Automorphic Products on Unitary Groups Vom Fachbereich Mathematik der Technischen Universität Darmstadt zur Erlangung des Grades eines Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.) genehmigte Dissertation von Dipl.-Math. Eric Ferdinand Wilhelm Hofmann aus Nürnberg Referent: Prof. Dr. Jan H. Bruinier Koreferent: Prof. Dr. Jens Funke Tag der Einreichung: 9. Dezember 2010 Tag der mündlichen Prüfung: 8. Februar 2011 Darmstadt D 17 To my parents Contents Zusammenfassung 9 0. Introduction 11 1. Lattices, groups and symmetric domains 19 1.1. Unitary groups . 19 1.1.1. The subjacent space . 19 1.1.2. Lattices and unitary groups . 21 Hermitian lattices . 21 Unitary groups . 23 1.1.3. Models for the symmetric domain . 23 The Siegel domain model . 25 1.1.4. Cusps and parabolic subgroups . 27 1.1.5. Compactification . 29 1.1.6. Modular forms . 30 Fourier-Jacobi expansion and Koecher principle . 32 1.2. Orthogonal Groups . 34 1.2.1. Quadratic spaces and orthogonal groups . 35 1.2.2. Coordinates for the Grassmannian . 36 Witt decomposition and basis for the hyperbolic part . 36 Grassmannian coordinates . 38 1.2.3. The tube domain model . 38 Complexification . 38 The tube domain . 39 The modular variety . 41 1.2.4. Cusps and boundary components . 41 Boundary components . 42 The normalizer of a boundary component . 43 1.2.5. Automorphy factor . 47 1.2.6. Automorphic forms . 49 Two definitions . 49 Fourier expansion and Koecher principle . 51 Fourier-Jacobi expansion and induced Jacobi forms . 53 The Siegel operator . 54 2. Theta lifts and Borcherds theory for O(2, b) 57 2.1. Prerequisites for Borcherds theory . 57 2.1.1. The Weil representation and vector valued modular forms . 58 Scalar valued modular forms . 58 The Weil representation . 59 Vector valued modular forms . 61 5 2.1.2. Heegner divisors and Weyl chambers . 62 Lattices revisited . 63 Heegner divisors . 64 Weyl chambers . 65 2.2. The Borcherds lift . 67 3. Embedding from the unitary to the orthogonal world 71 3.1. The Embedding of SU(1, q) into SO(2, 2q) ....................... 72 3.1.1. Setup and general considerations . 72 Complex scalars as endomorphisms of V ................... 74 R0 Parabolic subgroups . 74 3.1.2. Choice of cusp and basis for the hyperbolic part . 76 Basis for the span of ` and `0 .......................... 77 3.2. Complex structures and symmetric domains . 79 3.2.1. Constructing the embedding . 80 Complex structure . 81 Embedding of symmetric domains and choice of cone . 83 3.3. Behavior on the boundary . 86 4. Borcherds products for SU(1, q) 89 4.1. Some prerequisites . 89 4.1.1. Heegner divisors and Weyl chambers . 90 Heegner divisors . 90 4.1.2. Weyl chambers . 92 4.2. The main theorem . 93 4.3. Values of Borcherds products at the cusps . 99 4.3.1. The Borcherds lift on a one-dimensional boundary component . 100 4.3.2. The behavior of Ξf (z) on the boundary of U ................ 102 H ! 5. Lifting forms from 0 – Borcherds products for SU(1, 1) 103 5.1. The BorcherdsM lift for SO(1, 1) and SO(2, 2) ...................... 103 5.1.1. Prelude: Lifting constants . 104 5.1.2. The Weyl vector term for Jb(τ) ......................... 105 The integral . 106 K Negative norm vectors and calculation of Φm(v ) .............. 108 Heegner divisors and Weyl chambers . 109 5.1.3. Intermezzo: The Borcherds lift for SO(2, 2) ................. 110 Fourier expansions of Borcherds lift . 111 Borcherds products for Jb(τ) .......................... 113 5.2. The lift to SU(1, 1) ..................................... 114 5.2.1. The lattice and the upper half-planes . 114 Heegner divisors and Weyl chambers . 116 CM-orders of Heegner divisors . 116 Embedding and choice of basis . 118 5.2.2. Number fields with even discriminant . 119 Fourier expansions . 120 6 Contents Borcherds products . 121 5.2.3. Number fields with odd discriminant . 124 The Borcherds lift . 125 5.2.4. Further examples: Lift of Jb(τ) with squarefree b .............. 127 List of Notation 133 Bibliography 139 Lebenslauf 145 Contents 7 Zusammenfassung Das Ziel der vorliegenden Dissertation ist es, die Konstruktion von Borcherdsprodukten für unitäre Gruppen der Signatur (1, q) über imaginär-quadratischen Zahlkörpern durchzuführen. Die Grundlage hierfür bildet die Arbeit [5] von Borcherds. In dieser wird die singuläre Theta-Korrespondenz dazu verwendet, eine multiplikative Liftung von schwach holomorphen vektorwertigen Modulformen für die elliptische Modulgruppe SL2(Z) zu meromorphen auto- morphen Formen für orthogonale Gruppen der Signatur (2, b) zu realisieren. Die so erhaltenen Funktionen verfügen über eine Darstellung als unendliche Produkte, wodurch sie als Verall- gemeinerung klassischer Eta-Produkte angesehen werden können. Sie werden nach ihrem Entdecker als Borcherdsprodukte bezeichnet. Diese Liftung war von Borcherds bereits in einer vorherigen Arbeit [4] konstruiert worden, die hierbei verwendete Methode war jedoch deutlich weniger konzeptuell. Tatsächlich ist die Konstruktion in [5] weit allgemeiner; sie liefert auch eine additive Liftung, welche eine Reihe vorher bekannter Liftungen als Spezialfälle umfasst, welche sich durch Theta-Korrespondenzen realisieren lassen. Von einer singulären Theta-Korrespondenz spricht man im vorliegenden Fall, da das Theta- Integral Z d x d y f τ , τ, Z y b=2 ( ) Θ( ) y2 F stark divergiert und erst durch ein aus der theoretischen Physik stammendes Verfahren regularisiert werden muss, welches von Harvey und Moore [34] auf Integrale mit Theta- Kernen übertragen wurde, siehe auch [38]. Neben der unendlichen Produktentwicklung sei an dieser Stelle auch auf eine weitere cha- rakteristische Eigenschaft der von Borcherds konstruierten automorphen Formen hingewiesen: Ihre Pol- und Nullstellengebilde werden durch die Hauptteile der Fourierentwicklung der als Eingabewerte für die Liftung dienenden Funktionen vorgegeben. Diese Eigenschaft erlaubt somit die Konstruktion von Funktionen mit vorgegeben Divisoren auf den jeweiligen orthogo- nalen Modulvarietäten, was als einer der Gründe für die vielseitigen Anwendungen, welche aus Borcherds’ Konstruktion hervorgegangen sind, angesehen werden kann. Nach Borcherds spricht man in diesem Zusammenhang von „Heegner-Divisoren“, eine Begriffsbildung, wel- che auf die, einen Spezialfall darstellenden, Heegner-Punkte auf elliptischen Modulkurven hinweist. In der vorliegenden Dissertation wird nun das für die Borcherdsprodukte zentrale Resultat, Theorem 13.3 aus [5], auf unitäre Gruppen der Signatur (1, q) übertragen. Die dazu gewählte Methode ist die des Rückzugs unter einer Einbettung zwischen den hermitesch symmetrischen Gebieten der Gruppen SU(1, q) und SO(2, 2q). Sei hierzu F = Q(pd) mit d einer negativen ganzen Zahl und V , , ein hermitescher Raum über F. Dann besitzt V die Struktur eines quadratischen Raumsh· über·〉 Q mit der qua- dratischen Form, welche zu der symmetrischen Bilinearform , : Tr , assoziiert ist, ( ) = F=Q woraus man eine Inklusion der Isometriegruppen erhält, nämlich· · von SU(V )(h·R·〉) in SO(V )(R). Diese Beobachtung ermöglicht es, eine Einbettung zwischen den zugehörigen symmetrischen Gebieten zu konstruieren. 9 Diese erfolgt im dritten Kapitel der vorliegenden Arbeit. In den vorausgehenden beiden Kapiteln werden einige Grundlagen hierzu bereitgestellt. Im ersten Kapitel wird die Theorie der symmetrischen Gebiete und der automorphen Formen zunächst für unitäre und danach für orthogonale Gruppen entwickelt. In dem Abschnitt über unitäre Gruppen werden auch einige Elemente der Theorie hermitescher Gitter bereitgestellt. Außerdem wird im Anschluss an die Konstruktion des symmetrischen Gebiets auch die Kom- paktifizierung der unitären Modulvarietät nach Baily-Borel beschrieben. Unitäre Modulformen und ihre Fourier-Jacobi Entwicklungen schließen diesen Abschnitt. In dem Abschnitt über orthogonale Gruppen wird besonderer Wert auf die Konstruktion verschiedener Realisierungen des symmetrischen Gebiets gelegt, da diese für die spätere Einbettung von großer Bedeutung sind. Ebenfalls ausführlich behandelt wird die geometrische Struktur seiner Randkomponenten. Die Definition der Modulformen wird durch eine Beschreibung ihrer Fourier-Entwicklung und die Behandlung ihres Verhaltens auf Randkomponenten des symmetrischen Gebiets ergänzt. Im zweiten Kapitel wird die Konstruktion von Borcherds referiert. Vorher werden dafür notwendige Begriffe wie die Weil-Darstellung und die Definition von Weyl-Kammern eingeführt, wozu auch die Theorie von quadratischen Gittern vertieft wird. Besonders relevant ist hier der Begriff der Heegner-Divisoren, dessen Definition ausführlich behandelt wird. Das vierte Kapitel beinhaltet die wichtigsten Ergebnisse der Arbeit. Zunächst werden Heegner-Divisoren und Weyl-Kammern auf dem symmetrischen Gebiet der unitären Gruppe eingeführt, woraufhin dann das Hauptresultat dieser Dissertation, ein Analogon zu Borcherds’ Satz 13.3 aus [5], formuliert und bewiesen werden kann. Ein Korollar gibt eine einfachere Version für den wichtigen Spezialfall unimodularer Gitter an, und allgemeiner für Gitter, die sich in einen unimodularen isotropen Teil und einen definiten Teil zerlegen lassen. Das Kapitel schließt mit einer Untersuchung der Werte, welche die vorher konstruierten Borcherdsprodukte auf den Randpunkten der Baily-Borel Kompaktifizierung annehmen. Im abschließenden fünften Kapitel wird als Anwendung des Hauptsatzes sowie einer auf Bruinier zurückgehenden Verallgemeinerung des Borcherds-Lifts die Situation diskutiert, in welcher das zugrunde liegende Gitter eine hermitesche hyperbolische Ebene ist und somit der hermitesche