Science for Peace and Development Today and Tomorrow NEWS Round Table Conversation with Edward Witten

World Premier International Research Center Initiative 世界トップレベル研究拠点プログラム Kavli Institute for the Physics and Mathematics of the Universe カブリ数物連携宇宙研究機構 Todai Institutes for Advanced Study The University of Tokyo 東京大学国際高等研究所 Feature Science for Peace and Development Today and Tomorrow NEWS Round Table Conversation with Edward Witten

No. 28 December 2014 Kavli IPMU NEWS CONTENTS

English Japanese

3 Director’s Corner Hitoshi Murayama 37 Director’s Corner 村山斉 Hitoshi Murayama at Work 近況

4 Feature 38 Feature Science for Peace and Development Today and Tomorrow 平和と発展のための科学: 今日と明日 Hitoshi Murayama 村山斉

7 Our Team Richard Calland 41 Our Team リチャード・カランド Edmond Cheung エドモンド・チャン William Donovan ウィリアム・ドノバン Dongmin Gang 姜東泯 Dulip Piyaratne ドュリップ・ピヤラトナ Naonori Sugiyama 杉山尚徳 Michihisa Takeuchi 竹内道久

10 Round Table Talk 44 Round Table Talk Conversation with Edward Witten エドワード・ウィッテン博士に聞く

27 Workshop Report 60 Workshop Report Mini-Workshop: Towards Quantum Primitive Form Theory Mini-Workshop: 量子原始形式理論に向けて Kyoji Saito 斎藤恭司 Workshop on CLASS and MontePython CLASS とMontePythonに関するワークショップ Eiichiro Komatsu 小松英一郎 Kavli IPMU‒RIKEN iTHES‒Osaka TSRP Symposium Kavli IPMU-RIKEN iTHES-Osaka TSRP Symposium “Frontiers of Theoretical Science‒MATTER, LIFE and COSMOS‒” Frontiers of Theoretical Science‒MATTER, LIFE and COSMOS‒ Tsukasa Tada 多田司 The 24th Workshop on General Relativity and The 24th Workshop on General Relativity and Gravitation in Japan (JGRG24) Gravitation in Japan (JGRG24) Tomohiro Fujita, Shinji Mukohyama, 齋藤亮、難波亮、 Ryo Namba, Rio Saitou 藤田智弘、向山信治 Galaxies and Cosmology in Light of Strong Lensing 強い重力レンズからみた銀河研究と宇宙論 Masamune Oguri 大栗真宗

32 News 65 News

36 Discovery of Electron Neutrino Appearance in a Muon 68 ミューニュートリノビームからの電子ニュートリノ出現事象の Neutrino Beam 発見 Tsuyoshi Nakaya 中家剛

Hitoshi Murayama, Director of the Kavli Institute for the Physics and Mathematics of the Universe at the University of Tokyo and Professor at the University of California, Berkeley, makes a keynote statement at the special event marking the 60th anniversary of the establishment of the European Organization for Nuclear Research (CERN), held on October 20, 2014, in the Economic and Social Council Chamber, United Nations Headquarters – New York. The event highlighted the role that science has played in peaceful collaboration, innovation and development. (Image credit: UN Photo/ Evan Schneider.) 村山斉(カブリ数物連携宇宙研究機構長およびカリフォルニア大学バークレー校教授)：2014年10月 20日にニューヨークの国連本部経済社会理事会会議場で開催されたCERNの設立60周年を記念する特別行事で基調講演を行う。この行事は科学が平和とイノベーションと発展のために果たした役割を浮き彫りにした。（Image credit: UN Photo/Evan Schneider） Director’s Corner

Director of Kavli IPMU Hitoshi Murayama at Work Hitoshi Murayama

October 3: Photo with France Córdova, Director of the October 25: Lecture at Kashiwa Open Campus 2014 National Science Foundation

November 20: Discussing with Edward Witten. Behind November 25: Presenting an overview of The Kavli IPMU to them, Principal Investigator Hirosi Ooguri (left) is talking Robert Conn, President and CEO of The Kavli Foundation with Chiara Nappi. (right by the window), and Irwin Jacobs, co-founder of Qualcomm Technologies, Inc. (left by the window). Director’s Corner

December 12: Photo wiith Rashid Sunyaev, Director of the December 17: Answering questions asked by a high school Max-Planck-Institute for Astrophysics (right), and Wayne student at the 4th Annual WPI Joint Symposium held at Hu, Professor of the University of Chicago (left) the Yurakucho Asahi Hall

3 FEATURE Kavli IPMU Director Hitoshi Murayama Research Area： Theoretical Physics

Science for Peace and Development Today and Tomorrow＊

Your Excellencies, Distinguished Guests, Ladies and before boarding a boat. I wouldn’t exist here today Gentlemen. without this miracle.

It is an incredible honor for me to speak at the I myself was born in Japan but grew up in West headquarters of the United Nations, which I admire Germany, then a divided country. I once visited as the guardian of world peace. The theme of this the divided Berlin. West Berlin was a thriving session is“ Science for Peace and Development.” I’d metropolis with fancy shops, streets busy with cars like to share my own thoughts on this theme. and pedestrians. After passing the checkpoint into East Berlin, I’ve seen a mine eld and watch towers, Peace is about different nations working together followed by deserted ruins left over 30 years after toward a common goal, rather than ghting against World War II. This sight is etched vividly into my each other. Development is to bring the state of memory. The world has experienced wars, and is not humankind to a better and humanely acceptable an easy place. condition from what it is today. How can science contribute to these two important objectives of the In my scienti c career mostly in Berkeley, California, United Nations and thus all of humankind? Most I have worked with many colleagues and friends people would say it's through technology, innovation who had been caught in various conicts or suffered and medicine. And I would clearly agree with that persecutions. I worked with an Israeli who witnessed answer. But today I would like to offer an additional a suicide bombing a block away from his home; a answer to this question. Serb whose village was bombed by NATO; an Iranian who ed the Islamic revolution on foot to Turkey; a Concerning peace, I’m fortunate enough not to Russian who ed his country because of his Jewish have experienced a war personally - but not too origin; and a Ukrainian whose mother had to ee distant. My father was born in Korea during Japanese Crimea. I have worked with these people for a very occupation. And when the Japanese occupation simple reason: because we had a common goal, ended, his family tried to ee Korea in a big chaos, namely, to solve the mysteries of the universe. and my father was nearly left behind. Very fortunately he was reunited with his parents at the last minute I rmly believe that basic scienti c research is a true

＊A keynote speech presented at an event celebrating CERN’s peacemaker for humankind. I’m sure every one of 60th anniversary“, CERN: SIXTY YEARS OF SCIENCE FOR you here today has this experience: you look up at PEACE AND DEVELOPMENT - The role of science and scienti c intergovernmental organizations in bringing people and cultures the beautiful night sky, watch the stars, and suddenly together,” held on October 20, 2014, in the Economic and Social Council Chamber, United Nations Headquarters - New York. your mind is lled with all these profound questions

4 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 about the universe. The awe of the beautiful universe makes differences in cultures, languages, colors, genders, religions, and ideologies simply disappear.

We live on a tiny piece of rock called the planet Earth that circles around an average star called the Sun, in a rural area 27,000 light years away from the center of the Milky Way galaxy, which is only one out of a hundred billion galaxies in the visible universe. If you see the big picture, our differences seem so small. This perspective makes me think differently about all Bahrain, Cyprus, Egypt, Iran, Israel, Jordan, Pakistan, the wars, conicts, tragedies, poverty, and diseases the Palestinian Authority, and Turkey are working we read in newspapers every day. There must be a together to build a new particle accelerator as an way for us human species on this tiny piece of rock intense light source for basic research in biology, to work together. material science, and medicine. Eliezer said“, In our region, the wars are not over. There are different CERN embodies this idea that basic science uni es perspectives on who won and who lost, who won people from all nations. I serve on its Scienti c Policy yesterday and who wins tomorrow.” Eliezer also Committee that reports to its governing body, the said SESAME actually started in the CERN cafeteria, Council, even though neither of my countries, Japan where the initial idea was hatched, like so many nor the United States, are a member state of CERN. other science projects. Toward the building of an CERN only cares about my scienti c expertise, not international laboratory for SESAME, the design about where I am from or how much my countries based on the CERN model but tailored to the pay. During my numerous stays at CERN, I’ve seen nations involved, required many negotiations and people from India and Pakistan, Israel and Iran, compromises. I was glad to learn that Berkeley as Russia and Ukraine working together. I was told that well as Japan provided the project with help to go even at the height of the Cold War, CERN brought over some big hurdles. He also emphasized the scientists from both sides of the iron curtain together. importance of generating public awareness about These days, thousands of people from friendly or the project because“ people don’t believe Israeli, warring nations come to CERN and build amazing Arabs, Iranians, Pakistanis can work together… They scienti c instruments. Some of them discovered are cynical about projects in Middle East.” But now the Higgs boson in 2012 - as has been mentioned the light source is expected to be ready in late 2015 Feature already several times in this session - after nearly half to prove that optimism wins and literally for people a century of hunting. By the way, this Higgs boson to“ see the light.” is quite important to you; it lls the entire universe and it is keeping your body from evaporating in a So, CERN, I'm very impressed, has a history of uniting nanosecond. people in quests that have nothing to do with power but everything with knowledge. I recently listened to a talk by my colleague Eliezer Rabinovic from Jerusalem on a project in Jordan I also believe that the quest for knowledge and called SESAME. This is a project where people from the fascination with the mysteries of the universe

5 would be the key to development. This is because thousand job applications for about ten positions we the fascination with stars and planets and outer can offer every year. Now 60 percent of the members space gets the children excited about learning more are international, roughly equally split among about science. If we nurture their curiosity properly, Asians, Americans, and Europeans. And we have our it leads to a more educated and scienti cally minded own Russians and Ukrainians, Chinese and Indians population. To raise the standard of living requires working together. scienti c knowledge to all people. Everybody needs to understand that resources available on our planet Also, I’ve lectured students from developing countries are nite and not very much for billions of us. My many times. Recently, I’ve given online lectures on friends in America need to accept that we are our research on the universe, and attracted 75,000 responsible for climate change and recent natural people from 150 countries. They are from all over. disasters. We need to convince still some skeptical Many of them are from the U.S., Europe, and people in West Africa that the threat of Ebola is real. Japan, but also from Pakistan, Western Sahara, the My fellow Japanese should understand what the Bahamas, and Swaziland. They get excited to see that nuclear incidents in Fukushima really mean. And this science now addresses these truly basic questions of development, based on curiosity for Mother Nature, humankind. And this way, they grow up knowing the can start with just looking up at the night sky, and methodology of scienti c approach. This, I believe, sharing our awe of the beautiful universe. is the key to making sure that future of whatever nation you are from can rest on the scienti cally Again, CERN embodies this type of science. I’ve read minded population. that this excitement with the discovery of the Higgs boson increased enrollment of high school students I believe the world needs more places like CERN. in science by twenty percent in Europe. CERN brings Personally, I’d love to see the United States and Japan in thousands of students and high-school teachers host similar international organizations for basic every year. They witness people from all over the research, where people from all around the world world working together peacefully to solve the come together. It will surely open up local population most profound mysteries of the universe we live in. to a global mindset, especially the children. I’m eager They bring their stories back to their classrooms and to make sure that science contributes to peace and beyond. They simply get excited. And this excitement development of the entire planet. is contagious. To make it clear that the institute I founded in I myself play a small part in getting young people Japan is open to anybody irrespective of their excited about science. Several years ago, the origins, I named it the Institute for the Physics and University of Tokyo asked me to start an international Mathematics of the Universe. Laws of physics, and science institute in Tokyo. To attract young and mathematics that describe these laws, are not ambitious scientists from around the world, I’ve raised only applicable to the entire planet Earth, but also ve basic questions I’ve always wondered about from throughout the whole universe. One day, I hope to my childhood. How did the universe begin, what is it see a job application from a different planet. I would made of, what is its fate, what are its basic laws, and think it is only a matter of time. why do we exist in it. These questions resonate well with scientists from all cultures. We attract nearly a Thank you so much for your attention.

6 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 Our Team

Richard Calland Research Field: Experimental Physics Postdoc

I am a member of the SuperK and T2K experiments, which study neutrinos generated from the sun, in the upper atmosphere and from an intense human-made neutrino beam. The study of neutrinos enables us to understand mysteries about the universe such as why there is more matter results in the near future. My interests are using than anti-matter. Neutrinos can help with this by advanced statistical techniques to make optimum potentially exhibiting CP violation, which manifests in use of our data to extract the most sensitivity to a measured difference in the properties of neutrinos the physics parameters we measure, along with and anti-neutrinos. Currently T2K is beginning to improving the detector reconstruction algorithms to study anti-neutrinos, which will lead to interesting enhance our physics reach.

Edmond Cheung Research Field: Astronomy Postdoc

I am a new postdoctoral researcher from the Our Team University of California Santa Cruz, and my research focuses on galaxy evolution. Speci cally, I am interested in the interplay between galaxy structure, e.g., bulges and bars, and galaxy evolution. I am a member of several teams, including AEGIS, CANDELS, Galaxy Zoo, and now, MaNGA. And with MaNGA, I structure and galaxy evolution in new and interesting plan to continue exploring this link between galaxy ways.

7 William Donovan Research Field: Mathematics Postdoc

My research is in the eld of algebraic geometry. I focus on applying ideas from physics and non- commutative algebra to study varieties, with examples including homogeneous spaces and their Calabi-Yau relatives, and complex 3-folds and their birational modi cations. Mirror symmetry provides much of the motivation for this work, and dimensional varieties, and applying homological homological algebra provides many of the tools. algebra to better understand moduli spaces Currently, I am working on problems on higher- associated to them.

Dongmin Gang Research Field: Theoretical Physics Postdoc

My main interest is studying the low-energy theories appearing from intersecting M2/M5 branes in M-theory. M-theory is so rich that it can provide new insights on various topics in physics and mathematics. Especially, the system of multiple M5- branes wrapping on 2 and 3-dimensional manifolds is my current research topic. The topic is closely related holographic principal, quantum Teichmuller theory to the AGT conjecture, 3d/3d correspondence, and volume conjecture.

Dulip Piyaratne Research Field: Mathematics Postdoc

My research is primarily concerned with studying geometry of algebraic varieties using homological algebraic methods. In particular, the theory of derived categories provides an ef cient algebraic platform to investigate the“ hidden” geometric information of a variety. Also they have emerged as important objects in string theory. My recent research is focussed on Mukai theory. I am also interested in investigating constructing categorical stability conditions, and also counting invariants on varieties and wall crossing studying associated moduli problems using Fourier- phenomena.

8 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 Naonori Sugiyama Research Field: Cosmology Postdoc

My research interest lies in the eld of theoretical cosmology, especially for the origin of primordial density uctuations in the inationary period of the early universe, and the cosmic large scale structures which are formed as a result of ampli cation of the primordial density uctuations due to gravitational instability. cosmic structures. One goal of my research is to I have studied the statistical feature of the clarify the evolution of the cosmic structures through primordial density uctuations, and developed comparing my models with some of large galaxy analytical models to describe the evolution of the surveys.

Michihisa Takeuchi Research Field: Theoretical Physics Postdoc

My research interests are: what is dark matter, what is the nature of the Higgs boson and physics beyond the Standard Model (BSM). To explore these questions, I am mainly working on collider phenomenology. Besides working on general BSM physics searches at the LHC, I also have worked on top physics as it is likely that signals of new physics of jet substructure information. The LHC will start rst appear in the top sector. The optimal use of operating again from this year, and it will be a very the data is important, and I am working on the use exiting time.

Round Table

9 Round Table Talk: Conversation with Edward Witten

Edward Witten Professor, the School of Natural Sciences, The Institute for Advanced Study Hirosi Ooguri Kavli IPMU Principal Investigator Yukinobu Toda Kavli IPMU Assistant Professor Masahito Yamazaki Kavli IPMU Assistant Professor

Kyoto Prize and Fourth Visit to Kyoto Ooguri: First I would like to congratulate Edward on your Kyoto Prize. In every four years, the Kyoto Prize goes in the eld of mathematical sciences, and this is the rst prize in this category awarded to a physicist. Right to left: Edward Witten, Hirosi Ooguri, Masahito Yamazaki, and Yukinobu Toda. Witten: Well, I can tell you I’m deeply honored to receive this prize. students, professional researchers, discuss the current state of the eld Ooguri: It is wonderful that your and general public interested in and opportunities in research. work in the area at the interface mathematics, a broad range of You have already given two of mathematics and physics has people. The magazine has been interviews for Sugaku Seminar. In been recognized as one of the most particularly inspirational for high 1990, at the International Congress important progress in mathematics school students. I enjoyed reading it of Mathematicians in Kyoto, you as well as in physics. For those of us when I was a high school student, received the Fields Medal. On working in this area, this is also very and I still subscribe to it. Yuji that occasion, Tohru Eguchi had gratifying. As Yuji Tachikawa said at Tachikawa said he read your interview an interview with you. You also the workshop yesterday, you’re like in 1994 in the magazine, which partly had a discussion with Vaughan sunshine for all of us in this area of inspired him to go into this area. Jones, another Field Medalist at research. Witten: I was very pleased to hear the Congress, and I remember, you Witten: Actually in my acceptance that from Yuji. It was very nice of him expressed interest in generalizing speech a couple of days ago, I to say that. your work in the Chern-Simons remarked that I regard it also as a Ooguri: It is my hope that the theory with a spectral parameter, recognition of the eld, not just of me. magazine article about the which is very natural from the point Ooguri: This conversation will conversation today would also of view of integrable models. appear as an article in this Japanese inspire the next generation of young Witten: Yes, I very much wanted to magazine, Sugaku Seminar, as well students to go into, not necessarily nd an explanation along these lines as in the Kavli IPMU News. Sugaku mathematics, but more broadly of the“ integrability” that makes it Seminar is widely read among high science and engineering. I thought possible to get exact solutions of school students, undergraduate this would be a good opportunity to two-dimensional lattice models such

10 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 as the Ising model. I was completely I was unable to incorporate the a discussion session we had at RIMS, unsuccessful, but just in the last spectral parameter was that I was Kyoto University, with you and Hiraku couple of years, something in the working in the context of three- Nakajima, where Nakajima explained spirit of what I wanted to do was dimensional topological eld theory. his work on the action of an af ne done by Kevin Costello. In three-dimensional topological Lie algebra on the cohomology of Ooguri: We were just talking about eld theory, in addition to the the moduli space of instantons. In Costello’s work before you arrived moves where knots cross—that the interview you had with Tohru here. Do you think that it achieved is, in addition to the Yang-Baxter Eguchi, you mentioned progress in what you wanted to do at that time? relation—you have further relations mirror symmetry and S-duality at the Witten: Yes. Integrable models have involving creation and annihilation. time and expressed a hope of a more many facets, and there is no one There are Reidemeister moves that uni ed view on duality encompassing way to understand everything. But I are valid in topological eld theory, gauge theory and string theory. Some would say that speci cally the kind of but are not relevant for integrable of this hope has been achieved in the explanation I was looking for is what systems. I couldn’t nd the spectral last 20 years, I think. Costello found. parameter because I was trying Witten: De nitely some of it has Ooguri: I see. to use topological eld theory. been achieved. One thing that was Witten: What Costello did involves Costello made a very simple twist, achieved in the couple of years after a very simple but beautiful twist on replacing a real variable by a complex that second interview was simply the three-dimensional Chern-Simons variable and then everything worked that there emerged a picture of non- theory, in which he simply replaced beautifully. I de nitely regard that as perturbative dualities in string theory, one of the three real dimensions of the explanation I was trying to nd, generalizing what happens in eld space by a complex variable z. unsuccessfully, around 1990. theory. However, there are other Ooguri: Going to four dimensions. Ooguri: I see. So, after 23 years, aspects that are still mysterious and Witten: This is a four-dimensional nally your question was answered. not clearly understood. world with two real coordinates and Now, in 1994, you visited Japan for On the bright side, the fact that a complex coordinate z. Costello the second time and gave a public four-dimensional gauge dualities and de ned a 4-form which was the lecture here in Kyoto. a lot of dualities in lower dimensions wedge product of the Chern- Witten: In fact, I have had several comes from the existence of a six- Simons 3-form with the 1-form dz. opportunities to visit Kyoto, dimensional conformal eld theory He studied this as the action of a including a visit for the Strings 2003 is a major insight in understanding 4-dimensional theory. There is a conference that you organized and dualities better. We haven’t gotten crucial technical detail: for this theory also this current visit. to the bottom of things because to make any sense, the differential Ooguri: So, for every one of your we don’t really understand the six- operator that is obtained by four visits to Japan including this one, dimensional theory, but just knowing linearizing the equations of motion you have actually come to the Kyoto that the matter should be understood must be elliptic modulo the gauge International Conference Center. in terms of the properties of the six- group. I think that this is a little Witten: Yes, but I know that there is dimensional theory is an advance in surprising, but it is true. And given a trip to Okinawa lined up. understanding duality that certainly that, he then has a generalization of Ooguri: That would be the Strings wasn’t there at the time of this last the Chern-Simons theory that does 2018 Conference that we are interview. not have the full three-dimensional planning at the Okinawa Institute of symmetry, but it does have a complex Science and Technology. We surely I Was a Skeptic about Duality Round variable, namely z. hope that you will be back in Japan Table If you think carefully, you will see in 2018. Ooguri: I should introduce our that integrability, the Yang-Baxter At the time of your visit in 1994, discussants today. Yukinobu Toda is equation, involves two-dimensional you were just nishing your work on a mathematician and an Associate symmetry, but not really three- the Seiberg-Witten theory and also Professor at the Kavli IPMU, and he dimensional symmetry. The reason the Vafa-Witten theory. I remember received his Ph.D. in 2006. Masahito

11 Yamazaki is a physicist and a new in string theory. state of two monopoles whose Assistant Professor at the Kavli IPMU, By this time there were clues in existence was predicted by the and he entered graduate school the literature, and a number of new duality. That inspired me to believe in 2006. They represent the young ones had been discovered in the that one could do more. generation of mathematicians and early 1990’s. The clue that inuenced With this inspiration, and trying physicists working on the interface of me the most was the work of John to nd more evidence for the string theory and gauge theory. Schwarz and Ashoke Sen, who duality conjectures, Cumrun Vafa At your Commemorative Lecture showed that the low-energy effective and I started to study the Euler the other day that was one of the action of the heterotic string on a six- characteristics of instanton moduli Kyoto Prize events, you reviewed your torus had properties consistent with spaces. It was not too hard to see career in this area. You said that you the existence of a non-perturbative that electric-magnetic duality of entered graduate school in 1973, SL(2, Z) duality. They didn’t have supersymmetric Yang-Mills theory when the asymptotic freedom was what I regarded as really decisive implied that the generating function just theoretically being discovered. evidence for that conjecture, but their of those Euler characteristics should You came to Japan the second time ideas were very suggestive. be a modular function. Luckily for in 1994 and gave the interview we It still was not clear to me how one us, mathematicians in a number of were just talking about, and it was could nd decisive evidence for non- cases－and this includes the work roughly 20 years after that. Now it perturbative dualities in spacetime. of Nakajima that you mentioned is 20 years after that, so I thought At least to me, the rst such evidence before－had computed these Euler we should start up by trying to catch appeared in a short but brilliant characteristics, or had obtained up with the second 20 years of your paper by Ashoke Sen on a two closely related results from which career and see what your thoughts monopole bound state in N=4 super the Euler characteristics could be have been on some of the most Yang-Mills theory. To me, that was understood. We found that the important progress, and then we can fundamentally new evidence for the expected modularity held in all cases. start from there and discuss them. Montonen-Olive duality conjecture. (In one case－the four-manifold CP2 We have already started to talk It convinced me that the duality had －we ran into a“ mock modular about some of the developments to be right, and equally important, it form,” a concept that was new to since the interview in 1994, but convinced me that it was possible to us at the time but has made many maybe you can expand on that and understand it better. subsequent appearances in gauge tell us what you think have been the Ooguri: I thought that Sen’s paper theory and string theory.) highlights in this area in the last 20 gave a strong evidence for the Also during this period, Nathan years. S-duality, but it was your paper with Seiberg had been using holomorphy Witten: Certainly, one of Vafa that convinced us. as a tool to analyze the dynamics the highlights has been the Witten: Thank you. Sen’s paper of supersymmetric gauge theories. understanding on non-perturbative showed that you could actually go He wanted to understand what dualities in string theory, as a result of well beyond the suggestive but happened in N=2 theories. We which we have a much wider picture somewhat limited arguments about started talking about it, and the of what string theory is. In 1994, we electric-magnetic duality that had Sen paper inspired us to think that knew about mirror symmetry and been known, and learn something duality would play a role. That was other two-dimensional dualities that fundamentally new. Until Sen’s paper, one of the clues that actually led to arise in string perturbation theory, I had felt that what we understood our work on what became Seiberg- and we were really just beginning to about electric-magnetic duality, even Witten theory. think that there are similar dualities in the work of Sen and Schwarz, which Ooguri: It may be hard to believe space-time: four-dimensional gauge had de nitely inuenced me, was in for young people like Masahito theory dualities that are analogous to the framework of what Montonen Yamazaki or Yukinobu Toda, but the two-dimensional dualities. But in and Olive had understood 20 years before 1994, S-duality at least for me 1994, it was really just a guess that before. But Sen did a simple and was something very hard to believe. something analogous might happen elegant calculation, nding a bound It was like a beautiful dream. It would

12 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 be nice to have, but you cannot was a skeptic. But since I was there already mentioned. I remember that, realistically hope that something to see him, I didn’t want to just say at the Strings ’93 meeting in Berkeley, like that could possibly happen. As that his idea was nonsense. We tried John Schwarz was more excited than I said, the rst evidence was Sen’s to make sense out it. So we discussed I had ever seen him since January paper and in some sense Edward’s it in the context of supersymmetry, 1984. In January 1984, telling me work with Vafa nailed it. After that, simply because with supersymmetry about his latest work with Michael everybody believed it. the mass renormalization (and even Green, he said“ We are getting Yamazaki: That’s surprising, because the full effective potential) of a close,” but I didn’t understand what I thought that the paper of Claus scalar can be zero. This was the only he thought he was getting close to. It Montonen and David Olive is quite context in which it seemed to me turned out, however, that that was a old. Were people skeptical about the that the brilliant idea of Montonen few months before they canceled the idea? and Olive could make sense. By the anomalies. When John was so excited Witten: This might make you laugh, end of the day, we found that their at the Strings meeting at Berkeley, I but I’ll tell you my early history with formulas are valid in the context of decided that I should better take him the Montonen and Olive paper. First N=2 supersymmetry. So we wrote seriously. of all, I hadn’t heard of it until I was a paper on that, and it was quite a If you had looked at it with the visiting Oxford at the end of 1977. satisfying paper to write, but I drew same skepticism I had had since Michael Atiyah showed this paper to the wrong conclusion from that the Montonen and Olive paper, me and said I should go to London paper. The conclusion I drew was you would have said that Sen and to discuss it with Olive. So, I looked that we had explained their formulas Schwarz were just discussing low at the paper and got in touch with without needing to assume non- energy physics and did not have David Olive and arranged to visit him. perturbative duality. solid evidence about strong coupling But by the time I got to London, I was Ooguri: Right. That was the message behavior. But John’s enthusiasm put pretty skeptical. Have you looked at I got by reading your paper with enough of a dent in my skepticism their original paper? Olive, too. The seemingly miracle that I started looking more closely to Yamazaki: Yes, I have. phenomenon was explained simply the papers of Duff and other authors Witten: In their original paper, they by supersymmetry. on solitons in string theory. At some considered a bosonic theory of a Witten: So at the time, and for point, I think in the fall of 1993, Duff gauge eld and a real scalar (valued many years after, I felt that there sent me an assortment of his papers in the adjoint representation). They was not really a lot of evidence for and I took them to heart. I don’t assumed that the potential energy for non-perturbative duality in four remember right now all of the papers the scalar eld is identically zero, and dimensions. on solitons in string theory that I they found remarkable formulas for Thus, to return to Masahito’s looked at during this period, but particle masses that are valid precisely question, I was a skeptic about certainly one important one was by in this case. Their proposal of electric- electric-magnetic duality during these Callan, Harvey, and Strominger. magnetic duality was based on the years, but actually I was a skeptic on There is another part of the fact that their mass formula was two levels. One, I was skeptical that background to this period that I symmetrical between electric and it was true, and two, I was skeptical should explain. magnetic charge. that you could really say anything Mike Duff, Paul Townsend, However, I knew quantum eld about it even if it were true. and other physicists working on theory well enough to know that To give a more complete picture, in supermembranes had spent a couple saying that the potential energy the early 1990s, there were various of years in the mid-1980s saying Round for the scalar eld is 0 is not a novel clues, some from the work that there should be a theory of Table meaningful statement quantum of people like Mike Duff, and also fundamental membranes analogous mechanically. If it were, we would not Curt Callan, Jeff Harvey, and Andy to the theory of fundamental strings. have a gauge hierarchy problem in Strominger, studying solitons in string That wasn’t convincing for a large particle physics. So, by the time I got theory, and then also there was the number of reasons. For one thing to London to see Olive, I de nitely work of Sen and Schwarz that I a three-manifold doesn’t have an

13 After that, you even went to string dualities.

String Duality Revolution

Witten: By the end of 1994, we had the experience of non-perturbative dualities in eld theory both in two dimensions and in four dimensions. In the two-dimensional case, for example, if you study a sigma- model with Calabi–Yau target space (such as is important in studying the compacti cation of string theory), one nds that the quantum theory can be extended far beyond the classical geometry of the Calabi-Yau manifold. One nds a web of phase transitions Euler characteristic, so there isn’t a approximation wasn’t good. But between different geometrical and topological expansion as there is the idea of membranes as non- non-geometrical descriptions of in string theory. Moreover, in three perturbative soliton-like objects in the sigma-model, which represent dimensions there is no conformal string theory made a lot of sense different semi-classical limits of the invariance to help us make sense even if the details in some papers theory. The Montonen-Olive duality of membrane theory; membrane were dubious. I was still a bit of a conjecture, as re ned by later authors, theory is non-renormalizable just like skeptic about what one can do with said that something similar happens General Relativity. this idea, but for reasons I’ve been in N=4 super Yang-Mills theory in There are all kinds of technical explaining, I was paying a lot more four dimensions, and Seiberg and objections, but at some point around attention. And that is actually why, I in 1994 had found something 1990 or 1991, instead of trying to when the Sen paper on the two- somewhat similar for N=2. think of membranes as fundamental monopole bound state came out, I Certainly there was a dream that objects, people working in this area was ready to completely change my something similar might happen in started thinking of membranes and outlook. string theory. Not only there was a other p-branes as non-perturbative Sen’s paper showed that one can dream, but there were a lot of papers objects that might exist in string do something new about strong in which people had pointed out theory. In general terms, this idea coupling and it was clear that if one pieces of such a story. I have already did make sense. In more detail, the had been inspired the way Sen was, mentioned some of these papers. situation was more complicated. If one could have done what he did 10 Another important paper was written you actually looked at the papers, or 15 years before. So, it showed that by Chris Hull and Paul Townsend in some of them made a lot of sense we had been missing opportunities. the spring of 1995. They wanted to because they had a classical soliton That de nitely changed the direction say that Type IIA superstring theory is solution with good properties. (Even in my work. It led to the paper the same as M-theory on a circle. The then, the solutions usually had with Vafa that you’ve been kindly only thing they really didn’t do was unusual properties that in some mentioning, and it helped put Seiberg to try to make it more quantitative. cases were clues to later discoveries.) and me on the right track for doing There’s a potential contradiction Other papers made a little bit less what we did in 1994 and then... which is that in Type IIA superstring sense, because the classical solution Ooguri: This is a great story that theory you don’t see 11 dimensions. involved a singularity that appeared shows that chance favors the But it turns out, as I realized a little in a region in which the classical prepared mind, as Pasteur said. later, that this question has a very

14 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 simple answer. The 11-dimensional limit is a region of strong coupling from the point of view of Type IIA superstring theory, and the eleventh dimension isn’t visible for weak coupling. It soon became clear that the same thing was true in other cases. For example one might hope that Type I superstring theory and the SO(32) heterotic string will be the same. There is an obvious immediate contradiction: the theories have the same massless spectrum and low energy interactions, but beyond the low energy limit they look completely different. The answer is simply that if you match up the low energy In the moduli space of Calabi- strange. I personally didn’t focus eld theories, you will nd that Yau manifolds, there are a variety on that question, but Strominger weak coupling in one is strong of singularities. Some questions explained that such a singularity coupling in the other. involving such singularities had been actually reects a non-perturbative Once one starts thinking along important in my own work. quantum effect. The singularity those lines, it turns out that Ooguri: You are referring to the work arises when a charged black hole everything works. What were the involving linear sigma-models. becomes massless and it shows that implications? This way of thinking Witten: That is correct, and also quantizing a classical theory can’t do certainly led to a more uni ed picture my work (with Harvey, Vafa, and justice to string theory: there are non- of what string theory is. But very soon, Lance Dixon) on orbifolds. I had perturbative quantum effects even in there were further developments been interested in cases in which the what one might have wanted to call showing that the traditional ways classical geometry has a singularity the classical limit. of asking questions were probably but the quantum sigma-model Ooguri: You say there’s no analogous inadequate. In the 1980s, I was does not; these cases illustrate result in eld theory, this is a really convinced that in some sense the difference between ordinary genuinely string theory phenomenon. string theory should be based on a geometry and its generalization in Witten: I think so. Lagrangian that would generalize the classical limit of string theory. Ooguri: So, did you think this was an the Einstein-Hilbert Lagrangian for What I had not taken seriously is evidence that there is no Lagrangian gravity; it would have a symmetry that in general, as one deforms the description in string theory? group which would generalize the moduli of a Calabi-Yau manifold, Witten: It is evidence that you can’t diffeomorphism group. So there one can nd singularities of the fully do justice to string theory in would be a new classical theory of classical geometry that do also lead terms of quantizing a classical theory. geometry－with non-perturbative to singularities of the corresponding I don’t want to say that there isn’t a two-dimensional dualities built in as sigma-model. classical theory, because I believe that Round classical symmetries. One would then Such a singularity appears in string from some point of view there is. Table generate string theory by quantizing theory even in the classical limit, so Ooguri: Yes, as an approximate this classical theory. if you try to interpret string theory description, but you’re saying that But by the early 1990s, there was as a classical theory that then gets you cannot start from classical theory a troublesome detail that I personally quantized, it looks like the classical and apply quantization procedure... did not pay much attention to. theory has a singularity, which is Witten: We can’t fully understand

15 string theory by quantizing an was corrected by Paul Aspinwall in a a fact which we were convinced underlying classical theory. In some paper that he wrote in the summer of by this time－and on the other sense it is an intrinsically quantum of 1995. Aspinwall explained the hand N=4 super Yang-Mills theory mechanical theory. following: In M-theory at an ADE in four dimensions with gauge I don’t want to say you can’t derive singularity, you have only the hyper- group U(n) can arise from a system string theory by quantizing a classical Kahler moduli, but in string theory of n parallel D3-branes in Type IIB theory, but you can’t fully do justice at an ADE singularity, there also are superstring theory. Combining these to it that way, I think. B- eld moduli. The conformal eld two facts and taking the low energy But let us remember that even in theory becomes singular when the limit, Green was able to deduce the eld theory, Montonen-Olive duality B- eld moduli are zero; the orbifold Montonen-Olive duality of N=4 super means that the same theory has describes a non-singular situation in Yang-Mills theory with gauge group different classical limits, showing which the B- eld moduli are not zero. U(n). It is simply inherited from the that no one classical limit is really When the B- eld moduli vanish, Type IIB superstring theory specialized distinguished. there is a breakdown of the classical to the D3-branes. Ooguri: But in that case, you have a description that’s just analogous to That was an important early Lagrangian description. what Strominger had shown in his example of deducing a gauge theory Witten: Yes, in the Montonen-Olive paper on the Calabi-Yau singularity. duality from a string theory duality. case, one has a classical Lagrangian, It leads to enhanced gauge symmetry Even before all of this had in fact many of them. String theory that, from the standpoint of Type happened, Mike Duff and Ramzi is a little bit worse because even in IIA superstring theory, has a non- Khuri in 1993 had written a paper on what you want to call the classical perturbative origin. what they called string/string duality. limit, there are phenomena that you Strominger had considered a They had said there should be a self- really can’t make much sense of from charged black hole that arises from a dual string theory in six dimensions the classical point of view. wrapped three-brane, while here the which looked at in two different ways Ultimately, Strominger’s work relevant particle is a wrapped two- would give electric-magnetic duality illuminated something I’d missed. brane. But the idea is similar. of gauge theory in 4 dimensions. In the talk I gave at the Strings Ooguri: So this was the beginning It was actually a brilliant idea. The Conference in 1995 about non- of interaction between gauge theory only trouble was they didn’t have an perturbative dualities in string theory, idea and string theory idea where example in which it worked. and also in the corresponding paper non-Abelian, non-perturbative I realized in mid-1995 that if one “( String Theory Dynamics In Various dynamics of gauge theory can took the heterotic / Type II duality Dimensions”), there was one detail emerge from limits of string theory. on K3 and T 4 and compacti ed on that didn’t completely make sense. Witten: Right. Another important but another two-torus, one would get Type IIA superstring theory on a K3 extremely simple paper that helped an example rather similar to what manifold was supposed to be dual to show the implications of string Duff and Khuri had suggested. They the heterotic string on a four-torus, theory for non-perturbative duality had had in mind self-duality of a and in that context, I could see that in gauge theory was written by string theory, but the example that enhanced gauge symmetry resulted Michael Green in 1996. By this time, I considered was a duality between from the K3 surface developing Joe Polchinski and his collaborators two different string theories. Still an ADE singularity. But an ADE had basically shown that in modern the idea was similar. By the end singularity in classical geometry language a system of n parallel of 1995, Duff and I and some is just an orbifold singularity, and branes has U(n) gauge symmetry. I other authors had an example that perturbation theory remains valid had written a paper at the end of followed even more precisely what in string theory at an orbifold. The 1995 showing why that was useful, had been proposed two years before. orbifold does not generate a non- but Green wrote a very simple paper That involved the E8 x E8 heterotic perturbative gauge symmetry. For a with the following observation. Type string on a K3 surface with equal few months, I was puzzled. Actually, IIB superstring theory has a non- instanton numbers in the two E8’s. In I was making a simple mistake which perturbative duality symmetry－ all of these cases, one could deduce

16 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 Montonen-Olive duality from a string duality. This is somewhat analogous tried to say in my Commemorative theory duality. to saying that some statement in Lecture for the Kyoto Prize. There is As we’re talking, I remember more number theory follows from the a difference between knowing what and more papers from the years Riemann conjecture. If somebody is true and knowing why it is true. In 1995-6 that were very dramatic at shows that something follows from this case, you have a mathematical that time, but that were also, honestly, the Riemann conjecture, one may or proof, but you’re still asking why, pretty easy to do in most cases. I was may not view this as an explanation and physicists ultimately don’t reminded of this yesterday by the of the statement in question, but know. All that we can do is to offer lecture by Hiraku Nakajima at the at least it puts the statement in a bigger conjectures, of which this is Kyoto Prize Workshop. Hiraku started bigger framework. Montonen-Olive a manifestation. But we don’t really by kindly remembering three lectures duality provided an analogous bigger understand the bigger conjectures. I gave at the Newton Institute in framework in my work with Vafa, Ooguri: In physicists’ perspective, 1996. The lectures concerned three and soon afterwards there was a still this duality has been geometrized as papers that I had written (respectively bigger framework, which was that symmetry in six dimensions. with co-authors Lev Rozansky, Ami the Montonen-Olive duality follows Witten: But the six-dimensional Hanany, and Nathan Seiberg). The from the existence of a certain six- theory is pretty mysterious. papers t together nicely. They were dimensional theory. It also follows in Toda: Is it not dif cult to understand fun to write and the lectures were various other ways from string theory the relationship between S-duality also fun to give. But what stands out dualities and I have mentioned a and six dimensional theory? in my memory is that at that time few of these constructions. But most Ooguri: The relation is very clear, but insights like that were more or less physicists would probably say the then you have to make sense of the out on the surface. It was quite a fun most complete framework that we six-dimensional theory itself. time to be working in this eld. I am have for Montonen-Olive duality is its Witten: We actually know quite a hoping that during my active career, relation to the six-dimension theory. lot about the behavior of the six- there will be another period like that. Ooguri: Yukinobu was asking for dimensional theory, though we do some mathematical explanation. not understand much about how it Difference between Knowing At that time, some hint of the should be constructed or understood What Is True and Why It Is True mathematical explanation was microscopically. Toda: I am an algebraic geometer. Nakajima’s work, about the symmetry One of the deepest discoveries I was originally working on some of the moduli spaces of instantons. about the behavior of the six- classical aspect of algebraic geometry, From the mathematical point of dimensional theory was made by but I became interested in some view, what the Vafa-Witten theory Juan Maldacena in 1997. He showed relationships between algebraic was computing were generating that it could be solved for large N in geometry and string theory inspired functions of the Euler characteristics terms of supergravity. Unfortunately, by your work. You have been of instanton moduli spaces. the regime in which the theory is discussing S-duality and modular Witten: Nakajima’s discovery of solved by supergravity isn’t the same forms. This was surprising from a the af ne Lie algebras was a kind regime in which we usually have to mathematical point of view - I cannot of proof, and actually a miraculous study it to understand the questions see why modularity appears. Do you discovery. But it still leaves one you’re asking. have an insight about that from a wondering where the af ne Lie Ooguri: I understand that the large N mathematical point of view? algebra symmetry came from. limit is not S-duality invariant. Witten: Vafa and I, of course, had a Toda: Right. After computations of Witten: Yes, that is correct. Round reason, which was the Montonen- the Euler characteristics, we know Maldacena’s solution of the Table Olive duality conjecture. What we that it’s a modular form but we don’t theory for large N works and makes did was to show that modularity know why it is modular, even for the complete sense. It does not directly of a certain generating function simplest example. help us in understanding Montonen- of Euler characteristics is a kind Witten: I completely agree. What Olive duality, because it involves of corollary of Montonen-Olive you’re saying is actually something I studying the theory in a different

17 region of parameters that is not are related to the classical problem in Quantum Entanglement invariant under duality. Or to put algebraic geometry. it differently, if one tries to apply Ooguri: You also attend string theory Ooguri: We are still discussing what Maldacena’s solution to understand seminars. What do you gain by was happening in the ’90s. Now, Montonen-Olive duality, one has to attending them and interacting with we should move on to the new work in a region of parameters in physicists? millennium. What do you think have which the description that Maldacena Toda: I think there are many kinds been highlights in the past 14 years? gave is not useful. of people in string theory. Some Witten: Part of the answer is that But the existence and success people’s works are close to me, the gauge-gravity duality that was of Maldacena’s solution de nitely like Donaldson-Thomas invariants introduced by Maldacena is very deep. increases the con dence of physicists and derived category of coherent Even today people are still discovering that the six-dimensional theory exists sheaves. In their seminars, I can interesting new facets of it. An and that all the canonical statements learn something, but that is almost a important example was the work of about it are true, even though seminar of mathematics. Shinsei Ryu and Tadashi Takayanagi we don’t understand everything. Ooguri: A mathematician told me on entanglement entropy in gauge/ It’s a little bit like mathematicians that physicists are like generating gravity duality. They discovered a discovering that some new functions of conjectures. Some really interesting generalization of consequences of the Riemann physicists are more useful for the Bekenstein-Hawking entropy of conjectures are true. This gives one mathematicians than others. For a black hole. Although I have not more con dence in the Riemann example, Hiraku Nakajima was telling personally worked on this subject, conjecture, but it doesn’t mean one me that he particularly likes Edward’s the developments have been pretty understands the Riemann conjecture. lectures, because even though he interesting and may contain deeper Ooguri: Yukinobu, what is your view doesn’t understand the motivations clues about quantum gravity. If I on current activities in physics? For and where ideas come from, some could see the right way to do this, example, yesterday Nakajima was of the statements Edward makes then I would probably work in this saying that it took him 18 years have sharp mathematical meanings area myself, but at least so far I to understand what Edward was to them, just like the equation that don't. But it’s one of the things I’d doing in his lectures in Cambridge, Tachikawa was quoting yesterday recommend watching most closely. and Kenji Fukaya was saying that at the workshop and these are Apart from Ryu and Takayanagi, sometimes he doesn’t understand something that mathematicians can I also would de nitely recommend even the statement because you don’t work on. the papers of Horacio Casini, in understand the right-hand side and Yamazaki: But then sometimes some cases co-authored with left-hand side of equations physicists people want to know the logic Marina Huerta. One of these papers write, for example. You have been behind it. I can make a statement addressed the following question. A at the Kavli IPMU for several years, that makes sense mathematically, black hole has a Bekenstein-Hawking interacting with physicists, so do you and mathematicians can try to prove entropy. Roughly 20 years ago, Jacob have any perspective to offer...? it. But they de nitely want to know Bekenstein considered the following Toda: Of course, I don’t know what’s happening. question. Suppose an object falls anything about string theory, but Witten: In any given case, I can’t into a black hole. The object has sometimes I look at papers and some guarantee that there isn’t a an entropy. When it falls into a calculations, and try to translate simpler answer. But the view of black hole, its entropy disappears physics words into mathematics, say most physicists about many of into the hole. The black hole gains D-branes to sheaves or BPS states the problems that we have been mass when it absorbs the object, to stable objects. Then I have lots discussing is going to be that the so its entropy goes up. The second of things to learn from the physics best setting for these questions is in law of thermodynamics says the side, and lots of problems to solve, the quantum eld theories that are total entropy should increase in this although I don’t understand their important in physics. process, so in other words the black physics origin. I also found that they hole entropy increases by at least

18 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 the entropy that the infalling object there is no box keeping it there. (I say entropy, one suspects it’s probably had before approaching the black “almost certainly” because relativistic an important clue, but it might take hole. This tells you basically that if an quantum mechanics does not permit a younger person than me with object has given energy and is small us to say that a particle is de nitely fresh thinking to see what it is an enough to t inside a black hole of present in a given region.) Here for important clue to. given mass, then there’s an upper a single particle, we can de ne its I do want to mention one more bound to its entropy. Bekenstein energy, and we can identify (within contribution in that direction, which proposed such a bound, and people general limits of relativistic quantum is by Casini and Maldacena with called it the Bekenstein bound, mechanics) the region that it is Rafael Bousso and Zachary Fisher but for a long time no one could con ned in, but it is hard to make (BCFM). Years ago, Bousso had formulate precisely what this bound sense of the entropy of a single formulated a covariant version of the was supposed to say. particle. For a long time, there were Bekenstein bound; it is well adapted I am reminded here of what many papers discussing this, many to problems in cosmology. Everything Fukaya said about the relationship dozens and probably hundreds of I have said about the Bekenstein between physics and mathematics, papers, for the most part with limited bound has an analog for the Bousso where he remarked that it can be insight. Then, there was a simple bound. When you understood what hard to formulate precisely the terms and quite brilliant paper by Horacio it meant, it wasn’t very interesting, that enter some of the statements Casini, who showed that the right and when it was interesting, you made by physicists. In the case of concept is entanglement entropy couldn’t understand what it meant. the Bekenstein bound, the situation and that it can always be de ned In the recent work of BCFM, a precise was as follows. In a situation in in a natural way and does enter in formulation and proof of the Bousso which the concepts (the size, energy, a universal Bekenstein-like bound. bound is given, at least for quantum and entropy of the infalling object) This paper was well ahead of the eld theory in at spacetime. have clear meaning, the Bekenstein prevailing thinking in the eld and it Ooguri: I see that this new joint bound was trivially true and not very was a number of years, I think, before activity between quantum gravity interesting. For example, consider people widely appreciated it. and quantum information theory a gas consisting of many particles Ooguri: For example, Casini’s paper has become very exciting. Clearly bouncing around in a box. Here the solved the species problem that I had entanglement must have something size of the system and its energy and been puzzled about for some time to say about the emergence of entropy all have a clear meaning. and gave a convincing explanation spacetime in his context. The Bekenstein bound was true but that it’s not an issue. Witten: I hope so. I’m afraid it’s hard not very interesting because it was Witten: There were what people to work on, so in fact, I’ve worked satis ed by a very wide margin. You thought were counter-examples to with more familiar kinds of questions. could ask, could you nd a situation the Bekenstein bound, and so some I have spent a lot of the last decade where the Bekenstein bound is people, and I was one, thought or maybe even little bit more than close to being saturated? You can that if the bound was true, it was a decade maybe by now working accomplish this by considering not a statement about quantum eld on a succession of problems that a whole gas of particles but a single theories that can be coupled to probably were a little bit more out particle in a box. More exactly, gravity, not about all quantum eld of the mainstream than most of my this gets close to saturating the theories. But Casini showed that this previous work. Also, I simply worked Bekenstein bound if we can ignore was completely wrong. He gave a on these problems much longer the mass of the box, but that is an precise meaning to all the terms that than I usually worked on any one Round unrealistic assumption. To get close entered the Bekenstein bounds, and problem in the past. I guess the three Table to saturating the Bekenstein bound, he showed that it was a universal problems that best t what I have just we really should consider a single statement of quantum eld theory said have been gauge theory and the particle that at a given time is almost that follows from general principles. geometric Langlands program, gauge certainly contained in a certain That was extremely illuminating and theory and Khovanov homology, and region in spacetime even though like other work on entanglement superstring perturbation theory.

19 Superstring perturbation theory is already have in mind application to constructing Khovanov homology best understood in terms of super Khovanov homology? using a space of repeated Hecke Riemann surfaces, a fascinating Witten: The answer is“ no”: in modi cations. I did not initially know mathematical subject that I hope those years, I knew about Khovanov what to make of those clues but they mathematicians will get interested homology and I was frustrated to were a sort of red ag hanging out in. Super Riemann surfaces are not understand it, but I had no there. a generalization of ordinary idea it was related to geometric Hecke transformations are one Riemann surfaces to include odd or Langlands. I was frustrated at not of the most important ingredients anticommuting variables. There is a understanding Khovanov homology, in geometric Langlands. What fascinating algebro-geometric theory because I felt that my work on the they mean in terms of physics had that people partially developed in Jones polynomial ought to be a good bothered me for a long time, and the 1980s and then abandoned. It starting point for understanding eventually had been the last major would be great if it gets revived. By Khovanov homology, but I just stumbling block in interpreting the way, we are having a workshop could not see how to proceed. geometric Langlands in terms of next May at the Simons Center for (From a mathematical point of view, physics and gauge theory. Finally, Geometry and Physics in Stony Brook Khovanov homology is a re nement while on an airplane ying home and algebraic geometers might be or“ categori cation” of the Jones from Seattle, it struck me that a interested in it. polynomial of a knot.) Actually, Sergei Hecke transformation in the context Ooguri: Do you think there will be a Gukov, Albert Schwarz and Vafa had of geometric Langlands is simply an genuine new mathematics coming already given (in 2004) a physics- algebraic geometer’s way to describe out in these fermionic dimensions? based interpretation of Khovanov the effects of an“ ’t Hooft operator” Witten: I am sure that the algebraic homology, drawing in part on earlier of quantum gauge theory. I had geometry of super Riemann surfaces work of Ooguri and Vafa. But I found never worked with ’t Hooft operators, is exciting, and unfortunately, a it perplexing and a little frustrating but they were familiar to me as they lot of what was understood in the that the relation of this to gauge had been introduced in the late 1980s existed only in the form of theory was so indirect and remote. I 1970s as a tool in understanding unpublished notes or letters. I hope wanted to nd a more direct route quantum gauge theory. The basics of that our workshop will help change but for several years I found this how to work with ’t Hooft operators this situation. dif cult. and what happens to them under Eventually, however, some electric-magnetic duality were well- developments in the mathematical known, so once I could reinterpret Khovanov Homology literature helped me understand Hecke transformations in terms of ’t Yamazaki: I was attending your that Khovanov homology should Hooft operators, many things were lecture yesterday and you were be understood using the same clearer to me. explaining how you came to the ingredients that are used to Cautis and Kamnitzer had idea that Khovanov homology can understand geometric Langlands. I interpreted Khovanov homology in be written as N=4 super Yang- didn’t understand all of these clues, terms of the B-model of a space of Mills integrated over an unusual but I learned from two of them. One repeated Hecke transformations. integration cycle. One thing that was the work of Dennis Gaitsgory on Kamnitzer also conjectured in impressed me there was that your what mathematicians call quantum another paper that there would be previous papers were the crucial geometric Langlands (I am not sure an alternative description in terms input, namely your work with Anton this is the name a physicist would of an A-model of the same space. Kapustin in which you formulated the use) showing that the q parameter Technically, it was hard to nd the Kapustin-Witten equation, and also of quantum geometric Langlands right A-model. I really wanted to subsequent work you did with Davide is related to the q parameter of understand the A-model, because Gaiotto on boundary conditions in quantum groups and the Jones that was the approach in which one N=4 super Yang-Mills theory. When polynomial. The other was the work could expect to achieve manifest you worked on these papers, did you of Sabin Cautis and Joel Kamnitzer three- or four-dimensional symmetry.

20 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 My main goal in studying Khovanov was the B-model. Since it doesn’t something to do with this gauge homology was to nd a description have manifest three-dimensional theory dynamics? with manifest symmetry and a clear symmetry, I decided to concentrate Witten: Well, I didn’t forget about relationship to the gauge theory on the A-model, but if I ever have a it, but since－as I already told you－I description of the Jones polynomial. couple of months to spare, I would was skeptical about Montonen-Olive I eventually succeeded in doing this. try to explain as a physicist the duality, I didn’t seriously try to relate One of the trickiest elements was Cautis and Kamnitzer B-model. I’m it to Langlands duality and I didn’t try that the gauge elds have to obey a reasonably optimistic I could do that to learn what Langlands duality was. subtle boundary condition that I call and I think it would be illuminating. I did not learn anything more about the Nahm pole boundary condition. The only problem is that there are these matters until the late 1980s. (The basic idea that leads to the a lot of things like that－interesting Then I learned just super cially about Nahm pole boundary condition was loose ends that I think I could clarify the Langlands correspondence. If introduced by Werner Nahm more if I spend a few months on them. one knows even a little bit about than 30 years ago, in his work on the Langlands correspondence and a magnetic monopoles.) Luckily for me, Langlands Correspondence and little bit about conformal eld theory I was familiar with the Nahm pole Gauge Theory Dualities on a Riemann surface, one can see boundary condition and its role in Ooguri: That the Langlands an analogy between them. I wrote a electric-magnetic duality because of correspondence has something to paper that was motivated by that but work that I had done with Davide do with S-duality was there even in then I realized that my understanding Gaiotto a few years earlier. the late ’70s. When was it that you was too super cial to lead to I suspect that the mathematics actually realized the signi cance of anything deep, so I abandoned the world could appreciate my work on it? matter for a number of years. Khovanov homology in the short to Witten: I didn’t give the complete Ooguri: I remember when I was a medium term and that the obstacle to explanation of my interaction with postdoc at the Institute for Advanced this is largely a lack of familiarity with Michael Atiyah in 1977. He told me Study in 1988 and 1989, Robert the Nahm pole boundary condition. about two things that were new Langlands himself was actually quite With this in mind, I have been to me. One was the Montonen- interested in conformal eld theory. I working with Rafe Mazzeo trying to Olive paper and the other was the am not sure exactly which aspect he give a detailed mathematical theory Langlands correspondence, which was interested in, however. of that boundary condition. We plays a central role in number theory Witten: I don’t think he was have written one paper formulating but which I had never heard of. He motivated by the Langlands rigorously the Nahm pole boundary had noticed that the dual group correspondence. But I think his condition in the absence of knots, of Langlands and the dual group work was inuential. Even though and we are trying to generalize this that enters the Montonen-Olive in a sense he didn’t precisely make to include the knots. The necessary conjecture (and which had been any major breakthrough himself, he inequalities are available but some introduced earlier by Peter Goddard, helped to nd the questions that details are not yet in place. Jean Nuyts, and Olive) were the same. stimulated the later development Yamazaki: I see. That’s a very nice On this basis, Atiyah suspected that of Stochastic Loewner Evolution, story of the physics-mathematics the Langlands correspondence has which has had a major impact interaction. You were partly something to do with the Montonen- on mathematics and has even motivated by the important papers in Olive conjecture. enlightened physicists about new mathematics and interpreted them as Ooguri: So that was in the late ’70s? ways to think about some questions Round a physicist. Then you have your own Witten: It was December of 1977 in conformal eld theory. I think Table physics story and you are now trying or January of 1978. That was when I Langlands was an inuence behind to bring it back to mathematics. visited Oxford for the rst time. this work, but I do not believe his Witten: As I have mentioned, the Ooguri: Did you take that seriously interest in conformal eld theory version that Cautis and Kamnitzer already at that time that the was motivated by the the Langlands were actually able to understand Langlands correspondence had correspondence or by gauge theory

21 dualities. This is my impression from the Jones polynomial in 1988－ can nd on the web, Beilinson and interacting with him over the years. there was a crucial difference. They Drinfeld acknowledged me very As I have already remarked, in seemed to have complex critical generously, far overestimating how the late 1980s, after spending some points that made exponentially large much I had understood. All that had time trying to develop the analogy contributions, and this normally is really happened was that based on between conformal eld theory not possible in physics. I am not sure a guess, I told them about Hitchin’s and the Langlands correspondence, if this point bothered anyone else, work, and then I think that made I concluded reluctantly that the but it bothered me. It turned out that all kinds of things obvious to them. analogy in the form I was developing this was a good question to think Maybe they felt I knew some of those was way too super cial, so I stopped. about, since I eventually found a nice things, but I didn't. But anyway, there But then around 1990, I heard about explanation, and this was a turning were ample reasons in those years to new work of Alexander Beilinson and point in enabling me to understand think that geometric Langlands had Vladimir Drinfeld on the geometric Khovanov homology via gauge something to do with physics, but as Langlands correspondence. This had theory. you can see I still couldn’t make any a few consequences. First of all, it The work of Beilinson and Drinfeld sense out of it. con rmed that my understanding on geometric Langlands bothered me Ooguri: So, what inspired you to of what the duality would mean in in much the same way. They were return to this? physics was way too super cial. What using familiar ingredients of physics Witten: A decade later there was they had was much more incisive but they were using them in ways a workshop at the Institute for and much more detailed than my that did not seem to t. It looked Advanced Study on geometric rather primitive analogy between like somebody had taken a bunch Langlands for physicists. Were you the Langlands correspondence and of chess pieces, or perhaps here in there? conformal eld theory. Their work Japan I should say a bunch of shogi Ooguri: I was invited, but there was a con rmed that physics that I knew pieces, and placed them on the board conict of schedule, so I couldn’t go. I was relevant. But I was troubled, at random. The way that the pieces missed it. because they were using conformal were arranged did not make any Witten: There were two long series eld theory in a way that didn’t sense to me. That bothered me but I of lectures and then there were a make any sense to me. They studied could not do anything about it. couple of outliers. The long series conformal eld theory at negative Actually, the very little bit of were very well done, but they integer levels－in physics positive what Beilinson and Drinfeld were did not help me very much. Mark integers are more natural here－ saying that I could understand made Goresky gave a long series of lectures and used it in ways that looked quite me wonder if the work of Nigel aiming to tell physicists what is the strange. Hitchin would be relevant to them, Langlands correspondence. The As I explained yesterday in my so I pointed out to them Hitchin's only trouble for me was that to the lecture at the Kyoto Prize Symposium, paper in which he had constructed extent that one can explain this topic for a number of years, the“ volume commuting differential operators in a couple of lectures, assuming conjecture” concerning the Jones on the moduli space of bundles essentially no knowledge of algebra polynomial (formulated and on a curve. Differently put, Hitchin beyond the de nition of a eld (in developed starting around 2000 by had in a certain sense quantized the algebraic sense), I was familiar Rinat Kashaev, Hitoshi Murakami, the classical integrable system that with the Langlands correspondence and Jun Murakami, among others, he had constructed a few years already. Namely I didn’t really know and explained to me in large part before. Although I understood anything about it, but I knew as by Sergei Gukov) bothered me. scarcely anything of what Beilinson much as one could explain in a few Although their statements bore a and Drinfeld were saying, I did put hours starting from zero. So I couldn’t super cial resemblance to physically them in touch with Hitchin’s work, really get much out of those lectures. well-motivated statements－in and actually, in their very long, In addition, Ed Frenkel (who had fact to statements that I myself unpublished foundational paper been the prime mover behind the had made in my original paper on on geometric Langlands that you occurrence of this workshop) gave

22 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 a series of lectures that, as far as I moduli space, viewed differently, and couldn’t explain it to anybody was concerned, were basically about would give a mirror symmetry else. And in a sense, I still feel the shogi board on which the pieces between a B-model in a certain that way for the following reason. have been arranged at random. I complex structure and an A-model Physicists with a background in string really couldn’t get much out of those in a certain symplectic structure. This theory or gauge theory dualities lectures either because I already mirror symmetry was supposed to can understand my paper with knew that people working on the be the true geometric Langlands Kapustin on geometric Langlands geometric Langlands were taking duality, not the approximation. but for most physicists this topic is familiar pieces from the shogi set Actually, the reason I started working too detailed to be really exciting. On and arranging them on the board at on geometric Langlands with Anton the other hand, it is an exciting topic random as far as I was concerned. Kapustin was that he had studied for mathematicians, but dif cult to There were a couple of additional generalized complex geometry in understand because too much of lectures that weren’t part of any two-dimensional dualities. In that the quantum eld theory and string series. One of them was by David world, a family of dualities can theory background is unfamiliar (and Ben-Zvi. He told us about what was degenerate, and a mirror symmetry dif cult to formulate rigorously). supposed to be an approximation can degenerate to a holomorphic That paper with Kapustin may to the geometric Langlands duality. unfortunately remain mysterious to correspondence. I think he was When one starts thinking mathematicians for quite some time. talking largely about the work along these lines, it soon makes Yamazaki: Maybe that means that of another mathematician, Dima a lot of sense that the geometric we have to wait an extra 10 or 15 Arinkin. What was supposed to be Langlands duality is really a mirror years before... the approximation to the geometric symmetry, which can degenerate to Witten: We indeed may have to. I Langlands correspondence was a holomorphic duality, and that this think it’s actually very dif cult to see T-duality on the bers of the Hitchin is the approximation Ben-Zvi taught what advance in the near term could bration. This was described by Ben- us about. I became convinced that make the gauge theory interpretation Zvi in a complex structure in which that had to be right. There were of geometric Langlands accessible the bers of the Hitchin bration still a few hurdles to overcome. The for mathematicians. That’s actually are holomorphic, so the T-duality is a most dif cult one I already described one reason why I’m excited about holomorphic duality. It was already earlier. One does not get to rst base Khovanov homology. My approaches known to physicists that the T-duality with the Langlands correspondence to Khovanov homology and to on the bers of the Hitchin bration without Hecke operators, so it geometric Langlands use many of the comes from Montonen-Olive duality was necessary to have a physical same ingredients, but in the case of in four dimensions, and of course ever interpretation of Hecke operators in Khovanov homology, I think it is quite since Atiyah’s observations of 1977- terms of ’t Hooft operators of gauge feasible that mathematicians could 8, I had been aware of the possibility theory. It was also necessary to know understand this approach in the near that some version of the Langlands how to interpret the A-model of future if they get excited about it. I correspondence might be associated the cotangent bundle of a complex believe it will be more accessible. If to Montonen-Olive duality. But what manifold M in terms of differential I had to bet, I think I have a decent about the fact that Ben-Zvi was only operators on M. This actually was chance to live to see gauge theory claiming to deduce from T-duality fairly close to things that Kapustin and Khovanov homology recognized an approximation to geometric had done earlier. Once these points and appreciated by mathematicians, Langlands duality, rather than the were understood, it was pretty clear and I think I’d have to be lucky Round real thing? At a certain point, I to me as a physicist what is geometric to see that in the case of gauge Table started to suspect that the reason Langlands duality. theory and the geometric Langlands for this was simply that Ben-Zvi was But it was very hard to write a correspondence－just a personal describing the situation in the wrong paper about it. It took about a year. guess. complex structure. The idea was For that year, I felt like someone who Toda: Do you think your that the same T-duality of Hitchin’s had discovered the meaning of life idea of the S-duality and the

23 geometric Langlands can be somehow Savdeep Sethi and Michael Green theory are much more accessible as applied to the honest Langlands and then continued by Green with part of physics. For example, I did not program? many collaborators. In the original understand what Hiraku Nakajima Witten: I see that as being far away. work, Sethi and Green were trying explained yesterday at the Kyoto For me personally－it’s a dream that to understand certain low energy R 4 Prize Workshop, but I think that an eventually number theory would interactions in Type IIB superstring understanding might involve some make contact with physics some time, theory in ten dimensions (here R is of the things that were clear after but I doubt it will be soon. the Riemann tensor). They made an working with geometric Langlands. I There are all kinds of areas where amazing discovery, I would say: the can’t promise but it is worth a try. speci c number theory formulas answer is given by a certain non- Just one obvious thing is that appear in physics, and these may be holomorphic Eisenstein series of although Nakajima did not have clues that the dream will come true weight 3/2. Although my knowledge time to explain the whole picture, at one day. But to really get me excited, of number theory is very super cial, the end of his lecture he was telling somehow the number theory would I think that this sort of thing is much us about the af ne Grassmannian. have to enter the physics in a more closer to the interests of modern Isomorphism classes of t’ Hooft structural way. I’m not that interested number theorists than the kind of operators are associated to cycles in a speci c formula that comes out classical modular forms that usually in the af ne Grassmannian, so if a of a physics calculation in a more or appear in two-dimensional conformal mathematician tells you about the less ad hoc fashion. Number theory eld theory. af ne Grassmannian, you probably would have to be more integrated Ooguri: Those objects which are not want to think about at least part of with the physics to get me excited, totally modular have also appeared in what you are hearing in terms of and I don’t see that happening soon. number theory. ’t Hooft operators. I can make no In my work, I concentrated on the Witten: That is correct. A lot of promises, but I feel it would de nitely geometric form of the Langlands things that number theorists like be worth a try to understand correspondence because I could have appeared in physics, and some what Nakajima was saying from a see that there was hope to really have even appeared in my own work. physicist’s viewpoint. understand it in the context of the Plenty has been found to show that I am sure, at any rate, that there physics-based tools that were at the physics theories that we work on is much more that can and should hand. There might be something as string theorists are interesting in be done to understand much more like that one day for the Langlands number theory. They know something of geometric representation theory correspondence of number theory, about number theory but personally from a physical viewpoint. In fact, but probably a lot is missing and we I don’t see an opportunity to really part of the original work of Beilinson do not know what has to happen make contact in a structural way with and Drinfeld on geometric Langlands rst. I feel that the reason I was number theory in the foreseeable has still not been understood to my able to make progress was that my future. I can’t even formulate what it satisfaction. Here I have in mind the focus was much more narrow than would mean to make such contact, use of conformal eld theory at what trying to understand the Langlands so I can’t even properly tell you what they call the critical level (level -h, correspondence of number theory. we can’t do but I think the time is not where h is the dual Coxeter number) Toda: The relationship between right to do it. to construct the A-model dual of S-duality and geometric Langlands Anyway, that’s why I personally certain B-branes (the ones that are was surprising to me, as the number concentrated on geometric associated to opers, in the language theory seems to be a research area Langlands rather than on number of Beilinson and Drinfeld). Davide far from physics. theory, and geometric Langlands was Gaiotto and I obtained a few years Witten: Nevertheless there have hard enough. It was a lot of work ago a reasonable understanding of been many developments, which to understand it, but I think that what electric-magnetic duality does one day may be seen as important having understood it, many things to the variety of opers, but I still do clues. One of the deepest was that mathematicians do involving not really feel I understand its relation started roughly fteen years ago by geometric aspects of representation to conformal eld theory. However, in

24 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 the last few years physicists working question, although there are many It has seemed unclear that a lot on supersymmetric gauge theories areas of current interest on which I of physicists would really get excited in four dimensions and their cousins probably cannot give useful advice, about the sort of details that I was in six dimensions have made several there is one bit of advice that I trying to ll in. So one of my hopes discoveries involving the role of actually would offer to algebraic has been that mathematicians will conformal eld theory at the critical geometers. I do recommend super get excited about developing super level, so the time may well be right to Riemann surfaces. I’m sure there’s Riemann surface theory. I can’t resolve this point. a deep theory there. I can’t promise promise but I think they should. Ooguri: I think we have about 10 anything about how quickly it will Ooguri: Do you expect also new more minutes. Is there any nal emerge. A deep theory will probably physics insight coming out from question? only be developed in the near term if the more precise understanding of enough people get excited about it. perturbative string theory? How to Work with Maybe the workshop we are having Witten: The answer may depend on Mathematicians next spring at the Simons Center will what you mean by physics insight. Toda: I have some general help make that happen but I can’t I think that one understands better question. What kind of problems promise anything. what superstring perturbation theory mathematicians should work on? Ooguri: It’s certainly true that, means if one formulates it in terms Witten: Well, there are lots of when people were working on of integration on the moduli space problems that algebraic geometers the niteness and vanishing of the of super Riemann surfaces. That is study that involve dualities studied by cosmological constant in perturbative insight of a sort. However, I do not physicists. In many of those cases, I string theory 25 - 30 years ago, it was see any evidence at the moment that will not be able to give much advice not totally satisfactory. The complete incorporating super Riemann surfaces as I am not an expert on recent understanding only came after in the way that we understand developments. In some cases, I am still your proper description in terms of perturbation theory will help us struggling to understand things that geometry of super Riemann surfaces. with non-perturbative questions, physicists did quite some time ago Witten: Thank you, Hirosi, and I’m for example, or with understanding that are very relevant. Just to give one glad you think so. Not all physicists better the symmetry structure of example, the Gopakumar-Vafa and agree, because it is possible to express string theory, or whatever may be the Ooguri-Vafa formulas have been very everything in terms of picture- correct concept. inuential for algebraic geometers, changing operators and so on, hiding Yamazaki: Let me ask my last but as a physicist, I was never satis ed the super Riemann surfaces. I think question. You’re working partly in that I understood them. So I actually personally that when one does that, the area of mathematical physics. spent a lot of time in the last year one doesn’t understand properly You have a lot of discussion with with a student (Mykola Dedushenko) what the formulas mean. But not mathematicians, and also write math trying to understand these formulas everybody agrees. papers. better. In this work, I was doing some I think one reason that the theory Witten: Well, I write math papers of the homework that I’d have to of super Riemann surfaces stopped in very special cases where I think understand before even trying to developing in the 1980s was that something I could actually do would answer your question. physicists became satis ed with their be illuminating. Recent examples have We more or less have the paper partial understanding in which the been my work with Ron Donagi on nished on the Gopakumar-Vafa and super Riemann surfaces were hidden. some foundational questions about Ooguri-Vafa formulas, I am glad to There is a tremendous beauty to this the moduli space of super Riemann Round say. subject that I think is simply missed surfaces, and the work with Rafe Table Ooguri: You will talk about it if you try to understand things Mazzeo that I mentioned before on next week at the Kavli IPMU (later that way. I care about it enough to the Nahm pole boundary condition. published as a paper, http://arxiv.org/ have spent several years by now on Yamazaki: I see. So, my question abs/1411.7108). spelling out details of the description is – what’s the advice if a physicist Witten: Going back to Yukinobu’s in terms of super Riemann surfaces. wants to work with a mathematician

25 effectively? right place led you to the question, we do not really understand string Witten: It’s really dif cult to give which you eventually solved and also theory properly as physics－we do advice. Usually producing rigorous it led to new developments. not understand the core ideas behind proofs requires very detailed methods. Witten: Yes. Another case was when it. At an even more basic level, the That makes it hard for a physicist I felt that Beilinson and Drinfeld had mathematicians are still not able to and so I myself have only done that the shogi pieces jumbled on the fully come to grips with quantum in very special cases where I thought chessboard. eld theory and therefore things something was really missing that coming from it are surprises. So for was actually simple enough that I Message to Young Students both of those reasons, I think that the could help do it, if I had the right physics and math ideas generated collaborator. Some physicists would Ooguri: Pieces are placed in a wrong are going to be surprising for a long want to go into more detail and learn way, but, if you look at it in different time. the techniques for rigorous proofs in dimensions, perhaps they are totally I think there are de nitely exciting a particular area, but most physicists aligned. opportunities for young people to I think will only be happy and I have a nal question. In the come and help explain what it all successful doing that in very special interview with Tohru Eguchi, 20 years means. We don’t understand this cases like the ones I’ve picked. ago in Sugaku Seminar, he asked you properly. We got a wider perspective Yamazaki: I see. Is it also true that in about the prospects at the interface in the 1990s when it became clear many of your works, the conversation of mathematics and physics, and that the different string theories are with some mathematicians has been you replied saying that the area had uni ed by non-perturbative dualities an inspiration for you? been certainly growing very strongly and that string theory in some sense Witten: This usually happens when and you predicted that the progress is inherently quantum mechanical. something a mathematician has done would continue in the foreseeable But we’re still studying many involves an aspect of the physics future. Certainly your prediction different aspects of a subject whose that hasn’t been understood and has been amply veri ed in the last core underlying principles are not which doesn’t make sense to me. I 20 years. Given this, my question is, clear. As long as that is true, there mentioned earlier one case involving again, what is your prospect for the are opportunities for even bigger the volume conjecture. For years I next 20 years? Can you also give discoveries by today’s young people. could not understand the results in advice on the future of the eld for But if I could tell you exactly what this area because complex critical young students who will be reading direction you had to go in, I would be points were making exponentially this article? there. large contributions. I kept putting it Witten: First of all, in the last 20 Ooguri: Thank you very much for aside, not able to make progress. years, not only has this interaction taking time to talk to us. It has been Finally, in the summer of 2009, of math and physics continued to be fun. Congratulations again for your I attended a conference at the very rich but it has developed in such Kyoto Prize. Hausdorff Institute in Bonn on the diversity that very frequently exciting Witten: Thank you so much for your 20th anniversary of the Chern- things are done which I myself am kind words on the Kyoto Prize, and Simons theory. I heard more lectures able to understand embarrassingly also thank you for the discussion, on the volume conjecture. To me, little about, because the eld is because the discussion has helped it was just embarrassing to not expanding in so many directions. me remember how much we have understand why exponentially large I am sure that this is going to advanced in the last 20 years. contributions were coming in. I feel continue and I believe the reason it Ooguri: Let’s meet again 20 years vindicated in hindsight for worrying will continue is that quantum eld from now to assess our progress in so much about this question because theory and string theory, I believe, the next 20 years. the answer turned out to be really somehow have rich mathematical Witten: Let’s try. For that we will useful. secrets. When some of these secrets have to all exercise and keep t. Yamazaki: I see. In that case the come to the surface, they often come feeling that the pieces are not in the as surprises to physicists because

26 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 Workshop Report

Mini-Workshop: Towards Quantum Primitive Form Theory Kyoji Saito Kavli IPMU Principal Investigator

As a joint program of the Kavli the simple singularity of type An. In generators of the cluster algebra. IPMU and the FMSP Program, a particular, central charges of stability mini-workshop“, Towards Quantum conditions on N-Calabi-Yau categories Mikhail Kapranov (Kavli IPMU, Primitive Form Theory,” was held are constructed as the periods of Univ. of Tokyo): on October 8-10, 2014 at the Kavli quadratic differentials. Secondary polytopes and IPMU (organizers: Toshitake Kohno Landau-Ginzburg models and Kyoji Saito). The aim was to cover Kohei Iwaki (RIMS, Kyoto Univ.): The secondary polytope of a some recent developments related to Theory of exact WKB analysis point con guration A was originally period maps for primitive forms, which and relation to cluster algebras introduced to describe the Newton may lead to understanding of the Exact WKB analysis is an effective polytope of a multivariate discriminant. quantization of primitive forms. The method for the global study of The point con guration appeared as schedule and the contents of the talks differential equations (containing the set of exponents of the monomials are as follows. a large parameter) de ned on a of a polynomial. In these talks, based complex domain. On the other on joint work with M. Kontsevich Oct. 10:00-11:30 13:30-15:00 15:30-17:00 hand, a cluster algebra is a particular and Y. Soibelman, he discussed a new 8 Kapranov1 Iwaki1 Ikeda1 class of commutative subalgebra appearance of secondary polytopes, 9 Ikeda2 Kapranov2 Iwaki2 of a eld of rational functions with when A is the set in the complex 10 Iwaki3 Ikeda3 Kapranov3 distinguished generators. He rst gave plane formed by the critical values of an exposition of the theory of exact a complex Morse function. To these Akishi Ikeda (Graduate School of WKB analysis. In the third lecture he polytopes, he associates homotopy Mathematical Sciences, Univ. of Tokyo): explained the main result on a hidden Lie algebras, which provide algebraic Stability conditions on N-Calabi- cluster algebra de ned by a quiver framework for a deformation theory

Yau categories associated to An- associated with the Stokes graph construction of Picard-Lefschetz quivers and period maps in exact WKB analysis (a joint work theory as proposed by the work of Recently, Bridgeland and Smith with T. Nakanishi). The Voros symbols Gaiotto, Moore and Witten on the constructed stability conditions realize the cluster variables, which are “Algebra of infrared.” on some 3-Calabi-Yau categories from meromorphic quadratic differentials with simple zeros. In this talk, generalizing their results to higher dimensional Calabi-Yau categories, he described the space of stability conditions on N-Calabi-

Yau categories associated to An- Workshop quivers as the universal cover of the compliment of the discriminant-loci of the universal deformation space of

27 Workshop Report Workshop on CLASS and MontePython

Eiichiro Komatsu Director, Max Planck Institute for Astrophysics / Kavli IPMU Visiting Senior Scientist

We organised a workshop on else is painful and takes an enormous lecturers were completely exhausted “CLASS and MontePython”(October amount of effort. This is why we by the end of the workshop, but they 27-31, 2014), where participants invited the authors of the latest, user- were thoroughly impressed by the can learn how to use the latest friendly codes such as CLASS and enthusiasm of the participants. Overall, cosmological linear Boltzmann code MontePython, in order to provide the workshop was a great success, “CLASS” and the Markov Chain students and junior researchers making a large impact on students Monte Carlo wrapper“ MontePython,” with one-and-only opportunities and junior researchers working on via lecturers and intensive hands- to master these codes. We had 42 cosmology in Japan. However, there on exercises. The lecturers were the participants from institutions all is one thing that we must improve: authors of the codes: Drs. Julien over Japan. The participants were we were disappointed to see that less Lesgourgues, Benjamin Audren, and enthusiastic and eager to learn, asking than 10% of the participants were Thomas Tram. The linear Boltzmann many questions and working hard female. We used mailing lists such as code and the Markov Chain Monte on the exercises provided by the tennet and rironkon to advertise this Carlo code are indispensable tools in lecturers. While the original program workshop broadly, but somehow we the research of modern cosmology, for each day was supposed to end failed to encourage the participation as the former is necessary to make at 16:30, many participants stayed of female students and scientists. We theoretical predictions, and the latter in the lecture hall until they were must work to more actively encourage is to compare the predictions with the kicked out at 18:00. We would like the participation of females. We data. However, developing these tools to thank the participants for their would like to thank the Kavli IPMU from scratch is redundant, and simply enthusiasm, as well as the lecturers and the staff for generous support, downloading and understanding the for their hard work in preparing which made this workshop possible. existing codes written by someone for such a wonderful program. The

28 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 Workshop Report Kavli IPMU–RIKEN iTHES–Osaka TSRP Symposium Frontiers of Theoretical Science–MATTER, LIFE and COSMOS–

Tsukasa Tada Vice Chief Scientist, Riken

A symposium entitled“, Frontiers of on the Nambu-Goldstone theorem Koichi Fujimoto from Osaka University Theoretical Science–MATTER, LIFE and and the Higgs mechanism in non- shared his perspectives on theoretical COSMOS–,” was held on November relativistic systems. The other three biology. Shinya Wanajo and Koichiro 6th at the lecture hall of the Kavli presentations by younger researchers, Uriu from RIKEN as well as Ryo IPMU. It was organized jointly by Mauricio Romo and Jonathan Malts Namba from the Kavli IPMU also the Kavli IPMU, Riken iTHES (RIKEN from the Kavli IPMU, and Masakiyo gave short presentations. A talk by interdisciplinary Theoretical Science Kitazawa from Osaka University, Eiichiro Komatsu from the Max Planck Group), and Osaka TSRP (Theoretical comprised the session before the Institute and the Kavli IPMU on the Science Research Project, Osaka lunch. Early Universe and the observation of University). Research cooperation The rst session in the afternoon the cosmic microwave background among these three institutes is was opened by an entertaining concluded the symposium. founded on two bilateral agreements lecture by Franco Nori from RIKEN on The symposium attracted more between the Kavli IMPU and iTHES, quantum circuits. Yuji Sugita, also from than a hundred keen audiences and and also between the Osaka TSRP and RIKEN impressed the audience with every talk was followed by perceptive iTHES respectively. This symposium his computer simulation of biological questions and lively discussions. was the rst signi cant manifestation systems. Yoshitomo Kamiya of the The discussions went on over lunch, of the cooperation among these three RIKEN iTHES and Shinichiroh Matsuo coffee break, and the banquet held research institutes, which are actively from Osaka University also gave short at the cafeteria after the symposium. pursuing theoretical study on a broad presentations in this session. The success of the symposium yields range of science. After the tea break held at Piazza a great deal of hope for fruitful The symposium started with Fujiwara, the symposium resumed cooperation among three institutes in introductory remarks by Tetsuo for the last session. In this session, future. Hatsuda, Director of the RIKEN iTHES, followed by the commendation for the research cooperation among the institutes from Yasuhiro Yukimatsu, Director of Basic Research Promotion Division, Research Promotion Bureau, MEXT. Then, Hirosi Ooguri from the Kavli IPMU and Caltech delivered the rst scienti c lecture, which covered Workshop various topics of string theory and its applications. Also, Hitoshi Murayama, Director of the Kavli IPMU, talked

29 Workshop Report The 24th Workshop on General Relativity and Gravitation in Japan (JGRG24)

Tomohiro Fujita Kavli IPMU Graduate Student Shinji Mukohyama Professor of the Yukawa Institute for Theoretical Physics, Kyoto University and Kavli IPMU Visiting Senior Scientist Ryo Namba Kavli IPMU Postdoctoral Fellow Rio Saitou Postdoctoral Fellow, Yukawa Institute for Theoretical Physics, Kyoto University

The 24th Workshop on General energy. The JGRG24 hosted approximately Relativity and Gravitation in Japan On the theoretical side, there have 180 attendants from 15 different (JGRG24) was held at Kavli IPMU been extensive studies on inationary countries, with 9 invited talks, 67 from November 10 through 14, models that predict the amount of contributed talks, and 38 poster 2014. The JGRG is a series of annual primordial GWs consistent with the presentations. The topics spanned a workshops that have continued since observations. The models in bigravity broad range in both observational 1991 with the aim of comprehensive and massive gravity theories, which and theoretical aspects, such as understanding of the General have recently been developed, are dark matter, axion cosmology, string Relativity (GR) and gravity through only a few of the examples. Theories theory, black holes, modi ed gravity, various approaches. of various elds, such as modi ed GW experiments, stellar formations, The recent progress on cosmological gravity, string, quantum gravity, and CMB, large-scale structure, topological and astrophysical observations mathematical relativity, have also been defects, ination, gravitational lensing, has been outstanding. The space- experiencing intriguing advances. and neutrinos. Each subject received based observations of the Cosmic For example, new scalar-tensor intensive discussions with enthusiasm. Microwave Background (CMB) have theories have been proposed, and the A few young researchers and students determined cosmological parameters properties of black holes in different were selected and received awards for with unprecedented precision, and space-times and/or dimensions have their outstanding presentations at the the ground-based observations of been explored. end of the workshop. the CMB polarizations have provided various hints to the existence and nature of gravitational waves (GWs). Based on several proposed projects for direct detection of GWs, the construction of GW interferometers is already underway. Moreover, observational techniques have been progressively improved to search for the neutrinos that emerge from various astrophysical objects and to probe the detailed nature of dark

30 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 Workshop Report Galaxies and Cosmology in Light of Strong Lensing

Masamune Oguri Assistant Professor of Graduate School of Science, the University of Tokyo and Kavli IPMU Associate Scientist

Gravitational lensing continues invited and contributed talks. way, given the fact that ongoing to grow in importance as a tool One of the main discussion points and future surveys will easily nd to explore the Universe which is was the role of simulations and mock hundreds of new strong lens systems. dominated by dark components. In data. It was suggested that blind The discussions were held in a critical particular, strong gravitational lensing analysis of mock data is very useful but friendly atmosphere, which were plays an important role in studying in checking the presence of any bias so ful lling that the discussion time small-scale structure of dark matter in the results, and in understanding passed very quickly. distributions, distant objects with the true uncertainties of the analysis This workshop would not have help of lensing magni cations, and of strong lensing data that are usually been possible without the help of the cosmological parameters by taking limited. It was also argued, on the other organizing committee members, advantage of its simple physics. other hand, that very detailed analysis Eiichiro Komatsu, Anupreeta More, This is why we held the workshop, of strong lens systems may not be Surhud More, Sherry Suyu (ASIAA), “Galaxies and Cosmology in Light of practical as it is sometimes very time- and Masahiro Takada. I also thank Strong Lensing,” from November 17 consuming. Another important point the Kavli IPMU administrative of ce to 21. This workshop has successfully in the discussions was how to make members, especially Shoko Ichikawa, attracted a great deal of attention, lens searches and lens mass modeling for their dedicated support. probably because workshops focusing more ef cient, possibly in automated on strong lensing have been rare. As a result, the workshop was truly international, with 70 participants, about 50 of which were from outside Japan. In this workshop, we assigned different topics for different days. On Monday we discussed (mostly time delay) cosmology, Tuesday was devoted to dark halo substructures and ne structure of sources, Wednesday to galaxy and cluster structures, Thursday to distant galaxies, and Friday featured strong lens searches. One unique feature of Workshop this workshop was that we had an hour of open discussion time at the end of each day, in addition to many

31 Tsuyoshi Nakaya Receives 2014 Robert Quimby among the News Nishina Memorial Prize Recipients of 2015 Breakthrough Tsuyoshi Nakaya, Prize in Fundamental Physics a Professor at the The Fundamental Graduate School Physics Prize of Science, Kyoto Foundation has University and a Kavli announced that the IPMU Visiting Senior recipients of the 2015 Scientist, has been Tsuyoshi Nakaya Breakthrough Prize in awarded the 2014 Nishina Memorial Fundamental Physics Robert Quimby Prize, together with Takashi are: Saul Perlmutter and members Kobayashi, a Professor at KEK, for of the Supernova Cosmology Katsuhiko Sato Named a Person “the discovery of electron neutrino Project; Brian P. Schmidt, Adam of Cultural Merit in 2014 appearance in a muon neutrino Riess, and members of the High-Z President of the beam,” in the T2K long-baseline Supernova Team. Their discovery National Institutes neutrino experiment. of the accelerating expansion of of Natural Sciences the universe is recognized. Robert and a Visiting Senior Yukinobu Toda Receives the 11th Quimby, now an Associate Professor Scientist of the Kavli JSPS Prize at San Diego State University, Director IPMU, Katsuhiko Sato, Yukinobu Toda, an of Mount Lagna Observatory, and a Katsuhiko Sato who had served as a Associate Professor Visiting Scientist at the Kavli IPMU, Principal Investigator at the IPMU at the Kavli IPMU, has is among the recipients, as he is a from its launch to the end of March, won the 11th JSPS member the Supernova Cosmology 2010, has been selected as a Person (Japan Society for the Project. of Cultural Merit (Bunkakorosha) Promotion of Science) Yukinobu Toda in 2014 for his outstanding Prize for his work on Roger Wendell Receives the 2015 contributions to astrophysics “the derived category of coherent Young Scientist Award of the and cosmology research, and for sheaves and curve counting Physical Society of Japan promotion of science. invariants.” Roger Wendell, an Assistant Professor Yuji Tachikawa Receives the 29th Tadashi Takayanagi Receives 2015 at the Institute for Nishinomiya-Yukawa Memorial New Horizons in Physics Prize Cosmic Ray Research, Prize Tadashi Takayanagi, the University of Tokyo Yuji Tachikawa, an a Professor at the and an Associate Roger Wendell Associate Professor at Yukawa Institute for Scientist at the Kavli the School of Science, Theoretical Physics, IPMU, has won the 2015 Young the University of Kyoto University, Scientist Award of the Physical Tokyo and a Scientist and a Visiting Senior Society of Japan for his outstanding at the Kavli IPMU, has Scientist at the Kavli Tadashi Takayanagi contributions to“ Evidence for the won the 29th Yuji Tachikawa IPMU, has been awarded the 2015 Appearance of Atmospheric Tau Nishinomiya-Yukawa Memorial New Horizons in Physics Prize, Neutrinos in Super-Kamiokande,” Prize for“ the discovery of the together with Ryu Shinsei, an a paper published by the Super- correspondence relation between Associate Professor at the University Kamiokande Collaboration in Phyical quantum eld theories in different of Illinois at Urbana-Champaign, for Review Letters 110 (2013) 181802. dimensions.” “fundamental ideas about entropy in quantum eld theory and quantum NSF Director France Córdova gravity.” Visited the Kavli IPMU On October 3, 2014, Dr. France

32 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 Córdova, Director of the National Nations Economic and Social Council Science Foundation (NSF) visited the (ECOSOC). In this event, Kavli IPMU Kavli IPMU in the company of Dr. Director Hitoshi Murayama has Graham Harrison, Program Manager, delivered a keynote speech entitled, Of ce of International and Integrative “Science for peace and development Activities, NSF, and Dr. Kellina Craig- today and tomorrow.” The program Henderson, Director, NSF Tokyo also included the speeches of UN Regional Of ce. They heard Kavli Secretary-General Ban Ki-moon and

IPMU Director Hitoshi Murayama’s CERN Director-General Rolf Heuer, Prof. M. Hazumi talked on“ Probing the Origin of presentation of the research activities and the keynote speeches of Nobel the Universe — Towards the LiteBIRD Satellite” at the Kavli IPMU including past Physics Prize Laureate and former experience of accepting researchers CERN Director-General Carlo Rubbia, supported by NSF grants, and Nobel Peace Prize Laureate and former exchanged frank opinions with UN Secretary-General Ko Annan. Director Murayama regarding the For Murayama’s key note speech, support to basic science. see the cover photo and pp. 4-6 in Subsequently, the guests joined the this issue of the Kavli IPMU News. tea time held in Piazza Fujiwara and enjoyed the interactions with young Kashiwa Campus Open House Director Murayama gave a lecture entitled, researchers from many countries. In 2014 “Together with Chiba-kun (a mascot character of Chiba prefecture), Listen to Professor Murayama particular, Dr. Córdova, talked with An open house on the Kashiwa about the Story of the Universe” female astronomers to share her own campus of the University of Tokyo scienti c contributions in the areas was held on October 24 (Friday) and Kavli IPMU Held“ Science Onsen of observational and experimental 25 (Saturday), 2014. In two days, the (Spa)” in Science Agora 2014 astrophysics. entire Kashiwa campus was visited “Science Agora” is an annual event, by about 8,000 people, and the Kavli aimed at building good relations IPMU attracted about 2,000 people. between Science and the future The Kavli IPMU’s program included Society. Its program includes science two public lectures by Professor experiments for children, talking Masashi Hazumi and by Director with top scientists, science discussion Hitoshi Murayama, introductory with public participation — they poster presentations of the research are open to anyone who wants to conducted at the Institute, math participate. On November 7-9, 2014, From left to right: Dr. France Córdova, Kavli IPMU postdoctoral fellows, Claire Lackner and Edmond puzzles, 3D movie program“ Story of Science Agora 2014 was held in the Cheung, and Hitoshi Murayama, discussing at tea ,” , time the Origin of the Universe guided Tokyo waterfront region of Odaiba building tours, and Science Onsen and the Kavli IPMU participated on Director Murayama Delivered a (Spa). (For Science Onsen, see the November 9 by holding“ Science Speech at the UN Headquarters next news item.) Onsen (Spa)―Science and Art, Do CERN was established in 1954. They Actually Share Things Similar?!” In 2014, it has been celebrating its at the Miraikan Hall, on the 7th oor 60th anniversary with a series of of the National Museum of Engaging events, and the celebrations have Science and Innovation (Miraikan). been brought to a close with a What is Science Onsen? Adapting special high-level event at the United from Science Café, which is believed Nations Headquarters in New York, to have started in England, Science on October 20“: CERN: Sixty Years of Onsen aims at discussion between Science for Peace and Development,” At a seminar room, graduate students explained scientists and people in a relaxing poster presentations of the research conducted at News organized by CERN and the United the Kavli IPMU as well as math puzzles mood in an onsen (spa), which is

33 very popular in Japan. Actually, such people. The rst lecture entitled“, On of the nine WPI centers features his/ a relaxing mood may be created by the Nature of Dark Matter,” was a her research. Lectures were then participants wearing towels around review of the present investigations given by three top-level researchers their necks, and in particular, speakers of dark matter, given by a theoretical from WPI centers. Kavli IPMU Director and facilitators wearing yukata (an physicist Shigeki Matsumoto, a Hitoshi Murayama was among them, informal cotton kimono for summer Kavli IPMU Associate Professor. giving a talk on“ Is There an End to wear), as if they were bathing in a The second lecture“, Underground the Universe?” Some high school real onsen. Search for Dark Matter,” was given students also presented their research At this Kavli IPMU’s Science Onsen, by an experimental physicist Masaki results. In addition, there were poster a contemporary artist (painter) Yamashita, an ICRR Associate presentations of researches at the Mr. Yusuke Asai and an Assistant Professor and a Kavli IPMU Scientist. WPI centers and those of high school Professor at the Kavli IPMU Masahito He is a member of XMASS, an students on their daily research Yamazaki, both wearing yukata, had underground experiment in search for activities. a sincere talk on a serious subject, dark-matter. After the lectures, the “The Method to Approach the two lecturers presented their frank Object.” An audience of about 30 conversation about“ How Interesting listened to their talk in a relaxing Is Dark Matter?” The audience also mood, wearing Kavli IPMU original enjoyed teatime surrounding the onsen towel around their necks. The lecturers. audience looked impressed by having witnessed how they approach certain Lecture by Kavli IPMU Director Hitoshi Murayama aspects of their complex worlds, and the similarities of their methods. After the talk, there were a lot of questions from the audience until the time ran out. Professor Yamashita (left) and Professor Matsumoto (right)

The Fourth Annual WPI Joint Exhibition room for poster presentations Symposium Held in Tokyo The Fourth Annual WPI Joint Santa Claus Is Coming to Donguri Symposium has been held on from the Kavli IPMU December 13, 2014 at the Yurakucho Every year, near Christmas, Kavli , A scene of Science Onsen in Science Agora 2014 Asahi Hall in Tokyo hosted by Kavli IPMU Professor Mark Vagins visits IPMU and co-hosted by the other Donguri Nursery School on the The 11th Kavli IPMU-ICRR Joint eight WPI centers. The main purpose Kashiwa campus, dressed up as Santa Public Lecture ̶ Look into the of this series of joint symposia is Claus. This year, Professor Vagins has Universe to attract, in particular, high school visited Donguri with his wife and his On November 15, 2014, the students to leading-edge scienti c son, and they had a joyful time with Eleventh Kavli IPMU-ICRR (Institute research. children in Donguri. for Cosmic Ray Research) joint public The Symposium was opened lecture“, Look into the Universe— by speeches by Junichi Hamada, Approaching the Nature of Dark President of the University of Tokyo, Matter—,” was held at the West and Yutaka Tokiwa, Director-General Lecture Hall of the 21 Komaba Center of Research Promotion Bureau, for Educational Excellence (KOMCEE) MEXT. Subsequently, there was a on the University of Tokyo’s Komaba presentation of video recording in campus with audience of about 200 which a young researcher from each Professor Mark Vagins and his family with staff of Donguri

34 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 Speaker: Yuan Qiang (IHEP) 20.“ Supersymmetric theories on Kavli IPMU Seminars Date: Aug 08, 2014 manifold with boundary and 1. “The Great Inationary Debate: 11.“ Skeletons in tropical and non- localization” Ination in a Post-Planck World” Archimedean geometry” Speaker: Yutaka Yoshida (KIAS) Speaker: Joseph M. Fedrow Speaker: Andrew MacPherson Date: Sep 02, 2014 (Palomar College / UCSD) (IHES) 21.“ Nerves and Group Completion Date: Jul 16, 2014 Date: Aug 12, 2014 for Categories and Operads: A 2. “Large-scale structure formation 12.“ Hypercommutative operad as a beginner’s guide Part 3” with massive neutrinos and homotopy quotient of BV” Speaker: Jesse Wolfson dynamical dark energy” Speaker: Anton Khoroshkin (HSE) (Northwestern U) Speaker: Amol Upadhye (IEU) Date: Aug 13, 2014 Date: Sep 02, 2014 Date: Jul 17, 2014 13.“ Quantum Dimension as 22.“ When is a top quark a parton?” 3. “Two proofs of modularity of Entanglement Entropy in 2D Speaker: Ahmed Ismail (ANL) Gromov-Witten correlation RCFTs” Date: Sep 10, 2014 functions for elliptic orbifold Speaker: Song He (YITP) (For further list of seminars, see the curves” Date: Aug 19, 2014 next issue.) Speaker: Yefeng Shen (Kavli IPMU) 14.“ Causal Structures in Gauss- Date: Jul 22, 2014 Bonnet gravity” Personnel changes 4. “The Direct Collapse Black Holes Speaker: Keisuke Izumi (LeCosPA) during the Early EoR and the Date: Aug 19, 2014 Promotion Neutral Islands during the Late 15.“ Type Ia supernovae: Explosions Todor Milanov, EoR” and Progenitors” previously a Kavli Speaker: Yidong Xu (Chinese Speaker: Wolfgang Kerzendorf (U IPMU Assistant Academy of Sciences) Toronto) Professor, was Date: Jul 24, 2014 Date: Aug 20, 2014 appointed as a Kavli 5. “Beyond ADE integrable 16.“ Decon nement transition as IPMU Associate Todor Milanov hierarchies” black hole formation by the Professor on Speaker: Yongbin Ruan (U condensation of QCD strings” December1, 2014. Michigan) Speaker: Jonathan Maltz (Kavli Date: Jul 24, 2014 IPMU) Moving Out 6. “Kac-Wakimoto hierarchies and Date: Aug 26, 2014 The following people left the Kavli W-symmetries” 17.“ Nerves and Group Completion IPMU to work at other institutes. Speaker: Bojko Bakalov (North for Categories and Operads: A Their time at the Kavli IPMU is shown Carolina State U) beginner’s guide” in square brackets. Date: Aug 05, 2014 Speaker: Jesse Wolfson Kavli IPMU postdoctoral fellow 7. “Axion Monodromy Ination” (Northwestern U) Marcus Werner [October 1, 2011 Speaker: Timm Wrase (Stanford U) Date: Aug 29, 2014 －December 31, 2014] will be Date: Aug 06, 2014 18.“ Nerves and Group Completion appointed as an Assistant Professor at 8. “Anisotropic ination for Categories and Operads: A the Yukawa Institute for Theoretical reexamined” beginner’s guide Part 2” Physics, Kyoto University on April 1, Speaker: Atsushi Naruko (Titech) Speaker: Jesse Wolfson 2015, after staying at CTC/DAMTP, Date: Aug 06, 2014 (Northwestern U) the University of Cambridge, as a 9. “Moonshine and String Theory” Date: Sep 01, 2014 visiting researcher. Speaker: Timm Wrase (Stanford U) 19.“ Solitons on intersecting JSPS postdoctoral fellow Norimi Date: Aug 07, 2014 3-branes” Yokozaki [April 1, 2012－October 10“. Millisecond pulsar interpretation Speaker: Akikazu Hashimoto (U 31, 2014] moved to Università degli

of the Galactic center gamma-ray Wisconsin) Studi di Roma“ La Sapienza” as a News excess” Date: Sep 01, 2014 postdoctoral fellow.

35 Discovery of Electron Neutrino Appearance in a Muon Neutrino Beam Tsuyoshi Nakaya Professor, Graduate School of Science, Kyoto University, and Kavli IPMU Visiting Senior Scientist

The T2K experiment conducted in the Japan Proton Accelerator Research Complex, J-PARC, discovers a new type of neutrino oscillation. T2K is an abbreviation of Tokai-to(2)-Kamioka. The muon neutrino beam is produced at Tokai, and is observed by Super-Kamiokande 295km away at Kamioka. In 2011, T2K found the indication of electron neutrino appearance and reported

that the third neutrino mixing angle θ13 is large for the rst time. Later, in 2013 after taking more data, the electron neutrino appearance is rmly established —with more than 7σ signi cance. This discovery makes it possible to measure the symmetry between a particle and an anti-particle (CP symmetry) in neutrino oscillation. In the future, by improving the beam power of T2K, we will search for the CP violation in neutrinos. As the nal goal, the Hyper-Kamiokande gigantic neutrino detector could discover the CP violation.

36 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 Director’s Corner

Kavli IPMU 機構長

近況村山斉むらやま・ひとし

10月3日：来訪したフランス・コルドバ米国国立科学財団 10月25日：柏キャンパス一般公開2014で講演長官と

11月20日：エドワード・ウィッテン夫妻、大栗博司主任研 11月25日：来訪したカブリ財団理事長ロバート・コン（右究員と歓談端）、クアルコム共同創設者アーウィン・ジェイコブス（右から二人目）両氏にKavli IPMUの概要を説明

Director’s Corner

12月12日：マックス・プランク宇宙物理学研究所所長ラシ 12月17日：第4回WPI合同シンポジウムで高校生の質問にード・スニヤエフ博士（右端）と。左端はシカゴ大学のウ答えるェイン・フー博士

37 FEATURE Kavli IPMU 機構長村山斉むらやま・ひとし専門分野：理論物理学平和と発展のための科学: 今日と明日＊

国連大使、来賓の方々、全ての皆様、私自身は日本で生まれましたが、分断国家であった西ドイツで子供時代を過ごしました。あるとき分断され世界平和の守護者であるこの国連の本部でスピーチをたベルリンに旅行しました。西ベルリンは高級な店がするよう招待されたことは大変光栄なことです。この並び、人と車でごったがえす活気のある大都市でした。セッションのテーマは「平和と発展のための科学」でしかし東ベルリンへの検問を通り過ぎると、地雷原とす。このテーマについて、私なりの考えについてお話監視塔があり、そのあとは第二次大戦後30年も放置したいと思います。された廃墟が並んでいました。この光景は私の記憶に鮮明に刻まれています。世界は戦争を経験し、決して平和とは、異なった国々がお互いに対して戦うのでは安穏と出来る場所ではありません。なく、共通の目的のために一緒に行動することです。発展とは人類の置かれている状態の現在のものから、私はカリフォルニア、バークレイでの研究生活の中で、よりよい人道的に納得できる状況にまで改善していく様々な紛争や迫害にあった友人と働く機会がありましことです。この国連の重要な目的と人類全体のためにた。例えば自宅から一ブロック先で自殺テロを目撃し科学はどのように貢献できるのでしょうか? ほとんどたイスラエル人、村の郊外がNATOに爆撃されたセルの人は、技術とイノベーションと医学によって、と答ビア人、イスラム革命から逃げてトルコまで歩いたイえるでしょう。しかし今日私はもう一つの答えを加えラン人、ユダヤ系であるためにアメリカに亡命したロたいと思います。シア人、そしてお母さんがクリミアから逃げだしたユクライナ人。こうした人たちと働くことになったのに平和に関して言うと、私は幸運な人間で、直接戦争にはとても単純な理由があります。私たちには宇宙の神巻き込まれたことはありませんが、無関係でもありま秘を解きたい、という共通の目的があったからです。せん。私の父は日本占領下の韓国で生まれました。日本占領が終わるとき、家族が大混乱の中、韓国から逃私は基礎科学の研究は、人類にとって真に平和をもたげようとする際、父は取り残されそうになりました。らす役割をすると固く信じています。ここの皆さんはしかし大変運の良いことに船に乗る直前に見つかった全員、美しい夜空を見上げ、星を見たときに、宇宙にのです。この奇跡が無かったら私は存在しなかった訳ついて深遠な疑問で頭が一杯になった経験があるはずです。です。美しい宇宙の荘厳な姿の前では、文化、言語、肌の色、性別、宗教、そして思想の違いは消えてしま＊2014年10月20日にニューヨークの国連本部経済社会理事会会議場で開催された、CERNの60周年記念行事「CERN：平和と発展のためいます。の科学の60年―多様な文化と民族を結びつける上での科学と科学国際機関の役割」における基調講演。

38 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 私たちは地球という名前の小さな岩の上に住み、その岩は太陽と呼ばれるごくごく平均的な星の周りを公転し、太陽は天の川銀河の中心から27,000光年離れた田舎にあり、天の川銀河は観測可能な範囲の宇宙にある1000億個の銀河の一つです。大きな目で見ると、我々の間の違いはとても小さく見えます。新聞で毎日のように読む戦争、紛争、悲劇、貧困、疫病について、違った見方をさせられます。この小さな岩の上に住む私たちヒトという生物は、手を取り合って行動することが出来るはずだと思うのです。なって、生物学、物質科学、医学の基礎研究のための放射光施設である新しい粒子加速器を建設するという CERNは、基礎科学が全ての国の人々を一つにする、プロジェクトです。エリエザーが言うには、「私たちというアイディアが目に見える場所です。私はCERN の住む中東では、戦争は終わってはいません。誰がの運営を担う理事会に諮問される科学政策委員会のメ勝って誰が負けたのか、昨日勝ったのは誰で明日勝つンバーですが、私の国、日本もアメリカも、CERNののは誰なのか、はっきりした答えは無いのです。」そメンバー国ではありません。CERNは私の専門家とししてこのセサミ計画は、他の沢山のプロジェクトのよての判断を仰ぎたいのであって、私の国がどこで、どうに、CERNのカフェテリアで始まったのだそうです。れだけCERNの予算に貢献しているのかは気にしませ CERNのモデルに基づいて、しかし関係する諸国の事ん。CERNでの数多くの滞在では、インドとパキスタ情に合うように工夫した上で、この国際研究所を作るン、イスラエルとイラン、ロシアとユクライナの人たにあたっては数多くの交渉と譲歩が必要だったようでちが一緒に仕事をしているのを見ることができましす。このプロジェクトが大きなハードルを超えるためた。冷戦の一番厳しいときでも、CERNでは鉄のカーに、バークレイも日本も援助したと聞いて嬉しくなりテンの両側から来た科学者が一緒に仕事をしていたとました。彼が強調した点の一つは、プロジェクトにつ聞いています。今では友好的な関係の国々、または戦いて一般の人に知ってもらう必要性です。「イスラエ争中の国々から何千人という人がやってきて、一緒にル人、アラブ人、イラン人、パキスタン人が一緒に仕ものすごい実験装置をくみ上げています。そのうちの事ができるとは、とても信じることができない人ばか二つは半世紀の探索を経て、2012年にヒッグス粒子りなのです。中東でのどんなプロジェクトも、うまくを発見しました。ちなみに、ヒッグス粒子は皆さんに行くわけ無いさ、と思っているのです。」と言います。とって重要なのです。宇宙空間に満ち満ちていて、私とはいえ2015年には文字通りこの加速器で「光」が Feature たちの体がナノ秒の間に蒸発してしまわないように押見え、前向きの見方が勝つことを証明できるはずです。さえ込んでいてくれるのです。このように、CERNは権力とは無関係に、知識の探求最近ヨルダンのセサミというプロジェクトについて、のために人々を結びつけてきた歴史があり、とても感同僚エリエザー・ラビノビチが講演するのを聞く機会心します。がありました。セサミはバーレーン、キプロス、エジプト、イラン、イスラエル、ヨルダン、パキスタそして私は、星、惑星、そして宇宙の神秘についてのン、パレスチナ自治区、そしてトルコの政府が一緒にわくわくする気持ちは、世界の発展の鍵だと信じてい

39 ます。このわくわく感は子供たちの興味を引き、そのして我々が存在するのか。こうした疑問は、どの文化好奇心をうまく育てることができれば、教育のある科から来る人にも共鳴してもらうことができました。こ学的な考え方ができる国民を作り出すからです。生活れで毎年10個程のポジションに、世界中から1000人のレベルを上げるためには、「全て」の人たちが科学近くの応募があるようになりました。今はこの研究所的な知識を持つことが必要です。我々の惑星が提供での6割の人は外国人で、アジア、アメリカ、ヨーロッきる資源は有限であって、何十億という人口にとってパがそれぞれ約2割ずつを占めます。そしてここではは充分ではありません。私のアメリカの友人たちは、実際ロシア人とユクライナ人、中国人とインド人が一人間の活動が地球温暖化をもたらし、最近の大きな自緒に仕事をしています。然災害の元になっているという事実を受け入れなくてはいけません。西アフリカで未だ懐疑的な人たちに、また、発展途上国の学生に講義もしてきました。最近エボラ熱の脅威が現実であることを説得する必要があは私たちの宇宙についての研究について、オンラインります。私と同じ日本人は、福島の原発事故が一体何の講義を行いましたが、世界150カ国から75,000人がを意味するのかを理解しなくてはなりません。こうし受講しました。文字通り世界中から来ています。多くた母なる自然への好奇心に基づく科学への理解は、夜はアメリカ、ヨーロッパ、日本ですが、パキスタン、空を見上げ、美しい宇宙の荘厳さを一緒に感じるとこ西サハラ、バハマ諸島、スワジランドからも来ていまろから始まるのです。す。人類の長年の疑問に今や科学が迫っていることをみて、みんなエキサイトしてくれています。みなさん CERNはまさしくこのような研究をする所です。ヒッがどの国から来たにしても、科学的な思考ができる国グス粒子の発見によるこの興奮で、ヨーロッパの高校民を育てるためには、これが鍵だと思います。生の中で科学を専攻する人数が2割増えたという話を読んだことがあります。CERNには毎年何千人もの高世界にはCERNの様な場所がもっとあるべきです。個校生や先生たちがやってきます。世界中から来た研究人的には、アメリカや日本がこうした基礎科学のため者が平和的に一緒に仕事をし、宇宙についての最も深の国際組織をホストして欲しいと思います。特に子供遠な謎を解こうとしている姿を見ていきます。そしてたちを含め、近辺の住民がグローバルな視点を持つよその驚きを教室に持ち帰り、更にその話は学校の外へうになります。このように科学が、惑星地球の平和と広まっていきます。みんな単純にエキサイトするので発展に貢献できるように、私も努力していきます。す。そしてそのエキサイト感はどんどん伝染していきます。私が日本に作った研究所は、出身に関係ない場所だとはっきりさせるために、研究所を「数物連携宇宙研究私自身、科学について青年たちにエキサイトしてもら機構」と名付けました。物理法則と、それを記述するうことに少しだけ貢献しています。数年前東京大学に、数学は、地球という惑星全体に当てはまるだけではな新しい国際的な科学の研究所を作りたいので助けてくく、宇宙全体に通用するのです。いずれ、他の惑星かれ、と頼まれました。若くてやる気満々な研究者を集らも応募が来るのを待ち望んでいます。単に時間の問めるために、私は子供の頃からずっと疑問に思ってい題だと思っていますが。た五つの質問を挙げることにしました。宇宙はどうやって始まったのか、その運命は何か、何で出来ていご清聴ありがとうございました。るのか、その基本法則は何か、そしてその宇宙にどう

40 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 Our Team

リチャード・カランド Richard Calland 専門分野：実験物理学

博士研究員

私は太陽および大気上層部で生成されたニュートリノや、強力な人工ニュートリノビームを用いてニュートリノを研究するスーパーカミオカンデ実験とT2K実験の一員です。ニュートリノの研究により、なぜ物質の方が反物質より多く存在するのか、といった宇宙の謎を理解することが可能になります。ニュートリノがられます。私が興味をもっているのは、測定器の再構このような謎の解明に役立つのは、測定されたニュー成アルゴリズムを改良して物理に対する感度を高めるトリノと反ニュートリノの性質が異なるCPの破れを示とともに、データを最適利用するために先端的な統計す可能性があるからです。現在、T2K実験は反ニュー手法を用い、測定するべき物理のパラメータに対するトリノを調べ始めており、近い将来興味深い結果が得感度を最大とすることです。

エドモンド・チャン Edmond Cheung 専門分野：天文学

博士研究員

私はカリフォルニア大学サンタクルーズ校からやっ Our Team てきた新任の博士研究員で、主として銀河の進化を研究しています。特に私が興味をもっているのは、バルジやバー（棒状構造）のような銀河の構造と銀河の進化の相互関係です。私はAEGIS、 CANDELS、 Galaxy Zooなどの観測チームの一員で、現在は MaNGAにもにより銀河の構造と進化の関連を探る研究を続けるこ参加しています。MaNGAでは、新たな興味深い方法とを計画しています。

41 ウィリアム・ドノバン William Donovan 専門分野：数学

博士研究員

私は代数幾何学分野の研究をしています。主として、物理と非可換幾何学からのアイディアを多様体の研究に応用していますが、その例としては等質空間とそのカラビ-ヤウ多様体の種類、および複素3次元多様体とその双有理変形があります。ミラー対称性がこの研究の動機の大部分を与え、ホモロジー代数が道具の大部分を与えます。現在、私は、高次元の代数多様体に関空間をより良く理解するためにホモロジー代数を応用する問題を研究しており、それに付随するモジュライしています。

姜東泯ガン・ドンミン専門分野：理論物理学

博士研究員

私は主としてM理論において交叉するM2/M5ブレーンから現れる低エネルギー理論の研究に興味をもっています。M理論には非常に豊かな内容があり、物理と数学のいろいろなテーマに新しい洞察をもたらすことができます。特に、2次元と3次元の多様体に巻き付く 2枚以上のM5ブレーンの系が私の現在の研究テーマでィー原理、量子タイヒミュラー理論、体積予想と密接す。このテーマはAGT予想、3d/3d対応、ホログラフに関係しています。

ドュリップ・ピヤラトナ Dulip Piyaratne 専門分野：数学

博士研究員

私は主にホモロジー代数の手法を用いて代数多様体の幾何学に関する研究を行っています。特に、導来圏の理論は代数多様体の「隠れた」幾何学的情報を調べるための有効な代数的基盤を与えてくれます。代数多様体は弦理論においても重要な対象となっています。最近、私は、圏論的安定性条件の構成と、それに付随に焦点を合わせています。また、私は代数多様体の数するモジュライ問題のFourier-Mukai理論を用いた研究え上げ不変量と壁越え現象にも興味があります。

42 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 杉山尚徳すぎやま・なおのり専門分野：宇宙論

博士研究員

私の主な研究テーマは、宇宙論への理論的なアプローチです。特に、初期宇宙におけるインフレーション期に現在の宇宙の構造の“タネ”となる原始密度揺らぎがどのように生成されたのか、そしてその揺らぎをもとにして現在の宇宙の大規模構造が重力の不安定性に従ってどのように形成されてきたのかに関心がありれた揺らぎの統計的性質を研究し, そしてそれをもとにます。宇宙の階層構造は主に重力によってのみ引き起宇宙大規模構造における銀河の統計的空間分布を解析こされるので, その進化を追うということは, ひいては的に解くことを試みてきました。自分の研究の中で作過去から現在まで宇宙を支配してきた重力について調った理論モデルを用いて, 重力の様々な性質を明らかべることにつながります。にすることを最終的なゴールとして, 今後も研究に邁私はこれまでインフレーション期において生成さ進していきたいと思います。

竹内道久たけうち・みちひさ専門分野：理論物理学

博士研究員

私は暗黒物質の正体は何か、ヒッグス粒子の性質はどんなものか、また、その先にある標準模型を超える物理はどのようなものかということを解き明かしたいと考えています。これらの疑問に答えるため、主にコライダー現象論という分野で研究してきました。LHC における一般的な新物理のシグナル探索に加え、特にを利用した解析等も行ってきました。LHC実験は、今トップセクターにおける新物理の探索に力を入れてき年からエネルギーを13TeVに増強し再稼働し、新たなました。また、LHCで得られるデータを最大限に生かデータが続々と得られる予定です。とても刺激的な時すことが重要となってきており、ジェットの内部構造期になるはずで、楽しみにしています。

Our Team

43 Round Table Talk : エドワード・ウィッテン博士に聞く

エドワード・ウィッテン Edward Witten プリンストン高等研究所教授

大栗博司おおぐり・ひろし Kavli IPMU 主任研究員

戸田幸伸とだ・ゆきのぶ Kavli IPMU准教授

山崎雅人やまざき・まさひと Kavli IPMU助教

京都賞と4度目の京都訪問

大栗京都賞受賞おめでとうございます。京都賞基礎科学部門では、4年に 1回、数理科学の分野に授賞されますが、この分野で物理学者への授賞は今回が初めてでした。ウィッテンこの賞をいただいたこと右から左へ：ウィッテンさん、大栗さん、山崎さん、戸田さんを、私は本当に光栄に思っています。大栗数学と物理学の境界におけるあ私自身も高校生のときに愛読し、今でたのチャーン・サイモンズ理論に、スなたの功績が、物理学だけでなく、数も定期購読しています。立川裕二さんペクトル変数を持たせる拡張に興味が学においても最も重要な進歩の一つとは、1994年のあなたのインタビューあるとおっしゃっていました。これは、して認められたのは素晴らしいと思いを読んだことが、この分野に進む動機可解模型の見地からは自然なことですます。また、私ども、この分野の研究のひとつとなったと言っています。ね。をしているものにとっても、うれしいウィッテン立川さんから親切にそうウィッテンはい、イジング模型のよことです。昨日のワークショップで、言ったいただいて、とても嬉しいです。うな2次元格子模型の厳密解を得ると立川裕二さんがおっしゃったように、大栗今日の座談会についての記事きに使う可積分性と同じような筋の説この分野にとって、あなたは太陽の光も、次世代の若い学生を刺激し、数学明を見つけ出したいということでしのようなものですから。に限らず、科学や工学の分野に興味をた。私は全く成功しなかったのですウィッテン一昨日の受賞スピーチで持ってもらう役に立てばと思っていまが、ついこの2、3年の間に、ケヴィン・も申し上げましたが、私だけではなく、す。この分野の現在の状況と将来の展コステロが、私がこうしたいと思ってこの分野も共に表彰されたのだと思い望をするよい機会としたいです。いた趣旨に沿ったことをなし遂げてくます。あなたは、すでに『数学セミナー』れました。大栗この座談会の記録は、Kavli 誌上で、2回インタビューを受けられ大栗ちょうどいらっしゃる前に、コ IPMU Newsとともに、雑誌『数学セていますね。1990年に京都で国際数ステロの仕事についてお話をしていたミナー』の記事にもなります。『数学学者会議が開かれ、フィールズ賞を受ところでした。この仕事は、あなたがセミナー』は、高校生、学部学生、研賞なさった際には、江口徹さんがイ望んでいらしたことを達成したとお考究者から、数学に興味を持つ一般のンタビューをなさっています。同じ号えになりますか。人々まで幅広い読者層を持ち、特に、には、同じくフィールズ賞を受賞されウィッテンはい、可解模型にはいろ高校生など若い世代に数学に興味を持たボン・ジョーンズさんとの対談も掲いろな側面があって、一つの方法で全ってもらう重要な役割をしています。載されています。その対談では、あなてを理解することはできません。しか

44 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 し、私が探し求めていた説明について思います。側面もあります。は、コステロが発見したと言えます。大栗なるほど。1990年のインタビその一方で、4次元のゲージ双対性大栗なるほど。ューであなたが提起された問題は、とそれより低い次元の多くの双対性ウィッテンコステロがしたことは、 23年たってようやく答えられたといが、6次元の共形場理論の存在に由来 3次元チャーン・サイモンズ理論で3 うことですね。1994年には、再度日するという発見は、双対性を理解するつの実数空間の次元の一つを単純に複本を訪問され、京都で一般講演をなさ上で重要な洞察となりました。私たち素変数 z で置き換えるという、簡単だっています。は6次元の理論を本当には理解していけれど美しいアイディアを含んでいまウィッテンあなたが組織された超弦ないので、完全な解決ではありませんす。理論国際会議 Strings 2003と今回も含が、6次元の理論の性質から理解され大栗 4次元に行くということですね。め、何度か京都を訪れる機会がありまるべきだということは、前回のインタウィッテン 2つの実変数と一つの複した。ビューの時点では知られていなかった素座標 z をもつ 4 次元の世界です。コ大栗今回も含めた4回のご訪問でことで、双対性を理解する上での確かステロはチャーン・サイモンズ3-形は、毎回京都国際会議場にいらしていな進歩だといえるでしょう。式と1-形式 dz の外積で 4-形式を定義るということですね。し、これを 4 次元理論の作用（action）ウィッテンええ、その通りですが、双対性には懐疑的でしたとして調べました。技術的で細かいこ次は沖縄訪問が準備されていると伺っとですが、次の点が重要でした。このています。大栗今日の座談会参加者をご紹介理論が意味をもつためには、運動方程大栗沖縄科学技術大学院大学で私たします。戸田幸伸さんは、数学者で式を線形化して得られた微分作用素をちが開催を予定している超弦理論国際 Kavli IPMUの准教授です。2006年にゲージ群で割ったものが楕円型作用素会議 Strings 2018 のことをおっしゃ博士号を取得されました。山崎雅人さでなければなりません。これはやや驚っているのですね。2018年には、ぜんは物理学者で、Kavli IPMU の助教でくべきことと思いますが、本当なのでひまたご来日ください。す。2006年に大学院に入学されましす。それを考慮して、彼はチャーン・ 1994年に来日された際には、ちょた。2人とも、ゲージ理論や弦理論にサイモンズ理論を一般化しました。そうどザイバーグ ‐ ウィッテン理論や関する、数学と物理学の境界領域で活の理論は完全な 3 次元対称性をもってバッファ ‐ ウィッテン理論を完成さ躍されています。いませんが、強調したいのは複素変数せつつあるときでしたね。京都大学の京都賞関連行事の記念講演で、あな z をもっていることです。数理科学研究所で、中島啓さんと議たは、これまでの経歴を振り返られ、よく考えてみると、可積分性に関す論をしたことを覚えています。中島さ 1973年に、ゲージ理論の漸近自由性るヤン・バクスター方程式は2次元のんは、ゲージ理論のインスタントン解が発見された直後に大学院に入学され対称性はもっていますが、3次元の対のモジュライ空間への、アファイン・たとおっしゃっていました。日本に2 称性はありません。私がスペクトル変リー代数の作用に関する最新の成果を度目にいらして、インタビューを受け数を取り入れられなかった理由は、3 ご説明になっていました。また、『数られたときには、それから20年たっ次元の位相的場の理論を用いていたか学セミナー』誌上での江口徹さんのていました。今年は、それから、またらです。3次元の位相的場の理論では、インタビューでは、当時のミラー対ちょうど20年目になります。そこで、結び目が交叉する移動に加えて（つま称性やS-双対性の進展について触れらあなたの学者としての2度目の20年間りヤン・バクスター関係式に加えて）、れ、ゲージ理論や弦理論における双対を振り返り、その間の最も重要な進歩生成・消滅を含む関係式が含まれます。性の統一的理解への期待を語っていらのいくつかについてお考えをうかがいライデマイスター移動の中には、3次っしゃいました。その期待の一部は、たいと思います。元の位相的場の理論には当てはまりま過去20年の間に実現されたといってすでに、1994年以来の発展についすが、可積分系には必要ではないものよいでしょうか。て話し始めたところでしたので、そこがあります。私は3次元の位相的場のウィッテン間違いなく幾つかは実現から始めて、過去20年間のハイライ理論を使おうとしていたので、スペクされました。一つは2度目のインタビトは何だったか、お話いただけますか。 Round トル・パラメータを見つけられなかっューの後2、3年の間に達成されたこウィッテン確かにハイライトの一つ Table たのです。コステロは一つの実変数をとで、弦理論における非摂動論的双対は弦理論での非摂動論的双対性の理解複素変数で置き換えるという非常に簡性が明らかになったことです。これはでした。その結果、私たちは弦理論と単なアイディアで、全てをうまく説明場の理論で起きていたことの一般化には何かということについて、はるかにしたのです。1990年頃、私がやろうなりました。しかし、未だに謎に包ま広い描像を持っています。私たちはとしてできなかった理由は、それだとれていて、きちんと理解されていない 1994年に摂動論的弦理論に現れるミ

45 ラー対称性と他の2次元の双対性を知ルツの仕事すら、モントネンとオリーので、あったらいいけれど、とても現っていましたが、時空間にも似たようブが20年前に理解した枠組みの中に実に起きるとは考えられない。先ほどな双対性があること、つまり2次元の留まっていると感じていました。しかも申しましたように、センの論文は最双対性に類似の4次元ゲージ理論の双し、センは簡単でエレガントな計算を初の証拠を与えましたが、あなたとバ対性を、実は丁度考え始めたところで行い、双対性が予言する2個のモノポッファの仕事が決定的だったと思いました。しかし1994年には弦理論で何ールの束縛状態を見つけました。私はす。それ以後は、誰もが信じるようにか似たようなことがあるかもしれないそれに触発され、もっと先に行けるとなりました。というのは、本当に単なる臆測でした。信じるようになったのです。山崎それは驚きました。クラウス・この時点までに文献に手がかりが現このインスピレーションがあり、まモントネンとデビッド・オリーブの論れており、また1990年代初期に多くた双対性予想に関する証拠をもっと見文はかなり古いと思ったので。皆は彼の新しい手がかりが発見されました。つけようとして、カムラン・バッファらのアイディアに懐疑的だったのでし私が最も影響を受けたのは、ジョン・と私はインスタントンのモジュライ空ょうか? シュワルツとアショク・センの仕事で間のオイラー指標を調べ始めました。ウィッテン今から考えると笑い話のした。彼らは、6次元トーラス上のヘ超対称ヤン・ミルズ理論の電磁双対性ようですが、私がモントネンとオリーテロティック・ストリングの低エネルが、これらのオイラー指標の生成関数ブの論文に出会った頃のことをお話しギー有効作用が、非摂動論的SL(2, Z) がモジュラー関数でなければならないしましょう。まず1977年の末にオッ双対性の存在と矛盾しない性質をもつことを意味することを知るのはそれほクスフォード大学を訪れるまではこのことを示しました。彼らの示した証拠ど難しくはありませんでした。私たち論文のことは知りませんでした。マイは決定的なものとはいえませんでしたにとって幸運だったのは、（あなたがケル・アティヤーが私にこの論文を示が、非常に示唆に富んでいました。触れた中島さんの仕事も含め）種々のし、それについてオリーブと議論するどうすれば時空間における非摂動論場合について数学者がこれらのオイラため、ロンドンに行くように言いまし的双対性の決定的証拠を発見できるのー指標を計算していたか、あるいは密た。そこで私は論文を読み、デビッド・か、私にはまだはっきりしませんでし接に関わりのある結果を得ていて、そオリーブと連絡を取って彼を訪ねる手た。少なくとも私にとって、最初の証れからオイラー指標を知ることができ配をしました。しかし、ロンドンに着拠は、アショク・センのN=4 超対称たことです。私たちは予想したモジュいた時には私はかなり懐疑的になってヤン・ミルズ理論における2個のモノラリティが全ての場合に成り立つこといました。あなたは彼らの原論文を読ポールの束縛状態に関する、短いけれを見出しました。（その一つ、4次元みましたか? 2 ども素晴らしい論文に現れました。そ多様体CP の場合、私たちは偶然「擬山崎はい、読んだことがあります。れは私にとって、モントネン-オリーモジュラー型式」という、その時は私ウィッテン彼らはその論文でゲージブの双対性予想に対する本質的に新したちにとって新しい、しかしその後ゲ場のボゾンの理論と（随伴表現に値をい証拠でした。それは私に双対性は正ージ理論と弦理論に度々現れた概念に取る）実スカラー場を考慮しました。しいに違いないと確信させ、また同様行き当たりました。）スカラー場に対するポテンシャルエネに重要なのですが、双対性をもっと良また、この時期にネーサン・ザイバルギーは恒等的にゼロと仮定し、このく理解することが可能であると確信さーグが正則性を超対称ゲージ理論のダ場合のみ成り立つ注目すべき質量公式せたのです。イナミックスを解析する手段として使を見出しました。そして、質量公式が大栗センの論文はS-双対性の強い証っていました。彼はN=2 理論で起き電荷と磁荷の間で対称であるという事拠を与えましたが、私たちを確信させていることを理解しようとしていまし実に基づいて、電磁双対性を提案したたのは、あなたとバッファの論文だった。私とザイバーグはそれについて話のです。たと思います。を始め、センの論文に触発されて、双しかし、私は、スカラー粒子に対しウィッテンありがとうございます。対性が関わっているのではないかと考てポテンシャルエネルギーがゼロといセンの論文は、既知の電磁双対性に関えました。それがザイバーグ・ウィッうのは量子力学的に意味のないというしての、示唆的ではあるが限定的な議テン理論となった私たちの仕事への手ことを見抜く程度には、場の量子論を論の遙か先に進むことができることがかりの一つになりました。知っていました。もしゼロにできるのと、何か本質的に新しいことを知るこ大栗山崎さんや戸田さんのように若なら、素粒子物理にはゲージ階層性問とができることを示すものでした。セい人には信じられないかもしれません題はないはずだからです。ですからオンの論文を読むまでは、電磁双対性にが、1994年以前には、少なくとも私リーブに会うためにロンドンに到着したついて理解していることとしては、はにとっては、S-双対性はとても信じら時には、私ははっきり懐疑的でした。っきり私に影響を与えたセンとシュワれない話でした。美しい夢のようなもしかし、私はせっかく彼に会いに来た

46 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 のですから、彼のアイディアがナンセの超弦理論国際会議 Strings ’93のこもたせるために必要な共形不変性があンスだとだけ言うことにはしたくありとでしたが、ジョン・シュワルツがとりません。丁度一般相対論がそうであませんでした。私たちは、何か意味のても興奮していました。彼があんなにるように、膜の理論はくりこみ不可能あることをしようと試みました。そこ興奮したのを見たのは、1984年の1月です。で私たちは超対称性の観点から議論し以来でした。1984年1月に、彼は私に技術的な問題点はいろいろありましました。超対称性があればスカラー粒マイケル・グリーンとの最近の仕事にた。しかし、1990年か1991年頃のど子の繰り込まれた質量が（および全有ついて話していて、「我々は近づいてこかで、この分野を研究する人たちは、効ポテンシャルでさえ）ゼロに成り得いる」と言ったのですが、私には彼が膜を基本的な対象と考えようとする代るからです。私には、モントネンとオ何に近づいているのか見当がつきませわりに、膜と、その他にp-ブレーンリーブの素晴らしいアイディアが意味んでした。しかし、後でそれは彼らがも、弦理論に存在するかもしれない非をもち得るのは唯一この場合のみと思アノマリーを解消する数か月前だった摂動論的対象と考えるようになりましえたのです。その日のうちに私たちはことが分かりました。それで、ジョンた。このアイディアは、一般論として N=2超対称性の場合に彼らの公式ががバークレーでの Strings 会議でとては筋が通っています。しかし、細部で成り立つことを見出しました。そこでも興奮していた時、私は彼のことを真は状況はもっと複雑でした。実際に論私たちはそれを論文にしました。それ剣にとるべきだと決めたのです。文を読まれると、その幾つかには良いは論文としては十分なものでしたが、もし私がモントネンとオリーブの論性質をもつ古典的ソリトン解があり、私はその論文から間違った教訓を引き文を読んで以来もち続けたのと同じ懐十分に意味があることがわかるでしょ出してしまいました。それは、非摂動疑主義で見たとすれば、センとシュワう。（そうであっても、その解には異論的双対性を仮定しなくても、彼らのルツは低エネルギーの物理を議論して常な性質があり、幾つかの場合は、そ公式は説明できるという結論です。いるだけで、強結合の振る舞いに関しれが後の発見につながる手がかりとな大栗私も、あなたとオリーブの論文ては確かな証拠をもっといないと言っりました。）他の論文はやや意味がつを読んでそう思いました。S-双対性とたことでしょう。しかし、シュワルツけにくかったのですが、それは古典解いう不思議な現象の証拠ではなく、単が余りにも熱心なので私の懐疑主義もに古典的近似の良くない領域で現れるに超対称性で説明できてしまうことなゆらぎ、私は弦理論のソリトンに関す特異点が含まれていたためでした。しのだと。るダフやその他の論文をもっと綿密にかし、膜を弦理論における非摂動論的ウィッテンそれで、その時及びそれ調べ始めました。ある時点で、1993 なソリトン類似の対象とするアイディ以降何年もの間、私は4次元における年の秋だと思いますが、ダフが自分のアは、たとえ幾つかの論文に細部では非摂動論的双対性の証拠は、たいした論文をいろいろ取りそろえて送ってき疑問があったにせよ、非常に意味のあものはないと思っていました。ました。私はそれを心に留めました。るものでした。このアイディアで何がそういう訳で、山崎さんの質問に戻今、私は、この時期に読んだ弦理論のできるか、私はまだ幾分懐疑的でしたると、その間私は電磁双対性についてソリトンに関する論文を全部は覚えてが、今説明したような理由で、以前よ懐疑的でした。しかし、私は実際にはいませんが、間違いなく重要な論文のり多くの注意を払っていました。実際、 2つのレベルで懐疑的だったのです。一つはカラン、ハーヴェイ、ストロミ 2つのモノポールの束縛状態に関する第1はそれが本当かどうかについて懐ンジャーのものでした。センの論文が現れたとき、私が完全に疑的であり、第2は仮にそれが本当だこの時期の背景にはもう一つの部分自分の見方を変える用意ができていたったとしても、実際にそれについて何があることを説明しておかなければなのは、それが理由です。か言うことができるかどうか懐疑的でりません。センの論文は強結合に関して何か新した。 1980年代半ばに2、3年の間、スーしいことができることを示しており、もっと全体的な描像をお話ししますパー・メンブレーン（超膜）を研究しもしセンと同じような閃きがあれば彼と、1990年代初期に、多くの新たなていたマイク・ダフ、ポール・タウンがしたことを10年か15年前にできて手掛かりが浮かび上がってきました。ゼント、その他の物理学者が、基本的いたであろうということは明らかでしその幾つかは弦理論におけるソリトンな超膜の理論は基本的な弦の理論に似た。ですから、彼の論文は私たちが機 Round を研究していたマイク・ダフのようなていると言い続けていましたが、私に会を逸したことを示すものでした。そ Table 人たち、それからカート・カラン、ジは多くの理由で納得がいきませんでしれははっきり私の研究の方向を変えまェフ・ハーヴェイ、アンディー・ストた。一つには、3次元多様体はオイラした。そして、あなたが指摘してくだロミンジャーの仕事から得られ、またー指標をもたないので、弦理論のようさったバッファとの共著論文に導き、既にお話ししたようにセンとシュワルに摂動展開（位相展開）ができません。 1994年の私とザイバーグの研究を正ツの仕事もありました。バークレーでさらに、3次元では膜の理論に意味をしい方向に導いてくれました。

47 低エネルギーの場の理論を一致させると、一方の理論の弱結合が他方の強結合になっていることが分かります。一度このように考え始めると、全てがうまくいくことが分かります。それは何を意味していたのでしょうか。この考え方は、弦理論とは何か、についてより統一的な描像に導いてくれました。しかし、直ちに、これまでの考え方が不適切であることを示す、更なる発展がありました。私は、1980年代には、弦理論は、重力のアインシュタイン-ヒルベルト・ラグランジアンを一般化するラグランジアンに基づくべきであると本当に信じていたのです。それは微分同相群を一般化する対称群をもつでしょう。従って、非摂動論的な2次元双対性が古典的な対称性とし大栗これは素晴らしい話です。まさかもしれないという夢は、確かにありて組み込まれた、幾何学の新しい古典しくパスツールが言ったように、幸運ました。夢だけではなく、このような論が存在するでしょう。そして、このは準備された心にだけやってくるといストーリーの断片を著者が指摘する論古典論を量子化することにより、弦理うことですね。これから、さらに弦理文が数多くありました。先ほどまで論が生成されるでしょう。論の双対性に進まれたわけですね。に幾つかそういう論文を挙げました。しかし、1990年代初期までに細部 1995年の春にクリス・ハルとポール・で問題が見つかってきましたが、私はタウンゼントがもう一つの重要な論文個人的には余り注意を払いませんで超弦理論の双対性革命を書きました。彼らの言いたかったこした。カラビ-ヤウ多様体のモジュラウィッテン 1994年の終わりまでにとはIIA型超弦理論は円周上のM理論イ空間にはいろいろな特異点がありまは、2次元と4次元の場の理論の両方と同じであるということでした。彼らす。このような特異点を含む幾つかので、非摂動論的双対性の理解が進んでが実際はしなかった唯一のことは、そ問題が私の仕事では重要でした。いました。例えば2次元の場合、（弦れをもっと定量的にすることでした。大栗線形シグマ模型に関する仕事の理論のコンパクト化を調べるのに重 IIA型超弦理論には11次元は現れないことをおっしゃっているのですね。要なものの一例として）カラビ-ヤウという潜在的な矛盾がありました。しウィッテンそうです。それから私の多様体を標的空間とするシグマ模型かし、少し後に私が気がついたように、（ハーヴェイ、バッファ、ランス・デを調べると、量子論によって、カラこの問題には非常に簡単な答えがあるィクソンと共同で行った）オービフォビ-ヤウ多様体の古典的幾何が大きくことが分かりました。IIA型超弦理論ールドに関する仕事もそうです。私は拡張されることが判ります。シグマ模の観点からは11次元の極限は強結合古典的な幾何が特異点をもつが、量子型の異なる幾何学的及び非幾何学的記領域で、弱結合には11番目の次元はシグマ模型は特異点をもたない場合に述は、理論の異なる半古典的極限を表見えないのです。興味をもっていました。これらの場合しますが、その間に相転移がくもの巣同じことが他の場合にも成り立つこには、通常の幾何とその弦理論の古典のように張り巡らされていることが判とがすぐに明らかになりました。例え的極限での一般化の違いが重要になりります。モントネン-オリーブの双対ば、Ｉ型超弦理論とSO(32)へテロティます。カラビ-ヤウ多様体のモジュラ性予想でも、これと同じようなことがック・ストリングが同じであろうと期イを変形すると、古典的幾何の特異点 N=4 超対称ヤン・ミルズ理論で起き待するかもしれませんが、直ちに分かで、対応するシグマ模型の特異点にもているのだということが、後の研究でる明らかな矛盾があります。両方の理導くものも表れますが、私はそれを重わかりました。そして、ザイバーグと論は同じゼロ質量のスペクトルと低エ視していませんでした。私は1994年にN=2超対称性の場合に、ネルギー相互作用をもっていますが、弦理論では、古典的極限でさえそうやや類似のものを見出しました。低エネルギー極限を超えた所では全くいう特異点は現れますから、もし弦理同じようなことが弦理論でも起きる違って見えます。答えは単純で、もし論を古典論が量子化されると解釈しよ

48 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 うとすると、古典論が特異点をもつように見えて、それは変です。私は個人的にはその問題に考えを集中させることはしませんでしたが、ストロミンジャーはそういう特異点は実は非摂動論的な量子効果を反映しているのだと説明しました。その特異点は、電荷をもつブラックホールが質量ゼロとなるときに発生します。古典的極限のはずなのに非摂動論的量子効果があるので、古典論の量子化では弦理論を正しく取り扱えないことになります。大栗場の理論には類似の結果はない。本質的に弦理論的現象だということでしょうか。ウィッテンそう考えます。大栗これは、弦理論にはラグランジアンによる記述はありえないという証拠だとお考えになりましたか。理論では、古典的極限と呼びたい場合 B-場のモジュライも存在します。共形ウィッテンそれは古典論の量子化とでさえ古典的な観点からは余り意味の場理論はB-場のモジュライがゼロの場いう立場では弦理論の真価を十分に発ない現象があるため、もう少し事情は合、特異性をもつようになります。一揮できないことの証拠です。私は古典悪いと言えます。方、オービフォールドは、B-場のモジ論の存在を否定したくはありません。結局、ストロミンジャーの仕事は、ュライがゼロにならないので、特異性ある観点からは存在すると信じていま私が見逃していたものを照らし出しまをもたないのです。すから。した。1995年の超弦理論国際会議で B-場のモジュライがゼロになる場大栗近似的な記述としてはあるかもの弦理論における非摂動論的双対性に合、ストロミンジャーがカラビ-ヤウしれませんが、古典論からはじめて量関する私の講演と、それに対応する特異点に関する論文で示したものと類子化の手続を当てはめることはできな論文（“弦理論の多様な次元における似した、古典的記述の破綻が生じます。いと …。ダイナミックス”）には、細部で一つ、その結果、ゲージ対称性が強くなりまウィッテン背景にある古典論を量子意味の通らないところがありました。すが、IIA型の超弦理論の観点から見化することでは弦理論を十分に理解す K3多様体上でのIIA型超弦理論は4次れば、それは非摂動論的な起源をもつることはできません。ある意味、弦理元トーラス上のヘテロティック・ストものです。論は本質的に量子力学的理論なのでリングと双対であると思われ、K3曲ストロミンジャーは巻き付いた3次す。面にADE特異点が現れると、ゲージ対元ブレーンから生じる、電荷を持つブ私は、弦理論が古典論の量子化では称性が大きくなるはずだと予想できまラックホールを考察しましたが、ここ得られないとは言いたくはありませんした。しかし、古典的幾何のADE特異で粒子として適切なものは巻き付いたが、その方法では弦理論のすべてを理点は単にオービフォールドの特異点で 2次元ブレーンです。しかし、アイデ解することはできないと考えます。あって、オービフォールドでは弦理論ィアは同じようなものでした。場の理論でさえモントネン-オリーの摂動論が使えます。オービフォール大栗これは、ゲージ理論の非可換・ブの双対性は同じ理論が異なる古典的ドは非摂動論的ゲージ対称性を生成し非摂動論的ダイナミックスが弦理論の極限をもつことを意味し、どれか一つません。数ヶ月の間、私は戸惑ってい極限から現れるという、ゲージ理論との古典的極限を区別することはできまました。実は、私は単純なミスをして弦理論の深い関係のはじまりだったよ Round せん。いて、ポール・アスピンウォールがうに思います。 Table 大栗しかし、その場合には、ラグラ 1995年の夏に書いた論文により訂正ウィッテンその通りです。もうひとンジアンによる記述はありますね。されました。アスピンウォールはこうつ、ゲージ理論の非摂動論的双対性にウィッテンええ、モントネン-オリー説明したのです。M理論ではADE特異対して弦理論がもつ意味を示すのに役ブの場合、古典的ラグランジアンはあ点で超ケーラー・モジュライだけが存だった、重要であるのに極めて簡単なります。実は、いくつもあります。弦在しますが、弦理論ではADE特異点で論文が、1996年にマイケル・グリー

49 ンによって書かれました。この時点まな形で引き継ぐ例を挙げました。それついてどの様に洞察されているでしょ

でにジョン・ポルチンスキーが共同研はK3曲面上のE8×E8ヘテロティック・うか?

究者と共に、最近の言葉で言えばn個ストリングを含み、ここで2つのE8はウィッテン勿の平行なブレーンはU(n)ゲージ対称性同じインスタントン数をもちます。こ論バッファと私をもつことを基本的に示していましれら全ての場合に弦理論の双対性からは、モントネンた。私は1995年の年末に、なぜそれモントネン-オリーブの双対性を導く -オリーブの双が有用かを示す論文を書きましたが、ことができました。対性予想から説グリーンは次のことに注目して、非常 1995年から96年は非常に劇的だっ明しました。私に簡単な論文を書いたのです。この時た頃ですが、こうして話をしているとたちがしたこと点までに私たちが確信した事実です当時の論文が次々に思い出されます。は、オイラー指標のある種の生成関数が、IIB型超弦理論は非摂動論的双対しかし正直なところ、たいていの場合のモジュラー性が、モントネン-オリ性を対称性としてもっています。一はかなり簡単に書けた論文でした。私ーブ双対性から導かれることを示した方、ゲージ群U(n)の4次元N=4超対称は昨日、京都賞の記念講演会での中島のです。これは、リーマン予想から数ヤン-ミルズ理論はIIB型超弦理論にお啓さんの講演を聴いて、このことを思論のある種の命題が導かれることと似けるn個の平行なD3-ブレーンから生い出しました。中島さんは、1996年ています。もしリーマン予想から何かじます。これら2つの事実を併せ、かに私がニュートン研究所で話した3つが従うことがわかった場合、それを問つ低エネルギー極限を取り、グリーンの講演を振り返ることから始めてくだ題となっている命題の説明と見るべきはゲージ群U(n)のN=4超対称ヤン-ミさいました。それは私が書いた3つのかどうかはわかりませんが、少なくとルズ理論のモントネン-オリーブ双対論文（それぞれ、レフ・ロザンスキー、もその命題をより大きな枠組みに持ち性を導くことができました。それは単アミ・ハナニー、ネーサン・ザイバー込むことになります。モントネン-オにD3-ブレーンに特化したIIB型超弦理グとの共著）についての講演でした。リーブの双対性は、それに類似した、論から受け継いだものです。それらの論文は内容的にぴったりと組より大きな枠組みを私とバッファとのそれは、ゲージ理論の双対性を弦理み合わさったものでした。書いていて仕事に用意してくれました。すぐその論の双対性から導出する、初期の重要楽しく、また講演することも楽しいも後、ある6次元の理論の存在からモンな例でした。のでした。しかし、記憶の中で際だっトネン-オリーブの双対性が従うといこういったこと全てが起きる前でさているのは、当時、そういった洞察をう、さらに大きな枠組みが出現しましえ、マイク・ダフとラムジー・クーリ簡単に手に入れることができたというた。また、他にもいろいろな道筋で、が1993年に彼らがストリング/ストリことです。この分野で研究しているこ弦理論の双対性からモントネン-オリング双対性と呼んだものについての論とが実に面白い時期でした。私の研究ーブの双対性が従い、その幾つかの構文を書きました。彼らは、6次元に自生活の間に、もう一度そういう時期が成法を既にお話ししました。しかし、己双対な弦理論があって、これを2つあることを望んでいます。恐らく大抵の物理学者は、モントネンの異なる見方をすると、4次元のゲー -オリーブの双対性を得る最も完全なジ理論の電磁双対性が説明できること枠組みは、その6次元の理論との関係何かを知ることと、なぜかを知ることの違いを示しました。それは実は素晴らしいであると言うでしょう。アイディアでした。唯一の問題は、う戸田私は代数大栗戸田さんは、数学的説明を求めまい例がなかったことです。幾何学者で、元ていらっしゃるのですね。当時、数学 1995年の中頃、私は、もしK3とT 4 々は代数幾何学的説明のヒントとしては、インスタン上のヘテロティック/II型双対性をとの古典的な問題トン解のモジュライ空間の対称性に関り、別の2次元トーラス上でコンパクに関心がありまする、中島さんの仕事が知られていト化すれば、ダフとクーリが示唆したしたが、あなたました。数学的観点からは、バッファものに似たような例が得られるだろうの仕事に触発さ -ウィッテン理論が計算しているのは、と気がつきました。彼らは弦理論の自れて代数幾何学と超弦理論の関係に興インスタントン解のモジュライ空間の己双対性を念頭においていましたが、味を持つようになりました。S-双対性オイラー指標の生成関数でした。私が考えた例は2つの異なる弦理論のとモジュラー形式が話題に挙がりましウィッテン中島さんの発見したアフ間の双対性でした。それでもアイディたが、これは数学的視点からはとてもィン・リー代数は一種の証明ですが、アは似通っています。1995年の末ま驚くべきことだと思います。何故モジ実際は驚くべき発見でした。しかし、でにダフと私、さらに他の人たちも、ュラー形式が出現するのか、とても不まだ一つ不思議なのは、アフィン・リ 2年前に提案されたものをもっと厳密思議です。数学的視点から、この点にー代数の対称性がどこから来るのかと

50 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 いうことです。マルダセナのラージNに対する理論のぶことができ、また数学者が解くべき戸田確かに、オイラー指標の計算の解は、きちんと機能して、意味があり問題を見つけることができると思いま後にモジュラー形式になることは確認ます。しかし、モントネン-オリーブす。これらが代数幾何学の古典的問題できますが、何故それがモジュラー形の双対性を理解する直接の助けにはなと関連することを発見したこともあり式となるのか最も単純な例でさえ概念りません。なぜなら、双対性の下で不ました。的な説明が出来ません。変でないパラメータ領域で理論を調べ大栗弦理論のセミナーにも出席されウィッテン全く同意見です。実は、ているからです。言い換えれば、もしていますが、物理学者と交流すること私は京都賞の記念講演であなたが言わモントネン-オリーブの双対性を理解で得ることはありますか。れていることと同じようなことを述べするためにマルダセナの解を応用しよ戸田弦理論の研究者には様々なタイようとしました。何が真実か知ることうとすると、マルダセナの記述が役にプが存在すると思います。中にはドナと、なぜそれが真実かを知ることには立たないパラメータ領域を調べなけれルドソン-トーマス不変量や連接層の違いがあります。この場合、数学的証ばなりません。導来圏といった、私の研究に近い事を明があるのに、それでもあなたは「なしかし、マルダセナの解の存在と成物理的側面から研究している人もいまぜか」と質問し、結局、物理学者は答功は、全ては理解していないものの、す。その様な人のセミナーからは何かえを知りません。私たちができること 6次元の理論は存在し、その理論に関しら得ることはありますが、これはほは、より大きな予想を提供することがする標準的な主張は全て真であるといとんど数学のセミナーと言って良いも全てで、これがその一つの現れです。う物理学者の自信を明確に深めましのだと思います。しかし、実際は、私たちは「より大きた。リーマン予想の何か新しい結果が大栗物理学者は、数学的予想の生成な予想」を理解していません。真であると発見した数学者に幾分似て関数だという数学者もいます。しかし、大栗物理学者の見地からは、双対性います。それはリーマン予想により大数学者にとって有用な物理学者とそうが、6次元の対称性として幾何学化さきな信頼を与えますが、しかし、リーでない物理学者もいるでしょう。たとれたといえるでしょう。マン予想を理解したことは意味しませえば、中島啓さんは、ウィッテンさウィッテンしかし、6次元の理論はん。んの講演から得ることが多いが、それ大きな謎に包まれています。大栗戸田さん、は、研究の動機やアイディアがどこか戸田 S-双対性と6次元の理論の関係現在の物理学のら来ているのかはわからなくても、ウは容易に理解されるのでしょうか? 研究の状況をどィッテンさんの主張の一部には、数学大栗関係自身は明らかなのですが、のようにご覧に的に厳密な意味をつけることができる今度は、6次元理論自身に意味をつけなりますか。昨からだと言っています。たとえば、昨る必要があるのです。日のワークショ日のワークショップで、立川さんが引ウィッテン実は、私たちは6次元のップでは、たと用していた数式がその例で、数学者は理論について、どのように構成するべえば、中島さんはウィッテンさんのケそこから研究を始めることが出来るわきか、あるいはどのように微視的に理ンブリッジ大学での講演を理解するけです。解するべきか、余り分かっていないにのに18年かかったと語っていました。山崎でも、しもかかわらず、その振る舞いについてまた、深谷賢治さんは、物理学者の書ばしば数学者は非常に多くのことを知っています。く方程式は、右辺も左辺も何のことかは背後の論理を 6次元の理論の振る舞いに関する深分からないことがあると言っていまし知りたがるので遠な発見の一つは、1977年のフアン・た。あなたは、Kavli IPMUに何年もいはないでしょうマルダセナによるものです。彼は、N らしたのですから、この点についてどか。私が数学的が大きいときには、この理論が超重力のようにお考えですか。に意味のある主理論で解けることを示しました。残念戸田勿論、私は弦理論について何張をすると、数学者はそれを証明しよながら、6次元の理論が超重力理論にも理解していませんが、時々弦理論うとすることができます。でも彼らはより解ける領域は、あなたの質問を理の論文や計算を眺めることはありまもちろん何が起こっているのか知りた Round 解するために通常私たちが理論を調べす。そしてそれらに含まれる物理用語いのではないでしょうか。 Table なければならない領域と同一ではありを数学用語に置き換えて考えます。例ウィッテン任意の与えられた場合にません。えば、D-ブレーンを層に、BPS状態をついて、もっと簡単な答えがないとは大栗ラージNの極限は、S-双対不変安定対象に置き換える等です。これら保証できません。しかし、私たちが議ではないということですね。の物理的背景は理解していませんが、論している問題の多くについて、大抵ウィッテンええ、そうなのです。こうすることで物理の側から多くを学の物理学者の見解は、こういう質問に

51 対する最善の道具立ては、物理学で重ーはブラックホールの中に消えてしま時空間のある領域の中にいる単独粒子要な場の量子論の中にあるということいます。ブラックホールは物体を飲みを考えることが必要です。（「ほとんどになるでしょう。込むと質量を得ますから、エントロピ確実に」と言ったのは、相対論的量子ーが増えます。熱力学の第2法則は、力学が、粒子が与えられた領域に確かこの過程で全エントロピーが増えるべに存在する、と言うことを許さないか量子エンタングルメントきことを主張します。言い換えると、らです。）ここで単独粒子に、そのエ大栗まだ、1990年代の出来事につブラックホールのエントロピーは少なネルギーを定義することができ、（相いて話をしていますが、そろそろ新しくとも落下した物体がブラックホール対論的量子力学の一般的な限界内で）い世紀に入りましょう。過去14年間に近づく前にもっていたエントロピー閉じ込められている領域を特定できまのハイライトは何だとお考えになりまの分は増大します。もし物体が与えらすが、単独粒子のエントロピーに意味すか。れたエネルギーをもち、十分に小さくをもたせることは困難です。長い間、ウィッテン答えの一部ですが、マルて与えられた質量をもつブラックホー数多くの、多分何十、何百という論文ダセナによって導入されたゲージ/重ルの内部に収まるならば、ブラックホがこれを議論してきましたが、その洞力双対性は非常に深遠なものです。今ールのエントロピーには上限がありま察はほとんどの場合限られたものでし日でさえ、その興味深い新たな面が発す。ベッケンシュタインはこのようなた。そして、オラシオ・カシーニが、見されています。重要な例としては、上限を提案し、ベッケンシュタイン限簡単ですが非常に素晴らしい論文で、笠真生（りゅう・しんせい）さんと界と呼ばれましたが、長い間、この限正しい概念はエンタングルメント・エ高柳匡（たかやなぎ・ただし）さん界が意味すると思われることを誰も正ントロピーであり、それは常に自然なのゲージ/重力双対性における「量子確に定式化できませんでした。方法で定義でき、普遍的なベッケンシもつれ量」（エンタングルメント・エここで私は深谷さんが物理と数学のュタインの限界が現れることを示しまントロピー）に関する仕事です。彼ら関係について言われたことを思い出しした。この論文はかなり前に出版されはブラックホールのベッケンシュタイます。彼は物理学者による幾つかの主ましたが、研究者に広く認識されるよン-ホーキング・エントロピーの、実張に用いられる用語を正確に定式化すうになるのに何年もかかりました。に興味深い一般化を発見しました。私ることは難しいかもしれないと言われ大栗このカシーニの論文は、たとえは個人的にはこのテーマを研究したこました。ベッケンシュタイン限界の場ば、「種の問題」に解答を与えました。とはありませんが、これまでの進展は合は、その状況は次の通りです。概この問題は、私自身が長い間不思議にとても興味深いものでした。そして、念（大きさ、エネルギー、落下する物思っていたのですが、カシーニの論文量子重力について、より深い手がかり体のエントロピー）が明確な意味をもは、これが問題ではないということをを含んでいるかもしれません。もし私つ状況では、ベッケンシュタイン限界明確に示したのです。にその研究の正しい方向が分かれば、が正しいことは自明で、余り興味はあウィッテンベッケンシュタイン限界恐らく自分自身この分野の研究を行うりません。例えば、箱の中で飛び回るには反例と考えられたものがあり、あでしょうが、少なくともこれまでは私多数の粒子から成るガスを考えましょる人たちは、私もその一人なのですはそうしていません。しかし、それはう。ここで、系の大きさとエネルギーが、もしその限界が正しいなら、それ私が最も注目することを勧めるもののとエントロピーは全て明確な意味をもは全ての場の量子論に関する主張では一つです。っています。ベッケンシュタインの限なく、重力と矛盾なく統合できる場の笠さんと高柳さんの他に、私はオラ界はかなりの余裕をもって満足される量子論に関する主張であると考えたのシオ・カシーニの論文、幾つかはマリため、正しいが興味はありません。ベです。しかし、カシーニはこれが完全ナ・フエルタとの共著ですが、これもッケンシュタインの限界に近づくように間違いであることを示しました。彼はっきりお薦めしたいと思います。一な状況を見つけられるかと質問してみはベッケンシュタイン限界に関する全つの論文では次の問題に取り組みましてはどうでしょうか？これは、ガスのての言葉に厳密な意味を与え、それが、た。ブラックホールはベッケンシュタ粒子全体ではなく、箱の中の単独の粒すべての場の量子論について成り立つイン -ホーキング・エントロピーをも子を考えることにより、達成できます。一般的な主張であることを示しましちます。ざっと20年前、ヤコブ・ベもっと厳密に言えば、箱の質量を無視た。それは極めて明快であり、エンタッケンシュタインは次の問題を考えますればベッケンシュタインの限界に近ングルメント・エントロピーに関するした。物体がブラックホールに落ち込づきますが、これは非現実的な過程で他の研究と同じように、多分重要な手むとしましょう。その物体はエントロす。ベッケンシュタインの限界に近づがかりかもしれないと思われます。しピーをもっています。物体がブラックくためには、実際、入れる箱がないのかし、それが何に対する重要な手がかホールに落ち込むと、そのエントロピに、与えられた時間にほとんど確実にりなのかを調べるには、恐らく私より

52 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 若くて新鮮なアイディアをもつ研究者ると、反交換関係をもつ変数を含むよンズ多項式に関する仕事がコバノフ・を必要とするのかもしれません。うに一般化したものです。魅力的な代ホモロジーを理解するための良い出発その方向への寄与について、もう一数幾何学的定理がありますが、部分的点となるはずであると感じていたのつお話ししたいと思います。それはカには1980年代に発展し、その後見捨に、どうやって進めばよいのか全く分シーニとマルダセナ、ラファエル・ブてられました。もしそれが復活すればからなかったからです。（数学的観点ッソ、ザカリー・フィッシャー（BCFM）素晴らしいことです。ところで、来年からは、コバノフ・ホモロジーは結びによるものです。何年か前にブッソの5月にストーニーブルックのサイモ目のジョーンズ多項式の改良、あるいが、ベッケンシュタイン限界の共変ンズ幾何学・物理学センターで私たちは「圏化」（ categori cation）です。）版（covariant version）を定式化しまが行うワークショップでは、代数幾何実は、既に2004年にセルゲイ・グーした。それは宇宙論の問題にうまく当学が取り上げられるかもしれません。コフとアルバート・シュワルツとバッてはまる方法です。私がベッケンシュ大栗このフェルミオン的次元から、ファが、部分的にはそれ以前の大栗とタイン限界について言ったことは、ほ本質的に新しい数学が生まれるとお考バッファの仕事を利用してコバノフ・とんどが、ブッソ限界にもあてはまりえですか。ホモロジーの物理に基づく解釈を与えます。それが意味することを理解したウィッテン超リーマン面の代数幾何ていました。しかし、私はそのゲージ場合は、それは余り面白いものではな学はとても面白いと確信しています理論との関係は、まだ間接的で、謎がく、それに興味がある場合は、その意が、残念ながら1980年代に理解され残されていると思っていました。私は味することを理解できていなかったのたことの多くが未出版のノートや手紙もっと直接的な道筋を見出したかったです。最近のBCFMの仕事で、少なくの形で存在しています。私たちのワーのですが、何年もの間、それは難しいとも平坦な時空間の場の量子論に対しクショップがこの状況を変える助けにと思っていました。てブッソ限界の厳密な定式化と証明がなることを望んでいます。しかし、結局、数学の文献に現れた与えられました。進展に助けられ、コバノフ・ホモロジ大栗この、量子重力と量子情報理論ーが、幾何学的ラングランズを理解すコバノフ・ホモロジーの交流は、ますます刺激的になっているために用いられたものと同じ要素をますね。量子エンタングルメントは、山崎昨日あなたの講演に出席しまし用いて理解できるだろうと気がつきま時空間がどのようにより基本的な概念た。コバノフ・ホモロジーがN=4超した。私はこれら全ての手がかりを理から発ち現れるのかを理解するのに重対称ヤン・ミルズ理論を、普段考えな解したわけではありませんが、そのう要なヒントを与えるように思います。い積分サイクルの上で積分したものとちの2つから学びました。一つはデニウィッテンそう期待します。その研して書かれるということを説明されてス・ゲイツゴリの、数学者が「量子幾究は難しいので、実は私はもっとよくいましたね。ひとつ印象的だったのは、何学的ラングランズ対応」と呼ぶもの知られた類いの研究をしています。こそこで重要なインプットとなったの（この名前を物理学者が使うようになれまでの10年間、あるいはもう少しが、あなたがそれ以前に書いた論文だるかどうかは分かりません）について以前の私の仕事と比べると、恐らく幾ったことです（カプスティン・ウィッの仕事で、量子幾何学的ラングランズ分主流から外れた問題に次々に取り組テン方程式を定式化したアントン・カ対応のqパラメータが量子群およびジんでいます。また、過去に何か一つのプスティンとの論文，またその後ダヴョーンズ多項式のqパラメータと関係問題に取り組むときにかけた時間よりィデ・ガイオットとのN=4理論の境があることを示しています。もう一つも単純にずっと長くこれらの問題に時界条件についての論文）。これらの論は、サビン・コーティスとジョエル・間をかけています。私が今言ったこと文を書いた時、既にコバノフ・ホモロカムニツァーの反復ヘッケ変換の空間に最も良く当てはまる3つの問題は、ジーへの応用は念頭にあったのでしょを用いてコバノフ・ホモロジーを構成ゲージ理論と幾何学的ラングランズ・うか? する仕事です。最初、私はこれらの手プログラム、ゲージ理論とコバノフ・ウィッテン答えは“ no” です。このがかりをどう解釈したらいいのか分かホモロジー、摂動的超弦理論だと思い年月、私はコバノフ・ホモロジーにつりませんでしたが、それらは戦闘開始ます。いて知っていたけれども、理解していの旗が掲げられているようなものでし Round 摂動的超弦理論を理解する最も良いないことでフラストレーションを感じた。 Table 方法は、超リーマン面を用いることでていました。しかし、それが幾何学的ヘッケ変換は幾何学的ラングランズす。超リーマン面は魅力的な数学的テラングランズ対応に関係があるとは知対応の最も重要な要素の一つです。物ーマで、私は数学者が興味をもつことりませんでした。私がコバノフ・ホモ理の観点からそれが何を意味するのかを望んでいます。超リーマン面は普通ロジーを理解していないことにフラスが長い間私を悩ませ、結局、幾何学的のリーマン面をoddな変数、言い換えトレーションを感じた理由は、ジョーラングランズ対応を物理とゲージ理論

53 の観点から解釈する上で最後の主要なジーについての私の仕事を、中、短期もう一つは、数論で中心的役割を果た障害となっていました。しかし、遂的に認識できるだろうか、また、そのしているが、私が聞いたことのなかっに、シアトルから帰宅途中の飛行機のための障害は、主としてナーム極境界たラングランズ対応でした。彼はラン中で、幾何学的ラングランズ対応で言条件に馴染みがないことではないか、グランズ双対群と（以前にピーター・うヘッケ変換は、単に代数幾何学者がと思っていました。それを念頭に、そゴダード、ジャン・ナイツ、およびオ量子ゲージ理論のトホーフト作用素のの境界条件の詳細な数学的理論を与えリーブによって導入されていた）モン効果を記述する方法であるという考えようと、ラフェ・マゼオと共に研究をトネン-オリーブ予想に登場する双対が閃きました。私はそれまでトホーフ進めてきました。私たちは、結び目の群は同じものであると指摘しました。ト作用素を用いる研究は行っていませ無い場合にナーム極境界条件を厳密にこれに基づいて、アティヤーはラングんでしたが、1970年代末に量子ゲー定式化する論文を書き、また、結び目ランズ対応がモントネン-オリーブ予ジ理論を理解するための手段として導を含むように一般化しようと試みてい想と関係があるのではないかと考えま入されたもので、私は良く知っていまます。必要な不等式は得られていますした。した。トホーフト作用素をどのようにが、まだ詳細については整っていない大栗それは、1970年代の後半とい扱うか、電磁双対性の下で何が起きるところがあります。うことですね。か、に関する基礎知識は良く知られて山崎なるほど。それは物理と数学のウィッテン 1977年の12月か1978年いましたから、ひとたびヘッケ変換を間に交流が生まれた良い例ですね。あの1月のことでした。私が初めてオットホーフト作用素の観点から解釈し直なたは数学の重要な論文に動機づけらクスフォードを訪問した時でした。すことができると、私には多くのことれ、物理学者としてそれらに解釈を与大栗当時すでに、ラングランズ対応がそれまでより明確になりました。えました。そこで自分の物理のストーがゲージ理論のダイナミックスと関連コーティスとカムニツァーは反復ヘリーができたので、今度は数学に還元があるということを真剣に捉えていらッケ変換の空間のB-模型の立場でコバしようとしています。っしゃいましたか。ノフ・ホモロジーを解釈しました。まウィッテン既に触れましたが、コーウィッテンそうですね、気にはしてた、カムニツァーは別の論文で、同じティスとカムニツァーが理解できたのいましたが、先ほどお話したように、空間のA-模型によるもう一つの記述は、実はB-模型でした。それは露わな私はモントネン-オリーブの双対性にがあるだろうと予想しました。技術的 3次元対称性をもたないので、私はA- 懐疑的だったので、ラングランズ双対には、適切なA-模型を見つけるのは模型に集中することにしましたが、も性とは何か、調べようとはしません困難でした。私は本当にA-模型を理し2 ヶ月ほどの時間があれば、私は物でした。1980年代の終わり近くまで、解したいと思いました。なぜかという理学者としてコーティスとカムニツァこの件についてもう何も調べませんでと、それは露わな形で3次元あるいはーのB-模型の説明を試みるでしょう。した。その後、ラングランズ対応につ 4次元の対称性を得ることを期待でき私は、自分にはそれができるであろういて、ほんの表面的に調べてみました。る方法だからです。コバノフ・ホモロということと、それが明解であろうともしラングランズ対応についてほんのジーの研究での私の主な目標は、露わいうことについて、結構楽観的です。少しでも知っており、また、リーマンな対称性をもつ記述と、ジョーンズ多唯一の問題は、そういう類の、数ヶ月面上の共形場理論について少し知って項式のゲージ理論による記述との明らかければ明らかにできると思うやり残いれば、それらが類似していることにかな関係を見出すことでした。結局、しの仕事が数多くあることなのです。気がつきます。それが動機となって論私はこれに成功しました。最も難しか文を一つ書きましたが、その後で、私った要素の一つは、ゲージ場が、私がの理解は余りに表面的で何も深い内容ラングランズ対応とゲージ理論の双対性「ナーム極境界条件」と呼んでいる微が得られなかったことに気がつき、そ妙な境界条件に従わなければならない大栗 1970年代の後半には、ラングれで何年もの間その件は放っておきまということでした。（ナーム極境界条ランズ対応がS-双対性となんらかの関した。件に導く基本的な考えは、30年以上係があるというヒントがあったように大栗私は1988年から1989年にかけ前にウェルナー・ナームが磁気単極子思います。その重要性に気づかれたのて、プリンストンの高等研究所のポスに関する研究で導入しました。）幸運は、いつのことですか。トドクトラル・フェローでしたが、ロにも、私はナーム極境界条件とその電ウィッテン 1977年の私とマイケル・ーバート・ラングランズ自身が共形理磁双対性での役割について、数年前にアティヤーの交流をきちんと説明して論に強い興味を持っていたことを覚えダヴィデ・ガイオットと共同研究をしいませんでした。彼は私の知らなかっています。どの側面に興味があったのたことにより、良く知っていました。た2つのことを語ってくれました。一かは、よくわかりませんが。私は数学の世界がコバノフ・ホモロつはモントネン-オリーブの論文で、ウィッテン彼の動機がラングランズ

54 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 対応だったとは思いません。しかし、想」（2000年頃からリナート・カシャを向けさせたのです。そして、実はベ彼の仕事は影響力があったと思いまエフ、村上斉、村上順などにより定イリンソンとドリンフェルトは、彼らす。ある意味で、彼自身が明確に大き式化、発展が行われ、私は主にセルゲの幾何学的ラングランズ対応に関するな突破口を切り開くことは無かったにイ・グーコフから説明をうけました）非常に長い、未出版の基礎的な論文（ウせよ、彼が手助けをして見出した問題が私を悩ませました。彼らの主張は、ェブ上で見られます）の中で、私の理は、後に「確率論的レブナー発展方程表面的には物理的にしっかりした動機解の程度を実際よりはるかに過大評価式」の進展を刺激しました。確率論的をもつ主張（実は1988年にジョーンする、非常に寛大な謝辞を述べてくれレブナー方程式は、これまで数学に大ズ多項式に関する原著論文で私自身がました。実際に起きたことは、私が推きなインパクトを与え、物理学者に対行った主張）に似ていましたが、決定測に基づいて彼らにヒッチンの仕事にして共形場理論の幾つかの問題につい的な違いがありました。彼らの主張でついて述べたことが全てでした。それて考える新しい方法を教えてきましは、複素臨界点が指数的に増加する寄で彼らにはあらゆることが明白になった。私は、この仕事の裏でラングラン与を与えるように見えましたが、通常たのだと思います。多分、彼らは私がズが影響を及ぼしていたと思いますこれは物理では不可能です。誰か他にそれについて何かを知っていたと思っが、彼の共形場理論に対する興味はラも悩んだ人がいるかどうかはっきりしたのでしょう。しかし、そうでは無かングランズ対応あるいはゲージ理論のませんが、私はこの点について悩みまったのです。いずれにせよ、当時は幾双対性が動機であったとは信じていました。これは熟考に値する良い問題で何学的ラングランズ対応が物理と関係せん。これは何年かに渡る彼との交流あることが分かったのですが、その理があると考える十分な理由がありましから得た印象です。由は、結局私はうまい説明を発見し、た。しかし、お分かりのように、私は既に言ったように、1980年代の終それがゲージ理論を通じてコバノフ・まだそれから意味のあることは何もでわり近くに共形場理論とラングランズホモロジーを解明するきっかけになっきませんでした。対応の間の類似という考えを発展させたからです。大栗では、この問題に戻るきっかけようとして時間を費やした後、私が発ベイリンソンとドリンフェルトの幾になったのは、何だったのですか。展させようとしていた形式は非常に表何学的ラングランズ対応に関する仕事ウィッテン 10年後に、高等研究所で面的であると不本意ながら結論し、そは、ほとんど同じように私を悩ませま物理学者のための幾何学的ラングランこで中止しました。しかし、その後した。彼らは物理で良く知られたことズ対応のワークショップがありまし 1990年頃、アレクサンダー・ベイリを使っていましたが、その使い方は、た。あなたは出席されましたか? ンソンとヴラジーミル・ドリンフェル適切とは見えませんでした。いわば、大栗招待されていたのですが、予定トの幾何学的ラングランズ対応に関す誰かがチェスの駒を、あるいは日本でが合わなかったのでいけませんでしる新しい仕事について耳にしました。は将棋の駒と言うべきでしょうか、一た。これには幾つかの結果がありました。握りつかみ、盤上に無秩序に置いたよウィッテン 2つの長い連続講義と、まず第一に、物理で双対性が何を意味うに見えました。私には駒の並べ方がそれとは違った話題が2つほどありまするかについての私の理解が非常に表全く意味を為さないと思えました。私した。長い連続講義は非常に立派なも面的であることが確認されました。ラはそれで悩んだのですが、何もするこのでしたが、私には余り役立ちませんングランズ対応と共形場理論の間の、とはできませんでした。でした。その一つはマーク・ゴレスキ私のやや素朴な類似よりは、彼らの結実は、ベイリンソンとドリンフェルーが物理学者にラングランズ対応とは果ははるかに的を得ており、はるかにトが言っていたことのうち、ほんの僅何かを話すものでした。彼は（代数的詳細なものでした。彼らの仕事は、私かだけ理解できたことから、私はナイな意味での）体の定義以上の知識はなの知っている物理が関連していることジェル・ヒッチンの仕事が彼らに関係いものと仮定して講義をしました。しを確証しました。しかし、彼らの共形があるのではないかと思い、そこで彼かし、私は、2、3の講義で彼が説明場理論の使い方は、私には無意味と考らにヒッチンがその論文で曲線上のフできる程度までは、既にラングランズえられるようなもので、困惑させられァイバーのモジュライ空間で可換微分対応を知っていました。つまり、私はました。彼らは共形場理論を負の整数作用素を構成したことを指摘しまし本質的には何も知らないにもかかわら Round のレベルで調べており（物理では正のた。言い換えると、ヒッチンはある意ず、ゼロからスタートして数時間で説 Table 整数の方が自然）、とても奇妙に見え味で彼が数年前に構成した古典的可積明できる程度のことは知っていたのでるような方法で使っていました。分系を量子化したのです。私はベイリす。ですから、この講義からは大した昨日、京都賞の記念ワークショップンソンとドリンフェルトが言っていたことは得られませんでした。での私の講演で説明したように、何年ことをほとんど何も理解していませんこのワークショップを仕切っていたもジョーンズ多項式に関する「体積予でしたが、ヒッチンの仕事に彼らの目エド・フレンケルが、もう一つの連続

55 講義をしましたが、私に関する限り、ついてアントン・カプスティンと一緒がら、あのカプスティンと共著の論文それは基本的に駒が無秩序に並べられに仕事を始めた理由は、彼が前に2次は、数学者にとってかなり長い間、謎た将棋盤に関するものでした。私は実元双対性での一般化された複素幾何をに包まれたままとなるかもしれません。際この講義からも得るものがありませ研究していたからです。その一般化さ山崎それにはもう10年か15年待たんでした。その理由は、私に関する限れた複素幾何の世界では、双対性のフないといけないかもしれませんね。り、幾何学的ラングランズ対応を研究ァミリーが縮退していることがあり、ウィッテン本当にそうかもしれませしている人たちが馴染みの将棋の駒をまたミラー対称性が正則な双対性に縮ん。短期的には、どのような進展があ取り、盤上に無秩序に並べていること退していることがあります。ればゲージ理論による幾何学的ラングを既に知っていたからです。こう考え始めると、すぐに、幾何学ランズ対応の解釈が数学者にとって理他に、連続講義とは違う2つの講義的ラングランズ双対性が実は正則な双解しやすくなるか、それを知るのは実がありました。一つはデイビッド・ベ対性に縮退することがあるミラー対称は非常に難しいと思います。なぜ私がン-ツビが幾何学的ラングランズ対応性であり、そしてこれがベン-ツビがコバノフ・ホモロジーに興奮するかとの近似と考えられたものについて話し私たちに教えた近似であることが、非いうと、実はそれが一つの理由なのでました。彼は主には別の数学者、ディ常に腑に落ちました。私はそれが正しす。コバノフ・ホモロジーと幾何学的マ・アリンキンの仕事について話したいと確信しました。しかし、まだ幾つラングランズ対応に対する私のアプロと思います。幾何学的ラングランズ対かハードルを越えなければなりませんーチに用いる内容には同じものが多い応の近似と考えられたものとは、ヒッでした。最も困難だったことは、既にのですが、コバノフ・ホモロジーの場チンのファイバー構造の、ファイバーお話ししました。ヘッケ作用素無しで合には、数学者がそれを面白いと思う上のT-双対性です。ベン-ツビは、こはラングランズ対応はうまく扱えませならば、近い将来このアプローチを理れをヒッチンのファイバーが正則になん。ですから、ゲージ理論のトホーフ解できることは、かなり可能性がありるような複素構造の上で記述したのト作用素を用いてヘッケ作用素を物理そうだと思います。私はコバノフ・ホで、T-双対性は正則性を保つ双対性で的に解釈することが必要でした。また、モロジーの方が理解しやすいと信じてす。ヒッチン・ファイバーのT-双対複素多様体Mの余接バンドルのA-模います。もし賭けるなら、私が生きて性が4次元のモントネン-オリーブ双型を、M上の微分作用素を用いてどのいるうちにゲージ理論とコバノフ・ホ対性から来ることは既に物理学者にはように解釈するか知ることも必要でしモロジーが数学者に認識され、高く評知られており、また、勿論、1977年た。これは実のところ、以前カプステ価されるのを見るチャンスは相当あるから78年のアティヤーの所見を聞いィンがやったこととかなり近いことでと思います。ゲージ理論と幾何学的ラて以来、私はずっとラングランズ対応した。ひとたびこれらの点が理解されングランズ対応の場合に同様のことをのあるバージョンがモントネン-オリると、物理学者である私にとって、幾見るためには、運が良くなければならーブ双対性に関連付けられるかもしれ何学的ラングランズ対応が何かというないでしょう。単に個人的な憶測ですないということに気がついていましことは、かなりの程度明らかでした。が。た。しかし、ベン-ツビがT-双対性がしかし、それを論文にするのは非常戸田あなたのS-双対性と幾何的ラン幾何学的ラングランズ双対性そのものに困難で、約1年かかりました。私は、グランズ対応に関するアイディアは、ではなく、その“近似”にすぎないと主その間、「人生の意義を悟ったのに、本当の（数論的な意味での）ラングラ張していた事実はどうなるのでしょう誰にもそれを説明できない」かのようンズ対応に何か応用を与えるとお考えか? ある時点で私は、その理由は単にに感じました。そして、次の理由で、でしょうか? ベン-ズヴィが間違った複素構造を使私は未だにある意味でそのように感じウィッテンそれは、はるか彼方のこっていたからではないかと思い始めまています。弦理論あるいはゲージ理論とだと思います。私個人にとっては、した。私の考えは、ヒッチンのモジュの双対性を予備知識としてもつ物理学いつか将来、数論が物理と接点をもつライ空間の同じT-双対性を違う角度者は、幾何学的ラングランズ対応に関ことは夢ですが、すぐそうなることはから見たら、ある複素構造のB-模型する私とカプスティンの論文を理解でなさそうだと思います。との間のミラー対称性と、あるシンプきますが、話が複雑すぎるので、大部物理で特定の数論の公式が現れる分レックス構造のA-模型との間のミラ分の物理学者は本当に面白いとは思わ野はいろいろあり、それらは、いつかー対称性が与えられるのではないか、ないでしょう。一方、数学者には面白夢が実現する糸口なのかもしれませというものでした。このミラー対称性いトピックですが、彼らには場の量子ん。しかし、私が本当に面白いと思うは、真の幾何学的ラングランズ双対性論と弦理論の深い予備知識はなじみがには、数論が何とかしてもっと組織的であり、近似ではないと思われました。なく（また厳密に定式化することが難に物理に入り込むことが必要でしょ実際は、幾何学的ラングランズ対応にしいので、）理解は困難です。残念なう。多少なりともアドホックな形で物

56 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 理の計算から現れる特定の公式には、者が好むことが数多く物理に登場し、と多くのできること、するべきことがそんなに興味はありません。私を興奮私自身の仕事にさえ、幾つか現れましあります。事実、幾何学的ラングランさせるには、数論が物理ともっと統合た。弦理論の研究者として私たちが研ズ対応に関するベイリンソンとドリンされることが必要ですが、すぐにそう究する物理理論の中には、数論的に興フェルトの最初の仕事の一部は、まだなるとは思いません。味のあるものもあります。それらは数私の満足する形では理解されていませ私の仕事では、ラングランズ対応の論についての情報を何かもっていますん。ここで私は、あるB-ブレーン（ベ幾何学的な形式に集中しました。なぜが、個人的には、私が近い将来、本当イリンソンとドリンフェルトの言葉でなら、手近にあった物理に基礎を置くに数論と組織的に接点をもつ機会があ operに随伴するもの）に双対なA-模手段を用いて本当に理解する希望があるとは思えません。私には、そういう型を構成するための、彼らが臨界レベると分かったからです。数論のラング接点を持つとはどういうことかを定式ル（レべル –h, ここでhは双対コクセランズ対応に対しても、いつか同様の化することさえできないのです。ですター数）と呼ぶものに共形場の理論をことが起きることがあるかもしれませから、「私たちが何ができないか」す使うことを考慮しています。数年前にんが、多分、欠けていることが数多くらお話しすることさえできません。そダヴィデ・ガイオットと私は、電磁双あり、最初何から始まるべきかを私たういうことをするには、今は未だ時宜対性のoperの代数多様体に対する作ちは知らないのです。私が前進するこを得ていないと思います。用について、適切な理解を得ましたが、とができた理由は、数論のラングランとにかく、私が個人的には数論よりその共形場理論との関係について、私ズ対応を理解しようとするよりは、ももむしろ幾何学的ラングランズ対応には未だに理解したと本当に思ってはいっと狭いところに集中したからだと感集中した理由ですが、幾何学的ラングません。しかし、過去数年間、4次元じています。ランズ対応も十分難しいものでした。超対称ゲージ理論とそれに関連する6 戸田私にとっては、数論と物理はかそれを理解するのは大変な努力を要し次元理論について研究している物理学け離れた研究対象の様に見えるので、ましたが、それを理解したら、表現論者は、臨界レベルでの共形場理論の役 S-双対性と幾何的ラングランズ対応のの幾何学的な側面を含め、数学者がし割を含む幾つかの発見をしました。で関係は非常に驚きでした。ている多くのことが、物理の一部としすから、今はこの点を解決する適切なウィッテンそれでも、いつか重要なてずっと分かり易くなると思います。時期なのかもしれません。手がかりと見なされるかもしれない多例えば、私には、昨日京都賞のワーク大栗後10分ほどですが、最後に質問くの進展がありました。最も奥深いもショップで中島啓さんが説明されたしたいことはありますか。のの一つは、ざっと15年前にサブデことはよくわかりませんでしたが、理ィープ・セティとマイケル・グリーン解するには、幾何学的ラングランズ対数学者と物理学者の実りのある交流とはによって始められ、その後グリーンが応を研究した後で明らかになるであろ多くの共同研究者と一緒に続けましうことが幾つか必要なのかもしれませ戸田一般的な質問があるのですが、た。最初の仕事で、セティとグリーンん。保証はできませんが、やってみるあなたはどのような問題を数学者に解は10次元のIIB型超弦理論の、ある低価値はあります。決して欲しいと思っていますか? 4 エネルギー R 相互作用を理解しよう中島さんは全体像を説明する時間がウィッテン代数幾何学者が研究するとしていました（ここで、Rはリーマありませんでしたが、一つ明らかだっ問題は、物理学者によって研究されてン・テンソルです）。私に言わせれば、たことは、講演の最後にアフィン・グいる双対性を含め、数多くあります。彼らは驚くべき発見をしたのです。あラスマニアンについて話していたことその多くについては、私は最近の進展るウェイト3/2の非正則アイゼンシュです。トホーフト作用素の同型類はアについて詳しくないので、余り助言はタイン級数により答えが与えられたのフィン・グラスマニアンのサイクルにできないでしょう。幾つかの場合につです。私の数論に関する知識は非常に随伴するので、数学者がアフィン・グいては、かなり以前に物理学者がした表面的ですが、この種のことの方が、ラスマニアンについて話すのを聞くことで、今でも非常に意味のあること通常2次元共形場理論に現れる古典的と、恐らく、少なくとも話しの一部は、を理解しようと苦労しているところでなモジュラー形式の種類よりも、現代トホーフト作用素を使って考えたいとす。ほんの一つだけ例を挙げますと、 Round の数論研究者の興味にずっと近いと思思うでしょう。保証はできませんが、ゴパクマー -バッファと大栗-バッファ Table います。中島さんが話していたことを物理学者の公式は代数幾何学者に対して非常に大栗このように、完全なモジュラーの観点から理解することは、明らかに影響を及ぼしてきましたが、物理学者性を持っていないものは、数論にも登試みる価値があるだろうと思います。として、私はそれらを理解したと満足場しますね。とにかく、物理の観点から幾何学的したことはありません。ですから、昨ウィッテンその通りです。数論研究表現論をもっと理解するために、もっ年、実は私は学生のミコラ・デドゥシ

57 ェンコとかなりの時間を使って、これ 1980年代に超リーマン面の理論のてのラフェ・マゼオとの仕事がありまらの公式を理解しようとしました。私進展が止まった一つの理由は、物理学す。は、この仕事で、あなたの質問に答え者が超リーマン面を表に出さない部分山崎なるほど。それでは、物理学者ることを試みようとさえする前に、理的理解に満足したためだったと思いまが数学者と実りのある研究をしたいと解しておかなければなければならないす。この課題には素晴らしい美しさがき、何かアドバイスはあるでしょうか? 宿題を幾つかやっています。あるのに、物事をそのように中途半端ウィッテンそれは本当に難しいです幸い、私たちは、ゴパクマー -バッに理解しようとすると、見逃してしまね。通常、厳密な証明を与えるには、ファと大栗-バッファの公式についています。私はそれがすごく気になって、非常に綿密な方法が必要とされます。の論文を、ほぼ完成させたところです。超リーマン面を用いて詳細を記述するそれは物理学者には難しいことです。大栗来週、Kavli IPMUでお話されるため、今までに数年を費やしました。私自身も数学的な証明を与えたことは予定になっていますね（その後、論私が説明しようとしてきた類いの詳ありますが、理解のうえで何かが本当文として発表された： http://arxiv.org/ 細に、多くの物理学者が実際興味をもに欠けているけれど、実はとても簡単 abs/1411.7108）。ってくれるかどうか、これまでははっなことで、適切な共同研究者がいればウィッテン戸田さんの質問に戻ると、きりしないように見えます。ですから、私が役に立てる、と思った非常に特殊現在興味をもたれている多くの分野が私の希望することの一つは、数学者がな場合のみです。物理学者の中には、あって、多分私には有益な助言はでき超リーマン面の理論の進展に興味をも特定の分野でもっと詳細に立ち入り、ないのですが、代数幾何学者に実は一ってくれることです。私には保証でき厳密な証明のための技術を学びたいとつだけちょっとしたアドバイスをしたませんが、彼らはきっとそうしてくれいう人もいるでしょう。しかし、大多いと思います。是非、超リーマン面をるだろうと思います。数の物理学者は私が選んだような非常推奨したいと思います。奥深い理論が大栗弦理論の摂動論のより正確な理に特殊な場合だけで満足するし、そのあると確信しています。それがすぐ現解から、物理についての新しい洞察がような場合にだけうまくいくのだと思れるか保証はできませんが。もし十分得られると期待されますか。います。な数の研究者が興味を持ってくれれウィッテンその答えは、物理につい山崎なるほど。あなたの多くの研究ば、多分その場合に限って奥深い理論ての洞察という言葉であなたが何を意において、数学者との対話がインスピが短期的に発展することでしょう。保味されているかによるかもしれませレーションになったというのは本当で証できませんが、ひょっとすると、次ん。弦の摂動論を、超リーマン面のモしょうか? の春に私たちがサイモンズ・センタージュライ空間での積分によって定式化ウィッテン普通、それが起きるのは、で開催するワークショップが、その手すれば、それが何を意味するのかをよ数学者がしたことが、物理的にはよく助けになるかもしれません。り良く理解できるようになると思いま理解されておらず、私には意味がつか大栗 25－30年前に、超弦理論の摂す。これは洞察といえるでしょう。しないと思えたときです。既に一つ、体動展開の有限性や宇宙項の消滅についかし、私たちの摂動論の理解の仕方に積予想に関係した場合についてお話して研究がなされていたときには、満足超リーマン面を取り入れることが、例しました。私は、何年もの間、この分な結果ではありませんでした。完全なえば、非摂動的問題、あるいは弦理論野の結果が理解できませんでした。複理解は、超リーマン面の幾何学についの対称性のより良い理解、その他の概素臨界点が指数関数的に増大する寄与ての、あなたの正確な記述があって、念の助けになるかというと、今のとこをしていたからです。私は前に進めな可能になりました。ろその証拠はありません。くて、ずっと放っておきました。ウィッテン大栗さん、ありがとうご山崎最後の質問です．あなたは数理遂に、2009年の夏、私はボンのハざいます。あなたがそう考えてくれ物理の分野で研究されてきて、数学者ウスドルフ研究所で開催されたチャーて、私はうれしく思います。超リーマと多く議論されていますし、数学の論ン-サイモンズ理論20周年記念の国際ン面を表に出さずに、全てをpicture- 文も書かれていますね。会議に参加し、体積予想に関するもっ changing operatorなどを用いて記述ウィッテンそうですね、私が数学のと多くの講演を聞きました。私には、することが可能なため、必ずしも物理論文を書くのは、私が実際にできるこなぜ指数関数的に大きな寄与が入り込学者全員が賛成というわけではありまとが物事を分かり易くするだろうといむのか理解できず全く困惑していましせん。そういう風にすると、公式の意う、非常に特殊な場合です。最近の例た。これに対して私が見つけた解答は、味を適切に理解しないことになると、では、超リーマン面のモジュライ空間本当に役に立つことが分かったので、私は個人的には考えますが、必ずしもに関する基礎的な問題についてのロ今となっては、この問題についてそれ全員が賛成というわけではありませン・ドナギとの仕事、それから既に述程にも悩んだことが間違ってはいなかん。べましたが、ナーム極境界条件についったと感じています。

58 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 山崎なるほど、その場合、駒が正し場の量子論を完全に把握することがでい場所にないという感覚があなたをあきておらず、従って、彼らにとっても、る疑問へと導き、その疑問をあなたはそこから現れることは驚きです。です最終的に解き、今度はそれが新しい発から、これら両方の理由により、物理展を生んだわけですね。と数学で生み出される知識は長い間驚ウィッテンそうです。もう一つの場きであり続けると思います。合は、ベイリンソンとドリンフェルトこの分野には、若い人たちが参入し、が将棋の駒を盤の上に無秩序に置いたこれらがどんな意味を持っているのかと思ったときでした。を説明する、ワクワクするような機会がたくさんあります。私たちは、まだきちんと理解していないのです。異な学生へのメッセージる弦理論が非摂動的双対性により統一大栗コマは間違った置かれ方をしてされ、また、弦理論はある意味で本質いるかもしれませんが、違う次元から的に量子力学的であるということが明見ると、ピッタリ並んでいるのかもしらかになった1990年代に、私たちはれませんね。それまでより広い展望を得ました。し私にも、最後の質問をさせてくださかし、私たちは、まだ一つの対象の異い。江口徹さんが20年前にインタビなる側面を研究しているのに過ぎず、ューをしたときには、数学と物理学のその核心的な基本原理は明らかになっ境界領域の展望についての質問がありていません。ですから、今日の若者にました。そのときには、この領域は非より、もっと大きな発見が成し遂げら常に力強く発展しており、その勢いはれる機会があります。しかし、では具当分続くだろうとおっしゃっていまし体的にどのような方向を研究したらよた。過去20年は、まさしくその通りいかという問いでしたら、その答を知になりました。そこで、私の質問は、っていたら、私自身そちらに向かって次の20年はどうなるだろうというもいることでしょう。のです。この記事を読んでいる若い学大栗長時間にわたってお話いただ生に、この分野の将来についてアドバき、ありがとうございました。とてもイスをいただけますか。楽しかったです。京都賞受賞おめでとウィッテンまず第一に、過去20年間、うございます。この数学と物理の非常に豊かな交流がウィッテン京都賞について、親切な続いただけでなく、この分野がとてもお言葉をいただき、ありがとうござい多様な方面に広がり、しばしば興奮すました。また、この座談会の議論によるような発見がありました。この分野り、過去20年間に私たちがどれだけはあまりに様々な方向に発展している進歩したのか思い出すことができましため、私自身そのほんの少ししか理解たことにも感謝します。できないでいますが。大栗では、また20年後にこのようなこれが続いてゆくことは確実と思い座談会を開いて、これから20年間のます。場の量子論と弦理論には、数学発展を振り返ることにしましょう。的に豊かな秘密が隠されていると信じウィッテンそうしましょう。そのたているからです。これらの秘密の幾つめには、私たち皆、きちんとエクササかが表面に現れるときには、物理学者イズをして、健康を保つ必要がありま Round には、しばしば驚きとして現れます。すね。 Table それは、私たちは実は弦理論を物理として適切に理解してはいないからです。私たちは、その背後に潜む核心的な概念を理解していません。また、より基本的なレベルでは、数学者は未だ

59 Workshop Report

Mini-Workshop: 量子原始形式理論に向けて

斎藤恭司さいとう・きょうじ Kavli IPMU主任研究員

2014 年 10 月 8 日から10 日まで、岩木耕平（京都大学数理解析研究所） : Mikhail Kapranov (東京大学 Kavli Kavli IPMUと文部科学省博士課程教完全WKB解析の理論とそのクラスタ IPMU): 育リーディングプログラム「数物フー代数との関係第二 polytopeとLandau-Ginzburg ロンティア・リーディング大学院」完全WKB解析とは複素領域で定義模型の共同によるミニ・ワークショップされた（大きいパラメータを含む）点配図の第二 Polytope は、元来、「量子原始形式理論に向けて」がKavli 微分方程式の大域的研究に有効な方多値ディスクリミナントの Newton IPMUで開催されました。河野俊丈と法である。他方、クラスター代数は polytope を記述するために導入され斎藤恭司が世話人を務めました。こ生成系を固定した有理関数体のあるた。点配図は多項式のモノミアル達ののミニ・ワークショップは、原始形特別な部分可換代数である。この講巾指数として現れる。この講演では M. 式の量子化の理解につながる可能性演では、まず完全WKB解析の解説を Kontsevich や Y. Soibelman 等との共をもつ、原始形式の周期写像に関連与えた。第三講で完全WKB解析にお同研究に基づき、モース関数の臨界点した最近の発展を取り上げることをけるストークス・グラフに付随した達によって複素平面内に構成される新目的とするものでした。以下に、スクイバーにより定義される隠されたしい第二 polytope について討論した。ケジュールと講演内容を記します。クラスター代数について説明した（T. それらの polytope に対して Gaiotto、 Nakanishiとの共同研究）。そこでは Moor、及び Wittenの仕事により提案 Oct. 10:00-11:30 13:30-15:00 15:30-17:00 Vorosシンボル達がクラスター代数をされた変形論的 Picard-Lefshetz 理論 8 Kapranov1 岩木 1 池田 1 生成するクラスター変数をなす。の代数的枠組みを与えるようなホモト 9 池田 2 Kapranov2 岩木 2 ピー・リー代数が構成される。 10 岩木 3 池田 3 Kapranov3

池田暁志（東京大学数理科学研究科） :

Anクイバーに付随したN-カラビ-ヤウ圏の安定性条件と周期写像最近、BridgelandとSmithは単純零点を持つ様な有理二次微分を用いることにより、ある3-カラビ-ヤオ圏の安定性条件を構成した。この講演では、彼らの結果を高次元のカラビ-ヤオ圏

に一般化してAnクイバーに付随した

N-カラビ-ヤウ圏の安定性条件をAn型特異点の普遍変形空間のディスクリミナントの補集合の普遍被覆として記述した。特に、N-カラビ-ヤウ圏の安定性条件のセントラル・チャージは二次微分の周期達で構成される。

60 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 Workshop Report CLASSとMontePythonに関するワークショップ

小松英一郎こまつ・えいいちろうマックス・プランク宇宙物理学研究所ディレクター / Kavli IPMU客員上級科学研究員

10 月27日から31日に渡り、線形ボルツボルツマンコード、およびCosmoMCといでがんばってくれた講師陣にも感謝します。マンコード“CLASS”とマルコフチェインモったマルコフチェインモンテカルロコードが今回のワークショップは、国内の若手研ンテカルロコード“MontePython”を習主流でしたが、これらのコードをダウンロ究者に大きなインパクトがあったようで、得するためのワークショップを開催しましードして、自力で理解し、使いこなすにはこれからの発展が楽しみです。大成功にた。講師には、これらのコードの著者で莫大な時間がかかっていました。そこで終わったワークショップですが、一つ重要あるJulien Lesgourgues氏と、彼のチー今回、Lesgourgues氏のチームにより開な改善点があります。それは、女性の参ムメンバーであるBenjamin Audren氏と発された、ユーザーフレンドリーな最新の加者が全体の1割以下にとどまったことで Thomas Tram氏を招きました。現代宇宙コード“CLASS”と“MontePython”を著す。tennetと理論懇のメーリングリストを論の研究には、宇宙論的線形摂動論の者から直接学ぶことで、国内の学生や若何度も用い、全国に参加を呼びかけまし計算に線形ボルツマンコードを用い、理手研究者が最新のコードに触れ、使いこたが、不思議と女性の学生や研究者の参論予言と観測データを比べて最適な宇宙なせるようになる機会を設けました。全国加者は増えませんでした。今のシステム論パラメータとその信頼領域を決めるのから42名の参加者が集まり、活気あるワに何か根本的な問題があるのかもしれず、にマルコフチェインモンテカルロを用いるークショップとなりました。多くの参加者今後は、さらに積極的に、女性参加者のため、これらのツールは宇宙論研究にとが熱心に質問し、与えられた例題を真剣増加に取り組む必要があると考えさせられって欠かすことができません。しかし、こにこなしたため、毎日16:30に終わるはずました。このワークショップの開催を可能れらのツールを自作するのは時間がかかのスケジュールが、（セミナー室を追い出にしてくれたKavli IPMUのスタッフ陣と費るため、すでに用意されたツールを使いされる）18:00まで続き、講師陣も、そ用のサポートに感謝します。こなすことで研究の効率が上がります。以の熱意に圧倒されるほどでした。参加前は、CMBFASTやCAMBといった線形者に感謝するとともに、へとへとになるま

Workshop

61 Workshop Report Kavli IPMU–RIKEN iTHES–Osaka TSRP Symposium Frontiers of Theoretical Science–MATTER, LIFE and COSMOS–

多田司ただ・つかさ理化学研究所副主任研究員

“Frontiers of Theoretical Science– 体制が具体的に結実した最初の例と言え教授が理論生物学の講演を行いました。 MATTER, LIFE and COSMOS–”と題されます。シンポジウムはカブリ数物連携宇宙研たシンポジウムが、11月6日カブリ数物連シンポジウムでは初めに理化学研究所究機構およびマックスプランク協会の小携宇宙研究機構のレクチャーホールで開理論科学連携研究推進グループの初田哲松英一郎教授の初期宇宙と宇宙背景輻射催されました。このシンポジウムはカブリ男グループディレクターが各研究機関のの観測に関する講演で盛会のうちに締め数物連携宇宙研究機構、理化学研究所紹介とシンポジウムの趣旨を説明した後、くくられました。シンポジウムではこの他に理論科学連携研究推進グループ（RIKEN 文部科学省研究振興局基礎研究振興課次の若手研究者による講演も行われまし iTHES）および大阪大学理論科学研究拠の行松泰弘課長が挨拶に立たれました。た：Mauricio Romo、Jonathan Malts、点（Osaka TSRP）の三者の共催によるも引き続いて行われた最初の講演はカブ難波亮（Kavli IPMU）、北沢正清、松尾のです。これら三者の研究機関間では、リ数物連携宇宙研究機構およびカリフォ信一郎（大阪大学）、和南城伸也、瓜生カブリ数物連携宇宙研究機構と理化学研ルニア工科大学の大栗博司教授による弦耕一郎、紙屋佳知（理研）。究所理論科学連携研究推進グループ、お理論に関するもので、カブリ数物連携宇それぞれの講演のあとには活発な質問よび理化学研究所理論科学連携研究推宙研究機構の村山斉機構長もヒッグス機と討議が行われ、研究者同士の議論は進グループと大阪大学理論科学研究拠点構に関する講演を行いました。昼食の席上、休憩時間またシンポジウムの間にそれぞれ研究協力協定が結ばれて理化学研究所からはFranco Nori GD 後に行われた懇親会でも続けられました。おり、今回のシンポジウムは広範な科学および杉田有治主任研究員がそれぞれ量今回のシンポジウムの成功により、今後こ研究の分野を対象として理論研究を行っ子回路と生命系のシミュレーションの講演れら三者の間での研究協力が一層の実りているこれらの研究機関相互の研究協力を行ったほか、大阪大学から藤本仰一准をもたらすものと期待されます。

62 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 Workshop Report The 24th Workshop on General Relativity and Gravitation in Japan (JGRG24)

齋藤亮さいとう・りょう京都大学基礎物理学研究所博士研究員

難波亮なんば・りょう Kavli IPMU博士研究員

藤田智弘ふじた・ともひろ Kavli IPMU大学院生

向山信治むこうやま・しんじ京都大学基礎物理学研究所教授 / Kavli IPMU客員上級科学研究員

2014年11月10 日から14 日にかけ gravity の模型による原始重力波の見積して、9 件の招待講演と67 件の依頼講て研究会“The 24th Workshop on もりはその一例です。また、新たなス演、38件のポスター発表が行われまし General Relativity and Gravitation in カラーテンソル理論が提案されたり、た。発表のトピックは暗黒物質、アク Japan (JGRG24)”が、カブリ数物連携様々な時空、次元におけるブラックホシオン宇宙論、弦理論、ブラックホー宇宙研究機構において開催されました。ールの性質が調べられるなど、修正重ル、修正重力理論、重力波実験、星形成、この研究会は、相対論や重力をいろい力理論や弦理論、量子重力、数学的側 CMB、大規模構造、位相欠陥、インフろな側面から総合的に考えるという趣面から捉えた相対性理論などの様々なレーション、重力レンズ、ニュートリ旨のもと1991年から毎年日本で開催さ分野において興味深い発展がありましノなど多岐にわたり、それぞれについれている国際研究会のシリーズです。た。て熱心な議論が何度も交わされました。以下に研究会の概要を述べます。今回の JGRG24 には15 カ国から約また、研究会の最後には数名の選ばれ近年、宇宙や天体に関する観測は目 180人が参加し、上に述べたような観た若手研究者・学生に発表賞が贈られ覚しい発展を遂げています。衛星によ測・理論両面にわたる様々な事柄に関ました。る宇宙マイクロ波背景放射（CMB）の観測は、非常に精密な宇宙論的パラメーターの値を与えました。また、地上実験によるCMBの偏光の観測は、重力波の存在について様々な示唆を与えました。重力波の直接検出においてはいくつものプロジェクトが計画立案され、重力波干渉計などの建造がすでに始まっています。また、天体などから発生するニュートリノの探索や暗黒エネルギーの性質をより詳しく調べる観測も進んでいます。一方、理論的側面からすると、原始重力波の存在量が適切な値になる Workshop ような、多くのインフレーション模型が研究されてきました。近年理論的整備がなされてきたbigravityやmassive

63 Workshop Report 強い重力レンズからみた銀河研究と宇宙論

大栗真宗おおぐり・まさむね東京大学理学系研究科助教 / Kavli IPMU准科学研究員

暗黒成分が卓越する宇宙において、各日の最後一時間ほど全体議論の時間サーベイにより何百という重力レンズ暗黒成分を直接「見る」ことができるを設け、その日のテーマについて自由天体が一気に見つかると期待され、そ重力レンズの重要性はますます高まっに議論を行った点にあります。主要なの中で探索や解析をどのように自動化ています。重力レンズの中でも、とく論点の例としては、シミュレーションして効率よく行うかという点も詳しくに効果の強い場合に相当する強い重力や模擬データの役割がありました。議論されました。議論は批判的ですがレンズは、暗黒物質の小スケール分布強い重力レンズ観測は観測量が限友好的な雰囲気のもと進み、設定したや増光を利用した遠方天体の研究に威られるため、そこから得られる制限が一時間の時間があっという間に感じら力を発揮し、またそのシンプルな物理無バイアスかを確認する上で、また誤れるほど充実したものでした。から宇宙論パラメータの決定にも重要差を正しく評価する上で、模擬データ研究会の運営にあたっては組織委な役割を果たしつつあります。このよのブラインド解析の重要性が指摘さ員の小松英一郎、アヌプリータ・モうな背景のもと、11月17日から21日れましたが、一方で非常に詳細な重力レ、スルド・モレ、シェリー・スユまでの5日間にかけて「強い重力レンレンズモデル構築は時間もかかるため (ASIAA)、高田昌広の尽力が必要不可ズからみた銀河研究と宇宙論」を開催そのような試みが実際的に有効ではな欠でした。また開催にあたってお世話しました。強い重力レンズに特化したいかもしれないという指摘もありましになったカブリIPMUの事務スタッフ研究会は珍しかったためか多くの参加た。また強い重力レンズはこれまではの皆様、特に市川尚子さんに感謝しま申し込みがあり、最終的に参加者は約少数の興味深い天体を詳細に調べるアす。 70名、内50名近くが日本国外からのプローチが主でしたが、今後は大規模参加という国際色豊かな研究会となりました。この研究会では各曜日にそれぞれテーマを設定して、集中的な議論を行いました。月曜日は特に時間の遅れを用いた宇宙論、火曜日は暗黒物質の小スケール分布とソース天体の構造、水曜日は銀河と銀河団の構造、木曜日は遠方銀河、金曜日は重力レンズ探索についての多くの講演が行われました。またこの研究会の特色として、参加者による通常の講演に加えて、

64 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 戸田幸伸准教授、第11回（平成26年度）のメンバーであったため、受賞者の一 News 日本学術振興会賞を受賞員となりました。本機構准教授の戸田幸伸さんは、「連接層ロジャー・ウェンデル准科学研究員、の導来圏と数え上げ不第9回日本物理学会若手奨励賞受賞変量」の研究に関する東京大学宇宙線研究業績により、第11回所助教で本機構の准科（平成26年度）日本学学研究員を務めるロジ戸田幸伸さん術振興会賞を受賞しまャー・ウェンデルさんした。が第9回（2015年）日本物理学会若手奨励賞ロジャー・ウェンデ高柳匡客員上級科学研究員、2015 を受賞しました。スールさん New Horizons in Physics Prize受賞佐藤勝彦客員上級科学研究員、2014年パーカミオカンデ実験から報告され度文化功労者に選ばれる京都大学基礎物理た“Evidence for the Appearance of 本機構発足以来学研究所教授でKavli Atmospheric Tau Neutrinos in Super- 2010年度末まで主任 IPMUの客員上級科学 Kamiokande”、［Phyical Review Letters 研究員を務められ、現研究員を兼ねる高柳 110, (2013) 181802として出版］に在客員上級科学研究員匡さんが、イリノイ大対する貢献が評価されたものです。の佐藤勝彦自然科学研学アーバナ・シャンペ高柳匡さん究機構長が「宇宙物理ーン校准教授の笠真フランス・コルドバ米国国立科学財団佐藤勝彦さん学・宇宙論・学術振興」生（りゅうしんせい）さんと共に「場（NSF）長官、Kavli IPMUを訪問の功績で2014年度文化功労者の顕彰の量子論と量子重力におけるエントロ 2014年10月3日にNSF（米国国立科を受けました。ピーに関する基本概念」により2015 学財団）長官のフランス・コルドバさ年のNew Horizons in Physics Prizeをんがグラハム・ハリソンNSF国際統括立川裕二科学研究員、第29回西宮湯川受賞しました。プログラム・マネージャー、ケリーナ・記念賞を受賞この賞は2012年にロシア人の物理クレイグ-ヘンダーソンNSF東京事務東京大学理学部物学者でソーシャル・メディア投資家、所長と共にIPMUを訪問され、村山機理学科准教授でKavli ユリ・ミルナーがBreakthrough Prize 構長からこれまでにNSFの助成金を受 IPMU科学研究員の立 in Fundamental Physicsを創設した際、けた研究者を受入れた実績を含め、機川裕二さんが「次元の若手研究者向けに設けられたものです。構の研究活動についての説明を聞き、異なる場の量子論の間基礎科学の支援に対する率直な意見をに成り立つ対応関係の・、交わしました。立川裕二さんロバートクインビー客員科学研究員発見」により第29回西 2015 Breakthrough Prize in その後、藤原交流広場における研究宮湯川記念賞を受賞しました。 Fundamental Physics 受賞者のティータイムに参加され、各国か 2015年のBreakthrough ら集まった若い研究者、特にご自身が中家剛客員上級科学研究員、2014年度 Prize in Fundamental 宇宙天文観測分野の研究者として科学仁科記念賞を受賞 Physicsは宇宙の加速的貢献をされたことから女性天文学者京都大学理学研究科膨張を発見した Saul との交流を楽しまれた様子でした。教授で本機構客員上級 PerlmutterとSupernova 科学研究員の中家剛 Cosmology Project Team、ロバート・クインビさんが、高エネルギー及び Brian Schmidt、ーさん加速器研究機構の小林 Adam RiessとHigh-Z Supernova Team 隆教授と共にT2K長基に与えられましたが、2014年8月末ま中家剛さん線ニュートリノ実験にで当機構の博士研究員を務め、現在サおける「ミューニュートリノビームかンディエゴ州立大学准教授・同大学らの電子ニュートリノ出現事象の発ラグナ山天文台長、本機構客員科学見」により、2014年度仁科記念賞を研究員のロバート・クインビーさんはティータイムで歓談する（左から）NSFのフランス・コルドバ長官、Kavli IPMU博士研究員のクレア・ラックナ News 受賞しました。 Supernova Cosmology Project Team ー、同エドモンド・チャン、村山機構長

65 トです。ここで、イギリスが発祥とさ村山機構長が国連本部でスピーチれる“サイエンスカフェ”を日本式に今年は1954年に発足したCERN（欧翻案した“サイエンス温泉”では、登州合同原子核研究機関）が60周年を壇者の現代美術作家（画の淺井裕介さ迎えましたが、一連の記念行事の最後ん）と最先端の若手サイエンティストを締めくくる「CERN：平和と発展の（Kavli IPMUの山崎雅人助教）が浴衣ための科学の60年 ─人と文化を結びをはおって、会場の参加者30人強もつける上での科学と政府間科学機関の特製 Kavli IPMU 温泉タオルを首にか役割」が 2014年10月20日にニューけ、温泉場というゆるい雰囲気を醸しヨークの国連本部経済社会理事会会議出す中で、「対象に迫る方法」という場で開催され、村山機構長が「平和とセミナー室で行われた研究紹介と数学パズル固いテーマを題材に、真摯にトークを発展のための科学：今日と明日」と題行いました。サイエンティストとアーして基調講演を行いました。プログラティスト、それぞれの立場から複雑なムは潘基文国連事務総長、CERNのロ世界の一端に迫る取り組み方とその類ルフ・ホイヤー所長らのスピーチ、ノ似性を目の当たりにした来場者からはーベル平和賞受賞者のコフィ・アナン質問が相次ぎ、時間が惜しまれながら前国連事務総長、ノーベル物理学賞受幕を閉じました。賞者のカルロ・ルビア元CERN所長、村山機構長らの基調講演などで構成されました。村山機構長の基調講演の様子とその全文については、本誌の表紙と38-40 講演する羽澄教授ページをご覧下さい。

柏キャンパス一般公開サイエンス温泉風景 2014年10月24日（金）、25日（土）の 2 日間、東京大学柏キャンパス一般 Kavli IPMU/ICRR合同一般講演会「宇公開「探究心と好奇心～もっと身近に宙を捉える ─暗黒物質の正体に迫る─」感じる科学～」が開催されました。 2014年11月15日、東京大学駒場 Kavli IPMUは研究棟を会場に、初キャンパスの21 Komaba Center for 日に羽澄昌史教授の「宇宙の始まりを Educational Excellence (KOMCEE、理

探る ─LiteBIRD 衛星に向けて」、2日村山機構長の講演には千葉県のキャラクター、チーバ君想の教育棟) Westレクチャーホールで目に村山機構長の「チーバ君も一緒! も登場 11回目となるKavli IPMUと宇宙線研村山先生から宇宙の話を聞こう!!」と究所共催の一般講演会「宇宙を捉える題する講演、2日間の企画として、展サイエンスアゴラ2014に「サイエンス温 ─暗黒物質の正体に迫る─」を開催し示による研究紹介、数学パズル、「宇泉」出展ました。プログラムは「暗黒物質」を宙の始まりの物語 3D」のビデオ上映、東京のお台場地域で2014年11月7 理論家、実験家それぞれが解説するも研究棟見学ツアー、サイエンス温泉～ 9日に開催されたサイエンスアゴラので、理論家の松本重貴 Kavli IPMU准を実施し、いずれも好評でした。2日 2014で、Kavli IPMUからの参加企画教授が「暗黒物質の正体について」と間の来場者数はキャンパス全体で約として11月9日に日本科学未来館会場題して現在の暗黒物質研究を概観、続 8,000人、Kavli IPMU には 2,000人以の7階未来館ホールで「サイエンス温いてKavli IPMUの科学研究員でもある上が訪れました。（サイエンス温泉と泉～サイエンスとアート、実は結構似実験家の山下雅樹宇宙線研究所特任准は何かは、次の項を参照して下さい。）たもの同士?! ～」を行いました。教授が「地下からさぐる暗黒物質」とサイエンスアゴラは子ども向けの理題して実際にXMASS実験に携わる立科実験、トップ科学者との対話、市民場から講演を行いました。その後、2 参加の科学議論など、誰もが参加で人の講師によるざっくばらんなミニ座き、科学と社会の関係をつくるイベン談会「暗黒物質っておもしろい?」、講

66 Kavli IPMU News No. 28 December 2014 師を囲んでのティータイムと盛りだく年4月1日より京都大学基礎物理学研さんの内容で約200人の来場者は満足究所助教へ。気でした。横崎統三さん［2012年4月1日－ 2014年10月31日］、日本学術振興会特別研究員からローマ大学「ラ・サピエンツァ」博士研究員へ。

賑わう展示ブース会場

サンタクロース一家がどんぐり保育園にや山下准教授（左）と松本准教授（右）ってきた柏キャンパスに設置されているどん第4回WPI合同シンポジウム「サイエンスぐり保育園には毎年12月のクリスマがつなぐキミのミライ」ス会にKavli IPMUからマーク・ベイギ 2014年12月13日、有楽町朝日ホーンス教授が扮するサンタクロースがやルにおいて、第4回世界トップレベルってきます。今年は教授夫妻と息子の研究拠点プログラム（ WPI）合同シンイザク君がサンタクロース一家になっポジウム「サイエンスがつなぐキミのて訪れ、園児と楽しい一時を過ごしまミライ」が開催されました。このシンした。ポジウムは、次代を担う高校生を対象に最先端の科学とその魅力を伝えるために毎年行われてきており、今回は Kavli IPMU が運営を担当しました。参加者は、一般参加を含め約 400名でした。シンポジウムは、濱田純一東京大学総長と常磐豊文部科学省研究振興局長の挨拶で始まり、WPI 全 9 拠点からマーク・ベイギンス教授一家と職員の皆さん若手研究者一人ずつが出演し自分の研究を紹介するビデオの上映に続いて人事異動 WPI 拠点の研究者 3 名の講演と高校生による研究発表が行われました。講演昇任者の一人は Kavli IPMU の村山機構長 Kavli IPMU助教ので、「宇宙に終わりはあるのか」につトードル・ミラノフいて話しました。また、展示ブース会さんが2014年12月1 場で各 WPI 拠点の研究紹介と高校生日付けでKavli IPMU による研究発表が行われました。准教授に昇進されまトードル・ミラノフさんした。

転出次の方々が転出しました。［括弧内はKavli IPMU在任期間です。］ Marcus Wernerさん［2011年10月 1日―2014年12月31日］、Kavli IPMU 博士研究員からケンブリッジ大学理論

宇宙センター /応用数学・理論物理学 News 講演する村山 Kavli IPMU機構長科に客員研究員として滞在後、2015

67 Kavli Institute for the Physics and Mathematics of the Universe カブリ数物連携宇宙研究機構 World Premier International Research Center Initiative 世界トップレベル研究拠点プログラム Todai Institutes for Advanced Study The University of Tokyo 東京大学国際高等研究所 NEWS No.28 December 2014

ミューニュートリノビームからの電子ニュートリノ出現事象の発見

中家剛京都大学大学院理学研究科教授、Kavli IPMU客員上級科学研究員

大強度陽子加速器施設J-PARCで行っているT2K実験で、新しいタイプのニュートリノ振動が発見されました。T2KはTokai-to(2)-Kamiokaの略で、東海村でミューニュートリノビームを生成し、295km離れた神岡町にあるスーパーカミオカンデで観測します。T2K 実験は、2011年に電子ニュートリノ出現の兆候をとらえ、第3番目のニュートリノ混合角

θ13が大きいということを世界で最初に発表しました。その後、実験を継続し2013年には 7σを超える確証度で電子ニュートリノ出現を確立しました。この発見により、次はニュートリノ振動で粒子と反粒子の対称性（CP対称性）の測定が可能性となります。今後は、 T2K実験のビーム強度を上げてCPの破れに迫る予定です。そして、最終的には超大型ニュートリノ測定器ハイパーカミオカンデを使った実験で、CPの破れが確立するでしょう。

Kavli IPMU News No. 28 December 2014

Published by Kavli Institute for the Physics and Mathematics of the Universe Chief Editor Kenzo Nakamura Todai Institutes for Advanced Study Production Cooperation Matsueda Printing Inc. The University of Tokyo 5-1-5 Kashiwanoha, Kashiwa, Chiba pref., 277-8583, Japan phone: +81-4-7136-4940 fax: +81-4-7136-4941 発行東京大学国際高等研究所カブリ数物連携宇宙研究機構千葉県柏市柏の葉5-1-5 〒277-8583 電話：04-7136-4940 ファックス：04-7136-4941 http://www.ipmu.jp/ [email protected] ISSN2187-3097