Sur La Répartition Des Coefficients Des Formes Modulaires De Poids Demi-Entier
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Sur la répartition des coefficients des formes modulaires de poids demi-entier Corentin Darreye To cite this version: Corentin Darreye. Sur la répartition des coefficients des formes modulaires de poids demi-entier. Théorie des nombres [math.NT]. Université de Bordeaux, 2020. Français. NNT : 2020BORD0171. tel-03066273 HAL Id: tel-03066273 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-03066273 Submitted on 15 Dec 2020 HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est archive for the deposit and dissemination of sci- destinée au dépôt et à la diffusion de documents entific research documents, whether they are pub- scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, lished or not. The documents may come from émanant des établissements d’enseignement et de teaching and research institutions in France or recherche français ou étrangers, des laboratoires abroad, or from public or private research centers. publics ou privés. THÈSE PRÉSENTÉE À L’UNIVERSITÉ DE BORDEAUX ÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES ET D’INFORMATIQUE par Corentin DARREYE POUR OBTENIR LE GRADE DE DOCTEUR SPÉCIALITÉ — MATHÉMATIQUES Sur la répartition des coefficients des formes modulaires de poids demi-entier Date de soutenance : 6 novembre 2020 Devant la commission d’examen composée de : Régis de la Bretèche Professeur, Université Paris Diderot, IMJ-PRG Examinateur Farrell Brumley Maître de Conférences, Université Sorbonne Paris Nord, LAGA Rapporteur Henri Cohen Professeur, Université de Bordeaux, IMB Examinateur Étienne Fouvry Professeur, Université Paris-Saclay, LMO Examinateur Florent Jouve Professeur, Université de Bordeaux, IMB Directeur Guillaume Ricotta Maître de Conférences, Université de Bordeaux, IMB Directeur Emmanuel Royer Professeur, Université Clermont Auvergne, LMBP Examinateur Jie Wu Chargé de Recherche, Université Paris-Est Créteil, LAMA Rapporteur Financement du M.E.S.R. Sur la répartition des coefficients des formes modulaires de poids demi-entier Résumé Cette thèse traite de certains aspects analytiques liés aux coefficients de Fourier des formes modulaires de poids demi-entier. On étudie en particulier deux problèmes a priori bien différents mais que l’on reliera. Tout d’abord, on s’intéresse aux sommes des coefficients d’une forme cuspidale de poids demi-entier dans les progressions arithmétiques. Un tel problème fut étudié précédemment dans un article de Fouvry, Ganguly, Kowalski et Michel mais dans le cas d’une forme de poids entier. Les auteurs montrent notamment que, dans un certain régime de convergence, on a une équirépartition gaussienne des sommes des coefficients dans des progressions arithmétiques de module fixé. Dans ce travail, on prouve un résultat analogue lorsque la forme modulaire est de poids demi-entier. On verra que, dans un régime de convergence plus fin, les sommes des coefficients en progression arithmétique s’équirépartissent selon une loi qui est différente de la loi normale obtenue par Fouvry, Ganguly, Kowalski et Michel en poids entier. Dans un deuxième temps, on étudiera les signes des coefficients d’une forme de poids demi-entier f et des possibles minorations en valeur absolue de ces derniers. En utilisant certaines techniques issues du premier problème ainsi que des résultats classiques de la théorie des formes de poids demi-entier, comme la correspondance de Shimura, la formule de Waldspurger ou encore la récente théorie des formes nouvelles, on établie une borne ˆ inférieure sur le nombre de coefficients normalisés f(n) tels que n 6 x, où n est pris dans une progression arithmétique, et fˆ(n) > n−α avec α > 0. Mots-clés : forme modulaire, coefficient, poids demi-entier, équirépartition, progression arithmétique, signe. Distribution of coefficients of half-integral weight modular forms Abstract This thesis deals with some analytic aspects of Fourier coefficients of half-integral weight modular forms. We study in particular two different problems which will be none- theless connected. On one hand, we are interested in sums of coefficients of half-integral weight cusp forms in arithmetic progressions. Such a problem was studied in a previous paper of Fouvry, Ganguly, Kowalski and Michel for an integral weight cusp form. They showed that, in a certain range of convergence, there is a Gaussian equidistribution of sums of coefficients in arithmetic progressions of fixed modulus. In this work, we prove an analogous result in the case of a half-integral weight cusp form. We will see that, in a more restricted range of convergence, the sums of coefficients in arithmetic progressions equidistribute with respect to a distribution which is different from the normal distribution obtained by Fouvry, Ganguly, Kowalski and Michel in the integral weight case. On the other hand, we study the signs of Fourier coefficients of a half-integral weight cusp form f and we provide lower bounds for these coefficients. Using techniques from the previous problem and classical results from the theory of half-integral weight modular forms, such as Shimura’s correspondence, Waldspurger’s formula and the recent theory of newforms, we establish a lower bound for the number of normalized coefficients fˆ(n) such ˆ −α that n 6 x, where n is taken in an arithmetic progression, and f(n) > n for positive α. Keywords : modular form, coefficient, half-integral weight, equidistribution, arithmetic progression, sign. Institut de Mathématiques de Bordeaux Université de Bordeaux 351 cours de la Libération, bâtiment A33 33400 - TALENCE Remerciements Mes premiers remerciements vont évidemment à mes deux directeurs de thèse. Je souhaiterais leur exprimer ma profonde gratitude, à la fois pour leurs précieux conseils et les nombreuses relectures de mon travail mais aussi pour leur patience et leur qualité d’écoute. Je prends conscience à présent de la chance que j’ai eu de vous avoir comme encadrants. Plus particulièrement, merci à Guillaume de m’avoir pris en stage de master 1 en 2015 et merci à Florent de m’avoir convaincu de revenir à Bordeaux l’année d’après pour le master 2. J’étais loin de me douter à l’époque à quel point ces décisions seraient pour moi à l’origine de nombreuses rencontres qui ont enchanté ma vie bordelaise. Je remercie Farrell Brumley et Jie Wu d’avoir accepté d’être rapporteurs de cette thèse ainsi que les autres membres du jury : Régis de la Bretèche, Henri Cohen, Étienne Fouvry et Emmanuel Royer. Merci également à la team PARI/GP : à Henri, qui s’est intéressé à mon travail et qui a été une mine d’informations à propos des formes modulaires ; à Bill et Karim, qui m’ont prêté main forte lors des applications numériques de cette thèse. Je tiens à remercier par ailleurs toute l’équipe administrative de l’IMB et en particu- lier Carole, Cathy, Ida, Karine, Muriel et Muriel qui ont été d’une aide précieuse lors de l’organisation du colloque Inter’Actions 2019. On passe maintenant à des remerciements plus personnels, s’adressant à toutes ces personnes qui me sont chères et que j’ai eu la chance de côtoyer ces dernières années. À défaut d’un ordre d’importance, je vais tenter de remercier tout le monde en respectant la chronologie des moments où je vous ai rencontrés. Je commence donc par remercier tous les membres de ma famille, pour leur soutien quelles que soient les circonstances et pour leur foi inébranlable en les décisions que j’ai pu prendre dans mes études. On peut dire que les réunions de famille sont toujours au top et j’attends avec impatience les prochaines ! Encore merci Maman, Papa, Camille, Apolline et sans oublier bien sûr les dernières recrues : Gabrielle, Marilou, Mathieu et Quentin. Merci aussi à ma ribambelle de cousins, cousines, oncles, tantes et grand-parents qui est aussi géniale que diverse. Après la famille, viennent les amis et cela commence par ceux de Paris, les fameux « Suricates ». Merci à Valentin de m’avoir un jour prêté un sac de couchage sans même savoir que cet acte scellerait le début d’une longue amitié. Merci à Margo d’avoir été à l’initiative de moult soirées et voyages qui sont autant de bons souvenirs. Merci à Clément pour tous ces délicieux moments partagés, que ce soit au fond d’une salle de TD à ricaner ou au beau milieu de la nuit à danser. Merci Quentin pour tes innombrables anecdotes culturelles et autres fun facts linguistiques. Merci Jeanne pour ton hospitalité, ta bienveillance et pour m’avoir fait découvrir le welsh. Merci Sarah pour le nouvel an à Amsterdam (bitterballen = ♥) et pour la grande virée en Argentine. Merci Camille pour ta pantagruélique gentillesse et merci Manon pour ces improbables soirées bordelaises improvisées qu’on n’oubliera pas de sitôt ! Je remercie aussi tous mes copains de la F[ens]foire : Alice, Claire, Loupio, Lulu, Pas- cal, Pierre, Romain, Simon et tous les autres qui font, plus que jamais, vivre le groupe. Passons à présent aux amis de Bordeaux avec en premier lieu le crew de l’IMB et toujours dans un ordre chronologique d’apparition (ou presque). Merci d’abord à Niko de m’avoir invité dans le groupe des « doctorants cools » alors que je n’étais encore qu’une petite m**** stagiaire. Merci à Elsa de nous avoir fait tant rire avec ton « Tchip, tchip, tchip... Le mot magique ? ! », j’espère qu’un jour quelqu’un te paiera (vraiment) un restau pour ton anniversaire. Merci à Jo et Nico de m’avoir appris à sommer sur les entiers impairs (ou pairs, que sais-je ?), ma soif de connaissance n’en a été que décuplée. Merci à Sami de m’avoir fait réaliser l’importance de n’oublier personne dans ses remerciements de thèse (déso j’étais obligé :p). Merci à Manon et Guigui pour leurs soirées à renommée internationale et qui portent maintenant leurs noms. Merci à Roxane, grâce à qui je suis devenu fan du Bombay Sapphire.