La resolución de problemas de Matemáticas en la formación inicial de profesores de Primaria

Colección manuales uex - 98

Lorenzo J. Janeth A. Ana 98 Blanco Nieto Cárdenas Lizarazo Caballero Carrasco

La Resolución de Problemas de Matemáticas en la Formación Inicial de Profesores de Primaria manuales uex 98 Lorenzo J. Blanco Nieto Janeth A. Cárdenas Lizarazo Ana Caballero Carrasco

La Resolución de Problemas de Matemáticas en la Formación Inicial de Profesores de Primaria

2015 © Los autores © Universidad de Extremadura para esta 1ª edición

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ISSN 1135-870-X ISBN 978-84-606-9760-2

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Prólogo 9

1. resolución de problemas de Ín matemáticas: aspectos cognitivos y afectivos 11 Lorenzo J. Blanco Nieto Di 2. la resolución de problemas de matemáticas como contenido en el currículo de primaria 23 Janeth A. Cárdenas Lizarazo ce y Lorenzo J. Blanco Nieto 3. un cuestionario sobre dominio afectivo y resolución de problemas de matemáticas 39 Ana Caballero Carrasco y Eloísa Guerrero Barona

4. la ansiedad de los estudiantes para maestro ante la enseñanza de las matemáticas 59 Rosa Gómez del Amo y Ana Caballero Carrasco

5. ¿Qué entendemos por problema de matemáticas? 81 Lorenzo J. Blanco Nieto y Juan Pino Ceballos

6. referentes para proponer problemas de matemáticas 93 Lorenzo J. Blanco Nieto y Janeth A. Cárdenas Lizarazo

7. modelo Integrado de Resolución de Problemas de Matemáticas: MIRPM 109 Lorenzo J. Blanco Nieto y Ana Caballero Carrasco

8. los problemas aritméticos escolares 123 Lorenzo J. Blanco Nieto, Ana Caballero Carrasco y Janeth A. Cárdenas Lizarazo 9. trabajamos con un problema de Geometría 139 Ín Lorenzo J. Blanco Nieto y Clara Jiménez Gestal

10. resolución de problemas en Di matemáticas y TIC. Propuestas actuales y perspectivas de futuro 149 Luis M. Casas García ce y José Luis Torres Carvalho 11. actividades específicas para primaria sobre la resolución de problemas 173 Lorenzo J. Blanco Nieto

12. tipos de problemas de matemáticas 187 Juan Pino Ceballos

13. ejemplos y ejemplificación en el aula de matemáticas 209 Carlos Figueiredo y Luis Carlos Contreras González

14. la evaluación sobre la resolución de problemas de matemáticas 225 María J. Cáceres García y José M. Chamoso Prólog mas ysepresentaunadiscusiónacerca delosdistintoscontextosyformatosqueayudan a de problemas. para incorporar las orientaciones, creencias y actitudes hacia la matemática y la resolución didáctica debecontemplarcaminospara generar enlosestudiantesunadisposiciónclara mático esproductodeltrabajo yesfuerzodelindividuo. Enestaperspectiva, todapropuesta del estudianteconeldesarrollodehabilidadesmatemáticasy por lotantoeltalentomate- resolver unproblema.Encontraste, lacultura orientalrelacionaneltrabajo yladisciplina heredó ese gen matemático, experimente serias dificultades al comprender un concepto o o talentomatemáticosoninnatosyporlotanto,sejustifica queunestudiante,no Por ejemplo, enlasculturas occidentales existelacreenciadeaceptarquelashabilidades los estudiantesexhibenenlaresolucióndeproblemasreflejanvalores culturales ysociales. de problemas.Unaspectocrucial,sinduda,ya quemuchas delascreenciasyactitudesque el papel del dominio afectivo en el desarrollo cognitivo de los estudiantes en la resolución también unadiscusiónampliadeestostemasdesdeópticainternacional. mente seexhibenlosresultadosdelasinvestigaciones quelosautoreshangenerado; sino tudes sonconstructosqueseabordandemanera recurrenteenvarios capítulosynosola- el desarrollodelpensamientomatemático. Así, lascreencias,elafecto,emocionesyacti- afectivos que permean el comportamiento y la actuaciónde los estudiantes o individuos en ñanza. Por supuesto, un tema destacado en el libro es la relación los aspectos cognitivos y der lasdistintasinterpretacionesdelaresoluciónproblemasenprácticaense- una fuenteimportantepara profesoresenservicioya queofreceunarutaclara para compren- de problemascomoelementoimportanteenelcurrículumylosescenariosenseñanza. los temasfundamentalesrelacionadosconloquesignificacentrar laatenciónenresolución la MatemáticadeUniversidad deExtremadura. Elcontenidodellibroesvariado yaborda trabajo de investigación ypráctica del grupo coordinado porLorenzo Blanco en Didáctica de promover elaprendizajedelosestudiantes.Incluye 14capítuloscuyos contenidosreflejanel y enparticulareláreadelaresoluciónproblemascomopropuestapara estructurar y Ana CaballeroCarrasco representaunacontribuciónimportanteenlaeducaciónmatemática inicial de profesores de primaria” de Lorenzo J.BlancoNieto, Janeth A. Cárdenas Lizarazo y En varios capítulosseabordalaimportanciadelosproblemasenresoluciónproble- El capítulo3incluye uncuestionarioquepermitecapturar informaciónrelacionadacon El materialestádirigidoaprofesoresdematemáticasenformación,perotambiénresulta El libro“laresolucióndeproblemasmatemáticasenlaformación 9 ManaluesUex 10 ManaluesUex mática ylaresolucióndeproblemas. en suconjuntoesunmaterialvalioso queseráunreferenteimportanteenlaeducaciónmate- guía para continuaryextenderladiscusióndelostemasqueseabordan.Sinduda,ellibro muestran losestudiantesalresolver losproblemas. problemas ysepresentanrúbricas,criteriosmaneras deevaluar yvalorar eltrabajo que problemas. Elcapítulo14abordaelproblemadelaevaluación delprocesoderesolución presentan diversas maneras deincorporar elusodetecnologíasdigitalesenlaresolución relaciones yestrategias queemergendurante elprocesode solución. Enelcapítulo10se diagonal) ilustra laaplicacióndeunmodeloresolucióndondesedestacanlasdiferentes propuesto enelcapítulo9queinvolucra lafigura deuncuadrado yunradio (lamitaddeuna puede proponer y discutir sus propias maneras de resolverlos. Por ejemplo, un problema aquellos interesadosenextenderlasinvestigaciones relacionadas;además,ellectormismo término problema;sinotambiéndelaposiciónopuntovistamatemáticamisma. lugar delaresoluciónproblemasenelcurrículumdependenosolodelsignificado que losestudiantesseenganchen enlosprocesosderesoluciónyreflexiónmatemática.El Lorenzo J. Blanco Cada capítuloincluye unalistadereferenciasbásicasqueellectorpuedetomarcomo El libroofrecetambiénejemplosdetareas,problemasoactividades quesonútilespara Nieto, Janeth A. Cárdenas Lizarazo, A na

Cab allero Carrasco Cinvestav-IPN. Diciembre,2014 Luz ManuelSantos Trigo curriculares sobreaspectosespecíficos ygenerales relacionados conlaRPM. numerosas lasreferenciaspara losprofesoresque podemos encontrar en losdocumentos capítulo 2)yaparececomounacompetenciabásicaquelos alumnos debenadquirir. Son aplicación. Además, seproponecomouncontenidoespecífico (BlancoyCárdenas,2013;ver mático, ya queponedemanifiestolacapacidadanálisis,comprensión,razonamiento y matemático. Deestamanera, debeconsiderarse comoejevertebrador delcontenidomate- de losejesprincipaleslaactividad matemáticayelsoporteprincipal delaprendizaje presencia enloscurrículos(Castro,2008;Puig,Santos,2007) sugiriéndosequeseauno años comounaactividad importanteenelaprendizajedelasmatemáticas,incrementandosu 1. tivo Españolde1990,ydesdeentoncessehamantenidoenlosdiferentestextoscurriculares. nificativos yfomentarelgustoporlasmatemáticas(Carrillo,1995). de niveles existentesenelaula,esunmarco idealpara laconstruccióndeaprendizajessig- ción deproblemascomotareacompleja,ofreceunaposibilidadpara organizarladiversidad Muchas fueronlasaportacionesdesdeesaépoca,quenosllevaron aasumirquelaResolu- de Problemasdebeserelejelaenseñanzamatemáticaescolar(NCTM,1980). de laResoluciónProblemasenescuela,señalaba: matemáticas (Arcavi yFriedlander, 2007). A esterespecto,Royo (1953)enreferenciaalpapel La resolucióndeproblemasmatemáticas(RPM)hasidoconsiderada enlosúltimos 30 En Españaseaceptóestaperspectiva enlaLeydeOrdenación General delSistemaEduca- Sin embargo,esapartirdeladécadalos80,cuandoseinsisteenqueResolución La ResolucióndeProblemashasidoconsiderada desdesiemprecomoelfocoenlas afectiv Enseñanza delasm tancia los problemas de indudable es (Royo, 1953, p. 253) la beneficiosos de ‘pensar’ el matemática, yno ‘memorizar’ los aspectos son la impor funcióndera del trabajo matemático. el yno que ‘saber’, el Si ‘poder’ concedemos el del libro texto. Hacer de los problemas de un suplemento indica un fallo la en verda cipal del estudio matemático la ser solución debe no del problema lugar en del estudio Resolución de Tienen los problemas importancia, tal que hay quien si pregunta se prin la parte o aspectos temátic Lorenzo J. Blanco Nieto cognitivos y pr Capítulo 1 as, ResolucióndeProblem y Dominio oblemas de

afectivos matemáticas:

- - - 11 ManaluesUex 12 ManaluesUex Lorenzo J. Blanco fORMa 2. rentes ocasiones(Blanco,2012;Gil,BlancoyGuerrero,2005;Gómez-Chacón,2000,2010). en tresáreas:creencias,actitudesyemociones.Estosdescriptoreshansidorevisadosdife- Resolución deProblemasMatemáticassonsusceptiblesalainfluenciadeldominioafectivo ansiedad, elstressylaperseverancia. Entre losfactoresafectivos señalabanexplícitamente elinterés,lamotivación, lapresión, riencia y los afectivos influencian el proceso de resolución problema de matemáticas. tirle llegaralasolución”(p.10).Ensutrabajo, reconocíanquefactorescognitivos, deexpe- de problemastienequetenersuficientemotivación yfaltadestressy/oansiedadpara permi- década delos80algunosautorescomoCharlesyLester(1982)señalabanque“elresolutor y aprendizajedelasmatemáticas. Y, enparticular, enlaresolucióndeproblema. Ya, enla matemática enloscurrículoseslainfluenciadeafectividad enlosprocesosdeenseñanza sugiere enlosdiferentescurrículosdematemáticas. y evaluar específicamenteenelaulalosdiferentesheurísticos(Cárdenas,2014)comose 2008; Schoenfeld, 2007)ylafaltadereferencialosprofesoressecundariapara trabajar tratamiento delasheurísticasyestrategias generales para resolver problemas(PinoyBlanco, táneamente, pareceimportanterecordarlafaltadeatenciónloslibrostextoenel ria ysecundaria,estrategias generales deresoluciónproblemasnohantenidoéxito.Simul- (2008) quienesinsistenenquelosintentosrealizadospara enseñaralosalumnos,deprima- cas enlaenseñanzaobligatoria.EstosresultadosconfirmanideadeCastro,(2008)ySantos, motivo para poner de manifiesto la importancia de la resolución de problemas de matemáti- obtenidos enmatemáticasy, específicamente,enlaresolucióndeproblemas. Ello,hasidoun del 2003,2006,2009y2012elinforme TIMSS del2011,muestran lospobresresultados muestran unaactitudnegativa hacialasmatemáticas. llero, 2013;Caballero,2013),mostrando que,engeneral, losfuturosprofesoresdeprimaria nández, Palarea ySocas,2001;Ruiz,2002; Tyteca yCastro,2007;Blanco,GuerreroCaba- (Caballero, GuerreroyBlanco2008;Estrada, 2007;Estrada, BataneroyFortuny, 2004;Her Monje yCastro,2013)y, específicamente,relacionadosconlosestudiantespara maestro en relaciónalasmatemáticas(Hidalgo,Maroto,OrtegayPalacios, 2013;Pérez-Tyteca, concreta yconalumnosdeunnivel específico. actuación enelaulanopuedendisociarambosaspectoscuando seenfrentaaunaactividad formación deprofesoresysudesarrolloprofesional,alconsiderar quelosprofesores ensu En estaépoca,McLeod(1989,1992)mostróquelosprocesoscognitivos implicadosenla Uno delosaspectosqueactualmenteseenfatizayasumeenrelaciónalaeducación Diferentes informes internacionales sobre educación matemática,como los InformesPISA En losúltimosañossehanincrementadoenEspañatrabajos sobreeldominioafectivo La investigación sobreeldominioafectivo sehatrasladado, también,alcampodela (creencias, a ción InicialdelosProfesoresrimria,Dominio Nieto ctitudes y emociones) esolución deProblemas y R Afectiv o - futuros profesoresy lógica quecondicionasumanera deabordarlastareasmatemáticasysuaprendizajecomo quienes señalabanquelosestudiantespara profesorhanadquiridounacultura escolartecno- trol, ...queestaríanrelacionadasconeldominioafectivo (ver capítulo3). como aprendizrelacionadasconelautoconcepto,laautoconfianza,expectativas decon- como objeto,yotras creenciassobresuenseñanzayaprendizajeacerca deunomismo máticas. A esterespecto,lainvestigación diferenciaentrecreenciasacerca delamatemática visión particularsobresuenseñanzayaprendizajedesímismoenrelaciónconlasmate- primaria ysecundaria,aprendenconocimientodematemáticasy, además, adquierenuna vadas desupropiaexperienciaescolar(Blanco,2004).Esdecir, ensuetapacomoalumno creencias sobrelasmatemáticasylaenseñanzaaprendizajedederi- ción traen comoconsecuenciadesuestanciaenlaenseñanzaobligatoriaconcepcionesy 2.1. comprensión. Lascreenciasconforman unaperspectiva desdelacualcadapersonaseaproxima experiencias yconductasdocentes (Chapman,2000),limitandosusposibilidadesdeaccióny especie delenteofiltrodesdeel queinterpretansupropioprocesoformativo yorientansus caciones queselesugierenpara ello(Blanco,1997,2004;Córcoles y Valls, 2006). buscan distintasestrategias ométodospara suresoluciónynohacenusodelasdistintasindi- mecánico ymemorístico,tienenescasosrecursospara representaryanalizarlosproblemas, no y rigor(Blanco,2004). Al mismotiempo,losEMPconsideran laRPMcomounprocedimiento que juzgannegativa ymonótona,suconcepcióndelasmatemáticasligadasalrazonamiento Johnson, 2008).Igualmente,hemosobservado unacontradicción entresuexperienciapersonal, las actualespropuestascurriculares(Blanco,1997,2004;Blanco, etal.,2013;Caballero, idea muytradicional delosproblemasmatemáticasquenocoincideconlassugerencias de de loslibrostexto”(Szydlik,SzydlikyBenson,2003,p.254). que hacermatemáticassignificaaplicar fórmulas yprocesos memorizados delosejercicios formación deprimariatiendenaver lasmatemáticascomounadisciplinaautoritaria,ycreen Aún, veinte añosdespués,siguesiendoválidalaaportacióndeLlinaresySánchez (1996) Se aceptaquecuandolosprofesoresenformacióninicialaccedenacentrosdeforma- Además, estascreencias,sonmuyfuertesyresistentesaloscambios, yconstituyen una Por nuestra parte,asumimosquelos estudiantespara maestro deprimaria(EMP)tienenuna Más recientemente,Szydlik,SzydlikyBenson,(2003)indicanque“losprofesoresen Influencia delascreencias (Llinares y Sánchez, (Llinares 1996, p. 93). El rol del alumno consiste los diferentes atender en yrepetir procedimientos – – – …cuyas describir pueden características se como: mientos, etc. mientos, el consiste manera rol de del profesor clara presentar en yconcisa los procedi el aprendizaje consigue se mediante la repetición enseñanzaLa consiste yproporcionar exponer en una determinada información Resolución de Pr oblemas de Matemáticas: aspectos cognitivos y afectivos - 13 ManaluesUex 14 ManaluesUex (Hidalgo, Maroto,OrtegayPalacios, 2008). matemáticas disminuyen conlaedad,especialmentedurante laeducaciónsecundaria o laevitacióndetareamatemática.Elinterésylasactitudespositivas hacialacienciaylas en elinterés,lasatisfacciónocuriosidadbienrechazo, lanegación,frustración problemas (Blanco,1997,2004;Córcoles y Valls, 2006;Puig,1996; Valverde yCastro,2009). las pocasactitudesmatemáticasdelosEMPsobreaspectosrelacionados conlaresoluciónde cognitivas generales queson importantesentareasmatemáticas.EstudiosEspañamuestran tudes matemáticas,tienenunmarcado componentecognitivo yserefierenalascapacidades personales yqueinfluye ensucomportamientoesloquellamamosactitudes. evitación oderechazo delasmismas.Estapredisposiciónquedeterminaintenciones adversos hacialastareasrelacionadascondicha materia,loquelellevará aconductasde creencia negativa sobrelasmatemáticasosu enseñanza,tenderáamostrar sentimientos la materiaylepredisponeaactuardemodoconsecuente.Estoes,siunalumnoposeeuna 2.2. de enfocarlaresolución(NCTM,2000). resolución deproblemasmatemáticas,sobresímismocomoresolutoresylaforma tienen éxitoalresolver problemasylosquenolotienenestribaensuscreenciassobrela rarse incompetentesenlaresolucióndeproblemas.Unadiferenciaimportanteentrelosque desesperación ynerviosismo,loquelesllevan alatascoobloqueoantelatareayaconside- ces yhábiles como resolutoresdeproblemas,experimentandola gran mayoría inseguridad, esencial para elalumnadodecara asuslogrosmatemáticos(McLeod,1992;Reyes, 1984). así. Laconfianzaenladisposiciónyhabilidaddequereraprendermatemáticastieneunpapel menos confianzaensímismoslassituacionesdeaprendizajequepersonasnopiensan matemático yqueestánbasadasenprocedimientosdesolucióninfaliblemecánicos,tienen de aprendizaje.Elalumnadoquecreelasmatemáticassonsólopara losquetienentalento dices para estudiarlas,asícomotambiéndesuparticipaciónactiva yregulación enelproceso autoconfianza enmatemáticasesunimportanteindicadordelavaloración positiva delosapren- relación conlasmatemáticas(Kloosterman,2002; Vanayan, White, Yuen y Teper, 1997).La vación yelrendimientodelosalumnossonlaspercepciones delosalumnossobresímismosen ción y, si fuese necesario, influir en el cambio de las mismas y en lageneración de otras nuevas. (Schoenfeld, 1992).Consecuentemente, estascreenciassehandetenerencuentalaforma- cedimientos queseutilizaránoevitarán,yeltiempolaintensidadpondráentarea al mundo de las matemáticas ypueden determinar cómo se abordarán los problemas, los pro- Lorenzo J. Blanco En lasactitudeshaciamatemáticaspredominael componente afectivo ysemanifiestan Podemos distinguir entreactitudeshacialasmatemáticasymatemáticas.Lasacti- Lo queelalumnocreesobrelasmatemáticasinfluye enlossentimientosqueafloran hacia Hernández, etal.(2001),yCaballero(2013)señalanquelosEMPnoseconsideran capa- A esterespecto,convendrá tenerencuentaquelascreenciasmásinfluyen enlamoti- Influencia delasactitudes Nieto medida anteellas(Salcedoetal.,2003). Además, Socas(1997)afirmaque: emociones puedenllevar alabandono,alaevitacióndetareayprotegersealguna Blanco yGuerrero,2006;Isiksal,Curran, Koc y Askun, 2009).Otrosautoresseñalanquelas aprendices dematemáticas,loquecorrelacionaambosconstructosformanegativa (Gil, más ansiedadmatemáticapresentanmenorconfianzaensushabilidadesmatemáticasycomo al nivel delosestudiantespara maestro,dondeya hay unaimportanteliteratura (Peker, 2009). matemáticas. La relación entre ansiedad y educación matemática se ha trasladado, asimismo, Esta correlaciónsemantienealcomparar los niveles deansiedadyactitudespositivas hacialas hacia lasmatemáticasynotasobtenidasporlosalumnosalfinaldecursoesaltaeinversa. Zakaria yNordim,2008).Hidalgoetal(2008)indicanquelarelaciónentreniveles deansiedad tanto enelrendimientogeneral delestudiante (DeBellisyGolding,2006;Salcedoetal,2003; ansiedad interacciona deformanegativa conlosprocesoscognitivos ymotivacionales ypor son mayoritariamente negativas. A esterespecto,diferentesautorescoincidenenseñalarquela provocando laaparicióndevaloraciones delosalumnosque,enelcasolasmatemáticas, surgen dificultadesque,enocasiones,llevan alafrustración delasexpectativas personales, carga designificadopositiva onegativa para lapersona. Así, alafrontarunatareamatemática campo delasemociones(DeBellisyGoldin,2006). educación matemáticaesver suenseñanzacomoalgoesencialmentecognitivo desligadodel y sus consecuencias en loslogros matemáticos señalando que una de las dificultadesde la ticas. Losestudiossobrelaemociónhanversado sobreelpapeldelaansiedad,frustración una altaintensidadyactivación fisiológicaqueexperimentanlosalumnos antelasmatemá- 2.3. enseñanza delasmatemáticasque rechazan. proceso de control y regulación del propio aprendizaje unido a una metodología sobre la solución de problemas, incluidos el recuerdo de fórmulas o procedimientosmecánicos; o los mación cuandoseproponeuna tareamatemática;losperíodospara diseñarestrategias de los momentosdecomprensiónlaestructura delaactividad oderecuperación delainfor rentes momentosenlosquelarelaciónentreemocionesyprocesos cognitivos sehacevisible: un efectopositivo sobreelaprendizaje(GuerreroyBlanco,2004). mática como un desafío. En particular, si controlan los niveles de ansiedad, su acción tendrá Otros trabajos establecenrelacionesentreansiedadyautoconfianza. Así, losalumnoscon Las emociones aparecen como respuesta a un suceso, interno o externo, que tiene una McLeod (1992)entiendelasemocionescomorespuestasafectivas caracterizadas por En relaciónconlaenseñanzayaprendizajedelasmatemáticas sepuedenindicardife- De estasconsideraciones seinfierequelosestudiantesdebenasumirlaactividad mate- Influencia delasemociones la actividad matemática los alumnos de (p.135). fracaso, a la equivocación, etc. generan origen de bloqueos en afectivo que repercuten asociadas ala ansiedad yel miedo. ansiedad La acabar una por el miedo tarea, al muchas negativas las de actitudes yemocionales hacia las matemáticas están Resolución de Pr oblemas de Matemáticas: aspectos cognitivos y afectivos - 15 ManaluesUex 16 ManaluesUex Lorenzo J. Blanco grada enlaenseñanzayaprendizajedelasmatemáticas(Amato,2004;Blanco,Caballero, nocen laimportanciadeconsiderar lasdimensionesafectiva ycognitiva demanera inte- los aspectoscognitivos yafectivos. Sin embargo,cadavez sonmáslostrabajos quereco- aspectos cognitivos, segundoenaspectosafectivos, peropocas veces enlainteracción de mente lasinvestigaciones enresolucióndeproblemassehancentrado, primeramente, en en lascreenciasyactitudesdeéstoshacialamisma. creencias yemocioneshacialasmatemáticasinfluiránenellogro desusalumnosasícomo y emocionalesenlaformaciónmatemáticadelosEMP, ya que,como futurosdocentes,sus y Thorpe, 2005). Y, parece evidente la necesidad y el interés por estudiar los factores afectivos res dentrodeunprocesodiscusiónyreflexión(Johnson, 2008;Stacey, Brownlee, Reeves mente, losfactoresafectivos seconsiderenenlosprogramas deformacióninicialprofeso- aprendizaje delosalumnos(GeorgiadouyPotari, 1999).Parece obvio que,consecuente- nes influencianlasactitudesyambaslaconductadelprofesor(Ernest,2000)el clase, ycondicionaráeltipoderelaciónprofesor-alumno (Ernest,2000). Así, lasconcepcio- van elaborando sobresímismos. el comportamientoyenrendimientodesusalumnoslasimágenesmentalesqueéstos profesores, suscreenciasyactitudesacerca desímismosyhacialasmatemáticasinfluyen en profesores y, así,podemosencontrar investigaciones queanalizancómolaconductadelos ción entrelocognitivo yloafectivo, ybuscarelementosdeintegración deambosaspectos. es evidente que tendremos que considerar en nuestro trabajo docente e investigador la rela- nes influyen enelconocimiento,yqueconocimientoinfluye enlostresaspectosseñalados, 3. metodologías muytradicionales. efecto, de sus profesores y de los programas de formación de profesores, desarrollados con experiencias escolares,comolasestudiantesdematemáticasy, al creencias negativas delosprofesoresenformacióninicialpodríaatribuirseasusprevias Ross, Pannells yMcJunkin (2006)yUusimakiNason(2004)apuntanqueelorigendelas lizan supapelcomoprofesoresdeprimaria. Autores comoChapman(2000),Malinsky, das. Y ello,apesardesupasoporloscentrosformacióninicial,dondenoreconceptua- persisten enlosestudiantespara profesoresdeprimariaconcepcionesyactitudesinadecua- sasser (1996)lafaltadereflexiónsobreestosaspectosesunalascausasporque fesores, cuandoabordanlaresolucióndeproblemas,parecepertinente.Para Foss yKlein- De BellisyGoldin(2006)FuringhettiMorselli(2009)recuerdan quetradicional- Las concepcionesyvalores delosprofesoresdeterminanlaimagenlasmatemáticasen Esta relaciónentreloafectivo ylocognitivo sehatrasladado, también,alestudiocon Si apartirdelasreferenciasanteriores,asumimosquecreencias,actitudesyemocio- Por lo tanto, estudiar las creencias,actitudes y emociones de los estudiantespara pro- de forma Integra ción entrelo afectiv Nieto ción inicial o y locognitiv o enlosprograms — — — — — — —  —  Bibliografía que integra aspectoscognitivos yafectivos. maestro (Blanco,etal.,2013;Caballero,2013)yconprofesoresdesecundaria(Pino, programas deintervención sobreresoluciónde problemas dematemáticasconestudiantespara rimentales y de las matemáticas de la Universidad de Extremadura hemos desarrollado dos enseñanza delasmatemáticas”(Zevenbergen, 2004,p.4). noveles confianzaycompetenciacomousuariosdelasmatemáticasenordenamejorar su sores. A esterespecto,“el papel dela educación de profesores esdesarrollar en los profesores simultáneamente losfactoresafectivos ycognitivos enlosprogramas deformaciónprofe- y Hannula,2006) 2011; FuringhettiyMorselli,2009;Koballa yGlynn,2007;Pino,2013;Zan,Brown, Evans Piedehierro, Guerrero,yGómez,2010;Caballero,2013;Blanco

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23 ManaluesUex 24 ManaluesUex la siguientereferencia: 2007), cuandosehacereferenciaalaenseñanzaenelnivel deprimaria,podemosencontrar primaria ysecundaria. ciones específicasderesoluciónproblemasmatemáticasydesdeloscurrículos la resolución de problemas como contenido justificando esta perspectiva desde las publica- 2. 20 años,noacabadereflejarsemanera clara enlaprácticadocente(García, 2009). como metodología,reflejadademanera expresaenlaspropuestascurricularesdelosúltimos es cierto que su plasmación en el aula sigue siendo muy escasa. La consideración de la RP Janeth la resolucióndeproblemasyqueseencuentran enelcurrículodematemáticas(Figura 1). a modode contenidos específicos que los profesores deberíanconsiderar en su enseñanzasobre dor (1991),quedesgraciadamente seabandonóalospocosaños. ‘estrategias para laresolucióndeproblemas’enellibrotextoGuzmán,Cólera ySalva - resolución deproblemas)enloslibrostexto.EnEspañahubounintentointroducir Blanco (2008)indicanelescasoreflejoquesetienedeestaperspectiva (Enseñanzasobrela problemas. Noobstanteestasrecomendaciones,autorescomoSchoenfeld (2007)oPinoy aprendizaje señalandodiferentessugerenciaspara quelosalumnosaprendanaresolver vidad quedebeconsiderarse específicamenteenlaenseñanzadelasmatemáticaspara su Específicamente, enelcurrículodelaComunidad Autónoma deExtremadura (Decreto, En BlancoyCárdenas(2013)(2014)seanalizaampliamenteelsignificadode En el artículo citado de Blanco y Cárdenas (2013) se establecen siete categorías, diferentes, En elartículocitadodeBlancoyCárdenas(2013)seestablecensietecategorías,diferentes, El currículoincide,endiferentesocasiones,laimportanciadeRPMcomounaacti- ma La resolucióndeproblemascomocontenidoenelcrríclo A. Cárdenas Lizarazo, temátic (Decreto, 2007, p. 7911). hacer el puede ala área se que desde autonomíaaportación einiciativa personal” “Los contenidos asociados ala resolución problemas de constituyen la principal 7. 6. 5. 4. 3.

2. 1. Evaluación as Formular o plantear problemas oplantear Formular Fuentes de situaciones y datos para plantear problemas problemas plantear para ydatos Fuentes situaciones de Dominio afectivo Dominio Tecnología de la información y de la comunicación Tecnología la yde información la de Matemáticas, lenguaje ycomunicación lenguaje Matemáticas, Modelo General de Resolución de Problemas Problemas de Resolución de General Modelo F igura 1.igura 2.4. 2.3. 2.2. 2.1. Lorenzo J. Blanco Analizar ycomprender problema el Analizar Revisión del problema, del resultado y toma de decisiones ytomade resultado del problema, del Revisión Ejecución de las estrategias las de Ejecución Diseño de estrategias de Diseño

Contenidos específicos de la de Resolución Problemas de específicos Contenidos Nieto que nossugiereelentornoosuimaginación. proponer alosalumnosqueinventen yformulenproblemasapartirdediferentessituaciones prender larealidad. Y, específicamenteenrelaciónalaRPM,señalaconveniencia de cos. Esdecir, nosanimaautilizarlasmatemáticaspara describir, analizar, interpretarycom- significativa desituacionescotidianasysercapacesformularlaentérminosmatemáti- f 3.1. contenidos. tulo sieteylasactividades señaladas enelcapítuloonce,quepermitirándesarrollarestos ellas. Lasideasaportadasenestecapítulosecomplementaránconlasorientacionesdelcapí- específicas delcurrículodeprimariaquetienerelaciónconelenunciadocadauna 3. una pruebadelaimportanciaqueseledaaestaactividad enelcurrículo. siete ocasionesdiferentesenelcurrículodePrimariacontenido dematemáticas.Estoes referencia acontenidosespecíficosdematemáticas: lación’ para sugerirquelosalumnosplanteenproblemasapartirdediferentescontextosyen multiplicación comooperación matemáticayprecisarsuutilización. resuelva con una operación de multiplicar. Ello permite reflexionar sobre el significado de la nidad Autónoma deExtremadura (Decreto,2007). 2 Lascitasquesedescribenalolargodeestecapítulo yquehacenreferenciaalcurrículosonextraídas delcurrículodelaComu- Así, porejemploenunpárrafo nosrecomiendala: El contenidodecadaunalascategoríaslovamos adesarrollarpartirdereferencias El currículo La referenciaala‘invención y/oformulacióndeproblemas’aparece,almenos,endieci- En elcasodeprimariaseutilizan,manera reiterada, lostérminos‘formular’o‘formu- De modo que podríamos proponer a los alumnos que enuncien un problema que se ma Contenidos específicossobrelaresolucióndeprolems ormular oplantearproblemas temátic (p. 7921).(p. dadas precise los en que se realizar varias operaciones matemáticas para su resolución” gráficos” (Decreto, 2007, p. 7916). ros” (Decreto, 2007, p. 7915). “Invención y formulación problemas de la de vida cotidiana situaciones de apartir “Formular problemas sencillos precise los en que se contar, y escribir leer núme “. .Formular yresolver sencillos problemas los en que intervenga la de lectura 2 nosindica,endiferentesmomentos,laimportanciadecaptarinformación as enprimri La Resolución de Pr oblemas de Matemáticas como contenido en el currículo de - primaria 25 ManaluesUex 26 ManaluesUex Janeth formular problemas: generales ycomplementarias: similar alpropuestoinicialmenteporPolya (1945),quedesarrollamosendosreferencias 3.2. partir deello,plantearproblemasquenosayuden aencontrar mejoresalternativas. ciales delarealidad”(Decreto,2007,p.7834),ypara comprenderloquenosrodeay, a que nosrodeasirviendopara que lamatemáticapuedeayudar aproducir, interpretar, representaryexpresarlainformación en elcurrículotantodemanera general oenreferenciaacontenidosespecíficos.Nosindica salud, consumo,medioambiente,educaciónvial”(Decreto,2007,p.7923)esalgoreiterado problema resueltoaotras situacionesposibles. resolución deproblemaspara permitirla transferencia delconocimiento aprendidoenel También, cuandoqueremoshacerproblemassobrealgúncontenido.Oenlafasefinalde trabajando para observar ycomprenderlarelacióndelosmismosendiferentescontextos. inventar oformularproblemasenrelaciónaprocesosconceptosmatemáticosqueestemos momentos deenseñanza,tantodentrodelaulacomofuera deella. Así, losalumnos podrán la baseyaltura odelamedidaradio odiámetrodelabaseyaltura delcilindro. pondiente para ver diferentes posibilidadespara llegarasusoluciónpartirdelamedida mas cuya preguntaseacalcularelvolumen delcilindrodeberánanalizarlafórmulacorres- los escolaresde:¿paraquésirveesto?Oporejemplo,siproponemosqueredactenproble- matemático a emplear. Probablemente, este alumno se responda a la pregunta reiterada por aplicar estaoperación, porloqueleestarádandosignificadoaesteconceptoyalproceso resuelva conunamultiplicacióntendráqueimaginardiferentessituacionespermitan cos osobrelautilidaddelosmismos. Así, siunalumnodebeplantearproblemaquese a trabajar alosalumnossobreelsignificadodeconceptosy/oprocedimientosmatemáti- Incluso en los criterios de evaluación, el currículo habla sobre la importancia de El textodelcurrículonosproponeexplícitamenteunmodelopara abordarlosproblemas, Analizar e interpretar diferentes “situacionesproblemáticas relacionadas con temas de La invención oformulacióndeproblemasalosalumnospuedeproponerseendiferentes La actividad deplantear/inventar/formular problemaspareceoportuna por cuantoobliga A. Cárdenas Lizarazo, Modelo General deResoluciónProblemas inventadas” (Decreto, 2007, p. 7915). iniciativa para personales la formulación problemas de sencillos situaciones en (Decreto, 2007, p. 7912). comprobar la solución si ha se encontrado, la hasta comunicación los resultados de trabajo va que se revisando durante la resolución, modificar el plan si necesario, es “...es básico eimprescindible si el saber alumnado ha adquirido... autonomía e La RPMLa ...requiere...: comprensivamente, leer reflexionar, un plan establecer de Lorenzo J. Blanco “ampliar elconocimientosobreaspectoscuantitativos yespa- Nieto Cultura (MEC, 1992) encontrar podemos una cita más amplia: español ya que en la curricular propuesta hecha sobre la LOGSE (Ministerio Educación de y mente, las diferentes del modelo fases general. afectivo, ylosobjetivos de estaprimera fasedel ModeloGeneral es considerada esencial para Analizar ycomprenderelproblema modelo este de propuesta en el capítulo siete. ción del problema yganen en confianza yautoestima como resolutores. Ampliamos la la revisión del proceso para que los alumnos evalúen su implicación personal en la resolu pasando cuatro de acinco pasos. nueva En esta indica se fase la necesidad aprovechar de anterior integran se cognitivos aspectos yafectivos sobre la resolución problemas, de Guerrero yCaballero, 2013; Caballero, 2013; Pino, 2013) en la que partiendo del modelo a nivel cognitivo yafectivo. ción las de estrategias alcanzar hasta la solución yiv. revisión los de resultados ydel proceso der la situación planteada; ii. Diseño estrategias, de desarrollo las de estrategias; iii. Ejecu (2013) que desarrolla manera de diferenciada, al menos, cuatro fases: i. Analizar ycompren (1987), Mason, Burton yStacey (1988), Guzmán (1991), Blanco (1993), Santosaprender. (2007) yPino Un modelo sugerido en las aportaciones Schoelfend de (1985), Bransford y Stein un modelo general resolución de problemas de que los estudiantes experimentar deben y Esta referenciaEsta al trabajo sobre la resolución problemas de nueva no es en el currículo La manera deenfrentarnosalosproblemas,tantodesde elpuntodevistacognitivo como Actualmente, encontramos una nueva intervención de propuesta en el aula (Blanco, Lo anterior nos muestra que en el currículo presente, está hace desde algunas décadas, Pero, al mismo tiempo, el currículo incide en la importancia considerar, de específica problema (MEC, 1992, p. 92). hace necesario, asimismo, desarrollar la capacidad persistir de la en exploración un de nuevas del problema, comprobación resultados de ycomunicación los mismos. de Se verificación su de validez ono, exploración mediante ensayo yerror, formulaciones forma en representación gráfica del problema osituación, formulación conjeturas de y dramatización, discusión equipo), en extracción datos de yanálisis los mismos, de problemas como: comprensión yexpresión la de situación matemática (verbalización, dad familiarizarse de que facilitan con procesos la exploración yresolución de ciones con probabilidad éxito. de sentido, En brindará este se alos niños la oportuni adquiere alas generales que nuevas le permiten enfrentarse otras situa yespecíficas y la valoración los resultados” de (Decreto, 2007, p. 7911). asociadas al competencia: desarrollo la esta de planificación, la los gestión recursos de […] el alumno desarrollar debe yperfeccionar sus propias estrategias, ala vez que resolución“La problemas de complementarias tiene, vertientes al menos, tres La Resolución de Pr oblemas de Matemáticas como contenido en el currículo de - - primaria - - - - 27 ManaluesUex 28 ManaluesUex varios momentos: poder abordarlaresolucióndelproblemasconciertoéxito.Elcurrículoserefiereaellaen Janeth lando ademásalgunasotras referencias: planteen. necesidad deelaborar yaplicarestrategias personalespara resolver losproblemasquese aspectos másrepetidosacerca delaresoluciónproblemasenloscurrículosqueseñalan está asociadaalaelaboración deunaestrategia para resolver elproblema.Esteesunodelos Diseño deestrategias son clara yfácilmenteadaptablesalosproblemasbásicosdePrimaria. comprensión cualitativa, comprensióncuantitativa ycomprensiónconceptual.Estosniveles camente a problemas algebraicos señalando tres niveles de comprensión de los enunciados: la traducción delosenunciadosaexpresionesmatemáticas.Losautoresserefierenespecífi- Lochead yMestre(1988),realizanunaimportantecontribuciónenrelaciónaladificultadde ras, 1994;García, 1992,2005;Luceño,1996). esa fasedelaresoluciónlosproblemas(BlancoyBlanco,2009;Castroetal,1995;Figue- autores queseñalan,además,algunasactividades específicasqueayudarían alosalumnosen renciada: se repitenumerosasveces enlostextosloqueindicalaimportanciaseleda, seña- La referenciaala Como hemosindicadoanteriormentelacomprensiónyanálisisdesituaciónplanteada Por otra parte,yligadoalaimportanciadecomprensiónsituaciónplanteada, La importanciadecomprenderlasituaciónplanteadahasidoconsiderada pordiferentes La necesidaddeunalectura comprensiva esevidenteyporelloreiteradamente refe- A. Cárdenas Lizarazo, p. 7912).p. detalleen la de situación planteada un para plan” trazar (Decreto, 2007, p. 7911). (Decreto, 2007, p. 7840). utiliza para resolver problemas, del desarrollo motor constituye cognitivo” un fuerte (Decreto, 2007, p. 7920). la soluciones, de búsqueda yla expresión, seguido” oral el en proceso yescrita “La resolución“La problemas de requiere… comprensivamente” leer (Decreto, 2007, planificación“La (en la Resolución problemas) de asociada a la está comprensión “...Valorar las diferentes estrategias…” (Decreto, 2007, p. 7924). “...la toma conciencia de los procedimientos de mentales ylas estrategias que “...observar la facultad emplear de un de más procedimiento y la perseverancia en “utilización resolución” estrategias de de personales (Decreto, 2007, p. 7920) Lorenzo J. Blanco Nieto ran considerar sobreelprocesodesolucióndelproblema: igualdades erróneas. forma dehablar, peroqueescritasasí,enlapizarra oenelpapel,expresanoperaciones e encuentran sureflejonuméricoen:‘2x3=6+410’ los alumnosresuelven. problemas encontramos unaciertadesorganizaciónyfaltaderigorenlosmodosque Resolver elproblema procedimientos propiosdeprimaria,para resolver losproblemas. elaborar, utilizaryexplicaroralmente yporescritodiversas estrategias, personalesoconlos transferencia deconocimientoasituacionesposteriores. Y estoesrecogidoenelcurrículo afectivamente, sobreeltrabajo realizadoysobrelosresultados obtenidospara facilitarla por concluidalaactividad. Noobstante,consideramos necesarioreflexionar, cognitiva y Revisión delproblema,resultadoytomadedecisiones y precisión,resaltandolosposibleslogrosintermedios. el procesoeircontrolandolasdiferentespartesdelmismo.Loque implicaactuarconorden mación, elcálculomentalolaanticipacióndesolución,procurando desarrollary explicar alumnado debetratar deresolver elproblemadeformalógicayreflexiva, incluyendo laesti- dudas. Esdecir, queverbalicen loquehapasadoporsumenteyhanidohaciendo.El diferentes estrategias para resolver lassituacionesplanteadas,señalandosuspensamientosy lución delproblema.Deestamanera, seríaimportanteconsiderar laelecciónyusodelas señalar que A esterespecto,elcurrículosugierealgunasrecomendacionesquelosprofesoresdebie- Son expresionesquealseroídasparecencorrectas,ysecorresponderíanconuna Así, podemosencontrar expresionescomodosportres,sonseis,máscuatro10que Cuando observamos loscuadernosdealumnosprimariaconlatarearesolver De lasunidadesanteriorespodríamosresumirlasalseñalarquelosaprendicesdeben Usualmente losalumnosrodeanconcoloreslasoluciónobtenida eneltercer pasoy dan Este tercer pasorequieredealgunasactitudespersonalesquefacilitaránlacorrectareso- Pero, tambiénsehacereferenciaalcontroldelprocesoporparteresolutor, al tados” (Decreto,tados” 2007, p. 7917). ción de los procesos de resolución”ción de los procesos de (Decreto, 2007, p. 7911). “Interés por la por “Interés presentación limpia, ordenada yclara los cálculos de sus yde resul “… la (en los gestión recursos de la resolución problemas) de incluye la optimiza La Resolución de Pr oblemas de Matemáticas como contenido en el currículo de - - primaria 29 ManaluesUex 30 ManaluesUex (Decreto, 2007,p.7912)ycomunicar, elresultadoobtenido,ya queelloeslo cuando, porejemplo,serefierea“laimportanciadecomprobar, valorar sucoherencia” Janeth dominio afectivo enrelaciónalaresolucióndeproblemas: perseverancia, etc.,aspectosquesonnombrados enelcurrículodemanera reiterada. Adams, 1989;Mellado,Blanco,Borrachero yCárdenas,2013)comolamotivación, interés, las creencias,actitudesyemociones(Blanco,2012;Gómez-Chacón,2002,2010;McLeod 3.3. procurar unamayor eficaciaenelaprendizajesobrelaresoluciónde problemas. estudiantes dediferentesniveles sonabundantesysusresultadosdeberíanconsiderarse para (Decreto, 2007,p.8098). ya quecuandoseplantean(problemas)delavidacotidianadeberemostenerencuenta Son diversas lasreferenciasqueseestablecenenrelaciónadiferentesdescriptoresdel En estacategoríaconsideramos aspectosdiferenciadosdelocognitivo yrelacionadoscon Los estudios sobre la influencia del dominio afectivo en la resolución de problemas con Todo ellodebiera “fomentarlaautonomíapersonalycapacidaddeautoaprendizaje” “Crítico con lasolución obtenida, integrándolaenelcontexto” (Decreto, 2007,p. 8108), Y, siendo En estarevisióndebeconsiderarse la A. Cárdenas Lizarazo, Dominio afectivo su caso, los errores” (Decreto,su los caso, errores” 2007, p. 7921). éxito”de (Decreto, 2007, p. 7911). (Decreto, 2007, S) p. 8099- p, 7913) soluciones” de búsqueda (Decreto, 2007, p, 7913) blemas” (Decreto, 2007, p. 7912). permite ordenar la información, la comprender realidad y resolver determinados pro mientos matemáticos yexperimentar satisfacción suque en uso, por el modo por “Capacidad… la para argumentar sobre validez una de solución identificando, en “permite hacer problemas osituaciones aotros frente con mayores posibilidades “Actitud positiva ycapacidad para valorar la y comprender utilidad los de conoci “Perseverancia yflexibilidad la en soluciones de búsqueda alos problemas” “Valoración del propio (en esfuerzo la resolución problemas)” de (Decreto, 2007, “confianza las en propias posibilidades ycuriosidad, interés yconstancia la en “la flexibilidad para modificar el punto vista” de (Decreto, 2007, p. 8099). Lorenzo J. Blanco Nieto - - recurso motivador, delcurrículoenlaenseñanzaobligatoria: la enseñanzaenprimariaesunarecomendaciónespecíficayreiterada, másalládelmero por partedemuchos profesores dematemáticasenlosniveles deenseñanzaobligatoria. Comunicación y Tecnologías del Aprendizaje (TIC/TAC), sigue existiendo resistencia a su uso ñanza obligatoriaalosmediostecnológicos,elusodelas Tecnologías delaInformacióny 3.4. que lossereflejabanen problemas deloslibrosmatemáticasainiciodelsigloXX. problemas queseplanteanenlos librosdetextoyenlasaulasmatemáticassonlosmismos fuentesdesituacionesydatospara plantearproblemas 3.5. criben enelCapítulo10,LaresolucióndeproblemasPrimaria ylas TICs. enseñanza delasmatemáticasenelsigloXXI. Algunos ejemplosdesusaplicacionessedes- pecto, porloquepareceuncontrasentido dudardesuutilidadcomorecursos para la mienta útil para el aprendizaje matemático. Son numerosos los trabajos realizados al res- aprendizaje delasmatemáticasengeneral y, específicamente,enlaresolucióndeproblemas: tomar decisionessobresuuso: combinarse conelusoadecuadodetecnologías. mas nodebereducirsealautilizaciónexclusiva deprocedimientosmecánicosydebe blemas esreiterado enlosdocumentosrevisados.Consideramos quelaresolucióndeproble- Este resultadoparece,enciertosentidosorprendente,porcuantoelusodelas TIC/TAC en A pesardeltiempotranscurrido ydelmayor accesodeloscentrosyalumnosense- Blanco, GuerreroyCaballero(2013) señalanqueloscontextossedescribenen Es decir, elcurrículoapuestaporusodela TIC porquelasconsidera comounaherra- Y, seinsisteenelusodelas TIC comorecurso‘necesario’e‘ineludible’ enlaenseñanza/ La funcionalidaddelas TIC enclasedematemáticasdebiera llevar alosresolutores El usodelas TIC (incluidalacalculadora) enlasdiferentesfasesdelaresoluciónpro- Tecnología delainformaciónycomunicación explicaciones einstrucciones” (Decreto, 2007, p. 7841). mentar, observar, resumir, concluir, sin necesidad contar previamente de con nuestras las el en TIC aula, alos alumnos permitan buscar, indagar, probar, comprobar, experi manerade que las nuevas aprender, de formas la generan que utilización se desde de didáctico ineludible las que conforman áreas todas en la (Decreto, etapa” 2007, p. 7828- P). dad los cálculos” de (Decreto, 2007, p. 7917; p. 7921). vida cotidiana, decidiendo la sobre conveniencia su función en de uso la de compleji “Es necesario revisar necesario “Es los planteamientos metodológicos cada de área del currículo, “Las tecnologías“Las la de información yla comunicación constituir deben un recurso “Utilización la de calculadora oel ordenador la en resolución problemas de la de La Resolución de Pr oblemas de Matemáticas como contenido en el currículo de - - primaria 31 ManaluesUex 32 ManaluesUex transporte yservicios; Tecnología normal;Educaciónpara laPaz y laDemocracia. humano y salud; Naturaleza y ecología; Economía; Vivienda; Consumo comercial; Medios de cias para trabajar lasmatemáticas,dondeaparecentemasrelacionadosconelCuerpo de matemáticas. Alsina (1994)cita50motivos concretosdelavidaquepuedenserreferen- indican loscontextos,generales yespecíficos,dondesepuedenplantearresolver problemas de 100años. los alumnosdelsigloXXIhancambiadoenormementerespectodehacemás Y elloesasíapesardeque,evidentemente,losintereses,preocupacionesypensamientos Janeth el textocurricular; 3.6. (1992) ello, loencontramos enpropuestascomlasdeCorbalán,(1991y1995)oFernández yRico, actividades matemáticasquefacilitaríanllevar estasrecomendacionesalaula.Ejemplode cuente enrelaciónaloscontenidosespecíficosdematemáticas: La referenciaa‘contextoscotidianos’esfrecuente: No obstante,alanalizarelcurrículoencontramos diferentesreferenciasenlosquese Y seindicalosbeneficiosdeesta relación: La relaciónentrelacompetencialingüísticaymatemática esexpresaen Las revistasespecializadasyloslibrosnosseñalannumerosasfuentescotidianaspara las La necesidaddecomprenderlarealidadutilizandolasherramientas matemáticasesfre- Y comoreferentepara laconstruccióndelconocimiento: A. Cárdenas Lizarazo, Matemáticas, lenguajeycomunicación la vida cotidiana” (Decreto, 2007, p. 7916). ción verbal los razonamientos de (Decreto, 2007, los procesos. yde p. 7911). el Matemáticas... área de incidir necesario es los en contenidos asociados ala descrip previos” (Decreto, 2007, p. 7909). mente conocimientos complejos más las de experiencias apartir ylos conocimientos funcionalestos relacionados con situaciones la de vida diaria, para adquirir progresiva 2007, p. 7923). cionadas salud, de con temas consumo, medio ambiente, educación vial” (Decreto, “Los alumnos ylas alumnas matemáticas aprender deben utilizándolas contex en “Resolver problemas sencillos relacionados con objetos, ysituaciones hechos de “Para el fomentar desarrollo la de competencia comunicación en lingüística desde situaciones“Interpretación gráficos de detectar que permitan problemáticas rela Lorenzo J. Blanco Nieto - - - - los profesoresenfatizanyevalúan regularmente”(Lester yKroll,1991,p.277). ser evaluados. Así, “losestudiantesconsideran importanteslosaspectosdelainstrucciónque de los alumnos y estos centrarán su atención y esfuerzo hacia aquellos sobre los que si van a los contenidosyobjetivos quenoseevalúan difícilmenteformenpartedelapreocupación que consideran quevan aserevaluados, enbuscadeaprobarlaasignatura. Detalformaque una nueva reconceptualizaciónsobrelaevaluación enlaRPM(Cárdenas,2014). alumnos, también debieran tener reflejo en la evaluación. Lo que implica, necesariamente, la resolucióndeproblemasenlosapartadosanterioresdebenformar partedeltrabajo delos ñanza/aprendizaje loquenoslleva aconsiderar quelosaspectoshemosdestacadopara Blanco, 2014;Cárdenas,GómezyGuerrero,2013). instrumentos utilizadosenelauladematemáticashanevolucionado muypoco(Álvarez y sobre educación,existeunaopinióngeneralizada entrelosprofesoresdequecriteriose a pesardeloscambiosdesarrolladosenlasdiferentespropuestascurricularesyleyes práctica docente.Enestesentidoesunorganizadorfundamentaldelcurrículo.Sinembargo, tes aprendensobreuntópicoy, consecuentemente,tomardecisionessignificativas para la 3.7. Evaluación escriban. gias seguidasenla resolución delosproblemas. Mayor dificultadaúnsiselespideque las dificultades que los alumnos tienen para explicar de una manera clara y concisa las estrate- presión de lo realizado. En nuestra actividad docente hemos comprobado, por ejemplo, las y precisiónpara queelinterlocutornos entienda, loquenosayuda aprofundizar enlacom- aprendizaje. Laexpresiónoral oescritadeltrabajo realizadoobligaaunesfuerzodesíntesis problemas quehemosseñaladoenelapartado3: relacionados globalmenteoconlasdiferentesfasesdelmodelogeneral deresolución Y, ellodebeserasí,porquelos estudiantescentran susesfuerzosentornoalcontenidodel Por nuestra parte,asumimosque la evaluación esparte indisolubledelprocesodeense- La evaluación eselrecursoquetenemoslosprofesorespara conocerloquelosestudian- Es importanteresaltarquelacomunicaciónesunmedionecesariopara queseproduzca La relaciónentrelenguajeyresolucióndeproblemasseconcretaendiferentesmomentos 2007, p. 7916). planteada, seguido ylas el soluciones proceso obtenidas” (Decreto, 2007, p. 7920). 2007, 7911). p. potencia el desarrollo estrategias de que facilitan (Decreto, aaprender” el aprender hareflexión qué se aprendido, sobre qué aprender, falta por ypara cómo qué, lo que “Explicar oralmente seguido para el proceso resolver un problema” (Decreto, “. .explicando oralmente escrito el ypor significado los datos, de la situación “ .la verbalización seguido el en aprendizaje, del proceso .ayuda ala La Resolución de Pr oblemas de Matemáticas como contenido en el currículo de primaria 33 ManaluesUex 34 ManaluesUex — — — Janeth Bibliografía (p. 230). memoria losproblemasdematemáticashechos enclasecomoestrategia metacognitiva” al señalarque“losalumnosindependientementedelaedadtiendenaaprenderse resultados sorprendenteenlainvestigación deHidalgo,Maroto,OrtegayPalacios (2013) tos, etc.sonalgunosfactoresquetambiénhay queconsiderar enlaevaluación. resolutores de problemas, la ansiedad o la perseverancia cuando fallan los primeros inten- interés porlaactividad, laautoconfianza,autovaloración quehacendeellosmismos,como tener encuentalascreenciasylaactitudpersonaldelresolutoranteestetipodetareas.El no algúntipodegeneralización. dos obtenidos con la situación original, para ver lo razonable de los mismos, o si realizan o etc.). Igualmente,habríaqueobservar sicompruebanonolosdatos,comparan losresulta- general yutilizaralgunosrecursossencillospara representarla(tablas,diagramas, ecuaciones, tar/analizar unainformacióndada.Inventar/formular problemasapartirdeunasituación resolución deproblemas]”(Santos,2007,p.171). dades adecuadasquecaptureninformacióndelosmomentosidentificadosenelmodelo[de   Uno: RevistadeDidácticalasMatemáticas,1994,vol. 1,nop.37-43. ALISINA, C.¿Para quéaspectosconcretosdelavidadeben preparar lasmatemáticas? En sinewton.org/numeros/numeros/71/Articulos_03.pdf. primaria. En revista Números, 2009, n. 71, pp. 75 – 85. Recuperado de: http://www. BLANCO, B;BLANCO, LJ.Contextosyestrategias enlaresolución de problemas España: Univérsitas, 1993. 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Cárdenas Lizarazo, lución problemas de 1991, (NCTM, p. 216). la de posibilidadparte generalizar, de la de evaluarse reso también debe aspecto este resultados.e interpretar Finalmente, ya que la potencia las de matemáticas deriva se en y técnicas resolución de problemas de la yde capacidad que tengan para comprobar guntas, utilizar una información el que hacen uso sobre los estudiantes estrategias de formular problemas esencial es contar con los su datos capacidad sobre hacer de pre la de resolución los aspectos problemas. de todos Para determinar si de capaces son La evaluaciónLa determinar debe la capacidad que tenga el alumno para realizar Lorenzo J. Blanco Nieto - - — — — — — — — — — — — — — — —     2008, pp. 113-140. Recuperado de: http://redined.mecd.gob.es/xmlui/handle/11162/48080. 2008, pp.113-140.Recuperado de:http://redined.mecd.gob.es/xmlui/handle/11162/48080. CHO, M;BLANCO, LJ(Eds.):Investigación enEducaciónMatemáticaXII.España:lugar;SEIEM, CASTRO, E.Resoluciónde Problemas. 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deseabilidad delinvestigador. responder enconsonanciaconlarealidadrespondiendoconforme loqueconsideran la nos ylasinceridaddelosmismosenrespuestapuestoque enocasionessonreaciosa en profundidad,lainfluenciaqueejerce lacapacidaddelectura comprensiva delosalum- 2001). Hopkins(1989)indica,enadición,ladificultaddeencontrar preguntasque exploren de informacióndetalladayfiablesobresituacionesnaturales enmuchas ocasiones(Navas, determinadas variables y elestablecimiento de relaciones de causalidad y en la obtención minadas restricciones como son las limitaciones en cuanto al control y manipulación de mento para elestudiodelosafectos,esjustoindicarquemismonoestáexento deter ción yexigepocotiempoalprofesorpara recogerlosdatos. con Hopkins(1989),elcuestionarioconcedealestudianteunpapel enelprocesodeevalua- a otrosextraídos derespuestasorales, abiertasy/uotros(Gairín,1990). Además, deacuerdo tiempo derespuestay, porúltimo,lafacilidaddeanálisiseinterpretaciónlosdatosfrente posibilidad dequeelencuestadopienseacerca delasrespuestaalproporcionar mayor la preservación de la fiabilidad de los resultadosal ser administrado por terceras personas, la anonimato, launiformidadenlasrespuestasdadaopcionesestandarizadasmismas, de datospermitesuadministración avarias personasdeformasimultánea,lasalvaguardia del encuestados mediantepreguntasrealizadasporescrito(Buendía,1999). (1994). Además, con el cuestionariose pretende conocer lo que hacen, piensan u opinan los éstos permitenrecogerinformaciónacerca decreenciasyactitudes,talcomoindicaCallejo narios derespuestacerrada, existiendotambién entrevistasycuestionariosabiertos. ceso deaprendizajelasmatemáticasylaRPM.Entrelosmismosdestacancuestio- concepciones, creencias,actitudesyemocionesdelosestudiantesquesesucedenenelpro- Derivado deello,seresaltalanecesidadeimportanciaanalizarestosfactoresafectivos. afectos delosdocentesejercen sobrelosdesusalumnosasícomoenelrendimientoestos. maestro deprimaria(EMP).Igualmente,seponemanifiestolainfluenciaquelospropios forma másespecífica,enlaresolucióndeproblemasmatemáticoslosestudiantespara No obstante,apesardelasinnumerables preeminenciasdelcuestionariocomoinstru - Hay quetenerencuentaigualmenteelcuestionariocomoinstrumentoderecogida La preponderancia deloscuestionariossobreotrostiposinstrumentossebasaenque Con estefin,sondispareslosinstrumentosdemedidaelaborados para elestudiodelas En elCapítulo1seanalizalainfluenciaquetienenlosafectosenlasmatemáticasy, de y Un resolución de cuestionario sobre dominio Ana Caballero Carrasco y Ana Caballero Carrasco Capítulo 3 pr oblemas de loísa Guerrero Barona Eloísa Guerrero matemáticas afectivo

- 39 ManaluesUex 40 ManaluesUex a An extensible atodoslosafectoshacialasmatemáticas. generalizada hacia las matemáticas como un todo. Consideramos que este argumento se hace matemáticas (porejemplo,laaritmética,resolucióndeproblemas…) enlugardelaactitud veniencia demedirlasactitudesespecíficashaciaciertasáreasoactividades delas puestas hacialasmatemáticasengeneral podríanserdemasiadoampliasysugieren lacon- Kishor (1997,citadopor Anderson, 2007) sostienenque,enelcasodelasactitudes,res- máticas engeneral ynoalaRPMdeformaespecífica. Al respectocabeseñalarqueMay indicar quelamayoría delosítemsquecomponenestosinstrumentosserefierenalasmate- cio enelalumnadoporlamultituddeítemsalosquedebería responder. Por otra parte, emociones) y, por tanto, implicaría un coste considerable de tiempo, de trabajo y de cansan- conllevaría laaplicacióndeuninstrumentopara cadaunodeellos(actitudes,creenciasy ciones deformaconjunta,porloqueelanálisislostresafectosenunamismapoblación Prieto, Almeida yBarros(1997),delcualCaballero(2013)realizaunaadaptaciónalaRPM. la BateríadeEscalasExpectativas Generalizadas deControl(BEEGC-20)Palenzuela, realizan elpasodelaeducaciónsecundariaauniversitaria. para determinarlaansiedadmatemáticayautoconfianzaenmatemáticasdealumnosque tructurada enlugardelcuestionario,talcomohacenPérez-Tyteca, MonjeyCastro(2013) para evaluar laansiedadhaciaRPM.Otrosautoressedecantanporunaentrevistasemies- del Cuestionariode Ansiedad Estado-Rasgo(STAI), deSpielberger, Gorsuch, yLushene(1982) indicar que Caballero (2013) realiza una adaptación a la RPM de la escala de ansiedad-estado diseñado porErol(1989)para estudiantesturcos (citadoporBekdemir, 2010).Por último, tionnaire (MAQ), de Wigfield yMeece (1988)ylaMathematics Anxiety Scale(MANX) ticas sonlaMathematics Anxiety Scale(MAS),deBetz(1978),elMathematics Anxiety Ques- matemáticas ylaestadística.Otrosinstrumentospara laevaluación delaansiedadmatemá- cidas de la misma como la propuesta por Plake y Parker (1982) para medir ansiedad hacia las Scale (MARS),desarrolladaporRichardson ySuinn(1972),susmuchas derivaciones redu- Escala deactitudmatemáticaFennema ySherman(1976)laMathematics Anxiety Rating a laansiedad. Al respecto,destacamoscuestionarios:Escalade Ansiedad Matemáticadela su conjuntohacialasmatemáticas,girando lostrabajos sobreemocionesenlaRPMtorno de Arlandis yMiranda (1992). Muñoz y Mato (2006) y el de Alemany Arrebola y Lara (2010), y de actitudessobre la RPM para alumnos de ESO como el Repromase de Carbonero, Martín, y Arranz (1998), el de mendi (1991)yde Tapia yMarsh(2004);deevaluación delasactitudeshaciamatemáticas cas de Aiken yDreger(1961),deFennema ySherman(1976),deSandman(1980), Auz - docentes hacialasmatemáticasylaenseñanza-aprendizajedeestadisciplina. las creencias,actitudes,yemocionesdelosestudiantesasícomotambiénfuturos Cab Sin embargo,ningunodeloscuestionariosrevisadosvaloran creencias,actitudesyemo- Para elestudiodelasexpectativas de control,elinstrumentomásutilizadoenEspañaes Respecto alasemociones,sonescasoslosestudioscentrados enanalizarestavariable en Al respecto,destacarloscuestionariosdeevaluación delasactitudeshaciamatemáti- Así, son múltiples losautores que han hecho uso del cuestionario para describir y analizar allero Carrsco,

Eloísa Guerrero Baron a 1. (2013) queintegra tantoactitudescomocreenciasyemocioneshacialaRPM. damos hacerusodelCuestionariodeDominio Afectivo enlaRPMelaborado porCaballero sus correspondientesobjetivos ydescriptores seindicanacontinuación: Muy endesacuerdo;2=En3Deacuerdo;y4deacuerdo. formidad quepresenteconcadaunodelosaspectos.Estasalternativas derespuestason:1= a través deunaescalaLikertcuatroalternativas derespuestaenfuncióndelgrado decon- por partedellector, presentauntotalde21ítemsanteloscualeselsujetohaposicionarse RPM (Anexo). forma explícita. Resultado de este proceso es el Cuestionario sobre Dominio Afectivo en la ron y modificaron otros para que, haciendo referencia implícita a esta tarea, lo hicieran de que seansignificativas yaplicablesaldesarrollodelapedagogía. matemáticas engeneral podríanserdemasiadoampliaspara mostrar lasfuertesrelaciones refiriera aestatareamatemáticadeformaconcretaya quelasrespuestasaafectoshacia nal enlaRPM(Caballero,2013),consideramos necesarioelaborar uncuestionarioquese que, inmersoseneldiseñoyaplicacióndeunprograma deintervención encontrolemocio- Chacón (2000)ysecentra eneldominioafectivo enlasmatemáticasgeneral. Esporello los cuestionariosde Amorim (2004),Callejo (1994),Gil,BlancoyGuerrero(2003)Gómez- y Blanco(2014).Dicho cuestionario,fueconfeccionadoapartirdelarevisiónrealizada dos deesteúltimoinstrumentoestánadisposiciónenlapublicaciónCaballero,Guerrero tros (Caballero,2007,2008),cuya construcción,características yalgunosresultadosderiva- del CuestionariodeDominio Afectivo enlasMatemáticasylaFormación InicialdelosMaes-

Dadas lasventajas delcuestionariocomoinstrumentoderecogidadatosquerecomen- a) Estos 21ítemspertenecena4dimensionesocategoríasdiferentes,lascuales,asícomo El cuestionario sobre dominio afectivo en la RPM que proponemos para su administración Para ello,seseleccionaronaquellosítemsreferidosexplícitamentealaRPMyadapta- El CuestionariosobreDominio Afectivo enlaRPMquepresentamos,esrealizadoapartir El Cuestion Descriptores: – y aprendizaje(ítems1a5). Creencias acerca delanaturaleza delosproblemasmatemáticosysuenseñanza –  ·  ·  ·  atribuyen alaRPMysuaprendizaje. Objetivo: analizarybuscarunamayor comprensióndelpapel yvalor quelosEMP la vida:ítem4. Visión deutilidad,aplicabilidadeimportancialaRPMentodaslasesferas de ítems 2,3. Percepción de la RPM como conocimiento abstracto, memorístico, mecánico: problemas matemáticos:ítems1, 5. Visión delmaestroenformacióninicialsobrecómo se debenaprenderaresolver ario sobreDominio Un cuestionario sobre dominio afectivo y resolución de problemas de matemáticas Afectiv o enlaRPM 41 ManaluesUex 42 ManaluesUex a An 2. estudios demagisterio)yun23.33% sonhombres. Universidad deExtremadura. EMP deltercer cursode Magisterio, EducaciónPrimaria,dela Facultad deEducaciónla aplicación delcuestionariodescrito. pecta yposibilitarlelarealizacióndeunacomparativa conlosqueobtengadelapropia una visióngeneral delarealidadlasaulasenloquealdominio afectivo enlaRPMres- tionario sobreDominio Afectivo enlaRPMaunamuestra deEMPpara queellectoradquiera Cab d)  ActitudesyreaccionesemocionaleshacialaRPM(ítems12a20) c) b) 

De estos60sujetos,lamayoría, un76.67%,sonmujeres (debidoalafeminizacióndelos La muestra sobrelaqueseadministróelcuestionarioestáconformadaporuntotalde 60 Se pretendeenesteapartadoaportarresultadosderivados delaadministración delCues- Result Dominio allero Carrsco, (ítem 21). Valoración delaformaciónrecibidaenlosestudiosmagisteriorelaciónaRPM Creencias acerca de uno mismo como resolutor de problemas matemáticos (ítems 6 a 11). –  –  –  –  –  –  ·  Descriptor: ha producidoensuafrontamientodelaRPM. Objetivo: analizar la valoración del alumno acerca de los cambios que magisterio · · · Descriptores: manifiestan haciaRPM. Objetivo: conocer y analizar las actitudes y reacciones emocionales que los EMP · · Descriptores: sus habilidadesycapacidadescomoresolutordeproblemasmatemáticos. Objetivo: explorar la autoimagen del maestro en formación inicial con respecto a la RPMdebidoalosestudiosdemagisterio:ítem21. Visión delmaestroenformaciónacerca delcambioproducidoenelabordajede fracaso –dedicación,esfuerzo,suerte-):ítems6,10,11. Atribución causaldeéxitoofracaso enlaRPM(quémotivos atribuyen aléxitoo ítems 14,16,17. Nivel de ansiedad (angustia, miedo), sensación de fracaso y frustración, bloqueo: Nivel desatisfacción,curiosidadyseguridadenlaRPM:ítems13,15,18. Grado deperseverancia enlaRPM:ítems12,19,20. dades para desenvolverse conéxitoenlaRPM:ítems7,8,9 Nivel deconfianzayseguridadensushabilidades, en suscapacidadesyposibili- ados derivados dela dministra a Afectiv

Eloísa Guerrero o enlaRPM Baron a ción delCuestion ario sobre el proceso,siendounaminoríalaqueotorgaprimacíaalresultado (8.33%). Figura 2,lageneralidad delosEMPniegaqueenlaRPMseamásimportanteelresultado (Figura 1y Tabla 1).–aprendizaje(ítems1a5) de laRPMcomotareamecánicasesitúaentre“endesacuerdo”y“deacuerdo”(M=2.45) total oparcialmente anteestaafirmación.LamediaindicaquelaopinióndelosEMPacerca nica laRPM,talcomoexplicitael50%y5%.Noobstante,un45%estáendesacuerdo 2.1. Cuestionario anivel descriptivo, presentándolosporlascategoríasaquepertenecen. importante el resultado que el proceso seguido. el proceso que el resultado importante F profesor o que figura en el libro en figura texto. oque de profesor la fórmula, ha explicado que regla oprocedimiento el minutos, conoce si se pocos en normalmente resuelven se F Al intentar resolver un problema es más más es un problema resolver intentar 2:Al Ítem 2. igura Porcentaje 1. 1 Ítem igura Porcentaje 100 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Como sepuedeobservar tantoenlamediamostrada enla Tabla 2(M=1.65)comoenla Poco másdelamitadlosEMPestáacuerdoymuyenconsiderar mecá- Se ofrecenacontinuaciónlosresultadoscorrespondientescadaunode21ítemsdel 0 0 – aprendizaje(ítems1a5) Creencias acerca delanaturaleza delosproblemasmatemáticosysuenseñanza desacuer desacuer Muy en Muy en 46,67% 15,00% : Casi todos los problemas de matemáticas matemáticas de problemas los todos : Casi do do desacuer desacuer 45,00% 30,00% En En do do Un cuestionario sobre dominio afectivo y resolución de problemas de matemáticas acuer acuer 50,00% 5,00% De De do do acuer acuer Muy de Muy de 3,33% 5,00% do do T T abla abla 60 60 N N 2. E 2. 1. E 1. 1.65 2.45 M M st st adísticos adísticos .732 .811 DT DT

descriptivos descriptivos Mínimo Mínimo 1 1

del del Máximo Máximo

ítem ítem 4 4 2. 1. 43 ManaluesUex 44 ManaluesUex a An dera lautilidaddiariadeestashabilidades. en desacuerdoydesacuerdo,respectivamente, conlaafirmación.Sóloun15%noconsi- expuestos enlaFigura 4.Enlosmismosseobserva queun21.67%y63.33%estánmuy cotidianos, talcomoindicalamediamostrada enla Tabla 4(M=1.97)ylosresultados únicamente losqueestánmuyendesacuerdoyconelenunciado. al estardeacuerdoomuyconestaafirmación.Sendosporcentajes del3.33%son como unconocimientomecánicoymemorístico,talmanifiestael93%delosmismos blemas en la en blemas vida cotidiana. nada las utilizadas ver con pro que tienen resolver para no problemas resolver para matemáticas de las clases F del mismo tipo si han mismo datos. les cambiadodel sólo los tipo posible clase, solucionar en es otros el profesor propone F Las destrezas ohabilidades utilizadas en destrezas Las 4: Ítem 4. igura Porcentaje que problemas los resolver 3: Sabiendo Ítem 3. igura Porcentaje 100 100 Cab 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Los EMPconsideran útileslosaprendizajesdelaRPMpara laresolucióndeproblemas Tal como indica la media (M = 3.30) (Tabla 3) y la Figura 3, los EMP consideran la RPM 0 0 allero Carrsco, desacuer desacuer Muy en Muy en 21,67% 3,33% do do desacuer desacuer 63,33% 3,33% En En

Eloísa Guerrero do do acuer acuer 11,67% 53,33% De De do do acuer acuer Muy de Muy de 40,00% 3,33% Baron do do a - T T abla abla 60 60 N N 4. E 4. 3. E 3. 1.97 3.30 M M st st adísticos adísticos .688 .696 DT DT

descriptivos descriptivos Mínimo Mínimo 1 1

del del Máximo Máximo

ítem ítem 4 4 4. 3. la aceptaciónderelacióndedicación-rendimiento(M=2.85)(Tabla 6). desacuerdo ymuyenconestaatribución(Figura 6).Lamediaindicaigualmente RPM. Noobstante,considerables porcentajes del26.67%y8.33%manifiestanestaren 2.2. Creenciasacerca deunomismocomoresolutorproblemasmatemáticos(ítems6a11) queda dediferentesvíasRPM. 6.67% dicenestarendesacuerdoymuydesacuerdo,correspondientemente,conlabús- (76%) alaceptarestaafirmación. Así, exclusivamente sendosporcentajes del16.67%y car distintasformasderesolver problemasmatemáticos,talcomoseñalalagran mayoría la RPM. la en resultados mejores obtienen dio se alas matemáticas F resolver un problema. un problema. resolver F Busco distintas maneras y métodos para para ymétodos maneras 5: 5. distintas Ítem Busco igura Cuando se dedica más tiempo de estu de tiempo más dedica Cuando se 6: Ítem 6. igura Porcentaje Porcentaje 100 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Más delamitadlosEMP, el65%,relacionaladedicaciónconrendimientoen A través delamedia(M=2.95)(Tabla 5)ylaFigura 5,seextrae quelosEMPdicenbus- 0 0 desacuer desacuer Muy en Muy en 6,67% 8,33% do do desacuer desacuer 26,67% 16,67% En En do do Un cuestionario sobre dominio afectivo y resolución de problemas de matemáticas acuer acuer 36,67% 51,67% De De do do acuer acuer Muy de Muy de 28,33% 25,00% do do - T T abla abla 60 60 N N 6. E 6. 5. E 5. 1.97 2.95 M M st st adísticos adísticos .688 .832 DT DT

descriptivos descriptivos Mínimo Mínimo 1 1

del del Máximo Máximo

ítem ítem 4 4 6. 5. 45 ManaluesUex 46 ManaluesUex a An dad conelmismo,noexistiendocasosqueseñalenlatotalconformidad (Tabla 8ylaFigura 8). y endesacuerdoconelenunciado,respectivamente, sóloun31.67%manifiestasuconformi- confianza enlaRPM. Así, mientras queun23.33%y45%señalanestarmuyendesacuerdo que muestra sutotaldesacuerdoconlamisma(Figura 7yla Tabla 7). 16.67% expresanoestardeacuerdoconlaafirmaciónesteítem,siendonuloelporcentaje fiestan un51.67%y31.67%alexpresarsuconformidadconelenunciado.Sólo me enfrento a los problemas de matemáticas. de problemas alos enfrento me F dudar de si el resultado es correcto. es sidudar de el resultado F igura 8. Ítem 8: Tengo 8: Ítem 8. mí en confianza mismo cuandoigura Porcentaje 7.igura 7: Ítem suelo un Cuando resuelvo problema Porcentaje 100 100 Cab 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 En funcióndelamedia(M=2.08)ylosporcentajes, seextrae que losEMPnotienenauto- La mayor partedelosEMPdicensentirinseguridadenlaRPM(M=3.15),asílomani- 0 0 allero Carrsco, desacuer desacuer Muy en 23,33% 16,67% En do do

desacuer Eloísa Guerrero acuer 45,00% 51,67% De E n do do acuer acuer Muy de 31,67% 31,67% De do do Baron a T T abla abla 60 60 N N 8. E 8. 7. E 7. 2.08 3.15 M M st st adísticos adísticos .743 .685 DT DT

descriptivos descriptivos Mínimo Mínimo 1 2

del del Máximo Máximo

ítem ítem 3 4 8. 7. (Figura 10). Deahílamedia(M=2.65)(Tabla 10). esfuerzo (36.67%)siendoexiguoeldeaquellosquemuestran sutotaldisconformidad desapercibido elporcentaje quenoestádeacuerdoenatribuirsusresultadoslaRPMal los problemasmatemáticos(un56.67%estádeacuerdoyun5%muyacuerdo),nopasa enunciado (3.33%). concretamente un41.67%siendoexiguoeldeaquellosqueestánmuyacuerdocon sustancial eselporcentaje queestádeacuerdoenexperimentartranquilidad antelaRPM, de losEMP(55%)dicennoestarcalmadosytranquilos enlaRPM(M=2.30).Sinembargo, de un problema suelo dar con el resultado correcto. suelo el un dar resultado con problema de F resuelvo problemas de matemáticas. de problemas resuelvo F Cuando me esfuerzo en la en 10. resolución 10: Ítem esfuerzo igura Cuando me Porcentaje calmado ytranquilo 9. Estoy 9: cuando Ítem igura Porcentaje 100 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Aunque másdelamitadlosEMPseñalanqueelesfuerzoinfluye enlasuperación de De losresultadosexpuestosenlaFigura 9yla Tabla 9,seextrae quepocomásdelamitad 0 0 desacuer desacuer Muy en Muy en 18,33% 1,67% do do desacuer desacuer 36,67% 36,67% En En do do Un cuestionario sobre dominio afectivo y resolución de problemas de matemáticas acuer acuer 56,67% 41,67% De De do do acuer acuer Muy de Muy de 3,33% 5,00% do do T T abla abla 60 60 N N 10. E 10. 9. E 9. 2.65 2.30 M M st st adísticos adísticos .606 .809 DT DT

descriptivos

Mínimo Mínimo descriptivos 1 1

del

Máximo Máximo del

ítem

4 4 ítem 9. 10. 47 ManaluesUex 48 ManaluesUex a An (Figura 12y Tabla 12). 6.67% manifiestansuconformidadytotal en reconocerel abandono de la RPM un 41.67%y21.67%parcial ytotalmente,respectivamente. Junto aestos,un30%y la RPM. y el5%estándeacuerdomuyenseñalarlasuertecomofactorinfluyente en (86.67%) nocreenenlasuerteRPM(M=1.82).Sólosendosporcentajes del8.33% darme por vencido fácilmente. por darme F con éxito un problema de matemáticas. éxito de con un problema F Ante un problema complicado suelo suelo complicado 12. 12:igura Ítem problema un Ante Porcentaje 11.igura 11: Ítem influye resolver ala de hora suerte La Porcentaje 100 100 Cab 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Más delamitadlosEMPniegadesistiranteRPM(M=2.22),talcomoloexpresan Mediante laFigura 11yla Tabla 11,sedesprendequelagran mayoría delosEMP 0 0 allero Carrsco, desacuer desacuer Muy en Muy en 21,67% 36,67% do do desacuer desacuer 41,67% 50,00% En En

Eloísa Guerrero do do acuer acuer 30,00% 8,33% De De do do acuer acuer Muy de Muy de 6,67% 5,00% Baron do do a T T abla abla 60 60 N N 12. E 12. 11. E 11. 2.22 1.82 M M st st adísticos adísticos .865 .792 DT DT

Mínimo Mínimo descriptivos descriptivos 1 1

Máximo Máximo del del

4 4 ítem ítem 12. 11. total, respectivamente, conexperimentardichas emociones(Figura 14). Contrariamente sesitúanel25.42%y6.78%quemanifiestansudisconformidadparcial y la RPM.Sendosporcentajes del33.90%señalanestardeacuerdoymuyconello. actitudesyreaccionesemocionaleshacialaRPM(ítems1220) 2.3. estar deacuerdoenanhelarlassoluciones. los problemas(58.33%y23.33%,respectivamente), siendosóloun18,33% losquedicenno 13, lageneralidad delosEMPindicansentirinquietudymucha inquietudporlasoluciónde (Tabla 13) indicalaconformidaddelosEMPconelenunciado. Así, comomuestra laFigura problema. un resuelva que “por sorpresa” propone me el profesor F experimento mucha curiosidad por conocer la mucha solución. curiosidad conocer experimento por F igura 13.igura 13: Ítem aun problema enfrento Cuando me igura 14.igura 14: Ítem ysiento cuando angustio miedo Me Porcentaje Porcentaje 100 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 La mediaobtenida(M=2.95)(Tabla 14)indicaquelosEMPsientenangustiaymiedoante En cuantoalacuriosidadporconocersoluciónenRPM,media(M=2.79) 0 0 desacuer Muy en desacuer 6,78% 18,33% En do do desacuer 25,42% En acuer 58,33% do De Un cuestionario sobre dominio afectivo y resolución de problemas de matemáticas acuer do 33,90% De do acuer Muy de 23,33% acuer Muy de 33,90% do do T T abla abla 59 60 N N 14. E 14. 13. E 13. 2.95 3.05 M M st st adísticos adísticos .936 .649 DT DT

Mínimo Mínimo descriptivos descriptivos 1 2

Máximo Máximo del del

4 4 ítem ítem 14. 13. 49 ManaluesUex 50 ManaluesUex a An en desacuerdoexperimentarestasemocionesantelosbloqueoslaRPM. confirma un86.66%.Sólosendosporcentajes del8.33%y5%estánendesacuerdoomuy cionan condesesperación, inseguridadynerviosismoantelosbloqueosenlaRPM. Así lo seguros antelaRPMporelhecho detrabajar engrupo. 55% estádeacuerdoyun30%muyacuerdo).Únicamente15%indicanosentirsemás los EMP manifiestan experimentar mayor seguridad cuando trabajan la RPM en grupo (un F desesperado, nervioso… inseguro, empiezo un a resoluciónsentirme problema de tengo más seguridad en mí en mismo. seguridad más tengo F igura 15.igura 15: Ítem igura 16. 16: Ítem igura Porcentaje 100 Cab 10 20 30 40 50 60 70 80 90 La media(M=3.20)ylosporcentajes (Tabla 16yFigura 16),indicanquelosEMPreac- Tanto la media (M = 3.10) (Tabla 15) como la Figura 15, indican que la generalidad de 0 allero Carrsco, desacuer Muy en 5,00% do Cuando resuelvo problemas en grupo grupo en problemas Cuando resuelvo desacuer Cuando me atasco o bloqueo en la en o bloqueo atasco Cuando me 10,00% En

Eloísa Guerrero do acuer 55,00% De do acuer Muy de 30,00% Baron do a T T abla abla 60 59 N N 16. E 16. 15. E 15. 3.20 3.10 M M st st adísticos adísticos .798 .775 DT DT

Mínimo Mínimo descriptivos descriptivos 1 1

Máximo Máximo del del

4 4 ítem ítem 16. 15. correspondientemente, conelenunciado. exiguos ynuloslosporcentajes delosEMPquedicenestarendesacuerdoytotaldesacuerdo, observa que el 31.67% y el 66.67%, dicen estarde acuerdo y muy de acuerdo con ello. Son desprende de la media (M = 3.65) (Tabla 18) y de los porcentajes (Figura 18), donde se su totaldisconformidadconelenunciado(Figura 17 y Tabla 17). sensación frenteal46.67%queloniega,siendoexiguoelporcentaje desujetosquemuestran ción (M=2.67). Así, un50%diceestardeacuerdoomuyenexperimentardicha a resolver con éxito matemático. con un problema a resolver F haber perdido el tiempo. el perdido haber yde fracasado haber la tengo de sensación problema F igura 18. gran satisfacción 18: llegar Ítem provoca igura Me Porcentaje 17.igura 17: Ítem la solución Si encuentro un no de Porcentaje 100 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Prácticamente latotalidaddelosEMPsientensatisfacciónanteeléxitoenRPM. Así se Hay divergencias enlosEMPantelasensacióndefracaso enlaRPMalnohallarsolu- 0 0 desacuer Muy en desacuer 3,33% 1,67% En do do desacuer 46,67% En acuer 31,67% do De Un cuestionario sobre dominio afectivo y resolución de problemas de matemáticas acuer do 30,00% De do acuer Muy de 66,67% acuer Muy de 20,00% do do T T abla abla 60 60 N N 18. E 18. 17. E 17. 3.65 2.67 M M st st adísticos adísticos .515 .837 DT DT

Mínimo Mínimo descriptivos descriptivos 2 1

Máximo Máximo del del

4 4 ítem ítem 18. 17. 51 ManaluesUex 52 ManaluesUex a An 20). del 1.67%indicanoestardeacuerdoyningunosutotaldisconformidad(Figura 20y Tabla de acuerdocondicha afirmaciónyun66.67%muydeacuerdo.Sóloexiguoporcentaje la RPMexigeesfuerzo,perseverancia ypaciencia(M=3.65).Deestaforma,un31.69%está está muyendesacuerdoreconocersuperseverancia enlaRPM(Figura 19y Tabla 19). acuerdo. Sóloun15%estáendesacuerdoconelenunciado,siendoexiguoporcentaje que mente un56.67%manifiestaestardeacuerdoentomaresaactitudy25%muy esfuerzo, perseverancia y paciencia. y perseverancia esfuerzo, F resolver un problema lo intento de nuevo. lo unintento de problema resolver F La resolución de un problema exige un problema resolución de La 20: Ítem 20. igura Porcentaje 19.igura 19: mis Ítem por intentos Cuando fracasan Porcentaje 100 100 Cab 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 En concordanciaconlapreguntaanterior, laprácticaglobalidaddelosEMPdeclaran que Los EMPdicenperseverar enlaRPM,talcomoloindicamedia(M=3.30).Concreta- 0 0 allero Carrsco, desacuer Muy en desacuer 3,33% 1,67% En do do desacuer 15,00% En

Eloísa Guerrero acuer 31,67% do De acuer do 56,67% De do acuer Muy de 66,67% acuer Muy de 25,00% do Baron do a T T abla abla 60 60 N N 20. E 20. 19. E 19. 3.65 3.03 M M st st adísticos adísticos .515 .736 DT DT

Mínimo Mínimo descriptivos descriptivos 2 1

Máximo Máximo del del

4 4 ítem ítem 20. 19. 2.4. V mente mayor del52.55%estádeacuerdoymuyconestaafirmación. bierto otras formasdeabordarlaRPMenlosestudiosmagisterio,unporcentaje ligera- conformidad conelenunciado(M=2.53). Así, mientras queun47.45%niegahaberdescu- y elesfuerzo,descartandolainfluencia delasuerteenlosmismos.Deestaforma,relacionan diantes atribuyen principalmentelosresultadosenlaRPMa dedicación,laperseverancia cos ymásespecíficamenteenlasexpectativas delocuscontrol,seconcluye quelosestu- autoeficacia ydeéxitoenlaRPMdelestudiantado. y semuestran nerviososanteestatarea,evidenciandolapersistenciadebajasexpectativas de cos respecta,indicarquelosestudiantesdudansobrelacorrección delresultadoenlaRPM de lascompetenciasmatemáticastrabajadas enlaRPMtareasdevidacotidiana. aspecto quesereflejaenelcurrículodeláreamatemática. Además, señalanlaaplicabilidad tando que buscan diferentes estrategias de resolución al resolver problemas matemáticos, obstante, consideran queenlaRPMesmásimportanteelprocesoresultado, manifes- macía delosejercicios sobrelosproblemasmatemáticosenlarealidaddelasaulas. No otros similaressólocambiandolosdatos.Estosresultadosreflejandeformaimplícitalapri- y fórmulasmatemáticos,deformaque,sabiendoresolver unproblema,esposibleresolver tica mecánica. Así, prevalece laideade quelaRPMconsisteenaplicacióndealgoritmos aprendizaje, quepersisteenlossujetoslaconsideración delaRPMcomounatareamatemá- las creenciasacerca delanaturaleza delosproblemasmatemáticosysuenseñanza formas de abordar los problemas matemáticos. problemas los abordar de formas F

igura 21. 21.igura Ítem otras En magisterio, descubierto he Porcentaje 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 La Figura 21y Tabla 21evidenciandiscrepanciasentrelosEMPalahora demostrar su Inmersos enlascreenciasacerca desímismoscomoresolutoresproblemasmatemáti - En loquealascreenciasacerca desímismoscomoresolutoresproblemasmatemáti - De laaplicacióndelcuestionarioespecificado,sededuce,ensíntesisyrelacióncon 0 (ítem 21) aloración delaformaciónrecibidaenlosestudiosmagisteriorelaciónaRPM desacuer Muy en 18,64% do desacuer 28,81% En do Un cuestionario sobre dominio afectivo y resolución de problemas de matemáticas acuer 33,90% De do acuer Muy de 18,64% do T abla 59 N 21. E 21. 2.53 M st adísticos 1.006 DT

descriptivos Mínimo 1

Máximo del

4 ítem 1. 53 ManaluesUex 54 ManaluesUex vación ytensiónpsicofisiológicalamejora delautocontrolemocional. la resolucióndeproblemas,reestructuración cognitiva, ladisminucióndelestadodeacti- emocional yRPM,cuyos objetivos secentran eneldesarrolloyaplicación deestrategias para línea, Caballero(2013)proponeunprograma psicopedagógicodeintervención sobrecontrol RPM enlasaulasdesdeunenfoqueintegrador delosfactorescognitivos yafectivos. Enesta Blanco, Guerrero yCaballero(2013) y Caballero, Guerrero y Blanco (2011), de trabajar la de éxitodelestudiante.Consecuentemente,planteamoslanecesidad, talcomoindican consecución delosmismosyasírepercutir enelrefuerzodelaseguridadylasexpectativas dichos problemassepresentenaumentandogradualmente sudificultadpara posibilitarla diferentes a la aplicación de fórmulas o algoritmos matemáticos. Además, proponemos que los problemas,loqueobligaráaestudiantestrabajar losproblemasdesdeperspectivas que eldocenteexijaalosdiscenteslabúsquedademásunaestrategia deresoluciónen importante, queposibilitensuresoluciónmediantevarios métodosoformas.Elloposibilitará soluciones sinexplicación,quepuedenextenderseogeneralizarse aotroscontextosy, lomás previos de los alumnos, que ilustren ideas matemáticas importantes sin involucrar trucos o proposiciones deSantos(1996),estoesqueseanaccesiblesenbasealosconocimientos matemáticos, discerniendoentreéstosylosejercicios matemáticos,problemasquesiganlas consecuencia, consideramos fundamentalpresentaralosestudiantesverdaderos problemas rístico. Además, seaprecianemocionesdisfuncionalesalahora deenfrentarsealaRPM.En tradicional delaRPMligándolaaunprocesoenseñanza-aprendizajemecánicoymemo- abordadas ensuexperienciacomodiscentes. dichos estudioselabordajedelosproblemasmatemáticosdesdeperspectivas diferentesalas ción alaRPM,pocomásdemitadlosencuestadosmanifiestahaberdescubiertoen mentan antelaRPMdesciendealtrabajar engrupo. miedo anteestatareamatemática.Noobstante,advierten dequelainseguridadexperi- la RPM,deformaquemanifiestansentirinseguridad,desesperación, nerviosismo,angustiay can enelítemcorrespondiente. problema, noconcediendoportantotantaimportanciaalprocesoderesolucióncomoindi- sensación defracaso ydepérdidatiempoenelcasonoencontrar lasolucióndeun cionada tarea.Sinembargo,lamitaddelossujetosencuestadosindicanexperimentaruna mas, reconociendoestosaspectos,juntoconlapaciencia,comofundamentalespara lamen- actividad matemática,loquehace queperseveren y seesfuercen enla resolución deproble- curiosidad porlasolucióndelosproblemasyunaenormesatisfacciónanteeléxitoenesta atribución favorecedora decara alaprendizaje. los resultadosenla RPM con factores internos (dependientes deellosmismos) y controlables, a An Cab En vistadetodoloanteriorseconcluye quelosestudiantespresentanunaconcepción En cuantoalavaloración delaformaciónrecibidaenlosestudiosmagisteriorela- Respecto alasemocionessuscitadas,seapreciaquelosestudiantessufrenansiedadante En relaciónalasactitudeshacialaRPMmanifestadas,indicarquelosestudiantessienten allero Carrsco,

Eloísa Guerrero Baron a — — — — — — — — — — — — — — Bibliografía



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Eloísa Guerrero Baron a afirmaciones queseexpresan. Te rogamos quecuantifiquescadaunadelassiguientescuestiones,segúnelgrado deacuerdo conlas Curso: Edad: Nombre yApellidos: Cuestionario sobre elDominio Afectivo enlaResolución deProblemas Matemáticos Localidad deprocedencia: 21.  20.  19.  18.  17.  16.  15.  14.  13.  12.  11.  10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1.  En magisterio, he descubierto otrasformasde abordarEn magisterio,hedescubierto losproblemas matemáticos. La resolución deunproblema exigeesfuerzo, perseverancia ypaciencia. Cuando fracasanmisintentosporresolver unproblema lointentodenuevo. Me provoca gransatisfacción llegararesolver con éxito unproblema matemático. haber perdido eltiempo. Si noencuentro lasolucióndeunproblema tengolasensacióndehaberfracasadoy inseguro, desesperado,nervioso… Cuando meatascoobloqueoenlaresolución deunproblema empiezo asentirme Cuando resuelvo tengomásseguridadenmímismo. problemas engrupo un problema. Me angustioysientomiedocuandoelprofesor mepropone “por sorpresa” queresuelva solución. Cuando meenfrento aunproblema experimentomuchacuriosidadporconocerla Ante unproblema complicadosuelodarmeporvencido fácilmente. influye alahoraderesolverLa suerte conéxitounproblema dematemáticas. Cuando meesfuerzoenlaresolución deunproblema suelodarconelresultado correcto. Estoy calmadoytranquilocuandoresuelvo problemas dematemáticas. Tengo confianzaenmímismocuandomeenfrento alosproblemas dematemáticas. Cuando resuelvo unproblema suelodudardesielresultado escorrecto. resultados enlaresolución deproblemas. Cuando sededicamástiempodeestudio alasmatemáticasseobtienenmejores Busco distintasmanerasymétodospararesolver unproblema. cotidiana. problemas no tienennadaquever conlasutilizadaspararesolver problemas enlavida Las destrezas ohabilidades utilizadasenlasclasesdematemáticaspararesolver otros delmismo tiposisóloleshancambiadolosdatos. Sabiendo resolver losproblemas quepropone elprofesor enclase,esposiblesolucionar Al intentarresolver elresultado unproblema esmásimportante queelproceso seguido. el libro detexto. se conocelafórmula,regla oprocedimiento quehaexplicadoelprofesor oquefiguraen Casi todoslosproblemas dematemáticasseresuelven normalmenteenpocosminutos,si ...... 1 =Muy endesacuerdo ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Un cuestionario sobre dominio afectivo y resolución de problemas de matemáticas ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

2 =En desacuerdo

3 =De acuerdo Sexo:

4 =Muy deacuerdo

Hombre 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Mujer 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 57 ManaluesUex

(Gómez-Chacón, 2000). se correspondeconlasexpectativas se produce unafuertedesmotivación quehay queevitar deben enseñarlasmatemáticas (Austin, Wadlington yBitner1992),perosielaprendizaje no nado conloanterior, lasexperienciasdocentesanteriorescontribuyen alaideadecómose efecto quetuvieronenellossusprofesoresyalosprogramas deformacióndocente. Relacio- y la ansiedad hacia las matemáticas a lasexperienciascomo estudiantes dematemáticas,al Nason (2004),atribuyen elorigendelascreenciasnegativas delosprofesoresenformación prevalentes asociadosalasmatemáticas(BalogluyKoçak 2006). Autores comoUusimäkiy Halat, yMirasyedioglu 2010),convirtiéndose enunodelosproblemasemocionalesmás cación Primariahastaestudiosuniversitarios (Caballero,2013; Yüksel-Sahin, 2008;Peker, Nason (2004)queseñala académica ycotidianadelsujeto. Ampliamos estadefiniciónconlaaportadaporUusimäkiy los numéricosylaresolucióndeproblemasmatemáticosendiversas situacionesdelavida ticas comounmiedoirracional haciaestadisciplina,queobstaculizalarealizacióndecálcu- y latimidezdelosalumnosentreotrosaspectos(Peker, HalatyMirasyedioglu, 2010). das delospadres,etc.Mientras quelosfactoresdepersonalidadimplicanlabajaautoestima éstos incluyen elusodelmétodotradicional deenseñanza,elambientedelaula,lasdeman- las habilidadesmatemáticasylosestilosdeaprendizaje.Respectoafactoresambientales, factores intelectualescabedestacarlasactitudesdelosestudiantes,lafaltaconfianzaen intelectuales, factoresambientalesydepersonalidad(Trujillo, yHadfield,1999).Entrelos los factoresqueenglobanlaansiedadhacialasmatemáticasysonsiguientes: dad matemática,etc.(Peker, 2005;Iossy, 2007). Algunas deestasvariables estánincluidasen de apoyo delospadres,lafaltaconfianzaensímismo,estilosaprendizaje,ansie- variables queinfluyen enestehecho: eltipodeinstrucción,género,ambiente,lafalta de investigaciones (Caballero,2013,Durmus,2004;Halat,2007).Sehanestudiadodiversas Actualmente, laansiedadhacialasmatemáticasesunfenómeno queocurredesdeEdu- Tomamos ladefinicióndeGresham(2010)para describirlaansiedadhacialasmatemá- Las dificultadesenelaprendizajedelasmatemáticasesunhallazgocomúnmultitud La de problemasde las y/odebatir matemáticas sobre (Uusimäki yNason, 2004, p. 370). a la participar hora de las en clases matemáticas, de escuchar un tema, trabajar através lasobre propia capacidad para las matemáticas, emocional con una respuesta aprendida la ansiedad hacia las matemáticas un es sentimiento gran de frustración oimpotencia ansied ante la enseñanza de Rosa Gómez del Amo y Ana Caballero Carrasco ad de los estudiantes Capítulo 4 las matemáticas para maestr o

59 ManaluesUex 60 ManaluesUex Rosa Gómez del (Peker, 2009a). mente porruidos al no poder oír a los estudiantes y la sudoración de las manos, entreotros viosismo extremo,laincapacidadpara concentrarse, autodiálogosnegativos, distraerse fácil- la enseñanzadelasmatemáticas. de estudio para laenseñanza de conceptos matemáticos, reducen el nivel de ansiedad hacia lativos, eldesarrollodeestrategias deenseñanza yaprendizajecreativas yeldiseñodeplanes matemáticas delosprofesoresenformación.Encambio,lautilización dematerialesmanipu- tractas relativas alosconceptos matemáticosaumentanlaansiedadhaciaenseñanzadelas determinada porlaexperiencia,edadyelrango delosdocentes. (2002) señalanquelaintensidaddeansiedadhaciaenseñanzalasmatemáticasestá ansiedad hacialaenseñanzadelasmatemáticas.Enestalínea, Ameen, GuffeyyJackson matemáticas delosdocentes,formaque,segúnaumentaelnivel educativo, aumenta la relación directaentreelnivel educativo yelnivel deansiedadhacialaenseñanzalas la ansiedadhaciaenseñanzadelasmatemáticas.Estemismoautor(2008)encuentra una mación durante sus años escolares y sus estilos de aprendizajetienen un impacto positivo en (Peker, 2009a). que no puede enseñarlo, o que nunca ha sido bueno en la enseñanza de las matemáticas capaz deenseñardicho concepto,siéloellaseestáconstantementediciendoasímismo se enseñaunconceptomatemático,elprofesorenformaciónprobablementenoserá fundamental delaansiedadhaciaenseñanzalasmatemáticasformaque,cuando en este aspecto (Peker, 2006). Un diálogointerno negativo puedeser también unacausa hacia lasmatemáticasylaconfianzaensímismolosqueparecentenermayor influencia máticas siendo el conocimiento del contenido, el conocimiento pedagógico, las actitudes implican lapreparación yejecucióndelasactividades enelaula. máticas comolaansiedadmanifestadaenrelaciónconlasactividades deenseñanza,que mente, GardneryLeak(1994)conceptualizaronlaansiedadhaciaenseñanzadelasmate- conceptos matemáticos,teoríasyfórmulasodurante laresolucióndeproblemas. Anterior mientos detensiónlosdocentesylaansiedadqueseproducedurante laenseñanzadelos mayores niveles deansiedad. ansiosos tienenmásconfianzapara enseñarmatemáticasquesuscompañerostienen educación primaria.Susresultadossugierenquelosfuturosmaestrosdematemáticaspoco ticas ylosniveles deconfianzapara enseñarmatemáticasenestudiantes demagisterio Peker, 2006,2009a).BursalyPaznokas (2006),midenlosniveles ansiedadhacialasmatemá- sino quetambiénpresentanansiedadhacialaenseñanzadelasmatemáticas(Levine,1996; Los síntomasdelaansiedadhaciaenseñanzalasmatemáticas puedenincluirner En elestudiodesarrolladoporLevine(1996)quedaconstatado quelasdiscusionesabs- Peker (2009a)indicaquelastécnicasdeenseñanzaaprendidasporlosdocentes enfor Existen diferentesfactoresqueafectanalaansiedadhaciaenseñanzadelasmate- Peker (2006)definelaansiedadhaciaenseñanzadelasmatemáticascomolossenti- Pero losprofesoresenformaciónnosolomanifiestanansiedadhacialasmatemáticas, Amo, A na Caballer o Carrasco - - - 1. Particip diantes para maestro(EMP). con elobjetivo deanalizarlaansiedadhaciaenseñanzalasmatemáticaslosestu- un estudiodescriptivo exploratorio através deunainvestigación por encuesta,desarrollado nar lainfluenciaquelosafectosdefuturosdocentestendránenellogrosusalumnos. perjudiciales para la salud de los profesores. Caballero (2013), abunda en esta idea al mencio- provocar eldesarrollodecomportamientosenseñanzaquesoninapropiados,ineficacesy las matemáticas de los profesores en formaciónya que, comoapunta Peker (2009b), puede una clasedematemáticas(Peker, 2009b) cuando piensanencómosedesenvolverán yloquedeberíanhacerdecircuandoesténen 2006; Ertekin, 2010; Liu, 2008; Peker, 2009a), ya que estos docentes sienten realmente miedo enseñanza de lasmatemáticas,sobretodo con docentes en formación (Bursaly Paznokas, actualmente muchos investigadores muestran ungran interésenanalizarlaansiedadhacia alumnos (Howard, 1982)yporendeenelrendimiento delosmismos.Esporestemotivo que que un docente procese hacia las matemáticas va a verse reflejado en la conducta de sus sentido ansiedadhacialasmatemáticas(Levine,1993). las matemáticas,asícomolosrecuerdosdefracasos enactividades matemáticasohaber reales opercibidos sobreelconocimientodelcontenido,lashabilidadesylaenseñanzade matemáticas excelente. matemáticas, un63%nivel medio,un13%nivel altoytansoloun1,6%nivel de edad mediade22años(DT=4,5). son hombrespresentandouna 80,73% sonmujeresyel19,27% Magisterio. Delosmismos,un vigor de los actuales Grados de del cursoprevioalaentrada en Lenguas Extranjeras, tratándose guaje, Pedagogía Terapéutica y cación Física, Audición yLen- Infantil, Educación Primaria, Edu- Magisterio, estoesEducación todas las especialidades de dio 192 EMP deltercer curso de Consecuentemente, nosplanteamosenestecapítulopresentarlosresultadosderivados de Por tanto,esdevitalimportanciadetectareintervenir enlaansiedadhaciaenseñanzade En estamismalínea,varios estudioshanhecho hincapiéenquelaansiedadyelmiedo Igualmente, laansiedadhaciaenseñanzadelasmatemáticaspuedereflejarlosdéficits Por otrolado, un21,9%deestosestudiantesconsideran quetienenunnivel bajo de Forman partedenuestroestu- antes La ansiedad de los estudiantes para maestro ante cursada. F Porcentajes de la muestra según la especialidad según Magisterio 1. de la de muestra Porcentajes igura 18,23% 16,15% 13,54% 10,94% 28,65% 12,50% la enseñanza de Lenguas Extranjeras Audición yLenguaje Educación Especial Educación Física Educación Infantil Educación Primaria las matemáticas 61 ManaluesUex 62 ManaluesUex factores alasquepertenecen. través del paqueteestadísticoSPPS18.0para Windows, ordenadossegúnlasdimensioneso 3. Result descriptivo. tico SPPS18.0para Windows. Enestecapítulodamoscuentadelosresultadosdelanálisis un coeficienteαdeCronbach de.602,inferiorallaoriginal. los porsubescalasofactores.Sinembargo,alanalizarlafiabilidaddeescalatotal,hallamos obtienen portantocoeficientesdefiabilidadsuperioresaloslaescalaoriginalalanalizar ñanza delasmatemáticas,unα =.92;yenlaConocimientodidáctico,.797.Se de .928; lasubescalaConfianzaensímismo,unα=.88;relativa a Actitudes hacialaense - resultados: lasubescalaConocimientodelcontenidoobtieneuncoeficienteαdeCronbach misma alamuestra descrita,analizamoslafiabilidaddeescala,obteniendolossiguientes su índicedefiabilidades.91. máticas unα =.71yenlareferentealConocimientodidáctico.61.Para laEscala Total en ladeConfianzasímismounα =.83, Actitud hacialaenseñanzadelasmate - para cadaunadeestassubescalas,obteniendoenConocimientodelcontenidounα =.90, persona puedehacerenelMATAS es115(23x5),ylamásbajade23(23x1). se valora alainversa, estoesde5a1puntos.Por tanto,lapuntuaciónmásaltaqueuna vas (Mesientocapacitadocomoprofesorpara resolver problemas matemáticos)estaescala los temasdematemáticasquevoy a enseñar). Aunque enel caso de las proposiciones positi- y el5totalmentedeacuerdoconlasproposicionesnegativas (Siento que nosénadasobre significando el1totalmentedesacuerdo,2en3indeciso,4deacuerdo que constade23proposicioneshay quevalorar enunaescalatipolíkertde5puntos, tellano, conservando lasdiferentesdimensioneseítemsdeloriginal.LaMATAS esunaescala MATAS –(Peker, 2006),para locualsehaprocedidoalatraducción dedicha escalaalcas- 2. Instrumento Rosa Gómez del Se presentanacontinuaciónlosresultadosderivados delanálisisdescriptivo realizadoa Posteriormente, seprocedióalanálisisdescriptivo einferencialconelpaquete estadís- Una vez traducida la escala y procesados los datos derivados de la administración de la La fiabilidaddelaescalaoriginalfueanalizadamedianteelcoeficienteαCronbach d) c) b) a) Dicha escalapresentacuatrofactoresodimensiones: Para la recogida de datos se ha hecho uso de la Mathematics Teaching Anxiety Scale - Conocimiento didáctico(3ítems,del21al23). Actitud hacialaenseñanzadelasmatemáticas(4ítems,del17al20). Confianza ensímismo(6ítems,del11al16). Conocimiento delcontenido(10ítems,1al10). ados Amo, A na Caballer o Carrasco - Sólo un4.69%y3.65%afirmannosabernadasobrelostemasmatemáticosaenseñar. cisos alrespecto,quizáspornodeterminarseloscontenidoscurriculares.(Figura 2y Tabla 1). acuerdo con el enunciadopresentadoen el Ítem 1. No obstanteun 23.44% se muestran inde- enseñar ensufutura labordocente(M 3.1. 19.8% reconocequetendrámiedoderealizarcuestionesestetipo. ñeros docentessobretemasmatemáticos,estandoun23.96%indeciso.Noobstante Figura 3,másdelamitadlosEMP(56.25%)manifiestaquenotemerápreguntaracompa- matemáticas que tendré que resolver, a otros profesores. resolver, que tendré aotros que matemáticas F de matemáticas que voy que aenseñar. matemáticas de F Temeré preguntar, sobre cuestiones 2:Temeré Ítem cuestiones 3. preguntar, sobre igura Porcentaje temas 1: los Ítem nada 2. sé sobre no Siento que igura Porcentaje 100 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 La mayoría delosEMPmanifiestantenerconocimientocontenidosmatemáticosa Como sepuedeobservar tantoenlamediamostrada enla Tabla 2(M=2.49)comoenla 0 0 Conocimiento delcontenido(ítems1a10) d d To To 18,23% 25,00% esacuerdo esacuerdo talmente talmente Desacuerdo Desacuerdo 38,02% 43,23% Indeciso Indeciso 23,96% 23,44% La ansiedad de 16,15% acuerdo acuerdo 4,69% De De To To acuerdo acuerdo 3,65% 3,65% talmente talmente los estudiantes para maestro ante =2.19),talcomoindicanun68.23%alestarendes- T T 192 abla abla 192 N N . E 2. 1. E 1. 2.19 2.49 M M s st t adís adísticos .985 t 1.078 DT icos DT la enseñanza de

d descriptivos e Mínimo scrip Mínimo 1 1 t ivos las matemáticas

d del Máximo e Máximo l

í te ítem 5 5 m 1. 2. 63 ManaluesUex 64 ManaluesUex Rosa Gómez del 2.5 enesteítem.(Tabla 3). recuerdo. Un18.23%semuestra indecisoanteestasituación. Así, seobtieneunamediade cultades alrespecto,mientras queun21.88%afirmatendrádificultadescondicho ción decuestiones,talcomoseobserva enlaFigura 4,un59.9%indicaquenotendrádifi - disciplina. bio, un12.54%asegura queprofesaránestesentimientonegativo antelaenseñanzadeesta ñanza detemasmatemáticos,aunqueun17.19%semuestra indecisoalrespecto.Encam- EMP, en su mayoría (69.27%), consideran que no se sentirán desesperados ante la ense- resolver cuestiones, en clase de matemáticas. clase de en cuestiones, resolver que cuando tenga las fórmulas matemáticas recordar F cuando tenga que enseñar temas de matemáticas. de temas enseñar que cuando tenga F Pienso que será duro, difícil será que 3: Pienso Ítem 4. mí para igura Pienso que me sentiré desesperado desesperado sentiré me que Pienso 4: 5. Ítem igura Porcentaje Porcentaje 100 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 En cuantoalrecuerdodelasfórmulasmatemáticasensufuturodocenteantelaresolu- Como seapreciaenlaFigura 5yenlamediaindicada Tabla 4(M=2.26),los 0 0 d d To To 20,83% 16,15% esacuerdo esacuerdo talmente talmente Amo, Desacuerdo Desacuerdo 48,44% 43,75% A na Caballer Indeciso Indeciso 17,19% 18,23% o Carrasco 10,94% 17,71% acuerdo acuerdo De De To To acuerdo acuerdo 2,60% 4,17% talmente talmente T T abla abla 192 192 N N . E 3. . E 4. 2.50 2.26 M M st st adísticos adísticos 1.088 .995 DT DT

descriptivos descriptivos Mínimo Mínimo 1 1

del del Máximo Máximo

ítem ítem 5 5 3. 4. Resolución depr F muestra indecisoalrespecto. en desacuerdo,correspondientemente,conexperimentardicho malestaryun18.52%se (64.02%) alnegarestaafirmación. Así, soloun13.23%y4.23%dicenestardeacuerdomuy malestar almencionárselestemasmatemáticosaenseñar, talcomoindicalamayoría en losEMP. SonexiguaslasfrecuenciasenelrestodecontenidosexplicitadosporlosEMP. resolución deproblemas(f=8)sonloscontenidosmatemáticosquemásansiedadprovocan Figura 6quelasecuaciones(f=16),raíces cuadradas (f=11)ylasintegrales (f=8)yla citan contenidosmatemáticosantelosqueexperimentanansiedad(f=58),seapreciaenla nidos indicadosporlosEMP, sepresentanenlaFigura 7. infundía mayor ansiedad.Losresultados,enfrecuenciasporcadaunodelostemasoconte- cionan algunos temas de matemáticas que debo enseñar. debo que cionan matemáticas de algunos temas F igura 7.igura Temas sienten ansiedad. que matemáticos los ante Siento malestar (ansiedad) 5: Ítem Siento men malestar cuando 6. se igura Porcentaje T 100 eor 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A través delamedia(M=2.33)(Tabla 5)ylaFigura 6,seextrae quelosEMPnosienten Aunque, enrelaciónconeltamañomuestral delestudio,sonpocoslossujetosqueexpli- A este ítem, se adjuntó una cuestión abierta en relación a los temas matemáticos que les 0 ema dePitágoras Raíz cuadrada Pr Ecuaciones d To Logaritmos Fracciones Estadística 24,87% esacuerdo Geometría obabilidad Funciones Aritmética Divisiones Derivadas talmente Integrales Fórmulas Matrices oblemas Álgebra Límites Desacuerdo 39,15% 0 0 123456789 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Indeciso 18,52% La ansiedad de 2 2 13,23% acuerdo De To acuerdo 4,23% talmente los estudiantes para maestro ante 8 8 - T 10 abla 189 N 11 11 . E 5. 12 2.33 M 13 st adísticos 14 1.115 15 DT la enseñanza de 16 16

descriptivos 17 Mínimo 18 1 las matemáticas

del Máximo

ítem 5 5. 65 ManaluesUex 66 ManaluesUex Rosa Gómez del ciso alrespecto(Figura 8).Deahílamediade2.7respecto aestaafirmación(Tabla 6). 24.48%, nomuestra expectativas deéxitoanteestatareamatemáticayun25.52%estáinde - desacuerdo oenconelítem6,mientras queunimportanteporcentaje del 21.35% semuestra indecisoanteesteítem(Figura 9y Tabla 7). ítem yportantoreconocersentirmiedoantelaenseñanzadecontenidosmatemáticos.Un matemáticos (M=2.34).Sóloun16.67%expresaestardeacuerdoconlaafirmacióneste máticas. matemáticoss. F F Yo no tengo éxito para resolver problemas Yo 6: Ítem problemas 8. éxito resolver para tengo no igura igura 9. 7: Ítem igura mate de Tengo temas enseñar de miedo Porcentaje Porcentaje 100 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 La mitaddelosEMP, presentanexpectativas deéxitoantelaRPMalestartotalmenteen Más delamitadlosEMP(61.98%)nopresentanmiedoanteenseñanzatemas 0 0 desacuerd desacuerd To To 23,96% 11,46% talmente talmente Amo, o o Desacuerd Desacuerd 38,02% 38,54% A na Caballer o o Indeciso Indeciso 21,35% 25,52% o Carrasco 13,54% 17,71% acuerdo acuerdo De De T T otalmente otalmente acuerdo acuerdo 3,13% 6,77% - T T abla abla 192 192 N N . E 6. . E 7. 2.70 2.34 M M st st adísticos adísticos 1.098 1.081 DT DT

descriptivos descriptivos Mínimo Mínimo 1 1

del del Máximo Máximo

ítem ítem 5 5 6. 7. con elmismo,siendoexiguosloscasosqueseñalanlatotalconformidad. desacuerdo conelenunciado,respectivamente, sóloun12,5%manifiesta suconformidad = 2.3). Así, mientras que un 19.79% y un 46.35% señalan estar muy en desacuerdo y en Tabla 9). acuerdo. Siendoun15.10%delosEMPsemuestran indecisosalrespecto(Figura 11yla con experimentardicha dureza,concretamenteun20.83%y4.17%totalmentede máticas (M=2.54).Sinembargo,nopasadesapercibido elporcentaje que estádeacuerdo de matemáticas. de F matemáticas. de clases imparta F

igura 11.igura la mi para duro asignatura enseñar Es 9: Ítem Porcentaje (ansiedad) malestar cuando 10. Sentiré 8: Ítem igura Porcentaje 100 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Los EMPconsideran quenosentiránansiedadcuandoimpartanclasesdematemáticas(M Más delamitadlosEMP(59.9%)niegaquelesresulteduroenseñanzalasmate- 0 0 desacuerd desacuerd To To 15,63% 19,79% talmente talmente o o Desacuerd Desacuerd 44,27% 46,35% o o Indeciso Indeciso 15,10% 19,79% La ansiedad de 20,83% 12,50% acuerdo acuerdo De De T T otalmente otalmente acuerdo acuerdo 4,17% 1,56% los estudiantes para maestro ante T T abla abla 192 192 N N . E 8. . E 9. 2.30 2.54 M M st st adísticos adísticos 1.111 .976 DT DT la enseñanza de

descriptivos descriptivos Mínimo Mínimo 1 1 las matemáticas

del del Máximo Máximo

ítem ítem 5 5 8. 9. 67 ManaluesUex 68 ManaluesUex media (M=3.04)(Tabla 11). 13). Esconsiderable elporcentaje quesemuestra indecisoalrespecto(34.38%.)Deahíla se manifiestanendesacuerdoymuyconexperimentardicha relajación(Figura relajado durante laenseñanzadetemasmatemáticos,mientras queun31.77%y7.29% a 3.2. Rosa Gómez del conformidad (3.65%)(Figura 12).Deahílamedia( M =2.61)(Tabla 10). ñanza deconceptosmatemáticos(19.79%).Esexiguoelaquellosquemuestran sutotal pasando desapercibido elporcentaje queconfirmaladificultadlesentrañará laense- conceptos matemáticos (un 13.02% está muy desacuerdo y un 39.58% desacuerdo) no tras enseñe temas de matemáticas. de temas enseñe tras matemáticos. conceptos enseñar F F igura 12. duro/difícil 10: será que igura Ítem Pienso mí para igura 13.igura 11: Ítem relajado sentiré me que mien Pienso Porcentaje Porcentaje 100 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Discrepando conresultadosanteriores,sóloun26.57%delosEMPpiensaqueestará Poco másdelamitadlosEMPconsideran quenolesresultarádifícillaenseñanzade 0 0 utoconfianza (ítems11a16) desacuerd desacuerd To To 13,02% 7,29% talmente talmente Amo, o o Desacuerd Desacuerd 31,77% 39,58% A na Caballer o o Indeciso Indeciso 34,38% 23,96% o Carrasco 19,79% 22,40% acuerdo acuerdo De De T T otalmente otalmente acuerdo acuerdo 3,65% 4,17% - T T abla abla 192 192 N N 10. E 10. 11. E 11. 2.61 3.04 M M st st adísticos adísticos 1.057 .991 DT DT

descriptivos descriptivos Mínimo Mínimo 1 1

del del Máximo Máximo

ítem ítem 5 5 10. 11. enunciado, obteniéndoseunamediade3.3(Figura 14y Tabla 12). esta proposición.Denuevo se obtieneunimportanteporcentaje desujetosindecisosanteel mas matemáticos.Noasíun3.65%y14.06%,alestarmuydesacuerdocon indeciso anteestaproposición(M=2.84)(Tabla 13). de un39.06%queniegadicha facilidad.Unconsiderable porcentaje del34.38%semuestra un 26.57%asevera quelesresultafácillaenseñanzadetemasmatemáticos,frenteauntotal para resolver problemas matemáticos. problemas resolver para F matemáticas. F igura 14. igura 12: Ítem profesor como siento capacitado Me igura 15.igura 13: Ítem fácil muy de Es temas mí para enseñar Porcentaje Porcentaje 100 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Un 45.31%delosEMPsesientecapacitadocomodocentepara laresolucióndeproble- En contraposición conloenunciadoenelítem10,seapreciaatravés delaFigura 15que 0 0 desacuerd desacuerd To To 7,29% 3,65% talmente talmente o o Desacuerd Desacuerd 31,77% 14,06% o o Indeciso Indeciso 34,38% 36,98% La ansiedad de 22,40% 39,58% acuerdo acuerdo De De T T otalmente otalmente acuerdo acuerdo 4,17% 5,73% los estudiantes para maestro ante T T abla abla 192 192 N N 12. E 12. 13. E 13. 3.30 3.30 M M st st adísticos adísticos .910 .910 DT DT la enseñanza de

descriptivos descriptivos Mínimo Mínimo 1 1 las matemáticas

del del Máximo Máximo

ítem ítem 5 5 12. 13. 69 ManaluesUex 70 ManaluesUex Rosa Gómez del Un altoporcentaje del39.79%manifiestaindecisiónanteestaproposición. desacuerdo ydesacuerdo,respectivamente, conpresentaréxitoantecuestiones matemáticas. ante la resolución de cuestiones matemáticas, no así un 10.99% y un 28.8% al estar muy niega quesentirádicha sensación. relajación antelosproblemasnuevos, mientras queunporcentaje algosuperiordel29.32% nuevos quehalleensuprofesióndocente.Noobstanteun25.13%indicaexperimentará sienten indecisosalmanifestarseentornoaexperimentarrelaxanteproblemasmatemáticos cuestiones matemáticas. F profesor. matemáticos clase nuevos, como en problemas encuentre F igura 16. 14: Ítem igura Yo éxito resolver para tengo siempre igura 17.igura 15: Ítem relajado sentiré me que cuando Pienso Porcentaje Porcentaje 100 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Como seobserva enlaFigura 16,un20.42%delosEMPpresentanexpectativas deéxito Se aprecia en la Figura 17 y Tabla 15 (M = 2.9) que casi la mitad de los EMP (45.55%) se 0 0 desacuerd desacuerd To To 10,99% 9,95% talmente talmente Amo, o o Desacuerd Desacuerd 19,37% 28,80% A na Caballer o o Indeciso Indeciso 45,55% 39,79% o Carrasco 21,47% 18,85% acuerdo acuerdo De De T T otalmente otalmente acuerdo acuerdo 3,66% 1,57% T T abla abla 191 191 N N 14. E 14. 15. E 15. 2.71 2.90 M M st st adísticos adísticos .949 .973 DT DT

descriptivos descriptivos Mínimo Mínimo 1 1

del del Máximo Máximo

ítem ítem 5 5 14. 15. gusto. Noobstante,un25.65%diceestarindecisoanteelenunciadopropuesto. un 13.09%discrepaalrespectoestarmuydesacuerdoycondicha actitudde piensa quelesgustarálaenseñanzadecontenidosmatemáticos,mientras queun10.47%y actitudeshacialaenseñanzadelasmatemáticas(ítems1720) 3.3. (Tabla 16yFigura 18). alto porcentaje del36.46%semuestra indecisoalrespecto,hallándoseunamediade2.84 ciona enelextremoopuestoalestarmuydesacuerdooconestaafirmación.Un sentirán relajadosdurante lasleccionesdematemáticas,mientras queun36.98%seposi- jado en las lecciones de matemáticas. de jado las lecciones en F contenidos matemáticos. F igura 18. rela 16: sentiré Ítem me siempre igura que Pienso igura 19.igura 17: Ítem Porcentaje Porcentaje 100 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Tal comoindicanlaFigura 19 yla Tabla 17(M=3.28),lamitaddelosEMP, un50.78%, Prácticamente enconsonanciaconelítem11,un26.56%delosEMPpiensanquese 0 0 desacuerd desacuerd To To 10,47% 8,33% talmente talmente o o Desacuerd Desacuerd 28,65% 13,09% Pienso que me gustará enseñar los los enseñar gustará me que Pienso o o Indeciso Indeciso 36,46% 25,65% La ansiedad de 23,96% acuerdo acuerdo 39,79% De De T T otalmente otalmente 10,99% acuerdo acuerdo 2,60% los estudiantes para maestro ante - T T abla abla 192 191 N N 16. E 16. 17. E 17. 2.84 3.28 M M st st adísticos adísticos 1.148 .971 DT DT la enseñanza de

descriptivos descriptivos Mínimo Mínimo 1 1 las matemáticas

del del Máximo Máximo

ítem ítem 5 5 16. 17. 71 ManaluesUex 72 ManaluesUex Rosa Gómez del (Figura 20y Tabla 18). el porcentaje desujetosquesemuestra indecisoalrespecto,concretamenteun26.56% contestaciones demuydesacuerdoyanteelenunciado.Esnuevo importante máticos (M=3.26),frenteaun8.85%y16.15%quediscrepanalrespectoconsendas matemáticos aenseñar(Figura 21y Tabla 19) Un 29.17%estáindecisoantedicha actitudhacialarespuestadepreguntassobretemas temas matemáticoscurriculares(M=3.14),frenteaun28.12%queniegasentirdicho gusto. máticas, un42.71%manifiestaquelesgustaresponderalaspreguntasrelacionadasconlos enseñar los temas de matemáticas. de temas los enseñar F enseñan. se relacionadas matemáticos que temas los con están que F Pienso que será agradable 18: mí para Ítem será 20. que Pienso igura Me gusta responder a las preguntas alas preguntas 21. responder 19:igura Ítem gusta Me Porcentaje Porcentaje 100 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 En consonancia,un48.44%piensaqueleseráagradable laenseñanzadetemasmate- A pesardelimportanteporcentaje queindicanoteneréxitoresolviendocuestionesmate- 0 0 desacuerd desacuerd To To 6,77% 8,85% talmente talmente Amo, o o Desacuerd Desacuerd 21,35% 16,15% A na Caballer o o Indeciso Indeciso 29,17% 26,56% o Carrasco acuerdo acuerdo 37,50% 36,98% De De T T otalmente otalmente 10,94% acuerdo acuerdo 5,73% . T T abla abla 192 192 N N 18. E 18. 19. E 19. 3.26 3.14 M M st st adísticos adísticos 1.127 1.035 DT DT

descriptivos descriptivos Mínimo Mínimo 1 1

del del Máximo Máximo

ítem ítem 5 5 18. 19. muestra indecisoanteelenunciadoplanteado,deahílamediaobtenida(M=3.1). manifiesta quenopodríahacerlo.Destacarunconsiderable porcentaje del37.70%se utilizar diferentespuntosdevistayteoríassobrelaenseñanzalasmatemáticas,un26.18% 3.4. 22 y Tabla 20) experimentar gustoantelaenseñanzadeRPMyun18.23%semanifiestaindeciso(Figura afirmación yun7.81%muydeacuerdo.Un7.29%15.10%niegantotaloparcialmente blemas matemáticos(M=3.38),deformaqueun51.56%estáacuerdocondicha citados comodocentespara laRPM,Un59.37%indicaquelegustaenseñararesolver pro- los problemas matemáticos. F cas en mi en vida docente. cas matemáti de la enseñanza sobre y teorías vista de puntos F Me gusta mostrar cómo se resuelven resuelven se cómo mostrar gusta Me 20: Ítem 22. igura igura 23. Ítem 21. utilizar 23. Ítem podría que diferentes igura Creo Porcentaje Porcentaje 100 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 La Figura 23y Tabla 21evidencianquemientras queun36.13%considera quepodría En concordanciaconelítem12enlaquecasimitaddelosEMPdicensentirsecapa- 0 0 Conocimiento didáctico(ítems21a23) desacuerd desacuerd To To 5,24% 7,29% talmente talmente . o o Desacuerd Desacuerd 15,10% 20,94% o o 18,23% Indeciso Indeciso 37,70% La ansiedad de 30,89% 51,56% acuerdo acuerdo De De T T otalmente otalmente acuerdo acuerdo 5,24% 7,81% los estudiantes para maestro ante - T T abla abla 192 191 N N 20. E 20. 21. E 21. 3.38 3.10 M M st st adísticos adísticos 1.066 .965 DT DT la enseñanza de

descriptivos descriptivos Mínimo Mínimo 1 1 las matemáticas

del del Máximo Máximo

ítem ítem 5 5 20. 21. 73 ManaluesUex 74 ManaluesUex Rosa Gómez del este ítemseade3.02. porcentaje del 41.88% se muestra indeciso ante esta cuestión, lo que hace que la media en mientras queun26.18%manifiestanotenerdicha capacidadocompetencia.Unelevado ticas comodocentes. Al respecto,un31.94%indicatenerestascompetenciasdocentes de métodosaccesoalconocimientoyinvestigación enlaenseñanzadelasmatemá- estrategias. Unconsiderable porcentaje del40.31%estáindecisoantedicha posibilidad. (43.98%) (M = 3.35). Sólo un 15.71% manifiesta no poder hacer uso de dicha información y y estrategias para la enseñanza de las matemáticas relacionadas con la educación especial ñanza de las matemáticas, en mi en las matemáticas, vidañanza de docente. investigación la de ense sobre conocimiento ymétodos F ción especial. ción relacionadas informaciónusar la con y estrategias educa F Podría usar modos de acceder al acceder de Podríamodos usar 22. 24. Ítem igura Mientras enseñe matemáticas, podría podría matemáticas, enseñe 23. Mientras 25. Ítem igura Porcentaje Porcentaje 100 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Resultados similaresseaprecianenlaFigura 24y Tabla 22alpreguntarlessobreeluso La Figura 25y Tabla 23muestran quecasilamitaddelosEMPasegura poseerinformación 0 0 desacuerd desacuerd To To 2,62% 6,81% talmente talmente Amo, o o Desacuerd Desacuerd 13,09% 19,37% A na Caballer o o Indeciso Indeciso 40,31% 41,88% o Carrasco 35,08% 28,80% acuerdo acuerdo De De T T otalmente otalmente acuerdo acuerdo 8,90% 3,14% - - T T abla abla 191 191 N N 22. E 22. 23. E 23. 3.02 3.35 M M st st adísticos adísticos .940 .910 DT DT

descriptivos descriptivos Mínimo Mínimo 1 1

del del Máximo Máximo

ítem ítem 5 5 22. 23. 9. profesión docente. torno aquesesentiránrelajadoscuandoencuentreproblemas matemáticosnuevos ensu cuestiones matemáticasycasilamitaddelosEMPsesienten indecisos almanifestarseen número deEMPqueseposicionancomoindecisos. manifiesta quenoseráfácilpara ellosenseñartemasdematemáticas,existiendoun elevado matemáticos existiendoun36.58%quedudasobredicha capacitación. Así, yun39.06% anterior. Un45.31%sesientecapacitadocomodocentepara laresolucióndeproblemas considera locontrario, algoquesecontrapone alosresultadosobtenidosenelapartado no sesentirárelajadoantelaenseñanzadetemasmatemáticosfrenteaun26.57%que encontramos datosnotanpositivos comoenelapartadoanterior. Así, un39% piensaque ticos, frenteaun50%queestáencontra deestaproposición. integrales. mayor malestar son las ecuaciones, las raíces cuadradas, la resolución de problemas y las algunos temasmatemáticos(17.46%),indicanqueloslesprovocan enseñarlos. como tampococonsideran quesentirándesesperación, miedoyansiedadalaahora de indica nosentirmalestaroansiedadantelamencióndetemasmatemáticosaenseñarasí tes enlaansiedadhaciaenseñanzadelasmatemáticas.Enconsonancia,mayoría conocimiento didácticodelcontenidoylaconfianzaensímismosonfactoresimportan- que Levine(1996), Vinson (2001),yPeker (2006),encontraron quetantoelcontenido, y temasmatemáticos.Estosresultadossondegran interéseneltemaquenosocupa,ya caso deduda.Ellohacequenolesresultedifícilnidura laenseñanzadelosconceptos reparo enpreguntaracompañerosdocentessobrecuestionesmatemáticasresolver en mientos para enseñara sus estudiantesloquesaben. Además, indicanqueno tendrán didáctico delcontenido,encuentra quenosiemprelosEMPcuentancondichos conoci- máticas debenestarequipadosconconocimientosdelcontenidoyconocimiento los deBaki(1997),quien,partiendolaconsideración dequelosprofesoresmate- conocimientos elrecuerdodelasfórmulasmatemáticas.Estosresultadosdiscreparíancon rrollar sufutura laborcomodocentesdematemáticas,incluyéndoseenesos nido, quelamayoría delosEMPmanifiestantenerconocimientossuficientespara desa- En relaciónalasactitudeshacialaenseñanzadematemáticas, lamitaddelosEMP Tan soloun20.42%delosEMPpresentanexpectativas deéxitoantelaresolución Respecto alaautoconfianzamostrada porlosEMPcomodocentesdematemáticas, De hecho, un24.48%reconocenoteneréxitoenlaresolucióndeproblemasmatemá- Respecto alospocossujetosqueexplicitanexperimentaransiedadomalestarante De los resultados obtenidos, se desprende, en relación al conocimiento del conte- Discusión y conclusiones La ansiedad de los estudiantes para maestro ante la enseñanza de las matemáticas 75 ManaluesUex 76 ManaluesUex de primariaenservicio. planteen lasdiferentescuestionesenpresenteyasípoderrealizar unestudioconmaestros diferentes proposiciones. ciones delcuestionarioenEMPpara unmayor posicionamientodelossujetosantelas este motivo queseríarecomendablesuprimirestepuntointermedioenfuturas administra- manifestarse alrespectoentantocuandolessuponeanticipar situacionesfuturas. Espor lugar, quealsermuchos delosenunciadosprospectivos, alossujetoslesresultadifícil nes opuestas,cuestionansobreelmismoaspecto.Estonoslleva aconsiderar, enprimer ello se deban las discrepancias encontradas entre determinados ítems que, desde direccio- Likert, el3,correspondienteaestarindecisoconenunciadopropuesto.Posiblemente a (de hastaun45%)desujetosqueseposicionanenlapuntuaciónintermediaescala tanto, puedenreducirlaansiedadhaciaenseñanzadelasmatemáticas. problemas tambiénpuedenayudar alosEMPganarconfianzaensímismosy, porlo implementación detécnicasenseñanzaalternativas yestrategias deresolución y puedeayudar areducirlaansiedadhaciaenseñanzadelasmatemáticas. Además, la manipulativo juegaunpapelimportanteenlaadquisicióndelosconceptosmatemáticos, 1999). Esteaspectoesmuyimportante,ya quecomoLevine(1996)indica,elaprendizaje el findehacerlasmatemáticassignificativas para susestudiantes(Trujillo yHadfield, y dedesarrolloquehanaprendidoensusclasesmatemáticaslauniversidad, con las cualesseencuentran quelosEMPtienenprevistoemplearmétodosconstructivistas Datos nomuyalentadoresquesecontraponen aloshallazgosdeotras investigaciones en estrategias para laenseñanzadelasmatemáticasrelacionadas conlaeducaciónespecial. sobre laenseñanzadelasmatemáticasy, un43.98%asegura poderusarinformacióny usar diferentesmodosdeaccederalconocimientoydistintosmétodosinvestigación de vistayteoríassobrelaenseñanzalasmatemáticas,solamenteun31.94%podría del mismo. Así, pocomenosdelamitad considera quepodría utilizardiferentespuntos EMP quedudansobreposeerdicho conocimientoysobresucapacidadpara laaplicación resolver problemasmatemáticos. y Jackson, 2002).Indicar, igualmente,quealamayoría delosEMPlesgustaenseñara deberse alasdificultadespara responderalaspreguntasdelosestudiantes(Ameen,Guffey importante estedato,ya quelaansiedadhaciaenseñanzadelasmatemáticaspuede relacionadas conlostemasmatemáticosaenseñar, aunqueun29.17%dudaalrespecto.Es dichas actitudes.Igualmente, un 42.71%manifiestagustarlesresponderalaspreguntas existiendo sendos porcentajes de en torno al 25% que dudan acerca de experimentar piensa quelesgustaráyseráagradable laenseñanzadecontenidosytemasmatemáticos, Rosa Gómez del Convendría, igualmente,reformular el tiempo verbal de los enunciados de forma que Es importanteseñalarqueentodaslascuestionesseapreciaunporcentaje Por último,enrelaciónalconocimientodidáctico,seapreciaunaltoporcentaje de Amo, A na Caballer o Carrasco — — — — — — — — — — — — Çağdaş Gelişmeler Iığında Matematik Öğretmenlii Eğitimi Programları. Eğit. Bil, A. BAKI, — — Bibliografía

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����������������������������������������������������������������������������������� Sí. Indica enqué Medio Privado Privado Casado/a–viviendoenpareja Uno ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ La ansiedad de

Alto Dos ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� Concertado Concertado �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Excelente ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ los estudiantes para maestro ante Tes Tre

Más detres

Viudo/a Sexo: Separado/a –Divorciado/a la enseñanza de

Hombre las matemáticas

Mujer 79 ManaluesUex 80 ManaluesUex Rosa Gómez del colaboración. trata deresponder acadaunadeellassituándotecomofuturo profesor. Gracias dematemáticas portu que sonrespondidas dependiendodelgradodeconformidadydesconformidadconlasmismas.Por favor, profesor enseñarmatemáticasensufuturo profesional. Para elloseempleaestecuestionariode23afirmaciones Este cuestionariotratadeevaluar lossentimientosyemocionesqueprovoca alosestudiantesparamaestro/ Adaptación propia alespañoldelaMATAS dePeker (2006) Mathematics Teaching AnxietyScale (MATAS) 1. 2. 3. 4. nia cuáles: ______Indica 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.  16. 17. 18. 20. matemáticos queseenseñan. 19. 21.  Totalmente desacuerdo Siento quenosenadasobre lostemasde matemáticas quevoy aenseñar. profesores. Temeré preguntar, sobre cuestionesmatemáticasquetendré queresolver, aotros que resolver cuestiones,enclasedematemáticas. Pienso queseráduro, difícilparamí recordar lasfórmulasmatemáticascuandotenga Pienso quemesentiré desesperadocuando tengaqueenseñartemasdematemáticas. ______debo enseñar. Siento malestar(ansiedad)cuandosemencionanalgunostemasdematemáticasque Yo notengoéxitopararesolver problemas matemáticos. Tengo miedodeenseñartemasmatemáticas. Sentiré clasesdematemáticas. malestar(ansiedad)cuandoimparta Es duro para mienseñarlaasignaturadematemáticas. Pienso queseráduro/difícil paramí enseñarconceptosmatemáticos. Pienso quemesentiré relajado mientrasenseñetemasdematemáticas. Me sientocapacitadocomoprofesor pararesolver problemas matemáticos. Es muyfácilparamíenseñartemasdematemáticas. Yo siempre tengoéxitopararesolver cuestionesmatemáticas.. clase comoprofesor. Pienso quemesentiré relajado cuandoencuentre problemas matemáticosnuevos, en Pienso quesiempre mesentiré relajado enlasleccionesdematemáticas. Pienso quemegustaráenseñarloscontenidosmatemáticos. Pienso queseráagradableparamíenseñarlostemasdematemáticas. Me gustamostrarcómoseresuelven losproblemas matemáticos. Me gustaresponder alaspreguntas queestánrelacionadas conlostemas matemáticas enmividadocente. Creo quepodríautilizardiferentes puntosdevistayteoríassobre laenseñanzade 1 Amo, A na Caballer Desacuerdo o Carrasco 2 Indecisión 3 De acuerdo 4 Totalmente deacuerdo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Dezaly (1961)alseñalarquela resolución deproblemasenlaenseñanzalasmatemáticas ritmos específicos)previamente adquiridos.Esteresultadoya era considerado enLeify y cuya resoluciónsuponelaaplicacióninmediatadeunosconocimientos(usualmentealgo- que seproponeapartirdeunenunciado,normalmenteescrito, conunaestructura cerrada, en lamayoría delos ciudadanospervive laideadeproblemamatemáticas comoactividad Frielander, 2007). puede enmascarar diferentespuntosdevistasobreloqueconstituye unproblema(Arcavi y de matemáticas’tienendiferentessignificadosentrelosprofesores ypara losalumnos y, ello estemos deacuerdo.Lasexpresiones‘problemamatemáticas’ y‘resolucióndeproblemas carácter polisémicodelapalabra problema,ynoexisteunaúnicadefiniciónenlaque todos de procederanteunasituaciónquenospreocupa. En lavidacotidianadecimos“tengounproblema”cuandotenemosdudassobremanera provoca incertidumbre y de una actitud de búsqueda de algún objetivo, explícito o implícito. narla. Enotrostérminos,podríamosasumirqueunproblemarequieredeunasituación cuando hay unatareaarealizarquenosgenera dudasenlamanera deabordarlay/osolucio- puede generarnos preocupación. tiene unasolucióndudosaydesconocidaquetenemosdificultadpara alcanzarla,loque siones comocuestiónoproposición(comosinónimodetarea)quetratamos deaclarar que para elvocablo ’problema’: y, enamboscasos,puedetenervarios significados. A pesar de estos múltiples considerandos sobre el significado de la expresión problema, Sin embargo,comonosrecuerdaPino(2013),enmatemáticas existeconsensosobreel Es decir, enunprimeracercamiento, podríamosseñalarlaexistenciadeproblemas Podríamos reorganizarlostérminosempleadosseñalandoqueaparecenpalabras oexpre- El diccionario de la Real Academia Española de la Lengua (2014) señala cinco acepciones La palabra problemaesfrecuentementeutilizadaenellenguajecomúnymatemáticas ¿Qué entedemos 5. 4. 3. 2. 1.

Cuestión que se trata de aclarar. de trata Cuestión que se Proposición odificultad solución de dudosa. Conjunto o circunstancias hechos de que dificultan la consecución algún de fin. través de métodos científicos. Planteamiento una de situación a obtenerse desconocida debe cuya respuesta Disgusto, preocupación. Lorenzo J. Blanco Nieto y Juan Pino Ceballos por Capítulo 5 pr oblema de matemáticas? 81 ManaluesUex 82 ManaluesUex (“Resolver laecuaciónx (“3 +7>25.¿Verdadero ofalso?”),elreconocimientoresolucióndeunalgoritmo la actividad planteareconocerelresultadodeunprocesoorecordarunapropiedad les enlaenseñanzadelosprocesosmatemáticos.Entenderíamoscómoejercicios cuando que seríallamadotípicamenteproblemaylosmerosejercicios para practicar rutinasusua- ción, realomatemática,planteada. los contenidosmatemáticosylastécnicasoperatorias para poderaplicarlasaalgunasitua- que asumepara desarrollarestaactividad sería necesarioestudiaryconocerpreviamente 205). Eslaperspectiva llamada‘Enseñanzapara laresolucióndeproblemas’(ver capítulo2), “asegurar elpasodesdeconocimientoasuutilizaciónpráctica”(LeifyDezaly, 1961,p. encuentra sujustificaciónensaberaplicarlosconocimientospreviamenteadquiridos.Estoes: Lorenzo J. Blanco nivel operacional odecálculo”(Santos, 2007,p.49). p. 48),considerando que“ladificultaddebeserun impase intelectualynosolamenteenun la palabra estáligadaalarelaciónointeracción entre elindividuo yesatarea”(Santos, 2007, “El hecho dequeexistaunproblemanoesunapropiedadinherente delatareamatemática: para referirseaunatareaquetienedificultadpara elindividuo queestátratando deresolverla. particular entrelatareaypersonaquetrata deresolverla. Y, asíutilizarlapalabra problema dimiento desolución. dificultad ensuresoluciónydejardeserunproblemacuandoya hemosasimiladoelproce- problema. Schoenfeld (1985)afirmaque vancia” queelresolver ejercicios numéricoscomo7-3=?,pero nolassitúaenlacategoríade estas tareas,quetomancomomodelotalessituacionesreales,tieneporsupuestomás“rele- que sitúanlasmatemáticasenelcontextodel“mundoreal”,aceptandolaresoluciónde Le datresaMaría.¿CuántasmanzanaslequedanJuan?”, señalaquerepresentanactividades como tales.Schoenfeld (1985)alanalizarelsiguienteejemplo:“Juan tienesietemanzanas. los problemasycuestionaralgunasdelasactividades quehansidotradicionalmente tomadas ver estosenunciados.Esdecir, esnecesarioprecisaraquénosreferimoscuandohablamosde tionamos cuandotenemosencuentalaactividad quelosresolutoresdebenhacerpara resol- 2/5 sonniñosy3/5niñas.¿cuántaspersonashay decadagénero?”. que subasemide4metrosyaltura 3metros”o“Enunafiestahay 30personas,delasque estar, explícitaoimplícitamente,biendefinido.“Calculareláreadeunrectángulosabiendo tancia dequehaya algoquebuscarounenigmaaclarar dentrodeuncontextoquedebe Sin embargo,ydentrodeesteesquematradicional, seestableceunadiferenciaentrelo Asumiendo estaaportación,tendríamosqueentenderunproblema esunarelación Es decir, una actividad puede resultar un problema en algún momento al presentar alguna A pesardequeestadiferenciapudiera estarclara, sonnumerosos losautoresquelacues- cios, cuando ya parecido han tipo de se docenas (Schoenfeld, hecho 1985, p. 28). algorítmico fórmulas; ode hay “problema” de muy poco ejerci resolver en uno estos de relevantes que los puramente numéricos, pero, el en fondo, todavía ejercicios son tipo de “resoluciónde problemas” de propiamente dichos. Tales ejercicios son, verdad, en más es muy discutiblees el puedan considerar que se trabajos de tipos escolares estos como Nieto, Juan 2 Pino -3x-5=0”). Y losdistinguiríamosdeproblemasalseñalarlaimpor Ceb allos - - 1. currículo dematemáticasprimariaysecundaria. nuevo, establecerconjeturas, modelizar, etc.Expresionesqueaparecenreiteradamente enel sión suponeanalizarlasituaciónpara generar unaestrategia propia,loqueimplicacrearalgo que laactividad delresolutorsecentreenrecordarsituacionessimilares.Lasegundaexpre- similares y estaría mas cerca de los ejercicios que sirven para practicar una rutina, lo que hace hemos experimentadoconéxito.Esdecir, repetimosloqueya conocemosanteactividades reproducción demétodosycomportamientosya conocidosyaplicamosestrategias que entre ‘pensamientoreproductivo’ y‘pensamientoproductivo’. Elprimercaso,suponela a lasolución”(Kantowki, 1981,p.113). que elresolutordeproblemasnotieneunprocesoalgorítmicoleconducirá,concerteza, ben sobreello,alaceptarque“unproblemaesunasituacióndifieredeunejercicio en los aspectossobreloquepodríamosseñalarciertacoincidenciaentreautoresescri- resolutor, elquererasumirdesafíoytratar deresolverlo. motivación, intrínsecaoextrínseca.Esdecir, queelproblemanecesitadelaaceptacióndel blema para ellos.Situación diferente sería si formara parte de su actividad o si tuvieran alguna cuestión. Consecuentementenopodemosdecirqueestaactividad seconstituyera enunpro- probablemente pocosoningunotuviera decisiónpara intentarresolverlo yolvidaríanesta punto x=5”,observaríamos quepresentaríamucha dificultadpara lamayoría deellos,pero Wallace yJohnson, (1983): que hantratado desintentizarelsignificadoproblemamatemáticas. Así, para House, grupo deciudadanoslaactividad de“calcularladerivada delafunciónf(x)=x ya queencasocontrario tampocoexistiríaelproblema.Por ejemplo,siplanteamosaun ser laresolucióndeunsudoku,frecuenteenlosmedioscomunicación. números fraccionarios peropara otrospuedeserunamera rutinadecálculo.Comolopuede puede quealgunosresolutoresquedenenaprietosaltenerdificultadesconelusodelos personas, delasque2/5sonniñosy3/5niñas.¿cuántaspersonashay decadagénero?”, un problemapara unapersonaynopara otra. Así, resolver latarea“Enunafiestahay 30 Para comprenderesta distinción podríamos recurrira la diferenciación que se establece A pesardeestasreflexiones,ladiferenciaentreproblemasyejercicio pareceserunode Teniendo encuentaestasconsideraciones vamos aretomaralgunasreferenciasdeautores Esta relaciónentreindividuo y tareadebeimplicar, además,elinterés por laresolución, Esto noslleva aconsiderar quelaresolucióndeunamismaactividad puederepresentar ¿Qué esunproblemam aceptado como problema como aceptado alguien por llamado ser que pueda antes de problema (p. 10). usualmente cuantitativa orequiere técnicas Matemáticas para su solución, ser ydebe del desconocimiento del algoritmo útil para resolver el problema. situación La es existendonde obstáculos para alcanzar objetivo ese que requiere deliberación, parte y se Problema matemático una es situación para alcanzada que supone una ser meta temático? ¿Qué entendemos por problema de matemáticas? 2 +3,enel 83 ManaluesUex 84 ManaluesUex Lorenzo J. Blanco lando queproblemaes tres problemasdematemáticas” , siendolaprimera tareadelcuestionario. que proponenestudiantespara maestroenelcurso 2008 -09,cuandoselespide:“Enuncia solución delmismo. un enunciadocerrado enelquedemanera explícitaoimplícitaindicanelprocedimientode (Blanco, GuerreroyCaballero,2013). con elfindeobtenerinformaciónsusconcepcionessobre problemadematemática rio sencillo(Anexo),porejemplolapregunta¿quéentiendo problemadematemáticas? nal sobrelosproblemas(Blanco,1997).Ennuestrostrabajos hemos partidodeuncuestiona- 10. el resolutorcomoundesafíopersonalyusodeconceptosprocesosmatemáticos. a lasolución;elaceptarretoconscientepara llegaraélloquepuedeserconsiderado por rados porlasituaciónplanteadaoeldesconocimientodeesemétodoclaroquenoslleve al quenopodemosllegarfácilmenteconunprocesoinmediato;lasdudasy/obloqueosgene- pueda serconsiderada problema,ydelasquedestacamoslanecesidadtenerunobjetivo taciones sobrelascaracterísticas quetienetenerunaactividad matemáticapara que caracterizar el vocablo problema. Este autor presenta una tabla que sintetiza diferentes apor (2013) quienhaceunainteresanterevisiónacerca deautoresquehantratado dedefiniry (1982), Lester(1983),Borasi (1986),CodinayRivera (2001),Santos(2007)y, finalmente,Pino En Blanco(1993)serecogenpropuestasanterioressobreelsignificadodeproblemaseña- A mododeejemplo,enBlanco,etal.(2013)yCaballero seanalizalosproblemas El análisisdesusrespuestasnospermiteafirmarquelosEMformulan losproblemascon Los trabajos realizadosconEMPmuestran queellostienenunaconcepciónmuytradicio- Podemos encontrar otras aportaciones al respecto en NCTM (1981), Charles y Lester Para Carrillo(1998), profesores dePrimaria? ¿Qué entiendenporproblemadem aplicando dicho conocimiento (Carrillo, 1998, p. 87). la existencia dificultad de aella ala enfrentarse hora de yla posibilidad resuelta ser de del conocimiento matemático asituaciones familiares, no la consciencia situación, tal de lade solución obien algún por motivación de tipo (Blanco, 1993, p. 23). una voluntad caso requiere todo en atacar de el problema provocado, la por necesidad Matemáticas, conocido ser aseguir inmediata el debe proceso no yfácilmente. Se unos objetivos. propósito cuantitativo En este requerir técnicas ono, que debe pero unen ambiente discusión, de incertidumbre de comunicación yde alcanzar pretende se el ala asociarse problema concepto de aplicación debe significativa (no mecánica) una situación la en formula que se desarrollada, ser una que debe tarea la yen que Nieto, Juan Pino Ceb allos temátic as losestudintesp ar - comerciales elementales.Dosejemplosdelosproblemaspropuestosseven enlaFigura 1: eran problemasaritméticosdeestructura aditiva omultiplicativa, querepresentabansituaciones ecuaciones (Figura 4). blemas delos178,loquerepresentael3,9%eran, segúnseñalabanlosestudiantes, de tradicionales en los problemas escolares desde hace más de100 años. Solamentesiete pro- dos a situaciones de edad, grifos, velocidad de coches y trenes o animales de granjas, que son libros detexto(Figura 3). tales yreferidosalcálculodeáreasfiguras planas,similaresalostípicosproblemasde Calcular el área de un cuadrado cuyo lado mide 2cm. mide lado cuyo cuadrado un de área el Calcular lo que gastó el primero. ¿Cuánto gastó el tercero? el gastó ¿Cuánto primero. el lo que gastó 2/3 de segundo yel 2/5 total del gasta se primero El gastarse. €para 40 de disponen Tres amigos tarta? la de queda 5/6 ¿cuánto Sergio resto del Su hermano tarta. 2/3 comido una de ha se que Juan Sabemos total? en gastado ha se dinero ¿cuánto a1,75 kilos, dos compra Si €. Laura manzanas de vende se 1Kg. frutería una En árbol? el en quedado han manzanas ¿Cuántas 37 manzanas recogido ha María 47 hay manzanas; manzano un En gallinas hay en la granja? la en hay gallinas ycuántas caballos 74 hay y12 ¿Cuántos picos. total patas En ygallinas. caballos hay granja una En más? grifos cuatro con piscina misma la llenar en tardará se ¿Cuánto horas. 20 en piscina una llena Un grifo Los autores indican que sobre un total de 178 problemas enunciados, 126 de ellos (70,8 %) Los autoresindicanquesobreuntotalde178problemasenunciados,126ellos(70,8%) En menor medida aparecieron problemas que supuestamente eran de ecuaciones referi- Los problemasdeGeometríarepresentabanel5,7%,ysusenunciadosera muyelemen- Del resto,31(17,4%)eran problemasdeoperaciones confracciones (Figura 2). F Ejemplos de “problemas de estructura aditiva”. 1. estructura “problemas de Ejemplosigura de F F Ejemplos de “problemas con fracciones”. “problemas con Ejemplos de 2. igura igura 3. igura F igura 4. igura Ejemplos de “problemas de geometría”. “problemas de Ejemplos de Problemas de ecuaciones. de Problemas ¿Qué entendemos por problema de matemáticas? 85 ManaluesUex 86 ManaluesUex Lorenzo J. Blanco maciones queconsideraban desdesuexperienciacomodiscente: directamente que no existen otros tipos de problemas, que justifican con las siguientes afir fos anteriores.Eneltrabajo seindicaqueel25%delosparticipantes,contestaron tades quetienenpara enunciaractividades matemáticasdiferentesalasanalizadasenpárra- existen otrostiposdeproblemas?Encasoafirmativo, escribiddosejemplos. el resultadodelanálisis,lesplanteana56EMPlasegundaparte decuestionario:¿Creéisque de matemática. Así, los autores analizanlasrespuestas planteadas ytras mostrarle alos EMP EMP alenunciarotrostiposdeactividades quepudieran serconsideradas comoproblemas mente, apartirdelosrecuerdosquetienecomoalumnosenseñanzaobligatoria. los librosdetextosactualesnienlamentefuturosprofesoresqueactúan,fundamental- curriculares y, ajuzgarporestosresultados,podemosseñalarquenoesmuyconsiderada, nien su entornoinmediato(ver capítulo2).Estaideaesunadelasmásredundantesenlostextos sario conectarlaresolucióndeproblemasconlosinteresesalumnosyrelacionarlos entorno. Y, porotra parte,muestra unacontradicción conelcurrículoqueseñalaesnece- muestra quelosestudiantesnorelacionancontenidosmatemáticosconsituacionesdesu móviles osusaficionespersonales.Esteresultadoes,especialmente,importanteporcuanto situaciones concretasdesuentornoinmediatoolautilizaciónrecursosdigitalescomolos distancias o de comparación de edades. Conviene destacar, que en ningún casose refirieren a de grifos,relaciónentreelnúmerocabezasypatasanimalesgranja, detrenesy mas dematemáticasdesdelosmanualesfinalesdelsigloXIX. Así, suelenenunciarproblemas Resulta interesante indicar que los contextos que describen son los tradicionales en los proble- nes aritméticas o algoritmos algebraicos y, en menor medida, problemas de cálculo de áreas. profesor (Pino,2013). ello es necesario aplicar fórmulas u algoritmos conocidos que han sido enseñados por el habría quemanipularlosdatospara obtenerunarespuestaosoluciónalproblemayquepara cio, pero un poco más complicado, que todos los problemastienen datos e incógnitas, que que los estudiantes para profesoresconsideran que un problema es algo así como un ejerci- estudiantes para maestrodesecundaria(EMS)aplicándoleelmismocuestionario,alseñalar utilizar algúnalgoritmopreviamenteconocido,loqueButts(1980)llama“aplicationproblem”. denominan “simpletranslation problem”o“complextranslation problem”.Loanterior, supone enunciado a una expresión matemática, que son los problemas que Charles y Lester (1982) (1986) llama‘Word problem”.Laresolucióndelosmismossugiereunatraducción deltexto aparece todalainformaciónnecesariapara resolver elproblema,enlalíneadeloqueBorasi citan enelcapítulo7sobre Tipos deProblemas. Así, observamos queenlostextospresentados enunciar problemasquetenganplenamentesentido. El análisis de las respuestas por los EM y la observación del aula evidenciaron las dificul- Los trabajos citados(Blanco,etal.,2013;Caballero,2013)señalanlaslimitacionesde los Los ejemplosanterioresmostrarían quelasreferenciasbásicasdelosEMsonoperacio- Otro resultadoquetambiénpodríamosasumireseldePino(2013),quientrabajó con Los problemaspropuestostienenreflejoenlasclasificacionesdealgunosautoresquese Es interesanterepasarelsegundoproblemapara mostrar ladificultadquetienenpara Nieto, Juan Pino Ceb allos - 3. a lasdeltrabajo deBlanco,etal.(2013),descritoenlospárrafos anteriores. en secundaria.LasconclusionesdelestudiorealizadoporPino(2013),sonbastantesimilares con estudiantesdelalicenciatura dematemáticasyencursospara laformacióndeprofesores posibilidades (ver capítulo7). (ver capítulo2)yenlasclasificacionesusuales,comoseñaladas,quemuestran diferentes problemas, diferentesperspectivas comocontenido,aplicaciónymetodología maneja enloscurrículosdematemáticasqueconsideran unavisiónmásampliasobrelos rán cuandoaccedanalaprofesióndocente(Blanco,1997)noescoherenteconquese capaces deenunciar: existencia deotrostiposproblemasmatemáticosperoque,enesemomento,nofueron primeros enunciados. contenidos matemáticoscomoestadísticaoprobabilidadque no habíanaparecido entre los en baseasusconocimientosprevios ynorequeríandel uso deideassofisticadas, ilustraban ciones deSantos(1996)ya quelastareassesugieren alosestudianteseran accesibles Debemos significarqueenlaelección delosproblemastuvimosencuentalasrecomenda- los queaparecieronenelcuestionario yquenospermitentrabajar contenidoscurriculares. de formaciónprofesorespara mostrar queexistenotrostiposdeproblemasdiferentesa Entre talesconclusionesencontramos que Queremos recordarquesituacionessimilareslashemosexperimentado,comodocentes, Estas concepcionessobrelaRPMquederivan desuexperienciaescolaryquerecupera- La preguntaplateadayeldebatequeseestablecemotivó quealgunosEMintuyeran la Otros 34,5%escribieronproblemassimilaresalospropuestospreviamenteperoconotros A mododeejemploproponemosalgunasactividades que hemosutilizado en las aulas O tras son los toda de la vida”. tipo”. mismo del de fórmulasde oprocedimientos rutinarios (p. 124). traduciendo al el texto lenguaje matemático, lo que lleva, generalmente, ala aplicación algorítmicocarácter ylos problemas (word con texto problem) resuelven que se los problemas,son los ejemplos dados van no allá más los típicos de ejercicios de matemáticas de para profesor tienen una concepción muy tradicional acerca lo de que “Claramente existir, deben siento me pero incapaz encontrar de algún ejemplo”. “Después lovisto de existir, deben este en pero momento no se ocurre me ninguno”. “La verdad es que no tengo ni idea. Los matemáticas problemas de que conozco “Yo creo que no, alolargo porque mi de vida escolar siempre hehecho problemas Los ejemplos problemas de que ellos han dado, estudiantes que estos muestran nos ctivid ades ma temátic as ¿Qué entendemos por problema de matemáticas? 87 ManaluesUex 88 ManaluesUex diferentes maneras yprovocaban debateentrelosalumnos. ideas matemáticasimportantesdetipoconceptualoprocedimental,podríaresolverse de Lorenzo J. Blanco (Figura 6). tegias para solucionarproblemasdematemáticas. Así, describimos eljuegode‘llegaral20’ parte, proponemosunjuegonuméricoquepuede,además,favorecer reflexionessobreestra- tarea propuesta. textos escolares para reconceptualizar los contenidos implicados en la resolución de la Cárdenas, GómezyCaballero,2011).Ello,ademásdebecompletarseconelanálisisdelos cado ydiferenciaciónentredefiniciónconcepto(BlancoContreras, 2002;Blanco, en losprocesosdeformaciónprofesores,provoca lanecesidaddeclarificarelsignifi- ros, delasdiferentesclasificacionesquesepuedenadoptaralrespectoy, muyimportante cuadriláteros. mentan lanecesidaddedebatiryreconsiderar suconocimientomatemáticosobrelos errores quesurgenyladiscusiónsegenera cambiandeopiniónpuestoqueexperi- embargo, cuandoabordamoslatarea,reflexionamossobrelosconceptosimplicados, de ellos al observar que no hay que aplicar ninguna fórmula o realizar cálculo alguno. Sin si setrata deunproblemamatemáticas,larespuestaesnegativa odedudapara muchos Por ello,cuandoplanteamosestaactividad preguntamosalosestudiantespara profesores plantea laaplicacióndeningúnalgoritmoofórmula,nirespuestaesundatonumérico. ganará el que llegue a20 que el llegue ganará otro, y del cantidad 1ó2ala sumando van cero, de ypartiendo alternativamente jugadores, Dos ¿Qué forma tiene la lámina? la tiene forma ¿Qué dos? los de ninguno ¿No razón tiene Paula? tiene ¿Sólo la ¿Tienen Jaime? tiene ¿Sólo la dos? los razón cuadrada. es concluye lámina que la ambas, en y, medida misma obtiene la como diagonales las mide Paula cuadrada. que es y, asegura consecuentemente, ve que son iguales lados, los mide Jaime cuadrada. realmente es matemáticas de taller del lámina si una averiguar quieren yPaula Jaime Veamos enlaFigura 5unproblemadeGeometríaescolar. Las actividades decálculomentalsoninteresantesysugeridasenelcurrículo.Por nuestra La situaciónplanteadagenera undebateacerca delasdefinicionesloscuadriláte- La resolucióndeesteproblemarequieredelusoconceptosmatemáticosperono Nieto, Juan Pino Ceb allos F igura 5. igura F Juego de llegar de a20. Juego 6. igura Problema de Geometría. de Problema nas actividades quepermitíantrabajar losalgoritmostradicionales: tarea para trabajar losalgorítmosdelasoperaciones básicas(Figura, 7). Así, propusimosalgu- zación delápizypapel. para mejorar elcálculonumérico,alreconocerquejuegoseríamáságilconlautili- tir lautilidaddelusodecalculadora (ennuestrocasoapartirdelacalculadora delmóvil) ciar la importacia del cáculo mental, reconocer nuevas estrategias para su desarrollo y admi- experiencia nosdicequecuandointroducimosnúmerosmásgrandes losEMPlleganaapre- 1, 2,34ó5lacantidaddadaporelcompañero,llegaroacercarnos al10.000.Nuestra exactas oaproximadas. modificaciones con otras cantidades y operaciones, admitiendo en algunos casos respuestas problemas de matemáticas. Ello nos permite, engancharles en el juego y proponerles volviendo hacia atrás. Que es, por otra parte, una estrategia usual en la resolución de secuencia ganadora a partir del descubrimiento de unaestrategia partiendode la solución y lución deProblemasMatemáticas. un contenido específico y en el capítulo 9 cuando se describe un Modelo General de Reso- de losqueseindicanenelcapítulo 2cuandosehabladelaresoluciónproblemascomo en laactividad, sinoqueserequiereconocerydominaralgunosprocedimientosespecíficos para resolver problemasnoessuficienteconconocerloscontenidosmatemáticosimplicados algebráico. realizar propuestassimilaresendiferentesniveles yconcualquieralgoritmoaritméticoo del sistemadenumeración decimal. Asumiendo elinterésdeestetipoactividad podemos elección de los números: los de elección por qué el la de indicando operación, ala sentido darle para por números asteriscos los Sustituir Como tercer ejemplopara desarrollaractividades alternativas enelaulamostramos una Así, podemosproponerquepartiendodeunnúmeroentre1y5multiplicandopor Es unsencillojuegodecálculoenelquelosestudiantesencuentran sindificultaduna Finalmente, mostramos otroejemplo(Figura 8)deproblemasqueponemanifiesto Este pasatiempopermitereflexionarsobrelalógicadelalgoritmo delamultiplicacióny F igura 7.igura Problema para trabajar el algoritmo de la trabajar para de el algoritmo multiplicación Problema * 48 * 0 * 80 4 7*0 X 38 ¿Qué entendemos por problema de matemáticas? 89 ManaluesUex 90 ManaluesUex — Lorenzo J. Blanco — — — — Bibliografía resolver problemas,enunambientederesolucíónseconsiguenmásfácilmente. alumnos sesientenmásmotivados conestasactividades yquelosobjetivos dealcanzara miento sobreelprocesoderesoluciónlosproblemas. primaria. Pero, además,sudesarrolloponedemanifiestolaimportanciaadquirir conoci- cuya resoluciónrequieredelconocimientodeconceptosyprocesospropioscurrículo

 ¿Cuál es el número de la casa de enfrente? de casa la de número el es ¿Cuál amigo? intrigante del hijas las tenían edades ¿Qué añadió: A lo que primero el le respondió: casa, la de número el yobservar respuesta curiosa la escuchar tras amigo, El contesta: le enigmático otro. Este, del hijos los de edades las de acerca pregunta correspondientes, saludos los tras Uno verse. ellos, de sin mucho de tiempo después calle por la encuentran se amigos Dos elementary school projects.EnZDMMathematicsEducation,2007,n.39,pp. 355-364. ARCAVI, A; FRIEDLANDER, A. Curriculum developers andproblem solving: thecase of Israeli profesores ynuevas propuestascurriculares.EnrevistaQuadrante, 1997 Vol. 6,n.2,pp.45-65. BLANCO, LJ.Concepcionesycreenciassobrelaresolucióndeproblemasestudiantespara Geometr%C3%ADa_Blanco%2C_C%C3%A1rdenas%2C_G%C3%B3mez_y_Caballero.pdf. Geometr%C3%ADa_Blanco%2C_C%C3%A1rdenas%2C_G%C3%B3mez_y_Caballero.pdf. 2011. 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BLANCO, LJ.Consideraciones elementalessobreresolucióndeproblemas.Badajoz, La experienciadocenteeinvestigadora endiferentesniveles noshamostrado quelos Son ejemplosqueevidencianexistendiferentestiposdeproblemasmatemáticas – – – F Problema que requiere de contenidos específicos de la de problemas resolución de específicos contenidos de requiere que Problema 8. igura Mi hija mayor toca el piano. el hija mayortoca Mi Me falta un dato un Me falta enfrente. de casa la de número el es suma ysu 36, es hijas tres mis de edades las de producto El Nieto, Juan Badajoz, España: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Pino Ceb allos — — — — — — — — — — — — — — — —    SCHOENFELD, A. MathematicalProblemSolving,Orlando: Academic PressInc.,1985. Trillas, 2007. SANTOS, LM.LaResolucióndeProblemasmatemáticos.Fundamentos cognitivos. México: pp. 57-69. mas matemáticosconvarias formasdesolución.EducaciónMatemática,1996, Vol. 8n.2, SANTOS, LM. 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Señala laresolución porquéesimportante deproblemas dematemáticasenlaenseñanzaobligatoria. ¿Qué consideración temerece laresolución deproblemas deMatemáticas? Escribe reflexiones personales sobre tuexperienciaenlaresolución deproblemas dematemáticasen Añade algoqueteparezca significativo yno hayasescrito Nieto, Juan ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� Pino Ceb allos mos latareaquedeberárealizarel resolutorpara alcanzar elobjetivo propuestoenelenunciado. puede contextualizarseendiferentessituaciones,dependiendode lamanera enlaque formule- procesos matemáticos. situación real,ficticiaolúdicaconelquequeremosdarlesentido y/oaplicarlosconceptoso 1. Contextos situaciones y, iv. Tipo deacciónquepropondremosalosestudiantespara resolverla. la tarea;ii.Formatos enlosquelasproponemos;iii.Fuentesdedondeobtendremosdatosy matemáticos que analizaremos en los siguientes apartados: i. Contextos elegidos para formular calcular, explicaroralmente yporescrito,generalizar, comprobar, etc. los alumnosdebieran realizarcuandoformulanoresuelven problemas:comprender, aplicar, rosas las sugerencias que aparecen en el currículo en referencia a las diferentes acciones que problemas enunciadosentextoescritooapartirdegráficosytablas.Igualmente,sonnume- realizada apartirdeunsistemareferenciayobjetososituacionesfamiliares. o ainterpretarunarepresentaciónespacial(croquisdeunitinerario, planodecasasymaquetas) nes problemáticasrelacionadascontemasdesalud,consumo,medioambiente,educaciónvial familiares para los resolutores. Así, porejemplo,se refiere en una de sus sugerencias asituacio- creativos, manipulativos, estéticosyutilitariospara lasmatemáticas”(Decreto,2007,p.8099). 2007, p.7912)oproblemasformuladospara permitiralosestudiantes“disfrutardeaspectos problemas “relacionadosconobjetos,hechos ysituaciones delavidacotidiana”(Decreto, por ejemploenelcurrículoseindicaquelosestudiantesdebenaprenderaresolver yplantear para resaltaraspectosquedebemosconsiderar para proponerlosproblemasenlasaulas. Así, variables, mientras queenelCapítulo12recordaremosdiferentesclasificacionesdelosmismos. tanto para suformulacióncomopara suresolución.Enestecapítulo,veremos algunasdeestas significado para elvocablo ‘problema’,loquenosva apermitirestablecerdiferentesvariables, tarea quedebiera serabordadaydelaactitud/aptitud delresolutor. Hemosasumidoun amplio Referntes Supongamos que queremos trabajar las ‘medidas de superficies rectangulares’. Este contenido Supongamos quequeremostrabajar las‘medidasdesuperficiesrectangulares’.Estecontenido Cuando presentamosunproblemaloenmarcamos enuncontextoquepuedereflejar una Atendiendo aestosaspectoshemosseñaladocuatroreferentespara formularlosproblemas Por otra parte, se refiere a diferentes formas de presentarlas tareas. Al respecto, habla de Igualmente, explicitaquelasfuentesutilizadaspara plantearlastareasdebenserdiversas y Nuevamente nosapoyamos enelcurrículodelaComunidad Autónoma deExtremadura En elcapítuloanteriorhemosdadosentidoalosproblemasdematemáticaspartiruna Lorenzo J. Blanco Nieto y Janeth A. Cárdenas Lizarazo para pr opner Capítulo 6 pr oblemas de matemáticas

93 ManaluesUex 94 ManaluesUex Lorenzo J. Blanco la Figura 1. contextualizado enunaularectangularyformuladoapartirdelenunciadoquesemuestra en dos conelconceptoderectángulo yelprocedimientopara calcularsusuperficie. problemas yquedenominamos: Real,Realístico,MatemáticoyManipulativo y/oRecreativo. plos anteriores,hemosestablecidocuatrocontextosdiferentesenlos quesepuedenpresentarlos como puedeserelauladeclase(Figura 4). podríamos proponerlesalosalumnos una preguntacontextualizadaenunasituaciónreal rencias delenunciadosonconceptosoprocesosmatemáticos. es unproblemageneral, sinreferenciaaningúnespacioniobjetocotidiano.Lasúnicasrefe- visualizar. Podríamos haber escogido una ventana o un campo de fútbol. En el segundo caso, enunciarlo apartirdeconceptosmatemáticos(Figura 2y3). Calcular el área de un rectángulo sabiendo que sus lados miden 7 metros y11 7metros miden lados metros. sabiendo que sus rectángulo un de área el Calcular y11 altura. base de de metros que 7metros tiene rectángulo un de área el Calcular y11 ancho de profundidad. de sabiendo que 7metros tiene metros aula un de área el Calcular ¿Cuánto mide esta aula de clase? de aula esta mide ¿Cuánto Si miramos ellibrodetexto,esposiblequenosencontremosconunproblematípicoy Para ejemplificarestoscuatrocontextosretomaremos ejemplos queestánrelaciona- Admitiendo queexistencontextosdiferentes(DíazyPoblete, 2001),comopruebanlosejem- Obviamente, yconsiderando queelauladeclasesueletenerunaformarectangular En elprimercasohacemosreferenciaaunespacioquenosesfamiliarypodemos Pero también podríamos enunciar un problema prescindiendo de la referencia al aula, y Nieto, Janeth A. F F igura 2. igura Problema en un contexto matemático. un contexto en Problema 3. igura Cárdenas Lizarazo F igura 1.igura F igura 4. igura Problema en un contexto matemático. un contexto en Problema Problema en un contexto realístico. un contexto en Problema Problema en un contexto real. un contexto en Problema blema delaFigura 4o5. de los estudiantes. Así, independientemente de la forma del aula, podremos plantear el pro- 1.1. vivencia pacífica”(Decreto, 2007,p.8099). cultural, elrespetoalmedioambiente,lasalud,consumo,igualdaddegénero o lacon- analizar ycomprenderlarealidadcircundante yvalorar fenómenossocialescomoladiversidad de finsemana,sonalgunoslosreferentesquesurgenmanera inmediata. donde habitan(población,extensión,distancias)yelusodelos móvilesodelasactividades que enmuchos casosllevan aparejadogastosydesplazamientos,referenciasalaszonas zando lasmatemáticasescolares.Lasexcursionesosalidasescolares querealizanlosniños que puedenserreferenteexplícitopara plantearyresolver problemasqueseresuelvan utili- cimientos matemáticos.Sonmuchas lassituacionesescolaresypersonalesdelosalumnos es constantementesugeridaenloscurrículos,ya queellopermitiríadarlesentidoaloscono- decir, laresolucióndeestetipoproblemasrequiere: conceptos yprocedimientosmatemáticos,queformanpartedelcurrículodeprimaria.Es no tiene un procedimiento explícito e inmediato para su resolución pero querequiere de las unidadesdemedidaquepodemosutilizar. Nosenfrentamosaunasituaciónabiertaque el procedimientopara calcularsusuperficie,loqueimplica,además,debatiryseleccionar problema esclaro:conocerlasuperficiedelaula. éste dependerádelasunidadesmedidaqueutilicemosenelproceso.Pero elobjetivo del procedimiento determinadoyúnico,asícomotampocounresultadoconcretopuestoque Calcular la superficie del aula. del superficie la Calcular En primerlugar, podemospartirdeunasituaciónauncontextorealydelentorno El currículoextremeñoseñala:“Aplicar lascompetenciasmatemáticasadquiridaspara La referencia a plantear y resolver problemas relacionados con lavida real de los alumnos iii.  ii. i. Es obvio quepara abordarestatareatendremosqueanalizarlaformadelaulaydecidir Con elenunciadoanteriorplanteamosunaactividad abierta,ya quenosesugiereningún Contexto Real tes alumnosoconmetros,ysuoperación para obtenerlasunidadesdesuperficie. decisiones. Esevidentequelosresultadosdiferiránsimedimosconpasosdediferen- Traducción delosresultadospara analizarsuvalidez, sacarconclusionesytomar rán enlaresolucióndelproblema de diferentesunidadesmedidayprocedimientoscálculoaparece- La aplicacióndeconceptosyprocesosmatemáticosimplícitosenelmodelo.Eluso podremos utilizarlasbaldosasdelaulacomoreferentedemedida. La creacióndeunmodelomatemático. Así podremosmedir con pasosometros F igura 5. igura Problema en un contexto real. un contexto en Problema Referentes para pr oponer pr oblemas de matemáticas 95 ManaluesUex 96 ManaluesUex Lorenzo J. Blanco 1.2. pueden fácilmentenotenerestascaracterísticas para losalumnos(MEC,1989,p.480). mecánica situacionesquepuedensermuypertinentesysignificativas para eladulto,peroque mático mediantelaresolucióndeproblemasrealesnoseconsiguetransvasando deforma reales desdeelpuntodevistaadulto.Enconsecuencia,laactivación del conocimientomate- ponentes imaginadas y lúdicas que despiertan su interés en mayor medida que las situaciones lescente yunniño.Larealidadincluye supropiapercepción delentornofísicoysocialcom- Base para laEnseñanzaSecundariaObligatoria(MEC,1989)dondeseseñalaba: proceso matemáticos. establece uncontextomatemático.Nohay unareferenciaalarealidadysíconceptos medida delosdoslados),excluye todareferenciaaunasituaciónrealosimulada,ysólo las variables delaexpresiónpara calcularlasuperficiedelosrectángulos(baseyaltura ola y losejemplospuestoseneltemadellibro.Enestecaso,texto incluye demanera explícita tico. Lainvitación implícitaalprocedimientovienesugeridaporlaestructura delenunciado exclusivas aconceptosmatemáticos. Así, podríamosplantearlastareas delaFiguras 2o3. relación configuras realesosituacionesconcretasyenunciarlaactividad conreferencias 1.3. ellos, sinomásbiencomounejercicio (ver capítulo5). resuelto algunossimilares,porloquepodríaserconsiderada nocomounproblemapara proponente delproblema,queimplícitamentesugiereunprocedimientodesolución. Diríamos queenestecasolarealidadnospresentaelproblemavienetamizada,por claramente diferentealaquedesarrollaríaenelprimercasoplanteadopara elcontextoreal. cación delasmatemáticasaunasituaciónreal,perolatareaquedesarrollaelresolutores capítulo dondesehapropuestolaactividad. Esteproblemaseplanteapara justificarlaapli- y aplicarlafórmulapara lasuperficiedelrectánguloque,abuenseguro,estaráenelmismo ciado yprocederalcálculo. aplicarla. Suacciónselimitaarecordarelalgoritmoutilizar, sustituirlosdatosdelenun- de resoluciónoaltipomedida.Sutareaesidentificaryrecordarlafórmulaadecuada como señalábamosaliniciodeestecapítuloenlaFigura 1. No sonlosmismosproblemasquenecesitaresolver unmatemático,adulto,ado- En relaciónaloscontextosrealesconviene recordarunareferenciadelDiseñoCurricular Los enunciadossugeridossonmuysimilaresalproblemaplanteado enelcontextorealís- Para trabajar el cálculodesuperficie defiguras rectangulares podríamosprescindirde la Probablemente estatareanogenereningunadificultadpara losresolutoresqueya hayan El planteamientodeesteproblemasugiereunprocedimientoinmediatocomoesrecordar En estecaso,noexisteningunadecisiónpreviadelosresolutoresenrelaciónalproceso Podríamos suponerlaexistenciadeunaularectangularpara plantearelproblema,tal Contexto Matemático Contexto Realístico Nieto, Janeth A. Cárdenas Lizarazo 1.4. diferentes (Blanco,Cárdenas,Gómez,yCaballero,2011;BlancoMárquez,1987). podríamos haberutilizadoelGeoplanoola Trama Cuadrangular yconstruirrectángulos jar lasmatemáticasescolares. Así, para trabajar conelcálculodesuperficielosrectángulos las Figuras 6y7. sugerimos plantearalosresolutores,independientementedelnivel escolarlosproblemasde el índicede acierto ofracaso en la resolucióndeestosproblemasesdiferente.Deesamanera, libros detextosescolares. lar delromboyrectángulo,de acuerdoalaclasificaciónusualdeloscuadriláterosen la definicióndelostresconceptos (Figura 9)para aclarar que elcuadrado esun caso particu- y ‘rombo’apartirdelarepresentaciónDenFigura 8.Estasituaciónnossugiererecordar y tamaños(Figura 8).Demanera inmediata,surgelaconfusiónsobre‘rectángulo’,‘cuadrado’ Calcular el volumen de un ortoedro cuyas medidas son 5m., 10 y2m. m. medidas cuyas ortoedro volumen un de el Calcular profundidad de y2m. 10 ancho, de 5m. que mide largo de m. rectangular piscina volumen una de el Calcular Los recursosmanipulativos ytecnológicos nossugierenmúltiplesactividades para traba- Aparentemente, lastareasencontextosrealisticosymatemáticosparecensimilarespero Cuando los alumnos dibujan los rectángulos en la trama lo hacen en diferentes posiciones ContextoManipulativo y/oRecreativo A BCD E F igura 8. igura Algunos rectángulos en una en Trama Algunos rectángulos cuadrangular 4x4. de F igura 7.igura F igura 6. igura Problema en un contexto matemático. un contexto en Problema Problema en un contexto realístico. un contexto en Problema Referentes para pr oponer pr oblemas de matemáticas 97 ManaluesUex 98 ManaluesUex Lorenzo J. Blanco fORMa 2. zar procedimientosmenosalgorítmicos. manera enlaquelosalumnosabordansuactividad, asícomounamayor motivación autili- nas delascualesya eran profundizadasporBlancoyContreras (2002). así mismo,enevidencialasdificultadesdelosEMPelaprendizajelaGeometría,algu- clasificación deloscuadriláterosenelquesedesarrollaunprocesoconstructivo quepone, posición defigura nolesresultafácil. que elrecursoal Teorema dePitágoras oaalgúnprocedimientodecomposicióndescom- puede serunrecursofácil,peroéstenoesinmediatoenelrectángulodelafigura C,enel en lasdosprimeras representacionesdelaFigura 8,lareferenciaaunidaddeloslados dificultades ysugiereotrosprocedimientosdesolucióndiferentesalusolafórmula. Así, contextos anteriores.Elcálculodeláreadecadaunoellospresenta,enalgúncaso,algunas tes depresentaciónlaactividad: aparecen diferentesformatososopor Vecino (2003) base aloplanteadoporChamorroy el enunciado,ysehaconstruidoen en quesepresentalainformación (Figura 10). una propagandadesusproductos nida delescaparate deunatiendao un textoescrito,unatablaconlosproductosypreciososimplementeimagenobte- proponer problemasaritméticosrelativos aartículosdeunsupermercado podemosplantear presentarse endiferentesformatos(Chamorroy Vecino, 2003). Así, porejemplo,siqueremos Rombo: Cuadrado: Rectángulo: La presentaciónydesarrollodeestatareamuestra novedades cognitivas yafectivas enla En Blanco,etal.(2011),semuestra untrabajo conestudiantespara maestroacerca dela Estas dificultades sobre los conceptos implicados no aparecen en ninguno de los tres Dentro deunmismocontexto Esta categoríaserefierealaforma La informaciónydemandasqueselessugierealosestudiantesenproblemaspueden to depresent Nieto, Cuadrilátero con cuatro lados iguales. lados cuatro con Cuadrilátero iguales. ángulos ycuatro iguales lados cuatro con Cuadrilátero rectos. ángulos cuatro con Cuadrilátero Janeth F igura 9.igura A. Cárdenas Lizarazo a ción delosproblemas Definiciones del cuadrado, rectángulo yrombo. cuadrado, del Definiciones rectángulo - F igura 10.igura Imagen del escaparate de una de charcutería. escaparate Imagen del En estecasolosproblemasplanteadoslosontodosencontextomatemático. ciona alresolutorenlamanera deabordarelproblema,generando mayor omenordificultad. procedimiento: mismo objetivo: tación delosproblemas,vamos aproponeralgunosejemplosdeproblemasquetienenel fuentes dedatosempleadaspara plantearyresolver problemas. los mismos datos. Estos serían también buenos formatos, siendo la información presente las mapa dondeseindiquendistanciasylapoblacióndelosdiferentespueblos,ounatablacon redactando untextooelaborando unesquemaquedecuentalainformación. mas, ya seahaciendousodelastablasenquesepresentaestainformación(Tabla 1,p.102), podríamos utilizarlaclasificacióndeequiposbaloncestopara plantearyresolver proble- comunicación nosaportaninformacionesdiversas presentadasendiferentesformatos. Así, texto escrito;tabla;gráfico,imagenyrecursosmanipulativos. A esterespecto,losmediosde ducción deunafigura queservirádesoportepara laobtencióndedatos(Figura 12). suele presentardificultad. la fórmuladeláreadeuntriángulo.Esteproblema,oejercicio segúnalgunosaautoresno Calcular el área de un triángulo de base 5 cm y de altura 8cm. altura yde 5cm base de triángulo un de área el Calcular Calcular el área de un triángulo de base 5 cm y de altura 8cm: altura yde 5cm base de triángulo un de área el Calcular Primer ejemplo:Proponemosunformatousualenlosmaterialesescolares(Figura 11). Para profundizarenlaimportanciadelasvariables quepodamosconsiderar enlapresen- El daruntextodeproblemadistanciasopoblaciónesdiferenteafacilitar Segundo ejemplo:Podemos hacerunamodificacióndelproblemaanteriorconlaintro - Es unproblemaconsiderado sencilloenelquelatareadelresolutoresrecordaryaplicar Aplicación delafórmulabxh/2.Observaremos cómolapresentacióncondi- Calcular el área del triángulo y que se resuelven todos siguiendo el mismo F igura 12.igura F igura 11.igura textual. formato en escolar Problema Problema escolar en formato textual ygráfico. textual formato en escolar Problema h =8 cm b =5cm Referentes para pr oponer pr oblemas de matemáticas 99 ManaluesUex 100

ManaluesUex Lorenzo J. Blanco gulo (Azcárate, 1997;Blanco,2001)quenoestádibujadoenposiciónestándar. fórmula adecuadamente.Enestecasoseve ladificultaddelconceptodealtura deuntrián- tienen dificultadpara identificarunabaseysualtura correspondientepara poderaplicarla hacer esidentificarlabaseyaltura ysustituir losvalores enlafórmulaelegida. tica eslamismaenelsegundoytercer problemaya que,enamboscasos,loquehay que y altura), no apreciados en la resolución de los dos primeros ejemplos. La actividad matemá- anteriores queevidenciadificultadesenrelaciónalosconceptosbásicosdeltriángulo(base ángulo apoyado sobreunvértice(Figura 13). apoyados sobreunabasehorizontaly‘una’altura vertical. gulos quenoestánenlaposiciónestándardeloslibrostexto,aparecen cepto dealtura deuntriánguloyladificultadpara identificarlabaseyaltura enlostrián- tal situación,notendríamosencuentalasdificultadesquelosalumnostienenconel- y laaltura deuntriángulopara resolver losproblemasdecálculoáreauntriángulo.En resolutor saberesolver problemasdeáreastriángulos,yqueescapazidentificarlabase su resolucióntampocogenera dificultadenlosestudiantes. problema delaFigura 14. Calcular el área del triángulo de la figura: la de triángulo del área el Calcular Así, es frecuente encontrar que Sin embargo,muchos alumnosdesistenenestetercer problemaoloresuelven malya que La presentacióndeestafigura genera enelresolutorunaactituddiferentealoscasos Tercer ejemplo:Podríamos modificarlafigura deltriánguloydibujarunobtus- Podríamos concluirquelaresolucióndelosdosproblemasanterioresindicaríael En estecaso,lafigura acompañaaltextodandoinformacióndelosdatosdelproblemay Cuarto ejemplo:Unadificultadsimilarpresentan losalumnoscuandoplanteamosel

AE = 3c m Nieto, A E F Janeth igura 13.igura Triángulo pide calcular se que del obtusángulo su área A. D Cárdenas Lizarazo

AD (6 cm. x 3 cm.) /2= 9 cm AC = = C 4, 5c 5c m m 2 sería la solución al problema.

CB Al Ba tu se

= ra 6c CB

AD m B = = 6c 4,5c m m de salud,consumo,medioambiente,educaciónvial”(Decreto, 2007,p.7923). sidad deanalizareinterpretardiferentes“situacionesproblemáticas relacionadascontemas (Decreto, 2007,p.7827). Y, específicamente,serefiereaalgunasdeellasalseñalarlanece- de problemas…asícomosercapacesaplicarlosalassituaciones de su vida cotidiana” necesidad de“Desarrollarlascompetenciasmatemáticasbásicas einiciarseenlaresolución modo general vienereferidasenelcurrículo. Así, enelcurrículoextremeñoseplanteala 3. Fuentes nados porsupresentación. blema ycómolosconceptosprocesosmatemáticos,útilesenelproblema,seven condicio- entre dos’.Estaexpresiónesun‘descubrimiento’para muchos estudiantespara maestro. ‘Para calculareláreadeltriángulorectángulosemultiplicavalor deloscatetosysedivide teada nosllevaría a unanueva fórmulapara calculareláreadelostriángulosrectángulos: permitiría resolver másfácilmenteelproblema.Elanálisisyresolucióndelasituaciónplan- con untriángulorectánguloyconsiderar loscatetoscomobasesyalturas delmismo. números sonclaramente pitagóricos,sonmuyescasoslosalumnosqueidentificaneltriángulo vertical leslleva aplantarunsistemadeecuacionespara sudeterminación. A pesardequelos Calcular el área del triángulo de la figura: la de triángulo del área el Calcular Y señalaunobjetivo para elfinaldelaetapaprimaria: Las diferentes actividades pueden plantearse a partir de situaciones diversas que de un Los cuatro problemas propuestos nos indican la importancia de la presentación del pro- Simplemente ungiroenlafigura facilitaríalavisualizacióndebaseyaltura y En estecaso,laidentificacióndebaseconelladohorizontalyaltura conunsegmento provenientes situaciones de cotidianas ypara tomar decisiones” (Decreto, 2007, p. 7835). mientos matemáticos para y producir interpretar información, para resolver problemas lleva utilizar los ámbitos ysocial– personal los elementos –en yrazona espontáneamente “El desarrollo la de competencia matemática al final la de educación obligatoria, con F igura 14.igura Triángulo pide calcular se que del su área. rectángulo 3 u. 5 u. Referentes para pr 4 u. oponer pr oblemas de matemáticas - - 101

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ManaluesUex T Lorenzo J. Blanco como parteintegrante denuestra cultura” (Decreto,2007,p.8099). (Tabla 1). Ello sería un elemento fundamental para que pudieran “valorar las Matemáticas lares, porejemplolosdatosqueselogran extraer delasdiferentescompeticionesdeportivas situaciones quepuedensermatematizablesenrelaciónaloscontenidosmatemáticosesco- del entornodelosalumnos.Laexperienciapropiosestudiantesnossugieremúltiples problemas, quedebenmodificarsepara partirdecontextospersonales,socialesoculturales lleva asugeriruncambioprofundoenlassituacionesquesirven deapoyo para plantearlos les pregunta acerca de la utilidad de las matemáticas en ‘su’ actividad cotidiana. Ello, nos alumnos dediferentesniveles educativos noponenejemplosdeestassituacionescuandose sugerencia delcurrículonosedesarrollaenlasaulasnireflejaloslibrosdetexto.Los razonar matemáticamenteencontextosmásamplios” (Fernández yRico,1992,p.14). situaciones para laintroduccióndeundeterminado concepto,sinoquepermitetrabajar y Rico (1992)hacíapara losmediosescritos“laprensa nosólofacilitabuenosejemplosy cas, etc.Delmismomodo,podemosampliaraotrosmediosla referenciaqueFernández y clases denúmeros(enteros,fracciones onegativos), diagramas yrepresentacionesestadísti- con larealidad.Enlosmediosaparecensuficientesconceptos matemáticos comodiferentes recurso quepermitedarlesentidoalasactividades matemáticasyconectarlas ello enlosdiferentesámbitoslocal,regional,nacionaleinternacional. Por lotanto,esun nos poneencontactodirectoconnuestromedioreal,social,cultural yeconómico. Y, todo red, son un material vivo y actual, al mismo tiempo, que una gran fuente de situaciones que realidad escolarydelazonadondeseinsertaelcentro. la literatura yloscuentosinfantilesodeadolescenteso,simplemente,observación dela tivos odigitalesfácilmenteaccesibles,losmediosdecomunicaciónescritosaudiovisuales, Equipo CAI Zaragoza Cajasol Laboral Kutxa Herbalife Gran Canaria Unicaja Málaga FC Barcelona Valencia Basket Real Madrid abla Los trabajos deBlanco,etal.(2013)quesecomentanenelcapítulo5mostrarían queesta A mododeejemplo,podríamosseñalarquelosmedioscomunicación, escritooenla También podemosconsiderar comofuentespara proponerproblemasrecursosmanipula- c 1. lasificación Nieto, Janeth

de

equipos A. Cárdenas Lizarazo Partidos ganados

de

baloncest 18 18 19 22 23 27 30 32 o

en perdidos Partidos

la

ACB 16 16 15 12 11 7 4 2 . T emporada Puntos afavor 2.647 2.543 2.777 2.595 2.745 2.785 2.930 3.001 2013 – 14 – 2013 Puntos en contra 2.601 2.545 2.702 2.430 2.467 2.467 2.554 2.480

cognitivos: Conocer, Aplicar yRazonar, señalándosediferentesactividades encadacaso: las pruebas TIMMS del2007seclasificanlastareasmatemáticas entresdominiosoprocesos nas tareasespecíficasdelosresolutoresproblemas. Algunos autores como Chamorro y Vecino (2003) y Pino y Blanco (2008) han señalado algu- cimiento yexperienciadelresolutorodelosobjetivos quesepropongan,entreotrosfactores. puede realizar. Ellodependerádelanaturaleza delaactividad propuesta,delnivel decono- 4. Tarea de infantil,primariaysecundaria. cómo trabajar loscuentoscomorecursopara laenseñanzadelasmatemáticasenlosniveles Blanco y(2010)Marín(2013)podemosencontrar algunasreferenciasbásicasde 1976) oLasintrigantesaventuras delDoctorEcco(Shasha,1989). profesor dematemáticas(Serra, 2008)oPrimoyalgunosdislatessobrenúmeros (Thio dePol, lleva implícitalaresolucióndediferentesactividades matemáticascomoElasesinatodel en 80días. También podemos encontrar librosespecíficos cuya lectura, completaoparcial, (1995) indaganenlasposibilidadesmatemáticasdellibrodeJulio Verne Lavueltaalmundo de Gulliver sonanalizadoseneltrabajo delGrupoBeta(1990)yFernández yGonzález cuentos concretosconfuentespara lasactividades matemáticas. Así, porejemplo,losViajes ñanza delasmatemáticas. A esterespecto,podemosencontrar algunostrabajos queutilizan escritas conesaintencionalidadpuedenaprovecharse comomaterialdidácticoenlaense- mático. Igualmente, es fácilutilizar ciertas situaciones de laliteratura que sinhaber sido mán oLuisBalbuenaquieneshanpuestoalserviciodelaliteratura partedesusabermate- Esto sucede,porunaparte,enlalectura deautoresquecomoLewisCarrol,MiguelGuz- encontramos algunaspropuestasoplanteamientosqueimplicanalgúnconceptomatemático. Rico yFernández (1987)podemosencontrar referenciasaestasactividades. (1994), Corbalán(1991,1995y1997),Muñoz,Fernández, yBueno(1995),Paulos (1996)y actividades matemáticas,engeneral, ypara plantearproblemasen particular. En Alsina En elInformedelMinisteriodeEducación,Cultura yDeporte(2012)semencionaque en Cuando unresolutorenfrentaunaactividad matemáticasondiferenteslastareasque En Blancoy(2009a,2009b),Blanco,Caballero(2010),Caballero, Frecuentemente podemosobservar librosdecuentos,novelas opelículasentrelasque La observación delasseccioneslosmediossonunafuenteabundantepara plantear rutinarios(p. 78). Razonar: Analizar, Generalizar, Sintetizar/Integrar, Justificar, Resolver problemas no ver problemas rutinarios. piado), Representar, Modelizar (p.ej. una ecuación oun diagrama, etc.), Aplicar, Resol Aplicar: Seleccionar (p.ej. una operación, oestrategia, algoritmos, método etc. apro Reconocer,Conocer: Calcular, Recuperar, Medir yClasificar/Ordenar. Referentes para pr oponer pr oblemas de matemáticas - - 103

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ManaluesUex Lorenzo J. Blanco pensamiento productivo. tos, ylastareassevan complejizandoamedidadequeelalumnodebehacerusosu de partidalastareasquehacenreferenciaalamemorizaciónyreproducciónconocimien- de Blommeincluyendo latareadecrearcomounnivel superior. Estoes,retomacomopunto der, aplicar, analizar, evaluar ycrear. Estacategorizaciónlahacemodificando Taxonomía tivo, dondeserequierequeelalumnocomprendalatareaytengaunaideapreviaclara. indica tareascapacidadesohabilidadesqueimplicanaccionesinmediatasdetiporeproduc- tizan informaciones,seestablecendeducciones,etc.,mientras queentareasdebajorango alto, dondelastareasdealtorango indicanunnivel dereflexióncognitiva enelquesesinte- la de Krathwohl (2002).Fortuny (2000) se refiere a: tareas de bajo rango cognitivo, medio y tes maneras. Por ejemplo,enlaFigura 15presentamosdoscategorias:ladeFortuny (2000)y plantear problemas,proveer, proponer, representar, sintetizar, tomardecisionesyvalidar. idear, identificar, inferir, interpretar, inventar, investigar, medir, modelizar, ordenar, organizar, modelos, diseñarestrategias, estimar, explicaroralmente yporescrito,formular, generalizar, argumentar, calcular, clasificar, comparar, completar, conjeturar, contar, convencer, desarrollar a lastareasquedebieran propiciarseenlasactividades matemáticas:abstraer, analizar, aplicar, categorización presentadaenlaFigura 15. presentamos enlaFigura 16desglosaremosdiferentestareas,lascualesubicaremossegúnla glosan lastareasquesepretendendesarrollarconlosalumnos. A traves delasituaciónque y estan vinculadas a un contexto. Esdecir, hay una situación que las define y de ella se des- nes conceptualesoprocedimentales. de bajorango Recordar Krathwohl (2002)agrupaestastareasenseis6categoríasdiferentes:recordar, compren- Todas estastareasdemandancapacidadesdiferentesyhansidocategorizadasdediferen- Por nuestra partehemosrevisadodiferentescurrículosyencontrado numerosasreferencias Como hemosvistoalolargodeestecapítulo,lastareassepresentan bajoalgúnformato Además losdiferentestiposdetareassuelenestarvinculadasconmayor fuerzaacuestio- 1 2 F Categorización de tareas según las capacidades demandadas a los alumnos alos demandadas las capacidades según 15.igura tareas de Categorización Nieto, F igura 16.igura Comprender Janeth Situación de la que se desglosan las diferentes tareas propuestas. tareas las diferentes Situación desglosan la se de que de mediorango A. Cárdenas Lizarazo 3 Aplicar Analizar 4 ? de altorango Evaluar 5 ...... Evaluar mientras queenlaFigura 18seevalúan cuestionesmásanivel procedimental. poder resolverla. Unejemplodetareaqueevalúa loconceptualsepuedever enlaFigura 17, 4.1. relaciones entrelosconceptosy/odatosquesepresentanpara podersolucionardichas tareas. 4.2. Tareas demediorango cognitivo afirmar queelresolver elalgoritmodemanera adecuadaesloqueseevalúa. identificar elalgoritmoporquesepreguntasinoésteya estádado,porloquesepuede descrita. Y, enlaFigura 18sedeberealizarlaoperación queseindica,nohay necesidadde No exigerealizarningúntipoderelaciónentrelosconceptosqueintervienenenlasituación (10x10) decir, que ______es tiene puntos, 10 tendría figura la en Así, cuadrado. un de área el si hallara como por sí mismo, y multiplicarlo figura la de número el coger al halla se figuras las de una quepuntos de compone cada cantidad la números por ser caracteriza se figuras las de una que puntos de compone cada 16, cantidad la Figura la En frase la Completa de puntos que ésta contiene. que puntos de ésta cantidad yla figura de número el entre establecer que pueden se relaciones son las cuales Describe figura. que cada puntos de tiene cantidad la saber poder para aotra cantidad una de que establece se relación la mostramos te Además puntos. de cantidad correspondiente su con figura cada de número el presenta se tabla siguiente la En Cantidad depuntos Figura Nº. En estas tareas se hace referencia a actividades que ponen en juego la memoria para LastareasqueseproponenenlasFiguras 19y20,para susolución,requierenelestablecer Como podemosver, latareadeFigura 17indagaporelnombredeunprocedimiento. Tareas debajorango cognitivo ______F igura 19.igura Tarea un nivel demanda yque indagalo cognitivo conceptual medio por 1 1 F igura 18.igura F igura 17.igura Tarea bajo de nivel cognitivo conceptual x1 Tarea bajo de nivel cognitivo procedimental 4 2 x2 9 3 puntos en total. en puntos Referentes para pr x3 16 4 x4 oponer pr 25 5 oblemas de matemáticas x5 105

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ManaluesUex Lorenzo J. Blanco haciendo dedicha tareaunaactividad compleja. en lasituaciónytareapropuesta, tienequeinterpretar, explorar, proponer, ensayar,…, evolución decadaunalasfiguras, ensurepresentacióngráficaytabular. cionar estatareaesnecesariobuscarlasrelaciones,quesepueden establecerapartirdela necesario considerar quepara resolver unatareaexistemásdeuncamino.Para podersolu - 21 sepideencontrar ydescribirlasrelacionesquesepuedenestablecerentredosmagnitudes. su respuestaestáorientadaadescribirloquesepresentaenlatabla,mientras queenlaFigura ayudan afacilitarlainformacióndelastareasqueseproponen. Así enlatareadeFigura 19 la Figura 19ysolosediferencianenlosformatosempleados.Losbrindanclaridad la tareaplanteada,yseasumencomotareasdeunaltonivel cognitivo. red deconceptosinterrelacionados,soneltipoacciónquesedeberealizarpara solucionar 4.3. llegar asolucionarlatareaconéxito. cúal eselprodedimientoalgoritmicoquerelacionaunacantidadconotra para asípoder visualizar relacionespara describirlas(Figura 20)yenloprocedimentalsenecesitareconocer algoritmico, para hacerfrentealatareapropuesta.Enloconceptualrequiereelsercapazde tos que constituye .cada una de las figuras las de una .cada quetos constituye pun de cantidad yla figuras 10 las de número primeras el que indique se la en tabla una Elabora 100? figura la tiene puntos cuántos saber para hacer puede se ¿Cómo que contiene una figura. que contiene una puntos de número el encontrar pueda se cuales las de através diferentes estrategias cuatro Enuncia contiene. que puntos de ésta cantidad yla figura de número el entre establecer que pueden se relaciones son las cuales describe matemático lenguaje del uso Haciendo Es decir, el alumnonopuedequedarsesoloconlainformaciónquesele daasimplevista La tareapropuestaenlaFigura 22requieredelacreatividad delalumno.Enellasehace Como sepuedeobservar latareapropuestaenFigura 21essimilaralatareapropuestaen La explicación/modelizacióndeunfenómenocomplejomedianteelusointegrado deuna Esto es,enestetipode tareas nobastaconmemorizarunconceptooprocedimiento Tareas dealtorango cognitivo F F Tarea indaga por lo procedimental y que demanda un Tarea nivel 20. demanda yque cognitivo medio igura indagalo procedimental por Tarea indaga por lo procedimental y que demanda un Tarea nivel demanda 22. yque cognitivo alto.igura indagalo procedimental por F igura 21.igura Tarea un nivel demanda yque indagalo cognitivo conceptual alto por Nieto, Janeth A. Cárdenas Lizarazo - — — — — — — — — — — — —  Bibliografía      Blanco%2C_C%C3%A1rdenas%2C_G%C3%B3mez_y_Caballero.pdf. Blanco%2C_C%C3%A1rdenas%2C_G%C3%B3mez_y_Caballero.pdf. http://funes.uniandes.edu.co/1951/2/2011_Aprender_Geometr%C3%ADa_ Primaria. UnaexperienciaenformacióndeMaestros.Badajoz, España: Grupo DEPROFE, 2011. BLANCO, LJ;CÁRDENAS, JA; GÓMEZ,R;CABALLERO, A. Aprender aenseñarGeometríaen triángulo? EnrevistaSuma,1997,n.25,pp.23-30. AZCÁRATE, C.Sielejedeordenadasesvertical, ¿quépodemosdecirdelasalturas deun UNO: revistadedidácticalasmatemáticas,1994,n.1,pp.37-44. ALSINA, C.¿Para quéaspectosconcretosdelavidadebenpreparar lasmatemáticas?En pp. 273-299. C. (Coord.)DidácticadelasMatemáticas.Madrid,España:Pearson. PrenticeHall,2003, CHAMORRO, C; VECINO, F. 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ManaluesUex — — — — — — — — — — — — — — — — — — — Lorenzo J. Blanco      THIO DEPOL,S.Primoyalgunosdislatessobrenúmeros. Alhambra. Madrid,1976. SHASHA, D. Lasintrigantesaventuras delDoctorEcco.Barcelona, España:Labor, 1989. SIERRA, J.ElasesinatodelprofesordeMatemáticas.Salamanca, España: Anaya, 2008. n. 145,pp.56-60. RICO, L;FERNÁNDEZ, A. PrensayMatemáticas.EnCuadernosdePedagogía, 1987, proporcionalidad. Publicaciones,2008,nº38,p.63-88. alumnos de12a14añosedadEspañayChile,enrelación conloscontenidosde PINO, J;BLANCO, LJ. Análisis delosproblemaslibrostextomatemáticas para Metatemas 44,1996. PAULOS, JA. Unmatemáticoleeelperiódico.Barcelona, España: Tusquets Editores- n. 26,pp.41-64. MUÑOZ, J;FERNÁNDEZ,BUENO, B. Eldíadelaprensa.EnrevistaNúmeros formación inicialenmatemáticasdelosmaestros.Madrid,España:2012. MINISTERIO DEEDUCACIÓN, CULTURA Y DEPORTE. Estudiointernacionalsobrela pp. 65-72. MARTÍNEZ, F. Catálogosdeprecios.Catálogoideas.EnrevistaNúmeros Madrid, España:Narcea, S.A.deEdiciones,2013. MARÍN, M. (Coord.) Cuentos para aprender y enseñar matemáticas en educación infantil. FERNÁNDEZ, A; RICO, L.Prensayeducaciónmatemática.Madrid,España:Síntesis, 1992. medida deltiempo.Números,1995,n.26,pp.37-46. FERNÁNDEZ, J; GONZÁLEZ, M. La vuelta al mundo en ochenta días y la influencia de la Autónoma deExtremadura, 2007,pp.7980-8151. el queseestableceCurrículodeEducaciónSecundariaObligatoriapara laComunidad DIARIO OFICIALDEEXTREMADURA–DECRETO-. Decreto83/2007,de24abril,por Primaria Obligatoriapara laComunidad Autónoma deExtremadura, 2007,pp.7825-7929. DECRETO 82/2007,de24abril,porel queseestableceelCurrículodeEducación Educación Matemática,1999, Vol. 11,n.1,pp.46-56. DÍAZ, MV; POBLETE, A Evaluación detiposproblemasenDerivación. EnRevistade revista Números2001,n.45,pp.33-41. DÍAZ, MV; POBLETE, A. Contextualizandotiposdeproblemasmatemáticosenelaula.En Didáctica delasMatemáticas,1997,n.12,pp.69-82. CORBALÁN, F. Notassobreprensayenseñanzadelasmatemáticas.UNO. Revistade CORBALÁN, F. Lamatemáticaaplicadaalavidacotidiana.Barcelona, España:Graó, 1995. CORBALÁN, F. Prensa,Matemáticasyenseñanza.Zaragoza, España:Miera editores,1991. Nieto, Janeth A. Cárdenas Lizarazo 1995, n.26, 1995, cuestiones, que puesta noesnueva, ya quelasorientacionescurriculares(MEC,1992)indicaban,entreotras relativos alcálculo[…]olaresolucióndeproblemas”(Decreto,2007,p.8097).Estapro- convertiría enuncontenidoespecíficoquetiene,almismotiempo,caráctertransversal. capacidad comoresolutoresdeproblemas.Deestamanera, laresolucióndeproblemas se de enseñararesolver problemasdematemáticasyayudar alosestudiantesmejorar su tenido específico(BlancoyCárdenas,2013;2014).Esdecir, indicanlanecesidad lan enelcurrículo(Ver capítulo2). del modelogeneral delaresoluciónproblemas,yquemanera muyespecíficaseseña- la realizacióndeactividades específicasquelespermitaprofundizarsobrelasdiferentesfases partidos completospara ultimarsupuestaapunto.Pero suformación,tambiénrequeriráde implicaría eldesarrollocompletodediferentesproblemas,comofutbolistanecesitajugar señalar quepara teneréxitoenunatareacomplejacomoeslaresolucióndeproblemas trabajo conlosaprendicessobreresolucióndeproblemasmatemáticas. Así, pareceobvio también jugarándiferentespartidospara ultimarsupreparación físicaytáctica. el trabajo quehaprogramado suentrenadorpara unpróximoencuentro. Y, evidentemente, ensayan lastácticas,...yparticipanensesionesdevídeospara ver suserroresopara analizar hacen carrera continua,otras veces van algimnasio,realizandiferentesjuegosconelbalón, especializados quelosfutbolistasojugadoresdebaloncestoensusesionespreparación alta competición. Así, porejemplo,podemosinformarnoslosmediosdecomunicación preparación no solo se limita a repetir mecánicamente el tipo de actividad que ejecuta en la hay muchas horas deentrenamientoduroyconstante,asumiendoqueeldeportistaensu preparación físicaymental.Enestassituacionesnosesfácilreconocerquedetrásdeeseéxito habilidades para suespecialidadydesus capacidadesgenerales enreferenciaaunabuena El currículo actual señalaque“eltrabajo matemáticodebe saber combinarloscontenidos Las propuestascurricularesactualesincluyen laresolucióndeproblemascomouncon- Pues bien,podremosutilizaréstametáfora para tratar decomprendercuáldeberíaserel Cuando vemos a un deportista triunfar en la alta competición nos asombramos de sus extracción datos de yanálisis los mismos, de forma en representación gráfica del lade situación matemática (verbalización, dramatización, discusión equipo), en facilitan la exploración yresolución problemas de como: comprensión yexpresión se brindaráse a los niños la familiarizarse oportunidad de que con procesos de Pr Modelo Lorenzo J. Blanco Nieto y Ana Caballero Carrasco oblemas de Matemáticas: MIRPM Integrado de Resolución Capítulo 7

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ManaluesUex Lorenzo J. Blanco parece prácticamentetodorastro deloselementosdelproceso. es sóloelproductofinaldelprocesoderesolución,modoque enestadescripcióndesa- sino elconjuntodeoperaciones conelqueseobtieneresultadoapartirdelosdatos, que la solucióndelproblema,indicaqueloéstosdescribenno eselprocesoderesolución, que al pedirle al resolutor que describa de forma retrospectiva lo que ha hecho para obtener proceso deresoluciónmásquepreguntarlarespuesta”(Castro et al,1995,p.28). mientos para resolver problemas.“Haciendoésto,losestudiantespuedenhablaracerca del seguido, yfavorece quelosresolutorespuedancomprenderyasimilardiferentesprocedi- viendo el problema es una buena base que permite reflexionar y discutir sobre el proceso tos para abordarelproblema.Lacomunicaciónqueseestableceentrelosestudiantes resol- debatir engrupoacerca desuspropuestas y dudas,reformularsusargumentosprocedimien- fracaso enestatareaydaráconfianzapara afrontarnuevos retos. también tienen bloqueos, vacilaciones, fallos, etc., lo que lesayudará a superar su miedo al nuevas formasdeaproximarsealproblema,percibirlo, deatacarloyconstatarquelosotros cación que anime a los alumnosa expresar sus idease intenciones, permitiéndolesdescubrir Callejo (1994)nosrecuerda al respecto que esconveniente fomentar un proceso de comuni- puede serunobjetivo alcanzable fuera de untrabajo específico de resolución de problemas. currículo. mendaciones queayudan enlaactividad docenteacumplirelobjetivo señaladoenel riencias nopuedensertrasplantadas alaula,peroenellassecontienendiferentesreco- 1996; Guzmán,1991;Pino,2013;Puig,Santos,1996,).Esevidentequetalesexpe- capacidad comoresolutores(Blancoetal,2013;Caballero,Callejo,1994;Carrillo, les para descubrirsusconocimientosyconcepcionessobrelaRPMeintentarmejorar su experiencias e investigaciones desarrolladas con alumnosy profesores de diferentes nive- con laresolucióndeproblemasmatemáticas,nosdescubrereferenciasconcretasa cionales comoelPISAo TIMSS. Al mismotiempo,unarevisióndetrabajos relacionados 2013; Puig,2008;Santos2008),aspectoquevendría refrendadoenlosinformesinterna- curriculares aunquehemosdeseñalarqueconpocoéxito(Blanco,Guerrero,yCaballero, las nuevas situacionesconprobabilidaddeéxito”(MEC,1992,p.92). estrategias, alavez queadquiereotras generales yespecíficasquelepermitenenfrentarsea Al respecto, parece pertinenete recordarla aportación de Puig (1996) según la cual indica También eltrabajo colaborativo ayuda enesteaprendizaje.Losalumnossoncapacesde Todos los trabajos asumenque el desarrollo de la capacidad de resolver problemas no Estas recomendaciones se han mantenido y desarrollado en las nuevas propuestas Conjuntamente, sesugeríaque“elalumnodebedesarrollaryperfeccionarsuspropias (MEC, 1992, p. 92). asimismo, desarrollar la capacidad persistir de la en exploración un de problema comprobación resultados de ycomunicación los mismos. de hace Se necesario, exploración mediante ensayo yerror, formulaciones nuevas del problema, problema osituación, formulación conjeturas de yverificación su de validez ono, Nieto, A na

Cab allero Carrasco 1. dades yactitudespositivas enelproceso deresolución. concretas encuadradas enelprocesogeneral queayudan alresolutoradesarrollarhabili- sus recursospara resolverlo (Carrillo,1996;Santos,2007).Losheurísticossonactividades puesto queayudan alresolutoraaproximarseycomprenderloordenareficientemente cada unadelasfases,quepuedenservirguíaenelproceso deresolver elproblema (2013) yPino(2013).Enlasdiferentespropuestassesugierenuna seriedeheurísticos,para Callejo (1994),Puig(1996),Carrillo,Santos(2007), Juidias (2007),Caballero, encontrar propuestasinteresantesenMason,BurtonyStacey(1988),Guzmán (1991), 1985a), Bransford yStein(1987),Rosenbaunetal(1989).Pero igualmente,podemos Blanco (1991,1993)seresumenlasaportacionesdePolya (1985),Schoenfeld (1980, ciones deautoresquehanestablecidoestrategias para ayudar aresolver problemas. Así, en y queresumimosenlaFigura 1. de preguntasyrecomendacionesqueacompañaríaneneldesarrollo delprocesoquepropone plan, ejecucióndelplanyvisiónretrospectiva. Al mismotiempo,elautorsugiereunaserie favorecer laenseñanzaderesoluciónproblemas:Comprenderelproblema,concebirun modelo dePolya (1985)quedistinguecuatrofaseselautorconsidera convenientes para cultades para enseñararesolver problemas,segúnlascuales y ladesconfianzaeinseguridadcuandoloscaminossoninciertos. estima yexpectativa deéxito.Ellopodríaayudar aevitarelbloqueoodesesperación inicial riencias que evidencien destrezas para abordar la resoluciónde problemas con mayor auto- los estudiantesalgunasherramientas útilespara lastareasmatemáticasyproporcionar expe- y atenerunavisiónmásampliadelasmatemáticas. resolución deproblemas,aencontrar justificaciónpara unmayor ymásorganizadoesfuerzo bajar laresolucióndeproblemas.Igualmente,ayuda alosestudiantesvalorar mejorla dades de los estudiantes que tradicionalmente han estado ignoradas con otras formasdetra- En la literatura sobre la resoluciónde problemas podemosencontrar diferentes aporta- En general, losmodelosderesoluciónproblemassebasan,fundamentalmente,enel A esterespecto,hacemosnuestras laspalabras deCallejo(1994)enrelaciónconlasdifi- Con el desarrollo delModelo General deResolución de Problemasqueremosmostrar a La experiencianoshamostrado quelareflexiónengruposobreacciónrevela capaci- Modelos GeneralesdeResoluciónProblems fundas que han conducido aellos, sus de propias partiendo experiencias (p. 67). transmitirde alos estudiantes reglas heurísticas métodos, o trucos, sino pro las actitudes estudiante adescubrir su propio estilo, sus capacidades ysus limitaciones. pues trata No se problemas algo es hacer sentido ayudar lo puede es que se muy este yen personal acada pensamiento yareflexionar ellos, sobre etc., la pero manera abordar la de resolución de matemática, dar pautas, indicaciones, ayudar alos estudiantes aexplicitar de sus procesos se pueden proponer problemas sugerentes, despertar el interés por esta actividad el esta interés por problemas sugerentes, proponer despertar pueden se Modelo Integrado de Resolución de problemas de mateáticas: MIRPM - 111

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ManaluesUex Lorenzo J. Blanco 2. cantidad deangustiaqueestésdispuestoaaguantardurante labúsquedadeunasolución. desarrollo de tu habilidad para resolver problemas está directamente relacionado con la mente sobreella.Igualmente Wood (1988)serefiereaesteaspecto cuandoseñalaqueel que deunacuestiónresueltacontodarapidez y sin dificultades,siemprequepienses seria- razonamiento. De hecho, sepuedeaprendermucho más de unintentoresoluciónfallido situación muydigna,queconstituye, además,unaparteesencialdelprocesodemejora del que podríamosaprenderesladeestaratascadoobloqueadoenunproblemauna que intentarsuperar. son algunasdelasactitudesqueGuzmán(1991)señalacomoobstáculosytendríamos retraimiento, nerviosismo,lasprisasporacabarcuantoantes,ciertadesazónantelaprueba, problemas dematemáticasengeneral. Así, elmiedoalodesconocidoyconsiguiente negativas hacialaresolucióndeproblemasque repercutirán enlaformadeabordarlos (Blanco, 1993). dros delajedrezoeldeladivisión deuntriánguloobtusánguloentriángulosacutángulos otras situaciones problemáticas. Por ejemplo, cuando planteamos el problema de los cua- tan a los resolutorescuandolassugerencias anteriores noles son suficientes para resolver 1991; Manson,BurtonyStacey, 1988)analizanlassituacionesdebloqueosquesepresen- ción alproblemaesfácilencotrarla enlared. conocimientos sobreresolucióndeproblemasyautocontrolporpartedelresolutor. Lasolu- resolver esteproblemasontodosdelnivel deprimariaperosuresoluciónexigeexperiencia, enunciado osugeriralgúnprocedimientoderesolución.Loscontenidosmatemáticospara bles apartirdealgunosdatos.Encualquiercaso,noabordanelproblemapara analizarel alumnos sequedandesconcertadosy, enalgunasocasiones,empiezana darsolucionesposi- que hemostratado enelcapítulo5. gran medidaquepodamosabordarlatereaconperspectiva deéxito.Siendoésteunaspecto matemático sinootrotipodefactores,cognitivos yafectivos, quesonlosdeterminanen mostrar quepara resolver losproblemasdematemáticasnosolosenecesitaconocimiento ficado cincofases,talcomosesintetizaenlaFigura 1. considere demanera integrada aspectoscognitivos yafectivos, yenelquese hemosespeci- tación de un Modelo Integrado de Resolución de Problemas de Matemáticas (MIRPM) que Mason, Burton y Stacey (1988) señalan que, probablemente, la lecciónmás importante Es importante la consideración de estas situaciones por cuanto provocan actitudes Complementariamente aestosmodelos,algunosautores(Blanco,1993;Guzmán, Cuando plantemoséstetipodeproblemas,comoellaFigura 8delCapítulo5,los En loscursosdeformaciónmaestroproponemosotrosejemplosmássencillospara Por nuestra parte, venimos trabajando con losestudiantespara maestro enla implemen- Modelo IntegradodeResoluciónProblems Nieto, A na

Cab allero Carrasco y autoestimaaumentarlasexpectativas deautoeficaciayéxitoenlosresolutores. ánimo seguidoenlasdiferentes fases delaresoluciónelproblema,para facilitarlaconfianza transferir elconocimientoaotrosproblemasfuturos. lo largodesuresolución,para reflexionarsobrelatarearealizadayaprenderde ello para ción delarespuestadadaalproblemamatemáticodadoyreconsiderar elprocesoseguido a volver aelloscomoelementoderepasoyestudio. ejecución delosproblemasposibilitaríaunmayor controldelprocesoasícomoquepodamos y controlandoentodomomentoelproceso.Elbuenorden la buenapresentaciónen seleccionada/s para laresolucióndelproblemamatemático,siempredesdeelorden y elrigor ayudar alosresolutoresdescubrirestrategias personales. res enlanecesidadderesolver losproblemassiguiendodiferentesprocedimientosylade pudieran plantearse. A esterespecto,recordamoslareincidenciadelaspropuestascurricula- posibles estrategias queconduzcanalasolucióndelosdistintosproblemasmatemáticos tando susobjetivos yextrayendo la información másrelevante. pudieran surgirantelaRPMyporotra, mostrar cómoanalizarunasituaciónplanteada,cap- conciencia ygestionarsusrespuestascognitivas, fisiológicas,motoras yemocionalesque estilo. Así, enlaprimera fasenosproponemos,porunaparte,ayudar alosestudiantestomar tivo general de ayudar a los estudiantes a aprender a resolver problemas a partir de su propio 4.  3.  2.  1.  5.  solución ydelproceso Examen/control dela estrategia/s Ejecución dela/s solución Búsqueda deestrategia/s de enunciado familiarización conel Análisis/comprensión y Finalmente, enlaquintafase,terminaríamosconunareflexiónacerca delestadode Obtenida la solución del problema, el objetivo de la fase cuarta sería revisar la adecua- La tercera fase mostraría características del proceso de ejecución de la/s estrategia/s El objetivo delasegundafase,seenmarca eneldiseño,descripciónyseleccióndelas En cadaunadelasdiferentesfasesseñalamosunosobjetivos específicos,siendoelobje- ¿Cómo mesiento? ¿Qué heaprendido?

F Modelo Integrado de RPM (Caballero, de 1. Integrado 2011, Modelo igura 2013).

transferencia ygeneralización... del proceso, resolver demododiferente, Analizar laconsistenciade solución y actuar conrigor, orden yprecisión... Registrar yexplicartodoslospasos, problema, enunciarsubproblemas... conocimientos previos, re-enunciar el Relacionar datos-incógnitas, contextos ycondiciones... e implícitos,deobjetivos, determinar gráficos, extraccióndedatosexplícitos Releer elenunciado,notaciones, proposición deunapequeñameta Valora tu actitud,tusavances y Modelo Integrado de Heurístic os Resolución de problemas de c Reflexiones paramodificar ontr Relajación muscular Autoinstrucciones Autoinstrucciones Autoinstrucciones su afectividad Respiración ol mateáticas: MIRPM emocinal

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ManaluesUex f 2.1. Lorenzo J. Blanco blemas. Así, inclusoenalgunos librosdetextosesugierecomorecursoidentificarpalabras primaria asociandopalabras conoperaciones quepudieran utilizarsepara resolver lospro- proponerse para primaria(Capítulo13). cien estassituacionesqueluegoacompañaremosconactividades específicasquepuedan específicos para estaprimera fase. del desconocimiento de elementos deanálisis de la situación planteada y de heurísiticos tendencia atraducir literalmente elenunciadodelproblemaaunaexpresiónmatemática, y hablan de la falta de comprensión lectora o falta de atención cuando leen el enunciado, la gración delosaspectosafectivos ycognitivos. tegias desolución. abordar latareapara comprenderelenunciadoplanteadoyayudarle adiseñardiversas estra- ideal esquecadaresolutorelaboresuspropiasautoinstrucciones,proponemosalgunascomo: al resolutormediantecomentariospositivos, preparándolepara afrontarelproblema. Aunque lo para ponerenmarcha lastécnicasdecontrolemocionalmencionadasanteriormenteyaguiar modificación ysustitucióndeautodiálogosnegativos porotrospositivos. la modificacióncognitiva através deautoinstrucciones(Meichenbaum, 1985),esdecir, dela ción muscularprogresiva propuestoporEdmundJacobson, decontrollarespiración yde referente enestafaseinicial. Jackson, 2008;Sánchez, Segovia &Miñán,2011).Invertir estasituacióndebeserunprimer Caballero, Blanco &Guerrero, 2009; Caballero, 2013; Hernández,Palarea &Socas,2001; dad, desconfianzayansiedadmanifiestanautoinstruccionesnegativas (Anderson,2007; rentes coincidenenquelosresolutores,cuandoabordanproblemas,muestran inseguri- Una delasprimeras cuestionesesdesmontarelerrordeenseñararesolver problemasen Por ello,esimportante plantearlealosestudiantespara maestrosproblemasqueeviden- Los trabajos quehanestudiadolasdificultadesdelosalumnosanteproblemasnos Es, probablemente,enestafaseinicialdondesehacemásevidentelanecesidaddeinte- Pero, almismotiempo,debemosproporcionarle diferentesheurísticosquelepermitan –  –  –  –  –  –  En estaprimera fase,lasautoinstruccionessecentran enutilizar lasemocionescomoseñal Es porelloque,antesdecomenzarelproblema,seponenenprácticatécnicasrelaja- Abordar unproblemarequiere,enprimerlugar, uncontroldelasituación.Estudiosdife- ase I. Los pensamientosnegativos nomeayudan nada. Ya loresolvíconéxitoenotra ocasión. Puedo relajarme. No hay motivo para preocuparse. Mi objetivo esafrontarlaemociónnegativa. Si mesientomalesunaseñaldequepuedoempezaraafrontarlasituación. Acomodación/análisis/comprensión/familiarización conlasituaciónplanteada Nieto, A na

Cab allero Carrasco planteada yelsignificadodelaoperación. resuelven elproblemaporlaasimilacióndepalabras oporquecomprendenlasituación a veces llevan alerrory, además,alrealizartalidentificaciónnopermitesabersilosalumnos a laoperación dedividir. Son“palabras claves” (Blanco&Calderón,1994,Puig,1996)que ‘quitar’ o‘menos’seasociaríanconlaoperación derestar, comoladerepartirseasimilaría como ‘más’,‘añadir’o‘comprar’ conlaoperación de sumar. Deigualmanera laspalabras suman cuandolesplanteamoselproblemaenunciadoenlaFigura 4. algunas situacionesquepuedanresultarengañosas. Así, observamos quemuchos alumnos primaria yenalgunosdesecundaria. docente indicaquetambiénesunarespuestatípicadelosestudiantespara profesoresde representa elnúmerodeestudiantesyPprofesores.Nuestra experiencia situación quesepresentaenlaFigura 3. veces tantos estudiantes como profesores en la universidad la en profesores como estudiantes tantos veces seis Hay afirmación: siguiente la representar EyPpara variables las usando ecuación una Escribe 14. tiene compró?” yahora ¿Cuántos más compró algunos “Abel 8cochecitos, tenía me quedan?” ¿Cuántos menos 8. yme todos como los “Tengo caramelos 20 casa hasta la pescadería? la hasta casa mi desde hay ¿Cuánto colegio. al pescadería la de 300 pescadería, a la casa mi de metros 200 Hay Así, esinteresanteanalizarproblemascomolosenunciadosenlaFigura 2. La tendenciaatraducir literalmente losenunciadosdeproblemasproduceerroren –  –  –  Para trabajar estosproblemasindicantresniveles decompresiónlosenuciados: En eltrabajo citadolosautoresresaltancomotípicarespuestaincorecta:6E=P, dondeE Pero tambiénpodemosretomarlaaportacióndeLockead yMestre(1988)alplantearla Comprensión conceptual.Expresarloanteriormediantealgunaexpresiónmatemática. verbalizarla. Comprensión cuantitativa. Saberlarelacióncuantitativa entrelasvariables, ysaber Comprensión cualitativa. Acerca delsignificado deltexto. F Problema propuesto por Lockead y Mestre (1988). Lockead yMestre por propuesto Problema 3. igura F Problema aditivo traducción Problema 4. compleja. de igura F Problemas propuestos enprimaria. propuestos Problemas 2. igura Modelo Integrado de Resolución de problemas de mateáticas: MIRPM 115

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ManaluesUex Lorenzo J. Blanco representación ynotaciónparecenimportantes(Figura 5). este recursoenmuchos problemas. Ponemos para ellodosejemplosdeproblemasdondela sucede enelcasodegeometría. para analizaryresolver losproblemas,aúncuandosehabladefiguras específicascomo fiesto sudificultadyfaltadecostumbreenlautilizaciónlasrepresentacionesnotaciones al tercer comensal. trivial delrepartoendosotresmonedasquenoesproporcional alaaportaciónde cadauno (Figura 6). dictoria con lo que resulta cuando hacemos una adecuada representación del problema nos problemasqueevidenciansuimportanciaalintuirlosalumnosunarespuestacontra- insistir ya quenuestros estudiantesapenaslautilizan. Y esporelloqueproponemosalgu- • • las monedas los dos primeros? dos los monedas las distribuirse deberían ¿Cómo ellos. entre repartan que la se para monedas cinco da les amigos sus de generosidad ala agradecimiento en pero comida, que no aporta tercero un llega comenzar Al tres. segundo yel panes dos aporta primero El que tienen. comida la acompartir van personas Dos  Por ello,esimportantetrabajar esteaspectopara ponerdemanifiestolaimportacia El análisisdelosestudiantes para maestro cuando resuelven problemasponedemani- En dicho problema,lamayoría delosestudiantesquedicenresolverlo aceptanlasolución La importanciadelarepresentacióngrafica omanipulativa esalgoenloquedebemos solución procedimiento ydel la de seguro por qué estás eindica figura siguiente la de triángulos de número el Calcular pared? la de cima la alcanza en tarda días ¿cuántos uno, resbala noche ypor la metros dos sube día por el metros, cinco de pared una sube Un caracol Nieto, F Problemas que requieren especial cuidado su especial solución. al en buscar requieren que 5. Problemas igura A na F

Cab Problemas de distribución de panes ymonedas. distribución panes de de Problemas 6. igura allero Carrasco adecuada acadacaso. diantes investiguen ydiseñendiferentesestrategias yquesepanidentificar yutilizarlamás reflexionen sobreestasegundafase delModeloGeneral. Por ello esimportantequelosestu- currículo deprimaria,muestran laimportanciadequelosestudiantesexperimenten y seguido” olasmúltiplesreferenciasala“elaboración deestrategias personales”queindicael segundo paso.Lasreferenciasalaimportanciade“expresión,oral yescritaenelproceso fase, algunasdelasautoverbalizaciones positivas propuestasson: centran enelafrontamientodelasituaciónyguiarproceso.Durante éstaylatercera relajación yrespiración muscular. Encuantoalasautoinstrucciones,enestasegundafasese nitivas, emocionalesyfisiológicasnegativas, handeseguirpracticándose lastécnicasde criban yreflexionensobreellas. gias desolución. Y, para queellopuedadesarrollarseesimportantelosestudiantesdes- f 2.2. dolos ensutareacomoresolutores: esta primera fasequedebieran considerarse enclasepara quelosestudiantesfueran asumién- En elCapítulo2hemosanalizadoloquecurrículoseñalasobre laimportanciadeeste –  –  –  –  –  –  –  –  Al igual que en laprimera fase,en el caso deque se sigan produciendo respuestas cog- El análisisdelosproblemasdebeguiaralresolutoradiseñaroescogerdiferentesestrate- – – – – – – – – – Los trabajos sobreresolucióndeproblemasnosaportanunarelaciónheurísticospara ase II.Búsqueda/diseñodeestrategia/s desolución Analizar elcontextoyconceptosprocesosexplícitoseimplícitos. Si loheconseguidoenotras ocasionesahora tambiénpuedohacerlo. Puedo mantenerlatensióndentrodelímitesmanejables. Me concentraré enlatarea. Si cometoerroresesnormal,puedocorregirlos. Si estoy tenso/a,respiraré profundamenteymerelajaré. Si nopiensoenelmiedolotendré. Puedo hacerlo,dehecho loestoy haciendo. Voy amantenerelcontrol. Delimitar elobjetivo delproblema. Ejemplificar casosespeciales. Descomponer elproblemaenotros,sielloesposible. Determinar datos(explícitoseimplícitos)ycondicionesdelproblema. Seleccionar elmaterialadecuadoodisponerdeunmodelomanipulativo. Introducir notación,gráficos,diagramas, ...adecuados. Expresar elenunciadoenotrostérminosoformularloconotras palabras. Releer elenunciadoeimaginarmentalmentelasituación. Modelo Integrado de Resolución de problemas de mateáticas: MIRPM 117

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ManaluesUex Lorenzo J. Blanco (Santos, 2007,p.47). seleccione yuseestrategias comúnmenteusadasporlosmatemáticosalresolver problemas” que lepermitanidentificarenquésituacionesutilizarlas”(p.47). de ciertasestrategias, sinoquetambiénesimportantedesarrolleunaseriedehabilidades manera son,claramente, incorrecta. “2 x3=6+410”,quesecorresponden conunaformadehablar, pero queescritasdeesa en losqueéstosresuelven losproblemas. Así, podemosencontrar expresionescomo problemas ensuscuadernosmuestra unaciertadesorganizaciónyfaltaderigorenlos modos f 2.3. que seejemplificanencadacaso. accesible aunospocos”(Santos,2007,p.48). cia deque “resolver problemasesunactodeseleccionar una seriede‘trucos’ que sólo son Así losubrayan tambiénlosestándarescurricularescuandoseñalanque Igualmente, indicaque“aprendermatemáticassignificaelestudianteidentifique, Santos (2007)señala“nosolamenteesimportantequeelestudianteconozcalaexistencia La observación deltrabajo delosalumnosprimariaysecundariacuandoresuelven –  – – – conjeturar. Estimar, – – – – Algunos heurísticospara estasegundafase: En Santos(2007,pp.74-80y174-176)seidentificanmétodosderesoluciónproblemas La manera deprocederenlaresoluciónproblemasprovoca enlosestudianteslacreen- ase III.Ejecucióndela/sestrategia/s ciones iniciales. Asumir elresultadoytrabajamos apartirdelmismo,para relacionarloconlascondi- Argüir porcontradicción. Partir de casosparticulares. Descomponer elproblemayenunciarsubproblemas. variables). Simplificar (descartandocasos,eliminandocondicionesimponiendoalas Buscar larelacióndatos–incógnitas,yconlascondicionesdelproblema. variables. Recordar yexplorar problemassimilaresenforma,datosoconclusionesconmenos de patrones yla patrones de reconstrucción un de problema 1991, (NCTM, p. 22). la elaboración tablas de ylistas ordenadas, la elaboración diagramas, de la búsqueda resolución. Entre ellas incluyen se materiales el de uso manipulativos, el ensayo yerror, docencia que los niños es desarrollar de capaces sean yaplicar estrategias para su uno los objetivos de principales resolución del enfoque de problemas de para la Nieto, A na

Cab allero Carrasco f 2.4. estrategias para resolver lassituacionesplanteadas. una buenapresentacióndesutrabajo. proceso comodelosresultadosalcanzados,fomentandoenelloselinterésporlalimpiezay aspectos yrecalcalanecesidaddeincidirenunapresentaciónclara yordenada,tantodel buenos resolutoresdeproblemas. manera, señalamoscuatroaspectosquenosparecendebieran tenerseencuenta: vayan controlando,entodomomento,elprocesoderesoluciónproblemas.Deesta puede suscitarenelproblemaqueaparecelaFigura 7. de lasoluciónobtenidadebeserreferenciaobligadapara evitarsituacionescomo la quese problema comodelpropioprocesoderesolución.Larevisión enunciado,delprocesoo bilitar elmejoraprendizajedelalumno,tantodelosconceptosmatemáticos implicadosenel el capítuloIVpara laresolucióndeproblemas,debensertenidasenconsideración para posi- enseñanza delaheurística,bienrespectoalgúnprocedimientoalgorítmico. la presentacióndelproblema,bienrespectoadeterminadosconceptos, necesidad derecordareinteraccionar conlosalumnosrespectoaobjetivos planteadosen chamiento de la actividad realizada para futuros ejercicios. A este respecto, señalamos la todo cuandoentrenuestras metasestáladeenseñararesolver problemas. necesidad deexplicitarentodomomentolosobjetivos ymetodologíadesarrollada,sobre necesitan? se autobuses ¿Cuántos plazas 40 de autobuses en 147 de Un excursión de grupo ir quieren niños Es tambiénenestepasocuandodebenconsiderar laelecciónyusodelasdiferentes También elcurrículo,comosemuestra enelcapítulo2,indicalaimportanciadeestos La actuaciónacordeaestoscuatroaspectos,lesayuda aoptimizarsusrecursospara ser – – – – Los trabajos sobreresolucióndeproblemasindicanlaimportaciaquelosresolutores Las preguntasycuestionesquesesuscitabanencualquiera delosprocesosseñalados en La manera definalizarelproblemaseráunfactordecisivo queposibiliteonoelaprove- Un aspectoqueresultanecesariopara queelaprendizajetengalugarhacereferenciaala ase IV Actuar conrigor, ordenyprecisión. Controlar elestadodelaejecución. Resaltar loslogrosintermedios. Registrar yexplicartodoslospasos. . Análisis delprocesoydelasolución F igura 7.igura la la revisar de coherencia solución. requiere que Problema Modelo Integrado de Resolución de problemas de mateáticas: MIRPM 119

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ManaluesUex Lorenzo J. Blanco f 2.5. autoinstrucciones propuestasenestesentidoson: gidas queelresolutorseelogieporhaberseenfrentadoalasituación. Así, algunasdelas que hahecho, cómolohahecho yporquésusaccionessonlasapropiadaspara esasituación. respuestas dadasseancorrectas.Loestarásielresolutorcomprendeyescapazdeexplicarlo tados. Al respectosepropone: u objetivo aconseguirenelsiguiente problemaalqueseenfrente. éxito ydeautoeficacia,etc. cognitivo-emocionales anteestatareamatemática,siven aumentadassusexpectativas de si sus actitudes hacia la RPM han mejorado, sihan sido capaces de gestionar las respuestas modo, sehadereflexionaryvalorar losavances conseguidosanivel personal,determinando emociones yelesfuerzosuscitadoenlosdiferentesmomentos delproblema.Delmismo tud, laansiedad...anteRPM. tico, seincluyen otras metasdecarácterpersonalrelacionadasconelautoconcepto,laacti- fase, puestoqueenlarealizacióndelproblema,ademásdelas metas decontenidomatemá- cación personal del resolutor a lo largo del problema. Esto último es la finalidad de la quinta del problemaasícomotambiéndelasoluciónobtenidamismo,seharevisarimpli- –  –  –  –  –  Respecto alasautoinstrucciones,despuésdeabordarelproblemamatemático,van diri- Es decir, laactividad deresoluciónproblemasnoestáenteramente concluidaporquelas Revisar lasoluciónobtenidaycoherenciademisma. Revisar losconceptosimplicados. Revisar elproceso. Revisar elenunciadoyobjetivo delproblema. Esta conclusiónponeenevidencialanecesidaddeestudiarinterpretaciónlosresul- En estecaso,suelenconcluir:sólonecesitaríamos3autobuses. Como esunproblemadedividir, resolveríamos: 127:40=3,ysobran 7. Además, en función de este análisis, los resolutores han de proponerse una pequeña meta Así, enestaúltimafasedelmodelointegrado deRPMhanvalorarse lasactitudes, Al igualquelacuartafasedelmodelosecentra enlarevisióndelprocesoderesolución ase lo importante. Me hedadolaoportunidaddeaprender, mehaya salidocomomehaya salidoyesoes Tengo quedecirleamicompañerolobienhehecho. Puedo disminuirlaansiedadrelajándome. La próximavez notendréquepreocuparmetanto. Lo conseguíoporlomenosheintentado. V . ¿Cómomesiento?¿Quéheaprendido? Nieto, A na

Cab allero Carrasco — — — — — — — — — — — — Bibliografía     Handbook ofLifelongLearningDevelopments. Nova SciencePublishers.2009,pp.265–287. dimension oflearningandteaching mathematicsandscience.EnCALTONE, MP(Ed): BLANCO, LJ;GUERRERO, E;CABALLERO, A; BRÍGIDO, M;MELLADO, V. The affective vol10no1and2/13-Blanco-et%20al_pp335_364.pdf. Vol. 10, n.1y2,pp. 335 – 364. Recuperado de: http://www.math.umt.edu/tmme/ Solving with Prospective Teachers. En The Mathematics Enthusiast, 2013 - Special Issue, BLANCO, LJ;GUERRERO, E;CABALLERO, A. Cognitionand Affect inMathematics Problem España: Univérsitas, 1993. BLANCO, LJ.Consideraciones elementalessobreresolución deproblemas.Badajoz, Universidad deExtremadura, 1991. de E.G.B., yestudiantespara profesores.Cáceres,España:ServiciodePublicacionesla BLANCO, LJ.ConocimientoyacciónenlaenseñanzadelasMatemáticas,profesores Versión delaserie: Problemsolvingtipforteachers. PharesG.O’Daffer, 1989. C.E.P. DE VILLARROBLEDO. Resolucióndeproblemas:Consejospara losprofesores. Universidad deGranada, 1995. CASTRO, EET AL. Resoluciónde problemasenel Tercer CiclodeE.G.B. Granada, España: Escuela, 1995,n.25,pp.79-86. CARRILLO, J.Laresolucióndeproblemasenmatemáticas. EnrevistaInvestigación enla CALLEJO, ML.Unclubmatemáticopara ladiversidad. Madrid,España:Narcea. 1994. Recuperado de:http://dehesa.unex.es:8080/xmlui/handle/10662/590. Inicial. Tesis doctoral Inédita - Universidad de Extremadura, Badajoz, España: 2013. Control Emocional yResolucióndeProblemas Matemáticos para MaestrosenFormación CABALLERO, A. Diseño, Aplicación yEvaluación de unPrograma deIntervención en INFAD_020123_45-54.pdf. pp. 45-54. Recuperado de: http://infad.eu/RevistaINFAD/2011/n2/volumen1/ Developmental andEducationalPsychology, INFAD RevistadePsicología,2011,vol. ,n.1, y controlemocionalconmaestrosenformacióninicial.EnInternationalJournal of CABALLERO, A. Descripcióndeunprograma deintervención enresolucióndeproblemas BRANSFORD, J;STEIN,B. SoluciónIDEALdeProblemas.Barcelona, España:Labor, 1987. de formaciónmaestros.EnrevistaEducaciónMatemática,1995, Vol. VII, n.3,pp.5-26. BLOCK, SD;DÁVILA, VM; MARTÍNEZ, FP. Laresolucióndeproblemas:Unaexperiencia –  –  –  –  Algunas sugerenciasalrespectoson: Proponte unapequeñametaaconseguirpara elsiguienteproblemaqueseteplantee. Piensa quéavance hasconseguidoalresolver esteproblemaconrespectoaotros. Medita sobreelesfuerzoquehashecho. Valora laactitudquehastenidoalenfrentarteproblema. Modelo Integrado de Resolución de problemas de mateáticas: MIRPM 121

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ManaluesUex — — — — — — — — — — — — — — — — — — Lorenzo J. Blanco

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Cab allero Carrasco - - - 1. referencia queestánapareciendoenlared.O, almenosenlaamplituddeseada. docente que sedesarrollaenlos centros de enseñanza primaria. Y tampocoenlas numerosas gación, encuentran pocoecoenloslibrosdetextos,cuadernillosproblemasylaactividad estudios sobreello,frecuentementeconsiderados enartículosylibrosdeinvestigación odivul- que debieran serconsideradas enlarealidadescolardiaria(BlancoyCalderón,1994).Los nes aritméticasyresolucióndeproblemasaritméticos,dandolugaraconclusionesinteresantes enseñanza-aprendizaje enrelaciónconelaprendizajedelosprimerosnúmeros,lasoperacio - exclaman satisfechos. adelantos desushijoscuatroocincoañosconlosnúmeros.¡Mihijoya sabelosnúmeros!, me identificocomoprofesordematemáticas,muchos padresmecuentanalborozadoslos de lasprimeras referenciaspara evaluar elaprendizajeescolardenuestrospequeños.Cuando dividir) ylasdelectura yescritura constituyen enlosprimerosniveles delaenseñanzauna analicen lasituaciónqueseles plantea. de diferentemanera cuandosetrabaja enclase.Elloseríaasísinosinteresaquelosalumnos nes diferentes.Ello,implicaríanecesariamentequeesosproblemas debanserconsiderados cantidades y sugiriendo el mismo algoritmo para su solución, pero que representan situacio- si elalumnohacomprendidolasituaciónqueseleplantea. ción planteada.Suevaluación serámásenfuncióndesielalgoritmoestábienresueltoque escolares planteadosenlasaulasseenuncianpensandomás elalgoritmoqueenlasitua- problemas y darle significadoa las operaciones implicadas.Sinembargo, los problemas sentada enelenunciadodelproblemadebeserunelementonecesario para comprender los determinados yquetransmitimos conlenguajeespecífico.Estareferenciaalasituación repre- mética lohacemospensandoenunasituacióncotidianaquese desarrollaentiempoylugar 1990; BermejoyRodríguez,1991;BlancoCalderón,1994;Castro,RicoGil,1992. múltiples publicacionesyautores,entreellasPuigCerdán,1988;Maza,1989;Bermejo, Diversas investigaciones eneducaciónmatemáticahanprofundizadolassituacionesde Las actividades conlasoperaciones aritméticaselementales(sumar, restar, multiplicary En relaciónaello,podríamosformulardiferentesproblemas conteniendo lasmismas Cuando proponemosunenunciadodeproblemaconreferenciaaunaoperación arti- Cuando buscamosestudiossobrelosproblemasaritméticosescolares(PAE) encontramos lenguaje Los problemasrepresent Lorenzo y Janeth J. Blanco Nieto, Ana Caballero Carrasco A. Cárdenas Lizarazo Los pr oblemas an situa Capítulo 8 aritméticos escolar ciones quese transmiten conun 123

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ManaluesUex Lorenzo J. Blanco ven conelmismoprocedimientoalgorítmico:3+4=?. nal ymecanicista,suelenhacer unatraducción directa delprocesoverbal alaexpresión importancia. Hay que recordarquelosalumnoscondicionadosporunaenseñanza tradicio- realiza, eimprescindiblepara laevaluación. riencias. Deestamanera, ellenguajedebedeservehículo deexpresiónlaactividad que debemos procurar quelosalumnosexpresenconclaridadyentérminosprecisos sus expe- gen, etc)quelosalumnosdeprimariaestánadquiriendoenese momento.Por otra parte, misma operación demultiplicar. Así, presentamoslostresenunciadospresentadosenlaFigura 2: nen porquésertodosiguales. resuelven conlamismaoperación, einclusoteniendolosmismosdatosyresultados,notie- diferentes para cadaejemplo.Estaideanosdebellevar aasumirquelosproblemasse comprensión delenunciadoporpartedelosalumnos,representaríamos‘obras deteatro’ ducen situaciones distintas. Si quisiésemos dramatizar la situación en clase para favorecer la F Problemas que presentan diferentes situaciones que se resuelven con la con resuelven misma situaciones multiplicar. de se que operación diferentes presentan que Problemas 2. igura caramelos tienecaramelos Helia?” ¿cuántos Helia, como tener tantos para más caramelos Ycompró cuatro caramelos. “Abel tres tenía Helia?” tiene caramelos ¿Cuántos que Abel. más caramelos cuatro tiene yHelia caramelos, “Abel tres tiene juntos?” dos los entre tienen caramelos ¿Cuántos caramelos. cuatro tiene y Helia caramelos “Abel tres tiene ahora?” tiene caramelos ¿Cuántos caramelos. compró cuatro caramelos, “Abel tres tenía cuántas formas distintas puede vestirse?” puede distintas formas cuántas ¿de vez, cada pantalón y un camisa Si pone se una pantalones. y tres 10“Hugo tiene camisetas Hugo?” tiene camelos ¿Cuántos que Ana. caramelos más veces tres tiene Hugo “Ana 10 tiene caramelos. Hugo?” tiene caramelos ¿Cuántos 10 tiene paquete caramelos. Cada caramelos. de paquetes tres “Hugo tiene Así podremosconsiderar losejemplossencillosenunciadosenlaFigura 1queseresuel- Por todo ello, el lenguaje y la estructura linguística del problema adquiere singular Todas estas situacionesse comunican a través de un lenguaje (oral, escrito, gráfico, ima- Pero tambiénpodemosencontrar ejemplosdesituacionesdiferentesqueseresolverían conla Estos ejemplosmuestran enunciadosqueseresuelven conlamismaoperación perotra- F Problemas que presentan diferentes situaciones que se resuelven con el mismo con algoritmo. resuelven situaciones se que diferentes 1. presentan que Problemas igura Nieto, A na

Cab allero Carrasco, Janeth A. Cárdenas Lizarazo inducidos porelvocablo ‘menos’ylaacciónde‘comer’. encontremos queungrupoimportantedeellosda12caramelos comosoluciónalproblema, estudiantes para maestrounarepuestarápidaanteelproblemaenunciadoenlaFigura 3,nos propias aulasyenalgunoslibrosdetexto. la resta,ode‘repartir’adivisión. Estasasociacionessefomentanerróneamente,enlas asocian alaoperación desumar. Otras palabras como‘menos’o‘comer’queseasociaríana (Puig yCerdán,1988,p.116). significado queatribuye ala‘palabra clave’ conqueseencuentra alrecorrerelenunciado” ción secuencialenelquesujetodecidelaoperación quetienerealizarenfuncióndel fundamentalmente por medio de palabras claves. Imaginan, por tanto, un proceso de traduc- investigadores parecenpensarquelacorrespondenciaentreamboslenguajesseestablece correspondiente al problemasin plantearse previamente el significado del mismo.“Algunos enseñanza delasmatemáticas,provoca enlosniños unaobsesióndebúsquedadelalgoritmo forma oral oporescrito.“Maestro,¿esteproblema,esdesumar?”. matemática, teniendoescasamenteencuentaelsignificadodelproblemaplanteadode disminución delacantidad. tamente mediantelaoperación: 8-3=5,inducidosporlapalabra “comió”,quesugiere respuesta incorrecta. de sumar: 3 + 7 = 10. Las palabras ‘compró’ y `más’ inducen a la operación suma, dando una Figura 4,nosencontramos quealgunosalumnosresuelven esteproblema conlaoperación Miguel tenía 8 caramelos, se comió algunos y ahora tiene 3. ¿Cuántos comió? 3. ¿Cuántos tiene yahora algunos comió se 8caramelos, tenía Miguel 7, tiene yahora compró? más ¿cuántos compró algunos caramelos, tres tenía Miguel me quedan? ¿Cuántos menos 8. yme todos como los Tengo caramelos 20 Esta rutina de asociar palabras claves a operaciones, provoca que cuando forzamos a los Así, nos encontramos con algunas asociaciones como ‘dar’, ‘comprar’ o ‘más’ que se La mayor importanciadadaalosprocesosalgorítmicossobreconceptuales,enla Pero, siproponemos elproblemaenunciadoenlaFigura 5,los niñosresolverán correc- De manera similar, siplanteamosalosalumnosdeprimariaelproblemaexpuestoenla F igura 5. Enunciadoigura palabra con clave sugiere disminución que cantidad. de F F igura 3. Enunciado 3. claves palabras con igura inducen ala que resta. igura 4. Enunciado 4. clave palabras con igura inducen ala que suma. los problemas aritméticos escolares 125

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ManaluesUex Lorenzo J. Blanco por ejemplo,propusolosdosproblemaspresentadosenlaFigura 6aalumnosde79años. respondían, para ejemplificarqueellenguajeylaacciónrepresentadasonfundamentales. Así, ret,1977) dabaunaseriedeenunciadossimilaresyseñalabalosporcentajes dealumnosquelos y debatiendosobresussemejanzasdiferencias. que trabajamos. manera, quenosotrosproponemoscomotrabajo alosestudiantespara maestro(EMP)conlos en relaciónalaoperación implícitaenelenunciado. enunciados supone,asímismo,unadificultadañadida,comoloes,elordendelosnúmeros La utilización incorrecta de los tiempos de los verbos o el abuso de los adverbios en los problemas implicaríaunacapacidaddeductiva quealgunosalumnos,porsuedad,notienen. manera ordenadaono.Elusodelcondicional(Si…entonces..)enlosenunciadosde presente yfuturodelosverbos indicaunasecuenciadehechos quepuedepresentarsedeuna términos empleadosylaestructura delenunciadotienenmucha importancia. Así, elpasado, situación planteadaquevienereferidaentérminosdeespacioydeltiempo,porlolos familiarizados conlosfrancos peronocon loskilómetros(Mialaret,1977,39). en elsegundosemantienedel35,5%al66,5%.Era evidentequelosniñosestabanmás F Enunciados que evidencian que el lenguaje y la acción representada son fundamentales (Mialaret, 1977). Enunciados 6. fundamentales evidencian que son el lenguaje que igura yla acción representada “Un ciclista recorre 12 Km en una hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en tres horas?” tres en recorrerá kilómetros ¿Cuántos hora. una en 12 Km recorre “Un ciclista uno?” cada a12 francos lápices tres “¿Cuánto cuestan “Si tengo siete caramelos y me como cuatro, ¿cuántos tengo?” ¿cuántos yme cuatro, como caramelos siete “Si tengo que siete los de tenía?” me quedarán caramelos ¿cuántos caramelos, “Me cuatro como tengo?” ¿cuántos caramelos me cuatro como “Tengo caramelos, siete tendré?” ¿cuántos siete, tenía caramelos, “Me cuatro como tendré?” ¿cuántos que siete los de tenía, caramelos “Si me cuatro como me cuatro?” como que siete si de tenía me quedarán, “¿Cuántos caramelos cuatro?” si me he comido me quedan ¿cuántos “Tenía caramelos, siete me quedarán?” ¿cuántos yme cuatro, como caramelos siete “Si tengo me quedan?” ¿cuántos yme cuatro, como caramelos siete “Si tengo me quedan?” ¿cuántos cuatro, me comí “Tenía caramelos, siete Ya MialaretensulibroLasMatemáticas.Cómoseaprenden.enseñan,(Miala- Así, lesproponemosqueanalicenlosenunciadospresentadosenlaFigura 7,mostrando Para ejemplificarestasaportacionesvamos aenunciarunamismasituacióndediferente Ya hemosseñaladoquelacomprensióndelproblemaimplicaunarepresentaciónde Los porcentajes delprimeroestánentreel56,3%y79,6%segúngrupos,mientras que F igura 7.igura ydiferencias al enunciar las semejanzas una Enunciados misma sobre debatir para situación. Nieto, A na

Cab allero Carrasco, Janeth A. Cárdenas Lizarazo 2. para quelastratemos conmayor cuidadoeintensidadenlas actividades delaula. son expresionesusualesenellenguajecotidianoloquedebemos recordaressudificultad variables nodebeimplicarsueliminacióndelosenunciadosquepropongamos.Puesto sentan unamismasituaciónseanigualesypresentenlasmismasdificultades. en eltrabajo conlosproblemasescolares,quehacennotodosenunciadosrepre- Combinación, deComparación ydeIgualación. (1994), planteancuatrotiposdeproblemasestrucutra aditiva: ProblemasdeCambio, chaffel (1985);PuigyCerdán(1988);Maza(1989,1991a);Blanco(1989);Calderón aditiva. Así, autores como Heller y Greno (1978); Carpenter y Moser (1983); De Corte y Vers- Finalmente, queremos indicar que las dificultades señaladas por el uso de determinadas – – – – –  – – – – – – Así señalamosalgunasdeellas: El análisisdelosenunciadosnosdescubrendiferentesvariables quedebemosconsiderar Diferentes autoreshantrabajado acerca delaclasificaciónlosproblemasestructura Los problemasdeestructr aditiva para comprenderelenunciado. El usodetérminosconocidos/desconocidosporlosestudiantesestambiénunreferente La secuenciaestablecidapara mostrar lahistoriadelenunciadoesimportante. o dificultanlacompresióndelproblema. Las formasdepresentaciónconcreta(escrita,gráfica,textoslargosono,etc.)favorecen planteadas. uso delcondicional)sonvariables importantespara lacomprensióndelassituaciones Las formasgramaticales implicadasenelenunciado(tiempodelosverbos, adverbios o rentes términosoexpresioneslingüísticas. referida entérminosdeespacioydeltiempo,loquesecomunicaconelusodife- La comprensióndelproblemaimplicaunarepresentacióndelarealidadqueviene comprensibles. Una misma situación puede ser enunciada de maneras diferentes, no todas igualmente seguida enelenunciadoyordendelosnúmerosesunaspectoimportante. La estructura deltextopuede condicionar la resolución deproblema. Así, la secuencia mética. Enalgunoscasosinduciendoalerror. Existen ‘palabras clave’ que inducen a los alumnos a una determinada operación arit- una operación yestrategia ensuresolución. Los “problemasdesumaryrestar”,o“multiplicardividir” puedenimplicarmásde de lasituaciónplanteadaydelanálisisquehagamosello. La compresióndelproblemavienedeterminadaporlarepresentaciónquerealicemos la dificultaddecompresiónlosenunciados. La operación aritméticaqueresuelve elproblemanoeselementoquedebadefinir los problemas aritméticos escolares 127

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ManaluesUex cantidad, comoeldelaFigura 8. 2.1. Lorenzo J. Blanco dificultad para lacomprensióndelproblema. morfa alasecuenciacióntemporal queresultaríadeladramatización real,loquesupone namos lasdosprimeras secuenciasylaestructura presentadaenelproblemaya noesiso- mento delacantidadinicial. melos). Elloprovoca dostiposdeproblemascambio. (Paloma comprócaramelos) oaunadisminucióndelacantidadinicial(Paloma regalócara- enunciado delproblemaanterior. enunciado estableciendounordendiferente.Ellodarálugaraunanueva estructuración del y quesereflejaeneltiempodelosverbos. Noobstante,podríamosalterar lasecuenciadel a lacantidadfinalresultante(¿Cuántosdequedan?). que dalugaraunatercera secuenciaque,enesteenunciado,contienelaincógnitayserefiere secuencia expresaunaacción(secomiótrescaramelos) quemodificalacantidadinicial,y nada porloscaramelos queteníaPaloma (Paloma teníasietecaramelos). Unasegunda Paloma tenía siete caramelos, se comió tres caramelos, ¿Cuántos le quedarán? ¿Cuántos caramelos, tres comió se caramelos, siete tenía Paloma Paloma se comió tres caramelos de los siete que tenía, ¿cuántos le quedan? ¿cuántos que siete los de tenía, caramelos tres comió se Paloma Los problemasdecambiosonaquellosenlosqueunsucesocambiaelvalor deuna Problemas deCambio-uniónsonaquellosenlosquelaacción realizadaoriginaunincre- La acciónquemodificalacantidadinicialpuedellevar aunaumentodelacantidad Así, podríamoshaberloplanteadocomosepresentaenlaFigura 10.Enestecaso,alter La secuenciaseguidaenelejemplodelaFigura 9eslanormalenconsideración altiempo Destacamos enestosproblemastressecuenciasrepresentadaslaFigura 9. En el enunciado presentado consideramos una secuencia y una cantidad inicial determi- Problemas deCambio Paloma tenía 7caramelos tenía Paloma DE PARTIDA DE SITUACIÓN Cantidad A Cantidad Nieto, A na

F Esquema que presentan los problemas de cambio. de problemas los presentan que 9. Esquema igura

Cab F F Problema de estructura aditiva II. cambio de 10. estructura de Problema igura Problema de estructura aditiva I. cambio de estructura de Problema 8. igura allero Carrasco, Se comió 3caramelos comió Se ORIGINA EL CAMBIO EL ORIGINA QUE HECHO Cantidad B Cantidad Janeth A. Cárdenas Lizarazo ¿Cuántos le quedarán? ¿Cuántos FINAL SITUACIÓN Cantidad C Cantidad - 2.2. y laaccióndeentrar osalir. enunciar losseistiposdeproblemasconsiderando elnúmerodecoches deunaparcamiento cantidad delibrosoárbolesquequedaran alfinal.Podríamos plantearcomoactividad principio, lacantidaddelibrosquehemoscolocadooárbolessehansecado, de árbolesenel parque, podemosdesconocerlacantidad de librosoárbolesquehabía al la situaciónquenospuedarepresentarcolocacióndeloslibrosenestanteríaoelnúmero plantear diferentessituacionessegúnsituemoslacantidaddesconocida. Así, enreferenciaa esta asociaciónnoescorrecta. ‘el problemaseríaderestar’.Unsomerorepasolosejemplosanterioresnosmuestra que nos apesarquesilacantidadaumentaelproblema‘seríadesumar’ydisminuye son consideradas separadamente oencombinación,comolosdelaFigura 13: nuida debidoalaacciónrealizada. “Se han secado 10 árboles de un parque y ahora sólo quedan 20. ¿Cuántos árboles había al principio?” al había árboles ¿Cuántos 20. sólo quedan yahora parque un de 10 árboles secado han “Se quedarán?” árboles ¿Cuántos 10 árboles. secado han yse árboles 30 había parque “En un secado?” han se árboles ¿Cuántos 20. ysólo quedan árboles 30 había parque “En un inicio?” al había libros ¿Cuántos 20. hay yahora estantería una en 8libros colocó “Jaime Jaime?” colocado ha libros ¿Cuántos 20 hay 12 yahora libros había estantería “En una total?” en habrá libros ¿Cuántos más, 8libros coloca 12 Jaime hay libros, estantería “En una “Entre Paula y su prima Mirian tienen ocho globos. Paula tiene cinco, ¿cuántos tiene Mirian?” tiene ¿cuántos cinco, tiene Paula globos. ocho tienen Mirian prima ysu “Entre Paula juntos?”. dos los entre tienen ¿Cuántos tres, tiene Joan primo ysu globos cinco tiene “Iván Recordando lostresestadosdelesquemaanterior(inicial,intermedioyfinal)podemos Los problemas de combinación representan una situación estática donde dos cantidades La diferenciaciónentreproblemasdeCambio-UniónyCambio-Separación, podríallevar Problemas deCambio-separación sonaquellosenlosquelacantidadinicialseve dismi- Problemas deCombinación F Problemas de estructura aditiva cambio-separación. de 12. estructura de igura Problemas F F Problemas de estructura aditiva 11. cambio-unión. de igura estructura de Problemas Problemas de estructura aditiva combinación. de 13. estructura de igura Problemas los problemas aritméticos escolares - 129

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ManaluesUex paradas para establecerlasdiferenciascuantitativas entreellas. 2.3. conjunto unión. el cardinal del combinación desconoce se donde F Lorenzo J. Blanco a dossituacionesdiferenciadas,siqueremosconocerlacantidadtotaloalgunasdelaspartes. conjunto (comoelensegundoejemplo),situaciónrepresentadalaFigura 15.Ellonoslleva el cardinaldeunsubconjuntoydelconjuntounióndesconocerotrosub- (como enelprimerejemplo)cuya representaciónquedaindicadaenlaFigura 14,oconocer nal decadaunolosdossubconjuntosyquerercalcularelcardinaldelconjuntounión del mismoendosomássubconjuntos.Enestarelación,podemospartirdeconocerelcardi- tendría Jesús seríalacantidadcomparada. la cantidaddereferencia(Másque David -MenosqueDavid) ylacantidaddecaramelos que los ejemplosquemostramos enlaFigura 18,lacantidaddecaramelos quetieneDavid sería problemas diferentes(PuigyCerdán, 1988;Maza,1989,1991;BlancoyCalderón,1994).En que se pueda establecer entre ambas (Figura 17). Esta consideración da lugar a seis tipos de de cantidades:cantidadreferencia,lacomparada conlaanteriorydiferencia Representación de Problema de de 14. Problema de igura Representación “Jaime tiene 17 caramelos, y Juanjo tiene 14 más que Jaime, ¿cuántos caramelos tiene Juanjo?” tiene caramelos ¿cuántos 14 tiene yJuanjo que Jaime, 17 más tiene “Jaime caramelos, que Rodrigo?” Valle tiene más caramelos yValle 7¿Cuántos tiene 3caramelos tiene “Rodrigo Los problemasdecomparación Se refieren,estosproblemas,ala relación que existe entre un conjuntoy una partición Para diferenciarentrelosproblemas decomparación seconsideran trestiposdiferentes En laFigura 16sepresentandosejemplosdeproblemascomparación. Problemas deComparación Cantidad A dades (Puig yCerdán, 1988, 103). inclusiónde conjuntos, entre aquí a ser pasan relaciones comparación de canti entre cantidades, entre manera establece de se que lo que aquellos en estos eran relaciones tico, mientras pero combinar que los en de la relación conjuntos, entre establece se en Los problemas de este tipo comparten con combinación los de comparten tipo Los problemas este de su está carácter Nieto, Cantidad C A na F Problemas de estructura aditiva comparación. de estructura 16. de Problemas igura

Cab allero Cantidad B Carrasco, presentan situacionesenlasquedoscantidadessoncom- Janeth A. Cárdenas Lizarazo subconjunto. el cardinal un de combinación desconoce se donde F Representación de Problema de de 15. Problema de igura Representación Cantidad A Cantidad C Cantidad B - -

acción decambio,talcomosepresentaenlaFigura 19yseejemplificaenlaFigura 20. similar aladelosproblemasanterioressalvo quelacomparación vienedeterminadaporuna paración de dos conjuntos disjuntos (Carpenter y Moser, 1983). Presentan una estructura muy cambio. Eslamismaclasedeacciónqueenlosproblemascambioperobasadoscom- 2.4. “más que”y“menoslaasociaciónmás-sumarmenos–restar. operación matemáticaaunadeterminadapalabra, dadoelusofrecuentedelasexpresiones • • • • • • Juanjo tiene 12 discos y Rodrigo 8, ¿cuántos tiene que comprar Rodrigo para tener tantos como Juanjo? como tener tantos para Rodrigo que tiene comprar ¿cuántos 8, yRodrigo 12 tiene Juanjo discos

Los problemasdeigualacion En estosproblemasaparecendeformamásexplícitaloserroresasociaciónuna David tiene 17 caramelos. Jesús tiene 12 caramelos. ¿Cuántos caramelos tiene Jesús menos que David? Jesús tiene caramelos ¿Cuántos 12 tiene caramelos. Jesús 17 tiene David caramelos. David tiene 13 caramelos. Jesús tiene 28 caramelos. ¿Cuántos caramelos tiene Jesús más que David? más Jesús tiene caramelos ¿Cuántos caramelos. 28 tiene Jesús 13 tiene caramelos. David Jesús tiene 9 lápices. Tiene 7 menos que David ¿Cuántos tiene David? tiene Tiene ¿Cuántos 7menos que David 9lápices. tiene Jesús David? tiene ¿Cuántos que David 18 tiene Tiene 5más Jesús lápices. Jesús? cromos tiene ¿Cuántos 18 tiene 7menos que tiene David. David Jesús cromos. Jesús?” cromos tiene ¿Cuántos que David. 5más tienen 13 tiene Jesús cromos. David Problemas deIgualación Rodrigo tiene 3caramelos tiene Rodrigo • • Juanjo tiene 12 discos tiene Juanjo de de Tantos Juanjo como cantidad cantidad referencia referencia Cantidad A Cantidad Cantidad A Cantidad F F igura 17. Comparación. de igura problemas los presentan que Esquema Diferentes posibilidades de problemas de comparación. posibilidades de 18. problemas Diferentes de igura F Esquema que presentan los problemas de Igualación. de problemas los 19. presentan que igura Esquema F Problema de estructura aditiva Igualación. de estructura de Problema 20. igura

se caracterizan porserproblemashíbridosdecomparación y ¿Cuántos tiene que comprar que comprar tiene ¿Cuántos Rodrigo para tener 12? tener para Rodrigo Cambio más quemás Rodrigo Cambio diferencia diferencia Cantidad B Cantidad B Cantidad Separación Unión

los problemas aritméticos escolares Valle tiene 7caramelos Valle tiene Rodrigo tiene 8discos tiene Rodrigo OPRADA COMPAR OPRADA COMPAR cantidad cantidad Cantidad C Cantidad Cantidad C Cantidad

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ManaluesUex Lorenzo J. Blanco 3.1. un conjunto, montón o trozode esa entidad o substancia. Son aditivas, puestoque los números nitud: Por ejemplo,4canicas,3,5kg,120Km/h.” (PuigyCerdán,1988,p.125). cantidad es un par ordenado (x, u) en el que x es un número y u es una unidad de una mag- tipos de cantidades: Intensivas (I) y Extensivas (E). A este respecto recordaremos que “una 3. y Calderón,1994;CarpenterMoser, 1983;PuigyCerdan,1988,Maza,19891991). presentes aquítambiéntrestiposdecantidades:referencia,comparada ydiferencia(Blanco tidades consimultaneidaddecambioycomparación. medio delcomparativo “tantoscomo”oexpresiónsimilar, queimplicaunequilibriodecan- tiene RodrigomenosqueJuanjo?”. blema decambioquesería:“Rodrigotiene8discos,Cuántoscomprar para tener 12?”. sentaba enelmismo(Figura 21). según consideremos el tipo de cantidades dadas en el enunciado o la situación que se repre- Maza, (1991b);Castro,Ricoy(1995)Castro(1996),entreotros. tiva. EstosproblemashansidoanalizadospordiferentesautorescomoPuigyCerdan,(1988); aditiva puedenestudiarsediversas características delosproblemasestructura multiplica- Las cantidadesextensivas expresanlaextensión deunaentidadosubstanciayserefierea Schwartz (1988)analizalosproblemasdeestructura multiplicativa enfuncióndedos La estructura básicadeestetipoproblemas esladeproblemascomparación, están En losproblemasdeigualación,hay unacomparación entrecantidades establecidapor O también a un problema de comparación: “Juanjo tiene 12 discos, y Rodrigo 8, ¿cuántos El problemapresentadoenlaFigura 20,podríamos, enciertosentido,asimilarloaunpro- En los problemas de estructura multiplicativa señalaremos dos clasificacionesdiferentes, De igual manera que hemos analizado una clasificación para los problemas de estructura Los problemasdeestructrmltiplic Problemas deestructura multiplicativa segúneltipodecantidad Razón Razón Nieto, F Clasificaciones de los problemas de estructura multiplicativa 21. estructura de igura problemas Clasificaciones los de A na

Cab allero PROBLEMAS DEESTRUCTURA Carrasco, Según lasituaciónrepresentada Según eltipodecantidades MULTIPLICATIVA Janeth Comparación A. Cárdenas Lizarazo a tiva Producto cartesiano Producto cartesiano Combinación o Combinación o

E’ /I=E.,talcomoseejemplificaenlaFigura 22. siguiente queacompañamosconalgunosejemplosdeproblemas: diferentes queaparecenenPuigyCerdán(1988)Castro(1996),recogiendola intensivas, adiferenciadelasextensivas, nosonaditivas. cantidades extensivas yvieneexpresadaporunaunidadcompuesta(60 km/h).Lascantidades dades extensivas discretasycontinuasenreferenciaalaclasificacióntradicional demagnitudes. viene expresadaporunaunidadsimple(3metros,2naranjas). Puedendiferenciarselascanti- pueden sumarse,manteniendoinalterada launidadquelosacompaña.Unacantidadextensiva divisiones asociadas.Ejemplosdeestosproblemassemuestran enlaFigura 24. E’’ /E’=E,talcomosemuestra enlaFigura 23. /I=E E’ /E=I E’  I xE=E’ =I’’ I /I’ =I’’ I xI’ =E’’ E /E’ =E’’ E xE’ Problemas asociados a la terna (I, E, E’), donde se señalan tres tipos I x E = E’; E’ / E = I; En baseaestadistinciónentrelascantidades,podemoshacerreferenciasclasificaciones Las cantidadesintensivas sonunidadescompuestas,formadasporel cocientededos Problemas asociadosalaterna(I,I’,I’’), dondeincluye problemasdetipoIxI’=I’’ ylas Problemas asociadosalaterna(E,E’,E’’), sugiereotrostrestiposExE’=E’’; E’’ /E=y “Tengo 20 caramelos y quiero dar 5 a cada niño ¿cuántos niños se beneficiarán del reparto?” reparto?” del beneficiarán se niños ¿cuántos niño 5acada dar yquiero “Tengo caramelos 20 tocarán?” caramelos cuántos ¿a 5niños entre arepartir “Tengo caramelos, 20 melos compraste?” cara ¿Cuántos caramelos. seis tiene paquete Cada caramelos. de 2paquetes “Compras entran en una bolsa?” una en entran paquetes ¿Cuántos caramelos cuatro de paquetes en bolsa, una en “Hay 12 caramelos día?” “¿Cuántos un en hay minutos tren?” el tiene asientos ¿cuántos 50 asientos tiene vagón ycada “Un 5vagones tiene tren caja?” una en hay caramelos ¿cuántos 10 tiene bolsa caramelos ycada 3bolsas, tiene caramelos de caja “Cada F F F “La superficie de un rectángulo es 20 m2, ¿cuánto mide la base si la altura, mide 4 m.?” mide altura, si la base la mide ¿cuánto m2, 20 es rectángulo un de superficie “La Problemas de estructura multiplicativa ala (E, E’, terna asociados estructura de 23. Problemas igura E’’). marrón). ¿De cuántas formas diferentes puede vestirse la niña?” la vestirse puede diferentes formas marrón). ¿De cuántas roja, (azul, yverde) faldas ytres blanca, rosa, (azul, 4camisas tiene “Una niña Problemas de estructura multiplicativa ala (I, E, E’ terna ). asociados estructura de Problemas 22. igura Problemas de estructura multiplicativa ala (I, I’, terna asociados estructura de 24. Problemas igura I’’). los problemas aritméticos escolares - 133

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ManaluesUex estos problemascaracteriza estegrupo,yledaelnombre. veces determinado(enrelaciónconlaunidaddeldenominador).Larazón queapareceen magnitudes (cantidadintensiva; caramelo/paquete, km./h.),queserepitenunnúmerode plos delaFigura 25.Enelprimerproblemadela Figura 25,apareceelcocientededos paración ydecombinaciónoproductocartesiano. proposiciones subyacentes altexto. Así, distinguentresgrandes categorías:derazón, decom- se sitúadesdeunaperspectiva lingüísticapara buscarlasrelacionessemánticasentre 3.2. Lorenzo J. Blanco sión, comosucedeconelejemplodelaFigura 27. blemas losdiagramas cartesianospuedenservirpara representarlos,facilitandosu compren- determinar el númerode combinaciones que pueden establecerse entre ellas. En estos pro- (Figura 26). partir de la relación que se ha establecido entre las dos (doble, triple, tantas veces más, ...) segundo caso,aparecelacomparación dedoscantidadespara determinarunadeellasa ración, otra actúadecantidadcomparada ylatercera defactorcomparación. Eneste cer unadeellasapartirlasotras dos.Unacantidadactúacomoreferenteenlacompa- tas formas distintas puedes vestirte? puedes distintas formas tas cuán ¿de vez, cada pantalón yun camisa Si pone se una pantalones. ydos camisas Valle seis tiene “Cuantos km. has recorrido durante 3 horas, si has estado corriendo a razón de 4km./h.” de arazón corriendo estado si has 3horas, durante recorrido has km. “Cuantos comprado?” hemos caramelos ¿Cuántos uno. cada 4caramelos que tienen caramelos, de 3paquetes “Compramos Iván tiene tres euros y Paula tiene cuatro veces los euros de Iván. ¿Cuántos euros tiene Paula? tiene euros ¿Cuántos Iván. de euros los veces cuatro tiene yPaula euros tres tiene Iván Problemas derazón queaparecencomounasubclasedeltipoIxE=E’,losejem- Por otra parte,Castroy(1996)serefierenalaaportacióndeNesher(1988)quien Problemas decombinaciónoproductocartesiano,dondeaparecendoscantidadespara Problemas decomparación, dondehay implicadastrescantidadesytratamos decono- Problemas deestructura multiplicativa segúnlasituaciónrepresentada Nieto, F F A Problema de estructura multiplicativa Comparación. de estructura de Problema 26. igura igura 27. multiplicativaigura Comparación. de estructura de Problema na F Problemas de estructura multiplicativa Razón. de estructura de 25. Problemas igura

Cab allero Carrasco, Janeth A. Cárdenas Lizarazo - a subproblemasdiferentes. Así podemosconsiderar losproblemasexpuestosenlaFigura 28. una situación de las señaladas anteriormente. Cada una de estassituacionespuede dar lugar 4. plantear diferentesestrategias. auxiliar cuandoéstanoestéexplícitamente expresadaenlapresentacióndelproblemay problema implica diferenciar lasdos etapas presentes en el mismo, introducir la incógnita hace máscomplejoelproceso de tomadecisionesdelresolutor. Analizar yresolver el una incógnitaintermediaqueapareceimplícitamente,comoenlaFigura 30. tas, comoelpresentadoenlaFigura 29,oenunciadosmássimples,dondedebeconsiderarse aparece unarelaciónimplícita. relación vendrá expresadaexplícitamente,mientras queenlamayoría delosenunciados mayor dificultad,ya que puedenestablecersediferentesconexiones.Enalgunoscasos,esta esta situación, es evidente que la relación entre los datos y el objetivo del enunciado presenta cia alaestructura aditiva, como alaestructura multiplicativa o a lamezcladeambas. Ante apartados anteriorespodremosenunciarnuevos problemasmáscomplejos,tantoenreferen- ¿Cuánto nos gastaremos?” euros. 2,40 de galletas de 1,35 de cajas ycinco patatas de euros paquetes tres “Queremos comprar ahora?” habrá árboles ¿cuántos y17 13 higueras, naranjos plantado han 14 se había huerto “En un árboles, quedará? le 10 ¿cuánto Si tenía domingo. y 5,50 euros, el sábado euros el euros 2,30 gastado ha se David le quedará? 10 ¿cuánto Si tenía euros, semana? de fin el gastado ha se ¿Cuánto domingo. y5,50 el sábado euros el euros 2,30 gastado ha se David Los problemasenmásdeunaetapasoncomplejosquecontienen La resolucióndeestosproblemaspuedeimplicardiferentesestrategias desolución,loque Así, podemos encontrar ejemplos donde vienen enunciados explícitamente dos incógni- Haciendo lascombinacionesoportunasdelostiposcualesquiera delosseñaladosen Problemas endoset F Problema de dos etapas con la implícita. con intermedia incógnita etapas dos de Problema 30. igura F Problema de dos etapas con dos incógnitas explícitas. incógnitas dos con etapas dos 29. de Problema igura F Problemas de estructura multiplicativa Razón. de estructura de Problemas 28. igura ap as los problemas aritméticos escolares 135

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ManaluesUex Lorenzo J. Blanco das sonfamiliaresalosniños. correspondan conlosdiferentes tiposdeproblemas,aúncuandolassituacionesrepresenta- estudio delosmanualesescolaresmuestra laausenciademayoría deenunciadosquese diversidad de enunciados que pueden proponerse a losalumnosen primeros niveles. El 5. Epílogo situaciones diferentes. binación delostiposestudiadospara losproblemasdeunaetapa,dandolugaramúltiples actuará comodatodelsegundosubproblema. casos definiendodossubproblemasdiferenciados,detalmanera quelasolucióndelprimero ¿Cuánto mesobró?”. Las referencias y ejemplos de problemas que se muestran en este capítulo indican la La clasificacióndelosproblemasendosetapasescompleja,ya quesebasaenlacom- 2) 1) b) 2) 1) a) El análisisdeesteproblemanosrevela dosprocedimientospara susolución.Enambos “Tenía 50euros,compréundiscode15ydespuésgasté9eurosenlibro, Estudiemos elsiguienteproblema: blemas: Estudiemos ahora unasegundaestrategia para resolverlo, enunciadootrosdossubpro- separación, delosconsiderados: Podemos escogerunprimercaminodondeenunciaremosdosproblemasdecambio- “Tengo 50euros,megasté24¿Cuántosobró?” ción considerado enprimerlugar, será undatopara elsegundo enunciado. ciados enlaprimera estrategia. Nuevamente lasolucióndelproblemadecombina- El segundoproblemaseráundecambio-separación similaralosenun- Segundo subproblema Solución: 15euros+9=24megasté. tidades (15eurosy9euros)quereunimospara ver lacantidadtotalquemegasté. En esteprimercasoesunproblemadecombinacióndondeconsideramos doscan- “Me gasté15eurosenundiscoy9libro,¿cuántomegasté?”. Primer subproblema cialmente. La solución de este segundo problema será la solución al problema planteado ini- “Me quedan35euros,ymegasté9eurosenunlibro,¿Cuántosobró?”. problema, tambiéndecambio-separación: Tomando lasolucióndelprimersubproblema(35euros)podremosdefinirunnuevo Segundo subproblema Solución: 50euros–15=35mesobraron. “Tengo 50euros,compréundiscode15¿Cuántomesobró?”. Primer subproblema Nieto, A na

Cab allero Carrasco, Janeth A. Cárdenas Lizarazo — — — — — — — — — — — — — — Bibliografía objeto dereflexiónenlasinstitucioneseducativas. en losmaterialesescolaresy, porende,enlaprácticaescolarlasaulas. Loquedeberíaser dificultad alaenseñanzaderesoluciónproblemas. y otrosdiferentescuando los alumnosse incician en los problemas dosetapas,lo que añade cursos, cuandolosalumnostrabajan losproblemasdeunaetapa(BlancoyCalderón,1994), 

En Suma,1991,n.8,p.35-39. BERMEJO, V.; RODRIGUEZ,P. Lasoperaciones desumar:elcasolosproblemasverbales. matemática. Comares.Granada, 1996,p.119-141. (Eds.); El proceso de llegar a ser un profesor de primaria. Cuestiones desde la educación magisterio sobrelaestructura multiplicativa. EnGIMÉNEZ,J.;LLINARES, S.;SÁNCHEZ,M.V. CASTRO, E.;CASTRO, E.Conocimientodecontenidopedagógicolosestudiantes Bogotá: G.E.I.,1995. CASTRO, E; RICO, L.; CASTRO, E. Estructuras aritméticas elementales y su modelización. Academic Press,INC,1983,p.7-44. LESH, R & LANDAU, M. Acquisition of Mathematics Concepts and Processes. Orlando: CARPENTER, TP.; MOSER,MM. The acquisitionofadditionandsubtraction concepts. En Publicaciones delaUniversidad deExtremadura., 1994. BLANCO, L.J.;CALDERÓN, M.LosproblemasdeSumaryRestar. Badajoz:Serviciode Abierto, 1989,n.6,65-80. Dos aspectos importantes para el análisis didáctico: Realidad y Lenguaje. En Campo BLANCO, L.etal.LaresolucióndeproblemassumayrestaenCicloInicialE.G.B. aritméticas. Barcelona: Ed.PidósEducador, 1990. BERMEJO, V. Elniñoylaaritmética.Instrucciónconstruccióndelasprimeras nociones S.A.E.M, 1991. NCTM. Estándares curriculares yde evaluación para la Educación Matemática. Sevilla: Mathematics Teacher, 1989,vol. 82,n.6,p.470-474. N.C.S.M. Essential Mathematics for the twenty-first century. The position of the NCSM. Ed, 1986. MIALARET, G.LasMatemáticas.Cómoseaprenden,cómoenseñan.Madrid: Visor. 2da. M.E.C. EducaciónPrimaria.Matemáticas.Madrid,1992. MAZA, C.Enseñanzadelamultiplicaciónydivisión. Madrid:Sintesis,1991a. MAZA, C.Enseñanzadelasumayresta.Madrid:Sintesis, 1991. Madrid: Visor,1989. MAZA, C.Sumaryrestar:Elprocesodeenseñanza/aprendizaje delasumayresta. Estas dosevidencias,mostrarían unavez más,quelainvestigación educativa noserefleja Por otra parte,los textos escolaresproponenunos tipos de problemas en los primeros los problemas aritméticos escolares 137

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ManaluesUex — — — — Lorenzo J. Blanco mathematics conceptsandprocess.New York: Academic Press,1983,p.127-174. VERGNAUD, G.Multiplicative structures.InLESH,R;LANDAU, M.(Eds.). Adquisitions of Erbaum: Reston VA: NCTM,1988,p.41-52. BERT, J;BERH,M.(Eds.)Numberconceptsandoperations inthemiddlegrades. Lawrence SCHWARTZ, JL.Intensive quantity andreferenttransforming arithmeticoperations. InHIE- PUIG, L.;CERDÁN,F. Problemasaritméticosescolares.Madrid:Síntesis,1988. ORTON, A. DidácticadelasMatemáticas.Madrid:Morata-MEC, 1990. Nieto, A na

Cab allero Carrasco, Janeth A. Cárdenas Lizarazo a partirdelenunciadopropuesto enlaFigura 1. y comentadaenelcapítulo2. sugerido enlapropuesta curricular, para laenseñanzadelasmatemáticas,desdeelaño1992 reflexionar sobrelorealizadoyevaluarla. hora ymediacadauna,para quedétiempoarealizarlasactividades sugeridasporelprofesor, los estudiantesendiferentessesiones.Estaactividad sueledesarrollarseendossesionesde en elcapítulo2. resolución deproblemaes,ensímismo,uncontenidoespecífico,talycomodesarrollamos de problemaeselcontextopara aprendermatemáticas.Pero, además,consideramos quela repetida enloscurrículosdematemáticasdiferentesniveles queindicalaresolución Facultad deEducaciónlaUniversidad deExtremadura. ficar queestaactividad lahemosdesarrolladoconestudiantesdelGrado dePrimariaenla han aparecidodurante eldesarrollodenuestrotrabajo docenteenelaula.Debemosespeci- remos lasfasesdelmodelogeneral reflejando,engran medida,diferentescuestionesquenos mas’, conelobjetivo dehacermatemáticasyenseñar/aprenderaresolver problemas. matemáticas’ yutilizarunproblemadematemáticaspara trabajar la‘resolucióndeproble- Para ejemplificareldesarrollodelModeloIntegrado (Capítulo 7)presentamoselproblema El planteamientodeestetipoactividades nodebiera resultarnovedoso, ya queviene El contenidodeltrabajo muestra laactividad delaulaylasreflexionesaportacionesde Con esteejemploqueremos,además, poner demanifiesto el significado delaexpresión Para ello vamos a proponer un problema de cálculo de área de un cuadrado y desarrolla - Nuestra intenciónenestecapítuloesmostrar ladiferenciaentre‘resolver unproblemade desarrollar la capacidad persistir de la en exploración un de problema (MEC, 1992, p. 92). bación resultados de ycomunicación los mismos. de hace Se necesario, asimismo, o no, exploración mediante ensayo yerror, formulaciones nuevas del problema, compro gráfica del problema osituación, formulación conjeturas de yverificación su de validez cusión equipo), en extracción datos de yanálisis los mismos, de forma en representación comprensión yexpresión la de situación matemática (verbalización, dramatización, dis familiarizarse que facilitan con procesos la exploración yresolución problemas de como: con probabilidadnes éxito. de sentido, En brindará este se alos niños la oportunidad de adquiere alas generales que nuevas le permiten enfrentarse otras situacio yespecíficas

Trabajamos ... el alumno desarrollar debe yperfeccionar sus propias estrategias, ala vez que Lorenzo J. Blanco Nieto y Clara Jiménez Gestal con un Capítulo 9 pr oblema de Geometría - - - 139

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ManaluesUex Lorenzo J. Blanco lo quenospermitehablardelaimportanciapresentaciónenlosproblemas. que elconceptoderadio deunpolígonoregularapareceentreloscontenidosprimaria. cuando trabajamos conestudiantesdelGrado deMatemáticasoconprofesoresenejercicio. drado? Entalcaso,¿cómolodefiniríamos?Hay quehacernotar, queestedebatesurge,también, mación matemáticadelosfuturosmaestros. pueda tener un radio genera confusión y debate,lo que resulta muy interesante para la for presa ydudaacerca delostérminosempleadosenelmismo. Así, laideadequeelcuadrado 1. Capítulo 6. (verbal/figura) enlosenunciadosdeproblemasqueanalizamosmásprofundidadel Esta doble presentación nos permite hablar a los estudiantes de la importancia de los formatos radio delcuadrado singenerar dudaodebate,loquenosignificaasumanelconcepto. conceptos, datosyrelacionesentre ellos(Figura 3). recen enlafigura unavez dibujadasalgunaslíneasyestablecidasnuevas medidas. partiendo delaidentificaciónydescripciónlosconceptosexplícitos eimplícitosqueapa- Calcular el área del cuadrado de la figura sabiendo que el radio mide 3m. mide sabiendo que radio el figura la de cuadrado del área el Calcular 3m. mide radio cuyo cuadrado un de yperímetro área el Calcular No obstante,estedebatenoaparececuandoenunciamoselproblemasegúnlaFigura 2, Esta cuestiónnospermite identificar alcuadrado como unpolígono regular y significar Así, aparecenlasprimeras cuestionesaresolver: ¿tienesentido hablardelradio deuncua- La experiencianosmuestra queenestaocasiónlosestudiantesaceptaneltérmino de Cuando mostramos elenunciadodelaFigura 1alosestudiantes,surge laprimera sor De estamanera, transformamos lafigura inicialennuevas figuras quenossugierennuevos Llegado a estepunto, iniciamos la primera fase del Modelo Integrado (ver Capítulo 7), Desarrollo delprimerfase delModeloGeneral Nieto, Clara Jiménez Gestal F igura 2. igura F Problema de geometría de sólo texto. sólo de 1. geometría de Problema igura Problema de geometría acompañado de una de figura. acompañado geometría de Problema 3 cm. - - geométricos (Blanco,2001). aprovechamos estasituaciónpara plantearlasdificultades estudiadasconlosconceptos es undescubrimientopara unnúmeroimportantedeestudiantes. de usarlaexpresióncálculoáreaunrombomanera general para loscuadrados un rombopodríamos utilizar laexpresión: Área delafigura ABCD =(dxd)/2. La posibilidad Área delafigura ABCD =l mide elladodelcuadrado. Esevidentequeestosestudiantesestánpensandoenlaexpresión: del cuadrado esutilizarelteoremadePitágoras eneltriánguloBCDyasíconocercuánto drado esuncasoparticulardelrombo’. definición deromboyestablecerlarelaciónentrecuadrado yromboseñalarqueel‘cua- también esunromboya quetieneloscuatroladosiguales.Lonoslleva aplantearla como consecuenciasdeactividades anterioresenelaula,algunosestudiantesseñalanque mos utilizarpara calculareláreayperímetrodelafigura ABCD? Endiferentesocasiones, la definicióndecuadrado. Llegadoestepunto,lapreguntaesinmediata:¿quéfórmulaspode- matemáticas para facilitarlacomunicación(Figura 4). ciones entrelasfiguras, etc. Y seponedemanifiestolaimportancianotaciónen terísticas, datosqueconocemosopodemosconocerencadaunadeellas,determinarrela- Debido alasdudasdelosestudiantes acerca deesta relación,ennumerosasocasiones En muypocasocasionesalgunosestudiantesplanteanquedado quelafigura estambién A pesardeestaobservación, laprimera intencióndelosestudiantespara calcularelárea Obviamente, la primera figura que señalaes el ‘cuadrado ABCD’, quenos lleva a recordar Ante estasituaciónpedimosalosestudiantesqueencuentrenfiguras, indiquensuscarac- F igura 4. igura F Nueva representación del cuadrado del original líneas. con Nueva 3. representación igura Nueva representación del cuadrado del original las anotaciones. con Nueva representación 2 . D A 6 cm.

O C B Trabajamos con un problema de geometría 6 cm. 141

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ManaluesUex Lorenzo J. Blanco tres metros’. giramos el triángulo (Figura 5), podemos ver que la base mide tres metros y la altura también altura dadalaposiciónquetienen.Larespuestadelosestudiantesresultainteresante:‘Si del problemaoriginal. son unacuartapartedelcuadrado pedido,pensandoasíenunanueva estrategia desolución inmediata anteriorreconocenqueestostriángulossonrectánguloseisósceles.Eindican una preguntadelprofesor. una nueva estrategia desolucióndelproblema. Algunos espontáneamenteloindicansinser La relaciónentreeltriángulo ABD yelcuadrado ABCD, esinmediata,porloquesesugiere mide 6mylaaltura 3m.,porloquepodremosaplicarlaexpresióndeláreadeuntriángulo. de estostriángulos?” cuadrado) utilizandoelteoremadePitágoras. conocemos lahipotenusayapartirdeahípodríamosconocermedidadelcateto(lado triángulos rectángulos,peronoasícomoisósceles.Indicanquedeestos a señalardiversos triángulos: ABC; ACD; BCDy ABD. BOF,... queconsideran sonunoctavo delcuadrado original(Figura 6). empiezan aenumerar triángulosmáspequeños,también rectánguloseisósceles: AHO; tando deencontrar susrelacionesconelcuadrado. Y, siguiendoconladinámicaseguida entre síydividimos pordoselresultado. ‘nuevo teorema’:Para calculareláreadelostriángulosrectángulos multiplicamosloscatetos generalizar suaportaciónatodoslostriángulosrectángulos.Loquenoslleva aenunciarun gulo rectánguloapoyado sobreunodesuscatetos,propuestaporlosestudiantes,nospermite Surge lacuestióndeanalizarcómocalcularsuperficieylasdudassobresubase Otrosestudiantesreconocenlostriángulos: AOB; BOC;CODy AOD. Dadalatarea La observación deltriángulo ABD mostraría, conalgunadificultadpara ellos,quelabase Planteamos en este momento un nuevo subproblema: “¿Podríamos conocer la superficie La posicióndeestostriánguloshacequelosestudiantesreconozcan,fácilmente,como Retomamos labúsquedadepolígonosapartirFigura 4. Y losestudiantescomienzan Llegado estemomento,observamos alosestudiantesinvestigando nuevas figuras ytra- Es este otro momento que mereceuna reflexión interesante ya quelaposicióndetrián- Nieto, Clara Jiménez Gestal F igura 5. Giramos el triángulo visualizarigura para yla la altura base 3 cm 3 cm 2. del perímetro. estudiantes recuerdenqueintentamoscalculareláreadelcuadrado yseolvidendel cálculo que tenemosenrelaciónalonospideelproblema.Esusual queenestemomento,los triángulo rectángulo. de untriángulo;áreacuadrado; área deunrombo,áreatriángulo, un triángulo rectángulo; hipotenusa de un triángulo rectángulo; altura de un triángulo;base drado; diagonaldeuncuadrado; triángulo;triánguloisósceles;rectángulo;catetode un cuadrado; rombo;rectángulo;cuadrilátero;polígono;polígonoregular;ladodeuncua- aspectos: de algunolosquesehayan podidopensar. figura para encontrar nuevas relacionesquesugirieran nuevos procedimientosovariaciones el áreadel cuadrado pedido.Podríamos insistir enesta fase yprofundizaren el análisisdela permitirá calculareláreadeltriánguloBEOy, porcomparación, ladelcuadrado ABCD. altura delprimero(OA) mide3cm,laaltura delsegundomedirá1,5m(Figura 6).Ellonos vale 6cm,eseldobledelabasedeltriánguloBEO, quevaldrá 3cm.Deigualmanera, sila comparar lostriángulos ABD yBEO, yobservar quelabasedelprimero(ABD) esBDy Pero enalgunasocasiones,algunosestudianteshanmostrado unasoluciónmássencillaal de Pitágoras ya queconocenelvalor delahipotenusapuedencalcularelvalor deloscatetos. significado delosdatos,lasituación planteada,elprocesoseguidoylassolucionesobtenidas” oportuno insistirenlanecesidaddequelosestudiantesexpliquen diferentes procesos para calcularel área del cuadrado original. Sin embargo, parece muy Revisamos laactividad realizadapara fijarlosconceptosydatos,explícitosoimplícitos, Recordamos yrepasamoslosconceptosaparecidoshastaelmomento:cuadrado; radio de Para finalizarestaprimera fasedelmodeloretomamoslaactividad desarrolladaendos Los estudiantes han ideadoy, enalgunoscasos, expresado diferentesformasdecalcular Para determinarlasdimensionesdeestostriángulosserefieren,usualmente,alteorema En eldesarrollodelaprimera fasesehansugeridoy, enalgunasocasiones,explicitado Desarrollo delsegund F Nuevas líneas Nuevas triángulos. y nuevos 6. igura H A D a fase delModeloIntegrado o G E C B F Trabajamos con un problema de geometría “oralmente yporescritoel 143

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ManaluesUex ción comolaquesigue: tegias concretaspara resolver elproblema. Así, porejemplo,podemos encontrar una redac- Es decir, noaprovechan eltrabajo queellosmismoshanrealizado. incluido lasfiguras yrepresentaciones,eintentanredactarlasestrategias partiendodecero. Pero, igualmente, muchos estudiantesrenuncian a los apuntes tomados en la primera fase, tienen para diferenciarlaredaccióndeestrategia yelprocesoderesolucióndelproblema. lisis delasrespuestaslosestudiantesalaactividad pedidanosmuestra ladificultadque 3,4y6. Figuras consolidar lasestrategias sugeridas,facilitandounaprimera fasepara sugeneralización. calcular el áreadel cuadrado ABCD a partirdel análisis realizado. Ello lespermitirá,asímismo, pedimos queredactendemanera precisa,almenos,cuatroprocedimientosdiferentespara verbalizar y/oescribirlosprocesosqueresuelven losproblemas.Por ello,enestepuntoles expresen oralmente yporescritolasestrategias para resolver losproblemas. (Consejería de Educación, 2007a), que insiste en la importancia de que los estudiantes primaria. Laexpresión“estrategias personales”aparecesieteveces enelcurrículodeprimaria (Decreto, 2007, p. 7920), como se indica en el currículo de matemática en el nivel de Lorenzo J. Blanco Las respuestasdelosalumnosmuestran lasdificultadesquetienenpara escribirlasestra- Al respectodelasrespuestaslosEMPqueremoshaceralgunasobservaciones. Elaná- – – – – – Podríamos señalarqueescribenlassiguientesestrategias generales: Retomamos laFigura originalconlasnotacionesylíneasquehemosañadidoen Nuestra experiencianosrecuerdaquelosestudiantespara maestrotienendificultadespara del áreadeuncuadrado. hipotenusa coincide con el ladodecuadrado por loquepodemosaplicar la fórmula tos, podemoscalcularelvalor delahipotenusaalaplicarelteoremaPitágoras. La Considerando eltriánguloanterior AOB ydadoqueconocemoselvalor desuscate- multiplicamos porcuatroelresultadoobtenido. sus catetosquepodemossituarcomobaseyaltura deltriángulo.Unavez realizado Podemos calculareláreadeltriángulorectángulo AOB ya quesabemoselvalor de podemos calcularsuárea.Eláreadelcuadrado seráeldoble. Del triángulo ABD conocemoselvalor desubaseBDyaltura OA, porloque calcular eláreadeuncuadrado. nusa, podemoscalcularelvalor delladocuadrado yluegoaplicarlafórmulapara A partirdeltriángulorectángulo ABD ydado queconocemoselvalor delahipote - resultado. Eslafórmulapara calculareláreadelrombo. del cuadrado/rombo apartirdelproductodesusdiagonalesydividiendo pordosel Dado queconocemoselvalor deladiagonalfigura, podemoscalcularelárea el área del cuadrado, aplicando la fórmula”. averiguamos los catetos, los que lados son del cuadrado. Con ello aplicar ya podemos (que sería la hipotenusa un de triángulo cuya la área es mitad del cuadrado) ycon ella “Hallar el área mediante Pitágoras, de el la teorema dado que conocemos diagonal Nieto, Clara Jiménez Gestal las valoren, loqueesresponsabilidaddel profesorado. problema evitandoerroresyequivocaciones. Por ello,pareceoportunoquelosestudiantes matemático. Tener encuentaestascuestionespareceimportantepara llegaralasolucióndel y precisiónenelmanejodelosconceptosprocesoscomonormapara unbuendesarrollo los pasosseguidoshastaalcanzarlasolución. Y, finalmente,sedebeactuarcon orden,rigor Es importantequelosresolutoressepanexplicarycontrolarentodomomentocadaunode pasos aseguiryquehandebidodeestablecerseeneldiseñocadaunalasestrategias. en elquefijaríamosalgunascaracterísticas necesarias. Así, sedeberánregistrar todoslos hayamos podidodiseñar. Esunpasoimportantequenosllevará alasolucióndelproblemay 3. la letra ‘h’porla‘l’para significarlaexpresióndeláreacuadrado. creta para unproblemaespecíficoyunaestrategia general para problemassimilares. superficie deloscuadrados quepodemosformarconellos. cierta. ElteoremadePitágoras relacionalamedidadeloslados(catetosehipotenusa)o rigurosas. Así, y pueden utilizarpara calcularelvalor delladocuadrado laexpresiónh sin unirespecíficamentelasproposicionesentresí. – En nuestrocasosólovamos aresolver elproblemasiguiendotresprocedimientos. La tercera fasedelModeloGeneral serefierealdesarrollodelasdiferentesestrategias que

Así, podemosencontrar: Pero almismotiempoindicadificultadesclaras para discernirentreunaestrategia con- La redacciónanteriormuestra, enprimerlugar, algunasafirmacionesquenosonprecisas – También resultainteresantelafaltaderigorenelusolossímbolos. Así, porejemplo, Que son cuestionesgenerales pero sin relación específica con las figuras delproblema y Desarrollo del A =(6cm.x6cm.)/23618cm vale 6cm. Aplicamos laexpresióndelcálculo deláreadeunrombo. La diagonaldelcuadrado/rombo ABCD vienedadaenelenunciado delproblemay Desarrollo delaEstrategia 1. El lado del cuadrado vale √18 cm. √18 valecuadrado del lado El d del catetoquecoincideconellado delcuadrado. A partirdelvalor delahipotenusaeneltriángulorectángulo ABD, calculamoselvalor Desarrollo delaEstrategia 2. de los ladosde del cuadrado. Multiplicando el un área”. lado obtenemos el otro por 2 =l “Usamos el teorema de Pitágoras:“Usamos de el teorema a 2 +l “Hallar eláreamedianteteoremadePitágoras”, noesunaafirmación 2 6 tercera fase delModeloGeneral 2 =l 2 +l 2 = 2l 2 2 +b 2 =c 2 36 =2l 2 . Con el mismo averiguamos el valor Trabajamos con un problema de geometría 2 18 =l 2 =c 2 2 +c 2 = √18 = y cambiar 145

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ManaluesUex nos aporteelenunciado. zar dosexpresionesdiferentes. Y quese puedaelegirunauotra enfuncióndelosdatosque ría, resultamáscomplicadaporelusodelasraíces cuadradas. mismo tiempo,señalanquelaestrategia dos,queinicialmentehabíanpensadolagran mayo - tegia (dxd/2),aunquereconocenladificultaddeidentificar figura conunrombo. Y, al cuál ocuálesleshanresultadomásfácilesesusualquehaganreferencias alaprimera estra- y valorar lasdiferentesestrategias. Cuandorevisamoslasestrategias señaladasypreguntamos desarrollo cognitivo” (Decreto,2007a,p.7840).Por ellopareceoportuno revisar, comparar mentales ylasestrategias queutilizapara resolver problemas,constituye unfuertemotordel trata depersonas. nes deproblemasáreasconresultadosnegativos onúmerosdecimalescuandolasolución con lasituaciónplanteada.Noesinusualque,ensecundaria,nosencontremossolucio- de los diferentes procedimientosson iguales, yviendolaconsistenciade solución obtenida transferencia delosconocimientosaprendidosaotras situacionesyproblemasposteriores. de revisióndelprocesoylasoluciónpara aprenderdeltrabajo realizado. Y favorecer la máticas ydeaprenderaresolver problemas.Esporello,quesehacenecesariolacuartafase plantear yresolver problemasdematemáticasenprimariatienelafinalidadtrabajar mate- 4. Lorenzo J. Blanco Para ellosesundescubrimiento quepara calculareláreadeuncuadrado podamosutili- Por otra parte,enelcurrículoseindica “...latomadeconciencialosprocedimientos Podemos iniciarestafasereleyendo elproblemaycomprobandoquetodoslosresultados Finalizada lafasetres,podríamosseñalarqueelproblemaestaríaresuelto.Sinembargo,

– Desarrollo delcuart Solución: Eláreadelcuadrado mide18cm El áreadelcuadrado esl culado elvalor del final del proceso sin darse cuenta que en un momento del desarrollo ya habían cal- ción alobjetivo delproblema,hacequelamayoría delosresolutoreslleguenhastael Resulta curiosoobservar comolafaltadecontrollospasosintermedios,enrela- no daexactamente18cm con expresióndecimal.Luegolovuelven aelevar alcuadrado porloqueelresultado Cuando losEMPresuelven elproblemahallanlaraíz de18,obteniendounresultado gulos rectángulos.Elcuadrado contienecuatroveces estetriángulo. altura deltriánguloyaplicamoslanueva expresiónpara calculareláreadelostrián- rectángulo ycuyos catetosmiden3cm.Consideramos amboscatetoscomolabasey Cuando consideramos eltriángulo AOB delquehemosobservado queesisóscelesy Desarrollo delaEstrategia 3 Nieto, Clara Jiménez Gestal 2 = 18,queeslasolución. 2 . A =l 2 a fase delModeloGeneral . 2 = √18 cm x √18 cm = 18 cm 18 = cm √18 x cm √18 = 2

2 . vale 3yeslamitaddelcuadrado ABCD. doble modificacióndelaFigura 6. Así, elEMdibujóuncuadrado inscrito(EFGH)cuyo lado del métododedescomposición/complementaciónpara calculareláreadefiguras planas. En estecasoexistenotras formasdiferentesderesolver esteproblemaquesesustentadeluso de lostriángulosrectángulosmultiplicamossuscatetosydividimos pordoselresultado”. nuevo procedimientopara calculareláreadelostriángulosrectángulos:“Para calcularelárea rectángulos laconsideración debaseyaltura para suscatetos,loquenoslleva a enunciar un resultará interesante. Así, delusodelaFigura 4podemosgeneralizar atodoslostriángulos mentación si,comoenelcasoquenosocupa,podemoscalcularlafácilmente. los datospara ello,outilizarunprocedimientodecomposición,descomposicióncomple- que para calculareláreadeunasuperficiepodemosutilizarformuladirectasitenemos sus aulas. recurso usualenlosestudiantespara maestro. Y que,consecuentemente,noreproduciránen descomposición enfiguras elementales”(Decreto,2007b,p.8112),procedimientoquenoes señala que“sevalorará tambiénelempleodemétodospara calcularáreasbasadosenla podemos descomponerlas en otras máspequeñas, si ello facilita los cálculos. El currículo situación unodeestosproblemas alaclase. alguno delosprocedimientosutilizadosenelproblema. nerles queenuncien problemas quepresenten situaciones análogasose resuelvan siguiendo Por nuestra parteañadimosunadeellas(Figura 7)quesurgióenclaseapartirdeuna Siempre debemospreguntarsiexistenotrosprocedimientosdesoluciónlosproblemas. El análisisdelaestrategia cuatronoslleva adefinirunanueva fórmulaque,también,les La comparación de los procedimientos 1 y 2 con los procedimientos 3, 4 y 5 nos indica El análisisdelasotras tresestrategias nosindicaquepara calculareláreadeunafigura La consolidacióndelosconocimientos alcanzadospodríahacerseproponiendoenesta “Calcular eláreadeunhexágono regularderadio 5cm.” Así, esusualquelosestudiantesproponganejemploscomo: La trasferencia deconocimientoaotras situacionespuedeplantearseapartirdepropo- F igura 7.igura líneas la Nuevas triángulos ynuevos de 6). figura modificación (Doble H A D o G E C B F

H A D Trabajamos con un problema de geometría G E C B F 147

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ManaluesUex Bibliografía — — — — — — — cita oimplícitamente,para justificarelesfuerzorealizado. evitar algunosbloqueosantesituacionessimilaresenelfuturo. “ahora loencuentromásfácileinteresante”,etc.pareceoportunoseñalarlasalobjetode enfrentarme alproblema?oautoinstruccionespositivas como“hesidocapazderesolverlo”, e interésporlosproblemas. Así, reflexionesacerca de¿quéheaprendido?¿hesidocapaz dad señaladaenlafasecuatroyestanueva fasealobjetodereforzarlaconfianza,autoestima tienen comoresolutoresdeproblemas(Capítulo1y3). Estos trabajos nosmuestran lasdificultadesdetipoafectivo quelosestudiantespara maestro dominio afectivo enrelaciónalaresolucióndeproblemas(Gil,BlancoyGuerrero,2006). 5. Lorenzo J. Blanco

MEC Primaria.ÁreadeMatemáticas. Madrid:MEC,1992. ducacion.mec.es/re340/re340_20.pdf. mas. Revista de Educación, 2006, n. 340, p. 551–569. Recuperado de http://www.revistae - GIL, N;BLANCO, LJ;GUERRERO, E.Elpapeldelaafectividad enlaresolucióndeproble- para laComunidad Autónoma deExtremadura. DOE,nº50de5Mayo de2007. Decreto 83/2007porelqueseestableceCurrículodeEducación SecundariaObligatoria munidad Autónoma deExtremadura. DOE,nº50de3Mayo de2007. Decreto 82/2007porelqueseestableceCurrículodeEducación Primariapara la Co- com/v7n4/EURASIA_v7n4_Caballero.pdf. Technology Education,2011, Vol. 7,n.4,p.281-292.Recuperado de:http://www.ejmste. In InitialPrimary Teacher Education.En The Eurasia Journal ofMathematics,Scienceand CABALLERO, A; BLANCO, LJ; GUERRERO, E. Problem Solving And Emotional Education vol10no1and2/13-Blanco-et%20al_pp335_364.pdf. Issue, Vol. 10, n. 1 y 2, p. 335 – 364. Recuperado de http://www.math.umt.edu/tmme/ blem SolvingwithProspective Teachers. En The MathematicsEnthusiast,2013-Special BLANCO, LJ;GUERRERO, E;CABALLERO, A. Cognitionand Affect inMathematicsPro- www.cimt.plymouth.ac.uk/journal/lberrgeo.pdf. tional Journal forMathematics Teaching andLearning,2001,p.2-11.Recuperado de: BLANCO, LJ.Errorsinthe Teaching/Learning oftheBasicConceptsGeometry. Interna- – – – Y, para finalizar, lesindicamos alosestudiantesproblemasquehemosresuelto,explí- Es porelloqueenelmodelopropuesto(Capítulo7)hemosconsiderado laúltimaactivi - En lostrabajos quehemosrealizadoledadoimportanciaadiferentesaspectosdel Desarrollo delquint Calcular eláreadeuncuadrado delado3cm. Calcular eláreadeuntriángulorectángulocuyos catetosmiden3cm. Calcular loquemidenloscatetosdeuntriángulorectángulocuya hipotenusamide6 cm. Nieto, Clara Jiménez Gestal a fase delModeloGeneral http:// Pero suutilizaciónmerecealgunasreflexiones. introducido entodoslosámbitos denuestra vida,y, cómono, enelámbitodelaenseñanza. 1.2. desarrollar otras capacidades,peronoéstasalasquenosestamosrefiriendo. desarrollar estascapacidades.Encasocontrario seránmerosejercicios, útiles,quizá,para planteando alosalumnosverdaderos problemas,puessolamentelosqueloseanayudarán a resultados ysaberloscomunicar. mente, reflexionar, establecerhipótesis,planificaryevaluar lasestrategias, comprobar tribuir adesarrollardeterminadascapacidadesbásicasenlosalumnos:leercomprensiva - las matemáticasdebeserconvertir alosalumnosencompetentesresolutoresdeproblemas. mismo volumen, yhay unaaceptacióngeneral dequeelprimerobjetivo delaenseñanza 2013; Santos-Trigo, 2008;Schoenfeld, 1985,1992,2007),algunosdeellosrecogidoseneste la investigación (Blanco,2007;BlancoyBlanco,2009;Casas,Luengo,RamosCarvalho, como internacionales(NCTM,2000;RealDecreto126/2014)asíenlosresultadosde objetos matemáticosysepuedenaplicardespuésendiferentescontextosdelavidadiaria. como resolutoreseficacesdeproblemas,queaparecenprimeroenlaconstrucciónlos matemáticas. Unodelosobjetivos desuenseñanzaes,precisamente,educaralosalumnos evaluación olareflexión,procesosquesonhabitualmentetrabajados enelcampodelas requieren elusodelpensamientológicoyhabilidadesderesoluciónproblemas. utilizamos deformacontinua.Planificar, tomardecisionesogestionarnuestrosasuntos, 1.1. 1. En losúltimosaños,las TIC, Tecnologías delaInformaciónyComunicación,sehan Y para elloes necesario que la enseñanza de las matemáticas incida en estos procesos Pero siqueremosquelaresolucióndeproblemasseaeducativamente eficaz,hadecon- Esta realidadhasidodestacadaennumerososdocumentoscurriculares,tantonacionales Estas habilidadesincluyen procesostalescomoelanálisisylasíntesis,predicción, En nuestra vidacotidiana,laresolucióndeproblemasesunalashabilidadesquetodos Resolución deproblemas y TIC Enseñanza delasmatemáticasy TIC Matemáticas yresolucióndeproblemas Resolución de Pr opuest Luis M. Casas García y José Luis as actu pr ales y oblemas en Capítulo 10 persctiv T matemáticas y orres Carvalho orres as de futur C. TIC. o

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ManaluesUex 1.3. en muydiversas formas, desdelasmáscreativas hastalasmásrutinarias, dentrodedistintos tecnologías delainformaciónycomunicación(lapalabra, ellibro,…)puedenserutilizadas matemáticas conherramientas TIC quesinellas¿para qué incorporarlas? Las tradicionales evidente, yasí,otra cuestiónquesurgees,sisesiguenhaciendolasmismas cosas en gógico queseadopte. en la enseñanza:las tecnologías no son neutras, y su utilización depende del modelopeda- Luis M. futuro? Señalaremostresaspectosquenosparecendestacados: mos señalarque,respectoaloquenosofrecíanlasantiguas,hemosmejorado endosaspectos: esenciales enlacomunicación. entre ambos.Encualquiera deestosmodelos,lapalabra yellibrohansidoinstrumentos modelo enqueelconocimientoseconstruye deformainteractiva mediantelacomunicación desde unextremoenqueelprofesortransmite yelalumnorecibelainformación,hastaun más omenosunidireccionalbidireccionaldependiendodelmodeloeducativo adoptado: comunicación de conocimientosentre el profesor y el alumno, convirtiéndose en un proceso nicación antiguasyquéhanaportadolasnuevas TIC? Un modelo pedagógico nuevo no es necesariamente mejor que los anteriores, esto es Debemos hacer, porúltimo,unareflexióncomúnacualquierotra tecnologíaintroducida – – – La segundacuestiónquedebemosplantearnoses¿quépuedenaportarlas TIC enel – – Desde elmomentoenqueaparecieronlasnuevas tecnologías,deformamuybreve pode- Tradicionalmente, laenseñanzadelasmatemáticassehabasadoenelproceso La primera deellases:¿para quéhanservidoenmatemáticaslastecnologíasdelacomu- Modelos deenseñanzay TIC Casas Gar blema outilizarlascadavez másextendidasplataformasvirtuales. fesor, encontrar información desconocida, resolver de forma colaborativa un pro- También nosofrecenlaposibilidaddemejorinteracción entrealumnosyconelpro- blema, oensuresoluciónmedianteprocesosdeensayo yerror. complejos, ayudándonos enlaaproximaciónmanipulativa alasolucióndeunpro- Otra posibilidadessupoderpara simularprocesosqueenotra formaseríanlentoso presentadas enlostradicionales mediosescritos. la formarealísticaenquesepresentainformación,bastantediferentealasopciones En primerlugar, estámejorando díaaelatractivo delainformación,ysobretodo mente sededicabaatareasrutinariaspermitiendocentrarse enotras demásaltonivel. Herramientas derepresentación y cálculo:permiten reducir el tiempoque tradicional- al alcancedecualquiera, enunaformavisualmenteatractiva. tían lainformación,yhanfacilitadoelaccesoaunacantidadingentedeinformación secuencial, enqueelprofesor, deformaverbal, oloslibrosenformaescrita,transmi- Transmisión deinformación:lasnuevas TIC hanmejorado laformatradicional, cía, José Luis Torres Carvalho 2. gías yenestalíneapresentaremosacontinuaciónlasituaciónactuallastendenciasdefuturo. creemos queesenelsedebeorientarlaresolucióndeproblemasconapoyo enlastecnolo- mental sebasaenaprenderaaprender, medianteelusodelatecnología.Dentroestemodelo los usos más formativos, tanto para el estudiantecomopara el docente,y cuyo objetivo funda- gías delaprendizajeyelconocimiento,orientadasdentrodenuevos modelospedagógicos,hacia modo puedenserlolasnuevas tecnologías. modelos pedagógicos (aprendizaje por repetición, aprendizaje constructivista,...) y del mismo pantallas táctilespuedenserdegran ayuda enlaenseñanzaderesoluciónproblemas. aplicaciones, dinámicas e intuitivas, aprovechando la simplicidad de funcionamiento las dispositivos móviles(tabletsosmartphones),habitualmenteconocidascomo Apps. Estas mente, emergenherramientas degran calidadtécnica,adaptadasoconcebidasenorigenpara tados onoapizarras interactivas digitales.Sin embargo,nopodemosolvidarque,actual- posibilidad deaccesoatravés depáginas Web odeinstalaciónyusoenordenadores,conec- describiremos acontinuación. ticularmente Internet,nosofrecen. de PrimariayprimeroscursosSecundaria,sobreloquelasNuevas Tecnologías, ypar este apartadohacerunarevisión,queantetododeseamospuedaserútilpara eldocente con laresolucióndeproblemasenmatemáticaspresentadasformato TIC. Intentaremosen Frente almodelode TIC, actualmenteestásurgiendounnuevo concepto,elde TAC: tecnolo- La mayor partede losejemplosquepresentaremosalolargodeestecapítulodanla – – – – – En formasintética,podemosindicarque,actualmente,existencincograndes áreasque Actualmente existen,nodigamosquemuchas, perosíalgunas,propuestasrelacionadas Resolución deproblemas y TIC: propuest novedosas. tradicionales, peroqueenotros,comoveremos, ofrecenalternativas educativamente Propuestas deactividades para alumnos,que,enalgunoscasosseasemejanalas tenidos educativos enmatemáticas. animaciones, simulaciones,juegosyotrosrecursoseducativos relacionadoscon- posibilitan lacreaciónypublicaciónporlosalumnosdeaplicacionesinteractivas, Herramientas deprogramación, inspiradas enlenguajescomoLogooSmalltalk,que ciones matemáticas,comopuedenserlasrelacionadasconlaestadística. Herramientas quepermitenrealizarsimulacionesdeprocesosycrearoresolver situa- culo oaplicacionesdinámicasquesirven de ayuda enelcálculoolarepresentación. Herramientas para laresolucióndeproblemastalescomocalculadoras, hojasdecál- algunos casos,para alumnos. mendaciones yguíasderesoluciónproblemas,tantopara profesorescomo,en Propuestas teóricassobreresolucióndeproblemas,entrelasquedestacanreco- Resolución de pr oblemas en matemáticas y TIC . as a Pr opuestas actuales y perspectivas de futur ctuales o - 151

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ManaluesUex Sánchez (Figura 1):http://www.actiludis.com/.Sánchez de losenunciados. sos/primaria/lengua_literatura/problemas/index.html. nos ofreceelMinisteriodeEducación,Cultura yDeporte:http://ntic.educacion.es/w3/recur que, condiferencia,aparecenmásfrecuentemente. tipología concretadeproblemas,losllamadosproblemasaritméticosescolares,queson ofreciendo recomendacionespara suresolución.Lamayor partedeellassecentran enuna propuesta detallerresoluciónproblemaspara loscursosdeestenivel educativo. de problemas,clara ybiensistematizada,dirigidaaprofesorado dePrimaria,asícomouna en: http://www.edu.xunta.es/centros/ceipisaacperal/system/files/matematicas.pdf la red,traslación almodelo TIC delmodelotradicional delibro. 2.1. Luis M. Para elnivel de Primaria,consideramos interesantelapáginadeJosé M.delaRosa Los problemaspropuestosenestapáginasecentran sobretodoenlacomprensiónlectora En EducaciónInfantilencontramos algunapropuestadeestetipopáginas,comolaque En unalíneadistinta,otras páginaspresentanproblemaspara sertrabajados enel aula, En estetrabajo seofrecenrecomendacionesteóricaspara laenseñanzaderesolución En estalínea,podemosseñalar, porsuinterés,eltrabajo deIsabelEchenique, disponible Podemos encontrar, enprimerlugar, algunasenforma delibrosoartículospublicadosen Propuestas teóricassobreresolucióndeproblemas Casas Gar cía, José Luis Torres Carvalho F Actiludis (José M. de la de Sánchez). Rosa M. 1. Actiludisigura (José - herrami.htm ComunidadWiki/ContenidosCompartidos/LObjects_Shared/Pitagoras/apoyo/bloques/herrami/ Herramientas decálculoyrepresentacióngráfica ción deproblemas.Entreellas,podemosdiferenciarcincogrupos: 2.2. mendaciones alosalumnospara suresolución. teni2.educarex.es/mats/11813/contenido/ como ladesarrolladaporConsejeríadeEducaciónExtremadura (Figura 2):http://con- problemas, yensuadecuadagraduación para suenseñanza. de problemasaritméticosescolares.Secentra, sobretodo,enexplicarlatipologíadelos Una muestra de estas páginas es la de Mariano Real Pérez (Figura 3), http://www.wikisaber.es/ La redofrece,desdehacebastantetiempo,distintasherramientas para trabajar laresolu- En ella seofrecen tanto propuestas de actividades para desarrollar en línea, como reco- Si noscentramos enlaresolucióndeproblemasSecundaria,encontramos páginas En susección“Teoría deProblemas”,ofrecesugerenciasinteresantespara laenseñanza Herramientas para laresolucióndeproblemas Resolución de pr F igura 2. igura http://conteni2.educarex.es/mats/11813/contenido/ oblemas en matemáticas y TIC . Pr opuestas actuales y perspectivas de futur o 153

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ManaluesUex Luis M. JClic, o completar, preguntasdeelecciónmúltiple,etc.Entreestasherramientas podemoscitar mente sencilla, la realización de actividades para alumnos: puzzles, actividades de relacionar Herramientas deautor ayuda para laresolucióndeproblemas. Gráficos, Números,Operaciones aritméticas,Fracciones yManipuladorsimbólico. tes herramientas: Billetesymonedas,Ábaco,Calendario, Rectanumérica,Hojadecálculo, alumno, unáreadecomunicaciónyunahojaresoluciónlos problemasconlassiguien- Bottino yGiampaoloChiappini(Bottino,2007;Chiappini, 2002). ARI@ITALES (http://www.itd.cnr.it/arilab/_english/) creadasporlosinvestigadores RosaMaria enseñanza colaborativa inspiradas enelconstructivismo. En estetipodeentornoslaresoluciónproblemassedesarrolla através deprácticas dad demodelosproblemasymásflexibilidadensuforma representaciónyresolución. ceso deresolución,lamayor interacción usuario-máquinaoentreusuarios,unamayor varie- colmatar estaslagunasintroduciendonuevas posibilidades,comolaautorregulacióndelpro- o relacionar, ycomprobarlarespuestadadaporelalumno. momento, limitadasapocasalternativas: completar, elegirlarespuestacorrecta,seleccionar matos para quelosalumnosrespondanalasactividades propuestas,siguenestando,porel nuestra opinión,que,aunqueofrecenposibilidadesdepresentarinformaciónodistintosfor Un buennúmerodeestasherramientas permiten,actualmente,deunamanera relativa- En ella disponemos de herramientas como calculadoras, numéricas y gráficas como La aplicaciónARILAB2(Figura 4)estácompuestaporunáreadelprofesor, unáreadel Algunos ejemplosdeentornosconestascaracterísticas sonlasaplicacionesARILAB2 y Sin embargo,empiezanasurgirproyectos dedesarrolloherramientas queintentan El problemacomúna todas estas aplicaciones, ensu estado actual de desarrollo es, en Casas Gar Cuadernia, F Πitágoras Herramientas. Recursos para las matemáticas (Mariano Real Pérez).Real(Mariano matemáticas las para Recursos Herramientas. Πitágoras 3. igura cía, José Luis Torres Carvalho Hot Potatoes, eXelearning, PHPWebQuest, entreotras. - de Extremadura: ñanza delaGeometría,como los disponiblesenelportalEducarex herramientas dinámicaspropiamentedichas, hay tambiénrecursosdedicadosalaense- fesores detodoelmundo.Muchas deellasestándisponiblesenhttp://www.geogebratube.org/. sible enwww.geogebra.org. exploración interactiva, no sólo engeometría,sinoálgebra, cálculooestadística. Acce- alumnos puedantrabajar, permitiéndoleslacreacióndeconstruccionesymodelospara (Figura 5), unpotenteprograma dematemáticadinámicaqueofrecerecursospara quelos por ejemplogeométricos,deunmodointeractivo. con mayores potencialidades.Deestemodopermitenabordarlaresolucióndeproblemas, Herramientas dinámicas http://contenidos.educarex.es/mci/2004/18/ o http://contenidos.educarex.es/mci/2007/24/ En unaposiciónintermediaentrelosproductoscreadosconherramientas deautor y las Permite también a los profesores crear páginas web interactivas y compartirlas con otros pro- En estetipodeherramientas, unadelasquemássehanextendidoesGeogebra En este grupo incluimos aquellas aplicaciones que simulan herramientas reales aunque F Resolución de pr Aplicación ARILAB2 (Rosa María Bottino yGiampaolo Chiappini). María Aplicación (Rosa 4. Bottino ARILAB2 igura oblemas en matemáticas y TIC . Pr opuestas actuales y perspectivas de futur (Figura 6), delaJunta o 155

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ManaluesUex Luis M. dinámicas. vidades deGeometríaquepueden serresueltosmediantelautilizacióndeherramientas elaboradas porCiprianoSánchez yLuisM.Casas,presentanalosalumnosproblemas yacti- Dirigidas alaenseñanzaPrimaria yalosprimerosniveles de Secundaria,estaspáginas, Casas Gar cía, José Luis Torres Carvalho F igura 5. igura Herramienta dinámica Geogebra (www.geogebra.org). dinámica Herramienta Geogebra F Educarex (Junta de Extremadura) de (Junta Educarex 6. igura w3/eos/MaterialesEducativos/mem2010/labazar/index.html Moreno, elLaboratorio virtualde Azar yProbabilidad(Figura 7):http://ntic.educacion.es/ matemáticos proporcionando alosalumnossituacionesdesimulación,ensayo yerror. ducir, demanera queapoyan laresolucióndeproblemasyadquisiciónconceptos Herramientas para simulación rar importantesnocionesdelógicaymatemática. capacidad decomunicarmatemáticamente, elpensamientocomputacional,asícomoexplo- herramientas, losalumnospuedendesarrollarsucapacidad deresoluciónproblemas,su Scratch, Kodu oSqueak. A través delacreaciónproyectos colaborativos basadosenestas Herramientas deprogramación vos, quepermitenunametodologíabasadaenlaexperimentación. recurso multimediaenformadepáginaweb,queofrecemultitud deinstrumentosinteracti- Como ejemplodeestetipoherramientas proponemosla página deJuan García Estas herramientas permitensimularprocesosque,deotra forma,seríandifícilesderepro- En lacategoríadelasherramientas deprogramación incluimosaplicacionescomo Dirigido alosúltimosciclosdePrimariayprimeroscursos deSecundaria,esun F igura 7.igura Azar, Básico de Probabilidad Laboratorio García yCombinatoria Moreno). (Juan Resolución de pr oblemas en matemáticas y TIC . Pr opuestas actuales y perspectivas de futur o 157

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ManaluesUex Luis M. ser configurado yprogramado conbaseencondicionesysecuencias. dos previamenteporelprograma sinunasintaxiscompleja.Cadaunodelosobjetospuede tencias endistintasáreasdeconocimiento,concretamentecompetenciaslógico-matemáticas. crear videojuegos los jóvenes estáninvolucrados en actividades creativas y desarrollancompe- usuarios delsistemaoperativo Windows odelaconsolaXBOX. Parte delaideaqueal hecho específicamentepara lacreacióndejuegos,desarrolladoporMicrosoftResearch, para utilizadores deScratch para obtenerocompartirideas. proyectos ya existentes,crearnuevos proyectos ointeractuar conlacomunidadmundialde pueden seragrupadaslibrementecomosilosbloquesseencajaran. con las piezas deLego. Cada bloquedel lenguaje contieneinstruccionesseparadas peroque en la Web. Los programas sonmontados a partirdebloques a semejanzadeloque hacemos interactivas, animaciones,simulaciones,juegos,músicayarte,quepuedensercompartidas Logo, queatravés deuninterfazmuyintuitiva ysencillaposibilitalacreacióndeactividades funciones y el ambiente de programación del lenguaje Kodu permitetambiéndiseñarmundosentresdimensionesapartirdeobjetosconfigura- Kodu (http://www.kodugamelab.com/), esunnuevo lenguajedeprogramación visual A través delapáginaScratch (http://scratch.mit.edu/) sepuedenexplorar omodificar Scratch es un lenguaje gráfico orientado a objetos y eventos, inspirado en el lenguaje Squeak (http://www.squeak.org/) esunamodernaherramienta opensource, contodaslas Casas Gar cía, José Luis Torres Carvalho F igura 8. Kodu. 8. igura Smalltalk. Esta herramienta pretende, nos casos,ofreceinformacióndeapoyo alaresolucióndelosproblemas. agrupados con base en criterios poco definidos. Evalúa si la respuesta es correcta y, en algu- que se presentan varias secciones, que proponen problemas aritméticos de distinta tipología, al alumnoesescribiroseleccionarlarespuestacorrectaycomprobarla. poco quenoofrecieran antesloslibrosolaexposiciónporpartedelprofesor. net/?id=problemas-elementales (Figura 9).Enestoscasos,lasNuevas Tecnologías ofrecen aportar mucho más queunsoportediferentepara la propuesta, comohttp://www.tinglado. formato digitallosclásicosproblemasescolaresqueseplanteaban enformatopapel,sin considerados enelcapítuo9. usual, segúnsuestructura semántica(problemas decambio,combinación,...)queson emplear para resolverlos (problemasdesuma,resta,…)o bien,aunqueestoesmenos en red.Estaspáginassuelenestarorganizadasfuncióndeltipodeoperación quesedebe bién encontramos páginas que presentan estos problemasy permiten resolverlos directamente organizados porniveles dedificultad,poredadesotipologíaproblemas,aunquetam- problemas aritméticos escolares. Suelen aparecer como colecciones de problemas escritos, Problemas aritméticosescolares mos propuestasdeejercicios, dedistintotipo ydificultad. que, másqueanteauténticosproblemas(Ver capítulos5y12),ensumayor parteencontra- niveles oáreasaosqueesténdirigidos. algunos ejemplossignificativos, señalandolosmásdestacadosenfuncióndedistintos es imposiblehacerunrecuentoexhaustivo detodasellas.Podemos, sinembargo,presentar 2.3. Piaget ycreadordeLogo,enelMIT. continuó desdeWalt Disney,colaboróestrechamente conSeymourPapert, discípulode diferente. Alan Kay, elprincipalpromotordelproyecto SqueakquecomenzóenAppley humana”, procurando ayudar alosalumnoscomprenderyvalorar elmundodeunaforma una visióndelatecnologíacomoinstrumentoalserviciodel“aumentointeligencia los alumnosacambiarsuformadeaprendizajey“aprendercreando”.Squeakresponde etc.) serelsoportepara eldesarrollodenuevas aplicacionesmultimediaeducativas. a partir de varios medios de expresión (texto, video, sonido,música, gráficos 2D, gráficos 3D, Un ejemplo prototípico deelloes la páginahttp://www.usaelcoco.com/ (Figura 10)enla En cuanto a la interacción con el alumno, en la mayor parte de ellas, la tarea que se pide Una tendenciabastanterepetidaeslaofertadepáginasque se limitanapresentaren La mayor partedelaspropuestasestán,comoindicábamos,dirigidasalaresolución Por logeneral, ycomocaracterística comúnamuchas deestaspropuestas,podemosdecir En cuantoalaspropuestasdeproblemasquepodemosencontrar enlaRed,naturalmente Como todaslasherramientas quese incluyen esesta categoría, está destinada a ayudar a Propuestas deactividades Resolución de pr oblemas en matemáticas y TIC . Pr opuestas actuales y perspectivas de futur o 159

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ManaluesUex Luis M. capítulo 6). tradicionales, presentanlainformaciónenforma distintadelapuramente textual(Ver php?id=3 (Figura 11) proponenproblemasque,aunqueencontenidonodifieren delos Otras páginas,comoladeGenMagichttp://www.genmagic.net/educa/course/view. Casas Gar cía, José Luis Torres Carvalho F igura 10. Usa eligura coco. F igura 9. tinglado. El igura (Enseñanza BásicaySecundariaObligatoria). que ennuestra opiniónlosmásinteresantessondestinadosaalumnosde616años (Figura 12)aunqueconunapresentaciónpocoatractiva, ofreceunaseccióndeproblemas, problemas. Por ejemploWinmates, http://www.winmates.net/proble/pisaged/pisaged0.php Otra tipologíadeproblemas de estetrabajo como Anexo. conductista derefuerzolosaciertos/erroresdelalumno.Incluimosvarias deellasalfinal en loreferentaasudiseñocomoalmodelodidácticosubyacente, puesrespondenalmodelo sólo contienenlostradicionales problemasaritméticosescolares,sonbastantesencillas,tanto Algunas páginasincluyen, ademásdelosclásicosproblemasaritméticos,otrostipos Prácticamente todaslasaplicacionesquehemosvistocoincidenenque,ademásde Resolución de pr oblemas en matemáticas y F F igura 11.igura GenMagic. igura 12.igura Winmates. TIC . Pr opuestas actuales y perspectivas de futur o 161

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ManaluesUex Luis M. y niveles dedificultad(Carvalho, 2011). del problema.Losmodelossoncreadosyclasificadosconbaseentemas,objetivos didácticos sobre elmismomodelo,enordenadoresdiferentes,tengansiempreconcretizacionesdistintas la mismaestructura ylosmismosobjetivos, loquepermitedistintosalumnostrabajando ejercicios yproblemasbasadosenunaestructura modulardeenunciadosyargumentos. de MatemáticaslaUniversidad de Aveiro (Portugal). Setrata deunaaplicaciónquegenera Pmate (http://pmate.ua.pt/)(Figura 13)delProyecto MatemáticayEnseñanza,delDepartamento flexibilidad, aleatoriedadydinamismodelosmodelosproblemas,encontramos laaplicación la atenciónqueestamodalidadseapocofrecuenteenlosmaterialesmostrados anteriormente. tipo detareasquesuelenincluirseenestapruebaevaluación internacional. Y llamamásaún Primaria, nocoincidenconloshabitualmente propuestosenloslibrosdetexto(Figura 15). plazar elementos,construirfiguras, etc.Loscontenidos muybienadaptadospara alumnosde planteados sonsumamentevariadas: introducirnúmeros,completartextos, seleccionarodes- ayuda alalumno.Lasdistintasalternativas para presentardatosorespondera los problemas 2011). Proponenosólodistintostiposdeproblemas,sinosoluciones guiadasysistemasde o debúsquedaexhaustiva, ylosagrupaentornoaseisclaseso“metamodelos”(García Moreno, totalmente distinta,ya quepresentaotrotipodeproblemas: (Figura 14),demuybuenacalidadtécnica,comotodossusproductos,tieneunaconcepción Los modelosdeproblemascreadosenPmatEpresentanformulacionesdiferentesperocon En lalíneadeWinmates, peroconsignificativas diferenciasencuantoalamodularidad, Llama laatencióndenominaciónqueempleacomo“problemastipoPISA”, puesrecogeel Esta páginapresentaproblemasaritméticosescolares,geométricos, derazonamiento lógico, http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2009/problematic/ La páginade Juan García Morenotitulada“Resolución de Problemas – Metamodelos TIC” Casas Gar F Pmate (Departamento de Matemáticas de la de Universidad Matemáticas de Aveiro, de 13. Portugal).igura Pmate(Departamento cía, José Luis Torres Carvalho F F igura 15.igura Resolución de Problemas – Metamodelos TIC (I) (Juan García Moreno). (I) (Juan TIC 14.igura –Metamodelos Resolución Problemas de Resolución de pr Resolución de Problemas – Metamodelos TIC (II) (Juan García Moreno). (II) (Juan TIC –Metamodelos Resolución Problemas de oblemas en matemáticas y TIC . Pr opuestas actuales y perspectivas de futur o 163

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ManaluesUex Luis M. ten eldesarrollodelasdiferentesfaseslaresoluciónproblemas. conceptos adquiridos, en casos concretos, contextualizados, situaciones globales que permi- das, oaplicadasúnicamenteaproblemastipo.Deestaforma,puedenponerenprácticalos auténticas deinvestigación, enlugardeintroducirlosconceptosytécnicasdescontextualiza- adecuadas queimplicanmásdeuncontenido. resolver problemasaislados,debenafrontardiferentesprocedimientosydecidirsoluciones deñoso, 2011).Estetipodetrabajo suponeunretopara losalumnos,puesacostumbrados a reflexión eindagacióndelalumnoycontrastarla conlasdesuscompañeros(Azcárate yCar un tema significativo, organizadas didácticamente con un guion que permita dirigir la tos oCasos.Por talesseentiendenrepresentacionespreparadas porelprofesor, alrededorde mos másinteresanteeslaquepodemosagruparbajodenominacióndeEscenarios,Proyec- Escenarios yProyectos descomponer (cortar)figuras, etc.(García Moreno,2011) expresan relacionescuantitativas, trazar líneasycaminos,construir, dibujar, componery virtual confuncionamientorealista,argumentarsobreimágenesymodelosdinámicosque elementos gráficos,desplazartextualesorealizarpesadasenunabalanza pletado asistidoycorreccióninstantánea),seleccionarelementosdelapantalla,desplazar resolución: insertarnúmeros,completartextolinealyorganizadoentablas(concom- constatar, las aplicacionespropuestaspresentanuna enorme variedad de procedimientos de ción, objetivos quesepersiguenyhacereferenciaasuinterésdidáctico.Comopuede tes enlasquesedescribenpormenorizadamenteelcontextoyloscontenidosdelaaplica- http://www.ersilia.org/uds_mates/wb_udmates_es/src/index.html (Figura 16). Una delaspropuestasestetipoeslapresentadaen En ellosselesproponeentornosdeaprendizajeactivo, implicándolesenactividades Una delasalternativas para laenseñanzaderesoluciónproblemasqueconsidera- La páginapresenta,porotra parte,unasguíasdidácticassencillasysumamenteinteresan- Casas Gar cía, F igura 16. primaria. en matemáticas el aprendizaje para Unidades de igura Didácticas José Luis Torres Carvalho - solicitados enlasituación. tiene que estructurar la información, calcular los precios particulares, los finales y los cambios en dineroquepuedeutilizarpara comprar lascantidadesdeartículosindicados.Elalumno simula latareadecomprar enelmercado. Encadaactividad elalumno disponedeunvalor http://www.genmagic.org/mates1/mercat1c.swf .EnlasituaciónpresentadaenFigura 17se (una granja, unrestaurante, etc.)queelalumnodeberesolver. http://estadistica2013.unizar.es/?q=node/106. (Figura 18): Educación delGobiernodeCanariasen dísticos propuestosporlaConsejeríade (Batanero yDíaz,2005). de problemasynocomofinensímismo dístico comoherramienta deresolución trata de desarrollar el razonamiento esta- reales y simulaciones de fenómenos. Se ción deproblemasestadísticoscondatos tes experienciasenelámbitodelaresolu- didáctica, sehandesarrolladointeresan- También sepresentanproblemasutilizandolametodologíadeescenariosenpágina En ella se trabajan distintas situaciones problemáticas a partir de situaciones realísticas También para Primaria,son interesantes los ejemplosen forma de proyectos, en la página: http://www3.gobiernodecanarias.org/istac/webescolar/primaria.php En estalíneaestánlosproyectos esta- Mediante elusodeestapropuesta Resolución de pr oblemas en matemáticas y F igura 17.igura GenMagic. TIC . Pr F opuestas actuales y perspectivas de futur igura 18.igura Estadística en Primaria. en Estadística o 165

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ManaluesUex que incluyan laexploración, lacreaciónycomunicación. presentar contenidosoreforzarlos,peroademáspara apoyar nuevas dinámicasdetrabajo, en laspropias TIC, sinoenelcambiosu utilización.Laideaclave esquedebenservirpara auténticas TAC, estoes,tecnologíaspara elaprendizajeyconocimiento.Elfuturonoestá opinión, en la misma dirección de las propias tecnologías: el adecuado uso de las TIC como libremente disponiblesenlaRed. como programas específicosdematemáticas(porejemploGeobebra uOpenOfficeCalc) de recursos para buscar información, o para comunicarla (por ejemplo Google Docs) así estudio delprocesodecaídalibreunobjeto.Enambosproyectos sepresentalaintegración tube.com/watch?v=_3MhsLyvz0g. Consisteenestudiarlasfuncionescuadráticas medianteel que sehacedenuevas tecnologíasdisponiblespara losalumnos. blemas yeltrabajo comunicativo delosalumnos.Esmuyinteresante,además,laintegración un relojdeagua,unaclepsidra, sepotencialabúsquedadeinformaciónpara resolver pro- I-2008-clepsidra.pdf del profesorCarlosMorales Socorro(Morales, 2013): práctica, sino por sus reflexiones para la enseñanza, es el que propone el “Proyecto Clepsidra”, dizaje colaborativo, problemaspropuestosalosalumnos. ponen ejemplosdeaplicación de estastecnologíasenelaula,para resolver, mediante apren- hace unrepasodetecnologíasquepuedenseraplicadaspara trabajo colaborativo ysepro- trabajo de Tesis disponibleenhttp://biblioteca.ucm.es/tesis/edu/ucm-t26874.pdf. Enellase ofrecen nuevas posibilidadespara eldesarrollocognitivo denuestrosalumnos. borativas quedifierendelasserealizanconelusometodologíastradicionales y tecnologías: sucapacidadpara establecercomunicaciones. que nodifierenennadadelostradicionales. cas (aprendizajeporrepetición,aprendizajebasadoenprocesosdeestímulo/respuesta,…) haber hecho contecnologíasanteriores (libros,pizarra, …)yutilizanpropuestasmetodológi- propuestas de resolución de problemasy TIC hacen un uso que reproduce el que se podría 3. Luis M. El futurodelaresoluciónproblemasmedianteelusolas TIC camina,ennuestra En estemismodocumentosepresentatambiénel“Proyecto Galileo”:http://www.you- En estedocumentosemuestra cómo,apartirdelainvestigación sobrelaconstrucciónde http://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/ecoescuela/abriendolaescuela/files/2011/10/ Un magníficoejemplo,másactual,detrabajo enestalínea,nosóloporsurealización Ejemplos deestetipotrabajo sonlospropuestos ya en2002porGómezGarcía ensu Podemos aprovechar estaspotencialidadesdelas TIC llevando acaboactividades cola- Por otra parte, ningunade ellas hace uso de una de las mayores potencialidades de las Como hemostenidoocasióndecomprobarenlaspáginasanteriores,buenaparte El futuro: aprendizaje colabor Casas Gar cía, José Luis Torres Carvalho tiv o , resolucióndeproblemas y TIC principales mostrado: .Conclusi 4. Comunicación yresolucióndeproblemas. plantearse lasnuevas propuestasdeintegración delas Tecnologías delaInformacióny colaborativo. lización pasiva oindividual, laparticipación ylacomunicación,enentornosdeaprendizaje las aplicaciones TIC para laenseñanzadelasmatemáticasque permitiránademásdesuuti- FESPM (2012,sinpaginar) rentes competenciasatravés de blogs,redes sociales, yotras plataformas colaborativas. y, enparticular, lasmatemáticasnopuedendejar pasarestaoportunidaddetrabajar lasdife- vez recibenvaloraciones deotrosusuariosretroalimentandoestasaportaciones.Laenseñanza en lacolaboración. Loscontenidossoncreadosensumayor parteporlosusuarios,queasu mienta, uncambiodeparadigma enlacomunicaciónredquetransforma lapasividad dad enlosforosdeprofesoresdedicadosalaenseñanzalasmatemáticas. sobre todo,comunicarlosaotras personas.Estaeslaideaconquesetrabaja enlaactuali- como tambiénaprovechar suspotencialidadespara lacreacióndecontenidospropiosy, web quepermitentantoaccederainformaciónoproductoscreadosporotras personas,      Éste, creemos,eselcaminohaciafuturoyconsideramos queenestalíneahande Del mismo modo, avanzaremos con un nuevo concepto:Matemáticas 2.0 alreferirnosa La Web 2.0esconsiderada enlaactualidadcomounaactitudmásqueherra- Desde hacealgunosañosseempleaeltérmino Web 2.0,para aludiralasaplicaciones Parece debemos El Las Si manipulables Los Reina y, esta en D Wikis conclusiones. ViruX, P La pr C quehacer q investigaci á Ofim su reproduce se ue rocesos annonBasket, iversidad oblem el queremos pruebas

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ManaluesUex — — — — — — — — — — — —  Bibliografía Luis M. OAE C. MORALES    JL. CARVALHO,    LJ. BLANCO, n. 40,p.789-810.Recuperado de:http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=291222113009. implicación eneldesarrolloprofesional.BoletimdeEducaçãoMatemática,2011,vol. 24, AZCÁRATE, P;CARDEÑOSO, JM.LaEnseñanzadelaEstadísticaatravés deEscenarios: de Julio, 2013.Recuperado de:http://www.oei.es/salactsi/carlosmoralessocorro.pdf. XXI. Cuaderno de bitácora. Ponencia presentada en XV JAEM. Palma de Mallorca, 2 al 15 Doctoral. Universidad ComplutensedeMadrid,2002. entorno de enseñanza colaborativa con soporte informático (CSCL) para Matemáticas. desarrollo, implementaciónyevaluaciónGARCÍA, M.Estudioteórico, GÓMEZ deun Tecnologia-en. Universidad de Valencia, 2012.Recuperado de:http://www.fespm.es/Seminario-federal-La- Seminario federal “La Tecnología enla enseñanzayaprendizajedelasmatemáticas”. FEDERACIÓN ESPAÑOLA DESOCIEDADES DEPROFESORESMATEMÁTICAS modelos-tic-en-la.html. 2011. Recuperado de:http://www.didactmaticprimaria.com/2011/11/metamodelos-y- GARCÍA MORENO, J.Metamodelos ymodelos TIC (I) en la resolución deproblemas las MatemáticasJAEM. Palma deMallorca, 2al5deJulio de2013. elementales: expectativas y resultados.XVI Jornadas para el Aprendizaje y la Enseñanza de CASAS, L;LUENGO, R;RAMOS,JL;CARVALHO, JL.Resolucióndeproblemasaritméticos Tesis Doctoral. Badajoz:Universidad deExtremadura, 2011. del entornoPmatE: Validación yaportacionesen1ºCiclodeEnseñanzaBásicaPortugal. Erlbaum Associates, 2002,p.757–786. Handbook ofInternationalResearch inMathematicsEducation.Mahwah-NJ: Lawrence Discussing theirrelationshipsinthe Arithmetic ProblemSolving.EnLD. ENGLISH,(Ed)The BOTTINO, RM;CHIAPPINI,G. Advanced Technology andLearningEnvironments, Information Technologies, 2007,vol. 12,n.2,p.93-105. BOTTINO. RM.On-linelearningnetworks: framework andscenarios.Education numeros/numeros/71/Articulos_03.pdf. primaria. BLANCO, B;BLANCO, LJ.Contextos y estrategias enlaresolucióndeproblemas al 7deJulio de2007. decisiones. XIII Jornadas de Aprendizaje yEnseñanza de las Matemáticas. Granada del 4 ARTICULOS/ICE.pdf. Zaragoza: ICE,2005,p.125-164.Recuperado de:http://www.ugr.es/~batanero/ Estadística. EnJ.PATRICIO ROYO (Ed.),Aspectosdidácticosdelasmatemáticas. BATANERO, C;DÍAZ,C.ElPapel delosProyectos enlaEnseñanzay Aprendizaje dela Casas Gar cía, Números, 2009,n.71,p.75-85.Recuperado de:http://www.sinewton.org/ José Luis Torres Carvalho Analizar y comprender es el primer paso para resolver problemas y tomar El Aprendizaje basadoenProyectos enlaEducaciónMatemáticadelsiglo Estudio de las posibilidades de aplicación a la enseñanza de la Matemática Estudio delasposibilidadesaplicaciónalaenseñanzaMatemática Tesis , problemas aritméticosescolares elementales: Valencia: resolución deproblemasaritméticosescolaresesladelC.E.I.P. SanJosé deCalasanz,en maticos.pdf lución deproblemas,presentaunabuenacolecciónellos. de José EscuderoMartín,que,ademásdeorientacionessobremétodosyestrategias dereso- Educación Secundaria. resolución deproblemasengeneral: estrategias, enseñanza–aprendizajeyaplicacionesen de problemas. Páginas queofrecenayudas teóricasodirigidasalaprácticadelosalumnospara laresolución Otras páginasdeinterés — — AH. SCHOENFELD, — — — —  39, n.5-6,p.537-551. practice andpolitics.ZDM The InternationalJournal onMathematicsEducation, 2007,vol. SCHOENFELD, AH. ProblemsolvingintheUnitedStates,1970-2008:research andtheory, en http://hplengr.engr.wisc.edu/Math_Schoenfeld.pdf. Mathematics Teaching andLearning. New York: MacMillan,1992,p.334-370.Disponible and sense-makinginmathematics.EnD. Grouws(Ed.),HandbookforResearch on SCHOENFELD, AH. Learningtothinkmathematically:Problemsolving,metacognition, vol. 42, n.2,p.123-139. objects orproblemsdynamically. MathematicsandComputerEducationJournal, 2008, SANTOS-TRIGO, M.Ontheuseoftechnology torepresentandexplore mathematical de: https://www.boe.es/boe/dias/2014/03/01/pdfs/BOE-A-2014-2222.pdf. Educación Primaria.BoletínOficialdelEstado,52,de1Marzo2014.Recuperado Real Decreto126/2014,de28febrero,porelqueseestablececurrículobásicola School Mathematics.Reston, VA: NCTM,2000. NATIONAL COUNCILOF TEACHERS OFMATHEMATICS. PrinciplesandStandardsfor http://conteni2.educarex.es/mats/80172/contenido/index.html También seofrecenorientacionessencillasalosalumnos,enla siguientepágina,con http://www.duendecrispin.com/gusanito-de-seda/bertin-matematico.html Otra páginaqueofreceorientacionesyguía,demanera sencillaalosalumnosenla http://platea.pntic.mec.es/jescuder/BLOG-1/Resolucion%20de%20problemas%20mate- Aunque ofreceproblemaspresentadostansóloenformadetexto,esinteresantelapágina http://catedu.es/matematicas_mundo/PROBLEMAS/problemas.htm La páginadeJosé MaríaSorando Muzásofreceunainteresantereflexiónacerca dela Resolución de pr Mathematical ProblemSolving.New York: Academic Press,1985. oblemas en matemáticas y TIC . Pr opuestas actuales y perspectivas de futur o 169

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ManaluesUex creados conayudas delpropioministerio: ejercicios) orientadosalosúltimosciclosdePrimariayprimerosSecundaria. partidos/LObjects_Shared/Pitagoras/home.htm proponeproblemas (de nuevo lamayoría, dominan, sinembargo,actividades quesonmásejercicios queauténticosproblemas. label/Problemas presentaproblemasdetodotipo, con orientacionespara suresolución. Pre- página eninglésquereferimosanteriormente: ceipignaciohalcon.es/ para EducaciónPrimaria)enformatoimpreso. Tenemos unbuenejemploen:http://www. mas (denuevo problemasaritméticosescolares,aunquebiensecuenciadoseinteresantes Raimundo Alba García yJosé María Vázquez dela Torre Prietoen: Extremadura o,ladelMinisteriodeEducación. mente, lassiguientes: formato similaraldeloslibrostexto,podemosdestacar, ademásdelasseñaladasanterior Páginas queofrecenpropuestasdeproblemaspara trabajar enelaula. Luis M. http://ntic.educacion.es/v5/web/ninos/los_numeros/ Esta páginadelMinisteriodeEducaciónproporciona numerososrecursosquehan sido Del mismomodo,lapágina:http://www.wikisaber.es/ComunidadWiki/ContenidosCom- Dirigidos atercer ciclodePrimaria,lapágina:http://milagrotic.blogspot.com.es/search/ http://www.wolframalpha.com/pro/problem-generator/ También ofreceungenerador aleatoriodeproblemas,aunquemásbiensonejercicios, la Hay tambiénenlaRedmaterialquesepuedebajarpara trabajar laresolucióndeproble- https://twitter.com/matesymas En estamismalínea,estánlosdeproblemasOlimpiadasMatemáticasqueofrecen http://ntic.educacion.es/w3/recursos/primaria/matematicas/porcentajes/index.html# http://contenidos.educarex.es/mci/2010/42/inicio.html También enlamismalíneaestánpáginascomodelportalEducarex,deJunta de http://recursostic.educacion.es/primaria/cifras/web/colegio/colegio.html http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/3/WebC/eltanque/default.htm http://www.cuadernosdigitalesvindel.com/libres/cmates.php http://www.cuadernosdigitalesvindel.com/libres/fproblemas.php http://www.interpeques2.com/trabajos/actividades/problemasmenu.htm http://www.polavide.es/Banco_problemas/index.html Entre laspáginasqueofrecencoleccionesdeproblemasaritméticosescolares,enun Casas Gar cía, José Luis Torres Carvalho - http://www.earlystatistics.net/?page=scenarios para trabajar conestadística,dirigidosaprofesoresyalumnosdeEducaciónSecundaria mos niveles deSecundaria,enlapágina com/category/0-3-matematicas/15-estadistica-y-probabilidad/ ces aactividades enlapáginade laprofesora Luisa Mª Arias: http://luisamariaarias.wordpress. En la siguiente página,creada a partir de un proyecto europeo, se proponen escenarios http://www.estadisticaparatodos.es/taller/taller.html También seofrecenpropuestasdetrabajo entemasconcretosestadísticapara losúlti- Orientada concretamentealaenseñanzadeestadística,seproponennumerososenla- Resolución de pr oblemas en matemáticas y TIC . Pr opuestas actuales y perspectivas de futur o 171

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de solución de los problemas. A partir de ellas, propone una serie de actividades prácticas Hace referenciaalacomprensión delasoperaciones ydelosenunciadosoalprocedimiento ria yseñaladiferentesdificultadesquelosalumnospresentanen laresolucióndeproblemas. vidad, elrazonamiento, desarrollodeestrategias olacolaboración entrelosresolutores. aula ydesarrollarhábitosactitudespositivas frentealtrabajo escolar, estimulandolacreati- de lasmatemáticas.Muestra numerososproblemasdediferentesniveles para practicar enel Castro etal,1995Ferrero, 1991;Figueras, 1994;García, 1992, 2005;Luceño,1996). el objetivo de favorecer el trabajo sobre la resolución de problemas (Borralho y Borrões, 1995; tas osugerenciasquenosfacilitaríanunarelacióndeactividades quenosayudaría aalcanzar dieran laimportanciaquemerecen. que, también,deberíanserpartedelaevaluación. Elloayudaría para quelosalumnos le actividades concretasymotivadoras, adaptadasasunivel demaduración. tación desituaciones,realicenestimacionesoformulenconjeturas, esnecesariopartirde desarrollen suspropiasestrategias, osefamiliaricenconprocesosdeexploración yrepresen- car, resolver yreflexionarsobrelosproblemasplanteados.Siqueremosquealumnos pias delprocesoderesoluciónproblemas,quesesugierenpara formular, abordar, planifi- realización deestasactividades permitiríaalosalumnosadquirirdeterminadasrutinaspro- rentes procesosquesonimportantesenlaRPMy, queenocasiones,quedanolvidados.La centrar laatenciónyreflexióny, consecuentemente,elaprendizajedelosalumnosendife- blemas, queserviríanamododeentrenamientoenelaprendizajepara resolver problemas. sugieren unaseriedeactividades específicasenlasdiferentesfasesdelaresoluciónpro- de ModeloIntegrado deResoluciónProblemasMatemáticos(MIRPM-Capítulo7)nos 1. Introducción Figueras (1994)aportauntrabajo interesanteyútilpara losmaestrosdeenseñanzaprima- Ferrero (1991) haceunaimportanteintroducciónsobreelpapeldeljuegoenlaenseñanza En las publicaciones sobre resolución de problemas podemos encontrar propuestas concre- Dado queestasactiviades formaríanpartedelaprendizajedelosalumnos,entendemos Es porelloque,enestecapítulo,nosproponemosdesarrollaractividades sencillaspara De manera explícitao implícita, el análisis del currículo (Ver Capítulo 2) y la propuesta Activid sobre ades específicas la resolución de Lorenzo J. Blanco Nieto Capítulo 11 para pr oblemas primara

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ManaluesUex dades que facilitaría alcanzar las competencias señaladas en relación a la resolución de problema: maestros enformaciónunmaterialconcretoquepuedanutilizarlasaulasdeprimaria. la idoneidaddesupropuestaenenseñanzaobligatoria.Elobjetivo esproporcionar alos fuera delcontextoescolar. Quelesayuden aentenderygeneralizar lasestrategias. posibles ylautilizacióndeprocedimientossoluciónútilespara cuandoelalumnoesté análisis ycomprensióndelassituacionesiniciales,olabúsquedalomásreales (Decreto, 2007,p.7913). (Decreto, 2007,p.7915).O, también:“Invención deproblemasapartirsituacionesdadas” 2) quenosmuestran estaidea:“Formular problemassencillosenlosqueseprecise...“ en elcurrículo.EncurrículodePrimariaencontramos Unidadesde Análisis (Ver Capítulo sentan. Hay que recordar que la formulación o invención de problemas es algo que se sugiere tos yoperaciones aritméticasimplicadasenlosproblemasylassituacionesqueestosrepre- su razonamiento yelección. partir deunproblemayvarias solucionesescogerlabuenasinhaceroperaciones, explicando los alumnosredactenelenunciadodeunproblemaquesepuedaresolver conella.O, a alumnos antelosproblemas.Ello,lesugiereproponerqueapartirdeunaoperación concreta descubrir quétransformación seharealizadoyexpresarloaritméticamente. que losniñosexpresenlaoperación representada.O, dadaunasituacióninicialyfinal pasar deunaacciónaoperación. Setrataría deescenificarunasituaciónmatemáticay semántica yrepresentaciónsintácticaenlaresolucióndeproblemas.Por ejemplo,propone diferentes dondequiereinsistirenelprocesodemanipulación,transformación, expresión que ayudarán adesarrollarestrategias personalesderesolución. Así, proponesieteactividades Lorenzo J. –  –  –  –  –  –  –  –  –  –  Cuando analizamoselcurrículodeprimariaencontramos múltiplessugerenciassobreactivi- Consecuentemente, iremosproponiendosituacionesconcretasyreflexionandoacerca de Es, pues,necesarioseñalar actividades que provoquen y ayuden a losalumnosenel Esta propuesta, nos recuerda la importancia de las actividades para relacionar los concep - También indica actividades concretas a partir de suanálisis sobre las dificultades de los Elaborar yutilizarinstrumentosestrategias personales. Establecer unplandetrabajo para resolver losproblemas. Representar lasituacióndescrita. mismo. Analizar el enunciado para especificarlosdatosimplíticoseexplícitos yelobjetivo del Comprender lasituaciónpara extraerla informaciónrelevante ylaqueno. Identificar yselecionarlasvariables yrelacionarlas. Expresar conclaridadyprecisióninformaciones,datosargumentaciones. Comprensión endetalledelasituaciónplanteada. Producir einterpretardistintostiposdeinformación. Inventar yformularproblemassobrediferentescontenidos. Blanco Nieto precisar máslaaplicaciónrealde lasoperaciones sugeridas. podremos concretarlamássile añadimos datosnuméricosconcretos.Esestecaso,deberán genérica dandosituacionesenlasquepodríautilizarseunaoperación determinada. Pero, multiplicación, lasfracciones ylasecuaciones.Estaactividad podríaserresueltademanera solución. Elalumnopodráobservar quenoesmásfácilinventar problemasqueresolverlos. relaciones entreobjetosmatemáticosimplicadosquepasaninadvertidas enlosprocesode permite acercarse alosproblemasdeotra manera. Seentenderáyreflexionarásobrealgunas 2.1. puedan presentarseendiferentescontextos(Ver Capítulo6). adquirir oreforzarelsignificadodelasoperaciones aritméticasenrelaciónasituacionesque que puedanserresueltasconalgúnprocedimientomatemáticolopermitiráalosalumnos fORMular/invent 2. cuenta diferentesaspectosqueresaltamos: blemas. Para ellohemosseleccionadoalgunasactivades quehemosconsiderado teniendoen tores areflexionaryconsiderar algunosfactoresqueintervienenenlaresolucióndelospro- anteriores. Para ejemplificarestetipode actividad vamos aseñalartrescontenidosespecíficos:la Inventar problemas a partirdeotrosoque impliquen conceptos y/o procesos matemáticos, Las actividades quevamos aplanteartienencomo objetivo general identificarsituaciones – – – – – – Por nuestra parte,hemosseleccionadosdiferentesactividades queayudarán alosresolu- Y, finalmente,podríamosseñalarlareferenciaespecíficaaevaluación delosapectos –  –  –  –  –  Inventar oformularproblemasqueserealicencondistintosalgoritmosprocesos entre lasactividades deaula. Útiles para losniveles deenseñanzaobligatoriayque,porlotanto,debieran figurar Motivadoras, quesorprendanydespierteninterésenelresolutor. educativos. Que puedansemodificadas,yadaptadas,fácilmente,aotroscontenidosniveles Sencillas yconnormasclaras para entenderyejecutar ñanza delamatemática,engeneral ysobrelaresolucióndeproblemas,enparticular. Que seansusceptiblesdereflexionessobreaspectosconcretosenrelaciónalaense- Que favorezcan eldesarrollodehabilidadesmentales Evaluar, encadamomento,elprocesoseguido. Comunicar yvalorar losresultadosytomardecisiones. Comprobar lasoluciónsisehaencontrado. Anticipar/estimar lasoluciónalproblema. Verbalizar elprocesoseguidoyrazonamiento utilizado. ar problemseinterpret Activid ades específicas p ar primari ar situa sobre la resolución de problemas ciones 175

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ManaluesUex seguido yelsignificadodelosconceptosoperaciones implicadas. Así, podemosproponer: apartirdeunasituaciónconcreta,preguntarporlaoperación adecuadaalaacción 2.3. matemático. otras, aceptamos diferentes formas de expresión lo que nos permite profundizar en el lenguaje encontrar, almenos,10relacionesdiferentes.Eneltrabajo deestaactividad, aligualqueen interesantes. raciones aritméticasodeconceptosmatemáticospuestoquenospermiteestablecerrelaciones ción queseresuelve devarias operaciones. Ello,ayudaría areforzarelsignificadodelasope- una operación queserealizaenunasituaciónconcreta.Podremos plantearunamismasitua- 2.2. Lorenzo J. – – Nos planteamosconestetipodeactiviades para generalizar einteriorizarelproceso Cuando propongoestaactividad alosestudiantespara maestrolesindicoquedeben Y utilizarestasrelacionespara enunciarunproblemaconcreto. – O recordarrelacionesyconceptosaritméticos – – Es fácilrecordarelorigendelamultiplicacióncomosumasumandosiguales. Podemos plantearlepreguntardirectamentealosresolutoresporlautilidad derealizar a partirdeunasituaciónconcreta,preguntarporelsignificadolaoperación realizada – – – – – – – – Respecto delamultiplicaciónplanteamoslassiguientesactividades: (Luceño, 1986,p.140). “Si supieras loquecuestanvarios lápices,¿cómoaveriguarías loquevale uno?” 1986, p.140). “Si supieras loquevale unlápiz.¿Cómocalcularíasloquevalen varios?”. (Luceño, relación entrelosnúmeros5y25?” “Si comprobamosque25eselcuadrado de5,¿quépodemosdeciryescribirla “Una chocolatina cuesta60céntimos,¿quéaveriguamos sisumamostresveces 60?”. “Una chocolatina cuesta60céntimos,¿quéaveriguamos simultiplicamostrespor60?”. Enunciar unproblemaqueseresuelva conlaecuación2x+10=40. Enunciar unproblemaqueseresuelva conlaoperación 2/3x1/6; Enunciar unproblemacuya resoluciónimpliquelamultiplicacióndefracciones. Enunciar unproblemacuya resoluciónimpliquelasumadefracciones. Enunciar unproblemaquerelacionelosnúmeros88y22. Enunciar unproblemaqueimpliqueelconceptodedoble. Enunciar unproblemaqueseresuelva conlaoperación 23x56. Enunciar unproblemaqueseresuelva conunaoperación demultiplicar. Blanco Nieto céntimos; 1chocolatina 30c.;regaliz20chupachups, 20 c.)(Figura 1). esos datos. para desarrollarunahistoriaqueimpliqueunproblemamatemático. datos, undibujo,gráfico,unatabla,osucesióndeviñetas puedenserunbuenmotivo de plantearsituacionesquelesayudarían aformulardiferentesproblemas.Unasucesiónde f 2.6. volumen delcono. análisis delafigura ylainteriorizacióndelasvariables queaparecenenlafórmuladel pregunta queseleexplicita,tengasentido. surgir delacuriosidadantesituacionescotidianas. Así, seindagaporsituacionesdondela 2.5. capítulo 9). del cuadrado apartirdelasdiagonales,mediantelaaplicaciónexpresióndxd/2(Ver llevar al‘descubrimiento’dealgunosalumnoscuandoseindicaquepodemoscalcularelárea conceptos yprocesospara utilizarladiagonalcomodatoinicial.Estaactividad nospuede algunos alumnosseñalarán,también,aldiámetro.Deigualmanera, siproponemos: las degeometríaescolaryrelacionesentrelosconceptosimplicados. 2.4. A partirdelosdatosquenosaporta lospreciosdeunkioskochucherías (Chicle,5 Sabemos queBeatriztenía80cromosyMiguel45cromos, formular problemascon Podemos porponerles alosresolutoresunconjuntodedatospara queellosseancapaces Enunciar unproblemacuya preguntasea“¿Cuáleselvolmen delcono?”implicael – – – – Una situaciónsimilaralaanteriorpodemosplantarlapartirdepreguntasquepueden Es interesantecomprobareldebatequeseproduceapartirdeestapreguntabuscando La diagonaldeuncuadrado mide8cm.¿quépodemosaveriguar apartirdeestedato?” Es usualquelaprimera respuestahagareferenciaalradio. Pero, demanera inmediata – Estas actividades son,especialmente,útilespara comprenderelsignificadoenlasfórmu-

Redactar enunciadosdeproblemasapartirdeterminadaspreguntasocuestiones Plantear supuestosapartirdeunafórmulaoexpresiónmatemática ormular problemasapartirdedatosexplícitos ¿Cuál eselvolumen delrecipiente? ¿Cuál eselvolumen delcono? ¿Cuántos kilómetrosrecorrieron? ¿Cuántos lápicescompróBeatriz? π?”. entre “La longituddelacircunferencia es17cm.¿Quéconoceremossidividimos 17 Activid ades específicas p ar primari sobre la resolución de problemas 177

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ManaluesUex T Lorenzo J. quen relacionesentrediferentes variables queaparecen enunafórmulaconcreta. analizarunasituaciónpara deducirotras ideas 2.7 y deformulaciónproblemas(Tabla 1). 5. At. deMadrid 4. Valencia 3. RealMadrid 2. Barcelona 1. Deportivo abla Podemos plantearlealosresolutoresactividades específicasconelobjetivo dequebus- La clasificacióndelosequiposprimera división defútbol,comoorigen depreguntas c 1. F igura 1. Kioskoigura (http://www.salamancalia.es/2977/empresas-alimentacion/kiosko-chuches.aspx). Blanco lasificación Nieto 5

de Puntos

equipos 26 27 29 31 33 30

de Partidos

fútbol 15 15 15 14 15 J . 10 G 8 7 9 9 20 2 6 2 4 3 E 5 2 4 1 2 P 20 Goles 16 21 25 40 26 F 19 13 13 15 11 C blema ydiscriminarlosdatos,evitando laresoluciónautomáticadelosmismos. 3.2. 3.1.  enunciado para darlesentidoalaactividad. damente. Nospermitirántrabajar sobrelosdatosnecesarioseintroducirmodificacionesal que utilizamosy/odesechamos encadacaso,porserononecesariospara constestaradecua- a lasituacióny los datosaportados.Elanálisis de losresolutoresrequeriráseñalar datos tiones quehemosseñalado,generando hábitosadecuadosderesoluciónproblemas. ción delosalumnosenseñanzaobligatoriaquecomprenderánlaimportacialascues- problemas. cuestiones quequeremostrabajar yqueestánenlabasedeerroressoluciónlos rentes procesosmatemáticosútilespara laresolucióndeproblemassonalgunaslas atención enlarealizacióndeactividad, análisisdelenunciado,significadodelosdife- tegia desolución.Comprensiónlectora, latraducción delasituación/problemaplanteado, atención delosresolutoresenanalizarlassituacionesplanteadasantesdiseñarlaestra- aNálisis/comprensióndelenunciado y/o situa 3. Situaciones deestetipoinducenalosalumnosdetenerseante elenunciadodelpro- Los problemasenunciadosnecesitarándeunalectura comprensiva del textoenreferencia Por ello,consideramos conveniente proponeralgunasactividades quellamaránlaaten- Las actividades queproponemosenesteapartadotienencomoobjetivo general fijarla – – – – – Enunciados deproblemasdondefaltendatosoquetenganpreguntas inesperadas concreto Reconocer datosmezclados,superfluosoinnecesariosapartirdeunenunciado 8 litroscada100km,¿Cuántosgastaráen250km?(Adaptado deFerrero, 1991). Paloma va enautomovil deBadajozaMadridcuya distanciaesde400km.Siconsume a Rodrigo? regaliz ysegasta40céntimos¿CuántotieneMiguelmásque Valle?, ¿Cuántolequeda Rodrigo tiene2euros,Miguel3eurosy Valle 1euroy50céntimos.Rodrigocompra caben másde50metroscúbicosagua.¿Quépodemosaveriguar del depósito? El radio delabaseundepósitocilíndricoes1m.Sabemosqueenelcilindrono caben másde50metroscúbicosagua.¿Quépodemosaveriguar del depósito? El ladodelabasecuadrada deundepósitomide2m.Sabemosqueenelno 1995, 21) 2 litros ¿Quéinformaciónutilizamospara obtenertalconclusión?(Castroetal, Sabemos queelradio delbidónde Abel mide5cm. Al bidónnolecabenmásde Activid ades específicas p ar primari ción sobre la resolución de problemas 179

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ManaluesUex (Figura 3). hace algúntiempo,quePaulos (1996)recogió yqueadaptamosaloseuroslaépocaactual tal comoseejemplificaenlaFigura 2. tado seríagratificante para losalumnos.Podemos desarrollarlaactividad amododecuento, mas. Por ello, sugerimosactividades comolas queproponemos,enprimerlugar, cuyo resul- 3.4. análisis delainformacióndada 3.3. alguna cuestionespara reflexionar: reiterada algunascuestionespara reflexionarsobrelasactividades anteriores. Así, formulamos los dosúltimos. caso puedenresolver 200+300;oelsegundoconunamultiplicación20x4,resta aparentemente lógicoperoquenosecorrespondeconlasituaciónplanteada. Así enelprimer en suansiedad por encontrar laoperación aritmética adecuada,planteeun procedimiento Lorenzo J. Actualmente laredhapuestodemodaunaactividad quesecontabaconrealesypesetas Analizar lainformacióndadaenelenunciadoesnecesario laresolucióndeproble- – – – Cuando trabajamos enelauladeformacióninicialmaestrosplanteamosmanera En laresolucióndelasactividades anteriorespodemosencontrar quealgunosresolutores, – – – – – – – – algorítmico Enunciados deproblemascuya estructura sugierealgúntipodeprocedimiento “¿Qué conceptosyprocesohanaparecidoenlasnuevas propuestas?” “En lasituaciónplanteada,¿quéotras cuestionespodríamosproponer?” “En lasituaciónplanteada,¿estábienformuladapregunta?” Tengo 20caramelos ymecomotodosmenos8,¿Cuántosquedan? Mirian tiene14cromosysegastó2euros,¿Cuántoslequedarán? niños?. (Luceño,1986). Si unniñotardaeniralaescuela20minutos,¿cuántosminutostardaráncuatro la distanciademicasaapescadería(AdaptadoFerrero, 1991). Hay 200 metros de mi casa a la pescadería, 300 de la pescadería al colegio. Calcula 7 enotra, 6enotra y8enlaúltima,¿cuántasparadas hizo?. Hugo semontóenunautobúsquerecogió3pasajeroslasalida,5unaparada, primo Iván.¿cuántosañostieneHelia? La edadde Abel eseldobledelasuhermanaHelia,quemitad rán? (AdaptadodeFerrero, 1991). Para pagar7litrosdeleche entregamosunbilletede50euros.¿Cuántonosdevolve- mide 7metros¿Cuáleslalongituddecuerda?. Raúl tiene unacuerda compuesta de dos trozos, uno azuly otro rojo.El trozo azul Blanco Nieto cepto para abordarcuestionesmatemáticas. ciudadanos aanalizarcuestiones quetienenver conlasmatemáticasypocoautocon- curioso queesteresultadoencuentre acomodoenladesconfianzayrenunciademuchos está enlasituaciónplanteada,sino ensupresentaciónoral queorientahacialaparadoja. Es des deexpresiónycomprensiónmatemáticaquemuchos ciudadanostienen.Elproblemano —“Algo no anda bien aquí”,—“Algo murmuró. no anda cabeza. la rascó tutor se El año”. que cada tenemos feria de días siete los cuenta he en tomado siquiera yni cama, yen enfermo estar para —“Ya días ve”, sólo “me cuatro Jaime continuó deja tan Jaime escribió estas cifras mientras hablaba, después sumó todos los días. La suma daba 361. daba suma La días. los todos sumó después hablaba, mientras cifras estas escribió Jaime año” al días 30 de más que libre, suman tiempo de diarias Y,año. horas menos dos al al comer, 45 de que para son más días diarias horas tres Necesito verano. de vacaciones de días Tenemos por año. 104 días 60 que suman domingos, los ni sábados, los clase No hay 24 horas. de es día suponiendo que cada año, al 122 días dan que, sumadas, diarias horas ocho —“Duermo madre. asu Jaime escuela”, la explicaba —“Pero para tiempo no tengo del euro que falta y se lo cuenta al gerente que también queda desconcertado. queda gerente que también al lo cuenta yse que falta euro del sido qué ha que no ya sabe botones baja nervioso 59 el situación euros’. esta suman Ante quedado que me he 2euros más por 3son 57 uno euros, ‘19 cada ycuenta: pagado que ha euros reflexiona que devuelto). 19 le ha euro botones menos el El (20 hombre euros pagado euros ha que cada de cuenta da se tarde, Más él. para restantes dos los guardó yse uno acada 1euro botones le dio hombres, el tres los entre 5euros los repartir para adecuadas monedas las porque no encontraba bien, 3o, 5entre más dividir para dificultades porque tenía Bien sea que devuelva. los se para botones al euros cinco Entrega más. de sólo 55 cobrado ha y que vale les que habitación la euros de cuenta da gerente se el habitación, la en están ya Cuando euros. 20 paga huésped mente, cada Consecuente euros. 60 de habitación una en instalan hotel yse un en Tres hombres inscriben se Este ejemployelcontextojocosoenqueusualmenteseplantea, muestra lasdificulta - Sábados y domingos Comidas (3 horas diarias) (3 horas Comidas TOTAL Sueño (8 diarias) horas Vacaciones de verano de Vacaciones Tiempo libre (2 horas diarias) Tiempo (2 libre horas F . Ejemplo de cómo desarrollar una actividad a modo de cuento. de desarrollar una Ejemplo amodo actividad cómo de 2. igura F Problema de Paulos de Problema (1996) 3. igura actual. ala época adaptado . . . . Activid . ades específicas p 122 días 104 días 104 361 días 361 60 días 60 30 días 45 días 45 ar primari sobre la resolución de problemas - 181

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ManaluesUex Lorenzo J. 4. para trabajar enaula. sugerida, explícitaoimplícitamente,puedellevar alosresolutoressituacionesinteresantes tos añosvivió? (Castroetal,1995, 18). tal actividad. ciones para induciralosresolutoresanalizarenunciadosyseñalarlelaimportanciade tradicionales deloslibrostexto.Consideramos queelprofesordebeaprovechar esassitua- recursos tecnológicosnosinidicanprocesosvariados para laoperación suma. escritos segúnlossistemasdenumeración (sistemaromanoodecimal),elcálculomental que se utilizan a modo de calculadora en una edad infantil (y adulta), diferentes algoritmos evidentemente quepodemosutilizardiversos algoritmospara resolver unasuma.Losdedos cos. Así, podemoshablardeunmismosignificadopara laoperación suma,peroes dices seancapacesdeencontrar elsignificadodelosconceptosyprocesosalgorítmi- ¿Es realmente una estafa el anuncio, o es una excusa de la mujer para no comprarla? mujer la de para excusa una oes anuncio, el estafa una realmente ¿Es estafa”. una es Esto le gritó: “No anuncio, llames. el atentamente leer tras y, periódico el cogió teléfono, de número el Beatriz marcaba propietario futuro nuestro Mientras vende. queseñora la ala inmediatamente Llamaré euros. piden sólo 6.000 ganga; una es Esto Mateo. aclaró —No, sorprendida. cupón?- el dijo Beatriz tocado ¿te ha me dices?, —¿Qué mano. la de periódico el soltar ysin alborozado Mateo —gritó ¡Voy parcela! parcela! —¡Una una acomprarme Los problemas de Geometría y la búsqueda inmediata de recordar y aplicar la fórmula Al comprar unpantalónde45euros,merebajaronel115%.¿Cuántocostó?. Arquímedes nacióenelaño212antesdeCristoymurió287Cristo.¿Cuán- Pero, enocasiones,tambiénpodemosencontrar situacionesinteresantesenenunciados Uno delosaspectosfundamentalesenlaenseñanzalasmatemáticasesqueapren- Signific Blanco ado delosprocesos aritméticos eométricos y g Nieto F Problema de geometría: “Comprar una parcela”. “Comprar geometría: de Problema 4. igura 300 pt 108 me s/ m 2 tr os 195 me C a Ct on 4 ra tr Km

os lu de z

Se de y a

villa Ba gua da

jo z 75 me tr os 4.1. conceptos yprocesosenlalógicainternadeestosúltimos. indicadas. Por ello,proponemosactividades quepermitencentrarnos enelsignificadodelos mienta, enlaresolucióndelosproblemas,para facilitareldesarrollodelascapacidades desarrollo delosalgoritmosaritméticos(operaciones yfórmulas)tendríanunpapeldeherra- mento másynonecesariamenteelprincipalenlosproblemasdematemáticas.Esdecir, el presentárseles enlavidareal,podríamosasumirquelasactividades decálculosonunele- de describir, analizar, interpretar, tomardecisiones,etc.endiferentessituacionesquepuedan sión (Figura 6). (Figura 5).Enelsegundo,veremos quelarepresentacióndelproblemafacilitasucompren- notación resulta decisiva para tener la seguridad de que hemos alcanzadola solución primaria yunrecursoútilenmatemáticas.Damosdosejemplosdeello.Enelprimerola te falta ninguno falta te que de no seguridad la ypor qué tienes hay, contados cuántos has los cómo escribe Luego, Figura. la en que aparecen triángulos los todos contar que permita te claro método un Intenta encontrar ¿Cómo deberían distribuirse las cinco monedas los dos primeros? dos los monedas cinco las distribuirse deberían ¿Cómo anteriores. comensales alos monedas cinco da pero pan, ningún que no aporta tercero un llega comenzar, Al segundo. el ytres, panes dos aporta primero El comida. la comparten personas Dos Si elobjetivo delaresoluciónproblemasesdesarrollarenlosalumnoscapacidad El usodenotacionesorepresentacionespara resolver problemasesfundamentalen Introducción deunanotaciónpara resolver elproblema F Problema de geometría: “Contar todos los triángulos los la de figura”. todos “Contar geometría: de 5. Problema igura F Problema que incita a su representación para su para comprensión. incita que asu representación Problema 6. igura Activid ades específicas p ar primari sobre la resolución de problemas 183

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ManaluesUex precisos entodoslosproblemas escolares.Enalgunassituacionespara estimacionesnoses refleja lasituaciónreal,debellevarnos acuestionarlanecesidadderealización decálculos precisamos deestimacionesyno necesariamentedecálculosexactos.Estasituación,que 5.2. utilización delaestimaciónycálculomental,comoprocedimiento deresolucióndel 5. Lorenzo J. 5.1. propondremos actividades quepermitanalosresolutoresdesarrollarestascapacidades. con losprocedimientospropiosdePrimaria,para resolver losproblemas.Conscuentemente, deben elaborar, utilizaryexplicaroralmente yporescritodiversas estrategias, personaleso mente aparecenenelcurrículo.Podríamos asumirqueelcurrículoseñalalosaprendices “…Valorar lasdiferentesestrategias…” (Decreto,2007,7924),soncuestionesqueexpresa- de soluciones,ylaexpresión,oral yescritaenelprocesoseguido”(Decreto,2007,7920) observar lafacultaddeemplearmásunprocedimientoyperseverancia enlabúsqueda ción deestrategias personalesderesolución”(Decreto,2007,7920)olasugerencia“… problemas esunodelosaspectosmásrepetidosenelcurrículoprimaria. Así, la “utiliza- para laresolucióndeproblemas,siemprequeelloseaposible(Figura 7). conocimiento. Esconveniente queenPrimariapodamosdesarrollarestrategias manipulativas ser resueltosutilizandodiferentesestrategias quesecorrespondencondiferentesniveles de aldeano? aldeano? del dudas las justificadas ¿Están venta. sobre la duda le aunque quedó cierta aldeano, el Aceptó justo. si lo veis reales, diez pagaré os cordón palmos dos de este con que atemos que mazo por el Así reales. cinco me cobrasteis palmo, un de cordel el con pude atar que que por espárragos los acordaréis Os cordón palmos. dos que mide este con vengo —Aquí vendedor: ydijo al mozo el presentose días dos A los mercancía. la llevó yse pagó conforme, mostró se mozo yel reales cinco aldeano el Pidió él. con atar que pueda espárragos de mazo por el me cobraréis cuánto ypregunto palmo, un que mide cordel este —Ved conmigo que traigo le dijo: y así mercado, el en vendedor espárragos de aun mozo un acercose día que cierto historia vieja una Dice Son múltiplesveces que,ennuestra actividad diaria,abordamossituacionesenlasque La referencia a lanecesidaddeelaborar/diseñar estrategias (enplural) para resolver los Los librosdeproblemasmatemáticasnospermitenseleccionarquepueden Diseño eleccióndeestra problema Diseñar estrategias condiferentesniveles deconcreción Blanco Nieto F igura 7.igura manipulativas. propicia estrategias que de Problema el desarrollo tegias 6. que exijandelosalumnoslaexplicación deltrabajo realizado. La capacidaddecomparar las a partirdealgunascuestiones.De estamanera, alfinalizar elproblemaplantearemosactividades problema debefinalizarconunareflexiónsobreelprocesorealizado, quepuedevenir indicado Partir deuncasoparticular Suponer elproblemaresuelto. problema resueltoopartirdeuncasoparticular. estrategias generales usualesenlosproblemasdematemáticas,comopuedensersuponerel 5.3. soluciones posiblesyqueelalumnoelijalaleparecemásadecuada. siempre queseaposibleyaposteriori,confrontarloconelresultadoexacto. a lacalculadora. Siutilizamoslasestimacionesatravés delcáculomentalesconveniente, más cómodoyútildesarrollarelcálculomentalsinnecesidadderecurrirallápizpapelo Si bienelproblematerminacuandoseencuentra lasolución,activad deresolución – – – Es conveniente seleccionaralgunosproblemasquenospermitanevindenciaryasumir Muchos – Los problemasdeestimacionespuedenplantearse,también,apartirpresentarvarias – Revisión delproblema y delasolución Problemas para evidenciarestrategias generales deresoluciónproblemas y noséquedecirleenelfuturo.¿Quédebodecidir? me dioaelegir, primeroeldescuentooimpuesto. Todavía nohesalidodedudas, cuento del20%,pero,teníaquepagarunimpuesto15%.El tendero,amigomío, El otrodía,enunatienda,meencontréconlasiguientesituación: mehacíanundes- ganador. ¿Cuáleslaestrategia ganadorade estejuego? que elotroindique,hastaunodelosdoslleguealveinte, queseráproclamado Dos jugadores,partiendodeceroouno,van añadiendounoodosalacantidad piso 2º. ¿Encuálsemontó? Javier se montó en el ascensor, bajo 5 pisos, subió 6 y bajó 7. Y, ahora está en el Menos de15 Más de15ymenos50 Más de50ymenos100 Más de100 ¿y durante unmes?. En Reyes meregalaronunmóvil, ¿Cuántosmensajesowasp escriboenunasemana? ¿Cuántos estudianteshay enelcolegio? Activid ades específicas p ar primari sobre la resolución de problemas 185

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ManaluesUex Bibliografía nuestro propósitoalplantearestasactiviades. debemos proponeractividades deevaluación que evidencienquelosalumnoshanasimilado manifiesto yquelosalumnosasumanpareceunobjetivo necesario. la actividad deresoluciónproblemasyquesemuestran enloscurrículos.Ponerlos de que losalumnosaprendanaresolver problemas.Sonnumerososlosheurísticosqueimplica 7. Epílogo — — — — — — — — capacidad degeneralización ydetraducción delproblemaasituacionessemejantesonuevas. mostrarían lacomprensiónasimilacióndelresolutordeactividad realizadayayudaría ala mas similares y de replantear el mismo problema con otra estructura diferente son aspectos que estrategias seguidas cuando hayamos utilizado más de una; la importancia de formular proble- Lorenzo J.

1996. PAULOS, JA. Unmatemáticoleeelperiódico. Tusquets Editores.(Metatemas44).Barcelona, Números, 2009,n.71,p.75–85.Recuperado de: BLANCO, B;BLANCO, LJ.Contextosyestrategias enlaresolucióndeproblemasprimaria. http://www.sinewton.org/numeros/numeros/71/Articulos_03.pdf Marfil, 1986. LUCEÑO, JL.Elnúmeroylasoperaciones aritméticasbásicas:supsicodidáctica. Alicante: 1992, nº6,p.14-21. GARCÍA, E.Ideas,pautasyestrategias heurísticaspara laresolucióndeproblemas. Aula, p. 20-34. FIGUERAS, E.Leer, escribir, comprendermatemáticas.Losproblemas.Suma,1994,nº19, FERRERO, L.EljuegoylaMatemática.Madrid:LaMuralla, 1991. de Granada, 1995. CASTRO, E. ET AL. vas metodológicas.Évora: Universidade deÉvora, 1995. BORRALHO, A; BORRÕES,MOensino/aprendizagemdamatemática: Algumas perspecti- Al mismotiempo,ydadoquelaevaluación debeformarpartedelprocesodeenseñanza Las activades mostradas y otras que podamos planteartienen como objetivo fundamental – – – Así, conelproblemaresuelto,podremosplantearlesalosresolutores: De losprocedimientosutilizados¿cuálnosresultamásfácil?¿Cuálgustamás? implicados enelproblema? ¿Qué hemosaprendidodelproblema?conceptosyprocesosmatemáticosestán ciones obienquesiganunprocedimientosimilar. Inventar problemassimilaresalosresueltos,bienconotrosdatosy/oenotras situa- Blanco Nieto Resolución de problemas en el tercer ciclo de E.G.B. Granada: Universidad

dad, yseñalaquelaactividad fundamentaldeestosresolutores esmásmecánicaquereflexiva. libros detextosuponelaaplicaciónalgúnprocedimientoofórmula estudiadaconanteriori- mas. EnPinoyBlanco(2008)seindicaquelamayoría delosproblemasqueaparecenen tes ylastareasexigidasalosresolutoresnospermitiránestablecer diferenciasentrelosproble- cuya resoluciónexigirádiferentestareaspara elresolutor. Deigualmanera, loscontextos ofuen- repetidos enlaenseñanzadelasmatemáticas,peroexistendiferentes maneras depresentarlos con el objetivo dereconocer o practicar algún procedimiento aritmético oalgebraico usualesy general entreproblemayejercicio quehasidoampliamenteanalizada.Losejercicios aparecen las actividades matemáticas. analizado enelcapítulo6encontraremos suficientescriteriospara realizarclasificacionesde mismo tiempo,recordamoslosreferentes(contexto,formato, fuentes ytareas)quehemos rentes conocimientosyhabilidadesquenospermitenestablecerdiferenciasentreellas.Si,al blemas dematemáticas. situaciones matemáticasquesepresentancuálesdeellascorrespondenaauténticospro- hemos citadoenelpárrafo anterior. Por tanto,quedaacriteriodellectordiscriminarenlas encontraremos actividades matemáticasquenoseenmarcan enelconceptodeproblemaque vida cotidiana.Situacionesasí,sondifícilesdeencontrar enlaprácticaeducativa (Cruz,2006). y deproporcionar formasdeactuaciónpara enfrentarlosdesafíosdelaciencia,técnicay verdaderamente complejas,capacesdepotenciareldesarrollo del pensamientodelosalumnos, “ estamos refiriendoalaversión trivializada delosejercicios contexto,tambiénacuñadoscomo dero dilema para la enseñanza de la matemática. Cuando hablamos de problemas no nos dicotómicas yotras quesonbastantemásexhaustivas. En eltranscurso delcapítuloencontraremos categoríasdeproblemasquesonfrancamente clasificación y, porotra parte,unmismoproblemapodríaperteneceramásdeunacategoría. variedad desituacionesquesepuedenpresentar, esprácticamenteimposibletenerunaúnica para losproblemas,ellasdependendecriteriosqueseanutilizados. Además, porlagran currículo escolar. Comoesfácildesuponer, existendiversas yvariadas formasdedistinción para varias delastipologíasquesepresentan,tratando decubrirdistintasáreasyniveles del word problems” en lengua inglesa. Por el contrario, aquí el término se refiere a situaciones En el currículo, y en los libros sobre resolución de problemas, se establece una diferencia En elcurrículo,yenloslibrossobreresolucióndeproblemas,se estableceunadiferencia La resolucióndelastareasquehemospropuestoencapítulosprecedentesimplicadife- Sin embargo,enlastipologíasdeproblemaquepresentamoslospárrafos siguientes Como sehadicho encapítulosanteriores,laresolucióndeproblemasconstituye unverda- En estecapítuloanalizaremosalgunasclasificacionesdeproblemasydaremosejemplos Tipos de pr oblemas Capítulo 12 Juan Pino Ceballos de matemáticas 187

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ManaluesUex Juan Pino Ceballos 1. diversos tiposdeproblemas. incorporando ejemplospara cadaclaseconelpropósitodeayudar alacomprensióndelos tado seexplicanconmayor grado dedetallevarias delastipologíasdelprimerapartado, amplias categorías y luego aquellas que incluyen más de dos categorías. En el segundo apar exhaustivas. En los primeros párrafos incluimos las que clasifican los problemas en dos máticas ysudidáctica,haciendoladistinciónentreclasificacionesdicotómicasotras más generales dealgunaslastipologíasproblemasmásdivulgadas enelcampodelasmate- los problemas‘maldefinidos’establecerobjetivos formapartedelproblema. se puedeidentificarfácilmentesihaalcanzadolasolución” (Pozo etal,1994,p.23).En Pozo etal(1994), señalanque“unproblemabiendefinidooestructurado esaquelenelque senso sobre los objetivos y se consideran resueltos cuando el resolutor alcanza ese objetivo. mal estructurados. Así, losproblemasbiendefinidosseríanaquellosenqueexiste uncon- blemas bienymaldefinidosdeSimon(1973)Frederiksen (1984)sobreproblemas bieny aportaciones entalsentido,delosqueextraemos lasreferenciasdeSimon(1973)sobre pro- (Noda, 2000,p.20).Estaautora ensu Tesis Doctoral realizaunestudioacerca lasdiferentes dos ymalestructurados, queenexpresióndeNoda(2000)“quedanvagamente delimitados” y problemascerrados, problemasbiendefinidosymaldefinidos,estructura- dicotómicas. Así, podemosencontrar problemasrutinariosynorutinarios,abiertos ciona algunasexpresionesqueconectanentresí,nosreferimosaciertasclasificaciones hallan inmersosenelmundopropiodelasmatemáticas. aquellos problemasqueestánfuera delas matemáticas,mientras quelosproblemaspurosse los primeros son los que surgen de contextos reales, el mundo real concebido como todos aplicados ypuros,para elloconsidera elcontextocomocriteriopara establecersutipología, sólo doscategorías,eselcasodeBlumyNiss(1991)quetipificalosproblemasen sión (Polya, 1986).Hay varios autoresquehacenestetipodeclasificaciones,considerando ver hay incógnita,datosycondición,enunproblemadedemostrar hay hipótesisyconclu- partes queconstituyen elproblemasondistintassegúnseacaso,enunporresol- y “problemapordemostrar”, elcriteriodedistinciónserefierealobjetivo delproblema.Las problema. Estematemáticomencionasólodostiposdeproblemas:“problemaporresolver” e IsodayOlfos(2009),queclasificanlosproblemasdematemáticassegúndiferentescriterios. (1996), Díaz y Poblete (2001), Fan y Zhu(2006), Juidías yRodríguez(2007),Pino Blanco (2008) Borasi (1986),Blanco,(1993),Borasi y Abrantes (citadoporBoavida, 1993), Vila (1995),Puig traducido avarios idiomas,podemoscontinuarcitandoaButts(1980),CharlesyLester(1982), máticas. A partirdeG.Polya, en1945,consuconocidolibro“How tosolve it”quehasido Este capítuloseestructura endospartes.Enelprimerapartadopresentamoslosaspectos La revisióndetrabajos sobrelaclasificación delaresoluciónproblemasnospropor La clasificacióndePolya recogeladistinciónquehacíanlosgriegos,entreteoremay Numerosos autoreshanpropuestoclasificacionesdelasactividades yproblemasdemate- Revisión de algun as clsific a ciones sobreprolemasdem temátic as - - tidas seránnecesarias?Y, finalmente,problemasmal estructurados donde laformulaciónno para jugaruncampeonatoenelquejugarántodoscontra todos,unasolavez. ¿Cuántaspar que noestaríaexplícitoenelenunciado.Por ejemplo:Enunclubdetenishay 35jugadores riores peroelresolutordeberíadiseñartotaloparcialmente elprocedimientoderesolución, blemas estructurados querequierenpensamientoproductivo, queseríansimilaresalosante- de unalgoritmoconocidoypodríacomprobarsefácilmentesu correcta resolución.Lospro- mas bienestructurados estaríanclaramente formuladosyseresolverían medianteaplicación de clasificación la estructura, formulación y método de resolucióndel problema. Los proble- establece trescategoríassobrelaestructura delosproblemas,esteautorutilizacomo criterio problemas debúsqueda. tras quecuandoelresolutortienecrearunprocedimientodesoluciónsetrata de blema yhadejustificarqueeseprocedimientoesadecuadopara obtenerlasolución;mien- problemas deaplicacióncuandoelresolutorconoceunprocedimientopara resolver elpro- algoritmo de formaautomática, se tratará de un tiene quehaceresbuscarenlamemoriaelresultado;mientras quesihadeejecutarun blema, presentalassiguientesclases:ejercicios dereconocimientosielresolutorloúnicoque sería loquecaracterizaría alosproblemasabiertos. La posibilidaddevarias solucionesy, simultáneamente,diferentesestrategias desolución solucionarlo, obien,elproblematienevarias soluciones”(IsodayOlfos,2009,pp.99-100). problema esabiertopara unestudiantesiéstenodisponedeprocedimientosestándarespara raleza sonabiertosseñalandoque“enelámbitodelamatemáticaescolarsediceun abierto. Enestemismocontexto,IsodayOlfos(2009)planteanquelosproblemaspornatu- tarea. Silasituacióndepartidaollegadasonabiertas,entoncestenemosunproblema y llegada.Enunproblemacerrado elinicioyfinalestánexactamenteexplicadosenla Esta distinciónserefierealgrado deexactitudladescripciónlassituacionespartida logías más importantes es la clasificación, no exhaustiva, entre problemasabiertos y cerrados. ción alasituacióndepartidaysoluciónpedida.Para Pehkonen (1997),unadelastipo- siderados. Por ejemplo:¿Cuántocuestauncoche? sean reformulados.Suresoluciónrequierediferentesprocesosycriteriosquedebensercon- bien definida,ydondelainformaciónpuedeserinsuficienteoexcesiva, loquenecesita nos encontramos enlavidadiaria.Setrata deproblemasquenopresentanunaestructura el otroextremoestánlosproblemasmalestructurados quesonsimilaresalosproblemas para verificar lasolución;porejemplo:calcularelvolumen deunaesfera deradio 5cm.En ciado, lasreglaspara encontrar lasolucióncorrectasonclaras ysetienencriteriosdefinidos escolares dondetodalainformaciónnecesariapara resolverlos estácontenidaenelenun- del problema.Losproblemasbienestructurados sonaquellosqueencontramos enlostextos mas “malestructurados”; elcriteriodeclasificaciónserefierealaestructura yformulación trabajo deSimon(1973),enelquedistingueentreproblemas“bienestructurados” yproble- Noda (2001)ySantos(2007),tambiénsehacenecodeltrabajo deFrederiksen (1984)que Puig (1996),utilizandocomocriteriodeclasificaciónelmétodoresolucióndelpro- Otros autorestambiénhacen la distinciónentreproblemasabiertosy cerrados, enrela- Con respectoalaestructura delosproblemas,Noda(2001)ySantos(2007)recogenel ejercicio algorítmico. Además, considera los Tipos de problemas de matemáicas - 189

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ManaluesUex 2.1. 2. docente, siemprequeestéenrelaciónconlosobjetivos aconseguir. el queplantean que eldiseño y seleccióndetareas escolares es la funciónmásrelevante del Rico yLupiañez(2008),enelanálisisdelastareasqueseproponenInformePISA, problemas queincorporamos hemostenidopresentelosniveles decomplejidadqueindican puedan servirnosdebasepara plantearlos. A esterespecto,enlaeleccióndelosdiferentes diferentes actividades quepuedanproponerseenprimaria,asícomodiferentesrecursos demos hacerunaclasificaciónexhaustiva deproblemas,perosíesnecesarioconocer mas diferentesdeafrontarlos,tantodesdelaperspectiva cognitiva comoafectiva. Nopreten- datos necesariospara obtenerlasolución(Figura 1). Problema contexto va acompañadadeunejemplo. elementos estructurales danorigenalassiguientescategoríasdeproblemas.Cadacategoría las solucionesyelmétododeaproximaciónpara alcanzarlasolución(Borasi, 1986). Tales problemas considerando lossiguientescriteriosdeclasificación:elcontexto,laformulación, interés enmejorar laenseñanzaderesoluciónproblemas,elabora unatipologíade de losprimerosaprontesenlatareaaclarar distintasclasesdeproblema.Motivada porsu al considerar quelasfronteras entreinvestigación yproblemas esmuydifusa. Scott (2000)yBraumann (2002)serefierenalasactividades deinvestigación anivel deaula su clasificaciónlos“problemasdeinvestigación matemática”yPonte etal.(1999),Staceyy Continental, losquedetallaremosmásadelante. utilizaron enunestudiocomparativo entrelostextosescolaresdeEstadosUnidosyChina comentadas enestosúltimospárrafos, Fan yZhu(2006)presentanvarias clasificacionesque criterios para determinarcuándolasoluciónsehaconseguido.Enelsentidodelastipologías estaría clara, sinunprocedimientoinmediatoquegarantice lasoluciónydondefaltarían Juan Pino Ceballos billete de 10 euros. El sándwich cuesta 6 euros y la bebida 2,5. ¿Cuánto le devolverá la cajera? la le devolverá 2,5. ¿Cuánto bebida yla 6euros cuesta sándwich 10 de El billete euros. un cajera ala entrega pagar Para bebida. yuna sándwich un ycompra cafetería ala va Inés Rosa Se trata deproblemasformuladosatravés deuntextoenelquesedaconprecisiónlos Raffaella Borasi, educadora delasmatemáticasitalianaradicada enE.Unidos,realizauno En elapartadoquesigue,queremosmostrar diversos tiposdeproblemasqueexigenfor En cuantoalastareasdeinvestigación matemáticaenelaula,Blanco(1993)propone Clasific La clasificacióndeBorasi a ciones y ejemplosp F Ejemplo de problema con texto según Raffaella Borasi. Raffaella según 1. texto con Ejemploigura problema de ar c ad a tipo - procesos matemáticos(Figura 3). formulación puederesultarengañosaylasoluciónnotienenecesariamentequesuponer de lamatemática,enqueelresolutornecesitaserflexibleyconsiderar varias perspectivas. La Puzle algoritmo. Ejercicio propiedad matemática(Figura 4). Prueba deunaconjetura pavimentar (teselar) con esas 3 figuras. Considere que cada figura mide 4u2 mide figura que cada Considere 3figuras. (teselar) esas con pavimentar que puede se menor del rectángulo dimensiones las Determinar distintos. 3tetraminós Utilizando 5x -12 ecuación la Resolver =18 Demostrar que si a y b son números naturales impares, entonces a + b es un número par. número un a+bes entonces impares, que naturales si aybson números Demostrar Son aquellosproblemasenqueelcontextonosmuestra elpotencialcreativo yrecreativo Son aquellastareasoactividades matemáticasquepretendendesarrollaralgúntipode En estetipodeproblemaloquesetrata eslademostración deunteoremaocierta F Ejemplo de problema de una conjetura según Raffaella Borasi. Raffaella una de conjetura según Ejemplo 4. problema de igura F igura 3 igura F igura 2. Ejemplo ejercicio de 2. Borasi. Raffaella según igura . Ejemplo de problema de Puzle según Raffaella Borasi. Raffaella Puzle de . Ejemplo según problema de Tipos de problemas de matemáicas 191

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ManaluesUex pregunta específicaounaconsignaacerca deloqueelalumnotienerealizar(Figura 7). la informaciónqueproporciona lasituación.Unacaracterística distintiva esquenohay una los alumnosconelpropósitodeestablecernuevas relacionesopropiedadesenrelacióncon ellas sepresentanciertoshechos opropiedadesmatemáticasquerequierendelareflexión Situación mulaciones delproblema,sonfundamentales(Figura 6). aproximación suelenserdiversos; ylaexploración delcontexto,asícomolassucesivas for vaga, puestoqueenestecasosetratan deestablecernuevas conjeturas; losmétodosde tea unapreguntaabiertasobreciertapropiedadmatemática.Laformulaciónesregularmente disponer detodalainformaciónnecesaria.Por logeneral, setrata deunasituaciónqueplan- Situación problemática modelo, ylatraducción alasituaciónrealpara analizarlavalidez delasolución(Figura 5). matemático delasituación,aplicaciónprocedimientosytécnicasmatemáticasal Problemas delavidareal Juan Pino Ceballos vale 23 euros, calcular el costo total de la pintura. la de total costo el calcular euros, 23 vale pintura de galón Si un cuadrados. metros 40 de aproximada área un cubre pintura de Un galón (incluyendo bases). sus estanque el pintar necesita se manutención de efectos los 16,5 Para metros. de es altura yla 5metros de es radio El cilíndrica. forma tiene agua almacenar para Un estanque como 2+3.como porque escribir puede se Por ejemplo: escala en número un consecutivos. 5 es naturales números omás dos de suma la como son escribir que los pueden se que “números los Considere escala” en suma? palabra la por producto palabra la enunciado dicho en si cambiamos ocurre ¿Qué única. es primos números de producto en natural número un de descomposición que la establece Un fundamental teorema Son aquellastareasquefacilitanlaformulacióndeconjeturas porpartedelalumno. En En estetipodeproblemaselresolutorseenfrentaaunnuevo resultadomatemáticosin Los problemasdelavidarealsuponentresprocesosbásicos:creaciónunmodelo F F Ejemplo de problema de la Borasi. Raffaella 5. de Ejemplo vida problema según real de igura igura 6. Ejemplo situación Borasi. Raffaella de 6. según problemática igura F igura 7.igura Ejemplo situación de Borasi. Raffaella según - ritmo numérico(Figura 9). Ejercicios algorítmicosoderepetición 2.2. oportunidades para aprenderapensarporsímismos. perspectiva quepara aprendermatemáticashay que“hacermatemáticas”yproporcionarles ticas alosalumnosquelespermitanutilizarestrategias cognitivas denivel superior, enla configurar sutipología.Sinembargo,sonsituacionesquepermitenpresentartareasmatemá- autora incluye estascategoríasporqueestánenconsonancia conloscriteriosqueutilizapara mas propiamentetalescomolamayoría delosprofesoresentienden.Pensamos quela una definiciónoproposicióndeunteorema(Figura 8). Ejercicio dereconocimiento enseñanza delasmatemáticas. establece los siguientes tipos de actividades en relación con la resolución de problemas en la les ycontenidos.Deacuerdoconloanteriordealgunasotras aportaciones,Blanco(1993), todo estoporlaenormediversidad deproblemasquepuedenproponersediferentesnive- intersecciones entrelosdiversos apartadosyapareciendoactividades dedifícilcatalogación, que considerar que ninguna clasificación puede ser exhaustiva, estableciéndose siempre (1991, p.62),comocriteriopara establecersutipologíadeproblemas.Noobstante,tenemos das porButts(1980),CharlesyLester(1982)Borasi (1986),yquehasintetizadoenBlanco en unaclasificacióndeproblemas,laquehaconsiderado aportacionesanterioresrealiza- actividades puedeplantearseapartirdediferentespropuestasqueelautorcitadohaordenado validar, conjeturar, analizar, contar, medir, sintetizaryordenar, etc.Eldesarrollodeestas organizar, representar, idear, generalizar, comparar, explicar, diseñarydesarrollarmodelos, alumnos unaseriedetareasquelespermitan:abstraer, aplicar, convencer, clasificar, inferir, Resolver la ecuación 5x + 8 –7=2x ecuación la Resolver agudo? ángulo otro el mide 57°, mide ¿cuánto rectángulo triángulo un de agudos Uno ángulos los de Son ejercicios quepuedenserresueltosconunprocesoalgorítmico,amenudo algo- Los dosúltimostiposdelaclasificaciónBorasi, enestrictorigor, nodescribenproble- Con estetipodeejercicio sepretenderesolver, reconocerorecordarunfactorespecífico, Blanco (1991)planteaquehacermatemáticasenclasedeberíaconsistirproponeralos La clasificacióndeBlanco F igura 9. Ejemplo ejercicio J.Blanco.igura de Lorenzo según algorítmico repetición ode F igura 8. Ejemplo ejercicio J.Blanco. Lorenzo 8. de según reconocimiento igura de Tipos de problemas de matemáicas 193

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ManaluesUex matemática (Figura 11). problemas. Nohay informaciónprecisaquepermitatraducir elenunciadoaunaexpresión Ayudan adesarrollarestrategias generales decomprensión,planificaciónysolución solución. Estetipodeproblemasintentaejemplificarlosprocesosinherentesasu claramente delimitada,dándoselaposibilidaddeconjeturar varios caminospara encontrar la Problemas deprocesos ces detraducir situacionesdelmundorealaexpresionesmatemáticas(Figura 10). ticos ydelashabilidadescomputacionaleslosalumnosconseguirqueestosseancapa- a elegirelalgoritmoadecuado.Sequierereforzarlacomprensióndelosconceptosmatemá- en losqueelmétododesoluciónsereduceainterpretarcorrectamenteproblema,esdecir, implícitamente, indicarlaestrategia aseguir. Sonlostípicosproblemasdelibrostexto blema aparecetodalainformaciónnecesariapara laresolucióndelmismoysuele, ción delenunciado,oral oescrito,aunaexpresiónmatemática.Enelenunciadodelpro- Problemas detraducción simpleocompleja Juan Pino Ceballos minutos, ¿cuánto habrá que pagar por el arriendo del salón? del arriendo por el que pagar habrá ¿cuánto minutos, y15 2horas de ceremonia una hacer para salón el Si contrata se por hora. euros 30 de adicional cobro un más 100 de euros, fija tarifa una tiene oceremonias reuniones realizar para Un salón Un hexágono tiene 9 diagonales, ¿cuántas diagonales tendrá un polígono de 10 de polígono un lados? tendrá diagonales ¿cuántas 9diagonales, tiene Un hexágono Son problemasquesediferenciandelosanterioresenlaformacálculonoaparece Son problemasformuladosenuncontextoconcretoycuya resoluciónsuponeunatraduc- F igura 10. traducción simple de Ejemploigura problema de J.Blanco. Lorenzo ocompleja según F igura 11. J.Blanco. Lorenzo según igura procesos de Ejemplo problema de de unprocesomatemático(Figura 14). engañosa. Suresolución puede depender más de una chispa o que normalmente el contexto y la formulación que se hacen de estos problemas suele ser Obliga a flexibilizar la forma de enfrentar el problema y a considerar varias perspectivas ya Problemas depuzles (Figura 13). elemental muchas veces noaparezcan,causándolesunperjuicioanuestrosestudiantes ciles yunaltoconocimientomatemático,loqueprovoca queenlosniveles deenseñanza como “Probarque...“;“Encontrar todoslos...“;“Para que...es...?”,etc. algún modelopara encontrar lasolución.Enestasactividades sonusualeslasexpresiones ciones puedennocontenerningunaestrategia para representarlos,ysugierenlabúsquedade Problemas deinvestigación matemática (Figura 12). ayudan acomprenderelsignificadodelasmatemáticasysurelaciónconlarealidad estimaciones, cálculodelasmedidas,procesosanálisisysíntesis,perosobretodo y representarlosdatos,dándolesignificadoalasdecisionesquesetomen. ponderante para encontrar lasolución.Esunaherramienta queayuda aorganizar, sintetizar matemáticos alconsiderar otrostiposdeinformación,lasmatemáticasjueganunpapelpre- ran elusodehabilidades,conceptosyprocesosmatemáticos. Aunque noseantípicamente Problemas sobresituacionesreales ¿cuántas entradas de niño y de adulto se deben vender para recaudar una cantidad de 1550 de cantidad una euros? recaudar vender para deben se adulto yde niño de entradas ¿cuántas 10 vale euros, adulto de entrada yla 5euros vale niño para entrada Si la personas. 200 para dad capaci tiene sala la teatro, obra de una de presentación la programado ha Se ciudad. aotra curso del gira una hacer para dinero de recolección de actividades varias realizando están se curso el En estará el número 718? número el 19657? número el ¿y estará qué ¿en columna 6columnas, de tabla una en naturales números 20000 primeros los ordenan Se Son problemasenlosquesepretendemostrar elpotencialrecreativo delasmatemáticas. Este tipodeproblemassueleasociarseconactividades queimplicanconceptosdifí- Son problemasdirectamenterelacionadosconcontenidosmatemáticos,cuyas proposi- Estos problemasdanoportunidadalaconstruccióndediagramas, alarealizaciónde Se trata de plantear actividades lo más cercanas posibles a situaciones reales que requie- F igura 13.igura investigación de Ejemplo problema J.Blanco. Lorenzo de matemática según F Ejemplo de problema sobre situaciones reales según Lorenzo J.Blanco. Lorenzo 12. situaciones según reales sobre igura Ejemplo problema de idea feliz quede la ejecución Tipos de problemas de matemáicas - 195

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ManaluesUex ticas (Figura 15). fuente detemasinteresantesyque,además,permitenmotivar elaprendizajedelasmatemá- res clásicos como Lewis Carroll, Malba Tahan, MartinGardner y otros, constituyen unabuena de nosotrosunesfuerzoqueimpliquenalgúnconceptomatemático. Algunos textosdeauto- tos, novelas, entrelosqueencontramos algunaspropuestasoplanteamientosquerequieren Historias matemáticas Juan Pino Ceballos Explicar utilizando procedimientos matemáticos por qué el Rey no podría pagar tal recompensa. tal pagar no podría por qué Rey el matemáticos procedimientos utilizando Explicar ajedrez. de tablero del historia La cuadrado de 8 por 8 unidades. ¿Es cierto, entonces, que 65 entonces, cierto, ¿Es =64? 8por 8unidades. de cuadrado un construye se ellas ycon 4regiones en divide se 13 de por 5unidades Una rectangular región Frecuentemente podemosobservar enlaslibrerías,obibliotecas,algunoslibrosdecuen- el trigo de su país alcanzaría a pagar semejante suma (Perelman, 1975). (Perelman, suma semejante apagar alcanzaría país su de trigo el todo con que de ni cuenta dio se cuando ira en pronto trocaría se alegría su pero seguida, en accedió súbdito modesto este de petición modesta por la rey, tablero” El del encantado casilla última ala llegar hasta sucesivamente yasí cuarto, el en ocho tercero, el en cuatro segundo, por el dos cuadrado, primer por el trigo de grano un que con me paguéis conformaría soy hombre yme le modesto, dijo: “Majestad, Seta recompensa. su escoger permitió que le encantado quedó tan rey El columnas. yocho filas ocho en dispuestas ynegras blancas alternativamente casillas, y cuatro sesenta con tablero un en yque jugaba se guerra la emulaba que juego un ajedrez, señor presentó asu el Seta tiempo algún Pasado entretenerle. de capaz juego un que creara Seta, llamado sirvientes, sus de inteligente más Ordenó al gozar. podía ellos de que ninguno de placeres tantos de y rodeado rico tan Sheram, llamado hindú rey poderoso un había oAfganistán), Pakistán actual el en (seguramente India la de noroeste Al F F igura 15. J. Blanco. Lorenzo igura Ejemplo según historias matemáticas de igura 14. J.Blanco. Lorenzo igura Puzles según de Ejemplo problema de mente. Setrata deunasimulaciónlarealidadoparte(Figura 17). Problema decontextorealista y comprometelaactituddelalumnoenmisma(Figura 16). Problema decontextoreal rando elcontexto,losautoresincluyen loscuatrotipossiguientespara problemasrutinarios. Muchos delosproblemasquesepresentanenlibrostextosonestetipo.Conside- mente aprendido,unalgoritmoounarutina,quelepermitandeterminarla(s)solución(es). una descripcióndelosproblemasrutinariosensentidocontrario alosnorutinarios. mente losproblemasnorutinarios.Por tratarse decategoríasquesondicotómicasharemos ticos (DíazyPoblete, 2001). problemas reales,realistas,fantasistasypuramente matemá- naturaleza tenemosproblemasrutinariosynorutinarios,segúnelcontextomencionan:los problemas considerando como criterio lanaturaleza y elcontexto de losmismos.Segúnsu es bastantegenéricaporloquesepuedeaplicarenotroscampos.Estosautoresclasificanlos 2.3. fundamento enlarealidad(Figura 18). Problema decontextofantasista o fracción de 200 m. ¿Cuánto habrá que pagar al taxista por un recorrido de 1300 m? 1300 de recorrido por un taxista al que pagar habrá ¿Cuánto m. 200 de o fracción metros 200 por cada 0,5 euros 1,5 de más fija euros, cantidad una en consiste taxi un de tarifa La razones? estas de concluir objeto. puedes ¿Qué cada de longitud yla diámetro el entre razón la vinilo,…). de antiguo Calcula disco un bicicleta, de (un rueda CD, plato, una un tamaño tinto dis de objetos circulares tres de circunferencia la de longitud yla diámetro el hilo un con Mide Un problemaseenmarca enuncontextorealistasiessusceptibledeproducirse real- Un problemaseenmarca enuncontexto real siseproduceefectivamente enlarealidad Problemas rutinariossonaquellosenqueelresolutorconoceunprocedimientoprevia- Con respectoalprimercriteriodeclasificación,estosautoressólodescribenexplícita- Si bieneltrabajo quepresentanestosautoresserefierealcampoalgebraico, sutipología Un problemaseenmarca enuncontextofantasistasi esfrutodelaimaginaciónyestásin La clasificacióndeDíazyPoblete F igura 17.igura Díaz (2001). yPoblete según realista contexto de Ejemplo problema de F Ejemplo de problema de contexto real según Díaz (2001). yPoblete según real 16. contexto de Ejemplo problema igura de Tipos de problemas de matemáicas - 197

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ManaluesUex acceso alasoluciónesinmediatamente evidente(Figura 21). conocido, fórmulaoprocedimiento para obtenerla solución, y, porlogeneral, el caminode Problemas rutinariosyproblemasno basadas enlibrosdetexto. El criteriopara clasificarqueutilizaronestosautoresserefiereaunamezcladeaportaciones Para talefecto,utilizaronlas categoríasdeproblemasquedamosaconocercontinuación. matemáticas quesepresentanentextosescolaresdeChinaContinental yEstadosUnidos. 2.4. procedimiento previamenteestablecidoorutina,para encontrarla (Figura 20). Problemas norutinarios geométricas, etc(Figura 19). sivamente aobjetosmatemáticos:números,relacionesyoperaciones aritméticas,figuras Problema decontextopuramente matemático Juan Pino Ceballos el perímetro de la figura?, y ¿con el área? el y¿con figura?, la de perímetro el con ¿qué pasa medidas, estas ayb. miden Si duplicamos lados cuyos rectangular región una Dada 8nuestro? el hasta siguientes números los seres, extraños estos nombrarán, ¿Cómo 4 nuestros. 1, números los 3y 2, …” indicar cuaterna, para ti, te, “ta, dicen: dedos sus usando cuentan ellos cuando mano, cada en dedos dos tienen habitantes sus extraterrestre civilización lejana una En y el otro de 3 dígitos. ¿Cómo podrá la mamá reconstruir la tarea yresolverla? tarea la reconstruir mamá la podrá ¿Cómo 3dígitos. de otro y el 2dígitos de uno a5, yque eran números los igual resultado que tenía sustracción una que había es que recuerda único Lo matemáticas. de tarea la aescribir que no alcanzó mamá asu Pepe dice Un problemarutinarioesaquel para elcualresolutor puedeseguirunciertoalgoritmo Fan yZhu(2006)hicieronunestudiocomparativo delosdistintostiposproblemas Problemas norutinariossonaquellosenqueelalumnoconoceunarespuestaniun Un problema se enmarca en un contexto puramente matemático si hace referencia exclu- Las tipologíasdeF F Ejemplo de problema de contexto puramente matemático según Díaz (2001). yPoblete matemático 19. según puramente igura contexto de Ejemplo problema de F Ejemplo de Problema de contexto fantasista según Díaz (2001). yPoblete según fantasista 18. contexto de Ejemplo Problema igura de F Ejemplo de problema no rutinario según Díaz (2001). yPoblete rutinario no Ejemplo según problema 20. de igura an yZhu resolución estáincluidoeneltextodelproblema(Figura 23). incluido enunproblemaesrelevante para resolverlo yquetodoloesrelevante para su riencia escolarquetodoslosproblemastienensolución,cualquierdatonumérico en ecuacionesmaldisimuladas.Enestetipodeproblemaslosalumnossabenporsuexpe- a mododeviñetasverbales loquehacelosenunciadosdemuchos problemasdegeneran sobre susexperienciasyelmundoreal,seelaboran deformasemánticamenteempobrecida blemas que no invitan o desafían, a los alumnos, para que activen y utilicen su conocimiento incorporamos algunoselementosquelosdescribensegúnReusseryStebler(1997):sonpro- Problemas tradicionales yproblemasnotradicionales nos esunamanera eficazdelograr experienciasdeaprendizajepositivas (Figura 24). También esinteresanteconsiderar queelactodeplantear unproblemaporpartedelosalum- generar situacionesoriginalesoreformularunproblema desdeunasituaciónestímulodada. forma másclara yayudarles aadquirirunacomprensiónmásprofundadeél.Sepueden o invención deproblemaspuedeayudar alosestudiantesver untemaestándarenuna los estudiantescreenpreguntasusandolainformacióndadaen situación.Elplanteamiento problemas deproyectos yproblemasdediarios. describimos acontinuación:planteamientooinvención deproblemas,tiporompecabezas, mente disponiblepara resolver elproblemaporlosestudiantes(Figura 22). sólo la aplicación de un algoritmo estándar, fórmula o procedimiento, que suele estar fácil- El perímetro de un terreno rectangular es de 48 m. ¿Cuál es su área? área? su es ¿Cuál m. 48 de es rectangular terreno un de perímetro El rectángulo? del área el es ¿Cuál ancho. de y5cm. 12 largo de mide cm Un rectángulo de alambre podrá hacer? podrá alambre de pedazos ¿Cuántos uno. cada metros 2,5 de pedazos en alambre de metros 20 corta Un electricista Los autorescitadosnodescribenexplícitamentelosproblemastradicionales, sinembargo La primera claseesplanteamientooinvención deproblemas,enestecasoserequiereque a) Por otra parte,losproblemasnotradicionales sonpresentados encuatrocategoríasque Por otra parte,unproblemanorutinarioesunasituaciónquesepuederesolver con Planteamiento oinvención deproblemas F Ejemplo de Problema tradicional según Reusser y Stebler (1997). tradicional 23. Ejemplo yStebler Problema Reusser de igura según F Ejemplo de Problema no rutinario según Fan rutinario no (2006). yZhu Ejemplo según Problema 22. de igura F igura 21. Fanigura rutinario Ejemplo (2006). yZhu según Problema de Tipos de problemas de matemáicas 199

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ManaluesUex Juan Pino Ceballos diantes ydesupropiaenseñanza(Figura 27). estudiantes, los profesores pueden obtener información útil sobre el aprendizaje de los estu- nes, sucomprensiónpersonaloacerca denuevos aprendizajes. A través deloescritoporlos los estudiantesaescribiruntextopara expresarsusideas,experiencias,preguntas,reflexio- hasta elfinal(Figura 26). una cantidadconsiderable detiempo(por ejemplo,unpardedías,semanasoinclusomeses) comunicar. Losproblemasdeproyectos, porlogeneral, requierenquelosestudiantestomen buscar referencias,identificar, medir, analizar, determinarpatronesorelaciones,graficar y tareas queimplicanunoomásdelossiguientesprocesos:recoleccióndatos,observación, través delasmatemáticasrecreativas (Figura 25). zas queamenudopermitenlosestudiantesparticiparenunposibleenriquecimiento y escriba algunas preguntas o problemas que a usted se le ocurran (traducido de Silver et al, 1996). (traducido al, et Silver de le ocurran se que austed oproblemas preguntas algunas y escriba medidas otras de mesas para situación esta de acerca 24, piense ejemplos los Figura la de Observe vez. sólo una rebotar de después B, punto el en recorrido su 4por 2yfinaliza de mesa sobre una desplaza se pelota ejemplo la el En 2, sobre lados. los 3veces punto rebotar de D, el en después recorrido su ytermina por 4unidades 45°. de 6 de mesa sobre una ángulo un ejemplo el En 1, siguiendo desplaza se bola la trayectoria su continúa 45°. de mesa la de lado sobre un rebota bola ángulo la un Aen Cuando esquina la desde golpea se bola que abajo. una Suponga más representa se como billar, de mesa una Imagine La últimaclasedeproblemasnotradicionales sonlosproblemasdediariosqueincitana d) En la tercera clase encontramos los problemas de proyectos, que son tareas o series de c) En lasegundaclasedeproblemasnotradicionales tenemosaquellosdeltiporompecabe- b) Problemas dediarios Problemas deproyectos Tipo rompecabezas D A F Ejemplo de Problema no tradicional no 24. Ejemplo Problema de -Planteamientoigura oinvención problemas de Ejemplo 1 según Fan (2006). yZhu según C B D A Ejemplo 2 C B

situación, ynoserefierealasmaneras deenfocarlasituación. Problemas definalabiertoyproblemascerrados. haga las llamadas para determinar sus costos. (McConnell et al., 1996; citado en Fan y Zhu, 2006). 1996; yZhu, al., Fan en et citado (McConnell costos. sus determinar para llamadas las haga No semana. la yde momentos día del diferentes tener que puede considerar Usted duración. distinta de llamadas las para distancia larga de empresas dos de tarifas las Compare diferente. área de código opueblo que un ciudad tiene auna vive donde de usted telefónicas llamadas las de tarifas las Busque +b2 =c2. que a2 demostrar para áreas de Use equivalencia figura. otra yconstruya piezas sus todas recorte figura, siguiente la Dada Dibuje tres configuraciones posibles que permiten armar un cubo. un armar que permiten posibles configuraciones Dibuje tres acontinuación. que muestran se las como tamaño, mismo del 6cuadrados con configuraciones hacen Se tradicional. cálculo de procedimiento el usar sin dígitos dos de números multiplicar para ideas sus con Mural, Diario el en publicar folio, para un de texto un Redacte Un problemadefinalabiertoesunconvarias omuchas soluciones(Figura 28). Esta clasificaciónhacehincapiéenelcarácterabiertodelasrespuestas definitivas ala F Ejemplo de Problema no tradicional – Tipo rompecabezas según Fan (2006). yZhu según tradicional 25. no Ejemplo Problema de rompecabezas igura –Tipo F Ejemplo de Problema no tradicional – De proyectos según Fan (2006). yZhu según tradicional no Ejemplo Problema 26. de proyectos –De igura F igura 27.igura tradicional no Ejemplo Problema de diarios Fan –De (2006). yZhu según F Ejemplo de Problema de final abierto según Fan (2006). yZhu según final de Ejemplo abierto Problema de 28. igura Tipos de problemas de matemáicas 201

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ManaluesUex Juan Pino Ceballos matemáticos (Figura 30). cia prácticaenlavidacotidianaoelmundoreal,podemosdecirquesonpuramente Problemas aplicadosyproblemasnoaplicados. solución, noimportalacantidaddediferentesmaneras quehaya para llegaraella(Figura 29). pios estudiantes(Figura 32). datos sontomadosapartirdesituacionesrealesopercibidas delavidacotidianalospro- mente creadosporelautordelproblema(Figura 31). se distinguendossubtiposdeproblemas:ficticiosyauténticos. el contextodeunasituaciónlavidareal.Entrelosproblemasaplicación,enesteestudio Calcular el volumen de un cilindro recto de radio basal 4 cm y altura igual a12 cm. igual yaltura 4cm basal radio de recto cilindro volumen un de el Calcular Gibraltar? de estrecho del anchura la es 1.es ¿Cuál por 11, resultado el por 20, lo divide ydivide metros, en -9, medido -4 le suma le resta estrecho del Si ancho el Atlántico. Océano el desde Mediterráneo mar al entrada la es Gibraltar de Estrecho El embaldosar el patio? el embaldosar para necesitan se baldosas ¿cuántas largo, de por 4m ancho mde 2,5 que mide rectangular patio cm., un por 40 40 de cuadradas cerámicas con embaldosar desea María Ana de papá El por hora? 120 de km media velocidad auna si lo hace recorrido mismo el realizar en automóvil el demora ¿Cuánto por hora. 100 de km media velocidad auna va cuando B, ciudad Aala ciudad la que desde va trayecto el recorrer en Un horas emplea 2,5 automóvil Un problemanoaplicadoesunasituaciónqueestárelacionadaconalgunaexperien- Por otra parte,unproblemadefinalcerrado esunproblemaquesólotieneunasola En tantoquelosproblemasdeaplicación Los problemasdeaplicaciónficticiossonaquelloscuyas condicionesydatossonficticia- Por elcontrario, unproblemaaplicadoesrelacionadocon-oquesurgeen- F Ejemplo de Problema de aplicación de Ejemplo 32. Problema Fan de (2006). yZhu según auténtico igura F igura 31.igura aplicación de Ejemplo Problema Fan de (2006). yZhu según ficticio F Ejemplo de Problema de final cerrado según Fan (2006). yZhu 29. según final de Ejemplo cerrado Problema igura de F Ejemplo de Problema no aplicado, no Ejemplo Fan Problema 30. de (2006). yZhu según igura auténticos sonaquelloscuyas condicionesy datos insuficientes(Figura 36). pletar lainformaciónfaltante,entonceselproblemaesconsiderado comounproblemacon suficiente para obtenerlasoluciónynoesesperable niposiblequeelresolutorpuedacom- problema, seconsidera comounproblemacondatosextraños (Figura 35). insuficientes Problemas condatossuficientes,problemasextraños yproblemascondatos como problemasdeunsolopaso(Figura 33). Problemas deunpasoyproblemasmúltiplespasos ción queseentregaesexactamente lasuficientepara resolver elproblema(Figura 37). llaman problemasdevarios pasos(Figura 34). euros y en el segundo recreo gastó otros 5 euros. ¿Cuánto dinero le quedó al terminar la jornada? la terminar le quedó al dinero ¿Cuánto 5euros. otros gastó recreo segundo el yen euros 3 gastando kiosco el en compró golosinas recreo primer el En 10 escuela. ala trajo euros Rosa Carlos? tiene libros ¿Cuántos poemas. de y3libros cuentos de 5libros tiene Carlos ¿Cuánta agua contiene un estanque de forma cilíndrica que 1,5 tiene diámetro? mde cilíndrica forma de estanque contiene un agua ¿Cuánta Josefa? de mamá la compras de bolsa su en que cargar tuvo kilos ¿Cuántos patatas. de y3kilos limones de 2kilos palta, de 1 kilo naranjas, de 3kilos compararon verdulería la En N°9. bus el en mucho fueron se caminan cuando cansa yse 5años solo tiene Josefa Como verdulería. ala acomprar fueron mamá ysu Josefa En otrosentidosilainformaciónproporcionada enunproblemanoesesencialmente Si unproblematienemásinformaciónocondicionesquelassuficientespara resolver el Los problemasquesepuedenresolver directamenteatravés deunaoperación sedefinen La otra categoríaserefierealosproblemascondatos suficientes,enlosquelainforma- Por el contrario, los problemas que se resuelven aplicando dos o más operaciones se F Ejemplo de Problema con datos insuficientes según Fan (2006). yZhu insuficientes según datos con Ejemplo Problema 36. de igura F F Ejemplo de Problema con datos extraños según Fan (2006). yZhu según extraños 35. datos con Ejemplo Problema de igura Ejemplo de Problema de múltiples pasos según Fan (2006). yZhu según múltiples de Ejemplo pasos Problema 34. de igura F Ejemplo de Problema de un solo paso según Fan (2006). yZhu según un 33. paso solo de Ejemplo Problema de igura Tipos de problemas de matemáicas 203

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ManaluesUex Juan Pino Ceballos de problemapresentadoenunaformapuramente matemática(Figura 38). tanto lasituacióncomopresentacióndelosdatospara lapregunta. forma visualyproblemasenunacombinacióndeformas. Problemas enformatopuramente matemático,problemasenformaverbal, problemasen forma dros, tablas,diagramas, mapas,etc.,entoncesesteproblemaseclasificaenlosproblemas en formaverbal (Figura 39). palabras solamente, entonces el problema está codificado en la categoría de los problemas combinación dedosotreslasformasanteriores(Figura 41). situaciones distintas. tres en naturales números Verifique que “si a+c

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ManaluesUex — — — — — — — — — — — — — — — — — — Juan Pino Ceballos      ZDM MathematicsEducation,2007, nº39,p.523—536. SANTOS, M.Mathematicalproblemsolving:anevolving research andpractice domain. 2008. Madrid: Alianza, RICO, L;LUPIÁNEZ,JL.Competenciasmatemáticasdesdeuna perspectiva curricular. mathematical modeling in schools. Learning and instruction, 1997, vol. 7, n° 4, p. 309-327. REUSSER, K; STEBLER, R. Every word problem has a solution-the social rationality of PUIG, L.Elementosderesoluciónproblemas.Granada: Comares,1996. Madrid: Santillana/Aula XXI,1994. POZO, JL;PÉREZ,MP; DOMÍNGUEZ,J;GÓMEZ,MA;POSTIGO, Y. Solucióndeproblemas aula enocurrículo.Lisboa: Asociación deProfesoresmatemáticas,1999. PONTE, JP; ABRANTES, P;FONSECA, H;BRUNHEIRA,L.Investigaçoes matemáticasna (1945). How tosolve it.Princeton:PrincetonUniversity Press,1986. POLYA, G.Cómoplantearyresolver problemas.México: Trillas. Traducción dePolya, G. proporcionalidad. Publicaciones,2008,nº38,p.63-88. alumnos de12a14añosedadEspañayChile,enrelaciónconloscontenidos PINO, J;BLANCO, LJ. Análisis delosproblemaslibrostextomatemáticas para PERELMAN, Y. MatemáticasRecreativas. Moscú:EditorialMir, 1975. Report 176.University ofHelsinki,Dept. Teacher Education,1997. PEHKONEN, E.(Ed).UseofOpen-Ended ProblemsinMathematicsClassroom.Research Revista dedidácticalasmatemáticas,2001,nº47,p.3-18. NODA, MA. La resolución de problemas de matemáticas, bien ymal definidos. Números, maestros enformación. Tesis Doctoral. Universidad deLaLaguna.España,2000. matemáticas, bienymaldefinidos.UnestudioconalumnosdelprimerciclodelaESO NODA, MA. Aspectos epistemológicosycognitivos delaresoluciónproblemas p. 357-286. en laresolucióndeproblemasmatemáticos.RevistaEducación,2007,nº342, JUIDÍAS, J;RODRÍGUEZ,I.Dificultadesdeaprendizajeeintervención psicopedagógica U. Católicade Valparaíso, 2009. matemática apartirdelestudiodeclases. Valparaíso: EdicionesUniversitarias de Valparaíso. ISODA, M;OLFOS,R.Elenfoquederesoluciónproblemasenlaenseñanza Review ofEducationalResearch, 1984,vol. 54,nº3,p.363-407. FREDERIKSEN, N.ImplicationsofCognitive Theory forInstructioninProblemSolving. International Journal ofScienceandMathematicsEducation,2006,nº4,p.609-626. comparison ofselectedmathematicstextbooksfromMainlandChinaandtheUnitedStates. FAN, L;ZHU, Y. Focus ontherepresentationofproblemtypesinintendedcurriculum:a Didáctica delasMatemáticas,2001,nº27,p.93-103. DÍAZ, MV; POBLETE, A. Categorizandotiposdeproblemasenalgebra. UNORevistade 1 LaHabana:EducaciónCubana,2006. CRUZ, M.LaenseñanzadelaMatemáticaatravés delaResolución Problemas. Tomo — — — — —   creencias deprofesores/asyalumnos/as.En Actas dela VII JAEM, 1995,p.32-37. VILA, A. ¿Problemasdematemáticas?¿Para qué?Unacontribuciónalestudiodelas TAHAN, M.Elhombrequecalculaba. Verón Editor. Barcelona, 1981. educativos. España:Hergué,2000,p.119-146). en losalboresdelsigloXXI:unavisióninternacionaldesdemúltiplesperspectivas yniveles successful problemsolving.EnCARRILLO, J.;CONTRERAS,LC.:Resolucióndeproblemas STACEY, K;SCOTT, N.Orientation todeepstructure when tryingexamples:akeyto p. 181-201. SIMON, H. A. The structureofill-structuredproblems. Artificial Intelligence,1973,nº4, vol. 27,nº3,p.293-309. enviroment: An exploratory study. Journal forResearch inMathematicsEducation,1996, SILVER, EA;LEUNG,SS;KENNY, PA. Posing Mathematicalproblemsinacomplex task Tipos de problemas de matemáicas 207

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mático, nosiempresonnecesarios contenidosanteriormentepresentados,sepuedeenseñar rior alaresolucióndeproblemas. Comosabemos,para queseresuelva unproblemamate- rectángulo, catetos,hipotenusayrespectivas medidas. la aplicacióndeunteorema,quenosiendoconcepto,relaciona losconceptosdetriangulo de lalongitudunsegmentoymedidaárea.Estecaso, igualmente,puedeincluir de uncuadrado, untriángulorectángulo,elpuntomediodesegmentorecta,la medida emprender la tarea que permita encontrar la respuestaa la cuestión. Por ejemplo: la diagonal hay otrosconceptosquenoestánpresenteseneltexto,ysonfundamentalespara poder Refiere, asimismo,lasnocionesdecircunferencia inscritaocircunscrita auncuadrado. Pero circunferencia, vienenreferidoseneltextoy, además,estánrepresentadosgráficamente. cularlos para que,eventualmente, puedallegarasusolución. o másconceptosmatemáticos,deformaquesuresolutortieneconocerlosysaberarti- cos involucrados enél.Esdecir, unproblemamatemáticoestásiempreencuadrado poruno problema tendrá,apriori,queidentificarcomprensiblementetodoslosconceptosmatemáti- cuadrado mayor?cuadrado el tiene ¿qué área superficie, de unidades cuatro de es inscrito cuadrado del Sabiendo que área el adjunta. figura la muestra como cuadrados ycircunscribirse inscribirse pueden circunferencia A una En conclusión,tienesentidoque algunosconceptosseanconsiderados enunafaseante- En esteproblemaesfácilidentificardeformainmediatalosconceptos decuadrado y Tómese elproblemageométricodelaFigura 1. Considérese unproblemamatemáticocualquiera. Toda personaquepretendaresolver ese F Problema geométrico: “Cuadrados inscritos ycircunscritos 1. una en geométrico: circunferencia”. Problema igura Carlos Figueiredo y Luis Carlos Contreras González Contreras y Luis Carlos Figueiredo Carlos Ejemplos y ejmplifcación en el a ula de Capítulo 13 matemáticas

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ManaluesUex entre losalumnosyconceptosmatemáticos,teoremas, las técnicasylosproblemas los sentidos,ejemplospuedenservistoscomoherramientas culturalmente mediadoras de Pitágoras para calcularlamedidadelongitudunosuscatetos.Encualquiera de de ejemplosaplicaciónunteorema.Comoilustración, tomemoselcasodel teorema añadirles situacionesrelacionadasconlosteoremasysuaplicación, quenosllevaría ahablar hemos afirmado. sidad deejemplos,losquepresentamosenlaFigura 2sirven comoilustración deloque para serreproducidoporlosalumnos.Entodosestossentidospodemosencontrar unainmen- de unadefiniciónolaresoluciónunproblema,pasandopor el procedimientomatemático variedad desentidos(Billsetal.,2006).Podemos entendercomoejemplolaparticularización Mason, 2008). idea fundamentaleselactodever algocomoejemplodealguna“cosa”(Goldenbergy de algo”:concepto,conjeturas, aplicacióndeunprocedimiento,métodosytécnicas,etc.La matemáticos solamenteseasumencomoejemploscuandosonpercibidos como“ejemplos clase másgeneral, ypara lacualsequieredirigiratencióndelosalumnos.Losobjetos ción enlaquesepresentacualquiercosaespecíficayparticularcomorepresentantedeuna que aquéllectormáscuriosopueda,porsi,profundizareneltema. rirá aquellosqueconsideramos losmásimportantes.Por supuesto,seirándejandopistaspara cuenta alahora depresentarnuestrosejemplos alosalumnos,estecapítulosolamenterefe- presentar losejemplos(yquéejemplos)aalumnos.Detodosesosaspectosteneren sea efectiva, esnecesarioqueseobserven ciertosaspectosenlaformaquesevan a de losconceptosmatemáticos(Zaslavsky, 2010).Para quelaejemplificacióndeunprofesor enfatizan elsignificadoyexprimenlacomplejidaddeesteelementocentral delaenseñanza perspectiva delaenseñanza,existenvarios aspectosdelusopedagógicodelosejemplosque o teoremas)noessolamentelapresentaciónaleatoriadeunouotroejemplo.Desdeuna través delosejemplos. (Mason y Watson, 2005),ya quelasdefinicionesadquierensusignificado,principalmentea tendremos comolemaquelasmatemáticasseenseñan,sobretodo,através delosejemplos de ejemplosqueencajanenladefiniciónpresentada.Enloconcierneaestecapítulo, que, enunafaseposterior, losprofesoresilustran elconceptomatemáticoconunconjunto alumnos consiganentenderyaplicarelconceptovehiculado poresadefinición.Eseso cia suficientesabenquelasolapresentacióndedefiniciónnoserápara quelos es comúnytradicional que empiece por presentar sudefinición.Losprofesoresconexperien- sario trabajar losconceptosmatemáticosque,endeterminadocontenido,esténpresentes. segundo plano.Por esto,muchas veces, antesdequeseenseñearesolver problemas,esnece- a resolver problemasatravés delosheurísticosquesedesarrollan,pasandoconceptosa un Carlos Figueiredo, Las situacionesplanteadasenlaFigura 2son‘ejemplosdeejemplos’alasquepodríamos A su vez, en educación matemática, la palabra Según Watson yMason(2005),eltérminoejemplificaciónseusapara describirunasitua- En todocaso,ejemplificarunconceptomatemático(biencomonociones,procedimientos Cuando unprofesorpretendeenseñarconceptomatemáticocualquiera asusalumnos, Luis Carlos Contreras González Ejemplo es utilizada con una amplia adquirir agilidadenelcálculoousodeunprocedimiento. es unaparticularizacióndeloquegeneral; sieslaaplicacióndeunteorema;para Parece importanteconocerlafunciónquequeremosdestinaralejemplo quesepresenta.Si de losprocedimientos,antesodespuéslasdemostraciones formalesdelosteoremas. son presentadosantesodespuésdelasdefiniciones,lasistematización interpretación delconcepto(Zaslavsky, HarelyManaster, 2006).Noimportasilosejemplos ayudan adistinguirlosaspectosimportantesde menos importantesyaconstruirnuestra ejemplos ylosnoejemplos,cuandosonpresentadosdeunaformapensadaponderada, matemáticos. Losestudiosrelacionadosconelaprendizajedeconceptossugierenquelos Ejemplo: ¿Qué relación hay entre el área del rombo y el área del cuadrado que lo contiene? cuadrado del área rombo yel del área Ejemplo: el entre hay relación ¿Qué Problema: cero. el que menor no el sea múltiplos los de comunes 3. Elegimos a2y3 múltiplos los que son comunes Señalamos 2. números múltiplos ambos de primeros los 1. Escribimos múltiplo 2y3. de común mínimo el Ejemplo: Calcular múltiplo números. dos de común mínimo el Calcular Procedimiento: Ejemplo: Definición El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es el 6. el múltiplo 2y3es de común mínimo El Múltiplos 3: de Múltiplos 2: de Múltiplos 3: de Múltiplos 2: de Problema geométrico : Un paralelogramo es un polígono con los lados paralelos dos ados. dos paralelos lados los con polígono un es : Un paralelogramo 0; 3; 6; 9; 12; 6; 3; 15;0; 18; 21; 24 8;10; 6; 4; 2; 0; 12; 14; 16; 18 9; 12; 6; 3; 15;0; 18; 21; 24 8;10; 6; 4; 2; 0; 12; 14; 16; 18 F igura 2. “Ejemplos 2. igura de ejemplos”. Ejemplos y ejmplificación en el aula de matemáticas 211

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ManaluesUex Carlos Figueiredo, 1. aprendizaje delosalumnos. integrante delaenseñanzalasmatemáticasquetienenunagran influenciaenel enseñanza deuntópicoenparticular. Losejemplosinstructivos, enelaula,sonunaparte utilizado para indicarcualquierejemplopresentadoporelprofesordentrodeuncontexto hacen de los ejemplos, definieron el concepto de EjemploInstructivo. Este término es (2005), enunestudioconlosobjetivos deexplorar ycaracterizar elusoquelosprofesores alumnos cabedentrodeloquesellamalaejemplificacióndelprofesor. Zaslavsky yLavie invalida unageneralización falsa,unprocedimientomatemáticopara serreproducido porlos una cuestióndeexamen,particularizacióndefinición,unobjetoespecíficoque con lacualelalumnodebefamiliarizarse. Así, uncasoparticulardeunasituacióngeneral, describir cualquiersituaciónenlacualalgoespecíficosemuestra para representarunaclase dentro deuncontextodado. Watson yMason(2005)utilizaneltérminoEjemplificaciónpara construcción depruebas,ymuchos otros.Deunmodogeneral, losejemplosdebenservistos satisfacen determinadascondiciones,ejemplosdeformasresponderaunapregunta, problemas ycuestionesquepuedenserresueltas,ejemplosdeobjetosapropiados Ejemplos queilustran conceptos,ejercicios resueltosquemuestran técnicas,ejemplosde para cubrirunaextensiónampliadegénerosmatemáticos,incluidoslosejemplosclases. un prisma. geométrico cuyas caras son polígonos”, podemos presentar como ejemplos una pirámide o una definición. constituye, desdeluego,unaocupaciónquepuedeacarrearalgunosproblemas(Asghari,2007). y común,escoger ejemplos y secuencias de ejemplosadecuados a nuestrospropósitos parecer banal.Sinembargo,enlamismamedidaquehacerusode losejemplospuedasertrivial las matemáticasquetodoaquellosepuedaescribirsobreel usodelosejemplospuede situaciones. Elusodelosejemplosestátanintegrado enlosactualesmodelosdeenseñanza como fácilmente se constata, contenido sinquehaya unacontextualizacióndeloquesepretendeejemplificar. Además, objeto queexistadeformaindependiente,yeltérminoejemplificaciónnotransmite cualquier ejemplo es“mejor”queotro(Huckstep, Rowland y Thwaites, 2002).Unejemplonoesun Mason, 2005). Además, losprofesoresnecesitanaceptarque,enciertosmomentos,algún un abanicodeposibilidades,cadaunaellasvinculadaafinalidadconcreta(Watson y ejemplos yesperar quecumplansufunción,puestoelecciónhadehacersedentro La respuesta no es sencilla. Para Watson y Mason (2002a), el término ejemplo es usado En estemomento,podemosresponderalacuestión:¿quéesunejemplo? Siendo así,apartirdeladefiniciónsiguiente“Definición1:Sellama Poliedro auncuerpo Un ejemplodebeserentendidocomounasituaciónparticularreferidaaun conceptooa La utilizacióndelosejemplosnoesunatareatrivial delprofesor. Nobastapresentar Los ejemplos,no y contraejemplos Luis Carlos Contreras aquello que se ejemplifica puede surgir González de una diversidad de se muestra enlaFigura 3. tero de diagonales perpendiculares y de igual longitud es un cuadrado”. Un contra-ejemplo nales quelaafirmaciónlesatribuye. terísticas inicialespresentesenlaafirmaciónperoquenoposeenla/lascaracterísticas adicio- conceptos opara definirbiensuslímites(Zaslavsky yRon,1998). minados argumentosoafirmaciones.Seutilizanpara revelar mejorlasdiferenciasentre el no-ejemplo:pirámidetriangular(quenoseauntetraedro regular). uno desusvérticesconcurreelmismonúmerocaras.”. Enestecasopodríamospresentar poliedro enelquetodassuscaras sonpolígonosigualesyregulares,deformaqueencada porque sucara lateral noesunpolígono. inherente aladefinición. Son casosque,siendopróximosdelejemplo,nosonejemplosporcumpliralgunaregla demostrar quelascondicionesdeunteoremasonprecisas,biendefinidas(Billsetal.2006). procedimiento no se aplique o falle en la obtención del resultado deseado o, también, para entonces todoslosmúltiplosde 9sontambiénmúltiplosde6”. consecuente. Comoenelcasodeeste(falso)argumento: características presentesenelantecedente,noposeelascaracterísticas imputadasporel Véase lasiguienteafirmación(falsa)enGeometríadelplano:“Afirmación: Todo cuadrilá- Estos casossonejemplosporqueobjetosmatemáticos,queverifican todaslascarac- Los Consideremos, ahora estaotra definición:“Definición2:SellamaPoliedro Regularatodo Así, enrelaciónconlaDefinición1,tenemoselno-ejemplo:cono,quenoesunpoliedro Los Esta afirmaciónsepuedefácilmente contrariar conel contra-ejemplo 27. “Argumento: Como 18,36y72sonsimultáneamentemúltiplosde9 6, O, entonces,tratándose deunargumento,esobjetomatemáticoqueverificando las contra-ejemplos nossonfamiliaresporutilizarsepara demostrar lafalsedaddedeter no-ejemplos sirven para definirloslímitesdeunconcepto,casoenque F igura 3. Contra-ejemplo 3. igura Ejemplos y ejmplificación en el aula de matemáticas - 213

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ManaluesUex 2. Carlos Figueiredo, Dimension de Variación Posible lecorrespondesiempreuna Amplitud deCambioPermisible. rente, para personasdiferentesoencircunstancias diferentes;deestemododecimosqueacada dimensiones, aquelloquepuedevariar puedeserentendidoconvariaciones deamplituddife- que elejemplodejedeejemplificarconceptoinicial. Al mismotiempo,encadaunadelas personas diferentes (o la misma persona) pueden encontrar diferentes aspectos que varían sin concepto dedimensiónvariación aldeDimensión Variación Posible para indicarque la variación yqueestáníntimamenterelacionados.Enelámbitodelavariación, ampliaronel Si todoestuviera variando nadapodríaserdiscernido. evidenciará anteuntelóndefondoconstituidoportodoslosotros aspectosquenovariaron. ción, y si esa variación es comedida, es posible que esa variación sea mejor notada, pues se taquemos que si soloun aspecto en particular es presentado como una dimensión de varia- modificar elsentidodeinvariación odeestructura sellamaDimensióndelavariación. Des- se apoya enesteaspectoesencial:aquelloquepuedeseralterado, quepuedevariar, sin ción. Para Martonysuscolegaslavariación estáenelcentrodeestateoríapedagógicaque el aspectocambiante”.Lapartedelcontenidoquevaría esllamadaDimensióndelavaria- de unfenómenooevento varía mientras otrouotrossemantieneninalterados, seobservará dizaje yConocimientollamada Teoría dela Variación. Esta teoríaseñalaque“Siunaspecto de unainvestigación queduró25añosyculminóenunateoríageneral sobreelApren- Mason, 2008). tan importanteentodaslasmatemáticas(Mason,2003;MasonyJohnston-Wilder, 2006; mente) invariante. Esporestarazón queeltemadelainvariación enelcentrodelcambioes solamente habrávariaciones siexistealgoque,ennuestra percepción, semantenga(relativa- únicamente elinicio.Solosepuedendiscernirnuevas características siexisteuncambio,y no podíamosdiscernir. Sinembargo,hacerdistinciones,discernirnuevas características es relacionarlo con,uncontexto.Enotras palabras, aprenderadistinguirpormenoresqueantes de queaprenderconsisteenhacernuevas distinciones;simultáneamente,discerniralgode,y nueva perspectiva enelcontextodelaenseñanzalasmatemáticasbasadaprincipio F. MartonycolegassobrelanocióndeVariación. MartonyBooth(1997)dieroninicioauna forma diferentequeaquellasdestinadasapromover oinducirgeneralizaciones. es la de mejorar la fluencia de rutinas y procedimientos son, probablemente, estructurados de ejemplos notienesiempreelmismoroluobjetivo, lassecuenciasdeejercicios cuya vocación los ejemplosquesonrelevantes (Billsetal.,2006).Sinembargo,elusodesecuencias secuencias deejemplos,para focalizarlaatencióndelosalumnosenaspectoscríticos mienda lacombinacióndeconjuntosejemplos,ynoenelsenolas secuencia específica de ejemplostiene influencia en el aprendizaje.En particular, se reco- Posteriormente, Masony Watson (2005)handesarrolladodosconceptosrelacionadoscon Los trabajos deF. Marton(e.g.yBooth,1997)sefundamentanenlosresultados Mason (2003),enuntrabajo sobrelaestructura delaatención,serefierealostrabajos de Muchos delosestudiosquetratan elusodesecuencias deejemplossugierenqueuna Secuencias Luis Ejemplos yV de Carlos Contreras González ari ción una ejemplo dealgo,creaunacolecciónejemplosconunaspectoencomúnqueseconsidera ejemplo yprocederapequeñasmodificaciones,alterar eseejemplodemodoquemantenga cambios en el aspecto en causa mientras todo lo demás se mantiene invariante. Tomar un mantener elaspectoageneralizar inalterado mientras todolodemásvaria o,entonces,aplicar pretendidas, eldiscernimientodelaspectoencuestiónpuedeserconseguidodedosmaneras: consiga unaprendizajeenelalumno,opara queelalumnopuedahacerlasgeneralizaciones en ejemplodealgoescrucialpara quesepuedaaprenderdeélcomoejemplo.Para quese características delobjeto.Serconscientedeloqueexisteenundadocasoconvierte puede efectuar(amplituddecambiopermisible),sinquesealterensignificativamente las que puedevariar (dimensióndevariación posible)y/odelaamplitudenqueesavariación se amplitudes decambiosepuedenalargaranúmerosotrotipo. que, transcurriendo los años, y a lo que le concierne al estudio de las potencias, las diferentes secuencia, tambiénlaamplituddecambiopermisibleabarca todoslosnaturales. Claroestá de labasepuedesercualquiera delosnúmerosnaturales. Por otra parte,enlasegunda mos enelámbitodesextoprimaria,primercaso,laamplitudcambiopermisible variación posiblesy, cadaunadeellas,consuamplitudcambiopermisible.Sinossitua- que varía. segunda secuencia,porelcontrario, eslabasequepermaneceinalterada yeselexponente debe discernirqueeslabasevaría peroelexponentepermaneceinalterado. Enla bia. Enelprimercaso,todoslosnúmerossoncuadrados; estoes,comopotencias,elalumno en cadaunodeloselementoslasecuencia? alguna variación (Mason,2005). tes y, simultáneamente, delosaspectosycaracterísticas importantesenloscualessepermite tomar consciencia de los aspectos, características, relaciones e propiedades que son invarian- dad. Ayudar a losalumnos abstraer un concepto matemático es equivalente a ayudarlos a ción posiblesenlassituacionespresentadases,esencialmente, la percepción dela generali- matemáticas encuadradas encasosparticulares.Laconscienciadelasdimensiones de varia- de variación posiblespuedenindicarlaspotencialidadesydebilidadesdesituaciones se involucren enloscontenidosmatemáticos;conjuntamente,elanálisisdelasdimensiones con elobjetivo dediseñarsituacionesmatemáticascapacesanimaralosalumnosque las dimensionesdevariación posibles, ysus respectivas amplitudes de variación permisibles, En elcontenidorelativo alaspotenciasdenúmerosnaturales, considérenselassecuencias: Según Mason(2011b),enlateoríadevariación, aprenderesserconscientedeaquello Como fácilmenteseobserva, enlaspotencias,podemosidentificardosdimensionesde En estaactividad sepretendeque elalumnoidentifiqueloquecambiaynocam- Esta tareasepuedeconsiderar undesafíodeltipo¿Quéesdiferenteyquesemejante En elaula,para quelosalumnospuedangeneralizar yabstraer, cabealprofesorcontrolar clase deejemplosdelconcepto. 0; 1;4;9;16;25;36 y Ejemplos y

1; 2;8;16;32;64 ejmplificación en el aula de matemáticas 215

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ManaluesUex Carlos Figueiredo, mente nopodránintuirlageneralidad queelconcepto encierra. Losejemplos presentados aumenta odisminuye, laotra aumenteo disminuye enlamismaproporción.”, muyprobable- los alumnos son confrontados con “Dos magnitudes son proporcionales si a medida que una gasolina yrespectivo precio pagadopuedeserconsultadaenlasiguientetabla: abastecimiento delaciudad,fueron arepostar suscochescadaunoasugasolinera.Lacantidadde Situación 4:Un deamigos,parasaberelprecio grupo delagasolinaenvarios puntosde Completa elcuadro siguiente. Situación 1:Una personatienequecomprarentradasdecineysabecadaunacuesta5€. Considera lassituacionessiguientes: expresión P=KL. Completa elcuadro y, enrelación conlagasolineraE,explicaelsignificadodeletraKen que puedetransportar. los libros sonigualesyquecadalibro pesa350gramos, Pedro unatablaconlascantidades construyó le aconsejóquenocargarademasiadosumochila:más5kilogramos.Sabiendo quetodos Situación 2.Pedro tienequellevar unoslibros delalibrería alabibliotecadesuescuela.Su profesor de aguaeneltanquepuedeserleídolasiguientetabla: Situación 3:Una tornerallenauntanquearazón de10litros porminuto. De estemodo,elvolumen respectivo peso. Indica, enlaúltimacolumna,elnúmero máximodelibros quePedro ysu podrátransportar n.º deentradas Precio porlitro (€/l) Cuantía pagadaeneuros litros decombustible n.º delibros Gasolinera n.º deminutos Precio enEuros Peso engramos Volumen deagua(litros) En sextodeprimaria,consideremos elconceptodeMagnitudesProporcionales. Cuando Luis Carlos Contreras F Secuencias de Ejemplos y Variación. y Ejemplos de Secuencias 4. igura 68.64 V=10 1.32 350 52 González A 1 1 1 5 46.54 V=50 35.8 750 B 2 5 10 2 V= 1.33 7,5 20 C 5 4 V=100 34.84 3500 1.34 D V= 15 T E L P divididas eninmediatamentetransparentes yenmediatamentetransparentes (Figueiredo, concierne alquéycómolarepresentaciónestransparente; así,lasrepresentaciones fueron y sepudoobservar quelasrepresentacionestransparentes presentabandiferenciasenloque observar muchas másrepresentacionestransparentes aconceptosmatemáticos. nidos deálgebra ycálculo,dondelasexpresionesconllevan unageneralidad, sepueden partes delaunidad.Enlosañosposteriores,ensecundaria,cuando empiezanasurgirconte- Las representaciones0.3y3/10indican,enamboscasos,una cantidad igualatresdécimas y segundoshatranscurrido despuésdeunahora. Pero larepresentación1h12’34’’ síloes. rador esmenorqueeldenominador. 10 porqueelúltimodigitoesun0;lafracción 3/7esmenorquelaunidadya queelnume- dio delnúmeroenprimaria:el30estransparente alhecho dequeesunmúltiplo 31 o43conducealresto1. 7, 5, por último,larepresentación5x7x31x43+1nosindicaque466656cuandoesdividido por un cuboperfecto;3x15.552permiteconcluirque46656esmúltiplode3y15552; 3. de proporcionalidad, yledésignificado. de generalizar laexpresiónP=KL(comoen3.),sepretendequeelalumnoaísleconstante dos variables, eltiempoyvolumen. Por último,enlaSituación4.sepretendeque,además generalice la relación entre las dos cantidades a través de una expresión donde figuren las inferior a5Kg.Por suvez, laSituación3.enúltimacolumna,pretendequeelalumno es identicaalaanterior, peroconunacondicionante:elnúmeromáximodelibrospeso número deentradas quecuestan15 €.EnlaSituación2.lesituaciónpresentadaalosalumnos requiere delalumnoquerelacionelasdoscantidades,elpreciodecuatroentradas yel lizar elconceptodeunaformacorrecta. serán una herramienta muy potente para que el profesor pueda llevar los alumnos a genera- es transparente alaideadeque46.656esuncuadrado perfecto;36 aclarar estaafirmaciónmostramos varias representacionesdelnúmero46.656. Así pues,216 de númerosnaturales sonopacas,aunquecadaunadeellastieneaspectostransparentes. Para enfatiza unosaspectosdelaideaoestructura yatenúaotros,normalmentelosesenciales. más ni menos significado que la idea o estructura que representa. Una liza para unconceptocualquiera. Unarepresentacióntransparente esaquellaquenotieneni Posteriormente, lanocióndetransparencia fueobjetodeunestudiomáspormenorizado La representacióndeunlapsotiempo1.23horas noestransparente acuantosminutos La nociónderepresentacióntransparente puedeextenderseaotroscontenidosenelestu- En lasecuenciadeejemplosquesepresentaenFigura 4,laSituación1.solamente Asumiendo estaidea,ZazkisyGadowsky (2001)afirmanquetodaslasrepresentaciones La nocióndetransparencia estáfuertementerelacionadaconlarepresentaciónqueseuti- Transp arenci deun a represent a ción y ejemplos Ejemplos y ejmplificación transp 3 muestra que46.656es en representación opaca el aula de matemáticas arentes 2

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ManaluesUex cación dedosdivisores deNnosiempreesundivisor deN(Figura 5). de unnúmerosepuedenobteneratravés demultiplicacionesentreellos,aunquelamultipli- ros. Una tareainteresanteeneste ámbito, pasa por mostrar (informalmente) que los divisores común divisor, o,talvez, introducirproblemasbasadosenladivisibilidad denúmerosente- mediata (oindirecta)puedeayudar elprofesoratransmitir alalumnolanocióndemáximo rente alaideademúltiplo6.Conelejemploanteriorpodemosver comolatransparencia transparencia inmediata,podemosafirmarqueestarepresentaciónesmediatamentetranspa- siderando que1236essimultáneamentedivisible pordosytres,aspectosobtenidos tación tambiénesinmediatamentetransparente alhecho de1236serdivisible portres.Con- 1+2+3+6=12, como12esmúltiplode3,entonces1236 divisible portres),estarepresen- idea denúmeropar. Por otrolado,1236esdivisible portres(criteriodedivisibilidad portres: (porque terminaen6);estoes,larepresentación1236esinmediatamentetransparente ala En loquerespectaalconceptodenúmero,podemosafirmar1236esunnúmeropar partir deaspectosproporcionados porlatransparencia inmediata,relacionándolosentresí. transparencia mediata(oindirecta)nosposibilitaidentificaraspectosrelativos alconceptoa inmediata (odirecta)coincideconlaideadetransparencia descritaantes,mientras quela descritos sonperfectamenteobservables enotrosconceptosmatemáticos.Latransparencia en elusodeejemplosámbitolasfunciones,aunquelosdostipostransparencia 2010; Blanco,Figueiredo, Contreras yMellado,2010). Cabereferirqueelestudiosefocalizó Carlos Figueiredo, papel quelosejemplosjuegan en esaorientaciónespreponderante. Con ejemplos,ocon alguna orientacióndeformaque ellospuedanleerointerpretarlasexpresiones.Por ello,el jantes, comosepresentaenlaFigura 6. afirmaciones: sobre las decir puedes – Qué 36. de divisores los todos – Indica – – – afirmaciones: las ofalsas si son verdaderas Indica Para quelosalumnosobserven esatransparencia serequiere,porpartedelprofesor, En relaciónconlosmúltiplosdeunnúmerodado,sepuedenpresentar ejemplosseme- Todos los números que son, al mismo tiempo, múltiplos de 3 y 6 también sonTodos múltiplos 18. de múltiplos 3y6también de tiempo, mismo que números los son, al múltiplo 12. de es Todo múltiplo simultáneamente, el 3y4, de múltiplo múltiplo 10, 3yde de 30. de es también entonces simultáneamente es número Si un A partir del 6, todos los divisores de 36 se pueden obtener del producto de dos divisores de 36. de divisores obtener dos de producto pueden se del 36 de divisores los todos 6, del A partir 36. de divisor obtenemos 36 de un cualesquiera divisores dos Si multiplicamos Luis Carlos Contreras F igura 5. Representaciones mediatamenteigura transparentes. F González igura 6. Ejemplos 6. igura semejantes. perciba esatransparencia, osinquesetomeconscienciadeella(Figura 7). por losprofesoresyalumnospara resolver situacionesconcretas,posiblementesinque de losnúmeros. tareas puedeayudar alosalumnosidentificaraspectostransparentes delasrepresentaciones ser algoatenerseencuenta.Para ZazkisyGadowsky (2001)unaseleccióncuidadosade la transparencia dedeterminadasrepresentacionesaciertosaspectoslosconceptosdebe máticas (Lesh,BehryPost citadosporZazkisyGadowsky, 2001).Enlaactividad delprofesor, representación dadaesunacomponenteimportantepara lacomprensióndelasideasmate- y procesosmatemáticosdebemostenerpresentequecapitalizarlaspotencialidadesdeuna debemos empezarporpediranuestrosalumnosquemireny, después,quemirenotra vez. que estransparente. Por ello,destacamoslasugerenciadeR.Zazkis(2005),alseñalarque taciones queselespresentaaquellosusprofesoresquierenmostrar yconstatenaquello tación delosconceptosqueutilizan,formaalumnospuedanver enlasrepresen- especialmente importantequelosprofesoresponganatenciónalasestructuras derepresen- dades delnúmero,conjuntodenúmerosoconceptomatemáticoenestudio.Serevela representaciones del número. Además, la atenciónpuede ser atraída para diferentes propie- citan aMasonpara recordarquecadarepresentaciónatrae nuestra atenciónpara diferentes noción detransparencia esbastanteversátil ensuaplicabilidad.ZazkisyGadowsky (2001) su atenciónhacialosaspectosgenerales quesepretendenalcanzar. Comopuedeverse, la secuencias deellos,losalumnospodránpercibir loquevaría yloquenovaría, orientando aplicarla, el alumno comprende realmente la idea de divisibilidad por diez y generalizar a la por diezeliminamoselcerofinal.” Al finalnospodemoscuestionarsi,alsaber la normay por diezyseextraiga unanormaparecidacon:“Para dividir unnúmero,acabadoencero, la representaciónseaevidenciada.Dehecho, lonormalesquesehagandosotresdivisiones la ideadetransparencia deunnúmeroaladivisibilidad pordiezsinqueesacaracterística de de las representaciones. En el caso particular de la división por diez, los libros de texto tratan tes, ya que estará en condiciones de identificar y transmitir todos esos aspectos transparentes que trabaja en su quehacer diario, podrá sermás eficaz al transmitir esas ideas a sus estudian- creencia que,sielprofesoridentificalasdiversas transparencias delasrepresentacionescon consciente delaideatransparencia deunnúmeroaladivisión exactapordiez.Esnuestra del profesor transmitir esa noción a los alumnos. Además, nos preguntamos si el profesor es viajes tendrá que efectuar el pastor. el que efectuar tendrá viajes 10 cuantos di ovejas, llevar puede pastor del camioneta la Como camioneta. su utiliza pastor el a otro, pasto un de rebaño el que tiene trasladar Cuando 120 ovejas. de rebaño un tiene Un pastor La divisibilidad por10esuncontenidodondelaideadetransparencia esmuyutilizada En suma,enlaenseñanzayelaprendizajedelasideasmatemáticas,objetosmatemáticos Como esnatural, noesinnataenlosalumnoslanocióndedivisibilidad pordiez.Espapel F igura 7. la de igura divisibilidad transparente Representación 10. por Ejemplos y ejmplificación en el aula de matemáticas 219

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ManaluesUex ción esnecesariover parencias mediatasqueesténasociadas.Entodocaso,muchas veces, para percibir lavaria- inmediata deunarepresentacióndaday, posteriormente,facilitaralalumnopercibir lastrans- integrada. Deunaformageneral, lavariación ayuda afacilitarlapercepción detransparencia 4. realzan mejorlaideadedivisibilidad pordiez,cien,mil,etc.(Figura 8). 4.300 :100;17.000100”mediantelaaplicaciónciegadenorma,hay ejemplosque transparentes aesehecho. Delmismomodo,tambiénpuedenpercibir quelosproductos son númerosmúltiplos de 10,100 o 1000,ya que lasrepresentaciones utilizadas son integren estosdosconceptos. dinámicos –conrecursoaGeogebra, oconotrosoftware similar–aunqueamboscasos proponen cuandodistinguenlosejemplosestáticos–casosdepapel ylápiz–delosejemplos transparencia seobserva muybienenlostiposdeejemplosqueFigueiredo yContreras (2013) aparecen, casisiempre,deformasimultánea(Figura 9).Lasimbiosisentrelavariación yla que estosdosaspectosdelaejemplificacióndelprofesormatemáticas van tanunidosy tampoco, queeslatransparencia laquepermitever loquevaría yloquenovaría. Esporeso perentoriamente queeslavariación laquehacever además, ¿entendersusignificado? representación 720000,aladivisibilidad pordiez,cien,milydiezensimultáneo? Y, división porcien,mil,diez etc.Más,¿podráelalumnoidentificarlatransparencia dela Carlos Figueiredo, Divide ycompletalatablaentucuaderno: División 3.400.000 :______3.400.000 :10000 3.400.000 :1000 3.400.000 :100 3.400.000 :10 120 :10 En lapráctica,esmuyaconsejablequevariación ylatransparencia seutilicendeforma En lasecuenciapresentadaenFigura 9elalumnopuedepercibir quetodoslosfactores En vez deponersituacionesdeltipo:“Resuelve lasdivisiones mentalmente: La utiliza F Ejemplo de transparencia de una representación ala divisibilidad una Ejemplo de representación transparencia 8. de cien.igura por Luis ción conjunt Carlos Contreras aquélarepresentaciónestransparente; yporeso,nosepuedeafirmar Cociente 340.000 a del González 34 12 V ari Resto ción y la ransp T 0 0 0 0 latransparencia delarepresentaciónni, Exacta X X arenci Inexacta - - 120 :10; los cerospresentes. normalmente utilizada,queconsisteenmultiplicarlosfactores2,3,5,22o33,ysumartodos encontrados sonmúltiplosde100,1000o10.000,yporesavíageneralizar lanorma, generalización. Enestecaso,seríamásaconsejablealterar laestructura delaactividad: escriba 4x4y5x5,justamenteporqueelejemplo(malseleccionado)puedeinducirunafalsa aquella quepermitaevitarlasgeneralizaciones precipitadas(Figura 10). F igura 11.igura la de Uso Variación integrado yla Transparencia la ygeneralización para comprensión conceptos. de Explica, con tus palabras, una manera fácil de calcular los productos sin utilizar la calculadora. la utilizar sin productos los calcular de fácil manera una palabras, tus con Explica, En cada uno de los casos, y con la ayuda de la calculadora, completa en tu cuaderno: tu en completa calculadora, la de ayuda la ycon casos, los de uno cada En Considerando la relación que existe entre la suma y el producto, completa la tabla en tu cuaderno. tu en tabla la producto, completa yel suma la entre que existe relación la Considerando 5+5+5= 4+4+4= multiplicación: de forma en que 3+3+3=3×3, suma Considerando siguiente la escribe En elejemplodelaFigura 10esmuyprobablequealgunodelosalumnoslaclase Otra situacióndondeesaconsejablehacerusodelavariación ydelatransparencia es F igura 10. la de Uso Variación integrado igura yla Transparencia generalizaciones evitar para precipitadas. 4. 3. 2. 1. ______

33000×2200 = 300×2000 =______300×2000 =______300×50 30×50 =______Suma deparcelas 3+3+3______4+4+4+4+4+4 F ×______×______Ejemplo de uso integrado de la 9. de Variación integrado Ejemplo uso igura de yla Transparencia. 8+8+8 5+5+5 2+2+2 ______Ejemplos y ejmplificación Producto defactores __ ×4 3× __ 5×3 3×5 3×2 en el aula de matemáticas 221

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ManaluesUex Carlos Figueiredo, — — — — Bibliografía presentar ejemplos. clase presenteunejemplo,puedaestarconscientedequeejemplificaresmucho másque el lectorpara laproblemáticaqueejemplificaciónsupone,deformaque,cadavez queen dar unaideasobreelasunto. Además, esperamos queelabordajedelasuntopuedadespertar utilización delosejemplosenclasematemáticas,ytodosaportados,puedan o laabstracción delconceptosehahecho efectivo. ver aquello que las representaciones tienen para mostrar. Y entonces, cuando los alumnos puedan automática, tenemosquesernosotros,losprofesores,quienesayudemos alosalumnosver taciones muestran. Dicho deotra forma,lasrepresentacionesnosontransparentes deforma abstraigan losconceptos. y latransparencia esunfactordeenseñanzaqueposibilitalosalumnosgeneralicen y transparentes delasrepresentacionespara sermejorpercibida. Lasinergiaentrelavariación cialidades delarepresentacióny, porsuparte,cómolavariación carecedelascaracterísticas ciones. Estoes,cómolatransparencia necesitadelavariación para podermostrar laspoten- que el alumnoadquiera la capacidad de identificar aspectos transparentes de las representa- equivale aunasumaenquelaparcela afigura nveces, encasosconcretos. permite generalizar elconceptoalidentificarquelatransparencia delarepresentaciónnxa la comprensióndelconceptodemultiplicaciónnúmerosnaturales y, almismotiempo,le

 losaspectostransparentes delasrepresentaciones,sepodráafirmarquelageneralización España, 2010. del ConocimientoProfesional. (Tesis Doctoral), Universidad deExtremadura, Badajoz, FIGUEIREDO, CA. Los EjemplosenClasedeMatemáticasSecundariacomoReferente Studies inMathematics,2008,nº69,p.183-194. GOLDENBERG, P; MASON, J. Sheding light on and with example spaces. Educational in Education.New York, USA:Nova Publishers,2010,vol. 9,p. 129-156. of examplesinlearningtheconceptfunction: A casestudy. InNATA, RV (Ed.):Progress BLANCO LJ;FIGUEIREDO, CA; CONTRERAS,LC;MELLADO, V. The useandclassification M.; STEHLÍKOVÁ, N. (Eds.):Proceedingsofthe30 Exemplification in Mathematics Education. In NOVOTNA, J.; MORAOVÁ, H.; KRÁTKÁ, BILLS, L; DREYFUS, T; MASON, J; TSAMIR, P; WATSON, A; ZASLAVSKY, O. p. 126-154. p. Group forthePsychology ofMathematicsEducation.Prague: Czech Republic,2006, Con todoloqueseexpuso,esperamos que lasnociones(necesariamentebreves) sobrela En síntesis,loquesepretendeeslosalumnospuedanver Con losejemplosanterioressepuedeconcluirlaimportanciadelusodevariación para Con lasecuenciadeejemplospresentadaenFigura 11,lavariación lleva alalumnoa Luis Carlos Contreras González th ConferenceoftheInternational aquelloquelasrepresen-

— — — — — — — — — — — — — — —      MASON, J.PhenomenologyofExampleConstruction.ZDM,2011b,vol. 43,nº2,p.195-204. examples. Mahwah, NJ:Lawrence Erlbaum Associates, 2005. WATSON, A; MASON,J.Mathematicsasaconstructive activity: Learnersgenerating East Anglia, 2002a,vol 4.,p.377. mathematics. InCOCKBURN, A.; NARDI, E.(Eds.):ProceedingsofPME26,University of WATSON, A; MASON,J.Extendingexamplespacesasalearning/teaching strategy in Mathematics Education.Prague, Czech Republic,2006,vol. 5,p.457–464. (Eds.): Proceedings of the30thConference theInternationalGroupfor Psychology of of her knowledge-base. In NOVOTNÁ, J. ; MORAOVÁ, H.; KRÁTKÁ, M.; STEHLÍKOVÁ, N. ZASLAVSKY, O;HAREL,G;MANASTER, A. A teacher’s treatmentofexamplesasreflection Mathematics. ÁguasdeLindóia,Brazil, 2005. 15th ICMIstudy conference: The ProfessionalEducationandDevelopment of Teachers of ZASLAVSKY, O;LAVIE, O. Teachers’ useofinstructionalexamples.Paper presentedatthe Mathematics Education.Stellenbosch, South Africa., 1998,vol. 1,p.225-232. Proceedings ofthe22ndConferenceInternationalGroup forthePsychology of ZASLAVSKY, O;RON,G.Students’understandingoftherolecounter-examples. 2008, p.57–94. CARRAHER, D.; BLANTON, M.(Eds.): Algebra intheearlygrades. New York: Erlbaum, MASON, J.Makinguseofchildren’s powers toproducealgebraic thinking.InKAPUT, J.; http://mcs.open.ac.uk/jhm3/OtherPapers/Mason%202005%20What%20is%20Eg%27d MASON, J. What isExemplifiedinMathematicsClassrooms?,2005.Recuperado de: University, Prague, 2003,p.9-16. Proceedings, InternationalSymposiumonElementaryMathematics Teaching, Charles MASON, J.Structureof Attention intheLearningofMathematics,J.NOVOTNÁ (Ed.) Albans: Tarquin,2006. MASON, J; JOHNSTON-WILDER, S. Designing and using mathematical tasks (2nd ed.). St. Variation and Attention. Nicosia,Greece:EARLI,2005. and how doesthestructureofexercises influencethese?Invited Presentationto SIG on J; WATSON,MASON, A. 1997. MARTON, F; BOOTH, S. Learning and Awareness. Hillsdale, USA: Lawrence Erlbaum, University ofExeter, 2002. Knowledge: What doesitlooklikeintheClassroom?’,ProceedingsofBERAConference, HUCKSTEP, P;ROWLAND, T; THWAITES, A. ‘Primary Teachers’ MathematicsContent p. 45-68. tipologias deexemplos. Avances deInvestigación enEducaciónMatemática,2013,nº3, FIGUEIREDO, CA; CONTRERAS,LC. A funçãoquadrática:variação, transparência eduas 2012, Vol. 24,n.º1,p.5-37. función: diferenciasentreprofesoresnoveles yprofesoresexpertos.EducaciónMatemática, FIGUEIREDO, CA; CONTRERAS,LC;BLANCOLJ.Laejemplificacióndelconceptode Mathematical Exercises: what isexercised, what isattendedto, Ejemplos y ejmplificación en el aula de matemáticas

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ManaluesUex — — — Carlos Figueiredo,  Mathematical EducationinScienceand Technology, 2005,vol. 36,nº2-3,p.207-217. ZAZKIS, R.Representingnumbers:primeandirrational. InternationalJournal of in school mathematics.Reston, VA: NCTM,2001,p.41-52. natural numbers.InCUOCO, A. (Ed.):NCTM2001 Yearbook: The rolesofrepresentation ZAZKIS, R;GADOWSKY, K. Attending totransparent featuresofopaquerepresentations Springer, 2010. In M.K.STEIN,L.KUCAN (Eds.),Instructionalexplanationsinthedisciplines.New York: ZASLAVSKY, O. The explanatory power of examples in mathematics. Challengs for teaching. Luis Carlos Contreras González 1. información útilpara lamejora delprocesodeenseñanza-aprendizaje. a losdiversos valores delacalificaciónyposibilitarelusoevaluación para obtener en diferentessentidos.Enéstenospreocupasuevaluación. Sepretendedotardesignificado desconocidos porlosestudiantes. contigua. Además, estoscriteriosnosiempreestánescritosy, cuandoloestán,suelenser cia, peroque,sinembargo,puedennocoincidirconlosquetieneelprofesordelaula dias basadasenunoscriteriospropios,usualmenteclarosyfundamentadosporlaexperien- completamente ciertoporque,generalmente, eldocentesueleasignarcalificacionesinterme- más dedoscalificacionesquecoincidenconlosvalores extremos.Enlarealidad,estonoes mos acostumbrados aunaescaladecalificación010,lasituaciónanteriorpermitepoco correcto; enotrocasoestámal y nohay nada que valorar. Aunque ennuestra sociedadesta- profesores sólolesinteresaelresultado.Elproblemaestábiencuandoresultadoes de formainmediatapuestoqueseleshaentrenadopreviamentepara ello. teando actividades para cuya resoluciónsehadeaplicarunaestrategia quedebenidentificar enseñanza yaprendizajedematemáticas,alosestudiantes,usualmente,selessiguenplan- del mundoreferidasaresolucióndeproblemas,considerada comoejevertebrador dela zar cadaunodeestosperiodos,losestudiantesrecibenlas“notas”. información durante elcursoquesellamanprimera, segundaotercera evaluación. Al finali- dos alfinaldelproceso.Noenvano, esfrecuenteestablecervarios periodoscerrados de algo aislado,separado delprocesodeenseñanza-aprendizaje,quesirve para mostrar resulta- cambios alolargodeltiempoy, enmuchas ocasiones,losprofesoreslaconsideramos como desarrollo delosmaterialesyelprograma (Romberg,1989).Laevaluación hasufridopocos para ayudar alatomadedecisionesqueserefieran alaprendizajedelosestudianteso desde lamedicióndellogrodelosalumnoshastarecolección sistemáticadeevidencias En capítulosanterioressehatratado enprofundidadquéesunproblemadematemáticas Muchos estudiantessequejandeque,cuandoresuelven problemasdematemáticas,asus A pesardelasdirectricesqueseestablecenenloscurrículosoficialesmuchos países El significadodelaevaluación haidovariando segúnlasfinalidadesqueseleotorgan, La evalua la resolución de ción del aprendizaje delosestudintes María J. García y José Cáceres M. Chamoso La ev Capítulo 14 alu pr oblemas de ación sobre matemáticas

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ManaluesUex María J. terísticas (Azcárate, 2006):Flexibilidad:puedensercambiadossiemprequeseconsidereapro - los objetivos que pretendamos conseguir con su realización y deben reunir las siguientes carac- que permitansuvaloración. Estoscriteriosdependerándelascaracterísticas delastareasy hemos deseleccionarlosaspectosenquenosfijaremos,yestablecer evidenciasycriterios 2006a; NCTM,2000). comienzo delcursoycuyo puntodepartidaseestablezcaenlaevaluación inicial(BOE, atención enelprogresoindividual delalumnorespectoametasestablecidasdesdeel ciones connuevas estrategias deenseñanza-aprendizaje.Criterial,manera quefijela como instrumentoquepermitadiagnosticarlogrosydebilidades para despuésbuscar solu- fesor pueda realizarun adecuado seguimiento del progreso de aprendizaje. Orientadora, número depruebasescritaspuestoquehaincluiractividades variadas conlasqueelpro- terminar conlaevaluación finalenunprocesoquedebeseralgomásaumentarel que debecomenzarconlaevaluación inicial,continuardurante todoelprocesoformativo y Cáceres y Azcárate, 2012). saben y lo que deben seguir trabajando, así como de su proceso de aprendizaje (Chamoso, propia actuación,comopara losalumnos,puestoquelespermiteserconocedoresdelo la reflexiónsobreprácticadocentemedianteinformacióndefortalezasydebilidades que se utilice como un instrumento útil tanto para los profesores, puesto que puede favorecer nacionales einternacionalesseaconsejaelcarácterformativo delaevaluación demanera evaluación formativa oalasumativa respectivamente (Rico,1993).Desdelasdirectrices el mundoanglosajónsediferencianlostérminosassessmentyevaluation segúnseasocieala tiva, queseocupadelacalificaciónypromociónlosalumnos,suelesercuantitativa. En orientación yasesoramiento delos estudiantes ysueleserdecaráctercualitativo, ylasuma- Chamoso yCáceres,2009). cionales comoinstitucionales(Boud,2000;Cardenas,Blanco,GómezyGuerrero,2013; información para guiar el aprendizaje de cadaestudiante y tomar decisiones tanto instruc- capaz dehacer, quédebemejorar ycuálessonsuserrores. Y, finalmente,aprovechar esta considerarla comounprocesoquesirva deautorreflexiónalalumno,para quesepaquées la evaluación comoinstrumentosancionadorconelquemostrar autoridadpara pasara Conocedores deestarealidad,losdocentesdebemosrealizaruncambioconcepción de evaluar del profesor y estudian en función de qué, cómo y cuándo serán evaluados. de enseñanza-aprendizaje.Losalumnosseadaptan,encadacaso,alaformaexplicary más influenciaenquéycómoaprendenlosestudiantesquecualquierotrofactordelproceso innovación (porejemplo, Azcárate, 2006).Losmétodosyrequisitosdelaevaluación tienen así ponenderelieve publicacionestantoenelcampodelainvestigación comoeneldela está siendocadavez másrelevante para lacomunidaddeeducadoresmatemáticos,como mento fundamentaldentrodelcurriculumy, portanto,unidaalainstrucción. Esteaspecto se puede considerar de forma aislada. En estetrabajo entendemos la evaluación comoele- Si deseamosrealizarunaevaluación criterial,eneldiseñodenuestrosistemaevaluación Se recomiendaquelaevaluación seacontinua,orientadora ycriterial.Continua,puesto Habitualmente sehacereferenciaadostiposdeevaluación: laformativa, quetrata dela La evaluación esunapartefundamentaldelprocesodeenseñanza-aprendizajequeno Cáceres Gar cía, José M. Chamoso

mía: la usual;Contextualización: los erroresy/oterminologíautilizada;Creatividad: utilización correctadereglasyterminologíamatemática;Exactitud: nexos lógicospara formaruntodoapartir de lacoordinacióndiversos elementos;Lenguaje: sión: un estudioricoyvariado; Amplitud: adecuación alasnocionesodestrezastrabajadas; Profundidad: práctica delconocimiento,otrosmásvinculadosconaspectoscognitivos como:Pertinencia: además decriterioscaráctergeneral comolaparticipaciónenelaprendizajeoaplicación concreto, para laevaluación detareasrelacionadasconelaprendizajematemáticorecomienda, intereses y piado; de retroalimentaciónpara losestudiantes(Nitko,2001). costosas deconstruiryaplicarquelasholísticaspero,porotro lado,permitenunaltogrado diversos aspectosqueseconsideran fundamentalesenelproceso.Estasrúbricassonmás en elproceso.Lasanalíticassesuelenutilizarpara unaevaluación máspormenorizadadelos actividades abiertasdondenohaya unarespuestacorrecta definitiva ypuedapermitirerrores evaluar laadquisicióndeunconocimientoconcretoobienpara valorar lacalidadglobalde cas se utilizan generalmente para realizaruna evaluación denaturaleza sumativa, ya sea para luación quesedeseerealizaryloscriteriosconsideremospara ello.Lasrúbricas holísti- Gray, 2003;Shepard,1995;Silver yKenney, 1995). niveles de consecución para cada uno de ellos (Graue, 1995; Ross, McDougall y Hogaboam- Tanto enunascomootras sereflejanloscriteriosdeevaluación yseestablecendistintos proporcionen unavaliosa informacióncualitativa para lamejora delprocesodeaprendizaje. con antelaciónloscriteriosquelasdiversas tareasseránvaloradas demanera que instrumentos quefacilitanlacalificacióny, además,permitenquelosestudiantesconozcan matrices devaloración, quesesuelenllamarrúbricasolistasdevaloración. Estasmatricesson entramado delprocesoevaluativo, tantoaalumnoscomoprofesores,sepuedenutilizar (Cáceres, Chamosoy Azcárate, 2010;Shepard,2001). hacen susprofesores.Laautoevaluación permitelacolaboración entreestudianteyprofesor progreso seríaquecadaalumnopudiera evaluar supropiotrabajo delamismaformaquelo son aspectosimportantespara suformación.Dehecho, unindicadordelaexcelenciadel capaces deaplicarlosaltrabajo propioe,incluso,cambiarlasreglasendeterminadoscasos dores entodomomentodeloscriteriosporquevan aserevaluados. Entenderlos,ser actividades queseutilicenalolargodelproceso. Además, losestudiantesdebenserconoce- un mejorseguimientoy, además,quéinstrumentosfacilitaránlavaloración delasdiversas más apropiadosyenquémomentodebemosutilizarlos,actividades permitiránrealizar rios sonlosadecuadosanuestrosobjetivos deenseñanza,quéinstrumentosytécnicasson Las rúbricasdeevaluación puedenserholísticasoanalíticasenfuncióndeltipodeeva- Para facilitar la compleja tarea de valorar las diversas actividades que compondrán el Si pretendemosrealizarunaverdadera evaluación formativa, debemosdecidirquécrite- selección entrediversas ideasyrecursos,muestras deiniciativa. uso dedetallespertinentesenunaexposiciónclara yprecisa;Coherencia: Personalización: han de adecuarse a nivel individual de acuerdo a las necesidades e Equilibrio entre cantidady calidad, y, en caso de conflicto, priorizar la calidad. establecimiento derelacionesconotras ideasysaberesAutono- utilización dediversidad deconceptosoestrategias; Preci- La evaluación sobre presentación de ideas de forma diferente a presentación deideasformadiferentea la resolución de problemas de matemáticas evidencia en las respuestas de evidencia enlasrespuestasde comprensión percibida en empleo de empleo de En En 227

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ManaluesUex T T María J. objetivos deenseñanzayaprendizaje, ydeevaluación planteados. los criterioshandeservalorados conlamismaponderación sinoqueéstadependerádelos valorar progresivamente suavance contrastando entrelassituacionesinicialyfinal.No todos cualitativa quecaracterice el nivel alcanzadoporcadaalumnoencaso, permitiendo ción, odecotejo.Encualquiercaso,loscriteriospuedenser valorados enunaescala secución detodosloscriterios,enlugarrúbricasesuelellamar plantillaolistadevalora- de unnivel aotro,sinoqueseestableceuncriteriogeneral para determinarelnivel decon- Criterio 1 … Criterio3 Crierio2 abla abla V Mertler (2001)ofrecióindicacionespara elaborar cadaunadeellas(Tabla 1y Tabla 2). Cuando lamatrizdevaloración nosecompletaconladescripciónquereflejeelcambio aloración p 2. p 1. Nivel Cáceres Gar 0 1 2 3 4 5 lantilla lantilla cía, de partida rendimiento nivel de que reflejeel Descripción Descripción No contestaonointentahacerlatarea Demuestra quenocomprendeelproblema de latarea Demuestra unacomprensiónmínimadelproblema.Noincluye varios requisitos requisitos delatarea Demuestra unacomprensiónparcial delproblema.Incluye lamayoría delos requisitos delatarea Demuestra unacomprensiónconsiderable delproblema.Incluye todos los los requisitosdelatarea Demuestra unacomprensión completadelproblema.Incluye enlarespuestatodos

José M. Chamoso para para Inicial 1

rúbricas rúbricas

analíticas holísticas de dominio hacia elnivel movimiento que reflejeel Descripción En desarrollo 2 . . dominio del nivel de consecución que reflejela Descripción Conseguido 3

rendimiento de nivel másalto que reflejeel Descripción Ejemplar 4

V aloración mínimas para laetapadeEducaciónPrimariaseseñala enseñanza yaprendizajedematemáticas. Ya enelRealDecretoqueestablecelasenseñanzas 2. trasladar elproblemaauncontextogeométricoo numérico odescomponerloenotrosmás la información;eldiseñodeunplan comolautilizacióndemétodosalgebraicos oaritméticos, comprensión talescomodiagramas, tablas,gráficosocualquierotra formaquepermitaexpresar han tenidolugardurante elproceso,lasconjeturas, imágenesointenciones;estrategias de de resolución en sus diversas fases. Por ello se debe tener en cuenta el desarrollo y las ideas que resolutor y, probablemente,enladelevaluador. elección decadatareaestablecemossucomplejidadloque repercutirá enlaacción del Calcular lasuperficiedelaulasabiendoquemide7m.deancho y11m. defondo.Conla de lasuperficieunrectánguloconplanteamientopropio del contextorealalumno: sidad. Utilizandoejemploscomolosdelcapítulo6deestelibro, podemostrabajar el cálculo u otrosyestaremosinteresadosenelprocedimientoderesolución conmayor omenorinten- función denuestrosobjetivos deenseñanzaycriteriosevaluación plantearemosunostipos plantear enmatemáticascomopuedenserabiertos,realistas, auténticos odeotrotipo.En mismo. Ya se ha explicado en este libro la diversidad de tipos de problemas que se pueden resolución deunproblema matemático, esposible que notodosestemospensando en lo acuerdo aloestablecidoanteriormente.Pero, cuandonosplanteamoslaevaluación dela En lalegislaciónactualsevalora laimportanciaderesoluciónproblemasen En laevaluación delaresoluciónproblemassesueledestacarimportanciadelproceso Una actividad tanimportantepara elaprendizajematemáticodebe ser evaluada de En suhomólogopara EducaciónSecundariasedice La valora (BOE, 2006b, p. 43096). comprobar la solución si ha se encontrado, la hasta comunicación los resultados de trabajo va que se revisando durante la resolución, modificar el plan si necesario, es las capacidades básicas: comprensivamente, leer reflexionar, un plan establecer de matemática. En la resolución un de problema requieren utilizan se yse muchas de matemático […], que constituyen puesto la piedra angular la de educación lade principal actividad matemática fuente ysoporte ser del aprendizaje ydeben el que gravita la actividad matemática general en (BOE, 2007, p. 750). sis, verificar el ámbito validez de la de solución, vano en no etc. el pues sobre centro es mente, reflexionar, un plan establecer trabajo, de revisarlo, adaptarlo, generar hipóte activar de lascapaz capacidades básicas del individuo, comprensiva leer son como ción un problemas. punto de vista formativo, Desde de la resolución problemas de es bloque hace referencia a un otros, tema entre básico expresa, del currículo: la resolu tuye el eje los conocimientos de transversal vertebrador matemáticos que abarca. Este En todos los cursos se ha losse incluido cursos En todos un bloque contenidos de comunes que consti resolución de Los procesos problemas de constituyen uno los de ejes principales ción delaresoluproblemm La evaluación sobre la resolución de problemas de matemáticas temátic as - - - - 229

ManaluesUex 230

ManaluesUex para serutilizadaenPrimaria. (Tabla 5)seutilizóconalumnosdeEnseñanzaSecundaria,pero se podríaadaptarfácilmente para autoevaluar lascapacidadesenresolucióndeproblemas.Estamatrizvaloración un contextodeutilizaciónportfolioaprendizajela asignatura dematemáticas enumeró losindicadorespara cadaaspectoenformadelista. guntado. Probablemente, por su extensión, el autor no la expresó en forma de matriz sino que que establecenniveles decalidadenlosaspectossobrequepreviamenteseleshapre- ción presentadaenla Tabla 4,dondeelautorpresentadeformamuyprecisalosindicadores por quéessignificativo elconceptoestudiado.Posteriormente selesfacilita lalistadeevalua- elegido esas estrategias, por qué alguien podría argumentar a favor de un método diferente o aspectos antesdeentregarsustareas. Además selesplanteaquepregunten:porquéhan siste enacostumbrar alosestudiantesresponderpreguntasrelativas acadaunodeestos Organización (Organization)yComprensiónUnderstanding).Elmétodobásicamentecon- Respuesta (Answer), Explicacióneficiente(EfficientExplanationInformaciónInformation la resolucióndeproblemasmatemáticas,dondeestasletras sonlasinicialeseninglésde permitieran darunainformacióncuantitativa alaresolucióndecualquierproblema. de valoración yplanteabanlaposibilidaddeestablecerponderaciones acadaapartadoque la resolucióndealgunosproblemas,enelaulalosestudiantestrataban demejorar loscriterios ción de la resolución de problemas. A partir de la aplicación de esta matriz de valoración a valoración quesemuestra enla Tabla 3para trabajar lasdificultadesqueplantealaevalua - criptores. 5. cada dominio:1. Identificación;2.Definición;3.Recogidadeinformación;4.Metodología; global. Para cada uno de ellos establecieron6 indicadores de forma global que adaptaron en poner yconstruirenequiposolucionesaproblemasdiversos ámbitos,conunavisión analizar lascausasdeunproblemayconstruirunasoluciónmáseficienteeficaz;3.Pro- de solución,aplicandolosmétodosaprendidos;2.Utilizarsuexperienciaycriteriopara cieron tresniveles dedominio:l.Identificaryanalizarunproblemapara generar alternativas competencias. Para suevaluación presentaronunarúbricamuycompletaenlaqueestable- genérica instrumentalintegrada dentrodeunsistemaenseñanzauniversitaria basadoen utilizadas poralgunosautorespara laevaluación deresoluciónproblemasmatemáticas. tean diversos niveles decomplejidad,tantoelaboración comodeaplicación,quehansido aspectos queestimemosimportantes. A continuaciónmostramos algunosejemplosqueplan- matrices devaloración analíticasconsiderando criterioscorrespondientesacadaunodelos los contenidospara analizarelsignificadodelasolución(Santos,2007). simples y, finalmente,verificar elresultadodelasoperaciones, considerar lasconexionesentre María J. Alternativas; 6. Plandeactuación.Cadaindicadoresvalorado de1a5pormediodes- Una rúbricadeevaluación mássimpleeslapresentadapor Azcárate (2006),empleadaen Thomas (2008)planteóelmétodo A+E+I+O=U para mostrar elrazonamiento seguidoen Los autoresdeestecapítuloutilizamos,enaulasformacióndocentes,lalista Villa yPoblete (2007)consideraron laresolucióndeproblemascomounacompetencia Para podervalorar enprofundidadestainformaciónpareceadecuadalautilizaciónde Cáceres Gar cía, José M. Chamoso T abla Valoración generalyobservaciones Resolución global Aspectos generales Aspectos Procedimiento Contenido Valoración delaresolución deunproblema – :No procede 1: Totalmente endesacuerdo 2: Condesacuerdos 3: Indiferente 4: De acuerdo 5: Totalmente deacuerdo 3. M a triz

de

valoración Generaliza larespuesta Obtiene resultados parciales correctos La soluciónescorrecta globalmente Presenta orden, conlimpieza, margen… Estructura correctamenteEstructura eltrabajo Organiza lainformación correctamente lanotaciónelegida Añade alascantidadessusignificadoyutiliza Verifica losresultados Resuelve devarias formasygeneraliza Dice quéva ahacerylohace particulares, otros Utiliza aclaratorios:gráficos, casos instrumentos Describe la estrategia deresolución Explica elplanteamiento Realiza correctamente loscálculos Relaciona unosconceptosconotros Conoce losconceptos CRITERIOS

de

la

resolución La evaluación sobre

de

un

problema la resolución de problemas de matemáticas

para

trabajo 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

con 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

futuros 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

docentes 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 – ------. 231

ManaluesUex 232

ManaluesUex T María J. A paraRespuesta E paraExplicación I paraInformación O para Lo queequivale aU(Comprensión) 5. 4. 3. 2. 1. 5. 4. 3. 2. 1. 5. 4. 3. 2. 1. 5. 4. 3. 2. 1. abla m 4. La respuesta noes razonable oesencialmentecarece derespuesta. gran error (por ejemplo,elestudiantedalaalturadeunedificiocomo40000piesenvez de400pies). Se proporciona unarespuesta alaquesellegamedianteunproceso razonable, pero noesadecuadaosecometeun el estudiantemideunárea en cmvez deencm2). La respuesta esrazonable oprecisa pero tieneunerror grave enlaunidaddemedidaempleada(porejemplo, la raízcuadradade2). como exactacuandosepideunarespuesta exacta(porejemplo,unestudiantecontesta1.41cuandosepide medida (porejemplo,elestudianteutilizacm.envez depulgadas).Oesunaestimación,pero estáetiquetada La respuesta esmuyrazonable ycasiexacta,pero faltaunapequeñacantidadoutilizamallaunidadde unidad demedidaadecuada.Indica queelestudianteentiendelapregunta. La respuesta esexacta,responde directamente alapregunta formulada,estáclaramenteindicadayconla La explicaciónnomuestraunaestrategiaadecuadaoesencialmenteserealiza. Se inicialaexplicación;elproceso iniciadopodríasereficazsisecompletara. cómo sellegaalasconclusionesolospasosseguidosparallegarlarespuesta. La explicaciónesadecuadayefectiva pero puedecontenerunaodospequeñaslagunasdondenoseexpresa torpe oprolija, expresada sinlautilizacióndenotaciónmatemáticaosímbolos. La explicacióneseficazpero nonecesariamenteeslaopciónmáseficiente.Odescripcióncorrecta pero unas conotras,comorevisar unproceso conunsegundoenfoque. La explicaciónesclara,eficienteysin errores, oelestudianteproporciona múltiplesexplicacionesqueconecta La notaciónylasunidadesdemedidaseutilizanmuypocoonunca. Las unidadesdemedidaestánmalutilizadasonoseespecifican.variables seutilizansinhaber sidodefinidas. confunden elproceso. La mayoría delascantidadesestánacompañadaslaunidadmedidapero faltanalgunasunidadesque como “2cm.porcada3minutos” seexpresa simplementecomo“2/3”). existen pequeñoserrores delasolucióndelproblema, ofaltanunidades(porejemplo,unaspectoimportante La mayoría deinformación estádisponibleylascantidadesestánacompañadasdelaunidadmedida,pero La notaciónmatemáticaestáusadacorrectamente ylostérminosestándefinidos. cantidades estánacompañadasdelaunidadmedidacorrespondiente yelproceso deobtenciónesexplícito. La informaciónnecesariapararesolver elproblema escompletayestáclaramentedestacada. Todas las El proceso esdesorganizado,ilegibleuoculto,ocomplicadoimposible deseguir. Se intentaorganizarelproceso pero lospasosestándesordenados delproceso. ofaltanpasosimportantes por laconsistenciadelasunidades). menos 6cmunestudiantepuedeescribir12*3=36-6cmmostrandopocorespeto porelsignoigual asícomo de ecuacionesofaltanpasosqueconfundenlaexplicación(porejemplo,para darrespuesta a12cm por3 Los pasos están indicados o siguen un orden; sinembargo,el proceso puedecontenererrores enlaresolución El proceso surgeenorden queelestudianteconsideraobvios. pero sesaltaalgunospasosdemenorimportancia pasos estánindicadoscorrectamente osiguenunorden lógico. La organizaciónesexhaustiva ycompleta.Se puedeseguirelproceso depensamientoenlaexplicación,los Cáceres Gar rganización (T homas ét odo cía,

, 2008). , A+E+I+O=U José M. Chamoso para

evaluar

el

razonamient o

en

la

resolución

de

problemas

T resolución. a cambiodelapérdidainformaciónqueproporcionaría elverdadero procesode posteriormente comoresolucióndefinitiva dondeloquemáspareceimportareslaestética problemas “ensucio”,esdecir, resuelven elproblemaenunpapeldistintoalqueentregan muchas ocasionesnuestrosalumnosestánacostumbrados arealizarlaresolucióndelos no suelenexpresarmuchos aspectosqueseconsideran enestasrúbricas. Además, en pruebas escritasenlasquelosproblemassuelenformarparte yporloquelosestudiantes Como ya hemosdicho previamente,lasactividades deevaluación másfrecuentes son tos concretosperopuedenmostrar dificultadesdeaplicabilidad encasosmásgenerales. enfrento aunonuevo Soy capazdebuscarproblemasparecidoscuandome condiciones Soy capazdeinventar unproblemadadasunasclaras Soy capazdeexplicarelprocesorealizado Soy capazdevalorar silaresoluciónescorrecta que haya cometidoycorregirlos Soy capazderevisarelproceso,buscarlosposibleserrores del problema Soy capazderesolver correctamentetodaslasoperaciones Soy capazdeplanificarunprocesoqueresuelva elproblema Soy capazderepresentargráficamenteelproblema Soy capazdedistinguirquédatossonimportantesycuálesno Soy capazdeexpresarconmispropiaspalabras elproblema enunciado Dado unproblema,comprendolainformacióndel abla A continuaciónpresentaremosnuestra propuesta. Todas estasposibilidadespara valorar problemashandemostrado suutilidadencontex- p 5. lantilla

para

aut oevaluar

las

habilidades La evaluación sobre

de

la

resolución la resolución de problemas de matemáticas

Lo hago bien

de

A veces tengo dificultades problemas

Lo hago con

ayuda .

No lo sé hacer 233

ManaluesUex 234

ManaluesUex T 3. María J. que esteaspectolodejamosabiertoacriteriodeldocentelautilice. cada nivel devaloración. Además, noestablecemoslaponderación decadaapartadosino amplios quepuedenserprecisadosporcadadocenteasícomoindicadoresgenerales para de evaluación deresoluciónproblemassirva para todos.Por elloestablecemoscriterios evaluación sonpropiosdecadadocenteporloqueparececomplejounamismarúbrica problema dematemáticas(Tabla 6).Comoya hemosexplicadopreviamente,loscriteriosde generales Criterios Presentación solución proceso yla Análisis del problema Solución del resolución estrategia de ejecución dela Planificación y del problema Comprensión abla Valoración paratodoslosindicadores Vamos apresentarlaelaboración deunamatrizvaloración delaresoluciónun Nuestra m – : El apartado noprocede– :El apartado 1: No lointentaocometeerrores muygraves quehacenlarespuesta notengasentido 2: Trata decumplirlosrequisitos pero cometealgúnerror grave 3: Trata decumplirlosrequisitos pero cometevarios errores leves 4: Cumple todoslosrequisitos pero cometealgúnerror leve 5: Cumple todoslosrequisitos deforma brillante. m 6. Cáceres Gar a triz Presenta orden, conlimpieza, margen… Generaliza larespuesta Evalúa laestrategiayplanteaalternativas deresolución Revisa elproceso, detectaloserrores cometidosyloscorrige Valora silasoluciónescorrecta (tienesentido…) respuesta, utilizacorrectamente lanotaciónyunidadesdemedida Contesta correctamente alapregunta queseplanteay, ensu tiene siempre encuentalasunidadesdemedida Realiza correctamente todosloscálculosnecesariosenelproblema y correctamente loscontenidosmatemáticosimplicadosenelproceso Demuestra de formaexplícitaqueconoce,relaciona yaplica información necesariasobre loquerepresenta cadanúmero oletra Distingue yexplicatodoslospasosseguidoseincluye todala Describe de formaprecisa laestrategiaderesolución deunmodeloopatrón gráficos, tablas,diagramas,laconstrucción Clarifica correctamente lainformacióndelproblema mediante datos útilesdeotrasinformaciones Expresa elproblema consuspalabrasdeforma precisa. Discrimina cía,

de Indicadores triz de valora

José M. Chamoso valoración

de

la

resolución ción p ar lresolucióndeproblem

de

problemas

de

ma temáticas Valoración . Explicación T 4. explicación delavaloración obtenida(Tabla 6). cada criterio; la tercera incluye la valoración numérica en cada caso y, la última, concreta la valoración; la segunda, los indicadores que nos permitirán establecer las valoraciones de anima arechazarlo. tanto encriterioscomoindicadoresdotaalinstrumentodedemasiadacomplejidady matriz devaloración seamanejableya que,enmuchas ocasiones,elexcesodeprecisión se evalúan seresuelven de forma escrita. Hemos seguido esta estructura para facilitar que la por partedelestudianteya queconsideramos que,enmuchas ocasiones,losproblemasque de resolución. Además, hemosdedicadounapartadoalapresentacióndelostrabajos escritos mas yderesumirlosindicadoresqueconsideramos adecuadospara lavaloración delproceso cuatro debidoaladificultadpara detectarlaplanificaciónenresoluciónescritadeproble- para “Planificaciónyejecucióndelaestrategia deresolución”dondehemosconsiderado de unproblema. A partirdeellashemosseñaladodosindicadorespara cadacriterio, excepto Calcula eláreadeuncuadrado delquesóloconocemosladiagonald. estos docentes.ElproblemaessimilaraldesarrolladoenelCapítulo9uncasoparticular: con nuestra matrizdevaloración, deacuerdoaloscriteriosestablecidosporcadauno plantean elmismoproblema.Posteriormente valoraremos lasrespuestasdedosestudiantes objetivos deenseñanzadistintosy, portanto,concriteriosdeevaluación diferentes(Tabla 7), Criterio 3 Criterio 2 Criterio 1 Criterios deevaluación abla La matriz de valoración consta de cuatro columnas. La primera refleja los criterios de Para establecerloscriteriosgenerales hemosconsiderado lasdiversas fasesderesolución En este apartado vamos a plantear una situación hipotética donde dos profesores, con Discusión sobrelaevalua c 7. riterios

de

evaluación áreas defiguras planas para elcálculodelongitudesy Utilizar elteoremadePitágoras problemas una herramienta para resolver resolución deecuacionescomo Utilizar elplanteamientoy relaciones entremagnitudes enunciados dondeaparezcan la informacióncontenidaen Traducir allenguajealgebraico Profesor 1

de

dos ción deuproblemam

profesors La evaluación sobre . la resolución de problemas de matemáticas resolución deproblema procedimiento seguidoenla matemático adecuado,el Expresar, utilizandoellenguaje respuesta como lacomprobaciónde resolución deproblemasasí Utilizar estrategias ytécnicasde medida adecuada planas utilizandolaunidadde Calcular áreasdemedidas Profesor 2 temátic as 235

ManaluesUex 236

ManaluesUex María J. (Figuras 1y2). misma. Consideremoslasrespuestasrealesdedosestudiantesalproblemapropuesto diferente para cadaunodeestosprofesoresperolainformacióncualitativa deberíaserla Es muyprobablequelacalificaciónrecibiríarespuestadeunestudiantefuera Cáceres Gar cía, José M. Chamoso F F Estudiante 2. Estudiante 2. igura Estudiante 1. 1. Estudiante igura T profesor secumplen(Tabla 8). de medidapara expresarlalongituddelladotriángulo,nolohaceenrespuesta. resuelve elproblemapara elcasoparticularenque“d”valga 4cmy, aunqueutilizalaunidad ninguna unidaddemedidanienlarespuestaelproceso;sinembargo,estudiante2 puesta finalalproblema,elestudiante1expresalarespuestacorrectasalvo quenoincluye corrigiera suresolución. segundo. En estoscasos la calificaciónseríamuy diferente en función del profesorque sea enuncasoparticular, peronocumpliríaprácticamenteningunode losqueexigeel segundo estudianteafrontatodosloscriteriosdeevaluación delprimerprofesor, aunque estudiante obtendría mejor calificación con el segundo profesor que con el primero. El segundo. Aunque nopodamosestablecerunacalificaciónconcreta,parececlaroqueeste por el primer profesor mientras que cumple parte de los tres criterios propuestos por el abla Veamos cuáles,oenquéparte,deloscriterios deevaluación considerados porcada Si obviamos loscriteriosdeevaluación decadaprofesor, ynosfijamossóloenlares- ¿Cuál delosdosestudiantesobtendríamejorcalificaciónconcadaunoprofesores? El primerestudiantesólocumpleunode los tres criterios de evaluación establecidos

Profesor 2 Profesor 1 v 8. Criterio 3 Criterio 2 Criterio 1 Criterio 3 Criterio 2 Criterio 1 Criterios cidos aloración

por

dos Expresa elprocedimientoseguido comprueba larespuesta Utiliza técnicasderesolución.No Calcula elárea.Noutilizaunidades No utilizaelteoremadePitágoras No resuelve ecuaciones algebraico Traduce elenunciadoallenguaje Estudiante 1

del

profesors

cumplimient o

de La evaluación sobre

dos

estudiante

de la resolución de problemas de matemáticas respuesta general partir delcasoparticularala puesto quenodicecómollegaríaa Expresa elpartedelprocedimiento respuesta resolución. Nocompruebala Utiliza partedeunatécnica unidades No calculaelárea. A veces usa Utiliza elteoremadePitágoras caso particular) Plantea yresuelve ecuaciones(enel caso particular Traduce allenguajealgebraico un Estudiante 2

los

criterios

de

evaluación

est able - 237

ManaluesUex 238

ManaluesUex T María J. en elquequedamucho pordescubrir. en el aprendizaje de matemáticas,un campo en elque hay mucho margen para avanzar y cada díamásenlastécnicaseinstrumentosdeevaluación yenlaaplicacióndelosmismos pueden serevaluados delamismaforma.Estetiposituacionesnosinvitan ainteresarnos barajado alplantearlaactividad. También nospreguntamossitodoslostiposdeproblemas paradójicas cuandoelestudiante utiliza una estrategia de resolución que no habíamos dente quecriteriosdeevaluación únicamenteconceptualespuedenllevarnos asituaciones profesor 1conlarespuestadelestudianteapesardesuscriteriosiniciales.Parece evi- cación del razonamiento. También sería interesante conocer qué haría nuestro hipotético respuestas despuésdeutilizarunmétodocomoel A+E+I+O=U enelqueprimalacomuni- cido previamenteloscriteriosconqueseríanevaluados. Oenquévariarían sus guntarnos silasrespuestasdeestosestudianteshubieran sidolasmismassihubieran cono- las calificacionespara estosestudiantesenuncontextoreal. ambos casoslascalificacionesestánpróximasal5peroespocoprobablequeéstasfueran 5.8, mientras que el segundo tendría24puntos de 55, quecorrespondería a un 4.3.En puntos de55,queenlaescaladecimalutilizamoshabitualmentecorresponderíaaun ción deuntrabajo yelconocimientodeloscontenidos,primerestudianteobtendría32 aunque noesusualqueunprofesordé,porejemplo,elmismovalor alabuenapresenta- probable queunprofesorvalorara laresolucióndeesteproblemaconunapuntuaciónalta. profesor, que están íntimamente relacionadoscon contenidos matemáticos, aunque es poco pesar denodarlarespuestacorrecta,cumpletodosloscriteriosevaluación delprimer sean losqueesperaban losprofesoresinvolucrados. Dehecho, elsegundoestudiante,a implicados enelproceso”.Cadaunodeellosutilizacontenidosdistintosquequizásno forma explícitaqueconoce,relacionayaplicacorrectamenteloscontenidosmatemáticos situación seríalaindicadaen Tabla 9. - : El apartado noprocede- :El apartado 1: No lointenta o cometeerrores muygraves quehacen quelarespuesta notengasentido 2: Trata decumplirlosrequisitos pero comete algúnerror grave 3: Trata decumplirlosrequisitos pero comete varios errores leves 4: Cumple todoslosrequisitos pero cometealgúnerror leve 5: Cumple todoslosrequisitos deforma brillante. abla Valoración paratodoslosindicadores Esta situaciónesalgoqueocurrecadadíaenlasaulasdematemáticas.Podemos pre- Si consideramos quetodoslosindicadoresponderaran igualenlacalificaciónfinal, En amboscasoshemosvalorado conlamáximapuntuaciónelapartado“Demuestra de Si aplicamosnuestra plantilladevaloración alasresolucionesdeestosdosestudiantesla a 9. Cáceres Gar estudiante plicación cía, José M. Chamoso

. de

la

ma triz

de

valoración

a

la

resolución

de

un

mismo

problema

por

dos

Comprensión solución y la del proceso problema del de resolución estrategia de la y ejecución del problema Planificación Solución Análisis Total Presentación generales Criterios

cometidos yloscorrige Revisa elproceso, detectaloserrores la notaciónyunidadesdemedida plantea y, ensurespuesta, utilizacorrectamente Contesta correctamente ala pregunta quese resolución Describe de formaprecisa laestrategiade otras informaciones forma precisa. Discrimina datosútilesde Expresa elproblema consuspalabrasde cuenta lasunidadesdemedida necesarios enelproblema ytienesiempre en Realiza correctamente todosloscálculos matemáticos implicadosenelproceso relaciona yaplicacorrectamente loscontenidos Demuestra de formaexplícitaqueconoce, que representa cadanúmero oletra incluye toda lainformaciónnecesariasobre lo Distingue yexplicatodoslospasosseguidose la construcción deunmodeloopatrón la construcción problema mediantegráficos,tablas,diagramas, Clarifica correctamente lainformacióndel resolución Evalúa laestrategiayplanteaalternativas de sentido…). Generaliza larespuesta Valora silasoluciónescorrecta (tiene ponderación Si tienenlamisma todoslosapartados Presenta orden, conlimpieza, margen… Indicadores La evaluación sobre No utilizaunidadesde No utilizaunidadesde medida enlarespuesta medida enelproceso No escribesobre ello No escribesobre ello pero noclarificaqué 4 Utiliza ungráfico No escribesobre ello No escribesobre ello No explicaquéesl la resolución de problemas de matemáticas Estudiante 1 Valoración / Explicación representa h 32/55 3 5 1 3 5 4 1 1 1 4 No explicaquéesa,by c. No utilizaeldatodel explica cómollegarala unidades demedidaen particular sinunidades particular respuesta tienesentido solución delproblema No escribesobre ello No escribesobre ello Contesta auncaso No siempre utiliza particular pero no particular Utiliza uncaso No valora sila Estudiante 2 Valoración / ni generaliza Explicación problema d de medida el proceso planteado 24/55 2 5 1 1 2 4 2 1 1 1 4 239

ManaluesUex 240

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ManaluesUex

Cárdenas Lizarazo, J Cáceres García, MªJ Carrasco, Ana. Caballero Blanco Nieto,LorenzoJ. Relación de Carvalho, J F Chamoso, J Contreras González,LuisCarlos. Casas García, LuisM. Gómez Del Pino Ceballos,J Jiménez Gestal,Clara. Guerrero Barona,Eloisa igueiredo, Carlos A. igueiredo, [email protected] Profesora Contratado DoctordeDidácticalaMatemática.Universidad deExtremadura. [email protected] Profesora Ayudante de Didáctica de la Matemática. Universidad de Extremadura. [email protected] Catedrático deUniversidad deDidácticalaMatemática. Universidad deExtremadura. [email protected] Profesora Ayudante DoctordeDidácticalaMatemática.Universidad deZaragoza. [email protected] Profesor Titular de Universidad de Didáctica de la Matemática. Universidad de Salamanca. [email protected] Profesor Titular deUniversidad deDidácticalaMatemática.Universidad deHuelva. [email protected] Profesor Contratado DoctordeDidáctica laMatemática.Universidad deExtremadura. [email protected] Profesor Asociado deDidácticalaMatemática.Universidad deExtremadura. Profesor deSecundaria.Elvas (Portugal). [email protected] [email protected] Profesora Titular InterinadeDidácticalaMatemática.Universidad delaRioja. Profesora Titular dePsicologíaEvolutiva. Universidad deExtremadura. [email protected] Doctoranda. Universidad deExtremadura. [email protected] Universidad Católica de Temuco (Chile). [email protected] osé Luis. osé Mª. Amo, Rosa. uan. aneth osé. a utores A.

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ManaluesUex 98