Relatividade Bem Comportada: Buracos Negros Regulares Well-Behaved Relativity: Regular Black Holes

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Revista Brasileira de Ensino de F´ısica, vol. 39, nº 3, e3303 (2017) Artigos Gerais www.scielo.br/rbef cb DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0288 Licenc¸aCreative Commons

Relatividade bem comportada: buracos negros regulares Well-behaved relativity: regular black holes

Juliano Neves∗1

1Instituto de MatemáticaEstat´ıstica e Computa¸cãoCient´ıfica,Universidade Estadual de Campinas, Campinas, SP, Brasil.

Recebido em 02 de Dezembro, 2016. Revisado em 17 de Janeiro, 2017. Aceito em 20 de Janeiro, 2017.

A recente observa¸cãodas ondas gravitacionais corrobora uma das mais interessantes previsões da relatividade geral: os buracos negros. Pois as ondas gravitacionais detectadas pela colabora¸cãoLIGO ajustam-se muito bem dentro da teoria da relatividade geral como um fenômenoproduzido pela colisão de dois buracos negros. Sendo assim, a realidade f´ısicados buracos negros parece ainda mais inegável hoje. Embora, uma mais contundente prova sobre a existênciade buracos negros seria dada pela observa¸cãodo seu horizonte de eventos, aquilo que o define. Neste artigo, éindicado que somente o horizonte de eventos define um buraco negro. Em sua defini¸cão,nãohámen¸cãoàsingularidade em seu interior. Mostrar-se-á, assim, que buracos negros sem singularidade sãoposs´ıveis. Tais sãohoje chamados de buracos negros regulares. Palavras-chave: Buracos Negros; Ondas Gravitacionais; Relatividade Geral; Singularidade

The recent observation of gravitational waves confirms one of the most interesting predictions in general relativity: the black holes. Because the gravitational waves detected by LIGO fit very well within general relativity as a phenomenon produced by two colliding black holes. Then the reality of black holes seems almost undoubted today. However, a stronger proof on the reality of black holes would be indicated by the observation of the event horizon, which is what defines it. In this article, it is indicated that only the event horizon defines a black hole. There is no mention to the singularity in its definition. Thus, it will be shown that black holes without a singularity are possible. Such black holes are called regular black holes. Keywords: Black holes, Gravitational Waves, General Relativity, Singularity.

1. Introdu¸cão gravitacionais. Se a astronomia, astrof´ısicae cosmologia dependeram da radia¸cãoeletromagnética A colabora¸cãoLIGO (Laser Interferometer Gravita- para se desenvolverem atéaqui, com as ondas gra- tional-Wave Observatory) anunciou o mais impac- vitacionais um novo tipo de radia¸cão— a radia¸cão tante resultado em f´ısicano ano de 2016: a deteçcão gravitacional — entra em cena, apresentando-nos o das ondas gravitacionais [1]. Sendo uma previsãoda mundo a partir de um novo olhar ou perspectiva. 1 relatividade geral, feita logo apósAlbert Einstein Com os resultados da colabora¸cãoLIGO sobre publicar sua teoria, tivemos que aguardar cerca de as ondas gravitacionais, outro resultado no mesmo um séculopara recebermos essa tãoesperada con- experimento, tãoimportante quanto, surge: a de- firma¸cão.E tal confirma¸cãoabre as portas para uma teçcãode buracos negros. Conforme relatado pela provável nova áreana ciência,a f´ısicadas ondas colabora¸cão,a deteçcãodas primeiras ondas gravitacionais foi poss´ıvel pois foram geradas pela colisão ∗Endere¸code correspondência:[email protected]. 1O artigo original, escrito por Einstein em alemão,onde surge de dois buracos negros. E buracos negros sãouma o conceito de ondas gravitacionais na teoria da relatividade previsãoda teoria da relatividade geral tãoantiga geral, éa ref. [2]. Veja também[3], onde comentáriossobre a quanto as ondas gravitacionais. O primeiro deles foi recente deteçcãodas ondas gravitacionais sãofeitos na Revista proposto ainda em 1916. Foi o f´ısicoalemãoKarl Brasileira de Ensino de F´ısica.

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Schwarzschild [4] quem o propôs,num famoso artigo assumem um valor “infinito”, ou seja, tendem ao infi- àacademia prussiana de ciências,onde as equa¸cões nito. Em Reissner-Nordström,por ter carga elétrica, do campo gravitacional (entãorecentemente pro- pode-se descrever o conteúdode matéria/energia postas por Einstein na relatividade geral) de uma dessa solu¸cão(conteúdodado por um campo eletro- massa pontual no vácuoforam resolvidas. A solu¸cão magnético que permeia o espa¸co-tempo) com o uso hoje éconhecida como solu¸cãode Schwarzschild, de um tensor, o chamado tensor energia-momento. em homenagem ao seu autor. Tal solu¸cãopôdeser E algumas componentes desse tensor, quando r = 0, interpretada (e foi depois) como descrevendo um divergem. Isto é,dependem da coordenada radial objeto astrof´ısico compacto, cujo campo gravitacio- na forma ∼ 1/r2. nal gerado por sua massa impede que mesmo a sua Foi somente na década de sessenta do séculopas- luz emitida escape para o exterior: nasce entãoo sado quando uma poss´ıvel solu¸cãocome¸coua surgir conceito de buraco negro, termo popularizado por para o problema das singularidades no contexto da John Wheeler nos anos de 1950.2 teoria relatividade geral.4 O russo Andrei Sakharov, A solu¸cãoou métrica3 de Schwarzschild tem massa, num trabalho sobre a forma¸cãode estruturas num simetria esférica e nãopossui carga elétrica. E´ também universo jovem [9], obteve um resultado interessante: uma boa aproxima¸cãopara descrever objetos as- conforme a matériase aglomera, devido àgravita¸cão, trof´ısicossem ou com pouca rota¸cãosobre o seu a densidade de energia nãodiverge no interior desse próprioeixo, como o nosso Sol. Objetos imersos aglomerado de matéria,que pode ser uma galáxia num espa¸co-tempo vazio, sem conteúdo de matéria. em forma¸cão.Como veremos na se¸cãoIII, a não Uma similar solu¸cão,mas com carga elétrica,foi divergênciaou nãoocorrênciade uma singularidade proposta, independentemente, por Hans Reissner [6] somente ésatisfeita caso o espa¸co-tempo, no interior e Gunnar Nordström[7] pouco tempo depois. Esta desse aglomerado, seja um espa¸co-tempo conhecido éconhecida como métricade Reissner-Nordström como de Sitter, em homenagem ao seu criador, o ou buraco negro de Reissner-Nordström.E, assim holandêsWillem de Sitter. Pouco tempo apóso re- como o buraco negro de Schwarzschild, nãotem um sultado de Sakharov, o inglêsJames Bardeen [10] movimento de rota¸cão,apresentando, então,a sime- utiliza-o e constróia primeira métricade buraco tria esférica.Somente em 1963 Roy Kerr [8] propôs negro sem singularidade. A solu¸cãoou métricade uma métricacom rota¸cãoou, de forma equivalente, Bardeen tem simetria esférica,nãopossui carga com simetria axial — nascia entãoo primeiro buraco e difere da solu¸cãode Schwarzschild por possuir negro com rota¸cãono vácuo,a primeira solu¸cãodas uma massa que nãoéuma constante m mas uma equa¸cõesde Einstein com tal caracter´ıstica. fun¸cão m(r), que depende da coordenada radial. Seja no buraco negro de Schwarzschild, ou no de Sendo assim, a massa, que na solu¸cãode Schwarzs- Reissner-Nordström,ou no de Kerr, temos um pro- child épontual e localizada no centro do buraco, blema “aparentemente” sem solu¸cão.E um problema em Bardeen espalha-se por todo espa¸co-tempo. Mas nada pequeno. As solu¸cõescitadas apresentam uma a fun¸cão m(r) nãopode ser uma qualquer. Deve limita¸cãoàteoria de Einstein ou, pelo menos, suas necessariamente fazer com que a métricade Bar- própriaslimita¸cões.Tais buracos negros apresentam deen seja, no seu núcleo,um espa¸co-tempo do tipo aquilo que ficou conhecido como uma singularidade. de Sitter. Com essa exigência,o espa¸co-tempo no Nesse contexto, uma singularidade significa uma interior do buraco negro éregularizado, sendo então falha, uma “fissura” nas equa¸cõese solu¸cõesda re- chamado de buraco negro regular. Isto é,um ob- latividade geral. No interior desses buracos negros, jeto compacto, com um horizonte de eventos e sem a singularidade significa o nãofuncionamento das uma singularidade. O buraco negro de Bardeen foi solu¸cões.Por exemplo, no centro do buraco negro de o primeiro exemplo de um buraco negro sem uma Schwarzschild, quando a coordenada radial é r = 0, a métricaou solu¸cãoque o descreve diverge, e quanti- dades f´ısicase matemáticastornam-se incalculáveis, 4Digo no contexto da relatividade geral porque háuma sus- peita de que uma teoria quântica da gravidade, uma teoria do 2Cf. o artigo [5] sobre os 100 anos da solu¸cãode Schwarzschild campo gravitacional quantizado, poderia resolver o problema publicado recentemente na Revista Brasileira de Ensino de das singularidades em gravita¸cão.Mas uma teoria completa, F´ısica. confiável e bem aceita pelos f´ısicosem geral ainda nãofoi apre- 3Solu¸cão ou métrica, dentro da relatividade geral, são sentada. Mas, como veremos, mesmo no contexto einsteiniano, sinônimos. o da relatividade geral, époss´ıvel resolver tal problema.

Revista Brasileira de Ensino de F´ısica,vol. 39, nº 3, e3303, 2017 DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0288 Neves e3303-3 singularidade.5 E, como veremos, háoutros tantos. do tipo espa¸coe do tipo luz. E quando somente a Porque matematicamente a defini¸cãode um buraco intera¸cãogravitacional élevada em conta, tais tra- negro nãoenvolve a no¸cãode singularidade. jetóriassãochamadas de geodésicas. Um corpo que Neste artigo, apresenta-se uma defini¸cãomatemá- viaja a uma velocidade abaixo da velocidade da luz tica de buraco negro na seçcãoII, com um olhar (sendo esse corpo atémesmo um observador) tem para as singularidades ou para a sua ausênciaem tal trajetóriado tipo tempo. Aquele que viaja mais defini¸cão.Em seguida, a se¸cãoIII trata da métrica rápidodo que a luz tem a trajetóriado tipo espa¸co. de Bardeen e outras solu¸cõesde buracos negros Por fim, a luz percorre uma trajetória do tipo luz, regulares. Os comentáriosfinais sãoapresentados tambémchamada de trajetóriado tipo nula. No que na se¸cãoIV. Adotaremos, ao longo deste trabalho, se refere ao elemento de linha, i.e., àdistânciainfini- as unidades geométricas: G = c = 1, sendo G a tesimal entre dois eventos num desses trêstipos de constante gravitacional universal, e c éa velocidade curvas, para uma trajetóriado tipo tempo ds2 < 0, da luz no vácuo. para uma do tipo espa¸co ds2 > 0, e para uma tra- jetóriado tipo luz ds2 = 0 em nossa conven¸cão.7 2. Matemáticados buracos negros Outra forma de definir tais curvas ou trajetóriasuti- liza os seus vetores tangentes. Um vetor qualquer v Matematicamente, buracos negros podem ser defi- tem o quadrado de sua norma definido pela métrica nidos com a utiliza¸cãode conjuntos.6 Para isso, é na relatividade geral: necessárioo conhecimento da chamada estrutura v2 = g vµvν, (2) causal do espa¸co-tempo. Em geometria diferencial — µν a áreada matemáticaresponsável pelo surgimento sendo vµ suas componentes. Na trajetóriado tipo da teoria da relatividade geral —, o espa¸co-tempo tempo, o seu vetor tangente tem norma ao quadrado édefinido como uma variedade (generaliza¸cãode negativa; na do tipo espa¸co,o seu vetor tangente superf´ıcie)equipada com uma métricalorentziana tem norma ao quadrado positiva; por fim, o vetor (as métricasde Schwarzschild, Bardeen e outras tan- tangente a uma trajetóriado tipo luz tem norma ao tas na relatividade geral sãométricaslorentzianas quadrado nula. porque possuem um determinado númerode elemen- E´ importante ter em mente os trêstipos de tra- tos positivos e negativos em sua diagonal principal, jetóriasacima citados para compreender a estrutura quando são escritas na forma matricial). A métrica do espa¸co-tempo. Pois, num espa¸co-tempo simples — indicada pelo tensor simétrico gµν — dáa medida, como o espa¸co-tempo plano (tambémconhecido o comprimento de vetores e fornece-nos a descri¸cão como espa¸co-tempo de Minkowski8), os trêstipos de matemáticade um espa¸co-tempo. Para o cálculo, trajetóriastêmuma origem e um destino definidos. por exemplo, de distânciasnum espa¸co-tempo qual- As do tipo tempo originam-se no infinito passado do quer (distânciasinfinitesimais entre dois eventos), tipo tempo (i−) e destinam-se ao infinito futuro do 2 usa-se o elemento de linha, ds , que estárelacionado tipo tempo (i+). Da mesma forma, as curvas ou tra- àmétricapor jetóriasdo tipo luz — seus infinitos passado e futuro − + 2 µ ν 2 2 2 2 do tipo luz são I e I , respectivamente. Jáas tra- ds = gµνdx dx = gttdt +grrdr +gθθdθ +gφφdφ , jetóriasdo tipo espa¸cotêmo infinito do tipo espa¸co (1) i0 µ ν . Sendo assim, num espa¸coplano, a origem e o des- com dx e dx fazendo o papel de infinitésimos de tino dos corpos (com as suas respectivas trajetórias) uma coordenada qualquer (neste trabalho, usaremos 9 µ estãodeterminados. Mas quando um buraco negro as coordenadas esféricas, x = {t, r, θ, φ}, sendo t a estápresente, como veremos, muda-se essa estrutura coordenada temporal, e métricassomente com sime- 7 2 tria esférica, ou seja, tais quando escritas como uma Pode-se inverter o sinal de ds para curvas do tipo tempo e espa¸coalterando a assinatura da métrica,que édada pela matriz apresentam somente os seus termos diagonais quantidade de elementos positivos e negativos em sua diagonal nãonulos). Na relatividade geral, as trajetóriasdos principal. corpos sãoclassificadas em trêstipos: do tipo tempo, 8Vale a pena mostrar a simplicidade do elemento de linha de Minkowski: ds2 = −dt2 + dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2). 5Cf. [11] para uma revisãomais profunda sobre o tema de 9Nesse ponto, a visãoeinsteiniana assemelha-se àaristotélica. buracos negros regulares. Aristótelesem Do Céu considera que cada corpo tem o seu 6Usaremos aqui o caminho indicado por um dos textos mais lugar natural, seja ele fogo, ar, águaou terra. Sendo que a influentes em relatividade geral, o livro de Robert Wald [12]. trajetóriaou o movimento dos 4 elementos édirigida aos seus

DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0288 Revista Brasileira de Ensino de F´ısica,vol. 39, nº 3, e3303, 2017 e3303-4 Relatividade bem comportada: buracos negros regulares

de infinitos ou a estrutura causal do espa¸co-tempo. B élimitado por uma membrana de mãoúnica— o E para a visualiza¸cãoda estrutura causal de espa¸cos- famoso horizonte de eventos, uma superf´ıciedo tipo tempo quaisquer, foram desenvolvidos os diagramas luz que pode ser definida como de Carter-Penrose. De forma resumida e sem com- ˙− + plica¸cões,os diagramas de Carter-Penrose “trazem” H = J (I ) ∩ M, (4) o infinito para o finito. Pois numa finita folha de onde J˙−(I +) édefinido como o contorno do con- papel sãodesenhados os infintos como retas e pontos. junto J −(I +). Sendo assim, dentro do horizonte Na Fig. 1 sãomostrados os diagramas do espa¸code eventos (indicado na Fig. 1 por H, uma reta tempo de Minkowski e de um espa¸co-tempo que diagonal, e todas as diagonais nos diagramas são apresenta um buraco negro em forma¸cão.Os infi- superf´ıciesdo tipo luz) nãoháa possibilidade de nitos do tipo luz sãoretas, jáos infinitos do tipo 10 corpos, sejam em trajetóriasdo tipo tempo ou luz, tempo e espa¸cosãopontos. alcan¸carem o infinito. Ou seja, estãoconfinados no Com os jáconhecidos tipos de infinito, podemos buraco negro, como podemos ver na Fig. 1, onde o B definir um buraco negro, que seráindicado por , observador B éincapaz de enviar sinais de luz para para espa¸cos-tempo que sãoassintoticamente planos, a regiãoexterna ao buraco negro. i.e., no “infinito” esses espa¸cos-tempo sãodescri- No caso do buraco negro de Schwarzschild (e todos tos como o espa¸co-tempo de Minkowski. O espa¸co- aqueles conhecidos na relatividade geral que são tempo todo, que inclui a regiãointerna e externa ao métricasou solu¸cõesde um espa¸co-tempo vazio ou M B M buraco negro, seráindicado por . Tanto , e com no máximoum campo eletromagnético)ou os infinitos acima descritos podem ser vistos como mesmo aquele ilustrado na Fig. 1, os corpos que M conjuntos. Em particular, éo conjunto de todos seguem uma trajetóriado tipo tempo e do tipo os eventos. Um outro conjunto énecessáriopara a luz, necessariamente, inexoravelmente, dirigem-se à J − + nossa defini¸cão:o conjunto (I ). Tal conjunto singularidade localizada em r = 0. Somente corpos refere-se a todas as curvas que atingem o infinito + que viajam acima da velocidade da luz poderiam luz, I , ou seja, os elementos desse conjunto têm escapar ou cruzar o horizonte de eventos para a uma rela¸cãocausal com esse infinito futuro, podem regiãoexterna ao buraco negro. afetá-lonum futuro, mesmo que seja num tempo Para espa¸cos-tempo estacionários(ou seja, que J − + futuro infinito. Dessa forma, (I ) échamado de nãovariam com o tempo) com simetria esférica, a passado causal do infinito futuro do tipo luz. Sendo forma do elemento de linha (1) apresenta-se explici- assim, um buraco negro terácomo defini¸cão tamente como B = M − J −(I +). (3) dr2 ds2 = −f(r)dt2 + +r2 dθ2 + sin2 θdφ2 . (5) f(r) Como podemos ver na equa¸cão(3), a defini¸cãode um buraco negro (ou a sua regiãocorrespondente) No caso espec´ıficodo buraco negro de Schwarzs- 11 exclui do espa¸co-tempo as trajetóriascujos destinos child, gtt = −f(r) = − (1 − 2m/r), com m fa- sãoo infinito do tipo tempo e do tipo luz e esses zendo o papel da massa do buraco negro. Sendo dois tipos de infinito. As curvas do tipo tempo e luz assim, fica claro dizer que háuma singularidade do conjunto B nãopodem influenciar, mesmo que nesse espa¸co-tempo ou nessa métrica.O limite + num tempo infinito, I (e se nãopodem influenciar 2m + i+ o lim f(r) = lim 1 − = −∞ (6) I , podem menos ainda influenciar ). Ou seja, r→0 r→0 r buraco negro, a regiãodo espa¸co-tempo que o define, estádesconectado causalmente dos infinitos futuros nãoédefinido. A métricade Schwarzschild diverge do tipo tempo e luz, nãopodendo influenciá-los.E na origem do sistema de coordenadas. E tal di- vergêncianãodiz respeito ao uso de um sistema de lugares naturais na ausênciade for¸casexternas. O elemento coordenadas particular (em nosso caso, o esférico). terra, abaixo, onde fica o planeta Terra; o fogo fica acima (ou logo abaixo do mundo sub-lunar), e a águae o ar ocupam o Com outro sistema de coordenadas, pode-se notar espa¸cointermediárioentre a Terra e o mundo sub-lunar. que a singularidade em r = 0 permanece. Jáa singu- 10Para uma introdu¸cãoe maior compreensãosobre os diagra- laridade em r = 2m, que tambémfaz a equa¸cão(5) mas de Carter-Penrose, cito o artigo [13] e o jámuito utilizado 11 2m Q2 livro de Sean Carroll [14], que apresenta o tema no cap´ıtulo Em Reissner-Nordström, f(r) = 1 − r + r2 , sendo Q a 5. carga elétricado buraco negro.

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Sendo assim, nãodiverge, nãofaz a métricasofrer dessa “patologia”. Por singularidade, então,pode-se dizer: um ponto, no caso r = 0 para os exemplos discutidos (Schwarzs- child, Reissner-Nordströme o da Fig. 1), que nãofaz parte de M, o espa¸co-tempo. A métrica(5), como vimos, diverge em r = 0. Alémdisso, para esse mesmo ponto, quando se calcula escalares ou grandezas geométricas,tem-se o seu carátersingular reiterado. Por exemplo, o escalar de Kretschmann, K, constru´ıdo a partir do conhecido tensor de Riemann (Rαβµν), éescrito para a métricade Schwarzschild como 48m K = R Rαβµν = . (7) αβµν r6 Entãofica claro, a partir da equa¸cão(7), que o limite de K para r → 0 nãoéfinito. A chamada singularidade apresenta-se como incomensurabilidade, como uma limita¸cãoda descri¸cãodada pela métricade Schwarzschild. Como pôde-sever, na defini¸cãogenéricade um buraco negro assintoticamente plano, dada pela equa¸cão(3), nãoháa men¸cãoàsingularidade. So- mente quando utilizamos o caso particular do buraco negro de Schwarzschild houve uma men¸cão.Mas Figura 1: Diagramas de Carter-Penrose ou diagramas con- como veremos, dentro do buraco negro de Bardeen, forme do espaço-tempo de Minkowski (em cima) e de um as trajetóriasdo tipo tempo e luz dirigem-se ao espaço-tempo que denota a formação de um buraco negro centro do sistema de coordenadas sem uma singula- (embaixo). No espaço-tempo de Minkowski, as curvas têm ridade. Temos, então,uma regiãodo espa¸co-tempo i0, i+ + i0, i− os seus respectivos destinos ( e I ) e origens ( diferente, um peda¸co do espa¸co-tempo semelhante e I −), indicados pelos três tipos de infinitos. Sendo assim, ao espa¸co-tempo de Sitter. Nascem os buracos ne- os diagramas conforme ilustram os três tipos de infinitos usando retas e pontos. Em Minkowski, os três tipos de cur- gros regulares. vas (do tipo espaço, tempo e luz) seguem os seus caminhos “naturais”. Mas quando um buraco negro está presente a 3. Buracos negros regulares situação é diferente. Na figura embaixo, o horizonte de eventos de um buraco negro é indicado por H. Dentro dele, Como foi dito na Introdu¸cão,os primeiros passos um observador B emite sinais de luz (que seguem curvas do para a constru¸cãode solu¸cõesdas equa¸cõesde Eins- tipo luz) que não atingem o infinto I +. Tais sinais dirigem- se diretamente à singularidade, indicada pela linha com tein sem singularidades foram dados na décadade formato de serra em r = 0. Na região externa ao buraco, sessenta do séculopassado. Sakharov [9], por exem- o observador A pode enviar sinais para dentro do buraco plo, a partir de um estudo sobre a forma¸cãode ou para o infinto I +. Na figura que descreve o buraco estruturas num universo jovem em expansão,mos- negro, a parte escura representa a matéria aglutinando-se trou que se a densidade de energia da matéria, ρ, e para formá-lo. Tal aglutinação é conhecida como colapso a pressãoda mesma, p, relacionam-se como gravitacional. p = −ρ, (8)

que éa equa¸cãode estado da métricade Sitter, divergir, desparece com a escolha de outro sistema a aglomera¸cãoda matériabariônicanãoproduz a de coordenadas. O raio r = 2m em Schwarzschild divergência de ρ. Ou seja, com a aglomera¸cãoda tem um significado especial. Nãodenota uma singu- matériadevido àgravita¸cão,a densidade de energia laridade f´ısica,mas o raio do horizonte de eventos. nãodiverge no interior dessa forma¸cão.Mas isso

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somente ocorre no caso em que o espa¸co-tempo, em mos àmétrica(5) com simetria esférica,a que des- seu interior, édo tipo de Sitter. creve um buraco negro sem rota¸cão.Tal solu¸cão O espa¸co-tempo do tipo de Sitter estáentre os descreve tanto a solu¸cãode Schwarzschild quanto mais simples da relatividade geral. Simples em sua a de Bardeen: quando a massa do buraco negro é forma, pois sua métricasomente difere do espa¸co- constante, f(r) = 1 − 2m/r, temos Schwarzschild; tempo de Minkowski pela adi¸cãodo termo conhecido quando f(r) = 1 − 2m(r)/r, e a fun¸cão m(r) tem como constante cosmológica,Λ. Esta éa famosa uma forma determinada, ou seja, éuma fun¸cãore- constante que Einstein adicionou àssuas equa¸cões presentada pela equa¸cão do campo gravitacional com intuito de obter um uni- 3 verso estáticoem grandes escalas. Com a observa¸cão Mr m(r) = 3 , (10) da expansãocósmicana décadade 1920 por Hubble (r2 + e2) 2 e sua equipe, nãosendo o universo mais considerado estáticoem grandes escalas, Einstein teve que des- temos o buraco negro regular de Bardeen. Na equa¸cão cartar a sua constante. Mas essa teimosa constante (10), M e e sãoconstantes: a primeira éinterpretada retorna na f´ısicaem 1998 com a observa¸cãoda ex- como um parâmetrode massa, e a segunda, como pansãoacelerada do universo [15, 16]. No modelo veremos, étida como um tipo de carga. A ado¸cãode cosmológicomais simples, a constante cosmológicaé uma fun¸cãopara a massa — ao invésde considerá-la a causa da expansãoacelerada do tecido do espa¸co- uma constante — produz algumas diferen¸casentre tempo, éa origem da chamada energia escura. as solu¸cõesde Bardeen e Schwarzschild. Nãoapenas Retornemos àsolu¸cãode Sitter. Como uma solu¸cão no que diz respeito ao problema da singularidade. da relatividade geral, ésimplesmente a solu¸cãoque Em Schwarzschild, háuma superf´ıciedo tipo luz descreve um espa¸co-tempo com simetria esférica, importante como vimos: o horizonte de eventos. Tal vácuo(sem conteúdode matériaordinária,ou es- superf´ıcie,que funciona como uma membrana de cura, ou radia¸cão)e constante cosmológica.Sua mãoúnica,pode apresentar-se em dobro no buraco forma matemáticaé negro de Bardeen. Dependendo da rela¸cãoentre M e e háa possibilidade de um horizonte interno e um 2 2 Λ 2 2 dr horizonte externo (sendo o últimoum horizonte de ds = − 1 − r dt + 3 Λ 2 1 − 3 r eventos como no buraco negro de Schwarzschild). 2 2 2 2 Ora, para observar o desparecimento da singula- + r dθ + sin θdφ . (9) ridade e a solu¸cãodesse “terr´ıvel” problema com a ado¸cãoda equa¸cão(10), usa-se uma aproxima¸cão Como jádissemos, Λ éa constante cosmológica,que para a fun¸cãoda massa, para r pequeno, dada por pode ser positiva ou negativa: quando positiva, o espa¸co-tempo éde Sitter; quando negativa, éanti- r 3 m(r) ≈ M , (11) de Sitter. Nãoapenas na f´ısicade buracos negros e a solu¸cãode Sitter éimportante. Em cosmologia, a chamada fase inflacionária,onde o universo teve que conduz à uma expansãoacelerada logo depois do suposto big f r ≈ − Cr2, bang,12 édescrita como um per´ıodo onde o espa¸co- ( ) 1 (12) tempo é quase de Sitter (p ' −ρ). Jáo espa¸co-tempo sendo C = 2M/e3 uma constante positiva. Com anti-de Sitter éimportante para a, hoje muito estu- essa aproxima¸cãoobtida para f(r), substituindo-a dada, correspondênciaAdS-CFT (Conforme Field na equa¸cão(5), a métricade Sitter éobtida para Theory in anti-de Sitter Spacetime). valores pequenos de r. Ou seja, com o uso da fun¸cão Agora que temos uma ideia do que éum espa¸code massa de Bardeen, a métrica (5) que descreve tempo de Sitter, podemos entender o que foi dito um buraco negro esféricoapresenta um núcleo,uma acima sobre os buracos negros regulares. Retorne- regiãointerna, do tipo de Sitter. Uma regiãopara 12Suposto pois hoje sãoposs´ıveis modelos cosmológicossem a valores pequenos da coordenada radial r onde o singularidade inicial ou o big bang. As cosmologias com rico- espa¸co-tempo apresenta-se como de Sitter. chete surgem como op¸cõesna ciência atual, sãoalternativas ao problema das singularidades mesmo dentro da teoria da O simples “truque” matemáticofeito por Bardeen relatividade geral. Para uma introdu¸cão,veja [17]. Jápara (a substitui¸cãode m por uma determinada fun¸cão um estudo mais profundo, a revisão[18] éindicada. de massa) tornou a métrica(5) regular, removeu

Revista Brasileira de Ensino de F´ısica,vol. 39, nº 3, e3303, 2017 DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0288 Neves e3303-7

a singularidade situada na origem do sistema de por exemplo, construiu uma solu¸cãoregular, simi- coordenadas r = 0, fazendo deste ponto um ponto lar àde Bardeen, com outra fun¸cão m(r) com o qualquer de M. A regularidade da solu¸cãode Bar- intuito de descrever a forma¸cãoe evapora¸cãode deen fica clara quando se observa diretamente a buracos negros regulares. Hátambémas solu¸cões métricaou se calcula escalares. Por exemplo, o es- com simetria axial, as que descrevem buracos negros calar de Kretschmann para a métricade Bardeen regulares com rota¸cão.Nosso trabalho [21] tratou exemplifica a sua regularidade: desse tema, e buracos negros regulares com rota¸cão 2 foram obtidos, alémdisso, com a ado¸cãoda famosa αβµν M lim K = lim RαβµνR = 96 . (13) constante cosmológicae uma fun¸cãode massa ge- r→0 r→0 e3 ral, que abrange as fun¸cõesutilizadas por Bardeen Nesse caso, ao contráriodo escalar de Kretschmann e Hayward. E nãoapenas no contexto da relativi- da métrica de Schwarzschild, dado pela equa¸cão dade geral buracos negros regulares sãoestudados. (7), o limite para r tendendo a zero éfinito. E, Mesmo em teorias que sãopropostas para substituir igualmente, a métricatambémapresenta-se regular, a gravita¸cãoeinsteiniana ou a f´ısicade hoje, como a 2 14 sendo limr→0 ds finito. Sendo assim, o buraco ne- gravidade quântica em loops ou os mundos branas, gro de Bardeen mostra-se como regular, sem possuir buracos negros regulares sãoprevistos. uma singularidade na origem do sistema de coordenadas. E mostra-se como buraco negro, acima 4. Comentáriosfinais de tudo, por possuir, no m´ınimo,um horizonte de eventos. Ao contráriodo que se pode pensar, um buraco Décadasapósa sua publica¸cão,a métrica de Bar- negro nãoprecisa necessariamente conter uma sin- deen foi (e continua sendo) alvo de investiga¸cões. gularidade. Como vimos, na defini¸cãomatemática Em [19] mostra-se que o buraco negro de Bardeen de um buraco negro, apenas o horizonte de eventos tem uma origem, isto é,pode-se interpretá-locomo émencionado como aquilo que lhe éinerente. Ou uma solu¸cãoexata das equa¸cõesdo campo gravitaci- seja, para que um objeto astrof´ısicoseja reconhecido onal. E exata, nesse caso, significa uma solu¸cãocom como buraco negro, apenas a membrana de mão uma fonte determinada. Na solu¸cãode Bardeen, a única,o horizonte de eventos, deve ser levada em fonte — de acordo com Ayon-Beato e Garcia, que conta. Como uma consequênciados trabalhos de interpretaram e como um tipo de carga, i.e., um Andrei Sakharov e seus colaboradores, o expediente monopolo magnético— vem de uma eletrodinâmica para construir matematicamente os buracos negros nãolinear. Com uma eletrodinâmicanãolinear aco- sem uma singularidade surge jáem 1968 com James plada àrelatividade geral, ideia expressa pela a¸cão Bardeen. Os resultados da Sakharov mostravam a Z 1 1 possibilidade de evitar o problema das singularida- S = dv R − L(F ) , (14) des mesmo no contexto da relatividade geral por 16π 4π meio de um tipo de espa¸co-tempo: o espa¸co-tempo sendo R o escalar de Ricci, e L(F ) éuma compli- do tipo de Sitter. Com isso, com tal espa¸co-tempo cada densidade lagrangiana nãolinear,13 as equa¸cões no interior de um buraco negro, époss´ıvel evitar de Einstein sãoobtidas com um tensor energia- o aparecimento de uma singularidade no interior momento nãonulo. Tal tensor descreve uma ele- de um objeto astrof´ısico, assim como fez Bardeen. trodinâmicanãolinear como fonte da solu¸cãode Surgem, então,os buracos negros sem uma singula- Bardeen (quando o segundo termo da equa¸cão(14) ridade ou os buracos negros regulares — tema atual énulo, as equa¸cõesde Einstein sãoobtidas no na f´ısicahoje. vácuoassim como as suas solu¸cõessem conteúdode matéria,como a de Minkowski e a de Schwarzschild). Agradecimentos Mas as pesquisas em buracos negros regulares vão além.Hoje háoutras solu¸cõesou métricasregula- Gostaria de agradecer àFAPESP (Funda¸cãode res dispon´ıveis na literatura. Sean Hayward [20], Amparo àPesquisa do Estado de SãoPaulo) pelo

√ 5 apoio financeiro (processo número2013/03798-3). 2 2 13A expressão para L(F ) é 3 √2e F , com F = 2se2 1+ 2e2F 1 µν 14 4 Fµν F . Fµν faz o papel do tensor eletromagnético,en- Em mundos branas, o nosso trabalho [22] discute buracos quanto s éuma constante dada por |e|/2M. negros regulares com ou sem rota¸cão.

DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0288 Revista Brasileira de Ensino de F´ısica,vol. 39, nº 3, e3303, 2017 e3303-8 Relatividade bem comportada: buracos negros regulares

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