UNA FUNDAMENTACION´ DE LA HISTORIA DE LAS MATEMATICAS´

UNA FUNDAMENTACION´ DE LA HISTORIA DE LAS MATEMATICAS´

Jesus Hernando P´erezAlc´azar OSCAR´ ARMANDO IBARRA RUSSI Rector

ALEJANDRO ALVAREZ´ GALLEGO Vicerrector Acad´emico

MARIO BALLESTEROS MEJ´IA Vicerrector Administrativo y Financiero

NOHORA PATRICIA MORENO GARC´IA Vicerrectora de Gesti´onUniversitaria

c Universidad Pedag´ogicaNacional c Jes´us Hernando P´erez Alc´azar Profesor investigador Universidad Sergio Arboleda

ISBN:

Primera edici´on,2007

Preparaci´oneditorial Universidad Pedag´ogicaNacional Fondo Editorial LUIS EDUARDO VASQUEZ´ SALAMANCA Coordinador

Impresi´on Bogot´a,Colombia, 2007 Dedicado a: La memoria de mi padre, el educador matem´atico Jos´e Ignacio P´erez, Mi madre Aura Mar´ıaAlc´azar. Contenido

Agradecimientos IV

Presentaci´on V

Prefacio VIII

1. Principios orientadores para la fundamentaci´onde la historia de la matem´aticas 1 1.1. (P1) Principio de Durkheim o de la divisi´onsocial trabajo . . . . . 1 1.2. (P2) Principio ´eticoy legal o de las tensiones entre permitido versus prohibido y conveniente versus inconveniente ...... 2 1.3. (P3) Principio acad´emico o de la dial´ecticaimaginarios versus teor´ıas 4 1.4. (P4) Principio de historicidad ...... 8 1.5. (P5) Principio de Chomsky o de la tensi´onentre finito e infinito . . 10 1.6. (P6) Principio anfibi´oticoo de la tensi´onentre ser y no ser . . . . 14

2. Ejemplos iniciales de documentos historiogr´aficos 19 2.1. Un art´ıculode divulgaci´on...... 19 2.2. Un trabajo hist´orico-filos´ofico ...... 24 2.3. Historia de la historia ...... 27 2.4. (P7) Principio de Struik o de la dignificaci´onde la especie humana 30 2.4. Homenaje a grandes matem´aticos...... 31

3. Documentos tipo memorias 35

ii 3.1. Unas memorias de Andr´eWeil ...... 36 3.2. (P8) Principio de contextualizaci´onde Dehn ...... 40 3.2. Unas memorias de Gaisi Takeuti ...... 50

4. Documentos tipo Autobiograf´ıasy biograf´ıascortas 59

5. Documentos tipo biograf´ıas 72 5.1. (P9) Principio de Infeld o de la excelencia literaria ...... 80

6. Documentos tipo grandes historias 81 6.1. (P10) Principio de Alberto Campos o de la tensi´onentre historia y educaci´on...... 90

7. Investigaci´onprimaria 94

8. Historia de las matem´aticaselementales 98 8.1. (P11) Principio de Mar´ıade Losada o de la tensi´onentre los niveles 105

Ep´ılogo 106

Referencias 108

iii Agradecimientos

A la Universidad Nacional de Colombia, que me brind´oel invaluable privilegio de ser uno de sus docentes por cerca de 35 a˜nos. A la Universidad Sergio Arboleda, que me ha acogido tan amablemente en estos ´ultimosa˜nos. A la Universidad Pedag´ogicaNacional que me ha permitido expresar p´ublica- mente mis puntos de vista metamatem´aticos. A Carlos Luque Arias y a su equipo de colaboradores de la Universidad Pedag´ogi- ca Nacional y la Universidad Sergio Arboleda quienes han construido y fortalecido un maravilloso espacio de encuentro de la comunidad acad´emica en matem´aticas. A Sergio Carrillo y Carlos Hurtado, sin cuya dedicaci´oneste trabajo no hubiera sido publicado. A mis familiares y amigos.

iv Presentaci´on

Ninguna disciplina cient´ıfica perder´ıa m´asque la matem´atica si prescindiera de su historia An´onimo

En matem´aticasexiste una enorme continuidad hist´orica,el teorema de Pi- t´agorassigue siendo v´alidoy conservando su elegancia, en general los conceptos en matem´aticasse caracterizan por su larga vida, esto hace que los matem´aticos sean conscientes de los or´ıgeneshist´oricosde sus conceptos generando un respeto y un marcado sentimiento de deuda para con sus predecesores, de hecho grandes y destacados matem´aticoshan insistido en la continuidad y la coherencia de la evoluci´onde las matem´aticas,combinando de un modo muy fruct´ıferola exposici´on de sus propios resultados con consideraciones hist´oricas.En este sentido, podemos decir que la historia de la matem´aticase remonta a los griegos. La historia de la matem´aticases actualmente una ciencia que a la par de la matem´aticasu crecimiento en los ´ultimosa˜nosha sido exponencial, ha desarro- llado sus propias metodolog´ıas y, como otras disciplinas, organiza sus congresos internacionales y cuenta con instituciones y publicaciones que la estudian con rig- or, la divulgan y la promueven; socialmente, la historia de la matem´aticaes una ciencia ´utily necesaria, ha sido determinante en decisiones de pol´ıticaseducativas en los pa´ıses que la apoyan. La historiograf´ıaadem´asde recopilar el pasado, pro- porciona elementos fundamentales para la construcci´ondel presente y del futuro de la matem´atica. ¿C´omonos encontramos en Colombia frente a este contexto internacional? ¿Estamos haciendo bien las cosas en esta direcci´on? Pues bien, el autor nos muestra, de manera categ´orica,elementos que nos dan directrices y nos colocan en un punto de hacer una reflexi´onprofunda y tomar una o varias direcciones que nos lleven por el camino correcto. Algunos aspectos relevantes del libro son: La presentaci´onde unos principios orientadores para hacer investigaci´onen

v Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

historia de la matem´atica,desarrollando aspectos biogr´aficos,sociol´ogicosy bibli- ogr´aficos,y contextualizando el desarrollo de las comunidades matem´aticasy sus formas de organizaci´on.Es de resaltar como el aporte m´assignificativo, un cap´ıtu- lo sobre la historia de la matem´aticaelemental moderna, de la cual la literatura es pr´acticamente inexistente; adem´asde lo hist´orico,el tema permite establecer v´ınculos con la educaci´onmatem´atica. Cada uno de estos aspectos los presenta acompa˜nados de ejemplos contun- dentes y recreados con un lenguaje sencillo y emotivo, donde el autor se confunde muchas veces con las historias, nos muestra adem´asvarios principios y ejemplos vivos de nuestra historia actual que nos cuestiona en el sentido de “por qu´eno aplicamos estos principios al desarrollo y funcionamiento de nuestras comunidades acad´emicas para que hagan parte de nuestra cultura y tradici´onacad´emica”. De hecho estos principios han tenido alg´unimpacto en la Universidad Na- cional de Colombia como lo se˜nalael autor, pero especialmente en la Escuela de Matem´aticasde la Universidad Sergio Arboleda; all´ı, Jes´usHernando, en su labor cotidiana como investigador, catedr´atico,y en especial en su trabajo con ni˜nos tal- entosos, es fiel a los principios que expone; podemos afirmar, sin que ´else lo haya propuesto, que es su experiencia y vida acad´emica un excelente ejemplo de estos principios que le ha mostrado la historia. Por los testimonios que personalmente he tenido la oportunidad de escuchar de muchos de sus disc´ıpulos,estudiantes, y colegas el profesor Alfonso Castro, entre otros, coinciden palabras m´aspalabras menos con lo que aparece en este trabajo en la autobiograf´ıade Saunders MacLane titulada A mathematical autobiography en el prefacio escrito por el ge´ometray matem´aticoDavid Eisenbud, uno de los disc´ıpulosm´assobresalientes de MacLane, escribe Eisenbud:

Saunder MacLane ha sido mi maestro, mentor y modelo desde el inicio de mi vida como matem´atico. Ha sido una relaci´onmuy especial para m´ı. El´ ha sido para m´ı una figura de gran honestidad e integridad, que ha realizado un trabajo muy fuerte para avanzar la investigaci´on y servir a la comunidad matem´atica. Sus creencias sobre el bien, lo correcto y lo racional, su inter´esen la esencia de las ideas matem´aticas, su enorme entusiasmo, y su gran optimismo fueron y han sido un gran atractivo para m´ı.

En lo personal su ejemplo y sus consejos me han dado orientaciones muy im- portantes para hacer de la Escuela de Matem´aticasun centro acad´emico con un respeto muy grande a los maestros, con la puesta en marcha de los principios que se plantean, donde el celo por el conocimiento y los valores acad´emicos est´anpor encima de otros tipos de intereses. Me llama particularmente la atenci´onuno de los principios orientadores que ex- pone Jes´us Hernando, el principio anfibi´otico,que significa moverse en dos ´ambitos cualitativamente diferentes; por ejemplo, para trabajar en educaci´onmatem´atica se debe ser educador, matem´aticoy, por supuesto educador-matem´atico;para ser

vi Presentaci´on

historiador de las matem´aticasse debe ser historiador, matem´aticoe historiador- matem´atico;la anfibiosis implica entre otras cosas el reconocimiento de la autori- dad acad´emica de quienes solo se mueven en uno de los dos ambientes y lo hacen magistralmente, este principio resolver´ıa muy bien lo que el autor plantea cuando dice:

En Colombia existen avances significativos pero a su vez dudas sobre los trabajos orientados al estudio del funcionamiento del mundo acad´emico de las matem´aticas.

El d´ıa que comencemos a despojarnos de la desconfianza y del desconocimiento del otro, a aceptar ser evaluados sin descalificar al evaluador, habremos dado un salto cualitativamente grande. Aplicar el principio anfibi´oticoy los otros principios que se sugieren en este libro ser´ıaun buen comienzo para seguir el camino correcto para construir una historia de la matem´aticaacorde con el contexto internacional.

Reinaldo N´u˜nez Director de la Escuela de Matem´aticas Universidad Sergio Arboleda Bogot´a,junio de 2007.

vii Prefacio

El presente trabajo ha sido elaborado paralelamente al desarrollo de varios cur- sos relacionados con el tema, durante diferentes semestres, en la carrera de Filosof´ıa de la Universidad Nacional y m´asrecientemente, en la carrera de Matem´aticasde la Universidad Sergio Arboleda, y forma parte del proyecto de investigaci´onEl Semic´ırculo de la Universidad Sergio Arboleda, en el cual venimos trabajando desde hace ya cuatro a˜nos. En cada una de las versiones del curso el prop´osito fundamental ha sido mostrar a los estudiantes c´omose realiza el trabajo investiga- tivo, tomando como caso el de esta interesante disciplina. De manera simult´anea, se han venido formulando y explicitando varios principios orientadores y orga- nizadores que ayudan a comprender mejor el sentido de los estudios hist´oricos, particularmente en el caso de las matem´aticas. La investigaci´onen la historia de las matem´aticasen Colombia ha venido au- mentando, poco a poco, en calidad y en cantidad. Existen centros muy activos en la Universidad del Valle y la Universidad Nacional, Sede Bogot´arespectivamente; hay tambi´en un grupo en la Universidad de Antioquia. La realizaci´onde varios eventos acad´emicos, en Cali y en Bogot´a,refleja el creciente inter´espor los temas propios de esta actividad intelectual. Nos interesa ayudar a mejorar las condiciones para el desarrollo de esta disci- plina, apoyando el proceso de motivacion de algunos de los estudiantes de pregrado para que enrumben sus motivaciones investigativas tomando como objeto de estu- dio la evoluci´onde la comunidad matem´aticaa nivel mundial y muy particular- mente en nuestro pa´ıs, abordando todos los aspectos de la comunidad matem´atica, entre ellos la matem´aticaelemental, que es uno de los temas de investigaci´ondel Proyecto Semic´ırculo. Infortunadamente existen todav´ıa, sobre todo en Colombia, algunas dudas acer-

viii Prefacio

ca de los estudios metamatem´aticos;es decir, aquellos estudios que dirigen sus indagaciones hacia el funcionamiento del mundo acad´emico de las matem´aticas. Hay dos grandes tipos de vacilaciones: las de quienes consideran como ´unicaactivi- dad leg´ıtimaen la comunidad matem´aticala de formular y demostrar teoremas, y los que piensan que la historia de la matem´atica-o cualquier otra disciplina metamatem´atica-puede hacerse sin tener un buen conocimiento del mundo de las matem´aticas.Para algunos, los estudios hist´oricossobre las matem´aticasson de segunda o tercera categor´ıapues, de hecho, ocurre que se practica la historia a ma- nera de colecci´onde “chismes”, sin ning´unfundamento en informaci´onprimaria, desconociendo la propia matem´aticay muy especialmente sin ning´unfundamento te´orico.La mejor forma de superar esta tensi´onconsiste en practicar con bue- na calidad la metamatem´aticay aumentar el n´umero de investigaciones en estos temas. Con este trabajo esperamos contribuir al fortalecimiento de los estudios hist´ori- cos sobre la comunidad acad´emica en matem´aticas,en particular en las universi- dades colombianas, y ojal´aincluyendo el tema de las matem´aticaselementales.

ix

CAP´ITULO 1

Principios orientadores para la fundamentaci´onde la historia de la matem´aticas

Como toda disciplina acad´emica, la historia de la matem´aticase desarrolla siguiendo las orientaciones de una o m´asteor´ıas.En este primer cap´ıtulo formu- laremos algunos de los principios m´asgenerales, aplicables a todo tipo de inves- tigaci´onhist´oricay en particular a la historia de la ciencia y de las matem´aticas, los cuales se constituyen en los primeros “axiomas” de las teor´ıasque utilizare- mos. Cada uno de estos principios admite diferentes formulaciones que resaltan o enfatizan alg´unaspecto sin eliminar o hacer desaparecer otros que tambi´enson fundamentales o importantes. Para una presentaci´onm´ascompleta, cada principio estar´aacompa˜nado de comentarios. 1.1. (P1) Principio de Durkheim o de la divisi´onsocial trabajo

(P1) En toda organizaci´on existen dos tipos de entidades: las partes, componentes o miembros de la organizaci´ony las fun- ciones, roles o actividades de la misma. Cada parte de una organizaci´ondesempe˜na como m´ınimo una de las funciones que constituyen, o que necesita la men- cionada organizaci´on.

1 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

Existen tipolog´ıas de organizaciones; de hecho, muchas organizaciones forman parte de una organizaci´onmayor. La primera tipolog´ıa tiene que ver con la par- ticipaci´onefectiva de seres humanos o la ausencia de este tipo de intervenci´on.El sistema solar, por ejemplo, es el paradigma de una organizaci´onen la cual, al menos hasta la fecha, para su funcionamiento la presencia de los seres humanos no tiene ninguna importancia. La peculiaridad de las organizaciones humanas, es decir, de organizaciones donde la presencia de hombres o mujeres es determinante, radica en la posibilidad de desempe˜nar los roles “inteligentemente”, “intencionalmente y en forma conveniente”. En un autom´ovil,la funci´onde una llanta es autom´atica; la del conductor, por el contrario, debe ser ejecutada con inteligencia y as´ıpuede ser realizada por un ser humano. Esto implica que los seres humanos pertenecen o no a una organizaci´on“intencionalmente”, es decir, al menos en teor´ıao como posibilidad l´ogica,pueden escoger pertenecer o no a una determinada estructura de partes y funciones. Una llanta no escoge el autom´ovilen el cual “quiere” funcionar; un ser humano, en cambio, selecciona su autom´ovil.Naturalmente, tal derecho es realizable o no dependiendo de otros factores, algunos de los cuales escapan al con- trol de los interesados; pongamos por caso, el nivel socioecon´omicode una persona puede llegar a convertirse en un factor determinante, positivo o negativo, para su permanencia o entrada en cierta organizaci´on. El principio de Durkheim debe entenderse positiva y negativamente. Si un componente realiza una o m´asfunciones debe abandonar otras, de lo contrario su rendimiento no se ajustar´ıaadecuadamente a los requerimientos de la organizaci´on. El famoso dicho “Zapatero a tus zapatos” ayuda a entender el aspecto negativo o prohibitivo del principio de Durkheim; significa que la eficiencia de un zapatero est´adirectamente relacionada con la concentraci´ony la dedicaci´onen su oficio y, por lo tanto, con el abandono de o la renuncia a otros roles. Un zapatero que realiza su trabajo con calidad no act´ua como m´edico,no debe hacerlo; las llantas de un autom´ovilno funcionan como su motor. “No te metas en lo que no te importa” no es un mero insulto, es otra versi´ondel principio de Durkheim; si eres un buen matem´aticono tienes tiempo para desempe˜nar bien la funci´onde qu´ımico o de metamatem´atico.Cada oficio, rol o funci´onrequiere dedicaci´ony concentraci´on. Para nuestro caso, si eres un buen historiador de la matem´atica,tus investigaciones no te dar´antiempo para demostrar teoremas. Este aspecto negativo no excluye la posibilidad de ejecutar varios oficios si- mult´aneamente o uno a continuaci´onde otro; se puede actuar como abogado y al mismo tiempo como pol´ıtico, como matem´aticoprimero y despu´es como histo- riador de las matem´aticas;sin embargo, cada rol debe desempe˜narse con honesti- dad. Incluso, con la amplia difusi´onde la informaci´on,aunque resulta muy dif´ıcil mantenerse al d´ıa en el conocimiento exigido por un determinado rol, tambi´en es posible acceder a diferentes fuentes para estar medianamente informado sobre cualquier tema. Sin embargo es necesario manejar seriamente tal informaci´on.Esto nos conduce al siguiente principio.

2 Principios orientadores

1.2. (P2) Principio Etico´ y Legal o de las tensiones entre permitido versus prohibido y conveniente versus inconveniente

Para el caso de las organizaciones humanas, existen roles prohibidos y roles inconvenientes. Matar a seres humanos no parece ser un oficio aceptable para un hombre o para una mujer -sea este o esta ni˜noo ni˜na,adolescente o adulto o adulta-. Incluso en ´epocas de guerra el asesinato genera nuevos asesinatos y esta bola de nieve puede conducir a la destrucci´ontotal. En forma completamente an´aloga,un elefante no forma parte de ning´un autom´ovil,esto ser´ıaun sinsentido, pero, adem´as,algo extraordinariamente ineficiente. En definitiva, no todo tipo de actividad es permitida o realizable en una organizaci´onhumana o de otro tipo; en ´ultimas,las constituciones pol´ıticasde una naci´ono pa´ıs o los reglamentos de una organizaci´onregulan los roles permitidos y ayudan a controlar todas aquellas actividades que obstruyen o perjudican el funcionamiento general de la sociedad espec´ıfica o de la organizaci´onen cuesti´on.Las organizaciones puramente f´ısico- qu´ımicasse regulan por las llamadas “leyes naturales”; as´ı,la Ley de la gravitaci´on universal es una de las leyes que controlan los sistemas astron´omicos. Aunque no todas las profesiones est´anreguladas mediante reglamentos, muchas de ellas, como la medicina o la abogac´ıa, se delimitan mediante leyes estipuladas por el Congreso o el Parlamento, dependiendo del pa´ıs, el Estado o la naci´on;es lo que en nuestro pa´ısse llama “matr´ıculaprofesional”. Sin embargo, la regulaci´onm´asimportante radica en la madurez ´eticade los individuos y, por supuesto, de las oportunidades reales que se le ofrezcan. En general todos los individuos est´andispuestos a comprometerse con roles legales y convenientes, pero la sociedad no siempre les ofrece una posibilidad real para desempe˜narlos, y as´ıalgunos se ven obligados a realizar actividades que los con- vierten en delincuentes o a ejecutar roles que no son de su agrado. Este es uno de los ´ambitos en los cuales se requieren serios compromisos de los gobiernos. Todo ello nos conduce a interpretar el principio ´eticoy legal en la siguiente forma: (P2) Cada ser humano tiene el derecho de desempe˜naralg´unrol ´eticay legalmente permitido, que sea adecuado a sus intere- ses, y quienes ya ejecutan actividades legales y convenientes tienen la obligaci´onde promover lo que hacen, hacerlo ade- cuadamente y contribuir a que otras personas puedan acceder al tipo de trabajo que realizan y puedan as´ı eludir aquellos roles prohibidos o inconvenientes. En esta forma, el principio ´eticoy legal es un refinamiento del principio de Durkheim para el caso de las organizaciones humanas. La inteligencia propia y espec´ıfica de

3 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

la especie humana a˜nade a las organizaciones en las cuales intervienen hombres y mujeres este aspecto de derechos y deberes. Volviendo al caso de la analog´ıacon los autom´ovileso con el sistema solar, no tienen ning´unsentido expresiones del estilo “los derechos y deberes de una llanta en un autom´ovil”o “los derechos y deberes de la luna en el sistema solar”. El principio ´eticoy legal compromete al conjunto de la sociedad, pues entre todos debemos garantizar que cada ciudadano desempe˜ne un rol u oficio legal y conveniente, y entre ellos est´anlos oficios acad´emicos. En este sentido, apoyar la investigaci´onquiere decir, adem´as,procurar aumentar el n´umerode puestos de trabajo. Claramente, la intervenci´ongubernamental en este aspecto es definitiva. Dentro de este principio caben tambi´enconsideraciones sobre otros valores, como el caso de los valores est´eticos.Podr´ıa pensarse en llamar este principio “axiol´ogico”pues la eficiencia depende de la ´etica,pero tambi´ende la est´etica; realizar bien una actividad implica hacerlo con calidad, pero tambi´encon estilo, con elegancia o, como dec´ıa Alvaro´ G´omezHurtado con talante. La matem´atica,la metamatem´aticay en particular la historia de la matem´a- tica son oficios legales y convenientes, y es imperioso difundirlos, desarrollarlos y fortalecerlos; por lo tanto, la sociedad y los gobiernos deben realizar esfuerzos para promocionar y apoyar los oficios acad´emicos como la historia de la matem´aticay la matem´atica.

1.3. (P3) Principio acad´emicoo de la dial´ecticaimaginarios versus teor´ıas

Aunque las organizaciones acad´emicas no son indispensables -existen grupos humanos que logran niveles de vida aceptables sin la presencia de esta modalidad organizativa, como es el caso de algunas comunidades abor´ıgenes-desde su apari- ci´onse han constituido en sistemas que no solo brindan oportunidades de trabajo, sino tambi´en como organizaciones que contribuyen a mejorar el desempe˜no de otras funciones. El trabajo acad´emico es, entonces, legal y conveniente y as´ı todo mundo tiene derecho a participar de las actividades que conforman esta modalidad de vida. Quienes nos desempe˜namos como acad´emicos tenemos la obligaci´onde facilitar y propiciar la llegada de otros a este particular modo de existencia, y los gobiernos tienen la obligaci´onde invertir recursos suficientes en estas modalidades de trabajo. El fundamento de cualquier actividad acad´emica es la investigaci´on;alrededor de ella gravitan otras funciones, como la docencia, la asesor´ıa especializada, la creaci´ony la administraci´onde multitud de suborganizaciones para ayudar al fortalecimiento y desarrollo de la funci´onprincipal: contribuir a la formaci´onde otros investigadores, resolver problemas, etc. La ´eticaacad´emica se fundamenta, entonces, en el siguiente principio, al cual llamaremos “principio acad´emico”:

4 Principios orientadores

(P3) La funci´onprincipal de toda organizaci´onacad´emicaes la investigaci´on,o en todo caso el apoyo a la investigaci´on. Al igual que otras palabras utilizadas en este escrito, como ser´ıael caso de las tres m´asfundamentales -organizaci´on,partes, funciones-,tomaremos la palabra in- vestigaci´on como otra de las ideas indefinidas de la teor´ıaque estamos trabajando. Teor´ıa es otra de estas palabras e interviene nuevamente en este punto, pues el primer comentario acerca de la investigaci´ones que esta se realiza teniendo como gu´ıa una o varias teor´ıas;tal y como pretendemos hacerlo en este escrito. Las teor´ıasson modalidades representativas cualitativamente distintas de los imaginarios y de los mitos y las religiones y c´omoestas ´ultimasayudan a organizar las actitudes y las acciones. Estas tres modalidades de representaci´onforman una trilog´ıacuyas relaciones determinan el funcionamiento de todas las organizaciones humanas. Otra de las cualidades fundamentales de la especie Homo sapiens es que todos utilizamos im´agenesmentales, las cuales pueden ser manejadas sin ning´untipo de restricci´ono regulaci´on,o pueden ser manejadas siguiendo reglas o rituales muy rigurosos, como sucede con las teor´ıasy con los mitos y las religiones. En los imaginarios las ´unicasreglas que se siguen tienen que ver con el lenguaje y la comunicaci´on;en las teor´ıas,adem´asde estas existen otras, principalmente las que est´anasociadas a las interacciones entre pares. En la trilog´ıa

Imaginarios7? \Ad vvv AAA vvvv AAAA vvvv AA vvv AAAA vv AA vv AAAA vvvv AAA vvvv AAA vvvv AAA wvvv A$ Mitos y religiones ks +Teor´ıas,3 los imaginarios son las narraciones completamente libres y espont´aneas;son las estructuras de conceptos y oraciones construidas utilizando esa facultad de combi- nar im´agenesmentales sin ninguna restricci´on.Un rumor, por ejemplo, circula de persona a persona y cambia en la versi´onde quien lo cuenta dependiendo del mo- mento y del lugar; seg´unlos intereses del narrador se transforma, tiene elementos invariantes pero, la forma de comunicarlo es un verdadero ejercicio del uso libre de la imaginaci´on.De hecho, toda informaci´onpuede ser comunicada de manera completamente original con cada intervenci´onde un comunicador, incluyendo las teor´ıasque pueden convertirse en simples imaginarios. En los mitos, religiones y teor´ıas, aunque se utiliza muy fuertemente la ima- ginaci´on,existe el control entre pares. Esta importante palabra, cuyo uso social corresponde al de la expresi´onutilizada en Inglaterra: “los pares del reino”, se em- plea en algunas teor´ıassociol´ogicaspara nombrar a las personas que desempe˜nan un mismo rol; por ejemplo los zapateros son “pares” unos respecto de los otros.

5 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

Esto implica que entre pares las relaciones son de un tipo especial, algo as´ıcomo “entre pares se comprenden mejor”; los mitos y religiones, pongamos por caso, son controlados por los mamas o sacerdotes. En el ´ambito acad´emico la expresi´on correspondiente, la m´asutilizada, es pares acad´emicos. Son los pares acad´emicos los encargados de controlar o manejar las teor´ıasa trav´es de diferentes m´etodos, el m´asimportante de los cuales es la cr´ıticay la evaluaci´on. En el mundo de los imaginarios, como ya se dijo, no hay ning´uncontrol di- ferente del puramente ling¨u´ıstico.Es el mundo de la libertad total. Incluso las teor´ıasy los mitos pueden ser utilizados por una persona o un grupo de personas como un mero imaginario. Esto resulta ser bien importante porque es algo com- pletamente natural. Varios ejemplos servir´anpara ilustrar estos aspectos. El uso libre de la imaginaci´onproduce satisfacci´on.Por ejemplo cada vez que se realiza el campeonato mundial de f´utbol todo el mundo se vuelve “experto” en los temas relacionados con el mismo, y cada persona opina como si fuese un estudioso de este deporte; se hacen apuestas y se apoya a los equipos favoritos esgrimiendo todo tipo de argumentos. Como suelen decir los comentaristas deportivos, cada ciudadano se convierte en una especie de entrenador. Si esto no fuera as´ı,no habr´ıacomu- nicaci´onen la ´epoca del mundial, tampoco habr´ıadiversi´on.Este ejemplo ilustra otros puntos importantes; uno es el papel que desempe˜nan los medios de comuni- caci´onen los procesos de formaci´ony de circulaci´onde imaginarios; las personas afinan sus creencias y sus actitudes gracias a la informaci´onque reciben de la radio, la televisi´on,el cine, la prensa, internet, etc. Los comentaristas deportivos, algunos de ellos verdaderos expertos y estudiosos, con sus apreciaciones ayudan a que cada persona imagine cosas y organice actitudes sobre, por ejemplo, los equipos de f´utbol, sobre los jugadores, sobre los entrenadores, etc. Los hinchas de un equipo, los fan´aticosespecialmente, no aceptan cr´ıticasacerca de sus creencias en relaci´oncon su particular afici´on,se parcializan y en muchas ocasiones tratan de imponerse utilizando m´etodos violentos, los imaginarios los dominan. Cuando un acad´emico se fanatiza; es decir, se vuelve fundamentalista con una teor´ıa,convierte sus creencias en meros imaginarios. Los imaginarios son ineludi- bles, pues aparecen espont´aneamente. Seg´un el fisi´ologocerebral Francisco Rubia [RF], la funci´onprincipal de un cerebro es el bienestar general del organismo al cual pertenece; los m´asdesarrollados, los de los humanos, “conocen”; pero este conocer est´asupeditado al “bienestar”, es decir, se conoce para estar mejor. As´ı,si el bienestar est´apor encima del conocer, entonces los imaginarios no solamente “priman”, sino que adem´asgeneran tranquilidad m´asr´apidamente. Los mitos, las religiones y las teor´ıasexigen mayor elaboraci´ony, por lo tanto, las satis- facciones que producen no son inmediatas; incluso, en raz´ona la exigencia inicial para su aprendizaje, algunas personas las rechazan y las convierten en imaginarios. En el ´ambito de la salud y de la enfermedad, la multitud de imaginarios que circulan entre las personas es paradigm´atica,es frecuente que algunas personas se crean m´edicos o curanderos, recetan a sus familiares y amigos, incluso a ellos mismos. Es verdad que existen tradiciones muy bien fundamentadas, como ser´ıael

6 Principios orientadores

caso de aquellas que utilizan algunas comunidades ind´ıgenas;pero que una “yerba” haya funcionado en uno o dos casos no significa que sirva en todas las situaciones similares. Hay saberes populares, no hay la menor duda; pero una cosa es un saber tradicional y bien establecido y otra cosa muy distinta el imaginario de una persona acerca del efecto de una p´ocimao de un medicamento. No existe un oficio para construir imaginarios ni para difundirlos, cualquier persona tiene la posibilidad real de construir un imaginario o de difundir alguno ya existente; es una actividad legal; existen muchos mecanismos de difusi´on;por ejemplo, los rumores, los chismes, las canciones, las tertulias, los cuentos, las his- torietas, las leyendas, los comentarios en los medios de comunicaci´on,etc. Para realizar esta labor no hay necesidad de estudiar, no hay oficios, ni roles, ni pro- fesiones dedicadas espec´ıficamente a la difusi´onde los imaginarios. Los artistas, los periodistas, los pol´ıticos, entre otros difunden y construyen imaginarios, pero esa no es su labor fundamental; se les remunera, respectivamente, por la “belleza” que crean o por la “noticia” que construyen o por las “propuestas pol´ıticas”que elaboran. Todo esto est´arelacionado con el principio de Durkheim y el principio ´eticoy legal: si se practican varios oficios con la dedicaci´onque estos requieren, todo lo que puede tenerse sobre los dem´asoficios no son sino puros imaginarios y as´ıcualquier opini´onsobre ellos no es otra cosa que la expresi´onde una creencia, la cual por lo general no est´abien fundamentada. Como lo se˜nal´omuy bien Plat´on, hay dos grandes clases de creencias, las dox´asticaso espont´aneasy las epist´emicas o fundamentadas en hechos, datos, teor´ıas,o en mitos y religiones. La opini´onfundamentada en teor´ıases, a su vez, cualitativamente distinta a la que se desprende de un mito o de una religi´on.En estas ´ultimasintervienen dioses o esp´ıritusque gozan de facultades como la infalibilidad, la omnipotencia, la inmortalidad, etc. Algunas religiones buscan cierto tipo de fundamentaci´onen teor´ıas,pero sus dioses y sus esp´ırituspermanecen como la explicaci´on´ultimade todas las cosas y de todos los fen´omenos. Existen organizaciones acad´emicas de diferente naturaleza. Una primera taxo- nom´ıase desprende de las disciplinas; hace 2.800 a˜nosexist´ıauna ´unicadisciplina acad´emica, hoy d´ıa se han creado multitud de ellas y con el tiempo surgir´anotras m´as.La historia fue una de las primeras en independizarse de la filosof´ıa;despu´es, apareci´ola historia de la ciencia y en particular la historia de la matem´atica. Esta gran diversidad depende de las necesidades que van surgiendo entre los seres humanos y en sus organizaciones; pero tal diversidad no convierte en extra˜nas las actividades acad´emicas, todas comparten caracter´ısticasb´asicas;son a la vez distintas e id´enticas. Por el objeto de estudio se separan, pero se identifican porque comparten algunos m´etodos comunes. La mayor identidad proviene de la dualidad:

Investigaci´on+ Teor´ıa.

Otra caracter´ıstica, ya mencionada, es que el trabajo investigativo est´afuerte- mente regulado. Thomas Kuhn fue uno de los primeros en se˜nalarvarias de las caracter´ısticas b´asicasdel mundo acad´emico, explicitando algunas de estas

7 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

regulaciones. Vale la pena se˜nalaralgunas de ellas: la interacci´onprincipal entre pares acad´emicos es mediante documentos escritos en papel o en otros medios, como ser´ıael caso de los CD o de internet. Estos documentos se difunden ampli- amente para informar, pero muy especialmente para que los pares los critiquen. Cuando un imaginario se difunde, nadie lo critica; al contrario, cada quien se lo apropia y le imprime su propia interpretaci´oncompletamente libre; la publicaci´on de este escrito, pongamos por caso, generar´areacciones entre los historiadores, las cuales espero ayuden a mejorarlo. Otra caracter´ıstica com´un a las organizaciones acad´emicas es la siguiente: Para vincular una persona a un grupo de investigaci´onse sigue generalmente un procedimiento, que en el tiempo es un poco largo y muy exigente: primero debe realizar una carrera universitaria de pregrado y luego una de posgrado a nivel doctoral; despu´eshay que convencer a uno de los l´ıderes de investigaci´on para continuar trabajando al lado suyo o de otro experto ya reconocido, y luego se adquiere independencia creando su propio grupo de investigaci´on. Una de las caracter´ısticasb´asicasdel trabajo acad´emico es que ayuda a formar y fortalecer los valores ´eticosy est´eticos,algunos de los cuales son muy espec´ıficos. Tal es el caso de la evaluaci´on.Evaluar y ser evaluado requiere, tambi´en, un apren- dizaje que exige mucho tiempo y muy especialmente mucha madurez; es un valor fundamental pero nada f´acilde adquirir. La actividad de evaluar y ser evaluado refleja muy bien la madurez ´eticade los acad´emicos; sin embargo, esto no quiere decir que todos los acad´emicos practiquen los valores acad´emicos. La reacci´onm´as com´un frente a una evaluaci´ones la rabia; pero esto es educable.

1.4 (P4) Principio de historicidad

(P4) Todas Las organizaciones se transforman. Algunas de estas transformaciones ocurren utilizando la violencia f´ısica. Aunque pueda parecer imposible, ser´ıadeseable que las transformaciones se llevaran a cabo sin ning´un tipo de violencia f´ısica y sin derramamiento de sangre. Esto nos conduce a la necesidad de los estudios hist´oricos,pues resulta im- perativo comprender c´omose producen estos cambios para as´ı,en el caso en el cual sean completamente inevitables, propiciarlos y apoyarlos procurando que se desarrollen “pac´ıficamente”. Si aceptamos la idea de la inevitabilidad de la violencia, deber´ıamos proce- der, como lo aconseja Antanas Mockus, a transformar todo tipo de violencia en “violencia simb´olica”,es decir, en aquella que se desprende de la argumentaci´ony del uso de teor´ıas,en la violencia propia de los acad´emicos. Llegamos, entonces, al reto principal de los estudios hist´oricosy, en general, de los estudios human´ısticos. ¿Es posible convertir todo tipo de violencia en violencia simb´olica?Solo pro- fundizando en el estudio de las grandes transformaciones podr´ıamos,alg´und´ıa,

8 Principios orientadores

explicitar las metodolog´ıaspara “pacificar” los cambios en las organizaciones hu- manas y por qu´e no, en las organizaciones f´ısico-qu´ımicas. E. Bloch, uno de los m´asgrandes humanistas del siglo XX, acu˜n´oun profundo principio que llam´o el principio esperanza, en el convencimiento de que la hu- manidad lo lograr´ıaalg´un d´ıa,ese d´ıapodr´ıaeliminarse toda guerra y todo tipo de confrontaci´onf´ısica. La violencia simb´olicaes otra de las caracter´ısticas del mundo acad´emico; all´ıse aniquila al otro, al par, mediante, argumentos; mostr´andolehechos, datos, ejem- plos, etc. Y muy especialmente, desarrollando las teor´ıasque se comparten o cons- truyendo una nueva teor´ıa con mayor poder explicativo. Este es el motivo que justifica la introducci´onde la expresi´on valores acad´emicos. Los valores acad´emi- cos ayudan a transformar la violencia f´ısica en violencia simb´olica. Naturalmente, en el mundo acad´emico existe tambi´en violencia indeseable, aquella que se desprende del uso irresponsable del poder o del conocimiento, como en el imaginario de Victor Frankestein; sin embargo, esa no es la regla, todo lo con- trario, entre acad´emicos debe primar la honestidad y por ello el estilo acad´emico es el modelo ideal para resolver contradicciones y enfrentamientos. La apropiaci´on y la pr´acticade valores acad´emicos ayuda a la “pacificaci´on”del ser humano. Aunque la historia no puede resolver sola los grandes interrogantes sobre el pasado, sus aportes resultan fundamentales, pues no es posible pretender la paci- ficaci´ondel mundo sin asimilar las grandes ense˜nanzas del pasado. ¿C´omoprotegernos del regreso de un Hitler? No es f´acilresponder a tama˜nointerrogante. Sin embargo, algunas cosas pueden resultar muy ilustradoras. Por ejemplo, entender que el nazismo se construy´oalrede- dor de imaginarios, como aquel de la “raza superior”, o el del “pueblo elegido”. El libro Mi lucha se escribi´opegando un imaginario despu´esde otro sin ning´un tipo de control acad´emico. Aunque todos los estudios hist´oricosson susceptibles de cr´ıtica,es posible llegar a grandes “acuerdos” o aceptar grandes conclusiones orientadoras, una de las cuales parece ser construir imaginarios “amables”, compatibles al m´aximocon los hechos y con los datos, evitando actuar bajo el dominio de creencias no fundamentadas y muy especialmente utilizando imaginarios que respeten la vida y la naturaleza; por ello, resultan recomendables los mitos, las religiones y las teor´ıas y es un compromiso ´eticodifundirlos. De cualquier manera, la historia ilumina y los historiadores se han ganado un lugar en el engranaje social; la historia es, entonces, un oficio legal y conveniente, un trabajo ´util;es posible ganarse la vida dedic´andosea la investigaci´onhist´orica; necesitamos la sabidur´ıade estos trabajadores para entender c´omoalentamos y propiciamos las transformaciones sin necesidad de la aniquilaci´onf´ısicadel otro y de la naturaleza. Para esto ´ultimose requiere mucho m´as;pero sin la historia, como dice el dicho, estamos condenados a repetirnos, a permanecer en un callej´on sin salida. Qu´e bueno conocer en detalle los grandes cambios en el mundo acad´emico de

9 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

las matem´aticas,pues as´ıentenderemos en profundidad el car´acterhist´oricode las teor´ıasmatem´aticasy del conocimiento matem´aticoy, en consecuencia, c´omose producen las grandes transformaciones. Un comentario importante sobre las teor´ıases el siguiente: guiarse por una o m´asteor´ıasno significa alejarse de la realidad, de la pr´actica;todo lo contrario, las teor´ıasson las mejores gu´ıas para la acci´on.

1.5. (P5) Principio de Chomsky o de la tensi´onentre finito e infinito

¿Cu´ales el origen de la violencia entre seres humanos? La violencia en el ´ambito de las organizaciones f´ısico-qu´ımicastal vez no amerite tal apelativo pues all´ıparece ser completamente natural. Las reacciones termonucleares en el Sol son extremadamente violentas; pero, por eso este astro es una estrella en evoluci´on; ¿sucede lo mismo con los seres humanos y con las organizaciones de los hombres y las mujeres? tal vez, pero, como lo sugieren Bloch y Mockus, no debemos perder la esperanza, debemos ser proactivos y hacer todos los esfuerzos para eliminar cualquier tipo de enfrentamiento f´ısico. Empecemos por buscar en lo m´asprofundo de la naturaleza humana los fundamentos de esta tendencia fratricida. Naturalmente, existen muy buenas teor´ıasque nos llevan directo a las fuentes; sin embargo, todas ellas, de una manera u otra, conducen a los mismos princi- pios, como los que hemos venido se˜nalando. Estos principios pertenecen a ´ambitos acad´emicos muy diferentes; hay razones socio-econ´omicas,sociol´ogicas,antropol´ogi- cas, etc. Las que m´asnos interesan aqu´ı son aquellas razones que podr´ıamosllamar de ´ındolepuramente l´ogica,algo as´ıcomo buscar los fundamentos del principio de Durkheim tal y como lo hemos formulado al inicio de este cap´ıtulo. De la pura descripci´onde lo que estamos llamando organizaci´onse desprende la existencia de tensiones entre sus partes y sus funciones; dos partes de una organizaci´on,aunque desempe˜nen una misma funci´on,no la hacen de manera id´entica, y si las fun- ciones son diferentes con mayor raz´on.Existen entonces tensiones completamente naturales, las m´asfundamentales pueden ser resumidas en la siguiente trilog´ıade dualidades:

Partes versus Funciones Partes versus Partes Funciones versus Funciones.

Como muy bien lo se˜nalaronlos pitag´oricos,el ser es a la vez uno y m´ultiple, y como lo dec´ıan los chinos, uno se divide en dos. De hecho esta es la raz´onde por qu´elas organizaciones se transforman; sus tensiones “naturales” o propias acumulan suficiente “energ´ıa potencial”, que puede y a veces debe, convertirse en “energ´ıa cin´etica”. En una estrella, la tensi´onentre la energ´ıagravitacional y la energ´ıaat´omica

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debe mantenerse “organizada”, pero puede llegar a colapsar si su masa es suficien- temente grande. Aparece aqu´ıuna vez m´asla ´unicaraz´onque justifica la existencia de los seres humanos: poseen inteligencia y podr´ıanalg´und´ıacontrolar estos procesos estelares y de pronto impedir que la violencia propia de un astro como el sol se transforme en un colapso estelar. Estamos todav´ıamuy pero muy lejos de eso; ni siquiera hemos logrado el con- trol de los cambios violentos que se producen en nuestro planeta. Todav´ıa peor, no hemos logrado siquiera que las transformaciones en las organizaciones humanas se lleven a cabo pac´ıficamente. De nuevo el principio acad´emico: solo hemos avanza- do en el ´ambito de las organizaciones acad´emicas, no mucho pero s´ısignificativa- mente. Todav´ıa, promover una transformaci´onen una universidad o en cualquier otra organizaci´oneducativa resulta dispendioso y a veces terriblemente costoso y doloroso. Entre los aportes del historiador Thomas Kuhn, uno ha sido justamente el de permitirnos entender c´omose producen las “revoluciones acad´emicas”, es decir, los grandes cambios en el mundo de las organizaciones acad´emicas. Una palabra muy dif´ıcil de manejar pero bastante ´util,acu˜nada por Kuhn, es la de paradigma, refiri´endosecon ella a todas aquellas regulaciones propias de las co- munidades acad´emicas y que mantienen a estas en funcionamiento normal; por ejemplo, las teor´ıas compartidas y aceptadas por todos los acad´emicos de una determinada comunidad acad´emica. Estas regulaciones, absolutamente necesarias, pueden llegar a convertirse en verdaderos obst´aculospara el avance y desarrollo de la investigaci´on.¿Por qu´e? Una vez m´aspodemos recurrir a explicaciones socioecon´omicas,antropol´ogicas, sicol´ogicas,etc., y todas ellas ayudan a entender; sin embargo, nos interesan m´as, como ya lo mencionamos, las de car´acterpuramente l´ogico.Por eso recurrimos a los aportes de otro de los grandes pensadores de los siglos XX y XXI, el profesor Noam Chomsky. Este importante acad´emico, especialista en ling¨u´ıstica,teor´ıadel conocimiento ypol´ıtica internacional, ha construido un edificio conceptual imposible de presentar en este escrito. Nos limitamos a lo que ´elcalifica como los problemas fundamentales de sus investigaciones epistemol´ogicas: El problema de Plat´ony el problema de Orwell. El primero se comprime en la siguiente pregunta: ¿C´omoes posible que los seres humanos alcancen tanta sabidur´ıaa partir de tan pocas evidencias? Dualmente, el problema de Orwell es: ¿C´omoes posible que los seres humanos se mantengan en la ignorancia en medio de tantas evidencias? Para la desgracia de la humanidad, estos problemas no han sido suficientemente difundidos, y mucho menos las respuestas que Chomsky ha propuesto. En primer lugar, ¿por qu´elos nombres? Plat´ones suficientemente conocido por su teor´ıade las ideas, es decir, seg´un el fil´osofogriego, la teor´ıade los entes que verdaderamente son. La palabra idea se maneja en el lenguaje com´unrefiri´endose

11 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

a im´agenesmentales, como cuando alguien dice “Tengo una excelente idea”. En el mundo plat´onicolas ideas son algo completamente diferente, son los entes que conforman el mundo real; as´ı,la idea asociada a la palabra casa no es la imagen mental que se forma en el cerebro de una persona, es la casa verdadera, es decir, aquella entidad perfecta que comprime todas las cualidades esenciales de todas las casas y tal cosa no est´aen la mente de ninguna persona. Existen las casas f´ısicamente, pero ninguna de ellas es la casa, esta ´ultima,aunque real, es inma- terial, las primeras son copias imperfectas de la segunda. Independientemente de si aceptamos o no esta teor´ıa,una cosa es bastante clara: todo ser humano alcan- za una gran sabidur´ıade lo que son las casas a partir de la experiencia concreta con una cantidad finita de casas; de hecho ning´un ser humano tiene la posibilidad real de tener y vivir experiencias con todas y cada una de las casas f´ısicasque existen o han existido; sin embargo, quien tiene ya la sabidur´ıasobre las casas reconoce sin dificultad una cualquiera de ellas. ¿C´omoes esto posible? Plat´on responde sin dificultad: el alma de cada ser humano es parte del mundo de las ideas y all´ı interacciona con la casa, y entonces conoce de un solo golpe todas las casas. Esta respuesta no es satisfactoria para Chomsky porque simult´aneamente ocurre la situaci´onorwelliana: esta sabidur´ıasobre las casas bloquea el cerebro de las personas y, en consecuencia, dicha persona se niega a reconocer otro tipo de viviendas como casas; por ejemplo, una maloca no ser´ıauna casa. George Orwell fue un eminente pol´ıtico y soci´ologoingl´es, autor de varias obras, entre ellas una muy famosa titulada 1984, donde describe claramente las vivencias de un rebelde en una sociedad dictatorial y dogm´atica,una sociedad que no est´adispuesta a impulsar de manera intencional ning´untipo de transformaci´on. Chomsky se inspira en esta obra para formular su segundo problema. Estos dos enigmas, el de Plat´ony el de Orwell, los explica Chomsky m´asclara- mente con los lenguajes comunes. Para apropiarse del espa˜nol no se requiere un proceso infinito. Es cierto que todos los d´ıasse aprende algo nuevo sobre el manejo del espa˜nol,pero para el desempe˜node la funci´oncomunicativa la experiencia de una persona hasta los cinco o seis a˜nos de edad es m´asque suficiente; en otras palabras, el proceso de aprendizaje del castellano es finito. Ahora bien, el castella- no como cualquier otro lenguaje com´un es infinitamente eficiente, permite que sus usuarios representen todo tipo de situaciones, en consecuencia, hay simult´anea- mente sabidur´ıae ignorancia, pues la ventaja positiva implica otra negativa: el usuario del castellano no ve la necesidad l´ogicade estudiar otro lenguaje, es “igno- rante” de las otras lenguas, es “dogm´atico”con su propia lengua y esto le produce tranquilidad. Lo mismo ocurre con las teor´ıas, los imaginarios, los mitos y las religiones: tienen fuerza explicativa y lo m´asnatural es dogmatizarse, pues en muchos casos sus “explicaciones” no tienen fin. A Plat´onno le interesaba mucho el aspecto dogm´atico,a Chomsky s´ı,pues tenemos all´ı una de las fuentes de la violencia. Y el asunto es puramente l´ogico;los sistemas regulados tienen dos caras: la

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finita ylainfinita. Seg´un Chomsky, quien dicho sea de paso tambi´enfue un ex- celente matem´aticoelemental y sus aportes a la ling¨u´ısticatambi´en forman parte de la matem´atica,los seres humanos est´aninmersos en sistemas “gramaticales” en los cuales, a partir de una colecci´onfinita de s´ımbolos y de reglas, es posible producir, “generar” o reconocer infinitas construcciones de cadenas de s´ımbolos. Miremos una vez m´asel caso de los lenguajes comunes como el castellano. Hay una colecci´onfinita de fonemas (el alfabeto de cada lenguaje) y una colecci´onfinita de reglas (la gram´atica)para manejar estos fonemas y construir secuencias “bien formadas” que no son otras que las palabras y las oraciones. Y a partir de tal finitud se logra construir una infinitud de oraciones, de hecho es posible construir oraciones tan largas como se quiera mediante diferentes procedimientos. Uno muy sencillo es el siguiente: Dada una oraci´onP, se construye la oraci´on“P es falsa”. Esta ´ultimaes m´as larga que P, pues tiene m´asfonemas; en consecuencia la cantidad de oraciones posibles es infinita, aunque el sistema de s´ımbolos y reglas sea finito. Con esto se responde a los dos problemas de un solo golpe: es decir que a partir de una sistema finito (las pocas evidencias) es posible construir otro infinito (la sabidur´ıa);pero, como el sistema construido es infinito, se puede permanecer dentro de ´elindefinidamente y as´ıvolverse dogm´atico,aunque el usuario no quiera o no se d´e cuenta de ello. El principio chomskyano, entonces, puede formularse as´ı:

(P5) Las actitudes y las acciones de todo ser humano est´anori- entadas por sistemas regulados, muchos de los cuales tienen la estructura de un sistema finito de s´ımbolos y reglas tam- bi´enen n´umerofinito, con las cuales se construyen infinitas actitudes e infinitas posibilidades de acci´on.

Siguiendo la propuesta de Chomsky, cada sistema regulado es una competencia que permite infinidad de actitudes y de actuaciones. La competencia ling¨u´ıstica ser´ıaentonces la estructura constituida por los fonemas junto con la gram´atica, y las actuaciones estar´ıanconstituidas por todas las oraciones gramaticales (bien construidas) del idioma respectivo. Habr´ıa,entonces, infinidad de competencias, una por cada sistema regulado. La competencia b´asicaser´ıaaquella cuyas actua- ciones consisten en la construcci´onde nuevos sistemas regulados. Una teor´ıa,por ejemplo, es un sistema regulado; los imaginarios a pesar de su car´acterincontrolado, y por supuesto los mitos y las religiones, tambi´en lo son. Con cada una de tales creaciones humanas, el usuario es a la vez sabio e ignorante. Todo lo que se ha planteado en este cap´ıtulo se vuelve ahora mucho m´asclaro, yas´ı un fundamental paso hacia la eliminaci´onde la violencia f´ısicaconsiste en entender la realidad y la naturaleza de las regulaciones, en especial porque ellas, por su propia naturaleza, dogmatizan y son excluyentes, aunque al mismo tiempo nos brindan sabidur´ıa.El dogmatismo, como muy bien lo explica Chomsky, no es eliminable; de hecho, si no existieran las regulaciones no ser´ıan posibles las

13 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

organizaciones de ning´untipo; lo que debemos aceptar es que cada regulaci´ones limitada a pesar de que las actuaciones posibles con cada una sean infinitas. Vale la pena rememorar aqu´ılos grandes teoremas de Kurt G¨odel,especialmente el de incompletitud de la aritm´etica: la aritm´eticaes una teor´ıa(un sistema regulado), y como, tal incompleta; es decir, existe una proposici´onen el lenguaje de la aritm´etica tal que ni ella ni su negaci´onpertenecen a la teor´ıa. La regulaci´onidiom´aticasobre los imaginarios no impide que ellos no tengan regulaciones entre pares y que sean completamente libres. Cada regulaci´ondeter- mina cierto tipo de actitudes y de actuaciones, pero no puede abarcar todas las que son posibles y necesarias; se requieren otros sistemas regulados. En realidad, la competencia de construir sistemas regulados es tambi´enregulada, entonces existen infinitos sistemas regulados. El reconocimiento del otro se fundamenta, entonces, en este principio b´asico y si a ´elle a˜nadimosla informaci´onque se desprende de los otros principios, se tendr´auna herramienta b´asicapara vivir en sociedad y en concordancia con la naturaleza. Una forma muy bonita de comprimir lo dicho en esta parte es el aforismo acu˜nado por Heinz von Foerster:

No se puede ver que no se ve lo que no se ve

1.6. (P6) Principio anfibi´oticoo de la tensi´on entre ser y no ser

Los anfibios nos ofrecen una lecci´onmuy ´util:pueden vivir en por lo menos dos ambientes cualitativamente diferentes. Ya hemos se˜nalado la posibilidad de responder por m´asde un oficio; una persona puede pertenecer a m´asde una orga- nizaci´on,puede formar parte de una entidad deportiva y ser profesor en una escuela o colegio, el historiador de la matem´aticaes a la vez historiador, matem´aticoy, por supuesto, historiador-matem´atico;debe desenvolverse adecuadamente en tres mun- dos, el de la historia, el de las matem´aticasy el de la historia de las matem´aticas; es un anfibio, como lo se˜nala Antanas Mockus. Pero, la anfibiosis implica otras cosas fundamentales; por ejemplo, el reconocimiento de la autoridad acad´emica de quienes solo se mueven en uno de los dos ambientes y lo hacen magistralmente. Los seres humanos no podemos eludir la posibilidad de actuar en ambientes desconocidos, la clave est´aen tener conciencia clara de la ignorancia y apoyarse, entonces, en los expertos y, sobre todo, confiar en estos ´ultimos,aunque esto no significa que perdamos nuestro sentido cr´ıticofrente a ellos. Ya hemos visto varios ejemplos; retomemos el de los campeonatos de f´utbol, all´ıest´anlos expertos, los estudiosos del bal´onpi´e-por ejemplo, los entrenadores- pero tambi´en estamos los dem´as,todos los que somos aficionados a estos eventos, o los que seguimos con entusiasmo estas competiciones aunque nunca hayamos

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estudiado nada sobre este deporte o sobre ning´unotro. ¿Podemos, todos los igno- rantes, opinar sobre este deporte?. Por supuesto que s´ı;pero la clave est´aen hacerlo a sabiendas de que actuamos guiados por un imaginario; podemos movernos en dicho ambiente y podemos divertirnos haci´endolo; lo hacemos por pura diversi´on. Y as´ı,nuestras opiniones inexpertas no tienen por qu´eser sabias, son m´asbien chistes. La dificultad empieza si nos creemos duchos cuando solo tenemos ideas vagas. Pero podr´ıamosllegar a convertirnos en expertos; todo lo que hay que ha- cer es estudiar con juicio, sistem´aticamente y haci´endolo al lado de los veteranos, de los que saben. Un ejemplo en las matem´aticaspuede apoyarnos en este punto. En el vol´u- men 45 , n´umero10, de la revista Notices of the American Mathematical Society, aparecieron varios peque˜nos art´ıculosescritos en homenaje a Samuel Eilenberg, quien muri´oen Nueva York el 30 de enero de 1998. Sammy, como lo conoc´ıan sus amigos, fue el creador de varias teor´ıasy m´etodos matem´aticos;entre ellos, junto con Saunders MacLane, el de la teor´ıa de las cate- gor´ıas. Eilenberg fue uno de los m´asgrandes matem´aticosdel siglo XX. Freyd, otro de los constructores del imponente edificio de la teor´ıade categor´ıas, en su art´ıculo de la revista mencionada se limita a se˜nalarotra de las facetas del matem´atico Sammy. Freyd, en uno de sus viajes al Oriente, tuvo la oportunidad de dialogar con un especialista en el arte persa y por alguna raz´onresultaron hablando de Samuel Eilenberg; ambos lo conoc´ıan, pero Freyd se refer´ıaal matem´aticomientras que el maestro iran´ıhablaba de su par, el experto mundial en el arte persa. Sammy era una y la misma persona: uno de los matem´aticosm´asimportantes del siglo XX y uno de los expertos mundiales en esta modalidad de arte, un verdadero anfibio. Y seg´un lo cuenta Freyd, Eilenberg inici´osu incursi´onen el arte persa como hobby y poco a poco se convirti´oen un experto; no as´ıen un especialista. D´ejenme so˜nar:casi todos los grandes matem´aticostienen una segunda gran dedicaci´on,qu´ebueno ser´ıaque se interesaran en apoyar el desarrollo de los menos favorecidos; como Sammy protector del arte persa. Volvamos a la anfibiosis que nos interesa: historia y matem´aticas.La historia de la matem´aticaes el mundo acad´emico que resulta de la interacci´onde estos dos mundos y la relaci´onentre los tres es una aut´entica relaci´onanfibi´otica,o deber´ıa serlo. Seg´un el principio ´eticoy legal, no resulta conveniente aparecer como histo- riador de la matem´aticasi no se conocen satisfactoriamente tanto la historia como la matem´atica,de hecho, seg´unel principio acad´emico, no es posible pretender ser historiador de la matem´aticasi no se est´arealizando investigaci´onen el tema. Una nueva aplicaci´ondel principio anfibi´oticonos permite inferir la posibilidad de ac- tuar como aficionado a la historia de la matem´aticay, en consecuencia, divertirse mucho con ella; incluso, es posible participar como asistente en eventos acad´emicos de los historiadores de la matem´aticay gozar con sus cursillos y conferencias; pero esto no es suficiente para pertenecer verdaderamente al mundo acad´emico de la historia de las matem´aticas.

15 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

Podemos escribir el principio antibi´oticode la siguiente forma:

(P6) Resulta ´utily conveniente desempe˜nar m´asde un oficio pues as´ı se reconoce al otro y se lucha contra el dogmatismo nega- tivo; pero es necesario entender claramente cu´andoeste oficio adicional no es m´asque un pasatiempo. Hay oficios esencial- mente anfibi´oticos.

Otro ejemplo refuerza la idea central de este principio. Albert Einstein practicaba la m´usicacomo violinista y de hecho algunas veces aceptaba participar en concier- tos; pero jam´asapareci´oni pretendi´ofigurar como un virtuoso del viol´ıny aunque al parecer era muy bueno, esta actividad no era m´asque un simple hobby. Y un conocido m´ıo,cuyo nombre no vale la pena mencionar, cuando est´acon matem´aticosaparenta ser fil´osofo,y cuando est´acon fil´osofosaparenta ser mate- m´atico.¡Qu´epillo! Una palabra m´assobre el dogmatismo. Ya mencionamos, como corolario del principio de Chomsky, que el dogmatismo es inevitable y no siempre es inconveniente. Existen dos tipos de dogmatismo, el positivo y el negativo. Por ejemplo, si se adelanta un proceso investigativo, hay que hacerlo usando como gu´ıa una o m´asteor´ıasy entonces mientras se desarrolla la investigaci´onestas teor´ıasdeben tomarse como dogmas. Un investigador en teor´ıade conjuntos debe moverse en el interior de una de las teor´ıascompartidas por los expertos en este campo; de hecho, la tarea ser´ıaresolver uno o m´asproblemas formulados teniendo como marco una de estas teor´ıas,y en consecuencia, deben utilizarse m´etodos y t´ecnicascompatibles con los principios b´asicosque se han adoptado en este ´ambito acad´emico. El dogmatismo negativo, por el contrario, consistir´ıa,como ya se mencion´o,en negar las evidencias que impliquen un cambio en las reglas b´asicasdel dogma que se practica, o negar los resultados que contradigan el dogma. Nuestro curso de historia de las matem´aticasest´aguiado por principios, los que hemos formulado en este cap´ıtulo y otros que aparecer´anm´asadelante; pero si encontramos un buen n´umero de evidencias contrarias, trataremos de modificar nuestras hip´otesis. Apliquemos expl´ıcitamente los anteriores principios al caso de la historia de la matem´atica: Es un oficio legal y conveniente, existe como actividad independiente desde que Pappus dedic´ouna gran parte de sus exploraciones a la interpretaci´onde la obra de Euclides, ilustrando al mundo cient´ıficosobre los m´etodos de los ge´ometras.El prop´ositocentral de esta disciplina tiene que ver con el entendimiento de c´omo ha venido construy´endoseel conocimiento matem´atico,c´omohan trabajado los matem´aticos,c´omose ha construido el mundo acad´emico de las matem´aticas,etc. Es una disciplina acad´emica autorreferida, pues sus investigaciones se orientan tambi´enhacia las transformaciones de este oficio tan particular. Sus principales investigadores han sido y son anfibios, algunos se han guiado o se gu´ıan por una

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teor´ıab´asica;pero todos investigan o han investigado alrededor de este mundo acad´emico tan particular construido a lo largo de los siglos por los matem´aticos, y quieren comprender su evoluci´ony la naturaleza de sus principales transforma- ciones. A lo largo de sus investigaciones, los historiadores de las matem´aticas,al igual que todos los acad´emicos, difunden los resultados de sus indagaciones mediante la elaboraci´ony la publicaci´onde diferentes tipos de documentos y la realizaci´onde diferentes eventos: libros, art´ıculos,CD, disquetes, pel´ıculas, conferencias, congre- sos, etc. La mejor manera de entender c´omotrabaja un historiador de la matem´atica es una sola: actuar como uno de ellos, es decir, vincularse a uno de los grupos de investigaci´onen este campo y trabajar en lo que ellos hacen; es un trabajo al alcance de todos. Con estas notas no pretendemos que el lector se convierta en historiador de la matem´atica,solo buscamos que se forme un imaginario lo m´asamable posible sobre esta maravillosa disciplina y, de pronto, se anime y se vincule a un grupo de investigaci´on. El m´etodo que se ha seguido en este libro es el siguiente: Se escogen algunos textos historiogr´aficos,es decir, elaborados por historia- dores, y se seleccionan algunos historiadores reconocidos: se trata entonces de averiguar cu´alesson sus motivaciones, sus ´exitosy sus m´etodos de trabajo, y cu´alesson las caracter´ısticasde los documentos que publican. Tambi´enaqu´ıexiste una gran diversidad, incluso algunos matem´aticossin ser historiadores profesionales elaboran documentos historiogr´aficos,algunas veces bastante cortos. Por ejemplo: en los llamados festivales para rendirle homenaje a alguien vivo o muerto, uno o varios de sus colegas o pares tienen a su cargo redactar una o m´assemblanzas, las cuales aparecen en las memorias del respectivo encuentro. Pongamos por caso el Festival Jairo Charris Casta˜nedaque se llev´oa cabo en Bogot´ael d´ıa6 de agosto de 2003. En ´el,varios de sus colegas ofrecimos confe- rencias en homenaje a este formidable matem´aticocolombiano nacido en Ci´enaga el 21 de noviembre de 1939, profesor investigador de la Universidad Nacional de Colombia y de la Universidad Sergio Arboleda y fallecido en Bogot´aen el 2003. La semblanza la hizo el profesor Jaime Lesmes Camacho, compa˜nerode luchas del malogrado Jairo. Las memorias de este festival aparecieron publicadas en el Vol. XVII, N´ume- ro 106 de la Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas F´ısicas y Naturales en marzo de 2004, y all´ıpuede encontrarse informaci´onsobre Jairo. Este festival, y la publicaci´onde sus memorias, fue coordinado por el profesor V´ıctor Albis Gonz´alez,uno de los primeros historiadores de la matem´aticacolombianos, coordinador de uno de los proyectos de investigaci´onen historia de las matem´aticas en la Universidad Nacional de Colombia y compa˜nero de colegio de Jairo. Algunos documentos son puramente divulgativos y otros se escriben para

17 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

informar sobre los adelantos en una investigaci´ono para defender un punto de vista y allegar nuevos datos, o para llamar la atenci´onsobre un hecho hist´orico particular. Ofreceremos algunos ejemplos de estos casos. En los cap´ıtulos que siguen se presentar´analgunos ejemplos sobre lo hasta aqu´ı planteado, y a medida que vayamos avanzando haremos expl´ıcitosotros prin- cipios que gu´ıannuestra actividad en la elaboraci´ondel presente trabajo.

18 CAP´ITULO 2

Ejemplos iniciales de documentos historiogr´aficos

Como lo mencionamos en el cap´ıtulo anterior, existe una gran variedad de investigaciones hist´oricasy de documentos historiogr´aficos.En este cap´ıtulo pre- sentaremos algunos ejemplos que nos servir´ande motivaci´onpara entender estas diferentes opciones.

2.1. Un art´ıculode divulgaci´on

En la revista Investigaci´ony ciencia, de diciembre de 2000, apareci´oun in- teresante art´ıculocon el t´ıtuloEmmy Noether, escrito por la historiadora Renata Tobies. La profesora Tobies se ha especializado en un tema fundamental: el papel de las mujeres en el mundo acad´emico de las matem´aticas;por ello, conoce bastante bien el caso de Emmy Noether, aunque Tobies no sea la autora de la biograf´ıa b´asicasobre esta importante figura de las matem´aticas.(En el art´ıculoen cuesti´on se mencionan dos biograf´ıas sobre Emmy Noether, una de Auguste Dirk y otra de James Brewer y Martha Smith). Dada la especialidad de Tobies, es perfectamente natural que el prop´ositofun- damental de su art´ıculosea mostrar un ejemplo contundente en relaci´oncon el

19 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

´exitode las mujeres en el oficio de investigadoras, a pesar de todas las oposiciones y obst´aculos. Como la revista Investigaci´ony ciencia circula entre acad´emicos, profesiona- les y estudiosos, espec´ıficamente de las ciencias naturales, y no todos sus lectores manejan las matem´aticaso la biolog´ıa o la f´ısica,etc., los art´ıculosque all´ı aparecen no son muy t´ecnicos,esto no significa que quienes los escriben sean simples divul- gadores, de hecho son todos expertos en el tema y saben perfectamente qui´enes son sus lectores. La profesora Tobies, por ejemplo, es historiadora de la matem´atica y entiende y muy bien qui´enes son los lectores potenciales de su art´ıculo;por ello sus referencias a las matem´aticasest´anhechas donde se necesitan y, en general, a un nivel elemental. Los lectores de Investigaci´ony ciencia necesitan manejar sus imaginarios sobre las disciplinas que desconocen, de la manera m´asamable posible y aspiran a tener informaci´onde primera mano sobre lo que no saben pero les interesa; recurren entonces, directa o indirectamente, a los expertos de las otras ´areaspara que ellos los ilustren sobre los desarrollos en esos ´ambitos ajenos; especialmente sobre preocupaciones comunes, por ejemplo el interrogante: ¿C´omoles va a las mujeres en el mundo acad´emico de las matem´aticas?Esta pregunta es, sin ninguna duda, una pregunta que puede formularse de una manera general: ¿C´omoles va a las mujeres en el mundo acad´emico?; para ilustrar mejor el asunto traigamos a cuento el imaginario que puede comprimirse en el siguiente grafito: “Las mujeres son seres inferiores”. Hoy d´ıa esto parece un exabrupto; sin embargo, hubo una ´epoca en la cual ellas no pod´ıan ejercer una buena cantidad de oficios, solo ten´ıan la libertad de escoger un ´unicotipo de roles, los dom´esticos.Aunque todo esto se ha venido modificando, hay todav´ıapersonas que act´uanguiadas por este imaginario. En los a˜nos en que vivi´oE. Noether este imaginario era muy influyente. Dicho sea de paso, este es un excelente ejemplo de lo que es un imaginario y de c´omolos imaginarios dominan las mentes y orientan las actitudes y las acciones. Curiosamente, las propias mujeres ayudan a difundir este imaginario con expresiones y exclamaciones del estilo: “cosas de mujeres”. Existen claramente diferencias cualitativas muy importantes entre los hombres y las mujeres, una de ellas, tal vez la que m´asha contribuido a cimentar el imaginario sobre la inferi- oridad de las damas, la constituci´onf´ısica:los machos humanos suelen ser m´as corpulentos y por lo tanto, f´ısicamente m´asfuertes; pi´enseseen la expresi´on“el sexo d´ebil”,tan com´un en todos los c´ırculos humanos; estas diferencias no impli- can que las mujeres sean inferiores en todo. La primera conquista fundamental del sexo d´ebilha sido, sin duda alguna, el derecho al voto; se lo ganaron despu´es de una larga lucha, pues el machismo ha sido muy poderoso, todav´ıadomina en diferentes organizaciones y no da el brazo a torcer, pues el sistema regulado de los machos es l´ogicamente infinito. Convencer a los machos de que cambien sus reglas y sus actitudes no ha resul- tado una tarea f´acil,aflojamos en algunas organizaciones pero nos endurecemos en otras; algo as´ıcomo si el imaginario se hubiera transformado en lo siguiente:

20 Ejemplos iniciales

“Bueno, ya ganaron el derecho al voto, ¿que m´asquieren?”. Imaginemos ahora la situaci´onde la profesora Emmy Noether en su juventud y en sus primeros a˜nos como estudiante universitaria e investigadora: una mujer de familia jud´ıaen la Alemania rumbo al dominio del nazismo. Emmy Noether, como nos lo recuer- da Renata Tobies, naci´oen 1882, muri´oen 1935, y vivi´oen Alemania, desde su nacimiento hasta 1933, as´ıque le toc´ovivir el proceso que condujo a Hitler al poder. Emmy ten´ıa 18 a˜noscuando el gobierno de Baviera aprob´oun decreto mediante el cual “se le permit´ıaa las maestras asistir a clases de ciencias y hu- manidades en las correspondientes sesiones de las facultades de filosof´ıa,siempre y cuando los profesores de las mismas no pusieran reparo alguno” [p´agina75 del art´ıculoen menci´on],pocos a˜nos despu´es Noether ingres´oa la Universidad de Er- langen, ya con el t´ıtulo de maestra, donde el n´umerode alumnas no superaba cifras cercanas a 15 en toda la instituci´ony los varones, profesores incluidos, no estaban acostumbrados a trabajar acad´emicamente con el sexo d´ebil. El ejemplo de Noether es paradigm´aticopero eludible, aunque alguien po- dr´ıase˜nalar que en la Alemania nazi esta discriminaci´onresultaba perfectamente natural. En el mismo art´ıculo,sin embargo, Tobies muestra otros ejemplos de la discriminaci´onreligiosa o de g´enero;por ejemplo, el propio padre de Emmy, Max Noether, matem´aticotambi´en,tuvo grandes dificultades para lograr una plaza en la universidad en raz´ona su condici´onde jud´ıo.O el caso de Sophie Germain quien firmaba sus cartas a los matem´aticoscon un seud´onimomasculino. Germain vivi´oentre 1776 y 1831 y, como todos sabemos, Hitler no estaba por ah´ıtodav´ıa. Recuerden tambi´en que el decreto que mencionamos fue aprobado en 1900; o sea que antes de ese a˜no la discriminaci´onde g´enero estaba bien vigente y no es posible endilg´arselaal nazismo. El art´ıculofeminista de Tobies, que es una muy buena invitaci´onpara todas las mujeres, tiene una estructura que puede describirse de la siguiente forma: 1. El prop´ositoprincipal es difundir un ejemplo muy bueno que muestra la posibilidad real, para una mujer, de alcanzar el ´exitoen el mundo acad´emico de las matem´aticas;a pesar de todos los obst´aculosnaturales o artificiales que puedan present´arseles. 2. Para alcanzar este objetivo la autora muestra varias cosas: I. Emmy Noether hizo la carrera completa como investigadora: asisti´oa la universidad, se vincul´oa varios grupos de investigaci´on,elabor´ouna tesis de doctorado, organiz´osu propio programa de investigaciones, public´osus resultados en revistas de muy buen nivel acad´emico, varios matem´aticosimportantes hicieron su trabajo de doctorado con ella, se gan´oel reconocimiento de sus pares, etc. II. Por su condici´onde mujer y de jud´ıase enfrent´ocon grandes dificultades artificiales. Por ejemplo, tuvo que trabajar varios a˜nos sin plaza propia, en raz´ona las disposiciones legales vigentes, inspiradas en la segregaci´on de las mujeres. Y en el imaginario “las mujeres son inferiores”.

21 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

III. Una lista muy completa de mujeres matem´aticasdesde Hypatia hasta Emmy Noether.

3. Se incluye en el art´ıculoinformaci´onsuficiente para seguir paso a paso la carrera de Emmy Noether y las grandes dificultades que tuvo que superar. Tobies permite que el lector se apropie de datos acerca de Emmy Noether sobre: su familia, sus profesores, sus temas de investigaci´on,sus colegas, el ambiente de la Alemania de la ´epoca, su viaje a los Estados Unidos, su trabajo en este pa´ıs, sus alumnos, etc.

4. En defensa de su tesis principal, Tobies muestra, c´omose forma un matem´a- tico, en este caso una matem´atica,y cuales son las claves de dicho proceso.

Sin dejar de mencionar hechos tan importantes como la influencia del ambien- te familiar y otros como la tenacidad y la persistencia de Emmy Noether, nos atrevemos a se˜nalar los siguientes como los m´asfundamentales:

I. Vinculaci´ona uno o m´asgrupos de investigaci´on.Noether estableci´orela- ciones muy estrechas con el grupo de Erlangen, dirigido por Felix Klein, y el grupo de Gotinga, liderado por David Hilbert.

II. Interacci´onpermanente con pares acad´emicos. Pongamos por caso, una de las creaciones m´asimportantes de Noether la realiz´oen colaboraci´oncon Emil Artin y en di´alogopermanente con Hilbert, Klein, Hermann Weyl y otros de los miembros de los c´ırculos de Erlangen y Gotinga. En esta interacci´onse organizaron los fundamentos del ´algebramoderna.

III. Publicaci´ony divulgaci´onde resultados. Solo dos ejemplos: Noether present´o un trabajo en el congreso matem´aticode Bolonia en 1930 y otro en el congreso de Zurich de 1932.

IV. Direcci´onde grupos de investigaci´ony orientaci´onen el proceso de forma- ci´onde otros matem´aticos.Olga Taussky, por ejemplo, notable matem´atica germano-norteamericana perteneci´oal c´ırculo de Noether en Estados Unidos.

Como puede inferirse de este primer art´ıculo,los documentos divulgativos trans- miten informaci´ony tambi´enmensajes expl´ıcitos o impl´ıcitos,dependiendo de quienes elaboran el texto; pero, sobre todo, ense˜nan. Tobies, como ya lo se˜nala- mos, tiene intenciones muy claras relacionadas con sus motivaciones te´oricasy, por supuesto, con sus imaginarios y creencias. ¿Cu´alesson las ense˜nanzas? Muchas, pero vale la pena insistir en las m´asimportantes:

1. Algunos imaginarios producen da˜no a ciertas personas, no son amables con ellas, como el que puede resumirse en el grafito: “Las mujeres y los jud´ıosson seres inferiores”, el cual es tremendamente agresivo con las mujeres y con los jud´ıosy muy especialmente con las mujeres jud´ıas.Este imaginario, impl´ıcita

22 Ejemplos iniciales

o expl´ıcitamente, domin´olas mentes de muchos ciudadanos alemanes durante varios a˜nos, acad´emicos incluidos, y fue uno de los soportes del nazismo. Este tipo de imaginarios, especialmente cuando no son expl´ıcitos, organiza- dos alrededor del irrespeto, debemos combatirlos y aniquilarlos utilizando diferentes mecanismos; por ejemplo, argumentando o acu˜nando chistes para desprestigiarlos. Un obst´aculocomo el que se genera a partir de un imaginario del estilo de nuestro ejemplo es completamente artificial; puede y conviene eliminarse; surge naturalmente gracias al poder de la imaginaci´on,pero da˜na,perjudica y no es respaldable desde ninguna teor´ıa. Ha habido intentos, por parte de algunos acad´emicos, de justificar te´oricamente las propuestas de inferioridad de algunos grupos humanos; pero ninguno de ellos ha resistido la cr´ıticade los pares, han sido aniquilados por los argumentos, los hechos y los datos; han sido aniquilados por la violencia simb´olica. 2. Este hecho hist´oricodebe servirnos como una gran lecci´onen otros sentidos: I. ¿Qu´esignifica ser un matem´atico?Obviamente no es cuesti´onde poseer un diploma. Emmy Noether lo consigui´o;pero su calidad de matem´atica se relaciona con su exitosa carrera y no por los t´ıtulosque le otorgaron. Tal pregunta tiene una importancia fundamental; si se investiga en his- toria de las matem´aticasinteresa la informaci´onsobre los t´ıtulos;pero es mucho m´asatractivo y posiblemente m´as´utilconocer sobre las obras, es decir, sobre los resultados de las investigaciones adelantadas por los matem´aticos;alguien que haya tenido el t´ıtulo de matem´aticoo de doc- tor en matem´aticaso de historiador de matem´aticasy no haya realizado investigaci´onno llama la atenci´on,no amerita que se le dedique tiempo, es apenas un dato, incluso un mero n´umero,por ejemplo, el graduado n´umerox. ¿Por qu´e alguien investiga sobre la vida y la obra de Emmy Noether? No propiamente porque sufri´ocomo mujer y jud´ıao se gradu´ocomo doctora, m´asbien porque hizo aportes importantes al desarrollo del conocimiento matem´atico,de hecho varios teoremas o estructuras lle- van el nombre de Emmy Nother; incluso la situaci´onpuede verse en for- ma mucho m´asdram´atica:Max Noether, padre de Emmy, fue tambi´en matem´atico,pero en el mundo acad´emico de las matem´aticasNoether hace referencia m´asfrecuentemente a Emmy y no a Max. II. El art´ıculode Renata Tobies es una invitaci´ona participar en un proyec- to gigantesco y de mucho inter´es,el papel de las mujeres en el mundo acad´emico de las matem´aticasen general, y en particular en Colombia. ¿Han sufrido discriminaci´onlas mujeres en nuestro pa´ıs, en el mundo acad´emico?. La primera mujer que estudio matem´aticasen Colombia, hoy junio de 2007, todav´ıaest´aviva, vale la pena averiguar directa- mente con ella c´omole ha ido.

23 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

De todas las mujeres que se han graduado en matem´aticasen Colombia, ¿cu´aleshan alcanzado el ´exito?

Miren ustedes todo lo que hemos podido aprender de un documento historiogr´afico; es decir, de un documento elaborado por una historiadora.

2.2. Un trabajo hist´orico-filos´ofico

La filosof´ıade las matem´aticases otra disciplina del mundo acad´emico de la matem´atica,pertenece tambi´en a la metamatem´atica,y es anfibia, surge del en- cuentro de la filosof´ıacon la matem´atica,tiene muchos adeptos y por supuesto ha evolucionado con el tiempo y es otro oficio legal y conveniente. La actividad filos´ofi- ca est´amucho m´asligada a la historia que la actividad matem´atica;por ejemplo, las filosof´ıasplat´onicay aristot´elicamantienen su vigencia en la forma en que es- tos antiguos fil´osofosla formularon. Algo similar puede afirmarse de casi todos los grandes fil´osofos,esto no ocurre con los antiguos matem´aticos;muy pocos exper- tos estudian con detenimiento la obra de Euclides, lo hacen fundamentalmente los historiadores y los expertos en matem´aticaselementales. Obviamente existen excepciones muy valiosas, como el caso de Bepo Levi [LB] quien escribi´oun peque˜no libro cuyo nombre es bastante sugestivo: Leyendo a Euclides, o m´asrecientemente el ejemplo de Robin Hartshorne, con su art´ıculo Ense˜nando geometr´ıa siguiendo a Euclides. Los mejores casos excepcionales, co- mo lo veremos en el ´ultimocap´ıtulo, corresponden a aquellos matem´aticoscuya especialidad son las matem´aticaselementales. Javier de Lorenzo es un anfibio que respira bastante bien los aires de la ma- tem´atica,la filosof´ıay la historia; estuvo visitando a Colombia hace algunos a˜nos y ha escrito varios art´ıculosy libros en los cuales plantea ideas muy interesantes y atractivas, por ejemplo el que public´oen Tecnos en 1997 y cuyo t´ıtuloes La matem´atica y el problema de su historia [dLJ]. ¿Es la historia de la matem´aticaun problema?

¿Cu´ales el sentido de la anterior pregunta? De Lorenzo, en este interesante libro, plantea varios argumentos para sus- tentar una tesis fundamental: el car´actereminentemente hist´oricodel trabajo matem´atico.Hay aqu´ı una serie de problemas porque esta no es una tesis uni- versalmente aceptada. De hecho, ciertos matem´aticostrabajan con informaci´on reciente, en especial algunos de los m´asj´ovenes, y son “extra˜nos” a lo que hicieron otros matem´aticosmuchos a˜nosantes, incluso dentro de la misma especialidad. Muchas investigaciones en teor´ıa de categor´ıas hoy, no necesitan remitirse a la obra pionera de Eilenberg y MacLane, con solo nombrarla es suficiente; aparente- mente, trabajar en esta teor´ıa no ser´ıauna actividad hist´orica. Un ejemplo interesante en el caso colombiano es el de la l´ogicamatem´atica;al- gunos de los investigadores j´ovenes no recuerdan a Carlo Federicci Casa; no saben

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que Federicci fue el primero en ense˜nar este tema en nuestro pa´ıs;fue Federicci quien tuvo la inmensa responsabilidad de abrirle espacio a esta especialidad; espa- cio que encontraron abonado los expertos posteriores. Esta labor no fue nada f´acil, pues tuvo que superar las burlas de algunos de sus colegas. Estas burlas ya no son frecuentes aunque todav´ıaexisten. Como la que hacia en la decada de 1980 un colega del mundo del an´alisismatem´atico,quien cada vez que llegaba a la sala de profesores en su departamento de matem´aticasexclamaba: “¿Quieren saber qu´ees la l´ogica?Pongan cuidado, si p entonces q y si no q entonces paqu´e?” Los expertos de hoy no tuvieron necesidad de invertir su precioso tiempo, como le toc´oa Feredicci, convenciendo a los matem´aticosde la importancia de esta disciplina, ni les toc´osoportar la mofa de algunos colegas. Sin embargo, como lo se˜nalabastante bien De Lorenzo, las grandes transfor- maciones o rupturas no se producen todo el tiempo y por ello no todos las experi- mentan o participan en ellas. De hecho, despu´esde una gran ruptura se produce un largo periodo de calma y quienes realizan investigaci´onen esos momentos de tranquilidad no perciben las modificaciones que llegaron a ser bien profundas, ni que sus estudios existen gracias a estas grandes transformaciones. En Colombia la introducci´onde los estudios de l´ogicamatem´aticaconstituy´o,una ruptura funda- mental, gracias a la cual hoy d´ıael grupo de investigadores en esta disciplina es uno de los m´asactivos e influyentes. La transformaci´onque se produjo en la antigua Grecia con el descubrimiento de la inconmensurabilidad es muy conocida; tambi´en lo es aquella que acompa˜n´oel surgimiento de las geometr´ıasno euclidianas; incluso la gran revoluci´oncantoriana goza de una popularidad apreciable. ¿Y despu´esqu´e? Viene entonces el asunto fundamental:

¿Qu´e caracteriza una ruptura en el mundo de las matem´aticas? Si se pudieran formular, sin ambig¨uedades, las caracter´ısticasfundamentales de una transformaci´oncualitativa se tendr´ıa,entonces, una manera de averiguar si ha habido o no cambios sustanciales recientemente. Tendr´ıamostambi´en elementos de juicio para orientar tales transformaciones evitando la violencia f´ısica. Como se mencion´oantes, Thomas Kuhn plante´ounas ideas b´asicasa este respecto. Sin embargo, seg´un lo aclara De Lorenzo en el prefacio del libro que comentamos, en la ´epoca en la cual tuvo la “visi´on”sobre las rupturas en el mundo de las matem´aticas,inspirado por las lecturas que hizo de Pascal y Descartes, Kuhn todav´ıa no hab´ıaescrito sus primeros trabajos. De hecho, De Lorenzo solo conoci´oel texto de Kuhn sobre las revoluciones cient´ıficasen 1973 y la idea de los cambios cualitativos ya se le hab´ıa ocurrido a De Lorenzo en 1965. En realidad existen varios antecedentes en relaci´oncon este tema, el propio Kuhn menciona algunos y De Lorenzo nombra a Pascal y a Descartes. A pesar de tan venerable tradici´on,es necesario insistir una y otra vez, pues los imaginarios se mantienen, como aquel seg´unel cual Arist´otelescre´otoda la l´ogicay desde entonces no ha habido ning´uncambio fundamental. Otro autor sobresaliente, en relaci´oncon este

25 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

tema de los cambios de paradigmas, es Gast´onBachelard, quien acu˜n´ola expresi´on obst´aculoepistemol´ogico para referirse a los imaginarios que circulan en las mentes de algunos cient´ıficoso en las obras de estos, y que se oponen al desarrollo de la ciencia, es decir a sus transformaciones. Sea como fuere, el libro de De Lorenzo argumenta y presenta ejemplos, defen- diendo su tesis de historicidad, que nosotros acogimos ya como uno de nuestros principios. El ap´endice del libro que estamos mencionando no es el centro de este trabajo, pero s´ıun excelente ejemplo. En esta parte, De Lorenzo formula las dos caracter´ısticas b´asicasde la ruptura cantoriana:

1. Admitir la existencia de multiplicidades y agregados, sistemas, dominios o conjuntos como totalidades con infinitos elementos no ya en posibilidad, sino en acto. Conjuntos caracterizados mediante un concepto o propiedad y que pueden, a su vez, ser considerados como nuevos objetos para comparaci´ony operaciones. 2. Admitir la posibilidad de razonamientos globales sobre tales mul- tiplicidades, razonamientos no constructivos sino existenciales. Instrumento central, aplicaci´onbiyectiva, condicionada por la ad- misi´onde la totalidad y que condiciona, a su vez, las interpreta- ciones que puedan obtenerse en este nuevo hacer globalizador.”

Un poco m´asadelante, De Lorenzo agrega:

Se ha indicado que Cantor es el creador de la teor´ıa intuitiva de con- juntos y, por ello, creador de un nuevo tipo de hacer matem´atico en una de las rupturas epistemol´ogicas del hacer matem´atico en los en- tornos de 1875. A la vez, se han indicado algunas de las motivaciones: la central, hallar la raz´on.

Cantor invierte las creencias adoptadas, admitiendo como premisa el infinito actual, demostrando la existencia de varios tipos de infinitos, admitiendo como hip´otesisa demostrar la proposici´oncontraria a la sostenida por el “sentido com´un”.

¿Qu´e ha sucedido, entonces, con la ruptura cantoriana? Muchas cosas, pero una fundamental: la creaci´onde una nueva teor´ıa,la ini- ciaci´onde un nuevo paradigma. Siguiendo nuestros principios diremos que apare- cieron nuevos sistemas regulados; aparecieron entonces nuevas entidades, nuevos s´ımbolos, nuevas reglas, nuevos m´etodos, nuevas organizaciones y, por supuesto, nuevos problemas; se produjo un verdadero cambio cualitativo. Pero no es una teor´ıacualquiera, es una con impacto en todas las teor´ıasmatem´aticas;se produjo un cambio fundamental en todo el mundo acad´emico de las matem´aticas. Cualquiera puede construir una nueva teor´ıa;consideremos, a manera de ejem- plo, la siguiente teor´ıa,que llamaremos teor´ıa de clubes:

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Un club es una estructura en la cual se tiene un dominio X, una operaci´on 1-aria f y dos elementos a, b de X tales que existen un y yunx, elementos de X, para los cuales: f(f(x)) = a y f(f(f(x))) = f(b). Nadie puede rechazar esta propuesta como una verdadera teor´ıa;incluso se puede hablar de homomorfismos entre clubes, subclubes de un club, producto cartesiano entre clubes, etc. Hay otra cosa indudable, esta teor´ıatiene una cara m´asbien anodina, ning´unmatem´aticola tomar´ıacomo su objeto de estudio, no tiene ning´un impacto interesante, no genera ning´untipo de ruptura epistemol´ogica,ni siquiera es una curiosidad. La revoluci´oncantoriana es, entonces, la de la creaci´onde una teor´ıa cuyo impacto acad´emico a´un no termina. ¿Tiene las mismas caracter´ısticas la revoluci´ongenerada por la creaci´onde las geometr´ıasno euclidianas? Al parecer s´ı. Bueno, en eso consiste la investigaci´onde De Lorenzo, motivo del libro que estamos presentando como un bonito ejemplo de documento hist´orico-filos´ofico sobre las matem´aticas:se formula all´ıuna caracterizaci´onde las revoluciones en matem´aticasy se argumenta para sustentarla.

2.3. Historia de la historia

Ya hemos mencionado la autorreferencia como otra de las caracter´ısticas de nuestra disciplina: pueden adelantarse investigaciones hist´oricassobre la historia de las matem´aticas.Por ejemplo, podr´ıamospreguntamos sobre el papel de las mujeres en el mundo acad´emico de la historia de las matem´aticas.¿Es tambi´en dominado por los varones? hay historiadoras de mucho prestigio; por ejemplo, Constance Reid conocida por sus excelentes biograf´ıas;una de ellas, sobre David Hilbert, ha tenido bastante influencia positiva. Un buen indicador es el siguiente: en la Enciclopedia sobre la historia y la filosof´ıa de las ciencias matem´aticas, editada por Ivor Grattan Guines [GGI], de los 174 art´ıculosque all´ıaparecen, solo figuran como autoras los nombres de Karine Chemla, Helena Pycior, Sonia Brentyes, Joan Richards, Elizabeth Garber, Crista Binder, Karen Hunger Parshall y posiblemente otras dos o tres cuyos nombres son desconocidos para m´ı.El panorama es bien de- solador y no me parece que pueda afirmarse, de ninguna manera, que los editores discriminen a las mujeres, deben existir otras razones. ¿Cu´ales? Dejemos estas inquietudes para otro momento y continuemos con el asunto planteado sobre la autorreferencia: ¿C´omose forma un investigador en historia de la matem´atica?Hoy d´ıaexisten varios programas doctorales en varias universi- dades; sin embargo, hace unos pocos a˜nos, 50 aproximadamente, no exist´ıanestas opciones. En Colombia, solo es posible adelantar estudios formales en historia de la matem´aticaen la Universidad del Valle, gracias a la infatigable labor del

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profesor Luis Carlos Arboleda y de otros colegas extranjeros que han apoyado este proyecto, entre ellos, los profesores Carlos Alvarez´ Jim´enez,Marco Panza y Vicent Jullien. En este proyecto de Cali colabora el profesor Cornelio Recalde, quien fue el primero en obtener el t´ıtulode doctor en historia de la matem´aticaen una univer- sidad colombiana: la Universidad del Valle; en realidad su t´ıtuloes de doctorado en Educaci´onMatem´aticacon especialidad en Historia de la Matem´atica. Y a prop´ositode discriminaciones este programa de historia no pertenece al departamento de matem´aticas,hubo necesidad de organizarlo en otra dependencia, incluso camuflar el programa dentro de otro, pues para algunos matem´aticoslos estudios hist´oricosno son relevantes o no son dignos de consideraci´on.Mucho menos de apoyo. El imaginario que manejan algunos matem´aticosles bloquea la mente y no aceptan otras posibilidades, tienen actitudes negativas frente a las disciplinas metamatem´aticas. Estas peque˜nas reflexiones no son sino palabras de motivaci´onpara arrancar con la historia de la historia de las matem´aticasen Colombia. A nivel mundial este campo ya cuenta con desarrollos muy importantes, un ejemplo ser´asuficiente. En el volumen 21 (1994) de la revista Historia matem´atica, David Rowe es- cribi´oun art´ıculocuyo t´ıtuloes Dirk Jan Struik y sus contribuciones a la historia de las matem´aticas.Este es un ejemplo t´ıpicode un documento historiogr´afico sobre la historiograf´ıa.En la misma entrega de la revista dedicada en homenaje a Struik aparecen otras notas pertinentes, una de las cuales es el testimonio de una de sus estudiantes en el instututo tecnol´ogicode Massachesetts y otra cuyo tema es el socialismo en matem´aticas;aparece tambi´enuna nota del propio Struik en relaci´oncon uno de sus viajes por Europa. Muchas cosas se aprenden leyendo este n´umero de historia matem´atica. Algunas de ellas son las siguientes:

1. La formaci´oninicial de Struik fue como matem´atico.Estudio geometr´ıa, an´alisis,f´ısicay por supuesto hizo la carrera completa, hasta el doctorado en la Universidad de Leiden donde se gradu´oen 1922. 2. En sus investigaciones matem´aticastrabaj´oal lado de autoridades mundiales como J. A. Schouten (c´alculotensorial), H.A. Lorenz (f´ısicate´orica),Paul Ehrenfest (f´ısicate´orica)y otros. 3. En el c´ırculo de estudio Christiaan Huygens, al cual asist´ıaPaul Ehrenfest y en el cual conoci´oa estudiosos de la historia y de la pol´ıtica,Struik fortale- ci´osu inter´esen el marxismo y en las relaciones de la ciencia con la sociedad. A partir de aquellos a˜noseste inter´esse agrand´omucho m´asa medida que avanzaban sus investigaciones. Vale la pena anotar c´omolos acad´emicos or- ganizan actividades como los c´ırculos, con el prop´ositode interactuar unos con otros. 4. En noviembre de 1923, un a˜no despu´es de terminar su tesis doctoral, Struik public´osu primer trabajo historiogr´afico:La evoluci´onde la geometr´ıa

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diferencial. Este trabajo, motivado por sus puntos de vista marxistas, fue el escrito que acompa˜n´osu charla inaugural como profesor en la Universidad de Utrecht, donde se vincul´ocomo Privaat Docent. Es la consecuencia natural de una anfibiosis poco frecuente en nuestro medio:

Matem´atica+ Marxismo.

Seg´un Rowe, Struik decidi´odedicarse a la historia durante un viaje a Italia, donde tuvo la ocasi´onde conocer e interactuar con matem´aticosde primera l´ınea,como Tulio Levi-Civita, Federico Enriques, Guido Castelnovo, Vito Volterra, Luigi Bianchi y otros. En esos meses, Federico Enriques estaba preparando una edici´onde los elementos de Euclides e invit´oa Ruth Struik, esposa de Dirk, para que hiciera un comentario del libro X. Es muy probable que Dirk se involucrara en este trabajo y al hacerlo recibiera suficientes est´ımulos de Enriques, quien como es bien sabido, ten´ıagrandes intereses en los estudios metamatem´aticos(historia, filosof´ıay educaci´on). En Italia, Struik conoci´odos especialistas en historia de la matem´atica: Ettore Bertolotti y Giovanni Vacca, este ´ultimoun experto en matem´ati- cas de la antigua y moderna China.

5. La primera investigaci´onseria en historia de la matem´aticala emprendi´oDirk Struik con el auspicio de la fundaci´onRockefeller y se orient´oen la direcci´on de examinar la obra matem´aticade Paul van Middelburg. Con el mismo soporte de la fundaci´onRockefeller, Struik realiz´ouna estad´ıaen Gotinga para trabajar, al lado de Otto Neugebauer y Richard Courant, en la edici´on de las obras de Felix Klein. Esta estad´ıa signific´omucho para Struik pues no solamente pudo asistir al seminario de Hilbert, sino que adem´as,encontr´oen la biblioteca obras originales de Michael Stiffel, Simon Stevin y otros. Esto le permiti´opreparar una edici´onde las obras de Stevin y el libro Source Book in Mathematics.

6. En noviembre de 1926, los Struik viajaron a Nueva York y luego a Boston, donde Struik consigui´ovincularse al instututo tecnol´ogicode Massachesetts como ge´ometra.Varias de sus investigaciones en el instututo tecnol´ogicode Massachesetts las realiz´ocon Norbert Wiener pero nunca dej´ode trabajar con J.A. Shouten. En 1933 apareci´oel libro en el cual se presentan los re- sultados de sus investigaciones hist´oricasm´asfundamentales: Outline of a History of Differenctial Geometry. De acuerdo con Rowe, en 1930 comienza el inter´esm´asserio de Struik en el punto de vista marxista para la historia. En 1936 Struik entra a partici- par en la publicaci´ondel peri´odicomarxista Science & Society, donde muy pronto apareci´oun art´ıculosuyo titulado On the Sociology of Mathematics. En estos a˜nos delimita su programa de investigaci´onen oposici´onal enfoque

29 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

dominante que se centraba exclusivamente en los problemas de las teor´ıas matem´aticas,en las ideas que conducen a las soluciones de estos problemas y al descubrimiento de nuevos problemas o teor´ıas. En estos a˜nosStruik inici´osus argumentos a favor de una comprensi´onde la matem´aticacomo disciplina abstracta que emerge gradualmente de las actividades humanas concretas en el mundo f´ısico y real. En 1934 recibe la ciudadan´ıaestadounidence y a partir de este momento inicia su participaci´oncomo activista pol´ıtico. En 1949, todav´ıaen la era del macartismo, Struik fue clasificado por el F.B.I. como “subversivo”. A pesar del respaldo que recibi´ode toda la comunidad acad´emica, el proceso que le siguieron a Struik culmin´oen la suspensi´on,aunque con salario, en 1951. Struik retorn´oa sus clases en 1955, pero nunca abandon´osus investi- gaciones y sus actividades pol´ıticas. He aqu´ıotro ejemplo de discriminaci´on y dogmatismo y de otra anfibiosis posible:

Pol´ıtica+ Ciencia.

7. En otro art´ıculode la revista en menci´onel profesor Henk J. M. Bos resume las ideas b´asicasde Struik en la siguiente forma: Tres son los grandes temas de las investigaciones hist´oricasde Struik:

a) La matem´aticano vive y no debe vivir en una torre de marfil. b) La historia de la matem´aticase escribe para los matem´aticosdel presente. c) La historia de la matem´aticarefleja el desarrollo m´asalto y m´asamplio de la humanidad.

Al comprimir estas tres ideas en una sola y al adaptarlas, podemos asumir un nuevo principio.

2.4. (P7) Principio de Struik o de la dignificaci´onde la especie humana

(P7) En los procesos de construcci´onde sus conocimientos, los ma- tem´aticosy sus organizaciones interact´uan entre ellos y con otras personas y organizaciones, y los historiadores deben contribuir con sus investigaciones al esclarecimiento de la naturaleza de estas interacciones y a reflejar y mostrar c´omo la humanidad alcanza sus m´asaltos desarrollos, iluminan- do en esta forma el trabajo de los acad´emicosy muy parti- cularmente el de los matem´aticos,y dignificando la especia humana.

30 Ejemplos iniciales

Seguramente Struik se refiere al conocimiento matem´aticocuando habla de “altos desarrollos”; sin embargo, deber´ıamosinterpretar tan magn´ıficaexpresi´oncomo re- firi´endosea los desarrollos que pueden alcanzarse mediante la actividad acad´emica en general. Los acad´emicos o, mejor a´un,el oficio acad´emico no propician guerras fratri- cidas; sus guerras simb´olicaspueden llegar a perjudicar algunos individuos, pero dif´ıcilmente a dominarlos f´ısicamente o a da˜narlosf´ısicamente. Este punto es alta- mente pol´emicopues, como todos sabemos, quienes crearon la bomba at´omicaque acab´ocon una buena parte del pueblo japon´esfueron acad´emicos. Sin embargo, estamos hablando aqu´ıde principios, es decir, de lo que deber´ıa ser. Infortunada- mente, el deber ser est´atodav´ıa muy distante; pero no debemos claudicar, no debemos perder la esperanza, debemos ser tan optimistas como E. Bloch. Lo que Struik quiere decirnos, muy probablemente, es que la violencia f´ısicano surge naturalmente del ´ambito acad´emico, todo lo contrario, los valores acad´emi- cos invitan a otro tipo de cosas como la honestidad, la justicia, el altruismo, la calidad en el trabajo, el rigor, etc. Y lo que el historiador debe procurar es que sus investigaciones hagan expl´ıcitos estos valores, pues de esta manera estaremos contribuyendo a la dignificaci´onde la especie humana.

2.4. Homenaje a grandes matem´aticos

Los acad´emicos cultivan numerosos rituales que forman parte de las regula- ciones de sus comunidades y organizaciones; uno muy importante es el de brindar reconocimiento a las grandes figuras de su disciplina. Hay muchas formas de re- conocer la influencia de un gran investigador; por ejemplo, continuando las in- vestigaciones iniciadas por estos personajes destacados; de hecho, son destacados porque sus trabajos llaman la atenci´onde otros estudiosos y plantean problemas interesantes. Los matem´aticos,por ejemplo, han organizado un premio de mucho prestigio, la Medalla Field, que se entrega cada cuatro a˜nos en el respectivo Congreso Inter- nacional de Matem´aticas,y quienes ganan este homenaje son tan importantes en el mundo de las matem´aticascomo lo son los ganadores del Premio Nobel en el ´ambito de la f´ısica o de la literatura. Sin embargo, excelentes matem´aticosno han sido ganadores de la Medalla Field. La raz´ones que una regla para este premio tiene que ver con la edad: hay un l´ımite;y as´ıno todos pueden participar. Existen, entonces, otras modalidades para dejar constancia de reconocimiento; ya hemos mencionado los festivales acad´emicos, como el que se organiz´oen Bo- got´apara homenajear a Jairo Charris Casta˜neda.Otra modalidad muy utilizada consiste en dedicar un n´umeroespecial de una de las revistas m´asprestigiosas del ramo a publicar estudios especiales sobre un determinado colega. Pongamos por caso el Journal of Pure and Applied Algebra, que ha dedicado varios de sus

31 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

n´umerosa algunos de los investigadores m´asinfluyentes en estas especialidades; por ejemplo a Peter Freyd, Michael Barr, Bill Lawvere, etc. The Journal of Symbolic Logic dedic´odos n´umeros,el n´umero 1 en el volumen 51 de 1986, y el otro el n´umero 1 del volumen 53, de marzo de 1988, al l´ogicoy matem´aticoAlfred Tarski. Publicar en esta revista es ya una forma de reconocimiento al trabajo de un l´ogico;sin embargo, algunos l´ogicossobresalen m´asque otros, tal es el caso de Alfred Tarski; por ello el Comit´eEditorial decidi´ohacerle el homenaje que se merec´ıa, con estas dos entregas especiales. Es grande en verdad la influencia de Tarski; una mirada r´apidaa la p´agina de este matem´aticoen http://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu , nos muestra algunos de quienes fueron sus alumnos y colaboradores; figuran all´ınombres tan influyentes como Solomon Feferman, Haim Gaifman, Leonard Gillman, Haragau- ri Gupta, William Hanf, Bjarni Jonson, H. Jerome Keisler, Richard Montagne, Andrezj Mostowski, Don Pigozzi, Julia Robinson, Robert Vaught y muchos otros. Tarski ha sido uno de los representantes m´asconocidos de la poderosa escuela de l´ogicade Polonia, fundada por los no menos famosos Jan Lukasiewicz, Stanislav Lesniewski, Tadeus Kotarbinski y otros, alrededor de los a˜nos de 1915, cuando la Universidad de Varsovia reinici´oactividades. Tarski fue asistente de Lukasiewicz, y en 1921, a la edad de 19 a˜nos,public´osu primer art´ıculo.Tarski adquiri´orenombre mundial, muy joven todav´ıa,gracias a algunos de sus primeros trabajos: uno conjunto con Stephen Banach, que origin´oel nombre de La paradoja de Banach-Tarski, y un art´ıculode 1933 titulado El con- cepto de verdad en los lenguajes formalizados.

En la p´aginahttp://www.history.mcs.st.andrews.ac.uk/mathematicians/tarski- .html , se dice en relaci´oncon este ´ultimoart´ıculo,lo siguiente: ...que es uno de los art´ıculos m´asimportantes de la l´ogica matem´atica de todos los tiempos... Este art´ıculo no solamente ofrece una articulaci´onrigurosa de varias de las ideas desarrolladas previamente en la l´ogica matem´atica, sino que adem´as,ofrece los fundamentos para la l´ogica de los a˜nossiguientes. Tarski revolucion´oel mundo de la l´ogica,sus estudios dieron origen a nuevas teor´ıas,nuevos m´etodos, nuevas formas de mirar los temas de la l´ogicay de la teor´ıade conjuntos; la teor´ıade modelos se desarroll´oy fortaleci´ogracias a sus propuestas y sus investigaciones. Los seis art´ıculosdel n´umero 1, Vol. 35, del Journal of Symbolic Logic, muestran claramente la influencia de Alfred Tarski; el solo hecho de nombrarlos nos ofrece una buena intuici´onsobre el valor de Tarski: 1. El trabajo de Alfred Tarski en la teor´ıade conjuntos. Azriel Levi. 2. La teor´ıade eliminaci´onde Tarski para los cuerpos real cerrados. Lou van

32 Ejemplos iniciales

den Dries.

3. Alfred Tarski y las teor´ıasdecidibles. John Doner y Wilfrid Hodges.

4. El trabajo de Alfred Tarski sobre metamatem´aticageneral. W.J. Bloch y Don Pigozzi.

5. Sobre las ideas de Tarski acerca de la verdad y de la consecuencia l´ogica. John Etchemendy.

6. Implicaciones filos´oficasdel trabajo de Alfred Tarski. Patrick Suppes.

Cada uno de estos art´ıculosilustra muy bien la importancia de Tarski, y cualquiera de ellos podr´ıaser utilizado como ejemplo.

Mencionaremos solamente el art´ıculode Bloch y Pigozzi porque queremos darle una nueva connotaci´ona la palabra Metamatem´atica.Como es bien conocido, fue Hilbert quien utilizo, para uno de sus grandes proyectos, esta palabra, refiri´endose con ella al estudio matem´aticode los lenguajes formales. En el sentido de Tarski, “las (teor´ıas)deductivas son las unidades org´anicasque constituyen el tema de las investigaciones metamatem´aticas”.Este uso se genera- liz´o,especialmente en la escuela polaca, donde alcanzaron resultados importantes y muy interesantes en tres grandes aspectos:

I. Axiomatizabilidad de teor´ıas,

II. Independencia de los axiomas, y

III. Consistencia y completitud de un sistema de axiomas.

Desde el punto de vista de Tarski, el programa de esta disciplina matem´atica ser´ıael siguiente:

[Para cada disciplina deductiva concreta] los conceptos de sentencia y consecuencia deben ser los primeros a definir. A continuaci´on,se toma como punto de partida un conjunto X de sentencias en el cual estamos interesados. Se adelantan investigaciones sobre este conjunto desde el punto de vista de la consistencia y de la axiomatizabilidad; se trata de determinar el grado de completitud, y posiblemente especificar todas las teor´ıas,en particular todas las teor´ıascompletas y consistentes, que incluyen a X como subconjunto.

Este p´arrafodescriben lo que hoy conocemos como teor´ıade modelos. Todas estas investigaciones fueron dando origen a nuevas disciplinas como la l´ogicaalgebraica, la teor´ıade la demostraci´on,la teor´ıade modelos, el algebra universal, etc. De manera que la inicialmente llamada metamatem´aticaes m´as bien, ahora, una disciplina muy cercana a la filosof´ıa.

33 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

Lo ´utilen este punto es que la palabra metamatem´aticaha quedado un poco libre y podemos darle una interpretaci´onnueva, refiri´endonoscon ella a todas aque- llas actividades investigativas que toman como objeto de estudio algunos aspectos de la comunidad matem´aticay que forman parte, ellas mismas, del mundo acad´emi- co de las matem´aticas.Por ejemplo, la sociolog´ıa de las matem´aticaspropuesta por Dirk Jan Struik o la filosof´ıade las matem´aticasque fue cultivada, tambi´en, por Alfred Tarski, como muy bien lo explica Patrick Suppes. En los estudios meta- matem´aticosestar´ıanincluidos tambi´en la educaci´onmatem´aticay la sicolog´ıade la creaci´onmatem´aticaa la manera de los escritos de Jacques Hadamard y Henri Poincar´eal respecto.

34 CAP´ITULO 3

Documentos tipo memorias

El g´enero biogr´aficoes muy importante en el mundo acad´emico de la historia, incluso es el preferido del gran p´ublico. Tambi´enexisten las autobiograf´ıas;sin em- bargo, estas ´ultimasforman parte, m´asbien, de lo que suele llamarse documentos hist´oricosy aunque estos no son escritos, en general, por historiadores profesio- nales, dejan importantes testimonios que pueden ser corroborados o desmentidos por los expertos o los especialistas. Hay numerosos ejemplos de documentos autobiogr´aficos,pongamos por caso los famosos diarios, que facilitan mucho el trabajo de los investigadores. Quien escribe un diario tiene motivaciones espec´ıficas para hacerlo y los prop´ositosvar´ıande un escritor a otro; sin embargo, todos dejan testimonios que ayudan a establecer hechos hist´oricos,aunque algunas veces tambi´enlos oscurecen. La elaboraci´onde un diario no es muy exigente, es cuesti´onde sacar el tiempo necesario para consignar, con fechas, las impresiones personales sobre las vivencias en diferentes d´ıasde la vida de quien lo escribe. Una autobiograf´ıademanda un poco m´asde dedicaci´on,pues es necesario corroborar, por lo menos, la informaci´on que poco a poco va consign´andoseen el escrito. Otro tipo de documento hist´orico- biogr´aficoson las memorias, las cuales tienen cara de un diario y tambi´en de una autobiograf´ıa;son documentos de naturaleza intermedia; no son biograf´ıasporque no se pretende abarcar toda la vida de uno o m´aspersonajes y tampoco son diarios pues van m´asall´ade una simple descripci´onde hechos. Una memoria incluso puede centrarse en un episodio espec´ıfico en el cual el autor intervino.

35 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

Algunos ejemplos ayudar´ana esclarecer estas diferencias.

3.1. Unas memorias de Andr´eWeil

Weil es uno de los m´asimportantes matem´aticosdel siglo XX. Naci´oel 6 de mayo de 1906 y muri´oel 6 de agosto de 1998; fue el hermano mayor de la famosa escritora y fil´osofaSimone Weil, quien obviamente es m´asconocida que Andr´e. En 1991, la editorial Birkh¨auserpublic´o,en franc´es,la obra que en la edici´on espa˜nolade 2002 por Nivola [WA], se llam´o Memorias de aprendizaje. Este in- teresante libro, como lo especifica muy bien el autor, y se recalca en el t´ıtulo,no es una autobiograf´ıapues suprime muchos hechos y personajes importantes en la vida de Weil; por ejemplo, no menciona mucho a su esposa ni a su hermana, y no se refiere demasiado a su ni˜nez.Como el t´ıtulolo sugiere y ´elmismo lo reafirma, “Solo me propongo describir aqu´ı el itinerario intelectual de un matem´atico...”. En este itinerario intelectual pueden destacarse varias cosas importantes.

1. El escrito tiene apenas 188 p´aginasy est´adividido en 8 partes; el ´ındicees el siguiente:

Pr´ologo 13 1. El Liceo 15 2. La calle de Ulm 33 3. Primeros viajes, primeros escritos 43 4. La India 59 5. Estrasburgo y Bourbaki 91 6. La Guerra y yo (Ballet Bufo) 121 7. Las Am´ericas:Epilogo 171

2. Para la formaci´onde un gran matem´atico,varios hechos importantes pueden se˜nalarseextra´ıdosde estas memorias:

I. Weil aprendi´oa leer muy pronto, entre los cuatro y los cinco a˜nos.Su madre en los diferentes paseos que hac´ıan casi a diario, les hac´ıa leer, a ´ely a su hermana, todos los r´otulosde las tiendas que se encontraban en el trayecto del tranv´ıa.Weil explica c´omo,entonces, se convirti´oen un lector muy ´avido.Su madre, muy interesada en la educaci´onde sus dos hijos, contrat´opara ellos una institutriz particular. En otras palabras, el proceso de maduraci´onintelectual de este importante hombre de ciencia se inici´obastante pronto. II. Alrededor de 1914, ya en los inicios de la primera guerra mundial, nuestro personaje, de escasos ocho a˜nos,adquiri´osu primer libro de matem´aticas,una geometr´ıaescrita por Emil Borel -uno de los creadores de la topolog´ıa y el an´alisismodernos. De 1914 a 1916, “en cuanto a

36 Memorias

las matem´aticas, por el momento no necesitaba a nadie; me dedicaba a ellas con pasi´on,hasta el punto que un d´ıa que me resent´ıa de una fuerte ca´ıda,mi hermana, creyendo que era lo mejor para consolarme, corri´oen busca de mi libro de ´algebra. Para la falta de una ense˜nanza regular - a causa de la guerra - tuvieron la feliz idea de suscribirme, desde el oto˜node 1915, al “Journal de Mathematiques Elementaires” editado por la librer´ıa Vuibert. Esta revista, muy ´util,publicaba esen- cialmente problemas de todos los niveles de ense˜nanza secundaria a partir de tercero, y fundamentalmente problemas de ex´amenes,despu´es daba a conocer, junto con la mejor soluci´onrecibida en la redacci´on,los nombres de los autores de soluciones correctas. Me sorprend´ıal ver que algunas de las cuestiones estaban a mi alcance. ‘!Cu´alser´ıa mi orgullo cuando vi mi nombre impreso por primera vez!. Pronto apareci´ocon bastante regularidad y lleg´oun d´ıa, triunfo supremo, en el que fue mi soluci´onla que apareci´opublicada en la revista. Aunque todav´ıa existe la “Revue de Math´ematiquesSp´eciales”,o al menos se ha reanudado su publicaci´on,creo que no hay nada parecido al “Journal de Math´ema- tiques Elementaries”;´ sin duda es una l´astima”. Los comentarios sobran. Sin embargo, digamos que Weil no quiere infor- marnos sobre su precocidad, tan solo se interesa en ense˜narnosc´omose forma un gran matem´aticoy c´omouna mente talentosa necesita condi- ciones que le permitan cultivar, educar y desarrollar sus capacidades. Se produjo aqu´ıuna extraordinaria alianza entre unos vendedores de libros -los que publicaban la revista- una madre fabulosa y un ni˜noemo- cionado con las matem´aticas.Vale la pena insistir en el nombre de la revista: Revista de matem´aticas elementales, y tambi´enen el contenido; una revista al alcance de los(as) ni˜nos(as). III. En el mismo cap´ıtulo segundo, Weil nos proporciona otra ense˜nanza fundamental: “Suelo decir que para un alumno muy bien dotado es conveniente tener un buen maestro cada dos o tres a˜nos para darle el impulso que necesita, el resto de tiempo basta con una ense˜nanza m´ascom´un”. Weil menciona esta recomendaci´ona prop´ositode otra de sus experiencias “tan provechosas” con un profesor. En 1916 conoci´oen el Liceo Montaigne, al se˜nor Andrand, doctor en letras y qui´enfue su profesor de lat´ın.La pasi´onde Weil por los idiomas y por la literatura se fortaleci´ocon esta relaci´onanfibi´otica.En el futuro el anfibio An- dr´eWeil no har´am´asque ampliar su conocimiento en matem´aticas,en lenguas vivas y muertas, en literatura le´ıda en el idioma original y en las bellas artes. Un ejemplo m´asde lo importante que son las interacciones con pares. IV. Cuando ingres´oal College de France, Weil se vincul´oal seminario de Jacques Hadamard. A prop´ositode esta actividad acad´emica tan ´util, en la p´agina35 se comenta:

37 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

La palabra seminario se ha desvirtuado mucho en la actuali- dad. ¿Qui´en no tiene el suyo?. Para escribir su historia habr´ıa que retroceder por lo menos hasta Jacobi. En Par´ıs cuando era normalien, y todav´ıa mucho despu´es, no hubo m´asque uno, el de Hadamard. A principio de curso nos reun´ıamos en su domicilio, en la calle Jacques Dolent, en su biblioteca, para el reparto de las memorias a estudiar. Se trataba, en primer lugar, de las separatas que hab´ıa recibido de todas partes del mundo o por lo menos las que le hab´ıan parecido merecedo- ras de un informe. Adem´asa˜nad´ıa t´ıtulosdiversos recogidos de aqu´ı y all´ay aceptaba de buen grado que le propusi´eramos otros. Las m´asde las veces se trataba de trabajos publicados en los dos o tres ´ultimosa˜nos, pero no exist´ıa una norma fija al respecto. En cuanto a los temas, su deseo era el de presentarnos un panorama m´asextenso de las matem´aticas contempor´aneas; si no lo lograba, al menos era el objetivo que se propon´ıa. Para cada uno de los t´ıtulosque anunciaba, buscaba un voluntario; a menudo expon´ıa brevemente por qu´e tal memoria excitaba su curiosidad. Una vez concluido el reparto, se fijaban fechas; luego charl´abamos antes de separarnos. El seminario en s´ı ten´ıa lugar una vez a la semana; m´asade- lante ser´ıan dos veces. Entre los colaboradores se encontraban tanto matem´aticos experimentados como principiantes. Hada- mard se comportaba como si la finalidad principal de las ex- posiciones fuese la de instruirle, a ´el,a Hadamard; era a ´el a quien nos dirig´ıamos y ante todo siempre que estuviese bi- en explicado; cuando la exposici´ondejaba de ser charla, ped´ıa aclaraciones o a menudo las daba ´elmismo. Al terminar, se reservaba el hacer un comentario, a veces en pocas palabras, otras con toda tranquilidad. Nunca se le sent´ıa consciente de su superioridad; cualquiera que fuese el que hiciera la exposi- ci´on(no utilizo el t´erminoconferencia a prop´osito,porque ante Hadamard era imposible que la exposici´onse tornara en con- ferencia) se sent´ıa tratado como un igual; as´ı ocurri´otambi´en en mi caso, cuando era un estudiante jovenc´ısimo, reci´enin- gresado en L’Ecole,´ fui admitido como colaborador, lo que no fue un peque˜no favor. Los comentarios aqu´ıtambi´en resultan un poco impertinentes. Sin em- bargo, el asunto es tan fundamental que haremos un cierto esfuerzo para a˜nadir algunas ideas, sin da˜narel fundamento del mensaje de Weil. Uno de los imaginarios m´aspoderosos es el que podr´ıamosllamar la “tituloman´ıa”. Tiene numerosas caras; domina muchas mentes, al punto que una cierta

38 Memorias

cantidad de personas escogen como actividad b´asicala de acumular t´ıtu- los. La base del imaginario consiste en creer que un t´ıtuloconvierte a la persona que lo posee en un experto. Esta idea est´aemparejada con otra: estudiar es asistir a clases y presentar ex´amenes.Ning´unmatem´atico importante se ha educado guiado por este imaginario pues existen otras actividades m´asfundamentales y de mayor impacto, como los seminar- ios. Hay variedad de estilos en la realizaci´onde seminarios. El de Hadamard es un tipo especial, depende de una persona en particular, quien lo li- dera lo organiza y, en general, le da el “tono”, este es el caso tambi´en del seminario sobre l´ogicacateg´oricaque dirige el profesor Fernando Zalamea en la Universidad Nacional sede Bogot´a.Otros, como el Se- minario de Categor´ıas de Montreal, son orientados y coordinados por varios matem´aticosde varias organizaciones; el de Montreal lo coordi- nan investigadores de las tres grandes universidades de esta cuidad. Un seminario puede ser permanente o tener una duraci´ondeterminada y, en general, no forma parte de ning´unplan de estudios ni de ninguna programaci´oncurricular; son actividades programadas por los investi- gadores y tienen el prop´ositofundamental de avanzar en el desarrollo de las investigaciones que adelantan los participantes. Uno de los seminarios m´asdin´amicosen Colombia es el del grupo de l´ogicaque lidera el profesor Xavier Caicedo Ferrer y que ahora coordi- nan los profesores Andr´esVillaveces, Alf Onshus y Alexander Beren- stein. A˜nosatr´as,en 1974, en la Universidad Nacional de Colombia sede Bogot´a,organic´ela primera versi´onde este seminario, trabajan- do inicialmente con el libro de l´ogicade Herbert Enderton. En aquella ´epoca ten´ıamos una idea muy vaga sobre el tema, pero despu´esde un a˜no de trabajo logramos clarificar los asuntos b´asicosde esta disci- plina, y cuando Xavier se vincul´o,nos ayud´oa seleccionar los temas de trabajo, y poco a poco los participantes nos fuimos especializando y concentrando en alg´untema particular. Poco a poco se form´ola bola de nieve y empez´oa rodar. Uno de los primeros logros de este grupo fue la realizaci´on,con sede en la Universidad Nacional de Colombia y la Universidad de los Andes, de uno de los encuentros latinoamericanos en l´ogicamatem´atica,al cual asistieron destacados l´ogicosde otros pa´ıses, entre ellos el chileno Gonzalo Reyes quien trajera por primera vez a Colombia el tema de la l´ogicacateg´orica. Los seminarios dinamizan las actividades de los grupos de investigaci´on, y es all´ıdonde se inicia la ruta verdadera hacia la formaci´onde un matem´atico,como lo explica tan expl´ıcitamente Andr´eWeil. Los cursos son importantes pero en general, no se orientan hacia la investigaci´on y tienen la carga de ser obligatorios. Una de las claves del estilo de trabajo en seminario es que es completa-

39 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

mente voluntario, ning´un participante en un seminario est´aobligado a pertenecer a ´el.Paul Levy asist´ıaal seminario de Hadamard por puro placer, Weil, por supuesto, tambi´enpor la misma raz´on;era un placer trabajar al lado de Hadamard, como lo es estar participando en las ac- tividades que organizan Xavier Caicedo, Andr´es Villaveces, Alf Onshus, Alexander Berenstein y Fernando Zalamea, o las que organizaba Jairo Charris Casta˜neda,o las que organiza Oswaldo Lezama o cualquier otro investigador. En otro lugar del libro, Weil hace referencia a otro seminario, el de Max Dehn en Frankfurt:

Matem´atico humanista que ve´ıa en la matem´atica un cap´ıtulo, y no de los menos importantes, de la historia del pensamiento humano. Dehn no pod´ıa dejar de hacer una obra original en el estudio de la historia de las matem´aticas ni de asociar a ella a colegas y estudiantes; esta obra, o mejor dicho esta creaci´on, fue el seminario de historia del instituto matem´atico de Frank- furt. Nada m´assimple en apariencia ni menos pretencioso. Se eleg´ıa un texto y se le´ıa el original esforz´andosepor seguir no s´oloel desarrollo superficial del razonamiento, sino al mismo tiempo el empuje de las ideas subyacentes. Aqu´ı me estoy ade- lantando, porque mi primera estancia en Frankfurt fue durante las vacaciones y el seminario estaba suspendido; no asist´ıa´el hasta m´asadelante, durante mis visitas a Frankfurt, que pro- curaba multiplicar. No s´e si fue en el semestre de verano de 1926 cuando el seminario trat´ode Cavalieri y cuando Dehn hizo ver c´omohab´ıa que leer el texto situ´andoseen la ´opti- ca del autor, teniendo en cuenta al mismo tiempo lo que era moneda corriente en su ´epoca y las nuevas ideas de Cavalieri intentaban mal que bien establecer. Todos participaban en el debate y aportaban su contribuci´on.

Acojamos esta recomendaci´onde Dehn, subrayada por Weil, quien tambi´endesarroll´oinvestigaciones hist´oricas,y elev´emosla a principio b´asico,complementario de los principios ya referidos.

3.2 (P8) Principio de contextualizaci´on de Dehn

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(P8) Toda labor investigativa se adelanta en medio de un contexto bien determinado, y aunque ella puede ser interpretada desde otras perspectivas, el historiador debe procurar que en sus propias investigaciones el contexto de producci´onde la obra o actividad que se investiga hist´oricamente quede reflejado. Este principio complementa muy bien el principio de Struik.

V. Todo matem´aticodebe, como ya lo hemos se˜nalado en este trabajo, interactuar directa o indirectamente con los mejores expertos en su campo. Esta es otra de las lecciones que nos ofrece Andr´eWeil en sus memorias. Aprender significa, en un porcentaje muy alto, interactuar con los expertos, con aquellos que est´anya establecidos como investi- gadores. Weil nos cuenta, entonces, c´omosus diferentes viajes lo llevan de un pa´ıs a otro, pero m´asimportante que todo eso, de un grupo de expertos en matem´aticasa otro. Al igual que Struik, Weil estuvo en Italia en varias oportunidades rela- cion´andosecon personajes como Francesco Severi y Vito Volterra; vi- sit´oGotinga y Berl´ın, tambi´en en varias ocasiones. En Gotinga estuvo trabajando con Richard Courant y por supuesto, conoci´oa Hilbert, aunque en una ´epoca ya tard´ıapues este ´ultimoestaba pr´oximoa ju- bilarse. Un comentario curioso sobre Emmy Noether vale la pena reproducirlo: Emmy Noether desempe˜naba el papel de gallina clueca, protec- tora llena de bondad y cacareando sin cesar en medio de un grupo en el que se distingu´ıa a Van der Waerden y a Grell. De ser menos desordenados, sus cursos habr´ıan sido muy ´utiles; sin embargo, es con estos y en conversaciones con quienes la rodeaban, donde me inici´een lo que se empezaba a llamar ´alge- bra moderna y sobre todo a los ideales de los anillos de poli- nomios. La interacci´oncon pares se lleva a cabo de diferentes maneras; una, como ya lo hemos mencionado y sobre la cual insiste mucho Weil, son los seminarios. En palabras del propio Weil, fue un seminario lo que origin´oel famoso grupo Bourbaki, tan conocido en todo el mundo y tan influyente en los a˜nos inmediatamente posteriores a su fundaci´on. Weil y sus compa˜neros de L’ Ecole Normal m´ascercanos fundaron un seminario en Par´ıs.Patrocinado por el famoso matem´aticoGast´onJu- lia, este seminario, al parecer, se inici´oen 1933 y termin´oen 1939, a˜no en el cual se convirti´oen el seminario Bourbaki. Weil no particip´odirectamente en la fundaci´ondel grupo Bourbaki; pero se vincul´omuy temprano a ´elporque estaba bien convencido de

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la necesidad de la interacci´oncon pares. En aquellos a˜nosestaba vin- culado a la Universidad de Estrasburgo, donde tambi´en se encontraba trabajando Henri Cartan, a quien Weil apodaba “El pregunt´on”.Se- mejante apodo solo se lo merece una persona que indaga sistem´aticay permanentemente, actividad en la cual ambos eran bien expertos. Sus interrogantes acerca de los temas que estaban trabajando y ense˜nando, los llevaron a insistir en la necesidad de crear una especie de asociaci´on nacional francesa para discutir las inquietudes comunes, entre ellas las que tienen que ver con la ense˜nanza. Pronto varios matem´aticos,entre ellos Weil, Cartan, Chevaley y Dieu- donn´e,empezaron a reunirse en Par´ıs,alrededor del seminario de Julia y tambi´en en un restaurante del Boulevar Saint Michel. Con el permiso del autor, que en paz descanse, y de los editores de las memorias de aprendizaje, reproduzcamos aqu´ı varias partes del relato de Weil, para ilustraci´on m´ıay de los lectores. Se han acumulado toda una serie de leyendas alrededor del nombre Bourbaki; sus colaboradores han contribuido a ello en gran medida. Ha llegado el momento de develar estos misterios. En cuanto el proyecto de una obra colectiva tom´ocuerpo, nos pareci´oque no era cuesti´on de alinear una larga lista de nombres en la portada. Una novatada de L’Ecole nos vino afortunadamente a la memoria. Cuando (Jean) Delsarte, Cartan y yo ´eramos normaliens, se anunci´oa los alumnos de la promoci´onde ciencias de 1923, reci´eningresados en L’Ecole, mediante una nota con encabezamiento de la direcci´on,que un profesor de nombre vagamente escandinavo dar´ıa tal d´ıa,a tal hora, una conferencia a la cual se recomendaba asistir. El conferenciante fue uno de nuestros compa˜neros mayores Raoul Husson, gran aficionado a las novatadas, que despu´es hizo una carrera como estad´ıstico antes de encontrar su vocaci´onen la fonolog´ıa y en el estudio cient´ıfico del canto, en los que dicen que ha realizado trabajos de cierto valor. En 1923 se present´oante los novatos, ataviado con una falsa barba y hablando con acento indefinido, les hizo una exposici´onque ascend´ıa bruscamente, al parecer desde unas nociones b´asicas de teor´ıa cl´asica de funciones hasta las alturas m´asextravagantes, para terminar con un teorema de Bourbaki; que dej´opatidifuso al auditorio, as´ı es, por lo menos como se cuenta la leyenda que a˜nadeque uno de los normaliens presentes afirm´ohaberlo entendido todo de principio a fin. Como muy bien lo explica Weil, el imaginario sobre Bourbaki, en raz´ona su gran influencia, tiene muchas variantes y circula de muchas maneras, incluso hay quienes creen que es el nombre de un matem´atico.Es una pena tener que ayudar a la desintegraci´onde este interesante imaginario copiando aqu´ı el relato de Weil.

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Antes que nada un comentario: el imaginario sobre Bourbaki es un ejemplo de un imaginario amable; no ofende a nadie, al contrario, tiene efectos positivos.

Nuestro compa˜nero hab´ıa tomado para su teorema el nombre de un general de resonancias napole´onicas. En la india, mi amigo Kosam- bi, al que hab´ıa contado esta historia, us´oeste nombre en una nota de contenido burlesco, pero de apariencia seria. Nos pusimos de in- mediato de acuerdo para hacer de un Bourbaki el autor de una futura obra. Todav´ıa faltaba saber de qu´eBourbaki se trataba; cuesti´onque se planteo a finales de 1935 al decidir sentar la existencia de Bourbaki de forma irrefutable mediante la publicaci´oncon su firma de una nota en los Comptes Rendus [actas] de la academia de ciencias; para esto, Bourbaki necesitaba un nombre de pila. Eveline,´ mi futura esposa que se encontraba presente en la discusi´on,fue la madrina lo bautiz´ocomo Nicol´as.Tambi´enera necesario que un miembro de la academia presen- tase la nota; nadie pon´ıaen duda que Emile´ Picard, secretario perpetuo de la academia, le dar´ıa una apoplej´ıa si se enteraba del asunto. Me encargue de redactar la nota y enviarla a Elie´ Cartan con una carta de justificaci´on. Elie´ Cartan no ignoraba nada de nuestras actividades ni de nuestros proyectos. Compuse para ´eluna biograf´ıa de Nicol´asBour- baki que le atribu´ıa un origen poldavo. Esgrim´ı que el miembro de la academia que presenta una nota debe asegurarse de la seriedad del con- tenido cient´ıfico, pero no de los detalles de la biograf´ıa de su autor. Un grupo de miembros de la academia sol´ıa reunirse semanalmente, antes de cada sesi´on,para una comida a la que segu´ıanllamando comida de los j´ovenesdel instituto; su juventud era a decir verdad, de fecha muy antigua, en el momento de los licores, Elie´ Cartan consult´oa sus cole- gas acerca de mi carta y obtuvo su aprobaci´on.En cuanto al contenido de la nota, este no ten´ıanada de fantasioso, aunque despu´es me ase- guraron que se hab´ıa colado un error: ¿Era el efecto de una maldici´on de Bourbaki? Poldavia, la patria de Bourbaki, era el producto de otra novatada de l’Ecole.´ Por lo que cuenta la historia, hacia 1910 unos normaliens reclutaron en los bares de Montparnasse a individuos de or´ıgenes diversos, a los que transformaron, a cambio de algunos aperitivos, en representantes de la naci´onpoldava. Se redactaron para ellos cartas dirigidas a no- toriedades del mundo de la pol´ıtica, la literatura y la universidad, que empezaban as´ı “No ignora usted las desgracias de la naci´onpoldava ...”. Los testimonios de simpat´ıacomenzaron a llegar y en el momen- to oportuno se anunci´ouna reuni´onp´ublica. Para el principal orador se hab´ıa escrito un emotivo discurso que m´aso menos terminaba con estas palabras: “Es as´ı como yo, presidente del parlamento poldavo vivo

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en el exilio, en un desamparo tal que no poseo ni siquiera pantal´on”. Se subi´oa la mesa y no llevaba pantalones. Para cerrar esta digresi´onsobre el nombre de la patria de Bourbaki in- sertar´e aqu´ı un episodio m´asreciente. Hacia 1948, Nicole Cartan dijo a su marido que se pusiera al tel´efono, ya que “Bourbaki pide hablar contigo”. En el tel´efono,Henri Cartan oy´ouna voz que le dijo “mi nombre es Bourbaki y desear´ıa verle”. “Sin duda tiene usted una gran barba blanca” (as´ı es como nos gusta imaginarlo). “No, no tengo barba pero deseo verle”. Cartan, sinti´endoseenga˜nado, le dio una cita. A la hora fijada vio llegar a un se˜nor de aspecto distinguido que de entrada puso sobre la mesa un pasaporte diplom´atico a nombre de Nicola¨ıd`es Bourbaki, consejero de la embajada de Grecia. Explic´oque la familia Bourbaki era muy conocida. Se remonta a dos hermanos que se distin- guieron en Creta en el siglo XVII, en la resistencia contra los turcos. En la expedici´ona Egipto Napole´ontuvo por gu´ıa a un Bourbaki, y como recompensa le concedi´ohacer educar a su hijo en el Pritaneo de la Fl`eche;este se convirti´oen oficial del ej´ercito franc´es, y de ´elde- scend´ıa el general Napole´onIII, bien conocido en la historia. Nicola¨ıd`es Bourbaki cre´ıa conocer el ´arbol geneal´ogico completo de la familia y en ´elno aparec´ıa ning´un matem´atico. ¿C´omoera que se publicasen ba- jo ese nombre obras de matem´aticas? Cartan se lo explic´o.Desde ese momento y durante varios a˜nos particip´oa menudo en nuestras cenas de cierre de congreso. En 1950, cuando visit´e Grecia me dio una carta para sus parientes en Atenas, donde me recibieron muy bien; es una l´astimaque no pudiese ir entonces a Creta, ya que me aseguraron que se habr´ıa asado un cordero para m´ı en honor de Nicol´asBourbaki. Tener un autor no era suficiente, a´un faltaba tener un editor. El mer- cado de la edici´onmatem´atica en Francia estaba entonces dominado por la casa Gauthier-Villars, que hab´ıa logrado en ese ´ambitoun cuasi- monopolio; pero no quer´ıamos recurrir a ellos; era bastante acad´emica para nuestro gusto. Afortunadamente para nosotros no fue necesario; desde el principio ya ten´ıamosun editor. Este fue Enrique Freymann. El personaje resultaba tan sedutor como pintoresco. Al escucharle uno pod´ıa pensar que era de pura raza mexicana; “soy un azteca”, sol´ıa decir. Hasta donde he podido averiguar, proced´ıa del estado de Chi- huahua, donde uno de sus antepasados, alem´anexpulsado por los acon- tecimientos de 1848, se hab´ıa instalado y hab´ıa echado ra´ıces. En lo que contaba, tanto de s´ı mismo como de cualquier otro tema, resulta- ba in´utilquerer desentra˜nar lo verdadero de lo falso, o mejor dicho la verdad literal de la verdad esencial. En una cena en la que era el invitado de Bourbaki, su mujer le rog´oque contara una determinada an´ecdota; “No -dijo-, ´estatodav´ıa no est´aa punto”. En sus comien- zos, dec´ıa que hab´ıa sido pintor, hab´ıa corrido mucho mundo, hab´ıa

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ingresado al servicio diplom´atico mexicano; despu´es se hab´ıa casado con la nieta del archicube Hermann, fundador de la editorial cient´ıfica que, sin llegar a rivalizar con Gauthier-Villars, sin embargo hab´ıa pu- blicado obras importantes como la de Elie´ Cartan sobre las invariantes integrales aparecida en 1922. Freymann se hab´ıa hecho cargo de las edi- ciones Hermann, que dirig´ıa desde el fondo de su tienda de la calle de la Sorbona, con dos fieles empleados y un chico para los recados; a decir verdad ´elera la casa Hermann. No abandonaba a menudo su trastien- da, sino era para ir al Hˆoteldes Ventes, un dep´ositopolvoriento del bulevar Saint-Germain donde acumulaba montones de libros raros que no se preocupaba de vender. En 1929 hab´ıa lanzado su colecci´onActu- alit´esScientifiques et Industrielles, especie de tela de ara˜nagracias a la cual atrajo hacia ´el,en el fondo de un antro, a toda la ´elitee incluso al hampa cient´ıfica internacional; para su colecci´on,estaba abierto a todos los proyectos, desde los m´asmeditados hasta los m´asestrafalar- ios, y le gustaba contar c´omoalgunos de estos ´ultimoshab´ıan sido, desde el punto de vista comercial, de lo m´asprovechosos, la cuesti´on comercial no le importaba mucho mientras pudiese mantenerse a flote; entrega tras entrega tuvo un ´exitobrillante, nunca he sabido que si para ello tuvo que hacer prodigios de equilibrio. Siempre hab´ıa almas caritativas que anunciaban que se encontraba al borde de la ruina, sin que nunca lo pareciese al verle. En su trastienda no daba la impresi´on de hacer otra cosa m´asque charlar incansablemente. Yo solo entra- ba si dispon´ıade algunas horas libres, y siempre lo dejaba con pesar. Acab´opor unirnos una verdadera amistad. Durante la guerra salv´omi biblioteca guard´andolaen sus almacenes del bulevar Saint-Germain, y un pasaporte diplom´atico mexicano, que siempre hab´ıa conservado, le hab´ıa permitido pasar sin problemas estos a˜nosdif´ıciles.En 1945, ´el mismo me cont´oc´omohab´ıa vivido la liberaci´onde Par´ıs.

Una ma˜nana, desde lo alto de su apartamento de la plaza anta˜nollama- da M´edicis(hoy, por desgracia, Edmond Rostand), oye disparos en las calles y decide quedarse prudentemente en su casa. El tiroteo amaina; la curiosidad, como siempre, puede m´ascon ´el.Baja, llega hasta Saint - Germain-des-Pr´es, y se da cuenta que el barrio ya est´aen manos de las F.F.I. (las Fuerzas Francesas del Interior). En los quioscos se venden los peri´odicos que hasta entonces eran clandestinos. Compra Lib´eration y Combat, se los mete en el bolsillo y se dirige hacia la calle de la Sorbona por el bulevar y la calle de las Ecoles.´ A la vuelta de la esquina es detenido por una patrulla alemana. El oficial, pistola en mano, lo cachea y le pregunta en franc´es: “¿De d´ondeha sacado estos peri´odicos?”. “¿Cu´antoha pagado por ellos?” “Pues cinco francos ca- da ejemplar, como siempre”. El oficial, siempre pistola en mano, mete los peri´odicos en su bolsillo con la mano izquierda y saca diez francos

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que le da a Freymann. “Pero yo no soy vendedor de peri´odicos”, dice Freymann estupefacto. “S´ı, pero usted puede volver a comprarlos, yo no”; y a continuaci´on,dice a la patrulla: “Vorw¨arts!Marsch!”. Al hablar de Freymann, me ha pasado lo mismo que a ´el;me he dejado llevar por las an´ecdotas. Nos conoc´ıa bien en el momento en el que Bourbaki empezaba a tomar forma. Sin duda ya le hab´ıa visto antes de irme a la India. En 1931, con algunos amigos, profundamente afecta- dos como yo por la muerte reciente en la monta˜na de Jacques Herbrand y por el vac´ıo irreparable que su desaparici´ondejaba entre nosotros, decidimos rendir un ´ultimohomenaje a su memoria dedic´andoleun libro con diversos art´ıculos; Emmy Noether, Von Neuman y Hasse se sumaron gustosos a nuestra iniciativa. Freymann acept´oinmediata- mente publicar este libro y bajo su insistencia al final tom´ola forma no de un libro sino de una serie en el marco de su colecci´onActuali- t´es.En cuanto le hablamos de Bourbaki, no lo dud´oni un momento; acordamos que ´elser´ıa nuestro editor. No tuvo que arrepentirse por haber confiado en nosotros y por habernos animado constantemente desde nuestros comienzos; Bourbaki estaba destinado a convertirse en uno de los pilares financieros de la casa Hermann. Ahora bien unirse a nuestra aventura en la ´epoca que hablo no fue poco m´erito;no faltaron almas caritativas de la Sorbona que le advirtieron que era una novata- da de normaliens y que se pon´ıa en rid´ıculoal dejarse enredar. Quiz´as el nombre y leyenda de Nicol´asBourbaki, que ´elmismo contribuy´oa desarrollar con celo y a difundir, no eran los atractivos menores que nuestro proyecto ten´ıapara ´el. En cuanto a la naturaleza de esta empresa, no la tuvimos clara des- de el principio. Al empezar, nuestro objetivo era de alguna manera pedag´ogico; se trataba de trazar las grandes l´ıneas de la ense˜nanza de las matem´aticas para el nivel de licenciatura. Enseguida se trat´ode es- cribir para ese nivel un curso o un tratado de an´alisisque sustituyese al Goursat y que sirviese de base a estas ense˜nanzas. Dedic´abamos nuestras reuniones parisinas a establecer los t´ıtulosde los cap´ıtulosy a repartirnos las tareas. Bourbaki pidi´oa sus colaboradores informes sobre un gran n´umero de temas, desde la teor´ıa de conjuntos hasta las funciones anal´ıticas y ecuaciones en derivadas parciales. Poco a poco fue quedando claro que para discutir estos futuros informes con la extensi´onnecesaria no bastar´ıan nuestras reuniones parisinas. Se tom´ocomo decisi´oncolectiva coger dos semanas de nuestras vacaciones de verano para pasarlas juntos en un lugar apropiado. La Universidad de Clermont ten´ıa en Besse-en-Chandesse locales que no se utilizaban en verano; ah´ıfue donde Bourbaki celebr´osu primer congreso en julio de 1935. Por banal que esta idea parezca hoy en d´ıa, en aquella ´epoca lo parec´ıa

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mucho menos. Poco despu´es, en Alemania, unos matem´aticos nazis pensaron en organizar por su cuenta unos campos de trabajo imitando los Arbeitslager a los que se mandaba en su pa´ıs a los j´ovenesparados y donde el trabajo era manual. Desde entonces esta instituci´onse ha extendido por el mundo entero, capitalista y comunista, y se ha con- vertido en uno de los procedimientos m´ashabituales para canalizar las subvenciones oficiales hacia las actividades cient´ıficas a menudo muy loables. Pero en principio estos coloquios, conferencias, simposios o co- mo quiera que se les llame, son en primer lugar grupos de aprendizaje rec´ıproco aunque luego terminen en publicaciones. Este nunca ha sido el objetivo de los colaboradores de Bourbaki en sus congresos, estos se reun´ıany siguen reuni´endosecon vistas a elaborar y poner a punto una obra colectiva. Esto no significa que no aprovechen la ocasi´onpara aprender, y mucho, unos de otros, pero no es el objetivo que se proponen. En cuanto a la financiaci´onde nuestros congresos, no tratamos este tema hasta la guerra; puesto que nos reun´ıamospor placer, nos parec´ıa natural asumir los gastos. Despu´es de 1948, las circunstancias en Fran- cia eran tales que se solicit´ouna subvenci´ona la Fundaci´onRocke- feller, que fue concedida y bienvenida. Despu´es, los derechos de autor de Bourbaki han cubierto de sobra los gastos.

Perdonen se˜nores editores de las memorias de Weil pero esto es demasiado im- portante y adem´asfascinante, estamos frente a uno de los imaginarios de mayor impacto en la comunidad acad´emica de las matem´aticasy por supuesto de los matem´aticos.En Colombia, la influencia de Bourbaki ha sido trascendental y lo mejor es contribuir a que se conozca, lo que mejor se pueda, la labor tan intere- sante de este grupo. Infortunadamente ha habido algunos aspectos negativos en esta importante historia; por ejemplo, el abuso que se cometi´oal utilizar los li- bros de Bourbaki como textos para la ense˜nanza en el pregrado. Sin embargo, a pesar de esto, solo podemos se˜nalar que Bourbaki ha sido un gran maestro. Varios de los matem´aticosm´assobresalientes de la Universidad Nacional, como Jairo Charris Casta˜neda, Januario Varela o Alberto Campos aprendieron ´algebra, topolog´ıay teor´ıade la medida con estos libros. Recuerdo, muy gratamente, el curso de ´algebralineal dictado por Varela siguiendo el libro de Bourbaki, era real- mente fant´astico;claro est´a,al cabo de seis meses sab´ıamos bastantes cosas; pero no hab´ıamosresuelto una sola ecuaci´onlineal. En la d´ecadade 1960, los debates sobre la “matem´aticamoderna”, en la Universidad Nacional Bogot´ay en otras uni- versidades, inclu´ıan discusiones bien acaloradas sobre si conven´ıao no utilizar, en los cursos de la carrera, los libros de Bourbaki. Federicci y Yu Takeuchi comanda- ban el bando “anti-Bourbaki”, no contra Bourbaki el grupo de investigaci´on,sino contra del uso de sus libros como textos en el pregrado a pesar de la intenci´ondel propio grupo Bourbaki. De hecho Federicci y Takeuchi convencieron, finalmente, a

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toda la comunidad matem´aticasobre la conveniencia de utilizar otro tipo de libros, como los de Tom Apostol en c´alculoy an´alisiso el de Edwin Moise en Geometr´ıa. Seguidores fieles de Bourbaki no existen; pero estudiosos de su obra, por fortuna, se encuentran en muchos lugares y en todo el mundo, aunque se ha perdido mucho de esta influencia. Naturalmente, seguidores del Seminario Bourbaki existen en la mayor´ıade las grandes universidades. Terminemos la menci´ona Bourbaki con otros dos p´arrafosdel libro de Weil, no sin antes a˜nadir un comentario personal: no ten´ıani la menor idea sobre la influencia de M´exicoen esta grandiosa historia. Continuemos con Andr´eWeil:

A partir de entonces, a lo largo de este congreso y el siguiente, estable- cimos nuestro m´etodo de trabajo. Para cada tema, sobre la base de un primer informe, y despu´es de discutirlo en el congreso, se designaba un redactor; este hac´ıa una primera redacci´onque, una vez le´ıda y de nuevo discutida en un congreso, se modificaba con m´aso menos pro- fundidad o, como ocurri´om´asde una vez, se realizaba en su totalidad. Se designaba otro redactor para proporcionar una segunda redacci´on siguiendo las instrucciones recibidas y a las que este no siempre se limitaba, y as´ı sucesivamente. Con este m´etodo era evidentemente imposible asociar a ning´untex- to de Bourbaki el nombre de uno de nosotros. Adem´asse acord´oque cualquier decisi´ondeber´ıa ser tomada por unanimidad y que siempre se podr´ıa volver a cuestionarla; en caso de desacuerdo irreducible, se aplazar´ıa la decisi´on.Sin duda falta un fuerte acto de fe para creer que este proceso iba a converger pero ten´ıamos fe en Bourbaki; sin embar- go, casi nos sorprendimos cuando por primera vez pudimos aprobar un texto para su impresi´on,fue el suplemento de resultados de la teor´ıa de conjuntos adoptado definitivamente poco antes de la guerra. Un primer texto de Cartan sobre esta teor´ıa fue le´ıdo en el congreso llamado el Escorial. Cartan, que no pudo asistir, fue informado del rechazo por un telegrama: ¿Uni´one intersecci´onparte producto t´uestas desmem- brado maldito Bourbaki?. Sabiamente, hab´ıamos decidido publicar una entrega sobre la teor´ıa de conjunto en la que se fijar´ıan las notaciones sin esperar a la exposici´ondetallada que deb´ıa seguir. Era necesario fijar estas notaciones de una vez por todas, estas, que en efecto modificaban en algunos puntos las usuales, tuvieron bastante aceptaci´on.Mucho despu´es, la posici´onpor la que hab´ıa tomado parte en estos debates me vali´oel respeto de mi hija Nicolette, cuando le dije que yo era personalmente responsable de que se adoptara el s´ımbolo ∅ para el conjunto vac´ıo, que ella acababa de aprender en el colegio. El ∅ pertenece al alfabeto noruego y yo era el ´unico que lo conoc´ıa en Bourbaki.

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En el congreso del Escorial tambi´en se decidieron en grandes l´ıneas las formas de las redacciones futuras, incluyendo as´ı mismo su pre- sentaci´ontipogr´afica. Me llen´ode satisfacci´on(ya que la historia de las matem´aticas, o mejor dicho, la lectura de los grandes textos matem´aticos del pasado, me fascinaba desde tiempo atr´as)que se decidiera terminar cada cap´ıtulo no solo con ejercicios m´aso menos dif´ıciles,sino tambi´en con un discurso hist´orico, primer anuncio de las notas de historia que contribuir´ıan a dar su car´acterdistintivo a nuestra obra.

3. La obra matem´aticade Weil es muy amplia y cubre varios campos de la matem´atica;sin embargo sus temas favoritos fueron la geometr´ıaanal´ıtica, la geometr´ıaalgebraica (el famoso GAGA de Jean Pierre Serre) y la teor´ıade n´umeros.Las memorias de aprendizaje de Weil nos muestran a este matem´atico tambi´en,como historiador; de hecho escribi´oun muy atractivo libro sobre la historia de la teor´ıade n´umeros.

Son muchas las lecciones que se nos ofrecen en estas cortas pero sustanciosas memorias. Un ´ultimoejemplo ser´asuficiente. Es acerca de algunos aspectos de- sagradables que suelen ocurrir en las comunidades acad´emicas; copiemos, una vez m´as,al autor: La vida cient´ıfica en Francia estaba entonces bajo el dominio de dos o tres camarillas de acad´emicos, personas importantes, para algunos de los cuales el apetito de poder se hab´ıa vuelto m´asimportante que su celo por la ciencia. Esta circunstancia, unida a la hecatombe de 1914-1918 que hab´ıa ce- gado casi toda una generaci´on,hab´ıa tenido consecuencias desastrosas para el nivel de la investigaci´onen Francia. En mis viajes al extranjero, en particular a los Estados Unidos, hab´ıa conocido a muchos sabios verdaderamente distinguidos y se me hab´ıan abierto los ojos sobre esta situaci´onpoco brillante. Al volver a Am´erica hab´ıa escrito un art´ıculo sobre este tema con el t´ıtulociencia francesa, que con toda ingenuidad hab´ıa propuesto a varias revistas. Trataba la cuesti´onde los pont´ıfices y el art´ıculo fue juzgado como no publicable. Una de las camarillas en cuesti´onla m´aspoderosa sin duda, ten´ıa como l´ıderal f´ısico Jean Perrin premio Nobel, subsecretario para la investigaci´oncient´ıfica y creador del C.N.R.S. Poco satisfecho con los importantes medios de los que ya dispon´ıa,ide´ocrear toda una jerar- qu´ıa de medallas acompa˜nadas de recompensas pecuniarias, desde la gran medalla de oro hasta las medallitas de 10000 francos. El decreto que instauraba este sistema se public´oen los peri´odicos al tiempo en que Bourbaki celebraba su congreso Chan¸cay;no era muy dif´ıcilima- ginar que la divisa de este iba a ser: “Nadie nos ganar´aen ingenio ni a nosotros ni a nuestros amigos”. Eramos´ lo suficientemente ingenuos

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para pensar que las satisfacciones frutos de un descubrimiento ya son una recompensa suficiente; por encima de todo nos pareci´oque aquello era un instrumento de corrupci´oninevitable, en un medio que nosotros, principiantes, empez´abamos a conocer y ya que no estaba exento de ella. Un´animementedecidimos recoger firmas en el ´ambitouniversi- tario para pedir al Ministerio la anulaci´ondel decreto.

Si la historia se hace como deseaba Struik, para los matem´aticosde hoy y para dignificar los grandes logros de la especie humana, hay que referirse a los aspectos negativos del trabajo acad´emico. Nuestros principios ´eticosy legales deben afi- narse, y todos los d´ıas debemos dedicar parte de nuestro tiempo a responder una y otra vez las preguntas principales: ¿Lo estamos haciendo bien? ¿Estoy investi- gando realmente? ¿Estoy formando camarillas? Como seres humanos que somos caemos muy f´acilmente en tentaciones y cometemos errores; necesitamos estar siempre alertas y los relatos hist´oricosnos ayudan en este punto. El grupo Bourbaki, ¿ha sido una camarilla? Los comentarios de Weil sobre las camarillas son aplicables a algunos de los grupos de investigaci´on,a algunas de las organizaciones acad´emicas y en general, a algunas de las modalidades de trabajo en equipo. Los equipos, ya se ha mencionado varias veces, son indispensables, pues la interacci´onentre pares es la ´unicagarant´ıa para alcanzar buenos niveles de calidad; sin embargo, puede ocurrir, y con cierta frecuencia sucede, la situaci´ondual: no se acepta ser evaluado y se descalifica al evaluador, se˜nal´andolocomo “rosquero”. Algo similar ocurre con las discriminaciones; pongamos por caso, un trabajo de mala calidad, elaborado por una mujer. ¿Qu´e debe hacer un evaluador? Esta es una de las razones por las cuales la evaluaci´ones un proceso an´onimo.El evaluador no debe conocer la identidad del evaluado y este debe ignorar la de aquel; todav´ıa somos muy inmaduros, si sabemos que la persona a evaluar es una mujer, podemos vacilar y, por ejemplo, evaluar sin rigor para que no nos acusen de despreciar a las mujeres. Bueno, redondeemos y digamos que el asunto fundamental consiste en dignificar a la especie humana y esto se hace tambi´endenunciando las situaciones negativas, explicitando los errores, as´ıalgunos de ellos lleguen a ser repugnantes.

3.2. Unas memorias de Gaisi Takeuti

Gaisi Takeuti es otra de las grandes figuras del mundo acad´emico de las mate- m´aticasde los ´ultimosa˜nos, naci´oen 1926 en Ishikawa, Jap´on,y ha sido profesor en las universidades Tokyo Kyoiku (en Tokyo Jap´on)e Illinois en Urbana Estados Unidos. En el 2003, la editorial World Scientific Publishing Company edit´ola ver- si´oninglesa de su libro Memories of a Proof Theorist. G¨odeland other Logicians, publicado por primera vez en 1986 en japon´es. Son diversas las razones que motivan a un matem´aticoa realizar la empresa de redactar unas memorias; sin embargo, parece existir una raz´oncom´un: la necesidad

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de aclarar puntos oscurecidos por algunos historiadores que en ciertos momentos se gu´ıan principalmente por imaginarios y no por hechos y datos. Bueno, ya lo hemos comentado: a todos nos sucede, los imaginarios nos dominan y eso es demasiado agradable, nos arrullan y adormecen. Ya vimos c´omoAndr´eWeil se vio impulsado a escribir sus memorias, entre otras, para liquidar los numerosos imaginarios sobre Nicol´asBourbaki; an´aloga- mente, Takeuti se propone, entre otras cosas, ayudar al esclarecimiento de ciertas ideas err´oneassobre G¨odely sobre ´elmismo. Refiri´endosea una invitaci´onque le hiciera George Kreisel que no pudo aceptar, dice, en el cap´ıtulo I, lo siguiente [TG]: Parafraseando la invitaci´onde Kreisel, varias personas que no conocieron a G¨odello suficiente han escrito sobre ´elrecientemente. La persona que ellos describen es completamente diferente del verdadero G¨odel. M´asadelante, en el mismo cap´ıtulo, Takeuti se˜nala: A excepci´onde los dos o tres ´ultimosa˜nos,el G¨odelque yo conoc´ıera una persona tierna y calurosa. Es muy conocida la situaci´onenfermiza de G¨odely algunos de los hechos rela- cionados con su car´acteren raz´ona esta enfermedad y varios escritores enfatizan estos hechos, cuesti´onque preocupaba tanto a Kleene como a Takeuti. Muy seguramente, una de las caracter´ısticas de seres humanos como G¨odel, Hilbert, Weil, Noether, el propio Takeuti y otros como ellos es que r´apidamente se ganan la fama de hura˜noso cosas parecidas; esto es bastante comprensible, pues viven en su propio mundo, el de sus teor´ıasy sus maneras de reflexionar. Takeuti es capaz de desmentir esta imagen por una sola raz´on;´eltambi´enpertenece a este mundo. Es una buena comprobaci´onde las cosas que hemos venido se˜nalan- do: entre pares, las relaciones son muy diferentes de las que puedan entablarse entre impares, es decir, entre personas dedicadas a roles diferentes. G¨odelten´ıa, tambi´en,la imagen de solitario. ¿C´omola desmiente Takeuti? Con un argumento bastante simple: G¨odelse reun´ıa con otros l´ogicoscomo S.C. Kleene y el pro- pio Takeuti, en un seminario que se efectuaba todas las semanas en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Otra vez los seminarios y ahora funcionan- do como lugares para adelantar ejercicios terap´euticos.El argumento lo entiende cualquier acad´emico, no as´ıuna persona del com´un,mucho menos aquellas con pasatiempos populares como bailar, ir al cine o pasear en un parque. Los paseos de G¨odely Takeuti, que muchos compartieron en muchas ocasiones, los realizaban en los “parques” y “jardines” de las teor´ıasmatem´aticas.Estos parques suelen ser mucho m´asdivertidos para los personajes que han aparecido en estas notas, pues all´ıencuentran muchas maneras de “bailar”, “cantar” y “embriagarse”, todo ello con el esp´ıritu.La fama de distra´ıdosque se han ganado, merecidamente por lo dem´as,todos los m´asgrandes acad´emicos, desde Tales de Mileto, que se cay´oen un agujero por andar mirando al cielo, hasta Einstein, que vest´ıabastante des- cuidadamente, no es para sentir verg¨uenza, es sencillamente que se concentran en

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su oficio. Es como cuando un arquero como Higuita se concentra y ataja un. ¿Se ha sentido avergonzado por ello esta estrella colombiana del balompi´e? La manera en que Takeuti describe a G¨odelel alegre es bien ilustrativa: El G¨odelque yo conoc´ı era una persona muy alegre. G¨odelse in- teres´oinmensamente en el problema que estaba trabajando en aquellos a˜nos: mi conjetura fundamental. Esto tipifica la actitud de G¨odelen relaci´oncon otros matem´aticosa lo largo de su vida. Demostraba un gran inter´esen cualquier problema significativo propuesto sin importar su origen, revisaba su significado propio desde sus inicios, y luego presentaba sus propias ideas al respecto”. Tratemos de explicitar el argumento de Takeuti. Mi imaginario al respecto es as´ı: 1. El imaginario popular sobre los acad´emicos es muy diferente del que se for- man los acad´emicos unos de otros. Esto es as´ı;porque como ya lo hemos recalcado, entre pares se conocen mejor. Resulta natural que alguien como Takeuti tenga una imagen m´asamable de G¨odelque la que pueda tener al- guien como yo que no pude relacionarme directamente con ´el,o de alguien que haya o´ıdo hablar de ´elsin conocerlo directamente. Es como ya lo expli- caba Andr´e Weil, no es lo mismo haber o´ıdo hablar de Nicol´asBourbaki que haber sido uno de sus miembros m´asactivos. 2. No obstante, esto no implica que todo par acad´emico se imagine a otro amablemente, ya hemos visto varios ejemplos; en las memorias de Takeuti no aparecen ejemplos interesantes; no as´ıen las de Weil, donde se describe, en forma bastante negativa, al gran matem´aticoErnst Vessiot, uno de los creadores de la teor´ıade Galois diferencial. Weil fue su alumno en L’Ecole Normal y le faltaba mucho a clases porque no lograba entenderle y no era muy asequible. No es f´acillograr ser parte del c´ırculo de interlocutores de un gran acad´emico. Es entendible que en esto intervenga la personalidad de cada qui´en;sin embargo, es m´asdeterminante el factor estrictamente acad´emico: la concentraci´on.Un acad´emico de excelente nivel trabaja simult´aneamente en m´asde un problema y lo hace casi permanentemente, no puede perder tiempo en cosas que nada tienen que ver con su trabajo, se mantiene concentrado y, por lo tanto, distra´ıdo en relaci´oncon otros asuntos, f´acilmente puede tropezar y caer, por ello no es frecuente verlos en los lugares preferidos de todos. Y si adem´asel acad´emico padece de alguna enfermedad que debe cuidar, su situaci´oncomo persona se vuelve todav´ıa m´asparticular. Cuando Takeuti abord´oa G¨odel,el japon´es ya ten´ıavarios problemas de investigaci´on,relacionados con la l´ogicay con su conjetura fundamental, la cual explica en el ap´endice B de sus memorias. No es necesario explicitar el contenido de dicha conjetura, basta mencionar que en sus di´alogoscon G¨odelten´ıasuficiente material como para llamar la atenci´one interesar a

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este ´ultimo;as´ıque G¨odel,como era su costumbre, lo acept´ocomo uno de sus interlocutores, no propiamente porque era “buena gente” -que lo era-, sino porque Gaisi ten´ıaentre manos varios asuntos que a G¨odelle parecieron bastante interesantes; t´opicosque no le hac´ıan perder su tiempo. De hecho, buena parte de las investigaciones de varios matem´aticoshan es- tado relacionadas con esta conjetura cuya prueba definitiva no se ha logrado todav´ıa. A prop´ositode conjeturas, esta de Takeuti no tiene la popularidad alcanzada por la de Golbach o la de Fermat (esta ´ultimaya fue resuelta). La raz´ones muy simple: estas dos ´ultimaspueden formularse de manera que cualquier persona con cultura matem´aticab´asicapueda entenderlas. No sucede lo mis- mo con la conjetura de Riemann, ni mucho menos con la conjetura de Takeu- ti. Otro hecho fundamental corroborado una y otra vez por los historiado- res es el papel fundamental de las conjeturas en el desarrollo de las teor´ıas matem´aticas;son problemas bien formulados al interior de una teor´ıa y cuya soluci´onno se logra de inmediato y que adem´asatrae grandemente la aten- ci´onpor distinto tipo de razones, sobre todo porque se convierten en retos. La famosa conjetura de Fermat fue resuelta hace poco por Andrew Wyles, matem´aticoingl´es de quien Andr´eWeil sol´ıacomentar que con el tiempo se formar´ıael imaginario seg´un el cual hab´ıa sido ´ely no Wyles el exitoso conquistador del problema de Fermat. Seg´un Weil, la raz´ones bien sim- ple: Andr´eWeil es m´asconocido que Andrew Wyles. Me parece que Weil cometi´ocon este comentario un error tal vez por orgullo, no hizo las cuentas completas: los historiadores no permitir´anque se produzca esta confusi´on, mucho menos los documentos escritos. Creo, m´asbien, que se trata de una broma. A estas alturas debe quedar bien claro que Weil era un extraordinario tomador de pelo. Bueno, Takeuti al parecer no lo es en modo alguno. Al menos su libro no muestra esta faceta. El peque˜no libro de Takeuti, 135 p´aginas,est´aorganizado en 10 cap´ıtulos, dos ap´endices, 4 notas introductorias, dos fotos y un cuadro final en el cual aparecen, seg´un la opini´onde Takeuti, algunas de las mayores figuras de la l´ogicaentre 1845-1950, aproximadamente. Algo que puede sorprender con esta lista es que no aparecen all´ı especialistas en l´ogicacateg´orica,como William Lawvere, Joachim Lambek, Andr´eJoyal, Gonzalo Reyes, Eduardo Dubuc, Peter Johnstone y otros que han ensanchado y engrandecido el mundo de las matem´aticasy de la l´ogica;tampoco aparece ninguna de las grandes figuras de la especialidad de Takeuti, como Sch¨utte o Troelstra. La tranquilidad regresa cuando se entiende el contexto y el alcance de esta obra; no es una autobiograf´ıa,tampoco es una historia, es una recopilaci´onde art´ıculoselaborados por Takeuti para enaltecer la figura de Kurt G¨odel,junto

53 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

con otros trabajos que por su tem´aticapod´ıanincluirse en estas memorias. Takeuti busca, tambi´en,motivar a sus compatriotas en el estudio de la l´ogica y en particular en la teor´ıa de la demostraci´on. El cap´ıtulo 9 nos ha llamado muy especialmente la atenci´on.Son apenas dos p´aginasen las cuales Takeuti hace una r´apidadescripci´ondel libro G¨odel Remembered, publicado por Bibliopolis en 1987. Es el mismo estilo b´asicoque hemos querido utilizar en este libro: Radiografiar varios documentos historiogr´aficostratando de enfatizar al- gunos motivos hist´oricos. Este ´ultimolibro, que Takeuti recomienda a todos sus paisanos, tiene 186 p´aginasy contiene 4 art´ıculos,varias fotos y las notas complementarias de los editores. El primer art´ıculo lo escribe Rudolf G¨odel,hermano de Kurt y titulado History of the G¨odelFamily. El segundo, titulado Remembrances of Kurt G¨odel, es de la autoria de Olga Taussky, matem´aticanorteamericana ya mencionada en relaci´oncon Emmy Noether y quien fuera compa˜nera de G¨odelen Viena. El tercer art´ıculo, firmado por Stephen C. Kleene, hace referencia a las opiniones de G¨odelen relaci´oncon varios de sus estudiantes en 1930. El ´ultimoart´ıculode Georg Kreisel, tiene 122 p´aginasy hace referencia a las G¨odel’sexcursions into intuicionistic logic. Takeuti resalta, en relaci´on con este ´ultimoart´ıculo,otra faceta importante de la personalidad de G¨odel: la humildad. El ejemplo que utiliza es el de referirse a Gerhard Gentzen como un l´ogicomucho mejor que ´el. Los diez cap´ıtulos del libro de Takeuti son los siguientes:

a) Sobre G¨odel. b) El trabajo de Paul Bernays y Kurt G¨odel. c) Hilbert y G¨odel. d) Peque˜nas biograf´ıasde l´ogicos. e) La teor´ıade conjuntos y t´opicosrelacionados. f) De Hilbert a G¨odel. g) Axiomas de la aritm´eticay la consistencia. El segundo problema de Hilbert. h) Un informe sobre G¨odel’96. i) Leyendo “G¨odelRemembered”. j) Un tributo a la memoria del profesor G¨odel.

En todos los cap´ıtulos se mencionan aspectos hist´oricosde la mayor impor- tancia. Haremos referencia a algunos de ellos.

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i) La filosof´ıa de la matem´aticade Paul Bernays, uno de los m´asim- portantes colaboradores de Hilbert. Seg´un Takeuti, Paul Bernays fue uno de los primeros en defender un punto de vista conciliador entre las diferentes filosof´ıasde la matem´atica.De acuerdo con Bernays el “conflicto” no es m´asque la existencia de puntos de vista diferentes que se complementan aunque en apariencia sean antag´onicos.El aforismo “la matem´aticacl´asicaes la matem´aticadel ser, la matem´aticaintu- icionista es la matem´aticade los procesos”, acu˜nado por Bernays, ha tomado forma concreta en la actualidad gracias a los desarrollos de las diferentes teor´ıasmatem´aticas,en especial de la teor´ıade categor´ıas, donde se encuentran modelos para diferentes ideas; incluso el platonis- mo ha sido reconocido como un punto de vista consistente gracias a la teor´ıade categor´ıas. Aqu´ı, vale la pena una peque˜na digresi´on,dado el esp´ıritu de nues- tros axiomas. Informalmente hablando, una categor´ıa es una estructura matem´aticaque modela dos nociones b´asicas: estructura y homomor- fismos entre estructuras. Las categor´ıas mismas, en tanto que estruc- turas, determinan varias nociones de homomorfismos entre categor´ıas. En algunas categor´ıas, llam´emoslas cartesianas, pueden modelarse las estructuras ecuacionales, como son los monoides, los anillos, los grupos, los m´odulos,etc. Lo caracter´ıstico de estas estructuras es que sus ax- iomas son conjunciones de ecuaciones, como ser´ıael caso de la teor´ıa de grupos cuyos axiomas se pueden formular mediante las ecuaciones x • e = x = e • x, x • (y • z)=(x • y) • z y x−1 • x = e = x−1 • x. Considerando la familia de las categor´ıascartesianas, es posible encon- trar en cada una de ellas diferentes modelos de monoides, de grupos, de anillos, de m´odulos,etc., y as´ıformular preguntas del estilo: ¿Existe el Grupo? Esta pregunta plat´onicapodemos formularla, rigurosamente, en la si- guiente forma, para el caso de los grupos: ¿Existe una categor´ıacartesiana, llam´emosla C, y all´ıun grupo, llam´e- moslo G, de tal manera que, dada cualquier otra categor´ıa cartesiana D y cualquier grupo H en D, H = F (G), donde F es un homomorfismo de categor´ıas cartesianas de C en D? Como exclam´ouna de mis estudiantes, “esto parece ciencia ficci´on”. No, no es ciencia ficci´on;es la materializaci´onde la idea b´asicade Paul Bernays, desarrollada m´asampliamente en a˜nosrecientes por Joachim Lambek, y la realizaci´ontambi´en de uno de los sue˜nos de G¨odel. Aunque usted no lo crea, existe El Grupo, tambi´enexiste El Anillo; El Conjunto Totalmente Oordenado, etc. Como quien dice, Plat´on,al menos parcialmente, ten´ıaraz´on.Es lo que imaginaba Bernays en su momento, m´aso menos en 1930. ii) La filosof´ıamatem´aticade Kurt G¨odel.Ayud´andonosde la digresi´onque

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hemos hecho sobre las categor´ıas,podemos reformular uno de los sue˜nos de Kurt G¨odel,al menos uno que tuvo durante su periodo plat´onico,en la siguiente forma: Digamos primero que G¨odelsiempre crey´oen la teor´ıa de conjuntos verdadera, aquella que axiomatiza la estructura verdadera de “la cate- gor´ıade los conjuntos”. Su problema, el m´asimportante de todos consistir´ıa entonces en lo siguiente: Supongamos que existe una familia de categor´ıas, llam´emoslas catego- r´ıas de G¨odelo g¨odelianas con la siguiente propiedad fundamental: en una categor´ıa de G¨odelexisten modelos para la teor´ıaZF, es decir, para la teor´ıade conjuntos de Zermelo-Fraenkel, aquella que todos aceptamos como la teor´ıab´asica. Formulamos entonces la pregunta de Plat´on-G¨odel:¿Existe una catego- r´ıag¨odeliana G y all´ı,un modelo para ZF, llamemoslo C, de tal manera que, dada cualquier otra categor´ıa g¨odeliana H y un modelo D de ZF en H exista un morfismo F entre las categor´ıas G y H de tal manera que D = F (C)? Si la respuesta fuera afirmativa, tendr´ıamosque la teor´ıade C ser´ıa,en- tonces, la verdadera teor´ıade conjuntos, la so˜nada por G¨odely puesto que C satisface los axiomas de ZF, la teoria de conjuntos ser´ıaZF + aquellos axiomas que se necesitan para caracterizar C en forma comple- ta. La conjetura fundamental de G¨odelse resumir´ıaen la posibilidad de poder encontrar C, el modelo plat´onicopara la teor´ıade conjuntos. iii) Una cuesti´onde originalidad. En algunas ocasiones, las disputas en el mundo acad´emico, por diferente tipo de razones, se desv´ıande su cauce natural. Con cierta frecuencia, varios investigadores obtienen resultados similares de manera independiente y aparece, en esta forma, una especie de disputa por la paternidad: ¿qui´enfue el primero? Un caso muy conocido, y que ha tenido el mayor de los impactos, es la famosa disputa entre los seguidores de Newton, por un lado, los seguidores de Leibniz, por el otro, ¿Qui´en fue el verdadero descubri- dor o creador del c´alculo?La mejor respuesta no es sino una: ambos. Las dos escuelas llegaron, por caminos diferentes, con m´etodos bien diferentes, a los mismos resultados b´asicos. El relato de Takeuti muestra otro caso bien ejemplar: el primer gran teorema de G¨odel,el de la completitud del c´alculode predicados de primer orden no es de G¨odel,sino del gran matem´aticon´ordicoThoralf Skolem. El historiador Jan van Heijenoort, preparando su famoso libro From Frege to G¨odel, desenterr´oun art´ıculode Skolem de 1922. Seg´un van Heijenoort, el teorema de completitud de la l´ogica cl´asica de primer orden se deduce como corolario de uno de los teoremas del art´ıculode

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Skolem de 1922; Van Heijenoort consult´oa G¨odely la respuesta que ob- tuvo es que no conoc´ıa este trabajo de Skolem. En el mundo acad´emico existen muchos pecados mortales, el m´asgrave, sin ninguna duda, es el plagio. ¿Plagi´oG¨odela Skolem? ¿Qu´e significa plagiar? Plagiar es tomar las ideas de otro haci´endolas aparecer como ideas propias. Esto no fue lo que hizo G¨odel.Ambos, G¨odely Skolem, conocieron el pro- blema de la completitud de la l´ogicade primer orden de dos fuentes diferentes: las famosas propuestas de Hilbert en el Congreso Mundial de Matem´aticasde 1900, y en el libro de Hilbert-Ackermann sobre los principios de la l´ogicay ambos, G¨odely Skolem, trabajando en forma independiente llegaron a la misma conclusi´on:el sistema de axiomas propuesto por Gottlob Frege y Bertrand Russell y perfeccionado por Hilbert es completo; es decir, toda ley cl´asicade primer orden es un teorema en el sistema axiom´aticodeductivo de Frege-Russell-Hilbert y Ackermann. Hemos madurado realmente, no hubo una disputa entre los n´ordicosy los austriacos, entre seguidores de G¨odely seguidores de Skolem, todo ha sido aclarado y el teorema de completitud, aunque no tiene el nombre de ning´unmatem´atico,deber´ıa llamarse teorema de Skolem-G¨odel.Struik ten´ıamucha raz´on,la historia se hace para los matem´aticosde hoy y ma˜nana,para que se aprendan las lecciones que deben aprenderse, para no caer, pongamos por caso, en las disputas bizantinas como la de los newtonianos y leibnizianos, o las que hubo en el Renacimiento entre los matem´aticosque se inventaron el ´algebra.N´oteseque en ninguna de estas disputas se ha perdido alguna vida o alguien ha resultado herido f´ısicamente; aunque s´ımucha gente ofendida. iv) Un matem´aticode dos millones de a˜nos.En la p´agina59 de su libro, Takeuti relata una de las m´aspopulares an´ecdotas sobre Paul Erd¨os. Erd¨ossol´ıadecir: Mi edad es aproximadamente dos millones de a˜nos. Porque cuando ten´ıa 27 a˜nos se dec´ıa que la edad de la tierra era, aproximadamente dos millones de a˜nos. Pero ahora se dice que la edad de la tierra es cuatro millones de a˜nospor lo tanto, mi edad es aproximadamente dos millones de a˜nos. No falt´oel ingenuo que pensara que el bueno de Erd¨osera un retardado mental y entonces le preguntara: “por favor cu´enteme sobre los reptiles y los glaciales”, a lo cual Erd¨osrespond´ıa: “Un hombre viejo recuerda muy bien los viejos tiempos, pero ha olvidado todos los acontecimientos recientes.” Lleg´o,ahora s´ı,el momento de explicar aquello del principio de Struik de colocar los estudios hist´oricosal servicio de la “grandeza de la especie humana”; derrumbemos otro imaginario. ¿Creen ustedes en los santos

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y las santas? Yo tambi´en. Solo que hay muchas formas de santidad: la de las religiones es una, la de los acad´emicos es otra. Erd¨osera un modelo de un santo acad´emico; la Iglesia Cat´olica,muy seguramente, nunca le dar´aeste t´ıtuloal buen Erd¨os;no importa, los acad´emicos tam- poco porque all´ı no existe este calificativo. Erd¨osno recibi´ola medalla Field, como tampoco G¨odel;esto tampoco importa, los t´ıtulosno son lo que interesa, es el tipo de vida que llev´o,completamente ejemplar, con desprendimiento total de todo bien de naturaleza f´ısica o material. Erd¨osten´ıa una manera muy peculiar de repartir su salario, ofrec´ıa recompensa en dinero para quien resolviera alg´unproblema formulado por ´elmismo; con eso mataba dos p´ajarosde un tiro: incentivaba el talento matem´aticoy ayudaba econ´omicamente a alguien que lo nece- sitara. Algo parecido a lo que hac´ıa el profesor Jean Hermosilla en la Universidad Nacional Sede Bogot´a,otro santo a su manera. Hermosilla jam´aspublic´onada sobre nada fue tan solo profesor de matem´aticasy un “santo”; distribu´ıa,tambi´en, su salario entre sus alumnos, aquellos que necesitaran un poco de dinero y adem´aslo merecieran. Engrandecer la especie homo sapiens, dignificarla, es justamente eso, dedicar la vida al servicio de los dem´as,de todos los que necesitan apoyo para avanzar, no solo de quienes reclaman misericordia, sino de todos aquellos cuyo sufrimiento principal es la insaciable sed de conocer. As´ıson algunos de los grandes acad´emicos, hombres y mujeres que re- galan a los dem´assu m´aspreciada riqueza: el conocimiento. Ya veremos otros ejemplos. Terminamos este cap´ıtulo con el siguiente comentario: La palabra me- morias tiene otro uso, se aplica tambi´ena los documentos en los cuales se resumen las ponencias de un congreso o de alg´un evento acad´emico; as´ı,el encuentro de geometr´ıay el encuentro de aritm´eticaque se rea- lizan todos los a˜nos en el mes de junio en la Universidad Pedag´ogica Nacional en colaboraci´oncon la Universidad Sergio Arboleda y bajo la direcci´ony coordinaci´onde Carlos Luque Arias, ha publicado todos los a˜nos sus memorias, y desde su inicio estos documentos son una refe- rencia ´utilpara quienes participan en este tipo de actividades, y para quienes se interesan en la historia de estos eventos. Este evento de la Universidad Pedag´ogicay de la Universidad Sergio Arboleda tiene una caracter´ıstica muy importante: permite la participaci´onde acad´emicos de todas las disciplinas del mundo acad´emico de las matem´aticasy de todos los niveles en matem´aticas;es el ´unicoque acoge ni˜nosy ni˜nas.

58 CAP´ITULO 4

Documentos tipo Autobiograf´ıas y biograf´ıas cortas

Si se hiciera un listado de las memorias escritas por matem´aticos,no se ocu- par´ıamucho espacio; lo mismo ocurre con las autobiograf´ıas.Esto es perfectamente comprensible, ya lo hemos mencionado y no sobra que lo hagamos una vez m´as:es una cuesti´onde dedicaci´on,el oficio del matem´aticoexige mucho tiempo y mucha concentraci´on,al igual que el oficio de historiador; es dif´ıcil ejercerlos simult´anea- mente con calidad. De los principios o axiomas que hemos venido formulando se desprende que los especialistas, conscientes como son de sus responsabilidades, prefieren dejar a otros las tareas para las cuales no est´anpreparados. Pero, existen grandes anfibios, uno de ellos, probablemente uno de los mejores, fue Bertrand Russell excelente matem´atico,fil´osofo,pol´ıtico y escritor, ganador del premio Nobel de literatura en 1950. Allan Wood, estudioso de la obra de Russell se˜nala:

La obra de Russell abarca tantas materias, que probablemente no existe un solo hombre vivo equipado con los suficientes conocimientos acerca de todas ellas para escribir un comentario adecuado con la excepci´on,

59 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

desde luego, del mismo Russell.

Yo no pretendo estar as´ı equipado.

Por supuesto yo mucho menos. Este superanfibio nos sirve tan solo, en este libro, como ejemplo de un matem´a- tico que escribi´ovarios documentos autobiogr´aficos.No es posible referirnos a todos ellos nos limitaremos a uno solamente, y por una raz´onbien simple: nos ha servido de gu´ıaen muchas oportunidades. Se trata de la evoluci´onde mi pensamiento filos´ofico. Esta peque˜na obra maestra la public´oen castellano en 1976 la Alianza Editorial, en la serie El libro de bolsillo, tiene 298 p´aginasy est´adividida en 19 partes; la ´ultimaes un estudio introductorio al pensamiento de Russell que no pudo terminarlo su autor Allan Wood; las otras 18 son:

Nota preliminar 7 1. Esbozo introductor 9 2. Mi concepto del universo en la actualidad 14 3. Primeros esfuerzos 27 4. Excursi´onal idealismo 36 5. Rebeli´onpro pluralismo 55 6. T´ecnica l´ogicaen matem´aticas 66 7. Principia Mathem´atica (aspectos filos´oficos) 75 8. Principia Mathem´atica (aspectos matem´aticos) 88 9. El mundo Externo 105 10. La influencia de Wittgenstein 113 11. Teor´ıa del conocimiento 132 12. Conciencia y experiencia 139 13. Lenguaje 151 14. Universales, particulares y nombres 163 15. Las definiciones de verdad 183 16. Inferencia no demostrativa 199 17. Mi apartamiento de Pit´agoras 218 18. Algunas r´eplicasa la cr´ıtica 225

Con la serie de t´ıtulosde su autobiograf´ıaintelectual surge una pregunta natural: ¿Por qu´ehemos de leer a Russell quienes formamos parte del mundo acad´emico de las matem´aticas? No existe ning´un teorema que lleve el nombre “Teorema de Russell”. Bueno, retornemos a nuestros principios y digamos una vez m´asque la historia de la matem´aticase escribe para los matem´aticosde hoy y del futuro, afirmaci´onque no excluye otro tipo de usuarios; estamos aqu´ı frente a un fil´osofode la matem´atica, creador no de teoremas sino de teor´ıassobre la naturaleza del conocimiento en general y en particular del conocimiento matem´atico;es uno de los creadores de uno de los paradigmas de la filosof´ıamatem´atica,otra de las m´asimportantes

60 Autobiograf´ıasy biograf´ıascortas

ramas de la comunidad acad´emica de las matem´aticas,oficio legal y conveniente y as´ıvale la pena conocer a uno de sus constructores. ¿C´omose hace filosof´ıa matem´atica?.Haci´endola, pero tambi´enestudiando a los cl´asicosde esta disciplina metamatem´atica,como Russell. Un primer ejemplo de lo que pueden ense˜narnosla vida y la obra de Russell podemos tomarlo de la minibiograf´ıa,escrita por el especialista Ray Monk y publi- cada en la maravillosa colecci´onlos Grandes fil´osofos de la Editorial Norma, en la cual apareci´o,tambi´en,la minibiograf´ıade Allan Turing, escrita por otro experto, Andrew Hodges. El trabajo de Monk solo tiene dos cap´ıtulos distribuidos en tan solo 68 p´aginasen formato bolsillo:

1. El sue˜noPitag´orico 9 2. La pesadilla del matem´atico 39 Al puro comienzo, retornando a Russell, se lee lo siguiente en el librito de Ray Monk: Lo primero que me llev´oa la filosof´ıa ocurri´oa la edad de 11 a˜nos. Este fue uno de los grandes sucesos de mi vida tan deslumbrante como un primer amor, no hab´ıa imaginado que hubiera algo tan delicioso en el mundo. Despu´es de haberme aprendido la quinta proposici´on,mi hermano me dijo que en general era considerada dif´ıcil,pero yo no hab´ıa encontrado ninguna dificultad; esta fue la primera vez que se me ocurri´oque yo quiz´apodr´ıa tener algo de inteligencia. Desde aquel mo- mento hasta que Whitehead y yo terminamos Principia Mathem´atica, cuando yo ten´ıa38 a˜nos, la matem´atica fue mi principal inter´es y mi fuente principal de felicidad. Como toda felicidad, sin embargo, no es- taba sin empa˜nar.Se me hab´ıa dicho que Euclides demostraba cosas, y me decepcion´obastante que comenzara por axiomas. En un principio me rehus´e a aceptarlos a menos que mi hermano pudiera ofrecer al- guna raz´onpara hacerlo, pero entonces me dijo: “si no los aceptas no podemos continuar”, y como yo deseaba continuar acept´e Pro Tem. La duda acerca de las premisas de la matem´atica que sent´ı en ese momento permaneci´oconmigo y domin´oel curso de mi trabajo subsiguiente. ¿Qui´enes pueden ser los lectores potenciales de esta formidable declaraci´on?. Los primeros, sin lugar a duda, los educadores matem´aticos.Con su propia experiencia, Russell, uno de los creadores de varias de las disciplinas filos´ofico- matem´aticas,nos ofrece aqu´ı,en pocas palabras, un tratado completo sobre edu- caci´onmatem´atica. Hagamos expl´ıcitas tan solo algunas cosas: 1. Sobre Ray Monk. Es realmente un especialista. Hubiera podido iniciar su libro con otra referencia, pero no, lo hace justamente con esta que hemos

61 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

reproducido con la venia de la Editorial Norma. Eso es lo que sucede con los especialistas: en general dan en el blanco; “El que sabe, sabe” dice un dicho milenario.

2. Un ni˜no de 11 a˜nos leyendo directamente a Euclides, guiado por su hermano mayor Frank, su primer tutor y completamente “deslumbrado” con algo tan delicioso como los elementos de la geometr´ıa de euclides. Cualquier educador matem´aticoserio deber´ıa“deslumbrarse” a su vez con este ejemplo tan “deli- cioso”. Los ni˜nos s´ıpueden aprender matem´aticasserias y deslumbrarse con ello, son deliciosas para ellos, aunque no lo sean para sus maestros. Monk pone otro ejemplo, el de Thomas Hobbes: Ten´ıa40 a˜nos, nos dice Monk, cuando por casualidad encontr´ouna copia de los Elementos abierta en la p´aginadonde se encuentra la demostraci´ondel teorema de Pit´agoras:

Ley´oentonces la demostraci´onque lo remiti´oa otra proposici´on que ley´o.Esta lo remiti´oa otra que ley´o.Et sic deinceps (y as´ı suce- sivamente) hasta que finalmente qued´odemostrativamente conven- cido de esta verdad. As´ı se enamor´ode la geometr´ıa.

Algunos viejos tambi´ense deslumbraron con Euclides. ¿Qu´e hacer con aquellos que le declararon la muerte a Euclides y, en general, a la matem´aticay muy especialmente a las matem´aticaselementales? Tan solo una cosa: informarle a todo el mundo de esta curiosa amenaza. Pero bueno, regresemos a Russell y a su autobiograf´ıa;pero antes reproduzcamos otra importante afirmaci´onrusselliana, tomada de [MR], p´agina16:

Tres pasiones simples, pero abrumadoramente inmensas han gober- nado mi vida: el ansia de amor, la b´usqueda del conocimiento y una insoportable piedad por el sufrimiento de la humanidad. Estas tres pasiones, como grandes vendavales, me han llevado de ac´apara all´a,por una ruta cambiante, sobre un profundo oc´eano de angustia hasta el mismo borde de la desesperaci´on.

Bueno, lo malo de copiar citas es que uno se queda mudo, no vale la pena ning´uncomentario; es m´as,cualquier comentario tiende a da˜nar lo que se quiere decir en lo que se cita. Aun as´ı, digamos lo siguiente: La insoportable piedad por el sufrimiento de la humanidad lo convirti´oen un activista pol´ıtico bastante influyente. Fue encarcelado por su actitud frente al sistema y por su beligerante aunque muy pacifica oposici´ona las dos guerras mundiales; organiz´oy presidi´oel famoso TRIBUNAL RUSSELL contra la guerra en Vietnam, que ayudara extraordinariamente a la finalizaci´onde este conflicto; visit´ola Rusia de Stalin y regres´obastante desencantado, tambi´enviaj´oa la China y no qued´omuy convencido, apoy´oen su momento las luchas de

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las mujeres por alcanzar el derecho al voto; en fin, con toda su capacidad y toda su pasi´on,no descans´oun solo segundo en su denuncia contra la injusticia y contra todo tipo de inequidad; su ansia de amor lo llev´ovarias veces al matrimonio, y su b´usquedadel conocimiento le hizo cambiar, en varias oportunidades, sus diferentes puntos de vista. Un ejemplo bien ilustrativo, acerca de estos cambios, es el que hace referencia a la matem´atica: Pit´agoras pensaba que la matem´atica es el estudio de los n´umeros, y cre´ıaque cada n´umero era una entidad eterna e individual que habitaba en un cielo suprasensible. Cuando yo era joven pensaba algo parecido... pero el estudio diluy´opoco a poco esta creencia... resulta que los n´umeros no son m´asque una conveniencia verbal y desaparecen cuando las proposiciones que parecen contenerlos se escriben en detalle. Buscar los n´umeros en el cielo es por lo tanto tan in´util como buscar “digamos” el ´eter. ...Todas las proposiciones de la matem´atica y la l´ogica son afirma- ciones respecto al uso correcto de un n´umero peque˜no de palabras. Si esta conclusi´ones v´alidaentonces se la puede considerar como un epitafio para Pit´agoras” [MR, p´agina63]. Miren ustedes una de las grandes ventajas de las minibiograf´ıasescritas por expertos: gracias a Ray Monk, gran conocedor de la cultura inglesa de finales de siglo XIX y del siglo XX, se han podido tomar varias citas r´apidamente, aunque sin su permiso, para comprimir ense˜nanzasfundamentales de la vida de Bertrand Russell, que engrandecen la especie humana. La ´ultimaes tambi´enmuy importante, nos muestra a Bertrand Russell, inte- lectual honesto, cambiando su punto de vista en raz´ona nuevos argumentos y proponiendo sus ideas b´asicassobre logicismo y sobre la filosof´ıaanal´ıtica. Todo esto aparece bastante bien elaborado en el cap´ıtulo 7 de su libro La evoluci´onde mi pensamiento filos´ofico, al cual nos referiremos a continuaci´on. Infortunadamente, no conozco al traductor Juan Nobella Domingo. Me parece que ha logrado superar el dif´ıcilreto de mantener el estilo literario de Rus- sell, que es completamente cautivante. Todos los cap´ıtulos resultan de lectura agradable y salvo el cuarto, todos son f´acilesde entender, son elementales. Como antes, nos interesan algunos aportes b´asicos: Russell sobresale como uno de los creadores de teor´ıasfilos´oficasy filos´ofico matem´aticas. Russell junto con Gottlob Frege, son los creadores de la teor´ıa filos´ofico matem´aticaconocida con el nombre de logicismo. Nos detendremos un poco en este t´opico. Ante todo, algunas afirmaciones de Russell.

63 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

Una funci´onproposicional es una expresi´onque contiene una va- riable y que se convierte en proposici´ontan pronto se asigna un valor a la variable, Por ejemplo “x es un hombre” es una fun- ci´onproposicional. Si en lugar de x ponemos S´ocrates o Plat´ono cualquier otro, obtendremos una proposici´on. Tambi´enpodemos reemplazar x por algo que no sea un nombre pro- pio y tambi´enobtendremos una proposici´on.No representa nada por s´ımisma. Pero puede formar parte de una frase que diga algo verdadero o falso: “x fue un ap´ostol”no dice nada, pero “hay doce valores de x para los cuales ‘x fue un ap´ostol’es verdadero”, es una frase completa.

Estas definiciones informales perfectamente inteligibles, nos proporcionan el fundamento de todo el logicismo; hay varias claves: 1) las proposiciones y las funciones proposicionales, ambas son entidades l´ogicas;2) las variables que desde Arist´otelesdesempe˜nan una funci´onl´ogicafundamental. M´asadelante, en el mismo libro, aparecen otras ideas cruciales; 3) relaciones, y 4) tipos l´ogicos.Las variables tienen tipos; por ejemplo, tipo proposicional, como en la funci´onproposicional de dos argumentos, “φ es equinumerable con ξ”; cuyo significado es: existe una correspondencia biyectiva entre los elementos del conjunto “extensi´onde φ” con los elementos del conjunto “extensi´onde ξ”. La extensi´onde una funci´onpropocisional p(x) son todos los individuos c para los cuales p(c) tiene sentido y es verdadera. Y ahora la definici´onde “cero”. Cero es la funci´onproposicional: “φ es una funci´onproposicional de un ar- gumento y para todo x, φ(x) es falso”. Una de tales φ es la funci´on“x =6 x”; seg´un esta definici´on,cero no es una entidad abstracta existente en un mundo ideal, es una entidad l´ogica,una funci´onpropocisional. Esta l´ıneade argumentaci´on,construida tambi´enpor Gottlob Frege, condujo a Russell a otro de sus aportes fundamentales a la l´ogica: La famosa paradoja de Russell y su teor´ıade tipos tan fundamentales a la hora de reconstruir las teor´ıasmatem´aticas.Limit´emonosa parafrasearlo.

Llegu´e a esta contradicci´onal considerar la prueba de Cantor de que no existe un n´umero cardinal mayor que todos. Yo pensaba, en mi inocencia, que el n´umero de todas las cosas que existen en el universo debe ser el n´umero m´asgrande posible y apliqu´esu prueba a este n´umero para ver qu´e ocurr´ıa. Esta operaci´onme llev´oa considerar una clase muy peculiar. Pensando dentro de la l´ınea que hasta entonces hab´ıa parecido ade- cuada, me parec´ıa que una clase es a veces , y a veces no es, un miembro de si misma. La clase de las cucharillas, por ejemplo, no

64 Autobiograf´ıasy biograf´ıascortas

es otra cucharilla, pero la clase de las cosas que no son cucharillas si que es una de las cosas que no son cucharillas. Parec´ıahaber ejemplos que no eran negativos; por ejemplo, la clase de todas las clases es una clase. La aplicaci´ondel argumento de Cantor me llev´oa considerar las clases que no son miembros de s´ı mismas; y si esta clase es un miembro de s´ı misma o no. Si es un miembro de s´ı misma, debe poseer la propiedad definitoria de la clase, que es no ser un miembro de la misma. Si no es un miembro de s´ı misma, no debe poseer la propiedad definitoria de la clase y, por lo tanto, debe ser miembro de s´ı misma. As´ı, cada alternativa conduce a la contraria, y hay una contradicci´on. Al principio pens´e que deb´ıa de haber alg´un error trivial en mi ra- zonamiento. Examin´e cada paso con un microscopio l´ogico, pero no pude descubrir nada incorrecto. Escrib´ı a Frege acerca de ello, y me replic´oque la aritm´etica se tambaleaba y que ahora ve´ıa que su ley V era falsa. Frege qued´otan desasosegado por esta con- tradicci´onque dio de lado el intento de deducir la aritm´etica de la l´ogica al cual, hasta entonces, hab´ıa dedicado principalmente su vida. Como los pitag´oricos cuando tropezaron con los inconmen- surables, busc´orefugio en la geometr´ıa y al parecer consider´oque el trabajo de su vida hasta aquel momento hab´ıa estado mal orien- tado. Por mi parte, me di cuenta que la dificultad resid´ıa en la l´ogica m´asque en las matem´aticas, y era la l´ogica lo que hab´ıa de reformarse. Me confirm´e en esta opini´onal descubrir una f´ormu- la por medio de la cual pod´ıaformarse un n´umero estrictamente infinito de contradicciones. Los fil´osofosy los matem´aticos reaccionaron de varias maneras ante esta situaci´on.Poincar´e, a quien desagradaba la l´ogica mate- m´atica y que la hab´ıa acusado de est´eril, exclam´ocon regocijo: “ya no es est´eril, genera contradicciones”. Todo esto estaba muy bien pero no aportaba nada a la soluci´ondel problema. Algunos otros matem´aticos que rechazaban a Georg Cantor adoptaron la solu- ci´onde la liebre de marzo: “estoy cansado de esto; cambiemos de tema”. Tambi´enesto me pareci´oinadecuado. Sin embargo, despu´es de alg´un tiempo se produjeron algunos intentos serios de soluci´on por parte de hombres que comprend´ıan la l´ogica matem´atica y que se daban cuenta de la imperativa necesidad de una soluci´onen t´erminosde l´ogica. El primero de ellos, F. P. Ramsey, cuya tem- prana muerte dej´oincompleto su trabajo, por desgraciada. Pero durante los a˜nos anteriores a la publicaci´onde Principia Mathe- m´atica no tuve la suerte de conocer esos ´ultimosintentos de solu- ci´ony qued´e virtualmente solo con mi aturdimiento. Exist´ıan antiguas paradojas, algunas de ellas conocidas por los

65 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

griegos que daban lugar a lo que a m´ıme parec´ıan problemas se- mejantes, aunque algunos escritores que me siguieron las consi- deraban de un car´acterdistinto. La m´asconocida de ellas es la de Epim´enides, el cretense que dijo que todos los cretenses eran embusteros, haciendo que la gente se preguntara si estaba mintien- do cuando eso dijo. Esta paradoja puede verse en su forma m´as simple si un hombre dice: “estoy mintiendo”. Si es una mentira que est´e mintiendo, est´adiciendo verdad; y si est´adiciendo la ver- dad est´amintiendo, porque es eso lo que dice que est´ahaciendo. La contradicci´ones inevitable. Tal contradicci´onfue citada por San Pablo (Tito,1,20), quien sin embargo, no se interesaba por su aspecto l´ogico sino en la demostraci´onde que los gentiles eran perversos. Pero los matem´aticos pod´ıan dar de lado tales viejos enigmas que nada tienen que ver con su tema, aunque no pueden ignorar hon- radamente la cuesti´onde si existe un n´umero cardinal o un n´umero ordinal mayor que todos, problemas ambos que los llevan a con- tradicci´on. La contradicci´onacerca del ordinal m´asgrande fue descubierta por Burali-Forti antes que yo descubriera mi contradicci´on;pero el asunto, en su caso, era mucho m´ascomplejo, y yo me permit´ıpor ellos suponer que hab´ıa alg´un error poco importante en el razo- namiento. En todo caso, su contradicci´on,con ser mucho menos simple que la m´ıa, parec´ıa a primera vista mucho menos devasta- dora. Al final, sin embargo, hube de admitir que era tan seria como la m´ıa.

Mientras buscaba una soluci´on,pens´e que esta hab´ıa de reunir tres prop´ositospara que fuese totalmente satisfactoria. El primero, ab- solutamente imperativo, que las contradicciones hab´ıan de desa- parecer. El segundo, altamente deseable, aunque no l´ogicamente obligato- rio, que la soluci´onhab´ıa de dejar intactas las matem´aticas en la mayor parte posible. El tercero, dif´ıcil de expresar con precisi´on, que la soluci´onal reflexionar hab´ıa de llamar a lo que puede de- nominarse “sentido com´unl´ogico”, esto es que hab´ıa de parecer al final precisamente lo que uno deb´ıa haber esperado siempre, de estas tres condiciones, la primera est´areconocida universalmente por supuesto. La segunda, sin embargo, es rechazada por una gran escuela que mantiene que grandes partes del an´alisisno son v´ali- das como est´an.La tercera condici´onno se considera esencial por lo que se conforman con la destreza l´ogica. El profesor Quine, por ejemplo, ha expuesto sistemas que admiro grandemente en m´eri-

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tos de su habilidad, pero que no puedo estimar satisfactorios porque parecen estar creados ad hoc, y no ser los que ni a´unel l´ogico m´as inteligente hubiese podido pensar si no hubiese sabido de las con- tradicciones. Sin embargo, sobre este tema se ha desarrollado una inmensa y muy abstrusa literatura, y no digo m´asacerca de sus puntos m´assutiles. En cuanto al tercero de los requisitos que hab´ıa de reunir la solu- ci´oninsinu´euna teor´ıa que no parece haber sido bien acogida por otros l´ogicos, pero que todav´ıa me parece v´alida.Esta teor´ıa es co- mo sigue: cuando afirmo todos los valores de una funci´on f(x), los valores que x puede tomar deben ser definidos, si lo que estoy afirmando ha de ser definido, es decir, que ha de haber un deter- minado total de posibles valores de x. Si ahora creo nuevos valores definidos en t´erminos de ese total, dicho total aparece por ello au- mentado y, en consecuencia, los nuevos valores que a ´else refieren se referir´ana ese total aumentado. Pero puesto que han de ser incluidos en su totalidad, nunca puedo alcanzarlos. El procedimiento es como tratar de saltar sobre la som- bra de la propia cabeza. Podemos dar un ejemplo sencillo de esto con la paradoja del men- tiroso. El embustero dice: “Todo lo que afirmo es falso”. Esta es, en realidad, una afirmaci´onque el hace, pero se refiere a la totali- dad de sus afirmaciones, y solamente si incluimos esta afirmaci´on en su totalidad resulta la paradoja. Tenemos que distinguir entre proposiciones que se refieren a un determinado total de proposi- ciones, que nunca pueden ser miembros de esa totalidad; podemos definir como proposiciones de primer orden las que no se refieren a una totalidad de proposiciones; proposiciones de segundo orden, a las que se refieren a totalidades de proposiciones de primer orden yas´ı sucesivamente ad infinitum; de este modo, nuestro mentiroso habr´ade decir ahora: “Estoy afirmando una falsa proposici´onde primer orden que es falsa.” Pero esto es en s´ı una proposici´onde segundo orden. Y as´ı no est´aafirmando una proposici´onde primer orden. Lo que dice as´ı es simplemente falso y se viene tambi´en aba- jo el argumento de que tambi´en es cierto; exactamente el mismo razonamiento se aplica a cualquier proposici´onde orden superior. Se ver´aque en todas la paradojas l´ogicas hay una especie de auto- rreferencia reflexiva, que ha de condenarse por las mismas razones; es decir, porque incluye como miembro de una totalidad algo que se refiere a dicha totalidad y que solo puede tener un significado concreto si la totalidad est´aya determinada.

La tentaci´onde reproducir aqu´ı, para beneficio del lector, otras secciones

67 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

del libro de Russell es muy grande pero, para los prop´ositosque buscamos, con las frases que hemos tomado tenemos ya suficiente ilustraci´onsobre el estilo y el contenido de esta peque˜na obra. Como el nombre lo indica, es una autobiograf´ıaintelectual, y as´ıno se relatan all´ıvivencias relacionadas con la vida de Russell como ciudadano sino m´asbien como acad´emico. No aparecen en el libro sucesos importantes en la vida cotidiana del autor, como los que tienen que ver con sus matrimonios; figuran m´asbien personajes como Whitehead o Wittegenstein y hechos relacionados con las investigaciones adelantadas por Russell con cada uno de ellos; hay un cap´ıtulo completo dedicado al segundo autor. En cada uno de los diferentes cap´ıtulos, Russell presenta, en forma contex- tualizada y muy elemental, los diferentes aportes que ´elhizo a la filosof´ıa de la matem´aticao a la filosof´ıa,y que seg´un su manera de entender son importantes. En este sentido, los cap´ıtulos 7 y 8 est´andedicados a lo que posteriormente se ha conocido con el nombre de logicismo. A estos cap´ıtulos pertenecen las citas que hemos tomado de ese escrito y que muestran el convencimiento de Russell acerca de la necesidad de refor- mular toda la l´ogicay de fundamentar la matem´aticaen esta disciplina. El argumento fundamental es bien claro: la matem´aticase fundamenta en la teor´ıa de colecciones y esta ´ultimaes contradictoria. Russell encontr´oun aliado muy poderoso en David Hilbert, quien por su parte, y desde un pun- to de vista diferente, emprendi´ola tarea de reorganizar todo el edificio de las matem´aticas,reconstruyendo, una por una, las diferentes teor´ıas cono- cidas en su ´epoca de esta disciplina. Russell aparece, entonces, como uno de los promotores e iniciadores de este proceso de reorganizaci´ony de fun- damentaci´on,es un actor fundamental en esta “ruptura epistemol´ogica”.El papel de Russell en todo esto lo explica muy bien ´elmismo en su libro. El relato es mucho m´ascompleto en otra obra de mayor alcance titulada simplemente Autobiograf´ıa. Como otro ejemplo interesante mencionamos la autobiograf´ıade Saunders MacLane, publicada en ingl´es por la editorial A.K. Peters, y cuyo titulo es A mathematical autobiography. Este simp´aticolibro tiene quince partes:

1. Primeros a˜nos. 2. Primeras experiencias docentes. 3. Investigaci´onen colaboraci´on. 4. Los a˜nosde guerra. 5. Eilenberg y MacLane. 6. A˜nosen Harvard. 7. Chicago en los cincuenta. 8. Desarrollos matem´aticos. 9. La Academia Nacional de Ciencias.

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10. Los sesentas y siguientes. 11. La pol´ıtica nacional sobre ciencias. 12. Doce viajes. 13. Asesor´ıasacad´emicas. 14. Ultimos´ desarrollos. 15. Contemplando.

Adem´asde estas quince partes el libro se inicia con un prefacio escrito por uno de los m´assobresalientes disc´ıpulosde MacLane: el ge´ometray matem´aticoDavid Eisenbund. Hay adem´asuna nota del editor. Eisenbund, iniciando el prefacio es- cribe lo siguiente:

Saunders MacLane ha sido mi maestro, mentor y modelo desde el inicio de mi vida como matem´atico. Ha sido una relaci´onmuy especial para m´ı. El´ ha sido para m´ı una figura de una gran honestidad e integridad, que ha realizado un trabajo muy fuerte para avanzar la investigaci´on y servir a la comunidad matem´atica. Sus creencias sobre el bien, lo correcto y lo racional, su inter´esen la esencia de las ideas matem´aticas, su enorme entusiasmo y su gran optimismo fueron y han sido un gran atractivo para m´ı.

¿Qu´e aspectos de la vida de este santo podemos comentar? Tal vez baste con decir simplemente que la autobiograf´ıade MacLane deber´ıamos leerla todos los interesados en el mundo de la matem´aticay en particular en el de la educaci´on matem´atica.Infortunadamente, no todos podemos acceder con facilidad a este tex- to y as´ıvale la pena hacer algunos comentarios que de manera inevitable truncan la riqueza del escrito original. MacLane fue un gran matem´aticoy un excelente administrador acad´emico, un bur´ocrataacad´emico ejemplar. En varios cap´ıtulos de su autobiograf´ıase refiere a esta actividad como algo fundamental en el proceso de fortalecimiento y desa- rrollo de la actividad acad´emica; ´elmismo desempe˜n´ovarios cargos, entre ellos, presidente de AMS (American Mathematical Society). El cap´ıtulo 46 lo dedica MacLane a comentar su experiencia en la AMS, en especial como presidente, du- rante el periodo 1972-1974. Cuenta all´ı que su esfuerzo principal estuvo dirigido hacia la pol´ıticacient´ıficay a lograr que los acad´emicos, a trav´esde sus organi- zaciones, pudieran intervenir en el dise˜no y la ejecuci´onde estas pol´ıticas. Seg´un MacLane, este fue el principal objetivo de su actividad como presidente de la AMS. El balance que ´elmismo hace es muy satisfactorio, pues de hecho logr´ova- rios prop´ositos,uno de los cuales, muy importante, fue la unificaci´onde esfuerzos con la MAA (Mathematical Asociation of America) y la NAS (National Academy of Science) para la participaci´onen el dise˜node la pol´ıticagubernamental sobre ciencia y tecnolog´ıa. Las organizaciones acad´emicas en Estados Unidos de America y otros pa´ıses son bastantes poderosas y contribuyen de una manera fundamental al desarrollo de este importante ´ambito de la cultura: el acad´emico. En los pa´ıses

69 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

como el nuestro, estas organizaciones son muy d´ebiles porque son pa´ısesmanejados por politiqueros a quienes el desarrollo acad´emico no les interesa. Como lo se˜nala muy bien MacLane en su autobiograf´ıa,la administraci´ones una de las compo- nentes fundamentales de este mundo tan particular; se requiere administraci´on, pues sin organizaciones especializadas como las universitarias, los institutos, las escuelas y facultades, las sociedades, los grupos acad´emicos, etc., no es posible el desarrollo de las actividades propias de la investigaci´ony ojal´alos administradores sean tambi´en acad´emicos. Terminemos de referenciar a MacLane con una an´ecdotaque ilustra otro punto fundamental. Tiene que ver con otro de los grandes creadores de la teor´ıa de categor´ıas, el profesor William Lawvere, quien visit´onuestro pa´ıs hace un buen n´umerode a˜nos.El propio MacLane la describe en su autobiograf´ıaen el capitulo 31. Lawvere aprendi´olos fundamentos de la teor´ıa de categor´ıas con Einlenberg en Indiana y, seg´unMacLane, Lawvere redescubri´opor su propia cuenta varios de los conceptos b´asicosde esta teor´ıa,entre ellos el de adjunci´on. Una de las primeras grandes ideas de Lawvere fue aquella de reconstruir la teor´ıade conjuntos tomando como base la Teor´ıa de Categor´ıas,lo cual presupone una idea “contraevidente”: los conjuntos no est´andeterminados por sus elementos. Lawvere viaj´oa Nueva York a estudiar con Eilenberg y le propuso a este ´ultimosu proyecto. Sammy le coment´ola idea a MacLane en una de las visitas que este usualmente le hac´ıa a Eilenberg para trabajar conjuntamente. En una de las entrevistas de Lawvere con MacLane, este ´ultimole coment´o:“Bill, esto no puede funcionar. Usted no puede trabajar con los conjuntos sin lo b´asico,los elementos”. Meses despu´es,Eilenberg le entreg´oa MacLane la tesis de Lawvere recomen- d´andoleque la leyera con mucha atenci´on.El comentario de MacLane sobre este trabajo fue el siguiente:

Incluye una fundamentaci´onde la matem´atica basada en axiomas (sin elementos) para la categor´ıa de los conjuntos y de las funciones. Adi- cionalmente, hay all´ıuna nueva manera de hacer ´algebra: en lugar de iniciar con una colecci´onde operaciones n-arias para varios n, hay una clara formulaci´onutilizando una categor´ıa donde los objetos son n´umeros naturales n, donde n es el co-producto de n unos, y con las flechas proyecci´on n → 1, incluyendo de esta manera todas las ope- raciones n-arias del ´algebra. En otras palabras, Lawvere ha utilizado la idea b´asica de categor´ıa de una manera que va mucho m´asall´adel prop´ositoinicial; en particular, se incluye esta sorprendente y diferente manera de mejorar los fundamentos de la matem´atica. Ni Sammy ni yo hab´ıamos contemplado esta posibilidad.

¡Que lecci´ontan maravillosa! Los creadores de la teor´ıade categor´ıas,Eilenberg y MacLane, aconsejan al nuevo creador que abandone. Naturalmente, una recomendaci´onno equivale a una negativa total, as´ı lo entendieron los tres y por eso Lawvere continu´osus

70 Autobiograf´ıasy biograf´ıascortas

investigaciones bajo la direcci´onde Eilenberg primero y luego con el apoyo de ambos. Vale la pena se˜nalar,como un comentario final, que MacLane junto con Ieke Moerdijk son los autores de uno de los libros m´ascompletos en los cuales se exponen los fundamentos de las ideas que siguieron al invento de Lawvere. Moerdijk es junto con Andr´eJoyal, uno de los creadores de la “teor´ıaalgebraica de conjuntos” que permite definir las categor´ıas g¨odelianas.

71 CAP´ITULO 5

Documentos tipo biograf´ıas

Dentro de esta modalidad de trabajo, una de las investigadoras m´asconocidas en el mundo acad´emico de las matem´aticases la profesora Constance Reid, autora de tres grandes biograf´ıas:la de David Hilbert, la de Richard Courant y la de Jerzy Neyman. Recientemente se public´ola biograf´ıa,m´ascorta, de Julia Robinson, hermana de Constance. Reid es un caso muy especial por multitud de razones, ante todo por una que parece contradecir nuestros principios b´asicos:su formaci´onprofesional no fue dentro del mundo acad´emico de las matem´aticas;se gradu´ocomo master en Idiomas, con especialidad en ingl´es,en la Universidad de California en Berkeley ,y ense˜n´oingl´esen los colegios de San Diego hasta 1950, cuando contrajo matrimonio e inici´ocon mayor concentraci´onsu proceso de inculturaci´onmatem´aticagracias a la influencia de su cu˜nado Ralph y de su hermana Julia Robinson. En la entrevista hecha por Gerald Alexanderson para la obra Mathematical people. Profile and interviews [AD & GLA], Reid relata sus inicios matem´aticosde la siguiente forma:

Un d´ıa mi hermana me inform´osobre un programa que mi cu˜nado hab´ıa corrido en un computador. En aquella ´epoca -era 1951 o 1952- los computadores estaban apenas iniciando. Me produjo mucha fascinaci´on la idea de que uno de ellos estuviera siendo usado para responder a una pregunta que los griegos hab´ıan planteado -una pregunta que incluso yo pod´ıa entender. Escrib´ı entonces un art´ıculo y lo envi´ea la revista

72 Biograf´ıas

Scientfic American, que lo acept´ojusto antes de que naciera mi primer hijo en octubre de 1952. Antes que nada, algo que no podemos pasar por alto: a muchos acad´emicos, como Constante Reid, les fascina la matem´atica,y los matem´aticosno les paran muchas bolas porque aquellos no pasan del nivel elemental. ¡Esto es algo fatal! Por fortuna, Reid ten´ıa a su lado a su hermana y a su cu˜nado y pudo as´ı enriquecer sus intere- ses matem´aticos;tuvo dos mentores que la ayudaron a enriquecer su formaci´on matem´atica. ¿Cu´antos a˜nostendr´ıaReid cuando inici´osu recorrido por el mundo acad´emico de las matem´aticas?Poco importa, lo interesante es que se fascin´ocon un tema matem´aticoelemental e inici´oel viaje que la ha llevado a convertirse en una de las m´asimportantes historiadoras de esta disciplina. En lugar de contradecir nuestros principios, los ratifica. Reid es una extraordinaria anfibia, es una experta en el idioma ingl´esy ha dedicado esa habilidad a escribir varias extraordinarias piezas literarias cuyo contenido est´arelacionado con el mundo acad´emico de las matem´aticasque ella conoce muy bien, y que ha estudiado con bastante rigor, especialmente a nivel elemental. Despu´esde su primera publicaci´onen la Scientific American, Reid fue invitada a escribir un libro sobre los n´umeros,hecho que sorprendi´obastante a nuestra au- tora; pero, como ella misma lo enfatiza, acept´opues contaba con la asesor´ıade sus dos famosos familiares: el matrimonio Ralph Robinson y Julia, la hermana de Cons- tance. Este primer libro se public´ocon el t´ıtulo Del cero al infinito cuyo contenido es muy elemental. Y desde entonces no ha habido poder humano que obstaculice a Constance Reid su maravillosa traves´ıapor el mundo de las matem´aticas.Otro comentario crucial: el infinito (lo infinito en realidad) es una tem´aticaque alcanza a toda persona con cierto grado de sensibilidad, es un tema que fascina. ¿C´omolleg´oReid al g´enero biogr´afico?Una vez m´asgracias a la influencia de su hermana Julia, quien le sugiri´oescribir un libro de biograf´ıas cortas de matem´aticosdel siglo XX, cuyos nombres aparecen en los diferentes temas que se estudian de las universidades, entre ellos Volterra, Poincare, Picard, Hilbert, etc. Y como ella misma lo dice en la entrevista que hemos mencionado: Deseaba una buena muestra de internacionalidad. Esa fue una de mis primeras consideraciones. Recordaba que Birkhoff y Veblen eran ame- ricanos. Naturalmente hab´ıa escogido a Hilbert. No inclu´ı a Poincare, porque E.T. Bell ya lo hab´ıa seleccionado. Escrib´ı peque˜nas biograf´ıas de cada uno de estos personajes. Cuando inici´e la de Hilbert, r´api- damente me di cuenta que necesitaba muchas, muchas p´aginaspara mostrar las importantes realizaciones de este matem´atico. Ten´ıa, ade- m´as,una atracci´onespecial por ´elque no compart´ıapor los otros, y ve´ıa en su obra una gran importancia hist´orica. Decid´ı,entonces, que deb´ıa escribir todo un libro sobre ´el. Y un poco m´asadelante, en la misma entrevista con Alexanderson, Reid explica:

73 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

...la raz´onpor la cual me llama la atenci´onescribir sobre matem´aticos como Hilbert es porque son individuos cuya personalidad y estilo de vida forman parte real de sus contribuciones a la matem´atica. Este tipo de declaraciones ayudan a comprender las motivaciones de una persona al escoger una determinada actividad. En el caso de Reid, mirando desde fuera al mundo acad´emico de las matem´aticas,encuentra situaciones interesantes que tal vez no le llaman la atenci´ona una persona del medio que muy seguramente encontrar´ıael estilo de vida y la personalidad de Hilbert como algo por completo normal y quiz´asirrelevante. Las biograf´ıas de Reid, sin dejar de lado la obra cient´ıficade las personas biografiadas, hacen bastante ´enfasisen la inmensa labor como creadores de organizaciones acad´emicas y de grupos de investigaci´on,tanto en el caso de Hilbert como en el de Courant y Neyman. Ilustremos un poco la actividad investigativa de Reid con algunos aspectos de la biograf´ıade Neyman. El prefacio del libro es ya muy iluminador; cuenta all´ıla autora la cantidad de tareas que debi´orealizar para recoger la informaci´onnecesaria para su libro: entre- vistas con el propio Neyman, quien falleci´oel 5 de agosto de 1981, con varios de sus colaboradores acad´emicos y administrativos, con varios de sus alumnos y amigos y con algunos de sus familiares. Cualquiera puede entender la gran exigencia, en tiempo y en dedicaci´on,de este tipo de tareas imposibles de realizar si no se tiene concentraci´ony disciplina. Adem´as,tuvo la necesidad de realizar innumerables visitas a bibliotecas p´ublicas y particulares que le permitieron consultar documen- tos con informaci´onindispensable y valiosa. El libro de Reid apareci´opublicado en 1982; infortunadamente Neyman no lo conoci´o,aunque s´ıtuvo la oportunidad de leer partes del mismo en los manuscritos preliminares. Este libro es una especie de pretexto para presentar varios de los m´asimportantes acontecimientos de la his- toria de la estad´ısticay de la estad´ısticaMatem´aticay en los cuales particip´oeste eminente hombre de ciencia. La estructura del libro, que no tiene ´ındice,es poco usual, no est´adividido en cap´ıtulos sino en periodos temporales de uno o varios a˜nos,y estos periodos no est´anorganizados estrictamente en un orden temporal. Por ejemplo, el libro se inicia con 1978, contin´uacon 1894-1906, siguen 1906-1912, luego 1912-1914 y as´ıhasta 1919-1921 despu´es de lo cual vuelve y aparece 1978. Estos a˜nos se van intercalando hasta llegar a 1979, 1961-1964, 1964-1969, 1969-1979, 1979. En esta forma la estructura del libro es la siguiente: (A) Las partes tituladas 1978, 1979 corresponden a aquellos momentos en los cuales Reid visit´oy entrevist´oa Neyman en su sede laboral o en su casa, para tratar uno o m´asaspectos con la vida del biografiado, o hizo entrevistas a otros personajes claves. Por ejemplo, en el 1978 que se inicia en la p´agina71 y termina en la p´agina73, la autora hace relaci´ona un tema fundamental: la no linealidad de la creaci´onacad´emica; aparecen all´ı cuatro actores, Reid, Erich Lehmann, alumno de Neyman en Berkeley y autor del texto b´asicosobre la contrastaci´onde hip´otesis, Egon Pearson otro de los grandes en estad´ısticamatem´aticay el propio Neyman.

74 Biograf´ıas

El tema central de este 1978 son las cartas a Egon Pearson, escritas por Neyman en los a˜nosiniciales de la relaci´onente estos dos eminentes cient´ıficos.Reid mani- fiesta un poco de curiosidad en relaci´oncon la actitud de Neyman frente a estas cartas; este ´ultimono muestra demasiado entusiasmo hacia ellas a pesar de su gran importancia hist´orica.Reid, conociendo muy bien sus propias limitaciones, solicita el apoyo de Lehmann y ambos descubren varias cosas muy aleccionado- ras: las cartas son un poco confusas y hay all´ıvarias apreciaciones equivocadas. Poco importan los detalles t´ecnicos,lo fundamental all´ı son varios asuntos: 1) la relaci´onPearson-Neyman produjo varios de los grandes teoremas de la estad´ıstica matem´atica;2) la discusi´onentre Pearson y Neyman de los diferentes asuntos que trataron conjuntamente no siempre fue clara y tampoco definitiva en cada momen- to, evolucion´onaturalmente y tuvo periodos de gran confusi´on,y en muchos casos, tanto el uno como el otro manejaron puntos de vista err´oneos;3) en la ´epoca en la cual se escribieron estas cartas, la herramienta epistolar continuaba siendo el prin- cipal medio de comunicaci´onentre las personas y muy particularmente entre los acad´emicos, las cartas constituyen una de las m´asvaliosas fuentes de informaci´on para los historiadores como se muestra en este caso de la relaci´onentre Neyman y Egon Pearson. Este importante medio de interacci´onest´asiendo transformado por internet, pero seguir´asiendo un medio de interacci´onmuy ´utile importante. (B) En las partes tituladas con dos a˜nos,la autora presenta algunos sucesos importantes en la vida de Neyman ocurridos durante ese periodo. Tomemos tan solo un ejemplo: 1934-1937 (desde la p´agina141 hasta la p´agina148). Seg´un la autora, 1934 es el a˜no en el cual se inician los acontecimientos b´asicosque con- dujeron a la vinculaci´onde Neyman con la Universidad de California en Berkeley y que cambiaron “dram´aticamente” el rumbo de los estudios estad´ısticosen los Estados Unidos de Norteam´erica: 1. En julio de 1934 se posesiona Griffith Evan como director del Departamento de Matem´aticasen Berkeley. 2. En el mismo mes de julio de 1934 se publica el art´ıculo Sobre la teor´ıa estad´ısticade los errores; cuyos autores son W.E. Deming del Departamento de Agricultura de los Estados Unidos, y Raymond Birge del Departamento de F´ısicade la Universidad de California en Berkeley. 3. En ese mismo a˜nose inicia el largo y tortuoso proceso de b´usqueda de un buen candidato para contratarlo como investigador en estad´ısticamatem´aticaen la Universidad de California en Berkeley, b´usqueda en la que participan Evans, Deming y Birge. En medio de esta actividad estos tres investigadores fortalecen relaciones con el centro mundial de la estad´ısticade la ´epoca: The University College of London. En este centro desarrollaron buena parte de sus carreras acad´emicas Karl Pearson y R.A. Fisher, considerados como los grandes creadores de las disciplinas estad´ısticasb´asicas. En el relato de Reid aparecen hechos interesantes entre los cuales destacamos las diferentes opiniones de Deming, como consecuencia de sus visitas a Londres,

75 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

sobre Fisher, K. Pearson, E. Pearson y Neyman. Evans, Deming y Birge se in- teresaron en Fisher como un posible candidato pero aparecieron dudas sobre “... el mayor estad´ısticovivo” de la ´epoca en raz´ona las debilidades como expositor. Neyman entr´oa la lista de candidatos gracias a su relaci´oncon Egon Pearson y a las recomendaciones de varios acad´emicos reconocidos, entre ellos el economista Michat Kaleki, quien, al refirirse a Neyman expresaba que era el mejor estad´ıstico matem´aticodel continente.

4. Evans tom´ola decisi´onde vincular a Neyman en noviembre de 1937 y el 10 de ese mes le envi´ola carta de invitaci´onal Dr. “John Neyman” del University College. A lo largo del libro de Reid, de 298 p´aginas,se evidencia el porqu´ela autora considera que la llegada de Neyman a Berkeley se constituy´oen el hecho principal del largo proceso que condujo a la transformaci´onde los estudios estad´ısticosen los Estados Unidos. No es posible resumir la gigantesca obra de Neyman, pero digamos que ´eles el creador del Laboratorio de Estad´ısticade la Universidad de California en Berkeley, desde donde los equipos de investigaci´onorganizados en este centro, liderados inicialmente por Neyman, penetraron el mundo de la agricultura, la bacteriolog´ıa, la biolog´ıa,la cosmolog´ıa,la medicina, la ciencia militar, la ciencia del clima, etc. En vida, Neyman recibi´ovarios premios en reconocimiento a su labor, entre ellos la Medalla Nacional de Ciencias. Sin embargo, digamos que el mayor de los homenajes es esta biograf´ıa de una de las mejores historiadoras de la matem´atica de los ´ultimosa˜nos. En el libro de Reid no aparece ni una sola ecuaci´on.Esto no implica que all´ı no pueda encontrarse informaci´onsobre la obra cient´ıficade varios de los creadores del mundo acad´emico de la estad´ısticay la estad´ısticamatem´atica. Es un libro para glorificar a la especie humana y para comprender c´omo,a pesar de las debilidades de los hombres y de las mujeres, algunos de ellos y de ellas logran construcciones de inmenso valor. A trav´esdel libro admiramos no solo a Neyman, sino tambi´en a Reid, que paciencia y que dedicaci´on,es indudablemente una santa, una mujer ejemplar. Cada p´aginaesta llena de peque˜nas pero grandes emociones: En la p´agina179 se dice:

Era s´abado en la tarde cuando vi a Pearson por primera vez y ar- regl´e que nos encontr´aramos tambi´enel domingo. Muy temprano en la ma˜nana, a´un no hab´ıa desayunado, son´oel tel´efono en mi habitaci´on en Spread Eagle en Midhurst. “Constance soy Egon”.

No s´esi qued´obien la traducci´onque he hecho; ya lo he dicho muchas veces, no importa, lo interesante es sentir lo que sienten Constance y Egon cuando se en- cuentran la primera vez, obviamente Reid no necesita decirlo de manera expl´ıcita, basta simplemente con describir el hecho. Es el lector quien debe deducirlo tem- blando; se encuentran por primera vez dos grandes del mundo acad´emico de las matem´aticas,en este caso alguien del lado de la estad´ısticacon alguien del lado de

76 Biograf´ıas

la historia; hay que leer y al mismo tiempo imaginar, dos seres humanos ejemplares juntos por primera ocasi´on.La maravillosa pluma de Reid nos ofrece multitud de momentos deliciosos como este con el que acabo de emocionarme. ¿Qu´e sentir´ıanlos pobres de esp´ırituque descalifican a Reid porque nunca ha demostrado un teorema? El g´enero biogr´aficotiene varias modalidades, las biograf´ıasescritas por Reid muestran una primera; pertenece a aquellas que son escritas, en general, por acad´emicos que no tienen formaci´onprofesional en la disciplina del biografiado. Esto ocurre con cierta frecuencia, como cuando alg´un periodista se interesa en dar a conocer al p´ublicolas actividades de cierto personaje importante en alg´un ´ambito acad´emico. Claramente estas biograf´ıastendr´ancierta orientaci´oncom´un, pues se hace mucho mayor ´enfasisen los aspectos de la vida cotidiana, sin dejar de mencionar, claro est´a,los aspectos puramente profesionales. Estos documentos son de un inmenso valor y contribuyen de una manera importante a difundir la ciencia, en el caso de biograf´ıasde cient´ıficos,entre el gran p´ublico.Las biograf´ıas de Reid son unos claros ejemplos de esta modalidad, la de Neyman tiene el t´ıtulo Neyman desde la vida, enfatizando as´ıla orientaci´on. Las cuatro biograf´ıasde Reid tienen otra importante caracter´ıstica:la auto- ra pudo recoger testimonios de personas que conocieron al biografiado, y del bi- ografiado mismo en los casos de Courant, Neyman y Robinson. Esto les da otra especificidad. Por el contrario, los autores tienen que proceder de manera diferente cuando el biografiado muri´ohace muchos a˜nos y no hay ning´unser vivo que pueda brindar experiencias directas con el personaje en cuesti´ony valga la pena entrevistar. Pedro G´alvez, autor de una de las biograf´ıasde Hypatia, lo explica un poco dram´aticamente:

Son tan pocas las fuentes sobre la figura de Hypatia, que una biograf´ıa sobre esa mujer, que represent´otanto el cenit como el ocaso de la cien- cia antigua, se reducir´ıa o bien a una serie de disquisiciones m´aso menos ingeniosas sobre los magros datos hist´oricos de que disponemos, o a una exposici´onescueta de los mismos que tendr´ıa que ir acom- pa˜nada de cap´ıtulossobre temas diversos con el fin de alcanzar a duras penas el volumen de un libro. [GP]

A pesar de las grandes limitaciones, los investigadores logran reconstruir los hechos de una manera no trivial y en muchos casos con una buena dosis de originalidad utilizando testimonios de otros ya desaparecidos; tal es el caso del profesor G´alvez. Muchos de los grandes matem´aticosdesaparecidos hace ya siglos tienen sus bi- ograf´ıasconocidas popularmente como “la biograf´ıa.”La de Pit´agoras,por ejemp- lo, es la de Peter Gorman. Esto no significa que sobre cada matem´aticoexista una unica´ biograf´ıa;Pit´agoras,pongamos por caso, ha sido objeto de muchas obras biogr´aficas,pero la m´aspopular es la de Gorman. Hay muchas razones para ello, la m´asfundamental es que re´unevarias caracter´ısticas que tienen que ver con la

77 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

calidad: est´amuy bien documentada, es muy completa y adem´ases muy agradable de leer. Cuando la biograf´ıade un matem´aticoes elaborada por un historiador con formaci´onacad´emica como matem´atico,puede aparecer un enfoque bien distinto, pues el ´enfasispuede estar dirigido hacia los logros investigativos y aparecer´an entonces detalles t´ecnicosque no son f´acilesde seguir incluso para muchas personas matem´aticamente cultas. En la biograf´ıadel l´ogicoAbraham Robinson, creador del an´alisisno est´andar, elaborada por Joseph Warren Dauben [DJW], aparecen much´ısimasreferencias a temas matem´aticoscuya comprensi´onsolo resulta posible para los especialistas. En el cap´ıtuloseis del trabajo de Dauben, dedicado a la ´epoca en la cual Robinson estuvo en Toronto, aparecen expresiones como la siguiente, la cual hace referencia al libro escrito por Robinson titulado Teor´ıas completas.

En el siguiente cap´ıtulo aborda el problema de encontrar condiciones bajo las cuales la modelocompletitud implica la completitud. Aqu´ı in- troduce otro concepto nuevo, el de modelo primo, que conduce natural- mente al test del modelo primo.

Muchos ejemplos ilustran este otro estilo: hay biograf´ıasescritas para los espe- cialistas y no hay forma de evitarlo, el investigador que elabora la biograf´ıadebe tambi´endesenvolverse eficientemente en el ´ambito acad´emico del biografiado. En este caso que nos est´asirviendo de ilustraci´onel autor, profesor Dauben, es un profesional de las matem´aticasy una persona bastante bien informada sobre los temas de investigaci´onde Robinson. As´ılas cosas, el g´enerobiogr´aficoofrece una buena cantidad de posibilidades de trabajo investigativo. Digamos, por ejemplo, que en Colombia no se han escrito todav´ıa las biograf´ıasque se necesitan. Hoy, junio de 2007, tenemos ya varios matem´aticosde reconocimiento internacional completamente desconocidos por el p´ublicoen general y tambi´en,infortunadamente, por otros acad´emicos. ¿Qui´en conoce a Alfonso Castro o a Jorge Cossio, fuera de los especialistas? Terminemos este cap´ıtulo con algunos comentarios a la biograf´ıade Galois, elaborada por Leopold Infeld y que tienen como t´ıtulo El elegido de los dioses. La historia de Evaristo Galois. Existe una versi´onen castellano publicada por Siglo XXI Editores, que circul´opor primera vez en julio de 1974 [IL]. Infeld es un cient´ıficomuy conocido por sus escritos divulgativos, en particular por aquella obra maestra que escribi´ocon Albert Einstein, donde se explican de una manera bien elemental, muy rigurosa y muy amena, las bases de la f´ısica moderna y de la teor´ıade la relatividad. El trabajo de Infeld sobre Galois es del mismo estilo de las biograf´ıasde Reid, escrito para el gran p´ublico.Una caracter´ıstica muy especial de esta biograf´ıaes que a lo largo del texto aparecen di´alogosinventados por el bi´ografoen los cuales los part´ıcipes son el propio Galois o algunos personajes de su entorno. El siguiente dialogo ejemplifica esta caracter´ısticaespecial del libro de Infeld:

78 Biograf´ıas

Alfred y la hermana Ther`ese junto al lecho de Evariste. Ella le in- dic´ouna silla y dijo: El m´edico le permite estar s´olocinco minutos. Los dos deben mantener calma. Alfred se enjug´onerviosamente los ojos con un pa˜nuelo. Evariste parec´ıa sereno y le sonre´ıa a su hermano, cuyo rostro estaba lleno de dolor y temor. Una s´ubita corriente de l´agrimasrelaj´osu tenso rostro y ex- clam´o: ¿Qui´en te hizo esto, Evariste? ¿Qui´en fue? Evariste habl´omuy lentamente, haciendo una pausa entre cada frase, a veces entre cada palabra, que eran apenas audibles. No puedo hablar mucho. No tengo tiempo. La polic´ıadel rey. No dis- par´e. Est´atodo brumoso. ¿Qui´enes culpable? ¿Qui´en no lo es? No lo s´e. Est´ademasiado oscuro para saberlo; tenebris involuta. ¿Qui´en fue?, ¿Qui´enfue? D´ımelo y te vengar´e, lo juro. Evariste sacudi´ola cabeza. No, Alfred, nada de venganza. Esto forma parte de una especial manera de elaborar documentos historiogr´aficos: la historia novelada. Tal estilo es muy riesgoso y ha sido utilizado de manera irre- sponsable; pero manejado con rigor, como lo hace Infeld, es en realidad realmente espectacular. La escena que dramatiza Infeld ocurri´oen realidad aunque a todas luces el di´alogoes un puro invento. Galois en el lecho de muerte y su hermano Alfred a su lado en un hospital parisino pertenece al mundo de los hechos y de los datos, no as´ı lo que Infeld sugiere que se dijeron entre ellos, y con alguna probabilidad no existi´oninguna hermana Ther`ese,es simplemente que en muchos hospitales hay monjas y alguna de ellas lleva ese nombre. El libro de Infeld s´ıtiene ´ındicey es como sigue:

Prologo a la edici´oncastellana 9 A mis lectores 15 I. Reyes y matem´aticos 19 II. La rebeli´onde Louis LeGrand 39 III. “Soy un matem´atico” 64 IV. Persecuci´on 103 V. En el a˜no de la revoluci´on 125 VI. “A Luis Felipe” 187 VII. Sainte-P´elagie 243 VIII. Libertad recobrada 275 Posfacio 333 Bibliograf´ıa 349

79 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

En la parte IV, Infeld hace referencia no solamente a la persecuci´onpolic´ıaca que sufri´oGalois, sino tambi´ena una posible persecuci´onpor parte de algunos matem´aticos,en particular por Cauchy. Este constituye uno de los sucesos hist´ori- cos m´asdesagradables de todos los tiempos. Como el estilo novelado puede ser utilizado, y lo ha sido, en forma irresponsa- ble, Infeld tiene el cuidado de hacer aclaraciones en el posfacio como la que queda consignada en la siguiente frase:

Las razones que motivaron el suicidio del padre de Galois y los distur- bios que se produjeron en su funeral, est´andescritos por Dupuy, que supo de ello por miembros de la familia de Galois. Mi descripci´ones congruente con la historia de Dupuy. La carta del padre de Galois revela su verdadero motivo para suicidarse, pero la carta misma es ficci´on.

¿Por qu´eeste estilo? bueno, las razones son diversas. Me parece que lo fundamental es lo siguiente: la historia tambi´enforma parte de la literatura. De hecho, todas las comunidades acad´emicas tienen sus propias literaturas y el estilo literario es fun- damental. Hay que cautivar al lector, sobre todo para que continu´eleyendo; pero, m´asimportante que eso, para que se involucre con las comunidades acad´emicas relacionadas con lo que se describe. Sin embargo, ya lo hemos se˜nalado, hay que ser muy cuidadosos, por eso se necesitan principios b´asicosque orienten nuestras acciones y nos impidan caer en la pura charlataner´ıa.La obra de Infeld es sin duda una pieza literaria, una especie de novela; pero, aunque est´allena de ficciones, como recurso literario, est´amuy lejos de ser mera imaginaci´on.Es una obra muy bien documentada, y as´ısus ficciones quedan expl´ıcitamente ubicadas como estilo literario. Este texto de Infeld ejemplifica otra interesante posibilidad, un especialista cient´ıficoescribiendo como si fuera tan solo un literato. Para terminar este cap´ıtulo, vale la pena proponer otro principio:

5.1. (P9) Principio de Infeld o de la excelencia literaria

(P9) Los documentos historiogr´aficose hist´oricosdeben ser es- critos con un estilo literario de la mayor calidad; pero, el estilo no debe convertir el escrito en un relato imaginario.

80 CAP´ITULO 6

Documentos tipo grandes historias

Un ejemplo muy conocido en este g´enero es la historia de la matem´aticas,de Eric Temple Bell. En la reedici´oncastellana de 1996, publicada por el Fondo de Cultura Econ´omica,aparecen las siguientes partes, que reproducimos aqu´ıpara esa primera intuici´onque todos sabemos es fundamental: Introducci´on 7 I. Perspectiva general 13 II. La edad del empirismo 35 III. Una base firme 59 IV. La depresi´oneuropea 95 V. El rodeo por la India, Arabia y Espa˜na 103 VI. Cuatro siglos de transici´on 117 VII. El comienzo de las matem´aticasmodernas 141 VIII. Ampliaciones del concepto de n´umero 177 IX. Hacia las estructuras matem´aticas 197 X. La aritm´eticageneralizada 226 XI. Aparici´ondel an´alisisestructural 257 XII. Los n´umeroscardinales y ordinales hasta 1902 283 XIII. De la intuici´onal rigor absoluto 295

81 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

XIV. La aritm´eticaracional despu´esde Fermat 309 XV. Aportaciones de la geometr´ıa 333 XVI. El impulso de la ciencia 375 XVII. De la mec´anicaa las variables generalizadas 385 XVIII. De las aplicaciones a las abstracciones 397 XIX. Ecuaciones diferenciales y de diferencia 415 XX. Invariancia 435 XXI. Algunas importantes funciones 483 XXII. Por la f´ısicaal an´alisisgeneral y la abstracci´on 531 XXIII. Incertidumbre y probabilidad 563 Bibliograf´ıay notas 609 ´Indice anal´ıtico 625

Una obra como esta, claramente del tipo “gran historia” puede ser un blanco f´acilde la cr´ıticapoco ilustrada. Alguien, por ejemplo, podr´ıase˜nalaralgo parecido a lo siguiente: “No es una historia de la matem´aticacompleta, no aparece ah´ı una sola refe- rencia a la matem´aticaen Colombia”. Y alguien m´aspodr´ıase˜nalar: “Tampoco hay ninguna referencia interesante al genio polaco Alfred Tarski”. Sin embargo, el valor de un documento no se puede medir por fuera de las intenciones del autor: El curso escogido en los siguientes cap´ıtulos -explica Bell en su in- troducci´on-lo determinan dos factores. El primero fue la petici´onde muchos, principalmente estudiantes y maestros, para que hiciera una amplia informaci´ondel desarrollo general de las matem´aticas, con una referencia particular a los principales conceptos y m´etodos que en cierta medida han sobrevivido. El segundo, una convivencia personal por va- rios a˜noscon matem´aticos creadores, tanto en matem´atica pura como aplicada. Siguiendo nuestros principios, en particular el de Dehn, debemos entender que esta obra fue elaborada dentro de un contexto muy espec´ıfico y responde a unos prop´ositosque el autor se˜nalamuy apropiadamente. El primero de ellos es el de servir como un documento de consulta general y espec´ıficamente para estudiantes y profesores; este factor incluye un prop´ositopedag´ogicomuy importante. No es un texto, sino un libro que ha sido utilizado por multitud de estudiosos para entender mejor ciertas teor´ıasy t´ecnicasmatem´aticasque sirven como modelo. El matem´aticomexicano Juan Jos´eRivaud, quien escribe una advertencia, al principio de la obra de Bell en la versi´onque estamos comentando, brinda el siguiente testimonio [BET]: Hace ya muchos a˜nos se agot´ola edici´onen espa˜nol de esta obra (FCE, 1949); durante este tiempo, para los que nos encontr´abamos

82 Grandes Historias

form´andonosen la universidad y ten´ıamosinter´es en tener un panora- ma m´asamplio de las matem´aticas, conseguir un ejemplar presta- do (as´ı como devolverlo) era pr´acticamente imposible y, cuando lo hac´ıamos, devor´abamos las p´aginasuna tras otra. Lo escrito por Rivaud podr´ıaser ratificado por miles y miles de matem´aticosdel mundo entero que tuvieron, y que siguen teniendo, la fortuna de poder consultar esta maravillosa obra de Bell. No puede ser abarcadora, no busca colocar en un solo texto todos y cada uno de los pasos que constituyen la historia de las matem´aticas; es apenas una panor´amicageneral, que por lo dem´ases muy buena, para apoyar a los estudiosos como Rivaud en su incansable b´usqueda de informaci´ony de nuevos conocimientos. El ´ındiceque hemos reproducido aqu´ı, como lo hemos hecho con otros casos, muestra de manera particular el car´acterde una gran historia; son bastante nu- merosos los temas que trabaja Bell en su libro y cada uno de ellos, aunque es susceptible de ser ampliado, muestra un panorama bien general de su evoluci´on. El ´ultimocap´ıtulo,por ejemplo, dedicado a la teor´ıa de la probabilidad, ocupa, en la versi´onespa˜nola que venimos utilizando, que por cierto tiene bastantes errores de traducci´ony de imprenta, desde la p´agina563 hasta la p´agina608. Dentro de un margen tan estrecho no es posible ofrecer un relato bien completo de la evoluci´on de esta teor´ıa;pero s´ı es suficiente para presentar un punto de vista. Bell nos presenta un buen resumen y aprovecha la ocasi´onpara formular su opini´onsobre ciertos aspectos de la matem´atica. Este cap´ıtulo tiene varios subt´ıtulospero pueden organizar en cuatro partes: 1) introducci´on,2) evoluci´onde la l´ogica,3) surgimiento de la probabilidad y 4) ep´ılogo de la obra. En la introducci´on,muy peque˜na, de una p´agina,Bell motiva al lector acerca del prop´ositocentral que ´elmismo resume en la frase: De esta manera llegaremos a las sucesivas situaciones a partir de las cuales podremos describir los m´aspopulares de los diferentes credos que existen en 1945 sobre la naturaleza y el significado de las matem´aticas. En la segunda parte del cap´ıtulo Bell hace un recorrido por la l´ogicamatem´ati- ca, iniciando con Russell, pero retomando por ejemplo a Boole, hasta llegar a la imponente figura de G¨odely a sus resultados que seg´un Bell iniciaron el derrumbe de la certeza en matem´aticas. Entre las varias cosas que muestra Bell en esta parte, se destaca el dif´ıcilproceso de inculturaci´onde la comunidad acad´emica y de la comunidad matem´aticapara que aceptaran la l´ogicamatem´aticacomo una nueva disciplina. Una sola frase ilustra claramente la situaci´on: Todav´ıa en 1939, un distinguido fil´osofoliberal americano (del que no damos el nombre porque quiz´asse despierte antes de morir) proclamaba gozoso que la l´ogica matem´atica no hab´ıa contribuido en nada nuevo ni

83 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

a las matem´aticas ni a la teor´ıa del conocimiento, por lo que se hab´ıa ahorrado la molestia de tener que aprender el simbolismo necesario.

Si por all´allov´ıa, por aqu´ıno escampaba. Una de mis experiencias m´asmaravi- llosas como acad´emico tiene que ver con los debates en los a˜nos 1961-1965 en el Departamento de Matem´aticasde la Universidad Nacional entre Federicci, de un lado, y todos los dem´as,del otro, incluyendo a Takeuchi, alrededor de la l´ogica matem´atica.Aqu´ı tambi´enten´ıamosy todav´ıaexisten contradictores de esta disci- plina. Es pura “garabatolog´ıa”,se˜nalabanalgunos -todav´ıahay quienes lo hacen-, “no sirve para nada”, orquestaban otros o “eso es muy dif´ıcil,solo es para genios”, a˜nad´ıanotros cuantos sarcasticamente, y Federicci aguantando el chaparr´on.Es la eterna historia de los pioneros como Russell y Federicci, ilustran sobre lo nuevo teniendo que soportar el embate de la tradici´on;verdaderas batallas simb´olicas que no tienen ganadores ni perdederos pero, sobre todo, donde no hay muertos ni heridos, solo el l´atigode la argumentaci´on,de los hechos y de los datos. Para eludir un poco esta “persecuci´on”,Federicci tuvo que emigrar a la Facultad de Ciencias Humanas. Pero el ejemplo de la l´ogicaes apenas eso, un ejemplo. Bell lo muestra tam- bi´enpara el caso de la probabilidad, aunque aqu´ıesta nueva actividad acad´emica cont´ocon un aliado muy poderoso: la mec´anicacu´antica fundamentada muy clara- mente en aquella disciplina matem´atica. La tercera parte del cap´ıtulo final aparece de una manera muy natural despu´es del relato sobre la l´ogica,que concluye con el famoso teorema de G¨odelsobre la incompletitud de la aritm´etica, el sue˜node Leibniz, encajonado en la expresi´on calculemos, como la v´ıasegura para dirimir las disputas, lleg´oa su fin. No hay certeza en matem´aticas,solo podemos predecir probabilidades y el libro entero, como una apoteosis a esta nueva ciencia, termina con la presentaci´onde c´omose construyeron las bases de las teor´ıassobre el azar. Hay formas muy sutiles de descalificar una disciplina acad´emica y esto tambi´en forma parte de la historia del mundo acad´emico. Bell nos presenta otro ejemplo bastante interesante que no podemos dejar de mencionar porque la t´ecnicade descalificaci´onque se utiliza es bastante univer- sal y a veces muy sutil podemos nombrarla como “descalificar una investigaci´on descalificando a un individuo”. Uno de los grandes iniciadores de los m´etodos estad´ısticoses el profesor ingl´es R.A. Fisher, quien entre otras muchas cosas utiliz´osus m´etodos en el ´ambito de la educaci´on.El celo de algunos educadores no se hizo esperar y se inici´ouna fuerte reacci´on,en los Estados Unidos, para impedir que estas nuevas t´ecnicaspenetraran el apacible mundo de las escuelas y colegios. Un celoso educador public´o,en una revista dirigida a educadores, un art´ıculoen el cual aparecen varias menciones relacionadas con la supuesta incompetencia de R.A. Fisher. Bell recurre al experto H. Hotelling, a quien le pide prestada una expresi´onque nosotros, a nuestra vez, nos la apropiamos en parte:

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La afirmaci´onde que “excepto a lo que se refiere a la distribuci´ondel coeficiente de correlaci´onde n´umeros peque˜nos, no hay una sola cosa que sea fundamentalmente nueva en el sistema de Fisher” no hace justicia a la obra de uno de los genios m´asoriginales que registra la historia de los m´etodos estad´ısticos. Se deben a R.A. Fisher tantos y tantos ingeniosos progresos en la teor´ıa de la estad´ıstica y en los m´eto- dos estad´ısticos, que es imposible enumerarlos en un breve resumen. Es bastante t´ıpico: si se descalifica a la persona, sus actividades intelectuales supuestamente quedan tambi´eneliminadas; como cuando le endilgaban a Federicci el apelativo de “extranjero” creyendo que con eso lo iban a aplacar. En el caso de Fisher la situaci´ones bien sencilla: para impedir que se realicen investigaciones relacionadas con la educaci´onutilizando t´ecnicasestad´ısticas,una buena estrate- gia consiste en se˜nalar que la persona que realiza dicha tarea es un incapaz. Sin embargo, una cosa es pretender el uso de t´acticasy estrategias “no acad´emicas” y otra muy diferente creer que con tales estilos puede frenarse el progreso acad´emico; es posible que este avance se impida por alg´untiempo, pero como el conocimien- to es una actividad p´ublica, no hay manera de lograr el estancamiento. Se puede inmovilizar a un Fisher pero no a todos los Fisher; de hecho, y aunque siguen existiendo obst´aculosespecialmente cognitivos, las t´ecnicasestad´ısticasaplicadas a la educaci´onconstituyen hoy d´ıa una herramienta fundamental en las ciencias de la educaci´ony en muchas otras actividades humanas. Hay que perfeccionar la raza humana denunciando los defectos y las debilidades de algunas personas. Terminemos nuestra presentaci´ondel trabajo de Bell con un comentario un poco desagradable: la edici´oncastellana que hemos comentado tiene dos carac- ter´ısticasbastante molestas; ante todo, hay varios errores tipogr´aficosque no tienen ninguna justificaci´on,son descuidos f´acilesde superar; pero, lo m´asdesagradable es el uso de “mexicanismos”, que tampoco tienen presentaci´onpues se trata de una obra para lectores de habla castellana y no solo de habla mexicana. Un ejemplo ser´asuficiente: en ning´unpa´ıs diferente de M´exicose utiliza la expresi´on“logi- calismo”, todo el mundo utiliza la palabra “logicismo” ¿Ser´aque debemos decir intuicionalismo y no intuicionismo como se dice en todo el planeta? a pesar de estos defectos no cabe sino una sola actitud frente al trabajo de Bell, profundo respeto y admiraci´on. El g´enero de las grandes historias tiene tambi´envariantes. Por ejemplo, pueden escribirse grandes historias sobre la matem´aticaen un pa´ıso en un periodo hist´orico bien delimitado como ser´ıael caso de la historia de la matem´aticaen grecia, tema sobre el cual han trabajado muchos autores. Tambi´en hay grandes historias sobre un tema determinado como historia del c´alculoo historia de la geometr´ıa elemental, etc. Otro tipo interesante de gran relato son las enciclopedias, en las cuales par- ticipan como autores varios investigadores. Un buen ejemplo es la obra Writing the History of Mathematics; it’s Historical Development, publicada por primera

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vez en 2002, y cuyos editores son los historiadores Joseph W. Dauben, a quien ya hemos mencionado, y Christoph Scriba, a quien nos referimos en este escrito por primera vez [DWJ2]. Este precioso volumen de 689 p´aginas,dedicado a la historia de la matem´atica,y a la memoria de Kenneth O. May, tiene las siguientes partes:

Parte I. Pa´ıses 1. Francia Jeanne Peiffer 3 2. Pa´ıses Bajos Paul Bockstaele 45 3. Italia Humberto Bottazzini 61 4. Suiza Edwin Neuenschwander 97 5. Alemania Menso Folkerts Christoph Sriba Hans Wassing 109 6. Escandinavia Kirsti Anderson 151 7. Islas Brit´anicas Ivor Grattan Guinness 161 8. Rusia y otros pa´ısessovi´eticos Sergei Demidov 179 9. Polonia Stanislav Domoradzki Zofia Pawlikowska-Brozek 199 10. Pa´ısesbohemios Lubos Novy 205 11. Austria Christa Binder 213 12. Grecia Crhistine Phili 221 13. Espa˜na Elena Ausejo Mariano Hormig´on 231 14. Portugal Luis Saraiva 239 15. Las Am´ericas Ubiratan D’Ambrosio Alejandro Garciadiego Joseph W. Dauben Craig Fraser 249

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16. Jap´on Sasaki Chikara 17. China Liu Dun Joseph Dauben 297 18. India Radha Charan Gupta 307 19. Pa´ıses Arabes,´ Turqu´ıae Ir´an Sonja Brentjes 317 20. Palabras finales Joseph Dauben Jeanne Peiffer Christoph Scriba 329 Parte II. Fotograf´ıasy biograf´ıas Fotograf´ıas 343 Biograf´ıas 351 Parte III. Abreviaciones, bibliograf´ıae ´ındice Abreviaciones 583 Bibliograf´ıa 591 ´Indice 645 Esta lista debe servirnos para hacer nuestras propias consultas a trav´esde internet; para eso la colocamos. Iniciemos los comentarios sobre esta obra conjunta diciendo que la bibliograf´ıa ocupa desde la p´agina591 hasta la 643, lo que muestra el importante desarrollo de nuestra disciplina. En este ´ındicefigura nuestro colega Luis Carlos Arboleda, con su trabajo Dificultades estructurales de la profesionalizaci´onde las matem´aticas en Colombia. En la primera parte, dedicada a los pa´ısesse presentan, en forma por lo dem´as bastante completa, peque˜nos relatos acerca de c´omohan evolucionado las investi- gaciones hist´oricasen cada pa´ıs. Las biograf´ıasest´anincluidas entre las p´aginas341 y 578, y aparecen all´ı varios de los historiadores que hemos nombrado en este escrito. En la biograf´ıade Bell, como en las dem´as,se encuentran datos muy importantes pero tambi´en curiosos y muy probablemente muy poco conocidos. Yo, por ejemplo, no sab´ıaque hab´ıa nacido en Escocia y que fue un novelista del g´enero de la ciencia ficci´on;tampoco ten´ıaconocimiento de que ocup´oel cargo de presidente de la MAA (Mathematical Association of America). En la de Max Dehn se informa que resolvi´odos de los famosos problemas de Hilbert, sufri´ola persecuci´onde los nazis por su origen jud´ıoy tuvo que emigrar a los Estados Unidos como muchos otros acad´emicos. No aparecen all´ıpersonajes que todav´ıaviven y por eso no se encuentran las biograf´ıas de Constance Reid, ni la de Renata Tobies, ni la de Luis Carlos Arboleda. Los grandes historiadores de la matem´atica,ya desaparecidos, figuran en esta parte del libro y las fotograf´ıasque aparecen en el libro pertenecen a varios de ellos. Resulta

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muy ilustrativo nombrarlos, tambi´encon el prop´ositode ofrecer informaci´onpara realizar consultas en internet. Kenneth O. May (canadiense) Jean Etienne Montucla (franc´es) Moritz Cantor (alem´an) Hieronymus Georg Zeuthen (alem´an) Paul Tannery (franc´es) Zoel Garc´ıade Galdeano (espa˜nol) Walter William Rouse Ball (ingl´es) Francisco Gomez Teixeira (portugu´es) Gustaf Hyalmar Esestrom (suecia) Johan Ludwig Heiberg (danes) Florian Cajori (suizo) David Eugen Smith (estadounidense) Thomas Little Heath (ingl´es) Gino Loria (italiano) Raymond Clark Archibald (estadounidense) Mikami Yoshio (japon´es) Julio Rey Pastor (espa˜nol) Kurt Vogel (alem´an) Li Yan (chino) Qiang Baocong (chino) Dirk Jan Struik (holand´es) Jos´eBabini (argentino) Otto Neugebaner (alem´an) Joseph Hofmann (alem´an) Adolf Youshkevich (ruso) Y ahora una mirada r´apidaal documento 15, en el cual participan como autores el brasile˜noUbiratan D’Ambrosio y el mexicano Alejandro Garciadiego. Las partes de este escrito son: a) introducci´on,b) Am´ericadel Sur, c) M´exico,d) Estados Unidos de Am´ericay e) Canad´a.D’Ambrioso ha visitado en varias oportunidades nuestro pa´ıs y conoce bastantes cosas sobre nosotros pero pareciera que no ha sido informado de los estudios hist´oricosque se han realizado o realizan en nue- stro territorio o tal vez no los considera todav´ıade buena calidad; menciona tan solo a Jos´eCelestino Mutis, pero termina diciendo que ninguna parte de su obra puede calificarse como investigaci´onhist´orica.Seguramente solo hace referencia a historiadores de los siglos anteriores al XIX, y en ese sentido tiene toda la raz´on. El relato de Garciadiego es un resumen bastante apretado de la historia de las matem´aticasen M´exico,muy centrada en la Universidad Nacional Aut´onomade M´exico,y dentro del cual figuran varios hechos que tienen que ver con las investi- gaciones hist´oricas:1) las varias visitas de Struik y de Keneth O. May a Ciudad de M´exicoque motivaron los estudios hist´oricosentre los matem´aticosmexicanos, uno de ellos el propio Garciadiego quien viaj´oa estudiar al Canad´aconvirti´endose

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despu´esen el primer doctor especializado en historia de las matem´aticasde la rep´ublicade M´exico,2) la creaci´onen la UNAM del Semninario De Problemas Cient´ıficosy Filos´oficos,cuyo animador principal ha sido el profesor Elie de Gor- tari y que ha ayudado a crear un ambiente muy favorable para el desarrollo de la Metaciencia tanto en M´exicocomo en Am´erica Latina; 3) la influencia del histori- ador canadiense Keneth O. May en M´exico y 4) la creaci´onde la revista Mathema, especializada en historia y filosof´ıade la matem´atica. Entre las cosas importantes que se mencionan en la parte dedicada a Canad´aes- ta la extraordinaria labor de Keneth O. May, a quien esta dedicado el tratado que estamos comentando y quien fuera, junto al franc´esRen´e Tat´ony al ruso Adolf Youshkevich, uno de los fundadores de la revista International Journal of the His- tory of Mathematics, editado con el nombre Historia Mathematica, cuya primera publicaci´onapareci´oen 1947. Seg´un Dauben, autor del art´ıculodedicado a los Estados unidos, el est´ımulo m´asimportante para el desarrollo de los estudios hist´oricosen ese pa´ısfue y ha seguido siendo la educaci´on;los primeros trabajos de naturaleza hist´oricaten´ıan que ver con traducciones de las obras cl´asicas,como fue el caso de Nathaniel Bowditch, quien edit´oen ingles el tratado de Laplace sobre la mec´anicaceleste, agreg´andoleaclaraciones para una lectura m´asf´acily a˜nadi´endoleinformaci´on sobre antecedentes y antecesores. A nivel internacional, el trabajo de Morris Kline es ampliamente conocido, en parte gracias a esta intencionalidad pedag´ogica.Kline fue uno de los encargados de realizar una gran reforma en la educaci´on,y como ´elmismo lo afirmaba, una mejora sustancial pod´ıa lograrse utilizando la historia en la ense˜nanza. Infortunadamente, parte de la obra de Kline ha sido mal interpretada y algunos la entienden como una diatriba contra las matem´aticasmodernas, en especial por su trabajo conocido con el t´ıtulo Por qu´eJuanito no aprendi´oa sumar. Una actividad fundamental, adelantada por los primeros historiadores de la matem´atica,fue la recopilaci´onde bibliograf´ıa.Sobresalen en este ´ambito varios personajes, entre ellos el legendario David Engene Smith y Louis Karpinski, quienes realizaron algunos trabajos conjuntos. Karpinski es el autor de Una Bibliograf´ıa de los trabajos matem´aticos editados en Am´erica desde 1850, obra publicada por primera vez en 1940. Dicho sea de paso, el trabajo hist´orico-filos´oficom´asimportante realizado has- ta el momento por el profesor colombiano Alberto Campos se inici´ocomo una recopilaci´onbibliogr´aficapara los cursos de l´ogicaen la carrera de filosof´ıade la Universidad Nacional sede Bogot´a,y esta recopilaci´onse fue transformando primero en un texto y luego en el libro de dos tomos que muchos conocemos. Ese proceso, se˜nala Dauben, el de recopilar bibliograf´ıapara los cursos de matem´aticas,ha conducido a la elaboraci´onde varios textos y tambi´ena la creaci´on de varios cl´asicosde la historia, como el de Bell que ya hemos mencionado. Convirtamos esto ´ultimoen un nuevo principio y aprovechemos la ocasi´onpara brindar nuestro reconocimiento a uno de los metamatem´aticoscolombianos m´as

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sobresalientes e influyentes:

(P10) Principio de Alberto Campos o de la ten- si´onentre historia y educaci´on

(P10) Una buena manera de adelantar estudios hist´oricosconsiste en preparar cursos de muy buena calidad, apoy´andoseen la evoluci´onhist´oricade los temas que se trabajan.

A lo largo del art´ıculode Dauben van apareciendo las grandes figuras de la historia de las matem´aticasde ese pa´ıs, entre ellos Florian Cajori, Smith, a quien ya mencionamos, Julian Coolidge, Bell, Ernst Hellinger, Howard Eves, Raymond Wilder, Carl Boyer. En las palabras finales de la obra, Dauben, Peiffer, Scriba y Wussing agregaron varios comentarios, que tienen que ver con la justificaci´onde los estudios hist´oricos, algunos de los cuales son:

1. George Sarton, uno de los grandes de la historia de la ciencia acota:

La historia de las matem´aticas debe realmente ser el n´ucleo de la historia de la cultura. Elimine el desarrollo de la matem´atica de la historia de la ciencia, y usted suprime el esqueleto que soporta y unifica todo lo dem´as.La matem´atica brinda a la ciencia su m´as profunda unidad y cohesi´on,la cual no puede ser sustituida, no importa cu´antosnuevos entrecruzamientos se puedan incluir.

2. Como una motivaci´onb´asica,la historia de la matem´aticapuede ser utiliza- da para brindar a los matem´aticosel reconocimiento que se merecen, para clarificar prioridades o para difundir alg´undescubrimiento, alg´un teorema o alg´unm´etodo. Otros han utilizado la historia para fundamentar el punto de vista de que el progreso es el inevitable curso de los acontecimientos en todos los campos y muy particularmente en matem´aticas.La historia de la matem´aticatambi´en puede servir para expresar los logros de una naci´on.La historia de la matem´aticatambi´enmuestra la gran importancia de los fac- tores institucionales y administrativos en el desarrollo de nuestra disciplina. En fin, los cuatro historiadores ratifican las afirmaciones que nosotros hemos preferido colocar como principios.

3. Los autores reafirman la idea planteada por Dauben en el sentido de uti- lizar la historia para mejorar los procesos de ense˜nanzay aprendizaje de las matem´aticasy utilizan varias referencias, una de las cuales, bastante ´util, es la siguiente tomada del libro Historia de la educaci´onmatem´atica, de los profesores John Fauvel y Jan von Maanen:

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Este libro investiga c´omoel aprendizaje y la ense˜nanza de las mate- m´aticas pueden mejorarse integrando la historia de las matem´aticas en todos los aspectos de la educaci´onmatem´atica: en las lecciones, en las tareas, en los textos, en las lecturas, en los proyectos, en las evaluaciones, en el curr´ıculo, etc. El libro es el resultado de una investigaci´onapoyada por el ICMI (International Commis- sion of Mathematics Instruction) y en ´else muestran evidencias originadas en la experiencia de algunos profesores, as´ı como de al- gunos curr´ıculos nacionales, libros de textos, pr´acticas educativas y perspectivas investigativas a lo largo del mundo entero. Este punto de vista, el de colocar la historia al servicio de la educaci´onmatem´atica, toma diferentes formas y es difundido por muchos investigadores. Una variante bastante atractiva la defienden Frank Swertz, John Fauvel, Otto Bekker, Bengt Johannson, Victor Katz y otros en el libro titulado: Learn from the Masters [SF]. La idea aqu´ı consiste, b´asicamente, en retomar investigaciones de los grandes matem´aticosy utilizarlas como temas de trabajo en las clases. En la p´aginaweb www.usa.edu.co/semicirculo aparecen varios ejemplos, dos de ellos referidos con los apelativos Did´actica Pitag´orica y Did´actica Gaussiana. En el art´ıculode Shmuel Avital, del libro [SF], cuyo t´ıtuloes La historia de la matem´atica puede ayudar a mejorar la ense˜nanza y el aprendizaje, el autor sugiere que el uso de documentos hist´oricoscontribuye en cuatro grandes campos educativos: 1. Adquirir conocimientos sobre las dificultades de los estudiantes en el apren- dizaje. 2. Mejorar los m´etodos de ense˜nanza. 3. Incorporaci´onen los procesos de aprendizaje de las t´ecnicasde la formulaci´on y de resoluci´onde problemas. 4. Llamar la atenci´onen relaci´oncon los factores emotivos y afectivos en los procesos de construcci´ondel conocimiento matem´atico. Con relaci´on,por ejemplo, al tener punto, el argumento de Avital es a la vez muy simple y contundente: los grandes maestros son expertos en el arte de formular y resolver problemas. ¿Por qu´eno acudir a ellos? Nuevamente replicamos el ´ındicede este importante libro, pues all´ıse recogen las ideas centrales y es una gu´ıapara consultar en internet: Part I: The History in the Elementary Mathematics. 1. The History of Mathematics in teaching Shmuel Avital 3 2. The Role in the History of Mathematics of Algorithms and Analogies Phillip Jones 13

91 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

3. Using Problems from the History of Mathematics in classroom Instruction Frank Swetz 25 4. Revising the history of Logarithms John Fauvel 39 5. Napier’s Logarithms Adapted for Today’s classroom 49 6. Trigonometry comes out of the shadows Frank Swetz 57 7. Alluvial Deposits Conic Sections, and Improper Glasier, or History of Mathematics applied in the classroom Jan van Maanen 73 8. An Historical example of Mathematics modeling: the trajectory of Cannonball Frank Swetz 93 Part II: History in Higher Mathematics 9. Concept of Function. Its History and Teaching Man Kenng Sin 105 10. My favorite Ways of using History in Teaching Calculus Frederick Rickey 123 11. Improved the use of Historical Materials Michel Helfgott 135 12. Euler and Heuristic Reasoning Man Kenng Sin 145 13. Converging Concepts of Series: Learning from History Joel Lehmann 161 14. Historical Thoughts on Infinite Numbers Lars Mejlbo 181 15. Historical Ideas in Teaching Linear Algebra Victor Katz 189 16. Wessel on Vectors? Otto Bekken 207 17. Who Needs Vectors? Karen Reich 215 18. The Teaching of Abstract Algebra: An Historical Perspective Israel Kleiner 225 19. Toward the Definition of an Abstract Ring David Burton and Donovan van Osdol 241 20. In Hilbetr’s Shadow: Notes toward a Redefinition of Introductory Group Theory Anthony Gardiner 253 21. An Episode in the History of Mathematics and Its utility in the Teaching of Applied Mathematics Eric Aiton 267

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22. Mathematical thinking and history of Mathematics Man Kenn Sin 279 23. A Topics Course in Mathematics Abe Shenitzer 283 Niels Henrik Abel (1802-1829): A Tribute 297 About the Authors 301

Una mirada r´apidaa este ´ındicemuestra las inmensas posibilidades para de- sarrollar esta anfibiosis:

Historia + Educaci´on.

Hace ya un buen n´umero de a˜nos, en la revista que editaba el profesor Yu Takeuchi de su propio bolsillo, publiqu´eun art´ıculotitulado “La historia al servicio de la pedagog´ıa” [PJH], en el cual, mediante varios ejemplos sencillos, plantee esta mis- ma idea de Dauben; como quien dice, si por all´abrillaba el sol, por aqu´ı nos iluminaba. Esta es una idea muy natural pero ha sido distorsionada en algunos textos reduciendo lo hist´oricoal simple hecho de a˜nadirpeque˜nas biograf´ıasde grandes matem´aticosjunto a sus retratos. No se trata simplemente de eso, no se est´aproponiendo aumentar el caudal de informaci´ona transmitir; por el contrario, introduciendo en clase el uso de hechos hist´oricosse contribuye tambi´ena la elimi- naci´onde informaci´onsuperflua que no ayuda a mejorar los procesos de ense˜nanza - aprendizaje. La propuesta de utilizar la historia para mejorar la educaci´ones de un alcance mucho mayor, es ni m´asni menos que ejercer el oficio, en el nivel que corresponda, de investigador en historia de las matem´aticasy en matem´aticas; es vivir algunas de las experiencias intelectuales que fueron experimentadas por algunos de los grandes matem´aticos.Naturalmente, esta no es una tarea f´acilde realizar, se requiere entrenamiento, se necesita dedicaci´ony concentraci´on,de lo contrario se deforma y se vuelve por completo superficial.

93 CAP´ITULO 7

Investigaci´onprimaria

En todas las disciplinas acad´emicas, la investigaci´onprimaria es el motor de toda la actividad investigativa; esto no significa que en este tipo de investigaci´on est´eprohibido el uso de informaci´onelaborada por otros expertos, al contrario, la investigaci´ones una actividad grupal y adem´asp´ublica, es en esencia una inter- acci´onmuy particular entre pares, y as´ıel manejo de la informaci´ones totalmente compartido, mucho m´asahora que tenemos a nuestra disposici´oninternet y las miles y miles de bases de datos de uso completamente libre. ¿Qu´e es entonces una investigaci´onprimaria? Un primer aspecto tiene que ver con la originalidad; sin embargo, todo documento elaborado por un especialista es siempre original, aunque no corresponda a una investigaci´onprimaria, a menos que sea un simple plagio. Como una buena gu´ıadigamos que la mayor parte de los informes de una investigaci´onprimaria se publican en revistas especializadas. Veamos algunos de los ejemplos que hemos presentado en este escrito, incluyen- do nuestro propio trabajo. El art´ıculode la profesora Renata Tobies sobre Emmy Noether es de una gran originalidad, pero no podr´ıamoscalificarlo como investi- gaci´onhist´oricaprimaria; de hecho, toda la informaci´onsobre Emmy Noether la toma la autora de las dos biograf´ıasque se mencionan en el art´ıculo,es decir, sus datos hist´oricoshan sido tomados de otros investigadores. Las biograf´ıasde Cons- tance Reid, por el contrario, muestran informaci´oncompletamente in´edita;por ejemplo, toda la que se relaciona con las entrevistas que ella misma realiz´o.Esta diferencia, entre primario y secundario no descalifica para nada al segundo tipo de

94 Investigaci´onPrimaria

actividad, es simplemente que tenemos aqu´ı, de nuevo, una dial´ecticab´asica:

Primario versus. Secundario.

Nuestro trabajo, el presente trabajo, est´alleno de comentarios originales; pero co- mo documento historiogr´aficoes de tipo secundario; toda la informaci´onhist´orica, excepto las menciones personales y a casos nacionales, es tomada de otros autores; y esto se hace para ilustrar alg´un asunto; como lo que estamos haciendo en este momento, ilustramos la diferencia entre primario y secundario tomando los casos de Tobies y Reid. Insistamos, el art´ıculode Tobies no es secundario en raz´ona su calidad o a su originalidad; es un excelente trabajo, de una gran originalidad; pero como documento historiogr´aficoes de tipo secundario, lo dijimos en su momento, el prop´ositode Tobies era presentar un tema de la mayor importancia, difundir un punto de vista al respecto y sustentarlo: las mujeres pueden tener un gran ´exi- to como trabajadoras en el mundo acad´emico de las matem´aticasa pesar de las dificultades que se les puedan atravesar, y un magnifico ejemplo es el de Emmy Noether. Un mismo investigador puede elaborar documentos primarios y documentos secundarios; de hecho, todo investigador encuentra la necesidad de trabajar en estos dos campos, aunque algunos prefieran mantenerse en el ´ambito primario todo el tiempo; de nuevo, no es dif´ıcilencontrar ejemplos de todos los tipos. Tomemos el ejemplo del investigador Thomas Hawkins de la Universidad de Boston, ganador del premio Chauvenet de la MAA en 1997 y autor de la extraor- dinaria obra Emergence of the History of Lie Groups. An Essay in the History of Mathematics 1869-1920, cuya primera edici´onapareci´oen 2000 por la Springer- Verlag. Aunque el ´ındiceno lo dice todo, informa de una manera muy clara y concisa, incluso el resumen siguiente:

Parte I. Sophus Lie Parte II. Whilhelm Killing Parte III. Elie Cartan Parte IV Hermann Weyl

Aunque en la obra aparecen datos biogr´aficosde los cuatro grandes matem´ati- cos mencionados en los t´ıtulosde las cuatro partes del libro de Hawkins y de otros que se relacionaron con ellos, esta no es; una investigaci´onbiogr´afica.El tipo de informaci´onque aparece sistem´aticamente es del estilo siguiente [HT, p´agina1]:

La actividad matem´atica de Lie en 1869-1873 puede ser dividida en dos per´ıodos, que pueden describirse r´apidamentecomo la ´epoca con Klein y aquella sin Klein. Durante los primeros tres a˜nos del periodo

95 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

mencionado, es decir desde el verano de 1869, Lie trabaj´oen contacto muy estrecho con Klein.

Y un poco m´asadelante el autor remite al art´ıculode D. Rowe The Early geome- trical Works of Felix Klein and Sophus Lie, donde el lector puede encontrar una mayor informaci´onbiogr´aficasobre estos dos grandes matem´aticos;en esta forma y desde la intenci´ondel autor, el mismo t´ıtulolo ratifica, el libro no es pues ni un trabajo biogr´afico,ni unas memorias, ni un gran relato a pesar de su extensi´onde 564 p´aginas,es una investigaci´onhist´oricabien delimitada: el tema conocida hoy d´ıacomo la teor´ıade Lie en un per´ıodo restringido entre los a˜nos1869 y 1926. Esta obra es una perfecta combinaci´onentre lo primario y lo secundario. Si examinamos cualquier cap´ıtulo, pongamos por caso el quinto, cuyo t´ıtuloes Killing and the Structure of Lie Algebras, confirmaremos esta perfecta simbiosis:

1. Las investigaciones de Hawkins sobre cuestiones relacionadas con la teor´ıade Lie se remontan a los a˜nos1970 y 1971, ´epoca en la que public´oel art´ıculo The Origins of the Theory of Groups Characters, en la revista Archiv for History of Exact Sciences, especializada en investigaci´onprimaria.

Desde esos a˜nos en adelante figuran por lo menos otros 18 art´ıculos,el ´ultimo de los cuales, de 1999 se titula Weyl and the topology of Continuous Groups, al que le sigui´oel libro que estamos comentando el cual apareci´o,por primera vez, como ya lo dijimos en 2000. Todos estos art´ıculosforman parte de la investigaci´onprimaria del autor y cualquiera de ellos amerita gran cantidad de comentarios. 2. El art´ıculo Wilhelm Killing and the Structure of Lie Algebras, publicado en 1982 en Archive for history of Exact Sciences, se parece mucho al cap´ıtulo 5 del libro que estamos comentando. Si no se tratara del mismo autor cali- ficar´ıamoseste hecho de plagio; sin embargo, es el caso de un investigador tomando informaci´onprevia de ´elmismo. En otras palabras, el art´ıculode 1982 es informaci´onprimaria, mientras que el cap´ıtulo 5 del libro que estamos comentando es secundaria. Para ilustraci´onm´ıa y del lector, copiaremos aqu´ı el ´ındicede cada uno de estos documentos:

Art´ıculo

1. Formas espaciales y ecuaciones caracter´ısticas 2. Teor´ıade Lie sobre grupos de transformaciones 3. La correspondencia Killing-Engel 4. Grupos de rango cero 5. La tesis doctoral de Elie Cartan 6. Ep´ılogo: Premio Lobachevsky

96 Investigaci´onPrimaria

7. Fuentes de material no publicado 8. Bibliograf´ıa

Cap´ıtulo 5

1. Formas espaciales y ecuaciones caracter´ısticas 2. Encuentro con la teor´ıade Lie 3. Correspondencia con Engel 4. La teor´ıade Killing sobre estructura 5. Grupos de rango cero 6. El Premio Lobachevsky

3. Entre los documentos que deben consultarse en una investigaci´onhist´ori- ca primaria est´anaquellos escritos por los personajes que intervienen en el asunto que se investiga. En el caso del art´ıculode Thomas Hawkins sobre Killing, en la bibliograf´ıaaparecen citados 14 art´ıculosde Killing, 13 de Lie, 8 de Engel, y 10 de Cartan, todos los cuales son trabajos matem´aticosm´asno historiogr´aficos.En esta bibliograf´ıalos ´unicosdocumentos historiogr´aficos que all´ıaparecen son del propio Hawkins; lo que nos da un buen indicador del aspecto primario de esta investigaci´on.Por el contrario, la presencia del cap´ıtulo 5 en el libro caracteriza este trabajo como un h´ıbrido pues otros cap´ıtulos son de primera mano. En realidad, en todos los cap´ıtuloshay in- formaci´onnueva e informaci´onya previamente publicada por el propio autor. Hay pues dos tipos de documentos historiogr´aficos,primarios y secunda- rios; sin embargo, la mayor´ıason h´ıbridos, combinan las dos caracter´ısticas. Todos los documentos escritos por especialistas, as´ı sean de tipo secundario exclusivamente, son originales pues en todos los casos plantean ideas in´editas y de gran inter´es.

97 CAP´ITULO 8

Historia de las matem´aticas elementales

Las matem´aticaselementales constituyen un campo de investigaci´onpara los historiadores con muchas l´ıneasde acci´on;la primera y m´asdesarrollada posible- mente sea la historia de la geometr´ıa elemental, que incluye no solo la geometr´ıa euclidiana, sino adem´asuna buena cantidad de temas de las geometr´ıas finitas y de las geometr´ıas no euclidianas. Le expresi´on matem´atica elemental se utiliza de varias maneras. Infortunada- mente algunas personas, matem´aticosincluidos, la usan como un calificativo des- pectivo muy similar a la expresi´onburlona “Elemental, mi querido Watson”, uti- lizada por el legendario personaje novelesco Holmes para ridiculizar a su amigo de andanzas. Algunos matem´aticospedantes tambi´enemplean la palabra elemen- tal, al igual que otras como obvio, evidente, trivial, para intentar humillar a sus alumnos y a veces a algunos colegas. El imaginario alrededor de lo elemental impide entender muchas cosas impor- tantes y maravillosas del mundo acad´emico de las matem´aticas,en especial la posibilidad que tienen todas las personas de desarrollar su talento matem´atico,en particular los ni˜nos;no se olviden del ejemplo de Constance Reid. Recordemos la definici´onsugerida por uno de los expertos mundiales en matem´aticaselementales ya desaparecido, el profesor Isaac Yaglom, animador del proyecto internacional

98 Historia de las matem´aticaselementales

Olimpiadas de matem´aticas: La matem´aticaelemental es aquella que se puede trabajar con estudiantes y profesores de las escuelas y colegios. En esta definici´on,producto de muchos a˜nos de experinecia, se pueden destacar varios puntos importantes:

1. El “se puede trabajar” equivale a expresiones del tipo “se puede construir o reconstruir”. Los investigadores que trabajan en el proyecto de olimpiadas escolares, como los profesores Mar´ıaFalk de Losada, Joaqu´ınValderrama y Mar´ıaLosada en el caso de Colombia, construyen conocimiento matem´atico nuevo o ya elaborado, en colaboraci´oncon estudiantes y profesores de las escuelas y colegios que participan en el proyecto; realizan aut´entica inves- tigaci´onmatem´aticasolo que a nivel elemental. Construyen o reconstruyen conocimiento.

2. Una idea b´asicadetr´asde la expresi´onmatem´aticaelemental es que en el proceso de construcci´onde este tipo de ciencias participan estudiantes cuyo nivel de conocimiento es muy bajo; es decir, los prerrequisitos exigidos en esta actividad no son muy numerosos.

A pesar de estas caracter´ısticas, el trabajo matem´aticoelemental tiene todas las cualidades del trabajo matem´aticosuperior y avanzado: se manejan teor´ıas,se for- mulan conjeturas, se buscan ejemplos y contraejemplos, se demuestran teoremas, se buscan aplicaciones, se formulan problemas, etc. Un trabajo similar, aunque con caracter´ısticas diferentes, se realiza en otros proyectos, como en el Semic´ırculo de la Universidad Sergio Arboleda o el que dirige el profesor Carlos Luque Arias de la Universidad Pedag´ogicaNacional, o el de los semilleros de la Universidad de Antioquia y de otras universidades. Existe muy buena literatura sobre las matem´aticaselementales, pero sobre la historia de esta disciplina las investigaciones son todav´ıamuy escasas; pongamos por caso, un buen documento sobre la historia de las matem´aticaselementales en Colombia no existe todav´ıa hoy junio de 2007 y esto, desde mi punto de vista, es algo tr´agico.Esta situaci´onpara nada ayuda a entender la naturaleza del trabajo matem´atico,y sobre todo a difundir este tipo de conocimiento. A nivel internacional, un excelente documento es el elaborado por el profesor Heinrich D¨orrietitulado 100 Grandes problemas de las Matem´aticas Elementales [DH]. Este libro tiene las siguientes partes: 1) Problemas aritm´eticos,2) Proble- mas Planim´etricos, 3) Problemas relacionados con secciones c´onicasy cicloides, 4) Problemas Estereom´etricos,5) Problemas Astron´omicosy N´auticos,6) Extremos. El ´ındicede una de las partes nos ayudar´aa pulir nuestras intuiciones sobre la matem´aticaelemental:

1. El problema de Arqu´ımedessobre bovinos

2. El problema de Bachelt de M´eziriacsobre los pesos

99 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

3. El problema de Newton sobre vacas y los pastizales

4. El problema de los siete sietes de Berwick

5. El problema de Kirkman sobre las colegialas

6. El problema de Bernoulli-Euler sobre la carta con direcci´onerrada

7. El problema de Euler sobre la divisi´onde un pol´ıgono

8. El problema de Lucas sobre las parejas de casados

9. La expansi´onbinomial de Omar Khayamm

10. El teorema de la media de Cauchy

11. El problema de Bernoulli de las sumas de potencias

12. El n´umerode Euler

13. La serie exponencial de Newton

14. La serie logar´ıtmica de Nicolas Mercator

15. Las series de Newton para el seno y el coseno

16. Las series de Andr´e para la tangente y la secante

17. Las series de Gregory para la tangente

18. El problema del alfiler de Buf´on

19. El problema de Fermat-Euler sobre los n´umerosprimos

20. La ecuaci´onde Fermat

21. El teorema de la imposibilidad de Fermat-Gauss

22. la reciprocidad cuadr´atica

23. El teorema fundamental del ´algebrade Gauss

24. El problema de Sturm sobre el n´umerode ra´ıces

25. El teorema de imposibilidad de Abel

26. El teorema de trascendencia de Hermite-Lindermann

100 Historia de las matem´aticaselementales

El primer comentario sobre este listado de problemas es que todos est´anasociados a nombres de matem´aticosmuy reconocidos y que adelantaron sus investigaciones en ´epocas pasadas, esto corresponde a un cap´ıtulo importante de las matem´aticas elementales, la de los grandes matem´aticosde siglos pasados. Esto parece bastante razonable pues en siglos pasados el desarrollo de la matem´aticano era muy grande y todos los matem´aticosutilizaban poca informaci´on.¿Podemos afirmar de todos ellos que por tal raz´onno fueron grandes matem´aticos?Es dif´ıcildecir algo tan rid´ıculosobre Euler como descalificarlo por elemental, al igual que a Pit´agoraso a Newton. Todos ellos fueron grandes matem´aticosy a la luz de los desarrollos contempor´aneostodos ellos son elementales. La matem´aticaelemental se ha vuel- to, entonces, una especialidad; es la especialidad matem´aticacon mayor tradici´on y cuando nos referimos aqu´ıa la falta de documentos historiogr´aficossobre es- ta actividad investigativa queremos decir “moderna y contempor´aneamatem´atica elemental”, como la que hacia el profesor canadiense H.S.M. Coxeter en a˜nos re- cientes, o como la que hacen los tambi´enprofesores canadienses Ross Honsberger y John Rugby, y los miembros de los equipos de investigaci´onque trabajan con ni˜nosy ni˜nasy adolescentes. En algunos de los ejemplos que menciona el profesor D¨orriese hace referencia a varias posibles soluciones dadas por diferentes matem´aticosque pueden, en ciertas ocasiones, ser id´enticas. Tomemos el ejemplo del problema # 11. Determinar la suma

S =1p +2p +3p + ···+ np, de las potencias p-´esimasde los primeros n n´umerospara exponentes positivos p ∈ N. Este problema fue planteado por Jacob Bernoulli en 1713 y varias soluciones han sido propuestas por diferentes autores. El profesor Lorenzo Acosta de la Uni- versidad Nacional, junto con Stefany Moreno, de 11 a˜nos en ese momento, obtu- vieron una soluci´onpor su propia cuenta. Esto ilustra el car´acterelemental del problema, lo cual no significa que su soluci´onsea “trivial” o “simple”. Retamos al lector para que encuentre su propia respuesta, no importa que el problema ya haya sido resuelto. Talvez resulte oportuno recordar aqu´ı que el teorema de pit´agoras tiene, a la fecha, un poco m´asde 300 demostraciones. ¿Por qu´eun teorema se de- muestra una y otra vez? Cada teorema es un reto para todas aquellas personas que se fascinan con las matem´aticas,incluyendo a personas cuya profesi´onno es esta disciplina o para personas que inician su recorrido por el mundo del conocimiento, como el caso de Constance Reid. ¿Qu´e gan´oEstefany al encontrar la soluci´ona un problema ya resuelto? Experiencia, sabidur´ıa,confianza y m´asentusiasmo por la matem´atica;hoy junio de 2007, Estefany estudia biolog´ıaen la Universidad de los Andes y matem´aticasen la Universidad Sergio Arboleda, tiene tan solo 15 a˜nos y su admiraci´onpor el conocimiento no hace sino crecer, gracias al apoyo que ha recibido de su familia, en el colegio y ahora en la Uuniersidad Sergio Arboleda,

101 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

digamos de ella algo bien sencillo: desde ya, ella tiene asegurado un puesto en el mundo laboral. La definici´onque maneja el profesor D¨orrieno tiene nada que ver con los ni˜nos o las ni˜nas,solo con los prerrequisitos, y en este sentido complementa la de Yaglom:

Como se ha indicado previamente un conocimiento del an´alisisavan- zado no es necesario.

Esto mismo ocurre con el libro del profesor Ross Honsberger cuyo t´ıtuloes: Episo- dios en la geometr´ıa euclidiana de los siglos XIX y XX [HR]. En este ´ultimotrabajo se muestra a la geometr´ıaeuclidiana en toda su vitalidad y como una disciplina en desarrollo, contradiciendo a los que lanzaron la consigna “Muerte a Euclides”, la cual infortunadamente todav´ıadomina algunas mentes. La disciplina matem´aticam´asantigua se mantiene vigente, con sus propios problemas que retan a quienes la cultivan, como es el caso del profesor Ross Honsberger; es falso el imaginario seg´unel cual la geometr´ıaeuclidiana se acab´ocon el surgimiento de la geometr´ıano euclidiana. Un solo ejemplo ser´asuficiente para ilustrar c´omotodav´ıase pueden seguir formulando nuevos teoremas sobre tri´angulosy c´ırculos: Teorema de Hiroshi Haruki. Sup´ongaseque cada dos de tres circunferencias C1, C2, C3 se cortan en exactamente dos puntos. Llamemos A, B los puntos de corte entre C1, C2; C, D los de C1, C3 y E, F los de C2, C3. Entonces vale la siguiente identidad: AE CB FD =1 CE FB AD Honsberger, infortunadamente, no especifica la fecha de formulaci´onpor primera vez de este teorema, pero comenta que el profesor Haruki fue su colega en Toronto, universidad a la cual ha estado vinculado Honsberger desde 1964; as´ı pues, el teorema que estamos poniendo como ejemplo es un resultado contempor´aneode geometr´ıaelemental. Algo fundamental es tomar conciencia de la importancia de la matem´atica elemental, especialmente como una herramienta para la formaci´ondel talento matem´aticotemprano, como lo hacen los proyectos Olimpiadas, Semic´ırculo y todos los Semilleros. Otro de los grandes de la matem´aticaelemental, el profesor Harold Scott Mac- Donald Coxeter, responde a la pregunta de si la Geometr´ıaElemental esta muerta en la siguiente forma [AD&AG]:

Oh, Pienso que la geometr´ıa se est´adesarrollando tan r´apidamente como cualquier otra especialidad matem´atica. Simplemente la gente no se da cuenta de esto.

Otra rama de la matem´aticaelemental se conoce con el nombre de matem´atica recreativa. Esta disciplina, que fue cultivada por Euler, espera tambi´en muchas

102 Historia de las matem´aticaselementales

investigaciones hist´oricas,particularmente en Colombia donde tambi´enhay va- rios especialistas que presentan sus trabajos en eventos acad´emicos donde se los permiten, como es el caso de los encuentros de geometr´ıa y aritm´eticade la Univer- sidad Pedag´ogiaNacional y de la Universidad Sergio Arboleda, evento que recibe estudiosos de todos los niveles y en el cual Estefany Moreno, a la edad de 11 a˜nos, present´osu trabajo conjunto con el profesor Lorenzo Acosta. En esta especialidad, la de la matem´aticarecreativa, existen dos grandes l´ıneas: la puramente recreativa, dirigida al gran p´ublico, y la propiamente matem´aticaorientada al desarrollo del talento matem´atico.Muchos de los llamados “juegos matem´aticos”tienen las dos caras, otros son simplemente juegos. Por ejemplo existen clubes de Origami para divertirse con esta actividad y para pasar el tiempo; pero existen matem´aticosque investigan este pasatiempo matem´aticamente y lo utilizan para ense˜nar geometr´ıa euclidiana en forma l´udica. En el pr´ologoa su libro “Aventuras Matem´aticas”[GM], el matem´aticoespa˜nol Miguel de Guzm´anexplica; despu´esde presentar la idea de trabajar matem´atica- mente sin demasiados prerrequisitos: Por otra parte, algunas de las cuestiones que iremos viendo juntos, adem´asde ser entretenidas, tocan muy de cerca porciones profundas de las matem´aticas de todos los tiempos y tiene hondas ramificaciones hacia algunos de los misterios a´unpendientes de ella. Entre las muchas cosas interesantes de este libro (De Guzm´anfue un animador de las olimpiadas y el creador del primer proyecto espa˜nol para la promoci´ondel talento matem´aticoen ni˜nos(as)y j´ovenes), una es la formulaci´onde gu´ıas para la resoluci´onde ejercicios y problemas: 1. Buscar semejanzas con otros acertijos y problemas. 2. Empezar por lo f´acil,hace f´acillo dif´ıcil. 3. Buscar pautas y regularidades. 4. Representar mediante dibujos y, si es posible, utilizar colores. 5. Modificar algo el enunciado del acertijo o problema para ver si aparecen ideas nuevas. 6. Escoger una buena motivaci´on. 7. Si es posible, explotar la simetr´ıa. 8. Suponer lo contrario y ver que sucede. 9. Suponga que el problema ha sido resuelto. 10. Utilizar t´ecnicasgenerales conocidas: inducci´on,descenso, proceso diagonal, principio del palomar, etc.

103 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

El estilo del profesor De Guzm´anes bien expl´ıcito:hacer matem´aticasl´udicamente, es decir, con la ayuda de juegos y acertijos. Este tipo de investigaci´onno tiene todav´ıahistoriograf´ıa;pongamos por caso, de este profesor espa˜nolsolo se conocen unas semblanzas, una de ellas publicada en la revista Civilizar de la Universidad Sergio Arboleda. Dicho sea de paso, Jairo Charris Casta˜neday Miguel de Guzman fueron compa˜neros de estudios en la Universidad de Chicago. El investigador m´asconocido en el ´ambito de la matem´aticarecreativa es el profesor Mart´ınGardner que figura tambi´en en el libro Mathematical People al cual nos hemos referido en varias oportunidades. Gardner fue el encargado, durante mu- chos a˜nos, de la columna Mathematical Games de la mundialmente conocida revista Scientific American. Es tambi´en autor de varios libros, uno de los cuales Fads and Fallacies in the name of Science, est´adedicado a estudiar la t´ecnicade creaci´on de imaginarios utilizando t´erminoscient´ıficos.Una biograf´ıade este importante personaje, que todav´ıa no existe, nos ilustrar´ıasobre muchas cosas, especialmente acerca del gran impacto de su columna sobre muchos de los granes cient´ıficosde la actualidad. Aparecer´ıan, entonces, matem´aticoscomo John Conway, creador de innumerables juegos matem´aticoscomo el que describiremos a continuaci´onsolo para ilustrar la diferencia entre jugar simplemente y hacer matem´aticascon la ayuda de un juego: Se juega entre dos contrincantes, partiendo de n puntos en una hoja de papel en blanco. El primer jugador traza un segmento, recto o curvo, entre dos de los puntos -estos dos puntos pueden coincidir- y en la mitad del segmento se dibuja un nuevo punto. El segundo jugador traza tambi´en un segmento recto o curvo uniendo dos de los puntos, que nuevamente pueden coincidir, sin cortar ning´un segmento ya dibujado, y en la mitad dibujan un nuevo punto. El juego contin´ua alternando cada jugador, siguiendo las reglas ya mencionadas y la siguiente: en cada punto no pueden incidir m´asde tres segmentos. El juego se pierde cuando uno de los jugadores no tiene movimiento. Es tan sencillo este juego que pueden jugarlo dos personas cualesquiera y hasta ese punto, es simplemente un juego muy pero muy barato, y bastante distra´ıdo: La matem´aticaaparece cuando se plantean preguntas del estilo:

1. Para cada n ≥ 1, ¿cu´ales el menor n´umerode jugadas necesarias para terminar el juego?

2. ¿Existe una estrategia ganadora para cada uno de los jugadores?

3. ¿Pueden modificarse un poco las reglas para obtener otro juego interesante?

¿Usted que opina amable lector? Terminaremos nuestro libro formulando un ´ultimoprincipio cuyo nombre nos sirve para ofrecer un peque˜no homenaje a una de las personas que m´asha contribui- do al desarrollo de las matem´aticaselementales en Colombia, y a la formaci´onde

104 Historia de las matem´aticaselementales

varios de los m´asimportantes cient´ıficoscolombianos; a la fundadora y animadora n´umerouno de las olimpiadas en Colombia:

(P11) Principio de Mar´ıade Losada o de la ten- si´onentre los niveles

La actividad matem´aticase realiza b´asicamente en tres niveles: ele- mental, superior y avanzado; los historiadores deber´ıan, en consecuen- cia, adoptar tambi´enesta divisi´ondel trabajo, y as´ı adelantar investi- gaciones hist´oricassobre cada uno de estos niveles. Una ´ultimaobservaci´onsobre el t´ermino elemental es la siguiente: Elemental no es lo mismo que escolar. La matem´aticaescolar es aquella que for- ma parte de los contenidos m´ınimos,es la matem´aticade los planes de estudio. Lo elemental no tiene ning´untipo de limitaci´onsalvo aquella enunciada en la defini- ci´onde Yaglom; contrariamente a lo escolar, que tambi´entiene la regulaci´on“´util para la vida”, lo elemental solo se rige por su car´acterpuramente matem´atico,y ojal´ano tenga ning´untipo de aplicaci´oninmediata con lo cotidiano. En resumen, lo escolar es lo est´andar,es la matem´aticade las aulas escolares, mientras que lo elemental no; la matem´aticaelemental es la que se hace en programas especiales fuera de las aulas, como en las Olimpiadas, en el Semic´ırculo y en todas las bue- nas modalidades de Semilleros. Un buen ejemplo de matem´aticaelemental, que la trabajan ni˜nosy ni˜nas entre los 9 y los 12 a˜nos, es la teor´ıapitag´orica,con- struida en colaboraci´onentre el Semic´ırculo de la Universidad Sergio Arboleda, el grupo del profesor Carlos Luque Arias y varios colegios de Bogot´a,entre ellos el Instituto Hermano Miguel La Salle. Este trabajo puede consultar en la p´agina www.usa.edu.co/Semic´ırculo. donde aparece bajo el t´ıtuloDid´acticaPiatag´orica.

105 Ep´ılogo

En este documento, el primero de una serie de tres, se han presentado varias ideas para respaldar la propuesta de integrar m´asestrechamente el mundo de la metamatem´aticaal mundo acad´emico de las matem´aticas.Este ´ultimoha alcan- zado ya, en nuestro pa´ıs,desarrollos muy importantes y muchas de las diferentes especialidades que lo conforman tienen presencia significativa en varias de las m´as importantes universidades del territorio nacional. Sin embargo, hay todav´ıanecesi- dad de adelantar muchos esfuerzos para lograr que ciertas especialidades, como la historia de las matem´aticaso la matem´aticaelemental, reciban el apoyo que nece- sitan para alcanzar la influencia que requieren. Un primer paso, de la mayor importancia, consiste en convencer a todos los acad´emicos de un hecho simple pero crucial: el mundo acad´emico de las matem´aticas no se reduce al de los matem´aticosque adelantan investigaciones a nivel avanza- do; hay tambi´eninvestigaci´ona nivel elemental y a nivel superior y otro tipo de actividades y de personas sin las cuales el mundo acad´emico de las matem´aticas no existir´ıa.En este trabajo hemos hecho ´enfasisen la historia de las matem´aticas y a lo largo de todo el documento fueron apareciendo diferentes ejemplos en este tipo de investigaci´ony muchas actividades indispensables y de gran trascendencia en el funcionamiento general del mundo acad´emico de las matem´aticas. Recordemos tan solo dos casos paradigm´aticos:en primer lugar, la historia del Laboratorio de Estad´ısticade la Universidad de California en Berkeley, fundado y puesto en funcionamiento bajo la orientaci´ony direcci´onde Jerzy Feyman. Es f´acilimaginar un panorama sin la existencia de este centro de promoci´onde la investigaci´on;pero qu´e dif´ıcildesconocer el impacto del miso que seg´un la histo- riadora Constance Reid, transform´odram´aticamente los estudios estad´ısticosen los Estados Unidos. En diferentes ´epocas y en diferentes pa´ıses;se han creado centros

106 Ep´ılogo

de investigaci´onsimilares a este laboratorio y con resultados similares. El IMPA de Brasil, por ejemplo, es el responsable de la formaci´onde una buena cantidad de los mejores matem´aticosde ese pa´ısy de Am´ericaLatina, y la pregunta que aparece muy naturalmente es: ¿Alguien ha tomado como tema de investigaci´on la historia de este instituto? No conozco la respuesta; pero si ella fuere negativa estar´ıamosperdiendo un gran capital. ¿Qui´enes son los h´eroes en estas jornadas de creaci´onde infraestructura para la investigaci´on?Primero est´anlos propios acad´emicos; pero al lado de ellos, otros seres humanos que solo vivieron para estas empresas y que merecen todo el reconocimiento porque todos han contribuido al engrandecimiento de nuestra especie. El segundo ejemplo es el de la matem´aticaelemental, cuya historia en los tiem- pos modernos est´atodav´ıapor realizarse. Hay mucha actividad matem´aticaa este nivel, no solo en los grupos que trabajan con ni˜nos(as) talentosos, tambi´en en grupos de investigaci´onen disciplinas diferentes de las matem´aticas.Pongamos por caso, una buena cantidad de lo que hacen quienes investigan en computaci´on cu´antica es de este nivel, y nuevamente hacemos la aclaraci´on:esto no significa que sus teoremas y resultados sean “triviales”, “obvios” o cosas por el estilo, son construcciones, como lo enfatiza Miguel de Guzm´an,de gran profundidad. Men- cionemos aqu´ı,de nuevo, a Noam Chomsky. Este intelectual, hoy d´ıamucho m´as conocido por sus posiciones pol´ıticas,es un excelente ejemplo de matem´aticoele- mental. Sus aportes a la teor´ıade los lenguajes formales son cruciales en estas inves- tigaciones, y para entenderlos no se requiere mucha formaci´oncomo matem´aticos, no exigen demasiados prerrequisitos, son entendibles por los ling¨uistas.La investi- gaci´ona nivel superior es justamente la que se realiza en departamentos como los de f´ısicay econom´ıa; un ejemplo muy interesante es el de la teor´ıade juegos que ha sido llevada a sus m´asaltos desarrollos principalmente por economistas. En total, el mundo acad´emico de las matem´aticases de una gran diversidad y hay all´ıposibilidades de trabajo para todos los gustos. Contribuir a su desarrollo fortaleciendo todos los oficios que all´ı son posibles es, tambi´en,una manera de ofre- cer oportunidades laborales para muchas personas. En historia de las matem´aticas hay mucho por hacer, y ojal´aeste libro contribuya a llamar la atenci´onacerca de este ´ambito de la actividad humana. El otro ´ambito con inmensas posibilidades es el de la matem´aticaelemental, pues muchas personas, ni˜nosy ni˜nasespecialmente, con talento matem´aticoesperan una oportunidad.

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109 Una fundamentaci´onde la historia de las matem´aticas

en junio de 2007, texto transcrito en LATEX2ε