Obtencion De Funciones De Partición Vía El Teorema De Atiyah-Bott-Singer Y Cuantización Geométrica
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Tesis de Grado Obtencion de funciones de partición vía el Teorema de Atiyah-Bott-Singer y Cuantización Geométrica Acosta, Joel Alejandro 2017 Este documento forma parte de las colecciones digitales de la Biblioteca Central Dr. Luis Federico Leloir, disponible en bibliotecadigital.exactas.uba.ar. Su utilización debe ser acompañada por la cita bibliográfica con reconocimiento de la fuente. This document is part of the digital collection of the Central Library Dr. Luis Federico Leloir, available in bibliotecadigital.exactas.uba.ar. It should be used accompanied by the corresponding citation acknowledging the source. Cita tipo APA: Acosta, Joel Alejandro. (2017). Obtencion de funciones de partición vía el Teorema de Atiyah- Bott-Singer y Cuantización Geométrica. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires. https://hdl.handle.net/20.500.12110/seminario_nFIS000001_Acosta Cita tipo Chicago: Acosta, Joel Alejandro. "Obtencion de funciones de partición vía el Teorema de Atiyah-Bott- Singer y Cuantización Geométrica". Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires. 2017. https://hdl.handle.net/20.500.12110/seminario_nFIS000001_Acosta Dirección: Biblioteca Central Dr. Luis F. Leloir, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires. Contacto: bibliotecadigital.exactas.uba.ar Intendente Güiraldes 2160 - C1428EGA - Tel. (++54 +11) 4789-9293 UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de F´ısica Tesis de Licenciatura Obtenci´onde funciones de partici´onv´ıael Teorema de Atiyah-Bott-Singer y Cuantizaci´onGeom´etrica Joel Alejandro Acosta Director: Dr. Mauricio Leston Codirector: Dr. Alan Garbarz Fecha de Presentaci´on:Marzo 2017 Tema: Obtenci´onde funciones de partici´onv´ıael Teorema de Atiyah-Bott-Singer y Cuantizaci´on Geom´etrica Alumno: Joel A. Acosta L.U.: 721/10 Lugar de trabajo: Instituto de Astronom´ıay F´ısicadel Espacio IAFE - CONICET-UBA Director del trabajo: Dr. Mauricio Leston Codirector del trabajo: Dr. Alan Garbarz Fecha de iniciaci´on: Septiembre 2016 Fecha de finalizaci´on: Marzo 2017 Fecha de examen: Mi´ercoles22 de Marzo de 2017 Informe final aprobado por: Autor Director Jurado Codirector Jurado Profesor de Tesis de Licenciatura Jurado Resumen En esta tesis se estudia el teorema de punto fijo de Atiyah-Bott-Singer. Este teorema conecta varias ramas de la matem´aticay mostraremos que tiene un gran potencial para ser utilizado en distintas situaciones f´ısicas,donde la funci´onde partici´onjuega un papel relevante. Por ejemplo, y como meta a largo plazo, se podr´ıautilizar dicho teorema para la obtenci´onde una funci´onde partici´oncu´antica de la gravedad AdS3, incluso como resultado previo a la obtenci´onde una descripci´oncompleta y expl´ıcitade la teor´ıacu´antica. Dado que el teorema de Atiyah-Bott-Singer involucra varios objetos matem´aticosen principio dis- conexos, se introducen aqu´ıcon cierto detalle. Se comienza estableciendo la estructura geom´etrica del problema cl´asicopara luego introducir el m´etodo de cuantizaci´ongeom´etrica. Este´ es un tema principal de la presente tesis y puede entenderse como una generalizaci´onde la cuantizaci´oncan´onica en t´erminode elementos geom´etricosdel espacio de fases del sistema cl´asico.En particular, en la pre- sente tesis se explica de manera autocontenida las estructuras estructuras necesarias para que el lector pueda familiarizarse con el programa de cuantizaci´ongeom´etricase~nalandosus ventajas y debilidades. Lograda la cuantizaci´ongeom´etricade un sistema, se puede calcular la funci´onde partici´onasociada a cierta transformaci´on.Por otro lado, aqu´ıse muestra que gracias a sofisticados resultados matem´ati- cos, se puede hacer uso del teorema de Atiyah-Bott-Singer para calcular dicha funci´onde partici´on, sin descansar en la maquinar´ıade la cuantizaci´ongeom´etrica.La matem´aticaadicional necesaria se introduce lentamente, partiendo de f´ormulas de punto fijo simples e intuitivas, hasta llegar finalmente al teorema de Atiyah-Bott-Singer y la f´ormula para obtener la funci´onde partici´onque nos brinda. El objetivo principal del trabajo es poner a ambos, cuantizaci´ongeom´etricay f´ormula de Atiyah- Bott-Singer, dentro del mismo contexto de b´usquedade una funci´onde partici´onen una teor´ıacu´antica. En especial, se resaltan las virtudes del teorema de Atiyah-Bott-Singer frente al laborioso programa de cuantizaci´ongeom´etrica.En particular la aplicaci´onde estos dos elementos al caso de gravedad AdS3 (donde el grupo relevante es el de Virasoro) presenta enormes dificultades t´ecnicas,motivo por el cual en este trabajo se estudiar´aen detalle el caso del grupo SU(2), en el que las t´ecnicasy resultados a presentar resultan manejables. Agradecimientos Antes que nada, quisiera expresar mi profundo agradecimiento a mi familia, por su apoyo incondicional durante toda mi formaci´onacad´emica. Agradezco a Mauricio y Alan, por brindarme la oportunidad de trabajar con ellos, y orientarme en cada paso desde el inicio del desarrollo de este trabajo, agradezco adem´aspor su infinita paciencia a la hora de leerlo y por la gran cantidad de comentarios ´utilesque me brindaron. De igual mane- ra, agradezco a los miembros del grupo, en especial a Joan, David y Guillem, por hacer este ´ultimo a~norealmente amigable y, espero, productivo. Las constantes reuniones de grupo, charlas durante los almuerzos y las muy extendidas sobremesas me enriquecieron enormemente. En particular quiero agra- decer a Joan, con quien compart´ıincontables discusiones las cuales aportaron de manera significativa a mi entendimiento general. Agradezco a los compa~neros y amigos que conoc´ıa lo largo de la carrera, los cuales contribuyeron de manera inconmensurable tanto a mi formaci´onacad´emicacomo a mi formaci´oncomo persona. Agradezco a Ariel y Nachito, a quienes conoc´ıal principio de la carrera y desde ese momento co- menzaron a alimentar mi, inicialmente pobre, inter´esen la f´ısica.A Agust´ınquien me ense~n´oque cuando es necesario, los d´ıaspueden tener mas de veinticuatro horas y que un a~nopuede separarse en tres cuatrimestres de cinco meses cada uno. A Christian, a quien conoc´ıen el secundario y con quien puedo disfrutar conversar tanto de temas acad´emicoscomo puramente l´udicos. Agradezco a Hernan, Juan, Noe, Juanma, Mariel, Ceci, Jony, Yanina, Augusto, Quinti y muchos otros que hicieron que gradualmente la facultad se convierta en un hogar para mi. Agradezco especialmente a Bel´encon quien compartimos much´ısimascharlas, discusiones, quejas, sonrisas, tiempo de estudio, berrinches y enojos. Su constante preocupaci´on, consejos y retos hicieron que estos dos ´ultimosa~nossean terriblemente productivos. Finalmente agradezco de coraz´ona Sebastian, Mari y Jime a quienes aprecio profundamente. Ellos supieron acompa~narmeen el trayecto final ayud´andomea alcanzar un equilibrio entre estudio y di- versi´on,soportando en mayor o menor medida, mis constantes cambios de humor. Su compa~n´ıay amistad son, sin lugar a duda, el motivo por el cual concluyo esta etapa en pleno uso de mis facultades mentales. iii ´Indice general Resumen i Agradecimientos iii ´Indice general v Introducci´on vii 1. Geometr´ıaSimpl´ectica 1 1.1. Espacios vectorial simpl´ecticos . .1 1.2. Variedades simpl´ecticas . .4 1.3. Campos vectoriales Hamiltonianos . .7 1.4. Corchetes de Poisson . 11 2. Cuantizaci´onGeom´etrica 17 2.1. Precuantizaci´on. 21 2.2. Polarizaci´on. 30 2.3. M´ascorrecciones . 38 2.4. Observaciones . 40 2.5. Cuantizando las simetr´ıas . 40 3. Orbitas´ Coadjuntas de grupos de Lie 43 3.1. Grupos de Lie, representaci´onadjunta y coadjunta . 43 3.2. Estructura de las ´orbitascoadjuntas . 47 3.3. Equivalencia entre ´orbitas adjuntas y coadjuntas . 51 4. Cuantizaci´onGeom´etricade SU(2) 53 4.1. El grupo y su ´algebra . 53 4.2. Orbitas´ coadjuntas del grupo . 56 4.3. Forma de Kirillov para SU(2) . 57 4.4. La esfera como variedad simpl´ectica . 58 4.5. Condici´onde integrabilidad . 59 4.6. Campos hamiltonianos y corchetes de Poisson . 59 4.7. Polarizaci´ony espacio de Hilbert . 60 v vi ´INDICE GENERAL 4.8. Operadores sobre el Hilbert . 63 5. Teoremas de Punto fijo 67 5.1. F´ormulas de punto fijo para grupos discretos . 67 5.2. Acci´onen el espacio de funciones . 70 5.3. Acci´onen el espacio de secciones . 72 5.4. Representaciones inducidas . 73 5.5. Teorema de punto fijo de Lefschetz . 74 5.6. Teorema de punto fijo de Atiyah-Bott-Singer . 77 5.7. Aplicaci´onal grupo SU(2).................................. 81 6. Conclusiones 85 Appendices 89 A. Fibrados de l´ıneacon conexi´ony condici´onde integrabilidad . 89 B. Variedades complejas . 95 C. Definiciones varias . 97 Bibliograf´ıa 103 Introducci´on La b´usquedapor obtener una unificaci´onentre la mec´anicacu´antica y la relatividad general puede abordarse de muchas formas distintas. Un posible acercamiento es estudiar un caso mucho m´assim- ple, como por ejemplo la teor´ıade gravitaci´onde Einstein en 2 + 1 dimensiones con y sin constante cosmol´ogica.En particular, la gravedad en tres dimensiones con constante cosmol´ogicanegativa (de- nominada gravedad AdS3) es ciertamente m´assimple que la versi´onde cuatro dimensiones (que es la teor´ıa que la comunidad cient´ıficaaspira a cuantizar); por ejemplo, en dicho caso las soluciones de la ecuaci´onde Einstein son localmente difeomorfas a AdS, y difieren entre ellas solamente en cues- tiones globales, lo que implica ausencia de gravitones. La finalidad de tratar de cuantizar gravedad AdS3 es ganar intuici´onpara luego abordar