Cob SCM Num 30.Pdf 1 13/04/11 13:38

Cob SCM Num 30.pdf 1 13/04/11 13:38

SCM / Notícies / 30 Edita la Societat Catalana de Matemàtiques Filial de l’Institut d’Estudis Catalans 30 • Entrevista a Marta Sanz

• Pere Puig, nou director del Departament Febrer 2011 de Matemàtiques a la UAB

• L’ICM 2010 a Hyderabat

• Relleu a la presidència de la SCM

Marta Sanz-Solé, presidenta de l’EMS

XIII Trobada de la SCM sobre «Joves matemàtics catalans a l’estranger» ´Index

Societat Catalana de Matematiques` La Junta informa 1 Assemblea general de socis 2010 1 President: Joan de Solà-Morales Informe comptable 3 Vicepres.: Joaquim Ortega-Cerdà Un per´ıode mésde la SCM 5 Secretària: MercèFarréi Cervelló Tresorera: Mariona Petit i Vilà Salutaciódel nou president 6 Vocals: Josep Granéi Manlleu Internacional 8 Josep M. Mondelo i Gonzàlez Marta Sanz-Solé,nova presidenta de l’EMS 8 Ignasi Mundet i Riera Impressions de l’ICM 2010 13 Carles Romero i Chesa In memoriam 16 Albert Ruiz i Cirera Oriol Serra i Albó Joaquim Font i Arjó(1958-2010) 16 Esther Silberstein Peter J. Hilton (1923-2010) 17 Manel Udina i Abelló B. B. Mandelbrot: cient´ıfic i matemàtic 20 Enric Ventura Capell Noticiari 24 Delegat Pere Puig, nou director 24 de l’IEC: Joan Girbau i Badó Els nous màsters de FPS 25 Comunicacions: Joint CRG-CRM Meeting 31 Els GEMT2010 33 Carrer del Carme, 47 Les universitats informen 34 08001 Barcelona Tel.: 932 701 620 Activitats de la SCM 38 Fax: 932 701 180 Conferència inaugural 38 A/e: [email protected] I Trobada Catalanosueca 41 Secretària: Núria Fuster 7a Jornada d’EducacióMatemàtica 42 Tel.: 933 248 583 de 10 a 17 h Jornada SCM Joves Investigadors 42 Informe de la reuniódel Cangur a Geòrgia 43 SCM/Not´ıcies Febrer 2011. Número30 XLVII Olimp´ıada Catalana de Matemàtiques 44 Agenda 46 Edita: Societat Catalana de Matemàtiques Premis 47 (filial de l’Institut d’Estudis Catalans) Medalles Fields 2010 48 Elon Lindenstrauss 48 Editor en cap: Enric Ventura Capell NgôBao Châu 50 [email protected] Stanislav Smirnov 51 Cédric Villani 53 Disseny: Teresa Sabater Premi Nevanlinna 2010: Daniel Spielman 55 Premi Gauss 2010: Yves Meyer 57 Compost en LATEX: Maria Julià Premi Chern 2010: Louis Nirenberg 61 Foto de portada: Entrega del Premi Albert Dou 64 Marta Sanz-Solé,presidenta Racóbiogràfic 65 de l’EMS. Webs de matemàtiques 68 ISSN: 1696-8247 Problemes 70 Dipòsit Legal: B.9480-2003 Tesis 74 Fe d’errates 78 La Junta informa Assemblea general de socis 2010 Aquest últim informe de la Junta sortint de la tingut una bona resposta desprésd’haver-ne Societat Catalana de Matemàtiques(SCM) re- fet mésdifusióentre els estudiants de màster. cull el balan¸cd’activitats dutes a terme durant S’han rebut nou treballs i el tribunal format l’any 2010, tal com es van presentar a l’assem- per X. Cabré, V. Navarro i A. Raventósva blea del 24 de novembre de 2010. atorgar el premi a Joan Bosa Puigredon pel Es va comen¸carfent esment de les dues ac- treball Completacions de semigrups. Aplicació tivitats méstradicionals que, en certa manera, al semigrup de Cuntz. L’enhorabona per al enceten i tanquen el curs escolar. En primer lloc, Joan i un agra¨ıment especial per al jurat. Al tenim la conferènciainaugural del curs 2009- costat de la tradició,la SCM va decidir crear 2010, que va ser impartida per Marta Sanz, amb un segon premi, l’Albert Dou, amb una dota- el t´ıtol Les possibilitats de fer diana a les tra- cióde 2.500 e i una periodicitat biennal, ofert, jectòriesa l’atzar, l’11 de novembre de 2009. tal com diuen les bases, a l’autor d’un treball Encara no sab´ıem,llavors, que la Marta seria publicat en els darrers dos anys o inèdit,que la nova presidenta de l’European Mathematical contribueixi a fer visible la importància de la Society (EMS), una not´ıcia excel.lent per a la matemàticaal nostre món, a transmetre el co- matemàtica a Catalunya i una gran satisfacció neixement matemàtica un públic mésampli que per a tota la Societat. La segona activitat tra- els mateixos especialistes, i a promoure tot el dicional ésla Trobada Matemàtica, enguany es que pugui ajudar a l’extensiódel prestigi de la va celebrar l’11 de juny amb el t´ıtolde Joves matemàticaa la nostra societat. El premi ha matemàtics catalans al món. Es va organitzar estat un èxitde participació,amb tretze treballs al voltant de quatre conferències convidades a rebuts. Es va nomenar un tribunal format per càrrec de la M. Romero de l’Observatoire As- P. Bayer, Y. Chevallard, A. Florensa, J. Girbau tronomique de Marseille i de la Universitat de i J. Hernández,coordinat per en X. Mora, que Barcelona (UB), E. Nualart de la Universitat va decidir atorgar el premi a Rosario Delgado Par´ısXIII, J. Marzo de la Universitat Noruega pel treball: Matemàtiques i Internet: 101 anys de Ciència i Tecnologia (NTNU) i M. Casals de de teoria de cues. Volem felicitar des d’aqu´ı la Universitat de Vanderbilt. La nova fórmula tots els participants, agrair la feina al tribunal va ser tot un encert, tant pel nivell cient´ıfic com i donar l’enhorabona a la Rosario. El treball per la gran capacitat de comunicacióque van premiat el podeu llegir tots a l’últim número mostrar els ponents. del butllet´ı. Una novetat que es gestava des de feia temps Per acabar aquest apartat d’activitats, es ha estat l’organitzaciód’una jornada de recer- van esmentar les exposicions que va preparar el ca de joves investigadors, que es va celebrar el 5 grup del Museu de Matemàtiques de Catalunya de novembre de 2010, amb l’objectiu de donar (MMACA): una a la UB del 18 d’octubre al 9 de a conèixer la recerca dels nostres joves inves- novembre i una altra a la Universitat Politècnica tigadors i afavorir la coneixen¸cai les relacions de Catalunya (UPC) del 17 de novembre al 17 de entre els matemàtics de diferents universitats. desembre del 2010. En aquesta primera edició,hi van participar un En l’apartat de publicacions, es va comentar grup d’anàlisi i equacions en derivades parcials la sortida del número1 del volum 25 del Butllet´ı coordinat per X. Tolsa, un grup de probabilitat, de la SCM i el canvi d’editor en cap, càrrec processos estocàstics i estad´ıstica coordinat per assumit per J. Cuf´ıen substituciód’O. Serra; J. del Castillo, un grup de mètodes algebraics la sortida del número 29 de la SCM/Not´ıcies a coordinat per P. Ara i un grup de geometria i cura d’E. Ventura i la coordinacióde les publi- topologia coordinat per A. Raventósi J. Aguadé. cacions electròniques de la Societat per J. Pla, Esperem que la iniciativa pugui continuar en el que fa una crida als socis i sòcies perquècon- futur. tribueixin a augmentar-ne el nombre. La no- En l’apartat dels premis, tambétenim el més vetat, en aquest apartat, és l’edicióde la nova tradicional, l’Evariste´ Galois, que aquest any ha revista d’ensenyament NouBiaix, que es proposa

1 abra¸cartotes les etapes educatives i que s’edita • La 47a Olimp´ıadaMatemàtica del 2011, que en col.laboracióamb la FEEMCAT, compartint- s’inicia amb 146 participants en la fase telemà- ne al 50 % la feina i els costos d’edició.Al consell tica. d’edicióde la revista hi participen J. Pla com • L’Estalmat, destinat a l’est´ımul del talent ma- a coeditor en cap juntament amb M. Edo de la temàtic i que enguany acull la vuitena promoció FEEMCAT; M. Udina, E. Ventura i M. Bosch 2010-2012. com a representants de la SCM, i L. Almazán, • Les sessions d’aprofundiment en matemàti- J. Cárdenasi J. C. Ferrer com a representants ques per a alumnes de segon cicle d’ESO que de la FEEMCAT. El primer número estàen organitza la SCM per a alumnes participants en procésde correcciói s’espera que surti cap al el Cangur i l’Olimp´ıada,a l’IES La Sedeta, al febrer. Es preveuen dos númerosanuals, un a Departament de Matemàtiques de la Universitat l’hivern i l’altre a la tardor. Esperem que la re- Autònomade Barcelona (UAB) i a la Facultat vista tingui una bona acollida i que contribueixi de Matemàtiques i Estad´ıstica de la UPC. a millorar la comunicacióentre el professorat Al costat d’aquest gran nombre d’activitats de matemàtiques de totes les etapes educatives, on s’involucren molts socis de la Societat, hi des d’infantil fins a la universitat. ha un segon tipus d’activitats mésenfocades a l’ensenyament i que segueixen un doble propòsit: Pel que fa a les activitats organitzades per d’una banda i en l’àmbit institucional, estrènyer la Societat i relacionades amb l’ensenyament els lligams entre la SCM i la FEEMCAT; de de les matemàtiques, es van destacar en primer l’altra i en l’àmbit dels socis, fer aportacions al lloc les activitats destinades als alumnes de se- col.lectiu de professors sobre temes relacionats cundària,que sempre impressionen per la gran amb l’ensenyament de les matemàtiques. Una quantitat de nois i noies que mobilitzen i que d’aquestes activitats ésla coedicióde la revis- indiquem breument a continuació: ta NouBiaix que ja s’ha comentat. L’altra és • Les proves Cangur 2010, amb la participació la Setena Jornada d’Ensenyament de les Mate- de 20.447 nois i noies de 3r d’ESO a 2n de batxi- màtiquesorganitzada en col.laboracióamb la llerat i cicles formatius. Enguany la prova es va FEEMCAT i la Societat Balear de Matemàti- organitzar de manera descentralitzada a Cata- ques (SBM-XEIX). La jornada es va celebrar el lunya i la Comunitat Valenciana, pel fet que la 17 d’octubre sobre el tema Els ordinadors a data de la prova va coincidir amb la setmana de l’aula des d’infantil fins a la universitat: noves Sant Josep. Si hi afegim els participants de les obertures i nous problemes, amb l’estructura Balears, s’obtéun total de 23.544 concursants. habitual: al mat´ıuna taula rodona seguida d’un L’acte de lliurament dels premis va tenir lloc el debat i quatre conferències a la tarda. Va tenir dia 18 de maig de 2010 a la Sala de Congressos una participaciód’unes dues-centes persones i del campus La Salle de la Universitat Ramon es va desenvolupar de manera molt satisfactòria. Llull i el va presidir el conseller d’Educació,Er- En l’àmbit internacional, es van esmentar els nest Maragall. congressos internacionals on la SCM ha partici- • El concurs de relats, que va rebre un total de pat. Hi ha, en primer lloc, la Joint Mathematical cinquanta-sis propostes amb la participaciód’a- Conference CSASC 2010, que es va celebrar a lumnes de Catalunya, Balears i Pa´ısValencià. Praga al gener de 2010 en col.laboracióamb • Els Problemes a l’Esprint, activitat convocada les societats matemàtiques d’Austria,` Eslovènia, conjuntament per la SCM, la FEEMCAT i el Eslovàquiai la República Txeca. En segon lloc, CREAMat en forma de quatre convocatòries el congrés Emerging Topics in Dynamical Sys- segons el nivell, des de la primària fins al bat- tems and Partial Differencial Equations, que xillerat, i en quèvan participar aproximada- es va celebrar a Barcelona del 31 de maig al 4 de ment 2.900 alumnes de secundària i cinc-cents juny, en col.laboracióamb la SCM, la Real Socie- de primària. dad MatemáticaEspañola (RSME), la Sociedad • La 46a Olimp´ıadaMatemàtica del 2010, que Españolade Matemática Aplicada (SEMA) i va arribar als vuitanta-un participants en la fase la Society for Industrial and Applied Mathe- prèviaper via telemàtica al novembre de 2009 i matics (SIAM). El congrésva ser tot un èxit, als setanta-un en la fase catalana, presencial els la participacióva superar amb escreix les ex- dies 12 i 13 de desembre de 2009. pectatives i les xerrades plenàriessobre temes

2 divulgatius van ser molt interessants. En tercer Un cop aprovats per consens tant l’estat lloc, es va fer una mencióespecial per a la I de comptes del 2009 com el pressupost per al Trobada Matemàtica Catalanosueca que es va 2011, la Junta formada per C. Perelló,J. L. So- organitzar seguint un suggeriment de J. Bru- ler, T. Mart´ınez-Seara i M. Bosch van passar na al voltant de sis grups temàtics: geometria, la paraula a la candidatura formada per J. de didàctica,equacions diferencials, anàlisi, siste- Solà-Morales com a president, J. Ortega i Cerdà mes dinàmicsi matemàticadiscreta. Finalment, com a vicepresident, M. Farrécom a secretària es va informar de l’ingrés de la SCM, el juny de i M. Petit com a tresorera. Els candidats van 2010, al Centre International de Mathématiques presentar el seu programa i, un cop realitzada Pures et Appliquées (CIMPA), dedicat a pro- la votació,la nova Junta va quedar formalment moure la cooperacióinternacional en educació elegida amb els resultats següents: d’un total de superior i investigacióen matemàtiques per als 106 vots vàlidsi un de nul, hi va haver 103 vots pa¨ısos en desenvolupament. a favor, un en contra i dos en blanc. A l’assemblea, M. Sanz es va presentar com a En el torn obert de paraules, J. Bruna va nova presidenta de l’EMS, va comentar les bones suggerir que la SCM proposi activitats per estar relacions entre l’EMS i la SCM i va agrair el su- present a la Setmana Catalana de la Ciència. port que li havien donat tant la SCM i l’Institut d’Estudis Catalans (IEC) com la majoria d’ins- La Junta sortint va agrair a tots la gran aju- titucions relacionades amb les matemàtiquesa da rebuda durant aquests quatre anys i es va Catalunya. Tambéva expressar la voluntat que posar a disposiciódel nou equip. En el brindis els lligams entre l’EMS i la SCM s’enforteixin de comiat es va fer una mencióespecial per a encara mésdurant el seu mandat, i es va posar l’excel.lent tasca realitzada per NúriaFuster en a disposicióde tots per allòque calgui. el dia a dia de la Societat. Marianna Bosch Secretàriade la SCM

Informe comptable de la SCM del 2009 i pressupost per al 2011 Amb aquest document us fem arribar el resum comptable de l’any 2009 i el pressupost previst per al 2011.

Pressupost SCM 2009 Ingressos Despeses Concepte Ajuts IEC Altres ajuts activitats activitats Subtotals Publicacions 6.600,00 1.000,00 15.000,00 −7.400,00 Quotes 28.480,00 28.480,00 Despeses de Secretaria 9.980,50 −9.980,50 Fons de promoció 5.000,00 −5.000,00 Olimp´ıada 6.000,00 1.000,00 7.000,00 0,00 12a Trobada 3.000,00 500,50 4.000,00 −499,50 5a Trobada Ensenyament 4.000,00 900,00 6.000,00 −1.100,00 Cangur 2009 4.000,00 14.000,00 60.999,50 82.999,50 −4.000,00 Conferències per a estudiants 1.000,00 1.500,00 -500,00 Altres 1.000,00 1.000,00 0,00 Estalmat 6.000,00 6.000,00 12.000,00 0,00 Museu de les Matemàtiques 3.000,00 3.000,00 0,00 Total 34.600,00 22.000,00 90.880,00 147.480,00 0,00

A continuaci´o,us presentem el balan¸creal de les diferents activitats:

3 Informe comptable SCM 2009 Concepte Ajuts IEC Altres ajuts Ingressos Despeses Publicacions 8.100,00 393,01 18.957,58 Quotes 30.420,00 Funcionament de la SCM 2.988,60 Nòmines 3.990,41 Fons de promoció 1.593,32 8.051,80 Olimp´ıada fase catalana 2.500,00 2.840,20 Olimp´ıada fase estatal 5.000,00 5.000,00 RSME (IMO 2008) 14.000,00 Cangur i Olimp´ıada2008 7.000,00 Cangur 2009 3.600,00 87.824,00 87.044,97 Estalmat 3.000,00 3.129,05 Conferències 2.000,00 2.091,03 12a Trobada 1.500,00 155,00 2.135,79 6a Jornada Ensenyament 2.500,00 372,00 3.013,88 Museu de les matemàtiques 2.500,00 2.653,05 Traspàsquotes EMS i RSME 3531,00 Bancs 162,50 1.626,41 CEMAT 1.331,18 5.232,63 Total 28.693,32 24.600,00 119.326,51 143.770,64

Us detallem les activitats que han estat sub- (International Congress of Mahtematicians), al vencionades amb el fons de promoció.El que qual la SCM juntament amb les societats espa- consta com a ingressos d’aquest fons són:els nyoles va contribuir, i els interessos del dipòsit interessos d’un dipòsit que tenim fruit d’una que tenim amb l’IEC. devoluciódel romanent del congrésICM 2006

Fons de promoci´od’activitats 2009

Activitat Organitzador Import JAEM 2009 FEEMCAT 2.000,00 DSPDES’10 CIMNE 3.000,00 L’`algebra a la pen´ınsula Ib`erica UPC 1.460,20 Higher rank L-functions: the- UPC 1.481,38 ory and computations Mathematics and computer i UPC 1.290,75 Sage days Total 8.051,80

L’import del fons de promocióa l’inici de i va finalitzar amb un benefici de 28.849,19 e i l’any 2009 era de 47.736,77 e. Les despeses van un saldo positiu de 42.724,75 e. ser de 8.051,80 e i els ingressos de 1.593,32 e. I finalment us presentem el pressupost de Aix´ı, l’any 2009 el fons va tenir un balan¸cnega- l’any 2011, basant-nos en el fet que l’IEC de motiu de −6.458,48 e i va acabar amb un valor de ment ha aprovat una pròrrogadel pressupost del 41.278,29 e. 2010 donada la incertesa dels ingressos proce- Separant, com és tradició,els diners del fons dents de la Generalitat. Aixòvol dir que mentre de promociód’activitats, la societat va comen¸car la Generalitat no aprovi els seus pressupostos l’any 2009 amb un valor positiu de 13.875,56 e del 2011 l’IEC, i per tant nosaltres, no podrem

4 tirar-lo endavant. L’IEC ens ha dit que tindrà si passésqualsevol cosa. Com que el pressupost prorrogats els seus pressupostos, cosa que vol del 2011 s’ha de fer, comptarem que tindrem els dir que hi hauràel mateix crèdit que el 2010, mateixos diners. peròs’ha acordat fer una retenciódel 30 % per

Pressupost SCM 2011 Concepte Ajuts IEC Altres ajuts Ingressos Despeses Publicacions 7.600,00 21.600,00 Quotes 31.080,00 Despeses de Secretaria 7.000,00 Fons de promoci´o 7.000,00 Olimp´ıada 5.000,00 1.000,00 7.000,00 14a Trobada 5.000,00 500,00 4.000,00 7a Trobada Ensenyament 5.000,00 1.000,00 6.000,00 Cangur 2011 4.000,00 5.000,00 82.000,00 93.380,00 Premi Albert Dou 5.000,00 Altres 2.000,00 4.000,00 5.000,00 Estalmat 3.000,00 3.000,00 Museu de les Matem`atiques 3.000,00 3.000,00 Total 32.600,00 10.000,00 115.380,00 157.980,00

M. Teresa Mart´ınez-Seara Tresorera de la SCM

Un per´ıode m´es de la SCM

Gairebéamb l’any ha finalitzat el per´ıode de per gairebétotes les activitats humanes. La ma- quatre anys que he estat a la presidènciade la temàticaha contribu¨ıtnotablement a l’evolució SCM i, en deixar-la, voldria fer uns comentaris de la nostra forma de vida. sobre com he vist el seu funcionament i la seva També,gairebéno cal dir-ho, la matemàtica missió,si missióse’n pot dir. per si sola téuna harmonia interna, una arquitec- El paper fonamental de la nostra Societat tura, que li donen un gran valor estètic. No cal Catalana de Matemàtiques és contribuir al co- que sigui útil per a la produccióde recursos, per neixement de la matemàtica, no en el sentit de a la ciència o per a la tècnica per a ser d’interès. l’ensenyament reglat, que es fa a les escoles i Pensem en els problemes matemàtics que s’han universitats, sinóprocurar exposicions de la situ- anat resolent darrerament: el problema dels qua- acióde la matemàtica en els seus diversos camps, tre colors, el teorema de Fermat, la hipòtesi de organitzar concursos de resolucióde problemes Poincaré...Ja em direu quina importànciaper entre el jovent, informar a travésdel web i de a la vida pràctica tenen aquests teoremes, però les publicacions, relacionar-se amb societats i que importants sónper a la satisfaccióde la institucions dedicades a diferents aspectes de matemàtica...i dels matemàtics. la matemàtica arreu del móni organitzar acci- Aprendre matemàtiques requereix un esfor¸c ons conjuntes. Tot aixòamb la intencióde fer que costa molt de fer si no hi tens interès, i no hi créixer la presència,l’interès i el prestigi de la tindràsinterèssi no les entens ni t’agraden. En matemàticaal nostre medi. aquest sentit és important el seu ensenyament La matemàtica ésun instrument bàsic per des de la primària, on t’ensenyaran les opera- a donar models de com funciona el món: el seu cions aritmètiques i una mica de geometria, i coneixement i el seu ús ésindispensable a la potser fins i tot t’agradarà.Recordo l’impacte vida quotidiana, a la ciènciai a la tècnica,des que em va causar el teorema de Pitàgoresque de la comptabilitat fins a la cosmologia, passant un professor em va exposar a la pissarra, des-

5 présde la classe, quan jo tenia deu anys. No sé Potser el mésimportant ha estat el tracte si va canviar la meva vida, ni sési va fer que amb els membres de la Junta i altres persones el meu pensament en matemàtiques sigui més que han col.laborat per tirar endavant la tasca aviat geomètric que algebraic, en la classificació d’aconseguir que la SCM compl´ısles seves funci- que en fa el Poincaré,peròd’alguna manera ons, més que de difusió,de fer quallar un all i oli devia influir. en quèes barregen concursos amb conferències, L’ensenyament de la matemàticaa l’escola relacions internacionals amb ajuts, premis amb ésfonamental per a despertar-ne i orientar-ne publicacions... el gust. Fins i tot els plans d’estudi sónimpor- La Junta s’ha format amb les persones que tants. El meu amic Jim Milgram va formar part s’han fet càrrec de les diverses activitats de la d’una comissióque va canviar els plans d’estudi Societat. Es´ aix´ıcom hem tingut en el seu si als de la matemàtica a les escoles elementals de encarregats de les activitats per als estudiants Califòrnia perquèhavien observat un descens de secundària i batxillerat, de les publicacions, en les matriculacions a les carreres de ciències i del museu, del web, de portar els comptes i les d’enginyeria. actes, d’organitzar conferències, trobades i jor- Un factor important per al desenvolupament nades. I tot ha funcionat gràcies a la dedicació, de la matemàticaés que la gent la conegui i la el treball i el coneixement dels seus membres i reconegui, tant en teoria com en la seva utilitat. altres col.laboradors. Déun’hi do de les coses No hi ha cap disposiciód’ordre general sobre que s’han portat a terme en aquest quatre anys. com s’ha d’ensenyar, peròels estudis a les escoles i universitats del mónsónmolts semblants: La comunitat matemàtica catalana és viva i la matemàtica i la manera de transmetre-la és hem tingut l’experiènciaagradable que tothom . com la moda, s’encomana. que ha col laborat amb la Societat ho ha fet de Quèpuc dir sobre la meva visióde la SCM bon cor. durant aquests quatre anys passats? Es´ només Que el nou equip tingui tanta sort com la una feina més, un càrrecmés? que hem tingut nosaltres! Carles Perelló Expresident de la SCM

Salutaci´odel nou president

En el moment de ser elegit com a nou president encesa, com jo l’he rebuda, no apagada. Per a de la Societat Catalana de Matemàtiques, la aconseguir-ho, a la SCM, com a la matemàtica, meva primera sensacióésestar prenent un re- necessitem l’ajut de molts, de tots. lleu que ésun honor, i tambéque d’aqu´ıa un La nostra candidatura a Junta Directiva ja temps hauréde passar aquest honor a un altre. ha declarat mésd’una vegada que necessitem Sentir-me, per tant, part d’un corrent que ve aquest ajut de tots i que actuarem buscant que de fa for¸catemps, peròque ha de durar encara la Societat estigui sempre oberta a donar suport més. Per aixòel primer que faig ésagrair a la a les iniciatives de conreu de la matemàtica de Junta Directiva sortint, i molt especialment al qualsevol dels sectors de la nostra comunitat, president Carles Perelló,la feina que han fet, i independentment de nivells, titulacions, ubica- el llegat que ens han passat. cions geogràfiques o interessos professionals. Aixòs’assembla molt a la meva sensaciócom La SCM tambéha de ser, com sempre ha a matemàtic: la matemàticaésuna ciència, noble estat, el punt de trobada d’aquelles activitats i antiga, que hem rebut, li hem afegit humilment matemàtiquesque fan participar a sectors dife- la nostra manera de fer, i la transmetem a uns rents, com ara activitats conjuntes entre profes- altres, que la continuaran desprésde nosaltres. sors d’ensenyament secundari i professors uni- De la matemàtica, i tambéde la SCM, m’in- versitaris o activitats conjuntes entre diverses quieta molt principalment una cosa: poder-la universitats. La Societat ha d’estar oberta a les traspassar viva, no morta. Poder-la traspassar demandes que es rebin en aquestes direccions.

6 Tambéhem dit que ens comprometem a do- Também’agradaria que els grans i els jubi- nar suport a totes les coses que ja es fan, i que lats se sentissin còmodes amb les activitats de es fan molt bé,les quals constitueixen el nucli la Societat. Potser en els propers anys tindrem de l’activitat de la Societat. Ens referim, per for¸cajubilacions entre matemàticsque actual- exemple, a les publicacions (Butllet´ı, Not´ıcies, ment tenen un protagonisme important en l’ac- publicacions electròniques, NouBiaix), la pàgina tivitat matemàticacatalana. Independentment web, les trobades, les jornades, els congressos i del que puguin seguir fent en el futur en relació les conferències i els premis. També,amb èmfasi amb els llocs de treball que ara ocupen, la SCM especial, a les activitats dirigides a estudiants els ha d’oferir, dins de les seves possibilitats, d’ensenyament secundari (les proves Cangur, l’oportunitat de seguir fent tasques en el món les Olimp´ıades,els Problemes a l’Esprint) i la de la matemàtica, a qualsevol nivell. . col laboracióamb Estalmat i el Museu de les I unes idees finals per a una qüestiópoc con- Matemàtiquesa Catalunya (MMACA). També creta, peròque a la meva manera de veure ocupa ens comprometem a mantenir la xarxa de rela- actualment un lloc central en la matemàticaca- . cions institucionals i col laboracions de la SCM, talana: la nostra presència,i si pot ser tambéla comen¸cant naturalment per l’Institut d’Estudis nostra influència,en el mónque ens envolta: en Catalans, de qui som Societat Filial, i de qui re- el móncient´ıfic,cultural, social i pol´ıtic. De ve- bem tant de suport, i tambéles relacions amb la gades el problema d’aquesta presènciael redu¨ım FEEMCAT, el Centro Españolde Matemáticas a simplement una presència en els mitjans de (CEMAT), la International Mathematical Union comunicació.Bé,aixòésimportant, peròno es (IMU), el CIMPA, l’EMS, etc. tracta d’això.Es tracta que com a matemàtics A part d’aquestes coses, si podem, voldr´ıem tinguem una identitat, i que aquesta identitat dedicar alguns esfor¸cos a atraure els joves ma- sigui coneguda i apreciada socialment. No és temàticscap a activitats de la SCM que els pas una feina fàcil, ésclar, peròamb totes les puguin interessar. Els estudiants, al nivell de dificultats possibles probablement és la SCM grau, haurien de poder trobar a la SCM coses in- qui estàmésben situada per a afrontar-la. teressants per fer que els permetessin interactuar i intervenir a la Societat. Potser les relacions La presènciaen el mónque ens envolta haurà . internacionals de la SCM, o algunes activitats de passar necessàriament per realitzar col lec- de voluntariat, podrien ser portes que s’obrissin tivament activitats que ens aproximin a altres . en aquesta direcció. col lectius. A això,la nostra candidatura a Junta La veritat ésque m’agradaria poder fer coses Directiva li hem posat el nom de programa Ma- que ajudessin els estudiants a trobar feina com temàticai no matemàtica. Amb aquest nom a matemàtics.Però,almenys de moment, això volem descriure el fet que haurem de manifestar . ho veig com un objectiu una mica dif´ıcilper a la col lectivament el nostre interèsper les qüesti- SCM. L’única cosa que veig accessible ésla d’a- ons que actualment preocupen el mónque ens nimar els actuals estudiants de matemàtiques envolta, encara que el paper de la matemàtica al nivell de grau que comptin amb l’ensenya- hi sigui secundari o menor. ment secundari com una possibilitat atractiva i La matemàtica catalana mereix la presència útil. En les circumstàncies actuals, hem de reco- i la influènciasocial que reclamem. La docència, nèixerque seguim necessitant professors de se- la recerca i les aplicacions de la matemàtica no cundàriaamb una formaciómatemàticasòlida. han parat de millorar en volum i qualitat en Dif´ıcilment ajudarem al progrés cient´ıfic i tec- els darrers anys, i aixòmereix el reconeixement nològicde Catalunya si els nostres estudiants de la societat que ens envolta. Com he dit més d’ensenyament secundari no tenen una bona for- amunt, la matemàticaésuna ciència noble i maciómatemàtica,l’apropiada al seu nivell, i antiga (usant uns qualificatius de Carles Riba, un bon professorat que els estimuli i els obri encara que ell els apliquésa una altra cosa) i portes dins del mónde la matemàticai les seves que cap societat culta i avan¸cada no pot deixar aplicacions. de valorar i d’apreciar.

Joan de Sol`a-Morales, President de la SCM

7 Internacional Marta Sanz-Sol´e,nova presidenta de l’European Mathematical Society

Els 10 i 11 de juliol de 2010, el Consell Gene- rant els anys 1997-2004 fou membre del Comitè ral de l’European Mathematical Society (EMS) Executiu de l’EMS, i n’ésla presidenta per als celebrat a Sofia (Bulgària),escoll´ıla doctora propers quatre anys des del gener de 2011. Marta Sanz-Solé,catedràticade la Facultat de Matemàtiquesde la Universitat de Barcelona, L’any 1998 va rebre la Medalla Narc´ıs Mon- per a ocupar el seu màximcàrrec, la presidència turiol al mèritcient´ıfici tecnològicde la Gene- de l’EMS, durant el per´ıode 2011-2014. ralitat de Catalunya, en reconeixement a la seva ´ L’EMS ésel màximòrganeuropeu de repre- llarga i intensa carrera cient´ıfica. Es un honor sentacióde les matemàtiques, fou fundada l’any i una satisfaccióper a la Societat que un dels 1990, i técom a objectius principals el foment seus socis hagi arribat a la presidènciade la més i el desenvolupament de les matemàtiques en alta institucióde les matemàtiques europees. els seus múltiples aspectes, des d’una posició Ho anunciàvem a l’anterior SCM/Not´ıcies, tot d’identitat europea. dient que en aquest número tractar´ıemel tema amb mésdetall. Amb aquesta finalitat, tenim la Marta en directe perquèens ho expliqui en primera persona: SCM: Bon dia, Marta. MS: Bon dia. M’alegra molt poder conversar una estona amb vosaltres. SCM: Abans que res, deixa’m felicitar-te per aquest nomenament. Suposo que és una gran satisfacciópersonal haver arribat tant amunt... MS: Moltes gràcies. S´ı,certament hi ha un sen- timent de satisfacció.Peròsuposo que seràmés clar i intens si, en acabar el meu mandat, el balan¸cés valorat per la comunitat matemàtica com a positiu. De moment preval la pressióque suposa assumir una gran responsabilitat i enca- rar reptes de for¸ca envergadura. SCM: Per la Societat Catalana de Ma- Marta Sanz-Solétéuna extensa trajectòria temàtiquesésun gran honor que un català(i cient´ıficai una molt notable projeccióinternaci- soci de la nostra societat) sigui president de onal. La seva especialitat sónels processos es- l’EMS. Mai abans cap català(ni espanyol) ha- tocàstics, àrea en la qual ésautora d’una vuitan- via ocupat un càrrecd’aquesta rellevànciaen el tena llarga d’articles en revistes internacionals. mónde les matemàtiques. Actualment ésdirectora del grup de recerca en MS: La nostra incorporaciócom a cient´ıfics ben processos estocàsticsde la UB, universitat en la valorats en els escenaris internacionals és molt qual ha ocupat tambédiversos càrrecs de gestió: recent. Les anàlisisquantitatives i qualitatives fou degana de la Facultat de Matemàtiques els sobre la recerca en matemàtiques dutes a terme anys 1993-1996 i vicepresidenta de la Divisió de manera sistemàticadurant els darrers anys, de Ciències Experimentals i Matemàtiques els i publicades per l’Institut d’Estudis Catalans, anys 2000-2003. Durant els anys 2007-2010 ha mostren un fet remarcable: la nostra activitat format part de l’equip de direcciódel Centre cient´ıfica, mesurada en termes de publicacions, de Recerca Matemàtica.En l’esfera internacio- éscomparable a la de pa¨ısosamb una forta tra- nal ha estat i és membre de nombrosos comitès dició.En canvi, la nostra presència en àmbits cient´ıficsde congressos internacionals i de co- on es prenen decisions i s’impulsen projectes per missions d’avaluaciói selecciócom, per exemple, a la comunitat cient´ıfica i el progrés de la mate- els European Young Investigator Awards. Du- màtica ésmolt baixa. Penso que ésuna qüestió

8 de temps i que, a poc a poc, aquest desequili- en la recerca en matemàtiques a Europa reque- bri s’aniràatenuant. Peròper aixòcal mostrar reix una infraestructura de centres de recerca una imatge positiva, de capacitat i competència, i instituts ben repartits geogràficament, ben tant a nivell personal com institucional. Que la dotats pressupostàriament i amb mecanismes SCM valori la meva elecciócom un gran honor d’interacciósòlids i estables. D’altra banda, una em proporciona molta confian¸cai em confirma de les raons de ser de les matemàtiques és el seu el suport institucional en el meu àmbit méspro- impacte en els aven¸coscient´ıfics i tecnològics, les per, cosa indispensable per exercir un càrrec seves aplicacions. Finalment, no podem parlar d’aquestes caracter´ıstiques. de recerca sense comptar amb un capital humà SCM: Quina feina fa el president de l’EMS en ben preparat i amb bones condicions per exer- el dia a dia? cir la professió.A mi m’agradaria poder acabar MS: Hi ha una part de feina previsible, i més el meu mandat constatant que l’EMS ha con- o menys regular i programable, i una altra part tribu¨ıtd’alguna manera en els tres eixos que imprevisible. El president de l’EMS, juntament acabo d’esmentar. En l’aspecte de les infraes- amb el ComitèExecutiu, dirigeix i fa un segui- tructures, treballarem per obtenir finan¸cament ment de tots els projectes de l’EMS. Una part de la UnióEuropea amb l’objectiu de dur a ter- molt important d’aquests projectes es conceben me projectes transnacionals en els quals també total o parcialment en els diferents comitèsi es es puguin implicar centres emergents o de pa¨ısos desenvolupen bàsicament en el seu si. D’altres, on el finan¸cament ésdeficient. Un segon projecte sónprojectes del mateix ComitèExecutiu. La consisteix en la creaciód’un Institut Europeu dinàmicahabitual comporta moltes consultes de Matemàtiques per a la Innovacióque oferei- i discussions (molt Google i correu electrònic) xi les matemàtiques a les indústries i coordini aix´ıcom converses personals. Finalment, en les xarxes locals d’iniciatives similars ja existents. reunions del ComitèExecutiu es validen moltes Aquest projecte s’ha anat gestant en un estudi de les propostes que s’han estat discutint per promogut per la European Science Foundation correu electrònici s’avan¸caen la gestacióde anomenat Forward look on mathematics and noves actuacions. Els comitèsespec´ıficstreba- industry i ara cal fer un pas ferm endavant per llen gairebésempre per correu electrònic,però consolidar-lo. M’agradaria tambéposar en mar- tambétenen trobades presencials, aproximada- xa una fira virtual, i en determinades ocasions ment una a l’any. Considero molt important l’as- presencial, per ajudar els joves doctors a trobar sistència del president en aquestes reunions. Es´ el lloc de treball més adequat a la seva formació una manera de seguir mésde prop els projectes i plans de futur; ésa dir, una mena de mercat i d’interactuar de manera fruct´ıfera i personal en quèels diferents agents —centres de recerca, amb els components dels comitès. L’EMS forma universitats, empreses, fundacions, etc.— pu- part d’un bon nombre de comitès internacionals guin fer les seves ofertes i els matemàticspuguin (o hi és invitada regularment). Aixòimplica l’as- trobar aquella que els sembli més convenient. sistència a reunions en diferents llocs d’Europa, Obviament,` tot aixòrequereix diners, peròcom i tambéde la resta del món,i el treball pre- que no es parteix de zero, simplement un invi de preparaciói el derivat de les accions que tens treball de coordinaciója podria donar certs all´ıs’acorden. La mateixa naturalesa de l’EMS fruits. la porta a ser present en actes de diferent ti- SCM: Tots sabem que aixòde les matemàti- pus relacionats amb les matemàtiques i amb la ques sónmolt dif´ıcils ésencara una expressió ciènciaen general. Aixòseria aproximadament que, desgraciadament, se sent a dir massa sovint. la part previsible. Despréshi ha les actuacions La divulgaciómatemàtica és una bona manera necessàries en resposta a problemes o qüestions de lluitar-hi en contra? que sorgeixen de manera inesperada o imprevi- MS: S´ı,ésclar. La divulgaciócient´ıficatécom sible. a objectiu augmentar el coneixement de les SCM: Quines idees tens al cap per a implemen- ciències; el coneixement allunya les pors i els pre- tar durant aquests quatre anys per tal de poten- judicis i pot aconseguir una atracciópel camp ciar la recerca matemàticai les seves aplicacions, cient´ıfic que es vol divulgar. Ara bé,la divulga- a les institucions i universitats europees? ció,com qualsevol acte mediàtictransmet mis- MS: L’impuls i el manteniment d’un alt nivell satges que poden resultar polèmics. Vull dir que

9 la divulgaciócient´ıfica,i matemàtica en parti- MS: Si pensem en la producciócient´ıficai en cular, ésquelcom méscomplicat del que sembla la seva repercussió,crec que estem passant per a primera vista. Per exemple, en matemàtiques un moment molt bo. La necessitat d’equips mul- hi ha una tendència divulgativa que insisteix tidisciplinaris per abordar projectes i reptes ci- mésaviat en els aspectes lúdicsi estèticsde la ent´ıfics de gran abast ha ajudat molt´ıssim a disciplina. I em pregunto, és aquest un missatge visualitzar el rol important de les matemàtiques. que fa incrementar el coneixement de les ma- Els grans aven¸coscient´ıficsi tecnològics que es- temàtiques? Jo crec que no gaire. Em sembla tan canviant el funcionament de la societat i la mésbàsici atractiu explicar, per exemple, com nostra manera de viure, han situat les matemà- les matemàtiques intervenen en la tecnologia tiques com a la ciènciabàsicaper a la innovació. utilitzada en el diagnòsticper la imatge. En pocs decennis, les matemàtiques han passat SCM: Quines altres relacions cal potenciar en- d’un cercle d’influència redu¨ıtbàsicament a la tre matemàtiques i societat? f´ısica a un altre de molt més ampli. He citat MS: Qualsevol oportunitat per acostar les ma- abans la medicina, peròpodr´ıemtambécitar temàtiquesa qui no hi estàfamiliaritzat i per la biologia, l’economia, les tecnologies per a les fer més entenedora la professiómatemàtica,s’ha comunicacions i la informació... Es,´ doncs, un d’aprofitar. Per quèels cient´ıfics que treballen en escenari fantàstic en el qual les matemàtiques, la reproduccióassistida gaudeixen de prestigi so- a banda de conservar el seu prestigi i activitat cial i els bons escriptors sónadmirats, per posar com a ciència bàsica i llenguatge de les altres dos exemples en camps ben diversos? Els resul- ciències, s’estan posicionant com un element tats d’ambdóscol.lectius, de manera diferent, actiu d’aquesta transformacióglobal. Ara bé, tenen conseqüènciespalpables en el benestar de tradicionalment les matemàtiques s’han desen- les persones. Els primers ajuden a fer realitat volupat en cercles for¸ca redu¨ıts,i ni la majoria projectes de vida, els segons participen en el nos- de matemàtics ni les infraestructures disponibles tre lleure i en els moments de fugida de la rutina estan, en molts casos, a punt per adaptar-se a quotidiana. Peròésque les matemàtiques també aquest nou escenari. I molts dels que prenen de- fan aixòmateix! El que falta refor¸car sónles vies cisions sobre pol´ıtiques cient´ıfiques desconeixen de tranferènciad’aquest missatge. Abans hem aquestes necessitats. Per tant, seria possible que parlat de la divulgació,aquesta n’éscertament aquest ritme tan favorable per a les matemàti- una. L’abast pot ser molt ampli peròla profundi- ques es veiésfrenat o alentit per la manca de tat del missatge potser no gaire intensa. També suport en aspectes tan bàsics com els recursos hem parlat de l’educació.L’educacióinteressa humans i les infraestructures. a un ventall molt ampli de la societat i en els SCM: Es´ clara, doncs, aquesta tendènciaactual processos educatius més bàsics, a banda dels de proliferaciód’àrees emergents d’aplicacióde professionals, hi sóntambépresents les fam´ılies. la matemàtica.Creus que ésnomés conjuntural Amb la complicitat dels mestres i professors o que es tracta d’una tendència sòlida a mitjài el fantasme de les matemàtiquescom a factor llarg termini? de fracàshauria de desaparèixer; no ésgaire MS: No crec que aixòsigui una moda i penso dif´ıcilexplicar amb exemples que, de la mateixa que aquesta tendènciaes mantindràalmenys manera que calen les llengüesper comunicar- a mitjàtermini. Resulta peròarriscat predir nos, calen les matemàtiquesper fer ciència,i quèpot passar a llarg termini. La prolifera- que la ciènciaestàen la base del progrésde la cióde noves àrees d’aplicacióde les matemàti- humanitat. Una altra via que cal potenciar, es- ques ésuna conseqüència de la dinàmica que pecialment en el nostre pa´ıs,ésla transferència segueix el progréscient´ıfic i tecnològici ésuna del coneixement matemàtic al sector productiu. demanda dels processos d’innovació.En aquestes Podr´ıemparlar d’aixòhores i hores... I no vol- dinàmiques, les matemàtiques no estan actuant dria acabar sense citar la importànciaque téser exclusivament de servidores, de calaix de solu- present en associacions, fòrums,etc. que tenen cions a problemes. Les matemàtiques hi troben com a objectiu cercar recursos i fer lobby per la una font d’inspiraciói motivacióper a noves ciència. teories i estudis. I tambéuna bona font de fi- SCM: Com valores el moment actual de la ma- nan¸cament. Per tant, es pot dir que ésuna temàtica, com a disciplina cient´ıfica? alian¸ca positiva i vigoritzant per a tots els par-

10 ticipants i amb resultats beneficiosos per a la MS: Una altra de les debilitats que em preocupa societat. molt és la rigidesa de les estructures i normes de SCM: Podem dir, doncs, que el paper de la funcionament que regeixen les universitats. Difi- matemàtica en el desenvolupament cient´ıficdel culten l’atraccióde talents de qualsevol part del segle xxi seràencara més important i central món, no faciliten la promocióselectiva del per- del que ho ha estat en el segle xx? sonal amb criteris de competènciacient´ıfica,no MS: Aixòés exactament el que estem presenci- impulsen gaire la mobilitat, no incentiven l’excel- ant, una gran vitalitat i dinamisme, i tambéun lència.Calen canvis molt radicals per aproximar- canvi en les maneres d’exercir la professiód’in- nos a un model que, en primer lloc, faci atractiva vestigador en matemàtiques, una actitud més la professiói sigui més adequat per competir en col.laborativa i oberta. Si la dinàmica actual de igualtat de condicions amb els pa¨ısos del nostre progrésno es veu frenada per esdeveniments entorn pol´ıticreconeguts per la seva excel.lència. greus i indesitjables, crec que, efectivament, les Si les mateixes estructures perduren, no sési el matemàtiques tindran una influènciamésexten- moment relativament dol¸cen quèestem instal- sa que en el passat. lats sobreviuràgaire anys més. SCM: Centrem-nos en Catalunya. Com veus el SCM: L’estiu passat a Bangalore, Índia, es van moment actual de la matemàtica catalana? atorgar les últimes quatre medalles Fields. Es´ MS: En for¸casintonia amb el que estàpassant nomésun somni pensar que algun dia pugui en l’àmbit mundial. Hi ha vitalitat i entusiasme, haver-hi un medalla Fields català? i tenim molts bons matemàtics, bons equips, MS: Crec que pot ser una realitat. I aquest és bona infraestructura i bones connexions interna- un dels objectius que ens haur´ıem de proposar. cionals. Aquests sónels aspectes positius. Ens Caldria treballar a fons per posar les condicions falta el prestigi i el grau d’excel.lència dels pa¨ısos que ho facilitin. Em fa la impressióque l’obten- que tenen una tradiciómolt més llarga que la cióde premis de gran prestigi, com les medalles nostra. No crec que assolim aixòa la mateixa ve- Fields, requereixen la conjuncióde diverses cir- locitat que hem aconseguit l’extraordinari grau cumstàncies. La mésclara i amb méspes és de producciócient´ıfica i de projeccióinternacio- tenir candidats competitius. Peròcal tambéque nal. Peròvull creure que hi arribarem. aquests candidats siguin suficientment coneguts SCM: Es´ evident que Catalunya quasi no exis- i apreciats per la comunitat internacional i as- tia en el mapa del mónmatemàtic abans dels soleixin el consens del comitèque els atorga. anys seixanta, i que ara téuna posiciófor¸ca res- Abans he assenyalat que el nivell de producció pectable i respectada. Però,tal com comentes, cient´ıficade la comunitat catalana estàa l’al- encara queda molt per fer; quina ésla nostra tura de pa¨ısosque tenen medalles Fields. Quan principal debilitat, i quèpodem fer, individual- analitzem l’excel.lència, encara no estem gaire ment i com a col.lectiu, per superar-la? ben situats i el nivell de representacióen co- MS: Una de les debilitats que tenim ésla frag- mitèsinternacionals tampoc és bo. I és que això mentaciói la tendència a mantenir petites es- ésmolt mésdif´ıcil d’assolir i requereix esfor¸c feres de poder, la qual cosa dificulta la creació i perseveran¸ca. Es´ indispensable seleccionar i d’aliances fruct´ıferes. Aixòimpedeix fer quallar mimar el talent, proporcionar les bones condi- projectes que tinguin impacte en el futur de la cions perquèdoni fruits. Crec que no s’ha fet recerca a casa nostra, siguin sostenibles i tin- encara el pas decisiu de crear estructures per guin una repercussióinternacional notable. Per al desenvolupament d’una recerca en matemàti- exemple, considero una debilitat que, fins ara, no ques d’excel.lènciai de dotar-les adequadament. haguem estat capa¸cos de teixir els acords neces- Ara bé,sortosament no estem pas a zero i te- saris per oferir un únic programa postdoctoral nim alguns exemples realment notables que fan de matemàtiques, a l’estil de la Berlin Mathe- veure el futur amb esperan¸ca. matical School. Haur´ıem d’entendre que per ser SCM: Fa uns anys es va temptejar, sense èxit, competitius cal deixar en segon pla interessos la possibilitat que Catalunya esdevinguésmem- personals i amb poca perspectiva de futur. bre directe de l’IMU sense dependre d’Espanya SCM: En vista dels joves que pugen, com ima- (en el que seria un equivalent a la selecció gines els nostres departaments de matemàtiques esportiva matemàticapròpia).Seràpossible d’aqu´ıa vint o trenta anys? aixòen un futur proper, o els catalans també

11 ens hem de resignar a ser ciutadans de segona, MS: Genèricament, caldria prestar molta aten- matemàticament parlant? cióals estudiants que demostren un talent es- MS: A la Societat Matemàtica Europea, la So- pecial en alguna disciplina i és absolutament cietat Catalana de Matemàtiques n’és full mem- necessari estimular-los de manera especial. Un ber, igual que l’Alemanya, la Su¨ıssa o la London tractament uniforme impedeix el desenvolupa- Mathematical Society, per exemple. Crec que ment de les aptituds i fomenta la pèrdua d’in- aixòmarca una diferènciamolt significativa en- terèspel coneixement. En el cas concret de les tre l’EMS i l’IMU. El que compta a l’EMS és matemàtiques, cal presentar-les en el context l’existènciad’una comunitat matemàticaben cient´ıfici tecnològicdel segle actual i valorar consolidada, independentment de l’organització els mecanismes del raonament abstracte, de les pol´ıticadel pa´ısen el qual s’ubica. He comen¸cat demostracions. El domini de la capacitat en fent aquest aclariment per insistir en el fet que l’argumentaciócorrecte ésun component abso- ni ens hem de resignar a res, ni ens hem de sen- lutament transversal en qualsevol formació. tir comunitat matemàtica de segona categoria, SCM: I quins deures ens poses a la SCM, pre- perquèno ho som. Crec que el problema el té cisament ara que fa poc hi ha hagut renovació l’IMU que, fins ara, no ha mostrat la flexibili- de Junta i de president? tat necessàriaper adaptar els seus estatuts a MS: Deures en relacióamb l’EMS? Històrica- la realitat cient´ıfica. I el precedent de l’EMS ment, la SCM ha estat un membre molt actiu pot ser un bon exemple per tenir en compte. de l’EMS. Fer un llistat exhaustiu de col.labora- Caldria continuar treballant per assolir aquest cions ocuparia molt d’espai. No puc peròdeixar canvi; i no amb una actitud de victimisme sinó d’esmentar que, del 10 al 14 de juliol de l’any més aviat amb la d’un clar convenciment. Ara 2000, Barcelona va ser un aparador fantàstic bé,sense una forta comprensiói receptivitat de l’EMS en ocasiódel 3ecm (Third European del problema per part dels càrrecs de l’IMU i Congress of Mathematics). I fou aix´ıgràcies a aliances sòlides amb membres de l’IMU que hi la visió,dedicaciói entusiasme d’un nombrós donin suport, crec que no ens en sortirem pas... equip de matemàtics que vam treballar dirigits i SCM: Quins consells donaries als departaments coordinats per SebastiàXambó,aleshores presi- de matemàtiques catalans des d’una perspectiva dent de la SCM. L’EMS considera aquell congrés europea? com un dels mésexitosos que mai s’han celebrat. MS: No ésfàcil contestar aixòperquèa Cata- Per tant, la SCM ha fet molt i molt ben fet per lunya hi ha un nombre considerable de depar- a l’EMS. I ésaixòel que voldria demanar al taments de matemàtiques amb caracter´ıstiques nou equip de govern de la SCM: mantenir un diverses, des de molt grans i multiàrees fins alt nivell d’implicacióamb projectes i comissi- als petitets. Abans he esmentat un cert temor ons de l’EMS, perquèl’èxitde l’EMS depèndel sobre el desenvolupament futur d’aquests depar- que aporten els seus membres; col.laborar en el taments i les seves causes. Também’he referit coneixement i visibilitat de l’EMS mitjan¸cant a l’esquema de fragmentaciói els seus inconve- tramesa d’informacióperiòdica als socis de la nients. Cal emprendre una acciórotunda per a SCM, i ajudar a la captacióde nous socis indi- l’oferta d’una formacióde postgrau conjunta, viduals de l’EMS. amb vocacióinternacional. Es´ necessari disse- SCM: Finalment, quèdiries a un jove que, sense nyar una pol´ıtica de personal a mitjài llarg conèixergaire aquest món,decideix dedicar-se a termini. En particular, cal una obertura en la les matemàtiquessimplement perquèm’agra- captacióde professors i investigadors, introduint den? criteris que afavoreixin l’injeccióde cervells que MS: Li diria que, d’entrada, comencem bé.Per- puguin obrir noves l´ınies d’investigacióo refor¸car quèper sentir-se feli¸ci realitzat en una professió, les méssòlidesja existents. Cal coordinar-se per cal que trobem atractiu pels diferents aspectes a la gestacióde projectes de cooperacióper tal del seu exercici. Peròtambéinsistiria en el fet d’assolir uns nivells cr´ıtics de qualitat i de recur- que no n’hi ha prou amb sentir-se atret. Igual sos humans que enriqueixin la nostra recerca. que per ser un bon pianista no n’hi ha prou amb SCM: I algun consell per al mónde la se- adorar la música, sinóque cal talent i formació, cundària,tant important per a la motivació per dedicar-se a les matemàtiquesi no patir i formacióinicial dels futurs matemàtics? una frustracióhauria d’estar segur de posseir

12 un cert talent. El talent que portem en forma perògoso dir sense dubtes que les matemàti- incipient el descobreixen mésfàcilment els que ques sónmeravelloses i dedicar-s’hi ésuna bona ens envolten: professors, fam´ılia, amics. Ales- aposta. hores li preguntaria: t’han dit moltes vegades SCM: Marta, moltes gràcies per aquestes in- que serveixes per a les matemàtiques? S´ı? Doncs teressants paraules. En nom de la SCM i de endavant, ara cal potenciar les teves aptituds, la matemàticacatalana et desitgem els millors fer-les florir; i aixònoméséspossible amb un èxits i encerts en aquesta nova responsabilitat procés de formaciómolt bo i intens. Cal esfor¸c, al capdavant de l’EMS.

Impressions de l’ICM 2010

Del 19 al 27 d’agost de 2010 va tenir lloc a Hy- trobareu indrets on la gent viu en condicions derabad —la ciutat de les perles, capital de de pobresa extrema. A Hyderabad s’aixequen l’estat d’Andhra Pradesh i la sisena ciutat més edificis espectaculars de moltes multinacionals poblada de l’Índia— el congrésmundial dels made la informàticai les comunicacions a ben pocs temàtics, ICM 2010. Aquest congrésse celebra quilòmetres de barris on, cada cop que plou més cada quatre anys des de 1897 (amb interrupcions del que és habitual, els carrers i les cases s’om- causades per les guerres) i ésl’esdeveniment cab- plen d’aigua i de fang. Hi ha bones autovies dal de la comunitat matemàtica internacional. en molts llocs del pa´ıs,peròs’hi ha de conduir L’evoluciódel seu programa cient´ıficva marcant amb compte per no xocar amb cap vaca de les l’evoluciómateixa de les matemàtiques al llarg nombroses que s’hi passegen. de les dècades. I haver estat invitat a un ICM com a conferenciant marca un abans i un des- présen la carrera de molts matemàtics. També ésel lloc on es lliuren des de 1936 les medalles Fields i mésrecentment altres premis. En el número anterior de la SCM/Not´ıcies, el president Carles Perellóva fer-ne un excel.lent resum. Aqu´ıtrobareu una crònica mésdetalla- da i sobretot méssubjectiva. En molts sentits, l’ICM 2010 va ser com cadascun dels congressos mundials anteriors (Madrid 2006, Pequ´ın 2002, Berl´ın1998, Zuric 1994, etc.). Peròtambé va tenir caracter´ıstiques ben pròpies, a causa sobretot de la peculiar idiosincràsia ´ındia. Caos de trànsit en el centre de Hyderabad.

Un pa´ıs fascinant peròcaòtic En un pa´ısaix´ı,moure’s d’un lloc a un altre no és gens senzill per a un congressista tocat i La República de l’Índia ésun pa´ısd’enormes posat. Els mitjans de transport públic només contrastos, probablement un dels pa¨ısos del món sónadients per a aventurers, les grans distàncies on aquesta frase feta ésmésescaient. La presi- dificulten molt anar a peu i no es pot ni pen- denta de l’Índia, Pratibha Patil, ho va destacar sar a llogar un cotxe. La soluciómés raonable durant el seu magn´ıfic discurs a la cerimònia ésgairebésempre contractar un taxi, a preu inaugural de l’ICM, tot citant una vella dita: fet, cada cop que es vol sortir de l’hotel, per De qualsevol cosa que digueu sobre l’Índia, el a tot el temps que transcorri fins a la torna- contrari tambééscert. A l’Índia podeu visitar da. El taxista s’esperaràpacientment a cada alguns dels llocs mésluxosos o mésbells del lloc que es visiti i a cada botiga on es vagin a món,com el Taj Mahal a Agra o el palau dels comprar records —ell mateix estaràencantat de maharajas a Jaipur; alhora, a poca distància, recomanar-ne algunes, de botigues!

13 Un congrésben organitzat cent seixanta-set conferències invitades. A més, el programa cient´ıfic del congrésva incloure prop L’ICM 2010 va sortir bé;podr´ıemdir que amb de set-centes cinquanta comunicacions curtes de un percentatge semblant d’encerts i d’errades quinze minuts (com de costum, amb criteris de que els congressos mundials passats mésrecents. seleccióno gaire exigents), sessions de pòsters i Va fer-se al palau de congressos mésgran de tres taules rodones sobre aspectes socioculturals, l’Índia, de 27.000 m2, enganxat a un hotel educatius i divulgatius de les matemàtiques. El de cinc estrelles i ubicat a HITEC City (Hy- penúltim dia del congréses va oferir una sessió derabad Information Technology Engineering oberta de debat sobre procediments quantita- Consultancy City), un gran complex d’empre- tius d’avaluacióde la recerca en matemàtiques, ses de tecnologia de la informacióde 0,61 km2 durant la qual es va evidenciar una preocupant situat als afores de la ciutat; una bombolla de manca de consens i d’alternatives vàlides als modernitat de la qual molts congressistes només sistemes actuals, basats principalment en els varen sortir en comptades ocasions. factors d’impacte de les revistes, que alguns La cerimòniainaugural va ser llu¨ıdai, com tecnòcrates defensaven i molts participants ata- sempre, emocionant, especialment en els ins- caven amb argumentacions nomésparcialment tants previs a l’anunci dels noms dels guanya- convincents. dors de la Medalla Fields, un secret que mai no s’escapa abans d’hora. En aquesta ocasió,els premiats varen ser Elon Lindenstrauss (Univer- sitat Hebrea de Jerusalem), NgôBao Châu(Uni- versitat de Chicago, nascut a Hanoi), Stanislav Smirnov (Universitat de Ginebra, nascut a Le- ningrad, actual Sant Petersburg) i Cédric Villani (Institut Henri Poincaré,Par´ıs).En un altre article d’aquest número es detallen els seus mèrits cient´ıfics. A més,es va atorgar el Premi Nevan- linna d’aspectes matemàticsde la informàticaa Daniel Spielman (Universitat de Yale), el Premi Gauss per a resultats importants amb aplicacions més enllàde les matemàtiques a Yves Meyer Debat sobre ´ındexs d’avaluacióde la recerca el 26 (Escola Normal Superior de Cachan, Par´ıs) i la d’agost. Medalla Chern a una trajectòria brillant de tota una vida a Louis Nirenberg (Courant Institute, Entre els actes socials complementaris al Nova York). congrés va destacar l’excel.lent obra de teatre A Les conferències plenàries del congrésvaren disappearing number, de la companyia britànica ser impartides per les vint persones següents: Da- Complicite, sobre la vida i la mort de Sriniva- vid Aldous (Estats Units), Artur Avila (Brasil), sa Ramanujan i la seva breu col.laboracióamb R. Balasubramanian (Índia), Jean-Michel Coron G. H. Hardy a Cambridge. Qui escriu aques- (Fran¸ca),Irit Dinur (Israel), Hillel Furstenberg tes l´ıniesva quedar impressionat d’adonar-se, (Israel), Thomas J. R. Hughes (Estats Units), durant el transcurs d’aquesta obra de teatre, Peter Jones (Estats Units), Carlos Kenig (Es- que la seva habitaciód’hotel a Hyderabad era tats Units), NgôBao Châu(Estats Units), Stan- precisament la 1729 = 93 + 103 = 123 + 13 (un ley Osher (Estats Units), R. Parimala (Estats número irrellevant, segons la p´ıfia llegendària Units), A. N. Parshin (Rússia), Shige Peng de Hardy). Qui aixòescriu tambéva ser un dels (Xina), Kim Plofker (Estats Units), Nicolai trenta-nou participants al congrésque va per- Reshetikhin (Estats Units), Richard Schoen (Es- dre la seva partida en una sessióde simultànies tats Units), Cliff Taubes (Estats Units), Claire d’escacs amb Viswanathan Anand, actual cam- Voisin (Fran¸ca) i Hugh Woodin (Estats Units). piódel món. Un xicot de catorze anys, Srikar La llista de seccions temàtiques va ser pràcti- Varadaraj, va aconseguir empatar la seva parti- cament la mateixa que en els congressos de 2006 da (que de fet hauria d’haver guanyat, si no s’ha- i 2002. En aquestes seccions es varen impartir guésatabalat al final). Val a dir que aquest noi,

14 estudiant de secundàriaa Bangalore, va impar- fos impartida per matemàtics espanyols: Isabel tir una de les comunicacions curtes del congrés, Fernández (Universitat de Sevilla) i Pablo Mira a la seccióde matemàtiques a les ciències i a (Universitat Politècnica de Cartagena), que va- la tecnologia, amb el t´ıtol Derivation and geo- ren parlar conjuntament sobre superf´ıciesde cur- metric proofs of corollaries of the developable vatura mitjana constant en geometries de Thurs- surface equations and industrial applications. ton tridimensionals. A l’ICM de Madrid, el 2006, Potser en tornarem a sentir a parlar... hi va haver un conferenciant plenari espanyol (Juan Luis Vázquez) i deu conferenciants invi- Mathematics in Spain tats en les seccions temàtiques. Aquesta dava- llada en el congrésde 2010 no técap justificació L’espai d’exposiciódels estands va ser el menys en termes de la qualitat de la recerca que es fa vistósdels darrers congressos mundials. Possi- a l’Estat espanyol. Esperem que no es repeteixi blement les dificultats i el cost del trasllat del el 2014. material a l’Índia varen desanimar algunes edito- Cal recordar que la representacióen càrrecs rials, i els entrebancs per aconseguir equipament internacionals d’alt nivell s´ıque passa per un per als estands els varen acabar de deslluir. bon moment, gràcies a Marta Sanz-Solé,que Un dels estands tenia per rètol Mathema- éspresidenta de l’EMS des del gener de 2011, i tics in Spain, amb la qual cosa Espanya va a Manuel de León, que ésmembre del comitè esdevenir l’únic estat del mónamb un estand a PESC (Physical and Engineering Science) de l’ICM 2010. En aquest estand es va exhibir do- la FundacióEuropea per a la Ciènciades de cumentacióde les societats matemàtiques (entre 2006 i va ser reelegit com a membre del Comitè aquestes la SCM) i altres institucions, com el Executiu de la UnióMatemàticaInternacional Centre de Recerca Matemàtica(CRM) o algunes l’any passat a Bangalore just abans de l’ICM. universitats. Havia estat promogut pel Comitè Per cert, la propera presidenta de la UnióMa- Espanyol de Matemàtiques(CEMAT) amb un temàticaInternacional seràIngrid Daubechies, ajut econòmicdel Programa Consolider Inge- de la Universitat de Princeton, tambéla primera nio Mathematica, que a més va subvencionar la dona que assoleix aquest càrrec. participacióde deu matemàtics espanyols joves al congrés. La principal atraccióde l’estand va ser una Xifres de participació samarreta de la seleccióespanyola de futbol regalada i signada pel jugador asturiàJuan Ma- Segons el web de l’ICM 2010, el nombre total de ta, actualment davanter del Valènciai amic de participants inscrits va ser de 2.941 (entre ells Santos González, de la Universitat d’Oviedo, 1.547 indis), un nombre lleugerament inferior coordinador de l’estand juntament amb Carles als 3.441 de Madrid 2006 (amb 1.302 espanyols) Perelló.L’ambient de bona col.laboracióentre i for¸cainferior als 4.260 de Pequ´ın 2002 (que in- l’equip de persones que varen muntar i vigilar clo¨ıenuns 1.700 xinesos). Només64 participants aquest estand, entre elles Oriol Serra en repre- de nacionalitat espanyola es varen inscriure a sentacióde la SCM i qui aixòescriu, va ser ple Hyderabad. Esperem tambéque aquest nombre i efectiu. torni a créixeren propers congressos mundials, Tanmateix, va sobtar molt que només una tot i que la gran distància geogràficaa Seül ho de les conferències invitades en tot el congrés faràdif´ıcil l’estiu de 2014.

Carles Casacuberta UB

15 In memoriam Joaquim Font i Arj´o(1958-2010)

El 18 de novembre va mo- atenia dubtes i preguntes durant llargu´ıssimes rir el professor Joaquim Font estones. Era una mostra de la seva dedicacióal i Arjó. Sols tenia 52 anys. treball, la mateixa que va posar a l’hora d’enge- En Quim, que és com el co- gar l’ensenyament d’informàtica a la Universitat neix´ıem —costa escriure això de Barcelona. Alguns cops ens deia que sentia en passat—, va estar vincu- que no se li donava suport en aquesta feina, però lat ininterrompudament a la es va mantenir al davant fins que aquest projecte Facultat de Matemàtiques de va haver cristal.litzat. la Universitat de Barcelona La recerca la va desenvolupar en el camp des de mitjan anys setanta; de la mecànica celeste. Les seves contribucions primer com a estudiant, despréscom a becari, se centren en uns problemes concrets: l’estu- com a ajudant i professor associat, i finalment, di de les varietats invariants hiperbòliques dels durant els darrers vint anys, com a professor ti- punts d’equilibri del problema restringit de tres tular del Departament de Matemàtica Aplicada cossos, l’estudi de les anomenades òrbites de i Anàlisi. S’havia doctorat a la UB l’any 1990. segona espècie i de les òrbites de quasicol.lisió Ara, malgrat que ja no podem gaudir de la consecutiva del mateix problema, i l’anàlisi de seva companyia ni perllongar les converses que les fam´ılies d’òrbitesperiòdiques d’alguns po- durant tants anys hem tingut, ens queden molts tencials galàctics. Els resultats que va obtenir motius per recordar-lo. per aquests problemes sónmolt acurats i com- En les mostres de condol que els seus alum- plets, tant des d’un punt de vista quantitatiu nes, amics i companys han escrit, tothom en com qualitatiu i sónconeguts i apreciats pels diu que era una bona persona i molts escriuen experts. En Quim tenia totes les qualitats per aquestes dues paraules amb majúscules. I és que, ser un investigador de primera l´ıniaen aquest per damunt de tot, en Quim era una persona camp: curiositat, interèsi recursos, tant teòrics amb principis i valors. No calia haver-lo tractat com numèrics. Peròla seva opciópersonal i ad- gaire temps per descobrir la seva honradesa, so- mirable va ser dedicar la quasi totalitat del seu lidaritat, generositat i amabilitat; en definitiva, temps a l’atenciódels estudiants. per adonar-se que era algúcom cal. Aixòho saben bétots els joves que al llarg de molts anys Desprésde mésde vint anys d’anar cada dia s’han anat incorporant al Departament. Ell era a fer el cafèplegats, no podem acabar aquest es- el company que sempre estava a punt per donar crit sense recordar tambéles converses del dia a un cop de mà,per donar un consell, per fer que dia, l’aquest mat´ıhe sentit a la ràdio, l’ahir tothom estigués i se sent´ısintegrat i a gust. fent zàping o el ja vas veure el Bar¸ca. Per A en Quim li agradaven molt les matemàti- cert, Quim, l’altre dia li va tornar a fotre cinc ques i ensenyar l’ofici encara més. Els seus alum- gols al Madrid, i de les eleccions ja en parlarem nes recorden la paciència i dedicacióamb què una altra estona. Els amics del Departament de Matemàtica Aplicada i Anàlisi,UB

16 Peter J. Hilton (1923-2010)

Peter John Hilton va finar estudiant de doctorat de la postguerra. Enca- el 6 de novembre de 2010 ra que Hilton llavors no sabia res de topologia, a Binghamton (Nova York), Whitehead l’encoratjà: Oh, don’t worry, Peter, desprésd’una vida llarga i you’ll like it. I aix´ıva ser. intensa. Ha deixat un am- • L’afeccióal teatre i Margaret. De jove, a Hil- pli llegat a la topologia, ton ja li agradava molt el teatre i participava l’àlgebrai l’educaciómate- en representacions de teatre amateur. Després màtica,a mésd’una pet- de l’èxit assolit en el drama de Pushkin The ja fonda a Catalunya. Els Queen of Spades, quan els diaris van parlar d’ell fruits del seu talent també com el millor actor amateur de la temporada, van recollir-se fora de les la següent obra en quèva treballar, on repre- matemàtiques. sentava un pastor de l’església,fou molt lloada excepte la interpretaciódel pastor. Aixòel va Apunts biogràfics desanimar, tot i que el contacte amb el teatre no el podia perdre. En un ball de Nadal, sen- Hilton va néixer a Brondesbury, un barri del se triar-ho, es va veure obligat a acompanyar nord de Londres, el 7 d’abril de 1923. Quatre Margaret Mostyn (Meg, com sempre li va dir) i fets van marcar la seva vida i la seva carrera: aquest fou el seu primer contacte amb una ac- • L’accident de cotxe. Quan tenia deu anys, triu professional; el segon, aplaudint-la mentre mentre empaitava un company seu d’escola pel ella interpretava The Wishing Well. Peter i Meg carrer, el va atropellar un cotxe. Ni el cotxe es van casar l’any 1949 (el mateix any que ell ni el company eren qualssevol: el cotxe era un es va doctorar a Oxford) i van tenir dos fills: Rolls Royce i el company era Derek Godfrey, Nicholas i Timothy. que méstard esdevindria un actor shakespearià Hilton va ser Distinguished Professor of molt distingit. Hilton va haver de passar un llarg Mathematics a la Universitat Estatal de No- per´ıode de recuperacióen un llit de l’hospital i va York a Binghamton des de 1982, emèritdes allàs’afeccionàa resoldre problemes de matemà- de 2003. Anteriorment havia estat lector a la tiques, escrivint-ne les solucions en el guix que Universitat de Cambridge i a la Universitat de li embolcallava la cama esquerra. Descobr´ıla Manchester, i professor a les universitats de Bir- seva passióper les matemàtiques, que el duria a mingham, Cornell, Washington i Case Western ingressar a la Universitat d’Oxford uns quants Reserve. anys méstard. La seva investigacióes va centrar en topo- • El servei d’intel.ligència militar britànic. L’any logia algebraica, teoria de categories, àlgebra 1941, amb divuit anys, ja estudiant a Oxford, homològicai educaciómatemàtica. Va publicar fou contractat per treballar en el servei d’intel.li- més de tres-cents treballs de recerca i va presidir gènciamilitar britànic a Bletchley en el projecte nombrosos comitèsde prestigi, entre ells el Na- Enigma, l’objectiu del qual era desxifrar els tional Research Council Committee on Applied codis utilitzats pels alemanys amb la tristament Mathematics Training. famosa màquina d’aquest nom. Tres fets van in- Va ser autor de disset llibres: An influir en el seu fitxatge: era molt espavilat, sabia troduction to homotopy theory (Cambridge matemàtiques i parlava alemany. University Press, 1953), Differential calculus • John Henry Constantine Whitehead. A Bletch- (Routledge and Kegan Paul, 1958), Partial deri- ley, va treballar i va conviure amb molts ma- vatives (Routledge and Kegan Paul, 1960), Ho- temàtics professionals, entre ells Henry White- mology theory. An introduction to algebraic topo- head, Max Newman i Shaun Wylie. Amb tots logy (amb S. Wylie; Cambridge University Press, establ´ı amistat, peròsobretot amb Whitehe- 1960), Homotopy theory and duality (Gordon ad: I became very, very friendly with Henry and Breach, 1965), Algebraic topology (Courant Whitehead, on first-name, beer-drinking terms. Institute, 1969), A Comprehensive textbook of Acabada la guerra, Whitehead li va proposar classical mathematics (amb H. B. Griffiths; Van tornar a Oxford per convertir-se en el seu primer Nostrand Reinhold, 1970; reeditat per Springer,

17 1978), General cohomology theory and K-theory de localització.S’hi barrejaven tres especialitats (London Mathematical Society Lecture Notes que ell dominava i estimava: la topologia, la te- Series, Cambridge University Press, 1971), Lec- oria de grups i les categories. A les seves mans, tures on homological algebra (American Mathe- aquestes especialitats es complementaven per matical Society, 1971), A course in homological donar resultats a vegades sorprenents i sempre algebra (amb U. Stammbach; Springer, 1971), A atractius. El cam´ıque el va dur a aquesta cru¨ılla course in modern algebra (amb Y.-C. Wu; John va ser el fenomen de la cancel.lació(millor dit, la Wiley, 1974), Localization of nilpotent groups no-cancel.lació): si X × Y =∼ X × Z, es dedueix and spaces (amb G. Mislin i J. Roitberg; North necessàriament que Y =∼ Z? Aquesta pregunta Holland, 1975), Fear no more (amb J. Pedersen; tésentit en la topologia i en l’àlgebra,i de fet Addison-Wesley, 1983), Build your own Polyhe- ésuna pregunta t´ıpicament categòrica. Es´ clar dra (amb J. Pedersen; Dale Seymour Publicati- que la mateixa pregunta tésentit si es formula ons, 1994), Mathematical reflections. In a room amb coproductes en comptes de productes, i els with many mirrors (amb D. Holton i J. Peder- resultats que se’n deriven sónd’un altre caire, sen; Springer, 1996), Mathematical vistas. From sovint duals dels anteriors. a room with many windows (amb D. Holton Conjuntament amb Guido Mislin i Joseph i J. Pedersen; Springer, 2002), A mathemati- Roitberg, va obtenir resultats brillants i contra- cal tapestry. Demonstrating the beautiful unity exemples famosos en aquest context. El de més of mathematics (amb J. Pedersen; Cambridge anomenada va ser el primer exemple, descobert University Press, 2010). el 1968, d’una varietat topològica compacta que Li fou atorgada la distincióde doctor hono- admet estructura de H-espai (ésa dir, una multi- ris causa per la UAB l’any 1989, i tambéa les plicaciócont´ınua amb unitat, no necessàriament universitats de Michigan (1977) i Newfoundland associativa) i no éshomotòpicament equivalent (1983). Va dirigir vint tesis doctorals, la primera a cap grup de Lie ni a l’esfera S7 ni a cap produc- el 1960 (M. Arkowitz, Cornell) i la darrera el te d’ells. Aquest espai va quedar batejat com el 2000 (Changchao Su, Binghamton). criminal, perquèva refutar la versióhomotòpica del cinquèproblema de Hilbert (tota varietat Algunes de les seves aportacions topològica que sigui un grup topològic ésun grup de Lie, resolt afirmativament el 1950). El En paraules seves, l’any 1985, I think the best paper I ever wrote is a paper I wrote under the criminal de Hilton-Roitberg ésun espai X tal 3 ∼ 3 influence of Jean-Pierre Serre on the homotopy que X × S = Sp(2) × S , on Sp(2) és el grup groups of the union of spheres [J. London Math. simplèctic 2 × 2. Soc., 30 (1955), p. 154–172]. This was, I think, Les idees emprades en aquest contraexemple the first time that Lie algebras were used in van propiciar que Hilton, Mislin i Roitberg apro- homotopy theory in an effective way. fundissin en la teoria de localització,on s’aplica En efecte, el que s’ha anomenat teorema a la topologia algebraica la tècnica aritmètica de Hilton-Milnor és segurament la seva con- d’estudiar els espais localitzant-los en cada tribuciómés rellevant a la topologia algebrai- nombre primer, on sovint adquireixen simetries ca. Aquest teorema proporciona una descom- addicionals. El llibre que tots tres van publi- posicióde l’espai de lla¸cos d’un coproducte car l’any 1975 ésuna magn´ıfica eina didàctica Wn i alhora contémolts resultats originals que van finit de suspensions Ω( i=1 ΣXi) com a pro- Q∞ complementar tot allòque en aquella època des- ducte (en general, infinit) j=1 ΩΣYj, on cada Yj ésun producte redu¨ıt d’alguns dels espais cobriren Adams, Bousfield-Kan, Quillen, Sulli- X1,...,Xn. Com a conseqüència d’aquest resul- van i Zabrodsky, entre d’altres. Més endavant, el tat s’obtéuna fórmula per als grups d’homotopia problema del gènere (comparar les propietats de d’un coproducte finit d’esferes. Per exemple, si dos grups o dos espais X i Y tals que les localit- 2 2 n ≥ 2, el grup πn(S ∨ S ) ésuna suma directa zacions Xp i Yp sónisomorfes per a tot nombre Ln i τ(i−1) 1 k/d primer p) va ocupar la recerca de Hilton durant i=2 πn(S ) , on τ(k) = k Σd|k µ(d)2 i µ ésla funcióde Möbius. molt de temps, de fet fins fa ben pocs anys. Tanmateix, els treballs de Hilton que han L’enfocament categòric d’aquest tipus de dut més el seu segell i que es van perllongar problemes a la teoria d’homotopia va trobar mésen el temps van ser els dedicats a la teoria tambéen Hilton un mestre i un creador, en

18 col.laboracióamb Beno Eckmann. La dualitat comen¸cant per un llibre, passant per articles de d’Eckmann-Hilton (descrita entre 1958 i 1964) recerca i concloent en un coneixement personal i ésel fil conductor, encara ara, de molts cur- en una amistat que m’honora, que ens ha portat sos d’introduccióa la teoria d’homotopia. Les a la col.laboraciócient´ıfica. esferes sónespais amb un únicgrup de coho- Efectivament, del llibre de text alguns vam mologia peròamb grups d’homotopia dif´ıcils passar a llegir-ne articles de recerca i el contacte de calcular (de fet, desconeguts, en general), i personal s’establ´ıper primer cop l’any 1973 al en canvi els espais d’Eilenberg-Mac Lane tenen Forschungsinstitut fürMathematik (FIM) de un únic grup d’homotopia peròuns grups de l’ETH de Zuric, on Castellet acabava de llegir cohomologia dif´ıcils de calcular. Aquesta dua- la seva tesi doctoral, dirigida per B. Eckmann. litat entre homotopia i cohomologia consisteix Hilton i Eckmann, o Eckmann i Hilton, havi- nomésa invertir el sentit de les fletxes en els en establert una col.laboracióque des del punt diagrames. Es´ el mateix tipus de dualitat que de vista estrictament cient´ıficva durar mésde relaciona un producte amb un coproducte i un quinze anys i i que va donar lloc no nomésa espai de lla¸cos amb una suspensió. una profunda amistat, sinótambéa algunes Altra vegada en paraules d’ell, I do think de les pàginesmésboniques i interessants de that Eckmann and I did in that way systemati- les matemàtiques de la segona meitat del se- ze some ideas and we showed how certain ideas gle xx. Castellet no coneguéHilton fins al 1973, are naturally related. Some of these things were peròa Zuric ja li era familiar sentir parlar en- intuitively clear to certain people but had not tre els estudiants de doctorat del Pope i del been systematized. By systematizing them, we Copope (referint-se a Eckmann i a Hilton), made them more readily accessible to students, parodiant grup i cogrup, fibraciói cofibració, but also we broadened and extended them subs- homotopia i cohomotopia, categoria i cocatego- tantially. ria... Mai no hem sabut qui era l’un i qui era Certament, els seus articles van servir de l’altre. guia i d’inspiracióper a molta gent. Hi va ajudar L’any 1982, quan un dels autors d’aquesta . la seva facilitat per encetar treballs en col labora- nota era catedràtica la UAB i l’altre un estu- cióamb altres persones i la seva gran capacitat diant de la llicenciatura de matemàtiques, es per estimular la feina dels seus coautors joves. comen¸cava a crear a la UAB un grup de recerca en topologia algebraica amb M. Castellet, La seva influència a Catalunya J. Aguadé(doctorat l’any 1979 i que acabava El primer contacte de matemàtics catalans amb de tornar d’una estada postdoctoral al FIM de P. Hilton cal situar-lo a l’any 1964 i va ser pura- Zuric), I. Llerena (doctorada l’any 1977 a la ment virtual; no en el sentit que téara el terme, UB) i el jove E. Frau, amb la mirada posada en sinóperquèno fou un contacte f´ısic,simplement tres estudiants que aviat estarien en condicions intel.lectual. A l’octubre de 1964, J. Teixidor, de fer la tesi doctoral: C. Broto, L. Saumell i catedràtic de geometria anal´ıtica i topologia de C. Casacuberta. la UB, decid´ıseguir com a llibre de text a l’assig- Es´ en aquest marc que J. Aguadéi M. Cas- natura de topologia de 5ècurs de la llicenciatura tellet decidiren organitzar el primer congrés de de matemàtiques el llibre Homology theory. An matemàtiquesa Catalunya de l’època moder- introduction to algebraic topology de P. Hilton i na. Ara en dir´ıem un minicongrés,ja que el S. Wylie, publicat feia poc per Cambridge Uni- nombre de participants fou de trenta-cinc. Però versity Press. Fou un revulsiu en l’ensenyament en una universitat jove i en un pa´ıs que tot d’aleshores, més donat a explicar resultats es- just comen¸cava a saber treballar en matemàti- devinguts clàssics que a introduir els estudiants ques, l’organitzaciódel Workshop on algebraic en disciplines emergents. topology al maig de 1982 fou un salt qualitatiu Els estudiants d’aquella època no sabien què important. Cinc conferenciants de primera l´ınia era la topologia algebraica ni qui era Peter Hil- (P. Hilton, G. Mislin, L. Smith, C. Wilkerson i ton. En l’acte de presentacióde Hilton com A. Zabrodsky) i uns participants de no menys a doctor honoris causa per la UAB l’any 1989, nivell (H. Hiller, J. Hubbuck, U. Koschorke, D. Castellet deia: La meva coneixen¸ca amb Hilton Husemöller, R. Piccinini, Xin-Yao Shen... i un ha seguit un procésd’aproximacions successives, jove doctorand, M. Hopkins, que pocs anys des-

19 présesdevindria la figura de primer nivell que és Desprésva visitar Barcelona moltes vegades ara). En aquest congrés,Hilton impart´ılli¸cons més, sovint per a grans ocasions, com el desè sobre nilpotènciaa teoria de grups i a topolo- aniversari del CRM l’any 1994, on va impar- gia, un dels temes on la seva aportacióva ser tir la conferència de celebració.Va col.laborar mésessencial. A t´ıtol d’anècdota, als que vis- durant anys en treballs sobre nilpotència, loca- quéremaquell congrésens fa gràciarecordar litzaciói gènere amb els autors d’aquesta nota que Hilton va arribar a Barcelona procedent i en didàcticaamb N. Gorgorió.Alguns ma- d’Alaska i en va marxar en direccióa Singapur, temàtics catalans vam visitar-lo a Binghamton en una època que els cient´ıficscatalans tot just en moments clau de les nostres carreres. Vam comen¸caven a treure el nas al món.Hilton, que aprendre d’ell, no només com obtenir resultats havia estat tota la vida un gran viatger i es nous en matemàtiques, sinócom gaudir fent- trobava amb seixanta anys en un moment àlgid ho i sobretot com transmetre’ls amb claredat i de la seva vida, afirmava que escrivia els seus convicció. articles de recerca als avions. Carles Casacuberta, UB Manuel Castellet, UAB

Benoˆıt B. Mandelbrot: cient´ıﬁci matem`atic

El 14 d’octubre de 2010 va brot) que expliquen perquèha despertat tant morir BenoˆıtB. Mandelbrot, d’interès i mostren el potencial que s’amaga a un cient´ıfic i matemàtic influ- la seva frontera. ent en les darreres dècades. I diem cient´ıfici matemàticja Una breu biografia que, tot i la seva influència en una part de la comunitat BenoˆıtB. Mandelbrot va néixer a Polòniael matemàtica,influència que s’- 20 de novembre de 1924 dins d’una fam´ılia ju- explica com a impulsor de l’estudi dels conjunts eva que provenia de Lituània. La seva fam´ılia fractals i, principalment, per donar nom a un tenia un fort accent cient´ıficja que la seva ma- dels conjunts matemàtics mésinteressants dels re era f´ısica i el seu oncle, Szolem Mandelbrot, darrers anys, el seu treball va tenir sempre un va ser un matemàticsignificat que va fer car- caràcterinterdisciplinari, que ell mateix expli- rera a Par´ıs i que va influir for¸ca,no sempre cava que li havia tancat moltes portes, almenys de manera positiva, en la seva carrera. Només durant els primers anys de la seva carrera uni- la data del seu naixement i la seva condicióde versitària. jueu a la Polòniadels anys trenta fa entreveure Amb tot, com dèiem, la seva popularitat dins que la seva infànciano va ser pas un cam´ıde de la comunitat matemàtica, cient´ıficai potser roses. Quan tenia tretze anys, juntament amb fins i tot mésenllà(ja sabem que de matemàtics la fam´ılia, va anar a viure a Par´ıs i va entrar que transcendeixen la comunitat matemàtica al Lycée (secundària francesa); peròquasi im- n’hi ha pocs, peròque transcendeixin la comu- mediatament (la guerra acabava d’esclatar i els nitat cient´ıfica encara n’hi ha menys..., excepte jueus es temien el pitjor), la seva fam´ılia es va que el seu comportament social sigui prou singu- despla¸car a un petit poble, Tulle, de l’interior lar perquèels diaris se’n facin ressò.. . ) vingué de Fran¸ca, on potser passarien mésdesaperce- de la popularitat del que avui en dia en diem buts. Allàva seguir estudiant al Lycée, on va conjunt de Mandelbrot. Aquest conjunt va es- gaudir d’un nombrósgrup de bons professors tar en el moll de l’os del que a la dècadadels i matemàtics que fugien, igual que els seus, de seixanta era una nova geometria, que es va ano- les ciutats importants com Par´ısatemorits pels menar geometria fractal i en el descobriment de esdeveniments de la guerra. la qual Mandelbrot va estar implicat. Parlarem Finalitzada la guerra, al voltant de 1944, va una miqueta al final de l’article del significat tornar a Par´ısi, desprésd’un any al Lycée de matemàtici d’alguns resultats d’aquest conjunt Parc de Lyon, es va preparar per entrar o béa (no necessàriament deguts al mateix Mandel- l’Ecole´ Normale Supérieure o a l’Ecole´ Polytech-

20 nique. Tot i que la seva preparacióen anàlisi l’estiu de 1958 a l’IBM Thomas J. Watson Rese- no era gaire sòlida, els seus bons coneixements arch Center a Yorktown Hights (Nova York), va (i una intuicióinnata) de geometria li van per- decidir allargar l’estada un any. Aquest any es metre passar els exàmensd’entrada per cursar va allagar trenta-cinc anys més fins que, el 1987, els estudis a l’Ecole´ Normale Supérieure, on era IBM va decidir eliminar el seu departament de molt dif´ıcil accedir per la gran competitivitat. recerca bàsica. Va visitar Barcelona diverses ve- Malgrat tot, va decidir renunciar-hi i entrar a gades: el 1987 va visitar el Museu de la Ciència l’Ecole´ Polytechnique. Segons ell mateix, la radi- i va quedar fascinat per la geometria gaudinia- calitat matemàtica de l’estil de Nicolas Bourbaki na; el 1996 va donar una conferènciaa l’IEC al imperant a l’Ecole´ Normale Supérieure (i en la workshop Physics and Geometry organitzat qual el seu oncle era un destacat membre) el va per S. Xambói D. Jou; el 2006 va parlar també fer desistir i anar a estudiar a l’Ecole´ Polytech- al Cosmocaixa. nique. Finalment, l’any 1988 es va incorporar al De l’any 1945 al 1947 va estudiar en aques- Departament de Matemàtiques de Yale, fins ta prestigiosa institució,on va tenir professors que es va retirar el 2005. Va morir a l’edat de tan rellevants com Gaston Julia que, casualment, vuitanta-cinc anys a Cambridge, Massachusetts, acabaria donant nom a uns conjunts matemàtics d’un càncer de pàncrees. que ell mateix havia estudiat anys enrere, els Podr´ıemdir que la consolidacióde B. Man- (conjunts de Julia), i que estan fortament rela- delbrot com a cient´ıficde referència va ser la cionats amb el conjunt de Mandelbrot. També publicaciódel llibre The fractal geometry of na- va coincidir amb Paul Lévy, prominent analis- ture, l’any 1982. Aquest llibre ésun compendi de ta i probabilista. Finalitzat aquest per´ıode va dues de les seves grans obsessions com a cient´ıfic. passar dos anys als EUA, al California Institute Es´ d’una banda un llibre de divulgaciócient´ıfi- of Techonology (CalTech), però,tot i les bones ca on el lector pot gaudir de la geometria fractal impressions que en va treure, va decidir tornar sense necessitat d’anar mésenllà,peròtambé a Par´ısper fer la tesi doctoral. posa de manifest que objectes amb una nova Va defensar la seva tesi doctoral l’any 1952 geometria que havien estat observats de manera sota el t´ıtol Games of Communication. Algunes individual i inconnexa per economistes, f´ısics, fonts diuen que la tesi va ser sota la direccióde enginyers o meteoròlegs(l’any 1963 va coincidir Paul Lévy, peròell mantenia que la va realit- amb Eduard Lorentz, poc després que aquest zar sense cap direccióacadèmica. La inspiració publiquéssense gaire interès en la comunitat cient´ıficavan ser dos llibres de gran impacte cient´ıficadel moment el treball sobre dinàmica en aquell moment: Cybernetics (Norbert Wie- caòtica en sistemes determin´ıstics) segueixen un ner) i Theory of games and economic behaviour mateix patrói es poden entendre com un mateix (Von Neumann i Morgenstern). Finalitzada la objecte matemàtic. tesi doctoral va tornar als EUA (aquesta vega- Els diagrames que s’havien observat en el da a Princenton) convidat per Von Neumann, mercat de valors, les sèries temporals, les tur- on va tenir els primers contactes amb les noves bulènciesen mecànicade fluids, el perfil de les tecnologies del moment (ésa dir els primers or- costes dels continents, l’estructura de les fulles dinadors) i va treballar en diversos camps sense dels arbres, observacions cosmològiques, els cris- cap l´ınia de recerca prioritària. talls formats per l’aigua en estat de congelació El 1955 va retornar a Europa i es va casar i tants altres fenòmensnaturals, eren tots el amb Aliette Kagan. Tot i tenir la intenciód’a- reflex, mantenia Mandelbrot, d’una nova geo- nar a viure a Ginebra per col.laborar amb Jean metria que es va anomenar geometria fractal. Piaget, el van reclamar des de Fran¸ca (que en L’estudi sistemàticde la matemàticaque en- aquell moment vivia una gran expansiópel que volta aquests conceptes, en topologia, anàlisi, fa a les seves universitats) per anar a treballar geometria o probabilitats, ha estat motiu del tre- com a professor de matemàticaaplicada a la ball intens d’una quantitat ingent de matemàtics Universitat de Lille i tambéper anar a donar durant els darrers trenta anys. classes a l’Ecole´ Polytechnique. No es va adap- En aquest sentit, tota aquesta activitat de tar (mai, podr´ıem dir) als interessos de recerca recerca al voltant del conjunt de Mandelbrot i dels matemàtics francesos i, desprésde passar de la geometria fractal ha anat molt mésenllàde

21 l’activitat del mateix B. Mandelbrot. Ell va ser gràcies al seu coneixement profund d’eines neta- més l’impulsor de la nova teoria que no pas part ment abstractes mésproperes a la matemàtica dels aven¸cosque ha generat aquest estudi, però que ell va criticar que no pas a altra cosa. Pot- ningúpot negar que la seva participacióen tot ser podr´ıem aprendre de tot plegat que una plegat ha estat decisiva. formaciósòlida i un comprom´ıscient´ıfic obert serien un bon equilibri. Nogensmenys, un altre La seva recerca i el conjunt matemàticfrancès de la magnitud d’Adrien Do- de Mandelbrot uady, provinent d’aquesta tradicióbourbakiana, va ser un dels majors entesos en el conjunt de El treball de B. Mandelbrot, mésenllàdel con- Mandelbrot, i la seva publicació Itération des junt que porta el seu nom, ésmolt extens. Va polynomes quadratiques complexes (juntament publicar més de trenta llibres, i uns dos-cents amb J. Hubbard) l’any 1982 éssense dubte la articles en revistes d’economia, finances, f´ısica, referència clàssicamésimportant pel que fa al matemàtica,matemàticaaplicada, probabilitats, remarcable conjunt. estad´ıstica, biologia, etc. I tambéva ser molt No ésel nostre interès (i, molt probablement, productiu en la difusióde la ciència en gene- estaria fora del nostre abast) fer un recull o un ral i de la seva obsessióper la geometria en repàsexhaustiu de la seva obra. Ens centrarem particular. a donar una idea bàsicadel conjunt que porta el Va rebre durant tota la seva vida una gran seu nom: El conjunt de Mandelbrot. Incidental- quantitat de premis i reconeixements acadèmics, ment, l’autoria d’aquest descobriment tampoc tot i que ell sempre se’n va sentir una mica off- estàexempta de polèmica, possiblement mésa sider o incomprès. Potser, per un caràctercom causa de l’actitud de Mandelbrot que no pas a el seu, mésaviat tibat, els reconeixements no un dubte real sobre la seva influència,com pot van ser suficients i aix´ıho verbalitzava sovint, llegir-se en un entretingut article titulat Who la qual cosa no el va ajudar a fer amics. No és discovered the Mandelbrot set? a la revista menys cert, però,que el seu perfil tan interdis- Scientific American a l’abril de 1990 (i que es ciplinari no téun lloc fàcil en el móncient´ıfic va tornar a publicar l’any 2009). actual. Com ja hem dit B. Mandelbrot va ser alumne de Gaston Julia al Par´ısde 1945, quan era estudiant de l’Ecole´ Polytechnique. Gaston Ju- lia, i un altre matemàtic no gaire amic seu de nom Evarist Fatou (i que tambéva donar nom als conjunts de Fatou), havien estudiat, en paraules del mateix Mandelbrot, conjunts (a C 2 o S ) que es podien entendre com els punts repulsors dels iterats de funcions racionals a l’esfera de Riemann, o posat a l’inrevés, com els punts atractors d’una funciómultivaluada donada pels iterats inversos. N’havien dedu¨ıtmoltes propietats que feien pensar que aquests conjunts eren for¸ca estranys, ja que estaven definits de forma negativa. Tècnicament, el conjunt de Ju- lia sónels punts del pla on la fam´ıliad’iterats, n Llegint algunes de les moltes entrevistes que {f (z)}n≥0, no és una fam´ılia normal en z, en el se li van fer (tant en paper, com a la ràdioo tele- sentit clàssic de Montel, i sembla ser que Man- visió)hom veu en BenoˆıtMandelbrot una certa delbrot dedu¨ıa d’aquesta definicióque aquests contradicció.Va ser un clar adversari d’una ma- punts no serien gaire interesants de mirar. En temàticatancada en si mateixa a la Bourbaki qualsevol cas, en un primer intent, Mandelbrot (perdoneu la llicència),i va defensar sempre una va mirar de dibuixar-los, ajudat per l’ordinador, visióglobal de la ciència i de la matemàtica; però fent úsde funcions racionals prou complicades, al mateix temps sovint feia referènciaexpl´ıcitaal esperant aix´ıtrobar coses interessants. Els re- fet que algunes de les seves aportacions van ser sultats eren sorprenentment similars uns amb

22 els altres, peròno semblava fàciltrobar-ne un avui. El fet que la frontera de M tingui dimen- patróglobal. sióde Hausdorff igual a 2 és una mostra de Aix´ıésque Mandelbrot (sense saber-ho, en la complexitat d’aquest conjunt. De fet, com aquell moment) va decidir dibuixar el conjunt passa sovint en els problemes matemàtics in- de Mandelbrot. Va considerar la fam´ılia de fun- teressants, l’estudi del conjunt i de les seves cions holomorfes méssenzilla que li va venir al propietats connecta diferents àrees de la ma- 2 cap: Qµ(z) = z + µ, µ ∈ C. Era conegut ja dels temàtica,com podrien ser l’anàlisi complexa, treballs de Julia i Fatou que per a cada valor els sistemes dinàmicsi la topologia, entre d’al- del paràmetre µ el conjunt del qual hem par- tres. Una mostra n’és el problema obert central lat anteriorment (on la fam´ılia d’iterats no és en aquesta teoria, la conjectura coneguda com normal o conjunt de Julia) pot noméspresentar MLC. Aquesta conjectura prediu que la fronte- dues opcions: o béésun conjunt connex (en ra de M éslocalment connexa. Peròaquesta aquells temps la gent els deia dragó per la seva afirmaciótémultitud de conseqüències i equi- semblan¸ca) o ésun conjunt totalment disconnex valències com podria ser, per exemple, que els (anomenat Fatou dust i actualment conjunt de polinomis hiperbòlics (els que sónexpansius en el Cantor). Aquesta dicotomia correspon de forma seu conjunt de Julia) sóndensos al pla complex. bijectiva al fet que l’òrbita de z = 0 sigui fitada I voldr´ıem acabar amb una petita anècdota. o escapi a l’infinit. En la seva primera publicaciósobre el conjunt El conjunt de Mandelbrot M es defineix, de Mandelbrot, la que es va publicar a l’article doncs, com el conjunt de paràmetres µ del pla Fractal aspects of the iteration of z 7→ λz(1−z) complex pels quals el conjunt de Julia corres- for complex λ and z. (R. H. G. Helleman (ed.). ponent no ésun conjunt de Cantor sinóque és Annals of the New York Academy of Sciences, connex. Com dèiem, aquesta definicióésequiva- 357 (1980): Nonlinear Dynamics, p. 249-259), lent a la següent: i en la qual es mostrava la imatge del conjunt, l’autor va formular la conjectura que M no era n M = {µ ∈ C | Qµ(0) 9 ∞} . connex. Aquesta conjectura es basava en el fet que la imatge (feta amb els mitjans de l’època) Observem fàcilment que ésun conjunt fitat (de presentava unes petites illes negres desconnec- fet de mòdul menor que 2) ja que si agafem µ tades del cos principal del conjunt que feien n gran és immediat veure que Qµ(0) → ∞, tot pensar que efectivament es podia tractar d’un espiralant en la direcciócontrària a les agulles conjunt disconnex. En qualsevol cas, en l’últim del rellotge. moment abans de la seva aparició,alguna per- Si ara fem un enreixat d’un quadrat de C sona responsable de la publicacióde l’article va de costat 4, per exemple, i pintem de negre els pensar que aquelles illetes eren taques de tinta i punts (p´ıxels) pels quals l’òrbita de z = 0 és va decidir esborrar-les perquèla imatge quedés fitada i de vermell els punts on l’òrbita escapa, perfecta. Aix´ıés,doncs, com l’article presenta voilà, s’obtéel conjunt de Mandelbrot. Certa- una conjectura sense cap fonament aparent que ment el conjunt de Mandelbrot ésun diagrama la sostingui, tot per un error d’impressió.Més de bifurcació(no un pla dinàmic on es mostren rocambolesc ésencara que el mateix Mandelbrot les òrbites dels punts com és el cas dels conjunts en veure les primeres imatges tambéva pensar de Julia). Pot pensar-se com un catàleg de con- que les illetes eren errors numèrics, peròse’n va junts de Julia, un de diferent per a cada valor desdir quan va veure que una de les taques era de µ. La frontera de M correspon exactament massa grossa i estructurada per ser un error... al conjunt de polinomis que s’anomenen estruc- Estava veient el més gran dels mini-Mandelbrot turalment inestables; ésa dir, aquells en quèla sets corresponents a per´ıode 3. fam´ılia Qc experimenta bifurcacions. Peròésindubtable que aquest article va obrir Les propietats topològiques, aix´ıcom molts tot un mónde preguntes que a la vegada en van altres aspectes del conjunt de Mandelbrot, han generar molt´ıssimes més, en un arbre que, enca- fascinat matemàtics des del comen¸cament fins ra avui, sembla no tenir fi. Xavier Jarque, UB i URV Núria Fagella, UB

23 Noticiari Pere Puig, nou director del Departament de Matem`atiquesde la UAB

L’1 de setembre vaig tenir el privilegi de ser de certs mètodes docents que premien l’escàs nomenat director del Departament de Ma- esfor¸c.Hi ha indicis que apunten cap a una temàtiquesper la rectora de la UAB. Es´ per globalitzaciód’aquest fenomen. Un exemple és mi tot un repte ja que es tracta d’un departa- la desapareguda seccióde jocs matemàtics de ment molt gran, gairebécent trenta persones, la revista Scientific American. Tots recordem amb dues titulacions pròpies de grau, una doble aquesta emblemàtica seccióque durant molts titulaciói una gran càrregadocent repartida per anys va portar magistralment Martin Gard- tot el campus. A més, desprésde la bona gestió ner i que va ser continuada posteriorment per duta a terme pel meu predecessor, L. Alsedà, Hofstadter i Stewart. El 2001 va desaparèixer aquest càrrec resulta un doble repte. L’equip di- per sempre la seccióde jocs matemàtics, llavors rectiu que m’acompanyaràen aquest viatge està anomenada Mathematical recreations, de la format per J. Mateu, secretari; A. Cima, tercer versióamericana del Scientific American. cicle, i S. Cuadrado, economia. Des d’ara, a tots ells vull agrair-los la seva dedicaciói paciència. Com éspossible? Ha deixat de tenir interès Quan el mes de juliol el consell del departament per als lectors d’aquesta revista divulgativa de em va triar com a futur director, vaig comentar ciènciaen general, o ésuna cosa deguda sim- públicament alguns dels temes que em preocupa- plement a la ineptitud dels editors? Per sort la ven. Em centraréara en alguns d’aquests temes versióen castellàde la revista (Investigacióny que penso que poden ser d’interès comú. Ciencia) encara conserva la seccióde jocs ma- temàtics, portada actualment per Agust´ın Rayo. Un d’aquests ésl’anumerisme. Aquesta és Anteriorment, Juan M. R. Parrondo ens va co- una paraula relativament nova (innumeracy) mentar poc abans de deixar de ser el responsable que segons alguns va ser introdu¨ıda per D. Hofs- d’aquesta secció,que tan sols les versions en cas- tadter. Aquest terme es refereix a la incultura tellài en francès(seccióanomenada Logique et o ignorànciamatemàticaen general, i tambéa Calcul, de Jean-Paul Delahaye) de la revista la incapacitat d’entendre conceptes matemàtics conserven els jocs matemàtics. Peròmalaura- simples de la vida quotidiana. J. Allen Paulos dament aquestes dues versions que queden ara va popularitzar aquest terme a travésdel seu sóncom una mena de cant del cigne dels jocs best-seller Innumeracy. Mathematical illiteracy matemàtics. and its consequences (1988). Existeix tambéuna versióen castellàd’aquest llibre, El hombre anu- Un altre tema que em preocupa ésla neces- mérico, i diversos llibres del mateix autor que, sitat de difusióde les matemàtiquesa amplis seguint en la mateixa l´ınia de denúncia humor´ıs- sectors de la societat. Crec sincerament que les tica, han tingut bastant èxit. Aquest ésel cas, matemàtiquesnecessiten ser promocionades en per exemple, d’Un matemático lee el periódico. l’àmbit social i aquesta és tambéuna manera de La meva preocupacióprovédel fet que aquest combatre l’anumerisme. Resulta patèticque una anumerisme no nomésel percebem al carrer sinó persona famosa o un pol´ıtic es guanyi les simpa- tambéen ambients universitaris. Per adonar- ties de la seva audiènciamanifestant que quan nos-en, noméscal que ens fixem en els pro- anava a l’escola suspenia les matemàtiques. D’al- grames dels nous graus universitaris que han tra banda, la gent del carrer téuna idea molt vist disminu¨ıtnotablement el seu contingut en difusa i freqüentment equivocada del que sónles matemàtiques. I no només en matemàtiques, matemàtiques. Ah però,es pot investigar en ma- sinótambéen altres matèries de fort contingut temàtiques? I quèfeu? Descobriu noves maneres quantitatiu o numèric com ésl’estad´ıstica o la per sumar o multiplicar nombres? Aquestes són demografia. Quèestàpassant? Em temo que algunes de les preguntes que m’han fet, quan aquesta tendènciacap a un cert anumerisme expliques a coneguts i amics que a la universi- no ésnomésun fenomen de les nostres latituds, tat no només ensenyes matemàtiques sinóque en part potenciat per l’extraordinàriainfluència tambéinvestigues.

24 Tinc la conviccióque en general la gent no ésgairebéanalfabet, dónala resposta correcta s’interessa per les matemàtiques perquèno per- comptant amb els dits. Al final Jorge, després ceben aquests coneixements com alguna cosa d’una bona estona, tambédónala resposta cor- útil per a la vida real. Es´ més, moltes vegades recta. les matemàtiques es perceben com una dificultat La difusióde les matemàtiques, tant pel que afegida i innecessària.El recentment mort direc- fa als coneixements com explicant-ne la utili- tor de cinema Luis Garc´ıa-Berlangaho exposa tat, ésuna tasca molt important peròsovint molt divertidament en una de les escenes de la menyspreada des dels àmbits universitaris. Crec seva magistral pel.l´ıcula Calabuch. La mestra del que entre tots podem fer molt si ens ho propo- poble escriu a la pissarra un problema que diu: sem. Per acabar citaréuna frase que m’agrada Josétiene 12 plumas Parker, 4 le han requisa- molt del llibre Innumercy d’en Paulos que ens do. Si de las que le quedan vende 3, ¿cuántas ha de fer pensar: Vostèpot triar entre tenir plumas le han quedado? El protagonista, que unes certes nocions clares de matemàticao no en realitat ésun cient´ıficd’alt nivell que està tenir-les, peròha de saber que si no les té,és amagat al poble, comen¸ca a omplir de fórmules vostèuna persona molt mésmanipulable que en el seu quadern per resoldre aquest problema. el cas contrari. Mentrestant el seu company de pupitre, que Pere Puig Director del Departament de Matemàtiques de la UAB

Els nous màstersde Formacióde Professorat de Secundària en Matemàtiques

El passat curs 2009-2010 fou el primer any de la molts contactes i hem intercanviat intervencions implantaciódel Màsterde Formacióde Profes- personals puntuals als diferents màsters. Aixòha sorat de Secundària (FPS) a les universitats ca- estat fruit del fet que considerem que el màster talanes. Aquest màstersubstitueix l’antic CAP ésun instrument clau per al futur de la for- (Curs d’Aptitud Pedagògica) i haver-lo cursat macióde professors de secundària a Catalunya i superat és a partir d’ara un requisit necessa- i que esperem que, ben aviat, s’avanci cap a ri per a tots aquells que es vulguin dedicar a col.laboracions mésestretes i una oferta clara- l’ensenyament secundari, en qualsevol àrea o ment interuniversitària, amb unes pràctiques especialitat. més reconegudes i amb un sistema d’accésmés En el cas concret de les matemàtiques, compromès amb l’objectiu que els millors i més aquest màster s’ofereix a la UPC, UAB, UB ben preparats siguin alhora els mésben situats i UOC-UPF i els respectius responsables sónels per a accedir-hi. professors Claudi Alsina, Jordi Deulofeu, Vicen¸c A continuaciópodeu llegir quatre ratlles so- Font i Pelegr´ıViader. Tot i tractar-se formal- bre el funcionament de cadascun d’aquests qua- ment de màsters independents pertanyents a uni- tre màsters. versitats diferents, hem mantingut volgudament

C. Alsina, J. Deulofeu, V. Font i P. Viader Coordinadors

25 El Màster de Formacióde Professorat de Secundàriaen Matemàtiquesa la UB

Les directrius del t´ıtol de màsterque habili- • Pràcticum en l’especialitat. ta per a l’exercici de la professióde professor — PràcticumI (5 crèdits). d’educaciósecundària estableixen que: 1) La — PràcticumII (10 crèdits). seva durada sigui de 60 crèditsECTS (siste- • Treball fi de màster. ma europeu de transferència i acumulacióde — Treball de fi de màster (5 crèdits). crèdits). 2) Les competències es classifiquen en genèriques, espec´ıfiques (matemàtiques i la seva El mòdul espec´ıfic de matemàtiques i la seva didàcticaen aquest cas) i les que es desenvolu- didàcticarecull, doncs, tres matèries: comple- pen per mitjàde la pràctica.3) Els 60 crèdits es ments per a la formaciómatemàtica,aprenentat- distribueixen en tres mòduls (genèric,espec´ıfic ge i ensenyament de les matemàtiques, innovació i pràcticum).El pla d’estudis del màstera la docent i iniciacióa la investigacióeducativa. Universitat de Barcelona estàestructurat en els La competència professional dels futurs mòduls, matèriesi assignatures següents que professors de matemàtiques de secundàriaes sumen un total de 60 crèdits: pot considerar composta per dues macrocom- petències: 1) la competènciamatemàtica i 2) la Mòdul genèric:15 crèdits competència en anàlisi didàcticade processos d’instrucciómatemàtica,i el desenvolupament • Aprenentatge i desenvolupament de la perso- d’aquesta segona competència és l’objectiu prin- nalitat. cipal del màster.En el màster també s’ha d’aju- — Aprenentatge i desenvolupament de la per- dar a desenvolupar la competència matemàtica, sonalitat (5 crèdits). peròes pressuposa que aquesta competènciaja • Processos i contextos educatius. s’ha desenvolupat, encara que no completament, — Context de l’educaciósecundària.Sistemes, en els estudis previs que acrediten els alumnes models i estratègies (2,5 crèdits). per al seu ingrés en el màster.La raóper pren- — Tutoria i orientació(2,5 crèdits). dre aquesta opcióésque la formacióinicial de • Societat, fam´ılia i educació. professors de secundària ésseqüencial: primer, — Sociologia de l’educació secundària (5 formaciódisciplinàriai, després,formaciópro- crèdits). fessionalitzadora. En el màsterde la UB les assignatures de Mòdul espec´ıfic: 25 crèdits la matèriade Complements per a la formació matemàtica s’han dissenyat des d’aquesta pers- • Complements per a la formaciómatemàtica. pectiva i les assignatures programades tenen per — Complements històrics, metodològicsi d’a- objectiu presentar uns continguts matemàtics plicaciódels continguts de matemàtiques (7,5 que complementin els que els futurs professors crèdits). van aprendre en els seus estudis de grau. L’ob- — Taller de resolucióde problemes i modelit- jectiu ésque els alumnes coneguin quines són zació(2,5 crèdits). les aplicacions de les matemàtiques al mónreal, • Aprenentatge i ensenyament de les ma- quins van ser els problemes que van originar temàtiques. els objectes matemàtics que hauran d’ensenyar, — Didàctica de les matemàtiques de l’ESO i que reflexionin sobre els principals processos del batxillerat (5 crèdits). matemàtics,com sónla resolucióde problemes — Recursos i materials educatius per a l’acti- i la modelització,etc. En definitiva, unes ma- vitat matemàtica (5 crèdits). temàtiques amb història i relacionades amb els — Competències matemàtiques i avaluació(2,5 seus contextos d’aplicació. crèdits). A continuació,es comenten dos aspectes, un • Innovaciódocent i iniciacióa la investigació de problemàtici un altre de positiu, que en educativa. aquests moments s’observen en la realitzaciódel — Innovaciói investigaciósobre la pròpia màster. pràctica (2,5 crèdits). El primer fa referència al supòsit que les assignatures de la matèria de Complements per a Mòdul de pràcticum: 20 crèdits la formaciómatemàtica serveixen per comple-

26 mentar i no per substituir la necessària formació El segon ésque el disseny del màster de pro- anterior que ha d’assegurar una competència fessorat de secundàriacomporta que s’hagi de matemàticade base. Aquest supòsitno s’ajus- formar un equip docent en el qual hi ha de par- ta amb la formacióprèvia que tenen les dues ticipar professorat de: 1) pedagogia, psicologia i primeres promocions d’alumnes de la UB. En sociologia, 2) matemàtiques, 3) didàctica de les la primera noméshi havia un alumne amb grau matemàtiques i 4) matemàtiques de secundària de matemàtiquesi en la segona tambénomés en actiu. Es tracta d’un equip docent que, si n’hi ha un. En l’altre extrem tenim alumnes que arriba a funcionar realment com un equip, pot han cursat pocs crèdits de matemàtiques en els produir una sinergia important que pot assegu- estudis que els han permès accedir al màster. rar una formacióde professors de matemàtiques Aquest desfasament entre el que es pressuposa de secundàriade molta qualitat. Aconseguir la que els alumnes saben de matemàtiques i el que integraciód’aquest equip ésun repte important els alumnes saben realment és, probablement, i dif´ıcil, peròl’experiènciaque tenim a la Univer- un dels problemes més importants del màster sitat de Barcelona, del primer any d’impartició de FPS i per al qual s’hauràde buscar alguna del màsteri del temps que portem del segon, solucióen les futures edicions. ens fa ser optimistes en aquest aspecte. Vicen¸cFont UB

El Màster de Formacióde Professorat de Secundàriaen Matemàtiquesa la UAB. Inici d’un nou projecte i balan¸cdel primer curs

El curs 2009-2010 s’ha iniciat a la UAB, com aquesta breu ressenya, exposarem les principals en altres tres universitats catalanes (UB, UPC i caracter´ıstiques del màster i del que ha estat el UPF) l’especialitat de matemàtiques del màster primer curs, centrant-nos en el seu desenvolu- de secundària,un màsteruniversitari presenci- pament i destacant els aspectes que considerem al d’un curs de durada (60 ECTS), format per positius i aquells que haurien de millorar. tres grans mòduls: formaciópsicopedagògica(15 ECTS, comúa totes les especialitats), formació Disseny i organitzaciódel màster espec´ıfica (27 ECTS, 15 de didàcticai 12 de El disseny del curr´ıculum de formacióha de complements de formaciódisciplinària) i pràcti- possibilitar que els futurs professors tinguin una cum (18 ECTS, 12 de pràctiques d’ensenyament primera aproximacióa la professió,reconeguin i 6 del treball de fi de màster), estructura de- les interrelacions entre els coneixements dels terminada en gran part per les directrius del diferents camps del saber que influeixen en la Ministeri d’Educacióde l’Estat espanyol. seva formació,i al mateix temps puguin experimentar com es pot incidir en la formacióde Un total de vint-i-nou estudiants (procedents l’alumnat de secundària.Per aixòs’ha planifi- de vuit titulacions: matemàtiques, enginyeria cat el curr´ıculum pensant en les competències —telecomunicacions, informàtica i industrial—, professionals que s’han de desenvolupar, que arquitectura, f´ısica, economia i ADE), han re- resumim en les tres següents: alitzat aquesta primera ediciódel màstera la UAB. Han impartit la docènciacinc professors 1) Ensenyar matemàtiques de manera que tots del Departament de Didàctica de les Matemà- els alumnes, d’acord amb les seves capacitats, tiques (ensenyament, aprenentatge de les ma- puguin aprendre sabers socialment i cultu- temàtiques, innovació,seguiment de les pràc- ralment rellevants, i els puguin aplicar a la tiques i del treball de fi de màster), dos del seva vida personal, laboral i acadèmica. Departament de Matemàtiques (complements 2) Orientar l’alumnat en la seva recerca per de formació), quatre de pedagogia, psicologia i definir la seva personalitat, la seva manera sociologia, a més de setze tutors de pràctiques d’aprendre i el seu futur. pertanyents a dotze centres de secundària,majo- 3) Formar part d’un col.lectiu que col.labora en ritàriament de les comarques de Barcelona. En la definiciói aplicaciód’un projecte educatiu

27 de centre, juntament amb altres instituci- ciód’activitats i unitats didàctiques, tant per a ons i grups relacionats amb l’exercici de la l’ESO com per al batxillerat, amb una atenció professió. especial al paper del context i del llenguatge en l’ensenyament de les matemàtiques. Ningúdiscuteix la importància de les pràcti- Al llarg del curs hem comptat amb la valuosa ques als centres de secundària,ni la necessitat participacióde diversos professors: visitants de d’impulsar una reflexióen l’accióque permeti Departaments de Didàcticade les Matemàtiques analitzar, valorar i reorganitzar la intervenció (A. Arcavi, Israel; M. Doorman i K. Gravemei- educativa, peròaixòrequereix establir un procés jer, Holanda), professors dels altres màsters de dialèctic entre teoria i pràctica, superant visions secundàriade Catalunya (C. Alsina, A. Auba- del pràcticum com a aplicacióde coneixements nell i P. Viader) i professors tutors de secundària teòrics, peròtambécom a l’únic element vàlid (A. Cirera, P. Cobo i X. Vilella). Tots ells han per a la formació. aportat la seva visiócom a experts ja sigui en Per això,el disseny del màster preveu cinc l’àmbit de la recerca, del desenvolupament curri- fases, dues de les quals corresponen al pràcticum: cular o de la gestióde la classe de matemàtiques. la segona (observació)i la quarta (intervenció El primer curs ha mostrat aspectes positius acompanyada i autònoma),tractant d’integrar i altres que s’han de millorar. A partir de les la formacióteòrica i la pràctica, i donant la valoracions tant de professors com d’estudiants possibilitat als estudiants de contrastar els ense- podem concloure que l’estructura temporal del nyaments rebuts en els mòduls acadèmics amb màster és adequada, encara que una mica massa la realitat de les aules de secundària. En la comprimida (1.500 hores de treball global dels darrera de les fases es redacta el treball de fi estudiants exigeixen una elevada dedicació);cal de màsteri es presenta davant d’un tribunal. distribuir millor el temps per evitar moments en Aquest treball, una de les novetats principals els quals els estudiants tenen excés de treballs. dels nous màsters, serveix per posar en comú Una estructura com la nostra exigeix un alt ni- les competències desenvolupades i verificar-ne vell d’organitzaciói de coordinacióentre el pro- la seva adquisició,i consisteix en una reflexió fessorat, especialment en l’avaluació,si realment i aprofundiment sobre la unitat didàcticarea- volem desenvolupar i avaluar competències pro- litzada en les pràctiques, des del punt de vista fessionals. Tanmateix, els estudiants han valorat del contingut, de les activitats d’aprenentatge positivament tant les pràctiques professionals dissenyades, de la seva gestióa l’aula i de la com els mòduls acadèmics, peròhan estat cr´ıtics seva avaluació. amb l’excésde tasques d’avaluacióque els ha suposat la realitzaciódel màster. El desenvolupament del primer curs: con- Globalment, podem afirmar que el màster els sideracions ha proporcionat un primer contacte amb la pro- El treball en el mòdul espec´ıfic, que ocupa quasi fessiód’ensenyant de matemàtiques,mostrant- la meitat del màster, s’ha centrat d’una banda los l’interès i alhora la dificultat del que significa en una revisiódels grans conceptes i processos avui ensenyar-les. Cal tenir present, però,que del curr´ıculum de matemàtiquesde secundària una formacióinicial com aquesta és,com el seu (ESO i batxillerat), en la l´ıniaconeguda amb nom indica, tan sols el primer pas i que tots els el nom de matemàtica elemental des d’un punt que ens dediquem a l’ensenyament de les made vista superior, iniciada per F. Klein fa un temàtiquessabem que la formaciópermanent segle. De l’altra, el curs ha proporcionat eines en tots els àmbits relacionats amb la professióés didàctiques per ensenyar matemàtiques,a par- indispensable. Tambéhem tractat de transmetre tir de l’anàlisi d’activitats per a l’aula i de l’estu- aquesta visióals nostres estudiants, alguns dels di de casos; tambés’ha ocupat de la rellevància quals estan continuant aquest curs 2010-2011 que per a nosaltres téla resolucióde problemes, la seva formacióen el camp de la recerca en entesa com una de les activitats centrals a l’aula didàctica de les matemàtiques. de matemàtiques, aix´ıcom del coneixement i la Sens dubte, el màster representa un pas enda- pràctica de recursos per a l’ensenyament (ma- vant en la formaciódel professorat de secundària terials, textos, programari, recursos a la xarxa, respecte a la formacióanterior, tant quantitati- etc.); tambés’ha tractat el disseny i programa- vament com qualitativa. Avui podem assegurar

28 que, per primera vegada al nostre pa´ıs, tenim del de formació,aconseguir que aquesta es con- una formacióinicial de caràcter professionalitza- solidi i tingui la màximaqualitat és el repte dor que complementa la formaciódisciplinària, que tenim tots aquells que creiem que una bona imprescindible peròno suficient, del grau. Una formaciódel professorat és un dels principals vegada definida l’estructura i iniciat el nou mo- indicadors per millorar l’educació. Jordi Deulofeu Piquet UAB

El Màster de Formacióde Professorat de Secundàriaen Matemàtiquesa la UPC

La Universitat Politècnica de Catalunya ha versa sobre la pràctica reflexiva; la recerca a confiat al seu Institut de Ciències de l’Edu- partir d’experiències d’aula, i les tendències cació(ICE) l’oferta dels tres màsters de Ma- internacionals en innovaciói recerca. temàtiques, FormacióProfessional i Tecnologia. En l’àmbit de professorat hom compta amb En el cas de Matemàtiques es dediquen 28 ECTS professorat de secundària(I. Guevara i Ll. Ro- a la formaciódidàcticaessencial estrictament selló)i de la UPC (C. Alsina, J. L. D´ıaz-Barrero, lligada a l’activitat docent, estratègies, bones J. Gómez, P. Grima i M. R. Massa). També pràctiques, innovacions, pràctica reflexiva, etc. es programen conferènciesconvidades o de col- Es considera essencial el pràcticuma centres de laboracióamb els altres màsters(A. Aubanell, secundàriai la formaciópsicopedagògica,que en J. Deulofeu, P. Viader, A. Gomà,D. Sabater...). el cas de la UPC ha comportat la contractació S’han involucrat tambémolts matemàtics de directa de gent en actiu en aquest camp que pot la UPC per tutoritzar alumnes, per dirigir ca- aportar una visiómolt concreta de la situació dascun dels tres treballs de fi de màster i per fer actual. les comissions que jutgen aquests treballs. En El bloc de matemàtiques va ser dissenyat el pràcticum es compta amb professorat de ma- per Claudi Alsina, Iolanda Guevara i Damià temàtiquesde secundària d’arreu de Catalunya. Sabaté,i inclou els apartats següents: Les classes teòriques tenen lloc a l’ICE i a la Facultat de Matemàtiques i Estad´ıstica 1) Matemàtiques del segle xxi per a secundària (FME) de la UPC i els alumnes opten per la via (7 ECTS) técom a continguts el curr´ıculum ràpida(1 curs) o la via lenta (2 cursos). Quant de matemàtiques a l’ESO i al batxillerat; ele- a l’avaluaciótots els processos sónd’avaluació ments d’històriade les matemàtiques per a continuada. secundària i complements formatius sobre Amb quaranta-vuit alumnes el 2009-2010 i les matemàtiques de secundària. trenta el 2010-2011, s’ha aconseguit restringir 2) Ensenyament i aprenentatge de les matemà- l’oferta a un sol grup i tots els alumnes sónde tiques a secundària I (7 ECTS) versa sobre primera opciói de molt diverses formacions uni- la didàctica de: espai i forma; estad´ıstica i versitàries(entre les quals d’estaquen enginyers, probabilitat, i canvi, relacions i mesura. arquitectes, economistes, etc.), molts amb ex- 3) Ensenyament i aprenentatge de les matemà- periènciesprofessionals àmplies peròamb una tiques a secundària II (8 ECTS) versa sobre marcada vocacióper a ser professors/res de ma- la didàcticade: càlcul i nombres; resolució temàtiques. de problemes; modelitzaciói aplicacions, i Creiem que la formacióinicial ésmolt impor- competències i avaluació. tant i que cal oferir-la amb la màxima qualitat 4) Innovaciódocent i iniciacióa la recerca en i molt focalitzada a formar pràcticament bons l’àmbit de l’educaciómatemàtica(6 ECTS) professors de matemàtiques. Claudi Alsina Coordinador Bloc Matemàtiques Màster UPC

29 Màster de Formaciódel Professorat de SecundàriaUPF-UOC. Experiència del primer any de matemàtiques, 2009-2010

Estructura del màster 3) Els coordinadors del pràcticum dels centres i els mentors (nom que donem als tutors del Ens hem inclinat per una estructura molt oberta centre) tenen consideracióde professors del amb grans mòduls més que en assignatures ato- màster.Aixòens permet una millor integra- mitzades. En això,hem seguit les recomanacions ciódins el projecte docent que es tradueix en: de l’AgènciaNacional d’Avaluacióde la Quali- tat i Acreditació(ANECA) alhora que ens ha a) Els mentors imparteixen alguna de les ses- permèsun disseny més flexible del curr´ıculum. sions teòriquesa la Universitat basant-se De la part del mòdul genèric(15 crèdits) se en la seva experiència docent. n’ha encarregat la UOC a través de tres assig- b) Els coordinadors de centre, al seu torn, natures. Aquestes assignatures sónde caràcter tambépoden participar, si aix´ıho desit- trimestral peròla manca de temps ha fet que gen, en un seminari permanent que anome- es fessin sense solucióde continu¨ıtati amb una nem Els dilluns del màster, dirigits als forta càrrega de treball per part de l’alumne. alumnes de totes les especialitats i oberts Quant a la part de didàctica(25 crèdits), a tota la comunitat docent. l’hem organitzada en tres mòduls: c) Els mentors formen part del tribunal exa- minador del Treball Final de Màsterdels 1) Complements de formaciócurricular (5 crè- seus tutorands i, alhora, sónavaluadors dits). En aquest mòdulhem treballat: his- externs del TFM d’altres estudiants. tòriadels principals conceptes matemàticsi descripciódels curr´ıculums d’ESO i de bat- 4) El TFM es avaluat de manera pública per un xillerat. tribunal format pel mentor de l’alumne, el 2) Innovaciódocent i introduccióa la metodo- tutor universitari del pràcticum de l’alumne logia de la investigaciódidàctica (5 crèdits). i un tercer professor del màster. Aquesta part ha consistit en: introduccióals Aquest model de pràcticum té les con- recursos TIC de les matemàtiques de l’ESO i seqüències immediates següents: del batxillerat (GeoGebra, full de càlculcom • La simultane¨ıtatdels mòdulsteòricsamb les a eina didàctica, calculadora Wiris, Mood- pràctiques permet una bona retroaccióentre els le...), metodologia de l’avaluació,introducció coneixements teòrics i l’experiènciadiàriadel a la investigacióen didàctica de les matemà- centre. tiques, i pràctica reflexiva. • El fet que la gran majoria del professorat 3) Aprenentatge i ensenyament de les matemà- de l’especialitat siguin professors de secundària tiques (15 crèdits). Aqu´ıhem treballat direc- amb una gran experiènciadocent i, alhora, un tament la didàctica de les diferents branques bon domini de les matemàtiques,fa que els code les matemàtiques que es desenvolupen en neixements que es posen a l’abast de l’alumne l’ESO i el batxillerat: aritmètica, geometria, siguin els idonis per a la seva formaciócom a estad´ıstica i probabilitat, i anàlisi. futur professional de l’ensenyament. • La participaciódels mateixos mentors i coor- El pràcticum (20 crèdits. Inclou 6 crèdits del dinadors en la formaciódels futurs professionals incideix en la seva formacióen el mateix sen- Treball de Final de Màster,TFM) tit assenyalat en el punt anterior, amb efectes El model de pràcticumpel qual hem optat té multiplicadors. les caracter´ıstiques següents: Coses per millorar 1) Una durada extensa, de l’ordre de 200-240 hores. • L’avaluacióper competències i, en concret, 2) Simultane¨ıtat en el temps amb els mòduls l’avaluaciódel practicum , ha estat una dificul- teòrics: les classes presencials corresponents tat del primer curs del Màster.Aixòésa causa a la part de didàcticade les matemàtiques de diversos factors: s’imparteixen durant la tarda, i els alumnes — una preparacióinsuficient del nostre esque- fan les pràctiques en horari de mat´ı. ma d’avaluació;

30 — el fet que molts mentors hagin estat forma- Davant d’aquesta situació,des de la UPF- dors per primera vegada; UOC, advoquem per l’establiment d’una prova — i per últim,com un factor mésalarmant, d’accés, única per a tot Catalunya, que permeti la diversitat de preparaciómatemàtica dels ordenar els alumnes de l’especialitat de matemà- nostres alumnes, de la qual parlarem una tiques amb un criteri que no sigui la qualificació mica més avall. mitjana de la carrera. En l’elaboraciód’aquesta • L’assignacióde l’alumnat a una o una altra prova, hi haurien de participar totes les universi- universitat, que s’ha fet de manera centralit- tats del territori que imparteixen l’especialitat i zada en tot l’àmbit de Catalunya a travésde tots els alumnes, independentment de la seva ti- l’Oficina de PreinscripcióUniversitària prenent tulaciód’accésal Màster, haurien de realitzar-la. com a únic criteri la nota mitjana de l’expedient Una prova aix´ıtindria, com a m´ınim,dos de la llicenciatura. Aixòha tingut dos efectes efectes: immediats: • Un de dissuasiu per a aquells estudiants amb a) El primer, clarament pervers, sobre l’accés una titulacióno gaire adient (diferent de ma- dels estudiants méscapacitats, perquèla nota temàtiquesi f´ısica)i que, en aquests moments, mitjana dels llicenciats en matemàtiques o en entren en l’especialitat de matemàtiques perquè f´ısiques ésinferior a la dels llicenciats en, per la seva especialitat desitjada es cursa en algun exemple, ADE. centre allunyat (cas de l’especialitat d’economia b) El descobriment de les escasses competències que només s’ofereix a la Universitat Rovira i matemàtiques de molts dels nostres alumnes Virgili de Tarragona). ens ha obligat a improvisar classes de matemà- • Un altre seria la creacióde cursos preparatoris tiques que, com que estaven fora de programa per a la prova dirigits als que realment desitgen i, en conseqüència, no estaven subjectes a ava- ser professors de matemàtiquesi no se senten luació,han tingut un efecte limitat, encara prou segurs en els seus coneixements bàsics. que positiu. Pelegr´ıViader Coordinador del Màster

Joint CRG-CRM Meeting on Mathematics in Genomics and Systems Biology

El 22 d’octubre de 2010 tinguélloc el Joint cope, only better; biology is mathematics’ next CRG-CRM Meeting on Mathematics in Geno- physics, only better. En els darrers anys s’ha mics and Systems Biology, organitzat pel Centre conformat el terme de biomatemàtica, que al- de RegulacióGenòmica (CRG) i el Centre de guns prefereixen anomenar biologia quantitativa. Recerca Matemàtica (CRM), amb el suport dels En resposta a aquesta dinàmica, la majoria dels respectius projectes del Programa Consolider instituts de recerca en matemàtiquesarreu del Ingenio. La trobada tinguélloc al Parc de mónhan posat o estan posant en marxa equips Recerca Biomèdica de Barcelona (PRBB). de recerca en biomatemàtiques.El CRM és un L’objectiu principal i original de la troba- d’aquests instituts, i després d’una crida compe- da, promoguda per J. Bruna (CRM) i R. Guigó titiva, ha posat en marxa un equip de recerca (CRG), era posar en contacte directe dues comu- en biomatemàtiques liderat pel doctor Tomás nitats cient´ıfiques,els biòlegsi els matemàtics. Alarcón.D’altra banda, sónja uns quants els Sónmúltiples i creixents les interf´ıcies entre ma- investigadors en matemàtiques a Catalunya que temàtiques i biologia, i amb ciènciesde la salut en els darrers anys s’han implicat en projectes mésgeneralment, genòmica, biologia de siste- de recerca compartits amb experimentalistes del mes, epidemiologia, neurociència,dinàmicade camp de la biologia. poblacions, farmacologia, visióper computador, Temàticament la trobada es va centrar, na- robòtica, etc. Es´ prou coneguda la cita de J. E. turalment, en els temes d’interèsdels investiga- Cohen Mathematics is biology’s next micros- dors en biologia del PRBB. L’úsde tècniques

31 computacionals i estad´ıstiquesper a gestionar, • Metagenomics, G. Valiente (CRG). analitzar i extreure informaciód’interèsen bi- • Algebraic tools in phylogenetics, M. Casa- ologia de grans bases de dades —àmbit que es nellas (UPC). coneix genèricament com a bioinformàtica— fou • Alternative splicing, J. Valcárcel (CRG). evidentment present en algunes de les presenta- • Metazoan systems, B. Lehner (CRG). cions. Molt significativament per als matemàtics, • Network analysis for biological systems, F. la trobada va servir per a copsar que hi ha també Comellas (UPC). necessitats de modelitzaciómatemàtica d’un al- • Comparative bioinformatics, C. Notredame tre caire i molt terreny per explorar. A t´ıtol (CRG). d’exemple, el desenvolupament de models ma- • Sensory cell biology and organogenesis, H. temàtics que permetin tractar simultàniament López-Schier (CRG). fenòmensen sistemes multiescala, on hi convi- • Modularity and steady states of signaling uen agents a escales d’interès molt diferents, fou pathways, E. Feliu (UB). quelcom que va aparèixeren mésd’una ocasió. • Gene network engineering, M. Isalan Peròtambé,en la l´ıniacomputacional, la neces- (CRG). sitat d’implementar altres algorismes basats en • Neuroscience through dynamical systems, una modelitzacióprèvia de l’estructura oculta A. Guillamon (UPC). d’aquests grans volums de dades. Els investiga- • Sensory systems and behaviour, M. Louis dors participants foren d’una banda una àmplia (CRG). representaciódels caps de l´ıniadel CRG, ma- • Modules and statistical models of complex temàtics del CRM i de les universitats catalanes, biological networks, R. Guimerà(URV). i tambéuna bona part de f´ısics que treballen en • Non parametric hidden Markovmodels with sistemes complexos i biof´ısica. applications in copy number variation, O. Pa- El programa d’activitats va constar de dues paspiliopoulos (UPF). conferènciesinvitades, d’una sèrie de presenta- En la taula rodona de cloenda s’acordàen . cions curtes i d’una taula rodona de cloenda. primer lloc, i per tal d’afavorir futures col laboracions, organitzar una pàginaweb amb les Les conferències invitades van ser: Gene- tic tools for studying the anatomy and functi- adreces de contacte de tots els participants i totes les presentacions: http://big.crg.cat/ on of the drosophila nervous system, impartida pel doctor Gerald Rubin, director de Jane- maths genomics systemsbiology. Tambées discutiren accions concretes que lia Farm Research Campus, i The analysis of . non-pathogenic SIV infection in natural hosts incentivin sinergies entre els col lectius presents. exemplifies the need for new mathematical geno- Entre les idees aportades que el CRM i el CRG podrien canalitzar destaquem les següents: me representations, a càrrecdel doctor Arnd Benecke de l’Institut des Hautes Etudes´ Scienti- • En l’àmbit de projectes de final de màs- fiques (IHES) de Par´ıs. ter, investigadors del CRG podrien suggerir Les presentacions van ser les següents: mitjan¸cant el web projectes per a estudiants • Design of biological systems, L. Serrano de matemàtiques, en la l´ınia de la convo- (CRG). catòriadel CRM (http://www.crm.cat/CALLS/ • Gene function and evolution, G. G. Tarta- Beca treball 2010.pdf). glia (CRG). • En l’àmbit de formaciódoctoral, organitzar • Integrative modeling of biological systems, cada any una trobada adre¸cadaa estudiants del T. Alarcón(CRM). per´ıode docent dels programes de doctorat de • Sensory systems and behavior, Y. Jaeger matemàtiquesper presentar projectes de tesi (CRG). d’interès per al CRG i susceptibles de ser codi- • Bioinformatics and genomics, R. Guigó rigits per matemàtics. (CRG). • Finalment, en l’àmbit institucional va sorgir • On population models of the interaction la idea de crear en el si de l’IEC una secciócon- between bacteria and their bacteriophages, A.` junta de la Societat Catalana de Biologia i de Calsina (UAB). la SCM amb el nom de Biologia matemàtica • Functional genomics, R. Castelo (Grup de i computacional, idea que es faràarribar als Recerca en Informàtica Biomèdica, GRIB). respectius presidents.

32 Els GEMT2010

Els Grups d’Estudi de Matemàticai Tecnologia a la soluciódels problemes i alhora facilita els d’aquest any (GEMT2010) es van celebrar el 6, contactes personals, que moltes vegades sónl’o- 7 i 8 de juliol de 2010. Els organitzadors van rigen de posteriors col.laboracions cient´ıfiques. ser: Aureli Alabert, Tim Myers i Jordi Saludes. Com diem, aquest ésun tema de debat, i que Hi van assistir una trentena d’investigadors, la no téuna soluciófàcil: si bésóncertes les ra- majoria dels quals podeu veure en la fotografia ons que hem donat per a fer els Grups d’Estudi que acompanya aquest escrit. L’estructura va en un marc allunyat de l’activitat quotidiana, ser la mateixa dels altres anys: tres problemes, tambééscert que aixòencareix enormement el presentats al mat´ıdel primer dia, i tres grups seu pressupost d’organització. que hi treballen durant tres dies. Tambéhi ha hagut alguns canvis, que no Els problemes sónpas de fons peròque marquen algunes direccions interessants, principalment perquèobren El primer problema es titulava Mesures de la aquesta activitat a nous grups de participants i pressiósangu´ınia i va ser presentat per V. Ri- mostren tambéque els canvis sónpossibles i que bas, de l’empresa Sabirmedical. Aquesta empre- no hem de conformar-nos amb fer el mateix any sa es dedica a la fabricaciói comercialitzacióde rere any. El primer canvi estàen el nom: aquest diversos aparells mèdicsi estàtreballant en la any el nom oficial ha estat GEMT2010/78th producciód’un aparell de monitoratge continu ESGI, perquèels nostres grups d’estudi han en- de la pressiósangu´ınia, amb la finalitat de po- trat a formar part de la llista dels anomenats der ser usat en un medi hospitalari, i que tingui European Study Groups with Industry. Això caràcterno invasiu i una completa fiabilitat. Les ha obert la participacióa diversos investigadors eines actualment utilitzades, per a les quals es estrangers, principalment del Regne Unit, que busca alternativa, sónel catèter intravenósi el s’han interessat pels problemes que hav´ıemplan- clàssicesfigmomanòmetre. Aquesta empresa ja tejat. Aquesta participacióha fet que l’idioma téuna llarga experiència en mesures no inva- predominant en les presentacions i en les dis- sives d’altres magnituds corporals, com la del cussions hagi estat l’anglès. Aixòsens dubte nivell d’oxigen a la sang, i totes les experiències tambéha marcat una diferènciarespecte als semblen indicar que a partir de les mesures d’a- anys anteriors. questes altres coses s’hauria de poder deduir la L’altre canvi ha estat en el lloc de realització. de la pressiósangu´ınia. Aquest any s’han fet al CRM, al campus de Be- L’empresa ja ha treballat amb mètodes es- llaterra. Des del punt de vista de l’organització tad´ıstics basats en correlació,amb resultats ini- aixòha estat for¸ca important, perquèl’expe- cials acceptables peròde moment no totalment riènciadel CRM en l’organitzacióde trobades suficients. I es dirigia als GEMT2010 amb la internacionals ha representat una bona ajuda intencióde buscar nous camins, basats en la mo- per al comitèorganitzador, peròtambéperquè delitzaciómatemàtica.Els models actuals per ha posat de manifest que no hi ha hagut pas al sistema circulatori es basen principalment en falta de participaciópel fet que no es fessin a la equacions diferencials amb retard en el temps, i UPC, lloc on s’havien fet fins ara. es pensa que una comprensiómés gran d’aquests Aquesta darrera reflexióens porta a un punt models i de les seves variants hauria d’ajudar a que ha estat discutit diverses vegades, i que pro- comprendre la relacióentre la pressiósangu´ınia bablement mereixeria ser tornat a considerar i les altres variables que ja es poden mesurar de en el futur. En general, els Grups d’Estudi que manera còmoda i no invasiva. Els participants s’organitzen a tot el móntenen una universitat van familiaritzar-se amb aquests models i van o un centre de recerca que els acull, peròla gran fer un conjunt de suggeriments en la direcció majoria dels participants no pertanyen pas a que interessa a l’empresa. aquesta universitat. Aixòfa que durant els dies El segon problema fou la Prevencióde riua- que dura l’activitat els participants resideixin des al riu Ebre, presentat per J. Quevedo, del junts i fora del seu ambient de treball habitual, grup de recerca Sistemes Avan¸cats de Control de cosa que afavoreix una dedicaciómolt intensa la UPC. Per a evitar riuades en les parts baixes

33 del curs del riu, es preveu seleccionar un conjunt turalment, en una primera fase aquestes àrees d’àrees al costat del llit del riu en les parts més quedarien inundades, peròposteriorment l’aigua altes que puguin ser inundables, sota control, en embassada hauria de tornar al riu, entre altres cas de cabals molt grans i previsiód’avingudes. coses per deixar buida de nou l’àreainundada Aquestes àrees actuarien de dipòsitsi estarien perquèfos susceptible de tornar-se a inundar, separades del curs del riu per comportes, amb fins i tot potser al cap de poc temps. les quals es realitzaria el control desitjat. Na-

Grup de participants.

El problema, doncs, seria determinar el pro- part dels prove¨ıdorsd’Internet, que tinguin en grama de les seqüències i dels temps necessaris compte els estalvis grans en l’ample de banda per a l’embassament i desembassament, adaptat que es poden produir quan els pics de demanda a cada situacióinicial, que pot ser molt dife- per part de clients diferents succeeixen en hores rent en cas que l’avinguda tingui el seu origen del dia o dies de la setmana diferents. en un afluent o un altre. En aquest problema, Els sistemes actuals de facturació,que adme- que involucra tambéproblemes de representa- ten dues modalitats anomenades respectivament ciódel terreny i de mecànicade fluids, també facturacióper volum i per percentil, no estan van obtenir-se alguns resultats preliminars que suficientment estudiats com perquèels clients poden ser d’utilitat. i els prove¨ıdors puguin guiar-se per una lògica El darrer problema va se presentat per precisa al moment d’elegir entre un dels dos sis- E. Foch, de Cisco Systems, i es titulava Consu- temes. Els investigadors dels GEMT tambévan miciód’ample de banda i models de facturació. familiaritzar-se amb el problema i van iniciar Es tracta d’un problema comercial, en el qual es l’estudi d’algun dels fenòmens associats als dos voldrien decidir bones pol´ıtiques de tarifes per sistemes de facturació. Joan de Solà-Morales UPC

Les universitats informen Activitats de la Facultat de Matem`atiquesde la UB durant la tardor 2010

La Facultat de Matemàtiques de la UB va inau- gressions aritmètiquesde nombres primers ar- gurar el curs 2010-2011 el 22 de setembre amb bitràriament llargues. Com en altres ocasions la conferènciadel doctor Ignasi Mundet titula- l’escrit d’aquesta conferència es podràllegir en da Progressions aritmètiques de tots colors. el Butllet´ı de la SCM. En el mateix acte, es Mundet ens va introduir al mónde les progres- va lliurar el Premi August Palanques a Carlos sions aritmètiques i la coloraciód’aquestes, fins Domingo Salazar, l’estudiant amb el millor expe- a arribar a mostrar-nos el celebrat teorema de dient acadèmic de primer cicle de l’ensenyament Green-Tao, el qual estableix l’existènciade pro- de matemàtiques del curs 2009-2010.

34 L’exposició Experiències matemàtiques, El semestre de primavera, i concretament orgnitzada per l’Associacióper a Promoure i els dies 19 i 26 de gener, va tenir lloc la xerrada- Crear un Museu de Matemàtiquesa Catalu- taller 1 + 1 > 2 programant formigues a nya i patrocinada per la Facultat, ha estat al càrrec de la doctora Maite López, on vam apren- vest´ıbulde l’edifici històricdel 18 d’octubre al dre com en els sistemes complexos, les accions 9 de novembre. Aquesta exposicióconsta d’un simples dels individus en combinar-se poden conjunt de mòduls que posen de manifest as- produir efectes sofisticats. Les inscripcions per pectes intu¨ıtius i visuals de les matemàtiques i a les xerrades-taller es fan durant el mes de que conviden a la participaciói a la interacció. setembre. Si esteu interessats a rebre informa- L’exposicióha estat visitada per multitud d’es- cióho podeu sol.licitar per correu electrònica coles i particulars, que han pogut gaudir de les [email protected]. explicacions fetes per monitors. Com cada any, des de la Facultat hem continuat donant suport als treballs de recerca en matemàtiques, posant en contacte els nostres alumnes i professors amb els alumnes i tutors de batxillerat que ho han demanat. Tornarem a comen¸caraquesta activitat durant els primers mesos de 2011. L’ediciód’enguany de la Matefest/Infofest, la nostra particular festa de les matemàtiques i la informàtica,tindràlloc el mat´ıdel 4 de maig. Aquesta festa singular l’organitzen els alumnes de la Facultat i estàadre¸cadaals alumnes de segon cicle d’ESO i tambéde batxillerat. En aquesta jornada, podem experimentar amb les diverses vessants de les matemàtiquesi de la informàtica,en les paradetes i estands repartits Les mol.lècules d’ADN c´ıclicen el nucli de les per tot l’edifici històric de la UB. Al llarg del cèl.lules tenen forma de nus. mat´ıtambées podràassistir a conferències i tallers. Dins del marc de col.laboracióamb els profes- Trobareu informaciósobre aquestes altres sors de l’ensenyament secundari, han continuat activitats (jornada de portes obertes, tallers les diverses activitats que ja fa anys porta a d’intel.ligència artificial, trobada anual de pro- terme la Facultat. Aix´ı,el 3 i 10 de novembre fessors de secundària, etc.) a la pàgina web de va tenir lloc la xerrada-taller per a alumnes de la Facultat, a www.mat.ub.edu. batxillerat Nusos, enlla¸cos i trenes, impar- I per finalitzar us fem saber que la Facultat tida pel doctor Carles Casacuberta, a la qual ha enregistrat un petit reportatge sobre les sor- van assistir un total de set-cents cinquanta-cinc tides professionals de les matemàtiques. Aquest alumnes de vint-i-nou centres de Catalunya. A v´ıdeo recull el testimoni de diversos matemàtics la xerrada vam entendre les dificultats que pre- que treballen en diferents camps com instituts senta el problema de la classificacióde nusos i de recerca, empreses de consultoria, ensenya- les seves aplicacions. Al taller vam aprendre a ment, etc. Us convidem a veure aquest v´ıdeo fer i desfer diferents tipus de nusos, inclosos els (i el seu paral.lel per als estudis d’informàtica) de corbata, i vam poder veure si eren equivalents a la web de la Facultat, dins l’apartat Futurs o no. Estudiants – Informaciód’interès.

Núria Fagella Coordinadora d’activitats per a secundària Facultat de Matemàtiques, UB

35 Activitats de la Facultat de Matem`atiquesde la UAB durant la tardor 2010

El Departament de Matemàtiques de la UAB problemes i, en particular, dels tipus que apa- segueix organitzant activitats amb l’objectiu reixen en les proves Cangur. Si esteu interessats d’apropar les matemàtiques a la societat i, espe- a participar en aquestes sessions podeu posar- cialment, als joves que estan cursant els estudis vos en contacte a travésde l’adre¸ca secundaria de secundària,i d’impulsar la col.laboracióamb @mat.uab.cat. els seus professors. No podem oblidar la cita anual amb els Dis- Des de fa uns anys, el Departament acull es- sabtes de les matemàtiques, que es fan durant tudiants de primer de batxillerat dins del progra- la primavera. Un any més, aquestes jornades ma Estades de batxillerat, coordinat dins del organitzades pel Departament de Matemàtiques Programa Argóde la UAB. Les estades oferides es duen a terme els dissabtes al mat´ı.Durant el per la UAB, i que els estudiants poden escollir mat´ıels participants gaudeixen d’una xerrada di- de manera optativa dins dels seus estudis de bat- vulgativa, un petit esmorzar i un taller-concurs xillerat, donen l’oportunitat de conèixerde prop on estan convidats a practicar, experimentar i el mónuniversitari i l’oferta d’estudis que poden contrastar el que prèviament se’ls hagi introdu¨ıt seguir en un futur. A més, ofereixen la possibili- tant amb jocs com amb endevinalles i concur- tat d’iniciar el treball de recerca com a continua- sos. Aquest any l’organitzacióés a càrrec de ciód’un tema tractat durant l’estada i comptar J. M. Mondelo. Seguint amb la tradicióiniciada alhora amb l’assessorament del professorat del en l’edicióde 2010, s’ha fet un Dissabte de les Departament. matemàtiques conjuntament amb el Departa- Durant tres setmanes de juliol de 2010 un ment de F´ısicaamb motiu de la doble titulació grup de cinc estudiants van participar en aques- de matemàtiquesi f´ısica que ofereix la UAB. tes estades sota la coordinacióde N. Castellana. La inauguracióva ser el 5 de mar¸ca la sala L’objectiu va ser l’elaboraciód’un dossier de d’actes del Rectorat i es van impartir dues xer- material didàctic sobre qüestions matemàtiques; rades. J. González va parlar del principi d’econo- van tocar temes diversos com teoria de grafs, mia en la natura amb la xerrada De princeses geometria i teoria de jocs. Tambées van disse- fen´ıcies, herois grecs, ocells, abelles i problemes nyar un conjunt d’activitats, amb el material i de màxims i m´ınims. Les sessions del 12 i 19 justificacions matemàtiques corresponents. Des- de mar¸ci el 2 i 9 d’abril es van fer a la Facultat prés de l’experiència, certament positiva, dos de Ciències. J. Girbau va parlar de geometria i dels participants van decidir seguir i centrar el relativitat; J. M. Mondelo ens va guiar en el dis- seu treball de recerca en un dels temes tractats. seny de missions espacials; S. Serna va introduir Destaquem tambéles sessions per a la pre- les matemàtiques en el tractament d’imatges paracióde les proves Cangur i de les Olimp´ıades digitals; i, finalment, desprésde les eleccions, Matemàtiques que actualment s’estan organit- X. Mora ens descobriràdiferents mètodes de zant des del Departament de Matemàtiques. Les votacióamb situacions concretes per saber si sessions de preparacióde les Olimp´ıades,que podr´ıem fer-ho millor. estan coordinades per J. J. Carmona, no sónsols d’utilitat per a la preparaciód’aquestes proves Per a mésinformaciósobre aquestes i al- sinóque tambédonen l’oportunitat d’introduir tres activitats podeu consultar el web del de- els alumnes en l’estudi de tipus de problemes partament, www.uab.cat/matematiques/, en el molt rics i que els ajudaran en el bon desenvo- corresponent apartat de divulgació.A més a lupament de la seva activitat matemàtica. Les més,des del departament s’estàactualitzant la sessions de preparacióde les proves Cangur, llista de distribucióper correu electrònic per in- coordinades per J. Gascón,reuneixen un bon formar puntualment de totes aquestes activitats. grup d’estudiants de l’ESO de diversos instituts. Us hi podeu subscriure a través de la pàgina: Els nois i noies sónguiats en la resolucióde mat.uab.cat/matuab-divulga.

Nat`alia Castellana Organitzadora, UAB

36 Activitats de la FME de la UPC durant el quadrimestre de tardor del curs 2010-2011

La Facultat de Matemàtiques i Estad´ıstica ta exposició,organitzada pel Museu de Ma- (FME) de la UPC dedica el curs 2010-2011 al temàtiquesde Catalunya, ha estat ubicada a matemàtichongarès Paul Erdös(1913-1996). la Facultat des del 17 de novembre fins al 17 de desembre, desprésdel seu pas per l’edifici històric de la Universitat de Barcelona. Un altre esdeveniment que ens ha donat l’o- portunitat d’acollir estudiants de secundària,en aquest cas d’arreu d’Espanya, ha estat el programa Campus cient´ıficosde verano que la FECYT (FundaciónEspañolapara la Ciencia y la Tecnolog´ıa) i el Ministeri d’Educacióvan engegar l’estiu de 2010. Concretament, diversos grups d’estudiants de 4t d’ESO i de 1r de batxillerat van venir a la FME, durant el mes de juliol, per participar en els projectes que el campus de En la inauguraciódel Curs Erdös, celebrada Catalunya va oferir en l’àrea de matemàtiques. el 22 de setembre, el professor LászlóLóvasz Un any més,l’ABEAM (Associacióde Bar- de la Universitat EötvösLorándde Budapest celona per a l’Estudi i l’Aprenentatge de les va impartir la conferència Paul Erdös:from Matemàtiques)va celebrar la seva Jornada Di- puzzles to the birth of sciences. En acabar, el dàcticaMatemàticaa la FME. Aquesta darrera degàde la FME, J. Quer, va lliurar un obsequi, edició,la tretzena, va tenir lloc el dissabte 13 de com a mostra d’agra¨ıment i de reconeixement, novembre. Una activitat destinada a un públic al professor M. Mart´ıRecober amb motiu de la matemàticgeneral, incloent estudiants de tots seva jubilació.A l’acte hi van assistir el rector els nivells, va ser la conferència-taller History de la UPC, A. Giró,i el vicerector de Docència of the ‘Pythagorean theorem’ before and after i Estudiantat, X. Colom. Pythagoras, que el professor Robin Hartshor- Un dels esdeveniments méssignificats de ca- ne, de la Universitat de Califòrnia, va impartir el da curs ésl’entrega de diplomes als nous titulats 10 de novembre a la sala d’actes de la Facultat. per la FME, davant d’amics i familiars. L’acte de lliurament als titulats el curs 2009-2010, un dels mésconcorreguts dels darrers anys, es va celebrar el 5 de novembre i hi va participar el vicerector de Pol´ıtica Internacional de la UPC, P. D´ıez.En aquesta ocasió,els padrins van ser M. Bécueper als estudis d’estad´ıstica i J. Franch per als de matemàtiques. Pel que fa a activitats adre¸cadesa estudiants d’ESO i batxillerat, al mes d’octubre van comen¸carles sessions preparatòries per a les proves Cangur i l’Olimp´ıadaMatemàtica. Un curs més, també,la Facultat acull diverses sessions Seguint una tradiciója molt arrelada a la de treball dins del projecte Estalmat. FME, el desembre es va celebrar el concert de Durant aquest quadrimestre de tardor, a Nadal que organitzen els nostres alumnes i que, més,molts estudiants de secundàriad’arreu de d’alguna manera, marca la fi del quadrimestre Catalunya han visitat la FME amb motiu de l’- de tardor. Trobareu mésinformacióal web de exposició Experiències matemàtiques. Aques- la FME www.fme.upc.edu. Bernat Plans Vicedegàde Relacions, FME

37 Activitats de la SCM Confer`encia inaugural del curs 2010-2011

El 24 de novembre de 2010 el doctor J. Girbau encabir-hi els camps gravitatoris. La solucióque va pronunciar la conferència L’equaciód’Ein- dóna Einstein és la de corbar l’espai-temps (i, stein del camp gravitatori, amb motiu de l’acte per tant, modificar la seva mètrica). En un llen- inaugural del curs 2010-2011 de la SCM. L’ac- guatge mésprec´ıs,es tracta de substituir l’espai 4 te va constar de dues parts ben diferenciades: de Minkowski (R , η) per una 4-varietat de Lo- en la primera, el conferenciant va explicar com rentz (V, g) convenient. Per tant, en la teoria de A. Einstein va arribar a formular la teoria gene- la relativitat general el camp gravitatori no ac- ral de la relativitat, i la segona es va dedicar al tua directament sobre les part´ıcules sinóque la problema que es coneix amb el nom d’estabilitat seva accióes manifesta en la modificacióde lineal de l’equaciód’Einstein, qüestióaquesta la mètrica de Minkowski η. Per a un observa- d’interès teòrici pràctic, perquèla linealitza- dor de la varietat de Lorentz (V, g) resultant, cióde l’equaciód’Einstein dónalloc a l’equació la vida de les part´ıcules seràdescrita per una d’ones del camp gravitatori i, per tant, a poder geodèsicade l’espai-temps (V, g) perquèno de- postular l’existènciad’aquestes ones. tectaràcap mena de for¸ca sobre aquestes.1 Amb La relativitat especial tracta dels fenòmens la diferència que ara, en general, les geodèsiques f´ısics en absència de forces gravitatòries. L’es- no seran rectes com en el cas de la mètrica de pai on tenen lloc aquests fenòmenss’anomena Minkowski η. Per a aquest observador les forces l’espai-temps i ve modelat per l’anomenat es- gravitatòriesno existeixen sinóque sónfruit 4 pai de Minkowski, que ésl’espai R dotat d’un d’una eleccióde coordenades. De fet, si explici- cert producte escalar (o mètrica) η. Les qua- tem les equacions de les geodèsiques arribarem tre coordenades s’acostumen a escriure en l’or- a un resultat ben conegut. Una corba x(τ) és dre (x1, x2, x3, tx), les tres primeres espacials i una geodèsica si ∇x˙ x˙ = 0, que en coordenades 2 λ 2 P ˜λ µ ν l’última temporal. El producte escalar abans s’escriu d x /dτ = − Γµν(dx /dτ)(dx /dτ). esmentat ve donat per Els Γ s’anomenen s´ımbols de Christoffel i depe- 2 nen de les derivades primeres de la mètrica g. η(X,Y ) = x1y1 + x2y2 + x3y3 − c txty , Per tant, l’expressióanterior es pot interpretar on c ésla velocitat de la llum. Un observador com l’equivalent relativista de la segona llei de inercial no ésaltra cosa que un sistema de re- Newton F = ma, amb F = −m∇Φ per a un po- ferènciaa l’espai de Minkowski. Les transfor- tencial gravitatori Φ donat. A causa d’aquesta macions de Lorentz, que relacionen les quatre semblan¸ca, els components gαβ de g se’ls anome- coordenades de dos sistemes inercials, sónles na potencials gravitatoris. A diferència del cas isometries de l’espai de Minkowski (aquelles que newtonià,però,no tenim un únic potencial Φ preserven el producte escalar). Aquesta cons- sinódeu, perquè g és un tensor simètric d’ordre trucciógeomètrica (posterior a la formulació 2 en una varietat de dimensió4. inicial d’Einstein) permet interpretar qualsevol Com es determina la mètrica g? En f´ısica problema cinemàticen termes geomètrics, per clàssica la resposta la dónal’equacióde Poisson exemple la contraccióde les longituds i la dila- ∆Φ = 4πKρ. En relativitat general ésl’equació taciódel temps pel moviment uniforme. L’espai d’Einstein, objecte d’aquesta conferència: de Minkowski no és euclidiàperòés pla per- G(g) = χT . quèles geodèsiques (aquelles corbes de m´ınima longitud que uneixen dos punts fixos de l’espai- Els dos tensors G i T sónsimètrics i d’ordre 2 4 temps) sónles rectes de R , que tambésónles i, per tant, l’equaciód’Einstein ésun sistema trajectòriesque descriuen les part´ıcules lliures. de deu equacions diferencials en les quals hi El problema que es planteja ara és com apareixen els deu potencials gravitatoris gαβ. El cal modificar l’esquema geomètric anterior per tensor d’impulsió-energia T , que evidentment fa 1Observeu que d’aquesta manera el camp gravitatori actua sobre totes les part´ıcules de la mateixa forma, independentment de la seva massa o estructura interna, que ésel tret que diferencia la for¸cagravitatòriade les altres forces fonamentals de la naturalesa.

38 el paper de la densitat ρ, ha de complir les equa- unitari i que existeixi una equaciód’estat que cions de conservacióde la matèria div(T ) = 0. relacioni ρ i p. Tot plegat imposa sobre el tensor G les condici- Finalment, una altra diferènciaentre les du- ons següents: ha de ser d’ordre 2, simètric, de es equacions rau en l’estructura mateixa de divergència nul.la i, per analogia amb l’equació l’equaciódiferencial. El laplaciàeuclidià∆ = ∂2 ∂2 ∂2 de Poisson, ha de dependre fins a les deriva- 2 + 2 + 2 que apareix en l’equacióde Pois- ∂x1 ∂x2 ∂x3 des d’ordre 2 en g. Es pot veure que el tensor son ésun operador el.l´ıptic i, per tant, molt ben 1 Ric − 2 Rg compleix tots els requisits anteriors estudiat en la literatura. En canvi, l’expressió (aqu´ı Ric ésel tensor de Ricci i R ésla cur- en coordenades de la part principal del tensor vatura escalar). L’equaciód’Einstein és, doncs, de Ricci, Ric(g) − 1 Rg = χT , que tambées pot escriure 2 1 R ' gλµ(∂ ∂ g + ∂ ∂ g 1 αβ 2 λ α βµ β µ λα Ric(g) = χ{T − trg(T )g} . 2 − ∂λ∂µgβα − ∂β∂αgλµ)

En absència de matèria, T = 0, obtenim ∂ (aqu´ı ∂λ ≡ ), és bastant méscomplicada Ric(g) = 0. Si tenim en compte que el tensor ∂xλ i d’entrada no pot ser classificada ni com el- de Ricci ésuna contracciódel tensor de cur- l´ıptica, ni hiperbòlica, ni parabòlica. Aquesta vatura de la varietat, i si recordem que l’espai situacióencara es veuria agreujada si el siste- de Minkowski éspla, no ésd’estranyar que una ma div(T ) = 0 aportés derivades segones en solucióde Ric(g) = 0 sigui g = η. O a l’inrevés, g i en les altres incògnites que apareixen en si T 6= 0 la mètrica de Minkowski deixa de ser l’expressióde T . En resum, per poder plante- una solució:la matèriacorba l’espai-temps. jar el problema de Cauchy cal imposar sobre Una vegada establerta l’equaciód’Einstein, T que depengui de quatre paràmetres i que cal preguntar-se per l’existència i unicitat de el sistema div(T ) = 0 estigui desacoblat de la solució,aix´ıcom quines dades inicials són Ric(g) = χ{T − 1 tr (T )g}. Afegint-hi algunes necessàries (problema de Cauchy). Cal, però, 2 g condicions més tècniques, es pot demostrar que, adonar-se d’una diferènciasubstancial entre l’e- si les dades de Cauchy pertanyen a uns certs es- quacióde Poisson i la d’Einstein: la primera pais (de Sobolev) i compleixen unes condicions obeeix a l’esquema clàssic de tenir en un costat de lligam sobre una hipersuperf´ıcieespacial de la font del camp (la densitat ρ) i a l’altre un ope- la varietat de Lorentz, el problema de Cauchy rador diferencial que actua sobre el camp Φ, que estàben posat (well posed), és a dir, que 1) la és la incògnita. En l’equaciód’Einstein, en canvi, solucióexisteix, ésúnica llevat difeomorfismes aquest esquema es trenca perquèla incògnita g i ésdel mateix espai que les dades de Cauchy; tambéapareix en el segon membre. A més,cal i 2) la soluciódepèn cont´ınuament de les da- tenir present que el tensor d’impulsió-energia ha des inicials (estabilitat de Cauchy). L’expressió de complir d’entrada dues condicions. Primera, llevat difeomorfismes indica que, com que les ha de ser conservatiu, div(T ) = 0, la qual cosa equacions estan escrites en forma tensorial i per comporta que aquestes quatre equacions s’ha- tant sónvàlides en qualsevol referència,sempre gin d’acoblar amb el sistema de deu equacions es tindràla llibertat d’escollir un cert sistema donat per l’equaciód’Einstein. Segona, i com a de coordenades. conseqüènciade la primera, el tensor T haurà Una vegada establertes les condicions que de dependre de quatre variables que defineixin ens garanteixen l’existència i unicitat de l’equa- la distribucióde la matèriaen l’espai-temps, a ciód’Einstein, el pas següent hauria de ser trobar fi de tenir el mateix nombre d’equacions que aquesta solució,ésa dir, resoldre exactament d’incògnites. Situem-nos, per exemple, en el cas l’equaciód’Einstein. Perònomés en alguns casos del tensor d’impulsió-energia d’un fluid perfecte: en els quals l’espai-temps tésimetria esfèrica T = (ρ + p)u ⊗ u + pg . aixòés possible. Nomésque considerem l’equació d’Einstein amb T = 0, Ric(g) = 0, ens trobem Les noves incògnites sónla densitat ρ, la pressió amb una equacióirresoluble exactament peròde p i el camp de velocitats u del fluid (de quatre la qual coneixem una solucióparticular, que és components). En total sis incògnites, que es re- g = η, la mètricade Minkowski. Peròpodr´ıem dueixen a quatre perquès’imposa que u sigui intentar cercar solucions properes a η de la for-

39 ma η + h perquèsi h éspetit de T = 0. La corresponent mètrica g complirà l’equació Ric(g) = χ{T − 1 tr(T )g}. Per ser T Ric(η + h) = Ric(η) +DηRic(h) + ··· 2 | {z } petit, g seràpropera a η, g = η + h amb h petit. =0 Si anomenem L(h) a la suma dels termes lineals i Ric(η + h) = 0 per hipòtesi. Es´ costum ales- en h de la diferència Ric(η+h)−Ric(η), tindrem hores resoldre l’equaciólineal DηRic(h) = 0, en el benentèsque g = η + h seràuna solucióde Ric(g) = Ric(η + h) ' Ric(η) + L(h) . Ric(g) = 0, propera a η. Peròaixòés només una Fent S = T − 1 tr(T )g, veiem que l’equaciód’Ein- hipòtesi i, per tant, tésentit definir el concep- 2 te següent: una equacióéslinealment estable stein Ric(g) = χS s’aproxima per L(h) ' χS. si les solucions de la seva equaciólinealitzada Einstein es va adonar que si, a més a més,s’im- sónrealment pròximesa les vertaderes solucions posa div(h) = 1/2d(tr(h)) l’equacióanterior es de l’equacióoriginal. El següent ésun exem- transforma en ple d’una equacióalgebraica senzilla (perquèes 1 ∂2 ∂2 ∂2 1 ∂2 + + − h = χS . pugui resoldre exactament) que no ésestable 2 ∂x2 ∂x2 ∂x2 c2 ∂t2 αβ αβ 2 1 2 3 per linealització:sigui f : R → R donada per f(x1, x2) = x1x2. Una solucióparticular de l’e- En el buit, S = 0 i obtenim l’equaciód’ones. quació f(x1, x2) = 0 és (0, 0) i les solucions més Es´ interessant observar que aquest procedi- properes es troben en la direcciódels eixos de ment no respon a l’esquema de linealitzar una coordenades, perquèles solucions exactes són equaciódel tipus f(x) = y0 amb y0 fix de la qual x1 = 0 o x2 = 0. En canvi, de l’equaciólinea- sabem una solucióparticular x0, f(x0) = y0, (en litzada deduir´ıemerròniament que en qualsevol l’exemple anterior seria y0 = 0), sinóal cas d’u- direccióhi trobar´ıemsolucions, perquèen (0, 0) na equaciódel tipus f(x) = y0 + q amb q petit la linealitzada és0 · h1 + 0 · h2 = 0 i qualsevol peròvariable, on coneixem una solucióparticu- h = (h1, h2) éssolució.Aquesta inestabilitat és lar x0 de f(x) = y0 (en el cas d’Einstein, x0 = η, deguda al fet que no en totes les direccions que y0 = 0 i q = T ). Aquesta nova situaciórequerirà dóna l’equaciólinealitzada (en aquest exemple, una nova definiciód’estabilitat no basada en el totes) existeix una corba de solucions de l’equa- concepte de tangència, sinóen el fet de poder cióoriginal (aqu´ı,els eixos de coordenades).2 garantir un acotament de l’error comèsen con- Precisament la definicióestricta d’estabilitat li- siderar les solucions de l’equaciólinealitzada en neal ésla següent: una equació f(x) = y0 és comptes de les solucions reals. linealment estable (o estable per linealització) Tots aquests temes tractats en la conferència en x = x0 si per a tota solució h de l’equació (relativitat general, plantejament del problema linealitzada Dx0 f(h) = 0 existeix una corba de Cauchy, nou concepte d’estabilitat i aplica- λ → x(λ) de solucions de l’equacióoriginal que cions) sónestudiats en un llibre de recent pu- éstangent a h en x0. blicacióescrit pel conferenciant i per qui escriu El mateix A. Einstein va fer ús del mètode de aquestes l´ınies. En particular, es pot assegu- linealització per poder postular l’existència rar que l’equaciód’Einstein ésestable en g = η i de les ones gravitatòries. Imaginem que l’univers que, per tant, la hipòtesi d’Einstein (a partir de és descrit per un tensor d’impulsió-energia T pe- l’equacióde la qual es pot predir l’existència de tit, que podem considerar com una pertorbació les ones gravitatòries),és del tot correcta. Llu´ısBruna Professor de matemàtiques de secundària

2El lector pot comprovar que en totes les altres solucions, (a, 0) i (0, a) amb a 6= 0, l’equaci´o´esestable.

40 I Trobada Catalanosueca de Matem`atiques F¨orstasvensk-katalanska konferensen i matematik

Del 16 al 18 de setembre de 2010 es va fer, a la A més d’un intens programa de xerrades seu de l’IEC a Barcelona, la primera trobada en cadascuna de les sessions, vam poder gaudir entre les societats matemàtiques de Suècia i Ca- d’excel.lents conferències plenàries, tant de ma- talunya. La iniciativa havia nascut pocs mesos temàtics de prestigi internacional ben reconegut abans en ocasiódel semestre temàtic de siste- com Michael Benedicks, Anders Bjorner, Carel mes dinàmicsal CRM, inspirada en les trobades Faber o Henrik Shahgholian, tots ells professors bilaterals que la SCM comparteix amb diverses de la prestigiosa Kungliga Tekniska Högskolan, societats matemàtiques europees. o sigui, del Reial Institut Tecnològicd’Esto- colm, com de brillants matemàticsjoves com Robert Berman, de la Universitat de Göteborg, o professionals reconegudes com Eva Jablonka, establerta a la Universitat Tecnològicade Lule˚a. Al banquet que es va fer el dijous al mateix pati de l’IEC, i en el qual la metereologia ens va obsequiar amb una descomunal tempesta de tardor que va deixar impressionad´ıssims els nostres convidats, el president de la SCM, Carles Perelló,va fer entrega als conferenciants plenaris i al president de la Societat MatemàticaSueca, Tobias Ekholm, del llibre Històriade Catalunya il.lustrada, que segur que els ajudaràa tenir un coneixement millor del nostre pa´ıs. D’esquerra a dreta, H. Shahgholian, A. Bjorner, A més dels coordinadors de les sessions, que M. Benedicks i C. Faber, en el moment de rebre per part catalana van integrar el comitèorga- l’obsequi de mans del president de la SCM. nitzador local, cal agrair especialment la tasca de J. M. Mondelo, responsable de la pà- Les relacions entre matemàtics suecs i ca- gina web, www.iecat.net/institucio/societats/ talans van resultar ser ben abundants, la qual SCMatematiques/SCCM1/. cosa es va reflectir en l’organitzacióde diver- En la sessióde cloenda, i en nom de la So- ses sessions temàtiques amb coordinadors d’u- cietat MatemàticaSueca, Anders Bjorner va na i altra part: anàlisi complexa i harmònica agrair a la SCM l’organitzaciód’una trobada (Bo Berndtsson i Joaquim Ortega), didàctica que va ser valorada molt positivament, i es va de la matemàtica (Christer Bergsten i Mari- comprometre a organitzar una segona edicióa anna Bosch), equacions en derivades parcials Suècia en un futur proper. (Henrik Shahgholian i Neus Cònsul),geometria Les sinergies generades per aquesta mena de (Carel Faber i Miguel A. Barja), matemàtica contactes bilaterals amb nacions europees d’un discreta (Svante Linusson i Oriol Serra) i siste- nivell cultural i cient´ıficadmirables, donaran mes dinàmics (Michael Benedicks i Tere Seara). probablement una dinàmica col.laboració ci- Aquestes sessions van dinamitzar una gran par- ent´ıfica i acadèmica que esperem veure reflectida ticipacióamb mésde cent assistents, dels quals una vegada mésa Suèciaamb motiu de la pro- prop de quaranta eren suecs. pera trobada, suecocatalana aquesta vegada.

Oriol Serra UPC

41 7a Jornada d’Educaci´oMatem`atica

El dissabte 16 d’octubre de 2010 tinguélloc a mentals de l’ensenyament/aprenentatge de les la seu de l’Institut d’Estudis Catalans de Bar- matemàtiques que poden quedar en segon terme celona, la 7a Jornada d’EducacióMatemàtica, amb l’úsdels ordinadors, etc. Els ponents foren, en les tres darreres edicions de la qual, la nos- d’esquerra a dreta en la fotografia: Rosa Estela tra Societat (la SBM-XEIX) ha estat convidada (Matemàtica Aplicada III, UPC), Elisabet Sa- com a organitzadora. Com éspreceptiu, obriren guer (IES J. Vicens Vives, Girona), Ferran Ruiz la sessiódel mat´ıels presidents de les tres so- (Consell Superior d’Avaluaciódel Sistema Edu- cietats organitzadores: Carme Aymerich de la catiu), Consol Anguila (CEIP Puig d’Arques, FEEMCAT, Carles Perellóde la SCM i Josep Cassàde la Selva) i Rafel Cortès (Conselleria Llu´ısPol de la SBM-XEIX. d’Educaciói Cultura de les Illes Balears). Durant l’horabaixa fou el torn de la presen- taciód’experiències amb dues l´ınies paral.leles. En Bernat Ancochea (IES Serra de Marina, Pre- miàde Mar) ens explicàla seva experiència del curs 2009-2010 en el Projecte 1 × 1. En Se- bastiàMora (CEIP Enric Grau Fontseré,Flix) ens parlàde les matemàtiquesi les TIC al cicle superior de primàriaa partir d’experiències amb GeoGebra en entorns 1 × 1. En Miquel Cirer i en Jaume Monreal (IES Baltasar Porcel, Andratx) ens feren viure l’úsde les TIC a la darrera Olimp´ıadaNacional d’ESO duta a terme El mat´ıes va dedicar ´ıntegrament a la taula a Mallorca amb la comunicació (Es)TIC com- rodona amb tot un seguit de participants que ens petint. Finalment, na Teresa Sancho (UOC) feren reflexions sobre com canvia l’ensenyament ens parlàde L’ús de les eines telemàtiques a i l’aprenentatge amb la utilitzaciódels ordina- l’educació(matemàtica)superior: de la necessi- dors a l’aula, quines possibilitats tenen, quines tat, virtut. Un dia ben aprofitat per enfortir dificultats i obstacles cal aprendre a superar, lla¸cosi animar més de cent cinquanta partici- quin valor afegit aporta l’ús dels ordinadors, pants a seguir innovant en el camp de la nostra si cal preservar algunes caracter´ıstiques fona- professió. SBM-XEIX

Primera Jornada SCM de Joves Investigadors en Matem`atiques

La SCM va organitzar el 5 de novembre, als nostre entorn. Un dels objectius era afavorir locals històricsde l’IEC, la Primera Jornada el contacte entre joves que treballen en temes SCM de Joves Investigadors en Matemàtiques, afins, peròque pel fet d’estar en grups i uni- en la qual uns quaranta investigadors que es- versitats diferents, poden tenir un alt grau de tan acabant la seva tesi doctoral, o que fa poc desconeixement entre si. que l’han presentada, ens varen exposar els seus En aquesta edició,cada l´ınia s’ha organitzat treballs. amb la mésgran llibertat possible. Els respon- Per la impossibilitat de representar-hi tota sables inicials, triats per una simple qüestióde la variabilitat de la recerca en matemàtiques comoditat dels promotors, han buscat col.labo- que es fa al nostre pa´ıs,triàremtan sols quatre racióen altres directors de tesis, i entre tots grans temes, que es desenvoluparen en sessions han determinat els participants en les sessions. paral.leles. Si la iniciativa técontinu¨ıtat,el desig Noméshi ha hagut tres condicions de contorn: de la SCM ésque hi vagin participant totes les l’hora del cafè,la del dinar i que en cada sessió l´ınies de recerca en matemàtiquesactives en el hi haguésuna barreja de ponents de diferents

42 universitats. Les quatre l´ınies tractades han es- Els conferenciants foren: tat: anàlisi i equacions en derivades parcials; – Lu´ısVega, de la Universitat del Pa´ısBasc, que probabilitat, processos estocàstics i estad´ıstica; féula xerrada A new approach to Hardy’s un- mètodes algebraics, i topologia i geometria. certainty principle. – Agata` Smoktunowicz, de la Universitat d’Edin- burgh, amb Free algebras, algebraic algebras and their cousins. – Carmen Armero, de la Universitat de València, que impart´ıla conferència Un passeig, curtet i relaxat, pel mónde la inferència bayesiana. La SCM vol agrair l’esfor¸cde tots els organitzadors i els participants a la Jornada, que aconseguiren que un divendres de novembre, en ple trimestre de tardor, la jove recerca en ma- temàtiques es mostrésen el bell marc de la Casa de Convalescència. Les tres primeres l´ınies han inclòstambéen Acabem remarcant el desig, expressat aquell el programa una conferència d’un investigador mateix vespre per alguns participants, que la sènior, escollit pels organitzadors de la sessió. iniciativa tingui continu¨ıtat. Josep Llu´ısSolé UAB

Informe de la reuni´odel Cangur a Ge`orgia

Com en anys anteriors, els representants dels Es va quedar que a la sessiófinal es faria pa¨ısosque pertanyen a l’associacióKangourou l’elecciódel nou president de l’associació(re- Sans Frontières (KSF) han assistit a la reu- glamentàriament, hi ha d’haver eleccions a la nióque enguany ha organitzat l’associacióde presidènciacada tres anys). Geòrgia a Tbilisi. Des que es va fer aquesta Pel que fa als problemes proposats per les reunióa Catalunya (a Barcelona, concretament, diferents comissions dels pa¨ısos participants, es l’any 2006) els pa¨ısos que ho han organitzat va proposar a l’assemblea que: ` han estat Austria (Graz), Alemanya (Berl´ın)i • caldria tenir molta cura perquèl’enunciat del Bielorússia(Minsk). problema fos correcte, almenys una de les L’objectiu fonamental d’aquestes reunions opcions fos correcta, nomésuna opciófos cor- fou la selecciódels problemes per a les proves recta i que els distractors fossin escollits amb Cangur, les quals, a Catalunya i les Balears, s’- molta cura, han dut a terme el 17 de mar¸cde 2011. A la Co- • que no es podrien proposar problemes idèntics munitat Valenciana, atesa la coincidènciaamb en més d’un nivell i que, si aixòpassava, només la setmana de les falles, s’han fet (òbviament es proposarien en el nivell mésbaix, amb problemes diferents) el 24 de mar¸c. • que tots els problemes haurien d’estar classi- El programa de treball que vàremtenir al ficat per punts i per categoria i els que no hi llarg dels dies 13, 14, 15 i 16 va ser el següent. estiguessin serien rebutjats. En la sessiód’obertura, es van comentar di- Es va fer notar que els estatuts i el reglament versos temes que s’haurien d’aprovar a la sessió que apareixen a la pàginaweb de KSF no estan final. actualitzats i que cal posar-los al dia. Els dos professors encarregats del lloc web Durant els dies 14 i 15 es va treballar per de KSF van explicar com havia funcionat i les grups per escollir els problemes definitius que es dificultats que havien sorgit en la baixada dels portaran a les comissions Cangur dels pa¨ısos problemes proposats i en la seva valoració. participants per tal que es puguin fer les ade-

43 quacions i les traduccions corresponents. Final- 4) S’ha decidit crear un grup de treball per fer ment el dissabte a la tarda ens van lliurar un una darrera revisiódels enunciats, respostes i CD que contenia els problemes definitius dels gràfics dels problemes, ja que cada any apa- cinc nivells. reix algun error no detectat. A l’assemblea general del dissabte 16 d’oc- 5) Normativa sobre la publicaciódels problemes: tubre es van tractar els temes següents: no es pot donar publicitat abans d’un mes 1) El tresorer de KSF va donar un full amb els després del dia de la prova, ja que no tots els comptes de l’any 2010 i el pressupost per a pa¨ısos fan la prova el mateix dia. l’any 2011. Ambdósinformes van ser accep- 6) Per a l’any 2012 la data de la prova Cangur tats per unanimitat. seràel dijous 15 de mar¸c. 2) Es va acceptar l’entrada com a membres de ple dret als pa¨ısos: Armènia, el Brasil, l’Iran 7) Lloc per a les properes reunions. El 2011 Es- i Portugal. Es va acceptar l’entrada com a lovènia, el 2012 Xipre, el 2013 el Regne Unit membres provisionals als pa¨ısos: Colòmbia, In- (que ja havien estat acceptades) i el 2014 Puer- donèsia, la Costa d’Ivori i Tun´ısia.I Mongòlia to Rico. Suècia es proposa com a organitzador continua com a membre provisional. Pel que de la reunióa partir de 2014. fa a la peticióde la Xina i Singapur se’ls 8) Atèsque el nombre de representants a la reu- diràque demanin l’admissiól’any vinent ja nióanual continua creixent, les despeses de que no tenim prou informaciósobre les seves l’organitzaciócreixen peròa un ritme més peticions. gran. Es´ per aquesta raóque s’aprova aug- 3) Elecciódel nou president. Hi havia dues can- mentar de 250 e a 300 e la quota per persona didatures, la del president anterior (Fran¸ca)i a partir de 2011. la del representant d’Eslovènia.A la votació, A. Dedelicq (Fran¸ca) obtinguédivuit vots i A la ComissióCangur de Catalunya ja només G. Dolinar (Eslovènia) n’obtinguévint-i-vuit. li quedava traduir els problemes, revisar-los, Per tant, G. Dolinar va ser escollit nou pre- imprimir-los, repartir-los a les diferents seus i sident de KSF. Immediatment el nou presi- esperar que arribésel 17 de mar¸cper poder veu- dent va proposar nomenar president d’honor re complert el desig que la prova es desenvolupi a l’anterior president, que va ser qui va fundar com ha estat previst i com ha transcorregut els l’associaciói n’ha estat el president fins ara. anys anteriors. Marta Berini Presidenta de la ComissióCangur

XLVII Olimp´ıada Catalana de Matem`atiques(OCM)

El 17 i 18 de desembre de 2010 es va ce- en dues sessions, els dies 17 i 18. El jurat ha lebrar simultàniament a Tarragona, Lleida, estat format pel doctor J. Pla Carrera, president Girona i Barcelona la XLVII Olimp´ıada Ca- (UB); J. Burillo Puig, vocal (UPC) i M. Barri- talana de Matemàtiques (primera fase de l’O- onuevo Peñalves, secretària (IES Ernest Lluch, limp´ıadaMatemàticaEspanyola 2011). L’orga- Barcelona). Aquest jurat s’ha encarregat de pro- nitzaciód’aquesta edicióde l’OCM ha estat posar la prova, elaborar els criteris de correcció, a càrrec de la Comissiód’Olimp´ı ades de la puntuar les solucions presentades pels concur- SCM. Pot trobar-se informaciódetallada al web sants i proclamar els guanyadors. En nom de www.cangur.org/olimpiades/47oli/index.htm. la SCM volem agrair-los l’excel.lent treball que El mésimportant, sense cap dubte, han estan desinteressadament han realitzat. tat els participants que han competit per for- Els problemes proposats han estat: mar part dels equips que representaran Ca- 1) Tenim 2.010 cartes numerades d’1 al 2.010. talunya a l’Olimp´ıadaMatemàticaEspanyola Demostreu que si agafem 11 cartes qualsse- (OME) a Pamplona al mar¸cde 2011. La compe- vol, n’hi ha dues (numerades i i j), d’entre ticióha consistit en la resolucióde sis problemes aquestes 11, que compleixen i < j ≤ 2i.

44 2) En un cercle de radi r hi inscrivim el decàgon 6) Tenim m capses C1, C2,..., Cm que contenen regular de vèrtexs A1, A2, A3,..., A10. De- fitxes. El nombre de fitxes de cada una és notem per |AiAj| la longitud del segment q1 ≥ 0, q2 ≥ 0, . . . , qm ≥ 0, respectivament. AiAj. Demostreu que Considerem un nombre fix n ≤ m.

|A1A4| − |A1A2| = r . Volem aconseguir, amb una sèried’actuacions, que totes les caixes acabin tenint el 3) Denotem per S(n) la suma mateix nombre de fitxes. Cada actuacióque S(n) = 2010 n2010 − 2009 n2009 + ··· + efectuem s’ajustaràa l’acciósegüent: elegim n capses i col.loquem una fitxa més en cada + 4n4 − 3n3 + 2n2 − n . una de les capses elegides de manera que, des- Comproveu que el nombre présd’haver actuat, les n capses que hàgim elegit tindran una fitxa mésque abans de T = S(1) + S(2) + S(3) + S(4) + S(5)+ l’actuaciói la resta tindràel mateix nombre + S(6) + S(7) + S(8) + S(9) de fitxes que abans de l’actuació.Demostreu: és positiu i calculeu-ne la xifra de les unitats. 4) Una urna conté b boles blanques i v boles a) Si mcd(m, n) = d > 1, aleshores hi ha vermelles, amb b ≥ 0, v ≥ 0 i b + v ≥ 3. una distribucióinicial de fitxes en les m Si s’extrauen 3 boles de l’urna sense reem- capses que no permet aconseguir mai que, pla¸car-les, la probabilitat que totes siguin després de qualsevol nombre d’actuacions, blanques és p. Però,si afegim una bola blan- totes les capses tinguin el mateix nombre ca a l’urna, la probabilitat que les tres boles de fitxes. siguin blanques augmenta d’una tercera part. b) Si mcd(m, n) = 1, aleshores éspossible Quin és el valor màxim de v que permet que fer un nombre finit d’actuacions successi- es compleixin aquestes condicions? ves fins a aconseguir que, al final de totes 5) Tenim un triangle rectangle ABC de catets les actuacions, totes les capses tinguin el AC i CB de longituds a i b i hi inscrivim un mateix nombre de fitxes. quadrat Q0 = CA0Q0B0 de manera que el punt A0 es troba en el catet CA, el punt B0 El jurat va acordar d’atorgar els premis en el catet CB i el punt Q0 en l’hipotenusa següents: AB. Primers premis: Eduard Vázquez Esp´ın, Institut de Pallejà(Baix Llobregat), 2n de batxillerat; Ferran Alet Puig, Aula Escola Europea (Barce- lona), 2n de batxillerat, i Dar´ıo Nieuwenhuis Nivela, Aula Escola Europea (Barcelona), 1r de batxillerat. Segons premis: Marc Felip Alsina, Col.legi Bell- lloc del Pla (Girona), 4t d’ESO; Eric Milesi Vidal, Col.legi Pare Manyanet (Barcelona), 1r de batxillerat, i Marc Sánchez Alfonso, Aula Escola Europea (Barcelona), 1r de batxillerat. Calculeu el valor q del costat CA del qua- 0 Tercers premis: Joan Estévez Estudis, Institut drat, en funcióde a i b. Repetim el procés n Jaume Vicens Vives (Girona), 2n de batxillerat; vegades inscrivint, respectivament, quadrats JúliaAlsina Oriol, IES Jaume Call´ıs (Vic), 1r R , S en els triangles AA R i BB S , k+1 k+1 k k k k de batxillerat, i Jordi BarcelóMercader, Col.legi en quèels punts R sónen el segment AQ k 0 Jesús i Maria (Barcelona), 1r de batxillerat. i els punts Sk en el segment BQ0. Si rn i sn sónles longituds dels costats dels quadrats F. Alet Puig, D. Nieuwenhuis Nivela i J. Alsi- √ √ √ Rn i Sn, demostreu que n q = n rn + n sn. na Oriol ja van obtenir premi en la XLVI OCM. Josep Granéi JoséLuis D´ıaz-Barrero Comissiód’Olimp´ıades

45 Agenda

Taller Didàctic de Matemàtiques per a la Los Problemas del Milenio Secundària Data i lloc: de l’1 al 3 de juny de 2011 a la UB. Data i lloc: del 4 de febrer a l’1 d’abril de 2011 Comitèorganitzador: I. Mundet, F. J. Soria i a la UPF. P. Tradacete. Coordinadors: Pelegr´ıViader i Antoni Gomà. http://garf.ub.es/Milenio/index.html http://www.idec.upf.edu/curs-de-perfeccionament- de-taller-didactic-de-matematiques-per-a-la-secundaria Conference on Structure and Classificati- Short Courses and Workshop on Spectral on of C∗-Algebras Functions Data i lloc: del 6 al 10 de juny de 2011 al CRM. Data i lloc: del 14 al 19 de mar¸cde 2011 al Comitècient´ıfic: N. P. Brown, J. Cuntz, M. Dar- CRM. darlat, G. A. Elliott, M. Rordam i A. S. Toms. Comitècient´ıfic: H. Hedenmalm, N. Makarov, http://www.crm.cat/calgebras J. Ortega-Cerdài M. Sodin.

http://www.crm.cat/wkspectral Financial Engineering Summer School 2011 Workshop on Dynamics and C∗-algebras Data i lloc: del 14 al 17 de juny de 2011 a la Data i lloc: del 6 al 8 d’abril de 2011 al CRM. Borsa de Barcelona. Comitècient´ıfic: N. P. Brown, J. Cuntz, M. Dar- Comitècient´ıfic: J. Bruna i J. L. Fernández. darlat, G. A. Elliott, M. Rordam i A. S. Toms. http://www.crm.cat/wkalgebras http://www.crm.cat/Activitats/Activitats/ 2010-2011/FESS2011/ Congrés Heights in Diophantine and Arakelov Geometry, Dynamical Systems Advanced Course on Dynamical Systems and Computer Algebra Data i lloc: del 14 al 23 de juny de 2011 al CRM. Data i lloc: del 26 al 30 d’abril de 2011 a Tossa Comitècient´ıfic: G. Elliott, A. S. Toms. de Mar. Comitèorganitzador: J. I. Burgos, C. D’Andrea, http://www.crm.cat/acdynamical M. Sombra i P. Philippon. http://www.imub.ub.es/heights2011/index.html Exploratory Workshop on Emerging Infectious Diseases and Mathematical Advanced Course on Krein-de Branges Modelling Spaces of Entire Functions and Old and Data i lloc: de l’11 al 15 de juliol de 2011 al New Spectral Problems CRM. Data i lloc: del 2 al 6 de maig de 2011 al CRM. Comitècient´ıfic: B. Ainseba, T. Alarcóni G. F. Comitècient´ıfic: H. Hedenmalm, N. Makarov, Webb. J. Ortega-Cerdài M. Sodin. http://www.crm.cat/diseases http://www.crm.cat/acdebrange Geometric and Asymptotic Group The- Short Courses and Workshop on Hilbert ory with Applications (GAGTA-5) Spaces of Entire Functions and Spectral Data i lloc: de l’11 al 15 de juliol de 2011 al Theory of Self-adjoint Differential Opera- campus de Manresa de la UPC. tors Comitèorganitzador: E. Ventura, J. Burillo, S. Data i lloc: del 30 de maig al 4 de juny de 2011 Cleary, L. Ciobanu, Y. Antol´ın,L. Bacardit, J. al CRM. Rubió,J. Delgado, A. Fossas i E. López. Comitècient´ıfic: H. Hedenmalm, N. Makarov, J. Ortega-Cerdài M. Sodin. http://www.epsem.upc.edu/∼gagta5/ http://www.crm.cat/wkentire

46 Logic Colloquium 2011 Joint Mathematical Conference of the Data i lloc: de l’11 al 16 de juliol de 2011 a la Austrian, Catalan, Czech, Slovak and Slo- UB. venian Mathematical Societies Comitèorganitzador: D. Asperó,A. Atserias, Data i lloc: del 25 al 28 de setembre de 2011 a J. Bagaria, F. Bou, E. Casanovas, V. Dalmau, Krems (Austria).` P. Dellunde, M. Esteban, R. Jansana, D. Pa- Comitè cient´ıfic: M. Drmota, J. Kratochvil, lac´ın,J. Potier i D. Virgili. B. Maslowski, K. Mikula, R. Nedela, M. Ober- http://logic2011.org/?cmd=home guggenberger, T. Pisanski, P. Semrl, O. Serra i Infinity Conference J. de Solà-Morales. Data i lloc: del 18 al 22 de juliol de 2011 al http://www.dmg.tuwien.ac.at/OMG/ CRM. OMG-Tagung/index.html Comitècient´ıfic: S. Friedman, J. Baldwin, M. L. Bonet, J. C. Mart´ınez, M. Rathjen. http://www.crm.cat/cinfinity International Conference on Function Spaces, Weights, and Variable Exponent European Women in Mathematics Analysis Data i lloc: del 5 al 9 de setembre de 2011 al Data i lloc: del 26 al 30 de setembre de 2011 al CRM. CRM. Comitè cient´ıfic: N. Uraltseva, V. Baladi, Comitècient´ıfic: K. Kazarlan, S. Samko, E. Bayer, C. Bernardi, C. Bessenrodt, A. Grassi, V. Temlyakov. U. Hamenstaedt, D. McDuff, R. Piene, V. Sos, U. Tillmann, M. Vergne. http://www.crm.cat/Activitats/Activitats/ http://www.crm.cat/ewm 2011-2012/cspaces/web-cspaces/

Premis

La UnióMatemàtica Internacional (IMU) atorga quatre premis de la màximarellevància,cada quatre anys coincidint amb la celebraciódels congressos mundials de matemàtics (ICM). Es tracta de les medalles Fields, que reconeixen èxitsmatemàtics destacats, el Premi Rolf Nevanlinna, que honora els grans resultats en aspectes matemàtics de les ciències de la informació,el Premi Carl Friedrich Gauss, que es concedeix a la contribucióen matemàtiquesque hagi trobat millors i més importants aplicacions fora de les matemàtiques, i la Medalla Chern, atorgada a una persona amb èxitsdel mésalt nivell de reconeixement en el camp de les matemàtiques. Les medalles Fields van ser atorgades per primera vegada l’any 1936, el Premi Rolf Nevanlinna el 1982, el Premi Carl Friedrich Gauss el 2006 i la Medalla Chern ésnova, s’ha concedit per primera vegada aquest 2010. Els últims premiats es van anunciar el 19 d’agost durant la cerimònia d’obertura de l’ICM 2010 a Hyderabad, Índia. Elon Lindenstrauss, NgôBao Châu,Stanislav Smirnov i Cédric Villani obtingueren les medalles Fields, Daniel Spielman el Premi Nevanlinna, Yves Meyer el Premi Gauss i Louis Nirenberg la Medalla Chern. A continuaciótrobareu una traduccióal catalàdels work profiles dels guardonats, reprodu¨ıda en aquest número de la SCM/Not´ıcies amb el perm´ısde l’IMU (els documents originals en anglèsels podeu trobar al web de l’ICM 2010, http://www.icm2010.org.in/).

47 Medalles Fields 2010

Elon Lindenstrauss, Universitat Hebrea de Jerusalem, Israel For his results on measure rigidity in ergodic theory, and their applications to number theory.

Elon Lindenstrauss ha desen- En molts sistemes dinàmics, hi ha mésd’u- volupat eines teòriquesex- na mesura invariant, ésa dir, més d’una for- traordinàriament potents en ma d’assignar àrees per les quals gairebétotes el camp de la teoria ergòdi- les trajectòriestravessin àrees iguals amb igual ca, un camp de les matemà- freqüència.De fet, sovint hi ha infinites mesu- tiques desenvolupat inicial- res invariants. El que Lindenstrauss va mostrar, ment per a comprendre la però,és que en certes circumstànciesnomés pot mecànicaceleste. Desprésles haver-hi molt poques mesures invariants. Això ha usades, juntament amb el resulta ser una eina molt potent, una mena de seu profund coneixement d’aquesta teoria, per martell capa¸cde trencar problemes oberts for¸ca a resoldre tota una sèriede problemes oberts dif´ıcils. en àreesde les matemàtiques aparentment allu- I efectivament, Lindenstrauss a continuació nyades de la teoria ergòdica. Els seus mètodes maneja hàbilment el seu martell per a trencar s’espera que continu¨ındonant molt de fruit en alguns d’aquests problemes. Un exemple d’això les matemàtiques de les properes dècades. el trobem en el camp de les aproximacions di- La teoria ergòdica estudia els sistemes dinà- ofàntiques, que tracta de trobar nombres raci- mics, que sónsimplement normes matemàtiques onals útilment propers a certs nombres irracio- per a descriure com evoluciona un sistema amb nals. π, per exemple, es pot aproximar bastant 22 179 el temps. Aix´ı,per exemple, un sistema dinàmic bécom a 7 . El nombre racional 57 hi ésuna pot descriure una bola de billar movent-se per mica mésa prop, peròel seu denominador molt una taula de billar sense fregament i sense forats. mésgran el fa menys convenient que l’apro- La bola viatjaràen l´ınia recta fins que xoqui ximacióanterior. A principis del segle xix, el amb el costat de la taula, i en rebotaràcom matemàticalemany Johann Dirichlet va proposi es tractésd’un mirall. Si la taula ésrectan- sar un estàndardper a jutjar la qualitat d’una gular, aquest sistema dinàmicésfor¸casenzill i aproximació:l’error d’una aproximacióracional p 1 predictible, ja que una pilota enviada en qualse- q ha de ser inferior a q2 . A continuacióva de- vol direccióacabaràrebotant en cadascun dels mostrar, amb una prova no gaire complicada, quatre costats amb un angle consistent. Però que hi ha un nombre infinit d’aproximacions suposem que la taula de billar téextrems arro- a qualsevol nombre irracional que compleixin donits, com un estadi. En aquest cas, una bola aquesta norma (ésa dir, va demostrar que per a des de gairebéqualsevol posicióinicial i dirigi- qualsevol nombre α ∈ R, existeix un quantitat p 1 da a gairebéqualsevol direcció,passaràper tot infinita d’enters p i q tals que |α − q | < q2 ). l’estadi sencer amb els angles de rebot variant Fa vuitanta anys, el matemàticbritànicJohn enormement. Els sistemes amb aquest tipus de Edensor Littlewood va proposar un estàndard comportament complex s’anomenen ergòdics. anàlegal de Dirichlet per a l’aproximaciósi- La forma en quèels matemàtics precisen multània de dos nombres irracionals: va pensar aquest fet que les trajectòrieses propaguin per que hauria de ser sempre possible trobar apro- p r tot l’espai ésa travésde la nocióde la inva- ximacions q per a α i q per a β de manera que riància de mesura. Una mesura pot ser consi- el producte dels dos errors fos tan petit com es derada com una forma mésflexible de calcular volgués(mésprecisament, l’afirmaciófou que àrees, i tenir una mesura invariant assegura esper a qualssevol nombres reals α i β i qualsevol p r sencialment que si dues regions de l’espai d’algu- > 0, existiran aproximacions q per a α i q per p r na manera tenen àrees iguals, els punts viatjaran a β tals que |α − q ||β − q | < q3 ). Littlewood va en el seu interior el mateix percentatge de temps. donar el problema als seus estudiants de post- En canvi, a la taula rectangular (que per des- grau, pensant que no hauria de ser gaire més comptat no ésergòdica),el centre rebràmolt dif´ıcilque la prova de Dirichlet. Peròla conjectu- poc trànsiten la majoria de les direccions. ra de Littlewood resultàser extraordinàriament

48 dif´ıcil i, fins fa poc, no hi ha hagut progressos als quals la conjectura és falsa, n’hi ha només substancials. molt pocs, una porciónegligible de tots ells. Bé,doncs, Lindenstrauss ha aplicat les se- Un altre exemple del poder de les tècniques ves eines de teoria ergòdicaal problema, en un de Lindenstrauss ésla seva prova del primer cas treball conjunt amb Manfred Einsiedler i Ana- no trivial de la conjectura d’unicitat ergòdicade tole Katok. La teoria ergòdica pot semblar una l’aritmèticaquàntica. Els sistemes ergòdics apa- eleccióestranya per a un problema que no invo- reixen amb certa freqüència en la f´ısica, ja que lucra sistemes dinàmicsni temps, peròaquests tan bon punt tenim tres cossos que interactuen, estranys aparellaments sónde vegades els més per exemple, el sistema comen¸ca a comportar-se potents. Heus aqu´ıuna manera de reformular el d’una manera una mica ergòdica. Peròsi aques- problema de Littlewood per a poder entreveure tes interaccions tenen lloc a escala quàntica, una connexióamb l’aproximaciódiofàntica. En no es poden descriure amb les eines ordinàries primer lloc imaginem un quadrat unitat, i iden- de la teoria ergòdica, perquèla teoria quàntica tifiquem la vora superior amb la vora inferior no permet camins ben definits per a punts en per obtenir un cilindre. Ara enganxem la vora posicions ben definides, sinóque només es pot dreta amb la vora esquerra i obtindrem una for- considerar la probabilitat que un cos estigui en ma geomètrica anomenada tor, que s’assembla a una posicióparticular en un moment determinat. un donut. Es pot enrotllar tot el pla coordenat L’anàlisi matemàticad’aquests sistemes ésextra- sobre el tor enganxant un punt (x, y) al punt ordinàriament dif´ıcil, i els f´ısics s’han de basar, del quadrat unitat que técom a coordenades de moment, nomésen simulacions numèriques, les parts fraccionàries de x i de y. Aquest tor sense un suport matemàticferm. ésl’espai del nostre sistema dinàmic. A conti- nuació,definim una transformaciómitjan¸cant La conjectura d’unicitat ergòdicaquàntica (x, y) 7→ (x+α, y+β). Si α i β sónirracionals (o diu, méso menys, que si es calcula l’àreausant mésprecisament, no racionalment relacionats), la mesura que és natural en dinàmicaclàssica lla- aquest sistema dinàmic ésergòdic.La conjec- vors, a mesura que l’energia del sistema augmen- tura de Littlewood es converteix en l’afirmació ta, aquesta distribucióde probabilitats esdevé que aquestes trajectòries passen arbitràriament més i mésuniforme en l’espai. A més, aquesta a prop de l’origen, desprésd’aplicar la trans- mesura ésl’única per la qual aixòéscert. Lin- formacióuna quantitat suficient de vegades. El denstrauss va ser capa¸cde demostrar aixòen nombre de vegades que hom aplica la trans- un context aritmèticper a determinats tipus de formacióésprecisament el denominador de les sistemes dinàmics, tot establint un dels primers fraccions que aproximen α i β. grans aven¸cosrigorosos en la teoria del caos Usant una nova formulacióde la conjectura quàntic. de Littlewood en termes d’un sistema dinàmic Aquests sónnomés dos exemples dels resul- més complex, Lindenstrauss i els seus col.labo- tats notables de Lindenstrauss. Els seus mètodes, radors han fet un gran aven¸cen la conjectura: eines i punts de vista molt possiblement donaran demostren que si hi ha parells de números per molts més resultats en els propers anys.

Julie Rehmeyer

49 NgˆoBao Chˆau, Universitat Par´ıs-Sud, Fran¸ca For his proof of the fundamental lemma in the theory of automorphic forms through the introduction of new algebro-geometric methods.

NgôBao Châuha eliminat tot els espais de dimensions superiors sóntots un dels grans impediments magnituds, i sónnormalment estudiades amb les per a un ambiciósprograma, eines de la geometria i l’anàlisi. Les multituds, de dècades de durada, desen canvi, sóncom els fesols, objectes discrets cobrint connexions ocultes que es poden posar en munts, peròque no es entre àrees de les matemà- poden dividir sense perdre la seva essència. El tiques aparentment allunya- conjunt de tots els nombres ésl’exemple canònic des entre si. D’aquesta mane- de multitud i s’estudien amb les eines de la teo- ra, ha posat una base sòlida ria de nombres. Langlands va predir que certs per a un gran cos teòric, i ha nombres que sorgeixen en l’anàlisi —en concret, desenvolupat tècniques que molt possiblement els valors propis de certs operadors de formes donaran lloc a una allau de nous resultats. diferencials sobre certes varietats de Riemann, El cam´ıcap a l’assoliment de Ngôva co- anomenades formes automorfes— eren en reali- men¸car el 1967, quan el matemàticRobert Lan- tat un codi que, si es desxifra, classifica objectes glands va tenir una visiómolt auda¸ci avan¸cada fonamentals del mónaritmètic. d’una mena de túnel matemàticque connecta Una de les eines desenvolupades des del pro- dos camps que semblaven estar a anys llum de grama de Langlands ésla fórmula de la tra¸ca distància l’un de l’altre. La seva proposta era tan de Arthur-Selberg, una equacióque mostra com ambiciosa i poc realista, que la primera vegada certa informaciógeomètrica pot calcular infor- que va mencionar-la al gran teorista de nombres macióaritmètica. Aixòtévalor per si mateix i, AndréWeil, va comen¸caramb aquesta frase mig a més, ésun primer pas en la demostraciódel avergonyint-se’n: Si vostèestàdisposat a llegir principi de functorialitat de Langlands, un dels [la carta] com a pura especulacióli ho agrairé; grans pilars del seu programa. PeròLanglands si no estic segur que téuna paperera a mà.A va topar amb un obstacle molest en tractar d’u- continuació,Langlands proposa tota una sèrie tilitzar la fórmula de la tra¸ca. Va anar trobant de conjectures fascinants, que han demostrat, unes sumes finites complicades que clarament des de llavors, ser un full de ruta per a una gran semblaven iguals, peròque ell no trobava la àreade recerca. manera de demostrar per què. Semblava un pro- La gran majoria d’aquestes conjectures no blema senzill, que hauria de poder-se resoldre han estat comprovades encara, i es preveu que amb una mica de joc combinatori, de manera ocuparan molts matemàticsde generacions futu- que el va anomenar lema —el terme usat per res. Tanmateix, el progrés del programa fins ara fer referènciaa un resultat menor, peròútil— i ha estat un poderósmotor per a nous resultats el va assignar a un estudiant de postgrau. matemàtics, incloent la prova d’Andrew Wiles Quan l’estudiant de postgrau no va poder de l’últim teorema de Fermat, o la prova de demostrar-ho, ho va provar amb un altre. Des- Richard Taylor de la conjectura de Sato-Tate. prés, ell mateix s’hi va posar a treballar. I va La plena realitzaciódel programa de Langlands consultar amb d’altres matemàtics. Al mateix unificaria molts dels camps de les matemàtiques temps, a mesura que tothom fracassava, la ne- actuals, com la teoria de nombres, la teoria de cessitat urgent del resultat es feia cada vegada grups, la teoria de representacions, o la geome- mésevident. Aix´ı,el problema va passar a ser tria algebraica. conegut amb un nom lleugerament mésgran: Langlands va esbossar un pont sobre una se- lema fonamental. paracióde les matemàtiques que data del temps Desprésde tres dècades de treball, nomésuns d’Euclides, la separacióentre magnitud i multi- pocs casos especials han pogut ser efectivament tud. Les magnituds sónla forma matemàticade demostrats. La falta d’una prova general va ser la mantega, una entitat cont´ınua de coses que es un obstacle tan gran per al progrés, que molts poden dividir en trossos tan petits com es vulgui. matemàticsvan comen¸carsimplement a suposar L´ınies i corbes, el pla i l’espai on vivim, i fins i que el lema fonamental era cert i a desenvolupar

50 resultats que en depenien. Aix´ıs’ha creat un cos molt mésgeneral, Ngôes va dotar de noves i teòric enorme de resultats que s’esmicolarien si poderoses eines per a l’assalt definitiu. El 2004, el lema fonamental resultésser fals. va provar alguns casos especials importants i NgôBao Châufou qui finalment resolgué dif´ıcils treballant amb el seu exdirector de tesi, el problema obert. Les complicades identitats Laumon Gérard. I el 2008, utilitzant els seus del lema fonamental que va obtenir poden ser mètodes nous, resolguéel problema en tota la vistes sorgint de manera natural dels sofisticats seva generalitat. objectes matemàticsconeguts com a fibracions Els mètodes de Ngôsóntan nous que els de Hitchen. El seu enfocament fou totalment matemàticsesperen que serviran per a tractar nou i inesperat: les fibracions de Hitchen són tambéaltres problemes oberts. Un primer objec- objectes purament geomètrics propers a la f´ısica tiu és una altra pe¸ca del programa de Langlands, matemàtica,gairebél’última cosa que s’esperava la seva teoria de l’endoscòpia. que poguésser rellevant per a aquest problema, Les seves tècniques fins i tot podrien assenya- en la part més pura de la matemàticapura. lar el cam´ıcap a una possible prova completa Va esdevenir ràpidament evident que Ngô del principi de functorialitat, que estaria ben a havia trobat una profunda connexió.El seu en- prop d’una plena realitzacióde la visióoriginal focament va convertir la complexitat molesta i de Langlands. Langlands mateix, que téprop de incòmoda del lema fonamental en una senzilla setanta anys i encara estàplenament actiu ma- i natural afirmaciósobre fibracions de Hitchen. temàticament, ha desenvolupat un enfocament Fins i tot, abans de completar la seva prova, ja altament especulatiu, peròa l’hora atractiu, per havia aconseguit una cosa encara mésimpressi- al problema. No estàencara gaire clar que aques- onant: generar una veritable comprensiósobre tes idees puguin portar a una prova completa, el tema. peròsi ho fan, hauran de recolzar en les idees A més,posant el problema en aquest marc geomètriques que Ngôha introdu¨ıt.

Julie Rehmeyer

Stanislav Smirnov, Universitat de Ginebra, Su¨ıssa For the proof of conformal invariance of percolation and the planar Ising model in statistical physics.

Stanislav Smirnov ha po- pot fluir a travésd’un canal continu de porus) sat una base matemàtica ésdeterminat per la seva versióa petita escala, molt ferma a una àrea emer- el comportament probabil´ıstic (la probabilitat gent de la f´ısica matemàti- que en un punt donat del sòl,hi hagi un porus). ca. Ha donat demostracions Tambéésuna pregunta natural modelar- elegants de dues conjectures ho matemàticament. Imaginem que cada punt antigues i fonamentals de la del sòlésun punt d’un reticle, i li assignem f´ısica estad´ıstica, i ha trobat el color blau si l’aigua pot fluir i el groc si no simetries sorprenents en models matemàtics de pot. Determinem el color de cada punt amb el fenòmensf´ısics. llan¸cament d’una moneda ponderada (cares per Tot i que el treball de Smirnov ésmolt teòric, al groc, creus per al blau). Si un cam´ıde punts estàrelacionat amb algunes preguntes sorpre- blaus creua d’un costat a l’altre d’un rectangle, nentment pràctiques. Per exemple, quan l’aigua l’aigua pot passar d’aquest costat a l’altre. pot fluir a través del sòli quan ésbloquejada? Aquests models de percolació es comporten Per tal que flueixi, els porus a petita escala han d’una manera remarcable. Per als valors extrems, d’estar units formant un canal continu d’un lloc el seu comportament éscom hom espera: si la a un altre. Aquesta ésuna qüestióclàssica de moneda estàfortament ponderada en contra la f´ısicaestad´ıstica,perquèel comportament a del blau, l’aigua gairebéamb tota seguretat no gran escala d’aquest mateix sistema (si l’aigua podràcircular, i si estàfortament ponderada

51 cap al blau, ésgairebésegur que l’aigua circu- tot si ens restringim a dues dimensions, hi ha larà.Peròla probabilitat que hi hagi circulació moltes opcions: malles quadrades, malles trian- no canvia de manera uniforme a mesura que el gulars, malles ròmbiques... La ideal seria que percentatge de punts blaus augmenta. Es´ gai- el model fos universal, de manera que l’elecció rebésegur que l’aigua estaràbloquejada men- de la forma de la malla no importés,peròaixò, tre el percentatge de punts blaus sigui inferior òbviament, no éscert. a un cert llindar, i un cop se sobrepassa, la pro- Els f´ısicsestan bastant conven¸cutsque cap babilitat que l’aigua flueixi comen¸caa créixer. d’aquests potencials problemes ésdolent. Usant Aquest valor llindar s’anomena el punt cr´ıtic. la intu¨ıcióf´ısica, han argumentat de manera con- Aquest canvi brusc de comportament és similar vincent que el model efectivament convergiràa al que succeeix a l’aigua quan s’escalfa: de sob- un scaling l´ımit ben definit, a mesura que la mate, a una temperatura cr´ıtica, comen¸caa bullir. lla es fa fina. D’altra banda, encara que l’elecció Per aquesta raó,aquest fenomen s’anomena una de la forma de la malla afecti el punt cr´ıtic, els transicióde fase. f´ısics s’han conven¸cut que no afectaràla majoria Però,ésevident que els sòlsreals no són de les propietats en quèestan interessats. perfectes, amb els porus uniformement espaiats Els f´ısics han descobert méscoses sobre horitzontalment i verticalment. Per tant, per malles bidimensionals, incloent certes evidències aplicar aquest model al mónreal, ens sorgeixen d’una sorprenent i bonica simetria. Imaginem un parell de qüestions problemàtiques. En pri- una malla de qualsevol forma i estirem-la o mer lloc, quant fina ha de ser la malla reticular encongim-la, peròsense modificar els angles. que considerem? Els f´ısics estan principalment La projeccióde Mercator del globus terraqüi interessats en la comprensiódels processos a es- n’ésun exemple: Groenlàndia queda enorme ja cala molecular, en aquest cas la malla ha de ser, que les distàncies es modifiquen, peròles l´ınies certament, molt fina. Els matemàtics a continu- de latitud i longitud romanen en angle recte. acióes pregunten per les relacions entre models Els f´ısics s’han conven¸cutque si es transformen amb malles cada vegada més fines. La seva espe- models de percolacióbidimensionals d’aques- ran¸caésque, a mesura que aquestes es facin més ta manera, no canviaran els seus scaling limits i mésfines, els models s’aproparan a un model (sempre que s’estigui a prop dels punts cr´ıtics). únicque téen efecte una xarxa infinitament O, emprant termes tècnics, estan conven¸cuts fina, anomenat scaling limit. que els scaling limits sóninvariants conformes. Per veure per quèno ésobvi que l’scaling El 1992, John Cardy, un f´ısic de la Univer- limit existeixi, imagineu que elegim un percen- sitat d’Oxford, utilitzàaquest fet per aconse- tatge determinat de punts blaus de la malla, i guir un dels grans objectius de la teoria de la que calculem la probabilitat que els porus s’a- percolació:una fórmula precisa que calcula les line¨ınpermetent a l’aigua creuar d’un costat probabilitats de creuament dels scaling limits a l’altre. Ara redu¨ımla mida de la malla i ho de malles bidimensionals a prop del punt cr´ıtic. tornem a calcular. A mesura que la malla es fa L’únic problema era que, si béels seus argu- més i mésfina, les probabilitats que l’aigua creui ments f´ısicssemblaven for¸ca convincents, ni ell pot ser que es vagin apropant a un cert nombre, ni ningúmés poguéconvertir aquesta intu¨ıció de la mateixa manera que els números1,9, 1,99, f´ısica en una demostraciómatemàtica. 1,999, 1,9999... s’acosten cada vegada mésa 2. El 2001, Smirnov va posar tota aquesta te- En aquest cas, aquest nombre seràla probabi- oria f´ısica sobre una base matemàticaferma. litat de creuament per l’scaling limit. Peròés Va demostrar que els scaling limits sóninvari- tambéimaginable que les probabilitats de cre- ants conformes, encara que nomésper a malles uament vagin saltant i mai no convergeixin cap triangulars (la forma en quèels penics, per a un l´ımit concret, com la seqüènciade números exemple, cauen de manera natural quan els po- 2, 4, 2, 4, 2, 4... En aquest cas, la probabilitat sem sobre una taula molt junts). En el procés, de creuament per l’scaling limit hauria de ser 2 tambéva demostrar la fórmula de Cardy per o 4? No hi ha una resposta bona, aix´ıque hem a malles triangulars. La seva prova utilitzàun de dir que el scaling limit no existeix. enfocament independent dels usats anteriorment Una altra qüestiópotencialment problemàti- pels f´ısics i proporcionàunes perspectives no- ca ésla forma que ha de tenir la malla. Fins i ves i fonamentals. Fins i tot va cobrir un pas

52 cr´ıtic que mancava en la teoria de l’evolució més ràpidament, i si s’escalfa per sobre d’un cert de Schramm-Loewner, un mètode important re- punt, les vibracions sóntan fortes que els àtoms centment desenvolupat en f´ısica estad´ıstica. ve¨ıns de sobte deixen d’estar alineats els uns En un altre èxitimportant, Smirnov utilitza amb els altres i la pe¸ca en conjunt comen¸caa mètodes similars per a entendre el model d’Ising, perdre el seu magnetisme. que descriu fenòmens com el magnetisme, el mo- Les mateixes preguntes que preocupen els viment dels gasos, el processament d’imatges o matemàticsi els f´ısicsen percolaciós’apliquen l’ecologia. Exactament igual que amb la percola- tambéal model d’Ising. La malla ha de ser molt ció,els comportaments a gran escala d’aquests fina, ja que s’estàoperant al nivell atòmic. Aix´ı fenòmensestan determinats pel seu comporta- doncs, a mesura que la malla es fa mési més ment probabil´ıstic a petita escala. Considerem, fina, el model convergeix cap a una versióinfi- per exemple, el magnetisme: els àtomsen un nitament fina, un scaling limit? D’altra banda, tros de ferro es comporten com imants en minia- com afecta la forma de la malla al punt cr´ıtici tura, amb els electrons que es mouen al voltant a altres propietats? I quèpassa si estirem o en- del nucli i creen un camp magnèticen minia- congim la malla sense canviar els angles, canvia tura. Els àtomsintenten atreure els seus ve¨ıns l’scaling l´ımit? cap a la seva pròpia alineació.Quan suficients Per a aquest model, també,Smirnov va ser àtomstenen els seus pols nord apuntant cap a capa¸cde demostrar que els models convergeixen la mateixa direcció,el ferro en el seu conjunt cap a un scaling limit a mesura que la malla es magnetitza. Els matemàtics modelitzen això es fa mésfina, i que no es veuen afectats per mitjan¸cant la col.locaciódels àtomsen els nodes estiraments o encongiments, és a dir, que són d’una malla, amb regles estad´ıstiques que de- invariants conformes. Després,juntament amb terminen quan estan alineats amb els pols nord Dmitry Chelkak, va establir la universalitat, es- apuntant cap amunt o cap avall. tenent els resultats a una àmplia gamma de Igual que el model de percolació,el model malles. Tambéha fet un treball important en d’Ising pateix tambéuna transicióde fase: a anàlisi i sistemes dinàmics. La seva obra seguirà mesura que s’escalfa el ferro, els àtomsvibren enriquint les matemàtiques i la f´ısica en el futur. Julie Rehmeyer

C´edricVillani, Ecole´ Normale Sup´erieurede Lyon, Fran¸ca For his proofs of nonlinear Landau damping and convergence to equilibrium for the Boltzmann equation.

Cédric Villani ha creat una i el gas s’esténper tota l’habitació.Boltzmann profunda base matemàtica va explicar el procésmitjan¸cant el càlculde la per a una gran varietat de probabilitat que una molècula de gas estigui en fenòmens f´ısics. Al centre un lloc determinat amb una velocitat particular, de gran part de la seva obra en qualsevol moment en particular —abans que s’hi troba la seva profun- la teoria atòmica de la matèriafos àmpliament da interpretaciómatemàtica acceptada. I ésmés impactant encara que la del concepte f´ısicd’entropia, seva equaciócreés una fletxa del temps. que ha aplicat per solucionar La qüestióera la següent: quan les molècules grans problemes inspirats en la f´ısica. A més, reboten entre si, les seves interaccions sónre- els seus resultats han alimentat de nou les ma- gulades per les lleis de Newton, que sónper- temàtiques, enriquint ambdóscamps, a través fectament reversibles en el temps; ésa dir, en de la connexió. principi, es podria aturar el temps, enviar totes Villani va comen¸carla seva carrera matemà- les molèculesendarrere en les direccions de les tica reexaminant una de les teories més impac- quals provenen, i es comprimirien de nou dins tants i controvertides de la f´ısica del segle xix. el recipient. Però,l’equacióde Boltzmann no El 1872, Ludwig Boltzmann va estudiar quèpas- ésreversible en el temps. Les molèculesgairebé sa quan es treu el tap d’un recipient ple de gas sempre van d’un estat de major ordre (per exem-

53 ple, tancades en el recipient) a menor ordre (per Aixòsignifica que l’equacióde Boltzmann per als exemple, escampades per l’habitació).O, més gasos no funciona, i enlloc seu s’ha de prendre tècnicament, l’entropia augmenta. l’equacióde Vlasov-Poisson, que és reversible Durant les dècades següents, els f´ısicses van en el temps i, per tant, no implica un augment haver de resignar a l’emergència de l’entropia de de l’entropia. les lleis reversibles en el temps i, de fet, l’entropia No obstant això,el plasma, com el gas, es va convertir en una eina clau de la f´ısica, la te- s’esténi s’acosta a un estat d’equilibri. Es creia oria de la probabilitat i la teoria de la informació. que aixòpassava només per les col.lisions entre Una pregunta fonamental, però,va quedar sense àtoms.PeròLandau va argumentar que, fins resposta: amb quina rapidesa augmenta l’en- i tot sense col.lisions, el plasma es mouria cap tropia? Experiments i simulacions numèriques a l’equilibri a causa de la disminuciódel camp podien proporcionar estimacions aproximades, elèctric.Ho va demostrar també,perònomés peròno es tenia una comprensióprofunda del per a una aproximaciólineal simplificada de procés. l’equacióde Vlasov-Poisson. Villani, juntament amb els seus col.labora- Malgrat la gran quantitat d’estudis durant dors Giuseppe Toscani i Laurent Desvillettes, va les següents sis dècades, poc s’ha avan¸caten desenvolupar els fonaments matemàtics necessa- la comprensióde per quèes produeix aquest ris per a obtenir una resposta rigorosa, fins i tot estat d’equilibri, o en la demostracióde l’afirma- quan el gas parteix d’un estat altament ordenat cióde Landau per l’equacióde Vlasov-Poisson que téun llarg cam´ıper recórrer fins a assolir completa. L’any passat, Villani, en col.laboració el seu estat d’equilibri desordenat. El seu desco- amb Clément Mouhot, finalment va arribar a un briment va tenir una implicaciócompletament coneixement profund del procési va demostrar inesperada: si bél’entropia sempre augmenta, el principi de Landau. de vegades ho fa ràpidament i de vegades més Una tercera àrea important del treball de lentament. A més, els seus treballs posen de ma- Villani inicialment semblava no tenir res a veure nifest certes connexions entre l’entropia i altres amb l’entropia —fins que Villani hi va trobar àreesde les matemàtiques aparentment sense connexions profundes que van transformar el relació,com la desigualtat de Korn en la teoria camp. Es va involucrar en la teoria del trans- de l’elasticitat. port òptim, que havia sorgit d’una pregunta ben Desprésd’assolir aquesta fita, Villani va di- pràctica:suposem que tenim un conjunt de mi- rigir el seu profund coneixement de l’entropia nes i un conjunt de fàbriques, a diferents llocs, cap a una altra teoria, tambéinicialment contro- amb diferents costos per a moure el mineral vertida. El 1946, el f´ısic soviètic Lev Davidovich de cada mina en particular a cada fàbrica en Landau va fer una afirmacióal.lucinant: en cer- particular. Quina és la manera mésbarata de tes circumstàncies, un fenomen pot acostar-se a transportar el mineral? l’equilibri sense augmentar l’entropia. Aquest problema va ser estudiat per primera En un gas, els dos fenòmensvan sempre vegada pel matemàticfrancès Gaspard Monge junts. El gas s’apropa a l’estat d’equilibri i es di- el 1781 i redescobert pel matemàticrus Leonid fon per tota l’habitació,perdent qualsevol ordre Kantorovich el 1938. El treball de Kantorovich que tingués inicialment i augmentant l’entropia sobre aquest problema va fer florir tot un camp el màxim possible. Peròel plasma de Landau, de recerca nou (la programaciólineal), li va valer una forma de la matèriasemblant al gas, que el Premi Nobel d’Economia el 1975, i es va esten- contétanta energia que els electrons es mante- dre en una notable varietat d’àrees, incloent la nen allunyats dels àtoms,és una històriamolt meteorologia, els sistemes dinàmics, la mecànica diferent. En el plasma, les part´ıcules carregades de fluids, les xarxes de reg, la reconstrucciód’i- que suren lliurement creen un camp elèctric que, matges, la cosmologia, la col.locaciód’antenes al seu torn, influeix en el seu propi moviment. reflectores i, en l’últimparell de dècades, les Aixòsignifica que, a diferència de les part´ıcules matemàtiques. en un gas, que afecten únicament el moviment Villani i Felix Otto van fer una de les con- de les part´ıcules ve¨ınes amb qui col.lisionen, les nexions fonamentals quan es van adonar que part´ıcules de plasma influeixen tambéen el movi- la difusiód’un gas podria ser entesa en l’àmbit ment de les part´ıculesllunyanes que mai toquen. del transport òptim. Una configuracióinicial de

54 les part´ıcules de gas pot considerar-se com les gas s’estàestenent. Villani i Otto es van adonar mines, i una configuracióposterior es pot veure que la curvatura de l’espai on el gas es propaga com les fàbriques. (Més precisament, es tracta es tradueix en la topografia del paisatge abstrac- de la distribucióde probabilitat de les part´ıcules te. Aquesta connexióels va permetre aplicar el en cada cas.) Com méslluny s’hagin de moure seu ric coneixement matemàtic sobre curvatura les part´ıcules de gas per anar d’una configuració (en particular, la curvatura de Ricci, que va ser a una altra, major seràel cost. fonamental en la soluciórecent de la conjectura Llavors, hom pot imaginar cadascuna d’a- de Poincaré)per a respondre preguntes sobre questes configuracions possibles com correspo- transport òptim. nent a un punt en un paisatge muntanyósabs- D’altra banda, Villani i John Lott van ser tracte. La distància entre dos punts es defineix capa¸cos d’aprofitar aquests enlla¸cos amb el com el cost de transport òptim, i l’altura de cada transport òptim per a desenvolupar encara més punt es defineix per l’entropia (els punts baixos la teoria de la curvatura. Per exemple, els ma- amb entropia alta). Aixòli donàuna manera temàticsno havien trobat la manera de defi- d’entendre el que succeeix quan un gas s’escam- nir la curvatura de Ricci en algunes situacions, pa per una habitació:éscom si el gas rodéspels com per exemple una cantonada aguda. Villa- vessants d’aquest terreny abstracte, amb les se- ni i Lott (i al mateix temps, utilitzant eines ves configuracions canviants segons s’especifica complementàries, Karl-Theodor Sturm) van ser en els punts del seu cam´ıpendent avall. capa¸cosd’utilitzar la connexióamb el transport Suposem ara que hi ha un ventilador bufant òptim per a oferir una definiciói aprofundir a la sortida del recipient del gas, de manera en la comprensiómatemàticade la curvatura. que aquest no es propaga de manera uniforme Aquesta profunditat en el desenvolupament de mentre es difon. Matemàticament, aixòpot ser noves connexions entre diferents àreesést´ıpica modelat distorsionant o corbant l’espai en quèel dels treballs de Villani. Julie Rehmeyer

Premi Nevanlinna 2010: Daniel Spielman, Universitat de Yale, EUA For smoothed analysis of Linear Programming, algorithms for graph-based codes and applications of graph theory for Numerical Computing.

La programaciólineal (LP) d’un vèrtexdel pol´ıedre a un altre vèrtex ve´ı. és una de les eines mésútils El mètode funciona molt béen la pràctica, en la matemàticaaplicada. tot i que en el pitjor dels casos (per a inputs Es tracta bàsicament d’una constru¨ıts artificialment) l’algorisme necessita tècnica per a l’optimització un temps exponencial. Per tant, entendre la com- d’una funcióobjectiu subjec- plexitat de la LP i la de l’algorisme del s´ımplex ta a restriccions lineals d’i- han estat grans problemes de la informàtica gualtat i de desigualtat. Pot- teòrica.Els matemàtics han estat intrigats per ser l’algorisme més antic per l’eficàcia general del mètode del s´ımplexa la a la LP (un algorisme és una pràctica i han intentat durant molt de temps seqüència finita d’instruccions per a resoldre un establir aquest fet com un teorema matemàtic. problema computacional; éscom un programa Si bél’anàlisi del cas pitjor és una eina efica¸c d’ordinador) ésel que es coneix com el mètode per a estudiar la dificultat d’un problema, no s´ımplex. L’algorisme s´ımplex va ser ideat per ho és per a estudiar la realitzaciópràcticad’un George Dantzig el 1947, i és extremadament algorisme. Una alternativa ésl’anàlisi del cas popular per a resoldre numèricament problemes mitjà,on es fa una mitjana dels temps necessaris de programaciólineal, fins i tot avui en dia. En per a tots els inputs d’una determinada mida. termes geomètrics, les restriccions defineixen un Peròels casos reals que sorgeixen en la pràctica, pol´ıedreconvex en un espai de dimensióalta i poden ser diferents del cas mitjà.Aix´ı, l’anàlisi l’algorisme s´ımplex arriba al punt òptim passant del cas mitjàno sempre és adequada.

55 El 1979 L. G. Kachian va demostrar que el pot haver-hi inputs patològicsen quèel mètode problema LP és a P, ésa dir, hi ha un algo- falla, lleugeres modificacions de qualsevol exem- risme per a la programaciólineal que funciona ple patològicdónaun problema senzill, en què en temps polinomial, i aixòva portar al desco- el mètode del s´ımplex funciona molt bé. A briment d’algorismes polinomials per a molts travésde l’smoothed analysis, els teòrics poden problemes d’optimització.La creen¸ca general trobar motius per a apreciar heur´ıstiques que llavors fou que hi ha una correspondència real prèviament havien rebutjat. Més encara, espe- entre ser bo en teoria i ser bo en la pràctica; rem que l’smoothed analysis inspiraràel disseny que aquests dos aspectes no poden coexistir d’algorismes bons que podrien haver estat re- per a la LP. No obstant això,el mètode del butjats per tenir una complexitat dolenta en el punt interior de Narendra Karmarkar del 1984 cas pitjor, ha dit Spielman. i les seves posteriors variacions, amb comple- L’Association for Computing Machinery xitat polinòmica, va trencar aquesta creen¸ca. (ACM) i l’European Association for Theoreti- Els mètodes de punt interior construeixen una cal Computer Science (EATCS) van atorgar el seqüència de punts accessibles, que es troben a Premi Gödel2008 a Spielman i Teng per desen- l’interior del pol´ıedre, mai en el seu l´ımit(en- volupar aquesta eina. L’article de Spielman i front de la ruta de vèrtexa vèrtexseguida per Teng titulat Smoothed analysis of algorithms: l’algorisme del s´ımplex), que convergeix a la why the simplex algorithm usually takes poly- solució.L’algorisme de Karmarkar i els descobri- nomial time, publicat a la revista de l’ACM, ments teòrics i pràctics posteriors competeixen va ser tambéun dels tres guanyadors del Pre- en eficàcia amb el mètode del s´ımplex i de vega- mi Fulkerson 2009, atorgat conjuntament per des sónsuperiors. l’American Mathematical Society (AMS) i la Però,malgrat aquests aven¸cos, el mètode Mathematical Programming Society (MPS). del s´ımplex segueix sent el mètode méspopular per a la solucióde problemes de la LP, i no Des de la seva introduccióel 2001, l’smoothed hi havia cap explicaciósatisfactòriadel seu ex- analysis ha estat utilitzat com a base per a una cel.lent comportament fins que el bell concepte investigacióconsiderable, sobre problemes que de smoothed analysis introdu¨ıtper Spielman i van des de la programaciómatemàtica,l’anàlisi Shang-Hua Teng els va permetre de demostrar numèrica, l’aprenentatge automàtico la mine- un teorema matemàtic en aquest sentit. ria de dades. Malgrat això, escriu Spielman, L’smoothed analysis fa una anàlisi mésre- encara no sabem si l’smoothed analysis, la més alista de l’execuciópràctica de l’algorisme que ambiciosa i teòrica de les anàlisis, donaràlloc a no pas els escenaris de cas pitjor o de cas mitjà. millores en la pràctica. Ofereix una manera, segons Spielman, d’ex- Una segona contribucióimportant de Spiel- plicar l’èxit pràcticdels algorismes i heur´ıstiques man es troba en l’àmbit de la codificació.Gran que tenen un comportament dolent en el cas del part de les comunicacions d’avui en dia utilitzen pitjor input . L’ smoothed analysis és un h´ıbrid codificació,ja sigui per a preservar la confiden- de les anàlisis de cas pitjor i cas mitjà,que cialitat del contingut o per a evitar errors en la hereta els avantatges d’ambdós. La prova de comunicació.Els codis correctors d’errors (ECC) Spielman i Teng ésrealment un tour de force , sónel mitjàamb el qual es corregeixen les possi- diu Gil Kalai, un professor de matemàtiques bles interferències en una comunicació.Els ECCs de la Universitat Hebrea de Jerusalem i pro- tenen un paper significatiu en la tecnologia mo- fessor adjunt de matemàtiques i ciències de la derna, des de les comunicacions per satèl.lit fins computacióa la Universitat de Yale. a les memòries d’ordinador. Els ECC permeten La complexitat suavitzada d’un algoris- al receptor recuperar el missatge correcte, en- me ve donada pel rendiment de l’algorisme sota cara que un cert nombre de bits del missatge lleugeres pertorbacions aleatòries dels pitjors s’hagin corromput, sempre i quan el nombre inputs. Si la complexitat suavitzada ésbaixa, d’errors estigui per sota d’un cert llindar. Els aleshores l’algorisme del s´ımplex, per exemple, treballs de Spielman proposen codis que per- ha de donar bons resultats en casos pràctics meten codificar i descodificar ràpidament i que en els quals les dades d’entrada estan subjec- permeten una comunicacióamb taxes properes tes a sorolls i pertorbacions. Es´ a dir, si bé a la capacitat del canal de comunicació.

56 En la teoria de la informació,el low-density se a la capacitat de l’anomenat binary erasure parity-check code (LDPC) ésun ECC lineal, channel. Aquests codis proporcionen una solució que corregeix bloc a bloc i que permet la trans- efica¸ca problemes com la pèrdua de paquets missióde missatges a través d’un canal amb a travésd’Internet i sónparticularment útils soroll. Els codis LDPC es construeixen usant en la difusióselectiva de comunicacions. També una certa classe de grafs dispersos (on el nombre proporcionen una de les millors tècniques cone- d’arestes ésmolt menor al màximpossible). Es gudes de codificacióper a reduir al m´ınimel tracta de codis que s’aproximen a la capacitat, consum d’energia necessari per a aconseguir una la qual cosa significa que existeixen construcci- comunicaciófiable en presènciade soroll blanc ons pràctiques que permeten establir els llindars gaussià.Els codis LDPC irregulars han tingut de soroll molt a prop del l´ımitteòricament possi- molts altres usos, incloent el recent estàndard ble. Usant certes tècniques iteratives, els LDPC DVB-S2 (Digital Video Broadcasting - Satellite poden ser descodificats en temps lineal respecte v2). de la seva longitud de bloc. Spielman ha sol.licitat cinc patents per als Una tècnica important per tal de codificar i ECC que ha inventat i quatre d’aquestes ja han descodificar de manera eficient es basa en uns estat concedides per l’oficina de patents dels grafs molt ben connectats, peròalhora dispersos, Estats Units. anomenats expanders. Es´ aquesta caracter´ıstica contraintu¨ıtiva i aparentment contradictòria dels Computaciócient´ıfica combinatòria és el expanders —que estan dispersos peròmolt ben nom donat al camp interdisciplinari en el qual connectats— la que els fa molt útils, assenyala hom aplica la teoria de grafs i els algorismes Peter Sarnak, un professor de matemàtiques de combinatoris a problemes de ciènciesde la com- la Universitat de Princeton. Spielman i els seus putaciói d’enginyeria. Spielman ha focalitzat coautors han fet una tasca fonamental usant recentment la seva atencióa un dels problemes aquests mètodes de teoria de grafs i han disse- mésfonamentals de la computació:el proble- nyat mètodes molt eficients per a la codificació ma de resoldre un sistema d’equacions lineals, i descodificació. que ésfonamental per a aplicacions cient´ıfiques L’article mésfamós de Spielman en aquest i d’enginyeria, programaciómatemàtica i d’a- prenentatge automàtic. Ha trobat algorismes camp és Improved low-density parity check co- remarcables que funcionen en temps lineal i ba- des using irregular graphs, que va compartir el 2002 Information Theory Society Paper Award. sats en particions de grafs per a diverses classes (Els grafs regulars, a diferència dels grafs irre- importants de sistemes lineals. Aixòha portat gulars, sónaquells on cada vèrtex téel mateix tant a considerables aven¸costeòrics com a algo- nombre de ve¨ıns.) Aquest treball va demostrar rismes bons des d’un punt de vista pràctic. que els codis LDPC irregulars es comporten La bellesa de la interaccióentre teoria i molt millor que els méscomuns, que utilitzen pràctica, ja sigui en programaciómatemàtica, grafs regulars sobre un canal de soroll blanc, en codis correctors d’errors, en la recerca de gaussiài additiu (AWGN). dispersors que assoleixen l’anomenada fita de Aquesta fou una extensiódel treball anterior Ramanujan, en l’anàlisid’algorismes, en la teoria Efficient erasure correcting codes, de Spiel- de la complexitat computacional, o en l’anàlisi man i altres, que havia introdu¨ıtels codis LDPC numèrica, éscaracter´ıstica de l’obra de Dan irregulars i havia demostrat que podien acostar- Spielman, diu Kalai. R. Ramachandran

Premi Gauss 2010: Yves Meyer, professor em`erit a l’Ecole´ Normale Sup´erieurede Cachan, Fran¸ca For fundamental contributions to number theory, operator theory and harmonic analysis, and his pivotal role in the development of wavelets and multiresolution analysis.

57 Quan et sentis competent cióde nombres reals per nombres racionals). Per sobre una teoria, és hora exemple, el nombre auri és un d’aquests nombres. d’abandonar-la. Aquest ha Yves Meyer va estudiar aquests númerosi va estat el principi de Meyer demostrar un resultat remarcable. El treball de en la seva destacada tra- Meyer en aquesta àreava portar a les nocions jectòria de mésde quatre dè- de Meyer, que han tingut un paper important cades de recerca matemàtica. en la teoria matemàtica dels quasicristalls. Creu que només els investi- Els quasicristalls sónestructures ordenades gadors que sónnous en un que omplen l’espai, peròque no tenen simetria tema poden tenir imaginació de translaciói sónaperiòdiquesen general. La i aconseguir grans contribucions. En aquest sen- teoria clàssica dels cristalls noméspermet si- tit, Meyer ha passat per quatre fases diferents metries de rotaciód’ordres 2, 3, 4 i 6, peròels en la seva activitat de recerca, corresponents quasicristalls presenten simetries d’ordre 5, entre a les seves exploracions de quatre àreesdife- altres ordres. Igual que els cristalls, els quasicris- rents —quasicristalls, el programa de Calderón- talls produeixen difraccióde Bragg modificada, Zygmund, ones i l’equacióde Navier-Stokes. La peròallàon els cristalls tenen una estructura varietat de temes en els quals ha treballat ésindi- de repeticiósimple, els quasicristalls presenten cativa dels seus interessos generals. En cadascun estructures méscomplexes com les tesselacions d’aquests temes Meyer ha fet contribucions fona- aperiòdiques. Les tesselacions de Penrose són mentals. La seva extensa obra suggereix que no un exemple d’una d’aquestes estructures ape- deixa un camp d’investigacióon ha entrat fins riòdiques que presenta simetria d’ordre 5. Meyer que estàconven¸cut que el tema estàexhaurit va estudiar certs conjunts a l’espai euclidià n- des d’un punt de vista lògic. Es´ com si Meyer dimensional (actualment coneguts com els con- apareguésen escena, lligués caps desconnectats, junts de Meyer), que es caracteritzen per una donés una imatge unificadora dels diferents en- certa propietat de finitud del seu conjunt de focaments existents, posés les bases per a un distàncies. La idea de Meyer fou que l’estudi marc teòricadequat, sempre amb el segell de d’aquests conjunts inclou l’estudi de possibles es- Meyer, i després sort´ısde l’escena. tructures de quasicristalls. Aquesta base formal Les llavors per als enfocaments altament ori- s’ha convertit en una eina important en l’estudi ginals de Meyer en totes les branques de les de les estructures aperiòdiques en general. matemàtiquesen quès’ha aventurat, es van El 1975 Meyer va col.laborar amb Ronald sembrar segurament al principi de la seva car- Coifman en el que s’anomenen operadors de Cal- rera. Va comen¸carla seva carrera de recerca derón-Zygmund. Els importants resultats que desprésd’haver estat professor de secundària van obtenir van donar lloc a diversos treballs durant els tres anys següents a la seva educació d’altres autors, que alhora han donat lloc a universitària. Va completar el seu doctorat el aplicacions en àrees com ara l’anàlisi comple- 1966 amb només tres anys. Vaig ser el meu pro- xa, les equacions en derivades parcials, la teoria pi supervisor quan vaig escriure la meva tesi, ergòdica,la teoria de nombres o la teoria ge- diu Meyer. Aquesta perspectiva individualista omètricade la mesura. Aquest enfocament de ha estat el seu segell fins al dia d’avui. Meyer i Coifman es pot veure com la interac- El 1970 Meyer va presentar algunes idees cióentre dos paradigmes oposats: l’enfocament completament innovadores en anàlisi harmònica clàssic d’anàlisicomplex i l’enfocament més mo- (una branca de les matemàtiques que estudia la dern de Calderón-Zygmund, que es basa prin- representacióde funcions o senyals com a super- cipalment en tècniques de variable real. Avui posiciód’ones bàsiques), que van resultar ser no en dia, ésaquest últim enfocament el que do- nomésútilsen teoria de nombres, sinótambé mina, fins i tot per a problemes que en realitat en l’anomenada teoria dels quasicristalls. Hi ha pertanyen a l’àrea de l’anàlisicomplexa. certs nombres algebraics anomenats números de L’enfocament de Calderón-Zygmund fou el Pisot-Vijayaraghavan i certs nombres coneguts resultat de la recerca de noves tècniques, ja que com a nombres de Salem. Aquests tenen algunes els mètodes d’anàlisi complexa no funcionen propietats notables que apareixen en l’anàlisi en dimensions superiors. Aixòva ser fet per harmònica i l’aproximaciódiofàntica (aproxima- S. Mihlin, Calderóni A. Zygmund, els quals van

58 investigar i resoldre el problema per una àmplia ma, s’han desenvolupat diverses solucions en classe d’operadors, que ara es coneixen com les últimesdècades per a representar un senyal als operadors integrals singulars, o operadors de alhora en el domini del temps i de la freqüència. Calderón-Zygmund. Aquests operadors integrals L’esfor¸cen aquesta direccióes va iniciar en la singulars sónmolt mésflexibles que la represen- dècadade 1930 amb la transformada de Wigner, tacióestàndard d’un operador, segons Meyer. una construcciódeguda a Eugene Wigner, famós El seu treball conjunt amb Coifman sobre certs matemàtici f´ısic. Bàsicament les ondetes són operadors integrals multilineals ha demostrat els blocs de construcciód’uns espais de funcions ser de gran importànciaper al tema. Amb Coif- que sónmés locals que les sèries de Fourier i les man i Alan MacIntosh va demostrar la fitaciói integrals. La idea darrere de les representacions la continu¨ıtatde l’operador integral de Cauchy, conjuntes temps-freqüènciaés tallar el senyal que ésl’exemple mésfamósd’un operador inte- d’interèsen diverses parts i analitzar cada part gral singular, sobre totes les corbes de Lipschitz. per separat amb una resolucióigual a la seva Aixòhavia estat un problema obert en l’anàlisi escala. En l’anàlisi d’ondetes, aquestes funcions des de fa molt de temps. d’aproximacióque es troben en dominis finits Meyer descriu la seva fase d’investigacióso- esdevenen for¸ca apropiades per a l’anàlisi de bre ondetes, que han tingut un gran impacte en dades amb discontinu¨ıtats fortes. el processament del senyal i la imatge, com una La pregunta fonamental que l’enfocament segona vida cient´ıfica.Una ondeta ésuna breu amb ondetes intenta respondre és com tallar oscil.laciósemblant a una ona, amb l’amplitud el senyal. La representacióen el domini temps- que comen¸caa zero, augmenta i disminueix de freqüènciatéuna limitacióimposada pel prin- nou fins a zero, semblant a la que pot ser re- cipi d’incertesa de Heisenberg que tots dos do- gistrada per un sismògrafo un monitor card´ıac. minis, temps i freqüència,no es poden localit- Peròen matemàtiques les ondetes estan espe- zar simultàniament amb una precisióarbitrària. cialment constru¨ıdesper tal de satisfer certes Per tant, desplegar un senyal en el pla temps- exigències matemàtiques, i s’utilitzen en la repre- freqüència ésun problema dif´ıcil que es podria sentacióde dades o altres funcions. Com a eines comparar amb escriure una partitura i escoltar matemàtiques s’utilitzen per a extreure informa- la música al mateix temps. Aix´ı, grups en di- cióde molts tipus de dades, incloses les senyals ferents camps d’investigacióhan desenvolupat d’àudio o les imatges. Generalment sónnecessa- tècniques de descomposicióde senyals localit- ris conjunts d’ondetes per a analitzar les dades. zades en el temps i d’acord amb les escales de Les ondetes es poden combinar amb porcions resoluciódel seu interès. Aquestes tècniques van d’un senyal desconegut mitjan¸cant la tècnica de ser les precursores de l’enfocament amb ondetes. convolucióper a extreure’n informació. La tècnica d’anàlisi d’ondetes comen¸caamb La representacióde funcions com una super- l’elecciód’una funcióondeta prototip, anome- posiciód’ones no és nova. Es coneix des de prin- nada ondeta mare. L’anàlisi de resoluciódel cipis del 1800, quan Joseph Fourier va descobrir temps es pot realitzar amb una versiócontreta que podia representar altres funcions mitjan¸cant i d’alta freqüència de l’ondeta mare. L’anàlisi la superposicióde sinus i cosinus. Les funcions de resolucióde freqüències es pot realitzar amb sinus i cosinus tenen una freqüènciaben definida, una versiódilatada i de baixa freqüènciad’a- peròs’estenen fins a l’infinit; ésa dir, mentre questa mateixa ondeta mare. La transformació estan localitzades en freqüència, no ho estan en d’ondeta, o anàlisi d’ondetes, ésla soluciómés el temps. Aixòsignifica que, tot i que podem recent per a superar les limitacions de la trans- ser capa¸cosde determinar totes les freqüències formada de Fourier. En l’anàlisi d’ondetes, l’ús en un senyal donat, no sabem quan estan pre- d’una finestra modular totalment escalable resol sents. Per aquest motiu, un desenvolupament el problema de com tallar el senyal esmentat de Fourier no pot representar adequadament els anteriorment. La finestra es despla¸caal llarg del senyals transitoris o senyals amb canvis bruscos. senyal i per a cada posicióes calcula l’espectre (i. Durant dècades, els cient´ıfics han buscat funci- e. la transformació).A continuació,es repeteix ons adequades més enllàdel sinus i el cosinus el procés diverses vegades amb finestres una mi- per aproximar els senyals entretallats. ca méscurtes (o llargues) per a cada nou cicle. Amb la intencióde superar aquest proble- El resultat d’aquesta anàlisi repetitiva del senyal

59 és una col.leccióde representacions temps-escala representar cada funcióde l’espai en termes de del senyal, cadascuna amb diferent resolució;en les funcions de la base.) Aixòva portar al seu definitiva, resoluciómultiescala o anàlisi mul- primer resultat fonamental en el tema d’ondetes, tiresolució.En poques paraules, l’escala gran en un article al seminari Bourbaki on construeix dóna el panorama general, mentre que la petita una gran quantitat de bases ortonormals amb mostra els detalls. Es´ com fer zoom sense pèrdua funcions de classe Schwarz (funcions que tenen de detalls. Es´ a dir, l’anàlisid’ondetes veu tant valors només sobre una petita regiói que deca- el bosc com els arbres. uen ràpidament fora). Aquest article va ser un En geof´ısica i exploraciós´ısmica, es poden gran aven¸cque va permetre una anàlisi posterior trobar models per a analitzar la propagaciósub- per part del propi Meyer. En aquest article, terràniad’ones. En visióper ordinador s’usen diu Stéphane Mallat, la construccióde Meyer descomposicions multiescala d’imatges, ja que havia a¨ıllat les estructures clau en les quals jo l’escala depènde la profunditat de l’escena. En vaig poder reconèixerles similituds amb les ei- el processament d’àudio, es desenvolupen bancs nes utilitzades en visióper computador per a de filtres d’ample de banda constant (filtres di- l’anàlisi multiescala d’imatges, i en el processa- latats) aplicats a l’anàlisi de sons i de parla, i ment de senyal per als bancs de filtres. per a manejar el problema de l’anàlisimulties- Una col.laboracióentre Mallat i Meyer va do- cala del despla¸cament Doppler dels senyals de nar lloc a la construccióde l’anàlisi matemàtica radar. Les descomposicions multiescala van ser multiresoluciói a una caracteritzacióde les ba- utilitzades en f´ısica quàntica per Kenneth G. ses ortonormals d’ondetes amb filtres mirall con- Wilson per a la representaciód’estats coherents jugats, que els permet implementar un primer i tambéper a analitzar les propietats fractals algorisme de transformaciód’ondetes que funcio- de les turbulències. En neurofisiologia, els mo- na més ràpid que l’algorisme de la transformada dels de dilatacióvan ser introdu¨ıts pel f´ısic G. ràpidade Fourier (FFT). Gràcies al resultat de Zweig per a modelar les respostes de les cèl.lules Meyer-Mallat, les ondetes esdevenen molt més simples del còrtexvisual i de la còcleaauditiva. fàcils d’utilitzar. Hom pot fer ara una anàlisi L’anàlisi d’ondetes portaria tots aquests enfoca- d’ondetes sense conèixer la fórmula per a l’on- ments diferents cap a un marc unificat. Meyer deta mare. El procés es va reduir a simples és àmpliament reconegut com un dels fundadors operacions de fer la mitjana de grups de p´ıxels d’aquest marc: la teoria d’ondetes. i mirar diferències, una i altra vegada. El llen- El 1981, Jean Morlet, un geòlegque treba- guatge de les ondetes tambéva esdevenir molt llava amb senyals s´ısmics, havia desenvolupat més còmode per als enginyers elèctrics. el que es coneix com a ondetes Morlet, que fun- En els anys vuitanta la revoluciódigital es- cionaven molt millor que les transformades de tava a l’ordre del dia i hi havia una necessitat Fourier. En realitat Morlet i Alex Grossman, un cr´ıtica de trobar algorismes eficients per al pro- f´ısica qui Morlet s’havia apropat per compren- cessament del senyal i la imatge. L’estàndard dre la base matemàtica del que estava fent, van JPEG per a compressiód’imatges va ser desen- ser els primers a usar el terme ondeta (wavelet volupat en aquest moment. El 1987, Ingrid Dau- en anglès) el 1984. Meyer sent´ıparlar d’aquest bechies, una estudiant de Grossman, mentre treball i va ser el primer a adonar-se de la con- visitava el Courant Institute de Nova York i nexióentre les ondetes de Morlet i altres cons- méstard durant el seu treball a l’AT&T Bell truccions matemàtiques anteriors, com ara el Labs, va descobrir una classe particular de filtres treball de Littlewood i Paley utilitzat per a la mirall conjugats amb suport compacte, que no construcciód’espais funcionals i per a l’anàlisi noméseren ortogonals (com els de Meyer) sinó dels operadors singulars en el programa de Cal- que tambéeren estables, i es podien implemen- derón-Zygmund. tar usant idees de filtratge digital ben simples. Meyer va estudiar si era possible construir Les noves ondetes eren senzilles de programar una base ortonormal amb ondetes. (Una base or- i eren funcions suaus, a diferència d’algunes de tonormal éscom un sistema de coordenades en les funcions de salt anteriorment considerades. l’espai de funcions i, com els familiars eixos de Els processadors de senyal tenen ara una eina coordenades, cada funcióde la base és ortogonal fabulosa: una manera de trencar el senyal digital a les altres. Amb una base ortonormal hom pot en contribucions a diverses escales.

60 Combinant les idees de Daubechies i Mallat, anàlisi d’empremtes dactilars, estad´ıstica,anàlisi hom pot fer una senzilla transformacióortogonal numèricai processament de la parla. L’algoris- que pot ser calculada ràpidament pels ordina- me ràpidi estable de Daubechies va ser millo- dors moderns. Les ondetes de Daubechies con- rat posteriorment en un treball conjunt entre verteixen la teoria en una eina pràctica que pot Daubechies i Albert Cohen, un estudiant de ser fàcilment programada i usada per qualsevol Meyer, el qual s’estàutilitzant ara en el nou cient´ıficamb un m´ınim de formaciómatemàtica. estàndard JPEG2000 per a la compressiód’i- El primer article Bourbaki de Meyer va establir, matges i ésavui dia part del conjunt d’eines de fet, les bases del marc matemàticadequat per estàndard per al processament d’imatges i se- a les ondetes. Aixòva marcar el comen¸cament nyals. Tambés’han desenvolupat tècniques per de la moderna teoria d’ondetes. En els últims a la restauraciód’imatges de satèl.lit, basades anys les ondetes han comen¸cat a oferir una alter- en l’anàlisi d’ondetes. nativa interessant als mètodes de transformada Mésrecentment, ha trobat una sorprenent de Fourier. connexióentre els seus primers treballs en el Curiosament, la primera reaccióde Meyer a model de sistemes utilitzats per a la construcció l’obra de Grossman i Morlet va ser I què? Nos- de quasicristalls —els conjunts de Meyer— i la altres els analistes harmònics sab´ıem tot això tècnica del compressed sensing, utilitzada per fa molt de temps!. Peròva mirar el treball a la creaciói reconstrucciódel senyal, usant el una altra vegada i es va adonar que Grossman i coneixement previ que aquest éscompressible. Morlet havien fet alguna cosa diferent i més in- Considerant això,ha desenvolupat un nou algo- teressant. Es va basar en aquesta diferènciaper risme per al processament d’imatges. Una versió formular finalment la seva construccióbàsica. d’aquest algorisme s’ha instal.lat a la missió La construccióde Meyer de les bases ortonor- espacial Herschel de l’Agència Espacial Euro- mals i els seus resultats posteriors a l’àreavan pea (ESA), l’objectiu de la qual ésproporcionar ser el descobriment clau que obre la porta a tots imatges de les estrelles mésantigues i més fredes els nous desenvolupaments matemàtics i apli- de l’Univers. cacions. Meyer va estar al centre de la catàlisi que va reunir matemàtics,cient´ıficsi enginyers Que jo sàpiga, diu Wolfgang Dahmen, per a la construccióde la teoria i els algorismes Meyer mai ha treballat directament en un resultants diu Mallat. problema d’aplicacióconcreta. Aix´ı,les ma- Del treball de Daubechies i Mallat, se n’han temàtiques de Meyer sónbons exemples de com explorat moltes aplicacions, incloent el proces- la investigacióde qüestionsfonamentals de la sament del senyal amb multiresolució, com- matemàticasovint produeixen resultats sorpre- pressiód’imatges i dades, telecomunicacions, nents en benefici de la humanitat. R. Ramachandran

Premi Chern 2010: Louis Nirenberg, Courant Institute of Mathematical Sciences, EUA For his role in the formulation of the modern theory of non-linear elliptic partial diﬀerential equations and for mentoring numerous students and post-docs in this area.

Nirenberg és, sens dubte, un les EDP sónles eines matemàtiquesbàsiques dels analistes més destacats de la ciènciamoderna. Es plantegen en la f´ısica del segle xx. La seva obra ha i la geometria quan els sistemes depenen de tingut una gran influènciaen el diverses variables al mateix temps, i les més desenvolupament de diferents interessants sónno lineals. La importànciade àrees de les matemàtiques i les les EDP és clara si atenem al fet que dels set seves aplicacions. En particu- Problemes del Mil.lenni del Clay Mathematics lar, ha estat un l´ıder en la ma- Institute (CMI), tres sónsobre (o estan relacio- joria dels desenvolupaments de nats amb) EDP. El treball de Nirenberg sobre la teoria d’equacions en derivades parcials (EDP) EDP ésprofund i fonamental. Va desenvolupar lineals i no lineals i àrees relacionades de l’anàlisi; connexions intricades entre anàlisi i geometria

61 diferencial i les va aplicar a la mecànica de fluids que satisfàl’esmentada equacióen un sentit ma- i a d’altres fenòmens f´ısics. temàticdeterminat.) Avui en dia, el mètode La tesi de Nirenberg feia referènciaa una de les diferències de Nirenberg per a provar la qüestiófonamental de la geometria: la solució regularitat a l’interior i a la frontera és part del a un problema d’immersióen geometria dife- que aprenen els estudiants de postgrau en EDP. rencial que Hermann Weyl havia plantejat al Un punt àlgid de la seva recerca en aquest voltant de 1916: donada una mètricarieman- àmbit és l’extensiód’aquest fet, que va dur a niana sobre una esfera unitat, amb curvatu- terme en col.laboracióamb Shmuel Agmon i ra de Gauss positiva, es pot immergir aquesta Avnon Doulis sobre estimacions a priori dels 2-esfera isomètricament en l’espai tridimensio- sistemes el.l´ıptics lineals generals. Aquest ésun nal com una superf´ıcie convexa? La mateixa dels resultats que méss’utilitza de l’anàlisi. Tal tesi fou una finestra als principals interessos com Nirenberg va dir, l’objectiu era obtenir es- de Nirenberg —EDP i especialment EDP el- timacions generals per a sistemes generals sota l´ıptiques. Per donar una resposta positiva a la condicions de contorn generals. De fet, la cita- dif´ıcilpregunta de Weyl, Nirenberg utilitzàles cióper al Steele Prize for Lifetime Achievement, idees de Charles Morrey. Va demostrar el proble- que va rebre de l’American Mathematical Soci- ma reduint-lo a un problema d’EDP no lineals. ety el 1994, deia: Nirenberg és un mestre en Aquesta equaciótambéés una EDP el.l´ıptica. l’art i la ciènciade l’obtenciói aplicaciód’esti- (En EDP el.l´ıptiques, els coeficients satisfan una macions a priori en tots els àmbits de l’anàlisi. desigualtat i tenen aplicacions en gairebétotes Hi ha preguntes essencials sobre la regula- les àrees de les matemàtiques, aix´ıcom nombro- ritat de les equacions de Navier-Stokes, les so- ses aplicacions en la f´ısica. Igual que en el cas lucions de les quals determinen el moviment . general, una EDP el l´ıpticapot tenir coeficients de fluids, que encara estan obertes i constitu- no constants, i ser no lineal. L’exemple bàsic eixen, de fet, un dels Problemes del Mil.lenni . d’una EDP el l´ıptica ésl’equacióde Laplace.) del CMI. Un dels millors resultats d’avui dia Com a matemàtic, J. Mawhin ha assenya- en aquesta direccióés l’estimacióde Nirenberg- lat en el seu recent homenatge a Nirenberg que Caffarelli-Kohn sobre la mesura del conjunt de l’el.lipticitat ésuna paraula clau en el treball singularitats. Nirenberg creu que el problema matemàtic de Nirenberg. Mésd’un ter¸cdels ar- es resoldràaviat, peròrequeriràuna ajuda més ticles de Nirenberg contenen la paraula el.l´ıptic profunda de l’anàlisiharmònica. nomésen el seu t´ıtol, i una fracciómolt més Sobre la base de les estimacions anteriors . gran treballa amb equacions o sistemes el l´ıptics. d’Alberto Calderóni Antoni Zygmund, ell i Jo- Dif´ıcilment hi ha cap aspecte d’aquestes equa- seph Kohn van introduir el concepte d’operador cions que no hagi tingut en compte, ha dit. pseudodiferencial, una generalitzacióde l’ope- . Malgrat la seva varietat, les EDP el l´ıptiques rador de diferenciacióparcial, que ésútil en tenen una teoria ben desenvolupada a la qual l’estudi de la regularitat de les solucions als Nirenberg ha contribu¨ıt en gran mesura. En problemes de contorn el.l´ıptics. Estaven davant el primer any de la seva publicació(1953) va d’un problema que involucrava operadors inte- publicar tres articles més, dos dels quals invo- grals singulars (operadors integrals que no estan . lucraven EDP el l´ıptiques no lineals, a les quals definits en un punt) i necessitaven dades, no va retornar uns anys més tard. presents a la literatura del moment, sobre certes Al llarg dels vint anys següents, amb di- propietats d’operadors integrals singulars. Per versos col.laboradors, va desenvolupar la teoria tant, van desenvolupar el que necessitaven i el de les equacions el.l´ıptiques i va satisfer certs resultat fou la nociód’operador pseudodiferen- criteris de regularitat que ell mateix havia for- cial, de gran utilitat. Aixòva ajudar a generar mulat. Si béja es coneixien demostracions de una enorme quantitat de treballs posteriors en l’existènciai unicitat de solucions febles per aquest camp. Una altra obra important va ser als problemes el.l´ıptics, Nirenberg va abordar la que va fer conjuntament amb Fran¸cois Trèves la qüestió,molt mésdif´ıcil, de quant regular és sobre la resolubilitat d’EDP generals lineals. Hi aquesta soluciófeble. (Una soluciófeble d’una ha tambéaltres resultats destacats en la se- EDP no ténecessàriament definides les deriva- va recerca sobre la regularitat dels problemes des que apareixen en l’equació,peròes considera de frontera lliure amb David Kinderlehrer i Jo-

62 el Spuck. Aquests problemes han trobat una tingales. Mésrecentment, motivat per alguns àmpliagamma d’aplicacions, entre les quals la problemes no lineals de la f´ısica, Nirenberg ha propagacióde flames. tornat a aquest camp i, en col.laboracióamb Tal com s’ha esmentat mésamunt, Niren- Haim Brezis, ha investigat l’espai de funcions . . berg, un pioner en EDP no lineals, ha retornat amb oscil laciómitjana nul la (VMO). Les funci- . la seva atencióen diverses etapes a les equacions ons VMO sónfuncions cont´ınues que s’anul len completament no lineals, per a fer descobriments a l’infinit i l’espai de funcions que formen ésen sorprenents. Un exemple n’és la sèried’articles realitat un subespai de BMO. Nirenberg i Bre- sobre l’existència de solucions suaus de les equa- zis van estendre la teoria del grau en topologia cions de tipus Monge-Ampère, que sónEDP no a les aplicacions de VMO, un resultat que va lineals de segon ordre amb simetries especials, sorprendre els topòlegs. amb Luis Caffarelli i Spuck. L’estudi que fa Ni- Una qüestiófonamental en l’estudi de les renberg de les solucions simètriques d’equacions varietats complexes ésla següent: Quan una el.l´ıptiques no lineals utilitzant mètodes de mo- estructura quasicomplexa ve donada per una es- viment pla amb Basilis Gidas i Wei Ming Ni, i tructura complexa? Una varietat ésun espai més tard amb Henri Berestycki, ésuna enginyo- topològicque pot ser localment descrit en ter- sa aplicaciódel principi del màxim. Mawhin ha mes d’espais méssenzills i ben entesos, com els dit de Nirenberg que ésel Paganini del principi euclidians. Perquèuna varietat sigui una varie- del màxim. Gràcies a les idees i els mètodes tat complexa (on es poden definir les operacions de Nirenberg, aixòs’ha convertit en una bella amb nombres imaginaris) l’existènciad’una es- teoria i ha donat lloc a aplicacions en la teoria tructura quasicomplexa ésnecessària, peròno de la combustió. suficient. (Una varietat quasicomplexa és una Les següents cites famoses de Nirenberg són varietat suau equipada amb una estructura que, indicatives del seu domini del maneig de la no a grans trets, defineix operacions amb nombres linealitat —el problema determina el mètode. imaginaris a cada espai tangent, la varietat dife- En la seva conferència convidada al Congrés renciable associada a cada punt.) Es´ a dir, cada Internacional de Matemàticsd’Estocolm (ICM varietat complexa ésuna varietat quasicomple- 1962), va dir: La majoria dels resultats sobre xa, peròno al revés. problemes no lineals segueixen obtenint a través El 1957, Nirenberg, amb el seu estudiant Au- dels lineals, malgrat el fet que els problemes no gust Newlander, demostràun resultat fonamen- siguin lineals, i no a causa d’això. En la matei- tal que responia una pregunta seva que havia xa conferènciatambéva dir, parlant del resultat estat oberta durant molts anys. Segons Niren- d’algúaltre: El caràcter no lineal de l’equació berg, AndréWeil i Shiing-Shen Chern li havien s’utilitza d’una manera essencial; de fet, obté fet parar atencióal problema de demostrar la resultats gràcies a la no linealitat, i no malgrat condiciód’integrabilitat per a estructures quasi la no linealitat. complexes. La seva resolucióva aplanar el cam´ı L’àmpliagamma d’interessos de Nirenberg per a l’estudi de molts aspectes de les varietats inclou tambégeometria diferencial i topologia, complexes, en particular la teoria de la defor- on va fer tambéimportants contribucions. En mació.Tot i que el problema éslineal, la prova anàlisi harmònica, una funciód’oscil.laciómitja- de Newlander i Nirenberg el redueixen a un sis- na fitada (BMO) ésuna funcióamb valors reals tema d’EDP no lineals, de manera que cada i amb oscil.laciómitjana fitada (ésa dir finita). equacióinvolucra derivades respecte d’una sola Motivat pel treball anterior de Fritz John so- variable complexa. Aquesta tremenda visióde bre elasticitat, Nirenberg, conjuntament amb Nirenberg de les propietats de les EDP i la seva John, va investigar per primera vegada la to- habilitat única per a connectar-les amb l’anàlisi pologia de l’espai d’aquestes funcions, i en va i la geometria envaeixen tots els seus treballs. donar una definicióprecisa. Aquest espai s’ano- Les desigualtats han tingut sempre un atrac- mena de vegades l’espai de John-Nirenberg. Els tiu especial per a Nirenberg, i n’hi ha diverses resultats van ser crucials per al treball poste- d’importants associades al seu nom; un resultat rior de Charles Fefferman sobre aquest espai molt important ésel conjunt de desigualtats de funcions, que s’ha utilitzat posteriorment en de Gagliardo-Nirenberg. La cita de l’AMS les moltes parts de l’anàlisi i en la teoria de mar- va anomenar una joia menor. La passióde

63 Nirenberg per les desigualtats provéde la seva Nirenberg ésreconegut per les seves excel- llarga relacióamb Kurt Friedrichs al Courant lents conferències i per les seves lúcides redac- Institute for Mathematical Science (CIMS) a la cions expositives. Ha publicat més de cent Universitat de Nova York, on Nirenberg va anar vuitanta-cinc articles i ha tingut quaranta-sis a parar desprésde la seva graduacióamb menció estudiants i dos-cents quaranta-cinc descendents en f´ısica i matemàtiques per la Universitat de segons el Mathematics Genealogy Project. En McGill el 1945. Tot i que volia fer f´ısica,gràcies cadascun dels últims deu anys, els quinze articles a un excel.lent professor de f´ısicade McGill, pri- més citats de totes les matemàtiques n’inclouen mer va fer matemàtiques seguint l’assessorament almenys dos de Nirenberg, segons MathSciNet. de Richard Courant. Nirenberg reconeix que Fri- El fet que gairebéel noranta per cent dels seus edrichs va exercir una gran influència sobre ell, i articles estan escrits en col.laboraciómostra com que la seva visióde les matemàtiques estàmolt Nirenberg, durant mésde sis dècades, ha com- influenciada per la de Friedrichs. partit el seu coneixement i comprensiómate- Friedrichs era un gran amant de les desi- màticaamb matemàticsde tot el món.També gualtats i aixòem va influenciar molt. El punt ésmolt generósi presenta amb entusiasme els de vista era que les desigualtats sónmésin- resultats d’altres matemàtics en les seves con- teressants que les igualtats, les identitats, deia ferènciesi articles. Nirenberg en una entrevista a l’AMS. En al- Kohn ha dit: La carrera de Nirenberg ha gun altre lloc, tambéha dit: M’encanten les estat una inspiració,els seus nombrosos estudi- desigualtats. Aix´ıque si algúme’n mostra una ants, col.laboradors i col.legues han après molt de nova, li dic: Oh! que bonic, deixa-m’hi pen- d’ell. A part de les matemàtiques, Nirenberg sar. Tot i que volia fer el seu doctorat sota ens ha ensenyat a tots a gaudir dels viatges, la direccióde Friedrichs, va acabar fent-lo amb el cinema i la gastronomia. Una apreciaciójus- Jim Stoker i el va acabar el 1949. Peròla in- ta de Nirenberg ha d’incloure tambéel seu sentit fluència de Friedrichs és clarament visible en de l’humor, sempre present. El seu humor ésin- l’eleccióde problemes per part de Nirenberg, contenible, per la qual cosa en certes ocasions sovint procedents de la f´ısica.Ell no fa distinció arriba a la pàgina impresa. entre matemàticapura i matemàticaapli- cada, una actitud que ésel resultat de tota la En l’entrevista a l’AMS, Nirenberg va dir: seva carrera al CIMS on només hi ha matemà- Vaig escriure un article amb Philip Hartman, tiques, i la gent s’interessa en problemes purs o que era elemental peròmolt divertit. Aixòésel aplicats, una herència de Courant i Friedrichs. que intento transmetre a la gent que no sap res Encara que Nirenberg diu d’ell mateix que és de matemàtiques, com en sónde divertides que més un solucionador de problemes que no pas un són!Una de les meravelles de les matemàtiques creador de teories, el seu enfocament dels pro- ésque vas a qualsevol lloc del móni coneixes blemes ha donat lloc a la formulacióde teories altres matemàtics i éscom una gran fam´ılia. senceres en diferents àrees de les matemàtiques. Aquesta gran fam´ılia ésuna joia meravellosa.

R. Ramachandran

Entrega del Premi Albert Dou

Com ja sabeu, la Junta de la SCM decid´ıcon- que els mateixos especialistes, i a promoure tot vocar el Premi Albert Dou, en record del pare el que pugui ajudar a l’extensiódel prestigi de Dou, que ens deixàfa ja un temps. Aquest pre- la matemàtica a la nostra societat. Es vol que mi, com es diu a les seves bases, ésper a treballs tingui una periodicitat biennal. inèdits o publicats en els darrers dos anys que A la primera ediciós’hi presentaren tretze contribueixin a fer visible la importància de les treballs, fet que es pot considerar un èxit. El Ju- matemàtiques en el nostre món, a transmetre el rat comentàl’alta qualitat de tots els treballs, i coneixement matemàtica un públic més ampli la dificultat que tinguéper a triar el guanyador.

64 Finalment decid´ıpremiar Rosario Delgado pel d’èxit en el tractament de les xarxes de telefonia treball: Matemàtiques i Internet: 101 anys de fixa a través de les quals noméss’enviava la veu, teoria de cues. ja no serveixen per a tractar el problema que La SCM agraeix a tots els autors dels tre- presenten les xarxes de comunicacions actuals balls la seva participació,i tambéals membres que permeten la transmissiód’informacióen dis- del jurat la tasca duta a terme. tintes formes. Ens presenta tambéun model per El premi s’entregàa la guanyadora durant a aquest nou marc de transmissió,elaborat pels l’assemblea de socis celebrada el novembre, la investigadors W. Willinger i M. S. Taqqu, en el mateixa en la qual se celebraren les eleccions per qual utilitzen el procésde moviment brownià 1 a la nova Junta. Creiem que aprofitar l’assem- fraccionari amb paràmetre de Hurst H > 2 , el blea per fer l’acte d’entrega incrementa la seva qual és un procésautosimilar i amb memòria visibilitat dins la nostra comunitat matemàtica, llarga. Tots aquests conceptes sónintrodu¨ıts i el fa tambémésentranyable, ja que incorporar- i explicats, de manera clara i entenedora, en lo a l’acte conjunt d’entrega de premis que l’IEC l’article premiat. celebra per Sant Jordi el deixaria dilu¨ıtentre El treball guanyador s’ha publicat en el But- un munt d’altres guardons convocats per l’IEC llet´ı, vol. 25, núm. 2 de la SCM. Deixeu-me i les societats filials. dir que encara que no he estat membre del ju- Rosario ens explica en el seu treball que rat, l’he llegit i l’he trobat molt interessant. Us els models probabilistes que havien tingut tant convido a llegir-lo, si encara no ho heu fet. Josep Llu´ısSolé UAB

Racóbiogràfic Recordant Joseph Liouville en el 202 aniversari del seu naixement

A Joseph Liouville (1809- dents, etc. La vida de Liouville transcorregué 1882) se’l coneix generalment al llarg del segle xix juntament amb Cauchy en pel seu resultat en variable la seva primera part i Charles Hermitte en la complexa que afirma que tota segona. funcióholomorfa i fitada del Aquest any 2011 és el 202 aniversari del camp complex ha d’ésser ne- seu naixement i en aquest racóbiogràfic de la cessàriament una funciócons- SCM/Not´ıcies el recordarem exposant alguns tant. L’aplicaciód’aquest teo- dels trets essencials de la seva trajectòriavital, rema a una funciópolinòmica proporciona una anticipant que aquesta no tévistoses traces vi- demostracióbreu i elegant del teorema fonamentals com les que podem trobar a Arquimedes, tal de l’àlgebra. PeròLiouville témolts altres Cardano, Galois o Noether, per citar només al- resultats en el seu extens curr´ıculum de recerca; guns exemples. La vida de Liouville, tot i que la seva produccióes troba repartida al llarg d’u- el segle xix va ser pol´ıticament complex per nes quatre-centes publicacions. Fou creador del als francesos, va transcórrer sense entrebancs ni càlcul diferencial fraccionari, caracteritzàaque- serioses dificultats econòmiques que l’impedissin lles funcions les primitives de les quals poden dedicar-se exclusivament al mónacadèmic i, en expressar-se com una combinacióde les fun- particular, a les matemàtiques. Joseph Liouville cions elementals, fou creador juntament amb va viure setanta-tres anys i, en aquest temps, Sturm de la teoria espectral per equacions di- Fran¸cava passar de ser un imperi amb Napoleó ferencials de segon ordre, féu interessants apor- Bonaparte, a ser altra vegada una monarquia tacions a l’estudi de les funcions el.l´ıptiques, a amb la restauraciódels Borbons: Llu´ısXVIII l’estudi de les equacions integrals, a la mecànica (1814, 1824) i Carles X (1824-1830). El govern hamiltoniana, a la teoria dels nombres transcen- reaccionari de Carles X va portar cap a la re-

65 volucióde 1830, una conseqüènciade la qual Cauchy, que llavors tenia trenta-sis anys, n’e- fou la destituciódels Borbons i la instauració ra professor. El curs de càlcul que donava el d’una nova monarquia de caire lliberal en la fonamentava sobre el concepte de l´ımiti era persona de Llu´ısFelip d’Orleans. Peròel 1848 presentat de manera ben diferent als cursos pre- una nova revolucióportàla destitucióde Llu´ıs cedents de Lacroix i Lagrange. Aquests cursos Felip d’Orleans i la proclamaciód’una república de Cauchy marcarien l’estil en quèa partir de (la segona) que fou presidida per Llu´ısNapoleó, llavors es tractaria l’anàlisi matemàtica. Cauchy, nebot de NapoleóBonaparte. Aquesta república però,no va ser professor de Liouville, sinóque durànomés tres anys ja que el 1851, mitjan¸cant ho va ser André-MarieAmpère, que compar- un cop d’estat, el mateix Llu´ıs Napoleóimposà tia amb Cauchy els nous mètodes per ensenyar de nou un imperi als francesos sota el seu manel càlcul infinitesimal. Liouville estava satisfet dat amb el nom de NapoleóIII. Aquest segon amb les classes d’Ampère i va assistir també imperi va durar fins al 1871, any en quèes pro- a un curs d’electrodinàmicaque Ampèredona- clamàla Tercera República, que duraria fins al va al CollègeRoyal, el futur Collègede France. 1940. Els primers treballs de Liouville serien sobre Claude-Joseph Liouville, el pare de Joseph i electrodinàmica i teoria de la calor. fill d’una fam´ılia acomodada oriünda de la re- L’any 1827, Liouville va decidir que seria giófrancesa de La Lorraine, es va casar amb enginyer de camins i va ingressar a l’Ecole´ des Thérèse Balland, que tambépertanyia a una Ponts et Chaussées. Ara bé, quan ja acabava fam´ılia benestant d’aquella regiódel nord-est els estudis d’enginyeria, per por de no tenir una francès. El matrimoni vivia a Toul, ciutat prope- salut prou forta per aguantar els rigors climàtics ra a Nancy, quan van tenir el seu primer fill Fèlix. que havien de suportar els enginyers de camins Poc després,Claude-Joseph, que era capitàde en l’exercici de la seva professió,va decidir que l’exèrcit napoleònic, va haver de mudar-se a es dedicaria a les matemàtiques. Curiosament, Saint-Omer, una ciutat del nord-oest propera Cauchy va estudiar primer a la Polytechnique a Bèlgica i ésen aquest indret on nasquéel i méstard ho va fer a l’Ecole´ des Ponts et seu segon fill, el futur matemàticJoseph Liou- Chaussées, però,havent comen¸cata treballar ville. Al cap d’uns anys, la fam´ıliaLiouville va com a enginyer de camins, ho va haver de deixar retornar a Toul i ésen aquesta ciutat on Li- per motius de salut, ja que no suportava la feina ouville va anar a l’escola fins als quinze anys. a l’exterior. Al voltant d’aquesta època va decidir ingressar El 1830 ésl’any en quèmor Fourier; Lagran- ´ a l’Ecole Polytechnique peròper poder entrar- ge havia mort el 1813, Laplace el 1827 i Legendre hi calia tenir un cert nivell de matemàtiques moriria el 1833. Aquest any 1830 Fran¸cas’ai- i, per aquesta raó,va marxar a Par´ısun any xeca contra el govern summament reaccionari abans per anar al CollègeSt. Louis, que era de Carles X, el rei abdica i es dónapas a una el lloc adient per adquirir un bon coneixement monarquia de caire lliberal amb Llu´ısFelip d’Or- bàsicde matemàtiques. Durant l’any que va leans, que no era de la dinastia dels Borbons. estudiar al CollègeSt. Louis, Liouville, a més Cauchy, fidel a tot allòque representava Car- d’assistir a les classes ordinàries i per tal d’es- les X, abandona Fran¸caamb quaranta-un anys, tar al dia, llegia pel seu compte els Annales i inicia aix´ıun exili voluntari que l’allunyaràdu- de Mathématiques Pures et Appliquées de Diaz rant vuit anys del seu pa´ısi que li va fer deixar Gergonne. Cal destacar que durant aquest any tots els càrrecs acadèmics. Liouville es casa amb va iniciar un bloc de notes on escrivia totes les vint-i-un anys amb una cosina de la seva mare, idees, comentaris i observacions que li venien Marie-Louise Balland, i inicia llavors una llarga al cap sobre les matemàtiques.Aquest bloc de carrera acadèmica que no seràinterrompuda fins notes que va utilitzar tota la seva vida es conser- a la seva jubilació. va a la Bibliothéquede l’Institut de France i és ´ . Liouville comen¸ca treballant a l’Ecole Poly- una font d’informacióexcel lent per entrar dins technique com a répétiteur i el 1833 és nomenat el mónmatemàtic de Liouville i la comunitat lector a l’Ecole´ Centrale des Arts et Manufactu- matemàticaque l’envoltava. res, una escola inaugurada el 1829 i dedicada a L’any 1825, amb setze anys, Liouville va in- la formaciódels enginyers que volien treballar gressar a l’Ecole´ Polytechnique. Augustin-Louis al sector privat, ja que l’Ecole´ Polytechnique

66 estava dirigida al sector públic. En l’exercici de men¸car a editar l’any 1836. Aquesta revista ma- la seva professiódocent, Liouville, de la mateixa temàtica tenia com a antecedent la revista que manera que abans ho havia estat Cauchy, va ser el 1810 havia creat Joseph Diaz Gergonne amb criticat pel fet d’ensenyar unes matemàtiques el nom d’Annales de Mathématiques Pures et massa teòriques, d’un nivell massa elevat i amb Appliquées i que es coneixia com els Annales poca aplicacióa l’enginyeria. Tambéal voltant de Gergonne. El 1826, el matemàticalemany d’aquesta època comen¸caa publicar en revistes August Leopoldo Crelle, emulant la revista de cient´ıfiques, envia memòriesa l’Académie des Gergonne, va crear el Journal fürdie reine und Sciences de Par´ısper aconseguir ser admèscom andgewandte Mathematik, conegut com el Jour- a membre i es presenta al Grand Prize de l’A- nal de Crelle. Aquesta revista alemanya va ad- cadémie de l’any 1830, premi al qual tambés’hi quirir un gran prestigi i va superar amb escreix presentava Galois (amb dinou anys). El premi, fi- els Annales de Gergonne. Per això,quan Ger- nalment, va ser concedit a Jacobi pel seu treball gonne va deixar de publicar els Annales el 1832, sobre funcions el.l´ıptiques i a t´ıtolpòstuma Abel, Liouville es va proposar la creaciód’una revista que havia mort l’any anterior a l’edat de vint-i- matemàticafrancesa capa¸cde competir amb sis anys. En els seus inicis com a investigador, l’alemanya Journal de Crelle i ho va aconseguir: Liouville va crear el càlculdiferencial fracciona- va sorgir el Journal de Liouville, que encara es ri amb la finalitat de resoldre certes equacions publica avui dia. Un fet important relacionat integrals lligades a la resolucióde problemes amb aquesta revista és que Liouville va ser el f´ısics relacionats amb la interaccióelemental primer matemàtic que s’adonàdel valor que te- microscòpica. Liouville va trobar que les interac- nia l’obra de Galois, que fins llavors no havia cions microscòpiquespodien ser representades estat llegida. Decid´ıpublicar-la al Journal l’any per funcions que eren solucióde certes equacions 1846 i, sis anys més tard, el matemàtic italiàEn- integrals i que aquestes equacions integrals po- rico Betti va publicar comentaris sobre aquests dien ser transformades en equacions diferencials treballs de Galois. Fou d’aquesta manera que d’ordre fraccionari i d’aqu´ıla importància de l’obra de Galois es va comen¸car a divulgar entre crear un càlculamb operadors diferencials d’or- la comunitat matemàtica. dre arbitrari. Tambéen aquesta època del 1832, A la dècada del 1830, Liouville aconsegu´ı Liouville va proposar-se caracteritzar les funci- el càrrec de suppléant al prestigiósCollègede ons que admetien primitiva expressable com a France. El càrrec consistia a substituir un pro- combinaciófinita de funcions elementals. Pois- fessor de plantilla que, per la seva edat, ja no son, membre de l’Académie des Sciences, va fer podia assumir tot el càrrec, cas en quèel suplent un gran elogi d’aquest treball sobre la integració cobrava un ter¸cdel salari del professor titular. en termes finits i li va suggerir que aprofund´ıs Cauchy tambéhavia fet de suppléant al mateix en el tema donant-li algunes indicacions. A par- Collège de France. Més tard, el 1838, aconsegu´ı tir d’aqu´ıva haver-hi una bona relacióentre ser professor d’anàlisi matemàticai mecànica a Poisson i Liouville, que naturalment havia d’a- l’Ecole´ Polytechnique. L’any 1839 cobr´ıuna va- favorir el segon donada la rellevànciade Poisson cant a la secciód’astronomia de l’Académie des en el mónmatemàtic francès d’aquells moments. Sciences i efectuàalguns treballs en mecànica A proposta de Poisson, Liouville tambéva re- celeste. L’any 1940 fou nomenat membre del soldre problemes relacionats amb la teoria del Bureau des Longitudes, una instituciócient´ıfica potencial. Aquest últim treball de Liouville fou creada el 1875 que es dedicava a l’observacióas- altament reconegut pels matemàtics contempo- tronòmicai a la geodèsia;fou aquesta institució ranis, més que no pas els dos anteriors sobre el la que es va encarregar d’establir un sistema uni- càlcul fraccionari i la integracióen termes finits, versal de pesos i mesures que, en particular, va ja que aquests últimsintrodu¨ıen idees massa donar lloc a l’establiment del metre com a unitat innovadores i, per tant, mésdif´ıcilsd’entendre de longitud. Liouville fou nomenat membre cor- per a una gran majoria. responent de l’Acadèmiade Berl´ına proposta Fora del camp de la recerca, una de les de Dirichlet. D’aquesta manera, amb trenta-un tasques més meritòries de Liouville fou la anys, Liouville ja havia assolit molt bones posici- creacióper iniciativa privada del Journal de ons acadèmiques, tot i aix´ıell desitjava una més Mathématiques Pures et Appliquées, que va co- bona estabilitat professional, aspirava a alguna

67 càtedra. Quan, el 1838, li va arribar l’ocasióde derat d’una gran quantitat de valuosos llibres i cobrir una càtedra vacant al Collège de France, manuscrits, la qual cosa va fer que abandonés va resultar que feia poc Cauchy havia tornat Fran¸cai que, per tant, quedésvacant la seva del seu exili voluntari i tambévolia aquesta ma- càtedraal Collègede France. Aquesta vegada, teixa càtedra (Cauchy havia perdut les seves tot i que Cauchy s’hi va tornar a presentar, la posicions acadèmiques en abandonar Fran¸ca). càtedra va ser concedida a Liouville que, llavors, Davant d’aquest notable adversari, Liouville va va deixar l’Ecole´ Polytechnique. Durant gran decidir no presentar-s’hi, peròllavors va resultar part de la dècada del 1850, Liouville va seguir que la càtedra va ser concedida al matemàtic publicant interessants resultats i va ajudar noves Guglielmo Libri, un comte italià resident a figures de la matemàticafrancesa, en particular Fran¸cai membre de l’Académie que, no sent ni Charles Hermitte, que esdevindria un dels grans de lluny de la talla de Cauchy, s’havia procurat matemàticsde la segona meitat del segle xix. l’amistat d’influents personatges de la societat Amb el pas del temps la produccióde Li- francesa del moment. D’altra banda, Cauchy no ouville va anar minvant. A partir del 1857, va era gens ben vist a causa del seu tarannàpol´ıtic comen¸cara patir forts dolors de gota i artritis af´ıa l’antic règim. Liouville tampoc compar- que sovint l’obligaven a anul.lar classes i con- tia les idees pol´ıtiques de Cauchy, peròli tenia ferències. Els seriosos problemes de salut de un gran respecte i admiraciócom a matemàtic Liouville no li van fer gens agradable l’últim i, davant d’aquesta injust´ıcia, Liouville va de- tram de la seva vida. Liouville mor´ı el 8 de cidir deixar el Collègede France en senyal de setembre del 1882. La seva tomba es troba al protesta. cementiri de Montparnasse de Par´ıs. Quan l’any 1848, desprésde la revolta de febrer que va fer caure la monarquia de Llu´ıs La vida i obra de Liouville ha estat pro- Felip, Fran¸cainstauràuna república (la segona), fundament estudiada per Jesper Lützeni fruit Liouville va decidir entrar a la pol´ıtica com a re- d’aquest estudi ésel seu magn´ıficllibre Joseph publicàmoderat. Va aconseguir formar part de Liouville 1809-1882, master of pure and applied l’assemblea constituent, peròno entràa formar mathematics, publicat el 1990 per Springer. part de l’assemblea legislativa i, a més, el seu Aquest llibre téunes vuit-centes pàgines i re- partit, l’any següent, va ser derrotat pel partit quereix el seu temps, peròmereix l’esfor¸cper del futur NapoleóIII. Aleshores, Liouville va part de qui estigui interessat en el desenvolupa- abandonar la pol´ıtica i va dedicar-se al món ment de la matemàtica francesa del segle xix. acadèmic que li era propi. Tanmateix, va quedar Si el que es vol ésuna lectura senzilla i breu ressentit d’aquest fracàsdel seu partit. Llavors de la vida de Liouville, podeu llegir Remarkable es va descobrir que Libri havia abusat de la confi- mathematicians de Ioan James, publicat el 2002 an¸ca que li havien dipositat les autoritats corres- per Cambridge University Press. I hom pot sem- ponents en nomenar-lo inspector d’importants pre posar Liouville en el Google per obtenir biblioteques franceses el 1841. Libri s’havia apo- una pluja d’informació.

Eduard Recasens Gallart UPC

Webs de matem`atiques Llibres electr`onics

En l’era digital en la qual ens trobem, el material de matemàtiques no han de ser una excepció. en format electrònic comen¸caja a ser totalment Farem una petita repassada a alguns llibres que habitual i tothom es prepara per a un futur en el estan disponibles a la xarxa i donarem algunes qual la gran majoria de continguts circularan en adreces de webs a travésde les quals es pot forma de bits i electrons en lloc de tinta i paper accedir a llibres electrònics. (no hi hem arribat ja?). I per tant, els llibres

68 Val a dir, també,que un dels grans proble- 1482. Igualment, hi ha el manuscrit de Riemann mes que comporta la distribucióde material a de 1859 on formula la seva hipòtesi i els Klein través d’Internet ésel de la propietat intel.lec- Protokolle, els apunts del seminari que va dirigir tual. Lluny de voler fer apologia de la pirateria Felix Klein a Göttingenentre 1872 i 1912. . i de la còpiail legal, intentarem restringir-nos Un altre llibre que ha estat famósper la a llibres que no tenen problemes de distribució seva distribuciógratu¨ıta a través d’Internet és ja sigui perquèa causa de la seva antiguitat ja el llibre clàssic de Herbert Wilf Generatingfunc- sónde domini públic o béperquèels mateixos tionology. Aquest llibre ésun tractat de com- autors l’han posat a disponibilitat de tothom a binatòriades del punt de vista de les funcions travésdel web. generatrius de successions d’enters i ésun dels Els Elements d’Euclides és un dels lli- llibres seriosos de matemàtiquesmésagrada- bres que està disponible per descàrrega en bles de llegir que he trobat mai. Es´ accessible diverses edicions. Una traduccióa l’anglès, de en PDF normal i en PDF amb enlla¸cos, ésa Richard Fitzpatrick, amb el text grec a l’es- dir, que pots navegar a travésdel llibre simple- querra i l’anglèsa la dreta, es pot trobar a ment fent clic als enlla¸cos. El podeu trobar al http://farside.ph.utexas.edu/euclid/Elements.pdf, web de l’autor http://www.math.upenn.edu/˜wilf/ peròsense cap nota al peu de pàginani ex- DownldGF.html. plicació de res. En canvi, l’edició clàssica de Thomas L. Heath, amb una gran re- Una petita cerca a Google us permetrà cerca històrica i gran quantitat de notes i trobar webs amb llargues llistes de lli- explicacions, es pot trobar directament en bres de matemàtiques per a descàrrega. A HTML a http://www.perseus.tufts.edu/hopper/ http://rinconmatematico.com/libros.htm hi ha text?doc=Euc.+1, encara que, malaurada- mésde cinc-cents llibres de matemàtiques en ment, sense les figures. Aquesta edicióperò castellàdisponibles, la majoria obtinguts di- amb figures és accessible a Google books rectament dels webs dels autors. Com a exem- (http://books.google.com/). ples tenim el d’Allen Hatcher Algebraic topo- Un dels esfor¸cos mésinteressants que es logy, Graph theory de Reinhard Diestel o el de fan en aquesta direccióésel del Clay Mat- Grinstead-Snell Introduction to probability. Fins hematics Institute (famósper haver ofert un i tot alguns clàssics com Théorie des opérations milióde dòlarsper als Problemes del Mil.len- linéaires de Stefan Banach, de 1932. ni). Aquesta institució, ubicada a l’àrea de Una altra llista que en contéuns nou-cents Boston a la vora de Harvard, técom a ob- és http://www.e-booksdirectory.com/ mathema- jectiu incrementar i divulgar el coneixement tics.php, entre els quals hi ha l’antic Demidovich matemàtic i una de les coses que fa per de problemes d’anàlisi, o Introduction to mathe- dur-ho a terme és la divulgació de les ma- matical philosophy de B. Russell. Com us dic, el temàtiquesmésclàssiques en les edicions més móndel llibre de matemàtiquesno estàexempt antigues possible o béoriginals. A la seva web dels aven¸costecnològicsi de la revolucióque re- http://www.claymath.org/library/historical/ po- presenta el móndigital amb els llibres en format dreu trobar una ediciófacs´ımilde l’edicióma- electrònic, els lectors portàtils o les modernes nuscrita en grec més antiga que es coneix, la tauletes. Val la pena que afegim a la nostra llista de la Bodleian Library d’Oxford (de l’any 888), de preferits del navegador adreces com aquestes, i la primera edicióimpresa, en llat´ı, de l’any d’on en podem obtenir for¸cad’interessants.

Josep Burillo UPC

69 Problemes

En el número anterior de la SCM/Not´ıcies fèiem festa grossa perquèhav´ıem arribat a proposar el problema centè.En aquest número,gràciesa la valuos´ıssimai desinteressada feina dels nostres lectors, en publiquem la solució.Peròaixòno completa la festa perquè,tot i que sóncent els enunciats proposats, només sónnoranta-vuit les solucions rebudes (i publicades). En efecte, el problema B47, un enunciat de geometria esfèrica amb caire d’homenatge personal, i l’A64, publicats a la SCM/Not´ıcies14 i 20, respectivament, encara no han estat resolts. La vida segueix, però,i ara proposem quatre problemes més, dos dels quals provenen dels nostres fidels col.laboradors JoséLuis D´ıaz-Barrero i Xavi Ros Otón, tots dos de la UPC, Barcelona. Del mateix Xavi Ros és la solucióque publiquem del problema A97, l’única rebuda. Del problema A98 n’hem rebudes dues: una del mateix Xavi Ros i l’altra, que publiquem, d’en Joaquim Nadal i Vidal, de l’IES de Cassàde la Selva. Amb el problema A99 hem tingut menys sort i no n’hem rebut cap soluciócorrecta, cosa que ens ha portat a publicar la soluciódonada pel mateix proponent. Finalment, en Joaquim Nadal i Vidal aporta l’única soluciórebuda del problema A100. A tots ells, proponents i resolutors, molt´ıssimes gràcies! Acabem aquest exordi tot recordant-vos que, si treballeu amb TEX o LaTEX, ens feu for¸ca més planera la feina d’elaborar aquesta secció,tot i que aportacions en qualsevol altre format, també manuscrits, sónigualment ben rebudes. Les adreces de correu per enviar-nos-les són [email protected] o bé [email protected]. Fins aviat!

Problemes proposats

A101. (Proposat per JoséLuis D´ıaz-Barrero, A103. (Proposat per Xavi Ros Otón,FME- UPC, Barcelona.) Siguin a, b i c tres nombres UPC.) Siguin R i r els radis de les circum- positius amb ab + bc + ca = 1. Demostreu que ferències inscrita i circumscrita a un triangle. r Proveu que 4 a a2 + b2 + c2 a2 3 + R A b + c ≥ , 2r H !3 r b r c 1 + b2 3 + c2 3 ≥ . expressióen què A i H representen, respec- c + a a + b 2 tivament, la mitjana aritmètica i la mitjana A102. (D’una olimp´ıada de fa molts, molts harmònica dels costats del triangle. anys.) Sigui a un nombre real fixat i sigui A104. (Proposat per la redacció.)Tenim un f : R → R una funcióque compleix quadrilàter en el pla i constru¨ım quadrats sobre 1 p f(x + a) = + f(x) − (f(x))2 els seus costats a l’exterior d’aquest quadrilàter. 2 Demostreu que els segments que uneixen els cen- per tot nombre real x. Demostreu que f ésuna tres de quadrats constru¨ıts sobre costats oposats funcióperiòdicai doneu-ne un exemple pel cas del quadrilàtersónperpendiculars i de la matei- a = 1. xa longitud.

70 Solucions

A97. (Proposat per JoséLuis D´ıaz-Barrero, i, en sumar les desigualtats (3) i (4) obtenim UPC, Barcelona.) Siguin a, b i c les longituds (2) i, per tant, (1). dels costats d’un cert triangle 4ABC amb r i D’ara en endavant suposarem sense pèrdua R com a radis respectius de les circumferències de generalitat que a ≥ b ≥ c. Això i el inscrita i circumscrita en aquest triangle. De- fet que a, b i c sóncostats d’un triangle, que fa mostreu que que a+b > c, que b+c > a i que c+a > b, dóna a + b b + c c + a 1 + + > . c3 + abc a3 + abc b3 + abc r2 + R2 (a − b)(a + b − c) > 0 , (b − c)(b + c − a) > 0 i, per tant, Solució: (Solucióde Xavi Ros Otón,FME- UPC.) A continuaciódemostrarem que c2 + ab ≤ b2 + ca ≤ a2 + bc. a + b b + c c + a 1 + + ≥ A més, c3 + abc a3 + abc b3 + abc R2 a + b ≥ c + a ≥ b + c és una desigualtat mésforta que la de l’enunciat. Demostrarem en primer lloc que, si X ≥ i podem, doncs, aplicar la desigualtat (1) amb Y ≥ Z i X0 ≤ Y 0 ≤ Z0, aleshores a + b c + a b + c X Y Z X + Y + Z X = ,Y = ,Z = + + ≥ 3 . (1) c2 + ab b2 + ca a2 + bc X0 Y 0 Z0 X0 + Y 0 + Z0 0 0 0 i Multiplicant la desigualtat per X + Y + Z 0 0 0 veiem que ésequivalent a X = c , Y = b , Z = a X Y per obtenir (−2X0 + Y 0 + Z0) + (X0 − 2Y 0 + Z0)+ X0 Y 0 a + b b + c c + a Z 0 0 0 + + ≥ + (X + Y − 2Z ) ≥ 0 . (2) 3 3 3 Z0 c + abc a + abc b + abc a + b c + a b + c 0 0 0 Però,en ser X ≥ Y ≥ Z i X ≤ Y ≤ Z , 2 + 2 + 2 ≥ 3 c + ab b + ca a + bc . (5) tindrem que a + b + c X Y Z ≥ ≥ , X0 Y 0 Z0 Ara tornem a aplicar la desigualtat (1), però amb i X Y Z (Y 0 − X0) + (Z0 − Y 0) + (X0 − Z0) = X = a + b , Y = c + a , Z = b + c X0 Y 0 Z0 XY 0 YZ0 ZX0 i = − X + − Y + − Z = X0 Y 0 Z0 XY 0 YZ0 ZX0 X0 = c2 + ab , Y 0 = b2 + ca , Z0 = a2 + bc . = − X + − Y + − (3) X0 Y 0 Z0 YX0 YX0 Resulta − Z + 0 − 0 = Y Y a + b c + a b + c X Y + + ≥ 0 0 c2 + ab b2 + ca a2 + bc = 0 − 0 (Y − X )+ X Y 2(a + b + c) Y Z ≥ 3 (6) + − (Z0 − X0) ≥ 0 . a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca Y 0 Z0 i, per tant, en substituir (6) a (5), obtenim Anàlogament, X Y a + b b + c c + a (Z0 − X0) + (X0 − Y 0)+ + + ≥ X0 Y 0 c3 + abc a3 + abc b3 + abc Z 18 + (Y 0 − Z0) ≥ 0 . (4) ≥ Z0 a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca

71 i, finalment, com que ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2, Solució: (Solucióde Joaquim Nadal i Vidal, de tindrem que l’IES de Cassàde la Selva..) Tenim a + b b + c c + a 9 0,0000000001p0, 0000000001 = + + ≥ c3 + abc a3 + abc b3 + abc a2 + b2 + c2 1 10 = 0, 0000000001 0,0000000001 = 0, 000000000110 . i, per tant, basta demostrar que Observem que només que elevem 0.0000000001 a2 + b2 + c2 ≤ 9R2 . al quadrat ja obtenim un nombre amb 2·10 = 20 decimals (19 zeros i un u) i, com és obvi, en ele- Però,pel teorema dels sinus, tenim que var a 1010 obtindrem un nombre amb 1010 ·10 = 11 a b c 10 decimals, que seran tots zeros menys l’últim, = = = 2R que seràun u. Per tant, els deu primers decimals sin A sin B sin C √ de 0,0000000001 0, 0000000001 sóntots zeros. i, per tant, Quant a la segona qüestió,tenim

a b c 1,0000000001p = sin A, = sin B, = sin C 1, 0000000001 = 2R 2R 2R 1 = 1, 0000000001 1,0000000001 . i, aleshores, tenim x 2 2 2 Considerem ara la funció f(x) = a , amb a > 1. a + b + c 0 x = sin2 A + sin2 B + sin2 C Es´ clar que, per a tot x ∈ R, f (x) = a ln a > 0 4R2 i, per tant, la funcióéscreixent a tot R. Això i el que volem demostrar s’expressa ara aix´ı: vol dir que, si 0 < b < 1, aleshores, a0 = 1 < ab < a1 i, si apliquem aquesta desigualtat amb 9 sin2 A + sin2 B + sin2 C ≤ . a = 1, 0000000001 i b = 1/1, 0000000001 < 1, 4 tindrem 2 2 Ara, fent servir que sin x = 1 − cos x i posant 1 1 < 1, 0000000001 1,0000000001 < 1, 0000000001 , cos A, cos B i cos C en funciódels costats del triangle, segons el teorema del cosinus, es pot cosa que mostra que els deu primers decimals comprovar, desprésde llargs càlculs,que de

1,0000000001p sin2 A+sin2 B+sin2 C =2+2 cos A cos B cos C. 1, 0000000001 = 1 Si el triangle ésobtusangle, cos A cos B cos C < = 1, 0000000001 1,0000000001 0. Altrament, usant la desigualtat entre les mit- sóntots zeros. janes geomètrica i aritmèticai la convexitat de A99. (Proposat per Xavi Ros Otón,estudiant, la funciócos a l’interval [0, π/2], obtenim que FME, UPC.) Sigui {an} una successióde nom- cos A + cos B + cos C 3 bres reals positius i sigui x > 0. cos A cos B cos C ≤ ≤ X a1 ··· an−1 3 a) Proveu que la sèrie (x + a1) ··· (x + an) 3 ésconvergent. A + B + C 3 π 1 ≤ cos = cos = b) Proveu que, si P 1 divergeix, aleshores 3 3 8 an ∞ i, per tant, X a1 ··· an−1 1 = . (x + a1) ··· (x + an) x sin2 A + sin2 B + sin2 C = n=1 1 9 = 2 + 2 cos A cos B cos C ≤ 2 + 2 = Solució: (Soluciódel proponent.) En primer 8 4 lloc, demostrarem que tal com vol´ıemdemostrar. a1 ··· an La igualtat s’esdevé quan el triangle és = (x + a1) ··· (x + an+1) equilàter. a1 ··· an A98. (Proposat per Enric Ventura, UPC, = − x(x + a ) ··· (x + a ) Manresa.) Quins són els deu primers de- 1 n √ cimals de 0,0000000001 0, 0000000001? I els de a1 ··· an+1 √ − , 1,0000000001 1, 0000000001? x(x + a1) ··· (x + an+1)

72 amb la qual cosa la sèrieseràtelescòpica. En per tant, el productori divergeix si, i només efecte, si, aquesta sèriedivergeix. Finalment, com que log(1 + x) ∼ x, la sèriedivergeix si, i noméssi, a1 ··· an − P x divergeix, i el productori inicial val zero x(x + a ) ··· (x + a ) an 1 n si, i només si, a ··· a − 1 n+1 = X 1 x(x + a1) ··· (x + an+1) an

a1 ··· an(x + an+1) − a1 ··· an+1 divergeix, tal com vol´ıem veure. = = x(x + a1) ··· (x + an+1) A100. (Proposat per Pelegr´ıViader i Canals, a ··· a x UPF, Barcelona.) Fent servir únicament una mo- = 1 n = x(x + a1) ··· (x + an+1) neda, com poden, tres amics, decidir qui paga a ··· a les begudes? = 1 n . (x + a1) ··· (x + an+1) Solució: (Solucióde Joaquim Nadal i Vidal, de l’IES de Cassàde la Selva.) Es´ clar que, amb una Aix´ı, tenim que sola moneda, noméspodem fer sèries de diverses N tirades i assignar resultats que tinguin la ma- X a1 ··· an−1 = teixa probabilitat a cadascun dels amics. Però (x + a ) ··· (x + a ) n=1 1 n aixòésimpossible, perquèamb n tirades tenim 1 a ··· a 2n resultats, quantitat que no ésmai múltiple = − 1 N = x x(x + a1) ··· (x + aN ) de tres. N Aixòno obstant, tenim una manera fàcil de 1 1 Y an = − resoldre l’embolic: tirem la moneda dues vega- x x x + a n=1 n des: i, quan N → ∞, aquest productori convergeix, Si surt cara-cara, paga l’Albert ja que tots els factors sónméspetits que 1. Per Si surt cara-creu, paga en Bernat tant, la sèrie ésconvergent, i Si surt creu-cara, paga en Carles ∞ ∞ Si surt creu-creu, tornem a comen¸car X a1 ··· an−1 1 1 Y an = − . Es´ realment poc probable que ens hàgimde (x + a1) ··· (x + an) x x x + an n=1 n=1 passar la tarda tirant monedes a causa d’una in- Aquest productori észero si, i noméssi, el seu sistent freqüència de creu-creu, creu-creu, invers és divergent, és a dir, si, i només si, creu-creu, etc. I si tal cosa s’esdevé, aleshores és for¸caprobable que la moneda estigui trucada ∞ −1 ∞ Y an Y x i llavors podem: = 1 + x + a a n=1 n n=1 n a) Regalar la moneda al mag que treballa al local divergeix. Però a canvi que ens pagui la ronda.

∞ ∞ ! Y x X x 1 + = exp log 1 + , b) Reptar l’amo del bar a regalar-nos la ronda a a n=1 n n=1 n si surten dues creus. Carles Romero IES Manuel Blancafort, la Garriga

73 Tesis

• Gemma Huguet Casades va llegir la seva tesi, dirigida per Amadeu Delshams i Antoni Guillamon, titulada The role of hyperbolic invariant objects: From Arnold diffusion to biological clocks, el dia 16 d’octubre de 2008. La tesi correspon al Departament de Matemàtica Aplicada I de la Universitat Politècnicade Catalunya.

El marc d’aquesta tesi sónels objectes invari- de les zones ressonants i els objectes invariants ants hiperbòlics (tors amb bigotis, cicles l´ımit, generats en aquestes, i ofereix una descripció NHIM...), que constitueixen, per a aquesta tesi, completa de la geografia de les ressonàncies ge- els objectes essencials per a l’estudi de diver- nerades per una pertorbaciógenèrica. sos problemes des de la difusiód’Arnold fins En la segona part, desenvolupem mètodes als rellotges biològics.Treballem en tres temes numèricseficients que requereixen poca memòria diferents des d’un enfocament tant teòriccom i operacions per al càlcul de tors invariants i numèric, amb una especial atencióper a les els bigotis associats en sistemes hamiltoni- aplicacions, especialment en neurobiologia: ans (aplicacions simplèctiques i camps vectorials • Existència de difusiód’Arnold per a sistemes hamiltonians). En particular, aixòinclou els ob- hamiltonians a priori inestables. jectes invariants involucrats en el mecanisme de la difusiód’Arnold, estudiat en el cap´ıtol • Algorismes numèricsràpids per al càlcul de anterior. Els algorismes es basen en el mètode tors invariants i els bigotis associats, per de la parametritzaciói segueixen de prop de- a sistemes hamiltonians utilitzant el mètode mostracions recents del teorema KAM que no de la parametrització. usen variables acció-angle.Donem detalls de la • Càlculd’isòcrones i corbes de resposta de fa- implementaciónumèrica que hem dut a terme i se (PRC) en sistemes neurobiològics usant el mostrem alguns exemples. mètode de la parametrització. En la darrera part de la tesi relacionem pro- En la primera part de la tesi, hem consi- blemes de temps en sistemes biològics amb al- derat el cas d’un sistema hamiltonià a priori gunes eines conegudes de sistemes dinàmics. En inestable amb 2 + 1/2 graus de llibertat sotmès particular, usem el mètode de la parametrització a una pertorbacióde tipus general. A priori i les simetries de Lie per a calcular numèricament inestable significa que el sistema no pertorbat les isòcrones i les corbes de resposta de fase presenta un punt d’equilibri hiperbòlicamb una (PRC) associades a oscil.ladors i ho apliquem a òrbita homocl´ınica associada. El resultat prin- diversos models biològicsben coneguts. A més cipal d’aquesta part de la tesi ésque per a un a més, aconseguim estendre el càlcul de PRC en conjunt genèricde pertorbacions prou regulars, un entorn de l’oscil.lador. Les PRC sónútils per el sistema presenta el fenomen de la difusiód’Ar- a l’estudi de la sincronitzaciód’oscil.ladors aco- nold, ésa dir, existeixen trajectòries la variable blats i una eina bàsica en biologia experimental accióde les quals experimenta un canvi d’ordre 1. (ritmes circadians, acoblament sinàptic i elèctric La demostracióes basa en un estudi detallat de neurones...).

• Ruben´ Sevilla Cardenas´ va llegir la seva tesi, dirigida per Antonio Huer- ta Cerezuela i Sonia FernándezMéndez,titulada NURBS-Enhanced Finite Element Method (NEFEM), el dia 24 de juliol de 2009. La tesi correspon al Departament de Matemàtica Aplicada III de la Universitat Politècnica de Catalunya.

74 Aquesta tesi proposa una millora del clàssic discontinu. S’investiga l’habilitat de NEFEM mètode dels elements finits (Finite Element Met- per obtenir solucions precises amb malles gro- hod, FEM) per a un tractament eficient de domi- lleres i aproximacions d’alt ordre, i s’exploren nis amb contorns corbs: el denominat NURBS- les possibilitats de les anomenades malles NE- Enhanced Finite Element Method (NEFEM). FEM, amb elements que contenen singularitats Aquesta millora permet descriure de manera geomètriques dintre d’una cara o aresta d’un exacta la geometria mitjan¸cant la seva repre- element (vegeu la figura 1). Utilitzant NEFEM, sentaciódel contorn CAD amb non-uniform la mida de la malla no estàcontrolada per la rational B-splines (NURBS), mentre que la so- complexitat de la geometria. Aixòimplica una luciós’aproxima amb la interpolaciópolinòmica dràstica diferènciaen la mida dels elements i, estàndard. Per tant, en la major part del do- per tant, suposa un gran estalvi tant des del mini, la interpolaciói la integraciónumèrica punt de vista de requeriments de memòria com sónestàndards, retenen les propietats de con- de cost computacional. Per tant, NEFEM ésuna vergència clàssiques del FEM i faciliten l’aco- eina poderosa per a la simulacióde problemes blament amb els elements interiors. Només es tridimensionals a gran escala amb geometries requereixen estratègies espec´ıfiquesper realit- complexes. zar la interpolaciói la integraciónumèricaen La resoluciónumèrica de les equacions d’Eu- elements afectats per la descripciódel contorn ler de la dinàmica de gasos éstambémolt sen- mitjan¸cant NURBS. sible a la representaciógeomètrica. Quan es La implementaciói aplicacióde NEFEM a considera una formulacióde Galerkin discontinu problemes que requereixen una descripcióacura- i elements isoparamètrics lineals, una producció da del contorn són,també,objectius prioritaris espúriad’entropia pot evitar la convergència d’aquesta tesi. Per exemple, la soluciónumèrica cap a la soluciócorrecta. Amb NEFEM, l’acu- de les equacions de Maxwell ésmolt sensible a la rada imposicióde la condicióde contorn i la descripciógeomètrica.Es presenta l’aplicacióde representaciógeomètrica exacta proporcionen NEFEM a problemes de scattering d’ones elec- resultats precisos fins i tot amb una aproximació tromagnètiques amb una formulacióde Galerkin lineal de la solució(vegeu la figura 2).

Figura 1. Scattering d’una ona electromagnèticaper a un perfil d’avióque mostra el detall d’un triangle amb una cantonada en l’interior d’una de les seves arestes.

Figura 2. Malla (esquerra) i distribucions del nombre de Mach amb FEM est`andard (centre) i NEFEM (dreta).

75 Una propietat atractiva de la implementació comparat amb altres tècniques. A més,per a una proposada ésque moltes de les rutines usuals en precisiódesitjada NEFEM éstambémés eficient: un codi d’elements finits poden ser aprofitades, necessita un 50 % dels graus de llibertat que fan per exemple rutines per realitzar el càlcul de les servir els elements isoparamètrics o p-FEM per matrius elementals, assemblatge, etc. Nomésés aconseguir la mateixa precisió.Per tant, l’úsde necessari implementar noves rutines per calcular NEFEM ésaltament recomanable en presència les quadratures numèriques en elements corbs i de contorns corbs i/o quan el contorn tédetalls emmagatzemar el valor de les funcions de forma geomètricscomplexos. en els punts d’integració. Aquesta tesi ha obtingut dos premis: 1) Pre- S’han proposat diverses tècniques d’elements mi SEMNI a la millor tesi doctoral del 2009 finits corbs a la literatura. En aquesta tesi, es en métodes numèrics, atorgat per la Sociedad compara NEFEM amb altres tècniques populars Españolade Métodos Numéricosen Ingenier´ıa; d’elements finits corbs (isoparamètrics, cartesi- i 2) Premi ECCOMAS a la millor tesi doctoral ans i p-FEM), des de tres punts de vista dife- del 2009 en métodes computacionals en ciències rents: aspectes teòrics,implementaciói eficiència aplicades i enginyeria, atorgat per la Europe- numèrica.En els exemples numèrics, NEFEM és, an Community on Computational Methods and com a m´ınim, un ordre de magnitud mésprec´ıs Applied Sciencies.

• Juan Jose´ Rue´ Perna va llegir la seva tesi, dirigida per Marc Noy Serrano, titulada Enumeration and limit laws of topological graphs, el dia 18 de setembre de 2009. La tesi correspon al Departament de Matem`atica Aplicada II de la Universitat Polit`ecnica de Catalunya.

Aquesta tesi s’emmarca en el context de la com- fitar les idees seminals de William Tutte per binatòria enumerativa de grafs definits per con- tal de descompondre mapes en components 3- dicions de menors exclosos, i de mapes en su- connexes. S’estudien, a més, diferents lleis l´ımit, perf´ıcies. Més concretament, estem interessats com sónel nombre d’arestes, el nombre de blocs en l’enumeració(exacta i asimptòtica) de diver- 2-connexos, etc. En tots aquests casos, s’obtenen ses fam´ılies de grafs i de mapes, aix´ıcom en lleis de tipus gaussià.Obtenim, també,lleis l´ımit l’obtencióde lleis l´ımitper distints paràmetres per a paràmetresextremals importants, com que es defineixen en aquestes fam´ıliesde manera sónla mida del core 2-connex i del core 3-con- natural. Les eines fonamentals en tot l’estudi són nex. En el cas dels grafs planars (i de fam´ılies el mètode simbòlicper a funcions generadores, amb el mateix comportament), l’anàlisi dóna en la versiódesenvolupada per Philippe Flajolet, lloc a distribucions de probabilitat associades aix´ıcom l’anàlisi de singularitats sobre aquests a la llei d’Airy associada als mapes (concep- objectes. Les eines anal´ıtiquesen l’anàlisi de te introdu¨ıtper Banderier, Flajolet, Schaeffer singularitats permeten l’obtenciód’estimacions i Soria), relacionada estretament amb lleis es- asimptòtiques i de lleis l´ımit per a paràmetres tables de paràmetre 3/2. Finalment, trobem associats. exemples de fam´ıliescr´ıtiques,on el comporta- La memòriaes divideix en cinc cap´ıtols. En ment asimptòticdepènfortament de la densitat el cap´ıtol1 es recorden els conceptes i definici- d’arestes que s’esculli. ons necessaris en el desenvolupament del treball En el cap´ıtol 3 s’estudia l’enumeraciódels posterior. mapes definits sobre la banda de Möbius, amb la En el cap´ıtol2 es desenvolupa un framework restriccióque tots els vèrtexs es troben sobre en el qual s’obtél’enumeracióde grafs definits la vora. Amb aquestes hipòtesis,obtenim l’enu- per les seves components 3-connexes. Aques- meracióexacta de les descomposicions simplici- ta teoria comprèn l’enumeracióde la fam´ılia als de la banda de Möbius,resultat ja obtingut dels grafs planars, dels grafs sèrie-paral.lel i dels per Edelman i Reiner. El mètode emprat permet grafs K3,3-free, entre altres. El punt clau és apro- ampliar l’enumeracióa les fam´ılies de mapes on

76 el grau de les cares ésun nombre fixat, amb la lleis l´ımitno gaussianes per a distints paràmetres condicióque la interseccióde dues cares distin- associats a aquestes fam´ıliesde mapes. tes és un s´ımplex de dimensió d < 3. Obtenim Finalment, en el cap´ıtol 5 estenem els resul- tambélleis l´ımit per a paràmetres associats, que tats obtinguts en els cap´ıtols3 i 4 a superf´ıcies completen resultats parcials obtinguts per Gao. compactes, tancades i amb vora, amb gènere En el cap´ıtol4 es realitza un estudi similar sobre arbitrari. El nostre mètode (que es basa en apro- el cilindre. Similarment al cap´ıtol3, els vèrtexs fitar l’estructura dels mapes duals associats) noméses consideren sobre la vora del cilindre. permet l’obtenciód’estimacions asimptòtiques Obtenim tambél’enumeracióexacta per a desper a mapes on els vèrtexs es troben sobre la composicions simplicials del cilindre, aix´ıcom vora de la superf´ıcie, i on els graus de les cares de disseccions cel.lulars en k-gons. Cal remarcar pertanyen a un subconjunt dels naturals. Es- que els raonaments emprats sónqualitativament tenem, aix´ımateix, lleis l´ımitsobre superf´ıcies diferents. Usant el mètode dels moments (junta- arbitràries emprant novament el mètode dels ment amb la transformacióde Laplace), dedu¨ım moments.

• Rosana Tomas` Cunat˜ va llegir la seva tesi, dirigida per Josep M. Miret Biosca i Daniel Sadornil Renedo, titulada Volcans d’isogèniesde corbes el.l´ıp- tiques: aplicacions criptogràfiques en targetes intel.ligents, el dia 4 de mar¸cde 2011. La tesi correspon al Departament de Matemàticade la Universitat de Lleida.

D. Kohel, i mésendavant M. Fouquet i F. Mo- primer `. Aix´ı,per recórrertota una `-cordillera rain, van estudiar l’estructura dels volcans de saltarem d’un `-volcàa un altre considerant `-isogèniesd’una corba el.l´ıpticasobre un cos isogènies de grau un primer `0, diferent de `. finit, on ` ésun primer qualsevol, i van donar En un vessant méspràctic,hem treballat algorismes per anar des del terra fins al cràter en l’ús de la criptografia el.l´ıpticaen disposi- del volcà.Seguint aquests treballs, en aques- tius com les targetes intel.ligents. Mésconcreta- ta tesi estudiem propietats noves dels volcans ment, ens hem centrat en els atacs que pateixen de `-isogènies.Aix´ı,caracteritzem l’altura d’un aquests dispositius, com els Zero-Value Points volcàde `-isogèniesd’una corba el.l´ıptica so- (ZVP), presentats per L. Goubin i ampliats per bre un cos finit Fq a partir de les valoracions T. Akishita i T. Takagi. En aquesta tesi, propo- `-àdiquesdel cardinal de la corba i de q − 1, i sem una contramesura a aquests atacs, seguint analitzem detalladament el cas ` = 3. D’altra la l´ıniade la proposada per N. Smart. La con- banda, per a volcans anomenats regulars donem, tramesura estàbasada en l’úsd’una variant de segons l’estructura del subgrup de `-Sylow de la l’algorisme esmentat anteriorment que busca corba, el nivell on estàubicada dins del volcà. corbes resistents recorrent les `-cordilleres de Utilitzant aquest estudi, hem dissenyat un la corba inicial. algorisme que genera, a partir d’una corba do- Finalment, estudiem el comportament d’a- nada, una llista de corbes isògenes a la corba quests atacs considerant corbes el.l´ıptiques do- inicial de manera ordenada segons el grau ` de nades en el model d’Edwards. A diferència de la isogènia.Amb aquest objectiu, introdu¨ımel les corbes el.l´ıptiques expressades mitjan¸cant l’e- concepte `-cordillera, estructura formada per quacióde Weierstrass, les corbes d’Edwards no tots els `-volcans sobre un mateix cos, per a un sónvulnerables als atacs ZVP.

• Santi Mart´ınez Rodr´ıguez va llegir la seva tesi, dirigida per ConcepcióRoig Mateu i Magda Valls Marsal, titulada Protocolos de seguridad para sistemas de identificaciónpor radiofrecuencia, el dia 7 de mar¸cde 2011. La tesi correspon al Departament de Matemàticade la Universitat de Lleida.

77 En el camp de la identificacióautomàtica d’ob- ésnecessari dotar els sistemes RFID dels meca- jectes existeix un interèscreixent, en el sec- nismes de seguretat apropiats per tal d’evitar tor industrial, per a la implantacióde sistemes aquests problemes. d’identificacióremota per radiofreqüència.La En aquesta tesi, es proposen protocols de se- identificacióper radiofreqüènciaRFID (Radio- guretat, aplicats a RFID, que actuen en dos ni- Frequency IDentification) ésun mètode auto- vells: la capa d’aplicaciói la capa de comunicació. màticd’identificacióon els objectes estan pro- Per a la capa d’aplicació,es proposa un prove¨ıts d’unes etiquetes que disposen de circuit tocol segur per a la identificaciód’etiquetes, ba- integrat i antena, que permeten la seva identifi- sat en l’ús de criptografia de corbes el.l´ıptiques cacióa distància. i en un protocol de coneixement nul. Les consultes sóngenerades per via sense fils per un dispositiu anomenat lector RFID. Per tal de facilitar el càlcul de corbes el- A causa que aquestes consultes sónsense fils, l´ıptiques útils, es desenvolupa un mecanisme . ens trobem amb el problema que qualsevol po- paral lel i automàticque genera aquestes corbes dria intentar espiar el canal de comunicació,o en un temps eficient. introduir-hi missatges. A més,s’ha de conside- Finalment, per a la capa de comunicació,es rar la possibilitat que alguna de les etiquetes proposa un protocol de control d’accésal me- pugui caure en males mans, per la qual cosa una di que evita que un atacant pugui comptar el etiqueta mai hauràde contenir informació(en nombre d’etiquetes presents en l’entorn. Aquest clar) que pugui comprometre al sistema. problema tésentit en entorns en els quals s’in- Aix´ıdoncs, per fer ús de la gran potencialitat cloguin etiquetes RFID en productes clau, com que ofereix la identificacióper radiofreqüència, podrien ser els bitllets de curs legal.

Fe d’errates

La recenssiódel llibre Stability by linearization va “diferencial”, i obtéaix´ıuna equaciólineal of the Einstein’s field equation de L. Bruna i similar, ha de dir ...hom canvia a l’equa- J. Girbau, escrita per Josep M. Burguési pu- cióel terme de l’esquerra per un terme lineal blicada a les pàgines66-68 de la SCM/Not´ıcies relacionat, i s’obtéaix´ıuna equaciólineal. 29, contenia alguns errors de transcripcióque • A la pàgina 66, columna dreta, l´ınia9: on afectaven el significat matemàtic d’alguna de les diu ...les solucions de l’equaciód’Einstein frases originals. Aquests errors sónresponsabili- s’aproximen en l’ordre 1 a les solucions de la tat de l’ediciói totalment aliens als autors de la linealitzada, ha de dir ...les solucions de l’e- recensiói del llibre en qüestió,per la qual cosa quaciód’Einstein osculen a l’ordre 1 amb les els esmenem a continuació,i demanem disculpes solucions de la linealitzada. als autors i als lectors: • A la pàgina67, columna esquerra, l´ınia7: on • A la pàgina 66, columna esquerra, l´ınia -7: diu ...el volum i regularitat, ha de dir ...la on diu ...hom canvia a l’equacióper la se- mida i regularitat.

78 birkhauser-science.com

Simplicial Methods for Classification of Higher Transmission Problems Operads and Algebraic Dimensional Algebraic for Elliptic Second-Order Geometry Varieties Equations in Non-Smooth Domains I. Moerdijk, Utrecht University, The C.D. Hacon, University of Utah, Salt Netherlands; B. Toën, Toulouse University, Lake City, USA; S. Kovács, University of M. Borsuk, University of Warmia & Mazury, France Washington, Seattle, USA Olsztyn, Poland This book is an introduction to two new This book focuses on recent advances in The goal of this book is to investigate the topics in homotopy theory: Dendroidal Sets the classification of complex projective behavior of weak solutions of the elliptic (by Ieke Moerdijk) and Derived Algebraic varieties. It is divided into two parts. The transmission problem in a neighborhood of Geometry (by Bertrand Toën). The category first part gives a detailed account of recent boundary singularities: angular and conic of dendroidal sets is an extension of that of results in the minimal model program. In points or edges. This problem is discussed simplicial sets, based on rooted trees instead particular, it contains a complete proof for both linear and quasilinear equations. A of linear orders, suitable as a model category of the theorems on the existence of flips, principal new feature of this book is the con- for higher topological structures. Derived on the existence of minimal models for sideration of our estimates of weak solutions algebraic geometry deals with functors from varieties of log general type and of the of the transmission problem for linear elliptic simplicial commutative rings to simplicial sets finite generation of the canonical ring. The equations with minimal smooth coeciffients in subject to a homotopical descent condition. second part is an introduction to the theory n-dimensional conic domains. Only few works The material in the book is an enhanced versi- of moduli spaces. It includes topics such as are devoted to the transmission problem for on of lecture notes from courses given within representing and moduli functors, Hilbert quasilinear elliptic equations. Therefore, we a special year on Homotopy Theory and schemes, the boundedness, local closedness investigate the weak solutions for general Higher Categories at the CRM in Barcelona. and separatedness of moduli spaces and the divergence quasilinear elliptic second-order boundedness for varieties of general type. equations in n-dimensional conic domains Table of contents: The book is aimed at advanced graduate stu- or in domains with edges. The basis of the Part I: Lectures on Dendroidal Sets 1. dents and researchers in algebraic geometry. present work is the method of integro- Operads 2. Trees as operads 3. Dendroidal differential inequalities. Such inequalities sets 4. Tensor product of dendroidal sets 2010, 220 p., Softcover with exact estimating constants allow us to 5. A Reedy model structure on dendroidal ISBN 978-3-0346-0289-1 establish possible or best possible estimates spaces 6. The Boardman-Vogt resolution Oberwolfach Seminars, Vol. 41 of solutions to boundary value problems for and homotopy coherent nerve 7. Inner Kan  24.95 € elliptic equations near singularities on the complexes and normal dendroidal sets 8. boundary. A new Friedrichs–Wirtinger type Model structures on dendroidal sets Part II: inequality is proved and applied to the investi- Simplicial Presheaves and Derived Algebraic gation of the behavior of weak solutions of the Geometry 1. Motivation and objectives 2. transmission problem. All results are given with Simplicial presheaves as stacks 3. Algebraic complete proofs. The book will be of interest stacks 4. Simplicial commutative algebras 5. to graduate students and specialists in elliptic Derived stacks and derived algebraic stacks boundary value problems and applications. 6. Examples of derived algebraic stacks.

2010, XI, 218 p. 1 illus. in color., Softcover 2011, 200 p., Softcover ISBN978-3-0346-0476-5 ISBN 978-3-0348-0051-8 Frontiers in Mathematics Due: February 2011  27.99 €  approx. 29.95 €

Easy Ways to Order for the Americas  Write: Springer Order Department, PO Box 2485, Secaucus, NJ 07096-2485, USA  Call: (toll free) 1-800-SPRINGER 7 Fax: 1-201-348-4505  Email: [email protected] or for outside the Americas  Write: Springer Customer Service Center GmbH, Haberstrasse 7, 69126 Heidelberg, Germany  Call: +49 (0) 6221-345-4301  Fax : +49 (0) 6221-345-4229  Email: [email protected]  Prices are subject to change without notice. All prices are net prices. New books published by the Individual members of the EMS, member societies or societies with a reciprocity agreement (such as the American, Australian and Canadian Mathematical Societies) are entitled to a discount of 20% on any book purchases, if ordered directly at the EMS Publishing House.

Shmuel Onn (Technion – Israel Institute of Technology, Haifa, Israel) Nonlinear Discrete Optimization. An Algorithmic Theory (Zurich Lectures in Advanced Mathematics) ISBN 978-3-03719-093-7. 2010. 147 pages. Softcover. 17 x 24 cm. 32.00 Euro This monograph develops an algorithmic theory of nonlinear discrete optimization. It introduces a simple and useful setup which enables the polynomial time solution of broad fundamental classes of nonlinear combinatorial optimization and integer programming problems in variable dimension. An important part of this theory is enhanced by recent developments in the algebra of Graver bases. The power of the theory is demonstrated by deriving the first polynomial time algorithms in a variety of application areas within operations research and statistics, including vector partitioning, matroid optimization, experimental design, multicommodity flows, multi-index transportation and privacy in statistical databases. The monograph is intended for graduate students and researchers. It is accessible to anyone with standard undergraduate knowledge and mathematical maturity.

Laurent Bessières, Gérard Besson (both Université Joseph Fourier, Grenoble, France), Michel Boileau (Université Paul Sabatier, Toulouse, France), Sylvain Maillot (Université Montpellier II, France) and Joan Porti (Universitat Autònoma de Barcelona, Spain) Geometrisation of 3-Manifolds (EMS Tracts in Mathematics Vol. 13) ISBN 978-3-03719-082-1. 2010. 247 pages. Hardcover. 17 x 24 cm. 48.00 Euro The Geometrisation Conjecture was proposed by William Thurston in the mid 1970s in order to classify compact 3-manifolds by means of a canonical decomposition along essential, embedded surfaces into pieces that possess geometric structures. It contains the famous Poincaré Conjecture as a special case. In 2002, Grigory Perelman announced a proof of the Geometrisation Conjecture based on Richard Hamilton’s Ricci flow approach, and presented it in a series of three celebrated arXiv preprints. Since then there has been an ongoing effort to understand Perelman’s work by giving more detailed and accessible presentations of his ideas or alternative arguments for various parts of the proof. This book is a contribution to this endeavour.

Steffen Börm (Kiel University, Germany) Efficient Numerical Methods for Non-local Operators.  2-Matrix Compression, Algorithms and Analysis (EMS Tracts in Mathematics Vol. 14) ISBN 978-3-03719-091-3. 2010. 441 pages. Hardcover. 17 x 24 cm. 58.00 Euro Hierarchical matrices present an efficient way of treating dense matrices that arise in the context of integral equations, elliptic partial differential equations, and control theory. 2-matrices offer a refinement of hierarchical matrices: using a multilevel representation of submatrices, the efficiency can be significantly improved, particularly for large problems. This books gives an introduction to the basic concepts and presents a general framework that can be used to analyze the complexity and accuracy of 2-matrix techniques. Starting from basic ideas of numerical linear algebra and numerical analysis, the theory is developed in a straightforward and systematic way, accessible to advanced students and researchers innumerical mathematics and scientific computing. Special techniques are only required in isolated sections, e.g., for certain classes of model problems.

Koichiro Harada (The Ohio State University, Columbus, OH, USA) “Moonshine” of Finite Groups (EMS Series of Lectures in Mathematics) ISBN 978-3-03719-090-6. 2010. 83 pages. Softcover. 17 x 24 cm. 24.00 Euro This is an almost verbatim reproduction of the author’s lecture notes written in 1983–84 at the Ohio State University, Columbus, Ohio, USA. A substantial update is given in the bibliography. Over the last 20 plus years, there has been an energetic activity in the field of finite simple group theory related to the monster simple group. Most notably, influential works have been produced in the theory of vertex operator algebras whose research was stimulated by the moonshine of the finite groups. Still, we can ask the same questions now just as we did some 30–40 years ago: What is the monster simple group? Is it really related to the theory of the universe as it was vaguely so envisioned? What lays behind the moonshine phenomena of the monster group? It may appear that we have only scratched the surface. These notes are primarily reproduced for the benefit of young readers who wish to start learning about modular functions used in moonshine.

Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry (Heritage of European Mathematics) Athanase Papadopoulos (IRMA, Strasbourg, France), Editor ISBN 978-3-03719-087-6. 2010. 322 pages. Hardcover. 17 x 24 cm. 78.00 Euro Lobachevsky wrote his Pangeometry in 1855, the year before his death. This memoir is a résumé of his work on non-Euclidean geometry and its applications, and it can be considered as his clearest account on the subject. It is also the conclusion of his lifework, and the last attempt he made to acquire recognition. The treatise contains basic ideas of hyperbolic geometry, including the trigonometric formulae, the techniques of computation of arc length, of area and of volume, with concrete examples. It also deals with the applications of hyperbolic geometry to the computation of new definite integrals. The techniques are different from those found in most modern books on hyperbolic geometry since they do not use models. The present edition provides the first complete English translation of thePangeometry that appears in print. It contains facsimiles of both the Russian and the French original versions. The translation is accompanied by notes, followed by a biography of Lobachevky and an extensive commentary.

Classification of Algebraic Varieties (EMS Series of Congress Reports) Carel Faber (Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden), Gerard van der Geer (University of Amsterdam, The Netherlands) and Eduard J.N. Looijenga (University of Utrecht, The Netherlands), Editors ISBN 978-3-03719-007-4. 2010. 346 pages. Hardcover. 17 x 24 cm. 78.00 Euro Fascinating and surprising developments are taking place in the classification of algebraic varieties. Work of Hacon and McKernan and many others is causing a wave of breakthroughs in the Minimal Model Program: we now know that for a smooth projective variety the canonical ring is finitely generated. These new results and methods are reshaping the field. Inspired by this exciting progress, the editors organized a meeting at Schiermonnikoog and invited leading experts to write papers about the recent developments. The result is the present volume, a lively testimony of the sudden advances that originate from these new ideas. This volume will be of interest to a wide range of pure mathematicians, but will appeal especially to algebraic and analytic geometers.

European Mathematical Society Publishing House Fliederstrasse 23 [email protected] Seminar for Applied Mathematics, ETH-Zentrum FLI C4 CH-8092 Zürich, Switzerland www.ems-ph.org SOCIETAT CATALANA DE MATEMATIQUES` Filial de l’Institut d’Estudis Catalans Carrer del Carme, 47, 08001 Barcelona c/e: [email protected] Adre¸caweb: http://scm.iec.cat

Sol.licitud d’inscripci´ocom a soci de la SCM o actualitzaci´ode dades

Tipus de soci: Ordinari Estudiant (cal acreditació*) Institució En reciprocitat. Sócsoci de (Al web trobareu la llista de societats amb les quals la SCM téacords de reciprocitat.)

Desitjo fer-me soci en reciprocitat de: EMS RSME

Nom i cognoms: o institució Adre¸ca: Codi postal: Població: NIF: Correu electrònic: Telèfon: Fax: Lloc d’estudi o de treball: ......

Butlleta per a la domiciliaci´obanc`aria

El sotasignat autoritza que anualment es faci efectiu el rebut de soci de la Societat Catalana de Matemàtiques a nom de a la llibreta d’estalvi / el compte corrent / la targeta de crèdit que s’indica seguidament: Titular del compte: Entitat bancària: Adre¸ca de l’oficina: Codi de l’entitat, oficina i d´ıgits de control: Número de compte o llibreta: Targeta de crèdit: Caducitat: Data: NIF: Signat:

Signatura Les quotes per a l’any 2010 sónles següents: 36 euros socis ordinaris, 18 euros socis estudiants i membres de societats amb conveni de reciprocitat, 72 euros institucions, 23 euros EMS i 25 euros RSME, les dues últimes pagant la quota a travésde la SCM. D’acord amb la Llei orgànica 15/1999, del 13 de desembre, de proteccióde dades de caràcter personal, us informem que les vostres dades seran incorporades en un fitxer que és responsabilitat de l’Institut d’Estudis Catalans, amb la finalitat de gestionar els socis i d’enviar comunicacions de les activitats i publicacions de la Societat i de l’Institut d’Estudis Catalans (IEC). Podeu exercir els drets d’accés, rectificació,cancel.laciói oposicióde les vostres dades personals adre¸cant-vos per escrit a l’Institut d’Estudis Catalans (carrer del Carme, 47, 08001 Barcelona) o bé enviant un correu electrònic a l’adre¸[email protected].

*Cal adjuntar fotoc`opia del comprovant de la matr´ıcula.