Congruences between Derivatives of Geometric -Functions
David Burns
Abstract.
David Burns Introduction
§
§
§
•••••
∗
§
§
congruences between derivatives
§
§
§
- §
- §
§
Preliminaries
pp
−
+
P
P
P
David Burns
p
P
·
•
p
P
→
- P
- → P
∗
L
•
p
•
- ⊗
- →
∗
L
•
- ⊗
- P
- −
- ⊗
- −
∗
L
- •
- •
L
•
•
- ⊗
- ⊗
- →
- ⊗
- (
- )
L
•
- ⊗
- →
- (
- )
- (
- )
•
- ⊗
- →
- can
- (
- )
•
L
•
⊗
- •
- •
- •
- •
(−1) can
•
•
+1
•
∼
•
- P
- →
§
×
§
- •
- •
- •
- •
(−1) can
- 0
- 0
0
O
Σ
O×
O
- Σ
- Σ
Σ
Σ
0
→
Σ
0
O
O×
- Σ
- Σ
Σ
Σ
congruences between derivatives
The leading term formula
•
−
Z
- W´et
- Σ!
- Σ
•
- O
- →
- Σ
- Σ
Σ
•
Σp
0
•
0
L
•
1
•
1
L
•
- ⊗
- ⊗
- ⊗
- ⊗
- Σ
- Σ
- Σ
- Σ
Z[
]
Z[
]
- ⊗ O×
- ⊗
0Σ
Σ
Σ
O×
→
O×
0
- Σ
- Σ
- Σ
⊗
- Σ
- ∈Σ(
- )
•
L
•
∼
- ⊗
- ⊗
- →
Σ
Z[
]
Z[
]
Q[
]
Q[
]
- Σ
- Σ
Z[
]
§
Q⊗
- ∧
- ×
- ×
- ∧
∈
1
Σ
- ∈
- |
- |
−
- Σ
- ˇ
- Σ
∧
∈
- Σ
- Σ
- Σ
- ∗
- −
•
−
- Σ
- ˇ
Σ
→1
∧
∈
∗
Σ
Σ
×
∗
- P
- ·
Σ
Z[
]
Z[
]
Σ
Σ
§
⊗O×
Σp
L
•
⊗
Σ
Z[
]
David Burns
−→
- ∼
- ∼
◦
∼
- ⊗
- ⊗
- ⊕
- ⊗
- ⊗
- ⊕
- ⊗
- ⊗
- Λ
- Λ
- Λ
- Λ
- Λ
- Λ
- ⊗
- →
- ⊗
- ⊗
- →
- ⊗
- Λ
- Λ
- Λ
- Λ
- 1
- 0
- −1
∧
- ⊗
- ◦
- ⊗
- ⊕
- ∈
- Λ
- Σ
−
- −
- ⊗
- |
- ⊗
Σ
Q
Λ
→1
∧
- {
- ∈
- ∈
- }
- ◦
- ∈
Q
O
∧
∈
| | ∈
- ×
- ∧
- ∈
- ≡
0
∧
O
0p
•
−
Z
- ´et
- Σ!
Σ
•
L
•
p
⊗
- Σ
- Σ
Z[
]
- ⊗
- −
- ⊗ −
Z[
⊗
]
- W´et
- Σ!
•
pp
•
•
- ´et
- Σ!
Σ
p
- W´et
- Σ!
- p
- p
•
Σ
×
- •
- •
- •
- →
- −−→
- →
- →
×
- −−→
- →
- →
- W´et
- Σ!
- W´et
- Σ!
- W´et
- Σ!
•
p
∼
W´et
∼
Σ!
•
p
´et
´et
Σ!
- Σ!
- W´et
- Σ!
p
- •
- •
p
∼
congruences between derivatives
••
•
−1
· · · −−−−→ · · · −−−−→
−−−−→ −−−−→
−−−−→ · · ·
−
•
−1
−−−−→ · · ·
p
- •
- •
◦
−1
◦
- ◦
- −
- ◦
- ◦
- ◦
−1
→
- •
- •
−1
- −
- →
−1
- 0
- •
- •
- 0
- 0
- →
- −
- ◦
- ◦
p
- •
- •
- •
- •
- •
- ∼
- ∼
- ∼
- ∼
- ∼
- ⊗
- ⊗
- W´et
- Σ!
Σ
- ←−
- ←−
L
•
- ⊗
- →
Σ
Q [
]
Q [
]
Σ
Z [
]
P
- ⊗
- ⊗
- Σ
- Σ
Q
L
- •
- •
∼
- ⊗
- ⊗
- ⊗
- ⊗
Σ
Q
Σ
Σ
Z [
]
P
- •
- ∗
·
Σ
Z [
]
Z [
]
- Σ
- Σ
- P
- →
- P
- ⊗
- −
Σ
Z[ Z[
]
- •
- •
⊗
Σ
Z [
Σ
Z[
- ]
- ]
Z [
]
- Σ
- Σ
- •
- ∗
·
Σ
]
Z [
- ]
- Σ
Σ
- ∗
- ∗
#
Σ
p
Σ
•
Σ
W
Σ
David Burns
→
- 0
- 0
- •
- ∗
·
Z [
Σ
Z [
- ]
- ]
- Σ
- Σ
Iwasawa theory
- G
- G
G
G
←−
G
- G
- G
#
- G
- G
- G
- G
G
##
G
−1
- G
- G
- G
- O
- Σ
- Σ
−
G
•
#
G
- ´et
- Σ!
Σ
→
- Σ
- Σ
∼
- →
- G
- G
- G
- G
- Λ(G
- )
∼
- G
- G
G
- Λ(G
- )
- G
- G
- Λ(G
- )
−
- −
- G
- −
- G
Λ(G
)
- +
- p
- G
- G
p
G
- •
- •
- G
- −
G
- Λ(G
- )
- Σ
- Σ
G
- G
- ⊗
Λ(G)
∞
G
congruences between derivatives
G
p
L
- •
- •
∼
- G
- G
- ⊗
Λ(G)
G Σ
Σ
•
11
••
G
- Σ
- Σ
Σ
- ∞
- •
Σ
∞
G
•
G
- •
- •
- •
- •
- Σ
- Σ
p
•
G
L
- •
- •
∼
- G
- ⊗
Λ(G) p
G
L
•
L
••
- G
- ⊗
- G
Λ(G
- ⊗
- G −
−G
Λ(G)
- Λ(G)
- Λ(G)
L
•
∼
- G
- ⊗
- G
)
Λ(G)
Λ(G
•
∼
−
)
•
G
- •
- •
- G
- G
- −
Z
p
- G
- G
G
∼
- G
- G
Z
Λ(G)
∈
Z
(G)
←−
G
- •
- •
∈
(G)
←−
•
0
•
- ∈ {
- }
- ⊗ O×
- G
Σ
1
•
- →
- ⊗
- O
- →
- →
- ⊗
- →
- →
- Σ
- Σ
- 0
- 0
- ⊆
- ∈
- G
0
•
0
•
1
•
1
•
- →
- →
- 0
- 0
- tor
- tor
0
0
→
1
•
1
•
→
0
- tf
- tf
- 0
- 0
0
- ⊗
- →
- ⊗
- 0
- 0
{ }
- { }
- |
→
G
1
•
- →
- ⊗
- O
- →
- →
- G ⊗Λ(G
- →
- →
- )
- Σ
←−
0
∈Σ
David Burns
G
0
- →
- ⊗ O×
- →
0
- ⊗
- →
- ⊗
- →
- ⊗
- O
- →
- →
∈
- 0
- (
- )
Σ
- Σ
- Σ
- (
- )
G
0
0
- ≤
- G
⊗
←−
0
G ⊗Λ(G
→
)
G
0
•
- →
- →
- G ⊗Λ(G
- →
- ⊗
- O
- →
)
Σ
←−
0
∈Σ fin
0
- ⊗
- G
←−
0
G ⊗Λ(G
)
- −
- ∈
- G
- ∈ G
→
G
0
•
G
1
••
- p
- 0
- 1
- G
- →
0
•
0
- 0
- 1
- 1
•
−
−−→
•
•
- p
- −1
- 0
- 1
- G
- · · · →
- −→
−1
- G
- G
0
−1
- 1
- 1
- 0
G
−1
•
1
−−→
≥0
- •
- •
p
L
- •
- •
∼
- G
- ⊗
- G
- G
- ⊗
Λ(G)
Λ(G)
−1
- 0
- 0
•
1
- ∼
- ∼
G
⊗ O×
1
Σ
- •
- •
p
∼
G
≥0
−1
G
−1
∼
−1
−1
G
- ←−
- ←−
∞
⊆
fin
0
- •
- •