Star Islamic patterns”. http://www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/washing-ton/taprats/bridges2000.pdf. Kaplan, Craig S. 2002. Computer graphics and geometric ornamental design. Disertación de doctorado, Universidad de Washington en Seattle. Kaplan, Craig S. 2009. Introductory tiling theory for computer graphics. S/ref. Kappraff, Jay. 2000 [1991]. Connections. The geometric bridge between art and science. 2ª edición. Singapur, World Scientific. http://mimoza.marmara.edu.tr/~maeyler/CONNECTIONS.pdf. Kappraff, Jay. 1992. "The relationship between mathematics and mysticism of the golden mean through history". en: I. Hargittay, Op. cit., pp. 33-66. Kappraff, Jay, Ljiljana Radović y Slavik Jablan. 2016. "Meanders, labyrinths and mazes". Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 25(09): 164009-1 - 164009-22, doi:10.1142/s0218216516410091. Kasa, Abibitumi. 2010. “A Mathematical Analysis of Akan Adinkra Symmetry”. https://es.scribd.com/document/243569874/Adinkra-Symbol-Mathematics.

168

Kasner, Edward y James Newman. 2001 [1949]. Mathematics and the imagination. Dover Publications. Kauffman, Louis H., Sofia Lambropoulou y Radmila Sazdanovic. 2016. “Remembering Slavik Jablan”. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 25(09): 1602002-1-1602002-20. doi:10.1142/s0218216516020028. Keane, Augustus Henry. 1896. Ethnology. In two parts: I. Fundamental ethnical problems; II: The primary Ethnical Groups. Cambridge, At the University Press. Keats, Jonathon. 2016. You belong to the future: Buckminster Fuller and the future. Oxford, Oxford University Press. Kiani, Zohrer y Peyman Amiriparyan. 2015. “The Structural and Spatial Analysing of Fractal Geometry in Organizing of Iranian Traditional Architecture”. Urban Planning and Architecture Design for Sustainable Development, UPADSD 14- 16 October 2015. DOI: 10.1016/j.sbspro.2015.12.074. Kitshley, Jinu Louishidha. 2003. Fractals in architecture. Sin referencias. Kleene, Stephen Cole. 1956. “Representation of Events in Nerve Nets and Finite Automata”. En: C. Shannon y J. McCarthy (compiladores), Automata Studies. Princeton, Princeton University Press, pp. 3-42. Kluge, Theodor. 1937. Die Zahlenbegriffe der Sudansprachen. Berlín, Autor. Kluge, Theodor. 1938. Die Zahlenbegriffe der Awstralier, Papua und Bantuneger. Berlín, Autor. Kluge, Theodor. 1939. Die Zahlenbegriffe der Voelker Americas, Nordeurasiens, der Munda und der Palaio-Africaner. Berlín, Autor. Kluge, Theodor. 1941. Die Zahlenbegriffe der Dravida, der Hamiten, der Semiten und der Kaukasier. Berlín, Autor. Kluge, Theodor. 1941-1942. Die Zahlenbegriffe der Sprachen Central- und Suedostasiens, lndonesiens, Micronesiens, Melanesiens und Polynesiens, nebst einer principiellen Untersuchung ueber die Tonsprachen. Berlín, Autor. Krickeberg, Walter. 1961 [1956]. Las antiguas culturas mexicanas. México, Fondo de Cultura Económica. Kroeber, Alfred-Louis. 1901. "Decorative symbolism of the Arapaho". American Anthropologist, 8(3): 308-336. Krömker, S., 2007. Muqarnas Visualization in the Numerical Geometry Group. https://archiv.ub.uni-heidelberg.de/volltextserver/17446/ Kubik, Gerhard. 1987. “African space/time concepts and the ‘Tusona’ ideographs in Luchazi culture with a discussion of possible cross-parallels in music”. African music, 6(4): 53- 89. http://journal.ru.ac.za/index.php/africanmusic/article/view/1261. Kuhn, Thomas. 2006 [1962]. La estructura de las revoluciones científicas. México, Fondo de Cultura Económica. Kuwornu-Adjaottor, Jonathan Edward Tetteh, George Appiah y Melvin Nartey. 2016. “The philosophy behind some Adinkra symbols and their communicative values in Akan”. Philosophical papers and review. 73(3): 22-33. https://academicjournals.org/journal/PPR/article-full-text-pdf/A5A4C6E58407. Labi, Kwame Amoah. 2009. “Reading the intangible heritage in tangible Akan art”. International Journal of Intangible Heritage, 4. https://es.scribd.com/document/48897686/Reading-the-intangible-heritage-in-tangible- Akan-art.

169

Ladd, Mark. 2014. Symmetry of Crystals and Molecules. Oxford, Oxford University Press. LaGamma, Alisa y Christine Giuntini. 2008. The essential art of African textiles / Design without end. The Metropolitan Museum of Art. New Haven y Londres, Yale University Press. https://ia800309.us.archive.org/9/items/TheEssentialArtofAfricanTextilesDesignWithou tEnd/TheEssentialArtofAfricanTextilesDesignWithoutEnd.pdf. Lane, Robert. 1986. Philippine Basketry: An Appreciation. Makati (Metro Manila), Bookmark. Langdon, Nigel. 1989. “Cultural starting points for mathematics:A view from Ghana”. Science Education Newsletter, 87: 1-3. [UNESCO, pp. 177-181] Lara Galicia, Aline. 2005. “Fractales en el Valle del Mezquital: Una propuesta interdisciplinaria”. Boletín de Antropología Americana, 41: 109-122. Lara Galicia, Aline. 2013. “Fractales en arqueología: Aplicación en la pintura rupestre de sitios del México prehispánico”. VAR, 4(8): 80-84. https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/5210142.pdf. Visitado en agosto de 2017. Lara Galicia, Aline. S/f. Las firmas fractales en las manifestaciones rupestres del Valle del Mezquital, Hidalgo, México. Disertación de doctorado. Escuela Nacional de Antropología e Historia. Lara Galicia, Aline y David Lagunas Arias. 2016. Signatures fractales et peintures rupestres: Ethnomathématiques mésoaméricaines. Saarbrücken, Presses Académiques Francophones. Lathrap, Donald W. 1976 "Shipibo Tourist Art." En: Nelson H. H. Graburn (editor), Ethnic and Tourist Arts: Cultural Expressions from the Fourth World. Berkeley y Los Angeles, University of California Press, pp. 97-207. https://ia801201.us.archive.org/18/items/bub_gb_wzJ-uRsyfxgC/bub_gb_wzJ- uRsyfxgC.pdf. Laude, Jean. 1966. The arts of black Africa. Traducción de Jean Decock. Berkeley, University of California Press. Lawlor,Robert. 1982. Sacred geometry. Philosophhy and practice. Londres, Thames and Hudson. Layard, John. 1937. “Labyrinth Ritual in South India: Threshold and Tattoo Designs”. Folklore, 48(2): 115-182. Layton, Robert H. 1991. The Anthropology of Art. Cambridge, Cambridge University Press. Layton, Robert H. 2003. “Art and Agency: A reassessment”. Journal of the Royal Anthropological Institute, 9: 447-464. Leach, Edmund. 1971 [1961]. Rethinking anthropology. London School of Economics. Monographs on Social Anthropology, N° 22. Londres, The Athlone Press.. Lefkowitz, Mary y Guy MacLean Rogers. 1996. Black Athena revisited. Chapel Hill y Londres, The University of North Carolina Press. Lerdahl, Fred y Ray Jackendoff. 1983. A generative theory of tonal music. Cambridge (USA), MIT Press. Leuthold, Steven. 2011. Cross-Cultural Issues in Art: Frames for Understanding. Londres, Routledge. Levelt, Willem. 2008. An introduction to the theory of formal languages and automata. Amsterdam, John Benjamins Publishing Company. Levin, Stephen. 2006. “Tensegrity: The new biomechanics”. En: Textbook of Musculoskeletal Medicine. Oxford, Hutton Ellis, pp. 69-80

170

Lévi-Strauss, Claude. 1964 [1962]. El pensamiento salvaje. México, Fondo de Cultura Económica. Lévi-Strauss, Claude. 1968 [1958 {1944-1945}]. “El desdoblamiento de la representación en el arte de Asia y América”. En: Antropología estructural. Buenos Aires, Eudeba, pp. 221- 242. Lévi-Strauss, Claude. 1968 [1954]. “Lugar de la antropología entre las ciencias sociales y problemas planteados por su enseñanza”. En: Antropología estructural. Buenos Aires, Eudeba, pp. 359-392. Lévi-Strauss, Claude. 2005 [1979]. La vía de las máscaras. 7a edición. México, Siglo XXI Editores. Lewis, David. 1964. "Polynesian navigational methods". Journal of the Polynesian Society, 73: 364-374. Lewis, David H. 1978. The voyaging stars: Secrets of the Pacific Navigators. Ann Arbor, Collins. Lewis, David H. 1994 [1972]. We, the Navigators: The Ancient Art of Pacific Landfinding in the Pacific. Honolulu, University of Hawaii Press. https://openresearch- repository.anu.edu.au/handle/1885/114874. Linz, Peter. 2001. An introduction to formal languages and automata. 3a edición, Boston, Jones and Bartlett Publishers. Livio, Mario. 2002. The golden ratio: The story of PHI, the world's most astonishing number. Broadway Books. Lloyd, David Robert. 2012. “How old are the Platonic Solids?”. BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics, 27(3): 131-140. http://dx.doi.org/10.1080/17498430.2012.670845. Loeb, Arthur. 2003. Concepts and images. Nueva York, Springer Business+Media. López Aguilar, Fernando y Fernando Brambila Paz (editores). 2007. Antropología fractal. México, Centro de Investigación en Matemáticas-Sociedad Matemática Mexicana. López Aguilar, Fernando y Guillermo Bali. 2007. “Cálculo del estadístico de correlación entre épocas a través de respuestas múltiples y su representación fractal para el espacio de trayectorias mesoamericano”. En: F. López y F. Brambila (editores), Antropología fractal, México, Cimat, pp. 73-92. Lorenz, Wolfang E. 2003. Fractals and fractal architecture. Disertación de doctorado, Universität Wien. Lotfalian, Mazyar . 2001. “African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design”. American Ethnologist, 28(4), 925–926. doi:10.1525/ae.2001.28.4. Lounsbury, Floyd G. 1946. “Stray Number Systems among Certain Indian Tribes”. American Anthropologist, 68: 672-675. Lu, Peter J. y Paul J. Steinhardt. 2007. “Decagonal and Quasicrystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture”. Science, 315: 1106-1110. http://physics.princeton.edu/~steinh/peterlu_SOM7_sm.pdf. Lu, Peter J. y Paul J. Steinhardt. 2007. “Classical quasicrystalline tilings”. Science, 315(5815): 1049. Lu, Peter J. y Paul J. Steinhardt. 2007. “Further notes on quasi-crystal tilings”. Science, 316(5827): 981-982. Lucas, Theodore. 1970. The Musical Style of the Shipibo Indians of the Upper Amazon. Disertación de doctorado. Universidad de Illinois en Urbana.

171

Luck, Michael F. 1972. The Preliminary Foundation of Puluwatan Navigational Cognition. Disertación de doctorado, Southern Illinois University Lumpkin, Beatrice. 1997. Geometry activities from many cultures. Portland, J. Weston Walch Publiher. [esp. capítulos 3 a 10] Lyons, Henry. 1928. “The Sailing Charts of the Marshall Islanders”. Journal of the Royal Geographical Society, 72: 325-328. Makovicky, Emil. 1992. “800-year-old pentagonal tiling from Marāgha, Iran, and the new varieties of aperiodic tiling it inspired”. En: István Hargittay (editor), Five-fold symmetry. Singapur, World Scientific, pp. 67-86. Makovicky, Emil. 2007. "Comment on "Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture"". Science, 318 (5855): 1383. https://science.sciencemag.org/content/sci/318/5855/1383.1.full.pdf. Makovicky, Emil. 2011. “Shipibo geometric designs”. Symmetry – Culture and Science, 22: 373–389. Makovicky, Emil. 2016. Symmetry: Through the eyes of old masters. Berlín y Boston, De Gruyter. Makovicky, Emil y Nicolette Makovicky. 2011. “The first find of dodecagonal quasiperiodic tiling in historical Islamic architecture”. Journal of Applied Chrystallography, 44(3): 569-573. Malkevitch, John. 2019. “Euler's polyhedral formula”. American Mathematical Society. http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-eulers-formula. Mall, Amar S. 2007. "Structure, innovation and agency in pattern construction: the kolaṁ of Southern India". En: Elizabeth Hallam y Tim Ingold (editores), Creativity and Cultural Improvisation. Oxford, Berg, pp. 55-78. Mallery, Garrick. 1888-1889. “Picture writing of the American indians”. Tenth Annual Report of the Bureau of Ethnology, Washington DC, pp. 25-807. Maloney, Dan. 2018. “How Etak paves the way to personal navigation”. https://hackaday.com/2018/06/29/how-etak-paved-the-way-to-personal-navigation/. Mandelbrot, Benoît. 1982. The fractal geometry of nature. San Francisco W. H. Freeman. Mandelbrot, Benoît y M. L. Frame. 2002. Fractals, graphics, and mathematics education. Washington DC, Mathematical Association of America. https://pdfs.semanticscholar.org/2022/bb7bf4e5632d798b6cab92638a3786ba3dd2.pdf?_ ga=2.198547238.885529699.1565103208-891163961.1561931503. Manturov, Vassily. 2004. Knot theory. Boca Raton, CRC. Marcolli, Matilde. 2017. Noncommutative cosmology. Singapur, World Scientific. Marinho Dias, Elisabete. 2013. A Geometria Sona e as isometrias: uma experiência no ensino básico. Disertación de Maestría. Universidade de Aveiro. Markowsky, George. 1992. “Misconceptions about the golden ratio”. College Mathematics Journal, 23: 2-19. Marhall, Dorothy. 1976. “Carved stone balls”. Proceedings of the Society of Antiquaries of Scotland, 108: 40-72. http://journals.socantscot.org/index.php/psas/article/view/8959. Marshall, James A. 1987. “An Atlas of American Indian geometry”. Ohio Archaeologist, 37(2): 36-48. https://kb.osu.edu/dspace/handle/1811/55882. Martin, Barrett H. 2005. “Woven Songs of the Amazon (Icaros and Weavings of the Shipibo Shamans)”. Ponencia presentada en la 50th Annual Conference of the Society for

172

Ethnomusicology (Atlanta, EEUU, 16-20 de noviembre 2005). http://www.museumtextiles.com/wovensongs.pdf. Martin, Barrett H. y Shipibo Shamans. 2006. Woven Songs of the Amazon. Healing Icaros of the Shipibo Shamans. CD audio. Sunyata Records. Martin, Barrett H. y Shipibo Shamans. 2019. Woven Songs of the Amazon II. A ceremony of heaaling with the Sipibo shamans. CD audio. Sunyara Records. Martínez Armijo, Isabel Angélica. 2005. Textiles inca en el contexto de la capacocha - función y significado. Disertación de Licenciatura. Cusco. Martínez-Crovetto, Raúl. 1970. “Juegos de Hilo de los Aborígenes del Norte de Patagonia”. Etnobiológica, 14: 1-75. Massey, Doreen. 2005. For space. Los Angeles y Londres, Sage. Mato, Daniel. 1987. Clothed in Symbol: The Art of Adinkra among the Akan of Ghana. [Clasificado como: Clothed in Symbols: Wearing proverbs] Disertación de doctorado, Indiana University. [Pendiente de consulta directa] Maude, Honor. 1971. The string figures of Nauru Island. Libraries Board of South Australia. McDonald Boyer, Ruth. 1976. "Gourd Decoration in Highland Peru". En: Nelson H. H. Graburn (editor), Ethnic and Tourist Arts: Cultural Expressions from the Fourth World. Berkeley y Los Angeles, University of California Press, pp. 183-196. McKinty, Judy. 2011. “String Games in Australia”. En: G. Seal y J. Gall (editores), Antipodean Traditions: Australian Folklore in the 21st Century. Perth, Black Swan Press. Mead, Sidney M. 1976. “The production of native art and craft objects in Contemporary New Zealand Society”. En: Nelson H. H. Graburn (editor), Ethnic and Tourist Arts: Cultural Expressions from the Fourth World. Berkeley y Los Angeles, University of California Press, pp. 285-298. Mead, Sidney. 1979. Exploring the Visual Art of Oceania: Australia, Melanesia, Micronesia, and Polynesia. Honolulu, University of Hawaii Press. Mellerna, Wilbur. 1990. [Carta a Gloria Gilmer]. ISGEM Newsletter, 6(1). http://web.nmsu.edu/~pscott/isgem61.htm. Mellin-Olsen, S. 1986. “Culture as a key theme for mathematics education. Post seminar reflections”. En: Mathematics and culture, a seminar report. Caspar Forlag, Radal, pp. 99-121 Menasco, William y Morwen Thistletwaite (editores). 2005. Handbook of knot theory. Amsterdam, Elsevier. Mercat, Christian. 2019. Celtic knotwork, the ultimate tutorial. http://www.entrelacs.net/en.index.html. Meurant, Georges y Robert Thompson. 1995. Mbuti Design Paintings by Pygmy Women of the Ituri Forest. Londres, Thames and Hudson Miller, George. 1987 [1956]. “El mágico número siete, más o menos dos: Algunas limitaciones en nuestra capacidad para el procesamiento de información”. En: M. V. Sebastián (editora), Lecturas en psicología de la memoria. Madrid, Alianza, pp. 131-153. Mishra, Anand. 2019. Modeling the Pāṇinian system of sanskrit grammar. Heidelberg University Publishing. doi: https://doi.org/10.17885/heiup.294.395. Mix, Kelly S., Linda B. Smith y Michael Gasser (editores). 2010. The Spatial Foundations of Cognition and Language. Oxford, Oxford University Press. https://es.scribd.com/doc/268094385/The-Spatial-Foundations-of-Cognition-and- Language-Thinking-Through-Space-pdf.

173

Mobley, Aaron. S/f. Adinkra cloth symbols. Asante Wisdom. Hartford, Afrika Designs. https://es.scribd.com/doc/135155011/Adinkra-Cloth-Symbols-Asante-Wisdom. Montani, Rodrigo. 2018. “Imágenes indígenas del bosque chaqueño: Animales y plantas en el universo visual wichí”. Caravelle, 110: 65-86. 10.4000/caravelle.2897. Morphy, Howard. 2009. “Art as a Mode of Action: Some Problems with Gell’s Art and Agency”. Journal of Material Culture, 14 (1): 5-27. Morphy, Howard y Morgan Perkins. 2006. The anthropology of art. A reader. Malden, Blackwell Publishing. Mosko, Mark. 2005. “Introduction: A (Re)turn to Chaos: Chaos Theory, the Sciences and Social Anthropological Theory”. En: Mark Mosko y Frederick H. Damon (editores), On the Order of Chaos. Social Anthropology and the Science of Chaos. Nueva York, Berghahn Books, pp. 1-46. Motro, René. 2012. "Tensegrity: from Art to Structural Engineering". IASS-APCS Symposium, May 2012, Séoul, South Korea. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00857410. Mukhopadhay, Swapna y Wolff Michael Roth (editores). 2012. Alternative Forms of Knowing (in) Mathematics: Celebrations of Diversity of Mathematical Practices. Rotterdam, Boston y Taipei, Sense Publishers. Murasugi, Kunio. 1996. Knot Theory and Its Applications. Basilea, Birkhäuser. Murdoch, John. 1890. “Notes on counting and measuring among the Eskimo of Point Barrow”. The American Anthropologist, 3(1): 37-44. https://www.jstor.org/stable/658325?seq=8#metadata_info_tab_contents. Murphy, A. 1991. Fractal geometry and thought in Bhagavat Purana. Inédito. Murrell, Denise. 2000. "African Influences in Modern Art". Heilbrunn Timeline of Art History. Nueva York, The Metropolitan Museum of Art, 2000. http://www.metmuseum.org/toah/hd/aima/hd_aima.htm. Nagata, Shojiro y Robinson Thamburaj. 2006. "Digitalization of Kolam Patterns and Tactile Kolam Tools". En: K. G. Subramanian y otros (editores), Op. cit., pp. 353-362. Naples, Sylvia. 2009. Classification of Adinkra graphs. Annandale-on-Hudson, Bard College. Necipoğlu, Gülru. 1992. "Geometric Design in Timurid/Turkmen Architectural Practice: Thoughts on a Recently Discovered Scroll and Its Late Gothic Parallels". En: Lisa Golombek and Maria Subtelny (editores), Timurid Art and Culture: Iran and Central Asia in the Fifteenth Century. Leiden, E. J. Brill, pp. 48-66. https://s3.amazonaws.com/media.archnet.org/system/publications/contents/3061/origina l/DPC0360.pdf?1384770785. Necipoğlu, Gülru. 1995. The Topkapı Scroll — Geometry and Ornament in Islamic Architecture. The Getty Center for the History of Art and the Humanities. Necipoğlu, Gülru. 2012. “The Concept of Islamic Art: Inherited Discourses and New Approaches”. Journal of Art Historiography, 6. Necipoğlu, Gülru y J. Bailey. 2005. “Muqarnas: An Annual on the Visual Culture of the Islamic World”. Leiden, Koninklijke Brill NV, vol. 22: 85-94. Niedźwiedź, Anna. 2012. “Being Christian In Africa: Identities Lived Within A Catholic Community In Central Ghana”. En: Vlastimil Fiala (editor), Multiple identities in post- colonial Africa. University of Hradec Králové. https://www.academia.edu/2286320/Being_Christian_in_Africa_Identities_Lived_withi n_a_Catholic_Community_in_Central_Ghana.

174

Nimuendajú, Curt Unkel. 1948. “The Mura and Pirahã”. En: J. Steward (editor), Handbook of the South American Indians. Vol. 3: The tropical forest tribes. Washington, Bureau of American Indians, Bulletin 143, pp. 255-269. http://archive.org/details/bulletin14331948smit. Nkansah-Obrempong, James. 2002. “Visual Theology – The Significance of Cultural Symbols, Metaphors and Proverbs for Theological Creativity in the African Context: A Case Study of the Akan of Ghana”. Journal of African Christian Thought, 5(1): 38-47. Obrist, Hans Ulrich. 2008. “The father of long tails. Interview with Benoît Mandelbrot”. Edge, https://www.edge.org/3rd_culture/obrist10/obrist10_index.html. Ofori-Ansa, Kwaku. 1999 [1978]. Meaning of symbols in Adinka cloth. Hyattsville, Sankofa Publications. Oleshko, Klaudia, Rosa Brambila, Fernando Brambila, Jean-Francois Parrot, Pedro López. 2000. “Fractal Analysis of Teotihuacan”. Journal of Archaeological Science, 27(11): 1007-1016. Oliver, Paul y Janet B. Hess. 2014. "African architecture". Encyclopedia Britannica Ultimate Reference Suite. Chicago, Encyclopedia Britannica. [Bibliografía de referencia en pp. 11-12]. Orquera, Luis Abel y Ernesto Luis Piana. 1999. La vida material y social de los Yámana. Buenos Aires, EUDEBA. Osawa, Eiji. 1970. "Superaromaticity". Kagaku (Kyoto), 25: 854-863. Osserman, Robert. 1981. “Structure vs. Substance: The Fall and Rise of Geometry”. The Two- Year College Mathematics Journal, 12(4): 239-246. Ossom-Batsa, George y Felicity Apaah. 2018. “Rethinking the Great Commission: Incorporation of Akan Indigenous Symbols into Christian Worship”. Interntional Review of Mission. https://doi.org/10.1111/irom.12221. Ostwald, Michael J. y Chris Tucker. 2007. “Reconsidering Bovill's method for determining the fractal geometry of architecture”. 41st Annual Conference of the Architectural Science Association ANZAScA, Deakin University, pp. 182-190. Ostwald, Michael J. y Josephine Vaughan. 2013. “Limits and errors optimising image pre- processing standards for architectural fractal analysis”. ArS Architecture Science, 7: 1- 19. Ostwald, Michael J. y Josephine Vaughan. 2016. The fractal dimension of architecture. Cham, Birkhäuser. [revisar capítulo de crítica] Otten, Charlotte M. (editora). 1971. Anthropology and Art. Readings in Cross-Cultural Aesthetics. Austin, University of Texas Press. Owusu, Philip. 2019. “Adinkra Symbols as “Multivocal” Pedagogical/Socialization Tool2. Contemporary Journal of African Studies, 6(1): pp. 46-58 Pāṇini [Dakṣiputra]. 1962. The Aṣṭādhyāyī. Interpreted according to the Kāśikāvṛtti of Jayāditya and Vāmana. Edited and translated into English by Śrīśa Candra Vāsu and formatted by James Roger Black. 8 volúmenes. Allahabad y Benarés, Indian Press/Satyajnan Chaterji/ y Sindhu Charan Bose. https://archive.org/details/ashtadhyayi. Pavlopoulos, Theodore G. 2011. “Fractals and Frantisek Kupka's "Amorpha"”. The Peacock's Tail - Essays in mathematics and culture. https://pavlopoulos.wordpress.com/2011/06/26/fractals-and-frantisek-kupkas-amorpha/. Pasztory, Esther. 2010. Inka cubism. Reflections on Andean art. Online only. http://www.columbia.edu/~ep9/Inka-Cubism.pdf.

175

Penrose, Roger. 1974. "The role of aesthetics in pure and applied mathematical research". Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications, 10(2): 266-271. Penrose, Roger. 1976. “Set of tiles for covering a surface”. United States Patent, n° 4133152. https://vdocuments.site/roger-penrose-set-of-tiles-for-covering-a-surface.html. Penrose, Roger. 2017. “Foreword”. En: Jay Bonner, Op. cit., pp. vii-viii. Pérez Gómez, Rafael. 1987. “The four regular mosaics missing in The Alhambra”. Computers & Mathematics with Applications, 14(2): 133-137. https://doi.org/10.1016/0898- 1221(87)90143-X. Pérez Gómez, Rafael. 2004. “Un matemático pasea por la Alhambra”. Semana Europea para la Ciencia y la Tenología. https://culturemath.ens.fr/sites/default/files/RafaelPerezFMA2004-1.pdf. Petrie, W. M. Flinders. 1930. Decorative patterns of the ancient world. Londres, University College. https://ia800808.us.archive.org/31/items/in.gov.ignca.39205/39205.pdf. Phillips, Anthony. 1992. “The Topology of Roman Mosaic Mazes”. Leonardo, 25(3/4), 321- 329. doi:10.2307/1575858 , Pickover, Clifford. 1995. The pattern book. Fractals, art, and nature. Singapur, World Scientific. Pijoan, J. 1914. Historia del arte. El arte a través de la historia. Tomo I. Barcelona, Csa Editorial P. Salvat. Pinker, Steven. 2002. The blank slate: The modern denial of human nature. Nueva York, Penguin Books. Pohl, Angelo Inácio y Saul Eduardo Seiguer Milder. S/f [2008]. “Representações visuais da cestaria Kaingang na Terra Indígena Carreteiro: O grafismo e seus significados”. IX Encontro Estadual de Historia. Rio Grande do Sul. Poirier, Lindsay, Ron Eglash y Bill Babbitt. S/f. Ghana. “Adinkra symbols”. Math is a verb, pp. 61-74. https://www.academia.edu/23710202/Adinkra_Symbols. Portoghesi, Paolo. 2000. Nature and Architecture. Milan, Skira. Posner, Jill. 1982. “The development of mathematical knowledge in two west African societies”. Child Development, 53: 200-208. Post, B., K. Jeene y M. van der Veen. 2009. Muqarnas - Wiskunde in de Islamitische kunst. Reader for course Concrete Meetkunde spring 2009, University Utrecht. http://www.xs4all.nl/~nirmala/muqarnas.pdf. Powell, Arthur. 2015. "A luta continua! An ethnomathematical appreciation of Paulus Pierre Joseph Gerdes". For the learning of mathematics, 35(1): 30-32. Probert, Martin A. 1999. "The Origin of String Figures". Bulletin of the International String Figure Association, 6: 212-252. Probert, Martin A. 2001. “The Survival, Origin and Mathematics of String Figures”. http://mp.guineaflower.org/. Probert, Martin. 2003. “The Torres Strait String Figures in the British Museum A. C. Haddon Collection”. Journal of Museum Ethnography, 16: 140-156. Probert, Martin. 2014. "String Figures are not Knots". Bulletin of the International String Figure Association, 21: 12-14. Prusinkiewicz, Przemysław. 1986. “Score generation with L-systems”. Proceedings of the International Computer Music Conference ’86, pp 455–457.

176

Prusinkiewicz, Przemysław y Jim Hanan. 1998. Lindenmayer systems, fractals, and plants. Nueva York, Springer-Verlag. Prusinkiewicz, Przemysław, Kamala Krithivasan y M. G. Vijayanarayana. 1989. “Application of L-systems to algorithmic generation of South Indian folk art patterns and karnatic music”. En: R. Narasimhan (editor.), A perspective in theoretical computer science — commemorative volume for Gift Siromoney, pp. 229–247. World Scientific, Singapur, 1989. Series in Computer Science, Vol. 16. Prussin, Labelle. 1986. Hatumere, Islamic design in West Africa. Berkeley, University of California Press. Pugachenkova, Galina Anatol'evna y Lazar' Izrailevich Rempel. 1965. Historia del arte de Uzbekistán desde la Antigüedad a mediados del siglo XX (en ruso). Moscú. Qi, Han, Muhammad Shiraz, Adullah Gani, Md Whaiduzzaman y Suleman Khan. 2014. “Sierpinski triangle based data center architecture in cloud computing”. The Journal of Supercomputing, 69(2): 887-907. Quarcoo, Alfred Kofi. 1994. The language of Adinkra patterns. 2a edición. Legon, Sebewie Ventures. Ranjan, M. P., Nilam Iyer y Ghanshyam Pandya. 1986. Bamboo and Cane Crafts of North East India. Nueva Delhi, National Crafts Museum. Rattray, Robert Sutherland. 1969 [1923]. Ashanti. Nueva York, Negro Universities Press. Rattray, Robert Sutherland. 1927. Religion and art in Ashanti. With chapters by G. T. Bennett, Vernon Blake, H. Dudley Buxton, R. R. Marett y C. G. Seligman. Nueva York, Oxford University Press. [“adinkira”, pp. 264-266] Rauff, James V. 1999. Revisión crítica de Ron Eglash, African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design. The American Mathematical Monthly, 106(9): 872-875. doi:10.2307/2589637. Read, Dwight W. 2004. “African Fractals”. Visual Anthropology: Published in cooperation with the Commission on Visual Anthropology, 17(2): 199-203. DOI:10.1080/08949460490457100. Rees, Diane, G. Wilkinson y Clive Orton. 1991. “An investigation of the fractal properties of flint microwear images”. Journal of Archaeological Science, 18: 629-640. Rees, Diane, G. Wilkinson, Clive Orton y Roger Grace. 1988. “Fractal analysis of digital images of flint micro-wear”. En: S. P. Q. Rahtz (compilador), Computer and Quantitative Methods in Archaeology, BAR In-ternational Series, 446(I): 177-183. http://proceedings.caaconference.org/files/1988/11_Rees_et_al_CAA_1988-I.pdf. Reichel-Dolmatoff, Gerardo. 1972. “The Cultural context of an Aboriginal Hallucinogen: Banisteriopsis caapi”. En: Peter T. Furst (editor), Flesh of the Gods: The Ritual Use of Hallucinogens. Prospect Heights, Waveland Press, Inc., pp. 84-114 Reichel-Dolmatoff, Gerardo. 1985a. “Aspectos chamanísticos y neurofisiológicos del arte indígena”. En: C. Aldunate, J. Berenguer y Victoria Castro (editor@s), Estudios en arte rupestre. Santiago, Museo Chileno de Arte Precolombino, pp. 291-307. Reichel-Dolmatoff, Gerardo. 1985b. Basketry as Metaphor. Arts and Crafts of the Desana Indians of the Northwest Amazon. Los Angeles, Museum of Cultural History. Resnick, Lauren B., Clotilde Pontecorvo, Roger Säljö y Barbara Burge (editor@s). 1997. Discourse, Tools and Reasoning: Essays on Situated Cognition. Berlín y Heidelberg, Springer Verlag.

177

Reynoso, Carlos. 1981. Buddhismo tántrico y psicoanálisis reichiano: Ensayo de antropología comparativa. http://carlosreynoso.com.ar/buddhismo-tantrico-y-psicoanalisis-reichiano- un-ensayo-de-antropologia-comparativa-1981/. Reynoso, Carlos. 1986. Teoría, historia y crítica de la antropología cognitiva: Una propuesta sistemática. Buenos Aires, Yuchán. Reynoso, Carlos. 1990. “Seis Nuevas Razones Lógicas para Desconfiar de Lévi-Strauss”. Revista de Antropología, Buenos Aires, Nº 10, pp. 3-17. http://carlosreynoso.com.ar/seis-nuevas-razones-logicas-para-desconfiar-de-levi-strauss- 1990/. Visitado en julio de 2014. Reynoso, Carlos. 1991. Antropología y programación lógica. Una propuesta sistemática. Proyecto de disertación de doctorado. Facultad de Filosofía y Letras, Universidad de Buenos Aires. http://carlosreynoso.com.ar/antropologia-y-programacion-logica-1991/. Reynoso, Carlos. 1993. De Edipo a la Máquina Cognitiva. Introducción Crítica a la Antropología Psicológica. Buenos Aires, Imago Mundi – El Cielo por Asalto. Reynoso, Carlos. 2005. “The impact of Chaos and Complexity Theories on spatial analysis: Problems and perspectives”. Proceedings, 24th International Research Symposium, Reading Historical Spatial Information from Around the World: Studies of Culture and Civilization based on Geographic Information Systems Data. Kyoto, International Research Center for Japanese Studies, pp. 81-89. http://carlosreynoso.com.ar/the- impact-of-chaos-and-complexity-theories-in-spatial-analysis-problems-and- perspectives-2005/. Reynoso, Carlos. 2006. Complejidad y Caos: Una exploración antropológica. Buenos Aires, Sb Ediciones. Reynoso, Carlos. 2008a. Diseño artístico y arquitectónico con gramáticas complejas. http://carlosreynoso.com.ar/diseno-artistico-y-arquitectonico-con-gramaticas-complejas- 2008/. Reynoso, Carlos. 2008b. Diseño en artes visuales y sonoras con metaheurísticas evolutivas. http://carlosreynoso.com.ar/archivos/arte-y-metaheuristicas.pdf. Reynoso, Carlos. 2009. Modelos o metáforas: Critica del paradigma de la complejidad de Edgar Morin. Buenos Aires, Ediciones Sb. Reynoso, Carlos. 2010a. Cognición espacial – Mapas cognitivos. http://carlosreynoso.com.ar- ciencia-cognitiva-09-mapas-cognitivos. Reynoso, Carlos. 2010b. Ciencia cognitiva: Pensamiento visual, parte 2. http://carlosreynoso.com.ar/ciencia-cognitiva-04-pensamiento-visual-ii/ Reynoso, Carlos. 2010c. Diseño y análisis de la ciudad compleja: Perspectivas de la antropología urbana. Buenos Aires, Ediciones Sb. Reynoso, Carlos. 2011a. Redes sociales y complejidad: Modelos interdisciplinarios en la gestión sostenible de la sociedad y la cultura. Buenos Aires, Sb. Reynoso, Carlos. 2011b. Antropología y estadísticas: Batallas en torno de la hipótesis nula. Saarbrücken, Editorial Académica Española Reynoso, Carlos. 2019a. Geometrías del poder. En curso de publicación, Buenos Aires, Ediciones Sb. Reynoso, Carlos. 2019b. (Re)lectura crítica de la antropología perspectivista y de los giros ontológicos en la ciencia pos-social (Viveiros de Castro – Philippe Descola – Bruno Latour). En curso de publicación. Buenos Aires, Ediciones Sb. Reynoso, Carlos. 2019d. Dilemas de la similitud, la diferencia y la comparación. En curso de publicación. Ediciones Sb.

178

Rian, Iasef Md, Jin-Ho Park y Hyung Uk Ahn. 2007. “Fractal geometry as the synthesis of Hindu cosmology in Kandariya Mahadev temple, Khajuraho”. Buiding and Environment. doi: 10.1016/j.buildenv.2007.01.028 Riesenberg, Saul H. 1972. "The organization of navigational knowledge in Puluwat". The Journal of the Polynesian Society, 81: 19-56. http://www.jps.auckland.ac.nz/document//Volume_81_1972/Volume_81%2C_No._1/T he_organisation_of_navigational_knowledge_on_Puluwat%2C_by_Saul_H._Riesenber g%2C_p_19-56/p1. Rigby, John. 2005. “A turkish interlacing pattern and the golden ratio. Whirling dervishes and a geometry lecture in Konya”. Mathematics in School, 16-24. https://www.m-a.org.uk/resources/Vol-34- No1_Jan_2005_A_Turkish_interlacing_pattern_and_the_golden_ratio.pdf. Rimpsey, Serae. 2013. “The Abstract Text: Adinkra Symbolism as a Narrative in Drawing”. Independent Study Project (ISP) Collection. 1678. https://digitalcollections.sit.edu/isp_collection/1678. Robkin, Jessica. 2012. Fractal Analysis applied to ancient Egyptian Monumental Art. Disertación de Maestría. Boca Raton, Florida Atlantic University. Roche, John James. 1987. “A Critical Study of Symmetry in Physics from Galileo to Newton”. En: Manuel García Doncel y otros (editores), Symmetries in physics (1600–1980). 1st International Meeting on the History of Scientific Ideas, Sant Feliu de Guíxols, Catalonia, Spain, September 20–26, 1983. Barcelona, Universitat Autònoma de Barcelona, pp. 1-28. Rodríguez, Andrea y Francisco Godoy. 2006. "Graph-based navigation strategies for heterogeneous spatial data sets". International Conference of Geographic Information Science GIScience 2006. Berlín y Heidelberg, Springer, LNCS vol. 4197, pp. 353-369. https://doi.org/10.1007/11863939_23. Rogers, David E. 1987. "The Influence of Panini on Leonard Bloomfield". Historiographia Linguistica, 14(1-2): 89–138. doi:10.1075/hl.14.1-2.11rog Rohrer, Andrea V. 2010. Ethnomathematics: New Approaches to its Theory and Application. Disertación de doctorado. Rohrer, Andrea V. y Gert Schubring. 2011.” Ethnomathematics in the 1920s – The contribution of Ewald Fettweis (1881-1967) to the History of Mathematics". XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011. Rojas Silva, David Vicente de. 2008. Los Tokapu. Graficación de la emblemática Inka. Lima. Producciones CIMA Editores. Romm, Cari. 2015. “How sticks and shell charts became a sophisticated system for navigation”. Smithsonian.com. https://www.smithsonianmag.com/smithsonian-institution/how- sticks-and-shell-charts-became-sophisticated-system-navigation-180954018/. Rosa, Milton y Daniel Clark Orey. 2010. "For a critical ethnomathematics perspective: Get off the dance floor and get on the balcony". Acta Scientiae, 12(2): 9-21. Rosa, Milton y Daniel Clark Orey. 2011. “Ethnomathematics: The cultural aspects of mathematics”. Revista Latinoamericana de Etnomatemática, 4(2): 32-54 Rossi, Corinna. 2007 [2003]. Architecture and mathematics in ancient Egypt. Cambridge, Cambridge University Press. Rossi, Corinna y Christopher A. Tout. 2002. “Were the Fibonacci series and the golden section known in Ancient Egypt?”. Historia Mathematica, 29: 1-13. https://core.ac.uk/download/pdf/55260352.pdf.

179

Rowley, Graham. 1938. “Snow-House Building”. Polar Record, 2(16): 109-116. doi:10.1017/s0032247400036986 Sainte-Laguë, M. André. 1926. Les réseaux (ou graphes). Mémorial des sciences mathématiques, fascicule #18. París, Gauthier-Villars et Cie. http://www.numdam.org/issue/MSM_1926__18__1_0.pdf. Sala, Nicoletta. 2002. “Fractal models in architecture: A case study”. http://math.unipa.it/~grim/Jsalaworkshop.PDF. Sala, Nicoletta. 2003. “Fractal Geometry And Self-Similarity In Architecture: An Overview Across The Centuries”. BRIDGES Mathematical Connections in Art, Music, and Science. https://archive.bridgesmathart.org/2003/bridges2003-235.pdf. Sala, Nicoletta. 2006. “Fractal geometry and architecture: Some interesting connections”. WIT Transactions on The Built Environment, vol. 86. https://pdfs.semanticscholar.org/7068/8edc8262ebcc16b9eec18d3b9d0f864b9ac6.pdf. Salami, Gitti y Monica Blackmun Visonà (editoras). 2013. A companion to Modern African Art. Wiley Blackwell. Salvador, Mary Lyn. 1976. "The Clothing Arts of the Cuna of San Blas, Panama". En: Nelson H. H. Graburn (editor), Ethnic and Tourist Arts: Cultural Expressions from the Fourth World. Berkeley y Los Angeles, University of California Press, pp. 165-182. Sandoval García, Gustavo y Rodrigo Vilanova de Allende, 2007, “Perspectivas en el uso de herramientas fractales en arqueología”. En: Fernando López Aguilar y Fernando Brambila Paz (editores), Antropología fractal. México, Centro de Investigación en Matemáticas-Sociedad Matemática Mexicana, pp. 45-71. Sardar, Dhrubajyoti y S. Y. Yulkarni. 2015. “Role of fractal geometry in Indian Hindu temple architecture”. International Journal of Engineering Research & Technology, 4(5): 532- 537. https://www.ijert.org/research/role-of-fractal-geometry-in-indian-hindu-temple- architecture-IJERTV4IS050709.pdf. Sarfert, Ernst Gotthilft. 1911. "Zur Kenntnis der Schiffahrtskunde der Karoliner”. Korrespondenzblatl der deutschen Gesselschaft für Anthropologie, Ethnologie und Urgeschichte, 42. Saussure, Ferdinand de. 1881. De l'emploi du génitif absolu en sanscrit. Disertación de Doctorado. Facultad de Filosofía, Universidad de Leipzig. Ginebra, Imprimerie Julius- Guillaume Fik. https://ia800300.us.archive.org/10/items/delemploidugni00sausuoft/delemploidugni00sa usuoft.pdf. Saussure, Leopold de. 1928. “L'Origine de la Rose des Vents et l'Invention de la Boussole”. En: Gabriel Ferrand (editor), Introduction à l'Astronomie Nautique Arab. Paris, Paul Geuthner, pp. 31-128. https://archive.org/details/instructionsnaut03ferruoft/page/n6. Schmidt, Max. 1904. “Ableitung südamerikanischer Geflechtmuster aus der Technik des Flechtens”. Zeitschrift für Ethnologie, 34: 490-512. Schmidt, Max. 1905. Indianerstudien in Zentralbrasilien. Erlebnisse und ethnologische Ergebnisse einer Reise in den Jahren 1900 bis 1901. Berlin, Dietrich Reimer. Schück, A. 1902. Die Stabkarten der Marshall-Insulaner. Hamburgo, Kommissionsverlag von H.O. Persiehl. Schuenemann, Verena, Alexander Peltzer y Beatrix Welte. 2017. "Ancient Egyptian mummy genomes suggest an increase of Sub-Saharan African ancestry in post-Roman periods". Nature Communications, 8: 15694.

180

Scriba, Christoph J. y Peter Schreiber. 2015. 5000 years of geometry. Mathematics in History and Culture. Heidelberg y Nueva York, Springer Basel (Birkhäuser). Seeman, Erik R. 2010. “Reassessing the ‘Sankofa Symbol’ in New York’s African Burial Ground”. William and Mary Quarterly, 3a serie, 67(1): 101-122. https://web.archive.org/web/20100611175932/http://www.history.buffalo.edu/document s/SeemanWMQ.pdf. Seidenberg, Abraham. 1962a. “The Ritual Origin of Geometry”. Archive for History of Exact Sciences, 1: 488-527. Seidenberg, Abraham. 1962b. “The Ritual Origin of Counting”. Archive for History of Exact Sciences, 2: 1-40. Seidenberg, Abraham. 1981. The Ritual Origin of circle and square. Berlín, Heidelberg y Nueva York, Springer Verlag. Seidenberg, Abraham. 1983. "The Geometry of the Vedic Rituals." En: Frits Staal (editor), AGNI: The Vedic Ritual of the Fire Altar. Berkeley, vol. 2, pp. 95-126. Selin, Helaine (editora). 2000. Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics. Dordrecht, The Netherlands, Kluwer Academic Publishers. Selin, Helaine (editora). 2008. Encyclopedia of the history of science, technology and medicine in non-western cultures. 2 volúmenes. Berlín y Heidelberg, Springer. Selvamony, Nirmal. 2006. "Kalam as Heterotopia". En: M. D. Muthukumaraswamy (editor), Folklore as discourse. Chennai, National Folklore Support Centre Senechal, Marjorie. 1975. "Point groups and color symmetry". Zeitschrift für Kristallographie, 142: 1-23. Senechal, Marjorie. 1995. Quasicrystals and geometry. Cambridge, Cambridge University Press. Serres, Michel. 2017 [1995]. Geometry. The third book of foundations. Londres, Bloomsbury Academic. Setati, Mamokgethi y Abdul Karim Bangura. 2011. African mathematics. From bones to computers. Langham, University Press of America. Severi, Carlo. 2006. Anthropologie de la mémoire. París, Musée du Quai Branly. Severi, Carlo. 2009. L’univers des arts de la mémoire. Anthropologie d’un artefact mental. Annales. Histoire, Sciences Sociales, EHESS, pp. 463-497. Severi, Carlo. 2012. Prise de notes de la journée d’étude Arts de mémoire et pratiques à caractère mathématique, Paris, 3 décembre 2012. Severi, Carlo. 2014. «L’image rituelle». Cahiers d’Anthropologie Sociale Severi, Carlo y Els Lagrou (organizadores). 2013. Quimeras em diálogo. Grafismo e figurҫão nas artes indigenas. Rio de Janeiro, Viveiros de Castro Editora Ltda. Sha, Bey-Ling. 2004. “Noether's Theorem: The Science of Symmetry and the Law of Conservation”. Journal of Public Relations Research, 16(4): 391-416. Shakarov, Avner y Lyubov Senatorova. 2015. Traditional african art: An illustrated study. Jefferson, McFarland & Company. Shannon, Claude y Warren Weaver. 1949. The mathematical theory of communications. Urbana, University of Illinois Press. Shepard, Anna. 1948. The symmetry of abstract design with special reference to ceramic decoration. Contribution n.47, Carnegie Institution of Washington Publication n° 574.

181

Shiner, Larry. 2001. The invention of art. Chicago, The University of Chicago Press. Shubnikov, Aleksei Vassilevich y V. A. Koptsik. 1974. Symmetry in Science and Art. Nueva York, Plenum Press. Silver, Harry R. 1979. “Ethnoart”. Annual Review of Anthropology, 8(1): 267-307. Silverman, Gail. 2011. “La escritura Inca: La representación geométrica del Quecha Precolombino”. Ex novo: revista d'història i humanitats, 7. https://www.raco.cat/index.php/ExNovo/article/view/250696/335576. Silverman, Gail P. 2015. Los signos del imperio - Cápac Pallay: Lo invisible en el tejido andino. Tomo 3. Lima, Biblioteca Abraham Valdelomar. Simon, Max. 1973 [1909]. Geschichte der Mathematik im Altertum. Amsterdam, Philo Press. Siromoney, Gift, Rani Siromoney y Kamala Krithivasan. 1974. “Array languages and kolam – A survey”. Computer Graphics and Image Processing, 3: 63-82. doi:10.1016/0146- 664x(74)90011-2. Siromoney, Gift. 1978. “South Indian kolam patterns”. Kalakshetra Quarterly, 1(1): 9-14. https://www.cmi.ac.in/gift_siromoney/Kolam/kola_pattern.htm. Siromoney, Rani. 1986. “Array languages and Lindenmayer systems”. En: G. Rozenberg y A. Saomaa (editores), The Book of L. Heidelberg, Springer-Verlag, pp. 413-426. Situngkir, Hokky. 2010. “Borobudur was built algorithmically”. https://www.academia.edu/1287233/Borobudur_was_Built_Algorithmically. Skelton, Robert E. y Mauricio C. de Oliveira (editores). 2009. Tensegrity Systems. Dordrecht, Heidelberg, Londres y Nueva York. Springer Science+Business Media. Skinner, Stephen. 2008 [2007]. Geometría sagrada: Descifrando el código. 2a edición. Madrid, Gaia Ediciones. Sloss, Andy. 2002 [1995]. How to draw celtic knotwork. A practical handbook. Londres, Cassel & Co. Smith, Reginald. 1909. “On a late Celtic mirror found at Desborough, Northants, and other mirrors of the period”. Archaeologia, 61(2): 329-346. https://doi.org/10.1017/S0261340900010109. Somjee, Sultan. 1993. Material Culture of Kenya. Nairobi, East African Educational Publishers. Staal, Frits. 1965. "Context-sensitive rules in Pāṇini ". Foundations of language,1: 63-72. Staal, Frits. 1988. Universals: Essays in indian logic and linguistic. Chicago, University of Chicago Press. Steinhardt, Paul. 2019. The Second Kind of Impossible: The Extraordinary Quest for a New Form of Matter. Nueva York, Simon & Schuster. Steurer, Walter. 2004. “Twenty years of structure research on quasicrystals. Part I. Pentagonal, octagonal, decagonal and dodecagonal quasicrystals”. Zeitschrift für Kristallographie, 219: 391-446. Stevens, Peter S. 1980. Handbook of regular patterns. An introduction to symmetry in two dimensions. Cambridge (USA), The Massachusetts Institute of Technology. Stewart, Ian. 2007. Why beaty is truth. The history of symmetry. Nueva York, Basic books. Strathern, Marilyn. 1992. Partial connections. Londres, Rowman & Littlefield. Struik, Dirk J. 1948. “Marx and mathematics”. Science and Society, 12(1): 181-196.

182

Struik, Dirk J. 1997. "Marx and mathematics". En: Arthur Powell y M. Frankenstein (editor@s), Ethnomathematics: Challenging Eurocentrism in Mathematics Education. Albany, SUNY Press, pp. 173-192. Subramanian, K. G., Madhavan Mukund y K. Rangarajan. 2006. Formal Models, Languages and Applications. Singapur, World Scientific. Sufiatti, Tanabi, Lucí dos Santos Bernardi, Claudia Glavam Duarte. 2013. "Cestaria e a história de vida dos artesãos indígenas da Terra Indígena Xapecó". Revista Latinoamericana de Etnomatemática, 6(1): 67-98. Sutton, Daud. 2007. Islamic design: A genius for geometry. Nueva York, Walker and Company. Tabares Ramirez, John Jairo. 2016. Estado del arte de la etnomatemática en Colombia. Disertación de Licenciatura en Etnoeducación. Universidad Abierta y a Distancia, Medellín, Escuela de Ciencias de la Educación. Takahashi, S. 1973. Muqarnas: A Three-Dimentional Decoration of Islam Architecture. http://www.tamabi.ac.jp/idd/shiro/muqarnas Tatlow, Ruth. 2006. “The Use and Abuse of Fibonacci Numbers and the Golden Section in Musicology Today”. Understanding Bach, 1: 69-85. https://www.bachnetwork.org/ub1/tatlow.pdf. Tenbrink, Thora, Jan Wiener y Christophe Claramunt (editores). 2013. Representing Space in Cognition: Interrelations of Behaviour, Language, and Formal Models. Oxford, Oxford University Press. Tessmann, Günter. 1928. Menschen ohne Gott: Ein Besuch bei den Indianern des Ucayali. Stuttgart, Verlag Strecker und Schröder. Timalsina, Sthaneshwar. 2013. “Imagining Reality: Image and Visualization in Classical Hinduism”. (SERAS) Southeast Review of Asian Studies, 35: 50-69. https://es.scribd.com/document/397278243/Imagining-Reality-Image-and- Visualization-in-Classical-Hinduism. Torgovnick May, Kate. 2013. "Architecture infused with fractals: How TED speaker Ron Eglsh inspired architect Xavier Vilalta". Ted Talks. https://blog.ted.com/architecture-infused- with-fractals-ron-eglash-and-xavier-vilalta/. Touré, Saliou y Salimata Doumbia. 1980. Mathematics in the (African) socio-cultural environment. Côte d'Ivoire. Toussaint, Godfried T. 2005. “The Euclidean algorithm generates traditional musical rhythms”. En: Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pp. 47-56. Toussaint, Godfried. 2013. The geometry of musical rhythm. What makes a “good” rhythm good?. Boca Raton, CRC Press. https://pdfs.semanticscholar.org/e9d2/c04530974de69764fa3808ed8cb6561627e3.pdf. Tregear, Edward Robert. 1885. The aryan Maori. George Didsbury, Government Printer. https://ia802703.us.archive.org/2/items/aryanmaori00treg/aryanmaori00treg.pdf. Trivedi, Kirti. 1988. “Hindu temples: models of a fractal universe”. Space design, 290: 234-258. http://www.akashfoundation.com/Articals/Hindu_Temple_Models.pdf. Trivedi, Kirti. 2017. Fractal architecture of Hindu temples and parametric form generation in contemporary architecture. Second International Academic Conference on Modern Oriental Art, Moscow, 17–20 October, 2017. https://www.academia.edu/35016726/Fractal_Architecture_of_Hindu_Temples_and_Pa rametric_Form_Generation_in_Contemporary_Architecture

183

Trujillo, Omar Enrique. 2017. “Geometría en la arquitectura de la vivienda tradicional arhuaca”. Revista Latinoamericana de Etnomatemática, 10(1). Turing, Alan. 1936. “On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungs- problem”. Proceedings of the London Mathematical Society, 42: 230-265. https://www.cs.virginia.edu/~robins/Turing_Paper_1936.pdf. Turnbaugh, Sarah P. y William A. Turnbaugh. 1986. Indian Baskets. West Chester, Schiffer Publishing. Turnbull, David. 1990. Mapping the world in the mind: A case study of the unwritten knowledge of the Micronesian navigators. Victoria, Deakin University. Turnbull, David. 1994. “Comparing knowledge systems: Pacific navigation and Western science”. En: J. Morrison, P. Geraghty y L. Crowl (editores), Science of the Pacific Island Peoples: Vol. 1, Ocean and Coastal Studies. Suva, Institute of Pacific Studies, pp. 129-144. Turnbull, David. 1993. “Local knowledge and comparative scientific traditions”. Knowledge and Policy, 6(3-4), 29-54. doi:10.1007/bf02696281 Turnbull, David. 1997. “Reframing science and other local knowledge traditions”. Futures, 29(6): 551-562. https://www.researchgate.net/publication/222599075_Reframing_Science_and_Other_ Local_Knowledge_Traditions. Turnbull, David. 2003. Masons, Tricksters, and Cartographers: Comparative Studies in the Sociology of Scientific and Indigenous Knowledge. Londres y Nueva York, Routledge. [esp. cap. IV] Tymoczko, Dmitri. 2011. A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice. Nueva York, Oxford University Press Tymoczko, Dmitri. 2012. “To the Editor: Basket cases”. Music Theory Spectrum, 34(1): 152- 153, 155. Urban, Jan, Dita Malečková, Renata Rychtáriková, Dalibor Štys, Anna Zhyrova, Karina Romanova, Tomáš Náhlík, Dalibor Štys Jr. 2013. Mind attractors. Participatory experiment in image data mining. https://www.academia.edu/3645038/Mind_attractors_draft_ Valverde, Leonardo. 2015. “An anecdote on Chomsky’s linguistic theory”. http://www.leonardovalverde.com/an-anecdote-on-chomskys-sanskrit-linguistics- theory/. Van Damme, Wilfried. 1996. Beauty in Context: Towards an Anthropological Approach to Aesthetics. Leiden, Brill Van Damme, Wilfried. 2003. "Anthropologies of Art". International Journal of Anthropology, 18(4): 231–244. Vandendriessche, Eric. 2007. “Les jeux de ficelle: une activité mathématique dans certaines sociétés traditionnelles”. Revue d’histoire des mathématiques, 13: 7-84. Vandendriessche, Eric. 2014a. “W.W. Rouse Ball and the mathematics of string figures”. Historia Mathematica, 41(4): 438-462. Vandendriessche, Eric. 2014b. “Cultural and cognitive aspects of string figuremaking in the Trobriand Islands”. Journal de la Société des Océanistes [Online], 138-139. https://journals.openedition.org/jso/7182#tocto2n10. Vandendriessche, Eric. 2015. String Figures as Mathematics?: An Anthropological Approach to String Figure-making in Oral Tradition Societies. Nueva York, Springer International Publisher.

184

Vandendriessche, Eric y Céline Petit. 2017. “Des prémices d’une anthropologie des pratiques mathématiques à la constitution d’un nouveau champ disciplinaire: l’ethnomathématique”. Revue d'Histoire des sciences humanines, 31: 189-219 van den Hoeven, Saskia y Maartje van der Veen. 2010. Muqarnas. Mathematics in Islamic arts. Utrecht University, Faculty of Science. Department of Mathematics. Seminar Mathematics in Islamic Arts. Varela Arzola, César Augusto. S/f. Obras y estilo del artista checo Frantisek Kupka (Opocno, 1871-Puteaux, 1957). Facultad de Letras y Ciencias Humanas - Universidad Nacional Mayor de San Marcos. https://es.scribd.com/document/377599805/Obra-y-estilo-del- artista-checo-Frantisek-Kupka. Varela Braga, Ariane. 2017. “How to Visit the Alhambra and ‘Be Home in Time for Tea’. Owen Jones’s Alhambra Court in the Crystal Palace of Sydenham”. En: Francine Giese y Ariane Varela Braga (editoras). A Fashionable Style. Carl von Diebitsch und das maurische revival, Peter Lang AG, pp. 71-83. Vatsyayan, Kapila y Bettina Bäumer (editoras). 1988. Kalātattvakośa: A Lexicon of Fundamental Concepts of the Indian Arts. [Volume 1]. Delhi, Motilal Banarsidass. Vatsyayan, Kapila y Bettina Bäumer (editoras). 2003 [1992]. Kalātattvakośa: A Lexicon of Fundamental Concepts of the Indian Arts, Volume 2: Space and time – Deśa-Kāla. Delhi, Motilal Banarsidass. Vatsyayan, Kapila y Bettina Bäumer (editoras). 1996. Kalātattvakośa: A Lexicon of Fundamental Concepts of the Indian Arts, Volume 3: Primal Elements - Mahābhūta. Delhi, Motilal Banarsidass. Vatsyayan, Kapila y Bettina Bäumer (editoras). 2002. Kalātattvakośa: A Lexicon of Fundamental Concepts of the Indian Arts, Volume 5: Form / Shape – Ākāra - Ākṛti. Delhi, Motilal Banarsidass. Vianna, Marlos. 2008. Symmetry studies: An introduction to the study of structured data in applications. Cambridge, Cambridge University Press. Vilalta, Xavier. 2017. Lideta mercato. Vilalta. https://vilalta-architects.com/en/portfolio- item/lideta-mercato/. Viljanen, Valtteri. 2001. Spinoza's geometry of power. Cambridge, Cambridge University Press. von Neumann, John. 1955. “Method in the Physical Sciences”. En: L. Leary (editor), The Unity of Knowledge, Nueva York, Doubleday, pp. 157-164. Reproducido en F. Bródy y Tibor Vámos (editores), The Neumann Compendium. Singapur, World Scientific, 1995, pp. 627-634 Wagner, Roy. 1991. “The fractal person”. En: M. Godelier y M. Strathern (editor@s), Big Men and Great Men. Cambridge, Cambridge University Press. Washburn, Dorothy K. (editora). 2004. Embedded Symmetries, Natural and Cultural. Albuquerque, University of New Mexico Press. Washburn, Dorothy K. y Donald Crowe. 1988. Symmetries of culture: Theory and practice of plane pattern analysis. Seattle y Londres, University of Washington Press. Washburn, Dorothy K. y Donald Crowe (editores) 2004. Symmetry Comes of Age: The Role of Pattern in Culture. Seattle y Londres, University of Washington Press. Washburn, Dorothy K. y Diane Humphrey. 2001. "Symmetries in the Mind: Production, Perception, and Preference for Seven One-Dimensional Patterns". Visual Arts Research, 27(2): 57-68. Weisstein, Eric W. 2019. "Platonic Solid." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PlatonicSolid.html.

185

Weyl, Hermann. 1952. Symmetry. Princeton, Princeton University Press. Whitehead, Alfred North y Bertrand Russell. 1910. Principia Mathematica, vol I. Cambridge, Cambridge University Press. Whitehead, Alfred North y Bertrand Russell. 1927a. Principia Mathematica, vol II. Cambridge, Cambridge University Press. Whitehead, Alfred North y Bertrand Russell. 1927b. Principia Mathematica, vol III. Cambridge, Cambridge University Press. Wieting, Thomas. 1982. The mathematical theory of chromatic plane ornament. Nueva York, Marcel Dekker. Willet, Frank. 2003 [1971]. African Art. Nueva York, Thames and Hudson. Willis, W. Bruce. 1998. The Adinkra dictionary: A visual primer on the language of Adinkra. Washington, Pyramid Complex. Wingert, Paul S. 1962. Primitive art. Its traditions and styles. Nueva York, Oxford University Press. Winkler, Captain. 1899. "On Sea Charts Formerly Used in the Marshall Islands, with Notices on the Navigation of these Islanders in General". Annual Report of the Smithsonian Institution for the year ending June 30,1899. Winter, Irene J. 2007. “Agency Marked, Agency Ascribed: The Affective Object in Ancient Mesopotamia”. En: Robin Osborne y Jeremy Tanner (editores), Art’s Agency and Art History. Oxford, Blackell, pp. 42-69. [Crítica de Gell, Art nd Agency] Woods, Henry John. 1935a. “The Geometrical Basis of Pattern Design. Part 1: Point and Line Symmetry on Simple Figures and Borders”. Journal of the Textile Institute. Transactions, 26: T197-T210. http://dx.doi.org/10.1080/19447023508661654. Woods, Henry John. 1935b. “The Geometrical Basis of Pattern Design. Part 2: Nets and Sateens”. Journal of the Textile Institute. Transactions, 26: T293-T308. http://dx.doi.org/10.1080/19447023508661660. Woods, Henry John. 1935c. “The Geometrical Basis of Pattern Design. Part 3: Geometrical Symmetry in Plane Patterns”. Journal of the Textile Institute. Transactions, 26: T341- T357. http://dx.doi.org/10.1080/19447023508661663. Woods, Henry John. 1936. “The Geometrical Basis of Pattern Design. Part 4: Counterchange Symmetry in Plane Patterns”. Journal of the Textile Institute. Transactions, 27: T305- T320. http://dx.doi.org/10.1080/19447023608661695. Yannick, Joye. 2007. “Fractal Architecture Could Be Good for You”. Nexus Network Journal, 9(2): 159-382. Yetts, W. Perceval. 1942. «An-Yang: A Retrospect». Londres, China Society Occasional Papers, Nueva serie, n° 2. Zabell, Sandy L. 2005. Symmetry and its discontents. Essays in the history of inductive probability. Cambrridge, Cambridge University Press. Zaslavsky, Claudia. 1979. Africa counts: Number and pattern in Africa. Brooklyn, Lawrence Hill Books. Zaslow, Bert. 1990. “On the use of symmetry as an archaeological and anthropological tool”. Symmetry: Science and culture, 1(1): 49-56. Ždímalová, Mária y Erika Fecková-Škrabul’áková. 2019. “Magic with Fractals”. 18th Conference on Applied Mathematics, APLIMAT Proceedings, pp. 1326-1344.

186

Zhang, Jing Yao y Makoto Ohsaki. 2015. Tensegrity structures. Form, stability, and symmetry. Tokyo, Heidelberg y Nueva York, Springer. Zipf, George K. 1949. Human behavior and the principle of least effort. Nueva York, Hafner. Capítulos en línea en http://www.nslij-genetics.org/wli/zipf/1940s.html.. Zongker, Douglas. 2001-2006. Celtic knot thingy. https://isotropic.org/celticknot/howto/. Zuidema, R. Tom. 1991. “Guaman Poma and the Art of Empire: Toward an Iconography of Inca Royal Dress”. En: Kenneth J. Andrien y Rolena Adorno (editor@s), Transatlantic Encounters: Europeans and Andeans in the Sixteenth Century. University of California Press.

187

Portales relacionados:

Adinkra symbols and meaning: https://www.youtube.com/watch?v=d5LbR4zalvQ Adinkra symbols and the rich Akan culture: https://afrolegends.com/2014/08/27/adinkra-symbols-and-the-rich-akan-culture/ Adinkra en el British Museum: http://www.britishmuseum.org/research/collection_online/search.aspx?searchText=adin kra&place=38711 Adinkra Grapher en Adinkra Home: https://www.kentecloth.net/kente-cloth-adinkra-symbols-meaning/. American Mathematical Society – Euler’s Polyhedral Formula: http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-eulers-formula. ArchNet Collections – Recources on Islamic Art: https://archnet.org/collections Artlandia – Glossary of pattern design - Patterns: https://artlandia.com/wonderland/glossary/HenryJohnWoodsPatterns.html. https://artlandia.com/products/SymmetryWorks/sampler.html. Ashmolean Museum, Oxford: http://collections.ashmolean.org/ Ayahuasca’s secrets – Shipibo: https://www.vice.com/en_us/article/kbnjmy/ayahuasca-ceremony-sound-art- visualization-textiles Behance – Galería de vectores fractales: https://www.behance.net/gallery/720515/Worlds-Largest-Fractal-Vectors. Bibliografía sobre Marcia Ascher y el estudio de Khipus: https://www.academia.edu/11180970/Biobibliografía_de_Marcia_Ascher_Sabine_Mac Cormack_y_Peer_Schmidt.

Buckminsterfullerene – Artículo en Wikipedia sobre el C60: https://en.wikipedia.org/wiki/Buckminsterfullerene Bulletin of the String Figures Association: http://www.isfa.org/bsfa.htm. http://www.isfa.org/bisfa.htm. Carlos Reynoso – Geometría de la música etnográfica y de la música del mundo: http://carlosreynoso.com.ar/musica-etnografica/. Celtic knotwork – Imágenes de nudos celtas: https://www.shutterstock.com/es/search/celtic+knot Celtic Mirror: http://www.celticmirrors.org/index.html#summary. Colectivo AENTS – Incluye la película sobre las canciones tejidas Shipibo-Conibo: http://colectivoaents.blogspot.com/. Craig Kaplan – Página en la Waterloo University: http://www.cgl.uwaterloo.ca/csk/.

188

Decagonal and quasi-crystaline tilings in medieval Islamic architecture (Peter J. Lu): http://www.peterlu.org/content/decagonal-and-quasicrystalline-tilings-medieval- islamic-architecture. Earth Metropolis African Art: http://www.earthmetropolis.com/Earth/adinkra_chart_symbols.html Etak Navigator Tour and Demo: https://www.youtube.com/watch?v=CHCCjlSWbHE. Field Museum – Hopewell Collection: https://www.fieldmuseum.org/node/19506 Fibonacci Konnakol – Geometría en la música de la India: https://youtu.be/mOMLRMfIYf0. Gift Siromoney / Rani Siromoney Homepage: https://www.cmi.ac.in/gift_siromoney/ https://www.cmi.ac.in/gift_siromoney/Kolam.htm https://www.researchgate.net/scientific-contributions/70109773_Rani_Siromoney Hans Ulrich Obrist – Entrevista con Benoît Mndelbrot: https://www.edge.org/3rd_culture/obrist10/obrist10_index.html. Heirloom Tech – The Math and Magic of Muqarnas: https://makezine.com/2016/12/16/heirloom-tech-math-magic-muqarnas/. Jean-Paul Bourdier – Página en el Center for African Studies – Berkeley University: https://africa.berkeley.edu/people/jean-paul-bourdier. J. Romilly Allen [1847-1907] – Libros en línea sobre arte e historia celta: http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/book/lookupname?key=Allen%2C%20J% 2E%20Romilly%20%28John%20Romilly%29%2C%201847%2D1907. Indira Gandhi National Centre for the Arts: http://ignca.gov.in/divisionss/kalakosa/kalatattvakosa/ http://ignca.gov.in/divisionss/kalakosa/kalasamalocana/ http://ignca.gov.in/divisionss/kalakosa/kalamulasastra/ Kente Cloth Adinkra Symbols and Meaning: https://www.kentecloth.net/kente-cloth-adinkra-symbols-meaning/. Khipu Database Project: http://khipukamayuq.fas.harvard.edu/index.html. http://khipukamayuq.fas.harvard.edu/referenceDocs/UrtonBrezine%20Science.pdf?ijke y=FzakSd2uyqOe6&keytype=ref&siteid=sci Kilim – Artículo en Wikipedia intervenido por el autor – Ver particularmente las ilustraciones de los motivo simétricos, reminiscentes de los Adinkra aunque originarios de Asia Central: https://en.wikipedia.org/wiki/Kilim Knot language – Recreating Inka quipu/khipu – MIT Khipu Research Group: https://courses.csail.mit.edu/iap/khipu/ Kolaṁ, Rangoli y afines: https://en.wikipedia.org/wiki/Kolam https://en.wikipedia.org/wiki/Rangoli Leonardo – MIT – Influencia de las artes en la ciencia y la tecnología: https://www.mitpressjournals.org/loi/leon Lois & Earl Stokes – String figures: http://www.stringfigure.com/video/string-figures/.

189

Lulu.com – Obras de Paulus Gerdes: https://www.lulu.com/shop/search.ep?keyWords=paulus+gerdes&type= Magic of Muqarnas – Video – Universidad de Heidelberg: https://archiv.ub.uni-heidelberg.de/volltextserver/17446/ Mandelboxes, mandelbulbs, arquitecturas y objetos fractales extremos: http://images.math.cnrs.fr/Mandelbox.html?lang=fr http://images.math.cnrs.fr/La-methode-de-Newton-et-son-fractal-en-3D.html?lang=fr http://images.math.cnrs.fr/Un-ballon-de-foot-fractal.html?lang=fr http://images.math.cnrs.fr/Comment-dessiner-un-hecatonicosachore.html?lang=fr https://en.wikipedia.org/wiki/Sun_Temple,_Modhera#/media/File:Sabha_Mandap,_Sun _Temple,_Gujarat.JPG Mark Changizi – Página de Google Scholar: https://scholar.google.com/citations?user=XPXdsFkAAAAJ&hl=en. Más de México – Arte textil y bordados indígenas de México: http://masdemx.com/2016/07/arte-textil-y-bordados-indigenas-de-mexico-una-guia- para-distinguir-los-distintos-tipos/ Muqarnas – Artículo y Galería en Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Muqarnas. Muqarnas Visualization – Project of the Visualization and Numerical Geometry Group: https://www.iwr.uni-heidelberg.de/groups/ngg/Muqarnas/index.php Muqarnas – An Annual on the visual cultures of the Islamic world: https://archnet.org/collections/43/publications/10817 Neverendingbooks – The Scottish solids hoax & related sites: http://www.neverendingbooks.org/the-scottish-solids-hoax. http://www.neverendingbooks.org/scottish-solids-final-comments. http://www.neverendingbooks.org/the-return-of-the-scottish-solids http://www.neverendingbooks.org/scottish-solids. http://math.ucr.edu/home/baez/icosahedron/. https://www.ancient-origins.net/artifacts-ancient-technology/geometric-stone-spheres- scotland-part-1-more-projectile-what-possible-021574. https://www.ancient-origins.net/artifacts-ancient-technology/geometric-stone-spheres- scotland-part-2-explanations-platonic-solids-021577. Ohio Hopewell – Ancient crossroads of the American Midwest: http://hopewell.unl.edu/images.html Patrones geométricos islámicos: https://es.wikipedia.org/wiki/Patrones_geométricos_islámicos#cite_note-72. Patterns in Islamic Art: https://patterninislamicart.com/ Paulus Gerdes Research with Universidade Pedagogica and other places: https://www.researchgate.net/scientific-contributions/81778684_Paulus_Gerdes. PhysicsWorld – Ancient Islamic Architects created perfect quasicrystals: https://physicsworld.com/a/ancient-islamic-architects-created-perfect-quasicrystals/. Ricardo Duchesne – Página referida al anti-etnomatemático fundamentalista portorriqueño: https://en.wikipedia.org/wiki/Ricardo_Duchesne. Robert Rattray – Ashanti on Vimeo: https://vimeo.com/100707923

190

School of Geometric Islamic Design: http://www.sigd.org/resources/ . http://www.sigd.org/resources/videos/. Shipibo – Colección de Vídeos sobre Shipibo-Conibo en YouTube: https://www.youtube.com/results?search_query=shipibo. https://www.youtube.com/watch?v=SvEzPnybFV8&list=RDSvEzPnybFV8&start_radi o=1&t=15. Simetrías en el plano en antguos textiles peruanos: http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-weaving Simulation theory: Adinkras computer code discovered in Superstring equations: https://www.youtube.com/playlist?list=PLJ0S88eyUTlY2ETqJpQfCFPyxC4BF-uba. Stan Honey and Sally Lindsay Honey’s files – Etak: http://honeynav.com/category/etak/. http://honeynav.com/wp-content/uploads/2016/01/brochure-Worlds-1st-Nav-Sys_The- ETAK-Navigator.pdf. http://honeynav.com/wp-content/uploads/2016/01/Who-Needs-GPS-The-Forgotten- Story-of-Etaks-Amazing-1985-Car-Navigation-System-Fast-Company-Business- Innovation.pdf. String figures bibliographies: https://pgadey.com/string-figures/ http://www.gardendigest.com/string/#Bibliography. http://www.isfa.org/rataj.htm. String figures – Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/String_figure https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_string_figures String Figure Analyzer Software: http://www.isfa.org/software.htm Symmetry: Culture and Science: https://journal-scs.symmetry.hu/. Takahashi - Muqarnas : A Three-Dimentional Decoration of Islam Architecture: https://www.tamabi.ac.jp/idd/shiro/muqarnas/ Technical Glossary – Islamic Art Network: http://www.islamic-art.org/Glossary/glossary.asp. TED Conference – Ron Eglash: https://www.ted.com/speakers/ron_eglash. https://www.ted.com/talks/ron_eglash_on_african_fractals. TED Blogs – Javier Vilalta: https://blog.ted.com/architecture-infused-with-fractals-ron-eglash-and-xavier-vilalta/. https://www.ted.com/talks/xavier_vilalta_architecture_at_home_in_its_community. https://www.youtube.com/watch?v=ioC0ZGnRumg. Temple Modhera, India: https://www.esamskriti.com/a/Gujarat/Sun-Temple-Modhera.aspx. Terra de Somis II – František Kupka – Los orígenes del arte abstracto: http://terradesomnis.blogspot.com/2010/09/frantisek-kupka-los-origenes-del-arte.html. Tessellation – Documento sobre teselaciones en Wikipedia, intervenido por el autor: https://en.wikipedia.org/wiki/Tessellation.

191

The arts of memory – En torno de los artefactos mnemónicos de Carlo Severi: https://www.academia.edu/26364756/The_arts_of_memory. The Bridges Archive: http://archive.bridgesmathart.org/ http://www.bridgesmathart.org/ http://bridgesmathart.org/mosaic/ Theodore Pavlopoulos – Fractals and Frantisek Kupka’s “Amorpha” https://pavlopoulos.wordpress.com/2011/06/26/fractals-and-frantisek-kupkas-amorpha/. Tilings Encyclopedia: http://tilings.math.uni-bielefeld.de/ Tocapu – Artículo de Wikipedia intervenido por el autor (no existe versión en inglés): https://es.wikipedia.org/wiki/Tocapu Tocapu.org – Analysis of Prehispanic Cultural Signs database: http://tocapu.org/objects/object.php?o=1 http://tocapu.org/literature/ http://tocapu.org/archives/ http://tocapu.org/images/ http://tocapu.org/tocapu/ http://tocapu.org/synthesis/article.php?a=14 Tom Gidden – Exploring [3D]Lyapunov space. https://www.flickr.com/photos/_gid/albums/72157627179038189. Sφere – Sciences, philosophie, histoire: http://www.sphere.univ-paris-diderot.fr/spip.php?article145&lang=fr. West African Wisdom: Adinkra Symbols & Meanings: www.adinkra.org/htmls/adinkra_bibliography.htm#arthur World Museum, Liverpool – Sección de máscaras y esculturas: http://www.liverpoolmuseums.org.uk/wml/collections/ethnology/africa/african- sculpture/index.aspx.

192

Software orientado a la etnogeometría:

Todas estos programas se pueden ejecutar interactivamente desde este mismo documen- to y son multiplataforma. Algunas requieren una adecuada instalación de Java.

Adinkra Grapher (Ron Eglash): Geometry and Computational thinking from West Africa: https://csdt.rpi.edu/culture/legacy/african/adinkra/index.html. Arabeske – Simetrías – Versión 2.2.1: http://carlosreynoso.com.ar/archivos/varios/arabeske/ara-2.1.1.jar Bob – Penrose tilings generator and explorer: http://www.stephencollins.net/penrose/. Carlos Reynoso – Planilla de descripción de software de complejidad: http://carlosreynoso.com.ar/download/14473/ Celtic Knot Thingy – Douglas Zongker software – Requiere tcl/tk y ghost script: https://isotropic.org/celticknot/howto/. Craft Design Online – Penrose tiling: https://craftdesignonline.com/penrose/ Culturally Situated Design Tools – Fractales africanos por Ron Eglash: https://csdt.rpi.edu/ - Versión actual https://csdt.rpi.edu/applications/9/run - Cornrow curves (peinados fractales) https://csdt.rpi.edu/applications/29/run - Mangbetu https://csdt.rpi.edu/culture/legacy/african/African_Fractals/culture11.html - Cruces https://csdt.rpi.edu/culture/africanfractals/simulator.html - Fractales africanos diversos https://csdt.rpi.edu/culture/africanfractals/architecture.html - Fractales en arquitectura https://csdt.rpi.edu/culture/africanfractals/science.html - Fractales en ciencia Escher Web Sketch: http://carlosreynoso.com.ar/archivos/varios/escher/escher.jar Fractal grower – Programa interactivo de Sistemas-L: http://carlosreynoso.com.ar/archivos/programas/fractalgrower/FractalGrower-2010- 03.jar Group Explorer 2.2: http://groupexplorer.sourceforge.net/ Jenn3D ©2008 Fritz Obermeyer – Grafos de Cayley dibujados con el algoritmo Todd-Coxeter: http://jenn3d.org/ KnotsBag 2.1.0 – Para Mac, Linux y Windows (cuesta 28 U$S): http://www.hypatiasoft.fr/Folder_KnotsBag/Pages_HTML/KnotsBag_A.html Knotter – Interactive design of Celtic Knots: https://sourceforge.net/projects/knotter/ - https://knotter.mattbas.org/Knotter L-Systems Turtle Graphics: http://www.kevs3d.co.uk/dev/lsystems/ Lyndyhop para Java: https://sourceforge.net/projects/lyndyhop/. nLab Adinkra – Software para diseñar representaciones adinkraicas: https://ncatlab.org/nlab/show/adinkra

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Penrose Tilings Online Generator: https://misc.0o0o.org/penrose/. https://misc.0o0o.org/penrose/gallery.html. QuasiCrystal generator – QuasiG v. 1.04: https://condellpark.com/kd/quasig.htm. Symmetries of Frieze Pattern: © Jan Abas & Garteh Evans, University of Wales, Bangor: http://carlosreynoso.com.ar/archivos/varios/frieze.swf Taprats – Versión original © Craig Kaplan: http://carlosreynoso.com.ar/archivos/varios/taprats-ejecutable/taprats.jar Taprats – Diseño de embaldosados en estrella de Craig Kaplan (mutiplataforma): https://sourceforge.net/projects/taprats/ - http://taprats.sourceforge.net/ Tilemaker – Qatar Foundation International: https://tilemaker.teachalmasdar.com/create/ https://tilemaker.teachalmasdar.com/learn/ https://tilemaker.teachalmasdar.com/gallery/ Tim Hutton – Embaldosados en el plano hiperbólico: http://timhutton.github.io/hyperplay/index_sliders.html Ultrafractal – Versión 6: https://www.ultrafractal.com/.

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