Nuevas T´ecnicasen Teor´ıasdel Campo Supersim´etricas

Tesis presentada al

Postgrado en F´ısicaAplicada

Como requisito parcial para la obtenci´ondel grado de

Doctor en Ciencias en F´ısicaAplicada

por

M.Sc. Bryan Obed Larios L´opez

Asesorado por

Dr. J. Lorenzo D´ıazCruz

Puebla, Puebla Agosto 2018

T´ıtulo: Nuevas T´ecnicasen Teor´ıasdel Campo Supersim´etricas. Estudiante: BRYAN OBED LARIOS LOPEZ´

COMITE´

Dr. Jes´usToscano Ch´avez Presidente

Dr. Cupatitzio Ram´ırezRomero Secretario

Dr. Alfonso Rosado S´asanchez Vocal

Dra. Olga Felix Beltr´an Vocal Externo

Dr. Jaime Hernandez Sanchez Vocal Externo

Dr. Alfredo Herrera Aguilar Vocal Suplente

Dr. J. Lorenzo D´ıazCruz Asesor

iii iv ´Indice general

Agradecimientos IX

Resumen XI

Introducci´on XIII

Introducci´on XIII

1.1. F´ısicam´asall´adel Modelo Est´andary M´etodos Modernos de QFT . . . . xvi

2. El Modelo Est´andar de Part´ıculas Elementales 1

2.1. Simetr´ıas,Teor´ıade Norma y Contenido de Part´ıculas ...... 1

2.2. El Mecanismo de Brout-Englert-Higgs ...... 4

2.3. F´ısicam´asall´adel Modelo Est´andarde Part´ıculasElementales ...... 7

2.3.1. El problema de la Jerarquia ...... 7

2.3.2. Materia Oscura ...... 8

3. Supersimetr´ıa y Supergravedad 11

3.1. Extensi´onM´ınimaSupersim´etricadel Modelo Est´andar(MSSM) . . . . . 11

3.2. Supergravedad ...... 13

3.2.1. Modelo de Wess-Zumino ...... 13

3.2.2. Invariancia del modelo WZ bajo transformaciones supersim´etricas globales ...... 15

3.2.3. Invariancia del modelo WZ bajo transformaciones supersim´etricas locales ...... 16

v ´INDICE GENERAL

3.3. El Gravitino ...... 20

3.3.1. Super Mecanismo de Higgs ...... 20

3.3.2. Interacciones con el gravitino ...... 20

3.3.3. Lagrangiano Efectivo para gravitinos ligeros ...... 21

4. T´ecnicas Perturbativas Modernas 23

4.1. Motivaci´onpara mejorar las t´ecnicasperturbativos tradicionales . . . . . 23

4.2. Formalismo de Helicidad ...... 25

4.2.1. Producto de Espinores (Definiciones) ...... 26

4.2.2. Convenciones ...... 29

4.2.3. Propiedades ...... 29

4.2.4. Ejemplo: c´alculode la amplitud para un proceso 2 → 2 ...... 30

4.2.5. Part´ıculasvectoriales (no masivas) ...... 34

4.2.6. L´ımiteSuave ...... 38

4.2.7. An´alisisde los l´ımitescolineales a nivel de probabilidades . . . . . 40

4.3. Grupo peque˜node Wigner ...... 40

4.3.1. Complejificaci´onde los 4-Momentos ...... 42

4.4. Factorizaci´onde la Amplitud ...... 43

4.4.1. Factor de Color ...... 43

4.4.2. Amplitudes de Parke - Taylor (MHV)...... 45

4.5. Introducci´ona la relaci´onde recursi´on BCFW ...... 49

4.5.1. Desplazamiento complejo ...... 49

5. Fenomenolog´ıa del Gravitino 59

5.1. Decaimiento del Stop a tres Cuerpos (utilizando el m´etodo tradicional) . . 59

5.2. Vida media del Stop ...... 60

5.2.1. Amplitudes para t˜1 → Ge W b ...... 61

5.2.2. Amplitudes para t˜1 → G W b con la aproximaci´ongravitino ∼ goldstino ...... 65

5.3. Resultados Num´ericos ...... 67

vi ´INDICE GENERAL

6. Amplitudes de Helicidad para Interacciones con Gravitino Masivo 69

6.1. Formalismo de Espinores de Helicidad para el gravitino masivo de esp´ın-3/2 70

6.2. Producci´ony decaimientos con gravitinos en el estado final ...... 73

6.2.1. Amplitudes para la reacci´on e+e− → G˜G˜: caso masivo y sin masa 73 − + ˜ µ 6.2.2. Producci´onasociada a la reacci´on e e → Ψ χ˜0 ...... 75 6.2.3. Amplitudes masivas y sin masa para el Decaimiento a dos cuerpos ˜ µ del Neutralinoχ ˜0 → Ψ γ ...... 77

7. Sobre el Decaimiento del Stop a dos, tres y cuatro cuerpos 83

7.1. Decaimiento del Stop a dos, tres y cuatro cuerpos ...... 84

7.1.1. Decaimiento del Stop a dos cuerpos con Gravitino LSP en el Estado Final ...... 85

7.1.2. Decaimiento del stop a tres cuerpos: t˜→ Ψ˜ µW b ...... 86 ˜ µ 7.1.3. Decaimiento del stop a cuatro cuerpos t˜→ Ψ b l νl ...... 88 7.2. Resultados Num´ericos ...... 90

7.2.1. Decaimiento del stop a dos cuerpos ...... 90

7.2.2. Decaimiento del stop a tres y cuatro cuerpos ...... 91

8. Conclusiones 93

8.1. Conclusiones ...... 93

Bibliograf´ıa 95

vii

Agradecimientos

Sin la irreverencia hacia lo tradicional y a la tan poderosa presi´onsocial, mi madre no hubiera podido contagiarme a pensar por mi mismo, a ser critico y a luchar incansa- blemente para alcanzar las metas y sue˜nos.Sin duda, agradezco esa escuela de lucha y tenacidad que aprendi de mi madre.

Siempre he mantenido un permanente deseo y las buenas intenciones de dedicarme a la investigaci´on,aunque no siempre estuve en tierra f´ertil.Por abrirme las puertas y por confiar en mi, agradezco a mi amigo y asesor, al profesor Lorenzo Diaz Cruz. Como olvidar las multiples y f´ertilesconversaciones que mantuvimos durante cuatro a˜nosen las cafeterias The Italian Coffee Company y Mi Viejo Cafe de Valsequillo.

Despu´esde ocho avances de tesis mostrando paciencia y sobre todo profesionalismo, agradezco al jurado de mi tesis, a los doctores Jes´usToscano, Cupatitzio Ram´ırezy Alfonso Rosado.

Agradezco a esta hermosa tierra “M´exico”y a su m´aspreciado tesoro, su gente. La calidez que me ha brindado este pa´ısme han hecho sentir como en casa, y haberlos representado en varios eventos internacionales fue y seguir´asiendo un tremendo honor. Una muestra de la gran generosidad de este pa´ıses la beca que me otorgo el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnolog´ıa(CONACYT). Es invaluable su aporte en mi formaci´on y la de muchos j´ovenes m´as,lo que me compromete a trabajar duro cada d´ıay contribuir a la academia nacional e internacional.

Por ´ultimopero no menos importante, agradezco a las personas que me acompa˜naron en este viaje y aventura, por confiar en este proyecto y sobre todo en mi, gracias a mi esposa e hija. Padre tu pesas los corazones, sabes que todo es gracias a ti.

ix

Resumen

En esta tesis estudiamos los m´etodos modernos de la teor´ıacu´antica de campos (QFT por sus siglas en ingl´es).Espec´ıficamente, nuestro inter´esy esfuerzo ha estado dirigido a entender y mejorar los c´alculosperturbativos en teor´ıasde supergravedad. Estas teor´ıaspredicen una part´ıculamasiva de esp´ın-3/2llamada gravitino, compa˜nera supersim´etricadel gravit´on.El gravitino tiene una fenomenolog´ıamuy rica, tanto en f´ısicade colisiones como en cosmolog´ıa.Sin embargo, realizar c´alculosperturbativos que involucren el gravitino en el estado final ha resultado una tarea extremadamente complicada, si se recurre a los m´etodos tradicionales de QFT.

Los resultados que se presentan en esta tesis no solo permiten evaluar de manera eficiente los valores de los observables f´ısicosque involucran gravitinos en el estado final, los cuales podr´ıanser detectados en los colisionadores de part´ıculascomo el gran colisionador de hadrones (LHC por sus siglas en ingl´es).Adem´as,permiten realizar un estudio profundo a nivel de las amplitudes de dispersi´on,incluso sin evaluar el m´odulo cuadrado de las amplitudes asociadas a las interacciones de part´ıculaselementales. A´un y cuando nuestro objetivo principal ha sido el estudio de las interacciones de part´ıculas en f´ısicam´asall´adel modelo est´andarde part´ıculaselementales, nuestros resultados son igualmente adecuados para implementarse en el modelo est´andar.

xi

Introducci´on

Introducci´onheur´ısticaa la F´ısicade Part´ıculas

El modelo est´andar (SM por sus siglas en ingl´es)de part´ıculas elementales es una teor´ıa que describe las part´ıculasfundamentales y las interacciones entre ellas [1]. Es el modelo m´asexitoso en f´ısica,capaz de predecir y explicar los resultados de los experimentos en f´ısicade altas energ´ıascon una precisi´onsobresaliente. Recientemente, en el a˜no2012 se detect´oexperimentalmente en el LHC [2] el ´ultimobloque fundamental del Modelo Est´andar,el famoso boson de Higgs [3].

La f´ısica de part´ıculashasta cierto punto es simple, respeta claramente el fundamento principal de la f´ısicay de la ciencia en general, es decir sus avances requieren tanto de las predicciones te´oricascomo de las detecciones experimentales. En este caso, nuestros laboratorios son los aceleradores de part´ıculas,y el m´ascolosal que se ha construido es el LHC, el cual se encuentra en el Centro Europeo para la Investigaci´onNuclear (CERN por sus siglas en ingl´es).El CERN se encuentra localizado al noroeste de la ciudad Ginebra, Suiza. Este acelerador de part´ıculasse encuentra a casi cien metros bajo suelo, su geometr´ıaes un enorme c´ırculode 27 kil´ometrosde per´ımetro(ver Figura 1.1). Los grupos de trabajo de los principales detectores de part´ıculas (CMS, Atlas, Alice, LHCb) tienen como uno de sus objetivos llevar a cabo una gran variedad de experimentos que prueban y descartan un abanico de nuevas teor´ıas.

Figura 1.1: Esquema del LHC y sus principales detectores en el CERN.

Los detectores de part´ıculasubicados en diferentes puntos del LHC (Figura 1.1) generan una enorme cantidad de datos experimentales en cada corrida del LHC. Dichos datos demandan cada vez m´asuna mayor precisi´onen los c´alculosperturbativos que

xiii CAP´ITULO 1. INTRODUCCION´

realizamos utilizando herramientas de QFT. Es en estos detectores donde se espera encontrar evidencia de nueva f´ısica,posiblemente predicha por un modelo te´orico.

Sin duda, ha habido un tremendo avance en los m´etodos de c´alculoen la f´ısica de part´ıculas,los que van en pro del mejoramiento de las predicciones te´oricas,sobre todo estos han venido del sector de computo. Se ha implementado la tecnolog´ıade punta tanto en hardware como en software. Sin embargo, existe cierto retraso en la implementaci´on de ideas frescas y modernas desde el punto de vista te´orico.

Figura 1.2: Esquema de la detecci´onde part´ıculas y generaci´onde datos experimentales.

Los m´etodos tradicionales de QFT se basan en la existencia de los campos cu´anticos (ver la referencia [4] para m´asinformaci´on),los cuales se manipulan desde una funci´on Lagrangiana (o Hamiltoniana) y mediante una serie de t´ecnicas perturbativas obtenemos reglas que nos permiten calcular los observables f´ısicos.Aunque el procedimiento es simple de recordar, el camino es sumamente complicado y engorroso. Incluso en los casos que se tienen pocas part´ıculasen el estado final, un caso pedag´ogicodigamos, la complejidad del c´alculoes para nada trivial. A medida que se incrementa el n´umerode part´ıculasen el estado final (como pasa en la vida real, en los detectores de part´ıculas) la situaci´onse vuelve intratable, tanto num´erica como anal´ıticamente. En este sentido, la implementaci´onde m´etodos modernos que reciclen de alguna manera las ideas m´as creativas de los m´etodos utilizados en estos ´ultimos50 a˜nosjunto con la incorporaci´on de t´ecnicasm´aseficientes, es definitivamente necesario.

La funci´onmatem´atica que conecta la teor´ıacon el experimento es la secci´ondiferencial dσ de corte ( dΩ )[1, 4]. Esta funci´onse calcula utilizando los m´etodos desarrollados por QFT y predice te´oricamente los datos experimentales que se obtienen en los colisionadores de part´ıculas.A mayor precisi´onen el c´alculode esta funci´on,mejor la concordancia con los datos experimentales. Lo interesante de esta funci´ontan complicada de calcular con los m´etodos tradicionales (algunas veces imposible incluso con el computador m´as

xiv potente) es que es proporcional al m´odulocuadrado de otra funci´onllamada amplitud de dispersi´on( ver Figura 1.3), tal como en mec´anicacu´antica la densidad de probabilidad es proporcional al m´odulocuadrado de la funci´on de onda (ρ ∼ |Ψ|2). La amplitud de dispersi´ones una cantidad compleja con naturaleza meramente cu´antica, y nos dice cuanta probabilidad tiene un estado inicial de un determinado sistema de part´ıculas interactuantes de evolucionar a un determinado estado final. Esta funci´onno se ha tratado como el bloque fundamental en los m´etodos tradicionales utilizados por la comunidad de f´ısicade part´ıculas.El ritual ha sido comenzar con los campos cl´asicoslibres, luego cuantizarlos y posteriormente utilizar la Lagrangiana para que nos de una serie de reglas (llamadas reglas de Feynman) que permiten construir la amplitud de dispersi´on.En principio este no es el problema operativo del enfoque tradicional, digamos que esta es la parte f´acil.El verdadero reto se encuentra en obtener la cantidad observable, la que conecta con el experimento.

Para obtener el tiempo de vida media de una part´ıculainestable (τ), o la secci´onde corte (σ) resultante de una colisi´onentre protones o una entre electrones y positrones, es necesario multiplicar la amplitud por su complejo conjugado (|A|2), esto si es un verdadero reto. La complejidad se hereda de los mismos campos cu´anticos, ya que al construir la amplitud por las reglas convencionales y tradicionales de Feynman, la amplitud sin cuadrar carece de sentido f´ısico,contiene informaci´onno f´ısicay no detectable por los experimentos que hacen engorrosos los c´alculosperturbativos.

Figura 1.3: Proporcionalidad de la secci´ondiferencial de corte y el m´odulo cuadrado de la amplitud.

Nuestro aporte en este trabajo de tesis fue implementar ideas recientes, m´etodos modernos que consideren la genialidad del trabajo de Richard Feynman [4], pero con el esp´ıritude conectar las amplitudes de forma directa con los observables f´ısicos,es decir expresar las amplitudes en funci´onde la DATA externa, con la que se configura y mide el experimento.

A mediados de los d´ecadade los ochentas, dos investigadores de Fermilab (Acelerador de F´ısicade Part´ıculas,ubicado en las afueras de Chicago, USA) Stephen Parke y Tomasz Taylor realizaron un gran aporte a la f´ısicate´oricade part´ıculaselementales [5]. Ellos

xv CAP´ITULO 1. INTRODUCCION´ calcularon por primera vez (anal´ıticamente) la amplitud de dispersi´onpara la colisi´onde dos gluones que produce tres en el estado final, esto requiere considerar 25 diagramas de Feynman. Para la ´epoca, este c´alculose hab´ıarealizado ´unicamente utilizando la fuerza bruta de un super computador (ver Secci´on4.1), y el resultado involucraba cientos de p´aginas.El trabajo de Parke y Taylor no fue algo que despertara mucha curiosidad en la comunidad de f´ısicosde part´ıculasdebido a que su t´ecnicade c´alculono involucraba part´ıculasmasivas, que son las feas de esta pel´ıcula.

Como hemos mencionado, las amplitudes de dispersi´onest´anestrechamente relaciona- das con los diagramas de Feynman, como se muestra en la expansi´onde la Figura 1.4. Lo que Parke y Taylor encontraron (a´uny cuando fue para interacciones de part´ıculassin masa) fue una hermosa y compacta expresi´onpara la amplitud de dispersi´on,que resulta de considerar todos los diagramas de Feynman a nivel ´arbol de la reacci´on gg → ggg. El resultado de la amplitud de dispersi´on(m´odulocuadrado) que con la ayuda de super computadores tomo m´asde cien p´aginas,ahora es simplemente el siguiente

h45i4 A(1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) = i . (1.1) + + + − − h12ih23ih34ih45ih51i

Este bello resultado de la ecuaci´on(1.1), junto con el fant´astico trabajo de Edward Witten [6] a principios del siglo XXI, ha marcado una nueva ruta en la forma de hacer f´ısica, han surgido nuevos paradigmas no solo en f´ısicade part´ıculas,ya que tambi´enparece surgir una nueva interpretaci´onde los conceptos pilares de la f´ısicate´orica[7, 8, 9, 10].

Figura 1.4: Expansi´onperturbativa en diagramas de Feynman. La amplitud de dispersi´on es la suma de todas las contribuciones que vienen de cada posible topolog´ıade los diagramas de Feynman.

En la Secci´on4 profundizamos sobre las t´ecnicasperturbativas modernas que se han implementado en recientes a˜nos.

1.1. F´ısicam´asall´adel Modelo Est´andary M´etodos Mo- dernos de QFT

Sabemos que la funci´onmatem´aticaque conecta el experimento con la teor´ıaes la secci´ondiferencial de corte, la cual a la vez esta conectada con la amplitud de dispersi´on. Esto es un resultado general (para cualquier teor´ıacu´antica de campos), funciona tanto para el SM de part´ıculaselementales como para una teor´ıam´asgeneral, como la teor´ıa

xvi 1.1. F´ISICA MAS´ ALLA´ DEL MODELO ESTANDAR´ Y METODOS´ MODERNOS DE QFT de cuerdas (ver [6] para m´asinformaci´on).

Hay que mencionar que el SM es una teor´ıacu´antica de campos, y debe ser una descripci´onefectiva (aproximaci´on)de otra teor´ıam´asgeneral. Esto lo sabemos porque existen varios fen´omenosnaturales que el SM no puede describir y explicar [4, 11]. Para mencionar algunos de ellos, se tiene:

La masa de las neutrinos

Materia Oscura

Energ´ıaOscura

Gravedad

Sabemos entonces, que el SM no es la teor´ıafinal que describe el universo que observamos. Supersimetr´ıa (SUSY) es una de las soluciones m´aspopulares para resolver varios de los problemas antes mencionados. Actualmente es de gran importancia tratar de predecir cuales ser´anlas se˜nalesexperimentales que se deben buscar para saber si la naturaleza es supersim´etrica.

Las teor´ıassupersim´etricashan tenido un gran impacto en distintos dominios de f´ısicade part´ıculas,extendi´endosedesde fenomenolog´ıaa cosmolog´ıaincluyendo aspectos formales de la teor´ıacu´antica de campos [11]. Sin embargo, y como hemos mencionado, es a´unun tema abierto si SUSY se realiza en la naturaleza. La extensi´onsupersim´etrica del SM de part´ıculaselementales ha sido estudiada desde el punto de vista te´oricoy tambi´en en el LHC se siguen buscando se˜nalesde SUSY. Los modelos supersim´etricos pueden incluir una simetr´ıadiscreta. La paridad-R, esta simetr´ıagarantiza la estabilidad de la part´ıculasupersim´etricam´asligera (LSP) [12], lo que permite a la LSP ser un buen candidato para materia oscura (DM por sus siglas en ingl´es).

En esta tesis estudiamos y exploramos el escenario donde el gravitino es el LSP y por ende un buen candidato a materia oscura. Los escenarios con el gravitino LSP como DM han sido considerados por [49, 14, 50]. En tales escenarios, la naturaleza de la siguiente part´ıculasupersim´etricam´asligera (NLSP por sus siglas en ingl´es)determina la fenomenolog´ıa[52, 51] del gravitino. Consideramos adem´asel caso que las especies de squarks pueden ser el NLSP, y en esos casos los candidatos naturales pueden ser el sbottom [65, 66, 20] o el stop ligero t˜1. Existen muchas constricciones experimentales y cosmol´ogicaspara los escenarios con el gravitino LSP y el stop NLSP que se han discutido en [21]. Resulta que la vida media del stop t˜1 puede ser muy grande, en esos casos los l´ımitesrelevantes vienen del colisionador Tevatron y estos implican que m > 220 GeV [22]. Conocer con alta precisi´onla vida media del stop es uno de las t˜1 objetivos m´asimportantes de este escenario, y de igual forma uno de los primcipales objetivos de este trabajo de tesis.

Como resultado de este trabajo de tesis se ha publicado 3 art´ıculosy 2 proceedings en revistas indexadas en el Science Citation index expanded, de igual forma se esta concluyendo un trabajo m´asque ser´apublicado en un revista indexada con revisi´on

xvii CAP´ITULO 1. INTRODUCCION´ de pares. Todos los trabajos en los que esta tesis se sustenta, han sido ampliamente divulgados en conferencias internaciones y nacionales. Por mencionar alguno de los lugares y conferencias, se tiene:

Escuela de F´ısicadel LHC, UNESP, Sao Paulo, Brasil (2015).

Escuela de Cosmolog´ıa,ICTP, Trieste, Italia (2016).

Simposio Latinoamericano de F´ısicade Altas Energ´ıas(SILAFAE), Antigua Guate- mala, Guatemala (2016).

Reuni´onAnual de Part´ıculasy Campos, M´exico(2015-2017).

Taller de Teor´ıadel Campo, Gravitaci´ony Cosmolog´ıa(2015-2017).

Amplitudes 2018, SLAC, California, USA.

Los trabajos publicados que surgieron como parte de esta tesis son los siguientes:

J. Lorenzo Diaz-Cruz, Bryan O. Larios, “Helicity Amplitudes for massive gravitinos in N=1 Supergravity”, J.Phys. G45 (2018).

Bryan O. Larios, “Helicity Amplitudes for production of massive gravitino/goldstino”, J.Phys.Conf.Ser. 912 (2017).

J. Lorenzo Diaz-Cruz, Bryan O. Larios, O. Meza-Aldama, “An Introduction to the massive Helicity Formalism with applications to the Electroweak SM ”, J.Phys.Conf.Ser. 761 (2016).

J.Lorenzo D´ıaz-Cruz,Bryan O. Larios, “Stop Decay with LSP Gravitino in the final state”, Eur.Phys.J. C76 (2016) no.3, 157.

J. Lorenzo Diaz-Cruz, Bryan Larios Lopez, O. Meza-Aldama, Jonathan Reyes Perez, “Weyl spinors and the helicity formalism”, Rev.Mex.Fis. E61 (2015) 104.

La organizaci´onde esta tesis es la siguiente: en la Introducci´on,comenzamos motivando las t´ecnicasmodernas de QFT y mencionando la necesidad de f´ısicam´asall´adel SM de part´ıculaselementales. Posteriormente, en el Cap´ıtulo3 se presenta una introducci´on heur´ısticade supersimetr´ıay supergravedad, mostrando con el modelo de Wess-Zumino que bajo transformaciones supersim´etricas locales, surge naturalmente gravedad en la teor´ıa.En el Cap´ıtulo4 introducimos las t´ecnicasmodernas de QFT perturbativa. Justamente en el Cap´ıtulo4, decidimos presentar el material con un enfoque pedag´ogico por varias razones, la principal es que se trata de un tema que no se hab´ıaestudiado anteriormente en la comunidad de f´ısicade part´ıculasde M´exico,por lo que este material puede servir como un primer contacto entre los estudiantes y las t´ecnicas modernas de QFT desarrolladas en el siglo XXI. En el Cap´ıtulo5, se presenta la fenomenolog´ıadel gravitino, calculando inicialmente con el enfoque tradicional. En este cap´ıtulopresentamos parte de nuestros resultados originales. En el Cap´ıtulo6 se presentan las nuevas reglas

xviii 1.1. F´ISICA MAS´ ALLA´ DEL MODELO ESTANDAR´ Y METODOS´ MODERNOS DE QFT de Feynman para el gravitino masivo, las que resultan de utilizar el formalismo de helicidad masivo, de igual forma mostramos varios c´alculosde amplitudes de helicidad con gravitinos masivos en el estado final. En el Cap´ıtulo7 se aplican las nuevas reglas de Feynman para el gravitino masivo a estudios de varios decaimientos del stop como NLSP. Finalmente se presentan las Conclusiones de este trabajo de tesis doctoral.

xix CAP´ITULO 1. INTRODUCCION´

xx Cap´ıtulo2

El Modelo Est´andarde Part´ıculas Elementales

El Modelo Est´andar(SM) es la descripci´onm´asexitosa que se tiene en la actualidad para describir las part´ıculaselementales. Es una teor´ıacu´antica de campos que explica la din´amica de nuestro Universo. El SM incorpora tres fuerzas fundamentales: la fuerza electromagn´etica, d´ebily fuerte, adem´asincluye diferentes tipos de part´ıculas. El SM nos dice que toda la materia esta compuesta por campos fermi´onicosque interact´uanentre si v´ıacampos vectoriales. Para entender el contenido de campos del SM es necesario comenzar con la definici´onde simetr´ıa.

2.1. Simetr´ıas, Teor´ıade Norma y Contenido de Part´ıculas

Las simetr´ıashan jugado un papel muy importante en la historia de la f´ısica.En ese sentido, el SM no es la diferencia ya que es basado en una simetr´ıalocal. Sabemos por el teorema de Noether que cualquier simetr´ıaen la acci´onde un sistema f´ısico conduce a una ley de conservaci´on[23]. Si consideramos por ejemplo la electrodin´amica cu´antica (QED por sus siglas en ingl´es),la invariancia bajo transformaciones locales implica la existencia de campos de norma. Veamos esta consecuencia en el caso que solo consideramos fermiones en QED. El Lagrangiano libre toma la siguiente forma ¯ µ L = ψ(iγµ∂ − m)ψ, (2.1) donde ψ es el campo correspondiente a las part´ıculascon espin-1/2, se esta utilizando la convenci´on ψ¯ = ψ†γ0, y γµ es la usual matriz de Dirac. El Lagrangiano (2.1) es invariante bajo transformaciones de norma globales de la forma ψ → e−iαψ, lo que significa que α es una fase constante. Esta transformaci´onimplica que existe una cantidad conservada, en este caso es la corriente de Dirac jµ(x), la cual cumple lo siguiente µ µ ¯ µ ∂µj = 0; j = ψγ ψ. (2.2)

1 CAP´ITULO 2. EL MODELO ESTANDAR´ DE PART´ICULAS ELEMENTALES

El Lagrangiano (2.1) no es invariante ante transformaciones de norma locales, que es el caso que la fase α(x) es funci´ondel espacio tiempo. Sin embargo, el problema se puede resolver si la derivada parcial se redefine de la siguiente manera

∂µ → Dµ ≡ ∂µ + iqAµ, (2.3)

donde Aµ es el campo vectorial. Si se realiza la sustituci´on ∂µ → Dµ en el Lagrangiano (2.1), este se vuelve invariante bajo la siguientes transformaciones locales

ψ → ψ0 = e−iα(x)ψ, (2.4) 1 Aµ → A0µ = Aµ + ∂µα(x), (2.5) q el Lagrangiano invariante toma la siguiente forma ¯ µ ¯ µ L = ψ(iγµ∂ − m)ψ − qψγµψA . (2.6)

El segundo t´erminoen el Lagrangiano (2.6) resulta de imponer la invariancia local. Este nuevo t´erminoes muy importante ya que describe la interacci´onentre el campo vectorial de norma Aµ y los campos fermi´onicos,los cuales ya exist´ıanen la teor´ıa.Notamos entonces, que una teor´ıaque tenia ´unicamente campos asociados a materia necesitan campos vectoriales para proveer interacci´onentre los fermiones.

Este principio de invariancia de norma local se puede generalizar para todos los tipos de interacciones, y generar t´erminosde interacci´onpara todas las fuerzas (E&M, d´ebily fuerte, incluso gravitacional) partiendo de simetr´ıasespec´ıficas que se imponen en la teor´ıa.Esta es la idea fundamental del SM inicialmente propuesta por Sheldon Glashow [24] y tambi´enpropuesta independientemente por Abdus Salam y John Ward [25] y extendida finalmente por Steven Weinberg [26]. El SM se fue desarrollando por diferentes etapas, inicialmente la teor´ıaelectrod´ebilsurgi´oa partir de utilizar el grupo SU(2) × U(1)Y , lo que permiti´orelacionar la carga el´ectricacon el isosp´ıny la hipercarga lept´onicade una part´ıcula.El Lagrangiano correspondiente a los campos lept´onicostoma la siguiente forma 1 1 L = Lγ¯ µD L +e ¯ γµD0 e − W µνiW i − BµνB , (2.7) µ R µ R 4 µν 4 µν donde la derivada covariante est´andefinidas como sigue

g g0 D = ∂ + i σiW i + i B , (2.8) µ µ 2 µ 2 µ 0 0 Dµ = ∂µ + ig Bµ, (2.9)

donde L es el doblete de isosp´ınque contiene el neutrino izquierdo y el electr´on, eR es el electr´onderecho, σi son las matrices de Pauli, y g y g0 son las constantes de acoplamiento.

2 2.1. SIMETR´IAS, TEOR´IA DE NORMA Y CONTENIDO DE PART´ICULAS

i Wµν y Bµν son los campos tensoriales de fuerza, los cuales son como sigue

i i i ijk j k Wµν = ∂µWν − ∂νWµ − g WµWν , (2.10)

Bµν = ∂µBν − ∂νBµ. (2.11)

El contenido de materia del Universo no solo incluye leptones, tambi´enincluye hadrones, y hoy sabemos que los hadrones est´ancompuestos por quarks. La simetr´ıaque relaciona la carga de color en los quarks es SU(3)c. El SM es definido por tener SU(3)c × SU(2)L × U(1)Y como la simetr´ıade norma. Por cada campo de bos´onde norma se asocia un generador del ´algebrade cada grupo. Por lo tanto, existen ocho (32 − 1) part´ıculascon esp´ın-1 (con color o se les suele llamar coloreadas) asociadas al grupo de norma SU(3)c. Estos bosones de norma son conocidos como gluones. Adem´as,en el SM se tiene que hay i cuatro part´ıculassin color, Wµν y Bµν, los cuales se mezclan para formar los bosones de norma masivos W ± y Z0, adem´asdel fot´on.De forma esquem´atica,el contenido completo del SM se resumen en la Figura (2.1). Hasta el momento no se ha mencionado el campo escalar. El SM es una teor´ıa que se construye a partir de un Lagrangiano con campos que representan part´ıculasno masivas. El mecanismo para dotar de masa a las part´ıculasdel SM requiere de la existencia de una part´ıculadescrita por un campo escalar, el bos´onde Higgs (en realidad y para dar el cr´editode forma correcta, es el bos´on Brout-Englert-Higgs, pero en esta tesis lo llamaremos en corto bos´onde Higgs). Este mecanismo es llamado mecanismo BEH [3] y se explica a continuaci´on.

Figura 2.1: Ilustraci´ondel contenido de part´ıculasdel SM. Esta adaptaci´ones tomada de [27].

3 CAP´ITULO 2. EL MODELO ESTANDAR´ DE PART´ICULAS ELEMENTALES

2.2. El Mecanismo de Brout-Englert-Higgs

Sabemos del teorema de Noether que simetr´ıasimplican leyes de conservaci´on.Una consecuencia es la invariancia del Lagrangiano y del vac´ıode la teor´ıa,sin embargo, existen situaciones donde el Lagrangiano es invariante bajo una simetr´ıapero no lo es as´ı el vac´ıo.Cuando este ocurre, la simetr´ıaesta rota. Consideremos por ejemplo un campo escalar φ cuyo Lagrangiano toma la siguiente forma [43] 1 1 1 L = ∂ φ∂µφ − V (φ),V (φ) = µ2φ2 + λφ4 (2.12) φ 2 µ 2 4 donde φ es un campo real y λ > 0. El Lagrangiano (2.12) es invariante bajo la transfor- maci´on φ → −φ. Al calcular el valor de expectaci´ondel vac´ıo(vev), se tiene que analizar dos casos por separado, estos son los siguientes:

(a) Si µ2 > 0, el vac´ıoes invariante

hφi0 = h0|φ|0i = 0. (2.13)

Si µ2 < 0, tenemos s −µ2 v hφi = ± ≡ ±√ . (2.14) 0 2λ 2

El vac´ıopara el caso µ2 < 0 ya no es m´ascero, surge una degeneraci´onque b´asicamente se debe a la elecci´onentre v y −v, como se muestran en las siguientes gr´aficas

V(ϕ) V(ϕ)

ϕ ϕ Figura 2.2: Gr´aficadel Potencial Figura 2.3: Gr´aficadel Potencial V (φ) Ec. (2.12). En este caso pa- V (φ) Ec. (2.12). En este caso para ra valores µ2 > 0, notamos que no valores µ2 < 0, en este caso se pre- hay degeneraci´on,solo hay un va- senta una degeneraci´on,y se tienen lor m´ınimopara el potencial (punto dos valores m´ınimospara el poten- rojo). cial (puntos rojos).

Para el caso de la gr´aficade la derecha se puede elegir un valor m´ınimo(cualquiera de hφi0 = ±v), y luego se redefine el campo escalar para que el vac´ıose corra al origen,

4 2.2. EL MECANISMO DE BROUT-ENGLERT-HIGGS

como se muestra a continuaci´on

ξ(x) ≡ φ(x) − hφi0 = φ(x) − v. (2.15)

Hemos corrido el vac´ıoal origen hξi0 = 0, ahora el Lagrangiano (2.12) se vuelve 1 1 L = ∂ ξ∂µξ − λv2ξ2 − λvξ3 − λξ4. (2.16) ξ 2 µ 4

q 2 Se tiene ahora el Lagrangiano para el campo escalar ξ con masa mξ = −2µ . Redefi- niendo el campo φ fue posible obtener el campo escalar masivo ξ, esto es conocido como la ruptura espont´aneade la simetr´ıa,y es el mecanismo principal para dotar de masa a los fermiones y bosones del SM. Es necesario definir un doblete compuesto por dos campos escalares complejos [43], este es como sigue " # 1 φ − iφ φ = √ 1 2 . (2.17) 2 φ3 − iφ4

Ahora es necesario sumar el Lagrangiano del campo escalar al Lagrangiano de la Ec. (2.7), pero se deben usar las derivadas covariantes de la ecuaciones (2.8) y (2.9) para mantener la invariancia bajo el grupo SU(2)L × U(1)Y . El Lagrangiano para el campo escalar en esta nueva base (Ec. (2.17)) toma la siguiente forma

2 LH = |Dµφ| − V (φ), (2.18)

donde el potencial V (φ) es como sigue

2  4   4  1 2 X 2 1 X 2 V (φ) = µ  φ  + λ  φ  . (2.19) 2 i 4 i j=1 j=1

Tomando arbitrariamente los valores φ1 = φ2 = φ4 = 0 y φ3 = v, donde v es el vev del Higgs, y se introduce un nuevo campo h como la excitaci´ondel vev, se rompe la −µ2 simetr´ıa SU(2)L × U(1)Y a U(1)E&M si se elige cierto valor espec´ıficopara 2λ . Con las consideraciones mencionadas, el campo escalar φ de la Ec. (2.17) se expresa ahora de la siguiente manera " # 1 0 φ = √ , (2.20) 2 v + h El potencial V (φ) se convierte en 1 1 V = − λv4 + λv2h2 + λvh3 + λh4. (2.21) 4 4 El segundo t´erminodel potencial nos dice que la masa del campo de Higgs (h) es 2 2 3 4 mh = 2v λ. Los dem´ast´erminos(h , h ) son de auto acoplamiento del bos´onde Higgs.

5 CAP´ITULO 2. EL MODELO ESTANDAR´ DE PART´ICULAS ELEMENTALES

2 El t´erminocin´etico del Lagrangiano (|Dµφ| ) toma la siguiente forma

0 ! 2 2 g i i g (v + h)  2 1 2 2 2 2 3 0 2 i σ W + i B φ = g (W ) + g (W ) + (−gW + g B ) . (2.22) 2 µ 2 µ 8 µ µ µ µ

Definimos los siguientes campos vectoriales

0 1 3 0 Zµ = q (gWµ − g Bµ), (2.23) g2 + g02 1 W ± = √ (W 1 ± iW 2), (2.24) µ 2 µ µ ± 1 0 3 Aµ = q (g Wµ + gBµ), (2.25) g2 + g02 si se reescribe la ecuaci´on(2.22) en t´erminode los nuevos campos Ecs. (), () y (), se identifican los siguientes t´erminos de masa

1   M 2 W +W −µ + M 2 Z Zµ + M 2 A Aµ , (2.26) W µ 2 Z µ A µ por lo que las masas asociadas a los campos Zµ, Wµ y Aµ son las siguientes v q vg M = g2 + g02,M = ,M = 0. (2.27) Z 2 W 2 A Es posible expresar el acoplamiento electromagn´eticoen t´erminode los acoplamientos 0 gg0 g y g , es decir gE&M = √ . De igual forma se puede expresar en t´erminosde los g2+g02 ´angulosde mezcla

g g0 gE&M = g sin θW , cos θW = q , sin θW = q . (2.28) g2 + g02 g2 + g02

Existe una interesante relaci´onentre la masa de los bosones W ± y la del bos´on Z, esta es MW = MZ cos θW . Se puede conocer con precisi´onel valor del vev del Higgs ya que existe la siguiente relaci´on √ √ g2 2 GF = 2 2 = 2 , (2.29) 8MW 2v donde GF es la constante de Fermi, y es conocida experimentalmente con gran precisi´on, −5 −2 GF = 1.16637 × 10 GeV [1]. De Ec. (2.29) se obtiene que el vev es v ∼ 246 GeV, y para este valor de v la simetr´ıa SU(2)L × U(1)Y se rompe. Para obtener la masa de los fermiones se utiliza un mecanismo similar, se debe de agregar al Lagrangiano de la Ec. (2.7) el siguiente Lagrangiano de Yukawa ¯ ¯ ¯ ∗ LY ukawa = λE&M LφeR − λdQLφdR − λuQL(iσyφ )uR + h.c. (2.30) donde QL es el doblete de isosp´ınque contiene los quarks up y down (arriba y abajo)

6 2.3. F´ISICA MAS´ ALLA´ DEL MODELO ESTANDAR´ DE PART´ICULAS ELEMENTALES

izquierdos, σy es una matriz de Pauli. Despu´esde romper espont´aneamente la simetr´ıa, v los fermiones adquieren masa (menos los neutrinos) mf = λf 2 . El acoplamiento λf se le conoce como acoplamiento de Yukawa [43] y se determinan experimentalmente.

2.3. F´ısicam´asall´adel Modelo Est´andarde Part´ıculasEle- mentales

Como hemos mencionado en las secciones previas, el SM de part´ıculaselementales es una de las teor´ıasm´asexitosas, no solo de la f´ısicasino de la ciencia en general. Sin embargo, el SM es muy arbitrario para ser una teor´ıafinal. Por ejemplo, si se desprecia la masa de los neutrinos, existen 20 par´ametroslibres (hay 7 m´assi se considera los neutrinos masivos). Muchos f´ısicoste´oricos de part´ıculaselementales creen que debe de haber nueva f´ısicaa la escala de TeVs. Las complicaciones de SM pueden describirse en algunos de los problemas que enumeramos a continuaci´on.

2.3.1. El problema de la Jerarquia

Muchos caracter´ısticas del SM surgen del mecanismo de Higgs, es procedimiento de generar masas a las part´ıculasobservadas. Sin embargo, solo se ha discutido los c´alculos perturbativos a bajo orden o contribuciones a nivel ´arbol, las correcciones radiativas a la masa de la part´ıculadeben calcularse cuando se consideran correcciones al propagador a un lazo. Si se toma por ejemplo una teor´ıade juguete con un solo fermi´on ψ acoplado a un campo escalar masivo φ, el Lagrangiano es como sigue ¯ µ 2 2 2 ¯ Lφ = iψγµ∂ ψ + |∂µφ| − m |φ| − λf φψψ, (2.31)

se ha supuesto que la simetr´ıase ha roto espont´aneamente y el fermi´onobtiene masa m = λ √v a nivel ´arbol. Para calcular la correcci´ona la masa del fermi´ondentro de f f 2 esta teor´ıade juguete, es necesario considerar la contribuci´onal propagador del fermi´ona un lazo debido a la existencia de la part´ıculaescalar, como se muestra en la Figura (2.4), la masa renormalizada del fermi´ontoma la siguiente forma

(0) mf = mf + δmf , (2.32)

(0) donde m = λ √v , y la correcci´ona la masa depende de la energ´ıade corte de la teor´ıa f f 2 Λ 2 2 ! 3λf mf Λ δmf = − 2 Ln 2 + ... (2.33) 64π mf

7 CAP´ITULO 2. EL MODELO ESTANDAR´ DE PART´ICULAS ELEMENTALES

Figura 2.4: Ejemplos de correcciones a los propagadores; a la izquierda correcci´ona la l´ıneafermi´onicapor una part´ıculaescalar, y a la derecha un lazo fermi´onico.

La correcci´ona la masa fermi´onicadepende expl´ıcitamente de la masa mf del fermi´on. En el l´ımiteque la masa de los fermiones es muy peque˜naaumenta la simetr´ıadel Lagrangiano (2.31), en ese sentido, se suele decir que la masa de los fermiones est´a protegida por la simetr´ıaquiral.

Si se calcula la correcci´onal propagador del campo escalar debido a un lazo fermi´onico, la masa del escalar recibe una correcci´on δmφ, la cual es como sigue

2 ! ! 2 λf 2 2 λ 2 δmφ = − Λ − 6MF Ln + 2mf + ... (2.34) 8π mf la diferencia ahora en esta correcci´onradiativa de la Ec. (2.34) es que se tiene una divergencia cuadr´atica(Λ2). Nada puede proteger la masa de la part´ıculaescalar si las correcciones a su masa son muy grandes. Se dice que si la masa de la part´ıculatiene correcciones de diferente orden de magnitud a los de su masa (a nivel arbol), se tiene un problema de no naturalidad. Algo que podr´ıaresolver este problema es considerar un contra t´erminoque cancele la divergencia cuadr´atica,o bien ajustar la escala de energ´ıa de corte Λ al orden de 1 TeV. Esto es conocido como el problema de la jerarqu´ıay es una de las razones por las que se cree que que debe de haber nueva f´ısicaarriba de la escala de TeVs.

2.3.2. Materia Oscura

Otro indicativo de nueva f´ısicaes la evidencia de materia oscura. La materia oscura se define como una materia indeterminada que no emite o refleja radiaci´onelectromagn´etica. De hecho, la composici´onsubat´omicade la matera oscura se desconoce hasta el momento, de igual forma su interacci´oncon la materia ordinaria. Cuando se calcul´oen 1933 las velocidades orbitales de la galaxia (V´ıaL´actea) y de c´umulos de galaxias, se descubri´o que parte de la masa que se esperaba por c´alculos(predicci´onte´orica)hacia falta, y se denomino el t´erminomateria oscura [28].

Ahora existe mucha m´asevidencia de la existencia de materia oscura [29]. Se cree que apenas el 5 % de toda la materia del Universo es la que esta formada por ´atomos(materia bari´onica),mientras que el 23 % es materia oscura. En la Figura (2.5) se muestra una relaci´onde la materia del Universo en la actualidad, reportada por WMAP ( Wilkinson Microwave Anisotropy Probe por sus siglas en ingl´es),la sonda de la NASA [30].

8 2.3. F´ISICA MAS´ ALLA´ DEL MODELO ESTANDAR´ DE PART´ICULAS ELEMENTALES

Materia Bariónica Materia Oscura Energía Oscura

Figura 2.5: Datos de la sonda WMAP (NASA) del contenido de materia presente en el Universo observable. Apenas un 5 % es materia bari´onica,la que forma los ´atomos,los planetas, las estrellas y galaxias. Un 23 % es materia oscura y un 72 % es energ´ıaoscura. Esta ´ultimano se discute en este trabajo de tesis.

Existen varias opciones para posibles candidatos a materia oscura, la mayor´ıade estas part´ıculasmasivas son predichas por teor´ıasde f´ısicam´asall´adel SM de part´ıculas elementales (BSM por sus siglas en ingl´es).Los llamados WIMPs (por sus siglas en ingl´es, weakly interacting massive particles) son part´ıculascuyas interacciones son ´unicamente v´ıainteracci´ond´ebilo gravitacional. Los WIMPs son predichos b´asicamente por teor´ıas supersim´etricas y teor´ıascon dimensiones extra, aunque en esta tesis solo se estudia el caso en el que surgen de supersimetr´ıa(SUSY). Ejemplos espec´ıficosde WIMPs son el neutralino y el gravitino. Es propicio mencionar que SUSY no solo predice part´ıculas estables que pueden ser candidatos a materia oscura, adem´as,resuelve muchos de los problemas que presenta el SM, como por ejemplo el problema de la jerarqu´ıa.Es por eso que SUSY es una de las extensiones del SM m´asestudiadas por la comunidad de f´ısica de altas energ´ıas.Se presentar´anm´asdetallas de SUSY en los siguientes cap´ıtulosde esta tesis.

9 CAP´ITULO 2. EL MODELO ESTANDAR´ DE PART´ICULAS ELEMENTALES

10 Cap´ıtulo3

Supersimetr´ıay Supergravedad

Supersimetr´ıa(SUSY) [11] es una simetr´ıahipot´eticaque consiste en transformar bosones en fermiones y viceversa, por lo que en modelos supersim´etricosel n´umerode grados de libertad fermi´onicoses igual al bos´onico.En concreto esta fascinante simetr´ıa se jacta de hacer lo siguiente

Q|Bosonesi = |fermionesi,Q|fermionesi = |Bosonesi, (3.1) donde el operador Q debe ser un espinor, y junto a su hermitiano conjugado satisfacen la siguiente ´algebra

† µ {Q, Q } = 2σµP , (3.2) {Q, Q} = {Q†,Q†} = 0 (3.3) {P µ,Q} = {P µ,Q†} = 0. (3.4) donde Pµ es el cuadri-momento generador de la traslaci´onespacio temporal. En el SM, las part´ıculaselementales son representaciones irreducibles del grupo de Poincar´e.Las representaciones irreducibles del ´algebrade SUSY no son part´ıculas, son supermultipletes que contienen campos que pertenecen al SM y sus supercompa˜neros.

3.1. Extensi´onM´ınimaSupersim´etricadel Modelo Est´andar (MSSM)

La extensi´onm´ınimasupersim´etricadel SM (MSSM por sus siglas en ingl´es)respeta la simetr´ıade norma del SM (SU(3)c × SU(2)L × U(1)Y ). Las part´ıculasnecesarias para construir este modelo son las del SM y adem´as,las compa˜nerassupersim´etricasde estas. En la Figura (3.1) se muestra el contenido de part´ıculas del SM y sus compa˜neros supersim´etricos.

Como una consecuencia de la transformaci´onde SUSY, las part´ıculasfermi´onicasdel

11 CAP´ITULO 3. SUPERSIMETR´IA Y SUPERGRAVEDAD

SM deben tener sus compa˜nerossupersim´etricosque son part´ıculasescalares (difieren en su esp´ınpor el valor de 1/2), y las part´ıculasbos´onicasdel SM tienen compa˜neros supersim´etricosque son fermiones. Los compa˜nerosdeben tener la misma masa y los mismos n´umeroscu´anticos de las correspondientes part´ıculasdel SM. Por ejemplo el compa˜nerosupersim´etricodel quark top, el stop debe tener la misma masa que el quark top (∼ 173 GeV) y el stop tiene la misma carga el´ectricadel quark top. Si las part´ıculas compa˜nerassupersim´etricasde las del SM existieran, debieron haber sido detectadas, sin embargo no ha sido as´ı, no hay evidencia experimental. Entonces, si el Universo es supersim´etrico,SUSY debe de estar rota.

Supercampo SM super compa˜nero ! ! ˆ ul u˜l Q ˜ dL dL ˆ ∗ U u¯R u˜R ˆ ˆ ˜∗ D dR dR ! ! ν ν˜ Lˆ l l eL e˜L ˆ ∗ E e¯R e˜R Gˆa ga g˜a Wˆ i W i w˜i Bˆ B ˜b +! ˜ +! ˆ Hu Hu Hu 0 ˜ 0 Hu Hu 0 ! ˜ 0 ! ˆ Hd Hd Hd − ˜ − Hd Hd

Tabla 3.1: Contenido de part´ıculasdel MSSM. La primera columna representa el super multiplete quiral del MSSM. En esta tabla solo se muestra la primera generaci´onde los fermiones del SM, pero es impl´ıcitala existencia de las otras dos generaciones. Tambi´ense muestran los bosones de norma del SM y en la ´ultimacolumna sus respectivos compa˜neros supersim´etricos.

Para crear componentes fermi´onicas izquierdas del super campo, las cuales son importantes para la generaci´onde masa de las part´ıculasdel SM, es necesario agregar otro doblete de Higgs en el Lagrangiano supersim´etrico.Entonces, el MSSM tienen dos ˜ ˜ dobletes de Higgs; Hu y Hd. El super potencial m´asgeneral es el siguiente [32]

¯ˆ ˆ ˆ ¯ˆ ˆ ˆ ¯ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ W = yuUQHu − ydDQHd − yeELHd + µHuHd, (3.5)

en el potencial de la Ec. (3.5) se han omitido los ´ındicesde familia. Una nueva simetr´ıa se impone al MSSM, la llamada Paridad-R

3(B−L)+2s PR = (−1) (3.6)

12 3.2. SUPERGRAVEDAD donde B y L es el n´umerolept´onicoy bari´onico, s es el esp´ınde la part´ıculay PR es la cantidad cu´antica conservada. Los t´erminosdel Lagrangiano son permitidos si el producto PR de todos los campos de ese t´erminoresulta ser PR = +1, lo que es cierto para cada t´erminodel potencial de la Ec. (3.5). Las part´ıculasdel SM tienen PR = +1, pero los supercompa˜nerostienen PR = −1. Una de las implicaciones de esta simetr´ıadiscreta se aprecia al considerar los v´ertices del MSSM, ya que estos tienen n´umeropar de super part´ıculas,es decir estas siempre se producen en pares. Esto nos indica que la part´ıcula supersim´etricam´asligera (LSP por sus siglas en ingl´es)debe ser estable y por lo tanto es un buen candidato de materia oscura. Imponiendo la simetr´ıaParidad-R al MSSM se obtiene una soluci´onnatural para el problema de materia oscura que posee el SM.

Figura 3.1: A la izquierda se muestra el contenido de part´ıculasdel SM y a la derecha las part´ıculashipot´eticas (con v´ırgulasobre la letra que las etiqueta) que predice SUSY. Imagen tomada de [31].

Uno de los posibles candidatos para la part´ıculasupersim´etricasm´asligeras (LSP) es el gravitino, el compa˜nerosupersim´etricodel gravit´on.En esta tesis solo consideramos los escenarios donde el gravitino es el LSP. En los siguientes cap´ıtulosse hace una introducci´ona transformaciones supersim´etricaslocales, lo que genera una teor´ıaconocida como Supergravedad, debido a que esta incluye la relatividad general de Einstein.

3.2. Supergravedad

3.2.1. Modelo de Wess-Zumino

Comparado con la supersimetr´ıaglobal, una de las caracter´ısticasde la supersimetr´ıa local es la existencia de un campo de norma, el cual es llamado gravitino. Como en el

13 CAP´ITULO 3. SUPERSIMETR´IA Y SUPERGRAVEDAD caso de teor´ıasde norma ordinarias, el gravitino se acopla a la corriente de Noether de supersimetr´ıay mantiene la invarianza bajo transformaciones supersim´etricaslocales. En esta secci´on,se revisa brevemente el papel del gravitino en la teor´ıacon supersimetr´ıa local utilizando el modelo sin interacciones de Wess-Zumino (WZ) [33], el cual es el m´as simple.

Comenzando por el caso global, el cual tiene un Lagrangiano con ´unicamente dos t´erminos,el t´erminocin´eticodel campo bos´onicoescalar φ y el otro es el referente al campo fermi´onicoquiral χ, el Lagrangiano de WZ es como sigue

µ ∗ µ LWZ = ∂µφ∂ φ − iχσ¯ ∂µχ. (3.7)

La transformaci´oninfinitesimal del campo escalar la consideraremos proporcional a un par´ametro ξ, el cual es complejo e infinitesimal de igual forma se considera que es independiente de las coordenadas espacio temporales, es decir | ξ | 1 y ∂µξ = 0. Definimos que la variaci´ondel campo escalar complejo φ es proporcional al espinor χ, lo cual es la idea general de la supersimetr´ıa

φ → φ0 = φ + δφ con δφ ' ξχ. (3.8)

Otras condiciones requeridas para la transformaci´on(3.8) son que el producto del par´ametro ξ con el espinor χ deben tener la misma transformaci´onde Lorentz que el campo φ, lo cual demanda que el par´ametro ξ sea tambi´enun espinor. Por otro lado el campo φ tiene dimensi´onuno (exponente de la masa) por lo que el producto ξ · χ tambi´en debe tener la misma dimensi´on,se sabe que el espinor χ tiene dimensi´on3/2, por lo que la dimensi´ondel par´ametrode la transformaci´onsupersim´etrica[ξ] debe cumplir 3 1 [ξ] + 2 = 1, es decir [ξ] = − 2 . Con un an´alisissimilar al de la transformaci´oninfinitesimal del campo φ, abordaremos la transformaci´ondel campo χ, la cual debe ser proporcional al par´ametro infinitesimal ξ veces el campo φ, se puede proponer que la transformaci´onsea de la forma δχ ' ξφ en analog´ıaal de la Ec. (3.8) pero presenta problemas con las dimensiones, aunque transforme igual bajo Lorentz, es necesario aumentar la dimensi´onal lado derecha, vemos que una buena opci´onseria agregar una derivada δχ ' ξ∂µφ, el precio a pagar si se quiere tener esta transformaci´ones que se rompe la invariancia ante las transformaciones de Lorentz ya que hay un ´ındicelibre, debemos salvar la invariancia agregando un t´erminoque sea µ µ de dimensi´oncero, una buena opci´ones σ (σ = (12, ~σ)), dejando la transformaci´on µ para el espinor δχ ' ξσ (∂µφ). En la siguiente subsecci´on,mostraremos que el Lagrangiano de WZ Ec. (3.7) es invariante ante las siguientes transformaciones globales: √ δφ = 2ξχ, (3.9) √ ν ¯ δχ = −i 2σ ξ(∂νφ). (3.10)

14 3.2. SUPERGRAVEDAD

3.2.2. Invariancia del modelo WZ bajo transformaciones supersim´etri- cas globales

En esta secci´onse muestra que el Lagrangiano WZ es invariante ante las transforma- ciones globales ecuaciones (3.9) y (3.10), sobreviven t´erminosen derivadas totales pero bajo la acci´onestos son t´erminosde borde que se anulan. Variando el Lagrangiano de la Ec. (3.7) respecto a los campos φ y χ, se tiene la siguiente expresi´on

µ ∗ µ ∗ µ µ δLWZ = (∂µδφ)∂ φ + ∂µφ(∂ δφ ) + i(δχ¯)¯σ ∂µχ + iχ¯σ¯ (∂µδχ), (3.11) notamos en la ecuaci´on(3.11), que se debe encontrar δφ∗ y δχ¯, las cuales se deducen de las expresiones que vienen en las ecuaciones (3.9) (3.10), estas son como sigue √ δφ∗ = 2¯χξ¯, (3.12) √ ν ∗ δχ¯ = i 2ξσ (∂νφ ), (3.13) sustituyendo las ecuaciones (3.9,3.10) y (3.12,3.13) en la ecuaci´on(3.11), obtenemos la siguiente expresi´on √  µ ∗ µ ¯ δLWZ = 2 ξ(∂µχ)(∂ φ ) + (∂µφ)(∂ χ¯)ξ ν ∗ µ µ ν ¯  − ξσ (∂νφ )¯σ (∂µχ) +χ ¯σ¯ σ ξ∂ν∂µφ (3.14) √  µ ∗ ν ∗ µ
= 2 ξ (∂µχ)(∂ φ ) − σ (∂νφ )¯σ (∂µχ) µ µ ν
¯ + (∂µφ)(∂ χ¯) +χ ¯σ¯ σ ∂ν∂µφ ξ . (3.15)

Si el lagrangiano (3.7) es invariante ante el conjunto de transformaciones (3.9,3.10,3.12,3.13), entonces la ecuaci´on(3.14) debe ser nula. Se han agrupado t´erminosen la ecuaci´on(3.14) de tal forma que se vea explicitamente como estos se pueden cancelar, posteriormente debemos expresarlos en t´erminos de derivadas totales. Haciendo el ´algebrapor separado para el factor de ξ, encontramos que lo siguiente

µ ∗ µ ∗ µ ∗ ∂µ(χ∂ φ ) = (∂µχ)(∂ φ ) + χ∂µ∂ φ µ ∗ µ ∗ µ ∗ (∂µχ)(∂ φ ) = ∂µ(χ∂ φ ) − χ∂µ∂ φ , (3.16) de igual forma el segundo t´erminodel factor ξ es como sigue:

ν ∗ µ ν µ ∗ ∂µ(σ (∂νφ )¯σ χ) = ∂µ(σ σ¯ (∂νφ )χ) ν µ ∗ ν µ ∗ = σ σ¯ (∂µ∂νφ )χ + σ σ¯ (∂νφ )(∂µχ) ν µ ∗ ν µ ∗ ν µ ∗ σ σ¯ (∂νφ )(∂µχ) = ∂µ(σ σ¯ (∂νφ )χ) − σ σ¯ (∂µ∂νφ )χ. (3.17)

Hemos expresado los dos t´erminosdel factor de ξ como funci´onde una derivada total m´asotro t´erminoque es el que sobrevive, al sumar las expresiones (3.16) y (3.17) deben

15 CAP´ITULO 3. SUPERSIMETR´IA Y SUPERGRAVEDAD cancelarse los t´erminos, esto es como sigue

µ ∗ ν µ ∗ µ ∗ νµ µ ν ∗ −χ∂µ∂ φ + σ σ¯ (∂µ∂νφ )χ = −χ∂µ∂ φ + (2η − σ σ¯ )(∂µ∂νφ )χ, µ ∗ µ ∗ µ ν ∗ = −χ∂µ∂ φ + 2χ∂µ∂ φ − σ σ¯ (∂µ∂νφ )χ µ ∗ µ ν ∗ = χ∂µ∂ φ − σ σ¯ (∂µ∂νφ ) χ | {z } µ↔ν µ ∗ ν µ ∗ = χ∂µ∂ φ − σ σ¯ (∂µ∂νφ )χ = 0. (3.18)

En el resultado de la ecuaci´on(3.18) ya no se consideraron las derivadas totales y se ha usado la identidad σµσ¯ν + σνσ¯µ = 2ηµν, posteriormente se cambio de etiqueta debido a la simetr´ıade las derivadas, de tal forma que el factor de ξ en la ecuaci´on(3.14) resulta finalmente cero, esto debido a como sabemos de nuestros cursos de ´algebra, A = −A → A = 0. Procediendo de forma similar, se mostrar´aque el factor de ξ¯ en la ecuaci´on(3.14) tambi´ense cancela. El primer t´erminoes como sigue

µ µ µ ∂µ((∂ φ)¯χ) = (∂µ∂ φ)¯χ + (∂ φ)(∂µχ¯) µ µ µ (∂ φ)(∂µχ¯) = ∂µ((∂ φ)¯χ) − (∂µ∂ φ)¯χ. (3.19)

Para el segundo t´erminodel factor de ξ¯ en la ecuaci´on(3.14) ´unicamente utilizamos la ν µ ∗ µ ∗ identidad σ σ¯ (∂µ∂νφ ) = ∂µ∂ φ , la cual viene de Ec. (3.14). Al sumar los t´erminos encontramos lo siguiente

µ µ ν µ µ (∂µφ)(∂ χ¯) +χ ¯σ¯ σ ∂ν∂µφ = −(∂µ∂ φ)¯χ + (∂µ∂ φ)¯χ = 0. (3.20)

Hemos mostrado que el Lagrangiano de WZ es invariante ante las transformaciones supersim´etricasglobales de las ecuaciones (3.9,3.10,3.12,3.13). En la siguiente secci´on promovemos las transformaciones supersim´etricasglobales a locales, y veremos que esto implica que la teor´ıacontiene gravedad.

3.2.3. Invariancia del modelo WZ bajo transformaciones supersim´etri- cas locales

Al igual que QED, al promover una simetr´ıaglobal a una local da origen a campos de norma, veremos que el campo de norma asociado a la transoformaci´onsupersim´etricalocal es un campo de sp´ın-3/2 (contiene grados de libertad de un espinoriales y vectoriales), el gravitino, y este a la vez es el super compa˜nerodel gravit´on[34]. El par´ametrolibre ξ de la Ec. (3.8) ahora es funci´ondel espacio tiempo ξ(x), aunque siempre es considerado infinitesimal, como consecuencia se pierde la invariancia del Lagrangiano (3.7), lo que se mostrar´acon m´asdetalle. Si partimos de la ecuaci´on(3.11) debemos considerar que ahora ∂µξ(x) 6= 0. Calculado por separado las derivadas de las variaciones de los campos

16 3.2. SUPERGRAVEDAD

(3.9,3.10,3.12), tenemos las siguientes expresiones √ √ ∂µ(δφ) = ∂µ( 2ξχ) = 2((∂µξ)χ + ξ(∂µχ)), (3.21) √ √ ∂µ(δφ∗) = ∂µ( 2¯χξ¯) = 2((∂µχ¯)ξ¯ +χ ¯(∂µξ¯)), (3.22) √ √ ν ¯ ν ¯ ν ¯ ∂µ(δχ) = ∂µ(−i 2σ ξ(∂νφ)) = −i 2(σ (∂µξ)(∂νφ) + σ ξ(∂µ∂νφ)), (3.23)

dejando la variaci´ondel lagrangiano WZ como sigue √ µ ∗ µ ¯ µ¯ δLWZ = 2 ((∂µξ)χ + ξ(∂µχ))∂ φ + ∂µφ((∂ χ¯)ξ +χ ¯(∂ ξ)) ν ∗ µ µ ν ¯ ν ¯ + i(iξσ (∂νφ ))¯σ ∂µχ + i(−i)¯χσ¯ (σ (∂µξ)(∂νφ) + σ ξ(∂µ∂νφ)) √ µ ∗ µ ∗ µ ¯ µ¯ = 2 (∂µξ)χ(∂ φ ) + ξ(∂µχ)(∂ φ ) + (∂µφ)(∂ χ¯)ξ + (∂µφ)¯χ(∂ ξ) | {z } | {z } I II ν ∗ µ µ ν ¯ µ ν ¯
− ξσ (∂νφ )¯σ (∂µχ) +χ ¯σ¯ σ (∂µξ)(∂νφ) +χ ¯σ¯ σ ξ(∂µ∂νφ) . (3.24) | {z } | {z } III IV Es conveniente expresar los t´erminosde la Ec.(3.24) como funci´onde derivadas totales y desarrollarlos por separado.

El t´erminoI:

µ ∗ µ ∗ µ ∗ µ ∗ ∂µ(ξχ(∂ φ )) = (∂µξ)χ(∂ φ ) + ξ(∂µχ)(∂ φ ) + ξχ(∂µ∂ φ ) µ ∗ µ ∗ µ ∗ µ ∗ (∂µξ)χ(∂ φ ) + ξ(∂µχ)(∂ φ ) = ∂µ(ξχ(∂ φ )) − ξχ(∂µ∂ φ ). (3.25)

El t´erminoII: µ ¯ µ ¯ µ ¯ µ¯ ∂ ((∂µφ)¯χξ) = (∂ ∂µφ)¯χξ + (∂µφ)(∂ χ¯)ξ + (∂µφ)¯χ(∂ ξ) µ ¯ µ¯ µ ¯ µ ¯ (∂µφ)(∂ χ¯)ξ + (∂µφ)¯χ(∂ ξ) = ∂ ((∂µφ)¯χξ) − (∂ ∂µφ)¯χξ. (3.26)

El t´erminoIII:

ν ∗ µ ν µ ∗ ν ∗ µ ∂µ(ξσ (∂νφ )¯σ χ) = (∂µξ)σ σ¯ χ(∂νφ ) + ξσ (∂µ∂νφ )¯σ χ ν ∗ µ + ξσ (∂νφ )¯σ (∂µχ), despejando ν ∗ µ ν µ ∗ ν ∗ µ ξσ (∂νφ )¯σ (∂µχ) = ξσ σ¯ (∂νφ )(∂µχ) = ∂µ(ξσ (∂νφ )¯σ χ) ν ∗ µ ν µ ∗ − ξσ (∂µ∂νφ )¯σ χ − (∂µξ)σ σ¯ χ(∂νφ ). (3.27)

El t´erminoIV: µ ν ¯ µ ν ¯ µ ν ¯ ∂µ(¯χσ¯ σ ξ(∂νφ)) = (∂µχ¯)¯σ σ ξ(∂νφ) +χ ¯σ¯ σ (∂µξ)(∂νφ) µ ν ¯ +χ ¯σ¯ σ ξ(∂µ∂νφ) µ ν ¯ µ ν ¯ µ ν ¯ µ ν ¯ χ¯σ¯ σ (∂µξ)(∂νφ) +χ ¯σ¯ σ ξ(∂µ∂νφ) = ∂µ(¯χσ¯ σ ξ(∂νφ)) − (∂µχ¯)¯σ σ ξ(∂νφ). (3.28)

17 CAP´ITULO 3. SUPERSIMETR´IA Y SUPERGRAVEDAD

Sustituyendo I, II, III y IV en la ecuaci´on(3.24) obtenemos: √ µ ∗ µ ∗ µ ¯ µ ¯ δLWZ = 2 ∂µ(ξχ(∂ φ )) − ξχ(∂µ∂ φ ) + ∂ ((∂µφ)¯χξ) − (∂ ∂µφ)¯χξ ν µ ∗ ν µ ∗ ν µ ∗ − ∂µ(ξσ σ¯ (∂νφ )χ) + ξσ σ¯ (∂µ∂νφ )χ + (∂µξ)σ σ¯ χ(∂νφ ) µ ν ¯ µ ν ¯
+ ∂µ(¯χσ¯ σ ξ(∂νφ)) − (∂µχ¯)¯σ σ ξ(∂νφ) . (3.29)

Todos los t´erminoscon derivada total son de borde cuando integramos por partes la variaci´onde la acci´on,vamos a quitar esos t´erminosen la ecuaci´on(3.29), dejando finalmente el siguiente resultado √ µ ∗ µ ¯ ν µ ∗ δLWZ = 2 − ξχ(∂µ∂ φ ) − (∂ ∂µφ)¯χξ + ξσ σ¯ (∂µ∂νφ )χ ν µ ∗ µ ν ¯
+ (∂µξ)σ σ¯ χ(∂νφ ) − (∂µχ¯)¯σ σ ξ(∂νφ) . (3.30)

µ En la ecuaci´on(3.30) es posible utilizar la condici´onde capa de masa ∂µ∂ φ = φ = 0, lo que simplifica todav´ıam´asel resultado √ ν µ ∗ µ ν ¯
δLWZ = 2 (∂µξ)σ σ¯ χ(∂νφ ) − (∂µχ¯)¯σ σ ξ(∂νφ) , (3.31)

es conveniente reescribir el segundo t´ermino (derecha) de la ecuaci´on(3.31), de manera que quede una derivada de ξ¯. µ ν ¯ µ ν ¯ µ ν ¯ µ ν ¯ (∂µχ¯)¯σ σ ξ(∂νφ) = ∂µ(¯χσ¯ σ ξ(∂νφ)) − χ¯σ¯ σ (∂µξ)(∂νφ) − χ¯σ¯ σ ξ(∂µ∂νφ), (3.32)

donde el primer y ´ultimot´erminodel lado derecho de la ecuaci´on(3.32) son cero. Considerando el resultado Ec. (3.32) en la ecuaci´on(3.30) obtenemos √ ν µ ∗ µ ν ¯
δLWZ = 2 (∂µξ)σ σ¯ χ(∂νφ ) +χ ¯σ¯ σ (∂µξ)(∂νφ) µ ¯µ ¯ = i(∂µξ)J − iJ (∂µξ), (3.33)

en la ecuaci´on(3.33) hemos definido

µ √ ν µ ∗ J = −i 2σ σ¯ χ(∂νφ ), (3.34)

y su herm´ıticaconjugada √ ¯µ µ ν J = i 2¯χσ¯ σ (∂νφ). (3.35)

Se observa que δLWZ 6= 0, es decir el lagrangiano WZ no es invariante ante transforma- ciones locales.

µ La corriente Ec. (3.34) es la supercorriente de Noether, es decir cumple ∂µJ = 0. Para poder mantener la invarianza, se introduce el campo de norma ψµ. Como en el caso de teor´ıasde norma ordinaria, el campo de norma ψµ se acopla a la supercorriente de la siguiente forma i L = − G ψ J µ + h.c. , (3.36) ψJ 2 S µ

18 3.2. SUPERGRAVEDAD donde GS es la constante de acoplamiento. Variando la ecuaci´on(3.36), se obtiene i δL = − G [(δψ )J µ + ψ (δJ µ)] + h.c. (3.37) ψJ 2 S µ µ

Si el campo ψµ transforma como 2 δψµ ∼ ∂νξ, (3.38) GS el primer t´erminode la ecuaci´on(3.37) cancela la contribuci´onde la ecuaci´on(3.33). Con- siderando el segundo t´erminode la ecuaci´on(3.37), la transformaci´onde la supercorriente µ ν J genera el tensor de energ´ıa-momento Tµ del multiplete quiral (φ, χ) ¯ µ ν µ {Qα˙ ,Jα } = −2σαα˙ Tν , (3.39) α ¯µα˙ ναα˙ µ {Q , J } = −2¯σ Tν , (3.40) (3.41) donde Q y Q¯ son los generadores de la transformaci´onsupersim´etrica.El segundo t´ermino de la ecuaci´on(3.37) se convierte en

i i G [ψ (δJ µ)] + h.c. = G [ψ σ ξ¯ + ψ σ ξ¯ + ψ¯ σ¯ ξ + ψ¯ σ¯ ξ]T µν. (3.42) 2 S µ 2 S µ ν ν µ µ ν ν µ Para cancelar estos t´erminos, el Lagrangiano (3.7) se reescribe de tal forma que el tensor m´etricose vea expl´ıcitamente

√ µ ν ∗ µ ν LWZ → −ggµν(∂ φ∂ φ + iχ¯σ¯ ∂ χ), (3.43) donde g = det(gµν), y utilizando el hecho que la m´etrica es el campo de norma asociado con el tensor de energ´ıamomento (que es la corriente de Noether de la traslaci´onespacio- ν temporal), esto es, el tensor de energ´ıa-momento Tµ se obtiene si uno varia el Lagrangiano con respecto a gµν

∂L WZ ∼ 2T . (3.44) ∂gµν µν

Entonces, el tensor m´etrico gµν (gravit´on)puede ser considerado como el compa˜nero supersim´etricodel gravitino ψµ, y la ley de su transformaci´ones determinada de tal forma que la invariancia de la supersimetr´ıalocal es preservada

∂LWZ i ¯ ¯ ¯ ¯ µν δgµν = GS[ψµσνξ + ψνσµξ + ψµσ¯νξ + ψνσ¯µξ]T . (3.45) ∂gµν 2

Combinando la ecuaci´on(3.44) y (3.45), se obtiene la ley de transformaci´ondel tensor m´etrico  ¯ ¯ ¯ ¯  δgµν ∼ −iGS ψµσνξ + ψνσµξ + ψµσ¯νξ + ψνσ¯µξ . (3.46) Como hemos visto, si se extiende la supersimetr´ıaglobal a una local, el tensor m´etrico

19 CAP´ITULO 3. SUPERSIMETR´IA Y SUPERGRAVEDAD gµν aparece autom´aticamente en la teor´ıa,y por lo tanto debemos considerar gravedad. Esta es la raz´onpor la que la supersimetr´ıalocal es llamada supergravedad.

En la siguiente secci´onse muestran los t´erminosdel Lagrangiano de SUGRA [34] correspondientes a las interacciones del gravitino con las part´ıculasdel MSSM. Adem´as, se presenta el caso en el que el gravitino es muy ligero, en cuyo limite es posible expresar un Lagrangiano efectivo que permite obtener reglas de Feynman mucho m´assimples que el caso con el gravitino completo.

3.3. El Gravitino

3.3.1. Super Mecanismo de Higgs

Como vimos en la secci´onanterior, las teor´ıassupersim´etricasque son invariantes bajo transformaciones locales se llaman supergravedad [34]. En este tipo de teor´ıas,el gravitino tiene esp´ın-3/2y como mencionamos anteriormente, es el compa˜nerosupersim´etricodel gravit´on.

En la Secci´on3.2.3 mostramos que las transformaciones supersim´etricasdeben incluir gravedad. En el MSSM los super multipletes quirales contienen los fermiones del SM y sus super compa˜neros,los super multipletes vectoriales contienen los bosones de norma y los gauginos (compa˜nerossupersim´etricos).Pero cuando se considera supergravedad, la teor´ıa incluye un super multiplete de gravedad, que contiene al gravit´ony al gravitino (gµν, ψµ). Cuando SUSY no se ha roto, el gravitino no tiene masa, este adquiere masa cuando absorbe el goldstino. Este mecanismo de adquirir masa es muy parecido al mecanismo de Higgs del SM, por lo que se le conoce como super-mecanismo de Higgs. La masa del gravitino depende de como se rompe SUSY. La masa del gravitino (m˜ ) se puede estimar por an´alisisdimensional, si se considera el vev hF i del campo escalar responsable de romper SUSY, se estima que la masa del gravitino es la siguiente

hF i m˜ ∼ , (3.47) MP l

3.3.2. Interacciones con el gravitino

En esta secci´onse discute las reglas de Feynman para las interacciones del gravitino cuando este aparece como un campo externo (en capa de masa). Los t´erminosde interacci´onm´asrelevantes del Lagrangiano completo de SUGRA vienen del acoplamiento entre el gravitino y la supercorriente, en notaci´onde componentes y en espacio tiempo plano, los t´erminosson los siguientes [35] 1 1 L = −√ D˜ φ∗iψ γνγµχi − √ D˜ φiχi γµγνψ ψJ 2M ν µ R 2M ν L µ i − ψ [γν, γρ]γµλ(a)F (a). (3.48) 8M µ νρ

20 3.3. EL GRAVITINO

A partir del Lagrangiano (3.48) es posible construir las reglas de Feynman para las interacciones del gravitino ψµ con los campos de materia. En la secci´onde Fenomenolog´ıa del gravitino se muestran las reglas de Feynman de forma explicita, de igual forma se presentan en la misma secci´onalgunos c´alculosperturbativos con el gravitino en el estado final, que es justamente uno de los principales intereses de esta tesis.

3.3.3. Lagrangiano Efectivo para gravitinos ligeros

En modelos con supersimetr´ıarota, los gravitinos sin masa adquieren masa absorbiendo un goldstino. Cuando el gravitino no tiene masa solo tiene los dos modos correspondientes a las helicidades ±3/2, el goldstino provee los modos de helicidad ±1/2 y justo estos nuevos modos del gravitino se comportan como un goldstino. De hecho cuando la masa del gravitino (m˜ ) es mucho m´aspeque˜naque la diferencia entre los fermiones y los bosones en el multiplete quiral, el gravitino se comporta ´unicamente como el goldstino y se puede obtener un Lagrangiano efectivo para el goldstino. En esta secci´onse derivan las reglas de Feynman para el goldstino [36, 37, 38, 39, 40, 41, 42].

Cuando la energ´ıadel centro de masa es mucho m´asgrande que la masa del gravi- 1 tino (s  m˜ ), la funci´onde onda del gravitino con helicidad ± 2 es aproximadamente pµ 1 proporcional a m˜ . Para este caso, las componentes del gravitino con helicidad ± 2 .

r2 1 ψ ∼ i ∂ ψ, (3.49) µ 3 m˜ µ

1 donde ψ es el goldstino (fermi´onde esp´ın- 2 ). Si se sustituye la expresi´onde la Ec. (3.49) en el Lagrangiano de la Ec. (3.48), se obtiene el siguiente Lagrangiano efectivo

i(m2 − m2 ) −im L = √φ χ (ψχ )φ∗ + √ λ ψ[γµ, γν]λ(a)F (a) + h.c. (3.50) eff 3mM ˜ R 8 6mM ˜ µν En el siguiente cap´ıtulose introduce el formalismo de helicidad, dicho formalismo facilita y acelera el c´alculode las amplitudes de dispersi´on,hace todo el proceso mucho m´as eficiente que los m´etodos tradicionales, permitiendo evaluar tiempos de vida media de part´ıculasinestables o bien secciones diferenciales de corte en escenarios con multiples part´ıculasen el estado final. En el caso de SUGRA, donde el gravitino puede figurar como LSP y por ende un buen candidato a materia oscura, calcular observables con la tecnolog´ıade trazas hace muy engorroso todo el trabajo, y los resultados no tienen una interpretaci´ondirecta, a menos que se realice un an´alisisnum´ericode dichos resultados. Adem´as,el formalismo de helicidad permite expresar las amplitudes de dispersi´onen t´erminosde los datos externos, y los resultados se presentan de una manera muy practica y amigable, incluso permitiendo encontrar nuevas interpretaciones para esta cantidad f´ısica.

21 CAP´ITULO 3. SUPERSIMETR´IA Y SUPERGRAVEDAD

22 Cap´ıtulo4

T´ecnicasPerturbativas Modernas

4.1. Motivaci´onpara mejorar las t´ecnicasperturbativos tradicionales

Los experimentos de dispersi´onson cruciales para entender los bloques fundamentales de la naturaleza. El SM de part´ıculaselementales fue desarrollado gracias a las predicciones te´oricas,pero de igual forma con experimentos de dispersi´on,por mencionar algunos de sus logros tenemos; el descubrimiento de los bosones de norma W ± y Z0, los quarks y gluones y recientemente el Boson de Higgs. El principal observable en los experimentos dσ de dispersi´ones la secci´ondiferencial de corte dΩ [43, 44], la cual depende de las energ´ıas y momentos de las part´ıculasinvolucradas en el proceso, as´ıcomo de los ´angulosde las part´ıculasdispersadas. La interpretaci´onde los datos que resultan de los experimentos de dispersi´onse basa en las predicciones te´oricas de las secciones de corte, las cuales son calculadas utilizando la teor´ıacu´antica de campos, hasta el momento el mejor lenguaje matem´aticopara describir las part´ıculaselementales y sus interacciones. B´asicamente QFT combina la teor´ıade la relatividad especial con la mec´anicacu´antica. Se encuentra muy bien probado (experimentalmente) que QFT describe las part´ıculaselementales y las fuerzas fundamentales de la naturaleza. La secci´ondiferencial de corte que es la que conecta la teor´ıacon el experimento es proporcional al m´odulo cuadrado de la amplitud de dispersi´on,esto es como sigue dσ ∝ |A|2, (4.1) dΩ as´ıcomo en mec´anicacu´antica la probabilidad de distribuci´onpara una part´ıculaviene dada por la norma al cuadrado de la funci´onde onda |ψ|2 = ψ∗ψ.

Uno puede pensar que despu´es de m´as50 a˜nosde utilizar los m´etodos tradicionales de QFT no hay ninguna novedad en las t´ecnicas para calcular amplitudes de dispersi´on, sobre todo con aquellas que involucran muchas part´ıculasen el estado final. Hoy en d´ıatenemos programas que ayudan a calcular las amplitudes de dispersi´onde forma num´erica, con programas automatizados que se basan en los m´etodos tradicionales (MadGraph, Form, FeynRules y FeynCalc, entre otros), algunos incluso de forma anal´ıtica.

23 CAP´ITULO 4. TECNICAS´ PERTURBATIVAS MODERNAS

Estos programas son sin duda de gran ayuda para predecir observables f´ısicos que luego se testean experimentalmente. Para apreciar el formalismo de helicidad que se introducir´acon mayor detalle posteriormente, consideremos el siguiente ejemplo; dada una teor´ıa de Yang - Mills pura, se quiere calcular la amplitud a nivel ´arbol de 5- gluones, 2 de los 10 diagramas de Feynman son los siguientes el v´erticeviene dado por

Figura 4.1: Diagramas a 5 puntos

abc V3−g = g f [(p1 − p2)ρηµν + (p2 − p3)µηνρ + (p3 − p1)νηρµ], donde g es la constante de acoplamiento y f abc es la constante de estructura del grupo SU(3). En este caso, se muestra en la Figura (4.2) parte del resultado del m´odulocuadrado y promediado de la amplitud, que fue calculado a fuerza bruta con la ayuda de un super computador

Figura 4.2: Parte del resultado de la amplitud a nivel ´arbol de 5-gluones, (Imagen tomada de la platica impartida por Zvi Bern (UCLA) en la escuela, “QCD and LHC Physics”, ICTP SAIFR 2015).

El resultado es enorme, a pesar que ´unicamente se muestra una parte del resultado

24 4.2. FORMALISMO DE HELICIDAD completo, ¿Que pasar´ıasi se requiriera calcular la amplitud con 6-gluones, o m´as?,¿Ser´a posible calcular la amplitud para n-gluones? No cabe duda que para contestar estas preguntas se requiere implementar nuevas herramientas de c´alculo,tomar lo mejor de los m´etodos tradicionales de QFT y complementar estos con herramientas m´asmodernas, las cuales incluso han permitido visualizar nuevas estructuras matem´aticassubyacentes en las amplitudes dispersi´on.Las amplitudes de dispersi´on A tienen una gran relevancia f´ısicapor el papel que juegan para las secciones de corte, sin embargo en a˜nosrecientes se ha visto que las amplitudes en si mismas tienen una interesante estructura matem´atica, entender esta estructura puede guiarnos hacia m´etodos m´aseficientes para calcular las amplitudes.

4.2. Formalismo de Helicidad

El formalismo de helicidad es basado en la siguiente observaci´on: Campos de esp´ın-1 1 1 transforman en la representaci´on ( 2 , 2 ) del grupo de Lorentz (Rep. Vectorial) [43, 44, 45, 46]. Podemos expresar el cuadri-momento de cualquier part´ıculacomo un bi-espinor; pµ → paa˙ . Por simplicidad en esta secci´onsolo se considera part´ıculasno masivas, o lo que es equivalente f´ısicamente a considerar la energ´ıade colisi´onmucho mayor a la masa de las part´ıculas.Sin embargo, la tecnolog´ıaen el caso masivo se extrapola f´acilmente. Consideremos dos cuadri-momentos, tal que cumplan lo siguiente

2 k0 = 0, (4.2) 2 k1 = −1, (4.3)

k0 · k1 = 0. (4.4)

Los espinores de Dirac (4 componentes) cumplen las siguientes relaciones

k/0u−(k0) = 0, (4.5)

γ5u−(k0) = −u−(k0), (4.6)

u+(k0) = k/1u−(k0), (4.7) 1 + λγ  u (k )¯u (k ) = 5 k/ ∀ λ = ±1, (4.8) λ 0 λ 0 2 0

pu/ −λ(k0) 2 uλ(p) = √ , p = 0, (4.9) 2p · k0   1+λγ5 donde (4.9) satisface la ecuaci´onde Dirac pu/ λ(p) = 0, adem´as uλ(p)u¯λ(p) = 2 p/ µ 2 para pµp = p = 0.

25 CAP´ITULO 4. TECNICAS´ PERTURBATIVAS MODERNAS

4.2.1. Producto de Espinores (Definiciones)

Definimos los siguientes productos de espinores con una nueva notaci´onque ayudar´a a simplificar las cuentas posteriormente, estos toman la siguiente forma

hiji =u ¯−(ki)u+(kj), (4.10)

[ij] =u ¯+(ki)u−(kj). (4.11)

Las ecuaciones (4.10,4.11) cumplen las siguientes propiedades de antisimetr´ıa

hiji = −hjii, (4.12) [ij] = −[ji], (4.13)

Considerando a k0 y k1 como cuadri-momentos reales, se cumplen las siguientes propie- dades

hiji∗ = [ji], (4.14) 2 2 hiji[ji] = 2ki · kj, ki = 0 y kj = 0. (4.15)

Para una mejor comprensi´ony ver estas nueva notaci´onen acci´on,es valioso y determi- nante realizar algunos ejemplos y demostraciones o pruebas. En la siguiente subsecci´on se ver´ala equivalencia entre el formalismo de helicidad y el usualmente usado m´etodo de trazas o tecnolog´ıade trazas.

Ejemplo Num´erico

Consideremos el caso en el que se tienen los siguientes cuadri-momentos

k0 = (1, 1, 0, 0), (4.16)

k1 = (0, 0, 1, 0), (4.17) 0 1 2 3 ki = (ki , ki , ki , ki ), (4.18) 0 1 2 3 kj = (kj , kj , kj , kj ). (4.19)

Calculando explicitamente la Ec. (4.10) se obtiene lo siguiente

v v u 0 1 u 0 1 uki − ki 2 3 ukj − kj 2 3 hiji = t 0 1 (kj + ikj ) − t 0 1 (ki + iki ), (4.20) kj − kj ki − ki vemos que como resultado se tiene una expresi´oncuyo producto de espinores hiji depende ´unicamente de las componentes de los cuadri-momentos.

26 4.2. FORMALISMO DE HELICIDAD

Prueba de la ecuaci´on (4.15)

Partiendo de las ecuaciones (4.10,4.11) y utilizando la relaci´on(4.8) se demuestra la Ec. (4.15)

hiji[ji] =u ¯−(ki)u+(kj)¯u+(kj)u−(ki) 1 − γ  1 + γ   = Tr 5 k/ 5 k/ (4.21) 2 i 2 j 1 = Tr (1 − γ )k/ (1 + γ )k/  (4.22) 4 5 i 5 j 1 = Tr k/ k/ + k/ γ k/ − γ k/ k/ − γ k/ γ k/  (4.23) 4 i j i 5 j 5 i j 5 i 5 j :0 :0 1   1   1   1   = Tr k/ k/ + Trk/ γ k/ − Trγ k/ k/ − Tr γ k/ γ k/ (4.24) 4 i j 4 i 5 j 4 5 i j 4 5 i 5 j 1 1 = Tr k/ k/  − Tr γ (γ kµ)γ (γ kν) (4.25) 4 i j 4 5 µ i 5 ν j  1  1   1 72 µ ν = Tr k/ k/ + Tr γ γ γ k k  (4.26) 4 i j 4 5 µ ν i j µ 1 1 1 4k kjµ = Tr k/ k/  + Tr k/ k/  = Tr k/ k/  = i = 2k · k . (4.27) 4 i j 4 i j 2 i j 2 i j

hiji[ji] = 2ki · kj q.e.d. (4.28)

Note que en Ec. (4.25) se utiliz´ola propiedad de anticonmutaci´on {γ5, γν} = 0.

Prueba de la ecuaci´on (5.16)

Considerando la definici´onEc. (5.9) y utilizando posteriormente las ecuaciones (4.7-5.6) se tiene que

hiji =u ¯−(ki)u+(kj), (4.29)

=u ¯−(k0)k/1k/ik/ju−(k0) (4.30) 1 1 − γ   = Tr 5 k/ k/ k/ k/ (4.31) q 2 0 1 i j 2 (ki · k0)(kj · k0) 1     = q (Tr k/0k/1k/ik/j − Tr γ5k/0k/1k/ik/j ) (4.32) 4 (ki · k0)(kj · k0) 4 = q (k0 · k1)(ki · kj) − (k0 · ki)(k1 · kj) (4.33) 4 (ki · k0)(kj · k0) µ ν α β
+ (k0 · kj)(k1 · ki) − iµναβk0 k1 ki kj , (4.34)

27 CAP´ITULO 4. TECNICAS´ PERTURBATIVAS MODERNAS

µ ν α β µ ν α β donde µναβk0 k1 ki kj es el determinante de los cuadri-momentos k0 , k1 , ki y kj , explici- tamente se tiene que

1 1 0 0

0 0 1 0 µ ν α β 0 1 3 0 1 3 iµναβk0 k1 ki kj = 0 1 2 3 = i(ki − ki )kj − i(kj − kj )ki . ki ki ki ki 0 1 2 3 kj kj kj kj El determinante es independiente de la estructura del espacio-tiempo de Minkowski, a diferencia de los t´erminos restantes en Ec. (4.34) que si requieren de la m´etricadel espacio-tiempo plano, ηµν = diag(1, −1, −1, −1). Desarrollando todos los productos escalares en Ec. (4.34), se obtiene

2 0 1 2 0 1 (k0 · k1)(ki · kj) − (k0 · ki)(k1 · kj) + (k0 · kj)(k1 · ki) = kj (ki − ki ) − ki (kj − kj ), (4.35) adem´asse tiene que

q q 0 1q 0 1 (ki · k0)(kj · k0) = ki − ki kj − kj , (4.36) sumando finalmente el determinante (imaginario) y Ec. (4.35) obtenemos

v v u 0 1 u 0 1 uki − ki 2 3 ukj − kj 2 3 hiji = t 0 1 (kj + ikj ) − t 0 1 (ki + iki ) q.e.d. (4.37) kj − kj ki − ki

Para cuadri-momentos reales se tienen las siguientes relaciones

[ij] = hjii∗, (4.38) hiji = [ji]∗. (4.39)

Se puede mostrar de forma directa las ecuaciones (4.38, 4.39), utilizando las definiciones de las ecuaciones (4.10,4.11) se tiene

[ji] =u ¯+(kj)u−(ki), (4.40) ∗ hiji =u ¯+(kj)u−(ki), (4.41) [ji] = hiji∗. (4.42)

Utilizando el resultado de la Ec. (4.38) se encuentra que para cuadri-momentos reales se cumple la siguiente relaci´on

hiji[ji] = hijihiji∗ = |hiji|2. (4.43)

28 4.2. FORMALISMO DE HELICIDAD

4.2.2. Convenciones

La notaci´onde espinores en t´erminos de brackets angulares y cuadrados es como sigue

u+(ki) = |ii, (4.44)

u−(ki) = |i], (4.45)

u¯+(ki) = [i|, (4.46)

u¯−(ki) = hi|. (4.47)

4.2.3. Propiedades

Propiedad de Reflexi´on (Conjugaci´on de carga)

hi|γµ|j] = [j|γµ|ii. (4.48)

Identidad de Fierz µ hi|γµ|j]hk|γ |l] = 2hiki[lj]. (4.49)

Identidad de Schouten

habihcdi = hacihbdi + hadihcbi. (4.50)

Conservaci´on de Momento n Xhiki[kj] = 0, (4.51) k=1 n X[ik]hkji = 0. (4.52) k=1

4-Momento contraido con γµ

p/ = −|pi[p| − |p]hp|. (4.53)

Prueba de la Identidad de Fierz

Tenemos que 1 + γ   [j|γ |ii = Tr 5 k/ k/ k/ γµ , (4.54) µ 2 j 0 i

29 CAP´ITULO 4. TECNICAS´ PERTURBATIVAS MODERNAS

  1+γ5 µ µ consideremos la matriz T : T = 2 k/jk/0k/i = V γµ + A γµγ5, utilizando la propiedad de reflexi´onEc. (4.48), obtenemos

R µ T + T = 2V γµ, (4.55) 1 h i V µ = Tr (T + T R)γ , (4.56) 8 µ recordando que Tr[γµγν] = 4ηµν, obtenemos lo siguiente

T = |ii[j|, (4.57) T R = |j]hi|. (4.58)

Expresando V µ de la siguiente forma 1 V µ = [j|γµ|ii, (4.59) 8 posteriormente utilizando las ecuaciones (4.55,4.59) se obtiene que 1 T + T R = [j|γµ|iiγ . (4.60) 4 µ µ utilizando la identidad de Chisholm [j|γ |iiγµ = 2(|ii[j| + |j]hi|) y la propiedad de reflexi´onEc. (4.48) resulta

µ µ hi|γ |j]γµγ hk|γµ|l] = 4(|ii[j| + |j]hi|)(|ki[l| + |l]hk|) (4.61) :0 : 0 = 4([lii[jki + hkii[jl] + [lj]hiki +hkj]hil]) (4.62) = 4((−1)2[lj]hiki + [lj]hiki) (4.63) = 8hiki[lj]. (4.64)

µ Sabemos que en γµγ = 4 (espacio plano de 3+1 dim.), despejando de Ec. (4.64) deja como resultado µ hi|γ |j]hk|γµ|l] = 2hiki[lj] q.e.d. (4.65) Hasta ahora se ha presentado un formalismo para part´ıculasrepresentadas por espinores u±(ki) en el espacio de momentos, dicho formalismo es v´alidode igual forma para las antipart´ıculas,ya que estas est´anrelacionadas con los espinores de las part´ıculaspor la siguiente propiedad v(p, ±) = u(p, ∓), p2 = 0. (4.66)

4.2.4. Ejemplo: c´alculode la amplitud para un proceso 2 → 2

− + Consideremos el proceso eL (−k1) + eR(−k2) → qR(k3) + q¯L(k4), se considera por convenci´ona todos los momentos salientes, lo cual es equivalente a tener el proceso + − 0 → eR(k1) + eL (k2) + qR(k3) + q¯L(k4). La parte cinem´atica(sin estructura de color) de la amplitud es la siguiente

30 4.2. FORMALISMO DE HELICIDAD

2− 3+ 2+ 3−

+ (a)4− 1− (b)1 4+ Figura 4.3: Canales con diferente helicidad 1

2+ 3+ 2− 3−

+ (c)4+ 1− (d)1 4− Figura 4.4: Canales con diferentes helicidad 2

La amplitud a 4 puntos del diagrama de Feynman (a) Fig.(4.3) es como sigue   1 µ iηµν ν A4,a = h2|γ |1] [3|γ |4i (4.67) 2 2k1 · k2 i = − [1|γµ|2i[3|γ |4i (4.68) 2h12i[21] µ i = − (2[31]h24i) (4.69) 2h12i[21] h24i[13] h31i h24i[13]h31i = i = i (4.70) h12i[21] h31i h12i[21]h31i h24i[24]h42i h24i2[24] h24i2[24] = i = −i = i (4.71) h12i[21]h31i h12i[21]h31i h12i[21]h13i h24i2[24] h24i2 h24i2 = −i  = −i = i . (4.72)  h12i[24]h43i h12i(−1)h34i h12i.h34i El procedimiento en las ecuaciones (4.67-4.72) fue como sigue; En Ec. (4.67) se utiliz´ola propiedad de reflexi´on,en Ec. (4.68) la identidad de Fierz, la Ec. (4.70) se multiplic´o por un “uno”muy conveniente para utilizar posteriormente en las ecuaciones (4.70,4.72) conservaci´onde momento, ecuaciones (4.51,4.52). Para calcular los diagramas de Feynman restantes con canales diferentes de helicidad se recurre a las simetr´ıas,de tal forma que no se repita todo el c´alculo.La simetr´ıade paridad cambia la helicidad, b´asicamente cambia [ → h, as´ıcomo ] → i.

31 CAP´ITULO 4. TECNICAS´ PERTURBATIVAS MODERNAS

La amplitud del diagrama (b) Fig.(4.3) se encuentra aplicando la simetr´ıade paridad

[24]2 A = i , (4.73) 4,b [12][34] la amplitud del diagrama (c) Fig.(4.4) se encuentra intercambiando la part´ıcula1 → 2, dejando la amplitud correspondiente como sigue

h14i2 A = i , (4.74) 4,c h12ih34i

finalmente la amplitud del diagrama (d) Fig.(4.4) se determina aplicando de nuevo la simetr´ıade paridad pero ahora a la amplitud de la Ec. (4.74), de manera que se obtiene

[14]2 A = i . (4.75) 4,d [12][34]

Es de nuestro inter´escalcular observables f´ısicos,en este caso la secci´ondiferencial de corte est´adefinida como sigue

dσ(e+e− → qq¯) ∝ X |A |2. (4.76) dΩ 4 hel

Recordando que |[ij]|2 = |hiji|2, los resultados Ec. (4.72) y Ec. (4.73) son iguales al hacer el m´odulocuadrado de la amplitud, es decir

2 2 h24i2 [24]2

i = i , (4.77) h12ih34i [12][34] sucede de igual forma al realizar el m´odulocuadrado de las amplitudes A4,c y A4,d ecuaciones (4.74,4.75) respectivamente, dejando un 2 global al hacer la suma sobre los estados finales de helicidad

dσ(e+e− → qq¯) κ 1 1 = X X |A |2 (4.78) dΩ 2 4 s 4 64π color helicidad  2 2 κ 1 1 h24i2 h14i2

= 2 (3)(2)  +  . (4.79) 64π 4 s h12ih34i h12ih34i

4 2 2 Por simplicidad se ha definido en Ec. (4.79) el factor κ = e QeQq, el factor 1/4 viene del promedio de los posibles estados finales de helicidad y el factor 3 viene del hecho que 2 los quarks tienen carga de color (rojo, azul, verde), adem´as s = ECM . Desarrollando los productos en Ec. (4.79) obtenemos:

+ −   2 2 !   2 2 ! dσ(e e → qq¯) 3κ 1 s24 + s14 3κ 1 s24 + s14 = 2 = 2 2 , (4.80) dΩ 128π s s12s34 128π s s12

32 4.2. FORMALISMO DE HELICIDAD donde 2 2 2 sij = (pi + pj) = pi + pj + 2pi · pj = 2pi · pj, (4.81) 2 2 ya que estamos considerando que pi = 0 y pj = 0 (part´ıculasno masivas), por conservaci´on de los 4-momentos se tiene que s12 = s34.

Figura 4.5: Colisi´on2 → 2 en el centro de masa

Para concluir el c´alculo de la secci´ondiferencial de corte Ec. (4.80) debemos resolver la cinem´aticadel proceso que analizamos. Se pueden determinar Los 4-momentos a partir de la Fig. (4.5) y una vez definidos estos se procede a calcular las variables tipo Mandelstan s12, s24, s14, esto es como sigue µ µ µ ~ µ ~ p1 = (E, ~p), p2 = (E, −~p), p3 = (E, k), p4 = (E, −k), (4.82) µ 2 2 2 s12 = 2p1 p2µ = 2p1 · p2 = 2(E + |~p| ) = 4E , (4.83) 2 2 2 s24 = 2p2 · p4 = 2(E − E cos θ) = 2E (1 − cos θ), (4.84) 2 2 2 s14 = 2p1 · p4 = 2(E + E cos θ) = 2E (1 + cos θ), (4.85) sustituyendo las ecuaciones (4.83,4.84,4.86) en Ec. (4.80) se obtiene ! dσ(e+e− → qq¯) 3κ (2E2(1 − cos θ))2 + (2E2(1 + cos θ))2 = (4.86) dΩ 128π2s (4E2)2 ! ! 3κ 4E4 (1 − cos θ)2 + (1 + cos θ)2 = (4.87) 128π2s 4E4 4 ! 3κ (1 − cos θ)2 + (1 + cos θ)2 = (4.88) 128π2s 4 ! ! 3κ 2(1 + cos2 θ) 3κ 1 + cos2 θ = = , (4.89) 128π2s 4 128π2s 2 en la Ec. (4.88) se utiliz´ola identidad algebraica (a+b)2 +(a−b)2 = 2(a2 +b2) ∀ a y b ∈ R. Integrando respecto al ´angulopolar φ la Ec. (4.89), recordando que dΩ = d| cos θ|dφ, con

33 CAP´ITULO 4. TECNICAS´ PERTURBATIVAS MODERNAS

0 ≤ φ < 2π, se obtiene la siguiente expresi´on ! dσ(e+e− → qq¯) Z 2π 3κ (1 + cos θ)2 = 2 dφ (4.90) d| cos θ| 0 128π s 2 ! (2π)3κ (1 + cos θ)2 = (4.91) 128π2s 2 3κ = (1 + cos θ)2. (4.92) 128πs

4.2.5. Part´ıculasvectoriales (no masivas)

Para part´ıculasvectoriales cuyo 4-momento f´ısicocumple que k2 = 0, se tendr´aun 4-vector de referencia que debe cumplir de igual forma la propiedad q2 = 0. Los 4-vectores de polarizaci´onest´andefinidos de la siguiente forma

1 hq|γµ|k] Eµ(k, q) = √ , (4.93) + 2 hqki 1 [q|γµ|ki Eµ(k, q) = √ . (4.94) − 2 [qk]

Las ecuaciones (4.93,4.94) son conocidas como magia china (Chinese magic) por el trabajo de Xu, Zhang, Chong (1984).

Propiedades de los 4-vectores de Polarizaci´on

Contracci´on con γµ: Al multiplicar las ecuaciones (4.93,4.94) por una γµ se obtienen las siguientes expresiones 1 2 E/ (k, q) = √ hq|γµ|k]γ = √ (|k]hq| + |qi[k|) + 2hqki µ 2 √ 2 = (|k]hq| + |qi[k|), (4.95) hqki 1 1 E/ (k, q) = √ [q|γµ|kiγ = √ hk|γµ|q]γ − 2[qk] µ 2[qk] µ √ 2 = − (|k]hq| + |qi[k|). (4.96) [qk]

En las ecuaciones (4.95,4.96) hemos utilizado la identidad de Chisholm.

Transversalidad: Los vectores de polarizaci´onreales deben cumplir las condiciones de transversalidad como en electrodin´amicacl´asica(no hay grados de libertad tipo

34 4.2. FORMALISMO DE HELICIDAD

temporaloide ni longitudinales), es decir

µ kµE±(k, q) = 0, (4.97) µ qµE±(k, q) = 0. (4.98)

Complejo Conjugado

µ ∗ µ (E±(k, q)) = E∓(k, q). (4.99)

Ortogonalidad:

µ E+(k, q)Eµ−(k, q) = E+(k, q) ·E−(k, q) = −1, (4.100) 2 2 (E+(k, q)) = 0 = (E−(k, q)) , (4.101)

E+(k1, k2) ·E−(k2, k1) = 0. (4.102)

Relaci´on de Completitud:

X Eµ(k, q)Eν(k, q) = Eµ(k, q)Eν (k, q) + Eµ(k, q)Eν (k, q) (4.103) λ¯ λ + − − + λ µ ν µ ν µν k q + q k = −η + µ . (4.104) k qµ Note que el vector de polarizaci´onno es ´unico,lo es hasta que se fija la norma. Se mostrar´aque aunque el vector de polarizaci´ondepende del 4-momento de referencia qµ, la amplitud no, ya que qµ tiene grados de libertad no f´ısicos. Invariancia ante transformaciones de norma: La invariancia de norma viene de hacer un desplazamiento al 4-momento qµ (shift).

√ 2k hq0qi E+(k, q0) − E+(k, q) = − µ . (4.105) µ µ hq0kihqki

Prueba de la invariancia de norma

Haciendo uso de la definici´onEc. (4.93) se tiene que

1 hq0|γµ|k] 1 hq|γµ|k] E+(k, q0) − E+(k, q) = √ − √ (4.106) µ µ 2 hq0ki 2 hqki hq0|γµ|k]hqki − hq|γµ|k]hq0ki = √ (4.107) 2hq0kihqki −hq0|γµk/|qi − hq0|kγ/ µ|qi = √ (4.108) 2hq0kihqki −2k hq0qi = √ µ q.e.d. (4.109) 2hq0kihqki

35 CAP´ITULO 4. TECNICAS´ PERTURBATIVAS MODERNAS

Se tiene la libertad de elegir cualquier 4-momento de referencia qµ, se utiliza a conveniencia para simplificar las cuentas como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Proceso e+e− → qqg¯

Se procede a c´alcularla amplitud a 5 puntos para el proceso e+e− → qqg¯ .

Figura 4.6: Diagramas contribuyentes para el proceso e+e− → qqg¯

De las reglas de Feynman se construye la amplitud a 5 puntos, esta es como sigue

√ ¯ M = (−ie)2(2 2)(−ig)Q Q (T A4 )j5 A (1+, 2−, 3+, 4+, 5−), (4.110) 5 e q i3 5 e¯ e q g q¯ √ se ha incluido el factor de normalizaci´on(2 2). Calculando el t´erminopuramente cinem´aticoen la amplitud Ec. (4.110) obtenemos

+ − + + − 1 µ 1  (3/ + 4)/ A5(1e¯ , 2e , 3q , 4g , 5q¯ ) = √ h2|γ |1] [3|E/+(4, q) γµ|5i 2 2 s12 s34 (4/ + 5)/  + [3|γµ E/+(4, q)|5i . (4.111) s45

Para calcular por separado los t´erminos[3|E/+(4, q) y E/+(4, q)|5i, es conveniente utilizar la definici´onEc. (4.95) en Ec. (4.111) √ 2 [3|E/ (4, q) = [3|(|4]hq| + |qi[4|) (4.112) + hq4i √ √ 2 0 2 = ([34]hq| + [3q>i[4|) = [34]hq|, (4.113) hq4i  hq4i √ 2 E/ (4, q)|5i = (|4]hq| + |qi[4|)|5i (4.114) + hq4i √ √ 2 0 2 = (|4]hq5i + |qi[45¨¨*i) = |4]hq5i. (4.115) hq4i ¨ hq4i

Como se mencion´oanteriormente el 4-momento qµ se puede elegir a conveniencia para simplificar las cuentas, la ecuaci´on(4.115) sugiere considerar el valor q = 5, tomando este valor y por la propiedad de antisimetr´ıa hiji = −hjii, resulta en Ec. (4.115) que

36 4.2. FORMALISMO DE HELICIDAD h55i = 0, lo que es equivalente a decir que el diagrama (b) de la Fig. (4.6) no contribuye al proceso. Retomando la parte de la amplitud Ec. (4.111) que no se cancel´oal fijar la norma q = 5, tenemos √ ! + − + + − 1 µ 2 A5(1e¯ , 2e , 3q , 4g , 5q¯ ) = √ h2|γ |1] [34]h5| (3/ + 4)/ γµ|5i 2 2s12s34 h54i [34] µ = h2|γ |1]h5|(3/ + 4)/ γµ|5i (4.116) 2s12s34h54i [34] µ
= h2|γ |1] h5|/3γµ|5i + h5|4/γµ|5i . (4.117) 2s12s34h54i Haciendo uso de la identidad Ec. (4.53) en Ec. (4.117) se obtiene que

[34] µ A5 = h2|γ |1] h5|(−|3i[3| − |3]h3|)γµ|5i 2s12s34h54i
+ h5|(−|4i[4| − |4]h4|)γµ|5i (4.118)

[34] µ = h2|γ |1](−h53i[3|γµ|5i − h54i[4|γµ|5i) (4.119) 2s12s34h54i [34] µ µ = − (h53ih2|γ |1][3|γµ|5i + h54ih2|γ |1][4|γµ|5i). (4.120) 2s12s34h54i Finalmente se utiliza la identidad de Fierz y la propiedad de reflexi´onen la Ec. (4.120) para obtener

2[34] A5 = (h53i[31]h25i + h54i[41]h25i) (4.121) 2s12s34h54i [34]h25i = (h53i[31] + h54i[41]) (4.122) s12s34h54i [34]h25i = (−[12]h25i − [14]h45i + [14]h45i(−1)2) (4.123) s12s34h54i [34]h25i[12]h25i (−1)[34]h25i2(−1)[12] = − = −   (4.124)   h12i[21]h34i[43]h54i h12i[21]h34i[43]h54i (−1)[34]h25i2(−1)[12] h25i2 = −   = , (4.125)   h12i[21]h34i[43](−1)h45i h12ih34ih45i en la Ec. (4.122) se utiliz´ola conservaci´ondel momento con el prop´ositode tener una expresi´oncompacta.

En las siguientes secciones se estudian diferentes casos para los que se consideran ciertos l´ımites de los 4-momentos que producen una conveniente factorizaci´onen la amplitud A5 a nivel ´arbol.

37 CAP´ITULO 4. TECNICAS´ PERTURBATIVAS MODERNAS

4.2.6. L´ımiteSuave

Considerando el caso en el que el 4-momento del gluon g tiende a cero, esto es k4 → 0, la amplitud para el proceso e+e− → qqg¯ es como sigue:

+ − + + − + − + + − M5(1e¯ , 2e , 3q , 4g , 5q¯ ) ∝ A5(1e¯ , 2e , 3q , 4g , 5q¯ ), (4.126) si se expresa la amplitud (parcial) A5 Ec. (4.125) de la siguiente forma

 h35i  h25i2 A = (4.127) 5 h34ih45i h12ih35i + + − + − = Soft(3, 4 , 5)A4(1e¯ , 2e , 3q , 4q¯ ), (4.128) se obtiene un t´ermino Soft(3, 4+, 5) el cual es conocido como el factor eikonal de Weinberg. La amplitud a 4 puntos A4 que resulta en Ec. (4.128) no incluye el gluon suave (soft). El factor eikonal se define de la siguiente manera:

h35i E (k , q) · k E (k , q) · k ∝ + 4 3 − + 4 3 = ∆ (4.129) h34ih45i k4 · k3 k4 · k5 1 hq|3/|4] 1 1 hq|5/|4] 1 ∆ = √ − √ (4.130) 2 hq4i h34i[43] 2 hq4i h45i[54] 1 hq3i[34] 1 1 hq5i[54] 1 = √ − √ (4.131) 2 hq4i h34i[43] 2 hq4i h45i[54] 1 hq3i hq5i hq3ih45i + hq5ih34i = −√ + = − √ (4.132) 2hq4i h34i h45i 2hq4ih34ih45i hq4ih35i h35i = −√  = −√ q.e.d. (4.133)  2hq4ih34ih45i 2h34ih45i

Figura 4.7: Diagrama de amplitud a 4 puntos por una funci´onsoft

En la Ec. (4.132) se implement´ola identidad de Schouten Ec. (4.50). El factor eikonal de Weinberg Ec. (4.129) vendr´ıaa ser un tipo de corriente semicl´asica que emite el gluon

38 4.2. FORMALISMO DE HELICIDAD soft, es un tipo de “antena”. En general para el diagrama (a) Fig. (4.6) se tiene que

habi soft(a, 5+, b) = , (4.134) habih5bi [ab] soft(a, 5−, b) = − , (4.135) [ab][5b] diagram´aticamente la Ec. (4.128) es equivalente a tener

L´ımite Colinial k3||k4

El l´ımitecolineal se da cuando el 4-momento k3 es paralelo al 4-momento del gluon k4 (ver diagrama (a) Fig. (4.6)). Sea k3 = zkp y k4 = (1 − z)kp, si se suman resulta kp = k3 + k4, considerando este l´ımitela amplitud A5 es como sigue:

2 2 1 h25i + + h25i A5 → √ = split−(3 , 4 ) . (4.136) k3||k4 h34i 1 − z h12ihp5i h12ihp5i

Diagram´aticamente la Ec. (4.136) es equivalente a tener

Figura 4.8: Diagrama de amplitud a 4 puntos por una split funci´on

Debido al efecto de colinealidad las part´ıculasque salen con momento kp son indistin- guibles .

L´ımite Colinial k5||k4

Considerando ahora que el 4-momento k5 es paralelo al 4-momento k4, donde k4 = zkp y k5 = (1 − z)kp, se repite el an´alisisde la Secci´on(4.2.6), la amplitud para este l´ımitees como sigue

  2 2 1 − z h2pi + − h2pi A5 → √ = split+(4g , 5q¯ ) . (4.137) k5||k4 zh45i h12ih3pi h12ih3pi

39 CAP´ITULO 4. TECNICAS´ PERTURBATIVAS MODERNAS

Las funciones split son : z split (4−, 5−) = −√ , (4.138) − g¯ q 1 − z[45] 1 − z split (4+, 5−) = √ . (4.139) + g q¯ zh45i

4.2.7. An´alisisde los l´ımitescolineales a nivel de probabilidades

La secci´onde corte de una amplitud con n part´ıculasexternas en t´erminosde una amplitud con (n − 1) (ver Fig. (4.8)) se puede expresar como sigue: ! 1 dσn ∼ dσ(n−1) Pqg(z), (4.140) sqg donde la funci´on Ppg(z) que viene en Ec. (4.140) esta definida como sigue:

X hq hg 2 Pqg(z) = |splithp(q , g )| sqg (4.141) hp, hq, hg 2 2! z 1 = C √ + √ (4.142) F 1 − z 1 − z ! z2 + 1 = C . (4.143) F 1 − z

El factor CF es el Casimir que resulta de sumar los estados finales de helicidad, y esta definido de la siguiente forma: 2 Nc − 1 CF = , (4.144) 2Nc donde Nc es el n´umerode colores de la teor´ıa,por ejemplo para el caso del grupo SU(3) se tiene que Nc = 3.

4.3. Grupo peque˜node Wigner

En esta secci´onse mostrar´aque las amplitudes de gluones a nivel ´arbol pueden ser construidas a partir de amplitudes de 3 puntos (bloques fundamentales), se debe recordar que en estas notas ´unicamente se introduce el caso en que las part´ıculasson no masivas.

40 4.3. GRUPO PEQUENO˜ DE WIGNER

Figura 4.9: Bloque fundamental para construir amplitudes de gluones

P3 Por conservaci´onde momento i=1 ki = 0, en la Figura. (4.9) se tiene que k3 = −k1 − k2, lo que implica que s12 = s13 = s23 = 0. En este punto obviaremos que todo es cero a primera vista, lo cual resulta un problema debido a la conservaci´ondel momento angular. Para reconstruir la amplitud, es posible utilizar las reglas de Feynman para diagramas a 3 puntos, o bien se puede utilizando la invariancia de Lorentz, conexi´on estad´ıstica-esp´ıny an´alisisdimensional.

Bajo transformaciones de Lorentz los espinores (part´ıculasno masivas) transforman como sigue:

0 −iα(p,p ) 0 u+(p) → e 2 u+(p ), (4.145) 0 iα(p,p ) 0 u−(p) → e 2 u−(p ). (4.146)

Consecuentemente la amplitud a nivel ´arbol de 3 part´ıculasno masivas con helicidades h1, h2, y h3 deben ser invariantes ante transformaciones de Lorentz, en el sentido que:

0 0 0 h1 h2 h3 ih1α(p1,p1) ih2α(p2,p2) ih3α(p3,p3) A3(1 , a1; 2 , a2; 3 , a3) = e e e 0 0 0 h1 h2 h3 × A3(1 , a1; 2 , a2; 3 , a3). (4.147)

La amplitud a 3 puntos de part´ıculasen capa de masa (on-shell) depende ´unicamente de los brackets angulares o bien de los brackets cuadrados correspondientes a los 4-momentos externos, suponiendo que solo depende de los brackets angulares, se tiene que

A (1h1 , a ; 2h2 , a ; 3h3 , a ) = c h12ix12 h13ix13 h23ix23 , (4.148) 3 1 2 3 a1a2a3 donde c son coeficientes constantes, independientes de la cinem´atica.Para que a1a2a3

41 CAP´ITULO 4. TECNICAS´ PERTURBATIVAS MODERNAS exista la invariancia de Lorentz se debe cumplir que:

(x + x ) h = − 12 13 , (4.149) 1 2 (x + x ) h = − 12 23 , (4.150) 2 2 (x + x ) h = − 13 23 , (4.151) 3 2 las helicidades est´andadas en la Fig. (4.9), h1 = −1, h2 = −2, h3 = +1, lo que deja un sistema de ecuaciones (4.149-4.151) de 3 ecuaciones y 3 inc´ognitas,el cual tiene la siguiente soluci´on(para cualesquiera valores de h1, h2 y h3):

x12 = h3 − h2 − h1, (4.152)

x13 = h2 − h3 − h1, (4.153)

x23 = h1 − h3 − h2. (4.154)

La amplitud de gluones a 3 puntos podr´ıaser:

h12i3 A (1−, a ; 2−, a ; 3+, a ) = c . (4.155) 3 g 1 g 2 g 3 a1a2a3 h13ih.23i

Si se hubiera pedido dependencia de los brackets cuadrados, se tendr´ıaque

− − + 0 [13][23] A3(1g , a1; 2g , a2; 3g , a3) = ca a a . (4.156) 1 2 3 [12]3

Realizando un an´alisisdimensional a nivel de las amplitudes (en unidades naturales ~ = c = 1 y D = 4), la amplitud de n part´ıculasdebe tener la siguiente dimensi´on(de masa): 4−n [An] = [M ] (4.157) por ejemplo para el caso n = 3 tendr´ıamos[A3] = [M]. Considerar la amplitud de gluones a 3 puntos con brackets angulares implicar´ıaque la dimensi´onde la la constante c sea [M 0], es decir que es adimensional. En teor´ıasde Yang - Mills renormalizables a1a2a3 las constantes son adimensionales por lo que descartaremos las amplitudes a 3 puntos utilizando brackets cuadrados, ya que [c0 ] = [M 2]. a1a2a3 La invariancia de Lorentz ha fijado c´omodebe de ser la cinem´aticade la amplitud, pero a´untenemos el problema que la conservaci´onde momento nos da todo cero.

4.3.1. Complejificaci´onde los 4-Momentos

Se ha visto que en el caso que los 4-momentos son reales se cumple que hiji = [ji]∗, si promovemos ki y kj a ser complejos, el producto hiji es independiente de [ji] y por

42 4.4. FACTORIZACION´ DE LA AMPLITUD conservaci´onde momento se tiene que:

[12] = [23] = [13] = 0, (4.158) |1] ∝ |2] ∝ |3], (4.159) h12i[12] = 0. (4.160)

4.4. Factorizaci´onde la Amplitud

4.4.1. Factor de Color

La amplitud A3 para gluones es bos´onicaya que los gluones son bosones y, tambi´en es sim´etricaen el cambio de los gluones. Los generadores del grupo SU(3) cumplen las siguientes propiedades

Tr[T a,T b] = δab, (4.161) [T a,T b] = if abcT c, (4.162) donde el factor f abc es la constante de estructura del grupo SU(3), de la Ec. (4.162) sigue que: i f abc = −√ Tr[T a, [T b,T c]] (4.163) 2 i i = −√ Tr[T aT bT c] + √ Tr[T aT cT b]. (4.164) 2 2

Considerando la Ec. (4.164) las amplitud A3 pueden escribirse como sigue:

h12i3 A = c 3 a1a2a3 h13ih23i  i i  h12i3 = −√ Tr[T a1 T a2 T a3 ] + √ Tr[T a1 T a3 T a2 ] 2 2 h31ih23i i h12i3 i (−1)h21i3 = −√ Tr[T a1 T a2 T a3 ] + √ Tr[T a1 T a3 T a2 ] 2 h31ih23i 2 h31ih23i i h12i3 = −√ Tr[T a1 T a2 T a3 ] (4.165) 2 h13ih23i i h21i3 − √ Tr[T a1 T a3 T a2 ] . (4.166) 2 (−1)2h13ih32i

La simetr´ıade intercambiar un boson por otro (gluones en este caso) se respeta totalmente, si se cambia por ejemplo 1 → 3, los factores de trazas cambian dejando invariante la

43 CAP´ITULO 4. TECNICAS´ PERTURBATIVAS MODERNAS

amplitud a nivel ´arbol

h12i3 h32i3 h32i4 h32i4 A = → = = (4.167) 3 h23ih31i h21ih13i h21ih13ih32i (−1)h12i(−1)h31i(−1)h23i ! h32i4 h32i4 h12i4 h32i4 = − = − = − (4.168) h12ih31ih23i h12ih23ih31i h12i4 h12ih23ih31i ! ! h32i4 h12i4 h32i4 h12i3 = − = − (4.169) h12i4 h12ih23ih31i h12i4 h23ih31i ! h32i4 = − A3. (4.170) h12i4

Eligiendo la proporcionalidad |h32i|4 ∝ |h12i|4 (producto de la conservaci´ondel momento) en la Ec. (4.170) se ve que la amplitud A3 es sim´etricabajo el intercambio de gluones 1 → 3.

En general las amplitudes a nivel ´arbol de n puntos An son de la siguiente forma

arbol X aσ(1) aσ(n) arbol An ({ki, Ei, ai}) = Tr[T ...T ]An (σ(1), σ(2)...σ(n)). (4.171)

σ∈Sn/Zn

La suma en los valores σ ∈ Sn/Zn indica que esta se hace sobre las permutaciones no arbol c´ıclicas,ya que la amplitud parcial es c´ıclica.La amplitud parcial An (σ(1), σ(2)...σ(n)) es puramente cinem´atica,no depende m´asdel factor de color, esto viene de aplicar repetidamente la identidad de Fierz Ec. (4.49) para SU(NC ), es decir 1 X Tr[XT a] Tr[T aY ] = Tr[XY ] − Tr[X]Tr[Y ], (4.172) a NC

en ese sentido en vez de usar el grupo SU(NC ) se utilizara el grupo U(NC ), desaparece el segundo t´erminode la Ec. (4.172), se puede pasar sin problema alguno de SU(NC ) → U(NC ) en las amplitudes de dispersi´onpara gluones a nivel ´arbol. Como se mencion´ola amplitud An(1, 2, ..., n) es ahora independiente del factor de color, ´unicamente dependen de la cinem´atica(y din´amica) y son las llamadas “amplitudes ordenadas de color”. Se necesita solo (n − 1)! amplitudes para conocer completamente la amplitud total, y estas satisfacen un n´umerode condiciones que las reduce en cantidad.

Algunas de las condiciones que la amplitud ordenada de color respeta son las siguientes:

Simetr´ıa c´ıclica

Respetan la identidad de reflexi´on Ec. (4.48)

n An(12....n) = (−1) An(n2....1). (4.173)

Identidad del acoplamiento del fot´on

An(12....n) + An(21....n) + An(321....n) + An(23....1n) = 0, (4.174)

44 4.4. FACTORIZACION´ DE LA AMPLITUD

tambi´enconocida como identidad del desacople del fot´on

Invariancia de norma de las amplitudes con ordenamiento de color (o bien amplitudes primitivas), al hacer el cambio:

Eµ(p) → Eµ(p) + α(p)pµ, (4.175)

el cambio en el 4-vector de polarizaci´onEc. (4.175) no afecta la amplitud. Se pueden usar diferentes normas (gauges) para calcular apropiadamente las diferentes amplitudes con ordenamiento de color. Aunque las amplitudes fueron escritas para gluones, es posible hacerlo para quarks.

Desde ahora en adelante en estas notas, todas las amplitudes son con ordenamiento de color. Las amplitudes a nivel ´arbol m´assimples y no nulas son las amplitudes de Parke-Taylor, tambi´enconocidas como las amplitudes MHV (violaci´onm´aximade helicidad), el nombre MHV no quiere decir que se viole la conservaci´onde momento angular, m´asbien viene del hecho de pensar en procesos de dispersi´ontipo 2 → n − 2, + + + por ejemplo la amplitud An(1 2 .....n ) se refiere al proceso:

1−2− → 3+4+ . . . n+, (4.176) las dos part´ıculasentrantes tienen helicidad negativa (1−, 2−) y las part´ıculassalientes tienen helicidad positiva, este proceso viola helicidad, en una teor´ıade Yang-Mills pura la amplitud a nivel ´arbol es cero, en una teor´ıasupersim´etrica N = 4 tambi´en es cero a todo orden perturbativo para este proceso Ec. (4.176). En el proceso 1−2− → 3−4−5+ . . . n+ se muestra lo m´asque se puede violar la helicidad, en el sentido que es la cantidad menor de gluones con helicidad negativa que se puede tener en un proceso que da un resultado que no es cero.

4.4.2. Amplitudes de Parke - Taylor (MHV)

Considerando la f´ormula de Parke-Taylor, el denominador de la amplitud ´unicamente contiene productos espinoriales de pares de 4-momentos adjuntos de color hi(i + 1)i.

Las amplitudes MHV (Parke-Taylor) son como sigue

hiji4 A (1+, ...., i−, ...., j−, ...., n+) = −i , (4.177) n h12ih23i....h(n − 1)nihn1i note que en Ec. (4.176) se tiene 2 gluones con helicidad negativa y todos los restantes con helicidad positiva. Las amplitudes que contienen solamente helicidades positivas y las que tienen nada m´asuna helicidad negativa y el resto positivas son cero (Explicar un poco m´as). En el caso que los 4-momentos sean col´ıneales(Secci´on(4.2.7)) la amplitud − − Ec. (4.177) queda en t´erminosde la funci´on split−(i j ), como se muestra en la siguiente

45 CAP´ITULO 4. TECNICAS´ PERTURBATIVAS MODERNAS ecuaci´on

4 + − − + hiji An(1 , ...., i , ...., j , ...., n ) = −i h12ih23i....h(n − 1)nihn1i (n−1)||n 1 ∼ Aarbol(1+, ..., i−, j−, ..., p). h(n − 1)nipz(1 − z) n−1 (4.178)

En el l´ımitecolineal las part´ıculasexternas (n − 1) y n se vuelven paralelas y sus 4- momentos est´andefinidos kn−1 ≈ zkp y kn ≈ (1 − z)kp con kp = kn−1 + kn, lo cual deja la funci´onsplit como sigue 1 split(arbol)(a+, b+) = . (4.179) − g g pz(1 − z)habi

¿Cu´ales el origen de la funci´onsplit Ec. (4.179)? En el l´ımitecolineal a||b una amplitud con ordenamiento de color se factoriza como sigue;

arbol ha hb X arbol ha hb arbol h An (...... a , b , ...... ) = split−h (a , b )An−1 (...... (ka + kb) .....), k ||k a b h=± (4.180) como se muestra en la figura Fig. (4.10).

Figura 4.10: Funci´onSplit de una amplitud de n puntos

Debido a la universalidad de la funci´onsplit el l´ımiteprevio Ec. (4.180) se vuelve una herramienta poderosa.

46 4.4. FACTORIZACION´ DE LA AMPLITUD

Prueba de la Funci´on Split ecuaci´on (4.179)

Utilizando las reglas de Feynman y considerando que se tiene ordenamiento de color en los v´ertices a nivel ´arbol, tenemos:     arbol + + i i  + + − split− (ag , bg ) = √ E (ka, q) ·E (kb, q)(ka − kb) ·E (−kq − kb, q) sab 2 + − + + E (ka, q) ·E (−ka − kb, q)(kb + ka + kb) ·E (ka, q) − + +  + E (−ka − kb, q) ·E (ka, q)(−ka − kb − ka) ·E (kb, q) . (4.181)

+ Desarrollando por separado el producto de los 4-vectores de polarizaci´on E (ka, q) · + E (kb, q) que figura en el primer rengl´onde Ec. (4.181) se tiene: 1 hq|γµ|a] 1 hq|γ |b] e+(k , q) ·E+(k , q) = √ √ µ (4.182) a b 2 hqai 2 hqbi hqqi[ab] = (4.183) hqbihqai = 0, (4.184) dejando ´unicamente el segundo y tercer t´erminoen Ec. (4.181), esto es     arbol + + i i  + − + split− (ag , bg ) = √ E (ka, q) ·E (−ka − kb, q)(kb + ka + kb) ·E (ka, q) sab 2 − + +  + E (−ka − kb, q) ·E (ka, q)(−ka − kb − ka) ·E (kb, q) , (4.185) desarrollando los productos internos en Ec. (4.185) se tiene

−1  splitarbol(a+, b+) = √ E+(k , q) ·E−(−k − k , q)(2k ·E+(k , q) + k ·E+(k , q)) − g g 2habi[ba] a a b b a a a − + + +  + E (−ka − kb, q) ·E (ka, q)(−2ka ·E (kb, q) − kb ·E (kb, q)) −1  = √ E+(k , q) ·E−(−k − k , q)(2k ·E+(k , q)) 2habi[ba] a a b b a − + +  + E (−ka − kb, q) ·E (ka, q)(−2ka ·E (kb, q)) −2  = √ (k ·E+(k , q))(E+(k , q) ·E−(−k − k , q)) 2habi[ba] b a a a b + − +  − (ka ·E (kb, q))(E (−ka − kb, q) ·E (ka, q)) . (4.186)

µ Se utiliz´oen Ec. (4.186) la condici´onde transversalidad kµE (k, q) = 0. Es importante notar que los productos tipo k ·E±(k0, q) se deben calcular utilizando las ecuaciones

47 CAP´ITULO 4. TECNICAS´ PERTURBATIVAS MODERNAS

(4.53,4.95), como se muestra a continuaci´on √ ! 2 k/ E/+(k , q) = −(|ai[a| + |a]ha|) (|b]hq| + |qi[b|) (4.187) a b hqbi √ 2 0 0 = − (hqai[ab] + [aq¨¨*i[bai + hab>]hqa] + haqi[ba]) (4.188) hqbi ¨  √ 2 = − (hqai[ab] + hqai[ab](−1)2) (4.189) hqbi √ 2 2hqai[ab] = − , (4.190) hqbi

por otro lado la Ec. (4.190) se puede escribir de la siguiente forma:

+ µ µ + µ + + k/aE/ (kb, q) = γµka γ Eµ (kb, q) = (γµγ )ka ·E (kb, q) = (4)ka ·E (kb, q), (4.191)

de donde se obtienen las siguientes expresiones: √ 2hqai[ab] k ·E+(k , q) = − , (4.192) a b 2hqbi √ 2hqbi[ba] k ·E+(k , q) = − , (4.193) b a 2hqai

sustituyendo las ecuaciones (4.192,4.194) en la Ec. (4.186) obtenemos:  ¨¨  arbol + + −1 hqbi[ba] hq(a + b)i[qb] ¨hqai[ab] h(a + b)qi[aq] split− (ag , bg ) = − + ¨¨ habi[ba] hqai [q(a + b)]hqbi hqbi ¨hqai[q(a + b)] −hq(a + b)i  hqbi[ba][qb]  = − − [ab][aq] habi[ba]hqbi[q(a + b)] hqai hq(a + b)i  [qb] [aq]  = − − + , (4.194) habi[q(a + b)] hqai hqbi

para simplificar a´unm´asla Ec. (4.194) es necesario recordar que para el caso colineal ka||kb se tiene: √ |a] = z|a + b], (4.195) √ |b] = 1 − z|a + b], (4.196)

48 4.5. INTRODUCCION´ A LA RELACION´ DE RECURSION´ BCFW sustituyendo las ecuaciones (4.195,4.196) en Ec. (4.194) se obtiene finalmente:

hq(a + b)i  [qb] [aq]  splitarbol(a+, b+) = − − + (4.197) − g g habi[q(a + b)] hqai hqbi √ √ ! hq(a + b)i 1 − z [q(a + b)] z [(a + b)q] = − − √ + √ habi[q(a + b)] z hq(a + b)i 1 − z hq(a + b)i (4.198) √ √ ! hq(a + b)i 1 − z [q(a + b)] z [q(a + b)] = − − √ − √ habi[q(a + b)] z hq(a + b)i 1 − z hq(a + b)i (4.199) ( (((( √ √ ! hq(a(+(b)(i[q(a + b)] 1 − z z = ( ((( √ + √ (4.200) ((( z 1 − z habi([q(a(+(b)]hq(a + b)i √ √ ! ! 1 1 − z z 1 1 − z + z = √ + √ = (4.201) habi z 1 − z habi pz(1 − z) 1 = , q.e.d. (4.202) habipz(1 − z)

4.5. Introducci´ona la relaci´onde recursi´onBCFW

En esta secci´onse introduce la relaci´onde recursi´onpara part´ıculasen capa de masa (on - shell), propuesta en el a˜no2005 por Britto - Cachaso - Feng - Witten. Dicha relaci´onde recursi´onresulta de gran utilidad para calcular amplitudes de dispersi´ona nivel ´arbol en teor´ıasque satisfacen ciertos pre-requisitos. Esta interesante propuesta se basa principalmente en promover a los 4-momentos externos reales a ser complejos, lo que es conocido como deformaci´oncompleja de los 4-momentos, adem´asutiliza la riqueza matem´aticaque posee el an´alisiscomplejo para explorar las propiedades anal´ıticasde las amplitudes deformadas.

4.5.1. Desplazamiento complejo

Consideremos la amplitud de 4 gluones (ordenada de color)

ih12i4 Aarbol(1−, 2−, 3+, 4+) = , (4.203) 4 h12i23h34ih41i realizando el desplazamiento complejo a los 4-momentos |1] y|2i, esto es:

|1] → |1] − z|2], (4.204) |2i → |2i + z|1i, (4.205)

se tiene como consecuencias debido a las ecuaciones (4.204.4.206) lo siguiente:

49 CAP´ITULO 4. TECNICAS´ PERTURBATIVAS MODERNAS

Los nuevos 4-momentos deformados preservan la conservaci´on de mo- mento.

k/1 → k/1(z) = −(|1] − z|2])h1| − |1i([1| − z[2|) (4.206) = −(|1]h1| + |1i[1|) + z(|2]h1| + |1i[2|), (4.207)

k/2 → k/2(z) = −(|2i + z|1i)[2| − |2](h2| + zh1|) (4.208) = −(|2i[2| + |2]h2|) − z(|1i[2| + |2]h1|), (4.209)

sumando las ecuaciones (4.207) y (4.209) obtenemos:

k/1(z) + k/2(z) = −(|2i[2| + |2]h2|) − (|1]h1| + |1i[1|)

= k/1 + k/2, (4.210)

vemos en la Ec. (4.210) que la conservaci´onde momento no es alterada al realizar el desplazamiento complejo en los 4-momentos |1] y|2i. Preservan la condici´on de capa de masa:

Los correspondientes 4-vectores desplazados son como sigue z kµ(z) = kµ − h1|γµ|2], (4.211) 1 1 2 z kµ(z) = kµ + h1|γµ|2], (4.212) 2 2 2 los 4-vectores de las ecuaciones (4.211,4.212) siguen estando en capa de masa (tal como 2 2 k1 = 0 = k2), como se muestra a continuaci´on

2 2 2 2 z µ 2 z : 0 k (z) = k + h1|γ |2]h1|γ |2] = k + (h11i[22]) (4.213) 1 1 4 µ 1 2  2 2 k1(z) = k1, (4.214) en la Ec. (4.213) se utiliz´ola identidad de Fierz y la propiedad de antisimetr´ıa,de igual 2 2 forma se puede mostrar que k2(z) = k2.

Desplazamiento complejo en la amplitud

La amplitud de 4 gluones bajo los desplazamientos complejos ecuaciones (4.204.4.205) se deforma de la siguiente forma

ih12i4 A → A (z) = , (4.215) 4 4 h12ˆih23ˆ ih34ih41i calculando por separado los productos que incluyen los 4-momentos desplazados, se tiene

¨* 0 h12i = h1|(|2i + z|1i) = h12i + z¨h11¨i = h12i, (4.216) h23i = (h2| + zh1|)|3i = h23i + zh13i, (4.217)

50 4.5. INTRODUCCION´ A LA RELACION´ DE RECURSION´ BCFW

sustituyendo las ecuaciones (4.216,4.217) en la Ec. (4.215) obtenemos:

ih12i4 A → A (z) = , (4.218) 4 4 h12i(h23i + zh13i)h34ih41i

vemos que la amplitud Ec. (4.218) se deforma bajo el desplazamiento complejo de los h23i 4-momentos, de hecho A4(z) adquiere un polo en z = − h13i , adem´as l´ımz→∞ A4(z) = 0. El polo se entiende mejor observado el siguiente diagrama (deformado) de Feynman Fig. (4.11), para esta elecci´onde desplazamientos complejos el propagador tiene el siguiente denominador 1 1 1 = = , (4.219) ˆ 2 ˆ (k1 + k4) 2k1 · k4 h14i([14] − z[24])

Figura 4.11: Diagrama de Feynman a 4 puntos deformado

[14] el denominador de la Ec. (4.219) presenta un polo en z = [24] , por conservaci´onde momento sabemos que s23 = s14, se tiene entonces que: h32i [41] z = − = , (4.220) h13i [24]

sustituyendo (4.220) en el denominador de la Ec. (4.219) se obtiene:

 h32i [41]h13i + h32i[24] [14] − z[24] = [41] − − [24] = = 0, (4.221) h13i h13i

hemos recurrido a la conservaci´ondel momento Ec. (4.51) en la Ec. (4.221) . Debido a la deformaci´oncompleja del producto h12i se tiene que el 4-momento del propagador en el denominador de la Ec. (4.219) esta ahora en capa de masa (on-shell), ya que se tiene 1 1 → ∞ equivalente a tener: con p2 = 0, h14i(0) p2

51 CAP´ITULO 4. TECNICAS´ PERTURBATIVAS MODERNAS como resultado se tiene un objeto que se transmite en capa de masa (ver Fig. (4.11)). Promover los 4-momentos a ser complejos beneficio, con 4-momentos reales no se puede tener amplitudes con 3 gluones en capa de masa. Partiendo de la amplitud deformada A4(z) y utilizando la analiticidad de esta, es posible recuperar la amplitud A4 que se obtiene con momentos reales. La elecci´onde que 4-momentos desplazar es muy importante para el estudio de la analiticidad de la amplitud A4(z), por ejemplo si consideremos los siguientes desplazamientos:

|1] → |1] − z|3], (4.222) |3i → |3i + z|1i, (4.223) la amplitud A4(z) para el desplazamiento [1ˆ3ˆi en el l´ımite z → ∞ tiene como t´ermino dominante

ih12i4 Aarbol(z) = (4.224) 4 h12i(h23i + zh21i)(h34i + zh14i)h41i 4 arbol ih12i A4 (z) = (4.225) (h12ih23ih34ih41i − zh12i2h34ih41i + z2h12i2h41i2 arbol 1 A4 (z) ∼ , (4.226) z→∞ z2 para el caso del desplazamiento

|3] → |3] − z|2], (4.227) |2i → |2i + z|3i, (4.228) se tiene que el t´erminodominante en la amplitud es

arbol 3 A4 (z) ∼ z . (4.229) z→∞

arbol La amplitud A4 (z) xt dependiendo cuales 4-momentos se desplacen.

arbol Analiticidad de la amplitud A4 (z) utilizando el Teorema de Cauchy

En esta subsecci´onse considera el desplazamiento complejo que deja el t´ermino arbol 1 dominate en la amplitud de tipo A4 (z) ∼ z para z → ∞, que es de igual forma el que da un propagador en capa de masa, luego recurriendo al teorema de Cauchy para estudiar la analiticidad de la amplitud, se tiene que:

I Aarbol(z) 4 dz = 0, (4.230) z ! I Aarbol(z) Aarbol(z) Aarbol(z) 4 dz = 2πi Res 4 + Res 4 . (4.231) z z→∞ z z→z23 z

52 4.5. INTRODUCCION´ A LA RELACION´ DE RECURSION´ BCFW

Debido a los desplazamientos complejos, el polo z = 0 no puede ser un polo de la amplitud arbol A4 (z) (ya que no habr´ıadesplazamiento complejo en los 4-momentos), omitiendo arbol dicho polo la amplitud f´ısica A4 (0) es como sigue:

Aarbol(z) Aarbol(0) = Res 4 , (4.232) 4 z→0 z utilizando la Ec. (4.231) y la Ec. (4.232) obtenemos

Aarbol(z) Aarbol(0) = −Res 4 , (4.233) 4 z→z23 z

h23i con z23 = − h13i . Se procede a mostrar que efectivamente el resultado Ec. (4.233) es correcto, tenemos:

Aarbol(z) (z − z ) ih12i4 Aarbol(0) = −Res 4 = − l´ım 23 (4.234) 4 z→z23 z z→z23 z h12ih13i(z − z23)h34ih41i ih12i4 ih12i4 = − = − (4.235)  h23i  z23h12ih13ih34ih41i − h13i h12ih13ih34ih41i ih12i4 ih12i4 = = = Aarbol(0), q.e.d. (4.236) h23ih12ih34ih41i h12ih23ih34ih41i 4

A nivel ´arbol las amplitudes con un polo tienen un canal en el cual una part´ıculaes intercambiada entre un estado inicial y uno final y el residuo en dicho polo es obtenido como el producto de amplitudes de 3 puntos (ver Fig. (4.12)), la part´ıculase propaga en ˆµ ˆµ µ este canal con 4-momento k23(z) = −k2 (z) − k3 , el cual como se ha mencionado est´aen capa de masa, como se muestra a continuaci´on: ˆ2 k23(z) = h23i[32] + zh13i[32] = (h23ih13i − h13ih23i)[32] = 0, (4.237)

h23i arbol se puede decir entonces que el polo z = − h13i de la amplitud deformada A4 (z) nos ˆ2 dice que el propagador est´aen capa de masa, k23(z) = 0. La contribuci´ondel residuo viene de la suma de todos los posibles estados intermedios (en capa de masa), como se ilustra en los 2 diagramas de BCFW Figura (4.13). Veremos que solo el diagrama (b) contribuye.

53 CAP´ITULO 4. TECNICAS´ PERTURBATIVAS MODERNAS

Figura 4.12: Diagrama de BCFW 1

Contribuci´on del diagrama BCFW (a)

arbol En esta secci´onse calcula la contribuci´onde la amplitud a 4 puntos A4(a) correspon- diente a los diagramas BCFW que se muestran en la Fig. (4.13), comenzando el c´alculo para el diagrama (a), se tiene   arbol 1 − ˆ+ + i − + ˆ− A4(a) = − A3(1ˆ , k23, 4 ) A3(2ˆ , 3 , −k23), (4.238) z23 [32]h13i ˆ µ ˆµ µ µ con 1 = k1 (z23) y k23(z23) = k2 (z23) + k3 . El gorro “ˆ” sobre los 4-momentos significa que estos han sido calculados en el polo z = z23 (en este caso). Del grupo peque˜no de Wigner Secci´on(??) se conocen las expresiones b´asicas(bloques) de las amplitudes − ˆ+ + − + ˆ− A3(1ˆ , k23, 4 ) y A3(2ˆ , 3 , −k23), la primera es como sigue:

[kˆ 4]3 A (1ˆ−, kˆ+ , 4+) = −i 23 , (4.239) 3 23 ˆ [41][ˆ 1ˆk23] ˆ ˆ para calcular los productos [k234] y [1ˆk23], se realizar´ael c´alculoconsiderando el caso general [akˆ ]hkˆ 1i [akˆ ] = 23 23 , (4.240) 23 ˆ hk231i

54 4.5. INTRODUCCION´ A LA RELACION´ DE RECURSION´ BCFW

ˆ denotaremos w = hk231i el cual es llamado removedor de sombrero (hat removing), de tal forma que utilizando Ec. (4.53) podamos expresar Ec. (4.241) como sigue

[akˆ ]hkˆ 1i [a|k/ˆ |1i [a|2(/ z ) + 3/|1i [a|2(/ z )|1i + [a|3/|1i [akˆ ] = 23 23 = 23 = 23 = 23 (4.241) 23 w w w w [a|2/ + 3)/ |1i + z23 [a|γ |1i[2|γµ|1i = 2 µ , Identidad de Fierz (4.242) w 0 z23 ¨¨* [a| 2/ + 3)/ |1i + [2a]¨h11i [a| 2/ + 3)/ |1i = 2 = (4.243) w w : 0 : 0 (−[a2i[21i − [a2]h21i) + (−[a3i[31i − [a3]h31i) =   (4.244) w −[a2]h21i − [a3]h31i [a4]h41i = = , (4.245) w w

Figura 4.13: Diagramas BCFW que contribuyen al residuo

el resultado −[a2]h21i − [a3]h31i = [a4]h41i en el numerador de la Ec. (4.245) se obtiene por conservaci´onde momento Ec. (4.51), en el caso espec´ıficoque a = 4 de la Ec. (4.245) se obtiene: 0 [44]>h41i [4kˆ ] =  = 0, (4.246) 23 w el resultado de la Ec. (4.246) nos dice que el bloque MHV (diagrama (a) de la Fig. (4.13))

55 CAP´ITULO 4. TECNICAS´ PERTURBATIVAS MODERNAS

− ˆ+ + arbol no contribuye, es decir A3(1ˆ , k23, 4 ) = 0, por ende A4(a) = 0.

Contribuci´on del diagrama BCFW (b)

La contribuci´ondel diagrama (b) Fig. (4.13) es como sigue:

−i[3(−kˆ )]3  i  ih1kˆ i3 Aarbol = 23 23 , (4.247) 4(b) ˆ ˆ [−k232][23] s23 hk234ih41i para continuar con el c´alculoen la Ec. (4.247) debemos recordar que | − p] = i|p], luego procedemos a remover sombreros como se hizo con el diagrama (a), la ventaja es que no es necesario volver a calcular todo de nuevo ya que el resultado previo de la Ec. (4.245) (previo de definir el valor a = 4), nos sirve para el diagrama (b) Fig. (4.13), tenemos

[34][41] [3(−kˆ )] = i , (4.248) 23 w [24][41] [−kˆ 2] = −[2(−kˆ )] = −i , (4.249) 23 23 w el proceso de remover el sombrero para los productos que involucren brackets angulares se obtiene de forma an´alogaa los resultados que se muestran en las ecuaciones (4.241−4.245), y es como sigue

hakˆ i[kˆ 2] ha3i[32] hakˆ i = 23 23 = , (4.250) 23 ˆ [k232] w ˆ ˆ la ecuaci´on(4.250) permite encontrar los t´erminos h1k23i y hk234i h13i[32] h1kˆ i = , (4.251) 23 w h43i[32] hkˆ 4i = −h4kˆ i = − . (4.252) 23 23 w ˆ Se incluyo el nuevo removedor el sombrero w = [k232], note que usando la Ec. (4.250) y Ec. (4.245) obtenemos

h13i[32] w = hkˆ 1i = −h1kˆ i = − , (4.253) 23 23 w [24]h41i w = [kˆ 2] = −[2kˆ ] = − , (4.254) 23 23 w de donde se deduce que

ww = ww = −h13i[32] = −[24]h41i (4.255) w2w2 = h13i2[32]2 = [24]2h41i2 (4.256)

56 4.5. INTRODUCCION´ A LA RELACION´ DE RECURSION´ BCFW

Sustituyendo las expresiones de las ecuaciones (4.248,4.249,4.251,4.252,4.256) en la Ec. (4.245) obtenemos:

 [34][41] 3  h13i[32] 3 −i i w  i  i w Aarbol(z) = 4(b)  [24][41]  h23i[32]  h43i[32]  −i w [23] − w h41i −i6ww[34]3h41i3h13i3[32]3 −i5[34]3h41i¡3h13i3[32]3 = =  iw3w3[24]h41i[23]h23i[32]h43i[32]h41i 2 2 ¨¨2 3 w w [24]¨h41i (−1)[32] h23ih43i 3 ¨ 3 3 3 i[34] ¨h41¨ih13i i[34] h13i = = 3 , (4.257) [24]2h41i¡2[24]h23ih43i [24] h41ih23ih43i para simplificar a´unm´asel resultado de la Ec. (4.257) se debe usar de nuevo conservaci´on del momento Ec. (4.51), entonces tenemos que

3 Xhiki[kj] = hi1i[1j] + hi2i[2j] + hi3i[3j] + hi4i[4j] = 0, (4.258) k=1 fijando i = 1 y j = 4 en Ec. (4.258) obtenemos

0 0 ¨¨* > ¨h11i[14] + h12i[24] + h13i[34] + h14i[44] = h12i[24] + h13i[34] = 0 (4.259) h12i[24] = −h13i[34], (4.260) sustituyendo la Ec. (4.260) en la Ec. (4.257) se obtiene finalmente

3 3 3   4 arbol −ih12i [24] −ih12i h12i ih12i A4(b) (z) = = = , (4.261) 3 h41ih23i(−1)h34i h12i h12ih23ih43ih41i [24] h41ih23ih43i que es justamente el resultado de Parke - Taylor.

Probar por inducci´on la f´ormula de Parke - Taylor

Se probara la f´ormula de Parke - Taylor Ec. (4.262) utilizando la recursi´onBCFW.

ihjni4 Aarbol(1+, 2+, ..., j−, ..., (n − 1)+, n−) = , (4.262) 4 h12ih23i....hn1i haciendo desplazamientos complejos en |n1i, es decir:

|1i → |1i + z|ni, (4.263) |n] → |n] − z|1]. (4.264)

Los diagramas BCFW que se pueden tener para esta deformaci´onecuaciones (4.263,4.264) se muestran en Fig. (4.13).

57 CAP´ITULO 4. TECNICAS´ PERTURBATIVAS MODERNAS

Figura 4.14: Diagramas BCFW

El diagrama (a) de la Fig. (4.14) no contribuye ya que no se desarrolla polo debido a que se tiene los dos 4-momentos desplazados en el mismo lado, el diagrama (c) no contribuye ya que la amplitud de 3 puntos de la parte inferior tiene todas las helicidades positivas, el diagrama (d) parte derecha (con x roja) tampoco contribuye debido a que la amplitud inferior tiene (n − 3) helicidades negativas y una positiva. Los ´unicosdiagramas BCFW que contribuyen en Fig. (4.14) son el (b) y la parte izquierda del diagrama (d) (cheque rojo). La contribuci´ona la amplitud de n puntos para el diagrama (d).

58 Cap´ıtulo5

Fenomenolog´ıadel Gravitino

5.1. Decaimiento del Stop a tres Cuerpos (utilizando el m´etodo tradicional)

Las propiedades de las teor´ıassupersim´etricastanto en el dominio ultravioleta como infrarrojo han tenido un gran impacto en los distintas ´areasde f´ısicade part´ıculas, incluyendo construcci´onde modelos, fenomenolog´ıa,cosmolog´ıay aspectos formales de la teor´ıacu´antica de campos [11]. En particular, las extensiones supersim´etricas del SM pueden incluir una simetr´ıadiscreta, la Paridad-R, la cual garantiza la estabilidad de la part´ıculasupersim´etrica m´asligera [12], lo que permite a la LSP ser un buen candidato para DM. Los candidatos para la LSP en el MSSM incluyen los sneutrinos, el neutralino y el gravitino. La mayor´ıade los estudios se han enfocado en el neutralino LSP [47], mientras que los escenarios con el sneutrino LSP se ven m´asrestringidos [48].

Los escenarios con el gravitino LSP como DM han sido considerados de igual forma [49, 14, 50]. En tales escenarios, la naturaleza de la siguiente part´ıculasupersim´etrica m´asligera determina su fenomenolog´ıa[52, 51]. Los posibles candidatos para el NLSP incluye al neutralino [53, 54], el chargino [55], o los sleptones cargados [56] y tambi´enal sneutrino [57, 58, 59, 60].

El NLSP puede tener una vida media muy grande debido a que la interacci´ongra- vitacional es muy d´ebil,esto conduce a escenarios con part´ıculasescalares cargadas metaestables que podr´ıantener signaturas dram´aticasen los colisionadores de part´ıcu- las [61, 62], lo que podr´ıaafectar la nucleos´ıntesis del big bang (BBN por sus siglas en ingl´es)(BBN) [63, 64].

Las especias de squarks pueden tambi´enser el NLSP, y en esos casos los candidatos naturales pueden ser el sbottom [20, 65, 66] o el stop ligero t˜1. Existen muchas cons- tricciones experimentales y cosmol´ogicaspara los escenarios con el gravitino LSP y el stop NLSP que se han discutido en [21]. Resulta que la vida media del stop t˜1 puede ser muy grande, en esos casos los l´ımitesrelevantes vienen del colisionador Tevatron y estos

59 CAP´ITULO 5. FENOMENOLOG´IA DEL GRAVITINO implican que m > 220 GeV [22] 1. Conocer con alta precisi´onla vida media del stop es t˜1 fundamental en este escenario, y este es precisamente el objetivo de esta secci´onde mi trabajo de tesis. Se presenta el c´alculodetallado de la vida med´ıadel stop, para la regi´on µ cinem´aticadel decaimiento a tres cuerpos del stop t˜1 → Ψe W b. Adem´asde presentar el c´alculode la amplitud utilizando la funci´onde onda completa del gravitino, se muestra el c´alculodel decaimiento a tres cuerpos (y la vida media del stop) utilizando el teorema de equivalencia entre el gravitino-goldstino [67].

5.2. Vida media del Stop

En esta secci´oncomenzamos dando algunas formulas relevantes para los par´ametros que aparecen en las reglas de Feynman del gravitino dentro del MSSM. La matriz de masa del stop puede escribirse como

2 2 ! 2 MLL MLR Mft˜ = 2 † 2 , (5.1) MLR MRR donde las entradas toman la forma 1 M 2 = M 2 + m2 + cos 2β (4m2 − m2 ), LL L t 6 W Z 2 M 2 = M 2 + m2 + cos 2β sin2 θ m2 , (5.2) RR R t 3 W Z 2 MLR = −mt(At + µ cot β) ≡ −mtXt .

Los autovalores correspondientes est´andados por

2 2 1 2 2 1 2 ∆ m˜ = mt + (ML + MR) + mZ cos 2β − , (5.3) t1 2 4 2 y 2 2 1 2 2 1 2 ∆ m˜ = mt + (ML + MR) + mZ cos 2β + , (5.4) t2 2 4 2 2 2  2 2 1 2 2  2 2 donde ∆ = ML − MR + 6 cos 2β(8mW − 5mZ ) + 4 mt |At + µ cot β| . El ´angulode ˜ ˜ mezcla θt˜ aparece en la matrix de mezcla que relaciona la base debil (tL, tR) y los 2 2 (m˜ −M ) ˜ ˜ t1 LL autoestados de masa (t1, t2), y es dada por tan θt˜ = 2 . Con estas expresiones es |MLR| claro que para obtener un stop muy ligero, es necesario tener un valor muy grande para los par´ametrostril´ınealessuaves que rompen supersimetr´ıa[20]. Resulta que dicho escenario ayuda a obtener un valor para la masa del Higgs en concordancia con la masa medida en el LHC (125-126 GeV), esto de manera consistente dentro del MSSM. Siguiendo la referencia [35], derivamos las expresiones para todas las interacciones relevantes que aparecen en las amplitudes del ancho de decaimiento (t˜1 → Ge W b), cuyos diagramas de

1 El gran colisionador de hadrones (LHC) probablemente sea sensitivo al stop metaestable t˜1.

60 5.2. VIDA MEDIA DEL STOP

Feynman se muestran en Figuras [5.1-5.3]. Se necesitaran los siguientes v´ertices

1 ν µ V (t˜ t Ge) = −√ (γ γ p )(cos θ˜P + sin θ˜P ), (5.5) 1 1 2M ν t R t L ig V (t b W ) = √2 γ P , (5.6) 2 2 ρ L ig κ V (t˜ W ˜b ) = − √2 i (p + q ) , (5.7) 3 1 i 2 1 µ 1 ν µ V (˜b b Ge) = −√ (γ γ q )(a P + b P ), (5.8) 4 i 2M 2ν i R i L + V5(t˜1 b χi ) = −i(Si + Piγ5), (5.9) + 1  1 ρ µ V (χ W Ge) = −√ − pγ/ γ (V P − U P ) (5.10) 6 i 2M 4 1i R i1 L ν µ  − mW γ γ (Vi2 sin βPR + Ui2 cos βPL) , donde t˜1 denota el stop ligero, donde t es el quark top y Ge denota el gravitino. Al quark + bottom lo denotamos con b, mientras que al boson de norma lo denotamos como W , χi ˜ denota al chargino y bi es el sbottom. Adem´as, PR and PL corresponden a los proyectores derecho e izquierdo.

Para el caso cuando el gravitino se aproxima al goldstino, el v´erticede interacci´on que aparece en las amplitudes para el ancho de decaimiento (t˜1 → G W b) es el siguiente   m2 − m2 t t˜1 Ve (t˜ t G) =  √  (cos θ˜P + sin θ˜P ), (5.11) 1 1 2 3Mm t R t L Ge  2 2  mb − m˜b Ve (˜b b G) =  √ i  (a P + b P ), (5.12) 4 i 2 3Mm i R i L Ge m + + χ ρ Ve (χ WG) = −√ i [pγ/ (V P − U P )], (5.13) 6 i 6Mm 1i R i1 L Ge ˜ + donde los v´ertices V2(t b W ),V3(t˜1 W bi) y V5(t˜1 b χi ) siguen siendo los mismo que las del gravitino.

˜ 5.2.1. Amplitudes para t1 → Gf W b

El tiempo de vida media del stop fue calculado en [21], donde la contribuci´on del chargino fue aproximada, ´unicamente se consider´oel t´erminodominante de la interacci´on.En esta tesis, se presenta el c´alculode las amplitudes considerando la interacci´oncompleta, de igual forma se determina la importancia de considerar el t´erminopreviamente despreciado. Los resultados num´ericosde la vida media del stop que se presentan reflejan la importancia de incluir la correcci´onal v´ertice. En lo que sigue, se necesita considerar los siguientes diagramas de Feynman Figuras [5.1,5.2,5.3], que contribuyen a la amplitud del decaimiento del stop t˜1(p) → Ge(p1) W (k) b(p2), la

61 CAP´ITULO 5. FENOMENOLOG´IA DEL GRAVITINO asignaci´onde los momentos se muestran en los par´entesis. b Ψµ V2 V3 V4 V1 t W t˜ ˜b t˜1 1 i

Ψµ bW Figura 5.1: Diagrama mediado por Figura 5.2: Diagrama mediado por el quark top el sbottom

Ψµ

V5 V6 + t˜1 χi

Wb Figura 5.3: Diagrama me- diado por el chargino

La amplitud total es dada por:

C M = Mt + M˜ + M + , (5.14) bi χi

C donde Mt, M˜ , M + denota las amplitudes de las part´ıculasmediadoras top, sbottom bi χi y el chargino respectivamente. En el c´alculode Ref. [21], el diagrama mediado por el + chargino ´unicamente se incluyo parte del v´ertice V6(χi W Ge). Aqu´ı,con el objetivo de c c tener control del v´ertice V6 y por ende de M + , vamos a separar M + en dos t´erminos, χi χi esto es como sigue c 0 M + = M + + Mf + , (5.15) χi χi χi 0 donde M + denota la amplitud considerada en [21], que solo incluye el segundo t´ermino χi de (5.10) (con dos matrices gamma), mientras que Mf + incluye el primer t´ermino(con χi tres matrices gamma). Entonces, la amplitud cuadrada y promediada (5.14) es como sigue

2 2 2 0 2 2  0 † † | M | =| M | + | M | + | M + | + | M + | +2 Re M M + + M M t ˜b χ fχ + fχ t ˜b i i i χi i i † 0 † † 0 †  + Mt M + + Mt Mf + + M˜ M + + M˜ Mf + . (5.16) χi χi bi χi bi χi

62 5.2. VIDA MEDIA DEL STOP

Considerando los v´ertices Vi de cada diagrama, podemos construir las amplitudes

µ ρ Mt = CtPt(q1) Ψµp (At + Btγ5)(q/1 + mt)γ ρ(k)PLu(p2), (5.17) µ ρ M˜ = C˜ P˜ (q ) Ψ q (a P + b P )p  (k)P u(p ), (5.18) bi bi bi 2 µ 2 i l i R ρ L 2 0 0 ρ µ M + = C + P + (q3) Ψµγ ρ(k)γ (Vi + Λiγ5)(q/3 + mχ)(Si + Piγ5)u(p2), (5.19) χi χi χi ρ µ Mf + = C + P + Ψµpγ/ γ (Ti + Qiγ5)ρ(k)(/q + mχ)(Si + Piγ5)u(p2). (5.20) χi χi χi 3

g2 g2κi 0 mW 1 Donde Ct = , C˜ = , C + = and C + = . Hemos definido q1 ≡ p−p1, q2 ≡ 2M bi M χi M χi 8M p − k y q3 ≡ p − p2, y ρ(k) denota el W vector de polarizaci´on.Despu´esde desarrollar la evaluaci´onde cada expresi´on,encontramos una manera conveniente de expresar las amplitudes cuadradas

| M |2= C2 | P (q ) |2 W , (5.21) ψa ψa ψa a ψaψa donde ψ = (t, ˜b , χ+). Las funciones P (q ) corresponden a los denominadores de los a j k ψa a + propagadores, para el caso del chargino ψa = χi , tenemos 1 P + (q3) = . (5.22) χi 2 2 q3 − m + + i χi

Se encuentran expresiones similares para las contribuciones del sbottom y top, P˜b(q2) and P (q ). Los t´erminos W incluyen las trazas asociadas a cada amplitud cuadrada t 1 ψaψa y promediada. h W = Tr M D pµpν(A + B γ )(q + m )γρ tt ρσ µν t˜ t˜ 5 /1 t i P p P γσ(q + m )(A − B γ ) , (5.23) L/2 R /1 t t˜ t˜ 5 h ρ σ µ ν i W˜ ˜ = Tr p p M D q q (R + Z γ )p (R − Z γ ) , (5.24) bibi ρσ µν 2 2 i i 5 /2 j j 5 0 h ρσ W + + = Tr MρσD (Vi + Λiγ5)(q/3 + mχ)(Si + Piγ5)p/ (5.25) χi χi 2 i (Sj − Pjγ5)(q/3 + mχ)(Vj − Λjγ5) ,

h ρ µ W + + = Tr MρσDµνpγ/ γ (Ti + Qiγ5)(/q + mχ)(Si + Piγ5)p/ (Sj − Pjγ5) (5.26) χi χi 3 2 i (q + m )(T − Q γ )γνγσp . /3 χ j j 5 /

63 CAP´ITULO 5. FENOMENOLOG´IA DEL GRAVITINO

Por simplicidad, se ha escrito la relaci´onde completitud para el campo del gravitino y el boson W como sigue:

3 X ~ ∗ ~ kρkσ ρ(k, λ)σ(k, λ) = −gρσ + 2 = Mρσ (5.27) λ=1 mW 3 ( ! X ˜ ˜ pµpν Ψµ(~p1, λ)Ψν(~p1, λ) = −(p/ + m ˜) × gµν − (5.28) 1 G m2 λ˜=1 G˜ ! ! ) 1 p p p p − g − µ σ g − ν λ γσγλ = D . (5.29) 3 µσ 2 νλ 2 µν mG˜ mG˜ Las funciones W dependen de los productos escalares de los momentos (variables tipo ψaψa Mandelstam) p, p1, p2, k, q1, q2 and q3. Despu´esde analizar cuidadosamente los resultados de las trazas (evaluadas con Mathematica), encontramos que estas funciones pueden expresarse como potencias de de las masas de los estados intermedios

W = w + m w + m2 w . (5.30) ψaψa 1ψaψa ψa 2ψaψa ψa 3ψaψa Las expresiones para cada funci´on w ∀ i = 1, 2, 3 se incluyen en el Ap´endice ??. iψaψa Adem´as,encontramos que los t´erminosde interferencia pueden ser escritos de una forma similar, es decir: M† M = C C P ∗ (q )P (q )W . (5.31) ψa ψb ψa ψb ψa a ψb b ψaψb De nuevo, como en el caso previo, la funci´on W incluye las trazas que aparecen en ψaψb las interferencias, espec´ıficamente tenemos:

h ρ µ Wfχ + χ + = Tr MρσDµνpγ/ γ (Ti + Qiγ5)(/q + mχ)p/ (Si − Piγ5)(Sj − Pjγ5) (5.32) i i 3 2 i (q + m )(V − Λ γ )γνgσ , /3 χ j j 5 h ρ σ µ ν i W ˜ = Tr M p p/ P γ (/q + m )(A˜ − B˜γ )p D q (R + Z γ ) , (5.33) tbi ρσ 2 R 1 t t t 5 µν 2 i i 5 h σ µρ W + = Tr Mρσp/ PRγ (/q + mt)(At˜ − Bt˜γ5)pµD (Λi + Viγ5)(/q + mχ) (5.34) tχi 2 1 3 i (Si + Piγ5) ,

h ρ µ ν σ Wf + = Tr MρσDµνpγ/ γ p (Ti + Qiγ5)(/q + mχ)(Si + Piγ5)p/ PRγ (5.35) tχi 3 2 i (q + m )(A − B γ ) , /1 t t˜ t˜ 5 h ρ W +˜ = Tr Mρσp (pν − kν)p/ (Si − Piγ5)(/q + mχ)(Λi − Viγ5) (5.36) χi bi 2 3 νσ i D (Rj + Zjγ5) ,

h ν ν Wf +˜ = Tr MρσDµν(p − k )(Ri + Ziγ5)p/ (Si − Piγ5)(/q + mχ) (5.37) χi bi 2 3 µ ρ σi (Ti − Qiγ5)γ γ pp/ .

64 5.2. VIDA MEDIA DEL STOP

Resulta que las funciones W pueden ser expresadas tambi´enen potencia de las masas ψaψb de los estados intermedios

W = w + m (w + m w ) + m w . (5.38) ψaψb 1ψaψb ψa 2ψaψb ψb 3ψaψb ψb 4ψaψb Los w ∀ j = 1, 2, 3, 4 son como las funciones w , funciones de variables tipo- jψaψb iψaψa Mandelstam determinadas completamente por la cinem´aticadel decaimiento que estu- diamos. Consideramos que (5.30) y (5.38) son una manera ´utilde presentar nuestros resultados as´ıcomo una forma f´acilde calcular trazas complicadas. El ancho de decai- miento puede ser obtenido despu´esde integrar el espacio de fase de tres cuerpos.

2 dΓ m˜ = t1 | M |2 . (5.39) dx dy 256 π3

E E Las variables x y y est´andefinidas como x = 2 Ge y y = 2 W . Los resultados num´erico m˜ m˜ t1 t1 1 para la vida media τ = Γ se presentan y discuten en la Secci´on5.3.

˜ 5.2.2. Amplitudes para t1 → G W b con la aproximaci´ongravitino ∼ goldstino

En esta secci´onse presentan los c´alculosdel decaimiento del stop usando el teorema de equivalencia en altas energ´ıas,donde el gravitino se aproxima al goldstino [67]. En el l´ımitede altas energ´ıas(m  m ˜ ) es posible considerar al campo del gravitino Ge t1 (esp´ın-3/2)como la derivada del campo del goldstino (esp´ın-1/2).

En esta secci´onde igual manera consideramos los mismos diagramas de Feynman Figuras (5.1,5.2,5.3) que se usaron en la Secci´on5.2.1, pero con la salvedad que el q gravitino es considerado ahora como el goldstino. Reemplazando Ψ → i 2 1 ∂ Ψ en G 3 m µ e G el Lagrangiano de interacci´ondel gravitino, se obtiene un Lagrangiano efectivoe del cual se deducen las nuevas reglas de Feynman para el goldstino como se muestra en [35]. La amplitud cuadrada y promediada para el goldstino se escribe entonces como sigue:

G 2 G 2 G 2 G 2 | M | =| Mt | + | M˜ | + | M + | (5.40) bi χi G † G G † G G † G + 2 Re(Mt M˜b + Mt M + + M˜ M + ). i χi bi χi Como en la Secci´onprevia 5.2.1, es posible construir las amplitudes a partir de los v´ertices de los diagramas de Feynman, es decir:

MG = C P (q )Ψ(A + B γ )(q + m )γρP  (k)u(p ), (5.41) t et t 1 t˜ t˜ 5 /1 t L ρ 2 G 5 σ M˜ = Ce˜ P˜ (q )Ψ(R + Z γ )u(p )p  (k), (5.42) bi bi bi 2 i i 2 σ G ρ M + = Ce + P + (q3)pγ/ (Ti + Qiγ5)Ψρ(k)(/q + mχ)(Si + Piγ5)u(p2). (5.43) χi χi χi 3 Donde el super-´ındice“G” que aparece en las amplitudes (5.41-5.43) se refieren a las

65 CAP´ITULO 5. FENOMENOLOG´IA DEL GRAVITINO amplitudes del goldstino. Las constantes que aparecen en frente de cada amplitudes 2 2 2 2 ! ! m + m −m˜ mb −m˜ t t1 bi χi son; Cet = −g2 √ , Ce˜ = g2κi √ y Ce + = − √ . Se obtienen 4 6Mm bi 4 6Mm χi 6Mm Ge Ge Ge expresiones similares a los que se encontraron en Ec. (5.21) para las amplitudes cuadradas y promediadas del goldstino, es decir

| MG |2= C2 | P (q ) |2 W G , (5.44) ψa eψa ψa a ψaψa donde la funci´on W G incluye las trazas correspondientes a las amplitudes cuadradas ψaψa del goldstino, que son como sigue: h W G = Tr (p + m )(A + B γ )(q + m )γρP M p (5.45) tt /1 G˜ t˜ t˜ 5 /1 t L ρσ/2 i P γσ(q + m )(A − B γ ) , R /1 t t˜ t˜ 5 G h ρ σ i W˜ ˜ = Tr p p M (p/ + m ˜)(B + Z γ )p/ (B − Z γ ) , (5.46) bibi ρσ 1 G i i 5 2 j j 5 G h ρ W + + = Tr Mρσ(p/ + m ˜)pγ/ (Ti + Qiγ5)(/q + mχ)(Si + Piγ5)p/ (5.47) χi χi 1 G 3 2 i (S − P γ )(q + m )(T − Q γ )γσp , j j 5 /3 χ j j 5 / las funciones W G dependen de productos escalares de los momentos de las part´ıculas ψaψa en capa de masa p, p1, p2, k, q1, q2 and q3, estas funciones se expresan en potencias de las masas de los estados intermedios

W G = wG + m wG + m2 wG . (5.48) ψaψa 1ψaψa ψa 2ψaψa ψa 3ψaψa De nuevo, los t´erminosde interferencia para el goldstino se escriben de la siguiente forma

G † G ∗ G M M = Ce Ce P (q )P (q )W . (5.49) ψa ψb ψa ψb ψa a ψb b ψaψb Las funciones W corresponden a las trazas que se involucran en los t´erminosde ψaψb interferencias, es decir:

G h σ ρi W ˜ = Tr M p/ P γ (/q + m )(A˜ − B˜γ )(p/ + m ˜)(B + Z γ )p , (5.50) tbi ρσ 2 R 1 t t t 5 1 G i i 5 G h ρ W + = Tr Mρσ(p/ + m ˜)pγ/ (Ti + Qiγ5)(/q + mχ)(Si + PI γ5) (5.51) tχi 1 G 3 i p P γσ(q + m )(A − B γ ) , /2 R /1 t t˜ t˜ 5 G h ρ σi W +˜ = Tr Mρσp/ (Si − Piγ5)(/q + mχ)(Ti − Qiγ5)γ p/(p/ + m ˜)(Rj + Zjγ5)p . χi bi 2 3 1 G (5.52)

Las funciones W G se expresan en como potencia de las masas de los estados intermedios: ψaψb

W = wG + m (wG + m wG ) + m wG . (5.53) ψaψb 1ψaψb ψa 2ψaψb ψb 3ψaψb ψb 4ψaψb

Las expresiones completas para wG ∀ j = 1, 2, 3, 4 tambi´ense encuentran el Ap´endice jψaψb

66 5.3. RESULTADOS NUMERICOS´

??.

5.3. Resultados Num´ericos

El ancho de decaimiento se obtiene al integrar el ancho de decaimiento diferencial sobre las variables adimensionales x, y, este tiene los siguientes l´ımitesde integraci´on: 2 mi 2µG < x < 1 + µG˜ − µW with µi = 2 and m˜ t1

q 2
(2 − x) µG˜ + µW − x + 1 ± x − 4µG˜ µG˜ − µW − x + 1 y± =
, (5.54) 2 µG˜ − x + 1

2 Z 1+µG−µW Z y+ m t˜1 2 Γ = 3 | M | dy dx. (5.55) 2µG y− 256 π Despu´esde integrar num´ericamente las expresiones para el ancho de decaimiento diferen- cial, se obtiene los valores para el ancho de decaimiento para un determinado conjunto de par´ametros.Consideramos dos valores para las masas del stop, m = 200 GeV and t˜1 mt˜ = 350 GeV , adem´asfijamos la masa del chargino a m + = 200, 500 GeV , mientras 1 χi que la masa del sbottom se fija a m˜ = 300, 500 GeV . En las Figuras (5.4,5.5) mostramos bi el tiempo de vida media del stop como funci´onde la masa del gravitino, la cual est´a dentro del rango 200-250 GeV para el caso que la masa del stop es m = 350 GeV , y t˜1 50-100 GeV for m = 100 GeV . Mostramos los resultados para el caso cuando se utiliza t˜1 la expresi´oncompleta para la interacci´onchargino-gravitino-W (c´ırculos),adem´asel caso en el que se aproxima este v´ertice, como se hizo en la Ref. [21] (tri´angulos),y tambi´enpresentamos el caso en el que gravitino es aproximado al goldstino (cuadros). Observamos que para valores peque˜nosde la masa del gravitino el resultado completo se vuelve indistinguible del caso con goldstino en el estado final, adem´asel resultado parcial muestra un comportamiento similar. Para masas grandes del gravitino (m =∼ m˜ ) el Ge t1 resultado de la vida media del stop usando el gravitino completo (esp´ın-3/2)y el caso que el gravitino se aproxima al goldstino (esp´ın-1/2)los resultados son muy diferentes, incluso hasta O(50 %) diferentes. No se sabe en la literatura que tan diferentes pueden ser estos resultados para diferentes valores de la masa del gravitino. En los cap´ıtulos siguientes, despu´esde introducir el Formalismo de Helicidad masivo mostramos como en el marco de las amplitudes de dispersi´ones posible distinguir anal´ıticamente la diferencia entre las amplitudes que involucran gravitinos en el estado final y las que involucran goldstinos. De hecho, creemos que es posible expresar las amplitudes del gravitino a partir de las amplitudes de goldstino, lo que seria remarcable ya que entender´ıamosuna relaci´onentre amplitudes con part´ıculasde diferente esp´ın,una especia de transmutaci´on de amplitudes.

Los valores del tiempo de vida medio obtenidos en todos los casos resultan ser del orden 107 − 1012 segundos, lo que resulta en un escenario con una vida media del stop muy grande, esto tiene implicaciones especiales tanto en cosmolog´ıacomo en f´ısicade colisiones, como se discute en la referencia [21].

67 CAP´ITULO 5. FENOMENOLOG´IA DEL GRAVITINO

Figura 5.4: Tiempo de vida media del stop (1)

Figura 5.5: Tiempo de vida media del stop (1)

68 No podemos resolver nuestros problemas con la misma manera de pensar que usamos cuando los creamos

Albert Einstein

Cap´ıtulo6

Amplitudes de Helicidad para Interacciones con Gravitino Masivo

Un tremendo progreso se ha hecho en los recientes a˜nospara entender la evaluaci´on de las amplitudes en teor´ıasde norma, incluyendo las interacciones gravitacionales y las teor´ıasde Yang-Mills [5], [81]. Resultados muy impresionantes para las amplitudes con multiples part´ıculasse han derivado [82, 83], lo que permite evaluar amplitudes de helicidad con multiples part´ıculasen los estados asint´oticos.Algunos de los resultados se han derivado para la teor´ıa N = 4 Super Yang Mill, donde se muestran muchas regularidades que la hacen parecer “la teor´ıacu´antica m´assimple” [84]. Explorando si las teor´ıascon supersimetr´ıalocal (tambi´enconocida como supergravedad) mantiene algunas de estas propiedades. En el caso realista, es decir considerando la masa de las part´ıculasserian tambi´enmuy interesante identificar estas regularidades que permiten calcular de manera eficiente las amplitudes de dispersi´on.

Uno quisiera tener el mismo progreso en el caso masivo, ambos desde el punto de vista con relevancia formal, pero tambi´enpara las implicaciones fenomenolog´ıas.a saber, los colisionadores como el LHC tienen como objetivo estudiar estados masivos, como es el caso del quark top, los bosones W, Z, Higgs, las cuales tienen masas que no son despreciables comparadas con la energ´ıa del centro masa, es decir la energ´ıacon la que se colisionan las part´ıculas.Idealmente, si es posible, nos gustar´ıaentender los efectos de la masa considerando el caso masivo como una perturbaci´ondel caso sin masa. Pensamos que es posible aprender sobre el caso masivo estudiando modelos espec´ıficos.

Con este objetivo, estamos interesados en estudiar las aplicaciones del formalismo de helicidad para tratar amplitudes que involucren gravitinos masivos, los cuales aparecen como el compa˜nerosupersim´etricodel graviton en supergravedad N = 1. Estudiar el gravitino tiene relevancia de por si, tanto en f´ısicade part´ıculascomo en cosmolog´ıa.En parte debido a que cuando la extensi´onm´ınimasupersim´etricadel modelo est´andar de part´ıculaselementales es incorporada dentro de SUGRA, el espectro de SUSY incluye al

69 CAP´ITULO 6. AMPLITUDES DE HELICIDAD PARA INTERACCIONES CON GRAVITINO MASIVO

gravitino, el cual puede figurar como la part´ıculasupersim´etricam´asligera (LSP pos sus siglas en ingl´es).De ahi que puede ser un candidato para materia oscura [85]. De hecho, la extensi´onsupersim´etrica del modelo est´andarde part´ıculaselementales ha sido estudiada muy ampliamente, y sus efectos y predicciones se han buscado a bajas y a altas energ´ıas.

Estudiar las propiedades del gravitino y sus implicaciones tanto para f´ısicade colisiones como para el Universo temprano, requiere de la evaluaci´onde muchos procesos que pueden ser extremadamente complicados de realizar anal´ıticay num´ericamente, esto debido a la forma de los propagadores y a la relaci´onde completitud que surge por los gravitinos en el estado final. Algunas simplificaciones pueden surgir para el caso que el gravitino se aproxima al goldstino [36, 37, 38, 39, 40, 41]. Ya hemos considerado en la Secci´on 5.1 algunos aspectos de la fenomenolog´ıadel gravitino. En particular estudiamos el ˜ decaimiento del stop t˜→ t W Ψµ [85], este resultado muestra la complejidad y algunas complicaciones en la t´ecnicade c´alculoutilizada en ese momento. Nos gustar´ıatrabajar con un formalismo basado en los m´etodos de helicidad para tratar con dichos decaimientos, as´ıcomo otros procesos que aparecen en el estudio de la fenomenolog´ıadel gravitino. Algunos c´alculosque tienen que ver con el gravitino se han presentado ya hace mucho tiempo [86, 87, 88]; m´etodos m´asmodernos se han incorporado en programas tales como Madgraph [89]. Sin embargo, estos m´etodos tienen todav´ıaalgunas limitaciones, por ejemplo que solo dan salida num´ericay no todos los v´erticesde supergravedad est´an incluidos en el programa.

En general, incorporar el caso masivo no es tratado con gran generalidad en la literatura, lo que fue uno de nuestros objetivos para este trabajo de tesis. En esta secci´onse presenta la implementaci´onde las reglas de Feynman para el gravitino con una notaci´onapropiada, la que permite reducir c´alculosenormes y complicados de realizar anal´ıticamente utilizando el enfoque tradicional. De alguna manera tratamos de entender a profundidad la estructura de las amplitudes con part´ıculasmasivas en los estados asint´oticos,no solo pretendemos realizar nuestros c´alculos m´aseficientes para luego realizar fenomenolog´ıa.

Comenzamos abordando las soluciones de la ecuaci´onde Rarita-Schwinger (describe el movimiento de las part´ıculascon esp´ın-3/2)en la Secci´on6.1. Con estas soluciones procedemos a implementar los m´etodos de helicidad para expresar los cuatro estados del gravitino en t´erminosde las variables espinoriales (bra y kets). Finalmente realizamos + − ˜ µ + − ˜ ˜ varios c´alculosde reacciones como son; e e → Ψ χ˜0 and e e → GG as´ıcomo el µ decaimiento a dos cuerpos del neutralino χ˜0 → Ψ + γ, el cual es usado para comparar el ancho de decaimiento del gravitino y con su aproximaci´ona goldstino.

6.1. Formalismo de Espinores de Helicidad para el gravi- tino masivo de esp´ın-3/2

Con el objetivo de calcular amplitudes de dispersi´oncon gravitinos en el estado final, debemos usar la ventaja que el formalismo de espinores de helicidad [32, 43, 44, 90, 91]

70 6.1. FORMALISMO DE ESPINORES DE HELICIDAD PARA EL GRAVITINO MASIVO DE ESP´IN-3/2 provee para manejar c´alculosperturbativos en teor´ıasde campos cu´anticos. En principio, queremos calcular amplitudes de dispersi´onconsiderando part´ıculasmasivas. Por lo tanto, ser´anecesario utilizar la descomposici´ondel cono de luz (LCD pos sus siglas en ingl´es) [92, 93, 94], lo que permite expresar momentos masivos (p2 = −m2) en t´erminosde momentos no masivos (p2 = 0).

La ecuaci´onde Rarita-Schwinger [43, 95, 96] es equivalente al siguiente conjunto de ecuaciones:

γ Ψ˜ µ (p) = 0, (6.1) µ λp p Ψ˜ µ (p) = 0, (6.2) µ λp (p − m˜ )Ψ˜ µ (p) = 0. (6.3) / λp Los cuatros estados de polarizaci´ondel gravitino en el espacio de momentos que obedecen a estas ecuaciones son escritas como sigue: ˜ µ µ Ψ++(p) = +(p)u+(p), (6.4) ˜ µ µ Ψ−−(p) = −(p)u−(p), (6.5) r2 1 Ψ˜ µ (p) = µ(p)u (p) + √ µ (p)u (p), (6.6) + 3 0 + 3 + − r2 1 Ψ˜ µ (p) = µ(p)u (p) + √ µ (p)u (p). (6.7) − 3 0 − 3 − +

µ µ Se sabe en la literatura como expresar los vectores de polarizaci´on ±(p), 0 (p) as´ıcomo tambi´enlos espinores masivos de Dirac u±(p) en t´erminos de la notaci´onmoderna que involucran bra y kets (pero no en el sentido de espacios de Hilbert, ac´aes puramente una notaci´onmuy adecuada) [97]. No es muy complicado expresar los cuatros estados del gravitino en esta notaci´onde bra-kets, estos se muestran a continuaci´on

hr|γµ|q]  |q]  Ψ˜ µ (p) = √ |ri +m ˜ , (6.8) ++ 2[rq] [rq] hq|γµ|r]  |qi  Ψ˜ µ (p) = √ |r] +m ˜ , (6.9) −− 2hrqi hrqi r µ µ !   µ   ˜ µ 2 r q |qi 1 hq|γ |r] |q] Ψ−(p) = − m˜ |r] +m ˜ + √ √ |ri +m ˜ , (6.10) 3 m˜ sqr hrqi 3 2hrqi [rq] r µ µ !   µ   ˜ µ 2 r q |q] 1 hr|γ |q] |qi Ψ+(p) = − m˜ |ri +m ˜ + √ √ |r] +m ˜ , (6.11) 3 m˜ sqr [rq] 3 2[rq] hrqi donde los cuadri-momentos rµ and qµ son no masivos (r2 = q2 = 0), y las variables 2 tipo-Mandelstam cumplen sqr = −(q + r) = −2q · r. Para nuestros objetivos en esta tesis, ser´amuy ´utilreordenar los cuatro estados del gravitino como una expansi´onen

71 CAP´ITULO 6. AMPLITUDES DE HELICIDAD PARA INTERACCIONES CON GRAVITINO MASIVO t´erminosde la masa del gravitino (m ˜ ), es decir: ˜ µ µ µ Ψ++(p) = β1 |ri +mβ ˜ 2 |q], (6.12) ˜ µ ∗µ ∗µ Ψ−−(p) = −β1 |r] +mβ ˜ 2 |qi, (6.13) ˜ µ µ µ µ 2 µ µ 3 µ Ψ−(p) = β3 |r] +m ˜ (β4 |qi + β5 |ri) +m ˜ (β6 |r] + β7 |q]) +m ˜ β8 |qi, (6.14) ˜ µ ∗µ ∗µ ∗µ 2 ∗µ ∗µ 3 ∗µ Ψ+(p) = β3 |ri − m˜ (β4 |q] + β5 |r]) +m ˜ (β6 |ri + β7 |qi) − m˜ β8 |q]. (6.15)

La masa del gravitino m˜ est´adirectamente conectada con la escale de energ´ıa F con la que SUSY es rota, su relaci´onexacta es m˜ = √F , donde M la hemos definido anteriormente 3M µ como la masa de Plank. Las expresiones para todos las βi (∀ i = 1 ... 8) se muestran en la table 6.1.

µ ∗µ i βi βi hqrihr|γµ|q] µ 1 √ [rq√]hq|γ |r] 2sqr 2sqr hqri2hr|γµ|q] [rq]2hq|γµ|r] 2 √ 2 √ 2 2sqr 2sqr 3 ηrµ ηrµ µ µ 4 η[qr]r ηhrqir sqr sqr µ µ 5 η[qr]hq|γ |r] ηhrqihr|γ |q] 2sqr 2sqr µ µ 6 − ηq − ηq sqr sqr µ µ 7 − ηhq|γ |r] − ηhr|γ |q] 2sqr 2sqr ηqµ[qr] ηqµhrqi 8 − 2 − 2 sqr sqr √ Tabla 6.1: Definiciones de las βµ ∀ i = 1 ... 8 con η = √ 2 y s = −(q + r)2. i 3m ˜ qr

Aparte de dar las funciones de onda del gravitino en t´erminosde estas nuevas variables, µ es ´utiltambi´entener las funciones complejas conjugadas Ψ˜ (p) con λ = ++, −−, +, −, λp p estas toman la siguiente forma:

˜ µ ∗µ ∗µ Ψ++(p) = β1 [r| +mβ ˜ 2 hq|, (6.16) ˜ µ µ µ Ψ−−(p) = −β1 hr| +mβ ˜ 2 [q|, (6.17) ˜ µ ∗µ ∗µ ∗µ 2 ∗µ ∗µ 3 ∗µ Ψ−(p) = β3 hr| +m ˜ (β4 [q| + β5 [r|) +m ˜ (β6 hr| + β7 hq|) +m ˜ β8 [q|, (6.18) ˜ µ µ µ µ 2 µ µ 3 µ Ψ+(p) = β3 [r| − m˜ (β4 hq| + β5 hr|) +m ˜ (β6 [r| + β7 [q|) − m˜ β8 hq|. (6.19)

Con los gravitinos masivos expresados de esta forma, hace incluso m´assimple manejar las amplitudes de helicidad. Antes de avanzar, es importante corroborar o comprobar si los cuatro estados del gravitino (ahora en esta nueva base) respetan la ecuaciones (6.1)-(6.3)

72 6.2. PRODUCCION´ Y DECAIMIENTOS CON GRAVITINOS EN EL ESTADO FINAL as´ıcomo la condici´onde normalizaci´on

Ψ˜ Ψ˜ µ = 2mλ ˜ . (6.20) λ1µ λ2 λ1λ2 Por ejemplo, podemos verificar que los estados del gravitino cumplen la condici´onde normalizaci´onEq. (6.20), tomando λ1 = λ2 = −, tenemos:

˜ µ ˜ ∗µ ∗µ 3 ∗µ 3 ∗µ 5 ∗µ 3
Ψ−(p)Ψµ−(p) = hrqi β3 β4µ + β3 β8µm˜ + β6 β4µm˜ + β6 β8µm˜ − β7 β5µm˜ + c.c. (6.21) 2 2  2η [qr](r · q) 3 η [qr] 3 = hrqi − 2 m˜ − m˜ + c.c. (6.22) srq 2sqr = 3η2m˜ 3 (6.23) = 2m ˜ 2. (6.24)

Como se puede notar en el ´ultimopaso, las ecuaciones (6.12)-(6.15) y (6.16)-(6.19) son muy convenientes para manejar los c´alculos tradicionalmente tediosos que aparecen en procesos que involucran gravitinos en el estado final.

6.2. Producci´ony decaimientos con gravitinos en el estado final

6.2.1. Amplitudes para la reacci´on e+e− → G˜G˜: caso masivo y sin masa

En esta secci´onprimero calculamos las amplitudes de dispersi´onpara la reacci´on e−e+ → G˜ G˜ usando el teorema de equivalencia, donde el gravitino es aproximado al goldstino [100]. Cada diagrama de Feynman de la Figura (6.1) contribuye a la amplitud total: M = Mc + Mu + Mt (6.25) En el caso sin masa las expresiones para los diagramas de contacto, canales u y t vienen dados en la referencia [100]

2 me˜ Mc = − λ1 (T t − T u), (6.26) F 2 4 me˜ t λ1 t M = − 2 2 T , (6.27) F (t − me˜ ) λ1 4 me˜ u λ1 u M = 2 2 T , (6.28) F (u − me˜ ) λ1

73 CAP´ITULO 6. AMPLITUDES DE HELICIDAD PARA INTERACCIONES CON GRAVITINO MASIVO

donde me˜ es la masa del electr´onescalar (slectr´on) λ1 = ±. Aqu´ı λ1 es solo una etiqueta λ1 que es inherente del escalar heredado de su compa˜nerofermi´onicosupersim´etrico. Sin embargo, vamos a considerar la aproximaci´on m2 = m2 . Las amplitudes reducidas e˜L e˜R T t, T u est´andefinidas como sigue:

T t = [¯u (p ))P u (p )][¯v (p )P v (p )], (6.29) λ1λ2λ3λ4 λ3 3 λ1 λ1 1 λ2 2 −λ1 λ4 4 T u = [¯u (p )P u (p )][¯v (p )P v (p )], (6.30) λ1λ2λ3λ4 λ4 4 λ1 λ1 1 λ2 2 −λ1 λ3 3

con P = 1 (1 + λ γ ) en la base chiral. En el l´ımiteno masivo (para las part´ıculas λ1 2 1 5 externas, los estados intermedios pueden ser masivos) las amplitudes que no son nulas se dan para las siguientes configuraciones de helicidad; λ1 = −λ2 and λ3 = −λ4. Esto reduce considerablemente nuestros c´alculos(para el caso sin masa) debido a que de 14 amplitudes de helicidad (de un total de 16) resultan ser vanas.

m2 c e˜− M−,+,−,+ = − [31]h24i, (6.31) F 2 m4 u e˜− M−,+,+,− = [41]h23i, (6.32) F 2(u − m2 ) e˜− m4 t e˜− M−,+,−,+ = − [31]h24i. (6.33) F 2(t − m2 ) e˜− Las amplitudes que no son nulas se muestran en la Table 6.2

e+ Ψ e+ Ψ e+ Ψ

e˜− e˜+

e− Ψ e− Ψ e− Ψ (a) (b) (c) Figura 6.1: Diagramas de Feynman para la producci´onde gravitinos en la colisi´onde e+e−

λ λ λ λ M 1 2 3 4 λ1λ2λ3λ4 tm2 −, +, +, − − e˜− [31]h24i F 2(t−m2 ) e˜− um2 −, +, −, + e˜− [41]h23i F 2(u−m2 ) e˜−

Tabla 6.2: Amplitudes de helicidad para la reacci´on e−e+ → G˜G˜ para el caso no masivo, con u = s13 y t = s23.

74 6.2. PRODUCCION´ Y DECAIMIENTOS CON GRAVITINOS EN EL ESTADO FINAL

Ahora vamos a realizar los c´alculosincluyendo la masa de los goldstinos para e+e− → G˜G˜. Ahora hay un total de 32 amplitudes de helicidad, pero se puede mostrar que solo 4 de estas 32 amplitudes son las que no nulas. Las expresiones para las amplitudes de helicidad masivas se muestran en la Table 6.3.

λ λ λ λ M 1 2 3 4 λ1λ2λ3λ4 2 2 ! tm um −, +, +, − − e˜− +m ˜ 2 e˜− [r1]h2qi F 2(t−m2 ) F 2s (u−m2 ) e˜− qr e˜− 2 2 ! um tm −, +, −, + e˜− − m˜ 2 e˜− [1q]hr2i F 2(u−m2 ) F 2s (t−m2 ) e˜− qr e˜− mm˜ 4 (t−u) −, +, +, + e˜− [1q]hq2i F 2hqri(u−m2 )(t−m2 ) e˜− e˜− mm˜ 4 (u−t) −, +, −, − e˜− [1q]hq2i F 2[qr](u−m2 )(t−m2 ) e˜− e˜−

Tabla 6.3: Amplitudes de helicidad para la reacci´on e−e+ → G˜G˜ considerando los goldstinos masivos. Seguimos considerando u = s13 and t = s23.

Comparando las Tablas 6.2 y 6.3„ notamos que las amplitudes con configuraciones de helicidad −, +, +, − y −, +, −, +, que no eran cero incluso en el caso masivo, obtienen correcciones proporcionales a la masa del goldstino (m˜ 2). Igualmente las amplitudes para −, +, +, + y −, +, −, −, que eran cero para el caso sin masa, ahora son diferente de cero. Finalmente, las configuraciones de helicidad son siguen siendo cero, incluso en el caso masivo.

− + ˜ µ 6.2.2. Producci´onasociada a la reacci´on e e → Ψ χ˜0

En este caso, vamos a considerar los leptones sin masa mientras que al gravitino completo (esp´ın-3/2)masivo, y al neutralino tambi´enmasivo. Con el objetivo de comparar las amplitudes de helicidad del caso masivo y las amplitudes con goldstino masivo, hemos analizado dos diagramas de Feynman de los 6 que contribuyen a esta reacci´on,lo que es equivalente a tomar la masa de los escalares muy grandes. Utilizando la aproximaci´on gravitino-goldstino y las reglas de Feynman para el gravitino ligero dadas en la referencia [35], calculamos las 4 amplitudes de helicidad que no son vanas (de un total de 24 amplitudes), estas se muestran en la Tabla 6.4.

75 CAP´ITULO 6. AMPLITUDES DE HELICIDAD PARA INTERACCIONES CON GRAVITINO MASIVO

λ λ λ λ M 1 2 3 4 λ1λ2λ3λ4 2em A (2s −M 2 )(s −m m˜ ) χ˜0 χ˜0 12 Z qr χ˜0 −, +, +, − − √ 2 h2ri[1r] 6Mms˜ 12(s12−MZ )hrqi 2 2em (2s −M )(A m˜ −A ˜ m ) χ˜0 12 Z χ˜0 G χ˜0 −, +, +, + √ 2 h2qi[1r] 6Mms˜ 12(s12−MZ ) 2 2em (2s −M )(A m˜ −A ˜ m ) χ˜0 12 Z χ˜0 G χ˜0 −, +, −, − √ 2 h2ri[1q] 6Mms˜ 12(s12−MZ ) 2em (2s −M 2 )A (s −m m˜ ) χ˜0 12 Z χ˜0 qr χ˜0 −, +, −, + − √ 2 h2ri[1r] 6Mms˜ 12(s12−MZ )[rq] − + ˜ Tabla 6.4: Amplitudes de helicidad para la reacci´on e e → Gχ˜0. En esta tabla no se muestran las configuraciones de helicidad que dan amplitudes nulas. Hay cuatro configu- raciones de helicidad que no son vanas, pero son ´unicamente las complejas conjugadas de las mostradas ac´a.Se observa que no hay contribuci´onde los grados de libertad transversales (++ y −− ).

Para el caso con gravitino completo, la expresi´ongeneral para las amplitudes de helicidad son las siguientes:

1 µ Mλ λ λ λ = T Tµλ λ , (6.34) 1 2 3 4 p2 λ1λ2 3 4   T µ = e v¯ (p )γµu (p ) , (6.35) λ1λ2 λ2 2 λ1 1 1 ˜¯ β ρ Tµλ λ = Ψ (p3)p [γρ, γµ]γβuλ (p4). (6.36) 3 4 4M λ3 4 Hay 32 amplitudes de helicidad en esta reacci´on,aunque las gran mayor´ıason nulas debido a las fascinantes propiedades del formalismo de espinores de helicidad. Hay ´unicamente 12 amplitudes no nulas, pero no es necesario calcular las 12, basta con calcular 6 y el resto son complejo conjugadas de estas 6, por la propiedad de paridad (hiji ↔ [ji]). Las amplitudes no nulas se muestran en la Tabla 6.5. + e χ˜0

γ∗,Z

e− Ψ˜ µ Figura 6.2: Diagramas de Feynman para la producci´onde gravitinos en la colisi´on e+e−.

76 6.2. PRODUCCION´ Y DECAIMIENTOS CON GRAVITINOS EN EL ESTADO FINAL

λ λ λ λ M 1 2 3 4 λ1λ2λ3λ4 2 2 2 3 2eη(2s −M )(A ˜ m s +A m˜ ) 12 Z G χ˜0 qr χ˜0 −, +, +, − − 2 h2ri[1r] s12(s12−MZ )MAG˜ hqri 2 2 3 eη(2s −M )(A ˜ s +A m˜ m ) 12 Z G qr χ˜0 χ˜0 −, +, +, + 2 h2qi[1r] s12(s12−MZ )sqrM 2 2 3 eη(2s −M )(A ˜ s +A m˜ m ) 12 Z G qr χ˜0 χ˜0 −, +, −, − 2 h2ri[1q] s12(s12−MZ )sqrM 2 2 2 3 2eη(2s −M )(A ˜ m s +A m˜ ) 12 Z G χ˜0 qr χ˜0 −, +, −, + − 2 h2ri[1r] s12(s12−MZ )MAG˜ [qr] 2 2e(2s −M )(A m˜ +A ˜ m ) 12 Z χ˜0 G χ˜0 2 −, +, ++, − − √ 2 [rq] [1r]h2qi 2s12(s12−MZ )sqrM 2 2e(2s −M )(A m˜ +A ˜ m ) 12 Z χ˜0 G χ˜0 2 −, +, −−, + − √ 2 hqri [1q]h2ri 2s12(s12−MZ )sqrM − + ˜ µ Tabla 6.5: Amplitudes de helicidad para la reacci´on e e → Ψ χ˜0.

En la ´ultimaTabla, hemos usado las siguientes sustituciones

1 2 AG˜ = (sqr +m ˜ ), (6.37) sqr 1 A = (s + m2 ). (6.38) χ˜0 qr χ˜0 sqr Comparando las amplitudes de helicidad de las Tablas 6.4 y 6.5 notamos que las confi- guraciones de helicidad de la Tabla 6.4 (−, +, +, −; −, +, +, +; −, +, −, −; −, +, −, +) se mantienen (como es de esperarse) en la Tabla 6.5, donde el gravitino completo fue considerado. La estructura matem´aticade los productos espinoriales sigue siendo la misma, pero en ambas tablas el factor es diferente. Adicionalmente, en la Tabla 6.5 hay dos configuraciones de helicidad nuevas, estas debido a los grados de libertad transversales que vienen del gravitino completo.

6.2.3. Amplitudes masivas y sin masa para el Decaimiento a dos cuer- ˜ µ pos del Neutralinoχ ˜0 → Ψ γ

Por completes, se incluye en esta subsecci´onuno de los procesos m´assimples que permiten estudiar las configuraciones de helicidad para las amplitudes de helicidad, este decaimiento es el decaimiento del neutralino a gravitino y fot´on.El objetivo de esta subsecci´ones comparar las amplitudes masivas usando el gravitino y la aproximaci´on gravitino-goldstino.

Utilizando las interacciones del MSSM con gravedad [99], escribimos las amplitudes

77 CAP´ITULO 6. AMPLITUDES DE HELICIDAD PARA INTERACCIONES CON GRAVITINO MASIVO

para el diagrama de Feynman de la Figura (6.3)

3/2 1 ˜¯ ν σ µ M = CχγΨµλ (p)(kν[γ , γ ]γ ) σλ (k)uλ (q) (6.39) λqλpλk 4M p k q 1 ˜¯ µ µ
= CχγΨµλ (p)  (k)k/ − k / (k) uλ (q) (6.40) 4M p λk λk q 1 ˜¯ µ = CχγΨµλ (p)X (k)uλ (q), (6.41) 4M p λk q

con Cχγ = Ui1 cos θW + Ui2 sin θW . La asignaci´onde momentos para este decaimiento son: p para el gravitino (Ψµ(p)), q para el neutralino (χ˜0(q)) y k para el fot´on(γ(k)), mientras λq, λp y λk son las etiquetas que representan helicidad. Tambi´enhemos definido Xµ (k) = µ (k)k/ − kµ/ (k) in Eq. (6.41) . Hay un total de 16 amplitudes de helicidad, λk λk λk pero usando la simetr´ıade paridad en los productos de espinores, solo es necesario calcular 8 de ellas.

Ψ˜ µ(p)

χ˜ (q) 0 i ν σ µ − 4M kν[γ , γ ]γ

γ(k)

Figura 6.3: diagrama de Feynman para la interacci´ongravitino-neutralino-fot´on

Las amplitudes de helicidad no nulas se muestran en la Tabla 6.6.

λ , λ , λ M3/2 M1/2 q p k λq, λp, λk λq, λp, λk C s C s χγ r2q2 χγ r2q2 −, −, − √ hr2q2i[r2r1] √ hr2q2i[r2r1] 3mM ˜ [r2q2] 3mM ˜ [r2q2] 2 Cχγ [r2q2] −, ++, + mχ˜ 0 Mhr1r2i 0

Tabla 6.6: Amplitudes de helicidad para el decaimiento del neutralino a dos cuerpos χ → γ Ψ˜ µ y χ → γ G˜. Aqu´ı M3/2 representan la amplitud de helicidad para el 0 0 λq, λp, λk gravitino completo (esp´ın-3/2), mientras que M1/2 corresponden a las amplitudes λq, λp, λk con la aproximaci´ongravitino-goldstino. Hay dos amplitudes m´as,pero como hemos mencionado se calculan a partir de las mostradas por la simetr´ıade paridad en los productos espinoriales.

En la Tabla 6.6, las amplitudes de helicidad para la configuraci´on“−, −, −” son exactamente las mismas con gravitino y goldstino, pero cuando el gravitino completo 3/2 es tomado en consideraci´on,una nueva amplitud de helicidad (M−,++,+) aparece. Esto se debe a los grados de libertad transversales del gravitino. La amplitud cuadrada y

78 6.2. PRODUCCION´ Y DECAIMIENTOS CON GRAVITINOS EN EL ESTADO FINAL

promediada para el caso con grivitino toma la siguiente forma:

2 2 Cχγ 2 2
h|M| i = 2|M−,++,+| + 2|M−,−,−| (6.42) 2M 2 C2 s2 m2 s2 ! = χγ q2r2 χ˜0 + r2q2 s (6.43) 2 s 2 r2r1 M r1r2 3m ˜ 2 (m2 − m˜ 2)2 ! Cχγ χ˜0 2 2 = (3m ˜ + mχ˜ ) (6.44) M 2 3m ˜ 2 0 2 6 !2 ! C m m˜ 2 1 m˜ 2 = χγ χ˜0 1 − + . (6.45) M 2 m2 3 m2 χ˜0 χ˜0 ˜ µ El ancho de decaimiento Γ para el decaimiento del neutralino a dos cuerpos (χ˜0 → γΨ ) es dado como sigue:

C2 m5 2 !3 2 ! χγ χ˜0 m˜ 1 m˜ Γ ˜ µ = 1 − + , (6.46) χ˜0→γΨ 16πM 2m˜ 2 m2 3 m2 χ˜0 χ˜0

donde s = m2 , s = m2 − m˜ 2 y s = 0. El ´ultimo resultado (6.46) se obtuvo r1r2 χ˜0 r2q2 χ˜0 q2r1 aplicando el formalismo de helicidad que evita la implementaci´onde la tecnolog´ıade trazas usada para sumar los espines de las part´ıculasen los estados iniciales y finales involucradas para calcular la amplitud. En particular, para el gravitino, la relaci´onde completitud como vimos en la Secci´on5.1 es un tensor de segundo rango P Ψ˜ µ (p)Ψ˜¯ ν (p) Ref. [99, 103]). λp λp λp Dicho tensor es muy complicado de manejar en las trazas cuando se implementan el enfoque tradicional. En algunos casos conduce incluso a resultados incorrectos si no se tiene cuidado con los signos internos de este dicho tensor, ver la referencia [35] para m´as detalles. ˜ Por otro lado, la expresi´onpara el caso con goldstino (˜χ0 → γG) es la siguiente

C2 m5 2 !3 χγ χ˜0 m˜ Γ ˜ = 1 − . (6.47) χ˜0→γG 48πM 2m˜ 2 m2 χ˜0 Comparando los resultados (6.46) y (6.47), los tiempos de vida media del neutralino ˜ µ ˜ (˜χ0 → γΨ ,χ ˜0 → γG) se muestran la siguiente gr´afica:

79 CAP´ITULO 6. AMPLITUDES DE HELICIDAD PARA INTERACCIONES CON GRAVITINO MASIVO τ/s

m/GeV˜

1 Figura 6.4: Tiempo de vida media (τ = Γ ) para el decaimiento a dos cuerpos del ˜ µ neutralino. La curva continua describe al gravitino χ˜0 → γΨ , y la curva punteada ˜ describe el tiempo de vida media considerando al goldstino χ˜0 → γG. Para la curva azul, se uso: m = 400 GeV, β = π y θ = 0, y para la curva roja tomamos: m = 700 GeV , χ˜0 4 W χ˜0 π π β = 5 y θW = 2 .

Cuando la masa del neutralino es mucho m´asgrande que la masa del gravitino (m  m˜ ), la aproximaci´ongravitino-goldstino es una buena aproximaci´onpara calcular χ˜0 ˜ el ancho de decaimiento para el decaimiento del neutralino a dos cuerpos χ˜0 → Gγ. Resulta interesante llevar a cabo un an´alisisde dicha aproximaci´on,es decir estimar que rango de valores permitidos de masas para el gravitino y neutralino generan menos error en esta aproximaci´onpara el ancho de decaimiento Γ ˜ . El error relativo se define χ˜0→Gγ como sigue:

|ER − AR| |Γ ˜ µ − Γ ˜ | error = = χ˜0→Ψ γ χ˜0→Gγ , (6.48) ER Γ ˜ µ χ˜0→Ψ γ

!3 ! !3 m˜ 2 m˜ 2 1 1 m˜ 2 1 − 2 2 + 3 − 3 1 − 2 mχ˜ mχ˜ mχ˜ 0 0 0 = , (6.49) !3 ! 2 2 1 − m˜ m˜ + 1 m2 m2 3 χ˜0 χ˜0

Donde ER denota el resultado exacto y AR el resultado aproximado. En la table 6.7 mostramos los l´ımitespara la raz´onde las masas neutralino/gravitino, esto asociado a algunos valores definidos del error porcentual (×100 %) 1 %, 5 %, 10 %, 20 %).

80 6.2. PRODUCCION´ Y DECAIMIENTOS CON GRAVITINOS EN EL ESTADO FINAL

Percent error Limits on the ratio of neutralino/gravitino mass (m ) √ χ˜0 1 % m > 3 33m ˜ χ˜0 √ 5 % m > 57m ˜ χ˜0 √ 10 % m > 3 3m ˜ χ˜0 √ 20 % m > 2 3m ˜ χ˜0 Tabla 6.7: l´ımitespara la raz´onde las masas neutralino/gravitino (m /m˜ ). χ˜0

Se puede notar de la Tabla 6.7 que a medida el error porcentual se hace peque˜no,uno obtiene una raz´onm´asgrande para las masas del neutralino y gravitino, esto se ilustra en el plano (m, ˜ m ) de la Figura 6.5. χ˜0

m /GeV χ0

20 %10%5%1%

m/GeV˜ Figura 6.5: Espacio de par´ametrospara las masas del gravitino y neutralino (m,˜ m ) para χ˜0 los casos que el error estimado es menos que el 20 %, 10 %, 5 %, 1 % consecutivamente. Cada regi´onde los datos llega hasta el eje m χ˜0

81 CAP´ITULO 6. AMPLITUDES DE HELICIDAD PARA INTERACCIONES CON GRAVITINO MASIVO

82 Cap´ıtulo7

Sobre el Decaimiento del Stop a dos, tres y cuatro cuerpos

Las teor´ıassupersim´etricashan tenido un gran impacto en distintos dominios de f´ısicade part´ıculas,extendi´endosedesde fenomenolog´ıaa cosmolog´ıaincluyendo aspectos formales de la teor´ıacu´antica de campos [11]. Sin embargo, es a´unun tema abierto si SUSY se realiza en la naturaleza. Las extensi´onsupersim´etrica del modelo est´andarde part´ıculaselementales ha sido estudiada desde el punto de vista te´oricoy tambi´enen el LHC se siguen buscando signaturas de SUSY. Los modelos supersim´etricospueden incluir una simetr´ıadiscreta. La paridad-R, esta simetr´ıagarantiza la estabilidad de la part´ıculasupersim´etrica m´asligera (LSP) [12], lo que permite a la LSP ser un buen candidato para materia oscura (DM por sus siglas en ingl´es).Los candidatos para LSP en la extensi´onm´ınimasupersim´etricadel modelo est´andar(MSSM) incluyen a los 0 sneutrinos, los neutralinos ligeros χ1 y el gravitino Ge. La mayoria de los estudios que se han realizado se han enfocado en el neutralino como el LSP [47], los escenarios con el sneutrino como LSP son muy restringidos [48].

Los escenarios con el gravitino como LSP y como candidato a DM tambi´ense han considerado en [49, 14, 50], donde la naturaleza de la siguiente part´ıculasupersim´etrica m´asligera (NLSP por sus siglas en ingl´es)es determinante para la fenomenolog´ıadel LSP [51, 52]. Posibles candidatos para la NLSP incluyen al neutralino ligero [53, 54], el chargino [55], el slept´oncargado m´asligero [56], o el sneutrino [57, 58, 59, 60]. La part´ıculaNLSP tiene vida media muy grande en estos escenarios debido a lo d´ebilque son las interacciones gravitacionales, esto conduce a part´ıculas cargadas que son metaestables, las cuales podr´ıantener una signatura dram´aticaen los colisionadores [61, 62] y tambi´en podr´ıan afectar la nucleos´ıntesis en el big bang (BBN por sus siglas en ingl´es)[63, 64, 106].

Algunas especies de part´ıculascomo los squarks juegan el rol de NLSP, y en ese caso un candidato natural para el NLSP podr´ıaser el sbottom [65, 66, 20] o el stop ligero t˜1. El stop ha sido el m´aspopular en modelos con ruptura de SUSY, cuando la evoluci´onde los par´ametroa gran escala se evolucionan a menores escalas de energ´ıa.Existen muchas restricciones experimentales y cosmol´ogicaspara los escenarios con gravitino LSP y el

83 CAP´ITULO 7. SOBRE EL DECAIMIENTO DEL STOP A DOS, TRES Y CUATRO CUERPOS stop NLSP, las cuales se discuten en [21]. Resulta que la vida media del stop t˜1 puede ser muy grande, en ese caso los l´ımitesrelevantes desde el punto de vista de f´ısica de colisiones son los mismos que los de una part´ıculacargada estable. En ese caso, los l´ımites existentes de Tevatron implican que la m > 220 GeV. Conociendo con alta precisi´on t˜1 la vida media del stop es uno de las objetivos m´asimportantes de este escenario, y es justamente ese uno de los objetivos de este trabajo de tesis. Dependiendo de las masas del stop y el gravitino, podr´ıamosnecesitar considerar diferentes modos de decaimiento del stop. Para el caso m > m + m˜ , es el decaimiento a dos cuerpos t˜→ t Ψ˜ , mientras t˜1 t µ que para m + m˜ > m > m˜ + M + m se debe considerar el decaimiento a tres cuerpos t t˜1 W b ˜ t˜→ W bΨµ. Para m˜ + MW + mb > m˜ + ml + mν el decaimiento a cuatro cuerpos debe ser considerado. Se espera que la vida media del stop sea τ(2−body) < τ(3−body) < τ(4−body), y los valores precisos de la vida media del stop determinaran el posible rol de cada modo. Por un lado, el tiempo de vida media del stop determinara si el decaimiento puede ocurrir dentro del detector, en caso fuera producidos en experimentos de colisiones, tales como el LHC. Por otro lado, el tiempo de vida media del stop puede alcanzar valores que afecten la nucleos´ıntesis o las microondas c´osmicasde fondo (CMB por sus siglas en ingl´es),o en casos extremos podr´ıaafectar la etapa temprana de la formaci´onde galaxias.

Siendo el gravitino masivo una part´ıcula con esp´ın-3/2,los c´alculosde los modos de decaimiento o las reacciones de producci´onrealizados con las reglas de Feynman tradicio- nales y los m´etodos basados en la tecnolog´ıade trazas presentan algunas dificultades, como lo mostramos en la Secci´on5.1. ser´ade gran ayuda utilizar los m´etodos modernos que desarrollamos en la Secci´on6.

7.1. Decaimiento del Stop a dos, tres y cuatro cuerpos

Los modos de decaimiento del stop que incluyen el gravitino en el estado final pueden ser a dos, tres y cuatro cuerpos en el estado final, los cuales son t˜ → tΨ˜ µ, t˜ → Ψ˜ µbW y t˜ → Ψ˜ µbν¯l or t˜ → Ψ˜ µbqq¯. El decaimiento a dos cuerpos es permitido en la regi´on mt˜ ≥ m˜ + mt, mientras que el modo a tres cuerpos se vuelve relevante en el rango m˜ + mt ≥ mt˜ ≥ m˜ + mb + mW , y finalmente uno necesita considerar el decaimiento a cuatro cuerpos en el rango de m˜ + mb + mW ≥ mt˜ ≥ m˜ + mb (despreciando la masa de los leptones). Estas regiones se muestran en la Figura 7.1. Como podemos notar en la Figura 7.1, la regi´oncinem´aticaen el plano mt˜ − m˜ para el decaimiento de dos cuerpos t˜ → tΨ˜ µ es el m´asgrande (74 %), para el del de tres cuerpos t˜ → bW Ψ˜ µ (14 %) y el ¯ ˜ µ de cuatro cuerpos t˜ → blνlΨ (12 %) no es para nada un regi´ondespreciable. Ac´a,es ciertamente relevante determinar el tiempo de vida media del stop en cada regi´on.En lo que sigue de esta secci´on,vamos a considerar el estudio de cada decaimiento del stop en cada regi´onde forma separada. . Presentamos cada caso para posteriormente comparar los resultados obtenidos con la literatura. Adem´asse mostrar´ala potencia de los m´etodos de amplitudes en el caso de considerar interacciones con multiples part´ıculasen el estado final, y veremos que la complejidad de los c´alculosno crece utilizando estos maravillosos enfoques, que son tema de actual estudio en la comunidad de f´ısicate´oricade part´ıculas elementales y de la f´ısicamatem´aticaen general.

84 7.1. DECAIMIENTO DEL STOP A DOS, TRES Y CUATRO CUERPOS

Figura 7.1: Espacio de par´ametrospara el decaimiento a dos, tres y cuatro cuerpos

7.1.1. Decaimiento del Stop a dos cuerpos con Gravitino LSP en el Estado Final

En esta secci´onrevisamos los c´alculosdel decaimiento del stop a dos cuerpos t˜(p1) → ˜ µ Ψ (p2)t(p3) para el caso que se tiene gravitino masivo en el estado final, y comparamos con el resultado en el que se tiene goldstino en el estado final. La amplitud para este decaimiento toma la siguiente forma:

M = C T , (7.1) 2 λ2λ3 la funci´on T F para el gravitino completo (masivo) es como sigue λ2λ3 µ T F = Ψ˜ (p )γ γ pα(P cos θ + P sin θ)u (p ), (7.2) λ2λ3 λ2 2 α µ 1 R L λ3 3 donde CF = √gW , g es la constante de acoplamiento de la teor´ıaelectrod´ebily M = 2 3M W √ 9 MP l/ 8π es la constante de Plank reducida, con MP l = 1.2 × 10 GeV. Estamos usando PR y PL como los proyectores derechos e izquierdos. Las etiquetas λ2 (= −, +, −−, ++) y λ3 (= −, +) denotan las etiquetas para las helicidades del gravitino y el quark top. De acuerdo a la combinatoria de los estados de helicidad de todas las part´ıculasinvolucradas en el decaimiento, hay 8 amplitudes de helicidad (4 × 2), pero se puede mostrar que solo 6 de ellas son no nulas; las amplitudes de helicidad se muestran en la Tabla 7.1.

85 CAP´ITULO 7. SOBRE EL DECAIMIENTO DEL STOP A DOS, TRES Y CUATRO CUERPOS

λ λ T F T E 2 3 λ2λ3 λ2λ3 ! s2 −m˜ 2m2 r2q2 t 1 −, + s m˜ [r q ] F1 [q r ] F1 r2q2 2 2 2 2 ! s2 −m˜ 2m2 r2q2 t 1 +, − s m˜ hr q i F2 hq r i F2 r2q2 2 2 2 2

Tabla 7.1: Amplitudes de helicidad para el decaimiento del stop a dos cuerpos (t˜(p1) → ˜ µ Ψ (p2)t(p3)) con gravitino LSP en el estado final. Hemos denotado el super ´ındiceF para las amplitudes con el gravitino masivo, y E para las amplitudes usando el teorema de equivalencia.

Para las amplitudes con goldstino la funci´on T E es dada por la siguiente ecuaci´on λ2λ3

T E =u ¯(p )(P cos θ + P sin θ)u(p ) (7.3) λ2λ3 2 R L 3

g (m2−m2) con CE = W√ t˜ t . En la Tabla 7.1, se han definido las siguientes funciones 2 3Mm˜

F = m m˜ sin θ + s cos θ , (7.4) 1 t t˜ r2q2 t˜ F = m m˜ cos θ + s sin θ (7.5) 2 t t˜ r2q2 t˜

Aqu´ı, s = −(r + q )2 es una variable tipo-Mandelstam. El θ denota el ´angulo r2q2 2 2 t˜ de mezcla en el sistema del stop. La amplitud cuadrada y promediada del proceso ˜ µ t˜(p1) → Ψ (p2)t(p3) equivale a la suma de los cuadrados de cada amplitud de helicidad que se muestran en la Tabla 7.1, esto se lee como sigue:

F 2 F 2 F 2 h|M | i = |M−,+| + |M+,−| (7.6) (m ˜ 2m2 − s2 )2 t r2q2 2 2 2 = (mt m˜ + sr q + 2 sin 2θ˜mtms˜ r q ) (7.7) 3M 2m˜ 2s3 2 2 t 2 2 r2q2 Tambi´enhemos considerado la aproximaci´ondel gravitino (esp´ın-3/2)a goldstino (esp´ın- 1/2). En este caso, las amplitudes helicidad se muestran en la tercera columna de la Tabla 7.1. En este caso la amplitud cuadrada y promediada tiene las siguiente forma:

E 2 E 2 E 2 h|M | i = |M−,+| + |M+,−| (7.8) 2 2 2 (mt − mt˜) 2 2 2 = (mt m˜ + sr q + 2 sin 2θ˜mtms˜ r q ) (7.9) 3M 2m˜ 2s 2 2 t 2 2 r2q2

7.1.2. Decaimiento del stop a tres cuerpos: t˜ → Ψ˜ µW b

En esta subsecci´onvamos a considerar ´unicamente la contribuci´ondel estado interme- dio cuya part´ıculamediadora es el quark top (Figura 7.2) la cual funciona muy bien para

86 7.1. DECAIMIENTO DEL STOP A DOS, TRES Y CUATRO CUERPOS

valores de las masas del chargino y sbottom muy pesadas. Hemos escrito las amplitudes ˜ µ para el decaimiento a tres cuerpos t˜(p1) → Ψ (p2)b(p3)W (p4) como sigue:

M = C P (l)T , (7.10) λ2λ3λ4 3 t λ2λ3λ4

la funci´on T F para la funci´onde onda del gravitino toma la siguiente forma λ2λ3λ4  µ    T F = Ψ˜ (p )γ γ pα(P cos θ + P sin θ) −/l + m
γ P u (p )ν (p ) , λ2λ3λ4 λ2 2 α µ 1 R L t ν R λ3 3 λ4 4 (7.11)

con CF = gW . El denominador del propagador (Figura 7.2) es definida como P (l) = 1 . 3 2M t l2+m2 µ t La contracci´onde las matrices gamma es definida como pµγ = p/.

Para la aproximaci´ongravitino-goldstino, la funci´on T E es definida como sigue: λ2λ3λ4     T E = u¯ (p )(P cos θ + P sin θ) −/l + m
γ P u (p )ν (p ) , (7.12) λ2λ3λ4 λ2 2 R L t ν R λ3 3 λ4 4

g (m2−m2) con CE = W √ t t˜ . 3 2 6Mm˜ Las amplitudes de helicidad no nulas para las funciones T F y T E se muestran λ2λ3λ4 λ2λ3λ4 en la Tabla 7.2

λ , λ , λ T F T E 2 3 4 λ1, λ2, λ3 λ1, λ2, λ3 2 2 2 ! 2(s −m˜m˜ )hq 3i[3r ] −, −, − q1r√1 t 1 4 F √2hq13i[3r4] F 3s m˜ hr 3i 3 2s hr 3i 3 q1r1 4 q1r1 4 √ 2 2 2 ! 2(sq r −mt˜m˜ )hq1r4i[3r4] hq r i[3r ] −, −, 0 1 1√ F 1 4 4 F 3s m˜ 2 3 m˜ 3 q1r1 2 2 2 ! 2(s −m˜m˜ )hr 3i[3r ] +, −, − √q1r1 t 1 4 F √2hr13i[3r4] F 3s m˜ hr q ihr 3i 4 2hr q ihr 3i 4 q1r1 1 1 4 1 1 4 √ 2 2 2 ! 2(s −m˜m˜ )hr r i[3r ] q1r1 t 1 4 4 hr1r4i[3r4] +, −, 0 √ 2 F4 F4 3s m˜ hr q i m˜ hr1q1i q1r1 1 1

Tabla 7.2: Expresiones para la funciones T F y T E correspondiente a diferentes λ2λ3λ4 λ2λ3λ4 configuraciones de helicidad que aparecen en la amplitud del decaimiento a tres cuerpos ˜ µ t˜(p1) → Ψ (p2)b(p3)W (p4).

87 CAP´ITULO 7. SOBRE EL DECAIMIENTO DEL STOP A DOS, TRES Y CUATRO CUERPOS

Figura 7.2: Diagrama de Feynman para el decaimiento del stop a tres cuerpos.

En la tabla 7.2, hemos implementado las siguientes definiciones:

1 2 A ˜ = (s − m˜ ), (7.13) Ψ s q1r1 q1r1 1 2 A˜ = (s − m˜), (7.14) t s q1r1 t q1r1

F3 = mt cos θt˜ − At˜m˜ sin θt˜, (7.15) F = A s sin θ + m m˜ cos θ (7.16) 4 Ψ˜ q1r1 t˜ t t˜

˜ ˜ µ 7.1.3. Decaimiento del stop a cuatro cuerpos t → Ψ b l νl

En este caso, consideramos el diagrama de Feynman que se muestra en la Figura 7.3. ˜ µ La amplitud para el decaimiento del stop a cuatro cuerpos t˜(p1) → Ψ (p2) b(p3) l(p4) νl(p5) es como sigue:

M = C P (l)P (q)T , (7.17) λ2λ3λ4λ5 4 t W λ2λ3λ4λ5 la funci´on T F para el gravitino completo (esp´ın-3/2) es dada por λ2λ3λ4λ5

 β  T F = Ψ˜ (p )γ γ pα(P cos θ + P sin θ ) −/l + m
(γνP u (p )) (7.18) λ2λ3λ4λ5 λ2 2 α β 1 R t˜ L t˜ t R λ3 3 ! q q   η + µ ν u¯ (p )γµP v (p ) , (7.19) νµ 2 λ4 4 L λ5 5 MW

2 F √gW 1 con C4 = . Se ha definido PW (q) = 2 2 como el denominador del propagador 3M q +MW del boson W (Figura 7.3).

La funci´oncorrespondiente a la aproximaci´ongravitino-goldstino T E toma la λ2λ3λ4λ5

88 7.1. DECAIMIENTO DEL STOP A DOS, TRES Y CUATRO CUERPOS

siguiente forma:   T E = u¯ (p )(P cos θ + P sin θ ) −/l + m
(γνP u (p )) (7.20) λ2λ3λ4λ5 λ2 2 R t˜ L t˜ t R λ3 3 ! q q   η + µ ν u¯ (p )γµP v (p ) , (7.21) νµ 2 λ4 4 L λ5 5 MW

g2 (m2−m2) con CE = W √ t t˜ . Las funciones T F y T E correspondientes a las con- 4 2 3Mm˜ λ2λ3λ4λ5 λ2λ3λ4λ5 figuraciones de helicidad que generan amplitudes no nulas se muestran en la Tabla 7.3

λ , λ , λ , λ T F T E 2 3 4 5 λ2, λ3, λ4 λ5 λ2, λ3, λ4 λ5 √ 2 2 2 ! 2 2(s −m˜m˜ )hq 4i[35] −, −, −, + q1r√1 t 1 F 2hq 4i[35]F 3s m˜ 3 1 3 q1r1 √ 2 2 2 ! 2 2(s −m˜m˜ )hr 4i[35] q1r1 t 1 2hr14i[35] +, −, −, + √ F4 F4 3s m˜ hr q i hr1q1i q1r1 1 1

Tabla 7.3: Expresiones para las funciones T F cuyas configuraciones de helicidad λ2λ3λ4λ5 generan amplitudes no nulas, adem´as T E que tambi´enaparecen las amplitudes del λ2λ3λ4λ5 ˜ µ decaimiento del stop a cuatro cuerpos t˜(p1) → Ψ (p2) b(p3) l(p4) νl(p5).

Figura 7.3: Diagrama de Feynman para el decaimiento del stop a cuatro cuerpos

89 CAP´ITULO 7. SOBRE EL DECAIMIENTO DEL STOP A DOS, TRES Y CUATRO CUERPOS

7.2. Resultados Num´ericos

7.2.1. Decaimiento del stop a dos cuerpos

˜ µ El ancho de decaimiento para el proceso t˜(p1) → Ψ (p2)t(p3) con gravitino masivo es dado como sigue:

1  2 2 2 2 2 23/2 2 2 2 Γt˜→G˜ t = 2 2 3 (−mG˜ + mt + mt˜) − 4mt mt˜ (mt˜ − mG˜ − mt + 2 sin 2θ mtmG˜). 48πM mG˜mt˜ (7.22)

Por otro lado, empleando la aproximaci´ongravitino-goldstino, el ancho de decaimiento toma la forma

1  2 2 2 2 2 21/2 2 2 2 Γt˜→G t = 2 2 3 (−mG˜ + mt + mt˜) − 4mt mt˜ (mt˜ − mt ) 48πM mG˜mt˜ 2 2 2 × (mt˜ − mG˜ − mt + 2 sin 2θ mtmG˜). (7.23)

Figura 7.4: Tiempo de vida para el decaimiento del stop a dos cuerpos. La Figura 7.5: La regi´onsombreada es curva continua es para el gravitino, y cuando la aproximaci´on gravitino- la curva punteada es para el goldstino. goldstino es menor que el 1 %.

La curva continua representa el tiempo de vida media del gravitino en el estado final, mientras que la curva punteada representa el tiempo de vida del stop con el goldstino en el estado final. En las gr´aficasde la Figura 7.4 hemos fijado la masa del stop a mt˜ = 350 GeV (el mismo valor se considera para el decaimiento a tres y cuatro cuerpos). En la regi´onsombreada (verde clara) de la Figura 7.5, la diferencia entre el gravitino y el goldstino es menor al 1 %.

Se compara el ancho de decaimiento usando el gravitino completo en el estado final y el decaimiento utilizando el goldstino. Para masas abajo de m˜ < 70 GeV, el tiempo de vida media del decaimiento del stop con gravitino y la aproximaci´ona goldstino es menor que 1 %. Lo que se representa en la regi´onsombreada de la Figura 7.5, en esta

90 7.2. RESULTADOS NUMERICOS´

regi´onse tiene que: Γ − Γ gravitino goldstino  1 %. (7.24) Γgravitino

La regi´onpara la masa del gravitino mG˜ para un rango dado de la masa del stop mt˜ ∆Γ cuando | Γ | < 1 % se muestra en la Tabla 7.4

Process mt˜ mG˜ t˜→ t G˜ [250,1000] [0,70]

Tabla 7.4: Espacio de par´ametrospara la masa del stop mt˜ y la masa del gravitino mG˜ en GeV

7.2.2. Decaimiento del stop a tres y cuatro cuerpos

En la Figura 7.6 se muestra el tiempo de vida media del stop para el modo a tres cuerpos usando gravitino y goldstino. Notamos que el tiempo de vida media toma valores hasta de O(1014 s). Mientras que la Figura 7.7 muestra un acercamiento de la regi´on donde la diferencia entre el tiempo de vida media con gravitino y goldstino es menor al 20 %. Finalmente, presentamos en la gr´aficade la Figura 7.8 el resultado del tiempo de la vida media del stop cuando el decaimiento a cuatro cuerpos es el canal permitido. En este caso. el tiempo de vida media del stop puede alcanzar valores hasta O(1020 s) que tiene consecuencias interesantes. La Figura 7.9 muestra un acercamiento de la regi´ondonde la diferencia entre el tiempo de vida media con gravitino y goldstino es menor que el 70 %.

Figura 7.6: gr´aficalogar´ıtmicapara el tiempo de vida media del stop Figura 7.7: Acercamiento para el de- cuando decae a tres cuerpos caimiento del stop a tres cuerpos

91 CAP´ITULO 7. SOBRE EL DECAIMIENTO DEL STOP A DOS, TRES Y CUATRO CUERPOS

Figura 7.8: Gr´aficalogar´ıtmicapa- ra el decaimiento del stop a cuatro Figura 7.9: Acercamiento para el de- cuerpos caimiento del stop a cuatro cuerpos.

92 Cap´ıtulo8

Conclusiones

8.1. Conclusiones

Al inicio de mi formaci´ondoctoral, realic´ec´alculosperturbativos con el enfoque tradicional, sobre todo aplicado a los decaimientos de escalares pesados (stop) con gravitinos en el estado final. Se logr´ocorregir trabajos previos y adem´asse compar´o el tiempo de vida media del stop (modo tres cuerpos) con gravitino en estado final y con su aproximaci´ona goldstino. Se logr´oobservar num´ericamente que la aproximaci´ones buena cuando la masa del gravitino tiende a cero, de lo contrario el tiempo de vida media del stop con gravitino y goldstino pueden tener un error hasta del 100 %.

Durante estos ´ultimostres a˜nos(2015-2018), se han utilizado ampliamente los m´etodos perturbativos modernos de QFT como herramienta de trabajo [43, 32, 44]. Adem´as,hemos aportado con esta tesis doctoral a entender y generalizar el caso de part´ıculassin masa al caso real y completo, es decir al caso masivo.

Hemos implementado el Formalismo de Espinores de Helicidad masivo al c´alculo de diferentes procesos y reacciones en el Modelo Est´andar de part´ıculaselementales. Nuestros resultados muestran que podemos encontrar expresiones compactas tipo Parke-Taylor incluso si consideramos la masa de las part´ıculas.Este trabajo se report´oen la Reuni´onAnual de la Sociedad Mexicana de F´ısicay en el Simposio Latinoamericano de F´ısicade Altas Energ´ıas(SILAFAE). Nuestros resultados indican la factibilidad de este m´etodo y abren una ventana para futuros trabajos de investigaci´on.

Una vez que controlamos y calibramos el Formalismo de Espinores de Helicidad para el caso masivo, lo aplicamos a los c´alculosen Supergravedad. Es decir, logramos hacer c´alculosde producci´onde gravitinos utilizando este nuevo formalismo. Podemos decir que hicimos f´ısicam´asall´adel Modelo Est´andarutilizando t´ecnicasmodernas, de alguna manera manejamos dos frentes de trabajo.

Nuestros resultados, los que llamamos “Amplitudes con gravitinos masivos en

93 CAP´ITULO 8. CONCLUSIONES el estado final”, nos ense˜nanque es posible expresar amplitudes que involucren gravitinos (esp´ın-3/2)en el estado final, como funci´onde amplitudes que involucran goldstinos (esp´ın-1/2)en estado final. Este resultado reciente sigue sin ser estudiado a profundidad, ser´aalgo que exploraremos en el futuro.

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