> Plot( 3Cos(T)+Sin(T),-2Cos(T)+Sin(T),T=0 2*Pi );

V.26 (Tg. 2005)

>> A=[3,1;-2,1] = 3 1 -2 1

>> norm(A,'fro') = 3.8730 >> norm(A,inf) = 4 >> norm(A,1) = 5

Staðall (i) fylkis er stærsta gildi staðals (i) (fyrir vigur) fyrir varpmengi fylkisins A af AX einingarhring staðalsins max i  max AX . X X 1 i i > with(plots):

AX max 2  hálfur langás sporbaugs. X 2 > plot([3*cos(t)+sin(t),-2*cos(t)+sin(t),t=0..2*Pi]);

AX max   4, stærsta tölugildi einstakra hnita. X  > plot([[3+t,-2+t,t=-1..1],[-3+t,2+t,t=-1..1],[3*t+1,-2*t+1,t=-1..1],[3*t- 1,-2*t-1,t=-1..1]],color=red);

AX max 1  5, stærsta summa tölugilda hnitapars X 1 > plot([[2*t+1,1-3*t,t=0..1],[-1+4*t,-1-t,t=0..1],[-3+4*t,2-t,t=0..1],[- 3+2*t,2-3*t,t=0..1]],color=red); V.27 (Tg 2005). function x=trihorna(a,b,c,d) [n,m]=size(a); u(1,1)=a(1,1); for k=2:n m(k,1)=b(k,1)/u(k-1,1); u(k,1)=a(k,1)-m(k,1)*c(k-1,1); end y(1,1)=d(1,1); for k=2:n y(k,1)=d(k,1)-m(k,1)*y(k-1,1); end x(n,1)=y(n,1)/u(n,1); for k=n-1:-1:1 x(k,1)=(y(k,1)-c(k,1)*x(k+1,1))/u(k,1); end

» a=2*ones(7,1); » b=ones(7,1); » c=ones(7,1); » d=4*ones(7,1);

» x=trihorna(a,b,c,d) = 2 0 2 0 2 0 2

V.28 (Tg 2005)

» A=[9,3,6,3,6;3,5,4,5,4;6,4,9,10,7;3,5,10,15,9;6,4,7,9,14] =

9 3 6 3 6 3 5 4 5 4 6 4 9 10 7 3 5 10 15 9 6 4 7 9 14 » [L,p]=chol(A) =

3 1 2 1 2 0 2 1 2 1 0 0 2 3 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 2 p = 0

Dæmi 7.2.6 ( úr Numerical Methods J.D.Faires & R.Burden, 3rd Ed.)

>> A1=[10,15;0,1]; >> norm(A1,1) = 16

>> A2=[10,0;15,1]; >> norm(A2,1) = 25

>> A3=[2,-1,0;-1,2,-1;0,-1,2]; >> norm(A3,1) = 4

>> A4=[4,-1,7;-1,4,0;-7,0,4]; >> norm(A4,1) = 12

Staðall þarf að uppfylla fimm skilyrði; A  0 , A  0 , aðeins ef A  0 , A    A , A  B  A  B , AB  A  B . Til að sýna, að form geti ekki verið staðall, nægir að sýna, að eitt skilyrði sé ekki uppfyllt.

A  max ai, j Formið ex 1i, jn er ekki staðall, því

2 1 0 2 2 10 2 0 5 A    , B    og C  AB        , og þá fimmta skilyrðið ekki uppfyllt; 0 0 0 1 0 00 1 0 0 AB  C  5  A B  2 2  4 ex ex ex ex

 1 0  A    Eigingildi 1   eru lausnir (1-)(1/2-) = 0, þ.e  = 1 og  = ½,  max = 1, svo A1 er ekki 1/ 4 1/ 2 samleitið. 1/ 2 0  A    Eigingildi 2   eru lausnir (1/2-)(1/2-) = 0, þ.e  = 1/2 og  = ½,  max = 1/2, svo A2 er  16 1/ 2 samleitið. Dæmi 7.4.1 a) ( úr Numerical Methods J.D.Faires & R.Burden, 3rd Ed.)

3 1 1 x  1  0 1/ 3 1/ 3 x   1/ 3    1      1    AX  3 6 2 x2   0 , á Jacobi formi; X  TX  C   1/ 2 0 1/ 3 x2    0            3 2 7 x3  4  3/ 7  2 / 7 0  x3  4 / 7

0   Með því að setja inn X0  0 fæst;   0

>> Tj=[0,1/3,-1/3;-1/2,0,-1/3;-3/7,-3/7,0]; >> Cj=[1/3;0;4/7] >> X0=[0;0;0]; >> format long >> X1=Tj*X0+Cj =

0.33333333333333 0 0.57142857142857

>> X2=Tj*X1+Cj =

0.14285714285714 -0.35714285714286 0.42857142857143

Einnig má finna ítrunarferlið með; >> A=[3,-1,1;3,6,2;3,3,7]; >> C=[1;0;4]; >> D=zeros(3,3); >> for k=1:3 D(k,k)=A(k,k);end >> for k=1:2 for j=k+1:3 U(k,j)=-A(k,j);end; end >> U = 0 1 -1 0 0 -2 0 0 0 >> for k=2:3 for j=1:k-1 L(k,j)=-A(k,j);end;end >> L = 0 0 0 -3 0 0 -3 -3 0 >> Tj=inv(D)*(L+U) = 0 0.33333333333333 -0.33333333333333 -0.50000000000000 0 -0.33333333333333 -0.42857142857143 -0.42857142857143 0 >> Cj=inv(D)*C = 0.33333333333333 0 0.57142857142857 >> for k=2:10 X(:,k)=Tj*X(:,k-1)+Cj;end >> X = Columns 1 through 4 0 0.33333333333333 0.14285714285714 0.07142857142857 0 0 -0.35714285714286 -0.21428571428571 0 0.57142857142857 0.42857142857143 0.66326530612245 Columns 5 through 8 0.04081632653061 0.03684807256236 0.03490443796566 0.03516088975273 -0.25680272108844 -0.23129251700680 -0.23975542597992 -0.23570618723680 0.63265306122449 0.66399416909621 0.65476190476190 0.65922185200611

Columns 9 through 10 0.03502398691903 0.03510079390789 -0.23732106221173 -0.23663751214772 0.65737655606460 0.65812731798259

Dæmi 7.4.2 a) ( úr Numerical Methods J.D.Faires & R.Burden, 3rd Ed.)

>> Tgs=inv(D-L)*U = 0 0.33333333333333 -0.33333333333333 0 -0.16666666666667 -0.16666666666667 0 -0.07142857142857 0.21428571428571

>> Cgs=inv(D-L)*C = 0.33333333333333 -0.16666666666667 0.50000000000000

>> X1=Tgs*X0+Cgs = 0.33333333333333 -0.16666666666667 0.50000000000000

>> X2=Tgs*X1+Cgs = 0.11111111111111 -0.22222222222222 0.61904761904762

>> X=zeros(3,10); >> for k=2:10 X(:,k)=Tgs*X(:,k-1)+Cgs;end >> X =

Columns 1 through 4 0 0.33333333333333 0.11111111111111 0.05291005291005 0 -0.16666666666667 -0.22222222222222 -0.23280423280423 0 0.50000000000000 0.61904761904762 0.64852607709751

Columns 5 through 8 0.03955656336609 0.03614920394966 0.03535106828488 0.03515080661434 -0.23595364071555 -0.23660751778666 -0.23678862659534 -0.23682838782771 0.65559874743548 0.65733927735871 0.65775895356163 0.65786182052002

Columns 9 through 10 0.03510326388409 0.03509146367453 -0.23683890544872 -0.23684129967983 0.65788670352770 0.65789278685941

Dæmi 7.5.1 a) ( úr Numerical Methods J.D.Faires & R.Burden, 3rd Ed.) omega = 1.10000000000000

>> Tsor=inv(D-omega*L)*((1-omega)*D+omega*U) = -0.10000000000000 0.36666666666667 -0.36666666666667 0.05500000000000 -0.30166666666667 -0.16500000000000 0.02121428571429 -0.03064285714286 0.15064285714286

>> Csor=omega*inv(D-omega*L)*C = 0.36666666666667 -0.20166666666667 0.55078571428571

>> X=zeros(3,10); >> for k=2:10 X(:,k)=Tsor*X(:,k-1)+Csor;end >> X =

Columns 1 through 4 0 0.36666666666667 0.05410079365079 0.04619480950491 0 -0.20166666666667 -0.21154353174603 -0.24174860820956 0 0.55078571428571 0.64771586224490 0.65598949030770

Columns 5 through 8 0.03287654959318 0.03615452270592 0.03470315682887 0.03523744276685 -0.23443672123478 -0.23770567324678 -0.23650547964125 -0.23697027790611 0.65799370331456 0.65778902920924 0.65792790640491 0.65788126021087

Columns 9 through 10 0.03503069174709 0.03510957377675 -0.23679298141427 -0.23686089796576 0.65789981053630 0.65789278606405

> Plot( 3*Cos(T)+Sin(T),-2*Cos(T)+Sin(T),T=0 2*Pi );

> Plot( 3Cos(T)+Sin(T),-2Cos(T)+Sin(T),T=0 2*Pi );