Experimentalphysik I: Mechanik

Prof. Dr. W. de Boer

Vorlesung Wintersemester 2003/2004

Letzte Aktualisierung und Verbesserung: 21. Januar 2004

Skript der Vorlesung Experimentalphysik I von Herrn Prof. Dr. W. de Boer im Wintersemester 2003/2004 basierend auf TeX File der Vorlesung von Prof. Muller¨ und Dr. H. Hartmann, getext von Marco Schreck.

Dieses Skript erhebt keinen Anspruch auf Vollst¨andigkeit und Korrektheit und dient nur als Anleitung beim Studium. Kommentare, Fehler, Vorschl¨age und konstruktive Kritik bitte an [email protected]. 2 Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 5 1.1 Grundbegriffe der Physik ...... 5 1.2 Physikalische Gr¨oßen/Einfuhrung¨ in die Vektorrechnung ...... 9

2 Klassische Mechanik von Massenpunkten 15 2.1 Mechanik von Massenpunkten ...... 15 2.1.1 Bewegung in einer Dimension ...... 15 2.1.2 2-dimensionale Bewegung ...... 18 2.1.3 Dreidimensionale Bewegung ...... 18 2.2 Messungen und Datenauswertung ...... 20 2.2.1 Zentraler Grenzwertsatz ...... 20 2.2.2 Fehlerfortpflanzung ...... 21 2.3 Die Newtonschen Gesetze ...... 22 2.3.1 Anwendungen von Newtons Gesetzen ...... 23 2.3.2 Kreisbewegung ...... 30 2.3.3 Sonderfall: Konstante Kreisbewegung ...... 32 2.3.4 Rotationsdynamik ...... 34 2.3.5 Das Federpendel ...... 37 2.3.6 Reibung ...... 41 2.3.7 Arbeit und Energie ...... 42

3 Lineare Bewegungen fur¨ Systeme von Massenpunkten 59 3.1 Schwerpunkt und Impuls (CM=center of mass) ...... 59 3.2 Elastische und unelastische St¨oße ...... 64 3.2.1 Streuung eines Teilchens in einem Potential V = a/r ...... 70

4 Rotationen fur¨ Systeme von Massenpunkten 73 4.1 Rotationskinematik ...... 73 4.2 Rotationsdynamik ...... 75 4.2.1 Rotierende Bezugssysteme ...... 83 4.3 Rollbewegungen ...... 84 4.4 Mechanische Stabilit¨at ...... 88

5 Gravitation 91 5.1 Das Gravitationsgesetz ...... 91 5.1.1 Der historische Weg zum Gravitationsgesetz ...... 91 5.1.2 Das Newtonsche Gravitationsgesetz ...... 94 5.2 Das Gravitationspotential ...... 96 5.3 Planetenbahnen, Keplersche Gesetze ...... 98 5.4 Herleitung der Bahnkurven ...... 99 5.5 Gravitation in Massenverteilungen ...... 100

6 Schwingungen und Wellen 109 6.1 Wellenausbreitung in der Mechanik ...... 109 6.1.1 Schwingungen (Wiederholung) ...... 109 6.1.2 Wellen ...... 122 6.1.3 Anwendung: Akustik, Schallwellen ...... 130 6.1.4 Wellen von bewegten Quellen/Empf¨angern (Doppler-Effekt) ...... 136 6.1.5 Ub¨ erlagerung von Wellen ...... 138

3 INHALTSVERZEICHNIS

7 Relativistische Mechanik 151 7.1 Bewegte Bezugssysteme, Transformationen ...... 151 7.2 Relativistische Kinematik ...... 153 7.2.1 Spezielles Relativit¨atsprinzip ...... 153 7.2.2 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit ...... 153 7.2.3 Wiederholung: Galileitransformationen ...... 155 7.2.4 Lorentztransformation ...... 156 7.2.5 Relativistische Effekte ...... 157 7.3 Relativistische Dynamik ...... 160 7.4 Lorentzinvariante Vierervektoren im 4-dimensionalen Minkowski Raum ...... 162 7.4.1 Anwendung der Vierervektoren: ...... 164

8 Physikalische Eigenschaften fester K¨orper und Flussigk¨ eiten 165 8.1 Physik fester K¨orper ...... 165 8.1.1 Elastische Verformung ...... 165 8.1.2 H¨arte eines Festk¨orpers ...... 174 8.1.3 Thermische Eigenschaften von Festk¨orpern ...... 174 8.2 Mechanik von Flussigk¨ eiten ...... 178 8.2.1 Hydrostatik ...... 178 8.2.2 Hydrostatischer Druck durch Gravitation ...... 179 8.2.3 Hydrodynamik ...... 183 8.3 Licht und Materie - Korpuskel und Welle ...... 186 8.3.1 Licht als elektromagnetische Welle ...... 186 8.3.2 Licht als Korpuskel ...... 187 8.3.3 Materie als Welle ...... 188 8.3.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum im Dreidimensionalen ...... 190 8.3.5 Materiewellen ...... 191

4 Kapitel 1

Einleitung

Was ist Physik?

Die Physik ist die mathematischste aller Naturwissenschaften. Durch sie wird die Natur in quantitativer, univer- seller Weise beobachtet und beschrieben. Die Beobachtungen werden auf fundamentale Gesetze zuruc¨ kgefuhrt.¨

Nur reproduzierbare Ph¨anomene werden erfaßt! • 1.1 Grundbegriffe der Physik

a.) Internationale Konvention (SI (Syst`eme International))

0 L¨ange: Meter (m) Basisgr¨oße Basiseinheit Symbol relative Genauigkeit L¨ange Meter m 10−14 1 1 Meter ist die L¨ange der Strecke, die Licht in Vakuum w¨ahrend der Dauer von 299 792 458 Sekunden durchl¨auft. 0 Zeit: Sekunde (s) Basisgr¨oße Basiseinheit Symbol relative Genauigkeit Zeit Sekunde s 10−14 1 Sekunde ist das 9192631770-fache der Periodendauer, der dem Ub¨ ergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustands von Atomen des Nuklides Cs133 entsprechenden Strah- lung. 0 Masse: Kilo (kg) Basisgr¨oße Basiseinheit Symbol relative Genauigkeit Masse Kilogramm kg 10−9 1 Kilogramm ist die Masse des Internationalen Kilogrammprototyps. 0 Temperatur: Kelvin (K) Basisgr¨oße Basiseinheit Symbol relative Genauigkeit Temperatur Kelvin K 10−6 1 Kelvin ist der 273,16-te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers. 0 elektrischer Strom: Amp`ere (A) Basisgr¨oße Basiseinheit Symbol relative Genauigkeit Stromst¨arke Amp`ere A 10−6 1 Amp`ere ist die St¨arke eines zeitlich unver¨anderlichen elektrischen Stroms, der, durch zwei im Va- kuum parallel im Abstand von 1 Meter voneinander angeordnete, geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachl¨assigbar kleinem, kreisf¨ormigen Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je 1 Meter 1 Leiterl¨ange elektrodynamisch die Kraft 5 000 000 Kilogrammeter durch Sekundequadrat hervorrufen wurde.¨

5 KAPITEL 1. EINLEITUNG

0 Lichtst¨arke: Candela (Cd) Basisgr¨oße Basiseinheit Symbol relative Genauigkeit Lichtst¨arke Candela cd 5 10−3 · 1 1 Candela ist die Lichtst¨arke, mit der 600 000 Quadratmeter der Oberfl¨ache eines schwarzen Strahlers bei der Temperatur des beim Druck 101 325 Kilogramm durch Meter und durch Sekundequadrat erstarrenden Platins senkrecht zu seiner Oberfl¨ache leuchtet. 0 Substanzmenge: Mol (mol) Basisgr¨oße Basiseinheit Symbol relative Genauigkeit Stoffmenge mol mol 10−6 1 Mol ist die Stoffmenge eines Systems bestimmter Zusammensetzung, das aus ebenso vielen Teilchen 12 12 besteht, wie 1000 Kilogramm des Nuklides C . b.) Abgeleitete Gr¨oßen Gr¨oße Name der SI-Einheit Symbol, Zusammenhang (Basiseinheit bzw. mit Basiseinheiten abgeleitete Einheit L¨ange Meter m

Zeit Sekunde s

Masse Kilogramm kg

Fl¨ache Quadratmeter m2

Volumen Kubikmeter m3

1 Frequenz Hertz Hz= s

m Geschwindigkeit Meter/Sekunde s

m Beschleunigung Meter/Quadratsekunde s2

kg·m Kraft Newton N= s2

N kg Druck Pascal Pa= m2 = m·s2

kg·m2 Arbeit, Energie, W¨armemenge Joule J=Nm= s2

J kg·m2 Leistung Watt W= s = s3

kg Dichte Kilogramm/Kubikmeter m3

Temperatur Kelvin K

Stromst¨arke Amp`ere A

Ladung Coulomb C=As

A Stromdichte Amp`ere/Quadratmeter m2

J kg·m2 Spannung Volt V= C = s3·A

V kg·m2 Widerstand Ohm Ω = A = s3·A2 Fortsetzung . . .

6 1.1. GRUNDBEGRIFFE DER PHYSIK

. . . Fortsetzung Gr¨oße Name der SI-Einheit Symbol, Zusammenhang (Basiseinheit bzw. mit Basiseinheiten abgeleitete Einheit

C s4·A2 Farad F= V = kg·m2

V kg·m elektrische Feldst¨arke Volt/Meter m = s3·A

A magnetische Feldst¨arke Amp`ere/Meter m

V·s kg magnetische Induktion Tesla T= m2 = s2·A

V·s kg·m2 Induktivit¨at Henry H= A = s2·A2

Lichtst¨arke Candela cd

J m2 Energiedosis Gray Gy= kg = s2

1 Aktivit¨at Becquerel Bq= s

Stoffmenge Mol mol

Dimensionsbetrachtungen: Beispiel: Formel fur¨ Schwingungsdauer eines Pendels Ansatz:

t ma lb gc ∝ · · a, b, c sind zu bestimmen.

Dimensionen :

L c T 1 M a Lb = M a Lb+c T −2c ∝ · · T 2 · ·

Vergleiche Exponenten:

1 = 2c − 0 = a

7 KAPITEL 1. EINLEITUNG

0 = b + c 1 1 c = ; b = + ⇒ −2 2 1 − 1 t l 2 g 2 ⇒ ∝ · · l = sg Wir werden im Thema Schwingungen und Wellen“ feststellen, daß die Formel fur¨ die Schwingungsdauer ” l t = 2π lautet. sg

c.) Pr¨afixe Zehnerpotenz Name Abkurzung¨ Beispiel

1015 Peta P PByte 1012 Tera T TeV 109 Giga G GW 106 Mega M MW 103 Kilo k kg 102 Hekto h hl 101 Deka da Dekade 10−1 Dezi d dm 10−2 Zenti e cm 10−3 Milli m mm 10−6 Mikro µ µm 10−9 Nano n nV 10−12 Piko p pF, pV 10−15 Femto f fs

d.) Definitionen

1 Meter <1799: 107 Umfang Erdquadrant <1960: Platin-Iridium-Stab: 1 m 1 heute: Laufstrecke des Lichtes im Vakuum in 299792458 s δl 10−14 l ≈

Sekunde 1964: 1s = 9192651770 Schwingungen des Cs-Atoms δt 10−13 t ≈

Kilogramm Masse des Urkilogramms in S`evres Kopie z.B. in Physikalisch-Technischer Bundesanstalt in Braunschweig δm 10−9 m ≈

e.) Beispiele

1 L¨ange 1 cm = 100 m K¨afer 1µm Bakterie 1 nm Wellenl¨ange Licht 1 A˚ = 10−10 m Atom 1 fm = 10−15 m Proton 1 AE = 150 106 km (Abstand Erde-Sonne) · Fortsetzung . . .

8 1.2. PHYSIKALISCHE GROSSEN/EINF¨ UHR¨ UNG IN DIE VEKTORRECHNUNG . . . Fortsetzung 1 Ly = 9, 5 1012 km 1 Ps (Parsec)· = 3, 1 Ly

Zeit 1 Jahr=3, 16 107 s π 107 s“ · 15≈ ” · TUniversum = 10 Jahre −25 TTopquark = 6 10 s 32· TProton > 10 Jahre

Masse 2 1042 kg (!) Galaxie 2· 1030 kg Sonne 6 · 1024 kg Erde 9· 101 kg Professor de Boer 1, 7 · 10−27 kg Proton 9, 1 · 10−31 kg Elektron (e−) < 5 10·−63 kg 0 kg Photon(γ) · ≈ Achtung: Masse = Gewicht 6 f.) Winkeleinheiten

1 Grad 1◦ 1 des Umfangwinkels des Kreises ≡ 360 L ◦ Kreissegment Radian αRad = R , αRad (360 ) = 2π Radius

¨ S Kugelfl¨achensegment Steradian (Offnungswinkel) Ω = R2 Radius2

1.2 Physikalische Gr¨oßen/Einfuhrung¨ in die Vektorrechnung

Skalare: 0 Wie schwer ist etwas? Angabe der Masse m 0 Wie lang ist etwas? Angabe der L¨ange l 0 Wie komme ich nach Munc¨ hen? Die Angabe der Entfernung ( 200 km) reicht NICHT! Man muß auch noch die Richtung wissen! Infolge- ≈ dessen ben¨otigt man Vektoren.

Vektoren: Unter anderem k¨onnen Verschiebungen durch Vektoren dargestellt werden. Außerdem werden beispielsweise folgende Gr¨oßen durch Vektoren angegeben:

~r

~v ~a

9 KAPITEL 1. EINLEITUNG

F~ p~ ~e

Addition:

~a +~b = ~b + ~a Kommutativgesetz

~a + (~b + ~c) = (~a +~b) + ~c Assoziativgesetz

~a + ~o = ~o + ~a = ~a Neutrales Element, ~o=Nullvektor

~a + ( ~a) = ~a ~a = ~o inverses Element − −

Identit¨at: gleiche L¨ange (BETRAG) und gleiche Richtung

Zusammenfassung: a.) Vektoren im 2d:

ax ~a ax~c + ayd~ ax~ex + ay~ey [ax, ay] ≡ ≡ ≡ ≡ ay µ ¶

Fur¨ den Betrag (L¨ange) eines Vektors im Zweidimensionalen ergibt sich:

a = ~a = a2 + a2 | | x y q Die Betr¨age der normierten Basisvektoren der Ebene ist gleich 1:

~e = ~e = 1 | x| | y| Fur¨ die Normierung eines allgemeinen Vektors ~a ergibt sich: ~a ~a0 = = 1 ~a | | ~a ~a0 = | | = 1 | | ~a | | In Polarkoordinaten kann man die x- und y-Komponente eines Vektors folgendermaßen formulieren:

ax = a cos θ

ay = a sin θ cos θ ~a = ~a | | sin θ µ ¶ Damit l¨aßt sich der Vektor ~a schreiben als:

~a = a cos θ ~e + a sin θ ~e · x · y 10 1.2. PHYSIKALISCHE GROSSEN/EINF¨ UHR¨ UNG IN DIE VEKTORRECHNUNG

Bei Addition zweier Vektoren ~a und ~b addieren sich deren Komponenten einzeln:

~a +~b = ax~ex + ay~ey + bx~ex + by~ey = (ax + by)~ex + (ay + by)~ey

2 2 ~a +~b = (ax + bx) + (ay + by) ¯ ¯ q ¯ ¯ a + b ~a¯ +~b =¯ x x a + b µ y y ¶ Bei Multiplikation eines Vektors ~a mit einer Konstante n werden die einzelnen Komponenten von ~a mit n multipliziert.

na n ~a = x · nay µ ¶

~a +~b + ~c + d~ = (ax + bx + cx + dx)~ex + (ay + by + cy + dy)~ey b.) Vektoren im 3d: Analog gilt dies fur¨ Vektoren im R3:

a = ~a = a2 + a2 + a2 | | x y z q ~a = axex + ayey + azez

~a = [ax, ay, az]

ax a1 a oder a  y  2 az a3     ax bx ax + bx ~a +~b = a + b = a + b  y  y  y y  az bz az + bz       Fur¨ die S-Multiplikation (Skalar Vektor) ergibt sich: ·

sax s ~a = sa ·  y saz   ax bx ~a ~b = a b ~a ~b cos θ = a b + a b + a b ◦  y ◦  y ≡ | | · | | · x x y y z z az bz a ~e b~e +a ~e b~e + a ~e b ~e + ... + a ~e b ~e = a b ~e ~e +a b ~e ~e +a b ~e ~e x x · x x x x · y y x x · z z z z · z z x x · x · x y y · y · y z z · z · z 1 1 1 c.) Produkte von Vektoren: | {z } | {z } | {z }

0 Inneres Produkt “ (Skalarprodukt) ”◦ ~a ~b = a b + a b + a b = ~a ~b cos ϕ ◦ x x y y z z | | ¯ ¯ ¯ ¯ Hieraus ergibt sich also ein Skalar.¯ ¯

Kommutativgesetz:

~a ~b = ~b ~a ◦ ◦

Distributivgesetz:

~a (~b + ~c) = ~a ~b + ~a ~c ◦ ◦ ◦ 11 KAPITEL 1. EINLEITUNG

Orthogonalit¨at:

Wenn a b ist, gilt ~a ~b = 0. Bei Gleichheit der Vektoren (~a = ~b) erhalten wir: ⊥ ◦ ~a 2 = ~a ~a cos 0 = ~a 2 = a2 | | | | · | | · | | 0 Außeres¨ Produkt “ (Vektorprodukt) ”×

~a ~b a b sin θ ~e × ≡ · · · ~a×~b Es ergibt sich also ein Vektor, der senkrecht sowohl auf ~a als auch auf ~b steht. ~e ~a,~b ~a×~b ⊥

Beispiel fur¨ Skalarprodukt:

Arbeit=Kraft Weg ◦ W = F~ L~ = F~ L~ cos ϕ ◦ | | · | | ·

Beispiel fur¨ Vektorprodukt:

Drehmoment=Radius Kraft × 12 1.2. PHYSIKALISCHE GROSSEN/EINF¨ UHR¨ UNG IN DIE VEKTORRECHNUNG

M~ = ~r F~ × M~ = ~r F~ = ~r F~ sin ϕ | | | × | | | · | | Die Richtung des Vektorprodukts ~a ~b wird bestimmt durch die Drehrichtung von a nach b: wenn mann einen Korkenzieher oder die Finger ×der rechten Hand von a nach b dreht, gibt die Richtung des Korken- ziehers oder die Richtung des Daumens die Richtung des Vektorprodukts (senkrecht auf der a, b-Ebene) an.

13 KAPITEL 1. EINLEITUNG

14 Kapitel 2

Klassische Mechanik von Massenpunkten

2.1 Mechanik von Massenpunkten 2.1.1 Bewegung in einer Dimension a.) Generell:

m 0 Geschwindigkeit : s ³ ´ x(t + ∆t) x(t) v = − h i ∆t x(t + ∆t) x(t) dx v(t) = lim − = ∆t7→0 ∆t dt Umgekehrt folgt:

t2

x2 = x1 + v(t) dt

tZ1 m 0 Beschleunigung : s2 ³ ´ v(t + ∆t) v(t) a = − h i ∆t dv d2x a(t) = = dt dt2 b.) Spezialfall 1 Unbeschleunigte Bewegung: a(t) = 0

15 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

v(t) = v const. 0 ≡ x(t) = x + v t 0 0 · v(t) = v0 a(t) = 0 c.) Spezialfall 2: Konstante Beschleunigung

a(t) = a0 = const.

v(t) = a t + v 0 · 0 1 x(t) = a t2 + v t + x 2 0 0 · 0

Beispiel: Fallender Stein:

a(t) = g − v(t) = g t (v = 0) − · 0 1 x(t) = gt2 + h −2

0 Fallzeit :

g x(t) = t2 + h 2h − 2 t1 = x(t1) = 0 ) ⇒ s g

0 Bestimmung von g: 2h Man messe t1, h. Daraus folgt nun g = 2 . t1

16 2.1. MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

0 Zahlenbeispiel:

km Unfall in der Stadt : mit 50 gegen die Wand! h

m v = 13, 9 s Vergleiche mit Fall aus H¨ohe h = 9, 9 m. v g v2 Aus t = folgt h = t2 = g 2 2g ½ ¾

Beispiel: Kind spielt Ball:

17 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

2.1.2 2-dimensionale Bewegung

x(t) ~r(t) = x(t)~e + y(t)~e y(t) { x y} µ ¶ dx d2x 2 vx(t) dt d~r ax(t) dt2 d~v d ~r ~v(t) = = dy = ~a(t) = = d2y = = vy(t) dt ay(t) dt dt2 µ ¶ µ dt ¶ µ ¶ Ã dt2 !

Beispiel: Fall vertikal/mit horizontaler Bewegung

0 2h 1.) ~r(t) = t t(y = 0) = g t2 + h ⇒ 1 ≡ g µ− 2 ¶ s

v0 t 2h 2.) ~r(t) = g · t1 t(y = 0) = t2 + h ⇒ ≡ g µ− 2 ¶ s

2h l = v0 t = v0 · · s g

2.1.3 Dreidimensionale Bewegung

a (t) dvx dx df x dt d~v d2~r(t) d2~r x,˙ f 0 ~a(t) = a (t) = dvy = = dt ≡ dx ≡  y   dt  dt dt2 ≡ dt2 a (t) dvz ½ ¾ z dt     vx(t) x(t) ~v(t) = v (t) ~r(t) = y(t)  y    yz(t) z(t) Auch hier ist die Bewegung in x, y, z-Richtung unabh¨angig!  

Beispiel:

x(t) x0 + vxt y(t) = y0 + vyt z(t) z + v t g t2 0 z − 2    

18 2.1. MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

Beispiel: Affe im Baum

0 Bahn des Affen :

g 2 xA ~rA(t) = ~rA t ~ey = g 2 − 2 · yA t µ − 2 ¶ 0 Bahn der Kugel:

g 2 v0x t ~rK (t) = ~v0(t) t ~ey = · g 2 − 2 v0yt t µ − 2 ¶

Fur¨ t = tA trifft die Kugel den Affen:

~rA(tA) = ~rK (tA)

Es gilt somit: x = v t A 0x · A g g y t2 = v t t2 A − 2 A 0y A − 2 A

19 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

Damit folgt:

y v A = 0y = tan α xA v0x

Dies ist eine wahre Aussage. Der Affe ist wohl kein guter Physiker, da er von der Kugel getroffen wird.

2.2 Messungen und Datenauswertung

Messung einer physikalischen Gr¨oße durch Instrumente, die Messwerte in Basiseinheiten wiedergeben. Die Ge- nauigkeit ist begrenzt. Man unterscheidet zwischen 2 Fehlertypen (Unsicherheiten):

Systematischer Fehler • Statistischer Fehler • a.) Systematischer Fehler: Verf¨alschung der Messung durch unbekannte apparative Effekte (z.B. falsche Kalibration)

b.) Zuf¨allige Fehler: Wahrscheinlichkeit und Statistik

1 N 1 x = x = x = (x + x + . . . + x ) h i N · i N 1 2 N i=1 X N xw = lim xi N7→∞ i=1 X σx ist dabei ein Maß fur¨ die Breite:

1 N σ = (x x )2 x vN 1 · i − h i u i=1 u − X t σ Vertauschbarkeit: δ ( x ) = x h i √N

2.2.1 Zentraler Grenzwertsatz Vertrauen von großer Anzahl von Zufallszahlen (Messungen):

− 2 1 − (x µ) P (x; µ; σ) = e 2σ2 √2πσ

Im Intervall: µ 1σ 68% µ § 2σ 95% µ § 3σ 99, 7% §

20 2.2. MESSUNGEN UND DATENAUSWERTUNG

Mathematischer Einschub:

f = f(x1, x2, . . . , xN )

∂f f(xi + ∆x, x2, . . . , xN ) f(x1, x2, . . . , xN ) Die Ableitung = lim − heißt partielle Ableitung nach xi (ana- ∂x ∆x7→0 ∆x µ ¶ log xN ).

Beispiel:

x v(x, t) = t ∂v 1 ∂v x = ; = ∂x t ∂t −t2 2.2.2 Fehlerfortpflanzung Beispiel:

x ∂v 2 ∂v 2 v = ; σ = σ2 + σ2 t v ∂x x ∂t t sµ ¶ µ ¶ Es sei t = 15 s, σt = 0, 5 s, x = 100 m und σx = 10 cm. Damit ergibt sich: m m v = 6, 6 0, 2 s § s Allgemein gilt:

∂G 2 σ = σ2 G v ∂x xi u i µ i ¶ uX t Statistischer und systematischer Fehler werden getrennt behandelt. Die Alternative ist folgende einfachere Rech- nung (Gr¨oßtfehler-Addition). f(x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z)

Das 1.Glied der mehrdimensionalen Taylor-Entwicklung lautet:

∂f ∂f ∂f ∆f = ∆x + ∆y + ∆z ∂x ∂y ∂z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Beispiel:¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

R = xaybzc ∂R ∂R = axa−1ybzc; = xbyb−1zc ∂x ∂y Damit folgt:

R R R ∆R = a ∆x + b ∆y + c ∆z x y z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Fur¨ den¯ relativ¯ en ¯Fehler¯ ergibt¯ sic¯h: ∆R ∆x ∆y ∆z = a + b + c R | | x | | y | | z

21 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

Darstellung:

Wert=(Bestwert Unsicherheit) Maßeinheit § · Signifikante Stelle: m g = (9, 82 0, 02) § s2 m g = (9, 8 0, 2) § s2 2.3 Die Newtonschen Gesetze

dp~ dp N1: F~ = ~o ~a = 0 = ~o mit F = i ⇒ dt dt i X µ ¶ Solange keine resultierende Kraft auf einen K¨orper wirkt, verbleibt er in seinem Bewegungszustand.

F~ N2: ~a = (F~ = m ~a) m ·

Eine Kraft, die auf einen K¨orper mit Masse m einwirkt, fuhrt¨ zu einer Beschleunigung des K¨orpers, die proportional zur Kraft ist.

N3: F~ = F~ 12 − 21 Zu jeder einwirkenden Kraft gibt es immer eine Gegenkraft.

m [F ] = 1 kg 1 N s2 ≡ Auch: 1 kp = 9, 81 N ( Kilo“) ”

Einheiten:

kg m g cm 1 N = 1 · 1 dyn = 1 · s2 s2 m 1 kp = 1 kg 9, 8 = 9, 8 N (Gewicht von 1 kg auf der Erde) · s2 ft 1 lb = 1 slug 1 = 4, 45 N · s2 1 slug = 14, 5 kg ⇒

22 2.3. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

Beispiel:

Kraft zwischen Sonne und Erde (m = 6 1024 kg): E · 2 2 4π 11 −3 m −4 az = ω R = 1, 5 10 m = 6 10 , ( 6 10 g) (1 Jahr)2 · · · s2 ≈ ·

F = m a = 3, 6 1022 N z E · z · 2.3.1 Anwendungen von Newtons Gesetzen a.) Kraft am Faden

0 Seil h¨alt:

F~ = m ~g mG G · Da sich der K¨orper im Kr¨aftegleichgewicht befindet, ist die Vektorsumme aller Kr¨afte gleich 0:

F~i = ~o i X Die einzigen Kr¨afte, die auftreten, sind die Gewichtskraft und die Seilkraft. Die Summe aller Kr¨afte am ruhenden K¨orper ist gleich Null: ~ ~ FS + FmG = ~o

Damit folgt:

F~ = m ~g S − G · 0 Seil reißt:

23 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

F~ = m ~g = m ~a i G · T · i X m ~a = G ~g = ~g mT · Tr¨age und schwere Masse sind identisch! ⇒ Aquiv¨ alenzprinzip! ⇒ m = m m G T ≡ b.) Beschleunigung im elektrostatischen Feld:

0 Elektrostatische Kraft:

F~ = q E~ q ·

0 Kraft auf Elektron:

F = e E = m − a − e · e · e 0 Kraft auf Antiproton:

F = e E = m a e · p · p

a − m e = p 2000 ⇒ ap me− ≈

24 2.3. DIE NEWTONSCHEN GESETZE c.) Aufh¨angung an schr¨ager Rampe

Die allgemeine Betrachtung liefert:

F~i = F~N + F~S + m~g = ~o i X 0 K¨orper ist punktf¨ormig. 0 Alle Kr¨afte, die auf K¨orper wirken, einzeichnen! 0 Definiere optimales Koordinatensystem! 0 Wenn nicht spezifiziert, wird Reibung vernachl¨assigt.

Die Kr¨afte werden komponentenweise betrachtet: 0 x-Richtung:

F mg sin α = 0 S − 0 y-Richtung:

F mg cos α = 0 N −

25 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

Dann ergibt sich folgende L¨osung:

FS = mg sin α; FN = mg cos α d.) Bewegung eines reibungsfreien Klotzes

~ ~ FN + FS1 + m1~g = m1a~1 ~ FS2 + m2~g = m2a~2 Vektoriell geschrieben lautet die Kr¨aftebilanz:

F m a 0 0 0 S1 = 1 1 und + = F m g 0 F m g m a µ N − 1 ¶ µ ¶ µ S2 ¶ µ− 2 ¶ µ− 2 2¶ Wir betrachten nun die Kr¨afte komponentenweise und erhalten somit: x 1.K¨orper: y-Richtung: F m g = 0 N − 1 x-Richtung: FS1 = m1a1 y 2.K¨orper: y-Richtung: F m g = m a S2 − 2 2 2 Die beiden K¨orper erfahren die gleiche Beschleunigung, außerdem sind die beiden Seilkr¨afte gleich groß.

~a = ~a = a | 1| | 2| F~ = F~ | S1 | | S2 | m a m g = m a ⇒ 1 − 2 − 2 m a = 2 g ⇒ m1 + m2 0 ~a = ⇒ m2 g µ− m1+m2 ¶ 26 2.3. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

Diskussion:

m1 = 0 : a = g m : a g 2 7→ ∞ 7→ m : a 0 1 7→ ∞ 7→ m 2m : a 2a 2 7→ 2 7→ e.) Eisenbahn

0 3.Waggon:

~ ~ FN3 + m3~g + FS3 = m3~a

0 2.Waggon:

F~ + m ~g F~ + F~ = m ~a N2 2 − S3 S2 2 0 1.Waggon:

F~ + m ~g F~ + F~ = m ~a N1 1 − S2 S1 1 Die Kr¨afte in vertikaler Richtung, also die und die gleichen sich aus. Infolgedessen sind nur noch die waagerechten Kr¨afte von Bedeutung. Wir addieren die drei Gleichungen und erhalten so

~ FZ FS1 = (m1 + m2 + m3) a mit a = · m1 + m2 + m3

Fur¨ die anderen Seilkr¨afte folgt:

a.) FS3 = m3a

b.) FS2 = m3a + m2a

27 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

F~ F~ + m ~g + F~ = m ~a Z − S1 Z NZ Z f.) Die Geschichte vom faulen Pferd

Pferd:

F~ = ~o ~a = ~o i ⇒ i X F~ = F~ + F~ + F~ + m~g = ~o = m~a i − S P N i X h.) Schubkr¨afte Welche Kr¨afte wirken auf die Kl¨otze? 0 Klotz x: ~ / Normalkraft FN1 / Gewichtskraft F~ = m ~g m1 1 · / Druckkraft F~ − D 28 2.3. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

0 Klotz y: ~ / Normalkraft FN2 / Gewichtskraft F~ = m ~g m2 2 · / Druckkraft F~D Die Schubkraft F~ wirkt auf das ganze System bestehend aus den beiden Kl¨otzen.

1.) Beschleunigende Kraft F~ wirkt direkt auf Klotz x

Die Kr¨aftebilanz fur¨ das gesamte System lautet:

F~ + m ~g F~ + F~ + m ~g + F~ + F~ = ~a(m + m ) 1 − D N1 2 D N2 1 2 Speziell fur¨ den Klotz y erhalten wir:

F~ + m ~g + F~ = ~a m N2 2 D · 2 Die relevanten Komponenten sind diejenigen in x-Richtung:

Fx FDx = axm2 mit ax = m1 + m2 Damit ergibt sich also:

m2 FDx = Fx · m1 + m2

Diese Kraft ist gleich der Kraft F~2x, mit welcher der zweite Klotz beschleunigt wird. 2.) Beschleunigende Kraft F~ wirkt direkt auf Klotz y

F = F~ ~e x −| | · x a = ~a ~e x −| | · x Damit ergibt sich fur¨ die Kraft F~Dx auf den ersten Klotz:

Fx FDx = m1ax mit ax = m1 + m2 Damit gilt also:

m1 FDx = Fx · m1 + m2 h.) Kr¨afte im Aufzug

29 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

1. Aufzug steht:

F~N + m~g = ~o

F = m g N · 2. Aufzug beschleunigt:

F~N + m~g = m~a

y-Richtung: F mg = ma N − 0 Beschleunigung nach oben: a > 0

F~ = m (g + a) N · 0 Beschleunigung nach unten: a = ~a −| | F~ = m (g ~a ) N · − | |

Spezialfall: a = g : FN = 0

2.3.2 Kreisbewegung

˜r(t), v˜(t), a˜(t) ¨andern sich laufend! Bogenweg: s = rθ

ds d(rθ) dθ Geschwindigkeit: ~v = dt = dt = r dt Winkelgeschwindigkeit: ω dθ = θ˙ ≡ dt 30 2.3. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

Einheiten: Radiant/Sekunde [rad/s]

Oder nach Integration: θ = ωdt = ωt + θ0 fur¨ ω=konstant R

Einfuhrung¨ von Polarkoordinaten:

x(t) cos θ(t) ~r(t) = = r r = ˜r(t) = const. (> 0) y(t) · sin θ(t) | | µ ¶ µ ¶ ~r(t) = r ˜e (t) · r cos θ(t) ˜e (t) = r sin θ(t) µ ¶ sin θ(t) ˜e (t) = θ −cos θ(t) µ ¶ d(cos θ(t)) d˜r dt dθ(t) sin θ(t) dθ v˜(t) = = r = r − = r ˜eθ(t) dt d(sin θ(t)) dt cos θ(t) dt à dt ! µ ¶ v˜ ˜r ⇒ ⊥ Kettenregel:

df(g(x)) dg(t) df = dt dt · dg dθ cos(θ(t) + π ) ~v(t) = r 2 dt sin(θ(t) + π ) µ 2 ¶ ~v ~r ⇒ ⊥ 2 d2θ sin θ(t) dθ cos θ(t) ~a(t) = r − + r − dt2 cos θ(t) dt · sin θ(t) µ ¶ µ ¶ µ− ¶ Produktregel:

d(f g) dg df · = f + g dt · dt · dt d2θ dθ 2 ~a(t) = r ~e (t) r ~e (t) = ~a (t) + ~a (t) dt2 · θ − dt r θ r µ ¶ ∧ ~aθ(t) = Tangentialbeschleunigung

∧ ~ar(t) = Zentripetalbeschleunigung

31 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

2.3.3 Sonderfall: Konstante Kreisbewegung

~r(t) = r const. | | ≡ ~v(t) = v const. | | ≡ dθ dθ v = r ~e = r · dt · θ dt ¯ ¯ ¯ ¯ d¯θ v ¯ ¯ = (Wink¯ elgeschwindigkeit) ⇒ dt r v θ(t) = t + θ ⇒ r · 0 Mit der Umlaufzeit T folgt: 2πr v = ω r; ω Winkelgeschwindigkeit/Kreisfrequenz (ω = 2π ν) T ≡ · ≡ · Damit ergibt sich:

θ(t) = ω t + θ · 0 cos(ωt + θ ) ~r(t) = r 0 · sin(ωt + θ0) µ ¶ sin(ωt + θ ) ~v(t) = r ω − 0 · · cos(ωt + θ0) µ ¶ cos(ωt + θ ) ~a(t) = r ω2 − 0 · · sin(ωt + θ0) µ− ¶ Zentripetalbeschleunigung (Tangentialbeschleunigung=0)

In Skalaren:

~r(t) = r | | ~v(t) = v = r ω | | · v2 v ~a(t) = a = rω2 = mit ω = | | r r r

32 2.3. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

Illustration:

Beispiele:

a.) Unsere Geschwindigkeit am Aquator¨

r = 6380 km, T = 24 h 2π 6380 km 2π km m v = r ω = r = · = 1670 = 464 · · T 24 h h s v2 m a = = 0, 034 0, 0034g r s2 ≈ Sie wiegen am Aquator¨ 200 g weniger als am Nordpol! ⇒ b.) Wie kurz w¨are der kurzeste¨ Tag, bei dem Sie noch nicht abheben?

4π2 a = g = rω2 = r r T 2 r T = 2π = 1, 4 h ⇒ g r Dies entspricht der Umlaufzeit eines Satelliten im erdnahen Orbit.

33 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

2.3.4 Rotationsdynamik Ehedem: Kinematik der Drehbewegung

Es wirkt die Zentripetalkraft:

F~ = m ~a z · z Es gilt fur¨ die Beschleunigung:

F~ ~a = z z m Damit folgt dann fur¨ die Bewegungsgleichung:

2 cos(ωt + φ0) ∧ ~az(t) = ω R mit ω = Kreisfrequenz − sin(ωt + φ0) µ ¶ Durch zweimalige Integration nach t erhalten wir ~r(t):

cos(ωt + φ ) ~r(t) = R 0 · sin(ωt + φ0) µ ¶ F Mit ~a = ω2R = z resultiert: | z| m

F ω = z m R r · Damit folgt also schließlich:

Fz Fz cos t + φ0 sin t + φ0 mR Fz − mR ~r(t) = R  µ ¶ und ~v(t) = R  µ ¶ · q · mR · q sin Fz t + φ r cos Fz t + φ  mR 0   mR 0   µ ¶  µ ¶   q   q  Beispiele: a.) Drehpendel

34 2.3. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

m~g + F~Zug = m~az x-Richtung: FZug sin α = maz a = g tan α = ω2R = ω2l sin α  z · y-Richtung: FZug cos α = mg  Hiermit folgt fur¨ die Kreisfrequenz ω und der Periodendauer T :

g ω = l cos α r

l cos α T = 2π s g

Diskussion:

l Fur¨ α 0◦ resultiert T 2π . Es handelt sich also um die Periodendauer eines Pendels. 7→ 7→ sg

Projektion:

α 90◦ 7→ T 0 7→

35 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

b.) Auto im Winter

m~g + F~N = m~az Betrachten wir folgendes Zahlenbeispiel: km v = 200 , R = 1 km, α = ? h

x-Richtung: ma = F sin α z − N = mg tan α − Hiermit haben wir folgende Beschleunigung: v2 a = g tan α = z − − R 36 2.3. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

2 103 m2 v2 200 3600 s2 tan α = = · = 0, 315 R g ³1000 m 9,´81 m · · s2 Damit ergibt sich folgender Winkel:

α = 17, 5◦

c.) Straße mit Reibung

f~H + F~N + m~g = m~az

f v2 x-Richtung: a = H = µ g = z m H · R Damit folgt fur¨ die Geschwindigkeit:

v = R µ g · H · p Solange v √R µ g rutscht das Auto nicht! Wenn v > √R µ g beginnt es zu rutschen! ≤ · H · · H · 2.3.5 Das Federpendel Bis jetzt kennen wir:

37 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

F = m g Gravitationskraft ·

F = FN Normalkraft

F = FZ Zugkraft

F = FD Schubkraft

Bis jetzt waren Kr¨afte konstant. Damit galt die Bewegungsgleichung: ~a ~r(t) = t2 + v~ t + r~ 2 0 0 Als Beispiel fur¨ eine Kraft, die nicht konstant ist, wollen wir die Federkraft n¨aher betrachten:

Das sogenannte Hookesche Gesetz lautet:

F~ = k~x mit k =∧ Federkonstante F −

38 2.3. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

Es ergibt sich folgende Beschleunigung:

F kx a = F = F m − m

a.) Bewegungsgleichung:

d2x(t) k a(t) = = x(t) dt2 −m · Differentialgleichung 2.Ordnung

Wir verw| enden {zzur L¨osung} folgenden Ansatz:

x(t) = x0 cos(ωt + θ0)

Wir setzen dies in die Gleichung ein: k x¨(t) = ω2x cos(ωt + θ ) = x cos(ωt + θ ) − 0 0 −m 0 0

k ω = ⇒ rm Wir haben folgende Randbedingungen:

x(t = 0) = x0

= x0 cos(θ0)

θ = 0 ⇒ 0 Die L¨osung lautet dann:

k x(t) = x0 cos t Ãrm !

39 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

2π Aus ω = 2πν = T folgt:

2π m T = = 2π ω k r b.) Anwendung: Gewichtsmessung

F~F + m~g = ~o

Betrachten wir die y-Komponente:

ky = mg − Damit ergibt sich: mg y = − k Damit folgt das Gewicht des Massestuc¨ ks:

mg = ky

40 2.3. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

2.3.6 Reibung

x Haftreibung f~H (vrel = 0) Verklebung“ zweier K¨orper durch Rauhigkeit oder elektrostatische Kr¨afte ”

y Gleitreibung f~G (vrel > 0) z (Reibung durch Viskosit¨at)

a.) Illustration :

fH = µH FN · µ =∧ Reibungskoeffizient  f = µ F G G · N  yH > yG  F~ + f~ + F~ + m~g = m~a F~ > f~ G N | | | G| ³ ´ F~ + f~ + F~ + m~g = ~o F~ f~ H N | | ≤ | H | Sonderfall : ³ ´

F~ + f~G + F~N + m~g = ~o

Fur¨ F~ = f~ gleitet der K¨orper mit konstanter Geschwindigkeit. − G b.) Beispiel:

41 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

x-Richtung: mg sin α + f = 0 − H y-Richtung: F mg cos α = 0 N − f = mg sin α ⇒ H F = mg cos α ⇒ N Mit f = F µ und µ = tan α, wobei α der maximal m¨ogliche Wert ist (bevor m gleitet). H N · H H ◦ ◦ Holz auf Holz : µH = tan 26 = 0, 49 µG = tan 10 = 0, 18 ◦ ◦ Sandpapier auf Holz: µH = tan 33 = 0, 65 µG = tan 28 = 0, 53

2.3.7 Arbeit und Energie (Oder seit Adam und Eva das Paradies verlassen mußten)

Arbeit Kraft Weg ≡ × Einfachster Fall:

A = F d ·

A = F d S · Genereller:

A = F~ d~ ·

A = FZug d = F~Zug d cos α x · · · ¯ ¯ ¯ ¯ 42 2.3. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

Allgemein:

A = ∆A = F~ ∆r~ ~a7→~b i i · i i i X X ~b F~ (~r) d~r ⇒ Z~a

~b

A = (Fx dx + Fy dy + Fz dz) Z~a m2 [A] = 1 kg 1 Nm s2 ≡ 1 Joule ≡ 1 Ws ≡ Illustration: a.) Klettern auf Stufe (v=const.)

F~ + m~g = ~o F = mg

0 0 A = F~ ~h = = m g h · mg · h · · µ ¶ µ ¶ Professor Muller¨ steigt die Stufe hinauf: m A = 0, 5 m 9, 81 80 kg = 392 Nm = 392 Ws · s2 · 43 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

Mit dieser Arbeit kann man eine 40 W-Gluh¨ birne 10 s leuchten lassen! b.) Schiebe Kiste (v =const.)

F~N + m~g + F~S + f~G = ~o

Kraft, die Arbeit leistet:

F~ = f~ S − G A = F~ d~ = f (b a) S · G · − c.) Dehnung einer Feder

x-Richtung: FZug = k x ·

FZug = k x ·

b k A = kx dx = b2 2 Z0

44 2.3. DIE NEWTONSCHEN GESETZE d.) Schiebe Schaukel an:

Keine Beschleunigung:

F~Zug + F~ + m~g = ~o 0 x-Richtung:

F FZug sin α = 0 − 0 y-Richtung:

FZug cos α mg = 0 −

F = FZug sin α = m g tan α ⇒ · · ~b ~b ~b A = F~ (~r) d~r = (F dx + F dy + F dz) = m g tan α dx x y z · · · Z~a Z~a Z~a dy Mit tan α = dx folgt:

~b by dy A = mg dx = mg dy = mg (b a ) = m g h dx · y − y · · Z~a aZy

~b x Arbeit A = F~ d~r P Z~a Arbeit im konservativen Kraftfeldern unabh¨angig vom Weg:

~b ~b ~a A = F~ d~r = F~ d~r = F~ d~r P1 P2 − Z~a Z~a Z~b

45 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

~ A~a7→~b = F d~r = 0 I

Beispiele:

0 (Homogenes) Gravitationsfeld

b A = mg dy = mg(b a) − Za

a A = + mg dy = mg(b a) ~b7→~a − − Zb

A~a7→~a = 0 0 Federkraft

F = kx (Hookesches Gesetz) −

46 2.3. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

Fur¨ die Zugkraft ergibt sich:

FZug = +kx

b a 1 A = kx dx = k(b2 a2) = kx dx = A a7→b 2 − − − b7→a Za Zb 0 Nicht konservative Kraft: Reibung

b A = f dx = f (b a) a7→b G G − Za

a A = f dx = f (b a) = A b7→a − G G − a7→b Zb Das heißt:

A = f~ d~r = 0 a7→a G 6 I

Definition von konservativen Kr¨aften:

Die Kraft ist konservativ, wenn es eine skalare Funktion gibt, fur¨ die gilt:

F~ (~r)= ~ V (~r) −∇ Nabla (arab.Pfeil) |{z} ∂ ∂x ~ ∂ ∧ ∂y (∂ = partielle Ableitung ) ∇ ≡  ∂  ∂z  

47 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

∂ ∂x dx ~ ∂ A~a7→~a = F d~r = ∂y V (~r) dy = −  ∂  dz I I ∂z     d~r

ax ay az ∂ ∂ | {z } ∂ = V (~r) dx V (~r) dy V (~r) dz = − ∂x − ∂y − ∂z aZx aZy aZz = V (a ) V (a ) + V (a ) V (a ) + V (a ) V (a ) = 0 − x − x y − y z − z y Kinetische ¡Energie: ¢ Wenn resultierende Kraft Arbeit leistet (F~ = m~a), bekommt das Objekt kinetische Energie:

~b ~b ~b v~b d~v(t) 1 A = F~ d~r = m ~a(~r, t) d~r = m d~r = m~v d~v = m(v2 v2) = E (~b) E (~a) · dt 2 b − a k − k Z~a Z~a Z~a vZ~a

z Potentielle Energie: Potentielle Energie ist gespeicherte Energie, die vollst¨andig umgewandelt werden kann in kinetische Ener- gie.

~b A = F~ d~r = E (~b) E (~a) p − p Z~a

Energieerhaltungssatz: Die Summe aller Energien in einem abgeschlossenen System ist konstant. Spezialfall: reibungslose mechanische Energie

E = Ek(~a) + Ep(~a) = Ek(~b) + Ep(~b) = const.

∆E = ∆E + ∆E = 0 ⇒ k p Illustrationen und Beispiele: a.) Fallender Gegenstand

1 E = E (a) + E (a) = m g h + 0 = E (b) + E (b) = 0 + mv2 p k · · p k 2 Damit ergibt sich folgende Geschwindigkeit:

v = 2gh p b.) Beschleunigung eines Gleiters

48 2.3. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

1 1 E = m gh + 0 = m gh + m v2 + m v2 2 a 2 b 2 2 2 1 Hiermit folgt:

2m g (h h ) v = 2 a − b s m2 + m1

Betrachten wir wiederum folgendes Zahlenbeispiel:

h = h h = 1, 47 m a − b m = 6 10−3 kg 2 · m1 = 0, 255 kg m vtheoretisch = 0, 81 ⇒ s m vexperimentell = 0, 77 ⇒ s c.) Kanonenschuß

Energien:

1 1 E = E (a) + E (a) = mgh + mv2 = E (b) + E (b) = 0 + mv2 p k 2 a p k 2 b v = 2gh + v2 ⇒ b a p 49 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK VON MASSENPUNKTEN d.) Illustration: Schwingendes Pendel

Ea = mgha 1 E = mv2 + mgh b 2 b b

Ec = mgha e.) Federkraft

E = E = m g h a · · a 1 E = m g h + mv2 b · · b 2 b

1 E = mgh + kx2 c 2 0 1 m g h = m g h + kx2 ⇒ · · a · · c 2 0

2mg(ha hc) x0 = − ⇒ r k

50 2.3. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

Energiediagramme: Federpotential:

E = Ek + Ep = const.

Gravitationspotential:

Gm m E (r) = 1 2 p − r

51 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

Elektrostatisches Potential:

q1q2 Ep(r) = −4π²0r 0 Bisher: Es galten die Gesetze der Erhaltung mechanischer Energie, d.h. wir verzichteten auf dissipative Kr¨afte. ~ ~ E = Ep(~a) + Ek(~a) = E(b) + Ek(b) = const.

∆E = ∆Ep + ∆Ek = 0 0 Jetzt: Die innere“ Energie ist eine Art Arbeit, welche nicht vollst¨andig in kinetische Energie (im allgemeinen ” mechanische Arbeit) zuruc¨ kgewandelt werden kann.

Beispiel: Fur¨ Reibung, W¨armeenergie, Verformungsenergie, innere“Energie gilt: ” Etot = Ep(~a) + Ek(~a) = Ep(~b) + Ek(~b) + EIN

~ F2 − F~IN d~r ~ F|1 {z} R

52 2.3. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

Rechenbeispiel: Achterbahn mit Looping

a.) Ohne innere Energie“ ” A.) E = m g h + 0E A · · 1 B.) E = 0 + mv2 B 2 0 1 C.) E = m g (2R) + mv2 C · · 2 1 Hiermit folgt:

v0 = 2gh v = p2gh 4gR 1 − p Zahlenbeispiel:

Es sei h = 60 m, R = 20 m und m = 600 kg. Damit ergeben sich folgende Geschwindigkeiten: m v 34, 29 0 ≈ s m v 19, 8 1 ≈ s b.) Jetzt wollen wir auf der Strecke d bremsen. (REIBUNG AN!) A.) E = m g h + 0 + 0 A · · 1 B.) E = 0 + mv2 + 0 B 2 0 x0+d 1 D.) E = 0 + mv2 + f dx D 2 2 g xZ0

~r2 x0+d

EIN = f~ d~r = f dx − g − − g ~rZ1 xZ0

Zahlenbeispiel:

d = 40 m µ = 0.5

2fgd m v2 = 2gh = 2gh 2µgd 28 (mit fg = m g µ) ⇒ r − m − ≈ s · · p 53 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

Zentral: Energieerhaltung Die Energie E ist eine mengenartige Gr¨oße. Energietransformationen in einem geschlossenen System:

Etot = Ep + Ek + EIN = const.

∆E = ∆Ep + ∆Ek + ∆EIN = 0

Beispiel:

1 2 1.) Etot = m g y + kd ; E = 0; EIN = 0, EIN = 0 · · 1 2 k 1 2

1 2 2.) Etot = m g y + mv ; EIN = 0, EIN = 0 · · 1 2 0 1 2

1 2 3.) m g y + mv + EIN · · 1 2 1 1

1 2 4.) m g y + mv + EIN + EIN · · 1 2 2 1 2

5.) m g (y + h) + EIN + EIN · · 1 1 2 Energietransformationen: 1 1 2.) mv2 = kd2 2 0 2

1 2 1 2 1 2 2 3.) EIN1 = mv mv = m v v 2 1 − 2 0 2 1 − 0 ¡ ¢ 1 2 2 4.) EIN2 = m(v v ) 2 2 − 1 1 5.) mgh = mv2 2 2 Zu jedem Zeitpunkt (Ort) kann man somit die Bewegung beschreiben.

RECHNEN MIT ENERGIEN IST HAUFIG¨ EINFACHER ALS MIT BEWEGUNGSGLEICHUNGEN ODER KRAFTEN!¨

54 2.3. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

Leistung (engl. power):

A P = (Arbeit im Zeitintervall) h i t dA kg m2 P = , [P ] = 1 · = 1W dt s3 Nach James Watt (*1736): Entwickler der modernen Dampfmaschine (Auch 1 PS = 735, 4988 W)

Versuch: Wir bestimmen die Leistung des Ubungsgrupp¨ enleiters, H¨ohe: 3m m m g h 80 kg 9, 81 2 3 m 3 PS 3 P = · · = · s · = PS h i t t ≈ 5 s 5

Zusammenhang zwischen mechanischer und elektrischer Leistung:

m 1 W = 1 N = 1 VA; Lampe: 50 100 W s − Porsche : 1200 kg, t = 5 s km m v = 0 v = 100 28 ⇒ h s ³ ´ 2 1 mv2 1 1200 kg 28 m P = 2 = 2 · · s 94 kW = 126 PS h i t t ¡ ¢ ≈ Schwerpunkt und Impuls: Bis jetzt haben wir K¨orper nur im geschlossenen System betrachtet. Jetzt wollen wir makroskopische Systeme, in denen N Teilchen miteinander wechselwirken, untersuchen. Unser Interesse gilt der Gesamtbewegung des Systems.

Beispiel:

Unsere Milchstraße besteht aus ungef¨ahr 1010 Sonnen. Jeder Stern hat Eigenbewegung und außerdem bewegt sich das ganze. Also definieren wir:

0 Massenmittelpunkt

0 Schwerpunkt

0 center of mass (CM)

1 ~rCM = ~r(m) dm fur¨ unendlich viele Teilchen (Sonnen) m Z N miri i ~rCM = fur¨ N Teilchen PN mi i P ~rCM ist der massegerichtete Mittelwert der Abst¨ande.

55 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

Beispiel 1:

0 2 2 0 m + 2m + 3m + 4m 0 0 1, 5 1, 5 1 ~r = µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ = CM m + 2m + 3m + 4m 1, 05 µ ¶ Beispiel 2: Erde-Mond

mE~rE + mM ~rM mErE + mM rM ~rCM = = − = 0, d = xE + xM mE + mM mE + mM Betrachten wir folgendes Zahlenbeispiel:

24 22 mM d mE = 6 10 kg; mM = 7 10 kg xE = · · ⇒ mE + mM

Der Impuls: Geschwindigkeit Masse × kg m [p] = · s p~ = ~v m gilt fur¨ Vielteilchensysteme als auch fur¨ massive K¨orper. · mi~ri ~r = i m = m CM P m i i i i X P mi~ri d i 1 ~vCM = = p~ dtPm m · i i X Analog gilt dies fur¨ die Beschleunigung.

m ~a d 1 i i 1 ~a = m ~v = i = F~ CM dt m i i P m m i i i X X Ohne ¨außeren Kr¨afte gilt: Ziehen wir das 1.Newtonsche Gesetz zu Rate:

F~ = 0 m ~aCM = ~o i ⇒ · i X d~v dp~ m~a = m CM = CM CM dt dt 56 2.3. DIE NEWTONSCHEN GESETZE

dp~ dp~ CM = i = 0 oder p~ = const. dt dt CM i X Das Gesetz der Impulserhaltung folgt direkt aus Newton.

Wenn keine externen Kr¨afte vorhanden sind, ist die Summe aller Momente im geschlossenen System konstant

Ballistisches Pendel:

m1v1 = (m1 + m2)v2 1 (m + m )v2 = (m + m )g h 2 1 2 2 1 2 · v2 = 2gh pm1 + m2 v1 = 2gh m1 p Da es keine ¨außeren Kr¨afte gibt, ist ~rCM erhalten.

57 KAPITEL 2. KLASSISCHE MECHANIK VON MASSENPUNKTEN

58 Kapitel 3

Lineare Bewegungen fur¨ Systeme von Massenpunkten

3.1 Schwerpunkt und Impuls (CM=center of mass)

mi~ri i ~rCM ≡ P mi i P

Fur¨ unendlich viele Teilchen kann man dies verallgemeinern: 1 1 ~rCM = ~r dm = ~r ρ(~r) dm M · M · · Z Z

mi~vi ~v = i ; CM PM

M ~vCM p~CM = p~ · ≡ i i X mi~ai i ~aCM = ; M ~aCM = F~CM = F~ PM · i i X 59 KAPITEL 3. LINEARE BEWEGUNGEN FUR¨ SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

Der Impulserhaltungssatz:

In einem geschlossenen System ohne resultierende EXTERNE Kraft ist der Gesamtimpuls erhalten (Beachte: alle interne Kr¨afte zwischen den Massenpunkten heben sich nach dem 3. Newtonschen Gesetz auf!) :

dp~ F~ = ~o =∧ i = ~o i dt i i X X

1. Beispiele, Demonstrationen:

Wenn keine ¨außeren Kr¨afte wirken, ist p~CM erhalten. ODER: WIE ERFAHRE ICH DAS GEWICHT MEINES UBUNGSGR¨ UPPENLEITERS? (funktioniert auch bei Frauen!)

Ricardo, Carmelita in einem Boot:

mR = 80 kg, mC = ?

mB = 30 kg l = 3 m Die beiden tauschen die Pl¨atze. Dabei bewegt sich das Boot um 40 cm.

MxCM = mRxR + mBxB + mC xC

60 3.1. SCHWERPUNKT UND IMPULS (CM=CENTER OF MASS)

Auch gilt: xC = xR + l d = 0, 40 m 0 0 0 0 Mx = m x + m x + m x = m (x d) + m (x d) + m (x d) = MxCM CM R R B B C C R C − B B − C R − m (l d) m d m = R − − B 57, 6 kg C l + d ≈

Sie stehen auf dem Eis, werfen Schuh von sich:

mSt = 73 kg vCM = 0 m m = 2 kg v = 10 Sch Sch s Keine resultierenden ¨außeren Kr¨afte: p~CM = const. = p~1 + p~2

Hier: p~CM = ~o = mSt~vSt + mSch~vSch x-Richtung: mSch vSch mSt vSt = 0 − mSch 2 kg m m vSt = vSch = 10 0, 26 ⇒ mSt 23 kg · s ≈ s

Beispiele:

CM-Bewegung mit externer Kraft:

Betrachte Fall der Kugeln:

61 KAPITEL 3. LINEARE BEWEGUNGEN FUR¨ SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

a.) Kugeln kleben zusammen

M = m1 + m2

F~CM = m ~g + m ~g = M~g = 0 1 2 6 d p~CM = M~g ⇒ dt 0 0 p~ = ;~v = CM Mgt CM gt µ− ¶ µ− ¶ 0 ~r = CM g t2 + h µ− 2 ¶ b.) Kugeln bewegen sich auseinander:

v t v t ~r (t) = 1 ; ~r (t) = 2 1 h− g t2 2 h g t2 µ − 2 ¶ µ − 2 ¶

m1~r1(t) + m2~r2(t) 1 m1v1t + m2v2t 0 ~rCM (t) = = − g = g M M M h t2 h t2 µ − 2 ¶ µ − 2 ¶ (m1v1 m2v2 = 0) ¡ ¢ − 0 ~v (t) = CM gt µ− ¶ p~CM (t) = M ~vCM (t) = M ~g t · · · dp~ (t) CM = M ~g dt · 2. Systeme mit variierender Masse: Raketen

p~ = (m + m ) ~v = M v CM R B · 0 · 0

t = t0 + ∆t

62 3.1. SCHWERPUNKT UND IMPULS (CM=CENTER OF MASS)

p~0 = (m ∆M)(~v + ∆~v) + ∆M ~u = CM − 0 · = (M ∆M) (~v + ∆~v) + ∆M(~vrel + ~v ) = − · 0 0 = M~v + M∆~v ∆M~v ∆M∆~v +∆M~vrel + ∆M~v = p~ = M~v 0 − 0 − 0 CM 0 klein Damit resultiert: | {z }

M∆~v + ∆M~vrel = 0 dM d~v Fur¨ ∆t 0 : ~vrel +M = 0 7→ dt dt Schubkraft Wir zerlegen dies| {zin Komp} onenten: dM dv − ~v = M dt rel dt

vend dM 1 = dv − M vrel Z vZ0

M = mR + mB Damit ergibt sich dann fur¨ die Endgeschwindigkeit:

mR + mB vend = vrel ln + v · m 0 µ R ¶

Beispiele:

a.) Saturn V (Apollo):

Der Brennstoff dieser Rakete besteht aus Kerosin und flussigem¨ Sauerstoff (O2(l)).

7 m vrel = 3, 1 10 · s

mR + mB = 2450 t (!)

mB = 1700 t Die Brenndauer des Treibstoffs betr¨agt 100 s.

Unter Vernachl¨assigung der Gravitation ergibt sich eine Endgeschwindigkeit von: m v = 3700 end s Korrekt ist jedoch: m m m vend = 3700 g 100 s = 2700 < 10700 (Fluchtgeschwindigkeit)! s − · s s Dies ist viel zu wenig! Die L¨osung dieses Dilemmas ist nun die Mehrstufenrakete, bei welcher im Laufe des Flugs mR reduziert wird!

63 KAPITEL 3. LINEARE BEWEGUNGEN FUR¨ SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

b.) Reise um n¨achsten Stern (α-Centauri):

! 8 m vend = c = 3 10 · s 0 Konventioneller Treibstoff:

9 m H (l) + O (l) vrel = 5 10 2 2 → · s 5 mR = 10 kg

mR + mB vend = vrel ln · m µ R ¶ Damit gilt:

vend m = m e vrel 1 B R · − ³ ´ 4912 Fur¨ vend = c ergibt sich eine Masse des Brennstoffs von 10 kg! Dies geht nicht! 0 Kernfusion von D + T :

7 m vrel = 3 10 · s m = 2, 2 106 t B · Geht auch nicht! 0 Antimaterie: a.) Erzeugung:

b.) Vernichtung von Materie und Antimaterie im Raumschiff: Ruc¨ kstoß p + p π+π−π0 (typisch) →

c c· 2 m = 100 t e 3 1 450 t B · − ≈ µ ¶ Muß mitgenommen werden zum Bremsen: c c· 2 m = 550 t e 3 = 2465 t ⇒ B · Allerdings wurde bislang nur ca. 0,1 mg an p hergestellt!

3.2 Elastische und unelastische St¨oße Elastische St¨oße : Kinetische Energie vor und nach dem Stoß sind gleich:

Etot = Eki + Epi = Ekf + Epf (i=initial, f=final)

Eki = Ekf

64 3.2. ELASTISCHE UND UNELASTISCHE STOSSE¨

Inelastische St¨oße :

Ekf = Eki Q (Q=innere Energie) − Beispiele von St¨oßen: Beim Billard :

Gravitation:

Kraftub¨ ertragung durch Kraftstoß:

tf ∆p~ = p~ p~ = F~ dt 1 1f − 1i 27→1 tZi

tf ∆p~ = p~ p~ = F~ dt 2 2f − 2i 17→2 tZi 3.Newtonsches Gesetz : F~ = F~ ∆p~ + ∆p~ = ~o 21 − 12 ⇒ 1 2 p~CM = p~ + p~ = p~ + p~ = const. ⇒ 1i 2i 1f 2f Impulserhaltungssatz ⇒ Spezialfall: Elastischer Stoß

p~CM = const. = m1~v1i + m2~v2i = m1~v1f + m2~v2f 1 1 1 1 E = const. = m v2 + m v2 = m v2 + m v2 k 2 1 1i 2 2 2i 2 1 1f 2 2 2f

65 KAPITEL 3. LINEARE BEWEGUNGEN FUR¨ SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

Illustration: Im eindimensionalen Fall gilt:

m (v v ) = m (v v ) 1 1i − 1f 2 2f − 2i 1 1 m v2 v2 = m v2 v2 2 1 1i − 1f 2 2 2f − 2i v ¡+ v = v¢ + v ¡ ¢ ⇒ 1i 1f 2i 2f v v = v v ⇒ 1i − 2i 2f − 1f Einsetzen ergibt:

m m 2m v = v 1 − 2 + v 2 1f 1i m + m 2i m + m µ 1 2 ¶ µ 1 2 ¶ 2m m m v = v 1 + v 2 − 1 2f 1i m + m 2i m + m µ 1 2 ¶ µ 1 2 ¶ Beispiele:

0 m1 = m2 (Billard)

v1f = v2i v2f = v1i

0 m1 = m2 und v2i = 0

v1f = 0 v2f = v1i

0 m = und v = 0 2 ∞ 2i

v = v + v 2 1f − 1i 2i · =0 v2f = 0 | {z }

0 m = und v = 0 1 ∞ 2i

v1f = v1i v2f = 2v1i

Inelastischer Stoß:

p~CM = const., ECM = const.! 6 1 2 1 2 Etot = E + E = m v + m v = E + E + Q (Q U “) k1i k2i 2 1 1i 2 2 2i k1f k2f ≡ ” int 1 1 = m v2 + m v2 + Q 2 1 1f 2 2 2f

66 3.2. ELASTISCHE UND UNELASTISCHE STOSSE¨

Illustration: Eindimensional, total inelastisch:

Impulserhaltung: m1v1i + m2v2i = (m1 + m2)vf = pCM (= const.)

m1v1i + m2v2i vf = ⇒ m1 + +m2

Beispiel fur¨ Energie/Impulserhaltung: Man hat β-Zerf¨alle untersucht:

Hierbei wurde festgestellt, daß p~Ki > p~Kf + p~e− . Die L¨osung des Problems ist nun folgende:

Postulat von Pauli (1933): Neutrino

Energie:

1 1 1 E = m v2 + m v2 = (m + m )v2 + Q tot 2 1 1i 2 2 2i 2 1 2 f

1 m1m2 2 Q = (v1i v2i) ⇒ 2 m1 + m2 −

Allgemeine Anwendung von St¨oßen:

Aus der Bewegung am Anfang und am Ende kann man Ruc¨ kschlusse¨ ub¨ er den Stoßprozess ziehen.

67 KAPITEL 3. LINEARE BEWEGUNGEN FUR¨ SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

Beispiele: 0 m = m , v = v 1 2 2i − 1i

1 2 v = 0; Etot = 2 m v = Q ⇒ f · 2 1 1i

0 m1 = m2, v2i = 0

1 v = v ⇒ f 2 1i 1 1 1 1 E = m v2 = (m + m )v2 + Q = m v2 + m v2 tot 2 1 1i 2 1 2 if 4 1 1i 4 1 1i 0 m = , v = 0 2 ∞ 2i

1 2 v = v = 0, Etot = Q = mv ⇒ f 2i 2 1i

0 m = , v = 0 1 ∞ 2i

1 2 v = v , Etot = , Q = m v ⇒ f 1i ∞ 2 2 1i

St¨oße in 2 bzw. 3 Dimensionen: Es gibt 2 gebr¨auchliche Systeme, um St¨oße zu beschreiben:

x Schwerpunktsystem (CM-System, center of mass) Beobachter ruht im Massenschwerpunkt.

68 3.2. ELASTISCHE UND UNELASTISCHE STOSSE¨

p~CM = m1~v1i = m2~v2i = m1~v1f + m2~v2f = ~o

y Laborsystem

Der Beobachter ruht im m2

b“ ist der sogenannte Impaktparameter. ”

p~CM = m1~v1i = m1~v1f + m2~v2f

In Komponenten:

x-Richtung: m1v1i = m1v1f cos θ1 + m2v2f cos θ2

y-Richtung: 0 = m v sin θ + m v sin θ − 2 2f 2 1 1f 1 m 1 1 E = 1 v2 = m v2 + m v2 + Q tot 2 1i 2 2 2f 2 1 1f Es ergeben sich 3 Gleichungen. Wenn die Anfangsbedingungen bekannt sind, bleiben 2 Unbekannte.

Spezialfall:

m1 = m2 = m, Q = 0

69 KAPITEL 3. LINEARE BEWEGUNGEN FUR¨ SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

m~v1i = m~v1f + m~v2f

2 2 2 2 2 a.) v1i = v1f + v2f + 2~v1f~v2f = v1f + v2f + 2v1f v2f cos(θ1 + θ2) 1 1 b.) m v2 = m v2 + v2 2 1 1i 2 1f 2f Wenn man diese beiden¡ Bedingungen¢ gleichsetzt, folgt:

2v1f v2f cos(θ1 + θ2) = 0

◦ θ1 + θ2 = 90

3.2.1 Streuung eines Teilchens in einem Potential V = a/r

Dieser wichtiger Fall trifft z.B. zu auf die Streuung von geladenen Teilchen in einem Coulomb Feld oder von Kometen im Gravitationsfeld der Sonne. Wie wir aus der Bewegung der Planeten wissen, ist nicht der Impuls des Teilchens erhalten, sondern der Drehimpuls (bei einer Zentralkraft). Es ist zweckm¨aßig wieder Polarkoordinaten (r, φ) zu benutzen. Der Betrag des Drehimpulses ist dann:

dφ L = ~r x µv˜ = µr2 = µv b, | | dt 0 wobei µ = m1m2/(m1 + m2) die reduzierte Masse ist und der letzte Term der Anfangsdrehimpuls mit Anfangs- geschwindigkeit v0 ergibt, da der Term r sin φ aus dem Vektorprodukt genau dem Impaktparameter b entspricht . Fur¨ die Ablenkung von m1 ist die y-Komponente der Kraft verantwortlich, wofur¨ gilt:

Fydt = dp = µdvy.

2 2 Setzen wir fur¨ die Kraft Fy = F sin φ = a sin φ/r ein und elimieren mit der obigen Drehimpulsgleichung dt/r , dann gilt: a sin φ dvy = dφ. µv0b Die totale Ablenkung kann man bekommen durch diese Gleichung von A nach B zu integrieren. In A gilt: v = 0, φ = 0 und in B gilt: v = v sin θ, θ = π φ . Da bei einem elastischen Stoß der Betrag der y y 0 − max Anfangsgeschwindigkeit v0 erhalten bleibt, ergibt die Integration dieser Gleichung:

v0 sin θ π−θ a dvy = sin φ dφ µv0b Z0 Z0 a v0 sin θ = (1 + cos θ) µv0b 70 3.2. ELASTISCHE UND UNELASTISCHE STOSSE¨

Wegen (1 + cos θ)/ sin θ = cot(θ/2) gilt fur¨ den Zusammenhang zwischen Stoßparameter und Ablenkwinkel im Potential V = a/r: µv2 cot(θ/2) = 0 b. a Bei zentralen St¨oßen ist b=0, d.h. cot(θ/2) = θ = π. D.h. das Teilchen wird zuruc¨ k gestreut. Der 2 ∞ → 2 Umkehrpunkt r0 kann aus Ek = Ep oder µv0/2 = a/r0 bestimmt werden: r0 = 2a/(µv0). Aus den beobachte- ten Ruc¨ kstoßen von Heliumkernen (α-Teilchen) an einer Goldfolie folgerte Rutherford in 1911 dass ein Atom praktisch “leer” ist mit alle Masse konzentriert in schweren, punktf¨ormigen Kernen.

71 KAPITEL 3. LINEARE BEWEGUNGEN FUR¨ SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

72 Kapitel 4

Rotationen fur¨ Systeme von Massenpunkten

Kinematik Rotationskinematik ⇔ Bewegungen in 3 Dimensionen (Translationen) Drehbewegungen Dynamik Rotationsdynamik ⇔ Bewegung unter Einfluß von Kr¨aften Drehungen

von Massenpunkten, Systemen von Massenpunkten, festen K¨orpern

Masse Tr¨agheitsmoment Kraft Drehmoment Energie/Arbeit Rotationsenergie/Rotationsarbeit Impuls Drehimpuls

kombinierte Dreh- und Translationsbewegung | {z } 4.1 Rotationskinematik

Jeder Punkt P dreht sich im Kreis mit gleichem Zentrum und gleicher Winkelgeschwindigkeit ω. Von oben betrachtet :

73 KAPITEL 4. ROTATIONEN FUR¨ SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

s s θ = 360◦ = in Radian 1 rad =∧ 57, 3◦ · 2πr r ³ n o´ dθ 1 ds v ω = = = (Kreisfrequenz) dt r · dt r 0 Konstante Drehbewegung:

θ(t) = ω0t + θ0

0 Beschleunigte Bewegung:

α 2 θ(t) = 2 t + ω0t + θ0

Richtung der Drehachse:

dθ~ ω~ = ~v, ~r dt ⊥ Fur¨ die Bewegungsgleichungen folgt:

cos θ ~r(t) = r = r~u (t) ~r = r = const. · sin θ r | | µ ¶ ~v(t) = r ω(t) ~u (t) · · θ ~a(t) = r α ~u (t) rω2(t)~u (t) · · θ − r aT (Tangential- az (Zentripetal- beschleunigung) beschleunigung) | {z } | {z } ~v = ω~ ~r × 74 4.2. ROTATIONSDYNAMIK

d~r d cos θ(t) dθ sin θ(t) ~v(t) = = r dt = r − dt · d sin θ(t) · dt · cos θ(t) Ã dt ! µ ¶ ω(t)

d~v d2θ sin θ(t) |{z} dθ d sin θ(t) ~a(t) = = r − + r − dt dt · dt2 · cos θ(t) · dt · d cos θ(t) µ ¶ Ã dt ! α ω

Einschub: Vektorpro|{z} dukt |{z} Das Vektorprodukt ist folgendermaßen definiert:

~a ~b = ~a ~b sin(~a,~b) ~u × | | · | | · · ~a×~b Insbesondere gilt:

~e ~e = 0 x × x ~e ~e = ~e x × y z ~e ~e = ~e y × x − z a b a b a b x x y z − z y ~a ~b = ay by = azbx axbz × a  × b  a b − a b  z z x y − y x Kinematik: ~v= ω~ ~r   ×

~a = α~ ~r + ω~ ~v = α~ ~r + ω~ (ω~ ~r) = α~ ~r ω2~r × × × × × × − 4.2 Rotationsdynamik

x Tr¨agheitsmoment

M = mi i X M = dm Z 75 KAPITEL 4. ROTATIONEN FUR¨ SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

Zu jedem Zeitpunkt gilt: 1 1 1 1 E = m v2 + m v2 + . . . + m v2 + . . . = m r2ω2 + m r2ω2 + . . . + m r ω2 + . . . = k 2 1 1 2 2 2 2 i i 2 1 1 2 2 i i 1 N 1 ¡ ¢ = m r2 ω2 = Jω2 2 i i 2 i X J N | {z } 2 2 J = miri ; J = r dm i X Z

Beispiele:

a.) Tr¨agheitsmoment eines kreisenden Massenpunktes

J = mr2

b.) Tr¨agheitsmoment einer Hantel

J = 2mr2

76 4.2. ROTATIONSDYNAMIK c.) Tr¨agheitsmoment einer Hantel (2)

J = 4mr2 d.) Zylinder

R R R2 R2 J = r2 dm = r2 ρ 2πr h dr = ρ h π 2r3 dr = π h ρ R2 = M · · · · · · · · · · 2 · 2 Z Z0 Z0 M e.) Hohlzylinder | {z }

R2 πρh J = 2πρhr3 dr = R4 R4 2 2 − 1 Z R1 ¡ ¢

R2 M = ρ dV = 2πρhr dr = πgh R2 R2 2 − 1 Z Z R1 ¡ ¢ 77 KAPITEL 4. ROTATIONEN FUR¨ SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

1 J = M R2 + r2 ⇒ 2 1 2 ¡ ¢ Extremfall:

R R = R 2 ≈ 1 J = MR2

Generell:

J = κ M R2 · · y Drehimpuls

Impuls: p~ = m~v Drehimpuls: L~ = J ω~ ·

p~ = mi~vi i X Impuls und Drehimpuls sind erhalten ohne Einwirkung ¨außerer Kr¨afte. Denn :

a.) Person

Eine Person halte zwei Kugeln mit jeweils m = 2 kg im Abstand ra = 0, 8 m vom K¨orper weg und 1 drehe sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω = 3 s um ihre eigene Achse. Wir betrachten die Person n¨aherungsweise als Zylinder der Masse M = 50 kg und Radius R = 0, 14 m. Die Kugeln werden aufgrund ihrer verh¨altnism¨aßig geringen Gr¨oße als Massepunkte behandelt. Damit ergibt sich fur¨ das Tr¨agheitsmoment des Systems bestehend aus Kugeln und Person: 1 1 J = MR2 + 2 mr2 = 50 kg (0, 14 m)2 + 2 2 kg (0, 8 m)2 = 0, 5 kgm2 + 2, 56 kgm2 = 3, 06 kgm2 a 2 · a 2 · · · · Fur¨ den Drehimpuls folgt:

1 kg m2 L = J ω = 3, 05 kgm2 3 9, 15 · a a · a · s ≈ s

78 4.2. ROTATIONSDYNAMIK

2π ω = a T Wir erhalten wir die Periodendauer T : 2π 2π T = = 1 2, 10 s ωa 3 s ≈

Nun werde der Abstand der Kugeln auf rb = 0, 2 m verkleinert, indem die Person die Arme an den K¨orper heranzieht. Damit ergibt sich: 1 J = MR2 + 2mr2 = 0, 5 kgm2 + 2 2 kg (0, 2 m)2 = 0, 66 kgm2 b 2 b · · L = J ω = 0, 66 kgm2 ω b b · b · b Aufgrund der Erhaltung des Drehimpulses L gilt:

Ja 3, 06 s ωb = ωa = ωa = 4, 64 ωa · Jb 0, 66 s · · 2, 10 T s = 0, 45 s ≈ 4, 64 Die Person dreht sich also schneller als vorher. b.) Das Foucault-Pendel

ω = ω sin θ s · In Karlsruhe: 28 h ≈

Zu Rotationskinematik:

dθ~ ω~ = ist Vektor. dt

θ~ nicht, da nicht immer θ~1 + θ~2 = θ~2 + θ~1

79 KAPITEL 4. ROTATIONEN FUR¨ SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

z Drehmoment

Kraft: F~ = m ~a Drehmoment: M~ ~r F~ = Jα~ · ⇔ ≡ ×

F = F~ sin φ T · M~ =¯ ~r¯ F~ = r F sin φ = r F ¯ ¯× · · T ¯M =¯ 0,¯ wenn¯φ = 0 ¯ ¯ ¯ ¯ 80 4.2. ROTATIONSDYNAMIK

F~T = m ~aT i i · i

FT = m α r i i · · i d2θ(t) α =∧ Winkelbeschleunigung: dt2

2 M = r FT = m r α i i · i i i M~ = m r2α~ = J α i i · i X

Demonstration:

a.) Beschleunigung der Drehung eines Rades

M~ = ~r F~ = J α~ × · m~g F~ = m ~a − · Daraus folgt durch die Zerlegung in Komponenten:

M = r F = J α · · mg F = m a − · a Auch gilt α = und somit haben wir: r J mg a = m a − r2 · g (i) a = J 1 + mr2 81 KAPITEL 4. ROTATIONEN FUR¨ SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

Check mit Extremf¨allen:

m : a = g 7→ ∞ m 0 : a = 0 7→ J : a = 0 7→ ∞ J 0 : a = g 7→ g r (ii) α = J 1 + mr2 mgr Fur¨ J mr2 : α À ≈ J d2θ Mit α = dt2 α mgr θ(t) = t2 t2 2 ≈ 2J

Demonstration: 0 4 Umdrehungen:

t4 = 11, 5 s fur¨ Masse m

0 8 Umdrehungen:

t8 = 11, 0 s fur¨ Masse 2m

gr 4 2π = m t2 · · 2J 4  t4 = t8 gr  ⇒ 8 2π = 2m t2  · · 2J 8  b.) Drehschwingungen 

Es gilt das Hookesche Gesetz:

d2θ M = D θ = J α = J − · · · dt2 d2θ J = D θ ⇒ · dt2 − · Wir verwenden folgenden Ansatz

θ(t) = θ cos(ωt + φ) 0 · Durch Einsetzen folgt:

J θ ω2 cos(ωt + φ) = D θ cos(ωt + φ) − · 0 · − · 0 · D ω = ⇒ r J 2π J T = = 2π mit J 2mr2 ⇒ ω rD ≈ T1 r1 ⇒ T2 ≈ r2

82 4.2. ROTATIONSDYNAMIK

{ Arbeit, Energie

Lineare Arbeit: Rotationsarbeit: ⇔

~r2 A = F~ d~r

~rZ1 Ep, Ek

dA = F~ d~s = F r dθ · · ·

A = F r dθ = M~ dθ~ · · Z Z Fur¨ resultierende Drehmomente: M~ = J α~ = 0 · 6 dω~ M~ dθ~ = J α dθ~ = J dθ~ = J ω~ dω~ · · · dt · · · Z Z Z Z 1 2 1 2 A = J ω~ dω~ = Jω Jω = ∆Erot · 2 2 − 2 1 Z Allgemein gilt:

Erot = Ep + Ek + EN + Eint = const. 4.2.1 Rotierende Bezugssysteme x Zentripetalkraft ∧ F~ZP = F~Zug + m~g = m ~aZP (F~ZP = Zentripetalkraft) ·

y Zentrifugalkraft

F~ZF + F~Zug + m~g = ~o

F~ZF = m ω~ (~r ω~ ) · × ×

83 KAPITEL 4. ROTATIONEN FUR¨ SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

z Corioliskraft

i.) Außen:

F~i = ~o i X ii.) Innen:

F~ = 2m (~v0 ω~ ) C × Gegenub¨ erstellung: Lineare Bewegung – Rotationsbewegung

Translationen Drehbewegungen s ϕ ~v ω~ ~a α~ F~ N~ = ~r F~ × p~ L~ = ~r p~ × F~ = m ~a M~ = J α~ ·1 2 ·1 2 Ekin = 2 mv Erot = 2 Jω 4.3 Rollbewegungen

x Rollbewegung: Kombination aus Translation und Drehung

a.) Ub¨ er Energieerhaltung

1 2 1 2 Etot = m g h = mv + m g y + Jω · · 2 · · 2

84 4.3. ROLLBEWEGUNGEN

v Wie h¨angen v und ω zusammen? Mit ω = R erh¨alt man die Geschwindigkeit am niedrigsten Punkt: 1 1 1 J E = mv2 + Jω2 = m + v2 tot 2 f 2 f 2 R2 f µ ¶ 2gh vf = v J u1 + u mR2 u u κ u t Fur¨ runde Ob| {zjekte} gilt J = κ mR2. κ lautet fur¨ folgende spezielle geometrische Objekte: · Objekt κ 2 Kugel 5

1 massiver Zylinder 2

Ring 1

Massenpunkt 0 b.) Auf andere Weise

0 f~H : Haftreibung greift an Peripherie an.

0 F~N : Normalkraft 0 m ~g: Gewichtskraft ·

F~ = F~ + f~ + m ~g = m ~a i N H · · i X M~ = ~r f~ = J α~ i × H · i X In Komponenten: 0 x-Richtung:

f + mg sin θ = m a − H · 0 y-Richtung:

F mg cos θ = 0 N − 0 z-Richtung:

( f ) ( R) = J α − H · − ·

a Konsistente Bewegung: α = R

85 KAPITEL 4. ROTATIONEN FUR¨ SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

f = mg sin θ ma H − J g sin θ = a 1 + 2 J·α J·a  · mR fH = R = R2  µ ¶ g sin Θ a = ·  ⇒ 1 + κ a x = t2 + v t + x 2 0 0 y Jojo ( Maxwellsches Rad“) ”

0 Energieerhaltung beim Jojo

1 2 1 2 Etot = m g h = mv + Jω · · 2 f 2 f v Mit ω = erh¨alt man: R 2gh vf = r1 + κ 0 Drehmomente beim Jojo

M~ = ~r F~Zug = J α~ i × · i X

m~g + F~Zug = m~a In Komponenten zerlegen:

g ∧ ∧ a = (r = ¨außerer Radius, R = innerer Radius) ⇒ 1 + κ r2 · R2 z Bowling

a.) Etot ist nicht erhalten wegen Reibung.

86 4.3. ROLLBEWEGUNGEN

v v b.) f~ = m ~a; m 1 − 0 = ma g · · ∆t M~ = ~r F~ × g ω ω v r f = J α = J 1 − 0 = J 1 ⇒ · g · · ∆t · r ∆t v v v · M = m 1 − 0 r = J 1 ⇒ · ∆t · · r ∆t v ·2 v = 0 ; Kugel: κ = ⇒ 1 J 5 1 + mr2 κ 5 v = v |{z} ⇒ 1 0 · 7 Unabh¨angigkeit von Reibungskraft!

Erhaltung des Drehimpulses:

L~ = ~r p~ × dL~ d d d = (~r p~) = ~r p~ + ~r p~ = ~v m ~v + ~r F~ dt dt × dt × × dt × · × 0 M~ dL~ | {z } | {z } = M~ fur¨ M~ = ~o : L~ erhalten! dt

Kreisel mit Drehmoment:

dL~ M~ = R~ F~ = J α~ = × g · dt L~ = Jω~ Was ist J? ω~ ist nicht notwendig parallel zu L~ !

Beispiel: Nutation eines kr¨aftefreien Kreisels J ist eine Matrix (3 3). × J ⇒ J Zusammenfassung: 0 Keine ¨außeren Drehmomente L~ = J ω~ = const. · dL~ = ~o dt

87 KAPITEL 4. ROTATIONEN FUR¨ SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

0 Mit ¨außerem Drehmoment a.)

dL~ M~ = ~r F~ = J α~ = × · dt Es gilt:

dL~ L~ dt k b.)

dL~ M~ = R~ F~ = J α~ = × · dt

dL~ L~ dt ⊥ Die sogenannte Pr¨azessionsfrequenz errechnet sich nach:

dL~ dt M F L ω = = = · P ¯ ~ ¯ ¯ L ¯ L J ω ¯| |¯ ·

4.4 Mechanische Stabilit¨at

Ein starrer K¨orper ist im Gleichgewicht, wenn ~aCM und α~ = ~o. Dies gilt bezuglic¨ h jeder denkbaren Achse.

88 4.4. MECHANISCHE STABILITAT¨

Beispiel: Leiter

Bis zu welchem Winkel θmin ist die Leiter stabil? Wir betrachten hierzu die Kr¨afte: m~g + F~N1 + F~N2 + f~H1 + f~H2 = 0

Wir zerlegen in Komponenten: 0 x-Richtung:

f + F = 0 − H2 N1 0 y-Richtung:

F mg + f = 0 N2 − H1 Drehmomente um einen beliebigen Punkt sollten null sein. Betrachte Beruhrungspunkt¨ Leiter-Boden:

~l ~l f~ + l F~ + m~g = 0 × H1 × N1 2 × Oder in Komponenten: l l cos θ f l sin θ F + cos θmg = 0 − · H1 − · N1 2 · Weiter gilt: f = F µ H1 N1 · H f = F µ H2 N2 · H Einsetzen ergibt, dass die Leiter stabil steht bis zum Winkel θmin :

2 1 µH tan θmin = − ⇒ 2µH

89 KAPITEL 4. ROTATIONEN FUR¨ SYSTEME VON MASSENPUNKTEN

Beispiel: Holz auf Holz

◦ µ = 0, 24 : θmin = 64 H ⇒ Definition: Das Gleichgewicht ist stabil, wenn bei infinitesimal kleiner Drehung der Schwerpunkt angehoben wird.

Das Gleichgewicht ist neutral, wenn bei kleiner Drehung des Objektes der Schwerpunkt auf gleicher H¨ohe bleibt.

Das Gleichgewicht ist labil, wenn der Schwerpunkt bei kleiner Drehung absinkt (metastabil).

90 Kapitel 5

Gravitation

5.1 Das Gravitationsgesetz 5.1.1 Der historische Weg zum Gravitationsgesetz ≈ 0 A.D.: Ptolem¨aus Der erste Versuch, die Planetenbewegung zu verstehen, war die Idee eines geozentrischen Systems.

1473-1543: Copernikus Copernikus war fur¨ die Entwicklung der Theorie des heliozentrischen Systems verantwortlich.

91 KAPITEL 5. GRAVITATION

1571-1630: Kepler (Assistent von Brahe, mit Teleskop) Kepler stellte empirische Gesetze zur Planetenbewegung auf.

x Gesetz der Laufbahn (Orbit): Planetenbahnen sind Ellipsen mit der Sonne in einem der beiden Brennpunkte (Focusse).

y Fl¨achengesetz: Linie zwischen Sonne und Planet ub¨ erstreicht in gleicher Zeit gleiche Fl¨ache.

A ∆t 1 = 1 A2 ∆t2

z Periodengesetz:

T 2 R 3 ∼ h i T =∧ Umlaufperiode, R =∧ mittlerer Radius h i

92 5.1. DAS GRAVITATIONSGESETZ

1642-1727: Newton Benutzte Keplers Gesetze und formulierte das Gravitationsgesetz: m m F~ = G 1 2 ~e 21 − r2 · 12

Nm G = 6, 67 10−11 (Gravitationskonstante) · kg2

Diskussion: m m m2m3 Warum taucht in der Formel der Ausdruck 1 2 auf und nicht beispielsweise 1 2 ? r2 r3

a.) F∆m,∆m sei Kraft zwischen Massenelement ∆m und ∆m Dann gilt: F = N F und F = N M F =∧ F m m N·∆m,∆m · ∆m,∆m N·∆m,M·∆m · · ∆m,∆m m1,m2 ∝ 1 · 2 Superpositionsprinzip ⇒

1 b.) F ∝ r2 Angenommen, die Kraft entsteht durch Austausch von Kraftteilchen (Bosonen):

N g =∧ Zahl aller Bosonen s Somit entsteht der folgende Fluß durch 1 m2 Fl¨ache: N Ng 1 g = s Kraft s m2 4πr2 ∝ ∝ r2 · Gravitation, elektromagnetische Wechselwirkung sind Kr¨afte mit unendlicher Reichweite ohne Erzeugung oder Verlust. c.) Gravitation ist konstant. dG G = const. = 0 dt µ ¶ 93 KAPITEL 5. GRAVITATION

5.1.2 Das Newtonsche Gravitationsgesetz Experimentelle Bestimmung von G

Nach Cavendish (1798):

a.) Gleichgewicht: Drehmoment der Gravitationskraft = Drehmoment durch Torsion (Verdrillung) des Fadens

2 R F D = 0 · · m1m2 − θ

b.) Nach Umlagern von m2

94 5.1. DAS GRAVITATIONSGESETZ

d2θ d2θ 2 R F + D = J = 2R2m · · m1m2 θ dt2 1 dt2 m m d2θ 2 R 1 2 G 2 = 2m R2 · · r2 · · 1 dt2 Damit ergibt sich die Gravitationskonstante: 1 r2 R d2θ G = · 2 2 m2 · dt

2 x(t) d θ θ(t) = = dt2 t2 2L 2 d2θ x(100 s) = dt2 L (100 s)2 · Mit r = 4 cm, R = 5 cm, m1 = 0, 015 kg und m2 = 1, 5 kg erhalten wir:

1 (0, 04 m)2 0, 05 m 0, 3 m 2 10−10 m2 0, 3 m N m2 G = · = · · = 6 10−11 · 2 1, 5 kg · 14 m 104 s2 kgs2 · kg2 ·

95 KAPITEL 5. GRAVITATION

5.2 Das Gravitationspotential

RE +h RE +h ~ GmEm 1 1 GmEm h GmE A = ∆Ep = F d~r = 2 dr = GmEm = 2 h (h RE) r RE − RE + h RE ·RE + h ≈ RE ¿ RZE RZE µ ¶ g ∞ Gm m A = F~ d~r = E = E ( ) E (R ) | {z } ∞ R p ∞ − p E ZRE E Es ist Konvention, das Nullniveau ins Unendliche zu legen:

E ( ) = 0 p ∞ Damit gilt fur¨ das Gravitationspotential fur¨ r R : ≥ E Gm m E (r) = E p − r

Anwendung: a.) Fluchtgeschwindigkeit von Erde

1 2 GmEm Etot = Ek + Ep = 0 = Ep (r = ) = mvesc = 0 ∞ 2 − RE Damit folgt fur¨ die Fluchtgeschwindigkeit: Gm km v = 2 E = 11, 2 esc R s r E

b.) Gibt es Objekte, wo vesc c? ≥ 2GM Ja, man nennt diese Schwarze L¨ocher“. Mit vesc = = c erh¨alt man den Schwarzschild-Radius: ” R r S 2GM R = S c2 Der Schwarzschild-Radius ist der Grenzradius, den ein Objekt erreichen muss, damit an seiner Oberfl¨ache die Fluchtgeschwindigkeit gleich der Lichtgeschwindigkeit ist. Er stellt somit die Grenze zum Schwarzen Loch dar.

96 5.2. DAS GRAVITATIONSPOTENTIAL

0 Beispiel: Sonne

Fur¨ die Sonne gilt R = 7 105 km und M = 2 1030 kg. · · Damit folgt fur¨ den Schwarzschild-Radius:

−11 N·m2 30 2GM 2 6, 673 10 2 2 10 kg · · kg · · RS = = 2 3 km c2 3 108 m ≈ · s ¡ ¢

0 Neutronensterne

Der Radius eines Neutronensterns betr¨agt 10 bis 16 km. ∧ Mit M = M¯ folgt ein Schwarzschild-Radius von 3 km.

0 Schwarzes Loch

R = R 10 km, M 2M S ≈ ≥ ¯

Beispiel fur¨ Nachweis von Schwarzen L¨ochern:

97 KAPITEL 5. GRAVITATION

Gase werden ionisiert, beschleunigt durch die Gravitation. Somit entsteht γ-Strahlung. Auch schwarze L¨ocher sind oft Ub¨ erbleibsel von Supernova-Explosionen.

5.3 Planetenbahnen, Keplersche Gesetze

Kreisbahn:

m1m2 2 Fm1m2 = G 2 = m1az1 = m1ω r1(= m2az2) (r1 + r2)

Fur¨ m m , r r 2 À 1 2 ¿ 1 2 m2 2 4π Es folgt: Fm1m2 G 2 m1 = ω r1m1 = 2 r1m1 ≈ r1 · T 2 2 4π 3 T = r1 ⇒ Gm2 3.Kepler’sches Gesetz ⇒ Fur¨ Ellipse: r r 1 7→ h 1i Beispiele, Anwendungen: a.) Geostation¨arer Orbit von Satelliten

T = 1 Tag

98 5.4. HERLEITUNG DER BAHNKURVEN

3 GmE 2 r(= r1) = 2 (1 Tag) = 42200 km ⇒ r 4π d(Satellit-Erdoberfl¨ache) = 35900 km

b.) Masse der Erde

4π2 m = r3 = 6 1024 kg E GT 2 ·

c.) Masse des Mondes (Abstand zur Erde =1738 km; Umlaufzeit = 27 d)

4π2 m = r3 = 7 1022 kg E GT 2 ·

d.) Masse der Sonne

2 4π 3 30 mSonne = (1 AE) = 2 10 kg G (1 Jahr)2 · · 5.4 Herleitung der Bahnkurven

In Polarkoordinaten (r, φ) gilt: x = r cos φ; x˙ = r˙ cos φ r sin φ φ˙ − · y = r sin φ; y˙ = r˙ sin φ + r cos φ φ˙ · Und die Beschleunigung ist: x¨ = (r¨ rφ˙2) cos φ (2r˙φ˙ + rφ¨) sin φ − − y¨ = (r¨ rφ˙2) sin φ + (2r˙φ˙ + rφ¨) cos φ − Aus Drehimpulserhaltung bei zentralen Kr¨aften folgt:

~r x v˜ = L˜/m = konstant oder r2 φ˙ = L/m k ≡ Differentiation nach der Zeit ergibt: 2rr˙φ˙ + r2φ¨ = 0 und damit wird der zweite Term in der Beschleunigung null. Die gesamte Beschleunigung l¨asst sich schreiben als:

2 2 1 2 a = (x¨ + y¨ ) 2 = r¨ rφ˙ − Oder die Bewegungsgleichung F=ma ergibt:

mr¨ mrφ˙2 = F (r) − Die Bahnkurve f(r, φ) erh¨alt man durch Elimination der Zeit. Dies geht am einfachsten durch die Substitu- tion r=1/u (keine offensichtliche Variablen¨anderung, aber die Zeit l¨asst sich dann einfach eliminieren. Andere M¨oglichkeit w¨are eine Integration der Bewegungsgleichungen in zwei unabh¨angige Richtungen, wie beim Wurf- parabel ). Die Drehimpulserhaltung kann dann geschrieben werden als: φ˙ = ku2, womit die Zeitabh¨angigkeit von r und φ eliminiert werden kann: 1 1 du du r˙ = u˙ = φ˙ = k −u2 −u2 dφ − dφ d2u d2u r¨ = k φ˙ = k2u2 − dφ2 − dφ2 Schreiben wir noch fur¨ F (r) = c/r2 = cu2, dann l¨asst sich die Bewegungsgleichung schreiben als: − − d2u c + u = 0. dφ2 − mk2

Diese Gleichung hat als L¨osung: u = A cos φ + c/mk2,

99 KAPITEL 5. GRAVITATION wie sich leicht durch Substitution verifizieren l¨asst. Hieraus folgt fur¨ die Bahnkurve in Polarkoordinaten:

1 1 mk2/c p r = = = = , u c/mk2 + A cos φ 1 + (mk2A/c) cos φ 1 + ² cos φ wobei ² = mk2A/c die Exzentrizit¨at ist und p = mk2/c als Parameter bezeichnet wird. Fur¨ ² < 1 ist die Bahn eine Ellipse, fur¨ ² = 0 ein Kreis und fur¨ ² > 1 eine Hyperbel, d.h. in einem “umgekehr- ten quadratischen” Kraftfeld ist die Bahn immer ein Kegelschnitt. ² wird bestimmt durch die Gesamtenergie 1 2 2 2 2 ˙2 Etot = Ek + Ep = 2 mv c/r des K¨orpers. Etot kann wie folgt berechnet werden. Fur¨ v = r˙ + r φ findet man mit − dr ²p sin φ ²r2 sin φ r˙ = φ˙ = φ˙ = φ˙ dφ (1 + ² cos φ)2 p ²2 sin2 φ ²2k2 sin2 φ k2 v2 = (r2φ˙)2 + r2φ˙2 = + . p2 p2 r2 Hier wurde der Fl¨achensatz r2φ˙ = k benutzt. Fur¨ den Faktor sin2 φ k¨onnen wir mit der Bewegungsgleichung schreiben: sin2 φ = 1 cos2 φ = 1 (p r)2/²2r2, so dass fur¨ v2 gilt: − − − ²2k2 k2(p r)2 k2 k2 2k2 v2 = − + = (²2 1) + p2 − p2r2 r2 p2 − pr

Wenn wir jetzt noch p = mk2/c einsetzen, finden wir

m2k2 2 1 c 2mk2 2mk2 ²2 1 = ( mv2 ) = (E + E ) = E . − c2 · m 2 − r c2 k p c2 tot Daher gilt: ² < 1 fur¨ E < 0 Bahn ist Ellipse (oder Kreis fur¨ ² = 0 tot → ² = 1 fur¨ E = 0 Bahn ist Parabel tot → ² > 1 fur¨ E > 0 Bahn ist Hyperbel tot → Dies entspricht der Erwartung: fur¨ negative Energien ub¨ erwiegt die potentielle Energie und bleibt der K¨orper im Gravitationsfeld gebunden (Etot ist “Bindungsenergie”). Wenn die Gesamtenergie null ist, ist die kinetische Energie gleich die potentielle Energie; dann kann der K¨orper das Unendliche erreichen mit v∞ = 0.

5.5 Gravitation in Massenverteilungen

Bis jetzt: Annahme, daß Massen punktf¨ormig sind

a.) Ruhemasse m außerhalb einer Kugelschale der Masse M

dV = 2πR sin θ d R dθ · · dM = dV ρ · Die horizontale Komponente von dF~ lautet: Gm dM Gm cos φ dF = · cos φ = · ρ 2πR sin θ d R dθ x x2 · x2 · · · ·

100 5.5. GRAVITATION IN MASSENVERTEILUNGEN

r R cos θ i.) cos φ = − · x ii.) x2 = (R sin θ)2 + (r cos θ R)2 = R2 + r2 2rR cos θ − · − R2 + r2 x2 R cos θ = − ⇒ · 2r Und weiterhin gilt:

d(x2) dx = 2x = 2rR sin θ dθ dθ x dx sin θdθ = · ⇒ r R 2 · 2 2 r R +r −x r2 R2 + x2 cos φ = − 2r = − x 2rx Gm r2 R2 + x2 xdx dF = − ρ 2πR2 d x2 · 2rx · · · · r R · π G d ρ m R r2 R2 + x2 π G d ρ m R r2 R2 dF = · · · · · − dx = · · · · · − + 1 dx r2 · x2 r2 x2 µ ¶ f

F (r+R) r+R | {z } r2 R2 r2 R2 r+R F = dF = dx f −2 + 1 = f − + x = f 4R = · x · − x r−R · F (rZ−R) r−ZR µ ¶ · ¸ 4 π G d ρ m R2 mM = · · · · · · = G r2 r2 mM F = G r2

2 Da VKugelschale = 4πR d · 2 MKugelschale = 4πR d ρ · · b.) Masse m innerhalb Kugelschale

R+r R+r r2 R2 F = dF = 0, da − + 1 dx = 0 x2 RZ−r RZ−r µ ¶ c.) Masse innerhalb Vollkugel

101 KAPITEL 5. GRAVITATION

G m m G m 4 πr3 ρ 4 F = · · r = · · 3 · = G m π ρ r r2 r2 · · 3 · ·

∞ Potential: Mit E (r) = F (r0) dr0 p − Zr

d.) Bewegung bei Massenverteilungen mit Kugelsymmetrie:

0 Außerhalb der Massenverteilung:

GMm v2 = m (F = m a) r2 r · Damit gilt:

GM 1 v = r r ∼ √r 0 Innerhalb:

Gm G 4 πr3 ρ v = r = · 3 · r r r s r ∼

102 5.5. GRAVITATION IN MASSENVERTEILUNGEN

Das beobachten wir im Sonnensystem, nicht aber in Galaxien oder Galaxienhaufen.

Die nicht sichtbare Masse ist 10 bis 100 Mal gr¨oßer als die Masse aller Sterne innerhalb der Galaxie.

103 KAPITEL 5. GRAVITATION

Unser heutiges Wissen: Das Universum ist vor 12 bis 15 Milliarden Jahren in einem Urknall entstanden ( Big Bang“). ”

Beobachtungen: 0 Die Galaxien entfernen sich voneinander (Hubble 1930). Je gr¨oßer ihre Entfernung ist, desto gr¨oßer ist ihre Fluchtgeschwindigkeit 50 100 km pro Mpc . − s 0 Kosmische Hintergrundstrahlung¡ (Penzias, Wilson¢ 1956) 2,7 K Temperaturstrahlung Lichtblitz des Urknalls ⇒ 0 Primordiale H¨aufigkeit der Elemente 75% H, 24% He, <1% Li, . . . Elementsynthese in den ersten drei Minuten ⇒ Wir leben in einem expandierenden Universum.

104 5.5. GRAVITATION IN MASSENVERTEILUNGEN

Das Hubble-Diagramm zeigt, dass die Geschwindigkeit, womit die Galaxien auseinanderfliegen (proportional zur Rotverschiebung) linear mit dem Abstand der Galaxien zusammenh¨angt. Der Abstand wird bestimmt durch die korrigierte scheinbare Helligkeit. Im folgenden sehen wir einige Nebelhaufen mit ihrem Spektrum, aus dessen Rotverschiebung man die Flucht- geschwindigkeit bestimmen kann:

Photo Spektrum Entfernung Fluchtgeschwindigkeit

km [Lichtjahr] s · ¸

43 Mill. 1200

Virgo

560 Mill. 14800

Fortsetzung . . .

105 KAPITEL 5. GRAVITATION

. . . Fortsetzung

Photo Spektrum Entfernung Fluchtgeschwindigkeit

km [Lichtjahr] s · ¸

Ursa Major

728 Mill. 21500

Corona Borealis

1,29 Mrd. 40000

Bootes

1,96 Mrd. 60000

Hydra Im folgenden sehen wir sechs verschiedene Spiralsysteme. Beim Typ S0 ist die Spiralstruktur kaum noch ausge- pr¨agt. Typ Sa zeigt sie deutlicher. Beim Ub¨ ergangstyp Sab wie bei Sb sind die Spiralen gut sichtbar. Beim Typ Sc tritt der Kern deutlich gegenub¨ er den Spiralarmen zuruc¨ k. (Hale Observatories)

106 5.5. GRAVITATION IN MASSENVERTEILUNGEN

NGC 1201 Typ: S0 NGC 2841 Typ: Sb

NGC 2811 Typ: Sa NGC 3031 M81 Typ: Sb

NGC 488 Typ: Sab NGC 628 M74 Typ: Sc Im folgenden sind es sechs Sternensysteme, die alle dem Typus der Balkenspirale zugerechnet werden. Beim Typ SB0 sind die beiden Balkenarme nur angedeutet. Die weitere Bildfolge ist so geordnet, daß der Balken immer deutlicher ausgepr¨agt, der Kern dagegen immer schw¨acher wird. (Hale Observatories)

107 KAPITEL 5. GRAVITATION

NGC 2859 Typ: SB0 NGC 2523 Typ: SBb(r)

NGC 175 Typ: SBab(s) NGC 1073 Typ: SBc(sr)

NGC 1300 Typ: SBb(s) NGC 2525 Typ: SBc(s)

108 Kapitel 6

Schwingungen und Wellen

6.1 Wellenausbreitung in der Mechanik 6.1.1 Schwingungen (Wiederholung) 1. Federschwingungen

a.) Unged¨ampft

d2x F = k x = m − · dt2 Differentialgleichungen

Wir verw| enden{z folgenden} Ansatz:

x(t) = A cos(ωt + φ) · Durch Einsetzen folgt:

k A cos(ωt + φ) = m Aω2 cos(ωt + φ) − · − · · Dies gilt zu allen Zeiten t.

mω2 = k − − k w = ⇒ rm k x(t) = A cos t + φ ⇒ · Ã rm ! Die Randbedingungen lautet:

t = 0 : x(t = 0) = A 109 KAPITEL 6. SCHWINGUNGEN UND WELLEN

φ = 0 ⇒

Energiebilanz:

1 1 dx 2 1 k k E = mv2 = m = m A2 sin2 t k 2 2 dt 2 m m µ ¶ r x 1 1 k E = kx0 dx0 = kx2 = kA2 cos2 t p 2 2 m Z0 r 1 E = E + E = kA2 tot k p 2

b.) Ged¨ampfte Schwingung

dx d2x kx b = m − − · dt dt2

110 6.1. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

Wir haben folgenden Ansatz: x(t) = x e−λt cos ωt 0 · Die Phase φ wird weggelassen. Eingesetzt in Differentialgleichung ergibt:

kx e−λt cos ωt + bλ x e−λt cos ωt + bωx e−λt sin ωt = − 0 · 0 0 = m λ2x e−λt cos ωt + λ ω m x e−λt sin ωt · 0 · · · 0 + λ ω m x e−λt sin ωt ω2 m x e−λt cos ωt · · · 0 − · · 0 · Somit folgt: x e−λt sin ωt (bω 2λωm) = x e−λt cos ωt mλ2 mω2 + k bλ 0 − 0 − − Dies gilt fur¨ alle t! Damit haben wir: ¡ ¢

b b ω = 2λ ω m λ = · · · ⇒ 2m

2 2 2 k b mλ mω + k bλ = 0 ω = 2 − − ⇒ rm − 4m Die L¨osung lautet:

2 b k b − 2m t x(t) = x0e cos 2 t Ãrm − 4m ! x(t) h¨angt stark ab von:

kx Mittlere Ruc¨ kstellkraft h| |i = bx˙ Mittlere Reibungskraft h| |i Diskussion: 0 Keine D¨ampfung: b = 0 Hierbei erhalten wir eine einfache Kosinusfunktion:

k x(t) = x0 cos t rm

0 D¨ampfung schwach“: b < √4mk ” Die Schwingung wird durch eine exponentiell ged¨ampfte Kosinusfunktion beschrieben:

111 KAPITEL 6. SCHWINGUNGEN UND WELLEN

0 Grenzfall: b = √4mk Mit ω = 0 und cos ωt = 1 ergibt sich eine Exponentialfunktion:

− b x(t) = x0e 2mt

0 Ub¨ erd¨ampfung: b > √4mk Die Kreisfrequenz ω ist imagin¨ar! Der Kosinusansatz zur L¨osung der Differentialgleichung ist ungultig!¨

m Lebensdauer“: τ = ” b

112 6.1. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

Ged¨ampfte Federschwingung: Die Physik steckt in der Kraftgleichung: dx d2x kx b = m − − dt dt2 Die L¨osung dieser Differentialgleichung gibt die Bewegungsgleichung: ⇒

2 b k b − 2m t x(t) = x0e cos 2 t · v m −4m u 2 u ω0 u t|{z} Physikalische Gr¨oßen: 0 Lebensdauer:

2m τ = b 1 Dies entspricht der Abklingzeit, bei der Amplitude auf e x0 abgefallen ist. 0 Qualit¨atsfaktor: Q = ω τ · Es handelt sich um die Anzahl der Oszillationen w¨ahrend der Abklingzeit.

Beispiele: 0 Stimmgabel: Q 104 ≈ 0 Federpendel: Q 10 20 ≈ − Fur¨ die gesamte Energie gilt:

1 1 − t m 2 2 τE Etot = mv + kx = E e mit τE = 2 2 0 · b Die Energie ist somit keine Erhaltungsgr¨oße! Sie wird umgewandelt durch Reibung in W¨arme, Wirbel.

Beispiel:

Es sei τ = 5 s und T = 5 ms. Damit folgt: 2π 2π Q = τ = 5 s = 6280 T · 5 10−3 s · · 113 KAPITEL 6. SCHWINGUNGEN UND WELLEN c.) Erzwungene Schwingungen:

Wir betrachten ein periodisch angeregtes oszillierendes System mit D¨ampfung. Die zugeh¨orige Kraft- gleichung lautet: dx d2x kx b + F cos ωt = m − − dt 0 dt Umgeformt ergibt sich:

2 F0 b 1 k x¨ + 2γx˙ + ω0x = cos ωt mit γ = = und ω0 = m 2m τ rm Homogene µ ¶ Differentialgleichung | {z } Wir verwenden folgenden L¨osungsansatz: x(t) = x e−γt cos (ω t + φ ) + x cos(ωt + φ ) 1 · 1 1 2 2 L¨osung der homogenen spezielle L¨osung Differentialgleichung nach tÀτ | {z } | {z } Wir beschr¨anken uns auf eine spezielle L¨osung nach t τ. Der Ansatz lautet: À x(t) = x cos(ωt + φ ) 2 · 2 Damit folgt das Ergebnis: F0 m 0 x2 = (ω2 ω2)2 + (2γω)2 0 − Die Amplitudeq ist somit frequenzabh¨angig! 2γω 0 tan φ2 = 2 2 −ω0 ω Phasenverschiebung:− Schwingung der Masse hinkt der Erregerschwingung hinterher.

Herleitung der obigen Formeln am einfachsten mit komplexen Zahlen: Nehme als L¨osungsansatz: iωt x(t) = x2e Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt: x ω2eiωt + 2γiωx eiωt + ω2x eiωt = F /meiωt, − 2 2 0 2 0 woraus folgt: F /m (F /m)(ω2 ω2) 2γω(F /m) x = 0 = 0 0 − i 0 2 ω2 ω2 + i2γω (ω2 ω2)2 + (2γω)2 − (ω2 ω2)2 + (2γω)2 0 − 0 − 0 − 2 2 Der Modulus (Gr¨oße) von x2 = a + ib wird gegeben durch √a + b , weil die Phase bestimmt 2 2 (F0/m)(ω0 −ω ) 2γωF0/m wird durch tanφ2 = b/a. Einsetzen von a = (ω2−ω2)2+(2γω)2 und b = (ω2−ω2)2+(2γω)2 ergibt die 0 − 0 gewunsc¨ hten Resultate. 114 6.1. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

Diskussion der Amplitude x2

γ 1.) Fur¨ = 0 haben wir keine D¨ampfung. ω0 γ 2.) Resonanzkurve = 0, 1 (schwache D¨ampfung) ω0 γ 3.) = 1 (starke D¨ampfung) ω0 Die Halbwertsbreite betr¨agt:

∆ω 2γ √3 ≈ ·

b Full Width Half Maximum (FWHM): √3 m Fur¨ γ 0 (d.h. b 0) gilt: 7→ 7→ x , ∆ω 0 2 7→ ∞ 7→ 2. Demonstration Pohlsches Rad. Eine Scheibe mit Tr¨agheitsmoment J wird durch eine Spiralfeder mit Winkelrichtgr¨oße Dr, dessen Ende durch eine externe periodische Kraft F0 cos ωt angetrieben wird, in gezwungenen Drehschwingungen mit Auslenkwinkel θ versetzt. Die D¨ampfung bθ˙ l¨asst sich mittels einer Wirbelstrombremse einstellen. − Es gilt:

M = D θ bθ˙ + F eiωt = J θ¨ − r · − 0 · oder D b F θ¨ = r θ θ˙ + 0 eiωt − J − J J

2 Setzt man ω0 = Dr/J, 2γ = b/J und F0/m = F0/J, dann hat man die gleiche L¨osung wie oben! 3. Pendelschwingungen

a.) Mathematisches Pendel

115 KAPITEL 6. SCHWINGUNGEN UND WELLEN

d2θ mg sin θ = m a = m l − · · dt Diese Differentialgleichung ist nicht algebraisch l¨osbar! N¨aherung:

θ3 θ5 π sin θ = θ + . . . θ fur¨ θ − 3! 5! − ≈ ¿ 2 Damit erhalten wir folgende Differentialgleichung: d2θ g + θ = 0 dt2 l Folgender Ansatz ist sinnvoll:

θ(t) = θ0 cos ωt

Damit erhalten wir:

g l ω = =∧ T = 2π F~ l sg ⊥ r ³ ´ T Betrachten wir außerdem folgenden Spezialfall. Fur¨ = 1 s gilt: 2 4 s2 m l = 9, 81 1 m 4π2 · s2 ≈ Dies ist das sogenannte Sekundenpendel“. ”

Vergleich zwischen Pendel- und Federschwingung:

Behauptung:

Pendel, dessen L¨ange gleich Ausdehnung einer Feder durch ein Gewicht ist, hat die gleiche Frequenz wie die Feder.

116 6.1. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

Beweis:

Die Federdehnung ist gegeben durch: l m m g = k l = · · ⇒ g k

k g ω = = = ω ⇒ F m l P r r b.) Physikalisches Pendel

Es ergibt sich folgendes Drehmoment:

M~ = ~r m ~g = J α~ × · · d2θ d2θ m g r r m g sin θ = J = · · θ = 0 − · · · · dt2 ⇔ dt2 J Auch hier benutzen wir die N¨aherung sin θ θ. Somit gilt fur¨ die L¨osung: ≈ m g r θ(t) = θ cos · · t 0 J r

Beispiele: 0 Masse konzentriert im Massenmittelpunkt:

117 KAPITEL 6. SCHWINGUNGEN UND WELLEN

J = mr2 ⇒ m g r g ∧ ω = · · = (= mathematisches Pendel) J r r r 0 Pendel ist dunner¨ Stab

l r = 2 1 4 J = ml2 = mr2 3 3 m g r 3 g 3 g ω = · · = = J 4 · r 2 · l r r r 4. Gekoppelte Schwingungen

a.) Einfachster Fall: Gekoppeltes Federpendel

118 6.1. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

m x¨ = k x k (x x ) 1 1 − 1 1 − 12 1 − 2 m x¨ = k x k (x x ) 2 2 − 2 2 − 12 2 − 1 Es handelt sich um ein System aus gekoppelten Differentialgleichungen. Wir betrachten hierzu fol- genden Spezialfall: m = m m 1 2 ≡ k = k k 1 2 ≡ Damit folgt: mx¨ = kx k (x x ) 1 − 1 − 12 1 − 2 mx¨ = kx k (x x ) 2 − 2 − 12 2 − 1 Durch Addition bzw. Subtraktion dieser beiden Differentialgleichungen ergibt sich nun folgendes System: m (x¨ + x¨ ) = k (x + x ) 1 2 − 1 2

2X¨M m |(x¨ {z x¨ }) = k (x x ) 2k (x x ) 1 − 2 − 1 − 2 − 12 1 − 2

2X¨D 0| Mittlere{z } Auslenkung:

1 X = (x + x ) M 2 1 2 0 Differenz: 1 X = (x x ) D 2 1 − 2

119 KAPITEL 6. SCHWINGUNGEN UND WELLEN

Damit erhalten wir also zwei Differentialgleichungen, die voneinander unabh¨angig sind:

mX¨ = kX M − M mX¨ = kX 2k X D − D − 12 D Hierbei folgt nun die L¨osung:

k XM = A1 cos (ω1t + φ1) mit ω1 = rm

k + 2k12 XD = A2 cos (ω2t + φ2) mit ω2 = r m

Beispiele:

a.) Massen schwingen in Phase:

k XM = x1(t) = x2(t) = A1 cos (ω1t + φ1) (= A2 cos (ω1t + φ2)) mit ω1 = rm

b.) Massen schwingen gegenl¨aufig:

XM = 0

Damit haben wir:

k + k12 x1(t) = x2(t) = XD(t) = A1 cos (ω2t + φ1) = A2 cos (ω2t + φ2) mit ω2 = − − r m

120 6.1. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

Demonstration:

g ω = 1 l r

g 2k12 ω2 = + r l m c.) Massen sind außer Phase (A = A A) 1 2 ≡

x1(t) = XM + XD = A [cos (ω1t + φ1) + cos (ω2t + φ2)] = ω ω φ φ ω + ω φ + φ = 2A cos 1 − 2 t + 1 − 2 cos 1 2 t + 1 2 2 2 · 2 2 µ ¶ µ ¶ x (t) = X X = A [cos (ω t + φ ) cos (ω t + φ )] = 2 M − D 1 1 − 2 2 ω ω φ φ ω + ω φ + φ = 2A sin 1 − 2 t + 1 − 2 sin 1 2 t + 1 2 − 2 2 · 2 2 µ ¶ µ ¶ Wir erhalten fur¨ die Periode einer Schwebung:

2π T = ω ω 2 − 1

121 KAPITEL 6. SCHWINGUNGEN UND WELLEN

Lissajous-Figuren:

Diese entstehen bei Ub¨ erlagerung harmonischer Schwingungen mit ganzzahligem Frequenzverh¨altnis, die senk- recht zueinander stehen. x = x0 sin(ωt) y = y0 sin(ωt + ϕ) = y0 sin(ωt) cos ϕ + y0 cos(ωt) sin ϕ

x x 2 sin(ωt) = und cos(ωt) = 1 x − x 0 s µ 0 ¶ Durch Einsetzen in obige Gleichung folgt:

x x 2 y = y cos ϕ + y 1 sin ϕ 0 · x · 0 · − x · 0 s µ 0 ¶ Durch Umformen ergibt sich:

y x x 2 cos ϕ = 1 sin ϕ y − x − x 0 0 s µ 0 ¶ Quadriert man diese Gleichung, so erh¨alt man die allgemeine Ellipsengleichung:

y 2 x 2 2xy + cos ϕ = sin2 ϕ y x − x y µ 0 ¶ µ 0 ¶ 0 0 Fur¨ ϕ = 0 erh¨alt man eine Gerade: y y = 0 x x0 π Fur¨ ϕ = resultiert eine Ellipse: 2

y 2 x 2 + = 1 y x µ 0 ¶ µ 0 ¶ Allgemein ergeben sich fur¨ ganzzahlige Frequenzverh¨altnisse geschlossene Raumkurven, die von der Phasenlage unabh¨angig sind.

6.1.2 Wellen Allgemeines: Wellen sind Erscheinungen der Natur, welche gekoppelte oszillierende Systeme darstellen.

122 6.1. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

0 Transversale Wellen Vertikalschwingungen aller Punkte l¨angs der Welle, Beispiel: Wasserwellen

0 Longitudinale Wellen Horizontalschwingungen aller Punkte, Beispiel: Schallwellen

0 Eindimensionale Wellen (Feder, Saite, . . . )

0 Zweidimensionale Wellen (Wasserwellen, vibrierende Platte, . . . )

0 Dreidimensionale Wellen (elektromagnetische Wellen, Schall, . . . ) 0 Stehende Wellen

Beispiel: Saite Alle Punkte bewegen sich in Phase.

0 Laufende Welle

Die Auslenkung verschiebt sich.

1.) Die Wellengleichung: Wir wollen die Wellengleichung mit Hilfe der Saitenschwingung herleiten:

123 KAPITEL 6. SCHWINGUNGEN UND WELLEN

dz F (x) = f sin θ F tan θ = F z · ≈ · · dx dz dz F (x + ∆x) = F sin(θ + ∆θ) F + ∆ z · ≈ · dx dx µ ¶ dz d2z f (x + ∆x) F (x) = F ∆ = ∆m z − z · dx dt2 ∂2z dm ∂2z ∆x 0 : F = ∂ =∧ partielle Ableitung 7→ · ∂x2 dx ∂t2 dm kg Mit = µ (lineare Massendichte) dx m · ¸

∂2z µ ∂2z = ∂x2 F · ∂t2

Dies ist eine partielle Differentialgleichung.

L¨osung:

Hier wird folgender Ansatz verwendet: z(x, t) = z0 sin(kx + δ) cos(ωt + φ) Damit ist: ∂z = k z cos(kx + δ) cos(ωt + φ) ∂x · 0 · ∂2z = k2 z sin(kx + δ) cos(ωt + φ) = k2z(x, t) ∂x2 − · 0 · − 124 6.1. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

∂z = ωz sin(kx + δ) sin(ωt + φ) ∂t − 0 ∂2z = ω2z sin(kx + δ) cos(ωt + φ) = ω2z(x, t) ∂t2 − 0 − Durch Einsetzen in die Differentialgleichung erh¨alt man: µ k2z(x, t) = ω2z(x, t) − −F Somit folgt:

F 2π F ω = k = · s µ λ s µ

0 Hier bekommen wir einen Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenl¨ange. 0 Je gr¨oßer die Saitenspannung ist, desto gr¨oßer ist ω. 0 Je gr¨oßer die Saitenmasse (Massendichte) , desto kleiner ist ω.

Allgemeine Wellengleichung:

∂2z 1 ∂2z = ∂x2 v2 ∂t2

2.) Stehende Wellen: Jeder Punkt oszilliert um die x-Achse mit gleicher Frequenz.

z(x, t) = f(x) g(t) · Amplitude Zeitab- h¨angigkeit |{z} |{z} Sonderfall: Harmonischer Oszillator

f(x) = z sin(k x + δ) 0 · f(t) = cos(ωt + φ) 2π ω =∧ Frequenz der Oszillation: ω = T 2π k =∧ Wellenzahl: k = λ

∧ λ = Wellenl¨ange.

125 KAPITEL 6. SCHWINGUNGEN UND WELLEN

Schwingungsmoden:

0 n = 1 : λ = 2 L ·

0 n = 2 : λ = L

0 2 n = 3 : λ = 3 L

2 λ = L n n ·

H¨ohere Moden:

2 n π F λn = L, daher: ωn = · n L s µ 3.) Laufende Wellen: Wellenform bewegt sich mit Geschwindigkeit v und transportiert Energie, auch wenn die oszillierenden K¨orper am selben Ort bleiben.

z(x, t) = f(x v t) − · Jede laufende Welle wird durch f(x vt) beschrieben.F −

Behauptung:

u Jede Funktion f(k(x vt)) genugt¨ der Wellengleichung. − z }| { 126 6.1. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

Beweis:

∂2z d2f = +k2 ∂x2 du2 ∂2z d2f ∂2z = k2v2 = v2 ∂t2 du2 ∂x2 u = kx kvt und Kettenregel: − ∂f(u(x)) df du = ∂x du · dx

z(x, t) = z(x , 0) = z = f(x ) = f(x vt) 0 0 0 −

Spezieller Fall: Harmonische laufende Welle:

Ansatz: 2π 2π z(x, t) = z sin k(x vt) = z sin(kx k vt) = z sin(kx ωt), da ω = = v = k v 0 − 0 − · 0 − T λ · ·

P oszilliert mit der Frequenz ω. Damit ist folgender Ansatz sinnvoll: z(x, t) = z sin(kx ωt) 0 − Durch Einsetzen in die Wellengleichung kann man den Ansatz verifizieren.

127 KAPITEL 6. SCHWINGUNGEN UND WELLEN

Zusammenfassung zu Wellen:

Laufende Wellen: Form, die sich mit Geschwindigkeit v fortbewegt

Eindimensional:

A(x, t) = A f(kx ωt) = A f (k (x v t)) , v =∧ Phasengeschwindigkeit. 0 − 0 − · Zweidimensional, Dreidimensional:

A~(~r, t) = A~ f(~k~r ωt) 0 · −

Stehende Wellen: Form, bei der Knoten und B¨auche an gleicher Stelle bleiben

Eindimensional:

A(x, t) = A0f(x)g(t)

Zweidimensional, Dreidimensional:

A~(~r, t) = A~0f(~r)g(t)

A~(~r, t) genugt¨ der Wellengleichung: 0 Eindimensional: ∂2A 1 ∂2A = ∂x2 v2 ∂t2 0 Zweidimensional, Dreidimensional:

1 ∂2A~ ∂2 ∂2 ∂2 A~ = mit + + 4 v2 ∂t2 4 ≡ ∂x2 ∂y2 ∂z2 µ ¶ bezeichnet man als Laplace-Operator. 4 4.) Energie und Intensit¨at von Wellen:

Herleitung mit Hilfe der Saite:

Fur¨ die kinetische Energie erh¨alt man:

1 1 ∂z 2 ∆E = ∆mv2 = µ ∆x k 2 z 2 · · ∂t µ ¶ 128 6.1. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK dE 1 ∂z 2 k = µ dx 2 ∂t µ ¶ Fur¨ die potentielle Energie folgt:

Mit (1 + α)n 1 + n α fur¨ α 1 resultiert: ≈ · ¿

2 2 2 2 ∂z 1 ∂z dEp = F~ d~s F dx + dz dx = F dx 1 + 1 F dx · ≈ − · · s ∂x −  ≈ · · 2 ∂x ³p ´ µ ¶ µ ¶ |d~s|   Damit folgt: | {z } dE 1 ∂z 2 p = F dx 2 ∂x µ ¶

Gesamtenergie des Massenelementes am Ort x: dE 1 ∂z 2 1 ∂z 2 = µ + F dx 2 ∂t 2 ∂x µ ¶ µ ¶

Beispiel: Laufende harmonische Welle: z(x, t) = z sin(kx ωt) 0 − ∂E 1 1 = µω2z2 cos2(kx ωt) + F k2 z2 cos2(kx ωt) ∂x 2 0 − 2 · · 0 · − Da µω2 = F k2, gilt: · dE = µ ω2 z2 cos2(kx ωt) dx · · 0 · −

Energie wird transportiert! ⇒ E (Amplitude)2 ∝ E ω2 ∝

Leistung, Intensit¨at:

mittlere Energiedichte L¨ange des Wellenzuges P = · h i Zeiteinheit dE dx P = h i dx · dt ¿ À 129 KAPITEL 6. SCHWINGUNGEN UND WELLEN

Fur¨ die Saite haben wir: 1 P = µω2 z2 v h i 2 · 0 · P I = h i Fl¨ache 6.1.3 Anwendung: Akustik, Schallwellen Schall ist eine longitudinale Druckwelle in einem Medium:

0 Gas 0 Flussigk¨ eit 0 Festk¨orper

Ausbreitungsgeschwindigkeit:

Ruc¨ kstellkraft (Kraftfaktor) v ( c) = ≡ s Tr¨agheitsfaktor Bei einer Saite gilt:

F v = s µ In verschiedenen Medien berechnet sich die Schallgeschwindigkeit jeweils anders: 0 Metallstab:

E v = s % E ist das Elastizit¨atsmodul. 0 Flussigk¨ eit:

K v = s % Bei K handelt es sich um das Kompressionsmodul. 0 Gas: p v = 0 κ ρ · r 0 ∧ p0 = mittlerer Druck ∧ ρ0 = mittlere Dichte κ 1, 4 fur¨ reelle Gase, κ = 1 fur¨ ideale Gase ≈ Betrachten wir folgende Beispiele: km v = 6 Fe s m v = 1485 H2O s m v = 1260 H2 s p 105 N 0 ≈ m2 m m v v = 330 bei 0◦C, v = 344 bei 20◦C Luft   s s ρ 1, 3 kg  0 ≈ m3    130 6.1. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

Erl¨auterung:

0 Je h¨oher der Druck p0, desto h¨oher ist die Stoßrate der Luftmolekule¨ und desto gr¨oßer v.

0 Je gr¨oßer die Dichte ρ0 ist, desto gr¨oßer ist die Tr¨agheit des Mediums und desto kleiner v.

1.) Stehende Schallwellen:

a.) Pfeife, an beiden Enden offen:

0 Fur¨ Grundwelle:

λ1 = 2L

0 Erste Oberwelle:

λ2 = L

. . 0 (n 1)-te Oberwelle: − 2L λ = n n

ω n ν = n = v n 2π 2L ·

131 KAPITEL 6. SCHWINGUNGEN UND WELLEN

b.) Pfeife, an beiden Enden geschlossen

λ1 = 2L . . 2L n λ = , ν = v n n n 2L c.) Eine Ende offen, eins geschlossen

132 6.1. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

λ1 = 4L 4 λ = L 2 3 4L λ = n 2n 1 − 2n 1 ν = − v n 4L

Beispiel:

Betrachten wir eine Orgelpfeife der L¨ange 4,4 m: 344 m ν = s = 22 Hz 1 4, 4 m

Demonstrationen:

a.) Vergleiche Fl¨ote Ende offen/geschlossen: v v 1 ν = ; ν = = ν o 2L g 4L 2 o 1 Oktave ⇒ b.) Experiment 1: Stehende Wellen/Schallgeschwindigkeit

133 KAPITEL 6. SCHWINGUNGEN UND WELLEN

0 Frequenz: 1 ν = = 1, 8 kHz 0, 6 ms 0 Wellenl¨ange: Es existieren 2 Lautst¨arkemaxima zwischen ∆x = 9 10 cm. −

Damit gilt: λ = 2∆x = 18 cm Wir erhalten schließlich: m v = λ ν = 0, 18 m 1800 Hz = 324 · · s ∆λ ∆v Mit 10% und 10% folgt: λ ≈ v ≈ m v = 324 32 § s c.) Experiment 2:

L 9, 9 m m v = = = 341 t t 0, 029 s s 1 − 0 d.) Schallfrequenz in unterschiedlichen Medien: In einem Gas: gilt: p v = 0 κ ρ · r 0 v Mit ν = , kleinerem ρ und konstantem λ folgt, daß ν gr¨oßer wird. λ 0 2.) H¨oren: Das Ohr ist ein empfindliches Schallorgan mit logarithmischem Ansprechverhalten. 134 6.1. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

Definitionen:

0 Ton: Rein harmonische Schwingung; Tonh¨ohe durch ν und Tonst¨arke durch P 2 bestimmt 0 Klang: Ub¨ erlagerung von harmonischen Schwingungen 0 Ger¨ausch: Unperiodischer Schallimpuls 0 Knall: Kurzer Schallimpuls

Außerdem sind folgende Begriffe fur¨ das H¨orverhalten wichtig:

0 H¨orschwelle: Dabei handelt es sich um die minimal h¨orbare Schallintensit¨at: W I (ν = 1 kHz) = 10−12 min m2 Im Ohr: . 10−15 W

0 Lautst¨arke:

I(ν) 1 dB 10 log10 [Phon] ≡ · Imin Dezibel |{z} Beispiele:

Ger¨ausch Intensit¨at leises Flustern¨ 10 Phon lautes Reden 50 Phon Preßlufthammer 100-130 Phon Diskothek 100-130 Phon startendes Dusenflugzeug¨ 120-160 Phon

135 KAPITEL 6. SCHWINGUNGEN UND WELLEN

6.1.4 Wellen von bewegten Quellen/Empf¨angern (Doppler-Effekt) Experiment: Dopplereffekt registrierte Frequenz f = emittierte Frequenz f E 6 Q a.) Die Quelle ruht und der Empf¨anger bewegt sich.

λQ TE = c + vE

1 c + vE fE = = wird gr¨oßer TE λQ

vE c 1 + c fE = · ¡ λQ ¢ 136 6.1. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

v f = f 1 + E E Q c ³ ´

v f = f 1 E E Q − c ³ ´ b.) Quelle bewegt sich und Empf¨anger ruht.

c = λ f Q · Q λ T = Q Q c λ = λ v T E Q − Q Q c c λQ fQ fE = = = · λQ λE λQ vQTQ λ v − Q − Q c 1 f = f E Q · 1 vQ − c

1 fE = fQ vQ · 1 + c

137 KAPITEL 6. SCHWINGUNGEN UND WELLEN

c.) Quelle und Empf¨anger bewegen sich.

1. Quelle und Empf¨anger bewegen sich aufeinander zu.

c + vE fE = fQ · c vQ − 2. Quelle und Empf¨anger bewegen sich voneinander weg.

c vE fE = fQ − · c + vQ

3. Quelle und Empf¨anger bewegen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten in die gleiche Richtung.

c + vE fE = fQ · c + vQ

Nebenbemerkung:

vQ > c

c t c · = = sin α = [Ma] [Mach] v t v Q · Q

Fur¨ elektromagnetische Wellen:

c v f = f − E Q · c + v r v =∧ relative Geschwindigkeit

6.1.5 Ub¨ erlagerung von Wellen 1.) Ub¨ erlagerung von Wellen gleicher Frequenz: Ungest¨orte Superposition additive Ub¨ erlagerung/Interferenz ⇒

Beispiel: 2 eindimensionale Wellen

z (x, t) = z cos(ωt kx) 1 0 − z (x, t) = x cos(ωt kx + ϕ) 2 0 − z(x, t) = z (x, t) + z (x, t) = x (cos(ωt kx) + cos(ωt kx + ϕ)) ⇒ 1 2 0 − −

138 6.1. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

Es gilt das Additionstheorem: α + β α β cos α + cos β = 2 cos cos − 2 2 ωt kx + ωt kx + ϕ ωt kx ωt + kx ϕ z(x, t) = 2z cos − − cos − − − = 0 · 2 · 2 µ ¶ µ ¶ ϕ ϕ = 2z cos cos ωt kx + 0 − 2 · − 2 ³ ´ ³ ´ Amplitude laufende Welle | {z } | {z } 2 Spezialf¨alle:

ϕ = 0, Amplitude = 2z0 ϕ = π, Amplitude = 0

Konstruktive Interferenz Destruktive Interferenz

ϕ = k 2π k Z ϕ = (2k + 1) π k Z · ∈ · ∈ ∆ = m λ m Z ∆ = (2m + 1) λ m Z · ∈ · ∈

139 KAPITEL 6. SCHWINGUNGEN UND WELLEN

Beispiel: stehende Wellen

z (x, t) = z cos(ωt kx) 1 0 −

z2(x, t) = x0 cos(ωt + kx) z(x, t) = 2z cos(ωt) cos( kx) 0 − Hierbei handelt es sich also um eine stehende Welle.

2.) Ub¨ erlagerung von Wellen unterschiedlicher Frequenz: Reale physikalische Welt kennt Wellenzuge.¨

Simulieren wir durch den Schwebezustand von zwei eindimensionalen Wellen:

z (x, t) = z cos(ω t k x) 1 0 1 − 1 z (x, t) = z cos(ω t k x) 2 0 2 − 2 (ω t k x) + (ω t k x) (ω t k x) (ω t k x) z(x, t) = z (x, t) + z (x, t) = 2z cos 1 − 1 2 − 2 cos 1 − 1 − 2 − 2 = 1 2 0 2 2 ω + ω k + k ω ω k k = 2z cos 1 2 t 1 2 x cos 1 − 2 t 1 − 2 x o 2 − 2 · 2 − 2 µ ¶ µ ¶ z(x, t) = 2z cos(ωt kx) cos(∆ωt ∆kx) 0 − · − laufende Welle Modulation (hohe Frequenz) (niedrige Frequenz) | {z } | {z }

140 6.1. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

Experiment: Stimmgabel

Superpositionsprinzip:

Wenn z1(x, t) und z2(x, t) Wellenfunktionen sind, dann auch die Summe bzw. die Differenz z1(x, t) z (x, t), oder das Produkt mit einem konstanten Koeffizienten a z (x, t). § 2 · 1

Grund:

Wie Wellengleichung ist linear in z(x, t).

Beispiel: 2 laufende eindimensionale harmonische Wellen: z (x, t) = z cos(k x ω t) 1 0 1 − 1 z (x, t) = z cos(k x ω t) 2 0 2 − 2 Wir addieren die beiden Wellen: z + z z(x, t) = 2z cos(kx ωt) cos(∆kx ∆ωt), wobei gilt: 1 2 ≡ 0 − · − ω + ω k + k ω ω k k ω = 1 2 , k = 1 2 , ∆ω = 1 − 2 , ∆k = 1 − 2 2 2 2 2

141 KAPITEL 6. SCHWINGUNGEN UND WELLEN

0 Im Punkt P :

kx ωt = const. − dx ω ω1 + ω2 = = vPh (Phasengeschwindigkeit) dt k k + k ≡ ½ 1 2 ¾

0 Im Punkt P :

∆kx ∆ωt = const. − dx ∆ω ω1 ω2 = = − vGr (Gruppengeschwindigkeit) dt ∆k k k ≡ ½ 1 − 2 ¾

Falls sich die Welle in einem Medium ausbreitet, kann die Frequenz abh¨angig von der Wellenzahl (d.h. Wellenl¨ange) sein.

ω = ω(k) = ω(λ) { } Dies ist sogenannte Dispersionsrelation.

Mit ω = vPh k folgt: · dω d dvPh vGr = = (vPh k) = vPh + k dk dk · · dk 2π dk 2π Mit k = ergibt sich = und daraus folgt wiederum: λ dλ − λ2

2 2π dvPh λ dvPh vGr = vPh + = vPh λ vPh λ · dλ −2π − dλ ≤ µ ¶

Beispiel:

3.) Pulsformen: Jede periodisch wiederkehrende Funktion kann durch Superposition von harmonischen Wellen beschrieben werden:

142 6.1. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

Durch Entwicklung in eine Fourierreihe folgt:

∞ ∞ f(t) = a0 + an cos nωt + bn sin nωt n=1 n=1 X X Komponenten der Fourierreihe:

T 2 a = f(t) cos(nωt) dt n T Z0

T 2 b = f(t) sin(nωt) dt n T Z0 (Fouriertransformation)

Beispiel: Rechteckfunktion

T +1 fur¨ t = 0 . . . 2 f(t) =  T  1 fur¨ t = . . . T − 2  143 KAPITEL 6. SCHWINGUNGEN UND WELLEN

i.) 1.Fourierkoeffizient 2π Mit ω = folgt: T

T 2 T T 2 2 1 2 T an = cos(nωt) dt cos(nωt) dt = [sin nωt]0 [sin nωt] T = T  −  T nω − 2 Z0 ZT ³ ´  2  1   = (sin nπ sin 0 sin n 2π + sin nπ) = 0 fur¨ alle n nπ − − ·

ii.) 2.Fourierkoeffizient

T 2 T 2 1 b = sin(nωt) dt sin(nωt) dt = ( cos nπ + cos 0 + cos n 2π cos nπ) = n T  −  nπ − · − Z0 ZT  2  2   = (1 cos nπ) nπ − +1 fur¨ n gerade cos nπ = 1 fur¨ n ungerade ½ − Damit folgt:

0 fur¨ n gerade b = n  4  fur¨ n ungerade  n π ·  4 1 1 f(t) = sin ωt + sin 3ωt + sin 5ωt + . . . (= Rechtecksfunktion) π 3 5 µ ¶

Die Funktion lautet also:

∞ 1 f(t) = sin ((2k + 1)t) 2k + 1 kX=0

144 6.1. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

k = 0 k = 1

k = 2 k = 3

k = 4 k = 5

145 KAPITEL 6. SCHWINGUNGEN UND WELLEN

k = 6 k = 10

k = 48

Beispiel:

Betrachten wir die Funktion f(t) = sin(ωt). Damit erhalten wir folgendes Spektrum:

4.) Interferenz von Wellen in 2 und 3 Dimensionen:

a.) Illustration

∧ 0 L1 = L2 beziehungsweise L2 = L1 + nλ: Amplituden der Teilwellen addieren sich am Ende = konstruktive Interferenz ∧ 0 L = L + n 1 λ: Amplituden der Teilwellen l¨oschen sich aus = destruktive Interferenz 2 1 − 2 ¡ ¢

146 6.1. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

b.) Ub¨ erlagerung zweier radialer Wellen

Am Punkt P :

L1 = 6λ

L2 = 4λ Konstruktive Interferenz ⇒ Generell: An jedem Ort, wo ∆L = L L = n λ, findet konstruktive Interferenz statt. | 1 − 2| ·

147 KAPITEL 6. SCHWINGUNGEN UND WELLEN

Es findet eine konstruktive Interferenz statt, wenn L L = n λ = d sin θ . | 1 − 2| · · n nλ sin θ = Maxima n d ⇒ (2n 1) λ sin θ = − 2 Minima n d ⇒ Im Zweidimensionalen (Wasserwellen) sieht ein Interferenzmuster folgendermaßen aus:

0 Konstruktive Interferenz: Sie tritt bei folgenden Winkeln auf: n λ sin θ = · = L L n d | 2 − 1| nλ Maxima befinden sich auf einem Schirm bei x = R sin θ = R fur¨ n = 0, 1, . . . n § · n § · d 0 Destruktive Interferenz: 1 n 2 λ Minima treten auf dem Schirm bei xn = R − auf. § ¡ d ¢

148 6.1. WELLENAUSBREITUNG IN DER MECHANIK

Beispiel (Rock-Konzert):

Sie h¨oren ein Maximum bei: n 30 m c x = · · m § 3 m ν · Betrachten wir folgendes Zahlenbeispiel:

ν = 2 kHz : x = 0 m, 1, 72 m, . . . m §

149 KAPITEL 6. SCHWINGUNGEN UND WELLEN

150 Kapitel 7

Relativistische Mechanik

7.1 Bewegte Bezugssysteme, Transformationen

Inertialsystem: Beobachter ruht oder bewegt sich gleichf¨ormig

~s(t) = ~s0 + ~vS(t)

~r0(t) = ~r(t) ~s(t) = ~r(t) ~s ~v t − − 0 − S Galilei-Transformation ⇒ a.) Beispiel:

151 KAPITEL 7. RELATIVISTISCHE MECHANIK

x ~r(t) = 0 h g t2 µ − 2 ¶ x v t ~r0(t) = 0 S h − g t2 µ − 2 ¶ b.) Demo: Studentin mit Federpendel

x ~r(t) = 0 y cos ωt µ 0 ¶ x vt ~r0(t) = 0 y cos− ωt µ 0 ¶ c.) Beispiel: Addition von Geschwindigkeiten

152 7.2. RELATIVISTISCHE KINEMATIK

x + v t ~r0 (t) = 0 r r y µ 0 ¶ x + v t + v t + s ~r (t) = ~r0 (t) + ~s(t) = 0 r S x0 r r y + s µ 0 y0 ¶ 0 0 Von S aus betrachtet besitzt die Rakete die Geschwindigkeit vr = vr + vS. Es stellt sich nun die Frage, welche Geschwindigkeit Laserlicht von Flugzeug aus geschossen hat. Wir erwarten vc = vS + c > c. Dies steht jedoch im Widerspruch zu den Beobachtungen.

7.2 Relativistische Kinematik 7.2.1 Spezielles Relativit¨atsprinzip x Alle Inertialsysteme gleichwertig, Naturgesetze haben gleiche Gultigk¨ eit y In jedem Inertialsystem hat die Vakuumlichtgeschwindigkeit den gleichen Wert c.

7.2.2 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit

a.) Olaf R¨omer 1675: Messung der Umlaufzeit des Mondes Io des Jupiters zum Zeitpunkt des kleinsten Abstandes Jupiter-Erde ergibt T=42.5h. Damit kann man ausrechnen wann der n¨achste Mondfinsternis, d.h. Verdeckung des Io- Mondes hinter dem Jupiter, stattfindet wird bei maximalem Abstand Jupiter-Erde, d.h. ein halbes Jahr 153 KAPITEL 7. RELATIVISTISCHE MECHANIK

sp¨ater. (Jupiter bewegt sich kaum in 6 Monaten.) Man beobachtet dass die Mondfinsternis 16,5 Minuten sp¨ater stattfindet als vorhergesagt, d.h.

t2 = t1 + 16, 5 min

Damit folgt fur¨ die Lichtgeschwindigkeit:

D + l D L 3 108 km km c = 1 − 1 = · = 300 000 t t ∆t ≈ 103 s s 2 − 1 km R¨omer hatte c = 200 000 s berechnet! b.) Fizeau (1849):

2L Licht wird vom Zahnrad absorbiert, wenn ∆t = c . Damit errechnet sich c folgendermaßen:

2L c = ∆t

Heute kann man c sehr genau bestimmen: m c = 299 792 458 < ! s ∞ c.) Beweis, daß Lichtgeschwindigkeit c unabh¨angig vom Bezugssystem: Michelson, Morley (1887) (Idee von Maxwell):

154 7.2. RELATIVISTISCHE KINEMATIK

km Das System befindet sich auf der Erde, d.h. v = 30 s . Die Laufzeit zwischen Spiegel und Halbspiegel betr¨agt: L L 2 L c 2L 1 ta = + = · · = c v c + v c2 v2 c · 1 v2 − − − c2 Die Laufzeit von b.) betr¨agt: v cos φ = c Wir erhalten außerdem fur¨ die Laufstrecke s: 2L s = sin φ 2L 2L 2L tb = = = 2 2 c sin φ c 1 cos φ c 1 v · − − c2 p q 2L 1 1 ∆t = ta tb = 2 = 0 − c  v − v 2  6 1 c 1 − − c   Dabei wird folgende Beobac¡ ¢htungqgemac¡ht:¢ ∆t = 0 7.2.3 Wiederholung: Galileitransformationen

x0(t) = x(t) v t − · 0  0 y (t) = y(t)  Fur¨ Bewegung von S mit Geschwindigkeit v in x-Richtung   z0(t) = z(t)  dx0(t) dx(t)  = v = v0(t) v dt dt − − 0 Maxwell (1864): Er beschreibt eine elektromagnetische Welle, die sich mit v = c ausbreitet, unabh¨angig vom Bezugssystem! 0 Einstein (1905): Einstein geht von der Notwendigkeit aus, Metrik von Raum und Zeit zu ver¨andern.

155 KAPITEL 7. RELATIVISTISCHE MECHANIK

7.2.4 Lorentztransformation

x0 = (x vt) γ − ·  y0 = y    Fur¨ Bewegung in x-Richtung z0 = z   vx t0 = t γ  2  − c ·  ³ ´  1  v γ = mitβ 1 v2 ≡ c − c2 q Allgemein:

~v ~r ~r0 = ~r + ~v · (γ 1) γ t v2 − − · µ ¶ 1 t0 = t ~v ~r γ − c2 · µ ¶ Ist die Lichtgeschwindigkeit invariant?

~r(t)2 = x2(t) + y2(t) + z2(t) = c2 t2 · Im System S’ haben wir:

~r0(t)2 = x02(t) + y02(t) + z02(t) = γ2x2 γ2 2xvt + γ2v2t2 + y2 + z2 + x2 x2 = − · − c2t2 = γ2 1 x2 γ2 2x v t + γ2 v2 + c2 t2 = − − · · · · | {z } 2 ¡ 1 ¢ 2 2 ¡ v ¢2 2 v2 1 x γ 2xtv + v2 + c t = Ã1 2 − ! − · Ã1 2 ! − c − c v2 vx v2x2 = γ2x2 γ2 2vxt + γ2 c2 t2 = c2 γ2t2 γ2 2t + γ2 = c2 − · · · − · c2 c4 µ ¶ vx 2 = c2 γ t = c2t02 · − c2 ³ ³ ´´ Es handelt sich also ebenfalls um eine Kugelwelle mit Lichtgeschwindigkeit c.

156 7.2. RELATIVISTISCHE KINEMATIK

7.2.5 Relativistische Effekte 1. Die Zeitdilatation

Betrachte eine Uhr“: ”

Wenn der Lichtpuls auf die Photozelle auftrifft, wird ein neuer Puls ausgesendet:

2L0 Periode“: T 0 = ” c Fur¨ Beobachter: T = t t 3 − 1

v T 2 T c L = L02 + · = · 2 2 s µ ¶ c2 v2T 2 T 2 = L02 + ⇒ 4 4 2L0 γ T = = 2L0 ⇒ √c2 v2 c − T 0c Mit L0 = folgt: 2 T = γ T 0 (Zeitdilatation) ·

157 KAPITEL 7. RELATIVISTISCHE MECHANIK

Anwendung: Kosmische H¨ohenstrahlung

Wir betrachten den Zerfall von Myonen (µ). Die Lebensdauer eines Myons betr¨agt:

τ 0 = 2, 2 10−6 s µ · Fur¨ die zuruc¨ kgelegte Lichtstrecke ergibt sich:

L0 = τ c 660 m µ · ≈ Im System S haben wir:

τ = γ τ 0 µ · µ In diesem Falle gilt: γ = 50 (fur¨ angenommene v = 0,9998 c).

τ = 50 2, 2 10−6 s = 110 10−6 s µ · · · Damit gilt fur¨ die Wegl¨ange: m L = γ τ 0 v = 110 10−6 s 3 108 33 km · µ · · · · s ≈

158 7.2. RELATIVISTISCHE KINEMATIK

Einschub: Bestimmung von τµ

2. L¨angenkontraktion

Beispiel: Stab der L¨ange LS

Im System S0 gilt:

x0 = γ (x vt ) Ende vom Stab 2 2 − 2 ⇒ x0 = γ (x vt ) Anfang vom Stab 1 1 − 1 ⇒ L¨angenmessung: Beide Enden zur gleichen Zeit: t2 = t1 x0 x0 = γ (x x ) ⇒ 2 − 1 · 2 − 1 1 L0 = γ L bzw. L = L0 (L¨angenkontraktion) · γ

Beispiel:

Wie hoch muss Geschwindigkeit eines Raumschiffes - von der Erde aus gesehen - sein, damit ein Astronaut eine Galaxie der Gr¨oße 6 1020 m innerhalb von 30 Jahren durchqueren kann? ·

Wir betrachten Zeit und Geschwindigkeit vom Astronauten aus, d.h. Raumschiff ist Ruhesystem und Galaxie bewegt sich gegenub¨ er Raumschiff. 0 Galaxie: Bewegtes System S0 mit L¨ange L0 = 6.1020m, Geschwindigkeit v’ und Zeit t’

159 KAPITEL 7. RELATIVISTISCHE MECHANIK

0 Raumschiff: Ruhesystem S mit L¨ange L, Geschwindigkeit des Beobachters v=0, und Zeit t = 30J = 30 3.16 107 s 109 s · · ≈ Damit erhalten wir mit γ = 1/ 1 v02/c2 fur¨ die Geschwindigkeit v0 = L0/t0 = L0/γt = L0 1 v02/c2/t. Daraus folgt − − p p L0c v0 = = 0, 9999999c c 1 10−7 √L02 + c2t2 ≈ · − Auf Erde gesehen dauert die Reise: ¡ ¢ t0 = γt = L0/v0 = 64000 Jahre ≈ Der Astronaut sieht auf seinem Kilometerz¨ahler: L = L0/γ 6 1020/2100 m. ≈ · 3. Addition von Geschwindigkeiten

x(t) = u t − · x0(t) = γ (x(t) v t) = γ ( u t vt) = γ (u + v) t − · − · − − v x(t) u v t0 = γ t · = γ t 1 + · − c2 · c2 µ ¶ 0 ³ ´ 0 x u + v 0 u = 0 = u·v ; u c t −1 + c2 | | ≤

Beispiel:

Es sei u = 0, 8c und v = 0, 8c. Damit folgt: 1, 6c u0 = = 0, 98c | | 1, 64 Es gibt somit keine Ub¨ erlichtgeschwindigkeiten!

7.3 Relativistische Dynamik

1. Masse

Wir betrachten die beiden Massen mA = mB, die auseinander fliegen:

160 7.3. RELATIVISTISCHE DYNAMIK

Von A betrachtet: S bewegt sich in x-Richtung mit v v + v 2v B bewegt sich in x-Richtung mit w = = 1 + v·v v2 c2 1 + c2 Zur Zeit t = T gilt folgendes: 0 A befindet sich bei x = vT A − 0 B befindet sich bei x = +(w v)T B − Der Schwerpunkt ruht in Bezug auf das x-y-Koordinatensystem:

m v T + m 0 (w v) T = 0 ⇒ − A · · B · − · v v c2 + v2 0 mB = mA = mA 2v = mA 2 2 = ⇒ · w v · 2 v · c v 1+ v − c2 − − c4 + 2c2v2 + v4 = m A · c4 + 2c2v2 + v4 4c2v2 r − 1 = mA = γ mA · 1 w2 · s − c2 m 0 = γ m B · B

2. Impuls

p~ = m~v = γm0~v

3. Kraft

dp~ d(γm ~v) d m ~v F~ = = 0 = 0 dt dt dt  1 v2  − c2   d m0 1 q = ~v + m0~a dt 1 v2 · 1 v2 − c2 − c2 q v2 1q = γ3m a ~e + ~e 0 c2 v γ2 a µ ¶ 4. Energie

~b ~b d E = F~ d~l = (m ~v) d~l k dt · Z~a Z~a v0 v0 = (m dv + v dm )v = (mv dv + v2 dm)

Z0 0 im Z0 klassischen Fall | {z } 161 KAPITEL 7. RELATIVISTISCHE MECHANIK

m Mit m = 0 erh¨alt man: 1 v2 − c2 q m2c2 m2v2 = m2c2 − 0 2mc2 dm m22v dv v22m dm = 0 ⇒ − − mv dv + v2 dm = c2 dm ⇒ Nun erh¨alt man:

m(v0) EGesamt E = c2 dm = mc2 m c2 = m c2(γ 1) k − 0 0 − m(vZ=0) z}|{

Die verrichtete Arbeit kann man interpretieren als Arbeit, die gebraucht wurde fur¨ die Massenzunah- me c2dm oder nach Einsteins Kurzformel: Massa=Energie, auch geschrieben als E = mc2, wobei die Gesamtenergie E eines K¨orpers zwei Komponenten hat, n¨amlich die kinetische Energie und Ruhemasse:

2 E = Ek + m0c Massenergie

Den relativistisc| {z }hen Zusammenhang mit dem Impuls bekommt man, wenn man m2c2 in der obigen Gleichung m2c2 m2v2 = m2c2 ersetzt durch E2/c2: − 0 2 2 2 2 4 E = p c + m0c 1 1 v2 Fur¨ v c : γ = 1 + 2 ¿ 1 v2 ≈ 2 c − c2 q 1 v2 m E = m c2 = 0 v2 ⇒ k 0 · 2 c2 2 Die klassischen Gesetze gelten! ⇒ Anwendung: Umwandlung von kinetischer Energie in Materie

Beispiel: Urknall:

7.4 Lorentzinvariante Vierervektoren im 4-dimensionalen Minkow- ski Raum

L¨angen, Zeitintervalle und Massen ¨andern sich zwischen Bezugsystemen. Jedoch die Lichtgeschwindigkeit und die Ruhemasse eines Teilchen sind Lorentzinvariant, d.h. die Gr¨oßen sind in jedem Inertialsystem identisch. Dies kann man als Lorentzinvariante L¨angen der folgenden Vierervektoren im 4-dimensionalen Minkowski Raum ausdruc¨ ken:

X = (x, y, z, ict); X X = x2 + y2 + z2 c2t2 = s2 · − − 162 7.4. LORENTZINVARIANTE VIERERVEKTOREN IM 4-DIMENSIONALEN MINKOWSKI RAUM

P = cmX˙ = (p , p , p , iE); P P = p2 + p2 + p2 E2 = c4m2 x y x · x y z − − 0 Aus der ersten Gleichung folgt sofort, dass c=r/t in jedem Inertialsystem gleich ist, wenn s2 Lorentzinvariant ist und die L¨ange des zweiten Vierervektors ist nach der relativisischen Energie-Impulsbeziehung nur bestimmt durch c und m0, die beide invariant sind. Diese L¨angen kann man im Orts-Zeit- oder Impuls-Energie Raum anschaulich darstellen. Fur¨ den Minkowski Orts-Zeit Raum nimmt man als Achsen die ict-Achse und eine Orts-Koordinate, z.B. x. Ein ruhender Punkt, d.h. x=konstant, kann man als vertikale Linie im Orts-Zeitraum darstellen, da die Zeit auch fur¨ einen ruhenden Punkt zunimmt. Ein Punkt, dass sich gleichf¨ormig mit Ge- schwindigkeit v in die x-Richtung bewegt, entspricht eine Gerade mit der Steigung tan α = ct/x = c/v = 1/β. Ein Lichtstrahl mit v = c entspricht daher eine Diagonale unter 45◦. Solche Linien, die die Bewegung eines K¨orpers im Orts-Zeit Raum darstellen, nennt man Weltlinien. Da die Lichtgeschwindigkeit die maximal be- obachtbare Geschwindigkeit eines K¨orpers darstellt, sind die physikalisch m´ogliche Bereiche fur¨ reale Teilchen gegeben durch Kegel begrenzt durch t = x. §

Ein sich mit Geschwindigkeit v gleichf¨ormig bewegendes Bezugsystem S0 in Richtung der x-Achse entspricht die Achsen x0, ict0. Die ict0-Achse ist die Weltlinie von O’ (x’=0) und hat eine Steigung ct/x = c/v = 1/β, da O’ sich mit Geschwindigkeit v bewegt. Die x0-Achse entspricht t0 = γ(t vx/c2) = 0 und hat daher eine Steigung − tan α = ct/x = v/c = β. Fur¨ sehr hohe Geschwindigkeiten gehen beide Achsen x0 und ict0 ub¨ er in die Diagonale unter 45◦. Konstante L¨angen des X-Vektors, z.B. x2 c2t2 = 1 werden durch eine Hyperbel dargestellt, die die x- Achse bei (x = 1, t = 0) schneidet. Diese Hyp−erbel schneidet die x0-Achse bei x0 = 1, weil in S’ auch gilt x02 c2t2 = 1. Wie aus der Figur sichtbar ist, schneidet die Hyperbel ein gr¨oßeres Stuc¨ k von der x0-Achse ab, − d.h eine L¨angeneinheit L0 in S’ ist gr¨oßer als in S. Nach der Lorentztransformationen muss gelten: L0 = γL oder L = L0/γ in Ub¨ ereinstimmung mit der Lorentzkontraktion, die besagt, dass bewegte St¨abe oder L¨angeneinheiten kurzer¨ wahrgenommen werden.

Man kann auch wie folgt argumentieren: ein Stab der L¨ange OA, die in S ruht, sieht ein Beobachter in S’ als einen bewegten Stab der L¨ange OA’, weil die vertikale Weltlinien von O und A die x’-Achse in den Punkten O und A’ scheiden, d.h. der Beobachter sieht die Lichtblitze von O und A zum gleichzeitigen Zeitpunkt t’=0 auf einem Abstand OA0 < OA.

163 KAPITEL 7. RELATIVISTISCHE MECHANIK

Man kann sich die Zeitdilatation ¨ahnlich klar machen. Eine in O ruhende Uhr sendet in regelm¨aßigen Zei- ◦ tintervallen Lichtblitze aus, deren Weltlinien unter 45 z.B. bei O und t1 starten. Sie schneiden die vertikale 0 Weltlinie eines ruhenden (bewegten) Beobachters in x0 (x0) in A (A’) und B (B’) und der Beobachter misst 0 0 0 0 ein Zeitintervall ∆t = t2 t1 (∆t = t2 t1). Aus der Figur ist wieder sichtbar: ∆t > ∆t und die Lorentz- transformation ergibt ∆t0−= γ∆t. Daher:−bei einer relativen Geschwindigkeit zwischen Beobachter werden die Zeitintervalle gedehnt, d.h. eine bewegte Uhr l¨auft langsamer, wie z.B aus der langen Lebensdauer der Myonen in der kosmischen Strahlung hervorgeht. Aber die Zeitdilatation wurde auch mit Atomuhren in Ub¨ erschallflug- zeugen verifiziert.

7.4.1 Anwendung der Vierervektoren: Die Antiprotonen (Symbol p) wurden entdeckt bei dem Beschuß von Wasserstoff mit Protonen der Energie E in der Reaktion p + p 3p + p + X. (Man muss mindestens 3 Protonen erzeugen, damit die Baryonzahl erhalten bleibt.) Wie hoch m→uß die Anfangsenergie E der Protonen mindestens sein? Im Anfangszustand sind die Vierervektoren: Pp = (pp, iE) und PH = (0, imp), wobei wir als Zeiteinheit c=1 gew¨ahlt haben und pp der Protonimpuls (px, py, pz) ist. Am Anfang gilt also PA = Pp + PH = (pp, i(E + mp)). Im Endzustand gilt ebenfalls: PE = P3p +Pp +PX = (pE, EE) (0, 4mp). Hier wurde der Gesamtimpuls bei der Schwellenenergie im Endzustand null gesetzt haben, weil dann ≈alle Energie in Masse umgewandelt wird. Energie und Impulserhaltung verlangen PA = PE und wir wissen, dass die L¨angen dieser Vierervektoren Lorentzinvariant 2 2 2 sind. Fur¨ die L¨ange von PA gilt mit E = pp + mp:

P P = p2 (E + m)2 = p2 E2 2Em m2 = 2Em 2m2 A · A p − p − − p − p − p − p 2 Gleichsetzen mit der L¨ange 16mp von PE liefert als Schwellenenergie fur¨ die Antiprotonproduktion:

E = 7mp.

Tats¨achlich wurden die Antiprotonen zum ersten Mal an einem Protonbeschleuniger in Berkeley, die Anfang der funfziger¨ Jahre gerade diese Energie erreichen konnte, beobachtet.

164 Kapitel 8

Physikalische Eigenschaften fester K¨orper und Flussigk¨ eiten

8.1 Physik fester K¨orper

Form von Materie, in der interatomare Kr¨afte zu dreidimensionalen stabilen Anordnung von Atomen fuhren.¨

Kristalle Regelm¨aßige Anordnung Amorphe Festk¨orper unregelm¨aßige Anordnung

0 Kr¨afte fuhren¨ zu elastischer Deformation (bei großen Kr¨aften irrelevant)

0 W¨arme manifestiert sich in Atomschwingungen: Je w¨armer, desto gr¨oßer sind die Amplituden.

8.1.1 Elastische Verformung a.) Hookesches Gesetz

165 KAPITEL 8. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

∆L F 1 = L A · E

∧ E = Elastizit¨atsmodul (englisch: Young’s-Modulus)

N kN [E] = oder m2 mm2

Beispiel: Stahlzylinder

L = 2 m

∅ = 2 cm N E = 2, 5 1011 · m2 M = 9, 5 t m F ∆L L F 2 m 9500 kg 9, 81 2 = E ∆L = · = · · s 2, 8 mm A · L ⇒ E A 2, 5 1011 N π 10−4 m2 ≈ · · m2 · · Speziell fur¨ Gummi gilt: N E = 7 106 · m2 ∆L = 101 m ! Gummi zerreißt allerdings vorher.

166 8.1. PHYSIK FESTER KORPER¨

Demonstration: Bestimmung von E fur¨ Cu:

L = 45 cm

M = 100 g, 200 g, etc. ∆L F E = · L A L F 45 cm 10 N 22, 5 10 108 N N E = = = · · 3 109 ⇒ ∆L · A 2 cm · π (1, 5 10−4 m)2 π 2, 25 m2 ≈ · m2 · · ·

Reißfestigkeit:

F ∆L := E A · L µ ¶c

Er ∆L ist| die {zVerl¨angerung} vor dem Zerreißen.

N N E m2 Er m2 11 8 Stahl 2, 5£ 10¤ 4 £30 ¤10 Glas 7 10· 10 3 − 20 · 107 Spinnenseide · 2,−4 10·8 Sehne 108 · Gummi 107

Beispiel: Unser Stahlbolzen:

9 N −4 2 Er A 3 10 m2 π 10 m Mmax = · = · · m· 95000 kg g 9, 81 s2 ≈ (Bei Gummi: 320 kg) b.) Volumen¨anderung bei Zug

167 KAPITEL 8. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

w0 = w ∆w − h0 = h ∆h − L0 = L + ∆L ∆h ∆w ∆L Es gilt: = = µ h w − L µ =∧ Poissonzahl 0, 3 ≈

V 0 = V + ∆V ∆V (w + ∆w) (h + ∆h) (L + ∆L) ∆w ∆h ∆L = · · 1 = 1 + 1 + 1 + 1 = V w h L − w h L − · · µ ¶ µ ¶ µ ¶ ∆L 2 ∆L ∆L = 1 µ 1 + 1 (1 2µ) − L L − ≈ − · L µ ¶ µ ¶

Beispiel: Eisenbolzen:

∆V ∆L 2, 8 mm = (1 0, 6) = 0, 4 0, 6 V − · L · 2 m ≈ c.) Kompression im Dreidimensionalen

∆V p E = 3 (1 2µ) mit k = (Kompressionsmodul) V − · − E 3 (1 2µ) −

168 8.1. PHYSIK FESTER KORPER¨ d.) Scherung }

F ∆L = G = G tan α G α (Schermodul oder Schubmodul) A · L · ≈ · Es gibt dabei folgende Zusammenh¨ange: E E G = , K = 2(1 + µ) 3(1 2µ) −

Anwendung: Biegung

Wir errechnen das Drehmoment um P : ∆M = ∆F x · ∆F ∆L ∆L x Mit = E und = , wobei R der Krumm¨ ungsradius ist, erhalten wir: ∆A · L L R x x2 ∆M = E ∆A x = E ∆A · · R · · · R Durch Integration folgt dann schließlich:

h 2 E M = dM = x2 dA R · Z Zh − 2

Fl¨achen- tr¨agheits- |momen{z tB} 169 KAPITEL 8. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Die allgemeine Formel zur Berechnung des Fl¨achentr¨agheitsmomentes lautet:

B = x2 dy dx ZZ Als Beispiel betrachten wir uns:

i.) Fall 1:

Allgemein gilt:

L3 s = F 3E B · · Damit erhalten wir fur¨ diesen Fall: L3 s = 4 F Eh3 b · · ii.) Fall 2:

Hier gilt:

L3 s = F 48 E B · · · e.) Scherung Wir besch¨aftigen uns mit folgenden Beispielen:

170 8.1. PHYSIK FESTER KORPER¨

Rechteckiger Stab:

h h 2 2 h 1 2 h3 b I = x2 dA = x2 b dx = bx3 = · · 3 − h 12 Zh Zh ¯ 2 − 2 − 2 ¯ ¯ ¯ Zylinder und Rohr:

0 Zylinder:

π I = R4 Zylinder 4

0 Rohr:

π 4 4 IRohr = R r 4 − ¡ ¢

171 KAPITEL 8. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Doppel-T-Tr¨ager:

1 I = BH3 bh3 12 − ¡ ¢ Vergleichen wir die Biegung eines Zylinders bzw. Rohres gleicher Fl¨ache mit R r = 0, 2R, welche an einer Seite eingespannt sind: −

IRohr = 4, 6 IZylinder · f.) Torsion Eine Verdrehung entspricht einer Scherung der einzelnen Elemente.

∆F r = G α = G θ ∆A · · L · Des weiteren gilt: R θ · = tan α α L ≈ Fur¨ die Zylinderhulse¨ erhalten wir nun: r dF = G θ 2πr dr · l · · dA r | {z } dM = G θ 2πr dr r · l · · ·

172 8.1. PHYSIK FESTER KORPER¨

Fur¨ das Drehmoment des gesamten Zylinders gilt:

R 2π G θ π G θ R4 π M = dM = · · r3 dr = · R4 = G θ L 2 · L · L · 2 · · Z Z0 Dr

Allgemein gilt: | {z }

M = D θ r ·

Dr nennt man entweder Richtmoment oder auch Torsionsmodul.

F¨alle: 0 M = 16 M , wenn R = 2 R 2 · 1 2 · 1 0 M = 1 M , wenn L = 2 L 2 2 1 2 · 1 Um bestimmten Winkel θ zu erhalten!

Bestimmung des Richtmomentes (Torsionsmoduls):

Auch hier berechnen wir das Drehmoment:

M = D θ = J θ¨ · · ∧ J = Massentr¨agheitsmoment

2 Beispiel: JHantel = 2mR Die L¨osung der Differentialgleichung finden wir mit dem Ansatz:

θ(t) = θ cos(ωt + φ) 0 · D ω = ⇒ r J 4π2 D = J ⇒ T 2

173 KAPITEL 8. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

8.1.2 H¨arte eines Festk¨orpers Man beschreibt die H¨arte eines Feststoffes durch die H¨arteskala nach Moks: Eichsubstanz Moksh¨arte Talk 1 Gips 2 Kalkspat 3 Flußspalt 4 Apatit 5 Feldspat 6 Quarz 7 Topas 8 Korund 9 Diamant 10 Weitere Beispiele sind: Eichsubstanz Moksh¨arte Aluminium 2,3 - 2,9 Eisen 3,5 - 4,5 Stahl 7 Graphit 1 - 2 Glas 6 - 6,5 Rubin, Smaragd, Saphir 9

8.1.3 Thermische Eigenschaften von Festk¨orpern a.) Thermische Expansion

Es ergibt sich folgende L¨angen¨anderung: ∆L = α ∆T L ·

α =∧ linearer Ausdehnungskoeffizient

174 8.1. PHYSIK FESTER KORPER¨

Beispiele:

1 Material Ausdehnungskoeffizient α K −6 Aluminium 24 10 £ ¤ Stahl 10 · 10−6 Quarz 0, 4· 10−6 Glas 9 10· −6 ·

Beispiel: W¨armeausdehnung einer 600 m langen Stahlbruc¨ ke Winter/Sommer

T = 40◦C, T = +40◦C 1 − 2 ∆T = T T = 80 K 2 − 1 1 α = 10−5 Stahl K 1 ∆L = L α ∆T = 600 m 10−5 80 K = 48 cm (!) · · · K · Die Bruc¨ ke wird auf beiden Seiten um 24 cm l¨anger.

Technische L¨osung: Schwelle:

Anwendung: Bimetallstreifen

Der Bimetallstreifen wird unter anderem verwendet fur:¨

0 Temperaturmessung 0 Thermostaten

175 KAPITEL 8. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Volumen¨anderung:

∆V ∆ L3 3L3∆L ∆L = 3 = 3 = 3 = 3 α ∆T V L¡ ¢ L L · · b.) W¨armeleitung

Material homogen, keine seitlichen W¨armeverluste

176 8.1. PHYSIK FESTER KORPER¨

dQ dT = λ A dt − · · dx dQ ∧ = transportierte W¨armemenge dt ∧ λ = thermische Leitf¨ahigkeit dT ∧ = Temperaturgef¨alle dx

Beispiele:

W Material Thermische Leitf¨ahigkeit λ mK Silber 420 £ ¤ Aluminium 220

Gestein 2, 5

Wasser 0, 6

Luft 0, 026

Beispiel: W¨armefluß durch Erdkruste

dQ = 0, 054 W dt ◦ Fur¨ T1 = 10 C wollen wir T2 berechnen: dQ ∆T = λ A dt − · · ∆x

∆x dQ ∆T = · dt = 713◦C ⇒ λ A · T = 723◦C ⇒ 2

177 KAPITEL 8. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

8.2 Mechanik von Flussigk¨ eiten

8.2.1 Hydrostatik

Dichtgepackte Systeme ohne starre Anordnung der Atome. N¨aherung: inkompressibel, kein Widerstand gegen Scherkr¨afte

Charakteristische Gr¨oßen: a.) Dichte

M ρ = V

g Symbol Element/Stoff/Umgebung Dichte cm3 Os Osmium 23 = 23 103 kg £· ¤ m3 Pt Platin 21

Au Gold 19

Hg Quecksilber 13,6

Pb Blei 11

Oliven¨ol 0,9

Wasser 1,0

Quarz 2,5

Neutronenstern, Kernmaterie 1017 ∼ Luft 1,3

−17 kg Bestes Vakuum 10 m3 g Die Erde hat im Mittel eine Dichte von 5, 5 . cm3 b.) Druck

F P = , wobei F A A ⊥ N [P ] = 1 Pa = 1 Pascal 1 ≡ m2 Auch 1 atm = 1, 01 105 Pa =∧ 760 Torr (760 mm Hg) ·

178 8.2. MECHANIK VON FLUSSIGKEITEN¨

8.2.2 Hydrostatischer Druck durch Gravitation

F (y) = P (y) A · F (y + ∆y) = P (y + ∆y) A · ∆V wird nicht beschleunigt, daher ist die Summe aller Kr¨afte gleich Null:

F~i = 0 : i X P (y) A + M g P (y + ∆y) A = 0 · · − · Somit gilt:

A P (y + ∆y) A P (y) = A ∆P = ρ g A ∆y · − · · · · · ∆y 0, ∆P 0 : 7→ 7→ dP = ρ g dy · Wenn man dies integriert, folgt:

P (y) = P + ρ g y (Pascals Gesetz) 0 · ·

Beispiel: Wasserdruck in 60 m Tiefe

N kg m P (y ) = P + ρ g y = 1, 01 105 + 103 9, 81 60 m 6, 9 bar 0 0 H2O · · 0 · m2 m3 · s2 · ≈ 179 KAPITEL 8. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Anwendungen: a.) Barometer

y = h : P (h) = P = ρ g h 0 Hg · · Damit gilt fur¨ die H¨ohe:

5 N P 1, 01 10 2 h = 0 = · m = 760 mm (0, 76 m) 3 kg m ρHg g 13, 6 10 9, 81 · · m3 · s2 b.) Auftrieb Schwimmende oder getauchte Objekte verdr¨angen Flussigk¨ eitsvolumen mit ihrem eigenen Volumen. Wenn VObjekt ρObjekt < VFlu¨ssigkeit ρFlu¨ssigkeit , dann schwimmt der K¨orper. Andernfalls sinkt er. · ·

Fauf = P A + ρFl g A y 0 · · · ·

Fab = P A + M g = P A + ρ g h A 0 · · 0 · · · ·

Fauf Fab = ∆F = A g (ρFl y ρFl h) − · · − ·

0 Falls ρFl VFl = ρ V = ∆F = 0, schwimmt der K¨orper. · · 0 Falls ρ V > ρ V treibt er auf. Fl Fl · 0 Falls ρ V < ρ V sinkt er. Fl Fl · c.) Hydrostatischer K¨orper/Hydraulische Presse

180 8.2. MECHANIK VON FLUSSIGKEITEN¨

F1 F2 P1 = = = P2 (P1 = P2) A1 A2 Wir vernachl¨assigen den Gravitationsdruck:

A2 F2 = F1 · A1

Vorschobenes Volumen ist gleich:

V = h A = h A = V 1 1 · 1 2 · 2 2

A1 h2 = h1 · A2

Beispiel:

a.) Welche Masse M kann mit der Kraft F1 angehoben werden?

2 2 A1 = 1 cm , A2 = 100 cm , F1 = 100 N

F2 P2 A2 P1 A2 F1 A2 100 N M = = · = · = = m 100 = 1020 kg ⇒ g g g g · A1 9, 81 s2 · b.) Wie hoch wird M gehoben?

h1 = 30 cm

A1 h2 = h1 = 0, 3 cm · A2 Will man h¨oher heben, muß man pumpen. d.) Bestimmung der Dichte von Objekten (Archimedes, Goldkrone)

181 KAPITEL 8. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

F = M g Fauf = 50 N 2 · −

F = M g = 45 N 1 · Daraus ergibt sich dann nach weiterer Rechnung:

! Fauf = M g F = %Fl g V · − 2 · · M g F V = · − 2 = 510 cm3 %Fl g · Damit ergibt sich dann die Dichte der Krone: M % g kg % = = M Fl = 10 % = 104 Krone V · Mg F · Fl m3 − 2 Es handelt sich also nur“ um golden angemaltes Blei! ”

Experiment: Dichte eines Steins

F = M g = 1, 04 N 1 · 182 8.2. MECHANIK VON FLUSSIGKEITEN¨

F = M g Fauf = M g %Fl g V = 0, 64 N 2 · − · − · · Damit ergibt sich dann das Volumen des Steins:

kgm M g F 0, 4 2 V = · − 2 = s = 0, 4 10−4 m3 = 40 cm3 3 kg m %Fl g 10 10 · · m3 · s2 Damit folgt fur¨ die Dichte:

kgm M 1, 04 s2 −3 kg % = = m −5 3 = 2, 5 10 3 V 10 2 4 10 m · m s · · 8.2.3 Hydrodynamik Jede organisierte Bewegung von nicht-festen Multiteilchensystemen wird Fließen genannt und durch die Hydro- dynamik beschrieben.

Ideale Str¨omungen: Flussigk¨ eit inkompressibel • keine Viskosit¨at • Turbulenz (d.h. nur laminare Str¨omungen) • ρ=const. •

d = v ∆t, d = v ∆t 1 1 · 2 2 · Das Volumen in ∆t ist konstant. Das heißt:

V1 = A1d1 = A1v1∆t = A2d2 = A2v2∆t = V2 = const.

Fluß:

φ = A1v1 = A2v2 = const. φ = A v = const. (Kontinuit¨atsgleichung) ⇒ ·

Die Bernoulli-Gleichung: Bewegte Flussigk¨ eiten ist Ansammlung von sich bewegenden Massenpunkten. Damit gelten Newtons Gesetze.

183 KAPITEL 8. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Der Druck leistet Arbeit:

W Arbeit Kraft Weg ≡ ≡ × W = P A v dt 1 1 · 1 · 1 · W = P A v dt 2 − 2 · 2 · 2 · W = W + W = (P P ) v A dt 1 2 1 − 2 · · φ=const. ∆E = m g ∆h = ρ v A d|t{zg} (h h ) p · · · · · · · 2 − 1 m 1 1 ∆E = m v2 v2 | = {zρ v }A dt v2 v2 k 2 2 − 1 2 · · · 2 − 1

W = ∆Ep +¡∆Ek ¢ ¡ ¢ 1 (P P ) v A dt = ρ v A dt g (h h ) + ρ v A dt v2 v2 ⇒ 1 − 2 · · · · · · · · 2 − 1 2 · · · · · 2 − 1 1 1 ¡ ¢ P + ρv2 + ρgh = P + ρv2 + ρgh = const. ⇒ 1 2 1 1 2 2 2 2 1 P + ρv2 + ρgh = const. (Bernoullis Gleichung, 1783) ⇒ 2

Spezialf¨alle: a.) Flussigk¨ eit in Ruhe: v = 0

P + ρ g h = const. (Pascals Gesetz) · ·

184 8.2. MECHANIK VON FLUSSIGKEITEN¨ b.) Flussigk¨ eit fließt horizontal (g=0)

1 1 A2 P = P + ρ v2 v2 = P + ρ v2 1 1 2 1 2 · · 1 − 2 1 2 · · 1 − A2 µ 2 ¶ ¡ ¢ Fur¨ A1 > A2 folgt P2 < P1.

Beispiel:

2 m 2 Es sei P1 = 2 bar, A1 = 1 m , v1 = 1 s und A2 = 0, 1 m . Damit folgt:

A1 m v2 = v1 = 10 A2 s

P2 = 1, 5 bar

Anwendung: Str¨omungsmeßinstrument

Messung von ∆p, A1, A2 :

∆P φ = A v = A 1 · 1 1 · 2 v A1 uρ 1 u A2 − u µ ¶ t ³ ´ Beispiel:

Wir betrachten ein zylindrisches Faß mit Loch im Boden (Durchmesser=1 cm).

185 KAPITEL 8. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

P1 = ? 1 P = P + ρv2 (h = 0) 2 2 2 2

P1 + ρgh = P2

8.3 Licht und Materie - Korpuskel und Welle 8.3.1 Licht als elektromagnetische Welle

∆L = L L = n λ | 1 − 2| · 0 Maxima: n λ sin θ = · n d

0 Minima:

1 n + 2 λ sin θn = · ¡ d ¢

186 8.3. LICHT UND MATERIE - KORPUSKEL UND WELLE

8.3.2 Licht als Korpuskel Erste Beobachtung durch Photoeffekt (Heute 1887, sp¨ater Hallwacks, Lenard)

Interpretation: Das Licht gibt dem Elektron einen Schubs“, der umso st¨arker ist, je gr¨oßer die Frequenz λ des verwendeten ” Lichtes ist. Planck stellte diese Theorie um 1900 auf; Einstein erhielt 1905 dafur¨ den Nobelpreis.

E νLicht γ ∝ E = h ν γ · Licht besteht aus einzelnen Korpuskeln ( Photonen“). ” ω E = h ν = h ~ ω γ · · 2π ≡ · h nennt man das Plancksche Wirkungsquantum. Dessen Wert betr¨agt 6, 626 10−34 Js. Eine interessante Kon- sequenz hieraus ist: · E = h ν = mc2 · Damit erh¨alt man die kinetische Masse eines Photons: h ν m = · γ c2

Exkurs: Komplexe Zahlen

187 KAPITEL 8. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Eulersche Darstellung und Polarkoordinaten-Darstellung einer komplexen Zahl z = x + iy sind ¨aquivalent: eiϕ = cos(ϕ) + i sin ϕ e−iϕ = cos( ϕ) + i sin( ϕ) = cos(ϕ) i sin(ϕ) − − − Der Beweis erfolgt mit den Taylorentwicklungen der Funktionen ex, sin(x) und cos(x).

i2 = 1 − z = x + iy z = r (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) z = reiϕ Der Betrag folgt anschaulich mittels des Satzes von Pythagoras anwendbar auf die Darstellung in der komplexen Zahlenebene:

z = r = x2 + y2 | | Die Projektionenp auf die jeweiligen Achsen ergeben sich durch:

Re(z) = x = r cos(ϕ)

Im(z) = y = r sin(ϕ) Die konjugiert komplexe Zahl folgt durch Spiegelung an der reellen Achse:

z = x + iy z? = x iy − z = reiϕ z? = re−iϕ Des weiteren lassen sich damit Sinus und Kosinus mit komplexen Exponentialfunktionen darstellen:

eiϕ + e−iϕ eiϕ e−iϕ cos(ϕ) = , sin(ϕ) = − 2 2i 8.3.3 Materie als Welle Bei Licht besteht ein sogenannter Dualismus Welle - Korpuskel. Fur¨ den Impuls einer elektromagnetischen Welle ergibt sich: h ν h m c = · = · c λ Im Jahre 1923 stellte De Broglie die Theorie auf, daß Materie analog zu Licht eine Wellennatur besitzt: h m v = · λ Hieraus ergeben sich folgende Konsequenzen: 188 8.3. LICHT UND MATERIE - KORPUSKEL UND WELLE

0 Beugung und Interferenzeffekte von Teilchen (beispielsweise e−, n, . . .)

0 Diskrete Energiezust¨ande im Atom

Das Elektron formt eine stehende Welle.

0 Heisenbergsche Unsch¨arferelation

∆p ∆x & h x · Materieteilchen treten als Wellenpakete auf.

189 KAPITEL 8. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Nachweis zur Energiequantelung: Franck-Hertz-Versuch (1914):

8.3.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum im Dreidimensionalen

∂2 Ψ(~r, t) = c2 Ψ(~r, t) ∂t2 4 · Wir machen folgenden Ansatz:

~ Ψ(~r, t) = d3k a(~k)ei(k~r−ωt)

Z Harmonische Welle Eingesetzt in die Differen| {ztialgleic} hung ergibt sich: ( iω)2 Ψ(~r, t) = (ik)2 Ψ(~r, t) − · · Hieraus folgt dann: ω2 = c2~k2 Hieraus folgt nun die Dispersionsrelation fur¨ freie Lichtwellen im Vakuum:

ω = c k ·

190 8.3. LICHT UND MATERIE - KORPUSKEL UND WELLE

Auch gilt: 2π ω = c · λ λ ω = ν λ = c · 2π · 8.3.5 Materiewellen Wir benutzen die Formel fur¨ die de Broglie-Wellenl¨ange: h λ = m v · Damit gilt: h ~ v = = k m λ m · · ∂ω Dies entspricht der Gruppengeschwindigkeit . Somit gilt durch Integration: ∂k ~ ω(k) = ω + k2 0 2m

Relativistisch korrekt ist folgendes: m c 2 ω(k) = c k2 + k2 = c 0 + k2 · 0 · ~ q r³ ´ 0 1.Fall: k k ¿ 0 c 2 ω(k) c k0 + k ≈ · 2k0 0 2.Fall: k k À 0 ω(k) c k ≈ · Damit gilt durch partielles Ableiten nach k: ∂ k v(k) = ω = c 2 ∂k · m0c 2 ~ + k q ¡ ¢ 191 KAPITEL 8. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

Wellengleichung fur¨ Materiewellen: Die nichtrelativistische Schr¨odingergleichung lautet:

∂ ~2 i~ Ψ(~r, t) = Ψ(~r, t) ∂t −2m4 Da es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, machen wir wieder einen Ansatz als Fouriertransfor- mierte:

1 3 ~ i(~k~r−ωt) Ψ(~r, t) = 3 d k a(k)e (2π) 2 Z Durch Einsetzen von Ψ(~r, t) in die Schr¨odingergleichung, erh¨alt man: ~ ω(k) = k2 fur¨ k k 2m ¿ 0

Wellengleichung fur¨ relativistische Materiewellen:

1 ∂ m c 2 + 0 Ψ(~r, t) = 0 c2 ∂t2 − 4 ~ · ³ ´ ¸ Man nennt diese auch Klein-Gordan-Gleichung. Es wird wieder der Ansatz als Fouriertransformierte verwendet:

1 3 ~ i(~k~r−ωt) Ψ(~r, t) = 3 d k a(k)e (2π) 2 Z Durch Einsetzen resultiert: ω 2 m c 2 + 0 + k2 = 0 − c ~ ³ ´ ³ ´ Fur¨ m0 0 (Photonen) folgt aus der Klein-Gordon-Gleichung die Wellengleichung fur¨ elektromagnetische Wellen. 7→

Interpretation von Ψ: 0 Saite: Ψ ist die Auslenkung (= z).

0 Elektromagnetische Wellen: Ψ ist die Feldst¨arke. 0 Materie: Ψ ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude.

%(~r, t) = Ψ 2 = Ψ?Ψ wird als Aufenthaltswahrscheinlichkeit interpretiert. Es gilt folgende sehr wichtige Nor- mierungsrelation:| |

% d3r = 1

V 7→∞Z

192 8.3. LICHT UND MATERIE - KORPUSKEL UND WELLE

Illustration von Feder-Pendel (harmonischer Oszillator):

Da sich nur stehende Materiewellen im Potential befinden, sind nur diskrete Energieniveaus m¨oglich. Dies fuhrt¨ also zu einer Quantelung der Energie.

193 KAPITEL 8. PHYSIKALISCHE EIGENSCHAFTEN FESTER KORPER¨ UND FLUSSIGKEITEN¨

194 Anmerkungen:

Sprechstunde: Di 11:30 Uhr - 12:30 Uhr oder Frau Weißmann unter (3521) • E-Mail-Adresse: [email protected] • Internetadressen: • – Professor: www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/ deboer ∼ – Ubungsleiter:¨ www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/ Wagner ∼ Literatur: • – Holliday/Resnik Physik 1 (de Gruyter) – Demtroder¨ Experimentalphysik (Springer) – Tipler Physik (Spectrum) – Gerthsen Physik (Springer)

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