JANÁČKOVA AKADEMIE MÚZICKÝCH UMĚNÍ V BRNĚ HUDEBNÍ FAKULTA
Katedra kompozice, dirigování a operní režie
Studijní obor: Kompozice
Název práce:
Elektronická kompozice - cesta k propojení sonických a akordických prvků v hudbě
DISERTAČNÍ PRÁCE
Autor práce: MgA. Petr Pařízek
Vedoucí práce: prof. Ing. MgA. Ivo Medek, Ph.D.
Oponenti práce: prof. Vladimír Tichý, CSc., RNDr. Lubor Přikryl
Brno 2014 ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Anotace Disertační práce "Elektronická kompozice - propojení sonických a akordických prvků v hudbě" pojednává o otázce souvislostí mezi obory hudební kompozice a hudební akustiky. Je zde upozorněno na stěžejní akustické zákonitosti, které platí u všech zvuků, ať už jsou to zvuky vztažené k hudbě nebo od ní zcela oddělované. Dále jsou probrány některé způsoby, jakými lze elektronicky upravovat zvukovou nahrávku. Je rovněž zkoumán jev tzv. "harmonických tónů", primárně s ohledem na akustické úkazy vzniklé souzvukem několika harmonických tónů současně. Téma harmonických tónů je pak dále rozvinuto do oblasti historie intonace v evropské hudbě a konečně jsou zkoumány zcela nové možnosti spojování akordů, které jsou pro tuto práci zcela originální a dosud nebyly nikde systematicky zkoumány a klasifikovány.
Annotation The dissertation thesis "Electronic composition - a way of linking sonic and chordal elements in music" deals with the topic of connections between the musical composition and musical acoustics. First, some primary facts about acoustics are mentioned which are true for every possible sound, no matter if we think of the sound as pertaining to music or as completely unrelated to it. Next, some ways are discussed in which it is possible to modify a recorded portion of sound with the aid of electronic tools. Also, the phenomenon of so-called "harmonics pitches" is examined, especially the effect observed when several of them sound at the same time. The topic of harmonics is then developed further into the area of history of intonation in European music. Finally, we discuss completely new possibilities of constructing chord progressions, which is a field clearly original for this thesis that has never been systematically examined and classified before.
Klíčová slova: Elektronická hudba, kompozice, hudební akustika, periodické zvuky, zvukové efekty, mikrointervaly, historická intonace, alternativní ladění, nové harmonické systémy, spojování akordů.
Keywords: Electronic music, composition, musical acoustics, periodic sounds, sound effects, microtones, historical intonation, alternate tunings, new harmonic systems, chord progressions.
Petr Pařízek / 2014 2 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Poznámka: Zkrácená verze tohoto textu byla ještě před jeho dokončením použita v článku "Hudební souzvuk z pohledu zvukového spektra", který byl psán pro účely Výzkumného centra JAMU a publikován v časopise Opus Musicum (duben 2011).
Prohlášení Prohlašuji, že jsem předkládanou práci zpracoval samostatně a použil jen uvedené prameny a literaturu. Současně dávám svolení k tomu, aby tato disertační práce byla umístěna v Knihovně JAMU a používána ke studijním účelům.
V Brně, dne 6. 6. 2014
Petr Pařízek ……………………………………………………………
Poděkování Na tomto místě bych rád poděkoval prof. Ing. MgA. Ivo Medkovi PhD., za vedení a asistenci při tvorbě této práce.
Děkuji MgA. Danieli Forró, který mne výrazně zasvětil do problematiky kompozice, harmonie, elektronické hudby a mikrointervalů.
Děkuji těm, kteří mne vzdělávali prostřednictvím internetových diskusních skupin nebo v soukromé emailové korespondenci a kteří mnohdy sami stáli u zrodu nově objevených tónových systémů. Patří mezi ně Manuel Op De Coul, Joe Monzo, Graham Breed, Paul Erlich, Gene Ward Smith, George Secor, Herman Miller, Kraig Grady a Mike Battaglia.
Petr Pařízek / 2014 3 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
OBSAH
1 Úvod ...... 7 2 Konvence užité v textu ...... 10 3 Digitální zvuková nahrávka ...... 11 3.1 Zvuk jako sekvence čísel...... 11 3.2 Úprava zvuku ...... 13
4 Periodicita ve zvuku ...... 16 4.1 Hlavní parametry periody ...... 16 4.2 Příklad periodického průběhu ...... 17 4.3 Amplitudová modulace ...... 21
5 Dvojzvuky ...... 24 5.1 Primární vlastnosti dvojzvuku ...... 24 5.2 Sekundární vlastnosti dvojzvuku ...... 26 5.3 Vnímání odladěných (nečistých) dvojzvuků ...... 28
6 Lineární a exponenciální vztahy frekvencí ...... 30 6.1 Vnímání exponenciálních vztahů sluchem ...... 30 6.2 Využití a měření exponenciálních frekvenčních vztahů ...... 31
7 Alikvotní a harmonické tóny, barva zvuku ...... 32 7.1 Alikvotní tóny ...... 32 7.2 Harmonické tóny a frekvence ...... 32
8 Periodicita souzvuků ...... 34 8.1 Syntéza zvuku ...... 34 8.2 Akustická periodicita, periodické souzvuky ...... 34 8.3 Částečná periodicita, lineární tónové řady ...... 36 8.4 Propojení hudebního a zvukového vnímání ...... 37
9 Lineární posun frekvencí složeného spektra...... 39 9.1 Obousměrná změna frekvence ...... 39 9.2 Jednosměrná změna frekvence ...... 42
10 Pitch Shifter - exponenciální změna frekvence ...... 44 11 Konvoluce - zvuk v roli odrazu ...... 48
Petr Pařízek / 2014 4 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
11.1 Dozvuk a filtrování ...... 48 11.2 Frekvenčně závislé zpoždění ...... 50 11.3 Hilbertova transformace - cílená změna fáze ...... 51
12 Řada harmonických tónů ...... 53 13 Limit lichých čísel, limit prvočísel ...... 54 14 Stručně o intonaci v evropské hudbě ...... 55 14.1 Pythagorejské ladění ...... 55 14.2 Didymické ladění ...... 56 14.3 Středotónové ladění ...... 57 14.4 Kvintové kruhy ...... 58 14.5 Intonační ornamentika v romantismu ...... 58 14.6 Sjednocení intonace ...... 58 14.7 7-limitové intervaly ...... 60
15 Didymické ladění v aplikaci na běžnou kvintterciovou harmonii ...... 62 15.1 Kvintová příbuznost not a intervalů ...... 62 15.2 Dolaďování souzvuků ...... 64 15.3 Lineární analýza melodických a harmonických postupů ...... 68 15.4 Konsonance a disonance ...... 76
15.4.1 Akustická disonance ...... 76 15.4.2 Disonance v hudbě ...... 78
16 Dvojrozměrná ladění a nekvintové harmonické systémy ...... 82 17 dHledání akordických postupů v neobvyklých laděních ...... 83 17.1 Přehled ...... 83 17.2 Diatonické a chromatické změny ...... 84 17.3 Jeden z nejznámějších cyklických akordických postupů ...... 84 17.4 Ladění, v nichž je R1 větší než 1 ...... 87 17.5 Příklad ladění s větším rozsahem generátorů ...... 88 17.6 Ladění s více periodami na oktávu ...... 89 17.7 Postupy s daným rozsahem generátorů ...... 90 17.8 Popis intervalu pomocí exponentů necelých čísel ...... 93 17.9 Postupy v laděních s nestandardními generátory ...... 96 17.10 Diatonické a chromatické změny mimo středotónové ladění ...... 98 17.11 Postupy v opačném směru ...... 99
18 Příklady využití probraných poznatků při kompozici ...... 100 18.1 Zesilování konkrétních frekvenčních pásem ...... 100
Petr Pařízek / 2014 5 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
18.2 Proměna zvukové barvy na řadu tónů a naopak ...... 102 18.3 Souvislost délky dozvuku a velikosti intervalů ...... 103 18.4 Temperování s danými rychlostmi rázů ...... 104 18.5 Konstrukce tónového systému na základě zvukového spektra ...... 108 18.6 Hudba vycházející z lineárních tónových vztahů...... 109
19 Závěr ...... 113 Citovaná literatura ...... 114 Přílohy ...... 118 Příloha A: ...... 119 Příloha B:...... 120 Příloha C: ...... 121 Příloha D: ...... 123 Příloha E: ...... 128 Příloha F: ...... 129
Petr Pařízek / 2014 6 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
1 ÚVOD
Evropská hudba prošla během dlouhých staletí velmi komplikovaným vývojem. První útvary srovnatelné s hudební produkcí byly jednohlasé a uspořádání tónů si poměrně brzy našlo svůj preferovaný řád, kterému dnes říkáme diatonické stupnice. Později se objevil dvojhlas, z něhož se posléze vyvinul princip komplexního polyfonního vícehlasu. Ten byl pak poměrně prudce upozaděn vícehlasem homofonním, poté se objevila myšlenka monodie s doprovodem a následně se tyto rozdílné principy a přístupy k hudbě začaly nejrůznějšími cestami prolínat.
Mezitím byla diatonická tónová soustava rozšířena o další tóny, které umožňovaly plynule přecházet mezi tonálními centry (a následně mezi tóninami) a k tónům již použitým byly buď diatonicky, chromaticky nebo případně enharmonicky příbuzné. Počátkem 20. století přišli někteří hudebníci s myšlenkou rozšířit běžně užívanou tónovou soustavu ještě o další prvky, čehož dosahovali prostým dělením současného 12-tónového ladění (např. 24-tónové ladění = čtvrttónový systém, 36-tónové ladění = šestinotónový systém atd.).
Zhruba v polovině 20. století se kromě seriální nebo aleatorní hudby objevilo ještě něco zcela nového, co tak úplně nezapadalo do dosavadní cesty vývoje evropské hudby. Skladatelé najednou toužili po možnosti vyjádřit vjemy a představy zvukové, nikoli tónové. Začala se tedy prosazovat témbrová hudba. Výsledky se však často značně lišily od původních autorových záměrů, poněvadž řada tehdy dostupných prostředků k záznamu a realizaci hudby je k něčemu takovému poměrně nevhodná a velmi obtížně použitelná (u každého nástroje je nutno počítat s jeho charakteristickou idiomatikou, která omezuje možnosti jeho zvukového projevu; navíc, standardní notový zápis byl koncipován výhradně pro zaznamenávání tónů).
Někteří hráči a skladatelé si začali nevhodnost těchto běžných prostředků uvědomovat, a proto obhajovali rozličné speciální systémy notace a rozšířené (neboli "přídavné") techniky hry na nástroj. Tím však, až na několik málo výjimek, opět pouze nadstavovali již existující možnosti hudebního zápisu a nástrojů. V důsledku toho se jednak ukazovaly další a další nevýhody používání běžných prostředků pro záznam a interpretaci hudby a navíc se téměř smyla dříve poměrně jasná představa, co je hudba a co od ní očekáváme.
Petr Pařízek / 2014 7 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Mnozí hudebníci nakonec našli cestu k realizaci svých představ s příchodem elektronických nástrojů. Vedle světa tónových vztahů se tak objevil nový svět vztahů zvukových a jeho propagátoři jasně poukazovali na to, jaké jsou jeho možnosti, čím je jedinečný a které jeho atributy jsou při práci v něm primární a důležité (Edgar Varése, Pierre Schaeffer, Karlheinz Stockhausen).
Na konci 20. století se objevuje záznam a úprava zvuku na digitální úrovni. Díky tomu máme dnes možnost realizovat nevídaně složité a náročné zvukové transformace, jaké nelze žádným způsobem provést analogovými prostředky, a vytvářet tak kompozice stejně hodnotné jako ty založené na tónech a akordech.
Postupně vyšlo najevo, že se jedná o dva zcela odlišné přístupy ke komponování v rámci akustického (slyšitelného) prostředí. Skladba sestavená z tónů a skladba sestavená ze zvukových ploch mají každá svůj specifický způsob vyjadřování a svoje specifické cíle, které bychom neměli směšovat, třebaže se obojímu říká hudba (ve skutečnosti by se označení "hudební kompozice" mělo pravděpodobně užívat především v prvním případě a v tom druhém by bylo lépe říci např. "sonická kompozice", třebaže tento pojem dosud nikde nebyl zcela přesně vymezen).
Protože však jsou tyto dva přístupy ke zvuku tak výrazně odlišné, stává se často, že interpreti nebo tvůrci, kteří se dobře orientují v jednom z nich, mají malý přehled o možnostech toho druhého, takže se těžko mohou pokoušet o nějaké jejich propojování. Mnohdy jim totiž chybějí základní znalosti, které by jedněm osvětlily podstatu akordů a druhým podstatu zvukových ploch, a tak jedněm i druhým odhalily, jak v akordické hudbě adekvátně využít sonických prvků a naopak.
Se současnými možnostmi práce s digitalizovaným zvukem lze takové "odhalení" poměrně snadno realizovat a v praxi ověřit. A jako vynikající můstek mezi těmito dvěma póly výborně poslouží dříve zmíněná elektronická hudba. Měli bychom mít na paměti, že hudba tvořená z tónů byla v době svého rozkvětu primárně akordická, a že zajímáme-li se o její podstatu, měli bychom znát základní důvody, proč v některých akordech a intervalech je slyšitelné napětí a jiné znějí klidně. Chceme-li propojovat akordické a sonické prvky, neměli bychom opomíjet, že zmíněné důvody souvisejí s jistými otázkami z oblasti akustiky a že k řadě jevů v rámci sonické hudby najdeme vysvětlení rovněž na poli akustiky. To nám zároveň umožní najít souvislosti mezi těmito dvěma přístupy ke komponování a efektivně jich využít.
Petr Pařízek / 2014 8 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Právě tomuto tématu je cele věnován všechen následující text. Jeho cílem je ozřejmit: jak konsonance a disonance intervalů může souviset se zcela základními akustickými jevy, proč je dobré vědět o lineárně pravidelných tónových řadách a jak jejich vlastnosti souvisejí s průběhem zvuku v čase, jak lze komplexní barvu zvuku proměnit v řadu tónů a naopak, jak může konkrétní akustický prostor ovlivnit samotný proces komponování, jak jinak lze chápat jemně rozladěné intervaly než jen jako "rozladěné", co všechno mohou mít společného nebo rozdílného dvě různé zvukové barvy a co může vzniknout jejich prolínáním, jak mohou použité zvukové barvy ovlivnit výběr tónového terénu, a především jak lze v rámci sonické kompozice adekvátně využít akordických prvků nebo případně vytvořit takovou kompozici, která bude myšlenkově obsažná v rovině sonické i akordické a bude fungovat jako jednotný akordicko-sonický celek.
Nejdříve jsou vysvětleny stěžejní jevy a důležitá fakta z oblasti akustiky. V dostupné literatuře bývá většina z nich probírána z pohledu čistě matematicko- fyzikálního bez patrnějšího důrazu na souvislosti s hudbou, zatímco zde by měl být jejich popis přijatelný i pro hudebníka méně zasvěceného.
Poté následuje text věnovaný otázkám hudebním, jako např. co vlastně znamená "rozladěný" interval, jak vznikaly nejstarší stupnice a tónové řady v civilizované hudbě, do jaké míry lze aplikovat přirozenou intonaci na tonální hudbu a co vše lze za tonální hudbu považovat, nebo jak souvisí konsonantní a disonantní intervaly na jedné straně s čistými a falešnými intervaly na straně druhé.
Nakonec je uveden způsob, jakým můžeme najít zcela nové možnosti spojování akordů a tvořit tak nové akordické prvky, které můžeme kombinovat s prvky sonickými ve výsledné kompozici.
Petr Pařízek / 2014 9 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
2 KONVENCE UŽITÉ V TEXTU
V tomto textu se budeme průběžně odkazovat na základní matematické operace. Jejich zápis byl zvolen tak, aby je bylo možno snadno přepsat do většiny prostředí v oblasti programování. Takový zápis je někdy odlišný od zápisu, s nímž se setkáváme v literatuře z oboru čisté matematiky.
Použité operace jsou:
+ sčítání - odčítání * násobení / dělení = rovná se < je menší než > je větší než : porovnávání ^ mocnina sqrt 2. odmocnina ^(1/x) x. odmocnina (x) pozice x v čase nebo místě π konstanta "pí" = ~3,1415926535897932...
Čísla v závorkách, která jsou předsazená křížkem, jsou odkazy na uvedené literární zdroje. V případě nutnosti je údaj dále upřesněn.
Petr Pařízek / 2014 10 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
3 DIGITÁLNÍ ZVUKOVÁ NAHRÁVKA
Většina elektronické a elektroakustické hudby bývá v současné době realizována s pomocí počítačových programů přímo zamýšlených pro práci se zvukem. V takových programech můžeme např. nahrát a smíchat zvukové stopy, upravit rychlost některé z nich, zesílit či zeslabit určitá frekvenční pásma na způsob ekvalizéru, přidat ozvěnu nebo dozvuk nebo jiný dodatečný efekt, odstranit ze zvuku statický šum a podobně. V mnohých programech tohoto druhu je však také možno vytvářet zcela nové "elektronické" zvuky, aniž bychom předtím nahráli nějaký zvuk z okolního prostředí. A právě kombinace této možnosti s těmi výše uvedenými hraje klíčovou roli v celém následujícím textu.
V počítačích, v samplerech a v mnohých jiných elektronických zařízeních bývají informace zaznamenávány v digitální podobě. Proto, než můžeme podrobněji zkoumat otázku propojení hudby a akustiky, nejdříve je nutno stručně vysvětlit, co je vlastně digitální zvuková nahrávka a co obnáší manipulace s ní.
3.1 ZVUK JAKO SEKVENCE ČÍSEL
Když nahráváme zvuk z mikrofonu např. do sampleru či na pevný disk počítače, vlastně tak zaznamenáváme relativní změny akustického tlaku - relativní, neboť tyto hodnoty se mohou lišit podle toho, jak silně pouštíme mikrofonní signál do zvukové karty, nebo podle toho, jak silně mikrofon sám snímá okolní zvuk [#2]. Relativní změny akustického tlaku jsou převáděny na čísla v pevně daném rozsahu, neboť při následném přehrávání je možno simulovat jen určitý omezený rozsah takových změn, což závisí na výkonnosti zesilovačů, reproduktorů, sluchátek na možnostech převodníků atd. Tento rozsah bývá v různých programech pojmenováván různě, avšak zde si jej pro jednotnost označíme čísly -1 až +1.
Akustický tlak se ve skutečnosti mění zcela plynule. Tyto plynulé změny však nelze číselně nijak vyjádřit, a proto je můžeme přijatelně napodobit jedině tak, že ve velmi krátkých intervalech zaznamenáváme momentální hodnoty (vzorky) akustického tlaku a ve stejně krátkých intervalech je posléze přehráváme (tj. jeden vzorek je údaj o stavu, nikoli o změně, takže neobsahuje žádnou vlastní zvukovou informaci). Tyto krátké intervaly jsou zcela pravidelné a jejich délka bývá neměnná od začátku až do konce přehrávání nebo záznamu zvuku. Udává se počtem vzorků
Petr Pařízek / 2014 11 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
snímaných za sekundu (v Hz) a tento údaj je znám jako "vzorkovací rychlost", případně "vzorkovací frekvence".
Zatímco jeden vzorek sám neobsahuje žádnou zvukovou informaci, změna z jednoho vzorku na jiný je slyšet jako celkové lupnutí, jehož intenzita závisí na rozdílu příslušných čísel (mají-li dva sousední vzorky stejnou hodnotu, lupnutí se neozve). Velmi zjednodušeně bychom tedy mohli říci, že ozve-li se rychle po sobě mnoho různě silných lupnutí (zpravidla několik desítek tisíc za sekundu), může vzniknout víceméně jakýkoli zvuk, který třeba vůbec lupnutí nepřipomíná.
Vzorkovací frekvence musí být zvolena poměrně vysoká, aby byly spolehlivě zaznamenány všechny informace, které sluch ve zvuku vnímá, a aby nevzniklo frekvenční zkreslení. Obecně platí, že vzorkovací frekvence musí být více než dvojnásobkem nejvyšší frekvence, kterou si přejeme zaznamenat. Tento vztah poprvé definoval Claude Shannon v 50. letech [#3].
Jestliže lidský sluch vnímá frekvence zhruba od 20Hz do 20000Hz, pak pro přijatelný záznam zvuku je nutno použít vzorkovací frekvenci vyšší než 40000Hz. Např. zvukové stopy na kompaktním disku používají frekvenci 44100Hz. Naproti tomu, pro záznam na DAT nebo ADAT pásu a často také pro zvukovou část filmů na DVD se používá frekvence 48000Hz, zatímco pro čistě zvukové stopy na DVD je možno volit různé vzorkovací frekvence, včetně 96000Hz nebo vzácně dokonce 192000Hz [#4]. Tyto velmi vysoké vzorkovací frekvence jsou vhodné jednak pro podrobné zkoumání nahraného zvuku, jednak pro možnost záznamu vyšších frekvencí než ve slyšitelném rozsahu (je-li žádoucí je přenést), jednak pro snazší výrobu filtrů v převodnících (je-li obtížné při záznamu odstranit frekvence např. okolo 24000Hz nebo vyšší).
Je rovněž dobré připomenout, i když v kontextu našeho stěžejního tématu nehraje tento fakt příliš důležitou roli, že různé zvukové formáty zaznamenávají čísla s různou přesností, což závisí na zvoleném počtu dvojkových cifer (bitů). Např. zvukové stopy na běžném CD vyjadřují každé číslo 16 dvojkovými ciframi (16- bitově), a proto hodnoty ve dříve zmíněném rozsahu od -1 do +1 jsou zaokrouhleny s přesností na 1/32768 (tj. 1/2^15). Při hlasitém poslechu se však i v záznamu zdánlivě tak "přesném" může objevit nepříjemný chvějivý šum, takže takový záznam vlastně dost přesný není [#5, #6]. Některé algoritmy pro přehrávání zvukových stop na CD proto převádějí čísla za účelem rozšířením dynamického rozsahu do 20-bitového formátu, tedy s přesností na 1/524288 (= 1/2^19), a zvukové stopy na DVD volí 24 bitů, čili přesnost na 1/8388608 (= 1/2^23).
Petr Pařízek / 2014 12 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Pozor, na některých zvukových kartách nebo dokonce v některých zvukových editorech bývá původně nastaveno, že je zvuk nahráván vždy 16-bitově, i když údajně nahráváme s rozlišením jemnějším, takže vlastně plýtváme místem na disku. Toto nastavení je třeba ručně vypnout buď v konkrétním editoru, nebo v řídícím programu zvukové karty. Existuje bohužel i horší varianta, že v příslušném editoru toto vypnout nelze, a pak je jediné řešení zvolit editor jiný, chceme-li si ověřit skutečné nahrávací možnosti zvukové karty, abychom po dlouhém nahrávání nezjistili, že naše soubory zabírají o polovinu více místa, než by mohly, aniž by se zhoršila kvalita.
Vidíme tedy, že digitální zvuková nahrávka je představována sekvencí čísel v rozsahu -1 až +1 zaznamenaných někdy přesněji, jindy méně přesně. Zároveň je možno přesněji či méně přesně, s ohledem na vzorkovací frekvenci, určit uplynulý čas zvuku. Toho dosáhneme tak, že si označíme jednotlivé vzorky pořadovými čísly od nuly vzestupně a příslušné pořadové číslo vydělíme vzorkovací frekvencí. Pokud bychom hypoteticky zvolili vzorkovací frekvenci 1000Hz, takže na každý vzorek by připadala 1/1000 sekundy (což pro záznam zvuku nemá smysl), pak např. vzorek na pozici 100 (tj. stý první přehrávaný vzorek) by byl přehrán přesně 1/10 sekundy po začátku zvuku a vzorek na pozici 500 (pětistý první přehrávaný vzorek) by byl přehrán přesně 1/2 sekundy po začátku zvuku.
3.2 ÚPRAVA ZVUKU
Jestliže plynoucí čas zvuku je dán vztahem vzorkovací frekvence a pozice vzorku, pak můžeme s nahraným materiálem zacházet skutečně jako se záznamem relativních změn akustického tlaku probíhajících v čase, tj. se záznamem zvuku. Samotná zvuková informace je představována čísly od -1 do +1 a vzdálenost sousedních vzorků v čase je určena zvolenou vzorkovací frekvencí. Proto můžeme upravovat zvukový záznam s pomocí jednodušších či složitějších matematických operací a předvídat, jak bude znít výsledek.
Chceme-li např. smíchat dva různé zvuky, vlastně tím říkáme, že první výstupní vzorek má být součtem prvního vzorku jednoho zvuku s prvním vzorkem jiného, druhý výstupní vzorek má být součtem druhého vzorku jednoho zvuku s druhým vzorkem jiného atd. Stačí tedy pokaždé uložit součet vstupních vzorků na příslušné pozici na tutéž pozici ve výstupním zvuku. Při této jednoduché operaci je však nutno uvážit, že cílové hodnoty se mají pohybovat mezi -1 a +1, takže buď musíme předem vědět, že součet toto splňuje, nebo jej před zápisem vydělíme 2. Většina
Petr Pařízek / 2014 13 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
zvukových editorů snižuje vyšší hodnoty na -1 nebo +1, čímž se zvuk slyšitelně zkreslí.
Jiná jednoduchá operace, kde není třeba nic předem dělit, je "amplitudová modulace", kde vzorky na příslušných pozicích namísto sčítání násobíme [#7, #8]. Tento efekt je zajímavý především tím, že výrazně změní celkový charakter zvuku, přestože podobnost s původními dvěma zvuky je stále patrná (tento jev je podrobněji vysvětlen v sekci 9.1 v kontextu součtových a rozdílových frekvencí).
Hlasitost zvuku můžeme měnit tak, že určitým zvoleným číslem vynásobíme či vydělíme hodnotu vzorku, zatímco rychlost můžeme měnit tak, že určitým číslem vynásobíme či vydělíme pozici vzorku. Např. kdybychom zapsali do výstupního souboru jen vstupní vzorky na sudých pozicích, nebo jen vstupní vzorky na lichích pozicích, vznikl by velmi zjednodušený postup pro dvojnásobné zrychlení zvuku - ten se však nepoužívá, neboť tím bychom do výstupu pouštěli frekvence vyšší než 1/2 vzorkovací frekvence a vzniklo by silné frekvenční zkreslení [#9, #10]. Pro kvalitní zrychlování je nutno buď před touto operací zbavit zvuk vysokých frekvencí, nebo použít složitější algoritmus, při kterém vysoké frekvence do výstupu neprojdou.
S ohledem na zesilování zvuku se nyní na chvíli vraťme k výše zmíněné číselné přesnosti, která se mění podle počtu bitů na vzorek. Je také možno zapisovat čísla s proměnlivou přesností (tento formát je zván "floating point"), což zjednodušeně znamená, že např. čísla v řádu desítek zaokrouhlíme s přesností na 1/100000, čísla v řádu tisíců zaokrouhlíme na nejbližší 1/1000, čísla v řádu miliónů zaokrouhlíme na jednotky a podobně [#11, "Fixed versus Floating Point"]. V takovém případě je však pro přijatelně kvalitní zápis potřeba použít alespoň 32 bitů na jedno číslo, a proto se tento formát dříve používal jen při obecných matematických operacích a do zvukového průmyslu začal pronikat teprve zhruba před 10 lety, kdy bylo již možno vybavit počítač poměrně velkým pevným diskem.
Formát "floating point" má tu výraznou výhodu, že snadno vyjádří čísla v rozsahu nohem větším než -1 až +1, takže umí-li zvukový editor správně zacházet s takovými čísly (některé to neumějí!), můžeme toho využít např. při míchání zvuků nebo při těch úpravách, které zvuk zesilují. Ovšem je třeba mít na paměti, že v tomto formátu je možno pouze zvuk upravovat nebo archivovat. Záznam a přehrávání zvuku probíhá vždy ve formátu s neměnnou přesností.
Petr Pařízek / 2014 14 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Aby se předešlo pokusům o nahrávání nebo přehrávání ve formátu "floating point" (což hardwarově nelze provést), na řadě zvukových karet a v některých editorech podle původního nastavení nesouhlasí formát přijímaných vzorků s formátem ukládaných vzorků a má-li souhlasit, musíme nastavení ručně změnit (viz výše). Rovněž je třeba uvážit, že i když budeme ukládat rozpracované zvuky ve formátu "floating point", konečnou verzi naší nahrávky musíme převést do některého z běžných formátů (tj. s neměnnou přesností) a předtím musíme mít jistotu, že náš záznam obsahuje pouze hodnoty od -1 do +1. Pokud ne, je nutno před převodem zvuk zeslabit, jinak ho editor zkreslí.
Petr Pařízek / 2014 15 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
4 PERIODICITA VE ZVUKU
Běžně se setkáváme s hrubým tříděním zvuků na "tóny" a "šumy" [#13]. Zjednodušeně lze říci, že jsou-li zvukové vlny v určitém ohledu pravidelné, vnímáme zvuk jako tón, zatímco jsou-li zcela nepravidelné, vnímáme zvuk jako šum. Mezi těmito dvěma extrémy je mnoho mezistupňů. Zde se věnujeme výhradně problematice tónů, neboť tóny jsou ty nejzákladnější prvky, ze kterých vzniká melodická nebo akordická hudba.
4.1 HLAVNÍ PARAMETRY PERIODY
Je-li zvuk zcela periodický, můžeme u příslušného tónu jasně určit několik stěžejních atributů.
Jedním z nich (právě s ním souvisí velká část tohoto textu) je výška tónu, která závisí na frekvenci dané periody [#12], [#14]. Tato frekvence se většinou udává v Hz (jako počet period za sekundu). Např. tón A1 (= "komorní A") má podle současných norem frekvenci 440Hz (i když regionálně to často není dodržováno, takže někde je preferována např. frekvence 443Hz, jinde 438Hz atd.).
Dalším parametrem je síla tónu, která závisí na celkovém vychýlení (rozkmitu) zvukové vlny. Pro ni se nepoužívají žádné absolutní jednotky a většinou bývá vyjádřena v decibelech (dB). To však není ideální, neboť dB ve skutečnosti vyjadřuje vztah dvou intenzit, nikoli jednu absolutní intenzitu, takže je to podobné, jako kdybychom výšku tónu popsali např. větou: "Teď zní šedesátý půltón." I přesto se tento způsob ujal a dodnes užívá.
Nejsložitějším parametrem tónu je jeho barva. O ní se dozvíme více v sekci 7.1 v kontextu tzv. "alikvotních tónů", často také "částkových tónů". Souhrnně lze říci, že barva tónu se mění podle toho, jaké výšky a síly mají jednotlivé alikvotní tóny a jak se tyto mění v průběhu zvuku. Jako je výška tónu dána frekvencí periody a jako je síla tónu dána vrcholovou amplitudou (rozkmitem) periody, barva tónu je dána jejím tvarem. Je-li pohyb pomalý a plynulý, slyšíme temnější barvu tónu, zatímco jsou-li v něm i pohyby rychlejší nebo skoky, slyšíme ostřejší barvu tónu.
Kromě frekvence (výšky tónu), vrcholové amplitudy (síly tónu) a tvaru (barvy tónu) určujeme u periody ještě jeden parametr, přestože sluchem jej nevnímáme - tj. fázi [#15]. Fáze je údaj o tom, jaká část periody uplynula od začátku nebo zbývá
Petr Pařízek / 2014 16 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
do konce, neboli v jaké části jejího trvání se právě nacházíme. Můžeme např. říci, že perioda je právě v 1/4 svojí délky nebo v 1/2 a podobně. Pozor, na rozdíl od předchozích uvedených parametrů, které se nemusejí v průběhu zvuku měnit, fáze se musí měnit stále, aby vůbec vznikl zvuk.
Při udávání fáze se hodnoty nad 1/2 často nahrazují doplňující zápornou hodnotou (míněno jaká část periody zbývá do konce), takže např. místo 3/4 použijeme -1/4. Kromě toho se často volí jiné jednotky než celé periody, takže udáváme-li fázi např. v radiánech [#16, "Radian"], pak jedné periodě odpovídá ~6,283 radiánů (= 2*π).
Fázi si můžeme dobře uvědomit třeba při pohybu hodinové ručičky, kde jedna perioda trvá 12 hodin. Jsou-li např. 3 hodiny, naše perioda je v 1/4 svojí délky. Takové periody proběhnou vždy 2 za jeden den a tento údaj (2 periody za den) vyjadřuje frekvenci.
Technika porovnávání fází se často užívá ke zjištění frekvence. Frekvence totiž ve skutečnosti není nic víc než údaj o tom, jak rychle se mění fáze, takže potřebujeme znát rozdíl dvou fází. Přesnost takového zjištění závisí na čase mezi jednotlivými měřenými fázemi.
Pokud například v určitou chvíli je fáze na hodnotě 1/4 periody a za 1/60 sekundy je na hodnotě 1/2 periody, znamená to, že průměrná frekvence je 15Hz, neboť rozdíl dvou fází je 1/4 periody (60 * 1/4 = 15). Pokud zaznamenáváme fáze každou 1/120 sekundy (tedy dvakrát častěji) a všechny rozdíly sousedních fází se rovnají 1/8 periody, dojdeme ke stejnému výsledku. Naproti tomu, je-li první fázový rozdíl např. 1/6 a druhý 1/12, nejdříve vyjde průměrná frekvence 20Hz a následně 10Hz, a je tedy zjevné, že frekvence se snižuje.
4.2 PŘÍKLAD PERIODICKÉHO PRŮBĚHU
Uvažme čtyřdobý takt, v němž jedna doba trvá přesně jednu sekundu a v němž se místo např. výšky tónu mění navzorkovaná amplitudová hodnota (v rozsahu -1 až +1). Na první době se tato hodnota neměnnou rychlostí zvyšuje od 0 k 1, na druhé době se touž rychlostí snižuje od 1 k 0, na třetí době se snižuje od 0 k -1, na čtvrté době se zvyšuje od -1 k 0.
Toto se může opakovat teoreticky do nekonečna. Pro lepší představivost můžeme takovou periodu prostorově znázornit např. pohybem prstu nahoru a
Petr Pařízek / 2014 17 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
dolů v rozsahu 2 metrů (jeden konec dráhy nazveme +1, druhý konec -1, střed je 0). Navzorkovaná hodnota se v tomto případě po celou první čtvrtinu periody (po celou první sekundu) zvyšuje stejně rychle jako plynoucí čas v sekundách.
Nyní utvořme jiný příklad, kde tuto periodu o jednu dobu předsuneme (původní druhá doba je tedy na pozici první a původní první doba dalšího taktu je na pozici čtvrté). Tyto dvě periody se vzájemně liší hned v několika aspektech, takže především hodnota odpovídající nulové fázi (tj. úplnému začátku nebo konci periody) je v prvním případě 0 a ve druhém případě 1. Kdyby však jedna doba taktu trvala jen několik milisekund, sluchem bychom mezi první a druhou uvedenou periodou nevnímali žádný rozdíl (neboť sluch fázi nevnímá).
Protože druhá uvedená perioda začíná (a končí) na kladném vrcholu a nikoli na hodnotě 0, vyplývá z toho, že při nulové frekvenci (tedy při úplném zastavení pohybu) je navzorkovaná hodnota stále +1. To znamená, že sice není nic slyšet (protože hodnoty se nemění), ale dochází k nežádoucímu posunutí celkového rozsahu. Při přehrávání takového zvuku sice není slyšet on sám, ale kdykoli přehrávání spustíme nebo zastavíme, interní vysílaná hodnota náhle skočí z 0 na 1 nebo z 1 na 0, takže se ozve silná rána.
V obou uvedených variantách periody je dosaženo klíčových pozic vždy jednou za sekundu (na začátku každé doby v taktu). V první verzi je to střed, kladný vrchol, střed, záporný vrchol; ve druhé verzi je to kladný vrchol, střed, záporný vrchol, střed. V prvním případě např. po uplynutí 0,8 sekund má vzorek hodnotu 0,8, ve druhém případě v témže čase má vzorek hodnotu 0,2.
Chceme-li naopak určit fázi periody vzhledem k navzorkované hodnotě, vidíme, že ta samotná k tomu nestačí. Naše perioda totiž za celou polovinu svého trvání prochází týmiž hodnotami, kterými projde i ve své druhé polovině (s výjimkou +1 a -1), takže každá jedna hodnota přísluší dvěma různým fázím. U jiných period je situace ještě obtížnější. V extrémních případech [#18] můžeme pouze určit, je-li perioda právě na svém počátku, nebo ne, ale pokud není, nepoznáme, v jaké fázi je.
Pokud ke zmíněnému pohybu nahoru a dolů v našem příkladu ještě přidáme pohyb doprava (pro znázornění času), vznikne tzv. "trojúhelníková perioda" [#16, "Triangle Wave"]. Zde je nutno připomenout, že samotný "stav" akustického tlaku je představován jednorozměrným údajem, zatímco druhý rozměr (čas) je dán rychlostí a pořadím přehrávaných vzorků.
Petr Pařízek / 2014 18 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Pro kratší zápis si nyní první variantu trojúhelníkové periody nazvěme "tr(x)" a tu druhou "trc(x)". Jestliže "x" představuje fázi (ať už v jakýchkoli jednotkách), pak platí následující dvě rovnosti: tr(-x) = -tr(x), trc(-x) = +trc(x)
Přehráváme-li tedy naši periodu pozpátku (tj. dáme-li jí zápornou frekvenci), v prvním případě vyjde totéž, jako když otočíme znaménko, zatímco ve druhém případě se nic nezmění. Pro úplnost dodejme, že pokud "x" vyjadřuje uplynulý čas v sekundách, pak je úplný začátek nebo konec periody představován násobkem 4, neboť v tomto konkrétním případě každá perioda trvá právě 4 sekundy.
Kvůli náhlým změnám směru se trojúhelník nehodí jako ideální model periodicity. Preferujeme periodu takovou, kde směrem ke středu se pohyb zrychluje a směrem k vrcholům se zpomaluje až do úplného zastavení. Tyto změny rychlosti jsou přísně definovány s ohledem na očekávané opakování celé periody. Vzniká tak perioda sinusová (pokud stoupá od 0), kosinová (pokud klesá od 1), případně jiná "sinusoidní" perioda, která je oproti sinusové nebo kosinové periodě fázově zpožděná nebo předsunutá [#16, "Sine"].
Jestliže hodnoty na příslušných fázích dvou variant trojúhelníkové periody jsme nazvali "tr(x)" a "trc(x)", hodnoty na příslušných fázích sinusové a kosinové periody nazveme "sin(x)" a "cos(x)". Podobně jako u dvou variant trojúhelníkové periody platí i zde, že kosinová perioda je ve vztahu k sinusové předsunutá o 1/4 svojí délky. Pozor, označení pro trojúhelník bylo zvoleno pouze pro účely tohoto textu, zatímco označení sinu a kosinu je definováno v mnohé matematické literatuře.
Je-li naším požadavkem, aby při procházení nulou byl pohyb stejně rychlý jako předtím a aby se na vrcholech úplně zastavil, vyplývá z toho, že pak musí jedna perioda trvat déle než 4 sekundy. Je to ~6,283 sekund (zmíněných 2*π), takže čtvrtina periody již netrvá 1 sekundu, ale π/2 sekund. Navíc si můžeme všimnout, že hodnoty na úplném začátku/konci každé čtvrtperiody jsou stejné jako u trojúhelníku, ale všechny ostatní hodnoty uvnitř periody se liší.
Odtud vzniká měření v radiánech, kde hodnota 2*π odpovídá jedné periodě zcela bez ohledu na skutečnou rychlost, takže např. při frekvenci 2Hz se po uplynutí jedné sekundy zvýší fáze o 4*π radiánů (míněno o 2 celé periody), zatímco při frekvenci 0,5Hz se za 1 sekundu zvýší fáze o pí radiánů (o 1/2 periody). Protože pro správný výpočet sinů a kosinů je nutno udat fázi právě v radiánech
Petr Pařízek / 2014 19 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
(chceme-li se vyhnout dodatečným převodům), budeme při používání sinů a kosinů ve vzorcích vyjadřovat fázi v radiánech po většinu následujícího textu.
Protože sinusová perioda se od kosinové liší jen svojí fází, sluchem vnímáme obě zcela shodně. Proto se často setkáme s výrazem "sinusový tón" pro označení jak sinusové, tak kosinové nebo jiné sinusoidní periody [#18].
Petr Pařízek / 2014 20 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
4.3 AMPLITUDOVÁ MODULACE
S amplitudovou modulací se setkáváme častěji, než si možná myslíme. Z matematického hlediska je amplitudová modulace poměrně snadná, neboť podobně jako při míchání zvuků, kde se signály sčítají, při amplitudové modulaci se signály násobí.
Nyní je na místě otázka, jak lze popsat zvukový efekt, který takovým vynásobením dvou signálů vznikne. Pro jednoduchost předpokládejme, že obě vstupní periody mají sinusový nebo kosinový tvar a že jejich fáze označíme "a" a "b". V takovém případě platí tyto základní rovnosti [#16, "Prosthaphaeresis Formulas"]: sin(a) * sin(b) = (cos(a-b) - cos(a+b)) / 2 cos(a) * cos(b) = (cos(a-b) + cos(a+b)) / 2
Přesuneme-li se z oblasti statických fází do oblasti frekvencí, z uvedených vzorců poznáme, že vynásobením našich dvou period dostaneme vlastně souzvuk jiných dvou period, jejichž frekvence jsou rozdílem a součtem původních dvou frekvencí. Můžeme tak snadno vytvářet souzvuky zcela jiných výšek tónů, než jaké znějí na našich původních záznamech. Mají-li např. původní periody frekvence 100Hz a 400Hz, jejich vzájemnou amplitudovou modulací vzniká souzvuk period o frekvencích 300Hz a 500Hz.
Můžeme si všimnout, že perioda o rozdílové frekvenci se v obou uvedených případech objeví v podobě kosinu, zatímco perioda součtová má v prvním případě tvar protikladného kosinu a ve druhém případě tvar běžného kosinu (tj. poprvé je kosinus odečítán, podruhé přičítán). Tohoto efektu můžeme využít, chceme-li rozdílovou nebo součtovou frekvenci získat samotnou. Známe-li zároveň siny i kosiny náležející příslušným fázím, můžeme použít tyto rovnosti: cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b) = cos(a-b) cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b) = cos(a+b)
Vidíme, že chceme-li oddělit rozdílovou nebo součtovou frekvenci, musíme mít možnost zpozdit nebo předsunout vstupní periody přesně o 1/4 jejich délek (abychom proměnili siny v kosiny nebo naopak). Postup, jakým lze tohoto dosáhnout, je vysvětlen v sekci 11.3 v kontextu konvoluce.
Petr Pařízek / 2014 21 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Tento fenomén rozdílových a součtových frekvencí by mohl někoho přivést na myšlenku zdvojnásobit vstupní frekvenci tím, že původní signál amplitudově modulujeme (vynásobíme) jím samým. Je však nutno mít na paměti dvě důležité skutečnosti. Zaprvé, toto lze provést pouze tehdy, je-li na vstupu opravdu jen jedna samotná sinusoidní perioda, jinak by pro každou další vznikl nový rozdílový a součtový tón. Zadruhé, i kdyby na vstupu byla jen jedna samotná sinusoidní perioda, součtová frekvence sice bude skutečně dvojnásobkem té původní, ale rozdílová frekvence 0Hz se projeví jako nežádoucí přidaná konstanta blokující část rozsahu vzorkovaných hodnot (viz výše). Tato konstanta se mění přímo úměrně s hlasitostí výstupního signálu, takže nemá-li náš signál stále stejnou hlasitost, nemůžeme na výstupu konstantu jednoduše odečíst.
Ještě složitější situace by nastala, kdybychom chtěli snížit frekvenci na její 1/2 s využitím 2. odmocniny. Nejenže bychom před odmocněním museli k původní periodě přičíst každou chvíli jinou konstantu (s ohledem na hlasitost), ale zároveň bychom museli na vhodných místech střídat kladnou a zápornou odmocninu (tam, kde se v původním záznamu mění směr pohybu z klesajícího na stoupající). Tento postup je tedy pro praxi zcela nepoužitelný, a proto se pro změnu výšky tónu používají různé jiné algoritmy, které nejsou založené na mocnění a odmocňování. Nicméně pokud známe referenční vrcholovou amplitudu vstupní periody a máme stoprocentní jistotu, že ta se nemění, pak můžeme i tuto limitovanou metodu vzácně použít k nalezení příslušného sinu nebo kosinu (v příloze A je vypsán program pro Microsoft Quickbasic, který takto střídá odmocniny při zadané posloupnosti čísel).
Je-li amplitudově modulován takový souzvuk, jehož sousední frekvence mají shodný rozdíl, můžeme dosahovat zajímavých efektů, podaří-li se nám přesně synchronizovat fáze vstupních a modulujících period. To je zvláště patrné u takových souzvuků, jejichž frekvence jsou všechny dělitelné jednou vztažnou hodnotou.
Uvažme nyní jako příklad sinusovou periodu o frekvenci 100Hz (periodu, jejíž fáze se každou 1/100 sekundy zvýší o 2*π radiánů), kde fázi označíme "x". Dále mějme následující souzvuk kosinových period: cos(6*x) + cos(4*x) + cos(2*x) + cos(0*x) + cos(-2*x) + cos(-4*x) + cos(-6*x)
Petr Pařízek / 2014 22 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Protože rovnosti uvedené v předchozí sekci platí nejen u trojúhelníků, ale i u sinů a kosinů, pak můžeme zápis zkrátit takto:
2*cos(6*x) + 2*cos(4*x) + 2*cos(2*x) + 1
Vidíme, že ve skutečnosti se tedy jedná o souzvuk period o frekvencích 600Hz, 400Hz a 200Hz, které mají dvojnásobnou hlasitost (vrcholovou amplitudu), i když přidaná konstanta má hodnotu 1.
Budeme-li tento souzvuk amplitudově modulovat dříve zmíněným "sin(x)", místo jiného složitého souzvuku vyjde samotný "sin(7*x)", což si snadno ověříme postupným sčítáním a odčítáním součtových a rozdílových period (podrobněji o fázových posuvech v sekci 9.1).
Jestliže zmíněný souzvuk kosinových period předsuneme nebo zpozdíme o 1/400 sekundy, dostaneme:
-2*cos(6*x) + 2*cos(4*x) - 2*cos(2*x) + 1
Tento souzvuk můžeme amplitudově modulovat buď periodou "cos(x)", čímž získáme "cos(7*x)", nebo původním neposunutým souzvukem, čímž získáme souzvuk jiný:
2*cos(12*x) + 2*cos(8*x) + 2*cos(4*x) + 1
V tomto posledním případě se tedy všechny frekvence zdvojnásobily, aniž se tónům změnila hlasitost.
Petr Pařízek / 2014 23 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
5 DVOJZVUKY
Na první pohled by se mohlo zdát, že dvojzvuk se od jednoho tónu liší jednoduše jen tím, že jde o dva tóny znějící současně. Ve skutečnosti zde hraje roli ještě řada dalších věcí, které dávají dvojzvuku určité zabarvení. Každý tón, který zpíváme nebo hrajeme, v sobě skrývá kromě samotného základního tónu ještě mnoho dalších vyšších tónů, které se nazývají "alikvotní" nebo "částkové" tóny, někdy též "svrchní" tóny (více o nich v sekci 7.1). Díky nim např. poznáme, o jakou zvukovou barvu se jedná nebo jakou hlásku zpěvák vyslovuje.
Kromě těch tónů, které při hře nebo při zpěvu sami tvoříme, můžeme ve dvojzvuku vnímat ještě další tóny, což je částečně způsobeno prostorem, ve kterém se tóny šíří, dále pak samotným akustickým mícháním znějících tónů. Výraznost a zabarvení takových nově vzniklých tónů závisí nejen na druhu intervalu, ale i na různých činitelích v rámci daného prostoru (pokud každý tón hraje jiný nástroj, je důležitá vzdálenost mezi nimi; dále hraje roli velikost místnosti, pozice posluchače apod.).
Tyto nově vzniklé tóny se většinou projevují slabě, takže při hře není nutné si jich příliš všímat. V některých situacích jsou však slyšet velmi zřetelně a mohou hrát důležitou roli. Jejich přesné definice nyní popíšeme ve větším detailu.
5.1 PRIMÁRNÍ VLASTNOSTI DVOJZVUKU
Abychom mohli pracovat s konkrétními dvojzvuky a tónovými vztahy, musíme mít možnost určit absolutní výšku tónu. Znovu si připomeňme, že ta se nejčastěji udává jako kmitočet v Hz (tj. počet period za sekundu) a že frekvence "komorního A" (= A1) se v našich zemích pohybuje okolo 440-442Hz.
Uvažujme nástroj se dvěma strunami, kde delší struna zní tónem o frekvenci 200Hz a kratší struna zní tónem o frekvenci 300Hz (jak je vysvětleno v kapitole 12, tyto dva tóny jsou od sebe vzdálené o kvintu). Jedna perioda (jeden kmit tam a zpět) tedy trvá 1/200 sekundy u nižšího tónu a 1/300 sekundy u vyššího.
V uvedeném příkladu se jedná o frekvence v poměru 2:3, a proto delší struna vykoná dva kmity za stejnou dobu, za jakou kratší struna vykoná tři. V tomto konkrétním případě trvá jeden takový cyklus 1/100 sekundy. Díky tomuto cyklu vzniká třetí tón (o frekvenci 100Hz), který nezní na žádném nástroji, a je způsoben
Petr Pařízek / 2014 24 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
pouhým akustickým sčítáním dvou znějících tónů. Tento "neznějící" tón je většinou znám jako "základní tón" nebo "akustický základní tón" [#19, "fundamental"]. Z matematického hlediska se jeho frekvence rovná nejvyššímu společnému děliteli frekvencí znějících tónů.
Jiný takový tón, který nehrajeme, a v souzvuku může vzniknout, je přesný protějšek základního tónu známý jako "průvodčí tón" [#19, "guide-tone"]. Jako se frekvence základního tónu rovná nejvyššímu společnému děliteli frekvencí znějících tónů, tak je frekvence průvodčího tónu jejich nejnižším společným násobkem. V našem případě má průvodčí tón frekvenci 600Hz.
V samotném zvukovém spektru je průvodčí tón velmi nevýrazný (v temnějších zvukových barvách ho vůbec nenajdeme), ale měli bychom o něm vědět, chceme-li dokázat co nejpřesněji naladit hudební nástroj do některého konkrétního ladění (více v sekci 14.6 v kontextu středotónového ladění). V příští podkapitole je vysvětleno, jakou roli hraje průvodčí tón u tzv. "kmitů" nebo "rázů", které slouží jako nejdůležitější pomůcka při ladění.
Význam průvodčího tónu si můžeme předvést na následujícím příkladu, který znázorňuje dvě frekvence v poměru 2:3. Vzdálenosti mezi jednotlivými sloupci představují čas "průvodčího" kmitu. Sloupce jsou očíslovány na horním řádku. Rychlejší kmit je znázorněn znakem “+“ na prostředním řádku, pomalejší je na spodním. (Poznámka: čísla 10-12 byla z grafických důvodů nahrazena písmeny A- C.)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C
+ + + + + + +
+ + + + +
Předpokládáme-li, že jeden sloupec představuje čas 1/600 sekundy, prostřední řádek pak znázorňuje kmitočet 300Hz a dolní řádek 200Hz.
Můžeme si všimnout, že vždy po šesti sloupcích (tj. 100-krát za sekundu) se fázové vztahy obou period opakují. Tak vzniká nový cyklus, který chápeme jako základní tón daného intervalu.
Význam těchto "neznějících" tónů si můžeme ověřit zajímavým pokusem. Znějící tóny snížíme na pouhé 1% jejich frekvence (tj. 2Hz a 3Hz). Sluch nevnímá tyto nízké frekvence jako tóny, ale jako opakované rázy. Při poslechu obou rychlostí
Petr Pařízek / 2014 25 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
současně si všimneme, že jednou za sekundu (základní frekvence je 1Hz) se celkový rytmus opakuje a že nejkratší čas mezi dvěma rázy je 1/6 sekundy (průvodčí frekvence je 6Hz). Toto propojení známe z běžné hudební praxe jako rytmus 2:3.
5.2 SEKUNDÁRNÍ VLASTNOSTI DVOJZVUKU
Základní a průvodčí tón intervalu jsou tóny lehce vysvětlitelné a obhájitelné. Základní tón dodává intervalu synchron a je hlavním tvůrcem jeho "charakteru", průvodčí tón nás informuje o sebemenším rozladění intervalu. Navíc, oba tyto tóny můžeme dobře dokumentovat na konkrétních akustických příkladech.
Je zde však ještě několik dalších jevů, které společně s jevy dříve vysvětlenými utvářejí charakter intervalu. Jsou to svým způsobem imaginární tóny, které si do dvojzvuku jakoby doplňuje sluch sám. Na žádném nástroji je nehrajeme, jejich existenci neobhájíme žádným čistě akustickým jevem, a sluch je přesto v intervalu vnímá. Běžný hudebník je nevnímá vědomě, protože jeho sluch na tuto problematiku není soustředěný, ale přesto ví, že každý interval má něco jako svoji náladu nebo charakter.
Tyto tóny se projevují především u temnějších zvukových barev a to hlavně ve vysokých polohách (dvoučárkovaná oktáva a výš), v ostřejších zvucích je mnohdy neslyšíme. I když je ve dvojzvuku vnímáme spíše vlivem vlastního sluchového orgánu než vlivem konkrétních akustických jevů, můžeme přesně zjistit jejich frekvence [#20].
Zatímco primární vlastnosti dvojzvuku jsou dvě, sekundárních vlastností je víc, ale zde se zmíníme jen o čtyřech nejdůležitějších. Jejich pojmenování budeme odvozovat z jejich vztahů ke znějícím tónům - "součet", "vlastní rozdíl" (zjednodušeně jen "rozdíl"), "nižší druhý rozdíl" a "vyšší druhý rozdíl" (někdy bývá uváděn i nižší nebo vyšší druhý součet).
Jako je v rámci primárních vlastností velmi nevýrazný průvodčí tón, v rámci sekundárních vlastností je velmi nevýrazný součet nebo vyšší druhý rozdíl; většinou až natolik, že ani velmi jemně vycvičený sluch si ho nevšimne. Důvod je pravděpodobně ten, že součet a vyšší druhý rozdíl, podobně jako průvodčí tón, jsou tóny výrazně vyšší než skutečné znějící tóny, a je tedy velmi silná pravděpodobnost, že se slyšitelně neprojeví.
Petr Pařízek / 2014 26 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Součet a vlastní rozdíl je skutečný součet a rozdíl frekvencí znějících tónů. Nižší druhý rozdíl vznikne odečtením vyšší frekvence od dvojnásobku nižší, zatímco vyšší druhý rozdíl dostaneme naopak odečtením nižší frekvence od dvojnásobku vyšší.
Toto vše lze shrnout do následujících výrazů:
X = nižší frekvence Y = vyšší frekvence Y +X = součet Y –X = vlastní rozdíl 2 X –Y = nižší druhý rozdíl 2 Y –X = vyšší druhý rozdíl
Je zajímavé, že u některých intervalů mají určité vlastnosti dvojzvuku shodnou frekvenci. Např. u již zmíněné čisté kvinty je základní tón stejný jako vlastní rozdíl, a dokonce je stejný jako nižší druhý rozdíl. Taková shoda způsobí, že sluch vnímá tento konkrétní tón ve dvojzvuku obzvlášť výrazně, přestože jej nehrajeme.
Pro příklad dvojzvuku popsaného s jeho celkovým charakterem Tentokrát uvažujme frekvence 300Hz a 400Hz. Ty jsou v poměru 3:4, a proto slyšíme kvartu (viz kapitolu 12). Frekvence součtového tónu je 700Hz, základní tón i vlastní rozdíl má frekvenci 100Hz, průvodčí tón má 1200Hz. Druhé rozdíly mají frekvence 200Hz a 500Hz.
Některé z uvedených tónů možná ve dvojzvuku uslyšíme, dokážeme-li si k tomu vycvičit sluch, a to ještě pokud jde o temnější zvukovou barvu. Průvodčí tón, součtový tón a vyšší druhý rozdíl se pravděpodobně téměř neprojeví, slabě se ozve nižší druhý rozdíl a nejvíc vynikne vlastní rozdíl, protože je zároveň základním tónem. V ostřejších barvách se většinou výrazně projevuje pouze základní tón, ostatní jsou silně potlačeny.
Důležitá je i skutečnost, že všechny tyto speciální tóny jsou nejvíce slyšet hlavně u dvojzvuků. Jejich síla se u některých zvukových barev zjemňuje, jestliže přidáváme další tóny. Jedinou výjimkou je základní tón, pokud je stejný u více intervalů. Někdy se dokonce základní tón projevuje výrazněji v akordu než ve dvojzvuku.
Petr Pařízek / 2014 27 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
5.3 VNÍMÁNÍ ODLADĚNÝCH (NEČISTÝCH) DVOJZVUKŮ
Dosud jsme pracovali s dvojzvuky, jejichž frekvence byly v přesném poměru, který lze vyjádřit malými celými čísly. S takto čistě vyladěnými intervaly se ale v hudební praxi v podstatě nesetkáme. Běžně používané intervaly se těmto dvojzvukům přibližují, ale nerovnají. Jednoduše řečeno, lidský sluch porovnává takový interval s nejbližším čistým intervalem. Pro podrobnější vysvětlení nejdříve zaveďme pro přehlednost následující symboly:
X = nižší frekvence Y = vyšší frekvence Z = základní tón P = průvodčí tón
Objeví-li se před symbolem tilda (~), uvedený údaj se týká nejbližšího čistého intervalu, nikoli intervalu znějícího. Výjimkou je symbol "~P", který nepředstavuje jednu konkrétní hodnotu, ale rozsah od jedné hodnoty k jiné.
V sekci 5.1 jsme uvedli dvojzvuk tónů o frekvencích 200Hz a 300Hz. Už víme, že k nim svým způsobem patří dvě další frekvence ("Z = 100, P = 600"). Následně se zde objeví ještě další dvě hodnoty, které nevyjadřují frekvence, ale spíš samotný interval. Frekvence tónů jsou v poměru 2:3 (tj. čistá kvinta), a proto platí:
X/Z = 2, Y/Z = 3
Nabízí se nyní otázka, co se stane, jestliže místo frekvencí 200Hz a 300Hz použijeme např. 200Hz a 301Hz. Hodnoty X/Z a Y/Z naráz ztratí svůj význam, protože sluch tento dvojzvuk vyhodnotí jako jemně odladěnou kvintu, nikoli jako úplně jiný interval. Tento fakt vyjádříme přiřazením hodnot:
~X/Z = 2, ~Y/Z = 3
Průvodčí tón se najednou jakoby rozdvojí. Zatímco v původní čisté kvintě byl jen jeden ("P = 600"), zde se mu přibližují dva ("X * ~Y/Z = 600, Y * ~X/Z = 602"). Z jedné frekvence se tedy stává jakési úzké frekvenční pásmo ("~P = 600-602"). A právě v oblasti ~P uslyšíme pravidelné amplitudové změny způsobené fázovými posuvy. Této jemné pulzaci říkáme "zázněje", "kmity" nebo "rázy" [#21]. Odečtením zmíněných dvou čísel ("602 - 600 = 2") dostaneme frekvenci výsledných rázů v intervalu.
Petr Pařízek / 2014 28 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Při zjišťování rázů se dozvíme nejen jejich rychlost, ale i jejich směr. Tak poznáme, z jaké strany se znějící interval blíží čistému intervalu. Ve dvojzvuku 200Hz a 301Hz mají rázy frekvenci 2Hz ("602 - 600 = 2"), zatímco ve dvojzvuku 201Hz a 300Hz jsou to -3Hz ("600 - 603 = -3"). Pokud tedy v původní kvintě zvýšíme o 1Hz dolní tón místo horního, výsledné rázy budou rychlejší a navíc půjdou opačným směrem.
Záporná frekvence rázů znamená, že znějící interval je užší než nejbližší čistý interval; kladné rázy vzniknou, je-li znějící interval širší. Toto pravidlo platí u intervalů stoupajících. V případě intervalů klesajících je to opačně. Pokud např. k tónu o frekvenci 400Hz přidáme tón o frekvenci 299Hz (tj. o 1Hz nižší než klesající čistá kvarta), získáme jemně rozšířenou kvartu směrem dolů, ve které vzniknou záporné rázy o frekvenci 4Hz (tj. "1196 - 1200 = -4").
Petr Pařízek / 2014 29 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
6 LINEÁRNÍ A EXPONENCIÁLNÍ VZTAHY FREKVENCÍ
6.1 VNÍMÁNÍ EXPONENCIÁLNÍCH VZTAHŮ SLUCHEM
Stěžejní způsob, kterým jsme až doposud určovali výšku tónu, bylo udávání frekvence v Hz. Zjistili jsme, že ta může být i nulová (což nemusí znamenat absolutní ticho) nebo vzácně dokonce záporná (přičemž výsledná perioda může a nemusí být tatáž jako při frekvenci kladné). Zní-li více tónů současně, můžeme hledat rychlosti záznějů jako rozdíly znějících frekvencí.
Pro hudební účely se však mnohem lépe hodí jiný způsob porovnávání frekvencí, který nevychází z jejich rozdílů, ale z jejich poměrů (tj. podílů). Je to proto, že právě podílem frekvencí je dán interval, který slyšíme mezi znějícími tóny [#15]. Nejsou zde tedy důležité lineární vztahy frekvencí, ale vztahy exponenciální.
Znějí-li např. dva tóny po sobě, kde frekvence druhého tónu je dvojnásobkem frekvence tónu prvního, pak je druhý tón o oktávu vyšší než ten první. Naopak je-li frekvence druhého tónu 1/2 frekvence toho prvního, druhý tón je o oktávu nižší než ten první. Znamená to, že frekvenční poměr 2/1 vyjadřuje zvýšení tónu o oktávu a frekvenční poměr 1/2 vyjadřuje snížení tónu o oktávu, ať už jsou absolutní frekvence jakékoliv (např. zní-li současně 200Hz a 400Hz nebo 300Hz a 600Hz nebo 500Hz a 1000Hz, slyšíme oktávu).
Chceme-li utvořit souzvuk několika zřetězených oktáv, pak každou další frekvenci buď zdvojnásobíme, má-li výška stoupat, nebo rozpůlíme, má-li klesat (např. 100:200:400:800Hz). Můžeme si všimnout, že poměry sousedních frekvencí jsou totožné (směrem nahoru vždy 2/1), zatímco jejich rozdíly se směrem nahoru zvětšují.
Jak bylo uvedeno dříve, podle mezinárodního standardu má tón A1 frekvenci 440Hz, přičemž např. A2 pak má frekvenci 880Hz a A3 má frekvenci 1760Hz. Můžeme si všimnout, že i když mezi sousedními tóny slyšíme v obou případech tentýž interval (oktávu), rozdíly sousedních frekvencí se liší (440Hz, 880Hz).
Je zde opět patrné, že vnímaný interval není dán rozdílem frekvencí, ale poměrem, který se v obou případech rovná 2/1. Tento poměr tedy funguje jako specifický lineární frekvenční faktor, kterým lze o oktávu zvýšit tón o jakékoli absolutní frekvenci. V příštím textu budeme pro tuto hodnotu užívat označení "lineární faktor" poměrně často.
Petr Pařízek / 2014 30 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
6.2 VYUŽITÍ A MĚŘENÍ EXPONENCIÁLNÍCH FREKVENČNÍCH VZTAHŮ
Exponenciální manipulaci s frekvencemi si můžeme předvést i tak, že přehrajeme zvukový záznam jinou než jeho původní rychlostí. Výsledný efekt vnímáme jako změnu nejen rychlosti, ale i výšky. Avšak protože se všechny frekvence změnily ve stejném poměru, slyšíme stále tytéž intervaly mezi tóny.
Chceme-li porovnávat výšky tónů na základě sluchového vjemu, použité jednotky by s ním měly být zcela v souladu (tj. tak, aby např. 2 oktávy byly vyjádřeny dvojnásobkem hodnoty oktávy, 5 oktáv jejím pětinásobkem atd.). Abychom toho dosáhli, musíme logaritmicky převést poměry frekvencí na jiné jednotky, které promění poměr v rozdíl (tj. exponenciální vztahy frekvencí převedeme na lineární vztahy jiných jednotek). Jednotek tohoto druhu byla navržena celá řada, avšak nade všemi vítězí tzv. "cent", který exponenciálně dělí oktávu na 1200 stejně velkých intervalů [#19, "cent"]. Oktáva má tedy 1200 centů a současný temperovaný půltón má 100 centů. V příštím textu budeme často pracovat jak s lineárními faktory, tak s velikostmi v centech, abychom mohli snadno porovnávat intervaly tvořené lineárními i exponenciálními úpravami.
Intervaly v centech a lineární faktory můžeme vzájemně převádět pomocí těchto vzorců, kde "f" je faktor, "c" je interval v centech a oba logaritmy mají stejný základ: c = log(f)*1200/log(2) f = 2^(c/1200)
Petr Pařízek / 2014 31 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
7 ALIKVOTNÍ A HARMONICKÉ TÓNY, BARVA ZVUKU
7.1 ALIKVOTNÍ TÓNY
Kdykoli zazpíváme nebo zahrajeme tón, nikdy nezní jen jeden tón sám. Ve skutečnosti zní mnoho tónů různých výšek a sil. Nejnižší tón bývá zpravidla nejsilnější a nazývá se "základní" nebo "fundamentální" tón, zatímco vyšší slabší tóny jsou známy jako tóny "alikvotní" nebo "částkové", v angličtině "overtones" [#22].
Zjednodušeně můžeme říci, že jsou-li alikvotní tóny jen o málo slabší než tón základní, vnímáme zvukovou barvu jako ostřejší, zatímco jsou-li výrazně slabší, vnímáme zvukovou barvu jako temnější. Síla alikvotních tónů i základního tónu se může v průběhu zvuku měnit, takže např. při úderu nebo drnknutí na strunu doznívají alikvotní tóny značně rychleji než základní tón.
Jestliže barva tónu je tím temnější, čím slabší jsou jeho alikvotní tóny, nejtemnější barvu má tedy takový tón, který neobsahuje žádné alikvotní tóny. Matematicky odpovídá tomuto zvuku sinusová perioda. Zvukovou podobu sinusové periody je možno získat pouze elektronicky. Z akustických zvuků se jí zřetelně podobá např. tón hliněné okariny nebo pískání na ústa.
Nyní je na místě otázka, jaké intervaly jsou mezi jednotlivými alikvotními tóny (tedy jaké poměry jsou mezi jejich frekvencemi). Odpověď zní, že pokud se zdroj zvuku chvěje zcela pravidelně, všechny znějící frekvence jsou celými násobky frekvence základního tónu. Jsou-li naopak v souzvuku i jiné frekvence než celé násobky té základní, pak se pravděpodobně chvěje zdroj zvuku nepravidelně.
7.2 HARMONICKÉ TÓNY A FREKVENCE
Jako harmonická frekvence je definována taková frekvence, která je celočíselným násobkem jiné vztažné (základní) frekvence. Jako harmonický tón je pak definován takový tón, jehož frekvence je celočíselným násobkem frekvence jiného vztažného tónu [#11, "Harmonics"]. Zazní-li vzestupně nebo sestupně několik sousedních tónů této množiny, vzniká část "řady harmonických tónů" (tato řada nemá ve vzestupné podobě pevný konec a v sestupné podobě nemá pevný začátek).
Petr Pařízek / 2014 32 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Jestliže se těleso chvěje pravidelně, vydávané alikvotní tóny bývají zpravidla harmonické ve vztahu k tónu základnímu. Je však důležité si uvědomit, že ne každý alikvotní tón je současně harmonickým tónem a naopak. Samotná definice harmonického tónu nevypovídá nic o tom, jestli vztažný základní tón zní současně s ním nebo jestli vůbec zní.
Harmonické tóny bývají většinou pojmenovávány podle násobku frekvence tónu základního. Proto např. tón o frekvenci 600Hz můžeme brát jako 2. harmonický ve vztahu k tónu o frekvenci 300Hz, ale i jako 3. harmonický ve vztahu k tónu o frekvenci 200Hz, případně jako 5. harmonický ve vztahu k tónu o frekvenci 120Hz a podobně.
Petr Pařízek / 2014 33 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
8 PERIODICITA SOUZVUKŮ
8.1 SYNTÉZA ZVUKU
Díky specifickým vlastnostem sinusové periody lze v podstatě každý pohyb (ať už akustický, hmotný, tepelný či jakýkoli jiný) rozštěpit na sérii sinusových period o různých frekvencích, intenzitách a fázích, a chápat takový pohyb jako paralelní součet (tj. lineární kombinaci) všech těchto period. Pokud např. smícháme sinusové periody o frekvencích násobků 100Hz (od 100Hz teoreticky do nekonečna) tak, že intenzita každé periody bude nepřímo úměrná frekvenci (tj. nejnižší tón má intenzitu 100%, další 50%, další 33,33.% atd.), vznikne přísná klesající perioda pilového tvaru o frekvenci 100Hz. Z hlediska frekvenční analýzy můžeme tedy popsat pilovou periodu pomocí pravidelné řady harmonických tónů, neboť všechny použité tóny sinusových period jsou "harmonickými tóny" ve vztahu k tónu nejnižšímu - tj. všechny frekvence jsou celými násobky nejnižší použité frekvence.
Tento proces, při němž převádíme pohyb v určitém čase na sérii frekvencí, amplitud a fází, je znám jako "Fourierova transformace" a je klíčovým nástrojem v oboru spektrální analýzy [#16, "Fourier Transform"]. Takto převedené spektrum však neobsahuje žádnou informaci o průběhu v čase, takže se jedná vlastně o statický obraz zvukového spektra. Zcela přesně lze tedy takto vyjádřit pouze periodická spektra.
8.2 AKUSTICKÁ PERIODICITA, PERIODICKÉ SOUZVUKY
Akustická periodicita je nejpatrnější u samostatných jednoduchých tónů, které mají svoji konkrétní danou frekvenci. Iracionální vztahy běžných hudebních intervalů by mohly někoho přivést k mylnému předpokladu, že souzvuk dvou nebo více tónů je svým celkovým charakterem vždy neperiodický. Ve skutečnosti však, zní-li několik tónů současně, může být výsledný souzvuk periodický nebo neperiodický, podle toho, jaké jsou poměry frekvencí znějících tónů.
Periodické jsou především souzvuky takových tónů, jejichž frekvence lze všechny dělit jednou nejvyšší společnou hodnotou - bez ohledu na to, zda se jejich periodicita projevuje slyšitelně, nebo ne. Objevuje se tu tedy další frekvence, která nepatří žádnému jednomu ze znějících tónů, ale samotnému souzvuku.
Petr Pařízek / 2014 34 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Mají-li např. znějící tóny frekvence 401Hz, 504Hz a 599Hz, periodicita výsledného souzvuku má frekvenci 1Hz a víceméně není slyšet. Naproti tomu, znějí-li tóny o frekvencích 400Hz, 500Hz a 600Hz, výsledný souzvuk vykazuje dobře slyšitelnou periodicitu o frekvenci 100Hz. Tón o této nově vzniklé frekvenci je již zmíněný "akustický základní tón", který jsme definovali v sekci 5.1.
V obou uvedených případech platí, že za jednu celou dobu trvání periody základního tónu zazní vždy tentýž celý počet period jednotlivých znějících tónů. Proto se vždy po uplynutí jedné periody základního tónu začnou přesně opakovat fázové vztahy jednotlivých kmitů, a tak vzniká synchronní komplexní perioda o frekvenci základního tónu. Např. za 1/100 sekundy zazní 4 periody tónu o frekvenci 400Hz, 5 period tónu o frekvenci 500Hz a 6 period tónu o frekvenci 600Hz, takže znějí-li všechny současně, můžeme takový zvuk brát buď čistě jako souzvuk těchto 3 frekvencí, nebo jako složený tón (se svojí specifickou barvou) o frekvenci 100Hz.
Odtud pocházejí počátky souzvukových a harmonických systémů v hudbě. Než začala přicházet do praxe temperovaná ladění, za vzorové čisté souzvuky byly vždy považovány ty, jejichž akustická periodicita byla jasně slyšitelná a někdy skoro navozovala dojem dalšího znějícího tónu. Zahrajeme-li např. současně tóny "C-E- G" v malé oktávě a tón E jemně snížíme oproti běžnému 12-tónovému ladění (zhruba o 15 centů), přibližnou akustickou periodicitu pak slyšíme jako tón kontra C (zcela periodický souzvuk by vznikl, kdybychom zvýšili G o necelé 2 centy - tj. 0- 386-702 centů).
Je-li mezi všemi sousedními frekvencemi společný lineární rozdíl, souzvuk je periodický, jestliže lze jednotlivé frekvence vyjádřit přirozeným zlomkem v poměru k hodnotě rozdílu. Např. v souzvuku 200Hz, 500Hz a 800Hz jsou sousední frekvence vzdálené o 300Hz, přičemž ta nejnižší se rovná 2/3 rozdílu, prostřední 5/3 a nejvyšší 8/3 rozdílu. Pak vzniká částečná periodicita o frekvenci 300Hz a celková periodicita o frekvenci 100Hz (jev částečné periodicity je zkoumán v příští podkapilole).
Znovu si tímto připomínáme, že frekvence akustického základního tónu konkrétního souzvuku (tj. jeho celkové periodicity) se rovná nejvyššímu společnému děliteli frekvencí všech znějících tónů, neboť během jedné periody tohoto základního tónu proběhne celý počet period každého znějícího tónu. Začínají-li všechny periody ve stejné fázi, po každém takovém cyklu se fáze všech kmitů sejdou. V opačném případě se sice nesejdou, ale stále platí, že se jejich
Petr Pařízek / 2014 35 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
fázové vztahy pravidelně opakují. Jestliže se frekvence základního tónu pohybuje v rozsahu slyšitelných tónů (zhruba 20-20000Hz), fázová shoda kmitů přestává být pro sluch postřehnutelná, takže jev periodicity je pak vnímán pouze na základě repetitivních fázových vztahů (tj. nejsou důležité absolutní fázové vztahy, ale jejich opakování).
Jestliže platí, že během jedné periody základního tónu proběhne celý počet period každého znějícího tónu, pak zároveň naopak platí, že cílenou volbou frekvence základního tónu omezíme výběr frekvencí znějících tónů pouze na její celé násobky. To znamená, že každá smyčka zvuku obsahuje pouze frekvence rovné celým násobkům frekvence samotné smyčky. Budeme-li např. opakovaně přehrávat smyčku trvající 10 ms (1/100 sekundy), frekvence všech znějících tónů pak budou celými násobky 100Hz. Pokud by smyčka obsahovala pouze jeden nekonečně krátký akustický impulz, všechny frekvence rovné celým násobkům 100Hz (teoreticky do nekonečna) by se projevily ve stejné intenzitě a se stejnou výchozí fází (v případě kladného impulzu se jedná o kosinové periody). Podobně, smícháme-li tóny o frekvencích všech celých násobků 100Hz o stejné intenzitě a výchozí fázi, vyjde tentýž impulz opakovaný stokrát za sekundu. Z takového zvuku není nijak poznat, jestli vznikl pravidelným opakováním prostého impulzu, nebo smícháním frekvencí pravidelné řady harmonických tónů.
8.3 ČÁSTEČNÁ PERIODICITA, LINEÁRNÍ TÓNOVÉ ŘADY
Jak bylo uvedeno dříve, zvuk, jehož všechny frekvence jsou celými násobky dané základní frekvence, je vždy periodický. V modelovém případě jsou to všechny celé násobky, takže frekvence základního tónu se rovná nejen nejvyššímu společnému děliteli znějících frekvencí, ale i společnému rozdílu sousedních frekvencí - tj. základní tón je zároveň společným rozdílovým tónem.
Jestliže se základní tón nerovná rozdílovému tónu, ve výsledném spektru se objeví částečná periodicita, která se projevuje fázovou rotací akustických impulzů, a případně celková periodicita, pokud lze vyjádřit znějící frekvence přirozeným zlomkem v poměru k rozdílovému tónu. Zní-li tedy současně např. tóny o frekvencích 200, 500, 800, 1100 a 1400Hz, vzniká částečná periodicita o frekvenci 300Hz a celková periodicita o frekvenci 100Hz.
Intenzita a směr fázové rotace u spekter s částečnou periodicitou závisí na poměru nejnižšího a rozdílového tónu. Podle toho, zda se znějící frekvence vzdalují
Petr Pařízek / 2014 36 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
od frekvencí pravidelného harmonického spektra na kladnou nebo zápornou stranu, příslušným směrem pak probíhá fázová rotace částečně periodických impulzů.
Např. spektrum obsahující frekvence 100Hz a vyšší, jehož rozdílovou frekvencí je 300Hz (tj. 100, 400, 700, 1000 atd.), disponuje částečnou periodicitou o frekvenci 300Hz a celkovou periodicitou o frekvenci 100Hz, přičemž fázové vztahy kmitů v sousedních impulzech vzdálených o 1/300 sekundy se liší o 120 stupňů. Naproti tomu, je-li nejnižší frekvencí 200Hz (tj. 200, 500, 800, 1100 atd.), frekvence základního a rozdílového tónu se sice nemění, avšak sousední impulzy vzdálené o 1/300 sekundy jsou fázově rotovány o -120 stupňů (což lze rovněž chápat jako +240 stupňů). Pokud poměr frekvence nejnižšího a rozdílového tónu nelze vyjádřit přirozeným zlomkem, výsledné spektrum je částečně periodické, ale není celkově periodické, takže jakákoli smyčka takového zvuku je pouhou jeho imitací.
8.4 PROPOJENÍ HUDEBNÍHO A ZVUKOVÉHO VNÍMÁNÍ
Z předchozího textu je patrné, že lineárně pravidelné tónové řady (tj. ty, které mají shodný lineární rozdíl mezi všemi sousedními frekvencemi) vykazují menší či větší stupeň periodicity v souzvuku a že souzvuk je zcela periodický, rovná-li se rozdílový tón základnímu tónu. Z toho vyplývá, že základní lineárně pravidelnou tónovou řadou je sama řada harmonických tónů. Souzvuk tónů této řady nevnímáme jako souzvuk, ale spíše jako složený tón o frekvenci základního/rozdílového tónu (to platí i v případě, že několik prvních členů řady odstraníme, protože frekvence základního/rozdílového tónu se tím nezmění, přestože sama nebude v souzvuku obsažena). Je to proto, že většina akustických periodických zvuků se odlišuje především zvukovou barvou - tj. různou intenzitou jednotlivých harmonických tónů. Je tedy pro sluch žádoucí, aby vnímal např. tón zahraný na houslích nebo zazpívaný hlasem jako jeden tón o konkrétní barvě, spíše než jako souzvuk mnoha tónů o různých frekvencích. Periodické souzvuky jsou tedy pro lidský sluch dobře rozeznatelné a často poměrně atraktivní, takže hrají důležitou roli při posuzování konsonance/disonance souzvuku.
Systémy hudebních stupnic a intervalů jsou založeny na exponenciálních vztazích frekvencí, nikoli na lineárních. Lidský sluch totiž vnímá tónové výšky na logaritmické úrovni, takže interval dvou tónů není dán rozdílem frekvencí, ale poměrem/podílem. Proto se téměř všechna práce s hudebními intervaly odehrává v oblasti frekvenčních poměrů. Ty pak při úpravách absolutních frekvencí fungují
Petr Pařízek / 2014 37 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
jako lineární frekvenční faktory a jsou často logaritmicky převáděny na jiné jednotky, které odpovídají našemu vnímání velikosti intervalu (nejčastěji centy = 1/1200 oktávy = 1/100 současného půltónu).
Můžeme si všimnout, že mezi vnímáním zvukových barev a vnímáním tónových výšek se objevuje jistá nejednoznačnost. Na jednu stranu vnímáme exponenciální vztahy tónových výšek, takže by bylo žádoucí vycházet z nich při sestavování tónového terénu pro hudbu, chceme-li mít možnost efektivně spojovat akordy, modulovat a podobně. Na druhé straně bereme lineárně pravidelné tónové řady jako modely konsonance (přestože jejich slyšitelné intervaly mezi sousedními tóny se směrem nahoru zmenšují), a bylo by tedy žádoucí mít možnost je ve výsledném tónovém systému hrát, abychom mohli střídat souzvuky plné napětí a "neklidu" se souzvuky znějícími jednolitě a klidně.
Racionální lineární vztahy však nikdy nelze přesně vyjádřit racionálními exponenciálními vztahy (ani naopak), takže dobrý prakticky použitelný tónový systém je většinou určitým kompromisem víceméně upřednostňujícím jedno nebo druhé. Jedním takovým kompromisem je i běžné rovnoměrně temperované ladění, které dělí oktávu (frekvenční faktor 2/1) exponenciálně na 12 půltónů, přičemž kvintu (faktor 3/2) aproximuje zřetězením 7 těchto půltónů.
Petr Pařízek / 2014 38 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
9 LINEÁRNÍ POSUN FREKVENCÍ SLOŽENÉHO SPEKTRA
9.1 OBOUSMĚRNÁ ZMĚNA FREKVENCE
Lineární vztahy frekvencí se zcela jasně projevují v oblasti amplitudové modulace. V sekci 4.3 jsme ji představili rámcově, nyní ji prozkoumáme ve větším detailu s ohledem na fázové posuvy.
Jakoukoli dvojici současně probíhajících sinusových period můžeme vyjádřit jako dvojici jiných sinusových period vzájemně amplitudově modulovaných (tj. vynásobených), za předpokladu, že obě mají shodnou intenzitu. Znovu si připomeňme, že toto se netýká pouze period, ale i statických hodnot náležejících konkrétním fázím (viz 4.3). Je to jev patřící do základních goniometrických rovností zahrnujících sčítání a násobení goniometrických funkcí.
Vzájemnou amplitudovou modulací dvou period o různých frekvencích získáme signál obsahující dvě periody o stejné intenzitě, přičemž jedna má frekvenci rovnou rozdílu a druhá má frekvenci rovnou součtu vstupních frekvencí. Má-li jedna ze vstupních period kosinový tvar, obě výstupní periody mají stejný tvar jako druhá vstupní perioda. Podobně, sečteme-li dvě periody o různých frekvencích a stejné intenzitě, výsledný signál můžeme též vyjádřit jako amplitudovou modulaci jiných period, jejichž frekvence se rovnají středové hodnotě (tj. 1/2 součtu) a postranní hodnotě (1/2 rozdílu) vstupních frekvencí. Jsou-li výchozí fáze sčítaných period shodné, nejméně jeden člen amplitudové modulace je pak vyjádřen v kosinovém tvaru.
Pro amplitudovou modulaci (tj. násobení) hodnot v daných fázích jsou platné následující vztahy, kde "a" a "b" jsou fáze vstupních period: cos(a) * sin(b) = (sin(a+b) - sin(a-b)) / 2 cos(a) * cos(b) = (cos(a+b) + cos(a-b)) / 2
Zvýšením či snížením hodnoty "a" o π/2 radiánů (tj. o 1/4 periody) lze získat další varianty vzorců: sin(a) * cos(b) = (sin(a-b) + sin(a+b)) / 2 sin(a) * sin(b) = (cos(a-b) - cos(a+b)) / 2
Petr Pařízek / 2014 39 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
K oddělení součtového pásma (tj. hodnoty náležející součtové fázi) lze pak tyto dvojice porovnávat takto: sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b) = sin(a+b) cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b) = cos(a+b)
K dosažení očekávaného výsledku je tedy nutné před druhou modulací jednu periodu předsunout o 1/4 její délky a druhou zpozdit, chceme-li sečtením dvou modulovaných amplitudových hodnot získat součtové pásmo a odečtením rozdílové. Pokud upravíme obě periody stejně (např. obě zpozdíme, jako je tomu v posledním uvedeném vzorci), sečtením vynásobených hodnot získáme rozdílové pásmo a odečtením součtové.
Jak změníme hodnotu pro jednu z původních dvou fází na hodnotu pro fázi součtovou a zpět, shrneme v následujícím příkladu: sin(a) * cos(b) * 2 = sin(a+b) + sin(a-b) cos(a) * sin(b) * 2 = sin(a+b) - sin(a-b) sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b) = sin(a+b) sin(a+b) * cos(b) * 2 = sin(a+b+b) + sin(a) cos(a+b) * sin(b) * 2 = sin(a+b+b) - sin(a) sin(a+b) * cos(b) - cos(a+b) * sin(b) = sin(a)
Chceme-li naopak poprvé získat hodnotu pro fázi rozdílovou, v prvním případě modulované signály odečítáme a při zpětném převodu sčítáme: sin(a) * cos(b) * 2 = sin(a+b) + sin(a-b) cos(a) * sin(b) * 2 = sin(a+b) - sin(a-b) sin(a) * cos(b) - cos(a) * sin(b) = sin(a-b) sin(a-b) * cos(b) * 2 = sin(a) + sin(a-b-b) cos(a-b) * sin(b) * 2 = sin(a) - sin(a-b-b) sin(a-b) * cos(b) + cos(a-b) * sin(b) = sin(a)
Ve všech uvedených případech je však třeba být na pozoru, jestliže fázové úpravy provádíme časovými posuvy nahraných period. Má-li tehdy fáze některé periody zápornou hodnotu, uvedené rovnosti přestávají platit. Sinusová perioda se totiž obrácením v čase v podstatě posune o polovinu svojí délky, zatímco kosinová má stejný tvar tam i zpět. Např. sin(a) = cos(a-π/2), zatímco sin(-a) se nerovná cos(-(a-π/2)), ale jeho fázovému protikladu, což je cos(-(a+π/2)). V důsledku toho
Petr Pařízek / 2014 40 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
pak uvedený vzorec pro oddělení součtového pásma oddělí pásmo rozdílové a naopak.
Lineární snižování frekvencí zvukového spektra je proto nutno pečlivě rozvážit, chceme-li mít možnost získat zpět původní signál nezměněný (podrobněji v příští podkapitole). Jsou-li v původním signálu obsaženy pouze frekvence vyšší než hodnota snížení, získáme jej zpětným zvýšením. Jsou-li v něm obsaženy pouze frekvence nižší než hodnota snížení, získáme jej dalším snížením, nikoli zvýšením, jak by se zdálo logické. Jsou-li v něm obsaženy frekvence vyšší i nižší, nelze jej z upraveného spektra zpětně získat.
Upravujeme-li např. zvuk obsahující frekvence až do 20kHz, pak snížením celého spektra o 30kHz dostaneme rozsah -30 až -10kHz. Tím ovšem vzniká lineárně inverzní spektrum v rozsahu 10-30kHz, z něhož získáme původní spektrum dalším snížením o 30kHz. Toto dvojité snížení o 30kHz se projevuje jinak než jednorázové snížení o 60kHz, kterým by vzniklo lineárně inverzní spektrum v rozsahu 40-60kHz. S tím souvisí mimo jiné např. základní pravidlo diskrétního vzorkování, podle něhož lze efektivně přenést pouze frekvence nižší než 1/2 vzorkovací frekvence (viz 3.2).
Vztahy platné pro míchání period (tj. sčítání) při daných fázích "a" a "b" jsou následující: sin(a) + sin(b) = sin((a+b)/2) * cos((a-b)/2) * 2 sin(a) - sin(b) = cos((a+b)/2) * sin((a-b)/2) * 2
Předsunutím nebo zpožděním každé periody o 1/4 její délky opět získáme další možnosti: cos(a) + cos(b) = cos((a+b)/2) * cos((a-b)/2) * 2 cos(b) - cos(a) = sin((a+b)/2) * sin((a-b)/2) * 2
Periodu s fází "a" oddělíme takto: sin((a+b)/2) * cos((a-b)/2) + cos((a+b)/2) * sin((a-b)/2) = sin(a) cos((a+b)/2) * cos((a-b)/2) - sin((a+b)/2) * sin((a-b)/2) = cos(a)
Pokud tedy před druhou modulací jednu periodu předsuneme a druhou zpozdíme o 1/4 její délky, po sečtení dvou modulovaných signálů dostaneme patřičnou hodnotu pro fázi "a" a odečtením získáme hodnotu pro fázi "b". Jinak je
Petr Pařízek / 2014 41 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
tomu opět v poslední uvedené variantě, kde obě periody byly zpožděny, a proto po sečtení dvou modulovaných signálů vychází hodnota náležející fázi "b", nikoli "a".
Další významné rovnosti získané porovnáváním součtových a rozdílových signálů jsou následující: sin(a+b) * cos(b) - cos(a+b) * sin(b) = sin(a-b) * cos(b) + cos(a-b) * sin(b) = sin(a) (sin(a+b) - sin(a-b)) * cos(b) = (cos(a+b) + cos(a-b)) * sin(b)
9.2 JEDNOSMĚRNÁ ZMĚNA FREKVENCE
Tento algoritmus byl kdysi znám v oblasti radiokomunikace pod označením "Single Sideband Modulation" [#23]. V oboru procesování zvuku se objevuje poměrně vzácně, a sice pod označením "Frequency Shifter", aby se odlišil od algoritmu zvaného "Pitch Shifter" (o něm více v kapitole 10).
Podobně jako u běžné amplitudové modulace, i zde si před úpravou zadáme v podstatě jedinou hodnotu nejčastěji udávanou v Hz. Tato hodnota říká, o kolik Hz si přejeme všechny vstupní frekvence zvýšit či snížit.
V předchozí podkapitole jsme dokázali, že je možno oddělit součtová a rozdílová pásma amplitudově modulovaných signálů, jestliže vstupní periody předsuneme či zpozdíme o 1/4 jejich délek (tj. zvýšíme či snížíme jejich fáze o π/2 radiánů). Na tomto principu funguje i Frequency Shifter. Zatímco běžná amplitudová modulace vytvoří signál obsahující současně součtové i rozdílové pásmo, Frequency Shifter pouští na výstup buď signál součtový, nebo rozdílový.
Abychom mohli něčeho takového dosáhnout, je třeba posunout o 1/4 délky nejen modulační periodu, ale i každou jednotlivou periodu vstupního signálu. Zatímco posunutí o 1/2 periody provedeme snadno (stačí vyměnit znaménko), posunutí o 1/4 periody nelze provést pouhým násobením nebo dělením konstantní hodnotou. Slouží k tomu tzv. "Hilbertova transformace" a tu lze realizovat různými způsoby. Z nich se jako zvukově nejčistší jeví užití speciálního přísně antisymetrického impulzu, který je se vstupním signálem propojen za pomoci konvoluce (podrobněji viz 11.3).
Postup pro provádění jednosměrného lineárního posuvu frekvencí je následující:
Petr Pařízek / 2014 42 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
. Užitím konvoluce vzájemně propojíme původní signál a impulz popsaný v sekci 11.3. . Protože konvoluce takovým impulzem má za následek zpoždění, je dále nutno porovnat výsledek se skutečným původním signálem zpožděným o 1/2 délky impulzu. . Každý z těchto dvou výsledků je poté odděleně amplitudově modulován, přičemž periody příslušných modulátorů mají shodnou frekvenci a jsou od sebe vzdáleny o 1/4 svojí délky. Zpožděný signál je tedy násoben kosinovou periodou o frekvenci rovné žádanému množství posuvu, zatímco zpožděný a fázově rotovaný signál (tj. ten upravený pomocí konvoluce) je násoben sinusovou periodou o téže frekvenci. . Chceme-li frekvence zvyšovat, nové dva výsledné signály pak sečteme, zatímco pro snížení je odečteme. . Snížení frekvencí můžeme také dosáhnout zvolením záporné modulační frekvence. V tom případě pak odečtením modulovaných signálů získáme zvýšení frekvencí.
Petr Pařízek / 2014 43 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
10 PITCH SHIFTER - EXPONENCIÁLNÍ ZMĚNA FREKVENCE
Velmi oblíbeným a vyhledávaným zvukovým efektem je tzv. "pitch shifter", jehož úkolem je posunout výšku tónu beze změny rychlosti zvuku [#23]. Třebaže tento efekt nehraje rozhodující roli v kontextu naší zvolené problematiky, je vhodné se o něm alespoň krátce zmínit, abychom si uvědomili rozdíly mezi lineárním a exponenciálním posunem výšky tónu.
Rozdíl od "frequency shifteru" je v tom, že frequency shifter posouvá všechny frekvence o stejnou lineární jednotku (např. Hz), zatímco pitch shifter posouvá všechny frekvence o stejnou exponenciální jednotku (nejčastěji půltóny). To znamená, že frequency shifter posouvá nižší tóny vždy o větší interval než ty vyšší, zatímco pitch shifter posouvá všechny tóny o stejný vnímaný interval.
Jak bylo uvedeno v sekci 6.1, této exponenciální změny frekvence lze dosáhnout tak, že nahraný zvuk pustíme jinou než původní rychlostí. V našem případě je však žádoucí zachovat rychlost a změnit jen výšky tónů. Skutečnost, že chceme posouvat frekvence exponenciálně a nikoli lineárně, se zde ukazuje jako poněkud problematická.
Chceme-li např. všechny tóny zvýšit o oktávu, znamená to, že všechny frekvence chceme zdvojnásobit. Přitom si současně s tím přejeme, aby všechny tóny trvaly stejně dlouho jako na původní nahrávce, takže tam, kde zazní 100 period o určité frekvenci, by mělo po úpravě zaznít 200 period o frekvenci dvojnásobné (nikoli 100 jako při pouhém zrychlení). Ovšem zároveň nechceme zdvojnásobit výskyt úplně všeho do té míry, že by např. 2 údery zvonu byly proměněny ve 4 údery.
Vidíme, že z matematického hlediska si jednotlivá zadání poněkud protiřečí, a proto nemohou být všechna současně splněna stoprocentně přesně. Existují různé algoritmy, jakými můžeme toto splnit alespoň částečně, a každý z nich vykazuje trochu jiné nepřesnosti. Základní princip je však vždy tentýž - při zvyšování je nutno vkládat nové periody (neboť po pouhém zrychlení je délka zvukového úseku kratší), zatímco při snižování musíme periody vynechávat (neboť pouhým zpomalením se délka prodlužuje).
V sekci 4.3 jsme uvedli postup, jak lze něčeho podobného dosáhnout za podmínek, že na nahrávce zní jen jeden sinusový tón a že jeho síla je stále stejná. Ovšem takto nestandardní podmínky můžeme splnit pouze u elektronických zvuků, takže pro zvuky vzniklé čistě akusticky je tento algoritmus nepoužitelný.
Petr Pařízek / 2014 44 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Pouhá skutečnost, že na nahrávce nesmí znít více tónů současně, nedovoluje použít tento postup u běžných hudebních nástrojů (ať už je to flétna, housle nebo hlas), jejichž typické zabarvení je dáno velkým množstvím alikvotních tónů.
Jestliže je u tohoto efektu všeobecně nutno určité periody zopakovat nebo naopak vypustit, je zde zcela klíčová otázka, jak často k tomuto opakování nebo vypouštění má docházet - tj. jak krátké/dlouhé úseky zvuku máme opakovat nebo vypouštět. Zní-li na nahrávce jednohlasý útvar (např. mluvení nebo jeden samotný zpěv, jedny housle, jedna flétna apod.), pak můžeme délku těchto krátkých segmentů průběžně měnit v závislosti na nahraných frekvencích. Je-li však na záznamu útvar vícehlasý (např. klavír nebo kytara, vícehlasý zpěv, orchestr, rocková kapela atd.), pak na tuto otázku nelze jednoznačně odpovědět téměř nikdy, protože (jak bylo popsáno výše) intervaly běžného 12-tónového ladění jsou iracionální (takže neexistuje žádná společná délka segmentu, která by odpovídala celému počtu period pro každý jednotlivý tón souzvuku).
Algoritmy, které se pro tento efekt používají, jsou na nejrůznější úrovni, a to od těch, které vůbec nehledí na charakter příslušného zvuku a vyměňují segmenty stále stejně rychle, až po takové, které se snaží brát maximální ohled na to, co se ve vstupním zvuku v tu či onu chvíli děje. První zmíněné najdeme nejčastěji u starších hardwarových efektových jednotek, ty druhé pak zejména v novějších zvukových editorech, eventuálně v podobě přídavných modulů, které lze v příslušném editoru ovládat.
Zvláštním případem jsou ty algoritmy, ve kterých se k posunu výšky tónu využívá Fourierovy transformace - tj. zvuk je rozštěpen na jednotlivé alikvotní tóny a jejich frekvence jsou pak všechny zvýšeny nebo sníženy o společný interval. Zde je však nutno připomenout, že samotný frekvenční obraz zvukového segmentu neobsahuje informaci o čase. Proto ve chvílích, kdy jeden souzvuk přechází do jiného, nelze ani zde najít ideální délku segmentu vhodného pro frekvenční analýzu. Např. pokud bychom v extrémním případě brali celý záznam zvuku jako jeden veliký frekvenční obraz a všechny jeho frekvence bychom zdvojnásobili, tóny by se sice podle našeho přání zvýšily o oktávu, ale nahrávka by se dvojnásobně zrychlila a zazněla by dvakrát po sobě.
Jestliže tedy ve většině případů není možno určit ideální délky přehrávaných segmentů zvuku, znamená to, že ať už máme segment jakkoli dlouhý, vystřižením zvukového úseku se téměř každá perioda přeruší v jiné fázi a také v jiné fázi nastoupí. Pokud přímo po sobě přehrajeme dvě takovéto vystřižené periody a
Petr Pařízek / 2014 45 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
jejich krajní fáze se neshodují, ozve se zřetelné lupnutí (někdy silnější, jindy slabší), které naruší celkový průběh zvuku a přidá mnoho nežádoucích cizích frekvencí. Proto se při těchto úpravách takovému prostému "slepování" vyhýbáme a segmenty se vždy nějakým způsobem překrývají a prolínají.
Prolínáním segmentů se fázové neshody neodstraní (takže v nižších frekvencích může být zvuk stále narušen), ale v oblasti vyšších frekvencí se tím jejich efekt zmírní. Právě proto, že fázovým neshodám nelze nikdy zcela zabránit, se stále méně často setkáváme s algoritmy, které volí neměnnou délku segmentu pro celý zvukový záznam. Nicméně právě tyto jednoduché algoritmy jsou výborným nástrojem pro vysvětlení jevů, které si pitch shifter klade za cíl nebo které jsou naopak nežádoucí.
Třebaže délky segmentů se mohou průběžně měnit podle změn v daném zvuku, jejich průměrná délka by měla být víceméně neměnná po celou dobu, aby rychlost upraveného zvuku byla s určitou tolerancí shodná s rychlostí zvuku původního. Tuto průměrnou délku segmentu většinou zadává sám uživatel v příslušném zvukovém editoru a v závislosti na ní se mění zmíněná tolerance odchýlení od času původního zvuku.
U zmíněných jednoduchých algoritmů je délka segmentu neměnná bez ohledu na samotný zvukový obsah a na interval zvýšení či snížení. Střed každého segmentu v upraveném zvuku by měl v těchto případech zaznít ve stejnou dobu jako střed každého segmentu ve zvuku původním, mají-li se jednotlivé segmenty cele překrývat. Tam, kde toto nelze splnit (např. při úpravě zvuku právě přicházejícího do vstupu), se může s původním zvukem shodovat např. konec každého segmentu, nikoli střed.
Největší interval, o který je dovoleno snižovat či zvyšovat, bývá zpravidla pevně dán (dříve oktáva, dnes už i větší intervaly), neboť musí být jednoznačně určena maximální délka segmentu původního zvuku. Pokud je např. největším dovoleným intervalem oktáva a prolínáme za sekundu 40 segmentů, které se překrývají po celé délce (takže použitý segment trvá 1/20 sekundy namísto 1/40), nejdelší segment původního zvuku, s nímž si přejeme pracovat, trvá 1/10 sekundy (neboť zvýšením o oktávu se frekvence zdvojnásobí, takže musí být k dispozici segment o dvojnásobné délce).
V příloze C je vypsán program pro Microsoft Quickbasic, který realizuje posun výšky tónu pomocí zmíněného jednoduchého algoritmu. K jeho použití je nejprve
Petr Pařízek / 2014 46 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
třeba zvolit dva soubory v běžném 16-bitovém formátu bez hlavičky. V jednom z nich je původní monofonní signál, ve druhém je modulační křivka, podle které se může interval zvýšení plynule měnit (kladný vrchol znamená dvojnásobnou frekvenci, střed znamená zastavení, záporný vrchol znamená přehrávání segmentů dvojnásobně rychle a pozpátku). Výsledkem je třetí signál, což je původní signál upravený.
Petr Pařízek / 2014 47 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
11 KONVOLUCE - ZVUK V ROLI ODRAZU
11.1 DOZVUK A FILTROVÁNÍ
V akustickém prostředí se dozvukem rozumí jev, kdy se zvuk opakovaně v mnoha vrstvách současně odráží od stěn (a jiných pevných předmětů) a tyto odrazy se zeslabují, až zmizí úplně [#24]. Silný a dlouhý dozvuk bývá ve velkých prostorách, a proto se často jako příklad dlouhého dozvuku uvádějí kostely. Elektronicky lze dnes již velmi dobře simulovat mnoho druhů dozvuku.
Filtrování je jev, při kterém se ve zvuku určitý rozsah frekvencí zesílí, zeslabí, vymaže nebo se naopak pustí samotný, případně se daným frekvencím změní fáze [#11, "Introduction to Digital Filters"]. Do kategorie filtrů tedy patří jednak ekvalizér a jednak efekty pro cílené omezení rozsahu frekvencí (např. pro přenos po telefonu, pro simulaci zvuku malých reproduktorů atd.).
Z uvedeného popisu nemusí být na první pohled patrné, že dozvuky a filtry by mohly mít něco společného, pokud jde o jejich elektronickou realizaci. Ve skutečnosti lze obou těchto typů efektu dosáhnout jedním a týmž algoritmem, který je v oblasti matematiky znám jako konvoluce [#16, "Convolution"].
Zjednodušeně můžeme konvoluci popsat např. tak, že je-li na jedné nahrávce slyšet lupnutí ve velkém sálu a na druhé nahrávce je mluvení zcela bez dozvuku, konvolucí těchto dvou nahrávek vznikne mluvení ve velkém sálu. Z hlediska diskrétního vzorkování lze konvoluci dvou signálů systematicky popsat jako navrstvený součet součinů, který se odvíjí od průběhu každého vstupního signálu. Zatímco při amplitudové modulaci jsou násobeny vzorky na shodných pozicích v čase, při konvoluci je každý jednotlivý vzorek jednoho signálu postupně násoben všemi vzorky signálu druhého. Délka výsledné nahrávky je pak součtem délek obou vstupních nahrávek.
Pro ilustraci nyní uvažujme dvě sekvence jakýchkoli čísel, přičemž jedna sestává ze 3 hodnot a druhá ze 4. První z nich označíme "a", druhou označíme "b" a jejich vzájemnou konvoluci nazveme "c". Pozice jednotlivých hodnot budou vyjádřeny čísly od 0 výš.
Petr Pařízek / 2014 48 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Popis celé výstupní sekvence čísel pak vypadá takto: c(0) = a(0) * b(0) c(1) = a(0) * b(1) + a(1) * b(0) c(2) = a(0) * b(2) + a(1) * b(1) + a(2) * b(0) c(3) = a(0) * b(3) + a(1) * b(2) + a(2) * b(1) c(4) = a(1) * b(3) + a(2) * b(2) c(5) = a(2) * b(3)
Důležité je upozornit, že konvolucí můžeme omezit rozsah frekvencí, ale nemůžeme přidat nové frekvence. Toto frekvenční omezení je dáno charakteristikou obou vstupních signálů. Jestliže v jednom jsou obsaženy jen frekvence v rozsahu 500-800Hz a v jiném jsou jen frekvence v rozsahu 700-900Hz, jejich vzájemnou konvolucí získáme zvuk obsahující pouze frekvence 700-800Hz. Pokud by se frekvenční rozsahy vstupních signálů nikde nepřekrývaly nebo neshodovaly, konvolucí by vzniklo ticho.
Při konvoluci bývá nejčastěji jeden ze dvou zvukových záznamů dlouhý a druhý poměrně krátký. Krátký záznam totiž funguje jako tzv. "impulz", jehož frekvenční odezva a odrazy charakterizují dozvuk určitého prostoru nebo filtr simulující ekvalizér a podobně. Poslechneme-li si tento impulz samotný, slyšíme jeden zřetelný náraz, který je buď následován dozvukem téhož nárazu, nebo má zvláštní zabarvení specifické pro daný filtr. [#25].
Skutečnost, které frekvence jsou zesíleny nebo zeslabeny a které jsou zcela potlačeny, závisí na tvaru použitého filtru. Pokud např. ve filtru zcela pravidelně opakujeme jednu a tutéž hodnotu v pevně daných časových intervalech (přičemž mezi těmito opakováními jsou nuly), zesilují se celé násobky frekvence této periodicity (viz 8.2) a frekvence přesně mezi nimi jsou odstraněny. Na proti tomu, mají-li sousední hodnoty odlišná znaménka, výsledek je přesně opačný. Může se tedy snadno stát, že některé frekvence se v odrazivém prostředí zřetelně zesílí nebo v něm naopak zcela zmizí.
V příloze E je vypsán program pro Microsoft Quickbasic, který vytvoří impulz smícháním sinusových period, jejichž rychlost zeslabování lze zadat (ve většině případů vyhovují hodnoty v rozsahu 1-10). Vstupním materiálem musí být textový soubor určující, v jakých intervalech (udáno v půltónech) mají být od sebe vzdáleny jednotlivé tóny. První interval se vztahuje k tónu A1 (o frekvenci 440Hz), všechny další se vztahují k tónům sousedním. Výsledný filtr je zapsán buď ve formátu
Petr Pařízek / 2014 49 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
"Adobe Audition Impulse File" (napíšeme-li na vstupním řádku příponu ".imp"), nebo ve formátu "Microsoft RIFF Wave" (zadáme-li příponu ".wav"). Takový filtr můžeme případně ještě filtrovat jím samým (někdy i vícekrát) pro posílení celého efektu.
11.2 FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ ZPOŽDĚNÍ
Jestliže lze pomocí konvoluce jednak vrstvit a zpožďovat odrazy a jednak filtrovat rozsah frekvencí, lze tedy také pomocí konvoluce kombinovat oba jevy najednou. Znamená to, že zvuk se pak zároveň zpožďuje a zároveň filtruje. Můžeme tak utvořit frekvenčně závislé zpoždění, takže každá část příslušného rozsahu frekvencí je zpožděna o jiný úsek času. To může probíhat buď stupňovitě, nebo kontinuálně. Kontinuální verze tohoto efektu je zvláště zajímavá, neboť i po této úpravě může být v daném frekvenčním rozsahu zvuk zcela neporušen (tj. v žádné části rozsahu není zvuk ani prodloužen ani odstraněn).
Kontinuální frekvenčně závislé zpoždění lze provést tak, že jako jeden ze dvou vstupních signálů použijeme sinusový tón, jehož frekvence se postupně zvyšuje či snižuje. Pokud se zvyšuje, ve výsledku se ozvou basy dříve než výšky. Pokud se snižuje, výšky se ozvou dříve než basy. Zde je nutno zdůraznit, že původní poměry hlasitostí jsou zachovány pouze tehdy, pokud křivka zvyšování či snižování frekvence je lineární (např. 1000Hz za sekundu). Jestliže se frekvence zvyšuje exponenciálně (např. 1 oktáva za sekundu), basy jsou zesíleny a výšky zeslabeny.
Frekvenčně závislé zpoždění nachází uplatnění překvapivě v proceduře, u které bychom to možná nečekali - tj. při vytváření samotných impulzů, konkrétně při nahrávání dozvuků akustických prostor. Na tuto možnost využití frekvenčně závislého zpoždění poprvé upozornil Angelo Farina [#26], který ji systematicky popsal a uvedl do běžné praxe. Princip je v podstatě ten, že ve zvyšovaném tónu jsou nejpozději slyšet nejvyšší frekvence a ve snižovaném tónu jsou nejpozději slyšet nejnižší frekvence. Probíhá-li zvyšování i snižování stejně rychle, kombinací obojího se všechny frekvence zpozdí stejně, tedy o délku příslušného impulzu.
Uvažujme sinusový tón o délce 10 sekund, jehož počáteční frekvence je 20Hz a plynule se zvyšuje tak, že se každou sekundu zdvojnásobí (tj. tón se zvýší o oktávu). Konečná frekvence je tedy 20480Hz. Chceme-li toto proměnit v plochý impulz, otočíme náš signál pozpátku, budeme jej plynule zeslabovat přímo úměrně s klesající frekvencí, a výsledek použijeme jako druhý vstupní signál. Jeho konvolucí s
Petr Pařízek / 2014 50 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
původním stoupajícím sinusovým tónem vznikne impulz, který je plochý v daném rozsahu frekvencí, neboť takto jsme zpozdili všechny frekvence společně o 10 sekund.
Tyto sinusové tóny, jejichž frekvence se exponenciálně zvyšuje, jsou ideální pro nahrávání dozvuků. Do odrazivého prostředí pustíme z reproduktoru zvyšovaný tón a výsledný zvuk nahrajeme. Původní sinusový tón (bez dozvuku) otočíme pozpátku a opatříme vhodně rychlým plynulým zeslabováním. Jeho zvyšovaného tónu s dozvukem a snižovaného tónu bez dozvuku pak získáme impulz samotného dozvuku.
11.3 HILBERTOVA TRANSFORMACE - CÍLENÁ ZMĚNA FÁZE
Jako Hilbertova transformace je známa taková operace, která u všech kladných frekvencí zpozdí a u záporných předsune periody o 1/4 jejich délek - tj. změní fáze o π/2 radiánů [#27]. Jedná se tedy o zcela zvláštní druh filtru, který nezesílí ani nezeslabí žádné frekvence, jen jim změní fáze. Protože sluchem fázi nevnímáme, zvukově nepoznáme změnu. Avšak tento efekt má zajímavé využití v kombinaci s amplitudovou modulací, neboť lze s jeho pomocí upravovat fázi i o jinou hodnotu než o 1/4 délky periody.
Pro naše účely je vhodnější použít jeho inverzní variantu, kde kladné frekvence jsou o 1/4 periody předsunuty a záporné jsou zpožděny. Pro odlišení od běžné Hilbertovy transformace nazveme tuto operaci "IHT" (míněno "inverze Hilbertovy transformace").
Zcela přesně lze Hilbertovu transformaci provést pouze se zvukem již nahraným, nikoli se zvukem právě probíhajícím. Impulz totiž musí obsahovat nenulové hodnoty nejen po čase původního signálů, ale i před ním. Je-li "x" hodnota vzorku a "n" jeho pozice v čase, pak pro náš případ operace "IHT" platí: x(n) = 0, je-li "n" sudé x(n) = -2/(n*π), je-li "n" liché
Po konvoluci takovým filtrem se signál zpozdí, a to o polovinu délky filtru. Chceme-li tedy porovnávat původní signál se signálem fázově upraveným, původní signál musíme odděleně v jiném výstupu zpozdit o tuto délku - tj. v jednom vstupu je jeho zpožděná verze, ve druhém vstupu je jeho konvoluce s impulzem odpovídajícím "IHT".
Petr Pařízek / 2014 51 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
V příloze B je vypsán program pro Microsoft Quickbasic, který vytvoří filtr pro zmíněnou transformaci "IHT", zadáme-li nejprve cílovou vzorkovací frekvenci a poté zpoždění v sekundách. Zpožděný jednotkový impulz je pak na levé stopě, zatímco impulz pro "IHT" je na pravé stopě. Výsledný signál je zapsán ve 32- bitovém formátu "IEEE single" s proměnlivou přesností, avšak soubor není opatřen žádnou hlavičkou. Většina současných zvukových editorů tento formát umí nejen číst a zapisovat, ale umí s ním také interně pracovat v paměti. Pokud v příslušném editoru pak provedeme konvoluci tohoto signálu s jakýmkoli jiným signálem, jehož levá a pravá stopa zní zcela shodně, výsledné dva signály (levý a pravý) budou od sebe fázově vzdáleny o 1/4 periody na všech frekvencích (tj. o π/2 radiánů).
Petr Pařízek / 2014 52 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
12 ŘADA HARMONICKÝCH TÓNŮ
V sekci 6.1 jsme uvedli souzvuk frekvencí 100:200:400:800Hz, kde slyšíme mezi sousedními frekvencemi vždy oktávu (tj. faktor 2/1), zatímco rozdíly se směrem nahoru zvětšují. Z toho logicky vyplývá, že doplníme-li všechny chybějící frekvence v krocích 100Hz (100:200:300:400:500:600:700:800), vnímané intervaly mezi sousedními tóny se budou směrem nahoru zmenšovat (protože se zmenšují poměry sousedních frekvencí). Vznikne tak část zmíněné řady harmonických tónů.
V následujícím seznamu jsou vypsány všechny intervaly sousedních tónů řady až po 16. harmonický tón. Je uveden jednak lineární frekvenční faktor, jednak velikost intervalu s přesností na 1/1000 centu.
2/1 1200 3/2 701,955 4/3 498,045 5/4 386,314 6/5 315,641 7/6 266,871 8/7 231,174 9/8 203,910 10/9 182,404 11/10 165,004 12/11 150,637 13/12 138,573 14/13 128,298 15/14 119,443 16/15 111,731
Na tomto místě si lze všimnout, že pouze oktávu (první vypsaný interval) lze vyjádřit celým počtem dnešních temperovaných půltónů (celým násobkem 100 centů). Pro hudební účely je však nanejvýš vhodné kombinovat co nejméně intervalů různých velikostí, ideálně vrstvit pouze jeden interval (nejčastěji půltón).
V praxi bývá výběr tónů zjednodušován oproti pravé řadě harmonických tónů. Její intervaly jsou aproximovány (tj. pouze přibližně napodobovány), takže velikosti intervalů jsou cíleně zaokrouhleny s určitou stanovenou přesností. Současné 12- tónové temperované ladění je výsledkem právě takového zaokrouhlování (více o tom v kapitole 14).
Petr Pařízek / 2014 53 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
13 LIMIT LICHÝCH ČÍSEL, LIMIT PRVOČÍSEL
Harry Partch definoval rozlišování zlomků podle tzv. "limitu", a to buď limitu lichých čísel, nebo limitu prvočísel [#19, "limit"]. V prvním uvedeném případě se zlomek pojmenovává podle vyššího ze dvou celých čísel (ať už toto je v čitateli, či ve jmenovateli) nebo podle hodnoty o jednu nižší. Ve druhém případě se pojmenovává podle nejvyššího prvočísla obsaženého v daném zlomku.
Např. zajímá-li nás limit lichých čísel u zlomku 9/5, říkáme, že jde o "9-limitový" zlomek, neboť 9 je nejvyšší celé číslo použité ve zlomku. Zajímá-li nás pro tentýž zlomek limit prvočísel, pak říkáme, že jde o zlomek "5-limitový", neboť nejvyšší použité prvočíslo je 5 (9/5 = 3*3/5).
Naproti tomu, pokud hledáme limit lichých čísel např. pro zlomek 16/9, pak jde o "15-limitový zlomek", neboť 15 je nižší liché číslo nejbližší číslu vyššímu (v našem případě čitateli), zatímco chceme-li znát limit prvočísel, pak jde o "3-limitový" zlomek (16/9 = 2*2*2*2/3/3). V následujícím textu budeme používat pojmy jako "3-limitový interval" nebo "5-limitový interval" vždy pro limit prvočísel, nikdy pro limit lichých čísel.
Petr Pařízek / 2014 54 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
14 STRUČNĚ O INTONACI V EVROPSKÉ HUDBĚ
14.1 PYTHAGOREJSKÉ LADĚNÍ
V pythagorejském ladění má oktáva vždy 1200 a kvinta ~702 centů [#19, "pythagorean"], čili stupnice C-dur obsahuje tyto intervaly, zaokrouhlujeme-li velikosti s přesností 1 centu:
C|D = 204 D|E = 204 E|F = 90 F|G = 204 G|A = 204 A|H = 204 H|C = 90
Zcela čistě zde znějí oktávy, kvinty, a jejich oktávové inverze a ekvivalenty (např. kvarta, undecima, duodecima atd.). V ostatních intervalech, které jsou zvány "nečisté", jsou slyšet rychlé neharmonické rázy, které narušují jejich akustickou stabilitu.
Protože velikost malé sekundy je vždy 90 centů a velikost zvětšené primy je 114 centů, Cis je vyšší než Des o 24 centů (pythagorejské komma), neboť právě o tento interval je zvětšená prima širší než malá sekunda. Podobně, znějí-li v pythagorejském ladění souzvuky "A-C, A-Cis, A-D" s neměnnou výškou tónu A, horní hlas nejdříve stoupne o větší a pak o menší interval (114, 90).
Vyjadřujeme-li velikosti intervalů s jemnější přesností než 1 cent, zjistíme, že pythagorejské komma se ve skutečnosti blíží spíše 23 než 24 centům a že hodnota 24 vzniká součtem jiných zaokrouhlených hodnot (což však v praxi v podstatě nikdy nehraje důležitou roli). Je to proto, že zatímco oktáva má skutečných přesných 1200 centů, velikost kvinty s přesností na 3 desetinná místa je 701,955 centů, takže pythagorejské komma má pak velikost 23,46 centů. Pro účely tohoto přehledu však zcela postačuje přesnost 1 centu a jemnější rozlišení je použito ve výjimečných případech.
Petr Pařízek / 2014 55 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
14.2 DIDYMICKÉ LADĚNÍ
Během 14. století se ukazuje, že zmenšená kvarta a zvětšená sekunda v pythagorejském ladění jsou zvukově čistší a soudržnější než velká a malá tercie. V 15. století se pro jejich dosažení často hrají snížené tóny místo psaných zvýšených a naopak, je-li to technicky proveditelné (např. A-Des-E místo A-Cis-E, C-Dis-G místo C-Es-G atd.). Není bez zajímavosti, že ve Staré Indii bylo toto známo již ve 2. století, možná dokonce dříve. Tyto intervaly (pythagorejské zmenšené kvarty a zvětšené sekundy) se liší jen o necelé 2 centy od velkých a malých tercií v ladění zcela odlišném zvaném "didymické" nebo "5-limitové" [#19, "JustMusic prime- factor musical notation"].
Tercie a sexty v didymickém ladění znějí akusticky stejně stabilně a soudržně jako kvinty a kvarty. Díky tomu je do hudby zaveden zcela nový prvek - akord. Velká tercie má ~386 a malá ~316 centů, čili v porovnání s laděním pythagorejským je velká tercie užší a malá širší o syntonické komma (~22 centů). Při zmíněném postupu "A-C, A-Cis, A-D" začíná tedy horní hlas o syntonické komma výš než v pythagorejském ladění, pak stoupá o menší interval, pak o větší interval (70, 112).
Vidíme, že v pythagorejském ladění je Cis vyšší než Des o 24 centů (téměř osminotón), zatímco v didymické ladění je Cis *nižší* než Des o 42 centů (víc než pětinotón). Pro kvalitní intonaci akordů bychom tedy měli správně intonovat opačně než při hře/zpěvu melodických linií podle středověké nebo romantické intonace. Zde je velmi důležité zdůraznit, že barokní expresivita nepoužívá intonační ornamentiku ve významu citlivých tónů, jako tomu bylo v romantismu.
Chceme-li čistě vyladit základní 3 trojzvuky v tóninách C-dur a a-moll, při dodržení čistých oktáv jsme nuceni použít dvě různé výšky tónu D (pomlčka zde vyjadřuje snížení o syntonické komma):
C |D- = 182 D-|D = 22 D |E- = 182 E-|F = 112 F |G = 204 G |A- = 182 A-|H- = 204 H-|C = 112
Petr Pařízek / 2014 56 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Při spoji d-moll G-dur pak musíme poprvé hrát nižší D, podruhé vyšší D, což může znít nepříjemně, protože 22 centů je interval velmi malý, ale zase ne tak malý, abychom jej vnímali jako jemně odladěnou primu.
14.3 STŘEDOTÓNOVÉ LADĚNÍ
Nejstarší verze středotónového ladění obsahuje zcela čisté didymické velké tercie [#19, "meantone"]:
C|D = 193 D|E = 193 E|F = 117,5 F|G = 193 G|A = 193 A|H = 193 H|C = 117,5
Stejně jako v ladění didymickém, i zde jsou tóny s křížky o 42 centů nižší než enharmonicky příbuzné tóny s "b".
V novějších verzích jsou velké tercie jemně zúženy pro lepší vyladění malých tercií, avšak všechny jsou zúženy o tentýž interval. Jedna z možností je např. tato:
C|D = 192 D|E = 192 E|F = 120 F|G = 192 G|A = 192 A|H = 192 H|C = 120
Zde je Cis nižší než Des dokonce o 48 centů, což v tomto případě lze označit za čtvrttón.
Podobně, jako má v pythagorejském ladění každá kvinta 702 centů, v první uvedené verzi středotónového ladění má každá kvinta 696,5 a v té novější 696 centů - oktáva o 1200 centech se nemění. Znamená to, že v pythagorejském ladění jsou všechny kvinty čisté, zatímco ve středotónovém jsou všechny stejně zúžené.
Petr Pařízek / 2014 57 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
14.4 KVINTOVÉ KRUHY
Werckmeister střídá čisté kvinty a kvinty užší o 1/4 pythagorejského kommatu, čímž je zajištěno uzavření kruhu po 12 kvintách a vzniká možnost enharmonické záměny. Podobných ladění s víc než jednou velikostí kvinty se v 18. století vystřídala celá řada [#19, "well temperament"]. Zúžené kvinty se užívaly většinou v rámci tónů bez posuvek, takže tóniny s málo posuvkami připomínaly středotónové ladění a zněli zvukově klidněji než tóniny s více posuvkami, které připomínaly ladění pythagorejské.
Neklávesoví hráči pravděpodobně stále brali středotónové ladění jako "intonační model" zhruba do dob vrcholného klasicismu, a proto se jen málo hrálo v tóninách s hodně posuvkami, aby se nemuseli těm klávesovým jakoby "dodatečně" příliš přizpůsobovat.
14.5 INTONAČNÍ ORNAMENTIKA V ROMANTISMU
Přestože na začátku 19. století je za intonační model považováno rovnoměrné 12-tónové ladění, neklávesoví hráči v romantismu prosazují jemné změny výšky "citlivých" tónů směrem k tónům rozvodným (čili opět hrát Cis výš a Des níž), čímž částečně vracejí do hry starý způsob intonace, který se od konce 15. století téměř po 300 let nepoužíval. Někteří tyto úpravy obhajují odkazem na podobnost s pythagorejským laděním, avšak bez zmínky, že středověk neznal trojzvukovou harmonii. Jiní je považují za "nový" vynález připisovaný povaze hudby v romantismu, netušíce, že podobně se intonovalo už kdysi dávno, kdy ovšem vůbec nebylo cílem tvořit akordy.
I přes tyto zásadní změny se především žesťoví a smyčcoví hráči později snaží dolaďovat souzvuky, bohužel často bez informace, že tím se pokoušejí kombinovat dva způsoby intonace, které nelze oba současně splnit, protože si matematicky protiřečí, takže přiblížením se k jednomu se vzdalujeme od toho druhého. Tato silná nejednotnost v intonaci, zdá se, často panuje i dnes, 200 let po romantismu.
14.6 SJEDNOCENÍ INTONACE
Především je třeba rozlišit starší intonaci melodickou, při které jsou malé sekundy užší než v rovnoměrném 12-tónovém ladění a Cis je vyšší než Des, a novější intonaci souzvukovou, při které jsou naopak širší a kde Cis je nižší než Des.
Petr Pařízek / 2014 58 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Intonačním modelem prvního způsobu je pythagorejské ladění, intonačním modelem druhého způsobu je didymické a středotónové ladění.
Barokní hudba klade velký důraz na souzvuky a nepoužívá intonační ornamentiku na způsob citlivých tónů, a proto se většinou intonuje jednotně podle novějšího způsobu. To je nutno mít na paměti, pokud jsme z romantických děl zvyklí na starší způsob a náhle chceme hrát např. s nějakým souborem zaměřeným na barokní hudbu.
Protože zcela stabilním modelem novějšího způsobu intonace je ladění středotónové, jehož kvinty jsou jemně zúžené, smyčcoví hráči by si při hře v barokním souboru měli naladit prázdné struny ve vzdálenostech jemně zúžených kvint (např. ve kvintě A-E by měly znít ~4 rázy za sekundu a s každou nižší kvintou by se měly zpomalovat). To je většinou prováděno tak, že nejdříve naladíme např. cembalo podle přísného středotónového ladění a následně ladíme podle cembala každý tón smyčcového nástroje zvlášť, nikoli jen jeden z nich. V případech, kdy tuto možnost nemáme, lze k ověření rychlosti rázů použít metronom a ladit kvinty podle nich [#28].
Třebaže to může znít z dnešního pohledu "nadsazeně", sólista romantického houslového koncertu by neměl dolaďovat tercie a sexty do čisté podoby. Žádné jiné intervaly než oktávy, kvinty a kvarty (a jejich oktávové ekvivalenty) totiž nelze přijatelně vyladit při intonaci charakteristické pro romantismus.
Při nacvičování jednoho partu by si měl hráč od začátku ujasnit, zda jeho part má roli sólovou, nebo zda je součástí vícehlasého celku - tj. polyfonie v romantismu je chápána jako několik sólových hlasů znějících současně, zatímco pro polyfonii barokní je stále důležitá myšlenka výsledného souzvuku, i přes nezávislost hlasů.
Sjednotíme-li intonaci směrem ke staršímu způsobu, pak musíme odolat pokušení dolaďovat tercie a sexty, neboť ty byly za dávných časů zvány "nečisté", na rozdíl od "čistých" kvint a kvart. Naproti tomu, sjednotíme-li intonaci směrem k novějšímu způsobu, musíme si primárně osvojit jemné rozšiřování malých sekund, které je zcela klíčovou pomůckou při hledání akusticky čistých intervalů a posiluje pocit akordické "soudržnosti".
Stojí za zmínku i to, že intonováním podle staršího způsobu při hře barokní hudby ublížíme skladbě často víc než intonováním podle novějšího způsobu při hře
Petr Pařízek / 2014 59 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
hudby romantismu. První uvedený případ pouze změní velikosti melodických intervalů, zatímco druhý spolu s tím ještě výrazně naruší souzvukový charakter akordu, takže výsledek pak nezní jako např. jeden čtyřhlas, ale jako čtyři současně znějící jednohlasy.
Flétnista má sice intonaci částečně danou nástrojem, ale pro kvalitní vícehlasou intonaci může získat jemně rozšířené sekundy pomocí změn tvaru nátisku nebo (ještě vhodněji) pomocí alternativních hmatů. Např. standardní hmat pro Cis3 pak funguje pouze jako Des, zatímco Cis3 se zahraje přidáním pravého 1. prstu ke hmatu na D3 (srovnej: D-Cis, Des-C).
Pokud si zapamatujeme charakter jemně rozšířené malé sekundy dostatečně jistě, můžeme pak např. při hře na smyčcový nástroj nebo při zpěvu nacvičovat svůj part každý zvlášť. Je-li našim cílem intonovat jednotně podle novějšího způsobu, pak souzvuk všech partů bude znít akusticky soudržně a celistvě, aniž bychom se museli nadměrně soustředit na dolaďování se k okolním hlasům.
14.7 7-LIMITOVÉ INTERVALY
Jako nelze vrstvením 3-limitových (pythagorejských) intervalů získat intervaly 5- limitové (didymické), podobně nelze vrstvením pouhých 5-limitových intervalů získat intervaly 7-limitové. Hudebníci si však několikrát 7-limitových intervalů všimli (vzácně i 11-limitových nebo 13-limitových), avšak zavedený model intonace nenabízel žádný způsob, jak tyto intervaly jednoznačně zapisovat a definovat [#29].
Např. faktor 7/4 představuje velikost ~969 centů, což je interval vzdáleně připomínající malou septimu. Od běžné temperované septimy se však natolik liší (téměř o šestinotón), že jako malá septima je v praxi málokdy použitelný v kontextu jiných intervalů. Někteří proto nazývali tento interval "polozmenšená septima", jiní jej hodnotili z hlediska středotónového ladění a intervalu říkali "zvětšená sexta" [#19: "kleisma"]. Tuto druhou možnost zvolíme i zde pro všechen následující text, takže je-li základním tónem souzvuku např. velké C, frekvenční poměr 4:5:6:7:8 pak vyjádříme tóny "C-E-G-Ais-C".
Chápeme-li faktor 7/4 jako 7-limitovou zvětšenou sextu, vznikají tak dva stěžejní způsoby, jakými se mohou lišit různé druhy téhož intervalu. Tam, kde se 5-limitové intervaly liší od 3-limitových, zavedeme označení "pythagorejské" nebo "didymické" intervaly, případně "zúžené" či "rozšířené" intervaly, přičemž tyto dva
Petr Pařízek / 2014 60 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
se vždy liší o ~21,5 centů (tj. "syntonické komma", jemuž odpovídá faktor 81/80). Tam, kde se 7-limitové intervaly liší od 5-limitových, použijeme jednoduše označení "7-limitový" nebo "5-limitový" interval, přičemž tyto dva se vždy liší o ~7,7 centů (tj. faktor 225/224).
Sousední intervaly mezi prvními 10 harmonickými tóny můžeme podle uvedeného modelu definovat takto:
2/1 Oktáva 3/2 Kvinta 4/3 Kvarta 5/4 Didymická velká tercie 6/5 Didymická malá tercie 7/6 7-limitová zvětšená sekunda 8/7 7-limitová zmenšená tercie 9/8 Pythagorejská velká sekunda 10/9 Zúžená velká sekunda
Pokud tento model důsledně dodržujeme, potom např. 7-limitovou malou sekundu vyjádříme faktorem 15/14, zatímco didymickou malou sekundu vyjádříme faktorem 16/15. Podobně např. zvětšenou a zmenšenou kvartu v didymickém ladění představují faktory 45/32 a 32/25, zatímco odpovídající 7-limitové faktory jsou 7/5 a 9/7.
Petr Pařízek / 2014 61 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
15 DIDYMICKÉ LADĚNÍ V APLIKACI NA BĚŽNOU KVINTTERCIOVOU HARMONII
15.1 KVINTOVÁ PŘÍBUZNOST NOT A INTERVALŮ
Vyjdeme z diatonické stupnice bez předznamenání - 7 not na oktávu, které jsou na běžných klávesových nástrojích představovány bílými klávesami. Poskládáme noty tak, abychom dostali 6 čistých kvint nad sebou (F C G D A E H). Noty symetricky označíme čísly (F =-3, C =-2, ... H =+3).
Vidíme, že nota D (hodnota 0) je jakousi osovou notou, od které jsme utvořili tři kvinty na každou stranu. Když přidáváme další kvinty, narazíme na zajímavou číselnou souvislost, které bychom nedosáhli s žádnou jinou středovou notou než D. Noty B (první snížená) a Fis (první zvýšená) jsou číslovány "-4" a "+4", noty Es a Cis (druhá snížená a druhá zvýšená) mají čísla "-5" a "+5" atd.
Kteroukoliv notu (nebo vzdálenost mezi notami) můžeme takto převést na číslo a naopak. V tomto kvintovém systému totiž čísla představují konkrétní noty. Výchozí notou, která zde má číslo 0, je D. Zvýšením nebo snížením čísla dostaneme notu, která bude o odpovídající počet kvint vyšší nebo nižší než D. Např. číslo -2 představuje notu C, která je o dvě kvinty nižší než D, a naopak číslo +2 znamená notu E, která je o dvě kvinty vyšší než D.
Takto si můžeme ověřit, že hodnoty od -3 do +3 představují noty bez posuvek. Těchto 7 základních hodnot můžeme upravit zvýšením o 7, čímž přidáme k notám posuvku #, nebo snížením o 7, čímž přidáme posuvku b. Tato řada hodnot nikde nekončí. Kvintový systém dokáže vyjádřit noty s dvojitým, trojitým i vícenásobným zvýšením nebo snížením.
Tento princip kvintových vzdáleností můžeme aplikovat nejen na noty, ale i na intervaly. Každý interval je možno popsat jako určitý počet oktáv a kvint. Pokud se díváme na interval z hlediska tonality nebo harmonie, můžeme se zaměřitjen na kvinty a oktávy nás v podstatě nemusejí zajímat. Pro tento počet kvint použijeme v nadcházejícím textu označení "kvintová příbuznost intervalu".
Např. velká sexta stoupající je vyjádřena jako tři kvinty směrem nahoru a oktáva směrem dolů. Malá tercie klesající, což je její oktávový ekvivalent, jsou tři kvinty směrem nahoru a dvě oktávy směrem dolů. Kvintová příbuznost obou těchto intervalů je tedy vyjádřena hodnotou 3, protože v obou případech dochází ke
Petr Pařízek / 2014 62 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
zvýšení o 3 kvinty. Naproti tomu malá tercie stoupající, stejně jako velká sexta klesající, se vyjádří hodnotou -3, protože u obou těchto intervalů dochází ke snížení o 3 kvinty.
Chceme-li hodnotu kvintové příbuznosti převést na interval, použijeme ji jako hodnotu noty vztažené k notě D. Chceme-li např. zjistit, ve kterém intervalu je příbuznost 4 kvint, připomeneme si, že podle kvintového číslování představuje hodnota 4 notu Fis, takže se jedná o interval D-Fis. To může být velká tercie stoupající, malá sexta klesající, ale i velká decima stoupající nebo jiný oktávový ekvivalent.
Jak již bylo řečeno, kvintová příbuznost intervalů je užitečná při zkoumání harmonických spojů. K tomu roztřídíme intervaly podle různých harmonických kritérií - na intervaly "doškálné" a "nedoškálné" [#30], dále pak na "stabilní" a "nestabilní" (druhé uvedené kritérium je přesně definováno pouze v tomto textu a není obecně známé).
Mezi doškálné řadíme ty intervaly, jejichž kvintová příbuznost nepřesahuje 6 kvint. Všechny tyto intervaly najdeme v běžné diatonické stupnici, takže si je můžeme ukázat na notách bez posuvek. Např. zmenšená kvinta (H-F), malá sexta (E-C), velká septima (F-E) nebo zvětšená kvarta (F-H) patří mezi doškálné intervaly. Ostatní intervaly (tj. o příbuznosti 7 a více kvint) jsou nedoškálné.
Mezi stabilní řadíme ty intervaly, které používáme v rozvodném akordu při uzavírání harmonické fráze. Tehdy většinou rozvádíme nestabilní intervaly do jiných intervalů stabilních. Kvintová příbuznost stabilních intervalů dosahuje nanejvýš 4 kvint. Výjimkou je velká sekunda a malá septima, což jsou intervaly o dvou kvintách, a přesto působí nestabilně. Pravděpodobně je to způsobeno jejich akustickými vlastnostmi (více v sekci 15.4.1). Mezi stabilní intervaly tedy patří prima, oktáva, kvinta, kvarta, velká a malá tercie, velká a malá sexta a všechny oktávové ekvivalenty těchto intervalů.
Pokud srovnáme tyto dva způsoby třídění intervalů (tj. podle doškálnosti a podle stability), vidíme, že "stabilní interval" je užší pojem než "doškálný interval". Všechny stabilní intervaly jsou doškálné a naopak všechny nedoškálné intervaly jsou nestabilní. Některé intervaly jsou však nestabilní, i když jsou doškálné. Jedná se konkrétně o zvětšenou kvartu, zmenšenou kvintu, velkou a malou sekundu, velkou a malou septimu (a jejich oktávové ekvivalenty).
Petr Pařízek / 2014 63 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Velká většina starších i současných tónových systémů, ve kterých hrajeme běžnou tonální hudbu, se ladí jako řetězce kvint, které se pak různě upravují. Možností takových úprav je velmi mnoho. Jejich cílem je utvořit ucelený tónový systém se specifickým zvukovým charakterem.
15.2 DOLAĎOVÁNÍ SOUZVUKŮ
Z předchozího textu vidíme, že není možné utvořit takový tónový systém, ve kterém budou všechny intervaly čisté. Nemáme-li možnost tóny při hře libovolně přelaďovat, musíme přistoupit ke kompromisu. Jako příklad uvažujme stupnici C- dur v přísném didymickém ladění (neboť durová stupnice je ta nejběžnější 7- tónová stupnice uzavřená do oktávy). Od tónu C (tj. faktoru 1/1) utvoříme tyto faktory:
9/8 - velká sekunda 5/4 - velká tercie 4/3 - čistá kvarta 3/2 - čistá kvinta 5/3 - velká sexta 15/8 - velká septima 2/1 - čistá oktáva
Zkoumáme-li podrobně intervaly mezi sousedními tóny, všimneme si zajímavého výsledku. Zatímco v temperovaném ladění jsme zvyklí skládat durovou stupnici ze dvou různých intervalů (velké a malé sekundy), v durové stupnici didymické se střídají tři (velká sekunda, zúžená velká sekunda, malá sekunda). Zúženou velkou sekundu (faktor 10/9) najdeme mezi tóny D-E a G-A. Tato sekunda je o syntonické komma užší než běžná velká sekunda (pro definici zúžených a rozšířených intervalů viz 14.7).
Kvůli dvěma různým velikostem velké sekundy nemohou všechny durové i mollové trojzvuky ladit čistě. Kvinta D-A je totiž o syntonické komma užší. Toto zdánlivě jemné zúžení znehodnotí kvintu tak, že zní falešně a je prakticky nepoužitelná.
Takový tónový systém tedy nemůže představovat tóninu C-dur a zároveň a-moll, neboť trojzvuk d-moll nezní čistě. Můžeme sice dočasně snížit tón D o syntonické komma (za účelem vyladění kvinty D-A), avšak tehdy přestane ladit trojzvuk G-dur.
Petr Pařízek / 2014 64 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Docházíme tedy k závěru, že v čistě naladěné durové tónině neladí trojzvuk 2. stupně a v čistě naladěné mollové tónině neladí trojzvuk 7. stupně. Proto nemůžeme propojovat durovou tóninu s její paralelní mollovou, nemáme-li možnost jeden tón během hry zvyšovat a snižovat (v našem případě tón D). Tento problém částečně vyřešíme tak, že místo 7-tónové stupnice naladíme stupnici 8- tónovou, ve které je dvojí tón D (jednou ve svojí správné výšce, jednou o syntonické komma níž). Výpis intervalů od tónu C vypadá stejně jako výpis výše uvedený, ale je bohatší o zúženou velkou sekundu (tento interval je nejmenší ze všech použitých intervalů, a proto ho přidáme před všechny ostatní, chceme-li dostat vzestupnou řadu intervalů).
Když překročíme hranice diatonických stupnic a zajímáme se o intervaly zvětšené a zmenšené, můžeme najít i takové intervaly, které vykazují určité zázněje, i když vycházejí z čistého didymického ladění. Zúžíme-li např. oktávu C1- C2 (2/1) o malou sekundu (16/15), vyjde velká septima C1-H1 (15/8). Když tuto zúžíme rovněž o malou sekundu, vyjde zvětšená sexta C1-Ais1 (225/128). Pozor, zvětšenou sextu nelze zaměňovat s malou septimou C1-B1, neboť zde neexistuje možnost enharmonické záměny tónů.
Sluch vnímá didymickou zvětšenou sextu jako nepřesně naladěný interval, ve kterém se projevují rázy. Chceme-li zjistit, proč k tomuto jevu dochází, faktor jemně upravíme. Čitatele zlomku snížíme z původních 225 na 224. Hodnoty 224 i 128 můžeme dělit číslem 32, což nám dává možnost vykrátit zlomek. Získáme tak faktor 7/4, o kterém jsme mluvili v souvislosti s řadou harmonických tónů (viz kapitolu 12).
Vidíme, že znějící zvětšená sexta (225/128) je jen o málo širší než jiný mnohem srozumitelnější interval (7/4), a proto vznikají zázněje. Faktor 7/4 můžeme tedy v kontextu běžného harmonického systému chápat jako 7-limitovou zvětšenou sextu, jejímž oktávovým převratem je 7-limitová zmenšená tercie (8/7). V porovnání se zvětšenou sextou 5-limitovou (225/128) je tato zvětšená sexta užší o velmi malý interval (225/224) o velikosti ~7,7 centů. Právě tak je 7-limitová zvětšená sekunda (7/6) o tento interval užší než zvětšená sekunda 5-limitová (75/64).
Znovu si připomeňme, že dvě velké sekundy nad sebou tvoří 3-limitovou velkou tercii (81/64), která je širší než velká tercie 5-limitová (5/4). Chceme-li pomocí velkých sekund utvořit 5-limitovou velkou tercii, musíme použít jednu velkou
Petr Pařízek / 2014 65 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
sekundu v základním tvaru (9/8) a jednu velkou sekundu zúženou (10/9). Tyto dvě velké sekundy se od sebe liší o syntonické komma (81/80).
Podobná situace nastává u zvětšené sexty. Zúžíme-li oktávu o dvě malé sekundy, jejichž základní tvar je 5-limitový ("2/1 / (16/15) / (16/15)"), vznikne 5-limitová zvětšená sexta (225/128). Chceme-li získat zvětšenou sextu 7-limitovou, zúžíme oktávu jednou o malou sekundu 5-limitovou (16/15) a jednou o malou sekundu 7- limitovou (15/14), která je širší. Tyto dvě malé sekundy se od sebe liší o zmíněných ~7,7 centů (225/224).
Mohlo by se zdát, že 7-limitová malá sekunda přináší podobný problém jako zúžená velká sekunda. Vzdálenost ~7,7 centů je však téměř třikrát menší než syntonické komma, takže zařazení 7-limitových intervalů pouze přidá přijatelné zázněje a neznehodnotí celý tónový systém. Navíc, kvůli výrazné odlišnosti od běžné velké sekundy nachází zúžená velká sekunda v praxi mnohem menší uplatnění než 7-limitová malá sekunda. Proto ji v tomto textu vždy nazýváme "zúžená velká sekunda", nikoli "5-limitová velká sekunda". Je totiž výrazně užší než její základní tvar.
Chceme-li, aby ve stupnici C-dur čistě ladilo všech 6 potřebných trojzvuků, musíme použít dvě různé výšky pro tón D. Chceme-li však, aby ladila zvětšená kvarta F-H, stačí snížit tón H o ~7,7 centů a původní H můžeme vyřadit. Kvinta E-H je pak sice jemně zúžená, ale stále použitelná. Chceme-li zachovat čistou kvintu E- H, místo snižování tónu H můžeme zvýšit F. Jemně zúženou kvintu pak najdeme mezi tóny F-C.
V obou případech platí, že zahrajeme-li tyto dvě kvinty po sobě, nepostupují oba tóny o tentýž interval. Pokud jsme snížili H, malá sekunda E-F je 5-limitová a malá sekunda H-C je 7-limitová. Pokud jsme zvýšili F, je to naopak.
Zkoumáme-li intervaly z hlediska běžné tonality, je pro nás důležitá jejich kvintová příbuznost. Faktor 3/2 pak představuje příbuznost 1 kvinty (tj. kvinta sama), faktor 5/4 příbuznost 4 kvint (tj. velká tercie) a faktor 7/4 příbuznost 10 kvint (tj. zvětšená sexta). Dále např. faktor 9/8 představuje 2 kvinty (velká sekunda), 4/3 představuje -1 kvintu (kvarta) a 6/5 představuje -3 kvinty (malá tercie).
Tyto intervaly můžeme různě kombinovat a získávat tak nové více či méně čisté intervaly. Chceme-li znát např. faktor pro zvětšenou kvartu (tj. 6 kvint), k
Petr Pařízek / 2014 66 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
didymické velké tercii (4 kvinty) přidáme velkou sekundu (2 kvinty), čímž vznikne zvětšená kvarta 5-limitová (45/32) odpovídající 6 kvintám. Jiná možnost je, že od 7-limitové zvětšené sexty (10 kvint) odečteme didymickou velkou tercii (4 kvinty). Tak dostaneme 7-limitovou zvětšenou kvartu (7/5), která je o zmíněných ~7,7 centů užší než zvětšená kvarta 5-limitová.
Takto můžeme dokonce jednotlivým prvočíslům přiřadit odpovídající hodnotu kvintové příbuznosti (0 kvint pro číslo 2, 1 kvintu pro číslo 3, 4 kvinty pro číslo 5, 10 kvint pro číslo 7). Zde se nabízí otázka, zda najdou nějaké uplatnění i faktory s vyššími prvočísly než 7. Teoreticky ano, ale v praxi se takto v podstatě nikdy nepoužívají. Např. faktor 11/8, který představuje interval zhruba uprostřed mezi čistou a zvětšenou kvartou, bychom pravděpodobně nejlépe využili jako dvojzmenšenou kvintu (tj. příbuznost -13 kvint). Faktor 13/8, který velmi vzdáleně připomíná malou sextu, by našel nejlepší využití pravděpodobně ve funkci dvojzvětšené kvinty (tj. 15 kvint). S těmito složitými intervaly se však v hudební praxi běžně nesetkáme (nanejvýš by se dalo uvažovat o uplatnění faktoru 13/10 jako zvětšené tercie, což se může hodit při ladění klávesových nástrojů do některého ze středotónových systémů). Navíc, jakmile začneme tyto faktory používat, narazíme na celou řadu nových intervalů, z nichž některé budou obtížně použitelné (objeví se např. faktor 14/13 jako další varianta malé sekundy).
Skutečnost, že se tyto faktory v praxi běžně nevyskytují, může mít i ten důvod, že čísla 11 a 13 jsou poměrně vysoká prvočísla, takže jejich začleněním vznikají často zbytečně složité faktory. Proto je někdy lepší např. místo 11-limitového intervalu použít jiný interval 7-limitový, který se liší jen o několik centů. Jeho faktor sám má sice složitější tvar, ale dalším rozšířením nebo zúžením získáme naopak jednodušší faktor.
Pokud např. zúžíme 5-limitovou malou sextu (8/5) o 7-limitovou zvětšenou sekundu (7/6), vyjde 7-limitová dvojzmenšená kvinta (48/35), která je o ~4,5 centů užší než dvojzmenšená kvinta 11-limitová (11/8). Jestliže tuto zúžíme o 5-limitovou malou tercii (6/5), dostaneme 7-limitovou zmenšenou tercii (8/7).
Kdybychom takto zúžili dvojzmenšenou kvintu 11-limitovou (11/8), vznikla by 11-limitová zmenšená tercie, jejíž složitý faktor (55/48) pro nás bude obtížně srozumitelný. To však neznamená, že faktory s vyššími prvočísly nejsou nikdy užitečné. Jejich jemné odlišnosti ve velikostech dodávají některým intervalům přijatelné zázněje. Naskýtá se tak možnost např. pomocí didymických intervalů
Petr Pařízek / 2014 67 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
aproximovat intervaly jiné, které nevycházejí z didymického ladění, nebo naopak aproximovat didymické intervaly kombinacemi intervalů jiných.
15.3 LINEÁRNÍ ANALÝZA MELODICKÝCH A HARMONICKÝCH POSTUPŮ
Při dosavadních analýzách intervalů a akordů jsme pracovali s hodnotami, které bychom mohli označit např. za "relativní frekvence" (přestože tento termín není nikde takto přesně definován). Na rozdíl od absolutních frekvencí, kterými určujeme přesné výšky tónů, relativní frekvence vyjadřují jen vztahy mezi tóny. Jejich hodnoty se určují vždy ve tvaru celých čísel, a proto relativní frekvence o hodnotě 1 představuje základní tón intervalu nebo akordu.
Jsou-li dva znějící tóny od sebe vzdálené např. o velkou tercii (míněno didymickou), jejich frekvence jsou v poměru 4:5. Přidáme-li třetí tón, který je o kvintu vyšší než spodní znějící tón, vznikne durový kvintakord, který charakterizujeme jako frekvenční poměr 4:5:6. Tyto hodnoty (4, 5, 6) nevyjadřují absolutní frekvence, ale jen vztahy mezi nimi. Např. jako durový kvintakord slyšíme souzvuk tónů o absolutních frekvencích "200Hz, 250Hz, 300Hz", ale i "180Hz, 225Hz, 270Hz". Důvod je ten, že v obou případech se jedná o frekvence v poměru 4:5:6. Rozdílná je pouze absolutní frekvence základního tónu, kterou jsme vynásobili relativní hodnoty (v prvním případě 50Hz, ve druhém 45Hz).
Dosud jsme lineárně analyzovali vždy samostatně jeden interval nebo jeden akord. Podobně však můžeme analyzovat i řadu několika intervalů nebo akordů, které tak vzájemně srovnáváme. To nám umožní podívat se na melodický nebo harmonický postup z hlediska relativních frekvencí. Pokud akordy nebo intervaly obsahují společné tóny, relativní frekvence těchto tónů by měly být vždy stejné. Pokud se liší, musíme je vhodně upravit.
Porovnáváme-li např. durový a mollový kvintakord, kde nejnižší tón má vždy stejnou výšku (např. C-dur a c-moll), pak musí mít nejnižší tón vždy stejnou relativní frekvenci. Toho docílíme vynásobením relativních frekvencí durového kvintakordu číslem 5 a následně vynásobením relativních frekvencí mollového kvintakordu číslem 2. Nejnižší tón pak bude mít vždy relativní frekvenci 20, což je nejnižší společný násobek relativních frekvencí nejnižších tónů v obou akordech. Durový kvintakord bude tedy vyjádřen relativními frekvencemi "20:25:30", zatímco mollový kvintakord sestává z relativních frekvencí "20:24:30". Odtud poznáme, že faktor 25/24 vyjadřuje vzdálenost mezi malou a velkou tercií. Tento
Petr Pařízek / 2014 68 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
interval o velikosti ~70,67 centů představuje zvětšenou primu v didymickém ladění - např. C-Cis.
Pokud porovnáváme akordy, které nemají žádný společný tón, relativní frekvence nejnižšího tónu nemůže být vždy stejná, ale musí se měnit s ohledem na interval mezi nejnižšími tóny v akordech. Uvažujme tři současně znějící tóny o relativních frekvencích 3:4:5, což je durový kvartsextakord. Poté se nejnižší tón sníží o velkou sekundu a místo původních dvou vyšších tónů zazní jeho horní velká tercie a velká sexta. Slyšíme tedy frekvence v poměru 12:15:20, což je mollový sextakord. Výsledkem je spoj dvou akordů, které nemají žádný společný tón. Vidíme, že interval mezi nejnižšími tóny akordů je velká sekunda směrem dolů (tj. 8/9).
Když tyto dva akordy porovnáváme, relativní frekvence nejnižšího tónu musí ve druhém akordu klesnout na 8/9 původní hodnoty. Relativní frekvence v každém akordu musíme proto vynásobit takovým číslem, které tento požadavek splní. V našem případě relativní frekvence prvního akordu vynásobíme číslem 9, zatímco relativní frekvence druhého akordu vynásobíme číslem 2. První akord se pak vyjádří hodnotami "27:36:45", druhý bude sestávat z hodnot "24:30:40".
Abychom zjistili, o jaké intervaly postupují jednotlivé hlasy, hodnoty porovnávaných hlasů použijeme jako lineární faktory a zlomky pak vykrátíme do nejjednoduššího možného tvaru. Porovnáváme druhý akord s prvním, takže v případě nejnižšího hlasu vyjde 24/27, ve středním hlasu se objeví 30/36 a v nejvyšším hlasu je 40/45. Když vykrátíme zlomky do nejjednodušší podoby, dostaneme "8/9, 5/6, 8/9". Díky této analýze jsme tedy zjistili, že krajní hlasy klesají o velkou sekundu, zatímco střední hlas klesá o malou tercii.
Pomocí relativních frekvencí můžeme lineárně analyzovat nejen akordy, ale i celé stupnice. Abychom to mohli provést, představíme si stupnici jako soustavu intervalů vztažených k nejnižšímu tónu (tj. k 1. stupni).
Např. stupnici C-dur (C-D-E-F-G-A-H-C) chápeme jako 7 intervalů vztažených ke spodnímu C. Každý faktor je vyjádřen formou zlomku a ten je nutno vhodně upravit, aby měly všechny zlomky společného jmenovatele. Tento nový jmenovatel se rovná nejnižšímu společnému násobku všech použitých jmenovatelů (základní tvary zlomků pro durovou stupnici jsou uvedeny v předchozí podkapitole) a představuje relativní frekvenci nejnižšího tónu.
Petr Pařízek / 2014 69 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Intervaly v durové stupnici se pak vyjádří takto:
27/24 - velká sekunda 30/24 - velká tercie 32/24 - čistá kvarta 36/24 - čistá kvinta 40/24 - velká sexta 45/24 - velká septima 48/24 - čistá oktáva
Z toho můžeme odvodit, že durovou stupnici vyjádříme pomocí relativních frekvencí o hodnotách "24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48".
Obdobně můžeme lineárně analyzovat i mollovou stupnici. Chceme-li si pomoci představou not, zvolíme např. stupnici c-moll (C-D-Es-F-G-As-B-C). Výpis intervalů vztažených k nejnižšímu tónu vypadá takto:
9/8 - velká sekunda 6/5 - malá tercie 4/3 - čistá kvarta 3/2 - čistá kvinta 8/5 - malá sexta 9/5 - rozšířená malá septima 2/1 - čistá oktáva
Zařazení rozšířené malé septimy místo běžné malé septimy je zde nutné, má-li čistě znít dominantní trojzvuk.
Pokud zlomky uvedených faktorů vhodně rozšíříme, výpis mollové stupnice bude vypadat následovně:
135/120 - velká sekunda 144/120 - malá tercie 160/120 - čistá kvarta 180/120 - čistá kvinta 192/120 - malá sexta 216/120 - rozšířená malá septima 240/120 - čistá oktáva
Petr Pařízek / 2014 70 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Vidíme, že mollovou stupnici vyjádříme pomocí relativních frekvencí o hodnotách "120, 135, 144, 160, 180, 192, 216, 240".
Můžeme si všimnout, že hodnota relativní frekvence nejnižšího tónu je v mollové stupnici jiná (5-krát vyšší) než ve stupnici durové. Chceme-li však tyto dvě stupnice vzájemně srovnávat, nejnižší tón musí mít vždy stejnou relativní frekvenci. Toho docílíme vynásobením relativních frekvencí v durové stupnici číslem 5. Z původních hodnot "24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48" tak vzniknou hodnoty "120, 135, 150, 160, 180, 200, 225, 240".
Porovnáním takto vzniklých relativních frekvencí s relativními frekvencemi pro mollovou stupnici zjistíme, že sekunda, kvarta, kvinta i oktáva zní v obou stupnicích stejně, zatímco ostatní intervaly (tercie, sexta a septima) jsou v durové stupnici širší. Abychom zjistili, o jaký interval jsou širší, použijeme jejich relativní frekvence jako hodnoty v lineárním faktoru a vykrátíme zlomky do nejjednodušší možné podoby. V našem případě porovnáváme durovou stupnici se stupnicí mollovou, a proto nás zajímají relativní frekvence tercií, sext a septim. Jejich porovnáváním získáme faktory 150/144, 200/192 a 225/216. Když vykrátíme zlomky do nejjednodušší podoby, zjistíme, že všechny mají hodnotu 25/24. Právě tento faktor (25/24) vyjadřuje vzdálenost mezi malou a velkou tercií, malou a velkou sextou atd. (jedná se o již zmíněnou zvětšenou primu, se kterou jsme se setkali při porovnávání durového a mollového kvintakordu).
Chceme-li porovnávat stupnice, které nemají na 1. stupni tentýž tón, hodnoty relativních frekvencí vynásobíme takovým číslem, které tuto odlišnost adekvátně vyjádří. Např. pokud porovnáváme stupnici C-dur se stupnicí a-moll, 1. stupeň je v durové stupnici o malou tercii vyšší než ve stupnici mollové.
V tomto případě se otázka relativních frekvencí vyřeší poměrně jednoduše. Zatímco v předchozím příkladu jsme násobili relativní frekvence durové stupnice číslem 5, tentokrát je vynásobíme číslem 6. Relativní frekvence ve stupnici C-dur pak budou mít hodnoty "144, 162, 180, 192, 216, 240, 270, 288".
Když tyto relativní frekvence porovnáme s těmi ve stupnici a-moll (tj. "120, 135, 144, 160, 180, 192, 216, 240"), můžeme si všimnout několika zajímavých věcí. Tón C, který v mollové stupnici stojí na 3. stupni, najdeme v durové stupnici na 1. stupni. V obou případech je to jeden a tentýž tón C, takže má stejnou relativní frekvenci. To platí i pro tóny E-F-G-A, které najdeme v durové stupnici na 3-6. stupni a v mollové stupnici na 5-8. stupni. Tóny A-H-C, které jsou na 6-8. stupni
Petr Pařízek / 2014 71 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
durové stupnice, jsou o oktávu vyšší než tóny A-H-C stojící na 1-3. stupni mollové stupnice, a proto mají dvojnásobnou relativní frekvenci.
Zvláštním případem je tón D. Z notového hlediska je to v obou stupnicích tentýž tón, a přitom má různou relativní frekvenci. Tón D, který najdeme na 4. stupni mollové stupnice, má relativní frekvenci 160. Tón D, který stojí na 2. stupni durové stupnice, má relativní frekvenci 162. Když porovnáme tyto dvě hodnoty (162/160) a zlomek vykrátíme, dostaneme faktor 81/80, který představuje syntonické komma. Tón D v durové stupnici je tedy o syntonické komma vyšší než tón D ve stupnici mollové. Tato odlišnost je nutná, mají-li v každé stupnici čistě znít tři základní harmonické funkce (více v předchozí podkapitole ).
Vraťme se teď na chvíli k otázce dolaďování intervalů. Odtud víme, že pro praxi vhodná čtyři nejnižší prvočísla (2, 3, 5, 7) můžeme v hodnotách faktorů různě kombinovat a dosáhnout tak jakéhokoli intervalu známého z běžné hudební notace. Je však důležité, že mnohé intervaly, které mají po zvukové stránce více podob, jsou v zápisu vyjádřeny stejně. Ovšem tyto zvukové odlišnosti jsou tak jemné, že pro praxi je lepší některý z intervalů vyřadit, nebo najít kompromisní řešení. Ale i možností takových kompromisů je spousta, a proto máme celou řadu možností jak sestavit ucelený tónový systém, který pak můžeme použít jako řetězec kvint nebo dokonce kvintový kruh.
Během dlouhých tisíciletí naplněných hudbou se vystřídala celá řada tónových systémů. Každý z nich jistým způsobem souvisí s didymickým laděním, i když sám nemusí obsahovat vždy jen didymické intervaly. Dlouholetým užíváním různých tónových systémů v praxi (tj. při hře tonální hudby) se ukázalo, že některé melodické postupy jsou pro naše hudební cítění srozumitelnější a jiné méně srozumitelné.
Při tvorbě melodické linie často téměř automaticky bereme ohled na jedno nepsané pravidlo, i když si to většinou neuvědomujeme. Tvoříme-li melodii respektující starší konvence, v posledních dvou tónech fráze většinou nepostupujeme chromaticky, ale diatonicky, eventuálně jinou přirozenou cestou (např. postup C-Cis působí otevřeně, zatímco postup C-Des nebo C-D frázi přesvědčivě uzavře). Tento fakt se přenáší i do harmonie, kde jednotlivé hlasy samy o sobě mohou utvořit víceméně smysluplnou melodii. Ukončujeme-li tedy harmonickou větu adekvátní např. barokní hudbě, v posledních dvou akordech by žádný hlas neměl postupovat chromaticky, chceme-li získat přesvědčivý akordický rozvod.
Petr Pařízek / 2014 72 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
S tímto pravidlem se setkáme jednak v klasicko-romantické harmonii, jednak v hudbě z období baroka, kdy harmonické cítění mělo poněkud odlišný charakter. Z toho se odvíjejí různé běžně užívané intervalové postupy a akordické spoje. Některé z nich mají nepochybně původ v samotných akustických vlastnostech dvojzvuků (více v kapitole 5). Uveďme pro ozřejmení několik příkladů.
V kontextu běžné tonální hudby je jedním z oblíbených dvojhlasých postupů (zejména v závěru fráze) zvětšená kvarta následovaná malou sextou tak, že horní hlas stoupá a spodní klesá o malou sekundu. Abychom si tento postup mohli předvést v čistém 5-limitovém či 7-limitovém ladění, použijeme ty nejjednodušší faktory, které pro tyto intervaly najdeme. Je to 7-limitová zvětšená kvarta (7/5) a 5-limitová malá sexta (8/5). Můžeme si pomoci např. představou not A-Dis a následně Gis-E.
Abychom si tento postup mohli představit jako relativní frekvence, musíme brát ohled na skutečnost, že ve spodním hlasu se objevuje postup o klesající malou sekundu (15/16). Zlomky v našich faktorech musíme tedy upravit tak, aby při nahrazování prvního intervalu druhým klesl jmenovatel na 15/16 předchozí hodnoty. V našem případě to znamená rozšířit první zlomek z původních 7/5 na 112/80 a druhý z 8/5 na 120/75. Když pak porovnáme jmenovatele obou zlomků, získáme 75/80, což je po vykrácení 15/16. Tento faktor představuje malou sekundu klesající, o kterou postupuje spodní hlas.
Když porovnáme čitatele zlomků, dostaneme 120/112, což se po vykrácení rovná 15/14. Tak zjišťujeme, že horní hlas postupuje o malou sekundu směrem nahoru; není to však malá sekunda 5-limitová (16/15), ale 7-limitová (15/14).
Jestliže si výsledné relativní frekvence v těchto dvou intervalech (80:112 = zvětšená kvarta, 75:120 = malá sexta) rozebereme z hlediska sekundárních vlastností dvojzvuků (více v sekci 5.1), narazíme na zajímavou akustickou souvislost. Předvedeme si to na následujících dvou řádcích, z nichž jeden charakterizuje zvětšenou kvartu a druhý malou sextu. Všechny tóny jsou zde vyjádřeny v hodnotách relativních frekvencí. V prvním sloupci je nižší znějící tón, ve druhém je vyšší tón, ve třetím je vlastní rozdílový tón, ve čtvrtém je nižší druhý rozdílový tón.
80 112 32 48 75 120 45 30
Petr Pařízek / 2014 73 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Když v prvním intervalu porovnáme nižší druhý rozdíl s vlastním rozdílem (48/32), po vykrácení získáme faktor 3/2, který představuje čistou kvintu. Když ve druhém intervalu porovnáme naopak vlastní rozdíl s nižším druhým rozdílem (45/30), po vykrácení dostaneme opět faktor 3/2. Ukazuje se tedy, že mezi rozdílovými tóny je v obou případech kvintový interval.
Porovnáme-li vlastní rozdíl druhého intervalu s nižším druhým rozdílem prvního, výsledný faktor (45/48) má po vykrácení hodnotu 15/16, což představuje klesající malou sekundu. Porovnáme-li nižší druhý rozdíl druhého intervalu s vlastním rozdílem prvního (30/32), výsledný faktor se i tentokrát po vykrácení rovná 15/16.
Tak docházíme k závěru, že tyto dva rozdílové tóny v obou intervalech tvoří kvintu, která podruhé zazní o malou sekundu níž než poprvé. Zahrajeme-li tedy v uvedeném ladění současně např. "A2, Dis3" a poté "Gis2, E3", může se zdát, že slyšíme čtyřhlas "F1-C2-A2-Dis3" a následně "E1-H1-Gis2-E3", i když ho nehrajeme (spodní dva tóny vnímáme samozřejmě mnohem slaběji, protože v souzvuku ve skutečnosti nejsou).
Přihlédneme-li k okolnosti, že ladění užívaná v baroku se mnohem více blížila čistému než ladění současné, je velmi pravděpodobné, že hudebníci tyto "fiktivní" čtyřhlasy v souzvucích podvědomě vnímali a začali je později používat i ve skutečnosti. Výsledný akordický spoj se velmi osvědčil, a proto se s ním setkáme v mnoha hudebních dílech především z dob baroka a klasicismu. Osvědčil se možná právě z toho důvodu, že vychází, jak jsme zjistili, přímo z akustického charakteru intervalů, a proto zní sluchu přirozeně.
Uvažujme nyní dvojhlasou melodii v tónině C-dur. Na konci jedné z mnoha frází se v horním hlasu objeví postup Dis-E a současně v dolním hlasu A-G. Z hlediska intervalů tedy zazní zvětšená kvarta a velká sexta. Opět použijeme ty nejčistší možné intervaly - zvětšenou kvartu 7-limitovou (7/5) a velkou sextu 5-limitovou (5/3).
Chceme-li tento postup vyjádřit pomocí relativních frekvencí, musíme mít na paměti, že spodní hlas klesá o velkou sekundu zúženou (10/9), nikoli o běžnou velkou sekundu (9/8). Sestup z tónu A na G se tedy nevyjádří faktorem 8/9, ale 9/10. Uvedené faktory (7/5, 5/3) musíme proto upravit tak, aby ve druhém zlomku klesl jmenovatel na 9/10 jmenovatele prvního zlomku. Výsledné faktory vycházejí ve tvaru 14/10, 15/9. Je tedy patrné, že zatímco spodní hlas klesá o zúženou velkou sekundu, horní hlas stoupá o 7-limitovou malou sekundu.
Petr Pařízek / 2014 74 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Pokud analyzujeme relativní frekvence stejným způsobem jako v předešlém příkladu, dostaneme následující hodnoty:
10 14 4 6 9 15 6 3
Jestliže v prvním intervalu porovnáme nižší druhý rozdíl s vlastním rozdílem (6/4), výsledný faktor má po vykrácení podobu 3/2, což je čistá kvinta. Porovnáme- li pak ve druhém intervalu naopak vlastní rozdíl s nižším druhým rozdílem (6/3), výsledný faktor má po vykrácení hodnotu 2/1, což představuje čistou oktávu. Vidíme, že rozdílové tóny jsou od sebe vzdálené poprvé o kvintu, podruhé o oktávu. Horní tón těchto intervalů má v obou případech stejnou relativní frekvenci (tj. 6), a proto má stejnou výšku. Zahrajeme-li tedy v přírodním ladění současně "A2-Dis3" a poté "G2-E3", budeme mít možná dojem čtyřhlasu "F1-C2-A2-Dis3" a po něm "C1-C2-G2-E3", i když samozřejmě jen velmi slabě. Takový harmonický postup můžeme chápat např. jako rozvod subdominanty s přidanou zvýšenou sextou do toniky.
Je zajímavé, že na rozdíl od předchozího probíraného spoje nachází tento spoj mnohem menší uplatnění, i když zní velmi srozumitelně a jasně (možná ještě jasněji než ten předchozí). V Evropě se s ním setkáme až počátkem 20. století. Je spojován především s jazzem a pochází pravděpodobně z hudby amerického gospelu. Zde se nabízí otázka, má-li tento spoj skutečně původ v hudbě tak odlišné od hudby evropské. Pokud ano, je až s podivem, že z hlediska klasicko-romantické harmonie nemá jedinou "vadu na kráse". Alt klesá o velkou sekundu, což působí velmi dobře i v mnohých jiných akordických rozvodech. Soprán stoupá o malou sekundu (tedy diatonicky), čímž je zajištěn přesvědčivý závěr fráze. Tenor se nepohybuje, takže společný tón je zadržen. Bas klesá o kvartu a o to víc je utvrzena skutečnost, že jde o subdominantní rozvod. Navíc, soprán postupuje v protipohybu s basem i s altem, takže působí jako významný melodicky samostatný hlas.
Důvod, proč se tento spoj téměř neuplatňuje v klasicko-romantické harmonii ani přes svou všeobecnou bezchybnost, není příliš jasný. Jako nejpravděpodobnější se jeví fakt, že soprán v prvním akordu stojí o zvětšenou sekundu výš než základní tón rozvodného akordu. Protože zvětšená sekunda je nedoškálný interval (více v sekci 15.1), zadržením sopránu ve funkci průtahu by vznikl kontextuálně nepřesvědčivý souzvuk.
Petr Pařízek / 2014 75 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
15.4 KONSONANCE A DISONANCE
Často se v hudbě setkáváme s tříděním intervalů na konsonantní a disonantní. Jednoduše řečeno, konsonantní intervaly znějí lidskému sluchu libozvučně, zatímco disonantní intervaly znějí nelibozvučně [#31].
Toto třídění bylo zavedeno především kvůli bezprostřednímu dojmu interpretů a posluchačů, kteří v intervalech vnímají jakési různé stupně libozvučnosti. Zde se nabízí otázka, proč vlastně člověk vnímá intervaly jako souzvuky libozvučné a nelibozvučné. Hraje tu roli velké množství aspektů, a proto zcela přesná odpověď na tuto otázku neexistuje. Zabývala se jí celá řada hudebních teoretiků, matematiků a fyziků včetně např. Leonharda Eulera (1707-1783) nebo Hermanna Helmholtze (1821-1894).
15.4.1 AKUSTICKÁ DISONANCE
Vnímáme-li znějící interval disonantně, důvody k tomu mohou být různé. Nejdůležitějším parametrem je zde pravděpodobně samotná velikost intervalu (tj. hodnota, kterou vyjádříme v centech nebo jako faktor).
Přestože takto přesně podle velikosti intervalu nebyla konsonance pravděpodobně nikde definována, lze se domnívat, že interval 7-limitové zmenšené tercie (tj. faktor 8/7) většinou vnímáme disonantně a zrovna tak i jiné užší intervaly (pozor, je-li interval užší než ~30 centů, přestává se projevovat jako disonantní dvojzvuk a chápeme ho jako zdvojený tón, jehož vlivem vzniká chórický efekt). Toto pravidlo o disonanci platí i pro oktávové převraty a oktávové ekvivalenty všech těchto intervalů. Výjimku tvoří zvětšená sexta (7/4) spolu s jejími stoupajícími oktávovými ekvivalenty a dále ještě klesající oktávové ekvivalenty zmenšené tercie (4/7, 2/7 atd.), které často nevnímáme jako akusticky disonantní souzvuky.
Disonantní jsou i takové intervaly, které se jistou měrou blíží jiným intervalům konsonantním, ale jen málo. Např. interval 7-limitové zvětšené tercie (21/16) stojí někde mezi velkou tercií a čistou kvartou (tj. dva výrazně konsonantní intervaly). Víc se podobá kvartě, takže sluch ho porovnává s kvartou, nikoli s tercií; protože však je od ní velmi vzdálený (je o ~27 centů užší), vzniká v něm mnoho neharmonických vazeb, což se projevuje jako disonance.
Petr Pařízek / 2014 76 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Tolerance rozladění imaginárního intervalu (v našem případě čisté kvarty) závisí na jeho pozici v řadě harmonických tónů. Např. interval 5/4 smí být rozladěn víc než interval 3/2, protože stojí výš v řadě harmonických. Je to jeden z důvodů, proč není žádná jasná hranice mezi konsonancí a disonancí. Existuje celá řada mezistupňů.
Jiný důležitý fakt je ten, že disonantně znějí i ty intervaly, jejichž tóny jsou příliš vysoko v řadě harmonických a nepřipomínají výrazně žádný jiný konsonantní interval. O tom, co znamená "příliš vysoko", lze diskutovat. Můžeme odhadovat, že se pravděpodobně tato hranice konsonance pohybuje někde okolo 10. harmonického tónu.
Otázkou disonance jsme se v dosavadním textu zabývali výhradně ve spojení s velikostí intervalu (tj. kmitočtovým poměrem). Problém disonance se však do značné míry týká i lineární vzdálenosti mezi frekvencemi, kterou měříme v Hz (tj. kmitočtového rozdílu). Některé z těchto závislostí jsou ovlivněny těmi předchozími - např. velká tercie složená z frekvencí 200Hz a 250Hz zní konsonantně, zatímco malá sekunda 750Hz a 800Hz zní disonantně, i když je mezi nimi stejný lineární rozdíl. Na druhou stranu, v mnohých případech si dokážeme, že opravdu můžeme podle rozdílových tónů určit konsonanci/disonanci. Tento jev by mohl být charakterizován přibližně tak, že tóny s vysokým frekvenčním rozdílem jsou konsonantní a s klesajícím rozdílem se začínají jevit disonantně a posléze jako zdvojené tóny (chórický efekt).
Neexistuje žádná pevně daná hodnota, která určuje, kdy nastává přechod mezi konsonancí a disonancí. Jde totiž o velmi pozvolný přechod, nikoliv ostrý, a navíc do jisté míry subjektivní. Čím víc kmitočtový rozdíl klesá, tím víc se přibližuje spodní hranici lidského slyšení tónů (ta se pohybuje někde okolo 16-24Hz). Je-li od ní vzdálen méně než zhruba o 14Hz, máme pocit disonance. Pokud je vysoko nad ní, vnímáme interval jako konsonanci. Je-li vysoko pod ní, chápeme interval jako dvojtón nebo jako nestálou změnu vztahu kmitů (tj. rázy s neurčitými výškami tónů). Docházíme tedy k závěru, že zatímco čistá kvinta v malé oktávě zní konsonantně, čistá kvinta v kontra oktávě se někdy projevuje jako disonance.
Dosud jsme hovořili pouze o disonanci intervalů (tj. samostatných hudebních dvojzvuků). Právě tak důležitá je však i konsonance a disonance akordů (tj. souzvuků o třech a více tónech). Velmi zjednodušeně můžeme říci, že nejuspokojivěji zní akord tehdy, jsou-li frekvence základních tónů všech použitých
Petr Pařízek / 2014 77 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
intervalů v celočíselném poměru, zvláště pak jedná-li se o oktávový vztah (2/1, 4/1, 8/1 atd.).
Uvažujme durový kvintakord, který vyjádříme pomocí relativních frekvencí 4:5:6. V obou jeho intervalech (od nejnižšího tónu je to velká tercie a čistá kvinta) se základní tón rovná tónu rozdílovému. Základní i rozdílový tón širšího intervalu má relativní frekvenci 2, zatímco základní i rozdílový tón užšího intervalu má relativní frekvenci 1. Porovnáme-li tyto dvě hodnoty (2/1), zjistíme, že jsou v celočíselném poměru.
S mollovým kvintakordem (10:12:15) je to poněkud složitější. Relativní frekvence základních tónů jeho intervalů (tj. malé tercie a čisté kvinty) nejsou v celočíselném poměru. Základní tón širšího intervalu má relativní frekvenci 5, zatímco základní tón užšího intervalu má relativní frekvenci 2. Porovnáním těchto dvou hodnot (5/2) nezískáme celočíselný poměr. Proto mollový kvintakord zní méně konsonantně než kvintakord durový.
Při tvoření akordů hraje roli i velikost sousedních intervalů ve vztahu k samotným tónovým výškám. Zjednodušeně můžeme říci, že chceme-li utvořit maximálně konsonantní akord, malé intervaly by měly být vždy v horním výškovém pásmu, zatímco dole jsou intervaly větší. Toto pravidlo vychází z řady harmonických tónů, která začíná oktávou a všechny její další intervaly jsou stále menší (kvinta, kvarta, velká a malá tercie atd.).
15.4.2 DISONANCE V HUDBĚ
Na prvním místě stojí otázka, co je vlastně disonance ve vztahu k notám a k harmonii v kontextu běžné tonální hudby. Souvisí to především s kvintovou příbuzností intervalů (viz 15.1). I když to není nikde přesně takto definováno, z praxe můžeme odhadovat, že intervaly, jejichž tóny jsou ve vztahu více než čtyř kvint, chápeme jako disonance, které musíme rozvést do jiných intervalů, které jsou si kvintově bližší.
Zde je pojem "disonance" používán poněkud nepřesně, protože zatímco dříve popisoval akustické vlastnosti intervalů, nyní se dotýká jejich harmonického významu, což zavádí do terminologie chaos. Spíše než na konsonantní a disonantní bychom je tedy měli rozdělit na intervaly stabilní, které mohou harmonickou větu uzavřít (příbuznost tónů nepřesahuje 4 kvinty), a nestabilní, které musíme rozvést (5 kvint a víc). Malá septima a velká sekunda jsou výjimečné, protože působí
Petr Pařízek / 2014 78 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
nestabilně, i když jde o dvoukvintové intervaly; souvisí to pravděpodobně s jejich skutečnou akustickou disonancí.
S ohledem na předchozí text víme, že mezi stabilní intervaly patří oktáva, kvinta, kvarta, velká a malá tercie, velká a malá sexta a všechny oktávové ekvivalenty těchto intervalů. Je však dobré si všimnout, že toto pravidlo o nestabilitě se v některých případech porušuje a nestabilní intervaly dostávají význam stabilních. To se projevuje především v impresionismu, později pak v jazzové a populární hudbě. Klasicko-romantická harmonie nedovoluje uzavřít větu tvrdě velkým septakordem. V jazzu je něco takového naprosto běžné a stejně tak i zahuštěné undecimové a tercdecimové akordy, které vlastně obsahují spoustu nestabilních intervalů, a přesto mohou uzavřít harmonickou frázi. To je způsobeno především výškovým pásmem, ve kterém se intervaly nacházejí (nestabilní intervaly jsou nahoře, dole jsou ty stabilní).
V akordu s větším množstvím stabilních intervalů se nestabilita jiných snadno zmírní. Existuje ovšem jeden extrém, který je možný jen v dnešním rovnoměrném ladění. Jedná se o speciální akord, jehož nejnižší interval je výrazně nestabilní (dokonce nedoškálný), a přesto dělá dojem stabilního. Je to Skrjabinův sedmizvuk sestavený z kvart (např. Cis-F-H-E-A-D-G), kde v lepším případě je bas zdvojený v nižší oktávě. Protože zmenšená kvarta Cis-F zde zní stejně jako velká tercie Cis-Eis, spodní tóny Cis-F-H dělají dojem dominantního septakordu bez kvinty. Tato dvojznačnost však neexistuje v žádném jiném ladění.
Nezabýváme-li se harmonickým významem intervalů, ale jeho konsonancí/disonancí, kvintová příbuznost nehraje roli. Tehdy rozdělíme intervaly podle dvou kritérií - na konsonantní a disonantní, na čisté a falešné. Kvůli nepřesné terminologii jsou tyto dva způsoby třídění intervalů propojovány a často zaměňovány, čemuž se však lze vyhnout, jestliže zde tyto pojmy přesně definujeme (což pravděpodobně dosud nikdo neudělal).
První způsob třídění vychází především z akustických vlastností intervalu, druhý se vztahuje k jeho vyladění s ohledem na konkrétní tónový systém známý z hudební praxe. Tyto dvě třídy na sobě nejsou nijak úzce závislé, a proto můžeme najít čtyři různé typy intervalů - konsonantní čisté, disonantní čisté, konsonantní falešné, disonantní falešné. V takovém případě všechny intervaly v hudbě běžně používané jsou čisté, ale dělí se na konsonantní a disonantní. Falešné intervaly jsou ty, které nemají uplatnění v konkrétních tónových systémech. Podobně jako u konsonance a disonance neexistuje jasná hranice mezi čistými a falešnými
Petr Pařízek / 2014 79 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
intervaly. Míra falešnosti jistým způsobem souvisí s tolerancí rozladěnosti vysvětlenou v předchozí podkapitole.
Objevuje se tu však další skutečnost, která určování čistých a falešných intervalů ještě ztěžuje. Zatímco konsonanci/disonanci určíme podle daných (neměnných) akustických vlastností intervalu, čistotu/falešnost nemůžeme jednoznačně určit, protože v praxi používané tónové systémy se po celém světě různě odlišují. Interval, který jedna hudební kultura považuje za čistý, jiná může považovat za falešný a naopak. A nejen to. Na mnohých místech světa jsou za čisté považovány jiné intervaly dnes než před 500 lety. To je dáno tónovými systémy, na které je sluch navyklý, takže všechny intervaly vztahuje k nim.
Např. didymická velká tercie (5/4) je čistá ve vztahu ke středotónovým systémům používaným v renesanci a na počátku baroka, ale je falešná ve vztahu k současnému rovnoměrnému ladění. Naproti tomu současná velká tercie o 400 centech je dnes považována za čistou, ale v renesanci by byl takový interval označen za příliš rozladěný. Intervaly v tehdejších středotónových systémech se mnohem více blížili didymickým intervalům než dnešní temperované intervaly. Lidé byli postupem času donuceni zvyknout si na rozladěné intervaly a některým se to daří tak úspěšně, že považují za falešné i ty intervaly, které jsou konsonantnější než ty dnešní a byly dříve brány jako čisté.
U čistých intervalů můžeme určit ještě třetí vlastnost - již zmíněnou harmonickou stabilitu. Zatímco všechny disonantní intervaly jsou nestabilní, s konsonantními to není tak jednoznačné. Některé jsou stabilní, jiné nestabilní. Dříve zmíněná zvětšená sexta je jedním z nestabilních konsonantních intervalů. Jiným takovým intervalem je triton (zvětšená kvarta - v 7-limitovém ladění faktor 7/5).
V hudební praxi byly tyto intervaly téměř vždy označovány za disonantní. Zde je totiž pojem "disonance" použit na místě jiného přesnějšího výrazu "nestabilita". Výklad, že disonantní zvětšenou kvartu rozvádíme do jiného konsonantního intervalu, není dost přesný. Rozvádíme-li ji např. do malé sexty, po akustické stránce hrajeme dva konsonantní intervaly, aspoň pokud jde o přírodní ladění. Fakt, že v závěru harmonické fráze se dříve nepoužívaly akordy se zvětšenou kvartou, není způsoben její disonancí, ale její nestabilitou, která nás nutí rozvést ji do stabilní malé sexty. Její oktávový převrat, což je zmenšená kvinta (10/7), se projevuje spíše jako disonance, protože její tóny stojí o něco výš v řadě harmonických tónů než tóny zvětšené kvarty.
Petr Pařízek / 2014 80 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
V současném rovnoměrném ladění má zvětšená kvarta i zmenšená kvinta stejnou velikost (1/2 oktávy) a skutečně zní disonantně. To ale v podstatě nesouvisí s jejím harmonickým významem, který byl ustálen mnohá staletí před dnešním laděním. Tento interval o velikosti 600 centů bývá často označován souhrnným heslem "triton", které má představovat zvětšenou kvartu nebo zmenšenou kvintu. Objevuje se tak další terminologická nepřesnost. Název "triton" totiž dříve vyjadřoval vzdálenost tří velkých sekund, což je zvětšená kvarta. Zmenšená kvinta by se tedy pro upřesnění měla nazývat např. "enharmonický triton", čímž by se vysvětlilo, že enharmonickou záměnou jednoho tónu ve zvětšené kvartě získáme zmenšenou kvintu. Protože však v současném ladění enharmonická záměna tónu nezmění jeho výšku, oba intervaly znějí stejně, a proto dostaly souhrnné pojmenování "triton", i když je to nepřesné.
Petr Pařízek / 2014 81 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
16 DVOJROZMĚRNÁ LADĚNÍ A NEKVINTOVÉ HARMONICKÉ SYSTÉMY
Tónové systémy bývají někdy tříděny podle toho, kolik výchozích intervalů se v nich používá k získávání jiných [#32]. Např. naše dnešní 12-tónové ladění je jednorozměrné (neboť všechny jeho intervaly získáme jako celý počet půltónů - tj. nejmenších použitých intervalů), pythagorejské nebo středotónové ladění je dvojrozměrné (neboť všechny intervaly utváří kombinacemi oktáv a kvint), didymické ladění je trojrozměrné (neboť přidává nově definované tercie a sexty) a přísné 7-limitové ladění je 4-rozměrné (přibývá nově definovaná zvětšená sexta, zvětšená sekunda atd.).
Temperované ladění je takové ladění, jehož některé intervaly byly jemně rozladěny, abychom se jejich kombinacemi dostatečně přiblížili jiným cílovým intervalům. Patří sem tedy jednak ladění středotónové, jednak různá nepravidelná ladění z přelomu baroka a klasicismu, jednak dnešní 12-tónové rovnoměrně temperované ladění.
Dvojrozměrná ladění jsou často definována podle tzv. "periody" a "generátoru" [#32]. Periodou se rozumí interval, do něhož je stupnice uzavřena, generátorem je míněn interval utvářející tónový výběr uvnitř periody. Např. u pythagorejského i středotónového ladění je periodou čistá oktáva, avšak v pythagorejském ladění je generátorem zcela čistá kvinta, zatímco ve středotónovém ladění je to kvinta jemně zúžená (většinou o 5,5 až 6 centů).
Je-li generátorem jiný interval než kvinta nebo kvarta, může vzniknout zcela nové ladění dobře hudebně použitelné. Této problematice bylo věnováno několik odborných textů i hudebních kompozic. Ovšem hudbu komponovanou v takovém ladění nemůžeme zapsat do běžné notace, přestože i tehdy se stále může jednat o spoje durových a mollových akordů (standardní notace je totiž silně přizpůsobena systému oktáv a kvint). Seznam vybraných temperovaných dvojrozměrných ladění je dostupný v příloze D.
Petr Pařízek / 2014 82 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
17 DHLEDÁNÍ AKORDICKÝCH POSTUPŮ V NEOBVYKLÝCH LADĚNÍCH
17.1 PŘEHLED
Chceme-li systematicky hledat akordické postupy charakterizující jedno temperované ladění, nejprve musíme vědět, který interval se v daném ladění promění v unisono (zmizí). Tento údaj sám již postačuje k tomu, abychom posléze získali všechny další potřebné údaje. Výsledný akordický postup má pak tu vlastnost, že v daném temperovaném ladění první a poslední akord zní zcela shodně, zatímco v přísném čistém ladění se tyto dva akordy liší právě o onen interval daný napočátku, takže při každém dalším opakování by se celý postup o tento interval snížil či zvýšil.
Hledáme-li takový akordický postup, pro efektivní aplikaci na hudbu je vhodné najít postup co nejkratší. Metoda, jakou toho můžeme dosáhnout, je přesně popsána v následujícím textu. Jedná se o algoritmy, které dosud nikde nebyly takto přesně definovány a systematicky klasifikovány a zde se objevují zcela poprvé.
Předpokládá se, že čtenář buď nahlédl do kapitoly 16, nebo má odjinud určité povědomí o dvojrozměrně temperovaných laděních [#33], [#34], [#35]. Přesný význam názvů jako "negri" nebo "hanson" je definován v příloze D.
Třebaže není vyžadováno, aby čtenář porozuměl obsahu celé této kapitoly, je dobré, aby měl o této problematice dostatečné povědomí. Může pak lépe ocenit otázku nových harmonických systémů, jejichž hudbu nelze zapsat do běžných not, a případně snáz propojit myšlenku barvy zvuku s myšlenkou propojování souzvuků (ať už jsou to běžné kvintakordy, nebo zcela nestandardní souzvuky mimo známé intervalové paradigma).
Všechny uvedené příklady jsou tvořeny v 5-limitových laděních (přesněji jen s využitím durových a mollových trojzvuků), ale ve skutečnosti mohou existovat podobné příklady v laděních zcela odlišných, i kdyby v daném ladění vůbec neexistovaly oktávy. Zároveň ve všech uvedených příkladech jsou všechny akordy uváděny v podobě trojzvuku (tj. v jedné oktávě vždy znějí tóny tří různých výšek). Spoje akordů s více než třemi tóny v oktávě přesahují rámec tohoto textu.
Petr Pařízek / 2014 83 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
17.2 DIATONICKÉ A CHROMATICKÉ ZMĚNY
Chceme-li používat frekvenční poměry obsahující 3 nejnižší prvočísla (z nichž to nejnižší má funkci periody pro dané ladění), nejjednodušší volba jsou relativní frekvence 4:5:6, které v kontextu 5-limitové harmonie vyjadřují durový kvintakord. Povolíme-li i obraty akordu, celou oktávu pak vyplníme buď poměrem 4:5:6:8 (kvintakordem), 5:6:8:10 (sextakordem) nebo 3:4:5:6 (kvartsextakordem).
Porovnáme-li intervaly mezi sousedními tóny (buď dělením frekvencí, nebo odečítáním velikostí v centech), zjistíme, že existují 3 způsoby, jakými můžeme z durového kvintakordu v podobě 4:5:6 získat mollový trojzvuk tak, abychom zadrželi dva společné tóny. Buď můžeme nejvyšší tón zvýšit o zúženou velkou sekundu (tj. vynásobit jeho frekvenci hodnotou 10/9), čímž vznikne sextakord. Můžeme však také snížit nejnižší tón o didymickou malou sekundu (vynásobit jeho frekvenci 15/16 nebo vydělit 16/15), čímž vznikne kvartsextakord. Můžeme také prostřední tón snížit o didymickou zvětšenou primu (vynásobit frekvenci 24/25 nebo ji vydělit 25/24), čímž vznikne kvintakord.
Je-li relativními frekvencemi 4:5:6 představován kvintakord C-dur, pak první uvedená změna jej promění na sextakord a-moll, druhá na kvartsextakord e-moll, třetí na kvintakord c-moll. V následujícím textu pro přehlednost zavedeme pro úpravu prvního uvedeného typu označení "první diatonická změna", druhou jmenovanou úpravu nazveme "druhá diatonická změna" a třetí označíme pojmem "chromatická změna".
17.3 JEDEN Z NEJZNÁMĚJŠÍCH CYKLICKÝCH AKORDICKÝCH POSTUPŮ
V některých textech se dočteme, že postup "C-dur, a-moll, d-dur, G-dur, C-dur" charakterizuje syntonické komma [#32]. Ve skutečnosti je to nejkratší možný sled trojzvuků splňující požadavek, aby krajní akordy C-dur při hře v přísném didymickém ladění byly vzdáleny o syntonické komma. Tento interval zmizí ve středotónovém ladění, a proto při zahrání uvedených akordů ve středotónovém ladění (nebo v některém jednorozměrném, kterým lze středotónové ladění napodobit) budou krajní dva akordy znít zcela shodně.
Jak bylo řečeno dříve, na začátku musíme přesně znát interval, který v daném laděnímizí. Pro středotónové ladění je to syntonické komma, jehož faktor je 81/80
Petr Pařízek / 2014 84 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
(zmíněných 21,5 centů). Tento zlomek můžeme vyjádřit ve tvaru "2^(-4) * 3^4 * 5^(-1)", a proto exponenty nejnižších tří prvočísel jsou "-4, 4, -1".
Protože oktáva má význam periody, pomineme nyní exponent čísla 2, takže zůstane "4, -1". Když pořadí čísel otočíme a pak prvnímu z nich změníme znaménko, dostaneme počty generátorů pro příslušné výchozí intervaly. V našem případě vychází "1, 4", čímž je řečeno, že faktor 3/1 je zde představován jedním generátorem (k němuž se přidá oktáva) a faktor 5/1 je představován 4 generátory (k nimž se žádné oktávy nepřidávají). Posledním intervalem obsaženým v našem výchozím souzvuku (1:3:5) je velká sexta s faktorem 5/3. Protože její velikost získáme odečtením velikostí dvou dříve uvedených intervalů, počet generátorů získáme obdobně odečtením dvou příslušných počtů generátorů (4 - 1 = 3).
Číslo, které ze všech tří má nejvyšší absolutní hodnotu, vyjadřuje minimální počet akordů na celý postup. V tomto případě je nejvyšší číslo 4, což znamená, že ve středotónovém ladění takový postup bude mít minimálně 4 akordy (případně 5, pokud druhý výskyt prvního akordu počítáme jako další akord).
Jestliže např. generátor číslo 0 představuje tón C a víme, že s každým dalším generátorem se tón zvýší o kvintu nebo sníží o kvartu, pak generátory číslo 4 a 1 nazveme E a G (oktávy udávat nemusíme). Odečteme-li čísla vzestupně seřazená, dostaneme 1 (od C ke G) a 3 (od G k E).
Pro jednoduchost si tyto rozdíly označme "R1" a "R2" a zároveň zaveďme "R1 + R2 = R3", což je onen počet akordů. Protože číslo 4 je ze všech tří nejvyšší a v našem případě představuje faktor 5/1 (tj. faktor 5/1 zde chápeme jako 4 kvinty nad sebou), můžeme říci, že interval vyjádřený faktorem 5/1 je nyní náš "rozsahový interval" nebo zkráceně "interval R3" a že každý použitý akord zde zabírá rozsah 4 generátorů (nejnižší a nejvyšší číslo generátoru se vždy liší o 4). Kdybychom na začátku vyměnili znaménko exponentu čísla 3 (nikoli 5), pak by interval R3 byl dán faktorem 1/5, takže by klesal.
Poslední přiřazení, které učiníme, bude "R4 = R3 + R2", čímž dostaneme počet tónů stupnice, ve které tento postup hrajeme. V tomto případě vychází R4 = 7, takže již předem víme (ještě než jsme začali vytvářet jakoukoli hudbu), že naše stupnice bude mít 7 tónů v oktávě. Souhrnně tedy máme R1 = 1, R2 = 3, R3 = 4, R4 = 7.
Petr Pařízek / 2014 85 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Nyní je nutná podmínka, aby proměnné R1 a R2 po celou dobu relizace zůstávaly buď nezměněné nebo vyměněné. V našem případě musejí mít hodnoty buď 1 a 3, nebo 3 a 1.
Má-li akordický postup být co nejkratší, v podstatě to znamená, že chceme na celý postup použít nejmenší možný rozsah generátorů. Toho dosáhneme tak, že opakovaně přičítáme nebo odčítáme R1 od průběžných čísel generátorů a případně (je-li to dovoleno) jedno z nich vhodně upravíme tak, aby minimální rozsah generátorů byl zajištěn.
Doporučuje se začít tak, aby první dva akordy obsadily tentýž rozsah generátorů. V našem případě je to rozsah od 0 do 4. Existují zde dva akordy, které toto splňují, a sice C-dur a a-moll. Akord C-dur je představován generátory "0, 1, 4" (tj. tóny "C, G, E"), akord a-moll je představován generátory "0, 3, 4" (tóny "C, A, E). Proto si zvolíme C-dur a a-moll jako první dva akordy. Všimněme si, že tentýž akord a-moll také získáme, jestliže akord C-dur snížíme o kvintu a pak tón F vyměníme za E (abychom zachovali rozsah generátorů) - tj. nejprve od všech čísel generátorů odečteme R1, poté místo čísla -1 použijeme 4 (za účelem zachování rozsahu), čímž vyměníme hodnoty R1 a R2.
Pro třetí akord opět od všech čísel generátorů odečteme R1, čímž získáme trojzvuk d-moll (generátory "-1, 2, 3"). Celkový použitý rozsah generátorů se tím zvýší na 5 (od -1 do 4). Tentokrát žádné další změny dělat nebudeme, neboť vyměněním R1 a R2 (tj. nahrazením tónu F tónem Fis) by se celkový rozsah generátorů zvýšil na 6.
Pro náš čtvrtý akord opět od všech čísel generátorů odečteme R1 a protože tentokrát tomu nic nebrání, vyměníme hodnoty R1 a R2 nahrazením tónu B tónem H (nahrazením čísla -2 číslem 5). Tak získáme akord G-dur. Celkový rozsah generátorů se tak zvýší na 6, ať už vyměníme hodnoty R1 a R2 nebo ne. Výměna je tedy dovolena, a proto jako čtvrtý akord zvolíme G-dur, nikoli g-moll.
Nakonec opět od všech čísel odečteme R1, čímž získáme akord C-dur. Ani tentokrát neprovedeme výměnu, ovšem ne kvůli zachování rozsahu generátorů, ale kvůli tomu, že vyšel akord, kterým jsme začínali.
Petr Pařízek / 2014 86 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Hrajeme-li tento postup v přísném didymickém ladění a zkoumáme-li kroky tónů vzdálených o tercii, objeví se následující vzestupy:
G|A: 10/9 E|F: 16/15 C|D: 10/9 A|H: 10/9 F|G: 10/9 D|E: 10/9 H|C: 16/15
Takto se dozvídáme dvě zajímavé informace. Zaprvé, je zde zjevně více prvních diatonických změn než druhých (prvních je 5, druhé jsou 2). Souvisí to s počtem generátorů, který odpovídá jedné či druhé změně (2 pro velkou sekundu, -5 pro malou), a proto naše stupnice obsahuje právě 5 velkých a 2 malé sekundy v oktávě. Toto platí pro jakékoli dvojrozměrné ladění, nejen pro středotónové.
Dále tak zjišťujeme, že náš závěrečný tón G je o syntonické komma nižší (ne vyšší) než G počáteční. Je tedy patrné, že tímto akordickým postupem je ve skutečnosti charakterizován faktor 80/81, nikoli 81/80. Existuje i možnost utvořit postup v opačném směru, chceme-li charakterizovat faktor 81/80 (více v sekci 17.11).
17.4 LADĚNÍ, V NICHŽ JE R1 VĚTŠÍ NEŽ 1
Pro příklad uvažujme ladění zvané "porcupine" s tou jemnou změnou, že generátoru dáme roli neutrální septimy, nikoli neutrální sekundy, která se většinou uvádí [#35]. Objevuje se zde nečekaná shoda, neboť prvočíslo 3 je představováno 3 generátory a pro prvočíslo 5 použijeme 5 generátorů, takže doplňujícímu faktoru 5/3 odpovídají 2 generátory. Nejvyšší z těchto čísel je 5, a proto nejkratší vhodný postup zde sestává z 5 akordů a náš "rozsahový interval" (interval R3) je i tentokrát 5/1.
Tak dostáváme "R1 = 2, R2 = 3, R3 = 5, R4 = 8". Znovu si připomeňme, že hodnoty R1 a R2 se mohou průběžně vyměňovat, zatímco R3 a R4 jsou konstantní. Vidíme, že žádná z těchto hodnot není 1 a že pro zachování alespoň jednoho společného tónu v sousedních akordech tedy musíme obecně přičítat či odečítat hodnotu R1 (nikoli číslo 1, jak bychom se mohli domnívat).
Petr Pařízek / 2014 87 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Začneme tedy generátory "0, 3, 5", které zde představují počáteční durový trojzvuk. Mollový trojzvuk obsazující tentýž rozsah vyjádříme čísly "0, 2, 5" a zvolíme ho jako druhý akord. Totéž "0, 2, 5" můžeme získat tak, že ke všem číslům přičteme R1 (tentokrát neodečítáme, ale přičítáme) a poté místo výsledného čísla 7 použijeme 0 (čímž zachováme rozsah a vyměníme R1 a R2). Přesnou odpověď na otázku, ve kterých laděních máme R1 přičítat a ve kterých odečítat, poznáme vždy podle toho, při které variantě výměna R1 a R2 zachová rozsah generátorů.
Dále přičteme R1 k číslům pro druhý akord a nahradíme výsledné číslo 7 číslem - 1. Nejenže je to dovoleno, ale tentokrát je to dokonce žádoucí, neboť jinak by se celkový rozsah zvýšil na 7 a takto se zvýší na 6. Čísla generátorů pro třetí akord tedy jsou "-1, 2, 4".
K tomuto opět přičteme R1 a výsledné číslo 6 nahradíme číslem -1 (čímž znovu vyměníme R1 a R2). Čtvrtý akord tedy sestává z generátorů "-1, 1, 4".
Poté opět ke všem číslům přičteme R1 a číslo 6 nahradíme -2, takže pátý akord je ve tvaru "-2, 1, 3". i tentokrát tedy vyměňujeme R1 a R2. Podobně jako u středotónového ladění, v tomto případě je rozsah generátorů zvýšen na 7, ať už použijeme číslo 6 nebo -2. Výměna je tedy dovolena, a proto ji provedeme.
Nakonec naposled přičteme R1 a získáme "0, 3, 5". Výměnu neprovádíme tentokrát z jednoduchého důvodu, že vyšel tentýž akord, kterým jsme začínali.
17.5 PŘÍKLAD LADĚNÍ S VĚTŠÍM ROZSAHEM GENERÁTORŮ
Pro náš další příklad zvolíme ladění zvané "negri". Toto ladění používá -4 generátory pro faktor 3/1, 3 pro faktor 5/1 a 7 pro faktor 5/3. Nejvyšší z těchto čísel je 7, čímž je řečeno, že nejkratší vhodný postup v tomto ladění sestává ze 7 akordů a že 5/3 je náš "interval R3". Tak dostáváme "R1 = 3, R2 = 4, R3 = 7, R4 = 11". Odtud víme, že R1 a R2 mají vždy mít hodnoty 3 a 4 nebo 4 a 3.
Počáteční durový trojzvuk je představován generátory "0, -4, 3", což můžeme seřadit vzestupně a získat "-4, 0, 3". Mollový trojzvuk ve stejném rozsahu má tvar "-4, -1, 3", což bude druhý akord našeho postupu. Tentýž akord můžeme získat přičtením R1 k počátečním číslům (opět přičítáme) a následně nahrazením výsledných 6 hodnotou -4 (tj. vyměněním R1 a R2).
Petr Pařízek / 2014 88 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Dále přičteme R1 ke generátorům druhého akordu a hodnotu 6 nahradíme hodnotou -5, takže ve třetím akordu použijeme generátory "-5, -1, 2".
Dále opět přičteme R1 a hodnotu 5 nahradíme hodnotou -5, takže čtvrtý akord sestává z generátorů "-5, -2, 2".
Opět přičteme R1 a zaměníme 5 za -6, takže pátý akord má tvar "-6, -2, 1".
Znovu přičteme R1 a zaměníme 4 za -6, takže šestý akord sestává z generátorů "-6, -3, 1".
Ještě jednou přičteme R1 a zaměníme 4 za -7, takže sedmý akord je ve tvaru "-7, -3, 0".
Naposled přičteme R1, čímž získáme "-4, 0, 3". Žádnou výměnu neprovádíme, neboť tímto akordem jsme začínali.
17.6 LADĚNÍ S VÍCE PERIODAMI NA OKTÁVU
Ladění diaschismatické (někdy zváno diaschismické) užívá 1 generátor pro faktor 3/1, -2 pro faktor 5/1 a -3 pro faktor 5/3. Když však najdeme exponenty odpovídající faktoru 2048/2025, který v tomto ladění mizí, všimneme si, že pro prvočísla 3 a 5 jsou zde exponenty -4 a -2, nikoli -2 a -1. Odtud by se zdálo, že nejkratší postup by měl sestávat ze 6 akordů a ne ze 3. Správná odpověď je taková, že perioda v tomto případě má polovinu velikosti oktávy a nalezený akordický postup dosáhne jedné půl-oktávové periody, takže k dosažení celé oktávy je skutečně nutných 6 akordů.
Na začátku máme "R1 = 1, R2 = 2, R3 = 3, R4 = 5". Náš počáteční durový trojzvuk je vyjádřen generátory "0, 1, -2", což upravíme na "-2, 0, 1". Mollový trojzvuk ve stejném rozsahu má tvar "-2, -1, 1". Toto bude druhý akord našeho postupu. Opět si připomeňme, že totéž získáme, jestliže ke všem číslům přičteme R1 a výsledné 2 zaměníme za -2.
Dále přičteme R1 a zaměníme 2 za -3. Ve třetím akordu jsou tedy generátory "-3, -1, 0". I zde se zvýší celkový rozsah na 4 bez ohledu na výměny, takže výměnu můžeme provést.
Naposled přičteme R1 a dostaneme "-2, 0, 1", což je trojzvuk, kterým jsme začínali. Takto jsme však postoupili o periodu náležející tomuto ladění - tj. o
Petr Pařízek / 2014 89 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
polovinu oktávy. Pokud toto celé provedeme ještě jednou, skončíme týmž akordem jako na začátku, a to v rámci celé oktávy, nikoli jen v rámci pů oktávy. V běžném 12-tónovém ladění si můžeme takový postup předvést např. na akordech "C-dur, e-moll, H-dur, Fis/Ges-dur, b-moll, F-dur, C-dur".
V některých laděních není pro jeden nebo více výchozích faktorů (míněno 3/1, 5/1, 5/3) použit žádný generátor. Zvolíme-li ladění, v němž toto platí, pak získáme nejkratší postup akordů tak, že vždy zachováme jen jeden společný tón mezi sousedními akordy (nikdy dva). Pak se nabízí logická otázka, zda se celý postup ještě víc nezkrátí, použijeme-li tuto metodu i u jiných ladění. Někdy se opravdu zkrátí, avšak za cenu nestandardních souzvuků utvořených navrstvením dvou shodných intervalů nad sebe (dvě kvarty, dvě velké tercie, dvě malé tercie atd.). Je samozřejmě věcí osobní preference, zda dovolíme akordy např. s didymickou zvětšenou kvintou (25/16), ale ve většině případů nejsou vítány.
17.7 POSTUPY S DANÝM ROZSAHEM GENERÁTORŮ
Jak bylo uvedeno dříve, hodnota R4 udává, kolik tónů v oktávě má mít stupnice, v níž chceme hrát daný akordický postup. To nám dovoluje předem stanovit konkrétní rozsah generátorů ještě předtím, než začneme s vlastním tvořením akordů. I když důvody nemusejí být na první pohled jasné, vlastnosti některých akordických postupů realizovaných s touto podmínkou (tj. s předem daným rozsahem generátorů) jsou srovnatelné, v kontextu možností každého jednotlivého ladění, s vlastnostmi mnoha častých postupů oblíbených v barokní harmonii v kontextu ladění středotónového.
Výsledný akordický postup zní v některých laděních zcela shodně bez ohledu na to, zda tuto podmínku splníme či ne (např. středotónové ladění nebo "magic"), zatímco v jiných se může lišit ("porcupine", "hanson" atd.). Nicméně pokud ji splníme, postupy mohou vykazovat více podobností v různých laděních, a jejich porovnávání se tak stává snazší. Tímto způsobem tedy můžeme snadno používat nová ladění ve funkci zcela nových dosud neprozkoumaných harmonických systémů, podobně jako je středotónovým laděním představován náš běžný kvintterciový harmonický systém. Pravidlo o definování rozsahu generátorů předem je zvláště vhodné, pokud utváříme daný akordický postup odlišnou metodou popsanou v příští podkapitole.
Petr Pařízek / 2014 90 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Chceme-li tuto podmínku splnit, na začátku je nutno splnit jinou podřazenou podmínku. Na obě strany od středu (od generátoru 0) by měl být k dispozici stejný počet zmíněných "intervalů R3". Tam, kde toto splnit nelze, dovolíme o jeden víc na zápornou stranu, pokud interval R3 stoupá, nebo o jeden víc na kladnou stranu, pokud interval R3 klesá.
Např. ve středotónovém ladění použijeme stupnici se 7 tóny v oktávě, takže nejnižší a nejvyšší číslo generátoru se má lišit o 6. Protože první použitá velká tercie (interval R3) je vyjádřena čísly 0 a 4, můžeme celý rozsah rozšířit o jeden generátor na každou stranu (tedy od -1 do 5) a díky tomu máme k dispozici další dvě velké tercie, konkrétně "F-A" a "G-H". Pokaždé, když přičteme nebo odečteme R1 od čísel generátorů, nevyměňujeme R1 a R2 v případě, že bychom se pak dostali mimo žádaný rozsah nebo že výsledný akord je shodný s počátečním.
Třebaže zrovna ve středotónovém ladění zní akordický postup shodně, ať už použijeme pravidlo o předem daném rozsahu či ne, stručný popis ukazuje, že metoda získávání jednotlivých tónů není úplně totožná. Začínáme s čísly "0, 1, 4", pak odečteme R1 a zaměníme -1 za 4 (vyjde druhý akord), pak odečteme R1 a nic nezaměňujeme kvůli zachování rozsahu (vyjde třetí akord), pak odečteme R1 a zaměníme -2 za 5 (vyjde čtvrtý akord), pak odečteme R1 a nic nezaměňujeme (neboť vyšel počáteční akord).
Stejného výsledku můžeme dosáhnout i tak, že nejdříve definujeme generátor 0 jako střed rozsahu a pak celý postup transponujeme. V případě středotónového ladění by tedy první dvě trojice čísel byly "-2, -1, 2" a "-2, 1, 2". Rozšíříme-li rozsah shodně na obě strany, ve výsledku obsadíme generátory -3 až +3. Je-li generátorem 0 míněn tón C, vychází tedy stupnice s dvěma sníženými tóny (kterou můžeme brát jako dórský modus od C nebo jako jónský durový modus od B atd.). Výsledný postup pak transponujeme zvýšením všech hodnot o 2 (aby tonika prvního akordu byla představována číslem 0 a ne -2).
Jeden z možných příkladů, který ukazuje nečekané podobnosti se středotónovým laděním, je ladění "hanson". Zde se používá 6 generátorů pro faktor 3/1, 5 pro faktor 5/1, -1 pro faktor 5/3. Máme tedy "R1 = 1, R2 = 5, R3 = 6, R4 = 11", takže "interval R3" je zde faktor 3/1 a použijeme stupnici s 11 tóny v oktávě (tj. obsadíme rozsah 10 generátorů).
Petr Pařízek / 2014 91 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
V prvním akordu je interval R3 představován generátory 0 a 6. Tento rozsah 6 generátorů pak shodně rozšíříme o 2 na obě strany, čímž získáme rozsah 10 generátorů (-2 až +8). Další postup je tento:
Začneme s "0, 5, 6" (první akord). Přičteme R1, zaměníme 7 za 0 a vyjde "0, 1, 6" (druhý akord). Přičteme R1, nic nezaměňujeme kvůli zachování rozsahu a vyjde "1, 2, 7" (třetí akord). Přičteme R1 a vyjde "2, 3, 8" (čtvrtý akord). Přičteme R1, zaměníme 9 za -2 a vyjde "-2, 3, 4" (pátý akord). Přičteme R1 (viz dále) a vyjde "-1, 4, 5" (šestý akord). Přičteme R1 a vyjde "0, 5, 6" (počáteční akord).
Příklad ladění "hanson" ukázal výjimečnou situaci. Trojzvuk "-2, 3, 4" byl následován trojzvukem "-1, 4, 5", nikoli "-2, -1, 4", jak by přikazovala dosavadní pravidla. Tentokrát jsme se změně vyhnuli ne proto, že bychom se jejich vlivem dostali mimo rozsah nebo že je akord shodný s počátečním, ale proto, že v dalším akordu (který je shodný s počátečním) by pak nebyl žádný společný tón. Abychom nemuseli brát ohled na situace takto výjimečné, tentýž sled akordů můžeme utvořit zcela odlišnou metodou, která je vysvětlena v příští podkapitole.
Pokud tento sled akordů porovnáme s příkladem ve středotónovém ladění (viz 17.3), všimneme si několika podobností. Čtveřici akordů uvedenou ve středotónovém ladění můžeme chápat jako dva sledy dvou akordů (dur-moll, moll- dur), zatímco 6 akordů v ladění "hanson" můžeme chápat jako dva sledy tří akordů (dur-moll-moll, moll-dur-dur). Navíc, v čisté verzi středotónového příkladu stoupá jeden hlas o velkou sekundu (10/9) při změně z prvního na druhý akord a dva hlasy stoupají o tutéž velkou sekundu při změně ze třetího na čtvrtý akord. Naproti tomu, zde jeden hlas klesá o zvětšenou primu (25/24) při změně z prvního na druhý akord a dva hlasy klesají o tutéž zvětšenou primu při změně ze čtvrtého na pátý akord. V ladění "hanson" však tento interval nemá funkčně stejný význam jako zvětšená prima, neboť zde se nejedná o chromatickou změnu, ale o první diatonickou změnu.
Petr Pařízek / 2014 92 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
17.8 POPIS INTERVALU POMOCÍ EXPONENTŮ NECELÝCH ČÍSEL
Jak bylo uvedeno dříve, zlomek 81/80 (představující faktor pro syntonické komma) lze vyjádřit tvarem "2^(-4) * 3^4 * 5^(-1)". Tentýž zlomek však můžeme také vyjádřit mocninami zcela jiných hodnot, což nemusejí být prvočísla a dokonce ani celá čísla. Trojici exponentů prvočísel tak můžeme nahradit dvojicí exponentů nějakých jiných hodnot. Takových řešení je několik a jedno z nich je např. "(3/10)^4 * 5^3".
Ve skutečnosti tímto popíšeme nejen samotné syntonické komma, ale i sled intervalů, kterým tohoto kommatu dosáhneme. Přesně takový sled intervalů potřebujeme znát při tvorbě zmíněných cyklických akordických postupů. Proto lze touto metodou bez problému nahradit metodu dříve popsanou, pokud je to žádoucí. V příloze F je vypsán program pro Microsoft Quickbasic, který hledá odpovídající akordické postupy právě tímto způsobem, a příslušný sled tónů zapíše ve formátu Scala [#36].
Přiřaďme nyní "X = 3/10, Y = 5". Když postupně vynásobíme "1 * X * Y * X * Y * X * Y * X", dostaneme "1/1, 3/10, 3/2, 9/20, 9/4, 27/40, 27/8, 81/80".
Dále faktor 1/1 přiřadíme tónu D a generátor 0 přiřadíme tónu C. Naše faktory pak odpovídají tónům "D, F, A, C, E, G, H" a generátorům "2, -1, 3, 0, 4, 1, 5". Protože oktávy neudáváme, můžeme si toto představit jako sled 7 střídavých malých a velkých tercií. Pokud místo dvou tónů současně zahrajeme tři, získáme sled kvintakordů.
Začínáme-li kvintakordem C-dur, můžeme si všimnout, že po číslech "0, 1, 4" (generátorech pro tento akord) následuje 5 (tón H), což je ovšem mimo počáteční rozsah hodnot od 0 do 4. Takové sledy akordů můžeme také používat, avšak je-li žádoucí zachovat stejný rozsah generátorů po první dva akordy (jako doposud), otočíme pořadí tónů (čímž opět změníme směr zlomku z 81/80 na 80/81).
Dostáváme tóny "G, E, C, A, F, D, H, G". Poté proměníme sled tónů na sled akordů tak, že poprvé vyměníme jen jeden tón (zadržíme dva společné tóny) a pak vyměňujeme vždy dva (zadržíme jen jeden společný tón). Tím vzniká "C-dur, a- moll, d-moll, G-dur".
V přísném didymickém ladění je pak tón G z akordu G-dur o syntonické komma nižší než tón G z akordu C-dur. Tento malý interval můžeme jednoduše
Petr Pařízek / 2014 93 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
distribuovat mezi našich 7 tercií, takže každý další tón zvýšíme o 1/7 velikosti syntonického kommatu - tj. příslušný faktor vynásobíme (81/80)^(1/7). Vyjde diatonická stupnice ve středotónovém ladění s 2/7 kommatu na kvintu.
Uvedeného výsledku můžeme dosáhnout dvěma způsoby. Podle jednoho nejdříve najdeme hodnoty R1-R4 (viz 17.3) a pak dvě další hodnoty (zde zvané X a Y), což jsou faktory odpovídající R2 a R3 generátorům. Pro syntonické komma tedy máme "R1 = 1, R2 = 3, R3 = 4, R4 = 7, X = 10/3, Y = 5/1". Poté definujeme rozsah generátorů od -1 do +5 (viz 17.7).
X nyní představuje klesající malou tercii rozšířenou o 2 oktávy, zatímco Y je faktor pro stoupající velkou tercii rozšířenou o 2 oktávy. Jeden z těchto dvou intervalů budeme posléze invertovat, než začneme utvářet akordy.
Protože chceme začít durovým kvintakordem, mohlo by se zdát, že máme zvolit čísla "0, 4, 1". Pak by však nemohl být zachován stejný rozsah generátorů pro první dva akordy. Proto začneme čísly "4, 1, 0", takže pak můžeme použít 3 a další čísla budou ta, která vyplňují rozsah od -1 do +5.
Jiný způsob, jakým dosáhneme téhož výsledku, je ten, že hodnoty X a Y zjistíme ještě předtím, než známe čísla generátorů. Jestliže chceme 5-limitový zlomek vyjádřit mocninami 3 hodnot a první z nich je 2, další 2 hodnoty mohou být buď 3 a 5, nebo 3 a 5/3, nebo 5/3 a 5. Jejich exponenty pro zlomek 80/81 jsou tedy buď - 4 a 1, nebo nebo -3 a 1, nebo 4 a -3. Sečteme-li absolutní hodnoty každých dvou čísel, vidíme, že třetí volba dává nejvyšší výsledek (4 + 3 = 7), a proto preferujeme právě ji.
Z původních exponentů "4, -4, 1" se tedy staly exponenty "4, 4, -3", což snadno upravíme na tvar "(10/3)^4 * 5^(-3)". Odtud dostáváme "X = 10/3, Y = 5" spolu s exponenty "4, -3". Tím je řečeno, že syntonické komma získáme navrstvením 4 skutečných podob X a 3 inverzních podob Y (např. X / Y * X / Y * X / Y * X). Protože exponent Y je záporný, změníme Y na 1/Y a škrtneme znaménko mínus. Tak vychází "X = 10/3, Y = 1/5".
Počet tónů ve stupnici je součet nových dvou exponentů, což je v našem případě 7, takže použitý rozsah generátorů, který je vždy o jednu nižší, je tentokrát 6. Abychom tedy rovnoměrně distribuovali syntonické komma, X i Y vynásobíme hodnotou (80/81)^(1/7).
Petr Pařízek / 2014 94 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Dále najdeme počty generátorů pro faktory X a Y tak, že otočíme pořadí předchozích dvou exponentů (těch, kde jsme neškrtli mínus) a pokud mají oba stejné znaménko, v jednom ho změníme (v programu uvedeném v příloze F je to ten, který po otočení pořadí je napravo - tj. ten prostřední z původní trojice). Dostáváme tak -3 generátory pro X a +4 pro Y. Pak pouhým sčítáním a odčítáním najdeme počty generátorů pro faktory 3/1 a 5/1, což zde je -1 a -4 (takže generátor je klesající kvinta, nikoli stoupající).
Dále provedeme tři postupné kroky buď ve tvaru "X * Y * X", nebo "Y * X * Y", podle toho, který ze dvou počtů generátorů má nižší absolutní hodnotu. V našem případě je 3 < 4, a proto použijeme "X * Y * X". Tak obsadíme generátory "0, -3, 1, - 2". Použitý rozsah (-1 až +3) pak shodně rozšíříme na obě strany (tj. -2 až +4) a další volba, máme-li násobit hodnotou X nebo Y, závisí na tom, která z těchto možností zachová nově daný rozsah generátorů. Tak vyjde "0, -3, 1, -2, 2, -1, -4, 0".
Protože jsme dříve zjistili, že faktorům 3/1 a 5/1 náleží -1 a -4 generátory, všechna čísla generátorů snížíme o jednu, takže z prvních tří hodnot "0, -3, 1" se stane "-1, -4, 0", což odpovídá tónům "G, E, C", a celý postup bude vhodně transponován. Protože si přejeme v prvních dvou akordech zachovat dva společné tóny a v ostatních případech jeden, použijeme náš sled 7 tónů tak, že poprvé vyměníme jen jeden tón ("G-E-C" bude následováno "E-C-A") a pak pokaždé vyměníme dva ("A-F-D", "D-H-G").
Jediná situace, kdy se hodí zachovat dva společné tóny i jindy než na začátku, nastává tehdy, kdy při zachování jen jednoho vznikne postup ve tvaru "X * X" nebo "Y * Y". Ve středotónovém ladění se tomuto lze vyhnout, ale běžně se s tímto jevem setkáme např. v ladění "porcupine", "negri" nebo v poněkud zvláštním ladění zvaném "amity", které je popsáno v příští podkapitole.
Nejvyšší společný dělitel všech tří exponentů je u některých zlomků jiný než nejvyšší společný dělitel druhého a třetího exponentu (v našem případě první je exponent pro číslo 2). Tehdy se zdá téměř nemožné proměnit trojici jedněch exponentů na dvojici jiných. Toto lze řešit dvojím způsobem. Buď první exponent vynásobíme poměrem dvou nejvyšších dělitelů, abychom mohli poté přiřadit X a Y. Tím je řečeno, že faktor X nebo Y je iracionální. Např. pro zlomek 2048/2025 máme "X = sqrt(32/25), Y = 6/5". Postup "1 * X * Y * X * Y * X" se pak rovná sqrt(2048/2025) a když toto provedeme dvakrát po sobě, posuneme se o žádaný interval.
Petr Pařízek / 2014 95 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Druhá možnost je nejprve původní interval rozšířit či zúžit o oktávu (tj. zlomek vynásobit nebo vydělit 2), najít akordický postup při exponentech pro tento upravený interval a výsledný tón posunout v opačném směru. Např. zdvojnásobením zlomku 2048/2025 získáme 4096/2025, což lze upravit na "(4/5)^6 * (5/3)^4". Když pak přiřadíme "X = 4/5, Y = 5/3, Z = 1/2" a provedeme "1 * X * Y * X * Y * X * X * Y * X * Y * X * Z", dostaneme celý sled 6 akordů.
17.9 POSTUPY V LADĚNÍCH S NESTANDARDNÍMI GENERÁTORY
Nejobtížněji použitelná 5-limitová ladění jsou pravděpodobně ta, jejichž jeden generátor neodpovídá žádnému z výchozích faktorů (3/1, 5/1, 5/3) ani z těch, kterými provádíme diatonické či chromatické změny (10/9, 16/15, 25/24). Jedno takové nestandardní ladění se nazývá "amity" a s ohledem na svoji výjimečnost není uvedeno v seznamu v příloze D. Faktor, který v něm zmizí (tj. promění se v 1/1), je totiž 1600000/1594323 (seznam v příloze D končí u čitatele 200000).
Generátor tohoto ladění aproximuje faktor 243/200, což podle modelu popsaného v sekci 14.7 je rozšířená malá tercie. Odtud vznikl název ladění ("acute minor third" se zkrátilo na "amity"). Akordický postup vhodný pro toto ladění najdeme nejprve metodou popsanou v minulé podkapitole, pak metodou popsanou dříve.
Exponenty odpovídající tomuto zlomku jsou "9, -13, 5" za předpokladu, že jde o mocniny nejnižších tří prvočísel. Pokud však zaměníme prvočíslo 3 za 5/3, exponenty se změní na "9, 13, -8". Po přidání vhodného počtu oktáv přiřadíme "X = 5/24, Y = 5/64" a zlomek zapíšeme v podobě "X^13 * Y^(-8)". Hodnotu Y invertujeme, neboť její exponent je záporný, a z něho pak odstraníme mínus. Máme tedy "X = 5/24, Y = 64/5" a zároveň "X^13 * Y^8 = 1600000/1594323".
Po součtu obou exponentů zjišťujeme, že celý akordický postup použije 21 tónů v oktávě - tj. rozsah 20 generátorů. Chceme-li počáteční malý interval proměnit v unisono (aby zmizel), hodnoty X a Y vynásobíme (1594323/1600000)^(-21).
Dále otočíme pořadí předchozích dvou exponentů ("13, -8" změníme na "-8, 13"), čímž zjistíme, že faktory X a Y představují -8 a 13 generátorů. Z toho odvodíme, že faktory 3/1 a 5/1 odpovídají -5 a -13 generátorům.
Protože 8 < 13 (jde o absolutní hodnoty počtů generátorů), začneme postupem "X * Y * X", čímž dostaneme generátory "0, -8, 5, -3". Dále střídáme X a Y tak,
Petr Pařízek / 2014 96 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
abychom zůstali v rozsahu od -11 do +9 (z důvodů vysvětlených v sekci 17.7), a to tak dlouho, až znovu vyjde 0.
Předtím nám vyšlo, že prvočíslům 3 a 5 odpovídá -5 a -13 generátorů, a proto nakonec všechna čísla snížíme o 5, abychom začali kvintakordem na tonice. Výsledné hodnoty opět představují jednotlivé tóny akordů. I tentokrát zachováme dva společné tóny v prvních dvou akordech - a pak ještě tam, kde by jinak vznikl postup "X * X". Tak získáme sled 13 akordů.
Nyní zvolíme metodu dříve vysvětlenou. Z exponentů "9, -13, 5" se dozvídáme, že prvočíslům 3 a 5 odpovídá -5 a -13 generátorů. Zcela výjimečně zde pro přehlednost vyměníme znaménka, takže použijeme 5 a 13 generátorů. Máme tedy "R1 = 5, R2 = 8, R3 = 13, R4 = 21", takže již teď víme, že celý postup sestává z 13 akordů a používá 21-tónovou stupnici (tj. rozsah 20 generátorů).
Z důvodů vysvětlených v sekci 17.7 stanovíme cílový rozsah generátorů od -4 do +16. Tak získáme tento sled akordů:
0 5 13 0 8 13 3 8 16 3 11 16 -2 6 11 1 6 14 1 9 14 -4 4 9 -1 4 12 -1 7 12 2 7 15 2 10 15 -3 5 10 0 5 13
Pokud detailněji zkoumáme akordické postupy získané dvěma uvedenými metodami, zjistíme, že sled tónů je sice v obou případech tentýž, ale volba základních tónů už ne (tj. někdy dojde k zachování jednoho společného tónu místo dvou nebo dvou místo jednoho). Je to proto, že metoda popsaná v minulé podkapitole dává větší volnost při rozhodování, kolik tónů v sousedních akordech vyměníme.
Petr Pařízek / 2014 97 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
17.10 DIATONICKÉ A CHROMATICKÉ ZMĚNY MIMO STŘEDOTÓNOVÉ LADĚNÍ
Příklad se syntonickým kommatem (viz 17.3) ukázal, že v čistém ladění se jeden tón prvních dvou akordů liší o zúženou velkou sekundu (10/9). Toto je nejjednodušší změna, která zde může nastat, neboť velká sekunda odpovídá 2 generátorům. Faktor 10/9 zde má tedy význam prvního diatonického kroku.
Kdyby druhý akordem byl F-dur a ne a-moll (tj. kdybychom nezměnili generátor - 1 na 4), tón F by se lišil od E o didymickou malou sekundu (16/15). Malá sekunda odpovídá -5 generátorům, takže je v řetězci kvint dál než velká sekunda o 2 generátorech, a proto má funkci druhého diatonického kroku.
V případě, kdy se rozsah generátorů zvýšil stejně bez ohledu na to, zda jsme něco zaměnili či ne, jsme měli na výběr mezi g-moll a G-dur. Zde se jeden tón liší o zvětšenou primu (25/24), která odpovídá 7 generátorům a nevejde se do žádaného rozsahu (nejnižší a nejvyšší číslo generátoru se zde má lišit maximálně o 6). Proto považujeme tento interval za chromatický krok.
Když analyzujeme další uvedené příklady, poznáme, že otázka, které intervaly jsou diatonické či chromatické, nijak nesouvisí s aproximovanými faktory. Srovnáme-li ladění středotónové a "porcupine", prvnímu diatonickému kroku v obou případech odpovídá faktor 10/9, ale druhý diatonický a chromatický krok jsou vyměněny. Znamená to, že jejich užití by mělo být v každém ze dvou ladění odlišné, neboť dva ze tří intervalů zde mají jiný význam z modálního a harmonického hlediska.
Abychom zjistili, které intervaly jsou v daném ladění diatonické či chromatické, nejdříve najdeme odpovídající počty generátorů pro faktory 10/9, 16/15 a 25/24 (o jejich významu více v sekci 17.2) a pak porovnáme jejich absolutní hodnoty. Ta nejnižší představuje první diatonický krok, ta prostřední druhý diatonický krok, ta nejvyšší krok chromatický.
Tento systém diatonických a chromatických kroků nelze stoprocentně uplatnit v těch laděních, v nichž lze některý z kroků rozdělit na celý počet menších stejných kroků. Příkladem tohoto je "půlsextové ladění", v němž chromatickému kroku odpovídá faktor 16/15. Tento interval zde můžeme rozpůlit na dva kroky připomínající čtvrttón, kterým bychom mohli říkat "půlchromatické". Použijeme-li zde tento systém diatonických a chromatických kroků, výsledná stupnice buď není
Petr Pařízek / 2014 98 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
modálně uzavřena (používá více než 2 velikosti sousedních intervalů), nebo se jejím intervalům střídá směr (jedny stoupají, jiné klesají). Nicméně když v tomto ladění utvoříme odpovídající akordický postup, výsledná stupnice je 16-tónová a zmíněný čtvrttónový krok se neobjeví v žádných dvou sousedních akordech.
17.11 POSTUPY V OPAČNÉM SMĚRU
Příklady popsané v této kapitole slouží jako jakési vzory, které nám mohou objasnit, jak můžeme najít vhodný sled akordů v jakémkoli temperovaném dvojrozměrném ladění, na které si vzpomeneme. Počáteční akord však nemusí být za každou cenu následován jiným akordem sdílejícím tentýž rozsah generátorů. Je tedy víceméně na naší volbě, zda se rozhodneme hodnotu R1 přičítat či odečítat.
Např. ve středotónovém ladění by postup v opačném směru mohl sestávat z akordů "C-dur, G-dur, d-moll, a-moll, C-dur", případně "C-dur, G-dur, d-moll, F-dur, C-dur". Nebo můžeme začít akordem a-moll, čímž opět zůstane rozsah generátorů stejný po oba první akordy.
Tyto opačné postupy charakterizují faktory inverzní těm uvedeným v minulých příkladech. Např. postup v ladění "hanson" uvedený v kapitole 17.7 ve skutečnosti odpovídá faktoru 15552/15625 (tedy klesá), zatímco faktoru 15625/15552 odpovídá postup opačný. Podobně, příklad uvedený v sekci 17.4 odpovídá faktoru 250/243, zatímco opačný postup odpovídá faktoru 243/250.
Metoda popsaná v sekci 17.8 je výborným nástrojem ke zkoumání těchto opačných akordických sledů. Jsou to přesné harmonické inverze sledů dříve uvedených, a proto začínají mollovým akordem. Chceme-li pro účely harmonického porovnávání i zde mít jako referenci durový trojzvuk, první akord pak nemusí začínat na tonice. Je-li tedy původním faktorem např. 81/80 namísto 80/81, vzniká dříve zmíněný postup "a-moll, C-dur, G-dur, d-moll, a-moll".
Petr Pařízek / 2014 99 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
18 PŘÍKLADY VYUŽITÍ PROBRANÝCH POZNATKŮ PŘI KOMPOZICI
18.1 ZESILOVÁNÍ KONKRÉTNÍCH FREKVENČNÍCH PÁSEM
Jak bylo uvedeno v sekci 11.1, při konvoluci se mění hlasitosti frekvenčních pásem s ohledem na tvar impulzu. To lze zvláště dobře vysvětlit na takových impulzech, jejichž tvar získáváme vystřižením krátkého záznamu periodického spektra či jeho postupným exponenciálním zeslabováním.
Na tomto místě je vhodné připomenout fakta uvedená v sekci 8.2. Zvláště nás nyní zajímá ta skutečnost, že pokud mezi frekvencemi sousedních alikvotních tónů jsou shodné lineární rozdíly, sousední podřazené impulzy uvnitř periody jsou fázově rotovány vždy o tutéž hodnotu. Zároveň si připomeňme, že rovná-li se rozdílový tón základnímu tónu, sousední impulzy nejsou rotovány vůbec.
Existují v podstatě dvě možnosti, jak tohoto lze efektivně využít. Jedna je ta, že cíleně utváříme fázově rotované impulzy a klademe je za sebe ve stejných časových vzdálenostech za účelem zesilování frekvencí se shodnými lineárními rozdíly. Jiná možnost je, že cíleně zvolíme takové poměry frekvencí, které odpovídají konkrétní stupnici, jejíž tóny si přejeme zesilovat.
Nabízí se nyní otázka, jak vytvoříme jeden samostatný fázově rotovaný impulz. V sekci 11.3 jsme uvedli příklad, jak lze kladné frekvence o 1/4 periody zpozdit (tj. Hilbertova transformace), nebo naopak o 1/4 periody předsunout ("IHT"). Zároveň si můžeme vzpomenout, že je-li v impulzu použita jen jedna kladná hodnota, fáze se nemění, a při použití jedné záporné hodnoty se fáze všech frekvencí mění o 1/2 periody.
Vhodným smícháním jednorázového impulzu s impulzem fázově rotovaným můžeme získat impulz, jehož frekvence jsou fázově rotovány o jinou hodnotu, kterou zde nazveme "f". Je-li jedním ze dvou signálů kladný jednotkový impulz a druhým je impulz pro IHT, pro amplitudu prvního signálu pak zvolíme cos(f) a pro amplitudu druhého zvolíme sin(f).
Chceme-li např. předsunout všechny kladné frekvence o 1/6 periody (tj. zvýšit jejich fáze o π/3 radiánů), pak jednoduchý jednotkový impulz vynásobíme cos(π/3), impulz pro IHT vynásobíme sin(π/3) a dva výsledky smícháme tak, aby jednoduchý impulz byl umístěn přesně uprostřed impulzu pro IHT. Postupujeme-li obdobně při dalších hodnotách vzdálených o π/3, dostaneme všech 6 možných
Petr Pařízek / 2014 100 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
impulzů, jejichž frekvence jsou fázově posunuty pokaždé vždy o 1/6 periody. Přehrajeme-li je po sobě tak, aby sousední impulzy byly stejně vzdáleny v čase, dostaneme delší komplexní impulz, jehož zesilované frekvence jsou v poměru 1:7:13:19:25:... Ale i samotné jednotlivé fázově rotované impulzy se mohou někdy hodit při velmi specifickém míchání periodických souzvuků (podrobnější vysvětlení přesahuje rámec tohoto textu).
Zcela jiná možnost, jak lze využít zesilování frekvencí v impulzu, je navrstvení zeslabovaných sinusových period, jejichž frekvence si přesně zadáme. Jednak se tím stanou zřetelnější příslušné vztahy tónů, jednak se zvuku částečně změní barva, neboť některé alikvotní tóny se natolik zeslabí, že je nevnímáme. Chceme-li efekt zesílených a zeslabených frekvencí ještě více zvýraznit, můžeme nakonec provést konvoluci výsledného impulzu jím samým (eventuálně víckrát než jednou).
Uveďme nyní jako příklad diatonickou stupnici ve středotónovém ladění, kterou se rozhodneme použít jako výchozí souzvukový materiál pro filtr. Zvolíme tu verzi, kde velká sekunda má 192 centů a malá 120. Přejeme si nyní zesílit všechny tóny od kontra C (nižší příliš nepoužíváme) až do F7 (což je nejvyšší tón zaznamenatelný při rychlosti 44100Hz zvolené pro zvuk na CD). Abychom mohli toto provést v programu uvedeném v příloze E, použijeme textový soubor s následujícími hodnotami (pozor, zde je nutná desetinná tečka namísto čárky):
pokračování pokračování pokračování -45 1.2 1.92 1.92 1.92 1.92 1.2 1.2 1.92 1.92 1.92 1.92 1.2 1.92 1.92 1.92 1.92 1.2 1.2 1.92 1.92 1.92 1.92 1.2 1.92 1.92 1.92 1.92 1.2 1.2 1.92 1.92 1.92 1.92 1.2 1.2 1.92 1.92 1.92 1.92 1.2 1.92 1.92 1.92 1.92 1.2 1.2 1.92 1.92 1.92 1.92 1.2 1.92 1.92 1.92 1.92 1.2 1.2 1.92 1.92 1.92 1.92 1.2 1.2 1.92 1.92 1.92 pokračování pokračování pokračování
Petr Pařízek / 2014 101 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
18.2 PROMĚNA ZVUKOVÉ BARVY NA ŘADU TÓNŮ A NAOPAK
K tomu, abychom si dobře uvědomili souvislosti zvukových barev a tónových řad, může mimo jiné napomoci frekvenčně závislé zpoždění vysvětlené v sekci 11.2. V tomto kontextu může nastat vzácná situace, kdy impulz není kratší, ale naopak delší než zpracovávaný zvuk. Impulzem je totiž v tomto případě sinusový tón, jehož frekvence se plynule zvyšuje či snižuje, a čím pomalejší je tato změna frekvence, tím zřetelnější je výsledný efekt.
Je-li vstupním signálem statický tón či souzvuk tónů, při frekvenčně závislém zpoždění budou jednotlivé alikvotní tóny nastupovat a mizet postupně. Je-li vstupním signálem proměnlivý zvuk, pak je jeho celkový charakter slyšitelný buď částečně, nebo je zcela skryt. Je-li tedy původním materiálem např. zpěv, většinou poznáme jen tolik, že jde o záznam hudební (a vzácně na dlouhých tónech poznáme, že jde o hlas). Naproti tomu, je-li původním materiálem řeč, výsledný zvuk zní podobně, jako když sinusový tón upravíme některým z populárních efektů (dozvuk, víceodrazová ozvěna, chorus, phaser, posun výšky tónu apod.).
Chceme-li mít dobrou představu o intervalech mezi sousedními znějícími tóny (tj. o poměrech jejich frekvencí), většinou se k jejich zjišťování využívá Fourierovy transformace. Poněvadž takto lze analyzovat jen určitý segment zvuku o konečné délce, výsledné údaje jsou zaokrouhleny s danou lineární přesností (viz 8.2), což může být nežádoucí. Navíc, takto sice můžeme mít určitou matematickou představu o použitých frekvencích, ale tím není zaručena dostatečná představa akustická.
V případech, kdy nás zajímají primárně intervaly mezi tóny spíše než podrobné údaje o barvě zvuku, můžeme poměrně dobrou akustickou představu získat za pomoci frekvenčně závislého zpoždění. Pokud si ve sledu nastupujících a mizejících tónů dokážeme při poslechu odmyslet alikvotní tóny a zaměřit se jen na tóny základní, frekvenčně závislé zpoždění může do jisté míry sloužit i jako pomůcka při analyzování akordů čistě podle sluchu.
Vidíme, že díky frekvenčně závislému zpoždění snadno proměníme zvukové spektrum na řadu tónů. Opačného jevu (proměny řady tónů na zvukové spektrum) dosáhneme např. metodou popsanou v předchozí podkapitole. Můžeme ho však do jisté míry dosáhnout i za pomoci frekvenčně závislého zpoždění. Zní-li na záznamu takový sled tónů, který vykazuje určitou pravidelnost, můžeme tento
Petr Pařízek / 2014 102 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
zvuk proměnit na jednorázový komplexní impulz, dokážeme-li dobře odhadnout frekvenci těchto pravidelných jevů.
Uvažujme hypotetický záznam zvuku, kde znějí vzestupně hrané tóny stupnice C- dur relativně rychle po sobě, jmenovitě 7 tónů za sekundu. V tomto zvuku se objevuje jasná pravidelnost, neboť v průměru jednou za sekundu se zvýší tón o oktávu. Použijeme-li takový impulz, kde se sinusový tón každou sekundu o oktávu snižuje, konvolucí obou signálů dostaneme mohutný shluk všech tónů téměř současně. Tomuto shluku budou předcházet shluky méně mohutné s ohledem na alikvotní tóny nástroje hrajícího stupnici.
18.3 SOUVISLOST DÉLKY DOZVUKU A VELIKOSTI INTERVALŮ
V situacích, kdy posuzujeme konsonanci či disonanci, mohou někdy hrát roli nejen znějící tóny, ale i prostor, v němž tóny znějí, přesněji jeho dozvuk. Třebaže tato souvislost pravděpodobně zatím nebyla zkoumána podrobněji, příležitostně se může objevit. Pokud ji při poslechu hudby sami subjektivně vnímáme, můžeme posílit celkovou konsonanci tím, že zvolíme výběr tónů s ohledem na prostor, v němž kompozici provádíme, nebo naopak preferujeme určité prostory s ohledem na zvolený výběr tónů.
V případech, kdy souvislost dozvuku a tónového výběru je patrná, hraje pravděpodobně největší roli vztah délky dozvuku a velikosti intervalu. Přesnou definici této závislosti bychom hledali obtížně, avšak rozhodující je skutečnost, že při dlouhém dozvuku (např. nad 5 sekund) mohou malé intervaly (menší než půltón) subjektivně působit mnohem disonantněji než při dozvuku kratším.
Je třeba mít na paměti, že čím delší je dozvuk, tím déle se znějící tóny mohou překrývat, zvláště pak jsou-li hrány rychle po sobě. To však nemusí být nežádoucí. Otázka, zda takový jev v konečném důsledku posílí disonanci, či zda naopak posílí konsonanci, závisí výhradně na vlastním hudebním obsahu, jmenovitě na tom, do jaké míry bereme ohled na dozvuk při volbě stupnic a druhů ladění.
V sekci 8.2 jsme upozornili na repetitivní fázové vztahy, jejichž vlivem vnímáme některé souzvuky jako akusticky jednotné celky. Jestliže vzdálenosti sousedních znějících frekvencí jsou podobné a ne zcela shodné, výsledný zvuk stále vykazuje značný stupeň pravidelnosti (což platí i po úpravě pomocí "frequency shifteru" popsaného v sekci 9.2). Hrajeme-li tedy na nástroji např. tóny zřetelně podobné intervalům řady harmonických tónů, dozvuk pak může posílit dojem přibližné
Petr Pařízek / 2014 103 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
akustické periodicity, čímž je téměř vždy posílen dojem konsonance (zvláště u větších intervalů). K podobnému posílení konsonance někdy dochází i ve zvuku fujary či jiných alikvotních fléten (a to i bez dozvuku), neboť hrané intervaly i zde připomínají řadu harmonických tónů a někdy zaznějí i dva tóny současně.
18.4 TEMPEROVÁNÍ S DANÝMI RYCHLOSTMI RÁZŮ
Tuto problematiku známe především z oblasti ladění akustických nástrojů, kde používáme cílové rychlosti rázů jako prostředek k naladění intervalu s přijatelnou přesností (viz 14.6). Rázů o konkrétní rychlosti však můžeme využít i při elektronické kompozici, konkrétně tam, kde můžeme vyladit zvukové barvy s velmi jemnou přesností (např. méně než 1/10 centu).
Jsou-li ve více než jednom intervalu stejně rychlé rázy, celková amplitudová pulzace se buď zvýrazní, nebo zní střídavě v několika různých pásmech. Takový efekt je dobře slyšitelný na tónech s ostrou barvou zvuku nebo na tónech zkreslených, zvláště je-li zkreslen celý výsledný souzvuk.
Uveďme jako příklad 12-tónové ladění, kterým je nepravidelně aproximováno ladění středotónové sahající od 2. sníženého do 3. zvýšeného tónu (od Es do Gis). Vlivem těchto nepravidelností se budou některé kvintakordy více a jiné méně přibližovat kvintakordům 5-limitovým (= didymickým). V našem případě preferujeme menší rozladění v kvintakordech C-dur a F-dur, zatímco u jiných dovolíme i větší rozladění nutné pro správnou aproximaci středotónového ladění.
Ladění je vztaženo k počátečnímu tónu A1 o frekvenci 415Hz (zhruba o půltón níž než moderní preferované A1). Vyjmenované stoupající a klesající intervaly, které budeme postupně vztahovat k dalším naladěným tónům, zde pro stručnost nazveme "horní" či "spodní", i když to terminologicky není příliš přesné (např. "horní kvinta C1-G1" nebo "spodní kvinta G1-C1"). Malou oktávu označíme číslem 0.
Symbol "KI" použijeme pro kontrolní interval, kterým si ověříme správnost naladění předchozích intervalů. V případě nutnosti je rychlost kmitu vyjádřena zlomkem. Např. zápis "KI A1-C1 -3/2" znamená, že pokud jsme doposud postupovali správně, tón C1 bude nižší než spodní velká sexta k A1, takže se ozvou 3 kmity za 2 sekundy. Tento způsob kontroly zde však funguje pouze v případě, že tón A1 má frekvenci 415Hz a že alikvotní tóny laděných nástrojů nejsou příliš rozladěné (tj. jejich intervaly téměř přesně odpovídají řadě harmonických tónů).
Petr Pařízek / 2014 104 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Ladění výchozí oktávy od C1 do C2 můžeme pak provést víceméně podle sluchu takto:
A1 415 A1-C1 -3/2 C1-G1 -3/2 C1-F1 1 F1-C2 -1 KI A1-C2 -3 KI G1-C2 3 KI C2-C1 0 G1-D1 -5 F1-B1 6 B1-Es1 4 G1-E1 3 KI A1-E1 -2 G1-H1 0 KI E1-H1 -3/2 D1-Fis1 0 E1-Cis1 3 H1-Gis1 3
Pro ladění dalších oktáv zvolíme následující postup:
. - Jde-li o oktávu klesající, všechny tóny kromě Es ladíme jako spodní kvarty od již naladěných tónů tak, aby rázy byly stejně rychlé jako u jejich horních kvint - např. H0 je spodní kvarta od E1, která má stejně rychlé rázy jako kvinta E1-H1. Protože ve stupnici není tón As, je nutno ladit tón Es vždy jako spodní kvintu od B tak, aby rázy byly dvakrát pomalejší než v horní kvartě B-Es. . - Jde-li o oktávu stoupající, postup je podobný - všechny tóny kromě Es ladíme jako horní kvinty od dříve naladěných tónů tak, aby měly stejně rychlé rázy jako jejich spodní kvarty - např. rázy horní kvinty Fis1-Cis2 mají být stejně rychlé jako ve spodní kvartě Fis1-Cis1. Tón Es naladíme jako horní kvartu od B, jejíž rázy budou dvakrát rychlejší než ve spodní kvintě B- Es.
Intervalů se shodně rychlými rázy můžeme v kontextu elektronické kompozice využít pro zvýraznění rázů či pro jejich duplikaci ve více frekvenčníh pásmech. Např. kvarta G-C vykazuje stejně rychlé rázy jako malá tercie A-C (ve skutečnosti
Petr Pařízek / 2014 105 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
jde o frekvence 3Hz a -3Hz). Zahrajeme-li tedy souzvuk G-A-C, uslyšíme dvojí rázy o téže rychlosti, ale v různých pásmech, konkrétně kolem tónů G3 a E4 (viz 5.3).
Chceme-li toto ladění definovat pomocí frekvencí tónů, začneme tónem A1, jehož frekvence je 415Hz. Dále postupně od každého tónu již naladěného utvoříme příslušný interval v didymickém ladění, od odpovídajícího násobku výsledné frekvence odečteme nebo přičteme hodnotu představující cílovou rychlost rázů a výsledek vhodně vydělíme. Např. pro tón C1 má být frekvence rázů -1,5Hz. Je-li "x" frekvence tónu A1 a "y" frekvence tónu C1, pak vzniká vztah "y = (x*3-3/2)/5". Tím je řečeno, že frekvence tónu C1 je nižší než 3/5 frekvence tónu A1, zde konkrétně 248,7Hz. Obdobně postupujeme u všech dalších intervalů.
Tyto velmi specifické druhy ladění mají tu vlastnost, že jejich intervaly sice aproximují středotónové ladění, ale faktory těchto intervalů přesto lze vyjádřit přirozeným zlomkem (za předpokladu, že výchozí frekvenci vyjádříme přirozeným zlomkem nebo celým číslem). Pokud všechny tóny vzestupně seřazené (v oktávě C1-C2) vztáhneme k tónu nejnižšímu, výsledné faktory jsou:
31135/29844 11119/9948 80384/67149 6215/4974 9958/7461 55595/39792 1241/829 10355/6632 4150/2487 40012/22383 6205/3316 2/1
Není bez zajímavosti, že takto můžeme někdy až překvapivě dobře aproximovat pravidelné středotónové ladění. Je však nutno mít na paměti, že najdeme-li konkrétní rychlosti rázů vhodné pro jednu výchozí frekvenci (např. A1 = 440Hz), jejich použitím při jiné výchozí frekvenci vznikne ladění jemně odlišné. Tyto jemné odchylky lze tolerovat, pokud se dvě výchozí frekvence liší např. maximálně o 5Hz, ale ne v případě, že se liší o 20Hz nebo více (přesná definice je do jisté míry
Petr Pařízek / 2014 106 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
subjektivní). Avšak i 5Hz je posun natolik silný, že pak zcela přestanou souhlasit rázy kontrolních intervalů, pokud jsme si nějaké definovali.
Uveďme nyní příklad, jak lze pomocí rychlostí rázů aproximovat nejstarší verzi středotónového ladění. Připomeňme si, že toto ladění ve své původní podobě používá kvinty o velikosti ~696,5 centů, jejichž faktor je iracionální - tj. 5^(1/4). V ladění jemně upraveném však vyjádříme použité intervaly pomocí racionálních faktorů.
Za výchozí tón tentokrát zvolíme A1 o frekvenci 430Hz (to odpovídá zhruba normě z dob klasicismu). Po naladění tónů A1 a A0 (430Hz a 215Hz) naladíme další tóny takto:
. Tón E1 snížíme oproti spodní čisté kvartě od A1, aby se ozvaly přesně 4 rázy za sekundu. . Ověříme správnost kvinty A0-E1, ve které vzniknou 2 rázy za sekundu, je-li oktáva A0-A1 čistá. . Frekvence tónů A0-D1 jsou zhruba 2/3 frekvencí tónů E1-A1, a proto tón D1 zvýšíme oproti čisté kvartě od A0 tak, aby frekvence jejích rázů odpovídala 2/3 frekvence rázů kvarty E1-A1 (vzniknou rázy o frekvenci 8/3Hz). . Frekvence tónů H0-E1 jsou zhruba 3/4 frekvencí tónů E1-A1, a proto tón H snížíme oproti spodní čisté kvartě od E1 tak, aby frekvence jejích rázů odpovídala 3/4 frekvence rázů kvarty E1-A1 (vzniknou rázy o frekvenci 3Hz). . Tón G1 naladíme zcela čistě jako didymickou malou sextu od H0. . Tóny C1, F1, B0 a Es1 naladíme zcela čistě jako klesající didymické velké tercie od tónů E1, A1, D1, G1. . Tóny Fis1, Cis1 a Gis1 naladíme zcela čistě jako didymické velké tercie od D1, A0, E1. . přejeme-li si použít tón Dis1 namísto Es1, naladíme ho jako didymickou velkou tercii od tónu H0. . Poté naladíme všechny ostatní tóny jako čisté oktávy od tónů již získaných.
Chceme-li opět toto ladění definovat pomocí frekvencí tónů, použijeme dříve zmíněný postup zahrnující příslušné rychlosti rázů. Např. při "x" rovnému frekvenci tónu A1 a "y" rovnému frekvenci tónu E1 platí "y = "x*3-4)/4".
Petr Pařízek / 2014 107 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Jestliže za výchozí oktávu považujeme rozsah C1-C2 a její tóny vzestupně seřazené vztáhneme ke spodnímu C, dostaneme tyto faktory:
5375/5144 6470/5787 3846/3215 5/4 860/643 16175/11574 1923/1286 25/16 1075/643 10352/5787 9615/5144 2/1
Za zmínku stojí skutečnost, že alikvotní tóny u některých nástrojů sice neodpovídají přesným harmonickým tónům, ale blíží se jim do té míry, že lze nepřesnost zanedbat. Podaří-li se naladit alikvotní tóny přesně v souladu s tóny harmonickými (elektronicky to lze zajistit), pak dojdeme k překvapivému zjištění. Tóny našeho upraveného ladění se od tónů pravidelného středotónového ladění liší o méně než 1/60 centu.
18.5 KONSTRUKCE TÓNOVÉHO SYSTÉMU NA ZÁKLADĚ ZVUKOVÉHO SPEKTRA
Lineárně pravidelné tónové řady jsme doposud uváděli pouze v kontextu zvukových barev, ne však v kontextu autonomních tónových systémů aplikovaných na hudbu. U všech probraných druhů ladění byla totiž výchozím intervalem oktáva, která byla posléze vyplňována jinými intervaly. Podmínku oktávové periody však nemusíme dodržet a můžeme utvořit i takový tónový systém, v němž oktáva nejen nemá význam periody, ale někdy ani není obsažena.
Chceme-li najít takové ladění, v němž neexistují oktávy a které i přesto je dobře použitelné, pro příklad nyní stanovíme periodu o velikosti 2 oktáv. Tuto dvouoktávovou periodu nechceme čistě mechanicky rovnoměrně dělit (dělením na sudý počet by vzniklo rovnoměrné dělení oktávy), avšak máme ještě dvě další možnosti, jak ji vyplnit. Buď můžeme v rámci ní řetězit různé preferované
Petr Pařízek / 2014 108 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
generátory podobně jako u jiných dvojrozměrných ladění, nebo můžeme vycházet z takové lineárně pravidelné tónové řady, jejíž krajní tóny se liší o 2 oktávy, a dojít tak k jedné konkrétní preferované velikosti generátoru. Tuto druhou možnost použijeme.
Lineárně pravidelných tónových řad, které toto splňují, je mnoho. My však zvolíme tu, jejímuž nejnižšímu tónu může předcházet jiný tón o 2 oktávy nižší, aniž by se narušila pravidelnost. Přiřadíme-li tomuto doplněnému tónu relativní frekvenci 1, pak frekvence použitých tónů budou v poměru 4:7:10:13:16.
Jako se v běžném 7-limitovém ladění objevuje mnoho malých intervalů a ty je možno proměnit v unisono, podobně se s tímto jevem setkáme i zde. Proměníme- li v unisono dva intervaly, z tónového výběru původně čtyřrozměrného se stane systém dvojrozměrný, který lze posléze definovat pomocí periody a generátoru. V našem případě jsou periodou 2 oktávy (faktor 4/1) - tj. 2400 centů. Velikost generátoru se mění podle toho, který interval proměníme v unisono. Avšak ladění zvukově nejzřetelnější (co se týče podobnosti s původními intervaly) je to, jehož generátor má velikost ~357 centů - tj. faktor (32/5)^(1/9).
Výsledné ladění nabízí zcela specifické souzvuky, které mají charakter spíše témbrální než akordický. Přesto s nimi můžeme zacházet jako s určitými druhy akordů, které je možno spojovat a vzájemně porovnávat. Celkový zvuk někdy ani nepřipomíná akordické spoje (neboť nejde o dur-mollovou harmonii), a přesto můžeme s takovými souzvuky zacházet jako s akordickým materiálem. Otázka, které intervaly určují směr spojů a které mění kvalitu akordů, je zcela na naší volbě.
18.6 HUDBA VYCHÁZEJÍCÍ Z LINEÁRNÍCH TÓNOVÝCH VZTAHŮ
V sekci 8.4 jsme upozornili na nejednoznačné preference při hledání kvalitního výběru tónů. Tato nejednoznačnost je dána jednak sluchovým vnímáním exponenciálních vztahů frekvencí, jednak cílem aproximovat lineární vztahy frekvencí. Pro hudební účely jsou stěžejně důležité vztahy exponenciální, a proto právě ony fungují jako hlavní nástroj při konstrukci tónových systémů.
Z uvedeného bychom se mohli domnívat, že tónovou strukturu založenou cele na lineárních vztazích nelze bez dalšího přizpůsobování aplikovat na hudbu. Ve skutečnosti to někdy provést lze, konkrétně tehdy, je-li v uvedeném systému dostatečné množství intervalů, které snadno rozeznáme sluchem. Někdy je
Petr Pařízek / 2014 109 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
dokonce možno kombinacemi různých lineárních vztahů aproximovat jiné vztahy exponenciální.
Jak bylo vysvětleno v sekci 9.2, lineární změna frekvence posouvá vyšší tóny o menší intervaly a nižší tóny o větší intervaly. Pokud takto upravíme nahrávku běžných hudebních nástrojů nebo hlasu, vznikne specifická zvuková barva, která již nemusí připomínat konkrétní tóny s jasně danými výškami (u takového zvuku někdy lze jen obtížně definovat, zda právě zní např. tón C či zda zní tón F). Upravíme-li takto běžný záznam hudby, stále sice vnímáme přibližný charakter zvukové barvy, avšak dojem akordů zcela zmizí a znějící kombinace tónů jsou pro nás nesrozumitelné.
Přesto existují situace, kdy i takto upravený zvuk může znít smysluplně nejen z hlediska tónových výšek, ale někdy i z hlediska akordů. Může k tomu dojít v případě, že hudba je v durové tónině a že zvolená modulační frekvence odpovídá tonice. Tento jev lze snadno vysvětlit, neboť durový trojzvuk najdeme téměř na začátku řady harmonických tónů. Durový kvintakord nebo kvartsextakord můžeme tedy chápat jako lineárně pravidelnou tónovou řadu, což je patrné z relativních frekvencí 4:5:6 nebo 3:4:5 (toto neplatí pro sextakord s relativními frekvencemi 5:6:8).
Máme-li možnost hrát ve vlastních alternativních laděních, můžeme lineární změny frekvencí využít k jemným změnám zvukové barvy, případně k rozšíření rozsahu hraných tónů. Snížením frekvencí se totiž všechny intervaly mezi tóny zvětší. Ještě lépe toho využijeme, máme-li možnost takto upravit zvuk právě probíhající (s nepatrným zpožděním, které je dáno tvarem filtru). Zatímco jednou rukou zpravidla nelze zahrát na klaviatuře širší interval než nónu nebo decimu, takto výrazná úprava zvuku nám umožňuje získat při hře jednou rukou např. interval 3 oktáv a díky tomu hrát neobvykle mohutné akordy.
Jestliže není možno přeladit nástroj zcela libovolně a ladění je společné pro všechny oktávy (tj. definuje se jen 12 hodnot odladění), musíme být připraveni na skutečnost, že v upraveném zvuku se oktávy promění na jiné intervaly, které však mají různé velikosti. Naopak se může stát, pokud to dané ladění umožňuje, že na několika místech slyšíme oktávu, přestože na klaviatuře hrajeme pokaždé jiný interval. Tehdy je nutno si zcela mechanicky zapamatovat příslušné pozice kláves a výšky tónů, třebaže vůbec nejsou v souladu.
Petr Pařízek / 2014 110 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
Máme-li možnost měnit frekvence zvuku právě probíhajícího, můžeme tento efekt zcela cíleně použít tak, že s jeho výsledkem předem počítáme, a vytvořit něco jako "protiposun" - tj. nejprve vybereme určitou množinu cílových tónů, kterou chceme mít k dispozici, poté zjistíme výšku tónu posunutého opačným směrem a tento posunutý tón naladíme na nástroji jako "zdrojový" tón znějící před úpravou zvuku. U nástrojů, na nichž nelze měnit velikost oktávy, je takový postup zvláště obtížný, neboť většinu cílových intervalových vztahů lze realizovat pouze při hře v jedné konkrétní oktávě. Příležitostně se však může stát, že intervaly uvnitř dvou různých oktáv jsou upraveny sice pokaždé jinak, ale stále použitelně. Výsledný zvuk může být někdy mnohem zajímavější než tatáž hudba zahraná rovnou se správnými intervaly, a to jen díky svojí specifické různosti barev tónů. U běžných nástrojů jsou intervaly mezi alikvotními tóny víceméně stejné bez ohledu na hraný tón, zatímco zde se zřetelně liší a neodpovídají pravidelným harmonickým tónům. Mohou tedy o to více připomínat zvuk akustických nástrojů, kde výšky alikvotních tónů může ovlivnit i kvalita materiálu.
Uveďme jako příklad situaci, kdy chceme všechny frekvence společně snižovat o 240Hz. Předpokládejme, že na daném nástroji je ladění společné pro všechny oktávy. Proto musíme vybrat takové zdrojové výšky tónů, jejichž celkový rozsah je menší než oktáva - tj. poměr nejvyšší a nejnižší zdrojové frekvence musí být menší než 2:1.
Přihlédneme ke skutečnosti, že mezi sousedními harmonickými tóny lze najít durový trojzvuk v didymickém ladění, a proto se rozhodneme použít didymické ladění jako model našich cílových intervalů. Frekvenci každého jednotlivého tónu zvýšíme o 240Hz, čímž získáme frekvenci tónu zdrojového. Postupně do našeho seznamu přidáváme další zdrojové tóny, ověřujeme jejich pozici při vzestupném seřazení a dbáme na podmínku, že nejvyšší frekvence má být méně než dvojnásobkem té nejnižší. Po pečlivém uvážení můžeme získat např. tyto frekvence v Hz:
330 340 360 390 420 440 465 480
Petr Pařízek / 2014 111 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
540 560 600 640
Pokud tuto 12-tónovou stupnici naladíme a hrajeme v ní bez dalších zvukových úprav, můžeme se domnívat, že kromě durového kvintakordu na tonice v ní neexistují žádné akordy srovnatelné s dur-mollovým systémem. Jestliže však v nahrávce snížíme všechny frekvence o 240Hz, objeví se až překvapivě velký rozsah (přes 4 oktávy), v němž lze bez obtíží hrát durové a mollové akordy. Z dostupných cílových frekvencí v Hz můžeme odvodit faktory příslušných didymických intervalů. Patří k nim mimo jiné tyto:
1200 960 720 640 600 540 480 400 360 320 300 240 225 200 180 150 120 100 90 80 60 40 30
Petr Pařízek / 2014 112 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
19 ZÁVĚR
Z celého dosavadního textu je patrné, že svět zvukových barev je se světem hudebních souzvuků propojen víc, než by se mohl domnívat skladatel výrazně orientovaný jedním či druhým směrem. Zaměříme-li se pouze na otázku zvukových barev, v extrémním případě může být výsledkem experimentu tzv. "musique concrete", kde tóny o přesných výškách často ani nejsou. Zaměříme-li se pouze na otázku hudebně souzvukového materiálu, v extrémním případě může být výsledkem experimentu takový výběr tónů, který nijak nerespektuje akustické zákonitosti platné při souzvuku více tónů (např. čtvrttónové ladění). Proto jsme zde poukázali na nejdůležitější fakta, o kterých by měl skladatel vědět, chce-li kombinovat prvky akordického charakteru s prvky charakteru sonického.
Zároveň je tak zdůrazněna skutečnost, že v některých případech je nutno pečlivě zvážit zvolený tónový terén s ohledem na doprovázející efekty, kterými upravujeme zvuk - např. amplitudová modulace posouvá frekvence lineárně, zatímco změna rychlosti přehrávání posouvá frekvence exponenciálně. Zatímco lineárně pravidelné tóny řady jsou vynikajícím nástrojem pro tvorbu nových neoposlouchaných zvukových barev, exponenciálně pravidelné tónové řady jsou důležité pro hudební srozumitelnost a jsou modelem většiny intervalových systémů (někdy se na sebe i vrství).
Na mnohých elektronických nástrojích je možnost s větším čí menším omezením měnit buď celkové ladění nástroje, nebo výšky jednotlivých tónů v rámci určitého rozsahu (např. oktávy). Právě toho můžeme velmi vhodně využít, je-li naším přáním utvořit tónový výběr v souladu se sonickou složkou jedné konkrétní kompozice. V rámci dané akordické či sonické struktury ve skladbě pak můžeme např. proměnit zvukovou barvu na tónovou řadu a naopak, synchronizovat rychlosti rázů v souzvucích zvoleného ladění, rozhodnout se pro specifický výběr tónů s ohledem na použitý dozvuk, nebo využít lineárního posuvu frekvencí k získání souzvuků jinak dosažitelných jen obtížně. V ideálním případě i takto použitý prvek bude mít svůj opodstatněný obsahový význam a zcela jasné postavení v kontextu celé kompozice.
Petr Pařízek / 2014 113 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
CITOVANÁ LITERATURA
#1: Petr Pařízek. "Hudební souzvuk z pohledu zvukového spektra". Opus musicum (04 / 2011).
#2: Dan Lavry. "Sampling Theory for Digital Audio" [online]. Dostupné z "http://lavryengineering.com/pdfs/lavry-sampling-theory.pdf".
#3: Hans Dieter Lüke. "The Origins of the Sampling Theorem" [online]. Dostupné z "http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.163.2887".
#4: Dominik Blech, Min-Chi Yang. "DVD-Audio versus SACD, Perceptual Discrimination of Digital Audio Coding Formats, Listening Comparison Test between DSD and High Resolution PCM (24-bit /176.4 kHz)" [online]. Erich- Thienhaus-Institut, (Tonmeisterinstitut), hudební univerzita Detmold, Německo. Dostupné z "http://old.hfm- detmold.de/eti/projekte/diplomarbeiten/dsdvspcm/aes_paper_6086.pdf".
#5: Martin Walker. "Recording 20-bit & 24-bit PC Audio" [online]. Sound On Sound (03 / 1999). Dostupné z "www.soundonsound.com/sos/mar99/articles/24bitrec.htm".
#6: Mark Waldrep. "Mythical 20-bit CDs: Part II" [online]. Real HD-Audio. Dostupné z "www.realhd-audio.com/?p=1062".
#7: Scott Lehman. "Effects Explained: Ring Modulation" [online]. Harmony Central, 1996. Dostupné z "http://web.archive.org/web/20051201090154/http://www.harmony- central.com/Effects/Articles/Ring_Modulation".
#8: Gordon Reid. "Synth Secrets, Part 11: Amplitude Modulation" [online]. Sound On Sound, 03 / 2000. Dostupné z "www.soundonsound.com/sos/mar00/articles/synthsecrets.htm".
#9: Amitabh Varshney. "Sampling and Aliasing" [online]. Dostupné z "www.cs.umd.edu/~djacobs/CMSC427/Aliasing.pdf".
Petr Pařízek / 2014 114 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
#10: Thomas Zawistowski, Paras Shah. "An Introduction to Sampling Theory" [online]. Dostupné z "www2.egr.uh.edu/~glover/applets/Sampling/Sampling.html".
#11: Steven W. Smith. "The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing" [online]. Dostupné z "www.dspguide.com".
#12: B. H. Suits. "Frequencies of Musical Notes, A4 = 440 Hz" [online]. Physics Department, Michigan Technological University. Dostupné z "www.phy.mtu.edu/~suits/notefreqs.html".
#13: Ed Hall. "Tones have Periodic (regular) oscillations, but Noise has Aperiodic (irregular) movements" [online]. Dostupné z "www.csun.edu/~vcoao0el/de361/de361s71_folder/tsld007.htm".
#14: Kyle Forinash. "Pitch, Loudness, Timbre" [online]. Část projektu "Sound: An Interactive eBook", Indiana University Southeast. Dostupné z "http://homepages.ius.edu/kforinas/S/Pitch.html".
#15: Kolektiv UCL, Department of Speech, Hearing and Phonetic Sciences. "Lecture 1-3: Periodic Sounds & Pitch" [online]. Materiál k přednáškám. Dostupné z "www.phon.ucl.ac.uk/courses/spsci/acoustics/week1-3.pdf".
#16: Eric Weisstein. "Wolfram MathWorld" [online]. Encyklopedie matematických pojmů a definic. Dostupné z "http://mathworld.wolfram.com".
#17: Victor Liu. "Expressing isolated delta functions in terms of the comb function" [online]. Dostupné z "www.stanford.edu/~vkl/research/notes/delta_comb_rep.pdf".
#18: Johny Long Step - JLS. "Jednoduché a komplexní tóny" [online]. Dostupné z "http://jlswbs.wordpress.com/2009/05/15/jednoduche-a-komplexni-tony".
#19: Joseph L. Monzo. "Tonalsoft Encyclopedia of Microtonal Music-Encyclopedia Index" [online]. Dostupné z "http://tonalsoft.com/enc/encyclopedia-index.aspx".
#20: Encyclopedia Britannica. "Combination Tone" [online]. Dostupné z "www.britannica.com/EBchecked/topic/127336/combination-tone".
#21: Jaroslav Reichl. "Rázy" [online]. Encyklopedie fyziky. Dostupné z "http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/181-razy".
Petr Pařízek / 2014 115 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
#22: Jeffrey Hass. "How do we perceive pitch?" [online]. Z knihy "An Acoustics Primer". Indiana University. Dostupné z "www.indiana.edu/~emusic/acoustics/pitch.htm".
#23: James Clark. "Frequency and Pitch Shifting" [online]. Dostupné z "www.cim.mcgill.ca/~clark/nordmodularbook/nm_spectrum_shift.html".
#24: David Griesinger. "Creating Reverb Algorithms For Surround Sound" [online]. Sound On Sound, 03 / 2000. Dostupné z "www.soundonsound.com/sos/mar00/articles/dave.htm".
#25: Emmanuel Deruty. "Creative Convolution: New Sounds From Impulse Responses" [online]. Sound On Sound, 09 / 2010. Dostupné z "www.soundonsound.com/sos/sep10/articles/convolution.htm".
#26: Angelo Farina. "Advancementsin Impulse Response Measurements by Sine Sweeps" [online]. Dostupné z "http://pcfarina.eng.unipr.it/Public/Papers/226- AES122.pdf".
#27: Mathias Johansson. "The Hilbert Transform" [online]. Växjö University. Dostupné z "www.fuchs- braun.com/media/d9140c7b3d5004fbffff8007fffffff0.pdf".
#28: Bradley Lehman. "Regular meantone strains" [online]. Dostupné z "www- personal.umich.edu/~bpl/larips/meantone.html".
#29: Margo Schulter. "Pythagorean Tuning - Just Intonation Context" [online]. Dostupné z "www.medieval.org/emfaq/harmony/pyth5.html".
#30: Michal Snížek. "Intervaly doškálné a nedoškálné" [online]. Dostupné z "http://ewait.felk.cvut.cz:17180/yd36bap_snizemic/article.do;jsessionid=344b8e6 303963d1c3aa97dd18359?idch=55".
#31: David Huron. "Consonance and Dissonance - The Main Theories" [online]. Dostupné z "www.music-cog.ohio-state.edu/Music829B/main.theories.html".
#32: Gene Ward Smith. "Regular Temperaments" [online]. Dostupné z "http://xenharmonic.wikispaces.com/Regular+Temperaments".
#33: Graham Breed. "Prime Based Error and Complexity Measures" [online]. Dostupné z "http://x31eq.com/primerr.pdf".
Petr Pařízek / 2014 116 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
#34: Paul Erlich. "A Middle Path Between Just Intonation and the Equal Temperaments" [online]. Xenharmonikôn 18, 2006. Dostupné z "http://eceserv0.ece.wisc.edu/~sethares/paperspdf/Erlich-MiddlePath.pdf".
#35: Gene Ward Smith. "Catalog of seven-limit rank two temperaments" [online]. Dostupné z "http://xenharmonic.wikispaces.com/Catalog+of+seven- limit+rank+two+temperaments".
#36: Manuel Op De Coul. "Scala scale file (.scl) format" [online]. Dostupné z "www.huygens-fokker.org/scala/scl_format.html".
Petr Pařízek / 2014 117 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
PŘÍLOHY
Petr Pařízek / 2014 118 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ
PŘÍLOHA A:
VÝPIS PROGRAMU PRO VÝPOČET 2. ODMOCNINY SE STŘÍDAVÝM ZNAMÉNKEM
5 DEFDBL A-Z:DIM D(11) 10 INPUT "INPUT FILE";I$ 20 IF I$="" THEN 10 30 OPEN "I",#1,I$ 40 OPEN "O",#2,"SQRTL.TXT":OPEN "O",#3,"SQRTR.TXT":S(0)=1:S(1)=1:QS(0)=1:QS(1)=1:RS(0)=1:RS(1)=1 50 INPUT #1,A(0):INPUT #1,A(1):INPUT #1,B(0):INPUT #1,B(1):INPUT #1,C(0):INPUT #1,C(1) 55 RA(0)=SQR(A(0))*128:RA(1)=SQR(A(1))*128:RB(0)=SQR(B(0))*128:RB(1)=SQR(B(1)) *128 60 INPUT #1,G$(0):INPUT #1,G$(1) 61 G(0)=VAL(G$(0)):G(1)=VAL(G$(1)) 62 X=0 64 PRINT #2,RA(0):PRINT #3,RA(1) 70 TB=SQR(B(X))*S(X) 75 TC=SQR(C(X))*QS(X):TG=SQR(G(X))*RS(X) 80 D(0)=TC-TB:D(1)=TG-TC:D(2)=TC-TB:D(3)=-TG-TC 90 D(4)=-TC-TB:D(5)=TG+TC:D(6)=-TC-TB:D(7)=-TG+TC 100 D(8)=D(1)-D(0):D(9)=D(3)-D(2) 105 D(10)=D(5)-D(4):D(11)=D(7)-D(6):DL=D(8):DP=8 110 FOR Y=9 TO 11 120 IF ABS(D(Y)) Petr Pařízek / 2014 119 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ PŘÍLOHA B: VÝPIS PROGRAMU PRO VYTVOŘENÍ IMPULZU PRO INVERZNÍ HILBERTOVU TRANSFORMACI 10 INPUT "SAMPLE RATE";SR 20 IF SR<1000 OR SR>500000 THEN 10 30 INPUT "DELAY IN SECONDS";D 40 IF D<1/10 OR D>20 THEN 30 50 INPUT "OUTPUT FILE";F$ 60 IF F$="" THEN 50 70 P# =3.1415926535897932:TS#=D*2*SR:HS#=D*SR 80 OPEN "O",#1,F$ 90 IF (SI#+1)/2=INT((SI#+1)/2) THEN RO#=-2/(P#*(SI#-HS#)) ELSE RO#=0 100 LO# =-(SI#=HS#) 110 PRINT #1,MKS$(LO#)+MKS$(RO#);:SI#=SI#+1:IF SI# Petr Pařízek / 2014 120 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ PŘÍLOHA C: VÝPIS PROGRAMU PRO POSUN VÝŠKY TÓNU ŘÍZENÝ MODULAČNÍM SIGNÁLEM 10 P# =3.1415926535897932 20 INPUT "CARRIER INPUT FILE";X$ 30 IF X$="" THEN 20 40 INPUT "MODULATOR INPUT FILE";Y$ 50 IF Y$="" THEN 40 60 INPUT "OUTPUT FILE";Z$ 70 IF Z$="" THEN 60 80 INPUT "SAMPLE RATE";SR 90 IF SR<500 THEN 80 100 INPUT "CROSSFADE RATE";F 110 IF F<20 OR F>SR/2 THEN 100 120 PRINT "CREATING ENVELOPE MODEL, PLEASE WAIT. 130 M =2*INT(1/2+SR/F/2):L=M-1:O=M*7:N=M/2:I=M*2-1 140 DIM MA#(L),MB#(L),SA%(L),SB%(L),SM%(O),XM%(I) 150 FOR A=0 TO L 160 MA#(A)=1+COS(P#*A/M):MB#(A)=1-COS(P#*A/M):NEXT 170 OPEN "R",#1,X$,2:FIELD #1,2 AS A$ 180 OPEN "R",#2,Y$,2:FIELD #2,2 AS B$ 190 OPEN "O",#3,Z$ 200 FOR A=M*3 TO O-M 205 GET #1:IF EOF(1) THEN CLOSE:PRINT "CARRIER INPUT NOT FOUND OR TOO SHORT.":SYSTEM 210 SM%(A)=CVI(A$):NEXT 220 FOR A=0 TO L 225 GET #2:IF EOF(2) THEN CLOSE:PRINT "MODULATOR INPUT NOT FOUND OR TOO SHORT.":SYSTEM 230 XM%(A)=CVI(B$):NEXT 240 FOR A=O-L TO O 250 IF EA THEN 265 255 GET #1:IF EOF(1) THEN X=0:EA=-1:GOTO 265 260 X =CVI(A$) 265 SM%(A)=X:NEXT 270 FOR A=M TO I 275 IF EB THEN 290 280 GET #2:IF EOF(2) THEN Y=16384:EB=-1:GOTO 290 285 Y =CVI(B$) 290 XM%(A)=Y:NEXT Petr Pařízek / 2014 121 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ 300 BN =-N*XM%(0)/16384 310 FOR A=0 TO L 320 IF BN=INT(BN) THEN BB=BN+M*3.5 ELSE BB=INT(1+BN+M*3.5) 330 BA =BB-1:BK=BB-M*3.5-BN:BL=1-BK 340 BC=SM%(BA):BD=SM%(BB) 360 BR =BC*(1-COS(P#*BK))+BD*(1-COS(P#*BL)) 370 IF BR>65534 THEN BR=65534 380 SB%(A) =INT(1/2+BR/2):IF NOT A=L THEN BN=BN+XM%(A+1)/16384 390 NEXT 400 FOR A=0 TO L 410 R =SA%(A)*MA#(A)+SB%(A)*MB#(A) 420 IF R>65534 THEN R=65534 430 PRINT #3,MKI$(R/2);:NEXT 440 Z =Z+1:CLS:PRINT Z/F;" SEC. 445 IF EA THEN CLOSE:PRINT "DONE.":SYSTEM 450 FOR A=M TO I 460 BN =BN+XM%(A)/16384 470 IF BN=INT(BN) THEN BB=BN+M*3.5 ELSE BB=INT(1+BN+M*3.5) 480 BA =BB-1:BK=BB-M*3.5-BN:BL=1-BK 490 BC=SM%(BA):BD=SM%(BB) 500 AR =BC*(1-COS(P#*BK))+BD*(1-COS(P#*BL)) 510 IF AR>65534 THEN AR=65534 520 SA%(A-M) =INT(1/2+AR/2):NEXT 530 FOR A=M TO O 540 SM%(A-M)=SM%(A):NEXT 550 FOR A=M TO I 560 XM%(A-M)=XM%(A):NEXT 570 GOTO 240 Petr Pařízek / 2014 122 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ PŘÍLOHA D: SEZNAM VYBRANÝCH DVOJROZMĚRNÝCH TEMPEROVANÝCH LADĚNÍ Uvádím soupis všech dvojrozměrných ladění, jejichž faktory proměněné v unisono jednak obsahují 3 různá prvočísla, jednak nepřesahují 70 centů, jednak se nacházejí v rozsahu prvních 200000 členů řady harmonických tónů. Jednotlivé položky seznamu jsou odděleny volným řádkem. Každá položka začíná názvem ladění. Kde je místo názvu symbol "--", znamená to, že jde o neúplnou 7-limitovou aplikaci uvedeného ladění, a v takovém případě název neexistuje. Následuje popis faktoru proměněného v unisono, nejprve v podobě prvočíselných exponentů, poté ve tvaru zlomku, následně jako velikost v centech. Pak jsou uvedeny počty period a generátorů pro příslušné prvočíselné faktory (zde souhrnně označené termínem "mapování"). Poté je uvedena (v centech) optimální velikost generátoru a konečně největší odladění aproximovaných intervalů od čistých v rámci tří základních dvojzvuků (což jsou kvinty, velké tercie a malé tercie v případě 5-limitového temperování; v případě 7-limitových faktorů neobsahujících prvočíslo 3 je namísto malé tercie aproximován faktor 7/5, v případě faktorů neobsahujících prvočíslo 5 jsou namísto tercií aproximovány faktory 7/4 a 7/6). Faktory, které neobsahují prvočíslo 2, nejsou do seznamu zahrnuty. -- "2 -3 0 1" = 28/27, velikost 62,9609 centů Mapování: (1, 0), (1, 1), (1, 3) Generátor: 727,1393 centů Maximální odladění: 25,18436 centů -- "-4 -1 0 2" = 49/48, velikost 35,69681 centů Mapování: (1, 0), (0, 2), (2, 1) Generátor: 956,9269 centů Maximální odladění: 23,79787 centů Petr Pařízek / 2014 123 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ -- "1 0 2 -2" = 50/49, velikost 34,97562 centů Mapování: (2, 0), (4, 1), (5, 1) Generátor: 377,5698 centů Maximální odladění: 17,48781 centů -- "6 -2 0 -1" = 64/63, velikost 27,26409 centů Mapování: (1, 0), (2, -1), (2, 2) Generátor: 487,1394 centů Maximální odladění: 10,90564 centů Středotónové ladění: "-4 4 -1 0" = 81/80, velikost 21,50629 centů Mapování: (1, 0), (1, 1), (0, 4) Generátor: 695,8104 centů Maximální odladění: 6,144654 centů Porcupine: "1 -5 3 0" = 250/243, velikost 49,16614 centů Mapování: (1, 0), (-1, 3), (-2, 5) Generátor: 1036,034 centů Maximální odladění: 12,29153 centů Zmenšené ladění: "3 4 -4 0" = 648/625, velikost 62,56515 centů Mapování: (4, 0), (6, 1), (9, 1) Generátor: 94,13435 centů Maximální odladění: 15,64129 centů -- "-10 1 0 3" = 1029/1024, velikost 8,43272 centů Mapování: (1, 0), (1, 3), (3, -1) Generátor: 233,5834 centů Maximální odladění: 2,409349 centů Petr Pařízek / 2014 124 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ Diaschismatické ladění: "11 -4 -2 0" = 2048/2025, velikost 19,55257 centů Mapování: (2, 0), (4, -1), (3, 2) Generátor: 494,1345 centů Maximální odladění: 3,910514 centů Magic: "-10 -1 5 0" = 3125/3072, velikost 29,61357 centů Mapování: (1, 0), (0, 5), (2, 1) Generátor: 379,7329 centů Maximální odladění: 6,580793 centů -- "6 0 -5 2" = 3136/3125, velikost 6,083244 centů Mapování: (1, 0), (2, 2), (2, 5) Generátor: 193,9173 centů Maximální odladění: 1,520811 centů Hanson: "-6 -5 6 0" = 15625/15552, velikost 8,107279 centů Mapování: (1, 0), (0, 6), (1, 5) Generátor: 317,1153 centů Maximální odladění: 1,474051 centů Negri: "-14 3 4 0" = 16875/16384, velikost 51,11986 centů Mapování: (1, 0), (2, -4), (2, 3) Generátor: 125,6731 centů Maximální odladění: 9,294519 centů -- "3 7 0 -5" = 17496/16807, velikost 69,55547 centů Mapování: (1, 0), (1, 5), (2, 7) Generátor: 139,2317 centů Maximální odladění: 11,59258 centů Petr Pařízek / 2014 125 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ -- "-3 9 0 -4" = 19683/19208, velikost 42,29138 centů Mapování: (1, 0), (-1, 4), (-3, 9) Generátor: 773,9783 centů Maximální odladění: 6,041626 centů Tetracot: "5 -9 4 0" = 20000/19683, velikost 27,65985 centů Mapování: (1, 0), (1, 4), (1, 9) Generátor: 176,4766 centů Maximální odladění: 3,951407 centů Superpyth: "12 -9 1 0" = 20480/19683, velikost 68,7187 centů Mapování: (1, 0), (1, 1), (-3, 9) Generátor: 710,0396 centů Maximální odladění: 8,084554 centů Schismatické ladění: "-15 8 1 0" = 32805/32768, velikost 1,953721 centů Mapování: (1, 0), (2, -1), (-1, 8) Generátor: 498,2748 centů Maximální odladění: 0,2298495 centů -- "-13 10 0 -1" = 59049/57344, velikost 50,7241 centů Mapování: (1, 0), (1, 1), (-3, 10) Generátor: 696,6156 centů Maximální odladění: 5,339379 centů -- "16 -3 0 -4" = 65536/64827, velikost 18,83137 centů Mapování: (1, 0), (4, -4), (1, 3) Generátor: 724,0833 centů Maximální odladění: 3,423886 centů Petr Pařízek / 2014 126 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ -- "-5 0 7 -4" = 78125/76832, velikost 28,89237 centů Mapování: (1, 0), (-1, 4), (-3, 7) Generátor: 995,9218 centů Maximální odladění: 5,253158 centů Půlsextové ladění: "2 9 -7 0" = 78732/78125, velikost 13,39901 centů Mapování: (1, 0), (-1, 7), (-1, 9) Generátor: 443,0168 centů Maximální odladění: 1,674876 centů -- "1 10 0 -6" = 118098/117649, velikost 6,59457 centů Mapování: (2, 0), (1, 3), (2, 5) Generátor: 433,8476 centů Maximální odladění: 0,8243212 centů -- "-9 11 0 -3" = 177147/175616, velikost 15,02729 centů Mapování: (1, 0), (0, 3), (-3, 11) Generátor: 633,4577 centů Maximální odladění: 1,58182 centů Petr Pařízek / 2014 127 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ PŘÍLOHA E: VÝPIS PROGRAMU PRO TVOŘENÍ FILTRU ZESILUJÍCÍHO ZADANÉ VÝŠKY TÓNŮ 5 P# =3.1415926535897932:DIM VN(9999),XN(9999) 10 INPUT "INPUT FILE";I$ 20 IF I$="" THEN 10 30 OPEN "I",#1,I$ 40 INPUT #1,A$:VN(X)=VAL(A$) 50 X =X+1:IF X<10000 AND NOT EOF(1) THEN 40 60 VV =X:CLOSE 70 INPUT "SAMPLE RATE";SR:INPUT "LENGTH";L#:NF#=L#*SR 80 INPUT "OUTPUT FILE";O$ 90 IF O$="" THEN 80 100 CI =(RIGHT$(O$,3)="IMP" OR RIGHT$(O$,3)="imp") 110 IF NOT CI THEN 130 120 H$ ="impf"+MKL$(NF#)+MKL$(5)+MKL$(16):GOTO 140 130 H$ ="RIFF"+MKL$(NF#*4+36)+"WAVEfmt "+MKL$(16)+MKL$(65539)+MKL$(SR)+MKL$(SR*4)+MKI$(4)+MKI$(32)+"data"+MK L$(NF#*4) 140 PRINT "CHANGE THE FADE OUT SPEED DEPENDING ON FREQUENCY, YES OR NO? 150 K$ =INKEY$ 160 IF K$="" THEN 150 ELSE CF =(K$="Y" OR K$="y") 170 IF CF THEN PRINT "YES." ELSE PRINT "NO. 180 INPUT "BASE FADE OUT VALUE";FS 190 AT =VN(0):BF=440*2^(AT/12):XN(0)=1 200 FOR X=1 TO VV-1 210 AT =AT+VN(X):XN(X)=2^((AT-VN(0))/12):NEXT 230 OPEN "O",#1,O$:PRINT #1,H$; 240 SV# =0 250 FOR X=0 TO VV-1 260 SS# =SIN(P#*2*BF*XN(X)*SN#/SR):IF CF THEN SV#=SV#+SS#/2^(SN#/NF#*FS*XN(X)) ELSE SV#=SV#+SS#/2^(SN#/NF#*FS) 270 NEXT 280 IF CI THEN R$=MKD$(SV#/VV) ELSE R$=MKS$(SV#/VV) 290 PRINT #1,R$;:SN#=SN#+1:IF SN# Petr Pařízek / 2014 128 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ PŘÍLOHA F: VÝPIS PROGRAMU PRO REALIZACI AKORDICKÝCH POSTUPŮ PODLE INTERVALU PROMĚNĚNÉHO V UNISONO 5 DEFDBL A-Z:DEF FNTX$(X)=RIGHT$(STR$(X),LEN(STR$(X))-1):DEF FNSD(X$,X)=ASC(MID$(X$,X,1))-48:DEF FNFC(X)=LOG(X)*1200/LOG(2) 8 DIM D$(4095):DIM Q(49),QX(47),QY(47),R(11):P(0)=1:P(1)=7:P(2)=2:P(3)=3:P(4)=5:C$= "ABDABEABFACDACEACFAFDAFECBDCBECBFEBDEBFECDCFDEFD":B$="203032404 243" 10 FOR X=0 TO 11 15 R(X)=FNSD(B$,X+1):NEXT 20 INPUT "NUMERATOR";OX 30 IF OX<16 OR NOT OX=INT(OX) THEN 20 40 INPUT "DENOMINATOR";OY 50 IF OY<15 OR NOT OY=INT(OY) THEN 40 55 NX=OX:NY=OY:Q(1)=0:Q(2)=0:Q(3)=0:Q(4)=0 60 FOR X=4 TO 1 STEP -1 70 IF NOT NX/P(X)=INT(NX/P(X)) THEN 90 80 NX =NX/P(X):Q(X)=Q(X)+1:GOTO 70 90 IF NOT NY/P(X)=INT(NY/P(X)) THEN 110 100 NY =NY/P(X):Q(X)=Q(X)-1:GOTO 90 110 NEXT 120 IF NOT (NX=1 AND NY=1) THEN PRINT "HIGHER PRIMES USED, PLEASE REENTER":GOTO 20 125 OPEN "O",#1,"PUMPLIST.TXT":CC=FNFC(OX/OY) 130 FOR X=0 TO 14 140 FA=FNSD(C$,X*3+4)*2-34:FB=FNSD(C$,X*3+5)*2-34:FC=FNSD(C$,X*3+6)*2-34 150 SX(0)=R(FA):SY(0)=R(FA+1):SX(1)=R(FB):SY(1)=R(FB+1):SX(2)=R(FC):SY(2)=R(FC+1) 160 Z(2)=0:Z(3)=0:Z(4)=0 170 FOR Y=2 TO 4 175 TX=SX(Y-2):TY=SY(Y-2) 177 IF NOT TY=0 THEN 180 178 Z(Y)=Z(Y)+Q(TX):GOTO 190 180 IF TY=Y THEN 185 182 TZ=SY(TY-2):IF TX=Y THEN Z(TX)=Z(TX)+Q(TX):IF TZ=TY THEN Z(TY)=Z(TY)-Q(TX) ELSE Z(TY)=Z(TY)+Q(TX) 184 GOTO 190 185 TZ=SY(TX-2):Z(TY)=Z(TY)-Q(TY):IF TZ=TX THEN Z(TX)=Z(TX)-Q(TY) ELSE Petr Pařízek / 2014 129 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ Z(TX)=Z(TX)+Q(TY) 190 NEXT 191 IF SY(2)=SX(1) AND NOT SY(1)=0 THEN Z(2)=Z(2)+Q(4) 192 IF SY(1)=SX(0) AND NOT SY(0)=0 THEN Z(4)=Z(4)+Q(2) 193 IF SX(2)=SX(1) AND NOT SY(2)=0 THEN Z(2)=Z(2)+Q(3) 194 IF SY(2)=SY(0) AND NOT SY(0)=0 THEN Z(3)=Z(3)+Q(4) 195 IF SX(2)=SX(0) AND NOT SY(2)=0 THEN Z(3)=Z(3)+Q(2) 196 IF SY(1)=SY(0) AND NOT SY(0)=0 THEN Z(4)=Z(4)+Q(3) 198 Q(X*3+5)=Z(2):Q(X*3+6)=Z(3):Q(X*3+7)=Z(4) 199 QX(X*3+3)=SX(0):QY(X*3+3)=SY(0):QX(X*3+4)=SX(1):QY(X*3+4)=SY(1):QX(X*3+5)= SX(2):QY(X*3+5)=SY(2) 200 NEXT 205 QX(0)=2:QX(1)=3:QX(2)=4 210 FOR X=0 TO 15 215 RX(1)=Q(1):RX(2)=Q(X*3+2):RX(3)=Q(X*3+3):RX(4)=Q(X*3+4):RS=ABS(RX(2))+ABS( RX(3))+ABS(RX(4)) 220 PRINT #1,MID$(C$,X*3+1,3)+":":PRINT #1,"[";RX(1);RX(2);RX(3);STR$(RX(4))+"]" 230 FOR U=0 TO 2 240 IF RX(U+2)=0 THEN 260 245 IF RX(U+2)<0 THEN CD(U)=FNFC(P(QX(X*3+U))/P(QY(X*3+U)))+CC/RS ELSE CD(U)=FNFC(P(QX(X*3+U))/P(QY(X*3+U)))-CC/RS 247 CE!=CD(U) 250 PRINT #1,CE! 260 NEXT 263 IF RX(1)=0 THEN GOSUB 300 265 PRINT #1,"" 270 NEXT 280 CLOSE:SYSTEM 300 XA=RX(3):YA=RX(4) 305 IF RX(3)<0 THEN YB=-CD(1) ELSE YB=CD(1) 310 IF RX(4)<0 THEN XB=-CD(2) ELSE XB=CD(2) 315 IF SGN(XA)=SGN(YA) THEN XA=-XA 320 ZA=XA+YA 330 IF ABS(YA)>ABS(XA) THEN ZC=YA:ZB=XA ELSE ZC=XA:ZB=YA 332 ZD=ZB-ZC 335 IF ZA>ZB THEN WA=ZB:WB=ZA ELSE WA=ZA:WB=ZB 340 IF NOT (ZB-1)/2=INT((ZB-1)/2) THEN S1=ABS(ZB)/2-1:S2=ABS(ZB)/2 ELSE S1=(ABS(ZB)-1)/2:S2=(ABS(ZB)-1)/2 345 IF ABS(WB)>ABS(WA) THEN GA=WA-S2:GB=WB+S1 ELSE GA=WA- Petr Pařízek / 2014 130 | S t r á n k a ELEKTRONICKÁ KOMPOZICE - CESTA K PROPOJENÍ SONICKÝCH A AKORDICKÝCH PRVKŮ V HUDBĚ S1:GB=WB+S2 347 GOTO 355 350 PRINT #1,"STARTING TRIAD:";WA;WB:PRINT #1,"NUMBER OF TONES:";ZD 352 PRINT #1,"GENERATOR RANGE:";GA;GB 355 IF ABS(ZD)<2 OR RX(2)=0 OR RX(3)=0 OR RX(4)=0 THEN 460 360 GS=0:PS=0:PRINT #1,"------":PRINT #1,"! PUMPLIST.SCL" 370 PRINT #1,MID$(C$,X*3+1,3)+" KOMMA PUMP OF"+STR$(OX)+"/"+FNTX$(OY) 380 PRINT #1,ABS(ZD):PRINT #1,"!" 390 FOR TD=1 TO ABS(ZD) 400 IF GS+YA>GB OR GS+YA Petr Pařízek / 2014 131 | S t r á n k a