Habitat polyedrique

par J. Baracs, TX Luong, B. Lhopold, J. Maurice

1 8 Introduction nouvellement acquis, nous commencerons”inno- Topologle Sttucturale # 2,1979. cemment “a construire des contenants pour un contenu don&. Nous ne serons pas dbcouragbs si le L’espace tridimensionnel est une de nos plus fasci- resultat est le meme vieux cube. Mais cela n’arrivera nantes et precieuses ressources naturelles. Le res- pas souvent. pect egal aux trois dimensions a et6 evident a travers toutes les phases de I’histoire de I’architec- ture. II n’en est pas ainsi de nos jours. La vraie Nous presentons dans cet article deux projets d’etu- qualite tridimensionnelle de I’architecture a disparu. diants. II nous a fallu quelques annees de recher- Elle est remplacee par une approche bidimension- the et de preparation avant d’aborder cette etude. nelle “simpliste” et plate. Les edifices sont dissequ6s Notre approche fut tres differente de la pratique en plans, coupes et facades; chacun de ces ele- architecturale courante. Nous avons cherch6 un ments est trait6 un par un, sans aucun respect de moyen de remplacer I’intuition et I’ambiguite par des leur unite dans I’espace. La monotonie geometrique methodes coherentes et scientifiques. La topologie, de notre environnement est un fait. Nos villes sem- aussi bien que les geometries combinatoires, pro- blent etre des cimetieres dont les tombes, prismes jectives, affines et- metriques, semblent avoir et6 Cet article traite de la synthese des formes rectangulaires, sont eparpillees le long d’une trame inventees a cet effet. Done, lorsque nous avons polyedriques aux fins architecturales. Nous strictement orthogonale. voulu mettre sur papier ce que nous avions fait, nous donnons, a titre d’introduction, les methodes avons trouve inevitable de lui donner un certain geometriques de base a employer. Ensuite Nous ne disons pas que le prisme rectangulaire est fondement theorique. Les pages qui suivent ne sont nous suivons le developpement de deux pro- mort. Nous proposons seulement d’etendre le voca- pas &rites pour impressionner le Iecteur mais plu- jets d’ebauche intimement lies. bulaire geometrique des architectes. Nos projets tot pour partager le plaisir d’une experience. tendent a demontrer franchement comment une Le projet # 1 est un complexe d’habitat a meilleure comprehension de I’espace tridimension- densite moyenne. Ici les criteres initiaux &ant nel peut nous amener a acquerir une liberte nouvelle le contenu et les fonctions, les formes finales dans la conception. Nous ne proposons pas d’inon- se sont developpees a partir de ces points de der d&s maintenant nos villes de rhombidodecae- depart. dres 8 la place de cubes, ni de nous engager dans une geometric acrobatique pour qu’elle soit diffe- Le projet # 2 est un complexe d’habitat a haute rente. densite. Dans ce cas, I’etude a debut6 avec le mod&e du reseau de circulation horizontal et Nous commencerons notre demarche par les fonc- vertical. La solution finale est une reponse tions. Nous ne serons pas les premiers a agir ainsi morphologique a cet “echafaudage” abstrait. mais nous avons efface de notre esprit I’envahis- 7 Sante bresence du cube; avec cet esprit “vierge” Partie 1. Fondement thborique. quelle courbe close &pare la surface en deux faisons pas de distinction entre les points finis et regions bordees; la surface est appelee “simplement infinis sur une ligne droite. Dans cette geometric, les connexe”. En consequence, le cube est class6 lignes paralleles sont traitees comme des lignes Planche l= Gbombtries. comme un polyedre simple spherique. Cette classifi- concourantes puisque le point a l’infini est comme cation est du domaine de la Topologie. tous les autres points de la ligne droite. Sont des Le but de ce chapitre est de fournir une information “proprietes projectives”, les proprietes qui demeu- suffisante sur la geometric afin d’aider a compren- La description plus particuliere de notre cube est la rent invariables lorsqu’elles sont sujettes a une dre notre methode pour remplir I’espace avec une suivante: six faces (nous oublierons I’adjectif “pla- projection centrale. certaine famille de polyedres. nes”), chacune ayant quatre aretes (nous ne men- tionnerons pas que les a&es sont des lignes droi- Pour nous assurer que la Fig. A2 est une projection Commencons par une definition: un polyedre est un tes), se rencontrent en douze aretes et huit sommets “correcte” d’un polyedre a faces planes, nous ensemble fini de faces polygonales planes se con- et tous ces sommets sont incidents avec trois arQtes. tracons d’abord le tetraedre ABCD. Le diagramme formant a deux conditions: a) chaque ar&e est Cette description n’utilise pas les termes comme obtenu est toujours la perspective “propre” (projec- commune a deux, et seulement deux, faces; b) un angles, longueurs, plans et lignes droites; cepen- tion centrale) d’un tetraedre aux faces planes parce cheminement peut Qtre trace entre deux points dant, elle donne une importante information de que toutes les faces sont des triangles et n’importe quelconques sur deux faces quelconques en traver- base. La structure combinatoire du cube est appro- quels trois points sont coplanaires. Maintenant, nous sant quelques-unes de ces aretes. La condition a) price a la Theorie Combinatoire et particulierement choisissons un point B’ sur I’arQte AB et tronquons le elimine un cube dans le cas ou une ou plusieurs a la Theorie des Graphes. tetraedre dans le triangle B’EF. Un deuxieme plan faces sont enlevees, ou deux cubes ayant une face par le point A’ coupe le tetraedre dans le triangle ou une arete commune. La condition b) elimine A’GH. Les deux plans tronques se rencontrent deux cubes avec u.n sommet commun et deux cubes La Planche 1 montre comment cette structure com- suivant I’arQte JK; le “cube” resultant est indique en disjoints. binatoire peut Btre realisee comme quatre cubes differents, A, B, C, D, qui different selon le nombre lignes grasses. Tous les polygones bordants sont les Les proprietes des polyedres ont et6 etudiees par de points de fuite. En chaque cas, nous presentons projections de faces planes; par exemple, le quadri- les anciens Grecs. D’apres Sir d’Arcy W. Thompson, le cube dans le contexte de la topologie et des latere JKEF fait partie du triangle B’EF. Euclide a complete, en 300 av. J.C., ses fameux geometries projective, affine et metrique (utilisant Continuons de raffiner notre cube. Nous distinguons douze livres appeles Lea Elbments, juste pour servir les procedes de dessin 1,2,3,4.) une ligne particuliere: la ligne a I’infini. Done, nous d’introduction a ses livres XIII a XV traitant des cinq reconnaissons la difference entre les droites con- polyedres convexes reguliers. Done, nous montrons le diagramme de Schlegel, courantes et les droites paralleles. Ceci est le La geometric introduite par Euclide est aujourd’hui une vue perspective, une vue axonometrique et domaine de la geometric affine. Les proprietes appelee geometric metrique. Depuis ce temps, un finalement deux projections orthogonales (plan et affines restent invariables lorsqu’elles sont sujettes a grand nombre de geometries differentes ont et6 elevation). des projections paralleles. Decidons que les droites ED et FC, les droites HG et DC, aussi bien que les etablies, chacune servant a l’etude des proprietes de La Fig. Al est une representation de toutes ces natures particulieres. droites KG et JH, sont paralleles. La facon la plus proprietes par un graphe qui indique clairement facile d’operer est de tracer une projection parallele tous les huit sommets, toutes les douze arQtes et La recherche architecturale et structurale des polye- (une vue axonometrique) d’un parallelepipede et de dres nous amene a la necessite d’utiliser cinq toutes les six faces ( le bord de ce graphe, le cycle le couper par des plans convenablement choisis branches de la geometric: la topologie et les geome- CDEF,,est la sixieme face). Le fait le plus important, a comme dans la Flg. A3. tries corn binatoire, projective, affine et metrique. part ces informations numeriques, est I’adjacence, Nous allons presenter un exemple simple pour ces qui est aussi entierement d&rite dans ce graphe. Si nous voulons realiser notre cube en trois dimen- cinq disciplines. Nous pouvons dessiner ce graphe de facon a ce que sions nous devons aller plus loin. Dans la Fig. A3, il les aretes se rencontrent seulement dans les som- n’y a pas d’information don&e concernant les Le mot cube est reserve a un polyedre construit avec mets. Ceci confirme le fait que le cube est un “simple longueurs et les angles. Dans la phase finale I’outil six faces carrees. Si nous ecartons les conditions de polyedre”, sa surface est “simplement connexe”. est la Geometric Metrique. La Fig. A4 montre deux regularite, on obtient une variete de cubes ayant projections distinctes orthogonales et paralleles d’interessantes proprietes cachees. Dans la Flg. A2, nous illustrons notre cube avec des (geometric descriptive) qui contiennent maintenant faces planes et des aretes a lignes droites. Ici nous toutes les informations sur ce cube particulier. Les La recherche la plus g&&ale du cube commence entrons dans le domaine de la G6ometrie Projective. vraies longueurs et les vrais angles peuvent Qtre par I’etude de la surface sur laquelle il est plonge Nous ne sommes pas encore preoccupes par les construits afin de realiser le polyedre. sans tenir compte meme des faces, arQtes, som- longueurs, les angles ou m&me le parallelisme. Nous mets, plans, lignes droites, incidences, parallelisme, sommes seulement interesses par les incidences La su ite des cinq geometries suggere le chemine- longueurs et angles. Dans le cas du cube, cette des plans et des droites, incluant ceux exterieurs ment propre ii la conception d’une forme spatiale surface est close et bilaterale puisque n’importe aux 8 sommets et 12 aretes de notre cube; nous ne quelconque. Decisions et choix doivent Qtre execu- 8 tes dans I’ordre suivant: proprietes topdlogiques, combinatoires, projectives, affines et finalement metriques. II est consternant de voir le design commencer par la fin, par des plans et faGades, et cela avec des considerations metriques. Les shies B commencent avec le meme graphe que Al mais dans la Fig. 82, une leg&e modification a et6 apportee: le point B’ coincide avec le sommet B du tetraedre. Le nouveau cube qui en resulte a mainte- nant quatre a&es passant par ce point B, lequel est appele “point de fuite” en dessin de perspective. Dans la Fig. 83, nous decidons d’installer le point B a I’infini, ce qui implique que les quatre aretes FK, CG, HD et JE soient paralleles. La Fig. 84 montre la realisation metrique de ce polyedre. . A nouveau dans les s6rles C, le point de depart est le meme graphe que dans Bl. Dans la Fig. C3, le point A’ coincide avec le sommet A du tetraedre. Ce cube a deux points de fuite, deux ensembles de quatre droites se rencontrant respectivement aux points A et B. Dans la Fig. C3, le point A est aussi a I’infini, done quatre aretes supplementaires sont paralleles entre elles (JK, HG, EF et DC).

Un cube peut avoir au plus trois points de fuite. Nous obtenons le troisieme point de fuite dans la s&le D. Dans la Fig. 03, ce point 0 est aussi choisi pour etre a I’infini. Ceci montre la vue axonomettique familiere d’un parallelepipede, tandis que la Flg. 04 repre- sente les projections d’un cube regulier.

Nous avons present6 comment differentes geome- tries traitent les differentes proprietes d’une configu- ration. II est a signaler aussi que notre vieil ami le cube, avec sa structure combinatoire bien definie, peut etre manipule de quatre manieres distinctes dans I’espace projectif et de beaucoup plus encore (mais en nombre fini) dans I’espace affine. La majorite des structures ont un nombre infini de formes projectivement (et affinement) distinctes, parce. que I’on peut varier de facon continue les doubles rapports. (Rappelons-nous que c’est a nous de decider si les lignes deviennent paralleles ou demeurent concourantes). Enfin, le cube “gene- ralise” peut apparaRre avec une varibtb infinie de

formes dans I’espace metrique, en changeant les plan&e 9 longueurs et les angles. plate 1 I Planche 2. Zonagones, Paralldogones translation, interdisant les rotations et les reflexions. rapport a la fabrication d’un seul moule. Malnte- PlaGons-nous pour un moment,dans I’espace a trois nant, la nouvelle flexibilite gagn6e par cette prero- Notre but est de remplir I’espace avec des polyedres dimensions pour preparer le design d’un projet gative est si vaste que le lecteur partagera surement mais nous abordons d’abord le probleme de couvrir d’habitation. Si une unite est bien conCue, personne notre enthousiasme. le plan avec des polygones. Nous esperons que-le ne voudra changer une orientation avantageuse lecteur partagera notre fascination lorsqu’il decou- (lumiere, soleil, vent, etc.). A plus forte raison, les Un nouveau terme doit Qtre defini: le zonagone est vrira certaines analogies entre les espaces a deux planchers ne devraient pas devenir des plafonds et un polygone convexe avec un nombre pair d’arQtes, dimensions et les espaces a trois dimensions. En vice versa. Done, les rotations sont exclues. les aretes opposees &ant paralleles et de longueurs fait, beaucoup d’assertions peuvent Qtre &endues Qu’arrive-t-il quand un espace polyedrique est refle- egales. Done, nos parallelogones, anterieurement aux espaces a n dimensions; le charme d’un nombre te? Bien que le polyedre reflete soit congruent a introduits, sont aussi des zonagones; les zonagones plus &eve de dimensions (quatre ou plus) est I’original, en fabrication malheureusement, les com- peuvent etre octogones, decagones, dodecagones irresistible aux mathematiciens. posants sont differents. Pensons au gant de la main et ainsi de suite. gauche et a celui de la main droite. Ils sont con- Une mosaique bidimensionnelle ou “tessellation” Qu’arrive-t-il si nous couvrons le plan avec des gruents mais en production ils exigent deux moules peut etre aussi consideree comme un “polyedre zonagones ? Comme nous I’avons deja mentionne, differents (a moins bien entendu que I’on fabrique infini”. Les a&es sont partagees par deux, et les polygones ne couvrent pas entierement le plan si seulement des gants pour la main gauche et qu’on seulement deux polygones; les vides ou chevauche- le nombre de leurs aretes est superieur a six. les retourne pour convenir a la main droite. Ceci ments ne sont pas admis dans cette discussion. Cependant, nous sentons que tous les zonagones n’est pas une pratique recommandee dans I’indus- Nous limiterons notre attention a des polygones peuvent“tesseller”le plan avec un nombre restreint trie de la construction.). convexes (dans une telle tessellation, n’importe de types differents *. quelle droite dans son plan coupe, au plus, en deux ll a et6 prouve que seulement deux classes de points les bords d’un polygone convexe). polygones convexes c&&rent le plan avec les deux La Planche 2 montre ces quelques possibilites. Les restrictions choisies; congruence et dbplacement vecteurs sont utilises pour construire des zonago- II est bien connu que, de tous les polygones regu- parallele. Ce sont tous les parallelogrammes et nes. Nous avons besoin de n vecteurs pour d6finir liers, seuls le triangle, le carre et I’hexagone cou- quelques hexagones speciaux ou les arQtes oppo- un zonagone a 2n aretes conformement a la defini- vrent le plan. Les tessellations avec les polygones sees sont paralleles et de longueurs egales. Ce sont tion. L’ensemble des vecteurs issus d’un point com- reguliers identiques imposent une severe limitation des proprietes affines; nous sommes dans le plan mun est appele “I’etoile du zonagone”. Les Figures dans leur emploi, due a leur nature metrique rigide. affine. (Le terme “longueurs egales” ne devrait pas Al, A2 et A3 representent les etoiles et les zonago- Leurs avantages, regularit et symetries, sont pas troubler le Iecteur: cela peut ressembler a une nes correspondant pour n = 2, 3 et 4. II faut noter importantes dans I’architecture d’aujourd’hui. Nous assertion metrique mais ce ne I’est pas. Des lon- que I’hexagone est derive d’un parallelogramme en sommes plutbt attires par une limitation moins gueurs egales sur des droites paralleles conservent ajoutant le vecteur numero 3, I’octogone de I’hexa- severe: les mosaiques avec les polygones con- les longueurs egales dans les projections paralle- gone en rajoutant le vecteur numero 4 (les lignes gruents (isometriques). Ici, le choix est pratiquement les.) pointillees revelent egalement ces relations.) illimite mais les repetitions permettent encore une production industrialisee, un genre de production, Les parallelogrammes et ces hexagones speciaux Quekques proprietes interessantes et utiles sont lequel est devenu un mot clef dans notre profession. sont appeles parallelogones. Comme nous le men- representees dans les Fig. B. La Fig. Bl demontre tionnons dans I’introduction, notre but est de nous que tous les zonagones sont centralement symetri- N’importe quels triangles et quadrilateres couvrent eloigner des confins rigides de “I’architecture cubi- ques, cela decoule facilement de la definition. La le plan avec ses copies congruentes. Neuf classes que” avec son vocabulaire limit6 de car& et de Fig. 82 indique que tous les zonagones peuvent Qtre de pentagones non reguliers et trois classes d’hexa- rectangles, et de nous offrir un large degr6 de libert6 decomposes de plus d’une maniere (si n est plus gones peuvent &re“tessellees” pourvu qu’elles se dans la conception sans pour cela s’aventurer dans grand que 4 en parallelogrammes) N’importe quelle conferment a quelques proprietes m&rlquer ou le domaine de la sculpture. En ajoutant a notre combinaison de deux vecteurs definit un parallelo- affines. II est done typique dans ces mosaiques que vocabulaire ces hexagones speciaux, nous faisons gramme, done un n-zonagone contient n(n-1) divis6 les polygones soient assujettis a des deplacements quelques pas en avant mais ce n’est pas suffisant. par 2 parallelogrammes. rigides dans le plan: translations (deplacement pa- rallele), rotations et reflexions (par exemple, dans la Ecartons la restriction severe de la congruence et La Fig. 83 indique une propriete evidente mais trame triangulaire, la moitie des triangles est orien- couvrons le plan par deplacement parallele avec, & pleine d’interet des zonagones. Un ou plusieurs tee de la meme faGon, I’autre moitie est tournee a titre d’exemple, seulement trois polygones convexes vecteurs peuvent changer leur longueur sans 180 degres.) differents. II n’y a reellement pas de conflit avec affecter aucun angle ou longueur des vecteurs non le raisonnement precedent au sujet de I’industriali- modifies. Les polygones en ligne pointillee sont des Nous voulons, pour le moment, limiter notre inter&, sation. Revenons au projet d’habitation. En cas de pour de bonnes raisons, aux polygones dont les production en serie, la penalite pour la fabrication *Note: Ceci a ete prouve recemment, voir I’article copies congruentes couvrent le plan uniquement par de quelques moules differents est negligeable par “Mathematical Questions” dans ce numero. 10 “zonagones derives”. Pour apprecier ces traits, pellerons la tbglon fondamentale de la tessellation . peut contrarier les mathematiciens qui sont attir6s comparons un zonagone a un triangle ou a un La region fondamentale est la plus petite fusion des par les figures convexes et les symetries, mais les pentagone. La modification d’une ou plusieurs lon- differents polygones qui couvre le plan avec sa parallelogones concaves plairont aux architectes gueurs dans ces polygones implique la revision replique congruente par deplacement parallele: par leur propre souplesse et la facilite d’adaptation complete de tous, ou presque tous les angles et des nous appelons cette forme un parallelogone con- dans le design. longueurs. Done les zonagones nous offrent deux cave. Cette definition coincide avec celle des paral- avantages. Si un zonagone participe a une tessella- lelogones, a deux exceptions p&s: la region n’est Nous concluons que des etoiles a deux ou trois tion, il continuera de couvrir le plan apres ces pas convexe et n’a pas de symetrie centrale. Ceci vecteurs peuvent engendrer des tessellations de modifications de longueurs. Pour les rectangles, &ant des zonagones, cette propriete est bien con- nue. Notre architecture actuelle est un ensemble de rectangles, allonges ou contract&, en plans verti- caux ou horizontaux. Mais les variantes ont seule- ment deux vecteurs.

L’util,isation de trois vecteurs, ou plus, doit appuyer 2 1 notre revendlcation concernant la flexibilite des zo- nagonespour le design. Un polygone convex8 quel- conque, cdncu pour repondre & une exigence parti- culiere, peut se rapprocher avec un certain degre \ de precision d’un zonagone comportant un nombre suffisant de vecteurs. n-2. nx 3. n= 4.

Un autre avantage des zonagones est lie a la B . + + fabrication des composants. Dans la production en serie, les longueurs sont simples a. changer, les modifications des angles sont plus compliquees et souvent influencent I’outillage.

Dans les Fig. C, les tessellations indiquees sont derivees des etoiles correspondantes. La Flg. Cl est b une mosaTque bien connue. Dans la Fig. C2, les hexagones ne sont pas reguliers mais sont des zonagones. Ceci signifie qu’une variete metrique infinie d’hexagones possede la m&me propriete que I’hexagone regulier. La Fig. C3 represente la tessellation correspondant a l’etoile a quatre vecteurs. Lorsque les octogones et les parallelogrammes sont reguliers, la mosaique est connue comme une “tessellation semi-reguliere”. Maintenant, nous touchons quelque chose de tres important. Pour n’importe quel choix de quatre vecteurs il existe une tessellation composee d’octo- gones non reguliers et de parallelogrammes. A notiveau, nous avons le contrdle complet d’une variete metrique infinie de tessellations ou les polygones composants peuvent etre facilement ma- nipules pour repondre a des exigences fonctionnel- les. Deux polygones distincts participent a cette mosaique. Mais nous pouvons la regarder d’une facon differente. La region hachuree est la fusion plan&e 2 11 d’un octogone et d’un parallelogramme. Nous I’ap- plate parallelogones convexes ou concaves (voir I’exem- Planche 3.ZonaGdres. rhombidodecaedre, le choix en est de quatre. C’est ple plus loin, planche 6, Fig. Dl). Pour n plus grand comme si nous ajoutions une dimension supple- I que 4, les parallelogones sont toujours concaves. Un polyedre convexe se situe entierement dans un mentaire a notre espace tridimensionnel. II est demi-espace defini par n’importe lequel de ses remarquable que, en depit de la metrique des Les exemples des planches 6 et 7 rev&lent que si n plans de faces. Le zonaedre est un polyedre con- vecteurs choisis, ce polyedre remplira toujours I’es- est plus grand que 3, la m&me etoile-vecteur peut vexe horde par des zonagones. Nous demontrerons pace. apparaitre comme resultat dans plusieurs tessella- leur existence en utilisant les “etoiles de vecteurs”. tions, differentes du point de vue combinatoire L’etoile de vecteurs est encore un ensemble de La Fig. A3 montre I’etoile a cinq vecteurs (aucun (“heteromorphes”), avec des regions fondamentales vecteurs issus d’un point. II peut etre demontre triple dans un meme plan) et le zonaedre a vingt concaves. Par exemple Planche 7, Figurer 20, 30, qu’une etoile determine uniquement un zonaedre, faces correspondant est appele le rhombicosaedre. 40, Planche 6 l9Fig. 3D.= n’importe quelle arete &ant parallele a un des Pour construire sa projection, c’est aussi simple que vecteurs. pour les quatre vecteurs. Ils n’ont de difficile que leur Une autre observation: la region fondamentale con- nom. cave est, soit adjacente a quatre autres regions Dans la Fig. Al, l’etoile a trois vecteurs non definissant les quatre sommets fondamentaux (ou coplanaires. Le zonaedre qui en resulte est le Pour n plus petit ou egal a 5, il n’existe qu’un seul quatre regions se rencontrent), soit bordee par six parallelepipede familier. Si les vecteurs sont mutuel- type corn binatoire de zonaedre n’ayant que des faces autres regions definissant six sommets fondamen- lement orthogonaux et de longueurs egales, le parallelogrammes dans chaque categoric. Wand n taux (ou trois regions se rencontrent). Si nous resultat est le cube. = 6, un tel nombre de zonaedres heteromorphes est joignons des sommets fondamentaux consecutifs de quatre. Pour n = 7, leur nombre est de onze nous obtenons les parallelogones convexes a quatre La Fig. A2 est beaucoup plus surprenante. Ici nous (nous n’avons pas encore etudie pour un nombre n ou six aretes deja mention&s. avons quatre vecteurs dans I’etoile (trois vecteurs plus grand que 7). L’existence des varietes combina- n’etant pas coplanaires). Cette etoile definit un toires pour n plus grand que 5 peut Qtre expliquee Dans le cas de ia Fig. C3, la region fondamentale zonaedre a douze faces nomme le rhombidodecae- partiellement par la possibilite d’une subdivision du (hachuree) est adjacente aux six autres. Les six dre. La construction de la vue axonometrique est zonagone en parallelogrammes par differentes me- sommets fondamentaux sont etiquetes a, b, c, d, e et moins compliquee qu’il ne semble. Les vecteurs 1,2, thodes combinatoires. f. Si nous considerons la region comme un hexa- 3 et 4 definissent un octogone, comme dans le plan. gone dont quelques aretes sont en chaines polygo- Cet octogone est le contour apparent de la projec- Les faces qu i ont des aretes paralleles a un vecteur nales, alors les “aretes” opposees (droites ou “bri- tion. Dans I’espace d’un cycle brise divisons ce fixe forment une zone, d’ou le nom “zonaedre”. sees”) sont paralleles et de longueurs egales (par zonagone en parallelogrammes (voir Planche 2, Flg. exemple bc et fe). B2). Les trois proprietes presentees dans les Flg. B sont analogues a celles du zonagone bidimensionnel Ceci nous conduit a une methode simple pour Ceci nous donne le “reseau visible” de la projection. (voir Planche 2, Flg. B). Le zonaedre avec seulement construire une mosaique arbitraire du plan avec des Maintenant, divisons d’une autre facon le meme des faces parallelogrammes, defini par n vecteurs polygones concaves par deplacement parallele: zonagone en parallelogrammes; la nouvelle division peut etre subdivise en n(n-l)(n-2) divise par 6 choisissons une etoile a deux ou trois vecteurs et doit etre centralement symetrique avec la prece- parallelepipedes (chaque ensemble de troisvecteurs remplacons n’importe quel vecteur par une chalne dente (ces deux divisions apparentees sont toujours definit un parallelepipede, combinaison de n ele- polygonale dont les extremites coincident avec cel- possibles pour tous les zonagones). La nouvelle mentsen triplicite). Dans la Flg. 82, le rhombidodeca- les du vecteur (dans le langage de la statique: division est le “reseau invisible” du zonaedre qui est edre est divise en quatre parallelepipedes, tous ayant remplacons un vecteur par un ensemble de vecteurs correctement s&pare du reseau visible par le con- un sommet commun dans le point P. Ce m&me composants). Cette nouvelle etoile definit unique- tour apparent (evidemment les reseaux visibles et polyedre peut Qtre subdivise d’une autre maniere en ment le polygone concave et peut Qtre construite invisibles sont interchangeables). quatre parallelepipedes dont les aretes sont issues comme nous I’avons fait pour les zonagones conve- des sommets a, I, g et j. Elles se rencontrent dans un xes. Dans la Fig. C3, les vecteurs 2 et 3 sont Le rhombidodecaedre est bien connu des cristallo- nouveau sommet r (pas montre dans la Fig. 82). remplaces respectivement par les composants X2, graphes car il remplit I’espace (voir Planche 5, Flg. Ajoutant ces lignes nous aurons la projection com- Y2 et X3, Y3. A3) et apprecie par les mathematiciens car il est la plete du cube quadridimensionnel (hyper-cube) projection partielle du cube quadridimensionnel dans I’espace tridimensionnel. dans I’espace tridimensionnel (voir Fig. 82). Pour- . quoi les architectes ne I’ont-il pas remarque? Le Dans un zonaedre donne, la modification de la rhombidodecaedre a les mQmes possibilites et longueur d’un ou plusieurs vecteurs laisse les angles meme plus que le cube. entre les aretes et entre les faces inchanges. Dans la Fig. 83, tous les quatre vecteurs sont indepen- En construisa nt avec d es cubes, troi S vecteurs damment allonges (sans raison determinee). Le peuvent etre libremen t choisis. Dans le cas du systeme structural (barres avec noeuds ou pan- 12 neaux) choisi pour construire cet espace polyedri- dessinons tous ces cycles pour toutes les zones Maintenant nous pouvons declarer ce qui suit: un que influence peu les jonctions quand nous chan- (nous ne I’avons pas fait pour la clarte du dessin), polyedre convexe peut Qtre realise comme un zo- geons ies longueurs des aretes; mais la standardisa- chaque face sera remplacee par un point commun naedre ayant la mQme structure combinatoire si, tion est perturbee si les angles sont modifies. Tout aux deux cycles et chaque arete sera croisee par dans le graphe dual, n cycles se rencontrent en n(n- cela a ete dit sur le zonaedre; ce sont des proprietes une nouvelle arete. 1) sommets a quatre valences et si chaque paire de affines, le parallelisme jouant un role cl& Nous cycles est centralement symetrique dans le sens Le nouveau graphe qui en resulte est appele le “dual allons montrer maintenant que ce polyedre affine a mentionne au paragraphe precedent. aussi une structure combinatoire bien definie. zcombinatoire” du graphe don&. A . 1. Pour clarifier ce point, posons le probleme suivant:

quelles sont les conditions pour qu’un polyedre 2 don& puisse Qtre realise comme un zonaedre ayant la meme structure combinatoire? F1 3 Le nombre de vecteurs (ou zones) determine le nombre de faces du zonaedre. Le contour apparent d’un n-zonaedre est un 2n-zonagone si la direction de la projection n’est pas parallele a une zone (voir Fig. A3). Ce dernier peut etre subdivise en n(n-1) divise -par 2 faces (voir Flg. 62). Le nombre total de faces (la somme des reseaux “visibles” et “invisi- bles”) est: n-3. n= 4.

F = n(n-1) B . + Comme toutes les faces ont quatre aretes, chaque arete &ant comptee deux fois, le nombre d’aretes est: b A = 2n(n-1)

a’ Finalement le nombre de sommets est calcule par la a formule d’Euler pour les polyedres simples ( S-A+ F = 2):

S = n(n-1) + 2

L’equation F = n(n-1) est une condition necessaire mais non suffisante. Le zonaedre est centralement C . + symetrique. Ce fait decrit ci-apres est apparent dans la structure combinatoire du zonaedre.

Dans la Fig. Cl, nous choisissons deux zones, 1 et 3. En joignant consecutivement les aretes paralleles dam les deux zones, nous obtenons deux cycles, indiques par les lignes epaisses. Ces deux cycles ont deux points communs M et N, lesquels sont situ& dans les deux faces paralleles oppos&s &cd et d’ a’b’c’d’ (ces deux faces sont bordees par les vec- teurs 1 et 3). A cause de la symetrie centrale, le nombre d’aretes (et aussi le nombre de faces), croisees par un cycl,e,doit Qtre egal sur les demi- 13 cycles &pares par les points M et N. Si nous Quand nous avons comment4 les Fig. A, nous avons Planche 4. ParaMo&dres. etoile dans un meme plan. La Flg. G est le “rhombi- insiste sur le fait qu’aucun des trois vecteurs ne doit dodecaedre”, zonaedre a douze faces avec quatre etre sit& dans un m&me plan. Pour la Fig. Al, cette Maintenant la definition d’un paralleloedre peut Qtre zones. condition est essentielle. Trois vecteurs coplanaires devinee. Un paralleloedre est un polyedre convex8 engendrent un hexagone plan et non pas un zonae- qui remplit I’espace avec ses repliques congruentes, Continuons le meme processus: les Figurer E et G dre. Quand n est plus grand que 3, les ensembles de partitions, juxtapositions, etc., sans vides et sans sont toupees en deux moities centralement symetri- trois vecteurs ou plus, situ& dans un ou plusieurs chevauchements, par des deplacements paralleles. ques; les zones avec le nombre correct de faces sont inserees (Fig. H et J); le zonaedre a cinq zones, le plans, donnent un zonaedre dont les faces sont La reponse complete fut donnee par le cristallogra- autres que les parallelogrammes qui engendrent un “dodecaedre allonge” est le resultat de ces deux phe russe Fedorov, a la fin du siecle dernier: les fusions (Fig. K). Deux ensembles de trois vecteurs zonaedre de type plus general. Si une etoile contient paralleloedres sont des zonaedres et les cinq seules trois vecteurs coplanaires, deux faces opposees et sont coplanaires, de la, les quatre faces hexagonales varietes combinatoires possibles sont les suivantes (voir Planche 3, Fig. C2). Finalement, la Flg. K est paralleles deviennent des hexagones. Generale- (voir Planche 4): ment, n vecteurs coplanaires engendrent une paire toupee en deux et une zone est ajoutee; le nouveau de faces paralleles 2n-gonales. Dans une etoile, tous zonaedre a six zones est “l’octaedre tronque”. Ici, les vecteurs ne devront pas Qtre situ& dans le m&me 1. Parallel~pipede (n = 3) quatre ensembles de trois vecteurs sont coplanai- plan. Une n-etoile avec (n-l) vecteurs coplanaires 2. Prisme hexagonal (n = 4) res, ce qui nous amene a huit faces hexagonales. 3. Rhombidodecaedre (n = 4) represente un prisme (n-I)-gonal. Donc,un zonaedre Nous connaissions le theoreme de Fedorov tout en general est horde par des paires de zonagones 4. Dodecaedre allonge (n = 5) poursuivant ce processus et nous ne nous atten- congruents et paralleles. Nous ne sommes plus 5. Octaedre tronque (n = 6) dions pas a trouver un sixieme ou un septi’eme limit& aux “faces parallelogrammes”, ceci sera paralleloedre. Nous avons neanmoins decouvert fortement apprecie lorsqu’on composera les espa- Nous avons deja rencontre les numeros 1, 3 et 4 sur une infinite de varietes combinatoires de paralleloe- ces architecturaux. la Planche 3. Une variete metrique des numeros 2 et 5 est egalement connue comme polyedre semi- dres concaves. Nous les avons mQme rendus habita- Dans la Fig. C2, les vecteurs 1, 2 et 4 sont coplanai- regulier. Nous mettons I’accent sur I’expression bles dans les projets discutes dans la deuxieme res. Le sommet x et son oppose ont disparu; les trois “variete combinatoire”. Nous ne sommes pas limit& partie. vecteurs coplanaires definissent les deux faces par cinq polyedres, avec des proprietes metriques hexagonales abcdef et a’b’c’d’e’f’. Ce polyedre ap- fixes telles que les angles donnes entre les aretes et pele le dodecaedre allonge remplit aussi I’espace. entre les faces, ni par des longueurs egales comme Nous en reparlerons (Plsnche 5, Fig. A4). Dans la dans le cas des cinq polyedres reguliers. Tous les Fig. C3, les vecteurs 1, 2 et 4 sont situ& dans un cinq &ant des zonaedres, le choix de I’etoile-vecteur plan, les vecteurs 3, 4 et 5 sont dans un autre plan. est pratiquement libre a I’interieur d’un certain Une autre paire de sommets (y, y’) a ete eliminee et parametre. deux nouvelles faces hexagonales ont ete ajoutees. Ce que nous avons vraiment, ce sont cinq familles Les trois proprietes mentionnees dans les Fig. B de zonaedres, chaque famille representant un nom- bre infini de realisations metriques. Le fait que sont aussi des proprietes du zonaedre en general, dont les faces sont autres que des parallelogram- toutes remplissent I’espace devrait exciter les archi- mes. La description combinatoire est aussi valable si tectes aventureux. nous tenons compte des aretes, des sommets, des faces et des parallelepipedes elimines. La Planche 4 montre les cinq paralleloedres (qui sont numerates suivant la liste ci-dessus); leur Le zonaedre general est un bon exemple pour anatomie est revelee par une methode simple de demontrer comment les quatre geometries influen- derivation, quatre d’entre eux partant du parallelepi- cent son existence. Dans la Fig. Cl , les propri&& pede. combinatoires ont ete traitees; dans les FIgurea C2 et C3, les conditions projectives (vecteurs coplanai- Commencons par la Flg. A. Le “parallelepipede” res) ont ete introduites. Les Figurer A et B &lent peut etre &pare en deux moities centralement des definitions affines. Finalement, la reallsation symetriques, de deux facons differentes (Flg. B et metrique sera presentee plus loin, dans le ProJet C). Inserons une “nouvelle zone” (des parallelo- mm&o 1, deuxieme partie de cet article. grammes cycliquement connexes) entre les deux moitks (Figures D et F) et ensuite unissons les trois parties. La Flg. E est le “prisme hexagonal”, un zonaedre avec trois des auatre vecteurs de son 14 B .

@

t *=II0 i-.I -- ci?/’ G . 1 -- “y- 00 C . t 8 i 0L --- rC’ / @ \r @ @ cube @ prisme hexagonal 8 rhombidod&a&dre @ dod6caGdre allongi! @ octaedre tronqul!

15 16 Planche 5. Juxtaposition des paraMo&dres

La Planche 5 montre des juxtapositions de prismes hexagonaux (Fig. A2), de rhom bidodecaedres (Fig. A3), de dodecaedres allonges( Fig. A4)et d’octaedres tronques ( Flg. A5 ).

Les Figures B et C representent un autre aspect qui devrait par la suite encourager les applications architecturales des paralleloedres. Dans les Figures B et C, nous indiquons une projection parallele particuliere d’une couche de paralleloedres congruents. Dans les Figures 82, C2, C3, 84, C4, et C5, la direction de la projection est parallele a un vecteur donne b ou c. Consequem- ment, les a&es qui sont paralleles a ces vecteurs, apparaissent comme des points dans la projection. Dans les Figures 83 et B5, les directions b sont paralleles aux diagonales des parallelogrammes. Les projections obtenues des reseaux paralleledri- ques sont des subdivisions des tessellations des parallelogrammes ou des hexagones (les projections similaires du reseau cubique ne sont pas indiquees; la facon d’arriver aux deux tessellations est bien connue )=

Pour exprimer cette caracteristique importante des paralleloedres en termes plus usuels d’archi- tecture, reprenons nos assertions: un meme polye- dre oriente de differentes facons dans notre espace physique, ou les verticales et les horizontales sont des directions privilegiees, donne des espaces ar- chitecturaux de qualites entierement differentes.

Les Figures B et C peuvent egalement Qtre conside- rees comme des projections orthogonales ou comme des vues en plan de differents reseaux spatiaux ou les directions b et c sont verticales. La flexibilite dans la conception est illimitee. Non seule- ment nous pouvons concevoir la structure combina- toire, projective, affine et metrique du polyedre pour une exigence spatiale donnee, mais encore enrichir nos espaces architecturaux enchoisissant librement leurs orientations physiques. Nous pouvons mouler les espaces autour des fonctions au lieu de les comprimer dans des espaces preconcus. N’est-ce 17 pas la une consideration exaltante? Planches 6 et 7. Tessellations zonagonales.

Quand nous avons d&cute des tessellations planes, nous avons marque notre preference pour que plus d’un seul type de polygone convex8 couvre le plan par deplacement parallele. La fusion du nombre minimum de polygones convexes dans une region fondamentale nous a amene au concept du “paral- lelogone concave” (voir Planche 2, Fig. C3). Cette A. B. C . D. preference est justifiee par une plus grande flexibi- lite dans le design.

Evidemment, le concept du parallelogone concave est extensible a I’espace tridimensionnel avec les memes benefices. Tandis que le nombre de paralle- 1. loedres convexes heteromorphes est de cinq, le nombre est infini pour les paralleloedres concaves.

Un paralleloedre concave est souvent la fusion de zonaedres convexes le long des faces congruen- tes; ils remplissent Bgalement I’espace par deplace- ment parallele.

Les applications architecturales des paralleloedres convexes sont d’une facon ou d’une autre limitees: 2. I’utilisation des repliques congruentes des espaces convexes (m&me avec les transformations affines) donne une architecture en ruche d’abeille (les abeil- les demeurent dans des demi-rhombidodecaedres et non dans des prismes hexagonaux). L’introduc- tion de la repetition rythmique de differents types d’espaces polyedriques heteromorphes fait que no- tre systeme est facilement adaptable a beaucoup de problemes architecturaux. 3. Les paralleloedres concaves Wont pas ete examines par les mathematiciens ou les cristallographes. Nous avons maintenant plusieurs methodes diffe- rentes pour les construire mais nous n’avons pas encore trouve une organisation ordonnee de cette classe infinie. Nous esperons arriver a une conjec- ture analogue a celle qui a ete mentionnee en relation avec les parallelogones concaves(voir Plan- the 2, Fig. C3). La methode presentee dans les Planches 6 et 7 est utilisee dans les projets discutes 4. plus tard: elle s’avere Qtre la plus facile a suivre visuellement. Pour batir des paralleloedres concaves, il faut com- mencer par la construction des tessellations zona- gonales, lesquelles couvrent le plan avec des paral- lelogones congruents convexes ou concaves. Un 18 exemple a ete montre dans la Ftg. C3, Ptanche 2, od nous avons utilise la methode d’etoile-vecteur.

Les Planches 6 et 7 montrent la methode de “fen- dage”. Nous commencons avec la tessellation car- de, sur la Planche 6, Ftg. Al(ce pourrait Qtre aussi une tessellation de parallelogrammes). Dans la Fig. Bl, les lignes pointillees indiquent la position du “fendage” dans la Fig. Cl. Les bandes limitbes par les lignes pointillees sont sujettes a un deplacement parallele d’un meme ecartement. Entre les paires de sommets anterieurement coincidents, des at&es paralleles sont inserees (nouvelle zone); la Flg. Dl represente la nouvelle tessellation completee. 1.

Cette mosaique connue est redessinee dans la Fig. A2 et le meme processus est suivi dans les Flgures B2, C2 et 02. Dans la Ftg. A3, nous prenons la tessellation D2 pour arriver en 03 a une nouvelle mosaique composee d’octogones, d’hexagones et de car&. Dans la Flg. 03, la region fondamentale est la surface hachuree; les points plus 6pais sont 2. ses sommets fondamentaux. Ici nous pouvons indi- quer que la region fondamentale n’est pas unique- ment determinee par la tessellation. Les lignes de fendage ne sont pas obligatoirement des lignes droites; elles peuvent Qtre brisees si elles sont dans les paires rythmiques paralleles (a,b,a,b, ou a,a,b,a,a,b, etc...) et chaque segment, lequel n’est pas une arete dans la mosaique originale,passe par le centre de symetrie d’une region. Un exemple en est montre dans la Fig. 84. 3.

Planche 7, nous partons a nouveau avec une tessel- lation carree dans la Flg. Al; trois nouvelles mosai- ques sont obtenues dans les Figures 01, D2 et 03. La Fig. 04 nous ramene & la Fig. 02 de la Planche 6. Les regions et les sommets fondamentaux sont c indiques pour faciliter la visualisation de I’ordre de la tessellation. 4.

Le choix de la localisation et du rythme des lignes de fendage est illimite, comme le nombre de tessella- 19 tions zonagonales. Planche 8. ParalMlo&dres concaves. difference est que maintenant nous avons une Si le lecteur prend le temps de parcourir les Figures nouvelle zone (zone 7): a chaque sommet des deux 2, 3 et 4, cette procedure qui peut sembler mala- La dem arche finale de la construction des parall& tessellations originales une arete supplementaire est droite peut devenir une simple routine. loedres concaves est montr6e sur la Planche 8. projetee en un point. Toutes ces nouvelles arQtes Pour comprendre la methode imaginons que I’es- paralleles representent ainsi une nouvelle zone pace est rempli par des paralleloedres convexes ajoutee a I’octaedre tronque de la Flg. B5, Planche congruents. La juxtaposition peut Qtre decomposee 5. (Rappelons-nous avoir deja mentionne, en rap- en couches paralleles (voir Planche 10, Fig. F). Une port avec la Fig. M, Planche 4, que le“fendage”peut couche parallele est un ensemble de polyedres dont se continuer; ceci est une autre methode pouvant les faces communes appartiennent a une zone engendrer des paralleloedres concaves.) choisie. Projetons cette couche dans un plan paral- Ielement aux aretes (ou vecteurs) de la zone choisie; Dans la Fig. Hl, la region fondamentale de la Fig. Dl le resultat est une tessellation zonagonale. Choisis- est hachuree. Son contour est la projection de la sons maintenant une deuxieme couche parallele nouvelle zone. Pour simplifier le vocabulaire, consi- adjacente, avec la m&me zone choisie, et projetons- derons horizontal le plan du papier et verticale la la dans le meme plan, avec la meme direction. La direction de la projection. PlaGons une arete verti- nouvelle tessellation zonagonale est congruente a la tale a ces sommets du contour qui etaient ceux de la premiere mais deplacee parallelement. Les deux Fig. A (a,c,d,etc...). Aucune arete verticale n’est tessellations reunies seront considerees comme une presente aux nouveaux sommets b,e,f, et g; elles tessellation composee, laquelle est evidemment une sont les projections de deux sommets distincts du tessellation zonagonale parce que les faces zonago- polyedre. Done, par exemple, le segment abc est la nales ont une projection dans les zonagones. Nous projection d’un hexagone situ6 dans le plan vertical avons etendu cette methode pour construire des et le segment cd est la projection d’un parallelo- paralleloedres concaves. Tout ce que nous avons a gramme situ6 dans le plan vertical. faire, c’est de renverser le processus. Premiere- ment, nous dessinons une tessellation composee Nous sommes maintenant prets a propulser cette avec une region fondamentale concave et ensuite figure plane dans I’ espace. Dans la klg. Jl, on peut nous trouvons des paralleloedres concaves qui lui voir une bande prismatique de dix faces avec les sont associes. bords en zigzag, bordee au-dessus et au-dessous Une regle evidente doit etre observee pendant la par une paire centralement symetrique de “cha- preparation d’une tessellation composee: toutes les peaux” composes de quatre faces hexagonales et nouvelles regions, communes aux deux tessellations de deux parallelogrammes. Dans la Fig. Kl, les trois zonagonales deplacees parallelement, doivent Qtre parties sont reunies. Le resultat est un paralleloedre elles-memes des zonagones. Le deplacement des concave dont les repliques congruentes remplissent mosaiques de la Flg. A est incorrect dans les Flgures I’espace par un deplacement parallele. On peut le B et C, parce que les faces abed, dans la Fig. B, et voir comme la fusion d’un cube tronque aux a&es .les faces abc dans la Flg. C ne sont pas des avec un cube. Kl a sept zones indiquees par les sept zonagones. (Les Flg. B et C representent des vecteurs. Le cube tronque aux aretes est un zonae- juxtapositions mais les polyedres convexes partici- dre general. Six ensembles de trois vecteurs sont pants ne sont pas tous des zonaedres.) coplanaires. En respectant ces conditions projecti- ves, ces vecteurs peuvent Qtre librement choisis et Les Figures 1, 2, 3 et 4 illustrent comment une toutes les varietes metriques sont juxtaposables tessellation donnee (A) peut nous amener a quatre dans I’espace. Le cube adjacent est un sous-produit; paralleloedres concaves heteromorphes en variant il est form6 par trois de ces sept vecteurs. le vecteur de deplacement (le nombre de types heteromorphes est fini pour une tessellation don&e. Ces quatre cas epuisent-ils les possibilites pour la Si plus d’une region fondamentale appartient a une tessellation A?) Nous remarquons qu’un nouveau tessellation, comme nous I’avons mentionne dans la degre de liberte conceptuelle vient d’etre introduit. description de la Fig. D3, Planche 8, le nombre des Nous avons deja rencontre la tessellation composee paralleloedre concaves heteromorphes associ6s & de la Fig. Dl dans la Fig. B5, Planche 5. La seule cette tessellation augmentera davantage. 20 K.

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planche 21 plate 8 Partie 2. Applications L’etape suivante sera de construire une surface polyedrique pour envelopper ce mod&e de fonc- tions. Les faces planes devront suivre de pres le Planche 9. Projet numkro lm contenu, tout en respectant le confort physique et psychologique. II serait tres simple de choisir six faces rectangulaires se rencontrant dans un prisme rectangulaire, mais alors nous n’aurions plus rien a en dire. Ici, nous n’avons pas d’idees preconcues concernant le nombre des faces, aretes, sommets, longueurs et angles. Tout ce que nous voulons c’est une surface polyedrique simplement connexe avec des faces planes.

Ce probleme est resolu dans I’espace projectif ou tous les polyedres peuvent Qtre derives du tetraedre par des troncatures planes successives (pensons a un polyedre quelconque, convexe ou concave; les quatre plans de n’importe quelle de ses quatre facessont intersect& dans un tetraedre; toutes les autres faces se situent dans les plans de troncature).

Suivant cette assertion, nous avons install6 la ma- Le Pro/et numbro 1 est la premiere experience qui quette des fonctions dans un tetraedre squelettique demontre I’application des paralleloedres concaves plus grand, montre dans la Fig. B. dans les problemes d’habitation. Beaucoup d’as- pects usuels, tels que les conditions du site et la Dans la Fig. C, les trois premiers plans rencontrent technologie, furent laisses en dehors du pro- le tetraedre suivant des triangles (comme abc). Dans gramme. Une fois I’experience de ce nouveau pro- la Fig. D, deux autres plans sont install&; leurs cessus acquise, le Pro/et numbro 2 fut lance mais intersections avec les autres plans sont construites. avec plus d’ampleur. Nous avons trouve que la facon la plus rapide de le faire etait de tendre des ficelles entre les aretes du La Planche 9 illustre, Pas 21 pas, comment un tetraedre. Ici, il suffit de se rappeler que trois plans contenant prend forme pour un contenu donn6. se rencontrent en un point, a moins qu’ils n’aient une ligne commune. En coupant avec plus de plans, le La Flg. A est la maquette d’une unite d’habitation polyedre s’affine davantage.Nous avons termiti au sans enveloppe. Les plates-formes horizontales, les moment ou I’approximation etait deja suff isante cheminements de circulation, les escaliers, les equi- comme montre dans la Flg. E. pements et quelques meubles sont assembl6s en dehors de tout systeme coordonne. Les seules La maquette en ficelles defini t un polybdre concave; considerations sont donnees aux fonctions optimi- sa reproduction metrique est montre dans la Fig. F. sees et au confort humain. L’espace est g6nW par ces forces et non pas par une subdivision d’un Ce polyedre n’a pas de nom et n’en merite aucun. reseau cubique. Nous avons voulu une enveloppe proche de notre unite d’habitation, mais nous voulions egalement Un organigramme topologique et spatial a et6 cons- que ces unites soient repetitives dans une densite truit avant cette maquette (non montre ici). La donnee. Ceci implique un polyedre qui peut remplir transition entre les deux phases est quelque peu I’espace et ce“monstre”maladroit ne peut le faire. II intuitive. Nous allons aussi indiquer dans les phases devra Qtre transforme en un polyedre juxtaposable suivantes la ou I’intuition a egalement joue un role. (lequel est juxtaposable par deplacement parallele Nous crayons en un delicat equilibre entre I’intuition pour retenir une orientation physique preferentielle). et une methodologie stricte, ou ni I’une ni I’autre ne Pour ce faire, nous allons appliquer la procedure devraient dominer. non d&cri te au. chapitre precedent. 22 ..’ :_. .: . .._._., .:

23 Planches 10. - 12. considerations. Nous sommes convaincus qu’avec Sur .la Planche 10, nous avons obtenu une vue plus d’experiences et des programmes plus raff in&, axonometrique (une projection affine) du paralleloe- Nous voulons rapprocher notre polyedre concave nous trouverons des methodes pour introduire plus dre Z1Z2Z3. Ceci doit Qtre eventuellement realise d’un paralleloedre concave. Nous avons le choix de criteres afin de rendre ce procede moins ambigu. dans I’espace metrique comme une bonne approxi- entre la methode de “l’etoilewecteur” et celle du La reponse a la troisieme question concernant la mation du polyedre concave de la Fig. F, Planche 9. “fendage” des tessellations zonagonales. transformation est detaillee dans les pages suivan- Pour ce faire, commencons par analyser Z1, Z2 et Z3 tes. sur la Planche 11. Cette deuxieme methode est presentee sur la Plan- the 10. La tessellation en carre de la Fig. A est toupee trois fois en passant par les phases B at C dans la tessellation composee; d et d’ indiquent les deux feuilles.

La Fig. F devrait permettre de visualiser facilement comment la tessellation composee produit le paral- leloedre concave de la Fig. G. Les aretes correspon- dantes dans les quatre plans paralleles d, d’, d’, d sont jointes dans les faces.

Le paralleloedre concave resultant est compose de trois zonaedres convexes distincts Z1, Z2 et Z3, tel qu’indique dans la Fig. G . Z2 et Z3 sont des prismes c . hexagonaux bien connus. Z1 est aussi un zonaedre \ \\\ \\ \ sans nom car il n’existait pas auparavant. II est tout ‘\\\\‘\\ \ ‘\\ \ \ i‘\ ‘\\\1\\‘\ \‘\ de meme certain que le polyedre concave Z1Z2Z3 ‘\\\\ \\\ ’ ’ x‘1 \\\\ \\ remplit I’espace par deplacement parallele. \\.‘\\ \ \\\ ‘\\ ’ \ \ \‘\ ‘\ \ \\\\\‘\ \. ‘\ ‘\\‘. b Les trois questions suivantes peuvent maintenant se \\ \\\ \‘\ \\ poser. Apres Qtre arrive au contenant concave de la \\\ \‘\\ \ \\‘\ \‘\. Fig. F, Planche 9, pourquoi avons-nous choisi la \‘.‘t\\ ‘\\ \ \ \‘\\ ‘1,\ \\ \ ’ \\ \\ tessellation D de la planche 10 ? Pourquoi avons- nous selectionne le deplacement particulier de la Fig. E? Et,finalement, comment allons-nous associer le paralleloedre concave Z1Z2Z3de la Fig. 0, Planche 10, au polyedre concave de la Flg. F, Planche 9?

En reponse aux deux premieres questions: ceci &ant le premier projet, nous ne savions pas encore exploiter au mieux notre liberte recemment acquise. La transition du polyedre concave au paralleloedre concave etait intuitive. Nous avons senti que n’im- Porte quel paralleloedre concave, avec un nombre raisonnable de zones (vecteurs), peut engendrer une solution satisfaisante. Le nombre raisonnable de zones, comme nous I’a demontre notre expe- rience, est de 5, 6 ou 7. Si nous utilisions moins de zones, la flexibilite serait perdue; trois zones nous ramenerait aux cubes. Plus de zones produiraient beaucoup de trop petites faces et d’aretes trop courtes, dans une unite d’habitation a I’echelle habituelle. Ceci ne serait ni economique ni pratique pour la fabrication ni pour le montage. Les selec- tions des Figures D et E sont guidees par ces 24 La Fig. A montre Z1, un zonaedre convexe. II a 18 Dans la Fig. Bl, il est coupe en sa moitie selon un Ce processus est rep&e encore une fois a la Fig. C faces parallelogrammes, 4 faces hexagonales. Les cycle indique par les lignes epaisses. Notons que ce et le produit est Z1, Flg. C3. faces hexagonales sont engendrees par deux ensem- ne sont pas toutes les aretes du cycle qui sont les Trouver les coupes convenables peut paraRre mys- bles de trois vecteurs coplanaires. Chaque hexa- aretes du zonaedre. La nouvelle zone est ins&&e, tbrieux; nous les avons trouvees par retroaction. En gone absorbe trois paralielogrammes coplanaires. Fig. 82, et le resultat est un zonaedre anonyme a 5 commencant par Z1, n’importe quel processus d’eli- Done, le nombre de faces combinatoires et le nom- zones, Flg. 83. mination des zones nous ramene au parallelepipede. bre de zones n se calculent a I’aide de I’equation F = n(n-1). Les six zones peuvent Qtre evidemment tracees aussi sur le dessin de la Fig. A, en suivant A. I’etiquetage; les vecteurs 1, 2 et 3 aussi bien que les vecteurs 4, 5 et 6 sont coplanaires..Dans les Figures B et C, les deux prismes hexagonaux sont present& avec leurs etoiles-vecteurs correspondantes (1,2,3, 6 et 1, 3, 4, 5).

Le fait que les vecteurs de Z2 et Z3 sont des sous- ensembles des vecteurs de Z1 a une repercussion interessante sur le paralleloedre concave. Une reali- sation affine de Z1 definit uniquement les deux autres zonaedres 22 et 23.

Les aspects architecturaux des paralleloedres pre- sent& sur la Planche 5 sont les aspects des paralle- loedres concaves. Pour arriver par une projection orthogonale a la tessellation composee de la Fig. D3, le vecteur 2 doit Qtre vertical. Dans la Fig. El, le vecteur 6 est vertical, ce qui nous amene A un espace architectural distinct (Flg. 02) et a une tessellation differente dans la Fig. 03 (le Iecteur peut completer la Fig. 02 en ajoutant les deux prismes hexagonaux). Ceci signifie reellement que lorsque nous voulons modeler le polyedre Z1Z2Z3 pour enve- lopper un contenu donne, nous avons le choix d’une etoile a six etoiles-vecteurs et de sa position dans un systeme de coordonnees, avec la condition que 1,2 et 6 sont coplanaires.

Pour modeler des espaces qui sont plus sophisti- ques que des espaces cubiques, nous devrions nous familiariser avec leur anatomie. Une methode alter- native, presentee dans cette page, pour generer le polyedre servira, nous I’esperons, cet objectif.

Sur la Planche 12, une application d’une methode utilisee precedemment est presentee (Planche 4). Une serie d’etapes simples transforme le cube en Z’.

La Fig. Al montre un parallelepipede, coupe selon un cycle brise; une nouvelle zone est inseree entre les deux moities centralement symetriques. Quand

les aretes correspondantes sont reunies, Fig. A3, le pianche 25 rhom bidodecaedre apparait. plate ” I Imaginons que nous reprenions le mQme processus, non avec le seul parallelepipede, mais avec sa juxtaposition de repliques congruentes infinies. Tous les parallelepipedes sont coupes de la m&me facon et de nouvelles zones y sont partout inserees. Cette &ape nous explique pourquoi le rhombidode- caedre remplit I’espace. L’etape suivante, Fig. B, doit aussi nous amener a une juxtaposition. Le a zonaedre anonyme a 5 zones, Fig. C2, laisse des vides a dans son reseau spatial mais les vides sont des . A b parallelepipedes congruents. Leur fusion est un b nouveau paralleloedre concave. La derniere &ape, aboutissant a Z1, remplit I’espace s’il est aide par deux prismes octogonaux; c’est ainsi que nous b’ I’avons rencontre & la Planche 10. Cette methode b ; suggere une possibilite que nous esperons exploiter dans un projet futur. b’

La creation de I’habitation d’une certaine densite est un probleme de remplissage d’espace, mais plutot de nature finie. Le nombre de cellules “bordantes” est plus eleve que celui des cellules “interieures” B . qui sont presque entierement entourees. Ces cetlu- les bordantes ou cellules exterieures, avec quelques faces exposees, ne doivent pas se soumettre au critere de congruence. Elles peuvent Qtre modifiees b et un nouveau degre de liberte est introduit. Pour b’ eviter cependant une geometric inconsistante, qui presente un chaos dans la production, les cellules modifiees devront utiliser seulement les types de faces presentes dans les cellules congruentes non modifiees. En d’autres termes, I’introduction d’un nouveau vecteur est interdite.

C . Nous avons explique ci-dessus comment la juxtapo- sition cubique s’accroi’t dans la juxtaposition Z1 a travers des &apes graduelles. Si nous prenons un reseau fini, nous pouvons maintenant decider d’in- serer des zones a quelques couches choisies, mais non a chacune; nous pouvons meme etirer ou retrecir quelques zones localement. La variete des differentes unites augmentera a volonte sans sacri- fier la standardisation des faces, c’est-a-dire les panneaux eventuels.

Le principe de ces operations peut Qtre demontre sur n’importe quelle tessellation zonagonale. Ceci est laisse 8 I’imagination du lecteur. _ 26 Planche 13.

Nous avons mentionne precedemment que tous les zonaedres dont les faces sont les parallelogrammes se subdivisent en C ( n ,3) *’ parallelepipedes (Fig. 82, Planche 3). Sur la Planche 13, cette subdivision est construite pour Z1 . Nous incluons ici ce dessin A. B. “anatomique” pour une meilleure comprehension de C. D. I’espace “interieur”. + Le 6-zones Z’ se su bdivise en 18 parallel(ipipedes (six choisit 3 moins 2, deux ensembles de trois vecteurs coplanaires eliminent deux parallelepipedes). Les faces hexagonales reunissent trois d’entre eux dans les prismes hexagonaux; la Fig. B indique done actuellement 4 cellules de prismes hexagonaux et 6 cellules de parallelepipedes; toutes les faces de ces composants sont congruentes et paralleles aux faces correspondantes de Z1. Si nous omettons quelques-uns ‘des composants dans les cellules bordantes, cela nous donne une autre possibilite de modifier Z1 en accord avec nos precedents argu- ments (Planche 12).

Les Figures C et D presentent deux versions modi- frees de Z?

plan&e 27 ” Combinaisons de 3 elements parmi n. plate I3 . \ unites sont des unites bordantes, ces vides devien- nent des “espaces exterieurs” paysagers, bien inte- La realisation metrique de Z1Z2Z3 est presentee sur gres au reseau polyedrique. Beaucoup d’autres la Planche 14. Z3 n’est pas montre sur le dessin; il est combinaisons de Z1, Z2 et Z3 sont possibles pour congruent avec Z2. creer diffbrents modules mais le temps ne nous a pas permis de les exploiter dans ce projet. Nous avons applique les informations detaillees aux Planches 30 i 13. Nous avons cependant eu besoin de plus de maquettes, dessins, temps et patience pour arriver a cette derniere phase. La structure combinatoire du polyedre concave (Fig. F, Planche A . 9) a dQ Qtre revisee. Plans paralleles et vecteurs ont 6% introduits. Les vecteurs ont et6 manipules et les zones ont et6 etirees. Angles et longueurs ont et6 choisis avec attention tant pour le contenu que pour le contenant.

La Fig. A est une vue axonometrique de Z1 et Z2 dans leur position finale. La Flg. B en presente les projections orthogonales. Le paralleloedre concave a sept faces metriquement differentes; leurs vraies grandeurs ont et6 construites en Flg. B.

Un aspect de la forme non encore mentionne a aussi et6 consider6 pendant la selection des angles dib dres. Les faces horizontales d et les faces inclinees b vont etre aussi utilisees pour les circulations inte- rieures et exterieures. L’angle de la face b sur I’horizontal est de 30 degres. d

Dans cette position finale, aucun vecteur n’est verti- cal mais les faces hexagonales sont dans des plans verticaux. Le reseau resultant est une tessellation rectangulaire dans la projection horizontale (voir vue en plan de Z1, dans le coin droit superieur de la Planche 14).

Dans la juxtaposition, la replique congruente est Z1Z2Z3 mais rien ne peut nous empQcher d’utiliser d’autres combinaisons de composants pour arriver a differents modules. Dans la juxtaposition,parmi les cellules de la region fondamentale Z1Z2Z3, nous pouvons choisir d’autres ensembles que la region fondamentale pour servir comme unite d’habitation. Nous choisissons plusieurs copies des unites d’habi- tation qui ne se chevauchent pas de faGon h ce que les copies entrent en contact proprement, ce qui peut annuler certaines cellules de la juxtaposition originale Z1Z2Z3. Les photos comparatives des ma- quetters C et D montrent la solution actuelle. Le module est la fusion de deux Z1, un Z2 et un Z3. Cette unite est un remplissage partiel de I’espace, elle laisse des vides de formes Z2Z3. Puisque toutes les 28 Planche 15.

Le contenu original a du Qtre legerement revise pour I’integrer au nouveau contenant Z1Z2Z3Z1, tel qu’indi- que a la Flg. A. Maintenant nous possedons quelque experience de manipulation des espaces non cubi- ques. Nous avons commence a realiser que les diedres a angles droits et les triedres trirectangulai- res le long des planchers, des murs et des plafonds dans les pieces cubiques ne sont pas utilises et sont perdus. Ces aretes et ces sommets sont tronques dans la nouvelle geometric. Nous modifions les meubles traditionnels pour les integrer a ces condi- tions peripheriques. La haute qualite visuelle des nouveaux espaces interieurs est surprenante bien que nous ne nous soyons pas preoccupes de I’aspect “esthetique” dans ce programme.

Les photos B, C, D et E sont incluses pour indiquer 29 la croissance verticale du module. Planche 16.

Le Pro/et numbro 1 etait un exercice hautement theorique. Le module fut concu en premier lieu, ensuite juxtapose dans un reseau de faible densite et finalement un site fut choisi pour supporter le complexe (voir photos A et B, Planche 16).

Quand cela a et6 fait, cet &range deroulement ne paraissait nullement absurbe. Par la presence de nombreuses faces inclinees suivant differents an- gles, nos modules pouvaient s’adapter a n’importe quel site avec une topographie donnee. Ils peuvent epouser le sol en harmonie avec le paysage, rendant les bulldozers inutiles.

Lorsquele complexe fut implante sur lesite,et qu’une f&he du Nord f ut ajoutee, nous avons “peint” les fenetres sur les modules, choissisant les meilleures orientations. II y avait tant de faces disponibles que la selection fut facile.

II convient de mentionner que les unites de la maquette sont fabriquees en bois, avec des gabarits et une ponceuse electrique. L’execution en est plus rapide que la description. Planche 17. Projet numbro 2.

Le programme du Projet numbro 2 est moins abs- trait que celui du programme numero 1, mais tous deux doivent Qtre consider& comme des projets de recherche plutot que comme exercices pratiques de design. L’objectif principal dans les deux cas est de creer une morphologie nouvelle pour des unites d’habitation basee sur certains criteres limit& et simplifies. Dans le Pro/et numbro 1, nous nous sommes concentres sur le contenu. Le theme du Pro/et numbro 2 est la circulation (voir Planche 17).

Ici, nous avons quelque peu trahi un engagement de notre introduction: nous avons forme le contenu pour I’inserer dans un contenant preconcu. Nous nous excusons pour cette inconstance mais nous n’avons pas ose nous attaquer, dans ce second exercice, a la fois au mod&e de la circulation et a 3 . celui des fonctions. Nous esperons le faire dans notre prochain projet.

Un site d’environ deux acres a ete choisi a Montreal, pres de I’Oratoire St-Joseph, sur la pente de la montagne. Le terrain est fortement accident6 (Flg. 1) et devrait etre garde tel quel. Les coupes (Fig. 2) indiquent les pentes allant jusqu’a 30 degres. Cons- truire une plate-forme horizontale avec des rem- blais et deblais serait un lcrime Y

La Fig. 3 montre comment nous avons subdivise la propriete en trois zones de differentes densites pour installer un total de 76 unites d’habitation; des 5. studios, des appartements de 1, 2 et 3 chambres a coucher. Dans la zone A, inclinee en pente deuce, 9 unites sont installees; dans la zone B, 20 unites et dans la zone C, fortement inclinee, 46 unites.

La Fig. 4 montre les circulations desirees pour la zone C: horizontales dans la direction Nord-Sud, en 6 . gradins dans la direction Est-Ouest et verticales pour les ascenseurs conventionnels. Le chemine- ment Est-Ouest (Fig. 5) doit s’incliner dans les deux sens pour donner acces a toutes les unites (Fig. 6).

Tous les cheminements representent les circulations interieures et exterieures parce que nous voulions 31 deux types d’acces pour chaque unite (Fig. 7). Planche 18.

Lorsque le mod&e de la circulation fut etabli, nous avons examine si Z1Z2Z3 du ProJet numbro 1 satisfai- sait aux nouvelles contraintes. Tout ce que nous avons eu a faire avec ce paralleloedre fut d’ajouter une nouvelle zone verticale, de changer sa position dans I’espace et de reviser ses proprietes metriques. c. A la Planche 18, en partant de la Fig. A, nous G . arrivons a une tessellation zonagonale en Fig. C, de la m&me faGon que dans le ProJet numbro 1. Un I 023 autre fendage et une nouvelle zone donnent la 2 i 5 7 nouvelle tessellation zonagonale en Fig. D. 4 I 1I I I 2 1 I Dans la Fig. F, les quatre tessellations decalees \*--- - ,I-/~-- --L- definissent le paralleloedre concave dans I’espace. . ------l m

Les composants zonaedriques convexes sont analy- ses a la Fig. C: Z1 est un 7-zone, zonaedre avec quatre faces octogonales et dix-huit faces parallelo- grammes. Deux ensembles de quatre vecteurs sont coplanaires; le vecteur numero 2 est vertical. Z2 et Z3 sont des prismes octogonaux definis respectivement par les vecteurs 1, 2, 3, 4, 6 et 2, 4, 5, 6, 7. Z4 est un parallelepipede forme par les vecteurs 2, 4 et 6. 32 I I I I I 1 1 I 1

d b f

La Fig. A, Planche 19, presente la realisation metri- que de Z1 et Z4, ainsi que les vraies grandeurs des six differents types de faces. Z* et Z3 ne sont pas indiques ici parce qu’ils sont respectivement cons- truits avec les faces a,g et a,d.

La Fig. B est une vue axonometrique de la juxtaposi- tion avec le modele de circulation superpose.

Nous avons note que Z1Z2Z3Z4 peut Qtre construit presque au complet avec des faces regulieres. La maquette en carton de la Fig. C est faite de car&, d’octogones reguliers et de parallelogrammes. Ce mod&e simple nous a aide a faire un progres rapide dans les &apes initiales de la conception.

Les Figures D et E sont les photos des composants en bois. Ils ont ete utilises pour construire la ma- 33 quette finale. Planche 20.

A la Planche 20, les photos montrent I’amenagement interieur et I’arrangement des acces d’une unite typique de trois chambres a coucher, meublee et prete a Btre occupee.

Ici, nous devons mentionner que, m&me si nous n’avons pas utilise un mod&e de fonctions pendant la selection des vecteurs et des zones, des lon- gueurs et des angles, nous avons quand m&me pris en consideration les meubles et les equipements. Done, une fois I’enveloppe etablie, nous n’avons pas eu de difficult& a en amenager I’interieur. Une attention particuliere fut apportee 9 la cuisine et a la Salle de bain; avec peu de modifications, les equipe- ments standards ont et6 utilises.

La majorite des meubles ont et6 incorpores dans I’enveloppe. Nous admettons que cet arrangement n’est pas tres flexible mais nous maintenons que de deplacer sofas, lits, chaises, etc., dans une chambre cubique, ne represente pas une meilleure flexibilite. Les meubles integres nous amenent a une utilisation plus efficace de I’espace; ils devraient faire partie du procede industrialise, afin de reduire le coot total d’un habitat. Les styles et les gouts individuels peuvent toujours Qtre satisfaits par I’adjonction de tableaux, tapisseries, etc...

Le volume total de notre module est inferieur a celui d’une unite conventionnelle de trois chambres a coucher de la meme superficie. Cependant, il est plus spacieux parce que les espaces non utilises sont tronques et ajoutes ailleurs ou ils peuvent Qtre apprecies. ----I_____-__

3 pour une certaine capacite, elle devient vraiment P 1usieurs faces en un seul composant pendant la Planche 21 l universelle. Pour une certaine charge, nous utilise- fa bricatio In. Le lecteur n’aura pas trouve jusqu’ici aucune refe- rons un certain nombre de joints identiques; les rence ayx systemes structuraux, aux technologies et angles entre les panneaux n’ont pas d’importance. economies. Nous avons deux raisons pour ne les Quand la structure est completee, I’enveloppe est mentionner que maintenant. presque finie; il suffit de boucher les &arts entre les panneaux. Premierement, nous crayons que n’importe quel reseau spatial geometrique modulaire, ordonne et Jusqu’a present, nous nous sommes concentres sur bien concu peut Qtre traduit dans un systeme struc- un seul aspect, mais fondamental, des structures a tural economique utilisant la technologie courante. panneaux spatiaux articules: leur rigidite. Par exem- ple, un ensemble de trois panneaux articules en trois Deuxiemement, nous n’avons pas voulu repeter ici aretes est evidemment rigide. Un ensemble de p (p notre article recemment publie (voir bibliographie) plus grand que 3) panneaux articules dans p ar&es sur un nouveau concept structural: “Les structures a n’est pas rigide si tous les plans ont un point panneaux spatiaux articules” (Baracs 1975). Cette commun (fini ou infini). Six panneaux peuvent Qtre proposition est le resultat de trois annees de recher- enchaWs cycliqu’ement par six aretes articulees the dans un autre champ de la “Topologie structu- mais ils ne forment une structure rigide que si rale”. Les systemes structuraux impliquent habituel- certaines conditions projectives simples sont evi- lement une geometric metriquement definie, un tees. Nous avons trouve toutes ces conditions et reseau modulaire donne, des composants standar- maintenant nous pouvons assembler n’importe quel discs, des joints speciaux et un catalogue. Celui-ci reseau polyedrique avec des cycles consecutifs de nous instruit sur quoi et comment construire. six panneaux. Cela signifie que la surface ne doit pas etre close; nous pouvons ainsi avoir des ouvertures Notre proposition de construire des cellules polye- et tous les panneaux ne doivent pas Qtre relies par driques avec les structures a panneaux spatiaux une jonction structurale. articules est bien particuliere, et ici nous ne pouvons en donner qu’une description tres breve. Le systeme est fait pour une utilisation illimitee, lib&e des L’analyse structurale n’est pas non plus une simple contraintes des systemes geometriques preconcus. routine mais, avec de la competence et des ordina- Le concept est d’une telle generalit que ni reseau, teurs, le probleme peut Qtre man@. Les panneaux ni composants et joints standardises, ni catalogue sont sujets a des forces axiales et, dans un moindre ne sont imposes a I’architecte. degre, les efforts agissent en dehors de leurs plans. Leur epaisseur peut varier pour des raisons structu- II n’y a rien de nouveau a propos des elements du rales sans interferences avec la geometric ou les concept: les panneaux sont utilises chaque jour joints. dans la construction, les articulations sont utilisees sur les portes et Archimede, Platen et Kepler en Nous pouvons dire que le systeme est facile a savaient deja beaucoup sur les polyedres. Mais construire mais complique a concevoir, contraire- lorsque nous les avons prudemment combines dans ment a la pratique quotidienne. les structures, nous avons et6 surpris combien ils se sont aver& simples et rigides. La Planche 21 montre les photos du systeme arti- cule. Les panneaux sont des plaques de polystyrene Dans les structures spatiales, beaucoup d’arilrtes se de 2mm; les charnieres sont des extrusions en PVC rencontrent dans un sommet. Ces sommets doivent fabriquees dans ce but. se placer dans un noeud, mais qui est encore encombre de membres et d’efforts. Dans les structu- La surface de Z1 est evidemment moindre que la res a panneaux spatiaux articules, les panneaux se surface d’un cube ayant le m&me volume. Ceci est rencontrent dans les aretes mais jamais plus de vrai pour n’importe quel polyedre convexe compact quatre panneaux par a&e. Les joints sont le long a plus de six faces. Cependant, ici, nous avons des des aretes et de longueurs toujours suffisantes pour panneaux trop petits et trop nombreux. Ceci n’est transferer les efforts par des jonctions simples. Si pas pratique au point de vue fabrication et montage. nous calibrons une charniere de IonguFur unitaire Le nombre de pieces peut Qtre reduit en combinant 36

Planche 22. La bibllographie de cet article apparait a la fin de la version anglaise, a la page 51.

La Planche 22 montre la maquette d’un habitat polyedrique dans le paysage d’hiver familier de Montreal.

Concluons en deux mots. Nous sommes conscients d’avoir massacre la propre pratique de I’architecture en la reduisant a un exercice geometrique. Nous n’avons utilise que deux mod&es, circulations et fonctions, en les traitant separement. Nous avons ignore beaucoup d’autres mod&es importants. II n’en sera pas ainsi dans nos prochains projets. Ceci n’etait qu’un debut.

Nous crayons que la geometric devrait a nouveau Qtre un des nombreux outils de I’architecte. Nous avons essay6 de demontrer que les polyedres ne sont pas des formes figees mais au contraire mallea- bles et capables de mouvements et de croissance comme les organismes vivants. Lorsque nos mains, nos yeux et nos esprits ne seront plus asservis a la geometric cubique, aux outillages et assemblages, nous serons p&s a donner aux autres polyedres une chance egale en architecture.

Dans la recherche spatiale siderale, beaucoup d’ar- gent est aujourd’hui depense pour une maigre information au benefice de quelques-uns. Notre genre de recherche “spatiale”, avec peu d’argent, peut apporter beaucoup plus d’informations au benefice du plus grand nombre.

Note: L’article rend compte de deux projets prepa- res en 1974-1975, sous la direction de J. Baracs, par trois etudiants de 3e annee de I’Ecole d’architecture de I’Universite de Montreal: B. Leopold, T. Luong Thien et J. Maurice. Ils ont obtenu leur diplome en 1976. Les architectes-assistants etaient M. Safdie, L. Pretty et J. Auger. Le texte a ete ecrit par J. Baracs, le chapitre sur la theorie &ant un extrait de son tours intitule “Topologie structurale”. Le concept, les dessins et les photographies sont l’oeuvre des trois etudiants. Les projets ont 6te subventionnes partiellement par le Comite d’attribution de fonds de recherche (CAFIR) de I’Universite de Montreal. 38 Polyhedral Habitat

by J. Baracs, T.T. Luong, B. Leopold, J. Maurice

1 mIntroduction scattered with tombs of rectangular pri sm sha Structural Topology #2,1979 along strictly laid down r lectangular grid lines. We do not say that the rectangular prism is dead. We only propose to extend the geometrical vocabulary of architects. Our projects should be looked upon as modest demonstrations to show how the better understanding of the 3-dimensional space can lead to a newly acquired freedom in conception. We do not propose to flood our cities from now on with rhombidodecahedra instead of cubes, nor to engage in geometric acrobatics just to be different.

We began with functions - we are not the first to do so - but we erased from our minds the overwhel- Abstract ming presence of the cube and with this newly acquired virginal mind we began to construct contal- This article investigates the synthesis of poly- ners for a given content. We did not get discouraged hedral forms for architectural purposes. By if the result is the same old cube but this did not happen often. way of introduction we explain the basic geo- metrical methods to be used. Then we follow We would like to present two student projects in this the development of two closely related design article. It took us a few years of research and projects. preparation before we began. Our approach was Project # 1 is a medium density housing The 3-dimensional space is one of our most fascina- very different from the current architectural practice. complex. Here the initial criteria were content ting and precious resources. Due respect was given We looked for means to replace intuition and ambi- and functions, and the final forms evolved from to all three dimensions through all phases of history guity with coherent scientific methods. Topology as these beginnings. of architecture. Not so today. The truly 3- well as combinatorial, projective, affine and metric dimensional quality of architecture has disappeared. geometries seemed as though they were invented Project # 2 is a high density housing complex. It has been replaced by a simplistic, flat, 2- just for this purpose. Once we set out to put on paper In this instance the study began with a model dimensional approach. Buildings are dissected into what we did, we found it inevitable to give some of the circulation pattern, horizontal and verti- plans, sections and elevations and these are being theoretical background. The following pages were Cal.0The final solution is a morphological res- treated one by one without respect for their inherent not written to impress (such a common practice in ponse to this abstract “scaffolding”. unity in space. The geometric monotony of our pseudo-scientific publications) but to share our 39 I environment is a fact. Our cities look like cemeteries pleasurable experience. Part 1 8Theoretical Background (spherical) polyhedron. This classification is in the perspective (central projection) of a plane faced domain of Topology. tetrahedron because all faces are triangles and any three points are coplanar. Now we choose a point B’ Plate 1: Geometries The next more specific description of our cube is the on the edge AB and truncate the tetrahedron in the following: six faces (we even omit the adjective triangle B’EF. A second plane through the point A’ The purpose of this chapter is to provide sufficient “plane”) each having four edges (we do not mention intersects the tetrahedron in the triangle A’GH. The geometric background for understanding our me- that the edges are straight lines) meet in twelve two truncating planes meet in the edge JK and the thod of filling space with a certain family of polyhe- edges and eight vertices and all vertices are incident resulting “cube” is indicated with heavy lines. All the dra. with three edges. This description does not use bounding polygons are projections of plane faces; terms like angles, lengths, planes and straight lines’ for instance the quadrilateral JKEF is part of the Let us start with a definition. A polyhedron is a finite but it still provides us with important basic informa- triangle B’EF. set of polygonal plane faces conforming to two tion. This combinatorial structure of the cube is conditions: a)every edge is common to two and only germane to Combinatorial Theory, and in particular We continue to refine our cube. We declare a two faces, b)a path can be drawn between any two to the Theory of Graphs. particular line the line at infinity, thus we recognize points on any two faces, traversing some of these the difference between concurrent and parallel lines. edges. Condition a) excludes a cube, for instance, Plate 1 shows how this combinatorial structure can This is the domain of Affine Geometry.Affine proper- where one or more faces are removed, and excludes be realized as four different “cubes”, A, B, C, D, ties remain invariant when subjected to parallel two cubes having a common face or a common differing with respect to the number of vanishing projections. Let us decide that lines ED and FC, lines edge. Condition b) excludes two cubes with a points. In each instance, we show the cube in the HG and DC as well as lines KG and JH are parallel. common vertex, and two disjointed cubes. context of topology, projective, affine and metric The easiest way to achieve this is by drawing a geometry (using drafting procedures 1, 2, 3,4). That parallel projection (an axonometric view) of a paral- Properties of polyhedra were studied by the ancient is, we show a Schlegel diagram, a perspective view, lelepiped and cutting it with conveniently chosen Greeks. According to Sir D’Arcy W. Thompson’ an axonometric view, and finally two orthogonal planes, as in Fig. A3. Euclid completed his famous twelve books called projections (plan and elevation). The Elements about 300 B.C., just to serve as an If we wish to realize our cube in 3 dimensions, we introduction to books XIII to XV dealing with the five have to go a step further. In Fig. A3, no information is regular convex polyhedra. Fig. Alis a representation of all these properties by a given about lengths and angles. In the final phase the tool is Metric Geometry. Fig. A4 shows two The geometry introduced by Euclid is today called graph which clearly indicates all eight vertices, all the twelves edges and all the six faces. (The boun- distinct orthogonal, parallel projections (descriptive metric’ geometry. Since his time a great number of different geometries have been established, each dary of this graph, the cycle CDEF, is the sixth face.) geometry), which contain now all information about The most important fact, besides this numerical this particular cube. True lengths and true angles one serving to study properties of some particular nature. data, is the adjacency which is also fully described in can be constructed in order to build the polyhedron. this graph. We can draw this graph in such a manner To investigate polyhedra for architectural and struc- that edges intersect only in the vertices. This con- The sequence of the five geometries actually sug- gests the proper sequence in conception of any tural purposes, we find it necessary to use five firms the fact that the cube is a simple polyhedron, branches of geometry: topology, and combinatorial, its surface being simply connected. spatial form. Decisions, choices should be executed in this order: topological, combinatorial, projective, projective, affine and metric geometry. We will present a simple example to distinguish between In Fig. A2, we illustrate our cube with plane faces affine and finally, metric properties. (We cannot help these disciplines. and straight line edges. Here we enter into the but cry when we see the designer beginning at the domain of Projective Geometry. We are still uncon- other end with plans and elevations, that is with the The word cube describes a polyhedron with six cerned about lengths, angles, even parallelism. We metric considerations.) square faces. If we relax conditions of regularity, we are only interested in incidences of planes and lines, obtain a variety of cubes with interesting hidden including those beyond the 8 vertices and 12 edges properties. of our cube, but we do not distinguish between finite or infinite points on a straight line. In this geometry Series B starts out with the same graph as Fig. Al, The most general investigation of the cube begins parallel lines are treated as concurrent lines, since but in Fig. B2 a slight modification is made. the point with the study of its surface, ignoring even its faces, the point at infinity is just like any other point of a B’ coincides with the vertex B of the tetrahedron. The edges, vertices, planes, straight lines, incidences, straight line. Properties which remain invariant when resulting new cube now has four edges going parallelism, lengths and angles. In the case of the centrally projected are projective properties. through this point B which in perspective drawings is cube, this surface is closed and two-sided. Since any called a vanishing point. In Fig. 83, we choose to one closed curve would separate the surface into To insure that Fig. A2 is a “correct” projection of a install the point B at infinity, thus obliging the four two bounded regions it is called simply connected. plane faced polyhedron, first we draw the tetrahe- edges FK, CG, HD and JE to be parallel. Fig. B4 40 Accordingly, the cube is classified as a simple dron ABCD. This diagram is always the “proper” shows a metric realization of this polyhedron. Again in Series C, the start is the same graph as in Plate 2. Zonagons, Parallelogons. happens when a polyhedral space is reflected? Fig. Bl. In Fig. C2 the point A’ coincides with the Although the reflected polyhedron is congruent to vertex A of the tetrahedron. This cube has two Our aim is to fill space with polyhedra. We will start the original one, in fabrication unfortunately the vanishing points, two sets of four lines meeting with the problem of covering the plane with poly- components are different. Think of the left hand respectively in points A and B. In Fig. C3 the point A gons. We hope the reader will share our fascination glove and right hand glove. They are congruent, but is also at infinity, so four more edges are parallel when he discovers certain analogies between the in production they need two different moulds. (Un- among them (JK, GH, EF and DC). discussions of 2 and 3-dimensional spaces. In fact, less of course, you fabricate only left hand gloves many of the assertions can be extended to N- and then turn them inside out, so that they will fit the A cube can have up to a maximum of three vanishing dimensional spaces: the charm of higher dimensions right hand. Not a recommended practice in the points. We obtain the third vanishing point in Series (four or more) is irresistible to mathematicians. construction industry.) D. In Fig. 03, this point 0 is also chosen to be at infinity. This shows the familiar axonometric view of A 2-dimensional covering or tessellation may also be a parallelepiped, while Flg. D4 represents the pro- considered as an infinite polyhedron. Edges are It has been proven that only two classes of convex jections of the regular cube. shared by two and only two polygons, voids or polygons cover the plane with the two chosen overlapping are not allowed. In this discussion, we restrictions: congruency and parallel displacement. We have shown how different geometries deal with limit our attention to convex polygons. (Any straight They are all the parallelograms and some special different properties of a configuration. It should be line in its plane meets in at most two points with the hexagons, where the opposite edges are parallel also noted that our old friend the cube, with its boundaries of a convex polygon.) and equal in lengths. These are affine properties, so defined combinatorial structure, can be manipulated we are dealing with the affine plane. (The term into four distinct forms in the projective space, into It is well known that of all regular polygons, only the “equal length” should not confuse the reader: it may many more (but finitely many) combinatorially dis- triangle, the square and the hexagon cover the sound like a metric assertion, but it is not. Equal tinct forms in the affine space. (When mentioning plane. Tessellations with identical regular polygons lengths on parallel lines retain their equal lengths in distinct forms in projective (affine) space, we disre- impose a severe limitation in their use due to their parallel projections .) gard cross-ratios (ratios), which are projective (af- rigid metric nature. Their benefits, regularity and fine) invariants and may be varied continuously.) symmetry, are dead issues in today’s architecture. Parallelograms and these special hexagons are Remember the decision is ours, whether lines be- We are rather attracted to a less severe limitation called parallelogons. As we mentioned in the intro- come parallel or remain concurrent. Finally, the and use coverings with polygons which are con- duction, our goal is to break away from the rigid “generalized” cube can appear in an infinite variety gruent to one another. Here the choice is practically confines of the “cubic architecture” with its limited of shapes in the metric space, changing various unlimited but the repetitions still allow an industriali- vocabulary of squares and rectangles and to provide lengths and angles. zed production, a form of production which has a greater degree of freedom in conception, short of become a key word in our profession. encouraging architects to become sculptors. Just Any triangle and or quadrilateral covers the plane adding to the voca bulary these special hexagons, we with its congruent copies. Nine classes of non make a few steps ahead but that is not enough regular pentagons and three classes of hexagons can be tessellated, provided they conform to some We relieve the severe restriction of congruency and metric or afflne properties. It is typical of these allow, let us say, up to three different convex coverings that the polygons are subjected to rigid polygons to cover the plane by parallel displace- motions in the plane: translations (parallel displace- ment. There is no conflict with the previously mentio- ment), rotations and reflections. (For example in the ned reasoning about industrialization. Let us return triangular grid one half of all triangles are oriented in to the housing project again. In the case of mass the same way, the other half are rotated 180 de- production, the penalty for a few different moulds for grees.) panels against one mould only is negligible. But the new freedom and flexibility gained by this allowance For good reasons we will now restrict our attention to is so vast, that the reader will certainly share our polygons, congruent copies of which cover the plane enthusiasm. only by translations, disallowing rotations and reflec- tions. Let us pass to 3-dimensional space for a A new term has to be defined. A zonagon is a convex second and say we are designing a housing project. polygon with an even number of edges, opposite If a unit is well conceived, nobody would like to edges being parallel and of equal length. Thus our exchange a prefered physical orientation (light, sun, previously introduced parallelogons are also zona- winds, etc.), even more, floors should not become gons, but zonagons can be octagons, decagons, 41 ceilings and vice versa. So rotations are out! What dodecagons and so on. What about covering the plane with zonagons? Another advantage of zonagons is related to fabrica- gions meet. If we join consecutive fundamental Polygons as we mentioned earlier do not cover the tion of components. In mass production lengths are vertices, we recover the already discussed four or plane if the number of edges is more than six. simple to change, the alteration of angles is rather six-sided convex parallelogons. However, we suspect that all zonagons can tessellate complicated, and usually interferes with tooling. the plane with a limited number of different types? In the case of Fig. C3 the (shaded) fundamental If Fig. C the tessellations shown are derived from the region is adjacent to six others. The six fundamental Plate 2 shows some supporting evidence. Vectors corresponding stars. Fig. Cl is a well known cove- vertices are labelled a, b, c, d, e and f. It should be are used to construct zonagons. We need n vectors ring. In Fig. C2 the hexagons are not regular but are noted that if we consider the region as a hexagon to define a 2n-sided zonagon according to the zonagons. This means that an infinite metric variety with some of its edges being polygonal paths, then definition. The vectors issued from a common point of hexagons have the same property as the regular opposite “edges” (straight or “broken”) are parallel are called the star of the zonagon. Flgures Al, A2 hexagon. and of equal length. (For instance bc and fe.) and A3 represent the stars and the corresponding zonagons for n = 2, 3 and 4. It should be noted that Fig. C3 represents the tessellation corresponding to This brings us to a simple method to construct an the hexagon is derived from the parallelogram by the 4 vector star. When the octagons and parallelo- arbitrary covering of the plane by concave polygons inserting vector No.3 (The dotted lines also reveal grams are regular, the covering is known as a semi- with parallel displacement. Choose a two- or three- these relations.) regular tessellation. But now we know something vector star and replace any vector by a polygonal very important. For any arbitrarily chosen four vec- path, so that its end points coincide with the end Some interesting and useful properties are shown in tors there exists a tessellation composed of non- points of the replaced vector. (In the language of Fig. B. Fig. Bl demonstrates that all zonagons are regular octagons and parallelograms. Again we are statics: replace the vector by any set of component centrally symmetrical, which easily follows from the in complete control of an infinite metric variety of vectors.) This new star defines uniquely the concave definition. Fig. B2 indicates that all zonagons can be tessellations, where the component polygons can be polygon and can be constructed just as we did in the decomposed (if n is bigger than 4, more than one easily manipulated to fulfil functional requirements. case of convex zonagons. In Fig. C3 the vectors 2 way) into parallelograms. Any two vectors define a Two distinct polygons participate in this covering. and 3 are replaced by the components X2, Y2 and parallelogram, an n-zonagon contains n(M) divided But we can look at it in another way. The shaded X3, Y3 respectively. by 2 parallelograms. region is the fusion of an octagon and a parallelo- gram. We will call this the fundamental region of the Fig. 83 indicates an obvious but most delightful tessellation. The fundamental region is the smallest property of zonagons. One or more vectors can fusion of the different polygons which covers the change their lengths without affecting any of the plane with its congruent replicas by parallel displa- angles or lengths of the unchanged vectors. The cement. We call such a shape a concave paraIlela- dotted-lined polygons are the derived zonagons. To gon. This definition coincides with that of a parallelo- appreciate this feature, compare this zonagon with a gon with two exceptions: the region is not convex triangle or a pentagon. The change in one or more and does not have a central symmetry. This might lengths in these polygons implies a complete revi- upset mathematicians who are attracted to convex sion of all or most lengths and angles. Thus zona- figures and symmetries, but concave parallelogons gons are offering two advantages. If a zonagon should please architects for their inherent versatility participates in a tessellation, it will continue to cover and adaptability in design. the plane after these length revisions. For rectan- gles, being zonagons, this property is well known. We conclude that 2 and 3 vector stars may give rise Our present architecture is a set of extended or to tessellations with convex or concave parallelo- contracted rectangles in horizontal and vertical pla- gons. For n bigger than 4 the parallelogons are nes. But the variants are only two vectors. The use of always concave. Examples on plates 6 and 7 reveal three or more vectors should support our claim that if n is bigger than 3, the same vector star may about the design flexibility of zonagons. Any arbi- result in several combinatorially different (hetero- trary convex polygon devised closely to follow any morphic) tessellations with concave fundamental particular requirement can be approximated with regions. For example, Fig. 20,3D, 4D on Plate 7 and any degree of accuracy by a zonagon with a suffi- 30 on Plate 6. cient number of vectors. Another observation: the concave fundamental re- gion is either adjacent to four other regions, defining four fundamental vertices where four regions meet, “Footnote: This has now been proven see the article or the region is bounded by six other regions, on “Mathematical Questions” in this issue. defining six fundamental vertices where three re- 42 Plate 3: Zonahedra projection is just as simple as for four vectors. The the conditions under which a given polyhedron can only complicated th ing about it is its n ame. be realised as a zonohedron of the same combinato- A convex polyhedron lies entirely in a half space rial structure? defined by any of its facial planes. A zonohedron is a For n G 5 there is only one combinatorial convex polyhedron bounded by zonagons. We pro- type of zonohedron, having only parallelogram fa- The number of vectors (or zones) determines the ceed to show their existence by using the vector ces, in each category. When n = 6, the number of number of faces of the zonohedron. The contour of stars. The vector star is again a set of vectors issued such heteromorphic zonohedra is four, for n = 7 an n-zonohedron is a 2n-zonagon if the direction of from a point. It can be shown that such a star their number is eleven. We did not yet investigate for the projection is not parallel with a zone (see Flg. determines uniquely a zonohedron, any edge being n bigger than 7. The existence of the combinatorial A3). This subdivides into n(n-1) divided by 2 faces parallel to one of the vectors. varieties for n bigger than 5 can be partly explained (see Fig. B2), and the total number of faces (the sum by the possibility of subdividing a zonagon into of “visible” and “invisible” nets) is In Fig. Al the star consists of three non-coplanar parallelograms several heteromorphic ways. vectors. The resulting zonohedron is the familiar F = n(n-1) parallelepiped. If the vectors are mutually orthogo- Faces which have edges parallel with any one fixed nal and equal in lengths, the result is the cube. vector form a zone, hence the name zonohed ron. Since all faces have four edges, but every edge contacts two edges, the number of edges is Fig. A2 is much more surprising. Here we have four The three properties presented in Fig. B are analo- vectors in the star, no three in the same plane. This gous to that of the zonagon in 2 dimensions (see E = 2n(n-1) star defines a twelve-faced zonohedron namely the Plate 2, Fig. B). If all faces of a convex polyhedron Finally the number of vertices is computed by the rhombidodecahedron. The construction of the axo- are centrally symmetric, so is the polyhedron itself. Euler-formula for simple polyhedron (V ,’ E + F = 2) nometric view is far less complicated than it may This means that vertices, edges and faces are in seem. Vectors 1, 2,3 and 4 define an octagon just as opposite pairs, opposite edges and faces being V = n(n-1) + 2. it did in the plane. This octagon is the contour of the parallel (see Flg. Bl). projection, in space a warped cycle. Divide this The equation F = n(n-1) is a necessary but not a zonagon into parallelograms (see Plate 2, Fig. 82). A zonohedron with only parallelogram faces defined sufficient condition. The zonohedron is centrally This results in the “visible net” of the projection. Now by n vectors can be subdivided into n(n-l)(n-2) symmetrical. This fact is apparent in the combinato- ’ divide the same zonagon into parallelograms in divided by 6 parallelepipeds. (Every set of three rial structure of the zonohedron described below. another manner, which is centrally symmetric to the vectors define one parallelepiped, hence the combi- previous one. (These two related divisions are al- nation of n elements into triples). In Flg. 82, the In Fig. Cl we choose two zones 1 and 3. Joining ways possible for any zonagons.) The new division is rhombidodecahedron is divided into four parallele- consecutive parallel edges in both zones we find two the “invisible net” of the zonohedron which is correc- pipeds, all having a common vertex in the point P. cycles, indicated by the heavy lines. These two tly separated from the visible net by the contour. This same polyhedron can be subdivided in another cycles have two common points M and N, which are (Obviously the visible and invisible nets can be way into four parallelepipeds, with edges issuing situated in the two opposite parallel faces abed and interchanged.) from the vertices a, I, g, and j. They meet in a new a’b’c’d’ (these two faces are bounded by vectors 1 vertex r (not shown on Fig. 82). Adding these lines and 3). Due to the central symmetry, the number of The rhombidodecahedron is well known to crystallo- would give us the complete projection of the 4- edges (and so the number of faces) crossed by a graphers because it fills space (see Plate 5, Fig. A3) dimensional cube (hyper-cube) in 3-space. cycle has to be equal on the half cycles separated by and it is well liked by mathematicians because it is the points M and N. If we draw all such cycles for all the partial projection of the 4-dimensional cube in 3- In a given zonohedron the change in length of one or zones (we did not, so as to keep the drawing dimension. (See Fig. 83) Why do architects not take more vectors leaves the facial and dihedral angles clearer), every face will be replaced by a point notice of it? It has every property of the cube and unaltered. In Fig. 83 all four vectors are independen- common to two cycles and every edge will be more. tly lengthened (without a fixed ratio). Regardless of crossed by one new edge. The resulting new graph the selection of the structural system to build this is called the combinatorial dual of the given graph. Building with cu bes, three vectors can be chosen. In palyhedral space (rods with nodes or panels), the the case of t he rhombidodecahedron the choice is hardware is little influenced when we change Now we can state the following: a convex polyhedron four. It is like one extra dimension added to our 3- lengths, but standardization is in jeopardy if the can be realised as a zonohedron of the same dimensional space! And the beauty of it is that angles are altered. combinatorial structure if in the dual graph n cycles regardless of the metrics of the chosen vectors, this meet in n(n-1) four valent vertices and every pair of polyhedron will always fill space. All that has been said about zonohedra above clearly cycles are centrally symmetric in a sense mentioned refers to affine properties, parallelism playing a key in the previous paragraphs. Flg. A3 shows a five vector star (no three in the same role. We shall show now that this affine polyhedron plane) and the corresponding twenty faced zonohe- has also a well defined combinatorial structure. To When discussing Figurer A we insisted that no three 43 dron called the rhombicosahedron. To construct its clarify this, we pose the following problem: what are vectors should lie in the same plane. For Flg. Al, this condition is essential. Three coplanar vectors gene- Plate 4: Parallelohedra cut into two centrally symmetric halves, the zones rate a plane hexagon, not a zonohedron. When n is with the correct number of faces are inserted (Flgu- bigger than 3, sets of three or more vectors situated By now the definition of parallelohedron can be res H and J) and both fusions result in a 5-zone in one or more planes result in zonagonal faces guessed. A parallelohedron is a convex polyhedron zonohedron, the elongated dodecahedron (Flg. K). other than parallelogram and thus give rise to more which fills space with its congruent replicas (packs, Two sets of three vectors are coplanar, hence the general sorts of zonohedra. If a star contains three juxtaposes, etc.), without voids and overlaps, by four hexagonal faces, see Fig. C2, Plate 3. Finally coplanar vectors, two opposite and parallel faces parallel displacements. Fig. K is halved, a zone is added and the new 6-zone zonohedron is the truncated octahedron. Here four become hexagons. Generally n coplanar vectors The complete answer was given by Federov, the sets of three vectors are coplanar, this leads to eight generate a pair of parallel 2n-gonal faces. In a star Russian crystallographer, at the end of the last hexagonal faces. not all vectors should lie in a single plane. An n-star century: Parallelohedra are zonohedra, and the only with (n-1) coplanar vectors represents an (n-1)gonal five possible combinatorial varieties are the follo- We knew Fedorov’s theorem so when we did conti- prism. Thus a general zonohedron is bounded by wing (see Plate 4). pairs of congruent and parallel zonagons. We are no nue this process, we did not expect to find a sixth or longer limited to parallelogram faces, a fact which seventh parallelohedron. We discovered, however, 1. parallelepiped (n = 3) will be much appreciated when moulding architectu- the infinite combinatorial variety of concave paralle- ral spaces. 2. hexagonal prism (n = 4) lohedra. We even made them livable in the projects 3. rhombidodecahedron (n = 4) discussed below in Part 2. In Fig. C2 vectors, 1, 2 and 4 are coplanar. Vertex x 4. elongated dodecahedron (n = 5) and its opposite vanished, and the three coplanar 5. truncated octahedron (n = 6) vectors define the two hexagonal faces abcdef and a’,b’c’d’e’f’. This polyhedron, called the elongated We have already met No. 1, 3 and 4 on Plate 3. A dodecahedron is also space filling, and we will hear metric variety of No. 2 and No. 5 are also known as about it soon (Plate 5, Fig. A4). In Fig. C3 vectors I,2 semi-regular polyhedra. and 4 lie in one plane, vectors 3, 4 and 5 in another We emphasize the expression “combinatorial va- plane. Another pair of vertices (y, y’) have been riety”. We are not stuck with five polyhedra with eliminated and two new hexagonal faces have been static metric properties such as fixed facial and added. dihedral angles and edge lengths, as in the case of All three properties mentioned in Fig. B are also the five regular polyhedra. All five of these being properties of zonohedra in general, with faces other zonohedra, the choice of the vector star is quite free, than parallelograms. The combinatorial description within certain parameters. is also valid if we keep count of the absorbed What we really have is five families of zonohedra, vertices, edges, faces and parallelepipeds. each family representing an infinite number of me- The general zonohedron is a good example to tric realizations. And the fact that they all fill space demonstrate how the four geometries influence its should indeed excite adventurous architects. existence. In Flg. Cl combinatorial properties were Plate 4 shows the five parallelohedra (they are dealt with, in Figures C2 and C3 projective condi- numbered accordingly to our list above) and their tions (coplanar vectors) were introduced, Figures A anatomy is revealed by a simple method of deriving and B were affine definitions. Finally, the metric four of them from the parallelepiped. realization will be presented in Project No.1, Part 2 of this article. Let us start with Fig. A. The parallelepiped can be split into two centrally symmetric halves in two different ways (Figures B and C). We insert a “new zone” (of cyclicly connected parallelograms) bet- ween the two halves (Flgures D and F) and then unite the three pieces. Flg. E is the hexagonal prism, a zonohedron with three of the four vectors of the star being in the same plane. Fig. G is the rhombidode- cahedron, the twelve faced zonohedron with four zones.

We continue the same process: Flaures E and G are 44 Plate 5: Juxtapositions of Plates 6,7r Zonagonal Tessellations occurs in Fig. Cl . Strips limited by the dotted lines are subjected to parallel displacement of equal Parallelohedra While discussing tessellations in the plane, we poin- distances. Between pairs of previously coincident Plate 5 shows juxtapositions with hexagonal prisms ted out our preference for allowing more than one vertices parallel edges are inserted (a new zone) and (Flg. A2), with rhombidodecahedra (Fig. A3), with type of convex polygon to cover the plane by parallel the completed new tessellation is drawn in Fig. 01. elongated dodecahedra (Fig. A4) and with truncated displacement. The fusion of the fewest convex This known covering is redrawn in Fig. A2 and octahedra (Fig. A5 ). polygons into a fundamental region led us to the subjected to the same process in Flgures 82, C2 and concept of the concave parallelogon. (See Fig. C3, 02. In Fig. A3 we take tessellation D2, but now we Figures 6 and C represent another aspect which Plate 2.) Added design versatility justified this prefe- arrive in Fig. D3 a new covering composed of shouid further encourage the architectural applica- rence. octagons, hexagons and squares. In Flg. D3 the tion of the parallelohedra. fundamental region is the shaded area, the larger Obviously the concept of concave parallelogon is dots are its fundamental vertices. Here we can point In Figures B and C we show a particular parallel extendible to the 3-dimensional space with the same out that the fundamental region is not uniquely projection of a layer of congruent parallelohedra. In benefits.While the number of convex heteromorphic determined by the tessellation. Figures 82, C2, C3, 84, C4 and CS the direction of parallelohedra is five, this number for concave the projection is parallel to a given vector b or c. parallelohedra is infinite. The splitting lines need not be straight lines. They Consequently the parallel edges to these vectors may be broken lines if they are in rhythmic parallel appear as points in the projection. In Figures 83 and A concave parallelohedron is often a fusion of pairs (a,b,a,b, or a,a,b,a,a,b etc.) and every segment B5 the directions b are parallel to the diagonals of convex zonohedra along congruent faces and it fills which is not an edge in the original tessellation goes parallelograms. The obtained projection of the pa- space by parallel displacement. through the center of symmetry of a region. An example is shown in Fig. 84. rallelohedral grids are subdivisions of either the Architectural applications of convex parallelohedra parallelogram or the hexagonal tessellations. (The are somehow limited: the use of congruent replicas On Plate 7 we start again with a square tessellation similar projections of the cubic grid are not shown, it of convex spaces (even with affine transformation) is well known how to arrive at both tessellations.) in Fig. Al and three new coverings are obtained in results in beehive architecture. (Actually bees live in Figures Dl, D2 and D3. Flg. 04 brings us back to To put this important feature of parallelohedra into half rhombidodecahedra, not in hexagonal prisms). Fig. 02 on Plate 6. Fundamental regions and verti- The introduction of the rhythmic repetition of several architecturally more useful terms, we rephrase our ces are indicated to help visualize the orderliness of statement. The same polyhedron oriented in diffe- heteromorphic types of polyhedral spaces made our the tessellation. system easily adaptable to many architectural pro- rent ways in our physical space, where verticals and horizontals are privileged directions, results in archi- blems. Since the choice of the location and the rhythm of tectural spaces of entirely different qualities. Flgures the splitting lines is unlimited, so is the number of B and C can also be considered as orthogonal Concave parallelohedra have not been examined by zonagonal tessellations. projections or plane views of different spatial grids mathematicians or crystallographers, to our kno- where the directions b and c are verticals. wledge. We do have now several methods to cons- truct them, but we have not yet found an orderly The flexibility in conception is unlimited. Not only organization of this infinite class. Hopefully we will can we conceive the combinatorial, projective, affine arrive at a conjecture similar to one mentioned in and the metric structure of polyhedra for a given relation to concave parallelogons (see Fig. C3, Plate spatial requirement, but we can also enrich our 2). The method presented in Plates 6 and 7 is the architectural spaces by freely selecting their physical one used in the design projects discussed below and orientations. We can mould spaces around functions it proved to be the easiest to follow visually. instead of squeezing functions into preconceived spaces. The reader should be tolerant with us for The programme to build concave parallelohedra becoming excited even while writing. begins with the construction of zonagonal tessella- tions, which are coverings of the plane with con- gruent convex or concave parallelogons. One exam- ple has been shown in Fig. C3, Plate 2, where we used the vector star method.

On Plates 6 and 7 the “splitting” method is used. We start on Plate 6 in Fig. Al with the square tessella- tion. (It could be also a parallelogram tessellation.) In 45 Fig. Bl the dotted lines indicate where the splitting Plate 8: Concave Parallelohedra truncated octahedra in Flg. BS,Plate 5. (Remember, Part 2. Applications we mentioned in connection with Fig. M,Plate 4, that The final stages of constructing concave parallelohe- further splitting is possible, another method to arrive dra are shown on Plate 8. at concave parallelohedra.) Plate 9: Project No.1 To understand the method, let us imagine that the In Fig. Hl the fundamental region of Flg. 01 is Project No.1 was the first experiment to demonstrate space is filled with congruent convex parallelohedra. shaded. Its contour is the projection of the new zone. the application of concave parallelohedra to housing The juxtaposition can be decomposed into parallel To simplify the wording, let us consider the plane of problems. Many usual aspects such as site condi- layers (see Plate 10, Flgure F). A parallel layer is a the paper horizontal and the direction of the projec- tions, technology, were left out of the programme. set of polyhedra where the common faces belong to tion vertical. Place a vertical edge at those vertices of Once we gained experience in the new process, a chosen zone. Project this layer onto a plane with a the contour, which were vertices of Fig. A (a,c,d, ProJect No.2 was on its way with a much wider direction parallel to the edges (or vector) of the etc.). No vertical edge is present at the new vertices scope. chosen zone. The result is a zonagonal tessellation. b, e, f and g. They are the projections of two distinct Now choose a second, adjacent parallel layer with vertices of the polyhedron. Thus for example the Plate 9 illustrates step by step how a container the same chosen zone and project it to the same segment abc is the projection of a hexagon situated shape for a given content. plane with the same direction. The new zonagonal in a vertical plane, the segment cd is the projection Fig. A is a car Idboard model of a housing unit without tessellation is congruent to the first one by parallel of a parallelogram lying in a vertical plane. the house. H orizontal platforms, circulation paths, displacement. The two tessellations together will be stairs, fixtures, some furnishings are pasted together considered as a compound tessellation, which is Now we are ready to pop this plane figure into space. In Fig. Jl it can be seen that a prismatic band of ten without a coordinate system. The only considera- evidently a zonagonal tessellation itself because tions given are to optimized functions and human zonagonal faces project into zonagons. We extend faces with zig-zag boundaries is bounded top and bottom by a centrally symmetrical pair of “caps” comfort. Space is generated by these forces, not by this method to construct concave parallelohedra. All a subdivision of the cubic grid. we have to do is to reverse the process. First we composed of four hexagonal and two parallelogram draw a compound tessellation with a concave funda- faces. In Fig. Kl the three pieces are united. The A topological, spatial organigram was built before mental region and then we find its associated con- result is a concave parallelohedron, its congruent this model (not shown here). The transition between cave parallelohedron. replicas fill space with parallel displacement. It can the two phases is somewhat intuitive. We will also be viewed as a fusion of an edge-truncated cube point out in the following phases where intuition One obvious rule has to be observed when prepa- with a cube. Fig. Kl has seven zones as shown by played a role. We believe in a delicate balance ring a compound tessellation. All new common the seven vectors. The edge-truncated cube is a between intuition and a strict methodology, neither regions of the two displaced zonagonal tessellations general zonohedron. Six sets of three vectors are of which should dominate. have to be zonagons themselves. The displacement coplanar. Respecting these projective conditions, of tessellations of Flg. A is incorrect in Figures B and these vectors can be freely chosen and all metric Next we want to construct a polyhedral surface to C because the faces abed in Flg. 3 and abc in Fig. C varieties are space fillers. The adjacent cube is a envelop this function-model. Plane faces should are not zonagons. (They both depict juxtapositions, byproduct, it is formed by three of these seven follow closely the content with due respect for but the participating convex polyhedra are not all vectors. physical and psychological comfort. It would be zonohedra.) quite simple to choose six rectangular faces inter- If more than one fundamental region belongs to a secting in a rectangular prism, but then we would Figures 1, 2, 3 and 4 illustrate how a given tessella- tessellation, as we have mentioned in the description have nothing to write about. Here we do not have any tion A can lead to four heteromorphic concave of Fig. D3, Plate 6, the number of associated preconceived ideas about the number of faces, parallelohedra by varying the displacement vector. heteromorphic concave parallelohedra will further edges, vertices, lengths and angles. All we want is a (The number of heteromorphic types for a given increase. simply connected polyhedral surface with plane tessellation is finite. Have the four cases exhausted If the reader takes the time to go through Flgures 2,3 faces. the possibilities for tessellation A?) We emphasize again, at the risk of being repetitious, that a new and 4, this seemingly awkward procedure becomes This problem is solved in the projective space, degree of conceptual freedom has just been introdu- a simple routine. where all polyhedra can be derived from the tetrahe- ced. dron by successive plane truncations. (Think of an arbitrary polyhedron, convex or concave. The four The compound tessellation in Flg. Dl we met before planes of some of its four faces intersect in a tetra- in Fig. BS,Plate 5. The only difference now is that hedron, all other faces lie in thetruncating planes). here we have a new zone (zone 7): at every vertex of the two original tessellations an added edge is Guided by this assertion, we installed the function- projected into a point. All these new edges are model in a larger skeletal tetrahedron, shown in Flg. parallel, representing a new zone added to the B. 46 In Fig. C the first three planes meet the tetrahedron Plate 10 Plate 11 l in triangles (like a, b, c), in Flg. D two further planes We want to approximate our concave polyhedron are installed, their intersections with all other planes with a concave parallelohedron. We could use either On Plate 10, we obtained an axonometric view (an are constructed. the “vector star” method or the “splitting” of zonago- affine projection) of the Z1Z2Z3parallelohedron. This nal tessellations. eventually has to be realized in the metric space as a We found that the fastest way to do this was to good approximation of the concave polyhedron of stretch strings between the edges of the tetrahedron. This second method is presented on Plate 10. The Fig. F, Plate 9. To do so we begin to analyse Z1, Z2 Here it is sufficient to remember that three planes square tessellation in Fig. A is split three times and Z3 on Plate 11. meet in a point unless they have a common line. through phases B and C into the zonagonal tessella- Cutting with more planes, the polyhedron is further tion in Fig. D. Fig. E shows the compound tessella- Fig. A shows Z1, a convex zonohedron. It has 18 refined. We stopped at a stage shown in Fig. E, tion, d and d’ indicate the two sheets. parallelogram faces, 4 hexagonal faces. The hexa- where the approximation was already sufficiently gonal faces are generated by two sets of three close. Fig. F should help to visualize how the compound coplanar vectors. Each hexagon absorbs three co- tessellation gives rise to the concave parallelohe- planar parallelograms. Thus the number of combi- Th e string model defines a concave polyhedron and dron of Fig. G. Corresponding edges in the four natorial faces F is equal to 30 and the number of its metric reproduction is shown in Fig. F. parallel planes d, d’, d’, d are joined into faces. zones n can be computed from the equation F = n(n- 1). The six zones of course can be traced also on the This polyhedron does not have a name and it does The resulting concave parallelohedron is composed drawing in Fig. A. Following the labelling, the vectors not really deserve one. We wanted a close envelope of three distinct convex zonohedra Z1, Z2 and Z3 1, 2 and 6 as well as the vectors 3, 4 and 5 are for our housing unit, but we also wanted these units indicated in Fig. G. Z2 and Z3 are the well known coplanar. In Flgures B and C the two hexagonal to be repetitive in a given density. This implies a hexagonal prisms. Z1 is also a zonohedron but has prisms are presented with their corresponding vec- polyhedron which can fill space and this awkward not got a name, as it did not exist before. It is tor stars (1,2,3,6 and 1,3,4,5). monster does not do that. It has to be transformed however certain that the concave polyhedron Z1Z2Z3 into a juxtaposable polyhedron (one juxtaposable by fills space with parallel displacement. parallel displacement to retain a prefered physical orientation). To do this we will apply the procedures The following three questions may arise now. After of the previous chapter. arriving at the concave container in Fig. F, Plate 8, why did we choose the tessellation D on Plate 10; why did we select the particular displacement in Flg. E, and finally how will we relate the concave paralle- The architectural features of parallelohedra as pre- lohedron Z1Z2Z3in Flg. 0, Plate 10 to the concave sented on Plate 5 are also features of concave polyhedron in Flg. F, Plate 9? The answer to the first parallelohedra. To arrive by orthogonal projection at two questions is as follows. This being the first the compound tessellation in Flg. 03, vector 2 has to project, we did not know yet how to handle the newly be vertical. In Flg. El vector 6 is vertical, leading to acquired freedom. The transition from the concave an architecturally distinct space (Fig. 02) and a polyhedron to the concave parallelohedron has been different tessellation in Fig. 03. (The reader may intuitive! We sensed that any concave parallelohe- complete Fig. D2 by adding the two hexagonal dron with a reasonable number of zones (vectors) prisms.) What this really means is that when we want can be moulded into a satisfying solution. The to mould the polyhedron Z1Z2Z3to envelop a given reasonable number of zones, as experience proved content, we have the choice of a six vector star and it to be, is five, six or seven. If we use fewer zones, its position in a coordinate system, with the condition the flexibility is lost, three zones would put us back that J, 2 and 6 are coplanar. into cubes. More zones would result in too many smaller faces and too many shorter edges in a housing unit of usual scale. That would be unecono- mical and impractical from the point of view of fabrication and erection. The selections in Flgures D and E are guided by these considerations. We are convinced that with more experience and more refined programmes we will find methods to intro- duce more criteria to make this process less ambi- guous. The answer to the third question about the 47 transformation is detailed on the following pages. new degree of freedom. To avoid however an incon- Plate 12. Plate 14. sistent geometry, which means chaos in production, The metric realization of Z1Z2Z3is presented on Plate To mould spaces which are more sophisticated than the modified cells should use only those types of cubic spaces, one should get acquainted with their faces which are present in the congruent, unaltered 14 . Z3 is not shown on the drawing, it is congruent with Z2. anatomy. An alternate method presented on this cells. Put it in other terms, the introduction of a new page for generating the polyhedron will hopefully vector is forbidden. Starting with the information compiled on Plates 10 serve this purpose. to 13 we needed more models, drawings, time and We explained above how the cubic juxtaposition patience to arrive at this last phase. The combinato- On Plate 12 an application of a previously used grew into the Z1 juxtaposition through motions. If we rial structure of the concave polyhedron (Fig. F, method is presented (Plate 4). A series of simple take a finite grid, we can now decide to insert zones Plate 9) had to be revised. Parallel planes and steps transform a cube into Z1. at some chosen layers instead of at every layer, and vectors were introduced. Vectors were manipulated even stretch or shrink some zones locally. The and zones were stretched. Angles and lengths were Fig. Al shows a parallelepiped which is cut along a variety of different units will increase at will, without chosen with attention to both content and container. broken cycle and a new zone is inserted between the sacrificing the standardization of faces, i.e. the two centrally symmetrical halves. When correspon- eventual panels. Fig. A is an axonometric view of Z1 and Z2 in its final ding edges are reunited in Fig. A3, the rhombidode- position, Fig. B presents the orthogonal projections cahedron appears. The principle of these operations can be demonstra- of the same. The concave parallelohedron has seven ted on any zonagonal tessellation and it is left to the metrically different faces. Their true forms are cons- In Fig. Bl the same is halved along the cycle reader to do so. tructed in Fig. B. indicated by the heavy lines. Note, that not all edges of the cycle are edges of the zonohedron. The new An aspect of the forms not mentioned previously was zone is inserted in Fig. 82 and the result is an also considered while selecting the dihedral angles. anonymous five-zone zonohedron in Fig. B3. Horizontal faces d and sloping faces b are to be used for inside and outside circulation. The angle of face b This process is once more repeated in Figures C and the outcome is Z1 in Fig. C3. to the horizontal is 30 degrees.

To find the convenient cuts may seem mystic; we In this final position no vector is vertical, but the hexagonal faces are in vertical planes. The resulting actually found them in reverse order. Starting with Z1 any zone-eliminating process will lead back to the grid is a rectangular tessellation in the horizontal projection. (See plan view of Z1 upper right corner of parallelepiped more than one way. Plate 14). Let us imagine starting the same process not with a In the juxtaposition the congruent replica is Z1Z2Z3, single parallelepiped but with its juxtaposition of Plate 13. but nothing can prevent us from using other combi- infinite congruent replicas. All parallelepipeds are nations of the components to arrive at different cut in the same fashion, and new zones are inserted We mentioned previously that all zonohedra with modules. From amongst the cells in the juxtaposition everywhere. This step explains why the rhombidode- parallelogram faces are subdividable into n choose 3 with fundamental region Z1Z2Z3, we may choose cahedron fills space. The next step in Figures B also parallelepipeds. (Fig. 82, Plate 3.) On Plate 13 this clusters other than the fundamental region to be have to land us in a juxtaposition. The five-zone subdivision is constructed for Z1. We include this basic living unit, or apartment. We choose many anonymous zonohedron in Fig. C2 leaves voids in its “anatomical” drawing here for the better understan- non-overlapping copies of the basic living unit, spatial grid but the voids are congruent parallelepi- ding of the interior space. copies which contact one another nicely. These units peds. Their fusion is a new concave parallelohedron. need not themselves be concave parallelohedra, but The last step ending in Z1 fills space if it is helped by The six-zone Z1 subdivides into 18 parallelepipeds(6 may leave void certain cells of the original juxtaposi- two hexagonal prisms, that is how it occurred on choose 3, minus 2, since two sets of three coplanar tion Z1Z2Z3 . Plate 10. This method suggests a possibility which vectors eliminate two parallelepipeds). Hexagonal we hope to exploit in a future project. faces unite three of them into hexagonal prisms, so The comparative photos of model D and C show the Fig. B actually shows 4 hexagonal prism cells and 6 actual solution. The model is the fusion of two Z1, one To create housing with a certain density is a space parallelepiped cells. All faces of these components Z2 and one Z3. This unit is a partial space filler, it filling problem, but of rather finite nature. The are congruent and parallel to corresponding faces of leaves Z2Z3 voids in space. But since all units are number of boundary cells is much higher than the Z1. Omitting some of the components in boundary boundary units these voids become landscaped “inside” cells which are almost entirely surrounded. cells gives us a further possibility to modify Z in “outside spaces”, well integrated with the polyhedral Those boundary or outside cells with many exposed agreement with our previous arguments (Plate 12). grid. Many other combinations of Z1, Z2 and Z3 are faces do not have to follow the criterion of con- possible to create different modules, but time did not gruence. They can be modified; this introduces a Figures C and D present two modified versions of Z1. allow us to exploit them in this project. 48 Plate 15. Plate 17: Project No. 2. Plate la. The original content had to be slightly revised to fit Once the circulation-model was established, we the new container Z1Z2Z3Z1as shown in Fig. A. By examined Z1Z2Z3from Project No. 1 in view of the now we had some experience in manipulating non- new constraints. All we had to do with the previous cubic spaces. We began to realize that the rectangu- parallelohedron was to add a new vertical zone, lar dihedral and the trirectangular trihedral spaces change its position in space and revise the metric along floors, walls and ceilings in cubic rooms are unused and wasted. These edges and vertices are properties. truncated in the new geometry. We modify conven- On Plate 18 we go from Fig. A to the zonagonal tional furniture to fit these peripheral conditions. The tessellation in Fig. C as we did in Project No. 1. One high visual quality of the new inside spaces is further splitting and an added zone result in a new surprising, because we did not tamper with aesthe- The programme of Project No.2 is less abstract than zonagonal tessellation in Flg. Di tics in the programme. that of Project No. 1, but both should be considered as research projects rather than practical design In Fig. F the four staggered tessellated planes Photos B, C, D and E are included to indicate the exercises. The principle objective in both cases is to the concave parallohedron in space. vertical growth of the module. create a new morphology for housing units based on certain limited and simplified criteria. In Project No. The convex zonohedral components are analysed in 1 we focused on the content. The theme of Project Fig. G. Z1 is a 7-zone zonohedron with 4 octagonal No. 2 is the circulation. (See Plate 17) and 18 parallelogram faces. Two sets of four vectors are coplanar, No.2 is the vertical vector. Z2 and Z3 We obviously did something here that we promised are octagonal prisms, defined respectively by the not to do in the introduction. We shaped the content vectors 1, 2, 3, 4, 6 and 2, 4, 5, 6, 7. Z4 is a to fit a preconceived container. We apologize for this parallelepiped formed by the vectors 2, 4, and 6. inconsistency but did not dare, in this second exercise, to tackle simultaneously both the function and the circulation models. We hope to do so in our next project.

A two acre site was selected in Montreal, near the St.Joseph Oratory on tje side of the mountain. The Plate 16. terrain is strongly undulated ( Fig. 1) and should be Project No. 1 was a very theoretical exercise. First kept so. The sections on Fig. 2 indicate slopes up to the module was conceived, then juxtaposed in a low 30 degrees. To build a horizontal platform with fills density grid and finally a site was constructed to and cuts would be a crime. support the complex. (See Photos A and B, Plate Plate 19. Fig. 3 shows how we subdivided the property for 16.) three zones of different density to accommodate a Fig. A on Plate 19 represents the metric realization Once this was all done, this strange sequence did total of 85 housing units: studios, I,2 and 3 bedroom of Z1 and Z4 and the true forms of the six different not seem absurd at all. Due to the presence of many types. In the gently sloping zone A, 9 units, in zone B, types of faces are constructed. Z2 and Z3 are not faces sloping at different angles, any site with a given 30 units and in the steeply inclined zone C, 46 units shown here because they are built by faces a,g and topography can be closely followed with our modu- are installed. a,d respectively. les. They can undulate in harmony with the lands- Fig. 4 shows the desired circulation paths for zone C: cape, making bulldozers obsolete. Fig. B is an axonometric view of the juxta position horizontal in the north-south direction, graduated in with the sup ierimposed circulation model. When the site was completed, a North arrow was the east-west direction and vertical to accommodate attached’ to it and then we painted the windows on conventional elevators. The graduated path east- We noticed that Z1Z2Z3Z4could almost be built with the modules, choosing the best orientation. With so west (Flg. 5) has to incline both ways to provide regular faces. The cardboard model in Flg. C is many faces to select from, it is easy to do so. access to all units as indicated in Flg. 6. made out of squares, regular octagons and paralle- lograms. This simple model helped us make rapid It is worth mentioning that in the model, the unit is All paths represent inside and outside circulation, progress in the early stages of design. Figures D and fabricated out of wood with jigs and an electric because we wanted two accesses to all units (See E are photos of the wooden components, which 49 sander. It is faster to make than to describe. Fig. 7). serve to build the final models. Plate 20. Structural systems usually imply a metrically- and to a lesser degree forces acting not in their defined geometry, a given modular grid, standardi- planes. Their thicknesses may vary for structural On Plate 20 the photos show the interior arrange- zed components, special joints and a catalogue. This reasons without interfering with the geometry or the ment and the access layout of a typical 3-bedroom catalogue instructs us how and what to build. joints. unit, all furnished and ready for occupancy. Our proposal to build polyhedral cells with articula- We may say that the system is simple to build but Here it should be mentioned that despite the fact that ted spatial panel structures is quite different and we complicated to design, the contrary to every-day we did not use a function-model when vectors and can give here only a brief description. The system is practice. zones, lengths and angles were selected, we did give for unlimited use, freed from the confines of precon- consideration to furnishing and equipment. So, once ceived geometric systems. The concept is of such Plate 21 shows photos of the articulated system. The the envelope was established we had no difficulty to generality that neither grid, nor standardized com- panels are 2mm thick polystyrene plates, the hinges arrange the interiors. Particular attention was paid to ponents and joints, nor catalogue are forced upon are PVC extrusions, fabricated for these purposes. the kitchen and bathroom, and, with only slight the designer. modifications, standard equipment was used. The surface of Z1 is evidently less than the surface of There is nothing new about the elements of the a cube with the same volume. This is true for any Most of the furnishing are built-in fixtures. We admit concept: panels are used every day in construction, compact polyhedron with more than six faces. Here that the layout is not flexible at all. But we also hinges are used on doors and Archimedes, Plato however we have too many, too small panels. This is maintain that pushing around sofas, beds, chairs and Kepler knew already a lot about polyhedra. But impractical from the point of view of fabrication and etc. in cubic rooms does not mean flexibility either. when we combined them carefully into structures we erection. The number of pieces can be reduced by Built-in furniture leads to a more efficient use of were surprised at how simple and rigid they were. combining several faces into one component during space and should be included in the industrialized fabrication. process to reduce the total building costs. Individual In space-frames many edges meet in a vertex. This style and taste can still be added on with wall vertex has to grow into a node but it is still crowded coverings, curtains, carpets, upholstering, etc. with members and stresses. In articulated spatial panel structures, panels meet in edges, but never The total volume of our model is less than that of a more than four. The joints are along the edge and conventional 3-bedroom unit with the same area. It is there is plenty of length to transfer stresses via more spatious however, because unused spaces are simple fastenings. If we calibrate a single unit length Plate 22. truncated and added where they can be enjoyed. of hinge for a certain capacity, it becomes truly universal. Then for a certain load we shall use a Plate 22 shows a wooden mod el of the housing certain number of identical joints, while the angles complex i n the familiar Montreal winter Ian idscape. between panels do not matter. When the structure is completed the envelope is almost finished, only the In conclusion, a few more comments. We are aware gaps between the panels have to be plugged. that we massacred the proper architectural practice Plate 21. by reducing it to geometric exercise. We only used We have concentrated to date on only one funda- two models - circulation and functions - and these mental aspect of articulated spatial panel structures: were dealt with separately. We disregarded many The reader will have to this point found in these their rigidity. For instance a three-panel set articula- other important models. Not so in our next projects, pages no reference to structural systems, techno- ted in three edges is obviously rigid. A p panel set (p for this was only a beginning. logy and economy. We have two reasons for mentio- bigger than 3) articulated in p edges, is not rigid if all ning these matters only now. the planes have a common point (finite or infinite). We believe that geometry should again become one Six panels can be cyclicly linked with six articulated of the many skills of the architect. We tried to show First, we believe that any well conceived modular, edges but they form a rigid structure only if certain that polyhedra are not frozen forms, they are rather orderly, geometrical spatial grid can be translated simple projective conditions are avoided. We found malleable, capable of motions and growth like living into an economical structural system using current all these cond!tions and we can now assemble any organisms. Once our hands, eyes and minds are not technology. polyhedral grid with consecutive cycles of six panels. tied to cubic geometry, tooling and hardware, we This means that the surface need not be a closed should be ready to give other polyhedra an equal Secondly, we did not want to repeat our recently one. We can have openings and not all panels. need chance in architecture. published article (see bibliography) on a new struc- be joined by structural hardware. tural concept, the “Articulated Spatial Panel Structu- In outer-space research today much money is spent res”(Baracs 1975). This proposal is the result of The structural analysis is not a simple routine either, for little information to benefit very few. Our kind of three years of research in another branch of “Struc- but with competence and computer, the problem “space” research with little money may bring in more tural Topology”. can be handled. Panels are subjected to axial forces information to benefit many. 50 Bibliography

The code in the first block of each bibliographic item COnSiStS Of The middle letter(s) indicates whether the piece was intended The key words or other annotations in the third column are three parts, separated by dashes. The first letter indicates primarily for an audience of intended to show the relevance of the work to research in whether the item is a structural topology, and do not necessarily reflect its overall WI athematicians, contents, or the intent of the author. B ook A rchitects, or A rticle E ngineers. P reprint, or C ourse notes. The final letter(s) indicates if the piece touches on one or more of the principal themes of structural topology:

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This article combines reports on two projects under- taken in 1974-1975 with the supervision of Janos Baracs by three third year students of the Ecole d’architecture, Universite de Montreal: B. Leopold, T. Luong Thien and J. Maurice. They were graduated in 1976. Architectural tutors were M. Safdie, L. Pretty and J. Auger. The text was written by J. Baracs, the chapter on theoretical background being an excerpt from his course “Structural Topology”. The concept, drawings and photos were the work of the three students. The projects were partially subsidized by the “Comite d’attribution de fonds de recherche (CAFIR)“, Universite de Montreal. 52