fizikai szemle

2019/7–8

50 ÉVE A HOLDON

Ötven éve járt elôször ember a Holdon. „Kis lépés egy embernek, hatalmas ugrás az emberiség számára.” – mondta a holdkompból a Föld kísérôjének felszínére elsôként kilépô Neil Armstrong 1969. július 20-án. Kijelentése szinte azonnal szállóigévé nemesedett. Fél évszázad távolából visszatekintve valóban a 20. századi technika és tudomány legnagyobb teljesítményeként tarthatjuk számon az ember Holdra juttatását.

Mire e sorokat olvassák, már lecsengett a média jubileumi megemlékezô kampánya, ezért a Hold meghódításának politikai és mûszaki hátterét nem említve itt inkább azt gondoljuk végig, hogy mi mindent köszönhetünk a Holdnak, és mi történne, ha a Földnek egyáltalán nem lenne kísérôje. Szemléltetésül pedig a százszor-ezerszer látott képek helyett a Holdra szállás kapcsán kibocsátott képes levelezôlapjaim szkennelt változatát ajánlom a T. Olvasók figyelmébe.

A Holdnak köszönhetjük, hogy a Föld forgástengelye (enyhe ingadozásoktól eltekintve) stabilan egy irányba mutat. A Hold hiányában a forgástengely iránya jelentôsen ingadozna, szélsôséges évszakokat kialakítva, sôt az életet is veszélyeztetve. A Holdnak köszönhetjük a tengerjárás nagyobb részét is: a Hold gravitációja által okozott árapályhatás kétszer erôsebb, mint a Napé, de periódusa a Hold 27 napos keringési ideje miatt jóval hosszabb a Nap által okozott árapály periódusánál, amely naponta kétszer okoz dagályt a világtengereken (és kisebb amplitúdóval a szárazföldeken is). Az árapály következtében viszont energia disszipálódik, emiatt a Hold évente 38 mm-rel távolodik a Földtôl. Ez jelentéktelennek tûnik ugyan, de millió- milliárd éves idôskálán számottevô a hatás. A Föld–Hold rendszer teljes impulzusnyomatékának állandósága miatt pedig a Föld forgása lassul: a földi nap évente 23 milliomod másodperccel hosszabbodik.

Ha pedig nem lenne Holdunk, az éjjeli ég sötétebb lenne. Éjszaka a Hold fényénél viszonylag jól lehet tájékozódni, mivel a telehold a Napnál „csak” 400 000-szer halványabb. A Hold hiánya nemcsak ettôl a gyakorlati haszontól fosztaná meg az emberiséget, hanem a legszebb természeti jelenség, a napfogyatkozás látványában sem gyönyörködhetnénk.

A Plútó törpebolygóvá minôsítése (2006) óta a Naprendszerben nyolc bolygót tartunk számon: négy kôzetbolygót (Merkúr, Vénusz, Föld, Mars) és négy óriás gázbolygót (Jupiter, Szaturnusz, Uránusz, Neptunusz). Míg az óriásbolygók körül rengeteg hold kering, a Föld-típusú kôzetbolygók közül csak a Marsnak és a Földnek van holdja. A Mars körül két apró hold kering, a Föld kísérôje pedig a nagy kezdôbetûs Hold. A Föld–Hold rendszer amiatt különleges, mert a kísérô nem sokkal kisebb, mint a gazdabolygó, és e tekintetben a Naprendszerben egyedülálló ez a páros. A Hold léte és gravitációs hatása így különféle idôskálákon érzékelhetôen befolyásolja a Föld mint égitest viselkedését.

Szabados László a szerkesztôbizottság tagja Fizikai Szemle TARTALOM MAGYAR FIZIKAI FOLYÓIRAT Szabados László: 50 éve a Holdon 217 A Mathematikai és Természettudományi Értesítõt az Akadémia 1882-ben indította A Mathematikai és Physikai Lapokat Eötvös Loránd 1891-ben alapította Cserti József, Dávid Gyula: Az Eötvös-inga képletei 219 Tóth Zoltán: A nemzetközi napsugárzási referenciaskála 228 Az Eötvös Loránd Fizikai Társulat havonta és az új kriogén abszolút pirheliométer megjelenõ folyóirata. Trócsányi Zoltán: Hol tart a részecskefizika? 232 Támogatók: a Magyar Tudományos Akadémia Fizikai Tudományok Osztálya, Garbai László, Hódos Rita, Kovács Zoltán: Fenntartható energia, 237 az Emberi Erõforrások Minisztériuma, mellébeszélés nélkül a Magyar Biofizikai Társaság, a Magyar Nukleáris Társaság Gadó János: A reaktorbeli fûtõelemek viselkedésének modellezése 243 és a Magyar Fizikushallgatók Egyesülete Slíz-Balogh Judit, Kovács Tamás, Süli Áron: Tranziens káosz és 247 Fõszerkesztõ: káoszkontroll a Föld–Hold rendszer L5 Lagrange-pontja környezetében Lendvai János Pálfalvi László, Fülöp József András, Tóth György, Almási Gábor, 255 Szerkesztõbizottság: Hebling János: Extrém nagy térerõsségû terahertzes impulzusok Bencze Gyula , Biró László Péter, elõállítása lítium-niobátban Czitrovszky Aladár, Füstöss László, Gyürky György, Hebling János, Boldog Ádám: A Kepler-misszió 260 Horváth Dezsõ, Horváth Gábor, Iglói Ferenc, Kiss Ádám, Koppa Pál, A FIZIKA TANÍTÁSA Ormos Pál, Papp Katalin, Simon Ferenc, Simon Péter, Sükösd Csaba, Az Ortvay-verseny feladatmegoldásai elé 267 Szabados László, Szabó Gábor, Takács Gábor, Trócsányi Zoltán, Dávid Gyula: A szuperszonikus mentõautó 268 Ujvári Sándor Radnóti Katalin: A nukleáris energia elfogadása a tanulóifjúság körében 280 Mûszaki szerkesztõ: Horváth Gábor, Szferle Tamás Áron: Milyen gyorsan haladjunk 287 Kármán Tamás esõben, hogy minél kevésbé ázzunk el? A folyóirat e-mailcíme: [email protected] SAJTÓKÖZLEMÉNY A lapba szánt írásokat erre a címre kérjük. Világszínvonalú kutatói környezet kialakítása az MTA Atomki 292 A beküldött tudományos, ismeretterjesztõ és új Tandetron Laboratóriumában fizikatanítási cikkek a Szerkesztõbizottság, illetve az általa felkért, a témában elismert szakértõ jóváhagyó véleménye után jelenhetnek meg. L. Szabados: 50 years on the Moon J. Cserti, Gy. Dávid: Formulas of the Eötvös pendulum A folyóirat honlapja: Z. Tóth: International radiation reference scale and the new cryogenic absolute http://www.fizikaiszemle.hu pyrheliometer Z. Trócsányi: Where is particle physics standing today? L. Garbai, R. Hódos, Z. Kovács: Sustainable energy without misconceptions J. Gadó: Modeling the behavior of reactor fuel cells J. Slíz-Balogh, T. Kovács, Á. Süli: Transient chaos and chaos control in the L5 Lagrange point of the Earth–Moon system L. Pálfalvi, J. A. Fülöp, Gy. Tóth, G. Almási, J. Hebling: Generation of extreme high intensity terahertz pulses in lithium niobate Á. Boldog: The Kepler Mission TEACHING PHYSICS Preface to the solutions of the problems of Ortvay competitions Gy. Dávid: The supersonic ambulance K. Radnóti: Acceptance of nuclear energy among students G. Horváth, T. Á. Szferle: How fast should we run in the rain to get less wet? A címlapon: PRESS RELEASE Földöntúli emlékkép World-class research environment at Atomki’s new Tandetron Laboratory

Szerkesztõség: 1092 Budapest, Ráday utca 18. földszint III., Eötvös Loránd Fizikai Társulat. Telefon/fax: (1) 201-8682 A Társulat Internet honlapja http://www.elft.hu, e-postacíme: [email protected] Kiadja az Eötvös Loránd Fizikai Társulat, felelõs kiadó Groma István fõtitkár, felelõs szerkesztõ Lendvai János fõszerkesztõ. Kéziratokat nem õrzünk meg és nem küldünk vissza. A szerzõknek tiszteletpéldányt küldünk. Nyomdai elõkészítés: Kármán Stúdió, nyomdai munkálatok: OOK-PRESS Kft., felelõs vezetõ: Szathmáry Attila ügyvezetõ igazgató. Terjeszti az Eötvös Loránd Fizikai Társulat, elõfizethetõ a Társulatnál vagy postautalványon a 10200830-32310274-00000000 számú egyszámlán. Megjelenik havonta (nyáron duplaszámmal), egyes szám ára: 900.- Ft (duplaszámé 1800.- Ft) + postaköltség. HU ISSN 0015–3257(nyomtatott) és HU ISSN 1588–0540 (online)

Fizikai Szemle MAGYAR FIZIKAI FOLYÓIRAT megjelenését támogatják: A FIZIKA BARÁTAI

LXIX. ÉVFOLYAM, 7–8. (775–776.) SZÁM 2019. JÚLIUS–AUGUSZTUS AZ EÖTVÖS-INGA KÉPLETEI Cserti József ELTE, Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék Dávid Gyula ELTE, Atomfizikai Tanszék

Idén, az „Eötvös Loránd-emlékév” [1] keretében emlé- De Renner János 1935-ös [8], majd a jóval késõbbi kezünk arra, hogy Eötvös Loránd éppen száz éve, összefoglaló cikke [9], és meglepõ módon Boniolo 1919. április 8-án hunyt el. A kiemelkedõ fizikus, geo- 1992-es munkája [10], ami sokban egyezik Renner fizikus, tanár és közéleti ember egyik legfontosabb János elõbb említett cikkeinek angol nyelvû változatá- hozzájárulása a fizikához az általa tervezett speciális val (bár nincs rá hivatkozás), sem tartalmazza a forga- inga, a nemzetközileg is ismert Eötvös-inga. A hírnév tónyomaték sokat idézett képletének levezetését. annak köszönhetõ, hogy egyrészt az ingával nagy Magyar nyelven az Eötvös-kísérletek geofizikai pontossággal lehet kimérni a Föld gravitációs erõteré- alkalmazásairól az érdeklõdõ olvasónak Völgyesi La- nek helyi változásait, másrészt Eötvös és munkatársai jos Fizikai geodézia és gravimetria címû online tan- jelentõsen javították a súlyos és tehetetlen tömeg azo- könyvét [11] és Szabó Zoltán Az Eötvös-inga histó- nosságának korábban mért pontosságát. Egyebek riája címû cikkét [12] ajánljuk. Ám a szerzõk ezekben között erre az azonosságra épül Einstein általános a munkákban sem ismertetik a forgatónyomaték kép- relativitáselmélete. Ugyanakkor fontos hangsúlyozni, letének levezetését. hogy Eötvös munkássága nem csak az ingájára korlá- Az olvasó azt gondolhatná, hogy az ingára ható for- tozódik. Ez a rendkívül gazdag életmû szerencsére gatónyomaték képletének levezetése számos cikkben, ma már egybegyûjtve megtalálható az interneten [1, illetve könyvben megtalálható. Igyekeztünk gondo- 2], és így az érdeklõdõ olvasó bõvebb képet kaphat san áttekinteni az irodalmat, és bizonyára találhatunk Eötvös szerteágazó tevékenységérõl. még más olyan mûvet is, amelyben szerepel a részle- Eötvös az 1900. évi párizsi világkiállításra készülve tes levezetés. Ugyanakkor a fenti irodalmi áttekintés írta meg cikkében az Eötvös-ingával történõ mérési alapján, figyelembe véve a napjainkban megjelent eljárást [3]. Sajnos, itt az ingára ható forgatónyomaték munkákat is, talán kijelenthetjük, hogy a levezetések képletének levezetése nem szerepel. Egy 1922-es csak kevés helyen szerepelnek részletesen, és azok- cikkben Shaw és Lancaster-Jones [4], majd 1934-ben ban is meglehetõsen régies matematikai formalizmust Miller [5], jóval késõbb, 1959-ben Kolossvary [6] rész- használnak. Ezért talán nem haszontalan, sõt idõszerû letes levezetést adtak a forgatónyomatékra, de a ma- újra átgondolni a számolást, a levezetés megismétlé- tematikai formalizmus – a külön komponensekben sét a mai, modern matematikai formalizmus segítségé- felírt egyenletek miatt – meglehetõsen régies és na- vel. Ahogy látni fogjuk, ez a levezetés rendkívül egy- gyon hosszadalmas. szerû, és így a korábbi szükségtelenül bonyolult kép- A Göttingeni Egyetem Beneke Díjalapítványának letek nélkül, könnyeben megérthetjük az inga fiziká- felhívására – amelynek célja a súlyos és tehetetlen jának alapját is. Reméljük, hogy az itt bemutatott szá- tömeg azonosságának minél pontosabb kísérleti ki- molás hiánypótló lesz a hazai egyetemi oktatásban, és mutatása volt – 1909-ben Eötvös, Pekár és Fekete így nagyobb hangsúlyt kaphat az Eötvös-inga fizikájá- küldött be pályamunkát (amellyel a díjat el is nyer- nak elmélete mind a fizikus, geofizikus és geológus ték). Ennek a cikknek a szerzõtársak által, Eötvös hallgatók, mind az oktatók körében. Szeretnénk ki- halála után átdolgozott 1922-es változatában [7] sem emelni, hogy e cikkben nem célunk az Eötvös-ingával szerepel az ingára ható forgatónyomaték képletének kapcsolatos kísérleti háttér és a hibaforrások kiküszö- levezetése. bölésének taglalása, e témában a cikkben felsorolt hivatkozások lehetnek hasznosak az olvasónak. Köszönetünket szeretnénk kifejezni Horváth Gábornak, Sólyom Az alább, Merev testre külsõ erõtérben ható forgató- Jenõnek, Timár Gábornak, Tichy Gézának, Tóth Gyulának, Ván nyomaték általános képlete fejezetben bemutatott Péternek és Völgyesi Lajosnak a kézirat olvasása után javasolt hasz- levezetés tudomásunk szerint az idén ötven éves Ort- nos tanácsaikért.

Cserti József 1982-ben végezett ELTE fizi- Dávid Gyula több mint 42 éve oktatja az kus szakán, majd az ELTE korábbi Szilárd- ELTE fizikus hallgatóit. Kutatómunkájában testfizika Tanszékén kezdte oktatói munká- relativisztikus dinamikával foglalkozik. A ját. 2004-ben habilitált, 2010 óta az MTA NYIFFF fizikaverseny alapítója, az Ortvay doktora, 2013-tól az ELTE Komplex Rend- Rudolf Fizikaverseny és az Atomcsill elõ- szerek Fizikája tanszéken professzor. Ku- adás-sorozat társszervezõje, ez utóbbinak tatási területe a nanofizikai rendszerek, sokszoros elõadója. Számos ismeretterjesz- normál-szupravezetõ rendszerek, spintro- tõ fizikai és kozmológiai elõadása terjed a nika, grafén és a topologikus szigetelõk. neten. Hisz abban, hogy a fizikusok világ- 2005 óta szervezi az ELTE-n az Atomoktól nagy esze elõbb-utóbb betölti a táguló te- a csillagokig elõadás-sorozatot közép- ret – ahogy az a Fizikus nótában is szere- iskolásoknak. pel (amit nem mellékesen õ írt).

CSERTI JÓZSEF, DÁVID GYULA: AZ EÖTVÖS-INGA KÉPLETEI 219 vay Rudolf Problémamegoldó verseny 1982. évi 17. ahol az integrálást (itt és a továbbiakban is) a teljes számú, Dávid Gyula által kitûzött feladatának megol- testre kell elvégezni. A levezetés további részében – a dásában [13] jelent meg elõször. A megoldás egy része jobb áttekinthetõség érdekében – célszerû áttérnünk egy általános képlet levezetése volt a gravitációs tér az indexes jelölésre, és alkalmazzuk a szokásos Ein- által tetszõleges tömegeloszlásra ható forgatónyoma- stein-konvenciót, azaz az automatikus összegzést az tékra, amit a jobb követhetõség érdekében alább azonos indexekre. Az erõtér a kis méretûnek feltétele- megismétlünk. Itt jegyezzük meg, hogy késõbb, na- zett merev testen belül csak kis mértékben változik, gyon hasonló levezetéssel Horváth Gábor Fizikai és ezért a nehézségi gyorsulást elsõ rendig sorbafejt- Szemlében megjelent cikkében is szerepel az általá- hetjük a testben elhelyezkedõ origó körül: nos képlet [14]. ∂ (3a) A következõkben az ingára ható kétfajta forgató- gm (r)=gm (0) p gm xp, nyomaték hatását fogjuk számba venni. Egyrészt az általános képlet alapján kiszámoljuk a gravitációs tér ahol hely szerinti változásából (gradiensébõl) származó ∂g (r) forgatónyomaték irodalomban sokat idézett formulá- ∂ g = m = −∂ ∂ U = p m ∂x p m ját (lásd Az Eötvös-ingára ható forgatónyomaték a p r = 0 (3b) nehézségi gyorsulás hely szerinti változása következ- ∂2 U (r) tében fejezetet). Másrészt meghatározzuk azt a forga- = tónyomatékot, ami a gradiensektõl függetlenül akkor ∂ x ∂ x p m r = 0 hatna, ha nem teljesülne a súlyos és tehetetlen tömeg azonossága (lásd Az Eötvös-inga és az ekvivalencia- és xp az r helyvektor p-ik komponense (p =1,2,3). elv fejezetet). A levezetések koordináta-rendszertõl A g gravitációs gyorsulás fenti, sorfejtett alakját a függetlenek, egyes esetekben a tengelyeket azért rög- (2) egyenletbe beírva kapjuk: zítjük, hogy összehasonlíthassuk a kapott képletein- ⌠ ε ∂ ρ 3 ket az Eötvös, Pekár és Fekete sokat idézett cikkében Mk = ⌡ klm xl gm (0) p gm xp (r)d r = [7] szereplõ eredménnyel. Reméljük, hogy ezzel a test munkával mi is hozzájárulunk az Eötvös-inga fizikájá- (4) ε ⌠ ρ 3 nak jobb megértéséhez. = klm gm (0) ⌡ xl (r)d r

ε ∂ g ⌠ x x ρ (r)d3 r, Merev testre külsõ erõtérben ható klm p m ⌡ l p ε forgatónyomaték általános képlete ahol klm a Levi–Civita-szimbólum. Az átalakításnál az integrál mindkét tagjából kiemeltük a Levi–Civita- E fejezetben meghatározzuk a nehézségi erõtér egy szimbólumot, az elsõ tagból emellett az állandó gm (0) merev testre kifejtett forgatónyomatékát. A test r hely- értéket, a második integrálból pedig az ugyancsak ∂ vektorú pontjában (a koordináta-rendszer origója állandó p gm tényezõt. Az elsõ integrálban, ami az egyelõre a merev test tetszõleges pontja lehet) a ne- hézségi gyorsulás (a nehézségi erõtér által az egység- ⌠ ρ 3 ⌡ r (r)d r nyi tömegre kifejtett erõ): vektor l-ik komponense, felismerhetjük az origóból a ∂U(r) − (1) g(r)= ∂ , test tömegközéppontjába mutató s vektor és a test r teljes ahol U(r) a nehézségi erõ potenciálja (ez tartalmazza a gravitációs és a centrifugális erõ potenciálját is) a ⌠ ρ 3 m = ⌡ (r)d r test r pontjában. Megjegyezzük, hogy Eötvös idejében az (1) egyenletben még nem használták a negatív 1. ábra. Egy tetszõleges alakú és tömegeloszlású merev testre ható elõjelet, ez a végeredményben egy elõjelkülönbség- nehézségi erõ elemi járuléka. hez fog vezetni. A test d3r térfogatú, (r)d3r tömegû részére ható nehézségi erõ: d3r dF = g(r)ρ(r)d3r, és a rá ható forgatónyomaték járuléka: r dFgrrr = ()ρ ()d3 dM = r×dF, ahol ρ(r) a merev test sûrûségeloszlása (1. ábra). Így O a teljes merev testre a külsõ nehézségi erõtér által kifejtett forgatónyomaték:

⌠ × ⌠ × ρ 3 M = ⌡ r dF = ⌡ r g(r) (r)d r, (2) test test

220 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 tömegének szorzatát. Ezért az integrál elsõ tagja Ebbõl a képletbõl lehet kiszámítani – egyebek között s×m g(0) alakba írható, ennek fizikai jelentése a test- – a Földre a Hold és a Nap által kifejtett inhomogén gra- re ható teljes nehézségi erõ origóra vonatkozó forga- vitációs erõ forgatónyomatékát [13], amely az árapály-je- tónyomatéka. lenségeket, valamint a Föld tengelyének precesszióját A második integrált átalakíthatjuk egy zérus értékû okozza. A képlet levezetése Horváth Gábor Fizikai ε δ ∂ ∂ ε ∂ ∂ tag beszúrásával: klm lp m p U = klm l m U =0.Így Szemlében megjelent cikkében is szerepel [14]. A mai kapjuk: mérési technikák lehetõvé teszik, hogy a (4) egyenlet- ben figyelembe vegyük a gravitációs gyorsulás (3a) sor- ε ∂ ⌠ ρ 3 fejtése magasabb rendû tagjainak hatását is. Tetszõleges klm p gm ⌡ xl xp (r)d r = test rendû közelítéshez a gravitációs potenciál gömbfüggvé- (5) nyek szerinti sorfejtését alkalmazzák [15]. ε ∂ ∂ ⌠ 2 δ ρ 3 = klm p m U ⌡ r lp − xl xp (r)d r. test Az Eötvös-ingára ható forgatónyomaték A kapott integrál éppen a merev test választott origóra vonatkoztatott tehetetlenséginyomaték-tenzora: a nehézségi gyorsulás hely szerinti változása következtében Θ ⌠ 2δ ρ 3 (0)lp = ⌡ r lp − xl xp (r)d r. (6) test E részben a mai modern matematikai formalizmus segítségével – a korábbi, az Eötvös-ingával végzett A fentieket az (5) egyenletbe visszaírva végül meg- méréseket leíró cikkekben szerepelõ számításokkal kapjuk ezen cikk egyik legfontosabb összefüggését, a ellentétben – egy igen egyszerû, a (8) képletre alapo- merev testre külsõ U(r) potenciálú nehézségi erõtér- zott, jól áttekinthetõ levezetést adunk az Eötvös-ingá- ben ható forgatónyomaték általános képletét: ra ható forgatónyomatékra. Ez a levezetés tudomá- sunk szerint nem szerepel az irodalomban. ε ε Θ ∂ ∂ (7) Mk = m klm sl gm (0) klm (0)lp m p U . Eötvös mérésének alapgondolata az, hogy a térben egymáshoz közel elhelyezett tömegekre – a nehézségi Ha – mint az általában szokásos – a koordináta-rend- tér helyfüggése miatt – nem teljesen egyforma nehéz- szer origóját a merev test tömegközéppontjába he- ségi erõ hat. Megfelelõ kísérleti elrendezéssel ez a kis lyezzük, a (7) összeg elsõ tagja eltûnik, hiszen a súly- erõkülönbség, illetve az általa létrehozott forgatónyo- pont s vektora zérus lesz. Képletünk ekkor az alábbi maték mérhetõvé válik. módon egyszerûsödik: Eötvös elméleti és kísérletezõi zsenialitását mutatja, hogy – ellentétben Cavendish mérésével – õ az inga ε Θ ∂ ∂ (8) Mk = klm lp m p U , egyik végén a testet lejjebb helyezte. Ez az egyszerû módosítás, amint az alábbiakban szereplõ levezetés- ahol Θ most már (és a késõbbiekben) a test tömeg- bõl is kitûnik majd, lehetõvé tette, hogy a gravitációs középpontjára vonatkoztatott tehetetlenséginyoma- potenciálnak, illetve a nehézségi erõnek ne csak víz- ték-tenzort jelenti. Ugyancsak a tömegközéppontban szintes, de függõleges irányú változásait (hely szerinti kell kiértékelni a nehézségi erõtér U (r) potenciáljá- deriváltjait) is megmérje. × ∂ ∂ nak második deriváltjaiból álló 3 3-as p m U szim- Az Eötvös-ingában [7] egy függõleges, azaz a ne- metrikus mátrixot is, amelyet Eötvös-féle tenzornak hézségi erõtér helyi irányába mutató torziós szálon neveznek. felfüggesztett, L hosszúságú vízszintes rúd lóg. Ennek egyik végén, egy Ł hosszúságú függõleges szálon lóg- 2. ábra. A tömegek elrendezése az Eötvös-ingán. va egy m1 tömegû test, a rúd másik végén egy m2 tö- megû test van rögzítve. A rúd felfüggesztési pontját úgy választják meg, hogy az inga a rúd vízszintes helyzetében egyensúlyban legyen, ez határozza meg tükör a 2. ábrán szereplõ l1 és l2 hosszúságokat (nyilvánva- y lóan L = l +l ). Az inga torziós szál körüli elfordulásait K 1 2 a szálra erõsített tükörrõl visszaverõdõ fénysugár se- gítségével olvasták le. m 2 A számításokhoz – Eötvös cikkeihez hasonlóan – x É úgy választjuk a koordináta-rendszert, hogy az x ten- l l gely a Föld adott pontján az északi, az y tengely ke- 1 2 leti irányba, és így a z tengely az inga fonala mentén h z lefelé, a nehézségi erõ irányában mutasson (2. áb- ra)! Itt a tengelyeket csak azért rögzítjük, hogy a végén kapott forgatónyomaték-formulát összehason- líthassuk az Eötvös, Pekár és Fekete cikkében [7] m 1 szereplõ eredménnyel.

CSERTI JÓZSEF, DÁVID GYULA: AZ EÖTVÖS-INGA KÉPLETEI 221 Az inga torziós szálára ható forgatónyomaték meg- 2 2 2 ⎛ L ⎞ ⎛ L ⎞ m1 − m2 Θ = Θ m m ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ , határozásához a (8) képlet harmadik komponensét 33 rúd 1 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ m m M kell kiszámítanunk: 1 2 rúd Θ 2 ahol Mrúd, illetve rúd = Mrúd L /12 az inga vízszintes ε Θ ∂ ∂ M3 = 3lm lp p m U = rúdjának tömege, illetve tehetetlenségi nyomatéka a rúd közepén átmenõ, a rúdra merõleges tengelyre Θ Θ ∂ ∂ Θ ∂ ∂ ∂ ∂ (9) = 11 − 22 1 2 U 12 2 2 U − 1 1 U nézve. Ha a rúd két végén levõ testek azonos m tö- megûek, akkor a fenti képletek egyszerûsödnek: Θ ∂ ∂ U − Θ ∂ ∂ U. 13 2 3 23 1 3 Θ 13 = −mlŁ Az ingakísérletekben az inga rúdját különbözõ α és szögben állították be az északra mutató x tengelyhez Θ = Θ +2ml2, képest. Ezt a szöget azimutszögnek nevezik. Az elfor- 33 rúd Θ dított inga tehetetlenséginyomaték-tenzorának kom- ahol l = L/2. Eötvös az inga z tengely körüli 33 tehe- ponensei függnek az α azimutszögtõl, jelöljük ezért tetlenségi nyomatékát K-val jelölte. A valóságban a Θ′Θ α Θ ezt a tenzort ( )-val. A forgatónyomaték (9) össze- 33 értékéhez a rúdon és a ráhelyezett két tömegen függésébe a Θ′Θ (α) tenzor komponenseit kell behe- kívül az inga más alkatrészei is hozzájárulnak. Eötvös lyettesítenünk. Szerencsére ez a tenzor kifejezhetõ az ezért a K értéket elméleti becslés helyett az inga T0 alaphelyzetben a 2. ábrának megfelelõen észak-déli saját torziós lengésidejének mérésével határozta meg. irányba elhelyezett inga Θ tenzorával, valamint a z Ha a drótszál torziós forgatónyomatékán kívül semmi tengely körüli α szögû forgatást leíró R(α) mátrix és más forgatónyomaték nem hat, akkor annak RT(α ) transzponáltja segítségével: Θ′Θ (α)=R(α)ΘRT(α). π K T0 =2 ★ , Vizsgáljuk meg az alaphelyezetû ingát! Feltehetjük, D hogy a rúd keresztirányú (y irányú) kiterjedése sok- ahol D ★ a torziós szál direkciós nyomatéka (csavarási kal kisebb a hosszirányú méretéhez képest, ekkor a nyomatéka). két test és a rúd minden pontjának y koordinátája A fenti eredményünk most már közvetlenül össze- zérus lesz. Ezért a (6) képlet alapján az inga tehe- hasonlítható az Eötvös és társai [7] cikkben közölt Θ Θ tetlenséginyomaték-tenzorának 12 és 23 kompo- nevezetes képlettel, amelyet a gravitációs erõtér hely- Θ nense is zérus lesz, a 22 komponens pedig meg- függésének kiértékeléséhez használtak: egyezik a két másik diagonális komponens összegé- vel: Θ = Θ + Θ .AΘ′Θ (α ) kiszámításához szüksé- ⎛ ⎞ 22 11 33 ⎜ ∂2 U ∂2 U ⎟ sin2α ∂2 U ges hármas mátrixszorzás kézzel egyszerûen elvé- −M = ⎜ − ⎟ K K cos2α 3 2 2 ∂ ∂ gezhetõ, de hosszadalmas. Ugyanakkor szimbolikus ⎝ ∂y ∂x ⎠ 2 x y (11) matematikai programokkal a mátrixszorzás könnye- ⎛ ∂2 U ∂2 U ⎞ dén végrehajtható. A kapott eredmény, azaz a Θ′Θ ⎜ cosα − sinα ⎟ mŁl. Θ Θ ⎝ ∂y ∂z ∂x ∂z ⎠ mátrix komponensei az alaphelyzetû inga 11, 33 és Θ α 13 mátrixelemei mellett az szög szögfüggvényeit is tartalmazzák. Az egyenlet bal oldalán a mínusz elõjel amiatt lép fel, Ezután a (9) képletbe behelyettesítjük a Θ′Θ tenzor mert az (1) egyenletben a fizikában szokásos konven- most kiszámított komponenseit. Érdekes módon a ciót használtuk: az erõ a potenciál negatív gradiense. Θ számolás során kiesik a 11 érték, és a végeredmény Eötvös idejében és egyes tudományágakban, például csak az elforgatatlan inga (α =0)Θ tehetelenségi- az égi mechanikában és a felsõgeodéziában ma is a Θ Θ nyomaték-tenzorának 33 és 13 komponenseit tar- „geopotenciálnak” nevezett W = −U mennyiséget talmazza: használják. Megjegyezzük, hogy a bemutatott leveze- tés lépései akkor is alkalmazhatók, ha az ingára vo- ⎡ sin2α ⎤ M = − Θ ⎢ ∂ ∂ U − ∂ ∂ U ∂ ∂ U cos2α ⎥ natkozó fenti közelítések helyett egy általános tehe- 3 33 ⎣ 2 2 1 1 2 1 2 ⎦ tetlenségi nyomatékú ingából indulunk ki. Az Eötvös-kísérletekben a gravitációs gyorsulás, (10) illetve az U(r) potenciál hely szerinti változásának Θ ∂ ∂ α − ∂ ∂ α 13 2 3 U cos 1 3 U sin . méréséhez a (11) egyenletet alkalmazták. A mérés vázlatosan a következõ módon történt. A torziós szál Eddig nem volt szükségünk a Θ tehetetlenséginyoma- és vele együtt a hozzá erõsített tükör egyensúlyi hely- ték-tenzor komponenseinek konkrét alakjára, most zete a rá ható forgatónyomaték hatására egy kis ϕ viszont a 2. ábra és a (6) képlet alapján kiszámíthat- szöggel elfordul (a meg nem csavart egyensúlyi hely- Θ Θ juk a szükséges 13 és 33 értékeket: zethez viszonyítva). Ezt a szöget úgy mérték meg, hogy ha a tükör ϕ szöggel elfordul, akkor a ráesõ Θ = −m l Ł, 13 1 1 fénysugár iránya 2ϕ szöggel térül el a tükörrõl való ϕ ★ ϕ valamint homogén rudat feltételezve visszaverõdéskor. Másrészt ez a szög a −Mz = D

222 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 egyensúlyi feltétel alapján határozható meg. A mérés során az ingát öt különbözõ α irányba állították be, és megmérték a torziós szál ϕ(α) elfordulásszögét. Ez- után képezve a m ϕ α ϕ α 2 i 1 − i m 1 különbségeket (i = 1, …, 4) a (11) egyenletet felhasz- ★ ϕ nálva a −Mz = D egyensúlyi egyenletbõl négy füg- drr=– getlen lineáris egyenlet adódik a négy ismeretlen 12 F2 ∂2 U ∂2 U ∂2 U ∂2 U ∂2 U − , , , (12) F ∂y 2 ∂x 2 ∂x ∂y ∂x ∂z ∂y ∂z 1 3. ábra. A rúd két végén lévõ testekre ható nehézségi erõ nem pár- második deriváltra. A (11) egyenletbõl következik, huzamos, ha nem teljesül a súlyos és tehetetlen tömeg azonossága. hogy az inga ϕ elfordulási szöge úgy növelhetõ, ha K értékét, azaz a T0 lengésidõt növeljük. Ezzel viszont olyan hatásokat okoz. Ezen az elven alapul a késõbb idõben hosszadalmassá válnak a mérések, mert az Einstein által kifejlesztett általános relativitáselmélet. ingarúd új helyzetébe történõ beállítása után a lengé- Korábban többen felvetették, hogy a kétféle tömeg sek lecsillapodása is tovább tart. Az eredeti mérések- nem szükségszerûen azonos egymással, pontosabban ben ez általában egy óráig is eltartott. A mérési eljárás szólva: a kétféle tömeg aránya függhet a vizsgált min- további részleteirõl az érdeklõ olvasó például [3–7] ta anyagi összetételétõl. A kérdést csak pontos mérés- cikkekben olvashat. sel lehet eldönteni – amit maga Newton, majd az ∂ Gömbszimmetrikus erõtérben a − z U radiális tér- 1830-as években Bessel el is végzett, de a gravitációs erõsség jelentõsen változik a z függvényében, gravitá- hatások gyengesége és nehezen mérhetõ volta miatt ∂ ∂ ciós tér esetén az Eötvös-tenzor z z U komponensé- csak igen kis pontosságot tudtak elérni. Eötvös precí- nek nagysága 2g/R, ahol g a felszíni gravitációs gyor- ziós ingakísérletei több nagyságrenddel javították a sulás, R pedig a Föld sugara. A Laplace-egyenlet miatt mérési eredmény pontosságát, megmutatva, hogy a ∂ ∂ ∂ ∂ hasonló nagyságrendû a deriváltak x x U+ y y U tehetetlenségi és gravitációs tömeg aránya minden kombinációja is. Láthatjuk, hogy az Eötvös-ingával anyagra azonos. Ezek után a kétféle tömeg azonossá- végzett mérés érzéketlen az Eötvös-tenzor ezen ga már csak a mértékegység választásán múlik. „nagy” komponenseire, a mérés a (9) képlet szerint A mérés azon alapul, hogy ha nem állna fenn a két- éppen az ezeknél nagyságrendekkel kisebb többi féle tömeg azonossága, akkor a forgó Földön elhelye- komponenst – amelyeket a tömegeloszlás helyi inho- zett torziós ingára akkor is hatna forgatónyomaték, ha mogenitásai okoznak – tudja meghatározni. a gravitációs tér hely szerinti változásait nem vennénk A (11) egyenletbõl az is jól látszik, hogy véges Ł ér- figyelembe. Ezt a forgatónyomatékot az elõzõekben tékre a forgatónyomaték képletében megjelennek az tárgyalt, a nehézségi erõtér gradiensére érzékeny Eöt- U(r) potenciál x,z és y,z szerinti második deriváltjai is, vös-inga helyett egy egyszerûbb kísérleti elrendezés, ellentétben a Cavendish-kísérlettel, ahol Ł = 0. Azzal, a Cavendish-inga (3. ábra) tanulmányozásával is ki- hogy Eötvös az inga egyik végén a testet lejjebb helyez- számíthatjuk. Ezen inga két próbateste a rúd két vé- te, a gravitációs térerõsség újabb, függõleges irányú gén, ugyanabban a vízszintes síkban helyezkedik el. deriváltjait lehetett kimérni. E ténynek köszönhetõ, Eötvös mérése során az elõzõ fejezetben tárgyalt és az hogy az Eötvös-inga olyan sikeressé vált a geológiai itt leírt effektus egyszerre jelent meg, a hatások össze- kutatásokban és az olajmezõk felkutatásában. adódtak. A mérés kiértékelésekor a kétféle jelenség Itt jegyezzük meg, hogy az eredeti Eötvös-kísérle- hatásai elkülöníthetõk. tekben a rúd két végén lévõ henger alakú testek nem A módszer alapgondolata az, hogy az ingára a Föld tekinthetõk pontszerûnek. A hengerek hossza mentén forgása miatt kétféle erõ hat: a newtoni gravitációs a gravitációs erõtér kis mértékû változása olyan nagy- erõ, ami a súlyos tömeggel, és a centrifugális erõ, ami ságrendû járulékot eredményezhet a torziós szálra pedig a tehetetlen tömeggel arányos (4. ábra). Számí- ható forgatónyomatékban, ami szisztematikus hiba- tásainkban nem kell figyelembe venni e két erõ hely ként befolyásolhatja az Eötvös-ingával végzett méré- szerinti változását, csak a kétféle tömeg különbözõ sek pontosságát. Ezt a hibát nemrégiben Tóth Gyula volta miatt fellépõ forgatónyomatékot keressük. A tanulmányozta, becsülte meg [16, 17]. továbbiakban következetesen megkülönböztetjük a testek e fejezetben μ-vel jelölt súlyos és m-mel jelölt tehetetlen tömegét. Az Eötvös-inga és az ekvivalenciaelv Írjuk fel a testre ható gravitációs erõt, figyelembe véve az ideális, homogén tömegeloszlású és gömb A súlyos és tehetetlen tömeg azonosságából (amelyet alakú Föld tengely körüli forgásának hatását is! Egy már Newton is felismert) következik az ekvivalencia- testre ható teljes nehézségi erõ a Föld által kifejtett elv, amely szerint a gyorsulás és a gravitáció ugyan- gravitáció erõ és a centrifugális erõ eredõje:

CSERTI JÓZSEF, DÁVID GYULA: AZ EÖTVÖS-INGA KÉPLETEI 223 ω ahol a nevezõben kihasználtuk, hogy jó közelítéssel ≈ |gN|=gN |g|=g. Mivel a (14) összefüggés számlá- lója késõbb még többször elõfordul, ezért ezt külön is Föld kiszámoljuk: ωω rR=–()R ⎛ ω (ω R) ⎞ ω 2 m c c × g = ω 2 ⎜R − ⎟ × g = N ⎝ ω 2 ⎠ N (15) g = N (ω × R)(ω R). R ε μ gN

Az utolsó lépésben kihasználtuk, hogy a gN vektor a μ g (13) képlet szerint a −R vektor irányába mutat. A (15) ω × × képletbõl látható, hogy az R, és így a c gN vektor is kelet/nyugati irányú (az északi félgömbön keletre, ω ω ϑ 4. ábra. A Földön a testre ható newtoni gravitációs erõ és a centri- a délin nyugatra mutat). Mivel | R|= Rsin és fugális erõ (erõsen torzítva). |ω × R|=ωRcosϑ, a (14) formula így írható:

m ω 2 R sin2ϑ F = μg +mc ≡ μg, sinε = , (16) N μ 2 g ahol gN a newtoni gravitációs gyorsulás, c pedig a ≈ centrifugális gyorsulás, amelyek a következõ alakban ahol ismét felhasználtuk, hogy gN g. Ebben az ösz- írhatók: szefüggésben a kétfajta tömeget azonosnak véve, az ismert adatokkal azt kapjuk, hogy Budapesten ε ≈ 6’ M R ° g = −f Föld , = 0,1 . Ez valóban rendkívül kis szög, a legtöbb eset- N R 2 R ben nem játszik szerepet. Azonban, mint késõbb látni (13) fogjuk, az ekvivalenciaelv igazolásánál nem hanya- ⎛ ω (ω R) ⎞ c = ω 2 ⎜R − ⎟ , golható el. ⎝ ω 2 ⎠ Tegyük fel, hogy az inga rúdjának két végén egy- egy m1, illetve m2 tömegû test van. Ekkor a két testre μ μ μ ahol MFöld a Föld tömege, R a Föld felszínén tetszõle- ható erõ: F1 = 1 gN +m1 c = 1 g és F2 = 2 gN +m2 c = μ gesen elhelyezett mérési pont helyvektora a Föld kö- 2 g (3. ábra). Számítsuk ki elõször e két erõ közti ω zéppontjához viszonyítva, a Föld szögsebességvek- szöget! Egyszerû számolással kapjuk az F1 és F2 közti tora, amely a forgástengellyel párhuzamosan északra δ szögre: mutat, f pedig a gravitációs állandó. A centrifugális gyorsulás képletében a zárójelben lévõ vektor az R F × F sinδ = 1 2 , pont helyvektorának az ω szögsebességvektorra me- F1 F2 rõleges komponense, amelynek hossza éppen a mé- rési pontnak a Föld forgástengelyétõl mért távolsága. ahol A g eredõ nehézségi gyorsulást az F erõ fenti képlete × μ μ × (17) értelmezi. F1 F2 = 2 m1 − 1 m2 c g N . A Föld adatait figyelembe véve könnyû belátni, hogy a centrifugális gyorsulás sokkal kisebb a gravitá- Innen – felhasználva a (15) és a (16) egyenleteket – ciós gyorsulásnál: kapjuk:

c ω 2 R cosϑ m1 m2 gN ω × R ω R = ≈ 0,002, δ ≈ sinδ = − = g g μ μ R g 2 1 2 (18) ϑ ≈ ° g ahol 47 Budapest földrajzi szélessége. További = N η sinε , képet kapunk arról, hogy a centrifugális erõ mennyire g kicsi a |g|=g eredõ gravitációs gyorsuláshoz képest, ha kiszámítjuk a Föld középpontja felé mutató gN ahol bevezettük az newtoni gravitációs gyorsulás és az eredõ g vektor közti ε szöget (4. ábra): m m η 1 − 2 (19) = μ μ g × g c × g 1 2 ε N m N ≈ sin = = μ g g N g g N paramétert, amely a keresett mennyiségre, a súlyos és (14) × tehetetlen tömeg eltérésére jellemzõ. m c g N δ ≈ , A két erõ közti szögre kapott (18) kifejezés meg- μ g 2 egyezik Eötvös eredményével [7].

224 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 A képletbõl látszik a mérés egyik nagy elõnye: a Ha feltesszük, hogy a kar két végén lévõ két test m kitérést befolyásoló fenti η paraméter csak a tehetet- tömege azonos, akkor m ★ = m/2, ezért végeredmé- lenségi és a gravitációs tömeg arányától függ, nagysá- nyünk így írható: guktól viszont nem, emiatt nem növeli a mérés hibá- ⎛ ⎞ ját, ha az inga két próbatestjét nem sikerül pontosan ⎜ m m ⎟ τ = mg l sinε sinα 1 − 2 . (21) egyforma tömegûre készíteni. Eötvös a próbatesteket N ⎜ μ μ ⎟ különbözõ anyagokból (vas, szén, fa stb.) készítette ⎝ 1 2 ⎠ el, így a mérés azt is ellenõrizte, hogy a tehetetlen és Ez az alak, kiegészítve a nehézségi gyorsulás hely a súlyos tömeg m/μ aránya függ-e a minta anyagi szerinti változásából származó, a (11) egyenletben összetételétõl. Látható, ha a kétféle tömeg minden felírt forgatónyomaték járulékával, megegyezik Eöt- testre azonos egymással, akkor δ = 0, azaz a két testre vös eredményével [7], amelyet késõbb mások is leve- ható eredõ nehézségi erõ párhuzamos irányú. Ebbõl zettek [8–10, 18]. Megjegyezzük, hogy ez az eredmény következik, hogy ekkor az ingára ható forgatónyoma- szerepel (más, Eötvös idejében használt jelölésekkel) ték zérus. Tóth Gyula Fizikai Szemlében nemrégiben megjelent A továbbiakban meghatározzuk e két erõ ingára cikkében is [16]. A fent bemutatott, modern vektoros × × kifejtett forgatónyomatékát: M = r1 F1 + r2 F2.Az jelöléseket alkalmazó levezetés és a (16), (18) és (21) ingára az F1 és az F2 erõkön kívül a torziós szál által képletek az Eötvös-kísérlet hátterének több részletére kifejtett kötélerõ is hat. Egyensúlyi helyzetben e há- világítanak rá. rom erõ összege zérus, ezért a torziós szál irányába Az eredménybõl jól látható, ha a zárójeles rész, mutató egységvektor: azaz az η paraméter nem zérus – tehát nem teljesül a súlyos és tehetetlen tömeg azonossága –, akkor az F F ingára forgatónyomaték hat, és elfordul. Az Eötvös- n = 1 2 . kísérletekben ennek kimutatása volt a cél. A fenti F1 F2 eredménybõl az is világos, hogy maximális forgató- Így a forgatónyomatéknak a torziós szál irányába mu- nyomatékot akkor kapunk, ha az inga rúdját keleti tató komponense, ami elforgatja az inga drótját: irányba állítjuk, azaz az α azimutszög éppen 90°. Eöt- vös, Pekár és Fekete gondosan, a lehetséges hibafor- F F M rások minél teljesebb kiküszöbölésével elvégzett mé- τ = nM = 1 2 = F F réseik szerint a tömegarányok eltérésére az alábbi, 1 2 abban az idõben kivételesen pontos eredménynek F r × F F r × F számító felsõ korlátot kapták [7]: = 1 2 2 2 1 1 = (20) F1 F2 m m η ≡ 1 − 2 ≤ −9 (22) μ μ 5 10 . r F × F r F × F d F × F 1 2 = 2 2 1 1 1 2 = 1 2 , F1 F2 F1 F2 Végeredményünk, azaz a (21) összefüggés más meggondolással is levezethetõ, amely talán más irány- ahol d = r1 −r2 az inga rúdjának két végén lévõ teste- ból is rávilágít a fellépõ forgatónyomaték fizikai oká- ket összekötõ vektor. A negyedik egyenlõségnél ki- ra. Emlékezzünk vissza a merev testre külsõ erõtér- használtuk, hogy a vegyesszorzat invariáns a vekto- ben ható forgatónyomaték (7) képletére! Ennek elsõ rok ciklikus cseréjére. Ebbõl az eredménybõl is látha- tagja azt írja le, hogy ha a külsõ erõ támadáspontja tó, ha az F1 és F2 vektorok párhuzamosak, akkor a nem esik egybe a koordináta-rendszer kezdõpontjá- forgatónyomaték zérus. val, akkor az origóra vonatkoztatva forgatónyomaték A (20) egyenletben szereplõ skalárszorzás miatt az lép fel, függetlenül az erõtérnek a képlet második eredményben a d vektornak csak a kelet/nyugati ve- tagjában figyelembe vett inhomogenitásától. Márpe- tülete jelenik meg, ennek értéke pedig 2lsinα, ahol 2l dig pontosan ez lenne a helyzet, ha a súlyos és a te- az inga rúdjának hossza, α pedig a rúd korábban be- hetetlen tömeg eltérne egymástól: a kétféle tömeg vezetett azimutszögét jelenti. alapján kiszámolható tömegközéppont (azaz az iner- × Az |F1 F2| mennyiség (17), (15) és (16) szerinti ciaerõk, köztük a centrifugális erõ támadáspontja) értékét sorba behelyettesítve, valamint felhasználva, nem esne egybe a súlyponttal (azaz a gravitációs erõ hogy |F1 + F2|=(m1 + m2)g, a következõ eredményt támadáspontjával). Ekkor a tömegközéppontba helye- kapjuk: zett koordináta-rendszerben a súlyerõnek forgatónyo- matéka lépne fel (5. ábra). A következõkben meg- τ ★ η α ε = nM = m gN 2 l sin sin , mutatjuk, hogy ez a feltételezett hatás azonos a (21) által leírt forgatónyomatékkal. ahol Tudjuk, hogy a homogén gravitációs erõtér által egy testre kifejtett eredõ erõ úgy tekinthetõ, mintha ★ m1 m2 egyetlen pontban, a test S súlypontjában hatna. A m = . m1 m2 súlypont helyvektorának ismert képlete alapján írjuk fel a 3. és az 5. ábrán szereplõ Cavendish-inga súly-

CSERTI JÓZSEF, DÁVID GYULA: AZ EÖTVÖS-INGA KÉPLETEI 225 O r2 Az utolsó lépésnél – a korábbi számoláshoz hason- m lóan – kihasználtuk, hogy egyforma tömegek esetén a 2 tört értéke jó közelítéssel m/2. A vegyes szorzatban t × fellépõ n gN vektor kelet/nyugati irányba mutat, ε értéke pedig gN sin , hiszen a gN vektor a korábbiak szerint ε szöget zár be a torziós szál irányába mutató s g vektorral. A skaláris szorzás miatt az eredményben r T 1 C ismét a d vektor kelet/nyugati irányra esõ 2lsinα vetü- lete lép fel. Mindezeket összefoglalva az inga torziós szálára ható forgatónyomaték értéke: S τ η ε α = mgN l sin sin G lesz, ami megegyezik a korábban más módszerrel m 1 levezetett (21) eredménnyel. 5. ábra. A Cavendish-inga S súlypontjában ható G gravitációs és T Kimondhatjuk tehát, ha a súlyos és tehetetlen tö- tömegközéppontjában ható C centrifugális erõ. meg nem lenne azonos, vagy arányuk a minta anyagi összetételétõl függne, akkor az Eötvös-ingára a (21) pontjába mutató s vektort! A helyvektorok súlyozásá- által leírt forgatónyomaték hatna. E jelenség két ekvi- ra ebben az esetben a μ súlyos tömegeket kell hasz- valens fizikai magyarázatát is bemutattuk. Ha az inga nálnunk. Hasonlóképpen az inerciaerõk, köztük a két testére ható gravitációs és centrifugális erõket centrifugális erõ hatása a T tömegközéppontba egye- testenként adjuk össze, akkor az eredõ F1 és F2 erõk síthetõ, ennek t helyvektora az m tehetetlen tömegek nem lennének párhuzamosak, ezért lépne fel forgató- segítségével számítható ki: nyomaték. Ha viszont elõbb egyesítjük a két testre μ μ ható centrifugális erõt a T tömegközéppontban ható 1 r1 2 r2 C erõvé, a két testre ható gravitációs erõt pedig az S s = μ μ , 1 2 súlypontban ható G erõvé, akkor a két támadáspont (23) különbözõ volta miatt lép fel a G erõ T pontra vonat- m r m r t = 1 1 2 2 . kozó forgatónyomatéka. A kétféle tárgyalásmód ter- m1 m2 mészetesen azonos eredményre vezet. A megjósolt effektust Eötvös és követõi igen kis hibahatárral zé- A két pontot összekötõ k = s−t vektor könnyen rusnak találták, ezzel alátámasztva az általános relati- kiszámítható, rendezés után a következõt kapjuk: vitáselmélet alapjául is szolgáló állítást, a súlyos és tehetetlen tömeg pontos azonosságát, illetve arányuk- μ m − μ m nak a testek anyagától való függetlenségét. k = s − t = 1 2 2 1 r − r . (24) μ μ 1 2 1 2 m1 m2 A kifejezés a korábban bevezetett η paraméter és a d Összefoglalás vektor segítségével átalakítható: Az Eötvös-inga két alapvetõen fontos kutatási területen μ μ vált világhírûvé. Egyrészt a gravitációs gyorsulás hely k = −η 1 2 d. (25) μ μ szerinti változásának nagy pontosságú mérésével le- 1 2 m1 m2 hetõség nyílt lokális geológiai objektumok, például föld A két test rendszerére ható erõk közül a C centrifu- alatti olajmezõk felderítésére, és így a 20. század elsõ gális erõ támadáspontja a T tömegközéppontban van, felében az inga gyakorlati alkalmazása gazdasági szem- ezért ennek nincs T-re vonatkozó forgatónyomatéka. pontból is felbecsülhetetlen értékûvé vált. Ezen kísérle- μ μ A G =( 1 + 2) gN gravitációs erõ támadáspontja azon- tek fizikai alapját, nevezetesen az ingára ható forgató- ban az S súlypontban van, ennek T-re vonatkozó erõ- nyomatékot a Merev testre külsõ erõtérben ható forga- karja épp a k vektor, így a gravitációs erõ T-re vonat- tónyomaték általános képlete fejezetben levezetett álta- kozó forgatónyomatéka M = k×G. Ha a forgatónyo- lános képlet alapján Az Eötvös-ingára ható forgatónyo- maték torziós szálra ható τ komponensét akarjuk maték a nehézségi gyorsulás hely szerinti változása kiszámítani, akkor a (20)-hoz hasonlóan M-et meg következtében fejezetben ismertettük. Másrészt Eötvös kell szoroznunk a szál irányába mutató, ezért g-vel és társai a korábbi mérésekhez képest több nagyság- párhuzamos n egységvektorral: renddel pontosabban mutatták ki a súlyos és tehetetlen tömeg azonosságát, amibõl az általános relativitáselmé- τ = nM = n (k × G)=n k × μ μ g = let alapköve, az ekvivalenciaelv következik. A méréssel 1 2 N kapcsolatos fizikai alapokat Az Eötvös-inga és az ekvi- μ μ (26) 1 2 m valenciaelv fejezetben ismertettük. = −η n d × g = η d n × g . m m N 2 N Érdemes megjegyezni, hogy az Eötvös-féle méré- 1 2 sek pontosságát Dicke és munkatársai 1964-ben to-

226 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 vább javították, az eredeti Eötvös-kísérletek gondos 9. Renner János: Az Eötvös-kísérlet Fizikai Szemle 14/1 (1964) elemzésével, a pontosságot befolyásoló hibaforrások 6–10.; http://fizikaiszemle.hu/archivum/fsz6401/tart6401.html 10. G. Boniolo: Theory and Experiment. The Case of Eötvös’ Expe- kiküszöbölésével vagy csökkentésével [19]. Megmu- riments. The British Journal for the Philosophy of Science 43 tatták, ami elsõ hangzásra meglepõnek tûnik, hogy (1992) 459–486.; https://www.jstor.org/stable/687836?origin= például egy 100 kg tömegû embernek legalább 30 m JSTOR-pdf&seq=1#page_scan_tab_contents távolságban kell lennie az ingától, hogy az általa kifej- 11. Völgyesi Lajos: Fizikai geodézia és gravimetria. online tan- könyv; https://edu.epito.bme.hu/local/coursepublicity/public tett forgatónyomaték hatása kisebb legyen a tömeg- courses.php?publicityid=1993 −11 arányok η =10 eltérésénél. Ezért az inga méretét 12. Szabó Zoltán: Az Eötvös-inga históriája. Magyar Geofizika 40/1 csökkentették (az inga karja 3,3 cm), és a szögelfor- (1999) 26–38.; http://real-j.mtak.hu/12503/1/EPA03436_magyar_ dulás leolvasását távolról végezték. Az Eötvös-kísérle- geofizika_1999_1.pdf 13. Dávid Gyula: Az örök nyár bolygója. Az 1982. évi Ortvay Rudolf tek fontosságát jelzi, hogy még napjainkban is folynak Fizikai Problémamegoldó verseny 17. számú feladata; a megol- ezirányú mérések. A téma iránt érdeklõdõknek Nieto dás megjelent: Válogatás az 1983. évi Ortvay Rudolf Probléma- és munkatársai cikkét [18], Adelberger és munkatársai megoldó verseny feladataiból. kézirat, ELTE TTK Fizikus Diákkör, összefoglalóját [20], valamint Will könyvét és áttekintõ 1984. (szerkesztette Pöltl János); https://ortvay.elte.hu/mo/1983 14. Horváth Gábor: A holdak kötött keringése, az árapály-effektus cikkét [21] ajánljuk. A hazai kutatásban Péter Gábor és és az árapályfûtés. Fizikai Szemle 41/3 (1991) 79–88.; http:// munkatársai tervezik az Eötvös-kísérlet megismétlé- fizikaiszemle.hu/old/archivum/fsz9103/tart9103.html sét, amelyrõl bõvebben a Fizikai Szemle nemrégiben 15. E. G. Adelberger, C. W. Stubbs, B. R. Heckel, Y. Su, H. E. Swan- megjelent számában olvashatunk [22]. son, G. Smith, J. H. Gundlach, W. F. Rogers: Testing the equiva- lence principle in the field of the Earth: Particle physics at mas- ses below 1 μeV? Phys. Rev. D 42 (1990) 3267.; https://doi.org/ Irodalom 10.1103/PhysRevD.42.3267 1. Eötvös Loránd-emlékév 2019. https://www.eotvos100.hu 16. Tóth Gyula: Az Eötvös–Pekár–Fekete ekvivalenciamérések sza- 2. Király Péter (szerk.): Eötvös Loránd munkái és méltatása, dolgo- bályos hibája. Fizikai Szemle 69/5 (2019) 155–158; http:// zatok és dokumentumok gyûjteménye. http://tudtor.kfki.hu/ fizikaiszemle.hu/uploads/2019/05/fizszem-201905-tothgyula_ eotvos1/eotvos.html 15_19_40_1558012780.1868.pdf 3. Eötvös Loránd: A nehézség és a mágneses erõ nivófelületeinek 17. Gyula Tóth: Explanation of the EPF experiment in terms of gra- és változásainak meghatározásáról. Az 1900-dik évi párisi physi- vity gradients. arxiv.org (2019); https://arxiv.org/abs/1803.04720 kai congressus elé terjesztett jelentés. Math. és Phys. Lapok. IX. 18. M. M. Nieto, R. J. Hughes, T. Goldman: Actually, Eötvös did (1900) 361–385.; http://real-j.mtak.hu/7286/1/MTA_Matematikai publish his results in 1910, it’s just that no one knows about EsPhysikaiLapok_09.pdf#page=369 it…. Am. J. Phys. 57 (1989) 397–404.; https://aapt.scitation.org/ 4. H. Shaw, E. Lancaster-Jones: The Eötvös Torsion Balance. Proc. doi/10.1119/1.16038 Phys. Soc. London 35 (1922) 151–166.; https://iopscience.iop. 19. P. G. Roll, R. Krotkov, R. H. Dicke: The Equivalence of Inertial org/article/10.1088/1478-7814/35/1/319/meta and Passive Gravitational Mass. Annals of Physics 26 (1964) 442– 5. A. H. Miller: The Theory and Operation of the Eötvös Torsion 517.; http://physics.princeton.edu/romalis/papers/Roll_1964.pdf Balance with Plates I, II, III. Journal of the Royal Astronomical 20. E. G. Adelberger, J. H. Gundlach, B. R. Heckel, S. Hoedl, S. Society of Canada 28 (1934) 1–31.; http://adsabs.harvard.edu/ Schlamminger: Torsion balance experiments: A low-energy cgi-bin/nph-bib_query?1934JRASC..28....1M&db_key=AST frontier of particle physics. Progress in Particle and Nuclear 6. Bela G. Kolossvary: Eötvös Balance. Am. J. Phys. 27 (1959) 336– Physics 62 (2009) 102–134.; https://doi.org/10.1016/j.ppnp. 343.; https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.1934847 2008.08.002 7. Eötvös R., Pekár D., Fekete E.: Beiträge zum Gesetze der Pro- 21. Clifford M. Will: Theory and Experiment in Gravitational Phy- portionalität von Trägheit und Gravität. Annalen der Physik sics. Cambridge University Press 2018.; https://doi.org/10.1017/ (Leipzig) 68 (1922) 11–66.; angol fordítás: R. v. Eötvös, D. Pe- 9781316338612 – A szerzõ hasonló témájú, szabadon letölthetõ kár, E. Fekete: Contribution to the law of proportionality of cikke: The Confrontation between General Relativity and Expe- inertia and gravitation. Annales Universitatis Scientiarum Buda- riment. https://link.springer.com/article/10.12942/lrr-2006-3# pestinensis de Rolando Eötvös Nominatae. Sectio geologica 7 aboutcontent (1963) 111–165.; https://matarka.hu/cikk_list.php?fusz=137841 22. Péter Gábor, Deák László, Gróf Gyula, Kiss Bálint, Szondy 8. Renner János: Kísérleti vizsgálatok a tömegvonzás és tehetetlen- György, Tóth Gyula, Ván Péter, Völgyesi Lajos: Az Eötvös–Pekár– ség arányosságáról. Matematikai és Természettudományi Értesí- Fekete ekvivalenciaelv-mérések megismétlése. Fizikai Szemle tõ 13 (1935) 542–570.; http://real-j.mtak.hu/4471/1/Matematikai 69/4 (2019) 111–116.; http://fizikaiszemle.hu/uploads/2019/04/ TermTudErtesito_53.pdf fizszem-201904-peter-es-tarsai_13_48_05_1556624885.0311.pdf

Magyar Fizikus Vándorgyûlés 2019

A Szerkesztõbizottság tagjai kérik a Vándorgyûlés elõadóit és poszterkészítõit, hogy elhangzott gondolataikat, eredményeiket osszák meg a Szemle olvasóival .

CSERTI JÓZSEF, DÁVID GYULA: AZ EÖTVÖS-INGA KÉPLETEI 227 A NEMZETKÖZI NAPSUGÁRZÁSI REFERENCIASKÁLA ÉS AZ ÚJ KRIOGÉN ABSZOLÚT PIRHELIOMÉTER Tóth Zoltán OMSZ Marczell György Fo˝obszervatórium Stratolab Kutató, Fejleszto˝ és Innovációs Kft.

WRC, WRR, WSG dúrával át kell adni minden hiteles mérést végzõ lég- körfizikai, napenergia-hasznosítási, vagy a napsugár- Vajon a napsugárzás egy adott intenzitásértékét zásmérést alkalmazó mûszaki tevékenységet folytató ugyanakkorának mérik-e mindenütt az egész vilá- bármely egyéb intézménynek vagy cégnek. A fentie- gon? Azaz, mondjuk a 700 W/m2 sugárzáserõsség ket teljesítõ úgynevezett abszolút pirheliometria elmé- ugyanazt jelenti-e a világ legtávolabbi csücskében leti, mûszaki és minõségbiztosítási megvalósításáról telepített napsugárzásmérõ állomáson, mint a svájci lesz szó az alábbiakban. Davosban mûködõ Napsugárzási Világközpontban (World Radiation Center = WRC)? A válasz erre igen- lõ, ha a szóban forgó mérõállomás a nemzetközileg Természetes sugárforrás referenciaértékû érvényes minõségbiztosítási procedúra szerint mû- mérésének metrológiai problémája ködik, azaz a sugárzásdetektor megfelelõen kalibrált állapotban van. Ez a válasz így egyszerûnek tûnik, A napsugárzás mérése esetében – más fizikai mennyi- de ha pontosan akarjuk tudni, miként valósítható ségektõl eltérõen – több szempontból sem teljesíthe- meg, akkor máris fizikai folyamatok, fizikai törvé- tõ, hogy a pontosan beállított, ellenõrzött laboratóriu- nyek és nagy precizitású mûszaki megoldások sorát mi körülmények között (nagy precizitású tápegység- kell megismernünk. Az elektromágneses sugárzás gel meghajtott, ismert kimenõ jelû standard sugárfor- referenciaértékû mérése, azaz a fotondetektálás a rással) végrehajtott kalibráció eredménye egyértel- lehetõ legprecízebb feszültség-, áram- és teljesít- mûen átvihetõ legyen a természetes körülmények ménymérést követeli meg az abszolút fekete testet a esetén végzett mérésre, azaz a természetes forrásból lehetõ legjobban közelítõ mérõberendezéssel. Az (ami leginkább a Napot, esetleg a Holdat jelenti) érke- elsõdleges referenciaként használható úgynevezett zõ sugárzás mérésére. A hõmérsékletmérés metroló- abszolút pirheliométereket úgy alkották meg, hogy giai értelemben vett laboratóriumi hitelesítése például az elõbbi követelmények teljesüljenek. Alapvetõen a megvalósítható, mert olyan közvetlen effektuson ala- WRC és a Meteorológiai Világszervezet (WMO = pul (az érzékelõ platinaszál kvantitatíve pontosan World Meteorological Organization) regionális nap- ismert fizikai összefüggés szerint változtatja az ellen- sugárzási központjainak feladata ezen pirheliométe- állását a környezet hõmérsékletének függvényében), rek mûködtetése, és a világközpontban definiált amely tökéletesen megegyezik kültéri és beltéri körül- nemzetközi napsugárzási referenciaskála (World mények között. Következésképpen a laboratórium- Radiometric Reference = WRR) átadása az egyes ban csak elõ kell állítani a megfelelõ hõmérsékletet, országok nemzeti referencia-mérõeszközeinek. A amelyen a kalibráció történik, és minden mérési kö- WRR-t 1977-ben hozták létre speciális kalibrációs mérések sorozatai során a WRC-ben. Bizonytalansá- 1. ábra. A World Radiation Center fõ mérõplatformja. A kis napocs- kákkal jelzett hat abszolút pirheliométer alkotja a WSG-t. ga nem nagyobb mint 0,3%. A WRC elsõdleges feladata az 1. ábrán látható World Standard Group (WSG) nemzetközi etalon mû- szeregyüttes mûködtetése. A WRR-t azonos fizikai elven mûködõ, de azt kissé eltérõ módon megvalósító hat abszolút pirheliométer mért értékeinek átlaga de- finiálja, és ezt az értéket megfelelõ kalibrációs proce-

Tóth Zoltán (1961) az ELTE-n szerzett csilla- gász és meteorológus diplomát. Szakterülete a légköri napsugárzás-átvitel, nap-spektrofo- tometria, a légköri ózontartalom-mérés. Ha- zánkban elõször alkalmazta az ózontartalom zenitsugárzásból történõ meghatározását. Az OMSZ hazai UV-sugárzásmérõ hálózatának egyik megalapítója, fõ mûködtetõje. Nem- zetközi kutatási projektek irányító testületé- nek tagja. Az ELTE megbízott elõadója, a Napsugárzás-védelmi Tudományos és Szak- értõi Testület elnökhelyettese.

228 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 rülmény, valamint a mérés pontossága, bizonytalansá- professzionális operatív mérõhálózatokban használt ga korrekt módon számítható. A napsugárzásmérés pirheliométerek minél nagyobb mérési pontossága során ez azért nem tehetõ meg, mert a Nap és a de- elérésének problémái. A kifejezetten csak kalibrációra tektor közötti közeg (a légkör) sugárzásátvitelt meg- alkalmazott elsõdleges standard mûszerek (alapmû- határozó fizikai állapota a mérési sorozat alatt nem szerek) viselkedését még nagyobb pontossággal kell elegendõ pontossággal ismert, azaz nem tudjuk, hogy ismerni. a detektor milyen értékeket mérne a légkörön kívül. Alapmûszerként 1980 óta abszolút pirheliométere- Ezért kellett speciális eljárást és azt végrehajtó beren- ket (absolute cavity pyrheliometer) alkalmaznak, dezést kifejleszteni a napsugárzás referenciaértékû amelyek fizikai elvének kidolgozását és mûszaki meg- mérésének megvalósítására. valósítását az 1970-es években kezdték a WRC-ben. Ezek speciális felépítésû mûszerek, amelyek a meg- követelhetõ legnagyobb pontossággal hasonlítják Pirheliometria és abszolút pirheliometria össze a sugárzásból nyert teljesítményt az elektromos teljesítménnyel. Az abszolút pirheliométer magából a Az elektromágneses sugárzás mérése a fotoelektro- pirheliométer-testbõl és egy nagy pontosságú digitális mos effektuson alapul, amely szerint egy megfelelõen multimétert is tartalmazó elektronikus vezérlõegység- választott alkalmas érzékelõn a beérkezõ sugárzási bõl (control box) áll. Ezekben egy fekete testet mo- áram (fotonszám) hatására azzal arányos elektron- dellezõ üreg nyílása adja a felfogósíkot (innen jön az áramlás jön létre. Ezen elektromos áram feszültségé- eredeti angol elnevezésben a „cavity” szó, amelyet a nek mérésével lehet megállapítani a beérkezõ sugár- magyar változatban nem használunk). Az üreg ab- zási áramsûrûség nagyságát (részletesen lásd [1]). szorpciója nagyobb, spektrálisan egyenletesebb és Etalonmérésként az abszolút sugárzásmérés szol- idõben kevésbé változó, mint a sík lemezen lévõ fe- gál. Az abszolút sugárzásmérés a teljes belépõ sugár- kete festéké. Az üreg abszorpciója lézerek segítségé- zás skálájának olyan realizációja, amely sem közvetle- vel pontosabban mérhetõ annál, mintha geometriai nül, sem közvetve nem támaszkodik semmilyen stan- megfontolások alapján kiszámított üregen belüli visz- dard sugárforrásra. Mit is jelent ez? Azt, hogy a teljes szaverõdések számából és a felületet borító festék belépõ sugárzás azon elektromágneses hullámok által abszorpciójából számítanánk ki. Az üreg nyílásának, szállított energiamennyiség, amely – a teljes spektru- mint érzékelõnek jellegébõl következõen minden mot véve alapul – valamely sík felület egységnyi egyes pontja ugyanolyan érzékeny, tehát egy fontos nagyságú részére egységnyi idõ alatt érkezik. Ez a hibát okozó tényezõ, az érzékelõ felület egyenetlen sugárzásmennyiség elvi definíciója, amely szerint a érzékenysége ezáltal ki van zárva. teljes beesõ sugárzás méréséhez a területet, az idõt és Az abszolút pirheliométer kalibrációs faktorának az összes hullámhosszon szállított energia összegét pontossága az alábbiaktól függ: (1) sugárzási veszte- együtt kell mérnünk. ség, (2) nem teljesen egyenlõ egymással a sugárzási A napkorong irányából érkezõ teljes (azaz nem és elektromos fûtés, (3) szórt sugárzás, (4) fûtõ hatás spektrálisan felbontott) sugárzási áramsûrûséget (a és (5) az üreg precíziós nyílásának nagysága. Csak direkt sugárzást) pirheliométerrel mérjük. Bár több néhány példa a pontosságra: a belépõ apertúra átmé- cég gyárt ilyeneket a világon, a legismertebb, legna- rõje nagyobb, mint 0,5 μm pontossággal meghatáro- gyobb pontosságú, és ezért a légkörfizikai mérõháló- zott, ami 0,002%-nál jobb pontosságot jelent, a tökéle- zatokban leginkább használt pirheliométerek az Epp- tes körtõl való eltérése pedig 0,2 μm-nél pontosabban ley Laboratory (USA) és a Kipp&Zonen (Hollandia) meghatározott. A sugárzási veszteség 0,005% pontos- által gyártott detektorok. Az érzékelés mûszaki meg- sággal mérhetõ, míg az érzékelõbe jutó szórt fény valósításának alapját a most itt nem részletezett ter- 0,01%, a fûtés pedig 0,001% pontossággal mérhetõ. mooszlopos megoldás adja, ahol az érzékelõ felületet Annak érdekében, hogy a mérési bizonytalanság fekete festékkel borított lamellák alkotják. Most szin- pontosan megállapítható legyen, különbözõ, függet- tén nem lesz szó a geometriai felépítésrõl, a hõmér- len laboratóriumokban megismételt mérésekkel séklet-kompenzáció megvalósításáról és egy sor (hogy az esetleges laboratóriumi környezettõl való egyéb technikai részletrõl, amelyek a fizikai elv meg- minimális függés ismert legyen), nagy precizitású valósításakor szükségszerûen fellépõ mérési hibák standard sugárforrásokkal végeznek karakterizációt. minimálisra csökkentését szolgálják, mert ezek ismer- Ez az adott mûszerre az ideális viselkedéstõl való ösz- tetése külön tanulmányt igényelne, így csak a szóban szes eltérés kvantitatív meghatározását jelenti. forgó téma megértéséhez szükséges részletek ismerte- Az abszolút pirheliométerrel történõ mérés maga – tésére szorítkozunk. Azt viszont megjegyezzük, hogy leegyszerûsített megfogalmazással – nagy pontossá- felépítésük kialakításánál rengeteg tényezõt kell fi- gú teljesítménymérést jelent, azaz különbözõ fûtõtel- gyelembe venni. A legfontosabbak közé tartozik, jesítmények nagyon pontos összehasonlítását. A pir- hogy a mûszertesten belül az energiadisszipáció és a heliométer belépõ apertúráján egy nyitható lezáróku- kialakítás miatt óhatatlanul az érzékelõbe jutó, a nap- pak van. Három esetben kell pontosan meghatározni korongon kívülrõl, annak közvetlen környezetébõl a mért feszültséget és áramot: (a) zárt belépõ aper- érkezõ szórt fotonok alkotta cirkumszoláris sugárzás túra esetén fûtés nélkül, ez a feszültségskála zéróér- egyaránt minél kisebb legyen. De ezek még „csak” a téke, azaz a mérési zaj értéke (zero offset), (b) zárt

TÓTH ZOLTÁN: A NEMZETKÖZI NAPSUGÁRZÁSI REFERENCIASKÁLA ÉS AZ ÚJ KRIOGÉN ABSZOLÚT PIRHELIOMÉTER 229 belépõ apertúra esetén fûtéssel és (3) nyitott belépõ apertúrával (azaz a Napot mérve) fûtés nélkül. Ez mindegyik esetben nagy pontosságú feszültség- és áramerõsség-mérést jelent a vezérlõegység precíziós multiméterével. A mérés folyamata elég összetett, en- nek részletezése jelen írásban nem is lehet cél (rész- letesen lásd [2]).

A WSG mûködtetése, az abszolút pirheliométerek hitelesítése és a WRR továbbadása

A tengerszint felett 1500 m-t kissé meghaladó magas- ságban fekvõ Davosban található WRC tevékenységi köre több területre terjed ki, úgymint a napállandó referenciaértékû mérése, változásainak nyomon köve- tése, a mérések mûholdas mérésekkel történõ opera- tív összevetése, a WSG mûködtetése, valamint az ult- raibolya és az infravörös sugárzás mérése, és a homá- lyosság (optikai mélység) mérésének nemzetközi ka- librációs központjaként funkcionál. Továbbá napfizi- kai és légköri sugárzásátbocsátási kutatásokban is részt vesz. Emellett speciális sugárzásmérõ berende- zéseket, nap-spektrofotométereket, napfotométereket 2. ábra. Az Országos Meteorológiai Szolgálat Marczell György Fõ- tervez, fejleszt és gyárt. obszervatóriumában mûködõ európai WMO Regionális Napsugár- A nemzetközi referencia-mûszercsoportot, a WSG-t zási Központ HF-19745 abszolút pirheliométere. A két oldalon két kalibrálás alatt lévõ Eppley NIP pirheliométer látható. az alábbi hat abszolút pirheliométer alkotja: PACRAD- III (gyártó: NASA, USA), PMO-2 (gyártó: WRC), meghatározott lépésekbõl álló mérési sorozatokkal. A PMO-5 (gyártó: WRC), CROM-2 (gyártó: Institute mérési kampányt követõen egy speciális, összetett Royale Meteorologique de Belgique, Belgium), TMI- számítási algoritmus elvégzése után a mûszer és a ve- 67814 (gyártó: Technical Measurements, Inc., USA), zérlõegység alkotta teljes rendszerre érvényes egyen- HF-18748 (gyártó: Eppley Laboratory, USA). lettel egy kalibrációs faktort számítanak ki a kalibrá- Ezek egyetlen kivétellel nem kereskedelmi forga- ción részt vett minden egyes pirheliométerre. Így ke- lomba gyártott mûszerek, kifejezetten erre a célra, rül át a WRR az IPC-n részt vett minden egyes mûszer- vagy egyéb kísérleti mérésekre gyártott limitált számú re. Ezután a regionális központok összehasonlítják az példány létezik belõlük. A kivétel az Eppley Laborato- adott régió országai referencia-pirheliométereit, és a ry által kifejlesztett és gyártott HF (Hickey–Frieden) kalibrálandó pirheliométerek megkapják a párhuza- típusú abszolút pirheliométer, amely mellett még egy mos mérések eredményei alapján kiszámított kalibrá- kereskedelmi forgalmazás számára gyártott abszolút ciós faktoraikat. Ezt követõen minden országban ka- pirheliométer létezik, a WRC-ben kifejlesztett és gyár- librálják az egyes hálózati eszközeiket (itt már nem- tott PMO-6. Ez utóbbiból több példány a napállandó csak pirheliométereket, hanem speciális módszerrel a mérését végzõ elsõdleges mûszerként mûködik a teljes égboltról beérkezõ sugárzást mérõ piranométe- WRC-ben. A WMO regionális napsugárzási központ- reket is) a nemzeti referencia-pirheliométereikhez. Ily jaiban a HF és PMO-6 típusú pirheliométerek a refe- módon kerül továbbadásra a WRR a WSG-rõl a világ rencia-mérõeszközök. különbözõ pontjain mûködõ sugárzásmérõk számára. A WSG mûködtetése folytonos munkával jár, egy- A kalibráció után minden egyes mérõmûszer kalibrá- részt a Nap folyamatos mérésével, másrészt pedig az ciós tanúsítványt kap, amely igazolja a szóban forgó azt alkotó egyes pirheliométereket folyamatosan el- detektor kalibrációjának visszakövethetõségét (trace- lenõrzik különbözõ, célirányosan kifejlesztett speciá- ability) a WSG-re. lis módszerekkel a WRC optikai laboratóriumában. Európa, Észak-Afrika és Nyugat-Ázsia egy része a A WRR továbbadása a WRC-ben ötévenként meg- WMO VI. régiójába tartozik. Ebben hét regionális rendezett nemzetközi pirheliométer-összehasonlításo- napsugárzási központ mûködik, ezek egyike Buda- kon (IPC = International Pyrheliometer Comparison) pesten 1983 óta az Országos Meteorológiai Szolgálat történik. Ezeken a három hétig tartó mérési kampá- Marczell György Fõobszervatóriumában. Az itt mû- nyokon a WMO regionális napsugárzási központjai- ködtetett HF-19746 abszolút pirheliométer (2. ábra) ban és egyéb intézményekben mûködtetett abszolút 1980 óta vesz részt az IPC-ken. Eltérése a WRR-tõl pirheliométerek WSG-hez történõ kalibrálása történik mindössze egyetlen esetben volt nagyobb egy ez- hosszú idõ alatt sokszor ismételt, pontosan definiált, rednél.

230 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 kriogén huto´´´´ (hélium) nagyobb mint 0,01%, eltérése a jelenlegi 20 K homérsékletu´´ ´´ referenciablokk WRR-tõl átlagban mindössze 0,2-0,3%. A CSAR megépítésének elsõdleges célja a TRUTHS (Traceable Radiometry Under- vákuum pinning Terrestrial- and Helio-Studies) mû- holdas ûrmisszió tevékenységében a refe- kvarcüvegablak rencia-sugárzásmérõ feladatának ellátása. A misszió fõ célja egy sugárzási teljesít- mény és a napállandó mérésére szolgáló elsõdleges standard mûszer világûrbe jutta- tása. Ez lehetõséget adna mûszerek Föld körüli pályán történõ kalibrációjára, amivel a sugárzást elnyelo´´ üregek tovább lehetne növelni a földfelszíni sugár- zásmérések pontosságát. 3. ábra. A CSAR (Cryogenic Solar Absolute Radiometer) felépítése (a National Physi- cal Laboratory and © Queen’s Printer and Controller of HMSO, 2019 engedélyével). A hûtés cseppfolyós héliummal történik, a referenciablokk szenzorszinten 20 K hõ- mérsékletû. A belsõ hõmérsékletek detektálására RhFe CSAR – kriogén technológiával épített abszolút szenzorokat alkalmaznak, a vezetékeken történõ hõ- pirheliométer, a jövõ alapmûszere disszipáció elkerülésére pedig NiTi és MgBr2 szuprave- zetõket. Mivel az alkalmazott kriogén hûtõegységet ûr- Ismert tény, hogy a fotoelektromos effektuson alapuló ben mûködõ eszközökre fejlesztették ki, ahol kisebb mérés bizonytalansága számottevõen csökken a hõ- hûtõteljesítmény is elegendõ, a CSAR-ba egy további mérséklet csökkenésével, így az abszolút pirheliometria hûtõegységet is beépítettek. A tesztmérések szerint a pontossága a jelenleg alkalmazott technikához képest berendezés igen jól közelíti az abszolút fekete testet: tovább növelhetõ zérus K hõmérséklet közelében mû- abszorpcióképessége a vizsgált három különbözõ kon- ködõ berendezéssel. Ezért az 1990-es évek elejétõl a figurációra (kétféle üregnyílás-átmérõ és kétféle fekete 2000-es évek elejéig három intézmény, a WRC, a brit festék) a legrosszabb esetben is nagyobb mint 99,98%. National Physical Laboratory (NPL) és a svájci Szövetsé- Egy alacsony hõmérsékleten és vákuumban mûködõ gi Mérésügyi Hivatal együttmûködésében megterveztek, abszolút sugárzásmérõ speciális belépõablak alkalma- kifejlesztettek és legyártottak egy alacsonyhõmérséklet- zását követeli meg, aminek hullámhosszfüggõ a reflek- fizikai (kriogén) technológiával mûködõ abszolút pirhe- tivitása és az abszorpcióképessége. A reflexiós és ab- liométert, ami hosszú távú stabilitása esetén átveheti a szorpciós veszteség egy kis csökkenést okoz az üreg WSG helyét. A mûszer a Cryogenic Solar Absolute Ra- hõmérsékletében. Ezért mérni kell a spektrálisan integ- diometer, röviden CSAR elnevezést kapta (3. ábra). A rált ablakáteresztést, hogy korrigálni lehessen a CSAR CSAR részt vett a 2010-es IPC-n, majd késõbb folytonos teljesítménymérését ezekre a veszteségekre. Erre szol- méréseket kezdtek vele végezni, és a következõ, 2015- gál a MITRA (Monitor to measure the spectrally Integ- ös IPC-n is részt vett. A terv az volt, hogy ha két IPC-n is rated TRAnsmittance of windows) elnevezésû berende- a követelményeknek megfelelõ stabilitást mutat, akkor zés. Mivel a szoláris spektrális besugárzás és így az át- figyelembe veszik a WSG jövõbeli utódjaként. Az ered- eresztõképesség változik a relatív optikai légtömeg és a mények eddig biztatóak, mérési bizonytalansága nem légkör állapotának függvényében, a MITRA a CSAR-ral szimultán méri az ablakáteresztést (4. ábra). Ez úgy 4. ábra. A CSAR, a MITRA és a WSG a WRC fõ mérõplatformján. történik, hogy a CSAR-ban lévõvel tökéletesen meg- egyezõ speciális belépõablakot használnak, és a MITRA WSG üregét periodikusan eltakarják az ablakkal. A takart és nem takart állapotban mért üreghõmérsékletek össze- hasonlításával definiálják a spektrálisan integrált ablak- áteresztést (a CSAR részletes ismertetését lásd [3]). Még néhány apró fejlesztés végrehajtása (például a MITRA hûtésvezérlés gyorsítása) szükséges, és ha a tesztmé- rések kielégítõ eredményt adnak, javasolják a WMO és a CIMO (Commission for Instruments and Methods of Observation) számára, hogy a CSAR a WSG-t kivál- tó alapmûszer legyen.

Irodalom: CSAR 1. Tóth Z., Fizikai Szemle 67/7–8 (2017) 232–239. 2. Reda, I., National Renewable Energy Laboratory, NREL/TP-463- 20619 (1996) (NREL kiadvány) 3. Walter, B., Finsterle, W., Mingard, N., Soder, R., Physikalisch- Metorologisches Observatorium Davos/World Radiation Center Annual Report 11 (2015)

TÓTH ZOLTÁN: A NEMZETKÖZI NAPSUGÁRZÁSI REFERENCIASKÁLA ÉS AZ ÚJ KRIOGÉN ABSZOLÚT PIRHELIOMÉTER 231 Trócsányi Zoltán HOL TART A RÉSZECSKEFIZIKA? ELTE, Elméleti Fizikai Tanszék

A részecskefizikai standard modell [1] (amelynek az anyagi részecskék megfogalmazásáért Sheldon Glashow, Abdus Salam három családja (fermionok) és Steven Weinberg 1979-ben kaptak Fizikai Nobel- I II III díjat) rendkívül sikeresen írja le az elemi részecskék tömeg 2,3 MeV/c ² 1,27 GeV/c ² 173 GeV/c ² 0 125 GeV/c ² bomlási folyamatait és ütközéseit. A modellben há- töltés ²/³ ²/³ ²/³ 0 g 0 rom fermioncsalád található (1. ábra), mindegyik két spin ½ u ½ ct½ 1 0 H elektromos töltéssel bíró kvarkból, egy semleges és Higgs- név u-kvark c-kvark t-kvark foton bozon egy töltött leptonból áll. A semleges leptonok a neut- rínók, amelyeket az íz kvantumszám alapján külön- 4,8 MeV/c ² 95 MeV/c ² 4,2 MeV/c ² 0 böztetünk meg. Az íz mindössze arra utal, hogy me- -¹/³ -¹/³ -¹/³ 0 g lyik fajta elektromosan töltött leptonnal együtt kelet- ½ ½ ½ 1 ± d s b kezik töltött W részecske – a foton tömeges és elekt- d-kvark s-kvark b-kvark gluon romosan töltött rokona – bomlásakor. Az egyes csalá- kvarkok dok között az íz kvantumszámon kívül csak a részecs- <2,2 eV/c ² <0,17 MeV/c ² <15,5 MeV/c ² 91,2 GeV/c ² kék tömege jelent különbséget. A fermionok között 0 0 0 0 0 (kölcsönhatások) bozonok ható három erõt (erõs, elektromágneses és gyenge ½ ne ½ nm ½ nt 1 elektron- müon- tau- Z kölcsönhatást) bozonok közvetítik, amelyek értelme- Z-bozon zése szimmetriaelvbõl egyszerûen következik: csupán neutrínó neutrínó neutrínó annyit kell megkövetelni, hogy a modellnek a 2. áb- 0,511 MeV/c ² 105,7 MeV/c ² 1,777 GeV/c ² 80,4 GeV/c ² rán mutatott Lagrange-függvénye ne változzék, ha a -1 -1 -1 ±1 ± fermionmezõkön helyfüggõ mértéktranszformációval W ½ ½ ½ 1 hatunk. e mt elektronmüon tau W-bozon

A standard modell 2012-ben akkor vált teljessé, leptonok amikor felfedezték a máig egyetlen ismert skalárbo- 1. ábra. Az elemi részecskék három családja, illetve a kölcsönhatá- zont, a Higgs (H) részecskét [2], amiért Francois Eng- sokat közvetítõ bozonok. lertnek és Peter Higgsnek ítélték a 2013. évi Fizikai Nobel-díjat. A Higgs-részecske felfedezéséhez szüksé- talansága sokkal nagyobb, és el is tér a közvetlen mé- σ ges detektorok megépítése nem lett volna lehetséges rés, illetve a globális illesztésétõl. A tot normálás a az elméleti várakozások alapos ismerete nélkül. közvetett és a közvetlen meghatározás egyesített bi- A standard modellnek 19 szabad paramétere van. A zonytalansága. Látjuk, hogy két mennyiség kivételé- 3. ábra mutatja a 21, kísérletileg jól mérhetõ mennyi- vel az összes paraméterre vonatkozó különbözõ mé- ségre vonatkozó, a Nagy Elektron-Pozitron Ütköztetõ rési eredmények 2σ bizonytalanságon (95% bizonyos- (LEP) kísérletei által gyûjtött adatok elemzésébõl ka- ságon) belül egyeznek. pott közvetlen mérési eredményeket összehasonlítva a szabad paraméterek illesztésének felhasználásával 2. ábra. A standard modell Lagrange-függvénye. kapott elméleti becslésekkel [3]. A szabad paraméte- rek illesztésére kétféle eljárást is elvégeztek: egyrészt úgy, hogy felhasználták az összes feltüntetett mérhetõ mennyiséget (globális illesztés), másrészt úgy, hogy a megjósolt mennyiséget nem használták fel az illesz- téshez (közvetett meghatározás). Például a Higgs- részecske tömegére kapott utóbbi eredmény bizony-

Köszönöm Horváth Dezsõnek a kézirat nyers változatához fûzött hasznos megjegyzéseit.

Trócsányi Zoltán fizikus, az MTA rendes tag- ja, az ELTE Elméleti Fizika Tanszék egyetemi tanára, az erõs kölcsönhatás elméletének nemzetközileg elismert kutatója. Demény Andrással társszerzõje a Fizika I. egyetemi tankönyv Mechanika részének, Horváth De- zsõvel pedig a Bevezetés az elemi részek fizi- kájába címû, 2019-ben angolul is megjelent tankönyvnek. Emellett ismeretterjesztõ elõ- adások és mûvek rendszeres szerzõje. Tudo- mányos közleményeire százezernél több független hivatkozást kapott.

232 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 globális illesztés 1012 elmélet közvetett LEP meghatározás mérés közvetlen LEP mérés 11 10 pp x Pythia8 (LO) MH

MW G W 5 10 pp W NNLO M Z g pp Z/ * NNLO G Z 104 0 shad 0 Rlep 103 A0,l FB NNLO+NNLL 2 - Al (LEP) 10 pp tt pp tq NLO+NNLL A (SLD) l LHC-XS (N3 LO ggF) 2 lept 1 pp H sinQeff (QFB) 10

2 lept keletkezés teljes hatáskeresztmetszete (pb) pp WW NNLO sinQeff (Tevt.) ×0,1 0 pp WZ NNLO A 10 ×0,1 c pp ZZ NNLO ×0,1 Ab A0,c 468101214 FB %&S 0,b (TeV) AFB 4. ábra. Az LHC-n lezajló alapvetõ folyamatok hatáskeresztmetszete R0 c az ütközési energia függvényében. 0 Rb ben a mért hatáskeresztmetszet nagyobb, mint a szá- mt (5) 2 molt. Azonban e folyamatok valószínûsége rendkívül Dahad(M Z ) 2 kicsi, ezért az eltérések könnyen lehetnek egyszerûen asZ(M ) véletlen fluktuációval magyarázható többletek. Az LHC kísérletei a standard modell ellenõrzésén –3 –2 –1 0 1 2 3 kívül új részecskék keresésére is – sõt elsõsorban arra (Oindirekt –O)/s tot – összpontosítanak. Az irodalomban rendkívül sok 3. ábra. A LEP eredményei a standard modell ellenõrzésérõl. A ötlet merült már fel, amelyek az LHC-n elõállítható új H-bozon esetében a közvetlen mérés az LHC-n történt. részecskék létezését jósolják. Az ilyen feltételezett Hasonlóan szilárdnak találjuk a standard modell részecskék keresésének legfontosabb tanulsága, hogy helyzetét, ha a 4. ábrára tekintünk: nyolc olyan folya- a CMS-kísérlet (de ugyanez érvényes a többi LHC- mat hatáskeresztmetszetére vonatkozó mérési ered- kísérletre is) nem talált új részecskét, csupán kizárási ményt látunk az ütközési energia függvényében, ame- tömeghatárokat tud mondani: a rengeteg feltételezett lyekre pontos elméleti becslés ismert [4]. A Nagy Had- új részecskét 1 TeV/c 2 tömeg, tehát mintegy ezersze- ronütköztetõ (LHC) proton-proton ütközései esetén a res protontömeg alatt teljesen kizárták. Hasonló kö- legnagyobb elméleti bizonytalanságot a kvantum-szín- vetkeztetést vonhatunk le a nehéz, gyengén kölcsön- dinamika (QCD) sugárzási korrekcióinak hiányos isme- ható (ezért sokáig megmaradó) részecskék közvetlen rete jelenti. A jelzett nyolc folyamat mindegyike esetén kimutatására vonatkozó keresések eredményeibõl. a perturbációszámítás elsõ három tagját pontosan tud- A nagyenergiájú részecskeütközési kísérletek ered- juk. Ezt jelzi az „NNLO” címke. Ezen kívül logaritmus- ményeit összegezve azt mondhatjuk, hogy amíg a járulékok lehetnek olyan nagyok, hogy végtelen rendû standard modell nagy pontossággal leírja a méréseket, felösszegzésük nélkül nem lehet pontos becslést tenni. addig egyelõre nincs új fizikára utaló jel az LHC látha- Az „NNLL” címke a három legnagyobb logaritmus fel- tárán.1 Ugyanakkor van jónéhány felfedezés, amelyek összegzését jelenti a perturbációszámítás összes rendjé- nem magyarázhatók a részecskefizikai standard mo- ben. A mutatott hatáskeresztmetszetekre vonatkozó dellel, ezért mindenképpen a modell kiterjesztését elméleti számítások a legpontosabbak az LHC folyama- követelik. A következõkben ezeket vesszük sorra. tai közül, bizonytalanságukat a sávok vastagsága jelzi Az egyik legfontosabb ilyen megfigyelés, hogy a (vékonyabb sáv nagyobb pontosságot jelent). A mérési Világegyetemben mérhetõ energiasûrûség sokkal na- eredmények is nagyon pontosak, és kivétel nélkül az gyobb, mint a barionos anyag energiasûrûsége, ami elméleti becslések sávjaira esnek. azt jelzi, hogy az ismert anyagon kívül léteznie kell Az 5. ábrán az LHC CMS detektorával változatos általunk egyelõre nem ismert, sötét anyagnak hívott, végállapotok esetén mért hatáskeresztmetszetek ösz- tömegvonzást kifejtõ, de más erõt alig érzõ anyagfaj- szehasonlítását látjuk a standard modell becsléseivel tának is. Erre vonatkozó, mennyiségileg legpontosabb [5]. Összesen 36 csatornából mindössze három esetén nagyobb az eltérés egyszeres σ bizonytalanságnál. 1 Felfedezésnek nem minõsülõ, de izgalomra okot adó jeleket Ezek a végállapotok az egyetlen t-kvark keletkezése, találtak az LHCb-kísérletben, amelyek azt sugallják, hogy sérül a a W+H, valamint a H+H keletkezés. Mindhárom eset- leptonuniverzalitás elve.

TRÓCSÁNYI ZOLTÁN: HOL TART A RÉSZECSKEFIZIKA? 233 7 TeV CMS mérés (L# 5,0 fb–1 ) # –1 105 8 TeV CMS mérés (L 19,6 fb ) 13 TeV CMS mérés (L# 137 fb–1 ) $ n jet(s) elméleti jóslat 104 CMS 95% konfidenciaszint-határ 7, 8 és 13 TeV energián $ n jet(s)

103

(pb)

s

102 = n jet(s)

101

100

10–1

10–2

keletkezés teljes hatáskeresztmetszete,

10–3

–4 10 gg® WZWg ZWWWZZZg EW EW EW EW EW EW EW WWWWVg Zgg Wgg tt ttWt ttg tZq ttZ tg ttW tttt ggH VBF VH WH ZH ttH tH HH qqW qqZ WW qqWgssWWqqZgqqWZqqZZ t-ch s-ch qqH gg gg ® n ® m Ds Ds EW,Z ,W : fiducial with W l ,Z ll, l=e , Th. H in exp. 5. ábra. A CMS detektorral észlelt folyamatok mért (négyzetek a mérés bizonytalanságát mutató hibavonalakkal, illetve felsõ határt jelzõ vonalak) és számolt (szürke sávok, amelyek vastagsága az elméleti becslés bizonytalansága) hatáskeresztmetszetei. mérési eredményeket a Planck-mûhold mikrohullámú vízszintes tengely mutatja. Az alsó tengelyen a látó- antennájával gyûjtött adatok szolgálják [6]. Az észlelt szöggel egyértelmû megfeleltetésbe hozható multipó- kozmikus mikrohullámú háttérsugárzás (KMHS) tér- lus-momentum van, amely a gömbi harmonikusok képét mutatja a 6. ábra. A világos és sötét területeket szerinti sorfejtés rendjére utal. A folytonos görbe a jellemzõ színkód a (2,7260±0,0013) K-es háttérsugár- ΛCDM kozmológiai standard modellbõl számolt, hat zás átlagos hõmérsékletétõl mért eltérést jelzi 300 μK- paraméterrel illesztett görbe, amely tökéletesen leírja es skálán. A fehér vonalakkal határolt területek az ég- a mért hatványspektrumot, ezért a modell valóságtar- boltnak a Tejút, illetve közeli más csillagrendszerek talmában erõsen bízik a kutatói közösség. A modell által takart részeit jelentik, ahol a KMHS megtalálása nevében a CDM a hideg (tehát lomha mozgású) sötét különleges eljárást igényel. anyagra, a Λ pedig a sötét energiára utal. A KMHS ezen képét mennyiségileg úgy tudjuk Az illesztett modell segítségével további paraméte- megragadni, ha elkészítjük a foltok (látószögben rekre lehet következtetni. Ilyen például az anyag, il- megadott) méretének eloszlását, amely a 7. ábrán letve az általunk jól ismert barionos anyag sûrûsége az Ω mutatott hatványspektrum [7]. A látószöget a felsõ úgynevezett kritikus sûrûség egységében mérve: m = ± Ω ± 0,306 0,007 és b = 0,0484 0,0005. 6. ábra. KMHS térképe az égbolton a Planck-mûholddal gyûjtött adatok szerint. (A sötét anyag létezésére utaló kísér- leti tapasztalatokról a [8] cikkben írtam részletesebben.) A két adat különbsége határozottan nagyobb nullánál, ami jelzi, hogy általunk nem ismert anyagfajtának is van jelentõs hozzájárulása a Világegye- tem energiasûrûségéhez. Arra ugyan nincs bizonyíték, hogy az ismeretlen anyag részecskékbõl áll, de asztrofi- zikai magyarázat hiányában kézen- fekvõ feltevésnek látszik, ezért a részecskefizikusok nagy erõfeszíté- seket tesznek felfedezése érdekében – többek között az LHC kísérletei is, –300 300m K ahogy erre már utaltunk.

234 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 látószög azonos mennyiségben volt jelen. 90° 18° 1° 0,2° 0,1° 0,07° Létezésünk arra bizonyíték, hogy ez 6000 a szimmetria megsérült, mert jelen- LCDM hat paraméterrel illesztett jóslata leg csak anyagot találunk a Világ- 5000 egyetemben, antianyagot csak labo- ratóriumban, kis mennyiségben tu- 4000 dunk elõállítani. A anyag-antianyag 2 szimmetriát a standard modell sze-

m

() 3000 R rint a modellben meglévõ CP-aszim- DK metria [10] (tehát hogy az egyenle- 2000 tek megváltoznak egyidejû töltés- és tértükrözéskor) sérti, de nem ele- 1000 gendõ mértékben ahhoz, amit a koz- mológiai megfigyelések mutatnak 0 (mintegy 2 1010 antiprotonra egy- 2 10 50 500 1000 1500 2000 2500 multipólus-momentum, R gyel több proton jutott). Jelenleg nincs olyan mûködõ részecskefizikai 7. ábra. A KMHS Planck által mért hatványspektruma (pontok), valamint az adatokhoz modell, amellyel az anyag és anti- illesztett hatparaméteres kozmológiai standard modell (folytonos vonal). anyag aszimmetriáját értelmezni Másik biztos felfedezés, amelyet a standard modell tudnánk. Azonban a neutrínók ízrezgése lehet forrása nem tud értelmezni, a neutrínók ízrezgése, amelynek lepton-antilepton aszimmetriának, és létezik olyan megfigyeléséért Takaaki Kajita és Arthur B. McDo- modell, amellyel az anyag-antianyag aszimmetriát nald 2015-ben Fizikai Nobel-díjat kaptak. Az ízrezgés ennek alapján értelmezni lehet. Ezt a jelenséget neve- azt jelenti, hogy amennyiben a neutrínóknak van tö- zik lepto-bariogenezisnek. mege, és a tömeg-, illetve íz-sajátállapotok különböz- A negyedik biztosnak tûnõ megfigyelés a Világ- nek, akkor jellegzetes interferenciajelenség lép fel a egyetem gyorsuló tágulása, ami a sötét energia létezé- neutrínók fajtái között. Az ízrezgésrõl és felfedezésé- sére utal. A jelenséget elsõsorban a távoli (Ia fajta) rõl a [9] cikkben írtam részletesen. szupernóvák gyorsuló távolodásának felfedezéséhez A harmadik biztos eltérés saját létezésünk. Az Õs- kötjük (8. ábra), amiért Saul Perlmutter, Brian P. robbanást közvetlenül követõ idõszakról alkotott el- Schmidt és Adam Riess kapták a 2011. évi Fizikai No- képzelésünk szerint kezdetben az anyag és antianyag bel-díjat, azonban alátámasztják a KMHS adatai is, illetve az úgynevezett barionok μ 8. ábra. Az Ia fajta szupernóvák fényessége alapján meghatározott távolsága (d =10( /5+1) pc) akusztikus rezgései (lásd [8] hivatko- λ ′ λ a z = / − 1 vöröseltolódásuk függvényében. A színkódok és a hozzájuk tartozó feliratok a zást). különbözõ kísérletek méréseit jelölik a kísérletek rövidített neveivel. A folytonos vonal ε a gyorsulva táguló Világegyetem illesztett jóslata. Az alsó panel a mért távolságok, és az A sötét energia olyan energiasû- illesztett modell eltérését mutatja. rûség létezését jelenti, amelyhez negatív p nyomás tartozik. Az ener- 46 HST giasûrûség és a nyomás fizikai egy- ségei azonosak (J/m3 = N/m2), így 44 nem meglepõ, hogy a két mennyi- ség minden anyagfajta esetén ará- ε 42 SNLS nyos egymással p = w . Gázok ideá- lisgáz-modelljében például köztu- 40 dottan w = 2/3. Ugyanez a szám relativisztikus gázra (tehát fotonok- ra) w = 1/3. Az energiasûrûség nul- 38 SDSS lánál csak nagyobb lehet, és az ará-

Mm nyossági együttható is az normális

= –36 (távolság fényességbõl) anyag esetén. A sötét energiát w = μ −1 jellemzi (ezért negatív a nyomás), 34 Low-z és a Planck-mûhold mérései szerint w = −1,028±0,032. Lényegesen kevésbé biztos kísér- 0,4 leti alapon nyugszik, de meglehetõs 0,2

CDM elfogadottságnak örvend a korai Λ 0,0 Világegyetem felfúvódó modellje. A – –0,2

μμ felfúvódás ötletét 1979-ben Alan –0,4 Guth javasolta azzal a céllal, hogy 10–2 10–1 100 értelmezni lehessen néhány megfi- z gyelést, mégpedig különösen

TRÓCSÁNYI ZOLTÁN: HOL TART A RÉSZECSKEFIZIKA? 235 • a horizontproblémát: mi okozza a Világegyetem 0,10 homogenitását olyan tartományokban is, amelyek nem lehetnek oksági összefüggésben? s • a sík Világegyetem problémáját: miért pontosan 0,08 3 bizonytalanság sávja Mt = 173,1" 0,6 GeV (szürke) kritikus a Világegyetem teljes energiasûrûsége? a HMZ L = 0,1184" 0,0007 (piros) • a mágnesesmonopólus-problémát: miért nem 3 0,06 Mh = 125,7" 0,3 GeV (kék) látunk mágneses monopólusokat? Noha a felfúvódó Világegyetem modelljére nincs kí- sérleti bizonyíték, sokan komolyan veszik, és próbál- 0,04 nak részecskefizikai magyarázatot keresni a felfúvódás mechanizmusára. A jelenlegi legnépszerûbb magyará- zatot a skalármezõ potenciális energiájával jellemzett 0,02 erõterében lassan legördülõ skalármezõ különféle vál- Mt = 171,3 GeV tozatai jelentik, amelyek ellenõrizhetõ jóslatokat tesz- 0,00 aM nek, például a megfigyelt kozmológiai perturbációknak sZH L = 0,1205

csatolás a BEH potenciális energiában termikus egyensúlyban kell lenniük. A kozmológiai l aM perturbációk az Õsrobbanáskor jelen lévõ sûrûséginga- –0,02 sZH L = 0,1163 dozásokat eredményezik, így közvetlen forrásai a Mt = 174,9 GeV KMHS 6. ábrán látott hõmérséklet-ingadozásának. Végezetül a standard modell paramétereit elegen- –0,04 dõen jól ismerjük ahhoz, hogy pontosan meg tudjuk 102 104 106 108 1010 1012 1014 1016 1018 1020 mondani, hogyan függenek a modell paraméterei a ré- folyamatok energiaskálája (GeV) szecskefolyamatok jellemzõ energiájától. Különösen ér- 9. ábra A BEH potenciális energia λ csatolásának függése a részecs- σ dekes ez a ϕ Brout–Englert–Higgs (BEH) mezõ V(ϕ)= kefolyamatokat jellemzõ energiától. A 3 bizonytalanság azt jelenti, hogy az elméleti érték 99% bizonyossággal abba a sávba esik. −μ 2 ϕ 2 +λϕ4 potenciális energiájában negyedik hatvá- nyon szereplõ tag λ együtthatója esetén. Ugyanis, ha potbeli spontán sérülése elegendõ – a neutrínók kivé- λ < 0, akkor V-nek nincs véges minimuma, tehát a vá- telével – az összes fermion tömegének értelmezésé- kuum nem lehet stabil. Márpedig a standard modellben hez. Mindez azt sugallja, hogy célszerû a standard λ csökkenõ függvény, és nagyjából 1010 GeV energián modell hasonlóan gazdaságos kiterjesztését keresni, kisebb lesz nullánál, amint a 9. ábra mutatja [11]. Így amely egyszerre megtartja annak pontosságát, és ma- kellõen nagy energiafluktuáció esetén a Világegyetem a gyarázattal szolgál a tárgyalt megfigyelt jelenségekre. jelenlegi (BEH-vákuum) állapotából az instabil állapot- A helyzet hasonlóan izgalmas, mint 120 éve, a kvantu- ba jut. A jelenkori Világegyetemben ekkora energia- mos világ felfedezésének elõestéjén volt, amikor „már fluktuáció valószínûsége olyan kicsi, hogy a Világegye- mindent tudtak a fizikáról”, éppen csak a hõmérsék- tem várható életkora sokszorosan meghaladja mostani leti sugárzás spektrumát kellett megérteni. korát, így gondolhatnánk, hogy a λ csatolás nulla alá bukása 1010 GeV energián csupán elvi gond. Azonban Irodalom az Õsrobbanás után közvetlenül ekkora energiafluktuá- 1. Horváth Dezsõ: A részecskefizika anyagelmélete: a standard ciók minden bizonnyal általánosak voltak, így nehéz modell. Fizikai Szemle 58/7–8 (2008) 246. 2. Magyar kutatók részvételével a CMS kísérletben: CMS Collabora- elképzelni, hogyan kerülhetett a vákuum a jelenlegi tion, Observation of a new boson at a mass of 125 GeV with the BEH-állapotba. (A témáról részletesebben lásd [12].) CMS experiment at the LHC. Phys. Lett. B716 (2012) 30–61. Összefoglalva azt mondhatjuk, hogy van néhány 3. J. Haller et al.: Update of the global electroweak fit and const- olyan megfigyelés, amely kétséget kizáróan új fizikára raints on two-Higgs-doublet models. Eur. Phys. J. C78 (2018) 2 no. 8, 675, arXiv:1803.01853 utal, és a standard modell kiterjesztését követeli. A 4. https://twiki.cern.ch/twiki/bin/view/AtlasPublic/StandardModel kiterjesztést azonban eddigi ismereteink erõsen meg- PublicResults szorítják. A standard modell amellett, hogy rendkívül 5. https://twiki.cern.ch/twiki/bin/view/CMSPublic/PhysicsResults Combined sikeresen magyarázza a részecskefizikai mérések 6. https://www.cosmos.esa.int/web/planck/picture-gallery eredményeit, azt rendkívül gazdaságosan is teszi. Az 7. http://sci.esa.int/science-e-media/img/63/Planck_power_ alapelvet – a Lagrange-függvény legyen lokálisan spectrum_orig.jpg mértékinvariáns, amelyet csupán a vákuum sérthet 8. Trócsányi Zoltán: A láthatatlan Világegyetem. Természet Világa 2013/I. különszám Mikrovilág-2012, 20. spontán módon – csak a viszonylag nagy számú fer- 9. Trócsányi Zoltán: Hogyan tegyük láthatóvá a láthatatlant? Ma- mion-BEH-mezõ kölcsönhatások látszólag önkényes gyar Tudomány 2016/4 478. paraméterei nem tisztelik. Azonban még ez esetben is 10. Trócsányi Zoltán: Az eltûnt szimmetria nyomában. Fizikai Szemle egyetlen BEH-mezõ mértékszimmetriájának alapálla- 58/12 (2008) 417. 10. G. Degrassi et al.: Higgs mass and vacuum stability in the Stan- dard Model at NNLO. JHEP 1208 (2012) 098. 11. Horváth Dezsõ: Higgs-bozon és a világ vége vagy kezdete. Fizi- 2 Sokan hisznek abban, hogy a müon anomális mágneses momen- kai Szemle 65/4 (2015) 115. tumára talált eltérés a mért érték és a standard modell jóslata között 12. Horváth Dezsõ, Trócsányi Zoltán: Müon: mi az és mire jó? Fizi- szintén új fizika létezésére utal [12]. Bár több kísérlet megerõsíti a kai Szemle 68/5 (2018) 147. különbséget, az mégsem minõsül felfedezésnek a részecskefiziká- 13. Horváth Dezsõ: Új felfedezések a CERN Nagy Hadronütköztetõ- ban elfogadott szabályok szerint [13]. jénél: furcsa részecskék. Fizikai Szemle 68/7–8 (2018) 219.

236 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 FENNTARTHATÓ ENERGIA, MELLÉBESZÉLÉS NÉLKÜL – Az európai Energia Unió terve Garbai László – BME, Gépészmérnöki Kar Hódos Rita – E.ON Energiatermelo˝ Kft. Kovács Zoltán – Debrecen Megyei Jogú Város Városfejlesztési Fo˝osztálya

Elõzmények Illúzió ez, vagy valóságos lehetõség? Azt is tudnunk kell, hogy Európa a világban felhasznált összes ener- A megújuló energia felhasználásának fokozását az Euró- giának 11%-át fogyasztja, amelybõl Magyarország pai Unióban az uniós jogalkotásba illeszkedõ jogszabá- 0,2%-kal részesedik. lyok, egyezmények, irányelvek, tehát jogszabályi kör- A magyar társadalom és mérnökök túlnyomó több- nyezet írja elõ. Az egyes tagországok a nemzeti energia- sége féltõ gonddal tekint a jövõre, egyetért a megúju- politikákban ezt tükrözõ vállalásokat rögzítettek. A ló energiák növelésének szükségességével, ugyanak- megújuló energia eddigieknél szélesebb körû alkalma- kor a tényekbõl és lehetõségekbõl kiindulva mérték- zására mind a közpolitika, mind a szakmai politikák tartó módon, arányos energiahordozó-struktúrát kí- részérõl õszinte, valós igény mutatkozik. Ugyanakkor ván kialakítani az energetikában. A valóságtól való bizonyos szakmai körök részérõl erõs ellenállás is érzé- elrugaszkodás több kárt okozhat, mint hasznot. Csak kelhetõ. Vannak „klímaszkeptikusok” is, akik tagadják a a józan mérlegelés, a türelem, a mérnöki gondolko- klímaváltozást, és a szén-dioxid megnövekedett részará- dásra épülõ tervezés és további kutatások eredmé- nyának klímaalakító szerepét. nyezhetik a fokozatos, bizonyára csak részleges de- A „zöldszervezetek”, sõt a brüsszeli energiapoliti- karbonizációt 2050-re. kusok többségében határozott vélemény alakult ki A megújuló energiaforrások nagyléptékû alkalma- arról, hogy 2050-re Európában a feltételezett klíma- zásának problémáival, így például a német Energie- változás megállítására, illetve megfordítására az ener- wende1 nyomán elõállott helyzettel, továbbá a globá- getikában teljes dekarbonizációt kell végrehajtani. lis energiaellátási problémákkal igen színvonalasan foglalkozott Magyarországon Gács Iván, Gerse Ká- roly, Molnár László és Újhelyi Géza. Megállapításaik és javaslataik igen figyelemreméltóak.

Garbai László a Budapesti Mûszaki és Gaz- daságtudományi Egyetem tanára, jelenleg A megújuló energiák alkalmazásának professzor emeritus, a Magyar Energetikai Társaság tiszteletbeli elnöke. 12 magyar és lehetõségei, eddigi kutatási eredmények angol nyelvû szakkönyv szerzõje, valamint 250 tudományos publikációja jelent meg A megújuló energiák alkalmazásának valóságos lehe- hazai és külföldi tudományos folyóiratok- tõségeit legreálisabban, tudósi hozzáértéssel és tisztes- ban. Szakterülete: energetika, hõtan és áramlástan. séggel David J. C. Mackay cambridge-i professzor ele- mezte, illetve foglalta össze a Fenntartható energia Hódos Rita 2014-ben végzett az ELTE föld- mellébeszélés nélkül címû könyvében. Bár könyve több tudományi alapszakán, meteorológia spe- mint 10 éve jelent meg, megállapításainak érvényessé- cializáción, majd 2016-ban energetikai mérnök mesterfokozatot szerzett a BME ge ma legalább annyira fennáll, mint akkor. A továb- gépészmérnöki karán. Szakmai tevékeny- biakban az általa közölt számokat és megállapításokat ségét a napelemes üzletágban kezdte meg, foglaljuk össze. A számok cáfolhatatlanok, kijózanítók jelenleg az E.ON Energiatermelõ Kft. pro- jektfejlesztési osztályának csapatát erõsíti, ahol hazai napelemes beruházásokkal fog- 1 Energiewende (energiaátalakítás) – amelyet a szakirodalomban lalkozik. Érdeklõdési köre elsõsorban a rendszeresen fordítás nélkül használnak – Németország által terve- megújuló energiaforrásokra és a természet- zett átmenet az alacsony szén-dioxid-kibocsátású, környezetbarát, tudományokra irányul. megbízható és megfizethetõ energiaellátásra. Az új rendszer nagy mértékben támaszkodik a megújuló energiára (különösen a szél, a Kovács Zoltán, a Debrecen Megyei Jogú fotovoltaikus és a vízenergia), az energiahatékonyságra és az ener- Város Városfejlesztési Fõosztályának fõosz- giaigény-kezelésre. Az Energiewende szerint az összes meglévõ tályvezetõ-helyettese 2010-ben végzett a széntüzelésû generációt nyugdíjazni kell. A német nukleáris reak- Debreceni Egyetem Mûszaki Karának gé- torflotta fokozatos megszüntetése – amelyet 2022-ig kell befejezni – pészmérnöki alapszakán. 2012-ben a BME is a program kulcsfontosságú része. Az Energiewende jelentõs Gépészmérnöki Karán épületgépész, majd változást jelöl az energiapolitikában is, ami magában foglalja a 2015-ben energetikai mérnök mesterfoko- politika átalakítását a kereslet és a kínálat között, valamint a köz- zatatot szerzett. Jelenleg a Pattantyús-Ábra- pontosított és az elosztott termelésre való áttérést (például hõ- és hám Géza Doktori Iskola PhD képzésen energiatermelést kis kogenerációs egységekben), amelynek helyet- vesz részt. Érdeklõdési köre elsõsorban a tesítenie kell a túltermelést és az elkerülhetõ energiafogyasztást megújuló energiaforrásokra és az energia- energiatakarékos intézkedésekkel és fokozott hatékonysággal. (A hatékony épületekre irányul. szerkesztõ megjegyzése a Wikipédia nyomán.)

GARBAI LÁSZLÓ, HÓDOS RITA, KOVÁCS ZOLTÁN: FENNTARTHATÓ ENERGIA, MELLÉBESZÉLÉS NÉLKÜL 237 és talán elszomorítók, más utak keresésére és további A hévíz és a kõzethõ kinyerésére szóba jövõ meg- kutatásokra serkentenek. Ez természetesen nem jelenti oldásokat Nagy-Britanniában a szerzõ nem tartja rele- a megújuló energiák növelési szándékának elutasítását. vánsnak és gazdaságosnak. A fenti számok bíztatóak A szerzõ kutatásai és megállapításai szerint az is lehetnének, azonban a megújuló energiaforrások üvegházhatású gázok kibocsátásában az Egyesült Ál- ilyen mértékû kihasználása hihetetlen nagyságú ten- lamok a világátlag négyszeresével, Európa a világátlag geri, illetve szárazföldi területek felhasználását ered- kétszeresével részesedik. 2000-ben a világ teljes üveg- ményezné. Az elméleti számítások szerint a sekély házhatásúgáz-kibocsátása 34 milliárd tonna, az 1 fõre tengereken létesítendõ szélerõmûpark(ok) területigé- jutó kibocsátás pedig 5,5 tonna szén-dioxid kibocsátá- nye 16 kWh/nap/fõ teljesítménnyel – például – Wales sával volt egyenértékû, és a helyzet azóta sem javult területének 2/3-ával lenne azonos. Mackay számításai érdemben. A klímatudósok szerint 2050-ig a világmé- szerint az erõmûveket közel 3000 km hosszban és 4 retû kibocsátás 70-85%-os csökkentését kellene vég- km széles sávban lenne szükséges telepíteni. A 16 rehajtani. A szerzõ szomorúan állapítja meg, hogy kWh/nap/fõ átlagos teljesítményt 44 000 darab, 3 MW amennyiben 2050-re a világ üvegházhatásúgáz-kibo- teljesítményû szélturbina szolgáltatná, és kilométeren- csátását a tervezett 70-85% helyett, fokozatosan „csak” ként 15 darabot kellene elhelyezni. 60%-kal csökkentenénk, az éghajlatkutatók számításai A mélytengeri szélturbinák telepítéséhez a parttól szerint nagy a valószínûsége annak, hogy a „globális 50 km-nél távolabb fekvõ tengerrészek igénybe véte- átlaghõmérséklet” 2 foknál többel emelkedik, ami lével, Wales területénél 30%-kal nagyobb tengerfelü- tragikus eredményeket hozhatna egyes országok me- let beborítására lenne szükség, ezzel 32 kWh/nap/fõ zõgazdaságában és társadalmaiban. A szerzõ könyvé- energiatermelés lenne megvalósítható. ben sorra vette a megújuló energia növelésének elmé- Ha Nagy-Britannia területének 10%-át szélerõmû- leti és valóságos lehetõségeit, továbbá elemezte a vekkel telepítenék be, ez 20 kWh/nap/fõ energiafel- különbözõ zöld stratégiákat. használást tenne lehetõvé. Érdekességként megje- Mackay a megújuló energiahordozók körébe az gyezzük, hogy amennyiben egy személygépkocsi ese- alábbiakat sorolta: tében 50 km-es átlagos napi futásteljesítménnyel szá- • szélenergia: szárazföldi, tengeri (sekély- és mélyvízi), molunk, akkor ennek energiafelhasználása közel 40 • napenergia: napkollektor, napcella, naptükrös kWh/nap/fõ, abban az esetben, ha a gépjármû hagyo- energiatermelés, mányos tüzelõanyaggal hajtott. • vízenergia: vízerõmû, árapályerõmûvek, Napelemparkok építése 50 kWh/nap/fõ energiater- • földhõ, hévíz, kõzethõ, meléssel, Nagy-Britannia területe 5%-ának beépítését • biomassza, tenné szükségessé, ami a szerzõ szerint túlmegy a • hõszivattyú. realitások határán. A számításokat és elemzéseket az Egyesült Király- A napelemekbõl nyerhetõ 5 kWh/nap/fõ energia- ságra, az USA-ra és az egész világra külön-külön elvé- termelés megvalósításához Nagy-Britannia minden gezte azzal a céllal, hogy az úgynevezett „civilizációs lakásának kapnia kellene 10 m2 tetõfelületet, 20% minimum”, mintegy 80 kWh/nap/fõ fogyasztás bizto- hatásfokú napelemekkel. sítása megújuló energiahordozókból teljesíthetõ-e. A Ha minden délre nézõ háztetõt 10 m2 napkollektor- civilizációs minimum az ipari társadalmak jelenlegi ral borítanának, az eredmény 13 kWh/nap/fõ. (már energiatakarékossággal csökkentett) összes fel- A biomassza hasznosítása – fajlagos területfelhasz- használásának átlagos, 1 fõre és 1 napra vetített fo- nálási igényének mértékét tekintve – az egyik legle- gyasztása. sújtóbb lehetõség. Ha a mezõgazdaságilag megmûvelt területet, fejenként 3000 m2-t, az ország területének Nagy-Britannia 75%-át biomassza termelésére használnánk fel, az eredmény 36 kWh/nap/fõ lenne. A szerzõ a biomasz- Nagy-Britanniában egy „jómódú személy” fogyasztása sza termelésével és szállításával kapcsolatban fellépõ 195 kWh/nap/fõ, míg az átlagos brit fogyasztás 125 veszteségek miatt ezt az értéket 24 kWh/nap/fõ érték- kWh/nap/fõ. Ez megegyezik az átlagos európai fo- re redukálja. gyasztással is. A szerzõ kutatásai szerint a megújuló A szerzõ azon túlmenõen, hogy a fentiek szerint ösz- energiák forrásainak elméleti lehetõsége Nagy-Britan- szefoglalta az elméleti forráslehetõségeket, elemezte a niában 180 kWh/nap/fõ, amely az alábbi tételekbõl társadalmi párbeszédbõl és az engedélyezési eljárások- tevõdik össze: ból várható eredményeket, és a hatalmas területfelhasz- • árapály: 11 kWh/nap/fõ, nálást figyelembe véve mindössze 18 kWh/nap/fõ • tengeri hullámok: 4 kWh/nap/fõ, megújulóenergia-hasznosítást tart lehetségesnek, ami • szélturbinák mélytengerekben: 32 kWh/nap/fõ, kevesebb mint a kívánt érték 20%-a. • szélturbinák sekély tengerekben: 16 kWh/nap/fõ, • vízenergia: 1,5 kWh/nap/fõ, Európa • biomassza: 24 kWh/nap/fõ, • napelempark: 50 kWh/nap/fõ, Kontinensünkön körülbelül 125 kWh/nap/fõ az átlagos • napkollektor: 13 kWh/nap/fõ, fogyasztás. Mackay számításai szerint indokolt és reális • szárazföldi szél: 20 kWh/nap/fõ. energiahatékonysági intézkedésekkel az energiafo-

238 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 17,1 aminek rendelkezésre állása legalább 8000 óra/év. Amennyiben a Paks II. által termelendõ villamos ener- 17,0 giát megújuló energiával kívánnánk pótolni, úgy pél- dául szélenergia felhasználásával 19 200 MW beépített szélerõmû-kapacitás telepítése lenne szükséges, amivel 16,9 a szélenergia rendelkezésre állása átlagosan 1000-1200 óra/év hazánkban. Az ilyen mértékû szélerõmû-telepí- hatásfok (%) 2 16,8 tés területigénye nagyjából 3-4000 km . Paks II. bio- massza alapú pótlásához – a szerzõ által közölt bio- massza hasznosítási adatokra támaszkodva – 9600 km2 16,7 napelemtípusok területû energiaültetvény telepítése lenne szükséges. Egy másik alternatíva: a magyar erdõgazdaságok évi 1. ábra. A kiválasztott napelemek hatásfoka az egyes napelemtípu- teljes fakitermelése ~9-10 millió tonna. Ennyi lenne sok megnevezése nélkül. szükséges Paks II. helyettesítését biztosító fatüzelésû gyasztás a még elfogadható 68-80 kWh/nap/fõ „civili- erõmûvek ellátásához. zációs minimum” értékre szorítható le. Gazdasági szem- Nézzük meg a napelemek alkalmazásával nyerhetõ pontok szerint a számításba vehetõ megújuló energia- villamos energia mennyiségét. Az elemzés során 275 források – a szerzõ szerint – csak 30,6 kWh/nap/fõ, Wp teljesítményû napelemeket vizsgáltunk, amelyek amely az alábbiakból tevõdik össze: között egyaránt találhatók ázsiai és észak-amerikai • szélenergia: 9 kWh/nap/fõ, gyártású panelek. A kiválasztott modulok paraméterei • vízenergia: 6,4 kWh/nap/fõ, nagyon hasonlók, méretük egységes, a hatásfokuk is • hullámok: 2 kWh/nap/fõ, gyakorlatilag megegyezõ, ezt szemlélteti az 1. ábra. • árapály: 2,6 kWh/nap/fõ, Egy magyarországi átlagos háztartás éves villamos- • napelemek: 7 kWh/nap/fõ, energia-igénye megközelítõleg 3500 kWh. A 2. ábrán 2 • napkollektorok: 3,6 kWh/nap/fõ. egy 275 Wp teljesítményû, 1,63 m felületû, 16,8% ha- A szerzõ szerint, amennyiben Európa területének tásfokú napelem által megtermelhetõ villamos energia 5%-át napelemparkok létesítésére használnánk fel, mennyisége látható havi bontásban. csak akkor érhetõ el a 68-80 kWh/nap/fõ civilizációs- A kapott mennyiségeket napi bontásban szemlélteti minimum-érték. a 3. ábra. Látható, hogy a téli hónapok folyamán a A szerzõtõl szó szerint idézve: „Maradjunk a realitá- napelemek termelése igen alacsony. A nyári hónapok sok talaján. Akárcsak Nagy-Britannia, Európa egésze többlettermelése – gondosan végzett méretezés mel- sem támaszkodhat kizárólag saját megújuló energia- lett – kompenzálja ezt a differenciát. Sajnos az ilyen forrásaira. Ha tehát az a célunk, hogy teljesen meg- hosszútávú tárolás megoldatlan. szabaduljunk a fosszilis tüzelõanyagoktól, akkor A téli hónapok átlagos napi villamosenergia-terme- Európának is vagy atomenergiára, vagy a más orszá- lése a nyári 15%-a. Az átlagos évi villamosenergia- gok sivatagaiban napelemekkel megtermelt villamos fogyasztás 10 darab, egyenként 1,63m2, összesen 16 energiára van szüksége, esetleg mindkettõre.” m2 napelemmel kielégíthetõ. Tárolhatóság hiányában a villamosenergia-rendszerrel történõ együttmûködés- Magyarország re van szükség, és konvencionális, komplementer kapacitásokat kell telepíteni. A könyv Magyarországgal külön nem foglalkozott. Ejtsünk néhány szót a jelenleg ismert és alkalma- Szélenergia-hasznosítás tekintetében Magyarország le- zott tárolási lehetõségekrõl. Magyarország egy napi hetõségei kedvezõtlenebbek, mint Nagy-Brittaniáé, villamosenergia-szükségletének legkorszerûbb akku- ugyanakkor a napelemekkel történõ energiatermelésre mulátorokkal történõ tárolásához szükséges akkumu- kedvezõbb feltétek biztosítottak hazánkban. Paks bõví- látortömeg minimálisan körülbelül 2 millió tonna. tésével 2400 MW beépített teljesítménnyel számolunk, Ennek nagyságát jól érzékelteti az, hogy ekkora akku-

2. ábra. Egy darab napelem havi villamosenergia-termelése. 3. ábra. Egy darab napelem napi villamosenergia-termelése. 60 1,8 1,6 50 1,4 40 1,2 1,0 30 0,8 20 0,6 0,4 10 0,2

villamosenergiatermelés (kWh)

villamosenergiatermelés (kWh) 0 0,0 jan feb már ápr máj jún júl aug szep okt nov dec jan feb már ápr máj jún júl aug szep okt nov dec

GARBAI LÁSZLÓ, HÓDOS RITA, KOVÁCS ZOLTÁN: FENNTARTHATÓ ENERGIA, MELLÉBESZÉLÉS NÉLKÜL 239 mulátortömeg körülbelül 4-5 millió elektromos hajtású au- tóban van, illetve lenne. Mi a helyzet a szivattyús tározós erõmûvekkel? Megjegyezzük, hogy Magyarország hegy- és vízrajzi adottságai e lehetõség tekintetében igen szerények. De ha mégis ebben gondol- kodnánk, akkor például Ma- gyarország egy napi átlagos villamosenergia-szükségleté- nek, amely 100 GWh, szi- vattyús tározós erõmûvekkel történõ betárolásához például 100 m szintkülönbségû, 200 millió m3 térfogatú tározókra lenne szükség. Egy tározó 2 például 20 km területû és 10 A világ legnagyobb tükrös naperõmûvének egyik tornya a kaliforniai Mojave-sivatagban. m mély lenne. Nem kétséges, hogy Magyarországon ilyen természetes lehetõségek növekszik, ellátni az európai életszínvonalat jelentõ – nincsenek, és ilyen méretû mesterséges tározók mondjuk 80 kWh/nap/fõ energiával?” megvalósításának környezeti, geográfiai kára és költ- Jelenleg a világ szárazföldi területének 18%-a, azaz sége óriási lenne. 27 millió km2 mûvelhetõ. Amennyiben e területet bio- massza termelésére használnánk fel, 36 kWh/nap/fõ 2 Egyesült Államok teljesítményt érnénk el, feltételezve, hogy 0,5 W/m a teljesítménysûrûség, a mûvelés és a feldolgozás során Mackay szerint egy átlagos amerikai polgár napi ener- fellépõ veszteség pedig 33% és a világ lakossága 6 giafogyasztása 250 kWh. Melyek az USA lehetõségei a milliárd fõ. megújuló energiák felhasználásának bõvítése tekinte- A napenergiát nem közvetlenül hasznosító energia- tében? források közül a szerzõ a következõket vette figye- Amerikai kutatók megbecsülték az Egyesült Álla- lembe: mok szélenergia-potenciálját. Az ország legszelesebb • Szél: 24 kWh/nap/fõ, helyei Észak-Dakota, Wyoming és Montana. Számítá- • vízenergia: 3,6 kWh/nap/fõ, saik szerint az egész országban 435 ezer km2 szeles • árapály: 0,3 kWh/nap/fõ, területet lehet kihasználni. Az így megtermelhetõ vil- • hullámok: 0,5 kWh/nap/fõ, lamos energia 4600 TWh/év lenne, vagyis az USA 300 • geotermikus energia: 8 kWh/nap/fõ. milliós lakosságát tekintve mindenkire naponta 42 Mindez összesen 36 kWh/nap/fõ, egyértelmû tehát kWh jutna. Ezen szélerõmûparkok együttes területe a szerzõ következtetése: „a nem napenergián alapuló (435 ezer km2) nagyjából akkora, mint Kalifornia álla- megújuló erõforrások »óriásiak« ugyan, de nem elég- mé. A fentebb említett 4600 TWh villamos energia ségesek. Ha mûködõképes energetikai tervet akarunk elõállításához szükséges berendezések együttesen készíteni, akkor mindenképpen egy vagy több módon 2600 GW beépített teljesítményûek lennének (20%-os közvetlenül is hasznosítanunk kell a napenergiát, átlagos éves kihasználást feltételezve). Ehhez azon- vagy használnunk kell az atomenergiát, vagy mind- ban a szélenergiát hasznosító berendezések kapacitá- kettõt.” sát az Egyesült Államokban a jelenlegi kétszázszoro- Mackay szerint a megújuló energia bizonytalan és sára kellene növelni. nehezen tervezhetõ. Rendelkezésre állásáról szól Az USA esetében a tengeriszél-, a geotermikus és ugyan, említi az ismert tárolási lehetõségeket, de iga- a vízenergia adta lehetõségeket figyelembe véve to- zán megnyugtató, ténylegesen megvalósítható tervek- vábbi 20 kWh/nap/fõ érték érhetõ el, így összesen rõl nem számol be. 62 kWh/nap/fõ az USA lehetõsége a megújuló ener- gia felhasználására. Az Európai Energia Unió koncepciója, víziója Az egész világra vonatkozó számítások Az Európai Unió Bizottsága (amelynek élén a volt A szerzõ egész világra vonatkozó számításai még ag- luxemburgi miniszterelnök, Jaen-Claude Juncker gasztóbb képet festenek. Felteszi a kérdést: „Hogyan áll)3 új javaslattal állt elõ, és a hangzatos Energia lehet 6 milliárd embert,2 amely egyébként rohamosan Unió nevet kapta. Az Energia Unió – ahogyan ezt a

2 A Föld jelenlegi lakosságszáma elérte 7,5 milliárd fõt. 3 A kézirat benyújtása, 2018. év végén.

240 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 Bizottság jövendöli – a következõ pozitív eredmé- regionális és hatalmi politika, a nagyhatalmi erõegyen- nyeket hozza magával: súly szomorú tradíciója. A mérnöktársadalom köteles- • Az energiaátalakítás biztonságosan, megbízha- sége és joga szólni arról, hogy a nemzeti és regionális, tóan, fenntartható módon, azaz a környezet érdekeit sõt a globális energiapolitikák készítésének kompeten- nem, vagy csupán kevéssé sértve és elérhetõ áron ciája – részben indokoltan, részben kényszerûen – válik lehetségessé; kicsúszott a mérnökök kezébõl. Mondhatjuk azt, hogy • lehetõvé válik az energiafajták szabad áramlása ezek a mérnöki modellek peremfeltételeinek sorába az országhatárokon át, ami minden EU tagállam és a tartozó politikai peremfeltételek. tagállamok minden polgára számára biztonságos Az Energia Uniótól várt elõnyök önmagukban tri- energiaellátáshoz vezet; viálisak, nyilvánvalóan követendõk, és egyben sem- • az új, innovatív technológiák és a megújult inf- mitmondók. Ezeket az elveket minden ország igyek- rastruktúra új munkahelyeket teremt, egyúttal új ké- szik követni és megvalósítani. Legékesebb példa erre pességek kifejlesztését teszi lehetõvé és szükségessé, a teljesen üres, tartalmatlan és nem számszerûsíthetõ a vállalkozások bõvíthetik kivitelüket és javulhatnak a „megfizethetõség”, amely országonként más és más növekedés feltételei; árakat jelent. • a jövõ fenntartható lesz, a szén-dioxid-kibocsá- Az európai gazdaságok egyenként is és összessé- tás csökken, a gazdaság egyre környezetbarátabbá gében még inkább olyan komplexitást képviselnek, válik és amely központosan kezelhetetlen. Az összeurópai • Európa egyre elõrébb jut a megújuló energiafaj- gazdasági célfüggvény definiálatlan, számos politikai ták felhasználásában és a klímaváltozás elleni küzde- kérdés megoldatlan, a magországok és a peremor- lemben. szágok közötti egyenlõtlenség és a kisebb gazdasági A szabályok szerint a Bizottság joga és kötelezett- erejû országok kiszolgáltatottsága tovább nõhet. sége a javaslattétel. A fentieket tehát úgy kell tekinte- Ahogy a korábbiakban említettük, az Európai Unió nünk, mint – az Európai Parlament és a Tanács, azaz egésze definiálatlan, a belsõ feszültségek centrifugá- az EU másik két meghatározó, törvényalkotó testülete lis erõként hatnak, az Energia Unió diffúz gondolat. kérésére készült – javaslatokat, amelyeket – ponto- Hogyan lehetne Energia Unió, amikor a politikai és sabban, amelyek közül a legfrissebbeket – új közle- gazdasági unió sem létezik a szó õszinte szemantikai mények (úgynevezett COM dokumentumok) formájá- tartalma szerint? Az Energia Unió víziójáról kiszivár- ban tettek közzé a Bizottság honlapján. A közeli jövõ- gó gondolatok, a tervezgetések arra utalnak, hogy a ben ezek lesznek az Európai Parlamentben és a Ta- nemzetek szuverenitása rovására folyik a játék. Unió nácsban az energetikai témában aktuális viták alapjai, az Unióban? és egészen biztosan sok tekintetben módosulnak Az energia szállítását fizikai törvények szabják majd, mire jogszabályokká (irányelvekké, rendeletek- meg, amelyeket illik tekintetbe venni. A határkeresz- ké, határozatokká) alakulnak. Az EU szabályai szerint tezõ kapacitások végesek, növelésüknek fizikai és a dokumentumokat a közvélemény számára is véle- gazdasági korlátai vannak. Régiós együttmûködések, ményezhetõvé teszik, és a tapasztalatok szerint az forrástervezések, létesítménytervezések összehango- egyes polgárok, egyesületek, szövetségek, vállalkozá- lása hosszú távú kereskedelmi szerzõdésekkel szabá- sok jelentõs aktivitással vetik majd magukat a vitába, lyozott, határokon átnyúló ellátási kölcsönösségek mihelyt erre lehetõséget kapnak. indokoltak lehetnek, mint ahogy ilyenek voltak és ma Az Energia Unió tervezett létrehozásával, az ener- is vannak. giaügyi biztos várakozása szerint növekednie kell a Magyarország többé-kevésbé elavult, nem karbon- döntések és az árképzés, áralakulás átláthatóságá- szegény termelési móddal elõállított villamosenergia- nak. Meg kell történnie a költségeknél alacsonyabb importból elégíti ki szükségletének 30-35%-át. De hatósági árak kivezetésének. A tagországoknak meddig, és ki fog új erõmûvet építeni? Mindenki vára- egyeztetniük kell az EU-n kívüli országokkal folyta- kozik, és a meglévõ energetikailag elavult kapacitá- tott tárgyalásokat és megállapodásokat. Fontos célki- sok idõntúli kihasználása folyik. Hosszú távon nincs tûzés a már meglévõ jogi keretek jobb érvényesítése, alternatívája a nemzeti dimenziókban tervezett ellátási az energia belsõ piacának egységesítése, az energia biztonság fenntartásának, és az érvek, ellenérvek csa- határokon átnyúló szabad áramlásának biztosítása, az tájában a Paks II. terve gyõztes maradhat. Az állam energiarendszerek kölcsönös elõnyöket nyújtó ösz- nem nézheti tétlenül a várható ellátási problémákat, szekapcsolása. Deklarált elv az energiaszolidaritás, és nem lehet felkészületlen. Az sem tûrhetõ, hogy amely persze nehezen tölthetõ meg tényleges jelen- erõsen támogatott megújuló energia kötelezõ átvéte- tõs tartalommal. lével összeroppanjon a hazai piac, és tervezhetetlen Brüsszel – a már ma is létezõ direktívák szigorításá- ellátási és kapacitásszituációk jelentkezzenek. val – az energiahatékonyság növelését önálló energia- A transznacionális ellátás tervezése, szervezése, forrásként akarja kezelni. létesítése konfliktusmentes fenntartása illuzórikus, Az Energia Unió terve a brüsszeli voluntarizmus nem központi akarat kérdése. Volt ilyenre példa: a újabb ékes bizonyítéka a felülrõl építkezés, a kény- KGST, a szocialista országok egyesített villamosener- szerítés mániás kiterjesztése, az alulról építkezés elve- gia-rendszere, de ilyet ma már senki nem akar, mert tése. Az energiapolitikát „majorálja” a közpolitika, a csak politikai diktatúrával lehet azokat egybe-, illetve

GARBAI LÁSZLÓ, HÓDOS RITA, KOVÁCS ZOLTÁN: FENNTARTHATÓ ENERGIA, MELLÉBESZÉLÉS NÉLKÜL 241 fenntartani. Állami akarat hiányában az energiapiac ve gazdaságilag erõs országok önmérsékletére van erre alkalmatlan, mert tervezhetetlen. szükség. Mindegyik országnak ismernie kell nemzeti Az Energia Unió tudományos alapkérdése a követ- modellje optimumát, az egyesített modell optimumát kezõ: ki és kik mérik fel és valószínûsítik a várható és a várható többlethaszonból való méltányos része- energiaigényeket a tervezhetõség szintjén, ki és kik sedésre való jogosultságát. A nemzeti stratégiákban döntik el, hogy hol és mikor kell erõmûveket építeni való gondolkodás még abban az esetben is matemati- a globális-uniós döntési térben? Válaszunk: nem old- kai szempontból egyedül adekvát megközelítés, ha az ható meg így a feladat. Csak nemzeti, esetleg szûk Európai Unió politikai és szervezeti struktúrája közelít regionális térben kezelhetõ a probléma. A termelés és a konföderatív berendezkedéshez. Ahogy Jean Mon- a szolgáltatás a fogyasztói igényekre hangolódás, az net mondta, az Unió folyamata: „Ever closer union”, ellátás felelõssége nemzeti hatáskör. A kereskedelem aminek helyességében erõsen kételkedünk. transznacionális, de ha az versenypiaci elveken nyug- szik, akkor ismét megjelenik a bizonytalanság, amely az energia drágulását eredményezi, amely visszahoz- Összefoglalás hatja az ignorálni kívánt állami beavatkozást. Nem hisszük, hogy Európa országai megegyezhet- A megújuló energiákra alapozott ellátás közeli megva- nek valaha is abban, hogy igényeik közép- és hosszú- lósítása hiú és szakmailag, valamint gazdaságilag kár- távon stabil ellátására ellátási felelõsséggel, kitüntetett tékony ábránd. Az organikus fejlõdéssel egyetértünk, földrajzi telephelyeken csak egyes államok építenek sõt a fejlesztés mértéktartó támogatását is elfogadjuk. erõmûveket, a többi állam pedig bízik az ellátás meg- Tudomásul kell venni, hogy a megújuló energiaforrá- valósulásában, fennmaradásában, irányíthatóságában, sok rendelkezésre állása matematikailag definiáltan figyelembe véve a bizonytalanságokat az igények valószínûségi jellegû. Csaknem azonos mértékû társ-, napi és szezonális lefutásában, az igények alap- és illetve tartalékkapacitások meglétét kívánják, amelyek csúcsjellegét és a váratlan kiesések tervezhetetlensé- egyelõre vagy „karbonbázisúak”, vagy az atomenergia gét. E problémát illetõen egyrészt mindig megjelenik továbbélésével, sõt bõvítésével járnak együtt. a bizalmatlanság, a szuverenitás feladása, az állami A villamosenergia-tárolás lehetõségeit tovább kell akaratok történelmileg nem tapasztalt összehangolá- kutatni és fejleszteni, új technológiák kifejlesztését sának szükségessége, az állami tervezhetõség igénye várhatjuk a kutatóktól. Egyet kell értenünk Mackay és a szabadpiac elveinek összeférhetetlensége. Az megállapításaival, amely szerint: „Az energiatakaré- Európai Energia Unió víziója, annak mûködtetése kosság és energiahatékonyság növelése minden mér- minden tudományos elvnek ellentmond. A nagy, nöknek, tervezõnek, üzemeltetõnek, gyártónak kö- komplex rendszerek tervezéséhez és mûködtetéséhez telessége. Igen hatékony és hatalmas, jó irányba tett kapcsolható matematikai, rendszerelméleti és döntés- lépés a közel zéró energiafelhasználású épületek elméleti módszerek mind-mind dekompozíciós elve- megvalósításának jogi kényszerítése.” Mackay vizs- ken nyugszanak, a részrendszerek optimumainak gálatai nyomán, de a mi megítélésünk szerint is csak összefûzését vallják, köznapi nyelven az alulról épít- az javasolható, hogy szigorú és sikeres energiahaté- kezés elvét kell, hogy keressék. konysági és energiatakarékossági intézkedéseket Az Energia Unió célfüggvénye – a matematika nyel- kell végrehajtani, új civilizációt, új életmodellt, új vén – a nemzeti célfüggvények kompozíciója. Az ipargazdasági szerkezetet kell az emberiségnek ki- európai célfüggvényhez társított, úgynevezett mellék- alakítania. E nélkül a megújuló energiák részaránya feltételek a nemzeti modellek célfüggvényeihez tarto- „az energiamixben” globálisan nem fogja meghalad- zó mellékfeltételek egyesítése. A célfüggvények és a ni a 40-50%-ot. mellékfeltételek egyesítésével új és e pillanatban még A megújuló energiaféleségek erõltetett növelése ismeretlen egyéb feltételek is megjelenhetnek, más- óriási területfelhasználással járna, amely az iparilag részt a jog területére is átlépünk, amelyek a nemzeti, fejlett és a nagy népsûrûségû országokban nem talál- a nemzetközi és az európai jog ütközését is eredmé- na megértésre és nem alakulna ki a szükséges köz- nyezhetik. Az európai egyesített modell célfüggvé- megegyezés. nyébõl származtatott optimum elméletileg jobb is lehet, mint a nemzeti célfüggvények optimumainak Irodalom összege. Ez természetesen még vizsgálandó kérdés, 1. David J. C. Mackay: Fenntartható energia mellébeszélés nélkül. hiszen a belépõ új feltételek korlátozhatják az opti- Vertis Zrt. és Typotex Kiadó, Budapest 2011, ISBN 978-963-279- 575-1 mumban figyelembe vehetõ stratégiák számosságát. 2. Gács I. és társai: Az új magyar energiastratégia. in Új Széchenyi Feltéve és megengedve azonban, hogy az egyesített Terv. Budapest 2010 (készült Magyarország Kormányának meg- modell optimuma jobb, mint a nemzeti optimumok bízásából) 3. Gerse K.: Regionális piacok, importforrások, kapacitásigény. összege, a kérdés az, hogy a haszon, illetve többlet- Magyar Energetika XXIII/6 (2016) 2–18. eredmény hogyan oszlik meg a nemzetek között. 4. Gerse K.: Mekkorák a valódi villamosenergia-árak? Ki fizeti õket? Egyes országok rosszabbul is járhatnak nemzeti stra- Kiadatlan kézirat. tégiájukhoz képest, míg más országok többlethaszon- 5. Molnár L.: A klímaváltozás elleni politikák és következményeik az energetikára. Energiagazdálkodás 59/1–2 (2018) 3. ra tehetnek szert. Az összeurópai modell optimumát 6. Molnár L.: Villamosenergia-ellátásbiztonság az EU-ban a 2020-as keresve, erõs konszenzusra és az energetikailag, illet- években. Energiagazdálkodás 59/3–4 (2018) 62.

242 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 A REAKTORBELI FÛTÕELEMEK VISELKEDÉSÉNEK Gadó János MODELLEZÉSE MTA Energiatudományi Kutatóközpont

Köztudomású, hogy gyakorlatilag valamennyi nukleáris reaktor fûtõ- elemekbõl áll, ezekben helyezkedik el a hasadóanyag és a fûtõelemeket körülvevõ hûtõközeg szállítja el a fûtõelemekben megtermelt hõt. A legtöbb, energiatermelésre használt nukleáris reaktorban a fûtõelemek pálca kinézetû, kis átmérõjû fémcsö- vek, amelyek tartalmazzák a kerá- miatablettákba rendezett hasadó- anyagot (lásd 1. ábra). A fûtõelem- pálcák szabályos négyzet- vagy hat- burkolat szögrácsba vannak elrendezve és ál- az axiális szakasz radiális felosztása talában 100-400 pálcát együtt moz- gatható kötegbe gyûjtenek össze. A rés paksi atomerõmûben például a pál- tabletta burkolat cák aktív hossza 2420 mm, átmérõje számítási tartomány 9,1 mm, a pálca burkolatának anya- axiális szakaszokkal r ga cirkóniumötvözet, a tabletták át- mérõje 7,6 mm, hosszuk körülbelül j. szakasz víz 10 mm, a hatszöges pálcarács rács- rés osztása 12,2 mm és 127 pálcapozí- tabletta ciót fognak össze egy kötegbe. A reaktorok fontos meghatározója a hûtõközeg. A leggyakoribb hûtõ- közeg a víz, de alkalmazható a ne- hézvíz, az olvadt nátrium vagy ólom és gáz is. Amennyiben a hûtõközeg víz vagy nehézvíz, akkor a hasadás- 1. szakasz ban keletkezõ nagyenergiájú (E = 1-10 MeV) neutronok termikus ener- vízáramlás giákra (E < 1 eV) lassulnak, és jórészt 1. ábra. A fûtõelempálca sematikus rajza. ezen energiákon váltanak ki újabb maghasadást. E reaktorokat nevezzük termikus reak- fázistérbeli eloszlását, valamint a hûtõközeg áramlását toroknak. Lehetséges a hûtõközeg és a lassító közeg és a hõmérsékleti viszonyokat. Erre a célra csatolt szétválasztása is: miközben víz a hûtõközeg, a neut- számítógépi neutronfizikai-termohidraulikai program- ronok lassulása grafiton történik. Gyorsreaktorokban a rendszerek alkalmasak. Az adott problémát, például a nagyobb tömegszámú (Na, Pb) vagy kis sûrûségû (He) reaktor tartós, folyamatos mûködését, vagy egy reak- atomokból álló hûtõközegen a neutronok a nagy ener- torbeli üzemzavar idõbeli lefolyását a fent vázolt bo- giákon maradva okoznak újabb hasadást. nyolult geometriában kell leírni és számítógépen Amikor a reaktorokban lejátszódó folyamatokat lehet modellezni. Ezekben a modellekben a fûtõelem- akarjuk leírni, akkor modelleznünk kell a neutronok pálcák kiemelt szerepet játszanak, hiszen bennük zaj- lik a maghasadás, azaz a hõenergia termelése, és a Gadó János 1969-ben végzett az ELTE TTK hûtõközegnek el kell szállítania ezt a megtermelt hõt fizikus szakán, az MTA doktora (1999). 1969- úgy, hogy a hõátadás a pálcák felületén keresztül tõl az MTA KFKI Atomenergia Kutatóintézet történik. Nyilvánvalóan éppen eléggé bonyolult ez a munkatársa, 1990–2013-ig igazgatója, illetve probléma akkor is, ha a fûtõelempálcák anyagi para- az MTA EK fõigazgatója. 2013-tól emeritus professzor. Kutatási területei: reaktorfizika, métereinek – a változó besugárzási és hõmérsékleti fûtõelemek viselkedése, számítógépes szi- körülmények miatti – változásaitól eltekintünk. mulálása. Vezette a Paksi Atomerõmû biz- Ténylegesen azonban a fûtõelempálcák anyagi pa- tonságát újraértékelõ AGNES projektet, majd ramétereinek változása jelentõs és komolyan hat a a fõkonzulensi testületet. Elnöke a V4G4 szervezetnek, amelynek célja egy héliumhû- csatolt neutronfizikai-termohidraulikai probléma tésû gyorsreaktor megépítése. megoldására. Ezért alakult ki a neutronfizika és a ter-

GADÓ JÁNOS: A REAKTORBELI FU˝ TO˝ ELEMEK VISELKEDÉSÉNEK MODELLEZÉSE 243 mohidraulika mellett a nukleáris reaktorok modelle- lását. Sajnos, a hõvezetési egyenlet megoldásához zésének harmadik diszciplínája: a fûtõelempálcák még valamit tudnunk kell. A tabletták és a burkolat termomechanikai viselkedésének leírása. Kétségtelen, között kezdetben rés van, a tabletták nem érnek hoz- hogy ez a diszciplína csak jelentõs idõkéséssel fejlõ- zá a burkolathoz. E rés hõvezetése erõsen befolyásol- dött az 1950-es években már nagyon jó modellalko- ja a tablettán belüli hõmérsékleteket. A rés hõvezeté- tással rendelkezõ neutronfizikához képest, hiszen a se persze érzékenyen függ a résmérettõl, de a pálcá- neutronfizika fejlesztését az atombombaprogramban ban lévõ gázkeverék hõvezetési tényezõjétõl is. nevelkedett, élenjáró tudósok végezték. A termohid- Jóllehet a résméret kezdetben adott (a gyártási tole- raulikai modellek fejlõdése lassabb volt, mert a termo- rancián belül, ami a számítási bizonytalanság jelentõs hidraulika matematikája bonyolultabb és a modellek forrása), de a besugárzás során változik. Kicsit egysze- rengeteg empirikus tudásra, azaz számtalan kísérleti rûsítve a képet: a tabletták a besugárzás, a sugárkároso- eredményre épülnek. Ennek ellenére az 1970-es, dás következtében nõnek, átmérõjük egyre nagyobb 1980-as években a termohidraulika már a neutronfizi- lesz. További növekedést okoz a tabletta hõtágulása is. ka egyenrangú párja lett. A fûtõelemek tanulmányo- Ugyanakkor a burkolatot befelé nyomja a nyomás, zása ehhez képest is késett. Egyrészt a kísérleti mun- mert normális körülmények között a hûtõközeg nyo- ka ezen a területen nagyon nehéz: ismert körülmé- mása meghaladja a pálcában lévõ gáz nyomását. (A nyek között kell besugározni anyagokat és lehetõség kezdeti belsõ gáznyomást a töltõgáz nyomása adja. A szerint a besugárzás során, vagy legalább utána kell pálcát éppen azért töltik fel héliummal, hogy a külsõ mérni a különbözõ anyagi paraméterek változását, nyomás következtében ne roppanjon össze. A belsõ betartva az összes sugárvédelmi elõírást. A késésben nyomás részben a hõmérséklet növekedése, részben a azonban szerepet játszott az is, hogy a fûtõelempál- hasadásokban keletkezõ és a tablettákból kiszökõ cák gyártói mindenképpen tudáselõnyt akartak ma- gázok megjelenése következtében nõ, de általában guknak biztosítani a felhasználókhoz képest, ezért nem éri el a hûtõközeg nyomását.) A tartós nyomáskü- méréseik általában nem voltak hozzáférhetõk, ráadá- lönbség miatt a burkolat nemcsak rugalmasan deformá- sul a mérések eredményeinek kizárólag békés célú lódik, hanem a kúszás jelensége is fellép (a kúszást a felhasználása a hidegháborús viszonyok közt indokol- besugárzás is elõsegíti). A kúszás önmagában véve is tan vagy indokolatlanul megkérdõjelezõdött (gondol- komplex jelenség, paramétereinek mérése és a folya- junk például arra, hogy a besugárzott urán-dioxid mat modellezése nem könnyû. Bonyolítja a helyzetet a fûtõelemekben jelentõs mennyiségû plutónium is ta- burkolat hõtágulása, valamint a besugárzás következté- lálható). A fûtõelem-viselkedési kísérletek fõ centru- ben fellépõ irreverzibilis térfogat-növekedése is. ma a norvégiai Haldenben mûködõ reaktor volt, Amikor egy adott axiális szakaszon a tabletta külsõ amelynek munkájában 1995-tõl kezdve az MTA EK sugara (az érdesség figyelembe vételével) eléri a bur- munkatársai is részt vettek. (A haldeni reaktor nehéz- kolat belsõ sugarát, akkor a két anyag között kontakt- víz hûtésû és moderálású volt, ezért a fûtõelempálcák nyomás lép fel, amely gyorsan meghaladja a belsõ rácstávolságát jóval nagyobbra méretezték, mint vizes gáznyomás értékét és ettõl kezdve a gyakorlatilag reaktorokban, és így mód nyílott a kísérleti anyagok rugalmatlan tabletta méretnövekedése szabja meg a reaktorzónába való behelyezésére és körülöttük a rugalmas burkolat méretváltozását, amely így kifelé kívánt körülmények megvalósítására.) kúszik. Természetesen ilyenkor a rés hõvezetése és Az anyagok (legyen szó akár az urán-dioxidról így a hõmérséklet-eloszlás lényegesen változik. vagy más, hasadóanyagot tartalmazó kerámiáról, akár A 2. ábra ezen folyamatok eredõjét szemlélteti. Az a burkolatanyagként használt cirkóniumötvözetekrõl ábrán a tabletta sugara idõnként jelentõsen visszaesik: vagy acélokról) mechanikai tulajdonságai függvényei ekkor a reaktort – a fûtõelemkötegek rendes évi át- a hõmérsékletnek és a besugárzás mértékének, ezért rendezésére – leállították. a tabletták és a burkolat reaktorbeli mechanikai válto- 2. ábra. A burkolat belsõ és a tabletta külsõ sugarának idõfüggése zásainak modellezése igencsak bonyolult. Az aláb- egy tipikus teljesítménytörténet esetén. biakban áttekintjük, hogy milyen jelenségeket kell leírni ahhoz, hogy a fûtõelempálcák reaktorbeli visel- 3,88 kedését viszonylag valósághûen lehessen modellezni. 3,87 Alapvetõ kérdés a hõmérséklet eloszlása a pálcá- 3,86 ban. Tételezzük fel, hogy a csatolt probléma megol- dásának valamely pillanatában a termohidraulika 3,85 megadja a hõmérséklet axiális eloszlását a pálcát kö- 3,84 rülvevõ közegben és a probléma tengelyszimmetri- kus. Tegyük fel továbbá, hogy a neutronfizika ugyan- 3,83 ebben a pillanatban megadja a hõtermelés ugyancsak sugárméret (mm) 3,82 tengelyszimmetrikus térbeli eloszlását a tablettaosz- burkolat belsõ lopban. Ekkor minden axiális szakaszra ki kell számí- 3,81 tabletta külsõ tani a pálca burkolata és a hûtõközeg közti hõátadást, 3,80 majd a burkolat és a tabletta hõvezetési tényezõjének 0250 500 750 1000 1250 1500 1750 ismeretében meg kell határozni a hõmérséklet elosz- besugárzási idõ (nap)

244 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 Akinek ez a jelenségsorozat nem eléggé bonyolult, melegebb hely, azaz a pálca középvonala felé vándo- annak érdemes arra is odafigyelnie, hogy a tabletták rolnak. Ennek következtében az eredetileg tömör gyártása szintereléssel történik, amelynek során folya- tablettákban egy középsõ lyuk is kialakulhat. Az át- matosan nõ a szemcsékbõl álló tabletta sûrûsége, de kristályosodás csak a tabletta azon belsõ részére ter- értéke a szinterelés végén sem éri el az urán-dioxid jed ki, ahol a hõmérséklet elegendõen (>1800 °C) elméleti sûrûségét. A reaktorbeli besugárzás kezdetén magas. a hõmérséklet meghaladja a szinterelési hõmérsékle- A magas hõmérséklet hatására nem csak a póru- tet és a tabletta porozitása tovább csökken, sûrûsége sok, hanem a plutónium is migrálni kezd. A gyártás- pedig nõ. Viszonylag hamar azonban a tabletták be- kori egyenletes eloszlás megváltozik, a plutóniumato- sugárzás miatti növekedése lesz a meghatározó folya- mok a magasabb hõmérséklet felé vándorolnak. Is- mat, de a porozitás ekkor is változik. Mindez nem tenigazában ezt a jelenséget a neutronfizikai számítá- csak a méretváltozások miatt érdekes, hanem azért is, sokban is követni kellene, hiszen ennek hatására a mert a tabletta hõvezetési tényezõje többek közt a hõtermelés eloszlása is változik. porozitástól is függ. Függ persze a hõmérséklettõl és További tényezõ a sztöchiometria változása. A a besugárzás mértékétõl is, így a pálca különbözõ MOX üzemanyagú gyorsreaktor tablettáit úgy gyárt- pontjaiban a hõvezetési tényezõ jelentõsen eltérõ ják, hogy bennük az oxid-fém arány (O/M) valamivel értékeket vehet fel. A hõvezetési tényezõ és paramé- kisebb, mint a sztöchiometria szerinti kettõ. Minden- terektõl való függésének mérése nem könnyû feladat képpen el kell kerülni, hogy a burkolat mellett, az és a mérési bizonytalanság komolyan befolyásolja az azzal esetleg érintkezõ tabletta szélén az O/M megha- eredmények valósághûségét is. ladja a 2 értéket, mert ez a burkolat belsõ oxidációjára Hogy ne legyen minden ilyen világos és egyszerû, vezethetne. Az O/M arány lokálisan változik, de en- a hasadás következtében jelentõs mennyiségû hasa- nek hajtóereje nem a hõmérséklet, hanem a plutó- dási gáz (elsõsorban kripton és xenon) keletkezik. nium vegyértékének lokális különbsége. Az O/M A keletkezõ izotópok jelentõs része gyorsan bomlik, arány a tabletta szélén mindaddig növekszik, amíg a ezért ezek egyensúlyban vannak, a pálca gázteré- tablettában a helyzet kiegyenlítõdik és az anyagban ben mennyiségük csak keveset változik. A közvetle- mindenütt O/M = 2 valósul meg. nül, vagy a bomlási sorokban keletkezõ stabil izotó- A fentiek során mindvégig azzal a hallgatólagos pok azonban felhalmozódnak. A gáztérbe való ki- feltételezéssel éltünk, hogy a hõteljesítmény nem vál- szökés mértéke erõsen függ a hõmérséklettõl, az- tozik. Amikor a pálca hosszútávú viselkedését vizsgál- után a gáz mennyisége és minõsége erõsen befolyá- juk, akkor ez többé-kevésbé igaz is, csak a teljesít- solja a rés hõvezetését, ami visszahat a hõmérséklet- ményreaktorokban idõrõl idõre szükségessé váló átra- eloszlásra… kások elõtti leterhelést és az átrakások utáni felterhe- Ismeretes, hogy termikus reaktorokban a tabletták lést kell modellezni. Érdemes tudni, hogy a felterhe- besugárzás miatti átalakulása elsõsorban a tabletta lési sebességet éppen a pálcák felterhelés során bekö- külsõ pereme közelében történik meg, ugyanis itt a vetkezõ hõmérséklet-növekedés miatti mechanikai legnagyobb az urán-238 neutronbefogása, azaz itt változásai korlátozzák. keletkezik a plutónium javarésze. A tablettában befelé A felterhelés, azaz a lineáris hõteljesítmény gyors egyre terjedõ peremréteg szerkezete ennek hatására növekedése persze megnöveli a gázkibocsátást. Erre megváltozik, a nagyobb szemcsékbõl kisebbek lesz- mutat példát a 3. ábra, amelyen az látható, hogy egy nek és így az itt keletkezõ hasadási gázok könnyen a haldeni gyors felteheléses tesztben miként változik a gáztérbe kerülnek. Ezt a jelenséget mindenképpen gázkibocsátás a mérések és számításaink szerint. figyelembe kell venni. Eddig egy olyan esettel foglalkoztunk, amikor a Talán érdemes megemlíteni, hogy bár a mechani- pálca teljesítménytörténete, valamint a hûtõközeg kai jelenségek és a hõmérséklet eloszlása axiális sza- 3. ábra. Gázkibocsátás a felterhelési teszt alatt. kaszonként követhetõ nyomon, a pálca gázterében természetes módon összekeveredõ gáz összecsatolja 0,18 ezeket az egyébként axiális szakaszonként követhetõ 0,16 jelenségeket is. Mielõtt rátérnénk a fûtõelempálcák biztonsági kér- 0,14 déseire, érdemes pár szót szólni a gyorsreaktor-fûtõ- 0,12 elemek viselkedésérõl is. A gyorsreaktorok pálcáiban 0,10 a hõmérséklet jóval magasabb lehet, mint a termikus reaktorokéban (1800-2000 °C az 1200-1400 °C he- 0,08 lyett). Magas hõmérsékleteken további problémák 0,06 lépnek fel és a helyzet nem olyan egyszerû, mint a

gázkibocsátás (hányad) mérés termikus reaktorokban. 0,04 FUROM Az elérhetõ nagyon magas hõmérsékleteken az 0,02 urán-dioxid vagy a vegyes urán-plutónium-oxid 0,00 (MOX) átkristályosodik. Az átkristályosodás következ- 1600 1800 2000 2200 2400 2600 tében a lokális sûrûség megnõ, mert a pórusok a leg- idõ (nap)

GADÓ JÁNOS: A REAKTORBELI FU˝ TO˝ ELEMEK VISELKEDÉSÉNEK MODELLEZÉSE 245 hõmérséklet- és forgalomtörténete rendelkezésre áll. formációs, hõfizikai és korróziós biztonsági célok Ténylegesen ezek a VVER-440 reaktor összes pálcá- elérése tekinthetõ biztosítottnak. jára elérhetõk, akár Pakson a VERONA rendszerben • Ki kell zárni a burkolatban a feszültségkorrózió kiértékelt üzemi mérésekbõl, akár az MTA EK-ban a miatti repedésterjedést. Ezért korlátozni kell a burko- KARATE programrendszerrel végzett reaktorfizikai- latban ébredõ tangenciális feszültséget. termohidraulikai számítások alapján. A pálcák nagy • Normál üzemben ki kell zárni a burkolat képlé- száma miatt a fûtõelem-viselkedési számításokat keny alakváltozását, ami a burkolatban ébredõ effek- azonban csak a legterheltebb 100-200 pálcára szokás tív feszültséget korlátozza, illetve a kismértékû képlé- elvégezni. Manapság, a nagykapacitású, gyors számí- keny alakváltozás csak rövid ideig léphet fel. tógépek birtokában a számításokat a reaktorzóna va- • A burkolatot érõ tartós és ciklikus hatások nem lamennyi pálcájára el lehet végezni. vezethetnek a burkolat anyagának fáradási határérté- Mi a célja ezen számításoknak? Az egyik cél az, ke túllépéséhez. hogy amiképpen a pálcákat a gyártó cég (az orosz • A megbízható hõátadás fenntartása, a pálca meg- TVEL cég) fejleszt, úgy az új pálcatípusok bevezetésé- bízható rögzítése a távtartó rácsokban és a burkolat hez hatósági engedély szükséges. Bár a fûtõelem-vi- dörzsölés általi kopásának megakadályozása érdeké- selkedési számítások tekintetében az engedélykére- ben a pálca átmérõváltozásának a határértéken belül lem alapját a gyártó cég számításai adják, e számítá- kell maradnia. sok ellenõrzésére alkalmas az MTA EK-ban kifejlesz- • A pálca feje nem ütközhet fel a felsõ tartórácson, tett FUROM kód [1]. A FUROM számításokat ugyan- ezért a burkolat axiális nyúlása nem haladhat meg egy csak felhasználják az MVM Paksi Atomerõmû Zrt. határértéket. reaktorfizikusai és elemzõi is, amikor javaslatot tesz- • A tabletták anyaga sehol sem olvadhat meg. nek továbbfejlesztési irányokra, vagy egy-egy kiala- • A pálca belsõ nyomása nem haladhatja meg a kult problémát vizsgálnak. hûtõközeg nyomását. A hatósági engedélykérelem pozitív elbírálása ak- • A megfelelõ hõátadás és a burkolat rugalmassá- kor lehetséges, ha a fûtõelemek az összes biztonsági gának megõrzése érdekében a pálca burkolatának kritériumot kielégítik. Ezek egy része a gyártással oxidációja nem haladhat meg egy bizonyos mértéket. közvetlenül kapcsolatos, teljesülésüket nem model- Belátható, hogy e kritériumok teljesülésének ellen- lezéssel-számítással, hanem laboratóriumi tesztekkel õrzéséhez a fent vázolt termomechanikai modellezés igazolja a gyártó. A kritériumok másik része a pálcák teljes egészében szükséges. hosszútávú viselkedésére vonatkozik, amelynek során Természetesen egy új fûtõelemtípus bevezetése nem csak a normál üzemben kialakuló viszonyokat, csak akkor engedélyezhetõ, ha valamennyi kritérium hanem a feltehetõleg viszonylag gyakran (100 éven- teljesül. Az engedélyezésnek további lépése tesztkö- ként egyszer) bekövetkezõ kisebb üzemzavarok tegek üzemeltetése, és csak ennek sikere után lehet- során kialakuló viszonyokat is fel kell tételezni. E séges az új típusú kötegek tömeges használata. vizsgálatokra lehet felhasználni a FUROM kódot. A ✧ kritériumok harmadik része azoknak a ritka üzemza- A cikk célja az ismeretterjesztésen túl annak bemu- varok elviselésére vonatkozik, amelyek a reaktor tatása is volt, hogy tudomány és a gyakorlat néha egész élete során csak 10−2–10−5/év gyakorisággal egészen közel tud kerülni egymáshoz. Ez sokszor következhetnek be. Ezek vizsgálatával ebben a cikk- van olyan érdekes és izgalmas, mint egy abszolút új ben nem foglalkoztunk, a feladatot az MTA EK az ismeret feltárása. amerikai eredetû, de a VVER-reaktorokra módosított FRAPTRAN kóddal [2] tudja ellátni. Irodalom Az alábbiakban felsoroljuk azokat a második rész- 1. J. Gadó, Á. Griger, K. Kulacsy: The fuel behaviour code FUROM hez tartozó biztonsági kritériumokat, amelyek telje- and its high burn-up simulation capabilities. Nuclear Enginee- ring and Design 327 (2018) 274. sülését a FUROM kóddal kell/lehet vizsgálni. A kri- 2. K. J. Geelhood et al.: FRAPTRAN-2.0: A Computer Code for the tériumok teljesítése révén különbözõ szilárdsági, de- Transient Analysis of Oxide Fuel Rods. PNNL-19400 1/2 (2016).

Jobb egy mentõötlet mint öt mentõ egylet – írta Karinthy Frigyes az egyletistápolás margójára. Most Társulatunk kér egyletmentõ ötleteket! Ezek az ötletek nem vesznek el, ha a http://forum.elft.hu linken, az ELFT stratégiai vitafórumán adjuk elõ.

246 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 TRANZIENS KÁOSZ ÉS KÁOSZKONTROLL A FÖLD–HOLD RENDSZER L5 LAGRANGE-PONTJA KÖRNYEZETÉBEN Slíz-Balogh Judit – ELTE, Csillagászati Tanszék Kovács Tamás – ELTE, Elméleti Fizika Tanszék Süli Áron – ELTE, Csillagászati Tanszék és MTA CSFK, Konkoly Thege Miklós Csillagászati Intézet

A múlt század végén kezdõdött az a folyamat, amikor felhasználásával juttassanak célba, vagy egy stabil perio- a kutatók és a mérnökök az ûrhajók mozgatásának és dikus pálya közelében tartsanak. Az SMD-t fõleg a kor- pályán tartásának dinamikájához a dinamikai rendsze- látozott háromtestprobléma (K3TP) modelljére alkal- rek elméletében megismert sokaságképpel kezdtek el mazzák, például a Nap–Föld-ûrhajó vagy Föld–Hold-ûr- foglalkozni. Az elsõ ilyen módszert egy Földrõl indí- hajó rendszer esetében, az adott feladattól függõen. tott ûreszköz Hold körüli pályára állítására Belbruno A korlátozott háromtestproblémában (K3TP) – amely publikálta [1]. Munkája során meghatározta a Föld– két, a közös tömegközéppontjuk körül keringõ tömeg- Hold rendszer fázisterében azt a tartományt (gyenge gel bíró égitestbõl (a mi esetünkben ezek a Föld és a stabilitási határ), amelyen belül üzemanyag felhaszná- Hold) és egy elhanyagolható tömegû próbarészecské- lása nélkül lehetséges egy ûreszköz Hold körüli pá- bõl áll – öt egyensúlyi pont van, ahol a gravitációs erõk lyára állítása. Ez a módszer nagy lépést jelentett az kiegyenlítik egymást, azaz ha ezen pontokba egy har- alacsony energiájú pályák meghatározása irányába. madik kis testet helyezünk, az a két égitesttel szinkron- Az effajta új dinamikai megközelítés hasznosnak ban, együtt keringve nem változtatja meg relatív helyét: bizonyult az ûrkutatás számára, fõleg a pályaszámítás ezek a Lagrange-pontok.1 Ezt az 5 pontot L1-tõl L5-ig esetében. Több jelenlegi ûrmissziót (Genesis [2], MAP jelöljük. Az egy egyenesre esõ (kollineáris) L1, L2 és L3 [3] és a Herschel–Planck [4] már ezzel az úgynevezett pontok instabilak, míg az L4 és L5 (trianguláris) pontok ûrsokaságok dinamikájával (space manifold dyna- lineárisan stabil egyensúlyi pontok. Egy nem elhanya- mics, SMD) terveztek [5, 6]. golható tömegû harmadik test jelenléte, mint például a A módszer fõ célja, hogy egy ûreszközt a lehetõ leg- Föld–Hold rendszer esetében a Nap, azonban elront- alacsonyabb költséggel, azaz kevés energia/üzemanyag hatja ezt a stabilitást, de a trianguláris Lagrange-pontok környezetében rövidebb-hosszabb ideig ekkor is lehet- séges korlátos mozgás. A cikk forrása: J. Slíz, T. Kovács, Á. Süli: Chaos Control with Ion Pro- Tanulmányunkban a Föld–Hold rendszer L5 pontjá- pulsion. Astron. Nachr. /AN 338 (2017) 536–549., DOI: 10.1002/asna. nak környezetét – a kaotikus dinamika módszereivel, 201713222 és J. Slíz, Á. Süli, T. Kovács: Control of chaos in the vici- nity of the Earth–Moon L5 Lagrangian point to keep a spacecraft in sokaságokat alkalmazva – vizsgáltuk. A tranziens orbit. Astron. Nachr. /AN 336/1 (2015) 23–31., DOI 10.1002/asna. káosz fogalma és jellemzõi (túlélési valószínûség, 201412132 szökési ráta, kaotikus nyereghalmaz stb.) nélkül ne- K. T. hozzájárulását a munkához az Emberi Erõforrások Minisz- héz magyarázatot adni bizonyos jelenségekre (pél- tériuma ÚNKP-18-4 kódszámú Új Nemzeti Kiválóság Programja tá- mogatta. dául az alkalmazott energiabefektetés nagyságára, vagy a mozgás stabilizálására). A pályák L5 pont környezetébõl történõ szökésének Slíz-Balogh Judit a BME-n végzett matema- vizsgálatára valós síkbeli korlátozott háromtest- (K3TP), tikus-mérnökként, majd menedzserként dolgozott a Graphisoft SE szoftverfejlesztõ illetve korlátozott síkbeli és térbeli négytestmodellt cégnél. Azután az ELTE-n szerzett csilla- (K4TP) alkalmaztunk, amelyek két (K3TP, Föld és gász diplomát, ahol jelenleg doktorjelölt a Hold) vagy három (K4TP, Nap, Föld, Hold) nagy töme- Fizika Doktori Iskola Részecskefizika és Csillagászat programjában. Kutatási terüle- te az égi mechanika, azon belül a Nap- 1 Négytestproblémára centrális konfiguráció esetén a közelmúlt- rendszer trianguláris Lagrange-pontjainak ban újabb egyensúlyi helyeket talált Érdi Bálint és Czirják Zalán kaotikus dinamikája és képalkotó polari- (Central configurations of four bodies with an axis of symmetry. metriája. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 125 (2016) 33–70.).

Kovács Tamás csillagász, az ELTE Elméleti Fizikai Tanszékének munkatársa. Doktori értekezését égi mechanikából írta. Jelenle- gi érdeklõdési területei a nemlineáris dina- Süli Áron az Eötvös Loránd Tudomány- mikai rendszerek, idõsor-analízis, komplex egyetemen 1998-ban végzett csillagász hálózatok, valamint fázistérbeli transzport szakon, 2004-ben doktori fokozatot szer- statisztikus fizikai leírása és ezek csillagá- zett fizika, részecskefizika-csillagászat szati alkalmazásai. Bolyai ösztöndíjas. A szakterületen. Kutatási területe elsõsorban Fizika Tanítása Doktori Iskola aktív téma- az égi mechanika, azon belül bolygórend- vezetõje. szerek vizsgálata numerikus módszerekkel.

SLÍZ-BALOGH JUDIT, KOVÁCS TAMÁS, SÜLI ÁRON: TRANZIENS KÁOSZ ÉS KÁOSZKONTROLL A FÖLD–HOLD RENDSZER… 247 gû égitestet és egy kis tömegû 1. táblázat (vagyis, amelynek gravitációs A pályák kezdeti hely- és sebességkoordinátáinak JPL-bõl vett értékei hatása praktikusan elhanya- geocentrikus ekliptikai koordináta-rendszerben golható a nagy tömegû égites- tekre) próbarészecskét tartal- Nap Hold Föld–Hold L5, innen indul a maznak. A valós modellen azt próbarészecske (ûrszonda) értjük, hogy a mozgásegyenle- x0 −368,66644026568872000 −0,5166166629896271 −0,9141820107443692 tek kezdõfeltételeit és a ben- − − − nük szereplõ paramétereket a y0 47,6008368689351200 0,7573376905382426 0,0687343088982397 2 NASA JPL adatbázisából vet- vx0 −00,9306857451293241 −0,1853827247673110 −0,0252733218674244 tük JD = 2455999,5 (2012. már- v −06,4039891664344024 −0,1362138844144604 −0,2286530912785001 cius 13. 00:00 UT) epochára y0 (1. táblázat). Mivel a Föld– Hold rendszer Lagrange-pontjait vizsgáljuk, geocentri- látható tartományokból vettük): a próbarészecskék kus ekliptikai koordináta-rendszerben dolgoztunk. A szökési rátáját és átlagos élettartamát, azaz benntar- mozgásegyenleteket dimenziótlanítottuk, a hosszegy- tózkodási idejét. E mutatók megerõsítették a tranziens ség 4 105 km, az idõegység 1 nap. Runge–Kutta–Fehl- káoszra vonatkozó feltételezésünket, és fontosak a berg 7(8) integrátort [7] alkalmaztunk, ahol az aktuális próbatest pályájának és pályán tartásának megterve- lépés hosszát az elõre definiált ε =10−16 megengedett zéséhez A κ szökési ráta a logaritmikus ábrázolásban relatív hiba határozta meg. A próbarészecske tömegét 1 megjelenõ egyenes negatív meredeksége, ennek τ kg-nak vettük, hogy nagyságrendi becslést adhassunk a reciproka pedig az átlagos élettartam (3. ábra). mozgatásához szükséges energiára. A hamiltoni rendszerekben a nem elszökõ pályák száma rövid távon exponenciális, hosszabb távon pedig hatványfüggvény szerint csökken [12]. A rövid Tranziens káosz az L5 pont környezetében távú szökésért a nyereghalmaz stabil és instabil soka- ságainak merõleges keresztezõdése a felelõs, amikor Amikor a kaotikus mozgás csak véges ideig tart, tran- a dinamika hiperbolikus, ezzel szemben a hosszabb ziens káoszról3 beszélünk. A tranziens káosz mind távon megmutatkozó hatványfüggvény szerinti fo- disszipatív, mind konzervatív rendszerben felléphet. gyást a fenti sokaságok érintõleges keresztezõdése Mindkét rendszer esetében egy nem vonzó (taszító) okozza. Ez utóbbi jelenség a reguláris tóruszok köze- kaotikus tartomány, a kaotikus nyereghalmaz felelõs lében, mint a ragadósság (stickiness) jelensége ismert. a tranziens káosz jelenségéért. E nyereghalmaz egy Ezért, ha a kaotikus fogyás mérõszámát, a szökési nullmértékû halmaz, amelyet a hosszabb ideig kaoti- rátát akarjuk meghatározni, akkor elegendõ csak a kus pályák nagyon megközelítenek. Ha a pályákat görbék elejére illeszteni. sikerül a nyereghalmazt befoglaló tartományból indí- Ahhoz, hogy meghatározhassuk a szökés mutató- tani, akkor a nem elszökõ pályák száma exponenciá- ját, a szökési rátát, a D tartományból (2.a ábra) τ lisan lecseng. E lecsengés mérõszáma a átlagos egyenletesen elosztva N0 darab részecskét indítottunk élettartam és reciproka, a κ a szökési ráta. Kis κ érték el, majd követtük mozgásuk pályáját. A részecskét a tipikus pályák nyereghalmaz által történõ gyenge bennmaradónak tekintettük (pontosabban nem elszö- taszítását mutatja, míg a nagy κ érték erõs taszítást jelez [8–11]. 1. ábra. A Föld–Hold rendszer L5 pontjából indított próbarészecske x irányú kitérés (4 105 km) – idõ (nap) diagramja a K3TP modell- A mozgás dinamikájának vizsgálatához elõször ben (folytonos vonal) és a síkbeli K4TP modellben (pontozott vo- egyetlen próbarészecskét indítottunk az L5 pontból. nal). A próbarészecske a Föld–Hold rendszer L5 pontjából indult. Az 1. ábra világosan megmutatja a Nap szerepét a 1,5 próbarészecske pályájának alakulásában: a K3TP modellben az L5 pontból indított részecske szabá- lyos pályán mozog, míg a K4TP modellben a pálya 1,0 kaotikus, és a részecske kevesebb mint 1 éven belül elszökik. 0,5 A jelenség tranzienskáosz-jelleget mutat, amelynek meghatároztuk a jellemzõit (itt már sokaságképet al- x 0,0 kalmazva, amihez a pályák kezdõpontjait a 2. ábrán

–0,5 2 http://ssd.jpl.nasa.gov/horizons.cgi 3 A tranziens káosz a káosz megjelenési formája olyan rendszerek- ben, amelyekben létezik nem vonzó kaotikus tartomány, a kaotikus –1,0 nyereghalmaz (például a kaotikus szórás jelenségéhez kötõdõen). Ilyenkor a tipikus kezdõfeltételekbõl indított mozgás csak véges ideig kaotikus, a káosz élettartama véges. Ezután vagy szabályossá –1,5 válik a mozgás, vagy – mint esetünkben is – a próbarészecske el- 0 100 200 300 400 szökik a végtelenbe. t

248 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 a) b)

y y

D tartomány D tartomány

L5 Föld L5 Föld x x

r 2 Nap r 2 Nap

r 1 r 1

Hold L4 Hold L4

2. ábra. A Föld középpontú síkbeli rendszer konfigurációja. A Hold és a Lagrange-pontok helyzete méretarányos, a Nap irányát nyíl jelöli. a) A kezdeti értékeket a tranziens káosz jellemzõinek meghatározásakor az L5 pont irányába mutató egyenes vastagon jelzett szakasza által meghatározott D tartományból vettük. A D tartomány az x-y síkban a Földet és az L5 pontot összekötõ egyenes x ∈ [−1,014, −0,7142] szaka- ∈ sza. Az innen indított pályák x irányú vx0 kezdõsebessége vx0 [−0,2128, 0,21082], az y irányú vy0 kezdõsebesség pedig az L5 pont y irányú kezdõsebessége, vy0 = −0,22865. b) A káoszkontroll esetében a kezdeti értékeket a szaggatott téglalap által jelölt F tartományból vettük. Az ∈ ∈ F tartomány az x-y síkban felvett x0 [−1,15, −0,7], y0 [−0,4, 0,3] téglalap, amelybõl induló pályák kezdõsebessége megegyezik az L5 pont 2 2 1/2 kezdõsebességével, vx0 = −0,02527, vy0 = −0,22865. A szaggatott vonallal a Föld köré rajzolt r2 =(x + y ) = 1,5 sugarú kör jelzi azt az R tartományt, amelyen belül szeretnénk tartani a próbatestet (ûreszközt). A Hold Földtõl vett névleges távolsága r1 =1.

≤ kõnek), ha 1300 napig nem hagyja el az R = r2 1,5r1 K3TP, mind a K4TP modellben. A K3TP modellben sugarú kört, térbeli esetben gömböt (2. ábra). Az R N0 = 400, a K4TP modellben N0 = 10 000 részecskét sugarú tartományból történt elszökés átlagos idejét a vizsgáltunk. Fõ modellünk a K4TP modell, ezt vizs- κ szökési ráta mutatja meg: gáltuk elõször, és ezért itt több részecskével számol- tunk. Az átlagos benntartózkodási idõ τ = −1/B. Az y −κ t − t 0 = A+Bt lineáris modellt a szimulációból származó N(t)=N0 e , adatokra illesztett {ti, lnN(ti )} adatpárokból kaptuk. Az ahol N(t)at idõ múlva még mindig az R tartomány- egyenes meredeksége a κ paraméter, reciproka pedig ban tartózkodó részecskék száma. az átlagos benntartózkodási idõ. A részecskék átlagos Az egyenletesen felosztott D tartományból indított benntartózkodási ideje 440 nap (a Hold keringési részecskék pályáját 1000 napig követtük mind a idejének körülbelül 16-szorosa, K3TP), illetve 310 nap

3. ábra. Az ábráról leolvasható a szökési ráta a K3TP és a K4TP esetére. A folyamatos görbe a mért adat, a szaggatott vonal az illesztett N(t) = A + Bt egyenes. a) K3TP: A = 5,985850, B = −0,002242, τ = 446,126 nap; b) K4TP: A = 7,784847, B = −0,003248, τ = 307,83 nap (τ = −1/B ). a) b)

100 1000

() ()

Nt Nt

10 100 0 200 400 600 800 1000 0 200 400 600 800 1000 t t

SLÍZ-BALOGH JUDIT, KOVÁCS TAMÁS, SÜLI ÁRON: TRANZIENS KÁOSZ ÉS KÁOSZKONTROLL A FÖLD–HOLD RENDSZER… 249 a) 0,3 b) 0,3

0,2 0,2

0,1 0,1

0,0 0,0

xt xt

d/d d/d

–0,1 –0,1

–0,2 –0,2

–0,3 –0,3 –1,05 –1,00 –0,95 –0,90 –0,85 –0,80 –0,75 –0,70 –1,05 –1,00 –0,95 –0,90 –0,85 –0,80 –0,75 –0,70 x x c) 0,3 d) 0,3

–0,015

–0,020 0,2 0,2 –0,025

–0,030

0,1 –0,035 0,1 –0,920 –0,915 –0,910 –0,905

0,0 0,0

xt xt

d/d d/d

–0,1 –0,1

–0,2 –0,2

–0,3 –0,3 –1,05 –1,00 –0,95 –0,90 –0,85 –0,80 –0,75 –0,70 –1,05 –1,00 –0,95 –0,90 –0,85 –0,80 –0,75 –0,70 x x

4. ábra. Az x-vx fázistér. A pontok azon pályák kiindulási értékeit tartalmazzák, amelyek 1300 napig nem hagyják el az R tartományt: a) 2D, 6 6 6 6 K3TP, N0 =10; b) 2D, K4TP, N0 =10; c) 2D, K4TP, N0 =4 10; d) 3D, K4TP, N0 =4 10. Az L5 pont helyzetét a nagy szálkereszt jelzi.

≈ ( 11 Hold-keringési idõ, K4TP). Jól látható, hogy a repel, a függõleges tengely pedig a vx0 kezdõsebessé- 6 K4TP esetében lényegesen rövidebb, mint a K3TP ge. A 4.a és b ábra esetén N0 =10 próbarészecskét problémában. Az eredmények a 3. ábrán láthatók. indítottunk, míg a 4.c és d ábra esetében 4 106 ré- Az átlagos benntartózkodási idõre kapott eredmé- szecskét. nyek alapján a további vizsgálatokhoz a szimulációs Stabilnak tekintettük azt a területet, ahonnét indítva idõt a gyakorlatnak megfelelõen (4–6) τ-nak válasz- a próbarészecske 1300 napig nem hagyja el az R tarto- tottuk [8, 12], ezért a további vizsgálatokban a T integ- mányt. Elõször a K3TP modellt (4.a ábra) vizsgáltuk. rációs idõt 1300 napnak (≈ 4τ) rögzítjük. Világosan látható, hogy – mint várható is volt – az L5 Az eredményeket a 4. ábra mutatja. Az ábrák kez- körüli tartomány stabil (kék zóna), és más stabil terü- detifeltétel-térképek (KFT), azaz azokat a kiindulási letek is vannak (összefüggõ, kékkel jelölve). (x,vx ) pontpárokat tartalmazzák, amelyekbõl indított A következõ futtatáskor a Napot is bevontuk a mo- pályák az adott idõn (esetünkben 1300 napon) belül dellbe, és a síkbeli modellt vizsgáltuk (4.b ábra). A nem hagyják el az R tartományt. Az L5 pont helyét a legszembetûnõbb különbség, hogy az L5 pont körül nagy szálkereszt jelzi. Az ábrákon a vízszintes tenge- szinte teljesen eltûnt a stabil tartomány. A Nap pertur- lyen a próbarészecske kiindulási x koordinátája sze- bációs hatása teljesen szétrombolja ezt a stabil tarto-

250 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 mányt, és kaotikussá változtatja. Az L5 ponttól balra egyik rendszerparamétert kismértékben úgy változtat- maradt csak egy kis sziget. Az is megfigyelhetõ, hogy ja meg, hogy a stabilizálni kívánt pályát ehhez közelíti más, nagyobb méretû stabil tartományok túlélték a [13]. A stabilizáció ebben az értelemben gyakorlatilag Nap perturbáló hatását, és struktúra- és méretváltozás azt jelenti, hogy a kiválasztott pályát az instabil perio- nélkül megmaradtak. A szaggatott vonallal határolt dikus pálya stabil sokaságának olyan közelségébe terület mutatja a több próbarészecskével részleteseb- hozzuk, amennyire csak lehetséges. Lai módszere a ben tanulmányozott, a 4.c ábrán mutatott területet. több kaotikus attraktorral jellemezhetõ dinamikai A 4.d ábra a 3. dimenzióval kiegészített térbeli rendszerekben egy kiválasztott attraktorra tereli a esetet mutatja. Látható a rendkívül összetett, fázistér- pályákat, kismértékû visszacsatolásos kontrollt alkal- beli komplex struktúra, amely szintén a kaotikus di- mazva [14]. Ez a módszer csak akkor alkalmazható, ha namika velejárója, és azt is meg kell jegyezni, hogy az az attraktorok vonzási határa fraktálszerkezetû, és a átlagos benntartózkodási idõ a 3. dimenzió bevezeté- kontrollálni kívánt pályák errõl a fraktálvonzási határ- sével növekszik. ról indulnak, mivel a nem kívánatos attraktorok von- zási tartományaiból kis perturbációkkal nem lehet átvinni a pályát a kiválasztott attraktorra. Káoszkontroll A következõkben megmutatjuk, hogy ezt a két módszert kombinálva miként alkalmaztuk a K4TP A kaotikus rendszerek fázistérszerkezete lehetõvé modellre. Habár sok paraméterünk van (tömegek, a teszi, hogy nagyon kis erõbefektetéssel rövidebb- nagy égitestek excentricitása), ezeket nem tudjuk hosszabb ideig regulárissá, vagy akár csak nem elszö- változtatni. Mivel a próbatest pályáját szeretnénk kor- kõvé, korlátossá tegyünk egy kaotikus mozgást. Ezt rigálni, ezért egy idõben folyamatosan ható tangen- nevezzük káoszkontrollnak. ciális tolóerõt vezetünk be a próbatestre. A kontroll Most a fázistérrõl térjünk át a szemléletesebb x-y lépéseit és az eredményeket itt is, mint az elõzõ feje- fizikai síkon történõ vizsgálatokra! Az 1.b ábrán szag- zetben, mindig az adott idõpontban felvett kezdetifel- gatott téglalappal jelzett területrõl az L5 pont sebessé- tétel-térképeken (KFT) ábrázoljuk, de azok a továb- gével 3,6 105 próbarészecskét elindítva megvizsgál- biakban azt mutatják meg, hogy az adott idõpontban, tuk, hogy megfelelõ módszert alkalmazva, miként adott kezdõsebességgel indított nagyszámú részecske tarthatunk egy részecskét az R tartományon belül. A esetén – a vizsgált 400 napon belül – mely (x0,y0) létezõ káoszkontrollmódszerek nagy része úgy mûkö- kezdõpontokból indított részecskék nem szöknek el a dik, hogy egy meglévõ rendszerparamétert nagyon kijelölt tartományból. kis mértékben megváltoztatnak annak érdekében, hogy a próbarészecske dinamikája rendezetté váljon. Módszerünk ismertetése elõtt elõször röviden vázol- Hogyan tarthatunk egy ûreszközt juk azt a két káoszkontrollmódszert, amelyeket kom- egy kívánt tartományban? binálva elérjük célunkat [13, 14]. Az OGY-módszer (Ott, Grebogi és York nevébõl) Bemutatjuk azt a stratégiánkat, amellyel egy részecs- lényege az, hogy megkeres egy, a kaotikus halmazba két a rendszerben tarthatunk, vagyis megakadályoz- (disszipatív rendszer esetén a kaotikus attraktorba, hatjuk, hogy r értéke meghaladja az 1,5 r1-et. A pá- konzervatív esetben a kaotikus nyereghalmazba) be- lyát teljesen meghatározzák a kezdeti feltételek, így ágyazott, alacsony periódusú instabil pályát, majd az módszerünk nem tesz lehetõvé szigorú pályán tartást, hanem a mozgást nagyon kis mértékben befolyásolva

5. ábra. A P pálya vx =0;vy < 0 feltételhez tartozó (n − 1)-edik és korlátossá, azaz nem elszökõvé teszi. n -edik Poincaré-metszete. Esetünkben P az n = 10 esetén tartózko- A kontroll alapötlete az, hogy a kontrollálni kívánt dott legközelebb a vele azonos sebességû, de a kívánt feltételnek P (kontrollálandó pálya, amelyet a t = 0-ban az L5 (az innen induló pályák 400 napig bent maradnak az x-y sík R tarto- mányában) megfelelõ kezdõpontokból álló összefüggõ tartomány- pontból indítottunk az L5 pont kezdõsebességével) vx hoz, a zöld „pacához”. Erre kell „áttolni” a pályát. =0,vy < 0 feltételnek megfelelõ Poincaré-metszetei- hez4 tartozó aktuális sebességeket kezdõsebességnek, vx az adott idõpontot pedig kezdeti idõpontnak véve elkészítjük a rendszert, esetünkben most T = 400 na- pig nem elhagyó pályák kezdõpontjait tartalmazó KFT-ket. Vagyis megnézzük, hogy az adott idõpont- y ban, az adott helyen, adott sebességgel haladó P érzé- xy nn, kel-e valahol a közelben összefüggõ, esetünkben 400 napig nem elszökõ tartományt, netán eleve egy ilyen- xy x nn–1, –1 ben tartózkodik. Ha éppen egy ilyenben tartózkodik, akkor nincs szükség kontrollra, a pálya 400 napig nem fog elszökni (5. ábra).

4 A fázistérbeli folytonos, periodikus pályát egy rá merõleges felülettel elmetszük.

SLÍZ-BALOGH JUDIT, KOVÁCS TAMÁS, SÜLI ÁRON: TRANZIENS KÁOSZ ÉS KÁOSZKONTROLL A FÖLD–HOLD RENDSZER… 251 vvt vv t 0,3 a) xy000= –0,02527, = –0,22865, = 0 0,3 b) xy00= 0, = –0,22908, 0 = 0,46

0,2 0,2

0,1 0,1

0 0,0 0 0,0

() () yr –0,1 yr –0,1

–0,2 –0,2

–0,3 –0,3

–0,4 –0,4 –1,15 –1,1 –1,05 –1,0 –0,95 –0,9 –0,85 –0,8 –0,75 –0,7 –1,15 –1,1 –1,05 –1,0 –0,95 –0,9 –0,85 –0,8 –0,75 –0,7 xr xr ()0 ()0 vv t vv t 0,3 c) xy00= 0, = –0,22552, 0 = 27,07 0,3 d) xy00= 0, = –0,2381, 0 = 107,79

0,2 0,2

0,1 0,1

0 0,0 0 0,0

() () yr –0,1 yr –0,1

–0,2 –0,2

–0,3 –0,3

–0,4 –0,4 –1,15 –1,1 –1,05 –1,0 –0,95 –0,9 –0,85 –0,8 –0,75 –0,7 –1,15 –1,1 –1,05 –1,0 –0,95 –0,9 –0,85 –0,8 –0,75 –0,7 xr xr ()0 ()0 vv t vv t 0,3 e) xy00= 0, = –0,2702, 0 = 189,43 0,3 f) xy00= 0, = –0,24849, 0 = 244,95

0,2 0,2

0,1 0,1

0 0,0 0 0,0

() () yr –0,1 yr –0,1

–0,2 –0,2

–0,3 –0,3

–0,4 –0,4 –1,3 –1,25 –1,2 –1,15 –1,1 –1,05 –1,0 –0,95 –0,9 –0,85 –1,15 –1,1 –1,05 –1,0 –0,95 –0,9 –0,85 –0,8 –0,75 –0,7 xr xr ()0 ()0

6. ábra. Síkbeli K4TP: Kezdetifeltétel-térképek (KFT) t = 400 napig tartó bennmaradásra. a) A t0 =0;vx0 = −0,02527, vy0 = −0,0228 indulás- hoz tartozó (0. KFT, az L5 pont kezdeti koordinátái). Az ábra többi része a Pvx0 =0;vy0 < 0 feltételhez tartozó Poincaré-metszeteit mutatja. b) Az elsõ metszéspont t = 0,46 nap múlva (1. KFT), majd c) t = 27,07 nap (2. KFT), d) t = 107,79 nap (5. KFT), e) t = 189,43 nap (7. KFT) és f) t = 244,95 nap (10. KFT). A P-t a metszeteken kereszt jelzi. Nem alkalmaztunk kontrollt a mozgás során.

Így az 1., 2. stb. Poincaré-metszetre egy ábrasoro- ábra, szaggatott téglalap) tartományból indítottunk, va- zatot kapunk (6. és 7. ábra). Valamennyi ábra úgy lamennyit az L5 pont t0 = 0 idõponthoz tartozó sebes- készült, hogy az adott idõpontban a P-t magában ségével, ami a P pálya. Jól látható az egymás utáni KFT- foglaló tartományból 3,6 105 részecskét – valameny- ken (6.b–f, 7.a, c, e, g ábrák), amelyek az egymás utá- nyit a P adott idõpontbeli sebességével, mint kezdõ- ni Poincaré-metszetek idõpontjában készültek a P ak- sebességgel – indítottunk el. Ezután megnézzük, hogy tuális sebességével, mint kezdõsebességgel, hogy be- P hol van ezen a térképen. Ha összefüggõ tartomány- avatkozás nélkül a P az átlagos élettartamnak megfelelõ ra esik, akkor biztos, hogy P a következõ 400 nap t ≈ 450 nap múlva elszökik az R tartományból. alatt nem szökik el. Ha üres területre vagy fraktálszer- A fentiekben ismertetettek szerint elkészítve a szö- kezetre esik, akkor nem marad bent 400 napon át, így kés elõtti metszeteket, megállapíthatjuk, hogy a P-t a pályakorrekciót kell alkalmazni. fraktálszálakról – a lehetõ legkisebb energiabefekte- A 6.a ábra ilyen KFT-t mutat 3,6 105 részecskére, téssel – „át kell tolni” egy összefüggõ tartományra, ∈ ∈ amelyeket az x0 [−1,15, −0,7], y0 [−0,4, 0,3] (1.b egy „szigetre”.

252 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 vv t vv t 0,3 a) xy00= 0, = –0,2269, 0 = 271,26 0,3 b) xy00= 0, = –0,2245, 0 = 271,65

0,2 0,2

0,1 0,1

0 0,0 0 0,0

() () yr –0,1 yr –0,1

–0,2 –0,2

–0,3 –0,3

–0,4 –0,4 –1,15 –1,1 –1,05 –1,0 –0,95 –0,9 –0,85 –0,8 –0,75 –0,7 –1,15 –1,1 –1,05 –1,0 –0,95 –0,9 –0,85 –0,8 –0,75 –0,7 xr xr ()0 ()0 vv t vv t 0,3 c) xy00= 0, = –0,19555, 0 = 298,94 0,3 d) xy00= 0, = –0,20482, 0 = 298,71

0,2 0,2

0,1 0,1

0 0,0 0 0,0

() () yr –0,1 yr –0,1

–0,2 –0,2

–0,3 –0,3

–0,4 –0,4 –1,15 –1,1 –1,05 –1,0 –0,95 –0,9 –0,85 –0,8 –0,75 –0,7 –1,15 –1,1 –1,05 –1,0 –0,95 –0,9 –0,85 –0,8 –0,75 –0,7 xr xr ()0 ()0 vv t vv t 0,3 e) xy00= 0, = –0,18545, 0 = 409,19 0,3 f) xy00= 0, = –0,19325, 0 = 405,54

0,2 0,2

0,1 0,1

0 0,0 0 0,0

() () yr –0,1 yr –0,1

–0,2 –0,2

–0,3 –0,3

–0,4 –0,4 –1,3 –1,25 –1,2 –1,15 –1,1 –1,05 –1,0 –0,95 –0,9 –0,85 –1,15 –1,1 –1,05 –1,0 –0,95 –0,9 –0,85 –0,8 –0,75 –0,7 xr xr ()0 ()0 vv t vv t 0,3 g) xy00= 0, = –0,21739, 0 = 458,43 0,3 h) xy00= 0, = –0,22374, 0 = 4598,08

0,2 0,2

0,1 0,1

0 0,0 0 0,0

() () yr –0,1 yr –0,1

–0,2 –0,2

–0,3 –0,3

–0,4 –0,4 –1,3 –1,25 –1,2 –1,15 –1,1 –1,05 –1,0 –0,95 –0,9 –0,85 –1,15 –1,1 –1,05 –1,0 –0,95 –0,9 –0,85 –0,8 –0,75 –0,7 xr xr ()0 ()0 7. ábra. Síkbeli K4TP: KFT-k (t = 400 napig), mutatva a beavatkozás hatását. A bal oldali oszlop (a, c, e, g) a 6. ábra folytatása, t = 271,26 és 458,43 nap között (11., 12., 16., 18. metszéspont.) A kereszt a P-t jelöli, kontroll nélkül. A jobb oldali oszlop (b, d, f, h) a KFT-ket (11., 12., 16., 18.) mutatja a beavatkozás után. A kontroll után készített metszetek a beavatkozás nélküliekhez képest idõben kissé eltolódtak, t = 271,65 és 459,08 nap között. Megfigyelhetõ, hogy a kontroll után a P-t jelzõ kereszt a kék szigeteken marad t ≈ 460 napig.

SLÍZ-BALOGH JUDIT, KOVÁCS TAMÁS, SÜLI ÁRON: TRANZIENS KÁOSZ ÉS KÁOSZKONTROLL A FÖLD–HOLD RENDSZER… 253 Két alapvetõ kérdés merül fel.: a) hogyan és b) koordinátáit jelzi, míg az n index az elõzõ KFT-re mikor tegyük? vonatkozik, ahol a kontrollt kezdtük. A (2) egyenlet Elõször a második kérdésre válaszolunk. Nyilván- adja meg a kontrollhoz szükséges erõ nagyságrendjét, valóan azt megelõzõen kell beavatkozni, mielõtt a P amelyre körpályán keringõ 1 kg-os próbatest esetére elhagyja a „szigetet”. A beavatkozás idõpontjának F ≈ 10−6 N értéket kaptunk. A kontroll energiaigénye meghatározásához segítségül használhatjuk az átlagos F 2πr, r a holdpálya Földtõl mért távolsága, F pedig benntartózkodási idõ felét, a kaotikus viselkedés kö- a kontrollerõ abszolút értéke. zépidejét, ami ≈ 220 nap. Mivel ekkor jár a pálya leg- közelebb a nyereghalmazhoz, feltehetõen ezen idõ- pont környékén kell megtenni a beavatkozást. Záró gondolatok Most rátérhetünk az elsõ kérdés tárgyalására. Mivel csak diszkrét esetekben ismerjük a rendszer dinami- A fentiekben ismertetett káoszkontrollmódszer nem- káját, két KFT között alkalmazzuk a következõ f tan- csak pályán tartásra, hanem egy ûreszköz célba jutta- genciális tolóerõt. tására is alkalmas, és megvalósítható – akár napener- giával mûködtetett – ionmeghajtással.5 Folyamatosan F v x x ,hat ∈ [t , t Δ t], ugyan, de nagyon kis erõkifejtést igényel (mikronew- v n n ton nagyságrendben). Igaz, hogy ebben az esetben a beavatkozás ideje hosszabb, mint rakétameghajtás Fy vy (1) f (x, y)= ,hat ∈ [t , t Δ t], esetén, de az ionmeghajtás sokkal jobb hatásfoka v n n jelentõsen csökkenti a költségeket és pontosabb is, mint egy lökésszerû tolóerõ alkalmazása. 0 egyébként, Ezt a káoszkontrollmódszert nemcsak égi mechani- ahol Fx,Fy és vx,vy rendre az alkalmazott F tolóerõ és kai problémákra lehet alkalmazni, hanem egyéb tudo- a v sebesség x és y irányú komponense, tn az az idõ- mányterületeken is, akár a mérnöki gyakorlatban vagy pillanat, amikor a kontroll elkezdõdik, Δt pedig a a biofizikában is, mindenütt, ahol a kaotikus jelenség kontrollbeavatkozás idõtartamát jelöli. mögött idõfüggõ matematikai modell húzódik meg. Az Nézzük most a 220 naphoz legközelebb esõ, t = égi mechanikában pedig további kihívás lehet például 244,95-höz tartozó KFT-t, amely a 10. KFT t = 0 után a Marsra vagy más bolygókra való eljutás kidolgozása (6.f ábra)! Ebben az idõpontban kezdjük el alkalmaz- és/vagy a „bolygóközi szupersztráda” megtalálása. ni a kontrollt egészen a következõ metszéspont ide- jéig. Láthatjuk, hogy a P-t jelzõ kereszt a következõ Irodalom metszésponthoz tartozó KFT-n „szigetre” esik (7.b 1. Belbruno, E. A.: Lunar capture orbits, a method of constructing ábra), míg kontroll nélkül már eltávolodott onnan earth moon trajectories and the Lunar GAS mission. AIAA’87 (1987). (7.a ábra). (A kontrollhoz szükséges erõ becslése a 2. Howell, K. C., Barden, B. T., Wilson, R. S., Lo, M. W.: Trajectory következõ fejezetben olvasható). design using a dynamical systems approach with application to GENESIS. Adv. Astronaut. Sci. 97 (1998) 1665. 3. Bennett, C. L.: The Microwave Anisotropy Probe (MAP) Mission. AAS 28 (1996) 1391. Becslés a kontrollerõ nagyságára 4. Rosa, F., Miniscalco, R., Rame, F., Torchia, F.: An On-Board Soft- ware Approach to Managing a Complex Space Mission and its A 7. ábra bal és jobb oldali oszlopait összehasonlítva FDIR: The Herschel–Planck Case Study. ESASP 602 (2005) 37. megállapíthatjuk, hogy a P-t egy kicsiny Δr mérték- 5. Belló, G., Gómez, G., Masdemont, J.: Space Manifold Dyna- mics. Springer, New York (2010) 1–96. ben a KFT egy olyan területére kell tolni az x-y sík- 6. Belbruno, E.: Space Manifold Dynamics. Springer, New York ban, ahol összefüggõ tartomány található. Hangsú- (2010) 133–148. lyozzuk, hogy kicsi, de viszonylag hosszú ideig tartó 7. Fehlberg, E.: Classical fifth-, sixth-, seventh-, and eight-order Run- erõt alkalmazunk a kontrollhoz, és a kontrollbeavat- ge–Kutta formulas with stepsize control. NASA TR R-287 (1968). 8. Tél T., Gruiz M.: Kaotikus dinamika. Nemzeti Tankönyvkiadó, kozást követõ KFT szerkezete függ az alkalmazott Budapest (2002). erõtõl. Ezért szükség van a beavatkozás nagyság- 9. Kovács, T., Érdi, B.: Transient chaos in the Sitnikov problem. rendjére vonatkozó kezdeti becslésre. Ehhez egy Celest. Mech. & Dyn. Astron. 105 (2009) 289. egyszerû, a kéttestprobléma energiamegmaradásán 10. Slíz J.: Tranziens káosz a helyfüggõ amplitúdóval gerjesztett osz- cillátor példáján. Fizikai Szemle 61/1 (2011) 6–11. alapuló számítást használtunk. 11. Kovács T.: Egyszerûen bonyolult – a Sitnikov-probléma. Fizikai Szemle 61/1 (2011) 15–19. GM Δ E = 0,5 m Δ v 2 − = ⌠ F ds, (2) 12. Lai, Y., Tél, T.: Transient Chaos. Springer, New York (2011). Δ r ⌡ 13. Ott, E., Grebogi, C., Yorke, J. A.: Controlling Chaos. PhRvL 64 (1990) 1196. r r Δ 2 2 − 2 Δ n n 1 14. Lai, Y.-C.: Driving trajectories to a desirable attractor by using ahol v = vn 1 vn és r = small control. Phys. Lett. A 221 (1996) 375. rn rn 1 mennyiségeket az n-edik és az (n+1)-edik KFT-bõl 5 kapjuk, m és M a próbatest és a Hold tömege, G a Az ionhajtómû ûreszközök, fõleg ûrszondák meghajtására szol- gál, a legegyszerûbb és leggyakoribb elektromos hajtómû, amely gravitációs állandó. Az n+1 index a KFT-n a P kont- nagyon kis, 0,09 N gyorsító erõvel és nagyon jó, 60%-os hatásfokkal roll végét jelentõ Poincaré-metszet hely- és sebesség- mûködik.

254 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 EXTRÉM NAGY TÉRERÕSSÉGÛ TERAHERTZES IMPULZUSOK ELÕÁLLÍTÁSA LÍTIUM-NIOBÁTBAN Pálfalvi László,1 Fülöp József András,2,3 Tóth György,1 Almási Gábor,1,3 Hebling János1,2,3 1Pécsi Tudományegyetem, TTK Fizikai Intézet 2MTA–PTE Nagy Intenzitás Terahertzes Kutatócsoport 3Pécsi Tudományegyetem, Szentágothai János Kutatóközpont

Az elektromágneses spektrum távoli infravörös, ba esik. A legnagyobb (1 MV/cm-t meghaladó) csúcs vagy más néven terahertzes (THz-es) tartománya az elektromos térerõsségû THz-es impulzusok számára infravörös és a mikrohullámok közt helyezkedik el. ígéretes alkalmazások a részecskegyorsítás [2–4], A THz-es sugárzás elõállításával kapcsolatos kutatá- illetve a stabil vívõ-burkoló fázisú egyciklusú atto- sok és fejlesztések az utóbbi két évtizedben kiemel- szekundumos impulzusok Thomson-szórással törté- ten fontossá váltak olyan alkalmazási lehetõségek- nõ keltése [5]. nek köszönhetõen, mint például a képalkotás. A A THz-es fizika idõszámításának kezdetét a THz-es tudományos kutatásban a kis intenzitású THz-es impulzusok jelalakjának elsõ méréséhez köthetjük. A sugárzás fõ felhasználási területe a lineáris spekt- pikoszekundumos nagyságrendû tartományba esõ roszkópia [1]. Nagy intenzitású THz-es nyalábok impulzushosszú hullámforma detektálását az elektro- pedig olyan ultragyors folyamatok vizsgálatát lehe- optikai mintavételezés teszi lehetõvé. A számos fon- tõvé tevõ pumpa-próba méréseknek lehetnek eszkö- tos ipari, gyógyászati és kutatási alkalmazás lehetõsé- zei, melyben a pumpaimpulzus a THz-es tartomány- ge miatt a nagy energiájú THz-es forrásfejlesztés stra- tégiai fontosságú feladat. Nagy energiájú, egyciklusú THz-es impulzusok A munkát az EFOP-3.6.2-16-2017-00005 azonosító számú, Ultra- gyors fizikai folyamatok atomokban, molekulákban, nanoszerkeze- keltésére hatékony módszer az ultrarövid impulzusok tekben és biológiai rendszerekben címû projekt és a Bolyai János nemlineáris kristálybeli optikai egyenirányítása. Nem- Kutatási Ösztöndíj (T. Gy.) támogatta. lineáris optikai folyamatról lévén szó kézenfekvõnek tûnik, hogy a kitûnõ nemlineáris optikai tulajdonsá- gokkal rendelkezõ lítium-niobátot (LiNbO3, a továb- Pálfalvi László egyetemi tanulmányait a biakban LN) használjuk e célra. Ahhoz, hogy haté- PTE fizika szakán végezte. Jelenleg a PTE kony THz-keltés valósulhasson meg, elvárt kritérium, Fizikai Intézet Kísérleti Fizika Tanszékének hogy a keltõ optikai impulzus és a keltett THz-es jel tanszékvezetõ egyetemi tanára, az MTA doktora. Kutatási területe a távoli infravö- együtt haladjon a közegben, azaz biztosított legyen a rös (teraherztes) impulzusforrások fejlesz- sebességillesztés. LN esetén azonban a törésmutató téséhez kapcsolódó elméleti számítások jelentõsen eltér az optikai és a THz-es tartományon, végzése, illetve kristályminõsítõ eljárások ami a sebességillesztést ellehetetleníti. módszertani fejlesztése. Számos hazai és nemzetközi szabadalomban társfeltaláló.

Almási Gábor egyetemi docens, a PTE Fizi- kai Intézet igazgatója fizikus diplomáját Fülöp József András 2003-ban szerzett 1984-ben a József Attila, doktori fokozatát PhD fokozatot lézerfizikából a Szegedi Tu- 2000-ben a Szegedi Tudományegyetemen dományegyetemen. Az MTA–PTE Nagy In- szerezte. Kutatási tevékenysége a nagy im- tenzitású Terahertzes Kutatócsoport tudo- pulzusenergiájú, közel egyciklusú terahert- mányos tanácsadója, az MTA doktora. zes impulzusok keltése, illetve azok alkal- Részt vett az ELI-ALPS felépítésében, ahol mazásainak számítógépes modellezése felé jelenleg csoportvezetõi feladatot lát el. irányul. Az ELI számára készülõ terahertzes Kutatási területe nagy intenzitású optikai mûszeregyüttes kifejlesztését végzõ csoport és terahertzes impulzusok elõállítása és al- egyik irányítója. Több oktatás- és tudomány- kalmazásaik. szervezési tevékenységben vesz részt.

Tóth György egyetemi adjunktus fizika-mate- matika szakos diplomát 2011-ben, doktori Hebling János egyetemi tanár, Széchenyi- fokozatot 2016-ban szerzett a Pécsi Tudo- díjas lézerfizikus, a PTE Fizikai Intézetének mányegyetemen. 2014–2017 között az MTA– igazgatója 2008–2017-ig. Kutatási területe PTE Nagy Intenzitású Terahertzes Kutatócso- ultrarövid lézerimpulzusok elõállítása és port, 2018-tól a Pécsi Tudományegyetem alkalmazása, különös tekintettel a nagy- munkatársa. 2019-ben elnyerte az MTA Bo- energiájú terahertzes impulzusok elõállítá- lyai János Kutatási Ösztöndíját. Fõ kutatási sára és ultragyors folyamatok vizsgálatára, területei ultrarövid fényimpulzusok elõállítá- valamint részecskék gyorsítására történõ sához, azok nemlineáris terjedésének mo- felhasználására. Optical Society of America dellezéséhez, valamint terahertzes impulzu- Fellow, a JOSA B folyóirat szerkesztõje, az sok hatékony elõállításához köthetõk. EPS QEOD Board tagja.

PÁLFALVI L., FÜLÖP J. A., TÓTH GY., ALMÁSI G., HEBLING J.: EXTRÉM NAGY TÉRERO˝ SSÉGU˝ TERAHERTZES IMPULZUSOK… 255 v γ cs,p (1) egyenletnek, másrészt a rács képe az impulzus- fronttal párhuzamosan keletkezzen a kristályban. Az γ elsõ feltétel teljesülése biztosítja a sebességillesztést. A második pedig a keltési folyamat kellõ hatékonyságát v f,THz és homogenitását biztosítja, ugyanis az impulzusfront mentén mindenütt ekkor rekonstruálódik az eredeti Fourier-transzformáció limitált impulzushossz. A döntött impulzusfrontú gerjesztési módszer tel- jesítõképességét jelzi, hogy folyamatos, tudatos opti- malizálásnak köszönhetõen egy évtized alatt a THz- es impulzusenergia hét nagyságrendet meghaladó 1. ábra. A döntött impulzusfrontú sebességillesztés elvét szemléltetõ ábra. Az optikai impulzus intenzitásfrontját a vastag vonal jelzi. A kel- növekedését sikerült elérnünk LN-ot használva, tett THz-es impulzus egy fázisfrontját a sávozott alakzat mutatja. ahogy azt a 3. ábra mutatja a konverziós hatásfok értékekkel együtt. A grafikon utolsó pontpárja 430 μJ Az általunk kifejlesztett, 2002-ben demonstrált, dön- THz-es impulzusenergiát, illetve 0,77% konverziós tött impulzusfrontú gerjesztési módszer lehetõséget hatásfokot jelöl [8]. Mindezt 1030 nm központi hul- biztosít a sebességillesztési nehézségek leküzdésére [6]. lámhosszú, nem transzformációlimitált 780 fs impul- A módszer lényege a pumpáló lézerimpulzus intenzi- zushosszú pumpálással, szobahõmérsékleten értük tásfrontjának (impulzusfrontjának) megdöntése a fázis- el. Abban az idõben ez az impulzusenergia világre- fronthoz képest (1. ábra). Döntött impulzusfrontú kordként volt számon tartva, LN-tal ezt az értéket pumpálónyalábbal történõ gerjesztés során a sebesség- azóta sem sikerült túlszárnyalni. A LN-tal elõállítható illesztés feltétele úgy teljesül, hogy az optikai impulzus közel egyciklusú impulzusok elektromos térerõssé- vcs,p csoportsebességének a THz terjedési irányra vett gének csúcsértéke a MV/cm-es tartományba esik, vetülete egyenlõ lesz a THz-es impulzus vf,THz fázisse- ami elegendõ ahhoz, hogy töltött részecskék gyorsí- bességével, ahogy azt az 1. ábra szemlélteti, azaz tásával kapcsolatos alkalmazások felvetõdjenek. Ki- hívás olyan módszerek kifejlesztése, amelyekkel e γ (1) vcs,p cos = vf,THz, térerõsség tovább növelhetõ. A 3. ábrán látható látványos energiabeli növeke- ahol γ az impulzusfront dõlésszöge, amelynek értéke dés egyik oka az adalékolatlan LN kristályról a THz-es LN esetén körülbelül 63°. A keltett THz-es sugárzás abszorpció szempontjából kedvezõbb 0,7 mol% mag- az impulzusfrontra merõlegesen terjed. Ezért, a refle- néziummal adalékolt sztöchiometrikus LN-ra való xiós veszteségek minimalizálása, illetve a kilépõ THz- áttérés volt. E kristályokat a Wigner Fizikai Kutatóin- es nyaláb szögdiszperziójának elkerülése érdekében a tézetben növesztik. A másik nagyon fontos tényezõ a kristály kilépõsíkját annak belépõsíkjával γ szöget pumpálás jellemzõinek – különös tekintettel a pum- bezáróan kell kialakítani. Egyszerûen levezethetõ általános érvényû tény, 2. ábra. A hagyományos, döntött impulzusfrontú gerjesztési elren- hogy az impulzusfrontdõlés szögdiszperzióval jár dezés fõ komponensei a pumpáló lézer, az optikai rács, a leképezõ optika és a nemlineáris kristály. együtt, ahogy azt a

nf,p dε tgγ = − λ (2) 0 λ detektor ncs,p d

összefüggés kifejezi [7], amelyben nf,p és ncs,p a pum- λ pálásra vonatkozó fázis- és csoport-törésmutató, 0 a vákuumbeli központi hullámhossz, dε/dλ pedig a szögdiszperzió. LiNbO3 THz Szögdiszperzió létrehozására spektrális bontóele- mek használhatók. Viszonylag nagymértékû impulzus- frontdöntés esetén erre az optikai rács a legalkalma- sabb. Az elsõ demonstrációs kísérletünk után világ- szerte egyre több kutatócsoport kezdte el használni a 2. ábrán látható, mára hagyományosnak mondható leképezõ optika döntött impulzusfrontú gerjesztési sémát. Az elrende- zésben a pumpáló nyaláb egy reflexiós rácson diffrak- λ/2 ciót szenved, amely során szögdiszperzió jön létre. Ezután a nyalábot leképezõ optikán (lencsén vagy te- leszkópon) keresztül a kristályba – annak belépõsík- jára merõlegesen – vezetjük. A diffrakció geometriáját, pumpáló lézer illetve a leképezést úgy kell beállítani, hogy egyrészt a kristálybeli impulzusfront dõlésszöge eleget tegyen az

256 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 hatásfok további jelentõs növelésé- 0,008 hez vezet a kristály kriogenikus hû- 109 tése a THz-es abszorpció csökkené- sének köszönhetõen. A terahertzes energia felskálázá- 0,006 sához kézenfekvõnek tûnik a pum- 107 páló energia növelése. Ez egyben a pumpanyaláb szélesítését is jelenti (jellemzõen a pár mm-es tartomány- 0,004 ról akár néhány cm-esre), ugyanis 105

hatásfok ügyelni kell arra, hogy a pumpáló intenzitás ne érje el a LN kristály roncsolási küszöbértékét. A széles

THz-es impulzusenergia (pJ) 3 0,002 pumpanyalábok használatának azon- 10 ban a hagyományos döntött impul- zusfrontú THz-es gerjesztési séma két esszenciális jellemzõje korlátot szab. Egyik a leképezési hibák jelen- 101 0,000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 léte, ez a nagy szögdiszperzióval év rendelkezõ pumpanyaláb impulzu- 3. ábra. A THz-es impulzusenergia (bal oldali logaritmikus skála) és THz-keltés hatásfoká- sainak a transzverzális koordinátával nak (jobb oldali skála) evolúciója. növekvõ impulzushosszabbodásá- ban mutatkozik meg, ami a konver- páló impulzushosszra – alkalmas megválasztása volt. ziós hatásfok telítõdéséhez vezet. A másik korlátozó A THz-keltés (lokális) hatásfoka fordítottan arányos a tényezõ a nemlineáris kristály prizmaalakja. Azon (lokális) pumpáló impulzushosszal. E ténybõl viszont kristályoknál, amelyeknél az ékszög jellemzõen nagy korántsem szabad arra a következtetésre jutni, hogy (ilyen a LN) a hatásfokromlás mellett a nyaláb minõ- annál effektívebb a keltés minél rövidebb transzfor- ségének romlásával is szembe kell nézni. Széles pum- mációlimitált pumpáló lézerimpulzust használunk. A panyaláb esetén ugyanis a pumpanyaláb keresztmet- szögdiszperzió jelenléte ugyanis a pumpáló impul- szetben átellenes két oldalán keltett THz-es nyaláb zushossz terjedéssel történõ kiszélesedését okozza. jelentõsen eltérõ hosszon keltõdik, így a LN kristály- Rövid transzformációlimitált impulzushossz esetén ez ban eltérõ mértékû abszorpciónak és diszperziónak a változás a terjedéssel gyorsan bekövetkezik, vagyis van kitéve és a nemlineáris hatások is különbözõk. rövid lesz az a térbeli tartomány, ahol az átlagos im- Emiatt a pumpanyaláb két oldalán szimmetrikusan pulzushossz kicsi, azaz ahol intenzív a THz-keltés. elhelyezkedõ részeken keltett THz-es impulzusok in- Hosszú transzformációlimitált impulzushossz esetén tenzitása, valamint az impulzusokban az elektromos a szögdiszperzió okozta változás lassabb, viszont a tér idõbeli lefutása jelentõsen különbözik egymástól, túl hosszú impulzushossz eleve kedvezõtlen. Modell- azaz gyengébb koherenciájú, erõsen aszimmetrikus számításokkal optimalizáltuk a pumpáló impulzus- THz-es nyaláb keletkezik. Emiatt a THz-es nyalábot hosszértéket. Eredményeink az mutatták, hogy a ko- nem lehet erõsen (a diffrakció által meghatározott rábban használt tipikusan 100 fs-os Ti:zafír impulzu- korlátnak megfelelõen) fókuszálni. Ez ellehetetlenít sok helyett célszerû jóval hosszabb impulzusokat olyan fontos alkalmazásokat, mint a THz-es térrel használni a THz-keltésre. A 430 μJ energiájú THz-es történõ részecskegyorsítás. impulzusok demonstrálásához tartozó kísérletek már Olyan elrendezéseket kerestünk, amelyekkel leké- az optimálishoz közeli impulzushosszú pumpáló pezés nélkül (vagy redukált leképezési hibákkal), impulzusokkal, illetve THz-es abszorpció szempont- illetõleg plánparalel (vagy kis ékszögû) LN kristállyal jából optimalizált kristályösszetétellel történtek. A lehet megvalósítani a THz-keltést. Javasoltunk egy úgynevezett kon- 4. ábra. A hagyományos, döntött impulzusfrontú gerjesztésû THz-es sugárforrás és a kon- taktrács-sugárforrást, amely a leké- taktrács ötvözete: a hibrid sugárforrás. pezõ optika kiiktatásával kompakt kontaktrács módon egyesíti a szögdiszperziót (és azon keresztül az impulzusfront- optikai rács THz-es nyaláb dõlést) létrehozó rácsot és a nemli- neáris kristályt. A diffrakciós rács a kristály bemeneti felületén van ki- alakítva, praktikusan a kristály anya- nemlineáris gából. Egy elõnyös kiviteli alak a kristály bináris négyszögrács. Azonban a rács finomszerkezetére is kiterjedõ pumpálás elméleti szimulációk sorozatainak és

PÁLFALVI L., FÜLÖP J. A., TÓTH GY., ALMÁSI G., HEBLING J.: EXTRÉM NAGY TÉRERO˝ SSÉGU˝ TERAHERTZES IMPULZUSOK… 257 a gyártási próbálkozásoknak konklúziói LN esetén pumpálás nem voltak bíztatóak. A jó diffrakciós hatásfokú be- THz csatoláshoz egyrészrõl ugyanis olyan nagy, körülbelül γ 3000 1/mm-es modulációsûrûség szükséges, ami az ionmaratásos technológia precizitásának határait átlé- pi. Kísérleti próbálkozások eredményeként a derék- szögû bináris profil helyett csak trapézprofilt sikerült létrehozni. Ez pedig drasztikus diffrakcióshatásfok- csökkenéshez vezet. Másrészrõl továbbra is prizma h alakú LN kristályra van szükség, bár a hagyományos w esethez tartozónál kisebb (körülbelül 45°-ra csök- kent) ékszöggel. Szükséges továbbá a belépõ oldalon törésmutató-illesztõ közeg alkalmazása is. E problémákat jelentõsen redukálja egy, a 4. 5. ábra. Az optikai rácsot, leképezõ optikát és plánparalel lépcsõs ábrán látható hibrid séma, amely a hagyományos el- rácsot tartalmazó THz-es sugárforrás. rendezés és a kontaktrács ötvözete. A sebességillesz- nyez. A sebességillesztés által megkövetelt mértékû téshez szükséges szögdiszperzió két lépésben jön impulzusfrontdõlés a pumpanyaláb terjedési útjában létre: egyrészt az optikai rácson, másrészt a LN kris- elhelyezett leképezõ optikával kerül beállításra. A kel- tály bemenetén lévõ kontaktrácson. Ebbõl követke- tett THz-es sugárzás a kristálybeli lépcsõs impulzus- zõen a leképezési hibák okozta impulzustorzulások a front burkolójára merõlegesen terjed. Ennélfogva a hagyományos elrendezéshez képest redukálódnak, THz-es sugárzás kristályból történõ kicsatolásához mivel a leképezõ optikát érõ nyaláb szögdiszperziója pontosan olyan (LN alkalmazásakor γ =63°-os) ék- csökken. Másrészrõl az optikai ráccsal történõ impul- szöggel kialakított prizma szükséges, mint a konven- zusfront „elõdöntésnek” köszönhetõen kisebb feladat cionális esetben, ami – mint fent kifejtettük – komoly hárul a kontaktrácsra, a szükséges karcolatsûrûséget korlátozó tényezõ a THz-es energia felskálázásában. ezáltal olyan értékre redukálva, ami jelentõsen csök- Sikerült olyan megoldást találnunk, amely lépcsõs kenti a gyártástechnológiai nehézségeket. Harmad- rácsot alkalmaz, de lehetõvé teszi plánparalel kris- részrõl a szükséges ékszög értéke is mintegy 30°-ra tály használatát. A 4. ábrán bemutatotthoz hason- csökkent. Ezen hibrid séma kísérleti megvalósítása lóan, elsõ lépésben optikai rácsot és leképezést elõkészítés alatt van. használunk, a hibrid kontaktrács helyett viszont lép- A hagyományos gerjesztési sémával szembeni csõs rács bemenettel rendelkezõ plánparalel nemli- egyik fõ kritika, hogy a nagy szögdiszperzió a széles neáris kristályt. Megmutattuk, hogy a sebességillesz- spektrummal rendelkezõ pumpaimpulzus gyors idõ- tett, maximalizált hatásfokú THz-es impulzuskeltés beli szétfolyását eredményezi a kristályban. Ennek egy jól definiált gerjesztési geometriával valósítható kiküszöbölésére Ofori-Okai munkatársaival [9] a dön- meg. Nevezetesen, a kristály belépõ felülete burko- tött impulzusfrontú terahertzessugárzás-keltés egy lójának normálisa a beesõ nyalábbal γ szöget kell, olyan, a szögdiszperzió hátrányos hatásaitól mentes hogy bezárjon (lásd 5. ábra). A képsíknak, illetve az változatát javasolja, amely a pumpanyaláb impulzus- elõdöntéssel rendelkezõ impulzusfrontnak pedig front döntését a mikrométeres nagyságrendbe esõ pe- szintén γ szögben kell dõlnie, azaz párhuzamosak riódusú diffrakciós rács helyett egy nagyságrendileg kell legyenek a belépõfelület burkolójával. Ekkor nagyobb, körülbelül száz mikrométeres periódusú ugyanis a belépést követõen szegmentálttá vált im- lépcsõs struktúrán való reflexióval valósítja meg (ref- pulzusfront burkolója (amelyre merõlegesen terjed a lexiós echelle rácsot alkalmazó keltési elrendezés). keltett THz-es nyaláb) párhuzamos lesz a kristály Elemi megfontolások szerint a reflexió során az im- be- és kilépõfelületével. Széles paramétertartomány- pulzusfront finomszerkezete szintén lépcsõs lesz, ra kiterjedt szisztematikus modellszimulációk konk- amelynek mélysége a lépcsõs rács lépcsõmélységének két- 6. ábra. A plánparalel LN kristályon kialakított lépcsõs rács prototípusának mikroszkópos képe szerese, magassága a lépcsõs (a). Egyetlen lépcsõ és annak profilja (b). rács lépcsõmagasságával azo- a) b) nos lesz. Az impulzusfront átlagos dõlésének mértékét a lépcsõs struktúra lépcsõinek magassága és mélysége hatá- rozza meg. A keltési módszer hátránya a lépcsõs szerkezetû impulzusfront periodikus fá- zistoló hatása, ami túl durva lépcsõs struktúra esetén a keltett THz térre nézve dest- ruktív interferenciát eredmé-

258 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 kialakításával néhány százalékos hatásfokkal jó nya- γ lábminõségû THz-es sugárzás kelthetõ [10]. A közelmúltban javasolt, úgynevezett hátoldali THz reflexiós lépcsõsrács-sugárforrásunk [11] hatalmas w elõnye, hogy kompaktságában túlszárnyal vala- h mennyi korábbit. Egyetlen komponensbõl áll ugyan- is, egy plánparalel kristályból, amelynek hátoldala reflexiós lépcsõs rácsként van megmunkálva. A mû- ködés alapelve hasonló a fent bemutatott lépcsõs rácsokéhoz. További elõnye, hogy a tökéletes THz- es nyalábminõség mellett biztosítja az energia fel- pumpálás skálázhatóságát. A 8. ábra mutatja a THz-es impul- zus numerikus szimulációval meghatározott térerõs- séglefutását közvetlenül a kristályból történõ kilépés után, illetve fókuszálás után a fókuszban. A 6 cm 7. ábra. Az optikai rácsot és kis ékszögû lépcsõs rácsot tartalmazó, átmérõjû (FWHM) THz-es nyalábot 5 cm-es fókusz- leképezõ optikától mentes THz-es sugárforrás elvi vázlata. távolságú lencsével 1 mm átmérõjûre fókuszálva a lúziói alapján 1% körüli konverziós hatásfok mellett fókuszbeli csúcs térerõsségre 25 MV/cm-t kapunk, több száz kV/cm-es csúcs elektromos térerõsséget ami nagyságrendbeli növekedést jelent a korábbiak- várhatunk. Centiméteres szélességû pumpálónyaláb- hoz képest. Az impulzus alakja tökéletesen alkalmas bal pedig megközelíthetõ a mJ-os THz-es impulzus- töltött részecskék gyorsítására. energia-szint. E cikkben a történeti hûséget megõrizve prezentál- A lépcsõs struktúra száz mikrométeres tartományba tuk a döntött impulzusfrontú gerjesztési módszeren esõ, w lépcsõszélességû lépcsõinek optikai minõségû alapuló THz-es impulzusforrások fejlõdését. A kutató- mikromegmunkálása nem magától értetõdõ feladat. fejlesztõ munkát az alkalmazások igényei által vezé- Az ipari partner (KUGLER GmbH) által ultraprecíz relt innovatív szemlélet uralta. A Fizikai Szemle ké- gyémántmaróval megmunkált mintadarabbal (amely- sõbbi számában e témához szorosan kapcsolódóan az nek mikroszkópos felvételei a 6. ábrán láthatóan) extrém nagy elektromos térerõsségû THz-es impulzu- összeállított THz-es forrással sikerült THz-keltést de- sok részecskegyorsításra való alkalmazását szándé- monstrálni. Hatásfokot tekintve szerényebben teljesí- kozzuk bemutatni. tett a forrás annál, ahogy azt elõzetesen jósoltuk. En- nek oka többek közt a lekerekített lépcsõfok (6. áb- Irodalom ra). Tervezzük a kristály nagyobb méretben való elõ- 1. Buzády A., Tóth Gy., Unferdorben M., Hebling J., Oláh L., Haj- állítását, és a technológia finomítását. Az impulzus- dara I., Mezõ E., Lemli B., Kunsági-Máté S., Pálfalvi L.: Dielekt- romos jellemzõk meghatározása a terahertzes frekvenciatarto- alakot tekintve viszont az elméletileg jósolttal szinte mányban. Fizikai Szemle 66/12 (2016) 413. tökéletesen megegyezõ, gyakorlatilag egyciklusú 2. Z. Tibai, M. Unferdorben, Sz. Turnár, A. Sharma, J. A. Fülöp, G. THz-es impulzusokat sikerült detektálnunk. Almási and J. Hebling: Relativistic electron acceleration by fo- Az 5. ábrán látható leképezés elhagyásával még cused THz pulses. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 51 (2018) 134004. egyszerûbbé, kompaktabbá tehetõ az elrendezés, sõt 3. L. Pálfalvi, J. A. Fülöp, Gy. Tóth, J. Hebling: Evanescent-wave a leképezési hibák korlátaitól is mentesülünk. Ennek proton postaccelerator driven by intense THz pulse. Phys. Rev. ára viszont, hogy fel kell adnunk a kristály plánparalel ST Accel. Beams 17 (2014) 031301. jellegét (7. ábra). Elméleti megfontolások és szimulá- 4. D. Zhang, A. Fallahi, M. Hemmer, X. Wu, M. Fakhari, Y. Hua, H. Cankaya, A.-L. Calendron, L. E. Zapata, N. H. Matlis, F. X. Kärt- ciósorozatok eredményei alapján megmutattuk, hogy ner: Segmented terahertz electron accelerator and manipulator optimális (Littrow-elrendezésben használt rács) geo- (STEAM). Nature Photonics 12 (2018) 336. metriával, kis értékû (jellemzõen 10° alatti) ékszög 5. Gy. Tóth, Z. Tibai, A. Sharma, J. A. Fülöp, J. Hebling: Single- cycle attosecond pulses by Thomson backscattering of terahertz pulses. J. Opt. Soc. Am. B 35 (2018) A103. 8. ábra. Terahertzes impulzusalak közvetlenül a kristályból történõ 6. J. Hebling, G. Almási, I. Kozma, J. Kuhl: Velocity matching by kilépés után (kék), illetve fókuszálást követõen (piros). pulse front tilting for large area THz-pulse generation. Opt. Ex- press 10 (2002) 1161. 20 7. J. Hebling: Derivation of the pulse front tilt caused by angular direkt (×100) dispersion. Opt. Quantum Electron. 28 (1996) 1759. 10 fókuszált 8. J. A. Fülöp, Z. Ollmann, C. Lombosi, C. Skrobol, S. Klingebiel, L. Pálfalvi, F. Krausz, S. Karsch, J. Hebling: Efficient generation of THz pulses with 0.4 mJ energy. Opt. Express 22 (2014) 20155. 0 9. B. K. Ofori-Okai, P. Sivarajah, W. Ronny Huang, K. A. Nelson: THz generation using a reflective stairstep echelon. Opt. Express –10 24 (2016) 5057. 10. Gy. Tóth, L. Pálfalvi, J. A. Fülöp, G. Krizsán, N. H. Metlis, G. –20 Almási, J. Hebling: Numerical investigation of imaging-free tera- hertz generation setup using segmented tilted-pulse-front exci-

elektromos térerõsség (MV/cm) tation. Opt. Express 27 (2019) 7762. –8 –4 0 4 8 11. Gy. Tóth, L. Pálfalvi, Z. Tibai, L. Tokodi, Z. Mártion, G. Almási, idõ (ps) J. Hebling, Opt. Express, elbírálás alatt.

PÁLFALVI L., FÜLÖP J. A., TÓTH GY., ALMÁSI G., HEBLING J.: EXTRÉM NAGY TÉRERO˝ SSÉGU˝ TERAHERTZES IMPULZUSOK… 259 Boldog Ádám A KEPLER-MISSZIÓ MTA CSFK, Konkoly Thege Miklós Csillagászati Intézete, MTA–ELTE Exoplanet Research Group, Szombathely

A korszakalkotó csillagászati ûrtávcsövek listáján va- lószínûleg elõkelõ helyen szereplõ Kepler-teleszkóp egy nemzedékeken átívelõ sikertörténet fõszereplõje- ként alapjaiban változtatta meg a Naprendszeren kí- vüli planétákról alkotott nézeteinket. Kulcsfontosságú szerepe ugyan kétségtelen az exobolygók világának megismerésében és kiterjesztésében, jelentõsége azonban nem szûkíthetõ be annak határai közé. Majd évtizedes küldetése során a Kepler – többek között – változócsillagokat, szupernóvákat, aktív galaxismago- kat és naprendszerbeli égitesteket egyaránt vizsgált. Lehetetlen lenne áttekinteni azt a rengeteg tudomá- nyos cikket, amelyek megszületését a Kepler 2018 novemberéig tartó megfigyelései tettek lehetõvé. A továbbiakban kiterjedt tudományos repertoárjának A Kepler-ûrtávcsõ (forrás: NASA Ames, JPL Caltech). fontosabb pontjait ismerhetjük meg. Mindezek elõtt érdemes áttekinteni, mi tette lehetõvé, hogy a Kepler zése az asztroszeizmológia módszerével szintén a elérje a korábban példátlan teljesítményt. Kepler feladatkörébe tartozott – elõször csak mint a bolygók gazdacsillagai jobb megismerésének kiegé- szítõ eszköze, késõbb önálló, épp a Kepler (és koráb- Egy új korszak kezdete ban az európai CoRoT) segítségével megszületõ tudo- mányágként. Ennek lényege, hogy a csillag belsõ szer- A Kepler 2009. márciusi világûrbe juttatását – más kezetérõl annak „csillagrengései” hordoznak informá- NASA-projektekhez hasonlóan – több, mint egy évti- ciót (csakúgy, mint bolygónk esetében a földrengé- zedes elõkészületi munkálatok elõzték meg. Nagyot sek), amelyek a csillag fényességének kismértékû vál- téved az, aki úgy gondolja, a sikerhez vezetõ út sima tozásában nyilvánulnak meg (1. ábra). A csillag rezgé- és egyenes – a Kepler-projektet vezetõ William Bo- sei által generált hullámok terjedésének sebessége ruckinak és csapatának is sok buktatón kellett átvere- függ a hullám típusától, valamint azon közeg sûrûsé- kedni magát, míg javaslatukat végül elfogadták [1]. A gétõl, amelyen áthalad [1]. Csillagok esetén kétféle Kepler eleinte inkább optimista fantasztikumnak tûnt, hullámtípust különböztetünk meg: a csillagok külsõ mint potenciálisan megvalósítható tudományos ûresz- rétegeiben bekövetkezõ változásra érzékenyebb p-mó- köznek. Azonban a korábban lehetetlennek ítélt kül- dusokat, illetve a belsõ, a csillag magjához közeli ré- detés – a technológia fejlõdésének hála – az új évez- gióról információt hordozó g-módusokat. Az oszcil- red beköszöntével mégis szabad utat kapott, és hama- lációs módusok elnevezése azok természetére utal: a rosan megkezdhette tudományos vizsgálatait. „p” az angol pressure, a „g” pedig a gravity szóból ered A Kepler fõ profilja egyértelmûen a más csillagok körül keringõ exobolygók felfedezése, azon belül is a 1. ábra. A csillagokban terjedõ és felszínüket elérõ rezgések infor- mációt hordoznak a csillagok belsejérõl (forrás: G. P. Diaz/IAC). Földhöz hasonló kõzetbolygók arányának meghatáro- zása volt. A küldetés arra a kérdésre is próbált választ találni, hogy mennyire gyakoriak az ilyen típusú boly- gók a Naphoz hasonló sárga törpecsillagok körül. Ezek mellett természetesen további, a Jupiterhez ha- sonló gázbolygók detektálását is várták a távcsõtõl; valamint a csillagok belsõ szerkezetének feltérképe-

Boldog Ádám exobolygász. A csillagászat iránti szeretetet – mint valószínûleg sokan mások – a science fictionnek köszönheti. Ez is motiválta, hogy kutatási területként a tudományos-fantasztikumhoz jelenleg leg- közelebb álló témát válasszon: a Föld-típu- sú exobolygók lakhatóságának vizsgálatát. Jelenleg a TRAPPIST-1 rendszer planétái- nak mágneses terét igyekszik kiszámítani, hogy kiderítse, milyen mértékû védelmet nyújtanak a bolygók számára.

260 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 bolygó csillag fénygörbe

fényesség

idõ

3. ábra. Az exobolygó a tranzit során kitakarja a csillagkorong egy részét, ami a rendszer fényességének csökkenését okozza (forrás: NASA Ames). szerkezetét is vizsgálni lehessen [1]. A Kepler helio- centrikus pályán keringett 372,5 napos periódussal, energiaellátása napelemek segítségével történt. Azért, hogy ezeket folyamatosan fény érje, a teleszkópot negyedévente elforgatták 90 fokkal a látóirány men- tén. A távcsõ így ugyanazt a területet figyelhette egész 2. ábra. A Kepler-ûrtávcsõ detektorrendszere a laboratóriumban (forrás: NASA, Ball Aerospace). évben, pusztán az változott háromhavonta, hogy me- lyik CCD-egység méri az égbolt adott részét. (nem azonos a gravitációs hullámokkal [gravitational waves]!). Mivel a csillagokban jelen lévõ nyomási hul- lám a hanghullám, a p-módusú hullámokat szokás A sárga köves út – a Kepler elsõ négy éve akusztikus oszcillációknak is nevezni. Ebben az eset- ben a csillaggáz összenyomását és tágulását a konvek- A Kepler az exobolygók felfedezésére a tranzitmód- ció által gerjesztett rezgések keltik. A Naphoz hasonló szert alkalmazta [2]. Egy csillag fényességének perio- típusú és vörös óriás – vagyis kiterjedt konvekciós dikusan visszatérõ csökkenésébõl következtethetünk zónát tartalmazó – csillagok esetében a bennük terjedõ egy körülötte keringõ bolygóra (3. ábra). Ez a fé- hanghullámok a csillagot pulzációra kényszerítik. A nyességcsökkenés a Földrõl csak akkor észlelhetõ, ha g-módusú rezgések esetében a visszatérítõ erõ szere- a bolygópálya kedvezõen áll (ha inklinációja közel 90 pét nem a nyomás, hanem a felhajtóerõ tölti be. Az fokos), vagyis keringése során elhalad a csillaga és a asztroszeizmológia módszere ezen hullámok felszíni Föld között. Emiatt az ilyen típusú detektálási mód oszcillációinak alapján képes megkötést adni a csilla- elsõsorban a csillagokhoz közel keringõ bolygók fel- gok sugarára, tömegére és korára is. fedezésére érzékeny. Minél távolabb kering egy exo- bolygó csillagától, annál kisebb valószínûséggel áll fenn a kedvezõ pályakonfiguráció. A küldetés eszköze 4. ábra. A Kepler elsõ képe (forrás: NASA/Ames/J. Jenkins). A Kepler 1,4 méter átmérõjû, Schmidt-típusú tükrös távcsöve az égbolt 105 négyzetfokos területét vizsgál- ta. A misszió elsõ 4 évében a Kepler a Tejúttól észak- ra, a Hattyú és a Lant csillagkép határán húzódó terü- letet tartotta folyamatos megfigyelés alatt. Látómezejé- ben egyszerre 150 000 csillag fényességét mérte. A célterület kiválasztásában fontos szempont volt, hogy az az ekliptikán kívül essen, ezáltal egész évben meg- figyelhetõ legyen. A távcsõ célja az exobolygók fotometriai úton tör- ténõ detektálása volt. Amikor egy bolygó elhalad csillaga elõtt, kitakarja annak egy részét. Ezt a csillag fényességének csökkenéseként érzékeljünk abban az esetben, ha a bolygópálya síkja közel a látóirányunk- ba esik. Ahhoz, hogy egy Föld méretû kõzetbolygó által okozott fényességcsökkenést érzékeljünk egy Nap-típusú csillag körül, 10−5–10−6 relatív pontosságú fotometriai eszközre van szükségünk. A Kepler 42 darab CCD-bõl összeállított detektora képes volt ilyen mértékû precizitásra (2. ábra). Ez a rendkívüli pon- tosság tette lehetõvé azt is, hogy a csillagok belsõ

BOLDOG ÁDÁM: A KEPLER-MISSZIÓ 261 A Kepler elsõ képe 2009 áprilisában született (4. áb- Kepler-4b Kepler-5b Kepler-6b Kepler-7b Kepler-8b ra), és nem kellett sokáig vár- ni az elsõ felfedezésre sem.

2010 januárja jelentette a jég 1,000 megtörését: a távcsõ által de- tektált elsõ exoplanéta egy Ju- 0,995 0,990 piter típusú gázóriás volt (5. fluxus (rel. egys.) –400004444–4 0 4 –4 –4 –4 ábra). Egy év múlva sor ke- fázis (óra) fázis (óra) fázis (óra) fázis (óra) fázis (óra) rült az elsõ kõzetbolygó felfe- keringési 3,2 nap 3,5 nap 3,2 nap 4,9 nap 3,5 nap dezésére is: ez volt a Kepler- periódus 10b. A Kepler ezt követõen szinte „futószalagon” szállítot- 5. ábra. A Kepler által felfedezett elsõ exobolygók Neptunusz és Jupiter méretû gázóriások voltak. ta az újabb exobolygókat: az A fénycsökkenés mértéke arányos a bolygó által kitakart terület méretével (forrás: NASA/Kepler elsõ kettõscsillag körül kerin- Mission). gõ bolygót 2011-ben fedezte fel (Kepler-16b [3]), ame- A küldetés során olyan égitestek felfedezésére is lyet késõbb több (a Csillagok háborújából ismert sor került, amelyekre nem található példa a Naprend- bolygó mintájára tatooine-oknak keresztelt) hasonló szerünkön belül [4]. Ilyenek a „szuperföldek” vagy a égitest követett. Ugyanazon év decemberében felfe- „mini-neptunuszok”, amelyek méretüket tekintve a dezte elsõ, egy csillag lakhatósági zónájában keringõ Föld és a Neptunusz közötti tartományban találhatók. bolygóját is. Annak megállapítására, hogy gáz- vagy kõzetbolygó- A Kepler mérési adatai alapján rengeteg új ismere- ról van-e szó, az átlagsûrûségük, vagyis sugaruk és tet szereztünk a bolygórendszerek világával kapcso- tömegük együttes ismeretére van szükség. A fotomet- latban: konvenciók dõltek meg, új hipotézisek szület- riai úton detektált exobolygók esetében a fedés mély- tek; meglepõ eredmények hada került át a köztudat- ségébõl a bolygósugár kiszámítható. Ehhez pusztán a ba. Kiderült, hogy az exobolygók nem pusztán gyako- csillag rádiuszának pontos ismeretére van szükség. riak a galaxisunkban, de számuk még a csillagokét is Elméleti számítások szerint a kõzetbolygók mérete felülmúlja. A korábbi elképzelésekkel ellentétben arra körülbelül 1,6 Föld-sugárig terjed, efelett inkább gáz- is fény derült, hogy a Földhöz hasonló típusú kõzet- bolygó valószínûsíthetõ. A fotometriai méréseket a bolygók szintén nagy számmal találhatók más csilla- 7. ábra. A Föld „unokatestvére” tõlünk körülbelül 1400 fényévre gok körül. A Kepler által elérhetõvé vált pontosság kering egy, a Napunkhoz hasonló típusú, de annál 10%-kal na- nélkül korábban elsõsorban a nagy tömegû gázóriá- gyobb csillag körül. Zöld szín jelöli a lakhatósági zónát (forrás: sok felfedezése dominált, ez a kiválasztási effektus NASA Ames/JPL-Caltech/T. Pyle & W. Stenzel). pedig erõsen befolyásolta az exobolygókkal kapcso- latos feltételezéseinket. Kepler-452b a legföldszerûbb exobolygó

Napnál 6. ábra. A legtöbb planétát tartalmazó ismert exobolygórendszer, a 10%-kal Kepler-90 bolygói és azok pályái. A rendszer igen kompakt, legtá- nagyobb volabbi bolygója is 1 csillagászati egységen belül kering (forrás: G2 típusú csillag NASA/Ames Research Center/W. Stenzel). lakhatósági zónájában kering

Kepler-90h nap nap Kepler-90g 365 egy évben egy évben 385

Kepler-90bKepler-90cKepler-90iKepler-90d Kepler-90e Kepler-90f Föld méretének 1,6-szerese

Kepler-186 Kepler-452 rendszer Kepler-90 rendszer belsõ Naprendszer rendszer

Föld Vénusz Kepler-90h

Kepler-90g Merkúr Kepler-90d Naprendszer Kepler-90e Kepler-90i Kepler-90i Kepler-90f

Kepler-186f Merkúr Vénusz Föld Mars

Kepler-90b Kepler-90c Kepler-452b

262 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 napelemek

A napfény fotonjai nyomást fejtenek ki a távcsõre, amit megfelelõ irányba állítva a fotonnyomás ellenében – éppen úgy, ahogy egy ceruzát egyensúlyozunk az ujjunkon – a Kepler teleszkópot a teleszkóp két lendkerékkel is VÉGE elforgatják, hogy a stabilizálható. 2. kampány napfény ne tudjon behatolni a távcsõbe START

VÉGE napelemek 83. nap 3. lendkerék 2. látómezõ

egyensúlyi vonal 1. lendkerék

.kampány 1. Nap

a távcsõ felülnézetbõl fotonok instabil stabil

egyensúlyi vonal

kiegyen- napelemek súlyozatlan fotonnyomás kiegyen- 1. nap = a távcsõ súlyozott forog fotonnyomás teleszkóp megvilágított = a távcsõ napelemek stabil START

1. látómezõ

kiegyen- Amikor az ûreszköz egyensúlyban van, a távcsõ súlyozatlan fotonnyomás kellõen stabil, hogy távoli csillagok körül keringõ = a távcsõ forog bolygók tranzitját detektálja. Az ég egy adott részét körülbelül 83 napig figyeli meg, akkor – a napfény távcsõbe világításának megakadályozása végett – szükségessé válik az elforgatása. Így évente mintegy 4,5 megfigyelési kampány tartható.

8. ábra. A K2 küldetés látómezejének kiválasztása mögött fizikai megfontolások álltak (forrás: NASA Ames/W. Stenzel). látóirányú (radiális) sebesség mérésével kiegészítve a A rendkívüli sikerek fényében a NASA 2012 áprili- bolygó tömegérõl, ezek ismeretében pedig sûrûségé- sában négy évvel meghosszabbította a küldetés idõ- rõl is információt szerezhetünk. A Kepler nemcsak a tartamát. A folytatás azonban nem úgy alakult, aho- bolygók, hanem a bolygórendszerek méretét illetõen gyan bárki várta volna: 2013 tavaszára a távcsõ stabil is sokrétû eredménnyel szolgált: skálája az egyboly- pozicionálásáért felelõs négy lendkerék közül kettõ góstól a nyolc planétát tartalmazó rendszerekig terjed tönkrement, így a Kepler már nem tudta külsõ segít- (6. ábra) [5]. ség nélkül az eredetileg kiválasztott terület megfigye- A NASA 2015-ben jelentette be egy olyan exoboly- lését végezni. Szükségessé vált a küldetés újragondo- gó felfedezését, amely hamarosan elnyerte a „Föld lása, a megfigyelési mód totális átalakítása. E – kutató- unokatestvére” címet. A Kepler-452b mérete és pályá- kat világszerte bevonó – szellemi erõfeszítés terméke ja sok hasonlóságot mutatott bolygónkéval. Földünk- lett a K2 küldetés. nél 1,6-szer nagyobb, amivel így a szuperföldek/mini- neptunuszok kategóriájába tartozik [6]. Csillaga a Napnál alig 10%-kal nagyobb és körülbelül 1 milliárd Letérés a járt útról – a K2 misszió évvel idõsebb. Az újonnan talált bolygó e – Napunk- hoz hasonló – sárga törpecsillag lakhatósági zónáján A Kepler csapatára váró feladat egyszerûen megfogal- belül kering, 385 napos periódussal (7. ábra). A két mazható: egyensúlyban kell tartani a távcsövet, hogy bolygó tehát sok mindenben hasonlít egymáshoz, az további mérések kivitelezésére alkalmas maradjon. azonban egy lényeges tulajdonságról még nincs infor- Olyan módszer kiötlésére volt szükség, amely nem mációnk: mégpedig arról, hogy a Kepler-452b a Föld- igényel mást, csupán a meglévõ két lendkerék alkal- höz hasonló kõzetbolygó-e, vagy sûrûsége alapján mazását, lehetõleg minimális üzemanyag használatá- inkább a gázbolygókhoz hasonlatos. Lakhatósága val. A megoldás pedig ott volt közvetlen a szemük szempontjából márpedig nem mellékes, hogy szuper- elõtt – mindössze 150 millió kilométerre. Egy lelemé- földrõl vagy mini-neptunuszról van-e szó. Ezt az enig- nyes elképzelés fogant meg a kutatók elméjében. A mát a bolygó detektálása óta nem sikerült feloldani. Nap fotonjai nyomást fejtenek ki az ûreszközre, amely

BOLDOG ÁDÁM: A KEPLER-MISSZIÓ 263 szerkezetét feltérképezõ asztroszeizmológiai kutatá- sok, valamint szupernóva-robbanások fotometriai tanulmányozása. Magyar kutatók szorgalmazására került sor a Naprendszerünkben található, Neptunu- szon túli kisbolygók fotometriai megfigyelésére [8]. Mindezek mellett természetesen továbbra is várták az újabb bolygók detektálását a Keplertõl. A K2 során ugyanúgy fókuszba kerültek a fényes csillagok körül keringõ planéták, mint az alacsony hõmérsékletû vö- 2009. 2013. május 2014. május Hattyú csillagkép kiterjesztés az ekliptikára rös törpecsillagok lakhatósági zónájában található exobolygók. 9. ábra. A Kepler és a K2 küldetés során megfigyelt égterületek (forrás: NASA/ W. Stenzel). forgatónyomatékot és a távcsõ elfordulását eredmé- Élhetõ bolygók – haldokló csillagok nyezi. A távcsõ forgása azonban elkerülhetõ és a Kep- ler egyensúlyban tartható, ha a távcsövet olyan hely- A Kepler a K2 során a lakható világok mellett ezek zetbe forgatják, hogy ez a forgatónyomaték minimális drasztikus ellentétét is vizsgálta: csillagok halálakor legyen [7]. Ahhoz hasonlatos manõver ez, mint ami- bekövetkezõ szupernóva-robbanásokat. Ezen folya- kor valaki ceruzát próbál egyensúlyozni az ujján. Ezt matoknak több fajtáját ismerjük: a nagy tömegû csilla- a konfigurációt akkor lehet megvalósítani, ha a Kepler gok pusztulásakor végbemenõ II-es típusú, valamint tükrét elfordítja az elsõ négy évben vizsgált terület egy fehér törpecsillag felrobbanását kísérõ Ia típusú felõl – éppen az ekliptika síkjának irányába (8. ábra). szupernóvákat. A kozmológusok számára az utóbbiak Az egyensúly fenntartásához továbbá szükség volt a kulcsfontosságú szerepet játszanak az Univerzum megfigyelési terület bizonyos idõszakonként (körül- tágulási ütemének meghatározásában. Az Ia típusú belül háromhavonta) történõ megváltoztatására annak robbanások eredete legalább egy, kettõs rendszerben érdekében, hogy a távcsõ folyamatosan fenntarthassa keringõ fehér törpecsillaggal hozható összefüggésbe. kényes egyensúlyát. Ezenkívül, mivel instabil egyen- A fehér törpék kis tömegû (M < 8 MNap) csillagok súlyi állapotról beszélünk, a távcsõ lassan, majd egyre szénbõl és oxigénbõl álló maradványai, amelyek bel- gyorsulva elkezd kitérni ebbõl az állapotból, amit sejében a hõmérséklet nem éri el a szén begyulladá- hatóránként kompenzálni kellett a fedélzeti hajtómû- sához szükséges értéket. A gyenge fúzióból származó vek begyújtásával. A Kepler ilyenformán az ekliptikát sugárnyomás értéke nem elegendõ, hogy egyensúlyt pásztázta végig, minden 83 napos kampány során tartson a gravitációs összehúzódással. Az ilyen típusú más területre fókuszálva (9. ábra). objektumokban az elfajult elektrongáz nyomása kom- Ebben a felállásban a távcsõ üzemanyaga még éve- penzálja a gravitáció kontrakciós hatását. Ia típusú kig elegendõ maradt – változtatni kellett azonban a szupernóva esetén egy fehér törpecsillag tömege va- tudományos stratégián, hiszen a csillagjuktól távol lamilyen módon (például egy Roche-lebenyét kitöltõ (több hónapos, éves periódussal) keringõ bolygók kísérõcsillagon keresztül, 10. ábra) akkorára nõ, felfedezése gyakorlatilag lehetetlenné vált. Így az hogy megközelíti a Chandrasekhar-határt (1,44 MNap). „egyszerû” exobolygóvadász Keplerbõl egy szerteága- E tömeg felett az ilyen csillagok nem maradhatnak zó tudományos palettát átfogó, temérdek kérdéskört egyensúlyban. Az egész objektum szétesésével és vizsgáló ûreszköz lett. erõs fényjelenséggel járó termonukleáris folyamat megy végbe. A tömeget felhalmozó fehér törpében beindul a szén égése, ami tovább növeli a maradvány- A K2 programja csillag hõmérsékletét. Mivel az anyag elfajult (az

Ahol egy ajtó bezárul, ott egy másik kinyílik – tartja a 10. ábra. Az Ia típusú szupernóva-robbanás egyik lehetséges ere- mondás, és ez a Kepler esetében is igaznak bizonyult. dete egy Roche-lebenyét kitöltött vörös óriás kísérõrõl hidrogént Nem is egy, hanem temérdek új lehetõség elõtt nyílt akkretáló fehér törpe (forrás: NASA, JPL-Caltech). meg az út az új küldetéssel: a kutatók fantáziája volt az egyetlen, ami határt szabhatott. A K2 programjának meghatározásához a tudományos közösségbõl bárki pályázatot nyújthatott be. Ezen kutatási javaslatok közül választották ki az adott negyedévre vonatkozó mérési irányelveket, amelyek immáron nem korláto- zódtak az exobolygók felfedezésére. Az új néven el- startoló K2 misszió céljai között egyaránt szerepeltek változócsillagok fényességmérései, fiatal csillagok és nyílthalmazok vizsgálata, naprendszerbeli objektumo- kat célzó felmérések, csakúgy, mint csillagok és gala- xismagok aktivitását vizsgáló mérések, csillagok belsõ

264 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 9 Kepler kutatók. Míg egy hasonló robbanás felfényesedése 8 modell +3,5 nap körülbelül három héten keresztül zajlik, addig a 7 modell +2,7 nap 2018oh esetén ez mindössze néhány napba telt (11. 6 modell +2,0 nap ábra). A földi megfigyelések azt is kiderítették, hogy 3,5 ebben az idõszakban a szupernóva kék színben fény- 5 T 0 = MJD 58144,37 3,0 lett (ez a magasabb hõmérsékletek indikátora). A 4 (2018. jan. 26. 08:53) 2,5 többletfény 2,0 Kepler mérései alapján már a robbanás elsõ pillanatai- 3 T 1,5 tól kezdve rendelkeztünk információval a szupernóva 0 1,0 relatív fényesség 2 0,5 fényességérõl. Adatokban tehát nem volt hiány – a 1 0,0 következõ lépés az elmélet megalkotása volt. Néhány –0,5 0 –2 101234567 kutató arra az eredményre jutott, hogy a megfigyelé- –1 seket alátámasztaná a vörös óriás kísérõcsillagot szá- –5 0 5 10 15 20 25 30 mításba vevõ elképzelés. Feltevésük szerint a felrob- idõ (nap) banó fehér törpétõl származó lökéshullám nekiütkö- 11. ábra. A 2018oh jelû szupernóva korai idõszakában detektált fel- zött a társcsillagnak, ezzel rendkívüli módon felmele- fényesedés utalhat egy társcsillag jelenlétére (forrás: csillagaszat.hu). gítve annak anyagát: ez magyarázza a tapasztalt ma- gas hõmérsékletet és erõs fényjelenséget [9]. Más ku- elektronok nyomása nem függ a hõmérséklettõl), a tatók viszont nagy mennyiségû radioaktív nikkel fehér törpe nem tudja szabályozni saját fúziós folya- bomlásával magyarázták a tapasztalt felfényesedést. matait a tágulás és az ezzel járó hûlés útján. Ennek Habár a Kepler sem hozott döntõ bizonyítékot az Ia következtében – pozitív visszacsatolással – további szupernóvák eredetérõl zajló vitában, egy lépéssel fúziós reakciók indukálódnak. A folyamat végigsöpör mégis közelebb kerülhettünk ezen egzotikus jelensé- az egész fehér törpén, és végül az objektum teljes gek mûködésének megértéshez. felbomlásához vezet. Mivel az Ia típusú szupernóvák mindig hasonló tömegnél következnek be, a robba- nás luminozitása (abszolút fényessége) is azonos. Az amatõr légió Emiatt standard gyertyaként (azaz az objektum távol- ságának meghatározására) alkalmazhatók. A valóság A Kepler-misszió lehetõséget biztosított arra is, hogy ennél természetesen bonyolultabb – nem ismerjük ne csak a hivatásszerûen csillagászként dolgozó kuta- például pontosan a detonáció kiváltó okát –, így a tók nyerjenek bepillantást a távcsõ által mért adatok- szupernóvák fénygörbéinek minél precízebb kalibrá- ba, hanem bárki, aki részese kívánt lenni az exoboly- ciójára van szükség. gókra irányuló kutatásoknak. E „Citizen Scientist” Az ilyen tranziens jelenségek bekövetkeztének program keretén belül a lelkes amatõrök akár otthon- megjóslása jelenleg nem lehetséges. Éppen emiatt ról vizsgálhatták a fénygörbéket. A program a Planet- folyamatos, hosszan tartó megfigyelésre van szükség Hunters nevet kapta [10]. Mindennek azért volt jelen- a szupernóvák detektálásához. Az is lényeges, hogy tõsége, mert a bolygókeresõ algoritmusok sem képe- ezeket a jelenségeket minél korábban, a robbanás sek kiszûrni minden tranzitot. Az algoritmusok által kezdetétõl tudjuk megfigyelni, a fényesség változását nem észlelt, de a fénygörbében valójában jelen lévõ pedig minél precízebben legyünk képesek megmérni. bolygóátvonulások detektálásához – a nagy adat- Így lehetõség nyílhat a felrobbanó rendszerre vonat- mennyiséghez mérten – nagy számú kutató közremû- kozó ismereteink bõvítésére is. Kepler/K2 éppen ködésére volt szükség. Kiváló megoldásnak bizonyult ilyen adatokat volt képes szolgáltatni. Jelenleg két do- erre a PlanetHunters kezdeményezés, amely lehetõvé mináns elmélet vetekedik egymással, amelyek alap- tette a rengeteg fénygörbe emberi átvizsgálását. A feltevései az alábbiak: program sikerét mutatja, hogy mindössze két héttel az • Egy vörös óriáscsillagból és egy fehér törpébõl indítása után, a Föld különbözõ tájairól már több mint álló kettõs rendszerben az óriáscsillagról a törpecsil- tízezren vettek részt az exobolygó-vadászatban. E lagra áramló anyag idézi elõ a robbanást. kezdeményezés érdeme a K2-128 sokbolygós rend- • A szupernóvát két fehér törpe összeolvadása szer felfedezése is, amelynek csillaga körül 5 planéta okozza. kering. A detektálás 2017-ben történt, és ez volt az Annak reményében, hogy bepillantást nyerhetünk elsõ, teljes mértékben a publikum segítségével felfe- ezen egzotikus folyamatok hátterébe, a Kepler-ûrtáv- dezett multiplanetáris csillagrendszer. csõ rendkívüli pontosságú fotometriai méréseit földi A fényesség csökkenését természetesen más jelen- távcsövek megfigyeléseivel egészítették ki. Ez utóbbi ség is okozhatja egy csillaga körül keringõ exoboly- vizsgálatok a rendszer kémiai összetételérõl és színé- gón túl. Ilyen lehet például egy pulzáló változócsillag, rõl nyújtottak információt a robbanás során. Ezzel amelynek fényessége a csillag sugarának növekedése- olyan tudás birtokába juthattunk, amely – ha nem is csökkenése hatására változik, vagy egy kettõs csillag- oldja fel véglegesen a rejtélyt – segítséget nyújthat az rendszer is. Sõt olyan eset is elõfordulhat, amikor a Ia szupernóvák természetének megismeréséhez. fényesség változása nem sorolható be semmilyen álta- A 2018oh jelû szupernóva fénygörbéjét tanulmá- lunk ismert folyamat közé. Ezek a jelenségek, habár a nyozva egy különös jelenségre lettek figyelmesek a csillagászat más tájékán fontos mérési alapot szolgál-

BOLDOG ÁDÁM: A KEPLER-MISSZIÓ 265 tathatnak a kutatáshoz, az exobolygószûrõ progra- mok számára észrevétlenek maradnak. Érdekes példa volt erre a – szintén közösségi erõfeszítések segítsé- gével felfedezett – „Boyajian-csillag”. Ennek különös viselkedésére a bolygóvadászok bukkantak rá (12. ábra). Különlegessége abban rejlett, hogy a fényes- ség napokig tartó, drasztikus csökkenését nem lehe- tett megmagyarázni sem egy exobolygó, sem egy társ- csillag keringésével, de a csillag pulzációjából fakadó változást is ki lehetett zárni. Sorra születtek a jelensé- get magyarázni próbáló elméletek: egyesek üstökös- rajjal, míg mások egy gyûrûs bolygó és aszteroidák jelenlétével igyekeztek indokolni a furcsa fényesség- 12. ábra. A Boyajian-csillag furcsa fényességváltozását egy csillag- csökkenéseket. A legextrémebb magyarázat egy ide- tól távoli porgyûrû okozhatja, ami egy szétesett bolygóból származ- hat (forrás: NASA, JPL-Caltech). gen megastruktúra (úgynevezett Dyson-szféra) létezé- sét okolta a látottakért. Egy sokkal valószínûbb elmé- kitûzött célját többszörösen felülmúlva szupernóvá- let szerint a különös viselkedést a csillag körüli por- kat, naprendszerbeli objektumokat, távoli kvazárokat, gyûrû jelenléte okozhatja [11]. A konklúzió egyelõre változó, aktív és kettõscsillagokat érintõ kérdésekben várat magára, ám egy biztos: ez a rejtély is megbújt is nagy jelentõséggel bíró adatokhoz juthattunk hozzá volna az algoritmusok radarja alatt a lelkes amatõr (13. ábra). A K2 küldetés kiváló példája volt annak, kutatók segítsége nélkül. hogyan képes a kutatóközösség elõnyt kovácsolni egy elõre nem látott problémából. A Kepler története azonban még nem ért véget, ter- A Kepler évtizede jedelmes mennyiségû adatának és az idáig meg nem erõsített több mint 2000 bolygójelöltjének analizálása A Kepler több mint kilenc és fél éven át tartó, kor- továbbra is zajlik. A Kepler álomba szenderülése után szakalkotó felfedezésekben és meglepõ eredmények- is megoldandó rejtélyek és újabb kihívások elé állítja ben egyaránt bõvelkedõ mérési idõszaka 2018. októ- a kutatókat. Az exobolygók felfedezése sem ért a vé- ber 30-án ért véget. Ezen a napon végleg kifogyott a gére, sõt még csak a legelején járunk e generációkon távcsõ pozíciójának tartásáért felelõs rakéták üzem- átívelõ történetnek. A stafétát a TESS ûrtávcsõ vette át anyaga és megkezdõdött a teleszkóp leállításának fo- nagymúltú elõdjétõl, amely 2019 júliusában fejezte be lyamata. A NASA november 15-én – éppen Johannes a déli égbolt feltérképezését, és kezdte az északi terü- Kepler halálának évfordulóján – küldte el a Kepler letek átfésülését. Ám akárhová vezesse is a világ kuta- számára utolsó, úgynevezett „Jó éjt!” parancsát. Mûkö- tóit ez a feltérképezetlen útvesztõ, akármilyen meg- dése során a távcsõ összesen több mint 2700 exoboly- döbbentõ eredmények birtokába jussunk is az exo- gó detektálását tette lehetõvé (ebbõl 360-at a K2 misz- bolygók változatos világával kapcsolatban, mindenki szió során találtak), és ezek száma a mai napig nõ, emlékezni fog rá: a Kepler járt itt elõször. amint egyre több bolygójelölt kerül át a „megerõsített” kategóriába. A küldetés egy évtizede alatt bolygók és Irodalom bolygórendszerek széles skálájába engedett betekin- 1. Szabó R.: Bolygóáradat és asztroszeizmológia – Elindult a Kep- ler-ûrtávcsõ. Fizikai Szemle 59/4 (2009) 121–126. tést nekünk a Kepler, és választ hozott az exobolygó- 2. Szabó M. Gy., Simon A., Szalai T.: Újdonságok az exobolygók kat kutatók legégetõbb kérdéseire is [12]. Hála a táv- világából. Fizikai Szemle 61/7–8 (2011) 217–222. csõ példátlan pontosságának, a misszió mögött álló fáradha- 13. ábra. A Kepler kilenc és fél éves küldetésének összegzése számokban (forrás: NASA/Ames tatlan kutatógárdának és a Research Center/W. Stenzel). lelkes amatõr résztvevõk te- vékenykedésének, a Kepler év dokumentált megreformálta az exoboly- 9,6 az ûrben 61szupernóva gókról alkotott nézeteinket és a robbanás legkorábbi szakaszától egy új korszak kapuját nyitot- 530 506 2662 megfigyelt csillag megerõsített bolygó ta meg elõttünk. A küldetés eredményezte a Naprendsze- ren kívül ismert legtöbb boly- gót tartalmazó bolygórend- befejezett tudományos millió km szer felfedezését is, ahol a 2 küldetés 678 GB 2946 közlemény 151 távolságra tudományos adat központi csillag körül nyolc felhasznált 11,8 üzemanyag bolygó kering. Rendkívül liter 732 128 pontos fotometriai képessé- végrehajtott parancs geinek és a kutatók lelemé- nyességének köszönhetõen 2018. október 24.

266 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 3. L. R. Doyle, J. A. Carter, D. C. Fabrycky és mtsai: Kepler-16: 8. A. Pál, R. Szabó, M. Gy. Szabó és mtsai.: Pushing the limits: K2 A Transiting Circumbinary Planet. Science 333 (2011) 1602– observations ofthe trans-Neptunian objects 2002 GV31 and 1606. (278361) 2007 JJ43. The Astrophys. J. Lett. 804 (2015) L45, 5 pp. 4. Szabó R., Szabó M. Gy.: Kepler-bolygók kavalkádja. Fizikai 9. W. Li, X. Wang, J. Vinkó és mtsai: Photometric and Spectrosco- Szemle 63/7–8 (2013) 217–222. pic Properties of Type Ia Supernova 2018oh with Early Excess 5. C. J. Shallue, A. Vanderburg: Identifying Exoplanets with Deep Emission from the Kepler 2 Observations. The Astrophys. J. 870 Learning: A Five Planet Resonant Chain around Kepler-80 and (2019) ID12, 33 pp. an Eighth Planet around Kepler-90. The Astronom. J. 155 (2018) 10. Planet Hunters: https://www.zooniverse.org/projects/nora-dot- ID 194, 21 pp. eisner/planet-hunters-tess 6. J. M. Jenkins, J. D. Twicken, N. M. Batalha és mtsai.: Discovery 11. H. Y. A. Meng, G. Rieke, F. Dubois és mtsai: Extinction and the Dim- and Validation of Kepler-452b: A 1.6 R⊕ Super Earth Exoplanet ming of KIC 8462852. The Astrophys. J. 847 (2017) ID131, 10 pp. in the Habitable Zone of a G2 Star. The Astronom. J. 150 (2015) 12. T. Bovaird, C. H. Lineweaver, S. K. Jacobsen: Using the inclina- ID56, 19 pp. tions of Kepler systems to prioritize new Titius–Bode-based 7. Molnár L: Kepler: a kötéltáncos ûrtávcsõ. Fizikai Szemle 64/6 exoplanet predictions. Monthly Notices of the Royal Astronomi- (2014) 182–187. cal Society 448 (2015) 3608–3627.

A FIZIKA TANÍTÁSA

AZ ORTVAY-VERSENY FELADATMEGOLDÁSAI ELÉ

AmaOrtvay Rudolf Fizikai Feladatmegoldó Verseny- lentkezésnél nagy súllyal esik latba az Ortvayn elért nek nevezett versenysorozatot 1970 õszén indította helyezés vagy dicséret (amelyet egy díszes oklevéllel útnak – még ifjú oktatóként – Tichy Géza és a közü- igazolunk, és némi pénzjutalommal is megtámoga- lünk már sajnos eltávozott Major tunk – köszönet az aktuális szpon- János (1945–2015). A versenyen fi- zoroknak!). A verseny egykori részt- zikával foglalkozó egyetemi hallga- vevõ közül ma már sokan komoly tók és doktoranduszok indulhatnak, kutatóként dolgoznak magyar vagy a szokásos egyetemi anyagnál na- külföldi egyetemeken, kutatóhe- gyobb kihívást jelentõ, általában lyeken. igen érdekes feladatok megoldásá- A verseny eddigi 49 éve összes val. (Néha elõfordul, hogy lelkes, a feladatának szövege megtalálható fizikát szeretõ középiskolások is weblapunkon – a régi, stencilen beneveznek, olykor igen szép ered- megjelent feladatok átgépelve, a ményt érve el.) A kezdetben stenci- késõbbi, már LaTeX-ben készült lezett, az egyetem faliújságjára ki- anyagok az eredeti pdf-verzióban. akasztott feladatok ma már az inter- Igen, a feladatok szövege elérhetõ – neten (www.ortvay.elte.hu) jelen- de a megoldások nem! Pedig ko- nek meg, a magyar mellett angol moly igény mutatkozna rá: a szerve- nyelven is, mert a verseny immár zõk évente körülbelül egy tucat ké- húsz éve nemzetközi, jelentõs szá- rést kapnak a világ minden tájáról, mú külföldi résztvevõvel. hogy küldjék el ennek vagy annak a A verseny idõvel komoly rangot vívott ki, a dok- feladatnak a „hivatalos” megoldását. A szokásos vála- tori programokra vagy külföldi ösztöndíjakra való je- szunk az, hogy a feladatok épp az önálló munka, a megoldás saját kitalálása és kidolgozása céljára szol- gálnak, oldd meg te is! – másrészt nincs is „hivatalos” Ortvay Rudolf (1885–1945) az elméleti fizika professzora volt a megoldásuk: sok feladat esetén a kitûzõ sem ismeri Pázmány Péter Tudományegyetemen (a mai Eötvös Loránd Tudo- mányegyetem korábbi neve) a harmincas-negyvenes években. A elõre a választ, és érdeklõdéssel várja a versenyzõk korábban meglehetõsen provinciális magyar elméleti fizikát mûkö- megoldásait. dése során bekapcsolta a nemzetközi tudományos élet vérkeringé- Az ötvenedik évforduló alkalmából némileg változ- sébe. Meghívására az éppen zajló tudományos forradalom vezetõ tatunk ezen a politikán. Az évek során összegyûlt sok egyéniségei (például Paul Dirac, Wigner Jenõ) látogattak Buda- pestre. Ortvay elõadásain és szemináriumain a magyar egyetemi olyan érdekes és tanulságos Ortvay-feladat, amely- hallgatóság és a kutató közösség naprakész tudósításokat kapott a nek megoldása, az alkalmazott váratlan ötlet vagy modern fizika frontvonalából. A késõbbi tudósgeneráció sok tagja szellemes számítási módszer túlmutat magán a kitû- neki köszönheti tudományos indíttatását, a fizikai gondolkodás zött problémán, más, hasonló jellegû feladatok meg- alapjainak és rugalmas felhasználásának megismerését. Érthetõ, hogy az ifjú tehetségek fizikai gondolkodásának fejlesztését célként oldásához, és ezzel a fizikai gondolkodás mélyítésé- kitûzõ versenysorozat Ortvay Rudolf nevét viseli. hez is hozzájárulhat.

A FIZIKA TANÍTÁSA 267 Megkezdjük tehát a Fizikai Szemlében az Ortvay- seny feladatai és megoldásuk. 1984-ben pár lelkes versenyek (szerintünk) legérdekesebb és legtanulsá- fizikus hallgató Pöltl János szervezésében stencilezett gosabb feladataihoz kapcsolódó megoldások publi- formában adott ki néhány megoldást. A Fizikai Szem- kálását. A válogatás vállaltan szubjektív – és jelentõs le 1993/3. számában pedig megjelent az 1991-es ver- részben azon is múlik, találunk-e olyan lelkes szer- seny egyik nevezetes, Bihary Zsolt által kitûzött pat- zõt, aki vállalja az adott probléma részletes kidolgo- kányelméleti feladata Károlyi Antal és Peták Attila zását és újságban is közölhetõ megírását. A közölt kidolgozásában, amelybõl kiderült, hogy megfelelõ megoldások egy része az adott feladat legsikeresebb körülmények között a patkányok gáza is mutat nyu- megoldójától származik, de megjelenés elõtt ellen- godt/agresszív fázisátalakulást… õrizte a feladat kitûzõje, esetleg kiegészítéseket és Terveink szerint egy-két havonta jelenik majd meg kommentárokat fûzött hozzá. A megoldások másik egy-egy Ortvay-probléma feldolgozása (a mostani része egyenesen a feladat kitalálójának és kitûzõjé- elsõ, kedvcsináló cikk kissé hosszabbra sikeredett – nek mûve. A megoldások harmadik csoportját olyan késõbb már egyszerûbb és rövidebb megoldások kö- lelkes egyetemi hallgatók dolgozták ki, akik ugyan vetkeznek). A keményebb, mélyebb fizikai tudást az adott feladat megjelenésének évében még nem mozgósító feladatok mellett igyekszünk sok egysze- foglalkoztak a problémával (például mert akkoriban rûbb, középiskolai ismeretekkel is követhetõ, ám vá- épp óvodába jártak), de késõbb a weblapon megta- ratlan, szellemes megoldása vagy egy frappáns ötlet lálták azt, beleszerettek, megoldották és kidolgoz- miatt mégis különösen érdekes problémát is bemutat- ták. Az ilyen esetekben is igyekszünk megkeresni a ni. A feladat tényleges megoldása mellett törekszünk feladat kitûzõjét bírálat vagy kommentár begyûjtése hangsúlyozni az adott probléma vagy a megoldás céljából (már ha tudjuk, ki volt a kitûzõ – az elsõ során alkalmazott módszerek tanulságait, kapcsolódá- huszonegy évben ugyanis a szerzõ megjelölése nél- sát más érdekes témákhoz, esetleg a fizika más terüle- kül jelentek meg a szervezõk által összegyûjtött fel- teihez, valamint az egykori megoldók által elkövetett, adatok). mások számára is tanulságos hibákra is felhívjuk a Megjegyezzük, hogy Gombkötõ Ákos szegedi fizi- figyelmet. A közölt feladatok kiválasztásának épp ez, kus doktorandusz megkezdte az Ortvay-feladatok a saját magukon túlmutató kapcsolódási lehetõség sokkal nagyobb körének feldolgozását és a megoldá- lesz az egyik fõ szempontja. Így – reményeink szerint sok publikálását egy weblapon. Ezek a megoldások – a megoldások megjelentetése nemcsak a potenciális azonban egyelõre nem tekinthetõk végleges, a kitûzõ Ortvay-versenyzõk puszta feladatmegoldó rutinját által jóváhagyott verziónak. A Fizikai Szemlében vi- edzi, hanem általános fizikai érzékük és mûveltségük szont csak ilyen többszörösen ellenõrzött megoldáso- gyarapítását is szolgálja. kat fogunk közölni. Ebben a reményben indítjuk útjára a Szemlében a Vállalkozásunk nem példa nélküli. Az elsõ években jubileumához érkezõ Ortvay-verseny megoldásainak (1971–74) az ELTE TTK Fizikus Diákkörének kiadásá- rovatát. ban kis füzet alakjában megjelentek az elõzõ évi ver- Az Ortvay-versenyek szervezõi

Dávid Gyula A SZUPERSZONIKUS MENTÕAUTÓ ELTE, Atomfizikai Tanszék

A probléma hangjának frekvenciáját az észle- A 2016. évi verseny 9. feladata. Kitûzte: Dávid Gyula lési idõ függvényében! Ábrázol- juk a függvényt! Vizsgáljuk meg Számos fizikakönyv magyarázza a Doppler-effektust a a szuperszonikus, V > c sebes- mentõautó példáján: figyeljük meg a nyílegyenesen séggel közlekedõ mentõautó felénk közeledõ mentõautó hangjának magasságát, esetét is! majd tegyük meg ugyanezt a tõlünk távolodó mentõ- A gondos fizikus persze nem autóval is! Ám akik ezt a kísérletet a valóságban is csak a mentõautó hangjának ma- végre akarták hajtani, rosszul jártak, mert a mentõ- gasságát, hanem irányát is megfi- autó elgázolta õket. Legyünk hát mi óvatosabbak! gyeli. Ugyanakkor optikai eszkö- Álljunk félre a V < c sebességgel (ahol c a hang sebes- ORTVAY zökkel (például a szemével) is sége a levegõben), egyenes vonalban mozgó mentõ- MEGOLDÁSOK követi a mentõautó helyzetét (a autó útjából, az úttól H távolságra! Számítsuk ki az fénysebességet jelen esetben ω állandó 0 frekvenciával szirénázó mentõautó észlelt végtelennek tekinthetjük). Ábrázoljuk a látott mentõ- autó irányszögének függvényében a hallott mentõ- autó irányszögét! Diszkutáljuk a szubszonikus (V < c), Köszönetemet szeretném kifejezni Cserti Józsefnek az ábrák elkészí- téséért és a kézirat gondos átnézéséért. a szuperszonikus (V > c) és a kritikus (V = c) sebessé- Dávid Gyula bemutatását lásd e számunk 219. oldalán. gû mentõautók esetét!

268 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 Általános megjegyzések y

A feladatra 14 megoldás érkezett, ebbõl 4 volt majd- M nem teljes (a magyar versenyzõk közül Takátsy János, H x akkor harmadéves fizikus hallgató kapott maximális O pontszámot), 3 nagyrészt helyes, a többiek súlyos elvi hibákat követtek el. Az ember azt hinné, hogy ilyen egyszerûen érthetõ, akár középiskolás szinten is meg- r oldható klasszikus fizikai feladatok esetén nem lehet „súlyos elvi hibákat” elkövetni – pedig dehogynem… Az utóbbi évek Ortvay-versenyeinek egyre általáno- V sabb tapasztalata, hogy a korszerû számítógépek, nu- P merikus és szimbolikus programok birtokában a fizi- kával foglalkozó hallgatók jelentõs része úgy véli: a τ gépek és a programok minden problémát megoldanak, 1. ábra. Az y tengely mentén V sebességgel mozgó mentõautó a idõpontban a P pontban van. Az x tengely M pontjában nyugvó belegondolásra, a kérdések értelmezésére már nincs is megfigyelõ a t idõpontban észleli a P pontban kibocsátott hangot. A szükség. Elsõ – gyakran hibás – ötleteiket azonnal be- c sebességû hang (t − τ ) idõ alatt teszi meg az r távolságot. ütik a gépbe, az hamarosan igen tetszetõs képletekkel vagy görbékkel válaszol, a fizikus pedig azt hiszi, hogy megfigyelõ továbbra is ott állt, a mentõautó után bá- már készen is van a megoldás. Mások pedig a hagyo- mulva. Ha viszont az észlelõ nem pontosan az autó mányosabb utat követve több-kevesebb kézi vagy gépi útjának egyenesében állt, akkor a közölt számolás számolással eljutnak egy bonyolult, áttekinthetetlen nem lehet teljesen helyes… Ez a kérdés azóta is izga- képlethez, és boldogan felsóhajtva azt adják be megol- tott, és amikor elõször utánaszámoltam, meglepõ dásként. Pedig a feladat neheze még csak most követ- mélységeket fedeztem fel benne. Mai ésszel azt mon- kezne: az eredmények, számadatok, grafikonok értel- dom: ezt a problémát Newton és Doppler is Ortvay- mezése, fizikai interpretációja, érvényességi határának feladatnak teremtette. megállapítása, a következtetések levonása… Persze ez Elsõ ránézésre a megoldás nagyon egyszerûnek tû- csak akkor lehetséges, ha a számítási, numerikus és nik. A mentõautó állandó V sebességgel mozog, hely- grafikus munka elõtt a megoldó a feladat elõzetes vé- zete ezért a τ idõ lineáris függvénye (a τ jelölésnek giggondolását sem mulasztotta el. Ez az Ortvay-feladat nincs köze a relativitáselméletben használt sajátidõ- tipikus példája volt a fentieknek. A beérkezett megol- höz, csupán a jel kibocsátásának τ pillanatát kívánjuk dások jelentõs részében csak egy elõzetes vázlat (lásd megkülönböztetni a jel észlelésének t pillanatától). Azt az 1. ábrát), majd a számítógép által kinyomtatott gör- gondolhatjuk, hogy csak meg kell határoznunk, egy bék fénymásolata következett – gyakran koordinátaten- adott pillanatban milyen messze van az autó a megfi- gelyek, skálázás és bármiféle értelmezés nélkül. A meg- gyelõtõl, majd meg kell állapítanunk e távolság idõ oldás javítója azt sem tudta, mit ábrázolt a szerzõ minek szerinti deriváltját, azaz a sebességvektor megfigyelõ a függvényében, miért éppen négy, egymáshoz nagyon irányú komponensét, azután alkalmazhatjuk a Dopp- hasonló görbét küldött be, miben különbözött az egyes ler-eltolódás szokásos formuláit. Az elsõ bökkenõ ábrákon vizsgált fizikai helyzet, és milyen következte- abban rejlik, hogy ekkor a keresett mennyiségeket a téseket lehet az eredményekbõl levonni. Mit jelent pél- hang kibocsátása pillanatának függvényében kapjuk dául az, ha egy Doppler-effektusra vonatkozó feladat meg – a feladat pedig a megfigyelés pillanatának idõ- számítógép által kiadott megoldásgörbéjén a frekvencia adatai szerinti függvényekre kérdez rá (logikusan, hi- bizonyos esetekben mínusz végtelenhez tart? Vajon mi szen a megfigyelõ nem tudja közvetlenül, legfeljebb ennek a fizikai értelme? Sajnos a megoldásokból ez kikövetkeztetheti, mikor indult el az adott pillanatban nem derült ki… Mások pedig egy másfél soros képlet észlelt hangjel). Az elsõ feladat tehát annak kiszámítá- birtokában, minden értelmezés és magyarázat nélkül sa, hogy a megfigyelõ a t pillanatban a mentõautó me- vélték megoldottnak a feladatot. Az alábbiakban nem lyik korábbi τ idõpontban kibocsátott hangjelét észle- akarunk ezekbe a hibákba esni, ezért a képletek durr- li, azaz a τ(t) függvény meghatározása. Ez a matemati- bele felírása helyett elõbb megpróbáljuk a feladat fizi- kai probléma a fizika számos területén (akusztika, kai hátterét alaposan végiggondolni. elektrodinamika, optika, kvantumelmélet) felbukkan – mindenhol, ahol egy idõben változó helyzetû objek- tum által kibocsátott véges sebességû jel (hang, fény, Fizikai alapok elektronhullám stb.) terjedését kell vizsgálni. A feladat a „retardált” (magyarul késleltetett) beérkezõ jel kibo- Kezdjük egy szubjektív megjegyzéssel. Amikor gye- csátási idõpillanatának meghatározása a beérkezés rekkoromban egy ismeretterjesztõ fizikakönyvben idejének függvényében. Ez a „retardálási” probléma elõször megláttam a Doppler-effektus észlelõje felé általános esetben (ha a forrás elegendõen komplex száguldó mentõautót, majd a másik képen a már távo- mozgást végez) bonyolult implicit egyenlethez vezet, lodó kocsit, biztos voltam benne, hogy a mentõ viszi amely zárt alakban nem, csak numerikus módszerek- magával az elgázolt észlelõt is. De nem, az ábrán a kel oldható meg. Szerencsénkre az egyenes vonalban,

A FIZIKA TANÍTÁSA 269 állandó sebességgel mozgó hangforrás az analitikusan Ekkor a τ(t) függvény t körüli sorba fejtésével a szi- kezelhetõ esetek közé tartozik, és késõbb meg is adjuk nuszfüggvény argumentuma valóban Δt lineáris függ- a megoldást. (Meg kell jegyeznünk, hogy a feladat vénye lesz. Az abszolútérték-jelre azért van szüksé- megoldásával próbálkozók közül többen nem is vettek günk, mert elõfordulhat – és mint látni fogjuk, elõ is tudomást errõl a kérdésrõl, egyszerûen a jel kibocsátá- fordul –, hogy a τ(t) függvény nem monoton, deri- sának idejével számoltak.) váltja elõjelet vált. Viszont a szinusz argumentumában A második kérdés az, hogy mit is kezdjünk a to- továbbra is pozitív frekvenciát szeretnénk látni. A vábbiakban a kiszámított τ (t ) függvénnyel. Hogyan fentiek alapján a beérkezõ jel pillanatnyi frekvenciája lesz ebbõl Doppler-effektus? A szokásos tárgyalás a τ(t ) függvény deriválásával megkapható. Elsõ lé- során más-más Doppler-képletet alkalmaznak köze- nyeges megállapításunk tehát az, hogy a Doppler- ledõ és távolodó források frekvenciájának kiszámítá- effektusnak a nyugvó megfigyelõ és tetszõlegesen sára. (Arról nem is beszélve, hogy további képletek mozgó forrás esetére vonatkozó általános képlete a érvényesek abban az esetben, ha nem a forrás, következõ: hanem a megfigyelõ mozog a hanghullám hordozójá- ω τ hoz, a levegõhöz képest. Esetünkben ezzel nem kell (t) d (1) ω = , foglalkoznunk, hiszen a feladat kikötötte, hogy a 0 dt megfigyelõ nyugszik.) De mi a helyzet akkor, ha a ω hangforrás nem nyílegyenesen közeledik a megfigye- ahol 0 a forrás által kibocsátott rezgés frekvenciája, lõhöz, vagy távolodik tõle, hanem ferde vonalban, a ω(t ) a nyugvó megfigyelõ által a t idõpontban észlelt forrást és a megfigyelõt összekötõ szakasszal mindig jel pillanatnyi frekvenciája, a τ(t ) függvény pedig a más szöget bezárva mozog? Ennek megértéséhez forrás retardált τ ideje a jel beérkezésének t idõpont- vissza kell mennünk a monokromatikus hullám ma- jával kifejezve. tematikai leírásához. Ennek az eljárásnak természetesen csak akkor van ω Egy 0 frekvenciájú monokromatikus hangforrás értelme, ha a hullám belsõ változásaira jellemzõ által kibocsátott jel a τ idõpont függvényében a kö- 1/ω(t ) nagyságrendû idõ jóval rövidebb, mint az ω(t) vetkezõ alakba írható: függvény változására jellemzõ „külsõ” karakterisztikus idõtartamok. Ez a feltétel nem teljesül például abban τ ω τ ϕ ω → f ( )=A sin 0 , az esetben, amikor a formális számolásból 0 adó- dik. Másrészt a sorfejtéses eljárás az ω →∞határeset- ahol A a hullám amplitúdója, ϕ pedig a kezdõfázisa. ben sem mûködik – ilyenkor a beérkezõ jel alakja Ebbe a képletbe kell behelyettesíteni a geometriai és annyira távol van a harmonikus rezgéstõl, hogy sem- kinematikai alapon kiszámított τ(t) függvényt, így miféle értelmes módon nem rendelhetõ hozzá pilla- kapjuk meg a megfigyelõ által a t pillanatban észlelt natnyi frekvencia. Látni fogjuk, hogy a szuperszoni- jel alakját. Emellett még figyelembe kell venni a jel kus mentõautó fizikájának tanulmányozása során amplitúdójának 1/r 2-tel arányos gyengülését is, ahol r ebbe a jelenségbe is belebotlunk. a kibocsátás és az észlelés pontjának az idõtõl ugyan- A részletes számolás elõtt még néhány szót kell szól- csak függõ távolsága. A τ(t)ésazr(t) függvény álta- nunk arról, mit is jelent a mentõautó „hang alapján tör- lában igen bonyolult, nemlineáris alakú, így a megfi- ténõ észlelése”. Az embernek két füle van, ezért az ész- gyelõ által észlelt lelt hanghullámok fáziskülönbsége alapján az agy meg tudja határozni a beérkezõ hang forrásának irányát. Ez A sin ω τ (t) ϕ a képesség gyakorlással jól fejleszthetõ. Ideálisnak fel- F(t)= 0 r 2(t) tételezett megfigyelõnket tehát úgy képzelhetjük el, hogy rögzített megfigyelõhelyén állva folyamatosan ar- jelalak egyáltalán nem monokromatikus, egyetlen ω ra fordul, amerrõl a mentõautó éppen beérkezõ hangját frekvenciával jellemezhetõ függvény lesz. Ha nagyon hallja. Ha rálát a mentõautó által bejárt országútra, precízek akarnánk lenni, kiszámíthatnánk e jel Fou- akkor látóvonalát meghosszabbítva ki tudja metszeni az rier-transzformáltját, meghatározva spektrumát, azaz út azon pontját, ahol az autó az általa éppen meghallott az egyes frekvenciákhoz tartozó monokromatikus hangot kibocsátotta. Ez lesz tehát a mentõautó adott t komponensek relatív súlyát (ez talán a következõ pillanathoz tartozó látszólagos, vagyis inkább „hallat- évek egyik Ortvay-feladata lesz…). szólagos” helye. (Ha megfigyelõnk fülének intenzitás- Mégis van rá mód, hogy ezt az F(t) függvényt – érzékelése is elég kifinomult, akkor standard mentõ- legalább a t pillanat egy rövid Δt környezetében – autó-hangerõ ismeretében a hangerõsség változása alapján, az 1/r 2-es képletet felhasználva távolságot is F(t)=A′ sin ω (t) Δ t ψ tud becsülni, így közvetlen vizuális kapcsolat híján, pusztán az észlelt hang elemzésével is meg tudja állapí- alakba írjuk, ha az idõtõl függõ ω(t) pillanatnyi frek- tani a hang forrásának helyét.) venciát így értelmezzük: A feladat második kérdése a „látott” és a „hallott” mentõautó helyének összehasonlítására vonatkozik. τ ω ω d Mivel a fénysebességet végtelennek vehetjük, a men- (t)= 0 . dt tõautó „látott” helye megegyezik a t pillanatbeli valódi

270 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 helyével. A „hallott” mentõautó helyét pedig az elõb- Az olvasók elborzasztására mi is ideillesztjük a má- biek alapján a beérkezõ hang irányából meghatároz- sodfokú egyenlet megoldásával kapott y(t) függvény hatjuk, ezzel (tudván, hogy a mentõautó állandó se- érdemi vizsgálatra és diszkusszióra teljesen alkalmat- bességgel mozog) egyben a beérkezõ hang kibocsátá- lan alakját: sának τ pillanatát is megtudhatjuk. Jó fülû megfigye- lõnk a hallott hang irányába fordulással tehát tulajdon- Vc2 t ± V V 2 c 2 t 2 c 2 − V 2 H 2 (3) képpen a τ(t) függvény mérését végzi el. A gondolat- y(t)= . 2 2 menetet megfordítva: ha elméleti úton kiszámítjuk a c − V τ(t) függvényt, akkor ezzel reprodukáljuk a megfigye- Ígérjük, hogy a késõbbiekben egy betût sem haszná- lõ mérését, és máris válaszoltunk a feladat második lunk fel belõle. kérdésére. (Pontosabban: a feladat szövege a „látott” Persze a képlet csak akkor értelmes, ha V ≠ c, ezért és a „hallott” mentõautó irányszögére kérdez – a lineá- külön meg kellene vizsgálni a V = c esetet, kideríteni, ris koordináták szögekre való átszámításának és újbóli mikor lesz nemnegatív a gyök alatti kifejezés értéke, ábrázolásának triviális feladatától megkíméljük az ol- mit jelent a két megoldás, melyik elõjelet kell válasz- vasót.) Másrészt – mint fentebb láttuk – e τ(t) függ- tani, lehet-e esetleg fizikai értelme mind a két megol- vény deriváltja egyben választ ad a feladat elsõ, az dásnak. észlelt frekvencia változására vonatkozó kérdésére is. A fentieket természetesen mind megtehetjük, de ez reménytelenül fáradságos, unalmas – és legfõképpen egyáltalán nem szemléletes. A retardált helyzet meghatározása Ehelyett egészen más utat választunk az eredmény elemzésére. Visszatérünk a retardálás fizikai feltételét Számításaink elsõ lépéseként helyezzük el szereplõin- kifejezõ (2) egyenlethez. Ezt négyzetre emelve y-ban ket egy koordináta-rendszerben. Mozogjon a mentõ- és t-ben is másodfokú egyenletet kapunk. Ez az autó a sík y tengelye mentén, pozitív irányba. A meg- egyenlet a (t, y) síkon egy másodrendû görbe, azaz figyelõ helyezkedjen el az x tengelyen, az origótól H kúpszelet egyenlete. Vajon milyen fajta kúpszelet távolságra levõ M pontban. Az idõszámítás nulla lehet? Mivel a feladat fizikai feltevései alapján tudjuk, pontját válasszuk meg úgy, hogy a mentõautó éppen hogy az y változó, azaz a mentõautó helyzete a moz- a τ = 0 pillanatban legyen az origóban. Ezzel a men- gás során −∞-tõl +∞-ig változik, ezért görbénk két tõautó út-idõ függvénye igen egyszerû alakú lesz: irányban is a végtelenbe nyúlik, így a kúpszeletek y(τ)=Vτ. Az y tengely P pontjában levõ mentõautó közül csak a hiperbola jöhet szóba. és a megfigyelõ távolságát jelöljük r-rel. Mindezt az Egy hiperbolát egyértelmûen meghatároz, ha meg- 1. ábrán vázoltuk fel. adjuk egy pontját és két aszimptotáját. A keresett A mentõautó egyszerû út-idõ kapcsolatának isme- görbe, azaz az y (t ) függvény egy pontját könnyen ki- retében a feladatunkban keresett τ(t) függvény he- találhatjuk. Van olyan idõpillanat, amikor a mentõ- lyett az y(t) függvényt is vizsgálhatjuk. A továbbiak- autó hangját a megfigyelõ éppen az x tengely irányá- ban ennek meghatározására koncentrálunk. ból hallja. Ezt a hangot a mentõautó az O ponton Ábránkról látható, hogy a Pitagorasz-tétel alapján áthaladva bocsátotta ki, az idõmérés nulla pontjában. A hang innen a megfigyelõ M pontjáig H távolságot r = H 2 y 2 . futott be, ehhez H /c idõre volt szükség. Van tehát a keresett y (t ) függvénygörbén egy K pont, amelynek A P pontban a τ pillanatban kibocsátott hangjel a t koordinátái: y =0ést = H /c (a pont K jele a pálya pillanatban érkezik meg a megfigyelõ M pontjába, M -hez legK özelebbi pontjára utal). tehát az r távolságot t−τ idõ alatt teszi meg, miköz- Már csak a hiperbola aszimptotáit kell meghatároz- ben a hang c sebességével mozog. Ezért r = c(t −τ). nunk. Amikor az y koordináta a negatív vagy a pozitív Ebben a képletben a τ idõt kifejezhetjük a P pont y végtelenbe tart, a (2) egyenlet bal oldalán a gyök alatt koordinátájával: τ = y/V. Behelyettesítve az r távolság a véges H mennyiség elhanyagolhatóvá válik, a gyök korábbi kifejezését az alábbi összefüggést kapjuk: értéke pedig |y| lesz. A hiperbola aszimptotáinak egyenlete tehát ⎛ y ⎞ H 2 y 2 = c ⎜t − ⎟ . (2) ⎛ y ⎞ ⎝ V ⎠ y = c ⎜t − ⎟ . (4) ⎝ V ⎠ Egyenletünk az y és a t változó közti kapcsolatot feje- zi ki implicit formában, azaz megadja, hogy a megfi- Ezt az y változóban elsõfokú egyenletet lényegesen gyelõ a t pillanatban az y tengely mely pontjából ér- könnyebb diszkutálni, mint a görbe másodfokú kezõ hangot hallja meg. Az egyenletet négyzetre egyenletének (3) megoldását. Az |y| értéket aszerint emelve és rendezve y-ban és t-ben is másodfokú kell szétválasztani, hogy a mentõautó az y tengely egyenletet kapunk, amelyet akár kézzel is megoldha- negatív vagy pozitív részén jár. Másrészt azt is meg tunk. Eddig az eredményig sok megoldó eljutott – kell különböztetnünk, hogy szubszonikus (V < c), csak éppen a lényeg, a kissé ijesztõ kifejezés fizikai szuperszonikus (V > c) vagy kritikus sebességû (V = interpretációja maradt el. c) mentõautóval van dolgunk.

A FIZIKA TANÍTÁSA 271 a) y Vc c + yt= + yut= 2 ywt= t t t K K K B T

– ywt =– = yut –

ωω ωω ωω / 0 / 0 / 0 uV – /

wV/ 1 K 1 K – uV K +/ 1 1/2 wV +/ t t t

2. ábra. A felsõ ábrasor a szubszonikus (a), kritikus sebességû (b), illetve szuperszonikus (c) mentõautók esetében ábrázolja az y(t) függ- vényt, azaz az autó „hallatszólagos” helyzetét a megfigyelõ észlelési idõpontjának függvényében. Az ábrákon szaggatott vonallal jeleztük a hiperbolák aszimptotáit, ezek meredeksége a t → −∞ és t → +∞ határesetben érvényes látszólagos sebességnek felel meg. Az alsó ábrasor a ω ω megfigyelõ által a t pillanatban észlelt (t) frekvencia és a mentõautó által kibocsátott 0 frekvencia arányát ábrázolja. Az alsó ábrák görbéi a felsõ görbék deriváltjának abszolút értékével arányosak (lásd az (1) képletet). A K „közelpontban” a mentõautó hangja az x tengely men- ω tén, az O origóból érkezik, ekkor a megfigyelõ által észlelt hang frekvenciája megegyezik az eredeti 0 frekvenciával.

Elõször vizsgáljuk meg a hangsebességnél lassab- A(V < c) feltétel miatt mindkét sebesség pozitív, és az ban mozgó mentõautó esetét! Az y tengely negatív is könnyen belátható, hogy u− > V > u+.Azy tengely tartományában a (4) egyenlet (és így egyben a t tengely) negatív felén tehát az y(t) függvényt ábrázoló hiperbola aszimptotája az y = u− t ⎛ y ⎞ egyenes, a pozitív felén pedig az y = u t egyenes. Eze- −y = c ⎜t − ⎟ + ⎝ V ⎠ ket az aszimptotákat szaggatott vonallal berajzoltuk a 2. ábra a) részén, a felsõ grafikonon. Ugyanezen az ábrán alakú lesz, amelyet y-ra megoldva megkapjuk az feltüntettük a korábban meghatározott K pontot is. aszimptota egyenletét: Ezután már könnyû megrajzolni a K ponton átmenõ, az elõbbi két aszimptotához simuló hiperbolaágat, ami a Vct y = . felsõ ábrákon vastagon rajzolt görbe lesz. − c V Hasonló számolás végezhetõ el a c hangsebesség- Az y tengely pozitív tartományában az nél gyorsabb mentõautó esetében is. Az aszimptoták egyenlete és a megoldás azonos a szubszonikus eset- ⎛ y ⎞ tel, de a (V > c) feltétel miatt a meredekségekre más y = c ⎜t − ⎟ ⎝ V ⎠ jelöléseket vezetünk be: V V egyenletet kapjuk, amelynek megoldása: w = ,=w . (6) − V/c − 1 + V/c 1 Vct y = . Mindkét bevezetett mennyiség pozitív, és az is c V könnyen belátható, hogy w− > c > w+.Azy tengely Az eredmény áttekinthetõbb lesz, ha külön jelölést veze- pozitív felén az aszimptota egyenlete y = w+ t, amely tünk be a két aszimptotikus egyenes sebességdimenziójú a t tengelynek is a pozitív feléhez tartozik. Az y ten- meredekségére, melyeket kissé más alakba írunk át: gely negatív oldalán azonban az aszimptota egyenlete y = −w− t lesz, ami egy jobbra lefelé mutató félegye- V u V (5) nest jelent. A 2. ábra c) részén, a felsõ grafikonon eze- u− = ,=+ . 1 − V/c 1 V/c ket az aszimptotákat is berajzoltuk, majd a K ponton

272 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 átmenõ hiperbolaágat is ábrázoltuk. Ez most az elõzõ beérkezõ hangjelek alapján kikövetkeztet. Ezen görbe esettel szemben teljes egészében az ábra jobb alsó és t idõpontbeli meredeksége jelenti tehát a mentõautó felsõ síknegyedébe esik. Az eredmény fizikai értelme- pillanatnyi sebességét a hang kibocsátásának idõ- zésével a következõ alfejezetekben foglalkozunk. pontjában – megint csak a megfigyelõ véleménye Hátra van az az eset, amikor a mentõautó V sebessé- szerint. Hangsúlyozzuk, hogy ez a kikövetkeztetett ge pontosan megegyezik a kibocsátott hang c sebessé- sebesség nem egyezik meg a mentõautó valódi sebes- gével. Ekkor az y tengely pozitív felén a (4) egyenlet ségével, annál kisebb és nagyobb, sõt a c) esetben negatív is lehet. ⎛ y ⎞ Alkalmazzuk most az (1) egyenletet. A képletben y = c ⎜t − ⎟ ⎝ c ⎠ szereplõ τ változót a mentõautó mozgását leíró y = V τ egyenlõség alapján kicseréljük y -ra, így megkap- alakú lesz, amelynek megoldása juk a Doppler-effektus esetünkre alkalmazott kép- letét: ct y = 2 ω (t) 1 dy(t) (7) ω = . lesz – ez az eredmény V = c behelyettesítésével köz- 0 V dt vetlenül is megkapható az elõzõ két eset megfelelõ formuláiból. Érdekesebb az y tengely negatív felének Kimondhatjuk tehát, hogy az egyenes vonalban moz- vizsgálata. Ekkor a (4) egyenlet gó mentõautó esetén a megfigyelõ által észlelt ω (t ) ω frekvencia és a mentõautó által kibocsátott valódi 0 ⎛ y ⎞ frekvencia aránya megegyezik a t pillanatbeli látszó- −y = c ⎜t − ⎟ ⎝ c ⎠ lagos sebesség (dy /dt ) abszolút értéke és a valódi V sebesség arányával. A 2. ábra alsó három grafikon- ω ω alakú lesz, amelynek megoldása t = 0. Ez azt jelenti, ján az (t )/ 0 értéket ábrázoltuk a megfigyelõ t ide- hogy a keresett hiperbola egyik aszimptotája maga az y jének függvényében, a felsõ ábrasor y (t ) görbéinek tengely, pontosabban annak negatív fele. A 2. ábra b) deriváltjai alapján. Szaggatott vonallal berajzoltuk e részén, a felsõ grafikonon berajzoltuk ezeket az frekvenciagörbék aszimptotáit is – ezek vízszintes aszimptotákat, majd a K ponton átmenõ hiperbolaágat egyenesek, amelyek függõleges koordinátája a felsõ is ábrázoltuk. (Megjegyezzük, hogy fáradságos munká- ábrasor aszimptotáinak meredeksége osztva a V se- val természetesen ugyanezeket a hiperbolaágakat kap- bességgel. tuk volna a (3) függvény gondos elemzésével is.) Elõször vizsgáljuk meg a hagyományos, hangnál Látható, hogy a szubszonikus (V < c) esetrõl a szu- lassabb mentõautó esetét (a 2. ábra a) oszlopa)! Ha perszonikus (V > c) esetre való áttérés során az y(t) megnézzük a hiperbola két távolba veszõ ágát, azt függvényt ábrázoló hiperbola bal oldali aszimptotája látjuk, hogy egyre közelednek az aszimptotákhoz (a mintegy „átfordul” az ábra bal alsó negyedébõl a jobb H → 0 határesetben egybe is esnek velük.) A t →±∞ alsó negyedbe, és a kritikus sebességnél (V = c)az határesetekben tehát a mentõautó látszólagos sebes- aszimptota éppen megegyezik az y tengellyel. sége állandó értékhez tart, ami megegyezik az Megoldottuk tehát a bevezetõben kijelölt elsõ fel- aszimptoták meredekségével, a t → −∞ esetben ez a → ∞ adatot. A kapott három görbe (a 2. ábra három felsõ sebesség u−,at + esetben pedig u+. A megfigyelõ részábráján) a fizikailag különbözõ három esetben közelében a látszólagos sebesség folytonosan csök- megadja a megfigyelõ t idejének függvényében az ab- ken u−-ról u+-ra. Ezt mutatja a 2.a ábra alsó része, ban a pillanatban beérkezõ hangot kibocsátó mentõ- ahol a vastag görbe az y(t ) függvény deriváltjával autó y koordinátáját a jel kiindulásának τ pillanatában. arányos. Ha a megfigyelõ nem az út mellett áll, ha- Megjegyezzük, hogy mindhárom ábránkon a K nem az úton (azaz H = 0), akkor a hiperbola egybe- pont t koordinátája arányos a H értékkel, ami a megfi- esik az aszimptotával, az alsó ábra ereszkedõ görbéje gyelõ távolságát jelöli a mentõautó útjának egyenesé- pedig az u− és u+ magasságban meghúzott két fél- tõl. Ha a megfigyelõ egyre közelebb húzódik az út- egyenesbõl álló lépcsõs függvényre redukálódik. hoz, akkor a hiperbolaágak egyre közelebb kerülnek De vajon mi okozza a mentõautó „hallatszólagos” az aszimptotákhoz, míg végül a H → 0 határesetben sebességének a valódi sebességhez képesti megnöve- azonossá válnak velük – ekkor az y(t) függvényt áb- kedését, illetve csökkenését? Ennek megértéséhez rázoló „görbe” a két aszimptota megfelelõ félegyene- érdemes egy téridõ-diagramot készíteni, amin a meg- seibõl álló törött vonal lesz. figyelõ és a mentõautó mozgása mellett a hangjelek terjedését is feltüntetjük (3. ábra). Az egyszerûség kedvéért csak a H = 0 esetet ábrázoltuk, ekkor egy Fizikai értelmezés – a Doppler-effektus kétdimenziós ábra is jól jellemzi a helyzetet. Az ábrán újragondolása a vízszintes idõtengely és a függõleges y tengely egy- ségeit úgy választottuk meg, hogy c = 1 legyen, azaz a A 2. ábra felsõ sorában a három vastagon kihúzott hangjelek terjedését +45° vagy −45° meredekségû görbe az y(t) függvényt ábrázolja – ez a mentõautó egyenesek ábrázolják (ilyenek a PP′, QQ′, RR′ és „hallatszólagos” út-idõ diagramja, amit a megfigyelõ a SS′ szakaszok). Az M jelzésû vízszintes egyenes a

A FIZIKA TANÍTÁSA 273 y megfigyelõ „világvonalát” áb- rázolja: az idõ múlik, de a V1 szakaszt (az ábrán 1 jelöli, és vastag vonallal kihúztuk). Ez a megfigyelõ történetének két egymást egységnyi idõvel Q (például 1 másodperccel) kö- P vetõ eseményét jelöli. Az idõ- szakasz kezdõ és végpontjá- 3. ábra. A vízszintes egyenes a megfigyelõ, a ferde egyenes a szubszonikus mentõautó téridõbeli val egyidejû események a világvonala. A ±45° meredekségû egyenesek a hangjelek terjedését ábrázolják, ezek a jelek a men- mentõautó világvonalának P tõautó történetének egységnyi hosszúságú PQ, illetve RS idõszakaszait a megfigyelõ történetének egységnyinél rövidebb P′Q′, illetve egységnyinél hosszabb R′S′ idõintervallumába képezik le. és Q pontjai. Vizsgáljuk meg az e pillanatokban kibocsátott hang terjedését! Ehhez a P és Q pontokból +45° me- A relativitáselméletrõl szóló könyveken edzõdött redekségû egyeneseket indítunk. Ahol ezek az egye- olvasóban persze felmerül a kérdés, mit is jelent a nesek metszik a megfigyelõ világvonalát (P′ és Q′ fenti megfogalmazásban az „álló” kifejezés. Természe- pontok), ott hallja meg a megfigyelõ a P, illetve a Q tesen arról van szó, hogy a hang (vagy a lovasfutár) pontokban elindult hangjeleket. Az ábrán világosan esetén létezik egy kitüntetett inerciarendszer (amely- látszik (de természetesen számítással is követhetõ), ben a levegõ, illetve a préri nyugalomban van), ehhez hogy P′Q′ <1, azaz a közeledõ mentõautó által egy- képest a hang (vagy a futár) terjedési sebessége a ségnyi idõkülönbséggel kibocsátott hangjelek beérke- különbözõ irányokban (jelen esetben elõre és hátra) zése között egységnyinél kisebb idõszakasz telik el. ugyanaz. Ezt a rendszert nevezhetjük „állónak”: kiin- A mentõautó világvonala a t = 0 pillanatban a K duló feltevésünk szerint a megfigyelõ ehhez a rend- „közelpontban” metszi a megfigyelõ világvonalát (mi- szerhez képest nyugszik, azaz „áll”. vel most feltevésünk szerint H = 0, ezért a 2.a ábra Képzeljük most el, hogy az egész idõtengely fel hiperboláján a K és az O pont egybeesik). Ismételjük van osztva egységnyi hosszúságú szakaszokra. A c meg az elõbbi konstrukciót az idõtengely pozitív fe- sebességgel haladó hang ezek mindegyikét leképezi a lén! Itt is bejelöltünk egy egységnyi hosszúságú idõ- megfigyelõ történetének egy egységnél rövidebb, szakaszt, majd megkerestük ennek megfelelõjét a illetve hosszabb szakaszára – attól függõen, hogy a t = mentõautó világvonalán, ezek az R és S pontok. Az 0 pillanat elõtt vagy után kibocsátott jelrõl van szó. A innen kiinduló hangjeleket most −45° meredekségû mentõautó által idõegység alatt megtett s = V útról egyenesek ábrázolják, hiszen a mentõautó már túlha- tehát a megfigyelõ azt gondolja, hogy t < 0 esetben ladt a megfigyelõn, és õ csak a „visszafelé” terjedõ s/V = 1 idõegységnél rövidebb, t > 0 esetben pedig hangot hallhatja meg. Az R és S pontokból kiinduló ennél hosszabb idõ alatt tette meg a mentõautó. Az hangjelek a megfigyelõt az R′, illetve S′ pontban idõszakaszoknak ez a furcsa transzformációja okozza érik el. Ismét jól látszik (és természetesen ki is számít- azt, hogy a közeledõ mentõautót u+ > V, a távolodót ′ ′ ható), hogy R S > 1, azaz a távolodó mentõautó pedig u− < V sebességûnek „hallja” a megfigyelõ. A által egységnyi idõkülönbséggel kibocsátott hangjelek kétféle sebesség közt a t = 0 pillanatban hirtelen a beérkezése között egységnyinél nagyobb idõszakasz váltás: az y(t) függvény két félegyenesbõl álló grafi- telik el. konja az origóban megtörik. Megtaláltuk tehát a jelenség leglényegesebb voná- Most már végiggondolhatjuk, mit is jelent a mentõ- ω sát: a mentõautó történetének idõegységnyi hosszúsá- autó monokromatikus, 0 frekvenciájú hangkibocsátá- π ω gú PQ, illetve RS szakaszát a véges sebességû hangje- sa. A hangforrás periodikus jele egyforma (T =2 / 0) lek az álló megfigyelõ történetének egységnél rövi- szakaszokra osztja az idõt, és a terjedõ hang ezeket a debb idõtartamú P′Q′, illetve egységnél hosszabb szakaszokat képezi le a megfigyelõ történetének ha- idõtartamú R′S′ szakaszába képezik le. Hangsúlyoz- sonlóképpen egyforma, de t < 0 esetben T-nél rövi- ni kell, hogy ez tisztán kinematikai effektus: sehol debb, t > 0 esetben pedig T-nél hosszabb szakaszok- sem használtuk fel, hogy a P pontból a P′-be az in- ra. A megfigyelõ tehát a közeledõ autó esetében rövi- formációt éppen a hullámjellegû hang viszi – az infor- debb periódusidõt, azaz nagyobb frekvenciát, a távo- máció hordozója lehetett volna puskagolyó, lovasfu- lodó autó esetén pedig hosszabb periódusidõt, tehát tár vagy bármi más. kisebb frekvenciát észlel. Ha visszalapozunk az (5)

274 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 definíciókhoz, láthatjuk, hogy a közeledõ mentõautó bicsaklana meg, amikor az M megfigyelõ világvona- u− sebességébõl kiszámítható lán felvett egységnyi idõszakaszt leképezzük a mozgó test világvonalára, és a kapott PQ szakaszt ω (t) u ugyancsak egységnyi hosszúnak tekintjük. A relati- = ω visztikus fizikában ez az azonosítás nem áll fenn, 0 V nincs abszolút idõ, és a különbözõ inerciális mozgá- frekvenciaarány éppen megegyezik a Doppler-effek- sú testek (itt a megfigyelõ és a mentõautó) által mért tus hagyományos tárgyalásakor megkapott idõintervallumok között egy relativisztikus szorzóté- nyezõt kell alkalmaznunk. Mindazonáltal a bemuta- 1 tott kinematikai érvelés a relativitáselmélet keretei − 1 V/c közt is érvényes, csak a PR, illetve az RS szakaszok értékkel, a távolodó autó esetében mérõszámát nem szabad egységnyinek tekintenünk. A relativisztikus Doppler-effektusnál fellépõ frek- ω (t) u venciatorzulási arány tehát két tényezõ szorzata: az = + ω egyik a relativisztikus idõdilatáció, a másik pedig az 0 V itt kiszámított kinematikai faktor. (A képletet szán- pedig megadja az ismert dékosan nem írjuk fel. Ne felejtsük el, hogy eddigi tárgyalásunkban c mindig a hang sebességét jelen- 1 tette, ami a hangot hordozó közeg tulajdonságaitól 1 V/c függõen igen különbözõ értékû lehet. A relativiszti- értéket. kus faktorokban szintén fellép egy – szokás szerint – Eredményünk szerint tehát a Doppler-effektus ugyancsak c -vel jelölt paraméter. Ez azonban nem egyáltalán nem hullámtani jelenség, hanem kinema- anyagfüggõ, hanem univerzális állandó, és – mel- tikai: a lényeg az, hogy a véges sebességû informá- lékesen – megegyezik az elektromágneses hullámok cióterjedés a mozgó test történetének egyforma idõ- vákuumbeli sebességével. A hangterjedés Doppler- szakaszait az álló megfigyelõ történetének más hosz- effektusának relativisztikus képletében gondosan szúságú szakaszaira képezi le. A mozgó test által ki- meg kellene különböztetnünk a kétféle c paramé- bocsátott periodikus, monokromatikus hullám pusz- tert.) A K közelponton való áthaladáskor a kinemati- tán segédeszköz: arra szolgál, hogy kényelmesen kai tényezõ 1, de a relativisztikus idõdilatáció to- „megcímkézhessük” a test történetének ezeket az vábbra is fennáll – ez okozza a transzverzális Dopp- egyforma idõszakaszait, illetve hogy a megfigyelõ ler-effektust. könnyen (akár füllel is) észrevehesse az idõszaka- Korábban láttuk, hogy a közeledõ mentõautó lát- szok hosszának megváltozását. szólagos u− sebessége nagyobb a valódi V sebesség- A 3. ábrán alapuló fenti az elemzés a H = 0 esetre nél. De vajon hogyan viszonylik a hang c sebességé- vonatkozott. Ha a megfigyelõ kissé távolabb áll az hez? Nos annál sokkal nagyobb is lehet! Könnyen úttól, azaz H ≠ 0, akkor az y (t) függvényt törött kiszámítható, hogy az vonal helyett hiperbola ábrázolja, ennek deriváltja, V azaz a hangforrás látszólagos sebessége pedig folyto- u = − 1 − V/c nosan csökken az u− értékrõl az u+-ra. Ezért a megfi- gyelõ által észlelt hang frekvenciája – amely a (7) sebesség nagyobb lesz c-nél, ha V > c/2. Sõt u− a egyenlõség szerint arányos a látszólagos sebességgel hangsebesség N-szeresénél is nagyobb lesz, ha – sem pillanatszerûen változik, hanem folytonos Nc függvény szerint csökken a közeledõ autó aszimpto- V > , tikusan magas hangjáról a távolodó autó aszimptoti- N 1 kusan mélyebb hangjára. A 2. ábra alsó részén az is ahol N akármilyen nagy szám lehet. Ha tehát a köze- ω ω látszik, hogy az (t)/ 0 arány épp a K „közelpont- ledõ mentõautó sebessége eléggé megközelíti a c ban” veszi fel az 1 értéket – az O pontban kibocsá- hangsebességet, akkor a látszólagos, a megfigyelõ tott, a megfigyelõhöz a mentõautó útjára merõlege- hangélményébõl kikövetkeztetett sebessége akár a ω sen beérkezõ hang éppen az eredeti, 0 frekvenciá- hangsebesség százszorosát is meghaladhatja! Ezért, ha val észlelhetõ. Röviden: nincs „transzverzális” Dopp- pusztán az álló megfigyelõ által begyûjtött hangok ler-effektus. hordozta információra szorítkozunk, igen furcsa el- Miért kell ezt hangsúlyozni? Mert tudjuk: a speciá- képzeléseink támadhatnak a mentõautók közlekedési lis relativitáselméletben transzverzális Doppler-ef- szabályaira vonatkozóan: egy hangsebességnél las- fektus is fellép. Ezért szólnunk kell néhány szót az sabban mozgó jármûvet szuperszonikusnak, sõt szu- eddig elmondottak és a relativitáselmélet viszonyá- per-szuperszonikusnak vélhetünk. Megnyugtatásul ról. Röviden: az olykor hasonlónak kinézõ képletek megjegyezzük, hogy a távolodó mentõautó aszimpto- és „az idõintervallumok transzformációja” ellenére tikus u+ sebessége mindig kisebb V-nél, ezért c -nél is tárgyalásunknak semmi köze a relativitáselmélethez! – lásd az (5) képletek utáni megjegyzést. Ha ugyanezt a gondolatmenetet a relativitáselmélet Fentebb megemlítettük, hogy az információt hang keretei között próbálnánk végigvinni, az érvelés ott helyett akár lovasfutár is továbbíthatja. Ez viccnek

A FIZIKA TANÍTÁSA 275 hangzik, de nem az, sõt véresen komolyan vehetõ. gyon egyszerû és szemléletes magyarázatát kapjuk: so- Képzeljük el a következõ szituációt: Napóleon serege káig nem jött semmi hír, aztán befutott az összes futár, állandó sebességgel közeledik Moszkva felé (az al- a legutolsó csak néhány órával a megérkezõ ellenség kalmi pihenõktõl és csatáktól most tekintsünk el), elõtt. Tehát az összes jelentés a had mozgásáról erre az naponta 45 mérföldet téve meg. Az orosz sereg óva- utolsó néhány napra koncentrálódik – ezért, aki szó tos távolságból követi a támadókat, és minden reggel szerint veszi a jelentéseket, és nem számol a futárok egy lovasfutárt indítanak a fõvárosba, hogy beszá- retardálásával, azt gondolhatja, hogy a sereg is ezalatt moljon az ellenség helyzetérõl. A lovasfutárok sebes- a néhány nap alatt tette meg a teljes utat. sége legyen naponta 54 mérföld. Az (5) egyenlõsé- Az olvasóra bízzuk annak végiggondolását, hogy a gek elsõ képlete szerint ekkor u− = 270 mérföld/nap Moszkvából menekülõ Napóleon esetében (feltéve, – amire az akkori viszonyok szerint persze semmi- hogy a sereg és a futárok sebessége ugyanaz, mint a lyen sereg sem lenne képes (egyébként a lovasfutá- közeledõ sereg esetében) hogyan lehet köznapi nyel- rok sebességét is jelentõsen meghaladja). Hogyan ven, képletek nélkül elmagyarázni a sebesség látszóla- magyarázható meg ez a hihetetlen számadat? Tegyük gos lecsökkenését, és kihozni a képletbõl adódó u+ lát- fel, hogy Napóleonnak 2700 mérföldet kell megten- szólagos sebességet. Vajon a távolodó sereg esetében nie az indulástól a Moszkvába érkezésig, ehhez a mikor és milyen jellegû tranziensek lépnek fel? fentiek szerint 60 napra van szüksége. Az elsõ nap Ha a Doppler-effektus ennyire kinematikai jelle- elinduló futár a 2700 mérföldet 54 mérföld/napos gû, és teljesen független az információhordozó fizi- sebességgel 50 nap alatt teszi meg. Az ellenséges had kai jellegétõl, akkor óhatatlanul felmerül a kérdés: elindulása utáni elsõ 50 napban tehát a fõvárosban vajon fellépnek-e a fentebb tárgyalt jelenségek semmilyen hírt nem kapnak a közeledõ seregrõl. akkor is, ha hang helyett fénnyel továbbítjuk az in- Ekkor viszont megjelenik az elsõ futár, a Napóleon formációt? Elsõ ránézésre a válasz: nem – hiszen a érkezéséig hátralevõ 10 nap alatt pedig sorra befut a fényterjedés a relativitáselmélet hatáskörébe tarto- késõbb elindult többi futár is, mind a hatvan. Az utol- zik, és már láttuk, hogy magyarázataink kihasználták só tíz napon tehát naponta hat futár érkezik, négy a klasszikus fizika „abszolút idõ” fogalmát, azaz a 3. óránként egy. És mindegyik azt az üzenetet hozza: az ábrán a megfigyelõ világvonalán 1-gyel jelölt idõ- ellenség az elõzõ futár jelentette helyzethez képest szakasz és a mentõautó világvonala PQ szakaszának 45 mérfölddel közelebb van! Egy nap alatt hat ilyen egyforma hosszúságát – ez pedig a relativitáselmé- jelentés: egy nap alatt az ellenség 270 mérfölddel letben nem áll fenn. Igen, a magyarázatnál felhasz- közeledett… Ebbõl a példából világos, hogy az így náltuk az abszolút idõt – de korábban, a (2) egyenlet kiszámolt, és a megfigyelõk által érzékelt u− érték a levezetésénél és megoldásánál nem! E lépések során valóságban semmiféle fizikai objektum sebességét végig egyetlen inerciarendszerben, a megfigyelõ sem jelenti, ez csak a véges jelterjedési sebesség rendszerében gondolkodtunk és számoltunk, min- okozta torzulás miatt kialakuló hamis adat. Ha a je- den számadat ebben a rendszerben volt érvényes. lentések (majdnem) végtelen sebességgel mozogná- Ezért az ott leírtak és eredményeik, a 2. ábra görbéi, nak (például futárok helyett mobiltelefont használná- valamint a látszólagos aszimptotikus sebességre vo- nak), akkor a fõvárosban real time tudnák követni az natkozó (5) képletek változatlanul érvényesek akkor ellenség mozgását. is, ha a képletekben c nem a hang, hanem a fény Ez a nem hullámtani jellegû példa a Doppler-effek- sebességét jelenti! (A 2. ábra c) oszlopát és a (6) tus szokásos tárgyalásának még egy sajátosságára is képletet természetesen nem kell figyelembe ven- rávilágít. Mi felel meg a fizikai feladatokban az elsõ nünk, hiszen a c fénysebességnél gyorsabb mentõ- ötven napnak, amikor semmiféle hír nem érkezett autó vagy ûrhajó nem létezik.) Moszkvába? Semmi – mert a fizikai feladatokban álta- Emlékezzünk vissza viszont arra, hogy a jelforrás lában stacionárius esetekkel számolunk. Azaz a vizs- u− látszólagos közeledési sebessége nagyobb lehet a gált viszonyok a t = −∞-tõl kezdve változatlanul fenn- valóságos jelterjedési sebességnél, azt akárhányszoro- állnak – mintha Napóleon is az idõ és a tér messzi san meghaladhatja. Elõfordulhat tehát, hogy egy fényt végtelenjébõl érkezne seregével. A valóságban persze kibocsátó objektum közönséges, c-nél lassabb, de semmilyen fizikai folyamat nem tart örökké, a hullám- c/2-nél gyorsabb sebességgel közeledik hozzánk – tanban vizsgált jelenségek is csak véges idõvel ezelõtt ekkor képleteink szerint az u− látszólagos közeledési kezdõdtek el. Ezért a folyamat elején a történelmi sebesség nagyobb lesz a fénysebességnél. Ilyen jelen- példához hasonló átmeneti jelenségek („tranziensek”) séget a csillagászok valóban tapasztaltak már: bizo- észlelhetõk, csak ezeket az egyszerûbb tárgyalás ér- nyos aktív galaxismagok robbanása nyomán a látóirá- dekében nem szoktuk figyelembe venni. Mintha a nyunkhoz képest ferde szögben kibocsátott gázcsó- moszkvai eseményeket a történészek csak az elsõ vák a fénysebességnél látszólag nagyobb sebességgel futár beérkezése után kezdték volna rögzíteni. Ekkor mozognak felénk. Ezt a megfigyelést egyes felületes valóban ijesztõ lenne folyamatosan azt hallani, hogy értelmezõk mint a relativitáselmélet cáfolatát emleget- az ellenség négy óránként 45 mérfölddel került köze- ték a sajtóban – holott csak a közönséges klasszikus lebb – igencsak szélsebes hadseregrõl lenne szó… kinematikát kellett volna alaposan megtanulniuk, Ha viszont figyelembe vesszük a kezdeti informá- vagy Napóleon kalandjainak utánaszámolni a fenti ciócsendet, a látszólagos sebességnövekedésnek na- számpélda alapján…

276 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 V együtt mozgó kúp alakú hullámfront, amelynek men- XB tén a hanghullámok összetorlódnak (hivatalos tudo- mányos nevén Mach-kúp). Ezt ábrázoltuk vázlatosan a 4. ábrán. (Hasonlóképp rajzolható le a közegben, például vízben a vákuumhoz képest lecsökkent fény- sebességnél gyorsabban mozgó elektronok által kibo- ϕ csátott elektromágneses sugárzás Mach-kúpja is – ez okozza az úgynevezett Cserenkov-sugárzás jelensé- gét, amely az atomreaktorok hûtõvizében mozgó gyors elektronok okozta kékes derengés formájában figyelhetõ meg.) A hangforrás a t pillanatban a kúp H O M τ csúcsában, az XB pontban van. Útjának egy elõzõ, P rB B idõpontjában felvett helyzetét jelzi az ábra PB pontja. Az ekkor kibocsátott hanghullám a PB ponttól gömb- szimmetrikusan távolodik (ne feledjük, hogy válasz- tott koordináta-rendszerünk a levegõhöz képest nyu- galomban van, ezért a hang minden irányban egyfor- τ ma c sebességgel terjed), így t− idõ elteltével egy rB 4. ábra. A szuperszonikus V sebességgel mozgó hangforrás Mach- = c(t −τ) sugarú gömbfelületet alkot, ennek síkmet- kúpja, amely a különbözõ pillanatokban kibocsátott, gömbszimmet- rikusan terjedõ hanghullámok burkolófelülete (kausztikája). A kúp szetét jelzi az ábrán az rB sugarú kör. Adott t pillanat- ϕ félnyílásszögét a sebességek aránya határozza meg: sinϕ = ban ezt a szerkesztést tetszõleges korábbi τ idõpont- PBM/PBXB = c/V. hoz elvégezhetjük. Az így megrajzolt körök burkoló- görbéje az ábra két egyenese – a térben a gömbök burkolófelülete (szakszóval: a hullámok kausztikus A szuperszonikus eset felülete) egy XB csúcsú kúppalást. A kúp geometriai adatai az ábrából könnyen kikövetkeztethetõk. Lát- τ Vizsgáljuk meg a valóban szuperszonikus, azaz a tuk, hogy t− idõ alatt a PB pontból kiinduló hang rB hangsebességnél gyorsabb mentõautó esetét! Igaz, = c(t −τ) utat tesz meg, és épp eléri az ábra M pont- hogy ilyenek manapság nem szaladgálnak az utcá- ját. Ugyanennyi idõ alatt a hangforrás a PB pontból V kon, de gondolhatunk mentõautó helyett mentõrepü- sebességgel az XB pontba jutott, így megtett útja lõgépre is, esetleg arra, hogy a mentõautó egy másik V(t− τ). A két út hányadosa épp az ábrán berajzolt ϕ bolygón száguld, amelynek légköre nehéz gázmole- szög szinusza: kulákból áll, ezért a benne terjedõ hang sebessége jóval kisebb a földi légkörben érvényesnél, így egy PB M c sinϕ = = , közönséges autó is könnyen lehagyja a hangot. A PB XB V fizikusi és matematikai képzeletet semmi sem korlá- tozza, és látni fogjuk, hogy ez az eset is igen érdekes ami a szuperszonikus esetben kisebb 1-nél. Ez az ér- fizikai tanulságokat tartogat. ték független a τ idõponttól – épp ez bizonyítja, A 2. ábra c) részén, ami a szuperszonikus esetben hogy a különbözõ pillanatokban kibocsátott gömb- ábrázolja az y (t) függvényt, azaz a mentõautó „hal- hullámok burkolója egy ϕ félnyílásszögû kúp lesz. latszólagos” helyzetét a megfigyelõ idejének függvé- Ha az M pontot azonosítjuk megfigyelõnk helyzeté- nyében, igen furcsa dolgot vehetünk észre. A görbe vel, akkor ábránk azt a helyzetet mutatja be, amikor ≥ teljes egészében a t tB > 0 tartományban húzódik, a hangkúp éppen eléri a megfigyelõt. A korábbiak ott viszont két ága van, egy növekvõ és egy csökke- szerint a megfigyelõ H távolságra van a mentõautó nõ. Azaz egy bizonyos (pozitív) idõpont elõtt a meg- útvonalától, ezért az ábrán az OM szakasz hossza figyelõ egyáltalán nem hallja a mentõautót, a B ese- épp H lesz. Az ábrán szereplõ számos, egyaránt ϕ mény jelenti a mentõautó hangjának elsõ észlelését. szögû derékszögû háromszög lehetõvé teszi, hogy az A semmibõl hirtelen megjelenõ erõs hang miatt neve- összes bennünket érdeklõ szakasz hosszát kifejezzük zik ezt a jelenséget hangrobbanásnak (B = Bumm). H és ϕ segítségével: Késõbb viszont a megfigyelõ már két „virtuális” men- tõautó hangját hallja, egy közeledõét, majd késõbb H ϕ rB = , OPB = rB sin , pozitív irányban távolodóét, illetve egy másikét, ami cosϕ a B eseménytõl indulva az ellenkezõ irányba távolo- rB cosϕ dik, arra, amerrõl az „igazi” mentõautó érkezett. A P X = , OX = H . B B ϕ B ϕ korábbi fejezetben ábrázolt egyenleteink, mind a (2) sin sin alapegyenlet, mind a (3) másodfokú függvény ehhez Mivel megállapodásunk szerint a hangforrás a t =0 a furcsa állású hiperbolához vezet. De mi lehet idõpontban haladt át a megfigyelõhöz legközelebbi O ennek a fizikai jelentése? ponton, ezért az OXB távolságot az autó V sebességé- Közismert, hogy a hangsebességnél gyorsabban vel osztva megkapjuk azt a tB idõpontot, amelynek mozgó test körül egy „hangkúp” jön létre, a testtel pillanatfelvételét látjuk az ábrán:

A FIZIKA TANÍTÁSA 277 megfigyelõ egyáltalán nem hallotta a mentõautó 2 2 OXB H cosϕ H V − c hangját – de ezek a hangjelek nem vesztek el, õk is tB = = = . V V sinϕ Vc elérik a megfigyelõt, csak a tB idõpont után, egyszerre egy másik hangjellel, ami viszont a hangforrás pályá- A B esemény yB helykoordinátája pedig egyszerûen jának késõbbi szakaszáról származik. az OPB szakasz hossza negatív elõjellel: Érdemes megismételni a szubszonikus mentõautó esetére vonatkozó 3. ábra szerkesztését a szuperszo- ϕ Hc yB = −rB sin = − . nikus esetre is (lásd a 6. ábrát). A hangjelek terjedé- ° ° V 2 − c 2 sét továbbra is +45 , illetve −45 meredekségû egye- nesek jelzik, a mentõautó mozgását ebben az eset- Mindkét képletben az utolsó lépésben a szögfüggvé- ben viszont egy 45°-osnál meredekebb világvonal nyeket kifejeztük a sebességekkel. Így megkaptuk 2.c ábrázolja. Az egységnyi hosszúságú idõtartamoknak ábra B pontjának, a hiperbola „csúcsának” tB és yB a hangforrás világvonalán megfeleltethetjük a PQ, koordinátáit. illetve RS szakaszokat, majd ezeket hangjelekkel le- Az eddig vizsgált 4. ábra a tB pillanatban érvényes képezzük a megfigyelõ világvonalát ábrázoló M víz- helyzetet mutatta be. Lépjünk most egy kicsit hátra, szintes egyenesre. A távolodó mentõautó esetében illetve elõre az idõben! Ezt mutatja be az 5. ábra. A ugyanazt kapjuk, mint a 3. ábrán: az R ′S ′ szakasz mozgó test magával viszi a ϕ szögû Mach-kúpot. Ami- hosszabb lesz egy egységnél, azaz a megfigyelõ úgy kor tehát a mentõautó egy korábbi tA < tB pillanatban látja: adott s útszakasz megtételéhez a forrásnak több az XA pontban volt, akkor a hangkúp is egy kicsit idõre van szüksége, mint s /V, tehát a mentõautó lát- lejjebb helyezkedett el, a megfigyelõ M pontja pedig szólag V -nél lassabban távolodik. A közeledõ mentõ- teljesen kívül esett a kúpon. Ezért nem hall hangot a autó esetében viszont új, érdekes jelenséget vehe- megfigyelõ a tB idõpont elõtt: a különbözõ korábbi tünk észre: a PQ szakasz hangjelekkel való leképezé- idõpontokban kibocsátott hangjelek a kúp palástján sénél a P és Q pontok sorrendje megfordult, a Q ′ járnak, és még egyikük sem érte el a megfigyelõt (5.a esemény korábbi, mint a P ′ esemény. Azaz a közele- ábra). A középsõ ábrán t = tB, a helyzet megegyezik a dõ mentõautó által késõbb kibocsátott jel korábban 4. ábráéval: a kúppalást átmegy az M ponton, ezért a érkezik meg a megfigyelõhöz, mint a korábban kibo- PB pontban kibocsátott hangjel éppen eléri a megfi- csátott jel. Ez a szerkesztés mutatja meg, miért tart gyelõt: ezt jelzi a PBM nyíl. Az ábra c) része egy ké- lefelé 2.c ábra hiperbolájának alsó ága: ha a koráb- sõbbi tC > tB pillanatot mutat be. A hangforrás már az ban, azaz még a megfigyelõtõl távolabb kibocsátott XC pontban jár, a kúp feljebb tolódott, a megfigyelõ M jel késõbb érkezik meg, mint a késõbb, azaz a megfi- pontja a kúp belsejébe került. Ekkor viszont érdekes gyelõhöz közelebb kibocsátott jel, akkor ezt a megfi- új helyzet áll elõ: két olyan pontot is találunk (az áb- gyelõ úgy fogja interpretálni, hogy a hangforrás távo- rán a P1 és P2 pontokat), ahonnan az ott kibocsátott 5. ábra. A szuperszonikus hangforrás Mach-kúpjának három helyzete az M pontban álló megfigye- hangjel épp a vizsgált tC pilla- lõhöz képest. A tA idõpontban (a) a hangkúp még nem érte el az M pontot: a megfigyelõ nem hall natban éri el a megfigyelõt. hangot. A tB idõpont (b) a hangrobbanás pillanata: a kúp palástja épp átmegy az M ponton, a meg- Geometriailag ez úgy jelenik figyelõ a PBM vektor irányából hirtelen erõs hangot hall. A tC idõpontban (c) az M pont már a Mach-kúp belsejébe került. A megfigyelõ ugyanabban a pillanatban egyszerre két különbözõ, P és meg, hogy egyszerre két 1 P2 pontból érkezõ hangot észlel. olyan kört is szerkeszthetünk, t>tB amelyek belülrõl érintik a a) b) c) V kúppalástot jelzõ két egye- t=tB XC nest, és átmennek az M pon- t tB pillanatokra két hiperbolaívet: ezek a két P különbözõ beérkezõ hangjel- 1 nek felelnek meg, az egyik a B eseménynél késõbbrõl, a másik viszont korábbról szár- mazik. A tB pillanat elõtt a

278 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 y Ha a 6. ábrán feltételezet- tekkel szemben H ≠ 0, azaz a S V>c megfigyelõ kissé odébb áll, akkor a frekvenciamenet a 2.c R ábra alsó részének megfele- lõen alakul. A hangrobbanás pillanatában a frekvencia for- málisan végtelennek adódik – korábban láttuk, hogy ekkor valójában nem értelmezhetõ a hanghatás frekvenciája. Utána a két látszólagos mentõautó hangjának frekvenciája gyor- 1 K QN PN t san csökkenni kezd, és tarta- M nak az w /V, illetve w /V ará- 1 RN SN − + nyok által által meghatározott RSNN>1 értékekhez. QPNN<1 Foglaljuk össze a szuper- szonikus mentõautót kellõ H oldaltávolságból észlelõ meg- figyelõ tapasztalatait! Sokáig Q egyáltalán nem hall semmit, majd a tB > 0 pillanatban (amikor a mentõautó már P ténylegesen túljutott pályájá- nak a megfigyelõhöz legköze- 6. ábra. Ugyanaz, mint a 3. ábra, de szuperszonikus mentõautó esetére. A korábban vizsgált kine- lebb esõ O pontján) egy y <0 matikai eredetû idõintervallum-torzuláson túl új jelenség a közeledõ mentõautó PQ idõsza- B kaszának a hangjelekkel való leképezés során bekövetkezõ megfordulása a Q′P′ szakaszba. koordinátájú pontból hirtelen erõs hang érkezik hozzá lodik tõle – mégpedig visszafelé, arra, amerrõl az (amelynek nincs egyetlen jól meghatározott frekven- igazi mentõautó érkezett. (Ezen az ábrán a B pont, a ciája), majd a hang látszólagos forrása kettéválik. Az hangrobbanás eseménye nincs külön jelölve. Ennek egyik pozitív irányba mozog, közben folyamatosan oka az, hogy a 3. és a 6. ábrák az egyszerûbb ábrá- lassul, áthalad a megfigyelõ melletti K közelponton ω zolás kedvéért a H = 0 feltételezéssel készültek, (ekkor egy pillanatra a valódi 0 frekvenciájú hang ekkor viszont a 2. ábra hiperbolái egybeesnek az érkezik), továbbhaladva sebessége aszimptotikusan a aszimptotáikkal, 2.c ábra B pontja pedig egybecsú- (6) egyenletben meghatározott w+ < c sebességhez szik a K közelponttal és az O origóval.) tart – azaz a valójában a hangnál gyorsabban távolodó Ha most a szubszonikus esethez hasonlóan elkép- mentõautót a megfigyelõ a hangsebességnél lassab- zeljük, hogy az idõtengelyt valamilyen módon – pél- ban távolodónak hallja. Ugyanakkor a hangrobbanás dául egy monokromatikus hangforrás periodikus je- pillanatában elindul visszafelé egy másik látszólagos leivel – egyforma szakaszokra osztjuk, akkor a szu- (vagy inkább „hallatszólagos”) mentõautó is, sebessé- perszonikus mentõautó útja közeledõ részének min- gének abszolút értéke egyre csökken, és aszimptoti- den ilyen idõintervalluma a PQ szakaszhoz hasonlóan kusan a −w− értékhez tart. A visszafelé távolodás lát- leképzõdik a megfigyelõ világvonalának egy fordított szólagos sebességének w− értéke nagyobb a c hang- irányú szakaszára. Az idõszakasz „elõjelváltását” a sebességnél (V-nél viszont kisebb és nagyobb is le- megfigyelõ nem észleli: egy szinuszjel visszafelé le- het). Megjegyezzük, hogy mindkét látszólagos mentõ- játszva is szinuszjel marad. Ezért kellett az (1) képlet- autó hangjának erõssége az 1/r 2-es törvénynek meg- be beírni az abszolút érték jelét. A megfigyelõ tehát felelõen gyengül, tehát a megfigyelõ nemcsak fejének egyszerûen egy periodikus jelet, monokromatikus forgatásával, hanem a gyengülõ hang alapján is reális- hangot hall, amelynek frekvenciája a w− látszólagos nak érezheti a két távolodó hangforrás helyzetét. sebesség és a V valódi sebesség arányából számolha- Végül röviden kitérünk a kritikus sebességû, azaz a tó ki (ez az arány kisebb és nagyobb is lehet 1-nél). hangéval megegyezõ sebességgel mozgó mentõautó Ezt a hangot a megfigyelõ azonban csak a tB idõpont esetére, amely az elõzõleg tárgyalt két eset speciális után kezdi hallani – ugyanakkor, amikor a hiperbola keverékének fogható fel (erre vonatkoznak a 2. ábra másik ágának megfelelõen beérkezik a w+/V arány- b) részének görbéi). Látszik, hogy most is van egy ban torzult frekvenciájú másik hang is. A hangnak a B olyan kritikus pillanat (t = 0), ami elõtt a megfigyelõ pontban bekövetkezõ hirtelen megjelenése után a nem észlel semmiféle hangot. Most nem lép fel a visz- megfigyelõ tehát egyszerre két különbözõ magasságú szafelé haladó látszólagos mentõautó furcsa jelensége, hangot észlel, a két irányban távolodó látszólagos az egyetlen látszólagos mentõautó viszont a t = 0 pilla- mentõautóknak megfelelõen. nat után nagyon gyorsan lelassít a „végtelen” sebesség-

A FIZIKA TANÍTÁSA 279 rõl, majd a megfigyelõ mellett a közelponton túlhalad- zást kapunk. A közeledés látszólagos sebessége meg- va a c/2 látszólagos sebességre lassul, miközben folya- haladhatja a hang (vagy más esetben a fény) sebessé- matosan csökkenõ frekvenciájú hangot bocsát ki. gét, szuperszonikus esetben pedig negatív is lehet. Ha A 2. ábra b) és c) részeinek végtelenbõl érkezõ gör- ragaszkodnánk az egydimenziós tárgyaláshoz, észre beágaival kapcsolatban ismételten felhívjuk a figyelmet sem vennénk, hogy a két látszólagos mentõautó ellen- arra, hogy ezek az ágak a mentõautó által a t → −∞ kö- tétes irányban távolodik – csak a két irányból érkezõ rül kibocsátott hang beérkezését dokumentálják. Mi- különbözõ frekvenciájú hangokat rögzítenénk. vel a valóságos mentõautók (még a szuperszonikusok A megfigyelõ által észlelt hang frekvenciája a (7) is) nem a tér és idõ végtelenjébõl, hanem csak véges képletnek megfelelõen a látszólagos sebességgel ará- távolságból érkeznek, a görbék végtelenbe szakadó nyos, és szintén sima átmenetet mutat. Szuperszoni- ágainak nincs fizikai értelme – e görbék igen nagy, de kus vagy kritikus sebességû mentõautó esetében a véges értéknél kezdõdnek. Ennek tényleges meghatá- hang megjelenésének pillanatában a frekvencia for- rozása azonban csak a mentõautó indulási körülmé- málisan végtelenhez tart – ennek fizikai értelmezhe- nyeinek pontos ismeretében lehetséges. tetlenségérõl is ejtettünk néhány szót. Leglényegesebb eredményünk az, hogy a Doppler- effektus nem hullámtani jelenség, hanem tisztán kine- Tanulságok matikai: lényege az idõintervallumoknak a véges sebes- ségû jelterjedés általi leképezése okozta hosszúságtor- A Doppler-effektust a szokásos elemi tárgyalás egydi- zulása. A mozgó test által kibocsátott monokromatikus menziós jelenségként kezeli: a mozgó forrás és a meg- jel frekvenciaeltolódása csak „megcímkézi” és könnyen figyelõ egy egyenes mentén helyezkedik el. Elemzé- észlelhetõvé teszi a jelenséget. sünk megmutatta, hogy ezzel az egyszerûsítéssel a je- Végsõ tanulságként leszögezhetjük, hogy még egy lenség lényeges vonásait hanyagoltuk el. Ha a megfi- ilyen egyszerû, jól ismert(nek vélt) jelenség, mint a gyelõt kiemeljük a mozgás egyenesébõl, rájöhetünk, Doppler-effektus esetén sem árt néha kimozdulni a hogy a mozgó forrás beérkezõ hangja irányának észle- szokásos megfigyelõi pozíciónkból, szemléletmódot lése fontos információkhoz juttatja a megfigyelõt: en- váltani, és új szemszögbõl szemügyre venni a fizikai nek alapján rekonstruálhatja a mentõautó „hallatszó- jelenségeket. Ezzel (amellett, hogy nem üt el a mentõ- lagos” mozgását, amely két aszimptotikusan állandó autó) meglepõ, érdekes és messzire mutató értelme- sebességû mozgásból és a közöttük való sima átmenet- zéseknek, analógiáknak, a fizika más területeivel való bõl tevõdik össze. Minél közelebb van a megfigyelõ a kapcsolatoknak juthatunk nyomába. mentõautó útvonalához, annál rövidebb és élesebb ez Nem mellékesen pedig száz pontot is szerezhetünk az átmeneti szakasz – a H = 0 határesetben végtelenül az Ortvay-versenyen (melyek közül az ötvenedikre éles, egyetlen pillanatban megvalósuló sebességválto- 2019. október 25. és november 4. között kerül sor).

A NUKLEÁRIS ENERGIA ELFOGADÁSA

Radnóti Katalin A TANULÓIFJÚSÁG KÖRÉBEN ELTE TTK Fizikai Intézet

Az energetika stratégiai szerepet tölt be hazánk gaz- lehet meghozni. Ezért fontos, hogy a társadalom szé- dasági életében. Az ezzel kapcsolatos döntések hosz- les rétegeihez közérthetõ tájékoztatás jusson el e té- szú távon éreztetik hatásukat a gazdaságban és a kör- mában. Azonban ezek a kérdések összetettek, azokat nyezetben egyaránt, így azokat ma már csak a lakos- nemcsak mûszaki-tudományos értelemben, hanem a sággal, illetve az önkormányzatokkal egyetértésben gazdaság, a társadalom és a környezet egymásra hatá- sának viszonylatában is tárgyalni kell. Radnóti Katalin az ELTE TTK-n végzett Ha végigtekintjük hazánkban a különbözõ energia- kémia–fizika szakos tanárként. Több éves elõállítási lehetõségeket, beláthatjuk, hogy az atomener- középiskolai tanári munkája mellett egye- gia használata ideális egy nyersanyagban szegény, jól temi doktorátust szerzett fizikából, majd az képzett munkaerõben viszont gazdag ország számára. A ELTE Tanárképzõ Fõiskola oktatójaként a neveléstudomány kandidátusa lett a fizika kõolajszállítás akadozhat az aggasztó nemzetközi hely- tanítása témakörébõl. Jelenlegi munkahelye zet miatt, a magyar szén nem jó minõségû és – magas az ELTE TTK Fizikai Intézet, fõiskolai tanár. kéntartalma miatt – használata erõsen környezetszeny- Több mint 200 publikációja van, tanári se- nyezõ. A megújuló energiaforrások, bár súlyuk növek- gédletek, tanulmányok, könyvek, könyvfe- jezetek. Kutatási területe a fizika és a termé- szik energiaellátásunkban nem lesznek képesek fedezni szettudományok tanításának módszertana. a jövõben megjelenõ energiaszükségleteinket.

280 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 A környezetvédelmi kérdések jelentõs részérõl folyamatok, tendenciák vizsgálatára nyílik lehetõség. elmondhatjuk, hogy napjainkra már beépültek a kü- Azon esetekben, ahol ez lehetséges – sajnos a korábbi lönbözõ nevelési programokba. Az iskolákban gon- felmérések összes dokumentációja már nem fellelhetõ dot fordítanak a szelektívhulladék-gyûjtésre, a gyere- – a korábbi évek tapasztalataira is kitérek. kek szívesen vállalnak részt a legkülönfélébb környe- zetvédelmi megmozdulásokban. A kifejezetten kör- nyezetbarát energiaelõállításra lehetõséget adó atom- A 2018-as vizsgálat energiának viszont hangos ellenzéke van hazánkban Kérdések és hipotézisek is, amelynek okait fel kell tárni. Eddigi tapasztalataink alapján ma hazánkban a Kérdés 1: Felfedezhetõ-e jelentõs különbség a fiúk és villamos energiát legolcsóbban, a legmegbízhatób- a lányok válaszaiban? ban és környezetvédelmi szempontból a legtisztáb- Hipotézis 1: Korábbi vizsgálataink eredményei alap- ban a Paksi Atomerõmû termeli. 2018-ban az összes ján azt gondoltuk, hogy igen, a fiúk minden bi- hazai villamosenergia-elõállítás mintegy 40%-át adta. zonnyal többet tudnak a témáról és elfogadób- Mivel a jelenleg üzemelõ 4 darab 500 MW teljesítmé- bak is. nyû blokk meghosszabbított üzemideje kevesebb, K2: Miként befolyásolja a témával kapcsolatos tudás- mint 20 éven belül lejár, ezért hazánkban új villamos- rendszer a nukleáris technika elemei felhasználásá- energia-termelõ erõmûvet, azaz új atomerõmûvi blok- nak elfogadottságát? Változik-e ez az évek során? kokat kell építeni. H2: Feltételezésünk szerint minél több ismerete van Egy adott téma oktatása-feldolgozása elõtt a diákok valakinek a témáról, annál kedvezõbben ítéli meg. elõismereteirõl, témával kapcsolatos érzelmi viszo- Továbbá a magasabb évfolyamra járó tanulók töb- nyulásaikról tájékozódni az osztályban kiosztott kér- bet tudnak a nukleáris energiáról és kedvezõbben dõívekkel lehet. A kiértékelés után látható, hogy a is ítélik meg. tananyag melyik részével kell, érdemes többet foglal- K3: Felfedezhetõ-e különbség a fõvárosi és a vidéki kozni, miként is szervezze meg a tanár a tanulási fo- diákok tudása és a nukleáris energia elfogadottsága lyamatot. között? H3: Azt gondoltuk, hogy ebben nem lesz különbség. K4: Változott-e a diákok tudásszintje az eltelt évtize- A vizsgálat célja dek alatt? H4: Azt gondoltuk, hogy a diákok tudásszintje körül- Nukleáris témában az 1986-os csernobili balesetet belül azonos lesz. követõ évben, 1987-ben végeztem elsõ felmérésemet több száz gimnazista és általános iskolai tanuló köré- A minta kiválasztása ben, akik még szervezett, iskolai körülmények között nem tanultak a témáról. Vagyis a tanulók kifejezetten Mind a négy esetben arra törekedtünk, hogy a meg- máshonnan (újságok, TV mûsorok, szülõk, politiku- kérdezett minta, a vizsgáltba bevont diákok az ország sok, az utóbbi években az internet, illetve közösségi több régiójából kerüljenek ki. A válaszadás önkéntes, felületek) szerzett elõzetes tudására, illetve a témához név nélküli volt. való érzelmi viszonyulására voltam kíváncsi. A vizs- A 2018-as felmérés esetében 20 különbözõ iskolá- gálatot 1993-ban – a megváltozott társadalmi viszo- ból gyûjtöttünk adatokat. Ez azért volt lehetséges, nyok közt – megismételtem. 2007-ben és 2018-ban mert az ELTE TTK fizika tanárszakos hallgatói számá- ismét felmérést végeztem a témában (1. táblázat), ra képzésük utolsó éve részben külsõ iskolai helyszí- ezek célja a vélemények alakulásának immár több év- neken történik, így 20 kihelyezett hallgatónk volt az tizedes figyelemmel kísérése [1–3]. ország különbözõ iskoláiban. A kérdõívet, amelyet Célkitûzésem volt, hogy eredményeink közzététe- Nukleáris totónak neveztünk, hiszen 13+1 kérdést lével segítsem a tájékoztatási stratégia alakítását, to- tartalmazott, kitöltõ diákok a hallgatók által tanított vábbá az iskolai oktatás számára is tanácsokkal szol- osztályokból kerültek ki.1 gáljak. Jelen írásban a 2018-as felmérést részletesen ismer- A kérdõív szerkezete tetem. A kérdések egy része teljesen azonos mind a négy felmérésben, így a válaszok összehasonlítók, A kérdõív elején demográfiai kérdéseket – a tanuló neme, hányadik évfolyamra jár, illetve lakhelye – tet- tem fel. Ezt az érdemi, összesen 14 darab (13+1) kér- 1. táblázat dés követte. Az egyes években megkérdezett diákok száma. 1 Az adatgyûjtésben résztvevõ hallgatók: Tahler Adrienn, Szferle Tamás, Pécsi Ágnes, Schön Tímea, Sudár Mariann, Pintér Petra, dátum 1987. év 1993. év 2007. év 2018. év Lakatiné Kulcsár Kitti, Tamás Klára, Tóth István, Bíró Anna, Jura- sits Júlia, Molnár Tamás, Zámbó Gyöngyvér, Androvits Edina, kérdezettek 652 fõ 578 fõ 395 fõ 524 fõ Varsányi Éva, Böszörményi Balázs, File Ágnes, Szegedi Gábor, Kindl Eszter, Szeibert Janka.

A FIZIKA TANÍTÁSA 281 1,5% 5,5% 80 1987. év 15,5% 70 1993. év 14,3% 2007. év 60 2018. év 50 40 30 20 válaszok eloszlása (%) 7. évfolyam 10 8. évfolyam 0 9. évfolyam kõolaj, szén nap nukleáris bio víz 10. évfolyam 31,9% 31,3% földgáz 11. évfolyam 12. évfolyam 2. ábra. Hogyan elégítenék ki a diákok a jövõ energiaigényét? 1. ábra. A vizsgálatban részt vett tanulók évfolyamonkénti meg- Milyen megoldást javasolsz a jövõ energiaigényének oszlása. kielégítésére? A kiértékelés módja 1. napenergia 2. szénenergia A kiértékelés számítógépes feldolgozással történt, 3. kõolaj, földgáz Excel táblázatkezelõ program felhasználásával. Egy 4. nukleáris energia számsor került beírásra, majd az egyes választott lehe- 5. bioenergia tõségek számszerû összeszámlálása és azok százalé- 6. vízenergia kos megjelenítése. A válaszokat szûrni is tudtuk kü- 2018-ban legnagyobb arányban a napenergia fel- lönbözõ szempontok szerint, mind a kitöltõk neme, használását javasolták a diákok, mintegy 70%-ban. Ezt lakhelye, évfolyama, illetve bármelyik kérdésre adott messze lemaradva követi csak a nukleáris energia 9%- válasz szerint. kal. A kérdésrõl a korábbi években is hasonlóan gon- dolkodtak a diákok (2. ábra). Demográfiai jellegû kérdések Ez valószínûleg azért van, mert az emberek a nap- energia felhasználását tartják a legveszélytelenebb- A kérdõív elsõ kérdései a megkérdezettek területi, nek. Az átlagember nem gondolja végig, hogy ez életkori és nemenkénti megoszlására vonatkoznak. mennyire szétszórt energia, és viszonylag kis hatás- A nemenkénti megoszlás mind a négy esetben kö- fokkal hasznosítható. A berendezések költségesek, zel fele-fele volt. nagy területet foglalnak el, állandó tisztítást igényel- A területi megoszlás a négy esetbõl háromban ha- nek, ráadásul energiatermelése nagy mértékben függ sonló, egyszer eltérõ volt. Míg 1987-ben, 1993-ban és az idõjárástól. Kiegészítõ energiaforrásként, olyan 2018-ban zömmel fõvárosi diákok, közel háromne- földrajzi helyeken, ahol magas a napsütéses órák szá- gyed részben töltöttek ki kérdõívet, addig 2007-ben ma (például Dél-Európában) családi házak, kisebb ez az arány éppen fordított volt. üdülõk energiaellátása ilyen módon megoldható. Ki- Mindegyik esetben igyekeztünk általános iskolai válóan hasznosítható továbbá az ûrállomáson, mûhol- felsõs és középiskolás tanulókat kérdezni. A legtöbb dakon, ami viszont nagyon speciális, nem mindenna- diák a 9. és a 10. évfolyamról került ki. Ennek oka az, pi gyakorlat. Azonban nagy mennyiségû, megbízha- hogy a hallgatók nagy része ezen évfolyamokon taní- tóan és hosszú ideig folyamatosan energiát biztosító, tott a külsõ iskolai gyakorlat során. A 2018-as felmé- egy ország energiaigényének jelentõs részét kielégítõ résben részt vett tanulók évfolyamonkénti megoszlása naperõmûvek építése a jelenlegi feltételek mellett – az 1. ábrán látható. 3. ábra. Az atombombában végbemenõ folyamatokról alkotott ta- Néhány nukleáris témájú kérdés nulói elképzelések. megoldottságának elemzése 80 1987. év 70 1993. év Jelen írásban a diákok számára feltett 14 kérdésre 2007. év 60 adott válaszokból válogatva mutatok be néhány jel- 2018. év legzetes összefüggést. A részletes kiértékelés a Ma- 50 gyar Nukleáris Társaság honlapján olvasható.2 40 Alább három olyan kérdéssel és a rá érkezett vála- 30 szokkal foglalkozom, amelyek mind a négy felmérés- 20 ben változatlan formában szerepeltek. válaszok eloszlása (%) 10 0 semmit magfúzió kémiai szabályozatlan 2 http://www.nuklearis.hu/sites/default/files/nuklearis2018-toto- reakció nukleáris elemzes_RadnotiK.pdf reakció

282 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 80 1987. év 80 2007. év 70 1993. év 70 2018. év 2007. év 60 60 2018. év 50 50 40 40 30 30 20 20 válaszok eloszlása (%) válaszok eloszlása (%) 10 10 0 0 semmit magfúzió szabályozott szabályozott igen nem igen, de csak igen, de csak kémiai nukleáris cseppfertõzés nemi úton folyamat reakció útján terjed terjed 4. ábra. Az atomerõmûben végbemenõ folyamatokról alkotott ta- 5. ábra. Fertõzõ-e a sugárbetegség? nulói elképzelések. függetlenül attól, hogy világszerte egyre több naperõ- A kérdés korábban csak 2007-ben szerepelt, és mûvet építenek és egyre több házra szerelnek fel nap- akkor a diákok 51%-a gondolkodott helyesen a témá- kollektorokat – ábránd marad. Továbbá az is látható, ról. 2018-ban már csak a diákok 45%-a tudta, hogy a hogy a 2007-es és a 2018-as felmérés esetében kisebb sugárbetegség nem fertõzõ (5. ábra). A többieknek arányban választják a diákok a nukleáris energiát. tévképzetük van, tehát ebben az esetben is vissza- (A szélenergia nem szerepelt a választható elkép- esést láthatunk. zelések között. Az elsõ és a második felmérés idején gyakorlatilag még nem jelentett alternatívát, így a Szerinted a Paksi Atomerõmûvet érheti-e két utóbbi esetben már nem akartam változtatni a a csernobilihoz hasonló katasztrófa? kérdésen.) 1. Igen, bármikor elõfordulhat. A következõ két kérdés arra vonatkozott, hogy a 2. Nem, mert más típusú reaktorok üzemelnek Pak- diákok milyen mértékben rendelkeznek helyes isme- son, amelyekben reaktorfizikailag sem állhat elõ a retekkel a nukleáris folyamatokkal kapcsolatban. csernobilihoz helyzet. 3. Igen, de megfelelõ üzemeltetéssel ez megelõzhetõ. Mit tudsz az atombombában végbemenõ Szerencsére kevesen gondolják azt, hogy bármikor folyamatokról? elõfordulhat. De kár, hogy sokan nem tudják, hogy 1. szabályozatlan nukleáris reakció Pakson más típusú reaktorok üzemelnek (6. ábra). 2. kémiai reakció Sajnos ezen a téren elég komoly a tévképzetek jelen- 3. magfúzió léte, amely nem csökkent az évek során. A helyes 4. semmit irányba terelés mindenképpen a fizikaoktatás fontos 2018-ban a diákok legnagyobb része semmit sem feladata kell legyen. tudott errõl, vagy téves elképzeléseik vannak. A diá- kok mindössze 21%-ának vannak helyes elképzelései. Szerinted Magyarország villamosenergia- A korábbi évtizedekben kicsit jobb volt a helyzet (3. szükségletének hány százaléka származik importból? ábra). 1. Semmi, minden szükséges villamosenergia-meny- nyiséget elõ tudunk állítani hazai erõmûvekben. Mit tudsz az atomerõmûben végbemenõ 2. átlag 5%, csúcsidõben 10% folyamatokról? 3. átlag 10%, csúcsidõben 20% 1. szabályozott nukleáris reakció 4. átlag 30%, csúcsidõben majdnem 50% 2. szabályozott kémiai folyamat 3. magfúzió 6. ábra. Paks és Csernobil. 4. semmit 80 2018-ban erre a kérdésre kicsit többen, a tanulók 2007. év 2018. év 35%-a tudta a jó választ, mint az atombomba esetében 70 (4. ábra). Sajnos az elõbbi kérdéshez hasonlóan, itt is 60 azt kell megállapítanunk, hogy a 2018-as felmérésben 50 kisebb, sõt, sokkal kisebb arányban született jó vá- 40 lasz, mint az elmúlt évtizedekben. 30 A továbbiakban néhány új kérdést mutatok be. 20 válaszok eloszlása (%) Szerinted fertõzõ a sugárbetegség? 10 1. Igen. 0 2. Nem. igen, bármikor nem, mert a paksi igen, de megfelelõ elõfordulhat típusú reaktorokban üzemeltetéssel 3. Cseppfertõzés útján. fizikailag sem állhat ez megelõzhetõ 4. Igen, de csak nemi úton terjed. elõ a csernobili helyzet

A FIZIKA TANÍTÁSA 283 7,3% 80 fiúk 70 lányok 28,2% 60 19,5% 50 40 30 20 válaszok eloszlása (%) 10 0 nukleáris megújuló földgáz + nukleáris + semennyi kõolaj + szén megújulók átlag 5%, csúcsidõ 10% átlag 10%, csúcsidõ 20% 8. ábra. A fiúk és lányok megoldási javaslatai a villamosenergia- átlag 30%, csúcsidõ majd 50% 43,1% szükséglet kielégítésére. 7. ábra. Mekkora lehet az import villamos energia százaléka? valószínûleg ennek következtében kedvezõben ítélik A diákoknak csak negyede gondolja a helyes vá- meg. Ennek demonstrálására nézzük meg a követke- laszt, hogy hazánkban a villamosenergia-felhasználás zõ kérdésre adott válaszokat! több, mint 30%-át importból kell beszerezni. A leg- többen 10–20%-ra vagy annál is kevesebbre tippel- Mivel oldanád meg a villamosenergia-szükségletet? nek (7. ábra). Ez a kérdés elõször szerepelt a felmé- A fiúk nagyobb arányban választanák a nukleáris résben. energiát, míg a lányok inkább megújuló pártiak (8. Néhány esetben megvizsgáltuk, hogy találunk-e ábra). szignifikáns különbségeket egyes tanulói csoportok tudása között. A szignifikanciát 5%-os szinten vizsgál- Területi megoszlás szerinti elemzés tuk. Ehhez a totóból kivettük azokat a kérdéseket, amelyek tudás jellegû elemekre kérdezett rá. A kérdé- Kíváncsiak voltunk, vajon befolyásolja-e a diákok tudá- sekre adott jó válaszokhoz 1-1 pontot rendeltünk. sát, illetve a nukleáris energiával kapcsolatos vélemé- A következõkben megnézzük, hogy kimutatható-e nyét az, hogy a fõvárosban vagy vidéken élnek. A totó- szignifikáns különbség a fiúk és lányok, a fõvárosi és ból a tudáselemekre vonatkozó kérdések megoldottsá- vidéki tanulók tudása és véleménye között. Továbbá ga a következõképp alakult a fõvárosi és a vidéki tanu- megnézzük, hogy az egyre magasabb évfolyamra járó lók esetében: a fõvárosi diákok teljesítménye 34,2%-os, diákok válaszai hogyan alakultak. szórása 18,1%, míg a vidékieké 28,9%-os, szórása 17,4%. A különbség szignifikáns. Általánosságban elmondható, Van-e különbség a fiúk és a lányok tudása hogy a fõvárosi diákok többet tudnak a témáról, és va- és attitûdje között? lószínûleg ennek következtében kedvezõbben ítélik meg. Ennek demonstrálására nézzük meg a „Milyen Az elõzõ három felmérés eredményeihez hasonlóan a megoldást javasolsz a jövõ energiaigényének kielégíté- 2018. éviben is jelentõs különbségek tapasztalhatók a sére?” kérdésre adott válaszokat! fiúk és lányok nukleáris technika alkalmazásáról alko- A vidéki diákok sokkal inkább napenergia-pártiak, tott véleménye-tudása között. A tudáselemeken ala- mint a fõvárosiak. Azonban meg kell említeni, hogy puló kérdések megoldottsága a fiúk esetében 33,8% fiúk és lányok aránya közel 50-50% volt, addig a vidé- (szórása 19,5%), míg a lányoknál 28,5% (szórása ki tanulók vizsgált minta mindössze negyedét tették ki 17,5%). A különbség szignifikáns. Általánosságban (9. ábra). elmondható, hogy a fiúk többet tudnak a témáról, és

9. ábra. A fõvárosi és vidéki diákok megoldási javaslatai a villamos- Évfolyamonkénti elemzés energia-szükséglet kielégítésére. A 8., a 9., a 10. és a 11. évfolyamos diákok válaszait 80 Budapest összehasonlítottuk, mivel kíváncsiak voltunk, hogy 70 vidék változik-e és ha igen, akkor hogyan, a tanulók tudása, 60 illetve véleménye az életkor elõrehaladtával. A 7. és a 12. évfolyamra járó és kérdõívet kitöltõ tanulók cse- 50 kély száma miatt ezt a két évfolyamot kihagytuk az 40 összehasonlításból. Néhány esetben érdekes különb- 30 ségeket találtunk. 20 Érdekes a „Mit tudsz az atombombában végbeme- válaszok eloszlása (%) nõ folyamatokról?” kérdésre adott válaszok évfolya- 10 monkénti vizsgálata. Az évek elõrehaladtával növek- 0 kõolaj, szén nap nukleáris bio víz szik a helyes válaszok aránya, míg a 11. évfolyamosok földgáz esetében az hirtelen lecsökken. Vagyis fiatalabb tár-

284 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 80 8. évfolyam 80 8. évfolyam 70 9. évfolyam 70 9. évfolyam 10. évfolyam 10. évfolyam 60 60 11. évfolyam 11. évfolyam 50 50 40 40 30 30 20 20 válaszok eloszlása (%) válaszok eloszlása (%) 10 10 0 0 semmit magfúzió kémiai szabályozatlan semmit magfúzió szabályozott szabályozott reakció nukleáris kémiai nukleáris reakció folyamat reakció 10. ábra. Milyen folyamat megy végbe az atombombában? 11. ábra. Milyen folyamat megy végbe az atomerõmûben? saiknál jóval kisebb arányban tudják, hogy szabályo- Egyértelmû kapcsolat állapítható meg abban a tekin- zatlan nukleáris reakcióról van szó (10. ábra). tetben, hogy akik többet tudnak a témáról, azok ked- Az elõzõhöz nagyon hasonlókat mondhatunk el, a vezõbben is ítélik meg a nukleáris energiát, ahogy azt „Mit tudsz az atomerõmûben végbemenõ folyamatok- elõzetesen gondoltuk. Azonban a diákok témával ról?” kérdésre adott válaszok esetében. Mintha a diá- kapcsolatos tudása nem növekszik az évek során., kok visszafejlõdnének, hiszen a 11.-ben visszaesés illetve növekedés mutatható ki a 8–9–10. évfolyamok van (11. ábra). A magfúzió választása nõ az évfo- között, ami a 11. évfolyamon visszaesik, amely továb- lyammal, holott hasadásról van szó. bi vizsgálatokat igényel. A várakozással ellentétben a tudásszint évfolya- monkénti emelkedése nem minden esetben követke- K3: Felfedezhetõ-e különbség a fõvárosi és a vidéki zett be, sõt, vannak esetek, amikor visszaesést tapasz- diákok tudása és a nukleáris energia elfogadottsága taltunk. Sok esetben stagnálással találkoztunk a külön között? nem elemzett kérdésekre adott válaszokban. H3: Azt gondoltuk, hogy ebben nem lesz különbség. A fenti eredményekbõl nem szeretnék általános Nem túl nagy – de szignifikáns – különbség van a következtetéseket levonni, ugyanis a 11.-es diák jóval fõvárosi diákok javára. kevesebb, mindössze három osztálynyi volt, azaz a népesebb 8., 9. és 10. évfolyam körülbelül fele. Az K4: Változott-e a diákok nukleáris technikával kap- elkövetkezendõkben további vizsgálatokat tervezek. csolatos tudásszintje az eltelt évtizedek alatt? H4: Azt gondoltuk, hogy a diákok nukleáris techniká- val kapcsolatos tudásszintje körülbelül azonos lesz, A feltárt jelentõsebb összefüggések nem változik az évtizedek során. Ezzel szemben 2018-ban mintha kevesebbet tudná- A feltárt összefüggéseket a tanulmány elején megfo- nak a diákok, mint korábban! Ez már annak a követ- galmazott kutatási kérdések és hipotézisek alapján kezménye lehet, hogy hazánkban a folyamatos óra- vesszük sorra. számcsökkentésekkel visszaszorult a természettudo- mányos oktatás. Így a diákok természettudományos K1: Felfedezhetõ-e jelentõs különbség a fiúk és a lá- szemlélete nem megfelelõen alakul, kevésbé érdek- nyok válaszaiban? lõdnek a mûszaki-természettudományos kérdések H1: Korábbi vizsgálataink eredményei alapján azt iránt, holott napjainkat sokkal jobban átszövik a gondoltuk, hogy igen, a fiúk minden bizonnyal technikai eszközök használata, és sokkal több infor- többet tudnak a témáról és elfogadóbbak is. mációhoz lehet jutni, mint az emberiség korábbi tel- Hipotézisünknek megfelelõen szignifikáns eltérés van jes történetében. mind tudásszintben, mind a nukleáris energia megíté- lését illetõen a fiúk és a lányok között. A fiúk tájéko- A kapott adatokat elemezve jelen felmérés során is zottabbak és kedvezõbben is ítélik meg a nukleáris megállapítható, hogy nukleáris energia megítélése energiát. ugyan nem túl kedvezõ, de szerencsére egyértelmû elutasítás sem tapasztalható. A diákok inkább, mint K2: Miként befolyásolja a témával kapcsolatos tudás- egyik lehetõséget tartják fontosnak. rendszer a nukleáris technika elemei felhasználásá- Az elõzõ, az 1987-es, az 1993-as és a 2007-es adat- nak elfogadottságát? Változik-e ez az évek során? gyûjtések eredményeivel jelen felmérésünk eredmé- H2: Feltételezésünk szerint minél több ismerete van nyei összhangban vannak, vagyis azok megbízható- valakinek a témáról, annál kedvezõbben ítéli meg. nak tekinthetõk. Több kérdést szándékosan azonos, Továbbá a magasabb évfolyamra járó tanulók töb- vagy majdnem azonos formában tettünk fel, amelyek- bet tudnak a nukleáris energiáról és kedvezõbben re adott válaszokból a vélemények alakulásáról is is ítélik meg. képet kaphattunk az elmúlt három évtized során.

A FIZIKA TANÍTÁSA 285 Javaslatok az oktatás számára • Készítsen listát a mindennapi életben használha- tó olyan eszközökrõl, amelyek mûködése alapvetõen A különbözõ médiumok elõszeretettel kínálnak mo- a modern fizika eredményein alapul! dern fizikai témákat, sokszor, mint érdekességet, sok- • Vizsgálja át a televízió egy heti programját és szor, mint szenzációt. A nukleáris energia felhasználá- gyûjtse ki azokat a mûsorokat, amelyek témája a mo- si lehetõségeirõl, a felhasználás során bekövetkezõ dern fizikával kapcsolatos! eseményekrõl is elõszeretettel szólnak a különbözõ • Gyûjtsön olyan ismeretterjesztõ könyveket, ame- híradások. Az iskola tehát nem teheti meg, hogy ezek lyek a modern fizika eredményeit mutatják be 12–16 tudományos igényû fogadására nem készíti fel a leen- éves gyerekek számára! dõ választópolgárokat. A továbbiakban javaslatokat • Vizsgáljon át napilapokat, különbözõ folyóirato- írunk le a nukleáris témák feldolgozási lehetõségei- kat, internetes híradásokat! Milyen a modern fizikát hez, amelyek nem feltétlenül csak a tanórákhoz kö- érintõ cikkek találhatók bennük? Mennyire megbízha- tõdnek. tó információkat közvetítenek a különbözõ cikkek a Azt gondoljuk, hogy az iskolának nagyobb szere- nagyközönség felé? Csoportosítson aszerint, hogy me- pet kellene vállalnia a nukleáris technikával kapcso- lyeket tartja megbízhatónak, s melyeket nem! latos ismeretek közvetítésében. A fiúk – a szerény • Végezzen adatgyûjtést a nukleáris energia elfo- tanórai kereteket meghaladva – lényegesen több is- gadását illetõen diákok és/vagy a nagyközönség kö- meretet „szedtek” fel a témában, mint a lányok. Ez is rében! mutatja, hogy fontos az iskola szerepe. A megfelelõ • Készítsen felmérést a modern fizika kidolgozásá- tanítási órákon, mint fizika, kémia, földrajz, át kell ban részt vett magyar tudósok ismertségére vonatko- tekinteni a különbözõ energiaátalakítási lehetõsége- zóan! ket, az azokhoz kapcsolódó kockázati tényezõket. • Készítsétek el a magfúzió, a maghasadás és a Meg kell értetni a tanulókkal, hogy az egyre nagyobb láncreakció képi illusztrációját! létszámú emberiség energiaigénye fokozódik, és en- • Modellezzétek a láncreakciót! nek elõállítása bizonyos veszélyeket is hordoz magá- • Hasonlítsátok össze az energia nukleáris erõmû- ban. Természetesen az energia hatékony felhasználá- ben való elõállításával kapcsolatos környezeti problé- sa, a takarékosság szükségszerû, de az egyre bõvülõ mákat az energia egyéb elõállítási lehetõségei során elektromos berendezéseink – amelyek modern élet- felmerülõ problémákkal! módunk szükségszerû velejárói, például számítógép, • Gyûjtsetek cikkeket, különbözõ helyen megje- klímaberendezés, mikrohullámú sütõ, mobiltelefon lent írásokat a nukleáris energia felhasználási lehetõ- stb. – napi használatáról nem szeretnénk lemondani! ségeivel kapcsolatban! Készítsetek tablót ezekbõl! Az energiahiány és ezen belül a villamos energia • Készítsetek beszámolót a magyar tudósok szere- hiánya, illetve csökkentett elérési lehetõsége, mai pérõl az atomenergia felszabadításának témakörében! életmódunk hanyatlásával járna, továbbá csak jóval A beszámoló alapján készítsetek tablót is! kevesebb ember életlehetõségét tudná biztosítani a • Mely országokban milyen típusú atomerõmûvek Földön! mûködnek, és mekkora az ország villamosenergia- Különbözõ szinteken tanítható, osztálytermi kör- termelésében a nukleáris energia részesedése? Ábrá- nyezetben feldolgozható energetikával és azok kör- zoljátok térképen is a nukleáris erõmûvek helyét! nyezeti hatásaival foglalkozó modulokat, tanítási egy- • Milyen hazai és nemzetközi szervezetek foglal- ségeket lehet kidolgozni. Az általános iskolai korosz- koznak a nukleáris technikával? tály számára is feldolgozhatók az ilyen témakörök, • Mely országokban fejlesztik a nukleáris energiát természetesen egyszerûsített formában. és mely országokban szorul vissza? Mi lehet e jelen- Amennyiben erre lehetõség van, érdemes kirándu- ségnek az oka? lás keretében megtekinteni a MVM Paksi Atomerõmû • Kutatási témák (elsõsorban lányok számára). A Zrt. Látogató Központját, amely rendkívül jó összefog- következõ személyek életét lehet feldolgozni: Marie lalást ad a témával kapcsolatban. A látogatást érdemes Curie, Iréne Curie, Lise Meitner. De kereshetnek ma- elõre bejelenteni, ha nagyobb csoportot visznek a gyar vagy magyar származású kutatónõket is, továbbá kollegák. A bemutató megtekintése, a szakszerû veze- interjúkat lehet készíteni a napjainkban a nukleáris tés díjtalan és bárkinek lehetõsége van rá, gyerekek- technika területén dolgozó nõkkel. nek is, mivel nem tartozik az erõmû területéhez [4]. A diákok érdeklõdése szerint bármelyik téma akár Szintén könnyed, látványos formában van lehetõsé- önálló projektté is kibõvíthetõ. A gyûjteményekbõl gük a diákoknak megismerkedni az atomenergiával kiállítás szervezhetõ, vitanap rendezhetõ esetleg más és az új blokkok létesítését jelentõ Paks II. projekttel a osztályok tanulóinak bevonásával stb. Paks II. Zrt. tájékoztató kamionján. Az interaktív kiál- Elektronikai érdeklõdésû diákok részére szakkörö- lítás országjárása során felkeresi az ország 5000 fõnél kön például detektorok építése és azokkal mérések nagyobb lélekszámú településeit és a nagy nyári fesz- végzését ajánljuk [6]. tiválokat egyaránt [5]. A fizika jellegû számítások iránt érdeklõdõk számá- A továbbiakban lehetséges tanulói tevékenységek ra modellszámítások végzését és a Szilárd Leó Ver- listáját közöljük a témakör önálló vagy csoportos ta- seny feladatainak tanulmányozását, illetve a verse- nulói feldolgozásához: nyen való részvételt ajánljuk [7].

286 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 Akik szeretik a szimulációkat, azok számára is 4. MVM Paksi Atomerõmû Tájékoztató és Látogatóközpont hon- széleskörû lehetõségek vannak, mint például Sükösd lapja: http://www.atomeromu.hu/hu/latogatoknak/ErkezesElott/ Lapok/default.aspx Csaba és Jarosievitz Beáta szimulációi [8]. 5. Paks II. Atomerõmû Zrt. interaktív tájékoztató kamionja. http:// Továbbá érdemes az atomerõmû mûködésérõl [9], www.paks2.hu/hu/Media/Interaktiv-tajekoztato-kamion/Lapok/ az urán útjáról [10], illetve a témával kapcsolatban fil- default.aspx meket keresni. 6. Garamhegyi G.: Safecast-projekt megvalósítása az Isaszegi Gábor Dénes Gimnázium és Szakgimnáziumban. Fizikai Szemle 69/1 (2019) 30–36., http://fizikaiszemle.hu/uploads/2019/01/fizszem- Irodalom 201901-garamhegyigabor_14_47_53_1548942473.1417.pdf 1. Radnóti K.: Milyen napjainkban Magyarországon a tizenévesek 7. Szilárd Leó Verseny honlapja: http://www.szilardverseny.hu atomenergiához való viszonya. Egy felmérés eredményeinek 8. Sükösd Csaba szimulációi: http://oldweb.reak.bme.hu/munka áttekintése. Fizikai Szemle 38/4 (1988) 157–160. tarsak/dr-suekoesd-csaba/letoeltes/ismeretterjeszto-es-oktatasi- 2. Radnóti K.: Az atomenergia elfogadása a tanulóifjúság körében. anyagok.html Fizikai Szemle 50/7 (2000) 251–253. 9. https://www.youtube.com/watch?time_continue=5&v=QILQiy 3. Radnóti K.: A nukleáris technikával kapcsolatos gondolkodás HbfFA múltja, jelene, jövõje. Nukleon I/1 (2008) http://nuklearis.hu/ 10. https://www.youtube.com/watch?time_continue=177&v=mDpi sites/default/files/nukleon/nukleon1_1_radnoti.pdf K7xUchE

MILYEN GYORSAN HALADJUNK ESÕBEN, HOGY MINÉL KEVÉSBÉ ÁZZUNK EL? Egy elmélet és egy kísérlet ellentétes eredményeinek igazságtartalmáról Horváth Gábor, Szferle Tamás Áron ELTE Fizikai Intézet, Biológiai Fizika Tanszék

Esõben gyakran futni kezdünk, hogy minél elõbb egy rint esõben futni érdemes, ha kevésbé akarunk vizesek esõmentes helyre érjünk, mert a lehetõ legkevésbé aka- lenni, egy kísérletben viszont arra jutottak, hogy in- runk elázni. Egy speciális esetben csak a fejünk és vál- kább gyalogoljunk, ha kevésbé akarunk elázni. Mi az lunk ázik el, máskor fõleg a fejünk, vállunk és testünk oka az elmélet és kísérlet ellentétes eredményeinek? eleje, vagy leginkább a fejünk, vállunk és testünk hátsó Melyiknek van igaza? Cikkünkben e minden esõben felülete. Vajon mikor melyik? Mekkora sebességgel érde- mozgó embert érintõ kérdéseket válaszoljuk meg. mes haladnunk, hogy minél kevésbé legyünk vizesek? ✧ Hogyan függ mindez az esõcseppek sebességétõl és irá- Az esõben haladás egy speciális esetével meteoroló- nyától? Mit mond errõl a videomédia? Egy elmélet sze- gusok foglalkoztak [1]. Õk azt a legegyszerûbb hely- zetet vizsgálták, amikor függõlegesen és állandó se- bességgel hulló, egyenletes térbeli és idõben nem változó cseppeloszlású esõben egy téglatest konstans sebességgel tesz meg egy adott távolságot. Elemi szá- Horváth Gábor fizikus, az MTA doktora, egyetemi tanár, az ELTE Biológiai Fizika mításokkal arra a következtetésre jutottak, hogy a Tanszék Környezetoptika Laboratóriumá- téglatest vízszintes felsõ és függõleges mellsõ felületét nak vezetõje. A vizuális környezet optikai együttesen annál kevesebb esõcsepp éri, minél na- sajátságait és az állatok látását tanulmá- gyobb sebességgel mozog. nyozza, továbbá biomechanikai kutatáso- kat folytat. Számos szakmai díj és kitünte- A videomédiát is foglalkoztatta a függõlegesen hulló tés tulajdonosa. Évtizedek óta aktív tudo- esõben haladás optimális sebességének kérdése. Cik- mányos ismeretterjesztõi munkát is folytat künk végén egy magyar [2] és egy amerikai [3] videofil- elõadások és cikkek formájában. met említünk és veszünk górcsõ alá. Cikkünkben a szá- mításainkat azon általánosabb esetre végezzük, amikor az esõ az x vízszintes és z függõleges síkkal párhuza- Szferle Tamás Áron az ELTE fizika-földrajz mosan hullik a függõlegestõl mért −90°≤θ ≤ +90° tanárszakos hallgatójaként és amatõr rögbi- szögben, s egy téglatest az x tengellyel párhuzamosan játékosként BSc szakdolgozatát a rögbi fizikájáról írta, míg MA diplomamunkájá- mozog állandó v sebességgel az 1. ábra szerinti mó- nak címe Kísérleti fizika földrajzórán volt don, nevezéktannal és jelölésekkel. A téglatestet érõ Horváth Gábor vezetésével. 2019-ben szer- esõ mennyiségét számítjuk ki. zett tanári diplomát az ELTE-n. A budapesti Téglatestünk legyen a z tengely mentén Ł magassá- Athéné Idegenforgalmi, Informatikai és Üz- letemberképzõ Középiskolában tanít fizi- gú, az x tengely mentén a hosszúságú és az y tengely kát és földrajzot. mentén b szélességû (1. ábra), és mozogjon állandó

A FIZIKA TANÍTÁSA 287 z mert θ < 0, ahol ρ a homogénnak föltétele-

nf zett esõcseppeloszlásban az egységnyi térfogatban lévõ esõ mennyisége (esõcsep- pek száma vagy azok össztömege/légtérfo- felsõ b gata). Ilyenkor, érthetõ módon, a téglates- tet érõ esõ mennyisége csak a felsõ ab

a ellenesõ függõleges esõ hátesõ felületnagyságtól függ és független a Ł ma- v θ >0 θ =0 θ <0 gasságtól. + – θ

mellsõ nm nh hátsó y w A felsõ és mellsõ felületre hulló függõleges vagy ellenesõ (θ≥0) h –v Ha függõleges vagy ellenesõben (θ ≥ 0, 1. ábra) a téglatesttel együttmozgó koordiná- w ta-rendszerben az esõ w✶ sebességvekto- ✶ rának vízszintes irányú összetevõje wx <0, w = θ wwv– akkor v > −wsin = vkrit, s ekkor a téglatest (4) ne = (1, 0, 0) x

normálvektorú mellsõ Am =Łb felületét és s a tetejének nf = (0, 0, 1) normálvektorú 1. ábra. w sebességvektorral hulló esõben x irányú vízszintes állandó v sebesség- Af = ab felületét éri csak esõ. vektorral mozgó, abŁ méretû téglatest, ami s távolságot tesz meg, amíg esõmentes A 2. ábra alapján a téglatesttel együtt- helyre nem ér. mozgó koordináta-rendszerben egy n nor- v =(v, 0, 0) sebességvektorral az x tengely mentén, ahol málvektorú, A nagyságú felületnek az esõ w✶ sebes- s utat kell megtennie, amíg egy esõmentes helyre ér ségvektorára merõleges homlokfelülete

s ✶ t = (1) n w v A = A cosα, ahol cosα = . homlok w ✶ idõ alatt. Az esõ hulljon w állandó sebességgel lefelé az x-z síkkal párhuzamosan, a függõlegestõl mért θ szög- A téglatest mellsõ felülete esetén: ben úgy, hogy ellenesõben θ > 0, hátesõben θ <0,ésθ ✶ ✶ α = 0, amikor pont függõlegesen zuhog (1. ábra). Ekkor −nm w = w cos , az esõcseppek sebességvektora w =(−w sinθ, 0, −w cosθ ). A téglatesttel együttmozgó koordináta- ahonnan rendszerben az esõcseppek sebességvektora: n w✶ ✶ α − m (5) w = w − v =(−w sinθ − v,0,−w cosθ)= cos = ✶ . (2) w ✶ ✶ ✶ =(wx , wy , wz ). 2. ábra. A téglatesttel együttmozgó koordináta-rendszerben egy n normálvektorú, A felületnek az esõ w✶ sebességvektorára merõle- α α ges An = A cos homlokfelülete meghatározásához, ahol cos = Csak a felsõ felületre hulló hátesõ (θ <0) |nw✶|/w ✶.

Az esõ a téglatestnek csak a felsõ felületét éri, ha a vele együttmozgó koordináta-rendszerben az esõ w✶ sebességvektorának nulla a vízszintes irányú összete- ✶ θ võje, azaz (2) alapján: wx = −wsin −v = 0, ahonnan ww θ (3) v = −w sin = vkrit >0, A n ami csak θ < 0 esetén valósulhat meg, vagyis kizáró- lag hátesõben. Ekkor (1), (2) és (3) fölhasználásával, a felsõ felületet érõ esõ mennyisége n α ρ θ ✶ ρ wab s cos α Nf (v = vkrit)= wz tab = = vkrit A = −absρ cotanθ >0,

288 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 N dNm f (v) a cosθ Łsinθ = −bsρ w <0. (10) dv v 2 Függõleges vagy ellenesõben (θ ≥ 0) a 3. ábra mutat- ja a (9) szerinti Nm+f(v) függvényt, aminek (10) szerin- ti deriváltja mindig negatív, azaz Nm+f(v) monoton esõ csak a felsõ és mellsõ felületre hull ∞ ρ csökken végtelenrõl az Nm+f(v = )=Łbs értékig, amint a v sebesség 0-ról nõ a végtelenig.

Konklúzió

esõmennyiség Nv Tehát függõleges vagy ellenesõben (θ ≥ 0) a tégla- m+f () test minél nagyobb sebességgel teszi meg az s utat az esõmentes helyig, a felsõ és mellsõ együttes felülete hbsρ ∞ annál kevésbé lesz vizes. Az összegyûjtött Nm+f(v = ) =Łbsρ vízmennyiség alsó határértéke egyenesen 0 v arányos a Łb mellsõ felülettel, a megteendõ s távol- 0 mozgássebesség sággal és az esõcseppek ρ térfogati sûrûségével. 3. ábra. A függõleges vagy ellenesõben (θ ≥ 0) v sebességgel moz- gó téglatestet s úton érõ, (9) szerinti Nm+f(v) esõmennyiség a v függ- vényében. A felsõ és hátsó felületre hulló hátesõ (θ <0)

A (2) és (4) fölhasználásával: Ha hátesõben (θ < 0) a téglatesttel együttmozgó koor- dináta-rendszerben az esõ w✶ sebességvektorának ✶ θ (6) ✶ θ n w = −(w sin v). vízszintes irányú összetevõje wx = −wsin − v >0, m θ akkor v < −wsin = vkrit, és ekkor a téglatest felsõ fe- Az (1), (5) és (6) fölhasználásával, a téglatest mellsõ lületét, valamint felületét érõ esõ mennyisége: (11) nh =(−1, 0, 0) ✶ ✶ cosα N = Łb w ρ t cosα = Łb w ρ s = m v (7) normálvektorú hátsó Ah =Łb felületét éri csak esõ. A v w sinθ téglatest hátsó felülete esetén: = Łb s ρ . v ✶ ✶ α −nh w = w cos , Hasonlóan adódik a téglatest felsõ felületére hulló esõre, hogy ahonnan

✶ −n w✶ = w ✶ cosα, n w f cosα = − h . (12) w ✶ ahonnan A (2) és (11) fölhasználásával: n w✶ cosα = − f , ✶ ✶ n w = w sinθ v. (13) w h valamint Az (1), (12) és (13) fölhasználásával, a téglatest hátsó felületét érõ esõ mennyisége: n w✶ = −w cosθ, f ✶ v w sinθ N = Łb w ρ t cosα = −Łb s ρ . (14) h v így: (8) és (14) fölhasználásával a téglatestet érõ összes ✶ cosα cosθ N = abw ρ s = absρ w . (8) esõmennyiség: f v v

Végül (7) és (8) fölhasználásával a téglatestet érõ ösz- Nh f (v)=Nh Nf = (15) szes esõmennyiség: w (a cosθ − Łsinθ) − Łv = bsρ . v Nm f (v)=Nm Nf = (9) ∞ θ Łv w (a cosθ Łsinθ) (15)-bõl Nh+f(v =0) = , Nh+f(v =vkrit=−wsin )=Nkrit = = bsρ . −absρcotanθ > 0, mert θ <0,ésN (v) deriváltja: v h+f

∞ ∞ dNh f (v) a cosθ − Łsinθ A (9)-bõl látható, hogy Nm+f(v =0) = , Nm+f(v = )= = −bsρ w <0. (16) ρ 2 Łbs és Nm+f(v) deriváltja: dv v

A FIZIKA TANÍTÁSA 289 Hátesõben (θ <0)a4. ábra mutatja a (15) szerinti N Nh+f(v) függvényt, aminek (16) szerinti deriváltja ne- gatív, azaz Nh+f(v) monoton csökken végtelenrõl az θ ρ θ Nh+f(vkrit =−wsin )=Nkrit = −abs cotan értékig, amint a v sebesség 0-ról nõ vkrit-ig. A 4. ábra a (9) Nv h+f () szerinti Nm+f(v) függvényt is mutatja, ami monoton ρ θ ρ csökken Nkrit = −abs cotan -ról Łbs -ig, amint a v sebesség vkrit-rõl a végtelenig nõ.

Konklúzió

esõmennyiség

Tehát hátesõben (θ < 0) téglatestünket az elázás és esõ csak a felsõ N hull felületre hull esõ csak a felsõ és mellsõ mértékének optimalizálása érdekében a következõ krit

felsõ Nv felületre hull m+f () stratégiákkal mozgathatjuk: a hbsρ 1. Ha hátesõben azt akarjuk, hogy a téglatestnek felületre θ csak csak a felsõ felületét érje esõ, akkor vkrit = wsin| |

esõ csak a felsõ és

hátsó hátsó felületre hull sebességgel kell mozognia. Ez az eset csak hátesõben 0 v vwθ fordulhat elõ. 0 krit = sin| | mozgássebesség 2. Ha azt akarjuk, hogy a téglatest hátsó felszínét 4. ábra. A hátesõben (θ <0)v sebességgel mozgó téglatestet s úton ne érje esõ, a felsõ és mellsõ felülete pedig minél ke- érõ, (9) szerinti Nm+f(v) és (15) szerinti Nh+f(v) esõmennyiség a v függvényében. vésbé ázzon el, akkor minél nagyobb v (> vkrit) sebes- séggel kell mozognia. A hátsó felületére csak akkor nem hull esõ, ha v > vkrit. filmsorozat (magyar címe: Állítólag) Running in the 3. Ha azt akarjuk, hogy a téglatest mellsõ felületét Rain (Futás az esõben) epizódjának [3] kísérleti ered- ne érje esõ, de hátsó felszíne megázhat, akkor v < vkrit ményével. Ezen epizódban az esõben haladás optimá- sebességgel kell mozognia. Ha ilyenkor arra is törek- lis sebességét vizsgálták kísérletileg: egy csarnok szünk, hogy a felsõ és hátsó felület minél kevésbé mennyezetérõl egyenes mentén állandó távközökkel ázzon el, akkor minél gyorsabban kell mozognia és elosztott több zuhanyrózsából gyakorlatilag függõle- θ lehetõleg közelítse meg a vkrit kritikus sebességet, gesen ( = 0) hullott a mesterséges esõ, ami alatt egy amit ha elér, akkor csak a felsõ felülete ázik az 1. adott távolságot változó sebességgel (gyalogolva vagy pont szerint. futva) tett meg két ember, akik egy gumi kezeslábas fölé húzott kezeslábas szövetruhát viseltek. A gumial- sónak és a fölötte hordott szövetruhának az volt a Az esõben haladás optimális sebességérõl szerepe, hogy az emberekre hulló víz ne tapadjon a szóló két videofilm ellentétes bõrükhöz, hanem a szövetruha minél többet szívjon magába. Az esõben mozgó emberek fejére hulló esõt következtetéseinek oka figyelmen kívül hagyták, de a ruha fölfogta a vállat érõ esõt is. A fejet nem borította a szövetruha, mert Egy magyar rövid videofilm [2] azt tisztázta egy elemi nem volt kapucnija, és máshogyan sem próbálták geometriai számítással, hogy függõlegesen hulló esõ- meg mérni a fejet érõ esõvíz mennyiségét. A mester- ben futni vagy sétálni érdemes-e, ha minél kevésbé séges esõben egy adott táv adott sebességgel való akarunk elázni. Itt is téglatestnek tekintették az esõ- megtétele elõtt és után digitális mérleggel mérték meg ben mozgó embert, és csak azon speciális esettel fog- a kezdetben száraz, majd nedves szövetruha súlyát, lalkoztak, amikor függõlegesen (θ = 0) esik az esõ. amely súlyok különbsége a szövet által fölszívott víz Arra jutottak, hogy mellünk benedvesedése független súlyát adta meg. a mozgás v sebességétõl, míg a fejünk s vállunk annál Arra az eredményre jutottak, hogy amikor gyalo- kevésbé lesz vizes, minél nagyobb a v. E következte- goltak az esõben, akkor a szövetruha kevésbé lett tések egyeznek a fönti általánosabb számításaink füg- vizes, mint amikor futottak. Ezzel azt a mítoszt vélték gõlegesen hulló (θ = 0) esõre vonatkozó eredményei- lerombolni, hogy esõben futni érdemes, ha kevésbé vel: (7) és (8) szerint θ = 0 esetén a téglatest mellsõ akarunk elázni. E kísérletbõl tehát azt a végkövetkez- felületét érõ tetést vonták le, hogy függõlegesen hulló esõben ne fussunk, hanem gyalogoljunk, ha adott távon kevésbé θ ρ (17) Nm ( =0)= Łb s akarunk vizesek lenni. Mindez szöges ellentétben áll az [1] cikk, a [2] vi- esõmennyiség független v-tõl, a felsõ felületet érõ deofilm és a fönti számításaink (17) és (18) eredmé- ρ nyeivel. A kísérletben a függõlegesen hulló esõben θ abs w (18) Nf ( =0)= mozgó emberek fejére jutó esõvel nem foglalkoztak, v de a vállaikra hulló esõ súlyát belemérték a vászonru- esõmennyiség pedig annál kisebb, minél nagyobb a v. háéba. Márpedig (17) jóslata alapján a mellet érõ esõ- θ ρ E következtetés azonban ellentétes az amerikai víz Nm( =0) = Łbs mennyisége nem függ a v-tõl, θ MythBusters (magyarul: mítoszrombolók) televíziós míg (18) szerint a vállakra hulló esõ Nf( =0) =

290 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 1. táblázat kéz és láb nélküli, esõben Egy téglatestet érõ összes esõmennyiség a felsõ és mellsõ felületre hulló függõleges haladó merev téglatestre vo- (θ = 0) vagy ellenesõ (θ > 0), valamint a felsõ és hátsó felületre hulló hátesõ (θ <0) natkoznak, míg a mérésben a esetén, θ = +90°, +45°,0°, −45°, −90° mellett, (9) és (15) felhasználásával. kezeiket és lábaikat lendít- getõ emberi testek gyalogol- a téglatest felsõ és mellsõ együttes felületére hulló függõleges (θ =0) tak vagy futottak. Az 5. ábra vagy ellenesõ (θ >0) Eadweard Muybridge (1830– θ θ θ ρ Łv w (a cos Łsin ) (9): Nm f ( )=bs 1904) amerikai fotográfus v gyalogló és futó emberek a téglatestet érõ összes esõmennyiség feltétel mozdulatainak híres képsoro- zatait mutatja. Jól látszik, v w N (θ = 90°)=Łb s ρ m f v – hogy gyalogláskor a kezek és lábak jóval kisebb szögkitéré- 2 Łv 2 w (a Ł) sûek, mint futáskor, miáltal a N (θ = 45°)=bsρ m f 2 v – függõleges esõ kevésbé éri õket, mint futás közben. Ez a Łv aw N (θ =0°)=bsρ magyarázata annak, hogy a m f v – kísérletben függõlegesen hul- θ ló esõben gyalogló emberek a téglatest felsõ és hátsó együttes felületére hulló hátesõ ( <0) szövetruhája kevésbé lett vi- w (a cosθ − Łsinθ) − Łv (15): N (θ)=bsρ zes, mint a futóké. Ha a kísér- h f v letet v1 kisebb és v2 nagyobb a téglatestet érõ összes esõmennyiség feltétel sebességgel mozgó téglates- tekkel végezték volna, akkor 2(a Ł) w − 2 Łv N (θ = −45°)=bsρ a fönti elméleti számítások- h f 2 v 2(a Ł) w ≥ 2 Łv nak megfelelõen pont az el- lenkezõ eredményre jutottak w − v N (θ = −90°)=Łb s ρ w ≥ v h f v volna, mert ekkor a nagyobb v2 sebességû téglatest vízszin- tes teteje lett volna kevésbé ρ abs w/v mennyisége fordítva arányos a v-vel, s nem vizes, mint a kisebb v1 sebességûé: mivel v1 < v2, θ ρ θ egyenesen arányos vele, mint a kísérletben találták. ezért Nf1( =0,v1)=abs w/v1 > Nf2( =0,v2)= ρ Mi ennek az oka? Kinek van igaza? abs w/v2. Ugyanakkor mindkét téglatest mellsõ felü- θ Ezen ellentmondás oka, hogy a fönti számítások lete egyformán nedvesedett volna be: Nm1( =0,v1)= θ ρ egy mozgás közben folyamatosan ide-oda lendülõ Nm2( =0,v2)=Łb s , mert Nm független v-tõl.

5. ábra. Eadweard Muybridge (1830–1904) híres fényképsorozata egy gyalogoló (fölül) és egy futó (alul) ember 12 mozdulatáról. Következtetések

1. Ha függõlegesen hulló esõben eltekintünk a fejünket érõ esõvíztõl – mert például azt fejfedõvel védhetjük az esõcseppek ellen –, akkor az a kísérleti eredmény a helyes, hogy függõleges esõben inkább gyalogolni, mint futni érdemes, mert e kísérlet sokkal valósághûbben modellezte az esõben haladó dinami- kus emberi testet, mint a számításokban vizsgált me- rev téglatest. 2. Ha a függõlegesen hulló esõben haladó ember- nek csak a gyakorlatilag állandó irányú, közel vízszin- tes és függõleges felületrészekkel bíró fejét, vállát, mellét és hátát vesszük figyelembe és eltekintünk a folyamatosan mozgó s ezért állandóan változó irányú felületrészekkel rendelkezõ kezeitõl és lábaitól – mert például a végtagok viszonylag kisebb felületûek –, akkor azon elméleti jóslat a helyes, hogy függõlege- sen hulló esõben inkább futni, mint gyalogolni érde- mes. Mivel a kezeinket és lábainkat borító ruharészek elázása is általában kellemetlen, ezért az e következ- tetés alapjául szolgáló szituáció kevésbé életszerû, mint az elõzõ, általánosabb érvényû helyzet.

A FIZIKA TANÍTÁSA 291 3. Az 1. táblázat foglalja össze egy téglatestet érõ Irodalom összes esõmennyiséget a felsõ és mellsõ felületre 1. J. J. Holden, S. E. Belcher, Á. Horváth, I. Pytharoulis: Raindrops hulló függõleges vagy ellenesõ (θ ≥ 0), valamint a keep falling on my head. Weather 50/11 (1995) 367–370. felsõ és hátsó felületre hulló hátesõ (θ < 0) esetén, 2. Esõben futni vagy sétálni jobb? https://www.youtube.com/watch?v θ ° ° ° ° ° =4GfQBvDB73A = +90 , +45 ,0, −45 , −90 mellett, (9) és (15) 3. MythBusters: Running in the Rain. https://www.youtube.com/ felhasználásával. watch?v=HtbJbi6Sswg

2019|05|17 Magyar Tudományos Akadémia Európai Unió ATOMMAGKUTATÓ INTÉZET – DEBRECEN Európai Strukturális és Beruházási Alapok

BEFEKTETÉS A JÖVÕBE SAJTÓKÖZLEMÉNY Világszínvonalú kutatói környezet kialakítása az MTA Atomki új Tandetron Laboratóriumában – GINOP-2.3.3-15-2016-00005

Az MTA Atommagkutató Intézetben 2014 májusában helyeztük üzembe a Tandetron típusú részecskegyorsítót, aminek beszerzését az MTA Infrastruktúra pályázatain elnyert támogatások tették lehetõvé. A jelen projekt célja – és mára megvalósult eredménye – a Tandetron Laboratórium teljes kiépítése volt. Világszín- vonalú, széles módszer- és eszközválasztékkal rendelkezõ, sokak számára hozzáférhetõ kutatóhelyet alakítottunk ki, amely ebben a tekintetben is kiválósági centrummá teszi az Intézetet és Gyorsítóközpontját. A Tandetron Laboratórium mûszaki kiépítése során beüzemeltük a beszerzett eszközöket: nagy áramerõsségû hidrogén- és héliumion-nyalábok elõállítására alkalmas multicusp ionforrásokat, a nehézionok elõállítására alkalmas cézium-sputter ionforrást és a 90°-os eltérítõ-analizáló mágnest. Egy röntgendetektor-rendszert installáltunk a leve- gõre kilépõ nyalábbal végzendõ mérések számára, végül a tervezett ionnyaláb-analitikai nyalábvéget is beüzemel- tük és használatba vettük. Ezzel kiépült a teljes Tandetron Laboratórium és megvalósult a projekt célkitûzése. A gyorsítóhoz kapcsolható laboratóriumi berendezéseket a jelenlegi és a potenciális felhasználók igényei alapján válogattuk össze. A tervezett felhasználási területek az alap- és alkalmazott kutatásban a következõk: ionnyaláb- analitika, mikro-megmunkálás, nukleáris asztrofizika, magfizika, ionbombázással kiváltott sugárkárosodási folyama- tok (molekulák ionizációja és fragmentációja) vizsgálata, légköri aeroszol vizsgálatok. Az új Tandetron Laboratórium nemzetközi mércével mérve is kiemelkedõ lehetõségeket biztosít a kutatási témák sokasága számára. Magas technikai színvonalat tudunk biztosítani, és olyan tudásszintû kutatói közösséggel tudunk együtt dolgozni, amelyek biztosítják, hogy a Laboratórium a nemzetközi (elsõsorban európai) infrastruktúra- hálózatok fontos elemévé váljon, és lehetõséget biztosítson számos nemzetközi nagy projektekben való hatékony részvételre. Az elsõ ilyen nemzetközi projektben – a RADIATE címû EU-H2020-as konzorciumban – már hivatalos résztvevõk vagyunk. Két másik, most beadott EU-H2020-as konzorciumi pályázatban – EUROPLANET és ERINS – európai partnerekkel közös projektek végrehajtásához biztosítunk kutatási infrastruktúrát. A laboratórium a felsoroltak mellett további, elõre nem látható kutatási témák számára is hátteret és lehetõséget ad a következõ évtizedekben. Számítunk rá, hogy mind a hazai, mind a nemzetközi kutatói közösség további projek- tekkel jelentkezik a nemzeti laboratóriumként üzemelõ Tandetron Laboratóriumban.

Idõtartam: 2016. június 20. – 2019. június 20.

Bõvebb információ: https://www.atomki.mta.hu/infrastruktura-projektek

292 FIZIKAI SZEMLE 2019 / 7–8 myDAQ-pályázat a 2019–2020. tanévre

Az ELFT és az NI Hungary Kft. az idén is meghirdeti pályázatát fizikatanároknak. A pályázat célja, hogy tanórákon, szakkörökön minél több iskolai kísérlet legyen elvégezhetõ a myDAQ eszköz használatával is. A pályázati kiírás, a pályázat témája, a pályázati határidõk és a jelentkezés feltételei megtalálhatók ahttp://sukjaro.eu/ELFT-NI-palyazat weblapon. A pályázati regisztráció határideje: 2019. szeptember 14, 24:00 óra Az elkészült pályamunkák leadási határideje: 2020. január 17, 24:00 óra. Az új pályázók bátorítása érdekében az idénkét kategóriában lehet versenyezni: „Új pályázók” és „Tapasztalt pályázók”. Díjazás: • Mindkét kategóriaelsõ öt helyezett je tárgyjutalmat kap. • Mindkét kategóriaelsõ három helyezett je pénzjutalmat is kap. A szervezõk fenntartják a jogot, hogy egy 11. helyezettet is díjazzanak, aki a legjobb, általános iskolásokkal induló pályázó lesz (amennyiben lesz ilyen induló).

www.ni.com ÖVEGES TANÁR ÚR UTÓDAI Ericsson Hungary R&D Center 2019. 09. 27. 1117 Budapest, Magyar tudósok körútja 11.

Meghívó, kicsiknek és nagyoknak!

Az Ericsson Magyarország Kft. szeptember 27 - é n pénteken,a Kutatók Éjszakáján, 15: 00 –23:5 0 -ig újra megnyitja kapuit, és szeretettel várja a kicsiketés nagyokat, d i ákokat és tanárokat és persze az egyéb résztvevõ ket. A helyszín a Rákóczi híd közelében nemrégiben birtokba vett új épület, Ericsson Hungary Research and Development Center, 1117 Budapest, Magyar tudósok körútja 11.

Az érdeklõõ d k, diákok, tanárok megtekinthetik a laboratóriumokat, és megismerhetik a lelkes – Ericsson- díjas, vagy más rangos elismeréssel rendelkezõ – fizikatanárok legkedvesebb kísérleteit. A laboratórium meglátogatása és az elõ adások ingyenesek. A diákok saját maguk is kísérletezhetnek, részesei lehetnek az interaktív foglalkozásoknak.

Az Eötvös Loránd Fizikai Társulat megbízásából, az Ericsson Magyarország Kft.-nek köszönhetõ en már nyolcadszor válhatunk Öveges József tanár úr utódaivá.

Program

15:00–15:15Megnyitó – program felvezetése kísérletekkel Jarosievitz Beáta & Sükösd Csaba, Budapest

15:20–15:50ATOMTEAM kísérletei (7–12 éves diákok) Balaton Tamás, Szigetszentmiklós

16:00–16: 30A partyszerviz elõállt! Hasznosi Tamásné, Budapest

16:40–17:10Kedvenc lufis kísérleteim Szabó László, Csongrád

17:20–17:50A repülés fizikája Tarján Péter, Nyíregyháza

18:00–18: 30Tudomány a porondon Sinkó Andrea, Szombathely

18:40–19:10 Válogatás a fizika és a kémia Tepliczky István, Miskolc látványos kísérleteibõl

19:20–19:50A levegõ és a víz rejtett titkai Borbély Venczel, Vác

20:00–20:30Artista – Iskola Kovacsics Bernadett, Szombathely

20:40–21:10Vigyázz, kész, space! Oláh Éva Mária, Törökbálint

21:20–21:50Kísérletek otthon is megtalálható anyagokkal Rudó József, Miskolc

7

22:00–22:30Robotok a fizikában – fizika a robotokban Barsy Anna, Budapest 0

0

9

1 22:40–23:10 „Múlt vagy jelen? Vigyázz mit kívánsz!” Szamper Aranka, Oroszlány – Edison és Tesla összecsapása

23:20–23:50Tegyük láthatóvá! Piláth Károly, Budapest ISSN 0015325 -7

9 770015 325009

Mûsorvezetõk, programgazdák: Jarosievitz Beáta és Sükösd Csaba Élõ közvetítés: www.galileowebcast.hu A korábbiak – és késõbb ezen éjszaka – megtekintése: http://sukjaro.eu/node/72