Gravitace je nejdéle studovaná fyzikální interakce. I přesto je s ní spojena řada nevyřešených otázek. Jednou z nich je, odkud pochází antigravitační (odpudivý) charakter kosmologické konstanty Λ zodpovědné za zrychlené rozpínání vesmíru. Podle standardního kosmologického modelu je vesmír složen z 27 % jakési záhadné temné hmoty, z 68 % ještě záhadnější temné Michal Křížek energie a jen necelých 5 % připadá na baryonovou hmotu složenou ze známých elementárních částic. Cílem této publikace je ukázat, že se může jednat jen o chybu modelu, když se ztotožňuje realita s modelem. Zejména bychom neměli aplikovat teorie, které jsou prověřené na škálách Sluneční ANTIGRAVITACE soustavy, na celý vesmír a na extrémně dlouhé časové intervaly bez jakéhokoliv odhadu chyby modelu. V první části knihy se budeme věnovat Newtonově teorii gravitace a odhadu temné hmoty ve spirálních galaxiích a galaktických kupách. Předložíme argumenty, které si každý může přepočítat, aby se sám mohl ujistit, že temné hmoty ve vesmíru není 5 až 6krát více než baryonové hmoty a že je tento odhad značně nadsazený. Ve druhé části knížky se zaměříme na temnou energii. Uvedeme desítky příkladů, které dokládají mírné narušení zákona zachování energie ve vesmíru. Uvidíme, že se pozvolna rozpíná nejen celý vesmír, ale i Sluneční soustava. Budeme rozvíjet hypotézu, že zdrojem energie potřebné na toto rozpínání může být nepatrná antigravitační síla, jež je důsledkem konečné rychlosti šíření gravitační interakce.
Prof. RNDr. Michal Křížek, DrSc., (1952) vystudoval Matematicko-fyzi- kální fakultu UK. Pracuje v Matematic- kém ústavu Akademie věd ČR, kde se zabývá teorií čísel a odhady chyby při numerickém řešení problémů matematické fyziky. Je spoluautorem několika monografií (např. Longman 1990, Kluwer 1996, Springer 2001, 2011, Academia 2002, 2009, 2011, Nova Science Publishers 2012), členem Učené společnosti ČR a Klubu českých hlav. Působí v redak- čních radách časopisů Applications of Mathematics, Advances in Applied Mathematics and Mechanics, Applica- tiones Mathematicae a je vedoucím redaktorem časopisu Pokroky mate- matiky, fyziky a astronomie. Antigravitace
Michal Kˇr´ıˇzek
Praha 2015 Vˇenov´ano tˇem, kteˇr´ıhledaj´ıpodstatu temn´ehmoty a temn´eenergie.
Recenzenti RNDr. Jan Marˇs´ak, CSc. Prof. RNDr. Karel Segeth, CSc. Prof. Lawrence Somer, PhD.
c Michal Kˇr´ıˇzek Sazbu programem TEX pˇripravila Hana B´ılkov´a Ob´alka Pavel Kˇr´ıˇzek Autor fotografie na zadn´ıstranˇeob´alky Jan Brandts Tisk Tigris s. r. o. Druh´evyd´an´ı,Praha 2015 Pˇredmluva: Komu patˇr´ıfyzika?
V roce 1999 jsme vzpomnˇeli 120. v´yroˇc´ınarozen´ıAlberta Einsteina. K t´eto pˇr´ıleˇzitosti se Michalu Kˇr´ıˇzkovi a jeho koleg˚um matematik˚um podaˇrilo, ve spolupr´aci s Jednotou ˇcesk´ych matematik˚ua fyzik˚ua Magistr´atem hlavn´ıho mˇesta Prahy, zajistit novou, v Praze dokonce jiˇztˇret´ıpamˇetn´ıdesku Albertu Einsteinovi. Deska byla odhalena na domˇena Staromˇestsk´em n´amˇest´ı17 (viz Pokroky matematiky, fyziky a astronomie 44 (1999), 258–262). Odhalen´ıdesky se konalo v pˇr´atelsk´eatmosf´eˇre a z´uˇcastnili se ho nejvyˇsˇs´ıpˇredstavitel´eUniverzity Karlovy, Akademie vˇed Cesk´erepublikyˇ i hlavn´ıho mˇesta Prahy. Jeden m˚uj spoluˇz´ak z Matematicko-fyzik´aln´ı fakulty UK, v t´edobˇe jiˇzprofesor teoretick´efyziky na Karlovˇeuniverzitˇe, se o ud´alosti vyj´adˇril vl´ıdnˇe, ale jednoznaˇcnˇe. Tak n´am ti matematici uˇzvzali i Einsteina,“ ˇrekl (ale za doslovnost ” cit´atu po tˇech letech uˇzneruˇc´ım). Tehdy jsem si uvˇedomil, ˇze tˇreba mal´ezamyˇslen´ı m´asmysl. Komu patˇr´ıEinstein? A hlavnˇe, komu patˇr´ıfyzika? V dobˇe, kdy jsem studoval matematiku na MFF UK (1959–1964), byly prvn´ı dva roky studia pro matematiky i fyziky prakticky identick´e. Stejn´epˇredmˇety, stejn´ı pˇredn´aˇsej´ıc´ı,stejn´ezkouˇsky. Tak jsem se, nav´ıcke stˇredoˇskolsk´efyzice, nauˇcil jeˇstˇe mnoho dalˇs´ıho z fyziky a tak´ejsem mˇeˇril v tˇr´ısemestr´aln´ım fyzik´aln´ımpraktiku. Ted’ uˇzje na fakultˇevˇsechno jinak. V oddˇelen´ıkonstruktivn´ıch metod matematick´eanal´yzy Matematick´eho ´ustavu CSAVˇ (nyn´ı AV CR),ˇ kam jsem po promoci nastoupil, se pod veden´ım prof. Iva Babuˇsky pˇestoval a rozv´ıjel vˇedn´ıobor, kter´emu je ted’ m´odn´ıˇr´ıkat v´ypoˇctov´amate- matika. V naˇsem oddˇelen´ıse v´ypoˇctov´amatematika pˇestuje dodnes, ale Ivo Babuˇska pracuje od roku 1968 ve Spojen´ych st´atech, i kdyˇzs n´ami je v ˇcil´em kontaktu. V posledn´ıdobˇese zab´yv´azejm´ena ot´azkami validace a verifikace matematick´ych a v´ypoˇctov´ych model˚ufyzik´aln´ıreality, tedy postupy, kter´edovoluj´ızjistit, jak se liˇs´ı ˇreˇsen´ımodelu od skuteˇcnosti. V ´ustavu se mi, byt’ z´akladn´ı,znalosti fyziky hodily. Nejen proto, ˇze praktick´ymo- del pro svou teorii najde matematik zpravidla nejsn´az v nˇejak´em fyzik´aln´ımprocesu. I obr´acenˇe, v oddˇelen´ıjsme ve spolupr´aci s vˇedci z jin´ych obor˚uteoreticky i poˇcetnˇe ˇreˇsili praktick´e, vˇetˇsinou technick´e´ulohy, kter´ebyly zaj´ımav´epro ˇceskoslovensk´y pr˚umysl. Hovoˇr´ımpˇrev´aˇznˇeo sv´ych vlastn´ıch zkuˇsenostech s potˇrebou fyziky pro matematika (a matematiky pro fyzika) a r´ad bych, aby z toho vyplynul pro ˇcten´aˇre z´avˇer, ˇze pro matematika nen´ıostuda, kdyˇzzn´afyziku, a pro fyziku nen´ıostuda, kdyˇzv n´ıpracuj´ımatematici. Tedy ˇze je uˇziteˇcn´e, kdyˇz se fyzici o fyziku dˇel´ıi s ma- tematiky.
iii Radaˇ fyzik´aln´ıch poznatk˚uje v posledn´ıch letech v´ysledkem numerick´eho poˇc´ıt´an´ı. Uˇzv devades´at´ych letech minul´eho stolet´ıse v´ypoˇctov´a matematika postupnˇedo- stala na ´uroveˇn, kdy pro vˇetˇsinu z´akladn´ıch ´uloh algebry i anal´yzy jsou zn´amy ´uˇcinn´e v´ypoˇctov´emetody a existuj´ıjejich efektivn´ıalgoritmick´e realizace. Nˇekdy jsou na prodej, nˇekdy (jako v´ysledky st´atem podporovan´eho v´yzkumu na univerzit´ach) i za- darmo. Existuj´ıjednoduch´apravidla, jak m´avypadat spolehliv´ysoftware, p´ıˇse se o tom v mnoha knih´ach a ˇcasopiseck´ych ˇcl´anc´ıch. Pˇresto ˇrada bˇeˇzn´ych komerˇcn´ıch softwarov´ych produkt˚utˇemto pravidl˚um nevyhovuje. M˚uˇzete se doˇc´ıst (viz napˇr´ıklad ˇradu pˇr´ıspˇevk˚uv ˇcasopise Pokroky matematiky, fyziky a astronomie v posledn´ıch dvaceti letech), jak pomoc´ıkomerˇcn´ıho softwaru, i toho nejbˇeˇznˇejˇs´ıho a nejˇcastˇeji pouˇz´ıvan´eho, spoˇctete chybn´ev´ysledky. Nespolehli- vost softwaru spolehlivˇeodhal´ıte, kdyˇzsami ´umyslnˇezad´ate vhodnou testovac´ı´ulohu (ve kter´ese tˇreba vyskytne pot´ıˇztypu dˇelen´ınulou). Software d´anˇejak´yv´ysledek, jeho spr´avnost zpravidla neovˇeˇruje a uˇzivatele na moˇznou chybu ve v´ysledku neupo- zorn´ı.Slep´av´ıra v neomylnost komerˇcn´ıho softwaru nen´ına m´ıstˇe! A jeˇstˇejeden argument pro spolupr´aci fyzika a matematika. Kdyˇzjsem po nˇekolik let drˇzel na jedn´efakultˇe CVUTˇ v Praze semestr´aln´ıv´ybˇerovou pˇredn´aˇsku, pˇrekvapilo mˇe, ˇze vˇetˇsina student˚uv˚ubec nev´ı,jak jsou v poˇc´ıtaˇci zobrazena ˇc´ısla a ˇze kaˇzd´y v´ypoˇcet, kter´yse neprov´ad´ıv celoˇc´ıseln´earitmetice, nezbytnˇedoprov´azej´ızaokrouh- lovac´ıchyby. Pˇritom pr˚ubˇeh v´ypoˇctu velmi z´aleˇz´ına tom, jak moc se zaokrouhlovac´ı chyby akumuluj´ı.Mohou se totiˇzakumulovat zhoubn´ym“ zp˚usobem a pak m˚uˇzete ” jako v´ysledek“ dostat celkem libovoln´eˇc´ıslo. C´ımd´eleˇ v´aˇsv´ypoˇcet trv´a, t´ımv´ıce ” aritmetick´ych operac´ıprovedete, t´ımv´ıce zaokrouhlovac´ıch chyb se dopust´ıte a t´ım m´enˇed˚uvˇeryhodn´yv´ysledek m˚uˇzete oˇcek´avat. Protoˇze v´ypoˇctov´amatematika od sv´ych poˇc´atk˚uzkoum´avliv zaokrouhlovac´ıch chyb na spolehlivost v´ysledku, je dnes o bˇeˇzn´ych v´ypoˇctov´ych algoritmech zn´amo, jak se pˇri zaokrouhlov´an´ıchovaj´ı.Ale je tˇreba, aby uˇzivatel softwaru vˇenoval t´eto ot´azce dostateˇcnou pozornost, zejm´ena pak u softwaru, kter´ysi sestavuje s´am. Profesor Ivo Babuˇska v obdob´ı pˇred asi 15 lety r´ad zahajoval sv´epˇredn´aˇsky pˇr´ıklady projekt˚u, kter´ebyly (ˇspatnˇe) spoˇcteny, realizov´any podle v´ysledk˚uv´ypoˇctu, a postaven´ezaˇr´ızen´ı potom havarovalo. D˚usledky v´ypoˇct˚u, kter´eprov´ad´ı kosmo- log, samozˇrejmˇenejsou konstrukce staveb nebo stroj˚u. Pˇr´ıpadn´achyba ve v´ysledku (zp˚usoben´atˇreba zaokrouhlov´an´ım) nebude st´at lidsk´eˇzivoty. V´ysledky takov´ych v´ypoˇct˚uale maj´ıv´est ke konstrukci hypot´ez o vzniku a fungov´an´ıvesm´ıru, a kdyˇz se uk´aˇze, ˇze jsou chybn´e, p˚usob´ıˇskody ideov´ea ideologick´e. Shrnuto v jedn´evˇetˇe: pros´ımfyziky, aby neodm´ıtali pr´aci nefyzik˚uve fyzice, aby jim naslouchali a k v´ysledk˚um sv´ych v´ypoˇct˚upˇristupovali kriticky. Tˇreba v tom tahle kn´ıˇzka m˚uˇze b´yt prospˇeˇsn´afyzik˚um i nefyzik˚um.
Karel Segeth
iv Obsah
Pˇredmluva: Komu patˇr´ıfyzika? ...... iii Seznam symbol˚ua konstant ...... x Uvodn´ıslovo´ ...... xii C´astˇ 1: Newtonova teorie gravitace a temn´ahmota
1. O tis´ıcilet´em svazku astronomie a matematiky ...... 1 1.1. Uvod´ ...... 1 1.2. Keplerovy z´akony ...... 3 1.3. Keplerovsk´adr´aha ...... 6 1.4. Nˇekter´ed˚usledky druh´eho Keplerova z´akona ...... 7 2. V´yznam ´uhlov´ych mˇeˇren´ıpˇri pozn´av´an´ıvesm´ıru ...... 9 2.1. Uhlomˇern´epˇr´ıstroje´ ...... 9 2.2. Mˇeˇren´ırelativn´ıch vzd´alenost´ıve Sluneˇcn´ısoustavˇe...... 11 2.3. Stanoven´ıabsolutn´ıch vzd´alenost´ı...... 13 2.4. Stanoven´ırelativn´ıch vzd´alenost´ıvnitˇrn´ıch planet ...... 14 2.5. Podstatn´ezpˇresnˇen´ıodhadu vzd´alenosti Zemˇeod Slunce ...... 14 2.6. Dalˇs´ıkroky ke zpˇresnˇen´ıvzd´alenosti Zemˇeod Slunce ...... 16 2.7. Zpomalov´an´ırotace Zemˇe ...... 17 2.8. Paralaxa nejbliˇzˇs´ıch hvˇezd ...... 18 2.9. Zmˇeˇren´ırychlosti svˇetla ...... 19 2.10. Sf´erick´atrigonometrie ...... 21 2.11. Ohyb svˇeteln´ych paprsk˚uv gravitaˇcn´ımpoli ...... 22 3. O Keplerovˇerovnici ...... 25 3.1. Prav´aa excentrick´aanom´alie ...... 25 3.2. Vztah mezi pravou a excentrickou anom´ali´ı ...... 27 3.3. Keplerova rovnice pro excentrickou anom´alii ...... 27 3.4. Keplerovsk´eparametry ...... 28 4. Gravitaˇcn´ız´akon – objev tis´ıcilet´ı ...... 30 4.1. Newtonovy vˇety ...... 30 4.2. Nejd˚uleˇzitˇejˇs´ıobjevy a aplikace ...... 33 4.3. Velikost konstanty ve 3. Keplerovˇez´akonu ...... 34 4.4. Hmotnost Slunce ...... 36
v 4.5. Hmotnost Marsu ...... 36 4.6. D´elka doby p´adu do Slunce ...... 37 4.7. Velikost prvn´ı,druh´ea tˇret´ıkosmick´erychlosti ...... 37 4.8. V´yˇska letu geostacion´arn´ıch druˇzic ...... 38 4.9. Doba letu na Mars ...... 39 4.10. Stˇredn´ıhustota Slunce ...... 40 4.11. Rychlost Halleyovy komety ...... 41 4.12. Platnost gravitaˇcn´ıho z´akona mimo Sluneˇcn´ısoustavu ...... 42 4.13. Urˇcen´ıvzd´alenosti exoplanet od jejich mateˇrsk´ych hvˇezd ...... 42 4.14. Odhad hmotnosti supermasivn´ıˇcern´ed´ıry ...... 43 4.15. Fyzik´aln´ıcharakteristiky planet ...... 46 5. Probl´em N tˇeles ...... 48 5.1. Uvod´ ...... 48 5.2. Probl´em dvou tˇeles ...... 48 5.3. Probl´em tˇr´ıtˇeles ...... 51 5.4. Probl´em N tˇeles ...... 54 5.5. Celkov´achyba aproximace ...... 56 6. Zatmˇen´ıa aberace svˇetla ...... 61 6.1. V´yznam zatmˇen´ıpˇri pozn´av´an´ıvesm´ıru ...... 61 6.2. Kr´atce z historie pozorov´an´ızatmˇen´ı ...... 62 6.3. Vznik a periodicita zatmˇen´ı ...... 63 6.4. Proˇcjsou zatmˇen´ıMˇes´ıce m´enˇeˇcast´aneˇzzatmˇen´ıSlunce ...... 65 6.5. Co zp˚usobuje aberace svˇetla pˇri ´upln´em zatmˇen´ıSlunce ...... 66 7. Jak Zwicky pˇredpovˇedˇel existenci temn´ehmoty ...... 68 7.1. Fritz Zwicky ...... 68 7.2. Vˇeta o viri´alu ...... 70 7.3. Jak Zwicky pouˇzil vˇetu o viri´alu na kupu A1656 ...... 72 8. Probl´em chybˇej´ıc´ıhmoty ...... 77 8.1. Rozbor Zwickyovy metody ...... 77 8.2. Anal´yza souˇcasn´ych dat ...... 83 8.3. Sn´ıˇzen´ıodhadu viri´alov´ehmotnosti kupy A1656 ...... 86 8.4. Jakou hmotnost m´atemn´ahmota v centru kupy A1656...... 91 9. Ploch´erotaˇcn´ıkˇrivky spir´aln´ıch galaxi´ı...... 93 9.1. Vera Rubinov´a...... 93 9.2. Spir´aln´ıgalaxie nerotuj´ıpodle Keplerov´ych z´akon˚u...... 94 9.3. Obˇeˇzn´arychlost kolem centr´aln´ıho bodov´eho tˇelesa ...... 97 9.4. Obˇeˇzn´arychlost kolem ploch´eho disku ...... 100 9.5. Obˇeˇzn´arychlost kolem galaxie s v´ydut´ıa halem ...... 103 9.6. Souˇcasn´ystav ch´ap´an´ıtemn´ehmoty ...... 104
vi C´astˇ 2: Antigravitace a temn´aenergie
10. Zrychluj´ıc´ıse rozp´ın´an´ıvesm´ıru ...... 107 10.1. Nobelova cena za fyziku v roce 2011 ...... 107 10.2. Rozp´ınaj´ıc´ıse vesm´ıra Hubbleova konstanta ...... 108 10.3. Supernovy typu Ia — standardn´ısv´ıˇcky ...... 112 10.4. Mˇeˇren´ıkosmologick´ych parametr˚u...... 114 10.5. Souhrn ...... 120 11. Vzdalov´an´ıMarsu od Slunce ...... 121 11.1. Antigravitace a z´akon zachov´an´ıenergie ...... 121 11.2. Rychlost rozp´ın´an´ıSluneˇcn´ısoustavy ...... 122 11.3. Rekyˇ na Marsu ...... 123 11.4. Mars z pohledu Stefanova–Boltzmannova z´akona ...... 127 12. Vzdalov´an´ıMˇes´ıce od Zemˇe ...... 131 12.1. Mˇeˇren´ıvzd´alenosti Zemˇe–Mˇes´ıc ...... 131 12.2. Paradox slapov´ych sil Mˇes´ıce ...... 133 12.3. Pozoruhodn´asouvislost ...... 134 12.4. Rychlost vzdalov´an´ıMˇes´ıce od Zemˇev d˚usledku slap˚u...... 135 12.5. Casovˇepromˇenn´ymomentˇ setrvaˇcnosti Zemˇe...... 138 12.6. Paradox velk´eho orbit´aln´ıho momentu hybnosti Mˇes´ıce ...... 139 13. Vzdalov´an´ıZemˇeod Slunce ...... 140 13.1. Paradox mlad´eho hork´eho Slunce ...... 140 13.2. Rozp´ın´an´ıekosf´ery ...... 140 13.3. Anal´yza pˇr´ır˚ustk˚ufosiln´ıch kor´al˚uze sluneˇcn´ıch dat ...... 143 13.4. Anal´yza pˇr´ır˚ustk˚ufosiln´ıch kor´al˚uz mˇes´ıˇcn´ıch dat ...... 144 13.5. Prodluˇzov´an´ıd´elky siderick´eho roku Zemˇe...... 146 13.6. Eliminace dalˇs´ıch pˇr´ıˇcin vzdalov´an´ıZemˇeod Slunce ...... 148 13.7. Proˇcjin´ıautoˇri tvrd´ı,ˇze se Sluneˇcn´ısoustava nerozp´ın´a...... 150 13.8. Generov´an´ıtemn´eenergie syst´emem Zemˇe–Slunce ...... 152 14. Temn´aenergie a antropick´yprincip ...... 154 14.1. Antropick´yprincip a kosmologick´akonstanta ...... 154 14.2. Dvoustrann´eodhady ...... 156 14.3. Ochr´an´ıtemn´aenergie Zemi pˇred rozp´ınaj´ıc´ımse Sluncem? ...... 159 14.4. Pravdˇepodobnost vzniku ˇzivota ...... 160 15. Rozp´ın´an´ıSluneˇcn´ısoustavy ...... 163 15.1. Rychl´emˇes´ıce planet ...... 163 15.2. Kde byla Larissa pˇred miliardami let? ...... 165 15.3. Mˇes´ıˇcky Uranu ...... 166 15.4. Padaj´ıc´ıPhobos ...... 167
vii 15.5. Opoˇzd’uj´ıc´ıse Neptun ...... 170 15.6. Soustava Neptun–Triton ...... 171 15.7. Dalˇs´ıkandid´ati na projevy temn´eenergie ve Sluneˇcn´ı soustavˇe ...... 173 16. Rozp´ın´an´ısamotn´ych galaxi´ı ...... 174 16.1. Expanduj´ısamotn´egalaxie v d˚usledku antigravitace? ...... 174 16.2. Galaktick´aexpanze ...... 174 16.3. Rozp´ın´an´ıMl´eˇcn´edr´ahy ...... 175 16.4. Rozloˇzen´ıgalaxi´ıv minulosti ...... 176 16.5. Rychlost tvorby hvˇezd ...... 177 16.6. Aktivita galaktick´ych jader ...... 178 16.7. Star´etrpasliˇc´ıgalaxie ...... 178 16.8. Kulov´ehvˇezdokupy ...... 179 16.9. Graviterm´aln´ıkatastrofa ...... 179 16.10. Exoplaneta WASP-18b ...... 180 17. Co je z´ahadn´ym zdrojem temn´eenergie? ...... 182 17.1. Gravitaˇcn´ıaberace ...... 182 17.2. Postnewtonovsk´ymodel aneb jak se generuje temn´aenergie ...... 185 17.3. Rychlost gravitaˇcn´ıinterakce ...... 188 17.4. Plat´ız´akon zachov´an´ıenergie? ...... 190 18. Co je vesm´ır ...... 191 18.1. Neeukleidovsk´emodely vesm´ıru ...... 191 18.2. Izotropie a homogenita vesm´ıru ...... 195 18.3. Nejednoznaˇcnost pojmu vesm´ır...... 196 18.4. Hyperbolick´yprostor ...... 198 18.5. Maxim´alnˇesymetrick´evariety ...... 202 19. Kritika standardn´ıho kosmologick´eho modelu ...... 205 19.1. Standardn´ımatematick´ykosmologick´ymodel ...... 205 19.2. Podivn´echov´an´ıkosmologick´ych parametr˚u...... 207 19.3. Odv´aˇzn´eextrapolace ...... 209 19.4. Temn´ahmota versus hmota baryonov´a...... 210 19.5. Temn´aenergie versus kosmologick´akonstanta ...... 211 19.6. Hlavn´ınedostatky kosmologick´eho modelu ...... 213 20. Zd´anlivˇenadsvˇeteln´erychlosti ve vesm´ıru ...... 215 20.1. Pozorov´an´ınadsvˇeteln´ych rychlost´ı ...... 215 20.2. Matematick´eobjasnˇen´ıpozorovan´eho paradoxu ...... 217 20.3. Nadsvˇeteln´erychlosti v kosmologick´ych vzd´alenostech ...... 219 20.4. Princip ˇcasov´eˇcoˇcky ...... 220 20.5. Co bylo pˇred Velk´ym tˇreskem? ...... 222
viii 21. Proˇcvznikla tato kniha ...... 223 Literatura ...... 230 Jmenn´yrejstˇr´ık...... 248 Vˇecn´yrejstˇr´ık ...... 251
ix Seznam symbol˚ua konstant
3.14 desetinn´eˇc´ıslo (s desetinnou teˇckou m´ısto ˇc´arky) [0, 1) polouzavˇren´yinterval N = {1, 2, 3,... } mnoˇzina pˇrirozen´ych ˇc´ısel En n-rozmˇern´yeukleidovsk´yprostor Sn jednotkov´a n-rozmˇern´asf´era Hn jednotkov´a n-rozmˇern´apseudosf´era C mnoˇzina komplexn´ıch ˇc´ısel |F | absolutn´ıhodnota, velikost (norma) vektoru a˙ ˇcasov´aderivace funkce a = a(t) × n´asoben´ıi kart´ezsk´ysouˇcin n´asoben´ıi skal´arn´ısouˇcin := pˇriˇrazen´ı ≈ pˇribliˇzn´arovnost ⇔ ekvivalence ∈ je prvkem ⊂ podmnoˇzina izometrick´evloˇzen´ı →֒ ≪ mnohem menˇs´ı ≫ mnohem vˇetˇs´ı max maximum min minimum logb logaritmus o z´akladu b ln pˇrirozen´ylogaritmus exp exponenci´aln´ıfunkce exp(x) = ex e Eulerovo ˇc´ıslo 2.718281828. . . e excentricita π Ludolfovo ˇc´ıslo 3.14159265. . . i imagin´arn´ıjednotka i, j, k celoˇc´ıseln´eindexy m n kombinaˇcn´ıˇc´ıslo m nad n (binomick´ykoeficient) ∀ pro vˇsechna o( ) f(α)= o(g(α)), pokud f(α)/g(α) → 0 pro α → 0 nebo α →∞ P souˇcet {x ∈ A | P(x)} mnoˇzina vˇsech prvk˚u x z A maj´ıc´ıch vlastnost P(x) f : A → B funkce f zobrazuj´ıc´ıprvky z A do B x → f(x) funkce, kter´akaˇzd´emu x pˇriˇrad´ıhodnotu f(x) Halmos˚uv symbol oznaˇcuj´ıc´ıkonec d˚ukazu
x ⊙ Slunce 30 M⊙ hmotnost Slunce 1.988 547 10 kg −27 mproton hmotnost protonu 1.67 10 kg z ˇcerven´yposuv c rychlost svˇetla ve vakuu 299 792 458 m/s cG rychlost gravitaˇcn´ıinterakce G gravitaˇcn´ıkonstanta 6.674 10−11 m3kg−1s−2 Λ kosmologick´akonstanta ≈ 10−52 m−2 σ Stefanova–Boltzmannova konstanta 5.669 10−8 Wm−2K−4 h Planckova konstanta 6.6260693 10−34 Js H0 Hubbleova konstanta ≈ 70 km/(s Mpc) H(t) Hubble˚uv parametr au astronomick´ajednotka 149597870700m AU p˚uvodn´ıoznaˇcen´ıastronomick´ejednotky pc parsek 3.262ly=206265au=3.086 1016 m yr siderick´yrok 365.25636dne=31558149.54 s ly svˇeteln´yrok 63240au=9.46 1015 m
xi Uvodn´ıslovo´
Jedin´yz´akon je, ˇze neplat´ıˇz´adn´yz´akon. John Archibald Wheeler
D˚uleˇzit´erevoluce ve fyzice jako napˇr. Newtonova teorie gravitace, speci´aln´ıteorie relativity ˇci kvantov´amechanika pˇriˇsly v dobˇe, kdy nˇekteˇr´ıbadatel´enaˇsli odvahu se vymanit ze zajet´ych kolej´ıtehdejˇs´ıvˇedy a pod´ıvali se na pˇr´ırodn´ıjevy a namˇeˇren´a data ponˇekud jin´ym pohledem. Ukolem´ t´eto publikace je pouk´azat na nˇekter´azr´adn´a ´uskal´ı, na kter´anar´aˇz´ıme, pokud ztotoˇzˇnujeme v´ysledky jednoduch´ych matema- tick´ych model˚us realitou. Kupˇr´ıkladu v soudob´ekosmologii panuje pˇredstava, ˇze vesm´ırje sloˇzen z 68 % jak´esi temn´eenergie, z 27 % nezn´am´e temn´ehmoty a jen necel´ych z 5 % bˇeˇzn´ebaryonov´el´atky. Pˇritom vˇsechny modely (bez v´yjimky!), kter´e se pro popis v´yvoje vesm´ıru pouˇz´ıvaj´ı,m´ame otestov´any jen na podstatnˇemenˇs´ıch ˇcasoprostorov´ych ˇsk´al´ach. Pˇri jejich pouˇzit´ına cel´y vesm´ırse tedy nutnˇedopouˇst´ıme znaˇcn´eextrapolace bez z´aruky, ˇze obdrˇzen´yv´ysledek je spr´avnˇe. Rozd´ıloproti namˇe- ˇren´ym dat˚um se pak interpretuje jako p˚usoben´ıtemn´ehmoty a temn´eenergie. Lid´e ale maj´ır´adi z´ahady a senzace. Chtˇej´ıtajemnou temnou hmotu a jeˇstˇetajemnˇejˇs´ı temnou energii, a proto je velice obt´ıˇzn´etento stav zvr´atit. Dˇr´ıve, neˇzse v knize pust´ıme do rozboru mnoha otevˇren´ych ot´azek soudob´ekos- mologie, si pˇripomeneme nˇekter´ed˚uleˇzit´emiln´ıky ilustruj´ıc´ı, jak k tomuto konceptu lidstvo dospˇelo. Proto jsou ´uvodn´ıkapitoly vˇenov´any pˇredevˇs´ımhistorii pozn´av´an´ı okoln´ıho vesm´ıru a krok˚um vedouc´ımaˇzk objevu Newtonova gravitaˇcn´ıho z´akona. D´ale se podrobnˇepod´ıv´ame na v´ypoˇcty Fritze Zwickyho a Very Rubinov´e, kteˇr´ı pˇriˇsli s myˇslenkou, ˇze pro popis dynamiky rozmˇern´ych gravitaˇcnˇev´azan´ych soustav — galaktick´ych kup a spir´aln´ıch galaxi´ı— je tˇreba uvaˇzovat existenci temn´ehmoty. Upozorn´ıme na jevy, kter´eve sv´ych odhadech opomenuli, a proˇcpak museli temnou hmotu postulovat. Vˇedeck´ev´ysledky mus´ıb´yt kdykoliv zpˇetnˇeverifikovateln´e. Proto uvedeme nov´anamˇeˇren´adata, kter´aodhadovan´emnoˇzstv´ıtemn´ehmoty podstatnˇe redukuj´ıa naopak navyˇsuj´ımnoˇzstv´ıbaryonov´el´atky. Ve druh´eˇc´asti kn´ıˇzky budeme diskutovat vliv koneˇcn´erychlosti ˇs´ıˇren´ıgravitaˇcn´ı interakce v syst´emech v´azan´ych tˇeles, coˇzteoreticky vede k jejich pozvoln´emu roz-
xii p´ın´an´ı.Nab´ız´ıse tedy ot´azka, zda lze takov´eprojevy ve vesm´ıru pozorovat. V ka- pitol´ach 11–16 proto uv´ad´ıme celou ˇradu observaˇcn´ıch argument˚u, kter´enaznaˇcuj´ı, ˇze se Sluneˇcn´ı soustava i samotn´egalaxie na dlouhodob´ych ˇcasov´ych intervalech nepatrnˇerozp´ınaj´ı.Je to zp˚usobeno vˇsudypˇr´ıtomnou repulzivn´ıs´ılou — antigra- vitac´ı, kter´aje d˚usledkem kauzality a koneˇcn´erychlosti ˇs´ıˇren´ıgravitaˇcn´ıinterakce. Z toho lze ovˇsem vyvodit z´avˇer, ˇze je m´ırnˇenaruˇsen z´akon zachov´an´ıenergie. Pˇritom jsme si dobˇre vˇedomi, ˇze astronomick´adata mohou b´yt dosti nepˇresn´a(typu fuzzy), napˇr. kdyˇzse jedn´ao hmotnosti, velikosti ˇci vzd´alenosti galaxi´ı.Proto by mnoh´e rovnosti =“ v kn´ıˇzce mˇely b´yt nahrazeny sp´ıˇse symbolem ≈“, pokud se pˇr´ımo ne- ” ” jedn´ao definici ˇci rovnosti v matematick´em modelu. Vztahy, za nimiˇzjsou fyzik´aln´ı jednotky v kulat´ych z´avork´ach, je tˇreba ch´apat tak, ˇze vˇsechny bezrozmˇern´ev´yrazy mezi rovn´ıtky ˇci nerovn´ıtky jsou v tˇechto jednotk´ach. Pˇredloˇzen´akn´ıˇzka vznikla z ˇcl´ank˚u, kter´ejsem v letech 1992–2014 publikoval v mezin´arodn´ıch ˇcasopisech (New Astronomy, Communications in Computational Physics, Mathematics and Computers in Simulation, International Journal of Astro- nomy and Astrophysics, Journal of Computational and Applied Mathematics), ale i v ˇradˇedom´ac´ıch ˇcasopis˚u. Kapitola 6 vznikla rozˇs´ıˇren´ım popularizaˇcn´ıho ˇcl´anku, na kter´em jsem spolupracoval s Mari´ıVˇetrovcovou. S anal´yzou dat z kapitol 8 a 9 mi zase pom´ahal m˚uj syn Filip. Jim patˇr´ım˚uj velk´yd´ık. Vˇetˇsinu kapitol lze ˇc´ıst nez´avisle na pˇredchoz´ımv´ykladu. Pokud bude pro V´as nˇekter´apartie pˇr´ıliˇsobt´ıˇzn´a, nen´ıprobl´em ji pˇreskoˇcit. Cten´aˇrvˇetˇsinouˇ dobˇre vystaˇc´ı se stˇredoˇskolskou matematikou, i kdyˇzna nˇekolika m´ıstech se objevuj´ıintegr´aly ˇci jednoduch´ediferenci´aln´ırovnice. Cel´akniha je volnˇek dispozici na
http://users.math.cas.cz/∼krizek/list.html
Jej´ı obsah mi v ˇradˇemnohdy velmi polemick´ych diskus´ı pomohli zdokonalit pˇre- devˇs´ım Jan Brandts, Miroslav Broˇz, Soˇna Ehlerov´a, Helena Holovsk´a, Jan Chle- boun, Bruno Jungwiert, Marian Karlick´y, Oldˇrich Kowalski, Filip a Pavel Kˇr´ıˇzkovi, Frantiˇsek Lomoz, Martin Markl, Ctirad Matyska, Jan Novotn´y, Oldˇrich Novotn´y, Vladim´ır Novotn´y, Jan Palouˇs, Alena a Vojtˇech Pravdovi, Petr Preuss, Vojtech Ruˇsin, Petr Sad´ılek, Lawrence Somer, Alena, Jakub a Martin Solcovi,ˇ Ladislav Subr,ˇ Michal Svanda,ˇ Marie Vˇetrovcov´a, David Vokrouhlick´y, Jan Vondr´ak, Vladim´ırWag- ner, Marek Wolf, Richard W¨unsch a Weijia Zhang. Jejich pomoci si velice v´aˇz´ım a patˇr´ıjim m˚uj velk´yd´ık. Hodnˇemˇet´eˇzovlivnily publikace a veˇrejn´avystoupen´ıJiˇr´ıho Grygara, Josipa Kleczka a Petra Kulh´anka, kteˇr´ı mˇesv´ymi pˇrehledov´ymi pˇredn´aˇskami inspirovali k naps´an´ıˇrady ˇcl´ank˚u. Mnohokr´at jim za to dˇekuji. Rovnˇeˇzbych r´ad podˇekoval vˇsem sv´ym uˇcitel˚um na Matematicko-fyzik´aln´ıfakultˇeUniverzity Karlovy. Na cviˇcen´ıch z matematick´eanal´yzy s Ivanem Netukou jsme vˇetˇsinou pˇr´ıklady nepoˇc´ıtali, zato jsme hlavnˇedokazovali matematick´evˇety a hledali nejr˚uznˇejˇs´ıprotipˇr´ıklady na ne-
xiii spr´avn´aˇci nepˇresnˇeformulovan´atvrzen´ı,ˇcehoˇzjsem pozdˇeji mnohokr´ate vyuˇzil. Jsem tak´evdˇeˇcen Attilovi M´esz´arosovi, ˇze mi umoˇznil navˇstˇevovat jeho skvˇel´epˇredn´aˇsky z kosmologie. D´ale jsem hluboce zav´az´an Janu Marˇs´akovi za bedliv´epˇreˇcten´ıcel´eho rukopisu, manˇzelce Lei, JanˇeGr¨unerov´ea Karlu Segethovi za jazykov´e korektury, sv´ym syn˚um Filipovi a Pavlovi za nakreslen´ıvˇetˇsiny obr´azk˚u, Jarmile Struncov´ezaˇ sh´anˇen´ıod- born´eliteratury a HanˇeB´ılkov´eza technickou pomoc pˇri z´avˇereˇcn´e´upravˇerukopisu a za peˇcliv´egrafick´ezpracov´an´ı kn´ıˇzky. Koneˇcnˇebych r´ad vzdal d´ık za finanˇcn´ı podporu z grantu GA CRˇ P101/14-02067S a RVO 67985840. Uv´ıt´am jak´ekoliv vaˇse pˇripom´ınky.
24. bˇrezna 2015 Michal Kˇr´ıˇzek [email protected]
xiv C´astˇ 1
Newtonova teorie gravitace a temn´ahmota
1. O tis´ıcilet´em svazku astronomie a matematiky
Matematika je jazyk, kter´ym hovoˇr´ıvˇsechny exaktn´ıvˇedy. Nikolaj I. Lobacevskijˇ
1.1. Uvod´ Astronomie a matematika patˇr´ımezi nejstarˇs´ıvˇedn´ıdiscipl´ıny. Jiˇzpo tis´ıcilet´ıspolu koexistuj´ıa vz´ajemnˇese obohacuj´ı.K urˇcov´an´ıastronomick´ych vzd´alenost´ıbl´ızk´ych objekt˚use pouˇz´ıvaj´ıtrigonometrick´emetody. Pomoc´ınumerick´ych metod se zase poˇc´ıtaj´ıtrajektorie kosmick´ych sond, coˇzumoˇznilo mj. navˇst´ıvit Mˇes´ıc, z´ıskat unik´at n´ıfotografie planet a jejich mˇes´ıc˚u, poˇc´ıtat dr´ahy tˇeles ohroˇzuj´ıc´ıch Zemi nebo vypus tit telekomunikaˇcn´ıˇci meteorologick´edruˇzice. Kdyˇzsonda pos´ıl´az´ıskan´einformace na Zemi, pouˇzije d˚umysln´ematematick´ealgoritmy ke kompresi dat a jejich n´asledn´y pˇrenos je zabezpeˇcen pomoc´ısamoopravn´ych k´od˚u[158]. Ke zpracov´an´ıpˇr´ıchoz´ıho sign´alu se pak obvykle pouˇz´ıv´aFourierova anal´yza. Bez fundovan´ych v´ypoˇct˚use dnes neobejde ani konstrukce a mont´aˇzmnoha astronomick´ych pˇr´ıstroj˚u, napˇr´ıklad dale kohled˚ua jejich zrcadel, koutov´ych odraˇzeˇc˚u, interferometr˚u, CCD kamer, GPS, ale i superpoˇc´ıtaˇc˚ua poˇc´ıtaˇcov´ych s´ıt´ıhojnˇevyuˇz´ıvan´ych astronomy. Na druh´estranˇematematika vdˇeˇc´ı astronomii za rozvoj pˇribliˇzn´ych a nume rick´ych metod pro ˇreˇsen´ıdiferenci´aln´ıch rovnic a v´ypoˇctu integr´al˚u, teorie interpolace a extrapolace, metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u, optimalizaˇcn´ıch metod, statistick´ych me tod, teorie grup, teorie chaosu, teorie ˇrad, matematick´eho modelov´an´ı,stereometrie, neeukleidovsk´ych geometri´ı,tenzorov´eho poˇctu aj. O astronomick´apozorov´an´ıse r˚uzn´ekultury zaj´ımaly jiˇz od d´avnovˇeku. Nebesk´a sf´era slouˇzila hlavnˇek orientaci a odhadov´an´ıˇcasu, dokladem ˇcehoˇzjsou ˇcetn´emega litick´estavby dochovan´ena r˚uzn´ych m´ıstech na Zemi. V jiˇzn´ıAnglii se nach´az´ıjedna z nejstarˇs´ıch zn´am´ych astronomick´ych observatoˇr´ı— Stonehenge. Slouˇzila pro zave den´ıkalend´aˇre na z´akladˇepˇresn´eho urˇcov´an´ıpoloh nebesk´ych tˇeles a t´eˇzslunovrat˚u,
1 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace
Obr. 1.1. Kamenn´ykruh Castlerigg v´ychodnˇeod Keswiku v Anglii slouˇzil pˇred 5 200 lety jako astronomick´aobservatoˇr(foto Pavel Kˇr´ıˇzek). v´ychod˚ua z´apad˚uSlunce. Vznikla asi pˇred 5 000 lety. V Brit´anii vˇsak existuj´ıi dalˇs´ı starovˇek´eobservatoˇre, napˇr. Castlerigg (viz obr. 1.1). Podobn´ap˚ulkruhov´akamenn´a stavba Taosi z roku 2100 pˇr. n. l. se nal´ez´at´eˇzv ˇc´ınsk´e provincii San siˇ (angl. Shanxi) a tak´ev Cesk´erepubliceˇ m´ame doloˇzenu astronomickou orientaci starobyl´eho ˇctverce u Makotˇras. D´avn´ıastronomov´ejistˇebyli dobˇr´ıpozorovatel´ea poˇct´aˇri, o ˇcemˇzsvˇedˇc´ı pozoruhodn´amatematick´astruktura p˚uvodn´ıch maysk´ych ˇci ˇc´ınsk´ych kalend´aˇr˚u(viz napˇr. [149], [150]). Astronomie se ´uspˇeˇsnˇerozv´ıjela tak´ev dalˇs´ıch civilizac´ıch. Nejvˇetˇs´ıˇreck´ypozoro vatel Hipparchos (190–125 pˇr. n. l.) sestavil katalog pozic v´ıce neˇz800 hvˇezd. Zavedl t´eˇzpojem hvˇezdn´avelikost a byl zast´ancem geocentrizmu, kter´ypˇredpokl´ad´a, ˇze Zemˇeje stˇredem vesm´ıru. Dalˇs´ı ˇreck´ymatematik a astronom Klaudios Ptolemaios (cca 100–170) pˇrev zal Hipparchovy ´udaje o hvˇezd´ach a n´azory o nehybnosti Zemˇea jej´ım um´ıstˇen´ı uprostˇred vesm´ıru. Vytvoˇril tzv. ptolemaiovskou geocentrickou soustavu, kter´amˇela vysvˇetlovat pohyby nebesk´ych tˇeles. Jeho teorii pozdˇeji pˇrijala c´ırkev, a proto bylo ve stˇredovˇeku velice obt´ıˇzn´eprosadit jin´yn´azor. Modern´ıastronomie se tak zaˇcala rozv´ıjet aˇzo 13 stolet´ıpozdˇeji, kdyˇzpolsk´yastronom Mikul´aˇsKopern´ık(1473–1543) ve sv´em d´ıle O obˇez´ıch nebesk´ych sf´er vytvoˇril heliocentrickou soustavu, v n´ıˇzvˇsechny planety ob´ıhaj´ıkolem Slunce. Podp˚urn´eargumenty ve prospˇech heliocentrick´esoustavy pˇred geocentrickou z´ıskal italsk´yastronom Galileo Galilei (1564–1642), kdyˇzobjevil f´aze Venuˇse a mˇes´ıce Ju pitera. K tomu jako prvn´ı pouˇzil dalekohled k pozorov´an´ı nebesk´esf´ery. Pˇritom tak´eobjevil kr´atery na Mˇes´ıci, sluneˇcn´ıskvrny, hvˇezdy v Ml´eˇcn´edr´aze a prstence Saturnu. Byl jedn´ımze zakladatel˚umodern´ıfyziky. Galileo se t´eˇzpokouˇsel zmˇeˇrit rychlost svˇetla a jako prvn´ıpˇriˇsel s myˇslenkou, ˇze vˇsechna tˇelesa padaj´ıstejnˇerychle k Zemi, pokud nejsou brzdˇena atmosf´erou.1 Spoleˇcnˇes rozvojem pozorovac´ıch technik byly nalezeny i z´akonitosti, jimiˇzse ˇr´ıd´ızd´anlivˇenepravideln´epohyby planet. Kl´ıˇck t´eto z´ahadˇepˇredloˇzil v´yznamn´y nˇemeck´ymatematik a astronom Johannes Kepler (1571–1630), kter´ybˇehem sv´eho
1Praktick´ypokus byl proveden mj. v roce 1969 na Mˇes´ıci s peˇr´ıˇckem a kladivem.
2 1. O tis´ıcilet´em svazku astronomie a matematiky
Obr. 1.2. Objev prvn´ıch dvou Keplerov´ych z´akon˚uv Praze pˇripom´ın´apamˇetn´ıdeska v Kar- lovˇeulici. pobytu v Praze empiricky odvodil dva z´akony o obˇehu planet kolem Slunce (viz obr. 1.2). Pozdˇeji pˇridal jeˇstˇetˇret´ız´akon, kter´yje snad nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ımvztahem v astronomii v˚ubec (srov. vˇecn´yrejstˇr´ık). Vˇsechny tˇri z´akony jsou formulov´any jako matematick´atvrzen´ı.Proto je Kepler pr´avem povaˇzov´an za zakladatele nebesk´eme chaniky. O Keplerov´ych objevech a jejich vyuˇzit´ıv astronomii pojedn´ame v kapi tol´ach 1–3. Vyvrcholen´ımtˇechto snah bylo vytvoˇren´ıNewtonovy teorie gravitace. Keplerovy myˇslenky rozvinul anglick´yuˇcenec sir Isaac Newton (1643–1727) v d´ıle Philosophiae naturalis principia mathematica (Matematick´ez´aklady pˇr´ırodn´ıfilosofie). V nˇem for muloval sv´etˇri pohybov´ez´akony a gravitaˇcn´ız´akon, coˇzjsou vskutku mocn´en´astroje k pozn´av´an´ıpˇr´ırody, jak jeˇstˇeuvid´ıme v kapitole 4 a 5. Newton byl t´eˇzzakladatelem infinitezim´aln´ıho poˇctu, kter´ypouˇzil mj. pˇri odvozov´an´ı Keplerov´ych z´akon˚u. ⊙ ⊙ ⊙
1.2. Keplerovy z´akony C´ınˇst´ıastronomov´esestavovaliˇ podrobn´etabulky poloh planet jiˇzod 7. stolet´ın. l., tj. jiˇztis´ıclet pˇred Keplerem. Vˇedˇeli dokonce, ˇze planety dˇelaj´ına sv´ych drah´ach kliˇcky.2 Proˇcale neobjevili Keplerovy z´akony? Staroˇc´ınˇst´ı astronomov´ese patrnˇe aˇzpˇr´ıliˇssoustˇred’ovali na pˇredpovˇedi zatmˇen´ıSlunce a Mˇes´ıce, coˇzbylo spojov´ano s katastrofami, neˇzna vysvˇetlen´ı pohybu planet. Tak´enemˇeli dobr´ygeometrick´y model fungov´an´ıSluneˇcn´ı soustavy a jejich mˇeˇren´ıpoloh planet byla o ˇr´ad m´enˇe pˇresn´aneˇzmˇeˇren´ıd´ansk´eho astronoma Tychona Brahe (1546–1601), kter´ypouˇz´ıval
2Hlavn´ımd˚uvodem vzniku kliˇcek je skuteˇcnost, ˇze kaˇzd´aplaneta ob´ıh´av jin´erovinˇe.
3 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace
Slunce ^ Mars Zeme
Obr. 1.3. Zn´azornˇen´ıKeplerovy metody pro stanoven´ıeliptick´edr´ahy Marsu, kter´yse po jednom marsovsk´em roce prom´ıt´ana jinou ˇc´ast oblohy. Mars se nach´az´ıv pr˚useˇc´ıku obou smˇer˚u. otoˇcn´ykvadrant se stupnic´ıpˇripom´ınaj´ıc´ınonius (viz obr. 2.1). Je nutno vz´ıtt´eˇz v ´uvahu, ˇze Kepler dobˇre znal Kopern´ık˚uv heliocentrick´ymodel Sluneˇcn´ısoustavy a jistˇezde velkou roli sehr´ala i Keplerova genialita.3 Bˇehem sv´eho pobytu v Praze Johannes Kepler analyzoval velice pˇresn´adata Tychona Brahe o pohybu bludn´ych hvˇezd (tak totiˇznaz´yvali staˇr´ı Rekov´eplanety).ˇ Pˇritom zjistil, ˇze se planety pohybuj´ıpo eliptick´ych drah´ach a ˇze ploˇsn´arychlost pr˚uvodiˇce kaˇzd´eplanety (tj. spojnice Slunce a planety) je konstantn´ı.Tak byl kolem roku 1605 objeven prvn´ıa druh´yKepler˚uv z´akon, kter´ebyly prvnˇepublikov´any ve stˇeˇzejn´ımKeplerovˇed´ıle Astronomia nova v roce 1609. Okolnosti vedouc´ık tomuto v´yznamn´emu objevu jsou pops´any napˇr. v [263] a [271]. Prvn´ıKepler˚uv z´akon: Dr´ahy planet jsou eliptick´ea v jejich spoleˇcn´em ohnis- ku je Slunce. Druh´yKepler˚uv z´akon: Pr˚uvodiˇcplanety op´ıˇse za stejn´edoby plochy o stej- n´em obsahu. Pˇripomeˇnme si nyn´ı,jak Johannes Kepler tyto z´akony objevil. Kepler vˇedˇel, ˇze obˇeˇzn´aperioda Marsu je 687 dn´ı4, a proto se po t´eto dobˇevr´at´ıMars do stejn´eho m´ısta, zat´ımco Zemˇeobˇehne Slunce t´emˇeˇrdvakr´at. T´ımvlastnˇemohl stanovit dva
3J. Kepler napˇr´ıklad naˇsel vˇsechna pravideln´a periodick´a pokryt´ı roviny pravideln´ymi mnoho´uheln´ıky. D´ale zkonstruoval nˇekter´apravideln´ahvˇezdicovit´atˇelesa ˇci tˇricetistˇen, jenˇzje pr˚unikem pˇeti krychl´ı.Vymyslel t´eˇzdalekohled — refraktor, v nˇemˇzje okul´ar i objektiv tvoˇren spojnou ˇcoˇckou, atd. Kepler znaˇcnˇepˇredbˇehl svou dobu. Uvaˇzoval dokonce i o mˇestech na Mˇes´ıci (viz Ioh. Keppleri Mathematico Olimimperatori, coˇzvydal aˇzjeho syn Ludovico Kepler v r. 1634). Pˇri proch´azk´ach po Karlovˇemostˇesi napˇr. kladl hlubokou ot´azku, proˇcm´akaˇzd´asnˇehov´avloˇcka jin´ytvar a ˇsestiˇcetnou symetrii. Proto je pr´avem pokl´ad´an za jednoho ze zakladatel˚ukrystalografie. 4Dnes v´ıme, ˇze obˇeˇzn´aperioda Marsu je 686.971 dne.
4
1. O tis´ıcilet´em svazku astronomie a matematiky
Ú
¾
a
b
F
"
a
Ö
Ú Ö
¾
½ ½
Obr. 1.4. Keplerovsk´adr´aha r˚uzn´esmˇery, kter´ymi se Mars prom´ıtal na nebeskou sf´eru, a mohl tak zjistit jeho polohu v obˇeˇzn´erovinˇe(viz obr. 1.3). Opakov´an´ımtohoto postupu pro r˚uzn´eˇcasov´e okamˇziky mohl pomoc´ısouˇradnic Marsu namˇeˇren´ych Tychonem Brahe nakreslit ce lou dr´ahu Marsu a zjistit tak, ˇze jeho dr´aha je eliptick´a(viz 1. Kepler˚uv z´akon). Kdyˇzsi pak Kepler pˇripsal k jednotliv´ym poloh´am Marsu pˇr´ısluˇsn´eˇcasov´e´udaje, objevil i druh´yz´akon. Oznaˇcme a ≥ b d´elky poloos eliptick´edr´ahy planety. Pro jednoduchost budeme stejn´ym symbolem a a b oznaˇcovat i samotn´epoloosy. Velk´epoloose a se ˇr´ık´a hlavn´ı a mal´epoloose b vedlejˇs´ı, je li a > b. Vzd´alenost ohniska elipsy od jej´ıho stˇredu se naz´yv´a d´elkov´a (tj. line´arn´ı) excentricita dr´ahy a je definov´ana vztahem (viz obr. 1.4) √ ε = a2 − b2.
Podobnˇe ε e = a je ˇc´ıseln´a, (tj. numerick´a) excentricita. Budeme j´ıˇr´ıkat jen excentricita a nˇekdy t´eˇz v´ystˇrednost. Kepler mˇel vlastnˇeˇstˇest´ı,ˇze up´ıral svoji pozornost pr´avˇena Mars, protoˇze jeho dr´aha m´aexcentricitu5 pomˇernˇevelkou e ≈ 0.1 (viz obr. 1.3). D˚usledkem 1. a 2. Kep lerova z´akona je (viz [121]): Tˇret´ıKepler˚uv z´akon: Ctverceˇ obˇeˇzn´ych dob planet jsou v t´emˇze pomˇeru jako tˇret´ımocniny d´elek hlavn´ıch poloos. D˚usledn´aa systematick´apr´ace Keplerovi pomohla k objevu tˇret´ıho z´akona. Kepler jej nalezl v podstatˇeempiricky, kdyˇzuˇzopustil Prahu. Tˇret´ıKepler˚uv z´akon m˚uˇzeme pˇrepsat do tvaru T 2 = Ca3.
5Na druh´estranˇeZemˇem´avelice malou excentricitu e = 0.0167 sv´eeliptick´edr´ahy. D´elky jej´ı velk´epoloosy a = 149.598 106 km a mal´epolosy b = 149.577 106 km se liˇs´ıaˇzna p´at´eplatn´e ˇc´ıslici.
5 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace
Zde T je obˇeˇzn´adoba planety a C > 0 je konstanta. Tehdy se n´asoben´ıˇc´ısel pˇrev´adˇelo na souˇcet logaritm˚ua po odlogaritmov´an´ıse dostal hledan´ysouˇcin. K tomuto ´uˇcelu Johannes Kepler pouˇz´ıval B¨urgiovy tabulky6. Pˇritom si povˇsiml jednoduch´ez´avislosti
2 log T − 3 log a = konst. mezi dekadick´ymi logaritmy namˇeˇren´ych hodnot periody T a d´elky hlavn´ıpoloosy a. Odtud byl uˇzjen kr˚uˇcek k formulov´an´ıtˇret´ıho harmonick´eho z´akona“, kter´yKepler ” uveˇrejnil aˇzv roce 1619 v d´ıle Harmonices mundi libri V. Kepler si povˇsiml, ˇze jeho nov´yz´akon plat´ıi pro 4 velk´eJupiterovy mˇes´ıce. ⊙ ⊙ ⊙
1.3. Keplerovsk´adr´aha
Je li r1, resp. r2 vzd´alenost planety v afeliu (odslun´ı), resp. periheliu (pˇr´ıslun´ı) od ohniska F , kde se nal´ez´aSlunce, pak (viz obr. 1.4)
r1 = a + ε, r2 = a − ε.
Hmotnost planety je pˇritom zanedbateln´avzhledem k hmotnosti Slunce. Pomoc´ı vztah˚u 2a = r1 + r2, 2ε = r1 − r2 √ a b = a2 − ε2 vid´ıme, ˇze d´elka hlavn´ıpoloosy a je rovna aritmetick´emu pr˚umˇeru vzd´alenost´ı r1 a r2, tj. r1 + r2 a = , (1.1) 2 zat´ımco d´elka vedlejˇs´ıpoloosy b je rovna jejich geometrick´emu pr˚umˇeru, tj.
2 2 r r1 + r2 r1 − r2 √ b = − = r1r2. (1.2) 2 2
Oznaˇcme v1, resp. v2 velikost rychlosti planety v afeliu, resp. periheliu. Ze z´akona zachov´an´ımomentu hybnosti (mrv = konst.) plyne, ˇze
r1v1 = r2v2. (1.3)
Z v´yˇse uveden´ych rovnost´ıdostaneme
v2 r1 a + ε 1+ e = = = . (1.4) v1 r2 a − ε 1 − e
6Joost B¨urgi (1555–1632), ˇsv´ycarsk´yhodin´aˇra matematik, kter´yvyvinul logaritmy nez´avisle na Johnu Napierovi.
6 1. O tis´ıcilet´em svazku astronomie a matematiky
Pro pevn´e e je tedy pomˇer v2/v1 konstantn´ı,at’ je elipsa jakkoliv velk´a. Pro excentri citu dr´ahy Marsu e = 0.0934 dost´av´ame dosti vysok´ypomˇer v2/v1 = 1.206, kter´y vlastnˇe pomohl Keplerovi odhalit jeho druh´y z´akon. Pro excentricitu Merkuru e =0.2056 je tento pomˇer dokonce v2/v1 > 1.2/0.8=1.5, viz [209]. Nav´ıcpodle (1.4) a (1.3) plat´ı v2 − v1 r1 − r2 e = = . (1.5) v2 + v1 r1 + r2
⊙ ⊙ ⊙
1.4. Nˇekter´ed˚usledky druh´eho Keplerova z´akona Vztah (1.3) je vlastnˇed˚usledkem druh´eho Keplerova z´akona, podle nˇehoˇzpr˚uvodiˇce opisuj´ıza stejn´edoby plochy stejn´eho obsahu (viz obr. 1.5). Tzv. ploˇsn´arychlost pr˚uvodiˇce je tedy konstantn´ı,coˇzvede k rovnosti 1 1 r1v1 T = r2v2 T = πab, (1.6) 2 2 kde v´yraz na prav´estranˇeje roven obsahu elipsy a T je doba obˇehu planety. Odtud plyne, ˇze rychlost v1 je minim´aln´ıa rychlost v2 maxim´aln´ı. Vztah (1.6) lze dok´azat pomoc´ıinfinitezim´aln´ıho poˇctu. Zde jeho odvozen´ıpouze naznaˇc´ıme.
Obr. 1.5. Sch´ematick´ezn´azornˇen´ıdruh´eho Keplerova z´akona
Rozdˇelme dobu obˇehu T na n stejnˇedlouh´ych interval˚u t = T/n. Pokud se doba t bl´ıˇz´ı k nule (tj. n se bl´ıˇz´ı k nekoneˇcnu), pak se jednotliv´esegmenty na obr. 1.5 zuˇzuj´ıa jejich zakˇriven´astrana se napˇrimuje“. Podobaj´ıse ˇc´ımd´ale t´ım ” 1 v´ıce troj´uheln´ık˚um, kter´emaj´ıvˇsechny stejn´yobsah. Ten je roven obsahu 2 r1v1 t vyˇsrafovan´eho troj´uheln´ıka z obr. 1.5 s v´yˇskou r1 a z´akladnou v1 t. Souˇcet obsah˚u 1 vˇsech ploch je pak roven 2 r1v1T , coˇzje hodnota lev´estrany vztahu (1.6). Z Keplerov´ych z´akon˚unyn´ıodvod´ıme nˇekolik uˇziteˇcn´ych vztah˚u, kter´evyuˇzijeme pozdˇeji. Z rovnost´ı(1.1), (1.2) a (1.6) plyne
1 r1 + r2 √ r1v1 T = π r1r2. 2 2 7 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace
y
y
³
¾" 0 x x
Obr. 1.6. Pr˚uvodiˇce planety sv´ıraj´ı´uhel ϕ.
Dosad´ıme li nyn´ıza r2 ze z´akona (1.3), pak
2 v1 + v2 rv1 r1v1 T = πr1 . v2 v2
Pro r1 (a podobnˇei pro r2) tedy dost´av´ame
T v2 √ T v1 √ r1 = v1v2 , r2 = v1v2 , (1.7) π v1 + v2 π v1 + v2 coˇzpodle (1.1) a (1.2) d´av´a
rv1v2 T v1v2 a = T , b = . (1.8) 2π π(v1 + v2) Tak m˚uˇzeme stanovit d´elky poloos z obˇeˇzn´edoby a minim´aln´ı a maxim´aln´ırychlosti. Uved’me jeˇstˇevztah pro ´uhel mezi pr˚uvodiˇci planety. Pˇredpokl´adejme, ˇze je √Slunce um´ıstˇeno v poˇc´atku souˇradnic a druh´eohnisko v bodˇe (−2ε, 0), kde ε = a2 − b2 a a > b. Druh´ypr˚uvodiˇcje spojnice druh´eho ohniska s planetou. Oznaˇcme (x, y) souˇradnice planety (viz obr. 1.6) a k1 a k2 smˇernice jej´ıch dvou pr˚uvodiˇc˚u. 2 2 2 2 2 2 Dosad´ıme li y = k1x do rovnice elipsy b (x − ε) + a y = a b , z´ısk´ame kvadratic kou rovnici pro x > 0. Smˇernici druh´eho pr˚uvodiˇce lze pak vyj´adˇrit vztahem (viz obr. 1.6) k1x k2 = . (1.9) x +2ε Pro ´uhel ϕ mezi obˇema pr˚uvodiˇci planety plat´ı(viz [220], s. 171)
k1 − k2 ϕ = arctg , k1k2 = −1, (1.10) 1+ k1k2 kde po dosazen´ıza k2 ze vztahu (1.9) z´ısk´ame vyj´adˇren´ı´uhlu ϕ jako funkci jen jedn´e smˇernice k1. Podle [220], s. 115, norm´ala v bodˇe(x, y) p˚ul´ı´uhel ϕ. Odtud jiˇzm˚uˇzeme vypoˇc´ıtat, jak se liˇs´ısmˇer norm´aly od smˇernice k1. ⊙ ⊙ ⊙
8 2. V´yznam ´uhlov´ych mˇeˇren´ıpˇri pozn´av´an´ıvesm´ıru
Matematika, kterou se ˇr´ıd´ın´aˇsfyzik´aln´ı svˇet, je neobyˇcejnˇeplodn´aa mocn´a. Tento vztah pokl´ad´am za hlubok´etajemstv´ı. Roger Penrose
2.1. Uhlomˇern´epˇr´ıstroje´ Lidstvu trvalo tis´ıce let, neˇzz´ıskalo soudobou pˇredstavu o struktuˇre vesm´ıru a dˇej´ıch, kter´ev nˇem prob´ıhaj´ı.Na ˇradˇevybran´ych pˇr´ıklad˚uuk´aˇzeme, ˇze v tomto procesu sehr´aly podstatnou ´ulohu origin´aln´ıgeometrick´e´uvahy a docela obyˇcejn´ya jedno duch´ypˇr´ıstroj — ´uhlomˇer. Pˇresnˇeji ˇreˇceno, nejr˚uznˇejˇs´ı´uhlomˇern´epˇr´ıstroje tak, jak se v minulosti postupnˇevyv´ıjely, tedy gn´omon, trikvetrum, Jakubova h˚ul, armil´arn´ı sf´era, astrol´ab, kvadrant (srov. obr. 2.1), sextant, cirkumzenit´al atd. S jejich popi sem se lze sezn´amit napˇr. v [78]. Raduˇ z nich pouˇz´ıvaly jiˇzstarod´avn´ecivilizace pro zaznamen´av´an´ırozmanit´ych nebesk´ych ´ukaz˚u. Tis´ıciletou tradici m´anapˇr´ıklad pouˇz´ıv´an´ısluneˇcn´ıch hodin v C´ınˇe,ˇ Mezopot´amii a Recku,ˇ kter´ese rozˇs´ıˇrilo po cel´eEvropˇe. Mˇeˇren´ıˇcasu se na nich pˇrev´ad´ına mˇeˇren´ı ´uhl˚ust´ın˚uvrˇzen´ych kamenn´ym monolitem nebo tyˇc´ı(gn´omonem). V roce 545 pˇr. n. l. Anaximandros zmˇeˇril poledn´ıv´yˇsky Slunce pˇri letn´ıma zimn´ım slunovratu a jejich rozd´ılvydˇelil dvˇema. Z´ıskal tak ´uhel 23.5◦ mezi rovinou zemsk´eho rovn´ıku a rovinou ekliptiky.1 Otoˇcn´yzedn´ıkvadrant Tychona Brahe (viz obr. 2.1) z konce 16. stolet´ıumoˇzˇnoval mˇeˇrit azimut s pˇresnost´ı kolem jedn´e´uhlov´eminuty (coˇzje na prahu rozliˇsovac´ı schopnosti lidsk´eho oka), a tedy v´ıce neˇzo ˇr´ad pˇresnˇeji neˇzostatn´ıtehdejˇs´ı´uhlomˇern´e pˇr´ıstroje. Peˇcliv´ym studiem ´uhlov´ych mˇeˇren´ıT. Brahe pak objevil Johannes Kepler (viz [271]) sv´etˇri slavn´ez´akony, kter´ednes odvozujeme z Newtonovy mechaniky.
1Ekliptika je rovina, v n´ıˇzob´ıh´aZemˇekolem Slunce.
9 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace
Obr. 2.1. Jednotliv´estupnˇeTychonova kvadrantu jsou diagon´alnˇerozdˇeleny na deset ˇc´ast´ı po ˇsesti obloukov´ych minut´ach, coˇzd´ale umoˇzˇnovalo interpolovat mˇeˇren´y´uhel s pˇresnost´ı kolem jedn´eminuty.
10 2. V´yznam ´uhlov´ych mˇeˇren´ıpˇri pozn´av´an´ıvesm´ıru
Nejbˇeˇznˇejˇs´ımastronomick´ym ´uhlomˇern´ym pˇr´ıstrojem dneˇsn´ıdoby je dalekohled. Z´amˇern´ykˇr´ıˇzse stupnic´ıv okul´aru dalekohledu tak´eslouˇz´ık mˇeˇren´ıvelmi mal´ych ´uhl˚uv ´uhlov´ych minut´ach, popˇr. vteˇrin´ach. Zn´am´yHubble˚uv kosmick´yteleskop m´a rozliˇsovac´ıschopnost dokonce kolem jedn´esetiny ´uhlov´evteˇriny. Mezi nejpˇresnˇejˇs´ı ´uhlomˇern´epˇr´ıstroje vˇsak patˇr´ıoptick´ea r´adiov´einterferometry, kter´eumoˇzˇnuj´ımˇeˇrit nesm´ırnˇemal´e´uhly menˇs´ıneˇz0.001′′.
⊙ ⊙ ⊙
2.2. Mˇeˇren´ırelativn´ıch vzd´alenost´ıve Sluneˇcn´ısoustavˇe Reck´yastronomˇ Aristarchos ze Samu (3. stol. pˇr. n. l.) byl patrnˇenejstarˇs´ımzn´am´ym uˇcencem, kter´yvyslovil n´azor, ˇze planety ob´ıhaj´ıkolem Slunce. Proto se mu pˇripisuje, ˇze je prvn´ımtv˚urcem heliocentrick´eho modelu Sluneˇcn´ısoustavy. Mˇel nˇekolik dalˇs´ıch vskutku geni´aln´ıch n´apad˚ua uk´azal, ˇze i zd´anlivˇeobt´ıˇzn´eastronomick´eprobl´emy mohou b´yt vyˇreˇseny pomoc´ıelement´arn´ıch geometrick´ych metod. Uvˇedomil si, ˇze kdyˇzje Mˇes´ıc v prvn´ı (popˇr. posledn´ı) ˇctvrti, ´uhel SMZ je prav´y, kde S,M,Z oznaˇcuj´ıpo ˇradˇestˇred Slunce, Mˇes´ıce a Zemˇe(viz obr. 2.2). Pomoc´ıjednoduch´eho ´uhlomˇern´eho pˇr´ıstroje pak zmˇeˇril ´uhel SZM a zjistil, ˇze pˇrepona SZ pravo´uhl´eho troj´uheln´ıka SMZ je 19× delˇs´ı neˇzodvˇesna MZ. Jeho ´uvahu m˚uˇzeme v dneˇsn´ı symbolice zapsat takto: |MZ| 1 cos α = = , (2.1) |SZ| 19 kde α ≈ 87◦ je ´uhel SZM. Aristarchos tak usoudil, ˇze Slunce mus´ı b´yt zhruba 19× d´ale od ZemˇeneˇzMˇes´ıc.
M S
α Z
Obr. 2.2. Kdyˇzje Mˇes´ıc v prvn´ıˇctvrti, ´uhel SMZ je prav´y, kde S oznaˇcuje Slunce, M Mˇes´ıc a Z Zemi. Samozˇrejmˇebylo velice obt´ıˇzn´estanovit pˇresnˇeokamˇzik prvn´ıˇctvrti a zmˇeˇrit teh dejˇs´ımi pˇr´ıstroji velikost ´uhlu α. Dnes v´ıme, ˇze Slunce je pˇribliˇznˇe389× d´ale od Zemˇe neˇzMˇes´ıc, coˇzodpov´ıd´at´emˇeˇrprav´emu ´uhlu α = 89.8527◦. Velk´yrozd´ılv tˇechto relativn´ıch vzd´alenostech je zp˚usoben skuteˇcnost´ı,ˇze (cos87◦)−1 ≪ (cos 89.8527◦)−1, i kdyˇzjsou pˇr´ısluˇsn´e´uhly prakticky stejnˇevelk´e.
11 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace
R r
R
Obr. 2.3. D˚ukaz kulatosti Zemˇe: bˇehem mˇes´ıˇcn´ıch zatmˇen´ıje st´ın Zemˇena Mˇes´ıci vˇzdy kruhov´y. Jeho polomˇer R je v´ıce neˇztˇrikr´at vˇetˇs´ı, neˇzje polomˇer Mˇes´ıce r.
Aristoteles (cca 384–322 pˇr. n. l.) ve sv´em pojedn´an´ı O nebi [8] tvrdil, ˇze Zemˇe je koule, protoˇze jej´ıst´ınviditeln´yna povrchu Mˇes´ıce pˇri mˇes´ıˇcn´ıch zatmˇen´ıch je vˇzdy kruhov´y(viz obr. 2.3), at’ je Zemˇejakkoliv natoˇcena. Pozdˇeji Aristarchos zmˇeˇril ´uhlovou velikost tohoto st´ınu ≈ 1.5◦, coˇzje 3× v´ıce, neˇzˇcin´ı´uhlov´avelikost Mˇes´ıce ≈ 0.5◦. Vyslovil domnˇenku, ˇze Zemˇese volnˇevzn´aˇs´ıv prostoru a jej´ıpolomˇer je 3× vˇetˇs´ı, neˇzje polomˇer Mˇes´ıce (podle dneˇsn´ıch mˇeˇren´ıje to 3.67kr´at), protoˇze obˇetˇelesa jsou hodnˇedaleko od Slunce a z´aroveˇnbl´ızko sebe. Sluneˇcn´ıpaprsky jsou proto t´emˇeˇr rovnobˇeˇzn´e. Odtud Aristarchos vypoˇc´ıtal, ˇze Mˇes´ıcje vzd´alen 70 zemsk´ych polomˇer˚u od Zemˇe, coˇzm˚uˇzeme v soudob´em z´apisu vyj´adˇrit takto: R tg(3 1 0.5◦)=tg0.75◦ ≈ , (2.2) 2 70R kde R je polomˇer Zemˇe. Podle dneˇsn´ıch znalost´ıje Mˇes´ıcod Zemˇe vzd´alen zhruba 60 zemsk´ych polomˇer˚u.2 Aristarchos nav´ıc formuloval na tehdejˇs´ı dobu pˇrevratnou hypot´ezu, ˇze Zemˇe ob´ıh´akolem Slunce, a nikoli obr´acenˇe. Svoje tvrzen´ızd˚uvodnil t´ım, ˇze Slunce a Mˇes´ıc maj´ına obloze stejn´yzd´anliv´ypr˚umˇer, Slunce je mnohem vˇetˇs´ıneˇzZemˇe, protoˇze je 19× vˇetˇs´ıneˇzMˇes´ıc, zat´ımco Zemˇeje jen 3× vˇetˇs´ıneˇzMˇes´ıc(viz obr. 2.2 a 2.3). T´emˇeˇrˇz´adn´yz origin´aln´ıch Aristarchov´ych spis˚use nezachoval (srov. [7]). O jeho ´uvah´ach se vˇsak zmiˇnuje napˇr. Archimedes v pojedn´an´ı O poˇc´ıt´an´ıp´ısku. ⊙ ⊙ ⊙ 2 ′ 1 ′ Protoˇze ´uhlov´avelikost Mˇes´ıce je pˇribliˇznˇe31.1 , plat´ıtg(3.67 2 31.1 ) ≈ R/(60R).
12 2. V´yznam ´uhlov´ych mˇeˇren´ıpˇri pozn´av´an´ıvesm´ıru
2.3. Stanoven´ıabsolutn´ıch vzd´alenost´ı Aristarchovu koncepci urˇcov´an´ırelativn´ıch vzd´alenost´ı ve Sluneˇcn´ısoustavˇevtipnˇe doplnil dalˇs´ı ˇreck´yuˇcenec Eratosthenes (cca 276–194 pˇr. n. l.), kter´yse proslavil nejen sv´ym prvoˇc´ıseln´ym s´ıtem [158], s. 53, ale t´eˇzprvn´ım hodnovˇern´ym a velice d˚umysln´ym v´ypoˇctem velikosti obvodu Zemˇe(viz [74]). Opˇet zde sehr´ala d˚uleˇzitou roli ´uhlov´amˇeˇren´ı.Z pozorov´an´ıbylo zn´amo, ˇze poledn´ı v´yˇska Slunce pro urˇcit´yden se liˇs´ıv r˚uzn´ych zemˇepisn´ych ˇs´ıˇrk´ach. Eratosthenes pouˇzil nejjednoduˇsˇs´ı astrono mick´ypˇr´ıstroj — gn´omon3, coˇzje jen rovn´atyˇczaraˇzen´akolmo do zemˇe. Vˇedˇel, ˇze se Slunce zrcadl´ıv hlubok´ych studn´ıch v Syenˇe(na obratn´ıku Raka v oblasti dneˇsn´ıho Asu´anu) v prav´epoledne v dobˇeletn´ıho slunovratu. To znamen´a, ˇze se Slunce nal´ez´a v zenitu, a tud´ıˇzzde gn´omon nevrh´aˇz´adn´yst´ın. Ve stejnou dobu v Alexandrii, kter´a leˇz´ıt´emˇeˇrna stejn´em poledn´ıku jako Syena, Eratosthenes zjistil, ˇze ´uhel mezi ver ◦ 1 tik´alnˇezaraˇzen´ym gn´omonem a sluneˇcn´ımi paprsky je β =7.2 (viz obr. 2.4), tj. 50 pln´eho ´uhlu 360◦. Vzd´alenost d = 5 000 stadi´ı ≈ 920 km mezi Alexandri´ıa Syenou byla odhadnuta j´ızdou na velbloudech. Pak ze vztahu d β = o 360◦ Eratosthenes odvodil, ˇze obvod Zemˇe4 je o = 250000 stadi´ı ≈ 46000 km. (2.3)
slunecnıˇ´ gnomon´ o paprsky β Alexandrie d β Syena
Obr. 2.4. Obvod Zemˇe o byl pˇribliˇznˇeurˇcen ze zn´am´evzd´alenosti d mezi Alexandri´ıa Sye- nou a ´uhlu β, kter´ybyl zmˇeˇren v prav´epoledne o letn´ım slunovratu v Alexandrii.
Nen´ıpˇresnˇezn´amo a ani nen´ıtak podstatn´evˇedˇet, jak velk´abyla ve skuteˇcnosti ˇreck´ajednotka d´elky stadion [σταδιoν], lat. stadium. Jej´ıhodnota patrnˇeleˇzela v in tervalu 148–210 m. Mnohem d˚uleˇzitˇejˇs´ıvˇsak je nalezen´ıelegantn´ımetody, jak obvod Zemˇezmˇeˇrit.5 3Gn´omon mohl b´yt t´eˇzum´ıstˇen v dut´epolokouli se stupnic´ı, tzv. skaf´e. 4Dneˇsn´ıhodnota je o ≈ 40 000 km. 5V 17. stolet´ıse zpˇresˇnovala hodnota obvodu Zemˇepomoc´ımˇeˇren´ı´uhl˚uve vytyˇcen´etriangulaci (viz [14]).
13 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace
Podle Aristarchov´ych a Eratosthenov´ych ´uvah (srov. (2.1), (2.2) a (2.3)) by tedy Zemˇebyla od Slunce vzd´alena cca 19 70 46 000/(2π) km, coˇznen´ıani 10 milion˚ukilo metr˚u. Mˇeˇren´ıvzd´alenost´ıve Sluneˇcn´ısoustavˇestar´ymi Rekyˇ je pops´ano podrobnˇeji napˇr. v [96].
⊙ ⊙ ⊙
2.4. Stanoven´ırelativn´ıch vzd´alenost´ıvnitˇrn´ıch planet Na poˇc´atku 16. stolet´ıMikul´aˇsKopern´ıkpomoc´ı´uhlov´ych mˇeˇren´ıstanovil relativn´ı vzd´alenosti tehdy zn´am´ych planet aˇzpo Saturn6 ve Sluneˇcn´ısoustavˇe. Na z´akladˇe toho pak vyslovil tvrzen´ı,ˇze dr´ahy planet jsou kruhov´ea v jejich spoleˇcn´em stˇredu je Slunce [46]. Napˇr´ıklad zjistil (viz obr. 2.5), ˇze polomˇer dr´ahy Venuˇse je pˇribliˇznˇe 72 % polomˇeru dr´ahy Zemˇet´ım, ˇze zmˇeˇril maxim´aln´ı´uhlovou vzd´alenost Venuˇse od Slunce (viz [242], s. 39 a 44). Vzd´alenosti a1 a a2 obou vnitˇrn´ıch planet, Merkuru a Venuˇse, byly odhadnuty pomoc´ıvztahu
ai = a3 sin αi, kde αi je nejvˇetˇs´ı elongace, tj. nejvˇetˇs´ı moˇzn´a ´uhlov´avzd´alenost mezi Sluncem a planetou na nebesk´esf´eˇre7 (viz obr. 2.5). Kopern´ıkova metoda mˇeˇren´ırelativn´ıch vzd´alenost´ı vnˇejˇs´ıch planet od Slunce je pops´ana napˇr. v [14], s. 265, nebo v pˇre kladu [46]. Je podobn´aKeplerovˇemetodˇez obr. 1.3. Kromˇe´uhl˚uje tˇreba mˇeˇrit i ˇcasy.
⊙ ⊙ ⊙
2.5. Podstatn´ezpˇresnˇen´ıodhadu vzd´alenosti Zemˇeod Slunce Pˇresnost odhadu vzd´alenosti Zemˇeod Slunce dramaticky vzrostla v roce 1672, kdy G. D. Cassini8 mˇeˇril vzd´alenost Marsu od Zemˇepomoc´ı´uhlomˇern´eho pˇr´ıstroje. V Pa ˇr´ıˇzi (P ) zmˇeˇril polohu Marsu na nebesk´esf´eˇre, kdyˇzbyl Mars nejbl´ıˇze k Zemi, tj. v opozici se Sluncem (viz [107]). Ve stejn´yokamˇzik jeho kolega Jean Richer v Cayenne (C) ve Francouzsk´eGuyanˇerovnˇeˇzmˇeˇril polohu Marsu (M) na nebesk´e sf´eˇre. Z odpov´ıdaj´ıc´ıho paralaktick´eho ´uhlu9 ∠CMP = 18′′ a ze zn´am´evzd´alenosti
6Uran objevil William Herschel teprve v roce 1781. Pomoc´ı´uhlov´ych mˇeˇren´ıbyly zjiˇstˇeny ne- pravidelnosti v jeho obˇehu, na jejichˇzz´akladˇeJohann Gottfried Galle v roce 1846 objevil posledn´ı planetu Neptun (viz odd´ıl4.2). 7Ve skuteˇcnosti dr´aha Merkuru nen´ı kruhov´a, a tak maxim´aln´ı elongace kol´ıs´amezi hodno- tami 18◦ a 28◦. 8Giovanni Domenico Cassini (1625–1712) objevil t´eˇzmezeru v Saturnov´ych prstenc´ıch. 9Uhel,´ o kter´yse posune tˇeleso oproti vzd´alen´emu pozad´ı,je-li pozorov´ano ze dvou r˚uzn´ych m´ıst.
14 2. V´yznam ´uhlov´ych mˇeˇren´ıpˇri pozn´av´an´ıvesm´ıru
a2
a3 α2 α1
a1
Obr. 2.5. Kopern´ıkova metoda stanoven´ırelativn´ıch vzd´alenost´ıvnitˇrn´ıch planet pro ma- ◦ ◦ xim´aln´ıelongaci Merkuru α1 = 28 a Venuˇse α2 = 47 . d = 7280 km mezi Paˇr´ıˇz´ıa Cayenne bylo pomoc´ısinov´evˇety a standardn´ıch trigo nometrick´ych vzorc˚uzjiˇstˇeno, ˇze Mars je 73 milion˚ukm daleko od Zemˇe.10 Pak byl pouˇzit tˇret´ıKepler˚uv z´akon 2 3 Ti ai 2 = 3 , i, j =1, 2, 3,..., (2.4) Tj aj kde Ti je obˇeˇzn´adoba i t´eplanety a ai d´elka velk´epoloosy jej´ıeliptick´edr´ahy. Pro Zemi a Mars plat´ı T3 =1 rok a T4 =1.88 roku. Tedy
2/3 a4 =1.88 a3. (2.5)
Druh´arovnice pro nezn´am´e a3 a a4 plyne ze skuteˇcnosti, ˇze planet´arn´ıdr´ahy jsou 6 t´emˇeˇrkruhov´e, a z v´yˇse uveden´eho ´uhlov´eho mˇeˇren´ı, tj. a4 − a3 = 73 10 km. 6 Odtud a z (2.5) okamˇzitˇedost´av´ame, ˇze a3 ≈ 140 10 km, coˇzuˇzje pomˇernˇedobr´a 6 aproximace dneˇsn´ıhodnoty a3 = 149.6 10 km. D´elku hlavn´ıpoloosy dr´ahy Zemˇekolem Slunce si astronomov´e zvolili za z´akladn´ı 11 d´elkovou m´ıru a nazvali ji astronomickou jednotkou . Vzd´alenosti ai vˇsech dalˇs´ıch zn´am´ych planet pak byly spoˇcteny pomoc´ıtˇret´ıho Keplerova z´akona (2.4) a pozoro van´ych obˇeˇzn´ych dob Ti.
⊙ ⊙ ⊙
10Ve skuteˇcnosti byl v´ysledek uveden ve francouzsk´ych m´ıl´ıch, 1 fr. m´ıleje 1.949 km. 11Dnes je astronomick´ajednotka definov´ana takto: 1 au = 149 597 870 700 m. Je pˇribliˇznˇerovna souˇcasn´estˇredn´ıvzd´alenosti Zemˇeod Slunce.
15 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace
2.6. Dalˇs´ıkroky ke zpˇresnˇen´ıvzd´alenosti Zemˇeod Slunce Zaj´ımavou geometrickou metodu (viz [81], [172]) ke zpˇresnˇen´ıhodnoty astronomick´e jednotky pˇredloˇzil zn´am´yastronom Edmond Halley (1656–1742). Napadlo jej vyuˇz´ıt pˇrechodu Venuˇse pˇres sluneˇcn´ıdisk, kter´yje sledov´an ze dvou m´ıst r˚uzn´ezemˇepisn´e ˇs´ıˇrky. Halleyovu metodu pouˇzila aˇzdalˇs´ıgenerace astronom˚u12 v roce 1769. Pˇrechod Venuˇse pˇres sluneˇcn´ıdisk pozorovalo podle [242], s. 133, v´ıce neˇz120 astronom˚uze 60 stanic. Napˇr´ıklad jedna skupina, veden´aMaximilianem Hellem, byla na ostrovˇe Vardø v dneˇsn´ımNorsku a jin´askupina, veden´akapit´anem Jamesem Cookem a Char lesem Greenem, cestovala na Tahiti (viz [14], s. 267). Na obr. 2.6 vid´ıme schematick´y n´aˇcrt trajektori´ı AB a CD Venuˇse pozorovan´ych z tˇechto dvou m´ıst. Zmˇeˇren´a´uhlov´a vzd´alenost mezi AB a CD byla pˇribliˇznˇe α = 40′′. Ke zpˇresnˇen´ıparalaktick´eho ´uhlu α byl tak´emˇeˇren ˇcas tranzit˚u. Poznamenejme, ˇze ´uhlov´y pr˚umˇer Slunce 32′ je t´emˇeˇr pades´atkr´at vˇetˇs´ıneˇz α.
B
A ÎeÒÙ×e D ÎaÖd β α d a2 C a3−a2 Tahiti Slunce
Obr. 2.6. Schematick´ezn´azornˇen´ıdvou odliˇsn´ych trajektori´ı AB a CD pˇri pˇrechodu Venuˇse pˇres sluneˇcn´ıdisk, kter´ybyl pozorov´an z Vardø a Tahiti v roce 1769. Skuteˇcn´a´uhlov´a vzd´alenost mezi AB a CD byla mnohem menˇs´ıneˇzna obr´azku.
Protoˇze T2 =0.615 roku, dostaneme ze vztahu (2.4), ˇze a2 =0.723 a3. Z obr. 2.6 nav´ıcvid´ıme, ˇze a2tg β =(a3 −a2)tg α. Pro jednoduchost pˇredpokl´adejme, ˇze pˇr´ımka Zemˇe–Slunce byla kolm´ak ´useˇcce Vardø–Tahiti v jist´em okamˇziku pˇrechodu. Pak dostaneme d a2 d 0.723 d a3 ≈ = = , tg β a3 − a2 tg α (1 − 0.723)tg α kde d = 11 425 km je vzd´alenost mezi Vardø a Tahiti. T´ımto zp˚usobem byla zpˇres 6 nˇena vzd´alenost a3 mezi Zem´ıa Sluncem na hodnotu 153 10 km. V souˇcasnosti existuje mnoˇzstv´ır˚uzn´ych vylepˇsen´ıpopsan´emetody (viz [242]), kter´auvaˇzuj´ıpohyb Zemˇebˇehem pˇrechodu Venuˇse pˇres sluneˇcn´ıdisk i dalˇs´ıokolnosti. ⊙ ⊙ ⊙ 12T´eˇzv r. 1761. Prvn´ı zn´am´apˇredpovˇed’ pˇrechodu Venuˇse pˇres sluneˇcn´ı disk poch´az´ı jiˇzod J. Keplera [271]. Tento velice ˇr´ıdk´y´ukaz nast´av´ajen nˇekolikr´at za tis´ıcilet´ı,protoˇze sklon dr´ahy Venuˇse k ekliptice i = 3.4◦ je pomˇernˇevelk´y. Posledn´ı dva tranzity nastaly 8. ˇcervna 2004 a 6. ˇcervna 2012 (viz obr. 6.1).
16 2. V´yznam ´uhlov´ych mˇeˇren´ıpˇri pozn´av´an´ıvesm´ıru
2.7. Zpomalov´an´ırotace Zemˇe Bˇehem posledn´ıch 2 700 let se ´uhlov´arychlost rotace Zemˇezpomalovala v d˚usledku slapov´ych sil tak, ˇze d´elka dne nar˚ustala pr˚umˇernˇeo 1.7 10−3 s za stolet´ı(viz [239], s. 270). Tato hodnota byla z´ısk´ana d˚ukladnou anal´yzou z´aznam˚ustar´ych Babyl´oˇnan˚u o ´uhlov´ych v´yˇsk´ach Slunce pˇri pozorovan´ych sluneˇcn´ıch zatmˇen´ıch. Pro ilustraci se omez´ıme jen na pˇr´ıklad zaznamenan´yna hlinˇen´edestiˇcce star´ych Babyl´oˇnan˚u, kter´a obsahuje z´aznam o ´upln´em sluneˇcn´ımzatmˇen´ıze dne 15. dubna roku 136 pˇr. n. l. a je uchov´ana v Britsk´em muzeu (viz [261], s. 340; [264]). V t´edobˇebyl den zhruba o 0.036 312 sekundy (≈ 21.36 stol. × 1.7 ms/stol.) kratˇs´ı neˇzv roce 2000. Od t´edoby uplynulo pˇribliˇznˇe N = 780 000 dn˚u, bˇehem nichˇzdoˇslo ke kumulov´an´ıdrobn´ych odchylek ve zpomalov´an´ırotace Zemˇe. Proto je nyn´ıjej´ı rotace opoˇzdˇena zhruba o 4 hodiny, neˇzkdyby Zemˇerotovala zcela rovnomˇernˇe(viz obr. 2.7). To odpov´ıd´a´uhlu 60◦ (= 360◦ 4/24). Ukaˇzme si nyn´ıpodrobnˇe, jak lze tyto ˇc´ıseln´e´udaje odvodit.
Babylon
Obr. 2.7. Vpravo je poloha p´asu totality pˇri zatmˇen´ıSlunce pozorovan´em star´ymi Baby- l´oˇnany a vlevo je vypoˇc´ıtan´apoloha p´asu, kdyby se rotace Zemˇenezpomalovala.
Kdyby byla zemsk´arotace nemˇenn´a, pak by babyl´onˇst´ı astronomov´enemohli pozorovat ´upln´ezatmˇen´ı v m´ıstˇe, kde jej popisuj´ı, ale o ˇctyˇri ˇcasov´ap´asma d´ale na z´apad od Babyl´onu, kde bylo o 4 hodiny m´enˇe. Jejich tehdejˇs´ılok´aln´ıˇcas 8 h 45 min m˚uˇzeme nyn´ıpomˇernˇepˇresnˇestanovit z v´yˇsky Slunce nad obzorem, kterou Babyl´oˇnan´epˇri zatmˇen´ımˇeˇrili ´uhlomˇern´ym pˇr´ıstrojem a peˇclivˇeji zaznamen´avali. Z posunu T = 4 hodiny a zn´am´eho poˇctu dn´ı N m˚uˇzeme zpˇetnˇevypoˇc´ıtat odpo v´ıdaj´ıc´ıvelikost zpoˇzd’ov´an´ırotace Zemˇe. Pˇredpokl´adejme pro jednoduchost, ˇze d´elka kaˇzd´eho dne nar˚ustala line´arnˇeo ne patrnou hodnotu t, tj. n t´yden je o n t delˇs´ıneˇzden, kdy nastalo zatmˇen´ıodpo
17 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace v´ıdaj´ıc´ı n = 0. Pro celkov´ezpoˇzdˇen´ı T pomoc´ıtroj´uheln´ıkov´ych ˇc´ısel [158], s. 243, dostaneme N(N + 1) T = t(1+2+ + N) = t =4 3600 s. 2 Dosad´ıme li za N celkov´ypoˇcet dn´ı,obdrˇz´ıme t = 4.734 10−8 s. Za jeden rok se pak den prodlouˇz´ıv pr˚umˇeru o
T = 365.25 t =1.7 10−5 s. (2.6)
Tato hodnota je v souladu s namˇeˇren´ymi daty druˇzice Lageos (viz [47] a [295]). Dneˇsn´ıpˇresn´ar´adiov´amˇeˇren´ızpoˇzd’ov´an´ırotace Zemˇepomoc´ıvzd´alen´ych kvasar˚u tak´epotvrzuj´ı(viz [279]) pr˚umˇernou hodnotu (2.6). Zpoˇzdˇen´ırotace Zemˇeje d´ano rozd´ılem mezi terestrick´ym ˇcasem, kter´yje odvozen od chodu nejpˇresnˇejˇs´ıch atomov´ych hodin svˇeta, a svˇetov´ym (greenwichsk´ym) ˇcasem definovan´ym rotac´ı Zemˇe. Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze pomoc´ı ´uhlomˇern´ych pˇr´ıstroj˚u byla t´eˇzobjevena a zmˇeˇrena precese i nutace zemsk´eosy.
⊙ ⊙ ⊙
2.8. Paralaxa nejbliˇzˇs´ıch hvˇezd Obˇeh Zemˇekolem Slunce zp˚usobuje, ˇze bl´ızk´ehvˇezdy zd´anlivˇeopisuj´ına nebesk´e sf´eˇre elipsy velice mal´ych ´uhlov´ych rozmˇer˚u, kter´enaz´yv´ame paralaktick´eelipsy. Jejich hlavn´ı poloosy jsou t´ım vˇetˇs´ı, ˇc´ım je hvˇezda bl´ıˇze. Umoˇzˇnuj´ı n´am zjistit vzd´alenost pˇr´ısluˇsn´ehvˇezdy. Velikost hlavn´ıpoloosy paralaktick´eelipsy je v ´uhlov´e m´ıˇre rovna tzv. roˇcn´ıparalaxe. Jej´ıdefinici nyn´ıuvedeme. Necht’ C oznaˇcuje nˇejakou bl´ızkou hvˇezdu. Pro jednoduchost pˇredpokl´adejme, ˇze dr´aha Zemˇeje kruhov´as polomˇerem r a stˇredem S (Slunce). Na t´eto dr´aze pak existuj´ıdva protilehl´ebody A a B leˇz´ıc´ıv rovinˇeproch´azej´ıc´ıstˇredem S, kter´aje kolm´ana pˇr´ımku CS. Troj´uheln´ık ABC je proto rovnoramenn´yse z´akladnou AB (viz obr. 2.8). Vzd´alenost bodu C od AB je d´ana vztahem r d = , tg γ kde γ je polovina ´uhlu ACB a naz´yv´ase roˇcn´ıparalaxa. Jin´ymi slovy, γ je ´uhel, pod jak´ym by hypotetick´ypozorovatel v bodˇe C vidˇel polomˇer r zemsk´edr´ahy. Roˇcn´ıparalaxy nˇekolika bl´ızk´ych hvˇezd poprv´ezmˇeˇril F. W. Bessel v roce 1838 (viz [269]). V souˇcasnosti v´ıme, ˇze n´am nejbliˇzˇs´ıhvˇezda (nepoˇc´ıt´ame li Slunce) je Proxima Centauri. Jej´ıroˇcn´ı paralaxa ˇcin´ı 0.76′′, coˇzodpov´ıd´avzd´alenosti kolem d =4 1013 km ≈ 4.22 svˇeteln´eho roku.
18 2. V´yznam ´uhlov´ych mˇeˇren´ıpˇri pozn´av´an´ıvesm´ıru
C γ
d
A rS r B
Obr. 2.8. Vzd´alenost d bl´ızk´ehvˇezdy um´ıstˇen´ev bodˇe C lze urˇcit z roˇcn´ı paralaxy γ a z polomˇeru r zemsk´edr´ahy. Useˇcka´ AB je rovnobˇeˇzn´as hlavn´ıpoloosou paralaktick´e elipsy (na obr´azku ˇc´arkovanˇe).
Nalezen´ıparalaktick´ych elips byl d˚uleˇzit´yd˚ukaz obˇehu Zemˇekolem Slunce. Hle dat tyto elipsy se pokouˇsel uˇzTycho Brahe, kdyˇz se snaˇzil rozhodnout, zda je spr´avn´yPtolemai˚uv nebo Kopern´ık˚uv model Sluneˇcn´ı soustavy. Paralakˇcn´ıelipsy vˇsak nenaˇsel, protoˇze nemˇel moˇznost zmˇeˇrit tak mal´euhly ´ tehdejˇs´ımi pˇr´ıstroji. Astrometrick´adruˇzice Hipparcos ned´avno zmˇeˇrila paralaxy (a t´ım i vzd´alenosti) v´ıce neˇz100 000 hvˇezd v naˇs´ıGalaxii s t´emˇeˇrneuvˇeˇritelnou pˇresnost´ı0.001′′. Dalˇs´ı druˇzice Gaia vypuˇstˇen´akoncem roku 2013 zmˇeˇr´ıparalaxy miliard hvˇezd.
⊙ ⊙ ⊙
2.9. Zmˇeˇren´ırychlosti svˇetla Aberac´ısvˇetla obecnˇerozum´ıme zd´anlivou zmˇenu polohy nˇejak´eho nebesk´eho tˇelesa zp˚usobenou pohybem pozorovatele a koneˇcnou rychlost´ı svˇetla. Hvˇezdy sledovan´e kolmo13 ke smˇeru pohybu pozorovatele o rychlosti v se zdaj´ıb´yt vych´yleny o aberaˇcn´ı ´uhel α (viz [228]), pro nˇejˇzplat´ı v tg α ≈ , c kde c je rychlost svˇetla ve vakuu. Kolem roku 1727 James Bradley objevil tzv. roˇcn´ıaberaci. V d˚usledku obˇehu Zemˇekolem Slunce hvˇezdy na nebesk´esf´eˇre opisuj´ı
13V obecn´em pˇr´ıpadˇeplat´ı tg α ≈ (v sin β)/c, kde β je ´uhel mezi smˇerem pohybu a smˇerem k pozorovan´ehvˇezdˇe.
19 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace zd´anliv´eelipsy (aberaˇcn´ıelipsy), jejichˇzhlavn´ıpoloosy maj´ıd´elku α ≈ 20′′ a nez´avis´ı na vzd´alenosti hvˇezdy. Tento jev je ˇr´adovˇevˇetˇs´ıefekt neˇzparalaxa z odd´ılu2.8. Po mohl v´yraznˇezpˇresnit hodnotu rychlosti svˇetla14 a pˇrispˇel k potvrzen´ıheliocentrick´e soustavy. Pro pr˚umˇernou rychlost Zemˇe 2πr v = = 29.8 km/s, (2.7) T kde r = 149597871 km a T = 31558149.5 s (2.8) je siderick´yrok15, vych´az´ı c ≈ 300000 km/s. Uhel´ α je velice mal´y, a proto je v obloukov´em´ıˇre t´emˇeˇrroven sv´etangentˇe(s relativn´ı chybou menˇs´ı neˇz10−8). Budeme tedy ps´at jen v α = . (2.9) c Obrovsk´agravitaˇcn´ıs´ılamezi Sluncem a Zem´ı(cca 354 1020 N) zp˚usobuje, ˇze se dr´aha Zemˇezakˇrivuje a smˇer jej´ıho pohybu kolem Slunce se kaˇzd´yden zmˇen´ı zhruba o 1◦ (≈ 360◦/365.25 dne). Fotony sluneˇcn´ıho z´aˇren´ı putuj´ı ze Slunce na Zemi pˇribliˇznˇe8.3 minuty. Bˇehem tohoto ˇcasov´eho intervalu se ale Slunce pˇrem´ıst´ı vzhledem ke hvˇezd´am o ´uhel 8.3 α′ ≈ 360◦ ≈ 20′′. (2.10) 60 24 365.25 Slunce tedy nevid´ıme v jeho skuteˇcn´epoloze, ale posunut´eo α′ ≈ 20′′ (srov. obr. 6.3). To, ˇze se tento ´uhel pro kruhovou dr´ahu shoduje s v´yˇse uveden´ym aberaˇcn´ım ´uhlem α, nen´ın´ahoda, ale plyne z (2.10), (2.7) a (2.9). V ˇcitateli vztahu (2.10) je totiˇz r/c, ve jmenovateli je T a 360◦ je v obloukov´em´ıˇre 2π. Odtud vid´ıme, ˇze
2πr v α′ = = = α. cT c
⊙ ⊙ ⊙
14Jiˇzv roce 1676 d´ansk´yastronom Olaf Rømer (1644–1710) navrhl jinou elegantn´ı metodu zmˇeˇren´ırychlosti svˇetla, kterou pozdˇeji realizoval Christian Huygens. Kdyˇzse Zemˇepˇribliˇzovala k Jupiteru, v´ychody mˇes´ıˇcku Io se pˇredch´azely v˚uˇci pozemsk´ym hodin´am. Pˇri vzdalov´an´ıZemˇe od Jupiteru se zase opoˇzd’ovaly. Rømer tak vlastnˇeobjevil jev, kter´ybyl pozdˇeji pojmenov´an po Christianu Dopplerovi. Obˇeˇzn´adoba Io je 1.769 dne, coˇzodpov´ıd´aextr´emnˇen´ızk´efrekvenci. Drobn´e odchylky ve zmˇenˇefrekvence se ale naakumulovaly tak, ˇze kdyˇz byl Jupiter v opozici se Sluncem, dorazil svˇeteln´ypaprsek od Io o 22 minut dˇr´ıve, neˇzkdyˇzbyl v konjunkci. Na z´akladˇetˇechto po- zorov´an´ıa ze znalosti pr˚umˇeru zemsk´edr´ahy pak Huygens odhadl, ˇze rychlost svˇetla je pˇribliˇznˇe c ≈ 2 150000000/(22 60) = 227000 km/s. 15Siderick´y (hvˇezdn´y) rok (365.25636 dne) je doba, za kterou Zemˇeuraz´ıkolem Slunce 360◦. V d˚usledku precese zemsk´eosy je kalend´aˇrn´ırok (365.2425 dne) kratˇs´ı.
20 2. V´yznam ´uhlov´ych mˇeˇren´ıpˇri pozn´av´an´ıvesm´ıru
2.10. Sf´erick´atrigonometrie Pˇri ˇreˇsen´ı´uloh z nebesk´emechaniky je tˇreba m´ıtna pamˇeti, ˇze obˇcas nelze pouˇz´ıvat bˇeˇzn´evztahy z klasick´eEukleidovy geometrie. Napˇr´ılad v rovinˇeje souˇcet velikost´ı ´uhl˚uv troj´uheln´ıku 180◦. Na nebesk´esf´eˇre ale plat´ıRiemannova sf´erick´ageometrie, v n´ıˇzje souˇcet ´uhl˚u α, β a γ v troj´uheln´ıku vˇetˇs´ıneˇz180◦, tj.
α + β + γ > 180◦. (2.11)
Ukaˇzme si to na konkr´etn´ımpˇr´ıkladu. Letn´ıveˇcern´ıobloze dominuje nad jiˇzn´ımobzorem tzv. Letn´ıtroj´uheln´ık tvoˇren´y hvˇezdami: Altair (A) ze souhvˇezd´ıOrla, Deneb (B) z Labutˇea Vega (C) ze souhvˇezd´ı Lyry (viz obr. 2.9 a [136]). Francouzi naz´yvaj´ıtuto n´apadnou trojici Tˇri letn´ıkra- savice. Uhlov´ed´elky´ protilehl´ych stran Letn´ıho troj´uheln´ıka oznaˇcme postupnˇe a, b a c. Odpov´ıdaj´ınejkratˇs´ımspojnic´ım(geodetik´am) uvaˇzovan´ych hvˇezd na nebesk´e sf´eˇre, tj. ˇc´astem hlavn´ıch kruˇznic.
S σ
o δ 90 − 2 o δ 90 − 3
B a β γ C
c b α A
Obr. 2.9. Letn´ı troj´uheln´ık: A oznaˇcuje Altair, B Deneb a C Vegu. C´arkovanˇeˇ jsou zn´azornˇeny poledn´ıky a S severn´ıp´ol nebesk´esf´ery.
Polohy nebesk´ych objekt˚use obvykle definuj´ıpomoc´ısouˇradnic rektascenze a de klinace. Rektascenze je hodinov´y´uhel mezi rovinou proch´azej´ıc´ıobˇema p´oly a uvaˇzo van´ym objektem a rovinou proch´azej´ıc´ıobˇema p´oly a jarn´ım bodem16 (pˇritom 24 h ∼= 360◦). Deklinace je ´uhlov´avzd´alenost objektu od roviny proch´azej´ıc´ınebesk´ym rovn´ıkem. Hodnoty rektascenze a deklinace hvˇezd Letn´ıho troj´uheln´ıku jsou tyto:
16Jarn´ı a podzimn´ıbod jsou pr˚useˇc´ıky nebesk´eho rovn´ıku s ekliptikou.
21 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace
◦ ′ Altair r1 = 19 h 50 min 47 s, δ1 =8 52 , ◦ ′ Deneb r2 = 20 h 41 min 26 s, δ2 = 45 16 , ◦ ′ Vega r3 = 18 h 36 min 56 s, δ3 = 38 47 . Uhlov´avzd´alenost´ dvou objekt˚una nebesk´esf´eˇre se obvykle vyjadˇruje ve stup n´ıch. Ze zn´am´ych hodnot ri a δi m˚uˇzeme urˇcit napˇr. ´uhlovou d´elku strany a odpo v´ıdaj´ıc´ı oblouku Deneb–Vega n´asleduj´ıc´ım zp˚usobem. Na obr. 2.9 jsou ˇc´arkovanˇe vyznaˇceny dva poledn´ıky, kter´ese prot´ınaj´ıv severn´ımp´olu S nebesk´esf´ery. Uhel´ σ = ∢BSC mezi nimi je zˇrejmˇeroven rozd´ılurektascenz´ı
◦ σ ∼= r2 − r3 = 2 h 4 min 30 s =∼ 31.125 . (2.12)
◦ Protoˇze Vega m´adeklinaci δ3, je d´elka oblouku CS rovna 90 − δ3. Podobnou ´uvahu m˚uˇzeme udˇelat i pro oblouk BS. Pak pomoc´ı kosinov´e vˇety pro ´uhlovou d´elku strany a sf´erick´eho troj´uheln´ıka BSC dostaneme (viz [220], s. 86)
◦ ◦ ◦ ◦ cos a = cos(90 − δ2) cos(90 − δ3) + sin(90 − δ2) sin(90 − δ3) cos σ = sin δ2 sin δ3 + cos δ2 cos δ3 cos σ =0.91462447.
Uhlov´ad´elka´ oblouku Deneb–Vega je tedy
a = 23.848◦.
Zcela analogicky odvod´ıme, ˇze oblouky Altair–Vega a Altair–Deneb maj´ı ´uhlov´e d´elky b = 34.197◦ a c = 38.003◦. Odtud opˇet pomoc´ı kosinov´evˇety pro stranu sf´erick´eho troj´uheln´ıka ABC
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α (2.13) dostaneme u hvˇezdy Altair ´uhel α = 40.566◦. Podobnˇezjist´ıme ´uhel β = 64.695◦ u hvˇezdy Deneb a ´uhel γ = 82.036◦ u Vegy. Vid´ıme, ˇze pro souˇcet ´uhl˚uv Letn´ım troj´uheln´ıku α + β + γ = 187.297◦ plat´ı(2.11). Protoˇze pouˇz´ıv´ame Riemannovu sf´erickou geometrii, m˚uˇze m´ıttroj´uheln´ıki dva (popˇr. tˇri) prav´e´uhly. Napˇr´ıklad severn´ıp´ol S, v jehoˇzbl´ızkosti se nal´ez´aPol´arka, tvoˇr´ıse dvˇema dalˇs´ımi hvˇezdami na nebesk´em rovn´ıku takov´ytroj´uheln´ık.
⊙ ⊙ ⊙
2.11. Ohyb svˇeteln´ych paprsk˚uv gravitaˇcn´ım poli V roce 1911 A. Einstein odvodil ve sv´epr˚ukopnick´epr´aci [58], ˇze se svˇeteln´epa prsky v gravitaˇcn´ım poli hmotn´eho tˇelesa nepohybuj´ı po pˇr´ımk´ach, ale zakˇrivuj´ı svou dr´ahu [293], s. 26. Tento pˇrekvapiv´yjev byl vyfotografov´an bˇehem ´upln´eho
22 2. V´yznam ´uhlov´ych mˇeˇren´ıpˇri pozn´av´an´ıvesm´ıru
β β
α γ
α γ
a) b) Obr. 2.10. Zakˇriven´etrajektorie svˇetla v bl´ızkosti hmotn´ych objekt˚uukazuj´ı, ˇze geometrie vesm´ıru m˚uˇze b´yt lok´alnˇea) Riemannova i b) Lobaˇcevsk´eho. sluneˇcn´ıho zatmˇen´ıv roce 1919, kdy se svˇeteln´epaprsky hvˇezd v bl´ızkosti sluneˇcn´ıho disku odklonily od sv´eho p˚uvodn´ıho smˇeru. Porovn´an´ımtohoto sn´ımku se sn´ımkem stejn´eˇc´asti noˇcn´ıoblohy byl zjiˇstˇen dobr´ysoulad s hodnotou 1.75′′ pˇredpovˇezenou Einsteinem. Uhlov´amˇeˇren´ıtak´ vlastnˇepomohla pˇri ovˇeˇrov´an´ıplatnosti Einsteinovy obecn´eteorie relativity a pˇrispˇela i k vysvˇetlen´ıprincipu gravitaˇcn´ıch ˇcoˇcek. Kaˇzd´yhmotn´yobjekt tak zp˚usobuje lok´aln´ı zakˇriven´ı prostoroˇcasu. Svˇetlo se v nˇem pohybuje po nejkratˇs´ıch spojnic´ıch, tzv. geodetik´ach. Na obr. 2.10 vid´ıme dva pˇr´ıklady ohybu svˇetla v bl´ızk´em okol´ıhvˇezd. Tˇri trajektorie svˇetla na obr. 2.10a) tvoˇr´ıkˇrivoˇcar´ytroj´uheln´ık. Povˇsimnˇeme si, ˇze souˇcet jeho ´uhl˚usplˇnuje nerovnost α + β + γ > 180◦, kter´aodpov´ıd´avztahu (2.11) Riemannovy eliptick´egeometrie. Naopak na obr. 2.10b) jsou dvˇehvˇezdy o stejn´ehmotnosti a tˇri trajektorie, kter´e tvoˇr´ıjin´ykˇrivoˇcar´ytroj´uheln´ıkse souˇctem ´uhl˚u
α + β + γ < 180◦, coˇzzase pˇripom´ın´aLobaˇcevsk´eho hyperbolickou geometrii. Pˇredchoz´ı dva pˇr´ıklady ilustruj´ı, ˇze vesm´ır lze lok´alnˇepopsat odliˇsn´ymi typy geometri´ıs r˚uzn´ymi kˇrivostmi. Abychom ale nalezli glob´aln´ı kˇrivost vesm´ıru (viz ka pitola 18) pro pevn´yˇcas, je tˇreba uvaˇzovat hodnˇevelk´eˇsk´aly, na nichˇzjsou veˇsker´e lok´aln´ıkˇrivosti zpr˚umˇerov´any. Pˇredstavme si napˇr´ıklad zemsk´ypovrch, jehoˇzglob´aln´ı (zpr˚umˇerovan´a) kˇrivost je kladn´aa t´emˇeˇrkonstantn´ı v libovoln´em bodˇea libovoln´em teˇcn´em smˇeru, ale jehoˇzlok´aln´ıkˇrivost se znaˇcnˇemˇen´ı,protoˇze jsou zde hory, ´udol´ı, sedlov´ebody aj. Podle Einsteinova kosmologick´eho principu je vesm´ır pro pevn´y ˇcasov´yokamˇzik ve velice velk´ych ˇsk´al´ach homogenn´ıa izotropn´ı,tj. jeho kˇrivost je konstantn´ıv libovoln´em bodu a libovoln´em smˇeru. Tuto domnˇenku neust´ale provˇeˇruj´ı
23 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace astronomov´e. Svˇedˇc´ıpro ni napˇr. homogenita a izotropie reliktn´ıho z´aˇren´ı17. Rovnˇeˇz zn´am´e γ z´ablesky vykazuj´ıpomˇernˇerovnomˇern´erozloˇzen´ına nebesk´esf´eˇre. Na druh´e stranˇeje zn´amo, ˇze vesm´ırje na ˇsk´al´ach cca 100 milion˚usvˇeteln´ych let tvoˇren vel korozmˇerov´ymi strukturami ve formˇeobˇr´ıch stˇen a dlouh´ych vl´aken18. Porovn´av´a se proto hustota galaxi´ıstejnˇevzd´alen´ych oblast´ıvesm´ıru z odliˇsn´ych ˇc´ast´ıoblohy. Glob´aln´ıkˇrivost vesm´ıru podstatnˇez´avis´ıi na tzv. temn´e nebaryonov´ehmotˇe, jej´ıˇz rozloˇzen´ıje pˇredmˇetem intenzivn´ıho studia (viz kapitola 7–9). Pokud se prok´aˇze, ˇze Einstein˚uv kosmologick´yprincip plat´ına hodnˇevelk´ych ˇsk´al´ach, dostaneme znaˇcnˇe omezuj´ıc´ıpodm´ınky na glob´aln´ıtopologii vesm´ıru. V roce 1844 Bessel pomoc´ı´uhlov´ych mˇeˇren´ızjistil, ˇze dr´ahu nejjasnˇejˇs´ıhvˇezdy noˇcn´ıoblohy — Siria (α CMa) ovlivˇnuje jak´ysi neviditeln´ypr˚uvodce. Aˇzpo Besse lovˇesmrti jej zpozoroval A. G. Clark a bylo vypoˇcteno, ˇze novˇeobjeven´etˇeleso m´a pˇribliˇznˇehmotnost Slunce. Tehdy ale nikoho nepˇrekvapilo, ˇze jeho absolutn´ısv´ıtivost je asi o pˇet ˇr´ad˚uniˇzˇs´ı.V roce 1914 W. Adams prok´azal, ˇze Sirius B, jak bylo tˇeleso nazv´ano, je b´ıl´ytrpasl´ıks neuvˇeˇritelnou hustotou nˇekolika set kilogram˚una krych lov´ycentimetr (viz odd´ıl4.2). Pˇresn´a´uhlov´amˇeˇren´ıtak vlastnˇepomohla k objevu prvn´ıho b´ıl´eho trpasl´ıka. V roce 1924 u nˇej nav´ıcAdams zjistil ˇcerven´ygravitaˇcn´ı posuv19 spektr´aln´ıch ˇcar, kter´ypˇredpovˇedˇel A. Einstein u vˇsech hmotn´ych objekt˚u. Uhlomˇern´epˇr´ıstroje´ sehr´aly d˚uleˇzitou roli i u dalˇs´ıch efekt˚uEinsteinovy obecn´e teorie relativity, napˇr. pˇri urˇcen´ıst´aˇcen´ıperihelia Merkuru nebo pˇri st´aˇcen´ıosy gyro skopu pohybuj´ıc´ıho se v zakˇriven´em prostoroˇcasu (viz [161]). V kapitole 20 uv´ad´ıme, jak interpretovat mˇeˇren´ı´uhl˚u, jeˇzzd´anlivˇevedou k pozorov´an´ınadsvˇeteln´ych rych lost´ı ve vzd´alen´em vesm´ıru (srov. t´eˇz[125] a [186]). V kapitole 4 ukazujeme, jak lze pomoc´ı´uhlov´ych mˇeˇren´ızjistit hmotnost ˇcern´ed´ıry uprostˇred naˇs´ıGalaxie (viz t´eˇz[121]). Uhlov´amˇeˇren´ıtak´ podstatn´ym zp˚usobem pˇrispˇela k utv´aˇren´ımodern´ıho pohledu na vesm´ır.
⊙ ⊙ ⊙
17Toto z´aˇren´ıvykazuje jen nepatrn´efluktuace velikosti ˇr´adovˇe10−4 K od sv´epr˚umˇern´etep- loty 2.725 K. 18Napˇr´ıklad bylo objeveno vl´akno mnoha tis´ıc˚ugalaxi´ıo d´elce 1.37 miliardy svˇeteln´ych let, tzv. Velk´aSloanova zed’. 19 Cerven´yˇ (rud´y) posuv z je definov´an vztahem z = (λ − λ0)/λ0, kde λ0 oznaˇcuje vlnovou d´elku spektr´aln´ıˇc´ary urˇcit´eho atomu ˇci molekuly v pozemsk´elaboratoˇri a λ je odpov´ıdaj´ıc´ızmˇeˇren´ad´elka ze sledovan´eho objektu. Nen´ıtˇeˇzk´ese pˇresvˇedˇcit, ˇze z je definov´ano nez´avisle na zvolen´espektr´aln´ı ˇc´aˇre. Napˇr. ˇc´ara Hα odpov´ıd´apˇreskoku elektronu ze tˇret´ına druhou hladinu atomu vod´ıku, kdy vznik´afoton o vlnov´ed´elce λ0 = 656.3 nm.
24 3. O Keplerovˇerovnici
Nikdy nevyl´ıˇc´ım rozkoˇs, jakou jsem pˇri tomto objevu zaˇzil. Johannes Kepler
(Mysterium cosmographicum) 3.1. Prav´aa excentrick´aanom´alie Keplerova rovnice je jedn´ımz nej´uˇzasnˇejˇs´ıch Keplerov´ych matematick´ych v´ysledk˚u. N´azornˇedokl´ad´ajeho obrovskou genialitu. Podle 1. Keplerova z´akona jsou dr´ahy planet eliptick´ea Slunce se nal´ez´av jednom ze dvou ohnisek. Planeta se obecnˇe nepohybuje po sv´edr´aze rovnomˇernˇe, a proto je d˚uleˇzit´e umˇet urˇcit jej´ı polohu v dan´em ˇcasov´em okamˇziku v rovinˇeeliptick´edr´ahy. A pr´avˇek tomu slouˇz´ıKeplerova rovnice. Okamˇzitou polohu na elipse lze popsat pomoc´ı ´uhlu zvan´eho excentrick´a anom´alie. Ve tˇret´ımodd´ıluodvod´ıme Keplerovu rovnici, kter´asvazuje excentrickou anom´alii s rovnomˇernˇeplynouc´ımˇcasem, viz t´eˇz[15], s. 304.
Obr. 3.1. Johannes Kepler (1571–1630)
25 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace
a B a P b r α ϕ a A ae S C
Obr. 3.2. Slunce S je v ohnisku elipsy, po n´ıˇz se pohybuje planeta P . Excentrickou anom´alii α lze urˇcit z Keplerovy rovnice (3.6) a pravou anom´alii ϕ pak z rovnice (3.5).
Je li a ≥ b d´elka hlavn´ı,resp. vedlejˇs´ıpoloosy eliptick´edr´ahy planety, pak pro jej´ıv´ystˇrednost plat´ı √ a2 − b2 e = . (3.1) a Uvaˇzujme kruˇznici o polomˇeru a a stejn´em stˇredu, jako m´aelipsa. D´ale oznaˇcme r > 0 heliocentrickou vzd´alenost planety P od Slunce S, body A, B, C a ´uhly α a ϕ tak, jak je nakresleno na obr. 3.2. Pak vid´ıme, ˇze |AS| = ae a
a cos α = |AC| = ae + r cos ϕ, (3.2)
r sin ϕ |PC| b = = , a sin α |BC| a kde ´uhel α se naz´yv´a excentrick´aanom´alie a ´uhel ϕ prav´aanom´alie. Z obou rovnic po ´upravˇepomoc´ı(3.1) dostaneme
r2 cos2 ϕ = a2 cos2 α − 2a2e cos α + a2e2, r2 sin2 ϕ = b2 sin2 α = a2(1 − e2) sin2 α.
Jestliˇze tyto rovnice seˇcteme, obdrˇz´ıme r2 = a2 − 2a2e cos α + a2e2 cos2 α. Odtud plyne vyj´adˇren´ıvzd´alenosti r pomoc´ıexcentrick´eanom´alie α,
r = a(1 − e cos α). (3.3)
⊙ ⊙ ⊙
26 3. O Keplerovˇerovnici
3.2. Vztah mezi pravou a excentrickou anom´ali´ı Pokusme se nyn´ıvyj´adˇrit pravou anom´alii ϕ pomoc´ı α. Dosad´ıme li do (3.3) za cos α ze vztahu (3.2), vid´ıme, ˇze r = a − e(ae + r cos ϕ), tj. r (1 + e cos ϕ)=1 − e2. (3.4) a Takto se nˇekdy vyjadˇruje prvn´ı Kepler˚uv z´akon v pol´arn´ıch souˇradnic´ıch (r, ϕ). Z (3.2) po vydˇelen´ı a a z (3.4) tak z´ısk´ame
1 − e2 e + cos ϕ cos α = e + cos ϕ = . 1+ e cos ϕ 1+ e cos ϕ
Odtud dosazen´ımdo vztahu pro tangens poloviˇcn´ıho ´uhlu m´ame
1 − e+cos ϕ 2 α 1 − cos α 1+e cos ϕ 1+ e cos ϕ − e − cos ϕ tg = = e+cos ϕ = 2 1 + cos α 1+ 1+e cos ϕ 1+ e cos ϕ + e + cos ϕ 1 − e 1 − cos ϕ 1 − e ϕ = = tg2 . 1+ e 1 + cos ϕ 1+ e 2
A tak dost´av´ame hledan´evyj´adˇren´ıprav´eanom´alie pomoc´ıanom´alie excentrick´e
r1+ e α ϕ = 2arctg tg . (3.5) 1 − e 2
⊙ ⊙ ⊙
3.3. Keplerova rovnice pro excentrickou anom´alii Nyn´ı stanov´ıme rovnici pro v´ypoˇcet α. Necht’ t = 0 je ˇcas pr˚uchodu planety pe riheliem a T je jej´ıobˇeˇzn´adoba. Podle druh´eho Keplerova z´akona je ploˇsn´arych lost planety konstantn´ıa je rovna πab/T (viz obr. 1.5 a [121]). Za ˇcasov´yinterval 0, t ⊂ 0, T op´ıˇse pr˚uvodiˇc SP plochu o obsahu πabt/T . Jestliˇze elipsu line´arnˇe rozt´ahneme na kruˇznici ve smˇeru svisl´eosy, pak za stejn´y ˇcasov´yinterval op´ıˇse 2 a ´useˇcka SB plochu o obsahu πa t/T (tj. b kr´at vˇetˇs´ı)a ´useˇcka AB plochu o obsahu πa2α(t)/(2π). Jejich rozd´ılje roven obsahu troj´uheln´ıka ASB (viz obr. 3.2),
a2α(t) πa2πt ae − = a sin α(t), 2 T 2 27 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace kde α(t) vyjadˇruje skuteˇcnost, ˇze ´uhel α z´avis´ına ˇcase t. Po vydˇelen´ıˇc´ıslem −a2/2 jiˇzdostaneme Keplerovu rovnici nebo t´eˇz Keplerovu ˇcasovou rovnici pro excentrickou anom´alii 2π t = α(t) − e sin α(t). (3.6) T Lev´astrana M(t)=2πt/T se naz´yv´a stˇredn´ıanom´alie, protoˇze je line´arn´ıfunkc´ı ˇcasu. Pro zadan´yˇcasov´yokamˇzik t tak m˚uˇzeme z Keplerovy rovnice (3.6) stanovit ´uhel α = α(t) pomoc´ı vhodn´eiteraˇcn´ı metody [280] (metody postupn´ych aproximac´ı, Newtonovy metody apod.). V (transcendentn´ı) rovnici (3.6) lze tak´eaproximovat sinus pomoc´ı Taylorova rozvoje polynomem, a pak ˇreˇsit jen algebraickou rovnici, napˇr. M(t)= α −eα +eα3/3!−eα5/5!. Z rovnice (3.3) potom urˇc´ıme vzd´alenost r(t) a z (3.5) vypoˇcteme ϕ(t). T´ımje poloha planety jednoznaˇcnˇeurˇcena. Ke Keplerovˇerovnici (3.6) lze dospˇet i pomoc´ıintegr´aln´ıho poˇctu. Pro ´uhel ϕ(t) ∈ 0, 2π v ˇcase t dostaneme rovnost obsah˚uploch (srov. t´eˇz[15], s. 304)
πab 1 ϕ(t) t = Z r2(ϕ)dϕ, (3.7) T 2 0 kde r(ϕ) opˇet vyjadˇruje skuteˇcnost, ˇze vzd´alenost r z´avis´ına ´uhlu ϕ. Tento integr´al lze vypoˇc´ıtat pomoc´ısubstituce (3.5), pro niˇzlze derivov´an´ımodvodit, ˇze √ 1 − e2 b dϕ = dα = dα. (3.8) 1 − e cos α a(1 − e cos α)
Ze vztah˚u(3.7), (3.3) a (3.8) pak dostaneme
2π 1 α(t) b α(t) t = Z a2(1 − e cos α)2 dα = Z (1 − e cos α)dα. T ab 0 a(1 − e cos α) 0 Odtud jiˇzplyne Keplerova rovnice (3.6).
⊙ ⊙ ⊙
3.4. Keplerovsk´eparametry Uvaˇzujme opˇet eliptickou dr´ahu s hlavn´ı poloosou a a excentricitou e. K popisu pohybu tˇelesa po dr´aze mimo rovinu ekliptiky se pˇrid´avaj´ıjeˇstˇedalˇs´ı4 elementy dr´ahy. Sklon dr´ahy k ekliptice i (tzv. inklinace) a d´elka vzestupn´eho uzlu urˇcuj´ı rovinu dr´ahy. Argument perihelia ω (viz obr. 3.3) ud´av´aorientaci eliptick´edr´ahy v trojrozmˇern´em prostoru. Pˇetici keplerovsk´ych parametr˚u(a, e, i, ,ω) je pro jed noznaˇcn´eurˇcen´ıpolohy tˇelesa tˇreba doplnit jeˇstˇeˇsest´ym parametrem. T´ımm˚uˇze b´yt
28 3. O Keplerovˇerovnici
perihelium
Slunce ω Ω ekliptika i jarni bod vzestupny uzel
draha Obr. 3.3. Elementy eliptick´edr´ahy, kter´eurˇcuj´ıjej´ı orientaci v prostoru, jsou inklinace i, d´elka vzestupn´eho uzlu Ω a argument perihelia ω. bud’ okamˇzik pr˚uchodu tˇelesa periheliem (argument ˇs´ıˇrky perihelia), nebo stˇredn´ı anom´alie, viz (3.6). V´ıce podrobnost´ıo tˇechto ˇsesti elementech dr´ahy (tzv. efeme rid´ach) je napˇr. v [5], [15], [108] a [215]. Dodnes obdivujeme, jak Kepler odvodil rovnici (3.6) bez znalosti integr´aln´ıho poˇctu. Musel m´ıtobrovskou geometrickou pˇredstavivost i fyzik´aln´ı intuici. K dis pozici mˇel jen velk´emnoˇzstv´ı dat o poloh´ach planet vidˇen´ych ze Zemˇe, kter´ase pohybuje. O to to mˇel sloˇzitˇejˇs´ı.Kepler se tak´ezab´yval v´ypoˇctem d´elky eliptick´e dr´ahy. V roce 1609 dok´azal zaruˇcen´ydoln´ıodhad pomoc´ı geometrick´eho pr˚umˇeru √ 2π ab ≤ L(a, b), kde L(a, b) je obvod elipsy s poloosami a a b. Pozdˇeji Leonhard Euler pˇredstavil dvojstrann´yodhad1 π(a + b) ≤ L(a, b) ≤ πp2(a2 + b2). (3.9) Pro a = b bohuˇzel nelze urˇcit obvod elipsy pˇresnˇe. Je ale zn´amo vyj´adˇren´ıpoch´azej´ıc´ı od Colina MacLaurina ve tvaru nekoneˇcn´eˇrady 2π L(a, b)= Z pa2 sin2 s + b2 cos2 s ds 0 1 2 1 3 2 e4 1 3 5 2 e6 =2πah1 − e2 − − − i. 2 2 4 3 2 4 6 5 ⊙ ⊙ ⊙
1Prvn´ıdvojstrann´yodhad odvodil Archimedes (287–212 pˇr. n. l.) pro ˇc´ıslo π tak, ˇze jednotkov´emu kruhu opisoval a vepisoval pravideln´emnoho´uheln´ıky.
29 4. Gravitaˇcn´ız´akon — objev tis´ıcilet´ı
Tis´ıc˚um lid´ıspadlo jablko na hlavu, ale jen jeden se dovt´ıpil proˇc. Parafr´azoval Karel Lepka 4.1. Newtonovy vˇety Newton˚uv gravitaˇcn´ız´akon sehr´al naprosto z´asadn´ıroli pˇri rozvoji fyziky. V´yznamnˇe pˇrispˇel k pochopen´ıstruktury a v´yvoje vesm´ıru. Lze jej bez nads´azky oznaˇcit jako objev minul´eho tis´ıcilet´ı,jak bude ostatnˇepatrno i z n´asleduj´ıc´ıch odstavc˚u. Poprv´e ho formuloval sir Isaac Newton (viz obr. 4.1) ve sv´ych Principi´ıch z roku 1687. Pˇritom se inspiroval zejm´ena 3. Keplerov´ym z´akonem.
Obr. 4.1. Sir Isaac Newton (1643–1727) uk´azal, ˇze Keplerovy z´akony jsou jen d˚usledkem gravitaˇcn´ıho z´akona.
30 4. Gravitaˇcn´ız´akon — objev tis´ıcilet´ı
Podle Newtonova gravitaˇcn´ıho z´akona je velikost gravitaˇcn´ı s´ıly mezi dvˇema hmotn´ymi body rovna mM F = G . (4.1) r2 Zde m a M jsou jejich hmotnosti, r je jejich vzd´alenost a
1 G =6.674 10−11 m3kg− s−2 (4.2) je gravitaˇcn´ıkonstanta. V nˇekter´ych uˇcebnic´ıch se nespr´avnˇep´ıˇse, ˇze F v (4.1) je velikost gravitaˇcn´ıs´ıly mezi dvˇema tˇelesy. Pˇritom se ˇcten´aˇrnedozv´ı,jak se pˇresnˇedefinuje jejich vzd´alenost. Co je napˇr. vzd´alenost r pro homogenn´ı hmotn´yprstenec a hmotn´ybod v jeho stˇredu?
1. Kdyby vzd´alenost r byla rovna polomˇeru prstence, spr´avnou odpovˇed’ po dle (4.1) nedostaneme. Celkov´av´ysledn´as´ılai jej´ıvelikost je totiˇznulov´a.
2. Pro F = 0 podle (4.1) ale vych´az´ı r = ∞, coˇzjistˇenem´ase skuteˇcnost´ınic spoleˇcn´eho.
3. Kdyby r byla vzd´alenost tˇeˇziˇst’ obou tˇeles, pak bychom dostali F = ∞, protoˇze ve jmenovateli (4.1) se dˇel´ı r = 0. Opˇet se tak dost´av´ame do probl´em˚u.
Vid´ıme tedy, ˇze mechanick´epouˇz´ıv´an´ıgravitaˇcn´ıho z´akona m˚uˇze v´est k nepˇredpo kl´adan´ym paradox˚um (viz t´eˇzpozn´amka 4.1 n´ıˇze). Proto se v dalˇs´ıch matematick´ych vztaz´ıch a modelech budeme ˇcasto omezovat jen na idealizovan´e hmotn´ebody, kter´e vlastnˇev re´aln´em svˇetˇeneexistuj´ı.Vztah (4.1) ale z˚ustane nezmˇenˇen, pokud m´ısto hmotn´ych bod˚ubudeme uvaˇzovat koule se speci´aln´ımrozloˇzen´ımhustoty. Vˇeta 4.1 (prvn´ı Newtonova vˇeta). Je-li rozloˇzen´ı hustoty koule o hmot- nosti M sf´ericky symetrick´e, pak koule p˚usob´ına hmotn´ybod o hmotnosti m a leˇz´ıc´ı mimo vnitˇrek koule silou o velikosti (4.1), kde r je vzd´alenost hmotn´eho bodu od stˇredu koule. D˚ukaz se op´ır´ao specifick´ytvar gravitaˇcn´ıho potenci´alu hmoty rovnomˇernˇeroz loˇzen´ena kulov´eploˇse. V´ysledn´yvztah (4.1) se pak z´ısk´aintegrac´ı.Pro podrobnosti viz [6], s. 149. Vˇetu lze zˇrejmˇezobecnit i na vz´ajemn´ep˚usoben´ıdvou kulov´ych tˇeles se sf´ericky symetrick´ym rozloˇzen´ımhustoty hmoty (viz obr. 4.2). U skuteˇcn´ych tˇeles o pr˚umˇeru nad 1000 km gravitace samoˇcinnˇezaˇr´ıd´ıpˇribliˇznˇekulov´ytvar i sf´ericky symetrick´erozloˇzen´ıhustoty. Tento proces se naz´yv´agravitaˇcn´ıdiferenciace. Pozn´amka 4.1. Tˇelesa, kter´anemaj´ısf´ericky symetrick´erozloˇzen´ıhustoty hmo ty, ale obecnˇejejich tˇeˇziˇstˇem nahradit nelze.1 Abychom se o tom pˇresvˇedˇcili, staˇc´ı
1To se t´yk´anapˇr. prot´ahl´eplanetky Ida, kterou ob´ıh´amˇes´ıˇcek Dactyl.
31 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace
r M m
Obr. 4.2. Ilustrace prvn´ıNewtonovy vˇety pro dvˇesf´ericky symetrick´atˇelesa
uvaˇzovat, jak p˚usob´ıtˇeleso ve tvaru ˇcinky o hmotnosti M = M1 +M2 na druh´etˇeleso, j´ımˇzje homogenn´ıkoule o hmotnosti m. Hmotnost prostˇredn´ırovn´eˇc´asti ˇcinky pro jednoduchost zanedb´ame a poloˇz´ıme M1 = M2 = m = 1 kg. Na vodorovn´eose na obr. 4.3 lze odeˇc´ıtat pˇr´ısluˇsn´evzd´alenosti v metrech. Pak velikost celkov´es´ılymezi obˇema tˇelesy je rovna mM1 mM2 10G F = G + G = . 32 12 9 Kdybychom vˇsak soustˇredili hmotu ˇcinky do jej´ıho tˇeˇziˇstˇev 0, pak by v´ysledn´as´ıla F vyˇsla podstatnˇeodliˇsn´aod F , tj.
m(M1 + M2) G F = G = a 2F < F. 22 2
Kvadratick´anelinearita r2 ve vztahu (4.1) tedy zp˚usobila, ˇze s´ıla F je v´ıce neˇzdvakr´at vˇetˇs´ıneˇzs´ıla F odpov´ıdaj´ıc´ıhmotnosti prvn´ıho tˇelesa zkoncentrovan´eho do tˇeˇziˇstˇe.
M1 M2 m
−1 0 1 2 Obr. 4.3. S´ılu mezi dvˇema tˇelesy nelze obecnˇenahrazovat silou mezi hmotn´ymi body um´ıstˇen´ymi v jejich tˇeˇziˇst´ıch.
V [6], s. 150, je dok´az´ano dalˇs´ıd˚uleˇzit´etvrzen´ıpro kulovou vrstvu (mezikoul´ı), viz obr. 4.4. Vˇeta 4.2 (druh´aNewtonova vˇeta).2 Kulov´avrstva se sf´ericky symetrick´ym rozloˇzen´ımhustoty nep˚usob´ıˇz´adnou silou na hmotn´ybod nach´azej´ıc´ıse uvnitˇr.
⊙ ⊙ ⊙
2Angl. Shell Theorem.
32 4. Gravitaˇcn´ız´akon — objev tis´ıcilet´ı
+
Obr. 4.4. Ilustrace druh´eNewtonovy vˇety v pr˚uˇrezu kulov´evrstvy. Jej´ısilov´ep˚usoben´ına hmotn´ybod uvnitˇrdutiny oznaˇcen´y+ je nulov´epro sf´ericky symetrick´erozloˇzen´ıhustoty hmoty. Gravitaˇcn´ıpotenci´al v dutinˇeje totiˇzkonstantn´ı.
4.2. Nejd˚uleˇzitˇejˇs´ıobjevy a aplikace
V roce 1798 britsk´yfyzik a chemik lord Henry Cavendish odhadl stˇredn´ıhustotu a hmotnost Zemˇepomoc´ıtorzn´ıch vah a velk´ych olovˇen´ych koul´ı[42]. Jeho metoda o sto let pozdˇeji vedla k hodnotˇe G ≈ 6.75 10−11 m3kg−1s−2. Proto se gravitaˇcn´ı konstanta naz´yv´at´eˇz Newtonova–Cavendishova konstanta. Cavendish se mj. proslavil t´eˇzt´ım, ˇze objevil vod´ıka sloˇzen´ıvody. Velk´ym triumfem Newtonova gravitaˇcn´ıho z´akona bylo objeven´ıplanety Neptun d´ıky pozorovan´ym poruch´am v dr´aze Uranu. Pˇredpokl´adanou polohu Neptunu nej prve vypoˇc´ıtal anglick´ymatematik a astronom John Couch Adams a nez´avisle t´eˇz francouzsk´yastronom Urbain Jean Joseph Leverrier. V roce 1846 pak Neptun (viz obr. 4.5) objevil na obloze nˇemeck´yastronom Johann Gottfried Galle jen necel´y stupeˇnod polohy vypoˇcten´eLeverrierem (podrobnosti viz [244]). Pomoc´ı(4.1) byla nalezena i nˇekter´adalˇs´ınebesk´atˇelesa, napˇr. americk´yoptik Alvan G. Clark objevil v r. 1862 t´emˇeˇrneviditeln´eho pr˚uvodce (tzv. Stˇeˇn´atko)ˇ hvˇezdy Siria, coˇzpozdˇeji vedlo k objeven´ısuperhust´ych objekt˚u — b´ıl´ych trpasl´ık˚uo hus tot´ach ˇr´adovˇe107 aˇz1011 kg/m3 (viz [110]). Hustoty ˇr´adovˇetrilion˚u(1018) kg/m3 byly pozdˇeji zjiˇstˇeny u neutronov´ych hvˇezd. Gravitaˇcn´ız´akon, pˇresnˇeji vˇeta o viri´alu, sehr´al jistou roli i pˇri postulov´an´ıtemn´e hmoty. V roce 1933 americk´yastrofyzik Fritz Zwicky zjistil, ˇze v souhvˇezd´ıVlasy Bereniky je kupa v´ıce neˇztis´ıce galaxi´ı,kter´eob´ıhaj´ıkolem stˇredu kupy mnohem rychleji, neˇzby mˇelo vypl´yvat z gravitaˇcn´ıho z´akona (pˇresnˇeji z vˇety o viri´alu — viz [270]). Pˇredpovˇedˇel tak existenci z´ahadn´etemn´ehmoty ve vesm´ıru. K tomuto t´ematu se jeˇstˇedostaneme v kapitole 7 a 8.
33 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace
Obr. 4.5. Polohy planet Uranu a Neptunu (pˇrevzato z [244])
Newton˚uv gravitaˇcn´ız´akon n´am umoˇzˇnuje navrhovat a poˇc´ıtat trajektorie kos mick´ych sond a z´ısk´avat tak dalˇs´ıunik´atn´ıdata o vesm´ıru, pˇredpovˇedˇet sr´aˇzku pla netky ˇci komety se Zem´ı, odhadnout, kolik bychom v´aˇzili na Marsu, atd. V t´eto kapitole uvedeme nˇekter´ajednoduch´aa zaj´ımav´apouˇzit´ı Newtonova gravitaˇcn´ıho z´akona. Uvid´ıme, jak lze s jeho pomoc´ıpˇrekvapivˇeurˇcit nˇekter´ezd´anlivˇenezjisti teln´ehodnoty fyzik´aln´ıch veliˇcin na neuvˇeˇritelnˇevelk´evzd´alenosti (napˇr. hmotnost Marsu ˇci stˇredn´ıhustotu Slunce). Gravitaˇcn´ız´akon n´am tak v´yraznˇepomohl posu nout hranice lidsk´eho pozn´an´ıdaleko dopˇredu zcela neˇcekan´ym smˇerem.
⊙ ⊙ ⊙
4.3. Velikost konstanty ve 3. Keplerovˇez´akonu
Tˇret´ıKepler˚uv z´akon ve sv´enejjednoduˇsˇs´ıpodobˇeˇr´ık´a(viz odd´ıl1.2), ˇze tˇret´ımoc nina d´elky hlavn´ıpoloosy a eliptick´edr´ahy planety ku druh´emocninˇejej´ıobˇeˇzn´e doby T je konstantn´ı,tj. a3/T 2 = C. Odtud m˚uˇzeme napˇr´ıklad vypoˇc´ıtat vzd´alenosti vˇsech planet od Slunce ze znalosti jejich obˇeˇzn´ych dob, vzd´alenosti Slunce–Zemˇe a obˇeˇzn´edoby Zemˇe. Skuteˇcn´yv´yznam konstanty C ale Kepler neznal. Tak´ev ˇradˇe uˇcebnic nen´ıuvedeno, jak m˚uˇzeme tuto konstantu C vyj´adˇrit a jakou m´avlastnˇe hodnotu. Pˇritom ji lze pro tˇelesa ob´ıhaj´ıc´ı kolem Slunce snadno odvodit z (4.1),
34 4. Gravitaˇcn´ız´akon — objev tis´ıcilet´ı napˇr. pro kruhovou dr´ahu3 planety o polomˇeru r = a. Je li m hmotnost planety a M = M⊙ hmotnost Slunce, pak podle dalˇs´ıho Newtonova z´akona, z´akona akce a reakce, je gravitaˇcn´ıs´ılarovna dostˇrediv´es´ıle, tj.
mM mv2 G = , (4.3) a2 a kde v je obˇeˇzn´arychlost planety. Dosad´ıme li za v =2πa/T do (4.3), dostaneme jako d˚usledek 3. Kepler˚uv z´akon ve tvaru
a3 GM = (= C). (4.4) T 2 4π2 Odtud lze z´ıskat dalˇs´ıd˚uleˇzit´einformace, jak jeˇstˇeuvid´ıme. Zde se mlˇcky pˇredpo kl´ad´a, ˇze m ≪ M. Jinak lze (zobecnˇen´y) 3. Kepler˚uv z´akon zapsat takto4
a3 G(M + m) = . (4.5) T 2 4π2 D´elka hlavn´ıpoloosy zemsk´edr´ahy byla postupnˇezpˇresˇnov´ana r˚uzn´ymi meto dami, z nichˇznˇekter´ese op´ıraj´ıpr´avˇeo 3. Kepler˚uv z´akon. Je prakticky rovna astro- nomick´ejednotce au, tj. stˇredn´ıvzd´alenosti Zemˇe–Slunce,
1au = 149597870700m ≈ 149.6 106 km. (4.6)
Vztahem (4.6) je jednotka au propojena na z´akladn´ıjednotky soustavy SI. Astro nomick´ajednotka je ale jen vedlejˇs´ı jednotka. Vyj´adˇr´ıme li hlavn´ı poloosu dr´ahy planety a v astronomick´ych jednotk´ach a T v roc´ıch, pak lze 3. Kepler˚uv z´akon (4.4) pro obˇeˇznice Slunce zapsat mnohem jednoduˇseji:
3 2 a =∼ T , (4.7) kde symbolem ∼= oznaˇcujeme jen ˇc´ıselnou rovnost, tj. nikoliv rozmˇerovou. Vyn´aso b´ıme li pravou stranu (4.7) konstantou C = 1 au3/yr2, kde yr oznaˇcuje rok, dosta neme i rovnost rozmˇerovou. Tento z´apis m´anˇekolik v´yhod, napˇr. snadno m˚uˇzeme vypoˇc´ıtat vzd´alenosti vˇsech planet od Slunce z pouh´eznalosti jejich obˇeˇzn´ych dob. Ilustrujme to na planetˇeMars, jej´ıˇzobˇeˇzn´adoba kolem Slunce je T = 1.881 roku. Podle (4.7) je tedy a =1.8812/3 =1.524 (au).
⊙ ⊙ ⊙
3Odvozen´ıpro eliptickou dr´ahu je napˇr. v ˇcl´anku [121]. 4Dvˇenestejnˇehmotn´atˇelesa na stejn´em polomˇeru tak ob´ıhaj´ıkolem Slunce r˚uzn´ymi rychlostmi, coˇzneplyne z klasick´eho 3. Keplerova z´akona.
35 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace
4.4. Hmotnost Slunce Pˇrednˇesi povˇsimnˇeme, ˇze vztah (4.4) svazuje tˇri d˚uleˇzit´efyzik´aln´ıveliˇciny s rozmˇe rem d´elky, hmotnosti a ˇcasu ud´avan´ev z´akladn´ıch jednotk´ach soustavy SI: m, kg, s. Pokud zn´ame dvˇez nich, m˚uˇzeme dopoˇc´ıtat tˇret´ı.V tom spoˇc´ıv´akr´asa 3. Keplerova z´akona. Po dosazen´ıza a z (4.6) do vztahu (4.4) okamˇzitˇedostaneme hmotnost Slunce 2 2πa a 30 M⊙ = =1.99 10 kg, (4.8) T G kde T = 31558149.54 s je obˇeˇzn´adoba Zemˇekolem Slunce (tzv. siderick´yrok). ⊙ ⊙ ⊙
4.5. Hmotnost Marsu V roce 1877 americk´yastronom Asaph Hall objevil marsovsk´ymˇes´ıˇcek Phobos (naz´yvan´yt´eˇzFobos), jehoˇzobˇeˇzn´adoba je P = 27554 s, tj. 0.3189 dne. Tato skuteˇcnost umoˇznila v´yraznˇezpˇresnit naˇsi znalost hmotnosti Marsu m. Pomoc´ı ´uhlov´ych mˇeˇren´ılze odhadnout, ˇze d´elka hlavn´ı poloosy dr´ahy Phobosu je r ≈ 9.377 106 m. Podle (4.4) tedy plat´ı r3 Gm = (4.9) P 2 4π2 a odtud jiˇzdostaneme, ˇze m =6.42 1023 kg. Hmotnost Marsu lze ale urˇcit i bez znalosti gravitaˇcn´ıkonstanty G, pokud zn´ame hmotnost Slunce. Ze vztah˚u(4.4) a (4.9) totiˇzplyne, ˇze r3 T 2 m = M⊙, a3 P 2 kde T = 59355072 s (tj. 686.971 dne) je obˇeˇzn´adoba Marsu a a = 227.94 109 m je d´elka hlavn´ıpoloosy jeho eliptick´edr´ahy (jak lze rovnˇeˇzzjistit pomoc´ı(4.4)). Podobn´ym zp˚usobem lze vypoˇc´ıtat hmotnosti vˇsech vnˇejˇs´ıch planet a t´eˇzZemˇe. K upˇresnˇen´ı hmotnosti Venuˇse byla analogicky pouˇzita sonda Magellan, kter´aji ob´ıhala, a pro Merkur podobnˇesonda Messenger. ⊙ ⊙ ⊙
36 4. Gravitaˇcn´ız´akon — objev tis´ıcilet´ı
4.6. D´elka doby p´adu do Slunce Ze vztahu (4.8) pro kruhovou dr´ahu planety o polomˇeru a dost´av´ame jej´ıobˇeˇznou rychlost 2πa rGM⊙ v = = . (4.10) T a Dosad´ıme li za a vzd´alenost Zemˇe–Slunce z (4.6) a za M⊙ hmotnost Slunce z (4.8), zjist´ıme, ˇze Zemˇeob´ıh´aSlunce rychlost´ıcca v = 29.8 km/s. (4.11) Pˇredpokl´adejme na okamˇzik, ˇze n´as (nebo nˇejak´ypˇredmˇet) nˇekdo na t´eto dr´aze zabrzd´ı.Pak budeme vlastnˇevoln´ym p´adem smˇeˇrovat ke Slunci. Ot´azka je, jak dlouho bude tento p´ad trvat. Kdyby Zemˇeob´ıhala v poloviˇcn´ıvzd´alenosti√ od Slunce, pak by podle 3. Keplerova z´akona (4.7) byla doba obˇehu 0.53/2 = 2/4 roku. Pokud by vˇsak dr´aha Zemˇebyla tak prot´ahlou elipsou o d´elce poloosy 0.5√ au, ˇze by se v limitn´ımpˇr´ıpadˇerovnala √´useˇcce Zemˇe–Slunce, pak by tak´eob´ıhala 2/4 roku. P´ad do Slunce by tedy trval 2/8 roku (tj. 64.6 dne). 1 3/2 Analogicky m˚uˇzeme zjistit, ˇze Neptun by do Slunce padal 2 15 ≈ 29 let nebo ˇze Mˇes´ıcby spadl na Zemi za 4.83 dne, kdybychom je na jejich orbit´ach zastavili (viz [285]). ⊙ ⊙ ⊙
4.7. Velikost prvn´ı, druh´ea tˇret´ıkosmick´erychlosti Aby tˇeleso ob´ıhalo Zemi po kruhov´edr´aze o polomˇeru cca r = 6550 km (tj. nad hust´ymi vrstvami atmosf´ery, kdy m˚uˇze vykonat alespoˇnjeden obˇeh), je tˇreba mu 5 udˇelit prvn´ıkosmickou rychlost vI. Podobnˇejako v (4.10) zjist´ıme, ˇze
rGM vI = =7.9 km/s, (4.12) r kde M =5.9736 1024 kg (4.13) je hmotnost Zemˇe. Podle [15], s. 303, odpov´ıdaj´ıc´ıorbit´aln´ı rychlost na eliptick´edr´aze s hlavn´ıpoloosou a je 2 1 v2 = GM − , (4.14) r a kde r oznaˇcuje okamˇzitou vzd´alenost tˇelesa od stˇredu Zemˇe, viz [15], s. 303.
5Rakety se obvykle vypouˇstˇej´ız m´ıst bl´ızk´ych rovn´ıku ve smˇeru rotace Zemˇe, ˇc´ımˇzse bezplatnˇe z´ısk´apoˇc´ateˇcn´ırychlost aˇz40 000 km /(24 3600 s) = 0.46 km/s.
37 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace
Aby tˇeleso o hmotnosti m ≪ M ve vzd´alenosti r od stˇredu Zemˇeuniklo z jej´ıho gravitaˇcn´ıho pole, je nutn´emu udˇelit alespoˇn druhou kosmickou rychlost vII. Je li potenci´aln´ıi kinetick´aenergie tˇelesa v nekoneˇcnu rovna nule, pak ve vzd´alenosti r od Zemˇemus´ım´ıttˇeleso souˇcet potenci´aln´ıa kinetick´eenergie tak´eroven nule, tj.
mM 1 2 −G + mvII =0. r 2 Odtud a z (4.12) pro druhou kosmickou rychlost dostaneme r2GM √ vII = = 2vI = 11.2 km/s, (4.15) r kde opˇet r = 6450 km. Pro tˇeleso ob´ıhaj´ıc´ıkolem Mˇes´ıce vych´az´ıdruh´akosmick´a rychlost 2.3 km/s a kolem Slunce 617.3 km/s pro pˇr´ısluˇsn´epolomˇery obou tˇeles. Tˇret´ıkosmick´arychlost je ´unikov´arychlost ze Sluneˇcn´ısoustavy ze vzd´alenos ti 1 au. Podobnˇejako v (4.15) dostaneme, ˇze √ vIII = 2v = 42.1 km/s, kde v je d´ano v (4.11). Budeme li cht´ıtudˇelit pozemsk´emu tˇelesu rychlost vIII vzhle dem ke Slunci, pak vyuˇzijeme toho, ˇze tˇeleso m´ajiˇzrychlost (4.11). Zvˇetˇsit jeho rychlost o vIII − v = 12.3 km/s ale nestaˇc´ı,protoˇze se tˇeleso jeˇstˇepotˇrebuje vymanit z gravitaˇcn´ıho pole Zemˇe, na coˇzje nutn´aalespoˇnrychlost vII. Aby tˇeleso opustilo Sluneˇcn´ısoustavu, je tˇreba mu udˇelit ve smˇeru pohybu Zemˇe pˇrinejmenˇs´ımrychlost 2 2 1/2 v∞ = 16.6 ≈ (11.2 + 12.3 ) km/s, tzv. perige´aln´ırychlost [108]. ⊙ ⊙ ⊙
4.8. V´yˇska letu geostacion´arn´ıch druˇzic Geostacion´arn´ıorbitu popsal slovinsk´yfyzik Herman Potoˇcnik jiˇzv roce 1928. Aby tˇeleso ob´ıhalo Zemi nad rovn´ıkem a z˚ust´avalo st´ale nad stejn´ym m´ıstem zemsk´eho po vrchu, je tˇreba, aby jeho obˇeˇzn´adoba byla stejn´ajako perioda rotace Zemˇekolem sv´e osy vzhledem ke hvˇezd´am, tj. T = 23 h 56 min 4 s = 86 164 s. Tuto myˇslenku pouˇzil v roce 1945 spisovatel vˇedecko fantastick´ych rom´an˚uArthur C. Clarke k n´avrhu ra diokomunikaˇcn´ıch satelit˚u. Proto se geostacion´arn´ıdr´aze obˇcas ˇr´ık´a Clarkova orbita. Podle 3. Keplerova z´akona (4.4) je v´yˇska geostacion´arn´ıdruˇzice nad rovn´ıkem rovna 2 r3 GMT h = − R ≈ 35786 km, 4π2 kde R = 6 378 km je polomˇer Zemˇe. Druˇzice tedy ob´ıh´ave v´yˇsce pˇetin´asobku po lomˇeru R nad zemsk´ym povrchem. Odtud je vidˇet 42.4 % povrchu Zemˇe. ⊙ ⊙ ⊙
38 4. Gravitaˇcn´ız´akon — objev tis´ıcilet´ı
Zeme^ Mars 1 r Slunce
Obr. 4.6. Ekonomick´adr´aha sondy ze Zemˇena Mars vyuˇz´ıv´askuteˇcnosti, ˇze Zemˇese pohybuje kolem Slunce rychlost´ı(4.11). Sondu je tˇreba vypustit bˇehem tzv. startovac´ıho okna, aby dos´ahla dr´ahy Marsu v oblasti, kde se Mars bude nach´azet za 0.7 roku.
4.9. Doba letu na Mars Oznaˇcme r = 1.524 a pro jednoduchost pˇredpokl´adejme, ˇze Zemˇea Mars ob´ıhaj´ı kolem Slunce po kruhov´ych drah´ach o polomˇerech 1 au a r au. Ekonomick´adr´aha6 sondy ze Zemˇek Marsu a zpˇet (tzv. Hohmannova pˇrechodov´a dr´aha, elipsa ˇci trajek torie) je nakreslena na obr. 4.6. Je v podstatˇeeliptick´a, protoˇze po naveden´ına tuto dr´ahu sonda z ´usporn´ych d˚uvod˚uvypne motory a po vˇetˇsinu letu ji Zemˇeani Mars t´emˇeˇrneovlivˇnuj´ı,nebot’ dominuje vliv Slunce. Situace je ve skuteˇcnosti mnohem sloˇzitˇejˇs´ı.7 1 Eliptick´adr´aha sondy m´ad´elku hlavn´ıpoloosy a = 2 (r+1) au (viz (1.1)) a Slunce je v jednom z ohnisek. Podle 3. Keplerova z´akona (4.7) je doba potˇrebn´ak letu na Mars rovna 1 1 r +1 3/2 T ∼= ∼= 0.7 yr, 2 2 2 coˇzodpov´ıd´a259 dn˚um.
6Nˇekter´esondy vˇsak tuto ekonomickou dr´ahu nepouˇz´ıvaj´ı z ˇcasov´ych d˚uvod˚u. Napˇr´ıklad sonda Mariner 7 dos´ahla Marsu za pouh´ych 128 dn´ı. 7Dr´ahy planet nejsou kruhov´ea nejsou ani v jedn´erovinˇe. Sonda mus´ınejprve dos´ahnout 2. kos- mick´erychlosti vzhledem k Zemi, aby se vymanila z jej´ı pˇritaˇzlivosti. Obˇcas se mus´ıjej´ıdr´aha korigovat apod.
39 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace
√ Vedlejˇs´ıpoloosa eliptick´edr´ahy sondy m´ad´elku b = r au, jak okamˇzitˇeplyne z (1.2). Celkov´ad´elka Hohmannovy trajektorie je tak podle (3.9) rovna 7.843 au. Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze d´elkov´aexcentricita dr´ahy se rovn´avzd´alenosti jej´ıho ohniska 1 od stˇredu, tj. ε = 2 (r − 1) au, a numerick´aexcentricita je tak rovna
r − 1 e = =0.208. r +1
K Plutu by se podobn´ym zp˚usobem letˇelo ze Zemˇe46 rok˚u. Proto byla pro sondu New Horizons vypuˇstˇenou v roce 2006 zvolena jin´adr´aha, vyuˇz´ıvaj´ıc´ıpˇritaˇzlivosti Jupitera (tzv. gravitaˇcn´ıprak), kter´apˇri poˇc´ateˇcn´ı rychlosti 16.26 km/s umoˇzˇnuje dos´ahnout Pluta za pouh´ych 9 rok˚uod vypuˇstˇen´ı.
⊙ ⊙ ⊙
4.10. Stˇredn´ıhustota Slunce Ukaˇzme si, jak lze pomoc´ı´uhlomˇeru zjistit stˇredn´ıhustotu Slunce. Abychom vyˇreˇsili tento zd´anlivˇeabsurdn´ıprobl´em, budeme pro jednoduchost pˇredpokl´adat, ˇze dr´aha Zemˇe kolem Slunce je kruhov´a. Podle Newtonova gravitaˇcn´ıho z´akona, druh´eho a tˇret´ıho Newtonova pohybov´eho z´akona (z´akona s´ılya z´akona akce a reakce) pak dostaneme 2 M⊙m mv G = , (4.16) r2 r kde M⊙ je hmotnost Slunce, m je hmotnost Zemˇe, r je jejich vzd´alenost a v je rychlost Zemˇe. Snadno lze zmˇeˇrit,8 ˇze ´uhlov´ypr˚umˇer Slunce je zhruba δ = 32′. Pak 1 R⊙ = r sin 2 δ je polomˇer Slunce (viz obr. 4.7). Zˇrejmˇe(srov. (4.10))
2πr v = , (4.17) T kde T = 31558149.54 s (=365.25636 dne) je obˇeˇzn´adoba Zemˇe. Oznaˇc´ıme li V = 4 3 3 πR⊙ objem Slunce a dosad´ıme li za M⊙ ze vztahu (4.16), zjist´ıme pomoc´ı(4.17), ˇze stˇredn´ıhustota Slunce je
2 2 M⊙ v r (2πr) r 3π 3 ρ = = = 2 4 1 3 = 2 3 1 =1409 kg/m , (4.18) V GV T G 3 π(r sin 2 δ) T G sin 2 δ tj. je jen o 40 % vyˇsˇs´ıneˇzhustota vody.
8K tomu je dobr´em´ıtsluneˇcn´ıfiltr. Uhlov´ypr˚umˇer´ Slunce m˚uˇzeme tak´ezmˇeˇrit pomoc´ıd´ırkov´e komory, jak navrhoval Leonardo di ser Piero da Vinci.
40 4. Gravitaˇcn´ız´akon — objev tis´ıcilet´ı
R Slunce r δ Zemeˇ
Obr. 4.7. Stˇredn´ıhustotu Slunce lze urˇcit z jeho ´uhlov´eho pr˚umˇeru a obˇeˇzn´edoby Zemˇe (viz (4.18)).
Celkovou hmotnost Slunce m˚uˇzeme pak vypoˇc´ıtat takto: ze zn´am´estˇredn´ıvzd´ale 9 6 nosti r = 149.6 10 m a zmˇeˇren´eho ´uhlu δ/2 urˇc´ıme polomˇer Slunce R⊙ = 696 10 m a objem Slunce V =1.413 1027 m3. Ze vztahu (4.18) pak po dosazen´ıobdrˇz´ıme9
30 M⊙ = ρV =1.99 10 kg
(srov. (4.8)).
⊙ ⊙ ⊙
4.11. Rychlost Halleyovy komety Halleyova kometa je pojmenov´ana po Edmondu Halleyovi, kter´ypoprv´epˇredpovˇedˇel jej´ı n´avrat. Jej´ı eliptick´adr´aha je retrogr´adn´ı, tj. ob´ıh´akolem Slunce v opaˇcn´em smˇeru neˇzplanety. Ze 3. Keplerova z´akona (4.4) a z obˇeˇzn´e doby T = 75.7 roku zjist´ıme, ˇze hlavn´ıpoloosa m´ad´elku a = 17.9 au. Kometa se pˇribliˇzuje ke Slunci na vzd´alenost r2 = a − ae = a(1 − e)=0.585 au (viz obr. 1.4). Odtud dost´av´ame v´ystˇrednost e =0.9673 jej´ıdr´ahy. Vzd´alenost v afeliu je rovna r1 = a+ae = 35.21 au, tj. kometa se vzdaluje aˇzza dr´ahu Neptunu. Ze vztahu (4.14) pouˇzit´eho na Slunce plyne, ˇze rychlost Halleyovy komety v afeliu, resp. periheliu je
1 2 1 2 GM⊙(1 − e) / GM⊙(1 + e) / v1 = = 908m/s, resp. v2 = = 54.6 km/s. a(1 + e) a(1 − e)
Stejn´ev´ysledky d´av´ai 2. Kepler˚uv z´akon (1.6).
⊙ ⊙ ⊙
9 30 Souˇcasnˇeud´avan´ezpˇresnˇen´ehodnoty jsou M⊙ =1.988 547 10 kg a R⊙ = 695 508 km.
41 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace
4.12. Platnost gravitaˇcn´ıho z´akona mimo Sluneˇcn´ısoustavu V roce 1780 William Frederick Herschel10 zjistil, ˇze hvˇezda ξ UMa v souhvˇezd´ıVelk´e medvˇedice je vizu´aln´ıdvojhvˇezdou. Dnes v´ıme, ˇze ξ UMa je alespoˇnˇctyˇrn´asobn´a hvˇezda. Je od n´as vzd´alena cca 27 svˇeteln´ych let. Jej´ıobˇe hlavn´ısloˇzky maj´ıhmot nost srovnatelnou se Sluncem. Francouzsk´ymatematik a astronom Felix Savary dlou hodob´ym systematick´ym pozorov´an´ımobjevil kolem roku 1827, ˇze obˇehlavn´ısloˇzky kolem sebe ob´ıhaj´ıpo eliptick´ych drah´ach, kter´elze popsat pomoc´ıNewtonova gra vitaˇcn´ıho z´akona. Sloˇ tak vlastnˇeo prvn´ıpotvrzen´ıplatnosti tohoto z´akona mimo Sluneˇcn´ısoustavu. Pozdˇeji to vedlo i k pˇresvˇedˇcen´ı,ˇze veˇsker´efyzik´aln´ız´akony plat´ı v cel´em vesm´ıru stejnˇe. Shodou okolnost´ıje rovina obˇeˇzn´edr´ahy obou hlavn´ıch sloˇzek t´emˇeˇrteˇcn´ak ne besk´esf´eˇre [86]. Parametry skuteˇcn´eeliptick´edr´ahy se tak v projekci na nebeskou sf´eru t´emˇeˇrnezmˇen´ı.V tomto pˇr´ıpadˇeFelix Savary tedy mohl urˇcit celkovou hmot nost soustavy pomoc´ımodifikovan´eho 3. Keplerova z´akona (srov. (4.5) a (4.7)) takto:
α3 M + m ∼= ∼= 1.84 M⊙, γ3T 2 kde T = 59.8 roku je perioda obˇehu, α = 2.53′′ je velikost hlavn´ı poloosy rela tivn´ıdr´ahy11, γ =0.135′′ je tzv. roˇcn´ıparalaxa soustavy (viz kapitola 2 nebo [270]) vyj´adˇren´atak´ev obloukov´ych vteˇrin´ach a souˇcet M + m pak vych´az´ıv hmotnostech Slunce (4.8).
⊙ ⊙ ⊙
4.13. Urˇcen´ıvzd´alenosti exoplanet od jejich mateˇrsk´ych hvˇezd
12 Hvˇezda 51 Peg m´ahmotnost M = 1.05 M⊙. V roce 1995 byly v jej´ım spektru pozorov´any nepatrn´e periodicky se opakuj´ıc´ı posuvy spektr´aln´ıch ˇcar zp˚usoben´e Dopplerov´ym jevem, kdyˇzplaneta pˇri sv´em obˇehu neust´ale s hvˇezdou cloum´a“ ” (viz [294], s. 47). Tak byla objevena prvn´ı exoplaneta. Doba jej´ıho obˇehu je T = 4.231/365.256 let. Protoˇze je od n´as ovˇsem vzd´alena 48 bilion˚ukilometr˚u, nelze
10Slavn´yanglick´yastronom, objevitel mnoha komet, planety Uran, infraˇcerven´eho (tepeln´eho) z´aˇren´ıaj. Odhadl t´eˇzv´ykon Slunce s pˇresnost´ına nˇekolik procent. 11Dr´aha jedn´esloˇzky v˚uˇci druh´e, kterou povaˇzujeme za pevnou. Je to elipsa, v jej´ımˇzjednom ohnisku se nach´az´ıdruh´asloˇzka. 12Jeden parsek (pc) je vzd´alenost, z n´ıˇzse jev´ıvelk´apoloosa dr´ahy Zemˇe (1 au) pod ´uhlem 1′′, tj. 1pc= 3.086 1016 m. Ze zn´am´evzd´alenosti hvˇezdy d = 15.4 pc a pozorovan´ehvˇezdn´evelikosti µ = 5.49 mag lze pomoc´ıPogsonova vztahu [270], s. 51, zjistit tzv. absolutn´ıhvˇezdnou velikost µ = µ + 5 − 5 log d = 4.55 mag a odtud je moˇzno odhadnout hmotnost hvˇezdy M. Pro srovn´an´ı uved’me, ˇze absolutn´ıhvˇezdn´avelikost Slunce je jen o trochu vˇetˇs´ı:4.71 mag.
42 4. Gravitaˇcn´ız´akon — objev tis´ıcilet´ı stanovit velikost poloosy jej´ıobˇeˇzn´edr´ahy pomoc´ı´uhlov´ych mˇeˇren´ıa standardn´ıch trigonometrick´ych vztah˚u. Kombinac´ı(4.4) a (4.7) vˇsak zjist´ıme, ˇze
√3 a ∼= 1.05 T 2 =∼ 0.052 au.
Exoplaneta tedy ob´ıh´asvou mateˇrskou hvˇezdu mnohem bl´ıˇze neˇzMerkur Slunce. Jak odhadnout zdola jej´ıhmotnost se uv´ad´ınapˇr. v [294].
⊙ ⊙ ⊙
4.14. Odhad hmotnosti supermasivn´ıˇcern´ed´ıry Ve stˇredu naˇs´ıGalaxie vzd´alen´em 26 tis´ıcsvˇeteln´ych let se nach´az´ıobˇr´ıˇcern´ad´ıra Sgr A∗. Hvˇezda S2 ji obˇehne po eliptick´edr´aze s hlavn´ıpoloosou a jednou za 15.56 ro ku (viz [247]). Pomoc´ı´uhlov´ych mˇeˇren´ıse zjistilo, ˇze pozorovan´adr´aha (tj. projekce skuteˇcn´edr´ahy na nebeskou sf´eru) m´ad´elku hlavn´ıpoloosy a = 107 1012 m. Ze (4.4) a (4.8) pak okamˇzitˇedostaneme zaruˇcen´ydoln´ıodhad hmotnosti uvaˇzovan´eˇcern´e d´ıry 2 3 2 3 4π a 4π a 36 M• = ≥ =3 10 kg = 1500000 M⊙ , GT 2 GT 2 kde T = 15.56 roku = 4.91 108 s. Abychom tento odhad zpˇresnili, ukaˇzme si nyn´ı,jak lze jednoznaˇcnˇevypoˇc´ıtat velikost hlavn´ıpoloosy a z Pythagorovy vˇety a vzorce pro ˇreˇsen´ıkvadratick´erovnice (viz [121]). Excentricitu e skuteˇcn´eeliptick´edr´ahy lze pˇr´ımo urˇcit z pozorovan´e projektovan´eeliptick´edr´ahy (viz obr. 4.8). Pro jednoduchost oznaˇcme F ’ bod odpov´ıdaj´ıc´ı siln´emu rentgenov´emu zdroji Sgr A∗, jenˇzje pr˚umˇetem ohniska F skuteˇcn´edr´ahy. Uvaˇzujme polopˇr´ımku S’F ’
S2 A' F' a' S' a
c' b' B' Obr. 4.8. Projekce dr´ahy hvˇezdy S2 na nebeskou sf´eru. Excentricita jej´ıskuteˇcn´edr´ahy je rovna e = |F ’S’|/|A’S’|, kde F ’ oznaˇcuje pozorovanou polohu ˇcern´ed´ıry.
43 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace
skuteˇcn´adr´aha hvˇezdy S2 A F
a c
A' a' F' S=S' c' b' B' b pozorovan´adr´aha B
√ Obr. 4.9. Skuteˇcn´aa pozorovan´adr´aha hvˇezdy S2. Useˇcky´ o d´elk´ach a, b a c = a2 + b2 se prom´ıtaj´ına ´useˇcky o d´elk´ach a’, b’ a c’. Pr˚useˇcnice rovin ABS a A’B’S’ se naz´yv´a uzlov´a pˇr´ımka. vych´azej´ıc´ıze stˇredu S’ pozorovan´eeliptick´edr´ahy a necht’ A’ je pr˚useˇc´ıkpolopˇr´ım ky S’F ’ s touto dr´ahou. Hlavn´ıpoloosa a obsahuj´ıc´ıohnisko F se pak prom´ıt´ana ´useˇcku A’S’. Proto plat´ı(viz obr. 4.9) ε |FS| |F ’S’| e = = = , a |AS| |A’S’| kde zlomek na prav´estranˇeum´ıme vyˇc´ıslit, | | oznaˇcuje d´elku ´useˇcky a ε = |FS|. Pro situaci z obr. 4.8 je speci´alnˇe e =0.875. Nyn´ıurˇc´ıme projekci b’ vedlejˇs´ıpoloosy b skuteˇcn´edr´ahy. Na pozorovan´eelip tick´edr´aze sestrojme bod B’ tak, aby pˇr´ımka B’S’ byla rovnobˇeˇzn´as teˇcnou13 v bodˇe A’ a ´uhel A’S’B’ nebyl tup´y. Pak lze z Pythagorovy vˇety pro pravo´uhl´e troj´uheln´ıky ABS, AA’S a BB’S z obr. 4.9 odvodit, ˇze 2 2 2 2 2 2 2 a + b = c = c’ + pa2 − a’ + pb2 − b’ ,
13Teˇcna v bodˇe A’ je kolm´ana norm´alu, kter´ap˚ul´ı´uhel mezi obˇema pr˚uvodiˇci. K tomu lze pouˇz´ıt vztah (1.10).
44 4. Gravitaˇcn´ız´akon — objev tis´ıcilet´ı kde a’= |A’S’|, b’= |B’S’| a c’= |A’B’|. Odtud plyne, ˇze
2 2 2 2 2 a’ + b’ − c’ =2pa2 − a’ pb2 − b’ .
Umocnˇen´ımt´eto rovnice a dosazen´ım b2 = (1 − e2)a2 dostaneme kvadratickou rov nici14 o jedn´enezn´am´e a2,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 (1 − e )(a ) − [(1 − e )a’ + b’ ]a + a’ b’ − 4 (a’ + b’ − c’ ) =0.
Pro situaci z obr. 4.8 vych´az´ı,ˇze a’= 4 ld, b’= 2.5 ld, c’= 4 ld, kde ld oznaˇcuje svˇeteln´yden (angl. light day). Jedin´efyzik´aln´ıˇreˇsen´ıje
a =5.45 ld = 943.6 au= 141.166 1012 m.
Druh´ekladn´eˇreˇsen´ınen´ırelevantn´ı,protoˇze je menˇs´ıneˇz a’. Dosad´ıme li a a T do 3. Keplerova z´akona (4.4), pak pomoc´ı(4.8) dostaneme
36 6 M• ≈ 6.9 10 kg=3.47 10 M⊙ .
Ukaˇzme si jeˇstˇejinou metodu urˇcen´ı M• pomoc´ı mˇeˇren´ı rychlost´ı hvˇezdy S2. Protoˇze souˇcet kinetick´ea potenci´aln´ıenergie se v Newtonovˇemechanice zachov´av´a, plat´ı 1 2 GM• 1 2 GM• v1 − = v2 − , 2 r1 2 r2 kde v1 je rychlost v apocentru a v2 v pericentru. Tud´ıˇz
2 2 1 1 v2 − v1 =2GM• − . r2 r1
Odtud a ze z´akona zachov´an´ımoment˚u r1v1 = r2v2 (srov. (1.3)) jiˇzm˚uˇzeme vyj´adˇrit nezn´amou hmotnost M•:
2 1 2 2 r1r2 1 2 2 r1v1/v2 1 M• = (v2 − v1) = (v2 − v1) = r1v1(v1 + v2). 2G r1 − r2 2G r1(1 − v1/v2) 2G
Dosad´ıme li do tohoto vztahu r1 z (1.7), dostaneme
T 3/2 M• = (v1v2) . (4.19) 2πG 14Pro zrcadlov´yobraz podle roviny A’B’S’ z obr. 4.9 plat´ıstejn´akvadratick´arovnice. Spr´avn´e znam´enko inklinaˇcn´ıho ´uhlu se d´anaˇstˇest´ıurˇcit z Dopplerova jevu.
45 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace
Vztah (1.4) n´am umoˇzˇnuje z´ıskat velikost rychlosti v1 hvˇezdy S2 v apocentru z namˇeˇren´erychlosti 6 v2 =7 10 m/s (4.20) v pericentru a excentricity e = 0.875. Dosad´ıme li nyn´ı tyto hodnoty a obˇeˇznou dobu T =4.91 108 s hvˇezdy S2 do (4.19), dostaneme podle (4.8) pˇribliˇznou hodnotu hmotnosti centr´aln´ıˇcern´ed´ıry15
36 6 M• ≈ 6.91 10 kg =3.47 10 M⊙ .
Z´ıskan´ahmotnost samozˇrejmˇez´avis´ına pˇresnosti urˇcen´ıv´ychoz´ıch dat T , v2 a e. Po nˇekolika dalˇs´ıch obˇez´ıch bude moˇzno tyto parametry v´yraznˇezpˇresnit. Ze vztahu (1.7) lze d´ale urˇcit, ˇze vzd´alenost pericentra hvˇezdy S2 od Sgr A∗ je rovna asi trojn´asobn´evzd´alenosti Neptuna od Slunce. Pro experiment´aln´ıstanoven´ı hodnoty v1 nebyla v obdob´ı1994/95 k dispozici mˇeˇren´ı radi´aln´ısloˇzky rychlosti, proto se pomˇer v1/v2 uv´adˇen´yv [247], s. 695, v´yraznˇeodliˇsuje od vztahu (1.4).
⊙ ⊙ ⊙
4.15. Fyzik´aln´ıcharakteristiky planet Pˇrestoˇze Newton˚uv gravitaˇcn´ız´akon popisuje chov´an´ı planet na kr´atk´ych ˇcasov´ych ˇsk´al´ach pomˇernˇedosti pˇresnˇe, nesm´ıme zapom´ınat, ˇze jde jen o matematick´ymodel. Ten popisuje fyzik´aln´ırealitu pouze pˇribliˇznˇe. Podle Committee on Data for Science and Technology je gravitaˇcn´ı konstanta v jednotk´ach SI rovna
1 G =6.67428 ± 0.00067 10−11 m3kg− s−2. (4.21)
Nejistota v urˇcen´ı gravitaˇcn´ı konstanty (4.2) je tedy znaˇcn´a(uˇzve ˇctvrt´eplatn´e ˇc´ıslici). Je to v˚ubec nejh˚uˇre zmˇeˇren´afundament´aln´ıkonstanta pˇr´ırody. To m´aale negativn´ıdopad na vˇetˇsinu v´ypoˇct˚udlouhodob´ych pˇredpovˇed´ıv nebesk´emechanice. Napˇr´ıklad hlavn´ıpoloosa eliptick´edr´ahy nˇejak´eho tˇelesa je podle (4.4) rovna
T 2GM 1/3 a = 4π2 a odhad jej´ı skuteˇcn´evelikosti tak podstatnˇez´avis´ı na pˇresn´em urˇcen´ı G, resp. souˇcinu GM, kter´yvˇetˇsinou zn´ame na v´ıce platn´ych m´ıst. Dobu obˇehu lze obvykle zmˇeˇrit dosti pˇresnˇe.
15 2 10 Odpov´ıdaj´ıc´ıSchwarzschild˚uv polomˇer R• =2GM•/c ˇcin´ıpˇribliˇznˇe10 m ≈ 0.07 au.
46 4. Gravitaˇcn´ız´akon — objev tis´ıcilet´ı
Ze vztah˚u(4.1), (4.9) a (4.15) lze z´ıskat tabulku 4.1. Ze znalosti vzd´alenosti i t´eplanety a jej´ıho ´uhlov´eho pr˚umˇeru urˇc´ıme jej´ıpolomˇer ri. T´ıhov´ezrychlen´ı gi na jej´ımpovrchu pak snadno vypoˇcteme z gravitaˇcn´ıho z´akona (4.1) a druh´eho New 2 tonova z´akona, tj. mgi = Gmim/ri po vykr´acen´ı m > 0. Povˇsimnˇeme si jeˇstˇepo sledn´ıho sloupce v tabulce 4.1. Kdyby mˇel Uran pevn´ypovrch, tak bychom na nˇem v´aˇzili m´enˇeneˇzna Zemi, i kdyˇzje Uran 15kr´at hmotnˇejˇs´ıneˇzZemˇe.
Tabulka 4.1. Symbol i oznaˇcuje poˇradov´eˇc´ıslo planety, mi jej´ıhmotnost v kg, ai je d´elka hlavn´ıpoloosy dr´ahy v metrech, Ti je obˇeˇzn´adoba planety kolem Slunce v roc´ıch, vi je stˇredn´ıobˇeˇzn´arychlost planety v km/s, vII je ´unikov´arychlost v km/s z povrchu (tlouˇst’ku atmosf´ery pro jednoduchost zanedb´av´ame), ri je stˇredn´ı polomˇer planety v km a gi je gravitaˇcn´ızrychlen´ıv m/s2 na povrchu planety.
24 9 i planeta mi/10 ai/10 Ti vi vII ri gi 1 Merkur 0.33022 57.9 0.241 47.9 4.25 2440 3.697 2 Venuˇse 4.8676 108.2 0.615 35.0 10.36 6052 8.867 3 Zemˇe 5.97219 149.6 1 29.8 11.18 6371 9.820 4 Mars 0.64185 229.97 1.881 24.0 5.03 3390 3.726 5 Jupiter 1898.6 778.4 11.861 13.1 60.19 69911 25.91 6 Saturn 568.46 1427.0 29.457 9.6 36.09 58232 11.182 7 Uran 86.81 2869.6 87.011 6.8 21.37 25362 9.004 8 Neptun 102.43 4496.6 164.79 5.4 23.56 24624 11.268
⊙ ⊙ ⊙
47 5. Probl´em N tˇeles
Jestliˇze jsem vidˇel d´ale neˇzostatn´ı, bylo to proto, ˇze jsem st´al na ramenou obr˚u. Isaac Newton
5.1. Uvod´ V t´eto kapitole se budeme zab´yvat probl´emem N tˇeles. Hlavn´ım´ukolem bude stano vit rovnice pro dr´ahy N hmotn´ych bod˚u, kter´ese vz´ajemnˇeovlivˇnuj´ıjen podle New tonova gravitaˇcn´ıho z´akona. Hned na poˇc´atku zd˚uraznˇeme, ˇze v klasick´eNewtonovˇe teorii gravitace z´avis´ıvelikost sil, jimiˇzna sebe tˇelesa p˚usob´ı,jen na jejich okamˇzit´ych poloh´ach a hmotnostech. Jin´ymi slovy, pˇredpokl´ad´ame nekoneˇcnou rychlost ˇs´ıˇren´ı gravitaˇcn´ıinterakce, jeˇzje ve skuteˇcnosti jistˇekoneˇcn´a. Tento pˇredpoklad zp˚usobuje tzv. chybu modelu. Newtonova teorie je na kr´atk´ych ˇcasov´ych intervalech ve Sluneˇcn´ı soustavˇevelice pˇresn´a, a proto se v´ybornˇehod´ınapˇr. k v´ypoˇctu trajektori´ımezi planet´arn´ıch sond ˇci bl´ızkozemn´ıch asteroid˚u. V tˇechto pˇr´ıpadech je chyba modelu skuteˇcnˇevelice mal´a. Newtonova teorie se vˇsak nehod´ık dlouhodob´ym simulac´ım na ˇcasov´ych ˇsk´al´ach stovek milion˚ulet, kdy se naakumuluje chyba modelu tak, ˇze znehodnot´ıv´ysledn´enumerick´eˇreˇsen´ı.Podrobnˇeji o tom pojedn´ame v odd´ılu5.4 a ve druh´epolovinˇekn´ıˇzky.
⊙ ⊙ ⊙
5.2. Probl´em dvou tˇeles Pokud na sebe p˚usob´ıjen dvˇetˇelesa, lze jejich dr´ahy urˇcit analyticky, tj. vzoreˇckem. Obecn´eˇreˇsen´ıve tvaru kuˇzeloseˇcky je uvedeno napˇr. v [6], s. 14. V pˇredchoz´ıch ka pitol´ach 3 a 4 jsme pˇredpokl´adali, ˇze jedno tˇeleso m´azanedbatelnou hmotnost v˚uˇci
48 5. Probl´em N tˇeles
v = v2 v > v2
v < v1 v v v1 Obr. 5.1. Vˇsechny dr´ahy maj´ıspoleˇcn´eohnisko a proch´azej´ıpericentrem (apocentrem) P , v nˇemˇzpˇredpokl´ad´ame n´asleduj´ıc´ı podm´ınky na rychlosti: pro v < v1 je dr´aha tˇelesa eliptick´a, pro v = v1 je dr´aha kruhov´a, pro v2 > v > v1 je dr´aha opˇet eliptick´a, pro v = v2 je dr´aha parabolick´aa pro v > v2 hyperbolick´a. druh´emu. V tomto speci´aln´ımpˇr´ıpadˇelze podobnˇejako ve (4.12), resp. (4.15) defi novat kruhovou rychlost, resp. ´unikovou rychlost vztahy rGm r2Gm v1 = , resp. v2 = , r r kde G je gravitaˇcn´ıkonstanta, m> 0 je hmotnost centr´aln´ıho tˇelesa a r polomˇer kru hov´edr´ahy. V z´avislosti na poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınk´ach (velikosti tangenci´aln´ırychlosti) v bodˇe P dost´av´ame r˚uzn´etvary trajektori´ı,jak je zn´azornˇeno na obr. 5.1. D´ale budeme pˇredpokl´adat, ˇze hmotnosti m1 a m2 obou uvaˇzovan´ych tˇeles jsou nenulov´e. Bez ´ujmy na obecnosti m˚uˇzeme d´ale poˇzadovat, ˇze tˇeˇziˇstˇesoustavy je v klidu a v poˇc´atku souˇradn´esoustavy. Potom v kaˇzd´em ˇcasov´em okamˇziku plat´ı1 m1r1 = m2r2, kde r1 a r2 jsou vzd´alenosti tˇeles od jejich spoleˇcn´eho tˇeˇziˇstˇe. Odtud a z tabulky 4.1 m˚uˇzeme napˇr´ıklad zjistit, ˇze pro m1 = M⊙ (viz (4.8)) leˇz´ıtˇeˇziˇstˇesoustavy Slunce– Jupiter mimo Slunce, nebot’ vzd´alenost 24 9 m2r2 1898.6 10 777.7 10 6 r1 = = 30 = 742 10 (m) (5.1) m1 1.99 10 je vˇetˇs´ıneˇzpolomˇer Slunce R = 696 106 metr˚u. V tomto pˇr´ıpadˇejsou dr´ahy obou tˇeles v podstatˇekruhov´e,2 zanedb´ame li vliv dalˇs´ıch tˇeles (v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇeviz obr. 13.1). 1Tento vztah pˇripom´ın´arovnov´ahu na dvojramenn´ep´ace. 2V´ystˇrednost Jupiterovy dr´ahy je 0.048. 49 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace A C B Obr. 5.2. Dvˇehmotn´atˇelesa A a B ob´ıhaj´ıc´ıkolem spoleˇcn´eho tˇeˇziˇstˇe C po eliptick´ych drah´ach. Bod C je z´aroveˇnjedn´ım z ohnisek kaˇzd´eelipsy. Pomˇer vzd´alenost´ı AC/BC z˚ust´av´akonstantn´ı. Na obr. 5.2 je zn´azornˇen obecnˇejˇs´ı pˇr´ıpad trajektori´ı dvou nestejnˇehmotn´ych tˇeles ob´ıhaj´ıc´ıch kolem spoleˇcn´eho tˇeˇziˇstˇe C. Jejich eliptick´edr´ahy maj´ıvˇzdy stej nou excentricitu e. Skuteˇcnost, ˇze vzd´alenosti ri, i = 1, 2, z´avis´ına ˇcase t, budeme zapisovat takto: ri = ri(t). Doba obˇehu T splˇnuje zobecnˇen´y3. Kepler˚uv z´akon (4.5) 3 a G(m1 + m2) = , T 2 4π2 ∗ ∗ ∗ kde a = (r1(t )+ r2(t ))/(1 + e) je souˇcet hlavn´ıch poloos a t odpov´ıd´aokamˇziku, kdy se obˇetˇelesa nach´azej´ıv apocentrech sv´ych drah [165], s. 118. Neˇzsi uk´aˇzeme, jak lze odvodit diferenci´aln´ırovnice popisuj´ıc´ıpohyb tˇr´ıtˇeles, kter´ana sebe vz´ajemnˇegravitaˇcnˇep˚usob´ı,odvod´ıme jednoduchou diferenci´aln´ırov nici pro jednorozmˇern´ypˇr´ıpad z obr. 5.3. 0 m1 F12 F21 m2 r1 r2 Obr. 5.3. Jednorozmˇern´yprobl´em dvou tˇeles Necht’ r1 < r2 jsou souˇradnice dvou hmotn´ych bod˚uo kladn´ych hmotnostech m1 > 0 a m2 > 0. Jejich vz´ajemn´ep˚usoben´ıvyvol´apodle Newtonova gravitaˇcn´ıho z´akona m1m2 |F12| = |F21| = G 2 (5.2) (r2 − r1) opaˇcnˇeorientovan´es´ıly F 12 a F 21, kde | | je d´elka vektoru. Podle prvn´ıNewtonovy vˇety 4.1 z˚ustanou tyto s´ılystejn´e, pokud hmotn´ebody nahrad´ıme koulemi se sf´ericky symetrick´ym rozloˇzen´ımhmoty. 50 5. Probl´em N tˇeles Pˇredpokl´adejme, ˇze na tˇelesa nep˚usob´ıˇz´adn´ejin´es´ıly neˇzs´ılygravitaˇcn´ı F 12 a F 21. Jak zn´amo, rychlost i t´eho tˇelesa jer ˙i =r ˙i(t), kde teˇcka oznaˇcuje ˇcasovou derivaci. Jeho zrychlen´ıv ˇcase t je pakr ¨i(t). Podle druh´eho Newtonova pohybov´eho z´akona je p˚usob´ıc´ıs´ılapˇr´ımo ´umˇern´azrychlen´ıa plat´ı |F 12| = m1r¨1(t), |F 21| = −m2r¨2(t). (5.3) Pro struˇcnost nebudeme z´avislost ri na ˇcase t v dalˇs´ımtextu vˇetˇsinou vyznaˇcovat. Z (5.2) a (5.3) dostaneme m2 m1 r¨1 = G 2 , −r¨2 = G 2 . (r2 − r1) (r2 − r1) Oznaˇc´ıme li r = r2 − r1, pak seˇcten´ım obou pˇredchoz´ıch rovnic dostaneme pro nezn´amou funkci r = r(t) vztah m1 + m2 r¨ = −G . (5.4) r2 Dvoj´ımderivov´an´ımpodle ˇcasu t se snadno pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze tuto diferenci´aln´ırovnici 2. ˇr´adu splˇnuje napˇr´ıklad funkce definovan´avztahem r(t)= c(τ − t)2/3 pro t < τ, 9 1/3 kde c = ( 2 G(m1 + m2)) je konstanta a τ je okamˇzik kolize. Vid´ıme, ˇze absolutn´ı 2 −1/3 hodnota rychlosti |r˙(t)| = 3 c(τ − t) konverguje k ∞, kdyˇz t se bl´ıˇz´ık τ zleva. Newtonova teorie gravitace tedy pˇripouˇst´ınadsvˇeteln´erychlosti. Existuj´ıale i jin´aˇreˇsen´ırovnice (5.4). Aby ˇreˇsen´ıexistovalo lok´alnˇejedin´e, staˇc´ı pˇredepsat hodnoty r ar ˙ v nˇejak´em ˇcasov´em okamˇziku (napˇr. pro t = 0). ⊙ ⊙ ⊙ 5.3. Probl´em tˇr´ıtˇeles Odvodit nˇejak´yvzorec popisuj´ıc´ıdr´ahy tˇr´ıtˇeles se n´am podaˇr´ıjen v nˇekolika m´alo speci´aln´ıch pˇr´ıpadech (viz napˇr. [173]). Takov´aˇreˇsen´ınalezli napˇr. d’Alembert, Euler, Hamilton, Heinrich, Jacobi, Kepler, Lagrange, Laplace, Nechv´ıle, Petr (viz [127], [173]). Uloha´ tˇr´ı tˇeles je totiˇzpops´ana soustavou 18 neline´arn´ıch diferenci´aln´ıch rovnic prvn´ıho ˇr´adu pro tˇri sloˇzky polohy a tˇri sloˇzky rychlosti kaˇzd´eho ze tˇr´ıtˇeles. Isaac Newton kdysi o t´eto ´uloze prohl´asil: An exact solution exceeds, if I am not mistaken, the force of any human mind. (Pˇresn´eˇreˇsen´ı probl´emu tˇr´ı tˇeles pˇresahuje s´ılu jak´ekoliv lidsk´emysli, pokud se nem´yl´ım.) 51 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Castoˇ se proto vyˇsetˇruje jen tzv. omezen´yprobl´em tˇr´ı tˇeles (viz [5]). Pokud m´a kupˇr´ıkladu jedno z tˇeles nulovou nebo zanedbatelnou hmotnost, probl´em se znaˇcnˇe zjednoduˇs´ı(napˇr. druˇzice v soustavˇeSlunce–Zemˇe–druˇzice). Jiˇzv roce 1918 Karel Petr odvodil [206] jen jednu diferenci´aln´ırovnici 2. ˇr´adu pro ´uhlovou rychlost dvou tˇeˇzˇs´ıch tˇeles, kter´aob´ıhaj´ıpo eliptick´ych drah´ach kolem spoleˇcn´eho tˇeˇziˇstˇe. Odtud pak lze dopoˇc´ıtat trajektorie vˇsech tˇr´ıtˇeles.3 Pokud jsou dvˇehmotn´atˇelesa ze tˇr´ırelativnˇebl´ızko sebe (napˇr. Zemˇea Mˇes´ıc v soustavˇeSlunce–Zemˇe–Mˇes´ıc), probl´em tˇr´ıtˇeles se ˇcasto redukuje na mnohem jed noduˇsˇs´ıdva probl´emy dvou tˇeles, kdy se Zemˇea Mˇes´ıcnahrad´ıspoleˇcn´ym tˇeˇziˇstˇem. Jde vˇsak vˇzdy jen o aproximaci (srov. obr. 4.3). Speci´aln´ımpˇr´ıpad˚um probl´emu tˇr´ı tˇeles je vˇenov´ana kapitola 8 v monografii [5] (viz t´eˇz[173]). Henri Poincar´e[212] vˇsak dok´azal, ˇze pro probl´em tˇr´ı tˇeles obecnˇeneexistuje analytick´eˇreˇsen´ıve tvaru nˇejak´eho vzoreˇcku. Proto se hled´ajeho pˇribliˇzn´eˇreˇsen´ı vˇetˇsinou pomoc´ınumerick´ych metod. Pod´ıvejme se nyn´ı,jak se odvod´ıobecn´erovnice pro trajektorie tˇr´ıtˇeles, kter´ase vz´ajemnˇegravitaˇcnˇeovlivˇnuj´ı.Pro jednoduchost se omez´ıme jen na dvojrozmˇern´y pˇr´ıpad (trojrozmˇern´ypˇr´ıpad by se vyˇsetˇroval zcela analogicky). S´ılatedy bude nyn´ı vektor o dvou sloˇzk´ach. Uvaˇzujme tˇri tˇelesa o hmotnostech m1, m2 a m3. Jejich polohu v souˇradnicov´em syst´emu (x, y) bude charakterizovat pr˚uvodiˇc ri = ri(t), i ∈{1, 2, 3}, kter´yse naz´yv´a r´adiusvektor (viz obr. 5.4). Poloˇzme rij = rj − ri, i, j ∈{1, 2, 3}, i = j, (5.5) a necht’ rij = | rij| znaˇc´ı d´elku vektoru rij. Velikost s´ıly, napˇr´ıklad mezi prvn´ım a druh´ym tˇelesem, je (podobnˇejako v (5.2)) m1m2 |F12| = G 2 . r12 S´ıla F 12 p˚usob´ıve smˇeru jednotkov´eho vektoru r12/r12, a tak m1m2 r12 F12 = G 3 . r12 Celkov´as´ıla, kter´ap˚usob´ına prvn´ıtˇeleso, je tedy m2 r12 m3 r13 F12 + F13 = Gm1 3 + 3 r12 r13 a podle z´akona s´ılyje rovna m1 r¨1. Pro zrychlen´ıprvn´ıho tˇelesa tak dostaneme rovnici ¨ m2 r12 m3 r13 r1 = G 3 + 3 . r12 r13 3Na Petrovy v´ysledky nav´azal Vincent Nechv´ıle, pozdˇejˇs´ınositel v´yznamn´efrancouzsk´eLalan- deovy ceny. 52 5. Probl´em N tˇeles m3 y r13 r3 F13 F12 r12 r1 m 1 m r2 2 0 x Obr. 5.4. Dvourozmˇern´yprobl´em tˇr´ıtˇeles Pro vˇsechna tˇri tˇelesa z´ısk´ame podobnˇesoustavu tˇr´ıvektorov´ych diferenci´aln´ıch rov nic pro nezn´am´e r1, r2 a r3, ¨ mj rij mk rik ri = G 3 + 3 (5.6) rij rik pro vˇsechna i, j, k takov´a, ˇze {i, j, k} = {1, 2, 3} a j 53 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace kometa Slunce Jupiter Obr. 5.5. Vliv Jupitera na dr´ahu komety (viz (4.11)). Kdybychom chtˇeli vyslat sondu pˇr´ımo ke Slunci, pak bychom ji museli vyslat opaˇcn´ym smˇerem tak´erychlost´ı 29.8 km/s a sonda by pak padala voln´ym p´adem do Slunce. Protoˇze je kinetick´aenergie pˇr´ımo ´umˇern´aˇctverci rychlosti, je energeticky mnohem m´enˇen´aroˇcn´evyslat sondu vhodn´ym smˇerem nejprve k Jupi teru. Na to totiˇzstaˇc´ıdruh´akosmick´arychlost 11.2 km/s (viz (4.15)). Siln´egravitaˇcn´ı pole Jupitera pak sondu nasmˇeruje ke Slunci,4 viz obr. 5.6. Tomuto man´evru se nˇekdy ˇr´ık´a gravitaˇcn´ıping-pong.5 ⊙ ⊙ ⊙ 5.4. Probl´em N tˇeles Pro v´ıce tˇeles lze zcela analogicky jako v pˇredchoz´ımodd´ıluodvodit ze z´akona s´ıly a gravitaˇcn´ıho z´akona soustavu diferenci´aln´ıch rovnic popisuj´ıc´ıch jejich trajekto rie [122]. Uvaˇzujme tedy N tˇeles o hmotnostech mi ≥ 0, i = 1, 2,...,N, kter´a na sebe vz´ajemnˇegravitaˇcnˇep˚usob´ı.Oznaˇcme pro jednoduchost ri = ri, tj. ˇsipku budeme d´ale vynech´avat. Vektorov´etrajektorie ri uvaˇzovan´ych tˇeles jsou pops´any soustavou neline´arn´ıch diferenci´aln´ıch rovnic N mj(rj − ri) r¨i = G X 3 (5.8) |rj − ri| j =i pro i =1,...,N s dan´ymi poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami na polohu ri(0) a rychlostr ˙i(0) vˇsech N tˇeles. Zde | | opˇet oznaˇcuje d´elku vektoru. 4Podobn´y tvar dr´ahy mˇela Luna 3, kter´a vyfotografovala odvr´acenou stranu Mˇes´ıce jiˇz v roce 1959. Obdobnou n´avratovou dr´ahu vyuˇzila i pos´adka Apolla 13 pˇri hav´arii v roce 1970. 5Myˇslenka urychlov´an´ıdruˇzic gravitaˇcn´ımpolem planet vznikla kolem roku 1960 pˇri numerick´ych simulac´ıch probl´emu v´ıce tˇeles. Jej´ımautorem je americk´ymatematik Michael Andrew Minovitch. 54 5. Probl´em N tˇeles Jupiter Slunce start Obr. 5.6. Ekonomick´adr´aha sondy vyslan´eze Zemˇeke Slunci Tato ´uloha m´aobrovsk´emnoˇzstv´ıkonkr´etn´ıch aplikac´ı.Jako pˇr´ıklad sloˇzitˇejˇs´ıho gravitaˇcn´ıho ping pongu si pˇripomeˇnme cestu sondy Voyager 2 k Jupiteru, Saturnu, Uranu a Neptunu, kdyˇzbyly tyto planety na stejn´estranˇeod Slunce. Pˇribliˇznou dr´ahu sondy navrhl v roce 1965 Gary Arnold Flandro. Skuteˇcn´a trajektorie se pak z´ıskala numerick´ym ˇreˇsen´ımsoustavy (5.8). Kaˇzd´aplaneta sv´ym gravitaˇcn´ımpolem sondu znaˇcnˇeurychlovala5 a tak´emˇenila jej´ısmˇer.6 Sonda vlastnˇepadala do j´amy jej´ıho gravitaˇcn´ıho potenci´alu. Nˇekdy hovoˇr´ıme o tzv. gravitaˇcn´ım praku. Rychlost sondy po tˇesn´em pr˚uletu kolem planety kles´apomaleji, protoˇze dr´aha planety je zakˇriven´a. Vyˇsˇs´ıkinetickou energii z´ısk´av´asonda na ´ukor celkov´eenergie planety. Pomoc´ısoustavy (5.8) se nˇekdy tak´esimuluje evoluce galaxi´ı nebo dokonce ga laktick´ych kup (viz napˇr. (7.2) a odd´ıl7.3). Galaxie se pˇritom vz´ajemnˇepohybuj´ı obrovsk´ymi rychlostmi dosahuj´ıc´ımi aˇznˇekolika procent rychlosti svˇetla. Pˇr´ısluˇsn´e relativistick´ejevy ale soustava (5.8) nepopisuje, ani neumoˇzˇnuje zahrnout p˚usoben´ı slap˚u(viz obr. 5.7), rotaci galaxi´ı,koneˇcnou rychlost ˇs´ıˇren´ıgravitaˇcn´ıinterakce apod. Jde tedy opˇet jen o pˇribliˇzn´ymodel. Soustava (5.8) nesplˇnuje z matematick´eanal´yzy zn´am´eCarath´eodoryho posta ˇcuj´ıc´ıpodm´ınky pro existenci ˇreˇsen´ı,protoˇze prav´astrana soustavy (5.8) nen´ıspojit´a. Pˇresto ˇreˇsen´ılok´alnˇeexistuje, pokud tˇelesa nekoliduj´ı. Soustava (5.8) m´atak´ece 6Zmˇena smˇeru je velmi energeticky n´aroˇcn´a. Jde vlastnˇetak´eo urychlov´an´ı.Sonda let´ıc´ırych- lost´ı v potˇrebuje ke zmˇenˇesmˇeru o 60◦ stejnou energii jako k dosaˇzen´ırychlosti v. Pˇritom je tˇreba sondu otoˇcit o 120◦ a udˇelit j´ırychlost o velikosti v. 55 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Obr. 5.7. Kolize dvou galaxi´ı naz´yvan´ych Tykadla nebo t´eˇzAnt´eny. Za kaˇzdou z nich je zˇreteln´y slapov´yocas“ zn´azorˇnuj´ıc´ıjejich p˚uvodn´ıt´emˇeˇr eliptick´ekeplerovsk´edr´ahy. ” V d˚usledku slapov´ych sil obˇegalaxie ˇcasem splynou. Tento proces nelze ˇreˇsit jako klasick´y probl´em dvou tˇeles. lou ˇradu nerealistick´ych ˇreˇsen´ı.Napˇr´ıklad v pr´aci [237] se uvaˇzuje 5 tˇeles, kter´ase vˇsechna v koneˇcn´em ˇcase dostanou do nekoneˇcna pro vhodn´epoˇc´ateˇcn´ıpodm´ınky. V tomto pˇr´ıpadˇeje chyba modelu nekoneˇcn´a. Newtonova teorie gravitace tedy po pisuje fyzik´alnˇezcela absurdn´ısituace. V ˇcl´anku [118] se zase uv´ad´ıˇreˇsen´ı,kdy tˇri stejnˇehmotn´atˇelesa ob´ıhaj´ıpo trajektorii ve tvaru osmiˇcky, coˇzzat´ımnebylo ve vesm´ıru pozorov´ano. ⊙ ⊙ ⊙ 5.5. Celkov´achyba aproximace Jak jiˇzbylo ˇreˇceno, H. Poincar´evˇedˇel, ˇze ˇreˇsen´ısoustavy (5.8) lze analyticky napsat jen v nˇekolika speci´aln´ıch pˇr´ıpadech, a dok´azal, ˇze ho obecnˇenelze explicitnˇevyj´adˇrit nˇejak´ym vzorcem. Proto se hled´aˇreˇsen´ı pˇribliˇzn´e. Spojit´ymatematick´ymodel se aproximuje diskr´etn´ım(nˇekdy t´eˇznaz´yvan´ym diskretizovan´ym) koneˇcnˇerozmˇern´ym modelem, jehoˇzˇreˇsen´ı se op´ır´ao numerick´ealgoritmy (napˇr. metodu Rungeovu– Kuttovu, symplektickou metodu, mnohokrokov´emetody) a kter´ylze implementovat na poˇc´ıtaˇci. Pˇri numerick´esimulaci v´yvoje Sluneˇcn´ı soustavy na miliardy let7 dopˇredu ˇci dozadu se nˇekteˇr´ıbadatel´epˇr´ıliˇsnestaraj´ıo velikost chyby, kter´ese pˇritom dopouˇstˇej´ı. Pod´ıvejme se proto, jak´anebezpeˇc´ı na nˇeˇc´ıhaj´ı, a do jak´em´ıry lze vˇeˇrit tomu, 7Takov´esimulace pˇripom´ınaj´ıv´ypoˇcet poˇcas´ına mˇes´ıce dopˇredu. 56 5. Probl´em N tˇeles co ve skuteˇcnosti vypoˇc´ıtaj´ıbez znalosti teorie numerick´eho ˇreˇsen´ıdiferenci´aln´ıch rovnic [281]. Na obr. 5.8 je obecn´esch´ema aproximace nˇejak´efyzik´aln´ı reality na poˇc´ıtaˇci, kde se vˇzdy dopouˇst´ıme tˇr´ız´akladn´ıch chyb: chyby modelu e0 = e0(t), diskretizaˇcn´ı chyby e1 = e1(t) a zaokrouhlovac´ıch chyb e2 = e2(t). Snaˇz´ıme se je udˇelat souˇcasnˇe co nejmenˇs´ı.Pokud by jedna z nich byla velk´a, pak i celkov´achyba e = e0 + e1 + e2 bude velk´a. V´ıce velk´ych chyb se obecnˇeneruˇs´ı.Nav´ıcnem´a velk´ysmysl se snaˇzit udˇelat napˇr. diskretizaˇcn´ıchybu e1 velice malou, kdyˇzostatn´ıchyby budou velk´e. Chyba e1 se obvykle skl´ad´az mnoha dalˇs´ıch chyb: chyby numerick´emetody (nume rick´eintegrace), r˚uzn´ych interpolaˇcn´ıch, aproximaˇcn´ıch a extrapolaˇcn´ıch chyb apod. K otestov´an´ı velikosti skuteˇcn´ych numerick´ych chyb e1 a e2 pro dan´ypoˇc´ıtaˇcov´y program je vhodn´eporovnat pˇresn´eanalytick´eˇreˇsen´ınˇejak´eho speci´aln´ıho probl´emu N tˇeles s jeho numerick´ym ˇreˇsen´ım. Obr. 5.8. Chyba modelu e0(t) je rozd´ıl mezi fyzik´aln´ırealitou a jej´ım matematick´ym popi- sem. Diskr´etn´ımodel se liˇs´ıod matematick´eho modelu o diskretizaˇcn´ıchybu e1(t). Koneˇcnˇe v e2(t) jsou zahrnuty zaokrouhlovac´ıchyby (ev. iteraˇcn´ıchyba). Pokud se alespoˇndvˇetˇelesa k sobˇetˇesnˇepˇribl´ıˇz´ıv ˇcase t (tj. ri(t) ≈ rj(t) pro i = j), ve jmenovateli na prav´estranˇe(5.8) se odeˇc´ıtaj´ı dva skoro stejnˇevelk´e vektory. Pˇri numerick´em ˇreˇsen´ıtohoto probl´emu vznikaj´ıneust´ale nejen diskretizaˇcn´ı chyby, ale i nezanedbateln´ezaokrouhlovac´ıchyby. Proto je v pr˚ubˇehu v´ypoˇctu tˇreba poˇr´ad sledovat, zda se od sebe neodeˇc´ıtaj´ı dvˇeskoro stejnˇevelk´aˇc´ısla. Pˇr´ıklady uveden´ev [135] by mˇely b´yt dostateˇcn´ym varov´an´ım. O katastrof´aln´ıztr´atˇepˇresnosti v d˚usledku zaokrouhlovac´ıch chyb e2 se lze doˇc´ıst napˇr. v [154] ˇci [282]. Pro N ≥ 3 soustava (5.8) nen´ı stabiln´ıv˚uˇci trvale p˚usob´ıc´ım poruch´am, tj. mal´e perturbace prav´estrany zp˚usobuj´ıvelk´ezmˇeny v ˇreˇsen´ına dlouh´em ˇcasov´em inter valu [281], s. 150. Soustava (5.8) tak´enen´ı stabiln´ı v˚uˇci poˇc´ateˇcn´ım podm´ınk´am, tj. nepatrn´azmˇena poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek ˇcasem vyvol´a velkou zmˇenu ˇreˇsen´ı.Z to hoto d˚uvodu je korektn´ınumerick´yv´ypoˇcet mimoˇr´adnˇe obt´ıˇzn´y. Napˇr´ıklad planetka ˇc. 99942 Apophis o pr˚umˇeru 270 m se pˇribl´ıˇz´ı k Zemi v p´atek 13. dubna 2029 na vzd´alenost pouh´ych 30 000 km od zemsk´eho povrchu. Zat´ım ale nelze spoleh livˇeodhadnout nejmenˇs´ı vzd´alenost Apophisu pˇri jeho dalˇs´ım pˇribl´ıˇzen´ı k Zemi v roce 2036. Celkov´achyba numerick´ych metod pro ˇreˇsen´ısoustavy (5.8) obvykle roste exponenci´alnˇes ˇcasem [280]. Proto je tak´enutno korigovat i nˇekolikr´at dr´ahy sond bˇehem letu k planet´am. 57 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace K tomu, abychom zjistili, ˇze diskretizaˇcn´ıchyba je mal´a, se obvykle numerick´e ˇreˇsen´ısrovn´av´as ˇreˇsen´ıms poloviˇcn´ıd´elkou integraˇcn´ıho kroku (viz [221], s. 455), o nˇemˇzse pˇredpokl´ad´a, ˇze je pˇresn´e“. Abychom zjistili vliv zaokrouhlovac´ıch chyb, ” porovn´av´ase ˇreˇsen´ısoustavy (5.8) ve dvojn´asobn´eosmibytov´earitmetice s ˇreˇsen´ım v rozˇs´ıˇren´edesetibytov´earitmetice, i kdyˇzani tato heuristick´ametoda nemus´ısta ˇcit [135]. Pˇresn´eˇreˇsen´ı soustavy (5.8) je ryze deterministick´e. Trvale p˚usob´ıc´ı poruchy zp˚usoben´ediskretizaˇcn´ımi a zaokrouhlovac´ımi chybami n´am vˇsak ustaviˇcnˇeznehod nocuj´ınumerick´eˇreˇsen´ıa postupnˇevedou k jeho st´ale vˇetˇs´ıchaotiˇcnosti. Abychom se pˇresvˇedˇcili, ˇze vliv tˇechto trvale p˚usob´ıc´ıch poruch je jeˇstˇemal´y, pouˇz´ıv´ase inte grace vpˇred a pak vzad, coˇzn´am d´ıky jednoznaˇcnosti spojit´eho ˇreˇsen´ısoustavy (5.8) dovoluje stanovit, jak daleko jsme se vzd´alili od p˚uvodn´ıch poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek. Oznaˇcme f = f(r) pravou stranu soustavy (5.8), kde r =(r1,...,rN ). N´asleduj´ıc´ı vˇeta n´am umoˇzˇnuje m´ısto zpˇetn´eintegrace se z´aporn´ym integraˇcn´ımkrokem pouˇz´ıt t´eˇzintegraci dopˇrednou na takov´em intervalu [0, T ], kde tˇelesa nekoliduj´ı.V tomto pˇr´ıpadˇestartujeme z jiˇzvypoˇcten´epolohy r(T ) a jen zmˇen´ıme znam´enko u rychlost´ı (r ˙1(T ),..., r˙N (T )). Vˇeta 5.1. Necht’ vektorov´afunkce r = r(t) je jedin´eˇreˇsen´ısoustavy r¨ = f(r) (5.9) na intervalu [0, T ] s dan´ymi poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami r(0) = r0 ar ˙(0) = v0. (5.10) Pak funkce s = s(t) definovan´avztahem s(t)= r(T − t) (5.11) ˇreˇs´ıtut´eˇzsoustavu (5.9) s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami s(0) = r(T ) a s˙(0) = −r˙(T ) a plat´ı s(T )= r0 as ˙(T )= −v0. (5.12) D ˚uk a z . Podle (5.11) a (5.9) m´ame s¨(t)=(−r˙(T − t))˙ =r ¨(T − t)= f(r(T − t)) = f(s(t)). Vid´ıme tedy, ˇze s splˇnuje stejnou soustavu rovnic (5.9) jako r. Pro koncov´epodm´ınky podle (5.11) a (5.10) plat´ıvztahy (5.12), s(T )= r(0) = r0 as ˙(T )= −r˙(T − T )= −r˙(0) = −v0. 58 5. Probl´em N tˇeles Vˇeta se pouˇz´ıv´azejm´ena na dlouh´eˇcasov´eintervaly takto. Oznaˇcme r∗, resp. s∗ numerick´eˇreˇsen´ısoustavy (5.9) s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami (5.10), resp. s(0) = r∗(T ) as ˙(0) = −r˙∗(T ). Pokud δ > 0 je zadan´atolerance a ∗ ∗ |s (T ) − r0| + |s˙ (T )+ v0|≫ δ, pak ani obecnˇenem˚uˇze platit |r(T ) − r∗(T )| + |r˙(T ) − r˙∗(T )| < δ, kde r je pˇresn´e ˇreˇsen´ı,tj. numerick´achyba p˚uvodn´ıho probl´emu (5.9)–(5.10) je vˇetˇsinou tak´evelk´a, jak je schematicky zn´azornˇeno na obr. 5.9. r r r* s* t 0 T Obr. 5.9. Pouˇzit´ıvˇety 5.1 k odhadu chyby pˇri numerick´em ˇreˇsen´ıprobl´emu N tˇeles. Sym- bolem r je oznaˇceno pˇresn´eˇreˇsen´ı, r∗ numerick´eˇreˇsen´ıa s∗ je kontroln´ızpˇetn´eˇreˇsen´ı. Z´asadn´ımnedostatkem pˇri matematick´em modelov´an´ıje, ˇze se ˇcasto ztotoˇzˇnuje navrhovan´ymodel s realitou. Napˇr´ıklad rychlost gravitaˇcn´ı interakce je koneˇcn´a, a proto soustava rovnic (5.8) nepopisuje realitu naprosto pˇresnˇe. Pˇri numerick´ych simulac´ıch se chyba modelu e0 neust´ale akumuluje, zat´ımco zaokrouhlovac´ıchyby se statisticky ˇc´asteˇcnˇeruˇs´ı.Chyba modelu v sobˇezahrnuje napˇr. chybu v urˇcen´ır˚uzn´ych fyzik´aln´ıch ˇci geometrick´ych ´udaj˚u, poˇc´ateˇcn´ıch nebo koncov´ych podm´ınek na polohy a rychlosti apod. Nav´ıcˇz´adn´yfyzik´aln´ıproces nen´ıstriktnˇedeterministick´y, zat´ımco ˇreˇsen´ısoustavy (5.8) deterministick´eje. Jak jiˇzbylo ˇreˇceno, Newtonova teorie pˇredpokl´ad´anekoneˇcnou rychlost ˇs´ıˇren´ıgra vitaˇcn´ıho p˚usoben´ı.Proto bychom mˇeli uvaˇzovat souˇradnice planet (ˇci jin´ych tˇeles) tam, kde se planeta pr´avˇenach´az´ı,a nikoliv tam, kde ji pr´avˇe pozorujeme. Napˇr´ıklad svˇetlo z Jupitera k n´am let´ı v pr˚umˇeru 45 minut a za tu dobu se podle (4.10) posune Jupiter v´ıce neˇz30 000 km. Merkur se zase pˇri sv´em nejbliˇzˇs´ım pˇribl´ıˇzen´ı k Zemi posune o v´ıce neˇz3 sv´epr˚umˇery, neˇzjeho odraˇzen´esvˇetlo doputuje na Zemi. Vznikl´aodchylka ˇcin´ıpˇres p˚ul ´uhlov´eminuty! Podobnˇese posune Neptun o jeden sv˚uj pr˚umˇer. Tyto drobn´echyby modelu se ale v pr˚ubˇehu v´ypoˇctu neust´ale hromad´ı,coˇz na dlouh´ych ˇcasov´ych intervalech m˚uˇze p˚usobit probl´emy. Proto pokud prov´ad´ıme 59 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace numerick´esimulace na miliony nebo dokonce miliardy let dopˇredu (ˇci nazpˇet), pak nem´apˇr´ıliˇssmysl z nich dˇelat nˇejak´ez´avaˇzn´ez´avˇery, jak se obˇcas st´av´a. Numerick´e v´ysledky totiˇzz´aleˇz´ınejenom na chybˇepouˇzit´enumerick´emetody, zaokrouhlovac´ıch chyb´ach, pouˇzit´em poˇc´ıtaˇci, ale i na programovac´ımjazyku ˇci na zp˚usobu naprogra mov´an´ı. Velk´echyby modelu se rovnˇeˇzdopouˇst´ıme, kdyˇzaplikujeme probl´em N tˇeles na simulaci v´yvoje galaxi´ıv zakˇriven´em prostoroˇcasu. Pˇritom se ˇcasto st´av´a, ˇze hlavn´ı d˚uraz je kladen na estetick´ydojem a nikoliv na odhad chyby modelu ˇci diskretizaˇcn´ı chyby. Gravitace se ale v galaktick´ych mˇeˇr´ıtk´ach projevuje zcela jinak neˇzve Sluneˇcn´ı soustavˇe. Kdybychom napˇr. sestavili zmenˇsen´ymodel spir´aln´ı galaxie o pr˚umˇeru 10 au, kde by hvˇezdy byly nahrazeny asteriody, pak by takov´yobjekt nerotoval jako galaxie pro ˇz´adn´epoˇc´ateˇcn´ıpodm´ınky. Proto bychom nemˇeli pˇreceˇnovat numerick´e simulace a vykl´adat si je zp˚usobem, kter´yse n´am hod´ı(viz [141]). Na z´avˇer jeˇstˇepoznamenejme, ˇze v˚ubec nen´ıjasn´e, jak definovat skuteˇcn´etˇeˇziˇstˇe soustavy dvou ˇci v´ıce tˇeles o nestejn´ych hmotnostech, kdyˇzrychlost gravitaˇcn´ıinter akce nebyla zat´ımzmˇeˇrena. ⊙ ⊙ ⊙ 60 6. Zatmˇen´ıa aberace svˇetla C´ıslaˇ jsou jedin´a univerz´aln´ıˇreˇcve vesm´ıru. Nathanael West 6.1. V´yznam zatmˇen´ıpˇri pozn´av´an´ıvesm´ıru Sledov´an´ımzatmˇen´ıSlunce, Mˇes´ıce a dalˇs´ıch tˇeles lze z´ıskat ˇradu d˚uleˇzit´ych ´udaj˚u. Jiˇzantiˇct´ımyslitel´epˇri pozorov´an´ıst´ınu Zemˇebˇehem mˇes´ıˇcn´ıch zatmˇen´ıpoznali, ˇze je Zemˇekulat´aa ˇze se volnˇevzn´aˇs´ıv prostoru. Z tvaru zemsk´eho st´ınu (viz obr. 2.3) pak odhadli, ˇze Zemˇeje tˇrikr´at vˇetˇs´ıneˇzMˇes´ıc. Pomoc´ıstar´ych z´aznam˚ubabyl´onsk´ych astronom˚uo sluneˇcn´ıch a mˇes´ıˇcn´ıch za tmˇen´ıch m˚uˇzeme nyn´ı zpˇetnˇevypoˇc´ıtat nepravidelnosti v rotaci Zemˇea rychlost jej´ıho zpomalovan´ı(viz odd´ıl2.7). Z´aznamy o zatmˇen´ıch rovnˇeˇzumoˇznily upˇresnit nˇekolik kalend´aˇr˚ustarovˇek´ych civilizac´ı,coˇzn´am nyn´ıdovoluje na den pˇresnˇezjistit data nˇekter´ych v´yznamn´ych ud´alost´ı. Zatmˇen´ı sluneˇcn´ıho kotouˇce Venuˇs´ı zase pomohlo zpˇresnit vzd´alenost Zemˇe– Slunce (viz odd´ıl2.6, obr. 6.1 a [251]). Michail V. Lomonosov pˇri nˇem v roce 1761 objevil prosvˇetlenou atmosf´eru Venuˇse. V roce 1911 Albert Einstein pˇri sv´em praˇzsk´em pobytu odvodil, ˇze se dr´aha svˇetla hvˇezd v okol´ıSlunce zakˇrivuje v d˚usledku gravitace. Tento efekt obecn´eteorie relativity byl poprv´evyfotografov´an pˇri ´upln´em sluneˇcn´ım zatmˇen´ıroku 1919. Svˇetlo hvˇezd se odch´ylilo od sv´eho p˚uvodn´ıho smˇeru o necel´edvˇe ´uhlov´evteˇriny, jak bylo zjiˇstˇeno porovn´an´ım s noˇcn´ımi fotografiemi t´eˇze ˇc´asti oblohy. Cel´yexperiment je pops´an v [85]. Upln´azatmˇen´ıSlunce´ nab´ızej´ıjedineˇcnou moˇznost pozorov´an´ısluneˇcn´ıch protu beranc´ı,sluneˇcn´ıchromosf´ery a kor´ony, kter´aje kl´ıˇcem k pochopen´ımechanizmu dˇej˚u odehr´avaj´ıc´ıch se uvnitˇrnaˇs´ınejbliˇzˇs´ıhvˇezdy — Slunce. V roce 1983 byl pˇri ´upln´em zatmˇen´ı Slunce objeven prachov´yprstenec ob´ıhaj´ıc´ı Slunce v jeho tˇesn´ebl´ızkosti t´emˇeˇrv rovinˇeekliptiky. 61 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Mˇes´ıc na sv´epouti po obloze tak´eobˇcas zast´ın´ınˇekter´y neviditeln´yzdroj r´a diov´ych vln, kter´epˇri z´akrytu odst´ın´ı,a po nˇem se vlny zase objev´ı.Polohu zdroje lze pak snadno zpˇresnit jako jeden z pr˚useˇc´ık˚udvou kruˇznic pˇredstavuj´ıc´ıch obvod Mˇes´ıce na poˇc´atku a pˇri ukonˇcen´ız´akrytu. Tento trik se uˇz´ıval zejm´ena v dobˇe, kdy pˇr´ım´adetekce poloh radiov´ych zdroj˚unebyla pˇresn´a. Nepatrn´azatmˇen´ıvzd´alen´ych hvˇezd exoplanetami a jejich exomˇes´ıci umoˇzˇnuj´ı pomoc´ı Keplerov´ych z´akon˚uurˇcit hmotnosti mateˇrsk´ych hvˇezd i dalˇs´ı parametry tˇechto soustav (viz [294]). Lze tak´estudovat spektra atmosf´er exoplanet a v nich odhalovat biogenn´ıprvky (H, C, N, O, P) a molekuly (napˇr. CH4) a p´atrat tak po stop´ach mimozemsk´eho ˇzivota. Obr. 6.1. Tˇret´ıkontakt Venuˇse pˇri pˇrechodu pˇres sluneˇcn´ıdisk dne 6. ˇcervna 2012 (foto Jozef Leˇsko) ⊙ ⊙ ⊙ 6.2. Kr´atce z historie pozorov´an´ızatmˇen´ı Ze starovˇeku se traduje historka o neblah´em osudu dvou ˇc´ınsk´ych c´ısaˇrsk´ych hvˇezd´aˇr˚u Si a Che. Ti se roku 2137 pˇr. n. l. opili a zanedbali tak sv´epovinnosti v pr˚ubˇehu ´upln´eho sluneˇcn´ıho zatmˇen´ı. Mˇeli totiˇzstˇr´ılet ˇs´ıpy na obludu poˇz´ıraj´ıc´ı Slunce. C´ısaˇr˚uv rozkaz byl jednoznaˇcn´y: poprava. Tato ud´alost ovˇsem nen´ıdoloˇzena ˇz´adnou p´ısemnost´ı, protoˇze v t´e dobˇe jeˇstˇe C´ınaˇ neznala p´ısmo (to vzniklo aˇz po ro ce 2000 pˇr. n. l.). 62 6. Zatmˇen´ıa aberace svˇetla Nejstarˇs´ıtext s obr´azkem zatmˇen´ıje na kosti nalezen´e v Anyang v ˇc´ınsk´eprovincii Henan [160]. Podle [79], s. 82, se jeho p˚uvod datuje kolem roku 1300 pˇr. n. l. V [254] je seznam 36 zatmˇen´ıSlunce mezi roky 720–495 pˇr. n. l. zaznamenan´ych v klasick´e ˇc´ınsk´eknize Cchun-ˇcchiouˇ (Jara a podzimy). Dalˇs´ıovˇeˇren´ypopis zatmˇen´ıSlunce z obdob´ıkolem roku 750 pˇr. n. l. je zazna men´an kl´ınov´ym p´ısmem na hlinˇen´edestiˇcce z Mezopot´amie uloˇzen´ev Britsk´em muzeu v Lond´ynˇe(viz [261]). V Evropˇepoprv´epˇredpovˇedˇel zatmˇen´ı Slunce ro ku 585 pˇr. n. l. ˇreck´ymyslitel Thales z Mil´etu (cca 620–555 pˇr. n. l.). Uˇcinil tak patrnˇe na z´akladˇeznalosti periodicity zatmˇen´ı(viz [265]). V ˇcl´anku [239] jsou uvedeny do slovn´epˇreklady z´aznam˚uzatmˇen´ına hlinˇen´ych destiˇck´ach muslimsk´ych astronom˚u z let 829–1019. ⊙ ⊙ ⊙ 6.3. Vznik a periodicita zatmˇen´ı Kdyby Mˇes´ıcob´ıhal Zemi v rovinˇeekliptiky, pozorovali bychom zatmˇen´ıMˇes´ıce pˇri kaˇzd´em ´uplˇnku a zatmˇen´ıSlunce pˇri kaˇzd´em novu. Sklon dr´ahy Mˇes´ıce k ekliptice je ale 5.2◦, pˇriˇcemˇzpr˚useˇc´ıky jeho dr´ahy s ekliptikou se naz´yvaj´ı uzly. Proto k zatmˇen´ı Slunce nˇekde na Zemi m˚uˇze doj´ıttehdy a jen tehdy, kdyˇzje Slunce vzd´aleno od uzlu nejv´yˇse o 10◦ v rovinˇeekliptiky a z´aroveˇnje Mˇes´ıcv novu. Podobnˇenast´avaj´ı zatmˇen´ıMˇes´ıce. Protoˇze se Zemˇepohybuje kolem Slunce po eliptick´edr´aze s malou excentri citou e =0.0167, mˇen´ıse ´uhlov´ypr˚umˇer Slunce od 0.52◦ (v l´etˇe) do 0.54◦ (v zimˇe). Rovnˇeˇz´uhlov´ypr˚umˇer Mˇes´ıce se v d˚usledku jeho eliptick´e dr´ahy s excentricitou e = 0.0554 mˇen´ıv rozmez´ı0.49◦ aˇz0.56◦ (viz [51]). Zcela n´ahodou jsou tyto ´uhly t´emˇeˇr stejn´ejako pro Slunce (viz obr. 6.2). Jestliˇze jsou postupnˇe stˇredy Slunce, Mˇes´ıce a Zemˇepˇribliˇznˇev jedn´epˇr´ımce (viz odd´ıl6.5), vid´ıme z nˇekter´ych m´ıst na Zemi zatmˇen´ıSlunce. Je li nav´ıc´uhlov´ypr˚umˇer Mˇes´ıce menˇs´ıneˇz´uhlov´ypr˚umˇer Slunce, nast´av´aprstencov´ezatmˇen´ı.V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇenast´av´azatmˇen´ı´upln´e. Jestliˇze Zemˇeleˇz´ına ´useˇcce Slunce–Mˇes´ıcnebo v jej´ıbl´ızkosti, doch´az´ık zatmˇen´ı Mˇes´ıce. To je vidˇet z cel´eneosvˇetlen´epolokoule Zemˇe, zat´ımco ´upln´ezatmˇen´ıSlunce jen z ´uzk´eho p´asu na zemsk´em povrchu. Cel´ateorie vzniku zatmˇen´ı je podrobnˇe pops´ana napˇr. v [23]. Jiˇzstaˇr´ıBabyl´oˇnan´esi povˇsimli, ˇze zatmˇen´ı vykazuj´ı jistou periodiˇcnost. Jej´ı znalost pak umoˇzˇnovala v minulosti pˇredpov´ıdat nejen zatmˇen´ıMˇes´ıce, ale i Slunce (viz [260], s. 133). Abychom objasnili, ˇc´ım je to zp˚usobeno, uved’me nejprve dvˇe definice. Drakonick´ymˇes´ıc = 27.21222 dne je doba od pr˚uchodu Mˇes´ıce uzlem k n´asledu j´ıc´ımu pr˚uchodu t´ymˇzuzlem. 63 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Synodick´y mˇes´ıc = 29.53059 dne je doba od jedn´e f´aze Mˇes´ıce k t´eˇze f´azi n´asleduj´ıc´ı.1 Nyn´ıse snadno m˚uˇzeme pˇresvˇedˇcit, ˇze 242 drakonick´ych mˇes´ıc˚u ≈ 223 synodick´ym mˇes´ıc˚um (= perioda cyklu). (6.1) Je to vlastnˇepodobn´enejmenˇs´ımu spoleˇcn´emu n´asobku [158], kde se m´ısto cel´ych ˇc´ısel uvaˇzuj´ı ˇc´ısla racion´aln´ı. Od 6. stol. pˇr. n. l. Chaldejci naz´yvali tuto periodu zatmˇen´ı saros. Jej´ıd´elka je 18 let 9 aˇz11 dn´ı7 hodin a 43 minuty2. To, ˇze poˇcet dn´ıje bud’ 9, 10, anebo 11, je d´ano t´ım, ˇze perioda saros m˚uˇze zahrnovat 3 aˇz5 pˇrestupn´ych let. Bˇehem t´eto doby nastane 40 zatmˇen´ı Slunce (14 prstencov´ych, 12 ´upln´ych a 14 ˇc´asteˇcn´ych) a 26 zatmˇen´ıMˇes´ıce (17 ´upln´ych a 9 ˇc´asteˇcn´ych). Pˇredchoz´ıˇc´ısla je nutno ch´apat jen orientaˇcnˇe, protoˇze se s ˇcasem mˇen´ı.Nav´ıc´upln´azatmˇen´ıSlunce mohou za mnoho milion˚ulet vymizet, nebot’ se stˇredn´ıvzd´alenost Mˇes´ıce od Zemˇe neust´ale zvˇetˇsuje (i kdyˇzjen rychlost´ı38 mm za rok). Na druh´estranˇeroste stˇredn´ı vzd´alenost Zemˇeod Slunce, jak uvid´ıme v kapitole 13. Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze zatmˇen´ıMˇes´ıce maj´ıstejnou d´elku periody jako zatmˇen´ı Slunce. Rozd´ılprav´ea lev´estrany ve vztahu (6.1) je jen 0.03567 dne. Proto se kaˇzd´e´upln´e zatmˇen´ıpo nˇekolika period´ach stane ˇc´asteˇcn´ym a pozdˇeji uˇzv˚ubec nenastane, nebot’ je nahrazeno nˇejak´ym nov´ym zatmˇen´ım. To je d˚uvod, proˇc se ˇc´ısluj´ıtyto periody. Jejich ˇc´ıslov´an´ızavedl G. van den Bergh roku 1955. Napˇr´ıklad pro zatmˇen´ıSlunce (viz [82]): saros 130 byl 26. ´unora 1998 a bude opˇet 9. bˇrezna 2016, saros 135 byl 22. srpna 1998 a bude opˇet 1. z´aˇr´ı2016, saros 140 byl 16. ´unora 1999 a bude opˇet 26. ´unora 2017, saros 145 byl 11. srpna 1999 a bude opˇet 21. srpna 2017. Obr. 6.2. St´ıny Zemˇea Mˇes´ıce ⊙ ⊙ ⊙ 1Synodick´ymˇes´ıcodpov´ıd´aperiodicitˇev rozestaven´ıZemˇe, Slunce a Mˇes´ıce v pr˚umˇetu do eklip- tiky. Nen´ıto tedy periodicita vzhledem ke hvˇezd´am. 2Za 7 hodin a 43 minuty se Zemˇeotoˇc´ıt´emˇeˇro 120◦ na z´apad. Proto po tˇrech period´ach sarosu doch´az´ık zatmˇen´ıSlunce t´emˇeˇrve stejn´em´ıstˇe. 64 6. Zatmˇen´ıa aberace svˇetla 6.4. Proˇcjsou zatmˇen´ıMˇes´ıce m´enˇeˇcast´aneˇzzatmˇen´ıSlunce Odpovˇed’ na tuto ot´azku pod´av´aobr. 6.2. Zemˇeosvˇetlen´aSluncem za sebou vrh´a kuˇzelov´yst´ın, kter´yje dlouh´yzhruba d = 1 356 000 kilometr˚u. Pokud se do nˇej dostane Mˇes´ıc, nastane jeho zatmˇen´ı. Oznaˇc´ıme li V vrchol st´ınu Zemˇe, S stˇred Slunce a Z stˇred Zemˇe, m˚uˇzeme hodnotu d = |VZ| snadno zjistit z podobnosti pravo´uhl´ych troj´uheln´ık˚u(srov. obr. 6.2). Plat´ıtotiˇz, ˇze r |VZ| d Z = = , rS |VS| d + RZ 8 kde rZ = 6378 km, rS = 695990 km a RZ = 1.496 10 km jsou po ˇradˇestˇredn´ı hodnoty polomˇeru Zemˇe, polomˇeru Slunce a vzd´alenosti Zemˇe od Slunce. Stˇredn´ı vzd´alenost Mˇes´ıce od Zemˇeje pˇribliˇznˇe RM = 384402 km (tj. d´elka ´useˇcky AZ na obr. 6.2). Jak jiˇzbylo ˇreˇceno, k zatmˇen´ım˚uˇze doj´ıtjen tehdy, je li ⌢ Mˇes´ıcv bl´ızkosti ekliptiky. Jestliˇze se nav´ıcnach´az´ına oblouku AB (viz obr. 6.2), ⌢ nast´av´azatmˇen´ıMˇes´ıce, a jestliˇze je na oblouku CD, nast´av´anˇekde na Zemi zatmˇen´ı Slunce. ⌢ ⌢ Povˇsimnˇeme si ale, ˇze oblouk AB je mnohem kratˇs´ı neˇzoblouk CD. Oproti n´akresu na obr. 6.2 je skuteˇcn´y´uhel pˇri vrcholu V velmi mal´y(asi 0.5◦), a proto pomˇer jejich d´elek je v prvn´ımpˇribl´ıˇzen´ıroven pomˇeru d´elek ´useˇcek AB a CD. Tedy |AB| |AV | d − R = ≈ M ≈ 0.56. |CD| |CV | d + RM Vid´ıme, ˇze tento pomˇer zhruba odpov´ıd´apomˇeru (26 mˇes´ıˇcn´ıch zatmˇen´ı)/(40 slu neˇcn´ıch zatmˇen´ı)= 0.65 bˇehem periody saros (viz odd´ıl6.3). Sluneˇcn´ıch zatmˇen´ıje tedy v´ıce neˇzmˇes´ıˇcn´ıch. K zatmˇen´ıMˇes´ıce m˚uˇze doj´ıtaˇz tˇrikr´at v jednom roce, ale v nˇekter´ych letech nemus´ınastat v˚ubec. Naproti tomu kaˇzdoroˇcnˇena Zemi m˚uˇzeme spatˇrit 2 aˇz5 zatmˇen´ıSlunce r˚uzn´eho typu. Pr˚umˇernˇe pˇripadaj´ıdvˇe´upln´azatmˇen´ına dobu tˇr´ılet. Rozmˇery p´asu (ˇs´ıˇre max. 270 km, d´elka tis´ıce aˇzdesetitis´ıce km) st´ınu Mˇes´ıce na povrchu Zemˇevˇsak neumoˇzˇnuj´ımasov´e pozorov´an´ı´upln´eho zatmˇen´ıSlunce. Pro jedno konkr´etn´ım´ısto na Zemi tak dojde k ´upln´emu zatmˇen´ıSlunce zhruba jednou za 360 let. Doba trv´an´ızatmˇen´ıje z´avisl´apˇredevˇs´ımna vzd´alenosti pozorovatele od stˇredov´e ˇc´ary p´asu. C´asteˇcn´ezatmˇen´ıSlunceˇ m˚uˇze trvat aˇzdvˇea p˚ul hodiny, zat´ımco u ´upln´e ho zatmˇen´ıse ˇcas poˇc´ıt´ana minuty (na ose obvykle 1 aˇz4 minuty, maxim´alnˇevˇsak 7.6 minuty). Mˇes´ıˇcn´ı st´ın zasahuje Zemi nejv´yˇse 6 hodin a rychlost jeho pohybu (vˇzdy od z´apadu k v´ychodu) je 600–1000 m/s. Zaj´ımav´y´ukaz nastal 3. listopadu 2013 v Africe, kde se prstencov´ezatmˇen´ıSlunce zmˇenilo na ´upln´e. ⊙ ⊙ ⊙ 65 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace 6.5. Co zp˚usobuje aberace svˇetla pˇri ´upln´em zatmˇen´ı Slunce V tomto odd´ıluuk´aˇzeme, ˇze pˇri ´upln´em zatmˇen´ı Slunce nejsou paradoxnˇestˇredy Zemˇe, Mˇes´ıca Slunce v jedn´epˇr´ımce, jak by se mohlo zd´at. Je to d˚usledkem m´alo zˇreteln´eho jevu, kter´yse naz´yv´asvˇeteln´aaberace (viz odd´ıl2.9). Zemˇeob´ıh´aSlunce rychlost´ı v ≈ 30 km/s. Hvˇezdy pozorovan´ekolmo ke smˇeru okamˇzit´eho pohybu Zemˇese zdaj´ıb´yt vych´yleny o aberaˇcn´ı´uhel α. Abychom dostali sledovanou hvˇezdu doprostˇred zorn´eho pole dalekohledu, je tˇreba dalekohled m´ırnˇe vych´ylit pr´avˇeo aberaˇcn´ı´uhel α (viz obr. 6.3). Aberace svˇetla je d˚usledkem koneˇcn´e rychlosti ˇs´ıˇren´ıelektromagnetick´ych vln. Aberaˇcn´ı´uhel α je pomˇernˇemal´y, a tak je v obloukov´em´ıˇre t´emˇeˇrroven sv´etangentˇe. M˚uˇzeme proto ps´at (viz (2.9)) v 30 α = = =0.0001. c 300 000 Aberaˇcn´ı´uhel je tedy roven α =0.0001 rad ≈ 20′′. Skutečná Zdánlivá poloha poloha hvězdy hvězdy α Země v Obr. 6.3. Pˇri pohybu pozorovatele v˚uˇci zdroji doch´az´ı ke svˇeteln´eaberaci α. Dalekohled je tˇreba vych´ylit o ´uhel α, kter´yje ve skuteˇcnosti mnohon´asobnˇemenˇs´ı, neˇzje zn´azornˇeno na obr´azku. Poloˇzme si nyn´ıot´azku, kdy vlastnˇenast´av´azatmˇen´ıSlunce. Jev svˇeteln´eaberace m´atotiˇznˇekter´ezcela neˇcekan´ed˚usledky. Vˇseobecnˇe se soud´ı,ˇze pˇri ´upln´em zatmˇen´ı Slunce jsou Zemˇe, Mˇes´ıca Slunce v jedn´epˇr´ımce. Vzhledem k aberaci svˇetla to ale nen´ıtak ´uplnˇepravda. Vˇsechna tˇri tˇelesa budou v pˇr´ımce aˇz40 sekund po stˇredu zatmˇen´ı,coˇzje m´alo zn´am´askuteˇcnost. K pochopen´ıtohoto pˇrekvapiv´eho jevu si 66 6. Zatmˇen´ıa aberace svˇetla staˇc´ıuvˇedomit nˇekolik z´akladn´ıch fakt˚u. Pˇrednˇese Mˇes´ıckaˇzd´yden posune pod´el ekliptiky vzhledem ke Slunci pˇribliˇznˇeo 12◦ (= 360◦/30) smˇerem na v´ychod, tj. o p˚ul stupnˇeza hodinu a o 30′′ za minutu. K posunu o aberaˇcn´ı´uhel α = 20′′ potˇrebuje tedy Mˇes´ıc40 sekund. Spr´avnˇebychom mˇeli vz´ıtv ´uvahu i vlastn´ısvˇetelnou aberaci Mˇes´ıce, ale rychlost Mˇes´ıce kolem Zemˇeje pˇribliˇznˇejen 1 km/s, coˇzje ve srovn´an´ı s rychlost´ıZemˇe v kolem Slunce t´emˇeˇrzanedbateln´e. Svˇeteln´aaberace Mˇes´ıce ˇcin´ı pouh´ych α′ =0.7′′. (6.2) Skutečná Zdánlivá poloha poloha Slunce Slunce Měsíc při Měsíc na přímce pozorovaném Slunce–Země zatmění α Země v Obr. 6.4. Pˇri ´upln´em zatmˇen´ıSlunce nejsou stˇredy Zemˇe, Mˇes´ıc a Slunce v jedn´epˇr´ımce. Tento paradox je zp˚usoben aberac´ısvˇetla. Pro lepˇs´ıpˇredstavu je cel´asituace zn´azornˇena na obr. 6.4. V okamˇziku stˇredu ´upln´eho zatmˇen´ıSlunce je nutno ˇcekat zhruba 40 sekund, neˇzse stˇredy Zemˇe, Mˇes´ıce a Slunce dostanou do jedn´epˇr´ımky. V tom pˇr´ıpadˇeovˇsem uˇz m˚uˇze b´yt po ´upln´em zatmˇen´ı, pokud bude trvat napˇr. jen jednu minutu (viz odd´ıl 6.4). D´ıky aberaci, kter´aje zp˚usobena koneˇcnou rychlost´ısvˇetla, tedy vid´ıme jev, kter´yve skuteˇcnosti prob´ıh´ajinak. ⊙ ⊙ ⊙ 67 7. Jak Zwicky pˇredpovˇedˇel existenci temn´ehmoty Nikdy neztotoˇzˇnujme matematick´ymodel s fyzik´aln´ırealitou. Z´akladn´ıfyzik´aln´ıpouˇcka 7.1. Fritz Zwicky V t´eto kapitole se podrobnˇepod´ıv´ame, jak Fritz Zwicky pˇredpovˇedˇel existenci temn´e hmoty. V roce 1933 publikoval pr˚ulomov´yˇcl´anek [298], kter´ypozdˇeji zcela pozmˇenil v´yvoj astronomie a kosmologie na mnoho desetilet´ı.Pomoc´ıvˇety o viri´alu zjistil, ˇze k vysvˇetlen´ırychl´ych pohyb˚uzhruba 800 galaxi´ıv obˇr´ı galaktick´ekupˇeAbell 1656 v souhvˇezd´ı Vlasy Bereniky (Coma Berenices) je tˇreba pˇredpokl´adat existenci Obr. 7.1. Fritz Zwicky (1898–1974) 68 7. Jak Zwicky pˇredpovˇedˇel existenci temn´ehmoty 400kr´at vˇetˇs´ı hmotnosti nesv´ıt´ıc´ı hmoty neˇzsv´ıt´ıc´ı hmoty, aby tato kupa drˇzela gravitaˇcnˇepohromadˇe. V roce 1936 doˇsel nez´avisle k podobn´emu z´avˇeru i Sinclair Smith [257], s. 27, pˇri zkoum´an´ınejbliˇzˇs´ıgalaktick´ekupy v souhvˇezd´ıPanny, kter´a je od n´as vzd´alena 15 aˇz22 Mpc. Podle dneˇsn´ıch odhad˚u(viz napˇr. [193] a [195]) by vˇsak mˇelo b´yt nesv´ıt´ıc´ıhmoty zhruba jen o ˇr´ad v´ıce neˇz hmoty sv´ıt´ıc´ı. Term´ın temn´ahmota (nˇem. die dunkle Materie) pouˇzil Fritz Zwicky ve zm´ınˇen´em ˇcl´anku [298] na stranˇe125. Temn´ahmota (skryt´al´atka) by sv´ymi gravitaˇcn´ımi ´uˇcinky mˇela rozp´ın´an´ıvesm´ıru brzdit. V roce 1975 vˇsak bylo pˇredpovˇedˇeno zrychluj´ıc´ıse rozp´ın´an´ıvesm´ıru (viz [80], [273]), kter´epak bylo koncem 20. stolet´ıpotvrzeno i expe riment´alnˇe[222]. Proto fyzikov´ezavedli jeˇstˇeterm´ın temn´a(skryt´a) energie, kter´a naopak rozp´ın´an´ıvesm´ıru urychluje a p˚usob´ıtak proti gravitaci (viz rozs´ahl´ypˇrehled literatury v [218]). Fritz Zwicky se narodil 14. ´unora 1898 v bulharsk´eVarnˇe. Jeho matka Frantiˇska roz. Vrˇckov´abyla Ceˇskaˇ a otec Sv´ycar.ˇ Mlad´yFritz v letech 1916–1925 vystudoval matematiku a experiment´aln´ıfyziku na ETH v Curychu. Pak emigroval do USA. Pracoval na observatoˇr´ıch na Mt. Wilsonu a na Mt. Palomaru a t´eˇzna California Institute of Technology v Pasadenˇe, kde z´ıskal v r. 1942 profesuru v oboru astronomie. V roce 1934 Zwicky spoleˇcnˇes Walterem Baadem (1893–1960) pˇredpovˇedˇeli exis tenci neutronov´ych hvˇezd1 jako poz˚ustatk˚uexploze supernov a vyslovili hypot´ezu, ˇze tento proces by mohl b´yt zdrojem kosmick´eho z´aˇren´ı (viz [9] a [195], s. 57). Pozdˇeji je napadlo, ˇze by supernovy mohly b´yt slibn´ymi kandid´aty pro mˇeˇren´ı vesm´ırn´eexpanze, protoˇze jsou pozorovateln´ei z nejvzd´alenˇejˇs´ıch hlubin vesm´ıru. Jejich myˇslenka pak byla pouˇzita laure´aty Nobelovy ceny za fyziku za rok 2011 k odhalen´ızrychlen´eexpanze vesm´ıru (viz [204], [222], [203]). V ˇcl´anku [300], s. 237, Zwicky pˇredstavil novou metodu gravitaˇcn´ıho ˇcoˇckov´an´ı mezilehlou galaxi´ı.Uvˇedomil si totiˇz, ˇze pravdˇepodobnost z´akrytu dvou galaxi´ıje mnohem vˇetˇs´ıneˇzpravdˇepo dobnost z´akrytu dvou hvˇezd (viz [268]). Dokonce uvaˇzoval i o gravitaˇcn´ıch ˇcoˇck´ach tvoˇren´ych galaktick´ymi kupami (srov. obr. 7.2). V roce 1929 astronomov´eEdwin P. Hubble a Milton L. Humason objevili rozp´ı n´an´ıvesm´ıru.2 Zwicky na sebe v t´eˇze dobˇeupozornil ˇcl´ankem [297]. V nˇem ˇcerven´y (dˇr´ıve naz´yvan´yrud´y) kosmologick´y3 posuv svˇetla galaxi´ıvysvˇetluje jinak neˇzroz p´ınaj´ıc´ımse vesm´ırem. Pˇredloˇzil svou vlastn´ıteorii tzv. unaven´eho svˇetla. Domn´ıval se, ˇze ˇcerven´yposuv je zp˚usoben ztr´atou energie foton˚u, kter´eˇc´ast sv´ehybnosti pˇred´avaj´ıl´atce, kterou pronikaj´ı.Fritz Zwicky mˇel pravdu jen ˇc´asteˇcnˇe. Foton pˇri ch´azej´ıc´ız hvˇezdy skuteˇcnˇem˚uˇze pˇredat ˇc´ast sv´e hybnosti nˇejak´emu atomu, pˇritom 1Jiˇzv roce 1932 se Lev Landau v ˇcl´anku [163], s. 288, kr´atce zmiˇnuje o hvˇezd´ach, kter´eby mohly m´ıthustotu atomov´eho j´adra. V souˇcasnosti se odhaduje, ˇze vnitˇrek neutronov´ych hvˇezd se skl´ad´a z chladn´eho kvarkov´eho-gluonov´eho plazmatu a ˇze jejich pr˚umˇern´ahustota je aˇz3kr´at vyˇsˇs´ıneˇz hustota samotn´eho neutronu. 2Podrobn´ychronologick´ypopis tohoto objevu je pops´an v monografii [193]. 3Slovo kosmologick´ybudeme pro jednoduchost d´ale ˇcasto vynech´avat. 69 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Obr. 7.2. Deformaci prostoroˇcasu galaktickou kupou A2218 odhaluje gravitaˇcn´ıˇcoˇckov´an´ı, kter´epˇredpovˇedˇel Fritz Zwicky (foto NASA). ale zpravidla zmˇen´ısmˇer, takˇze jej nezaregistrujeme. Mezigalaktick´eprostˇred´ım´a 3 v pr˚umˇeru tak malou hustotu (ˇr´adovˇejen nˇekolik proton˚u na m , kde mproton ≈ 1.67 × 10−27 kg), ˇze vˇetˇsina nepozmˇenˇen´ych foton˚udoraz´ıdo naˇsich detektor˚ubez probl´em˚u, o ˇcemˇzsvˇedˇc´ıostr´espektr´aln´ıˇc´ary. Pozdˇeji si Zwicky sv˚uj omyl uvˇedomil a napsal dalˇs´ıˇcl´anek [299] o tom, jak lze interpretovat promˇenlivou ˇs´ıˇri spektr´aln´ıch ˇcar z rotuj´ıc´ıch galaxi´ı. Cerven´yposuvˇ spektr´aln´ıch ˇcar hr´al v´yznamnou roli i pˇri Zwickyovˇepˇredpovˇedi existence temn´ehmoty. ⊙ ⊙ ⊙ 7.2. Vˇeta o viri´alu Zwicky˚uv objev temn´ehmoty je zaloˇzen na vˇetˇeo viri´alu, kter´aslouˇz´ık pˇribliˇzn´emu odhadu kinetick´e energie stabilizovan´ych v´azan´ych syst´em˚u. Tuto vˇetu se nej prve pokus´ıme zformulovat. V trojrozmˇern´em eukleidovsk´em prostoru E3 uvaˇzujme soustavu N hmotn´ych bod˚uo hmotnostech m1,...,mN , kter´ena sebe vz´ajemnˇe 70 7. Jak Zwicky pˇredpovˇedˇel existenci temn´ehmoty gravitaˇcnˇep˚usob´ıa nejsou ovlivˇnov´any ˇz´adn´ymi jin´ymi silami. Jedn´ase tedy o stan dardn´ıprobl´em N tˇeles z kapitoly 5. Oznaˇcme jejich polohov´evektory r1,...,rN (ˇsipku nad ri budeme opˇet pro jednoduchost vynech´avat), tj. pro kaˇzd´y ˇcasov´y 3 okamˇzik t je ri(t) ∈ E bod trajektorie i t´eho hmotn´eho bodu. Pak kinetick´aa po tenci´aln´ıenergie t´eto soustavy jsou d´any vztahy N N−1 N 1 Gm m T = X m r˙ r˙ , V = − X X i j , (7.1) 2 i i i |r − r | i=1 i=1 j=i+1 j i −11 3 −1 −2 kder ˙i = dri/dt oznaˇcuje ˇcasovou derivaci, G =6.674×10 m kg s je gravitaˇcn´ı konstanta, | | d´elka vektoru v E3 a je skal´arn´ısouˇcin v E3. Obyˇcejn´ysouˇcin v E1 budeme v t´eto a n´asleduj´ıc´ı kapitole znaˇcit ×. Z´avislost T , V , ri, . . . na ˇcase t nebudeme pro jednoduchost vyznaˇcovat. Ze z´akona akce a reakce, z gravitaˇcn´ıho Newtonova z´akona a z´akona s´ıly, tj. Fi = mir¨i, dost´av´ame pro zrychlen´ı i t´eho tˇelesa diferenci´aln´ırovnici (5.8), N Gmj(rj − ri) r¨i = X 3 . (7.2) |rj − ri| j= i Odtud a z (7.1) plyne, ˇze N N 1 Gmj(rj − ri) (rj − ri) V = − X mi X 3 2 |rj − ri| i=1 j= i N N N N 1 Gmj(rj − ri) ri 1 Gmj(ri − rj) rj = X mi X 3 + X mi X 3 2 |rj − ri| 2 |ri − rj| i=1 j= i i=1 j= i N N N 1 1 = X m r¨ r + X m r¨ r = X F r , (7.3) 2 i i i 2 j j j i i i=1 j=1 i=1 kde v posledn´ı dvojit´esumˇena konci druh´eho ˇr´adku a t´eˇz v (7.2) jsme pˇrezna ˇcili i a j. Oznaˇc´ıme li stopu tenzoru momentu setrvaˇcnosti I = Pi miri ri (Zwicky v [300], s. 228, ji naz´yv´a polar moment of inertia), pak z (7.1) a (7.3) plyne, ˇze N I¨ =2 X mi(r ˙i r˙i +r ¨i ri)=4T +2V. (7.4) i=1 Pro ust´alen´emnohaˇc´asticov´esyst´emy je hodnota I v ˇcase t´emˇeˇrkonstantn´ı.Rovnˇeˇz celkov´akinetick´aenergie T a celkov´apotenci´aln´ı energie V jsou t´emˇeˇrnemˇenn´e. 71 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Jedna z verz´ıvˇety o viri´alu pro hmotn´ebody p˚usob´ıc´ına sebe gravitaˇcnˇetvrd´ı,ˇze pokud I¨ = 0, pak V = −2T. (7.5) Za pˇredpokladu, ˇze se celkov´amechanick´aenergie E = T + V soustavy nemˇen´ı (srov. [139] a [140]), plat´ıpro gravitaˇcnˇestabilizovan´esyst´emy podle (7.5) nav´ıc 1 E = 2 V. (7.6) Co je gravitaˇcnˇestabilizovan´ysyst´em, se ale definuje velice obt´ıˇznˇe. Kdybychom napˇr. uvaˇzovali jen dvˇetˇelesa, kter´akolem sebe ob´ıhaj´ı po prot´ahl´ych eliptick´ych drah´ach (srov. obr. 5.2), tak rovnost (7.6) neplat´ı, protoˇze na jej´ı lev´estranˇeje konstanta, zat´ımco prav´astrana osciluje. Proto je tˇreba volit N ≫ 1 a m´ısto E, T a V uvaˇzovat jen zpr˚umˇerovan´ehodnoty pˇres dlouh´eˇcasov´eintervaly. Vˇeta o viri´alu tedy nen´ımatematick´avˇeta s pˇresnˇeformulovan´ymi pˇredpoklady, ale jen jak´esi tvrzen´ıovˇeˇrovan´ezejm´ena experiment´alnˇe. Byla zn´ama jiˇzna poˇc´atku 19. stolet´ıa z t´eto doby poch´az´ıi n´azev viri´al pro potenci´aln´ıenergii V = Pi Fi ri (viz (7.3) a [270], s. 263). V roce 1870 Rudolf Clausius odvodil vˇetu o viri´alu (srov. (7.1), (7.3) a (7.5)) za pˇredpokladu E < 0 ve tvaru N N 2 DX mivi E + DX Fi riE =0, i=1 i=1 kde lomen´ez´avorky vyjadˇruj´ıstˇredn´ıhodnoty v´yraz˚u uvnitˇrza velmi dlouhou dobu a vi = |r˙i|. ⊙ ⊙ ⊙ 7.3. Jak Zwicky pouˇzil vˇetu o viri´alu na kupu A1656 Kolem roku 1915 Vesto Merlin Slipher [256] objevil, ˇze spektra vˇetˇsiny galaxi´ıvyka zuj´ız´ahadn´yˇcerven´yposuv. Tak´eFritz Zwicky se pozdˇeji zab´yval t´ımto probl´emem. Bylo mu divn´e, proˇcmaj´ıposuvy spektr´aln´ıch ˇcar jednotliv´ych galaxi´ız kupy A1656 (viz obr. 7.3) tak velk´erozptyly od vystˇredovan´eho ˇcerven´eho posuvu cel´ekupy. V pozorovan´eoblasti je rozptyl rychlost´ıdokonce tak velk´y, ˇze asi 15 galaxi´ıvykazuje modr´yposuv,4 pˇrestoˇze se cel´akupa od n´as vzdaluje rychlost´ıvyˇsˇs´ıneˇz2 % rychlosti svˇetla d´ıky expanzi dan´esouˇcasnou hodnotou Hubbleovy konstanty [210] −1 −1 H0 ≈ 68 km s Mpc . (7.7) 4Tyto galaxie pozorovan´ejen v projekci se k n´am pˇribliˇzuj´ırychlostmi dosahuj´ıc´ımi aˇz350 km/s. Podle lev´e ˇc´asti histogramu z obr. 8.4 z dalˇs´ı kapitoly vˇsak do kupy A1656 v souˇcasnosti pravdˇepodobnˇenepatˇr´ı,i kdyˇzv d´avn´eminulosti tomu tak mohlo b´yt. 72 7. Jak Zwicky pˇredpovˇedˇel existenci temn´ehmoty Obr. 7.3. Obˇr´ıgalaktick´akupa Abell 1656 v souhvˇezd´ıVlasy Bereniky. V centr´aln´ıˇc´asti se nal´ezaj´ıdvˇegigantick´eeliptick´egalaxie NGC 4889 a NGC 4874, kter´epohlt´ıjakoukoliv galaxii, kter´ase jim zkˇr´ıˇz´ıcestu. Hovoˇr´ıme o galaktick´em kanibalizmu. (Foto NASA) Jin´ymi slovy, objekt ve vzd´alenosti jednoho mili´onu parsek˚use od n´as bude v pr˚u mˇeru vzdalovat rychlost´ı 68 km/s. Rychlost rozp´ın´an´ıvesm´ıru ale z´avis´ı na ˇcase, jak jeˇstˇeuvid´ıme v kapitole 8 (obr. 8.7). Urˇcit souˇcasnou hodnotu Hubbleovy kon stanty H0 nen´ısnadn´e, protoˇze se vˇzdy d´ıv´ame do minulosti. V naˇsem bl´ızk´em okol´ı je mˇeˇren´ı H0 zkresleno lok´aln´ımi pohyby galaxi´ı.Z rychlost´ıve vzd´alen´em vesm´ıru je zase obt´ıˇzn´espolehlivˇeextrapolovat souˇcasnou hodnotu H0. Galaktick´ekupy pˇredstavuj´ı obrovsk´e kosmick´e laboratoˇre pro testov´an´ı teo rie gravitace. V pr´aci [298] Zwicky zjistil, ˇze nˇekter´egalaxie ob´ıhaj´ıkolem stˇredu kupy A1656 mnohem rychleji, neˇzodpov´ıd´avˇetˇeo viri´alu. Celkovou hmotnost kupy aproximoval n´asledovnˇe. Pˇredpokl´adal, ˇze kupa obsahuje N = 800 galaxi´ı.Z namˇe ˇren´ych sv´ıtivost´ıd´ale vydedukoval, ˇze kaˇzd´agalaxie m´a v pr˚umˇeru hmotnost jako miliarda Slunc´ı.Odtud pak z´ıskal odhad (viz [298], s. 124) 9 42 M = 800 × 10 × M⊙ =1.6 × 10 kg, (7.8) 30 kde M⊙ =2 × 10 kg je hmotnost Slunce. Z vˇety o viri´alu vˇsak odvodil, ˇze kupa by 73 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace mˇela m´ıt400kr´at vˇetˇs´ıhmotnost neˇz M (viz jeho ˇcl´anek [298], s. 125, z roku 1933). O ˇctyˇri roky pozdˇeji pak publikoval jemnˇejˇs´ı anal´yzu [300], kde podobn´yfaktor sn´ıˇzil na 150 (srov. (7.8) a (7.17)). Aby tento paradox vysvˇetlil, pˇredpokl´adal, ˇze existuje obrovsk´emnoˇzstv´ıjak´esi temn´ehmoty, kter´a ke sv´ıtivosti nepˇrisp´ıv´a, zato m´agravitaˇcn´ı´uˇcinky. Pod´ıvejme se nyn´ı podrobnˇeji na Zwickyovu metodu pro urˇcov´an´ı hmotnost´ı galaktick´ych kup pomoc´ı vˇety o viri´alu. Pˇritom se co nejv´ıce budeme drˇzet jeho p˚uvodn´ıho znaˇcen´ız ˇcl´ank˚u[298] a [300]. Celkovou hledanou hmotnost vyˇsetˇrovan´egalaktick´ekupy oznaˇcme N M = X mi, (7.9) i=1 kde mi je hmotnost i t´egalaxie, a necht’ vi je na ˇcase nez´avisl´apr˚umˇern´ahelio centrick´arychlost i t´egalaxie.5 Potom se tˇeˇziˇstˇekupy od n´as vzdaluje pr˚umˇernou rychlost´ı N 1 v = X m v . (7.10) M i i i=1 Zwicky pak ´uhrnnou kinetickou energii galaxi´ı v tˇeˇziˇst’ov´em syst´emu kupy apro ximoval veliˇcinou N N 1 2 1 2 1 T = Mv = X m v := X m (v − v )2, (7.11) 2 2 i 2 i i i=1 i=1 kde stˇredn´ıkvadratick´arychlost v vˇsech galaxi´ıvzhledem k tˇeˇziˇsti kupy je definov´ana posledn´ırovnost´ıv (7.11). K odhadu potenci´aln´ıenergie kupy Zwicky pˇredpokl´adal, ˇze galaxie jsou rozloˇzeny zcela rovnomˇernˇeuvnitˇrkoule o polomˇeru R. Tomu odpov´ıd´akonstantn´ıhustota 3M ρ = . 4πR3 S´ılu, kter´ap˚usob´ına galaxii o hmotnosti mi, jej´ıˇzpoloha je d´ana r´adiusvektorem ri, lze tedy pomoc´ıprvn´ıa druh´eNewtonovy vˇety z odd´ılu4.1 aproximovat vztahem 3 4π|ri| ρ miri GMmiri Fi ≈ − 3 = − 3 , 3|ri| R 5Kupa A1656 se shodou okolnost´ınal´ez´av tˇesn´ebl´ızkosti severn´ıho galaktick´eho p´olu. Proto je vi prakticky rovna rychlosti vzdalov´an´ı i-t´egalaxie od Ml´eˇcn´edr´ahy, pˇrestoˇze je obˇeˇzn´arychlost Slunce v⊙ = 230 km/s kolem galaktick´eho centra dosti vysok´a. 74 7. Jak Zwicky pˇredpovˇedˇel existenci temn´ehmoty uv´aˇz´ıme li, ˇze M ≈ M − mi. Odpov´ıdaj´ıc´ıpotenci´aln´ıenergie i t´egalaxie potom je GMm |r |2 V = F r ≈ − i i . (7.12) i i i R3 Zwicky n´aslednˇespoˇc´ıtal, jak´aje stˇredn´ıkvadratick´ahodnota vzd´alenosti r od stˇredu kupy pro typickou galaxii [300], s. 230, N R 2 2 1 3 3R r = X m |r |2 ≈ Z r2 × 4πr2ρ dr = , (7.13) M i i 4πR3ρ 5 i=1 0 kde hustota kupy ρ je podle pˇredpokladu konstantn´ı.Z (7.3), (7.12), (7.9) a (7.13) pak plyne, ˇze N N 2 N GM GMr 3GM 2 V = X F r ≈ − X m |r |2 ≈ − X m = − . i i R3 i i R3 i 5R i=1 i=1 i=1 Odtud, z vˇety o viri´alu (7.5) a odhadu (7.11) potom Zwicky z´ıskal pˇribliˇzn´yvztah 2 5Rv M = (7.14) 3G pro hledanou celkovou hmotnost kupy (viz [298], s. 124, a t´eˇz[300], s. 230). Budeme j´ıˇr´ıkat viri´alov´ahmotnost. K urˇcen´ıpolomˇeru R pouˇzil n´asleduj´ıc´ı´udaje. Kupu A1656 pozoroval na nebesk´e sf´eˇre pod ´uhlem β =1.7◦ (Mˇes´ıcm´apro srovn´an´ı0.5◦). E. Hubble s M. Humasonem tehdy odhadli vzd´alenost kupy na 13.8 Mpc. Protoˇze 1 pc = 3.086 × 1016 m, m´ame 6 16 1 21 R = 13.8 × 10 × 3.086 × 10 × sin 2 β =6.318 × 10 (m), (7.15) tj. polomˇer kupy je R ≈ 0.2 Mpc. Radi´aln´ı rychlosti6 jednotliv´ych galaxi´ı lze dobˇre stanovit pomoc´ı Dopplerova jevu. Podle dat, kter´abyla tehdy k dispozici, Zwicky zjistil, ˇze jejich ˇcerven´eposuvy maj´ıznaˇcn´yrozptyl od stˇredn´ıhodnoty cel´ekupy, i kdyˇzpodle [241], s. 14, ˇci [195], s. 57, uvaˇzoval jen 8 nejvˇetˇs´ıch galaxi´ı.Odtud vypoˇc´ıtal ˇctverec pr˚umˇern´eradi´aln´ı 2 11 2 −2 rychlosti vradial =5 × 10 m s vzhledem k tˇeˇziˇsti kupy. V d˚usledku pˇredpokl´adan´e izotropie rychlost´ıa sf´erick´esymetrie kupy pro pr˚umˇernou hodnotu rychlosti v dostal 2 2 12 2 6 v =3 vradial =1.5 × 10 (m/s) a v =1.22 × 10 m/s. (7.16) 6Roˇcn´ıvariace radi´aln´ıch rychlost´ızp˚usoben´eobˇehem Zemˇekolem Slunce rychlost´ı(2.7) ˇcin´ıjen ±26 km/s, protoˇze sklon ekliptiky ke galaktick´erovinˇeje 62◦. 75 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Prvn´ı rovnost v (7.16) plyne z Pythagorovy vˇety, jestliˇze vektor rychlosti vy j´adˇr´ıme pomoc´ıtˇr´ıvz´ajemnˇekolm´ych sloˇzek. Dosazen´ım(7.15) a (7.16) do (7.14) obdrˇz´ıme viri´alovou hmotnost M =2.367 × 1044 kg, (7.17) coˇzje cca 150kr´at vˇetˇs´ıhodnota neˇzv (7.8). Tento Zwicky˚uv objev byl po desetilet´ı zcela ignorov´an. Kdyˇzporovn´aval namˇeˇrenou luminozitu cel´ekupy s jej´ıteoretickou hodnotou, dostal podobn´yfaktor 500/3 (viz [300], s.232). Zwicky v [300] navrhl jeˇstˇedalˇs´ıdvˇemetody pro zjiˇst’ov´an´ıtemn´ehmoty. Prvn´ı z nich je pomoc´ıgravitaˇcn´ıho ˇcoˇckov´an´ımezilehlou galaxi´ı (srov. obr. 7.2). Druh´a jeho metoda se op´ır´ao statistick´evyhodnocen´ıluminozity jednotliv´ych typ˚ugalaxi´ı. V ´uvodu ˇcl´anku [300] se Zwicky zab´yv´ai rotaˇcn´ımi kˇrivkami galaxi´ı,coˇzje dalˇs´ı n´astroj k zjiˇst’ov´an´ı´uˇcink˚utemn´ehmoty (viz kapitola 9). ⊙ ⊙ ⊙ 76 8. Probl´em chybˇej´ıc´ıhmoty Z´ahadn´atemn´ahmota je jen chyba modelu. Autor 8.1. Rozbor Zwickyovy metody Fritz Zwicky se pod´ılel na mnoha z´asadn´ıch objevech, jak v´ıme z pˇredchoz´ıkapitoly. Napˇr´ıklad v pr´aci [298] z roku 1933 odvodil vztah (viz (7.14)) 5Rv2 M = (8.1) 3G pro viri´alovou hmotnost galaktick´ekupy A1656, kde R je jej´ıpolomˇer a v je stˇredn´ı kvadratick´arychlost galaxi´ıvzhledem k tˇeˇziˇsti kupy. Zwicky˚uv pˇr´ıstup k postulov´an´ı existence temn´ehmoty pomoc´ıvztahu (8.1) si vˇsak zasluhuje podrobnˇejˇs´ırozbor. Nejprve si pˇripomeˇnme hlavn´ıtrik Zwickyovy metody z odd´ılu7.3. Pomoc´ıvˇety o viri´alu V = −2T (viz (7.5)) lze d´at do souvislosti celkovou potenci´aln´ıa kinetickou energii kupy, tj. 3 GM 2 1 V ≈ − , T ≈ T = Mv2 5 R 2 (viz (7.11)–(7.14)). Vˇsimnˇeme si, ˇze M vystupuje v potenci´aln´ı energii v kvadr´a tu, zat´ımco v kinetick´eenergii v prvn´ı mocninˇe. To n´am pak umoˇzˇnuje vyj´adˇrit viri´alovou hmotnost M pomoc´ıvztahu (8.1), kde bychom mˇeli spr´avnˇeps´at ≈ m´ısto rovn´ıtka = . M˚uˇzeme vˇsak na z´akladˇetak jednoduch´eho vzoreˇcku, jak´ym je (8.1), spolehlivˇetvrdit, ˇze v galaktick´ekupˇeA1656 je obrovsk´emnoˇzstv´ı nˇejak´etemn´e hmoty nezn´am´eho sloˇzen´ı? F. Zwicky musel uˇcinit celou ˇradu zjednoduˇsuj´ıc´ıch pˇredpoklad˚u, aby mohl odhad nout celkovou hmotnost kupy A1656. V tomto odd´ılupouk´aˇzeme na to, co vˇsechno 77 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace je tˇreba vz´ıtv ´uvahu, abychom mohli spolehlivˇetvrdit, ˇze temn´ahmota skuteˇcnˇe existuje. 1. Podle souˇcasn´ych mˇeˇren´ırychlost´ıa zn´am´eho Hubbleova vztahu, kter´yuve deme n´ıˇze (viz (8.13)), nen´ıvzd´alenost vyˇsetˇrovan´ekupy galaxi´ı13.8 Mpc (viz (7.15)), ale je kolem 100 Mpc. To je skoro o ˇr´ad d´ale. Z namˇeˇren´eho ´uhlov´eho pr˚umˇeru kupy β =1.7◦ a zn´am´evzd´alenosti d = 100 Mpc dostaneme mnohem vˇetˇs´ıpolomˇer, β R = d sin =1.48Mpc = 4.58 × 1022 m, (8.2) 2 neˇzv (7.15), a tedy jeˇstˇevˇetˇs´ıhmotnost neˇz(7.17). Ze vztah˚u(8.1), (7.16) a (8.2) d´av´avˇeta o viri´alu hmotnost M =1.71 × 1045 kg, coˇzje dokonce 1000kr´at v´ıce neˇzv (7.8). Abychom si udˇelali n´azornou pˇredstavu o polomˇeru R kupy A1656, uved’me, ˇze vzd´alenost stˇred˚unaˇs´ıGalaxie a nejbliˇzˇs´ı velk´egalaxie M31 v Andromedˇeje pˇribliˇznˇe0.778 Mpc (srov. s (8.2)). 2. Uhlov´ypr˚umˇer´ β = 1.7◦ z (8.2) je patrnˇeo trochu vˇetˇs´ı. Podle nˇekter´ych zdroj˚use kupa A1656 nal´ez´av oblasti 2.7◦ × 2.5◦ s nejasnˇeurˇcenou hranic´ı.Jin´e zdroje ale uv´adˇej´ımenˇs´ıhodnoty. 3. Zwicky v (7.8) pˇredpokl´ad´a, ˇze galaxie maj´ıv pr˚umˇeru hmotnosti miliard kr´at vˇetˇs´ı,neˇzje hmotnost Slunce. Tyto ´udaje jsou na druh´estranˇedosti podhod nocen´e. Znaˇcnou ˇc´ast svˇetla hvˇezd totiˇzblokuje mezihvˇezdn´yprach. Pro srovn´an´ı konstatujme, ˇze naˇse Galaxie m´apˇres 400 miliard hvˇezd a jej´ı celkov´ahmotnost ˇcin´ı 12 MG ≈ 10 M⊙ (viz [165], s. 127), coˇzje dokonce v´ıce neˇzcelkov´ahmotnost M vˇsech 800 galaxi´ıv (7.8) podle Zwickyho. Ml´eˇcn´adr´aha vˇsak patˇr´ısp´ıˇse k tˇem vˇetˇs´ımga laxi´ım. Z tˇechto d˚uvod˚use vˇetˇsina fyzik˚uv souˇcasnosti domn´ıv´a, ˇze temn´ehmoty je pˇrinejmenˇs´ımo ˇr´ad v´ıce neˇzsv´ıt´ıc´ıbaryonov´el´atky — tj. zejm´ena proton˚ua ne utron˚u.1 Pˇritom temn´ahmota nez´aˇr´ıv ˇz´adn´em oboru elektromagnetick´eho spektra. Zwicky udˇelal celou ˇradu dalˇs´ıch aproximac´ı,kter´emaj´ıpodstatn´yvliv na v´y slednou vypoˇctenou hmotnost: 4. Odhad celkov´eho poˇctu galaxi´ı N = 800 (viz (7.8)) je rovnˇeˇzm´ırnˇepod cenˇen´y, i kdyˇzZwicky v [300], s. 244, pˇripouˇst´ıi moˇznost N ≥ 1500. V souˇcasnosti zn´ame v kupˇeA1656 pˇres tis´ıc galaxi´ı. V 1 Mpc3 je tak v pr˚umˇeru pˇres 70 ga laxi´ı.Nav´ıcZwicky pˇred 80 lety jen tˇeˇzko mohl z osmn´actipalcov´eho dalekohledu na Mt. Palomaru2 spatˇrit tzv. trpasliˇc´ıgalaxie, kter´etak´ezˇc´asti pˇrisp´ıvaj´ık celkov´e 1K baryonov´el´atce astronomov´epoˇc´ıtaj´ıvˇsechny ˇc´astice, kter´ejsou zahrnuty ve standardn´ım modelu element´arn´ıch ˇc´astic a interakc´ı(elektrony, neutrina apod.), a t´eˇzdegenerovanou baryono- vou hmotu ukrytou v ˇcern´ych d´ır´ach [108]. 2Slavn´ypˇetimetrov´ypalomarsk´ydalekohled byl zprovoznˇen aˇzv r. 1949. 78 8. Probl´em chybˇej´ıc´ıhmoty hmotnosti kupy. Napˇr´ıklad v bezprostˇredn´ımokol´ınaˇs´ı Galaxie jich bylo pomˇernˇe ned´avno nalezeno cca deset. 5. Vztah (7.9) n´am neumoˇzˇnuje uvaˇzovat mezigalaktickou hmotu. V centr´aln´ı oblasti kupy je hustota mezigalaktick´ehmoty mnohem vˇetˇs´ıneˇzvnˇekupy. Je zde v´ıce prachu, plynu, plazmatu ˇci osamˇel´ych hvˇezd, kter´ebyly v d˚usledku prob´ıhaj´ıc´ıch gravitaˇcn´ıch koliz´ıvymrˇstˇeny z galaxi´ıven. Z anal´yzy rentgenov´eho z´aˇren´ıtak´ev´ıme, ˇze mezigalaktick´eprostˇred´ı kupy obsahuje alespoˇn5kr´at vˇetˇs´ı mnoˇzstv´ı nesv´ıt´ıc´ı baryonov´ehmoty neˇzsv´ıt´ıc´ıhmoty v galaxi´ıch (viz [2], [20], [93]). 6. Zwicky uvaˇzoval zcela rovnomˇern´e rozloˇzen´ı galaxi´ı uvnitˇr kupy kulov´eho tvaru, viz [300], s. 229. Centr´aln´ı oblasti kupy A1656 jsou vˇsak podstatnˇehustˇs´ı neˇzoblasti pˇri okraji (viz obr. 8.6) a vˇetˇs´ı galaxie jsou obecnˇebl´ıˇze stˇredu, po dobnˇejako je tomu u rozloˇzen´ıhvˇezd v kulov´ych hvˇezdokup´ach. Jin´ymi slovy, ga laktick´akupa vykazuje vyˇsˇs´ıvzr˚ust hustoty smˇerem ke stˇredu, neˇzby odpov´ıdalo 5 rovnomˇern´emu rozloˇzen´ı.Z tohoto d˚uvodu je koeficient 3 z (8.1) dosti nadhodno cen´y, jak jeˇstˇeuvid´ıme v odd´ılu8.3. Kupu nav´ıcvid´ıme jen v projekci, m˚uˇze b´yt eventu´alnˇezploˇstˇel´ado tvaru elipsoidu ˇci l´ıvance. Nav´ıcZwicky ve sv´em v´ypoˇctu uvaˇzoval pouze ty nejjasnˇejˇs´ıgalaxie. 7. Kinetick´aenergie T vzhledem k tˇeˇziˇsti kupy (7.11) nen´ıstanovena v souladu s pˇredpoklady vˇety o viri´alu, protoˇze stˇredn´ırychlost pˇres dlouh´eˇcasov´einterva ly vi, se aproximuje souˇcasnou hodnotou rychlosti vi = vi(t) = |r˙i(t)| pro dan´e i ∈ {1,...,N}. Dnes sice zn´ame mnohem pˇresnˇeji hodnoty heliocentrick´ych3 radi´aln´ıch rychlost´ıjednotliv´ych galaxi´ı,ale stanovit jejich stˇredn´ıhodnoty pˇres dlouh´eˇcasov´e intervaly nelze. Podle dat uveden´ych v [1], [18] a [44] pro galaxie, kter´epatˇr´ıdo kupy A1656, dostaneme radi´aln´ısloˇzky rychlost´ı(viz obr. 8.1) a odtud v ≈ 1.686 × 106 m/s, (8.3) coˇzje dokonce v´ıce neˇzhodnota v v (7.16) odvozen´aZwickym. Rovnˇeˇzpotenci´aln´ıenergie v (7.12) nen´ıurˇcena pˇresnˇe v d˚usledku aproximace M ≈ M − mi. 8. Zwicky pˇredpokl´adal izotropn´ırozloˇzen´ırychlost´ı.Jejich pr˚umˇernou hodnotu aproximoval pomoc´ıradi´aln´ıch rychlost´ıa vztahu (7.16). Pˇritom m´ırn´aanizotropie v rozdˇelen´ıradi´aln´ıch rychlost´ıje dobˇre patrn´az odchylky histogramu od Gaussovy kˇrivky na obr. 8.5. Namˇeˇren´ehodnoty radi´aln´ıch rychlost´ı4 jsou na obr. 8.1. 3Rozum´ıse vzhledem ke Slunci. 4Hvˇezdy v okol´ıSlunce ob´ıhaj´ıstˇred Galaxie rychlostmi kolem 230 km/s. Obˇcas se ale v Galaxii objev´ı hvˇezda let´ıc´ı rychlost´ı pˇres 1000 km/s. Pˇredpokl´ad´ase, ˇze doch´az´ı k jejich vystˇrelov´an´ı z kulov´ych hvˇezdokup, eventu´alnˇez okol´ıˇcern´ych dˇer. K tomu staˇc´ı,aby se dvojhvˇezda dostateˇcnˇe pˇribl´ıˇzila k jin´emu masivn´ımu objektu, kter´ygravitaˇcnˇezachyt´ıvˇetˇsinou tˇeˇzˇs´ısloˇzku na eliptickou dr´ahu a lehˇc´ısloˇzku naopak odmrˇst´ıpo hyperbolick´edr´aze. K podobn´ym koliz´ımgalaxi´ıdoch´az´ı i v kupˇeA1656. 79 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace 5000 4000 (km/s) v 3000 - i 2000 v lu i lu 1000 NGC4874 0 -1000 NGC4889 ka rozd z -2000 slo i -3000 lna -4000 Radi -5000 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Magnituda Obr. 8.1. Z´avislost radi´aln´ısloˇzky rozd´ılu rychlost´ı vi −v galaxi´ıkupy A1656 na magnitudˇe, kde vi = vi(t) odpov´ıd´asouˇcasnosti. 9. K velk´ym rychlostem galaxi´ım˚uˇze pˇrisp´ıvat i temn´aenergie. Nem´ame ˇz´adn´y d˚uvod pˇredpokl´adat, ˇze by se nˇejak´ym zp˚usobem vyh´ybala kupˇeA1656, kter´aje souˇc´ast´ırozp´ınaj´ıc´ıse kosmick´epavuˇciny“. Nav´ıcje rychlost ve vztahu (8.1) v kvad ” r´atu! Jin´ymi slovy, hodnovˇern´aznalost radi´aln´ıch rychlost´ıje velice podstatn´apro v´ypoˇcet celkov´ehmotnosti. 10. Zwicky se omezil na pˇr´ıpad, ˇze vˇsechny galaxie maj´ıstejnou hmotnost nez´avis lou na ˇcase [300], s. 231. Galaxie si vˇsak neust´ale vymˇeˇnuj´ıhmotu s mezigalaktick´ym prostˇred´ıma jejich pozorovan´emagnitudy5 se liˇs´ıo 8 ˇr´ad˚u, tj. rozd´ılv hmotnostech je v´ıce neˇz3 ˇr´ady. Uved’me jeˇstˇenˇekter´edalˇs´ıskuteˇcnosti, kter´eje tˇreba vz´ıtv ´uvahu pro d˚ukladnou anal´yzu chyby. 11. Zwicky pˇredpokl´adal, ˇze syst´em A1656 je v rovnov´aze a ˇze vˇeta o viri´alu plat´ı pˇresnˇe. Za dobu existence kupy vˇsak mohla typick´agalaxie obˇehnout jej´ıstˇred jen nˇekolikr´at rychlost´ı v z (8.3), protoˇze jeden obˇeh trv´aodhadem 2πr/v =4.11 × 109 let, (8.4) √ √ kde r = 3R/ 5 je stˇredn´ıvzd´alenost ze (7.13) a R je d´ano v (8.2). I kdyˇzjsou r a v m´ırnˇenadhodnocen´ev˚uˇci pr˚umˇern´ym hodnot´am, jen tˇeˇzko m˚uˇzeme hovoˇrit o ust´alen´em (relaxovan´em) syst´emu. Nab´ız´ıse tedy ot´azka, zda je v˚ubec mechanick´e pouˇzit´ıvˇety o viri´alu obhajiteln´e. 5C´ımjeˇ slabˇs´ızdroj, t´ımje vyˇsˇs´ıjeho magnituda. Rozd´ıljedn´emagnitudy odpov´ıd´apomˇeru 1001/5 :1=2.512 : 1 hustoty svˇeteln´ych tok˚u. 80 8. Probl´em chybˇej´ıc´ıhmoty 12. Zwicky pouˇzil Newtonovu mechaniku s nekoneˇcnou rychlost´ıˇs´ıˇren´ı gravi taˇcn´ıinterakce, zat´ımco skuteˇcn´arychlost ˇs´ıˇren´ıje zˇrejmˇekoneˇcn´a. V kupˇe, kter´a m´apr˚umˇer deset milion˚usvˇeteln´ych let, efekty gravitaˇcn´ı aberace jistˇenejsou za nedbateln´e[140], protoˇze podle obr. 8.5 se nˇekter´egalaxie v kupˇepohybuj´ıvzhle dem k jej´ımu tˇeˇziˇsti rychlostmi vˇetˇs´ımi, neˇzje 1 % rychlosti svˇetla. Tedy i dlouho dobˇep˚usob´ıc´ıdrobn´erelativistick´eefekty ovlivˇnuj´ıv´yvoj syst´emu. M´ame dobˇre vy zkouˇseno, jak funguje Newtonova mechanika na kr´atk´ych ˇcasov´ych ˇsk´al´ach a n´ızk´ych rychlostech ve Sluneˇcn´ı soustavˇe. Uvaˇzovan´akupa m´avˇsak podle (8.2) pr˚umˇer cca 3 Mpc > 6 × 1011 au, kde 1 au ≈ 150 × 109 m je stˇredn´ıvzd´alenost Zemˇeod Slunce. Nen´ıtud´ıˇzjasn´e, zda jsme v˚ubec opr´avnˇeni uplatˇnovat Newtonovy z´akony na syst´emy o tolik ˇr´ad˚uvˇetˇs´ı.To je podobn´e, jako kdybychom aplikovali z´akony kvan tov´emechaniky (kvantov´an´ıenergie elektron˚uob´ıhaj´ıc´ıch j´adro atomu, tunelov´yjev, disperze elektron˚una ˇstˇerbinˇeapod.) na objekty o velikosti des´ıtek metr˚u. 13. Zwicky nahradil galaxie o pr˚umˇeru aˇz1010 au hmotn´ymi body. Takov´aapro ximace ovˇsem znemoˇzˇnuje uvaˇzovat momenty hybnosti rotuj´ıc´ıch galaxi´ı,kter´ejistˇe pˇrisp´ıvaj´ı k celkov´emu momentu hybnosti. Tak´enelze zahrnout vliv slap˚u, kter´e podstatnˇeovlivˇnuj´ı celkovou dynamiku. Napˇr´ıklad izolovan´a“ soustava dvou ga ” laxi´ıob´ıhaj´ıc´ıch bl´ızko kolem sebe nen´ıstabiln´ı,protoˇze galaxie ˇcasem splynou pr´avˇe v d˚usledku slapov´eho tˇren´ı(srov. obr. 5.7), zat´ımco klasick´yprobl´em dvou tˇeles m´a periodick´eˇreˇsen´ına nekoneˇcnˇedlouh´em ˇcasov´em intervalu (viz obr. 5.2). Zwicky se nav´ıcomezil jen na pˇr´ıpad, ˇze N je konstantn´ı.Jenomˇze obˇcas nˇekter´e galaxie splynou nebo se roztrhaj´ıv d˚usledku nejr˚uznˇejˇs´ıch koliz´ıv dosti pˇrehuˇstˇen´em prostoru (viz obr. 7.3). 14. Prostoroˇcas zakˇriven´yv´ıce neˇztis´ıcem galaxi´ı(viz obr. 8.2) o celkov´ehmot nosti ˇr´adovˇe1045 kg Zwicky nahradil eukleidovsk´ym prostorem E3. Deformaci pro Obr. 8.2. Deformace prostoroˇcasu galaktickou kupou o polomˇeru R. Obvod kruˇznice o po- lomˇeru R je menˇs´ıneˇz2πR. 81 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace 0.3 A 0.2 0.1 0 α β B -0.1 -0.2 -0.3 C -0.4 Obr. 8.3. Schematick´ezn´azornˇen´ıohybu svˇeteln´ych paprsk˚ugravitaˇcn´ım polem galaktick´e kupy. Pozorovan´y´uhel β = ∢ABC je vˇetˇs´ıneˇz´uhel α = ∢ABC. e storu obsahuj´ıc´ıho kupu galaxi´ı(srov. obr. 7.2 a 8.3) dokazuje gravitaˇcn´ıˇcoˇckov´an´ı, kter´ezvˇetˇsuje6 pozorovan´e´uhlov´evzd´alenosti galaxi´ıod stˇredu kupy, a t´ımi R ve vztaz´ıch (8.1), (7.15) a (8.2). Index lomu gravitaˇcn´ıˇcoˇcky reprezentovan´egalaktickou kupou vˇsak nen´ıkonstantn´ıjako u bˇeˇzn´esklenˇen´eˇcoˇcky, ale roste smˇerem ke stˇredu, v d˚usledku ˇcehoˇzvn´ım´ame ´uhlov´evzd´alenosti mezi galaxiemi vˇetˇs´ı.Nadto objem koule v takto deformovan´em prostoru nen´ı4πR3/3 (srov. napˇr. (7.13) a obr. 8.2), ale je menˇs´ı,jak plyne z Bishopovy Gromovovy nerovnosti [114], s. 183 (viz t´eˇz[187], s. 1099). Tak´epovrch koule integrovan´yv (7.13) je v zakˇriven´em prostoru menˇs´ı neˇz4πr2. Zakˇriven´ı prostoroˇcasu vyvol´av´ai dalˇs´ı drobn´eefekty, kter´e podrobnˇeji ana lyzujeme v odd´ılu8.3. Napˇr´ıklad celkov´yˇcerven´yposuv zp˚usobuje nejen expanze vesm´ıru, ale ˇc´asteˇcnˇei ˇcerven´ygravitaˇcn´ıposuv. Fotony mus´ıpˇrekonat nejen po tenci´alovou j´amu pˇr´ısluˇsn´ehvˇezdy,7 ale i mnohem hlubˇs´ıj´amy jednotliv´ych galaxi´ı a t´eˇzpotenci´alovou j´amu cel´ekupy (vztah pro zmˇenu frekvence foton˚uv poli centr´aln´ı s´ılyje uveden v [268], s. 261). 15. Dalˇs´ızdroje nejistot jsou ve vstupn´ıch datech. Dostupn´e prameny uv´adˇej´ı vzd´alenost stˇredu kupy od 99 Mpc do 103 Mpc. Podle [18] je rektascenze stˇredu kupy α = 12 h 57.3 min a deklinace δ = 28◦ 14.4′. Jin´eprameny uv´adˇej´ıponˇekud odliˇsn´e ´udaje, napˇr. podle [226] je α = 13 h 00 min 00.7 s a δ = 27◦ 56′ 51′′. Nen´ıtotiˇzzˇrejm´e, jak v˚ubec definovat stˇred kupy, kdyˇzji vid´ıme jen v projekci s nepˇresnˇedanou hranic´ı, a nav´ıcani nezn´ame rychlost ˇs´ıˇren´ıgravitaˇcn´ıinterakce nutnou k urˇcen´ı stˇredu“. ” Velk´emnoˇzstv´ı drobn´ych chyb nejr˚uznˇejˇs´ıho p˚uvodu m˚uˇze podstatnˇezkreslit vypoˇctenou hmotnost M. Zwicky si byl dobˇre vˇedom, ˇze se dopustil cel´eˇrady apro 6Podobnˇe, kdyˇzse d´ıv´ate do kulov´eho akv´aria, rybiˇcky se jev´ıvˇetˇs´ı,neˇzve skuteˇcnosti jsou. V tomto pˇr´ıpadˇetedy nen´ıtˇreba uvaˇzovat mezilehlou galaxii, jak to Zwicky navrhoval, protoˇze samotn´akupa A1656 zd´anlivˇezvˇetˇsuje sv´evlastn´ıobjekty, viz obr. 8.3. 7Cerven´ygravitaˇcn´ıposuvˇ foton˚uz neutronov´ych hvˇezd odpov´ıd´asvou velikost´ıkosmologick´emu posuvu aˇz z ≈ 0.4. Pro obyˇcejn´ehvˇezdy je vˇsak nepatrn´y. 82 8. Probl´em chybˇej´ıc´ıhmoty ximac´ı,kter´euv´ad´ıme napˇr. v bodech 2, 4, 6, 11, 15 (viz [300], s. 230, 231, 233, 242, 244). Neuvaˇzoval vˇsak nˇekter´edalˇs´ıd˚uleˇzit´eskuteˇcnosti uveden´enapˇr. v bo dech 9, 12, 13, 14. ⊙ ⊙ ⊙ 8.2. Anal´yza souˇcasn´ych dat Galaktick´akupa Abell 1656 se nach´az´ına poˇc´atku vl´akna galaxi´ı(s anglick´ym n´azvem Sloan Great Wall) dlouh´eho v´ıce neˇzmiliardu svˇeteln´ych let. Kupa m´apomˇernˇedobˇre zmˇeˇren´eˇcerven´eposuvy a magnitudy vˇetˇsiny sv´ych galaxi´ı.Pobl´ıˇzstˇredu se nal´ezaj´ı dvˇeobˇr´ı(angl. supergiant) eliptick´egalaxie NGC 4889 a NGC 4874, kter´ejsou cca 10kr´at vˇetˇs´ı neˇzMl´eˇcn´adr´aha a v´yraznˇeovlivˇnuj´ı celkovou dynamiku kupy (viz obr. 7.3). Jejich magnitudy jsou po ˇradˇe12.62 a 12.78. Uprostˇred galaxie NGC 4889 10 se nach´az´ınejvˇetˇs´ızn´am´aˇcern´ad´ıra o hmotnosti 10 M⊙. Galaxie NGC 4874 zase obsahuje rekordn´ıpoˇcet 30 000 kulov´ych hvˇezdokup (naˇse Galaxie jich m´ajen ko lem 150). V kupˇeAbell 1656 je des´ıtka dalˇs´ıch galaxi´ı,kter´e jsou vˇetˇs´ıneˇzMl´eˇcn´a dr´aha. Zwicky v [298] a [300] bohuˇzel neuv´ad´ıˇz´adn´akonkr´etn´ı data o rychlostech ˇci magnitud´ach jednotliv´ych galaxi´ı z kupy A1656 a neuv´ad´ı ani rychlost tˇeˇziˇstˇe v. Omezuje se jen na hodnoty R a v ze (7.15) a (7.16). Pod´ıvejme se proto nyn´ı,co by Zwicky svoj´ımetodou dostal pro souˇcasn´adata. K aktualizaci jeho v´ypoˇctu vyuˇzijeme ´udaje zveˇrejnˇen´e v [1], [18] a [44], kter´ese ˇc´asteˇcnˇepˇrekr´yvaj´ı.Nˇekter´ezde uv´adˇen´egalaxie do kupy A1656 evidentnˇenepatˇr´ı, i kdyˇzse ve sledovan´em v´yseku oblohy nach´azej´ı.Napˇr´ıklad je zde asi 50 galaxi´ı, jejichˇzradi´aln´ırychlosti pˇresahuj´ı40 000 km/s. Jedna galaxie (viz obr. 8.4 vpravo) se dokonce od n´as vzdaluje rychlost´ı114 990 km/s, coˇzje v´ıce neˇztˇretina rychlosti svˇetla! Podle relativistick´eho vztahu rc + v z = − 1 c − v uveden´eho v [108], s. 348, je jej´ıˇcerven´yposuv z ≈0.5. D´ale podotknˇeme, ˇze vzd´ale nost odpov´ıdaj´ıc´ıpolomˇeru kupy (8.2) by galaxie pohybuj´ıc´ı se rychlost´ı40 000 km/s urazila za necel´ych 50 milion˚ulet. Galaxie nach´azej´ıc´ıse v prav´eˇc´asti histogramu na obr. 8.4 se tedy v kupˇenemohou nal´ezat. Nerovnomˇern´erozloˇzen´ırychlost´ıvzhledem k tˇeˇziˇsti kupy je dobˇre patrn´ez his togram˚una obr. 8.4 a 8.5. Vˇsimnˇeme si jeˇstˇe, ˇze galaxie vykazuj´ıc´ımodr´ya mal´y ˇcerven´yposuv tvoˇr´ısamostatnou skupinu na obr. 8.5 vlevo.8 Proto jsme se pˇri v´y poˇctu (8.3) (a t´eˇz(8.5) d´ale) omezili jen na rychlosti z intervalu 2 000 aˇz12 000 km/s. 8Tato menˇs´ıkupa vlastnˇep˚usob´ıjako slab´apˇreds´adkov´aspojn´aˇcoˇcka. 83 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace 220 200 180 160 140 120 100 80 (velikost binu 2000 km/s) i 60 40 20 et galaxi 0 c -20 0 20 40 60 80 100 120 3 Po Rychlost (10 × km/s) Obr. 8.4. Histogram radi´aln´ıch rychlost´ıgalaxi´ıs magnitudou nepˇresahuj´ıc´ı20, kter´ese v projekci zobrazuj´ıdo t´eˇc´asti nebesk´esf´ery, kde se kupa A1656 nach´az´ı. 30 25 20 15 (velikost binu 200 km/s) i 10 5 et galaxi c 0 0 5000 10000 15000 20000 Po Rychlost (km/s) Obr. 8.5. Detail histogramu z obr. 8.4 pro radi´aln´ırychlosti menˇs´ıneˇz25 000 km/s. Galaxie s modr´ym posuvem jsou vlevo. Pln´aˇc´ara pˇredstavuje proloˇzen´ıuvaˇzovan´ych dat Gaussovou kˇrivkou. Protoˇze kupa m´arelativnˇemal´y´uhlov´ypr˚umˇer, maj´ıvˇsechny jej´ıgalaxie pˇrib liˇznˇestejnou vzd´alenost od Zemˇe. Budeme proto pˇredpokl´adat, ˇze hmotnost kaˇzd´e galaxie je pˇr´ımo ´umˇern´ajej´ımu pozorovan´emu svˇeteln´emu toku. Oznaˇcme I hustotu svˇeteln´eho toku nˇejak´edan´ereferenˇcn´ıgalaxie o hmotnosti m a magnitudˇe µ. Pak hustota toku Ii uvaˇzovan´e i t´egalaxie o hmotnosti mi a zmˇeˇren´emagnitudˇe µi splˇnuje Pogsonovu rovnici (viz [108], s. 370 a [199], s. 22) I µ − µ =2.5 log i , i 10 I 84 8. Probl´em chybˇej´ıc´ıhmoty coˇzpo vydˇelen´ı2.5 a odlogaritmov´an´ıd´av´a I m 100.4(µ−µi) = i = i . I m 0.4 µ −0.4 µi Odtud plyne, ˇze mi = m 10 10 . Proto lze pro jednoduchost pˇredpokl´adat, −0.4 µi ˇze hmotnosti mi jsou podle Pogsonova vztahu ´umˇern´e10 . Tento trik n´am umoˇzˇnuje vypoˇc´ıtat pr˚umˇernou radi´aln´ırychlost v definovanou vztahem (7.10) (resp. v z (7.11) a (8.3)), aniˇzbychom znali konkr´etn´ı hodnoty mi. Staˇc´ın´am zn´at jen magnitudy jednotliv´ych galaxi´ı.Proto lze pr˚umˇernou rychlost vzdalov´an´ıcel´ekupy vyj´adˇrit vztahem N −0.4 µi 1 Pi 10 vi v = X mivi ≈ , M 10−0.4 µi i=1 Pi kde sˇc´ıt´ame jen pˇres 352 nejjasnˇejˇs´ıch galaxi´ıse zn´am´ymi magnitudami nepˇresahuj´ıc´ı mi 20. Pˇresto se velikosti sˇc´ıtanc˚uliˇs´ıo mnoho ˇr´ad˚u. Aby zaokrouhlovac´ıchyby nezne hodnotily v´yslednou pˇresnost, je tˇreba v sum´ach sˇc´ıtat od nejmenˇs´ıch ˇclen˚upoˇc´ınaje (viz [135], [154]). Tak po dosazen´ınamˇeˇren´ych magnitud a rychlost´ıdost´av´ame v ≈ 6877 km/s. (8.5) Podle (8.1), (8.2) a (8.3) tak vych´az´ıcelkov´aviri´alov´ahmotnost kupy9 M =3.25 × 1045 kg. (8.6) Pro srovn´an´ı (viz t´eˇz(7.8)) uved’me doln´ı odhad baryonov´ehmotnosti kupy zaloˇzen´yopˇet na Pogsonovˇevztahu a zmˇeˇren´ych sv´ıtivostech jednotliv´ych galaxi´ı N M >C X 10−0.4 µi =3.3 × 1044 kg, i=1 kde C = m 100.4 µ je ˇsk´alovac´ıkonstanta a µ = 12.78 mag je referenˇcn´ımagnituda srovn´avac´ı galaxie NGC 4874, kter´aje podle [301] desetkr´at hmotnˇejˇs´ı neˇznaˇse Galaxie. Tedy 13 43 m = 10MG = 10 M⊙ =2 × 10 kg, (8.7) 12 kde celkov´ahmotnost naˇs´ıGalaxie MG = 10 M⊙ je uvedena v astronomick´ych ta bulk´ach [165], s. 127. Vid´ıme, ˇze hmotnost M urˇcen´az vˇety o viri´alu je o ˇr´ad vˇetˇs´ı neˇzdoln´ı odhad hmotnosti M. Nicm´enˇevznik´aot´azka, kolik ˇcin´ı celkov´ahmot nost cca tis´ıce nezapoˇc´ıtan´ych menˇs´ıch galaxi´ı,mezigalaktick´enesv´ıt´ıc´ıbaryonov´e 9Odtud a z (8.2) dostaneme pr˚umˇernou hustotu kupy ρ = 8 × 10−24 kg/m3, coˇzje podstatnˇe v´ıce, neˇzˇcin´ısouˇcasn´apr˚umˇern´ahustota vesm´ıru ≈ 10−27 kg/m3. Pro srovn´an´ıuved’me, ˇze v [25] se −3 −22 3 hustota temn´ehmoty v naˇs´ıGalaxii odhaduje na 0.008 M⊙pc =5.444×10 kg/m . Podle [188] je vˇsak tato hustota pˇrinejmenˇs´ımo ˇr´ad menˇs´ı. 85 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace hmoty apod. Napˇr´ıklad studiem rentgenov´eho z´aˇren´ıse zjistilo, ˇze mezigalaktick´e prostˇred´ıv kupˇeobsahuje aˇzpˇetkr´at v´ıce baryonov´e hmoty, neˇzje ve hvˇezd´ach cel´e kupy (viz [20], [93], [283]). V mezigalaktick´em prostˇred´ıbyl t´eˇz detekov´an obrovsk´y slapov´yocas hvˇezd o celkov´ehmotnosti rovn´e20 % hmotnosti galaxie NGC 4874, viz [76], s. 551. Podle [278] se v mezigalaktick´em prostoru kupy nal´ez´a30–50 % hvˇezd z celkov´eho poˇctu vˇsech hvˇezd kupy. Vˇsechny tyto argumenty pˇrisp´ıvaj´ık vyˇsˇs´ıhod notˇe M a pom´ahaj´ıvysvˇetlit vyˇsˇs´ıpozorovan´erychlosti galaxi´ı. Pokud tvrd´ıme, ˇze temn´ahmota existuje, mˇeli bychom nejprve umˇet spolehlivˇe odhadnout vˇsechny chyby, kter´ych jsme se dopustili v bodech 1–15 z odd´ılu8.1. Zejm´ena chyby popsan´ev 9 a 11–15 mohou b´yt dosti velk´e. ⊙ ⊙ ⊙ 8.3. Sn´ıˇzen´ıodhadu viri´alov´ehmotnosti kupy A1656 Pokusme se nyn´ıpodrobnˇeji odhadnout rozmanit´echyby v urˇcen´ıviri´alov´ehmot nosti (8.1) zp˚usoben´enˇekter´ymi jevy z odd´ılu8.1. 5 Nerovnomˇernost rozloˇzen´ıhmoty. Uk´aˇzeme, ˇze koeficient 3 v (8.1) by mˇel b´yt menˇs´ı.Z obr. 8.6 je patrn´e, ˇze rozloˇzen´ıgalaxi´ıv galaktick´ekupˇeA1656 zdaleka nen´ırovnomˇern´e, jak Zwicky uvaˇzoval. Pˇredpokl´adejme, ˇze rozloˇzen´ıhustoty ρ = ρ(r) je sf´ericky symetrick´ev kouli o polomˇeru R (viz (8.2)). Pak celkovou hmotnost kupy lze vyj´adˇrit integr´alem R M = Z ρ(r)4πr2 dr. (8.8) 0 Zwicky pˇredpokl´adal, ˇze ρ nez´avis´ı na r. D´ale budeme proto uvaˇzovat obecnˇejˇs´ı rozloˇzen´ıhustoty, kter´eje bliˇzˇs´ıpozorovan´emu hmotnostn´ımu profilu, ρ(r)= a(Rb − rb), 0 ≤ r ≤ R, (8.9) kde b> 0 a parametr 3(b + 3)M a = (8.10) 4πbRb+3 je zvolen tak, aby byla splnˇena podm´ınka (8.8), tj. R Rb+3 Rb+3 4πabRb+3 Z a(Rb − rb)4πr2 dr =4πa − = = M. 0 3 b +3 3(b + 3) Nyn´ıse pokus´ıme modifikovat rovnici (7.12) odvozenou pro konstantn´ıhustotu na pˇr´ıpad sf´ericky symetrick´eho rozloˇzen´ıhustoty ρ. Pro s´ılu Fi p˚usob´ıc´ına galaxii 86 8. Probl´em chybˇej´ıc´ıhmoty 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8 -1 -1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Obr. 8.6. Horn´ıobr´azek ukazuje rozloˇzen´ıgalaxi´ıv kupˇeA1656 z p˚uvodn´ıho Zwickyova ˇcl´anku [300], s. 227. Lev´ydoln´ıobr´azek ilustruje n´ahodnˇegenerovan´ystejn´ypoˇcet galaxi´ı reprezentovan´ych body, kter´ejsou rovnomˇernˇerozloˇzeny uvnitˇrtrojrozmˇern´ekoule a jsou prom´ıtnuty do roviny. Prav´ydoln´ıobr´azek ukazuje rozloˇzen´ı(8.9) pro b = 1 v projekci do roviny, kter´eje podobn´eskuteˇcn´emu rozloˇzen´ız horn´ıho obr´azku. o hmotnosti mi, kter´aje d´ana polohov´ym vektorem ri, dostaneme podle prvn´ıa druh´e Newtonovy vˇety z odd´ılu4.1 a (8.9) | | ri 2 b 3 b+3 Gmiri R 4πρ(r)r dr 4πGam r R |r | |r | − 0 − i i i − i Fi = 3 = 3 |ri| |ri| 3 b +3 Rb |r |b = −4πGam r − i . i i 3 b +3 87 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Tud´ıˇzcelkov´apotenci´aln´ıenergie je N N Rb|r |2 |r |b+2 V = X F r = −4πGa X m i − i . (8.11) i i i 3 b +3 i=1 i=1 D´ale potˇrebujeme vyˇc´ıslit stˇredn´ıhodnotu (srov. (7.13)) mocniny re pro e = 2 a e = b + 2. Pomoc´ı(8.8) a (8.9) dostaneme R R reρ(r)4πr2 dr 4πa R re = 0 = Z (Rb − rb)re+2dr R 2 M R0 ρ(r)4πr dr 0 4πa Rb+e+3 Rb+e+3 4πabRb+e+3 = − = . M e +3 b + e +3 M(b + e + 3)(e + 3) Z t´eto rovnosti pro exponenty e =2a e = b + 2 a vztah˚u(8.11), M = Pi mi a (8.10) zjist´ıme, ˇze Rb4πabRb+5 4πabR2b+5 N V ≈ −4πGa − X m 3M 5(b + 5) M(b + 3)(b + 5)(2b + 5) i i=1 b b = −(4πa)2GR2b+5 − 15(b + 5) (b + 3)(b + 5)(2b + 5) 3(b + 3)M 2 b2(2b + 11) = −4π GR2b+5 4πbRb+3 15(b + 3)(b + 5)(2b + 5) 3GM 2 (b + 3)(2b + 11) = − . 5R (b + 5)(2b + 5) Odtud, z vˇety o viri´alu (7.5) a (7.11) obdrˇz´ıme nov´yvztah pro sn´ıˇzenou viri´alovou hmotnost 5Rv2 (b + 5)(2b + 5) M = , (8.12) 3G (b + 3)(2b + 11) coˇzpro b → ∞ d´av´ap˚uvodn´ıZwicky˚uv odhad (8.1). Nejlepˇs´ıodhad parametru b hustoty rozloˇzen´ı z horn´ıho obr. 8.6 je bl´ızk´yhodnotˇe b ≈ 1. Odpov´ıdaj´ıc´ı koefi 35 5 cient 26 z (8.12) je jen 80% zlomku 3 z (8.1). Protoˇze vˇsak jsou tˇeˇzˇs´ıgalaxie bl´ıˇze stˇredu (viz obr. 7.3 a 8.1), vztah (8.1) m˚uˇze pˇreceˇnovat celkovou viri´alovou hmotnost aˇzo 20–25%. Relativistick´eefekty vysok´ych rychlost´ı. Pomoc´ıHubbleova vztahu v = H0d (8.13) 88 8. Probl´em chybˇej´ıc´ıhmoty uˇzit´eho pro v = v a hodnot uveden´ych v (7.7) a (8.5) se odhaduje, ˇze galaktick´a kupa A1656 je od n´as vzd´alena d ≈ 100 Mpc. Pˇritom se pˇredpokl´ad´a, ˇze odpov´ıdaj´ıc´ı ˇcerven´yposuv line´arnˇevzr˚ust´ase vzd´alenost´ı d, tj. H z = 0 d =0.023, (8.14) c kde c = 299 792 458 m/s je rychlost svˇetla ve vakuu.10 V´yˇse uveden´avzd´alenost d je ale trochu pˇrecenˇena, protoˇze je tˇreba vz´ıtv ´uvahu relativistick´eefekty zp˚usoben´e velkou rychlost´ı vzdalov´an´ı kupy (8.5). Klasick´yvztah pro n´ar˚ust vlnov´ed´elky λ elektromagnetick´eho z´aˇren´ı λ − λ v z = 0 = , λ0 c kde λ0 je zmˇeˇren´avlnov´ad´elka, je li zdroj z´aˇren´ıv˚uˇci pozorovateli v klidu, je tˇreba zamˇenit relativistick´ym vztahem [108] s v 1+ c λ = λ0 v . 1 − c Odtud pro z =0.023 dost´av´ame z(z + 2) v = c = 6820 km/s, z2 +2z +2 coˇzje t´emˇeˇro 1 % menˇs´ırychlost neˇz(8.5). Vzd´alenost d je podle (8.13) tedy zhruba o 1 % menˇs´ı,a proto je i polomˇer R z (8.1) menˇs´ıo 1 %. Gravitaˇcn´ıˇcerven´yposuv. Vzd´alenost d je rovnˇeˇzpˇrecenˇena v d˚usledku gra vitaˇcn´ıho ˇcerven´eho posuvu galaktick´ekupy, kter´yby mˇel b´yt odeˇcten od celkov´eho namˇeˇren´eho ˇcerven´eho posuvu. Souˇcin cz se pro mal´a z (tj. z ≪ 1) obˇcas t´eˇznaz´yv´a ˇcerven´yposuv a ud´av´ase v km/s. Podle [37], s. 10, je celkov´ygravitaˇcn´ıposuv dvou obˇr´ıch centr´aln´ıch galaxi´ıkolem 61 km/s, coˇzje cca 1 % rychlosti (8.5). I kdyˇzjsou ˇcerven´eposuvy galaxi´ıv okrajov´ych oblastech kupy A1656 jen 20 km/s, opˇet to vede ke sn´ıˇzen´ıskuteˇcn´evzd´alenosti kupy od n´as. Proto je menˇs´ıi polomˇer (8.2), rych lost (8.3) i celkov´aviri´alov´ahmotnost (8.1). Podobn´ehodnoty gravitaˇcn´ıch ˇcerven´ych posuv˚use uv´adˇej´ıv [27], [106] a [292]. Gravitaˇcn´ıˇcoˇckov´an´ı. Ohyb svˇeteln´ych paprsk˚uzp˚usoben´ysiln´ym gravitaˇcn´ım polem galaktick´ekupy A1656 lze odhadnout pomoc´ı(8.2), (8.6) a zn´am´eho vztahu pro ´uhel ohybu (viz napˇr. [91], s. 34; [231] a [262]) 4GM φ = ≈ 2 × 10−4 rad ≈ 0.7′, c2R 10V dobˇe, kdy svˇetlo opustilo galaktickou kupu, byl vesm´ır(z +1)kr´at menˇs´ı.Urˇcovat vzd´alenosti v rozp´ınaj´ıc´ımse vesm´ıru je tedy velice obt´ıˇzn´ea nav´ıc nejednoznaˇcn´e. V kosmologii se proto definuje cel´aˇrada r˚uzn´ych vzd´alenost´ı(angl. angular, comoving, light-year, luminosity, Minkowski, parallax, proper motion, redshift, . . . distance), viz napˇr. [3], [208], [287]. 89 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Obr. 8.7. Pr˚ubˇeh Hubbleova parametru H = H(t) je vyznaˇcen plnou ˇcarou podle dat z [208]. Cerchovanˇejeˇ zn´azornˇen pr˚ubˇeh deceleraˇcn´ıho parametru q = −1 − H/H˙ 2, kter´y byl odvozen pomoc´ınumerick´eho derivov´an´ıfunkce H = H(t). Na spodn´ıhorizont´aln´ıose je ˇcas v miliard´ach let od Velk´eho tˇresku a na horn´ıose je odpov´ıdaj´ıc´ıˇcerven´yposuv z. kde φ =(β−α)/2, srov. obr. 8.3. Tato hodnota pˇredstavuje asi 1 % z 1◦, kter´yzhruba odpov´ıd´a´uhlov´emu polomˇeru β/2 uvaˇzovan´ekupy (srov. (8.2)). Tud´ıˇz R v (8.1) by opˇet mˇelo b´yt asi o 1 % menˇs´ı. Klesaj´ıc´ıHubble˚uv parametr. Rychlost rozp´ın´an´ıvesm´ıru je charakterizova n´aHubbleov´ym parametrem H = H(t), kter´ypodstatnˇez´avis´ına celkov´ehustotˇe hmoty a temn´eenergie. Definujeme si jej v (10.3). Hodnoty tohoto parametru klesaj´ı s ˇcasem, jak je patrno z obr. 8.7. Podle [208] je jeho hodnota pro ˇcerven´yposuv z = 0.023 o v´ıce neˇz1 % vˇetˇs´ıneˇzsouˇcasn´ahodnota H0. Vzd´alenost d v (8.14) je z tohoto d˚uvodu opˇet pˇrecenˇena. Pˇr´ıspˇevek od temn´eenergie. Myˇslenkou, ˇze by se vesm´ırmohl rozp´ınat nejen glob´alnˇe, ale i lok´alnˇe, se poprv´ezab´yval McVittie v ˇcl´anku [179] z roku 1933. Lok´aln´ı expanze na ˇsk´al´ach Sluneˇcn´ısoustavy (viz napˇr. [53], [54], [137], [139], [296]) m´arych lost srovnatelnou s Hubbleovou konstantou, kter´acharakterizuje glob´aln´ı expanzi cel´eho vesm´ıru, jak jeˇstˇeuvid´ıme ve druh´eˇc´asti kn´ıˇzky. Rovnˇeˇzgalaxie a dokonce i vˇetˇs´ıstruktury se tak´epozvolna rozp´ınaj´ı,viz [144], [156], [217]. Podle (7.7) je hod 5 nota Hubbleovy konstanty pˇrepoˇcten´ana polomˇer kupy (8.2) rovna RH0 ≈ 10 m/s, coˇz je v´ıce neˇz 5 % rychlosti (8.5). Zv´yˇs´ı se n´am tak stˇredn´ı kvadratick´arych 90 8. Probl´em chybˇej´ıc´ıhmoty lost v, ve srovn´an´ıs rychlost´ı,jakou bychom dostali, kdyby temn´a energie na kupu nep˚usobila. To m˚uˇze b´yt dalˇs´ız d˚uvod˚u, proˇcZwicky pozoroval pˇr´ıliˇsvelk´erychlosti v kupˇeA1656. Protoˇze je rychlost v v (8.12) v kvadr´atu, m˚uˇze pˇr´ıspˇevek od temn´e energie zd´anlivˇenav´yˇsit skuteˇcnou hodnotu M aˇzo 10 % (viz tabulka 8.1). Tabulka 8.1. Nˇekter´ejevy a jejich odpov´ıdaj´ıc´ıprocentu´aln´ıvliv, jenˇzsniˇzuje viri´alovou hmotnost M, pozorovan´ypolomˇer R galaktick´ekupy A1656 a stˇredn´ıkvadratickou rychlost galaxi´ı v. Jev M R v 1 Nerovnomˇernost rozloˇzen´ıhmoty 20–25 0 0 2 Relativistick´eefekty vysok´ych rychlost´ı 3 1 1 3 Gravitaˇcn´ıˇcerven´yposuv 3 1 1 4 Gravitaˇcn´ıˇcoˇckov´an´ı 1 1 0 5 Klesaj´ıc´ıHubble˚uv parametr 3 1 1 6 Pˇr´ıspˇevek od temn´eenergie 10 0 5 Sn´ıˇzen´ı stˇredn´ı kvadratick´e rychlosti. Existuje jeˇstˇe jeden kvadraticky neline´arn´ı jev, kter´ym´anezanedbateln´yvliv na odhad v´ysledn´ehmotnosti [146]. V pˇredchoz´ımtextu jsme uk´azali, ˇze stˇredn´ırychlosti vzdalov´an´ı v a vi byly pˇrecenˇeny o nˇekolik procent. Kdyby to bylo napˇr. o 8 %, pak ˇctverec v2 definovan´yv (7.11) by byl pˇrecenˇen´ypˇribliˇznˇeo 100(1 − 0.922) = 15 %. To opˇet podstatnˇeredukuje odha dovanou hmotnost (8.6) oproti viri´alov´ehmotnosti (8.1) ˇci (8.12). Vˇsech 7 v´yˇse analyzovan´ych nez´avisl´ych jev˚upodstatnˇesniˇzuje celkovou viri´alo vou hmotnost (8.1). Odhadovan´ahmotnost ve vztahu (8.6) tak m˚uˇze b´yt poloviˇcn´ı nebo jeˇstˇemenˇs´ı. ⊙ ⊙ ⊙ 8.4. Jakou hmotnost m´atemn´ahmota v centru kupy A1656 Podle [104] rozloˇzen´ıtemn´ehmoty v kupˇezhruba kop´ıruje rozloˇzen´ıgalaxi´ı.Na z´avˇer proto uved’me jeˇstˇepˇr´ıklad ilustruj´ıc´ı,zda je v˚ubec nutn´epostulovat existenci temn´e mezigalaktick´ehmoty v centr´aln´ıoblasti kupy A1656. Pro jednoduchost pˇredpokl´adejme, ˇze obˇe obˇr´ı eliptick´e galaxie NGC 4889 a NGC 4874 (viz obr. 7.3) maj´ıstejnou hmotnost m definovanou v (8.7) a ˇze ob´ıhaj´ı kolem sebe rychlost´ı v po kruˇznici se stˇredem O a polomˇerem r. Pokud by jedna z tˇechto galaxi´ımˇela menˇs´ıhmotnost, tak by ob´ıhala vˇetˇs´ırychlost´ıpo delˇs´ıdr´aze, a t´ım by zachycovala v´ıce menˇs´ıch galaxi´ı neˇzdruh´aobˇr´ı galaxie. T´ımto mecha nizmem se hmotnosti obou galaxi´ıvyrovn´avaj´ı. 91 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Protoˇze gravitaˇcn´ıpotenci´al uvnitˇrhomogenn´ıkulov´evrstvy je konstantn´ı(viz druh´aNewtonova vˇeta 4.2), vnˇejˇs´ıgalaxie ani pˇr´ıpadn´a temn´ahmota vnˇekoule se stˇredem O a polomˇerem r nemaj´ı na tento pohyb pˇr´ıliˇsvelk´yvliv. Z Newtonova gravitaˇcn´ıho z´akona a vztahu pro dostˇredivou s´ılupak dostaneme Gm2 mv2 = . (8.15) 4r2 r Vzd´alenost obou galaxi´ına nebesk´esf´eˇre je 8.15′. Tento tento ´uhel odpov´ıd´aprojek tovan´evzd´alenosti 7.32 × 1021 m, pokud je stˇred kupy od n´as vzd´alen 100 Mpc. Pro polomˇer dr´ahy r tedy plat´ı r ≥ 3.66 × 1021 m. (8.16) Podle dat11 z roku 2005 (viz [1], s. 19) jsou namˇeˇren´eradi´aln´ırychlosti obou galaxi´ı 6472 km/s a 7189 km/s. Pˇritom jejich pr˚umˇerv ˜ = 6830.5 km/s velice dobˇre korespon duje s pr˚umˇernou rychlost´ıvzdalov´an´ıcel´ekupy (8.5). Pro radi´aln´ırychlost vradial vzhledem kv ˜ podle (8.7), (8.15) a (8.16) vych´az´ı 7189000 − 6472000 rGm 3.585 × 105 = = v ≤ v = 2 radial 4r r6.673 × 10−11 × 2 × 1043 ≤ =3.02 × 105 (m/s). (8.17) 4 × 3.66 × 1021 Porovn´ame li levou a pravou stranu, dostaneme m´ırn´ynesoulad. Tento zjednoduˇsen´y pˇr´ıklad tedy naznaˇcuje, ˇze Newtonova mechanika nepopisuje realitu zcela vˇernˇenebo jsou ˇspatnˇeodhadnuty hmotnosti ˇci radi´aln´ırychlosti obou eliptick´ych galaxi´ınebo je tˇreba pˇredpokl´adat existenci nˇejak´enesv´ıt´ıc´ı hmoty mezi galaxiemi, i kdyˇzse nezd´a, ˇze by j´ımˇelo b´yt 10kr´at v´ıce neˇzhmoty sv´ıt´ıc´ı. Kdybychom napˇr. zahrnuli vliv mal´ych galaxi´ıa obrovsk´eho mnoˇzstv´ıosamˇel´ych hvˇezd [278], kter´ejsou uvnitˇr koule se stˇredem O a polomˇerem r, dostali bychom pravou stranu (8.17) podstatnˇe vˇetˇs´ı.Tak´edoln´ıodhad v (8.16) je menˇs´ı,protoˇze kupa zvˇetˇsuje ´uhlov´evzd´alenosti v d˚usledku gravitaˇcn´ıho ˇcoˇckov´an´ı. To je dalˇs´ı d˚uvod pro to, ˇze by prav´astrana v (8.17) mˇela b´yt ve skuteˇcnosti vˇetˇs´ı. Podle druh´eNewtonovy vˇety 4.2 m´ana rychlost obou obˇr´ıch centr´aln´ıch galaxi´ı vliv zejm´ena hmota nach´azej´ıc´ıse v kouli o polomˇeru r. Jak jsme jiˇzzm´ınili, uvnitˇr galaktick´ych kup je vˇsak alespoˇn5kr´at v´ıce baryonov´ehmoty ve formˇehork´eho plynu emituj´ıc´ıho rentgenov´ez´aˇren´ı neˇzbaryonov´ehmoty obsaˇzen´ev galaxi´ıch (viz [2], [20], [283]). Zwicky˚uv paradox pozorovan´ych velk´ych rychlost´ı tak pomine, nebot’ m˚uˇze m´ıtzcela pˇrirozen´evysvˇetlen´ı.Potˇrebujeme v˚ubec postulovat existenci temn´e hmoty, kter´aby se v okol´ıgalaxi´ıkoncentrovala? ⊙ ⊙ ⊙ 11Podle starˇs´ıch dat [18] z roku 1995 jsou radi´aln´ırychlosti obou galaxi´ı6505 km/s a 7108 km/s, coˇzd´av´ana lev´estranˇe(8.17) menˇs´ıhodnotu 3.015 × 105 m/s. 92 9. Ploch´erotaˇcn´ıkˇrivky spir´aln´ıch galaxi´ı V´yhodou matematiky je skuteˇcnost, ˇze se m˚uˇzete sami pˇresvˇedˇcit, zda m´ate pravdu ˇci se m´yl´ıte. Norman Macrae 9.1. Vera Rubinov´a Vera Rubinov´aroz. Cooperov´azasvˇetila celou svoji vˇedeckou kari´eru prosazov´an´ı revoluˇcn´ıch myˇslenek, jeˇzv´yznamnˇeovlivnily rozvoj soudob´eastronomie. Jej´ıotec poch´azel z Litvy a matka z Moldavska. Ve sv´ediplomov´epr´aci na Cornellovˇeuniver zitˇese zab´yvala z´asadn´ıot´azkou, zda by vesm´ırmohl rotovat jako celek.1 Skolitelemˇ Obr. 9.1. Vera Rubinov´aroz. Cooperov´a(*1928), foto Robert Rubin 1Na vlastn´ıteorii rotuj´ıc´ıho vesm´ıru pracoval i Kurt G¨odel [73]. Pro libovolnou lichou dimenzi n lze sf´eru Sn rotovat kolem stˇredu tak, ˇze vˇsechny body maj´ıstejnou rychlost (lze ji totiˇz uˇcesat“). ” Nejedn´ase tedy o rotaci kolem osy. 93 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace jej´ıdoktorsk´edizertace byl George Gamow, kter´yna toto t´ema publikoval ˇcl´anek [69]. Rubinov´abyla prvn´ı ˇzenou, kter´apouˇz´ıvala pˇr´ıstroje na kalifornsk´e observatoˇri Mt. Palomar. Jej´ıˇzivotn´ıdr´aha je podrobnˇepops´ana napˇr. v [195]. Koncem sedmdes´at´ych let minul´eho stolet´ıV. Rubinov´azjistila, ˇze spir´aln´ıgalaxie nemaj´ıdostatek hmoty k vysvˇetlen´ısv´erychl´erotace. Nevˇeˇrila vˇsak, ˇze by vesm´ır mˇel obsahovat nˇejakou dokonale pr˚uhlednou ale temnou hmotu, i kdyˇzj´ıto mˇeˇren´ı naznaˇcovala. Sama o t´eto z´ahadˇeprohl´asila [28]: If I could have my pick, I would like to learn that Newton’s laws must be modified in order to correctly describe gravitational interaction at large distances. That’s more appealing than a universe filled with a new kind of sub-nuclear particle. Nejvˇetˇs´ımobjevem Very Rubinov´ebyla skuteˇcnost, ˇze spir´aln´ıgalaxie maj´ı plo ” ch´e“ rotaˇcn´ıkˇrivky (viz [234]). Na z´akladˇetoho pak v 70. letech minul´eho stolet´ı rozpracovala vlastn´ıteorii rotaˇcn´ıch kˇrivek galaxi´ı.Z vysok´ych obˇeˇzn´ych rychlost´ı hvˇezd usoudila, ˇze by galaxie mˇely obsahovat mnohem v´ıce nesv´ıt´ıc´ıl´atky neˇzsv´ıt´ıc´ı, aby v˚ubec drˇzely gravitaˇcnˇepohromadˇe— viz jej´ıpˇrehledov´yˇcl´anek [233] o temn´e hmotˇe. ⊙ ⊙ ⊙ 9.2. Spir´aln´ıgalaxie nerotuj´ıpodle Keplerov´ych z´akon˚u Pod´ıvejme se nyn´ıpodrobnˇeji na hypot´ezu Very Rubinov´e. Uvaˇzujme testovac´ıˇc´astici o hmotnosti m (typicky se bude jednat o hvˇezdu) a necht’ M ≫ m je hmotnost dalˇs´ıho hmotn´eho bodu generuj´ıc´ıho pole centr´aln´ıs´ıly. Pˇredpokl´adejme, ˇze testovac´ıˇc´astice ob´ıh´akolem stˇredu po kruhov´eorbitˇeo polomˇeru r rychlost´ı v. Pak z Newtonova gravitaˇcn´ıho z´akona a vztahu pro dostˇredivou s´ıluRubinov´a [232] snadno odvodila, ˇze Mm mv2 rGM G = , tj. v = . (9.1) r2 r r Rychlost v ˇc´astice na kruhov´eorbitˇeje tedy ´umˇern´a r−1/2. Takov´edr´ahy se naz´yvaj´ı keplerovsk´e (viz obr. 9.2). Vera Rubinov´auv´ad´ı(viz [234], s. 491), ˇze rotaˇcn´ıkˇrivky galaxi´ıjsou ploch´ea neklesaj´ı keplerovsky“, jak by mˇely. ” Pro vysvˇetlen´ı tohoto paradoxu je ale d˚uleˇzit´esi uvˇedomit, ˇze spir´aln´ıgalaxie nemaj´ı pole centr´aln´ı s´ıly kromˇebl´ızk´eho okol´ı stˇredu, kde napˇr. v naˇs´ı Galaxii hvˇezdy S1, S2, . . . ob´ıhaj´ıcentr´aln´ıˇcernou d´ıru podle Keplerov´ych z´akon˚urychlostmi aˇz7000 km/s, srov. (4.20). Hmotnost t´eto d´ıry je zhruba 3.5 milion˚uhmotnost´ı Slunce, coˇzje m´enˇeneˇzjedno promile celkov´ehmotnosti galaxie (srov. (9.5)). Ve Sluneˇcn´ı soustavˇeje naopak 99.85 % hmotnosti soustˇredˇeno ve Slunci. Planety se 94 9. Ploch´erotaˇcn´ıkˇrivky spir´aln´ıch galaxi´ı v r r 0 0 Obr. 9.2. C´arkovanˇeˇ je zn´azornˇen pokles rychlost´ı keplerovsk´ych drah v z´avislosti na vzd´alenosti r od stˇredu spir´aln´ıgalaxie. Pln´aˇc´ara ukazuje idealizovanou rotaˇcn´ıkˇrivku, jej´ıˇztvar objevila Vera Rubinov´a. gravitaˇcnˇet´emˇeˇrneovlivˇnuj´ı a jejich pohyb je urˇcov´an pˇredevˇs´ım centr´aln´ı silou Slunce. Naproti tomu dr´ahy hvˇezd v galaktick´em disku jsou podstatnˇeovlivˇnov´any zejm´ena sousedn´ımi hvˇezdami, protoˇze centr´aln´ıv´ydut’ obsahuje jen cca 10 % vˇsech hvˇezd Galaxie. V pozn´amce 9.1 naznaˇc´ıme, proˇcje silov´ep˚usoben´ıdiskov´eho tvaru galaxie na testovac´ıˇc´astici o dost vˇetˇs´ı,neˇzkdyˇzcelou jej´ıhmotnost soustˇred´ıme do jednoho centr´aln´ıho bodu. Podrobnˇeji to pak rozvedeme v odd´ılu9.4. Obˇeˇzn´arychlost v hvˇezd na kruhov´ych drah´ach ve spir´aln´ıgalaxii by proto mˇela b´yt vyˇsˇs´ıneˇzpro keplerovsk´e dr´ahy. Vera Rubinov´a[233] (viz t´eˇz[235], s. 480) zjistila u okoln´ıch spir´aln´ıch galaxi´ı 2 3 t´emˇeˇrstejn´ekonstantn´ı rychlosti vˇsech hvˇezd ˇr´adu v ≈ 200 km/s pro r>r0, kde r0 zhruba odpov´ıd´apolomˇeru centr´aln´ıv´ydutˇe(angl. bulge) a je typicky rovno nˇekolika kpc (viz obr. 9.2 a 9.3). Na druh´e stranˇe, vnitˇrek spir´aln´ı galaxie pro r ≤ r0 vˇcetnˇeeventu´aln´ıpˇr´ıˇcky rotuje zhruba konstantn´ı ´uhlovou rychlost´ıpodobnˇe jako gramofonov´adeska. Centr´aln´ıv´ydut’ m´atotiˇzt´emˇeˇrkonstantn´ıhustotu hmoty a pˇribliˇznˇekulov´ytvar [17]. Proto je hmotnost M(r) koule o polomˇeru r ´umˇern´a r3. Podle vztahu (9.1) je pak rychlost hvˇezd v line´arnˇe´umˇern´ajejich vzd´alenosti r od stˇredu (viz obr. 9.2). Pozn´amka 9.1. Vztah (9.1) poskytuje jen hrub´yodhad, pokud bychom jej chtˇeli pouˇz´ıtk vyj´adˇren´ıobˇeˇzn´ych rychlost´ıhvˇezd ve spir´aln´ıgalaxii. Ukaˇzme proto nyn´ı, ˇze testovac´ıˇc´astice (hvˇezda) ob´ıhaj´ıc´ıkouli o polomˇeru r se zcela libovoln´ym sf´ericky symetrick´ym rozloˇzen´ımhustoty (srov. prvn´ıNewtonovu vˇetu 4.1) m´aniˇzˇs´ırychlost, neˇzkdyby ob´ıhala disk o stejn´em polomˇeru r a stejn´ehmotnosti. Pˇritom budeme 2Spir´aln´ıgalaxie typu Sc nebo SBc pˇripom´ınaj´ısv´ym tvarem hodnˇeotevˇren´ep´ısmeno S. Je pozoruhodn´e, ˇze pro namˇeˇrenou t´emˇeˇrstejnou konstantn´ırychlost hvˇezd ([233], s. 7) se spir´aln´ıra- mena nezav´ıjej´ıa ˇze v nich nedoch´az´ık oˇcek´avan´emu utahov´an´ı“ ramen, kdyˇzgalaxie uˇzvykonaly ” mnoho otoˇcek. Jen tˇeˇzko lze pˇredpokl´adat, ˇze se jedn´ao jak´esi hustotn´ıvlny [17], s. 544. 3Ve Sluneˇcn´ısoustavˇeby podobn´yjev odpov´ıdal tomu, ˇze by Merkur ob´ıhal Slunce stejnou rychlost´ıjako Neptun. 95 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Obr. 9.3. Velk´aspir´aln´ı galaxie M31 v Andromedˇezab´ır´ana nebesk´esf´eˇre 6kr´at vˇetˇs´ı plochu neˇzMˇes´ıc v ´uplˇnku. M´azˇretelnou centr´aln´ı v´ydut’. uvaˇzovat speci´aln´ırozloˇzen´ıhustoty disku, kter´evznikne projekc´ıhmotnosti koule kolmo do roviny disku xy. Abychom se o tomto tvrzen´ı pˇresvˇedˇcili, staˇc´ı uvaˇzovat dva libovoln´ehmotn´e body o hmotnostech m1 = m2 um´ıstˇen´euvnitˇrkoule zrcadlovˇesymetricky vzhledem k rovinˇe xy (viz obr. 9.4). Potom celkov´as´ıla F , kterou oba body p˚usob´ına testovac´ı ˇc´astici o hmotnosti m, bude menˇs´ıneˇzs´ıla F , kterou by oba hmotn´ebody p˚usobily na m, kdyby se nal´ezaly pˇr´ımo na disku. Oznaˇcme d vzd´alenost mezi m1 a m. Je li b jej´ıortogon´aln´ıprojekce do roviny xy, pak 2m1m b 2m1m F = G a F = G . d2 d b2 Vid´ıme tedy, ˇze pomˇer sil F a F je roven tˇret´ımocninˇepod´ılu d/b, d 3 F = F ≥ F. (9.2) b Tato kubick´anelinearita zp˚usobuje podle (9.1) vˇetˇs´ıpˇritaˇzlivou gravitaˇcn´ıs´ıludisku neˇzpro kouli, a t´ımi vyˇsˇs´ıobˇeˇznou rychlost kolem disku.4 4Analytick´evyj´adˇren´ısilov´eho p˚usoben´ıcel´eho disku na vnˇejˇs´ıtestovac´ıˇc´astici vede na eliptick´e integr´aly (viz [6], s. 156). 96 9. Ploch´erotaˇcn´ıkˇrivky spir´aln´ıch galaxi´ı m1 d m b m2 Obr. 9.4. Koule se symetricky rozloˇzenou hmotou podle vodorovn´eroviny p˚usob´ına testo- vac´ıˇc´astici menˇs´ısilou neˇzcelkov´ahmotnost koule prom´ıtnut´akolmo do vodorovn´eroviny disku — ˇc´arkovanˇe. ⊙ ⊙ ⊙ 9.3. Obˇeˇzn´arychlost kolem centr´aln´ıho bodov´eho tˇelesa V tomto odd´ılupˇredstav´ıme pomˇernˇehrub´ykonzervativn´ı odhad obˇeˇzn´ych rychlost´ı hvˇezd v pˇr´ıpadˇe, ˇze veˇskerou baryonovou hmotu (tj. zejm´ena protony a neutrony) naˇs´ı Galaxie nahrad´ıme jedn´ımcentr´aln´ımhmotn´ym bodem, kter´ym˚uˇze b´yt podle New tonovy vˇety 4.1 nahrazen koul´ıse sf´ericky symetrick´ym rozloˇzen´ımhustoty. V dalˇs´ım odd´ıluse pak soustˇred´ıme na ploch´ydisk se zcela libovoln´ym rotaˇcnˇesymetrick´ym rozloˇzen´ımhustoty. Polomˇer viditeln´eˇc´asti disku naˇs´ıGalaxie se odhaduje na 20 rG =16 kpc=4.938 10 m. (9.3) Slunce ob´ıh´astˇred Ml´eˇcn´edr´ahy rychlost´ı5 v⊙ = 230 km/s (9.4) na dr´aze o polomˇeru r⊙ =8.3 kpc, tj. nal´ez´ase cca v polovinˇepolomˇeru Galaxie, kde uˇzje hustota hvˇezd pomˇernˇeˇr´ıdk´a. Hvˇezdy ob´ıhaj´ıc´ı stˇred Galaxie ve vzd´alenosti r>r0 ≈ 3 kpc by mˇely m´ıtpodobnou rychlost jako v⊙ vzhledem k oˇcek´avan´eploch´e rotaˇcn´ıkˇrivce (viz obr. 9.2). Oznaˇcme M(rG) hmotnost baryonov´el´atky (tj. vˇsech zn´am´ych element´arn´ıch ˇc´astic) uvnitˇrkoule o polomˇeru rG se stˇredem v centru Galaxie. K jej´ımu odhadu pouˇzijeme rozdˇelen´ıhvˇezd dan´etabulkou 9.1 (viz napˇr. [182], s. 394), kter´ese op´ır´a o data z druˇzice Hipparcos:6 5 Vˇetˇsina zdroj˚uuv´ad´ırychlost Slunce v⊙ v rozmez´ı220 aˇz240 km/s. 6Harvardsk´aspektr´aln´ıklasifikace (en.wikipedia.org/wiki/Stellar classification) uv´ad´ı podobn´apomˇern´azastoupen´ıhvˇezd, kter´abudou d´ale zpˇresˇnov´ana pomoc´ıdat z druˇzice Gaia. 97 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Tabulka 9.1. Rozdˇelen´ıhvˇezd v naˇs´ıGalaxii podle spektr´aln´ıtˇr´ıdy. Druh´yˇr´adek ud´av´a odpov´ıdaj´ıc´ıhmotnost typick´ehvˇezdy v jednotk´ach hmotnosti Slunce M⊙. Na tˇret´ım ˇr´adku je poˇcet hvˇezd dan´espektr´aln´ıtˇr´ıdy dˇelen´y109. Na posledn´ım ˇr´adku je vyˇc´ıslena hmotnost cel´etˇr´ıdy v miliard´ach hmotnost´ıSlunce. Spektr´aln´ıtˇr´ıda O B A F G K M b´ıl´ıtrpasl´ıci Hmotnost v M⊙ 25 5 1.7 1.2 0.9 0.5 0.25 0.7 Poˇcet v miliard´ach 10−5 0.3 3 12 26 52 270 35 Souˇcin ≈ 0 1.5 5.1 14.4 23.4 26 67.5 24.5 Z pˇredposledn´ıho ˇr´adku vid´ıme, ˇze se v naˇs´ıGalaxii nach´az´ıpˇribliˇznˇe400 miliard hvˇezd. Zat´ımco koncem minul´eho stolet´ıse soudilo, ˇze ˇcerven´ych trpasl´ık˚uspektr´aln´ı tˇr´ıdy M jsou pouh´a3 % z celkov´eho poˇctu hvˇezd (viz [17], s. 93), dnes se odhaduje, ˇze je jich pˇrev´aˇzn´avˇetˇsina (viz tabulka 9.1). Pro podporu tohoto tvrzen´ım˚uˇzeme napˇr. uv´est, ˇze z 20 Slunci nejbliˇzˇs´ıch hvˇezd je v souˇcasnosti zn´amo 13 ˇcerven´ych trpasl´ık˚u. Pˇritom hmotnost ˇcerven´eho trpasl´ıka se pohybuje v rozmez´ıod 0.08M⊙ do 0.45M⊙. Z tabulky 9.1 je patrno, ˇze tˇr´ıda M pˇrisp´ıv´ak celkov´ehmotnosti Galaxie nejv´ıce ze vˇsech spektr´aln´ıch tˇr´ıd. Vera Rubinov´asamozˇrejmˇenemohla vˇedˇet o existenci tolika ˇcerven´ych trpasl´ık˚ut´enejmenˇs´ıhmotnostn´ıkategorie. Za tento n´ar˚ust vdˇeˇc´ıme st´ale se zlepˇsuj´ıc´ımdetekˇcn´ımtechnik´am. T´ımse n´am ale podstatnˇezvˇetˇsila i odhado van´abaryonov´ahmotnost Galaxie. Seˇcteme li ˇc´ısla v posledn´ımˇr´adku tabulky 9.1, dostaneme nerovnost 9 41 M(rG) ≥ 162.4 10 M⊙ =3.25 10 kg. Zat´ımbohuˇzel neum´ıme spolehlivˇeurˇcit, kolik ˇcin´ıpˇr´ıspˇevek k M(rG) od ˇcern´ych dˇer, kvarkov´ych ˇci neutronov´ych hvˇezd7, infraˇcerven´ych trpasl´ık˚u8, exoplanet, blud n´ych planet apod., jejichˇzsv´ıtivost je mal´a. Podle [182], s. 393, baryonov´ahmotnost vˇsech hvˇezd v Galaxii ˇcin´ı 9 41 175 10 M⊙ =3.5 10 kg, zapoˇcteme li jeˇstˇehvˇezdy luminozitn´ıtˇr´ıdy I, II a III (viz [17], s. 92). V disku a ve v´yduti se tak´enach´az´ıvelk´emnoˇzstv´ınesv´ıt´ıc´ıbaryonov´el´atky ve formˇeprachu, 7Hvˇezd z lev´eˇc´asti tabulky 9.1 je v souˇcasnosti sice m´alo, ale protoˇze ˇzij´ıvelice kr´atce, existuje po nich v Galaxii mnoho superhust´ych kompaktn´ıch poz˚ustatk˚u. 8Pro mal´e chladn´e hvˇezdy byly pomˇernˇe ned´avno zavedeny dalˇs´ı tˇri spektr´aln´ı tˇr´ıdy L (ˇcervenohnˇed´ıtrpasl´ıci), T (hnˇed´ıtrpasl´ıci) a Y (ˇcern´ıtrpasl´ıci). Napˇr´ıklad v roce 2013 objevil Kevin Luhman dvojici hnˇed´ych trpasl´ık˚uvzd´alen´ych od Slunce jen 6.5 svˇeteln´ych let. Dalˇs´ıhnˇed´y trpasl´ıkWISE J085510.83-071442.5 je vzd´alen 7.2 svˇeteln´ych let. 98 9. Ploch´erotaˇcn´ıkˇrivky spir´aln´ıch galaxi´ı 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Obr. 9.5. Schematick´ezn´azornˇen´ıspir´aln´ıgalaxie z boku. Centr´aln´ısf´erickou v´ydut’ obklo- puje ploch´ydisk a ˇr´ıdk´esf´ericky symetrick´ehalo vyplnˇen´ezejm´ena neutr´aln´ım vod´ıkem a heliem, star´ymi hvˇezdami a kulov´ymi hvˇezdokupami. plynu a plazmatu. V pr´aci [182], s. 353, se mnoˇzstv´ımezihvˇezdn´el´atky (bez hypote tick´etemn´ehmoty) odhaduje na cca 10% celkov´ehmotnosti hvˇezd. R´ıdk´anesv´ıt´ıc´ıˇ baryonov´ahmota9 se rozprost´ır´ai v galaktick´em halu (viz obr. 9.5), jak lze zjis tit na r´adiov´ych vln´ach 21 cm, kter´eodpov´ıdaj´ıpˇreklopen´ıspinu v atomu vod´ıku (viz [235], s. 485). Proto lze celkovou hmotnost baryonov´el´atky uvnitˇruvaˇzovan´e koule zdola odhadnout na10 41 M(rG) ≥ 3.85 10 kg. (9.5) Podle [182] kles´ahustota rozloˇzen´ıhmoty ρ = ρ(r) za viditeln´ym okrajem rychleji −2 ∞ 2 neˇz r , jinak by integr´al RrG ρ(r)4πr dr divergoval. Z druh´eNewtonovy vˇety 4.2 vˇsak plyne, ˇze tato hmota (ani eventu´aln´ıtemn´ahmota) nem´ana pohyb hvˇezd ˇz´adn´y vliv, pokud je jej´ırozloˇzen´ısf´ericky symetrick´e. Zkoncentrujeme li baryonovou hmotu 9Tato hmota pozvolna pad´ana disk a podporuje tak proces tvorby nov´ych hvˇezd. 10V astronomick´ych tabulk´ach [165] se na s. 127 p´ıˇse, ˇze celkov´ahmotnost naˇs´ıGalaxie je bilion 12 42 Slunc´ı,tj. MG = 10 M⊙ = 2 10 kg. Nˇekter´ezdroje [97] dokonce uv´adˇej´ıjeˇstˇetˇrikr´at vˇetˇs´ı hodnoty v objemu do vzd´alenosti 200 kpc od stˇredu. 99 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace uvnitˇrkoule o polomˇeru rG do jednoho centr´aln´ıho bodu, pak ze vztah˚u(9.1), (9.3) a (9.5) dostaneme, ˇze obˇeˇzn´arychlost hvˇezd na sam´em okraji viditeln´eho disku je −11 41 sGM(rG) r6.674 10 3.85 10 3 v = ≥ 20 = 228 10 (m/s), (9.6) rG 4.938 10 coˇzje hodnota vskutku srovnateln´as namˇeˇrenou rychlost´ı (9.4). I kdyˇzje vztah (9.6) jen pˇribliˇzn´y, postulovat existenci 5–6kr´at vˇetˇs´ıho mnoˇzstv´ıtemn´ehmoty neˇzbary onov´ehmoty (viz napˇr. [22], [211]), aby se Galaxie nerozpadla a drˇzela gravitaˇcnˇe pohromadˇe, se zd´ab´yt dosti nadhodnocen´e. ⊙ ⊙ ⊙ 9.4. Obˇeˇzn´arychlost kolem ploch´eho disku U spir´aln´ıch galaxi´ıˇcin´ıpr˚umˇern´atlouˇst’ka disku (mimo v´ydutˇe) od 300 pc do 1 kpc. Je tedy cca 30kr´at aˇz100kr´at menˇs´ıneˇzpr˚umˇer viditeln´eˇc´asti galaxie. Je to dobˇre patrno, jsou li k n´am galaxie natoˇceny bokem.11 Pˇritom plyn a prach se nal´ezaj´ı zejm´ena v tˇesn´ebl´ızkosti roviny disku. Proto budeme na disk galaxie pohl´ıˇzet jen jako na dvojrozmˇern´y´utvar, coˇzje zjevnˇelepˇs´ıaproximace neˇzcentr´aln´ıhmotn´y bod. Gravitaˇcn´ıpole spir´aln´ıgalaxie budeme tedy aproximovat gravitaˇcn´ımpolem ploch´eho disku s rotaˇcnˇesymetrick´ym rozloˇzen´ımhustoty. Vˇeta 9.1. C´asticeˇ ob´ıhaj´ıc´ıhmotn´ybod po kruhov´edr´aze o polomˇeru R m´a menˇs´ırychlost, neˇzkdyby ob´ıhala ploch´ydisk o stejn´ehmotnosti s libovolnˇerotaˇcnˇe symetricky rozloˇzenou hustotou hmoty a o polomˇeru nepˇresahuj´ıc´ım R. D ˚uk a z . Vˇetˇs´ıpˇritaˇzliv´as´ılazp˚usobuje vˇetˇs´ıobˇeˇznou rychlost po kruhov´edr´aze, a proto staˇc´ıporovnat jen gravitaˇcn´ıs´ıludisku se silou centr´aln´ıho hmotn´eho bodu o stejn´ehmotnosti. Podle pˇredpoklad˚uvˇety je ploˇsn´ahustota disku ρ = ρ(r) ≥ 0 z´avisl´apouze na vzd´alenosti od jeho stˇredu. Nejprve vyˇsetˇr´ıme, jak p˚usob´ılibovoln´y pevnˇezvolen´yjednorozmˇern´yhomogenn´ıprstenec o polomˇeru r ∈ (0, R) na testovac´ı ˇc´astici o hmotnosti m ve vzd´alenosti R od stˇredu prstence. Pak celkov´ahmotnost prstence bude M = 2πrρ, kde ρ je d´elkov´ahustota. Zkoncentrujeme li hmotnost prstence do jeho stˇredu, potom odpov´ıdaj´ıc´ıs´ılap˚usob´ıc´ına testovac´ıˇc´astici bude rovna 2πrρm F = G . (9.7) R2 11Kdybychom z disku a v´ydutˇenaˇs´ıGalaxie vytvoˇrili homogenn´ı disk o hustotˇevody ρ, mˇel by 2 41 tlouˇst’ku jen asi jako tvrd´ypap´ır h = M/(πrGρ)=0.0005 m, kde M ≈ 3.85 10 kg je odhadovan´a baryonov´ahmotnost (srov. (9.5)). 100 9. Ploch´erotaˇcn´ıkˇrivky spir´aln´ıch galaxi´ı dl r s ϕ α m R dl Obr. 9.6. Homogenn´ı prstenec p˚usob´ına vnˇejˇs´ıˇc´astici vˇetˇs´ı silou, neˇzkdyby byla jeho celkov´ahmotnost zkoncentrovan´ado stˇredu prstence. Naˇs´ımc´ılem bude uk´azat, ˇze F je menˇs´ıneˇzs´ılaprstence p˚usob´ıc´ına testovac´ı ˇc´astici. Tvrzen´ıvˇety pak dostaneme integrac´ıpodle r. V pol´arn´ıch souˇradnic´ıch (r, ϕ) uvaˇzujme dva stejn´ed´elkov´eelementy prstence dl = r dϕ (9.8) um´ıstˇen´esymetricky vzhledem k vodorovn´eose ve vzd´alenosti s od testovac´ıˇc´astice tak, jak je nakresleno na obr. 9.6. Potom podle kosinov´evˇety plat´ı s2 = r2 + R2 − 2rR cos ϕ (9.9) a s´ıla, kterou tato dvojice p˚usob´ına testovac´ıˇc´astici, se rovn´a 2dl ρm dF = G cos α. (9.10) s2 Ze sinov´evˇety r sin ϕ = s sin α plyne 1 cos α = p1 − sin2 α = qs2 − r2 sin2 ϕ. (9.11) s Bez ´ujmy na obecnosti m˚uˇzeme d´ale pˇredpokl´adat, ˇze gravitaˇcn´ıkonstanta G = 1, R = 1, m = 1 a ˇze i d´elkov´ahustota prstence je ρ = 1. Pak pro r ∈ (0, 1) a ϕ ∈ [0, π] dosazen´ım(9.8), (9.9) a (9.11) do (9.10) dostaneme 2 dl 1 2rdϕ dF = qr2 +1 − 2r cos ϕ − r2 sin2 ϕ = p(1 − r cos ϕ)2 s2 s s3 1 − r cos ϕ =2r dϕ, (r2 +1 − 2r cos ϕ)3/2 protoˇze 1 > r cos ϕ. Celkov´agravitaˇcn´ıs´ıla prstence o polomˇeru r p˚usob´ıc´ıho na testovac´ıˇc´astici je tak π π Z 1 − r cos ϕ Z F (r)=2r 2 3/2 dϕ =2r f(r, ϕ)dϕ, (9.12) 0 (r +1 − 2r cos ϕ) 0 101 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace ) ) r ϕ 4 ( I = (0.5, 10 3 f = 2 5 1 0 1 2 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ϕ r Obr. 9.7. Vlevo je graf integrovan´efunkce z (9.12) pro r = 0.5 na intervalu [0,π]. Vpravo jsou zn´azornˇeny numericky vypoˇc´ıtan´ehodnoty integr´alu I(r) pro r ∈ [0, 1). kde pro pevn´e r ∈ (0, 1) je integrovan´afunkce f = f(r, ϕ) kladn´aspojit´aa klesaj´ıc´ı. Protoˇze hodnoty v krajn´ıch bodech f(r, 0) = (1 − r)−2 a f(r, π) = (1+ r)−2 jsou koneˇcn´aˇc´ısla, je vyˇsetˇrovan´yintegr´al koneˇcn´y(viz obr. 9.7). Integr´al π Z 1 − r cos ϕ I(r)= 2 3/2 dϕ (9.13) 0 (r +1 − 2r cos ϕ) vystupuj´ıc´ıve vztahu (9.12) bohuˇzel nem´azn´am´eanalytick´evyj´adˇren´ıpro r ∈ (0, 1). M˚uˇzeme ale zjistit, ˇze I = I(r) je rostouc´ıfunkce12, a analyticky vyˇc´ıslit jej´ılimitn´ı hodnoty. Pro r = 0 vid´ıme, ˇze je integrovan´afunkce rovna jedn´e, a tak (viz obr. 9.7) I(0) = π. (9.14) Pro r = 1 dostaneme pomoc´ıTaylorova rozvoje, ˇze ϕ2 ϕ4 ϕ6 ϕ2 cos ϕ =1 − + − + ≥ 1 − . 2! 4! 6! 2 Proto ϕ2 ≥ 2 − 2 cos ϕ, (9.15) a tedy plat´ı(viz obr. 9.7) π 2 − 2 cos ϕ π dϕ π dϕ Z Z √ ≥ Z ∞ 2I(1) = 3/2 dϕ = = , (9.16) 0 (2 − 2 cos ϕ) 0 2 − 2 cos ϕ 0 ϕ ˇcili I(1) = ∞. (9.17) 12Funkce I je dokonce ryze konvexn´ı(tj. I˙ je rostouc´ı)a I˙(0) = 0. 102 9. Ploch´erotaˇcn´ıkˇrivky spir´aln´ıch galaxi´ı Dost´av´ame tak hledanou nerovnost F (r)=2rI(r) > F =2rI(0) pro r ∈ (0, 1], (9.18) kde s´ılyjsou definov´any v (9.12) a (9.7). 2 ⊙ ⊙ ⊙ 9.5. Obˇeˇzn´arychlost kolem galaxie s v´ydut´ıa halem V´ysledn´esilov´ep˚usoben´ıgalaxie je souˇctem gravitaˇcn´ıho p˚usoben´ıv´ydutˇe, ploch´eho disku a hala. Vˇetˇsina spir´aln´ıch galaxi´ım´av´ydut’ pˇribliˇznˇesf´erickou. Napˇr´ıklad sou sedn´ıVelk´agalaxie M31 v Andromedˇena obr. 9.3 m´azˇretelnou centr´aln´ıv´ydut’ sa haj´ıc´ızhruba do 20 aˇz25 % jej´ıho polomˇeru.13 Podle prvn´ıNewtonovy vˇety 4.1 lze si lov´ep˚usoben´ısf´erick´ev´ydutˇena vnˇejˇs´ıhvˇezdy aproximovat centr´aln´ısilou hmotn´eho bodu, do nˇehoˇzje soustˇredˇena celkov´ahmotnost v´ydutˇe. Podle druh´eNewtonovy vˇety 4.2 lze silov´ep˚usoben´ıhala za okrajem disku zanedbat a uvaˇzovat jen silov´e p˚usoben´ıcentr´aln´ıho hmotn´eho bodu na hvˇezdy na okraji disku. D´ale se proto budeme zab´yvat pouze gravitaˇcn´ımp˚usoben´ım mezikruˇz´ı.Oznaˇcen´ı bude stejn´ejako v pˇredchoz´ımodd´ılu. Podobn´ytrik s doln´ımodhadem jako v (9.16) m˚uˇzeme pouˇz´ıt, abychom funkci kosinus v (9.13) nahradili kvadratick´ymi polynomy v promˇenn´e ϕ. To n´am pom˚uˇze odvodit analyticky podobnou nerovnost jako v (9.18). Staˇc´ıuk´azat, ˇze I(r) je vˇetˇs´ıneˇz π pro r > 0.25. Integr´al z klesaj´ıc´ıfunkce f na 1 1 −2 intervalu [π/2, π] je vˇetˇs´ıneˇz 2 π f(r, π)= 2 π(1+ r) (viz obr. 9.7). Z (9.15) plyne rϕ2 − 2r ≥ −2r cos ϕ, coˇzumoˇzˇnuje z´ıskat horn´ıodhad jmenovatele I, rϕ2 + (1 − r)2 ≥ r2 +1 − 2r cos ϕ. Nerovnosti 2ϕ2 cos ϕ ≤ 1 − 5 zase vyuˇzijeme k doln´ımu odhadu ˇcitatele na intervalu [0,π/2]. Dohromady tak plat´ı π/2 π π/2 1 − r cos ϕ π Z Z ≥ Z I(r)= f(ϕ)dϕ + f(ϕ)dϕ 2 2 3/2 dϕ + 2 0 π/2 0 (rϕ + (1 − r) ) 2(1 + r) π/2 1 − r +2rϕ2/5 π ≥ Z 2 2 3/2 dϕ + 2 > π pro r> 0.25, 0 (rϕ + (1 − r) ) 2(1 + r) kde posledn´ıintegr´al lze vypoˇc´ıtat analyticky [220], s. 466. 13Orbit´aln´ı rychlost hvˇezd mimo centrum M31 je podle Rubinov´e opˇet kolem 230 km/s (viz [233], s. 7). Polomˇer M31 ˇcin´ı rA ≈ 2rG a celkov´ahmotnost se odhaduje na MA ≈ 3MG (viz napˇr. [108]). Podle (9.6) dostaneme jeˇstˇevˇetˇs´ınesoulad pro postulov´an´ıexistence temn´ehmoty v M31 neˇzpro naˇs´ıGalaxii. 103 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Vid´ıme tedy, ˇze vˇetu 9.1 lze modifikovat i na mezikruˇz´ıo vnitˇrn´ımpolomˇeru R/4 a vnˇejˇs´ım polomˇeru R. Gravitaˇcn´ı s´ıla mezikruˇz´ı na testovac´ı ˇc´astici na vnˇejˇs´ım okraji je opˇet vˇetˇs´ı, neˇzkdybychom celou hmotnost mezikruˇz´ı zkoncentrovali do stˇredu. Rychlost hvˇezd na okraji Galaxie je proto vˇetˇs´ıneˇzv (9.6). Pozn´amka 9.2. To, ˇze jsou rotaˇcn´ıkˇrivky spir´aln´ıch galaxi´ıt´emˇeˇrploch´e, jeˇstˇe neznamen´a, ˇze nutnˇeexistuje temn´ahmota, kter´aby se usazovala v okol´ıgalaxi´ı. Z prvn´ıNewtonovy vˇety 4.1 plyne, ˇze gravitaˇcn´ıs´ıla, kterou p˚usob´ıdvojrozmˇern´aho mogenn´ısf´era (slupka) na hmotn´ybod, kter´yna n´ıleˇz´ı,je koneˇcn´a. Na druh´estranˇe, s´ılajednorozmˇern´eho prstence p˚usob´ıc´ıho na hmotn´ybod, kter´yna nˇem leˇz´ı,je podle vztah˚u(9.12)–(9.17) nekoneˇcn´a14, protoˇze funkce f = f(r, ϕ) ze vztahu (9.12) m´a pro r → 1a ϕ → 0 nepˇr´ıjemnou singularitu. Vid´ıme tedy, ˇze mezi dvojrozmˇern´ym a trojrozmˇern´ym pˇr´ıpadem je dosti podstatn´yrozd´ıl.Z dvojrozmˇern´eho modelu je tak´e patrno, proˇchvˇezdy na okraji spir´aln´ıgalaxie ob´ıhaj´ırychleji neˇzv poli hmotn´eho bodu. Nelze tedy zamˇeˇnovat gravitaˇcn´ıpole galaxie s polem centr´aln´ıs´ıly. Paradox velk´ych rychlost´ıhvˇezd pozorovan´ych Verou Rubinovou tak m˚uˇze m´ıtzcela pˇrirozen´e vysvˇetlen´ı. ⊙ ⊙ ⊙ 9.6. Souˇcasn´ystav ch´ap´an´ıtemn´ehmoty Anal´yzou fluktuac´ıreliktn´ıho z´aˇren´ı,kter´edetekovala sonda Planck (viz [210] a [211]), se zjistilo, ˇze vesm´ırby mˇel b´yt sloˇzen z 27 % temn´ehmoty, necel´ych 5 % baryonov´e l´atky (z toho m´enˇeneˇz1 % tvoˇr´ısv´ıt´ıc´ıl´atka) a zbytek pˇripad´ana temnou energii. V t´eto (ale i pˇredchoz´ı)kapitole jsme pˇredloˇzili nˇekolik protiargument˚upoukazuj´ıc´ıch, ˇze mnoˇzstv´ıodhadovan´etemn´ehmoty, kter´aby se koncentrovala kolem galaxi´ı,je znaˇcnˇenadsazen´e. V souˇcasnosti prob´ıh´arozs´ahl´adiskuze o tom, co vlastnˇetemn´ahmota je. Roz por nˇejak´eho modelu s pozorov´an´ımjeˇstˇeneimplikuje existenci temn´ehmoty, protoˇze model nemus´ıb´yt spr´avn´y. Znaˇcnou ˇc´ast nesv´ıt´ıc´ıhmoty jistˇetvoˇr´ızn´am´eˇc´astice, protoˇze jen asi 10 aˇz20 % baryonov´el´atky sv´ıt´ı. Zbytek tvoˇr´ıtemn´aoblaka me zihvˇezdn´eho a mezigalaktick´eho prachu, plynu a plazmatu. Hovoˇr´ıse tak´eo objek tech MACHO (Massive Compact Halo Objects), coˇzjsou osamˇel´e ˇcern´ed´ıry, vyhasl´e hvˇezdy, bludn´eplanety (nom´adi) apod. Velk´ypod´ılna hmotnosti galaxi´ımaj´ıt´eˇz infraˇcerven´ıtrpasl´ıci. Dosti obt´ıˇznˇese detekuj´ı,ale odhady jejich poˇct˚uv naˇs´ıGalaxii st´ale nar˚ustaj´ı.K nesv´ıt´ıc´ıhmotˇemohou pˇrisp´ıvat i temn´egalaxie, v nichˇzje tvorba hvˇezd potlaˇcena, protoˇze hustota l´atky klesla pod urˇcitou kritickou mez nutnou pro tvorbu hvˇezd (jako napˇr. u galaxie LEO IV v tˇesn´ebl´ızkosti naˇs´ıGalaxie). Sv´ıtivost takov´ych galaxi´ıje mal´a, pˇrestoˇze maj´ıst´ale dostatek nesv´ıt´ıc´ıbaryonov´ehmoty. 14Pokud by ale mˇel prstenec kladnou konstantn´ıtlouˇst’ku, pak by jeho s´ılana hmotn´ybod byla koneˇcn´a. 104 9. Ploch´erotaˇcn´ıkˇrivky spir´aln´ıch galaxi´ı Zat´ımneum´ıme spolehlivˇeexperiment´alnˇeovˇeˇrit, kolik hmoty pˇripad´ana neu trina (zejm´ena reliktn´ı). Zast´anci temn´ehmoty proto p´atraj´ıpo nov´ych element´ar n´ıch ˇc´astic´ıch, jeˇzby mohly v´yraznˇepˇrispˇet k celkov´ehmotnosti vesm´ıru. Napˇr´ıklad axiony jsou hypotetick´eˇc´astice se spinem 0, kter´ebyly postulov´any, aby vysvˇetlily, proˇcse v siln´ych interakc´ıch (kvantov´echromodynamice) nenaruˇsuje CP symetrie (Charge–Parity). Mˇely by b´yt velice lehk´e, 10−6 aˇz1 eV/c2, a s okol´ım by mˇely interagovat gravitaˇcnˇea elektromagneticky. Kandid´aty na temnou hmotu by mohly b´yti tzv. WIMPy (angl. Weakly Interacting Massive Particles). WIMP je souhrnn´e oznaˇcen´ıpro jak´esi hypotetick´eˇc´astice, o kter´ych se pˇredpokl´ad´a, ˇze jsou velice tˇeˇzk´e (alespoˇn10 GeV/c2) a s okol´ıminteraguj´ıslabˇea gravitaˇcnˇe. C´asticeˇ spadaj´ıc´ıdo t´eto kategorie pˇredpov´ıd´anapˇr. supersymetrick´erozˇs´ıˇren´ıstandardn´ıho ˇc´asticov´eho modelu, kde lze roli WIMPu pˇrisoudit neutralinu. V t´eto teorii m´akaˇzd´yboson sv˚uj supersymetrick´yfermionov´yprotˇejˇsek a naopak. Neutralino je tedy boson odpov´ı daj´ıc´ıneutrinu, coˇzje fermion. Pro detekci temn´e hmoty se stavˇej´ı r˚uzn´e sofistikovan´e detektory (CDMS, DAMA/LIBRA, ADMX, . . . ) ˇcasto um´ıstˇen´epod zem´ı,kter´ezat´ımˇz´adnou temnou hmotu nedetekovaly. Rovnˇeˇzna urychlovaˇci LHC v CERNu dosud nebyly objeveny ˇz´adn´enov´eˇc´astice, jeˇzby vysvˇetlily temnou hmotu. P˚usoben´ı temn´ehmoty ve Sluneˇcn´ı soustavˇese tak´enepozoruje [188], i kdyˇz je Slunce znaˇcn´ygravitaˇcn´ıatraktor. Zd´ase tedy, ˇze temn´ahmota, pokud existuje, t´emˇeˇrjistˇenen´ıschopna disipovat svou vnitˇrn´ıenergii. Proto se nem˚uˇze usadit v okol´ı Slunce. Rovnˇeˇzpozorovan´ekmit´an´ıhvˇezd ve smˇeru kolm´em na galaktickou rovinu Ml´eˇcn´edr´ahy lze dobˇre vysvˇetlit klasickou Newtonovou mechanikou bez pˇr´ıtomnosti temn´ehmoty (viz [188]). Na druh´estranˇeDouglas Clowe uv´ad´ıv ˇcl´anku A direct empirical proof of the existence of dark matter [43] pˇr´ıklad sr´aˇzky dvou galaktick´ych kup vzd´alen´ych od n´as 3.7 miliardy svˇeteln´ych let, kde se mezigalaktick´yplyn zabrzd´ı,zat´ımco galaxie pokraˇcuj´ıd´ale v nezmˇenˇen´em smˇeru spoleˇcnˇes temnou hmotou a jej´ıpˇr´ıtomnost je odhalena pomoc´ı gravitaˇcn´ıho ˇcoˇckov´an´ı. Pˇrestoˇze n´azev ˇcl´anku m´av ˇcten´aˇri vzbudit dojem, ˇze se koneˇcnˇepodaˇrilo naj´ıtpˇr´ım´yd˚ukaz existence temn´ehmoty, zat´ımneum´ıme zmˇeˇrit tangenci´aln´ırychlosti jednotliv´ych galaxi´ık prok´az´an´ı,ˇze ke sr´aˇzce skuteˇcnˇedoˇslo. Vzhledem k velk´emu natˇesn´an´ı galaxi´ı mˇelo doj´ıt k dyna mick´emu brzdˇen´ı.M´ısta s ´udajnou temnou hmotou jsou obarvena umˇele na z´akladˇe numerick´ych simulac´ı bez popisu pˇr´ısluˇsn´eho algoritmu a jak´ekoliv anal´yzy chyb. Podobn´ych pˇr´ıklad˚uexistuje uˇznˇekolik (napˇr. Bullet Cluster, Musketball Cluster). Obˇekupy jsou vˇzdy zhruba stejnˇevelk´e a spoleˇcnˇe s oblaky temn´ehmoty leˇz´ı v jedn´epˇr´ımce (viz obr. 9.8), coˇzse vˇsak jev´ıze statistick´eho hlediska velice m´alo pravdˇepodobn´e. Obecnˇeby kupy mˇely m´ıtrozd´ılnou velikost a jejich trajektorie by nemˇely leˇzet v jedn´epˇr´ımce (ani v projekci na nebeskou sf´eru). I kdyˇzdata, kter´aZwicky a Rubinov´apouˇz´ıvali, byla dosti nepˇresn´a, nelze jim upˇr´ıtprioritu v zaj´ımav´e´uvaze vedouc´ık postulov´an´ıexistence temn´ehmoty [146]. 105 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Obr. 9.8. Sr´aˇzka dvou galaktick´ych kup (tzv. Bullet Cluster). Modˇre je umˇele obarvena domnˇel´atemn´ahmota a ˇcervenˇeoblast, z n´ıˇzvych´az´ı rentgenov´ez´aˇren´ıv d˚usledku sr´aˇzky mezigalaktick´eho plynu z obou kup [43]. Je velice pravdˇepodobn´e, ˇze Newton˚uv gravitaˇcn´ız´akon na kosmologick´ych vzd´ale nostech aproximuje realitu jen pˇribliˇznˇe. Proto je tˇreba obezˇretnˇepˇrij´ımat v´ysledky sloˇzit´ych numerick´ych simulac´ı,kter´eobvykle obsahuj´ıtis´ıce pˇr´ıkazov´ych ˇr´adk˚uk´odu a snaˇz´ıse napˇr. prok´azat, ˇze bez temn´ehmoty by se galaxie nezformovaly tak rychle po Velk´em tˇresku. V souˇcasnosti se tak´erozv´ıjej´ıa studuj´ır˚uzn´emodifikace Newtonovy mechaniky MOND (Modified Newtonian Dynamics) [177] a jejich relativistick´azobecnˇen´ıTeVeS (Tensor Vector Scalar) [13]. Uˇcinky,´ kter´ese pˇriˇc´ıtaj´ıtemn´ehmotˇe, se snaˇz´ıvysvˇetlit pomoc´ıjin´eho tvaru gravitaˇcn´ıho z´akona. Na druh´estranˇe, ˇrada dalˇs´ıch prac´ı([61], [68], [99], [188] a [250]) ukazuje, ˇze na ˇsk´al´ach galaktick´ych disk˚uje Newtonova teorie gravitace st´ale jeˇstˇecelkem dobrou aproximac´ıreality a nen´ı ji tˇreba modifikovat ani pˇredpokl´adat existenci temn´ehmoty. Galaxie maj´ıcelkem zanedbateln´evelikosti ve srovn´an´ıs pozorovateln´ym vesm´ırem, kde Newtonova teorie jistˇeneplat´ı. Pˇr´ıklady uv´adˇen´ev odd´ılech 8.4 a 9.3 naznaˇcuj´ı,ˇze nen´ıjasn´e, zda nebaryonov´a skryt´ahmota, kter´aby se koncentrovala kolem galaxi´ı,v˚ubec existuje. Jin´ymi slovy, temn´ahmota m˚uˇze b´yt jen chyba modelu vznikl´anespr´avnou interpretac´ıdat. Pokud pˇresto nˇejak´aexistuje, patrnˇej´ınen´ıˇsestkr´at v´ıce neˇzsv´ıt´ıc´ıi nesv´ıt´ıc´ıbaryonov´e hmoty dohromady, jak se extrapoluje z vlastnost´ı reliktn´ıho z´aˇren´ı, kter´ek n´am pˇrich´az´ıze vzd´alenosti vˇetˇs´ıneˇz13 miliard svˇeteln´ych let (viz [211]). ⊙ ⊙ ⊙ 106 C´astˇ 2 Antigravitace a temn´aenergie 10. Zrychluj´ıc´ıse rozp´ın´an´ıvesm´ıru O vˇsem se m´apochybovat. Aristoteles 10.1. Nobelova cena za fyziku v roce 2011 Kosmologie je odvˇetv´ıfyziky zab´yvaj´ıc´ıse nejvˇetˇs´ımi prostorov´ymi i ˇcasov´ymi vzd´a lenostmi a ot´azkami vzniku a v´yvoje vesm´ıru jako celku. Za kosmologii z´ıskali No belovu cenu za fyziku v roce 2006 John C. Mather a George F. Smoot za prok´az´an´ı Planckova spektra a anizotropie kosmick´eho reliktn´ıho z´aˇren´ı1 pomoc´ıdruˇzice COBE (srov. obr. 18.4 z druˇzice Planck). V roce 2011 byla udˇelena Nobelova cena za fyziku Obr. 10.1. Saul Perlmutter, Adam Riess, Brian Schmidt 1Reliktn´ız´aˇren´ıpoch´az´ız doby, kdy prob´ıhala tzv. rekombinace. V d˚usledku poklesu teploty na cca 3000 K se voln´eionty a elektrony spojily do atom˚ua vesm´ırse stal pr˚uhledn´ypro fotony. V souˇcasn´edobˇeteplota reliktn´ıho z´aˇren´ıodpov´ıd´avyzaˇrov´an´ıˇcern´eho tˇelesa o teplotˇe2.73 K. Poznamenejme, ˇze kdyˇzbyl vesm´ır zhruba 100kr´at menˇs´ı neˇzv souˇcasnosti, teplota reliktn´ıho z´aˇren´ıse pohybovala kolem 0 ◦C. 107 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace opˇet za kosmologii tˇrem astronom˚um za objev zrychluj´ıc´ıho se rozp´ın´an´ıvesm´ıru. Sv´edsk´akr´alovsk´aakademieˇ vˇed rozhodla rozdˇelit ˇc´astku 10 milion˚uˇsv´edsk´ych ko run mezi vedouc´ı osobnosti dvou soupeˇr´ıc´ıch t´ym˚uzejm´ena za pr´ace [204], [222] a [203] z let 1997–1999, kter´evedly ke zmˇeˇren´ıhodnot nˇekter´ych kosmologick´ych parametr˚unaˇseho vesm´ıru a ke zjiˇstˇen´ı,ˇze se vesm´ırrozp´ın´azrychlenˇev d˚usledku temn´e(skryt´e) energie. Prvn´ımlaure´atem je Ameriˇcan Saul Perlmutter (∗ 1959), kter´yz´ıskal polovinu Nobelovy ceny. Perlmutter vedl Supernova Cosmology Project na University of Ca lifornia v Berkeley. Vystudoval fyziku na Harvard University v roce 1981 a z´ıskal vˇedeck´ytitul PhD rovnˇeˇzz fyziky na University of California v Berkeley v roce 1986. Druh´ym ocenˇen´ym je Adam Guy Riess (∗ 1969), kter´yje profesorem astronomie na Johns Hopkins University a Space Telescope Science Institute v Baltimore ve st´atˇeMaryland. Tento zn´am´yamerick´ykosmolog absolvoval Massachusetts Institute of Technology v roce 1992 a titul PhD obh´ajil na Harvard University v roce 1996. Koneˇcnˇetˇret´ımocenˇen´ym je americko australsk´yastronom Brian Schmidt (∗1967), vedouc´ıt´ymu High-z Supernova Search na Australian National University ve Weston Creek. Schmidt vystudoval astronomii na University of Arizona v roce 1989 a PhD dos´ahl na Harvard University v roce 1993. Oba poslednˇejmenovan´ılaure´ati z´ıskali druhou polovinu Nobelovy ceny. Slavnostn´ı nobelovsk´epˇredn´aˇsky vˇsech tˇr´ı laure´at˚u probˇehly 8. prosince 2011 v Aule Magna na univerzitˇeve Stockholmu. Posluchaˇci se dozvˇedˇeli, jak´ebylo teo retick´epozad´ıjejich v´yzkumu, jak byl zorganizov´an observaˇcn´ıprogram, kter´ekos mologick´emodely lze nyn´ıapriori vylouˇcit apod. Nobelovy ceny za fyziku pak byly jako kaˇzdoroˇcnˇepˇred´any dne 10. prosince v den v´yroˇc´ı smrti Alfreda Nobela (zemˇrel v roce 1896). Pˇripomeˇnme, ˇze cena se udˇeluje jiˇzod roku 1901, kdy ji jako prvn´ı z´ıskal Wilhelm Conrad R¨ontgen. ⊙ ⊙ ⊙ 10.2. Rozp´ınaj´ıc´ıse vesm´ır a Hubbleova konstanta Protoˇze Nobelova cena byla udˇelena za kosmologii, pˇripomeˇnme si nejprve nˇekter´e d˚uleˇzit´e miln´ıky ve v´yvoji t´eto vˇedn´ı discipl´ıny. Koncem 16. stolet´ı Giordano Bruno (1548–1600) v pojedn´an´ı De l’infinito, universo e mondi [31] vyslovil hy pot´ezu, ˇze vesm´ırje nekoneˇcn´ya ˇze kaˇzd´ahvˇezda je podobn´anaˇsemu Slunci, coˇzse ˇcasto povaˇzuje za poˇc´atek novodob´ekosmologie [187]. Za sv´erevoluˇcn´ın´azory byl 17.2. 1600 up´alen v R´ımˇenaˇ n´amˇest´ıCampo de’ Fiori (Pole kvˇetin). Dnes zde stoj´ı socha, kter´atuto ud´alost pˇripom´ın´a. Od t´edoby bylo v kosmologii uˇcinˇeno mnoho objev˚u. V roce 1900 nˇemeck´yfyzik Karl Schwarzschild (1873–1916) v pr´aci [249] pˇredloˇzil 108 10. Zrychluj´ıc´ıse rozp´ın´an´ıvesm´ıru domnˇenku, ˇze vesm´ırm´akoneˇcn´yobjem a ˇze jej lze popsat obrovskou trojrozmˇernou nadsf´erou (hypersf´erou) v eukleidovsk´em prostoru E4 S3 E4 2 2 2 2 2 r = {(x,y,z,w) ∈ | x + y + z + w = r }. Odvodil dokonce i doln´ı odhad jej´ıho polomˇeru r > 100000000 AU a studoval jej´ıneeukleidovskou strukturu pomoc´ıparalax nejbliˇzˇs´ıch hvˇezd. O dva ˇr´ady vˇetˇs´ı doln´ıodhad polomˇeru vesm´ıru stanovil v roce 1924 Arthur Eddington ze vzd´alenosti nˇekter´ych kulov´ych hvˇezdokup (viz [193], s. 76). Pokud se od n´as vzdaluje nˇejak´yvesm´ırn´yobjekt, jeho charakteristick´espektr´aln´ı ˇc´ary ve viditeln´em oboru vykazuj´ıv d˚usledku Dopplerova jevu ˇcerven´yposuv. Jestliˇze se k n´am objekt pˇribliˇzuje, spektr´aln´ıˇc´ary svˇetla se naopak posouvaj´ık modr´eˇc´asti spektra. Napˇr´ıklad naˇse sousedka“, galaxie M31 v Andromedˇe, se projevuje modr´ym ” posuvem, protoˇze radi´aln´ısloˇzka jej´ırychlosti (tj. rychlosti smˇerem k pozemsk´emu pozorovateli) ˇcin´ı cca 300 km/s (viz [255]). Pro ´uplnost pˇripomeˇnme, ˇze ˇcerven´y posuv z je definov´an vztahem λ z = − 1, λ0 kde λ0 je vlnov´ad´elka urˇcit´espektr´aln´ıˇc´ary, jsou li zdroj a pozorovatel v˚uˇci sobˇe v klidu, a λ je odpov´ıdaj´ıc´ımˇeˇren´avlnov´ad´elka svˇetla ze zdroje. Z´aporn´e z maj´ı tedy objekty, kter´ese k n´am pˇribliˇzuj´ı,a kladn´e z maj´ıvzdaluj´ıc´ıse objekty (m´ın´ı se radi´aln´ı sloˇzka rychlosti). Je li napˇr. z = 1, pak λ = 2λ0. Tak velk´yˇcerven´y posuv maj´ıgalaxie, jeˇzjsou od n´as vzd´aleny v´ıce neˇz7 miliard svˇeteln´ych let [208]. C´ısloˇ 1 + z z´ıskan´eze spektra nˇejak´ehodnˇevzd´alen´egalaxie tak vlastnˇeud´av´a, kolikr´at se vesm´ır2 rozepnul, neˇzjej´ısvˇetlo doletˇelo k n´am. Protoˇze se fotony ˇs´ıˇr´ıve vakuu stejnou rychlost´ı c pro vˇsechny vlnov´ed´elky (tedy i energie), nez´avis´ı z na volbˇe λ0. Z relativistick´eho vztahu (viz [108], s. 348) z = p(c + v)/(c − v) − 1 pak dostaneme rychlost vzdalov´an´ısledovan´ych objekt˚uod n´as (z + 1)2 − 1 v = c . (z + 1)2 +1 Myˇslenka, ˇze by se vesm´ırmohl rozp´ınat, vznikla uˇzv roce 1915. Tehdy americk´y astronom Vesto Mevlin Slipher (1875–1969) promˇeˇroval spektra 15 dobˇre pozoro vateln´ych spir´aln´ıch mlhovin, viz [256]. Ke sv´emu pˇrekvapen´ızjistil, ˇze 11 z nich vykazuje ˇcerven´yposuv spektr´aln´ıch ˇcar ˇzeleza a vanadu, zat´ımco jen 3 modr´ypo suv a jeden objekt mˇel pˇribliˇznˇenulov´yposuv. Slipher ovˇsem tehdy netuˇsil, ˇze se jedn´ao galaxie. Tˇri objekty (NGC 1068, 4565 a 4594) se od n´as vzdalovaly dokonce 2Vesm´ır budeme modelovat izochronou v prostoroˇcasu, kter´aodpov´ıd´aurˇcit´emu ˇcasov´emu okamˇziku po Velk´em tˇresku. Jeho expanze se pak modeluje trojrozmˇernou rozp´ınaj´ıc´ıse nadplo- chou ve ˇctyˇrrozmˇern´em prostoroˇcasu. Pozor: zcela jinou trojrozmˇernou nadplochou v prostoroˇcasu je tzv. pozorovateln´yvesm´ır, kter´ynav´ıcvid´ıme jen v projekci na nebeskou sf´eru, viz kapitola 18. 109 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace rychlost´ıvˇetˇs´ıneˇz1000 km/s a pr˚umˇern´aradi´aln´ırychlost vˇsech 15 spir´aln´ıch mlho vin smˇerem od Zemˇebyla cca 400 km/s. Vesm´ırv naˇsem okol´ıse tak pravdˇepodobnˇe rozp´ınal. Dalˇs´ıv´yznamn´yobjev uˇcinil Edwin Powell Hubble (1889–1953) na observatoˇri Mount Wilson v Kalifornii, kde byl tehdy nejvˇetˇs´ıteleskop svˇeta s pr˚umˇerem zrcadla 2.5 m. Pˇri pozorov´an´ımlhoviny M31 v Andromedˇe(viz obr. 9.3) zjistil, ˇze je sloˇzena z obrovsk´eho mnoˇzstv´ıhvˇezd podobnˇejako naˇse Galaxie. V letech 1922–1924 pomoc´ı pulzuj´ıc´ıch promˇenn´ych hvˇezd — cefeid3 zjistil, ˇze M31 a dalˇs´ımlhoviny nepatˇr´ıdo naˇs´ı Galaxie, ale ˇze jde o velice vzd´alen´ehvˇezdn´eostrovy. K podobn´emu z´avˇeru doˇsel i Heber Curtis uˇzv roce 1917, viz [48]. Hubble tak zmˇenil klasifikaci mnoh´ych objekt˚uv okol´ıMl´eˇcn´edr´ahy. Mlhovina M31 se tedy nal´ez´aza jej´ıhranic´ıa je to samostatn´agalaxie, kter´aje dokonce vˇetˇs´ı neˇzta naˇse. Podle souˇcasn´ych mˇeˇren´ı je od n´as vzd´alena pˇres 2 miliony svˇeteln´ych let, zat´ımco pr˚umˇer Galaxie je kolem 100 000 svˇeteln´ych let. Roku 1925 publikoval Gustav Str¨omberg (1882–1962) pˇrehledov´yˇcl´anek [266]. V nˇem porovn´aval radi´aln´ırychlosti 43 galaxi´ı,jeˇzt´emˇeˇrvˇsechny zmˇeˇril V. Slipher. Pouze 5 z nich vykazovalo modr´yposuv, zat´ımco 38 ˇcerven´yposuv.4 To uˇzbyl statisticky velice v´yznamn´yfakt, kter´yvyˇzadoval hlubˇs´ı anal´yzu. Ze statistick´eho hlediska je totiˇzt´emˇeˇrvylouˇceno, ˇze by ˇslo o n´ahodu, kdyby byl vesm´ırv pr˚umˇeru stacion´arn´ı.Kdyby totiˇzpravdˇepodobnosti v´yskytu galaxie s modr´ym a ˇcerven´ym posuvem byly rovny 0.5, pak pravdˇepodobnost P , ˇze z n´ahodnˇevybran´ych 43 galaxi´ı bude m´ıtnejv´yˇse 5 modr´yposuv, je podle binomick´evˇety jen 5 5 43 43− −43 43 −6 P = X 0.5j(1 − 0.5) j =2 X < 10 . j j j=0 j=0 Tak se opˇet potvrdilo, ˇze se vesm´ırv naˇsem okol´ırozp´ın´as pravdˇepodobnost´ıtakˇrka rovnou jedn´e. V roce 1927 belgick´ykosmolog Georges E. Lemaˆıtre 5 (1894–1966) inspirov´an 3Cefeidy jsou hvˇezdy, jejichˇzjas se periodicky mˇen´ı.Objevila je Henrietta Swan Leavittov´a. Ko- lem roku 1912 si vˇsimla, ˇze mezi pr˚umˇernou sv´ıtivost´ıcefeid a jejich periodou plat´ıpˇr´ım´a´umˇernost. Cefeidy tak patˇr´ımezi tzv. standardn´ısv´ıˇcky, coˇzjsou jak´ekoliv tˇr´ıdy astronomick´ych objekt˚use zn´amou sv´ıtivost´ı. 4Pozdˇeji Hubble˚uv spolupracovn´ıkMilton L. Humason (1891–1972) zjistil ze spektra eliptick´e galaxie NGC 7619 v souhvˇezd´ıPegase, ˇze se od n´as vzdaluje rychlost´ı3800 km/s, coˇzuˇzje v´ıce neˇz procento rychlosti svˇetla! 5Jeho teorie je i v dneˇsn´ı dobˇe v souladu s ˇcerven´ym posuvem galaxi´ı a jejich znatelnou evoluc´ıv kosmologick´ych vzd´alenostech, s charakterem reliktn´ıho mikrovlnn´eho z´aˇren´ıa s exis- tenc´ıprimordi´aln´ıch lehk´ych prvk˚u(zejm´ena helia a lithia), kter´evznikly bˇehem Velk´eho tˇresku. Poloˇcas rozpadu voln´eho neutronu, kter´ynen´ıuvˇeznˇen v atomov´em j´adˇre, je totiˇzjen 611 sekund. Celoˇzivotn´ımu d´ıluG. Lemaˆıtra je vˇenov´ana obs´ahl´amonografie [90]. 110 10. Zrychluj´ıc´ıse rozp´ın´an´ıvesm´ıru Obr. 10.2. P˚uvodn´ıobr´azek charakterizuj´ıc´ırozp´ın´an´ıvesm´ıru z Hubbleova ˇcl´anku [92]. Na vodorovn´eose je vzd´alenost pˇr´ısluˇsn´egalaxie od n´as v parsec´ıch a na svisl´eose je radi´aln´ı sloˇzka rychlosti galaxie (spr´avnˇem´ab´yt v km/s), kter´aje opravena o pohyb Slunce v naˇs´ı Galaxii. Cern´ymiˇ punt´ıky jsou zn´azornˇeny vyˇsetˇrovan´egalaxie a plnou ˇcarou vztah (10.1). Krouˇzky a pˇreruˇsovan´aˇc´ara odpov´ıdaj´ımenˇs´ım skupin´am galaxi´ı. Str¨ombergov´ym ˇcl´ankem [262] pˇriˇsel s myˇslenkou Velk´eho tˇresku6 (viz [167]). O dva roky pozdˇeji pak rozp´ın´an´ıvesm´ıru nez´avisle potvrdil E. Hubble. Ve sv´em ˇcl´anku [92] publikoval graf (viz obr. 10.2), kter´yukazuje, ˇze radi´aln´ısloˇzka v rychlosti uvaˇzovan´e galaxie z´avis´ıpˇribliˇznˇeline´arnˇena jej´ıvzd´alenosti d od n´as, tj. v = H0d (Hubble˚uv vztah). (10.1) S vyuˇzit´ımstejnomˇern´eho horn´ıho odhadu absolutn´ısv´ıtivosti hvˇezd a pomoc´ı cefeid z 22 galaxi´ıHubble odvodil7 hodnotu konstanty ´umˇernosti z (10.1), −1 −1 −17 −1 H0 ≈ 500 km s Mpc ≈ 1.62 10 s , 6Anglick´yterm´ın Big Bang poprv´evyslovil Fred Hoyle aˇzv roce 1949, autorem ˇcesk´eho term´ınu Velk´ytˇresk je zn´am´yastrofyzik Jiˇr´ıGrygar. S myˇslenkou, ˇze vesm´ır mohl m´ıtv hodnˇed´avn´eminu- losti nulov´ypolomˇer“, pˇriˇsel ale uˇzv roce 1922 A. Friedmann. V anglick´em pˇrekladu ˇcl´anku [66], ” footnote 11, se doslova p´ıˇse: The time since the creation of the world is the time that has flowed from that instant when the space was one point (R = 0) until the present state (R = R0); this time may also be infinite. 7Je pozoruhodn´e, ˇze Hubble necituje Slipherovy ˇcl´anky [255] a [256] ani Lemaˆıtr˚uv ˇcl´anek [167]. 111 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace kter´ase po nˇem naz´yv´a Hubbleova konstanta8. Tak velk´ahodnota ale odporovala nˇekter´ym skuteˇcnostem. Napˇr´ıklad pro urˇcen´ıpˇribliˇzn´eho Hubbleova st´aˇr´ıvesm´ıru T0 = 1/H0 vych´azelo m´enˇeneˇz2 miliardy let, coˇzje ve zjevn´em rozporu se st´aˇr´ım Sluneˇcn´ısoustavy 4.6 miliardy let. Hubble totiˇzmnohon´asobnˇe podcenil vzd´alenosti pozorovan´ych galaxi´ı.Pozdˇeji se hodnota Hubbleovy konstanty zpˇresˇnovala. Souˇcasn´a mˇeˇric´ıtechnika umoˇznila stanovit mnohem menˇs´ıhodnotu (viz napˇr. Riess a kol. [225]) −1 −1 1 −18 −1 H0 ≈ 72 km s Mpc ≈ ≈ 2.33 10 s (10.2) 13.6 Gyr v okol´ınaˇs´ıGalaxie a vˇeˇr´ıme, ˇze i jinde ve vesm´ıru je nyn´ı pˇribliˇznˇestejn´a. ⊙ ⊙ ⊙ 10.3. Supernovy typu Ia — standardn´ısv´ıˇcky Pro kosmologii je podstatn´apouze gravitaˇcn´ıinterakce. Vliv dalˇs´ıch tˇr´ıfyzik´aln´ıch interakc´ı,siln´e, slab´ea elektromagnetick´e,9 se v pˇr´ıpadˇevelk´ych prostorov´ych vzd´ale nost´ızanedb´av´a. Z´akladn´ıkosmologick´eprincipy popsan´e jazykem matematiky jsou uvedeny napˇr´ıklad v [287], [187] ˇci [199]. Pro popul´arnˇejˇs´ıv´yklad odkazujeme na zn´amou Weinbergovu publikaci [288]. Podle Einsteinova kosmologick´eho principu10 je vesm´ırve vˇsech bodech homo genn´ıa izotropn´ı.Vˇeˇr´ıme totiˇz, ˇze jako pozorovatel´e nejsme na ˇz´adn´em privilego van´em m´ıstˇeve vesm´ıru. Homogenita je pˇredpokl´adan´avlastnost vesm´ıru, kdy pro dan´ypevn´yokamˇzik se vesm´ırna velk´ych prostorov´ych ˇsk´al´ach11 jev´ıstejn´yvˇsem pozorovatel˚um, at’ jsou kdekoliv. Jin´ymi slovy, pro kaˇzd´ypevn´yˇcas poˇzadujeme translaˇcn´ısymetrii vesm´ıru. Podobnˇe izotropie je pˇredpokl´adan´avlastnost vesm´ıru, kdy se vesm´ırna velk´ych prostorov´ych ˇsk´al´ach jev´ı pozorovateli v kaˇzd´em bodˇe12 stejn´yve vˇsech smˇerech, 8Hubbleovu konstantu ale nezavedl poprv´eHubble, jak se ˇcasto nespr´avnˇetvrd´ı.Jiˇzo dva roky dˇr´ıve G. Lemaˆıtre uv´ad´ıv [167] na s. 56 jej´ıhodnotu 625 km/(s Mpc). Vypoˇc´ıtal ji ze Str¨ombergova seznamu ([266], s. 200) ˇcerven´ych a modr´ych posuv˚uextragalaktick´ych mlhovin po odeˇcten´ırychlosti Sluneˇcn´ısoustavy vzhledem k Ml´eˇcn´edr´aze. 9Je ot´azkou, kter´aze ˇctyˇrz´akladn´ıch interakc´ızp˚usobila Velk´ytˇresk, pokud nastal. 10Term´ın Einstein˚uv kosmologick´yprincip zavedl v roce 1935 E. A. Milne [183]. Uˇzv roce 1922 ale Carl V. L. Charlier v [94] p´ıˇse, ˇze kosmologick´yprincip zavedl Einstein, i kdyˇzjej tak nepojmenoval. 11Vˇetˇsinou se uv´ad´ımiliarda svˇeteln´ych let. Ve vesm´ıru vˇsak existuj´ıi vˇetˇs´ıstruktury, napˇr. Sloan Great Wall je vl´akno galaxi´ıdlouh´e1.37 miliard svˇeteln´ych let. 12Kdyby mˇel vesm´ırtvar povrchu vejce a pozorovatel by se nach´azel na jeho ˇspiˇcce, jevil by se mu vesm´ırizotropn´ı,ale nebyl by izotropn´ıve vˇsech bodech. 112 10. Zrychluj´ıc´ıse rozp´ın´an´ıvesm´ıru tj. poˇzadujeme rotaˇcn´ısymetrii vesm´ıru.13 Teoreticky lze odvodit (viz napˇr. [187], s. 714; [288], s. 29), ˇze izotropie v kaˇzd´em bodˇeimplikuje homogenitu.14 Pˇredpokl´ad´a me li tedy izotropii vesm´ıru, m˚uˇzeme se zab´yvat stanoven´ım rychlosti jeho rozp´ın´an´ı. K tomuto ´uˇcelu si zavedeme dalˇs´ıpojmy. Supernovou se rozum´ıhvˇezda, kter´a vybuchla a jej´ıˇzsv´ıtivost (luminozita) se mnohamiliardkr´at zv´yˇsila v d˚usledku gra vitaˇcn´ıho kolapsu a n´asledn´eexplozivn´ınukleosynt´ezy. Uˇz v roce 1938 konstatoval Walter Baade (1893–1960), kter´yspolupracoval s Fritzem Zwickym, ˇze supernovy by mohly b´yt slibn´ymi kandid´aty pro mˇeˇren´ıvesm´ırn´eexpanze. Na moˇznost mˇeˇren´ı vzd´alenost´ıpomoc´ısupernov (typu Ia) upozorˇnoval tak´e Charles Thomas Kowal [112] v roce 1968. Supernova totiˇzm˚uˇze vyd´avat po nˇekolik t´ydn˚utolik svˇetla jako menˇs´ı galaxie. Svˇetlo z takov´ych objekt˚uk n´am let´ıskrze expanduj´ıc´ıvesm´ır, a tak se po stupnˇeprodluˇzuje vlnov´ad´elka jednotliv´ych foton˚u(jde o tzv. kosmologick´yDopple r˚uv jev). Zmˇeˇren´evlnov´ed´elky a sv´ıtivost supernov n´as tak dobˇre informuj´ıo historii rozp´ın´an´ıvesm´ıru, ˇcehoˇzpodstatnˇevyuˇzili i laure´ati Nobelovy ceny za rok 2011. Supernovy se dˇel´ına nˇekolik typ˚u. Pokud nemaj´ıve sv´em spektru ˇc´ary vod´ıku15, patˇr´ıdo tˇr´ıdy I a dˇel´ıse d´ale na dva typy Ia a Ib podle toho, zda maj´ıˇci nemaj´ı ve sv´em spektru charakteristick´eabsorpˇcn´ıˇc´ary kˇrem´ıku o vlnov´ed´elce 615 nm. Znaˇcn´apodobnost pˇri porovn´av´an´ıjednotliv´ych v´ybuch˚usupernov typu Ia ukazuje, ˇze patrnˇemaj´ıstejn´yspouˇstˇec´ımechanizmus. Supernovy typu Ia dosahuj´ımaxima sv´ıtivosti zhruba po 20 dnech. Po mnoho t´ydn˚upak maj´ıv podstatˇestejn´y, pozvolna klesaj´ıc´ı pr˚ubˇeh sv´ıtivosti po hlavn´ım maximu svˇeteln´ekˇrivky. Zejm´ena rychlost poklesu sv´ıtivosti se uk´azala b´yt rozhoduj´ıc´ıpro kalibraci a urˇcov´an´ıvzd´alenost´ı, protoˇze maximum jejich absolutn´ıho z´aˇriv´eho v´ykonu kol´ıs´a. Ve vˇseobecnˇepˇrij´ıman´em modelu se pˇredpokl´ad´a, ˇze mechanizmus supernov ty pu Ia je tento: Jedn´ase o tˇesnou dvojhvˇezdu, jej´ıˇzjedna sloˇzka je b´ıl´ytrpasl´ık(o vy sok´ehustotˇeaˇz105 kg/cm3) a druh´asloˇzka ˇcerven´yobr, kter´ypostupnˇezvˇetˇsuje svoji velikost. Jakmile se napln´ıRoche˚uv lalok, kter´yje definov´an ekvipotenci´aln´ımi plochami proch´azej´ıc´ımi Lagrangeov´ym bodem L1, doch´az´ık pˇret´ek´an´ıhmoty z ˇcer ven´eho obra pˇres bod L1 na b´ıl´eho trpasl´ıka (podrobnosti viz [101]). Hmota pˇret´ek´a tak dlouho, aˇzhmotnost b´ıl´eho trpasl´ıka dos´ahne tzv. Chandrasekharovy meze nesta- 30 bility 1.4 M⊙, kde M⊙ =1.989 10 kg je hmotnost Slunce. Po pˇrekroˇcen´ıt´eto meze dojde ke gravitaˇcn´ımu kolapsu trpasl´ıka. Nejprve se jeho vnitˇrn´ıˇc´asti zhrout´ı do 13O moˇznosti jak´ehosi rotuj´ıc´ıho vesm´ıru, kter´yby byl homogenn´ıa neizotropn´ı,uvaˇzoval Kurt G¨odel [73] — napˇr. pokud bychom vidˇeli polovinu oblohy s modr´ym posuvem a druhou polovinu s ˇcerven´ym posuvem. Toho lze dos´ahnout pro libovolnou lichou dimenzi n na sf´eˇre Sn (protoˇze ji lze uˇcesat“). ” 14Pˇredpokl´adat homogenitu izotropn´ıho vesm´ıru je tedy nadbyteˇcn´e, i kdyˇzse to bˇeˇznˇedˇel´a. To je podobn´e, jako kdybychom ˇr´ıkali: necht’ je funkce konstantn´ıa spojit´a, necht’ je matice jednotkov´a a symetrick´aapod. 15Supernovy tˇr´ıdy II maj´ıve sv´em spektru ˇc´ary vod´ıku a vznikaj´ı exploz´ıhvˇezd naz´yvan´ych veleobˇri, kdyˇzjsou na konci sv´eho v´yvoje. Jejich vnitˇrn´ı vyhoˇrel´aˇc´ast se vlastn´ıgravitac´ızhrout´ı ke stˇredu, kde vznikne neutronov´ahvˇezda nebo ˇcern´ad´ıra. 113 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace neutronov´ehvˇezdy (o nepˇredstavitelnˇevysok´ehustotˇe vˇetˇs´ıneˇz1011 kg/cm3), na niˇz pak zaˇcnou padat vnˇejˇs´ıˇc´asti trpasl´ıka. Uvolnˇen´aenergie zp˚usob´ıobrovskou explo zi. V maximu sv´ıtivosti vykazuj´ısupernovy typu Ia spektr´aln´ı ˇc´ary kˇrem´ıku (Si II) a s´ıry (S II), ale ˇz´adn´eˇc´ary vod´ıku.16 Za objev meze stability a dalˇs´ıv´ysledky z´ıskal indick´yastrofyzik Subrahmanyan Chandrasekhar (1910–1995) v roce 1983 Nobelovu cenu za fyziku. Chandrasekharova mez n´am tak vlastnˇeve vesm´ıru urˇcuje standardn´ısv´ıˇcky, u nichˇzm˚uˇzeme odhadnout vzd´alenost pomoc´ısv´ıtivosti a Pogsonovy rovnice17 (viz t´eˇzodd´ıl8.2). Jist´apot´ıˇzale spoˇc´ıv´av tom, ˇze se od sebe liˇs´ıdosti sv´ıtivosti ve smˇeru osy rotace vybuchuj´ıc´ıho trpasl´ıka a ve smˇeru na n´ıkolm´em. V typick´egalaxii se zcela n´ahodnˇeobjev´ıjen nˇekolik supernov za tis´ıcilet´ı.Proto oba ocenˇen´et´ymy vˇzdy po nˇekolika t´ydnech srovn´avaly sn´ımky urˇcit´eˇc´asti oblohy obsahuj´ıc´ımnoho tis´ıc˚ugalaxi´ı.Po odeˇcten´ıobou sn´ımk˚u obˇcas naˇsly nepatrn´esvˇetl´e body — kandid´aty na supernovy typu Ia, u nichˇzbylo nutno analyzovat n´asledn´e svˇeteln´ekˇrivky [202]. Kaˇzd´ysledovan´yv´ysek oblohy, v nˇemˇzBrian Schmidt a jeho ko legov´ehledali supernovy typu Ia, obsahoval kolem 5 000 galaxi´ı. Tak objevili zejm´ena hodnˇevzd´alen´esupernovy s ˇcerven´ym posuvem z ≥ 0.2. C´ımjeˇ totiˇzvˇetˇs´ı z, t´ım v´ıce galaxi´ıje v uvaˇzovan´em v´yseku, protoˇze jejich poˇcet roste pˇribliˇznˇese ˇctvercem vzd´alenosti (pro velk´a z tomu tak ale nen´ı). Pro mal´a z proto ˇz´adn´esupernovy neobjevili. ⊙ ⊙ ⊙ 10.4. Mˇeˇren´ıkosmologick´ych parametr˚u Rychlost rozp´ın´an´ı vesm´ıru nen´ı konstantn´ı v ˇcase, nebot’ ji mimo jin´eovlivˇnuje gravitaˇcn´ı p˚usoben´ı hmoty, jej´ıˇzstˇredn´ı hustota kles´a. Proto m´ısto konstanty H0 ze vztahu (10.2) budeme uvaˇzovat funkci H = H(t), pro niˇz H(t0) = H0, kde t0 = 13.82 miliardy let je odhad st´aˇr´ıvesm´ıru podle souˇcasn´ych kosmologick´ych mo del˚u. Pro pevn´yˇcas t jej´ıhodnota nez´avis´ına prostorov´ych promˇenn´ych v d˚usledku pˇredpokl´adan´ehomogenity a izotropie vesm´ıru. Funkce H = H(t) naz´yvan´a Hubble˚uv parametr se definuje jako pomˇer a˙(t) H(t)= , (10.3) a(t) 16Supernovy typu Ib maj´ıv maximu sv´ıtivosti spektr´aln´ıˇc´ary helia (He I) a supernovy typu Ic obsahuj´ıˇc´ary v´apn´ıku (Ca II) a kysl´ıku (O I). 17 Pogsonova rovnice µ1−µ2 =2.5 log10(I2/I1) ud´av´avztah mezi rozd´ılem pozorovan´ych magnitud µ1 − µ2 dvou svˇeteln´ych zdroj˚ua pomˇerem hustot I2/I1 jejich svˇeteln´ych tok˚u. Je-li pomˇer I2/I1 = 100, vid´ıme, ˇze mezi zdroji je rozd´ıl5 magnitud. Pro pˇredstavu o pozorovan´ehvˇezdn´evelikosti dodejme, ˇze napˇr. pro Pol´arku je µ = 2.2 mag. Pro zdroje o rozd´ılujedn´emagnitudy je pomˇer √5 I2/I1 = 100 = 2.512. 114 10. Zrychluj´ıc´ıse rozp´ın´an´ıvesm´ıru kde teˇcka oznaˇcuje ˇcasovou derivaci a a = a(t) je nez´aporn´aa spojitˇediferencova teln´a expanzn´ıfunkce (ˇsk´alovac´ıparametr). Pro pevn´yˇcasov´yokamˇzik t oznaˇcuje hodnota a(t) polomˇer vesm´ıru, pokud m´akladnou kˇrivost a modelujeme18 jej troj rozmˇernou sf´erou x2 +y2 +z2 +w2 = a2(t) v E4, viz [167]. Napˇr´ıklad pro a(t)= Ct2/3 s konstantou C > 0 vystupuj´ıc´ı v jednoduch´ych klasick´ych kosmologick´ych mo delech bez temn´eenergie (viz napˇr. [187] a [288]) dost´av´ame bˇehem posledn´ıch t0 − 380 000 let, kdy dominuje l´atka nad z´aˇren´ım, klesaj´ıc´ıfunkci 2 H(t)= . (10.4) 3t Pro funkci (10.4) pak stanov´ıme, ˇze −18 −1 H(t0)=1.53 10 s . Vˇsimnˇeme si ale, ˇze zmˇeˇren´ahodnota v (10.2) je o 52 % vˇetˇs´ı.Hlavn´ımd˚uvodem je skuteˇcnost, ˇze vztah (10.4) neuvaˇzuje vliv temn´eenergie. Kdybychom znali pˇresn´y ˇcasov´ypr˚ubˇeh Hubbleova parametru, pak integrac´ı(10.3) dostaneme vztah (srov. modelovou situaci na obr. 8.7) t a(t)= a(t′) exp Z H(τ)dτ pro 0 < t′ ≤ t, t′ pˇriˇcemˇz a(0) = 0. Tato poˇc´ateˇcn´ıpodm´ınka ale neumoˇzˇnuje uvaˇzovat napˇr. expanzn´ı funkci tvaru a(t) = C1 exp(C2t), kde C1 a C2 jsou kladn´ekonstanty, kter´avede na konstantn´ıHubble˚uv parametr. Koncem 20. stolet´ıse kosmologov´edomn´ıvali, ˇze expanzn´ıfunkce je vˇzdy kon k´avn´ı,tj.a ˙ je klesaj´ıc´ıfunkce ˇcasu, protoˇze rozp´ın´an´ıvesm´ıru brzd´ıpˇritaˇzliv´agra vitaˇcn´ıs´ıla. Pak ale pˇriˇslo velk´epˇrekvapen´ı.T´ymy Supernova Cosmology Project a High z Supernova Search se koncem devades´at´ych let zamˇeˇrily na supernovy ve velk´ych vzd´alenostech odpov´ıdaj´ıc´ıch ˇcerven´emu posuvu 0.2 aˇz1. Nez´avisle objevily, ˇze supernovy typu Ia maj´ı aˇzo 15 % menˇs´ı sv´ıtivost (viz [71], [203], [222]), neˇz by mˇely m´ıt, kdyby se vesm´ırrozp´ınal zpomalenˇe. Pomoc´ır˚uznˇeobarven´ych filtr˚u nav´ıczjistily, ˇze zeslaben´ısv´ıtivosti prakticky nen´ızp˚usobeno absorpc´ıv l´atce. To ale znamen´a, ˇze se svˇetlo supernov ˇs´ıˇr´ı do vˇetˇs´ıho objemu, neˇzkdyby rozp´ın´an´ı vesm´ıru pouze zpomalovala gravitace. Aby se vysvˇetlil tento paradox, bylo nutno kromˇetemn´ehmoty zav´est jeˇstˇe temnou energii, kter´arozp´ın´an´ı vesm´ıru naopak urychluje. Tak bylo zjiˇstˇeno, ˇze derivacea ˙ =a ˙ (t) je rostouc´ı(tj. a je ryze konvexn´ı) 18Pro z´apornou kˇrivost se vesm´ırpopisuje hyperbolickou nadplochou x2 + y2 + z2 − w2 = −a2(t) s Minkowsk´eho metrikou (viz (18.5)). Pro nulovou kˇrivost hodnota a(t) ud´av´avzd´alenost dvou typick´ych“ galaxi´ı. Parametr a = a(t) vystupuje ve Friedmannovˇe–Lemaˆıtrovˇe–Robertsonovˇe– ” Walkerovˇemetrice, kter´adefinuje prostoroˇcasovou varietu (viz [40], [199]). 115 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Obr. 10.3. Z´avislost magnitudy supernov typu Ia na ˇcerven´em posuvu spektra z ukazuj´ıc´ı na zrychlen´erozp´ın´an´ıvesm´ıru podle Perlmutterova ˇcl´anku [202]. Pro z < 0.1 jsou pro porovn´an´ızn´azornˇeny t´eˇzv´ysledky Hamuyova t´ymu namˇeˇren´epˇred rokem 1996. v ˇcasov´em intervalu posledn´ıch cca 5 miliard let, coˇzodpov´ıd´aˇcerven´emu posuvu pˇribliˇznˇe0 ≤ z ≤ 0.5. Na obr. 10.3 vid´ıme pˇrehled v´ysledk˚uobou soupeˇr´ıc´ıch t´ym˚u veden´ych Saulem Perlmutterem a Brianem Schmidtem. Na vodorovn´eose je ˇcerven´yposuv a na svisl´e ose je pˇr´ısluˇsn´avelikost v magnitud´ach supernovy, coˇzje jednotka pro mˇeˇren´ıhvˇezdn´e velikosti (sv´ıtivosti) nebesk´ych objekt˚u— viz [287], s. 421–426. Pro hodnˇevzd´alen´eobjekty (z > 1) namˇeˇren´adata naznaˇcuj´ı, ˇze existovalo obdob´ızpomalov´an´ıkosmick´eexpanze, tj. obdob´ı,kdy derivace expanzn´ıfunkcea ˙ byla klesaj´ıc´ıs rostouc´ımˇcasem, viz [223], [222] a [225]. Nˇekter´estudovan´esupernovy byly vzd´aleny dokonce v´ıce neˇz10 miliard svˇeteln´ych let, coˇzumoˇznilo zjistit, ˇze se zpomaluj´ıc´ırozp´ın´an´ıvesm´ıru zmˇenilo ve zrychlen´easi po 8 aˇz9 miliard´ach let od Velk´eho tˇresku. Oba t´ymy se zamˇeˇrily na stanoven´ınˇekolika dalˇs´ıch d˚uleˇzit´ych kosmologick´ych parametr˚u. St´avaj´ıc´ı hodnotu Hubbleova parametru urˇcily bl´ızkou (10.2). Odtud vych´az´ı Hubbleovo st´aˇr´ıvesm´ıru 1 T0 = ≈ 13.6 miliardy let, H0 coˇzje jen hrub´yodhad jeho skuteˇcn´eho st´aˇr´ı t0. 116 10. Zrychluj´ıc´ıse rozp´ın´an´ıvesm´ıru Poˇc´atkem dvac´at´ych let minul´eho stolet´ıAlexander A. Friedmann (1888–1925) odvodil ze soustavy deseti Einsteinov´ych rovnic19 pro dokonale symetrick´yvesm´ır, kter´yje pro kaˇzd´ypevn´yˇcasov´yokamˇzik homogenn´ı a izotropn´ı,neline´arn´ı dife renci´aln´ırovnici (viz [66], [67]) pro rychlost rozp´ın´an´ıvesm´ıru (angl. expansion rate) a˙ 2 8πGρ Λc2 kc2 = + − , (10.5) a2 3 3 a2 kde G oznaˇcuje gravitaˇcn´ıkonstantu, c rychlost svˇetla ve vakuu, ρ = ρ(t) stˇredn´ı hustotu l´atky ve vesm´ıru, k/a2 prostorovou kˇrivost (viz kapitola 18), k ∈ {−1, 0, 1} index kˇrivosti (normalizovanou kˇrivost) a Λ kosmologickou konstantu20, kter´avy stupuje v Einsteinov´ych rovnic´ıch obecn´eteorie relativity u absolutn´ıho ˇclenu (viz napˇr. [40], [187], [199]). Pˇredposledn´ıˇclen v rovnici (10.5) obsahuj´ıc´ıΛ hraje pro t → ∞ dominantn´ı roli, protoˇze hustota ρ(t) je ´umˇern´a a−3(t). Vydˇel´ıme li rov nici (10.5) ˇctvercem H2 = 0, pak pomoc´ı(10.3) dostaneme pro vˇsechna t rovnici pro tˇri bezrozmˇern´eparametry 1 = M(t) + Λ(t) + K(t). (10.6) 21 Zde M je parametr hustoty temn´ea baryonov´ehmoty , Λ je parametr hustoty temn´eenergie (viz [91], [199]), K je parametr hustoty prostorov´ekˇrivosti a 8πGρ(t) Λc2 kc2 M(t)= , Λ(t)= , K(t)= − . (10.7) 3H2(t) 3H2(t) H2(t)a2(t) Rovnice (10.6) tak ud´av´avztah mezi parametry hustoty hmoty, hustoty energie a hus toty kˇrivosti vesm´ıru. Pro ploch´yvesm´ırs k = 0 tedy plat´ı M+ Λ = 1. Tuto rovnost vˇsak nelze dok´azat pomoc´ımˇeˇren´ı,kter´avˇzdy vykazuj´ınˇejakou nejistotu. D˚uleˇzit´ym c´ılem tedy bylo urˇcit souˇcasn´ehodnoty parametr˚u M a Λ ( K se pak dopoˇcte z (10.6)). V ˇcl´anc´ıch [204], [222] a [203] z let 1997–1999 se uv´ad´ı,ˇze 19Einsteinovy rovnice obecn´eteorie relativity se op´ıraj´ıo tenzorov´ypoˇcet, kter´ysi v Praze Ein- stein osvojil bˇehem diskuz´ıs Georgem Pickem v letech 1911–1912. 20A. Einstein pˇredpokl´adal, ˇze vesm´ırje stacion´arn´ı,a zpoˇc´atku nevˇeˇril na jeho rozp´ın´an´ı.Aby zabr´anil gravitaˇcn´ımu kolapsu vesm´ıru, zavedl roku 1917 do sv´ych rovnic obecn´eteorie relativity kosmologickou konstantu [59]. Jej´ırepulzivn´ıcharakter mu umoˇzˇnoval nad´ale uvaˇzovat neexpan- duj´ıc´ıstacion´arn´ıvesm´ıri pro k ≤ 0. V r. 1917 vˇsak Willem de Sitter (1872–1934) nalezl velice speci´aln´ıˇreˇsen´ıEinsteinov´ych rovnic [253], kter´epopisuje rozp´ın´an´ıizotropn´ıho vesm´ıru s nulovou hustotou a Λ > 0. Kdyˇzpak v r. 1929 Hubble publikoval ˇcl´anek [92] o rozp´ın´an´ı vesm´ıru, Einstein se kosmologick´ekonstanty zˇrekl a prohl´asil, ˇze to byl nejvˇetˇs´ıomyl v jeho vˇedeck´ekari´eˇre [63]. 21Baryonov´ahmota je tvoˇrena pˇrev´aˇznˇeprotony a neutrony. Astronomov´ek n´ıvˇsak zapoˇc´ıt´avaj´ı i dalˇs´ızn´am´eelement´arn´ıˇc´astice, napˇr. elektrony ˇci neutrina. 117 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace parametr hustoty temn´eenergie Λ je kladn´ys pravdˇepodobnost´ı vyˇsˇs´ı neˇz99 % a parametr hustoty hmoty M ≈ 0.2. V dneˇsn´ıdobˇeje zn´amo uˇzpˇres tis´ıcsupernov typu Ia s ˇcerven´ym posuvem z > 0.1. A tak se hodnoty parametr˚u M a Λ neust´ale zpˇresˇnuj´ı.Pˇr´ısluˇsn´y M − Λ diagram byl uveˇrejnˇen v [248], s. 16. Napˇr´ıklad podle ˇcl´anku Riesse a jeho spolupracovn´ık˚u[225] jsou souˇcasn´ehodnoty pˇribliˇznˇe M =0.3 22 a Λ =0.71. Podle (10.6) a (10.7) by tedy platilo kc2 K(t0)= −0.01 = − 2 2 , H (t0)a (t0) coˇzodpov´ıd´akladn´emu indexu kˇrivosti k = 1, tj. trojrozmˇern´enadsf´eˇre vloˇzen´edo ˇctyˇrrozmˇern´eho eukleidovsk´eho prostoru. Odtud a podle (10.2) vych´az´ınepˇredstavi telnˇevelk´ypolomˇer souˇcasn´eho vesm´ıru23 10c 27 a(t0)= ≈ 1.3 10 m ≈ 140 Gly, (10.8) H0 kde ly oznaˇcuje svˇeteln´yrok (z angl. light year), a proto se n´am jev´ıvesm´ırskoro ploch´y. Zd˚uraznˇeme ale, ˇze vztah M + Λ ≈ 1 neimplikuje rovnost K = 0. Obrat’me nyn´ıpozornost na samotnou kosmologickou konstantu Λ. V´yznamn´ym ´ukolem t´ym˚uveden´ych Perlmutterem a Schmidtem bylo stanovit jej´ıskuteˇcnou hod notu. Nebylo totiˇzzn´amo, zda je jej´ıhodnota kladn´a, nulov´aˇci z´aporn´a.24 Perlmutter se sv´ym kolektivem odvodil z prvn´ıch 42 pozorovan´ych supernov kladnou hodnotu Λ s pravdˇepodobnost´ı99.8 % (viz [204], s. 580). V souˇcasnosti se v literatuˇre uv´ad´ıcel´a ˇrada horn´ıch i doln´ıch odhad˚u, kter´ese vˇetˇsinou pohybuj´ıkolem hodnoty 10−52 m−2 (viz napˇr. [105], [116]). Podle (10.7), (10.2) a namˇeˇren´ych hodnot vskutku m´ame 2 3H0 Λ ≈ 0.71 =1.22 10−52 m−2. c2 Z (10.5) je patrno, ˇze pro Λ > 0a a →∞ jea ˙ rostouc´ıod jist´eho ˇcasov´eho okamˇziku t1 poˇc´ınaje, tj. funkce a = a(t) je konvexn´ıpro t ≥ t1. D´ale byla stanovena hodnota bezrozmˇern´eho deceleraˇcn´ıho parametru (parametru zpomalen´ı) aa¨ a¨ q := − = − H−2 = −HH˙ −2 − 1, (10.9) a˙ 2 a 22 V ˇcl´anku [243] byly pomoc´ıfluktuac´ıreliktn´ıho z´aˇren´ız´ısk´any hodnoty parametr˚uΩK = −0.014 aΩΛ =0.716 (srov. [180], s. 96). Tak´estandardn´ıΛCDM model (angl. Lambda–Cold Dark Matter) uvaˇzuje podobn´ehodnoty. Kosmologick´eparametry, kter´e namˇeˇrila druˇzice Planck [211], uv´ad´ıme v (19.11). 23Vˇsechny zde uv´adˇen´ehodnoty je tˇreba br´at se znaˇcnou rezervou“, protoˇze se jedn´ajen ” o pˇribliˇzn´emodely zat´ıˇzen´ecelou ˇradou nejr˚uznˇejˇs´ıch chyb. 24Z rovnice (10.5) pro Einstein˚uv stacion´arn´ıvesm´ırsa ˙ = 0 dost´av´ame horn´ıodhad Λ ≤ 3k/a2. 118 10. Zrychluj´ıc´ıse rozp´ın´an´ıvesm´ıru a a(t ) 0 t 0 0 t T 0 Obr. 10.4. Kdyby byla expanzn´ı funkce konk´avn´ı, pak by jej´ı graf leˇzel pod teˇcnou proch´azej´ıc´ı bodem (t0, a(t0)). Proa ˙(t0) > 0 by tedy podle (10.12) vˇek vesm´ıru t0 nepˇrevyˇsoval Hubbleovo st´aˇr´ıvesm´ıru T0 = 1/H0 = 13.6 miliardy let, coˇzale nen´ıv souladu s namˇeˇren´ymi daty. kde druh´arovnost plyne z (10.3). Odtud vid´ıme, ˇze souˇcasn´a hodnota deceleraˇcn´ıho parametru q0 = q(t0) je vlastnˇejen dalˇs´ıkoeficient v Taylorovˇerozvoji [220], s. 623, 1 2 a(t)= a(t0) +a ˙(t0)(t − t0)+ 2 a¨(t0)(t − t0) + ... 1 2 2 = a(t0)(1 + H0(t − t0) − 2 q0H0 (t − t0) + ... ). (10.10) Proto bylo nutno z´ıskat spektra supernov typu Ia, jeˇzjsou velice vzd´aleny (z ≈ 1.7), viz [63]. V pr´aci [225], s. 110, byla nalezena z´aporn´ahodnota parametru (srov. obr. 8.7) q0 ≈ −0.6, (10.11) tj. a je ryze konvexn´ıv okol´ı t0. Z´apornou hodnotu q0 < −1 ovˇsem pˇredpov´ıdala Novoz´eland’anka Beatrice Tin sleyov´a(1941–1981) jiˇzkoncem sedmdes´at´ych let minul´eho stolet´ı.25 Pokud by totiˇz byla expanzn´ıfunkce a=a(t) ve sv´em definiˇcn´ımoboru vˇsude konk´avn´ı(viz obr. 10.4) aa ˙(t0) > 0, pak podle (10.3) a (10.2) pro vˇek vesm´ıru t0 plat´ı a(t0) −1 17 t0 ≤ T0 = = H0 ≈ 4.29 10 s ≈ 13.6 miliardy let. (10.12) a˙(t0) To ale odporovalo pozorov´an´ım, protoˇze nˇekter´ehvˇezdy se povaˇzovaly za starˇs´ı.Tak v roce 1978 B. Tinsleyov´azjistila [273], ˇze expanzn´ıfunkce mus´ı b´yt v nˇejak´em inter valu ryze konvexn´ı,coˇzodpov´ıd´azrychluj´ıc´ımu se rozp´ın´an´ıvesm´ıru (viz t´eˇz[80]). Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze kdyˇz q ≥ −1 a a je ryze konvexn´ı (tj.a ˙ je rostouc´ı) na nˇejak´em podintervalu, pak zde H = H(t) nen´ırostouc´ıpodle (10.9). Na druh´e 25Tinsleyov´avˇsak nezkoumala supernovy. Jej´ı domnˇenka se op´ırala o pozorov´an´ı,ˇze nejvyˇsˇs´ı koncentrace kvasar˚u(angl. quasi stellar objects) je pro z ≈ 2. 119 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace stranˇe pro q < −1 jiˇzplyne, ˇze H˙ > 0, tj. H = H(t) je rostouc´ı funkce na pˇr´ısluˇsn´em podintervalu. Pokud bychom napˇr´ıklad line´arnˇe extrapolovali deceleraˇcn´ı parametr q = q(t) z obr. 8.7 na 5 miliard let do budoucnosti, potom by jeho hodnota byla menˇs´ıneˇz −1. Nesm´ıme ale zapom´ınat, ˇze jde jen o model.26 ⊙ ⊙ ⊙ 10.5. Souhrn Velk´eobjevy obvykle nevznikaj´ız niˇceho, ale op´ıraj´ıse o v´ysledky mnoha dalˇs´ıch badatel˚u. Nesm´ırnou z´asluhu o pouˇzit´ıv´ysledk˚uneeukleidovsk´egeometrie na n´aˇs vesm´ırm´anespornˇeK. Schwarzschild. Jiˇzv r. 1900 si uvˇedomil, ˇze vesm´ırby mohl m´ıt koneˇcn´yobjem [249]. Na ˇcerven´yposuv vˇetˇsiny extragalaktick´ych mlhovin pouk´azal V. M. Slipher (viz [256], [262]) mnohem dˇr´ıve neˇzE. P. Hubble. A. Friedmann nalezl model rozp´ınaj´ıc´ıho se vesm´ıru, nikoliv rozp´ın´an´ıskuteˇcn´eho vesm´ıru. To, ˇze vesm´ırmohl m´ıtkdysi nulov´ypolomˇer“ pˇredpokl´adal Friedmann [66] ” jiˇzv r. 1922, tj. o pˇet let dˇr´ıve neˇzk podobn´emu z´avˇeru doˇsel G. Lemaˆıtre na z´akladˇe astronomick´ych pozorov´an´ı[167]. Jasn´eargumenty pro zrychluj´ıc´ıse rozp´ın´an´ıves m´ıru poprv´epˇredloˇzila B. Tinsleyov´akoncem sedmdes´at´ych let minul´eho stolet´ı. I kdyˇzjej´ıˇcl´anek [273] vyˇsel v Nature, v prac´ıch laure´at˚uNobelovy ceny [202]–[204], [222]–[225] nen´ıcitov´ana. V souˇcasnosti prob´ıh´avelk´adiskuze o tom, co je z´ahadn´ym zdrojem temn´eener gie, kter´asv´ymi antigravitaˇcn´ımi ´uˇcinky zp˚usobuje zrychluj´ıc´ıse rozp´ın´an´ıvesm´ıru, viz [3], [71]. Uvaˇzuje se, ˇze by z´akladn´ıfyzik´aln´ıkonstanty mohly z´aviset na ˇcase. Kdyby napˇr. hodnota gravitaˇcn´ıkonstanty vhodnˇeklesala, dostali bychom pozoro van´ezrychlen´erozp´ın´an´ıvesm´ıru [252], jeˇzse tak´eobˇcas vysvˇetluje energi´ıvakua. Uvaˇzuje se i o existenci dynamick´eho skal´arn´ıho pole (kvintesence — hypotetick´e p´at´ez´akladn´ıs´ıly), kter´ezp˚usobuje zrychlenou expanzi vesm´ıru, viz [180], str. 99. Pomoc´ı kladn´egravitaˇcn´ı aberace zp˚usobuj´ıc´ı antigravitaˇcn´ı s´ıly se v kapitole 17 pokus´ıme vysvˇetlit, odkud m˚uˇze poch´azet alespoˇnˇc´ast temn´eenergie zp˚usobuj´ıc´ı zrychlen´erozp´ın´an´ıvesm´ıru. ⊙ ⊙ ⊙ 26 Obr. 8.7 odpov´ıd´ahodnot´am H0 = 67.15 km/(s Mpc), ΩΛ =0.683 a ΩM =0.317, srov. (19.11). 120 11. Vzdalov´an´ıMarsu od Slunce Kaˇzd´ynov´yobjev proch´az´ıtˇremi stadii: v prv´em je smˇeˇsn´y, v druh´em je pot´ır´an, v tˇret´ım je samozˇrejm´y. Arthur Schopenhauer V kapitole 10 jsme se zab´yvali glob´aln´ım rozp´ın´an´ım vesm´ıru. V n´asleduj´ıc´ıch kapito- l´ach 11–15 pod´ame celou ˇradu argument˚uukazuj´ıc´ıch, ˇze se Sluneˇcn´ısoustava rozp´ın´a rychlost´ısrovnatelnou s expanz´ıvesm´ıru, kter´eje d´ano Hubbleovou konstantou. To je samozˇrejmˇev rozporu se z´akonem zachov´an´ıenergie z klasick´emechaniky. Hlavn´ım c´ılem druh´eˇc´asti t´eto kn´ıˇzky bude uk´azat, proˇctento fundament´aln´ıfyzik´aln´ız´akon v re´aln´em svˇetˇeneplat´ızcela pˇresnˇe, ale jen pˇribliˇznˇe. Uvid´ıme, ˇze se energie ve vesm´ıru pozvolna samovolnˇegeneruje v d˚usledku antigravitace. Pˇr´ıˇcinou m˚uˇze b´yt m´alo zn´am´ya opom´ıjen´yjev gravitaˇcn´ıaberace (viz kapitola 17). 11.1. Antigravitace a z´akon zachov´an´ıenergie O platnosti“ fyzik´aln´ıch z´akon˚use pˇresvˇedˇcujeme pomoc´ı mˇeˇren´ı.Absolutnˇepˇresn´e ” mˇeˇric´ıpˇr´ıstroje vˇsak zkonstruovat nelze. Tedy ani v principu nem˚uˇzeme ovˇeˇrit, ˇze obecnˇepˇrij´ıman´ez´akony, jako napˇr. z´akon zachov´an´ı energie ˇci z´akon zachov´an´ımo mentu hybnosti, plat´ına libovoln´ypoˇcet desetinn´ych m´ıst. Z´akon zachov´an´ıenergie patˇr´ımezi z´akladn´ıpil´ıˇre, na nichˇzstoj´ısouˇcasn´a fyzika. Newtonova teorie gravi tace je zformulov´ana tak, aby z´akon zachov´an´ıenergie platil naprosto pˇresnˇe. Jak je to ale v re´aln´em svˇetˇe, kter´yNewtonova teorie ˇci teorie relativity jen modeluj´ı? K zodpovˇezen´ıt´eto ot´azky pouˇzijeme ˇsirok´yinterdisciplin´arn´ıpˇr´ıstup. Uvedeme v´ıce neˇz10 konkr´etn´ıch pˇr´ıklad˚u, kter´eilustruj´ı,ˇze nepatrnˇenar˚ust´acelkov´amechanick´a energie soustavy skuteˇcn´ych tˇeles, kter´ana sebe vz´ajemnˇegravitaˇcnˇep˚usob´ı. 121 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Nejprve pˇredloˇz´ıme ˇradu astrobiologick´ych, astronomick´ych, geometrick´ych, geo fyzik´aln´ıch, geochronometrick´ych, heliofyzik´aln´ıch, klimatologick´ych, paleontologic k´ych a observaˇcn´ıch argument˚u, kter´eukazuj´ı, ˇze se Sluneˇcn´ı soustava pozvolna rozp´ın´arychlost´ı cca 5 m yr−1au−1 a ˇze tak v´yznamn´erozp´ın´an´ı nelze vysvˇetlit ani ´ubytkem sluneˇcn´ıhmoty, ani sluneˇcn´ımvˇetrem, ani slapov´ymi silami. To je sa mozˇrejmˇev rozporu s Keplerov´ymi z´akony, a tud´ıˇzi se z´akonem zachov´an´ıenergie, uv´aˇz´ıme li, ˇze Sluneˇcn´ısoustava je dostateˇcnˇeizolov´ana od gravitaˇcn´ıho vlivu sou sedn´ıch hvˇezd. Napˇr´ıklad hvˇezda Alfa Centauri o hmotnosti 1.1M⊙ vzd´alen´a4.37 ly p˚usob´ıpodle (4.1) na Zemi cca milionkr´at menˇs´ıgravitaˇcn´ı silou neˇzVenuˇse. Nˇekteˇr´ıautoˇri tvrd´ı(viz napˇr. [39], [45]), ˇze se temn´aenergie ve Sluneˇcn´ısou stavˇenikterak neprojevuje. V odd´ılu13.7 uk´aˇzeme, kde se dopouˇstˇej´ıchybn´e´uvahy. Uvedeme t´eˇzdalˇs´ı argumenty ukazuj´ıc´ı, ˇze kromˇeSluneˇcn´ı soustavy se pozvolna rozp´ınaj´ıi samotn´egalaxie (viz kapitola 16). Pokus´ıme se tak´e vysvˇetlit, odkud by se na to i na zrychlenou expanzi cel´eho vesm´ıru mohla alespoˇnˇc´asteˇcnˇebr´at energie. V kapitole 17 vyslovujeme domnˇenku, ˇze jednou z moˇzn´ych pˇr´ıˇcin je tzv. gravitaˇcn´ı aberace, kter´aje d˚usledkem kauzality a koneˇcn´erychlosti ˇs´ıˇren´ıgravitaˇcn´ıinterakce (viz t´eˇz[130], [132] a [137]). Zd´anlivou s´ılu, kter´azp˚usobuje pozvoln´erozp´ın´an´ıSluneˇcn´ısoustavy i dalˇs´ıch gravitaˇcnˇev´azan´ych syst´em˚u, nazveme antigravitace. Uvid´ıme, ˇze na mal´ych i vel k´ych ˇcasov´ych i prostorov´ych ˇsk´al´ach lze pozorovat jej´ıprojevy, pokud ovˇsem nejsou ruˇseny jin´ymi jevy (rezonancemi, slapy, siln´ymi elektromagnetick´ymi poli apod.). Antigravitace nen´ıˇz´adn´anov´ap´at´as´ıla, ale jen vedlejˇs´ıprojev s´ılygravitaˇcn´ızp˚u soben´ykoneˇcnou rychlost´ıˇs´ıˇren´ıgravitaˇcn´ıinterakce. Podobnˇevedlejˇs´ımprojevem siln´einterakce mezi kvarky je, ˇze drˇz´ıpohromadˇeatomov´e j´adro. ⊙ ⊙ ⊙ 11.2. Rychlost rozp´ın´an´ıSluneˇcn´ısoustavy Koncem minul´eho stolet´ıastronomov´ezjistili, ˇze vesm´ırby mˇel b´yt vyplnˇen jakousi temnou energi´ı,kter´aje rozprostˇrena pomˇernˇerovnomˇernˇea sv´ymi antigravitaˇcn´ımi ´uˇcinky zp˚usobuje jeho zrychluj´ıc´ıse rozp´ın´an´ı(viz kapitola 10). Rychlost t´eto expan ze je d´ana Hubbleov´ym parametrem, jehoˇzvelikost podstatnˇe z´avis´ı na mnoˇzstv´ı temn´eenergie. Pˇrepoˇctˇeme nyn´ısouˇcasnou hodnotu Hubbleova parametru H0 na stˇredn´ıvzd´a lenost Slunce–Zemˇe, tj. jedn´eastronomick´ejednotky1 1 au = 149597870700 m ≈ 150 109 m. (11.1) 1Tato definice astronomick´ejednotky byla pˇrijata na 28. valn´em shrom´aˇzdˇen´ıMezin´arodn´ıastro- nomick´eunie v srpnu 2012. P˚uvodnˇeud´avan´ahodnota 1 AU = 149 597870691 m byla nav´yˇsena o 9 metr˚u. 122 11. Vzdalov´an´ıMarsu od Slunce Uv´aˇz´ıme li, ˇze 1 pc ≈ 206 265 au a ˇze jeden siderick´yrok m´a31 558 149.54 sekundy, dostaneme 70 31558149.54 H ≈ 70 km s−1Mpc−1 =70 ms−1kpc−1 = m yr−1au−1. 0 206265000 Tedy −1 −1 H0 ≈ 10 myr au . (11.2) Odtud d´ale vid´ıme, ˇze 1 m3 prostoru se zvˇetˇs´ıv pr˚umˇeru o 0.2 mm3 za rok, protoˇze 10 3 10 1+ ≈ 1+3 =1+0.2 10−9. (11.3) 150 109 150 109 Hodnoty ud´avan´ev (11.2) a (11.3) jsou pomˇernˇevelk´e, a proto by se vliv temn´e energie mˇel projevit i ve Sluneˇcn´ısoustavˇe. Z naˇseho pohledu neexistuje ˇz´adn´yd˚uvod, proˇcby se projevy temn´eenergie mˇely nˇejak´ym zp˚usobem vyh´ybat naˇs´ıGalaxii ˇci Sluneˇcn´ısoustavˇe. Pˇripust´ıme li p˚usoben´ıtemn´eenergie ve Sluneˇcn´ısoustavˇe, pak snadno vysvˇetl´ı me celou ˇradu z´ahad, jako napˇr. paradox mlad´eho hork´eho Slunce [164], zformov´an´ı Kuiperova p´asu komet a Neptunu [15], existenci ˇrek na Marsu i existenci jeho mˇes´ıce Phobosu, paradox slapov´ych sil Mˇes´ıce [279], paradox velk´eho orbit´aln´ıho momentu Mˇes´ıce ˇci Tritonu, migraci planet, pomalou rotaci Merkuru a neexistenci jeho mˇes´ıc˚u. V n´asleduj´ıc´ıch kapitol´ach uk´aˇzeme, ˇze se Sluneˇcn´ı soustava rozp´ın´arychlost´ı ˇr´adovˇesrovnatelnou s Hubbleovou konstantou (11.2), i kdyˇz obvykle o trochu menˇs´ı. Napˇr´ıklad pro Zemi to lze zapsat takto (viz kapitola 13) R˙ H(loc) ≈ 0.5H ≈ , (11.4) 0 0 R kde R = R(t) je stˇredn´ıvzd´alenost Zemˇeod Slunce v ˇcase t a teˇcka oznaˇcuje ˇcasovou derivaci. ⊙ ⊙ ⊙ 11.3. Rekyˇ na Marsu Mnoˇzstv´ısluneˇcn´ıenergie dopadaj´ıc´ıza 1 s na plochu 1 m2 kolmo k paprsk˚um ve vzd´alenosti 1 au je rovno sluneˇcn´ıkonstantˇe −2 L0 =1.36 kWm . (11.5) Hodnota t´eto konstanty“ v souˇcasnosti kol´ıs´ao m´enˇeneˇz0.1 % zejm´ena v z´avislosti ” na poˇctu a velikosti sluneˇcn´ıch skvrn. Celkov´ysluneˇcn´ıv´ykon je tak 2 26 L⊙ =4πR L0 =3.846 10 W, kde R = 1 au. 123 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Obr. 11.1. Hertzsprung˚uv–Russell˚uv diagram ud´av´a vztah mezi teplotou a z´aˇriv´ym v´ykonem hvˇezdy. Slunce se nach´az´ına jeho hlavn´ıposloupnosti a pozvolna stoup´avzh˚uru. Obˇeosy maj´ılogaritmick´amˇeˇr´ıtka. Na vodorovn´eose roste teplota v kelvinech nestan- dardnˇezprava doleva. Na svisl´eose je uveden relativn´ı v´ykon hvˇezdy vzhledem k L⊙ a jeden d´ılek odpov´ıd´aston´asobku v´ykonu. Protoˇze Slunce je hvˇezdou hlavn´ıposloupnosti zn´am´eho Hertzsprungova–Russel lova diagramu, jeho poloha v nˇem pomalu stoup´adoleva (viz obr. 11.1). Pˇritom Slunce uraz´ına hlavn´ıposloupnosti jen velice kr´atk´y´usek. Podle [238], s. 461, mˇelo Slunce pˇred 4.5 miliardami let povrchovou teplotu 5586 K a jeho z´aˇriv´yv´ykon (lu minozita) byl jen 70 % dneˇsn´ıhodnoty (viz t´eˇz[162]; [70], s. 48). Pak jeho v´ykon nar˚ustal pˇribliˇznˇeline´arnˇeaˇzdo souˇcasnosti (viz obr. 11.2). Souˇcasn´a(efektivn´ı) teplota je 5770 K a za 3 miliardy let stoupne podle [238], s. 461, na 5843 K. To jiˇz Slunce bude m´ıtv´ykon 133 % dneˇsn´ıhodnoty.2 Vid´ıme, ˇze teplota roste pomˇernˇe pomalu, zat´ımco v´ykon nar˚ust´amnohem rychleji (srov. (11.8)). Z poˇctu kr´ater˚uve vyschl´ych ˇreˇciˇst´ıch na Marsu (viz obr. 11.3) planetologov´e odhaduj´ı,ˇze na nˇem tekla voda pˇred 3–4 miliardami let (viz [84] a tuˇcnˇevyznaˇcen´y interval na ˇcasov´eose obr. 11.2). V t´edobˇebyl v´ykon Slunce pˇribliˇznˇe75 % dneˇsn´ı hodnoty. Tok energie ze Slunce kles´ase ˇctvercem vzd´alenosti. Proto podle (11.1) odpov´ıdaj´ıc´ısluneˇcn´ıkonstanta pro Mars byla jen 150 2 L L =0.75L = 0 (11.6) Mars 0 225 3 2Pˇribliˇznˇeza 12 miliard let od sv´eho vzniku bude Slunce ˇcerven´ym obrem. Odhaduje se, ˇze jeho polomˇer vzroste cca 165kr´at, tj. na 0.77 au, a jeho v´ykon bude obrovsk´y(podrobnosti viz [238]). 124 11. Vzdalov´an´ıMarsu od Slunce L / L 0 100% 90% 80% 70% vznik Slunce dnes t −4.5 −3 −1.5 0 Obr. 11.2. Relativn´ıluminozita L/L0 Slunce od vzniku Sluneˇcn´ısoustavy aˇzpo dneˇsek. Casˇ t je uveden v miliard´ach let. za pˇredpokladu, ˇze Mars byl v pr˚umˇeru vzd´alen od Slunce r = 225 109 m, (11.7) jako je nyn´ı.Tˇrikr´at menˇs´ıhodnota LMars, neˇzje st´avaj´ıc´ısluneˇcn´ıkonstanta L0, vˇsak jen tˇeˇzko m˚uˇze vysvˇetlit existenci stovek vyschl´ych ˇreˇciˇst’ a jezer, kter´ase na Marsu nal´ezaj´ızejm´ena mezi jeho −50. a 50. rovnobˇeˇzkou. Pˇredstavme si na okamˇzik, ˇze bychom na Zemi mˇeli trvale bˇehem kaˇzd´eho dne dvoutˇretinov´ezatmˇen´ıSlunce. To by se jej´ıpovrch asi moc neprohˇr´al. Dlouhodob´y pokles sluneˇcn´ıho svitu o pouh´a2 % zp˚usoboval v minulosti na Zemi doby ledov´e, i kdyˇzzde byl sklen´ıkov´yefekt. Enormn´ıpokles sluneˇcn´ıho svitu o 66.6 % (viz (11.6)) existenci ˇrek na Marsu vyluˇcuje, pokud by Mars byl st´ale na stejn´edr´aze (11.7). Jeho povrch by byl tot´alnˇezmrzl´y. Vyˇsˇs´ıkoncentrace CO2 (viz [15], s. 177) jistˇepˇrisp´ıvala k vyˇsˇs´ıteplotˇe, ale jen tˇeˇzko mohla dlouhodobˇeudrˇzet vodu v kapaln´em skupenstv´ı. Podle [205] byl ale na severn´ıpolokouli Marsu dokonce obrovsk´y tekut´yoce´an, kter´ypatrnˇezamrzal a pokr´yval asi jednu tˇretinu povrchu. D˚ukazem tohoto tvrzen´ı je skuteˇcnost, ˇze v rozs´ahl´em okol´ısevern´ıho p´olu nejsou t´emˇeˇrˇz´adn´ekr´atery. Pˇri do padu asteroid˚ujistˇevelk´emnoˇzstv´ıvody unikalo do kosmick´eho prostoru v d˚usledku n´ızk´egravitace. Na druh´estranˇev okol´ıjiˇzn´ıho p´olu kr´atery jsou. Severov´ychodnˇeod ˇctyˇrmohutn´ych ˇst´ıtov´ych marsovsk´ych sopek se nach´az´ıˇreˇciˇs tˇegigantick´ych rozmˇer˚uˇsirok´eaˇz100 km. Vzniklo bleskurychl´ym rozt´an´ımledovc˚u bˇehem sopeˇcn´ych erupc´ı.Stovky dalˇs´ıch ˇreˇciˇst’ maj´ıvˇsak rozmˇery srovnateln´es po zemsk´ymi (viz obr. 11.3). Voda zde tekla v dobˇe, kdy se na Zemi zaˇcal rozv´ıjet ˇzivot. Koryta menˇs´ıch ˇrek a potok˚ubyla zahlazena eroz´ı. Automatick´esondy n´am poslaly i jin´ed˚ukazy o existenci vody v kapaln´em sku penstv´ına Marsu (viz napˇr. obr. 11.4). Objevily mj. velk´emnoˇzstv´ılimonitu (tzv. hnˇe del, vodnat´yoxid ˇzelezit´y), kter´ypotˇrebuje ke sv´emu vzniku tekutou vodu. Metanov´e ˇreky, kter´eexistuj´ına Titanu, tak na Marsu pravdˇepodobnˇenebyly. 125 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Obr. 11.3. Pˇred 3–4 miliardami let tekly na Marsu ˇreky, dno b´yval´eho moˇre je u doln´ıho okraje vpravo, stˇred oblasti 175 × 125 km2 se nal´ez´a na 42.3◦ jiˇzn´ı marsovsk´eˇs´ıˇrky a 92.7◦ z´apadn´ı d´elky. Struktura ˇreˇciˇst’ naznaˇcuje, ˇze tudy neproudila l´ava, ale voda (foto NASA). Na Marsu je nyn´ıdoba ledov´a. Souˇcasn´apr˚umˇern´ateplota −60 ◦C je hluboko pod bodem mrazu, jak zjistily sondy Viking3, Pathfinder, Spirit, Opportunity aj. V poledne se sice m˚uˇze teplota vyˇsplhat na hodnˇetmav´ych hornin´ach v rovn´ıkov´ych oblastech nad 20 ◦C, je li bezvˇetˇr´ıa Mars v pˇr´ıslun´ı.4 Pro existenci ˇrek je ale nutn´e, aby pr˚umˇern´acelodenn´ıteplota (tj. vˇcetnˇenoci) dlouhodobˇepˇr´ıliˇsneklesla pod bod mrazu. Existuj´ıdes´ıtky klimatologick´ych model˚up˚uvodn´ımarsovsk´eatmosf´ery, jeˇzse snaˇz´ıvysvˇetlit existenci vody v kapaln´em skupenstv´ına Marsu v d´avn´eminulosti. Je li teplota5 vody 273.16 K a tlak 611.7 Pa, pak voda m˚uˇze existovat souˇcasnˇe v plynn´em, kapaln´em i pevn´em skupenstv´ı.Je to tzv. trojn´ybod. Automatick´esondy namˇeˇrily na povrchu Marsu tlak v rozmez´ı690–900 Pa, coˇzje hodnota srovnateln´a s 611.7 Pa. Kapaln´avoda zde tedy m˚uˇze existovat, jen kdyˇzse teplota nepatrnˇeliˇs´ı od bodu mrazu. V souˇcasnosti je proto vˇetˇsina vody zmrzl´a(viz obr. 11.5) a jen mal´e mnoˇzstv´ıje ve formˇep´ary. Na Marsu musel kdysi b´yt vyˇsˇs´ı atmosf´erick´ytlak i teplota, jinak bychom na 3Napˇr´ıklad sonda Viking 2 namˇeˇrila celodenn´ıteplotu v rozmez´ı −100 ◦C aˇz −24 ◦C. 4V souˇcasn´edobˇem´adr´aha Marsu pomˇernˇevelkou excentricitu t´emˇeˇrrovnou 0.1. 5Bodu mrazu 0 ◦C odpov´ıd´ajen o trochu niˇzˇs´ıteplota 273.15 K. 126 11. Vzdalov´an´ıMarsu od Slunce Obr. 11.4. P´ısek s obl´azky — dalˇs´ıd˚ukaz toho, ˇze na Marsu tekly ˇreky, kter´yposkytla sonda Curiosity. Pl´anovanˇepˇrist´ala v kr´ateru Gale, o kter´em se pˇredpokl´ad´a, ˇze v nˇem kdysi proudila voda (foto NASA). nˇem nemohli pozorovat stopy po tekouc´ıvodˇe. Podle [84] vˇsak Mars nemˇel hustˇs´ı atmosf´eru, neˇzjakou m´ame nyn´ına Zemi, protoˇze jeho gravitaˇcn´ıpole je pˇr´ıliˇsslab´e ve srovn´an´ıs ostatn´ımi planetami (kromˇeMerkuru, kter´y atmosf´eru nem´a). ⊙ ⊙ ⊙ 11.4. Mars z pohledu Stefanova–Boltzmannova z´akona Pod´ıvejme se nyn´ıpodrobnˇeji na teplotn´ısituaci na Marsu z hlediska Stefanova– Boltzmannova z´akona. Pˇredpokl´adejme na okamˇzik, ˇze Slunce i Mars jsou absolutnˇe ˇcern´atˇelesa. V tomto pˇr´ıpadˇese absorbovan´asluneˇcn´ı energie rovn´aenergii emito van´e. Pokud by Mars absorboval celkov´yz´aˇriv´ytok Slunce, pak by jeho teplota byla d´ana vztahem 4 P 4P σT = L⊙ , (11.8) 4πr2 kde σ =5.669 10−8 Wm−2K−4 je Stefanova–Boltzmannova konstanta, r je vzd´alenost Marsu od Slunce (11.7), P je maxim´aln´ıpr˚uˇrez Marsu a 4P je jeho povrch, T je rovno 26 v´aˇzn´ateplota ve vzd´alenosti Marsu pro celkov´ysluneˇcn´ı v´ykon L⊙ =3.846 10 W a albedo (odrazivost) A = 0. 127 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Obr. 11.5. Smˇes vodn´ıho ledu H2O a such´eho ledu CO2 na Marsu (foto NASA) Mars vˇsak nen´ıˇcern´etˇeleso a souˇcasn´ahodnota jeho Bondova albeda je A =0.25. Rovnov´aˇzn´ateplota na jeho povrchu je tak d´ana vztahem [30] r4 (1 − A)L⊙ T ≈ = 211 K ≈ −62 ◦C. (11.9) Mars 16σπr2 Vid´ıme, ˇze teoretick´ateplota uveden´av (11.9) dobˇre odpov´ıd´asouˇcasn´epr˚umˇern´e celoroˇcn´ıteplotˇe ≈ −60 ◦C namˇeˇren´ena nˇekolika stanoviˇst´ıch. Kdyˇzovˇsem byla luminozita Slunce jen 75 % dneˇsn´ı hodnoty (viz obr. 11.2), dostaneme ze vztahu (11.9) rovnov´aˇznou teplotu pouze ◦ TMars = 197 K ≈ −76 C. Pro tak n´ızkou hodnotu sklen´ıkov´yefekt jen tˇeˇzko zaruˇc´ı, aby se pr˚umˇern´acelo denn´ıteplota pˇribl´ıˇzila alespoˇnk bodu mrazu 273.15 K (= 0 ◦C), i kdyˇzmˇel Mars v minulosti podstatnˇehustˇs´ıatmosf´eru, o kterou ˇcasem pˇriˇsel v d˚usledku n´ızk´egravi tace a p˚usoben´ımsluneˇcn´ıho vˇetru.6 Napˇr´ıklad pro Zemi, kde je souˇcasn´apr˚umˇern´a 6Mars m´avelice slab´emagnetick´epole, kter´enep˚usob´ı jako pˇrek´aˇzka pro sluneˇcn´ı v´ıtr jako v pˇr´ıpadˇeZemˇe. 128 11. Vzdalov´an´ıMarsu od Slunce teplota kolem 15 ◦C, zp˚usobuje sklen´ıkov´yefekt pˇribliˇznˇejen 29 stupˇn˚u(srov. tep lotu u Zemˇena obr. 11.6). Nav´ıcMars musel m´ıtkdysi vyˇsˇs´ıalbedo neˇz A = 0.25, protoˇze v jeho atmosf´eˇre byla pˇr´ıtomna oblaka, ze kter´ych prˇselo ˇci snˇeˇzilo, aby mohly vzniknout stovky rozs´ahl´ych ˇr´ıˇcn´ıch syst´em˚u(obr. 11.3). Mars v d´avn´emi nulosti tedy nemusel b´yt ´uplnˇerudou planetou. Mars mˇel tak´ena sv´em povrchu mnohem v´ıce snˇehu a ledu, a to nejen v oblasti pol´arn´ıch ˇcepiˇcek, jako je tomu nyn´ı. To rovnˇeˇzzvyˇsuje albedo a z´aroveˇnsniˇzuje teplotu v (11.9). Na druh´estranˇe, Mars mˇel kdysi teplejˇs´ınitro, kter´eohˇr´ıvalo jeho povrch. Byly zde i ˇcinn´esopky a mˇel vyˇsˇs´ıradioaktivitu, coˇzpr˚umˇernou povrchovou teplotu Marsu zase zvyˇsovalo. 0.75L 0o C −32o C −76o C 0o C −14o C −62o C r L Obr. 11.6. Rovnov´aˇzn´ateplota podle Stefanova–Boltzmannova z´akona (11.9) pro albedo A = 0.25. Teploty v horn´ı, resp. doln´ıˇc´asti obr´azku odpov´ıdaj´ınˇekdejˇs´ıluminozitˇe0.75L⊙, resp. dneˇsn´ı luminozitˇe L⊙. Polomˇery jednotliv´ych kruˇznic jsou po ˇradˇe117, 134, 150 a 225 milion˚ukm. Slunce je ˇzlut´e, Zemˇemodr´aa Mars ˇcerven´y. Pro luminozitu 0.75L⊙ plyne ze vztahu (11.9), ˇze rovnov´aˇzn´ateplota 273.15 K (= 0 ◦C bod mrazu) odpov´ıd´avzd´alenosti r = 117 milion˚ukm (viz obr. 11.6), coˇzje o 108 milion˚ukm m´enˇe, neˇzje souˇcasn´apr˚umˇern´a vzd´alenost Marsu od Slunce (11.7). Spolu se vˇsemi v´yˇse uveden´ymi argumenty vid´ıme, ˇze Mars musel b´yt kdysi o des´ıtky milion˚ukm bl´ıˇze ke Slunci, neˇzje nyn´ı, aby na nˇem mohly t´eci ˇreky (srov. obr. 11.7) po dobu jedn´emiliardy let. To ale odpov´ıd´adlouhodob´e pr˚umˇern´erychlosti vzdalov´an´ıMarsu od Slunce ˇr´adovˇe 10 metr˚uroˇcnˇe, coˇzje hod nota srovnateln´as Hubbleovou expanz´ı(11.2). Ukaˇzme si nyn´ıpodrobnˇeji, jak lze k takov´emu odhadu dospˇet. Kdyby byl Mars pˇri sv´em vzniku vzd´alen od Slunce kupˇr´ıkladu 180 milion˚ukm, pak by jeho pr˚umˇern´a rychlost vzdalov´an´ıbyla pr´avˇe10 m za rok, aby za 4.5 miliardy let sv´eexistence dos´ahl dneˇsn´ı vzd´alenosti r = 225 milion˚ukm. To by podle (11.1) odpov´ıdalo souˇcasn´elok´aln´ıexpanzi, kter´aje ˇr´adovˇesrovnateln´a s Hubbleovou konstantou (11.2) pˇreˇsk´alovanou na vzd´alenost r 150 H(loc) = H ≈ 0.67 H . (11.10) 0 225 0 0 129 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace V tomto modelov´em pˇr´ıpadˇeby tedy byla pˇr´ısluˇsn´ahodnota sluneˇcn´ıkonstanty pro Mars rovna (srov. (11.6)) 150 2 L =0.75L =0.52L . Mars 0 180 0 Pro celkov´ysluneˇcn´ıv´ykon 0.75L⊙, resp. L⊙ bychom podle (11.9) na obr´azku 11.6 dostali hodnoty −53 ◦C, resp. −37 ◦C pro r = 180 milion˚ukm. Vztah (11.10) sa mozˇrejmˇepˇredstavuje jen jak´ysi pˇribliˇzn´yodhad. Uv´ad´ıme jej pouze pro ilustraci moˇzn´erychlosti vzdalov´an´ıMarsu od Slunce, aby mohla b´yt vysvˇetlena tekouc´ıvoda na povrchu Marsu. Rychlost vzdalov´an´ımohla b´yt i vyˇsˇs´ı. Obr. 11.7. V z´apadn´ıˇc´asti kr´ateru Eberswalde se nal´ez´adelta ˇreky v oblasti cca 25×40 km2. Stˇred m´asouˇradnice −23.8953◦ S a 326.7426◦ E (foto NASA). Na z´avˇer poznamenejme, ˇze slapov´es´ıly, sluneˇcn´ıv´ıtr,ubytek ´ sluneˇcn´ıhmotnosti apod. dok´aˇz´ıvysvˇetlit rychlost vzdalov´an´ıjen nˇekolik centimetr˚uza rok, jak jeˇstˇe podrobnˇeji uk´aˇzeme pro Zemi v odd´ılu13.6. Magnetick´epole Marsu je t´emˇeˇrnulov´e, takˇze magnetick´epole Slunce m´atak´ezcela zanedbateln´yvliv na vzd´alenost Mars– Slunce. Zhorˇsuj´ıc´ıse teplotn´ıpodm´ınky na Marsu a souˇcasn´ezvyˇsov´an´ıtepeln´eho toku ze Slunce lze vysvˇetlit rychlost´ıvzdalov´an´ıMarsu srovnatelnou s (11.10), kter´a m˚uˇze b´yt zp˚usobena antigravitaˇcn´ımp˚usoben´ımtemn´eenergie. V n´asleduj´ıc´ıkapi tole pˇredstav´ıme podobn´yodhad jako v (11.10) pro Mˇes´ıc, ale s pˇresnost´ına centi metry za rok. ⊙ ⊙ ⊙ 130 12. Vzdalov´an´ıMˇes´ıce od Zemˇe Vesm´ır se rozp´ın´at´emˇeˇrtak rychle, jako se Mˇes´ıc vzdaluje od Zemˇe. Autor 12.1. Mˇeˇren´ıvzd´alenosti Zemˇe–Mˇes´ıc V t´eto kapitole uk´aˇzeme, ˇze se Mˇes´ıcvzdaluje od Zemˇerychleji, neˇzplyne z klasick´e mechaniky. Hypot´eza o existenci antigravitaˇcn´ıch sil a lok´aln´ı expanzi Sluneˇcn´ısou stavy je totiˇzvelice dobˇre testovateln´apr´avˇepomoc´ıpˇresn´eho mˇeˇren´ızmˇeny stˇredn´ı vzd´alenosti Zemˇe–Mˇes´ıc. Pˇripomeˇnme si proto nejprve jej´ıdefinici z [108]. Stˇredn´ı vzd´alenost je rovna d´elce hlavn´ıpoloosy eliptick´edr´ahy. V naˇsem pˇr´ıpadˇeje to tedy Obr. 12.1. Polohy koutov´ych odraˇzeˇc˚una Mˇes´ıci 131 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace aritmetick´ypr˚umˇer vzd´alenost´ıMˇes´ıce od Zemˇev apogeu a perigeu (srov. (1.1)). Mˇes´ıˇcn´ıdr´aha m´am´ırnou excentricitu e = 0.0554, a tak se Mˇes´ıck Zemi stˇr´ıdavˇe pozvolna pˇribliˇzuje a pak se od n´ızase vzdaluje. Souˇcasn´atechnika ale umoˇzˇnuje velice pˇresnˇestanovit dlouhodob´ezmˇeny parametr˚ujeho dr´ahy. Jiˇzod sedmdes´at´ych let minul´eho stolet´ıse proto peˇclivˇe promˇeˇruje zmˇena stˇredn´ı vzd´alenosti D ≈ 384402km (12.1) Mˇes´ıce od Zemˇepomoc´ıkoutov´ych odraˇzeˇc˚u, kter´ena Mˇes´ıcpˇrivezla mise Apolla 11 v roce 1969 a pozdˇeji jeˇstˇeApollo 14, 15 a Luna 21 na voz´ıtku Lunochod 2. V ro ce 2012 se americk´edruˇzici Lunar Reconnaisance Orbiter podaˇrilo dohledat ztracenou sondu Luna 24 s dalˇs´ımkoutov´ym odraˇzeˇcem. V souˇcasnosti jich tak m´ame na Mˇes´ıci pˇet (viz obr. 12.1). Princip prost´eho koutov´eho odraˇzeˇce je nakreslen na obr. 12.2. Jedn´ase vlastnˇe o tˇri vz´ajemnˇekolm´eodrazn´eplochy. Na Mˇes´ıci byly pouˇzity francouzsk´eodraˇzeˇce sloˇzen´ez mnoha pravo´uhl´ych ˇctyˇrstˇen˚u, kter´evzniknou useknut´ım“ rohu homo ” genn´ıkˇremenn´ekrychle (angl. cube corner tetrahedron).1 Laserov´yimpuls vyslan´y k odraˇzeˇci se po pr˚uchodu ˇceln´ıstˇenou2 do opticky hustˇs´ıho prostˇred´ıl´ame ke kolmici. Pak postupuje tak, jak je nakresleno na obr. 12.2. Pˇritom na stˇen´ach x = 0, y = 0 a z = 0 doch´az´ına rozhran´ıkˇremen–vakuum k tot´aln´ımu odrazu. Pˇri v´ystupu z ˇceln´ı z y x Obr. 12.2. Stˇeny koutov´eho odraˇzeˇce jsou v kart´ezsk´e soustavˇe(x,y,z) d´any rovnicemi x = 0, y = 0 a z = 0. Laserov´ypaprsek na obr´azku vyslan´yve smˇeru (a, b, c) se po odrazu od stˇeny x = 0 pohybuje tak, ˇze a se zmˇen´ına −a a ostatn´ıdvˇesloˇzky smˇerov´eho vektoru z˚ustanou nezmˇenˇeny. Tato vlastnost je d˚usledkem toho, ˇze ´uhel dopadu je roven ´uhlu odrazu. Podobnˇeje tomu u dalˇs´ıch stˇen. Paprsek tak postupnˇevystˇr´ıd´asmˇery (a, b, c), (−a, b, c), (−a, −b, c) a (−a, −b, −c). 1I na odrazce bicyklu je patrna struktura pravidelnˇerozm´ıstˇen´ych roh˚umal´ych krychliˇcek. 2Celn´ıstˇenaˇ na obr. 12.2 je rovnostrann´ytroj´uheln´ıkrovnobˇeˇzn´ys rovinou x + y + z = 1. 132 12. Vzdalov´an´ıMˇes´ıce od Zemˇe stˇeny se l´ame od kolmice a vrac´ıse v p˚uvodn´ımsmˇeru zpˇet nez´avisle na natoˇcen´ı odraˇzeˇce. (Bˇeˇzn´ezrcadlo tuto vlastnost nem´a!) Protoˇze um´ıme zmˇeˇrit velice pˇresnˇe dobu mezi vysl´an´ıma pˇr´ıjmem, m˚uˇzeme pomoc´ıkoutov´ych odraˇzeˇc˚ustanovit zmˇenu stˇredn´ıvzd´alenosti Zemˇe–Mˇes´ıcs pˇresnost´ına milimetry. ⊙ ⊙ ⊙ 12.2. Paradox slapov´ych sil Mˇes´ıce Pˇrivr´acen´astrana Zemˇeje k Mˇes´ıci pˇritahov´ana vˇetˇs´ısilou neˇzstrana odvr´acen´a. V d˚usledku rotace Zemˇetak vznikaj´ı slapov´es´ıly3, jeˇzvyvol´avaj´ınejenom pˇr´ılivy ˇci odlivy moˇr´ıa oce´an˚u, ale i vzedmut´ızemsk´ek˚ury (viz obr. 12.3). Neust´al´edeformace zemsk´eho tˇelesa tak zp˚usobuj´ı,ˇze se rotace Zemˇezpomaluje, a t´ımztr´ac´ırotaˇcn´ımo ment hybnosti. Ze z´akona zachov´an´ımomentu hybnosti pak plyne, ˇze mus´ınar˚ustat orbit´aln´ımoment hybnosti soustavy Zemˇe–Mˇes´ıc. Obr. 12.3. Sniˇzov´an´ı ´uhlov´erychlosti rotace Zemˇeje zp˚usobeno tˇren´ım pˇri tvorbˇesla- pov´ych v´ydut´ı, kter´evznikaj´ıgravitaˇcn´ım p˚usoben´ım Mˇes´ıce. Deformace zemsk´eho tˇelesa se pˇremˇeˇnuje na teplo. Jiˇzv roce 1975 si T. C. van Flandern [64] (viz t´eˇz[57], kapitola 6) povˇsiml, ˇze Mˇes´ıcm´aponˇekud anom´aln´ıdr´ahu, protoˇze se vzdaluje od Zemˇerychleji, neˇzlze vysvˇetlit pomoc´ıslapov´ych sil a Newtonovy mechaniky. Zkoumal, zda by to nemohlo b´yt sniˇzov´an´ımhodnoty gravitaˇcn´ıkonstanty. Dlouhodob´amˇeˇren´ıukazuj´ı(viz [52]), ˇze stˇredn´ıvzd´alenost D postupnˇenar˚ust´av pr˚umˇeru o v =3.84 cm za rok. (12.2) 3Slapov´es´ılysehr´aly d˚uleˇzitou roli i pˇri ukl´ad´an´ısediment˚u. V nich je zaznamen´ana d´elka roku i mˇes´ıce, jak zjistil G. E. Williams [291]. 133 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace P˚usoben´ımslapov´ych sil v zemsk´ek˚uˇre, hydrosf´eˇre, atmosf´eˇre apod. lze ale objasnit mnohem menˇs´ı rychlost vzdalov´an´ı (jen asi 55 % uveden´ehodnoty), viz (12.20) a t´eˇz[192], s. 67; [200], kapitola 9.10.4 a [284], s. 31. Tomu se obvykle ˇr´ık´a paradox slapov´ych sil Mˇes´ıce, viz [64]. Verbunt [279] dokonce p´ıˇse o slapov´ekatastrofˇe. V odd´ılu12.4 uk´aˇzeme, ˇze ze z´akona zachov´an´ımomentu hybnosti lze odvodit rychlost vzdalov´an´ıMˇes´ıce od Zemˇev d˚usledku slapov´ych sil pˇribliˇznˇejen 2.13 cm za rok (srov. (12.2)) za pˇredpokladu konstantn´ıho momentu setrvaˇcnosti Zemˇe. Mˇes´ıc se tedy od n´as vzdaluje patrnˇenejenom v d˚usledku slapov´ych sil. Pro zb´yvaj´ıc´ıˇr´adovˇestejnˇevelk´ypˇr´ır˚ustek vzdalov´an´ıcca 1.71 cm za rok je tˇreba hledat jin´avysvˇetlen´ı.T´an´ıledovc˚u, vnitˇrn´ıprocesy, pˇresuny hmoty v atmosf´eˇre, hydrosf´eˇre apod. tak velkou hodnotu vysvˇetlit nedok´aˇz´ı.Jednou z dalˇs´ıch moˇznost´ıje, ˇze ke vzdalov´an´ıMˇes´ıce pˇrisp´ıv´ai antigravitace. ⊙ ⊙ ⊙ 12.3. Pozoruhodn´asouvislost Souˇcasnou rychlost rozp´ın´an´ı vesm´ıru lze charakterizovat Hubbleovou konstantou (viz (11.2)) −1 −1 −1 −1 H0 ≈ 70 km s Mpc ≈ 10 myr au . Nen´ıtˇeˇzk´epˇrepoˇc´ıtat rychlost tohoto rozp´ın´an´ıpouze na vzd´alenost Zemˇe–Mˇes´ıc. Oznaˇc´ıme li yr ˇcasovou jednotku odpov´ıdaj´ıc´ıjednomu siderick´emu roku a R = 1 au, pak podle (12.1) vych´az´ı,ˇze −1 −1 D −1 −1 −1 −1 H0 ≈ 10 myr au = 10 m yr D =2.57 cm yr D . (12.3) R Vid´ıme, ˇze tato hodnota je pˇrekvapivˇebl´ızk´astˇredn´ıhodnotˇevzdalov´an´ı(12.2) Mˇes´ıce od Zemˇe. Antigravitace pˇritom m˚uˇze vysvˇetlovat vˇetˇs´ı namˇeˇrenou rych lost (12.2) vzdalov´an´ıMˇes´ıce od Zemˇe,4 neˇzjak´aplyne ze slapov´ych sil. Dr´aha Mˇes´ıce tak nen´ıelipsa, ale velice hust´aspir´ala. Pokud budete cht´ıtnˇekomu n´azornˇepˇribl´ıˇzit, jak velk´a je v souˇcasnosti rychlost rozp´ın´an´ıvesm´ıru, staˇc´ısi pˇripomenout vztahy (12.2) a (12.3): Vesm´ır se rozp´ın´at´emˇeˇrtak rychle, jako se Mˇes´ıc vzdaluje od Zemˇe. ⊙ ⊙ ⊙ 4U tˇesn´ych bin´arn´ıch pulzar˚use naopak obˇeˇzn´adoba zkracuje. V tomto pˇr´ıpadˇebin´arn´ısyst´em vytv´aˇr´ısiln´aa rychle se mˇen´ıc´ıgravitaˇcn´ıpole. Podle obecn´eteorie relativity pak ztr´ac´ıenergii ve formˇegravitaˇcn´ıch vln. Protoˇze pulzary maj´ıextr´emnˇe siln´amagnetick´apole, syst´emu ub´yv´a energie i ve formˇeelektromagnetick´ych vln. Tyto jevy pˇrevl´adnou nad antigravitac´ı. 134 12. Vzdalov´an´ıMˇes´ıce od Zemˇe 12.4. Rychlost vzdalov´an´ıMˇes´ıce od Zemˇev d˚usledku slap˚u Podle [132] se nyn´ıpokus´ıme podrobnˇeodhadnout pˇr´ıspˇevek slapov´ych sil k hodnotˇe rychlosti (12.2). Uvaˇzujme nejprve izolovanou soustavu Zemˇe–Mˇes´ıcs hmotnostmi 24 22 m1 =5.97219 10 kg, m2 =7.3477 10 kg (12.4) a pˇredpokl´adejme pro jednoduchost, ˇze dr´ahy obou tˇeles jsou kruhov´e(odhad sla pov´eho p˚usoben´ıSlunce na zmˇenu rotace Zemˇezm´ın´ıme pozdˇeji). Pak odpov´ıdaj´ıc´ı vzd´alenost (viz (12.1)) m˚uˇzeme napsat takto D = R1 + R2, (12.5) kde Dm2 Dm1 R1 = a R2 = (12.6) m1 + m2 m1 + m2 jsou po ˇradˇevzd´alenosti Zemˇea Mˇes´ıce od jejich spoleˇcn´eho tˇeˇziˇstˇe. Podle z´akona o zachov´an´ımomentu hybnosti tohoto syst´emu bude hodnota L = I1ω1 + I2ω2 + m1R1v1 + m2R2v2 (12.7) konstantn´ı,tj. ˇcasov´aderivace L˙ = dL/dt bude nulov´a. Zde v1 a v2 jsou postupnˇe rychlosti Zemˇea Mˇes´ıce vzhledem k tˇeˇziˇsti, I1 a I2 jsou momenty setrvaˇcnosti Zemˇe a Mˇes´ıce, 2π −5 −1 2π −6 −1 ω1 = =7.292 10 s , ω2 = =2.669 10 s (12.8) T1 T2 jsou ´uhlov´efrekvence rotace Zemˇea Mˇes´ıce kolem jejich vlastn´ıch os, T1 = 86164.1 s je siderick´yden a T2 = 27.32166 T1. Podle [35] je 37 2 I1 = (8.036 ± 0.008) 10 kg m . (12.9) Nejprve uk´aˇzeme, ˇze souˇcin I2ω˙ 2 v rovnici L˙ = 0 je zanedbatelnˇemal´yve srovn´an´ı s I1ω˙ 1 (viz (12.14) a (12.17)). Pouˇzijeme li vztah pro moment setrvaˇcnosti homogenn´ı koule [220], s. 108, dostaneme pro moment setrvaˇcnosti Mˇes´ıce, jehoˇzhustota ρ(r) stoup´asmˇerem ke stˇredu, nerovnost 4 3 2 2 34 2 I2 < πr2 ρ2 r2 =8.87 10 kg m , (12.10) 3 5 kde 3 ρ2 = 3348 kg/m (12.11) je stˇredn´ıhustota Mˇes´ıce a r2 = 1737 km je jeho polomˇer. Poznamenejme, ˇze ˇclen 29 2 −1 I2ω2 < 2.37 10 kg m s odpov´ıdaj´ıc´ıMˇes´ıci je mnohem menˇs´ıneˇz I1ω1 = 5.86 1033 kg m2s−1. My ale potˇrebujeme porovnat jejich ˇcasov´ederivace. 135 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Jak jiˇzv´ıme z odd´ılu2.7, rotace Zemˇese bˇehem posledn´ıch 2700 let zpomaluje tak, ˇze d´elka dne nar˚ust´apr˚umˇernˇeo 1.7 ms za stolet´ı,tj. T =1.7 10−5 s za rok. (12.12) Odhad velikosti tˇechto dlouhodob´ych zmˇen v rotaci Zemˇezp˚usoben´ych slapov´ymi silami byla z´ısk´ana podrobnou anal´yzou z´aznam˚ustar´ych Babyl´oˇnan˚u(viz napˇr. [192], s. 62, [239], s. 270, [284], s. 31), Arab˚u, Rek˚uaˇ C´ıˇnan˚u[200]ˇ o ´uhlov´ych v´yˇsk´ach Slunce pˇri pozorovan´ych zatmˇen´ıch a je v souladu i s dneˇsn´ımi mˇeˇren´ımi. Sou dob´ezv´yˇsen´et´an´ı ledovc˚u, procesy v nitru Zemˇe, pˇresuny atmosf´ery apod. tedy nemaj´ıpˇr´ıliˇsvelk´yvliv na velikost (12.12). Proto budeme pro jednoduchost nejprve pˇredpokl´adat, ˇze moment setrvaˇcnosti Zemˇe I1 nez´avis´ına ˇcase. V dalˇs´ımodd´ılupak budeme uvaˇzovat ˇcasovou z´avislost I1 = I1(t). Slunce a Mˇes´ıcmaj´ıprakticky stejn´y´uhlov´ypr˚umˇer (viz kapitola 6). Protoˇze slapov´es´ıly klesaj´ı s tˇret´ı mocninou vzd´alenosti a objem zase s tˇret´ı mocninou vzd´alenosti od Zemˇeroste, bude slapov´ep˚usoben´ı kaˇzd´eho z obou tˇeles na Zemi pˇr´ımo ´umˇern´ejeho stˇredn´ıhustotˇe. Pomoc´ırovnost´ı(12.11) a (4.18) stanov´ıme, ˇze pomˇer5 hustot Mˇes´ıce a Slunce je roven 2.38. Mˇes´ıˇcn´ıslapov´y´uˇcinek na Zemi je tedy o dost silnˇejˇs´ıneˇz´uˇcinek sluneˇcn´ı. Podle [207] se rotace Zemˇezpomaluje zejm´ena v d˚usledku slapov´ych sil Mˇes´ıce (cca 68.5 %), ale t´eˇzSlunce (cca 31.5 %). Tud´ıˇzn´ar˚ust d´elky dne T1 = 0.685T odpov´ıd´ap˚usoben´ı Mˇes´ıce a 0.315T odpov´ıd´ap˚usoben´ı Slunce. Za rok se ´uhlov´a frekvence rotace Zemˇevlivem Mˇes´ıce zmˇen´ına 2π ω1 = . (12.13) T1 + T1 Ze vztah˚u(12.12) a (12.13) vid´ıme, ˇze ˇcasov´azmˇena ´uhlov´e frekvence rotace Zemˇe je6 ω1 − ω1 2π T1 −22 −2 ω˙ 1 = = − = −3.123 10 s , T T T1(T1 + T1) kde T = 31558149.54 s je siderick´yrok. Odpov´ıdaj´ıc´ı zmˇena rotaˇcn´ıho momentu hybnosti Zemˇepak po dle (12.9) je 16 2 −2 I1ω˙ 1 = −2.509 10 kg m s . (12.14) 5Pomˇer slapov´eho p˚usoben´ıje ve skuteˇcnosti o trochu menˇs´ıneˇz2.38, protoˇze pr˚umˇern´a´uhlov´a velikost Slunce je 31.98′ a Mˇes´ıce 31.07′. 6 Pro spr´avn´yv´ypoˇcet derivaceω ˙ 1 je d˚uleˇzit´evych´azet z namˇeˇren´ehodnoty (12.12) zpomalov´an´ı rotace Zemˇea nikoliv z teoreticky odvozen´ehodnoty T vyuˇz´ıvaj´ıc´ı z´akon zachov´an´ı moment˚u hybnosti a vztah (12.2), jak se uv´ad´ıv [192], s.65. 136 12. Vzdalov´an´ıMˇes´ıce od Zemˇe Mˇes´ıcale tak´esniˇzuje sv˚uj rotaˇcn´ımoment hybnosti v d˚usledku vzdalov´an´ı(12.2) a rezonance 1 : 1 mezi obˇeˇznou dobou a rotaˇcn´ıperiodou Mˇes´ıce T2. Mˇes´ıcse do stal do tzv. slapov´epasti. D´ale uk´aˇzeme, ˇze I2ω˙ 2 je o mnoho ˇr´ad˚umenˇs´ıneˇzhod nota uveden´av (12.14). Podle vztahu (12.6) je R1 = 4672 km, a tak R2 ≈ D a tˇeˇziˇstˇesoustavy Zemˇe–Mˇes´ıcse nach´az´ıuvnitˇrZemˇe. Pouˇzijeme tedy zobecnˇen´y tˇret´ıKepler˚uv z´akon (4.5), kter´yv´ybornˇeaproximuje skuteˇcnou situaci na kr´atk´ych 3 2 2 3 ˇcasov´ych ˇsk´al´ach. Podle nˇej je D /T2 konstantn´ı.Z (12.8) pak plyne, ˇze souˇcin ω2D 2 3 je tak´ekonstantn´ı.Zderivujeme li ω2D podle ˇcasu, obdrˇz´ıme diferenci´aln´ırovnici 3 2 2 2ω2ω˙ 2D +3ω2D D˙ =0, tj. 3 ω2 ω˙ 2 = − D.˙ (12.15) 2 D Podle (12.2) je pr˚umˇern´adlouhodob´apozorovan´aˇcasov´a zmˇena D d´ana vztahem 3.84 cm −9 D˙ pozorovan´a = =1.2 10 m/s. (12.16) T Odtud, z (12.1), (12.8), (12.10) a (12.15) dostaneme 8 2 −2 |I2ω˙ 2| < 1.1 10 kg m s , (12.17) tj. zmˇena rotaˇcn´ıho momentu hybnosti Mˇes´ıce je zanedbateln´av˚uˇci hodnotˇeuveden´e v (12.14). Pokles rotaˇcn´ıho momentu hybnosti Zemˇev (12.14) mus´ıb´yt tud´ıˇzkompenzov´an n´ar˚ustem orbit´aln´ıho momentu hybnosti m1R1v1 + m2R2v2 v (12.7). Uhlov´arychlost´ rotace Mˇes´ıce kolem vlastn´ıosy je d´ıky v´azan´erotaci stejn´ajako ´uhlov´arychlost Zemˇe kolem spoleˇcn´eho tˇeˇziˇstˇes Mˇes´ıcem, tj. ω2 = v2/R2 = v1/R1. Uvaˇzujeme li nad´ale soustavu, v n´ıˇzje tˇeˇziˇstˇeZemˇe–Mˇes´ıc v klidu, pak ze z´akona zachov´an´ı hybnosti m1v1 = m2v2, (12.5) a (12.6) dostaneme 2 m1m2 m1R1v1 + m2R2v2 =(R1 + R2)m1v1 = D m1v1 = Dm1R1ω2 = D ω2. m1 + m2 Odtud, z (12.15) a derivov´an´ım(12.7) podle ˇcasu plyne, ˇze 2 m1m2 d(D ω2) m1m2 2 I1ω˙ 1 = − = − (ω ˙ 2D +2ω2DD˙ ) m1 + m2 dt m1 + m2 m1m2 ω2D = − D.˙ (12.18) m1 + m2 2 Dosazen´ımz (12.1), (12.4), (12.8) a (12.14) koneˇcnˇedostaneme D˙ =0.674 10−9 m/s, (12.19) coˇzje jen o trochu v´ıce neˇzpolovina hodnoty z´ıskan´ez mˇeˇren´ı(12.16). 137 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Vyn´asoben´ım(12.19) d´elkou siderick´eho roku T zjist´ıme, ˇze vzd´alenost mezi Zem´ı a Mˇes´ıcem by v souˇcasnosti mˇela nar˚ustat jen o vslapy ≈ 2.13 cm za rok. (12.20) Rozd´ılmezi namˇeˇrenou hodnotou z (12.2) a hodnotou (12.20) oznaˇcme vzbytek ≈ 1.71 cm za rok, (12.21) tj. v = vslapy + vzbytek. P˚uvod ˇclenu vzbytek je nezn´am´y, ale jeho velikost podporuje hypot´ezu o lok´aln´ım p˚usoben´ı antigravitace. Je totiˇzpatrn´e, ˇze hodnota vzbytek v (12.21) je jen o tro chu menˇs´ı,neˇzje souˇcasn´ahodnota Hubbleovy konstanty ve vztahu (12.3). Pˇresnˇeji ˇreˇceno, rychlost 1.71 cm za rok je rovna 67 % hodnoty 2.57 cm za rok, tj. (loc) H0 =0.67 H0. (12.22) Tak velk´evzdalov´an´ınen´ızp˚usobeno slapy ani jin´ymi negravitaˇcn´ımi jevy, jak jeˇstˇe uvid´ıme n´ıˇze i v dalˇs´ıch kapitol´ach. V roce 2003 Dumin (viz [53], s. 2463) odvodil pro syst´em Zemˇe–Mˇes´ıcponˇekud (loc) odliˇsn´ym zp˚usobem podobnou lok´aln´ıexpanzi H0 ≈ 0.5 H0 a v ˇcl´anku [54] z ro (loc) ku 2008 ji jeˇstˇenav´yˇsil na hodnotu H0 ≈ 0.85 H0. ⊙ ⊙ ⊙ 12.5. Casovˇepromˇenn´ymomentˇ setrvaˇcnosti Zemˇe Geofyzici pˇripouˇstˇej´ı(viz napˇr. [192], [279], [284]), ˇze je obt´ıˇzn´evysvˇetlit pomˇernˇe velk´yrozd´ılmezi pozorovanou hodnotou (12.16) a hodnotou (12.19) teoreticky odvo zenou ze slapov´ych sil. Hledaj´ıproto zdroj, kter´yby d´aval ˇr´adovˇestejn´ehodnoty vzdalov´an´ı Mˇes´ıce od Zemˇejako slapov´es´ıly. Napˇr´ıklad v [192], s. 67, se uvaˇzuje ˇcasovˇepromˇenn´ymoment setrvaˇcnosti I1 = I1(t) a lev´astrana rovnice (12.18) je nahrazena derivac´ıd(I1ω1)/dt. K vyrovn´an´ırozd´ılumezi (12.16) a (12.19) by tedy po dobu nejm´enˇe2700 let od ˇcasu pozorov´an´ıbabyl´onsk´ych astronom˚u(srov. (12.12)) musel existovat trval´ytok hmoty ke stˇredu Zemˇe, kter´yby zajistil, ˇze −I˙1 je ˇr´ado vˇe1020 aˇz1021 kg m2/s. Pod´ıvejme se nyn´ıpodrobnˇeji, jak se k tomuto z´avˇeru dojde. Pˇredpokl´adejme, ˇze pozorovan´aˇcasov´azmˇena (12.16) je zp˚usobena promˇenn´ym momentem setrvaˇcnosti Zemˇe. Pak m´ısto vztahu (12.18) budeme uvaˇzovat rovnici d m1m2 ω2D (I1ω1)= I˙1ω1 + I1ω˙ 1 = − D˙ pozorovan´a. dt m1 + m2 2 138 12. Vzdalov´an´ıMˇes´ıce od Zemˇe Odeˇcteme li od n´ı(12.18), dostaneme m1m2 ω2D I˙1ω1 = − (D˙ pozorovan´a − D˙ ). m1 + m2 2 Po vydˇelen´ı ω1 a dosazen´ız (12.1), (12.4), (12.8), (12.16) a (12.19) obdrˇz´ıme 20 2 −1 I˙1 = −2.686 10 kg m s . Tak velk´azmˇena momentu setrvaˇcnosti je absurdn´ıa nelze ji vysvˇetlit nˇejak´ym jedno duch´ym procesem. Odpov´ıd´aobrovsk´emu toku hmoty ke stˇredu Zemˇetrvaj´ıc´ımu ale spoˇn2700 let, coˇznen´ıpravdˇepodobn´e. Proto lze uvaˇzovat ˇcasovˇenez´avisl´ymoment setrvaˇcnosti Zemˇe, aniˇzbychom se dopustili pˇr´ıliˇsvelk´e chyby pˇri odvozov´an´ı(12.22). Existuj´ırozmanit´enegravitaˇcn´ıs´ıly, kter´eovlivˇnuj´ızmˇenu vzd´alenosti Mˇes´ıce od Zemˇe, jako napˇr. sluneˇcn´ı v´ıtr, tepeln´es´al´an´ı Zemˇea Mˇes´ıce, Jarkovsk´eho efekt, sr´aˇzky s meziplanet´arn´ım prachem a meteority ˇci pˇr´ıtomnost magnetick´ych pol´ı. Jejich vliv se vˇsak zd´ab´yt zcela zanedbateln´yve srovn´an´ıs p˚usoben´ımslap˚u. Existuje velk´emnoˇzstv´ıhypot´ez, kter´ese snaˇz´ıvysvˇetlit nadmˇern´evzdalov´an´ı Mˇes´ıce od Zemˇe(viz napˇr. [53], [54], [55], [132]). V ˇcl´anku [55] se rychl´evzdalov´an´ı pˇriˇc´ıt´aenergii vakua. Pˇritom se ale pˇredpokl´ad´a, ˇze rychlost gravitaˇcn´ıinterakce je nekoneˇcn´a. Relativistick´eefekty a t´eˇzpˇr´ıpadn´az´avislost gravitaˇcn´ıkonstanty na ˇcase se zase vyˇsetˇruj´ıv [175]. Rychlosti v1 = 12.5 m/s a v2 = 1020 m/s z (12.7) jsou vˇsak velice n´ızk´ena to, aby se relativistick´eefekty v´yraznˇeji projevily. ⊙ ⊙ ⊙ 12.6. Paradox velk´eho orbit´aln´ıho momentu hybnosti Mˇes´ıce Pomoc´ısamotn´ych slapov´ych sil je obt´ıˇzn´evysvˇetlit souˇcasn´yparadoxnˇevelk´yorbi t´aln´ımoment hybnosti soustavy Zemˇe–Mˇes´ıc(viz [109]; [15], s. 534). Pokud pˇripust´ı me p˚usoben´ıantigravitaˇcn´ıch sil, z´ısk´ame dodateˇcn´yposun (12.21) v rychlosti vzda lov´an´ıMˇes´ıce od Zemˇe. Podle [109] se Mˇes´ıczformoval ve vzd´alenosti jen 20 000 km od Zemˇepˇribliˇznˇepˇred 4.5 miliardami let. To odpov´ıd´apr˚umˇern´erychlosti vzda lov´an´ı v = 8 cm za rok, aby dos´ahl dneˇsn´ıvzd´alenosti (12.1). Protoˇze slapov´es´ılyub´yvaj´ıse tˇret´ımocninou vzd´alenosti, tempo vzdalov´an´ıMˇes´ıce od Zemˇese postupnˇe sniˇzuje. Pˇritom antigra vitace mohla tak´epodstatnˇepˇrisp´ıvat k procesu vzdalov´an´ı. ⊙ ⊙ ⊙ 139 13. Vzdalov´an´ıZemˇeod Slunce Z´adn´emnoˇzstv´ıexperiment˚uˇ nem˚uˇze dok´azat, ˇze m´am pravdu. Jedin´yexperiment vˇsak m˚uˇze dok´azat, ˇze jsem se m´ylil. Albert Einstein 13.1. Paradox mlad´eho hork´eho Slunce Nejprve pˇripomeˇnme paradox mlad´eho hork´eho Slunce. Mysleme si na okamˇzik, ˇze Zemˇebyla pˇri sv´em zrodu vzd´alena od Slunce cca 1 au, jako je nyn´ı.Aby nebyla zcela zmrzl´aa mohl se na n´ıvyv´ıjet ˇzivot, muselo b´yt Slunce pˇri sv´em vzniku pˇribliˇznˇe tak hork´e, jako je nyn´ı. To vˇsak nen´ıv souladu s t´ım, ˇze Slunce, jakoˇzto hvˇezda na hlavn´ıposloupnosti Hertzsprungova–Russellova diagramu, mˇelo pˇri sv´em vzniku menˇs´ı z´aˇriv´yv´ykon (srov. obr. 11.1 a 11.2). Paradox mlad´eho hork´eho Slunce je podrobnˇeji pops´an napˇr. v [164]. Pokud byl Mars podstatnˇebl´ıˇze Slunci o des´ıtky milion˚ukm (viz kapitola 11), musela b´yt bl´ıˇze i naˇse Zemˇe. Jinak by totiˇzv minulosti doch´azelo k jejich bl´ızk´ym setk´an´ım a jejich dr´ahy by nebyly dlouhodobˇestabiln´ı. V n´asleduj´ıc´ıch odd´ılech uvedeme dalˇs´ı3 nez´avisl´eargumenty svˇedˇc´ıc´ıo tom, ˇze Zemˇebyla kdysi bl´ıˇze Slunci a ˇze jejich pr˚umˇern´avzd´alenost nar˚ust´arychlost´ınˇekolika metr˚uza rok. Pˇripust´ıme li, ˇze je to d´ıky antigravitaci, pˇrestane b´yt paradox mlad´eho hork´eho Slunce z´ahadou. ⊙ ⊙ ⊙ 13.2. Rozp´ın´an´ıekosf´ery Zemˇese nach´az´ıuvnitˇrtzv. obyvateln´ez´ony, tj. oblasti, v n´ıˇzse trvale nach´az´ıtekut´a voda. V tomto odd´ılestanov´ıme rychlost vzdalov´an´ıZemˇeod Slunce zajiˇst’uj´ıc´ıkon 140 13. Vzdalov´an´ıZemˇeod Slunce Obr. 13.1. Dr´aha tˇeˇziˇstˇeSluneˇcn´ısoustavy vzhledem ke Slunci v obdob´ı2000–2050. Pr˚umˇer Slunce je t´emˇeˇr1.4 milionu km. Tˇeˇziˇstˇese posune zhruba o 1000 km za den. stantn´ıpˇr´ısun sluneˇcn´ıenergie po dobu 3.5 miliardy let, coˇzby poskytovalo pˇr´ızniv´e podm´ınky pro rozvoj ˇzivota na naˇs´ıplanetˇe. Zat´ımbohuˇzel neum´ıme zmˇeˇrit skuteˇcnou pr˚umˇernou rychlost vzdalov´an´ıZemˇe od Slunce s pˇresnost´ıˇr´adovˇemetr za rok, protoˇze se poloha tˇeˇziˇstˇeSluneˇcn´ısoustavy mˇen´ıo statis´ıce kilometr˚uroˇcnˇev d˚usledku gravitaˇcn´ıho p˚usoben´ıvelk´ych planet, viz (5.1) a obr. 13.1. Proto budeme sledovat velice dlouh´yˇcasov´y interval 3.5 miliardy let existence ˇzivota na Zemi. K zajiˇstˇen´ıpˇr´ızniv´ych podm´ınek pro ˇzivot na Zemi je v souˇcasnosti nutn´e, aby z´aˇriv´yv´ykon Slunce byl nejv´yˇse o 5 % vˇetˇs´ınebo menˇs´ıneˇzsluneˇcn´ıkonstanta −2 L0 =1.36 kWm . (13.1) Takov´emu mezikruˇz´ı (popˇr. kulov´evrstvˇeˇci mezikoul´ı) se ˇr´ık´a ekosf´era. Protoˇze z´aˇriv´ytok kles´aod Slunce se ˇctvercem vzd´alenosti, jsou jej´ıpolomˇery (0.95)1/2 au a (1.05)1/2 au, coˇzodpov´ıd´avelice ´uzk´emu intervalu 145.8–153.3 milionu km (viz obr. 13.2). Kdyby se eliptick´adr´aha Zemˇedlouhodobˇedostala mimo tuto oblast, mˇelo by to katastrof´aln´ıd˚usledky pro ˇzivot na naˇs´ıplanetˇe. Trval´esn´ıˇzen´ız´aˇriv´eho v´ykonu Slunce o v´ıce neˇz5 % by zp˚usobilo celkov´ezalednˇen´ınaˇs´ıplanety. Na druh´estranˇeuˇz pˇri teplot´ach nad 57 ◦C doch´az´ık rozpadu nˇekter´ych sekvenc´ıDNA mnohobunˇeˇcn´ych organizm˚u. Doba, kdy se na Zemi objevil ˇzivot (tj. pˇred 3.5 miliardami let), odpov´ıd´av´ykonu Slunce kolem 77 % dneˇsn´ıhodnoty (viz obr. 11.2). Pro zabezpeˇcen´ıpˇr´ızniv´eho kli matu pro dlouhodob´yv´yvoj ˇzivota, kdy je nutn´avoda v kapaln´em skupenstv´ı,byla Zemˇepatrnˇeo des´ıtky milion˚ukilometr˚ubl´ıˇze ke Slunci. Mohou na to poukazovat 141 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace R (t 0 ) R( 0 ) Obr. 13.2. Schematick´ezn´azornˇen´ırozp´ın´an´ıekosf´ery bˇehem posledn´ıch 3.5 miliardy let, 11 11 kde R(t0) = 1.3 10 m, R(0) = 1.5 10 m a t0 = −3.5 Gyr. napˇr´ıklad data o v´yskytu fosiln´ıch termofiln´ıch bakteri´ı,ze kter´ych se soud´ı[169], ˇze teplota oce´an˚upˇred 3.5 Gyr byla kolem 80 ◦C. Vzhledem k vyˇsˇs´ıvulkanick´eˇcinnosti ovˇsem nen´ıjasn´e, do jak´em´ıry se m˚uˇze jednat o v´ybˇerov´yefekt. Tak vysok´eteploty (srov. obr. 11.6) lze tˇeˇzko vysvˇetlit jin´ym sloˇzen´ımatmosf´ery, kdyˇzmˇelo Slunce jen 77 % dneˇsn´ıho v´ykonu. Pˇritom ze vztahu (11.9) pro celkov´ysluneˇcn´ıv´ykon 0.75L⊙ a souˇcasnou hodnotu stˇredn´ıho albeda Zemˇe A = 0.306 dost´av´ame teplotu −36 ◦C pro r = 1 au. Radioaktivn´ıl´atky jistˇetak´epˇrisp´ıvaly k vyˇsˇs´ıteplotˇe bˇehem nˇekolika prvn´ıch stovek milion˚ulet existence Zemˇe, kdy se rozpadaly prvky s relativnˇe kr´atk´ym poloˇcasem pˇremˇeny. Za p˚ul miliardy let vˇsak povrch Zemˇedostateˇcnˇevychladl. Podle souˇcasn´ych mˇeˇren´ıje tepeln´ytok ze Zemˇemenˇs´ıneˇz 0.1 W/m2. Pˇred 4 miliardami let nemohl b´yt o mnoho vˇetˇs´ı,protoˇze poloˇcasy rozpad˚usouˇcasn´ych pˇrirozen´ych ra dioaktivn´ıch izotop˚u 232Th, 238U a 235U jsou 13.9, 4.468 a 0.704 miliardy let [50]. Proto se odhaduje (viz [70], s. 58), ˇze tepeln´ytok ze Zemˇepˇred 4 miliardami let byl nejv´yˇse 5kr´at vˇetˇs´ıneˇzdnes. Tento tok tepla z geoterm´aln´ıch zdroj˚uje vˇsak zcela zanedbateln´yve srovn´an´ıse sluneˇcn´ıkonstantou (13.1). Pro rozvoj ˇzivota byly zapotˇreb´ıvelice stabiln´ıpodm´ınky po dobu 3.5 miliardy let, i kdyˇzv´ykon Slunce nar˚ustal pˇribliˇznˇepodle obr. 11.2. V odd´ılu14.2 uk´aˇzeme, ˇze pro pr˚umˇernou rychlost1 vzdalov´an´ıZemˇeod Slunce v =5.2mzarok (13.2) by Zemˇedost´avala t´emˇeˇrkonstantn´ıpˇr´ısun energie (srov. (13.1)) L(t)=1.36 ± 0.005 kW m−2 1Velk´arychlost vzdalov´an´ı(13.2) by ˇcinila pot´ıˇze s p˚uvodn´ı definic´ıastronomick´ejednotky. Novˇe zaveden´adefinice astronomick´ejednotky au je na vzd´alenosti Zemˇeod Slunce nez´avisl´a(viz (4.6)). 142 13. Vzdalov´an´ıZemˇeod Slunce pro vˇsechna t z intervalu dlouh´eho 3.5 miliardy let. V tomto smyslu je rychlost (13.2) optim´aln´ı.Netvrd´ıme vˇsak, ˇze se Zemˇevzdaluje pr´avˇetouto rychlost´ı,ale rychlost´ı ˇr´adovˇesrovnatelnou s (13.2). Rychlost (13.2) vˇsak podle vztahu −1 −1 H0 ≈ 10 myr au , (13.3) kter´yjsme odvodili v kapitole 11 (srov. (11.2)), odpov´ıd´astˇredn´ırychlosti rozp´ın´an´ı (loc) H0 =0.52 H0. (13.4) Vzhledem k ˇr´adov´epodobnosti s Hubbleovou konstantou usuzujeme, ˇze toto vzda lov´an´ılze pˇriˇc´ıst na vrub repulzuvn´ım´uˇcink˚um temn´eenergie. Antigravitaˇcn´ıs´ılatak zp˚usobuje sekul´arn´ımigraci naˇs´ı planety o metry za rok, aby trvale z˚ust´avala uvnitˇrrozp´ınaj´ıc´ıse ekosf´ery (viz obr. 13.2). Pokud by antigra vitace nep˚usobila, vhodn´epodm´ınky pro v´yvoj ˇzivota na zemˇekouli by existovaly jen asi jednu miliardu let. Inteligentn´ıˇzivot by se nestaˇcil rozvinout d´ıky neust´al´emu r˚ustu teploty (srov. obr. 11.2, [137] a [157]). ⊙ ⊙ ⊙ 13.3. Anal´yza pˇr´ır˚ustk˚ufosiln´ıch kor´al˚uze sluneˇcn´ıch dat V tomto odd´ılupˇredstav´ıme metodu navrˇzenou W. Zhangem [296]. Souˇcasn´ahod nota siderick´eho roku je Y = Y (0) = 31558149.54 s = 365.25636 24 3600 s. (13.5) Jeho d´elka v minulosti je d´ana vztahem Y (t)= n(t)(24 3600 + f(t)t) pro t ≤ 0, (13.6) kde ˇcas (−t) je geologick´yˇcas v roc´ıch, kdy byl tehdejˇs´ıden o f = f(t) > 0 sekund kratˇs´ı, t = 0 odpov´ıd´asouˇcasnosti a n(t) je poˇcet dn´ıv roce, kter´ylze dobˇre odhado vat z paleontologick´ych dat. Kaˇzd´ykor´al totiˇzbˇehem dne naroste o nˇekolik mikron˚u, v l´etˇev´ıce, v zimˇem´enˇe. Pokud vyˇsetˇrujeme data pro nˇekolik po sobˇejdouc´ıch let (napˇr. v [196] se vyˇsetˇruj´ıvrstvy, kter´enarostly bˇehem dvan´acti let), umoˇzˇnuje n´am to minimalizovat chybu urˇcen´ıpoˇctu dn´ıv pˇr´ısluˇsn´em roce. Stovky takov´ych vzork˚u fosiln´ıch kor´al˚ubyly analyzov´any pomoc´ımikroskopu napˇr´ıklad v [296]. Nejv´ıce dat je nashrom´aˇzdˇeno pro τ = −370 106 let odpov´ıdaj´ıc´ıch devonu v prvohor´ach. Pro tato data byla nalezena pˇribliˇzn´ahodnota n(τ) = 405 dn´ı,kter´eovˇsem byly kratˇs´ı neˇzdneˇsn´ıdny. J. W. Wells v pr˚ukopnick´em ˇcl´anku [290], s. 949, z roku 1963 tak´e uv´ad´ı,ˇze v devonu mˇel rok kolem 400 dn´ı. 143 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Rotaci Zemˇebrzd´ı slapov´es´ıly Mˇes´ıce a Slunce, kter´eklesaj´ı se tˇret´ı mocni nou vzd´alenosti. Protoˇze kdysi byl Mˇes´ıcbl´ıˇze Zemi a Zemˇepatrnˇebl´ıˇze Slunci, je funkce f klesaj´ıc´ı.Podle [296], s. 4014, je f(τ)=2.6 10−5 s za rok, zat´ımco souˇcasn´a hodnota je f(0) = 1.7 10−5 s za rok (viz (2.6)). Historie zpomalov´an´ırotace Zemˇe (paleorotace) se vyˇsetˇruje t´eˇzv [196] a [291]. Dosad´ıme li pˇredchoz´ıdata do (13.6), dostaneme (srov. (13.5)) Y (τ) = 405(24 3600 − 2.6 10−5 370 106) s=405 76780 = 31095900 s, (13.7) tj. v devonu mˇel den pˇribliˇznˇejen 76 780 sekund (≈ 21.327 hodiny). Oznaˇcme R(t) velikost hlavn´ıpoloosy zemsk´edr´ahy v ˇcase t. Na kr´atk´ych ˇcaso v´ych intervalech popisuje 3. Kepler˚uv z´akon 3 R (t) GM⊙ = (13.8) Y 2(t) 4π2 realitu dosti pˇresnˇe. Zde G =6.674 10−11 m3kg−1s−2 je gravitaˇcn´ıkonstanta a 30 M⊙ =1.989 10 kg (13.9) hmotnost Slunce. Dneˇsn´ıhodnota M⊙ se od hodnoty v devonu liˇs´ıjen o 0.003 % (viz (13.19) n´ıˇze). Dosazen´ımze (13.7) do (13.8) dostaneme pro d´elku hlavn´ıpoloosy dr´ahy Zemˇev devonu hodnotu 2 Y (τ)GM⊙ 1/3 R(τ)= = 148.1 109 m. 4π2 Pr˚umˇern´arychlost vzdalov´an´ıZemˇeod Slunce pak pro R(0) = 149.6 109 m vych´az´ı R(τ) − R(0) (149.6 − 148.1) 109 v = = =4 (m/yr), τ 370 106 coˇzje hodnota pomˇernˇebl´ızk´ahodnotˇeuveden´ev (13.2) a podle (13.3) odpov´ıd´a rychlosti rozp´ın´an´ı (loc) H0 =0.4 H0. (13.10) ⊙ ⊙ ⊙ 13.4. Anal´yza pˇr´ır˚ustk˚ufosiln´ıch kor´al˚uz mˇes´ıˇcn´ıch dat Z kapitoly 12 v´ıme, ˇze souˇcasn´astˇredn´ıhodnota vzd´alenosti Mˇes´ıce od Zemˇeje rovna D = 384402 106 m (13.11) 144 13. Vzdalov´an´ıZemˇeod Slunce a ˇze rychlost v = v(t) jeho pozvoln´eho vzdalov´an´ıod n´as m´anyn´ıhodnotu v(0) = 3.84 cm/yr. (13.12) Na nˇekter´ych prvohorn´ıch kor´alech lze tak´evystopovat, jak byl kdysi dlouh´y lun´arn´ımˇes´ıc, a odtud m˚uˇzeme odvodit d´elku siderick´eho mˇes´ıce P (t) a kolik si derick´ych mˇes´ıc˚u s(t) bylo v jednom roce. Pˇritom dneˇsn´ı hodnoty jsou P (0) = 27.322 dne, s(0) = 13.368 a poˇcet siderick´ych mˇes´ıc˚uje roven poˇctu lun´arn´ıch mˇes´ıc˚u zvˇetˇsen´ych o jedniˇcku. Poˇcet lun´arn´ıch mˇes´ıc˚upro r˚uzn´aobdob´ılze urˇcit z paleon tologick´ych dat pomoc´ıpoˇc´ıt´an´ıvrstev pˇr´ır˚ustk˚ukor´al˚uod jednoho novu k novu n´asleduj´ıc´ımu (viz obr. 13.3 a [296], s. 4012). V kambriu pˇred p˚ul miliardou let byl nav´ıcMˇes´ıcasi o 20 000 km bl´ıˇze Zemi (pˇri pr˚umˇern´erychlosti vzdalov´an´ı4 cm/yr extrapolovan´ez [52]), a tak pˇri ´uplˇnku sv´ıtil o trochu v´ıce neˇzdnes. Jeho prostorov´y´uhel byl pˇribliˇznˇeo 10 % vˇetˇs´ı.A tud´ıˇzjsou rozd´ılyintenzity mˇes´ıˇcn´ıho svitu mezi ´uplˇnkem a novem na nˇekter´ych vzorc´ıch dobˇre rozpoznateln´e. T´ımto zp˚usobem se napˇr´ıklad zjistilo, ˇze v kambriu pro τ = −500 mi lion˚ulet bylo s(τ)=14.2 siderick´eho mˇes´ıce [296], s. 4013. Podle zobecnˇen´eho 3. Keplerova z´akona (4.5) pouˇzit´eho na soustavu Zemˇe–Mˇes´ıc pro d´elku jednoho roku v dobˇe t plat´ı 4π2 1/2 Y (t)= s(t)P (t)= s(t)(D + v(t)t)3 , (13.13) G(M + m) kde M =5.9736 1024 kg, m =7.349 1022 kg (13.14) jsou hmotnosti Zemˇea Mˇes´ıce a v(t) rychlost jejich vzdalov´an´ı.Protoˇze p˚usoben´ı slap˚uub´yv´ase tˇret´ımocninou vzd´alenosti, je funkce v = v(t) klesaj´ıc´ıv ˇcase. Odtud a ze vztah˚u(13.8), (13.13), (13.14), (13.11) a (13.12) pro t = τ = −5 108 yr dostaneme horn´ıodhad pro vzd´alenost Zemˇe–Slunce v kambriu GM⊙ 1/3 M⊙ 1/3 R(τ)= Y 2(τ) = s(τ)2/3 (D + v(τ)τ) 4π2 M + m < 14.22/3 3289191/3(384.402 106 + v(0)τ) = 147.8 109 (m), protoˇze v(τ) > v(0). Odtud dost´av´ame doln´ıodhad pro pr˚umˇernou rychlost vzda lov´an´ıZemˇeod Slunce R(τ) − R(0) (149.6 − 147.8) 109 v = > =3.6 (m/yr). τ 5 108 V tomto pˇr´ıpadˇeze vztahu (13.3) obdrˇz´ıme (loc) H0 > 0.36 H0. (13.15) 145 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Obr. 13.3. Metoda stanoven´ı d´elky lun´arn´ıho mˇes´ıce mezi dvˇema po sobˇen´asleduj´ıc´ımi novy pomoc´ıpˇr´ır˚ustk˚uprvohorn´ıch kor´al˚upodle [296]. M´ısto doln´ıho obd´eln´ıku, kde je struktura prouˇzk˚unezˇreteln´a, se poˇc´ıtaj´ıprouˇzky v jin´em obd´eln´ıku. Pro v´ypoˇcet periody P (t) v (13.13) pouˇzili Zhang a kol. [296] tak´e3. Kepler˚uv z´akon. D˚ukladnou anal´yzou lun´arn´ıch dat stovek vzork˚ufosiln´ıch kor´al˚u, kter´ajsou nez´avisl´ana sluneˇcn´ıch datech, nalezli dalˇs´ıhodnoty s(t) pro mnoho ˇcasov´ych epoch t (viz [296], s. 4013–4016). Tak zjistili, ˇze stˇredn´ırychlost vzdalov´an´ıZemˇeod Slunce je (loc) H0 =0.57 H0. (13.16) ⊙ ⊙ ⊙ 13.5. Prodluˇzov´an´ıd´elky siderick´eho roku Zemˇe V pˇredchoz´ıch odd´ılech 13.1–13.4 jsme uvedli nˇekolik nepˇr´ım´ych, ale zato vz´ajemnˇe nez´avisl´ych argument˚uukazuj´ıc´ıch, ˇze stˇredn´ıvelikost hlavn´ıpoloosy zemsk´edr´ahy nar˚ust´ao nˇekolik metr˚uroˇcnˇe. Dalˇs´ım ´uˇcinn´ym n´astrojem, jak zjistit pr˚umˇernou rychlost vzdalov´an´ıZemˇeod Slunce, by n´am mohla poskytnout souˇcasn´asystema tick´amˇeˇren´ıd´elky siderick´eho roku. Je ale nutno mˇeˇrit dlouhodobˇea velice pˇresnˇe. Bˇehem nˇekolika let je velice obt´ıˇzn´edetekovat zmˇeny, kter´eodpov´ıdaj´ıvzdalov´an´ı Zemˇeod Slunce ˇr´adovˇeo metry za rok. Jak jiˇzv´ıme z obr. 13.1, tˇeˇziˇstˇeSluneˇcn´ısou 146 13. Vzdalov´an´ıZemˇeod Slunce stavy se posunuje o statis´ıce kilometr˚uza rok. Nav´ıcelipticitu dr´ahy dvojplanety“ ” Zemˇe–Mˇes´ıcm´ırnˇenaruˇsuje Slunce, Jupiter, Venuˇse a dalˇs´ıtˇelesa. Pˇredpokl´adejme, ˇze d´elka hlavn´ı poloosy zemsk´e dr´ahy naroste v pr˚umˇeru o R =5.2 m za siderick´yrok (srov. (13.2)). Pak podle tˇret´ıho Keplerova z´akona (R + R)3 R3 = (Y + Y )2 Y 2 m˚uˇzeme snadno zjistit, ˇze zmˇena orbit´aln´ıperiody Zemˇeza jeden rok ˇcin´ıpˇribliˇznˇe Y =1.6 ms. Plat´ıtotiˇz Y 2(R3 +3R2 R + )= R3(Y 2 +2Y Y + ). Zanedb´ame li ˇcleny vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚uv R a Y , pak z (11.1) a (13.5) dostaneme, ˇze se kaˇzdoroˇcnˇesiderick´yrok prodluˇzuje o 3Y Y ≈ R =0.0016 s. (13.17) 2R Tak malou ˇcasovou zmˇenu lze jen tˇeˇzko detekovat vzhledem ke sloˇzitosti probl´emu, i kdyˇzˇcas um´ıme mˇeˇrit s pˇresnost´ılepˇs´ıneˇzps. N´ar˚ust obˇeˇzn´edoby Zemˇekolem Slunce o Y = 1.6 ms by vyˇzadoval pˇrid´avat k siderick´emu roku jednu sekundu kaˇzd´ych 35 let, protoˇze po dvou letech bychom museli k orbit´aln´ıperiodˇepˇridat 2 Y , po tˇrech letech 3 Y atd. Odtud dostaneme 35 (1+2+ + 35) Y = (1+35) 0.0016 s ≈ 1 (s), 2 coˇzˇcin´ı detekci mal´ezmˇeny periody velice obt´ıˇznou. N´ar˚ust siderick´eho roku se tak znatelnˇeprojev´ıaˇzza nˇekolik desetilet´ı.Pˇritom nesm´ıme zapom´ınat, ˇze jde jen o pr˚umˇernou hodnotu. Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze se takˇrka kaˇzdoroˇcnˇepˇrid´av´ake kalend´aˇrn´ımu roku2 1 nebo 2 pˇrestupn´esekundy, aby se vyrovnalo zpoˇzd’ov´an´ırotace Zemˇe.3 V´yˇse uve den´ehodnoty jsme odvodili za pˇredpokladu (13.2). Skuteˇcnost vˇsak m˚uˇze b´yt trochu jin´a. Napˇr´ıklad z (13.5) a (13.7) plyne, ˇze se siderick´yrok prodluˇzuje o (srov. (13.17)) Y (τ) − Y (0) 31558149.54 − 31095900 Y = = s=0.00125 (s). τ 370 106 2Gregori´ansk´ykalend´aˇrn´ırok m´a365.2425 dne. Je t´emˇeˇrroven tropick´emu roku 365.24219 dne, coˇzje doba mezi dvˇema po sobˇen´asleduj´ıc´ımi pr˚uchody Slunce jarn´ım bodem, tj. jedn´ımze dvou pr˚useˇc´ık˚uekliptiky a nebesk´eho rovn´ıku. Tropick´yrok m´a 31556925.4sekundy a je tedy cca o 20 mi- nut kratˇs´ıneˇzsiderick´yrok (13.5). V d˚usledku precese zemsk´eosy se za tropick´yrok posune jarn´ı bod po ekliptice o 50.27′′ vzhledem ke hvˇezd´am. 3Pˇri zemˇetˇresen´ıch obˇcas doch´az´ık tomu, ˇze se nepatrnˇeurychl´ızemsk´arotace, protoˇze Zemˇe zmenˇs´ısv˚uj moment setrvaˇcnosti nebo se pohne osa rotace. 147 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace I kdyˇzv souˇcasnosti lze mˇeˇrit ´uhly s pˇresnost´ına miliontiny obloukov´evteˇriny, mˇeˇrit vzdalov´an´ıZemˇepomoc´ızmˇeny ´uhlov´eho pr˚umˇeru Slunce nem´asmysl. Okraj Slunce nen´ıpˇr´ıliˇsostr´ya zmenˇsen´ı´uhlov´eho pr˚umˇeruo0.000 001′′ odpov´ıd´avzd´ale nosti o 176 metr˚uvˇetˇs´ı.Nav´ıcnen´ızn´amo, jak rychle nar˚ust´apr˚umˇer Slunce v met rech za rok. ⊙ ⊙ ⊙ 13.6. Eliminace dalˇs´ıch pˇr´ıˇcin vzdalov´an´ıZemˇeod Slunce V tomto odd´ıluuk´aˇzeme, ˇze sniˇzov´an´ısluneˇcn´ıhmotnosti v d˚usledku nukle´arn´ıch reakc´ı,v´ytrysk˚uplazmatu a sluneˇcn´ıho vˇetru, p˚usoben´ı slapov´ych sil, magnetick´ych pol´ıaj. m´azcela zanedbateln´yvliv na v´yznamn´evzdalov´an´ı Zemˇeod Slunce. Bez pˇr´ıtomnosti antigravitaˇcn´ıch sil nen´ısnadn´evysvˇetlit pomˇernˇevelkou rychlost (13.2). Lok´aln´ıp˚usoben´ıantigravitace (viz (13.4), (13.10), (13.15) a (13.16)) vˇsak opˇet m˚uˇze tento paradox objasnit. J´adro helia je o 0.7 % lehˇc´ıneˇz4 protony. To znamen´a, ˇze nejv´yˇse 0.7% celko v´esluneˇcn´ıhmotnosti se zmˇen´ına energii bˇehem 10 miliard let, coˇzje odhadova n´e st´aˇr´ı Slunce. Kdyˇz vzniklo, obsahovalo jiˇz asi 30 % helia. Vod´ık se mˇen´ı na helium jen v centr´aln´ıˇc´asti Slunce a aˇzSlunce skonˇc´ısvoji pout’ na hlavn´ıposloup nosti Hertzsprungova–Russellova diagramu (viz obr. 11.1), bude st´ale jeˇstˇeobsa hovat obrovsk´emnoˇzstv´ıvod´ıku. Proto se pˇredpokl´ad´a, ˇze Slunce pˇremˇen´ıasi jen 0.07 % sv´ecelkov´ehmotnosti na energii. V d˚usledku pˇremˇeny hmotnosti na ener gii jsou souˇcasn´esluneˇcn´ı ztr´aty podle (13.5) a (13.9) pr˚umˇernˇejen 0.0007M⊙/ (1010 Y (0)) = 4.46 109 kg za sekundu. Pˇritom jadern´ereakce maj´ıhlavn´ıpod´ılna ztr´atˇesluneˇcn´ıhmotnosti. Slunce tak´eˇc´asteˇcnˇe ztr´ac´ı hmotnost d´ıky plazmatick´ym v´yron˚um. Ze vzta h˚u(13.9) a (4.15) (resp. (4.12)) uvaˇzovan´ych pro Slunce lze odvodit, ˇze plazma m˚uˇze teoreticky opustit Sluneˇcn´ısoustavu, resp. samotn´e Slunce, je li jeho rychlost vˇetˇs´ıneˇz617 km/s, resp. 436 km/s. Pro menˇs´ıpoˇc´ateˇcn´ırychlosti spadne plazma zpˇet do Slunce. Do Slunce ale obˇcas padaj´ıkomety a dalˇs´ıtˇelesa, kter´azase jeho hmotnost zvyˇsuj´ı. Podle [191] Slunce ztr´ac´ıv pr˚umˇeru kaˇzdou sekundu 5.75 109 kg (tj. kaˇzd´ym rokem asi 1.815 1017 kg) sv´ehmotnosti v d˚usledku termonukle´arn´ıch reakc´ı,slu neˇcn´ıho vˇetru, elektromagnetick´eho z´aˇren´ı a jiˇzzmiˇnovan´ych v´yron˚ukoron´arn´ıho plazmatu. Odtud a z (13.9) plyne, ˇze 17 M˙ ⊙ 1.815 10 − −14 −1 = 30 = 9.13 10 (yr ), (13.18) M⊙ 1.989 10 kde teˇcka oznaˇcuje ˇcasovou derivaci. Jak se ukazuje v [191], polomˇery drah planet expanduj´ıve stejn´em pomˇeru. Zemˇese tedy v d˚usledku ´ubytku hmotnosti Slunce od 148 13. Vzdalov´an´ıZemˇeod Slunce nˇej vzdaluje pr˚umˇernou rychlost´ı9.13 10−14 yr−1 1.496 1011 m=0.14 mm/yr, coˇzje podstatnˇemenˇs´ırychlost rozp´ın´an´ı,neˇzuv´ad´ıme v odd´ılu13.2 (srov. napˇr. (13.2)). Reˇsen´ıdiferenci´aln´ırovniceˇ (13.18) m´atvar −Ct M⊙(t)= M⊙e , kde C =9.13 10−14 yr−1. Zmˇeny hmotnosti Slunce jsou tedy vskutku zanedbateln´e. Pokud napˇr. t = τ = −370 106 yr, coˇzodpov´ıd´adevonu, zjist´ıme, ˇze 30 M⊙(τ)=1.989067 10 kg, (13.19) coˇzpˇredstavuje sp´ıˇse jen horn´ıodhad skuteˇcn´ehmotnosti vzhledem k niˇzˇs´ımu v´ykonu Slunce v devonu. Tlak sluneˇcn´ıho z´aˇren´ına Zemi tak´enedok´aˇze vysvˇetlit v´yznamnou rychlost vzda lov´an´ıZemˇeod Slunce. Energie, kter´ak n´am ze Slunce za rok pˇrijde,4 je rovna 24 E = SY L0 =5.4 10 J, kde S = π(6.378 106)2 m2 = 1.277964 1014 m2 je maxim´aln´ıpr˚uˇrez Zemˇe, Y je d´elka roku z (13.5) a L0 je sluneˇcn´ıkonstanta z (13.1). Oznaˇcme d´ale Ei, λi, νi a pi postupnˇeenergii, vlnovou d´elku, frekvenci a hybnost i t´eho fotonu. Pak plat´ı h hνi Ei pi = = = , λi c c kde h = 6.626 0693 10−34 Js je Planckova konstanta a c = 299792458 m/s je rychlost svˇetla. Seˇcteme li pˇredchoz´ırovnici pˇres vˇsechny fotony pˇrich´azej´ıc´ına Zemi od Slunce bˇehem jednoho roku, dostaneme celkovou hybnost E 5.4 1024 p = X p = = =1.8 1016 (kg m/s). i c 3 108 i Kdyby Zemˇevˇsechny sluneˇcn´ıfotony pohltila, pak ze (13.14) dostaneme opˇet po mˇernˇemalou rychlost vzdalov´an´ıve srovn´an´ıs (13.2), p v = =0.095 m/yr. M Slapov´es´ılyrovnˇeˇzneumoˇzˇnuj´ıvysvˇetlit v´yznamn´evzdalov´an´ıZemˇeod Slunce. Z pˇredchoz´ıkapitoly 12 v´ıme, ˇze rotace Zemˇese jejich p˚usoben´ımzpomaluje. Pˇritom 4 2 26 Podle (13.1) je celkov´yv´ykon Slunce roven L⊙ =4πR L0 =3.8 10 W, kde R = 1 au. Odtud a z (13.9) plyne, ˇze L⊙/M⊙ =0.0002 W/kg. Jadern´yreaktor nal´ezaj´ıc´ıse jen v nˇekolika procentech centr´aln´ıˇc´asti Slunce tak m´ana jednotku hmotnosti mnohem menˇs´ıv´ykon neˇznapˇr. lidsk´etˇelo, kter´eprodukuje cca 100 W. 149 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace asi 68.5 % je zp˚usobeno Mˇes´ıcem a jen 31.5 % Sluncem, viz [35]. Vliv ostatn´ıch pla net je zanedbateln´y. Slapov´es´ıly od Slunce na 1 kg Zemˇejsou pˇribliˇznˇerovny 3 2GM⊙r/R , kde M⊙ je hmotnost Slunce (13.9), R = 1 au a r polomˇer Zemˇe. Vid´ıme, ˇze ub´yvaj´ıs tˇret´ımocninou vzd´alenosti Zemˇeod Slunce. Odtud lze odvodit, ˇze vzd´alenost Zemˇe–Slunce nar˚ust´av d˚usledku slap˚ujen o nˇekolik cm za rok (viz napˇr. [15], s. 606; [192]). Zemˇese rovnˇeˇzpohybuje v magnetick´em poli Slunce. Protoˇze m´aˇzelezn´ej´adro, generuj´ıse v nˇem Foucaltovy v´ıˇriv´eproudy a Zemˇeby tak mˇela padat na niˇzˇs´ıdr´ahu. To se vˇsak nepozoruje (viz pˇredchoz´ıodd´ıly), protoˇze magnetick´ypotenci´al dip´olu ub´yv´ajako r−2 (zat´ımco gravitaˇcn´ıpotenci´al jako r−1). Ze stejn´eho d˚uvodu i s´ıla, jeˇzp˚usob´ımezi magnetick´ym polem Zemˇea Slunce, nem´ana dlouhodob´evzdalov´an´ı Zemˇeod Slunce t´emˇeˇrˇz´adn´yvliv. Nav´ıcse Slunce pˇrep´olov´av´akaˇzd´ych 11 let. Jarkovsk´eho, resp. YORP efekt [15] sice mˇen´ıdr´ahu, resp. rotaci mal´ych tˇeles Sluneˇcn´ısoustavy, ale jejich ´uˇcinek na vzdalov´an´ıZemˇeod Slunce je rovnˇeˇznaprosto zanedbateln´y[30]. Tot´eˇzplat´ıi o meziplanet´arn´ımprachu a dalˇs´ıch negravitaˇcn´ıch sil´ach. ⊙ ⊙ ⊙ 13.7. Proˇcjin´ıautoˇri tvrd´ı, ˇze se Sluneˇcn´ısoustava nerozp´ın´a G. A. Krasinsky a V. A. Brumberg [117] odvozuj´ı,ˇze vzd´alenost Zemˇe–Slunce v sou ˇcasnosti nar˚ust´av pr˚umˇeru jen o 15 cm roˇcnˇe. Jejich argumentace je vˇsak zaloˇzena na nerealistick´em pˇredpokladu, ˇze Newtonova teorie gravitace popisuje pohyb tˇeles ve Sluneˇcn´ısoustavˇenaprosto pˇresnˇe. Reˇs´ıalgebraickouˇ soustavu pro 62 nezn´am´ych keplerovsk´ych parametr˚u(viz odd´ıl3.4) vˇsech planet a nˇekter´ych vˇetˇs´ıch planetek, a pˇritom vliv mal´ych antigravitaˇcn´ıch sil neberou v ´uvahu. Jin´ymi slovy, implicitnˇe ignoruj´ıchybu modelu (ale i diskretizaˇcn´ıchybu, zaokrouhlovac´ıchyby, chybu apro ximace poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek, chybu urˇcen´ıfyzik´aln´ıch veliˇcin aj.). Radaˇ autor˚u(viz napˇr. [39], [45], [176]) tvrd´ı,ˇze temn´aenergie nem´aˇz´adn´yvliv na rozp´ın´an´ıSluneˇcn´ısoustavy. Nyn´ıuk´aˇzeme, kde se tito autoˇri dopouˇstˇej´ıchybn´e argumentace. Hubble˚uv parametr H = H(t), kter´ypopisuje rychlost rozp´ın´an´ıves m´ıru, se definuje vztahem a˙(t) H(t)= , (13.20) a(t) kde a = a(t) je expanzn´ıfunkce a teˇcka oznaˇcuje ˇcasovou derivaci. Pokud by napˇr´ı klad glob´aln´ımodel vesm´ıru mˇel konstantn´ıkladnou kˇrivost ve vˇsech bodech a ve 150 13. Vzdalov´an´ıZemˇeod Slunce 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -13.6 -10 -5 0 t (Gyr) Obr. 13.4. Doln´ımodr´ygraf odpov´ıd´aline´arn´ıfunkci 1+H0t z Taylorova rozvoje (13.22) na intervalu (−1/H0, 0), kde 1/H0 = 13.6 Gyr je Hubble˚uv ˇcas. Horn´ızelen´ygraf odpov´ıd´a 2 2 prvn´ım tˇrem ˇclen˚um Taylorova rozvoje 1 + H0t − q0H0 t /2 pro q0 = −0.6. Prostˇredn´ı ˇcerven´ygraf ilustruje pˇredpokl´adan´ypr˚ubˇeh normalizovan´e expanzn´ı funkce a(t)/a(0) z´ıskan´eintegrac´ı(13.20). Hodnoty na horizont´aln´ıose jsou v miliard´ach let a na vertik´aln´ı ose jsou bezrozmˇern´aˇc´ısla. Vid´ıme, ˇze zrychlen´aexpanze se jen velice nepatrnˇeodliˇsuje od line´arn´ıho rozp´ın´an´ıbˇehem nˇekolika posledn´ıch miliard let. vˇsech smˇerech v dan´em ˇcase t, pak by hodnota expanzn´ıfunkce a(t) byla rovna po lomˇeru vesm´ıru v ˇcase t (viz napˇr. G. Lemaˆıtre [167]). V tomto pˇr´ıpadˇeje vesm´ırmo delov´an trojrozmˇern´ym povrchem ˇctyˇrrozmˇern´enafukuj´ıc´ıse koule (viz odd´ıl10.4). Derivov´an´ımvztahu (13.20) podle ˇcasu dostaneme a¨ H˙ = − H2 = −qH2 − H2, (13.21) a kde q = −aa/¨ a˙ 2 je bezrozmˇern´ydeceleraˇcn´ıparametr, jenˇzcharakterizuje zpoma lov´an´ıˇci urychlov´an´ı expanze vesm´ıru. Rozvineme li expanzn´ıfunkci a = a(t) do Taylorovy ˇrady v ˇcase t = 0, kter´yodpov´ıd´asouˇcasnosti, obdrˇz´ıme (viz obr. 13.4) 1 2 1 2 2 a(t)= a(0) +a ˙(0)t + 2 a¨(0)t + = a(0)(1 + H0t − 2 q0H0 t + ... ), (13.22) kde H0 = H(0) a q0 = q(0) = −0.6 je v souˇcasn´edobˇepˇrij´ıman´ahodnota dece leraˇcn´ıho parametru (viz [225], s. 110), kter´aje z´aporn´a, protoˇze se expanze vesm´ıru zrychluje. M. Carrera a D. Giulini [39], s. 175, spr´avnˇeodvozuj´ı,ˇze ve vzd´alenosti Pluta (tj. asi 40 au) d´av´azrychluj´ıc´ı se rozp´ın´an´ı vesm´ıru jen 2 10−23 m/s2, coˇz je 151 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace vskutku naprosto zanedbateln´ahodnota. Podobn´ezcela nepatrn´ehodnoty odvozuj´ı i F. I. Cooperstock a kol. [45], s. 62, ˇci B. Mashhoon a kol. [176], s. 5041. Vˇsichni tito autoˇri se ale soustˇredili pouze na kvadratick´yˇclen v rozvoji (13.22) a neuvaˇzovali velkou hodnotu Hubbleovy konstanty (13.3), kter´avystupuje u line´arn´ıho ˇclenu v (13.22). Jin´ymi slovy, zrychluj´ıc´ıse rozp´ın´an´ıvesm´ıru se znatelnˇeneprojevuje na ˇsk´al´ach Sluneˇcn´ısoustavy, ale samotn´erozp´ın´an´ıano. Plat´ıtotiˇz 1 |H t|≫ |q |H2t2 0 2 0 0 pro t bl´ızk´e0. Zrychluj´ıc´ıse rozp´ın´an´ıdan´ekvadratick´ym ˇclenem se tak zaˇc´ın´apro jevovat aˇzv kosmologick´ych vzd´alenostech. I pˇresto je kvadratick´yˇclen tak mal´y, ˇze line´arn´ıˇclen |H0t| z (13.22) nad n´ımv absolutn´ıhodnotˇev´yraznˇedominuje nejenom v okol´ınuly, protoˇze plat´ı 1 0.3 |H t| > |q |H2t2 0 2 0 0 pro vˇsechna t z intervalu (−1/H0, 0), kde |q0|/2=0.3. ⊙ ⊙ ⊙ 13.8. Generov´an´ıenergie syst´emem Zemˇe–Slunce Extr´emnˇemal´aodchylka ε> 0 skuteˇcn´epolohy nˇejak´eho tˇelesa od jeho polohy defi novan´eNewtonovou teori´ıgravitace za jeden rok m˚uˇze zp˚usobit za miliardu let dosti velkou a dobˇre detekovatelnou chybu velikosti ˇr´adovˇe109ε. Tyto odchylky od new tonovsk´eteorie gravitace se vz´ajemnˇeneruˇs´ı(jako napˇr. zaokrouhlovac´ıchyby, kter´e maj´ıtendenci se vz´ajemnˇeanulovat), n´ybrˇzakumuluj´ı.Odtud je patrno, proˇcantigra vitace p˚usob´ıi lok´alnˇe. Napˇr´ıklad pro Mˇes´ıcje ε =1.71 cm za rok (viz (12.21)) a pro Zemi ε ≈ 5 m za rok (viz (13.2)). Jak jsme mohli vidˇet a jak jeˇstˇeuk´aˇzeme v dalˇs´ıch kapitol´ach, Sluneˇcn´ısoustava, ale i jin´esoustavy voln´ych tˇeles se s rostouc´ımˇcasem v pr˚umˇeru nafukuj´ı“. Abychom toto prok´azali, mus´ıme umˇet mˇeˇrit vzd´alenosti ve ” lice pˇresnˇe, jako v pˇr´ıpadˇenaˇseho Mˇes´ıce (viz kapitola 12), anebo uvaˇzovat velice dlouh´eˇcasov´eˇci prostorov´eˇsk´aly, kdy se vliv antigravitaˇcn´ıch sil nahromad´ınatolik, ˇze jej lze detekovat. V´yznamn´evzdalov´an´ıZemˇeod Slunce popsan´ev odd´ılech 13.1–13.5 sice nelze vysvˇetlit pomoc´ıklasick´eNewtonovy fyziky, ale m˚uˇzeme podle n´ıpˇribliˇznˇeodhad nout, kolik temn´eenergie se takto vygeneruje za rok. Pro jednoduchost pˇredpokl´a dejme, ˇze Zemˇem´akruhovou orbitu o polomˇeru R = 1 au. Z (13.5) a 3. Keplerova 3 2 2 z´akona R /Y = GM⊙/4π zjist´ıme, ˇze celkov´a(tj. kinetick´aa potenci´aln´ı)energie Zemˇeje rovna 1 2πR 2 GMM⊙ GMM⊙ E(R)= M − = − , (13.23) 2 Y R 2R 152 13. Vzdalov´an´ıZemˇeod Slunce kde podle (13.14) a (13.9) hmotnost Zemˇe M ˇcin´ızhruba 6 kvadrilion˚ukg a hmotnost Slunce M⊙ je 2 kvintiliony kg. Nyn´ıpro R = 5.2 m (srov. (13.2)) dostaneme, ˇze roˇcn´ıspont´ann´ın´ar˚ust celkov´eenergie ˇcin´ıodhadem GMM⊙ 1 1 E(R + R) − E(R)= − − 2 R + R R GMM⊙ R = =9.4 1022 J, (13.24) 2(R + R)R coˇzje o cca 10 ˇr´ad˚umenˇs´ıhodnota neˇzkinetick´aenergie Zemˇe, tj. 1 2πR 2 GMM⊙ |E(R)| = M = =2.69 1032 J. 2 Y 2R Hodnota (13.24) odpov´ıd´apodle (13.5) trval´emu v´ykonu t´emˇeˇr3000 TW. Na pˇresun zemˇekoule o hmotnosti 5.9736 1024 kg v siln´em gravitaˇcn´ımpoli Slunce jen o pouh´ych 5 metr˚uje tedy zapotˇreb´ıobrovsk´emnoˇzstv´ıenergie (srov. (13.24)). Pro jin´yroˇcn´ı pˇr´ır˚ustek R se energie ˇci v´ykon pouze line´arnˇepˇreˇsk´aluj´ıpomoc´ıtrojˇclenky. Vid´ıme, ˇze odchylka od z´akona zachov´an´ıenergie Newtonovy mechaniky se bˇehem jednoho roku projev´ıaˇzna des´at´em platn´em desetinn´em m´ıstˇe. Proto bychom nemˇeli pˇr´ıliˇsvˇeˇrit dlouhodob´ym simulac´ım(napˇr. v´yvoje Sluneˇcn´ısoustavy na stovky mi lion˚ulet) pomoc´ıNewtonovy teorie gravitace, protoˇze pak je chyba pˇr´ısluˇsn´eho mo delu pomˇernˇevelk´av d˚usledku akumulace chyb zp˚usoben´ych antigravitac´ı (srov. odd´ıl5.5). ⊙ ⊙ ⊙ 153 14. Temn´aenergie a antropick´yprincip O mimozemsk´ych civilizac´ıch: Tak kde k ˇcertu vˇsichni jsou? Enrico Fermi 14.1. Antropick´yprincip a kosmologick´akonstanta V roce 1973 australsk´ymatematik a teoretick´yfyzik Brandon Carter zavedl term´ın antropick´yprincip1 [41]. V roce 1986 jej podrobnˇeji rozˇs´ıˇrili a propracovali John Barrow a Frank Tipler v monografii The Anthropic Cosmological Principle [11]. Slab´a formulace tohoto principu tvrd´ı,ˇze vˇsechny fundament´aln´ı fyzik´aln´ıkonstanty maj´ı takov´evelikosti, ˇze umoˇznily vznik ˇzivota. Podle siln´eformulace smˇeˇruje v´yvoj ke vzniku ˇclovˇeka (v ˇreˇctinˇe anthropos). Obr. 14.1. Brandon Carter (*1942) 1Poprv´ejej veˇrejnosti pˇredstavil v Krakovˇena symposiu vˇenovan´emu 500. v´yroˇc´ınarozen´ıMi- kul´aˇse Kopern´ıka. 154 14. Temn´aenergie a antropick´yprincip Proti siln´eformulaci antropick´eho principu lze vˇsak nam´ıtnout, ˇze kdyby aste roid, kter´yzp˚usobil vyhynut´ıdinosaur˚u, minul Zemi, pak by se lidstvo nevyvinulo. Pˇritom nen´ıvylouˇceno, ˇze by mohli vzniknout jin´ıinteligentn´ı tvorov´e. Pˇresto je ve lice pˇrekvapiv´e, ˇze fyzik´aln´ıkonstanty maj´ıpr´avˇetakov´ehodnoty, ˇze umoˇznily vznik a rozvoj ˇzivota ve vesm´ıru. Zde je tˇreba zd˚uraznit, ˇze na ˇz´adnou fyzik´aln´ı konstantu nelze nahl´ıˇzet jako na standardn´ımatematickou konstantu. Napˇr´ıklad iracion´aln√ ´ıLudolfovo ˇc´ıslo π = 3.1415926535 ... , Eulerovo ˇc´ıslo e = 2.7182818284 ... ˇci 2=1.4142135623 ... maj´ı nekoneˇcnˇemnoho nenulov´ych desetinn´ych cifer. Na druh´estranˇeNewtonova gra vitaˇcn´ıkonstanta G = 6.674 10−11 m3kg−1s−2 nen´ıre´aln´eˇc´ıslo s nekoneˇcn´ym de setinn´ym rozvojem. Podle (4.21) je jej´ıˇctvrt´aplatn´acifra patrnˇebl´ızk´a4, ale dalˇs´ı cifry nejsou pˇresnˇezn´amy. V budoucnu ani nikdy nebudeme moci urˇcit, jak´aje napˇr. miliont´adesetinn´acifra G, protoˇze fyzik´aln´ıkonstanty maj´ızcela odliˇsn´ycharak ter neˇzre´aln´aˇc´ısla. Na fyzik´aln´ıkonstanty je proto tˇreba nahl´ıˇzet jen jako na ´uzk´y interval s neostr´ymi rozmazan´ymi hranicemi, popˇr. jako na hustotu urˇcit´edistribuˇcn´ı funkce (z teorie pravdˇepodobnosti). Newton˚uv gravitaˇcn´ız´akon2 pˇredstavuje jen jistou idealizaci reality. Konstanta G je totiˇzdefinov´ana jen ˇcistˇeteoreticky pomoc´ıdvou hmotn´ych bod˚u. Z´adn´ehmotn´eˇ body vˇsak ve skuteˇcn´em vesm´ıru neexistuj´ı.Z tohoto d˚uvodu nikdy nem˚uˇzeme zmˇeˇrit ˇci jinak stanovit gravitaˇcn´ıkonstantu absolutnˇepˇresnˇe. Souˇcin GM, kde M je hmotnost hvˇezdy, je ´umˇern´yjej´ımu tlaku uvnitˇr. Hodnota G tak m´avliv na centr´aln´ıteplotu, sv´ıtivost hvˇezdy, jej´ıvˇek a mnoho dalˇs´ıch parametr˚u. Kdyby G byla napˇr. jen o jednu tis´ıcinu menˇs´ı,neˇzje jej´ısouˇcasn´a hodnota, pak by se vˇsechny hvˇezdy i galaxie vyv´ıjely odliˇsn´ym zp˚usobem a Zemˇe by tak nikdy nevznikla. Tot´eˇzplat´ıi pro dalˇs´ıfyzik´aln´ıkonstanty, jako je Avagadrova konstanta, Planc 1 kova konstanta, bezrozmˇern´akonstanta jemn´estruktury α ≈ 137 atd. Hmotnosti protonu, neutronu a elektronu a velikost jejich vz´ajemn´einterakce (slab´e, siln´ea elek tromagnetick´e) jsou velmi jemnˇevyladˇeny tak, ˇze mohly vzniknout stabiln´ıatomy, z nichˇzlze vytv´aˇret sloˇzit´emolekuly (viz obr. 14.3). Jedn´ımz d˚uleˇzit´ych parametr˚u antropick´eho principu je tak´erychlost expanze naˇseho vesm´ıru. Kdyby byla pˇr´ıliˇs velk´a, hvˇezdy ani galaxie by nemohly vzniknout. Pokud by byla pˇr´ıliˇsmal´a, vesm´ır by se mohl brzy zaˇc´ıtgravitaˇcnˇehroutit a ˇzivot by nemˇel dostatek ˇcasu pro sv˚uj vznik a rozvoj. V t´eto kapitole uk´aˇzeme, jak kosmologick´akonstanta Λ ≈ 10−52 m−2 umoˇznila spr´avnou“ lok´aln´ıexpanzi Sluneˇcn´ısoustavy, a t´ımi vznik a rozvoj ˇzivota na Zemi. ” ⊙ ⊙ ⊙ 2Vˇetˇsina ˇzivoˇcich˚ua rostlin um´ıgravitaci rozpoznat. Napˇr´ıklad ˇclovˇek m´akromˇepˇeti z´akladn´ıch smysl˚u(zraku, sluchu, ˇcichu, chuti a hmatu) jeˇstˇeˇcasto opom´ıjen´yˇsest´ysmysl pro rovnov´ahu um´ıstˇen´yve stˇredn´ımuchu. Tento smyslov´yorg´an registruje, kam m´ıˇr´ıvektor t´ıhov´eho zrychlen´ı. 155 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace 14.2. Dvojstrann´eodhady Paradox mlad´eho hork´eho Slunce lze dobˇre vysvˇetlit pomoc´ı antigravitaˇcn´ıch sil, kter´elok´alnˇegeneruj´ıtemnou energii, viz [137]. Podobnˇejako v odd´ılu13.2 budeme nejprve pˇredpokl´adat, ˇze se bˇehem posledn´ıch 3.5 miliardy let vzdaluje Zemˇeod Slunce konstantn´ırychlost´ı v =5.2 m/yr, (14.1) coˇz je ˇr´adovˇesrovnateln´e s Hubbleovou konstantou pˇrepoˇctenou na d´elku 1 au (viz (13.3)). Nyn´ıpodrobnˇeuk´aˇzeme, ˇze v je optim´aln´ıv tom smyslu, ˇze by Zemˇe dost´avala od Slunce prakticky stejn´ytok energie, jako je sluneˇcn´ıkonstanta L0 de finovan´arovnost´ı(13.1) bˇehem velice dlouh´eho ˇcasov´eho intervalu 3.5 miliardy let. Speci´aln´ırychlosti (14.1) bude odpov´ıdat optim´aln´ıtok Lopt. Abychom to dok´azali (viz vˇeta 14.1 n´ıˇze), poloˇz´ıme τ = −3.5 Gyr a ˇcas t = 0 bude opˇet odpov´ıdat souˇcasnosti. Hlavn´ıv´ysledky tohoto odd´ılubudeme formulovat ve tvaru matematick´ych vˇet, aby bylo jasn´e, co pˇresnˇese pˇredpokl´ad´a a co se tvrd´ı.Symbol ∀t znamen´apro vˇsechna t. Jelikoˇzsluneˇcn´ıluminozita roste pˇribliˇznˇeline´arnˇes ˇcasem a na poˇc´atku uvaˇzo van´eho obdob´ıbyla jen 77 % dneˇsn´ıhodnoty (viz obr. 11.2), definujeme odpov´ıdaj´ıc´ı line´arn´ıfunkci toku energie ze Slunce vztahem t L(t)= 1 − 0.23 L ∀t ∈ [τ, 0], (14.2) τ 0 tj. L(0) = L0. Protoˇze tok energie kles´ase ˇctvercem vzd´alenosti, lze vyslovit n´asle duj´ıc´ıdosti pˇrekvapiv´etvrzen´ı. Vˇeta 14.1 (optim´aln´ırychlost vzdalov´an´ıZemˇeod Slunce). Necht’ L(t)R2 L (t)= , t ∈ [τ, 0], (14.3) opt (R + vt)2 kde R =1 au a v je definov´ano rovnost´ı (14.1). Pak −2 |Lopt(t) − 1.36| < 0.005 (kWm ) ∀t ∈ [τ, 0]. (14.4) D ˚uk a z . Extr´emnˇemalou odchylku 0.005 kW m−2 na prav´estranˇenerov nosti (14.4) lze snadno odvodit analyticky vyˇsetˇrov´an´ımpr˚ubˇehu racion´aln´ıfunk ce Lopt(t), kter´aje konk´avn´ına cel´em intervalu [τ, 0]. Pˇr´ım´ym v´ypoˇctem zjist´ıme, ˇze minima nab´yv´av lev´em krajn´ımbodˇe τ, Lopt(τ)=1.357387 ... a maxima nab´yv´a ∗ 9 ∗ funkce Lopt v bodˇe t ≈ −1.7 10 let, Lopt(t )=1.364574 ... Proto plat´ıdvojstrann´y odhad (srov. obr. 14.2) 1.355 < Lopt(τ) = min Lopt(t) < max Lopt(t) < 1.365 t∈[τ,0] t∈[τ,0] a Lopt(0) = L0. 2 156 14. Temn´aenergie a antropick´yprincip ) 1.365 -2 1.36 (kW m 1.355 opt L 1.35 0.01-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.005 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 t (Gyr) Obr. 14.2. Pr˚ubˇeh t´emˇeˇrkonstantn´ıfunkce t → Lopt(t) na intervalu [τ, 0]. Svisl´aosa je pro pˇrehlednost podstatnˇezkr´acena. Tok sluneˇcn´ıenergie 1.36 ± 0.005 kW m−2 ∀t ∈ [τ, 0] by jistˇezaruˇcoval velice stabiln´ıpodm´ınky (14.4) pro rozvoj inteligentn´ıho ˇzivota na Zemi bˇehem extr´emnˇedlouh´eho ˇcasov´eho intervalu 3.5 Gyr. Zd´ase tedy, ˇze temn´a energie m´alok´alnˇeve Sluneˇcn´ısoustavˇespr´avnou velikost, ˇze dlouhodobˇezaruˇcovala t´emˇeˇrkonstantn´ıtok sluneˇcn´ıenergie na Zemi a pˇrispˇela tak ke vzniku lidstva. Temn´aenergie dan´akosmologickou konstantou tak pˇredstavuje dalˇs´ıargument pro podporu slab´eho antropick´eho principu. Jin´ymi slovy, z´akladn´ı fyzik´aln´ı kon stanty maj´ıvhodnou velikost vedouc´ıke vzniku ˇzivota pouze tehdy, kdyˇzjejich hod noty leˇz´ıuvnitˇrvelice ´uzk´ych interval˚u[137]. Nav´ıcrychlost v (14.1) je optim´aln´ı v tom smyslu, ˇze jak´akoliv m´ırnˇeodliˇsn´arychlost vzdalov´an´ıby ned´avala t´emˇeˇrkon stantn´ıtok energie vyj´adˇren´yracion´aln´ıfunkc´ı(14.3) na intervalu dlouh´em 3.5 mi liardy let. Zd´ase b´yt proto velice pravdˇepodobn´e, ˇze skuteˇcn´arychlost vzdalov´an´ı Zemˇeod Slunce kol´ısala (viz vˇety 14.2 a 14.3) kolem optim´aln´ıhodnoty 5.2 m/yr napˇr. v d˚usledku p˚usoben´ıdalˇs´ıch planet. Existuj´ıtotiˇzd˚ukazy podporuj´ıc´ıhypot´ezu, ˇze Zemˇebˇehem sv´ehistorie byla nˇekolikr´at snˇehovou koul´ı“ (viz [70], s. 58) a jindy ” zase byla teplota v oce´anech mnohem vyˇsˇs´ıneˇzdnes [169]. Pˇritom nezanedbatelnou roli jistˇehr´alo sloˇzen´ıatmosf´ery a sklen´ıkov´yefekt. Ubytek´ sluneˇcn´ısv´ıtivosti o nˇekolik m´alo procent zp˚usoboval v minulosti doby ledov´e. Pokles vˇetˇs´ıneˇz5 % by pˇrivodil tot´aln´ızalednˇen´ıcel´eplanety. Jak jiˇzbylo ˇreˇceno v odd´ılu13.2, sn´ıˇzen´ınebo n´ar˚ust sluneˇcn´ıkonstanty L0 o 5 % odpov´ıd´amezi kruˇz´ı,jemuˇzse obvykle ˇr´ık´a ekosf´era a m´apolomˇery (0.95)1/2 au a (1.05)1/2 au, kter´e pˇredstavuj´ıvelice ´uzk´yinterval 145.8–153.3 milionu km od Slunce (viz obr. 13.2). Pro spojitˇepromˇennou rychlost vzdalov´an´ı v na intervalu [τ, 0] definujeme po dobnˇejako v (14.3) odpov´ıdaj´ıc´ıtok energie L(t)R2 L(v, t)= 2 , t ∈ [τ, 0], (14.5) 0 R − Rt v(θ)dθ 157 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace kde τ = −3.5 Gyr, R = 1 au, L(t) je d´ano vztahem (14.2) a integr´al z rychlosti ud´av´avzd´alenost. V pˇr´ıpadˇe, ˇze neum´ıme pˇresnˇestanovit velikost nˇejak´eveliˇciny, mohou b´yt velice prospˇeˇsn´etzv. dvojstrann´eodhady (viz napˇr. [155]). Vˇeta 14.2 (dvojstrann´yodhad). Leˇz´ı-li rychlost vzdalov´an´ı v = v(t) Zemˇeod Slunce v intervalu od 4.26 m/yr do 6.14 m/yr pro kaˇzd´e t ∈ [τ, 0], pak se tok energie definovan´yvztahem (14.5) mˇen´ınejv´yˇse o 5 % hodnoty L0, tj. 0.95L0 ≤L(v, t) ≤ 1.05L0 ∀t ∈ [τ, 0]. D ˚uk a z. Pˇr´ım´ym v´ypoˇctem zjist´ıme, ˇze pro konstantn´ırychlost v1 ≡ 4.26 m/yr je racion´aln´ıfunkce t → L(v1, t) rostouc´ına [τ, 0], a tak podle (14.5) m´ame L(τ)R2 L(t)R2 0.95L0 = 2 = L(v1, τ) ≤ 2 = L(v1, t) (14.6) (R + v1τ) (R + v1t) pro kaˇzd´e t ∈ [τ, 0]. Podobnˇepro konstantn´ırychlost v2 ≡ 6.14 m/yr zjist´ıme, ˇze funkce t → L(v2, t) je klesaj´ıc´ı,a proto L(τ)R2 L(v2, t) ≤L(v2, τ)= 2 =1.05L0. (14.7) (R + v2τ) D´ame li nerovnosti (14.6) a (14.7) dohromady, pak pomoc´ı(14.5) a pˇredpokl´adan´ych odhad˚u4.26 ≤ v(t) ≤ 6.14 pro kaˇzd´e t ∈ [τ, 0] dostaneme 2 2 2 L(t)R L(t)R L(t)R 2 0.95L0 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 1.05L0. (R +4.26 t) 0 (R +6.14 t) R − Rt v(θ)dθ D˚uleˇzitˇejˇs´ıje ale obr´acen´etvrzen´ı.M´aponˇekud silnˇejˇs´ıpˇredpoklady na rychlost. Vˇeta 14.3 (doplˇnkov´ydvojstrann´yodhad). Jestliˇze pr˚umˇern´arychlost vzda- lov´an´ı v leˇz´ımimo interval [4.26, 6.14] m/yr, potom existuje nepr´azdn´ypodinter- val I ⊂ [τ, 0] tak, ˇze tok energie L(v, t) je menˇs´ıneˇz 95 % nebo vˇetˇs´ıneˇz 105% hod- noty L0 pro vˇsechna t ∈ I. D ˚uk a z. Jestliˇze v < v1 ≡ 4.26 m/yr, pak podobnˇejako v (14.6) zjist´ıme, ˇze L(τ)R2 L(τ)R2 L(v, τ)= 2 < 2 = L(v1, τ)=0.95L0. (R + vτ) (R + v1τ) Ze spojitosti racion´aln´ı funkce t → L(v, t) plyne existence nepr´azdn´eho ˇcasov´eho intervalu I1 tak, ˇze L(v, t) < 0.95L0 pro vˇsechna t ∈ I1. 158 14. Temn´aenergie a antropick´yprincip Analogicky lze pomoc´ı (14.7) odvodit, ˇze pro v > v2 ≡ 6.14 m/yr existuje nepr´azdn´yinterval I2 ⊂ [τ, 0] tak, ˇze L(v, t) > 1.05L0 pro vˇsechna t ∈ I2. 2 Pr˚umˇern´arychlost v leˇz´ıc´ımimo interval [4.26, 6.14] m/yr tedy odpov´ıd´avskutku nehostinn´ym podm´ınk´am pro evoluci ˇzivota do mnohobunˇeˇcn´ych forem. Na Zemi by byl bud’ pˇr´ıliˇssiln´ymr´az, nebo naopak obrovsk´ehorko, protoˇze by se hodnota sluneˇcn´ıkonstanty v nˇejak´em obdob´ıliˇsila o v´ıce neˇz5 % od sv´esouˇcasn´ehodnoty L0. Pˇredchoz´ıdvˇevˇety lze nav´ıcsnadno modifikovat i pro jin´ehodnoty neˇzpr´avˇe5 %. Jeˇstˇepoznamenejme, ˇze line´arn´ıfunkce L(t)=(1−0.23t/τ)L0 z (14.2) a obr. 11.2 se v nˇekter´ych modelech nahrazuje racion´aln´ıfunkc´ı(viz napˇr. [15], s. 177) L Lˆ(t)= 0 , t ∈ [τ, 0], 1+0.3t/τ0 kde τ0 = −4.5 Gyr. V tomto pˇr´ıpadˇeje optim´aln´ıpr˚umˇern´arychlost vzdalov´an´ı Zemˇeod Slunce (zaruˇcuj´ıc´ıt´emˇeˇrkonstantn´ıtok sluneˇcn´ıenergie) rovna v =4.36 m/yr a pr˚umˇern´arychlost vzdalov´an´ıby mˇela b´yt v intervalu [3.27, 5.21] m/yr, abychom zaruˇcili, ˇze odchylky od sluneˇcn´ıkonstanty budou menˇs´ıneˇz5 % podobnˇejako ve vˇet´ach 14.2 a 14.3. Podle [4], s. 218, se vesm´ırv d˚usledku temn´eenergie rozp´ın´aexponenci´aln´ırych lost´ı.Z obr. 8.7 je patrno, ˇze Hubble˚uv parametr H = H(t) je t´emˇeˇrkonstantn´ı bˇehem posledn´ıch 4.5 miliardy let, kdy existuje Sluneˇcn´ısoustava. Leˇz´ıv intervalu 5 [H0, 4 H0]. Za pˇredpokladu, ˇze by H(t) bylo konstantn´ı,tj. H(t) ≡ H0, dostaneme ze vztahu (10.3), ˇze a(t) ≈ a(0) exp(H0t). Vˇetu 14.1 lze modifikovat pro pˇr´ıpadnou exponenci´aln´ı expanzi n´asledovnˇe. Pokud by pr˚umˇern´arychlost vzdalov´an´ı Zemˇe −2 od Slunce bylav ˜ = 5.014 m/yr, pak Lopt(t)=1.36 ± 0.008 kW m pro vˇsechna t ∈ [τ, 0], coˇzje rovnˇeˇzdosti podobn´e(14.1) a (14.4). Vˇety 14.2 a 14.3 by se tak´e pˇr´ıliˇsnezmˇenily. Nav´ıcz obr. 13.4 je patrno, ˇze expanzn´ıfunkce a = a(t) je bˇehem posledn´ıch 4.5 miliardy let t´emˇeˇrline´arn´ı.Proto rozp´ın´an´ıdan´evztahem (14.5) l´epe aproximuje skuteˇcnost neˇzexpanze exponenci´aln´ıpropagovan´av [4]. ⊙ ⊙ ⊙ 14.3. Ochr´an´ıtemn´aenergie Zemi pˇred rozp´ınaj´ıc´ım se Slun- cem? Pˇredpoklady vˇety 14.3 nezaruˇcuj´ı vhodn´epodm´ınky pro rozvoj ˇzivota na Zemi. Z vˇet 14.2 a 14.3 lze dovodit, ˇze nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı rychlost expanze polomˇeru zemsk´edr´ahy leˇz´ıv intervalu (loc) H0 ∈ [0.426 H0, 0.614 H0]. 159 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Takov´a dlouhodob´a lok´aln´ı expanze je tedy temnou energi´ı perfektnˇe naladˇen´a (viz [137]). Jemnˇevyladˇen´etedy nemus´ı b´yt jen z´akladn´ı fyzik´aln´ı konstanty. Napˇr´ıklad pr˚umˇern´apovrchov´ateplota Slunce T = 5770 K je rovnˇeˇzperfektnˇenastaven´a. Kdyby klesla o 1 %, tj. o pouh´ych 57.7 ◦C, pak podle Stefanova–Boltzmannova z´akona 4 L0 = σT s konstantou σ > 0 by sluneˇcn´ı konstanta L0 klesla cca o 4 %, nebot’ 4 0.99 L0 ≈ 0.96L0. Celkov´aluminozita Slunce by pak tak´eklesla o 4 %. Castoˇ se tvrd´ı,ˇze za p˚ul miliardy let se voda v oce´anech vypaˇr´ı,protoˇze v´ykon Slunce pˇr´ıliˇsstoupne3 (viz obr. 11.2). Rychlost (14.1) by n´am ale zaruˇcovala ve lice stabiln´ıpodm´ınky na Zemi po nˇekolik n´asleduj´ıc´ıch miliard let. Pokud by se napˇr´ıklad tok sluneˇcn´ıenergie vyv´ıjel tak, jak je d´ano v (14.3), pak by leˇzel ve ve lice pˇr´ızniv´em intervalu 1.33–1.36 kW m−2 v pr˚ubˇehu n´asleduj´ıc´ıch 3.5 miliardy let. Funkce t → Lopt(t) je totiˇzklesaj´ıc´ıv intervalu [0, |τ|] a ze vztah˚u(14.2) a (14.3) okamˇzitˇeplyne, ˇze −2 Lopt(|τ|)=1.33 kW m . To by byly docela sluˇsn´evyhl´ıdky do hodnˇevzd´alen´ebudoucnosti a ˇzivot na Zemi by tak mˇel ˇsanci se jeˇstˇedlouhodobˇerozv´ıjet ve velice stabiln´ıch podm´ınk´ach. Na druh´estranˇe, temn´aenergie a sn´ıˇzen´ıatmosf´erick´eho tlaku na Marsu zp˚usobi ly, ˇze Mars svou ekosf´eru opustil.4 Nen´ıproto vylouˇceno, ˇze se Mars mohl v d˚usledku antigravitace vzdalovat od Slunce rychleji, neˇzse rozp´ınala ekosf´era kolem jeho dr´ahy v d˚usledku rostouc´ıho sluneˇcn´ıho v´ykonu. Aˇzse za 5 miliard let vyˇcerpaj´ıv centr´aln´ıoblasti Slunce z´asoby vod´ıku, zaˇcne se Slunce mˇenit na ˇcerven´eho obra. Jeho polomˇer by mˇel sahat aˇzza souˇcasnou dr´ahu Venuˇse. Tehdy m˚uˇze b´yt Zemˇevzd´alena od Slunce jiˇzkolem 180 milion˚u kilometr˚u, pokud by se vzdalovala rychlost´ı (14.1). Antigravitace tak m˚uˇze Zemi udrˇzet v dostateˇcn´evzd´alenosti od nar˚ustaj´ıc´ıho Slunce. ⊙ ⊙ ⊙ 14.4. Pravdˇepodobnost vzniku ˇzivota Ve srovn´an´ıs nejstarˇs´ımi hvˇezdami v naˇs´ıGalaxii, jejichˇzvˇek se odhaduje na v´ıce neˇz 13 miliard let, je Slunce relativnˇemlad´e. Na nˇekter´ych exoplanet´ach v obyvateln´e z´onˇeMl´eˇcn´edr´ahy tak mˇela pˇr´ıroda mnohem v´ıce ˇcasu na experimenty, z nichˇzmohl vzniknout ˇzivot. Pˇredpokl´ad´ase, ˇze inteligentn´ıcivilizace by mohla bˇehem nˇekolika 3 Podle [238], s. 461, stoupne luminozita Slunce za 3 miliardy let na 1.33 L⊙. Za p˚ul miliardy let tak m˚uˇze pˇres´ahnout 1.05 L⊙. 4Pˇredstavy o tom, ˇze sklen´ıkov´ym efektem snadno zaˇr´ıd´ıme na povrchu Marsu vhodn´eteplotn´ı podm´ınky pro lidstvo jsou zat´ımasi pˇr´ıliˇsoptimistick´e. Nav´ıc je na Marsu v d˚usledku jeho slab´eho magnetick´eho pole mnohon´asobnˇevyˇsˇs´ı´uroveˇnkosmick´eradiace neˇzna Zemi. 160 14. Temn´aenergie a antropick´yprincip des´ıtek milion˚ulet od sv´eho vzniku postupnˇezaˇc´ıtkolonizovat Galaxii. V pozoro vateln´eˇc´asti vesm´ıru existuje cca 1012 galaxi´ıa kaˇzd´agalaxie obsahuje v pr˚umˇeru v´ıce neˇz1012 exoplanet. Nikde ale zat´ımnepozorujeme projevy jin´ecivilizace, coˇzse oznaˇcuje jako Fermiho paradox. Traduje se, ˇze v roce 1950 Enrico Fermi bˇehem obˇeda s kolegy v Los Alamos National Laboratory o mimozemsk´ych civilizac´ıch prohl´asil: Tak kde k ˇcertu vˇsichni jsou? V roce 1961 Frank Drake5 sestavil rovnici ud´avaj´ıc´ı poˇcet civilizac´ı N v naˇs´ı Galaxii,6 s nimiˇzje moˇzn´enav´azat radiov´ykontakt. Poˇcet N je roven souˇcinu sedmi promˇenn´ych veliˇcin, jejichˇzhodnoty je velice obt´ıˇzn´eodhadnout. Jednou z nich je napˇr. pravdˇepodobnost vzniku ˇzivota na planetˇev obyvateln´ez´onˇe, viz [70], s. 200. Pˇrestoˇze je ve vesm´ıru obrovsk´emnoˇzstv´ıorganick´ych l´atek (napˇr. v mezihvˇezd n´em prostoru byla detekov´ana charakteristick´a spektra aminokyseliny glycinu) a v meteoritech dopadaj´ıc´ıch na Zemi byly objeveny dalˇs´ısloˇzit´emolekuly vˇcetnˇe nukleotid˚u, je pravdˇepodobnost vzniku urˇcit´e samoreplikuj´ıc´ı se molekuly velice mal´a. Pˇrinutit totiˇznˇejakou organickou molekulu, aby alespoˇn vytv´aˇrela sv´ekopie, nen´ıv˚ubec snadn´e. Nejmenˇs´ızn´am´eviry (i ty poˇc´ıtaˇcov´e) nesou ˇr´adovˇe1000 bit˚u informace. Jsou zn´amy pˇr´ıklady ukazuj´ıc´ı,ˇze kdyˇzse z virov´eho genomu vyˇst´ıpne gen G anebo G’, m˚uˇze virus pˇreˇz´ıta mnoˇzit se. Kdyˇzse ale odstran´ıoba geny G i G’, virus ztr´ac´ımoˇznost se replikovat. Existuje tedy jist´eminim´aln´ımnoˇzstv´ıbit˚u, kter´ejeˇstˇeumoˇzˇnuje samoreplikaci. Takov´aposloupnost 0 a 1 ale jistˇenen´ın´ahodn´a a nal´ezt ji vyˇzaduje proj´ıtokolo 21000 moˇznost´ı.Tuto z´avaˇznou skuteˇcnost mnoh´e optimistick´epˇredpovˇedi (napˇr. Fermiho paradox ˇci Drakeova rovnice) v˚ubec neberou v ´uvahu. Cten´aˇrsiˇ jistˇepoloˇz´ıot´azku, kde se takov´esloˇzit´emolekuly, jak´ymi jsou nukleov´e kyseliny RNA a DNA, a informaˇcn´ı procesy (viz [103], [148]) s nimi spojen´eve vesm´ıru vzaly. Pˇr´ıroda na Zemi experimentovala s enormn´ımmnoˇzstv´ımorganick´ych molekul okolo jedn´emiliardy let v obrovsk´ebiochemick´elaboratoˇri na cel´em zemsk´em povrchu (t´emˇeˇr500 000 000 000 000 m2), v r˚uzn´ych puklin´ach, ve vodˇeza r˚uzn´ych teplot a tlak˚uatp. A tak patrnˇez p˚uvodn´ıprebiotick´epol´evky vznikl na jedin´em m´ıstˇena Zemi ˇzivot, pokud sem nebyl zanesen odjinud. Na sam´em poˇc´atku ˇzivota t´emˇeˇr jistˇe nest´ala molekula RNA ˇci DNA (viz obr. 14.3), ale sp´ıˇse primitivn´ı b´ılkoviny. Pokusy se stˇrelami obsahuj´ıc´ımi uvnitˇr aminokyseliny ukazuj´ı, ˇze pˇri prudk´em n´arazu mohou vznikat kr´atk´e b´ılkovinn´e ˇretˇezce obsahuj´ıc´ı aˇz5 aminokyselin. Tyto z´akladn´ı stavebn´ı kameny ˇzivota jsou mj. obsaˇzeny v komet´ach. Pˇri jejich dopadu na Zemi se tak mohly syntetizovat jed noduch´eb´ılkoviny, kter´ese mutacemi mohly zcela v´yjimeˇcnˇe d´ale zdokonalovat. V roce 1997 z´ıskal Stanley B. Prusinger Nobelovu cenu za objev prion˚u. To je 5F. Drake je t´eˇz autorem prvn´ıho poselstv´ı mimozemsk´ym civilizac´ım z roku 1974, viz [158], s. 195. 6Pr˚umˇer naˇs´ıGalaxie je zhruba 100 000 svˇeteln´ych let. 161 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace ke 3’ konci adenin N k 5’ konci O N cukr − O N O 5’ thymin N N O OOP O O P O − O 4’ 1’ N O N O cukr 3’ 2’ cukr − O N N O N O O OOP O O P O N N cytosin O− N cukr O O N k 5’ konci N guanin ke 3’ konci Obr. 14.3. Schematick´ezn´azornˇen´ı struktury dvojˇsroubovice DNA: velk´eˇcern´epunt´ıky oznaˇcuj´ıatomy uhl´ıku, mal´epunt´ıky atomy vod´ıku, plnou ˇcarou jsou vyznaˇceny pevn´eche- mick´ekovalentn´ıvazby a pˇreruˇsovanou ˇcarou vod´ıkov´em˚ustky, kter´epˇredstavuj´ıpomˇernˇe slabou vazbu mezi vod´ıkem a elektronov´ymi orbitaly sousedn´ıho atomu kysl´ıku O ˇci dus´ıku N. Na obou okraj´ıch je pevn´akostra z cukern´ych fosf´at˚u, kter´achr´an´ıgenetickou informaci pˇred poˇskozen´ım. V n´ıse stˇr´ıd´afosf´atov´askupina PO4 s cukrem deoxyrib´ozou. sloˇzit´ab´ılkovina (zn´am´az nemoci ˇs´ılen´ych krav), kter´aneobsahuje nukleov´ekyseliny ani jimi nen´ık´odov´ana. Rozmnoˇzuje se t´ım, ˇze mˇen´ıpodobn´eb´ılkoviny v nˇejak´em organizmu na sebe sama. Nen´ıproto vylouˇceno, ˇze podobn´eb´ılkoviny mohly st´at na sam´em poˇc´atku ˇzivota na naˇs´ıplanetˇedˇr´ıve, neˇzse objevila RNA. Zhruba miliardu let po vzniku RNA se vyvinula DNA. Darwinova evoluˇcn´ı teorie o vzniku druh˚u pˇr´ırodn´ım v´ybˇerem v konkurenˇcn´ım prostˇred´ı pak vysvˇetluje, jak poˇcala dneˇsn´ı vyspˇel´alidsk´acivilizace. ⊙ ⊙ ⊙ 162 15. Rozp´ın´an´ıSluneˇcn´ısoustavy Pˇredstavivost je mnohem d˚uleˇzitˇejˇs´ıneˇzznalosti. Albert Einstein 15.1. Rychl´emˇes´ıce planet V t´eto kapitole uvedeme ˇradu pˇr´ıklad˚unaznaˇcuj´ıc´ıch, ˇze se pozvoln´erozp´ın´an´ıpro jevuje i u dalˇs´ıch syst´em˚uve Sluneˇcn´ı soustavˇe, coˇzzˇrejmˇeodporuje klasick´emu z´akonu zachov´an´ıenergie. Na z´akladˇepˇredkl´adan´ych argument˚um˚uˇzeme opˇet doj´ıt k z´avˇeru, ˇze se antigravitace patrnˇev´yznamnˇepod´ılela na rozm´ıstˇen´ıdneˇsn´ıch tra jektori´ıplanet a jejich mˇes´ıc˚u. Obr. 15.1. Rychl´ymˇes´ıˇcek Phobos o rozmˇerech 27 × 22 × 19 km obˇehne Mars jednou za 7.65 hodiny, zat´ımco Mars se otoˇc´ıkolem sv´eosy jednou za 24.62 hodiny. Nejvˇetˇs´ıkr´ater Stickney o pr˚umˇeru 9 km se nal´ez´avpravo (foto NASA). 163 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Dosud bylo ve Sluneˇcn´ı soustavˇeobjeveno 19 mˇes´ıc˚uMarsu, Jupiteru, Uranu a Neptunu, kter´eob´ıhaj´ıpod tzv. stacion´arn´ıkruhovou dr´ahou (orbitou), pro niˇz je doba obˇehu tˇelesa kolem planety shodn´as dobou jeho rotace kolem vlastn´ıosy. Podle 3. Keplerova z´akona (4.4) je polomˇer stacion´arn´ıdr´ahy roven Gm P 2 1/3 r = i i , (15.1) i 4π2 kde mi je hmotnost i t´eplanety a Pi je jej´ısiderick´arotaˇcn´ıperioda. Mˇes´ıce pod stacion´arn´ı dr´ahou nazveme rychl´e, protoˇze jejich perioda obˇehu je menˇs´ı neˇz Pi (viz obr. 15.1). Ze statistick´eho hlediska je znaˇcnˇenepravdˇepodobn´e, ˇze by vˇsechny tyto mˇes´ıce byly zachycen´e, protoˇze vesmˇes ob´ıhaj´ıstejn´ym smˇerem po kruhov´ych drah´ach a jejich inklinace je t´emˇeˇrnulov´a. Z tohoto d˚uvodu vˇetˇsina z nich ob´ıh´asv´e mateˇrsk´eplanety patrnˇeuˇz4.5 miliardy let, i kdyˇzmohly b´yt kdysi souˇc´ast´ıvˇetˇs´ıch pozdˇeji rozpadl´ych tˇeles. Podle z´akon˚uklasick´emechaniky nut´ıslapov´es´ılyrychl´emˇes´ıce padat po spir´ale na niˇzˇs´ı obˇeˇzn´edr´ahy. Jejich rychlost se zvyˇsuje, jejich potenci´aln´ı energie kles´a a nepatrnˇese tak urychluje rotace mateˇrsk´eplanety, aby byl zachov´an celkov´ymo 3 ment hybnosti. Podle [15], s. 96, jsou slapov´es´ıly na 1 kg mˇes´ıceumˇern´e ´ mi/r , 3 kde r je polomˇer dr´ahy uvaˇzovan´eho mˇes´ıce a r r7 = 82684 km a Neptunu r8 = 83512 km, protoˇze tyto dvˇeplanety maj´ı vˇsechny rychl´emˇes´ıce na dosti vysok´ych orbit´ach 48 227–76 400 km (srov. t´eˇzpˇredposledn´ısloupec tabulky 15.1). Nav´ıcpolomˇery sta cion´arn´ıch drah (15.1) byly v minulosti menˇs´ı, protoˇze planety rotovaly rychleji, tj. Pi bylo kdysi menˇs´ı.Nen´ıvylouˇceno, ˇze rychl´emˇes´ıce udrˇzuje na vysok´ych orbi t´ach antigravitace, kter´ap˚usob´ıproti slapov´ym sil´am. ⊙ ⊙ ⊙ 164 15. Rozp´ın´an´ıSluneˇcn´ısoustavy 15.2. Kde byla Larissa pˇred miliardami let? Mˇes´ıˇcek Larissa ob´ıh´aNeptun ve vzd´alenosti d = 73548 km, coˇzje hodnota velice bl´ızk´apolomˇeru stacion´arn´ıdr´ahy r8. Neptun se otoˇc´ıkolem sv´eosy za 16.11 hodiny a Larissa jej obˇehne za 13.32 hodiny. Rotaci Neptunu brzd´ı hlavnˇevelk´ymˇes´ıcTriton, a tak pˇred miliardami let bylo r8 menˇs´ıpodle (15.1). Nen´ı tedy v˚ubec jasn´e, kde se Larissa tehdy nach´azela, kdyˇzse podle z´akon˚uklasick´e mechaniky k Neptunu neust´ale pˇribliˇzuje. Kdyby nˇekdy byla nad stacion´arn´ıdr´ahou, Tabulka 15.1. Rychl´emˇes´ıce planet ve Sluneˇcn´ısoustavˇe. Symbol i oznaˇcuje poˇradov´e 24 ˇc´ıslo planety, mi je hmotnost planety v kg dˇelen´a 10 , ri je polomˇer stacion´arn´ı 3 dr´ahy (15.1) v km, r je polomˇer dr´ahy mˇes´ıce v km a odpov´ıdaj´ıc´ıhodnoty mi/r ´umˇern´e slapov´ym sil´am na 1 kg hmotnosti mˇes´ıce jsou v kg/m3. 3 i planeta mi ri rychl´ymˇes´ıc r r/ri mi/r 4 Mars 0.64185 20429 Phobos 9377 0.459 778.6 5 Jupiter 1898.6 160020 Metis 127690 0.798 911.9 Adrastea 129690 0.810 870.4 7 Uran 86.81 82684 Cordelia 49770 0.602 704.3 Ophelia 53790 0.651 557.9 Bianca 59170 0.716 419.1 Cressida 61780 0.747 368.2 Desdemona 62680 0.758 352.6 Juliet 64350 0.778 325.9 Portia 66090 0.799 300.8 Rosalind 69940 0.846 253.8 Cupid 74800 0.905 207.5 Belinda 75260 0.910 203.7 Pertida 76400 0.924 194.7 8 Neptun 102.43 83512 Naiad 48227 0.577 913.2 Thalassa 50074 0.600 815.8 Despina 52526 0.629 706.8 Galatea 61953 0.742 430.8 Larissa 73548 0.881 257.5 165 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace tak by se od Neptunu vzdalovala. Jej´ıpostupn´yp´ad opˇet pravdˇepodobnˇezpomaluje antigravitace, kter´asv´ymi odpudiv´ymi ´uˇcinky p˚usob´ıv opaˇcn´em smˇeru a Larissu vlastnˇe nadn´aˇs´ı“. V tomto pˇr´ıpadˇese zd´a, ˇze ´uˇcinek slapov´ych sil je stejn´eho ˇr´adu ” jako sil antigravitaˇcn´ıch, kter´evˇsak maj´ıopaˇcn´eznam´enko. Napˇr´ıklad Hubbleova konstanta (viz (11.2)) −1 −1 H0 ≈ 10 myr au (15.2) pˇrepoˇcten´ana vzd´alenost d Larissy od Neptunu je −1 −1 H0 ≈ 0.5 cm yr d , coˇzje hodnota skuteˇcnˇesrovnateln´as p˚usoben´ımslap˚u. U naˇseho Mˇes´ıce je tak´e ´uˇcinek antigravitaˇcn´ıch sil pˇribliˇznˇestejn´eho ˇr´adu jako ´uˇcinek slap˚u(srov. (12.20) a (12.21)). Podobnou ´uvahu jako pro Larissu by ˇslo udˇelat i pro mˇes´ıˇcky Uranu Pertidu a Belindu. Uran m´aale rotaˇcn´ıosu t´emˇeˇrv rovinˇeekliptiky v d˚usledku nˇejak´ed´avn´e kolize, u n´ıˇznen´ızn´amo, kdy k n´ıdoˇslo. ⊙ ⊙ ⊙ 15.3. Mˇes´ıˇcky Uranu Uved’me dalˇs´ı argument podporuj´ıc´ıhypot´ezu existence antigravitaˇcn´ıch sil gene ruj´ıc´ıch skrytou energii ve Sluneˇcn´ısoustavˇe. Pr˚umˇern´avzd´alenost sousedn´ıch mˇes´ıc˚u pod stacion´arn´ıdr´ahou Uranu je jen 2 663 km. Nad stacion´arn´ıdr´ahou se vzd´alenosti soused˚uskokem zvˇetˇs´ı(srov. obr. 15.2). Mˇes´ıˇcek Puck m´apolomˇer dr´ahy 86 010 km, n´asleduje Mab s 97 700 km a Miranda s 129 390 km. Pt´ate se proˇc? Odpovˇed’ je nasnadˇe. Pro rychl´e mˇes´ıce se ´uˇcinky slapov´ych a antigravitaˇcn´ıch sil vz´ajemnˇe odeˇc´ıtaj´ı,zat´ımco pro mˇes´ıce nad stacion´arn´ıdrahou se sˇc´ıtaj´ı.Je tedy moˇzn´e, ˇze se mˇes´ıˇcky Puck, Mab, Miranda atd. vzdaluj´ıod Uranu tak´ep˚usoben´ımantigravitace (viz obr. 15.2). Na obr. 15.2 si jeˇstˇevˇsimnˇeme, ˇze mˇes´ıˇcek Pertida se nach´az´ı tˇesnˇepod sta cion´arn´ı dr´ahou a mˇes´ıˇcek Puck tˇesnˇenad stacion´arn´ı dr´ahou. Vzd´alenost jejich drah je jen 9 610 km. Proˇcje za 4.5 miliardy let slapov´es´ılyneodsunuly d´ale od sebe? Na vinˇem˚uˇze b´yt opˇet antigravitace, kter´apostupnˇetlaˇc´ıvˇsechny mˇes´ıˇcky nad stacion´arn´ı dr´ahu. Nen´ı proto vylouˇceno, ˇze mˇes´ıˇcek Puck, popˇr. i Mab, byl kdysi pod stacion´arn´ıdr´ahou Uranu a antigravitaˇcn´ıs´ılyjej vytlaˇcily nad ni, protoˇze slapov´es´ılypobl´ıˇzstacion´arn´ıdr´ahy jsou mal´e. A tak za necelou miliardu let by mohla i Pertida ob´ıhat nad stacion´arn´ıdr´ahou, pokud bude rychlost jej´ıho vzda lov´an´ıˇr´adovˇe1 cm/yr. 166 15. Rozp´ın´an´ıSluneˇcn´ısoustavy Miranda slapy Mab antigravitace Puck slapy Pertida Cordelia antigravitace stac. orbita Uran Obr. 15.2. Rychl´emˇes´ıce Uranu z tab. 15.1 a jejich soused´enad stacion´arn´ı orbitou. P˚usoben´ı slapov´ych a antigravitaˇcn´ıch sil se pod touto orbitou odeˇc´ıt´aa nad n´ı sˇc´ıt´a. Vzd´alenosti sousedn´ıch mˇes´ıˇck˚unad stacion´arn´ıdr´ahou jsou tak podstatnˇevˇetˇs´ıneˇzpod n´ı. Analogick´e´uvahy lze uˇcinit i pro obˇeˇznice Neptunu, kde nad stacion´arn´ıdr´ahou je pˇredbˇeˇznˇepojmenovan´ymˇes´ıˇcek S/2004 N1, jehoˇz orbita m´apolomˇer 105 283 km, za n´ımn´asleduje Proteus s polomˇerem orbity 117 646 km. ⊙ ⊙ ⊙ 15.4. Padaj´ıc´ıPhobos Phobos (nˇekdy t´eˇznaz´yvan´yFobos) je kromˇenaˇseho Mˇes´ıce nejv´ıce studovan´ym mˇes´ıcem ve Sluneˇcn´ısoustavˇe, protoˇze m´arychle se mˇen´ıc´ıdobu obˇehu. V d˚usledku slapov´ych sil se neust´ale pˇribliˇzuje po spir´ale k Marsu, jeho orbit´aln´ı rychlost (cca 2.13 km/s) postupnˇenar˚ust´aa tak´enepatrnˇeurychluje rotaci Marsu. Jeho ´uhlov´aobˇeˇzn´arychlost je v´ıce neˇz3kr´at vˇetˇs´ı a ve stejn´em smˇeru, neˇzje rotace Marsu kolem vlastn´ıosy. Phobos by mˇel Mars ob´ıhat jiˇzpomˇernˇedlouho, protoˇze jeho dr´aha je t´emˇeˇr kruhov´aa jej´ırovina je kolm´ana rotaˇcn´ıosu Marsu. Nav´ıc Phobos smˇeˇruje st´ale k Marsu svou nejdelˇs´ıosou. Mars m´apolomˇer 3 390 km. Polomˇer dr´ahy Phobosu je a = 9377 km, (15.3) 167 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace a tak ob´ıh´anad povrchem Marsu ve vzd´alenosti pouh´ych 5 987 km, coˇzje nejm´enˇeze vˇsech mˇes´ıc˚uve Sluneˇcn´ısoustavˇe. Je velkou z´ahadou, jak se Phobos na tuto dr´ahu dostal (cca 11 000 km pod stacion´arn´ıdr´ahou). Protoˇze kolem Marsu neob´ıhaj´ıˇz´adn´a velk´atˇelesa, samotn´yMars nemohl sv´ym gravitaˇcn´ımpolem Phobos zachytit. Nab´ız´ıse tedy moˇznost, ˇze Phobos byl souˇc´ast´ıdvojplanetky, jej´ıˇzlehˇc´ısloˇzka bˇehem pˇribl´ıˇzen´ık Marsu opustila gravitaˇcn´ıpole Marsu. Pak by ale mˇel Phobos eliptickou dr´ahu patrnˇes velkou excentricitou a bl´ızko ekliptiky, kde se pohybuje vˇetˇsina asteroid˚u[229]. Podlouhl´aeliptick´adr´aha by se ale jen obt´ıˇznˇeveˇsla pod velice n´ızkou stacion´arn´ıorbitu o polomˇeru 20 429 km. Phobos by se pak tˇeˇzko mohl dostat na t´emˇeˇrkruhovou dr´ahu s inklinac´ı1◦ k rovinˇerovn´ıku Marsu. Pozname nejme, ˇze sklon rovn´ıku Marsu k jeho obˇeˇzn´edr´aze je 25.19◦ (tj. je podobn´yjako pro Zemi 23.45◦). Obr. 15.3. Velk´aprohlubeˇnHellas Planitia na Marsu je impaktn´ıho p˚uvodu. M´apr˚umˇer pˇres 2 000 km, hloubku aˇz8.2 km a st´aˇr´ıkolem 4 miliard let (foto NASA). Dalˇs´ı,pravdˇepodobnˇejˇs´ımoˇznost´ıje, ˇze Phobos vznikl akrec´ı´ulomk˚u(podobnˇe jako n´aˇsMˇes´ıc) po dopadu velk´eho tˇelesa na povrch Marsu (viz napˇr. obr. 15.3). Veˇsker´evelk´ekr´atery a prohlubnˇena Marsu jsou velice star´ea i Phobos m´azhruba 4 miliardy let star´ypovrch poset´ykr´atery. Jeho dr´ahu v minulosti tak jistˇemˇenila dopadaj´ıc´ıtˇelesa (viz obr. 15.1), slapy a t´eˇzantigravitace. Zd´ase tedy, ˇze Phobos mohl ob´ıhat Mars jiˇzpˇred miliardami let a mˇel tak dostatek ˇcasu, aby zaujal svoji souˇcasnou kruhovou dr´ahu. P˚uvodn´ıodhady odvozen´ez pˇredpokl´adan´ych ´uˇcink˚uslapov´ych sil d´avaly odhady rychlosti pˇribliˇzov´an´ıPhobosu k Marsu pˇres 5 cm za rok. Milan Burˇsa [33] odvozuje hodnotu 2.68 cm za rok. Tato hodnota se vˇsak d´ale sniˇzovala na souˇcasnˇeakcepto vanou hodnotu a˙ = −1.9 cm/yr, (15.4) kde teˇcka oznaˇcuje ˇcasovou derivaci. 168 15. Rozp´ın´an´ıSluneˇcn´ısoustavy Pod´ıvejme se nyn´ıpodrobnˇeji, jak lze tuto rychlost odvodit. Polohy Phobosu se od roku jeho objevu v roce 1877 (viz odd´ıl4.5) peˇclivˇesleduj´ı— srov. pˇrehledov´y ˇcl´anek [189]. Za tu dobu obˇehl Phobos Mars uˇzv´ıce neˇz150 000kr´at. Odtud lze velice pˇresnˇestanovit souˇcasnou ´uhlovou rychlost rotace (t´eˇz tzv. stˇredn´ıpohyb, protoˇze Phobos m´av´azanou rotaci). Za den Phobos uraz´ı´uhel 1128.844407◦ a za siderick´y rok (=365.25636 dne) ω = 412317.5991◦ yr−1. (15.5) Urˇcit ˇcasovou derivaciω ˙ je ale mnohem m´enˇepˇresn´ea nav´ıctyto odhady neust´ale klesaj´ı. Napˇr´ıklad v roce 1945 se vˇeˇrilo, ˇzeω ˙ = 0.001882◦ yr−2 (viz [98], s. 674). V roce 1989 M. Burˇsa [33] uv´ad´ı, ˇze Phobos se za stolet´ı urychlil o 17.7◦, tj. ω˙ =0.00177◦ yr−2. V roce 2010 se R. A. Jacobson [98] pˇrikl´an´ık jeˇstˇemenˇs´ı hodnotˇe ω˙ =0.00127◦ yr−2. (15.6) Podle 3. Keplerova z´akona je a3/T 2 konstantn´ı.Tedy 3a2aT˙ 2 − 2T Ta˙ 3 =0, kde perioda T splˇnuje rovnost 360◦ ω = . T Odtud plyne, ˇzeωT ˙ = −Tω˙ , a tak dosazen´ımz (15.3), (15.5) a (15.6) dostaneme (srov. (13.17)) 2aT˙ 2aω˙ a˙ = = − = −1.9 cm/yr. 3T 3ω Phobos se tedy k Marsu pˇribliˇzuje, protoˇze je na pˇr´ıliˇsn´ızk´eorbitˇe, kde slapov´e s´ıly, kter´epˇrib´yvaj´ıse tˇret´ımocninou vzd´alenosti, jiˇz zaˇc´ınaj´ıpˇrevl´adat nad anti gravitac´ı.Planetologov´eodhaduj´ı,ˇze pˇribliˇznˇeza 30–80 mili´on˚ulet by Phobos mˇel dopadnout na povrch Marsu nebo by jej mˇely slapov´es´ılyroztrhat, jakmile se ocitne pod tzv. Rocheovou mez´ı[108]. Uvaˇzovan´enewtonovsk´emodely d´avaj´ıpˇresto mno hakilometrovou odchylku od pozorovan´epolohy Phobosu (viz napˇr. [16], [98], [194]). Na vinˇem˚uˇze b´yt opˇet nezahrnut´ı´uˇcink˚uantigravitace. Jiˇznyn´ıse pl´anuje um´ıstit na marsovsk´ymˇes´ıˇcek Phobos zaˇr´ızen´ıschopn´ede tekovat laserov´ysign´al vyslan´yze Zemˇepro urˇcov´an´ı zmˇen vz´ajemn´evzd´alenosti s pˇresnost´ına milimetry [277]. ⊙ ⊙ ⊙ 169 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace 15.5. Opoˇzd’uj´ıc´ıse Neptun Dalˇs´ımtajemstv´ımje, jak se mohl obrovsk´yNeptun zformovat v dosti velk´evzd´ale nosti R=30 au od Slunce, kde jsou pohyby tˇeles vesmˇes velice pomal´e(viz [15], s. 534) a kde byl p˚uvodn´ı plynn´ydisk velice ˇr´ıdk´y. Aby Neptun dos´ahl hmotnosti ko lem 1026 kg v pr˚ubˇehu prvn´ıch 100 milion˚ulet, musel by kaˇzdou sekundu nab´ırat v pr˚umˇeru 30 miliard kg materi´alu ve velice ˇr´ıdk´em prostˇred´ı. Pokud bychom uvaˇzovali napˇr´ıklad jen poloviˇcn´ırychlost rozp´ın´an´ız (15.2) po dobnˇejako v kapitole 12, 13 a 14, pak Neptun mohl vzniknout pˇred t =4.5 miliardami let o nˇekolik astronomick´ych jednotek bl´ıˇze Slunci na dr´aze o polomˇeru r. Vzhledem 1 ke vztahu (10.3) lze pˇredpokl´adat exponenci´aln´ıexpanzi R = r exp( 2 H0t). Odtud a z (15.2) vypl´yv´a, ˇze 9 1 5 4.5 10 −0.15 r = R exp − H0t = R exp− = Re = 25.82 au. 2 150 109 Kdyby expanze byla line´arn´ı,dostali bychom velice podobnou hodnotu r = 25.5 au. Pro nepatrn´yn´ar˚ust vzd´alenosti R za jeden obˇeh Neptunu kolem Slunce dosta neme podle 3. Keplerova z´akona (R + R)3 R3 = , (P + P )2 P 2 kde P je odpov´ıdaj´ıc´ın´ar˚ust obˇeˇzn´edoby P = 164.79 roku. Rozn´asoben´ıma za nedb´an´ımˇclen˚uvyˇsˇs´ıho ˇr´adu v P a R zjist´ıme podobnˇejako v (13.17), ˇze 2 P 3 R ≈ . (15.7) P R Pokud budeme opˇet uvaˇzovat jen poloviˇcn´ırychlost z (15.2), potom ze (15.7) dosta neme, ˇze se Neptun za jeden obˇeh kolem Slunce zpozd´ıo zcela nepatrn´y´uhel α ≈ tg α, P 2πR 2π P 3π R α ≈ = ≈ =0.01′′, (15.8) R P P R kde R = RP 5myr−1au−1 = 24718.5 m. Takov´ydrobn´ynevysvˇetlen´yposun (15.8) bohuˇzel nem˚uˇzeme potvrdit pomoc´ıGalileova ruˇcnˇezakreslen´eho pozorov´an´ıNep tunu [113] z roku 1612 (viz t´eˇzM.L. Lalande (1795)), ale modern´ımi prostˇredky lze m´ırn´ezpoˇzdˇen´ıNeptunu stejn´eho ˇr´adu pozorovat [259] (viz t´eˇz[219]). Pro porovn´an´ı uved’me, ˇze ´uhlov´ypr˚umˇer Neptunu je 2.3′′. P˚uvodnˇese astronomov´edomn´ıvali, ˇze zpoˇzd’ov´an´ı je zapˇr´ıˇcinˇeno dalˇs´ı vnˇejˇs´ı planetou, kter´aovˇsem nebyla nalezena. Hmotnost Pluta se uk´azala b´yt pˇr´ıliˇsmal´a na to, aby takto mˇenila dr´ahu Neptunu. Na pˇrelomu 19. a 20. stolet´ıse obˇetˇelesa k sobˇepˇribl´ıˇzila na vzd´alenost cca 15 au (srov. obr. 4.5). Kdyˇzpak Clyde Tombaugh 170 15. Rozp´ın´an´ıSluneˇcn´ısoustavy v roce 1930 (na z´akladˇev´ypoˇctu P. Lowella z roku 1915) objevil Pluto, byl od nˇej Neptun vzd´alen jiˇz30 au. Na tak velk´ych vzd´alenostech je gravitaˇcn´ı vliv Pluta vskutku zanedbateln´y. Jinou moˇznost´ıpozvoln´eho vzdalov´an´ıNeptunu od Slunce po spir´aln´ıdr´aze je p˚usoben´ı antigravitaˇcn´ıch sil. Vztah (15.8) vlastnˇeukazuje, o jak nesm´ırnˇemal´e efekty se jedn´ana kr´atk´ych ˇcasov´ych intervalech (viz t´eˇz(12.21)). Migraci Neptunu a dalˇs´ıch planet se pokouˇs´ıvysvˇetlit pomoc´ır˚uzn´ych rezonanc´ı i popul´arn´ınewtonovsk´yNice model (vytvoˇren´yna univerzitˇeve francouzsk´em mˇestˇe Nice). Model pˇredpov´ıd´a, ˇze Uran a Neptun migrovaly pˇred miliardami let smˇerem od Slunce a nav´ıc si prohodily sv´edr´ahy. Aby z˚ustala zachov´ana celkov´aenergie soustavy pˇri migraci, posunul se tˇeˇzk´yJupiter bl´ıˇze ke Slunci (viz napˇr. [276], s. 435). Tento sc´en´aˇrm´aale ˇradu nedostatk˚u. Uved’me jen ty nejpodstatnˇejˇs´ı: a) Je zn´amo, ˇze klasick´yprobl´em N tˇeles m´ajedin´eglob´aln´ıˇreˇsen´ı pro dan´e poˇc´ateˇcn´ıpodm´ınky, pokud tato tˇelesa nekoliduj´ı.Autoˇri [276] ovˇsem neprok´azali, ˇze zpˇetn´aintegrace ze souˇcasn´eho stavu do d´avn´eminulosti po miliard´ach let zp˚usob´ı prohozen´ıUranu a Neptunu a ˇze dostaneme v´ychoz´ıpoˇc´ateˇcn´ıpodm´ınky, abychom se mohli pˇresvˇedˇcit, ˇze Nice model nen´ıˇspatnˇe. K tomu lze pouˇz´ıtvˇetu 5.1. b) Reˇsen´ıklasick´ehoˇ probl´emu N tˇeles je ljapunovsky nestabiln´ı.Jin´ymi slovy, extr´emnˇemal´ezmˇeny poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek zp˚usobuj´ıpo miliard´ach let obrovskou chybu koneˇcn´eho stavu. Dlouhodob´anumerick´aintegrace tak nen´ıopr´avnˇen´a. c) Pˇredpokl´ad´ase absolutn´ı platnost Newtonovy teorie gravitace na intervalu dlouh´em 4.5 miliardy let. Ignoruje se vliv temn´eenergie, koneˇcn´e rychlosti ˇs´ıˇren´ı gravitaˇcn´ıinterakce, chyba modelu apod. d) Nen´ıvysvˇetleno, jak mohly pˇreˇz´ıtprohozen´ıUranu a Neptunu jejich bohat´e rodiny mˇes´ıc˚u. e) Neprov´ad´ıse ˇz´adn´aanal´yza numerick´ych ani jin´ych chyb, kter´evznikaj´ıbˇehem simulace. Numerick´achyba roste exponenci´alnˇe[281]. Rezonance samozˇrejmˇehr´aly d˚uleˇzitou roli ve v´yvoji Sluneˇcn´ısoustavy a nˇekdy ovlivˇnovaly dr´ahu Neptunu. Antigravitace vˇsak p˚usobila neust´ale a dod´avala obrov sk´emnoˇzstv´ıtemn´eenergie potˇrebn´ena migraci vˇsech planet (srov. (13.24)). ⊙ ⊙ ⊙ 15.6. Soustava Neptun–Triton Pomoc´ısamotn´ych slapov´ych sil lze jen obt´ıˇznˇevysvˇetlit obrovsk´yorbit´aln´ımoment hybnosti soustavy Neptun–Triton (viz obr. 15.4). Triton je pravdˇepodobnˇezachycen´y mˇes´ıc, protoˇze ob´ıh´aNeptun v opaˇcn´em smˇeru neˇzNeptun rotuje [95]. Jeho dr´aha se naz´yv´a retrogr´adn´ı. Triton brzd´ırotaci Neptunu (podobnˇejako n´aˇsMˇes´ıcbrzd´ı 171 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Obr. 15.4. Velk´ymˇes´ıc Triton o pr˚umˇeru 2705 km ob´ıh´a Neptun (vlevo dole) v opaˇcn´em smˇeru, neˇzNeptun rotuje (foto NASA). rotaci Zemˇe), ale protoˇze ob´ıh´av opaˇcn´em smˇeru, slapov´es´ıly jej nut´ı padat na niˇzˇs´ı dr´ahy. Moment hybnosti vlastn´ı rotace Neptunu m´a totiˇzopaˇcn´eznam´enko neˇzorbit´aln´ı moment hybnosti soustavy Neptun–Triton. Podle z´akona zachov´an´ı momentu hybnosti by tak mˇela vzd´alenost Tritonu od Neptunu klesat. Je ale velkou z´ahadou, jak mohlo b´yt tak obrovsk´etˇeleso o pr˚umˇeru 2705 km zachyceno ve vzd´alenosti vˇetˇs´ı,1 neˇzje jeho souˇcasn´avzd´alenost 354 760 km. Triton patrnˇeob´ıh´aNeptun velice dlouho, protoˇze v´ystˇrednost jeho dr´ahy je t´emˇeˇrnulov´a e =0.000 016. Je to v˚ubec nejmenˇs´ıexcentricita ze vˇsech zn´am´ych tˇeles ve Sluneˇcn´ısoustavˇe. Pˇri z´achytu tˇelesa je totiˇzpˇr´ısluˇsn´adr´aha skoro jistˇeprot´ahl´aelipsa a Tritonu jistˇetrvalo miliardy let, neˇzz´ıskal kruhovou orbitu. Opˇet existuje vcelku jednoduch´evysvˇetlen´ı. Na Triton patrnˇeneust´ale p˚usob´ı odpudiv´aantigravitaˇcn´ıs´ılaa nen´ıvylouˇceno, ˇze je dokonce vˇetˇs´ıneˇzslapov´es´ıly, kter´etlaˇc´ıTriton k Neptunu. T´ımto zp˚usobem mohla soustava Neptun–Triton z´ıskat obrovsk´ypozorovan´yorbit´aln´ımoment hybnosti. ⊙ ⊙ ⊙ 1Pro srovn´an´ıuved’me, ˇze n´aˇsMˇes´ıcvznikl patrnˇez ´ulomk˚upo velk´esr´aˇzce na dr´aze o polomˇeru cca 20 000 km od Zemˇepˇred v´ıce neˇz4 miliardami let, a pak odcestoval do vzd´alenosti 384402 km (viz kapitola 12). 172 15. Rozp´ın´an´ıSluneˇcn´ısoustavy 15.7. Dalˇs´ıkandid´ati na projevy temn´eenergie ve Sluneˇcn´ı soustavˇe Dlouhodob´ep˚usoben´ıantigravitace ve Sluneˇcn´ısoustavˇe zanechalo celou ˇradu dalˇs´ıch stop, kter´ejsou zaznamen´any v nejr˚uznˇejˇs´ıch fyzik´aln´ıch charakteristik´ach planet a dalˇs´ıch tˇeles [143]. Napˇr´ıklad rotace Merkuru kolem osy je velice pomal´a(59 dn´ı), coˇzmohla zp˚usobit sr´aˇzka s obrovskou planetezim´alou ve velice ran´em stadiu v´yvoje. Merkur ale nem´a ˇz´adnou tektonickou ˇcinnost, kter´aby omlazovala jeho 4.5 miliardy let star´ypovrch rovnomˇernˇeposet´ykr´atery. Jinou moˇznost´ıproto je, ˇze pomal´arotace je d˚usledkem temn´eenergie, protoˇze Merkur byl kdysi bl´ıˇze Slunci, a pak d´ıky antigravitaˇcn´ım sil´am pozvolna putoval na vyˇsˇs´ıdr´ahu s hlavn´ıpoloosou cca 57.9 milion˚ukm. Protoˇze slapov´es´ıly ub´yvaj´ı se tˇret´ı mocninou vzd´alenosti od Slunce, p˚usob´ı na Merkur (149.6/57.9)3 ≈ 17kr´at vˇetˇs´ısilou na jednotku hmotnosti neˇzna Zemi. Pokud by nav´ıcbyl Merkur napˇr. jen 40 milion˚ukm od Slunce v dobˇesv´eho vzniku, coˇzje v souladu s (15.2), slapov´es´ılyod Slunce by byly jeˇstˇe(57.9/40)3 ≈ 3kr´at vˇetˇs´ıneˇz dnes. Celkem tedy dost´av´ame 3 17 = 51kr´at vˇetˇs´ıslapov´ep˚usoben´ına jednotku hmotnosti, neˇzjak´ep˚usob´ınyn´ına Zemi. To by v´yznamnˇe zbrzdilo rotaci Merkuru, kter´ym´acca 100kr´at menˇs´ımoment setrvaˇcnosti neˇzZemˇe. Pokud byla kdysi Zemˇebl´ıˇze Slunci (viz kapitola 13 a 14), nemohla b´yt Venuˇse od nˇej vzd´alena souˇcasn´ych 108 milion˚ukm, protoˇze by mˇela nestabiln´ıdr´ahu. Byla k nˇemu tedy tak´ebl´ıˇze. Merkur a Venuˇse nemaj´ımˇes´ıce, protoˇze by jejich orbity byly bl´ıˇze Slunci nestabiln´ı. Jestliˇze byl Mars podstatnˇebl´ıˇze Slunci, neˇzje nyn´ı(viz kapitola 11), mohl b´yt tak´eJupiter bl´ıˇze Slunci. Jinak by Mars narostl do vˇetˇs´ıvelikosti. M´atotiˇzjen de setinu hmotnosti Zemˇe, protoˇze mu mnohem hmotnˇejˇs´ıJupiter ub´ıral stavebn´ıma teri´al. Jupiter ale i Saturn, Uran a Neptun tak´emohly sn´aze nasb´ırat svoji ohromnou hmotnost bl´ıˇze Slunci. R˚ust jejich obˇeˇzn´ych dob destabilizoval p´asy asteroid˚u, coˇz vedlo k bombardov´an´ıvnitˇrn´ıch planet. Podle [15], kapitola 14.4 a s. 534, m´ame d˚ukazy o tom, ˇze tak´eKuiper˚uv p´as komet vznikl bl´ıˇze Slunci. Antigravitace (srov. (15.2)) opˇet mohla za 4.5 miliardy let posunout Kuiper˚uv p´as o mnoho astronomick´ych jednotek d´ale od Slunce. Po dobn´eargumenty lze uˇcinit pro asteroidy typu Sedna, kter´ase mohou pˇribliˇzovat aˇz k Oortovˇeoblaku. Maj´ımal´ysklon k ekliptice a jejich vznik nen´ı dosud objasnˇen. Sondy Pioneer se opoˇzd’uj´ıza polohou vypoˇc´ıtanou podle Newtonovy teorie gra vitace jiˇzo p˚ul dne. Tento tzv. Pioneer efekt“ ale nen´ı zp˚usoben antigravitac´ı, ” protoˇze se jedn´ao velice kr´atkodob´yjev ve srovn´an´ıse st´aˇr´ımSluneˇcn´ısoustavy. Sondy Pioneer brzd´ıpravdˇepodobnˇetepeln´ez´aˇren´ıradioaktivn´ıho zdroje, kter´yje na sond´ach nesymetricky um´ıstˇen. Uvaˇzuje se i o brzdˇen´ı meziplanet´arn´ımprachem. ⊙ ⊙ ⊙ 173 16. Rozp´ın´an´ısamotn´ych galaxi´ı Jedno mˇeˇren´ı, ˇz´adn´emˇeˇren´ı. Z´akladn´ıfyzik´aln´ıpouˇcka 16.1. Expanduj´ısamotn´egalaxie v d˚usledku antigravitace? Kladn´aodpovˇed’ na tuto ot´azku je zaloˇzena na 10 nez´avisl´ych argumentech, kter´e uv´ad´ıme v jednotliv´ych odd´ılech. Za prv´enem´ame ˇz´adn´yd˚uvod pˇredpokl´adat, ˇze by se antigravitace nˇejak´ym zp˚usobem vyh´ybala vnitˇrku galaxi´ı,kdyˇzjej´ıprojevy zjiˇst’ujeme jak na velk´ych kos mologick´ych vzd´alenostech (viz kapitola 10), tak i uvnitˇrSluneˇcn´ı soustavy (viz kapitoly 11–15). ⊙ ⊙ ⊙ 16.2. Galaktick´aexpanze Z ned´avn´edoby m´ame ˇradu pozorov´an´ıdokl´adaj´ıc´ıch expanzi samotn´ych galaxi´ı. Napˇr´ıklad R. J. Bouwers a kol. [24] zjistili, ˇze galaxie pozvolna nepatrnˇerostou. RovnˇeˇzI. Trujillo se sv´ym kolektivem [275] odhalili, ˇze rozmˇer velmi hmotn´ych galaxi´ı se zvyˇsuje s ˇcasem. C´asteˇcnˇelzeˇ tento n´ar˚ust vysvˇetlit mezigalaktick´ym prachem, kter´yna galaxie pad´av d˚usledku gravitace, a t´eˇzgalaktick´ym kanibalizmem. Galaxie v kosmologick´ych vzd´alenostech ale maj´ıv´ıce hvˇezd na jednotku objemu. Podle [62] byly superhust´egalaxie celkem bˇeˇzn´ev ran´em vesm´ıru pro ˇcerven´ypo suv z > 1.5 a nyn´ıjsou v naˇsem okol´ıvelice vz´acn´e. Tak´ev ˇcl´anku [240] se poukazuje na to, ˇze ran´egalaxie byly menˇs´ıa hustˇs´ıkr´atce po sv´em vzniku. Podle [32] je hus tota nˇekter´ych galaxi´ıpro z > 1 dokonce srovnateln´as hustotou dneˇsn´ıch kulov´ych hvˇezdokup, tj. v pr˚umˇeru nˇekolik hvˇezd na pc3 (ve stˇredu hvˇezdokupy ˇr´adovˇesto 174 16. Rozp´ın´an´ısamotn´ych galaxi´ı hvˇezd na pc3, srov. obr. 16.3). Na z´akladˇetohoto v´yˇctu (viz t´eˇz[49], [75], [274] atd.) se tedy lze domn´ıvat, ˇze antigravitace podstatnˇepˇrispˇela k v´yˇse uveden´emu rozp´ın´an´ı, a t´ımi ˇr´ıdnut´ısamotn´ych galaxi´ı.Podobnˇejako v pˇr´ıpadˇeSluneˇcn´ısoustavy m˚uˇze b´yt rychlost rozp´ın´an´ısamotn´ych galaxi´ımenˇs´ıneˇzHubbleova expanze, ale m˚uˇze m´ıtstejn´yˇr´ad. ⊙ ⊙ ⊙ 16.3. Rozp´ın´an´ıMl´eˇcn´edr´ahy Podle [236] je namˇeˇren´ahustota hvˇezd v galaxi´ıch pro velk´y ˇcerven´yposuv z ≈ 3 zhruba 8kr´at vˇetˇs´ıneˇzv galaxi´ıch v naˇsem okol´ı.Tyto galaxie v odpov´ıdaj´ıc´ıvzd´ale nosti cca 11 miliard svˇeteln´ych rok˚u(viz obr. 8.7) jsou tedy v kaˇzd´em smˇeru pˇribliˇznˇe dvakr´at menˇs´ı,neˇzby byly nyn´ı. Aplikujme nyn´ıtato pozorov´an´ına naˇsi Galaxii, tj. Ml´eˇcnou dr´ahu1, jej´ıˇzpr˚umˇer je kolem sto tis´ıcsvˇeteln´ych let, D = 105 ly. (16.1) Pokusme se uk´azat, ˇze souˇcasn´evelikosti D lze zhruba dos´ahnout Hubbleovou expan z´ı.Pˇredpokl´adejme, ˇze Galaxie expandovala z nˇejak´emenˇs´ıprotogalaxie o pr˚umˇe ru d = D/2 bˇehem posledn´ıch 11 miliard let. Souˇcasn´ahodnota Hubbleovy konstanty je −1 −1 −1 −1 H0 ≈ 68 km s Mpc ≈ 20 km s Mly , nebot’ 1 pc = 3.262 ly. Jej´ıpˇreˇsk´alovan´ahodnota na velikost Galaxie tedy je −1 −1 H0 = 2 km s D . (16.2) Protoˇze rychlost svˇetla je c = 300 000 km/s, vych´az´ıpro t = 11 109 let podle (16.1) a (16.2) souˇcasn´aextrapolovan´avelikost Galaxie pˇribliˇznˇe 2 11 109 d exp(H t)= d exp = d e11/15 ≈ 1.04D, 0 300 000 105 coˇzje vskutku hodnota srovnateln´ase skuteˇcnou hodnotou D. Uv´aˇz´ıme li, ˇze Hubb le˚uv parametr byl kdysi vˇetˇs´ı neˇz H0 (viz obr. 8.7), m˚uˇzeme dostat odhadovan´y pr˚umˇer Galaxie bl´ızk´yskuteˇcn´emu pr˚umˇeru D i s poloviˇcn´ıHubbleovou expanz´ı, popˇr. s menˇs´ımrozmˇerem p˚uvodn´ıprotogalaxie. Souˇcasn´arychlost zvˇetˇsov´an´ınaˇs´ı Galaxie je tedy ˇr´adovˇesrovnateln´as H0, i kdyˇzje patrnˇeo nˇeco menˇs´ı. 1Ml´eˇcn´adr´aha m´apoetick´epojmenov´an´ıv mnoha jazyc´ıch, napˇr. Rekaˇ ohnˇe(starohebrejsky), Zimn´ıcesta (ˇsv´edsky), Stˇr´ıbrn´aˇreka (korejsky), Cesta b´ıl´eho slona (thajsky). 175 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Z namˇeˇren´emetalicity Slunce, struktury Oortova oblaku a nˇekolika dalˇs´ıch argu ment˚use v [102] a [230] usuzuje, ˇze Slunce od sv´eho vzniku pˇred 4.6 miliardy let postupnˇemigrovalo o nˇekolik kpc smˇerem od stˇredu Galaxie na souˇcasnou vzd´ale nost 8.3 kpc. To je opˇet hodnota srovnateln´as rychlost´ıHubbleovy expanze. Pokud by se Slunce posunulo napˇr. o 2 kpc, pak by odpov´ıdaj´ıc´ı rychlost migrace byla (srov. (10.2)) 2 kpc 1 H(loc) = = =0.71 H . (16.3) 0 4.6 Gyr 8.3 kpc 19 Gyr 0 I kdyby se Sluneˇcn´ısoustava posunula jen o 1 kpc nebo naopak o 5 kpc, st´ale se bude jednat o hodnotu ˇr´adovˇesrovnatelnou s H0. ⊙ ⊙ ⊙ 16.4. Rozloˇzen´ıgalaxi´ıv minulosti Hustota rozloˇzen´ıgalaxi´ıv prostoru pˇred 10–13 miliardami let byla mnohem vˇetˇs´ı neˇzv souˇcasnosti, protoˇze byl vesm´ırmenˇs´ı.Napˇr´ıklad pro ˇcerven´yposuv z ≈ 3, kter´yzhruba odpov´ıd´azn´am´ym Hubbleov´ym hlubok´ym pol´ım HDF, HDFS, XDF, byl prostor v kaˇzd´em smˇeru (z + 1)kr´at menˇs´ıa v jednotkov´em objemu mˇel tedy v pr˚umˇeru 4 4 4 = 64kr´at v´ıce galaxi´ı.Protoˇze vˇsak protogalaxie byly tehdy menˇs´ı, jejich zv´yˇsen´enatˇesn´an´ınepozorujeme (viz obr. 16.1). Obr. 16.1. Hubbleovo hlubok´epole m´anapˇr´ıˇc2.5′. Obsahuje nejv´ıce galaxi´ıs ˇcerven´ym posuvem z ≈ 3 (R. D. Blandford, 1999; foto NASA). 176 16. Rozp´ın´an´ısamotn´ych galaxi´ı D´ale pouˇzijeme bezprostˇredn´ı geometrick´yargument zaloˇzen´yna d˚ukazu spo rem. Pˇredpokl´adejme na okamˇzik, ˇze galaxie maj´ıkonstantn´ıobjem (tj. v pr˚ubˇehu ˇcasu neexpanduj´ı), ˇze vz´ajemnˇenekoliduj´ı a ˇze vesm´ır je homogenn´ı a izotropn´ı pro kaˇzd´ypevn´yˇcasov´yokamˇzik. Prav´aˇc´ast obr. 16.2 ilustruje, co bychom vidˇeli v kosmologick´ych vzd´alenostech, kdyby galaxie mˇely st´ale stejnou velikost. Vlevo je schematicky nakresleno 5 galaxi´ıv jednotkov´ekrychli pro z = 0. Pro z = 2 by tud´ıˇz v jednotkov´ekrychli v pr˚umˇeru bylo 5 (z +1)3 =5 33 = 135 namaˇckan´ych galaxi´ı, protoˇze se prostˇredn´ıkrychle z obr. 16.2 vejde do jednotkov´ekrychle vlevo 27kr´at. Podobnˇezjist´ıme, ˇze pro z = 4 by v jednotkov´ekrychli bylo 5 53 = 625 tˇesnˇek sobˇe pˇril´ehaj´ıc´ıch galaxi´ı.Takov´enatˇesn´an´ıse ale nepozoruje, nebot’ galaxie byly tehdy mnohem menˇs´ı.Nav´ıcbyly objeveny galaxie i pro z ≈ 10. V tomto pˇr´ıpadˇeby poˇcet galaxi´ı v jednotkov´ekrychli byl v´ıce neˇz1000kr´at vˇetˇs´ı neˇzdnes a galaxie by se mohly dot´ykat ˇci dokonce prol´ınat, kdyby mˇely nemˇennou velikost. To je vˇsak ve sporu s pozorov´an´ım. Obr. 16.2. Vlevo je jednotkov´akrychle, v n´ıˇzje schematicky zn´azornˇeno rozloˇzen´ıgalaxi´ı v naˇsem okol´ıpro ˇcerven´yposuv z = 0. Pˇredpokl´adejme, ˇze galaxie nemˇen´ısvou velikost. V tomto pˇr´ıpadˇeje rozloˇzen´ıgalaxi´ıv kosmologick´ych vzd´alenostech pro z = 2 zn´azornˇeno uprostˇred a pro z = 4 vpravo. Takov´yobraz natˇesnan´ych galaxi´ıvˇsak astronomov´enepo- zoruj´ı. ⊙ ⊙ ⊙ 16.5. Rychlost tvorby hvˇezd Podle [24] a [267] je pozorovan´arychlost tvorby hvˇezd (angl. star formation rate) v ga laxi´ıch, kter´ejsou v kosmologick´ych vzd´alenostech, ´umˇern´a(1 + z)1.9±0.1. Napˇr´ıklad pro ˇcerven´yposuv z ≈ 2.3 je 10kr´at vyˇsˇs´ıneˇzv naˇsem okol´ı.Tato extr´emnˇevysok´a 177 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace rychlost m˚uˇze b´yt opˇet vysvˇetlena vyˇsˇs´ıhustotou hmoty uvnitˇrgalaxi´ıpro velk´a z, neˇzje nyn´ıpro z ≈ 0. Jedna z nejvˇetˇs´ıch zn´am´ych galaktick´ych kup SPT CLJ 2344 4243 (Phoenix) se 15 nach´az´ıve vzd´alenosti z = 0.6. M´a´uctyhodnou hmotnost 2.5 10 M⊙, kde M⊙ = 1.989 1030 kg je hmotnost Slunce. V centr´aln´ıgalaxii prob´ıh´atvorba hvˇezd rychlost´ı 740 M⊙ za rok. Nˇekter´ehodnˇevzd´alen´egalaxie maj´ırychlost tvorby hvˇezd jeˇstˇe vyˇsˇs´ı. Kupˇr´ıkladu v galaxii HFLS3 se hvˇezdy rod´ı 2000kr´at ˇcastˇeji neˇzv Ml´eˇcn´e dr´aze. ⊙ ⊙ ⊙ 16.6. Aktivita galaktick´ych jader Podle [246] je pozorovan´aaktivita galaktick´ych jader v kosmologick´ych vzd´alenostech mnohem vˇetˇs´ı, neˇzje tomu v naˇsem okol´ı. To lze rovnˇeˇzobjasnit vˇetˇs´ı hustotou hmoty uvnitˇrgalaxi´ıpro velk´yˇcerven´yposuv z, i kdyˇzcentr´aln´ıˇcern´ed´ıry byly kdysi v pr˚umˇeru menˇs´ı. Je zn´amo velk´emnoˇzstv´ı kvasar˚us ˇcerven´ym posuvem z ≥ 6 (viz napˇr´ıklad J1148+5251, J1319+0950). Vˇetˇsina z nich byla nalezena pomoc´ı soustavy submi limetrov´ych interferometr˚uALMA, kter´apracuje s ´uctyhodnou pˇresnost´ı0.6′′, coˇz odpov´ıd´a3 kpc ve vzd´alenosti z = 6 pro souˇcasnˇepˇrij´ıman´ehodnoty kosmologick´ych 13 26 parametr˚u. Nejvˇetˇs´ız´aˇriv´yv´ykon 1.8 10 L⊙, kde L⊙ =3.846 10 W je luminozita Slunce, vykazuje kvasar J2310+1855, coˇzje o dva ˇr´ady v´ıce, neˇzm´abˇeˇzn´agalaxie. Zd´ase tedy, ˇze hustota uvnitˇrvzd´alen´ych galaxi´ıbyla vysok´aa pak v d˚usledku anti gravitace pozvolna klesala. Sv´ıtivost kvasar˚use mohla tak´esniˇzovat, kdyˇzsi kvasar ˇcistil“ sv´eokol´ı.Oba tyto procesy patrnˇeprob´ıhaly souˇcasnˇe. ” ⊙ ⊙ ⊙ 16.7. Star´etrpasliˇc´ıgalaxie Prvn´ıkatalog ruˇcnˇekreslen´ych tvar˚ugalaxi´ıpoch´az´ı od Williama Herschela. Pozdˇeji k nˇemu pˇribyl katalog mlhovin Charlese Messiera. Galaxie se klasicky tˇr´ıd´ıpodle Edwina Hubblea na eliptick´e, ˇcoˇckovit´e, spir´aln´ıbez pˇr´ıˇcky, spir´aln´ıs pˇr´ıˇckou2 a ne pravideln´e. Mal´etrpasliˇc´ıgalaxie (jako napˇr. Magellanova mraˇcna) jsou vesmˇes ne pravideln´e, zat´ımco siln´ygravitaˇcn´ıpotenci´al obˇr´ıch galaxi´ım´atendenci vyrovn´avat 2T´emˇeˇrˇz´adn´egalaxie nemaj´ıpˇr´ıˇcku pro ˇcerven´yposuv z > 1, zat´ımco t´emˇeˇr80 % spir´aln´ıch galaxi´ıpro z ≈ 0 pˇr´ıˇcku m´a. Nav´ıcjejich v´ydut’ pozvolna nar˚ust´a. Ukazuje se, ˇze ˇc´ımm´aspir´aln´ı galaxie vˇetˇs´ıv´ydut’, t´ımje tak´evˇetˇs´ıjej´ıcentr´aln´ıˇcern´ad´ıra. 178 16. Rozp´ın´an´ısamotn´ych galaxi´ı jakoukoliv nerovnomˇernost a vytv´aˇret tak symetrick´estruktury, pokud se v bl´ızkosti nenach´az´ıjin´agalaxie. Zat´ımnen´ızn´amo, proˇctomu tak je. Pˇrev´aˇzn´avˇetˇsina velk´ych rotuj´ıc´ıch galaxi´ı m´advˇespir´aln´ı ramena a zhruba vykazuje stˇredovou symetrii. V´yjimeˇcnˇevˇsak existuj´ı galaxie se tˇremi rameny (viz napˇr. NGC 5054)3 i ˇctyˇrmi a v´ıce spir´aln´ımi rameny. C´ımhloubˇejiˇ se d´ıv´ame do ran´eho vesm´ıru, t´ımjednoduˇsˇs´ı tvary galaxi´ıpozorujeme. Jin´ymi slovy, ˇc´ımbl´ıˇze souˇcasnosti, t´ımsloˇzitˇejˇs´ıstruk tury se utv´aˇrej´ı. A tak v naˇsem okol´ı nach´az´ıme galaxie slupkovit´e, prstencov´e, vloˇckovit´eapod. V tˇesn´ebl´ızkosti naˇs´ı Galaxie vˇsak existuje nˇekolik trpasliˇc´ıch galaxi´ı (napˇr. LEO IV), kde se zaˇcaly formovat hvˇezdy jiˇzpˇred 13 miliardami let. O 300 milion˚ulet pozdˇeji vˇsak tvorba hvˇezd ustala. Rozp´ın´an´ıkaˇzd´etakov´etrpasliˇc´ıgalaxie v d˚usledku pˇr´ısluˇsn´ych antigravitaˇcn´ıch sil tak mohlo pˇrispˇet k postupn´emu sniˇzov´an´ıhustoty l´atky, kter´abˇehem ˇcasu klesla pod urˇcitou kritickou mez nutnou pro tvorbu hvˇezd. ⊙ ⊙ ⊙ 16.8. Kulov´ehvˇezdokupy V naˇs´ıGalaxii se nach´az´ıasi 150 kulov´ych hvˇezdokup. Maj´ıvelice dobˇre katalogizo van´adata o sv´ych poloh´ach, rychlostech apod. Nˇekter´ese k naˇsemu Slunci pˇribliˇzuj´ı, jin´ese od nˇej vzdaluj´ı.Jsou to velice star´esoustavy obsahuj´ıc´ıstatis´ıce aˇzmiliony hvˇezd (viz obr. 16.3). C´ımjsouˇ starˇs´ı,t´ımjsou obecnˇed´ale od centra Galaxie. Stˇredn´ıradi´aln´ırychlost4 vˇsech 150 kulov´ych hvˇezdokup v naˇs´ıGalaxii je kladn´a, coˇznaznaˇcuje, ˇze se tyto hvˇezdokupy v pr˚umˇeru od n´as vzdaluj´ı.Ml´eˇcn´adr´aha tak m˚uˇze bobtnat“ podobnˇejako moˇrsk´ahouba nebo kynouc´ıtˇesto. Podle namˇeˇren´ych ” hodnot z [83] vych´az´ı stˇredn´ı radi´aln´ı rychlost vzdalov´an´ı od Slunce 1 km/s na vzd´alenost 1 kpc, coˇzje dokonce v´ıce neˇzHubbleova konstanta. Odkud se ale bere energie na toto rozp´ın´an´ı,uv´aˇz´ıme li, ˇze kaˇzd´ahvˇezdokupa m´aˇr´adovˇecca 1036 kg? Opˇet se zd´a, ˇze na vinˇeje antigravitace. ⊙ ⊙ ⊙ 16.9. Graviterm´aln´ıkatastrofa T´emˇeˇrvˇsechny otevˇren´ea kulov´ehvˇezdokupy se zdaj´ı b´yt nestabiln´ı, jak uk´azal Pavel Kroupa [119]. Lehˇc´ı hvˇezdy maj´ı tendenci se vzdalovat od stˇredu na ´ukor 3Poznamenejme, ˇze probl´em tˇr´ıstejnˇehmotn´ych tˇeles pohybuj´ıc´ıch se po kruˇznici v odstupech po 120◦ je nestabiln´ı.Gravitace na velk´ych vzd´alenostech se d´ıky koneˇcn´erychlosti sv´eho ˇs´ıˇren´ı chov´ajinak, neˇzpopisuje Newtonova teorie gravitace, na niˇz jsme zvykl´ına kr´atk´ych ˇcasov´ych ˇsk´al´ach ve Sluneˇcn´ısoustavˇe. 4Tangenci´aln´ısloˇzky rychlost´ızat´ımneum´ıme spolehlivˇeurˇcit s dostateˇcnou pˇresnost´ı. 179 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Obr. 16.3. Kulov´ahvˇezdokupa M13 v souhvˇezd´ıHerkula tˇech hmotnˇejˇs´ıch, kter´ese postupnˇekumuluj´ıkolem stˇredu hvˇezdokupy. Doch´az´ıtak k hmotnostn´ı segregaci. Pˇri v´ıcen´asobn´ych koliz´ıch m˚uˇze b´yt obˇcas nˇejak´alehk´a hvˇezda dokonce vystˇrelena“ i mimo hvˇezdokupu (hovoˇr´ıme o vypaˇrov´an´ı hvˇezd ” z hvˇezdokup). Pˇritom se opˇet okoln´ıhvˇezdy posunou bl´ıˇze ke stˇredu, protoˇze jim ubu de potenci´aln´ıenergie. Tento proces konˇc´ıtzv. graviterm´aln´ıkatastrofou (viz [72]). Antigravitace vˇsak pˇrisp´ıv´ak pr˚umˇern´emu vzdalov´an´ı vˇsech hvˇezd od stˇredu. P˚usob´ıtak proti graviterm´aln´ıkatastrofˇeuprostˇred hvˇezdokupy a cel´yproces zpo maluje. Nˇekter´ekulov´ehvˇezdokupy existuj´ıjiˇzv´ıce neˇz 13 miliard let a graviterm´aln´ı katastrofa se u nich zcela neprojevila. Pˇritom pozorovan´afrekvence ´uniku hvˇezd z hvˇezdokup je vyˇsˇs´ı,neˇzpˇredpov´ıd´aklasick´avˇeta o viri´alu (viz odd´ıl7.2), kter´a ovˇsem existenci antigravitaˇcn´ıch sil neuvaˇzuje. Antigravitace, kter´avelice pozvolna ale neust´ale zvyˇsuje celkovou energii (tj. kinetickou + potenci´aln´ı)kaˇzd´eho v´azan´eho syst´emu v´ıce voln´ych tˇeles tak zp˚usobuje, ˇze kaˇzd´ahvˇezdokupa v pr˚umˇeru nepatrnˇe expanduje. ⊙ ⊙ ⊙ 180 16. Rozp´ın´an´ısamotn´ych galaxi´ı Obr. 16.4. Dvojrozmˇern´ymodel expanduj´ıc´ıho vesm´ıru s kladnou kˇrivost´ıa rozp´ınaj´ıc´ımi se galaxiemi. V [187], s. 719, se rozp´ın´an´ısamotn´ych galaxi´ıneuvaˇzuje. 16.10. Exoplaneta WASP-18b Dalˇs´ımpˇr´ıkladem lok´aln´ıho p˚usoben´ı antigravitace uvnitˇr naˇs´ı Galaxie je exopla neta WASP 18b, kter´aobˇehne svou mateˇrskou hvˇezdu o hmotnosti 1.25M⊙ po t´emˇeˇr kruhov´edr´aze o polomˇeru 3 miliony km jednou za 0.94 dne. Protoˇze se hvˇezda otoˇc´ı kolem sv´eosy jednou za 5.64 dne [29], m´apodle 3. Keplerova z´akona jej´ıstacion´arn´ı dr´aha polomˇer cca 10 milion˚ukm, tj. exoplaneta ob´ıh´ahvˇezdu pod stacion´arn´ı dr´ahou (srov. vztah (15.1)). Podle [87] by exoplaneta mˇela v d˚usledku slapov´ych sil dopadnout po spir´aln´ıdr´aze na svou mateˇrskou hvˇezdu dˇr´ıve neˇzza milion let. Hvˇezda vˇsak existuje jiˇzkolem 700 milion˚ulet [258]. Je tedy z´ahadou, jak se mohla exoplaneta o hmotnosti deseti Jupiter˚una svou dr´ahu v˚ubec dostat a proˇcby mˇela v tak kr´atk´egeologick´edobˇedopadnout na mateˇrskou hvˇezdu. Tento paradox lze opˇet vysvˇetlit t´ım, ˇze antigravitace p˚usob´ıv opaˇcn´em smˇeru neˇzslapov´es´ıly, a tak p´ad exoplanety vlastnˇebrzd´ı.Z v´yvoje orbit´aln´ıch parametr˚ubudeme za nˇejak´yˇcas umˇet odhadnout, jak rychle se exoplaneta pˇribliˇzuje ke hvˇezdˇea kolik energie t´eto exoplanety dok´aˇz´ıodˇcerpat slapy. Argumenty uv´adˇen´ev odd´ılech 16.1–16.10 ukazuj´ı,ˇze tak´e samotn´egalaxie se rozp´ınaj´ı(viz obr. 16.4), i kdyˇzpatrnˇeo nˇeco menˇs´ırychlost´ı,neˇzjak´aodpov´ıd´a Hubbleovu parametru. Antigravitaˇcn´ıs´ılytedy p˚usob´ıv naˇs´ıGalaxii lok´alnˇei mimo Sluneˇcn´ısoustavu. Mohou tak pˇrisp´ıvat k expanzi obyvateln´ych z´on (jako v pˇr´ıpadˇe Zemˇe), kdyˇzsv´ıtivost mateˇrsk´ehvˇezdy postupnˇenar˚ust´a. V tomto smyslu jsou pak obyvateln´ez´ony stabilnˇejˇs´ı,protoˇze mohou existovat delˇs´ıdobu (viz kapitola 14). ⊙ ⊙ ⊙ 181 17. Co je z´ahadn´ym zdrojem temn´eenergie? Nikdy se nepˇrest´avejme pt´at. Albert Einstein 17.1. Gravitaˇcn´ıaberace V kapitol´ach 11 aˇz16 jsme uvedli celou ˇradu pˇr´ıklad˚u, kter´e hovoˇr´ı ve prospˇech hypot´ezy, ˇze antigravitace nep˚usob´ı jenom glob´alnˇe, ale i lok´alnˇe. To naznaˇcuje, ˇze na z´akladˇedneˇsn´ıho stavu pozn´an´ınemus´ız´akon zachov´an´ıenergie platit nebo nev´ıme, odkud se energie bere. Nyn´ıuk´aˇzeme, ˇze temn´aenergie nutn´apro zrychluj´ıc´ı se rozp´ın´an´ıvesm´ıru m˚uˇze (alespoˇnˇc´asteˇcnˇe) poch´azet z nepatrnˇemal´eale kladn´e hodnoty gravitaˇcn´ı aberace, jeˇzje d˚usledkem kauzality a koneˇcn´erychlosti ˇs´ıˇren´ı gravitaˇcn´ıinterakce. Uvaˇzujme nejprve jen dvˇetˇelesa A a B o stejn´ych hmotnostech, kter´akolem sebe ob´ıhaj´ısymetricky vzhledem k sv´emu spoleˇcn´emu tˇeˇziˇsti. Pokud A pˇritahuje B a B pˇritahuje A ve sv´ych okamˇzit´ych poloh´ach (tj. rychlost gravitaˇcn´ıinterakce cG je nekoneˇcn´a), pak podle Newtonovy teorie gravitace leˇz´ıpˇr´ısluˇsn´egravitaˇcn´ıs´ıly v jedn´epˇr´ımce a jsou v rovnov´aze. Rychlost gravitaˇcn´ıinterakce cG je ale ve skuteˇcnosti jistˇejen koneˇcn´a. Proto je tˇeleso B pˇritahov´ano tˇelesem A smˇerem k nˇekter´ejeho pˇredchoz´ıpoloze A’ tak, jak je nakresleno na obr. 17.1. Podobnˇeje tˇeleso A pˇritahov´ano tˇelesem B smˇerem k pˇredchoz´ıpoloze B’. Pak ovˇsem vznik´advojice pˇritaˇzliv´ych nerovnov´aˇzn´ych sil, kter´ana tento syst´em trvale p˚usob´ı,pozvolna mu zvyˇsuje moment hybnosti, a t´ım i celkovou energii. Uhel´ ABA’ (resp. BAB’) nazveme ´uhlem gravitaˇcn´ı aberace. Z Thaletovy vˇety plyne, ˇze troj´uheln´ık AAB’ na obr. 17.1 je pravo´uhl´ya plat´ı |A’B| < |AB|. (17.1) Podle (17.1) jsou tedy pˇritaˇzliv´es´ılyv tomto postnewtonovsk´em modelu nepatrnˇe vˇetˇs´ı,neˇzkdyby p˚usobily pod´el pˇrepony AB. 182 17. Co je z´ahadn´ym zdrojem temn´eenergie? A' A γ B B' Obr. 17.1. Schematick´ezn´azornˇen´ıdvou gravitaˇcnˇeinteraguj´ıc´ıch tˇeles o stejn´ehmotnosti. Uhel´ gravitaˇcn´ıaberace γ = ∠ABA’ je extr´emnˇemal´y. Poznamenejme, ˇze ilustraˇcn´ıobr. 17.1 nen´ıvlastnˇenakreslen spr´avnˇe. Libovolnˇe mal´ahodnota ´uhlu gravitaˇcn´ıaberace γ uvaˇzovan´eho syst´emu totiˇzzvyˇsuje neje nom orbit´aln´ımoment hybnosti soustavy (jak plyne z (9.1)), ale prodluˇzuje i pe riodu obˇehu. Odpov´ıdaj´ıc´ıtrajektorie tvoˇr´ıvelice pomalu se rozv´ıraj´ıc´ıspir´aly (viz obr. 17.2). Tento jednoduch´ypˇr´ıklad (diskutovan´yjiˇzA. Eddingtonem [57] na s.94 a 204) ukazuje, proˇcje naruˇsen klasick´yz´akon zachov´an´ı energie pro koneˇcnou rychlost ˇs´ıˇren´ıgravitaˇcn´ıinterakce. Kdyby naruˇsen nebyl, pak by trajektorie tˇeles byly pro vhodn´epoˇc´ateˇcn´ıpodm´ınky nemˇenn´ekruˇznice o konstantn´ımpolomˇeru. Pro rozv´ı raj´ıc´ıse spir´aln´ıdr´ahy ale celkov´aenergie roste. Celkov´a kinetick´aenergie obou tˇeles sice kles´a, ale potenci´aln´ıenergie roste dvakr´at rychleji (srov. (13.23)). Pˇr´ıklad lze modelovat soustavou obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic se zpoˇzdˇen´ım (viz (17.4)–(17.5) n´ıˇze). Vyˇsetˇrovan´yprobl´em lze zobecnit i na pˇr´ıpad v´ıce tˇeles o nestejn´ych hmotnostech. Opˇet se ukazuje, ˇze takov´emu syst´emu pozvolna nar˚ust´a celkov´a(tj. kinetick´a+ potenci´aln´ı)energie [124], s. 243. Syst´em rovnic se zpoˇzdˇen´ımnav´ıcmodeluje realitu l´epe neˇz klasick´yNewton˚uv syst´em obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic (5.8), protoˇze n´am umoˇzˇnuje uvaˇzovat gra vitaˇcn´ıaberaci a generovat oˇcek´avan´espir´aln´ıtrajektorie (viz napˇr. kapitola 12 a 13). Nav´ıcpro nulovou gravitaˇcn´ıaberaci dost´av´ame klasickou Newtonovu mechaniku. Kladn´agravitaˇcn´ıaberace m´arepulzivn´ıcharakter podobnˇejako kladn´akosmolo gick´akonstanta. Popsan´ymechanismus pˇrisp´ıv´atak´ek expanzi vesm´ıru a m˚uˇze (alespoˇnˇc´asteˇcnˇe) vysvˇetlit z´ahadu temn´eenergie. Skuteˇcn´y´uhel gravitaˇcn´ıaberace mus´ıb´yt nutnˇe kladn´y. Nulov´aaberace je totiˇzv rozporu s principem kauzality. Mysleme si na okamˇzik, ˇze tˇeleso A z obr. 17.2 exploduje. Pak se druh´etˇeleso B mus´ı pohybo 183 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace A' B A B' Obr. 17.2. Trajektorie odpov´ıdaj´ıc´ıdvˇema stejnˇehmotn´ym tˇeles˚um, kter´ana sebe gra- vitaˇcnˇep˚usob´ı, tvoˇr´ıdvojitou spir´alu. Vzd´alenosti sousedn´ıch trajektori´ıjsou ve skuteˇcnosti mnohon´asobnˇemenˇs´ı. Rovnˇeˇzaberaˇcn´ı´uhly ABA’ a BAB’ jsou extr´emnˇemal´e, leˇckladn´e. vat jeˇstˇenˇejakou dobu po nezmˇenˇen´etrajektorii, neˇzk nˇemu prostˇrednictv´ımgra vitaˇcn´ıho pole doraz´ıinformace o zmˇenˇetrajektorie tˇelesa A. Proto mus´ıb´yt aberaˇcn´ı ´uhly ABA’ a BAB’ na obr. 17.2 kladn´e. Steven Carlip se v [38] pokouˇs´ıodvodit, ˇze gravitaˇcn´ıaberace γ tˇelesa o rychlosti v je v obecn´eteorii relativity shora odhadnuta pod´ılem v3/c3, tj. v3 γ = o , (17.2) c3 zat´ımco ´uhel svˇeteln´eaberace je podle (2.12) pˇribliˇznˇeroven v α = . (17.3) c Pˇritom pˇredpokl´ad´a, ˇze a) gravitaˇcn´ıinterakce m´astejnou rychlost jako svˇetlo, b) kosmologick´akonstanta je nulov´a, c) nˇekter´eneline´arn´ıˇcleny, kter´eneum´ıodhadnout, jsou nulov´e, d) plat´ız´akon zachov´an´ıenergie a z´akon zachov´an´ımomentu hybnosti. 184 17. Co je z´ahadn´ym zdrojem temn´eenergie? Proto ani nem˚uˇze dostat spir´aln´ıtrajektorie tak, jak je schematicky nakresleno na obr. 17.2. Rychlost vzdalov´an´ı a ´uhel gravitaˇcn´ıaberace z´aleˇz´ına hmotnostech, rychlos tech a poloh´ach (i minul´ych) voln´ych tˇeles, kter´ana sebe gravitaˇcnˇep˚usob´ı[124]. Gravitaˇcn´ı aberace m´atedy nezanedbateln´yvliv na rychlost rozp´ın´an´ı vesm´ıru. Proto je tak´etˇreba nahl´ıˇzet na kosmologickou konstantu jen na jakousi veliˇcinu zpr˚umˇerovanou pˇres vˇsechny hmotn´eobjekty a nikoli jako na z´akladn´ıfyzik´aln´ıkon stantu (jakou je napˇr. gravitaˇcn´ıkonstanta G). ⊙ ⊙ ⊙ 17.2. Postnewtonovsk´ymodel aneb jak se generuje temn´a energie Pod´ıvejme se nyn´ı,jak lze gravitaˇcn´ıaberaci matematicky modelovat t´ım, ˇze modifi kujeme soustavu diferenci´aln´ıch rovnic (5.8). V´ysledn´yprobl´em zahrnuj´ıc´ıkoneˇcnou rychlost ˇs´ıˇren´ıgravitaˇcn´ıinterakce cG mezi dvˇema tˇelesy bude nyn´ıpops´an sousta vou (17.4)–(17.6) obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic se zpoˇzdˇen´ım. Uvaˇzujeme jen dva hmotn´ebody m1 a m2 ve dvourozmˇern´em ˇci trojrozmˇern´em prostoru, kter´yvybav´ıme eukleidovskou normou (vzd´alenost´ı) | |. Zavedeme li zpoˇz dˇen´ıdo gravitaˇcn´ıch interakc´ı,lze klasickou newtonovskou soustavu (5.8) pro N =2 pˇrepsat na soustavu obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic pro dvˇevektorov´etrajekto rie r1 a r2: m2[r2(t − d2(t)) − r1(t)] r¨1(t)= G 3 , (17.4) |r2(t − d2(t)) − r1(t)| m1[r1(t − d1(t)) − r2(t)] r¨2(t)= G 3 , (17.5) |r1(t − d1(t)) − r2(t)| kde d1 a d2 jsou dvˇepromˇenn´azpoˇzdˇen´ı(tj. z´avisl´ana ˇcase) splˇnuj´ıc´ıjist´epˇrirozen´e podm´ınky (viz (17.7) n´ıˇze) a poˇc´ateˇcn´ıpodm´ınky ri(t)= pi(t), r˙i(t)= vi(t), t ∈ [t0, 0], i =1, 2. (17.6) Zde t0 ≤ 0 je vhodn´epevn´eˇc´ıslo a vektory pi a vi jsou dan´efunkce charakterizuj´ıc´ı pˇredchoz´ıpolohy a rychlosti. Tento jednoduch´ypostnewtonovsk´ymodel sice nebere v ´uvahu gravitaˇcn´ıvlny (kter´ezat´ımnebyly detekov´any), ale zahrnuje obecnˇenenulovou gravitaˇcn´ıaberaci. Pokud cG = ∞, pak t0 = d1 = d2 = 0 a syst´em (17.4)–(17.6) se redukuje na klasick´yprobl´em dvou tˇeles (viz kapitola 5). Pro cG < ∞ splˇnuj´ıfunkce zpoˇzdˇen´ı (angl. delay) vztahy (srov. obr. 17.3) |r1(t − d1(t)) − r2(t)| |r2(t − d2(t)) − r1(t)| d1(t)= , d2(t)= , (17.7) cG cG 185 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace A' A B B' Obr. 17.3. Zn´azornˇen´ı gravitaˇcn´ı interakce mezi dvˇema tˇelesy o nestejn´ych hmotnos- tech m1 >m2 tj. kaˇzd´e di je tˇreba poˇc´ıtat iteraˇcnˇenapˇr. pomoc´ıklasick´eBanachovy vˇety o pevn´em bodˇe[151]. Pˇredpokl´adejme nyn´ı,ˇze m1R1 = m2R2, (17.8) kde R1 a R2 jsou vzd´alenosti od newtonovsk´eho tˇeˇziˇstˇe. Poloˇzme p1 =(R1, 0), p2 =(−R2, 0), a √ √ Gm2R1 Gm1R2 v1 = 0, , v2 = 0, − . R1 + R2 R1 + R2 Tyto hodnoty n´am zaruˇcuj´ıpˇresn´ekruhov´edr´ahy pro t0 = 0 v (17.6) a rychlost cG = ∞. Pouˇz´ıvaj´ıse ke stanoven´ıpoˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek (17.6) pro pˇr´ıpad cG < ∞. To ovˇsem vyˇzaduje uchov´avat star´ehodnoty r1 a r2 bˇehem v´ypoˇctu d´ıky nekon venˇcn´ımpoˇc´ateˇcn´ımpodm´ınk´am. Velkou v´yhodou poˇc´ıtaˇcov´ych simulac´ıje ale to, ˇze snadno m˚uˇzeme prov´adˇet velk´e mnoˇzstv´ıtest˚upro r˚uzn´ehodnoty vstupn´ıch parametr˚uze vztah˚u (17.4)–(17.7). Napˇr´ıklad rychlost ˇs´ıˇren´ıgravitaˇcn´ıinterakce cG v pˇredloˇzen´em postnewtonovsk´em modelu lze libovolnˇemˇenit, a tak nemus´ısouhlasit se skuteˇcnou (zat´ımnezmˇeˇrenou) hodnotou. Je to jen vstupn´ıparametr. 186 17. Co je z´ahadn´ym zdrojem temn´eenergie? Pˇr´ıklad 17.1. Analytick´eˇreˇsen´ıprobl´emu (17.4)–(17.7) pro cG < ∞ nen´ızn´amo. Numericky z´ıskan´etrajektorie r1 a r2 pro m1 = m2 > 0 a cG ≤ c jsou schema ticky zn´azornˇeny na obr. 17.2. Zdaj´ıse b´yt velice nerealistick´e, protoˇze tvoˇr´ıdvˇe velice rychle se rozv´ıjej´ıc´ıspir´aly, coˇzneodpov´ıd´aastronomick´ym pozorov´an´ım. Mo del (17.5)–(17.7) vˇsak d´av´avelice realistick´ev´ysledky pro cG ≫ c. Takov´eˇreˇsen´ıse samozˇrejmˇeliˇs´ıod ˇreˇsen´ısyst´emu (17.4)–(17.5) s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami ri(0) = pi(0),r ˙i(0) = vi(0), i =1, 2, pro cG = ∞. Pˇr´ıklad 17.2. Nejvˇetˇs´ı´uhel gravitaˇcn´ıaberace vych´az´ınumericky pro m1 ≈ m2 (srov. obr. 17.2). Ve Sluneˇcn´ısoustavˇetakov´eobjekty nezn´ame. Pro Zemi a Mˇes´ıcje pomˇer m1 : m2 roven 81 : 1 a pro soustavu Pluto–Charon 7 : 1, coˇzje v˚ubec nejmenˇs´ı takov´ypomˇer ve Sluneˇcn´ısoustavˇemezi vˇetˇs´ımi tˇelesy. Uvaˇzujme tedy opˇet bin´arn´ısoustavu Zemˇe–Mˇes´ıcs hmotnostmi (12.4) ve vzd´ale nosti 384 402 km od sebe. Abychom dostali pˇr´ıdavnou rychlost vzdalov´an´ıodvozenou 15 v (12.21), je tˇreba pro uvaˇzovan´ypostnewtonovsk´ymodel vz´ıt cG =4.287 10 m/s. V tomto pˇr´ıpadˇeje ´uhel gravitaˇcn´ıaberace v bodˇe B pˇredstavuj´ıc´ımna obr. 17.3 Mˇes´ıcroven v γ = ≈ 2.424 10−13 rad, (17.9) cG kde v = |r˙2| ≈ 1 km/s a obˇetrajektorie tvoˇr´ıpomalu se rozv´ıjej´ıc´ıspir´aly. Pozna menejme, ˇze svˇeteln´aaberace Mˇes´ıce je mnohem vˇetˇs´ı, α = v/c = 0.7′′ (viz (6.2)), a aberaˇcn´ı´uhel Zemˇeje 81kr´at menˇs´ı. Nen´ıobt´ıˇzn´ezobecnit pˇredchoz´ıprobl´em (17.4)–(17.7) na libovoln´ypoˇcet N ≥ 2 interaguj´ıc´ıch tˇeles. To lze udˇelat podobnˇejako v odd´ılu5.4. Pˇr´ıklad 17.3. Numericky expanduj´ıc´ıtrajektorie dostaneme tak´epro 3 tˇelesa, kter´ajsou ve vrcholech rovnostrann´eho troj´uheln´ıku a vˇsechna 3 maj´ıstejnou po stupnˇeklesaj´ıc´ırychlost. Zcela analogick´yjev dostaneme pro situaci zn´azornˇenou na obr. 17.2, kde je tˇret´ıtˇeleso vloˇzeno doprostˇred ´useˇcky AB. Rozv´ıraj´ıc´ıse trajektorie dostaneme tak´epro syst´em dvou dvojhvˇezd stejn´ych hmotnost´ı. Dalˇs´ı pˇr´ıklady uv´ad´ıme v [124]. Koneˇcn´arychlost ˇs´ıˇren´ı gravitaˇcn´ı interakce napˇr´ıklad pˇrisp´ıv´ak niˇzˇs´ımu poˇctu sr´aˇzek hvˇezd. T´ım, ˇze hvˇezdy na sebe vz´ajemnˇe gravitaˇcnˇereaguj´ıse zpoˇzdˇen´ım, je pravdˇepodobnost jejich sr´aˇzky menˇs´ı,neˇzkdyby p˚usobily na sebe okamˇzitˇe(viz [124], s. 242). K numerick´eaproximaci byla pouˇzita Rungeova–Kuttova metoda vysok´eho ˇr´adu pˇresnosti pˇresnosti. Popul´arn´ısymplek tick´emetody se pro tyto ´uˇcely nehod´ı,protoˇze zachov´avaj´ıenergii a nav´ıcmaj´ın´ıˇzˇs´ı ˇr´ad aproximace. ⊙ ⊙ ⊙ 187 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace 17.3. Rychlost gravitaˇcn´ıinterakce V roce 1805 Pierre Laplace usoudil na z´akladˇedetailn´ıho rozboru pohybu Mˇes´ıce, ˇze 6 skuteˇcn´anewtonovsk´arychlost ˇs´ıˇren´ıgravitaˇcn´ıinterakce cG mus´ıb´yt alespoˇn7 10 c (viz [166], kapitola VII, s. 642). Van Flandern [65] jeˇstˇezv´yˇsil tento odhad na 2 1010c, jinak by totiˇzdvˇetˇelesa nemohla ob´ıhat kolem spoleˇcn´eho tˇeˇziˇstˇepo stabiln´ıch drah´ach. Jejich momenty hybnosti by nebyly v rovnov´aze, pokud by cG = c, jak pˇredpokl´ad´aobecn´ateorie relativity (viz (17.10)). Na druh´estranˇev roce 1905 Henri Poincar´e1 v ˇcl´anku [214], s. 1507, pˇredpovˇedˇel, 2 ˇze pro rychlost ˇs´ıˇren´ıgravitaˇcn´ıch vln cG plat´ı c = cG, (17.10) kde c je rychlost svˇetla ve vakuu, tj. dˇr´ıve neˇzke stejn´emu z´avˇeru dospˇel Albert Ein stein. Vznik´aovˇsem ot´azka, co tato rovnost v˚ubec znamen´a. Plat´ınapˇr. na dvacet desetinn´ych m´ıst? Podobnˇejako v odd´ıle14.1 je tˇreba si opˇet uvˇedomit, ˇze z´akladn´ı fyzik´aln´ıkonstanty nejsou re´aln´aˇc´ısla s nekoneˇcn´ym desetinn´ym rozvojem. Pokud by se rychlosti c a cG jen nepatrnˇeliˇsily (byt’ tˇreba jen o jedno promile), pak bude dosti obt´ıˇzn´eztotoˇznit zdroj gravitaˇcn´ıch vln (napˇr. pˇri v´ybuchu supernovy) s jejich optick´ym protˇejˇskem. Nadsvˇeteln´arychlost gravitaˇcn´ı interakce m˚uˇze vysvˇetlovat, proˇcjsou nˇekter´espir´aln´ı galaxie tak perfektnˇesymetrick´e. Pro rychlost (17.10) by komunikace mezi konci spir´aln´ıch ramen prostˇrednictv´ım gravitace trvala sta tis´ıce let. Tak´enen´ıjasn´e, jak´aje rychlost gravitaˇcn´ıinterakce v l´atce (sklo, vnitˇrek Slunce apod.), kde svˇetlo vykazuje disperzi. Rychlost gravitaˇcn´ıinterakce bychom mohli urˇcit u dvojhvˇezd se zn´amou vzd´ale nost´ı d obou sloˇzek takto. Pokud jedna hvˇezda exploduje, pak staˇc´ı zmˇeˇrit dobu τ, do kter´edruh´ahvˇezda zaˇcne mˇenit svoji p˚uvodn´ıdr´ahu. Soudob´adopplerovsk´atechnika totiˇzumoˇzˇnuje mˇeˇrit zmˇeny radi´aln´ırychlosti jiˇzod 1 m/s. Odtud lze pak stanovit d cG = . τ V souˇcasnosti prob´ıh´anebo se pˇripravuje nˇekolik n´akladn´ych projekt˚u(GEO, LIGO, NGO, VIRGO, ...) pro zmˇeˇren´ı rychlosti gravitaˇcn´ıch vln a urˇcen´ı smˇeru, odkud pˇrich´azej´ı. Zat´ımale ˇz´adn´edetekov´any nebyly, a tak ani jejich skuteˇcn´arychlost nen´ızn´ama. Gravitaˇcn´ıinterakce se chov´apodstatnˇejinak neˇzinterakce elektromagnetick´a. Vˇseobecnˇese soud´ı,ˇze gravitaˇcn´ıs´ılaje jen pˇritaˇzliv´a, zat´ımco elektromagnetick´as´ıla 1Zn´am´yEinstein˚uv vztah E = mc2 z roku 1905 Poincar´epublikoval [213] o pˇet let dˇr´ıve jen s t´ımrozd´ılem, ˇze na lev´estranˇemˇel hustotu energie a na prav´estranˇespecifickou hustotu. 2Poznamenejme ale, ˇze ne vˇsechny fyzik´aln´ıinterakce maj´ıstejnou rychlost ˇs´ıˇren´ı.Napˇr´ıklad slab´ainterakce je zprostˇredkov´ana intermedi´aln´ımi bosony W +, W − a Z0, kter´emaj´ıpˇribliˇznˇe 80–90kr´at vˇetˇs´ıhmotnost neˇzproton a nemohou se tedy pohybovat rychlost´ısvˇetla. 188 17. Co je z´ahadn´ym zdrojem temn´eenergie? m˚uˇze b´yt pˇritaˇzliv´ai odpudiv´a. Antigravitace m´aale t´eˇz odpudiv´ycharakter, i kdyˇz velice mal´y. Pˇritom to nen´ıˇz´adn´anov´ap´at´as´ıla, ale jen vedlejˇs´ıefekt gravitaˇcn´ı s´ılyzp˚usoben´ykoneˇcnou rychlost´ıgravitaˇcn´ıinterakce. Hlavn´ırozd´ılmezi gravitaˇcn´ı a elektromagnetickou interakc´ıje vˇsak v aberaˇcn´ıch jevech. Pˇredpokl´adejme na okamˇzik, ˇze hvˇezda na obr. 6.3 asymetricky exploduje a ˇze rychlosti elektromagnetick´ych vln a gravitaˇcn´ıch vln jsou stejn´e(17.10), jak pˇredpo v´ıd´aobecn´ateorie relativity. Pak se oba typy pˇr´ısluˇsn´ych vlnoploch budou od n´ıˇs´ıˇrit stejnou rychlost´ı. Uhel´ svˇeteln´eaberace α pˇritom bude relativnˇevelk´y, viz (17.3). D´ale si pˇredstavme, ˇze dalekohled na obr. 6.3 je doplnˇen pˇr´ıstrojem, kter´yum´ızmˇeˇrit smˇer, odkud gravitaˇcn´ıvlny pˇrich´azej´ı.Pak zjist´ıme, ˇze pˇrich´azej´ıze stejn´eho smˇeru jako elektromagnetick´evlny, pokud plat´ı(17.10), a aberace gravitaˇcn´ıch vln proto bude tak´e α. Pˇritaˇzliv´as´ılahvˇezdy ale paradoxnˇep˚usob´ız nepatrnˇe jin´eho smˇeru, jinak by ˇz´adn´asoustava dvou tˇeles nebyla dlouhodobˇestabiln´ı.Kdyby totiˇz α = γ, pak by se Zemˇevzd´alila od Slunce o 150 mili´on˚ukm za 400 let (viz [168], s. 350). Podle newtonovsk´emechaniky je ´uhel gravitaˇcn´ıaberace γ nulov´y. Pokud ale plat´ıprincip kauzality, mˇel by b´yt skuteˇcn´y´uhel gravitaˇcn´ıaberace γ kladn´y, i kdyˇz extr´emnˇemal´y(viz (17.9)). Uvaˇzujme napˇr. soustavu Slunce–Jupiter, jej´ıˇztˇeˇziˇstˇe podle (5.1) leˇz´ımimo Slunce. Obˇetˇelesa tak sv´ym siln´ym gravitaˇcn´ımpolem neust´ale deformuj´ıprostoroˇcas kolem sebe a mus´ısi se zpoˇzdˇen´ım vz´ajemnˇevymˇeˇnovat infor maci o sv´ych poloh´ach. Protoˇze cG < ∞, je Slunce pˇritahov´ano Jupiterem smˇerem k pˇredchoz´ıpoloze Jupitera a Jupiter je zase pˇritahov´an Sluncem rovnˇeˇzsmˇerem k nˇejak´epˇredchoz´ıpoloze Slunce (viz obr. 17.3). Podle pˇr´ıkladu 17.2 by mˇel Jupiter ze vˇsech planet nejvˇetˇs´ırychlost vzdalov´an´ıpˇrepoˇctenou na 1 au. To je tak´ed˚uvod, proˇcza sebou mohl zanechat nevyˇciˇstˇen´yp´as asteroid˚u mezi Marsem a Jupiterem (srov. [15], s. 513). Poloˇzme si jeˇstˇeot´azku: Je Zemˇepˇritahov´ana ke Slunci pˇresnˇet´ım smˇerem, kde je vid´ıme, nebo m´ıˇr´ı vektor t´eto gravitaˇcn´ıs´ıly nepatrnˇemimo jeho stˇred? V d˚usledku uveden´ych vlastnost´ıgravitaˇcn´ıaberace nejsou svˇeteln´epaprsky pˇri ch´azej´ıc´ık n´am od Slunce rovnobˇeˇzn´es vektorem newtonovsk´egravitaˇcn´ıs´ılymezi Sluncem a Zem´ı. Tyto paradoxn´ı jevy jsou zp˚usobeny t´ım, ˇze se skuteˇcn´e ´uhly svˇeteln´ea gravitaˇcn´ıaberace vz´ajemnˇeliˇs´ı.Zemˇem´a 333 000kr´at menˇs´ıhmotnost neˇzSlunce, a tak se pohybuje v jeho t´emˇeˇrstacion´arn´ımgravitaˇcn´ımpoli, i kdyˇz je lok´alnˇeneust´ale deformuje. V tomto pˇr´ıpadˇese jev gravitaˇcn´ıaberace projevuje pomˇernˇem´alo. Proto α ≫ γ > 0 a Slunce n´as nepˇritahuje v tom smˇeru, kde je vid´ıme. Jak tyto paradoxn´ı´udaje interpretovat a zjistit, zda nejsou v rozporu s kauzalitou, je diskutov´ano v ˇcl´anc´ıch [38] a [174]. Podrobnˇeji se o tˇechto ´ukazech a jejich inter pretaci pojedn´av´at´eˇzv [65]. ⊙ ⊙ ⊙ 189 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace 17.4. Plat´ız´akon zachov´an´ıenergie? V kapitol´ach 11–15 jsme pˇredvedli ˇradu pˇr´ıklad˚u, kter´elze interpretovat tak, ˇze se Sluneˇcn´ısoustava v d˚usledku antigravitace pozvolna rozp´ın´a rychlost´ıˇr´adovˇesrovna telnou s Hubbleovou konstantou. To je zˇrejmˇeve sporu se z´akonem zachov´an´ıenergie (srov. (13.24)) a z´akonem zachov´an´ımomentu hybnosti. Vesm´ıru tak celkov´aenergie pozvolna, ale zato neust´ale nar˚ust´a. R´ık´ase,ˇ ˇze zdroj temn´eenergie, kter´azp˚usobuje zrychluj´ıc´ıse rozp´ın´an´ıvesm´ıru, nen´ızat´ımzn´am. Existuje velk´emnoˇzstv´ı nejr˚uznˇejˇs´ıch hypot´ez (napˇr. promˇenn´e fundament´aln´ı fyzik´aln´ı konstanty, energie vakua, p˚usoben´ı kvintesence), kter´ese pokouˇsej´ıvysvˇetlit z´ahadu temn´eenergie. Jejich pˇrehled je pod´an napˇr. v [3]. Tak´e Richard Panek [195] uv´ad´ına s. 212 t´emˇeˇr50 model˚utemn´e energie. V t´eto kapitole jsme pˇredloˇzili jinou hypot´ezu, kter´aje zaloˇzena na pojmu gravitaˇcn´ıaberace a kter´a nav´ıcvysvˇetluje, odkud se bere energie na zrychlen´erozp´ın´an´ıvesm´ıru. Naˇse Galaxie i Sluneˇcn´ısoustava pˇredstavuj´ıjedineˇcnou astrofyzik´aln´ılaboratoˇr pro testov´an´ı, zda plat´ı ˇci neplat´ı z´akon zachov´an´ı energie a zda koneˇcn´arych lost ˇs´ıˇren´ıgravitaˇcn´ıinterakce produkuje jako vedlejˇs´ıprodukt hledanou energii na vˇseobecn´erozp´ın´an´ı. Na ˇradˇekonkr´etn´ıch pˇr´ıklad˚u jsme uk´azali, ˇze tato energie vznik´anejenom glob´alnˇe, ale i lok´alnˇe, napˇr. v soustavˇeSlunce–Zemˇese energie ne ust´ale vytv´aˇr´ı.Myˇslenka lok´aln´ıexpanze vesm´ıru se poprv´eobjevila jiˇzv roce 1933 v ˇcl´anku [179] a bude ji tˇreba d´ale ovˇeˇrovat. Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze existuj´ıtˇesn´ebin´arn´ıpulzary, jejichˇzdoba obˇehu se na opak zkracuje. V tomto pˇr´ıpadˇesyst´em ztr´ac´ıpohybovou energii vyzaˇrov´an´ımgra vitaˇcn´ıch a elektromagnetick´ych vln, v d˚usledku slap˚u, brzdˇen´ımo mezihvˇezdn´epro stˇred´ıapod. Vznikl´es´ılypak pˇrevl´adnou nad antigravitac´ı. Rovnˇeˇzr˚uzn´erezonance mohou zp˚usobit mnohem vˇetˇs´ıefekty ve srovn´an´ıs antigravitac´ı,jej´ıˇzprojevy jsou na kr´atk´ych ˇcasov´ych ˇsk´al´ach vskutku nepatrn´e(viz napˇr. (12.21), (13.2), (15.4) a (15.8)). Antigravitace vˇsak p˚usob´ıneust´ale v jak´emkoliv gravitaˇcnˇev´azan´em sys t´emu, at’ uˇzjde o asteroidy, mˇes´ıce, planety, hvˇezdy, galaxie, kupy galaxi´ıa jejich nadkupy ˇci ob´ıhaj´ıc´ı se kupy galaxi´ı. Pozvolna zvyˇsuje jeho celkovou (kinetickou + potenci´aln´ı)energii. T´ımpˇrisp´ıv´ak migraci planet a jejich mˇes´ıc˚una dlouh´ych ˇcasov´ych ˇsk´al´ach, zp˚usobuje, ˇze se hvˇezdokupy postupnˇe vypaˇruj´ı“ [119], p˚usob´ı ” proti graviterm´aln´ıkatastrofˇegalaktick´ych kup i hvˇezdokup [72], sniˇzuje frekvenci ko liz´ıgalaxi´ıa hvˇezd [124], pozvolna rozp´ın´a kosmickou pavuˇcinu“, stabilizuje Sluneˇcn´ı ” soustavu aj. Antigravitace tak´epomohla vytvoˇrit na Zemi vhodn´epodm´ınky pro ˇzivot po dobu nˇekolika miliard let, bˇehem nichˇzsluneˇcn´ıv´ykon st´ale nar˚ust´a(kapi tola 13 a 14). ⊙ ⊙ ⊙ 190 18. Co je vesm´ır Kosmolog nikdy nepochybuje, ale ˇcasto se m´yl´ı. Lev Landau 18.1. Neeukleidovsk´emodely vesm´ıru Roku 1584 Giordano Bruno napsal pojedn´an´ı[31], kde mj. vyslovil domnˇenku, ˇze vesm´ırje nekoneˇcn´y. Isaac Newton a mnoz´ıdalˇs´ısi vesm´ırpˇredstavovali jako euklei dovsk´yprostor En pro n = 3. V roce 1900 si vˇsak Karl Schwarzschild (viz [249], s. 66) asi jako v˚ubec prvn´ı Obr. 18.1. Karl Schwarzschild (1873–1916) 191 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace uvˇedomil, ˇze vesm´ır by mohl b´yt neeukleidovsk´y1 a dokonce koneˇcn´y, tj. maj´ıc´ı koneˇcn´yobjem. Pˇredstavoval si ho jako trojrozmˇernou varietu2 (srov. obr. 18.2) S3 E4 2 2 2 2 2 r = {(x,y,z,w) ∈ | x + y + z + w = r } (18.1) pro r > 0, coˇzje vlastnˇetrojrozmˇern´ypovrch ˇctyˇrrozmˇern´e koule o polomˇeru r S3 nez´avisl´em na ˇcase. Varieta r m´aobjem (viz [59]; [91], s. 55) V =2π2r3 a v kaˇzd´em bodˇea kaˇzd´em smˇeru3 m´astejnou kˇrivost 1/r (podobnˇe E3 m´av kaˇzd´em bodˇea kaˇzd´em smˇeru nulovou kˇrivost). To umoˇzˇnuje modelovat vysokou homogenitu a izotropii vesm´ıru na velk´ych prostorov´ych ˇsk´al´ach. Pro libovoln´e n =1, 2,... definujme sf´eru (nadsf´eru) o polomˇeru r > 0 vztahem Sn En+1 2 2 2 r = {(x1,...,xn+1) ∈ | x1 + + xn+1 = r }. Je li r = 1, pak pro jednoduchost budeme ps´at jen Sn. Na sf´eˇre Sn plat´ı zn´am´a neeukleidovsk´aeliptick´ageometrie, coˇzje obdoba sf´erick´egeometrie pro sf´eru S2 (viz odd´ıl2.10). Nejkratˇs´ıspojnice dvou bod˚uvariety se naz´yv´a geodetika. V eukleidovsk´em pro storu je to ´useˇcka. Nejkratˇs´ımi spojnicemi dvou bod˚una sf´eˇre Sn jsou oblouky hlavn´ıch kruˇznic. Geodetiky na sf´eˇre nemus´ı b´yt urˇceny jednoznaˇcnˇe, napˇr. nej kratˇs´ıch drah mezi severn´ıma jiˇzn´ımp´olem na sf´eˇre S2 je nekoneˇcnˇemnoho a jsou reprezentov´any poledn´ıky. Kaˇzd´edvˇer˚uzn´ehlavn´ıkruˇznice na sf´eˇre Sn (tj. pˇr´ımky“ v eliptick´egeomet ” rii) se prot´ınaj´ıve dvou protilehl´ych bodech. Proto v eliptick´e geometrii neexistuj´ı rovnobˇeˇzky. Troj´uheln´ık, jehoˇzstrany jsou nejkratˇs´ı oblouky hlavn´ıch kruˇznic, m´a souˇcet ´uhl˚uvˇetˇs´ıneˇz180◦. Napˇr´ıklad troj´uheln´ık, kter´yvznikne pr˚unikem sf´ery S2 a oktantu v E3 m´asouˇcet ´uhl˚u270◦. Kruˇznice o polomˇeru R na sf´eˇre Sn m´aobvod menˇs´ıneˇz2πR, protoˇze polomˇer kruˇznice mˇeˇr´ıme d´elkou oblouku hlavn´ı kruˇznice v Sn. Z prav´eˇc´asti obr. 18.2 je 1Neeukleidovsk´egeometrie vznikly v prvn´ı polovinˇe19. stolet´ı bˇehem mnoha pokus˚uporo- zumˇet axiomatick´ev´ystavbˇeeukleidovsk´egeometrie — zejm´ena pˇri dokazov´an´ınez´avislosti p´at´eho Eukleidova postul´atu o rovnobˇeˇzk´ach. Mezi jejich zakladatele patˇr´ıCarl Friedrich Gauss, Nikolaj I. Lobaˇcevskij, J´anos Bolyai, Bernhard Riemann, Sophus Lie, Felix Klein a mnoz´ıdalˇs´ı.Historie rozvoje neeukleidovsk´ych geometri´ıje podrobnˇepops´ana v pˇrehledov´em ˇcl´anku [36]. 2Poznamenejme, ˇze n-rozmˇern´avarieta (angl. manifold) je mnoˇzina bod˚utakov´ych, ˇze pro kaˇzd´y jej´ı bod existuje otevˇren´eokol´ı,kter´elze spojitˇezobrazit na otevˇrenou mnoˇzinu v En, pˇriˇcemˇz i inverze je spojit´a. Pˇr´ıkladem variety je graf paraboly, jednod´ıln´yi dvojd´ıln´yhyperboloid, povrch n anuloidu aj. Na druh´estranˇe, sjednocen´ınadroviny x1 =0 a osy x1 v E nen´ıvarietou pro n> 1. Ani mnoˇzina racion´aln´ıch ˇc´ısel varietou nen´ı. 3 3 Kˇrivost sf´ery Sr v dan´em bodˇea dan´em smˇeru je rovna pˇrevr´acen´ehodnotˇepolomˇeru pˇr´ısluˇsn´e oskulaˇcn´ıkruˇznice. 192 18. Co je vesm´ır Obr. 18.2. Jednotkov´akruˇznice vlevo je sf´era S1 = {(x,y) ∈ E2 | x2 + y2 = 1}. Povrch jednotkov´ekoule vpravo je sf´era S2 = {(x,y,z) ∈ E3 | x2 + y2 + z2 = 1}. patrno, ˇze rovn´ıkm´ad´elku 2π pro polomˇer R = π/2 mˇeˇren´yod severn´ıho (ˇci jiˇzn´ıho) p´olu ve smˇeru poledn´ık˚usf´ery S2. Rovnˇeˇzplocha kruhu na S2, povrch a objem koule v S3, . . . jsou ve stejn´em poˇrad´ımenˇs´ıneˇz πR2, 4πR2, 4πR3/3, . . . Standardn´ı vztahy zn´am´ez eukleidovsk´egeometrie tedy na sf´eˇre Sn neplat´ı(srov. t´eˇzobr. 8.2). Pˇripomeˇnme si nyn´ıdefinici metriky (vzd´alenosti). Definice 18.1. Funkce ρ : M ×M → E1 se naz´yv´a metrika na varietˇe M, jestliˇze plat´ı: 1. ρ(A, B) ≥ 0 ∀A, B ∈ M, 2. ρ(A, B)=0 ⇐⇒ A = B, 3. ρ(A, B)= ρ(B, A) ∀A, B ∈ M, 4. ρ(A, B) ≤ ρ(A, C)+ ρ(C, B) ∀A,B,C ∈ M (troj´uheln´ıkov´anerovnost). Kupˇr´ıkladu v eukleidovsk´em prostoru En je vzd´alenost definov´ana pomoc´ızobec nˇen´ePythagorovy vˇety v n u 2 n ρ(A, B)= uX(aj − bj) ∀A =(a1,...,an), B =(b1,...,bn) ∈ E . t j=1 Vzd´alenost mezi dvˇema body A a B na nadsf´eˇre Sn je d´ana d´elkou pˇr´ısluˇsn´egeodetiky spojuj´ıc´ı A a B. Karl Schwarzschild [249], s. 67, dokonce uvaˇzoval i o vesm´ıru s hyperbolickou geo metri´ına pseudosf´eˇre, kter´ase pro lepˇs´ıvizualizaci obvykle zn´azorˇnuje hyperbolickou nadplochou pro r> 0 (srov. obr. 18.3) H˜ 3 E4 2 2 2 2 2 r = {(x,y,z,w) ∈ | x + y + z − w = −r } (18.2) s Minkowsk´eho metrikou, kterou definujeme v (18.6). Zd˚uraznˇeme, ˇze w ve vzta hu (18.2) je prostorov´asouˇradnice a nen´ı to ˇcas, jak by se mohlo zd´at z ˇcasto 193 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Obr. 18.3. Dvojd´ıln´yrotaˇcn´ıhyperboloid x2 + y2 − w2 = −1 dostaneme z (18.2) pro z = 0, r = 1 a |w|≥ 1. uˇz´ıvan´eho a matouc´ıho oznaˇcen´ı t = w (viz napˇr. [286], s. 95). Kdyby totiˇz w byl ˇcas, pak by pˇr´ısluˇsn´aprostorov´avarieta w = konst. mˇela dimenzi jen 2. V pˇr´ıpadˇe r =1 budeme opˇet pro jednoduchost vynech´avat doln´ıindex r. S3 Ukaˇzme si nyn´ı,jak lze sf´eru r form´alnˇetransformovat na ˇc´ast dvojd´ıln´ehyper H˜ 3 bolick´enadplochy r. Zavedeme li hypersf´erick´esouˇradnice (tj. pˇrirozen´ezobecnˇen´ı standardn´ıch sf´erick´ych souˇradnic) x = r sin χ sin θ cos φ, y = r sin χ sin θ sin φ, z = r sin χ cos θ, w = r cos χ, pak pro χ, θ ∈ [−π/2,π/2] a φ ∈ [0, 2π] podle (18.1) a vztahu cos2 φ + sin2 φ =1 je S3 (x,y,z,w) ∈ r. Pouˇzijeme li jednoduch´etransformace w → iw, r → ir a χ → −iχ (viz [199], s. 299; [227], s. 826) a uv´aˇz´ıme li, ˇze cos χ = cosh iχ a sin χ = −i sinh(iχ), 2 H˜ 3 pak dostaneme iw = ir cos(−iχ) = ir cosh(−i χ), coˇzd´av´a(x,y,z,w) ∈ r, kde x = r sinh χ sin θ cos φ, y = r sinh χ sin θ sin φ, z = r sinh χ cos θ, w = r cosh χ. 194 18. Co je vesm´ır Obr. 18.4. Fluktuace v teplotˇe ≈ 2.73 K reliktn´ıho z´aˇren´ıodpov´ıdaj´ıc´ıˇcerven´emu posuvu z =1089. Z´aˇren´ıvzniklo v dobˇe, kdy byl vesm´ır 1090kr´at menˇs´ıa mˇel pr˚umˇernou teplotu t´emˇeˇr3000 K (foto sonda Planck). H˜ 3 Body (x,y,z,w) urˇcen´etˇemito vztahy leˇz´ına hyperbolick´enadploˇse r, jak lze ovˇeˇrit 2 2 pomoc´ı(18.2) a vztah˚ucos2 φ + sin2 φ = 1 a cosh χ − sinh χ = 1. ⊙ ⊙ ⊙ 18.2. Izotropie a homogenita vesm´ıru Podle Einsteinova kosmologick´eho principu (viz [183]) je vesm´ır na velk´ych pro storov´ych ˇsk´al´ach pro pevn´yˇcas homogenn´ıa izotropn´ı. Homogenita je vyj´adˇrena translaˇcn´ı symetri´ı (tj. vesm´ır m´av kaˇzd´em bodˇestejnou hustotu, tlak apod.), zat´ımco izotropie je vyj´adˇrena rotaˇcn´ısymetri´ı(tj. v ˇz´adn´em bodˇenejsou preferovan´e smˇery a pozorovatel nen´ıschopen rozliˇsit jeden smˇer od druh´eho pomoc´ılok´aln´ıch fyzik´aln´ıch mˇeˇren´ı). Gravitace v m´ırnˇenehomogenn´ımprostˇred´ım´avˇsak tendenci vytv´aˇret dlouh´a vl´akna. Napˇr´ıklad existuje vl´akno galaxi´ı(angl. Sloan Great Wall ) dlouh´e1.37 mi liardy svˇeteln´ych let. To znamen´a, ˇze skuteˇcn´yvesm´ırnen´ıhomogenn´ıani na velko rozmˇerov´ych ˇsk´al´ach, na nichˇzpˇripom´ın´asp´ıˇse jakousi kosmickou pavuˇcinu. Reliktn´ı z´aˇren´ıse tak´eod dokonal´eizotropie nepatrnˇeliˇs´ı,coˇz zjistila nejprve sonda COBE, pak WMAP a ned´avno jeˇstˇesonda Planck (viz obr. 18.4). Nav´ıcje m´ırnˇepolarizo van´e. Ve standardn´ımkosmologick´em modelu se vˇsak homogenita a izotropie vesm´ıru pˇredpokl´ad´a, protoˇze jinak by se model znaˇcnˇezkomplikoval a tˇeˇzko bychom nˇeco spoˇc´ıtali. Matematick´emodely vesm´ıru, kter´esplˇnuj´ıkosmologick´yprincip, jsou aˇzna veli S3 E3 H3 kost pouze tˇri: sf´era r, eukleidovsk´yprostor a pseudosf´era r. Jim po ˇradˇeodpo 195 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace y r x t Obr. 18.5. Cervenˇejeˇ vyznaˇcen model prostoroˇcasu, ˇzlutˇemodel pozorovateln´eho vesm´ıru S1 a modˇre odpov´ıdaj´ıc´ı prostor r(t), tj. model vesm´ıru s kladnou kˇrivost´ı a polomˇerem r = r(t) v ˇcase t. Vˇse je zredukov´ano o 2 prostorov´edimenze. v´ıd´aindex kˇrivosti 1, 0a −1 vystupuj´ıc´ıve Friedmannovˇerovnici (10.5). Tyto variety maj´ımaxim´aln´ıgrupu symetri´ı,kter´ase definuje pomoc´ıˇsesti line´arnˇenez´avisl´ych Killingov´ych pol´ı(viz napˇr. [115], [287]). Dosti obt´ıˇznˇesi lze vˇsak pˇredstavit hyperbo H3 lickou geometrii pseudosf´ery r, kter´aje pouze pro lepˇs´ıvizualizaci reprezentov´ana H˜ 3 r˚uzn´ymi modely, napˇr. hyperbolickou nadplochou r. Podrobnˇeji se tomu budeme vˇenovat v odd´ılech 18.4 a 18.5. ⊙ ⊙ ⊙ 18.3. Nejednoznaˇcnost pojmu vesm´ır Term´ınvesm´ırse v kosmologii pouˇz´ıv´av r˚uzn´ych v´yznamech: skuteˇcn´yprostoroˇcas, skuteˇcn´yprostor (tj. prostoroˇcas pro pevn´yˇcas) a pozorovateln´yvesm´ır, kter´yvlastnˇe vid´ıme jen v projekci na nebeskou sf´eru. To jsou 3 zcela odliˇsn´eobjekty. Jejich ma tematick´emodely jsou tak´e3 naprosto rozd´ıln´evariety (viz obr. 18.5). Dohromady je to tedy 6 r˚uzn´ych objekt˚u, pro nˇeˇzzat´ımbohuˇzel nem´ame ust´alenou ˇceskou ter minologii. Prvn´ıtˇri obsahuj´ıskuteˇcnou hmotu, zat´ımco dalˇs´ıtˇri jsou jen abstraktn´ı matematick´eidealizace. V souladu s Einsteinov´ym kosmologick´ym principem z pˇredchoz´ıho odd´ılubu deme pod vesm´ırem rozumˇet ˇrez skuteˇcn´ym prostoroˇcasem odpov´ıdaj´ıc´ıpevn´emu ˇcasov´emu okamˇziku (tj. vesm´ırbude izochrona v prostoroˇcasu pro t = konst.). Na pˇr´ıklad pro kladn´yindex kˇrivosti je odpov´ıdaj´ıc´ımatematick´ymodel vesm´ıru nad S3 plocha r pro pevn´e r = r(t) > 0, coˇzje trojrozmˇern´avarieta ve ˇctyˇrrozmˇern´em prostoru E4 (srov. obr. 18.2). Model odpov´ıdaj´ıc´ıho prostoroˇcasu v E5 m´adimenzi 4 a model pozorovateln´eho vesm´ıru m´adimenzi 3 (srov. obr. 18.5). 196 18. Co je vesm´ır Vˇsech 6 v´yˇse uveden´ych objekt˚u, pro kter´ese v literatuˇre bˇeˇznˇeuˇz´ıv´ajen jeden term´ın vesm´ır“, je tˇreba d˚uslednˇerozliˇsovat, jinak m˚uˇze doj´ıt k ˇradˇenedorozumˇen´ı. ” Kupˇr´ıkladu pˇri zjiˇst’ov´an´ıkˇrivosti vesm´ıru se nˇekdy studuje souˇcet ´uhl˚uve velk´em pomysln´em troj´uheln´ıku v pozorovateln´em vesm´ıru. Pozorovateln´yvesm´ırale nen´ı homogenn´ı,protoˇze m´apro r˚uzn´eˇcerven´eposuvy z r˚uznou hustotu, a je to tedy zcela odliˇsn´yobjekt neˇzvesm´ırjako samotn´yprostor. Zcela nespr´avnˇese tak nˇekteˇr´ıkos mologov´epokouˇsej´ıve viditeln´em vesm´ıru odhadovat ´uhly α,β,γ ve vyˇsetˇrovan´em troj´uheln´ıku a poˇc´ıtat jejich souˇcet α + β + γ. T´ımto zp˚usobem nelze potvrdit elip tickou (sf´erickou), eukleidovskou ˇci hyperbolickou geometrii vesm´ıru. Vyˇsetˇrovan´y troj´uheln´ık se mus´ı uvaˇzovat ve vesm´ıru, ze kter´eho ale vlastnˇevid´ıme jen bez prostˇredn´ıokol´ı(striktnˇevzato pouze jedin´ybod, v nˇemˇzse pr´avˇenach´az´ıme), coˇz stanoven´ı´uhl˚uznemoˇzˇnuje. Zd˚uraznˇeme jeˇstˇe, ˇze pozorovateln´yvesm´ırpˇrekvapivˇenelze modelovat trojroz mˇern´ym eukleidovsk´ym prostorem. Cel´asituace je nakreslena na obr. 18.5, po kud ubereme 2 prostorov´edimenze. Vid´ıme, ˇze pozorovateln´y vesm´ır lze modelo S3 vat kuˇzelem, kter´yse smˇerem k poˇc´atku souˇradnic deformuje. M´ısto sf´er r(t) staˇc´ı S1 uvaˇzovat jen jejich hlavn´ı kruˇznice r(t) se stˇredem na ˇcasov´eose, kter´eobsahuj´ı sledovanou galaxii (srov. vˇety 18.2 a 18.3). Odhaduje se, ˇze reliktn´ız´aˇren´ıvzniklo v dobˇe t1 = 380 000 let po Velk´em tˇresku a ˇze st´aˇr´ıvesm´ıru je t0 = 13.82 Gyr (viz napˇr. [60], [211]). Potom pro namˇeˇren´y ˇcerven´yposuv z = 1089 obdrˇz´ıme t1a(t0) t1 380 000 1090 1 = (z +1)= 9 = , t0a(t1) t0 13.82 10 33.3 kde prvn´ı rovnost pˇr´ımo plyne (viz [187], s. 730; [199], s. 96) z definice ˇcerven´eho posuvu. Odtud dost´av´ame, ˇze a(t0) a(t1) 33.3 = , (18.3) t0 t1 a tak pr˚umˇern´arychlost rozp´ın´an´ıvesm´ıru na intervalu (0, t1) byla 33.3kr´at vˇetˇs´ı neˇzna intervalu (0, t0). To tak´enaznaˇcuje, ˇze expanzn´ıfunkce mˇela mnohem vˇetˇs´ı derivaci v bl´ızkosti poˇc´atku neˇzv souˇcasnosti (viz obr. 13.4 a 18.5). Bylo by chybou se domn´ıvat, ˇze zn´am´amapa reliktn´ıho z´aˇren´ız obr. 18.4 zobra zuje cel´yvesm´ır, jak vypadal 380 000 let po Velk´em tˇresku. Mapa zn´azorˇnuje jen dvojrozmˇern´yˇrez trojrozmˇern´evariety odpov´ıdaj´ıc´ı vesm´ıru pro z ≈ 1089. Pro k =1 byl polomˇer vesm´ıru 1090kr´at menˇs´ı,neˇzje dnes. Polomˇer byl stejn´yjako polomˇer jak´ekoliv hlavn´ıkruˇznice (napˇr. rovn´ıku) v okamˇziku vysl´an´ıreliktn´ıch foton˚u. Vˇse nav´ıcpozorujeme jen v projekci na nebeskou sf´eru. Napˇr´ıklad reliktn´ız´aˇren´ıvznikl´e kdysi v naˇsem okol´ına mapˇereliktn´ıho z´aˇren´ınen´ı.Rovnˇeˇzzde nen´ıreliktn´ız´aˇren´ı z m´ıst, kde se dnes nal´ez´avˇsech 1012 galaxi´ız pozorovateln´eho vesm´ıru. Na kaˇzd´e 197 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace z tˇechto galaxi´ıbychom v souˇcastnosti pozorovali obecnˇe jinou mapu fluktuac´ıre liktn´ıho z´aˇren´ı.Na Zemi m´ame tedy pˇredstavu jen o tom, jak vypadala jen zcela nepatrn´aˇc´ast ran´eho vesm´ıru. Castoˇ se tak´ep´ıˇse, ˇze vesm´ırnem´aˇz´adn´ystˇred. To je podobn´ejako tvrdit, ˇze kruˇznice nem´astˇred. Kruˇznice samozˇrejmˇestˇred m´a, i kdyˇzdo n´ınepatˇr´ı.Proto i mo S3 E4 del vesm´ıru r m´asv˚uj stˇred v poˇc´atku souˇradnic prostoru (viz (18.1) a (18.2)). Stˇred nafukuj´ıc´ıho se bal´onku v modelu rozp´ınaj´ıc´ıho se vesm´ıru je pak reprezentov´an Velk´ym tˇreskem na poˇc´ateˇcn´ıˇcasov´evrstvˇe(viz obr. 18.5 a 20.4). Sf´eru S3 E4 2 2 2 2 2 r(t) = {(x1, x2,y1,y2) ∈ | x1 + x2 + y1 + y2 = r (t)} se vzr˚ustaj´ıc´ımpolomˇerem r = r(t) lze pomoc´ısubstituce x = x1 + ix2 a y = y1 + iy2 ztotoˇznit s pouhou kruˇznic´ıv komplexn´ımoboru K1 C2 2 2 2 r(t) = {(x, y) ∈ ||x| + |y| = r (t)}, kde C je mnoˇzina komplexn´ıch ˇc´ısel (Gaussova rovina). Takto jednoduˇse lze v ˇcase t modelovat n´aˇsvesm´ır, pokud m´akladnou kˇrivost. V tomto pˇr´ıpadˇenejvzd´alenˇejˇs´ı S3 bod vesm´ıru od Zemˇe(tzv. horizont) leˇz´ına pr˚useˇc´ıku vˇsech hlavn´ıch kruˇznic sf´ery r, kter´eproch´azej´ıZem´ı.Jeho vzd´alenost od n´as je πr ≈ 3r, tj. je pˇribliˇznˇe3× d´ale, neˇzje souˇcasn´ypolomˇer vesm´ıru. Na z´avˇer tohoto odd´ılujeˇstˇezd˚uraznˇeme, ˇze Zemˇeje ve stˇredu pozorovateln´eho vesm´ıru, kter´yje koneˇcn´y. Horizont pozorovateln´eho vesm´ıru je ale zcela jin´yobjekt (viz obr. 18.4) neˇzv´yˇse zm´ınˇen´yhorizont vesm´ıru. ⊙ ⊙ ⊙ 18.4. Hyperbolick´yprostor V tomto odd´ılese budeme vˇenovat Lobaˇcevsk´eho hyperbolick´e geometrii na pseu dosf´er´ach. Pˇredstavit si hyperbolickou geometrii je vˇsak mnohem obt´ıˇznˇejˇs´ıneˇzelip tickou geometrii na sf´er´ach. Hlavn´ımd˚uvodem je skuteˇcnost, ˇze maxim´alnˇesyme trick´ehyperbolick´e variety nelze na rozd´ıl od sf´er izometricky4 vloˇzit do euklei dovsk´ych prostor˚udimenze o jednu vyˇsˇs´ı(viz (18.1)). Jiˇzv roce 1901 David Hilbert dok´azal (viz [89]), ˇze v trojrozmˇern´em prostoru E3 neexistuje ´upln´ahladk´aplocha s konstantn´ız´apornou Gaussovou kˇrivost´ıdefinova nou jako souˇcin kˇrivost´ıve dvou kolm´ych hlavn´ıch smˇerech (viz [220]). Pozname S2 −2 −1 −1 nejme, ˇze sf´era r m´akladnou Gaussovu kˇrivost r = r r , protoˇze vˇsechny 4Izometrie je spojit´ezobrazen´ı f : M → M, jehoˇzinverze existuje a je tak´espojit´a, zachov´avaj´ıc´ı na varietˇe M vzd´alenosti. Jin´ymi slovy ρ(f(A),f(B)) = ρ(A, B) pro vˇsechna A, B ∈ M, kde ρ je metrika na M. 198 18. Co je vesm´ır (hlavn´ı)oskulaˇcn´ıkruˇznice maj´ıpolomˇer r. Pˇrehled dvojrozmˇern´ych variet v E3 se z´apornou konstantn´ıGaussovou kˇrivost´ıje pod´an v [178]. Vˇsechny ale maj´ıhrany (srov. obr. 18.7) nebo vrcholy, coˇzporuˇsuje poˇzadovanou hladkost modelu vesm´ıru. Hilbert tak vlastnˇedok´azal, ˇze neexistuje izometrick´evloˇzen´ı (angl. isometric embedding) hyperbolick´eroviny H2 do trojrozmˇern´eho prostoru E3, zat´ımco sf´eru S2 takto vloˇzit do E3 lze [115]. Podobnˇezn´amou Kleinovu l´ahev (tj. dvojrozmˇernou neorientovatelnou uzavˇrenou plochu) nelze vloˇzit do E3, ale lze ji vloˇzit do E4. Dodejme, ˇze jej´ıtrojrozmˇern´y(obvykle pˇredv´adˇen´y sklenˇen´y) model nen´ıvarieta, protoˇze tato plocha prot´ın´asama sebe. Proto je velice obt´ıˇzn´esi udˇelat nˇejakou intuitivn´ıpˇredstavu o maxim´alnˇesymetrick´ych hyperbolick´ych variet´ach. Zaˇcnˇeme proto jednoduch´ym modelem hyperbolick´eroviny H2. V eukleidovsk´e rovinˇezvolme kruˇznici k o polomˇeru 1. Model hyperbolick´eroviny se nach´az´ıpouze uvnitˇrt´eto hraniˇcn´ı kruˇznice, kter´avˇsak uˇzdo hyperbolick´eroviny nepatˇr´ı (viz obr. 18.6). Geodetiky (tj. pˇr´ımky“ v hyperbolick´egeometrii) jsou podobnˇejako ” v odd´ılu18.1 opˇet reprezentov´any kruhov´ymi oblouky, jejichˇzkonce jsou nav´ıckolm´e ke k. Pˇritom oblouky mohou degenerovat na ´useˇcky, jako napˇr. vyznaˇcen´ypr˚umˇer na obr. 18.6 vpravo. Snadno lze zjistit, ˇze dvˇema r˚uzn´ymi body A a B proch´az´ıpr´avˇe jeden kruhov´yoblouk, kter´yje ve sv´ych limitn´ıch koncov´ych bodech P ∈ k a Q ∈ k kolm´yna k. Vzd´alenost dvou bod˚u A a B je pak d´ana vztahem (viz [201], s. 36) AQ BP d(A, B)= ln , (18.4) AP BQ kde ln je pˇrirozen´ylogaritmus a AP , AQ, BP a BQ oznaˇcuj´ıstandardn´ıeukleidovsk´e vzd´alenosti v rovinˇe. Lze uk´azat, ˇze takto definovan´afunkce splˇnuje podm´ınky 1–4 z definice 18.1. Vid´ıme, ˇze d je nez´aporn´afunkce a ˇze d(A, B) = 0 pr´avˇetehdy, kdyˇz A = B. Symetrie d(A, B) = d(B, A) je tak´ezˇrejm´a. Dok´azat troj´uheln´ıkovou nerovnost d(A, B) ≤ d(A, C)+ d(B,C) je ale technicky ponˇekud n´aroˇcnˇejˇs´ı. Kruˇznice o polomˇeru R v metrice (18.4) m´aobvod vˇetˇs´ı neˇz2πR. Protoˇze je hraniˇcn´ıkruˇznice k jednotkov´ave standardn´ıeukleidovsk´emetrice, pak soustˇredn´a kruˇznice k’ o polomˇeru R’= 1 v hyperbolick´emetrice (18.4) m´ad´elku 7.384. . . m´ısto obvykl´ych 2π = 6.283 ... (viz obr. 18.6).5 Je to vlastnˇepodobn´emˇeˇren´ı d´elky kruˇznice nakreslen´ena ploˇse kolem sedlov´eho bodu. D´elka jednotkov´ekruˇznice o li bovoln´em stˇredu v hyperbolick´erovinˇeje vˇzdy stejn´av metrice (18.4). Kˇrivka, kter´am´akonstantn´ıeukleidovskou vzd´alenost od hyperbolick´epˇr´ımky, nen´ıpˇr´ımka (tj. geodetika) v hyperbolick´erovinˇe, viz [36], s. 88. Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze existuj´ıi jin´ereprezentace hyperbolick´eroviny (viz napˇr. [201], s. 38). 5Kdybychom zvolili body P,A,B,Q na vodorovn´em pr˚umˇeru kruˇznice k z obr. 18.6 tak, ˇze A je ve stˇredu, P,Q ∈ k, B ∈ k’ a R’= AB je polomˇer kruˇznice k’, pak podle (18.4) plat´ı 1 = ln(1 (1 + R’)/(1 (1 − R’))). Odtud plyne, ˇze kruˇznice k’ m´av eukleidovsk´emetrice polomˇer R’=(e − 1)/(e+1)=0.462 ... , kde e=2.718 ... je Eulerovo ˇc´ıslo. 199 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace k k' B A α β γ P Q C Obr. 18.6. Vˇsechny ryby na Escherovˇeobrazu hyperbolick´e roviny maj´ıv metrice (18.4) shodnou velikost. Obraznˇeˇreˇceno, pokud byste v hyperbolick´erovinˇeplavali, ryby ve vaˇsem bezprostˇredn´ım okol´ı se v´am budou jevit st´ale stejnˇe velk´e. M˚uˇzete plavat libovoln´ym smˇerem libovolnˇedaleko, protoˇze hraniˇcn´ıkruˇznice k je nekoneˇcnˇevzd´alen´a. Na obr´azku vpravo jsou zn´azornˇeny nejkratˇs´ıspojnice reprezentovan´ekruhov´ymi oblouky, kter´ejsou v koncov´ych bodech kolm´ek hraniˇcn´ı kruˇznici k. Souˇcet ´uhl˚uv troj´uheln´ıku ABC je α + β + γ < 180◦. V pr´aci [36] se uv´ad´ıˇsest dosti odliˇsn´ych reprezentac´ı hyperbolick´eroviny H2 ilustruj´ıc´ıch, jak hyperbolickou geometrii modelovat. Pˇritom kaˇzd´ymodel m´aji nou metriku. Jeden z nich je na obr. 18.3, jin´yzn´am´ymodel je Poincar´eho disk (viz [77], s. 475–476), kter´ypˇripom´ın´asituaci z obr. 18.6. n Uvaˇzujme nyn´ıobecnou dimenzi n. Pro a = (a1,...,an), b = (b1,...,bn) ∈ E oznaˇcme skal´arn´ısouˇcin n (a, b)= X ajbj j=1 a necht’ a = p(a, a). Hyperbolick´ageometrie se obvykle zn´azorˇnuje varietou (viz obr. 18.3 pro n = 2 a vztah (18.2) pro n = 3) H˜ n En+1 2 2 2 r = {(x1,...,xn+1) ∈ | x − xn+1 = −r }, (18.5) kde r > 0 a m´ısto standardn´ıeukleidovsk´emetriky v En+1 se uvaˇzuje Minkowsk´eho pseudometrika 2 2 1/2 (A, B)= a − b − (an+1 − bn+1) (18.6) 200 18. Co je vesm´ır H˜ n pro A =(a1,...,an+1), B =(b1,...,bn+1) ∈ r . I kdyˇzvztah (18.5) obsahuje rozd´ıl ˇctverc˚u, je funkce nez´aporn´a, jak bude patrno z n´asleduj´ıc´ı vˇety. Pˇripomeˇnme znovu, ˇze souˇradnice xn+1 nen´ı ˇcas, jak je bˇeˇzn´ev teorii relativity, ale obyˇcejn´a H˜ n prostorov´asouˇradnice. Varieta r zˇrejmˇenen´ısouvisl´a. Skl´ad´ase ze dvou zrcadlovˇe H˜ n symetrick´ych nadploch, kter´epro jednoduchost ztotoˇzn´ıme pˇredpisem x ≡ −x ∈ r , abychom se mohli zab´yvat jen tou komponentou, pro niˇz xn+1 > 0. Opˇet budeme ps´at jen H˜ n, pokud r = 1. Vˇeta 18.1. Funkce je metrika na H˜ n. D ˚uk a z. Je tˇreba ovˇeˇrit podm´ınky 1–4 z definice 18.1. Nejprve dok´aˇzeme, ˇze pro A, B ∈ H˜ n je hodnota (A, B) nez´aporn´a. Ze vztahu (18.6) dostaneme 2 2 2 2 2 ( (A, B)) = a − 2(a, b)+ b − an+1 +2an+1bn+1 − bn+1 = 2(an+1bn+1 − (a, b) − 1), (18.7) kde jsme podle (18.5) vyuˇzili toho, ˇze 2 2 2 2 an+1 = a +1 a bn+1 = b +1, (18.8) coˇzje vlastnˇevztah pro souˇcet dvou ˇctverc˚u. Ciliˇ 2 2 2 2 2 2 an+1bn+1 =( a + 1)( b +1)=( a b + 1) +( a − b ) . (18.9) Odtud a z Cauchyovy–Schwarzovy nerovnosti |(a, b)|≤ a b pro kladn´a an+1 a bn+1 vypl´yv´a, ˇze an+1bn+1 ≥ a b +1 ≥|(a, b)| +1 ≥ (a, b)+1. (18.10) Vid´ıme, ˇze prav´astrana v (18.7) je nez´aporn´a, a tak je odmocnina v (18.6) nez´aporn´a. D´ale uk´aˇzeme, ˇze (A, B) = 0 pr´avˇetehdy, kdyˇz A = B. Je li (A, B) = 0, pak pomoc´ı(18.7) obdrˇz´ıme (a, b)+1= an+1bn+1. Podle (18.10) tedy plat´ırovnost an+1bn+1 = a b +1. Odtud a z (18.9) plyne, ˇze a = b , a podle (18.8) m´ame an+1 = bn+1 > 0. Z definice metriky (18.6) je tak patrno, ˇze a = b, coˇzd´av´a A = B. Z definice (18.6) ihned odvod´ıme i obr´acenou implikaci, tj. plat´ı (A, A) = 0. Symetrie (A, B)= (B, A) je evidentn´ıa d˚ukaz troj´uheln´ıkov´enerovnosti pro b´ıh´astandardn´ım(i kdyˇztechnicky ponˇekud n´aroˇcnˇejˇs´ım) zp˚usobem pomoc´ıvzta h˚u(18.7) aˇz(18.10). 2 201 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Pˇrestoˇze vztah (18.6) obsahuje rozd´ılˇctverc˚u, dok´azali jsme, ˇze je nez´aporn´a funkce na varietˇe H˜ n. Funkci lze vztahem (18.6) pˇrirozenˇerozˇs´ıˇrit i dovnitˇrkuˇzele 2 2 2 x1 + + xn ≤ xn+1 (srov. obr. 18.3), kde ale nen´ı metrikou. Hodnota (A, B) totiˇzm˚uˇze b´yt nulov´apro A = B a neplat´ızde bˇeˇzn´atroj´uheln´ıkov´anerovnost. Pro nˇekter´etrojice bod˚udokonce plat´ıobr´acen´atroj´uheln´ıkov´anerovnost6 (A, B) ≥ (A, C)+ (B,C) (viz [201], s. 420), takˇze se m´ısto metrika ˇcasto ˇr´ık´ajen pseudometrika. Ve starˇs´ı literatuˇre se obˇcas ch´ape dvojd´ıln´yhyperboloid x2 + y2 − w2 = −1 z obr. 18.3 jako pseudosf´era s imagin´arn´ım polomˇerem“ i. Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze ” v teorii relativity se kuˇzelov´eploˇse x2 + y2 = t2 a t´eˇznadploˇse x2 + y2 + z2 = t2 pro ˇcas t = w ˇr´ık´a svˇeteln´ykuˇzel pro jednotkovou rychlost svˇetla. Je to mnoˇzina bod˚u A, pro nˇeˇz (A, 0) = 0. Kaˇzd´az obou komponent H˜ n reprezentuje graf konvexn´ı(resp. konk´avn´ı)funkce v En+1. Pˇresto je ale na modelu pseudosf´ery H˜ n souˇcet ´uhl˚uv troj´uheln´ıku, jehoˇz strany jsou nejkratˇs´ı spojnice (geodetiky) v Minkowsk´eho metrice (18.6), menˇs´ı neˇz180◦. D˚ukaz je uveden v [36], s. 88. ⊙ ⊙ ⊙ 18.5. Maxim´alnˇesymetrick´evariety V tomto odd´ılu pod´ame pˇrehled nˇekter´ych matematick´ych v´ysledk˚ut´ykaj´ıc´ıch se tˇech nejsymetriˇctˇejˇs´ıch variet Sn, En a Hn, tj. tˇech, kter´emaj´ı maxim´aln´ı poˇcet symetri´ı[115]. Kulovou plochu S2 zˇrejmˇenelze izometricky narovnat do roviny E2 (viz [147]). Sf´eru Sn lze vˇsak izometricky vloˇzit do En+1. Pod´ıvejme se nyn´ızevrubnˇeji na to, jak lze do sebe izometricky vkl´adat sf´ery a pseudosf´ery. Sn Sn+1 Vˇeta 18.2. Pro r ≤ R lze sf´eru r izometricky vloˇzit do R . D˚ukaz je konstruktivn´ı,ale pˇredv´adˇet jej nebudeme, i kdyˇzje snadn´y. Napˇr´ıklad na obr. 18.2 vpravo jsou dvˇekruˇznice odpov´ıdaj´ıc´ırovnobˇeˇzk´am ±60◦ izometricky vloˇzeny do dvojrozmˇern´esf´ery S2. Kaˇzdou sf´eru lze tedy izometricky vloˇzit do vˇetˇs´ı Sn sf´ery, pokud zv´yˇs´ıme dimenzi o jedniˇcku. Jin´ymi slovy, ˇrezy sf´ery r nadrovinami xn+1 = C, kde C je konstanta a |C| 6S ostrou obr´acenou troj´uheln´ıkovou nerovnost´ısouvis´ızn´am´yparadox dvojˇcat [201]. 7Pro n = 1 lze E1 izometricky vloˇzit do H1 a naopak. Netrivi´aln´ıhyperbolick´egeometrie jsou tak jen v dimenz´ıch n> 1. 202 18. Co je vesm´ır Vˇeta 18.4. Prostor En lze izometricky vloˇzit do Hn+1. Opaˇcn´aizometrick´avloˇzen´ıale nejsou tak jednoduch´a. V roce 1955 Danilo Bla nuˇsa dok´azal, ˇze hyperbolickou rovinu H2 lze izometricky vloˇzit do prostoru E6 (viz [19]). Pokud bychom se tedy promˇenili na ˇsestirozmˇernou bytost v E6 (s euklei dovskou metrikou), mohli bychom obdivovat v cel´ekr´ase p˚uvabnou symetrii pseu dosf´ery H2, podobnˇejakoˇzto trojrozmˇern´ebytosti se koch´ame n´adhernou symetri´ı sf´ery S2. Zat´ımnen´ızn´amo, zda lze dimenzi 6 sn´ıˇzit. Blanuˇsovo tvrzen´ıale zobecnil David Brander [26] takto: Vˇeta 18.5. Pro n> 1 lze pseudosf´eru Hn izometricky vloˇzit do E6n−6. Opˇet nen´ı zn´amo, zda lze dimenzi 6n − 6 sn´ıˇzit. Varietu S3, resp. H3, kter´a eventu´alnˇemodeluje n´aˇsvesm´ırpro pevn´yˇcas, lze tedy podle pˇredchoz´ıvˇety izo metricky vloˇzit do eukleidovsk´eho prostoru E4, resp. E12, tj. (S3 ֒→ E4, H3 ֒→ E12. (18.11 Zde symbol ֒→ oznaˇcuje izometrick´evloˇzen´ı.Ve 12rozmˇern´em eukleidovsk´em pro storu budou vzd´alenosti na H3 skuteˇcn´ea nezkreslen´e. Pseudosf´era H3 je tedy do sti exotick´yobjekt a jakoˇzto 12rozmˇern´ebytosti bychom se mohli pˇresvˇedˇcit o jej´ı maxim´aln´ısymetrii. Vizualizace pseudosf´ery H3 tak, aby nedoˇslo k deformaci vzd´a lenost´ı,je proto nesm´ırnˇeobt´ıˇzn´a. Na druh´estranˇeje mnohem snaˇzˇs´ısi pˇredstavit variety E3 a S3, kter´ejsou dalˇs´ımi kandid´aty pro popis vesm´ıru, v nˇemˇznejsou ˇz´adn´e privilegovan´ebody ani smˇery. V [153] je dok´az´ana vˇeta, ˇze kaˇzd´a n rozmˇern´avarieta v En+1, kter´am´av kaˇzd´em Sn bodˇea v kaˇzd´em hlavn´ımsmˇeru stejnou kˇrivost, je nutnˇesf´era r nebo nadrovina v En+1. Protoˇze pseudosf´eru Hn nelze vloˇzit do En+1 pro n > 1, pˇredpoklady vˇety nejsou pro ni splnˇeny. Plocha na obr. 18.7 m´az´apornou konstantn´ı Gaussovu kˇrivost (−1). Vznikne 8 rotac´ı traktrix kolem osy x3, kter´aje pro x1 ∈ (0, 1] definov´ana rovnic´ı 2 1 − p1 − x1 2 x3 = ln + q1 − x1. x1 Existuj´ıi jin´a, napˇr. parametrick´avyj´adˇren´ı[153], s. 530. Na rozd´ılod pseudosf´ery H2 m´apodle [178], s. 33, pˇr´ısluˇsn´arotaˇcn´ıplocha koneˇcn´ypovrch i objem, jak jiˇzvˇedˇel Christian Huygens v roce 1639 (viz [171], s. 324). Kaˇzd´yjej´ıbod je sedlov´y. R´ık´aˇ se j´ınˇekdy tak´epseudosf´era podobnˇejako nadploˇse (18.5), kter´am´aale nekoneˇcn´y objem. Horn´ıkruhov´ahrana na obr. 18.7 do t´eto variety nepatˇr´ıa varietu nelze za ni hladce prodlouˇzit tak, aby Gaussova kˇrivost z˚ustala (−1). Nem˚uˇzeme se tedy v t´eto 8 Traktrix (vleˇcnou kˇrivku) si lze pˇredstavit tak, ˇze na pap´ır s nakreslen´ymi osami x1 a x3 poloˇz´ıme hodinky na ˇret´ızku tak, aby hodinky leˇzely na ose x1 a voln´ykonec napnut´eho ˇret´ızku spl´yval s poˇc´atkem souˇradnic. Posouv´ame-li tento voln´y konec po ose x3 v z´aporn´em smˇeru, hodinky se k n´ıbudou pˇribliˇzovat, aniˇzji kdy dos´ahnou. 203 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Obr. 18.7. Plocha vznikl´arotac´ıkˇrivky traktrix m´ave vˇsech bodech konstantn´ıGaussovu kˇrivost (−1). Vid´ıme, ˇze kˇrivosti v hlavn´ıch smˇerech se liˇs´ı, a vnˇejˇs´ıpozorovatel tedy zjist´ı, ˇze plocha nen´ıizotropn´ı. Zjist´ıto i vnitˇrn´ıpozorovatel napˇr. v bl´ızkosti horn´ıhrany. ploˇse neomezenˇepohybovat vzh˚uru“, a proto nen´ıizotropn´ı.Tak´ekdybychom na n´ı ” zvolili bod a kolem nˇej opsali nesm´ırnˇemalou kruˇznici, mohla by nastat situace, ˇze by kruˇznice proch´azela vlastn´ımstˇredem pro x3 ≪ 0. Dvojrozmˇern´ebytosti ˇzij´ıc´ına t´eto varietˇeby tak poznaly, ˇze jejich prostor nen´ıizotropn´ı.Jako kandid´at zakˇriven´eho prostoru popisuj´ıc´ıho n´aˇsvesm´ırse nˇekdy tak´euv´ad´ıtorus, jednod´ıln´yhyperboloid (pˇripom´ınaj´ıc´ısv´ym tvarem chladic´ıvˇeˇzv temel´ınsk´eelektr´arnˇe) apod. Tyto variety ale nejsou ve vˇsech bodech a ve vˇsech hlavn´ıch smˇerech stejnˇezakˇriven´e. Vlastnos tem geodetik na hyperbolick´ych variet´ach se vˇenuje Maryam Mirzakhaniov´a9 ve sv´e dizertaci vypracovan´ena Harvard University v roce 2004. Dodejme jeˇstˇe, ˇze jednod´ıln´yhyperboloid x2 + y2 − w2 = 1 m´avˇsude z´apornou Gaussovu kˇrivost a dvojd´ıln´yhyperboloid z obr. 18.3 ji m´avˇsude kladnou. Gaussova kˇrivost ale nerozliˇsuje na varietˇemezi smˇery, zat´ımco tzv. sekcion´aln´ıkˇrivost ano.10 Sn En Hn Maxim´alnˇesymetrick´evariety r , a r maj´ıpro r > 0 konstantn´ısekcion´aln´ı kˇrivost 1/r2, 0, −1/r2, kterou nazveme prostorovou kˇrivost´ı. E3 H3 Variety a r maj´ınekoneˇcn´yobjem. Vesm´ırale nemohl b´yt po sv´em vzniku nejprve koneˇcn´ya pak se skokem zmˇenit na nekoneˇcn´y. Nav´ıc si lze jen tˇeˇzko pˇredstavit, ˇze by skuteˇcn´ynekoneˇcn´yvesm´ır mˇel v dan´em okamˇziku po Velk´em tˇresku ve vˇsech bodech stejnou teplotu, tlak, hustotu11 apod., jak poˇzaduje kos mologick´yprincip. To by se informace musela ˇs´ıˇrit nekoneˇcnou rychlost´ı.Proto se S3 nejpravdˇepodobnˇejˇs´ımmodelem naˇseho vesm´ıru jev´ısf´era r. ⊙ ⊙ ⊙ 9V roce 2014 jako prvn´ıˇzena v historii z´ıskala Fieldsovu medaili za matematiku (obdoba Nobe- lovy ceny). Je snachou souˇcasn´eho pˇredsedy Cesk´eastronomick´espoleˇcnostiˇ Jana Vondr´aka. 10Sekcion´aln´ıkˇrivost variety v dan´em bodˇeje funkc´ıdvou line´arnˇenez´avisl´ych vektor˚u v a w a vyjadˇruje Gaussovu kˇrivost dvojrozmˇern´epodvariety s teˇcn´ymi vektory v a w (viz [115], s. 143). 11Tyto veliˇciny by nav´ıcmˇely nab´yvat libovolnˇevelk´ych hodnot v nekoneˇcnˇemnoha bodech tˇesnˇe po Velk´em tˇresku. 204 19. Kritika standardn´ıho kosmologick´eho modelu Kritizovat je snadn´e, tˇeˇzˇs´ıje nˇeco vytvoˇrit. Ustˇredn´ımotto´ 19.1. Standardn´ımatematick´ykosmologick´ymodel C´ılem t´eto kapitoly je uk´azat, ˇze pˇredkl´adan´amnoˇzstv´ı temn´ehmoty a temn´eener gie mohou b´yt dosti zkreslena chybou matematick´eho modelu rozp´ın´an´ı vesm´ıru. V souˇcasnosti se v kosmologii nejv´ıce preferuje tzv. ΛCDM model (angl. Lambda Cold Dark Matter model), kter´yvych´az´ız Friedmannovy rovnice (10.5). Alexander Friedmann [66] ji v roce 1922 odvodil z Einsteinov´ych rovnic pro maxim´alnˇesyme trick´yvesm´ır, kter´yje izotropn´ıpro kaˇzd´ypevn´yˇcasov´yokamˇzik (kapitola 18). Jde Obr. 19.1. Alexander Friedmann (1888–1925) 205 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace o neline´arn´ıobyˇcejnou diferenci´aln´ırovnici 1. ˇr´adu pro nezn´amou dostateˇcnˇehladkou expanzn´ıfunkci a = a(t) > 0 popisuj´ıc´ırozp´ın´an´ıvesm´ıru a˙ 2 8πGρ Λc2 kc2 = + − , (19.1) a2 3 3 a2 kde ρ = ρ(t) > 0 oznaˇcuje stˇredn´ıhustotu l´atky ve vesm´ıru v ˇcase t, G gravitaˇcn´ı konstantu, Λ kosmologickou konstantu, c rychlost svˇetla ve vakuu, k/a2 je prosto 3 3 rov´akˇrivost a k je index kˇrivosti (k = 0 odpov´ıd´a E a k = 1 nadsf´eˇre Sr s obecnˇe promˇenn´ym polomˇerem r = r(t) = a(t)). Poznamenejme ale, ˇze Friedmann ne uvaˇzoval v [66] pˇr´ıpad k = 0. Pomoc´ırovnice (19.1) Friedmann popsal dynamick´echov´an´ıvesm´ıru jako alter nativu proti Einsteinovu stacion´arn´ımu vesm´ıru. V roce 1924 publikoval dalˇs´ıˇcl´anek, kde pˇripouˇst´ıi z´aporn´yindex kˇrivosti k = −1, ale rovnici (19.1) odvozuje pouze pro z´apornou hustotu hmoty (viz [67], s. 2006) a nen´ıtedy jasn´e, jak takov´yto pˇredpoklad splnit.1 Naˇstˇest´ılze rovnici (19.1) studovat i pro k = −1 a ρ ≥ 0. Pro k = −1 se 3 vesm´ırpro pevn´yˇcas t modeluje maxim´alnˇesymetrickou hyperbolickou varietou Hr (viz kapitola 18). Ve standardn´ımkosmologick´em modelu tak index kˇrivosti nab´yv´a pouze hodnot k ∈ {−1, 0, 1}. Pro sestaven´ırovnice (19.1) vlastnˇeFriedmann vyuˇzil jen sloˇzku 00 metrick´eho tenzoru a tenzoru energie a hybnosti. Pomoc´ıstopy sloˇzek 11, 22 a 33 lze odvodit jeˇstˇeline´arn´ıdiferenci´aln´ırovnici 2. ˇr´adu pro expanzn´ıfunkci [100] 4πG 3p Λc2 a¨ = − ρ + a + a, (19.2) 3 c2 3 kde p je tlak. Vˇsimnˇeme si, ˇze tato rovnice nez´avis´ıexplicitnˇena indexu kˇrivosti k. Jak jiˇzbylo ˇreˇceno v odd´ılu 10.4, kladnou kosmologickou konstantu Λ pˇridal Albert Einstein do rovnic obecn´eteorie relativity v roce 1917, aby zabr´anil gra vitaˇcn´ımu kolapsu a zachr´anil tak sv˚uj model stacion´arn´ıho vesm´ıru [59]. Pro rov nici (19.1) ale v´ysledn´eˇreˇsen´ınen´ıstabiln´ı,tj. nepatrn´a odchylka od a(t) ≡ konst. zp˚usob´ıbud’ gravitaˇcn´ıkolaps, anebo naopak expanzi [187], s. 746. I kdyˇzbyla obecn´ateorie relativity vytvoˇrena, aby vysvˇetlila rozmanit´epara doxy Newtonovy teorie gravitace pro velk´erychlosti, hmotnosti, hustoty apod., lze Friedmannovu rovnici (19.1) pro Λ = 0 tak´eform´alnˇeodvodit z Newtonovy teorie (srov. [183]). Pro mal´eˇcerven´eposuvy z ≪ 1 je rychlost vzdalov´an´ıgalaxi´ı v od naˇs´ıGalaxie pˇribliˇznˇe´umˇern´ajejich vzd´alenosti d, tj. v ≈ H0d, (19.3) 1Pro z´apornou hmotu by souˇcet ´uhl˚uv troj´uheln´ıku na obr. 2.10 a) byl menˇs´ı neˇz 180◦. Troj´uheln´ıkby mˇel strany vybouleny dovnitˇr. 206 19. Kritika standardn´ıho kosmologick´eho modelu −1 kde H0 je Hubbleova konstanta s fyzik´aln´ımrozmˇerem s . Ve zpr´avˇePlanck Colla boration [211] se pro H0 uv´ad´ıcel´aˇrada rozd´ıln´ych hodnot, napˇr. na s. 30 −1 −1 −1 −1 H0 = 67.3 ± 1.2 km s Mpc a H0 = 73.8 ± 2.4 km s Mpc , (19.4) kter´ejsou patrnˇezat´ıˇzeny velk´ymi systematick´ymi chybami. Jelikoˇzale v d´avn´e minulosti byla rychlost rozp´ın´an´ıvesm´ıru vˇetˇs´ı(srov. obr. 8.7), zav´ad´ıse Hubble˚uv parametr a˙(t) H(t)= (19.5) a(t) tak, aby H(t0) = H0, kde t0 je st´aˇr´ıvesm´ıru. Protoˇze H0 > 0 je expanzn´ıfunkce a = a(t) > 0 podle (19.5) v souˇcasnosti rostouc´ı. Urˇcit st´avaj´ıc´ıhodnotu Hubbleova parametru H(t) nen´ısnadn´e, nebot’ se vˇzdy d´ıv´ame do minulosti. V naˇsem bl´ızk´em okol´ıje mˇeˇren´ı H0 = H(t0) zkresleno lok´aln´ımi pohyby galaxi´ı.Na druh´estranˇe, na z´akladˇedat z hodnˇevzd´alen´ych objekt˚uje zase obt´ıˇzn´espolehlivˇeextrapolovat souˇcasnou hodnotu H0 Hubbleovy konstanty (napˇr. z hodnot reliktn´ıho mikrovlnn´eho z´aˇren´ı,kter´ek n´am putuje v´ıce neˇz13 miliard let, viz [210]). ⊙ ⊙ ⊙ 19.2. Podivn´echov´an´ıkosmologick´ych parametr˚u Vydˇelme rovnici (19.1) ˇctvercem H2 = (˙a/a)2 ≥ 0 tak, jak se to bˇeˇznˇedˇel´a, tj. bez pˇredbˇeˇzn´eho varov´an´ıse eventu´alnˇedˇel´ınulou, coˇzm˚uˇze v´est k rozmanit´ym para dox˚um. Pak pro vˇsechna t dostaneme rovnost pro tˇri bezrozmˇern´eparametry 1 = M(t) + Λ(t) + K(t), (19.6) kde 8πGρ(t) Λc2 kc2 M(t)= > 0, Λ(t)= , K(t)= − , (19.7) 3H2(t) 3H2(t) a˙ 2(t) M je parametr hustoty temn´ea baryonov´ehmoty, Λ je parametr hustoty temn´e 2 energie a K je parametr hustoty prostorov´ekˇrivosti [91], s. 71; [199]. Funkci ρc(t)= 3H2(t)/(8πG) se z historick´ych d˚uvod˚u3 ˇr´ık´a kritick´ahustota. 1. Pod´ıvejme se nejprve na chov´an´ıkosmologick´ych parametr˚uv pˇr´ıpadˇeEinstei 3 nova stacion´arn´ıho vesm´ıru Sr, kde r = a je konstantn´ı,tj.a ˙(t) = 0 pro vˇsechna t (srov. obr. 19.2). Pak z (19.5) m´ame H(t) = 0. I kdyˇzse nic dramatick´eho nedˇeje, tedy je podle (19.7) parametr hustoty hmoty M(t) = ∞ pro vˇsechna t. Spr´avnˇe bychom mˇeli ps´at, ˇze nen´ı definov´an. Rozumnˇezaveden´e fyzik´aln´ı veliˇciny by ale nemˇely nab´yvat nekoneˇcn´ych hodnot. 2 Planck Collaboration [211] naz´yv´aΩK curvature parameter. 3 Pokud je totiˇzΛ = 0, pak k =0 ⇔ ρ = ρc, k =1 ⇔ ρ>ρc a k = −1 ⇔ ρ<ρc. 207 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace a a 0 t 0 t2 t a a 0 t3 t 0 t4 t Obr. 19.2. Expanzn´ıfunkce pro stacion´arn´ıvesm´ır, cyklick´yvesm´ır, vesm´ır s nulovou kos- mologickou konstantou a pro pˇredpokl´adan´erozp´ın´an´ı vesm´ıru s kladnou kosmologickou konstantou podle dneˇsn´ıch poznatk˚u. 2. Uvaˇzujme dalˇs´ı klasick´ymodel tzv. cyklick´eho nebo t´eˇz osciluj´ıc´ıho ˇci pul zuj´ıc´ıho vesm´ıru, kdy se expanze vesm´ıru zastav´ı v ˇcase t2 > 0, a pak n´asleduje obdob´ısmrˇst’ov´an´ı(viz obr. 19.2). Paka ˙(t2) = 0 a podle (19.7) pro Λ > 0 je parametr hustoty temn´eenergie, kter´am´arozp´ın´an´ıvesm´ıru urychlovat, roven Λ(t2) = ∞. Vesm´ırse pˇritom zaˇcne smrˇst’ovat. I v bezprostˇredn´ımokol´ıbodu t2, kdy nedˇel´ıme nulou, je chov´an´ıkosmologick´ych parametr˚upˇrinejmenˇs´ım zvl´aˇstn´ı,protoˇze jejich hodnoty rostou nade vˇsechny meze. 3. V klasick´em modelu vesm´ıru s nulovou kosmologickou konstantou a k = −1 se pˇredpokl´ad´a, ˇze expanzn´ı funkce roste do nekoneˇcna pro t → ∞ a ˇze je ryze konk´avn´ıpro t > t3 > 0 (viz [187], s. 735, a obr. 19.2). Tedy derivacea ˙ i jej´ıˇctverec jsou klesaj´ıc´ıfunkce. Podle (19.7) roste parametr hustoty prostorov´ekˇrivosti K > 0 pro t → ∞, zat´ımco prostorov´akˇrivost k/a2 se bl´ıˇz´ık nule. Z bod˚u1–3 je patrno, ˇze vˇsechny tˇri kosmologick´eparametry hustoty (19.7) nemaj´ıvhodn´epojmenov´an´ı. 4. Jeˇstˇepodivnˇejˇs´ı chov´an´ı parametru K dostaneme pro souˇcasnˇeuzn´avan´y pr˚ubˇeh expanzn´ı funkce. Podobnˇejako v pˇredchoz´ım bodˇebudeme uvaˇzovat jen 208 19. Kritika standardn´ıho kosmologick´eho modelu 4 t > t4 > 0, kde t4 je doba vzniku reliktn´ız´aˇren´ı. Mˇeˇren´ı[225] nositel˚uNobelovy ceny za rok 2011 naznaˇcuj´ı,ˇze expanzn´ı funkce a(t) je ryze konk´avn´ı v intervalu 5 cca (t4, 9) Gyr. Pak pˇrech´az´ına ryze konvexn´ıfunkci v intervalu cca (9, 14) Gyr, tj. funkcea ˙ je nejprve klesaj´ıc´ı funkce a pak rostouc´ı (viz obr. 19.2). Odtud po dle (19.7) plyne, ˇze parametr hustoty kˇrivosti K(t) nen´ı monot´onn´ı funkce pro k = 0, i kdyˇzse vesm´ırneust´ale rozp´ın´a. Pˇritom absolutn´ıhodnota parametru hus toty prostorov´ekˇrivosti | K| v intervalu (t4, 9) Gyr roste, zat´ımco kˇrivost se bl´ıˇz´ı nule se vzr˚ustaj´ıc´ımˇcasem. V klasick´ych modelech bez inflace se uvaˇzuje, ˇzea ˙(0) = ∞ (viz [187], s. 735, a obr. 19.2). Podle (19.7) by ale mˇel vesm´ır pˇri sv´em zrodu parametr hustoty kˇrivosti K(0) nulov´y, tedy t´emˇeˇrtakov´y, jako m´adnes. Jeho kˇrivost pro k = 0 vˇsak byla v ˇcase t ≈ 0 naopak obrovsk´aa s rostouc´ımˇcasem se bl´ıˇz´ık nule (viz napˇr. zn´am´ymodel rozp´ınaj´ıc´ıho se vesm´ıru pomoc´ınafukuj´ıc´ıho se bal´onku z obr. 16.4). ⊙ ⊙ ⊙ 19.3. Odv´aˇzn´eextrapolace Ve standardn´ımmodelu se s oblibou prov´adˇej´ınejr˚uznˇejˇs´ı choulostiv´e“ limity a → 0, ” a →∞, t → 0, t →∞, . . . (viz [3], [199]). Odtud se pak odvozuje napˇr. st´aˇr´ıvesm´ıru 6 t0 = 13.82 Gyr na 4 platn´am´ısta, viz [211]. Pˇritom zat´ımbyly zmˇeˇreny s pomˇernˇe velkou chybou jen dva koeficienty H0 = H(t0) (viz (19.4)) a q0 = q(t0) ≈ −0.6 (viz (10.11)) v Taylorovˇerozvoji7 (10.10), 1 2 2 a(t)= a(t0)(1 + H0(t − t0) − 2 q0H0 (t − t0) + ... ), (19.8) kde deceleraˇcn´ıparametr q = −aa/¨ (˙a)2 z´avis´ına druh´ych derivac´ıch expanzn´ıfunkce 8 (viz obr. 8.7). Povˇsimnˇeme si napˇr., ˇze q(t2) = ∞ pro cyklick´yvesm´ırz obr. 19.2. P˚uvodnˇese kosmologov´edomn´ıvali, ˇze se rozp´ın´an´ıvesm´ıru zpomaluje. Proto neza vedli akceleraˇcn´ıparametr, ale parametr deceleraˇcn´ı(parametr zpomalen´ı). Prvn´ıtˇri 4Upˇresnˇeme, ˇze reliktn´ız´aˇren´ınevzniklo nar´az, ale v intervalu dlouh´em nˇekolik tis´ıc˚ulet. 5Podle teorie inflace se vesm´ır bˇehem kr´atk´eho okamˇziku po Velk´em tˇresku rozp´ınal expo- nenci´alnˇe. Expanzn´ıfunkce a = a(t) v ΛCDM modelu tak m´aalespoˇndva inflexn´ıbody v intervalu (0, 14) Gyr. V prvn´ımpˇrech´az´ıryze konvexn´ıfunkce na ryze konk´avn´ıa ve druh´em je tomu naopak. 6St´aˇr´ınˇekter´ych mal´ych hvˇezd (napˇr. HD 140283, SM 0313) v naˇs´ıGalaxii se pˇritom odha- duje alespoˇnna 13.6 Gyr nez´avisle na kosmologick´ych modelech [21]. Staˇcily se vˇsak tyto hvˇezdy zformovat za pouh´ych cca 200 milion˚ulet po Velk´em tˇresku? Oblaka molekul´arn´ıho vod´ıku musela nejprve zchladnout na teplotu cca 10 K, kter´aje podle Jeansov´ych kriteri´ızapotˇreb´ık tvorbˇehvˇezd. Teplota reliktn´ıho z´aˇren´ıtehdy byla 2.73(z + 1) ≈ 50 K, kde odpov´ıdaj´ıc´ı z ≈ 17.5 (viz [208]). 7Expanzn´ı funkci a = a(t) nelze rozvinout do Taylorovy ˇrady na cel´em definiˇcn´ım oboru (viz [220], s. 623), protoˇze jiˇzjej´ıprvn´ıderivace roste nade vˇsechny meze pro t → 0, srov. (18.3). Proto ani nelze spolehlivˇeodhadnout velikost zbytku Taylorovy ˇrady. 8 1 Je-li p = 0 v rovnici (19.2), pak ze vztah˚u(19.7) dostaneme q = 2 ΩM − ΩΛ. 209 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace ˇcleny Taylorova rozvoje v bodˇe t0 odpov´ıdaj´ıc´ımsouˇcasnosti vˇsak obecnˇenemohou dobˇre popisovat chov´an´ıexpanzn´ıfunkce v dalek´eminulosti (viz obr. 13.4). D´ale je tˇreba zd˚uraznit, ˇze Friedmannova rovnice (19.1) byla odvozena pouze pro gravitaˇcn´ıinterakci. Kr´atce po vzniku vesm´ıru vˇsak jistˇehr´aly nezanedbatelnou ´ulohu elektromagnetick´es´ılyt´emˇeˇro 40 ˇr´ad˚uvˇetˇs´ıa pˇred t´ımjeˇstˇevˇetˇs´ıjadern´e s´ıly, kter´epodstatnˇeovlivnily poˇc´ateˇcn´ıpr˚ubˇeh expanzn´ıfunkce. I kdyˇzse na urych lovaˇc´ıch snaˇz´ıme studovat negravitaˇcn´ıinterakce, nev´ıme, jak se chovaly v extr´emnˇe siln´em gravitaˇcn´ımpoli bezprostˇrednˇepo Velk´em tˇresku. Jin´ymi slovy, Friedmannova rovnice (19.1) stˇeˇz´ım˚uˇze popisovat chov´an´ıskuteˇcn´eho vesm´ıru pro mal´a t> 0. Protoˇze souˇcin ρ(t)a3(t) je konstantn´ıv dobˇe, kdy l´atka dominuje nad z´aˇren´ım, rovnice (19.1) nab´yv´atvaru C a˙ 2 = Aa2 + B + (19.9) a s ˇcasovˇenez´avisl´ymi konstantn´ımi koeficienty A =Λc2/3, B = −kc2 a C > 0. Z takto jednoduch´eobyˇcejn´ediferenci´aln´ı rovnice se pak dˇelaj´ı hlubok´ez´avˇery o expan zi skuteˇcn´eho vesm´ıru v dalek´eminulosti i budoucnosti. Protoˇze zn´ame podm´ınku a˙ (t0)/a(t0) = H0 odpov´ıdaj´ıc´ı souˇcasnosti, lze rovnici (19.9) ˇreˇsit v ˇcase dopˇredu i dozadu. Pˇritom pro dobu, kdy z´aˇren´ıdominuje nad l´atkou, se na pravou stranu rovnice (19.9) pˇrid´av´ajeˇstˇeˇclen D/a2. V souˇcasnosti se soud´ı,ˇze expanzn´ıfunkce roste nade vˇsechny meze, tj. a(t) →∞ 1 2 2 pro t → ∞. Podle (19.6) a (19.7) pro k ≤ 0 plat´ı 3 Λc < H (t) pro libovoln´yˇcas. Odtud a z (19.5) plyne, ˇze tak´eˇcasov´aderivace expanzn´ıfunkce roste nade vˇsechny meze, je li Λ kladn´akonstanta. Jin´ymi slovy, v nekoneˇcn´em vesm´ıru (hyperbolick´em ˇci eukleidovsk´em) plat´ı˙a(t) →∞ pro t →∞. ⊙ ⊙ ⊙ 19.4. Temn´ahmota versus hmota baryonov´a Podle ned´avn´ych mˇeˇren´ı sondy Planck a metody baryonov´ych akustick´ych osci lac´ı[210] a [211] je parametr hustoty hmoty standardn´ıho kosmologick´eho modelu roven M ≈ 0.32=0.27+0.05, z ˇcehoˇz27 % pˇripad´ana temnou hmotu a cca 5 % na baryonovou hmotu (z toho m´enˇeneˇz1 % na sv´ıt´ıc´ıl´atku). Existenci temn´ehmoty pˇredpovˇedˇel v roce 1933 Fritz 210 19. Kritika standardn´ıho kosmologick´eho modelu Zwicky, kdyˇzstudoval obˇr´ıgalaktickou kupu ve Vlasech Bereniky. Pro viri´alovou hmotnost kupy odvodil vztah (viz (7.14)) 2 5Rv M = , (19.10) 3G kde v je stˇredn´ıkvadratick´arychlost galaxi´ıvzhledem k tˇeˇziˇsti kupy a R jej´ıpolomˇer. M˚uˇzeme ale na z´akladˇetakto jednoduch´eho vzoreˇcku (19.10) tvrdit, ˇze v galaktick´e kupˇez obr. 7.3 existuje temn´ahmota? V odd´ılech 8.3 a 8.4 uv´ad´ıme ˇradu argument˚u naznaˇcuj´ıc´ıch, ˇze skuteˇcn´ahmotnost m˚uˇze b´yt o v´ıce neˇz50 % niˇzˇs´ıneˇzviri´alov´a hmotnost (19.10) a ˇze celkov´ahmotnost kupy je nejv´yˇse 5× vˇetˇs´ıneˇzhmotnost jej´ı sv´ıt´ıc´ıl´atky. To v´yˇse uveden´emnoˇzstv´ıtemn´ehmoty podstatnˇesniˇzuje a naopak zvyˇsuje mnoˇzstv´ıbaryonov´el´atky. Astronomick´amˇeˇren´ıse neust´ale zpˇresˇnuj´ı,a tak ˇcasem zjist´ıme, zda jsou sou ˇcasn´eodhady temn´ehmoty v poˇr´adku ˇci nikoliv. Napˇr´ıklad pomˇernˇened´avno se zjistilo [278], ˇze mezigalaktick´yprostor kupy obsahuje 30–50 % hvˇezd z celkov´eho poˇctu vˇsech hvˇezd kupy a alespoˇn5kr´at vˇetˇs´ımnoˇzstv´ınesv´ıt´ıc´ıbaryonov´ehmoty neˇzsv´ıt´ıc´ıhmoty v galaxi´ıch (viz [2], [20]). Pozorovan´evysok´erychlosti galaxi´ıtak maj´ızcela pˇrirozen´evysvˇetlen´ı[146]. Vera Rubinov´apostulovala temnou hmotu ve spir´aln´ıch galaxi´ıch, protoˇze podle jej´ıch v´ypoˇct˚uhvˇezdy na okraj´ıch galaktick´ych disk˚uob´ıhaly pˇr´ıliˇsrychle. Koncem minul´eho stolet´ıbyly ale odhady poˇctu ˇcerven´ych a hnˇed´ych trpasl´ık˚uv naˇs´ıGalaxii znaˇcnˇepodcenˇen´e. Tehdy se vˇeˇrilo (viz [17], s. 93), ˇze jen 3 % hvˇezd jsou ˇcerven´ı trpasl´ıci, zat´ımco dnes je to kolem 70 % z celkov´eho poˇctu vˇsech hvˇezd, pomineme li tˇeˇzko detekovateln´ehnˇed´etrpasl´ıky. Pˇredpokl´adat tedy v souˇcasnosti existenci 5–6kr´at vˇetˇs´ıho mnoˇzstv´ı temn´ehmoty neˇzbaryonov´e hmoty, aby se galaxie ne rozpadly, se tak´ezd´ab´yt dosti nadhodnocen´e. V kapitole 9 ukazujeme, ˇze vysok´e rychlosti hvˇezd na okraji Galaxie lze zcela pˇrirozenˇevysvˇetlit bez temn´ehmoty jen pomoc´ıbaryonov´ehmoty, viz napˇr. nerovnost (9.6) ˇci vˇetu 9.1. ⊙ ⊙ ⊙ 19.5. Temn´aenergie versus kosmologick´akonstanta Vˇseobecnˇepanuje pˇresvˇedˇcen´ı,ˇze temn´aenergie je jak´asi podivn´asubstance, kter´a je zodpovˇedn´aza zrychluj´ıc´ıse rozp´ın´an´ıvesm´ıru. Podle hodnot namˇeˇren´ych sondou Planck [211] je parametr souˇcasn´ehustoty temn´ea baryonov´ehmoty t´emˇeˇr32 % a parametr hustoty temn´eenergie kolem 68 %, protoˇze M ≈ 0.3175, Λ ≈ 0.6825, K ≈ 0. (19.11) 211 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Neˇrekne se ale, jak se definuj´ı pˇr´ısluˇsn´aprocenta, kdyby Λ < 0 nebo K < 0. Budou z´aporn´anebo se uvaˇzuj´ıjejich absolutn´ıhodnoty? K odvozen´ıvztah˚u(19.11) se pouˇz´ıv´ametoda baryonov´ych akustick´ych oscilac´ı[60] ve fluktuac´ıch reliktn´ıho z´aˇren´ı,kter´ebylo po dobu v´ıce neˇz13 miliard let deformov´ano pomoc´ıgravitaˇcn´ıho ˇcoˇckov´an´ıgalaxi´ıa galaktick´ych kup (viz obr. 8.3). Z tˇechto pozmˇenˇen´ych dat se pak prostˇrednictv´ım rovnice (19.1) prov´ad´ı extrapolace do souˇcasnosti. Pokud je ale temn´ehmoty podstatnˇem´enˇeneˇzodpov´ıd´aˇsestin´asobku hmotnosti baryonov´e hmoty (viz pˇredchoz´ıodd´ıl19.4), potom ani hodnota Λ ≈ 0.6825 pro t0 ≈ 13.82 Gyr patrnˇenen´ıve shodˇes realitou. Pˇritom by se spr´avnˇemˇelo ˇr´ıkat, ˇze odhadovan´e st´aˇr´ıvesm´ıru odvozen´ez ΛCDM modelu pro parametry (19.11) je t0 ≈ 13.82 Gyr. Skuteˇcn´est´aˇr´ım˚uˇze b´yt zcela odliˇsn´e. Ze vztahu (19.11) vid´ıme, ˇze souˇcet namˇeˇren´ych hodnot M(t0) a Λ(t0) je roven pˇribliˇznˇejedn´e. To n´as ale jeˇstˇeneopravˇnuje tvrdit, ˇze podle (19.6) a (19.7) je k = 0, a tud´ıˇzˇze skuteˇcn´yvesm´ırje ploch´y(tj. nekoneˇcn´yeukleidovsk´y), jak se v dneˇsn´ı dobˇeˇcasto uv´ad´ı.I kdyby byl souˇcet M(t0) + Λ(t0)=1.000000000000000001, st´ale se bude jednat o ohraniˇcen´yvesm´ır, kter´ylze popsat sf´erou (18.1) s nepˇredstavi telnˇevelk´ym polomˇerem. Takov´yprostor je lok´alnˇet´emˇeˇr eukleidovsk´y, i kdyˇzje st´ale jen koneˇcn´y. Mezi koneˇcn´ym ohraniˇcen´ym prostorem a nekoneˇcn´ym neohraniˇcen´ym 3 prostorem je ale obrovsk´yrozd´ıl(srov. t´eˇzz´avˇer kapitoly 18). Nav´ıc sf´era Sr m´a ´uplnˇe jinou topologii neˇzproklamovan´yploch´yvesm´ır E3. V ploch´em vesm´ıru by se hodnˇevzd´alen´egalaxie od sebe vzdalovaly nadsvˇetel n´ymi rychlostmi [100] — dokonce libovolnˇevelk´ymi rychlostmi,9 pokud by byly od sebe dostateˇcnˇedaleko. To ve vesm´ıru s kladn´ym indexem kˇrivosti nenast´av´a. Podle (19.1) m´akosmologick´akonstanta Λ fyzik´aln´ırozmˇer m−2. Hovoˇr´ıse o n´ıja ko o hustotˇeenergie, kter´aale m´av jednotk´ach SI zcela jin´y rozmˇer, a sice kg m−1s−2. Vˇsimnˇeme si, ˇze ve veliˇcin´ach definuj´ıc´ıch parametr (viz (19.7)) Λc2 Λ(t)= 3H2(t) se kg v˚ubec nevyskytuje. M˚uˇzeme tedy v˚ubec hovoˇrit o nˇejak´ehustotˇeenergie? c4 −2 Snadno zjist´ıme, ˇze v´yraz G m m´a fyzik´aln´ı rozmˇer jako hustota ener gie kg m−1s−2. V soustavˇe c = 1a G = 1 je to tak stejn´yrozmˇer, jako m´aΛ, protoˇze m˚uˇzeme kilogramy, sekundy a metry mezi sebou libovolnˇezamˇeˇnovat10 za 9Zde je d˚uleˇzit´esi uvˇedomit, ˇze nejedn´ao inerci´aln´ısyst´emy (srov. [288], s. 30)! Napˇr´ıklad pro konstantn´ıhodnotu Hubbleova parametru je expanzn´ıfunkce exponenci´aln´ı. 10V t´eto soustavˇejsou s´ıla, v´ykon ˇci rychlost bezrozmˇern´e veliˇciny, energii ale i ˇcas lze ud´avat v kilogramech apod. 212 19. Kritika standardn´ıho kosmologick´eho modelu pouˇzit´ıvhodn´ych multiplikativn´ıch konstant. Pˇrechodem k tˇemto pˇrirozen´ym jed notk´am se samozˇrejmˇeˇrada v´yraz˚uzjednoduˇs´ı.V rovnici (19.1) ale konstanty c a G jednotkov´enejsou. Proto Λ nelze interpretovat jako hustotu energie v soustavˇeSI. Jinou moˇznost´ı je uvaˇzovat jen c = 1. V t´eto soustavˇelze definovat hustotu energie vztahem ρΛ =Λ/(8πG), protoˇze lze mezi sebou zamˇeˇnovat metry a sekundy. Opˇet se ale nejedn´ao hustotu energie v soustavˇeSI. Proˇcby pouh´akonstanta Λ mˇela vˇernˇemodelovat skuteˇcnou expanzi vesm´ıru? Nen´ıto aˇzpˇr´ıliˇsvelk´ezjednoduˇsen´ıa hrub´aaproximace? Temn´aenergie se zavedla do standardn´ıho kosmologick´eho modelu, aby se vysvˇet lilo pozorovan´ezrychlen´erozp´ın´an´ıvesm´ıru a mohlo se tak eliminovat zjevn´eporuˇsen´ı z´akona zachov´an´ı energie. K tomuto jevu vˇsak m˚uˇze pˇrisp´ıvat gravitaˇcn´ı aberace (viz kapitola 17), kter´am´atak´erepulzivn´ıcharakter a sv´ymi ´uˇcinky generuje energii nutnou ke zrychlen´eexpanzi. Antigravitace je tak jak´asi skryt´as´ıla(angl. dark force), kter´aobecnˇep˚usob´ıodpudivou silou mezi pohybuj´ıc´ımi se galaxiemi a jejich kupami a ovlivˇnuje tedy rozp´ın´an´ıvesm´ıru. Ned´ase vˇsak popsat jedinou konstantou, protoˇze z´avis´ına poloze i na ˇcase. Jej´ızpr˚umˇerovan´e´uˇcinky pˇres prostor nejsou pops´any ˇz´adnou z´akladn´ıfyzik´aln´ıkonstantou, a tedy, je li expanze vesm´ıru alespoˇnˇc´asteˇcnˇe d˚usledkem gravitaˇcn´ıaberace, mˇela by se m´ısto konstanty Λ uvaˇzovat sp´ıˇse funkce Λ=Λ(t) (podobnˇejako Hubble˚uv parametr H(t) tak´ena ˇcase z´avis´ı). Standardn´ıkosmologick´ymodel pˇredpokl´ad´a, ˇze se expanze vesm´ıru projevuje pouze glob´alnˇea nikoliv lok´alnˇe. Podle [53], [54], [156], [179], [296] se vˇsak vesm´ır rozp´ın´ai lok´alnˇea to rychlost´ısrovnatelnou s Hubbleovou expanz´ı H0, viz t´eˇzkapi toly 11–15. ⊙ ⊙ ⊙ 19.6. Hlavn´ınedostatky kosmologick´eho modelu V dneˇsn´ıdobˇeje obt´ıˇzn´ese orientovat v z´aplavˇeinformac´ıt´ykaj´ıc´ıse kosmologie. D˚uleˇzit´eje umˇet rozliˇsovat, co je namˇeˇren´ahodnota a co je hodnota vypl´yvaj´ıc´ı z modelu, co je jen l´ıbiv´anumerick´asimulace ˇci umˇele obarven´y obr´azek a co je seri´ozn´ıv´ypoˇcet. Castoˇ nezn´ame ani zp˚usob, jak´ym se k urˇcit´emu tvrzen´ıdospˇelo a ˇs´ıˇr´ıme je d´ale. Vznik´atak kosmologick´yfolk´or. Na z´avˇer proto uved’me jeˇstˇejeden z´avaˇzn´yargument proti ΛCDM modelu. Kaˇzd´arovnice matematick´efyziky bez v´yjimky m´asv´aohraniˇcen´ına velikosti vyˇsetˇrovan´ych objekt˚u. Napˇr´ıklad standardn´ırovnice veden´ıtepla velice dobˇre apro ximuje skuteˇcnou teplotu v pevn´ych l´atk´ach o rozmˇerech srovnateln´ych s jedn´ımmet rem, o ˇcemˇzse lze pˇresvˇedˇcit mˇeˇren´ım. Kdybychom ale rovnici veden´ıtepla pouˇzili na atom´arn´ı´urovni v krychliˇcce o hranˇe10−10 m, dostaneme zjevn´enesmysly, stejnˇetak jako v krychli o hranˇe1010 m (tj. sedmin´asobku pr˚umˇeru Slunce), kter´aby teoreticky okamˇzitˇezkolabovala do ˇcern´ed´ıry. Tot´eˇzplat´ıi pro rovnice pruˇznosti, polovodiˇcov´e 213 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace rovnice, Navierovy–Stokesovy rovnice proudˇen´ı,Maxwellovy rovnice atd. Podobnˇe nem˚uˇzeme pouˇz´ıvat Keplerovy z´akony na ˇsk´al´ach 10−10 m nebo naopak Schr¨odin gerovu rovnici na objekty o velikosti koˇcky. Pˇri jak´emkoliv v´ypoˇctu je proto tˇreba starat se o chybu modelu (viz obr. 5.8). Pˇri odvozov´an´ıFriedmannov´ych rovnic (19.1) a (19.2) se ale Einsteinovy rovnice pouˇzij´ına cel´yvesm´ır. To se bere jako samozˇrejmost a nikdo se nezab´yv´aot´azkou, zda je v˚ubec opr´avnˇen´eprov´adˇet takov´esmˇel´ea niˇc´ım nepodloˇzen´eextrapolace, kdyˇzje zat´ımobecn´ateorie relativity provˇeˇrena“ jen na mnohem menˇs´ıch prostoroˇcasov´ych ” ˇsk´al´ach (zpomalov´an´ıelektromagnetick´ych vln v gravitaˇcn´ımpoli Slunce [245], strh´a v´an´ıprostoroˇcasu rotuj´ıc´ıZem´ı— Lense˚uv–Thirring˚uv precesn´ıefekt [161], st´aˇcen´ı perihelia dr´ahy Merkuru [187] apod.). Pˇritom galaxie maj´ırozmˇer ˇr´adovˇe1010 au a vesm´ırjeˇstˇealespoˇno ˇsest ˇr´adu v´ıce (srov. napˇr. (10.8)). V soudob´ekosmologii se ˇcasto setk´av´ame s n´asleduj´ıc´ıargumentac´ı.Galaxie se od sebe vzdaluj´ı,a proto musela b´yt v minulosti veˇsker´ahmota soustˇredˇen´av jed nom bodˇe(viz napˇr. [199], s. 70; [288], s. 17). Tato implikace je ale z matematick´eho hlediska chybn´a. Jako protipˇr´ıklad staˇc´ıuvaˇzovat vˇsude rostouc´ıexpanzn´ıfunkci C3t a(t)= C1 + C2e , t ∈ (−∞, ∞), kde C1,C2,C3 jsou kladn´ekonstanty, kter´anen´ınikde nulov´a— ani v limitˇe. Z´adn´edvaˇ body ve vesm´ıru (na obr. 18.5 je zn´azornˇen modˇre) nejsou kauz´alnˇe (tj. pˇr´ıˇcinnˇe) spojeny. Naproti tomu pozorovateln´yvesm´ır, kter´yje na obr. 18.5 vyznaˇcen ˇzlut´ym kuˇzelem, je kauz´alnˇespojen s naˇs´ıpˇr´ıtomnost´ıreprezentovanou vr cholem kuˇzele. Souˇcasn´arychlost rozp´ın´an´ıvesm´ıru v ˇcase t0 by proto mˇela z´aviset na hustotˇehmoty v minulosti, kter´aexpanzi gravitaˇcnˇeovlivˇnuje, protoˇze se gravitaˇcn´ı interakce ˇs´ıˇr´ıkoneˇcnou rychlost´ı.Napˇr´ıklad baryonov´al´atka rozp´ın´an´ıvesm´ıru brzd´ı a rychlost rozp´ın´an´ıvesm´ıru tak mus´ıb´yt ovlivnˇena jej´ı hustotou na vˇsech pˇredeˇsl´ych ˇcasov´ych vrstv´ach. Expanzn´ıfunkce by tak mˇela b´yt pops´ana rovnic´ı,jej´ıˇzˇreˇsen´ı 11 z´avis´ına historii vesm´ıru, tj. vˇsech hodnot´ach a(t) pro t ∈ (0, t0). Friedmannova rovnice (19.1) ale tuto vlastnost nem´a. Neobsahuje v sobˇeˇz´adn´ezpoˇzdˇen´ı dan´e koneˇcnou rychlost´ıˇs´ıˇren´ı gravitace. Je to jen obyˇcejn´adiferenci´aln´ı rovnice, jej´ıˇz ˇreˇsen´ına intervalu (t0, ∞) z´avis´ıpouze na hodnotˇeexpanzn´ıfunkce v bodˇe t0 a niko liv na historii, tj. n´asledn´aexpanze v˚ubec nez´avis´ına tom, jak se vesm´ırdo dan´eho okamˇzit´eho stavu dostal. Jin´ymi slovy, standardn´ıΛCDM model nen´ıv poˇr´adku. Pak se nesm´ıme divit, ˇze rozd´ılnamˇeˇren´ea teoreticky odvozen´e hustoty energie vakua je 120 ˇr´ad˚u(viz [3], s. 3, 109). Odtud je zˇrejm´e, ˇze energie vakua patrnˇenen´ıtou hlavn´ı pˇr´ıˇcinou zrychluj´ıc´ıho se rozp´ın´an´ıvesm´ıru. ⊙ ⊙ ⊙ 11V´yvoj mnoha dynamick´ych syst´em˚u(v biologii, dopravˇe, robotice, teorii materi´al˚u, telekomu- nikaci, . . . ) podstatnˇez´avis´ına tom, jak se syst´em do sv´eho okamˇzit´eho stavu dostal. Konkr´etn´ım pˇr´ıkladem je soustava (17.9)–(17.11) se zpoˇzdˇen´ym argumentem, kter´yvyjadˇruje pˇr´ısluˇsnou ˇcasovou prodlevu. 214 20. Zd´anlivˇenadsvˇeteln´erychlosti ve vesm´ıru Ten, kdo prohlaˇsuje, ˇze pochopil kosmologii, jen dokazuje, ˇze nepochopil v˚ubec nic. Feynmann˚uv v´yrok parafr´azoval Anton´ın Vrba 20.1. Pozorov´an´ınadsvˇeteln´ych rychlost´ı Podle Einsteinovy teorie relativity se ˇz´adn´ysign´al ani hmota nem˚uˇze pohybovat rychleji, neˇzje rychlost svˇetla ve vakuu c = 299792458 m/s. (20.1) Avˇsak v ˇr´ıjnu 1970 skupina radioastronom˚upˇri provˇeˇrov´an´ıplatnosti ˇctvrt´eho efek tu [245] obecn´eteorie relativity zcela neˇcekanˇeobjevila v´ytrysky plazmatu (jety) z kvasaru1 3C 279, jejichˇzrychlost vypoˇcten´az ´uhlov´ych mˇeˇren´ı pˇrevyˇsovala c, viz [198], s. 3. Tento jev nez´avisle potvrdily (t´eˇzpro sousedn´ı kvasar 3C 273) v ´uno ru 1971 dalˇs´ı dva t´ymy odborn´ık˚u. Vz´apˇet´ı se vytvoˇrila ˇrada hypot´ez, jak tento paradox nadsvˇeteln´ych rychlost´ıvysvˇetlit. Zast´anci jedn´eteorie tvrdili, ˇze vzd´alenost kvasaru je z ˇcerven´eho posuvu jeho spektra odhadnuta nespr´avnˇe. Jin´ıargumentovali t´ım, ˇze vesm´ırbyl v dobˇev´yronu plazmatu mnohem menˇs´ı,nebot’ kvasar je od n´as vzd´alen nˇekolik miliard svˇeteln´ych let, a tud´ıˇzse mˇeˇren´ızorn´eho ´uhlu mus´ızcela jinak interpretovat. Od roku 1970 byly nadsvˇeteln´erychlosti pozorov´any u ˇrady dalˇs´ıch kvasar˚u, viz [186], [198], [216]. U nˇekter´ych vytryskovala oblaka mezihvˇezdn´ehmoty rychlo st´ıznaˇcnˇepˇrevyˇsuj´ıc´ırychlost svˇetla, a to aˇzdesetkr´at! U takto velk´erychlosti se zd´alo b´yt velice nepravdˇepodobn´evysvˇetlen´ıop´ıraj´ıc´ı se o chybnˇeurˇcenou vzd´alenost 1Kvasary jsou velmi vzd´alen´eobjekty s velk´ym posuvem spektra smˇerem k ˇcerven´emu konci. Pˇredstavuj´ıranou v´yvojovou f´azi galaxi´ı.V jejich stˇredu je pravdˇepodobnˇesupermasivn´ıˇcern´ad´ıra o hmotnosti 106 aˇz1010 Slunc´ı. 215 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace Obr. 20.1. V´ytrysky plazmatu z mikrokvasaru GRS1915+105, kter´yje na obr´azku oznaˇcen symbolem +. Upraveno podle [186]. z ˇcerven´eho posuvu. Proto nˇekteˇr´ıvˇedci zaˇcali zpochybˇnovat samotnou teorii rela tivity, jin´ızase urˇcen´ıHubbleovy konstanty, kter´acharakterizuje rozp´ın´an´ıvesm´ıru, apod. Pak ale pˇriˇsel senzaˇcn´ıobjev (srov. [184], [185]) mikrokvasaru2 GRS1915+105 vzd´alen´eho od Zemˇejen 40 000 svˇeteln´ych let (≈ 3.78 1017 km). Jeho v´ytrysky plazmatu podle ´uhlov´ych mˇeˇren´ıopˇet pˇrevyˇsovaly rychlost svˇetla. Podstatn´eovˇsem bylo, ˇze tento objekt je v naˇs´ıGalaxii. K vysvˇetlen´ıparadoxu nadsvˇeteln´ych rychlost´ı se tedy jiˇznemuselo br´at v ´uvahu rozp´ın´an´ıvesm´ıru, protoˇze vzd´alenost tohoto mik rokvasaru od Zemˇeje prakticky konstantn´ı.V pr´aci [186] se nav´ıcprokazuje, ˇze nejde jen o svˇeteln´yz´ablesk proch´azej´ıc´ıv´yrony plazmatu, ale o pohybuj´ıc´ıse plazma. Na obr. 20.1 vid´ıme, ˇze za pouh´ych 29 dn´ıod 18. bˇrezna 1994 do 16. dubna 1994 se oba oblaky plazmatu od sebe vzd´alily o 0.816′′, coˇzv projekci odpov´ıd´apˇribliˇznˇe 2Mikrokvasar je dvojhvˇezda, jej´ıˇzjedna sloˇzka je ˇcern´a d´ıra o hmotnosti 6 aˇz10 Slunc´ı,kter´a z druh´esloˇzky vytrh´av´aplazma a obklopuje se tzv. akreˇcn´ım diskem. C´astˇ plazmatu je patrnˇevlivem extr´emnˇerychl´erotace ˇcern´ed´ıry d´ale vyvrhov´ana obrovskou rychlost´ıve dvou ´uzk´ych opaˇcnˇe orientovan´ych v´ytrysc´ıch kolm´ych na rovinu disku. Mechanizmus jejich vzniku je st´ale pˇredmˇetem intenz´ıvn´ıho v´yzkumu. 216 20. Zd´anlivˇenadsvˇeteln´erychlosti ve vesm´ıru 10 000 au. Symbol + vyznaˇcuje um´ıstˇen´ızdroje, kter´yleˇz´ıv tˇeˇziˇsti soustavy. Jeho polohu v´ytrysky plazmatu prakticky neovlivnily. Lev´y, jasnˇejˇs´ı oblak se od mik rokvasaru vzd´alil zhruba o 6235 au a prav´yo nˇeco m´enˇe. Jak uvid´ıme v n´asleduj´ıc´ım odd´ılu, tuto asymetrii lze vysvˇetlit t´ım, ˇze osa pˇr´ısluˇsn´eho v´ytrysku sv´ır´ase smˇerem pohledu ostr´y´uhel, tj. lev´yoblak plazmatu smˇeˇruje k n´am. Z pohledu pozorovatele (viz obr. 20.1) se tak zd´a, ˇze sledovan´yjev odpov´ıd´ana obloze rychlosti 6235 149.6 106 v∗ = = 372292 (km/s), (20.2) 29 24 3600 kter´azjevnˇepˇrevyˇsuje rychlost svˇetla (20.1). ⊙ ⊙ ⊙ 20.2. Matematick´eobjasnˇen´ıpozorovan´eho paradoxu Pˇredpokl´adejme, ˇze mikrokvasar m´aod n´as konstantn´ıvzd´alenost (jinak bychom mu seli pouˇz´ıvat vztahy pro relativistick´esˇc´ıt´an´ırychlost´ı). Necht’ α ≤ 90◦ oznaˇcuje ´uhel, kter´ysv´ır´apˇr´ımka mikrokvasar–pozorovatel a pˇr´ımka, pod´el n´ıˇzdoch´az´ık v´ytrysk˚um plazmatu (viz obr. 20.2). Pro jednoduchost d´ale pˇredpokl´adejme, ˇze skuteˇcn´arych lost v v´ytrysk˚uplazmatu je konstantn´ı.Pˇritom jej´ıradi´aln´ı,resp. tangenci´aln´ısloˇzka vzhledem k pozorovateli je zˇrejmˇe v cos α, resp. v sin α. Pak za ˇcas t plazma dospˇeje do vzd´alenosti vt od mikrokvasaru. Pro α< 90◦ se jeden v´ytrysk plazmatu vlastnˇepˇribliˇzuje k pozorovateli. V ˇcase t je o vt cos α bl´ıˇze neˇzmikrokvasar. Proto doba t∗, po kterou pozorovatel sleduje plazma velmi vzd´alen´y t cos pozorovatel mikrokvasar t t sin plazma Obr. 20.2. Schematick´ezn´azornˇen´ıvyˇsetˇrovan´eho jevu 217 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace v´ytrysk plazmatu z mikrokvasaru aˇzdo jeho moment´aln´ı pozice na obr. 20.2, je menˇs´ıneˇzskuteˇcn´adoba t. Tedy v t∗ = t − t cos α, (20.3) c kde (vt cos α)/c je ˇcas, za kter´yuraz´ısvˇetlo let´ıc´ı koneˇcnou rychlost´ı c dr´ahu vt cos α. A pr´avˇev tom spoˇc´ıv´ahlavn´ıpˇr´ıˇcina paradoxu, nebot’ zd´anliv´arychlost plazmatu pak podle (20.3) je vt sin α v sin α v∗ = = (20.4) t∗ 1 − (v/c) cos α a tento pod´ılm˚uˇze snadno b´yt vˇetˇs´ıneˇz c. Napˇr´ıklad pro mikrokvasar z obr. 20.1 se v [184] a [186] uv´ad´ı´uhel α = 71◦ a skuteˇcn´arychlost3 v = 0.92 c. Odpov´ıdaj´ıc´ı zd´anliv´anadsvˇeteln´arychlost podle (20.4) ˇcin´ı v∗ =1.24 c a je plnˇev souladu s namˇeˇrenou rychlost´ı(20.2). Doba, po kterou oblak plazmatu skuteˇcnˇeputoval, je t = 42.3 dny a svˇetlo uraz´ıvzd´alenost vt cos α z obr. 20.2 za 13.3 dn´ı.Proto je doba jevu pozoro van´eho ze Zemˇejen t∗ = 42.3 − 13.3 = 29 dn´ı. Svˇetlo z koncov´ef´aze jevu k n´am letˇelo o 13.3 dn´ım´enˇeneˇz z poˇc´ateˇcn´ıf´aze, protoˇze jiˇznepˇrekon´av´avzd´alenost vt cos α. Povˇsimnˇeme si, ˇze funkce v∗ = v∗(α, v) definovan´apravou stranou vztahu (20.4) 1 na mnoˇzinˇe[0, 2 π] × [0,c) m´av okol´ıbodu (0,c) podstatnou singularitu. Vhodnou volbou ´uhlu α a skuteˇcn´erychlosti v 3Prakticky stejn´arychlost v´ytrysk˚ubyla nalezena i u mikrokvasaru GRO J1655-40, kter´yje od n´as vzd´alen jen 10 000 svˇeteln´ych let — viz [186]. 218 20. Zd´anlivˇenadsvˇeteln´erychlosti ve vesm´ıru Obr. 20.3. Oblast zd´anlivˇenadsvˇeteln´ych rychlost´ıje vyznaˇcena ˇsrafovanˇe. ⊙ ⊙ ⊙ 20.3. Nadsvˇeteln´erychlosti v kosmologick´ych vzd´alenostech Pro vysvˇetlen´ıpozorovan´ych nadsvˇeteln´ych rychlost´ıv´yron˚uplazmatu u vzd´alen´ych kvasar˚u(tj. objekt˚umimo naˇsi Galaxii) je kromˇevztah˚u(20.3)–(20.4) nutno vz´ıt v ´uvahu dalˇs´ıefekty. Zd´anlivˇenadsvˇeteln´erychlosti mohou b´yt teoreticky zp˚usobeny gravitaˇcn´ıˇcoˇckou, coˇzm˚uˇze b´yt napˇr. mezilehl´agalaxie, v jej´ımˇzokol´ıse podle teorie relativity zakˇrivuje svˇetlo podobnˇejako ve spojn´esklenˇen´e ˇcoˇcce (viz napˇr. [88], [268]). V dalˇs´ımodd´ıluuk´aˇzeme, jak vlastn´ırozp´ın´an´ıvesm´ıru zp˚usobuje vznik jevu, kter´ynazveme ˇcasov´aˇcoˇcka, jeˇzm´atak´evliv na pozorovan´enadsvˇeteln´erychlosti v´ytrysk˚uv kosmologick´ych vzd´alenostech. V kr´atkosti si pˇripomeˇnme vˇseobecnˇe pˇrij´ıman´ymodel naˇseho vesm´ıru s kladnou kˇrivost´ız kapitoly 18 (viz t´eˇz[187], s. 724). V tomto idealizovan´em modelu je vesm´ır(prostor) charakterizov´an jako trojrozmˇern´y povrch (18.1) rozp´ınaj´ıc´ıse ˇctyˇrrozmˇern´ekoule o polomˇeru r = r(t). Pro libovoln´y pevn´yˇcasov´yokamˇzik t je tak rozp´ın´an´ıve vˇsech bodech a ve vˇsech smˇerech stejn´e. Hovoˇr´ıme o homogenn´ıma izotropn´ımmodelu, v nˇemˇzse ignoruj´ıveˇsker´elok´aln´ı nepravidelnosti. To je d˚uleˇzit´yzjednoduˇsuj´ıc´ıpˇredpoklad tzv. Einsteinova kosmolo- gick´eho principu z odd´ılu10.3. Vlastn´ırozp´ın´an´ısi m˚uˇzeme pˇredstavit jako nafukuj´ıc´ıse bal´onek, pokud ovˇsem ubereme jeden prostorov´yrozmˇer (viz [270], s. 201). Jestliˇze ubereme jeˇstˇejeden prostorov´yrozmˇer, dostaneme situaci z obr. 20.4. Zde je vesm´ır“ kruˇznice, jej´ıˇz ” polomˇer se zvˇetˇsuje s ˇcasem. 219 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace kvasar Zemˇe Velk´y tˇresk minulost souˇcasnost Obr. 20.4. Schematick´e zn´azornˇen´ı rozp´ın´an´ı vesm´ıru. Projekce prostoroˇcasu (srov. obr. 18.5) ve smˇeru ˇcasov´eosy t pˇredstavuje model vesm´ıru pomoc´ınafukuj´ıc´ıho se bal´onku. Zlutˇejeˇ vyznaˇcena dr´aha fotonu smˇeˇruj´ıc´ıho ze vzd´alen´eho kvasaru na Zemi. ⊙ ⊙ ⊙ 20.4. Princip ˇcasov´eˇcoˇcky Kvasary vzd´alen´eod n´as nˇekolik miliard svˇeteln´ych let vid´ıme nutnˇese zpoˇzdˇen´ım, dan´ym koneˇcnou rychlost´ısvˇetla. Proto mus´ıme d˚uslednˇe rozliˇsovat tehdejˇs´ı“ sku ” teˇcn´erozmˇery, tj. velikosti, v dobˇe, kdy sledovan´efotony opustily okol´ı kvasaru a vesm´ırbyl mnohem menˇs´ı,a dneˇsn´ı“ zd´anliv´erozmˇery charakterizuj´ıc´ıtoto okol´ı ” ve chv´ıli, kdy jsme prad´avn´e“ fotony (viz ˇc´arkovan´aˇc´ara na obr. 20.4) zachytili ” pozemsk´ym dalekohledem. Zhruba ˇreˇceno, ˇc´ımje pozorovan´yobjekt vzd´alenˇejˇs´ı, t´ımbyl jemu odpov´ıdaj´ıc´ı vesm´ır menˇs´ı, a proto t´ım vˇetˇs´ı se n´am paradoxnˇejev´ı rozmˇery objektu pomoc´ı ´uhlov´ych mˇeˇren´ı.Tento jev nazveme zvˇetˇsen´ıˇcasovou ˇcoˇckou. Zvˇetˇsen´ıje definov´ano vztahem Z = z +1, kde z je odpov´ıdaj´ıc´ıˇcerven´yposuv. Fungov´an´ıˇcasov´eˇcoˇcky ilustrujme na tˇrech konkr´etn´ıch pˇr´ıkladech. 220 20. Zd´anlivˇenadsvˇeteln´erychlosti ve vesm´ıru Pˇr´ıklad 20.1. Obr. 16.1 n´am ukazuje vesm´ır, jak vypadal zhruba pˇred 10 aˇz 13 miliardami let. Je to zn´am´eHubbleovo hlubok´epole (angl. Hubble Deep Field), jehoˇzstˇred m´asouˇradnice pˇribliˇznˇeRA = 12 h 37 min a DE = 62◦ 13′ a ˇs´ıˇrka sn´ımku odpov´ıd´anepatrn´emu ´uhlu 3′. Podle obr. 8.7 byl odpov´ıdaj´ıc´ıˇcerven´yposuv z ≈ 3. Galaxie se tehdy utv´aˇrely a byly proto menˇs´ıneˇzdneˇsn´ıjiˇzvyvinut´egalaxie (viz kapitola 16). Zde tedy doˇslo aˇzke ˇctyˇrn´asobn´emu zvˇetˇsen´ı Z ≈ 4. V roce 1998 byla z´ısk´ana fotografie tzv. Hubbleova jiˇzn´ıho hlubok´eho pole (angl. Hubble Deep Field South), kde jsou nˇekter´egalaxie jeˇstˇevzd´alenˇejˇs´ı.V tomto pˇr´ıpadˇe je efekt zvˇetˇsen´ıo nˇeco vˇetˇs´ıneˇzna obr. 16.1. Pˇr´ıklad 20.2. Dalˇs´ımpˇr´ıkladem fungov´an´ıˇcasov´eˇcoˇcky je reliktn´ı z´aˇren´ı,kter´e poch´az´ız doby asi 380 000 let po Velk´em tˇresku, kdy vznikly atomy a vesm´ırse stal pro fotony pr˚uhledn´ym“. Toto t´emˇeˇrhomogenn´ıa izotropn´ız´aˇren´ık n´am pˇrich´az´ı ” z cel´eoblohy ze vzd´alenosti pˇres 13 miliard svˇeteln´ych let — tzv. horizontu pozo rovateln´eho vesm´ıru. Vzniklo ale v dobˇe, kdy byl vesm´ırcca 1 000kr´at menˇs´ı,neˇzje dnes. Podle [60] je odpov´ıdaj´ıc´ıˇcerven´yposuv z = 1089. Odtud m˚uˇzeme mj. odhad nout pr˚ubˇeh expanzn´ıfunkce r = r(t)= a(t) ze vztahu (18.3) v bl´ızkosti poˇc´atku, tj. 1090 r(t1) ≈ r(t0) pro t1 = 380000 let, kde r(t0) je souˇcasn´ahodnota expan zn´ıfunkce. Rychlost rozp´ın´an´ıvesm´ıru byla tehdy obrovsk´a. V dobˇe, kdy vzniklo reliktn´ı z´aˇren´ı,by na obr. 20.4 vesm´ır pˇredstavovala jen nepatrn´akruˇznice o po lomˇeru pˇribliˇznˇetis´ıckr´at menˇs´ım, neˇzje polomˇer kruˇznice odpov´ıdaj´ıc´ısouˇcasnosti. Pˇr´ısluˇsn´ezvˇetˇsen´ıje d´ano vztahem Z = 1090 = r(t0)/r(t1). Pˇr´ıklad 20.3. Koneˇcnˇejako posledn´ı drastick´y“ pˇr´ıklad obrovsk´eho zvˇetˇsen´ı ” pomoc´ıˇcasov´eˇcoˇcky uved’me samotn´yVelk´ytˇresk, kter´yse ud´al zhruba pˇred ne cel´ymi 14 miliardami let. Pˇrestoˇze probˇehl ve zcela minim´aln´ım objemu, dnes se vlastnˇezd´anlivˇenach´az´ına sf´eˇre s nepˇredstavitelnˇevelk´ym polomˇerem (jeˇstˇevˇetˇs´ım neˇzv pˇredchoz´ımpˇr´ıkladu). K jeho detekci by byla zapotˇreb´ıreliktn´ıneutrina ˇci reliktn´ıgravitaˇcn´ıvlny. A tak ˇc´ımd´ale hled´ıme, t´ımje odpov´ıdaj´ıc´ıpozorovan´asf´era zd´anlivˇevˇetˇs´ıa vˇetˇs´ı, pˇrestoˇze byl vesm´ır menˇs´ı a menˇs´ı. To je hlavn´ı princip fungov´an´ı ˇcasov´eˇcoˇcky. Skuteˇcnˇese ale projevuje aˇzpro hodnˇevelk´evzd´alenosti (ˇr´adovˇemiliardy svˇeteln´ych let). Sledovan´eobjekty z doby t vid´ıme totiˇzzvˇetˇsen´e r(t0)/r(t) kr´at a hodnoty funkce r = r(t) jsou mal´e“ jen v bl´ızkosti poˇc´atku. Proto se m˚uˇze st´at, ˇze nˇejakou ” velice vzd´alenou galaxii pro z ≈ 1, kter´aod n´as bude desetkr´at d´ale neˇzjin´abliˇzˇs´ı o stejn´evelikosti, neuvid´ıme desetkr´at menˇs´ı,ale jen cca pˇetkr´at menˇs´ıneˇzbliˇzˇs´ı galaxii. Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze pozorovan´enadsvˇeteln´erychlosti nikterak neodporuj´ı teorii relativity. Mohou b´yt, zhruba ˇreˇceno, vysvˇetleny vztahy (20.3)–(20.4). U vzd´a len´ych objekt˚umimo naˇsi Galaxii je nutno t´eˇzpˇrihl´ednout k samotn´emu rozp´ın´an´ı vesm´ıru, kter´ezp˚usobuje efekt ˇcasov´eˇcoˇcky. Pˇritom je nezbytn´ese zab´yvat ot´azkou spr´avn´einterpretace velikosti namˇeˇren´eho zorn´eho ´uhlu pˇri pohledu do hlubin vesm´ı 221 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace ru. Kr´atce po Velk´em tˇresku se vesm´ırmohl rozp´ınat skuteˇcnˇenadsvˇetelnou rychlost´ı, protoˇze odpov´ıdaj´ıc´ı expanzn´ı funkce zde m´aobrovskou derivaci (viz obr. 13.4). S3 Pokud je napˇr´ıklad r spr´avn´ymodel naˇseho vesm´ıru, pak podle (10.8) jeho polomˇer r = r(t) v pr˚umˇeru nar˚ustal vysoce nadsvˇetelnou rychlost´ı140 Gly/14 Gyr= 10c. ⊙ ⊙ ⊙ 20.5. Co bylo pˇred Velk´ym tˇreskem? Ve standardn´ım kosmologick´em modelu se pˇredpokl´ad´a, ˇze ˇcas od sv´eho poˇc´atku plyne zcela rovnomˇernˇe. Proto ˇcasto sl´ych´ame ot´azku (viz napˇr. [187], s. 769): Co bylo pˇred Velk´ym tˇreskem? Zde je d˚uleˇzit´esi uvˇedomit, ˇze se libovoln´ym smˇerem v pozorovateln´em vesm´ıru vlastnˇed´ıv´ame do obrovsk´eprostoroˇcasov´esingularity. C´ımˇ odlehlejˇs´ı objekty pozorujeme, t´ım v´ıce se n´am jev´ı, ˇze ˇcas plyne pomaleji. Kdyby byly obrovsk´ehodiny um´ıstˇen´enapˇr. ve vzd´alenosti z = 1 od Zemˇe, pozorovali bychom, jak jde jejich vteˇrinov´aruˇciˇcka dvakr´at pomaleji. Zat´ımnejd´ale dohl´edneme do vzd´alenosti 380 000 let po Velk´em tˇresku, kdy vzniklo reliktn´ı z´aˇren´ıodpov´ıdaj´ıc´ı rud´emu posuvu z = 1089. V tomto pˇr´ıpadˇebychom za pozemskou hodinu vidˇeli, ˇze se 3600 tamn´ıvteˇrinov´aruˇciˇcka posunula jen o 3.3= 1090 sekundy. Pokud nˇekdy dohl´edneme d´ale neˇz z = 1089 (napˇr. pomoc´ıdetektor˚ureliktn´ıch neutrin), bude se n´am zd´at, ˇze pˇr´ısluˇsn´yˇcas plyne jeˇstˇepomaleji atd. Singularita Velk´eho tˇresku tak deformuje nejenom prostor, ale i ˇcas. V kosmolo gick´ych modelech by se proto mˇelo pˇresnˇedefinovat, co je 1 sekunda v obdob´ıalespoˇn 380 000 let po Velk´em tˇresku. V souˇcasnosti se zav´ad´ıpomoc´ıpˇrechodu mezi dvˇema hladinami z´akladn´ıho stavu atomu cesia v klidu a pˇri teplotˇe0 K. Jak ale definovat sekundu v dobˇe, kdy ˇz´adn´ecesium neexistovalo? Vˇetˇsinou se zpˇetnˇev ˇcase extrapo luj´ıhodnoty poloˇcas˚urozpad˚uzn´am´ych ˇc´astic. Pˇritom nen´ıjasn´e, zda to lze takto prov´adˇet napˇr. pro extr´emnˇesiln´agravitaˇcn´ıpole tˇesnˇepo Velk´em tˇresku a hovoˇrit o ˇcasech 10−43 s, kdy jen stˇeˇz´ımohly existovat nˇejak´en´am zn´am´eˇc´astice. Podle pˇr´ıkladu 20.3 se Velk´ytˇresk od n´as vlastnˇenach´az´ıkaˇzd´ym smˇerem jeˇstˇe za sf´erou reliktn´ıho z´aˇren´ı.Zp˚usobila jej zat´ımn´am nezn´am´aantigravitaˇcn´ıs´ıla. ⊙ ⊙ ⊙ 222 21. Proˇcvznikla tato kniha Naˇse pˇr´ıˇst´ıobjevy lze oˇcek´avat aˇzna ˇsest´em desetinn´em m´ıstˇe. Albert Abraham Michelson Mˇel jsem to ˇstˇest´ı,ˇze oba moji rodiˇce vystudovali matematiku a fyziku na Pˇr´ıro- dovˇedeck´efakultˇeUK v Praze. Kdykoliv jsem se jich tedy mohl zeptat na ˇreˇsen´ı nejr˚uznˇejˇs´ıch matematicko-fyzik´aln´ıch probl´em˚u, kter´emi vrtaly hlavou. Tak´es obˇe- ma dˇedeˇcky a pozdˇeji i obˇema syny jsem mohl diskutovat mnoh´eot´azky t´ykaj´ıc´ı se matematiky a fyziky. Bez tohoto rodinn´eho z´azem´ıbych se asi jen tˇeˇzko dostal k problematice temn´ehmoty a temn´eenergie, o n´ıˇzpojedn´av´atato kn´ıˇzka. V roce 1990 jsem v Rektorysovˇe Pˇrehledu uˇzit´ematematiky [220] narazil na vzorce popisuj´ıc´ıtrajektorii hmotn´eho bodu v gravitaˇcn´ımpoli. To mˇepˇrivedlo k myˇslence naprogramovat si ´ulohu tˇr´ıtˇeles, kter´ana sebe gravitaˇcnˇep˚usob´ıv rovinˇe. Pˇr´ısluˇsn´y program zobrazuj´ıc´ı dr´ahy tˇeles pˇr´ımo na obrazovce poˇc´ıtaˇce byl pak uveˇrejnˇen v [122]. Pozdˇeji jsem sv˚uj program d´ale zobecnil do tˇr´ırozmˇer˚ua na probl´em v´ıce tˇeles. Nˇekter´azaj´ımav´aˇreˇsen´ımi vyˇsla v mezin´arodn´ımˇcasopise Journal of Compu- tational and Applied Mathematics [123]. Pouˇz´ıval jsem jen Newtonovu mechaniku, kde se pˇredpokl´ad´anekoneˇcn´arychlost ˇs´ıˇren´ıgravitaˇcn´ıinterakce a v´ysledn´etrajek- torie jsou pops´any soustavou obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic (viz (5.8)). Shodou okolnost´ıjsem pracoval v oddˇelen´ıMatematick´eho ´ustavu CSAV,ˇ kter´ese zab´yv´a pr´avˇenumerick´ym ˇreˇsen´ımdiferenci´aln´ıch rovnic. Anal´yzu chyb mˇenauˇcili hlavnˇe Ing. Ivan Hlav´aˇcek, Dr. Milan Pr´ager, prof. Karel Segeth a Dr. Emil Vit´asek. V roce 1996 jsem program zobecnil na pˇr´ıpad, ˇze rychlost ˇs´ıˇren´ı gravitaˇcn´ı interakce cG je koneˇcn´a. Probl´em byl pops´an soustavou obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic se zpoˇzdˇen´ıma parametr cG se mohl zad´avat libovolnˇe. Pro 2 tˇelesa a vhodn´e poˇc´ateˇcn´ıpodm´ınky model (17.9)–(17.11) d´aval m´ırnˇese rozv´ıjej´ıc´ıspir´aln´ıtrajek- torie, coˇzovˇsem odporuje z´akonu zachov´an´ıenergie (ZZE). Nˇekde v syst´emu se tedy energie skrytˇegenerovala. Intuice mi vˇsak napov´ıdala, ˇze tento model popisuje realitu 223 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace l´epe pro vhodn´e cG < ∞ neˇzklasick´aNewtonova mechanika pro cG = ∞. Zaˇc´atkem ˇcervence 1998 jsem o tomto jevu referoval na konferenci Modelling’98 v Praze a napsal ˇcl´anek [124], kter´yvyˇsel v Mathematics and Computers in Simulation v roce 1999. Zde na stranˇe243 jen kr´atce zmiˇnuji neplatnost ZZE. B´al jsem se totiˇz, aby ˇcl´anek nebyl zam´ıtnut. R´ıkatˇ fyzikovi, ˇze je naruˇsen z´akon zachov´an´ıenergie, je podobn´e jako ˇr´ıkat matematikovi, ˇze neplat´ıPythagorova vˇeta. Rozd´ılje ale v tom, ˇze ma- tematici umˇej´ıPythagorovu vˇetu dok´azat (a to hned nˇekolika stovkami zp˚usob˚u), zat´ımco fyzici pˇrij´ımaj´ıplatnost ZZE bez d˚ukazu, pouze na z´akladˇemˇeˇren´ı,pozo- rov´an´ıˇci zkuˇsenost´ı.ZZE je vlastnˇejen zjednoduˇsen´ı reality vyj´adˇren´epomoc´ıma- tematick´ych model˚u(vzorc˚u). Dobˇre jsem si tehdy uvˇedomoval, ˇze kdybych pˇr´ımo napsal, ˇze dvˇeizolovan´aa vz´ajemnˇese ob´ıhaj´ıc´ıtˇelesa ve vesm´ıru generuj´ıenergii, a tedy vlastnˇeexistuje jak´esi kosmick´eperpetuum mobile, byl by ˇcl´anek okamˇzitˇe zam´ıtnut. Byl to ale prvn´ıstˇr´ıpek do mozaiky, kterou budeme d´ale skl´adat. Z´ahadˇejsem se pokouˇsel pˇrij´ıtna kloub. Hlavn´ıroli zde hr´al pojem gravitaˇcn´ı aberace, protoˇze tˇelesa na sebe gravitaˇcnˇenep˚usobila ve sv´ych okamˇzit´ych poloh´ach, protoˇze jistou dobu trv´a, neˇzse pˇrenese informace o poloze jednoho tˇelesa ke dru- h´emu [124]. Vod´ıtkem pro mˇebylo, ˇze aberaˇcn´ı jevy vykazuje i svˇetlo, nebot’ se tak´eˇs´ıˇr´ıkoneˇcnou rychlost´ı(viz odd´ıl2.9). Pojem gravitaˇcn´ıaberace jsem poprv´e slyˇsel od doc. Martina Solce,ˇ kter´ynapsal moji obl´ıbenou kn´ıˇzku [270], jednu z m´ala popul´arnˇe-vˇedeck´ych astronomick´ych publikac´ı,kter´aobsahuje i vzoreˇcky. V t´edobˇejsem nic netuˇsil o zrychlen´em rozp´ın´an´ı vesm´ıru, jeˇzzp˚usobovala nezn´am´a temn´a energie. Tento pˇrekvapiv´y objev byl uˇcinˇen kolem roku 1998 (viz [204], [222], [71]), ale j´ajsem se o nˇem dozvˇedˇel aˇznˇekdy na poˇc´atku 21. stolet´ı. Hodnˇejsem tehdy pˇrem´yˇslel o tom, jak zmˇeˇrit skuteˇcnou rychlost gravitaˇcn´ıinter- akce [128], coˇzje dosud nevyˇreˇsen´yprobl´em, kter´yby mohl k pochopen´ıpodstaty temn´eenergie pˇrispˇet. Pokud by rychlost gravitaˇcn´ıinterakce byla stejn´ajako rychlost svˇetla, jak pˇred- pokl´ad´aEinsteinova teorie relativity, pak m˚uj program d´aval pomˇernˇerychle se rozv´ıjej´ıc´ıdr´ahy dvou tˇeles po spir´ale, coˇzodporuje skuteˇcnosti. Pro cG ≫ c a tedy malou hodnotu gravitaˇcn´ı aberace (viz [65]) vych´azela naopak docela realistick´a ˇreˇsen´ı.Zaj´ımalo mˇeproto, zda Slunce p˚usob´ıgravitaˇcnˇe na Zemi pˇresnˇeze smˇeru, kde ho vid´ıme, nebo zda je vektor t´eto s´ılynepatrnˇeposunut mimo jeho stˇred. S touto ot´azkou jsem navˇst´ıvil Dr. Jana Vondr´aka z Astronomick´eho ´ustavu AV CR.ˇ Ptal jsem se jej t´eˇz, zda se pˇri v´ypoˇctu drah planet uvaˇzuje gravitaˇcn´ıvliv Jupitera na Zemi z polohy, kde astronomov´eJupiter pr´avˇepozoruj´ı,nebo z jeho okamˇzit´epo- lohy, o kterou se op´ır´aNewtonova mechanika. Vzpom´ın´am si, ˇze byl moji ot´azkou ponˇekud zaskoˇcen. Svˇetlo z povrchu Jupitera totiˇzlet´ına Zemi cca 45 minut a za tu dobu se Jupiter nepatrnˇeposune. Rychl´yMerkur se pˇri sv´em nejbliˇzˇs´ımpˇribl´ıˇzen´ı k Zemi dokonce pˇrem´ıst´ıo 3 sv´epr˚umˇery, neˇzjeho svˇetlo dopadne na Zemi, coˇzje pomˇernˇevelk´ahodnota. V dlouhodob´ych numerick´ych simulac´ıch v´yvoje Sluneˇcn´ı soustavy se podobn´aopoˇzdˇen´ap˚usoben´ımus´ıprojevit. 224 21. Proˇcvznikla tato kniha Prvn´ımsyst´emem, v nˇemˇzjsem se snaˇzil naj´ıtprojevy gravitaˇcn´ıaberace, byla dvojplaneta Zemˇe–Mˇes´ıc. Vˇedˇel jsem, ˇze se Mˇes´ıcse vzdaluje od Zemˇea ˇze se vesm´ır rozp´ın´a. I kdyˇzse vˇeˇr´ı,ˇze tyto jevy nemaj´ınic spoleˇcn´eho, pokusil jsem se obˇerych- losti porovnat. Jak´evˇsak tehdy bylo moje pˇrekvapen´ı,kdyˇz jsem zjistil, ˇze souˇcasn´a pr˚umˇern´arychlost rozp´ın´an´ı vesm´ıru dan´aHubbleovou konstantou je 2.6 cm na vzd´alenost Zemˇe–Mˇes´ıc, coˇzje ˇr´adovˇestejnˇevelk´ahodnota, jakou se Mˇes´ıcvzdaluje od Zemˇe(3.8 cm za rok). Nˇekteˇr´ıfyzikov´emi ˇr´ıkali, ˇze je to jen n´ahodn´ashoda ˇc´ısel, jin´ımˇedokonce obviˇnovali z numerologie. Na radu doc. Attily M´esz´arose z Astrono- mick´eho ´ustavu UK jsem se tehdy pokusil ze z´akona zachov´an´ımomentu hybnosti vypoˇc´ıtat, kolik ˇcin´ırychlost vzdalov´an´ıMˇes´ıce od Zemˇe zp˚usoben´aslapov´ymi si- lami. Vyˇslo mi 2.1 cm za rok (viz kapitola 12). Pro zb´yvaj´ıc´ıch 1.7 cm ned´avala Newtonova mechanika ˇz´adn´epˇrijateln´evysvˇetlen´ı. Gravitaˇcn´ıaberace zp˚usobuj´ıc´ı odpudivou antigravitaˇcn´ıs´ıluvˇsak mohla b´yt pˇr´ıˇcinou tohoto pˇr´ıdavn´eho rozp´ın´an´ı. Kdybychom tedy ˇcistˇeteoreticky spojili lanem Zemi s Mˇes´ıcem, mohli bychom napˇr. rozt´aˇcet nˇejak´ysetrvaˇcn´ıka generovat tak energii zdarma. Pˇritom vzdalov´an´ıMˇes´ıce od Zemˇeo 1.7 cm za rok, kter´enezp˚usobuj´ıslapov´es´ıly, odpov´ıd´av´ykonu 27 te- mel´ınsk´ych jadern´ych elektr´aren. V´ysledky sv´eho b´ad´an´ıjsem dne 19. ledna 2007 prezentoval na semin´aˇri Aktu´aln´ı probl´emy numerick´ematematiky naˇseho oddˇelen´ıa pozval si tam sv´eho pˇr´ıtele geofy- zika doc. Ctirada Matysku z Matematicko-fyzik´aln´ıfakulty UK. Ten ovˇsem nepˇriˇsel s´am a vzal si s sebou jeˇstˇedalˇs´ı dva kolegy, doc. Oldˇricha Novotn´eho a Dr. Ja- kuba Vel´ımsk´eho. Po pˇredn´aˇsce mnˇeCtirad poslal ˇc´ast Novotn´eho skript [192], kde bylo tak´eodvozeno vzdalov´an´ıMˇes´ıce pomoc´ıslapov´ych sil. M˚uj v´ypoˇcet (viz [130], s. 312) se liˇsil v tom, ˇze jsem uvaˇzoval zmˇenu rotace Zemˇena z´akladˇeskuteˇcn´ych dat o zpoˇzd’ovan´ı rotace Zemˇez´ıskan´ych z pozorov´an´ı nˇekolika zatmˇen´ı Slunce, kter´aprov´adˇeli staˇr´ı Babyl´oˇnan´e. Ve skriptech [192], s. 67, se vˇsak vych´azelo ze z´akona zachov´an´ı momentu hybnosti a namˇeˇren´eho vzdalov´an´ı Mˇes´ıce od Zemˇe (3.8 cm/rok). T´ımse ale dostane vyˇsˇs´ıhodnota zpoˇzd’ov´an´ırotace Zemˇe, kter´ane- odpov´ıd´anamˇeˇren´ym dat˚um. Pak jsem v ˇcasopise Astropis narazil na ˇcl´anek Dr. Martina Pauera [197] o tom, jak se mˇes´ıˇcek Phobos d´ıky slapov´ym sil´am pˇribliˇzuje k Marsu po spir´aln´ı dr´aze rychlost´ı1.9 cm za rok. Mˇel by na nˇej dopadnout nebo b´yt roztrh´an slapov´ymi si- lami zhruba za 30–80 milion˚ulet, coˇzje ale velice kr´atk´adoba ve srovn´an´ıse st´aˇr´ım Sluneˇcn´ı soustavy. Napadlo mˇe, ˇze Phobos podobnˇejako n´aˇsMˇes´ıc tak´enadn´aˇs´ı antigravitaˇcn´ıs´ıla. Vˇsechny mˇes´ıce planet, kter´ese nach´azej´ıpod tzv. stacion´arn´ı dr´ahou, tedy nepadaj´ına sv´emateˇrsk´eplanety tak rychle, jak plyne z Newtonovy mechaniky (srov. obr. 15.2). To byl dalˇs´ıargument pro hypot´ezu existence antigra- vitaˇcn´ıch sil zp˚usoben´ych gravitaˇcn´ıaberac´ı.Mnoho zd´anlivˇeparadoxn´ıch pozoro- van´ych jev˚u(viz z´avˇer odd´ılu11.2) vysvˇetluje jedin´as´ıla— antigravitace. M˚uj kolega z oddˇelen´ı, Dr. Vojtˇech Pravda, mˇeupozornil na zaj´ımav´yˇcl´anek Stevena Carlipa [38] o gravitaˇcn´ıaberaci v teorii relativity. S Carlipem jsem si pak 225 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace vymˇenil nˇekolik e-mail˚uo paradoxech gravitace. Upozornil jsem jej, ˇze na str. 81 vych´az´ı ze ZZE a z´akona zachov´an´ı momentu hybnosti, coˇz patrnˇenen´ı spr´avn´y pˇredpoklad, protoˇze se vesm´ır rozp´ın´azrychlenˇe. Jeho gravitaˇcn´ı aberace tak vy- ch´azela t´emˇeˇrnulov´a. Carlip nav´ıcpˇredpokl´adal nulovou kosmologickou konstantu a ve sv´em v´ypoˇctu zanedbal jist´eneline´arn´ıˇcleny. Je tedy pˇrirozen´e, ˇze ani nemohl dostat rozv´ıjej´ıc´ıse trajektorie. Napsal jsem proto o gravitaˇcn´ıaberaci ˇcl´anek [132], kter´yjsem zaslal do Communications of Computational Physics. Po ˇradˇediskus´ıse tˇremi recenzenty byl pˇrijat. Dalo mi ovˇsem dost pr´ace, neˇz jsem je sv´ymi argumenty pˇresvˇedˇcil. Jeden z recenzent˚umi napˇr´ıklad napsal, ˇze mnou uv´adˇen´e rozp´ınaj´ıc´ıse spir´aln´ı trajektorie planet jsou v rozporu s Keplerov´ymi a Newtonov´ymi z´akony. Ubezpeˇcil jsem jej, ˇze o tom v´ıma ˇze pr´avˇeo tom m˚uj ˇcl´anek je. Pak jsem mu poloˇzil ot´azku: Odkud v´ı,ˇze m˚uˇze pouˇz´ıvat Keplerovy z´akony na ˇsk´al´ach miliard let? Zat´ımm´ame moˇznost pˇr´ımo provˇeˇrovat platnost Keplerov´ych z´akon˚u cca 400 let a drobn´eodchyl- ky se v pr˚ubˇehu miliard let nahromad´ınatolik, ˇze je lze zpˇetnˇe detekovat. Uznal, ˇze m´am pravdu. Dalˇs´ırecenzent mi vyt´ykal, ˇze m˚uj ˇcl´anek je v rozporu s teori´ırelativity, nebot’ tˇelesa by se k sobˇemˇela naopak pˇribliˇzovat v d˚usledku vyzaˇrov´an´ıgravitaˇcn´ıch vln. Odpovˇedˇel jsem mu, ˇze teorie relativity nen´ıˇz´adn´afin´aln´ıteorie gravitace, ale ˇze proti n´ınebojuji. Jen snaˇz´ımzabudovat vliv gravitaˇcn´ıaberace do obecnˇepˇrij´ıman´ych model˚u, aby byly v souladu s pozorovan´ymi daty. Rozˇs´ıˇren´aˇcesk´averze [130] anglicky psan´eho ˇcl´anku [132] vyˇsla o rok dˇr´ıve, i kdyˇzanglick´averze vznikla jako prvn´ı. Cl´anekˇ [130] byl pˇridˇelen k recenzi Dr. Miroslavu Broˇzovi z Astronomick´eho ´ustavu UK. Kladl jsem si v nˇem ot´azku, zda zrychlen´erozp´ın´an´ıvesm´ıru vlastnˇe neumoˇzˇnuje zkonstruovat perpetuum mobile. Recenzent mi vˇsak peˇclivˇe vyˇskrtal veˇsker´ev´yskyty tohoto term´ınu. D´ale mi spr´avnˇeporadil, ˇze pokud se Mˇes´ıcvzda- luje od Zemˇev d˚usledku antigravitaˇcn´ıch sil, mˇel bych podobnou hypot´ezu dok´azat i pro Zemi, Mars apod. D˚ukaz pro Mars byl pomˇernˇesnadn´y(viz kapitola 11). Na Marsu je v souˇcasnosti pr˚umˇern´ateplota kolem −60 stupˇn˚uCelsia. Kdysi ale na nˇem existovaly ˇreky, i kdyˇzSlunce mˇelo jen 75 procent sv´eho dneˇsn´ıho v´ykonu. Tuto skuteˇcnost jsem diskutoval s naˇsimi pˇredn´ımi odborn´ıky zab´yvaj´ıc´ımi se sluneˇcn´ıfy- zikou: doc. Marianem Karlick´ym, Dr. Vojtechem Ruˇsinem a Dr. Michalem Sobotkou. Mars tedy musel b´yt v minulosti bl´ıˇze Slunci, jinak by na kaˇzd´y metr ˇctvereˇcn´ıjeho povrchu dopadala jen tˇretinov´aenergie (11.6) ze Slunce v porovn´an´ıse Zem´ıa ne- mohly by na nˇem po miliardu let t´eci stovky velk´ych ˇrek, jak je patrno z druˇzicov´ych sn´ımk˚uMarsu. D˚ukaz toho, ˇze Zemˇekdysi byla bl´ıˇze Slunci, se mi zd´al mnohem obt´ıˇznˇejˇs´ı. Shodou okolnost´ıjsem v prosinci 2007 navˇst´ıvil na MFF UK pˇredn´aˇsku Dr. Jiˇr´ıho Grygara Zeˇnobjev˚uˇ a ten zm´ınil pomˇernˇezn´am´yfakt, ˇze se Zemˇemus´ıpohybovat uvnitˇrjist´eho velice ´uzk´eho mezikruˇz´ı — tzv. ekosf´ery, aby na n´ı mohl existovat ˇzivot. Bˇehem pˇredn´aˇsky mˇenapadlo, ˇze se ekosf´era mus´ıs ˇcasem rozp´ınat, protoˇze 226 21. Proˇcvznikla tato kniha v´ykon Slunce pozvolna nar˚ust´a(viz obr. 11.2 a 13.2). To byl dalˇs´ıd˚uleˇzit´ykam´ınek do skl´adaˇcky, kter´yz´aroveˇnvysvˇetloval zn´am´y paradox hork´eho mlad´eho Slunce. Na ˇcl´anek [130] jsem dostal ˇradu pozitivn´ıch reakc´ı, zejm´ena od matematik˚u. T´ema antigravitace se pak ˇcasto prob´ıralo na semin´aˇr´ıch naˇseho oddˇelen´ı. Prvn´ı veˇrejnou pˇredn´aˇsku Antigravitace a jej´ı projevy jsem pronesl v Radniˇcn´ım klubu v Plzni dne 10. z´aˇr´ı2008, kam mˇepozvalo veden´ı Hvˇezd´arny a planet´aria Plzeˇn. Nˇekolik dalˇs´ıch pˇredn´aˇsek jsem absolvoval i na Matematicko-fyzik´aln´ı fakultˇeUK (5. 3. 2008), Z´apadoˇcesk´euniverzitˇe(13. 11. 2008), Cesk´emˇ vysok´em uˇcen´ıtechnick´em (11. 4. 2009), Uˇcen´espoleˇcnosti CRˇ (20. 4. 2010), University of Jyv¨askyl¨a(10. 6. 2011), Academia Sinica (27. 8. 2012) aj. Nˇekolika naˇsim geofyzik˚um a astronom˚um jsem nab´ızel, abychom o t´ematu an- tigravitace napsali spoleˇcnˇeˇcl´anek do nˇejak´eho specializovan´eho geofyzik´aln´ıho ˇci as- tronomick´eho ˇcasopisu. Jejich zp˚usob argumentace a vyjadˇrovan´ımi je totiˇzvzd´alen´y a podstatnˇese liˇs´ıod stylu psan´ımatematick´ych ˇcl´ank˚u, tj. motivace → definice → vˇeta → d˚ukaz → aplikace, kter´ys oblibou pouˇz´ıv´am. Bohuˇzel mˇevˇsichni odm´ıtli, a tak jsem se obr´atil na sv´eho kolegu matematika Dr. Jana Brandtse z Univer- zity v Amsterdamu. Ten nam´ıtal, ˇze bychom se fyzik˚um nemˇeli pl´est do ˇremesla. Avˇsak jednou na rohu Zitn´eaˇ Stˇep´ansk´eulice,ˇ kdyˇzjsme ˇsli spolu na obˇed, mˇe inspiroval myˇslenkou akumulace mal´ych chyb, kterou lze formulovat zhruba takto: Z´adn´ymodelˇ nepopisuje realitu naprosto pˇresnˇe. Pokud se budou skuteˇcn´etrajek- torie nˇejak´eho syst´emu dvou ˇci v´ıce tˇeles liˇsit od newtonovsk´eho modelu o mal´e ε za rok, pak za miliardu let m˚uˇze b´yt tato chyba pomˇernˇevelk´e ˇc´ıslo, napˇr. 109ε, ale klidnˇei 109(109 +1)/2 ≈ 0.5 1018ε, jestliˇze se budou kumulovat chyby z pˇredchoz´ıch let. Brandts s´am tuto myˇslenku nepokl´adal za podstatnou, ale j´ajsem si uvˇedomil, ˇze v tom je j´adro pudla“, tj. hledan´yz´ahadn´yzdroj temn´eenergie m˚uˇze b´yt vlastnˇe ” jen chyba modelu. Pozdˇeji jsme spoleˇcnˇenapsali ˇcl´anek [143], kter´yvyˇsel ve sborn´ıku XXVII. valn´eho shrom´aˇzdˇen´ıMezin´arodn´ıastronomick´e unie v Riu de Janeiru. Pokraˇcoval jsem ale v hled´an´ıdalˇs´ıch argument˚upodporuj´ıc´ıch skuteˇcnost, ˇze se vesm´ırrozp´ın´avˇsude kolem n´as i na docela mal´ych ˇsk´al´ach, tj. tak´eve Sluneˇcn´ısou- stavˇe. Napˇr´ıklad v knize [15], s. 534, se p´ıˇse, ˇze Neptun i Kuiper˚uv p´as komet se kdysi nal´ezaly bl´ıˇze Slunci. V ˇcl´anku [219] jsem se zase doˇcetl, jak se Neptun neˇcekanˇe opoˇzd’uje na sv´edr´aze, coˇzopˇet odpov´ıdalo antigravitaˇcn´ımu p˚usoben´ı. Casopisˇ Astropis mˇeinspiroval znovu. V roce 2008 uveˇrejnil ˇcl´anek Mgr. Jana Ebra [56] o velice hust´ych galaxi´ıch v ran´ych stadi´ıch vesm´ıru. Uvˇedomil jsem si, ˇze je to dalˇs´ı v´yznamn´aindicie pro postulov´an´ıantigravitaˇcn´ıch sil (viz kapitola 16). Galaxie se bˇehem sv´eho v´yvoje pozvolna nafukuj´ı(coˇzzˇrejmˇeodporuje ZZE). Na toto t´ema jsem naˇsel celou ˇradu ˇcl´ank˚uo vzd´alen´ych superhust´ych galaxi´ıch, kter´emaj´ıhustotu aˇz 8kr´at vˇetˇs´ıneˇzgalaxie v naˇsem okol´ı. Astropis mˇeinspiroval i potˇret´ı, kdyˇzjeho ˇs´efredaktor Dr. Vladim´ır Kopeck´y napsal ˇcl´anek [111] o Labut´ıp´ısni podivn´eexoplanety WASP-18b, kter´aob´ıh´apod stacion´arn´ıdr´ahou hvˇezdy star´et´emˇeˇrmiliardu let, avˇsak za milion let by mˇela spad- 227 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace nout na jej´ıpovrch po spir´aln´ıdr´aze d´ıky slapov´ym sil´am. Jak se exoplaneta v˚ubec mohla na tuto dr´ahu dostat? Ihned mˇenapadlo, ˇze zde zase m˚uˇze hr´at v´yznamnou roli antigravitace, kter´aexoplanentu vlastnˇenadn´aˇs´ı,a tedy za milion let na svou mateˇrskou hvˇezdu nespadne. Domn´ıv´am se, ˇze projevy antigravitace se na tomto syst´emu bˇehem nˇekolika desetilet´ıprok´aˇz´ı. To, ˇze neplat´ıZZE, staˇc´ıuk´azat na jedin´em pˇr´ıkladu. J´a jsem jich zat´ımnasb´ıral pˇres 20, i kdyˇzse vˇetˇsinou jedn´ao odchylku na des´at´em platn´em m´ıstˇeza rok. Nechce se mi vˇeˇrit, ˇze bych se byl tolikr´at m´ylil a ˇze by to byla vˇse jen shoda n´ahod. Samozˇrejmˇenetvrd´ım, ˇze by se ZZE nemˇel pouˇz´ıvat. Bez nˇej se v ˇradˇev´ypoˇct˚u neobejdeme. Vˇetˇsinu situac´ıznaˇcnˇeusnadˇnuje. V ˇcl´anku [137] uv´ad´ımv´ıce neˇz10 argument˚uukazuj´ıc´ıch, ˇze temn´aenergie po- zvolna rozp´ın´acelou Sluneˇcn´ısoustavu. Nejprve jsem ˇcl´anek zaslal do prestiˇzn´ıho ˇcasopisu Astrophysical Journal. Po nˇekolika mˇes´ıc´ıch mi odepsali, abych jej radˇeji uveˇrejnil v nˇejak´em v´ıce filosofick´em ˇcasopisu. Z´adn´eperiodikumˇ zab´yvaj´ıc´ıse filoso- fick´ymi ot´azkami v astronomii jsem ale nenalezl. Cl´anekˇ jsem tedy nab´ıdl do ˇcasopisu New Astronomy, jehoˇzn´azev se mi jevil pˇr´ıhodn´y. Recenzenti napsali celkem pˇr´ızniv´eposudky. Jeden z nich, prof. Weijia Zhang z Oxford University, dokonce vystoupil z anonymity, aby se mnou mohl diskutovat z´ıskan´ev´ysledky. Napsal mi, ˇze souhlas´ıse vzdalov´an´ımZemˇeod Slunce ale s rych- lost´ıo 2 ˇr´ady menˇs´ı.Jako d˚ukaz mi poslal sv˚uj ˇcl´anek [296], kde odvozuje rychlost vzdalov´an´ı5–14 cm/rok pomoc´ıpˇr´ır˚ustk˚ufosiln´ıch kor´al˚u(srov. kapitola 13). Kdyˇz jsem si jeho ˇcl´anek podrobnˇeproˇcetl a zkontroloval vˇsechny vzorce, zjistil jsem, ˇze se o dva ˇr´ady spletl. Podle jeho mˇeˇren´ız obr´azku 4 z [296], s. 4015, byla Zemˇepˇred p˚ul miliardou let v kambriu o 3 miliony km bl´ıˇze Slunci, neˇzje nyn´ı.Proto jsem jej poˇz´adal, aby si zkontroloval n´asleduj´ıc´ıv´ypoˇcet 3 109 m = 6 m/rok. 5 108 let Byl velice pˇrekvapen a ihned m˚uj ˇcl´anek doporuˇcil. Pozdˇeji se mi pˇriznal, ˇze jej pˇr´ıliˇsovlivnil G. A. Krasinsky, s n´ımˇzsi dopisoval. V ˇcl´anku [117] Krasinsky se sv´ym kolegou odvozuj´ırychlost vzdalov´an´ı Zemˇeod Slunce jen na 15 cm za rok (srov. odd´ıl13.7). Vedouc´ı redaktor ˇcasopisu New Astronomy mi pak napsal, ˇze zaˇrad´ım˚uj ˇcl´a- nek [137] jako prvn´ıdo nov´eho roˇcn´ıku 2012. Hned nato jsem byl vyzv´an nakladatel- stv´ımNOVA Publishers (New York), abych pˇrispˇel kapitolou do monografie [144] o temn´eenergii. Spojil jsem se s Dr. Janem Brandtsem a dalˇs´ım matematikem prof. Lawrencem Somerem, s n´ımˇzjsem pozdˇeji napsal ˇcl´anek [156] o antigravitaci publikovan´yv International Journal of Astronomy and Astrophysics v roce 2013. Kdyˇzjsem ned´avno Lawrencovi vysvˇetloval odvozen´ıFriedmannovy rovnice a kos- mologick´ych parametr˚u(10.7), tak prohl´asil: 228 21. Proˇcvznikla tato kniha Oh, I see, dark matter and dark energy exist by definition. Lawrence deset let navˇstˇevoval semin´aˇrz astrofyziky ve Washingtonu, DC, kde se mj. sezn´amil i s Verou Rubinovou. O V´anoc´ıch 2012 jsem se rozhodl, ˇze se podrobnˇeji pod´ıv´am na pr´ace Rubinov´ea tak´eFritze Zwickyho, kter´epˇredpov´ıdaj´ı existenci temn´ehmoty. Anal´yza jejich v´ysledk˚uje obsahem kapitol 7, 8 a 9. S nˇekter´ymi v´ypoˇcty mi hodnˇepomohl m˚uj syn Filip (viz t´eˇz[145], [146]). Postup je veden tak, ˇze si pro galaxie i galaktick´ekupy sami m˚uˇzete pˇrekontrolovat, ˇze ve vesm´ıru nen´ı 5 aˇz6kr´at v´ıce temn´ehmoty neˇzhmoty baryonov´e, jak tvrd´ıPlanck Collaboration. Na jeˇstˇevˇetˇs´ıch ˇsk´al´ach se jiˇzznatelnˇeprojevuje chyba modelu expanze vesm´ıru, kter´ase pak interpretuje jako temn´ahmota. Postupnˇejsem objevoval dalˇs´ıa dalˇs´ı nedostatky standardn´ıho kosmologick´eho modelu (viz kapitola 19). Vˇsem koleg˚um zm´ınˇen´ym v pˇredchoz´ım textu mnohokr´at dˇekuji za inspiraci a podnˇetn´ea mnohdy velice polemick´ediskuze. Bez nich by tato kn´ıˇzka nevznikla. Tak´ebych r´ad podˇekoval vˇsem ˇclen˚um Kosmologick´esekce Cesk´eastronomick´espo-ˇ leˇcnosti za podporu, vstˇr´ıcnost a ochotu poslouchat m´epˇredn´aˇsky. Zejm´ena jej´ı pˇredseda, Ing. Vladim´ır Novotn´y, mˇeˇcasto upozorˇnoval na zaj´ımavou literaturu t´ykaj´ıc´ıse problematiky temn´ehmoty a temn´eenergie. D´ıky, Vl´ad’o! ⊙ ⊙ ⊙ 229 Literatura [1] C. Adami et al., The build-up of the Coma cluster by infalling substructures. Astron. Astrophys. 443 (2005), 17–27. [2] S. W. Allen, A. E. Evrard, A. B. Mantz, Cosmological parameters from observations of galaxy clusters. Annual Rev. Astron. Astrophys. 49 (2011), 409–470. [3] L. Amendola, S. Tsujikawa, Dark energy – Theory and observations. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2010. [4] C. Amsler et al., Review of particle physics. Phys. Lett. B 667 (2008), Sec. 19: Big Bang Cosmology, 217–227. [5] P. Anderle, Z´aklady nebesk´emechaniky. Academia, Praha, 1971. [6] P. Anderle, Nebesk´amechanika. Academia, Praha, 1987. [7] Aristarchus of Samos, Peri megeth´on ka´ıapostem´aton heli´on ka´ısel´enes. Translated from ancient Greek to Latin by F. Commandino in 1572. [8] Aristote, Du ciel. 350 BC, text ´etabli et traduit par P. Moraux, Les Belles Lettres, Paris, 1965. [9] W. Baade, F. Zwicky, Cosmic rays from super-novae. Proc. Nat. Acad. Sci. 20 (1934), 254–263. [10] D. G. Banhatti, Newtonian mechanics & gravity fully model disk galaxy rotation cur- ves without dark matter. ArXiv: 0806.1131, 2008, 1–6. [11] J. D. Barrow, F. J. Tipler, The anthropic cosmological principle. Oxford Univ. Press, 1986. [12] G. Battaglia et al., The radial velocity dispersion profile of the Galactic halo: Con- straining the density profile of the dark halo of the Milky Way. Astro ph/0506102v2, 2008, 1–11. [13] J. Bekenstein, Relativistic gravitation theory for the modified Newtonian dynamics paradigm. Phys. Rev. D 70 (2004), 083509. [14] M. Belet, A. Belet, Look at the stars and become a geometer! In: History of Mathe matics: Histories of Problems, Ellipses, Paris, 1997, 255–283. [15] B. Bertotti, P. Farinella, D. Vokrouhlick´y, Physics of the Solar system. Kluwer, Dor drecht, 2003. [16] B. G. Bills et al., Improved estimate of tidal dissipation within Mars from MOLA observations of the shadow of Phobos. J. Geophys. Res. 110 (2005), E07004, 15 pp. 230 Literatura [17] J. Binney, M. Merrifield, Galactic astronomy. Princeton, 1998. [18] A. Biviano et al., A catalogue of velocities in the central region of the Coma cluster. Astron. Astrophys. Suppl. Ser. 111 (1995), 265–274. [19] D. Blanuˇsa, Uber¨ die Einbettung hyperbolischer R¨aume in euklidische R¨aume. Mo natsh. Math. 59 (1955), 217–229. [20] H. B¨ohringer, N. Werner, X-ray spectroscopy of galaxy clusters: studying astrophysical processes in the largest celestial laboratories. Astron. Astrophys. Rev. 18 (2010), 127– 196. [21] H. E. Bond et al., A star in the Solar neighborhood that formed shortly after the Big Bang. Astrophys. J. 765 (2013), L12. [22] A. Bosma, Dark matter in galaxies: Observational overview. In: Dark Matter in Ga laxies, IAU Sympos. 220 (eds. S. Ryder, D. J. Pisano, M. Walker, K. C. Freeman), 2003, 1–12. [23] J. Bouˇska, V. Van´ysek, Zatmˇen´ıa z´akryty nebesk´ych tˇeles. Academia, Praha, 1963. [24] R. J. Bouwens et al., A candidate redshift z ≈ 10 galaxy and rapid changes in that population at an age of 500 Myr. Nature 469 (2011), 504–507. [25] J. Bovy, S. Tremaine, On the local dark matter density. Astrophys. J. 756 (2012), 89, 6 pp. [26] D. Brander, Isometric embeddings between space forms. Master Thesis, Univ. of Penn sylvania, 2003, 1–48. [27] T. Broadhurst, E. Scannapieco, Detecting the gravitational redshift of cluster gas. Astrophys. J. 533 (2000), L93–L97. [28] M. Brooks, 13 things that do not make sense. New Scientist 2491 (2005), 30–37. [29] D. J. A. Brown et al., Are falling planets spinning up their host stars?. Mon. Not. R. Astron. Soc. 415 (2011), 605–618. [30] M. Broˇz, M. Solc,ˇ Fyzika sluneˇcn´ısoustavy. MatfyzPress, Praha, 2013. [31] G. Bruno, De l’infinito, universo e mondi. Venezia, 1584; ˇcesk´ypˇreklad je obsaˇzen v G. Bruno: Dialogy. Academia, Praha, 2008. [32] F. Buitrago et al., Shaping massive galaxies: their morphology and kinematics at z = 1 − 3. Highlights of Spanish Astrophysics VI, Proc. of the IX Sci. Meeting of the Spanish Astronom. Soc., Madrid (ed. M. R. Zapatero et al.), 2010, 154–160. [33] M. Burˇsa, Slapov´adynamika a p˚uvod Phobosu. R´ıˇseˇ hvˇezd 69 (1988), 169–171. 231 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace [34] M. Burˇsa, Decrease in spin rate of Mars due to tidal torques exerted by Phobos and Sun. Bull. Astron. Inst. Czechosl. 39 (1988), 168–171. [35] M. Burˇsa, K. Peˇc Gravity field and dynamics of the Earth. Springer, Berlin, 1993. [36] J. W. Cannon, W. J. Floyd, R. Kenyon, W. R. Parry, Hyperbolic geometry. In: Flavors of Geometry, Math. Sci. Res. Inst. Publ. 31, Cambridge Univ. Press, 1997, 59–115. [37] A. Cappi, Gravitational redshift in galaxy clusters. Astron. Astrophys. 301 (1995), 6–10. [38] S. Carlip, Aberration and the speed of gravity. Phys. Lett. A 267 (2000), 81–87. [39] M. Carrera, D. Giulini, Influence of global cosmological expansion on local dynamics and kinematics. Rev. Mod. Phys. 82 (2010), 169–208. [40] B. W. Carroll, D. A. Ostlie, Introduction to modern astrophysics. Pearson Addison Wesley, 2007. [41] B. Carter, Large number coincidences and the Anthropic Principle in cosmology. In: IAU Symposium 63, Confrontation of Cosmological Theories with Observational Data (ed. M. S. Longair), Riedel, Dordrecht, 1974, 291–298. [42] B. E. Clotfelter, The Cavendish experiment as Cavendish knew it. Amer. J. Phys. 55 (1987), 210–213. [43] D. Clowe et al., A direct empirical proof of the existence of dark matter. Astrophys. J. Lett. 648 (2006), L109–L113. [44] M. Colless, A. M. Dunn, Structure and dynamics of the Coma cluster. Astrophys. J. 458 (1996), 435–454. [45] F. I. Cooperstock, V. Faraoni, D. N. Vollick, The influence of the cosmological expan- sion on local systems. Astrophys. J. 503 (1998), 61–66. [46] N. Copernicus, Complete works, vol. II, On the revolutions. Polish Sci. Publishers, Warsaw–Krak´ow, 1978. [47] C. M. Cox, B. F. Chao, Detection of large-scale mass redistribution in the terrestrial system since 1998. Science 297 (2002), 831–833. [48] H. D. Curtis, Novae in spiral nebulae and the island universe theory. Publ. Astronom. Soc. Pacific 29 (1917), 206–207. [49] I. Damjanov et al., Red nuggets at high redshift: structural evolution of quiescent galaxies over 10 Gyr of cosmic history. Astrophys. J. Lett. 739 (2011), L44. [50] G. F. Davies, Thermal evolution of the mantle. Treatise on Geophysics, vol. 9, Evo lution of the Earth (ed. D. J. Stevenson), Elsevier, 2007, 197–216. 232 Literatura [51] A. Dˇedoch, K. Hal´ıˇr, M. Vˇetrovcov´a, Zatmˇen´ıSlunce 11. srpna 1999. Z´apadoˇcesk´a poboˇcka CAS,ˇ Praha, 1998. [52] J. O. Dickey et al., Lunar laser ranging: A continuing legacy of the Apollo program. Science 265 (1994), 482–490. [53] Y. V. Dumin, A new application of the Lunar laser retroreflectors: Searching for the “local”Hubble expansion. Adv. Space Res. 31 (2003), 2461–2466. [54] Y. V. Dumin, Testing the dark-energy-dominated cosmology by the Solar-System ex- periments, Proc. of the 11th Marcel Grossmann Meeting on General Relativity (eds. H. Kleinert, R. T. Jantzen, R. Ruffini), World Sci., Singapore, 2008, 1752–1754, ar Xiv: 0808.1302. [55] G. Dvali, A. Gruzinov, M. Zaldarriga, The accelerated universe and the Moon. Phys. Rev. D 68 (2003), 024012. [56] J. Ebr, Pˇr´ıliˇshust´egalaxie v hlubin´ach vesm´ıru. Astropis XV (2008), ˇc. 2, 44. [57] A. Eddington, Space, time and gravitation. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1966. [58] A. Einstein, Uber¨ den Einfluss der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes. Ann. d. Phys. 35 (1911), 898–908. [59] A. Einstein, Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativit¨atstheorie. K¨oni gliche Preuss. Akad. Wiss., Berlin (1917), 142–152. [60] D. J. Eisenstein, C. L. Bennett, Cosmic sound waves rule. Physics Today 61 (2008), 44–50. [61] J. Q. Feng, C. F. Gallo, Mass distribution in rotating thin-disk galaxies according to Newtonian dynamics. Galaxies 2 (2014), 199–222. [62] A. Ferr´e Mateu, I. Trujillo, Superdense massive galaxies in the nearby universe. Proc. of the XXVII. General Assembly of IAU, S262 (eds. G. Bruzual, S. Charlot), Kluwer, 2010, 331–332. [63] A. V. Filippenko, Einstein’s biggest blunder? High-redshift supernovae and the acce- lerating universe. ArXiv: astro ph/0109399v2, 2001. [64] T. C. van Flandern, A determination of the rate of change of g. Mon. Not. R. Astron. Soc. 170 (1975), 333–342. [65] T. C. van Flandern, The speed of gravity – what the experiments say. Phys. Lett. A 250 (1998), 1–11. [66] A. Friedmann, Uber¨ die Kr¨ummung des Raumes. Z. Phys. 10 (1922), 377–386. [67] A. Friedmann, Uber¨ die M¨oglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Kr¨ummung des Raumes. Z. Phys. 21 (1924), 326–332. 233 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace [68] C. F. Gallo, J. Q. Feng, Galactic rotation described by a thin-disk gravitational model without dark matter. J. Cosmology 6 (2010), 1373–1380. [69] G. Gamow, Rotating universe?. Nature 158 (1946), 549. [70] I. Gilmour, M. A. Sephton (eds.), An introduction to astrobiology. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2003. [71] J. Glanz, Astronomers see a cosmic antigravity force at work. Science 279 (1998), no. 5355, 1298–1299. [72] E. N. Glass, Gravothermal catastrophe, an example. Phys. Rev. D 82 (2010), 044039. [73] K. G¨odel, An example of a new type of cosmological solutions of Einstein’s field equations of gravitation. Rev. Mod. Phys. 21 (1949), 447–450. [74] B. R. Goldstein, Eratosthenes on the “measurement”of the Earth. Historia Math. 11 (1984), 411–416. [75] V. Gonz´ales et al., Evolution of galaxy stellar mass functions, mass densities, and mass to light ratios from z ∼ 7 to z ∼ 4. Astrophys. J. Lett. 735 (2011), L34. [76] M. D. Gregg, M. J. West, Galaxy disruption as the origin of intracluster light in the Coma cluster of galaxies. Nature 396 (1998), 549–552. [77] J. B. Griffiths, J. Podolsk´y, Exact space-times in Einstein’s general relativity. Cambridge Univ. Press, 2009. [78] J. Grygar, Z. Horsk´y, P. Mayer, Vesm´ır. Mlad´afronta, Praha, 1983. [79] P. Guillermier, S. Koutchmy, Total eclipses. Springer, 1999. [80] J. E. Gunn, B. Tinsley, An accelerating Universe?. Nature 257 (1975), 454–457. [81] E. Halley, Methodus singularis qua Solis parallaxis sive distantia a Terra, ope Veneris intra Solem conspicienda, tuto determinari poterit. Trans. Roy. Soc. London (1716), 454–564. [82] P. S. Harrington, Eclipse! John Wiley, New York, 1997. [83] W. E. Harris, Catalog of parameters for Milky Way globular clusters: The database. Feb. 2003. See also Astrophys. J. 112 (1996), 1487. [84] W. K. Hartmann, Mars. Workman Publ., New York, 2003. [85] J. Havr´anek, M. Solc,ˇ J. Grygar, V Praze o Einsteinovi a o Einsteinovi v Praze. Vesm´ır 58 (1979), 178–183. [86] W. D. Heintz, A study of multiple-star systems. Astronom. J. 111 (1996), 408–411. 234 Literatura [87] C. Hellier, An orbital period of 0.94 days for the hot-Jupiter planet WASP-18b. Na ture 460 (2009), 1098–1100. [88] J. N. Hewitt, Gravitational lenses. Ann. New York Acad. Sci. 688 (1993), 250–259. [89] D. Hilbert, Uber¨ Fl¨achen von constanter gausscher Kr¨ummung. Trans. Amer. Math. Soc. 2 (1901), 87–99. [90] R. D. Holder, S. Mitton (eds.), Georges Lemaˆıtre: Life, science and legacy. Springer, Berlin, Heidelberg, 2012. [91] J. Horsk´y, J. Novotn´y, M. Stefan´ık,ˇ Uvod´ do fyzik´aln´ıkosmologie. Academia, Praha, 2004. [92] E. Hubble, A relation between distance and radial velocity among extra-galactic ne- bulae. Proc. Nat. Acad. Sci. USA 15 (1929), 168–173. [93] J. P. Hughes, The mass of the Coma cluster: Combined X-ray and optical results. Astrophys. J. 337 (1989), 21–33. [94] C. V. L. Charlier, How an infinite world may be built up?. Arkiv f¨or Mat. Astronom. Fys. 16 (1922), 1–34. [95] C. F. Chyba, D. G. Jankowski, P. D. Nicholson, Tidal evolution in the Neptune-Triton system. Astron. Astrophys. 219 (1989), L23–L26. [96] C. Impey, W. K. Hartmann, The universe revealed. Brooks Cole, 2000. [97] A. Irrgang, B. Wilcox, E. Tucker, L. Schiefelbein, Milky Way mass models for orbit calculations. Astronom. Astrophys., arXiv: 1211.4353v4, 2014, 1–13. [98] R. A. Jacobson, The orbits and masses of the Martian satellites and the libration of Phobos. Astronom. J. 139 (2010), 668–679. [99] J. Ja locha, L. Bratek, M. Kutschera, Is dark matter present in NGC 4736? An ite- rative spectral method for finding mass distribution in spiral galaxies. ArXiv: astro ph/0611113v3, 2008, 1–7. [100] J. Jers´ak, Rozp´ın´an´ıvesm´ıru. Cs.ˇ ˇcas. fyz. 58 (2008), 136–146. [101] G. C. Jordan IV et al., Three-dimensional simulations of the deflagration phase of the gravitationally confined detonation model of type Ia supernovae. Astrophys. J. 681 (2008), 1448–1457. [102] N. A. Kaib, R. Roˇskar, T. Quinn, Sedna and the Oort cloud around a migrating Sun. Icarus 251 (2011), 491–507. [103] L. K´arn´a, Genetick´yk´od aneb Studovala pˇr´ıroda teorii k´od˚u? Pokroky mat. fyz. astronom. 56 (2011), 89–98. 235 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace [104] S. M. Kent, J. E. Gunn, The dynamics of rich clusters of galaxies, I. The Coma cluster. Astronom. J. 87 (1982), 945–971. [105] A. W. Kerr, J. C. Hauck, B. Mashhoon, Standard clocks, orbital precession and the cosmological constant. Classical Quant. Grav. 20 (2003), 2727–2736. [106] Y. R. Kim, R. A. C. Croft, Gravitational redshifts in simulated galaxy clusters. Ast rophys. J. 607 (2004), 164–174. [107] R. Kippenhahn, Odhalen´atajemstv´ıSlunce. Mlad´afronta, Praha, 1999. [108] J. Kleczek, Velk´aencyklopedie vesm´ıru. Academia, Praha, 2002. [109] E. Kokubo, S. Ida, J. Makino, Evolution of a circumterrestrial disk and formation of a single Moon. Icarus 148 (2000), 419–436. [110] Z. Kopal, Hmota o hustotˇejedn´emiliardy. R´ıˇseˇ hvˇezd 17 (1936), 56–59. [111] V. Kopeck´y, Labut´ıp´ıseˇnexoplanety. Astropis XVI (2009), ˇc. 4, 33–34. [112] C. T. Kowal, Absolute magnitudes of supernovae. Astronom. J. 73 (1968), 1021–1024. [113] C. T. Kowal, S. Drake, Galileo’s observations of Neptune. Nature 287 (1980), 311– 313. [114] O. Kowalski, M. Kˇr´ıˇzek, Abelova cena v roce 2009 udˇelena Michailu Gromovovi. Pokroky mat. fyz. astronom. 54 (2009), 177–187. [115] O. Kowalski, M. Kˇr´ıˇzek, V. Pravda, Nejsymetriˇctˇejˇs´ıvariety. Pokroky mat. fyz. ast ronom. 59 (2014), 135–145. [116] G. V. Kraniotis, S. B. Whitehouse, Compact calculation of the perihelion precession of Mercury in general relativity, the cosmological constant and Jacobi’s inversion problem. Classical Quant. Grav. 20 (2003), 4817–4835. [117] G. A. Krasinski, V. A. Brumberg, Secular increase of astronomical unit from analysis of the major planet motions, and its interpretation. Celest. Mech. Dyn. Astr. 90 (2004), 267–288. [118] A. Krop´aˇc, Pozoruhodn´aˇreˇsen´ıprobl´emu N tˇeles. Pokroky mat. fyz. astronom. 48 (2003), 308–315. [119] P. Kroupa, Star-cluster formation and evolution. In: Proc. IAU S237, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2007, 230–237. [120] P. Kroupa, Local-group tests of dark-matter concordance cosmology. ArXiv: 1006.16473v3, 2010, 1–26. 236 Literatura [121] F. Kˇr´ıˇzek, M. Kˇr´ıˇzek, J. Solc,ˇ How massive is the black hole at the centre of our Galaxy? Obzory mat. fyz. inf. 36 (2007), ˇc. 1, 43–51; t´eˇzPokroky mat. fyz. astronom. 49 (2004), 104–113. [122] M. Kˇr´ıˇzek, O probl´emu tˇr´ıtˇeles. Rozhledy mat. fyz. 70 (1992), 105–112. [123] M. Kˇr´ıˇzek, Numerical experience with the three-body problem. J. Comput. Appl. Math. 63 (1995), 403–409. [124] M. Kˇr´ıˇzek, Numerical experience with the finite speed of gravitational interaction. Math. Comput. Simulation 50 (1999), 237–245. [125] M. Kˇr´ıˇzek, Proˇcve vesm´ıru pozorujeme zd´anlivˇenadsvˇeteln´erychlosti? Pokroky mat. fyz. astronom. 44 (1999), 218–226. [126] M. Kˇr´ıˇzek, Matematika a sluneˇcn´ısoustava. Uˇcitel matematiky 9 (2001), 65–73. [127] M. Kˇr´ıˇzek, Matematik Karel Petr. Uˇcenci oˇcima koleg˚ua ˇz´ak˚u, sborn´ık Uˇcen´e spoleˇcnosti CR,ˇ Academia, Praha, 2004, 101–108. [128] M. Kˇr´ıˇzek, V´yznam ´uhlov´ych mˇeˇren´ıpˇri pozn´av´an´ıvesm´ıru. Pokroky mat. fyz. ast ronom. 51 (2006), 147–162. [129] M. Kˇr´ıˇzek, The rˆole of the protractor in understanding the universe. Obzory mat. fyz. inf. 37 (2008), 36–47. [130] M. Kˇr´ıˇzek, Projevuje se gravitaˇcn´ıaberace v dynamice Sluneˇcn´ısoustavy a rozp´ın´an´ı vesm´ıru? Pokroky mat. fyz. astronom. 53 (2008), 295–314. [131] M. Kˇr´ıˇzek, O Keplerovˇerovnici. Matematika–fyzika–informatika 19 (2009), 449–452. [132] M. Kˇr´ıˇzek, Does a gravitational aberration contribute to the accelerated expansion of the Universe? Comm. Comput. Phys. 5 (2009), 1030–1044. [133] M. Kˇr´ıˇzek, Gravitaˇcn´ı z´akon — objev tis´ıcilet´ı. Pokroky mat. fyz. astronom. 54 (2009), 164–169. [134] M. Kˇr´ıˇzek, Numerical simulation and the origin of dark energy. Proc. Conf. Compu tational Analysis and Optimization (eds. S. Repin, T. Tiihonen, T. Tuovinen), Univ. of Jyv¨askyl¨a, 2011, 25–31. [135] M. Kˇr´ıˇzek, M˚uˇzeme vˇeˇrit numerick´ym v´ypoˇct˚um? Pokroky mat. fyz. astronom. 56 (2011), 290–297. [136] M. Kˇr´ıˇzek, Letn´ıtroj´uheln´ık. Corona Pragensis (2011), ˇc. 3, s. 1. [137] M. Kˇr´ıˇzek, Dark energy and the anthropic principle. New Astronomy 17 (2012), 1–7. [138] M. Kˇr´ıˇzek, Nobelova cena za fyziku v roce 2011 udˇelena za objev zrychluj´ıc´ıho se rozp´ın´an´ıvesm´ıru. Pokroky mat. fyz. astronom. 57 (2012), 89–101. 237 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace [139] M. Kˇr´ıˇzek, Antigravitace a jej´ıprojevy, aneb Plat´ız´akon zachov´an´ıenergie? C´astˇ 1. Cs.ˇ ˇcas. fyz. 63 (2013), 105–111. [140] M. Kˇr´ıˇzek, Antigravitace a jej´ıprojevy, aneb Plat´ız´akon zachov´an´ıenergie? C´astˇ 2. Cs.ˇ ˇcas. fyz. 63 (2013), 162–167. [141] M. Kˇr´ıˇzek, XXVIII. valn´eshrom´aˇzdˇen´ı Mezin´arodn´ı astronomick´e unie. Pokroky mat. fyz. astronom. 58 (2013), 39–49. [142] M. Kˇr´ıˇzek, Do Galaxies expand due to dark energy? S295 – The Intriguing Life of Massive Galaxies (eds. D. Thomas, A. Pasquali, and I. Ferreras), Proc. of the IAU XXVIIIth General Assembly in Beijing, August 2012, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2013. [143] M. Kˇr´ıˇzek, J. Brandts, Manifestations of dark energy in the dynamics of the Solar system. S264 – Solar and Stellar Variability: Impact on Earth and Planets (eds. A. G. Kosovichev, A. H. Andrei, and J. P. Rozelot), Proc. of the IAU XXVIIth General Assembly in Rio de Janerio, August 2009, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2010, 410–412. [144] M. Kˇr´ıˇzek, J. Brandts, L. Somer, Is gravitational aberration responsible for the origin of dark energy? Dark Energy: Theory, Implications and Roles in Cosmology (eds. C. A. Del Valle and D. F. Longoria), Nova Sci. Publishers, New York, 2012, 29–57. [145] M. Kˇr´ıˇzek, F. Kˇr´ıˇzek, Pˇred 80 lety Zwicky objevil temnou hmotu. Pokroky mat. fyz. astronom. 58 (2013), 107–123. [146] M. Kˇr´ıˇzek, F. Kˇr´ıˇzek, L. Somer, Which effects of galactic clusters can reduce the amount of dark matter. Bulg. Astronom. J. 21 (2014), 1–23. [147] M. Kˇr´ıˇzek, P. Kˇr´ıˇzek, Kruˇznice na astronomick´em cifern´ıku praˇzsk´eho orloje. Mate matika fyzika informatika 19 (2010), 577–586. [148] M. Kˇr´ıˇzek, P. Kˇr´ıˇzek, Why has nature invented three stop codons of DNA and only one start codon? J. Theor. Biol. 304 (2012), 183–187. [149] M. Kˇr´ıˇzek, L. Liu, Struktura tradiˇcn´ıho ˇc´ınsk´eho kalend´aˇre. Rozhledy mat. fyz. 73 (1996), 270–275. [150] M. Kˇr´ıˇzek, L. Liu, A. Solcov´a,ˇ Fundamental achievements of ancient Chinese mathe- maticians. Math. Spectrum 38 (2005/2006), 99–107. [151] M. Kˇr´ıˇzek, P. Neittaanm¨aki, Finite element approximation of variational problems and applications. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics vol. 50, Longman Scientific & Technical, Harlow; copublished with John Wiley, New York, 1990. 238 Literatura [152] M. Kˇr´ıˇzek, J. Palouˇs, XXVII. valn´eshrom´aˇzdˇen´ı IAU v Rio de Janeiru. Pokroky mat. fyz. astronom. 54 (2009), 256–257. [153] M. Kˇr´ıˇzek, J. Pradlov´a, On the nonexistence of a Lobachevsky geometry model of an isotropic and homogeneous universe. Math. Comput. Simulation 61 (2003), 525–535. [154] M. Kˇr´ıˇzek, M. Pr´ager, E. Vit´asek, Spolehlivost numerick´ych v´ypoˇct˚u. Pokroky mat. fyz. astronom. 42 (1997), 8–23. [155] M. Kˇr´ıˇzek, H. G. Roos, W. Chen, Two-sided bounds of the discretization error for finite elements. ESAIM Math. Model. Numer. Anal. 45 (2011), 915–924. [156] M. Kˇr´ıˇzek, L. Somer, Antigravity – its manifestations and origin. Internat. J. Astron. Astrophys. 3 (2013), 227–235. [157] M. Kˇr´ıˇzek, L. Somer, Manifestations of dark energy in the Solar system. Grav. Cos mol. 21 (2015), 58–71. [158] M. Kˇr´ıˇzek, L. Somer, A. Solcov´a,ˇ Kouzlo ˇc´ısel: Od velk´ych objev˚uk aplikac´ım. Edice Galileo, sv. 39, Academia, Praha, 2009, 2. vyd. 2011. [159] M. Kˇr´ıˇzek, A. Solcov´a,ˇ How to measure gravitational aberration? S240 – Binary Stars as Critical Tools and Tests in Contemporary Astrophysics (eds. W. I. Hartkopf, E. F. Guinan, and P. Harmanec), Proc. of the IAU XXVIth General Assembly in Prague, August 2006, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2007, 389, 670–677. [160] M. Kˇr´ıˇzek, M. Vˇetrovcov´a, Matematika kolem zatmˇen´ı. Rozhledy mat. fyz. 77 (2000), 78–85. [161] P. Kulh´anek, Gravity Probe B — ovˇeˇrov´an´ız´akladn´ıch princip˚uEinsteinovy obecn´e teorie relativity. Pokroky mat. fyz. astronom. 49 (2004), 226–233. [162] L. R. Kump, J. F. Kastings, R. G. Crane, The Earth system. Prentice Hall, New Jer sey, 1999. [163] L. Landau, On the theory of stars. Phys. Zeitschrift der Sowjetunion 1 (1932), 285– 288. [164] K. K. Lang, Cambridge Encyclopedia of the Sun. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2001. [165] K. R. Lang, Astrophysical formulae, vol. II. Springer, Berlin, 2006. [166] P. S. Laplace, A treatise in celestial mechanics, vol. IV, book X. Pˇreloˇzil N. Bowditch, Chelsea, New York, 1966. [167] G. E. Lemaˆıtre, Un Univers homog`ene de masse constante et de rayon croissant ren- dant compte de la vitesse radiale des n´ebuleuses extragalactiques. Ann. Soc. Sci. de Bruxelles (1927), April, 49–59. 239 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace [168] A. P. Lightman, W. H. Press, R. H. Price, S. A. Teukolsky, Problem book in relativity and gravitation. Princeton Univ. Press, 1975. [169] C. H. Lineweaver, D. Schwartzman, Cosmic thermobiology. In: Origins (ed. J. Sec kbach), Kluwer, Dordrecht, 2003, 233–248. [170] E. L. Lokas, G. A. Mamon, Dark matter distribution in the Coma cluster from galaxy kinematics: Breaking the mass-anisotropy degeneracy. Mon. Not. R. Astron. Soc. 343 (2003), 401–412. [171] O. L. Mangasarian, J. S. Pang, Computational optimization: a tribute to Olvi Man- gasarian, vol. 1. Springer, 1999. [172] E. Maor, Venus in transit. Princeton Univ. Press, Princeton, 2000. [173] C. Marchal, The three-body problem. Elsevier, Amsterdam, 1991. [174] G. E. Marsh, C. Nissim Sabat, Comment on “The speed of gravity”. Phys. Lett. A 262 (1999), 257–260. [175] B. Mashhoon et al., Relativistic effects in the motion of the Moon. Lect. Notes Phys. 562 (2001), 310–316. [176] B. Mashhoon, N. Mobed, D. Singh, Tidal dynamics in cosmological spacetimes. Clas sical Quant. Grav. 24 (2007), 5031–5046. [177] S. S. McGaugh, Milky Way mass models and MOND. Astrophys. J. 683 (2008), 137– 148. [178] R. McLachlan, A gallery of constant-negative-curvature surfaces. Math. Intelligencer 16 (1994), 31–37. [179] C. G. McVittie, The mass-particle in expanding universe. Mon. Not. R. Astronom. Soc. 93 (1933), 325–339. [180] I. Melo, Tmav´aenergia, zr´ychlenie a plochost’ vesm´ıru. Pokroky mat. fyz. astronom. 46 (2001), 89–100. [181] P. M´esz´aros, A. M´esz´aros, The brightness distribution of bursting sources in relati- vistic cosmologies. Astrophys. J. 449 (1995), 9–17. [182] Z. Mikul´aˇsek, J. Krtiˇcka, Z´aklady fyziky hvˇezd. Masarykova univerzita, Brno, 2005. [183] E. A. Milne, Relativity, gravitation and world structure. Clarendon Press, Oxford, 1935. [184] I. F. Mirabel, L. F. Rodr´ıguez, A superluminal source in the Galaxy. Nature 371 (1994), 46–48. 240 Literatura [185] I. F. Mirabel, L. F. Rodr´ıguez, Superluminal sources in the Galaxy. Vitas in Astro nomy 41 (1997), 15–16. [186] I. F. Mirabel, L. F. Rodr´ıguez, Microquasars in our Galaxy. Nature 392 (1998), 673– 676. [187] C. W. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler, Gravitation. 20th edition, W. H. Freeman, New York, 1997. [188] C. Moni Bidin, G. Carraro, R. A. M´endez, R. Smith, Kinematical and chemical ver- tical structure of the Galactic thick disk, II. A lack of dark matter in the solar nei- ghborhood. ArXiv: 1204.3924v1, 2012, 1–35. [189] T. A. Morley, A catalogue of ground-based astrometric observations of the Martian satellites 1877–1982. Astron. Astrophys. Suppl. Ser. 77 (1989), 209–226. [190] K. F. Nicholson, Galactic mass distribution without dark matter or modified Newto- nian mechanics. ArXiv: astro ph/0309762v2, 2007, 1–16. [191] P. D. Noerdlinger, Solar mass loss, the astronomical unit, and the scale of the Solar system. ArXiv: 0801.3807, 2008. [192] O. Novotn´y, Motions, gravity field and figure of the Earth. Lecture Notes, Univ. Federal da Bahia, Brazil, 1998. [193] H. Nussbaumer, L. Bieri, Discovering the expanding universe. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2009. [194] J. Oberst et al., Astrometric observations of Phobos and Deimos with the SRC on Mars Express. Astron. Astrophys. 447 (2006), 1145–1151. [195] R. Panek, Ctyˇrprocentn´ıvesm´ır.ˇ Temn´ahmota, temn´aenergie a hled´an´ızbytku rea- lity. Argo/Dokoˇr´an, Praha, 2012. [196] G. Pannella, Paleontological evidence on the Earth’s rotation history since early pre- cambrian. Astrophys. Space Sci. 16 (1972), 212–237. [197] M. Pauer, Fyzika Marsu. Astropis XIV (2007), ˇc. 1, 18–23. [198] T. J. Pearson, J. A. Zensus (eds.), Superluminal radio sources. Cambridge Univ. Press, 1987. [199] P. J. E. Peebles, Principles of physical cosmology. Princeton Univ. Press, New Jersey, 1993. [200] W. R. Peltier, History of Earth rotation. In: Treatise on Geophysics (ed. G. Schubert), vol. 9, Evolution of the Earth (vol. ed. D. Stevenson), Elsevier, Amsterdam, 2007. [201] R. Penrose, The road to reality. Vintage Books, London, 2005. 241 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace [202] S. Perlmutter, Supernovae, dark energy, and the accelerating universe. Physics Today 56 (2003), April, 53–60. [203] S. Perlmutter, G. Aldering et al., Measurements of and Λ from 42 high-redshift supernovae. Astrophys. J. 517 (1999), 565–586. [204] S. Perlmutter, S. Gabi et al., Measurements of the cosmological parameters and Λ from the first seven supernovae at z ≥ 0.35. Astrophys. J. 483 (1997), 565–581. [205] J. T. Perron et al., Evidence for an ancient martian ocean in the topography of defo- med shorelines. Nature 447 (2007), 840–843. [206] K. Petr, Dvˇepozn´amky ku specieln´ımu pˇr´ıpadu probl´emu tˇr´ıtˇeles. Cas.ˇ pˇest. math. fys. 47 (1918), 268–271. [207] M. Pick, J. P´ıcha, V. Vyskoˇcil, Theory of the Earth’s gravity field. Academia, Praha, 1973. [208] S. V. Pilipenko, Paper-and-pencil cosmological calculator. Preprint, arXiv: 1303.5961v1, 2013, 1–4. [209] T. Pint´er, M. Rybansk´y, Pr´ıklady z astron´omie. Slovensk´a´ustredn´ahvezd´areˇnHur banovo, 2009. [210] Planck Collaboration, Planck 2013 results, I. Overview of products and scientific results. ArXiv 1303.5062 [211] Planck Collaboration, Planck 2013 results, XVI. Cosmological parameters. ArXiv: 1303.5076v1. [212] H. Poincar´e, Sur le probl`eme des trois corps et les ´equations de la dynamique. Acta Math. 13 (1890), 1–270. [213] H. Poincar´e, La th´eorie de Lorentz et le principle de r´eaction. Arch. N´eerland. Sci. Exactes et Naturelles 5 (1900), 252–278. [214] H. Poincar´e, Sur la dynamique de l’´electron. C. R. Acad. Sci. Paris 140 (1905), 1504–1508. [215] Z. Pokorn´y, Astronomick´ealgoritmy pro kalkul´atory. Hvˇezd´arna a planet´arium hl. m. Prahy, 1988. [216] R. W. Porcas, Summary of known superluminal sources. In: Superluminal radio sour ces, T. J. Pearson, J. A. Zensus (eds.), Cambridge Univ. Press, 1987, 12–25. [217] D. Rapetti et al., The observed growth of massive galaxy clusters — III. Testing general relativity on cosmological scales. Mon. Not. R. Astron. Soc. 406 (2010), 1796– 1804. 242 Literatura [218] B. Ratra, M. S. Vogeley, Resource letter: BE-1: The beginning and evolution of the Universe. ArXiv: 0706.1565v1, 2007, 1–95. [219] D. Rawlins, The great unexplained residual in orbit of Neptune. Astronom. J. 75 (1970), 856–857. [220] K. Rektorys, Pˇrehled uˇzit´ematematiky I. Prometheus, Praha, 1995. [221] K. Rektorys, Pˇrehled uˇzit´ematematiky II. Prometheus, Praha, 1995. [222] A. G. Riess, A. V. Filippenko, . . . , B. Schmidt et al., Observational evidence from supernovae for an accelerating universe and a cosmological constant. Astronom. J. 116 (1998), 1009–1038. [223] A. G. Riess, P. E. Nugent, . . . , B. Schmidt et al., The farthest known supernova: Sup- port for an accelerating universe and a glimpse of the epoch of deceleration. Astro phys. J. 560 (2001), 49–71. [224] A. G. Riess, L. G. Strolger et al., Type Ia supernova discoveries at z > 1 from the Hubble space telescope: Evidence for past deceleration and constraints on dark energy evolution. Astrophys. J. 607 (2004), 665–687. [225] A. G. Riess, L. G. Strolger et al., New Hubble space telescope discoveries of Type Ia supernovae at z >= 1: Narrowing constraints on the early behavior of dark energy. Astrophys. J. 659 (2007), 98–121. [226] K. Rines et al., Infrared mass-to-light profile throughout the infall region of the Coma cluster. Astrophys. J. 561 (2001), L41–L44. [227] H. P. Robertson, On the foundation of relativistic cosmology. Proc. Nat. Acad. Sci. 15 (1929), 822–829. [228] C. Ron, J. Vondr´ak, Expansion of annual aberration into trigonometric series. Bull. Astron. Inst. Czechosl. 37 (1986), 96–103. [229] P. Rosenblatt, The origin of the Martian moons revisited. Astronom. Astrophys. Rev. 19 (2011), #44. [230] R. Roˇskar et al., Riding the spiral waves: implications of stellar migration for the properties of galactic disks. Astrophys. J. 684 (2008), L79–L82. [231] E. Roulet, Gravitational lensing and microlensing. World Scientific, Singapore, 2002. [232] V. C. Rubin, Dark matter in spiral galaxies. Scientific Amer. 248 (1983), 88–101. [233] V. C. Rubin, A brief history of dark matter. The Dark Universe: Matter, Energy, and Gravity (ed. M. Livio), Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2003, 1–13. [234] V. C. Rubin et al., Kinematic studies of early-type stars, I. Photometric survey, space motions, and comparison with radio observations. Astrophys. J. 67 (1962), 491–531. 243 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace [235] V. C. Rubin, W. K. Ford, N. Thonnard, Rotational properties of 21 Sc galaxies with a large range of luminosities and radii, from NGC 4605 (R = 4 kpc) to UGC 2885 (R = 122 kpc). Astrophys. J. 238 (1980), 471–487. [236] G. Rudnick et al., Measuring the average evolution of luminous galaxies at z < 3: The rest-frame optical luminosity density, spectral energy distribution, and stellar mass density. Astrophys. J. 650 (2006), 624–643. [237] D. G. Saari, Z. J. Xia, Do nekoneˇcna v koneˇcn´em ˇcase. Pokroky mat. fyz. astronom. 42 (1997), 90–102. [238] I. J. Sackmann, A. I. Boothroyd, K. E. Kraemer, Our Sun. III. Present and future. Astrophys. J. 418 (1993), 457–468. [239] S. S. Said, F. R. Stephenson, Solar and lunar eclipse measurements by medieval Mus- lim astronomers. J. Hist. Astronom. 27, 28 (1996/97), 259–273, 29–48. [240] J. van de Sande et al., The stellar velocity dispersion of a compact massive galaxy at z = 1.80 using X-shooter confirmation of the evolution in the mass-size and mass- dispersion relations. Astrophys. J. Lett. 736 (2011), L9. [241] R. H. Sanders, The dark energy problem – a historical perspective. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2010. [242] D. Sellers, The transit of Venus: the quest to find the true distance of the Sun. Me gavelda Press, 2001. [243] D. N. Sergel et al., Three-years Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) observations: Implications for cosmology. Astrophys. J. 170 (2007), 377–408. [244] O. Seydl, K st´emu v´yroˇc´ıobjeven´ıplanety Neptuna. R´ıˇseˇ hvˇezd 27 (1946), 178–184. [245] I. I. Shapiro, Fourth test of general relativity. Phys. Rev. Lett. 13 (1964), 789–791. [246] G. A. Shields, A brief history of Active Galactic Nuclei. Publ. Astronom. Soc. Pacific 111 (1999), 661–678. [247] R. Sch¨odel, T. Ott, R. Genzel et al., A star in a 15.2-year orbit around the super- massive black hole at the centre of the Milky Way. Nature 419 (2002), 694–696. [248] B. Schwarzschild, Discoverers of the Hubble expansion’s acceleration share Nobel phy- sics prize. Physics Today 64 (2011), Dec., 14–17. [249] K. Schwarzschild, Uber¨ das zul¨assige Kr¨ummungsmaaß des Raumes. Viertelja hrsschift der Astronomischen Gesellschaft 35 (1900), 337–347; English translation: Abraham Zelmanov J. 1 (2008), 64–73. [250] S. Sikora, L. Bratek, J. Ja locha, M. Kutschera, Gravitational microlensing as a test of a finite-width disk model of the Galaxy. ArXiv: 1103.5056v3, 2012, 1–10. 244 Literatura [251] A. J. Simoson Periodicity domains and the transit of Venus. Amer. Math. Monthly 121 (2014), 283–298. [252] P. Sisterna, H. Vucetich, Time variation of fundamental constants: Bounds from geophysical and astronomical data. Phys. Rev. D 41 (1990), 1034–1046. [253] W. De Sitter, On the relativity of inertia. Remarks concerning Einstein latest hypo- thesis. Proc. Kon. Ned. Acad. Wet. 19 (1917), 1217–1225. [254] K. Slav´ıˇcek, Listy z C´ınyˇ do vlasti. Vyˇsehrad, Praha, 1995. [255] V. M. Slipher, The radial velocity of the Andromeda Nebula. Lowell Observatory Bull. 1 (1913), 56–57. [256] V. M. Slipher, Spectrographic observations of nebulae. Amer. Astronom. Soc., Popular Astronomy 23 (1915), 21–24. [257] S. Smith, The mass of the Virgo cluster. Astrophys. J. 83 (1936), 23–30. [258] J. Southworth et al., Physical properties of the 0.94-day period transiting planetary system WASP-18, 2009. Astrophys. J. 707 (2009), 167–172. [259] E. M. Standish, Planet X: no dynamical evidence in the optical observations. Astro nom. J. 105 (1993), 2000–2006. [260] J. M. Steele, Solar eclipse times predicted by the Babylonians. J. Hist. Astron. 28 (1997), 133–139. [261] J. M. Steele, F. R. Stephenson, The accuracy of eclipse times measured by the Baby- lonians. J. Hist. Astronom. 28 (1997), 337–345. [262] H. Stephani, General relativity. An introduction to the theory of the gravitational field. 2nd edition, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990. [263] B. Stephenson, Kepler’s physical astronomy. Springer Verlag, New York, 1987. [264] F. R. Stephenson, Historical eclipses and Earth’s rotation. Astronomy & Geophysics 44 (2003), 22–27. [265] F. R. Stephenson, L. J. Fatoohi, Thales’s prediction of a Solar eclipse. J. Hist. Astron. 28 (1997), 279–282. [266] G. Str¨omberg, Analysis of radial velocities of globular clusters and non-galactic ne- bulae. Astrophys. J. LXI (1925), 353–362. [267] A. M. Swinbank et al., Intense star formation within resolved copact regions in a galaxy at z = 2.3. Nature 464 (2010), 733–736. [268] M. Solc,ˇ Gravitaˇcn´ıˇcoˇcky, Einstein a Praha. Pokroky mat. fyz. astronom. 44 (1999), 233–248. 245 M. Kˇr´ıˇzek: Antigravitace [269] M. Solc,ˇ A. Solcov´a,ˇ Astronom Bessel. Rozpravy NTM v Praze, sv. 107, Z dˇejin geod´ezie a kartografie, ˇc. 5 (1986), 135–150. [270] M. Solc,ˇ J. Svestka,ˇ V. Van´ysek, Fyzika hvˇezd a vesm´ıru. SPN, Praha, 1988. [271] A. Solcov´a,ˇ Johannes Kepler – zakladatel nebesk´emechaniky. Prometheus, Praha, 2004. [272] J. A. Thorpe, Elementary topics in differential geometry. Springer, New York, Berlin, 1979. [273] B. Tinsley, Accelerating Universe revisited. Nature 273 (1978), 208–211. [274] I. Trujillo, Origin and fate of the most massive galaxy. Highlights of Spanish Astro physics VI, Proc. of the IX Sci. Meeting of the Spanish Astronom. Soc., Madrid (ed. M. R. Zapatero et al.), 2010, 120–130. [275] I. Trujillo et al., Strong size evolution of the most massive galaxies since z ∼ 2. Mon. Not. R. Astronom. Soc. 382 (2007), 109–120. [276] K. Tsiganis, R. Gomes, A. Morbidelli, H. F. Levison, Origin of the orbital architecture of the giant planets of the Solar System. Nature 435 (2005), 459–461. [277] S. G. Turyshev et al., Advancing tests of relativistic gravity via laser ranging to Pho- bos. Exp. Astron. 28 (2010), 209–249. [278] A. V. Tutukov, A. V. Fedorova, The origin of intergalactic stars in galaxy clusters. Astron. Reports 55 (2011), 383–391. [279] F. Verbund, The Earth and Moon: from Halley to lunar ranking and shells. Preprint, Utrecht Univ., 2002, 1–10. [280] E. Vit´asek, Numerick´emetody. SNTL, Praha, 1987. [281] E. Vit´asek, Z´aklady teorie numerick´ych metod pro ˇreˇsen´ıdiferenci´aln´ıch rovnic. Aca demia, Praha, 1994. [282] E. Vit´asek, M. Kˇr´ıˇzek, (Ne)spolehlivost numerick´ych v´ypoˇct˚u. Jak´anebezpeˇc´ıskr´yv´a numerick´epoˇc´ıt´an´ı? In: Programy a algoritmy numerick´ematematiky 9, Matema tick´y´ustav AV CR,ˇ Praha, 1998, 139–150. [283] G. M. Voit, Tracing cosmic evolution with clusters of galaxies. Rev. Mod. Phys. 77 (2005), 207–258. [284] J. Vondr´ak, Dynamika rotace Zemˇe. Astropis IX (2002), ˇc. 2, 28–33. [285] I. Vrecion, K ˇcemu lze upotˇrebiti 3. Kepler˚uv z´akon. R´ıˇseˇ hvˇezd 1 (1920), 54. [286] R. M. Wald, General relativity. Univ. of Chicago Press, 1982. 246 Literatura [287] S. Weinberg, Gravitation and cosmology: Principles and applications of the general theory of relativity. John Wiley, New York, London, 1972. [288] S. Weinberg, Prvn´ıtˇri minuty: Modern´ıpohled na poˇc´atek vesm´ıru. Mlad´afronta, Praha, 1998. [289] S. Weinberg, Cosmology. Oxford Univ. Press, 2008. [290] J. W. Wells, Coral growth and geochronometry. Nature 197 (1963), 948–950. [291] G. E. Williams, Geological constraints on the Precambrian history of Earth’s rotation and the Moon’s orbit. Rev. Geophys. 38 (2000), 37–60. [292] R. Wojtak, S. H. Hansen, J. Hjorth, Gravitational redshift of galaxies in clusters as predicted by general relativity. Nature 477 (2011), 567–569. [293] M. Wolf (ed.), Astronomick´apˇr´ıruˇcka. Academia, Praha, 1992. [294] M. Wolf, Extrasol´arn´ıplanety. Pokroky mat. fyz. astronom. 50 (2005), 44–61. [295] C. F. Yoder, J. G. Williams et al., Secular variation of Earth’s gravitational harmonic J2 coefficient from Lageos and nontidal acceleration of Earth rotation. Nature 303 (1983), 757–762. [296] W. J. Zhang, Z. B. Li, Y. Lei, Experimental measurements of growth patterns on fossil corals: Secular variation in ancient Earth-Sun distance. Chinese Sci. Bull. 55 (2010), 4010–4017. [297] F. Zwicky, On the red shift of spectral lines through interstellar space. Proc. Nat. Acad. Sci. 15 (1929), 773–779. [298] F. Zwicky, Die Rotverschiebung von extragalaktischen Nebeln. Helv. Phys. Acta 6 (1933), 110–127. [299] F. Zwicky, Remarks on the redshifts from nebulae. Phys.Rev. 48 (1935), 802–806. [300] F. Zwicky, On the masses of nebulae and of clusters of nebulae. Astrophys. J. 86 (1937), 217–246. [301] http://en.wikipedia.org/wiki/NGC 4874 ⊙ ⊙ ⊙ 247 Jmenn´yrejstˇr´ık Adams J. C. 33 Clark A.G. 24, 33 Adams W. 24 Clarke A. C. 38 d’Alembert J. 51 Clausius R. 72 Anaximandros 9 Clowe D. 105 Archimedes 12, 29 Cook J. 16 Aristarchos 11, 12 Cooperov´aV. 93 Aristoteles 12, 107 Cooperstock F.I. 152 Curtis H. 110 Baade W. 69, 113 Barrow J. 154 Doppler Ch. 20 van den Bergh G. 64 Drake F. 161 Bessel F. W. 18, 24 Dumin Y. V. 138 Blandford R.D. 176 Ebr J. 227 Blanuˇsa D. 203 Eddington A. 109, 183 Bolyai J. 192 Einstein A. 22–24, 61, 112, 117, 140, 163, Bouwers R. J. 174 182, 188, 206 Bradley J. 19 Eratosthenes 13 Brahe T. 4, 5, 9, 19 Euler L. 29, 51 Brander D. 203 Brandts J. 227, 228 Fermi E. 154, 161 BroˇzM. 226 van Flandern T.C. 133, 188 Brumberg V. A. 150 Flandro G.A. 55 Bruno G. 108, 191 Friedmann A.A. 111, 117, 120, 205, 206 B¨urgi J. 6 Galileo G. 2, 170 Burˇsa M. 169 Galle J. G. 14, 33 Gamow G. 94 Carlip S. 184, 225, 226 Gauss C.F. 192 Carrera M. 151 Giulini D. 151 Carter B. 154 G¨odel K. 93, 113 Cassini G. D. 14 Green Ch. 16 Cavendish H. 33 Grygar J. 111, 226 248 Hall A. 36 Lepka K. 30 Halley E. 16, 41 Leˇsko J. 62 Hamilton W. R. 51 Leverrier U. J. J. 33 Hamuy M. 116 Lie S. 192 Heinrich W. W. 51 Lobaˇcevskij N. I. 1, 192 Hell M. 16 Lomonosov M. V. 61 Herschel W. F. 14, 42, 178 Lowell P. 171 Hilbert D. 198, 199 Luhman K. 98 Hipparchos 2 Hlav´aˇcek I. 223 MacLaurin C. 29 Hoyle F. 111 Macrae N. 93 Hubble E.P. 69, 75, 110–112, 117, Mashhoon R. 152 120, 178 Mather J. C. 107 Humason M.L. 69, 75, 110 Matyska C. 225 Huygens Ch. 20, 203 McVittie C. G. 90 Messier Ch. 178 Chandrasekhar S. 114 M´esz´aros A. 225 Charlier C. V. L. 112 Milne E. A. 112 Che 62 Minovitch M. A. 54 Mirzakhaniov´aM. 204 Jacobi C. G. J. 51 Jacobson R. A. 169 Napier J. 6 Nechv´ıleV. 51, 52 Kepler J. 2–7, 9, 16, 25, 29, 34, 51 Newton I. 3, 30, 48, 51 Kepler L. 4 Nobel A. 108 Klein F. 192 Novotn´yO. 225 Kopeck´yV. 227 Novotn´yV. 229 Kopern´ıkM. 2, 14, 154 Kowal Ch. T. 113 Panek R. 190 Krasinsky G.A. 150, 228 Pauer M. 225 Kroupa P. 179 Penrose R. 9 Perlmutter S. 107, 108, 116, 118 Lagrange J.L. 51 Petr K. 51, 52 Lalande M.L. 170 Pick G. 117 Landau L. 69, 191 Poincar´eH. 52, 56, 188 Laplace P. 51, 188 Potoˇcnik H. 38 Leavitov´aH. S. 110 Pr´ager M. 223 Lemaˆıtre G.E. 110, 112, 120, 151 Pravda V. 225 249 Prusinger S. B. 161 Solcˇ M. 224 Ptolemaios K. 2 Thales 63 Riemann B. 192 Tinsleyov´aB. 119, 120 Riess A.G. 107, 108, 112, 118 Tipler F. 154 Richer J. 14 Tombaugh C. 170 Rømer R. 20 Trujillo I. 174 R¨ontgen W. C. 108 Rubin R. 93 Velem´ınsk´yJ. 225 Rubinov´aV. 93–95, 98, 104, 105, 211, 229 da Vinci L. 40 Savary F. 42 Vit´asek E. 223 Segeth K. 223 Vondr´ak J. 224 Schmidt B. 107, 108, 114, 116, 118 Vrba A. 215 Schopenhauer A. 121 Vrˇckov´aF. 69 Schwarzschild K. 108, 120, 191 Weinberg S. 112 Si 62 Wells J. W. 143 de Sitter W. 117 West N. 61 Slipher V.M. 72, 109–111, 120 Williams G. E. 133 Smith S. 69 Smoot G.F. 107 Zhang W. 143, 146, 228 Somer L. 228, 229 Zwicky F. 33, 68–70, 72–83, 86, 91, 105, Str¨omberg G. 110, 112 113, 211, 229 250 Vˇecn´yrejstˇr´ık aberace 66 atmosf´era 127, 134, 142, 157 gravitaˇcn´ı81, 120, 121, 182–187, 213 atom nulov´a183 uhl´ıku 162 svˇeteln´a66, 67, 187 vod´ıku 24, 99, 148, 162 svˇetla 19, 66, 67 axion 105 afel(ium) 6, 41 Big Bang 111 akumulace chyb 59, 153 b´ılkovina 161 albedo 127 bod Bondovo 128 hmotn´y31, 48, 70, 81, 96, 97, 104 stˇredn´ı142 inflexn´ı209 ALMA 178 jarn´ı21, 147 Altair 21 Lagrange˚uv 113 aminokyselina 161 mrazu 126, 128 anal´yza pevn´y186 Fourierova 1 podzimn´ı21 chyb numerick´ych 171 trojn´y126 chyby 80, 105 boson 105, 188 anom´alie excentrick´a25–27 cefeidy 110, 111 prav´a25–27 cena Nobelova 69, 107, 108, 114, 120, stˇredn´ı28, 29 161, 204 antigravitace 121, 122, 134, 139, 140, COBE 107, 195 143, 148, 153, 160, 163, 164, 166– Curiosity 127 169, 173, 179, 180–182, 190, 213, 225 ˇc´ara apocentrum 45, 50 absorpˇcn´ı113 apogeum 132 Hα 24 Apollo 54, 132 helia 114 Apophis 57 kˇrem´ıku 113 argument perihelia 28, 29 kysl´ıku 114 asteroid 155, 168, 173, 189 s´ıry 113 bl´ızkozemn´ı48 spektr´aln´ı70, 109 251 vanadu 109 doba v´apn´ıku 114 geologick´a181 vod´ıku 113, 114 ledov´a126, 157 ˇzeleza 109 obˇehu 7, 42, 46, 50, 167 ˇcas obˇeˇzn´a6, 34–36, 47, 170, 173 greenwichsk´y18 dr´aha Hubble˚uv 151 anom´aln´ı133 svˇetov´y18 ekonomick´a39, 55 terestrick´y18 eliptick´a15, 25, 37, 39, 41, 43, 44, ˇcoˇcka 46, 49, 50, 52, 63, 72, 79, 131, 141, ˇcasov´a219–221 168 gravitaˇcn´ı23, 69, 82, 219 geostacion´arn´ı38 pˇreds´adkov´a83 hyperbolick´a49, 79 sklenˇen´a82, 219 keplerovsk´a6, 56, 94 ˇcoˇckov´an´ıgravitaˇcn´ı69, 76, 82, 89, 90, komety 54 92, 105 kruhov´a14, 15, 49, 95, 135, 164, 167, dalekohled 1, 11, 66 181, 186 data paleontologick´a143, 145 kruhov´astacion´arn´ı164 deklinace 21, 22, 82 Mˇes´ıce 134 d´elka Ml´eˇcn´a2, 74, 78, 83, 97, 105, 110, eliptick´edr´ahy 29 112, 160, 175, 178 vlnov´a24, 89 n´avratov´a54 vzestupn´eho uzlu 28, 29 obˇeˇzn´a168 den siderick´y135 parabolick´a49 Deneb 21 pozorovan´a44 derivace ˇcasov´a71, 123, 135, 148, 168, pˇrechodov´aHohmannova 39 169, 210 retrogr´adn´ı41, 171 devon 143, 144, 149 skuteˇcn´a44 diagram Hertzsprung˚uv–Russell˚uv 124, spir´aln´ı171, 181 140, 148 stabiln´ı188 d´ıra ˇcern´a24, 46, 78, 83, 94, 98, 104, stacion´arn´ı164–168, 181 113, 213, 216 zemsk´a19, 146, 159 centr´aln´ı178 dvojhvˇezda 79, 113, 188 supermasivn´ı43, 215 tˇesn´a113 disk 95–100, 170, 200, 211, 216 vizu´aln´ı42 DNA 141, 161, 162 dvojplaneta 147 252 efekt d´elkov´a5, 40 Jarkovsk´eho 139, 150 line´arn´ı5 Pioneer 173 numerick´a5, 40 relativistick´y81, 88, 90, 139 exoplaneta 42, 43, 98, 181 sklen´ıkov´y125, 128, 157, 160 WASP-18b 181 YORP 150 expanze 151 efemeridy 29 exponenci´aln´ı159, 170 ekliptika 9, 28, 61, 63, 64, 67, 75, 147, galaktick´a174 166, 168, 173 glob´aln´ı90 ekosf´era 140–142, 157, 160 Hubbleova 129, 175, 176, 213 elipsa 7, 18, 26, 37, 39, 134 kosmick´a116 aberaˇcn´ı20 line´arn´ı170 paralaktick´a18, 19 lok´aln´ı90, 131, 134, 190 prot´ahl´a37, 172 Sluneˇcn´ısoustavy 131 elipsoid 79 vesm´ırn´a113 energie 149 zrychlen´a120, 213 absorbovan´asluneˇcn´ı127 extrapolace 209 celkov´a72, 77, 121, 152, 153, 171, 180, 183, 190 fermion 105 elektron˚u84 Fobos 36, 167 emitovan´a127 foton 20, 69, 82, 107, 109, 113, 149, 220 kinetick´a38, 45, 54, 55, 70, 71, 74, frekvence 149 77, 152, 153, 180, 183, 190 ´uhlov´a135, 136 konstantn´ı142 funkce mechanick´a72, 121 distribuˇcn´ı155 potenci´aln´ı38, 45, 71, 75, 77–79, 88, expanzn´ı115, 116, 119, 150, 151, 152, 164, 178, 180, 183, 190 159, 197, 206, 208, 214, 221 skryt´a69, 108 klesaj´ıc´ı102, 103, 144, 145, 160 sluneˇcn´ı127, 141, 159 konk´avn´ı119, 156, 202 temn´a69, 80, 90, 91, 108, 115, 117, konstantn´ı113, 157, 158 120, 122, 123, 130, 143, 150, 152, konvexn´ı102, 115, 118, 119, 120, 156, 157, 159, 160, 173, 182, 190, 211 202, 209 vakua 120, 139, 190, 214 line´arn´ı151, 159 vnitˇrn´ı105 racion´aln´ı156–159 excentricita 5, 7, 28, 40, 43, 50, 63, 126, spojit´a102, 113 131, 172 spojitˇediferencovateln´a115 ˇc´ıseln´a5 vektorov´a58 253 Gaia 19, 97 glycin 161 galaxie 55, 72, 78, 79, 86, 94, 105, 109, gn´omon 9, 13 110, 111, 114, 122, 161, 174–181 GPS 1 ˇcoˇckovit´a178 halo 99 eliptick´a73, 83, 91, 110, 178 helium 110, 148 HFLS3 178 Hipparcos 19, 97 M31 78, 96, 103, 109, 110 histogram 72, 79, 83, 84 mezilehl´a76, 82, 219 hmota nepravideln´a178 baryonov´a79, 85, 86, 97, 100, 104, NGC 4874 73, 83, 91 117, 210, 212 NGC 4889 73, 83, 91 mezigalaktick´a91 obˇr´ı91 nebaryonov´a24 prstencov´a179 nesv´ıt´ıc´ıbaryonov´a79, 85, 99, 104 ran´a174 temn´a24, 33, 68, 70, 74, 76–78, 94, referenˇcn´ı84 98, 99, 103–106, 117, 210, 211 rotuj´ıc´ı70, 81, 179 hmotnost slupkovit´a179 baryonov´a85, 97–99 spir´aln´ı60, 94, 95, 100, 103, 178, 188 celkov´a99 srovn´avac´ı85 celkov´akupy 86 superhust´a174 protonu 70, 155 trpasliˇc´ı78, 178, 179 sluneˇcn´ı130, 148 vloˇckovit´a179 viri´alov´a75–77, 85, 86, 91, 211 Galaxie 19, 43, 78, 79, 85, 94, 97–100, viri´alov´asn´ıˇzen´a88 104, 110–112, 123, 161, 175, 176, hnˇedel 125 179, 181, 190, 206, 211, 216, 219, 221 hodnota stˇredn´ı72, 88 GEO 188 homogenita 112, 192, 195 geodetika 21, 23, 192, 199, 204 horizont 198, 221 geometrie hustota 86, 114, 117, 210 eliptick´a192, 197, 198 baryonov´ehmoty 117 Eukleidova 21 d´elkov´a100 eukleidovsk´a192, 197 energie 212, 213 hyperbolick´a23, 193, 196–200 konstantn´ı74, 95 Lobaˇcevsk´eho 23, 198 kritick´a207 neeukleidovsk´a1, 120, 192 nulov´a117 Riemannova 21–23 ploˇsn´a100 sf´erick´a21 stˇredn´ı40, 117, 135, 136, 206 vesm´ıru 197 svˇeteln´eho toku 84 254 temn´eenergie 117, 211 siln´a112, 122, 155 temn´ehmoty 117, 211 slab´a112, 155 hvˇezda 2 interferometr 1, 11 bludn´a4 iont 107 kvarkov´a98 izochrona 196 mateˇrsk´a181 izometrie 198 neutronov´a33, 69, 82, 98, 113, 114 izotop 142 S2 43–46, 94 izotropie 112, 113, 192, 195 vyhasl´a104 j´adro galaktick´e178 hvˇezdokupa 190 j´ama potenci´alov´a82 kulov´a79, 83, 109, 174, 179, 180 jednotka astronomick´a15, 35, 122, 142, otevˇren´a179 170, 214 hydrosf´era 134 jev Doppler˚uv 42, 45, 75, 109, 113 hyperboloid Jupiter 2, 20, 34, 40, 47, 49, 53–55, 59, dvojd´ıln´y192, 194, 202, 204 147, 164, 173, 188 jednod´ıln´y192, 204 hypersf´era 109 kambrium 145 katastrofa chromosf´era 61 graviterm´aln´ı179, 180, 190 chyba 82, 86 slapov´a134 aproximace 150 kauzalita 182, 189 celkov´a56, 57 kometa 53, 54, 148, 161 diskretizaˇcn´ı57, 58, 150 Halleyova 41 extrapolaˇcn´ı57 konstanta interpolaˇcn´ı57 Avogadrova 155 modelu 48, 57, 171 fundament´aln´ıfyzik´aln´ı154 numerick´a171 gravitaˇcn´ı31, 36, 46, 49, 71, 101, zaokrouhlovac´ı57–60, 85, 150 117, 120, 133, 144, 155, 185, 206 index Hubbleova 72, 73, 90, 108, 111, 112, kˇrivosti 117, 118, 196, 206 121, 123, 129, 134, 138, 143, 152, lomu 82 156, 166, 175, 179, 190, 206, 216 inklinace 28, 29, 164 jemn´estruktury 155 integrace numerick´a57, 171 kosmologick´a117, 118, 155, 183, interakce 184, 206, 208, 211 elektromagnetick´a112, 155, 188 matematick´a155 gravitaˇcn´ı48, 55, 112, 139, 171, 182, Newtonova–Cavendishova 33 184, 188 Planckova 149, 155 255 sluneˇcn´ı123–125, 130, 141, 149, 156, normalizovan´a117 157, 159, 160 prostorov´a117, 204 Stefanova–Boltzmannova 127 sekcion´aln´ı204 ˇsk´alovac´ı85 vesm´ıru 24, 197 z´akladn´ıfyzik´aln´ı157, 160, 185 kupa galaktick´a55, 68–70, 72–87, 89– kor´ona 61 92, 105, 106, 178, 190, 211 kosmologie 107, 108, 196, 213 kuˇzel svˇeteln´y202 koule 31, 74, 82, 86, 87, 95–97, 99, 193 kvadrant 4, 9, 10 ˇctyˇrrozmˇern´a151, 192, 219 kvasar 18, 119, 178, 215, 220 homogenn´ı32, 135 kvintesence 120, 190 jednotkov´a193 nafukuj´ıc´ıse 151 Lageos 18 snˇehov´a157 lalok Roche˚uv 113 kr´ater 2, 124, 125, 168, 173 Larissa 165, 166 Eberswalde 130 l´atka Gale 127 baryonovov´a78, 104, 211, 214 Stickney 163 mezihvˇezdn´a98 kruˇznice 26, 81, 179, 198, 219 radioaktivn´ı142 hlavn´ı21, 192, 197, 198 skryt´a69 hraniˇcn´ı199, 200 sv´ıt´ıc´ı210 jednotkov´a193 ledovec 134, 136 oskulaˇcn´ı192, 199 limonit 125 v komplexn´ımoboru 198 luminozita 76, 113, 128, 156, 160, 178 krychle 132, 177, 213 relativn´ı125 kˇrivka Luna 54, 132 Gaussova 79, 84 Lunochod 132 ploch´arotaˇcn´ı94 rotaˇcn´ıgalaxie 76, 94 Magellan 36 rotaˇcn´ıidealizovan´a95 magnituda 80, 84, 114, 116 svˇeteln´a113 referenˇcn´ı85 vleˇcn´a203 MACHO 104 kˇrivost 192 Mars 3–5, 7, 14, 15, 34–36, 39, 47, 121, Gaussova 198, 199, 203, 204 123–130, 140, 160, 163–165, 167– glob´aln´ı23 169, 173, 189 hladk´e(nad)plochy mechanika klasick´a131, 164, 183 kladn´a150, 181, 196 Merkur 7, 14, 15, 24, 36, 43, 47, 59, 95, konstantn´ı23 123, 127, 173, 214 256 mˇes´ıc6, 171 model 104, 113, 120 drakonick´y63 ˇc´asticov´y105 lun´arn´ı145, 146 diskretizovan´y56 rychl´y164–167 diskr´etn´ı56, 57 siderick´y145 dvojrozmˇern´y104, 181 synodick´y64 expanduj´ıc´ıho vesm´ıru 181 Mˇes´ıc4, 11, 37, 54, 61–67, 75, 96, 131– geometrick´y3 139, 144, 145, 147, 150, 152, 168 heliocentrick´y4, 11 Messenger 36 homogenn´ı219 metoda izotropn´ı219 baryonov´ych oscilac´ı210, 212 klimatologick´y126 geometrick´a11 koneˇcnˇerozmˇern´y56 iteraˇcn´ı28 Kopern´ık˚uv 4, 19 Keplerova 4 kosmologick´y108, 114, 115, 195, Kopern´ıkova 14, 15 205, 206, 210, 213 mnohokrokov´a56 ΛCDM 118, 205, 209, 212, 214 Newtonova 28 matematick´y31, 56, 57, 68, 195, postupn´ych aproximac´ı28 196, 205 postnewtonovsk´y182, 187 Rungeova–Kuttova 56, 187 Nice 171 symplektick´a56, 187 prostoroˇcasu 196 Zwickyova 74, 77 Ptolemai˚uv 19 metrika 115, 193, 201 Sluneˇcn´ısoustavy 3, 19 eukleidovsk´a199, 200, 203 spir´aln´ıgalaxie 60 hyperbolick´a199 stacion´arn´ıho vesm´ıru 206 Minkowsk´eho 115, 193, 200, 202 standardn´ıelement´arn´ıch ˇc´astic 78 mez vesm´ıru 150, 191, 196 Chandrasekharova nestability 113, vesm´ıru pozorovateln´eho 196 114 moment kritick´a179 hybnosti 81, 164, 182, 188 Rocheova 169 hybnosti orbit´aln´ı133, 137, 172, 183 mezikruˇz´ı104, 157 hybnosti rotaˇcn´ı133, 136, 137 migrace 176 setrvaˇcnosti 71, 135, 147, 173 Neptunu 171 setrvaˇcnosti ˇcasovˇepromˇenn´y138 planet 123 MOND 106 mikrokvasar 216–218 nadsf´era 109, 118, 192, 206 Miranda 166, 167 NASA 70, 73, 126–128, 130, 163, 168 257 Neptun 14, 33, 34, 37, 44, 47, 55, 59, 95, paradox 31, 67, 72, 74, 94, 115, 181, 206, 123, 164–167, 170–173, 176 210, 216–218 nerovnost dvojˇcat 202 Bishopova–Gromovova 82 Fermiho 161 Cauchyova–Schwarzova 201 mlad´eho hork´eho Slunce 123, 140, troj´uheln´ıkov´a193, 199, 201, 202 156 troj´uheln´ıkov´aobr´acen´a202 nadsvˇeteln´ych rychlost´ı215 neutrino 105, 117 slapov´ych sil Mˇes´ıce 123, 134 New Horizons 40 velk´eho orbit´aln´ıho momentu 123 norma eukleidovsk´a185 velk´ych rychlost´ı104 nukleosynt´eza 113 Zwicky˚uv 92 nukleotid 161 paralaxa 18, 109 nutace 18 roˇcn´ı18, 19, 42 parametr obr ˇcerven´y113, 124, 160 akceleraˇcn´ı209 obsah elipsy 7 bezrozmˇern´y117, 118, 207 obvod elipsy 29 deceleraˇcn´ı90, 118–120, 151, 209 oce´an 125, 142, 157, 160 Hubble˚uv 72, 90, 114, 115, 122, 150, odhad 159, 175, 181, 207, 212, 213 dvojstrann´y29, 156, 158 Hubble˚uv klesaj´ıc´ı91, 115 Zwicky˚uv 88 Hubble˚uv konstantn´ı115 odrazivost 127 hustoty hmoty 117, 118, 207 odraˇzeˇckoutov´y1, 131–133 hustoty prostorov´ekˇrivosti 117, 207 ohnisko 4, 6, 25, 26, 40, 44, 49 hustoty temn´eenergie 117, 118, 207 okno startovac´ı39 keplerovsk´y28, 150 Opportunity 126 kosmologick´y108, 114, 118, 178, 208 orbita orbit´aln´ı181 Clarkova 38 ˇsk´alovac´ı115 geostacion´arn´ı38 zpomalen´ı118, 209 kruhov´a94, 172 parsek 42 kruhov´astacion´arn´ı164 p´as nestabiln´ı173 asteroid˚u173, 189 n´ızk´a164 Kuiper˚uv 123, 173 stacion´arn´ı167 Pathfinder 126 osa pavuˇcina kosmick´a80, 190, 195 rotaˇcn´ı166, 167 pericentrum 45 zemsk´a18 perigeum 132 258 perihel(ium) 6, 24, 27, 41 kupy 75, 78, 91 perioda Schwarzschild˚uv 46 obˇehu 164, 183 vesm´ıru 109, 111, 118, 120 obˇeˇzn´a4 poloosa orbit´aln´ı147 hlavn´ı5, 6, 20, 26, 28, 35, 36, 39, 41, rotaˇcn´ı164 43, 44, 46, 131, 144 perpetuum mobile 224, 224, 226 mal´a5 Phobos 36, 123, 163–165, 167–169 vedlejˇs´ı5, 26, 40 ping-pong gravitaˇcn´ı54, 55 velk´a5, 15 Planck 104, 107, 118, 195, 210, 211 posloupnost hlavn´ı124, 140, 148 planeta bludn´a98, 104 posuv spektr´aln´ıch ˇcar planetezim´ala 173 ˇcerven´y24, 69, 70, 72, 75, 82, 83, 89, plazma 79, 99, 104, 215–218 90, 109, 110, 112–114, 116, 120, 174– kvarkov´e-gluonov´e69 178, 195, 197, 206, 215, 221 Pluto 34, 40, 151, 170, 171, 187 gravitaˇcn´ıˇcerven´y24, 82, 89, 90 plyn mezigalaktick´y104–106 kosmologick´y82 podm´ınky modr´y72, 83, 109, 110, 112, 113 Carath´eodoryho 55 potenci´al koncov´e58, 59 dip´olu 150 poˇc´ateˇcn´ı49, 53, 57, 58, 115, 150, gravitaˇcn´ı31, 33, 55, 92, 150 171, 183, 185–187 konstantn´ı33, 92 stabiln´ı160 magnetick´y150 pohyb stˇredn´ı169 prach Pol´arka 22, 114 mezigalaktick´y104, 174 pole meziplanet´arn´ı139, 150 centr´aln´ıs´ıly94 prak gravitaˇcn´ı40, 55 elektromagnetick´e122 precese 18, 20, 147 gravitaˇcn´ı22, 38, 54, 55, 82, 100, princip 127, 134, 153, 168, 188, 210, 214 antropick´y154, 155 hlubok´eHubbleovo 176, 221 antropick´yslab´y157 Killingovo 196 ˇcasov´eˇcoˇcky 220 magnetick´e128, 130, 139, 148, 150, Einstein˚uv kosmologick´y23, 112, 160 195, 196, 219 skal´arn´ı120 kauzality 183, 189 stacion´arn´ı189 prion 161 polomˇer 135, 157, 164 probl´em Galaxie 97 dvou tˇeles 48, 50, 56, 81 259 chybˇej´ıc´ıhmoty 77 reaktor jadern´y149 N tˇeles 48, 54, 171 rekombinace 107 tˇr´ıtˇeles 51 rektascenze 21, 22, 82 tˇr´ıtˇeles omezen´y52 rezonance 122, 137, 171, 190 prostor 197 RNA 161, 162 ˇctyˇrrozmˇern´y196 rok deformovan´y82 kalend´aˇrn´ı20, 147 eukleidovsk´y81, 118, 190, 191, 193, kalend´aˇrn´ıgregori´ansk´y147 202, 203 siderick´y20, 36, 123, 134, 136, 143, hyperbolick´y198 146, 147, 169 kosmick´y125 tropick´y147 mezigalaktick´y86, 211 rotace 17, 171 nekoneˇcn´y212 Merkuru 123, 173 prostoroˇcas 60, 70, 81, 109, 189, 196, rychl´a94 214 v´azan´a169 prostˇred´ı Zemˇe17, 133, 136, 143, 144, 147 mezigalaktick´e70, 80 rovina opticky hustˇs´ı132 eukleidovsk´a199 protogalaxie 175, 176 galaktick´a75, 105 protuberance 61 Gaussova 198 Proxima Centauri 18, 122 hyperbolick´a199, 200, 203 prstenec 31, 100, 104 rovnice homogenn´ı100, 101 algebraick´a28 prachov´y61 diferenci´aln´ı50–53, 71, 117, 137, Saturnu 2, 14, 47 149, 206, 210 pr˚umˇer Drakeova 161 aritmetick´y6, 132 Einsteinovy 117, 205 geometrick´y6, 29 Friedmannova 117, 196, 205, 210, ´uhlov´y40, 63, 78, 170 214 pr˚uvodiˇc4, 8 Keplerova 25–28 prvohory 143 kvadratick´a43, 45 pˇr´ımka uzlov´a44 Pogsonova 84, 114 pseudometrika 202 Schr¨odingerova 214 pseudosf´era 193, 195, 196, 198, 202, 203 transcendentn´ı28 pulzar bin´arn´ı134, 190 veden´ıtepla 213 radioaktivita 129 rozvoj 155 r´adiusvektor 52, 74 Taylor˚uv 28, 102, 119, 151, 209, 210 260 rychlost Saturn 2, 14, 34, 47, 55, 173 expanze 159 sf´era 93, 113, 192, 193, 195, 202 exponenci´aln´ı159 dvojrozmˇern´a104, 202 gravitaˇcn´ıinterakce 48, 55, 60, 81, nebesk´a18, 21, 42, 43, 75, 84, 105, 82, 139, 182, 188 109, 196 gravitaˇcn´ıch vln 188 trojrozmˇern´a115 heliocentrick´a74, 79 s´ıla komety Halleyovy 41 antigravitaˇcn´ı131, 139, 142, 150, konstantn´ı95, 158 152, 156, 166, 167, 171, 172, 179, kosmick´adruh´a38, 39, 54 181, 222 kosmick´aprvn´ı37 dostˇrediv´a35, 92 kosmick´atˇret´ı38 elektromagnetick´a188, 210 kruhov´a49 gravitaˇcn´ı35, 96, 101, 104, 182, 188 nadsvˇeteln´a51, 118, 188, 215–219, jadern´a210 221 opaˇcnˇeorientovan´a50 nekoneˇcn´a48, 59, 139 p´at´a120, 122, 189 obˇeˇzn´a95, 100 pˇritaˇzliv´a100 optim´aln´ı143, 156 slapov´a17, 122, 130, 133, 144, 148, orbit´aln´ı103, 167 149, 150, 164, 169, 181 perige´aln´ı38 singularita 104, 218, 222 ploˇsn´a27 Sirius 24, 33 poˇc´ateˇcn´ı37 skaf´e13 pr˚umˇern´a74, 142, 145, 159, 164 slapy 55, 81, 122, 166, 167 radi´aln´ı75, 79, 80, 83–85, 92, 188 Slunce 4, 9, 14, 16, 25, 35, 36, 40, 42, rozp´ın´an´ıSluneˇcn´ısoustavy 122 52–55, 61–67, 94, 111, 122, 124, 140– stˇredn´ıkvadratick´a74, 77, 90, 91 153, 156, 157, 159, 160, 170, 173, 189 stˇredn´ıradi´aln´ı179 slunovrat 1, 9, 13 svˇetla 2, 19, 20, 55, 67, 89, 110, 117, sopka 125, 129 149, 175, 188, 206, 215, 217 souˇradnice tangenci´aln´ı49, 105 hypersf´erick´e194 ´uhlov´a137, 169 pol´arn´ı27, 101 ´unikov´a38, 47, 49 sf´erick´e194 vzdalov´an´ı157 soustava ˇrada Taylorova 151, 209 algebraick´a150 ˇreka 123, 125–127, 130 bin´arn´ı187 s´al´an´ıtepeln´e139 diferenci´aln´ıch rovnic 51–54, 183, saros 64 185 261 galaxi´ı81 sv´ıtivost 85, 113–115 geocentrick´a2 absolutn´ı111 heliocentrick´a2 hvˇezdy 155, 181 izolovan´a81, 135 supernovy 113 kart´ezsk´a132 symetrie Neptun–Triton 171 rotaˇcn´ı113, 195 Pluto–Charon 187 sf´erick´a75 ptolemaiovsk´ageocentrick´a2 translaˇcn´ı112, 195 rovnic neline´arn´ıch 51 syst´em rovnic se zpoˇzdˇen´ım185 dvou dvojhvˇezd 187 SI 35, 36, 212, 213 inerci´aln´ı212 Slunce–Jupiter 49, 189 stabilizovan´y70, 72 Slunce–Zemˇe190 tˇeˇziˇst’ov´y74 Sluneˇcn´ı3, 4, 11, 42, 56, 90, 94, 95, v´azan´y70, 180 112, 121–123, 131, 141, 150, 152, Stˇeˇn´atkoˇ 33 157, 159, 163–165, 168, 173, 174, 179, 187, 190 tˇeleso ˇcern´e107, 128 souˇradn´a49 tenzor stabiln´ı57 energie a hybnosti 206 vektorov´ych rovnic 53 metrick´y206 Zemˇe–Mˇes´ıc135, 187 momentu setrvaˇcnosti 71 spektrum 110, 119 teorie elektromagnetick´e78 diferenci´aln´ıch rovnic 53 Planckovo 107 evoluˇcn´ıDarwinova 162 spir´ala 134, 164, 183, 184, 187 gravitace Newtonova 3, 48, 56, 106, dvojit´a184 121, 150, 153, 171, 179, 182, 206 rozv´ıraj´ıc´ıse 183 pravdˇepodobnosti 155 Spirit 126 relativity 23, 24, 117, 121, 134, 184, st´aˇr´ı 189, 201, 206, 215, 221 vesm´ıru 114, 119, 209 unaven´eho svˇetla 69 vesm´ıru Hubbleovo 112, 116, 119 teplota 126 Stonehenge 1 centr´aln´ı155 stˇred vesm´ıru 198 efektivn´ı124 supernova 69, 113, 114, 118, 188 povrchov´a124, 160 tˇr´ıdy II 113 rovnov´aˇzn´a127–129 typu Ia 112–116, 118, 119 tˇeˇziˇstˇe31, 32, 49, 50, 60, 135, 186, 188 sv´ıˇcka standardn´ı110, 112, 114 kupy 74, 77 262 Sluneˇcn´ısoustavy 141, 146 tˇren´ıslapov´e81 soustavy 217 tˇresk Velk´y90, 106, 109–111, 116, 197, Titan 125 198, 204, 210, 220–222 tlak atmosf´erick´y126, 160 ´uhel 13, 19, 23, 27, 82 tok aberaˇcn´ı19, 20, 66, 67, 184 energie 124, 156 dopadu 132 energie sluneˇcn´ı157, 160 gravitaˇcn´ıaberace 182, 183 hmoty 139 hodinov´y21 konstantn´ı157 inklinaˇcn´ı45 svˇeteln´y84, 114, 118 odrazu 132 tepeln´y130, 142 ohybu 89 z´aˇriv´y127 ostr´y217 topologie 212 paralaktick´y14, 16 vesm´ıru 24 prav´y22, 44 torus 204 prostorov´y145 trajektorie 1, 16, 23, 39, 48, 49, 105, svˇeteln´eaberace 184 163, 184, 186 tup´y44 expanduj´ıc´ı187 zorn´y215, 221 spir´aln´ı183 Uran 14, 33, 34, 42, 47, 55, 164–167, vektorov´e54, 185 171, 173 traktrix 203, 204 uzel vzestupn´y28, 29 trigonometrie sf´erick´a21 varieta 192, 202, 203 Triton 123, 165, 171, 172 hyperbolick´a206 troj´uheln´ık27, 192, 197, 200, 206 maxim´alnˇesymetrick´a199, 202, kˇrivoˇcar´y23 204, 206 Letn´ı21, 22 prostoroˇcasov´a115 pravo´uhl´y11, 44, 65, 182 prostorov´a194 rovnoramenn´y18 trojrozmˇern´a196, 197 rovnostrann´y132, 187 Vega 21 sf´erick´y22 vektor trpasl´ık114 jednotkov´y52 b´ıl´y24, 33, 113 polohov´y71, 87 ˇcern´y98 smˇerov´y132 ˇcervenohnˇed´y98 veleobr 113 ˇcerven´y98, 211 velikost hnˇed´y98, 211 hvˇezdn´aabsolutn´ı42 infraˇcerven´y98, 104 ´uhlov´a136 263 Venuˇse 2, 14–16, 36, 47, 61, 62, 122, 147, gravitaˇcn´ı134, 188–190 160, 173 r´adiov´e99 vesm´ır104, 117, 134, 190, 196 voda 125–127, 130, 140 cyklick´y208, 209 vrstva kulov´a32, 33, 141 eukleidovsk´y210, 212 v´ydut’ 95, 96, 99, 100, 103 homogenn´ı23, 112, 177 v´ykon izotropn´ı23, 112, 113, 177, 205 relativn´ı124 koneˇcn´y192, 204 sluneˇcn´ı123, 127 maxim´alnˇesymetrick´y205 trval´y153 neeukleidovsk´y191, 192 z´aˇriv´y113, 124, 178 nekoneˇcn´y108, 204, 210, 212 z´aˇriv´ySlunce 141 osciluj´ıc´ı208 v´ystˇrednost 5, 26, 41, 49, 172 ploch´y118, 212 vzd´alenost 89, 90, 138, 139, 193, 199 pozorovateln´y109, 196–198, 214 eukleidovsk´a185, 199 pulzuj´ıc´ı208 heliocentrick´a26 rotuj´ıc´ı113 kosmologick´a152, 174, 177, 178, 219 stacion´arn´ı110, 117, 118, 206, 207 stˇredn´ı15, 35, 80, 122, 123, 131–133, vˇeta 31, 32, 58, 100, 156, 158, 201–203 144 Banachova o pevn´em bodˇe186 vztah binomick´a110 Einstein˚uv 188 kosinov´a22, 101 Hubble˚uv 78, 88, 111 Newtonova druh´a32, 74, 87, 92, 99, Pogson˚uv 42, 85 103 relativistick´y83, 109 Newtonova prvn´ı31, 50, 74, 87, 95, WIMP 105 97, 103 WMAP 195 o viri´alu 33, 68, 72–75, 78, 79, 85, 88, 180 z´akon Pythagorova 43, 44, 76, 193, 224 akce a reakce 35, 40, 71 sinov´a101 gravitaˇcn´ı3, 30, 33, 34, 42, 47, 54, Thaletova 182 106 Viking 126 gravitaˇcn´ıNewton˚uv 30, 34, 40, 42, viri´al 72 46, 50, 71, 92, 94, 155 v´ıtr sluneˇcn´ı122, 128, 139, 148 harmonick´y6 Vlasy Bereniky 33, 68, 73, 211 Kepler˚uv druh´y4, 7, 27, 41 vlny Kepler˚uv prvn´ı4, 25, 27 elektromagnetick´e 134, 189, 190, Kepler˚uv tˇret´ı5, 15, 30, 35, 37–39, 214 45, 144–147, 152, 164, 169, 170, 181 264 Kepler˚uv tˇret´ımodifikovan´y42 reliktn´ı24, 106, 107, 110, 118, 195, Kepler˚uv tˇret´ızobecnˇen´y35, 50, 197, 198, 207, 209, 221 137, 145 rentgenov´e79 pohybov´yNewton˚uv druh´y40, 47, sluneˇcn´ı149 51 zatmˇen´ı3, 12, 17, 61–67, 136 s´ıly40, 52, 54, 71 ˇc´asteˇcn´e64 Stefan˚uv–Boltzmann˚uv 127, 129, Mˇes´ıce 3 mˇes´ıˇcn´ı61, 65 160 prstencov´e65 zachov´an´ıenergie 121, 163, 182, 190 Slunce 3, 17 zachov´an´ımomentu hybnosti 6, 121, sluneˇcn´ı61, 62, 65 133, 135, 136, 172, 184, 190 ´upln´e61–67 z´akony zdroj temn´eenergie 182, 190 Keplerovy 3, 7, 30, 62, 94, 122, 213 Zemˇe2, 4, 9, 11–20, 36, 38, 47, 53, 55, klasick´emechaniky 164, 165 61, 63–67, 123, 140–153, 155–161, kvantov´emechaniky 81 187, 189 Newtonovy 81, 105 zenit 13 pohybov´e3 zrcadlo 1 z´aˇren´ı zrychlen´ı51 elektromagnetick´e89, 148 gravitaˇcn´ı47 homogenn´ı221 t´ıhov´e155 infraˇcerven´e42 ˇzivot 125, 141, 155, 157, 160, 161, 190 izotropn´ı221 inteligentn´ı143 mikrovlnn´e110 mimozemsk´y62 265