Hasegawa-Mima Equation Hasegawa & Mima, PRL 1977

Frank Jenko Max Planck Institute for Plasma Physics, Garching University of California, Los Angeles

Nonlinear dynamics

From laboratories to astrophysics: The expanding universe of plasma physics

Les Houches, France May 2, 2017 Introductory remarks

This lecture is meant to be an introduction to turbulence in fluids and plasmas; no prior knowledge of turbulence is required

You are invited to ask questions at any time

Lectures may explain, motivate, inspire etc., but they cannot replace individual study... Turbulence in lab & natural plasmas Fusion plasmas Space plasmas

Astrophysical plasmas Basic plasma science

What are the fundamental principles of plasma turbulence? Central role of plasma turbulence Particle acceleration & propagation Cross-field transport

Magnetic reconnection Dynamo action

What is the role of plasma turbulence in these processes? Some turbulence basics Turbulence is ubiquitous…

Active fluids (dense bacterial suspensions) We next summarize the model equations; a detailed motiva- tion is given in SI Appendix. Because our experiments suggest that density fluctuations are negligible (Fig. 2A) we postulate incom- pressibility, ∇ · v 0. The dynamics of v is governed by an incom- ¼ pressible Toner–Tu equation (15–17), supplemented with a Swift– Hohenberg-type fourth-order term (45),

2 2 2 ∂t λ0v · ∇ v −∇p λ1∇v − α β v v Γ0∇ v ð þ Þ ¼ þ ð þ j j Þ þ 2 2 − Γ2 ∇ v; [1] ð Þ where p denotes pressure, and general hydrodynamic considera- tions (52) suggest that λ0 > 1; λ1 > 0 for pusher-swimmers like B. subtilis (see SI Appendix). The α; β -terms in Eq. 1 correspond to ð Þ a quartic Landau-type velocity potential (15–17). For α > 0 and β > 0, the fluid is damped to a globally disordered state with v 0, whereas for α < 0 a global polar ordering is induced. How- ever,¼ such global polar ordering is not observed in suspensions of swimming bacteria, suggesting that other instability mechanisms prevail (53). A detailed stability analysis (SI Appendix) of Eq. 1 implies that the Swift–Hohenberg-type Γ0; Γ2 -terms provide the simplest generic description of self-sustainedð Þ meso-scale turbulence in incompressible active flow: For Γ0 < 0 and Γ2 > 0, Fig. 2. Experimental snapshot (A)ofahighlyconcentrated,homogeneous the model exhibits a range of unstable modes, resulting in turbu- quasi-2D bacterial suspension (see also Movie S7 and SI Appendix, Fig. S8). lent states as shown in Fig. 2D. Intuitively, the Γ0; Γ2 -terms de- Flow streamlines v t; r and vorticity fields ω t; r in the turbulent regime, ð Þ ð Þ ð Þ scribe intermediate-range interactions, and their role in Fourier as obtained from (B) quasi-2D bacteria experiments, (C)simulationsofthe space is similar to that of the Landau potential in velocity space deterministic SPR model (a 5, ϕ 0.84), and (D) continuum theory. The ¼ ¼ SI Appendix 1 range of the simulation data in D was adapted to the experimental field ( ). We therefore expect that Eq. describes a wide of view (217 μm × 217 μm) by matching the typical vortex size. (Scale bars, class of quasi-incompressible active fluids. To compare the con- 50 μm.) Simulation parameters are summarized in SI Appendix. tinuum model with experiments and SPR simulations, we next study traditional turbulence measures. minimize oxygen gradients that may cause anisotropic streaming of the oxytactic B. subtilis bacteria (2). To study the effects of Velocity Structure Functions. Building on Kolmogorov’s seminal dimensionality and boundary conditions, experiments were per- work (55), a large part of the classical turbulence literature (27, formed with two different setups: quasi-2D microfluidic chambers 34, 36–38, 40, 41) focuses on identifying the distribution of the flow velocity increments δv t; r; R v t; r R − v t; r . Their with a vertical height H less or equal to the individual body length ð Þ¼ ð þ Þ ð Þ of B. subtilis (approximately 5 μm) and 3D chambers with statistics is commonly characterized in terms of the longitudinal ^ ^ H ≈ 80 μm(SI Appendix, Figs. S6 and S8 and Movies S7–S10). and transverse projections, δv‖ R · δv and δv⊥ T · δv, where ^ ^ ¼ ¼ To focus on the collective dynamics of the microorganisms rather T ϵijRj denotes a unit vector perpendicular to the unit shift than the solvent flow (24, 50), we determined the mean local ¼ð Þ vector R^ R∕ R . The separation-dependent statistical moments motion of B. subtilis directly using particle imaging velocimetry of δv and¼ δvj jdefine the longitudinal and transverse velocity (PIV; see also SI Appendix). A typical snapshot from a quasi-2D ‖ ⊥ structure functions experiment is shown in Fig. 2A. As evident from the inset, local density fluctuations that are important in the swarming/flocking n n S R ≔ δv ; ;n1; 2; …: [2] regime (48, 49, 51) become suppressed at very high filling fractions ‖;⊥ð Þ hð ‖ ⊥Þ i ¼ (SI Appendix, Fig. S5). The corresponding flow fields (Fig. 2B and SI Appendix, Fig. S8) were used for the statistical analysis pre- These functions have been intensely studied in turbulent high-Re sented below. fluids (27, 34, 35, 41) but are unknown for active flow. For isotropic steady-state turbulence, spatial averages · as in Eq. 2 n h i Continuum Theory. The analytical understanding of turbulence become time-independent, and the moments S‖;⊥ reduce to func- phenomena hinges on the availability of simple yet sufficiently tions of the distance R R . ¼ j j accurate continuum models (27). Considerable efforts have been Velocity distributions, increment distributions, and structure made to construct effective field theories for active systems (15– functions for our numerical and experimental data are summar- 17, 19, 31, 32, 52–54), but most of them have yet to be tested ized in Fig. 3. For the SPR model, the velocity statistics can be quantitatively against experiments. Many continuum models dis- calculated either from the raw particle data or from pre-binned tinguish solvent velocity, bacterial velocity and/or orientational flow field data. The two methods produce similar results, order parameter fields, resulting in a prohibitively large number and Fig. 3 shows averages based on individual particle velocities. of phenomenological parameters and making comparison with Generally, we find that both the 2D SPR model and the 2D con- experiments very difficult. Aiming to identify a minimal hydro- tinuum simulations are capable of reproducing the experimen- dynamic model of self-sustained meso-scale turbulence, we study tally measured quasi-2D flow histograms (Fig. 3 A and B) and a simplified continuum theory for incompressible active fluids, structure functions (Fig. 3C). The maxima of the even transverse 2n by focusing solely on the experimentally accessible velocity field structure S⊥ signal a typical vortex size Rv, which is substantially v t; r . By construction, the theory will not be applicable to re- larger in 3D bulk flow than in quasi-2D bacterial flow. Unlike ð Þ gimes where density fluctuations are large (e.g., swarming or their counterparts in high-Re Navier–Stokes flow (27, 34), the flocking), but it can provide a useful basis for quantitative structure functions of active turbulence exhibit only a small re- comparisons with particle simulations and experiments at high gion of power law growth for ℓ ≲ R ≪ Rv and flatten at larger concentrations. distances (Fig. 3C).

14310 ∣ www.pnas.org/cgi/doi/10.1073/pnas.1202032109 Wensink et al. …as well as an important unsolved physics problem

According to a famous statement by Richard Feynman…

…and a survey by the British “Institute of Physics” among many of the leading physicists world-wide…

“Millennium Issue” (December 1999)

TURBULENCE: A challenging topic for both basic and applied research

The Turbulence Problem

injection rate ε at large scales is bal- anced by the mean energy dissipation rate at small scales. Richardson and Taylor also appreciated that generic properties of turbulence may be dis- covered in the statistics of velocity differences between two locations WHAT IS TURBULENCEseparated by a distance r, denoted as THEN? δu(x, x+r) = u(x) – u(x+r). The statistics of velocity differences at two locations are an improvement over the statistics of velocity fluctuations at a single location for a number of techni- cal reasons, which we do not discuss here. Longitudinal projections of Turbulence… velocity differences

Figure 4. The Energy Cascade Picture of Turbulence are often measured in modern experi- This figure represents a one-dimensional simplification of the cascade process with ments and are one of the main quanti- β representing the scale factor (usually taken to be 1/2 because of the quadratic ties of interest in the analysis of fluid nonlinearity in the Navier-Stokes equation). The eddies are purposely shown to be turbulence. “space filling” in a lateral sense as they decrease in size. (This figure was modified with permission from Uriel Frisch. 1995. Turbulence: The Legacy of A. N. Kolmogorov. • is an intrinsically nonlinear phenomenonMeasuring velocity differences on Cambridge, UK: Cambridge University Press.) fast time scales and with high preci- sion was a difficult proposition in the early 20th century and required the development of the hot-wire anemometer, in which fluid flowing • occurs only in open systemspast a thin heated wire carries heat away at a rate, proportional to the fluid velocity. Hot-wire anemometry made possible the measurement, on laboratory time scales, of the fluctuating turbulent velocity field at a single point in space (see Figure 5). For a • involves many degrees of freedomflow whose mean velocity is large, velocity differences were inferred from those single-point measurements by Taylor’s “frozen-turbulence” hypothesis.7

• is highly irregular in space and7 If the mean velocity time is large compared with velocity fluctuations, the turbulence can be considered “frozen” in the sense that velocity fluctuations are swept past a single point faster than they would change because of turbulent dynamics. In that case, the spatial separation ∆r is related to Figure 5. Time Series of Velocities in a Turbulent Boundary Layer the time increment ∆t by ∆r = – U∆t, This time series of velocities for an atmospheric turbulent boundary layer with where U is the mean velocity. See also the 7 article “Taylor’s Hypothesis, Hamilton’s Reynolds number Re ~ 2 × 10 was measured at a single location with a hot-wire • often leads to a statistically quasi-stationaryanemometer. The velocity fluctuations are apparently random. (This figure is courtesy of Principle, and the LANS-α Model for Computing Turbulence” on page 152 . Susan Kurien of Los Alamos, who has used data recorded in 1997 by Brindesh Dhruva of Yale University.) state far from thermodynamic equilibrium Number 29 2005 Los Alamos Science 129

Note that these are also the features of LIFE! WHAT IS THE CHALLENGE?

Theories that don’t apply directly:

• nonlinear dynamics

• equilibrium statistical mechanics

• nonequilibrium statistical mechanics near equilibrium

Co-existence of randomness and coherence

Two dangers constantly threaten the world: order and disorder. Paul Valéry VISION BY J. VON NEUMANN

Supercomputers can help to unravel the “mysteries” of turbulence in the spirit of John von Neumann (1949):

„There might be some hope to 'break the deadlock' by extensive, but well-planned, computational efforts. There are strong indications that one could name certain strategic points in this complex, where relevant information must be obtained by direct calculations. This should, in the end, make an attack with analytical methods possible.“ Milestones in turbulence research I

Osborne Reynolds (1842-1912) 1883 Transition from laminar to turbulent flows (Reynolds number) 1895 Reynolds decomposition into mean and fluctuating flows

Ludwig Prandtl (1875-1953) 1904 Recognition of the importance of boundary layers 1925 Mixing length model for turbulent transport

Lewis Fry Richardson (1881-1953) 1922 Book „Weather Prediction by Numerical Process“ Notion of turbulent eddies & (local, direct) energy cascade

Geoffrey Ingram Taylor (1886-1975) 1935 Series of papers on the „Statistical Theory of Turbulence“ Milestones in turbulence research II

Werner Heisenberg (1901-1976) 1923 „Über Stabilität und Turbulenz von Flüssigkeitsströmen“ (PhD Thesis, LMU München, Advisor: Arnold Sommerfeld) 1948 Three papers on the statistical theory of turbulence

Andrey Kolmogorov (1903-1987) 1941 K41 theory: dimensional analysis, -5/3 law (energy spectrum) 1962 K62 theory: scale invariance is broken, problem of intermittency

Robert Kraichnan (1928-2008) 1957- Field-theoretic approach: Direct Interaction Approximation 1967 Inverse energy cascade in two-dimensional fluid turbulence

1973 Field-theoretic approach: Martin-Siggia-Rose formalism Milestones in turbulence research III

Steven Orszag (1943-2011) 1966 Eddy-Damped Quasi-Normal Markovian approximation 1969- Towards Direct Numerical Simulations via spectral methods 1972 First 3D DNS on a 323 grid by S. Orszag & G. Patterson

1948- Numerical weather prediction by J. von Neumann & J. Charney 1963 Large-Eddy Simulation techniques by J. Smagorinsky 1965 Fast Fourier Transform algorithm by J. Cooley & J. Tukey 1977 Cray-1 at the National Center for Atmospheric Research

2002 First 3D DNS on a 40963 grid by Y. Kaneda et al. Turbulence: The bigger picture

Some grand challenges • Design airplanes, ships, cars etc. • Predict weather & climate • Unravel role of turbulence in space & astrophysics • Predict performance of fusion devices like ITER

Some open problems beyond Homogeneous Isotropic Turbulence • Effects of inhomogeneity, anisotropy, compressibility (role of walls, drive, stratification, rotation etc.) • From fluid to magneto-/multi-fluid to kinetic turbulence

Conceptual approach • Ab initio simulations of complicated problems are not feasible • Seek physics understanding to construct reliable minimal models On the physics of 3D fluid turbulence Early observations

Leonardo da Vinci (ca. 1500) The Navier-Stokes equations (1822)

The NSE for incompressible fluids: ν: kinematic viscosity

p: pressure / mass density

Expressed in terms of vorticity :

Claude Navier George Stokes (1785-1836) (1819-1903) moves in the velocity field, and is fittingly called the advective term. It will be present even in amoves steady in state the velocity velocity field, field. and is fittingly called the advective term. It will be present The twoeven terms in on a steady the right state hand velocity side field. of the equation represent the contact forces per volume onThe the twomoves fluid terms particle. in on the the velocity The right first field, hand term, and side the is of fittingly the gradient equation called of th represent theepressure,describesthe advecttheive contact term. It forces will beper present effect ofvolume forceseven acting on the in a normal fluid steady particle. state on the velocity The surfaces first field. term, of the the fluid gradient parti ofcle. thepressure,describesthe The second term describese theffect shear ofThe forces stress two termsacting forces on normal on the the right on surface the hand surfaces of side the of fluid of the the p equationarticle. fluid parti The representcle. shear Thethe forces second contact are term forces per zero whendescribes the fluidvolume the is shear at on rest. the stress fluid forces particle. on the The surface first term, of the the fluid gradient particle. of The thepressure,describesthe shear forces are zero wheneffect the of fluid forces is at acting rest. normal on the surfaces of the fluid particle. The second term The NSE’s candescribes be non-dimensionalised the shear stress forces by introducing on the surface a chara of thecteristic fluid particle. velocity, TheV ,and shear forces are lenght, L.Definingnew,dimensionlessfields:Thezero NSE’s when can the be fluid non-dimensionalised is at rest. by introducing a characteristic velocity, V ,and lenght, L.Definingnew,dimensionlessfields: Thev NSE’s= V ˜v can, x be= non-dimensionalisedL˜x ,t=(L/V )t,˜ (p/ byρ introducing)=V 2p˜ a characteristic velocity, V ,and v = VSELF˜v , x = -LSIMILARITY˜x ,t=(L/V )t,˜ ( p/&ρ )=PIPEV 2p˜ FLOWS lenght, L.Definingnew,dimensionlessfields: Osborne Reynolds (1883) the NSE’s become the NSE’s become v = V ˜v , x = L˜x ,t=(L/V )t,˜ (p/ρ)=V 2p˜ 1 ∂t˜v + ˜v )˜v = p˜ + ˜v 1 (6) the NSE’s become∂ ·˜v ∇+ ˜v −∇)˜v = Rep˜△+ ˜v Similarity principle (6) t Re ! · ∇ −∇ △ ! ˜v =0 (7) ∇ · ˜v =01 (7) ∂t˜v +∇ ·˜v )˜v = p˜ + ˜v (6) Where we have introduced a dimensionless number,· ∇ character−∇ isticRe△ of the flow, called Where we have introduced a dimensionless! number, characteristic of the flow, called the Reynoldsthe Reynolds number number ˜v =0 (7) ∇ · increases VL VL Where we have introducedRe = aRe dimensionless= number, characteristic of the(8) flow,(8) called

ν speed the Reynolds number ν Reynolds number The non-dimensionalThe non-dimensional NSE’s (6) NSE’s and (6) (7) and reveal (7) an reveal important an Flow importantVL property property of incompressible of incompressible Re = (8) fluids, calledfluids, the called similarity the similarity principle: principle: That flow That on flow large on sc largealesν sc areales governed are governed by the by same the same dynamicsdynamics as flow on as smallflow on scales. small scales. If the geometry If the geometry and Reynolds and Reynoldsnumbernumber are the are same, the same, The non-dimensional NSE’s (6) and (7) reveal an important property of incompressible then thethen solutions the solutions of the NSE’s of the are NSE’s similar, are similar, only rescaled. only rescaled. Anexampleofapossible Anexampleofapossible fluids, called the similarity principle: That flow on large scales are governed by the same situationsituation is illustrated is illustrated in figure in 3. figure It shows 3. It a shows cross a section cross sectionof a uniformof a uniform flow impending flow impending on on dynamics as flow on small scales. If the geometry and Reynolds number are the same, acylinder.Thecharacteristiclengthisthediameteroftheacylinder.Thecharacteristiclengthisthediameterofthecylinder,cylinder, and the and characteristic the characteristic then the solutions of the NSE’s are similar, only rescaled. Anexampleofapossible velocity isvelocity the uniform is the uniform velocity velocity of the incoming of the incoming flow, far flow, awa faryfromthecylinder.Ifthe awayfromthecylinder.Ifthe situation is illustrated in figure 3. It shows a cross section of a uniform flow impending on diameterdiameter of the cylinder of the cylinder and the and velocity the velocity of the incoming of the incoming flow are flow changed,are changed, while while keeping keeping acylinder.Thecharacteristiclengthisthediameterofthecylinder, and the characteristic the Reynoldsthe Reynolds number number constant, constant, the flow the around flow around the cylinder the cylinder will be will the be same, the same, only only velocity is the uniform velocity of the incoming flow, far awayfromthecylinder.Ifthe rescaled. rescaled. The Reynoldsdiameter number of the cylinder also serves and as the a velocity measure of of the the incoming relative i flowmportanceare changed, of the while accel- keeping The Reynolds numberthe Reynolds also serves number as constant, a measure the of flow the relative around ithemportance cylinder of wi thell be accel- the same, only eration anderation the viscous and the forces viscous per forces mass. per It mass. is the It ratio is the of ratio the ofcharacteristic the characteristic acceleration acceleration V 2/L andrescaled. the characteristic viscous force per mass νV/L2.Turbulentflow,issignifiedby V 2/L and the characteristic viscous force per mass νV/L2.Turbulentflow,issignifiedby high ReynoldsThe Reynolds numbers, number as will also be servesdiscussed as a further measure in secti of theon 2.2. relative importance of the accel- high Reynolds numbers,eration and as the will viscous be discussed forces per further mass. in It secti is theon 2.2. ratio of the characteristic acceleration V 2/L and the characteristic viscous force per mass νV/L2.Turbulentflow,issignifiedby 2.1.1high The Reynolds vorticity numbers, equations as will be discussed further in section 2.2. 2.1.1 The vorticity equations For many purposes it is useful to look at the curl of the velocity field, the so called vorticity, For manythat purposes describes it is the useful local to rotation look at the of the curl velocity of the veloci field. ty field, the so called vorticity, that describes the2.1.1 local The rotation vorticity of the equations velocity field. ω = v (9) For many purposes it is useful to look∇× at the curl of the velocity field, the so called vorticity, that describes the local rotationω = ofv the velocity field. (9) The evolution of the vorticity is governed∇× by the vorticity equation, which can be found The evolutionby taking of the the vorticity curl of the is NSE’s governed (6). by the vorticityω = equation,v which can be found (9) by taking the curl of the NSE’s (6). ∇× 1 The evolution of∂ thetv vorticity+ v is governed)v = by thep vorticity+ equation,v which can(10) be found ∇× ∇× · ∇ −∇ × ∇1 Re∇×△ by taking∂ thev + curl of thev NSE’s)v = (6). p + v (10) ∇× t !∇×" · ∇ ! −∇ × ∇ Re∇×△ 9 ! " ! 1 ∂ v + v )v = p + v (10) ∇× t 9∇× · ∇ −∇ × ∇ Re∇×△ ! " ! 9 Conservation laws

Spatial average in a 3D periodic box:

Vorticity:

Kinetic energy Enstrophy

Ideal invariants

Helicity Vortical helicity An enclosed incompressible ﬂuid ˆ ∇ u = k ψ 2 × ρ(ut + u·∇u)+∇p = µ∇ u + f and ∇·u =0 2 ρ(ut + u·∇u)+∇p = µ∇ u + f and and ∇·u =0 2 ρ(ut + u·∇u)+∇p = µ∇ u + f and ∇·u =0 u 2 2 =0 ρ(ut + u·∇ρ(uudt)++ u∇1·p∇=u2 )+µ∇∇up+=fµ∇ u + fand 2 and∇·u =0∇·u =0 2|u| dx = u·f dx − ν |ω| dx d dt V V V 1|u|2 dx = u·f dx −Theν power|ω|2 d xintegral! is: ! ! 2 d 2 2 dt V V V 1|u| dx = u·f dx − ν |ω| dx d ! 1 2 ! !d 2 1 2d 2 2 ∇ψ x y ν ζ x y dt 1V 2 ·ω = ∇ ×V·u V 2 2 d d = d2|ud| dx =!2|u| udxf =dx −!uν f d|xω|−dνx !|ω| dx dt !! | | − !!dt DissipativeV dt V V anomalyV V V ω = ∇ × u ! ! ! ! ! ! with the vorticitylim ν |ωω|2 d=x ̸=0∇ × u Energy dissipationν→0 V rate: d 1 2 2 ω = ∇ ×!ωu = ∇ × u ζ dxlimdyν =|ω|2 dνx ̸=0 ∇ζ dxdy 2 ν→0 V dt !! ! − !! | | lim ν |ω|2 dx ̸=0 ν→0 2 ∇ × ρ ut + 2u·∇u +V ∇p = µ∇ u lim ν |ω| dx ̸=0 ! 2 ν→0 V The 2zeroth law" is:! lim ν |ω| dx ̸=0 % ∇ × ρ ut + u·∇u + ∇p = µ∇ u # ν→0 $ d 2 ′′ !V 2 " ∇ % ∇ × ρ ut + u·∇u + ∇2p = µ∇ u F (ζ)dxdy = ν ζ F (ζ)dx ·∇ ·∇ 2 dt !! # − $!! | | ∇ × ρ uω+t +u·u∇"uω+=∇ωp = uµ∇+ νu∇ ω % Turbulence∇t × ρ u is+ au singular·∇u + limit∇p = µ∇2u ·∇ ·∇ 2 "In turbulent flows#t , the energy$dissipation% rate ε ωt + u ω = ω u + ν∇ ω (a “dissipative" anomaly”). % has# a finite limit$as the viscosity ν tends to2 zero! ω#t + u·∇ω =$ω·∇u + ν∇ ω 2 ω u·∇ω ω·∇u ν 2ωˆ Saturday, March 16, 2013 vx uy = ψ u = uˆıt++vȷωˆ = =(v+x −∇uy)k 2 ∴ ω·∇u =0 In thisωsense,t + u· ∇theωEuler= ω ·and∇uNavier+ ν∇-Stokesω − ∇ ˆ u = uˆı + vȷωˆ =(v − u )k ∴ ω·∇u =0 x y equations are fundamentally different!ˆ u = uˆı + vȷωˆ 10−5 m=(2 s−v1 x − uy)k ∴ ω·∇u =0 ˆ ˆ νair ≈ ˆ u2 = uı + vȷω=(vx − uy)k ˆ∴ ω·∇u =0 −5 2 −1 ˆ ˆ ∴ ·∇ vxνair ≈u10y =m s ψ u = uı + vȷω=(vx − uy)k ω u =0 − ∇ −5 2 −1 νair ≈ 10 m s −5 2 −1 νair ≈ 10 m s −5 2 −1 νair 10 m s d ≈1 1 u 2 dx = u·f dx ν ω 2 d 2 1 dt !V | | !V − !V | | 1 1 1 Energy budget scale-by-scale

Low-/High-pass filter Energy budget scale-by-scale (cont’d)

Cumulative kinetic energy between wavenumbers 0 and K:

Scale-by-scale energy budget equation:

Energy flux through wavenumber K:

Cumulative enstrophy:

Cumulative energy injection: Spectral energy transfer

Energy spectrum:

Scale-by-scale energy transfer equation:

Net energy transfer spectrum:

Energy injection spectrum: Spectral energy transfer (cont’d) The Richardson cascade (real space)

„Big whorls have little whorls, little whorls have smaller whorls that feed on their velocity, and so on to viscosity“ The Richardson cascade (Fourier space)

Turbulence as a local cascade in wave number space…

dissipation inertial range Computational drive range effort range

k f kη k

Much turbulence research addresses the cascade problem. (Important note: In this context, think of an Autobahn, not of a waterfall…) Kolmogorov’s theory from 1941

K41 is based merely on intuition and dimensional analysis – it is not derived rigorously from the Navier-Stokes equation Key assumptions: • Scale invariance – like, e.g., in critical phenomena • Central quantity: energy flux ε

1 ∞ E = ⌠ v2 d3x =⌠ E(k) dk 2V⌡ ⌡ 0 E(k) = C ε2/3 k-5/3

This is the most famous turbulence result: the “-5/3” law. However, K41 is fundamentally wrong: scale invariance is broken (anomaly)! Intermittency & structure functions Intermittency & non-Gaussian pdf’s

Renner et al. 2001 financial data (exchange rates) Direct numerical simulations Wilczek Wilczek et al . 2008

Structure formation and broken scale invariance Key open issues: Inertial range

• Is the inertial range physics universal (for Re → ∞)? • If so, can one derive a rigorous IR theory from the NSE? • How should one, in general, handle the interplay between randomness and coherence? Key issue: Intermittency!

Example: Trapping of tracers in vortex filaments

Note: The observed deviations from self-similarity can be reproduced qualitatively by relatively simple vortex models.

Biferale et al. 2005 al. et Biferale Wilczek, Jenko, and Friedrichs 2008 Key open issues: Drive range

• Often, one is interested mainly in the large scales. Here, one encounters an interesting interplay between linear (drive) and nonlinear (damping) physics. – Is it possible to remove the small scales? • Candidates: LES, dynamical systems approach etc. Orellano and Wengle2001 On the physics of 2D fluid turbulence 2D turbulence? Basic equations: Vorticity Energy and enstrophy Cascades Dual cascade Kraichnan-Batchelor-Leith theory Inertial ranges in 2D turbulence The Hasegawa-Mima model of drift-wave turbulence (1977) Charney-Hasegawa-Mima equation Hasegawa & Mima, PRL 1977

In a certain limiting case (in particular: cold ions), gyrokinetics leads to the CHM equation which is closely related to the 2D NS equation; used in geophysics already since 1948...

One-field model (for the electrostatic potential); no linear drive/damping J. G. Charney 5.2. DAS HASEGAWA-MIMA-MODELL 69

5.2. DAS HASEGAWA-MIMA-MODELLbezeichnet man auch als ’elektromagnetisch’. Konnen¨ auch sie69einen nennenswerten Beitrag zum Transport leisten? Wie kommen sie uberhaupt¨ zustande? In magnetisch eingeschlosse- 5.2. DAS HASEGAWA-MIMA-MODELL 69 bezeichnet man auch als nen,’elektromagnetisch’.axialsymmetrischenKonnen¨ Fusionsplasmenauch sie einengehtnennenswertenman im allgemeinenBeitrag davon aus, daß die Feldli- zum Transport leisten? Wnienie kommenmagnetischesie uberhaupt¨ Flachen¨ aufspannen.zustande? In Esmagnetischist aber5.2. Dbekannt,eingeschlosse-AS HASEGAdaß schonWA-MIMA-MODELLkleine Storstr¨ ome¨ dazu 69 5.2. Dnen,AS HASEGAaxialsymmetrischenWA-MIMA-MODELLbezeichnetfFusionsplasmenuhren¨ mankauchonnen,¨ alsdaßgeht’elektromagnetisch’.dieseman Flußflim allgemeinenachen¨ K’aufbrechen’.onnen¨ davauchon aus,sie69daßFig.einendie5.1nennenswertenFeldli-zeigt ein entsprechendesBeitrag Beispiel. nien magnetische zumFlachen¨ TransportHierbeiaufspannen.leisten?wurdeEsWangenommen,istie aberkommenbekannt,siedaßuberhaupt¨daßanschonzweizustande?kleineradialenbezeichnetStorstrÏnPositionenmagnetischomeman¨ auchdazueinealseingeschlosse-’elektromagnetisch’.Storung¨ der StromdichteKonnen¨ auch sie einen nennenswerten Beitrag bezeichnetfuhren¨ mankonnen,äuch alsdaß’elektromagnetisch’.nen,dieseaxialsymmetrischenmitFlußfleinerachen¨ bestimmtenK’aufbrechen’.onnen¨ FusionsplasmenauchpoloidalensieFig.einen5.1gehtnennenswertenzeigtModenzahlmaneinimentsprechendesallgemeinenmzumBeitragvorlieTransportgt.daBeispiel.Dievonleisten?aus,AbbildungdaßWiediekommenFeldli-zeigt Poincarsie uberhaupt¨ e-Plots´ zustande? In magnetisch eingeschlosse- zum THierbeiransport wurdeleisten?angenommen,Wnienie kommenmagnetischein einersiedaßuberhaupt¨festenanFlachen¨zweipoloidalenradialenzustande?aufspannen.PositionenEbeneIn EsmagnetischistbeiaberErheinebekannt,ohungëingeschlosse-Storung¨ nen,derdaßderaxialsymmetrischenStschonorstr¨Stromdichteome.¨kleineZunStorsträchst¨Fusionsplasmenome¨ bildendazu sichgehtmagneti-man im allgemeinen davon aus, daß die Feldli- nen, axialsymmetrischenmit einer bestimmtenFusionsplasmenfuhren¨ poloidalenksconnen,¨ he InselndaßgehtModenzahl,diesemand.h. imFlußflgeordneteallgemeinenm achen¨vorlieSubstrukturen,gt.’aufbrechen’.daDievonAbbildungaus, daßFig.welchedie5.1nienzeigtFeldli-zeigtdenmagnetischePoincareinradialenentsprechendese-Plots´ FlTachen¨ransportaufspannen.Beispiel.durch eineEs istArtaberKurz-bekannt, daß schon kleine Storstr¨ ome¨ dazu Hierbei wurde angenommen, daß an zwei radialen Positionen eine Storung¨ der Stromdichte nien magnetischein einer festenFlachen¨ poloidalenaufspannen.schlußefEbeneEsbeiistfektaberErhdeutlichohung¨bekannt,dererhdaßStohen.¨ orstr¨schonDannome.¨ kleineZunerfolgtStachstörstr¨ eineome¨bildenfuhren¨ zunehmendedazuksichonnen,¨ magneti-daßStochastisierungdiese Flußflachen¨ der’aufbrechen’.FeldlinienFig. 5.1 zeigt ein entsprechendes Beispiel. fuhren¨ sckonnen,¨he Inselndaß, d.h.diesegeordneteFlußflmit einerachen¨ Substrukturen,bestimmten’aufbrechen’.poloidalenwelcheFig. 5.1 zeigtdenModenzahlradialenein entsprechendesmTransportvorliegt.durchBeispiel.HierbeiDie AbbildungeinewurdeArt angenommen,Kzeigturz- Poincardaße-Plots´ an zwei radialen Positionen eine Storung¨ der Stromdichte in einerundfestendamitpoloidalenauch derEbeneTeilchenbahnen;bei Erhohung¨ derderStPlasmaeinschlußorstr¨ ome.¨ Zunachst¨ istbildenstark sichvermindert.magneti-Man kann den Hierbeischlußefwurde angenommen,fekt deutlich erhdaßohen.¨ an zweiDannradialenerfolgtPositioneneine zunehmendeeine Storung¨ Stochastisierungder Stromdichtemit einerderbestimmtenFeldlinien poloidalen Modenzahl m vorliegt. Die Abbildung zeigt Poincare-Plots´ mit einer bestimmten poloidalensche InselnelektromagnetischenModenzahl, d.h. geordnetem vorlieSubstrukturen,gt. TDieransportAbbildunggrobwelchezeigtabschdenPoincaratzen,¨radialene-PlotsíndemTransportman annimmt,durch eineeinArtTKeilchenurz- fuhrt¨ einen und damit auch der Teilchenbahnen; der Plasmaeinschluß ist stark vermindert.in einerManfestenkannpoloidalenden Ebene bei Erhohung¨ der Storstr¨ ome.¨ Zunachst¨ bilden sich magneti- in einer festen poloidalenschlußefEbene beirandomfektErhdeutlichohung¨ walkdererhmitStohen.¨ einerorstr¨ Dannome.¨ radialenZunerfolgtachst¨ Schrittweiteeinebildenzunehmendesichvmaongneti-∆xStochastisierung(B˜ /B0)λ f deraus,Feldlinienwobei λ f = vt /ν seine sche Inseln∼ , d.h.⊥ geordnete Substrukturen, welche den radialen Transport durch eine Art Kurz- sche Inselnelektromagnetischen, d.h. geordnete Substrukturen,TransportmittleregrobwelchefreieabschWdeneatzen,¨glradialenange¨ indembeschreibt.Transportman annimmt,durchDarauseineeinerArtgibtTeilchenKsichurz- fuhrt¨ einen und damit auch der Teilchenbahnen; der˜ Plasmaeinschlußschlußefist starkfektvermindert.deutlich erhManohen.¨ kannDanndenerfolgt eine zunehmende Stochastisierung der Feldlinien schlußefrandomfekt deutlichwalk miterhohen.ëiner DannradialenerfolgtSchrittweiteeine zunehmendevon ∆x Stochastisierung(B /B0)λ f aus,derwFeldlinienobei λ f = vt /ν seine elektromagnetischen Transport grob∼absch⊥atzen,¨ indem man˜undannimmt,damit2 aucheinderTeilchenTeilchenbahnen;fuhrt¨ einender Plasmaeinschluß ist stark vermindert. Man kann den und damitmittlereauchfreieder TWeilchenbahnen;eglange¨ beschreibt.der PlasmaeinschlußDaraus ergibtistsichstark vermindert.Dem⊥ Man= (B˜kann/B0den) D∥ . (5.19) random walk mit einer radialen Schrittweite von ∆x (B ⊥elektromagnetischen/B0)λ f aus, wobei Tλransportf = vt /νgrobseineabschatzen,¨ indem man annimmt, ein Teilchen fuhrt¨ einen elektromagnetischen Transport grob abschatzen,¨ indem man annimmt, ein Teilchen∼ fuhrt¨⊥ einen mittlere freie Weglange¨ beschreibt.˜ Daraus2 ergibt sich random walk mit einer radialen Schrittweite von ∆x (B˜ /B0)λ f aus, wobei λ f = vt /ν seine Wie sich zeigt,Dem⊥ =gen(Bugen¨˜ /B0)weDgen∥ . D D bereits kleine Fluktuationsni(5.19) veaus von B˜ /B ∼ ⊥ random walk mit einer radialen Schrittweite von ∆x (B⊥ /B0)λ f aus, w∥obei λ f⊥= vtmittlere/ν seinefreie Weglange¨ beschreibt. Daraus ergibt 0sich 5 ∼ ⊥ ≫ 2 3 ⊥ ∼ mittlere freie Weglange¨ beschreibt.10Daraus− , umergibtdensichanomalen TDransportem⊥ = (B˜ zu/B0erkl) Daren.¨∥ . Dies entspricht˜ in etwa(5.19)den experimentell Wie sich zeigt, genugen¨ wegen D∥ D⊥ bereits kleine Fluktuationsni⊥ veaus von B /B0 2 gemessenen≫Werten. Doch wie schon betont, gibt auch hier⊥ Gl.∼(5.19) nur eineD⊥obere= (B˜Grenze/B0) D∥ . (5.19) 5 ˜ 2 3 em 10− , um den anomalenWie sichTransportzeigt,Dem⊥ =gen(Bzuugen¨/Berkl0)wearen.¨Dgen∥ . DDies entsprichtD bereitsinkleineetwaFluktuationsniden(5.19)experimentellveaus von B˜ /B ⊥ an. Viele numerische⊥ Untersuchungen∥ ⊥ deuten indessen darauf hin, daß der elektromagnetische0 gemessenen Werten. Doch5 wie schon betont, gibt auch≫ hier Gl. (5.19)3 nur eine obere Grenze ⊥ ∼ ˜ 10− , um den anomalen Transport zu erklaren.¨ Dies entsprichtWie sich inzeigt,etwgena denugen¨ experimentellwegen D∥ D⊥ bereits kleine Fluktuationsniveaus von B /B0 Wie sich zeigt, genugen¨ wegen DBeitrag∥ D⊥zumbereitsTransportkleine Fluktuationsniim allgemeinenveausrechtvonkleinB˜ /B5ist.0 Wir konzentrieren uns im≫folgenden 3also ⊥ ∼ an. Viele numerische Untersuchungen≫ deuten indessen darauf hin, daß der10⊥elektromagnetische− , um∼ den anomalen Transport zu erklaren.¨ Dies entspricht in etwa den experimentell 10 5, um den anomalen gemessenenTransport zuWerklerten.aren.¨ Doch3 Dieswieentsprichtschon betont,in etwgibta denauchexperimentellhier Gl. (5.19) nur eine obere Grenze − Beitrag zum Transport imaufallgemeinenden elektrostatischenrecht klein ist.Transport.Wir konzentrieren unsgemessenenim folgendenWerten.alsoDoch wie schon betont, gibt auch hier Gl. (5.19) nur eine obere Grenze gemessenen Werten. Dochan.wieVieleschonnumerischebetont, gibtUntersuchungenauch hier Gl. (5.19)deutennurindesseneine oberedaraufGrenzehin, daß der elektromagnetische auf den elektrostatischen Transport. an. Viele numerische Untersuchungen deuten indessen darauf hin, daß der elektromagnetische an. Viele numerische UntersuchungenBeitrag zumdeutenTransportindessenim allgemeinendarauf hin,rechtdaß derkleinelektromagnetischeist. Wir konzentrieren uns im folgenden also Beitrag zum Transport im allgemeinen recht klein ist. Wir konzentrieren uns im folgenden also Beitrag zum Transport imaufallgemeinenden elektrostatischenrecht klein ist.TWransport.ir konzentrieren uns im folgenden also auf den elektrostatischen Transport. auf den elektrostatischen Transport.5.2 Das Hasegawa-Mima-Modell 5.2 Das Hasegawa-Mima-Modell 5.2 HerleitungDas Hasegawa-Mima-Modellder Hasegawa-Mima-Gleichung. Ein fundamentales und heute noch oft benutz- 5.2 HerleitungDas Hasegawa-Mima-Modellder Hasegawa-Mima-Gleichungtes Modell zur Beschreib. Ein ungfundamentalesvon Plasmaturbund heuteulenz5.2nochwurdeDasoft Endebenutz-Hasegawa-Mima-Modellder 1970er Jahre von den bei- tes Modell zur BeschreibHerleitungungden japanischenvderon Hasegawa-Mima-GleichungPlasmaturbPhysikulenzernwurdeA. HaseEndega. Einderwa 1970erfundamentalesund K. JahreMimaverstmalsonunddenheutebei-vnochorgestellt.oft benutz-Es beruht auf einer Herleitung der Hasegawa-Mima-Gleichung. Ein fundamentales und heute noch oft benutz- Herleitungden japanischender Hasegawa-Mima-GleichungPhysiktes Modellern A.zurHaseBeschreibga.wEina undungfundamentalesK.vonMimaPlasmaturberstmalsund heuteulenzvornochgestellt.wurdeoftEndebenutz-Es beruhtder 1970erauf einerJahre von den bei- nichtlinearen partiellen Differentialgleichung ftesur¨ Modelldas elektrostatischezur BeschreibungPotential.von PlasmaturbInteressanterulenz wurde- Ende der 1970er Jahre von den bei- tes Modellnichtlinearenzur BeschreibpartiellenungdenvjapanischenonDifweisePlasmaturbferentialgleichungistPhysikdieseulenzernHasewurdeA.fgaHaseurËndewdasa-Mima-Gleichunggaderelektrostatischewa 1970erund K. JahreMimavPotential.erstmalsonsehrdenengbei-vInteressanterorverwgestellt.andtEsmit-beruhtder soaufgenannteneiner Charney- den japanischen Physikern A. Hasegawa und K. Mima erstmals vorgestellt. Es beruht aufdeneinerjapanischen Physikern A. Hasegawa und K. Mima erstmals vorgestellt. Es beruht auf einer weise ist diese Hasenichtlinearengawa-Mima-GleichungGleichungpartiellenaus derDifsehrferentialgleichungGeophysik.eng verwSieandtwirdfmitur¨ dasdeshalbderelektrostatischeso nichtlinearengenanntenmanchmalCharnePotential.auchpartiellenalsy- CharneInteressanterDifferentialgleichungy-Hase- gawa-Mima-fur¨ das elektrostatische Potential. Interessanter- nichtlinearenGleichungpartiellenaus derDifweiseGeophysik.ferentialgleichungist dieseSieHasewirdfgaur¨ deshalbwdasa-Mima-Gleichungelektrostatischemanchmal auchPotential.sehralsengCharneInteressanterverwy-Haseandt mit-gaderwa-Mima-so genannten Charney- weise ist diese Hasegawa-Mima-GleichungGleichungsehrbezeichnet.eng verwandtZumitihrerderHerleitungso genanntenbenutzenCharneweise isty- wirdieseeineHaseeinfgawachea-Mima-GleichungFlussigk¨ eitsbeschrei-sehr eng verwandt mit der so genannten Charney- Gleichung bezeichnet.GleichungZu ihreraus derHerleitungGeophysik.Basicbenutzen assumptionsSie wirdwirdeshalbeine einfmanchmalache Flauchussigk¨ alseitsbeschrei-Charney-Hasegawa-Mima- Gleichung aus der Geophysik. Siebwirdungdeshalbund machenmanchmalfolgendeauch alsAnnahmen:Charney-Hasegawa-Mima-Gleichung aus der Geophysik. Sie wird deshalb manchmal auch als Charney-Hasegawa-Mima- Gleichung bezeichnet. Zu ihrer Herleitung benutzen wir eine einfache Flussigk¨ eitsbeschrei- Gleichungbungbezeichnet.und machenZufolgendeihrer HerleitungAnnahmen:benutzen wir eine einfache Flussigk¨ eitsbeschrei-Gleichung bezeichnet. Zu ihrer Herleitung benutzen wir eine einfache Flussigk¨ eitsbeschrei- bung und machen folgendeHomogeneousAnnahmen:magnetic field: bung und machen folgende Annahmen: Homogenes Hintergrundmagnetfeld: B =bungB zûnd machen folgende Annahmen: Homogenes Hintergrundmagnetfeld:• B = B zˆ • Homogenes Hintergrundmagnetfeld: = B ˆ Homogenes Hintergrundmagnetfeld:Niederfrequente,B = B zˆ elektrostatischeB zFluktuationen:Homogenesω ΩiHinterund Egrundmagnetfeld:= ∇φ˜ B = B zˆ • Niederfrequente,• elektrostatische• ElectrostaticFluktuationen:fluctuationsω Ω: und E = ∇φ˜• ≪ − • ≪ i − ˜ Niederfrequente, elektrostatischeNiederfrequente,Fluktuationen:elektrostatischeω Ω undFluktuationen:= ∇φ˜ ω Ωi Niederfrequente,und E = ∇φ elektrostatische Fluktuationen: ω Ωi und E = ∇φ˜ • Langsam (in x-Richtung)i E variierende≪Hinter• grunddichte:− n0 = n0(x) mit ∇n0 = ≪ − • Langsam (in x-Richtung)• variierende ≪Hintergrunddichte:− n0 = n0(x) mit ∇n0 = (n /L ) ˆ Langsam• (in x-Richtung)Langsamvariierende(in0 HinterxSlowly-Richtung)n x grunddichte:varyingvariierendebackgroundn = nHinterdensity(x) grunddichte:mit: ∇n Langsam= n0 =(inn0(x-Richtung)) mit ∇n0 v=ariierende Hintergrunddichte: n0 = n0(x) mit ∇n0 = • (n0/Ln)xˆ • − 0 0 •0 (n /L−)xˆ (n0/Ln)xˆ (n0/Ln)xˆ 0 n − −= = = − Kalte, einfach geladene Ionen:Kalte,TeinfachT undgeladeneZ = 1 Ionen:(n = nT=i n)Te und Zi 1 (ne ni n) • i „Colde“ ions: i e i ≪ Kalte,• einfach geladene Ionen:Kalte,3TieinfTache undgeladene≪Zi = 1 (Ionen:ne = niT=i n)Te und Zi = 1 (ne = nKalte,i = n)einfach geladene Ionen: Ti Te und Zi = 1 (ne = ni = n) • 3Diese Aussage gilt nur• fur¨ dasDieseInnere≪ Aussagedes Plasmas;gilt nuram fRandur¨ dassindInnere≪die gemessenendes Plasmas;Feldstam•Randorungen¨ sindzudieklein.gemessenen Feldstorungen¨ ≪ zu klein. 3Diese Aussage gilt nur fur¨ das3DieseInnereAussagedes Plasmas;gilt nuram Randfur¨ dassindInneredie gemessenendes Plasmas;Feldstam Randorungen¨ sindzudieklein.3DiesegemessenenAussageFeldstgilt nurorungen¨ fur¨ daszuInnereklein.des Plasmas; am Rand sind die gemessenen Feldstorungen¨ zu klein. „Adiabatic“ electrons! 70 KAPITEL 5. ANOMALER TRANSPORT

70Adiabatische Elektronen: n˜ /n = eφ˜/T KAPITEL 5. ANOMALER TRANSPORT • e e0 e 70 DieKAPITELletztere Annahme5. ANOMALERkann manTRANSPORfolgendermaßenT motivieren. Vernachlassigt¨ man Tragheitsef-¨ Adiabatische Elektronen: n˜e/ne = eφ˜/Te 70 fekte und• Stoße,¨ dann gilt fur¨ Elektronen0 KAPITELdas Krafte¨ 5. gleichgeANOMALERwicht TRANSPORT Die letztere Annahme kann man folgendermaßen70 motivieren. Vernachlassigt¨ man Tragheitsef-¨ KAPITEL 5. ANOMALER TRANSPORT Adiabatische Elektronen: n˜ /n = eφ˜/T ∇pe + ene (E + v B) = 0. (5.20) e e0 e fekte und Stoße,¨ dann gilt fur¨ Elektronen das Krafte¨ ×gleichgewicht • Adiabatische70 Elektronen: n˜ /n = eφ˜/T KAPITEL 5. ANOMALER TRANSPORT • Geht man ferner davon aus,e e0daß die Elektronene aufgrund der hohen parallelen Warmeleitf¨ ahig-¨ Die letztere Annahme kann man folgendermaßen motivieren. Vernachlassigt¨ man∇Tpreagheitsef-¨+ ene (E + v AdiabatischeB) = 0. Elektronen: n˜e/ne0 = e(5.20)φ˜/Te Die letzterekeitAnnahmeisothermkannsind,manso daßfolgendermaßender Elektronendruckmotivieren.•als×Vernachlp = nassigt¨ k T manmitTrnagheitsef-¨ = n + n˜ , n˜ n fekte und Stoße,¨ dann gilt fur¨ Elektronen das Krafte¨ gleichgewicht e e B e0 e e0 e e ≪ e0 fekte undgeschriebenStoße,¨GehtdannmanAdiabatischewerdengiltfernerfur¨ daElektronenkann,von aus,Elektronen:danndaßdasdieliefertKrElektronenafte¨n˜e/diegleichgene0 paralleleDie=aufgrundeφ˜letzterewicht/Te KderAnnahmeomponentehohen parallelenkannvonmanGl.Wfolgendermaßenarmeleitf¨(5.20) nachahig-¨ motieinervieren. Vernachlassigt¨ man Tragheitsef-¨ + ( + keit)isotherm=• . sind, so daß der Elektronendruckfektealsundpe =Stoße,¨nekBTdanne0 mitgiltnefur¨= Elektronenne0 + n˜e, n˜edas Krne0afte¨ gleichgewicht ∇pe ene ELinearisierungv B 0 die obige Beziehung fur¨ adiabatische(5.20) Elektronen. Alternativ kann man≪ diesen × Die letztere Annahme∇pe +kannene (manE + vfolgendermaßenB) = 0. motivieren. Vernachl(5.20)assigt¨ man Tragheitsef-¨ Zusammenhanggeschrieben werdenzwischenkann,DichtedannundliefertPotential×die paralleleals linearisierteKomponenteBoltzmann-Beziehungvon Gl. (5.20) nach einerbetrach- Geht man ferner davon aus, daß die Elektronen aufgrundLinearisierungfektederundhohenStdieoße,¨ parallelenobigedannBeziehunggiltWfarmeleitfür¨ Elektronenfur¨ adiabatischeahig-¨ das KrElektronen.afte¨ gleichgeAlternatiwicht v kann∇peman+ endiesene (E + v B) = 0. (5.20) Geht manten.fernerIn jedemdavonFaus,all vdaßerbirdiegtElektronensich dahinteraufgrundphysikalischder hohendieparallelenVorstellungWarmeleitf¨ von sehrahig-¨ leichten und ×des- Zusammenhangp = n k T zwischenn =Dichten +undn nPotentialn als linearisierte Boltzmann-Beziehung betrach- keit isotherm sind, so daß der Elektronendruckkeit isothermals sind,e soedaßB eder0 mitElektronendrucke e0 ˜e,als˜e p =Gehte0n k manT fernermit n da=vonn aus,+ n˜daß, n˜ die Elektronenn aufgrund der hohen parallelen Warmeleitf¨ ahig-¨ halbten.sehrInmobilenjedem FallElektronen,verbirgt sichdiedahintersich∇physikalischschnell≪pee + eneentlange (BEdiee+0 vVvorstellungonBe)Magnetfeldlinien= 0e0.von sehre eleichten≪ bee0weundgendes-und (5.20)so geschrieben werden kann, dann liefertgeschriebendie parallelewerdenKomponentekann, dannvonliefertGl. (5.20)die parallelenach einerKomponentekeit isothermv×onsind,Gl.so(5.20)daß dernachElektronendruckeiner als pe = nekBTe0 mit ne = ne0 + n˜e, n˜e ne0 jedehalbAbweichungsehr mobilenvonElektronen,der Adiabatizitdie sichatsrelation¨ schnell entlangsofortvonwiederMagnetfeldlinienausgleichen.beweDiesesgen undVorsogehen ≪ Linearisierung die obige Beziehung fur¨LinearisierungadiabatischedieGehtElektronen.obigemanBeziehungfernerAlternatidavonfur¨vaus,kannadiabatischedaßmandiediesenElektronenElektronen.geschriebenaufgrundAlternatiwerdendervkann,kannhohendannmanparallelendiesenliefert dieWarmeleitf¨parallele ahig-¨Komponente von Gl. (5.20) nach einer hat zweijede Abweichungwichtige Konsequenzen:von der AdiabatizitZumatsrelation¨ einen bedeutetsofort wiederes, daßausgleichen.die schnelleDiesesParalleldynamikVorgehen Zusammenhang zwischen Dichte und PotentialZusammenhangals linearisiertekzwischeneit isothermBoltzmann-BeziehungDichtesind,undsoPotentialdaß der alsElektronendruckbetrach-linearisierteLinearisierungBoltzmann-Beziehungals pedie=obigenekBTBeziehunge0 mitbetrach-ne =fur¨ nadiabatischee0 + n˜e, n˜e Elektronen.ne0 Alternativ kann man diesen der Elektronenhat zwei wichtigedamitKexplizitonsequenzen:eliminiertZumwird,einen obwbedeutetohl ihrees, daßWirkungdie schnelleimplizitParalleldynamikberucksichtigt¨ ist,≪ ten. In jedem Fall verbirgt sich dahinterten.physikalischIn jedem FalldiegeschriebenvVerbirorstellunggt sichwerdendahintervon sehrkann,physikalischleichtendann undliefertdiedes-VZusammenhangdieorstellungparallelevonKzwischensehromponenteleichtenDichtevundonunddes-Gl.Potential(5.20) alsnachlinearisierteeiner Boltzmann-Beziehung betrach- und derzumElektronenanderen,damitdaß dieexplizitZeitskaleneliminiertderwird,turbobwulentenohl ihreDynamikWirkungalleinimplizitdurchberucksichtigt¨ die Ionentrist,agheit¨ halb sehr mobilen Elektronen, die sichhalbschnellsehrentlangmobilenLinearisierungvElektronen,on MagnetfeldliniendiediesichobigeschnellbeBeziehungwegenentlangundfur¨vsoten.onadiabatischeMagnetfeldlinienIn jedem FallElektronen.verbirbegtwesichgenAlternatidahinterund sovphysikalischkann man diesendie Vorstellung von sehr leichten und des- (bzwund. -masse)zum anderen,bestimmtdaßwerden.die Zeitskalen der turbulenten Dynamik allein durch die Ionentragheit¨ jede Abweichung von der Adiabatizitatsrelation¨jede AbweichungsofortZusammenhangvwiederon derausgleichen.Adiabatizitzwischenatsrelation¨ DiesesDichteVsofortorundgehenPotentialwiederhalb sehrausgleichen.alsmobilenlinearisierteElektronen,DiesesBoltzmann-BeziehungVdieorgehensich schnell entlangbetrach-von Magnetfeldlinien bewegen und so (bzw. -masse) bestimmt werden. jede Abweichung von der Adiabatizitatsrelation¨ sofort wieder ausgleichen. Dieses Vorgehen hat zwei wichtige Konsequenzen: ZumhateinenzweiImbedeutetwichtigefolgendenten.es,KInonsequenzen:jedemdaßkonzentrierendieFallschnelleverbirZumwirgteinenParalleldynamiksichunsbedeutetdahinternun auf physikalisches,diedaßIonendynamik.die schnelledie VorstellungAufgrundParalleldynamikvondersehrrelatileichtenven Lang-und des- Im folgenden konzentrieren wir uns nun auf diehat Ionendynamik.zwei wichtige KAufgrundonsequenzen:der relatiZumveneinenLang-bedeutet es, daß die schnelle Paralleldynamik der Elektronensamkeitdamithalb(undsehrexplizitUnwichtigkmobileneliminiertElektronen,eit)wird,der obwPdiearalleldynamikohlsichihreschnellWirkungentlangderimplizitIonenvonberwirdMagnetfeldlinienucksichtigt¨ diese imist,weiterenbewegenvunder- so der Elektronen damit explizit eliminiert wird, obwohlsamkihreeit W(undirkungUnwichtigkimpliziteit)berderucksichtigt¨ Paralleldynamikist,der Elektronender Ionendamitwirdexplizitdieseeliminiertim weiterenwird,vobwer- ohl ihre Wirkung implizit berucksichtigt¨ ist, und zumnachlanderen,assigt,¨jededaßAbweichungsodiedaßZeitskalensich dasvonderProblemderturbAdiabatizitulentenauf zweiDynamikatsrelation¨ Raumdimensionenalleinsofortdurchwiederdie(soIonentrausgleichen.wie eineagheit¨ Zeitdimension)Dieses Vorgehen und zum anderen, daß die Zeitskalen der turbulentennachlDynamikassigt,¨ soalleindaß sichdurchdas Problemdie Ionentraufagheit¨zweiundRaumdimensionenzum anderen, daß(sodiewieZeitskaleneine Zeitdimension)der turbulenten Dynamik allein durch die Ionentragheit¨ (bzw. -masse)verringert.bestimmtDiewerden.Senkrechtdynamik der Ionen wird durch die Gleichung (bzw. -masse) bestimmt werden. verringert.hat zweiDiewichtigeSenkrechtdynamikKonsequenzen:der IonenZumwird(bzweinen.durch-masse)bedeutetdiebestimmtGleichunges, daßwerden.die schnelle Paralleldynamik Im folgenden konzentrierender Elektronenwirdamituns nunexplizitauf dieeliminiertIonendynamik.wird, obwAufgrundohl ihrederWirkungrelativenimplizitLang-berucksichtigt¨ ist, Im folgenden konzentrieren wir uns nun auf die Ionendynamik. Aufgrund der relati∂∂ ven Lang-Im folgenden konzentrieren wir uns nun auf die Ionendynamik. Aufgrund der relativen Lang- samkeit (und Unwichtigkund zum anderen,eit) der daßPmaralleldynamikmindieini i Zeitskalen++vv ∇der∇dervvIonenturb==enulentenenwirdi (iE(+Ediese+vDynamikv Bim) Bweiteren)allein durchver- die(5.21)Ionentr(5.21)agheit¨ samkeit (und Unwichtigkeit) der Paralleldynamik der Ionen wird diese im ∂weiteren∂tt ⊥ ·· versamk-⊥⊥ eit (und Unwichtigk⊥ ×⊥ × eit) der Paralleldynamik der Ionen wird diese im weiteren vernachlassigt,¨ so daß(bzwsich. -masse)das Problembestimmtaufwerden.!zwei! Raumdimensionen"" (sowie eine Zeitdimension) nachlassigt,¨ so daß sich das Problem auf zwei Raumdimensionen (sowie eine Zeitdimension)nachlassigt,¨ so daß sich das Problem auf zwei Raumdimensionen (sowie eine Zeitdimension) verringert.beschrieben.Diebeschrieben.SenkrechtdynamikIm folgendenHierbeiHierbeikwurdeonzentrierenwurdeder derIonenderDruckgradientDruckgradientwirdwir unsdurchnundieweaufweGleichunggengendiederIonendynamik.derAnnahmeAnnahmeTi TAufgrundiTe weTeggelassen.weggelassen.der relatiEinevenEineLang- verringert. Die Senkrechtdynamik der Ionen wird durch die Gleichung verringert. Die Senkrechtdynamik≪ ≪ der Ionen wird durch die Gleichung einfacheeinfsamkacheAbscheitAbsch(undatzung¨ atzung¨ Unwichtigkzeigt,zeigt,daßdaßeit)sichsichderderPTaralleldynamikTrragheitstermägheitsterm¨ aufaufderderderlinkIonenlinken undenwirdundderdieseLorentz-Tder Lorentz-Tim weiterenerm ermver- ∂ ∂ auf der rechtenmiSeiteni von+Gl.v (5.21)∇ vwie=ωen:iΩ(Ei v+erhalten.v BDies) legt einen storungstheoretischen¨ (5.21) ∂ auf dernachlrechtenassigt,¨ Seiteso vdaßon∂t Gl.sich⊥(5.21)·das Problemwie⊥ ω :aufΩi vzweierhalten.⊥ ×RaumdimensionenDies legt einenmin(soi stwieorungstheoretischen¨ +einev ∇Zeitdimension)v = eni (E + v B) (5.21) mini + v ∇ v =Ansatzeni (Ezur+PerpendicularvLosung¨ B)!dieser Gleichung" nahe.ion(5.21)Entwickdynamicselt man v nach Ordnungen∂int ω/⊥Ω·i gemaß¨⊥ ⊥ × ∂t ⊥ · Ansatz⊥ vzurerringert.Losung¨ ⊥ ×DiedieserSenkrechtdynamikGleichung nahe.derEntwickIonen wirdelt mandurch⊥v dienachGleichungOrdnungen! in ω/"Ωi gemaß¨ beschrieben. Hierbei(0wurde) (1)der Druckgradient wegen der Annahme T ⊥T weggelassen. Eine ! " v (=0)v +(1)v +... und setzt diesen Ausdruckbeschrieben.in Gl. (5.21)Hierbeii ein,edannwurdeergibtdersichDruckgradientin niedrigsterwegen der Annahme Ti Te weggelassen. Eine v =⊥v +⊥v +⊥ ... und setzt diesen Ausdruck in Gl. (5.21)≪ ein, dann ergibt sich in niedrigster ≪ beschrieben. Hierbei wurde der DruckgradienteinfacheweAbsch⊥genOrdnungatzung¨der Annahmenachzeigt,VektormultiplikationdaßTi sichTederweTggelassen.ragheitsterm¨ mit∂ B:Eineeinfaufacheder linkAbschenatzungünd derzeigt,Lorentz-Tdaß sichermder Tragheitsterm¨ auf der linken und der Lorentz-Term Ordnung⊥ nach⊥ForceVektormultiplikation balance≪ : mini mit B+:v ∇ v = eni (E + v B) (5.21) einfache Abschatzung¨ zeigt, daß sich derauf derTragheitsterm¨rechten SeiteaufvonderGl.link(5.21)en undwie derω : ΩLorentz-Ti verhalten.∂t erm⊥aufDies· derlerechtengt⊥ einenSeitestorungstheoretischen¨ von⊥Gl.× (5.21) wie ω : Ω verhalten. Dies legt einen storungstheoretischen¨ ! (0) E B" i Ansatz zur Losung¨ dieser Gleichung nahe. Entwickelt=man×v nach.Ordnungen in ω/Ω gemaß¨ (5.22) auf der rechten Seite von Gl. (5.21) wie ω : Ωi verhalten. Dies legt einen storungstheoretischen¨ v(0) EAnsatz2 B zurvE Losung¨ dieser Gleichungi nahe. Entwickelt man v nach Ordnungen in ω/Ωi gemaß¨ (0) (1)beschrieben. Hierbei wurde der Druckgradient⊥ = B ⊥ ≡wegen. der Annahme Ti Te weggelassen. Eine ⊥ = + +... und setzt diesen Ausdruck inv Gl. (5.21)×2ein,(0)dannvE (1er) gibt sich in niedrigster≪ (5.22) Ansatz zur Losung¨ dieser Gleichung nahe.v Entwickv velt man v Expandnach Ordnungenin orders ofin ω/Ω⊥i:gemaß¨vB= v≡ +v +... und setzt diesen Ausdruck in Gl. (5.21) ein, dann ergibt sich in niedrigster ⊥ ⊥ ⊥Dieseinfistachedie –Abschaus dematzung¨ erstenzeigt,Semesterdaß bereitssich derbekannte⊥ Tragheitsterm¨ – E B-Drift.auf derSielinktauchten undalso derin einemLorentz-Term (0) (1) Ordnung nach Vektormultiplikation⊥ mit B: Ordnung⊥ nach⊥×Vektormultiplikation mit B: v = v +v +... und setzt diesen AusdruckDiesin Gl.Flistussigkäuf(5.21)dieder–eitsmodellein,ausrechtendemdannSeitegenausoerstenergibtvonSemestersichauf,Gl.wiein(5.21)niedrigsterinbereitseinemwie ωTbekannteeilchenmodell.: Ωi verhalten.– E InDiesBder-Drift.lenachsth¨gtSieeinenoheren¨tauchtstorungstheoretischen¨ Ordnungalso in einem ⊥ ⊥ ⊥ × Ordnung nach Vektormultiplikation mit : ergibtAnsatzsichzurentsprechendLosung¨ dieser(0) GleichungE B nahe. Entwickelt man v nach Ordnungen(0) inEω/BΩi gemaß¨ B Flussigk¨ eitsmodell0th ordergenauso: auf,= wie×in einem. Teilchenmodell.ExB drift In der nachsth¨ (5.22)oheren¨ Ordnung (0) (1) v 2 vE ⊥ v = ×2 vE . (5.22) ergibt vsich=entsprechendv +v +... und⊥ setztBdiesen≡ Ausdruck in Gl. (5.21) ein, dann ergibt⊥ sich inBniedrigster≡ (0) E B ⊥ ∂ (0) (0) (1) = . ⊥ ⊥ mini + v ∇ v = eniv B, (5.23) vDies ist ×die2 – ausOrdnungvEdem erstennachSemesterVektormultiplikationbereits∂bekanntet (5.22)mit· –DiesBE: istB-Drift.die – ausSie×demtauchterstenalsoSemesterin einembereits bekannte – E B-Drift. Sie taucht also in einem ⊥ B ≡ !∂ ⊥(0) " ×⊥(0) ⊥ (1) × Flussigk¨ eitsmodell genauso1st orderauf, :wie inmieinemni T+eilchenmodell.v ∇Flussigk¨ v Ineitsmodell=dereninvachsth¨ genausoBoheren¨ , auf,Ordnungwie in einem Teilchenmodell.(5.23) In der nachsth¨ oheren¨ Ordnung (0) E B Dies ist die – aus dem ersten Semestererbereitsgibt sichbekannteentsprechendund daraus– E wiederumB-Drift. SienachtauchtVektormultiplikationalso∂t in⊥einemv· ergibt=mit⊥sich×B: entsprechendv⊥ .× (5.22) × ! " B2 ≡ E Flussigk¨ eitsmodell genauso auf, wie in einem Teilchenmodell. In der nachsth¨ oheren¨ 1 Ordnung⊥∂ polari- und daraus wiederum nach∂ V(ektormultiplikation1) (mit0) B: (0) ∂ (0) (0) (1) Dies ist die – aus demversten(0)= SemesterB(0) bereits+(v1) bekannte∇ v – vp . zation-Drift.m n Sie+taucht(5.24)∇also in=einemen , (5.23) ergibt sich entsprechend mini + v ∇Ω Bv ×= en∂t iv ·B, ≡ E Bdrifti i (5.23)v v iv B ∂t ⊥ · i ⊥× ⊥ × ∂t ⊥ · ⊥ ⊥ × Flussigk¨ eitsmodell! genauso(1)⊥ auf,1" ⊥wie!in∂einem⊥ (0T) eilchenmodell." (0) In der!nachsth¨ oheren¨ " Ordnung v = B + v ∇ v vp . (5.24) ∂ und(0)daraus (wiederum0) ergibt(sichnach1) entsprechendVektormultiplikationΩ B mit×B:∂undt daraus· wiederum≡nach Vektormultiplikation mit B: mini + v ∇ v = eniv B, ⊥ i (5.23)! ⊥ " ⊥ ∂t ⊥ · ⊥ ⊥ × ! " (1) 1 ∂ (0∂) (0)(0) (0) (1) (1) 1 ∂ (0) (0) v = B min+i v +∇v v ∇ vvp . = eniv vB, = (5.24)B + v (5.23)∇ v vp . (5.24) und daraus wiederum nach Vektormultiplikation mit B: ⊥ ΩiB × ∂t ⊥∂t · ⊥· ≡ × ⊥ ΩiB × ∂t ⊥ · ⊥ ≡ ! ! "⊥ " ⊥ ⊥ ! " (1) 1 ∂ (0) und daraus(0) wiederum nach Vektormultiplikation mit B: v = B + v ∇ v vp . (5.24) ⊥ ΩiB × ∂t ⊥ · ⊥ ≡ ! " (1) 1 ∂ (0) (0) v = B + v ∇ v v . (5.24) Ω B × ∂t · ≡ p ⊥ i ! ⊥ " ⊥ 5.2. DAS HASEGAWA-MIMA-MODELL 71

Dies ist5.2.die soDASgenannteHASEGA(nichtlineare)WA-MIMA-MODELLPolarisationsdrift. Sie beruht auf der Tatsache, daß 71 Flussigk¨ eitselemente aufgrund der Teilchentragheit¨ etwas verzogert¨ auf zeitliche Schwankun- 5.2.genDASdesHASEGAelektrischenWA-MIMA-MODELLFeldes reagieren. Obwohl sie eine Ordnung kleiner ist als die E B-Drift, 71 × wird sieDiesim folgendenist die soeinegenanntewichtige(nichtlineare)Rolle spielen. DasPolarisationsdrift.liegt daran, daß inSieeinemberuhthomogenenauf der Tatsache, daß MagnetfeldFlussigk¨ die EeitselementeB-Drift inkaufgrundompressibelderist,Teilchentrwahrend¨ agheit¨die Polarisationsdriftetwas verzogert¨ eineaufendlichezeitliche Schwankun- × DiesDiistverdiegenzgensobesitzt:desgenannteelektrischen(nichtlineare)Feldes reagieren.Polarisationsdrift.Obwohl sieSieeineberuhtOrdnungauf derkleinerTatsache,ist als diedaßE B-Drift, × Flussigk¨ eitselementewird sie imaufgrundfolgendendereineTeilchentrwichtigeagheit¨ Rolleetwspielen.as verzogert¨Das lieaufgtzeitlichedaran, daßSchwin ankun-einem homogenen (0) (1) 1 ∂ 2 ˜ gen des elektrischenMagnetfeldFeldesdie∇ vEreagieren.=B0-Drift, ∇Obwinkv ohlompressibel=sie eine Ordnung+ist,vEw∇ahrend¨ kleiner∇ φ.dieistPolarisationsdriftals die E (5.25)B-Drift,eine endliche · ⊥ × · ⊥ ΩiB ∂t · ⊥ × wird sie imDifolgendenvergenz besitzt:eine wichtige Rolle spielen. !Das liegt daran," daß in einem homogenen MagnetfeldFur¨ die weiteredie E HerleitungB-Drift inkgehenompressibelwir von derist, Kwontinuitahrend¨ atsgleichung¨die Polarisationsdriftfur¨ die Ioneneineaus.endlicheSie lautet × (0) (1) 1 ∂ 2 Divergenz besitzt: ∇ v = 0, ∇ v = + vE ∇ ∇ φ˜ . (5.25) ∂t n˜ + v ∇n·0 +⊥ v ∇n˜ + n0·∇⊥v +Ωn˜ ∇iB v ∂=t 0, · ⊥ (5.26) 5.2. DAS HASEGAWA-MIMA-MODELL⊥ · ⊥ · · ⊥ ·!⊥ " 71 (0) (1) 1 ∂ wobei wirFur¨v die= 0weitereund ni =Herleitung=n = ,n0 + n˜ gehenverwendet= wirhaben.von der+NachKontinuitdem oben2atsgleichung¨˜ .gesagten durfen¨fur¨ diewirIonen aus. Sie ∥ Perpendicular∇ v 0 ∇ v ion dynamicsvE ∇(cont‘d∇ φ ) (5.25) fur¨ ω lautetΩi die Ersetzungen· ⊥ · ⊥ ΩiB ∂t · ⊥ Dies ≪ist die so genannte (nichtlineare) Polarisationsdrift.! Sie beruht" auf der Tatsache, daß Fur¨ die weitere Herleitung gehen∂t nwir˜ + vv(on0) ∇dern0 +Kontinuitv ∇n˜ +atsgleichung¨ (1n)0 ∇ v + nf˜ur¨∇ diev Ionen= 0, aus. Sie (5.26) Flussigk¨ eitselementeIon continuityaufgrundequationvder Teilchentrv⊥: ·, ∇agheit¨ v ⊥etw· ∇asvverzogert¨ · ⊥auf zeitliche· ⊥ Schw(5.27)ankun- ⊥ → ⊥ · ⊥ → · ⊥ lautetgen deswelektrischenobei wir v Feldes= 0 undreagieren.ni = nObw= nohl0 +sien˜ veineerwendetOrdnunghaben.kleinerNachist alsdemdieobenE Bgesagten-Drift, durfen¨ wir vornehmen. Außerdem∥ gilt zwar n˜ n0, aber gleichzeitig ist ∇n˜ ∇n0, so daß der× zweite wird siefur¨imωfolgendenΩ∂itdien˜ +eineErsetzungenv wichtige∇n0 +≪vRolle∇nspielen.˜ + n0 ∇Dasv lie+gtn˜ ∇daran,v ∼=daß0,in einem homogenen(5.26) und dritte Term auf der link⊥en· Seite von⊥ Gl.· (5.26) ver· gleichbar⊥ ·groß⊥ sind, wahrend¨ der funfte¨ Magnetfeld die≪E B-Drift inkompressibel ist, wahrend¨ die Polarisationsdrift eine endliche wobeiTermwirkleinv =ist0geundgen×nueber¨i = ndem= n0vierten+ n˜ verwendetund deshalbhaben.(0v)ernachlNachassigt¨ demwerdenoben(1)darf.gesagtenMit Hilfedurfen¨ derwir Divergenz∥ besitzt:Low-order expansion: v v , ∇ v ∇ v (5.27) fur¨ ωQuasineutralitΩ die Ersetzungenatsbedingung¨ ⊥ → · ⊥ → · ≪ i ⊥ ⊥ vornehmen. Außerdem(0) gilt zwar(1) n˜ 1n0, aber∂ gleichzeitig2 ˜ ist ∇n˜ ∇n0, so daß der zweite ∇ v = 0, ∇(0)v =e≪φ˜ e+φ˜ v(E1) ∇ ∇ φ. ∼ (5.25) und dritte Term· auf⊥ derv n˜ link= n˜vien=· ,Seiten˜⊥e =∇ vΩvoninBe0Gl.=∂∇t(5.26)vn0 ·vergleichbar⊥ groß sind,(5.28)w(5.27)ahrend¨ der funfte¨ ⊥ → ⊥ T· ⊥ →! T· ⊥ " Term klein ist gegenueber¨ dem viertene und deshalbe vernachlassigt¨ werden darf. Mit Hilfe der vornehmen.Fur¨ die weitereAußerdemHerleitunggilt zwgehenar n˜ wirn0v,onaberdergleichzeitigKontinuitatsgleichung¨ ist ∇n˜ ∇fur¨n0,diesoIonendaß deraus.zweiteSie und ∇n0Quasineutralit= (n0Hasegawa/Ln)∇xatsbedingung¨ folgt-Mimaschließlich≪equationdie Hase(Charneygawa-Mima-Gleichung:equation) in∼ 2D: und drittelautet Term−auf der linken Seite von Gl. (5.26) vergleichbar groß sind, wahrend¨ der funfte¨ ∂∂t n˜ + v ∇n0 +evφ˜ ∇n˜ + n0 ∇eφ˜v + n˜˜ ∇x v =˜0, (5.26) Term klein ist gegenueber¨ +dem⊥vierten∇· und⊥ ·deshalbρ2∇2 vernachl· ⊥ eφassigt¨ · ⊥ werden=eφ0. darf. Mit Hilfe(5.29)der vE n˜ =s n˜i = n˜e = ne0 = n0 (5.28) Quasineutralitwobei wir atsbedingung¨v = 0 und∂tni = n ·= n0 + n˜Teverwendet− ⊥haben.Te Nach−T Lndem obenT gesagten durfen¨ wir ∥ ! "#! " ! " e! "$ e Imfur¨ letztenω ΩSchritti die Ersetzungenhaben wir die charakteristische Langenskala¨ ≪und ∇n0 = (n0/Ln)∇x folgt schließlicheφ˜ dieeHaseφ˜ gawa-Mima-Gleichung: − n˜ = n˜i =(n0˜)e = ne0 = n(01) (5.28) v v c,s ∇Te v2 Te∇Te v (5.27) ⊥ →ρs ⊥ , ·ces ⊥˜ → · ⊥ e˜ x (5.30) ∂ ≡ Ω φ≡ m 2 2 φ + vE ∇ i i ρs ∇ = 0. (5.29) vornehmen.= ( Außerdem/ ) gilt zwar n˜ n0, aber gleichzeitig ist ∇n˜ ∇n0, so daß der zweite und ∇n0 n0 Ln ∇x folgt schließlich∂t ≪ ·die HaseTgae w−a-Mima-Gleichung:⊥ Te∼ − Ln eingefund dritteuhrt.¨ − TSieermentsprichtauf der linkdemen!GyrationsradiusSeite von Gl."(5.26)#!einesv"erIonsgleichbarmit v !groß= c"s sind,bzw!.wdemahrend¨ "$Gyrationsra-der funfte¨ ⊥ diusTermthermischerkleinIm letztenist geIonengenSchritt∂ueber¨ bei Elektronentemperaturdemhabenviertenwireφ˜dieundcharakteristischedeshalb(es visteernachlφ˜ja Ti assigt¨Langenskala¨Txe). werdenρs ist dasdarf.mikroskMit Hilfeopischeder + v ∇ ρ2∇2 ≪ = 0. (5.29) PendantQuasineutralitzur makroskatsbedingung¨ ∂topischenE · Langenskala¨ T −Lns. Die ursprT unglich¨ − Lgeforderte langsame Variati- ! "#! e " ⊥ ! ces" !2 n "$Te on der Hintergrunddichte ist namlich¨ gleichbedeutendρs mit, cs (5.30) eφ˜ ≡ Ωi eφ˜ ≡ mi Im letzten Schritt haben wir die charakteristischen˜ = n˜ = n˜ = Lnangenskala¨ = n (5.28) i ρes TLn . e0 T 0 (5.31) eingefuhrt.¨ Sie entspricht dem Gyrationsradius≪ e e eines Ions mit v = cs bzw. dem Gyrationsra- cs 2 Te ⊥ Oftundist∇nes0dius=vorteilhaft,thermischer(n0/Ln)die∇x HasefolgtIonengaschließlichwbeia-Mima-GleichungρsElektronentemperaturdie, Hasecs gawina-Mima-Gleichung:einer(esdimensionslosenist ja Ti Te).Formρs istzudasv(5.30)ermikrosk- opische − ≡ Ωi ≡ mi ≪ wenden.PendantDiese erhzuralt¨ makroskman durchopischendie NormierungLangenskala¨ Ln. Die ursprunglich¨ geforderte langsame Variati- ∂ eφ˜ eφ˜ x eingefuhrt.¨ onSiederentsprichtHintergrunddichtedem+˜ v Gyrationsradius∇ ist namlich¨ ρeines2∇gleichbedeutend2 Ions mit v =mitc=s bzw0. . dem Gyrationsra-(5.29) ∂teφ LnE · Tx − s y T −cstL⊥ dius thermischer Ionen!bei Elektronentemperatur"φ,#! e " x, (es⊥ !isteyja", Ti ! Tne"$).t .ρs ist das mikrosk(5.32)opische Te ρs → ρs → ρs →ρs LL≪nn. → (5.31) PendantIm letztenzur makroskSchritt opischenhaben wirLdieangenskala¨ charakteristischeLn. DieLursprangenskala¨ ≪unglich¨ geforderte langsame Variati- on der HinterOftgrunddichteist es vorteilhaft,ist namlich¨ die Hasegleichbedeutendgawa-Mima-Gleichungmit in einer dimensionslosen Form zu ver- cs 2 Te wenden. Diese erhalt¨ man durchρs die, Normierungcs (5.30) ≡ρsΩi Ln . ≡ mi (5.31) ˜ ≪ eingefuhrt.¨ Sie entspricht dem Gyrationsradiuseφ Ln einesx Ions mit yv = cs bzwc.stdem Gyrationsra- Oft ist es vorteilhaft, die Hasegawa-Mima-Gleichungφ, inxeiner, dimensionslosen⊥ y, tF.orm zu ver- (5.32) dius thermischer Ionen bei ElektronentemperaturT ρ → ρ(es →ist ja Ti ρ T→e). ρs ist Ldas→mikroskopische wenden. Diese erhalt¨ man durch die Normierunge s s ≪s n Pendant zur makroskopischen Langenskala¨ Ln. Die ursprunglich¨ geforderte langsame Variati- on der Hintergrunddichteeφ˜ List namlich¨ gleichbedeutendx y mit c t n φ, x, y, s t . (5.32) Te ρs → ρs →ρ Lρs. → Ln → (5.31) s ≪ n Oft ist es vorteilhaft, die Hasegawa-Mima-Gleichung in einer dimensionslosen Form zu ver- wenden. Diese erhalt¨ man durch die Normierung eφ˜ L x y c t n φ, x, y, s t . (5.32) Te ρs → ρs → ρs → Ln → 5.2. DAS HASEGAWA-MIMA-MODELL 71

Dies ist die so genannte (nichtlineare) Polarisationsdrift. Sie beruht auf der Tatsache, daß Flussigk¨ eitselemente aufgrund der Teilchentragheit¨ etwas verzogert¨ auf zeitliche Schwankun- gen des elektrischen Feldes reagieren. Obwohl sie eine Ordnung kleiner ist als die E B-Drift, × wird sie im folgenden eine wichtige Rolle spielen. Das liegt daran, daß in einem homogenen Magnetfeld die E B-Drift inkompressibel ist, wahrend¨ die Polarisationsdrift eine endliche × Divergenz besitzt:

(0) (1) 1 ∂ 2 5.2. DAS HASEGA∇ v =W0A-MIMA-MODELL, ∇ v = + vE ∇ ∇ φ˜ . (5.25) 71 · · Ω B ∂t · ⊥ ⊥ i ! " ⊥ Fur¨ die weitere Herleitung gehen wir von der Kontinuitatsgleichung¨ fur¨ die Ionen aus. Sie Dies ist die so genannte (nichtlineare) Polarisationsdrift. Sie beruht auf der Tatsache, daß lautet Flussigk¨ eitselemente aufgrund der Teilchentragheit¨ etwas verzogert¨ auf zeitliche Schwankun- ∂ n˜ + ∇n + ∇n˜ + n ∇ + n˜ ∇ = 0, (5.26) gen des elektrischent v Feldes0 reagieren.v Obw0 ohlv sie eine Ordnungv kleiner ist als die E B-Drift, ⊥ · ⊥ · · ⊥ · ⊥ × wobei wir vwird= 0sieundim nfolgendeni = n = neine0 + n˜wichtigeverwendetRollehaben.spielen.NachDasdemliegtobendaran,gesagtendaß in einemdurfen¨ homogenenwir Magnetfeld∥ die E B-Drift inkompressibel ist, wahrend¨ die Polarisationsdrift eine endliche fur¨ ω Ωi die Ersetzungen × ≪ Divergenz besitzt: (0) (1) v v , ∇ v ∇ v (5.27) ⊥ →(0) ⊥ · ⊥(1)→ 1· ⊥ ∂ 2 ∇ v = 0, ∇ v = + vE ∇ ∇ φ˜ . (5.25) vornehmen. Außerdem gilt zwar ·n˜ ⊥ n , aber ·gleichzeitig⊥ ΩiB ist∂t∇n˜ ·∇n , so⊥ daß der zweite ≪ 0 ! ∼ "0 und dritte TFermur¨ dieaufweitereder linkHerleitungen Seite vongehenGl. (5.26)wir vonverdergleichbarKontinuitgroßatsgleichung¨ sind, wahrend¨ fur¨ diederIonenfunfte¨ aus. Sie Term kleinlautetist gegenueber¨ dem vierten und deshalb vernachlassigt¨ werden darf. Mit Hilfe der Quasineutralitatsbedingung¨ ∂t n˜ + v ∇n0 + v ∇n˜ + n0 ∇ v + n˜ ∇ v = 0, (5.26) ⊥ · ⊥ · · ⊥ · ⊥ wobei wir v = 0 und ni = n = n0 + n˜ev˜erwendete˜haben. Nach dem oben gesagten durfen¨ wir ∥ φ φ fur¨ ω Ωi die Ersetzungenn˜ = n˜i = n˜e = ne0 = n0 (5.28) ≪ Te Te (0) (1) und ∇n0 = (n0/Ln)∇x folgt schließlichvdie Hasev ga, w∇a-Mima-Gleichung:v ∇ v (5.27) − ⊥ → ⊥ · ⊥ → · ⊥ vornehmen. Außerdem gilt zw˜ ar n˜ n0, aber˜ gleichzeitig ist ∇n˜ ∇n0, so daß der zweite ∂ eφ ≪2 2 eφ x ∼ und dritte Term+aufvE der∇ linken Seite ρvon∇Gl. (5.26) vergleichbar= 0groß. sind, wahrend¨ (5.29)der funfte¨ ∂t · T − s T − L Term klein! ist gegenueber¨ "#!deme "vierten und⊥ !deshalbe " v!ernachln "$assigt¨ werden darf. Mit Hilfe der Im letzten SchrittQuasineutralithaben wiratsbedingung¨ die charakteristische Langenskala¨ ˜ ˜ cs 2 Te φ eφ ρs n˜ =,n˜i =csn˜e = ne0 = n0 (5.30) (5.28) ≡ Ωi ≡ mTi e Te eingefuhrt.¨ undSie ∇entsprichtn0 = (ndem0/Ln)Gyrationsradius∇x folgt schließlicheinesdieIonsHasemitgawva-Mima-Gleichung:= cs bzw. dem Gyrationsra- − ⊥ dius thermischer Ionen bei Elektronentemperatur˜(es ist ja Ti ˜Te). ρs ist das mikroskopische ∂ eφ 2 2 ≪eφ x Pendant zur makroskopischen Langenskala¨ + vE ∇ L . Die ursprρ ∇unglich¨ geforderte langsame= 0. Variati- (5.29) ∂t · n T − s T − L on der HintergrunddichteNon-dimensionalizedist n!amlich¨ gleichbedeutend"#! e "HMEmit ⊥ ! e " ! n "$ Im letzten Schritt haben wir die charakteristische Langenskala¨ ρs Ln . (5.31) ≪ cs 2 Te Ion sound radius / speed: ρs , cs (5.30) Oft ist es vorteilhaft, die Hasegawa-Mima-Gleichung≡ Ωi in einer≡ mdimensionsloseni Form zu ver- wenden. Diese erhalt¨ man durch die Normierung eingefNormalizationuhrt.¨ Sie entspricht: dem Gyrationsradius eines Ions mit v = cs bzw. dem Gyrationsra- 72 KAPITEL 5. ANOMALER⊥ TRANSPORT 72 dius thermischer Ionen bei ElektronentemperaturKAPITEL 5. (esANOMALERist ja Ti Te).TRANSPORρs ist das mikroskT opische eφ˜ Ln x y cst ≪ Pendant zur makroskopischenφ, Langenskala¨ x, L . yDie, ursprunglich¨ t . geforderte langsame(5.32)Variati- T ρ → ρ → ρ →n L → Es ergibton dersichHintergrunddichtee s ist namlich¨s gleichbedeutends mitn Es ergibt sich d 2 d φ ∇ φρs x L=n .0 (5.33)(5.31) HME: φ ∇2 φdt x−=⊥0 −≪(similar to 2D NSE) (5.33) mit derOftkonistvekties vvorteilhaft,en Ableitungdt die−Hase⊥ga−w!a-Mima-Gleichung" in einer dimensionslosen Form zu ver- mit der konvektiven Ableitungwenden. Diese erhalt¨ !man durch die "Normierung d ∂ ∂φ ∂ ∂φ ∂ (∇ φ zˆ) ∇ = + . (5.34) dt ≡ −eφ˜ L⊥n × · ⊥x ∂t − ∂yy ∂x ∂xc∂sty d ∂φ, ∂φ ∂ x, ∂φ ∂ y, t . (5.32) (∇ φ zˆ) T∇ρ =→ ρ → + ρ →. L → (5.34) Diese Gleichungdt ≡ −ist sehr⊥ ×eng ·veerw⊥sandt∂tmit− der∂sy ∂zweidimensionalenx ∂xs ∂y nNavier-Stokes-Gleichung wie wir spater¨ noch sehen werden. Sie gilt als ein minimales Modell zur Beschreibung von Diese Gleichung ist sehr eng verwandt mit der zweidimensionalen Navier-Stokes-Gleichung Plasmaturbulenz und bildet gleichzeitig gewissermaßen den Kern aufwandigerer¨ und realisti- wie wir spater¨ scherernoch sehenModelle,werden.wie sieSieheutegiltimalsallgemeinenein minimalesverwendetModellwerden.zur Beschreibung von Plasmaturbulenz und bildet gleichzeitig gewissermaßen den Kern aufwandigerer¨ und realisti- Driftwellen. Bevor wir uns den Eigenschaften der Hasegawa-Mima-Gleichung im nichtlinea- scherer Modelle,renwieRegimesie heutezuwenden,im allgemeinenwollen wir einfverwendetache Wellenlwerden.osungen¨ untersuchen. Die linearisierte Ver- Driftwellen. Besionvorvwiron Gl.uns(5.33)den Eigenschaftenlautet der Hasegawa-Mima-Gleichung im nichtlinearen Regime zuwenden, wollen wir einfache Wellenl∂ osungen¨ untersuchen.∂φ Die linearisierte Ver- φ ∇2 φ + = 0. (5.35) sion von Gl. (5.33) lautet ∂t − ⊥ ∂y Mit Hilfe des Ansatzes∂φ ∝ exp(ik2 x +! ik∂φy iω"t) erhalt¨ man φ ∇ xφ + y −= 0. (5.35) ∂t − ⊥ ∂y ky Mit Hilfe des Ansatzes φ ∝ exp(ik x +! ik y iω"t)ωerh= ωalt¨ D man (5.36) x y − ≡ 1 + k2 ⊥ bzw. in unnormierten Einheiten: ky ω = ωD (5.36) ≡ + 2 1 k k ρ c = ⊥ y s s . (5.37) ωD 2 2 bzw. in unnormierten Einheiten: 1 + k ρs Ln ⊥ Diese Losungen¨ nennt man Driftwellenkyρs , dac sie in die y-Richtung propagieren. Im langwel- ω = s . (5.37) ligen Grenzfall entsprechenD sich Phasen-2 2 Lbzw. Gruppengeschwindigkeit und sind durch die 1 + k ρs n 2 diamagnetische Driftgeschwindigkeit⊥v ∇p B/(en B ) der Elektronen gegeben: de ≡ e × e0 Diese Losungen¨ nennt man Driftwellen, da sie in die y-Richtung propagieren. Im langwel- ωD ∂ωD ρscs ligen Grenzfall entsprechen sich Phasen-vphbzw. Gruppengeschwindigkvg vde eit.und sind durch die(5.38) ≡ ky ≈ ≡ ∂ky 2≈ ≡ Ln diamagnetische Driftgeschwindigkeit vde ∇pe B/(ene0B ) der Elektronen gegeben: Der physikalische Mechanismus≡ dieser×Driftwellen ist in Fig. 5.2 skizziert. Eine in y-Richtung periodische Dichtestorung¨ωD ist aufgrund∂ωDder schnellenρscparallelens Elektronendynamik mit einer vph vg vde . (5.38) entsprechenden Potentialst≡ ky ≈orung¨ ≡verb∂kunden.y ≈ Die≡resultierendeLn E B-Drift konvektiert – mit × einer Phasenverschiebung von genau 90o – dichteres (dunneres)¨ Plasma in die positive (nega- Der physikalischetive)Mechanismusx-Richtung, sodieserdaß sichDriftwellendie Welle inisty-Richtungin Fig. 5.2fortbeskizziert.wegt. Eine in y-Richtung periodische DichtestWie istorung¨nun deristZusammenhangaufgrund der schnellenzwischen DriftwellenparallelenundElektronendynamikden Uberle¨ gungen desmitletzteneiner Kapi- entsprechendentels?PotentialstInteressanterweiseorung¨ verblaßt¨unden.sich dasDieErresultierendegebnis (5.18) imE LichtB-Driftvon Gl.kon(5.37)vektiertreinterpretieren.– mit o × einer PhasenverschiebGeht manungvonvoneinemgenaurandom-w90 –alk-Modelldichteres (daus,unneres)¨ dessen charakteristischePlasma in die positiLangen-¨ ve (neundga-Zeitska- tive) x-Richtung,lensodenendaßeinersich dieDriftwelleWelle entsprechen,in y-Richtungdannfortbeergibtwesichgt. namlich¨ ¨ Wie ist nun der Zusammenhang zwischen Driftwellen und2 den Uberlegungen2 des letzten Kapi- ωD 1 ρs cs ρs cs tels? Interessanterweise laßt¨ sich das ErDgebnis⊥ 2 (5.18) im Licht (v3on 10Gl.) (5.37). reinterpretieren. (5.39) ∼ k ∼ k ρs Ln ∼ − Ln Geht man von einem random-walk-Modell aus,⊥ dessen⊥ charakteristische Langen-¨ und Zeitska- len denen einer Driftwelle entsprechen, dann ergibt sich namlich¨

2 2 ωD 1 ρs cs ρs cs D⊥ 2 (3 10) . (5.39) ∼ k ∼ k ρs Ln ∼ − Ln ⊥ ⊥ Comparison with 2D fluid

The Hasegawa-Mima equation is similar to that of a 2D incompressible fluid Similarity between HME and NSE with

Because the 2D2D flow incompressible is incompressible,flow; introduce one streamcan introducefunction: a stream function ψ Comparison with 2D fluid where

➭ 2D incompressible fluid Then taking the2D rotation NSE: of the equation of motion,vorticity one can eliminate the pressure gradient

➭ Hasegawa-Mima This corresponds to the HME in the high-k limit Substituting the velocity, one gets (and without a background density gradient) Euler’s equation for 2D fluid ➭ Similar in structure, 2 differences potential vorticity

➾ Hasegawa-Mima is not isotropic. The background gradient appears

➾ Hasegawa-Mima is not scale-invariant. Under the time derivative φ as well as ∇ 2φ appears. HM behaves like a 2D incompressible fluid only if Wavelengths much

smaller than ρs 72 KAPITEL 5. ANOMALER TRANSPORT

Es ergibt sich d φ ∇2 φ x = 0 (5.33) dt − ⊥ − mit der konvektiven Ableitung ! " d ∂ ∂φ ∂ ∂φ ∂ (∇ φ zˆ) ∇ = + . (5.34) 72 dt ≡ − ⊥ KAPITEL× · ⊥ 5.∂tANOMALER− ∂y ∂x ∂xTRANSPOR∂y T Diese Gleichung ist sehr eng verwandt mit der zweidimensionalen Navier-Stokes-Gleichung 72wie wir spater¨ noch sehen werden. Sie gilt als einKAPITELminimales5. ModellANOMALERzur BeschreibTRANSPORung vonT Es ergibt sich Plasmaturbulenz72 und bildet gleichzeitig gewissermaßen den Kern aufwKAPITELandigerer¨ und5. ANOMALERrealisti- TRANSPORT d 2 scherer Modelle, wie sie heuteφ ∇imφallgemeinenx = 0 verwendet werden. (5.33) Es ergibt sich dt − ⊥ − mit der konvektiDriftwellen.ven AbleitungBevor wir uns! den Eigenschaftend " der Hasegawa-Mima-Gleichung im nichtlinearen Regime zuwenden,Es ergibtwsichollen wir einfacheφ W∇2ellenlφ xosungen¨ = 0 untersuchen. Die linearisierte(5.33)Ver- dt − ⊥ − d sion von dGl. (5.33) lautet ∂ ∂φ ∂ ∂φ ∂ φ ∇2 φ x = 0 (5.33) mit der konvektiv(en∇ Ableitungφ zˆ) ∇ = ∂ ! + ∂φ" . (5.34) dt ≡ − ⊥ × · ⊥ ∂t −φ ∂y∇∂2 xφ +∂x ∂d=yt 0. − ⊥ − (5.35) mit der kond vektiven∂tAbleitung− ⊥ ∂ ∂y ∂φ!∂ ∂φ ∂ " Diese Gleichung ist sehr eng verwandt mit der(∇ zweidimensionalenφ ! zˆ) ∇ =" Navier+-Stokes-Gleichung. (5.34) Mit Hilfe des Ansatzesdφt ∝≡e−xp(ik⊥xx×+ iky·y ⊥iωt)∂erht −alt¨∂yman∂x ∂x ∂y wie wir spater¨ noch sehen werden. Sie gilt als ein minimalesd − Modell zur Beschreib∂ ung∂φvon∂ ∂φ ∂ PlasmaturbulenzDieseundGleichungbildet gleichzeitigist sehr enggewissermaßenverwandt mitdenderKzweidimensionalen(ern∇kyaufwφ zˆandigerer¨) ∇ =Naundvierrealisti--Stokes-Gleichung+ . (5.34) ωd=t ω≡D − ⊥ × · ⊥ ∂t − ∂y ∂x ∂x(5.36)∂y scherer Modelle,wiewiewirsiespaterheute¨ nochim allgemeinensehen werden.verwendetSie gilt alswerden.≡ein1 +minimalesk2 Modell zur Beschreibung von Driftwellen. BePlasmaturbvor wir unsulenzDiesedenundEigenschaftenGleichungbildet gleichzeitigderist sehrHasegegaengwissermaßenwa-Mima-Gleichungverwandt⊥ denmitKernderaufwimzweidimensionalennichtlinea-andigerer¨ und realisti-Navier-Stokes-Gleichung bzw. in unnormierten Einheiten: ren Regime zuwenden,scherer Modelle,wollenwiewirwiewireinfsiespacheheuteater¨ Wnochimellenlallgemeinensehenosungen¨ werden.untersuchen.verwendetSiewerden.giltDiealslinearisierteein minimalesVer- Modell zur Beschreibung von sion von Gl. (5.33)Driftwellen.lautet Bevor wir uns den Eigenschaftenkderyρs Hasecsgawa-Mima-Gleichung im nichtlinea- Plasmaturbulenz undωbildet= gleichzeitig. gewissermaßen den Kern (5.37)aufwandigerer¨ und realisti- ∂ ∂φD 2 2 ren Regime zuwenden, wollen wir2 einfache W1ellenl+ k ρosungen¨s Ln untersuchen. Die linearisierte Ver- scherer Modelle,φ ∇ φwie+ sie=heute0. im⊥ allgemeinen verwendet(5.35)werden. sion von Gl. (5.33) lautet∂t − ⊥ ∂y Diese Losungen¨ Driftwellen.nennt!manBeDriftwellenvor" ∂wir uns, da2densie inEigenschaften∂φdie y-Richtungderpropagieren.Hasegawa-Mima-GleichungIm langwel- im nichtlinea- Mit Hilfe des Ansatzes φ ∝ exp(ikxx + ikyy iωt) erhφalt¨ ∇manφ + = 0. (5.35) ligen GrenzfallrenentsprechenRegime zuwenden,−sich Phasen-∂t w−ollenbzw⊥ .wirGruppengeschwindigk∂einfy ache Wellenlosungen¨eit und sinduntersuchen.durch die Die linearisierte Ver- 2 diamagnetische Driftgeschwindigkeit!kvde ∇p"e B/(ene0B ) der Elektronen gegeben: Mit Hilfe des sionAnsatzesvon φGl.∝ e(5.33)xp(ikxxlautet+ iky yy≡ iωt)×erhalt¨ man ω = ωD 2 − (5.36) Electron drift waves≡ω1D+ k ∂ωD ∂ ρsc2s ∂φ vph ⊥vg ky vdeφ ∇ φ. + = 0. (5.38) (5.35) ≡ ky ω≈= ω≡D ∂ky ≈∂t ≡− Ln⊥ ∂y (5.36) bzw. in unnormierten Einheiten: ≡ 1 + k2 Linearize HME and use Ansatz: (ik x⊥+! ik y i "t) Der physikalischeMit HilfeMechanismusdes Ansatzeskdieserρ cDriftwellenφ ∝ exp istx in Fig.y 5.2 ωskizziert.erhalt¨ Einemanin y-Richtung bzw. in unnormierten Einheiten:= y s s . − (5.37) periodische Dichtestorung¨ ωD ist aufgrund2 2 der schnellen parallelen Elektronendynamik mit einer 1 + k ρs Ln ky entsprechenden Potentialstorung¨ v⊥erbunden. kDieyρs resultierendecs =electronE B-Drift konvektiert – mit Linear dispersion relation: ω o= .ω driftωD × 2 (5.37) (5.36) einer Phasenverschiebung von genau 90D – dichteres2 2 (dunneres)¨ Plasma≡ 1 +ink die positive (nega- Diese Losungen¨ nennt man Driftwellen, da sie in die y1-Richtung+ k ρs Lnpropagieren.waves Im langwel- ligen Grenzfalltientsprechenve) x-Richtung,sichsoPhasen-daß sichbzwdie.WGruppengeschwindigkelle in y-Richtung⊥ fortbeeitweundgt. sind durch⊥ die Diese Losungen¨ bzwnennt. in unnormiertenman DriftwellenEinheiten:, da sie2 in die y-Richtung¨ propagieren. Im langwel- diamagnetischeWDriftgeschwindigkieWavesist nun driftder Zusammenhangin theeitelectronvde ∇zwischenpdiamagnetice B/(enDriftwellene0B(y)) derdirectionElektronenund den: Uberlegegeben:gungen des letzten Kapi- ligentels? GrenzfInteressanterweiseall entsprechenlaßt¨ ≡sichsich dasPhasen-× Ergebnisbzw.(5.18)Gruppengeschwindigkim Licht von Gl. eit(5.37)undreinterpretieren.sind durch die 2 kyρs cs diamagnetischeGeht man von einemDriftgeschwindigkωrandom-wD alk-Modell∂ωeitD vde aus,∇pρedessenscsB/(enωcharakteristischee0B=) der ElektronenLangen-¨ . gegeben:und Zeitska- (5.37) vph vg vd≡e × . D 2 2 (5.38) len denen einer Driftwelle≡ ky ≈ entsprechen,≡ ∂ky ≈ dann≡ergibtLn sich namlich¨ 1 + k ρs Ln ω ∂ω ρ c v D v D v s s . ⊥ (5.38) ph g 2 de 2 Der physikalische MechanismusDiesedieserLosungen¨ Driftwellen≡nenntωky ist≈manin1 ≡Fig.ρDriftwellen∂kc5.2y ≈skizziert.≡, daLEineρn siec ininy-Richtungdie y-Richtung propagieren. Im langwel- Re-interpretation: D D s s ( ) s s . periodische Dichtestorung¨ ist aufgrund der⊥schnellen2 parallelen Elektronendynamik3 10 mit einer (5.39) Der physikalischeligenMechanismusGrenzfall∼entsprechendieserk ∼ Driftwellenk ρs sichLn ∼istPhasen-in−Fig. 5.2bzwLnskizziert.. GruppengeschwindigkEine in y-Richtungeit und sind durch die entsprechenden Potentialstorung¨ verbunden. Die⊥ resultierende⊥ E B-Drift konvektiert – mit 2 periodische Dichtestdiamagnetischeorung¨ ist aufgrundDriftgeschwindigkder schnellen×eitparallelenvde ∇Elektronendynamikpe B/(ene0B ) mitdereinerElektronen gegeben: einer Phasenverschiebung von genau 90o – dichteres (dunneres)¨ Plasma in≡die positi× ve (nega- entsprechenden Potentialstorung¨ verbunden. Die resultierende E B-Drift konvektiert – mit tive) x-Richtung, so daß sich die Welle in y-Richtung fortbewegt. × einer Phasenverschiebung von genau 90o – dichteresω(dDunneres)¨ Plasma∂ωD in die positiρscvse (nega- Wie ist nun der Zusammenhang zwischen Driftwellen und denvph Uberle¨ gungenvg des letztenvKapi-de . (5.38) tive) x-Richtung, so daß sich die Welle in y-Richtung≡ kfortbey ≈ wegt.≡ ∂ky ≈ ≡ Ln tels? Interessanterweise laßt¨ sich das Ergebnis (5.18) im Licht von Gl. (5.37) reinterpretieren. Wie ist nun der Zusammenhang zwischen Driftwellen und den Uberle¨ gungen des letzten Kapi- Geht man von einem random-wDeralk-Modellphysikalischeaus, dessenMechanismuscharakteristischedieser DriftwellenLangen-¨ undistZeitska-in Fig. 5.2 skizziert. Eine in y-Richtung tels? Interessanterweise laßt¨ sich das Ergebnis (5.18) im Licht von Gl. (5.37) reinterpretieren. len denen einer Driftwelle entsprechen, dann ergibt sich namlich¨ Geht man vonperiodischeeinem random-wDichtestalk-Modellorung¨ aus,ist aufgrunddessen charakteristischeder schnellenLangen-¨parallelenund Zeitska-Elektronendynamik mit einer len denen einerentsprechendenDriftwelle entsprechen,Potentialst2 dannorung¨ ergibt2 vsicherbunden.namlich¨ Die resultierende E B-Drift konvektiert – mit ωD 1 ρs cs ρs cs × D⊥einer Phasenverschiebung(3 v10on)genau. 90o – dichteres (d(5.39)unneres)¨ Plasma in die positive (nega- ∼ k2 ∼ k ρ L ∼ − 2 L 2 s ωnD 1 ρ cs n ρ cs tive) x⊥-Richtung,⊥ so daß sich sdie Welle in y-Richtungs fortbewegt. D⊥ 2 (3 10) . (5.39) ∼ k ∼ k ρs Ln ∼ − Ln Wie ist nun der Zusammenhang⊥ ⊥ zwischen Driftwellen und den Uberle¨ gungen des letzten Kapi- tels? Interessanterweise laßt¨ sich das Ergebnis (5.18) im Licht von Gl. (5.37) reinterpretieren. Geht man von einem random-walk-Modell aus, dessen charakteristische Langen-¨ und Zeitska- len denen einer Driftwelle entsprechen, dann ergibt sich namlich¨

2 2 ωD 1 ρs cs ρs cs D⊥ 2 (3 10) . (5.39) ∼ k ∼ k ρs Ln ∼ − Ln ⊥ ⊥ 5.2. DAS HASEGAWA-MIMA-MODELL 73 Electron drift waves (cont‘d)

∇ n θ höhere Potential Dichte erhöht

E B

Potential abgesenkt niedrigere Dichte

r Abbildung 5.2: Zum Mechanismus der Driftwelle. Dabei ist r ∝ x die radiale und θ ∝ y die ’poloidale’ Koordinate.

Problematisch ist dabei allerdings, daß im Rahmen des oben beschriebenen Modells die Drift- wellen neutral stabil sind, d.h. sie werden weder gedampft¨ noch wachsen sie an. Das liegt daran, daß wir bislang keine “dissipativen” Effekte berucksichtigt¨ haben. Man kann zeigen, daß sowohl Stoße¨ als auch Landau-Resonanzen zu einer linearen Antwort des Plasmas auf Potentialstorungen¨ fuhren,¨ die in der Form

n˜ eφ˜ e = (1 iδ) (5.40) ne0 Te − mit δ > 0 geschrieben werden kann. Mit dieser Modiﬁkation ergibt sich ω ω D ω (1 + iδ). (5.41) D → 1 iδ ≈ D − Dissipative Driftwellen wachsen also exponentiell in der Zeit an. Dies tun sie solange, bis die E B-Nichtlinearitat¨ eine Rolle zu spielen beginnt. Dies ist dann der Fall, wenn die beiden × 2 Terme ∂tn˜ + vE n˜ + ... = 0 in Gl. (5.26) vergleichbar sind: γ ρscs k (eφ˜/Te) bzw. · ∼ ⊥ eφ˜ γ 1 . (5.42) Te ∼ ωD k Ln ⊥ γ gibt hierbei den Imaginarteil¨ der Frequenz (d.h. die Anwachsrate) an. Fur¨ γ/ω 1 und D ∼ n˜ /n eφ˜/T ergibt sich schliesslich Gl. (5.16). e e0 ∼ e Kolmogorov spectrum for isotropic Hasegawa-Mima

ForKolmogorov k>>1, the Hasegawa-Mimaspectrum for isotropic model Hasegawa-Mimais the sameKolmogorov as the 2D incompressible -Kraichnan fluid, spectra Conservation properties and the spectrum Conservationis the classical properties Kolmogorov one. For k>>1, the Hasegawa-MimaCascades model is the sameand aswavenumber the 2D incompressiblespectra fluid, For k<<1 the Hasegawa-MimaIn the Hasegawa-Mima equation model,becomes there➭ Discussed are two conserved in the firstquantities two talks (briefly repeated here) withand energythe spectrum and enstrophy Inis thethe Hasegawa-Mimaclassical Kolmogorov model, one. thereCmp . aremeasurements two conservedof density fluctuation quantitiesspectra via microwave and laser scattering since ~1976 Ideal invariants: ➾ For k<<1 the Hasegawa-MimaKolmogorov equation becomes -Kraichnan 3D spectra turbulence, energy cascades to small scales with energy and enstrophy 2 where itgeneralised is dissipated energy Now the total energy W(k)dk is not analogous to u k . generalised energy

Scale transformation: (x,y)➭➝ Discussedλ(x,y), t➝τ tin leaves the first HW2 two invariant talks (briefly if repeated or here) Now the total energy W(k)dkKolmogorov is not analogous spectrum to u k.for isotropicgeneralised Hasegawa-Mima enstrophy -3 generalised enstrophy k Kolmogorov➾ 3D turbulence, spectrum energy➾ for 2Dcascades isotropic turbulence, toHasegawa-Mima small enstrophy scales cascades ThenScale the transformation: energy transfer (x,y) is➝λ(x,y), t➝τt leaves HW invariant if or log(W(k)) This indicates where that thereit is dissipated existsinverse energytwo types cascadeto small of inertia scalesdirect rangesenstrophy in cascadewhich the quantitiesThis indicatesFor W andk>>1, that U there thehave Hasegawa-Mima existsdifferent two cascade types modelof properties. inertia is theranges same in aswhich the the2D incompressible fluid, AndThen the the energy energy spectrum transfer is is inverse cascade quantitiesForand W k>>1,andthe spectrumU thehave Hasegawa-Mima different is the classicalcascade model Kolmogorovproperties. is the same one. as the 2D incompressible fluid, For a 2D andincompressible the spectrum fluid is the classical Kolmogorov one. IfAnd we thedo theenergy same spectrumFor calculation a 2D is Forincompressible fork<<1 the the enstrophy, Hasegawa-Mima fluid the spectrum equationinverse is becomes cascade k-3 energy enstrophy ➾ 2D turbulence, enstrophy➭ Hasegawa-Mima cascadesdirect cascade close to the latter case. flux Forwith k<<1 energy the and Hasegawa-Mima enstrophy equation becomes log(W(k)) flux If we do the same calculation tofor small the enstrophy, scales the spectrum is with energy and enstrophy ➭ For kρ >>1 the conserved quantities in Hasegawa-Mimadirect cascade and in a 2D source dissipation ➭ s 2 Forincompressible kρs Now >>1 the fluidtotalconserved areenergy the quantities same.W(k)dk is in not Hasegawa-Mima analogous to u and k. in a 2D incompressible fluid are the same. 2 enstrophy logk Now the total energy W(k)dk is not analogous to u k . energy Scale➭ Hasegawa-Mima transformation: close (x,y) ➝toλ the(x,y), latter t➝τ tcase. leaves HW invariant if flux or flux Scale transformation: (x,y)➝λ(x,y), t➝τt leaves HW invariant if or Then the energy transfer is source dissipation Then the energy transfer is And the energy spectrum is inverse cascade logk And the energy spectrum is inverse cascade If we do the same calculation for the enstrophy, the spectrum is If we do the same calculation for the enstrophy, the spectrum is direct cascade direct cascade Turbulence: Further reading Recommended reading

Also:

P. A. Davidson Turbulence

S. B. Pope Turbulent flows Some literature on 2D turbulence Fundamental literature on the HME

Stationary spectrum of strong turbulence in magnetized nonuniform plasma A. Hasegawa and K. Mima, Phys. Rev. Lett. 39, 205 (1977)

See also: Phys. Fluids 21, 87 (1978); 22, 2122 (1979)

Quasi-two-dimensional dynamics of plasmas and fluids W. Horton and A. Hasegawa, Chaos 4, 227 (1994)

A. Hasegawa (*1934): Maxwell Prize (APS) 2000; Alfvén Prize (EPS) 2011 Plasma turbulence: The context Strong wave turbulence

Turbulence in planetary atmospheres: Rossby waves

Turbulence in oceans: Water surface waves

Turbulence in quantum liquids: Kelvin waves on vortex filaments