Optimal Control of Multibody Systems Using the Adjoint Variable Approach
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DISSERTATION Optimal Control of Multibody Systems using the Adjoint Variable Approach ausgeführt zum Zwecke der Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der technischen Wissenschaften (Dr. techn.) eingereicht an der Technischen Universität Wien, Fakultät für Maschinenwesen und Betriebswissenschaften von Dipl.-Ing. Thomas Lauß, BSc. Geboren am 06.03.1989 Mat. Nr.: 1429523 unter der Leitung von Priv. Doz. Dipl.-Ing. Dr. Wolfgang Steiner am Institut für Mechanik und Mechatronik, E325 Abteilung für Mechanik fester Körper begutachtet von Ao.Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Alois Steindl Prof. Ahmed A. Shabana, PhD Technische Universität Wien University of Illinois at Chicago InstitutfürMechanikundMechatronik Dep.ofMechanical&Industrial Engineering Getreidemarkt 9, 1060 Wien 842 W. Taylor Street, Chicago, IL 60607 Technische Universität Wien A-1040 Wien Karlsplatz 13 Tel. +43-1-58801-0 www.tuwien.ac.at Eidesstattliche Erklärung Dipl. Ing. Thomas Lauß, BSc. Wimm 27/3 4872 Neukirchen a. d. V. Ich erkläre an Eides statt, dass die vorliegende Arbeit nach den anerkannten Grund- sätzen für wissenschaftliche Abhandlungen von mir selbstständig erstellt wurde. Alle verwendeten Hilfsmittel, insbesondere die zugrunde gelegte Literatur, sind in dieser Ar- beit genannt und aufgelistet. Die aus den Quellen wörtlich entnommenen Stellen, sind als solche kenntlich gemacht. Das Thema dieser Arbeit wurde von mir bisher weder im In- noch Ausland einer Beur- teilerin/einem Beurteiler zur Begutachtung in irgendeiner Form als Prüfungsarbeit vor- gelegt. Diese Arbeit stimmt mit der von den Begutachterinnen/Begutachtern beurteilten Arbeit überein. Wien, am 01.04.2019 Thomas Lauß i Danksagung Die vorliegende Arbeit entstand im Rahmen einer Anstellung als wissenschaftlicher Mitarbeiter an der Fachhochschule Oberösterreich in Kooperation mit dem Institut für Mechanik und Mechatronik an der Technischen Universität Wien im Zeitraum von 2015–2019. Ohne die Unterstützung zahlreicher Personen hätte die Doktorarbeit in dieser Form nicht realisiert werden können. Für die vielfältig erfahrene Hilfe möchte ich mich an dieser Stelle sehr herzlich bedanken. Mein ganz spezieller Dank gilt Herrn Prof. Wolfgang Steiner, meinem Doktorvater, der mit seinen ausgezeichneten Vor- lesungen, während des Studiums, mein Interesse für die Mechanik geweckt hat. Im Anschluss wurde ich als wissenschaftlicher Mitarbeiter Teil seiner Forschungsgruppe, die er in den letzten Jahren erfolgreich aufgebaut hat. Dank seiner theoretischen und fachlichen Unterstützung habe ich in den vergangenen Jahren sehr viel lernen dürfen. Ich danke Herrn Prof. Alois Steindl für die hilfsbereite und wissenschaftliche Betreu- ung als Erstgutachter. Seine anspruchsvollen Vorlesungen zur höheren Mechanik an der Technischen Universität Wien haben mein Interesse an der Mechanik und Mathe- matik noch deutlich gestärkt. Darüber hinaus möchte ich mich für die Organisation des Prüfungsverfahrens und für die Beteiligung an der Prüfungskommission sehr herzlich bedanken. Ferner danke ich Herrn Prof. Ahmed A. Shabana für die wissenschaftliche Beurteilung als Zweitgutachter. Des Weiteren möchte ich mich bei meinen Kollegen Stefan Oberpeilsteiner, Prof. Karin Nachbagauer, Peter Leitner, Philipp Eichmeir, Flo- rian Pichler und Prof. Wolfgang Witteveen für die schöne Zusammenarbeit und die vie- len hilfreichen Diskussionen bedanken. Tief verbunden und dankbar bin ich meinen Eltern und meiner Frau für ihre unglaublich hilfreiche Unterstützung und ihr Verständ- nis bei der Anfertigung der Doktorarbeit. iii Die Anstellung wurde von folgenden Forschungsprogrammen und Industriekooperatio- nen finanziert: Regio 13: Das Projekt wurde im Rahmen des EU-Programms "Regionale Wettbe- • werbsfähigkeit OÖ 2007-2013 (Regio 13)" aus Mitteln des Europäischen Fonds für Regionale Entwicklung (EFRE) sowie aus Mitteln des Landes OÖ gefördert. ProtoFrame: Das Projekt wurde im Programm COIN Cooperation & Innovation • durch das Bundesministerium für Wirtschaft, Familie und Jugend sowie das Bun- desministerium für Verkehr, Innovation und Technologie gefördert. JR-Zentrum: Das Projekt wird zu 50% von der Christian Doppler Forschungsge- • sellschaft und zu 50% vom Unternehmenspartner KTM AG finanziert BMW-Industrieprojekt: Das Projekt wurde von BMW Motoren GmbH in Auftrag • gegeben und zu 100% finanziert. Kurzfassung In den letzten Jahren ist die Komplexität der Modelle in der Mehrkörperdynamik sehr stark gestiegen. Industriellen Anwendungen, wie zum Beispiel ein gesamtes Fahrzeug- modell, führen zu großen Systemen mit sehr vielen Freiheitsgraden. Darüber hinaus besteht eine große Nachfrage in der Forschung und im Entwicklungsprozess nach effizi- enten und zuverlässigen Algorithmen zum Lösen von Optimalsteuerungsaufgaben. Ein allgemeiner Ansatz besteht darin, das Optimalsteuerungsproblem in eine Optimierungs- aufgabe umzuformulieren. Dabei betrachtet man die diskretisierten Systemeingänge vom Mehrkörpersystem als Optimierungsvariablen und versucht eine Kostenfunktion, die zum Beispiel aus der aufsummierten Abweichung eines Systemausganges von einer vorgegebenen Trajektore besteht, zu minimieren. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt darin, den Gradienten der Kostenfunktion mithilfe der adjungierten Variablen effizient zu berechnen. Dabei erweitert man zuerst die Kostenfunktion um die Systemgleichun- gen und multipliziert diese mit den noch beliebig wählbaren adjungierten Variablen. Danach wird eine Variation der Kostenfunktion durchgeführt und die adjungierten Va- riablen werden nun so gewählt, dass die komplizierten Beziehungen zwischen den Va- riationen der Systemeingängen und den Zuständen nicht berechnet werden müssen. Die Definition der adjungierten Variablen führt auf ein lineares, zeitvariantes differential- algebraisches System, mit dessen Lösung der Gradient der Kostenfunktion bestimmt werden kann. Allerdings führt die numerische Lösung des adjungierten Systems manch- mal zu Problemen hinsichtlich Stabilität und Genauigkeit. Daher wird in dieser Arbeit ein alternativer Ansatz, die diskrete adjungierte Methode, beschrieben. Dabei konstru- iert man sich ein Finite-Differenzen-Schema für das adjungierte System direkt aus der numerischen Integrationsmethode der Systemgleichungen. Schlussendlich werden die beschriebenen Methoden an akademischen bzw. industriellen Anwendungen getestet. Als erstes Beispiel wird eine Steuerung zum Aufschwingen eines Doppelpendels be- rechnet. Als zweite akademische Anwendung wird die Kraft an einem Wagen und das Moment an der Seilwinde eines Portalkrans berechnet, sodass die Last einer vorgege- benen Trajektorie folgt. Die energieoptimale Bahnplanung eines Roboters von einem Ausgangspunkt zu einem Endpunkt in vorgegebener Zeit wird als erste industrielle An- wendung behandelt. Zu guter Letzt wird die Radaufhängung eines Rennfahrzeugs unter- sucht und die Kräfte an der Radnabe bei gegebener Bewegung am Federbein berechnet. v Abstract In the last years, the complexity of models in multibody dynamics has grown tremen- dously. In particular, industrial simulations of large systems including several flexible bodies such as complete vehicles or robots result in models with a vast number of de- grees of freedom. Moreover, there is also an increased demand of both, the research, as well as the industry for developing efficient and reliable algorithms for solving opti- mal control problems in multibody dynamics. A general approach to solve an optimal control problem is the formulation as an optimization task. In this case, one looks for actuating forces or torques of a multibody system, which minimizes a cost functional, e.g. the mean deviation of a system output from a measured signal. The focus of the pre- sented thesis lies on the efficient gradient computation of the cost functional by using the adjoint variable approach. Therefore, the cost functional is extended by the equations of motion, which are multiplied by the adjoint variables. Then, the variation of the ex- tended cost functional has to be determined and the adjoint variables have to be chosen, such that this variation is directly related to the variation of the inputs. This leads to a system of additional differential-algebraic equations, from which the gradient of the cost functional with respect to the inputs can be computed. However, the numerical solution of the adjoint differential equations raises several questions with respect to stability and accuracy. Hence, an alternative and maybe more natural approach is the discrete adjoint method. A finite difference scheme is constructed for the adjoint system directly from the numerical solution procedure, which is used for the solution of the equations of mo- tion. The method delivers the gradient of the discretized cost functional subjected to the discretized equations of motion. Moreover, the efficient computation of the gradient al- lows the application of gradient-based optimization methods, which speed-up the whole solution procedure significantly. Finally, the described methods are applied to academic and industrial applications. First of all, an optimal control of a swing-up maneuver of a cart double pendulum is computed. As a second academic example the force on a cart and the torque on the winch are determined for an underactuated planar overhead crane, such that the load follows a prescribed path. The energy optimal trajectory planning of a robot is presented as a first industrial application. Finally, a wheel suspension of a racing car is investigated as an inverse dynamic problem. vii Contents 1 Introduction