ESTUDO DE SLAMMING EM CATAMARÃ DE FIBRA DE VIDRO
Hernán Gustavo Ruiz
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Oceânica, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia Oceânica.
Orientador: Ilson Paranhos Pasqualino
Rio de Janeiro Abril de 2013
ESTUDO DE SLAMMING EM CATAMARÃ DE FIBRA DE VIDRO
Hernán Gustavo Ruiz
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA OCEÂNICA.
Examinada por:
______Prof. Ilson Paranhos Pasqualino, D.Sc.
______Prof. Juan Bautista Villa Wanderley, D.Sc.
______Dr.a Bianca de Carvalho Pinheiro, D.Sc.
______Prof. José Luis Drummond Alves, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
ABRIL DE 2013
Ruiz, Hernán Gustavo
Estudo de Slamming em Catamarã de Fibra de Vidro / Hernán Gustavo Ruiz. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2013.
viii, 96 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Ilson Paranhos Pasqualino
Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenharia Oceânica, 2013.
Referências Bibliográficas: p. 92-96.
1. Slamming em Estruturas de Ligação de Catamarãs. 2. Método dos Elementos Finitos / Acoplamento Euleriano-Lagrangeano. 3. Interação Fluido-Estrutura. I. Pasqualino, Ilson Paranhos. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Oceânica. III. Título.
iv Agradecimentos
Meus mais sinceros e cordiais agradecimentos a você! Sim camarada, a você mesmo que está lendo esta dissertação sempre lhe serei grato! Pense bem, se somos reflexo da sociedade em que vivemos, foi graças aos seus e os meus impostos que ainda existe universidade pública nesta sociedade. Foi graças a você que o salário do professor que ensina, os computadores, internet, energia, cafezinho, e vários outros itens só existem graças ao seu esforço cotidiano por levar comida a casa e contribuir com o governo que deve retribuir seu esforço em serviços. Um deles, o educacional, vem me formando desde o fundamental e hoje, se esta dissertação existe, foi graças a você parceiro! Por tudo isso, o meu muito obrigado! É claro que existem alguns “contribuintes” especiais que gostaria de destacar já que sem eles o caminho da vida seria como feijão sem arroz: Aos Bi: Bigode e Vieji, meus lindos pais! Que dupla espetacular, senhores! Sensacional! Quando crescer quero ser como vocês! Aos amigos-irmãos de sangue: Pipa e Panza. Para que seus sonhos voem tão alto quanto um parapente ou um pássaro! A marina, que não é bem morena, mas que de um sorriso me roubou o coração. Ao trio mocotó: Maurício, Luciano e Paulo que fazem chover lágrimas nesse Ceará de tanto rir juntos! A vocês, um abração muito especial! Aos amigos-irmãos da vida: Toto, Juancho, Martín, Rafa, James, Thiago, Isaac, Janu, e tantos outros que passam em nossas vidas para nunca mais saírem. À família argentina, sempre presente física ou espiritualmente: Lelo, Negri, Bocha, Caro, Tia, Tios, Agu, Primos. Ao pessoal do LTS, cada um no seu mundo, mas sempre dispostos a te dar uma mão. À banca pelas sugestões pertinentes, em especial, ao prof. José Alves. Ao prof. Ilson pela ajuda de custo e apoio. A Bianca por tanta gentileza. A América Latina, um povo sem pernas e que ainda assim caminha! A todos vocês, prometo que vou fazer o possível por repassar tudo o aprendido! Muito Obrigado!
v Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
ESTUDO DE SLAMMING EM CATAMARÃ DE FIBRA DE VIDRO
Hernán Gustavo Ruiz
Abril/2013
Orientador: Ilson Paranhos Pasqualino
Programa: Engenharia Oceânica
O presente trabalho visa a estudar a interação fluido-estrutura incorporada no pacote comercial Abaqus™ que utiliza o Método dos Elementos Finitos (MEF) onde a estrutura é descrita segundo uma formulação lagrangeana imersa parcialmente ou completamente em uma malha não estruturada e fixa no espaço que contem o fluido em seu estado inicial, intermediário e final onde o escoamento é captado através do método do volume de fluido (VOF) e a superfície livre é reconstruída a cada passo do tempo através de uma aproximação linear por trechos (PLIC). O algoritmo contato por penalidade que controla o acoplamento entre a malha euleriana e lagrangeana (CEL) é analisado no problema de impacto de estruturas bidimensionais e rígidas em superfícies de fluido inicialmente em repouso realizando um estudo paramétrico da interface fluido- estrutura cujas variáveis associadas ao comportamento normal são calibradas segundo resultados de testes experimentais e equações analíticas propostas na literatura especializada. Considera-se a hidroelasticidade no impacto de estruturas de ligação de cascos de catamarãs e um estudo de caso em que as pressões, obtidas pelo presente método explícito, são comparadas às pressões admissionais propostas por normas de sociedades classificadoras.
vi Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
STUDY OF SLAMMING ON FIBERGLASS CATAMARAN
Hernán Gustavo Ruiz
April/2013
Advisor: Ilson Paranhos Pasqualino
Department: Ocean Engineering
The focus of this work aims to the fluid-structure interaction (FSI) study through Abaqus™ commercial software of Finite Element Method (FEM) where a Lagrangian formulation is used to describe a partially or fulfill immersed structure in a non- structured spatially-fixed Eulerian mesh whose inside contains the initial, intermediate and final state flux of fluid modeled through the Volume-of-Fluid (VOF) Method and where the free-surface is tracked by a Piecewise Linear Interface Calculation (PLIC) in each timestep. The Coupled Eulerian-Lagrangian (CEL) mesh governed by the penalty contact algorithm is studied in a rigid two-dimensional structure impacting on a free- surface initially at rest performing a parametric study of the normal, tangential and damping behavior where the variables are calibrated with experimental tests and proposed analytical equations. Wetdeck slamming hydroelasticity is considered beyond one case study where CEL and design pressure given by Society Classification Rules are compared.
vii SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ...... 1
1.1. MOTIVAÇÃO ...... 3 1.2. ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO ...... 4 1.3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ...... 4 2. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA DE SLAMMING 2D ...... 10
2.1. MODELO DE WAGNER PARA O SLAMMING ...... 11 2.2. PRESSÃO DE IMPACTO E FORÇA HIDRODINÂMICA NO CORPO ...... 15 2.3. SOLUÇÃO DO PROBLEMA COMPOSTO ...... 18 3. ANÁLISE BIDIMENSIONAL COM ABAQUS/EXPLICIT™ ...... 19
3.1. ACOPLAMENTO EULERIANO-LAGRANGEANO ...... 19 3.2. MÉTODO DO VOLUME DE FLUIDO ...... 24 3.3. ELEMENTOS DA MALHA EULERIANA E LAGRANGEANA...... 26 3.4. MODELAÇÃO DO FLUIDO ...... 27 3.5. INTERAÇÃO FLUIDO-ESTRUTURA ...... 28 3.5.1. Algoritmo de contato baseado no método da penalidade ...... 28 3.5. Análise Dinâmica Explícita ...... 30 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES ...... 32
4.1. INFLUÊNCIA DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO DA MALHA EULERIANA ...... 35 4.2. CONTROLE DO HOURGLASSING ...... 39 4.3. PARÂMETROS DE CONTATO NA IFS...... 43 4.3.1. Comportamento na Interação Normal à Superfície de Contato ...... 44 4.3.2. Inclusão do Amortecimento ...... 50 4.4. INFLUÊNCIA DO TAMANHO DA MALHA EULERIANA ...... 52 4.5. COMPARAÇÃO COM RESULTADOS EXPERIMENTAIS – TEÓRICOS ...... 56 4.5.1. Slamming em Seções de Catamarã Wave-Piercing ...... 64 5. HIDROELASTICIDADE NO SLAMMING ...... 68
5.1. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA HIDROELÁSTICO 2D ...... 68 5.2. COMPARAÇÃO COM RESULTADOS EXPERIMENTAIS E NUMÉRICOS ...... 70 6. ESTUDO DE CASO: CATAMARÃ A VELA NO LITORAL NORTE-NORDESTE...... 79
6.1. DESCRIÇÃO DA EMBARCAÇÃO ...... 79 6.2. PRESSÕES DE SLAMMING SEGUNDO NORMAS DAS SOCIEDADES CLASSIFICADORAS...... 82 6.3. PRESSÕES DE SLAMMING ATRAVÉS DO CEL ...... 83 7. CONCLUSÕES E SUGESTÕES ...... 90 8. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ...... 92
viii 1. Introdução Os movimentos da embarcação induzidos pelas ondas do mar a certa velocidade de propulsão normalmente geram impactos do fluido na estrutura conhecidos como slamming que podem induzir vibrações tanto na estrutura local como também global. Os efeitos globais são normalmente conhecidos como whipping e não serão abordados no presente estudo recomendando a leitura de Ge (2002) para se aprofundar no assunto. Os consideráveis deslocamentos de água que ocorrem no impacto implicam na geração de elevadas pressões em um intervalo de tempo muito curto da ordem de milissegundos. A súbita aceleração que a entrada da estrutura induz no fluido provoca um escoamento inicial na forma de um jato que após certo tempo se converte em spray devido às tensões de superfície. Como no spray as pressões são próximas à pressão atmosférica, o projetista não deve se preocupar demasiado com esta região. Normalmente, as maiores pressões aparecerão “raiz do jato” devido à elevada curvatura da superfície livre provocada pelos elevados gradientes de pressão que aceleram o fluido tornando o escoamento na forma de um jato com elevadas velocidades (FALTINSEN, 2005).
Figura 1.1: Slamming na embarcação de cruzeiro FPB 64 – Avatar. A presente dissertação aborda o impacto da parte inferior das estruturas de ligação dos cascos que conformam uma embarcação do tipo catamarã em um fluido cuja superfície livre se encontra em estado inicial de repouso. O evento, extremamente não linear, é caracterizado por um aumento significativo da carga aplicada na estrutura em um breve intervalo de tempo que apresenta o nome de wetdeck slamming.
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O estudo do wetdeck slamming compreende um evento físico complicado cujos principais fatores se encontram na velocidade relativa e o ângulo local de entrada entre a superfície livre do fluido e a estrutura de ligação dos cascos. No entanto, fatores como o amortecimento provocado pela formação de colchões de ar e efeitos hidroelásticos podem chegar a desempenhar um papel importante no estudo da resposta dinâmica da estrutura se o ângulo for muito pequeno (FALTINSEN, 2005).
Figura 1.2: Avaria na Estrutura de Ligação dos Cascos do Catamarã HSS 1500 Stena devido aos carregamentos por slamming (AMIN, et al., 2013). Os efeitos físicos que estão envolvidos no slamming se desenvolvem em diferentes escalas do tempo e alguns deles podem ser desprezados para simplificar o problema hidrodinâmico. Assim, desde um ponto de vista estrutural, a escala de tempo em que as máximas tensões são verificadas, é a que realmente importam. No estudo do slamming em estruturas de ligação de catamarãs realizado por Ge (2002) para embarcações acima de 50 m de comprimento, uma escala de tempo característica para estudar a resposta da estrutura local aos carregamentos por slamming seria de 0,1 s. Neste período, podem se esperar as máximas tensões que a estrutura deverá suportar. Por outro lado, os efeitos globais induzidos pelo slamming na estrutura de ligação dos cascos deveriam ser estudados a uma escala de tempo dez vezes superior à escala de tempo local. Como as escalas de tempo da compressibilidade da água, o amortecimento por ar e a geração de borbulhas são tipicamente bem menores em relação à escala de tempo local, é comum assumir o fluido incompressível e desprezar a interação entre ele e o ar neste contexto. Com relação aos efeitos viscosos significantes, como não têm suficiente tempo para se desenvolver durante o impacto, é prática comum assumir o escoamento sendo irrotacional. Por outro lado, como a aceleração do fluido devido ao impacto é bem maior que a experimentada pelos efeitos gravitacionais então é comum também desprezar a gravidade ao estudar o carregamento devido ao slamming (FALTINSEN, et al., 2004).
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Mesmo sobre estas simplificações, o problema hidrodinâmico do slamming nas estruturas que conformam os cascos e plataformas de ligação continua em aberto. A análise estrutural convencional considera a estrutura inicialmente rígida para poder encontrar o carregamento hidrodinâmico. Encontrado o carregamento, é aplicado de uma maneira quase-estática na estrutura para poder calcular as deformações elásticas e plásticas, assim como as tensões correspondentes.
1.1. Motivação A constante procura por embarcações cada vez mais velozes leva à utilização de materiais mais leves e resistentes em que os compósitos poliméricos se encontram em uma posição destacada na atualidade. Eles podem ser encontrados conformando a estrutura da grande maioria das embarcações detentoras de recordes mundiais em diversas competições em que a compreensão do comportamento mecânico aliado a poderosas ferramentas computacionais como a análise por elementos finitos contribuíram para que sejam elevados ao primeiro patamar na hora de escolher os materiais que compõem estes “campeões” dos mares. Segundo Manganelli et al. (2003) existe uma discussão recente que se refere à mudança no foco de estudos onde a pergunta: Como projetar e construir uma estrutura para resistir a certa carga? Esteja mudando para: Para quais carregamentos a estrutura deve ser projetada? E cita como exemplo a competição “The Race 2001” em que três catamarãs sofreram uma extensa delaminação na viga de proa devido ao impacto de ondas que impuseram elevados carregamentos durante a competição. Esta discussão realça os desafios encontrados por projetistas em obter predições acuradas das cargas dinâmicas e as respostas estruturais em que os fenômenos de slamming nas estruturas de ligação dos cascos se enquadram completamente integrando uma área de interesse em constante crescimento. Dentro deste quadro, motiva a presente dissertação, o uso de uma ferramenta computacional incluída no software comercial ABAQUS™ que representa o fluido em uma malha euleriana fixa no espaço e uma malha lagrangeana que representa a estrutura de ligação dos cascos. A interação entre as malhas será abordada e o método de penalidade será estudado. Desta maneira, o Acoplamento Euleriano-Lagrangeano (do inglês CEL, Coupled Eulerian-Lagrangian) permite estudar o problema hidrodinâmico e a deformação da estrutura no mesmo passo do tempo satisfazendo o recado dado por Faltinsen (2005) que todo problema de slamming deve ser analisado como uma combinação dos mecanismos hidrodinâmicos e estruturais. Por outro lado, sabendo que para pequenos ângulos de impacto entre a estrutura de ligação dos cascos e a superfície livre do fluido, o escoamento e a resposta elástica da estrutura devem ser estudados simultaneamente, ou seja, apresentam interações mútuas onde as vibrações da estrutura elástica causam um escoamento do fluido com certo campo de pressões, assim como os carregamentos hidrodinâmicos afetam a
3 vibração da estrutura elástica. Esta interação é conhecida como hidroelasticidade e sua influência nas tensões máximas verificadas nas estruturas também será abordada na presente dissertação.
1.2. Organização da Dissertação A formatação da dissertação está dividida em seis capítulos introduzidos por uma breve referência ao slamming nas estruturas de ligação dos cascos (wetdeck slamming) que inclui uma revisão bibliográfica do assunto com os principais autores e métodos abordados para resolver o problema de slamming. A revisão bibliográfica é complementada por uma exposição das principais formulações matemáticas desenvolvidas por autores como Kármán (1929), Wagner (1932, apud FALTINSEN, 2005) e Mei et al. (1999) que serão aplicadas na presente dissertação focando a solução do problema linear de Wagner. Partindo da revisão bibliográfica, onde vários aspectos do impacto em estruturas que normalmente conformam a plataforma ou vigas de ligação em catamarãs serão delineados, optou-se por estudar os efeitos do slamming através do uso do hidrocódigo computacional implementado no ABAQUS™ em que duas abordagens diferentes: a representação euleriana do fluido e a lagrangeana da estrutura são acopladas através de um algoritmo de penalidade. As bases do funcionamento deste algoritmo serão delineadas no capítulo 3. Os resultados obtidos ao comparar os resultados numéricos obtidos com as equações analíticas propostas no capítulo 1.3, formuladas para um corpo rígido entrando na superfície inicialmente calma com diferentes ângulos de entrada, tanto a velocidade constante como variável, serão apresentados no capítulo 4 que inclui uma discussão sobre os parâmetros utilizados no CEL além de uma comparação dos resultados numéricos com os resultados experimentais reportados por Aarsnes (1996, apud SUN, 2007), Davis et al. (2007), Yettou et al. (2006) e Zhao et al. (1996). A interação entre o fluido e a estrutura considerando a hidroelasticidade, fenômeno de relativa importância quando o ângulo de entrada é considerado pequeno, será abordado no capítulo 5 com o objetivo de comparar os resultados numéricos com os resultados experimentais reportados por Faltinsen et al. (1997). Finaliza a dissertação, um estudo de caso onde o acoplamento euleriano- lagrangeano é utilizado para modelar o impacto de uma viga de proa, considerada estruturalmente elástica, que liga os cascos de um catamarã construído em materiais compósitos para auxiliar na pesca artesanal no litoral oeste do Estado de Ceará.
1.3. Revisão Bibliográfica A norma DNV (2011) expressa as cargas de slamming em termos da aceleração vertical da embarcação no centro de gravidade e especifica uma altura mínima da linha d’água à plataforma para que estas sejam amenizadas. No entanto, Aarsnes et al. (1998,
4 apud GE, 2002) e Faltinsen (1999, apud GE, 2002) demonstraram através de testes em escala real do catamarã Ulstein de 30 m que essa altura mínima não foi suficiente para evitar o slamming chegando a induzir uma tensão por flexão nos reforços longitudinais de aproximadamente metade da tensão de escoamento em mares pela proa com uma altura significativa de 1,5 m na velocidade de 18 nós. As medidas realizadas no Ulstein demonstraram que, mesmo para pequenas embarcações, o efeito de slamming na estrutura de ligação induziu acelerações verticais transientes elevadas com uma máxima registrada de 20 m/s2 que ultrapassa os limites máximos operacionais. Atualmente, não existe um critério apropriado como o critério de Ochi (1964) para o slamming no fundo de monocascos que determine os limites operacionais devido ao slamming na plataforma de ligação. O critério normalmente utilizado é que o capitão do navio deveria reduzir a velocidade se ocorressem 3 impactos por slamming a cada 100 ondas que passem pelo navio (FALTINSEN, 2005). Vários estudos foram realizados com o intuito de prever a frequência e as magnitudes das pressões de slamming em ondas irregulares. Grande et al. (2002) estudaram o problema de slamming nas estruturas de ligação em fast ferry catamarãs e em catamarãs de regata oceânicos a vela. Desenvolveram um método que utiliza parte da teoria de faixas para calcular os movimentos do catamarã a vela adernado para multicascos assimétricos estudando os efeitos das velas no movimento e a ocorrência de slamming. As forças vélicas foram consideradas um importante fator que influência a predição dos movimentos de arfagem em catamarãs velejando de maneira a reduzi-los. O procedimento proposto por Grande et al. (2002) resulta em uma metodologia para estimar as frequências de slamming e de impactos de menor intensidade que encontram uso importante nos cálculos de fadiga da estrutura. Ge (2002) estudou teórica e experimentalmente os efeitos hidroelásticos globais devido ao slamming na estrutura de ligação em catamarãs com números de Froude 0,5 (Fn=V/(gL) ) entre 0,30 e 0,33 em ondas regulares de proa. O modelo foi dividido em três corpos rígidos onde as propriedades elásticas do modelo experimental foram associadas à teoria usando pequenos elementos de viga conectando os três corpos. A estrutura de ligação apresentou uma seção transversal horizontal, localmente rígida. O fluido devido ao slamming foi considerado bidimensional no plano de seção longitudinal. A discussão é bem completa no assunto, cobrindo interação hidrodinâmica do casco, modelos de slamming, modelos estruturais e efeitos da fase transiente focando estudo da resposta global de embarcações do tipo catamarã. Davis et al. (2007) vêm promovendo uma série de estudos em catamarãs do tipo wave-piercing com satisfatórios resultados na área de slamming na estrutura de ligação dos cascos que apresenta uma terceira proa acima da linha d’água. Neste trabalho, os autores desenvolveram um modelo numérico baseado na variação de massa adicional na medida em que o casco entra na água. No caso especial deste tipo de embarcações, ar residual forma uma mistura turbulenta entrando pelo topo dos arcos através da formação
5 de borbulhas. Com o intuito de incluir o efeito do ar, os autores introduziram no modelo numérico uma conexão atenuada entre a massa de água adicional associada ao impacto e a massa estrutural do casco. O modelo foi comparado com testes de queda considerados bidimensionais em termos de forças máximas e acelerações impostas no casco. A variação da velocidade durante o evento e a relação entre a elevação da superfície livre e profundidade de penetração na água também foram comparadas.
Figura 1.3: Entrada do modelo J3 no fluido em t=40 ms e t=110 ms. Elevação da superfície livre. Formação de colchões de ar e borbulhas (DAVIS, et al. 2007). As acelerações máximas foram encontradas na parte plana da plataforma o que reforça nosso presente estudo em questão. Os autores concluíram que a teoria da massa adicional bidimensional desenvolvida que considera a elevação da superfície em torno da seção dos cascos e a formação de colchões de ar previu corretamente a magnitude dos picos de aceleração e, portanto, as forças máximas atuando por unidade de comprimento da seção dos modelos ensaiados. A variação total da velocidade de entrada também foi corretamente representada pela teoria. Em outro trabalho similar, Davis et al. (2007) compararam os ensaios de modelos bidimensionais da seção do catamarã wave-piercing perto da proa onde normalmente ocorre o slamming com os observados nos eventos medidos por Thomas et al. (2003) em uma embarcação em escala real da companhia INCAT. Concluíram que a representação bidimensional do fenômeno excedia o maior impacto registrado no mar por um fator próximo de três e cuja diferencia foi atribuída à natureza tridimensional do evento o qual não apresenta movimentos restritos em duas dimensões. Os autores propuseram o uso de um fator de correção que reduzisse os carregamentos computacionais gerados no método de análise da quantidade de movimento linear vertical de maneira a se correlacionar com as cargas máximas observadas. Recomendam o modelo bidimensional para encontrar a melhor seção que diminua os efeitos devido ao slamming. No caso de tentar obter as verdadeiras cargas máximas de slamming, os autores recomendam o uso de modelos tridimensionais do tipo físico, computacional ou baseados nos carregamentos observados durante ensaio no mar. Wu (2006) analisou numericamente o problema da velocidade potencial de duas cunhas entrando na água utilizando três estágios diferentes que correspondem às características físicas do impacto e cujos resultados demonstraram, em questão de estabilidade e acurácia, o sucesso do esquema. Os efeitos da gravidade no fluido foram desprezados. A principal observação foi que os efeitos da interação entre as duas cunhas
6 não foram muito significativos para a elevação da superfície livre enquanto que a distribuição de pressão é influenciada aumentando seus valores máximos quando comparados à entrada de um só casco. Dentre outros trabalhos que merecem destaque na área de slamming em embarcações a vela em materiais compósitos, podemos citar Lee et al. (2010) e Manganelli et al. (2003) que estudaram os impactos hidrodinâmicos e as respostas estruturais locais em modelos reduzidos 1/7 da classe Open 60’. Testes modais, lançamentos em rotação e análise seakeeping-slamming foram levados a cabo em um sistema de medições especialmente desenvolvido para o caso. Os resultados representaram, qualitativamente, a resposta da estrutura local em questão. Sutherland et al. (2012) vêm aplicando o uso de testes quase-estáticos para predizer o comportamento dinâmico ao impacto em materiais compósitos utilizados na indústria naval. Uma conclusão importante dos trabalhos experimentais diz respeito à boa predição do início do dano por delaminação que é considerada a principal variável de projeto que resiste ao impacto. Inferem também, que tanto a resposta sem dano quanto a delaminação dos painéis não dependem da taxa de deformação enquanto os mecanismos por falha nas fibras em amostras de baixa espessura são dependentes. Os teste quase-estáticos eliminam problemas associados com oscilações na força do sinal e demonstraram uma forte relação linear da força de delaminação com as espessuras dos laminados testados em dois modelos simplificados. Luo et al. (2011) estudou o problema de slamming tridimensional e a resposta de um painel de aço reforçado de maneira desacoplada. A teoria de mapeamento assintótico foi expandida para considerar o movimento e as pressões de impacto em um corpo rígido para serem incorporados no modelo de elementos finitos com o intuito de prever a resposta estrutural transiente. Os resultados foram comparados com testes de queda livre cujo ângulo de entrada foi de 22° e boas correlações foram encontradas. O artigo inlcui uma discussão sobre efeitos hidroelasticos. O estudo da resposta dinâmica de estruturas elásticas aos carregamentos de slamming vem adquirindo ênfase nas últimas décadas com o desenvolvimento acelerado de fast ferry boats e outras embarcações do tipo. Na presente dissertação, como estamos interessados no impacto na estrutura de ligação dos cascos em que o ângulo de entrada é pequeno <10°, os efeitos hidroelásticos passam a desempenhar um papel importante na resposta dinâmica ao impacto. A resposta dinâmica de uma estrutura elástica sujeita aos carregamentos de slamming pode ser modelada aplicando uma força distribuída ao longo do comprimento da viga a certa velocidade de descida considerando que a viga se encontra no movimento vibratório amortecido pela fricção do material e a viscosidade do fluido circundante que também se encontrará em movimento aumentando a inércia efetiva do sistema. Considerando que as forças restauradoras aparecem como consequência da rigidez à flexão da estrutura e alterações na flutuabilidade, pode-se
7 concluir que a resposta hidroelástica é gerada por uma interação das forças inerciais, elásticas e hidrodinâmicas do sistema em questão (NABANITA, et al., 2009). Dentre alguns dos principais pesquisadores do assunto, podemos citar Kvalsvod et al. (1994), Faltinsen et al. (1997) e Korobkin et al. (2006). Para abordar o problema bidimensional acoplado e não linear hidroelástico em que as cargas hidrodinâmicas na estrutura e a deflexão decorrente delas têm que ser determinadas ao mesmo tempo junto à extensão da área molhada do corpo cuja evolução no tempo afeta consideravelmente a magnitude do impacto, os autores aplicam o método assintótico de Wagner para o problema hidrodinâmico e a resposta estrutural de vigas Eulerianas homogêneas é estudada através de análise modal (KOROBKIN, et al., 2006). Faltinsen et al. (1997) será estudado com maior profundidade no capítulo 5 por contar resultados experimentais que serão comparados com os resultados numéricos da presente dissertação. Kvalsvod et al. (1994) investigaram o slamming em vigas elásticas por duas formulações: uma sem incluir as deformações cisalhantes nem a inércia rotacional e uma segunda considerando-as segundo a formulação de Timoshenko para vigas. Na Figura 1.4, aparecem representados: no lado esquerdo, o coeficiente da mola à rotação kθ e o espaço que contém o ar entre a viga e a superfície livre ηag(x), no lado direito, as forças hidrodinâmicas atuando na viga, considerando-a tanto rígida quanto elástica. Nesta última, as duas formulações da viga demonstraram certa semelhança cujas curvas aumentam rapidamente até atingir os valores máximos para depois diminuírem até valores negativos que podem demonstrar a ocorrência de cavitação. Segundo os autores, quando a raiz do jato atinge o fim da viga, as condições de contorno da viga euleriana fazem com que um aumento incorreto da força alcance níveis muito elevados e inconsistentes com a realidade.
Viga
Superfície livre d’água não perturbada
Figura 1.4: Esquema da viga de Timoshenko e as forças hidrodinâmicas atuando na viga como uma função do tempo. (KVALSVOD, et al., 1994). Os resultados mostraram que, ao incluir a flexibilidade da viga na formulação do problema, a força hidrodinâmica sofreu uma redução significativa ao ser comparada com a relacionada à viga rígida. Por outro lado, Korobkin et al. (2006) demonstraram a possibilidade de acoplar diretamente na análise estrutural de uma viga pelo MEF a representação de Wagner das
8 cargas hidrodinâmicas durante o impacto de corpos elásticos em superfícies aquáticas. O método foi validado por comparações com um método modal proposto no artigo. Um importante trabalho levando em consideração a elasticidade da estrutura e a compressibilidade do fluido sem deformações da superfície livre está relacionado a Korobkin (1998). O trabalho se focou na análise de tensões e cargas hidrodinâmicas geradas no impacto da água na estrutura de ligação de catamarãs onde os cascos restringem o escape do fluido. Investigou-se a influencia do ar no processo do impacto concluindo-se que não existem grandes vantagens na utilização dos efeitos por amortecimento do ar ou ejeções do mesmo na água perto da região do impacto para previr elevadas tensões na viga elástica já que, embora reduzam o carregamento no fundo da viga, eles se estendem por mais tempo. O modelo quase-estático estima valores inferiores nos níveis de tensão e os picos deles podem ocorrer afastados do centro da viga. A modelagem por elementos finitos da hidroelasticidade verificada em impactos da água contra o casco foi estudada por Stenius (2006) com o objetivo de desenvolver um critério de projeto que determine o uso de aproximações quase-estáticas ou dinâmicas para avaliar o comportamento estrutural de diferentes cascos. Técnicas e consequências da modelagem por elementos finitos, incluindo: formulações ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian), múltiplos materiais e penalidades por contato, foram descritas. A faixa de aplicabilidade do modelo quase-estático foi discutida e ilustrada com base em uma análise explícita do problema de interação fluido-estrutura exemplificado com o projeto estrutural de um casco onde foram comparados os efeitos hidroelásticos com a modelagem do corpo rígido. Seguindo a linha de formulações ALE, Aquelet et al. (2006) apresentaram uma maneira de predizer as cargas locais de maiores pressões em estruturas rígidas impactando na superfície livre de água onde o fluido foi representado por formulações Eulerianas ou ALE para resolver as equações de Navier-Stokes. A interação fluido- estrutura é simulada utilizando um algoritmo de acoplamento por penalidade onde o fluido é tratado em uma malha fixa ou se movendo usando formulações ALE enquanto a estrutura é representada por uma malha deformável usando formulações Lagrangeanas. Devido à natureza quase incompressível do fluido, as penalidades impostas no acoplamento geraram oscilações de alta frequência. Os autores implementaram no algoritmo de acoplamento uma força de amortecimento sobre a velocidade relativa entre o fluido e a estrutura com o intuito de suavizar as oscilações induzidas pelas penalidades consideradas no modelo de acoplamento obtendo resultados satisfatórios. Implementado a penalidade proposta por Aquelet et al. (2006) e ampliando os estudos de slamming em estruturas sanduiches, Das et al. (2011) simularam o impacto em painéis de fundo rígidos e deformáveis usando formulações Lagrangeanas e Eulerianas acopladas incluídas no software comercial para descrever os deslocamentos no plano de deformação considerando não-linearidades geométricas. O código
9 computacional foi verificado mostrando que as distribuições de pressões do slamming em painéis rígidos estão em concordância com os reportados na literatura específica. No caso das distribuições em painéis deformáveis, os resultados obtidos diferem daqueles obtidos ao utilizar a teoria de placas e a teoria de Wagner para slamming. Os autores delinearam os fluxos violentos perto dos bordos do casco molhado e estudaram a delaminação induzida em painéis sanduiches compósitos por pressões hidrodinâmicas. Efeitos dos diferentes parâmetros: ângulo de quilha, malha utilizada, velocidade da cunha inicial e deformação ou não do material do casco que influenciam o método de penalidade implementado na distribuição de pressão na interface e a penetração da água no casco foram estudados.
2. Formulação Matemática do Problema de Slamming 2D O fenômeno do impacto de estruturas na água depende de vários fatores e parâmetros que podem ser divididos em dois grupos principais: os relacionados à configuração do corpo sólido e os que dependem das condições de contorno do impacto. Dentro do primeiro grupo podemos citar o momento de inércia, tamanho, peso, esbeltez do casco (Boca/Calado Médio), etc.; enquanto parâmetros como: velocidade do impacto, ângulo de entrada e velocidade angular pertencem ao segundo grupo (TOSO, 2009). A interação entre os dois grupos, se houver deformação do corpo e esta for considerada elástica, é conhecida como hidroelasticidade e será abordada no capítulo 5. Neste capítulo, serão apresentadas as bases analíticas para resolver a parte hidrodinâmica do problema de slamming em que o corpo tem o formato de cunha, é considerado rígido e ingressa em um fluido considerado irrotacional, ou seja, sem geração de vórtices, onde a influência da viscosidade, da tensão superficial, do enclausuramento do ar e da compressibilidade dos fluidos, gasoso e líquido, são desprezados. Com estas considerações, o escoamento do fluido pode ser representado por uma função potencial de velocidade que, junto à resolução do Problema de Valor de Contorno (PVC), formam as bases da maioria das equações analíticas propostas para obter as pressões e as forças hidrodinâmicas atuando na superfície de impacto do corpo. Kármán (1929) foi o pioneiro em propor um método para calcular as forças de impacto em uma aeronave com formato de cunha pousando na superfície aquática aplicando o teorema da conservação da quantidade de movimento e o conceito de massa adicional que representa a aceleração de partículas fluidas como consequência do movimento do corpo e que agem como uma massa extra ou virtual à do corpo. No entanto, o método de Kármán não atenta para a elevação da superfície livre e seus resultados começam a divergir dos resultados experimentais quando o ângulo de quilha é menor que 40° (FALTINSEN, 2005).
10
Wagner (1932, apud FALTINSEN, 2005) ampliando o estudo iniciado por Kármán, levou em consideração a elevação da superfície livre. No seu modelo, desenvolvido para ângulos de quilha é pequenos, proporciona resultados analíticos simples que podem ser utilizados para verificar a variação da pressão de slamming com o formato da estrutura e a velocidade de entrada do corpo que varia com o tempo. Este modelo, por ser bastante utilizado na presente dissertação, será abordado com maior ênfase no subitem 2.1. Vários autores desenvolveram o estudo assintótico iniciado por Wagner cuja técnica evoluiu à definição de três regiões diferentes mostradas na Figura 2.1 nas quais são realizadas expansões assintóticas sucessivas que devem ser correspondidas em um ponto de interseção. As regiões são conhecidas como: domínio externo, domínio interno e domínio do jato que pouco influencia no problema de impacto tratado nesta dissertação. Os fundamentos foram iniciados por Cointe (1989) para cunhas bidimensionais entrando em fluidos com superfície livre inicialmente em repouso, seguido por autores como Zhao e Faltinsen (1993) e Mei et al. (1999) dentre outros. A solução do problema composto, que inclui a resolução no domínio interno e externo, será mostrada no subitem 2.3. Na Figura 2.1, além da representação esquemática dos domínios, aparecem representados: o sistema de eixos coordenados, o ângulo de quilha ou deadrise, β, que a superfície molhada do casco faz com a superfície livre d’água em estado inicial de repouso, a distância submersa para velocidades de entrada constante, Vt, a distribuição da pressão na superfície molhada da cunha representada pelo coeficiente de pressão 2 adimensional, Cp=(p-pa)/(0,5ρV ).
Figura 2.1 Sistema de Coordenadas bidimensional. Domínios no slamming. Distribuição da pressão a velocidade de entrada constante (Adaptado de FALTINSEN, 2005).
2.1. Modelo de Wagner para o Slamming O modelo estuda o escoamento no domínio externo. O corpo foi idealizado por uma placa plana cuja largura é determinada pela interseção da elevação da superfície livre do fluido e a posição do corpo. No modelo de Kármán, este ponto é geometricamente encontrado já que a superfície livre permanece não perturbada durante
11 a entrada do corpo. No modelo de Wagner, deve-se seguir o escoamento das partículas de fluido até que atinjam a superfície do corpo. Assim, o PVC que deve ser resolvido a cada instante do tempo, apresenta o esquema mostrado na Figura 2.2 em que a condição de contorno do corpo, que proíbe o escoamento através de sua superfície, é transferida a uma linha reta entre x=-c(t) e c(t) através de uma expansão de Taylor. Esta aproximação só é razoável para pequenos ângulos de entrada já que o ponto instantâneo de interseção em encontra-se muito próximo à base do jato ou ao domínio interno.
Figura 2.2: Esquerda: Parâmetros usados no modelo de Wagner. Direita: PVC para o potencial de velocidade (Adaptado de FALTINSEN, 2005). A solução do PVC do escoamento normal a uma placa plana pode ser encontrada em vários livros de mecânica dos fluidos (WHITE, 2002) em que mudanças de variável complexa, ou mapeamentos, são realizados para resolver um escoamento potencial pelo método da transformação conforme. No trabalho de Wagner, foi desconsiderada a componente tangencial do fluxo que corresponde ao domínio interno e ao domínio do jato da Figura 2.1 sendo a velocidade do escoamento, normal à placa plana que cresce com o passo do tempo em um plano complexo, Z = (x + iz) com i=(-1)1/2, cujo escoamento potencial complexo é dado por:
√ (2-1) onde é a função potencial de velocidade e a função corrente. A velocidade complexa será dada por:
(2-2) √ Para avaliar a função complexa , são usadas coordenadas polares onde e com θ1 e θ2 variando de –π a π resultando em:
(2-3) √ . 12
- - Fazendo θ1=–π e θ2=0 para |x| para |x| Quando x>c e z=0, ambos os ângulos, θ1 e θ2, são nulos, assim: para x>c , z=0. (2-5) Enquanto para x<-c e z=0, θ1= θ2=π, logo: para x<-c , z=0. (2-6) Como para |x|>c em z=0, a equação (2-2) resulta em: para |x| - √ para |x| Obtendo por fim, a função potencial de velocidade no corpo: √ para |x| Para encontrar a elevação da superfície da água em relação à superfície do corpo, ηb(x) devemos conhecer a velocidade vertical relativa entre as partículas do fluido na superfície livre e a superfície do corpo, ⁄ Como na superfície livre, a velocidade horizontal é nula na superfície livre, ⁄ . Usando as equações (2-2), (2-5) e (2-6) a velocidade vertical na superfície livre, ⁄ , resulta em: para |x|>c(t), z=0. (2-10) √ Seguindo uma partícula de fluido para |x|>c(t) que tenha se deslocado uma distância vertical, ηb(x), a uma velocidade relativa, , então: ∫ (2-11) √ Neste caso, t=0 corresponde ao instante em que ocorre o impacto e ηb(x) é uma função conhecida. No caso de cunhas simétricas, ηb(x)=|x|tanβ. Para outras geometrias, uma expansão assintótica pode ser realizada, observando que nas laterais do corpo (c = x) aparecem singularidades sendo aqui que o trabalho de Wagner se torna histórico porque utilizou a técnica de expansão em séries para resolver o problema assintótico 13 mesmo antes do desenvolvimento matemático muito utilizado nos dias atuais para soluções aproximadas de equações diferencias (PESEUX, et al., 2005). Para encontrar c(t), devemos mudar as variáveis de t para c com c variando de 0 a x fazendo: (2-12) A equação (2-11) resulta em: ∫ (2-13) √ A solução do comprimento “molhado”, c(t), é dado por: ∫ (2-14) cujo resultado se diferencia do obtido por Kármán pelo fator resultando em forças de impacto superiores devido à área molhada ser maior. Zhao et al. (1996) apresentaram um método simplificado da solução generalizada de Wagner para qualquer seção bidimensional com ou sem separação do fluido. Entende-se por solução generalizada que a condição de contorno do corpo exata é satisfeita. A solução simplificada para o domínio externo trata o fluido de maneira similar àquele obtido ao redor da placa plana de comprimento desconhecido submergida no fluido ilimitado desenvolvido por Wagner. O comprimento molhado é determinado integrando-se no tempo a velocidade vertical das partículas do fluido e determinando quando elas tocam a superfície externa do corpo. Neste caso, a condição dinâmica da superfície livre é aproximada por linhas horizontais. A condição cinética da superfície livre é utilizada para determinar o tempo que levará uma partícula de fluido para atingir a interseção entre a superfície livre e o corpo no domínio externo. Motivados pelo trabalho de Zhao et al. (1996), Mei et al. (1999) focaram os estudos procurando uma solução analítica ao problema de impacto de corpos rígidos bidimensionais em superfícies de água em repouso. Adotaram as mesmas considerações de Zhao et al. (1996) e formularam o mesmo Problema de Valor Inicial (PVI), no entanto, o problema de valor de contorno foi resolvido analiticamente a cada instante utilizando a técnica de mapeamento conforme. Ao contrário do modelo de Wagner, onde a condição de contorno do corpo é aplicada na projeção do corpo na superfície livre, Mei et al. (1999) impuseram esta condição na posição instantânea do corpo de maneira a não restringir os resultados a superfícies de corpos submersas rasas nem a ângulos pequenos de quilha. A solução do PVI ocorre em dois passos, ambos resolvidos analiticamente: em um primeiro instante, a velocidade vertical da superfície livre é obtida do problema de valor de contorno para uma dada posição de interseção c(t) enquanto no segundo passo, 14 um novo ponto de interseção tem que ser achado através da condição cinemática de contorno. Mei et al. (1999) sugere que o ponto de interseção, c(t), para formas de casco complexas, pode ser obtido por uma expansão polinomial de Chebyshev de primeira ordem. No caso de cunhas, os coeficientes do polinômio podem ser encontrados analiticamente e a constante ou coeficiente de splash-up, γ, que relaciona o escoamento no plano físico com o mapeamento conforme e está relacionado com a elevação da superfície livre, apresenta o comportamento mostrado na Figura 2.3. Pode-se observar, que para β = 0, γ = π/2, condizendo com a solução de Wagner para ângulos de quilha pequenos. Por outro lado, para β = π/2, γ = 1, que é a solução de Kármán (1929) no limite, quando a elevação da superfície livre é desconsiderada. Relação Linear Pierson. Relação usando Formas de Lewis. Relação Mei, et al. β Figura 2.3: Relação entre o coeficiente de splash-up e o ângulo de quilha para cunhas simétricas entrando na água a velocidade constante (MEI, et al., 1999). Desta maneira, o ponto de interseção ou comprimento “molhado” é dado por: (2-15) 2.2. Pressão de Impacto e Força Hidrodinâmica no Corpo Considerando um sistema de coordenadas inercial com o eixo z positivo para cima, conforme vem sendo utilizado na dissertação, a equação de Euler para escoamentos não-viscosos é dada por: (2-16) onde representa a velocidade do fluido, a pressão e o vetor unitário na direção z. Como a aceleração do fluido pelo impacto domina o problema de slamming, uma primeira aproximação seria considerar e a aceleração gravitacional, desprezíveis em relação a . 15 Como o escoamento é considerado irrotacional, o campo vetorial, , pode ser dado pelo gradiente da função potencial de velocidade, (WHITE, 2002). Logo, ( ) (2-17) A equação linear dentro do parêntese resulta em uma constante. Assumindo que a tensão superficial pode ser desprezada e que na superfície livre a pressão atmosférica é dada por pa, então: (2-18) Substituindo a equação (2-9) na equação (2-18) e derivando, obtemos: (2-19) √ √ O primeiro termo da equação (2-19) é conhecido como pressão de slamming que está associada com a taxa de variação do comprimento da superfície “molhada”. O segundo termo, associado com a pressão exercida pela massa adicional, aparece melhor representado na equação (2-21) para a força de slamming resultante. Verificando que em a pressão tende ao infinito, uma solução composta considerando o domínio interno deve ser resolvida. Uma possível resolução é apresentada no subitem 2.3. É comum expressar os valores da pressão no corpo através do coeficiente de pressão. Assim, por exemplo, se a velocidade na equação (2-19) for constante, o segundo termo será nulo, utilizando a equação (2-14), o coeficiente de pressão assume a seguinte forma: (2-20) √ A força vertical bidimensional atuando no corpo será dada por: ∫ ∫ ∫ √ √ (2-21) onde o segundo termo, , representa a massa adicional em afundamento. Como foi utilizada a condição de na superfície livre, não há geração de ondas e, portanto, o amortecimento por radiação das ondas é nulo (FALTINSEN, 2005). Kármán (1929) considerou a mesma massa adicional por unidade de comprimento ao aproximá-la pela metade da massa de fluido contido em um cilindro 16 circular de diâmetro igual a 2c. Utilizando a lei da conservação da quantidade de movimento linear, mV0 = (m+m33)V, isolando para V e substituindo na segunda lei de Newton, obteve: (2-22) ( ) ( ) onde m é a massa por unidade de comprimento da cunha. A pressão média, segundo Kármán (1929), é dada por: (2-23) ( ) A pressão máxima exercida na superfície molhada da cunha será dada no início do impacto e no meio do corpo, ou seja: (2-24) Observa-se que a equação da força de impacto de Kármán (1929) tende ao infinito quando o ângulo de quilha tende a zero concluindo que método de Kármán não se aplica a estudos de slamming em ângulos de quilha pequenos. No caso de β=0°, o autor considerou o fluido compressível é deduziu a seguinte pressão: (2-25) ( ) onde neste caso, c é a velocidade do som no fluido. Os valores de pressão calculados pela equação (2-25) resultaram em valores bastante superiores aos esperados na prática. Mei et al. (1999) também propuseram que a força de slamming seja encontrada através do conceito de massa adicional e a conservação da quantidade de movimento linear que, para o caso de cunhas, esta massa adicional assume a seguinte forma: com ( ) (2-26) observando-se que quando β=0°, a massa adicional assume a forma da equação para o fluido contido na metade de um cilindro de boca 2c. Derivando a massa adicional em relação ao tempo e substituindo na segunda lei de Newton da mesma maneira que na equação (2-22) só que considerando a variação da velocidade, os autores obtiveram: (2-27) ( ) 17 enquanto a equação (2-15) foi utilizada para encontrar o comprimento “molhado” da cunha, c(t), que pode ser obtido ao calcular as raízes reais do polinômio da equação (2-28) ao substituir a velocidade de descida, V(t), da conservação da quantidade de movimento linear pelo método proposto por Kármán: (2-28) 2.3. Solução do Problema Composto Serão presentadas a seguir, os principais resultados para as pressões obtidas nas regiões externa e interna acrescentada da solução comum proposta por Zhao e Faltinsen (1993) e para velocidades variáveis segundo Peseux et al. (2005). A pressão do problema externo, assintótica em x = c, deriva da solução linear da equação (2-19) de Wagner, ou seja: ̇ (2-29) √ Enquanto a pressão no corpo no domínio interno é dada por uma expansão de Taylor da variável u em x = c, resultando em: ̇ (2-30) onde x está relacionado com u pela seguinte equação: (2-31) cuja espessura do jato é dada por: (2-32) ̇ Como a pressão máxima na região interna ocorre em u = 1, ou seja, em x = c(t), o intervalo a ser avaliado é 0 < u < 1 para x > c(t) ou u > 1 para x < c(t). A solução comum que combina as pressões nos domínios interno e externo proposta por Zhao e Faltinsen (1993) para velocidades constantes e x < c(t) é: ̇ (2-33) √ Assim, a pressão atuando no corpo rígido é dada por: Para (2-34) Para (2-35) 18 Observando que, se a velocidade não for constante, os efeitos da aceleração na pressão devem ser considerados através da equação proposta por Peseux et al. (2005): ̇ √ Para (2-36) √ 3. Análise Bidimensional com ABAQUS/Explicit™ Na prática, os problemas de slamming ocorrem em cascos que se deformam com o impacto e suas deformações afetam o movimento do fluido e, consequentemente, a pressão hidrodinâmica exercida pelo fluido no casco da embarcação. Até aqui, com o intuito de deduzir uma solução analítica ao problema de slamming, as estruturas foram idealizadas como sendo rígidas procedendo-se ao estudo hidrodinâmico do problema que resulta nas pressões hidrodinâmicas e forças de impacto apresentadas no capítulo 2 e utilizadas para comparar os resultados dos modelos simulados no pacote comercial de elementos finitos (EF), ABAQUS/Explicit™ no capítulo 4. No presente capítulo, procura-se mostrar, simplificadamente, a metodologia implementada no pacote comercial para acoplar a representação do fluido, modelado por uma malha euleriana, à deformação da estrutura, modelada por uma malha lagrangeana. Este Acoplamento Euleriano-Lagrangeano (CEL) apresente um fluxo computacional mostrado no subitem 3.1 e utiliza um método de contato por penalidade que será abordado no subitem 3.5. Maior ênfase será dada à representação euleriana do fluido através do método de volume de fluido e a reconstrução da interface por trechos apresentados no subitem 3.2. Os elementos finitos eulerianos, assim como a equação de estado que define o comportamento termodinâmico e o esquema dinâmico explícito de integração, completam o capítulo 3. Para um estudo mais aprofundado do assunto, recomenda-se a leitura da tese de Teixeira (2001). 3.1. Acoplamento Euleriano-Lagrangeano Na presente dissertação, como estamos estudando o slamming na viga transversal de catamarãs construida em materiais ortotrópicos, é importante definir o modelo numérico e as equações matemáticas segundo Das et al. (2011) que estudaram as deformações transientes em paineis sanduiches reforçados com fibras de vidro. Na 3 Figura 3.1 os domínios Ωi (i = 1, 2, 3) R representam, respectivamente: o casco, que será considerado rígido no capítulo 4 e elástico no capítulo 5; a região do fluido invíscido, compressível e rotacional; e o ar atmosférico localizado acima do fluido e contendo o casco ou parte dele. Sua influência é desprezível em ângulos de quilha não muito pequenos sendo o espaço Ω3 considerado vazio. No tempo inicial, em t = 0, a interseção entre o corpo sólido e o fluido é dada por um ponto em x=0 e y=0, no entanto, uma superfície de contato entre a superfície livre do fluido e a superfície “molhada” do sólido, começa a se desenvolver no decorrer 19 do impacto, para t > 0, aparecendo uma variável desconhecida, γ12, que deve ser encontrada junto com a resolução do problema de slamming. As coordenadas de um certo ponto são representadas por Xi e xi com i=x,y,z em relação à configuração referencial e atual, respectivamente. Figura 3.1: Representação esquemática do impacto em cascos: Superior em t = 0, Inferior em t > 0. Simetria no plano yz (Adaptado de DAS, et al., 2011). No eixo coordenado de referência, a deformação do corpo e do fluido é governada pela conservação da massa, da quantidade de movimento linear e da quantidade de movimento angular, dada na sequencia para Ω1: (3-1) ̂ ̇ (3-2) ̂ ̂ (3-3) Onde J representa o determinante do gradiente de deformação ; e são, respectivamente, as densidades do casco nas configurações referencial e atual; ̇ a derivada temporal do campo de velocidades; fi as forças de volume por unidade de massa; ̂ o 1º tensor de tensão de Piola-Kirchoff que está relacionado ao tensor de tensão de Cauchy, Tpj, por: ̂ (3-4) O acoplamento entre a deformação do casco e o fluido ocorre devido à pressão hidrodinâmica que impõe forças de superfície na interface γ12 onde, também, a deformação de casco interfere impedindo as partículas do fluido penetrá-lo. 20 O escoamento do fluido, na configuração deformada e na descrição espacial do movimento, é governado pelas seguintes equações: (3-5) (3-6) (3-7) Para resolver estas equações de Navier-Stokes para fluidos Newtonianos, em que as severas deformações dos elementos finitos levam a grandes mudanças na razão de aspecto dos elementos dificultando a correta análise de uma malha lagrangeana, outra abordagem se faz necessária onde a representação euleriana do fluido vem se destacando promissoramente (Benson, 1990). Estes algoritmos, conhecidos como hidrocódigos, aplicam-se nos casos onde, em certo ponto do cálculo, uma nova malha precisa ser gerada na qual será mapeada a solução no passo do tempo correspondente. A frequência e as restrições impostas na estratégia do remapeamento diferenciam as malhas Eulerianas das Lagrangeanas-Eulerianas Arbitrárias (ALE). A grande maioria dos hidrocódigos implementam uma subdivisão na qual dividem um problema complexo em vários de menor complexidade utilizando um operador segregado (Split operator) (AQUELET, et al., 2006). No caso de hidrocódigos eulerianos, este operador divide a análise lagrangeana da euleriana e seu uso é exemplificado a seguir na resolução da equação linear de transporte com uma fonte: (3-8) Onde é a variável de campo, V a constante do fluxo de velocidade e f a fonte. O operador divide a equação (3-8) em duas que são resolvidas subsequentemente onde a primeira representa a equação “lagrangeana” e a segunda o termo convectivo: (3-9) (3-10) Assim, o fluxo computacional no cálculo euleriano baseado no operador segregado segue os seguintes passos: A solução avança no tempo no passo lagrangeano; O remapeamento, ou o passo euleriano, mapeia a solução da malha lagrangeana em uma nova malha onde são executados novos subpassos; Se for implementado um cálculo ALE, uma nova malha é gerada a partir de um relaxamento da malha lagrangeana. No nosso caso, como utilizamos a malha fixa no espaço, esta etapa é desconsiderada; 21 As variáveis cuja solução é no centro do elemento são remapeadas com o algoritmo advectivo de primeira ou segunda ordem. O ABAQUS/Explicit™ utiliza como default o de segunda ordem; A quantidade de movimento no nó ou centrado na aresta é remapeado para garantir a conservação da quantidade de movimento. As velocidades são calculadas dividindo os valores das quantidades de movimento pela massa associada. Efetua-se este cálculo após o transporte da massa no centro dos elementos porque esta nova massa é necessária para calcular as novas velocidades a partir das quantidades de movimento. Resumindo, o ABAQUS/Explicit™ começa com uma análise lagrangeana normal, conhecida como fase linear de Stokes, na qual a malha se movimenta junto ao deslocamento das partículas do fluido onde as variações de velocidade, pressão e energia interna devido a forças externas e internas são computadas explicitamente. As equações (3-1), (3-2) e (3-3) governam esta fase. Na segunda fase, conhecida como fase de advecção ou de transporte, o incremento no tempo de deformação é suspenso, os elementos significativamente deformados são remapeados na malha euleriana original, fixa no espaço, e o fluxo de material entre elementos vizinhos é computado. O fluxograma básico do algoritmo é mostrado na Figura 3.2. Figura 3.2: Fluxograma do programa de Acoplamento Euleriano-Lagrangeano (Adaptado de SANCHES, 2006). No CEL explícito, a estrategia geral utilizada para acoplar os cálculos lagrangeanos aos eulerianos e viceversa, é aplicar a pressão exercida pela malha euleriana como condição de contorno na malha lagrangeana e tratar as fronteiras da malha lagrangeana como velocidade prescrita nas condições de contorno da malha euleriana. A contribuição da pressão na direção x, por exemplo, dada pela integral ∮ é avaliada nos vários segmentos que conformam o volume de controle na Figura 3.3, se a pressão é considerada constante através das células oeste (w) e este (e), a integral tem a seguinte forma: 22 ∑ ∮ ∫ (3-11) Cujo somatório ocorre nos 7 segmentos do volume de controle sendo a componente normal dada por nx e a pressão constante em cada segmento k, assim, nos segmentos 1, 2, 3, 4 e 7 a pressão será igual a pe enquanto nos segmentos 5 e 6 será igual a pw e como nx é zero nos segmentos 3, 6 e 7 os únicos segmentos que contribuem para o somatório serão 1, 2, 4 e 5 cuja integral será dada por ∫ ∫ onde αk é o ângulo entre o segmento k e a vertical (0 ≤ αk ≤ π/2) e sk = 1 para os segmentos 1 e 2 enquanto para 4 e 5 sk = -1. A integral do lado direito ressulta na altura do segmento obtendo a pressão discretizada da Figura 3.3 a seguir: ∮ (3-12) Verificando que os segmentos 2 e 4 são mutuamento exclusivos por se encontraem na mesma célula computacional, a formulação geral que independe da posição da fronteira do sólido assume a seguinte forma: ∮ (3-13) Figura 3.3: Volume de controle para contribuição da pressão (KLEEFSMAN, 2005). Como usualmente os termos desviadores são desconsiderados, generaliza-se a equação (3-13) concluindo que a contribuição da força de um elemento euleriano em um segmento corresponde à componente normal da tensão atuando no centróide do subsegmento vezes a área dele e, uma vez aplicadas estas forças como condições de contorno, a malha lagrangeana segue a sua atualização padrão. Com relação à velocidade da malha lagrangeana como condição de contorno na malha euleriana, é importante ressaltar que o CEL utiliza uma combinação dos elementos adjacentes, cobertos ou descobertos pelos elementos lagrangeanos, para calcular as quantidades no nó de integração numérica do EC3D8R utlizando uma expansão monotónica de Taylor para calcular estas condições iniciais de velocidade prescrita, no entanto, a velocidade centrada nos nós cobertos assumem outras características: a componente normal à fronteira é interpolada dos elementos cobertos e vizinhos enquanto a velocidade tangencial é governada pelas equações diferenciais eulerianas (BENSON, 1990). 23 3.2. Método do Volume de Fluido A implementação euleriana no Abaqus/Explicit™ está baseada no método do volume de fluido (do inglês VOF, Volume of Fluid) no qual o material é rastreado enquanto flui através da malha euleriana, fixa no espaço, computando sua fração em volume em cada elemento. Neste método, introduzido por Hirt et al. (1981), uma função Fs indica a fração de volume da célula que é preenchida com certo fluido enquanto uma função Fb, conhecida como função de abertura, é utilizada para reconhecer o domínio do fluido na malha euleriana (GERRITS, 2001). A Figura 3.4 ilustra, bidimensionalmente, o volume de abertura geométrico com os bordos abertos para o fluxo x e y nas fronteiras leste, oeste, norte e sul (subscritos). δx e δy representa o tamanho da célula em x e y. Além do volume geométrico, está esquematizada a função VOF que rastreia a superfície livre. Estas funções variam segundo 0 ≤ Fs ≤ Fb ≤ 1. Figura 3.4: Função de abertura geométrica (esquerda) e volumétrica do fluido (direita). Sombreamentos: escuro = corpo, claro = fluido. Calculado o campo de velocidades na malha computacional, a superfície livre precisa ser transportada. Considerando que a superfície livre, , se propaga com a velocidade do fluido, se sua localização no tempo t for dada por , sua evolução será dada pela derivada material: (3-14) No entanto, a estratégia para localizar a superfície livre não é calcular explicitamente a equação (3-14), senão utilizar o método do VOF onde, em cada uma das células, a função Fs deve ser reconstruída aplicando um método que localize as interfaces do material e compute o volume truncado do material na célula computacional para dar passo à advecção no tempo e reconstruir a nova função Fs. Dentre os métodos reconstrutivos mais famosos podemos destacar: a reconstrução constante por trechos e a reconstrução linear por trechos (do inglês PLIC, Piecewise Linear Interface Calculation). O Abaqus™ utiliza o PLIC, um dos métodos mais modernos de VOF no procedimento de reconstrução, através do qual cada interface entre dois materiais é 24 representada por uma aproximação linear, nx x + ny y + nz z = c onde a normal n = (nx, T ny, nz) da superfície livre é aproximada e depois um plano constante c é calculado e igualado à função Fs. Reconstruída a superfície livre, a função Fs do VOF é transportada no tempo através do método do doador-receptor desenvolvido por Hirt et al. (1981). Basicamente, o método computa a quantidade de fluxo transportada através das faces das células doadoras às receptoras baseada nas áreas das faces, na velocidade do fluido e no passo do tempo segundo equação (3-15). (3-15) onde é o escoamento através da face da célula perpendicular à direção x, portanto, é a velocidade normal à face, o passo do tempo e representa a parte da área da célula aberta ao escoamento. Uma vez computado o fluxo, a função do VOF é transportada no tempo através de: (3-16) O método aparece esquematizado na Figura 3.5 onde é observado que nem sempre as células estão totalmente preenchidas com fluido como ocorre nas faces perto da superfície livre, o que pode provocar um fluxo que excede a quantidade de fluido presente na célula doadora promovendo uns “rejeitos” não-físicos que se desprendem da massa fluida total durante a etapa advectiva gerando consideráveis ganhos ou perdas de massa (GERRITS, 2001). Célula Célula Doadora Receptora Figura 3.5: Método doador-receptor. Cômputo do fluxo através das faces da célula. Uma função local de elevação, tanto na vertical quanto na horizontal, é implementada no método PLIC para superar estes inconvenientes. O método foi introduzido por Youngs (1987) e é esquematizado na Figura 3.6 onde só uma quantidade do escoamento do volume de fluido dentro de nx x + ny y > c, e não o total como ocorria na equação (3-15), sofre advecção. Bidimensionalmente, se a função local de elevação na célula central η é dada por η(x, y, t) = h(y, t) – x = 0, então a equação de transporte (3-14) resulta em: 25 (3-17) Figura 3.6: Método doador-receptor usando o PLIC na interface. 3.3. Elementos da Malha Euleriana e Lagrangeana Considerando que o problema se enquadra no Estado Plano de Deformações (EPD), todos os nós da malha euleriana-lagrangeana devem ter seus movimentos restringidos na direção z para podermos tratar a simulação bidimensionalmente já que o único elemento disponível para malhas eulerianas é o EC3D8R: Eulerian Continuum 3D 8-node Reduced Integration. Um elemento euleriano sólido, tridimensional e indeformável que permite vários materiais no seu volume interno com oito nós nas extremidades e um só ponto de integração localizado no centroide do elemento onde todos os meios: fluidos, sólidos e vazios são avaliados. Figura 3.7: Elemento da malha Euleriana EC3D8R unitário em z. Quando o elemento possui integração reduzida é importante verificar e controlar a ocorrência de hourglassing (HG) que são os modos de deformação de energia nula. Ao aplicar uma integração reduzida, só os termos lineares do campo de deslocamentos incrementais são considerados ao calcular o campo de deformações físicas incrementais, enquanto os demais termos passam a pertencer ao campo de hourglass cujos modos podem ficar muito excitados e provocar instabilidades numéricas na simulação. Na simulação do fluido utilizando elementos hexaédricos EC3D8R, o controle utilizado para minimizar o problema de HG sem introduzir excessivas restrições à resposta física do elemento foi do tipo viscoelástico de Kelvin definido por: 26 (3-18) [ ] Onde q representa um dos modos de HG e Q a força ou momento conjugado a q; s é um dos três fatores de escala que podem variar cujo default é a unidade: fator de deslocamento ss, fator de rotação sr ou fator de deslocamento fora-do-plano sw; α é o fator que combina linearmente a rigidez da parcela elástica do HG, K, e a resistência viscosa do HG, C, variando entre 0 ≤ α ≤ 1. O Abaqus™ 6.11 (2011) recomenda utilizar uma abordagem puramente viscosa para controlar o HG que vem demonstrando uma boa eficiência computacional em simulações dinâmicas de abruptas variações. 3.4. Modelação do Fluido Podendo o ar ser desprezado na simulação de corpos impactando na superfície livre do fluido com ângulos de quilha não muito pequenos, (FALTINSEN, et al., 2004), resta-nos, como único fluido a ser modelado, a água. Como os efeitos hidrodinâmicos se desenvolvem em uma escala bem maior aos termodinâmicos, podemos considerar que o fluido se mantem termodinamicamente em equilíbrio no decorrer do impacto e uma equação de estado (do inglês EOS, Equation of State) passa a descrever seu comportamento com base em duas das quatro variáveis termodinâmicas que governam as equações do fluido (VERSTEEG, et al., 2007). Escoamentos de fluidos compressíveis, invíscidos e sem fontes de calor, podem ser modelados segundo EOS linear de Mie-Grüneisen do tipo Us – Up que relaciona pressões elevadas como uma função da densidade e da energia interna p = f (ρ, Em): Onde (3-19) cuja pressão e energia específica de Hugoniot, pH e EH, dependem só da densidade ρ já que a EH se relaciona com a pH e esta por sua vez pode ser ajustada linearmente à curva de Hugoniot pelas seguintes equações: (3-20) e onde η representa a deformação volumétrica nominal de compressão (η = 1 - ρ0 / ρ) e, c0 e s definem a relação linear existente entre a velocidade de choque linear e a velocidade da partícula (Us = c0 + sUp). A razão de Grüneisen relaciona a constante do material Г0 e a densidade de referência ρ0 e a equação (3-19) pode ser reescrita da seguinte maneira: ( ) (3-21) onde é equivalente ao módulo de compressibilidade elástico K para pequenas deformações volumétricas e atua como parâmetro de penalidade quando a EOS linear do tipo Us - Up é utilizada para modelar fluidos com compressibilidade muito baixa e não 27 viscosos como a água no qual, além do módulo de compressibilidade, é importante introduzir certa resistência ao cisalhamento através de uma pequena quantidade de rigidez ou viscosidade cisalhante que atuará, também, como um parâmetro de penalidade. No entanto, para evitar uma resposta demasiado rígida, as forças internas decorrentes da resposta dos desviadores do material ΔS e Δe, devem manter algumas ordens de magnitude por debaixo das forças decorrentes da resposta volumétrica Δp e Δ vol. Isto pode ser feito escolhendo um módulo de cisalhamento elástico com algumas ordens de magnitude menor que o módulo de compressibilidade. Cabe ressaltar, que se o modelo de cisalhamento for definido, as forças de controle do hourglass serão calculadas em base à resistência cisalhante do material e, em materiais com zero ou extremamente baixa resistência, como os fluidos não viscosos, os parâmetros de default utilizados serão insuficientes e o Abaqus™ 6.11 (2011) recomenda aumentar os valores default do fator de escala s do HG de maneira a incrementar a resistência destes modos. 3.5. Interação Fluido-Estrutura Na interação fluido-estrutura (IFS), a interface γ12 que se desenvolve, para t > 0, entre as regiões que contém o corpo sólido e a que contém o fluido, e que varia com o tempo, apresenta duas condições que são: Condição de equilíbrio das forças de superfície entre o fluido e a estrutura: (3-22) Condição de impenetrabilidade: (3-23) onde os sobrescritos s e f representam, respectivamente, as quantidades para o sólido e o fluido na interface γ12. ni é o vetor normal apontando para fora na presente condição (DAS, et al., 2011, AQUELET, et al., 2006). A condição (3-22) está relacionada com o equilíbrio da quantidade de movimento através da interface γ12 e como esta não tem massa, o somatório das forças de superfície (tangencial e normal) no fluido e na estrutura devem ser canceladas de acordo com a 3ª Lei de Newton. Por outro lado, a condição de impenetrabilidade (3-23) é comúm expressá-la baseada no deslocamento relativo d e sua taxa de penetração ̇ que é controlada pelo algoritmo de contato por penalidade. 3.5.1. Algoritmo de contato baseado no método da penalidade O algoritmo de contato por penalidade pode ser subdividido em três etapas: A búsqueda das superfícies em contato, As condições de contato e desprendimento e, O cálculo das forças de contato na interface γ12. 28 No algoritmo de contato, ilustrado na Figura 3.8, as partículas do fluido não formam parte dos nós dos EF senão que foram realocadas através da reconstrução linear por trechos, PLIC, introduzido no subitem 3.2. Estas partículas devem se manter junto aos nós da malha lagrangeana da estrutura através da aplicação de uma força, de sentido contrário, tanto nas partes sólidas quanto nas partículas do fluido, de maneira a satisfazer o equilíbrio de forças na interface γ12 em concordância com as equações (3-22) e (3-23) impedindo ou reduzindo a penetração de água na estrutura. Figura 3.8: Acoplamento e penalidade entre as malhas da região sólida e fluida (Adaptado de DAS, et al., 2011). A força que aparece para equilibrar o sistema deve ser aplicada em cada partícula, tanto no nó sólido ou “escravo” onde Fs = F quanto no fluido onde esta força é distribuída através dos nós do EF baseando-se na função de forma Ni (i = 1, ..., 8) que descreve o elemento no qual a partícula está situada: Ff = Ni F. Sendo o deslocamento relativo d = us – uf e sua velocidade relativa ̇ = vs – vf, o incremento em d será calculado a cada passo do tempo em cada nó em ambas superfície através de: ( ⁄ ⁄ ) (3-24) onde a força de acoplamento vai atuar de maneira a manter juntas as partículas de fluido aos nós da estrutura e vice-versa, ou seja, |dn+1| > 0. A equação (3-25) representa a força de penalidade que se comporta como uma mola com amortecimento, sendo proporcional a d e ̇: ̇ (3-25) Onde k e c representam a rigidez da mola e o coeficiente de amortecimento, respectivamente. Verifica-se que para um aumento da rigidez de k, o algoritmo se torna mais próximo de forçar a impenetrabilidade, no entanto, reduz o tamanho do passo do tempo estável ao aumentar a rigidez do sistema como um todo afetando seu comportamento dinâmico, concluindo que a escolha do coeficiente k depende de cada problema a ser estudado onde um bom valor deve reduzir a energia na interface de maneira a satisfazer a conservação da energia e evitar o vazamento de fluido através da 29 estrutura (AQUELET, et al., 2006). Uma escolha dependente do tamanho da malha e a rigidez elástica da parte fluida que vem funcionando bem em análise bidimensionais dinâmicos é dada por: (3-26) Onde s é o fator de escala, Ki o módulo de compressibilidade do fluido contendo o nó “escravo” da estrutura, Ai a área do elemento que contem o segmento “mestre” como fronteira e Vi o volume do elemento do fluido que contem o nó “mestre”. Para problemas de impactos, é importante examinar a influencia do parâmetro s, 0 ≤ s ≤ 1, que é introduzido na equação (3-26) para evitar instabilidades numéricas. O Abaqus™ maximiza automaticamente o coeficiente de rigidez sujeito a limites de estabilidade que, embora pareça arbitrário, traz consigo alguns benefícios como ser: Pela sua abordagem, a rigidez do contato aumenta quando a malha é refinada. Consequentemente, o erro da impenetrabilidade embutido no método da penalidade é reduzido ao refinarmos a malha; Através da rigidez determinada automaticamente pelo Abaqus™ segundo limites de estabilidade da integração explícita, o passo do tempo no esquema de integração é pouco afetado pelo acoplamento por penalidade. Segundo documentado, esta redução não passa de 5% (TASSIN, 2010). “Ruído numérico” pode aparecer em tempos próximos aos picos de pressão de slamming nas estruturas (AQUELET, et al., 2006). Para regularizar este problema, inclui-se no algoritmo de penalidade o termo de amortecimento, c, que pode diminuir as oscilações de alta frequência. A Figura 3.8 esquematiza o coeficiente de amortecimento que aparece na equação (3-25) demonstrando que a força de penalização é proporcional à distância penetrada e à taxa de penetração. O Abaqus™ define o coeficiente de amortecimento de contato segundo uma constante proporcional com unidades de pressão dividido pela velocidade ou como uma fração adimensional do amortecimento crítico cujo valor default é 0,03. 3.5. Análise Dinâmica Explícita O método de integração explícito no tempo deve ser utilizado para avaliar problemas de impacto no qual se desenvolvem pressões elevadas em um intervalo curto de tempo. O método efetua um grande número de pequenos incrementos temporais eficientemente utilizando uma integração de diferença centrada no tempo. Cada incremento é, comparado com a integração direta, relativamente pouco dispendioso ao não precisar resolver uma série de equações simultâneas. Para o método explícito se tornar computacionalmente eficiente é fundamental utilizar elementos de massa concentrada que formam matrizes diagonais fáceis de inverter para realizar o cálculo 30 das acelerações no início de cada incremento através do inverso da matriz de massa concentrada vezes a diferença entre os vetores de carregamentos e forças internas: ̈ (3-27) O procedimento explícito não requer, portanto, nem iterações nem uma matriz tangencial de rigidez assim como a matriz de rigidez global não precisa ser formada já que o vetor de forças internas é montado pelas contribuições de cada elemento individual. Resulta destas observações, que todos os nós, se não forem restritos para se deslocar ou rotacionar nas condições de fronteira, devem possuir massa ou inércia em todos os graus de liberdade ativados. No caso de elementos sólidos, cascas ou vigas que possuam densidade, a massa é montada naturalmente em cada nó através da matriz de massa concentrada. Enquanto para corpos rígidos, que não precisariam de massa nos seus nós, na integração explícita por diferencia centrada, esta deve ser incluída para o corpo como um todo. Exceção à regra são os nós dos elementos eulerianos que em algum momento da simulação, podem estar rodeados de elementos vazios. O operador de diferença centrada é explícito no sentido que o estado cinemático avança usando os valores de ̇ e ̈ do incremento prévio. ̇ ̇ ̈ (3-28) ̇ (3-29) Onde uN é o grau de liberdade podendo ser um componente de deslocamento ou rotação e o subscrito se refere ao número de incremento no passo dinâmico explícito. Este operador é condicionalmente estável já que não pode ser maior que o tempo que levaria uma onda acústica ao atravessar o elemento finito característico, portanto, seu limite é dado pela maior frequência do sistema. São apresentados a seguir, os limites do passo do tempo sem e com amortecimento ressaltando que, ao incluirmos o amortecimento, o passo do tempo estável diminui e o Abaqus/Explicit™ acrescenta uma quantidade mínima de amortecimento através da viscosidade volumétrica associada à deformação volumétrica cujo propósito é aprimorar a modelagem de eventos dinâmicos de alta velocidade. (√ ) (3-30) Desconsiderando o amortecimento, a equação (3-30), que é diretamente proporcional ao período do evento T, pode ser reescrita da seguinte maneira: ( ) √ ̂ ̂ (3-31) Onde o mínimo é tomado em relação ao comprimento característico de cada elemento da malha, Le, a massa específica do material no elemento, ρ, e as constantes 31 efetivas de Lamé, ̂ ̂ ̂, do material no elemento que estão relacionadas com os incrementos da tensão principal Δp, da deformação volumétrica Δ vol e seus desviadores ΔS e Δe, respectivamente. ̂ ̂ ̂ (3-32) Como o custo computacional da simulação é diretamente proporcional ao número de incrementos no tempo que pode ser dado por n = T / Δt, e se for considerado que o Δt seja aproximadamente constante, podemos relacionar o custo através de: ̂ ( √ ̂) (3-33) Assim, em uma análise bidimensional, se a malha for refinada por um fator de 2 em cada direção, o tempo de simulação aumentaria 8 vezes, ou seja, 4 vezes a quantidade de elementos para cada metade do passo de tempo crítico original. Tridimensionalmente, para o mesmo fator de refinamento, o custo aumentaria em 16 vezes. Podemos aplicar dois artifícios com o intuito de diminuir o número de incrementos e, consequentemente, o custo computacional: diminuir por um fator f o período do evento ou por um fator f 2 a densidade do material. Ambos os artifícios aumentam as forças inerciais ao acelerar a simulação e devem ser utilizados com cuidado. No caso de materiais elásticos não isotrópicos, o limite de estabilidade é reduzido pela raiz quadrada da razão entre a rigidez efetiva do material e a rigidez máxima do material em certa direção. Voltando à equação (3-30), o Abaqus/Explicit™ aplica dois tipos de viscosidade volumétrica: a linear (default) e a quadrática. Seus coeficientes são dados por b1 e b2, respectivamente. A viscosidade volumétrica quadrática, além do coeficiente quadrático, está relacionada com o comprimento característico do elemento, , a velocidade de propagação do som no meio em consideração, e a taxa de deformação volumétrica do elemento. A fração de amortecimento crítico é dada por: ̇ (3-34) Seus efeitos são puramente numéricos e não fazem parte da resposta dos materiais constituintes. Ainda, ambos os coeficientes dependem da taxa de deformação volumétrica do elemento, sendo uma boa opção, zerar os mesmos na malha euleriana fixa no espaço para não diminuir o passo do tempo (SCHOENMAKERS, 2010). 4. Resultados e Discussões No capítulo 4, estamos interessados em comparar os resultados obtidos no pacote comercial com os resultados analíticos proposto por Wagner (1932, apud FALTINSEN, 2005) e Mei et al. (1999) para corpos rígidos impactando na superfície 32 livre do fluido a uma velocidade constante. São estudadas as condições de contorno da malha euleriana, o algoritmo de contato por penalidade e a influência do tamanho da malha. No subitem 4.5, os resultados numéricos são comparados com os trabalhos experimentais realizados por Aarsnes (1996, apud SUN, 2007), Yettou et al. (2006) e Zhao et al. (1996). Um estudo inicial comparativo com seções de catamarãs wave- piercing é realizado no subitem 4.5.1. A deformação do casco será estudada no capítulo 5. A Figura 4.1 esquematiza a malha euleriana-lagrangeana no sistema cartesiano ortogonal utilizado na simulação numérica no Abaqus/Explicit™ para t = 0, onde a região do fluido Ω2 apresenta um comprimento L1 e uma profundidade L2 cujas distâncias ótimas serão estudadas de maneira a não influenciar nas pressões medidas na interface fluido-estrutura. O sólido com domínio Ω1, apresenta um formato em V ou cunha sendo representado por elementos de casca cuja linha tracejada representa a simetria no plano yz e β o ângulo de quilha. Sólido γ12 L3 β Vazio Fluido L2 L1 Figura 4.1: Malha representativa utilizada no MEF para o problema de Slamming. Vista isométrica de um elemento euleriano contendo uma parte da malha lagrangeana. Condições de simetria e encastre na direção z. Velocidade inicial no ponto de referência. A região inicialmente vazia Ω3, apresenta uma altura L3 que deve conter o corpo sólido ou parte dele no t = 0 e capturar a advecção do fluido para t > 0 onde começa a aparecer a interface γ12 entre o casco e o fluido que deve satisfazer as equações (3-22) e (3-23) usando o método de contato por penalidade. Devido à simetria geométrica do problema e às condições iniciais e de contorno, o escoamento do fluido e a interação fluido-estrutura em x ≥ 0 serão analisados. As condições de contorno impostas nas malhas euleriana e lagrangeana são: simetria no 33 plano yz em x=0 e a bidimensionalidade obtida ao restringir o movimento na direção z dos nós que conformam as malhas e que devem apresentar só um elemento neste sentido. As condições de contorno para o escoamento nas outras três fronteiras que possibilitem a simulação de um domínio infinito do fluido são estudadas a seguir. Na presente simulação, a água é modelada como um fluido compressível e ondas de choque viajam em velocidades finitas através deste meio cujos limites em Ω2 devem evitar que os reflexos sejam sentidos na interface γ12 alterando as pressões medidas. Para isto, Aquelet et al. (2006), Das et al. (2011) e outros autores utilizam a equação (4-1) que relaciona a distância mínima entre a estrutura no calado máximo e os limites no domínio do fluido. Onde √ (4-1) Sabendo que a velocidade do som em águas salgadas livres de borbulhas ou partículas suspensas é de aproximadamente 1560 m/s (MACKENZIE, 1981), se formos utilizar a equação acima, para um comprimento da malha L1 e L2 de 2,25 m que corresponde à proporção de cinco vezes a largura da cunha utilizada nos testes experimentais realizados por Zhao et al. (1996), então, o tempo t que levará a onda de choque para ser refletida na fronteira e chegar na interface γ12 será de 5,77 ms aproximadamente até o ponto em que a quilha toca a superfície livre inicialmente em repouso. Se considerarmos que a cunha apresenta uma velocidade de entrada constante de 10 m/s no intevalo de tempo acima a cunha teria entrado 0,057 m e a reflexão da onda de choque passaria a interferir a partir dos 5,62 ms justificando a escolha de intervalos de tempo inferiores a este valor para representar um domínio infinito do fluido. O interesse em reduzir o tempo computacional é obvio e um dos caminhos é aplicarmos condições de contorno nas fronteiras eulerianas de maneira a reduzir as reflexões ou aplicar um certo campo de pressões prescritas que permitam modelar um contorno ilimitado. Em relação ao escoamento externo existem quatro opcões descritas a seguir: Condição de Equilíbrio que permite o escoamento de material enquanto impõe uma condição de tensão contínua de ordem zero utilizando forças de superfície artificiais aplicadas nas faces dos elementos de contorno para equilibrar as forças nodais creadas pelas tensões nos elementos; Condição de Livre Escoamento sem aplicar forças de superfície artificiais; Condição de Não-Reflexão da energia de ondas dilatacionais e de cisalhamento que chegam na superfície de contorno ao introduzir tensões normal e cisalhante que se contropõem às componentes normal e tangencial da velocidade na fronteira, amortizando-as. Esta condição não transmitirá perfeitamente a energia através da malha euleriana se a onda não for plana nem atingir a fronteira ortogonalmente em um meio isotrópico. No entanto, 34 esta condição se torna aceitável em vários casos práticos em que não houver um transporte de material significativo na fronteira. Condição de Pressão Nula que aplica uma força de superfície que se contrapõe às tensões cisalhantes gerando um campo de pressões uniformemente distribuído na fronteira. O uso da presente condição se torna importante em casos onde o comportamento cisalhante do escoamento é levado em consideração e é a condição utilizada por default nos casos de ausência de condições para o ingresso de escoamento na malha euleriana. Quanto ao escoamento de entrada na malha euleriana, as possibilidades de controle são três: Condição default de Entrada Livre cujo material e seu estado serão iguais ao existente no elemento de contorno em questão. Esta condição é implementanda se houver ou não alguma condição de escoamento externo podendo variar segundo as seguintes duas opções; Condição Sem escoamento interno nem com material nem vazios ao impor uma velocidade normal nula enquanto a componente tangencial continua sem modificações; Condição de escoamento de elementos volumétricos vazios que permite aos elementos eulerianos totalmente preenchidos com material finalizarem a simulação completa ou parcialmente vazios. 4.1. Influência das Condições de Contorno da Malha Euleriana Com o intuito de reduzir o tempo computacional foram efetuadas simulações mantendo constante parâmetros como velocidade de entrada da casca rígida, simetria em x e restrição em z; EOS, densidade e viscosidade dinâmica da água, além dos parâmetros de controle do hourglass e amortecimento viscoso mostrados na Tabela 4.1. O período simulado foi estipulado em 5,6 ms para impedir que as ondas refletidas nas fronteiras interfiram na pressão calculada na interface de contato γ12 conforme mencionado no início do capítulo 4. Tabela 4.1: Constantes com V = 10 m/s. EOS Controle Hourglass Densidade µ 3 c (kg/m ) 0 s Γ (Pa.s) α s b b (m/s) 0 1 2 1000 1560 0 0 0,001 1 1200 0 0 A baixa viscosidade da água induz um comportamento nulo tangencial na interface de contato (frictionless) enquanto um comportamento normal do tipo linear foi utilizado como parâmetro para avaliar a influência das condições de contorno (c.c.) cuja constante de rigidez escolhida foi de 7,5 GPa/m acoplada a uma fração de 35 amortecimento crítico utilizada para atenuar o ruído nos resultados de 1,2 tanto normal quanto tangencial. Para verificar a aplicação da equação (4-1), duas simulações foram levadas a cabo, uma aplicando como condição de contorno a não reflexão da energia de ondas e outra sem impor nenhum tipo de condição de contorno. Ambas malhas apresentam L1 = L2 = 2,25 m e L3 = 0,2 m; um refinamento da malha utilizando elementos de 3 mm foi efetuado nos primeiros 0,3 m iniciando na parte superior esquerda para captar melhor o movimento da superfície livre e reduzir o erro de impenetrabilidade do algoritmo de contato utilizado. Compõem o restante da malha, elementos que apresentam um aumento progressivo das suas arestas que diminuem o tempo computacional sem interferir nos resultados já que estamos interessados no tempo que leva a onda de choque em refletir na fronteira e chegar na interface sólido-líquido cuja velocidade independe do tamanho dos elementos característicos que compõem a malha. Para representar a pressão exercida na área molhada de um corpo em velocidade de entrada constante é comum expressá-la através do coeficiente de pressão introduzido na equação (2-20): , que apresenta a distribuição da pressão na área “molhada” da cunha. Bidimensionalmente, a distribuição da pressão é medida ao longo do comprimento “molhado” da cunha da quilha até a quina. Para ângulos de quilha menores de 45°, a curva representativa é aproximadamente constante desde a quilha até aproximadamente ¾ do comprimento onde começa a aumentar conformando o pico de pressão que aumenta na medida que o ângulo de quilha diminui. Pode-se observar na Figura 4.2 que as duas curvas da pressão distribuída na área molhada, medida nos nós da malha lagrangeana da cunha rígida, são bastante aproximadas existindo pequenas divergências entre ambas que podem mostrar uma leve interação entre a condição de contorno e a condição de simetria em x e/ou restrição em z. As duas curvas foram filtradas com um corte do tipo Butterworth na frequência 30 para melhorar a visualização. A Figura 4.2 mostra que a onda de choque refletida na fronteira não chega a interferir nos resultados do Cp no tempo simulado confirmando a equação (4-1). 36 Figura 4.2: Coeficiente de pressão com e sem condição de contorno em t=5,5 ms. Um breve parêntese podemos fazer neste instante para mostrar na Figura 4.3 um evento que foi verificado em todas as simulações realizadas e que acreditamos se tratar de um controle do hourglass ineficiente no acoplamento euleriano-lagrangeano que será abordado no subitem 4.2. Na Figura 4.3, pode-se observar que os picos de pressão em dois tempos muito próximos variam consideravelmente quando na realidade, duas curvas similares eram de se esperar. Não obstante, este evento se apresentou em um número de vezes bem inferior à distribuição padrão normal de pressões medidas na área molhada. Figura 4.3: Picos de pressão diferentes em tempos sucessivos e próximos. As Figura 4.4 e Figura 4.5 comparam o caso onde não existe influência da reflexão de ondas nas fronteiras com os quatro tipo de condição de contorno de escoamento externo: Equilíbrio, Livre Escoamento, Não Reflexão das Ondas e Pressão Nula. Somado a estas condições, a modo de comparação, foram realizadas simulações com condições de entrada somadas às de saída sem que as primeiras influenciassem nas pressões obtidas. Nesta comparação, a malha euleriana que apresenta condições de escoamento foi reduzida para L1 = L2 + L3 = 0,35 m e foram mantidos os 3,0 mm de 37 aresta nos elementos para comparar a influência das condições de contorno sem modificar nenhum parâmetro entre ambas as simulações que não sejam outras que as considerações de escoamento externo. Não obstante as pressões elevadas verificadas no primeiro nó da quilha que se deve a erros numéricos devido à condição de simetria, observa-se que a única condição de contorno na malha euleriana que conseguiu aproximar o pico de pressão obtido em um tamanho de malha que evita a interferência da reflexão de ondas foi a condição de contorno de pressão nula. Esta C.C. impõe uma pressão uniformemente distribuída ao atuar nas tensões cisalhantes do fluido. É importante observar que a viscosidade da água é muito baixa e esta condição de contorno não se diferenciaria da condição de livre escoamento por exemplo, em que ambas distribuições, apresentaram pressões inferiores quando comparadas com a curva que não sofre interferência da reflexão de ondas de choque. Por outro lado, a condição de equilíbrio e a de não reflexão das ondas apresentam pressões superiores quando comparadas à curva de pressão sem interferência. No entanto, sabendo que as máximas pressões são as que definem o dimensionamento da estrutura, podemos concluir que a condição de não reflexão da energia de ondas dilatacionais e cisalhantes ou a que mantem um equilíbrio entre as tensões nos elementos da fronteira são mais adequadas para implementar na simulação do CEL por seu caráter conservativo em relação às pressões obtidas quando as condições de livre escoamento ou pressão nula na fronteira forem utilizadas. Entretanto, como o objetivo é poder diminuir o tempo computacional que, neste caso, foi de aproximadamente 50% do tempo de CPU da malha de 2,25 m sem condições de contorno e sem influência da reflexão de ondas, os resultados não podem ser considerados satisfatórios já que, para obtermos valores mais próximos à curva sem interferência, deveriamos realizar duas simulações: uma utilizando a condição de não reflexão ou a de equilíbrio, e outra, utilizando a condição de escoamento livre ou de pressão nula, para obtermos o valor médio que deve ser próximo aos valores de pressão procurados. No entanto, o tempo total de simulação resultaria no mesmo que ao usar uma malha maior que evite a influência da reflexão de ondas. 38 Figura 4.4: Influência das condições de contorno no t = 5,5 ms. Figura 4.5: Influência das condições de contorno no t = 5,5 ms 4.2. Controle do hourglassing Conforme mencionado em 3.4 a representação de fluidos por EOS lineares deve ser acompanhada por um modelo viscoso que complementará o algoritmo de penalidade atuando na resposta dos desviadores ∆S e ∆e. Assim, enquanto a resposta volumétrica do material é governada pela EOS definindo seu comportamento hidrostático, a resistência ao cisalhamento é introduzida através de um modelo viscoso que governará a resposta dos desviadores. O fluido modelado segue a lei de Navier-Poisson para escoamentos laminares viscosos pertencentes aos fluidos Newtonianos ̇ com ̇ ̇ e a viscosidade dinâmica é incluída para suprimir os modos cisalhantes que podem interferir na resposta dinâmica. No entanto, como a água é considerada um fluido invíscido, esta viscosidade deve ser a menor possível para que este parâmetro de penalidade viscosa não enrijeça demasiado a resposta, sendo recomendado escolher um módulo de cisalhamento algumas ordens de magnitude inferior ao módulo de compressibilidade (Abaqus 6.11, 2011). 39 No caso do modelo viscoso, sugere-se que a viscosidade seja da ordem do módulo de cisalhamento escalada pelo incremento do tempo estável com o intuito de aproximar a resistência ao cisalhamento sem introduzir uma viscosidade excesiva no material. Considerando que a água já apresenta uma viscosidade reduzida, esta sugestão se aplicaria a fluidos que apresentem uma viscosidade superior cujos modos cisalhantes possam interferir na resposta dinâmica. A Figura 4.6 mostra que a redução da viscosidade aos valores sugeridos, , não atenua a oscilação na interface. Manter-se-á, portanto, a viscosidade dinâmica em 0,001 Pa.s evitando interferir nas propriedades mecânicas do material em prol da otimização numérica. Figura 4.6: Redução da viscosidade da água em t = 5,1 ms. O modelo viscoelástico de Kelvin é utilizado para controlar os modos de energia nula ou HG que interferem na simulação dinâmica do CEL cuja abordagem é puramente viscosa já que a malha lagrangeana é considerada rígida neste capítulo e, portanto, não sofre os problemas típicos de distorção dos elementos de primeira ordem com integração reduzida associados ao HG. Quando o modelo viscoso de Kelvin é definido, as forças de controle do HG são calculadas baseadas na resistência ao cisalhamento do material. Se esta resistência é extremamente baixa, como acontece em fluidos invíscidos, os parâmetros defaults utilizados serão insuficientes para evitar modos de HG espúrios. Na Figura 4.7, observa- se uma distribuição da pressão que não representa efetivamente o problema do slamming para ângulos de quilha menores que 45°. Na Figura 4.7, verificam-se picos de pressão distribuídos aleatoriamente na interface γ12 enquanto o que deveria ocorrer seria uma elevação da pressão no domínio interno, na raiz do jato. Ressalta-se a quase inexistente influência do domínio do jato na avaliação do impacto ao observar as menores pressões neste domínio. Observa-se também, que o CEL captura razoavelmente o comportamento de segunda ordem na medida que a malha euleriana for refinada. 40 Por outro lado, mantendo-se o modelo puramente viscoso, ou seja, na equação (3-18) e escalando o fator unitário default de deslocamento s para 1200, por exemplo, a resistência aos modos cisalhantes do HG aumentarão de maneira a reproduzir uma distribuição de pressão mais uniforme cuja elevação ocorre corretamente dentro do domínio interno sem alterar consideravelmente as pressões máximas calculadas como pode ser visto nas Figura 4.8. Figura 4.7: Distribuição da pressão com controle do hourglass default. Figura 4.8: Distribuição da pressão com aumento do fator de escala s do hourglass. Na Figura 4.9 foram plotadas as pressões através do coeficiente adimensional para avaliar a influência do controle de HG quando comparado com o controle default utilizado pelo Abaqus™. As pressões foram medidas nos nós lagrangeanos enquanto, na Figura 4.10, as pressões foram medidas nos nós de integração reduzida dos elementos eulerianos que estão em contato com a cunha rígida. Sabendo que, na teoria, as pressões medidas na interface entre os elementos eulerianos e lagrangeanos deveriam ser relativamente próximas, na prática foi verificado que isto é dificil de acontecer. Na Figura 4.10, onde é realizada uma média 41 das pressões entre elementos vizinhos, normalmente apresentam pressões inferiores as medidas diretamente pelos nós da malha lagrangeana conforme Figura 4.9. Em todas as curvas, devido as oscilações nos resultados, foi aplicado um filtro do tipo Butterworth na frequência de corte igual a 30 para melhorar a visualização das pressões. Ao compararmos os resultados numéricos com os esperados através de resultados similares, em que o coeficiente de pressão máximo, para velocidades de entrada constante e ângulo de inclinação de 30°, é igual a 6,927 (FALTINSEN, 2005), concluímos que a representação da pressão nos nós langrangeanos se assemelha mais à curva procurada. Além disso, as medidas de pressão de contato são diretas, sem aproximações pela média, como acorre ao solicitar as pressões nos nós eulerianos. Estudando a influência do HG e desconsiderando as oscilações numéricas perto da quilha, podem ser vistas maiores oscilações nas curvas do HG default que nos fariam escolher pelo aumento no controle de HG conforme foi mostrado na Figura 4.8. O procedimento recomendando para encontrar o valor de s que diminua as oscilações espúrias é procurar aumentar os valores até a proximidade do aparecimento de instabilidades na superfície livre. Através das várias simulações realizadas, ao aumentar demasiado o valor de controle dos modos artificiais de deslocamento, provoca-se o aparecimento de ondulações espúrias na superfície livre que devem ser evitadas. Figura 4.9: Coeficiente de Pressão nos nós lagrangeanos com controle de HG default e HG puramente viscoso em t = 5,4 ms. 42 Figura 4.10: Coeficiente de Pressão nos nós eulerianos com controle de HG default e HG puramente viscoso em t = 5,4 ms. É importante verificar que a diferença entre a energia interna total (E.I.) e a energia “artificial” (E.A.) associada às restrições utilizadas para remover os modos de HG seja inferior a 2% (ABAQUS 6.11, 2011). Conforme resultados calculados com os valores fornecidos pelo pacote comercial plotados na Figura 4.11, esta diferença aumenta gradativamente. No entanto, no tempo simulado de 5,6 ms, esta diferença não ultrapassa 20% da percentagem máxima devendo ser monitorada para tempos de simulação superiores. Figura 4.11: Diferença percentual entre energia interna e “artificial”. 4.3. Parâmetros de Contato na IFS Três condições fundamentais de contato podem ser estipuladas na IFS: O comportamento tangencial, O comportamento normal e O amortecimento aplicado na condição normal estipulada. 43 Como o fluido simulado apresenta uma baixa vicosidade, uma vez que a superfície lagrangena entre em contato com o fluido, ocorrerá um escorregamento livre sem que exista qualquer tipo de fricção entre as partes. Pelas propriedades do fluido e as características do algoritmo CEL explicadas no subitem 3.5, é no comportamento normal que estamos interessados e a maneira de controlar a força de contato na interface γ12. 4.3.1. Comportamento na Interação Normal à Superfície de Contato O algoritmo de contato por penalidade tem por finalidade manter as partículas do fluido junto à estrutura, |dn+1| > 0, aplicando uma força nos nós das malhas euleriana e lagrangeana que depende da penetrabilidade ou do afastamento entre as superfícies em contato, conforme explicado no subitem 3.5.1. Esta força, de igual intensidade e sentido contrário, aumenta a rigidez do modelo e, consequentemente, o passo de tempo crítico é diminuído. No entanto, se o passo de tempo for determinado automaticamente pelo Abaqus/Explicit™ então, automaticamente também será determinada esta rigidez para manter o tempo estável o maior possível. Duas abordagens típicas relacionam a pressão de contato à penetrabilidade ou ao afastamento: o contato por penalidade “duro” e o “suave”. A relação de contato dura minimiza a penetração dos nós lagrangeanos na malha euleriana e vice-versa. Não permite a transferência de tensão superficial através da interface. Utilizada como default no CEL, esta relação permite a transferência de qualquer pressão de contato quando não houver separação entre as superfícies conforme ilustrado na Figura 4.12. A rigidez da mola k, que relaciona a força de contato com a distância da penetração, d, é escolhida automaticamente pelo Abaqus/Explicit™ e um fator de escala, s, é aplicado à rigidez representativa dos materiais envolvidos na interação para que a penetração d seja maior que a deformação elástica normal à interface de contato. Este fator pode ser modificado pelo usuário, no entanto, seu acréscimo produzirá um aumento no tempo de simulação pela redução do passo de tempo necessário para evitar instabilidades na modelagem. No caso de corpos rígidos, as propriedades inerciais do corpo devem ser incluídas no algoritmo de penalidade por questões de estabilidade numérica (ABAQUS 6.11™, 2011). Figura 4.12: Relação Pressão - Afastamento do tipo dura. 44 Contrariamente à relação em que pressões podem aumentar indefinidamente, existe a possibilidade de suavizar o aumento da pressão de contato em relação à distância d diminuindo a rigidez do modelo e, consequentemente, as oscilações abruptas da pressão características do algoritmo de contato por penalidade. Estas variações abruptas ocorrem devido ao tipo de colisões definidas no algoritmo que são consideradas elásticas, sempre e quando, não houver algum amortecimento especificado. A regularização do contato é caracterizada pela especificação de uma “zona de captura” onde a penalização de contato é aplicada gradualmente para evitar, minimizar e/ou contornar os problemas introduzidos pela estratégia de penalização abrupta. Dois tipos de relação suavizada podem ser implementadas no CEL: a linear e por segmentos. Ocorrerá um aumento linear da pressão quando a distância d medida na direção normal à interface do contato for maior do que zero. Esta relação é idêntica ao montar uma tabela com dois pontos sendo o primeiro localizado na origem e a inclinação da curva dada pelo coeficiente de rigidez do contato k. Aplicando a equação (4-1) em uma malha euleriana onde o elemento crítico apresenta uma área de aproximadamente 3,0 mm2 e um volume de 9,0 mm3, um coeficiente de compressibilidade de 2,4 GPa dado pela equação (4-1) e um fator de escala, s, igual a 0,1 que resultará em um coeficiente da rigidez do contato ou, reescrevendo a equação (3-26) para que dependa só do comprimento em x que, normalmente, é igual ao comprimento em y e que facilita a visualização “bidimensional” quando a malha for refinada: ( ) (4-2) Aplicando este coeficiente na relação linear de contato normal mantendo as condições de contorno, simetria e propriedades do fluido constantes e comparando o controle dos modos de energia nula default e puramente viscoso com a relação do tipo dura ou rígida em que as penetrações são minimizadas automaticamente, podemos observar na Figura 4.13 que a relação linear entre a pressão de contato e a distância de penetração entre as malhas diminui efetivamente as oscilações que apresenta a relação dura e que provocam resultados que discordam das pressões máximas registradas em ensaios experimentais e equações analíticas. Novamente, as duas curvas foram filtradas com um corte do tipo Butterworth na frequência 30. 45 Figura 4.13: Pressão de contato normal comparando a relação p vs. d do tipo dura com a suave em t = 5,0 ms. Em relação à suavização por segmentos, existem duas maneiras diferentes de montar uma tabela para relacionar a pressão de contato (pi) e a distância de penetração (hi) ou afastamento (ci) entre as superfícies de contato conforme apresentado na Figura 4.14. Figura 4.14: Relação por segmentos entre a pressão e a distância penetrada. Na figura superior, o usuário deve ingressar os pares de dados que relacionam a pressão à distância, d (pi, hi), formando uma função por segmentos lineares crescentes onde as pressões, medidas na direção normal ao contato, serão transmitidas entre as 46 superfícies quando |dn+1| > 0. Se houver um acréscimo da distância penetrada acima de hn, a pressão será extrapolada segundo a inclinação da reta calculada no último segmento. A dificuldade de implementar este método é que deve-se conhecer ou estimar a pressão que corresponderá a cada uma das distâncias ortogonais de penetração. Uma alternativa ao ingresso manual de pares de dados que relacionam a pressão à distância é mostrada na figura inferior aonde um acréscimo geométrico da rigidez de contato default vai sendo escalada na medida em que a penetração crítica d é excedida. Neste caso, d pode ser definido diretamente ou através de uma fração r do comprimento mínimo do elemento Lelem na interface γ12 e cada vez que esta distância exceder o valor anterior, o coeficiente de rigidez da mola default kdflt multiplicado pelo fator de rigidez inicial s0 será escalado por um fator geométrico s em cada passo de tempo. Seguindo Aquelet et al. (2006), uma alternativa para medir o coeficiente kdflt por unidade de área de contato relacionando a máxima pressão de contato com a distância poderia ser através da razão entre a pressão de contato máxima e a distância d obtida multiplicando a velocidade de entrada constante (10,0 m/s) pelo intervalo de tempo desde o início da elevação da pressão até seu máximo. Na Figura 4.15 observa-se que a máxima pressão de contato (~0,78 MPa) acontece entre os intervalos aproximados de 1,32 e 1,20 ms que corresponderia a . Comparando este resultado com a equação (4-2) aonde e o fator de penalidade s considerado igual a 0,1, verifica-se que o coeficiente de rigidez de contato calculado desta maneira é menos de 1% do coeficiente dado pela equação (4-2) provocando “vazamento” ou penetração exessiva do fluido através da malha lagrangeana conforme pode ser visto na Figura 4.16. Figura 4.15: Pressão de Contato default vs. Tempo. 47 Figura 4.16: Vazamento excessivo de fluido através dos nós do corpo lagrangeano. No entanto, olhando mais detidamente para a Figura 4.16 e comparando-a com a Figura 4.8, podemos observar que os elementos eulerianos que compõem a interface γ12 estão capturando a distribuição de pressão se sobrepondo aos nós da malha lagrangena e cujos resultados deveriam ser relativamente próximos. Desconsiderando a região próxima à quilha, as pressões medidas são realmente parecidas se compararmos a Figura 4.17 com a Figura 4.9 e a Figura 4.10. Não obstante, os picos de pressão máxima continuam sem serem capturados pelos nós dos elementos eulerianos confirmando nossa escolha de escolha de medir as pressões nos nós lagrangeanos. Figura 4.17: Distribuição da pressão na interface de contato das malhas no t = 5,5 ms. Por outro lado, se plotarmos o histórico das pressões em um ponto particular da cunha, por exemplo, no nó cuja distância seja de 12 mm medidos a partir da quilha, e comparamos os históricos usando uma relação p vs. d do tipo dura (default) com a relação linear, na medida em que a raiz do jato atravessa o ponto em questão, espera-se que ocorram as maiores pressões. Visualizando a Figura 4.18, podemos concluir que, ao diminuir a rigidez de contato, permitindo certo “vazamento” de fluido, os picos de 48 pressão e as oscilações abruptas são minimizados, como era de se esperar ao suavizar a relação p vs. d. Figura 4.18: Pressão de contato no nó lagrangeano a 12 mm da quilha. Se utilizarmos o coeficiente de pressão máximo calculado por Zhao & Faltinsen (1993) para o ângulo de entrada de 30° e velocidade constante de 10,0 m/s, verificamos que a pressão máxima correspondente (0,35 MPa) é corretamente simulada pela relação linear com um coeficiente de rigidez de 0,65 GPa/m enquanto que, para valores superiores, a pressão pontual também aumentará conforme observado na Figura 4.19. Um estudo mais aprofundado do assunto será efetuado nos subitens 4.3.2 e 4.4 deixando como observação que para poder capturar os picos de pressão corretos, os resultados devem ser requisitados a cada passo de tempo, o que torna a simulação muito dispendiosa computacionalmente. Neste exemplo, foram solicitadas a cada 0,028 ms e 0,0112 ms resultando em 200 e 500 saídas respectivamente e que, provavelmente, não registraram as pressões máximas para obter coeficientes de rigidez aproximados aos encontrados através da equação (4-2). Podemos concluir que a alternativa ao cálculo do coeficiente de rigidez de contato usando a equação (4-2) infere coeficientes de rigidez inferiores que, embora provoquem certo “vazamento” de fluido através da estrutura lagrangeana, não descaracterizam a distribuição de pressão normalmente verificada em ensaios experimentais nem os picos de pressão propostos por soluções similares para um ângulo de quilha de 30°. 49 Figura 4.19: Histórico de pressões a 12 mm da quilha. 4.3.2. Inclusão do Amortecimento O amortecimento no algoritmo de contato por penalidade é utilizado para diminuir os ruídos na resposta se opondo ao deslocamento relativo entre as superfícies que estão interagindo. Seu valor ortogonal é proporcional à velocidade relativa entre as superfícies conforme mencionado no subitem 3.5.1. Este amortecimento se manterá constante enquanto as superfícies estiverem em contato sendo nulo seu valor em caso contrário existindo duas maneiras de introduzir amortecimento no contato: Especificando seu valor proporcional constante em unidades de pressão por velocidade relativa de deslocamento ou, Através de uma fração adimensional do amortecimento crítico. No primeiro caso, as forças de amortecimento serão calculadas através de ̇ com representando a área do elemento nodal, , a velocidade relativa entre as superfícies e o coeficiente de amortecimento, , nas unidades de pressão por velocidade. No segundo caso, o coeficiente é incluído através de uma fração do amortecimento crítico associado à rigidez do contato. Neste caso, a força de amortecimento é dada por √ que depende da massa m e da rigidez de contato associada ao nó na interface de contato e que será estudada a seguir para diferentes ângulos de quilha. Utilizando as mesmas características das malhas eulerianas e lagrangeanas para β=30° e o coeficiente de rigidez de contato linear, k/A = 0,65 GPa/m, calculado no subitem 4.3.1, foi estudada a influência da fração de amortecimento crítico no intervalo verificando que esta variação não modificava apreciavelmente as pressões calculadas no Cp cujos resultados condizem com o trabalho realizado por Das et al. (2011). Para ângulos de quilha não muito pequenos, a influência do coeficiente de amortecimento pode ser verificada no histórico de pressão medida em algum ponto da estrutura como mostra a Figura 4.20. Neste caso, observa-se um aumento da rigidez do 50 modelo, próprio do algoritmo de contato por penalidade, que tentar capturar o pico de pressão que caracteriza o impacto provocando certos pontos discrepantes. Este aumento da rigidez do modelo incrementa o esforço computacional que, neste caso simulado, levou o dobro do tempo de CPU requerido para coeficientes de amortecimento menores, c<2, sem que fossem verificadas variações importantes no Cp. Por outro lado, este comportamento pode se tornar benéfico na medida em que o ângulo de quilha for diminuindo e o pico de pressão, característico do problema de slamming, aumentando. Figura 4.20: Influência da fração de amortecimento sobre a pressão medida a 12 mm da quilha. Assim, mantendo as mesmas características das malhas euleriana e lagrangeana, assim como o coeficiente de rigidez, k/A=80 GPa/m para um fator de escala s = 0,1 e estudando o slamming para uma estrutura rígida impactando a uma velocidade constante de 10,0 m/s com um menor ângulo de quilha, neste caso, β=10°, podemos observar a súbita elevação da pressão no ponto, por exemplo, a uma distância de 12 mm da quilha, ultrapassam os picos máximos esperados que, segundo Faltinsen (2005), devem se encontrar no patamar de 3,9 MPa para um coeficiente de pressão . Claramente, a Figura 4.21 mostra que estas pressões máximas esperadas são ultrapassadas na simulação numérica e, o aumento do coeficiente de amortecimento, incrementa os picos de pressão como era de se esperar. Por outro lado, ao compararmos os valores obtidos para a distribuição de pressão ao longo da área molhada da cunha, observamos na Figura 4.22 que o aumento da fração de amortecimento crítico acima da unidade consegue simular razoavelmente o coeficiente de pressão esperado. No entanto, novamente houve um acréscimo no tempo computacional o que é de se esperar ao aumentar a fração de amortecimento crítico já que estaríamos aumentando a rigidez do sistema. 51 Figura 4.21: Histórico da pressão a 12 mm da quilha: Influência do coeficiente de amortecimento. Figura 4.22: Distribuição da pressão para diferentes frações de amortecimento crítico no t = 2,4 ms. 4.4. Influência do Tamanho da Malha Euleriana Definir os parâmetros apropriados no algoritmo de contato por penalidade que dependem da velocidade do impacto, a forma do casco e seu ângulo de quilha, as propriedades mecânicas dos materiais envolvidos na IFS, o módulo de compressibilidade e viscosidade da água, assim como o tamanho dos elementos finitos e a relação entre as malhas eulerianas e lagrangeanas, é um problema que ainda permanece em aberto (AQUELET, et al., 2006, DAS, et al., 2011). No presente caso estudado, onde a malha lagrangeana é composta por elementos rígidos, a velocidade de impacto é constante e a forma do casco é aproximada por uma cunha, a IFS se resume ao estudo da rigidez do contato por penalidade e sua interação com o comprimento do elemento crítico da malha euleriana e o controle do hourglass do modelo viscoso explicado em 4.2. Neste subitem, verificamos que o princípio adotado pelo Abaqus/Explicit™ que determina automaticamente o coeficiente de rigidez 52 kdflt de maneira a não enrijecer o modelo de maneira a manter o passo de tempo crítico o maior possível, mostrou que esta metodologia introduzia oscilações importantes na distribuição de pressão medida na área da cunha “molhada”. Uma suavização da relação p vs. d foi explicada e utilizada para mostrar como estas oscilações abruptas poderiam ser minimizadas. Por outro lado, olhando para a equação (3-31), verificamos que o passo de tempo crítico, Δtcrit, depende das constantes elásticas de Lamé e do comprimento característico do elemento Lelem, no entanto, como o corpo está sendo considerado rígido, podemos concluir que avaliar a variação do tamanho da malha euleriana está interligada ao estudo do fator de escala s e sua relação com o os coeficientes de rigidez e amortecimento da equação (4-2) e (3-25). Diminuindo o tamanho do elemento euleriano para um hexaedro regular de 1,0 mm de aresta que, segundo o Abaqus™ (2011), corresponderia ao formato ideal para implementar o método do VOF, mantendo o fator s = 0,1 inicial e assumindo uma compressibilidade do fluido de 2,4 GPa/m deveríamos, portanto, verificar a interação fluido-estrutura para um coeficiente de rigidez de contato normal k/A = 240 GPa/m. Por outro lado, se o elemento característico euleriano apresenta um comprimento, Lelem=0,5 mm, para a mesma fração de amortecimento crítico default, o coeficiente de rigidez linear correspondente será o dobro do valor para o elemento hexaédrico com Lelem=1,0 mm. A Figura 4.23 compara estas duas simulações através da distribuição de pressão obtida ao longo da área molhada em t=1,8 ms para uma velocidade de entrada constante, V=5,0 m/s. Observa-se uma relativa semelhança entre as duas curvas com a diferença que o fato de reduzir o comprimento característico do elemento incrementou em oito vezes o tempo computacional efetuado em um computador pessoal de 4,0 GB de memória RAM instalada e processador de até 5 núcleos virtuais com 2,3 GHz. Isto é, conforme mencionado no subitem 3.5, ao reduzir o comprimento dx e dy à metade para manter o elemento hexaédrico regular, o esforço computacional aumentará em aproximadamente 8 vezes o tempo de CPU da malha original. Figura 4.23: Coeficiente de pressão para distintos comprimentos característicos dos elementos eulerianos. 53 Mantendo a configuração hexaédrica regular dos elementos eulerianos e comparando os resultados obtidos ao aumentar os tamanhos das arestas para: dx=2,0 mm e dx=3,0 mm, controlando a fração de amortecimento crítico e o hourglass, observamos que as curvas características da distribuição de pressão continuarão mantendo o mesmo padrão conforme a Figura 4.24 e cuja defasagem se deve à própria malha euleriana que ao aumentar de tamanho desloca a raiz do jato e, dependendo o grau de aumento, chega a eliminar o domínio do jato por completo conforme pode ser visualizado na Figura 4.25. É importante observar que a metodologia de obter o perfil das pressões e diminuir o tempo de simulação apresentou resultados satisfatórios. O tempo computacional foi reduzido em, aproximadamente, oito vezes ao dividir o comprimento característico do elemento euleriano. A fração de amortecimento, em conjunto com o controle dos modos de energia nula, deverá ser aumentada para que diminuir a defasagem. Não obstante, para este caso estudado, não é recomendando continuar aumentando o tamanho do elemento devido já que esta defasagem aumentará significativamente sem ganhos reais na redução do tempo de simulação. Figura 4.24: Distribuição da pressão para elementos E3DC8R de diferentes tamanhos. 54 Figura 4.25: Diminuição da curva característica da região interna ou raiz do jato conforme o comprimento, Lelem, aumenta. Os resultados obtidos foram muito promissores e a estratégia utilizada para determinar a relação linear suavizada entre a pressão de contato e a distância de interpenetração utilizando valores entre a equação (4-2) e o histórico das pressões em um ponto não muito próximo à região da quilha, pode ser aplicada em outros casos de impacto utilizando o CEL. Assim, podem-se destacar os seguintes comentários: As pressões de contato apresentaram um comportamento em que as oscilações diminuíram quase ao ponto de desaparecer por completo ao serem comparadas com as pressões de contato dura ou rígida; Verificou-se que o aumento do comprimento característico do elemento euleriano, além de implicar em uma diminuição do coeficiente de rigidez de contato k/A, deve ser acompanhado de um aumento da fração de amortecimento crítico c, normalmente, para valores acima da unidade; A escolha da quantidade de elementos lagrangeanos rígidos encontra seu fundamento na necessidade de manter os nós das malhas na relação mínima de 1:1 para evitar possíveis vazamentos de fluido através do corpo rígido. Se, por exemplo, o menor comprimento simulado for um milímetro, a distância entre nós lagrangeanos escolhida deve ser: ~0,8 mm. Os elementos lagrangeanos devem ser igualmente espaçados no comprimento da cunha para acompanhar o comprimento dos elementos eulerianos. Se os resultados devessem ser filtrados, como as pressões de contato são medidas nos nós lagrangeanos, eles devem ser mantidos, na mesma quantidade em todas as simulações, para poder filtrar os resultados na mesma frequência de corte; 55 Com relação à força de impacto ou de slamming, a defasagem entre as distribuições de pressão mostrada na Figura 4.24 implica em forças máximas acontecendo em tempos anteriores na medida em que malha for diminuindo, como era de se esperar; Na medida em que o ângulo de quilha for diminuindo, tanto o histórico das pressões como a distribuição na superfície molhada, apresentaram picos de extrema pressão que ocorrem em um intervalo de tempo muito curto ou em uma área extremamente localizada. Assim, sua influência na resposta da estrutura, talvez, não seja primordial ao não conseguir induzir tensões que comprometam a estrutura. Este ponto será ampliado no estudo da hidroelasticidade no capítulo 5. 4.5. Comparação com Resultados Experimentais – Teóricos No caso da cunha entrando na superfície livre incialmente calma e cuja velocidade de entrada varia na medida em que forças de empuxo são exercidas no corpo serão estudadas neste capítulo e os resultados numéricos serão comparados com os trabalhos experimentais realizados por Aarsnes (1996, apud SUN, 2007), Yettou et al. (2006) e Zhao et al. (1996). Ambos os experimentos apresentaram uma configuração similar ao esquema ilustrado na Figura 4.26 onde um corpo em formato de cunha com 30° de ângulo de quilha e diferentes massas é lançado em queda livre de diversas alturas sobre uma superfície livre em estado inicial de repouso. As pressões são registradas através de transdutores de pressão distribuídos ao longo da área de impacto enquanto transdutores de posição são utilizados para registrar o ponto instantâneo de localização da cunha cuja derivada temporal fornece a velocidade de descida que também foi calculada através da integração da aceleração medida por acelerômetros. Transdutores de força colocados nas extremidades da cunha foram utilizados para registrar a força vertical de impacto. 56 Figura 4.26: Imagem e representação esquemática de ensaios experimentais de slamming realizados por Aarsnes (1996, apud SUN, 2007), Yettou et al. (2006) e Zhao et al. (1996). Dos vários trabalhos reportados por Aarsnes (1996, apud SUN, 2007), nosso estudo compara os relacionados à ângulos de roll θ = 0, ou seja, a cunha entrando simetricamente na superfície livre em estado incial de repouso. As forças verticais dos ensaios experimentais foram medidas em uma seção de 0,1 m. A esta seção, foram acrescentadas duas seções iguais na frente e atrás de 0,45 m resultando no comprimento unitário do modelo com uma massa total de 288 kg. A cunha, com um ângulo de quilha de 30°, foi lançada de diferentes alturas, h = 0,13 m; 0,195 m; 0,313 m e 0,5 m medidas desde a superfície livre até a fundo da quilha cujas velocidades de entrada foram: 1,55 m/s; 1,91 m/s; 2,42 m/s e 3,05 m/s respectivamente. Devido, principalmente, ao atrito da estrutura ao trilho de descida, esta velocidade é levemente inferior à calculada através de √ com g = 9,81 m/s2 segundo sugerido pelo autor. Na Figura 4.27 aparecem representados os resultados experimentais aproximados para a cunha entrando com uma velocidade de 3,05 m/s onde um corte na frequência de 700 Hz foi realizado para filtrar os dados. Além disso, como vibrações foram conferidas mesmo após a entrada da cunha na água, uma correção da força vertical filtrada foi efetuada substraindo a força inercial da seção medida, maz, onde m = 10,3 kg é a massa da seção de 0,1 m e az a aceleração vertical. A força vertical resultante, devido à pressão da água, incluiu a massa adicional do fluido. Assim, estes valores de velocidade e massa total da cunha em queda livre de uma altura de 0,5 m foram utilizados como dados de entrada do modelo numérico. 57 Os resultados gerados na simulação numérica foram obtidos através da força vertical de contato na superfície molhada do corpo rígido lagrangeano com uma proporção aproximada de 3:1 elementos para cada um da malha euleriana cujos comprimentos L1 e L2 + L3 = 0,4 m foram escolhidos para poderem captar a advecção do fluido no desenvolvimento do impacto. 100 elementos foram distribuídos nas direções x e y mantendo um na direção z de maneira a configurar o hexaedro regular do elemento euleriano correspondente com 4,0 mm de aresta. As mesmas condições de simetria e de contorno explicadas nos subitens 4.3 e 4.4 foram utilizadas com o algoritmo de contato por penalidade suavizado linearmente com uma relação de p vs. d dada pela equação (4-2) usando um fator de escala s = 0,1 e uma fração de amortecimento crítico unitária. Figura 4.27: Resultados experimentais para h = 0,5 m comparados com o resultado numérico e o analítico da equação (2-22). Incorporando na Figura 4.27 o valor da força vertical na seção de medida do impacto dada pela equação (2-22) podemos ver, nos três casos, que a aceleração máxima, correspondentemente à força normal máxima registrada, ocorre próximo ao instante em que a raiz do jato alcança a quina da cunha para dar passo a uma “separação” do fluido e a estrutura onde a aceleração e, consequentemente, a força vertical, começam a diminuir. Observam-se valores numéricos superiores aos experimentais nas proximidades do tempo em que ocorre a separação do fluido que, segundo Zhao et al. (1996), podem ser atribuídos aos efeitos tridimensionais que fazem decrescer em até 20% os resultados obtidos na aproximação bidimensional. Além disso, as forças máximas se apresentam com uma antecedência de ~5 ms e ~10 ms nos resultados numéricos e analíticos quando comparados, respectivamente, aos resultados experimentais. Acreditando que esta defasagem ocorresse devido à dificuldade de capturar corretamente a raiz do jato na relação linear entre a pressão e a distância de penetrabilidade, assim como sua relação com o tamanho da malha escolhida já que, ao compararmos a defasagem com os resultados analíticos de Kármán (1929) que não leva em consideração a elevação da superfície livre, vemos que além das forças máximas calculadas apresentarem valores relativamente inferiores aos dos ensaios experimentais, 58 esta defasagem era incrementada. Sendo assim, foram realizadas reduções do tamanho característico dos elementos eulerianos, sempre acompanhadas das variações na relação p vs. d correspondente, no entanto, contrariamente ao suposto, esta curva não se aproximou dos resultados experimentais, concluindo que a aproximação bidimensional implementada incluiria, além de um aumento nas forças máximas calculadas, certa defasagem no registro delas. Com o intuito de comparar os resultados numéricos com os testes experimentais realizados por Zhao et al. (1996), várias simulações estudando o CEL e comparando os resultados com os ensaios experimentais foram levadas a cabo. A cunha ensaiada por Zhao et al. (1996) apresentou um formato parecido ao teste experimental realizado por Aarsnes (1996, apud SUN, 2007) e cujo esquema ilustrativo aparece mostrado na Figura 4.26. Neste caso, os cinco transdutores de pressão foram colocados nas distâncias de: 25, 75, 125, 175 e 264 mm medidas a partir do fundo da quilha, a massa total da cunha variou de 288 kg para 241 kg, a boca aumentou de 300 mm para 500 mm e o comprimento da seção medida de 100 mm para 200 mm, onde também foram acrescentadas duas seções “falsas” em ambos os lados da seção para obter o comprimento total de um metro resultando em 48,2 kg/m na seção que mede a força vertical de slamming. A velocidade de entrada inicial foi de 6,15 m/s medida através de um sensor ótico combinando os dados coletados junto aos dados da aceleração vertical registrados pelo acelerômetro. A malha euleriana escolhida segue o mesmo padrão adotado para simular os testes experimentais realizados por Aarsnes (1996, apud SUN, 2007) com elementos hexaédricos regulares de 5,0 mm de aresta distribuídos ao longo dos comprimentos horizontal, L1 = 0,6 m, e vertical, L2 =0,5 m e L3 = 0,15 m. O controle do hourglassing escolhido foi o puramente viscoso para um fator de escala, s=900. Uma massa inercial de 0,6025 kg foi localizada no centro de gravidade da cunha devido ao comprimento característico do elemento EC3D8R de 5,0 mm e à condição de simetria no plano yz adotada. A interação entre as malhas lagrangeana e euleriana, na relação elementar de 3:1, levou em consideração a relação suave entre a pressão e a distância de penetração exposta no subitem 4.3.1 a qual permite certa penetrabilidade entre os nós no CEL diminuindo a oscilação da pressão de contato típica de relações do tipo dura ou rígida. A relação linear que apresentou melhores resultados para modelar a interação fluido- estrutura foi: k/A=20 GPa/m que resulta do comprimento característico do elemento euleriano, Lelem=5,0 mm e um fator de escala, s=0,042, ao utilizar a equação (4-2). A fração de amortecimento crítico utilizada foi: c=0,5. Condições de não reflexão da energia de ondas na fronteira, simetria em x e bidimensionalidade aplicada ao restringir o escoamento e o movimento na direção z, foram similarmente implementadas em dois passos dinâmicos e explícitos não lineares. A velocidade de entrada, V0=6,15 m/s, foi definida no primeiro passo enquanto, no 59 segundo passo, esta velocidade é desativada para verificar sua variação e compará-la à velocidade registrada no ensaio experimental conforme mostra a Figura 4.28. Os resultados numéricos sugerem uma razoável semelhança com os resultados experimentais no início do impacto até ~7,5 ms em que as duas curvas começam a se afastar mantendo o perfil de inflexão chegando a um afastamento máximo de 16% no t=25 ms cujos motivos podem ser fundamentados na aproximação bidimensional do slamming. Figura 4.28: Velocidade de descida da cunha comparada com os resultados experimentais de Zhao et al. (1996). A fim de avaliar os coeficientes de pressão, dados pela equação: , uma aproximação deve ser adotada para a velocidade de descida que, neste caso, varia com o tempo segundo a Figura 4.28. Por exemplo, no instante t=15,8 ms, na iminência da separação do fluido da quina, podemos observar que a velocidade numérica de descida da cunha é ~5,3 m/s. Usando este valor para calcular o Cp, a Figura 4.29 compara os resultados experimentais com as distribuições da pressão média calculadas nas interseções dos nós dos elementos eulerianos com os nós da casca lagrangeana e as pressões de contato medidas diretamente nos nós lagrangeanos para o tempo de 15,8 ms da entrada da cunha na água. Confirmando o verificado no subitem 4.2, são as pressões medidas na malha lagrangeana que melhor representam as pressões experimentais medidas nos transdutores para o tempo em questão podendo afirmar que a curva característica do impacto é razoavelmente representada pelo CEL embora seus valores sejam geralmente superiores aos experimentais, no entanto, este mesmo comportamento foi verificado por resultados analíticos não lineares e simulações dinâmicas explícitas segundo reportado por Zhao et al. (1996) e Das et al. (2011) dentre outros autores. Outra observação pertinente está relacionada à região de pressões máximas que, numericamente, acontecem com certa antecedência às experimentais e cujas principais causas se devam à relação exemplificada no subitem 4.4 entre o refinamento da malha e o aumento da fração de amortecimento crítico. 60 Figura 4.29: Distribuição da Pressão no t = 15,8 ms. Finalizando os resultados numéricos comparativos com os ensaios experimentais realizados por Zhao et. al. (1996), os históricos das forças verticais foram plotadas na Figura 4.30, onde aparecem comparados os valores registrados nos transdutores de força posicionados nas extremidades da boca da seção medida, conforme esquema da Figura 4.26. Além dos valores numéricos e os experimentais, foram incluídos os resultados analíticos propostos pelos trabalhos de Von Kármán (1929) e Mei et al. (1999) que estão relacionados às equações (2-22) e (2-27) respectivamente. Como a equação desenvolvida por Mei et al. (1999) esta baseada na teoria de massa adicional e a conservação da quantidade de movimento, estas equações só se aplicam até o instante em que ocorre a separação do fluido quando a cunha passa a ser considerada totalmente submersa e o momento vertical não é mais conservado. Por outro lado, os resultados destas forças condizem com os resultados ao integrar os termos lineares da equação de Euler (2-16) sob a área de impacto sendo ambos os resultados aproximações do evento intrinsecamente não-linear. Não obstante, a fim de obter as forças de projeto, estas equações captam razoavelmente os picos máximos sendo recomendada a leitura de trabalhos como o de Sun (2007), Fontaine & Cointe (1992), Korobkin (2007) e Zhao et al. (1996) que abordam as soluções de segunda ordem para o problema de impacto bidimensional. No foco nos objetivos da presente dissertação, as equações podem ser consideradas válidas e mostraram certa correlação entre ambas. O resultado analítico proposto por Kármán, no qual foi acrescentado um coeficiente de splash-up proposto por Mei et al. (1999), foi o que melhor correlacionou os resultados experimentais. A massa total da seção medida foi: m=48,2 kg/m e onde a largura c(t) foi aproximada considerando a velocidade média de descida constante é igual a 5,0 m/s e a massa adicional, dependendo de c(t), foi calculada através da equação (2-15). Por outro lado, para resolver a equação (2-27) cuja massa adicional varia ao considerar a elevação da superfície, o comprimento da área molhada da cunha, c(t), foi calculado encontrando as raízes reais dos polinômios de 3° grau para cada instante do tempo através da equação 61 (2-28) e substituindo-os na equação (2-26). O coeficiente de splash-up, para um ângulo de quilha de 30°, é γ=1,51 conforme mostra a Figura 2.3 e uma redução de 20% da massa adicional foi aplicada na equação (2-26) para levar em consideração os efeitos tridimensionais segundo recomendado por Zhao et al. (1996). Por último, a força vertical de slamming numérica obtida para uma área molhada de 5,0 mm de profundidade foi estendida aos 200 mm da área ensaiada e duplicado seu valor ao estarmos simulando só a metade da cunha pela simetria considerada. Os resultados numéricos obtidos além de conseguirem capturar os carregamentos máximos que irão determinar o dimensionamento estrutural do painel ou do reforço estrutural, conseguem capturar razoavelmente a força exercida na área molhada após a separação do fluido da quina da cunha conforme mostra a Figura 4.30. Figura 4.30: Força Vertical de slamming atuando na superfície molhada. Por último, com o intuito de comparar os picos de pressão desenvolvidos no impacto, os resultados numéricos obtidos serão comparados com resultados obtidos por ensaios experimentais realizados por Yettou et al. (2006). Neste caso, foram colocados 12 transdutores de pressão medindo uma faixa de 0-500 psi com 19 mm de diâmetro e distribuídos ao longo de um dos lados da cunha a cada 50 mm no meio da seção transversal. Foram numerados a partir da quilha da cunha composta de compensando naval de 19 mm, reforçado e estanque conforme Figura 4.26. Yettou et al. (2006), ensaiaram cinco ângulos de quilha variando entre 15° e 35° sempre mantendo uma área superior quadrada de 1,2 m de aresta onde foram acrescentadas peças de metal de 40, 80 e 120 libras para aumentar a inércia no impacto ao soltar o corpo de diferentes alturas em um canal de 2,0 x 30,0 x 2,0 m de profundidade máxima. Nossos resultados numéricos foram comparados com os resultados experimentais para uma cunha em queda livre de 1,3 m de altura, ângulo de quilha β=25° e uma massa total de 94 kg. 62 As mesmas condições de contorno e simetria foram implementadas no Abaqus™ para simular o histórico de pressão nos vários pontos igualmente espaçados a cada 50 mm. A malha euleriana inicial apresentava elementos hexaédricos com 10 mm de aresta distribuídos homogeneamente nos comprimentos L1=L2+L3=1,2 m em uma relação de 1:3 elementos rígidos lagrangeanos. No entanto, esta malha resultou ser relativamente grosseira aos resultados experimentais optando por refiná-la à metade de seu comprimento característico em ¼ da região euleriana onde precisavam ser melhor capturados os picos de pressão hidrodinâmica. Uma relação linear da pressão e a distância de penetração entre os nós foi estabelecida através da equação (4-2). No entanto, a constante de rigidez de contato normal que apresentou pressões semelhantes foi: k/A=0,5 GPa/m. A fração de amortecimento crítico foi: c=2,5. O atrito entre o fluido e a cunha foi novamente desprezado. A velocidade de entrada considerada foi: V0=5,0 m/s. Comparando a evolução das pressões com os picos máximos dos primeiros três transdutores de pressão plotados nas Figura 4.31, podemos observar uma representação razoável do decréscimo gradativo do impacto na medida em que forças de empuxo impõem uma desaceleração na velocidade de entrada da cunha e, portanto, pressões menores serão registradas no passar do tempo. Estas primeiras três pressões são as que apresentaram os maiores valores que definirão o projeto de estruturas oceânicas. No presente caso, como estamos interessados em mostrar que o CEL consegue capturar as máximas pressões em diferentes pontos da estrutura, não entraremos em detalhes para resolver a defasagem no tempo que apresentam estas pressões ao compará-las com os picos máximos registrados experimentalmente. Não obstante, pelo comentado no subitem 4.4, percebe-se que a solução para este problema é refinar a malha euleriana e aumentar a fração de amortecimento crítico mantendo o controle do hourglass para não provocar distúrbios na superfície livre do fluido. Como estas duas modificações diminuirão o passo de tempo crítico aumentando, consequentemente, o tempo de simulação total, esta defasagem não será corrigida nem avaliada na presente dissertação deixando o problema em aberto para futuros trabalhos em que seja necessário obter os pontos temporais máximos de pressão com um maior grau de acurácia. Por outro lado, como será visto no capítulo 5 que envolve o conceito de hidroelasticidade no slamming, existe uma discussão quanto à importância destas pressões máximas que ocorrem em um intervalo de tempo muito curto como para induzir elevadas tensões ou deformações na estrutura local. Por este motivo, a nossa opção por deixar este problema em aberto, preferindo dar continuidade ao estudo das desacelerações importantes que ocorrem quando o fluido encontra uma superfície plana que impede o desenvolvimento da elevação da superfície livre na medida que o casco se adentra no fluido. 63 Figura 4.31: Histórico das pressões a cada 50 mm medidas a partir da quilha. 4.5.1. Slamming em Seções de Catamarã Wave-Piercing Nos testes realizados por Davis et al. (2007), as velocidades relativas entre o casco e a superfície da água foram obtidas usando acelerômetros e um sensor do tipo radar orientado na direção z posicionado na proa do meio e os resultados foram comparados com os coletados em escala real no INCAT de 96 m através de dois parâmetros: o adimensional da altura de lançamento e a massa relativa do modelo. O primeiro assegura que a velocidade relativa entre o casco e a água seja corretamente modelada enquanto o segundo parâmetro determina que a velocidade em que o jato da água atinge a plataforma seja próxima à coletada em escala real assegurando diminuições semelhantes da velocidade relativa a partir que o casco ingressa no fluido. O adimensional (H/L) relaciona a altura de lançamento medida desde a superfície inicialmente calma à base da plataforma de ligação do casco lateral à proa central com a boca total do modelo L cujos valores variam entre segundo dados registrados no mar em escala real e devem ser mantidos para assegurar que o número de Froude é corretamente representado nos modelos. Por outro lado, a correlação da massa é dada por com mm representando a massa do modelo, ρ a densidade do fluido e T a profundidade do modelo na direção z. Esta correlação foi ajustada através da razão entre as velocidades relativas calculadas a partir da conservação da quantidade de movimento vertical levando em consideração a massa adicional de água cujos resultados encontrados, que melhor representaram o slamming em escala real, encontraram-se entre (DAVIS, et al., 2007). Na Figura 4.32 aparecem esquematizadas a boca L, a altura H e o ponto de inércia x que se realoca no centro de gravidade da estrutura antes de começar a simulação e aonde será acrescentado o adimensional da massa. O modelo simulado está de acordo com o modelo J3 ensaiado experimentalmente por Davis et al. (2007) que apresenta um plano horizontal no topo do arco formado pelas laterais da proa central e o 64 casco lateral com uma boca L = 0,52 m e uma relação ⁄ e uma razão da massa de . Considerando estas constantes, três modelos numéricos foram simulados para uma velocidade aproximada de entrada de ~2,42 m/s calculada através de: √ , sendo H a altura do fundo do casco lateral à superfície livre ensaiada por Davis et al. (2007) 2 com g = 9,81 m/s . Foi acrescentada uma massa não estrutural de mm=0,0784 kg onde se levou em consideração o comprimento em z simulado de T = 1,0 mm. Figura 4.32: Representação esquemática do modelo bidimensional ensaiado por Davis et al. (2007). Nos modelos numéricos, foram considerados os comprimentos da malha euleriana conforme a Figura 4.1 sendo que, com o intuito de melhorar a visualização da ilustração, o comprimento, L3, que corresponde à região de elementos eulerianos vazios inicialmente, foi ocultado. Os três modelos simulados apresentam as características mostradas na Tabela 4.2. Uma malha grosseira e duas malhas refinadas foram consideradas em que a restrição ao fluido no movimento em z que caracteriza a bidimensionalidade foi desconsiderada para poder simular o comportamento tridimensional. Isto é, a profundidade da malha euleriana foi aumentada de maneira a conter o modelo J3 e permitir o escoamento do fluido na direção z. Assim, a profundidade da malha euleriana foi ampliada para 5,0 mm mantendo 1,0 mm de profundidade para o corpo lagrangeano rígido cujo movimento em z se manteve restrito nas três simulações efetuadas. Tabela 4.2: Variáveis implementadas no modelo Wave-Piercing simulado. Malha Malha Malha Unidade Variável Grosseira 2D Refinada 2D Refinada 3D L1 0,80 0,80 0,80 m L2 0,24 0,60 0,60 m L3 0,16 0,20 0,20 m 65 Lelem 10,0 1,5 1,5 mm T 1,0 1,0 5,0 mm -7 -7 -7 Δtcrit 5,9x10 4,2x10 3,5x10 s t 0,13 0,7 0,13 s Tempo CPU 1h 20min 3 h ~ 2 dias No caso das malhas refinadas, devido à simetria do modelo e com a finalidade de reduzir o esforço computacional, foi implementado um plano de simetria nos eixos ortogonais yz, com as restrições aos movimentos correspondentes, conforme mostrado na Figura 4.33. Neste caso estudado, não obstante a simetria considerada, o tempo consumido para simular o escoamento tridimensional demonstrou ser um gargalho na hora de utilizar o CEL para projetar a estrutura de ligação dos cascos de um multicasco em um computador pessoal de 4,0 GB de memória RAM instalada e processador de até 5 núcleos virtuais com 2,3 GHz. Para situações similares, onde se esperam deformações importantes da superfície livre, o uso de pacotes comerciais cujo foco seja o escoamento de fluidos (do inglês CFD, Computational Fluid Dynamics) devem ser preferidos. Figura 4.33: Fluido com escoamento tridimensional em t = 50 ms. Simetria no plano yz. A variação da aceleração, medida na plataforma de ligação, apresentou resultados dissimilares para os três casos simulados conforme mostra Figura 4.34. Certa semelhança pode ser encontrada nas acelerações medidas usando uma malha grosseira e uma malha refinada com escoamento tridimensional, no entanto, ao refinarmos a malha grosseira para uma malha refinada, mantendo o escoamento restrito nas direções x e y, contrariamente ao esperado, obtivemos um pico de pressão 10 vezes superior ao esperado que demonstrou, neste caso, a tridimensionalidade de problema de slamming. O pico de aceleração obtido, para um escoamento tridimensional, apresentou certa semelhança com os resultados teóricos e experimentais reportados por Davis et al. (2007). No entanto, algumas diferenças podem ser destacadas com relação aos testes experimentais: 66 Nos experimentos ocorre um aumento progressivo prévio à aceleração máxima que também é observado na simulação numérica onde o aumento apresenta uma elevação brusca característica do impacto. Por outro lado, as acelerações calculadas na simulação devido à entrada dos cascos laterais e à proa central, são maiores que as observadas experimentalmente acontecendo nos instantes ~1,3 ms e ~15,6 ms respectivamente; Na simulação, os instantes em que o jato atinge a plataforma e começam a se desenvolver as máximas acelerações registradas, ocorrem com uma antecedência significativa de ~27 ms recomendando-se um estudo mais aprofundado que relacione os adimensionais da massa e da altura com o modelo numérico adotado no CEL; Tanto nos testes experimentais quanto nas simulações numéricas significativas oscilações, após o pico de aceleração, são verificadas. Aqui, as forças de empuxo Figura 4.34: Aceleração medida no centro da plataforma de ligação dos cascos. O estudo preliminar do presente caso tem como premissas demonstrar que o impacto em estruturas de ligação em catamarãs apresentam mudanças radicais nas acelerações e, consequentemente, nas forças de slamming aplicadas nelas, principalmente quando são planas e com pequenos ângulos de entrada em relação à superfície livre. O CEL consegue captar as máximas acelerações impostas na estrutura ao refinar a malha euleriana e considerar o escoamento tridimensional. O pico de aceleração simulado de 135 m/s2 ocorreu em t = 67 ms cuja diferença em relação à máxima aceleração registrada pelos testes experimentais, que ocorreu em 112 ms e com uma magnitude de 148 m/s2, foi de 8,8% para a aceleração e 40,2% para o instante de tempo. Os valores de picos de aceleração em instantes bem diferentes sugerem a necessidade de outra forma de calibração do modelo numérico. 67 5. Hidroelasticidade no Slamming Contrariamente ao estudado até o momento, Faltinsen et al. (1997) focaram o estudo hidrodinâmico do impacto de ondas que impuseram as máximas tensões locais na estrutura de ligação de catamarãs sem se preocupar com os picos de pressão máxima medidos na maioria dos estudos de slamming. Os motivos sugeridos seguem abaixo: Os picos de pressões máximas, em estruturas que apresentam ângulos de quilha relativamente pequenos, aparecem concentrados no tempo e no espaço, sem serem primordiais no estudo das tensões elásticas que surgem na estrutura; Estas pressões elevadas atuam em um intervalo de tempo muito curto como para causar elevadas forças impulsivas na estrutura; As pressões registradas dependem da forma e detalhes da estrutura que, no entanto, não influenciam significativamente a resposta estrutural; Experimentalmente, a coleta de dados destas pressões sofre influência das perturbações na superfície livre e da área finita dos medidores de pressão sobre a qual é avaliada a variação da pressão. Segundo Faltinsen (2005), o comportamento físico do slamming, em pequenos ângulos de quilha, pode ser dividido em três escalas de tempo conhecidas como: fase de compressibilidade, de inércia estrutural e de vibração livre ou restauração da massa adicional que acontecem sucessivamente sendo comum focar o estudo nas duas últimas etapas que se desenvolvem em um maior tempo podendo chegar a induzir elevadas tensões na estrutura. Na etapa inercial, curta em relação à vibratória, as forças hidrodinâmicas causam elevadas acelerações em uma pequena porção estrutural cujos resultados podem servir de condição de contorno para estudar a segunda etapa onde acontecem os maiores períodos naturais “molhados” da viga ou do painel estudado, que se encontra em vibração livre. Faltinsen et al. (1997), verificaram que as máximas deformações da viga aconteceram na segunda fase onde a viga se encontrava completamente molhada. Esta abordagem do problema acoplado é diferente ao estudado até o momento ao calcular as pressões hidrodinâmicas na fase inercial e implementá-las como condição de contorno no PVC considerando que na fase de vibração livre o elemento estrutural está completamente molhado e a variação do comprimento da superfície molhada c(t) não passa a ser parte do cálculo da velocidade potencial ϕ simplificando a resolução do problema ao poder separar as variáveis dependentes do tempo e do espaço. 5.1. Formulação Matemática do Problema Hidroelástico 2D Desconsiderando os efeitos das deformações cisalhantes, cujos efeitos não se mostraram essenciais na resposta hidroelástica, a deflexão da viga é governada pela seguinte equação (KVALSVOLD, 1994): 68 ( ) (5-1) Onde m(x) é a massa estrutural por unidade de comprimento e largura da viga, EI representa a rigidez à flexão sendo E o módulo de Young e I o momento de inércia da seção transversal da viga e p a pressão hidrodinâmica que passa a ser função da deflexão da viga. Esta pressão hidrodinâmica pode ser obtida resolvendo o problema de valor de contorno (PVC) onde as soluções assintóticas do domínio interno e externo definidos no subitem 2.3 são correspondidas da maneira apresentada por Cointe (1991) com diferença na condição de contorno na superfície molhada dada por onde a velocidade efetiva agora é dada por ̇ . É importante destacar que, se a velocidade de avanço da embarcação é relativamente superior à velocidade de descida, V, então uma condição de Kutta deve ser incluída nas condições de contorno e Ve deverá incluir um termo que atente para esta velocidade de avanço. No entanto, segundo estudos realizados por Ge (2002) a influência da condição de Kutta no histórico da força de slamming em modelos flexíveis pode ser negligenciada sendo esta medida acatada na presente dissertação. Como as acelerações do corpo rígido são relativamente menores às relacionadas à equação (5-1) estas podem ser desconsideradas assim como os efeitos da força axial e da inércia rotacional, sendo comum resolver o PVC de vigas homogêneas através de um modelo modal em que a deflexão é expressa em termos dos modos normais naturais ou “secos”, ou seja, sem aplicação da pressão hidrodinâmica p(x,w,t) = 0: ∑ (5-2) com an definindo as coordenadas principais temporais e ψn a solução não trivial espacial da equação: (5-3) (0 cujas condições de contorno, para uma viga bi-apoiada: em (x=0, x 1, t>0) resulta nos seguintes autovetores e autovalores: (5-4) Como a equação característica satisfaz à condição de ortogonalidade, o lado direito da (5-1) pode ser reescrito como: ∑ (5-5) 69 onde os coeficientes pn(t) são desconhecidos e têm que ser calculados junto ao PVC em que, para os pequenos ângulos de quilha aqui tratados, a equação (2-16) pode ser aproximada apenas pelo termo linear ao desconsiderar as acelerações gravitacionais relativamente inferiores às hidrodinâmicas e os termos de segundo ordem que, para ângulos pequenos, a singularidade criada pelo PVC na fronteira da superfície de comprimento molhado, c(t), coincidirá com a solução do domínio interno (Cointe, 1991). A equação (5-1) resulta no sistema infinito de equações diferenciais ordinárias sem amortecimento para os coeficientes an(t): ̈ (5-6) Algumas abordagens para resolver o PVC-acoplado, cuja leitura é recomendada para aprofundar os estudos no assunto, podem ser citadas a seguir: Utilizando o método de separação de variáveis (KVALSVOD, et al., 1994) (FALTINSEN, et al., 1997); Através do acoplamento com o MEF (KOROBKIN, et al., 2006); Fazendo uma analogia com o fluxo supersónico (KOROBKIN, 1998); Entre eles, o estudo apresentado por Faltinsen et al. (1997) conta com testes experimentais para validar o modelo analítico proposto e que será utilizado para comparar os resultados numéricos do CEL. 5.2. Comparação com Resultados Experimentais e Numéricos Faltinsen et al. (1997) realizaram ensaios de um painel em queda livre a diferentes alturas em um tanque de 80,0; 10,5 e 10,0 m de comprimento, largura e profundidade, respectivamente. O tanque estava equipado com um sistema hidráulico de geração de ondas regulares e irregulares com uma altura máxima de 0,9 m e um período na faixa de 0,7 a 5,0 s para as ondas regulares. Dois tipos de material em painéis de 1,0 x 0,5 m foram testados sendo eles: aço HSLA com uma espessura de 8,0 mm e liga de alumínio naval cujas dimensões, representativas da rigidez à flexão de painéis típicos utilizados em escala real para as plataformas de ligação, incluindo os reforços, aparecem representadas na Figura 5.1. 70 Figura 5.1: Dimensionamento em mm do painel ensaiado por Faltinsen et al. (1997). Dos dois materiais testados, o modelo empregado neste estudo, será comparado com o painel de aço que apresenta uma massa total de 500 kg, com uma rigidez à flexão, EI = 8960 Nm2/m e um módulo de elasticidade E = 210 GPa. A instrumentação utilizada nos ensaios contou com: acelerômetros, células de pressão do tipo piezoresistivas com frequência de 500 kHz e diâmetro de 4,0 mm, transdutores de força, medidores de ondas para verificar a superfície molhada, extensômetros ou strain-gauges SG, transdutores de deslocamentos w, coletores de dados, softwares e amplificadores. As alturas de lançamento variaram de 0,2 a 2,0 m com velocidades de impacto variando entre 2,2 e 6,2 m/s respectivamente. Cinco tipos de ondas regulares, com a crista da onda normalmente impactando no centro do painel, foram testadas para cada uma das velocidades de impacto. As ondas apresentaram um raio de curvatura, R, de 1,5 m e 21,0 m. Também foi considerado o impacto em superfícies calmas onde R = ∞. É importante ressaltar que, no tempo próximo a 10,0 ms, Faltinsen et al. (1997) verificaram que as pressões medidas nos transdutores de pressão: P1 e P3, cuja localização aparece representada na Figura 5.1, apresentavam pressões próximas à pressão de vapor d’água, indicando a presença de cavitação que influenciará na resposta da estrutura. A simulação do efeito da cavitação não foi incluída na presente discussão por não existir a possibilidade de mistura de fases entre os dois fluidos: gasoso e líquido, que comporiam a malha euleriana sendo definidos por EOS conforme explicado no subitem 3.4. Nos ensaios de painéis em queda livre, as frequências naturais elásticas do painel de aço “seco” foram determinadas através de um teste de decaimento no ar resultando nos principais modos de: 125, 375 e 800 Hz. Para escolher o tipo de elemento de casca que usaremos no modelo numérico proposto, uma perturbação linear para extrair as frequências naturais e seus correspondentes modos de vibração foi levada a cabo utilizando o método Lanczos. Foram solicitados os primeiros 30 autovalores da seguinte equação do MEF sem amortecimento: 71 (5-7) sendo Mmn e Kmn, as matrizes simétricas de massa e rigidez, respectivamente. o autovetor ou modo de vibração e m, n os graus de liberdade do sistema os quais apresentam seus movimentos restritos na direção z. A viga foi considerada sendo bi- apoiada nas extremidades e uma distribuição homogênea da massa no painel foi utilizada onde a densidade teve que ser artificialmente aumentada de 7800 kg/m3 para 125000 kg/m3 de maneira a obter a massa total de 500 kg. Na Figura 5.2 são apresentadas as frequências naturais obtidas, cujos valores foram: 123, 492 e 1105 Hz que resulta em uma diferença de 1,6; 23,8 e 27,6% respectivamente em relação ao teste de decaimento no ar realizado por Faltinsen et al. (1997). No entanto, como as maiores deflexões e tensões ocorreram no tempo de escala que corresponde ao primeiro e menor modo de vibração, podem-se desconsiderar as maiores diferenças verificadas nos modos de vibração superiores validando a escolha dos elementos de casca. Figura 5.2: Principais modos de vibração da viga de aço. A metodologia proposta para comparar os resultados numéricos obtidos pelo CEL com os testes experimentais se baseia na formulação de Wagner que fora desenvolvida para pequenos ângulos de quilha e cujos pros e contras são bem conhecidos na atualidade (Korobkin, et al., 2006). No entanto, como a equação (2-20) aproxima a variação da superfície molhada pela tangente de β, devemos escolher um ângulo de quilha pequeno para comparar o coeficiente de pressão e poder escolher a relação suave entre a pressão e a distância, d, que melhor represente os picos obtidos pela equação (2-20). Na presente simulação, como estamos avaliando a seção instrumentada da Figura 5.1, presa entre os reforços transversais, não existirão as condições de simetria no plano yz aplicada em cunhas entrando na superfície livre conforme explicado no capítulo 4.1 e representado na Figura 4.1. Neste caso, o ângulo de entrada considerado corresponde à rotação em torno do eixo z, ou seja, o movimento em roll dado pelo ângulo θ. Assim, condições de não reflexão da energia de ondas que chegam à fronteira esquerda do fluido também serão consideradas. O domínio da malha euleriana apresenta 72 um comprimento: L1 = 0,8 m e uma altura: L2 + L3 = 0,8 m com 90% do domínio sendo predefinido como água com os mesmos parâmetros da EOS e propriedades físicas utilizadas até agora. O elemento euleriano foi representado, inicialmente, por um elemento hexaédrico regular com 10,0 mm de aresta sendo posteriormente reduzido a 5,0 mm, 3,0 mm e por último a 1,0 mm de aresta com controle do hourglass puramente viscoso. O painel foi modelado por 100 e 200 elementos de casca quadrilaterais, inicialmente rígidos, para definir a relação linear p vs. d, e depois, modelado com elementos de casca quadrilaterais com integração reduzida, controle do hourglass e deformações finitas de membrana que apresentou resultados satisfatórios ao comparar as menores frequências naturais de vibração com as do painel ensaiado. O ângulo e a velocidade de impacto entre o painel e a superfície livre em estado de repouso inicial para uma altura de 0,5 m de queda livre foi de 4° e 3,02 m/s respectivamente. Para estes valores, a solução por similares, proposta por Zhao & Faltinsen (1993), apresenta um coeficiente de pressão máximo de 503,03. Restringindo o movimento do painel ao do corpo rígido, a relação p vs. d que se aproximou da distribuição da pressão segundo a equação (2-20) de Wagner, apresentou um coeficiente de rigidez, k/A=50 GPa/m no comportamento normal, um comportamento tangencial sem atrito e uma fração de amortecimento crítico unitário conforme mostra a Figura 5.3. Esta condição de contato, permitiu capturar as máximas pressões verificadas ao longo do comprimento da viga através do com velocidade de descida constante para um tempo simulado de 5,0 ms prévio à separação do fluido. Figura 5.3: Distribuição da pressão na superfície molhada em t = 4,0 ms Utilizando a fração de volume euleriano, foi modelada uma onda regular com um raio de curvatura R=10,2 m cuja crista da onda coincide com o centro do painel que cai em queda livre de uma altura de 0,5 m e que corresponderia a uma velocidade de entrada de 3,85 m/s se formos utilizar a equação √ . No entanto, optamos por 73 ingressar com a velocidade de entrada medida no ensaio experimental, V=3,02 m/s. A Figura 5.4 mostra o início do slamming com a crista de onda regular impactando no centro do painel bidimensional. Figura 5.4: Impacto do painel “bidimensional” em uma onda regular com R=10,2 m a 1,0 ms do inicio do slamming. A variação da velocidade de descida, para os três comprimentos característicos dos elementos eulerianos simulados, aparecem comparadas aos resultados experimentais na Figura 5.5 onde podemos ver um comportamento similar entre as curvas apenas no início da simulação para uma malha reduzida de 3,0 mm de comprimento característico do elemento euleriano. A partir de ~3,0 ms, os resultados numéricos começam a se afastar dos resultados experimentais apresentando uma diferença máxima de 20% no t=5,0 ms no intervalo inicial de 7,5 ms em que são verificadas as deformações máximas segundo reportado por Faltinsen et al. (1997). Assim sendo, duas variáveis foram comparadas: o período de oscilação e a amplitude do evento. Várias malhas eulerianas foram simuladas onde se verificou que o período de oscilação para uma malha euleriana, cujo elemento característico com comprimento: Lelem=3,0 mm de aresta, apresentou períodos muito próximos aos registrados experimentalmente, no entanto, a amplitude máxima registrada por Faltinsen et al. (1997) que foi de ~1,5 x10-3 em 5,0 ms resultou ser metade da amplitude simulada para esse comprimento o que sugere uma redução no comprimento característico dos elementos eulerianos. 74 Figura 5.5: Comparativo das velocidades de descida dos painéis. Focando o estudo nos primeiros 10,0 ms em que as máximas deformações foram registradas, a malha euleriana foi refinada para elementos hexaédricos com comprimentos característicos de 1,0 mm. A viga foi modelada com 300 elementos de casca. O tamanho da malha euleriana foi reduzida para: L1 = 0,2 m e L2 + L3 = 0,1 m e uma simulação explícita foi levada a cabo mantendo as condições de livre escoamento, bidimensionalidade e não reflexão da energia de ondas cisalhantes e dilatacionais que chegam à fronteira euleriana. A Figura 5.6 mostra os resultados comparando-os com os resultados dos testes experimentais realizados por Faltinsen et al. (1997) e cuja correspondência é evidente nas máximas deformações registradas embora os resultados numéricos apresentem certa defasagem a partir deste ponto. Figura 5.6: Deformação no centro do painel. Comparação com ensaios experimentais. Vários pesquisadores vêm estudando o impacto em materiais sanduiches segundo introduzido no capítulo 1.3. Neste caso, serão comparados os resultados numéricos com os resultados numéricos obtidos por Das et al. (2011) e que foram 75 comparados, por sua vez, com os resultados analíticos realizados por Qin et al. (2009). No trabalho de Das et al. (2011), o impacto do fluido em estruturas sanduiches foi estudado utilizando o CEL no pacote comercial: LS-Dyna™. Seus resultados foram comparados com o modelo hidroelástico de Qin et al. (2009) baseado na teoria que incorpora o cisalhamento do núcleo enquanto as camadas de fibra foram modeladas pela teoria de Kirchhoff para placas. A teoria de Wagner foi utilizada para modelar a parte hidrodinâmica do impacto em pequenos ângulos de quilha. A seguir serão apresentadas algumas comparações com estes trabalhos realizadas no Abaqus/Explícit™ e que servem como introdução para o estudo de caso do impacto em vigas de ligação de catamarãs proposto no capítulo 6. A metodologia utilizada segue os mesmos padrões explicados até o momento. Os comprimentos da malha euleriana foram: L1 = L2 + L3 = 1,5 m sendo L3 = 0,15 m e 150 elementos EC3D8R distribuídos homogeneamente em cada lado; β = 5°; V0 = 10 m/s; condições de simetria em x e de contorno não refletor nas fronteiras direita e inferior do domínio do fluido; fator de hourglass de 100; com as mesmas constantes da EOS e densidade para a água. Enquanto o painel sanduiche de um metro de comprimento, engastado nas suas extremidades e considerado no estado plano de deformação foi modelado com 100 elementos sólidos contínuos aos que foram atribuídos uma seção compósita contendo um núcleo isotrópico com E = 2,8 GPa; µ = 0,3; ρ = 150 kg/m3 e 30 mm de espessura, com dois laminados ortotrópicos de 12 mm de espessura com E1 = 138 GPa; E2 = 8,96 GPa; µ12 = 0,3; G12 = 7,1 GPa e ρ = 31.400 kg/m3 acima do normal ao considerar a massa não estrutural do casco. Sabendo que em uma malha euleriana apenas é permitido o uso de elementos tridimensionais, foi realizada uma análise modal para os elementos sólidos contínuos com 8 nós nos vértices, integração reduzida e controle do HG default que foram utilizados para modelar o laminado ortotrópico e o núcleo isotrópico com os eixos locais mostrados na Figura 5.7. Os resultados obtidos foram comparados com as deformações modais da Figura 5.8 obtendo semelhantes configurações com as frequências naturais de: 689,09; 1511,9; 2481,0 e 3513,1 rad/s para os primeiros modos correspondendo a uma diferença relativamente pequena de aproximadamente 2,0; 1,5; 1,2 e 1,1% quando comparados com os resultados obtidos por Qin et al. (2009). 76 Figura 5.7: Tensão de von Mises no laminado em t=4,45 ms. Ortotropia nos eixos locais: 1 e 2. Figura 5.8: Primeiros quatro modos de flexão da viga compósita no EPD. Uma relação de contato linear, p vs. d, com k/A=7,0 GPa/m acoplada a uma fração de amortecimento crítico, c=0,9 e sem atrito entre o fluido e a estrutura na componente tangencial, apresentou resultados razoáveis quando comparados com os resultados numéricos propostos por Das et al. (2011) conforme mostra a Figura 5.9. Os históricos da pressão assim obtidos, também se aproximam dos resultados analíticos propostos por Qin et al. (2009) ressaltando que a redução dos picos de pressão analíticos de ~10,0 MPa e ~8,0 MPa para o valor numérico simulado de ~7,0 MPa nos pontos lagrangeanos a 0,24 m e 0,57 m medidos a partir da quilha, acontecem ao suprimir as oscilações e cujos resultados, embora se afastem dos picos de pressão analíticos, que apresentam um comportamento assintótico nestes pontos, condizem com os resultados reportados por Das et al. (2011). Além disso, esta relação linear representa adequadamente os resultados esperados se formos utilizar o coeficiente de distribuição da pressão através da equação (2-20) de Wagner cuja comparação aparece na Figura 5.10 onde certa semelhança entre ambos os resultados pode ser observada. Entretanto, os valores numéricos da pressão se encontram em um patamar inferior devido, principalmente, à desaceleração que a viga 77 esta experimentando em decorrência das forças de empuxo que não aparecem na equação (2-20) onde a velocidade é considerada constante. Por outro lado, sabendo que normalmente a hidroelasticidade implica em uma redução das pressões atuando na área molhada, talvez esta redução de pressões verificada nos resultados numéricos quando comparada à equação analítica que considera o corpo rígido, apresente alguma componente hidroelástica que esteja influenciando nos resultados obtidos, no entanto, um estudo mais aprofundado merece ser realizado para poder confirmar esta influência. Figura 5.9: Pressão na interface em três pontos ao longo do eixo x1. Figura 5.10: Distribuição da pressão considerando a hidroelasticidade no t = 4,45 ms. Observando que a viga compósita apresenta seus movimentos de translação e rotação restringidos nas laterais e que até agora nós modelamos o impacto impondo uma velocidade inicial de descida prescrita na viga, neste caso V0 = -10 m/s, foi observado que ao desconsiderar a restrição em y para que a viga pudesse descer e impactar na superfície livre do fluido, certa deformação aparecia nos pontos extremos da viga e o encastre não estava sendo bem representado pela simulação explícita. Assim sendo, foi decidido manter a viga fixa no espaço, restringindo suas laterais ao movimento de translação e rotação, e movimentar a malha euleriana com uma velocidade inicial 78 prescrita até o instante em que a superfície livre impactasse na quilha da viga onde a velocidade foi desativada e as deformações principais no EPD foram calculadas e plotadas na Figura 5.11. Estes resultados condizem com os reportados por Das et al. (2011) e Qin et al. (2009) em especial no que se refere à deflexão máxima calculada que, nos três trabalhos, acontece a uma distância de aproximadamente 0,57 m da quilha na iminência à separação do fluido da quina e com uma deflexão máxima w = 11,2 mm na presente simulação. Assim, ressaltamos a importância de observar que embora a deflexão aumente com o incremento no tempo do impacto, este aumento não ocorre monotonamente em uma direção cujo resultado está conforme com o reportado por Qin et al. (2009). Figura 5.11: Deflexões na Linha de Centro do Painel Sanduiche. 6. Estudo de Caso: Catamarã a Vela no Litoral Norte- Nordeste Realizado o estudo paramétrico inicial do CEL nos problemas de slamming, cujos resultados foram comparados com alguns testes experimentais de painéis e cunhas em queda livre, o presente capítulo, propõe comparar as máximas pressões impostas em uma viga de ligação de dois cascos que conformam um catamarã a vela com as pressões de slamming que as normas das sociedades classificadoras utilizam para avaliar este tipo de estrutura nos multicascos. 6.1. Descrição da Embarcação O catamarã objeto do presente estudo é uma embarcação projetada pelos professores do Instituto Federal do Ceará – Campus Acaraú (IFCE) para trazer maior conforto, estabilidade e segurança ao pescador artesanal. Na sua concepção, procurou-se um casco leve, esbelto e rápido que pudesse enfrentar as ondas com uma altura significativa entre 1,0 e 1,5 m nos períodos de 5,0 e 6,0 s (FISCH, 2008) e 79 principalmente, os fortes ventos do litoral cearense que normalmente atingem velocidades acima de 5,0 m/s, com um período de velocidades relativamente mais altas, de julho a dezembro e outro, mais baixo, de janeiro a junho que coincide com o período de chuva na região (SILVA, et al., 2010). O plano de linhas e as principais características da embarcação são apresentados na Figura 6.1 e na Tabela 6.1 respectivamente. Figura 6.1: Balizas, Perfil, Linhas d’água e Perspectiva do Catamarã. Tabela 6.1: Características Hidrostáticas. Loa = Comprimento Total (m) 8,2 B = Boca (m) 4,1 ∆ = Deslocamento em ρ = 1,025 ton/m3 (ton) 3,0 T = Calado Totalmente Carregado (m) 0,52 D = Pontal (m) 1,4 LWL = Comprimento na Linha d’água (m) 8,0 BWL = Boca na Linha d’água (m) 3,9 2 acg = aceleração do LCG (g = 9,81 m/s ) 1,5 n = coeficiente de navegação 1,0 kt = fator de distribuição da pressão 1,0 kc = fator de forma para catamarãs 0,3 Hc = distância da viga à Linha d’água (m) 0,67 foc = fator de desenho para Cruzeiros 1,0 L = 0,5(Loa + Lwl) 8,1 x = distância do espelho de popa à viga de proa (m) 7,6 βcg = ângulo de quilha no cg 20,3° s = área inferior da viga de proa (m2) 0,27 80 1500 Max GZ = 1189,997 mm at 15,5 deg. 1000 500 0 GZ GZ mm -500 -1000 -1500 -2000 0 40 80 120 160 Heel to Starboard deg. Figura 6.2: Curva de Estabilidade Intacta. Figura 6.3: Gráfico Polar das Velocidades O método construtivo utilizado foi o plug-forma para construção dos cascos e conveses. Algumas fotos do processo construtivo aparecem da Figura 6.4 à Figura 6.7 a seguir. Figura 6.4: Forma e Casco do Catamarã. Figura 6.5: Convés e Cascos Sendo Alinhados. Forma e Plug no Segundo Plano. 81 Figura 6.6: Viga de Proa e barra circular. Cabos de aço inox sendo montados. Figura 6.7: Catamarã em estudo com a viga de ligação de proa em destaque. 6.2. Pressões de Slamming segundo Normas das Sociedades Classificadoras. É prática normal considerar que a resistência mínima estrutural do navio-viga para embarcações com L/D < 12 e comprimento menor a 50 m é satisfeita por escantilhões dimensionados para resistir às tensões locais que se impõem aos carregamentos globais. Assim, as pressões de slamming mínimas que a estrutura deverá suportar estão geralmente associadas à aceleração do centro de gravidade acg, ao deslocamento da embarcação, ao ângulo de quilha, à distância entre a linha d’água e o fundo da estrutura de ligação e a uma área de referência, entre outros fatores como: forma do casco, área de navegação, distribuição longitudinal e segurança. As equações (6-1), (6-2) e (6-3) correspondendo às normas BV (2006), DNV (2011) e GL (2006) foram utilizadas para calcular as pressões de impacto em kPa no fundo da viga de proa de ligação dos cascos do catamarã: 82 ou (6-1) ( ) ( ) (6-2) (6-3) cujas variáveis são: a área de referência ⁄ ; o fator de distribuição longitudinal da pressão ; o fator correspondente à área do impacto , onde ; o fator de forma e ângulo de deadrise que segundo a norma não pode ser inferior a 10°; a altura mínima para prevenir o efeito do slamming ( ) onde kc=0,3 para catamarãs; o fator de área kar é igual ao fator K2 cujas primeiras constantes variam para 0,673 e 0,52 ao considerar embarcações a vela e a área de referência ; o fator de distribuição da pressão longitudinal [ ( ) √ √ ]. No gráfico polar da Figura 6.3 gerado a partir do programa de predição de velocidade desenvolvido pela International Measurement System (IMS) é implementado no Maxsurf-Span™ pode-se observar que a velocidade máxima atingida pelo catamarã é de ~9,1 nós para um vento de 20 nós em downwind. Utilizando uma velocidade máxima de dez nós e a Tabela 6.1, as pressões de impacto no fundo da viga de ligação de proa foram aproximadamente: 30,9 e 36,0 kPa para a equação (6-1); 42,3 kPa na equação (6-2) onde foi considerado o fator de forma do catamarã kc=1,0. Este fator de forma, foi substituído pela unidade já que, se for utilizado o valor proposto pela norma, não existiria redução do impacto pela altura da viga. O motivo é que esta altura é maior que o mínimo HL proposto pela norma. Além disso, foi verificado em navegações realizadas na embarcação, que o fundo da viga de ligação em questão, impacta efetivamente e com certa frequência com as ondas do mar, o que reafirma nossa opção por desconsiderar o fator de forma proposto pela norma para este catamarã. Por último, a pressão de 41,3 kPa dada pela equação (6-3) da GL (2006) que será utilizada para comparar os valores obtidos pelo CEL por ser a pressão mais conservadora encontrada junto à aproximação efetuada na equação (6-2). 6.3. Pressões de Slamming através do CEL Seguindo a metodologia explicada no parágrafo 5.2, o primeiro passo ao implementar o CEL na estrutura de ligação de cascos é procurar uma relação p vs. d que aproxime as pressões de impacto com o modelo analíticos proposto por Wagner através da equação (2-20) onde o comprimento molhado, c(t), é dado pela equação (2-15) que, 83 neste caso, apresentou um coeficiente de splash-up de 1,56 para um ângulo de inclinação β = 10°. A viga é considerada, inicialmente, rígida com uma velocidade de descida constante V = 5 m/s e altura de 100 mm, a malha euleriana é formada por elementos hexaédricos regulares de 80 mm de aresta com controle de hourglass e condições de não reflexão nas fronteiras inferior e laterais inferiores enquanto uma restrição ao movimento do fluido em x e rotação nos eixos y e z devido à presença dos cascos do catamarã é implantada nas fronteiras laterais superiores do fluido. A bidimensionalidade é implementada através da adoção de só um elemento na direção z com seus movimentos e rotações restritos. As dimensões da malha são: L1 = 3,374 m; L2 = 1,45 m e L3 = 0,55 m. Com estas propriedades implementadas no modelo dinâmico explícito, uma possível relação linear da pressão com a distância de penetração d pode ser determinada, em que uma rigidez de contato no comportamento normal de 37,0 MPa/m, complementada por uma fração de amortecimento crítico unitária, faz com que certa semelhança entre as distribuições de pressão de Wagner e a distribuição simulada no CEL aparentem a proximidade procurada, conforme observado na Figura 6.8. Figura 6.8: Distribuição da pressão na viga de ligação no t = 50 ms. Escolhida a relação: p vs. d, o seguinte passo é verificar a atuação das forças restauradoras de empuxo na viga desativando a velocidade de entrada constante para uma velocidade de entrada inicial cujos 5,0 m/s continuam sendo avaliados. Duas observações podem ser destacadas neste instante: a escolha da velocidade inicial se deve à altura da viga em relação à linha d’água da embarcação em deslocamento pleno e uma massa não estrutural deve ser adicionada às laterais da viga representando a inércia decorrente das seções dos cascos adjacentes. O primeiro parâmetro é de difícil escolha devido às características estocásticas intrínsecas do problema de impacto hidrodinâmico. No entanto, sabendo que a altura da viga à linha d’água é de 0,67 m e considerando que o dobro desta altura pode ser atingido devido às alturas significativas e o período de ondas, e as velocidades da embarcação nos ventos do litoral nordestino deduz-se, através da equação √ com g=9,81 m/s2, em que uma possível diminuição 84 pela influência do ar e o fluido pode acontecer, que é razoável considerar a velocidade inicial de entrada sendo V0 = 5,0 m/s. Por outro lado, sabendo que a embarcação desloca aproximadamente 3,0 ton no carregamento máximo, se a distribuição for homogênea, uma massa adicional de ~11,0 kg correspondente à seção de 80 mm dos cascos que representa a distância em z da viga deve ser acrescentada ao modelo numérico. Comparando os resultados obtidos da variação da velocidade de descida na Figura 6.9 e a pressão atuando na superfície molhada ou na parte inferior da viga de ligação dos cascos na Figura 6.10, verifica-se que um aumento expressivo da pressão hidrodinâmica se desenvolve à medida que forças de empuxo reduzem a velocidade de descida bruscamente em aproximadamente 40 ms. A partir deste instante, a redução da velocidade continua não obstante de maneira mais amena sem implicar nas elevadas pressões verificadas quando comparadas às calculadas pelas normas das sociedades classificadoras do parágrafo 3.1. É importante ressaltar que o histórico das pressões medidas pontualmente apresentam picos que ultrapassam as pressões relativamente baixas a partir dos 40 ms, como pode ser observado na Figura 6.11. No entanto, seus valores máximos correspondem a 25% e 50% das pressões registradas nos pontos em que a velocidade varia acentuadamente. Figura 6.9: Velocidade de Descida da Figura 6.10: Pressão na Superfície Viga. Molhada da Viga. Figura 6.11: Pressão de Contato em Pontos Longitudinais da Viga. Por outro lado, além de considerar as extremidades da viga transversal engastada aos cascos, é comum apresentarem um reforço estrutural à flexão através de cabos de 85 aço inoxidável tensionados por esticadores, como mostra a Figura 6.12, ressaltando que na presente dissertação, como estamos interessados nos modos de flexão da viga por cargas hidrodinâmicas de slamming, o estudo da influência dos carregamentos aerodinâmicos impostos por estais e brandais da mastreação nas estruturas transversais de ligação dos cascos não será aqui discutido recomendando-se a leitura de trabalhos como o realizado por Migueis (2005) para uma abordagem inicial ao assunto. Considerando os cabos extremamente tracionados e que não ocorra flambagem na barra circular vertical, estes elementos estruturais foram aproximados por reforços estruturais rígidos onde os parâmetros restantes foram mantidos. A Figura 6.13 apresenta o histórico da pressão atuando na superfície molhada da viga transversal de ligação onde se verificam: Pressões máximas que condizem com as calculadas através das normas das sociedades classificadoras no subitem 6.2; Reduções substanciais nas máximas pressões quando comparadas com as observadas na Figura 6.10; As forças de slamming decorrentes de uma desaceleração acentuada e que caracterizam o impacto desenvolvem as máximas pressões verificadas em aproximadamente 40 ms que corresponde, como era de se esperar, ao ponto de inflexão da curva de velocidade na Figura 6.14. Tensões máximas de Von Mises acontecendo na interface de contato γ12 no domínio interno do problema composto, próximo à raiz ou início da região do jato. O aparecimento de tensões relativamente inferiores nas regiões onde os cabos de aço reforçam a rigidez à flexão da viga transversal. Figura 6.12: Viga de Ligação com restrições à flexão. Hourglass nos elementos hexaédricos sólidos dentro do círculo tracejado. 86 Figura 6.13: Pressão hidrodinâmica na superfície molhada da viga. Figura 6.14: Velocidade de descida medida no meio da viga. O hourglass que aparece na Figura 6.12, dentro da área tracejada, deve ser controlado. Uma possibilidade de contornar este problema é refinar a malha lagrangeana. Entretanto, e segundo discutido no subitem 4.5.1, o escoamento tridimensional pode influenciar na resposta da estrutura ao slamming. Assim sendo, a profundida da malha euleriana, medida na direção z, foi aumentada para 120 mm de maneira a conter a viga, de profundidade igual a 80 mm, dentro da malha euleriana. As outras dimensões, em x e y foram mantidas. O elemento euleriano hexaédrico regular foi reduzido a 20 mm de aresta, ou seja, 5 elementos iguais distribuídos ao longo do eixo z. Livre escoamento e condição de não reflexão das ondas nas fronteiras da malha euleriana foi assumido a fim de modelar a tridimensionalidade do escoamento cuja representação aparece mostrada na Figura 6.15. 87 Figura 6.15: Pressão média do escoamento 3D do fluido em t = 0,14 s. A malha lagrangeana também foi refinada procurando manter o elemento lagrangeano também hexaédrico regular. Logo, 8 elementos hexaédricos lineares do tipo C3D8R na direção z e 12 elementos C3D8R distribuídos na direção y, ao longo da altura da viga, foram considerados. O material constitutivo da viga é o louro vermelho, Ocotea sp da família Lauraceae com as seguintes propriedades mecânicas: Ec0=13536 MPa, 3 Et0=12851 MPa, ρapar=680 kg/m . Figura 6.16: Tensão de von Mises em t = 0,14 s. Valores máximos na base da barra circular de aço inox. Comparando o histórico das pressões exercidas pelo escoamento do fluido na superfície inferior da viga de ligação dos cascos, podemos observar na Figura 6.17, uma semelhança entre os resultados bidimensional e tridimensional para uma malha grosseira e refinada, respectivamente. Um filtro do tipo Butterworth na frequência de corte de 900 foi aplicado aos resultados da malha grosseira para melhorar a visualização. Conforme explicado no subitem 4.4, ao refinar a malha, as máximas pressões ocorrem com certa antecedência já que o método do VOF consegue capturar melhor a base do jato desenvolvido no slamming. O fator tempo de CPU continua sendo 88 o grande gargalho que, neste caso, a simulação do escoamento tridimensional levou 2 dias e 12 horas aproximadamente. Figura 6.17: Histórico da pressão na superfície molhada da viga comparando o escoamento 2D com o 3D. Para concluir a presente dissertação e demonstrar a importância do presente estudo não poderíamos deixar de nos perguntar sobre as pressões de impacto na superfície molhada da viga para ângulos de quilha inferiores a 10°. Sabendo que a embarcação do tipo catamarã apresenta uma elevada estabilidade transversal inicial e seu braço de endireitamento aumenta rapidamente até atingir seu momento restaurador máximo em 15,5° conforme Figura 6.2, o baixo adernamento característico destas embarcações nos leva a admitir que o slamming ocorre normalmente em ângulos inferiores a 10°. Sendo assim e a título de exemplo, uma simulação bidimensional explícita foi levada a cabo mantendo-se os parâmetros utilizados onde a única modificação foi a redução do ângulo de quilha de 10° a 3° e cuja pressão de impacto aparece representada na Figura 6.18 onde podemos observar que o valor máximo calculado é superior ao dobro da máxima pressão calculada na Figura 6.17. Figura 6.18: Pressão hidrodinâmica na superfície molhada da viga inclinada em 3°. 89 7. Conclusões e Sugestões Os enormes esforços e o constante desenvolvimento dos hidrocódigos para modelar a interação fluido-estrutura governada pelas equações de Navier-Stokes continua gerando seus frutos embora o problema continue em aberto (KOTHE, 1994). O esquema euleriano para tratar o comportamento complexo e dinâmico da interface aparenta ser o caminho correto para desenvolver um método robusto e acurado que permita enfrentar os desafios que impõe o escoamento interfacial tridimensional. Dentro desta ótica, o CEL apresentou uma razoável robustez ao demonstrar que pode ser utilizado com relativa confiança ao enfrentar o problema de slamming, sua fidelidade com os resultados experimentais se mostrou adequada além de apresentar uma relativa acurácia ao refinar o tamanho da malha. Não obstante, gostaríamos de destacar algumas observações com relação ao seu uso: i. Para que o algoritmo de contato por penalidade apresente as três características remarcadas acima, torna-se de fundamental importância definir corretamente os parâmetros que influenciarão no comportamento tangencial e normal da interface de contato entre os elementos lagrangeanos e eulerianos. E o que se entende por corretamente? Qual a base para definir os parâmetros adequados? ii. A metodologia se baseia em definir o problema, restringir suas variáveis e comparar os resultados com ensaios experimentais ou equações analíticas que representem o problema em questão. Na presente dissertação, o problema do slamming foi tratado quase exclusivamente em duas dimensões devido ao vasto referencial bibliográfico do assunto e às limitações computacionais que o escoamento tridimensional impõe. Com o desenvolvimento de computadores com grandes capacidades de processamento de dados, atualmente, a implementação do CEL em corpos tridimensionais impactando em superfícies livres se encontra em franca expansão com autores como Blommaert (2009), Mitchell (2009), Tassin (2010) entre vários outros cuja leitura é recomendada para ampliar o presente estudo. iii. Ao desconsiderar inicialmente a hidroelasticidade a fim de comparar os resultados numéricos às equações analíticas formuladas para corpos rígidos permitindo focar o estudo na modelagem do fluido através de EOS, deparamo-nos com pressões de contato extremamente oscilantes ao utilizar uma penalização de contato dura, evitando a penetrabilidade, dada na equação (3-23). Esta condição impõe oscilações abruptas na distribuição de pressão medida na interface da superfície molhada do corpo com o fluido. iv. A solução para este problema foi “suavizar” a condição de impenetrabilidade entre os elementos lagrangeanos e eulerianos na interação fluido-estrutura permitindo certa penetração virtual entre os nós escravos e mestres controlada pela relação entre a pressão de contato e a distância de penetrabilidade. v. Dentre as várias relações de p vs. d testadas, a relação linear com fator de amortecimento crítico aparentou resultados promissores para os quais se recomenda 90 realizar uma análise estatística em que variáveis como: velocidade de entrada, tamanho dos elementos eulerianos, condições de contorno e ângulos de quilha sejam estudadas para propor uma equação como a (3-26) que prediga a rigidez de contato e o fator de amortecimento crítico ótimos para qualquer interação fluido-estrutura. vi. Recomenda-se incluir uma condição de Kutta ao simular o CEL em embarcações que alcancem elevadas velocidades >20 nós para comparar os resultados obtidos com os relatados por Ge (2002). vii. As pressões hidrodinâmicas verificadas para pequenos ângulos de inclinação, <10°, das estruturas de ligação dos cascos parecem apresentar valores bastante superiores aos calculados utilizando as normas das sociedades classificadoras. Não obstante, devem ser incluídas no modelo algumas variáveis que reduzirão esta pressão como a influência do ar que cria colchões que amortecem o impacto e que não foi incluída no CEL devido à característica intrínseca dos elementos EC3D8R que utiliza o método do VOF para modelar a interface entre os diferentes materiais que conformam a malha euleriana impedindo que ocorra uma mistura de fases. Assim, o ar teria uma influência significativa nos resultados devido à impossibilidade de passar para a fase líquida ou escoar para os lados transversais da viga na aproximação bidimensional do impacto preferindo, portanto, evitar sua simulação sem grandes prejuízos aos resultados finais. viii. Os testes experimentais realizados por Faltinsen et al. (1997) sugerem que as tensões máximas registradas nas estruturas de ligação para velocidades de entrada relativamente pequenas dependem do raio de curvatura da crista de onda que impacta no fundo da estrutura. Os resultados para raios menores que 10,2 m não foram conferidos na presente dissertação sugerindo um estudo futuro que compare as deformações e tensões variando com a curvatura e que é facilmente modelada através da ferramenta de fração de volume euleriano. ix. Recomenda-se ampliar o estudo dos efeitos tridimensionais do impacto em que o fluido não tivesse seu escoamento restrito no plano z. Acompanharia um estudo das condições de contorno e a influência da reflexão de energia de ondas nas fronteiras conforme sugerido no subitem 4.1. Ampliar os estudos da influência dos cascos laterais na distribuição da pressão que, segundo Wu (2006), induzem um aumento nos valores calculados e estudar o escoamento do fluido pelo impacto de seções do catamarã wave-piercing também é recomendado. x. Sugere-se realizar uma análise de fadiga dos materiais que compõem normalmente as estruturas de ligação de cascos como aço, alumínio e materiais compósitos, principalmente: reforços em fibras de vidro, núcleo em espuma de PVC e matriz polimérica de epóxi conformando as estruturas típicas de sanduiche utilizadas nas plataformas de ligação de cascos. 91 8. Referência Bibliográfica Aarsnes, J. V. 1996. Drop test with ship sections – effect of roll angle. Norwegian Marine Technology Research Institute. Report 603834.00.01., 1996. Aarsnes, J. V. e Hoff, J. R. 1998. Full scale test with Ulstein test vessel. Trondheim, Norway. : Marintek, 1998. p. l. Abaqus 6.11. 2011. Online Documentation. s.l. : Dassault Systèmes, 2011. 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