Księgozbiór matemagiczny, tom 61

Casimir Allard

Kombinatoryczna teoria węzłów

Wydanie drugie poprawione Prof. Casimir Allard Université Bordeaux I 351 Cours de la Libération 33400 Talence, Francja

Kategorie MSC 2010 57M25, 57Q45

Tytuł oryginału La théorie combinatoire des næuds

Z francuskiego tłumaczyła Julia Mróz

Projekt okładki Wulfgang Kot

Redaktor Radosław Jagoda

Redaktor techniczny Klara Chmiel

Korektorzy Jerzy Maślanka, Zuzanna Szpinak

Copyle t by Antykwariat Czarnoksięski, Gorzów Wielkopolski 2020. Książka, a także każda jej część, mogą być przedrukowywane oraz w jakikolwiek inny sposób reprodukowane czy powielane mechanicznie, fotooptycznie, zapisywane elektronicznie lub magnetycznie, oraz odczytywane w środkach publicznego przekazu bez pisemnej zgody wydawcy.

Przygotowano w systemie TEX, wydrukowano na siarczystym papierze. Przedmowa

Książka wprowadza we współczesną teorię węzłów, najważniejsze metody i obszary tej wciąż niedocenianej, choć żywo rozwijającej się dyscypliny matematycznej. Tor wykładu wzorowany jest na seminarium z teorii węzłów jakie odbyło się na Wydziale Matematyki Uniwersytetu Wrocławskiego w semestrze zimowym 2013/2014 i dlatego podręcznik nadaje się szczególnie do pierwszego czytania dla studentów wyższych lat studiów matematycznych, natomiast dla młodych pracowników naukowych może okazać się pożytecznym źródłem odsyłaczy do prac, które zainspirują do dalszych badań. Zwięźle i na tyle, na ile było to możliwe opisuję rozmaite narzędzia stosowane do badania węzłów, splotów, supłów i innych: klasyczne niezmienniki numeryczne i ruchy Reidemeistera, niezmienniki kolorujące i spokrewnione z nimi kwandle, potem diagramatyczny wielomian Jonesa, homologiczny wielomian Alexandera oraz dość świeże niezmienniki typu skończonego. Ze względu na niepełne zrozumienie maszynerii topologi algebraicznej, rozdział czwarty został napisany trochę niechlujnie, jednakże żywię nadzieję poprawić się w następnym wydaniu trzymanej przez Ciebie książki. W ostatnim, piątym rozdziale przedstawiam krótko charakterystyczne rodziny: warkocze, dwumostowe sploty, mutanty, precle, sploty torusowe, satelitarne i hiperboliczne, wreszcie węzły plastrowe i taśmowe, obiekt zainteresowań czterowymiarowej topologii. Dołączam również tablice węzłów pierwszych o małej liczbie skrzyżowań. Z takim zakresem i ujęciem materiału pozycja jest unikalna nie tylko we francuskiej, ale i w światowej literaturze matematycznej. Serdecznie dziękuję Ś. G. oraz J. Ś. bez których ten tekst nigdy by nie powstał.

Casimir Allard, Marsylia 2020 6

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f Spis treści

1 Preludium 9 1.1 Węzły i sploty ...... 9 1.2 Diagramy. Ruchy Reidemeistera ...... 12 1.2.1 Historia tablic węzłów ...... 16 1.2.2 Hipotezy Taita ...... 17 1.2.3 Metody kodowania ...... 18 1.3 Operacje na węzłach ...... 19 1.3.1 Lustro i rewers ...... 19 1.3.2 Węzły okresowe ...... 21 1.3.3 Suma niespójna i suma spójna ...... 22 1.4 Węzły pierwsze ...... 23 1.5 Niezmienniki liczbowe ...... 24 1.5.1 Indeks skrzyżowaniowy ...... 25 1.5.2 Liczba gordyjska ...... 25 1.5.3 Liczba mostowa ...... 28 1.5.4 Indeks zaczepienia ...... 28 1.5.5 Spin ...... 29 1.5.6 Liczba patykowa ...... 30 1.5.7 Długość sznurowa ...... 30

2 Niezmienniki kolorowe 33 2.1 Kolorowanie splotów ...... 33 2.2 Macierz i wyznacznik ...... 37 2.3 Grupa ...... 39 2.4 Kwandle i wraki ...... 41

3 Niezmienniki wielomianowe 45 3.1 Wielomian Alexandera ...... 45 3.2 Wielomian Jonesa ...... 50 3.2.1 Definicja kombinatoryczna – klamra Kaufmana ...... 50 3.2.2 Definicja algebraiczna – algebra Temperleya-Lieba ...... 56 3.2.3 Hipotezy Taita ...... 57 3.3 Wielomian HOMFLY ...... 61 3.4 Wielomian BLM/Ho ...... 64 3.5 Wielomian Kaufmana ...... 65 8 Spis treści

3.6 Niezmienniki Wasiljewa ...... 66

4 Topologia algebraiczna 71 4.1 Grupa splotu ...... 71 4.1.1 Prezentacja Wirtingera ...... 73 4.1.2 Pochodna Foxa ...... 75 4.2 Macierz Seiferta ...... 75 4.2.1 Powierzchnia Seiferta ...... 75 4.2.2 Węzły rozwłóknione ...... 76 4.2.3 Genus ...... 77 4.2.4 Macierz Seiferta ...... 82 4.2.5 Sygnatura ...... 84 4.3 Niezmiennik Cahita Arfa ...... 87 4.4 Homologie ...... 88

5 Wybrane rodziny węzłów 89 5.1 Warkocze ...... 89 5.1.1 Liczba warkoczowa ...... 93 5.2 Supły ...... 93 5.2.1 Sploty o dwóch mostach ...... 96 5.2.2 Mutanty i mutacje ...... 98 5.3 Precle ...... 100 5.4 Węzły Lissajous ...... 103 5.5 Węzły torusowe ...... 106 5.6 Węzły satelitarne ...... 110 5.7 Węzły hiperboliczne ...... 112 5.8 Węzły plastrowe i taśmowe ...... 117 5.8.1 Zgodność ...... 118 5.8.2 Węzły taśmowe ...... 119 5.8.3 Węzły algebraicznie plastrowe ...... 119 5.8.4 Węzły skręcone ...... 120

A Tablice węzłów pierwszych 121 A.1 Wartości niezmienników ...... 121 A.2 Diagramy węzłów pierwszych ...... 127

B Tablice węzłów wirtualnych 139 B.1 Diagramy węzłów wirtualnych ...... 139

C Notacja, użyte symbole 145

D Słownik angielsko-polski 147

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f Rozdział 1

Preludium

Teoria węzłów to gałąź topologii, która powstała z inspiracji węzłami, jakie pojawiają się w codziennym życiu: przy wiązaniu butów albo cumowaniu statków. Zajmuje się ona badaniem przede wszystkim węzłów, czyli pewnych włożeń okręgu S1 w trójwymiarową przestrzeń 3 3 euklidesową R lub sferę S , ale także splotów (zaplątanych w sobie węzłów), warkoczy, supłów oraz podobnych obiektów. Matematyczne węzły różnią się tym od zwykłych, że ich końce są ze sobą połączone. Oto kilka przykładów. Węzeł (a) nazywamy niewęzłem, jest to kalka angielskiego unknot. Następne w kolejce widoczne są trójlistnik (b, trefoil), ósemka (c, figure-eight), pięciolistnik (d, cinquefoil) oraz słynna para Perko (e, f wg oryginalnej numeracji Rolfsena). Pod diagramami umieściliśmy notację Alexandera-Briggsa, jeszcze do niej wrócimy.

(a) (b) 31 (c) 41 (d) 51 (e) 10161 (f) 10162

Początkowo celem teorii węzłów była klasyfikacja wszystkich węzłów. Od XIX wieku, kiedy teoria węzłów wyodrębniła się jako osobny dział matematyki, zdążyliśmy skatalogować ponad sześć miliardów tych obiektów. Pozornie tak samo wyglądające węzły mogą się od siebie różnić. Do wykrywania tych subtelnych różnic używa się przede wszystkim niezmienników topologicznych takich jak grupy, wielomiany bądź liczby. Poznamy je w dalszych rozdziałach. Matematycy uogólnili pojęcie węzła: można rozpatrywać je w wyższych wymiarach albo zastąpić okrąg inną przestrzenią topologiczną. Będziemy starać się unikać tych uogólnień. 1.1 Węzły i sploty Największą różnicą między węzłami matematycznymi oraz tymi z prawdziwego jest życia jest to, że te pierwsze nie mają luźnych końców. Można przyjąć nieidealną, naiwną definicję: 1 3 Definicja 1.1.1 (węzeł). Ciągłe oraz różnowartościowe odwzorowanie S → R nazywamy węzłem. Niestety, dopuszcza ona patologiczne z kombinatorycznego punktu widzenia węzły dzikie, jak ten z rysunku ??: 10 Rozdział 1. Preludium

Rysunek 1.2: Węzeł dziki

Zastanówmy się, jakim formalizmem opisać manipulowanie fizycznym sznurkiem, by wykluczyć węzły dzikie z naszych rozważań. Nie można użyć izotopii (dwa węzły są izotopijne, 1 3 jeśli istnieje ciągła funkcja F : S ×[0, 1] → R taka, że F (−, 0) jest pierwszym, zaś F (−, 1) drugim węzłem), gdyż każdy węzeł jest izotopijny z punktem: W podobny sposób moglibyśmy przekształcić dowolny węzeł w niewęzeł. Teoria, w której wszystkie obiekty są takie same, nie jest zbyt ciekawa. Zwykła izotopia nie oddaje dobrze tego, czym jest równoważność węzłów wykonanych z prawdziwego sznurka. Trzeba od niej wymagać dodatkowo, by była gładka albo lokalnie płaska. Z twierdzenia o rozszerzaniu izotopii wynika, że można ją wtedy podnieść do izotopii otaczającej. Ta ostatnia uwzględnia, jak węzeł leży w przestrzeni i okazuje się być właściwym pojęciem równości dla teorii węzłów:

Definicja 1.1.2 (izotopia otaczająca). Niech N,M będą rozmaitościami, zaś K1,K2 : N → M włożeniami. Ciągłe odwzorowanie F : M × [0, 1] → M spełniające następujące warunki: 1. funkcja F (−, 0) jest odwzorowaniem tożsamościowym,

2. każda z funkcji F (−, t) jest homeomorfizmem,

3. złożenie F (−, 1) z pierwszym włożeniem K1 daje drugie włożenie K2 nazywamy izotopią otaczającą przenoszącą K1 na K2. W topologii rozważa się włożenia dowolnych rozmaitości, nam wystarczy jeden szczególny 1 3 3 przypadek N = S oraz M = R . Intuicyjnie, funkcja F zniekształca przestrzeń R tak, że w chwili początkowej t = 0 widzimy pierwszy, zaś w chwili końcowej t = 1 drugi węzeł. Izotopia otaczająca nie pozwala na ściąganie zaplątanych fragmentów do punktu.

1 3 Definicja 1.1.3 (węzeł). Gładkie włożenie S → R otaczająco izotopijne z zamkniętą łamaną bez samoprzecięć nazywamy węzłem poskromionym. Dwa węzły są równoważne, jeśli istnieje pomiędzy nimi izotopia otaczająca. Przez prawie całą książkę interesować nas będą jedynie węzły poskromione, czyli takie które nie są dzikie, dlatego jeśli nie zaznaczono inaczej, od teraz pisząc węzeł mamy na myśli węzeł poskromiony. Istnieje jeszcze jedna, konkurencyjna definicja węzłów równoważnych: Fakt 1.1.4. Dwa węzły są równoważne, gdy jeden z nich jest obrazem drugiego przez zachowujący 3 3 orientację homeomorfizm R → R . m m Stwierdzenie to przestaje być prawdziwe po zastąpieniu przestrzeni R przez S .

Dowód. Podany niżej dowód pochodzi z książki „Topology from the diferentiable viewpoint” m m Johna Milnora. Musimy pokazać, że dyfeomorfizm f : R → R jest gładko izotopijny z identycznością. Translacje są izotopiami, więc bez straty ogólności zakładamy, że f(0) = 0. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 1.1. Węzły i sploty 11

Pochodna f w zerze jest dana wzorem df0(x) = limt→0 f(tx)/t, naturalną definicję izotopii m m F : R × [0, 1] → R stanowi więc ( df (x) t = 0 F (x, t) = 0 . f(tx)/t 0 < t ≤ 1

Funkcja F jest gładka, gdyż na mocy lematu Hadamarda funkcja f zapisuje się jako suma x1g1(x) + ... + xmgm(x), gdzie funkcje gi są gładkie, co jakoś kończy dowód.

Formalnie węzły to pewne odwzorowania, więc prawidłowym sposobem na zapisanie, że są izotopijne (czyli dla nas: równe), jest K1 ' K2. Ponieważ nie prowadzi to do problemów, będziemy jednak stosować zapis K1 = K2. Jednocześnie często węzeł (jako odwzorowanie) nie będzie odróżniany od obrazu tego odwzorowania.

Definicja 1.1.5 (splot, ogniwo). Sumę parami rozłącznych węzłów K1,K2,...,Kn nazywamy splotem. Składniki sumy nazywamy ogniwami. Przez analogię do węzłów mówimy, że dwa sploty są takie same, jeśli jeden jest obrazem 3 3 drugiego przez zachowujący orientację homeomorfizm R → R . W takiej sytuacji obydwa sploty mają tyle samo ogniw. Przykład 1.1.6. Splot Hopfa to najprostszy splot nietrywialny, którym w 1931 r. zajmował się Heinz Hopf, topolog niemiecki, w ramach badań nad tzw. rozwłóknieniem (Hopf fibration). Przykład 1.1.7. Whitehead w 1934 odkrył kontrprzykład do nieudanego dowodu hipotezy Poincarego. Był nim splot o dwóch składowych przedstawiony na poniższym rysunku.

(a) splot Hopfa (b) splot Whiteheada

Jeśli dwa węzły są równoważne, to ich dopełnienia są oczywiście homeomorficzne. Pytanie o prawdziwość implikacji odwrotnej jako pierwszy zadał najprawdopodobniej w 1908 roku Tietze („Über die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten”). W roku 1987 pokazano, że istnieją co najwyżej dwa węzły o zadanym dopełnieniu ([50]). Dwa lata później poznaliśmy pozytywną odpowiedź na pytanie Tietzego: każdy węzeł jest wyznaczony jednoznacznie przez swoje dopełnienie. Twierdzenie 1 (Gordon, Luecke, 1989). Poskromione węzły o homeomorficznych (z zachowaniem orientacji) dopełnieniach są wzajemnie izotopijne.

Niedowód. Wynika to z ogólniejszego stwierdzenia: nietrywialna chirurgia Dehna na węźle w 3-sferze nigdy nie daje 3-sfery. Pełny dowód zawiera praca [92].

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 12 Rozdział 1. Preludium

Twierdzenie to zamienia problem lokalny (czy dwa węzły w kuli S3 są równoważne?) w problem globalny (czy dwie przestrzenie topologiczne są homeomorficzne?). Whitehead w pracy [248] z 1937 roku podał nieskończenie wiele splotów, których dopełnienia wyglądają jak dopełnienia splotu Whiteheada. Odpowiednik twierdzenia 1 dla splotów jest więc fałszywy. Poniższa definicja nie jest nam jeszcze potrzebna, ale wygodnie przytoczyć ją już teraz. 3 Definicja 1.1.8 (rozszczepialność). Jeżeli splot L można zanurzyć w przestrzeni R tak, że niektóre jego ogniwa będą leżeć nad pewną rozłączną ze splotem płaszczyzną, zaś pozostałe pod nią, to powiemy, że splot L jest rozszczepialny. Liczbę nierozszczepialnych splotów, pierwszych lub złożonych, zebrano w tabeli. Źródło: baza danych OEIS, ciąg A086825.

skrzyżowania 0 1 2 3 4 5 6 7 8 sploty 1 0 1 1 3 4 15 24 82

1.2 Diagramy. Ruchy Reidemeistera 3 Chociaż w świetle definicji 1.1.3 węzły są pewnymi regularnymi podzbiorami przestrzeni R , z kombinatorycznego punktu widzenia wygodniej jest rysować je na płaszczyźnie. Definicja 1.2.1 (orientacja). Węzeł, w którym wybrano kierunek, w którym należy się po nim poruszać, nazywamy zorientowanym. Splot nazywamy zorientowanym, jeśli wszystkie jego ogniwa traktowane jako węzły są zorientowane.

3 Definicja 1.2.2. Rzut węzła K ⊆ R na płaszczyznę nazywamy cieniem. Definicja 1.2.3 (skrzyżowanie). Podwójny punkt w cieniu nazywamy skrzyżowaniem. Definicja 1.2.4 (diagram). Cień razem z informacją o tym, jak przebiegają skrzyżowania i pozbawiony katastrof: potrójnych przecięć, stycznych czy dziobów nazywamy diagramem. Orientację na diagramie zaznaczamy małą strzałką wskazującą kierunek poruszania się. Definicja 1.2.5 (włókno). Fragment diagramu, który biegnie między dwoma kolejnymi tunelami, czyli podskrzyżowaniami, nazywamy włóknem. Definicja 1.2.6 (nić). Fragment diagramu, który biegnie między dwoma kolejnymi skrzyżowaniami, nazywamy nicią. Nici powstają z włókien przez rozcięcie ich przy każdym nadskrzyżowaniu. Fakt 1.2.7. Niech L będzie splotem. Jego diagramy tworzą otwarty i gęsty podzbiór wszystkich rzutów. Kawauchi [120, s. 7] wspomina w tym miejscu podręcznik Crowella, Foxa [49, s. 7].

Dowód. Rzut splotu na równoległe płaszczyzny jest taki sam, a te można sparametryzować prostymi przechodzącymi przez początek układu współrzędnych, które tworzą przestrzeń 2 rzutową RP . Niech S będzie zbiorem prostych, które dają złe rzuty. Wystarczy pokazać jego nigdziegęstość. Okazuje się, że S jest też jednowymiarowy.

Wniosek 1.2.8. Każdy splot posiada diagram. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 1.2. Diagramy. Ruchy Reidemeistera 13

Wynika stąd, że każdy węzeł ma wiele diagramów. Mając dane dwa różne diagramy chcielibyśmy wiedzieć, czy reprezentują ten sam węzeł. Na szczęście Reidemeister w latach 20. XX wieku podał proste kryterium rozstrzygające ten problem. Najpierw zdefiniujmy trzy lokalne operacje na diagramach. Definicja 1.2.9 (ruchy Reidemeistera). Trzy gatunki lokalnych deformacji diagramu splotu:

=∼ =∼ =∼

| {z } | {z } | {z } R1 R2 R3

skręcenie lub rozkręcenie (R1), wsunięcie lub rozsunięcie (R2) lub przesunięcie łuku przez skrzyżowanie (R3) nazywamy ruchami Reidemeistera.

Ruch Ri operuje więc na i łukach diagramu. Reidemeister w swojej pierwszej pracy przyjął inną kolejność, jego drugi ruch jest naszym pierwszym.

Twierdzenie2(Reidemeister,1927). NiechD1,D2 będądiagramamidwóchsplotówL1,L2.Sploty L1,L2 są takie same wtedy i tylko wtedy, gdy diagram D2 można otrzymać z D1 wykonując skończony ciąg ruchów Reidemeistera oraz gładkich deformacji łuków, bez zmiany biegu skrzyżowań. Dowód podali niezależnie Reidemeister [201] oraz Alexander, Briggs [8]. Twierdzenie Reidemeistera jest prawdziwe także dla splotów zorientowanych, wtedy jednak w każdym ruchu trzeba uwzględnić wszystkie możliwe orientacje łuków.

Dowód. Szkielet dowodu można znaleźć w książce Burdego i Zieschanga. Kluczowe pomysły zawiera „Knots, links, braids and 3-manifolds” Prasołowa i Sosińskiego. Innym przystępnym źródłem jest podręcznik [181] Murasugiego „Knot theory and its applications”.

Wymaga przeredagowania 1.2.10. Trace (1983) showed that two knot diagrams for the same knot are related by using only type II and III moves if and only if they have the same writhe and winding number. Trace, Bruce (1983), "On the Reidemeister moves of a classical knot", Proceedings of the American Mathematical Society, 89 (4): 722–724, doi:10.2307/2044613, MR 0719004 Wspomnieć o węzłach obramowanych (framed knots), które są równoważne przy użyciu II, III i podwójnego I ruchu Reidemeistera. Wymagaprzeredagowania1.2.11. Furthermore,combinedworkofÖstlund(2001),Manturov(2004), and Hagge (2006) shows that for every knot type there are a pair of knot diagrams so that every sequence of Reidemeister moves taking one to the other must use all three types of moves. Östlund, Olof-Petter (2001), "Invariants of knot diagrams and relations among Reidemeister moves", J. Knot eory Ramifications, 10 (8): 1215–1227, arXiv:math/0005108, doi:10.1142/S0218216501001402, MR 1871226 Manturov, Vassily Olegovich (2004), Knot theory, Boca Raton, FL: Chapman et Hall/CRC, doi:10.1201/9780203402849, ISBN 0-415-31001-6, MR 2068425 Hagge, Tobias (2006), "Every Reidemeister move is needed for each knot type", Proc. Amer. Math. Soc., 134 (1): 295–301, doi:10.1090/S0002-9939-05-07935-9, MR 2170571 Wymaga przeredagowania 1.2.12. Alexander Coward demonstrated that for link diagrams represen- ting equivalent links, there is a sequenceof moves ordered by type: first type I moves, then type II moves,type

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 14 Rozdział 1. Preludium

III, and then type II. e moves before the type III moves increase crossing number while those a ter decre- asecrossingnumber.Coward,Alexander;Lackenby,Marc(2014),"AnupperboundonReidemeistermoves", American Journal of Mathematics, 136 (4): 1023–1066, arXiv:1104.1882, doi:10.1353/ajm.2014.0027, MR 3245186?

W praktyce twierdzenia 2 nie stosuje się bezpośrednio do diagramów splotów. Mając dane dwa spójne diagramy tego samego splotu trudno znaleźć jest ciąg ruchów przekształcający jeden z nich w drugi. Załóżmy, że widać na nich odpowiednio n1, n2 skrzyżowań. Jak piszą Coward, Lackenby w [45], istnieje funkcja f : N×N → N taka, że między dwoma diagramami można przejść wykonując co najwyżej f(n1, n2) ruchów. Wynika to z oczywistego faktu, że istnieje skończenie wiele spójnych diagramów o danej liczbie skrzyżowań oraz twierdzenia Reidemeistera. Okazuje się jednak, że od funkcji f można żądać, by była obliczalna i faktycznie, główny wynik [45] orzeka, że

2n1+n2 2... f(n1, n2) = 2 (1.1) jest taką funkcją. Piętrowa potęga liczy sobie aż 101000000(n1+n2) warstw, ale przynajmniej jest jawnie zdefiniowana. Natomiast jeżeli n2 = 0, czyli drugi diagram przedstawia niewęzeł, 11 wystarcza (236n1) ruchów, to świeższy wynik samego Lackenby’a [141].

Wymaga przeredagowania 1.2.13. Przedstawić rozumowanie (piramidka z węzłami), dlaczego to nie jest takie oczywiste.

Zamiast tego definiuje się niezmienniki, czyli funkcje ze zbioru wszystkich diagramów, które nie zmieniają swojej wartości podczas wykonywania ruchów Reidemeistera. Kiedy pewien niezmiennik przyjmuje różne wartości na dwóch diagramach, te przedstawiają dwa istotnie różne sploty. Gdy wartości są te same, nie dostajemy żadnej informacji. Sploty mogą być równoważne albo nie. Niezmienniki będą nam stale towarzyszyć w wędrówce po krainie węzłów. W 1961 roku W. Haken [97] podał niezawodny przepis na wykrycie diagramu niewęzła, częściowo rozwiązując jeden z ważniejszych problemów teorii węzłów. Przez wiele lat nikt nie podjął się implementacji tego algorytmu, udało się to niedawno Burtonowi, Budneyowi oraz Petterssonowi w komputerowym programie Regina1 na przełomie tysiącleci. Burton, Rubinstein i Tillman pokazali w pracy [28], jak sprawdzać, czy powierzchnia normalna na striangulowanej 3-rozmaitości jest (nie)ściśliwa w czasie wykładniczym. To okazało się być wystarczającym do udzielenia negatywnej odpowiedzi na pytanie urstona: „czy przestrzeń Seiferta-Webera jest rozmaitością Hakena?”, a zatem wykraczającego poza poziom tej pracy. SnapPea2 to inny popularny wśród niskowymiarowych topologów program pozwalający badać hiperboliczne 3-rozmaitości, patrz sekcja 5.7.

Wymaga przeredagowania 1.2.14. Dowiązać tutaj wszystkie wykrywacze niewęzła opisane w książ- ce.

Przykładami trudnych w rozpoznaniu niewęzłów są: niewęzeł Goritza, Freedmana. Więcej trudnych niewęzłów zawiera praca [194] autorstwa C. Petronio oraz A. Zanellatiego.

1Dostępny pod adresem https://regina-normal.github.io/. 2Dostępny pod adresem http://geometrygames.org/SnapPea/index.html. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 1.2. Diagramy. Ruchy Reidemeistera 15

(a) normalny (b) Goritza (c) Freedmana

Zanim opowiemy, jak dotąd przebiegała klasyfikacja węzłów o małej liczbie skrzyżowań, zdefiniujemy klasę splotów ze specjalnymi diagramami. Definicja 1.2.15 (alternacja). Diagram splotu, gdzie podczas poruszania się wzdłuż każdego ogniwa nad- oraz podskrzyżowania mijane są naprzemiennie, nazywamy alternującym. Splot jest alternujący, jeśli posiada alternujący diagram. Około 1961 roku Fox zapytał „What is an alternating knot?”. Szukano takiej definicji węzła alternującego, która nie odnosi się bezpośrednio do diagramów, aż w 2015 roku Joshua Greene podał geometryczną charakteryzację: nierozdzielczy splot w S3 jest alternujący wtedy i tylko wtedy, gdy ogranicza dodatnią oraz ujemną określoną powierzchnię rozpinającą [95]. Sundberg oraz istlethwaite pokazali w 1998 roku, że liczba splotów alternujących rośnie wykładniczo ([229]):

Fakt 1.2.16. Niech an oznacza liczbę pierwszych, alternujących supłów o n skrzyżowaniach. Wtedy

√ −5/2 n−3/2 an ∼ (3c1/4 π)n λ , (1.2)

gdzie zarówno c1, pierwszy współczynnik rozwinięcia Taylora funkcji Φ(η) zdefiniowanej w [229], jak i λ są jawnie znanymi stałymi: s √ 57 · (21001 + 371 21001)3 c1 = √ (1.3) 2 · 310 · (17 + 3 21001)5 1 √ λ = (101 + 21001) (1.4) 40

n Niech An oznacza liczbę pierwszych, alternujących splotów o n skrzyżowaniach. Wtedy An ≈ λ , dokładniej: jeśli n ≥ 3, to an−1 an − 1 ≤ A ≤ . (1.5) 16n − 24 2 Czasami będziemy używać słów przed ich zdefiniowaniem, tak jak uczyniliśmy tutaj: węzły pierwsze i supły pojawiają się odpowiednio w definicjach 1.4.1, 5.2.1. Książkę trzeba więc przeczytać co najmniej dwa razy.

Fakt 1.2.17. Niech an oznacza liczbę pierwszych, alternujących supłów o n skrzyżowaniach. Wtedy P n funkcja tworząca f(z) = n anz spełnia równanie

2z2 f(1 + z) − f(z)2 − (1 + f(z))q(f(z)) − z − = 0, (1.6) 1 − z

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 16 Rozdział 1. Preludium gdzie q(z) jest pomocniczą funkcją

2 p 2z − 10z − 1 + (1 − 4z)3 2 q(z) = − − z + 2. (1.7) 2(z + 2)3 1 + z

Powyższa ciekawostka także pochodzi z cytowanej wcześniej pracy [229]. 1.2.1 Historia tablic węzłów Pierwszą osobą, która podjęła się szukania węzłów, był Peter Guthrie Tait, szkocki fizyk. Razem z omsonem (lordem Kelvinem) wierzyli, że węzły są kluczem do zrozumienia widma spektroskopowego różnych pierwiastków: na przykład atom sodu mógł być splotem Hopfa ze względu na dwie linie emisyjne. Eksperyment Michelsona-Morleya z 1887 roku zabił ich „wirową teorię atomu”, ale nie miało to znaczenia dla teorii węzłów jako działu matematyki. Używana po dziś dzień strategia, którą przyjął Tait, jest stosunkowa prosta: narysować wszysktie możliwe diagramy o zadanym indeksie skrzyżowaniowym, po czym połączyć ze sobą te, które przedstawiają jeden węzeł. Na potrzeby pierwszego etapu Tait wymyślił schemat kodowania diagramów. Wiele lat wcześniej, Gauss wraz ze swoim uczniem Listingiem badał węzły i opracował (niezależnie!) podobną notację. My przytoczymy opis dalszego ulepszenia tej metody, zwanego notacją Dowkera-istletwaite’a. Tait wykorzystując swoją notację podał w 1876 pierwszą tablicę piętnastu węzłów o mniej niż ośmiu skrzyżowaniach. Nie należy traktować tego jako skromny wynik: nie miał on do dyspozycji żadnych twierdzeń topologicznych do odróżniania węzłów. Onieśmielony przez liczbę możliwych ciągów dla kolejnych indeksów skrzyżowaniowych, powstrzymał się przed rozszerzaniem swojej tablicy. To właśnie grupowanie diagramów przedstawiających ten sam węzeł, a nie samo szukanie wszystkich możliwych diagramów, sprawia trudność. Aby sobie pomóc, Tait znalazł lokalną modyfikację diagramu, która nie zmienia indeksu skrzyżowaniowego, znaną obecnie jako flype. Flype to stary szkocki czasownik oznaczający

„wykręcać na drugą stronę”. ∼ T T =flype

Inną taktykę szukania węzłów przyjał wielebny omas Kirkman: zaczynał od małego zbioru "nieredukowalnych" rzutów, do których systematycznie dokładał skrzyżowania. Tait przeczytał pracę Kirkmana, po czym w latach 1884/1885 opracował listę węzłów alternujących o mniej niż 11 skrzyżowaniach. Tuż przed oddaniem jej do druku odkrył inny spis węzłów stworzony przez amerykańskiego naukowca Charlesa Little’a. Znalazł wtedy jeden duplikat u siebie, natomiast u Little’a jeden duplikat i jedno pominięcie. Zachęcony przez Taita, Little zabrał się za alternujące węzły o 11 skrzyżowaniach i za trudniejsze zadanie, stablicowanie węzłów niealternujących, czyli takich, które nie posiadają alternującego diagramu. Jak wynika z pierwszej pracy Taita, początkowo nie wierzono, że takie w ogóle istnieją. Dowód znaleziono wiele lat później, niealternujące są 819, 820, 821, ale nie pierwsze węzły o mniejszej liczbie skrzyżowań. Patrz twierdzenie 2.2.12. Little pracował przez sześć lat (1893 – 1899) i znalazł 43 niealternujące węzły o 10 skrzyżowaniach. Żadnego nie pominął, ale trafił mu się jeden duplikat. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 1.2. Diagramy. Ruchy Reidemeistera 17

W kolejnych dziesięcioleciach nie nastąpił znaczący postęp, zarówno w rozszerzaniu tablic jak i sprawdzaniu tych już istniejących. Haseman w 1918 roku znalazła achiralne węzły o 12 i 14 skrzyżowaniach [99]. W 1927 roku Alexander z Briggsem przy użyciu pierwszej grupy homologii rozgałęzionego nakrycia cyklicznego (!) potrafili odróżnić od siebie dowolne dwa węzły (z pominięciem 3 par) o co najwyżej 9 skrzyżowaniach [8]. Reidemeister poradził sobie z tymi wyjątkami w 1932 roku, korzystając z indeksu zaczepienia i homomorfizmów z grupy węzła na grupy diedralne [202]. Dopiero Conway w latach sześćdziesiątych minionego wieku znalazł pierwsze węzły o mniej niż 12 skrzyżowaniach oraz wszystkie sploty o mniej niż 11 skrzyżowaniach w oparciu o pomysły Kirkmana. Zajęło mu to jedynie kilka godzin! Conway znalazł 1 duplikat oraz 11 pominięć w tablicach Little’a, ale sam popełnił 4 pominięcia. Przeoczył między innymi słynny duplikat w niealternującej tablicy Little’a, parę Perko. Przyczyną było prawdopodobnie to, że dwa diagramy miały różny spin: Little błędnie twierdził, że spin minimalnego diagramu jest niezmiennikiem, gdyż błędnie założył, że flype oraz 2-przejścia wystarczają do zmiany dowolnego minimalnego diagramu w inny. Pominęcia w tablicy Conwaya znalazł Caudron około 1980 roku [34]. Rękopis [?] Bonahona, Siebenmanna klasyfikuje węzły algebraiczne. Z nielicznymi niealgebraicznymi węzłami do 11 skrzyżowań poradził sobie Perko w „Invariants of 11-crossing knots” i [193], co było kresem ery ręcznych obliczeń. Na początku lat osiemdziesiątych Dowker i istlethwaite [59] stabularyzowali z pomocą komputera węzły do 13 skrzyżowań. Przez blisko dekadę nic się nie działo, aż wreszcie grupa studentów wygrała dostęp do superkomputera Cray. Razem z Hoste znaleźli alternujące węzły do 14 skrzyżowań, jednocześnie sprawdzając istniejące tabele istlethwaite’a. Około roku 1998 Hoste z Weeksem (oraz niezależnie istlethwaite) znaleźli w [103] 1 701 936 pierwszych węzłów do 16 skrzyżowań. Spośród nich, tylko 32 nie jest węzłami hiperbolicznymi, wszystkie pozostałe poddają się maszynerii geometrii hiperbolicznej. 1.2.2 Hipotezy Taita Hipoteza 1.2.18 (I hipoteza Taita). Zredukowany alternujący diagram splotu ma minimalny indeks skrzyżowaniowy.

Najpierw znaleziono dowód korzystający z wielomianu Jonesa: dokonali tego w 1987 roku równocześnie Kaufman [118], Murasugi [179] oraz istlethwaite [231]. Trzydzieści lat później Greene zaprezentował geometryczne podejście do problemu w [95].

Hipoteza 1.2.19 (II hipoteza Taita). Achiralny splot alternujący ma zerowy spin.

Pierwsze dowody pochodzą znowu od Kaufmana [118] oraz istlethwaite’a [231].

Hipoteza 1.2.20 (III hipoteza Taita). Niech D1,D2 będą zredukowanymi alternującymi diagrama- mi zorientowanego pierwszego splotu. Wtedy diagram D2 można otrzymać z D1 korzystając jedynie z ruchu flype.

Trzecią hipotezę udowodnił Menasco wspólnie z istlethwaitem, [164]. Wynika z niej, że dwa zredukowane diagramy alternujące tego samego węzła mają ten sam spin: ruch flype nie zmienia spinu (dla niektórych to jest II hipoteza). Pzedstawimy ze szczegółami dowód pierwszej hipotezy w sekcji 3.2.3 oraz wspomnimy krótko o technikach użytych w dowodach pozostałych dwóch.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 18 Rozdział 1. Preludium

1.2.3 Metody kodowania Notacja Alexandera-Briggsa Najbardziej tradycyjny, wprowadzony w 1927 roku sposób opisu węzłów do 9 skrzyżowań. Węzły kodowane są przez indeks skrzyżowaniowy z dolnym indeksem informującym o miejscu w tablicy węzłów. Porzadek jest umowny i nie ma żadnego głębszego znaczenia, jego wybór należy do osoby, która jako pierwsza znajdzie wszystkie węzły o danej liczbie skrzyżowań. Jedyną regularnością jest to, że węzeł skręcony występuje zawsze po węźle torusowym. Rolfsen w 1976 stworzył z kilkoma błędami tablicę diagramów pierwszych węzłów do 10 skrzyżowań. Para Perko 10161, 10162 przedstawia ten sam węzeł, zaś górne skrzyżowanie w 10144 powinno być zmienione. Ostatnie cztery węzły dostały nowe numery, by uniknąć duplikatu. Kolejną usterką tablicy jest to, że notacja Conwaya oraz wielomian Alexandera dla węzłów 1083 oraz 1086 są zamienione miejscami. Tu czyha pułapka: Stojmenow, nowe wydanie książki Rolfsena, atlas węzłów Bar-Natana oraz tablica niezmienników węzłowych Livingstona naprawiają to przez wymianę podpisów. Podręcznik Kawauchiego wymienia diagramy. Notacja Dowkera-istlethwaite’a Poprawia notację Taita. Należy ustalić minimalny diagram węzła, dowolny punkt początkowy oraz kierunek i zacząć przemierzać węzeł. Za każdym razem, kiedy mijamy skrzyżowanie, przypisujemy mu kolejną liczbę naturalną, zaczynając od jedynki. Jeżeli znajdujemy się nad skrzyżowaniem, parzyste etykiety zapisujemy z przeciwnym znakiem. Kiedy skończymy, każde skrzyżowanie będzie mieć dwie etykiety. Definicja 1.2.21. Ciąg parzystych liczb występujących na diagramie kolejno przy 1, 3,... nazywamy kodem Dowkera-istlethwaite’a. Opisany powyżej kod nie jest idealny, ponieważ odtworzony z niego węzeł może być lustrzanym odbiciem wyjściowego. Ogólniej, odbicie dowolnego składnika sumy spójnej nie zmienia kodu całego węzła. Nie stanowi to jednak dużego problemu, ponieważ notacja została stworzona na potrzeby tablicowania węzłów pierwszych, a te są niezorientowane. Zaczynając od zredukowanego diagramu o n skrzyżowaniach nie można doprowadzić do sytuacji, gdzie do pewnego skrzyżowania przypisane są dwie kolejne liczby całkowite. Dzięki temu problem można przetłumaczyć na język teorii grafów. Rozpatrzmy graf G, którego wierzchołkami są liczby 1, 2,..., 2n. Połączmy niesąsiadujące modulo 2n wierzchołki o różnej parzystości krawędziami. Graf ten powstaje przez usunięcie cyklu Hamiltona (łączącego kolejne liczby) z pełnego grafu dwudzielnego. Zbiór par etykiet przy skrzyżowaniach węzła to skojarzenie doskonałe w grafie G. Liczba skojarzeń prawie pokrywa się z rozwiązaniem zadania znanego w literaturze jako „problème des ménages”: na ile sposobów n małżeństw można posadzić przy okrągłym stole tak, by żadne małżeństwo nie siedziało obok siebie i każdy mężczyzna znalazł się obok dwóch kobiet? Ustawienia, które powstają przez cykliczne permutowanie należy uznać za tożsame. Gilbert znalazł w [84] wzór na an, liczbę różnych kodów: m ! X 2m − k (t − 1)k u(m, t) = 2m · (m − k)! · (1.8) k 2m − k k=0 1 X  n d  d   n  a(n) = · u d, 1 − · ϕ (1.9) n d n d d|n robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 1.3. Operacje na węzłach 19

Kilka początkowych wartości to a3 = 1, 2, 5, 20, 87, 616, 4843, 44128, 444621,... (ciąg A002484 w OEIS). Notacja Conwaya Wprowadzona przez Conwaya w pracy [43]. Opiera się na pojęciu supła, dlatego więcej szcze- gółów przedstawiamy dopiero w definicji 5.2.5. 1.3 Operacje na węzłach W tej sekcji poznamy sposoby otrzymywania nowych obiektów z już istniejących (rewers i lustro splotu). Rodzina węzłów wyposażona w sumę spójną tworzy przemienny monoid z jednoznacznością rozkładu. Znacznie później (w sekcji 5.2) określimy jeszcze sumę oraz iloczyn supłów. 1.3.1 Lustro i rewers Definicja 1.3.1 (lustro). Niech L będzie zorientowanym splotem. Splot mL powstały przez odbicie splotu L względem dowolnej płaszczyzny nazywamy lustrem. Definicja 1.3.2 (rewers). Niech L będzie zorientowanym splotem. Splot rL powstały przez odwrócenie orientacji wszystkich ogniw splotu L nazywamy rewersem.

(a) lustro mL (b) przykładowy splot L (c) rewers rL

Na lewym obrazku odbiliśmy diagram względem poziomej prostej, innym sposobem na otrzymanie lustra jest odwrócenie wszystkich skrzyżowań, co odpowiada odbijaniu względem płaszczyzny papieru. Zauważmy, że wykonując powyższe operacje na węźle możemy otrzymać mniej niż czterech różne obiekty (L, mL, rL, mrL) – na przykład trójlistnik jest własnym rewersem, ale nie lustrem. Wyróżniamy pięć typów symetrii węzłów: Definicja 1.3.3 (całkowicie chiralny albo skrętny). Węzły K, rK, mK są parami nierównoważne. Definicja 1.3.4 (odwracalny). Węzły K =∼ rK są równoważne. Definicja 1.3.5 (zwierciadlany ujemnie). Węzły K =∼ mrK są równoważne. Definicja 1.3.6 (zwierciadlany dodatnio). Węzły K =∼ mK są równoważne. Definicja 1.3.7 (całkowicie zwierciadlany). Węzły K, rK, mK są parami równoważne.

Przykład 1.3.8. Węzeł 932 jest całkowicie skrętny.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 20 Rozdział 1. Preludium

Całkowicie skrętne są też między innymi wszystkie węzły torusowe.

Przykład 1.3.9. Trójlistnik jest odwracalny, ale nie zwierciadlany.

Po raz pierwszy odkrył to M. Dehn w 1914 roku [52]. Oto, jak tego dokonał. Iloraz grafu 3 2 Cayleya dla grupy podstawowej trójlistnika, G = π1(S − K), zanurza się w produkt H × R, co pozwala wyznaczyć grupę zewnętrznych automorfizmów grupy G, Z/2Z. Korzystając z południków i równoleżników pokazał następnie, że nietrywialny automorfizm odwraca orientację przestrzeni otaczającej. My przekonamy się o tym przez wyznaczenie wielomianu Jonesa trójlistnika, patrz wniosek 3.2.21.

Przykład 1.3.10. Węzeł 817 jest zwierciadlany ujemnie, ale nie odwracalny.

Sześćdziesiąt lat temu matematycy nie byli pewni, czy węzły nieodwracalne w ogóle istnieją [73, problem 10]; obecnie wiadomo, że nieodwracalne są prawie wszystkie węzły ([181, s. 46]). W roku 1962 Ralph Fox wskazał kilku kandydatów do tego tytułu. Hale Trotter odkrył rok później nieskończoną rodzinę nieodwracalnych precli, patrz 5.3.12.

Przykład 1.3.11. Węzeł 12a427 jest zwierciadlany dodatnio, ale nie odwracalny.

Żaden inny węzeł pierwszy o mniej niż 13 skrzyżowaniach nie ma tej cechy.

Przykład 1.3.12. Ósemka 41 jest całkowicie zwierciadlana.

To najprostszy typ symetrii, wystarczy jawnie wskazać przekształcenie między diagramem węzła, jego lustra oraz odwrotności. Tait odnosił wrażenie, że zwierciadlane węzły mają parzysty indeks skrzyżowań, ale Hoste (istlethwaite?) znalazł w 1998 kontrprzykład o piętnastu skrzyżowaniach. Jest on jedynym znanym nam dzisiaj. Hipoteza Taita jest prawdziwa dla węzłów pierwszych, alternujących.

Fakt 1.3.13 (10.4.4 w [120]). Niech K będzie węzłem zwierciadlanym. Wtedy

V (t) = V (1/t) (1.10) P (a, z) = P (1/a, z) (1.11) F (a, z) = F (1/a, z), (1.12) gdzie V,P,F oznacza kolejno wielomian Jonesa, HOMFLY oraz Kaufmana. Równość ∇(z) = ∇(−z) zachodzi dla wszystkich węzłów, zwierciadlanych lub nie. Patrz fakt 3.2.21.

Poniższa tabela oparta jest (kolejno) o ciągi 51766, 51769, 51768, 51767, 52400, z bazy danych “e On-Line Encyclopedia of Integer Sequences” (OEIS).

Wymaga przeredagowania 1.3.14 (Kawauchi, definicja 10.3.2). Węzeł K ⊆ S3 jest silnie od- wracalny, jeśli istnieje inwolucja pary (S3,K) która zachowuje orientację sfery, ale odwraca orientację węzła.

Węzeł silnie odwracalny jest odwracalny, ale nie vice versa (Hartley 1980, Whitten 1981). Chyba, że ograniczymy się do węzłów hiperbolicznych (Kawauchi proposition 10.3.3, cf. 3.2.11). Bycie silnie odwracalnym nie narzuca żadnych ograniczeń na wielomian Alexandera (odnie- sienie do u = 1?), patrz Sakai 1983. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 1.3. Operacje na węzłach 21 skrzyżowania 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 całkowicie skrętne 0 0 0 0 0 0 2 27 187 1103 6919 37885 odwracalne 1 0 2 2 7 16 47 125 365 1015 3069 8813 − zwierciadlane 0 0 0 0 0 1 0 6 0 40 0 227 + zwierciadlane 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 6 zwierciadlane 0 1 0 1 0 4 0 7 0 17 0 41

Tabela 1.2: Liczba węzłów o poszczególnych typach symetrii

1.3.2 Węzły okresowe Można wyróżnić jeszcze jeden rodzaj symetrii. 3 3 Definicja 1.3.15. Węzeł K nazywamy n-okresowym, jeśli istnieje obrót f : R → R o kąt 2π/n wokół pewnej prostej l, rozłącznej z węzłem, taki że f(K) = K. Zamiast obrotów można rozpatrywać dowolne odwzorowania okresowe f : S3 → S3, których zbiór punktów stałych jest rozłączny z węzłem K, homeomorficzny z S1 oraz które trzymają węzeł K w miejscu, ale dostaje się wtedy dokładnie taką samą klasę węzłów. Wyni- ka to z hipotezy Smitha, otrzymanej z połączenia głębokich teorii dotyczących geometrii i topologii 3-rozmaitości. Fakt 1.3.16. Zbiór wszystkich okresów jest niezmiennikiem węzłów.

Nieodwracalny węzeł 817 nie posiada żadnych okresów. Węzeł 51 5-okresowy, co widać na standardowym diagramie, oraz 2-okresowy, tę drugą symetrię można dostrzec na diagramie realizującym indeks mostowy. Trójlistnik ma dokładnie dwa okresy, 2 i 3. Ogólniej, jak głosi Kawauchi [120, ćwiczenie 10.1.9]: Fakt 1.3.17. Jedynymi okresami węzła (p, q)-torusowego są dzielniki liczb p oraz q. Z każdym węzłem okresowym związany jest inny, prostszy węzeł. Niech f będzie obrotem 3 3 3 z definicji 1.3.15, zaś p: R → R /f ' R rzutem na przestrzeń ilorazową. Wtedy p(K) nazywamy węzłem ilorazowym, zaś K to jego n-krotne nakrycie. Murasugi podał dwa warunki, które musi spełniać węzeł o okresie n = pr, gdzie r jest liczbą pierwszą. Do ich zrozumienia potrzebujemy prostej definicji. Ustalmy półprostą, która nie jest styczna do węzła K, po czym zorientujmy ją oraz węzeł. Indeksem zaczepienia λ węzła p(K) jest różnica między liczbą skrzyżowań dodatnich oraz ujemnych wzdłuż półprostej (bez znaku). Fakt 1.3.18 (warunek Murasugiego). Niech K będzie węzłem o okresie n = pr, gdzie p jest liczbą pierwszą. Niech J będzie jego węzłem ilorazowym, z indeksem zaczepienia λ. Wtedy wielomian ∆J jest dzielnikiem wielomianu ∆K oraz istnieje pewna całkowita liczba k, taka że

n−1 k n  2 λ−1 ∆K (t) ≡ ±t ∆J (n) 1 + t + t + ... + t mod p. (1.13)

Dowód. Mozolne operacje na macierzach, których wyznacznikiem jest wielomian Alexandera, patrz [177]. Kawauchi przedstawia inny dowód: najpierw dowodzi tego dla węzła torusowego robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 22 Rozdział 1. Preludium

Tn,d, którego węzłem ilorazowym jest niewęzeł. W ogólnym przypadku, korzysta z relacji kłębiastej dla wielomianu Conwaya. Szczegóły oraz odsyłacze do dalszych prac znaleźć można w jego przeglądowej publikacji [120, s. 122-124]. 1.3.3 Suma niespójna i suma spójna Suma spójna węzłów to szczególny przypadek sklejenia dwóch rozmaitości wzdłuż brzegu.

Definicja 1.3.19 (suma niespójna). Niech L1 oraz L2 będą splotami, które leżą po różnych stronach 3 ustalonej płaszczyzny w przestrzeni R . Teoriomnogościową sumę L1 t L2 nazywamy sumą niespójną splotów.

Definicja 1.3.20 (suma spójna). Niech K1,K2 będą zorientowanymi węzłami. Natnijmy każdy z nich w dwóch punktach tego samego krótkiego łuku, a następnie zszyjmy dwoma łukami, które nie przecinają już istniejących, jak na obrazku. Otrzymany węzeł nazywamy sumą spójną węzłów K1 oraz K2.

# =

K1 K2 K1 # K2

Wymaga przeredagowania 1.3.21. e band sum operation is a special case of a hyperbolic transfor- mation of a link (in 12.3) and also of a fusion of a link (in 13.1). Ważna jest orientacja składników: suma dwóch trójlistników może być węzłem babskim lub prostym. Uzasadnienie, że te węzły są różne, nie jest łatwym zadaniem. Fox pokazał w 1952 roku, że ich dopełnienia nie są homeomorficzne. Suma przeciwnie skręconych trójlistników jest plastrowa, natomiast tak samo skręconych nie jest. (To jedno z niewielu miejsc, gdzie nomenklatura pochodzi od żeglarzy: z angielskiego granny knot, square knot.) Warunku, by zszywające łuki nie przecinały diagramów, nie można pominąć: Cromwell w [47, s.90] pokazuje przykład dwóch niewęzłów, z których otrzymano niepoprawnie dwie różne sumy, 61 oraz 820. Uogólnieniem sumy spójnej oraz (nieopisanej w naszej pracy) operacji plumbing jest suma Murasugiego, dobrze wyjaśniona w czwartym rozdziale książki [120]. Wymaga przeredagowania 1.3.22. e Murasugi sum of Seifert surfaces was introduced originally in [Murasugi 1958, 1958’,1958"] in order to estimate the degree of the Alexander polynomial of alter- nating links. A ter that, J. Stallings showed in [Stallings 1978] that a Seifert surface obtained by a Murasugi sum of fiber surfaces is a fiber surface. Fakt 1.3.23. Suma spójna węzłów jest dobrze określonym działaniem. Suma spójna nie jest dobrze określona dla splotów: nie istnieje kanoniczny wybór, które ogniwa łączyć ze sobą.

Dowód. Niech dane będą węzły K1 oraz K2 oraz dwa różne łuki γ1, γ2, których można użyć do konstrukcji sumy spójnej. Skurczmy K1, przeciągnijmy najpierw przez łuk γ1, a następnie wzdłuż węzła K2. Teraz wystarczy odwrócić ten proces z γ2 w miejscu γ1. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 1.4. Węzły pierwsze 23

Fakt 1.3.24. Suma spójna jest działaniem łącznym oraz przemiennym. Niewęzeł stanowi jej element neutralny. Prosty dowód tego faktu pozostawiamy Czytelnikowi. W języku algebry mówimy, że węzły z sumą spójną tworzą półgrupę (tak jak liczby naturalne z działaniem dodawania). Dużo później pokażemy, że działaniu # brakuje elementów przeciwnych, więc ta struktura algebraiczna nie jest grupą.

Fakt 1.3.25. Niech K1,K2 będą takimi węzłami, że K1 # K2 = . Wtedy K1 = K2 = .

Niedowód. Technika ta zwana jest szwindlem Mazura. Załóżmy, że K # L = i dopuśćmy wyjątkowo węzły dzikie. Skonstruujmy sumę K # L # K # ..., przy czym kolejne składniki powinny zmniejszać się, aby ich suma nadal była węzłem. Wtedy K ' K # [(L # K)#(L # K) ...] ' (K # L)#(K # L)# ... ' # # ... ' .

Analogicznie pokazujemy, że L ' .

Wymaga przeredagowania 1.3.26. eorem 3.2.1 (Non-cancellation theorem) A connected sum L1 L2 of any two links L1 and L2 is not a trivial link unless both links L1 and L2 are trivial links. e proof (whose details are le t to the reader) is essentially obtained from the following two facts: (1) If L1 and L2 are non-split links, then L1 L2 is a non-split link. (2) If L1 L2 is a trivial knot, then L1 and L2 are trivial knots. (1) is directly proved by a cut-and-paste argument of combinatorial topology. (2) is usually obtained from Schubert’s result on the additivity of the knot genus (cf. 4.1.5) under the connected sum, i.e., g(Ll L2) = geLd +g(L2) (which is also proved by a cut-and-paste argument). Prawdziwy dowód oparty jest na topologii algebraicznej, stanowi bezpośredni wniosek z faktów 4.2.27 oraz 4.2.28. Półgrupę węzłów z operacją sumy spójnej można ulepszyć do grupy na dwa sposoby: albo poprzez zmianę działania, w jakie jest wyposażona, albo osłabiając definicję węzłów równoważnych. Drugi pomysł jest dużo lepszy niż pierwszy. Na początku lat pięćdziesiątych J. Milnor wprowadził do matematyki pojęcie zgodności (z angielskiego concordance), które zastąpiło zwykłą równoważność. Element neutralny nowej grupy to węzły plastrowe, ich opis leży w sekcji 5.8. Zagadnienia te zakorzenione są w czterowymiarowej topologii. 1.4 Węzły pierwsze Suma spójna jest dla węzłów tym, czym mnożenie dla liczb naturalnych. Analogia ta nabiera sensu, gdy zdefiniujemy węzły pierwsze, odpowiedniki liczb pierwszych. Do ich dobrego zrozumienia warto znać powierzchnie Seiferta z sekcji 4.2.3. Definicja 1.4.1 (węzeł pierwszy). Niech K będzie węzłem różnym od niewęzła. Jeśli nie przedstawia sięjakosumaspójnaK1 #K2 dwóchnietrywialnychwęzłówK1,K2,nazywamygowęzłempierwszym. W przeciwnym razie mówimy, że jest złożony. Przesmyk to wąskie skrzyżowanie między dwiema rozłącznymi częśćmi diagramu, patrz także definicja 3.2.27. Fakt 1.4.2. Niech L będzie alternującym splotem bez przesmyków. Jeśli diagram splotu L jest spójny, to splot jest nierozszczepialny. Jeśli splot nie jest rozszczepialny, to jest też pierwszy jeśli dla każdego okręgu przecinającego diagram w dwóch niepodwójnych punktach, przekrój wnętrza okręgu z diagramem jest łukiem.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 24 Rozdział 1. Preludium

Innymi słowy, jeśli alternujący splot jest złożony, widać to bezpośrednio na każdym jego alternującym diagramie. Jako pierwszy pokazał to Menasco w [163]. Jego dowód opiera się na multiplikatywności wielomianu BLM/Ho, patrz definicja 3.4.1. Czy węzłów pierwszych jest nieskończenie wiele? Tak, patrz fakt 4.2.33, potrafimy nawet oszacować liczbę Kn węzłów pierwszych oraz Ln splotów pierwszych. W roku 1987 C. Ernst, D. Sumners w oparciu o wyniki istlethwaite’a, Kaufmana, oraz Murasugiego dotyczące 1 n−2 węzłów alternujących pokazali w [64], że Kn ≥ 3 (2 − 1), przy czym węzły lustrzane traktowane są jako różne. Dokładniej:

Fakt 1.4.3. Niech f(n) oznacza liczbę węzłów dwumostowych o indeksie skrzyżowaniowym n. Wtedy

 1 n−2  3 (2 − 1) dla n = 2k ≥ 4  1 n−2 (n−1)/2 f(n) = 3 (2 + 2 ) dla n = 4k + 1 ≥ 5 (1.14)  1 n−2 (n−1)/2 3 (2 + 2 + 2) dla n = 4k + 3 ≥ 7

Welsh rozpatruje w [247] węzły bez orientacji i znajduje poniższe ograniczenia:

Fakt 1.4.4. Niech Kn oznacza liczbę węzłów pierwszych o n skrzyżowaniach. Wtedy

√n √n 27 2.68 ≤ lim inf Kn ≤ lim sup Ln ≤ . (1.15) n→∞ n→∞ 2

Pytanie, czy zwykłe granice istnieją, pozostaje otwarte. Każdy węzeł jest sumą spójną siebie oraz niewęzła, dlatego byłoby miło, gdyby niewęzeł nie dał się zapisać jako suma dwóch innych węzłów. Jest to dokładnie wniosek 4.2.29: suma spójna nie posiada elementów odwrotnych. Pokażemy później, że rozkład na węzły pierwsze istnieje i wspomnimy, dlaczego jest jedyny. Fakt 4.2.28 stanowi odpowiednik zasadniczego twierdzenia arytmetyki. 1.5 Niezmienniki liczbowe Jak wspomnieliśmy na początku rozdziału, sprawdzenie, czy dwa diagramy przedstawiają sploty równoważne, jest uciążliwym i czasochłonnym zadaniem. Aby je uprościć, podamy opis kilku prostych niezmienników o naturalnych wartościach. Zachodzą implikacje: sploty równoważne ⇒ ta sama wartość niezmiennika oraz różne wartości niezmiennika ⇒ różne sploty. Tutaj przedstawiamy jedynie te niezmieniki, które nie wymagają mocnej znajomości reszty książki. Są one miarą złożoności splotów zgodnie z następującym przepisem: niech f będzie pewną funkcją określoną dla dowolnego diagramu splotu. Wtedy odwzorowanie

f(L) = min{f(D): D jest diagramem splotu L} (1.16) stanowi niezmiennik splotów. Dowód jest trywialny i pozostawiamy go jako ćwiczenie dla Czytelnika. Im większa wartość funkcji f, tym bardziej skomplikowany splot. Później poznamy inne niezmienniki, oprócz opisanych powyżej miarą złożoności jest też liczba warkoczowa (definicja 5.1.11), ale nie wyznacznik (definicja 2.2.2) i sygnatura (definicja 4.2.44). Przekonamy się też, że istnieją użyteczne niezmienniki, które są wielomianami albo innymi obiektami algebraicznymi. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 1.5. Niezmienniki liczbowe 25

1.5.1 Indeks skrzyżowaniowy Z angielskiego crossing number. Definicja 1.5.1. Niech L będzie splotem. Minimalną liczbę skrzyżowań widocznych na diagramie, który przedstawia splot L, nazywamy indeksem skrzyżowaniowym i oznaczamy cr L. Pytanie, czy indeks skrzyżowaniowy jest addytywny, to jeden z najstarszych problemów teorii węzłów.

Hipoteza 1.5.2. Niech K1 oraz K2 będą węzłami. Wtedy cr K1 + cr K2 = cr K1 # K2.

Oto częściowe odpowiedzi. Jeśli K1,K2 są alternującymi węzłami o odpowiednio c1, c2 skrzyżowaniach, to istnieje alternujący diagram ich sumy K1 # K2 o c1 + c2 skrzyżowaniach. Kaufman, Murasugi oraz istlethwaite pokazali niezależnie, że diagram ten jest minimalny (patrz na przykład [179], wniosek 6). istlethwaite rozszerzył wynik do tak zwanych węzłów adekwatnych w [232]. Wreszcie Gruber w [96] udowodnił hipotezę 1.5.2 dla węzłów torusowych. Lackenby w pracy [139] pokazał, że dla pewnej stałej N ≤ 152 zachodzi

n n 1 X  n  X cr Ki ≤ cr # Ki ≤ cr crKi. (1.17) N i=1 i=1 i=1 (Tylko pierwsza nierówność jest ciekawa). Jego argumentu wykorzystującego powierzchnie normalne nie można poprawić tak, by otrzymać stałą N = 1. 1.5.2 Liczba gordyjska Z angielskiego unknotting number. Definicja 1.5.3. Niech L będzie splotem. Minimalną liczbę skrzyżowań, które trzeba odwrócić na pewnym jego diagramie, by dostać niewęzeł, nazywamy liczbą gordyjską i oznaczamy u(L). Zgodnie z „klasyczną” definicją, między odwracaniem kolejnych skrzyżowań mamy prawo wykonać izotopie otaczające; natomiast zgodnie ze „standardową” definicją, takie izotopie są zabronione. Obie definicje są równoważne: tłumaczy to książka Adamsa [2, s. 58]. Lemat 1.5.4. W dowolnym rzucie splotu można odwrócić pewne skrzyżowania tak, by uzyskać diagram niesplotu.

Dowód. Bez straty ogólności założę, że diagram przedstawia węzeł. Ustalmy zatem diagram węzła i wybierzmy jakiś początkowy punkt na nim, różny od skrzyżowania wraz z kierunkiem, wzdłuż którego będziemy przemierzać węzeł. Za każdym razem, kiedy odwiedzamy nowe skrzyżowanie, zmieniamy je w razie potrzeby na takie, przez które przemieszczamy się wzdłuż górnego łuku. Skrzyżowań już odwiedzonych nie zmieniamy wcale. 3 Teraz wyobraźmy sobie nasz nowy węzeł w trójwymiarowej przestrzeni R , przy czym oś z skierowana jest z płaszczyzny, w której leży diagram, w naszą stronę. Umieśćmy początkowy punkt tak, by jego trzecią współrzędną była z = 1. Przemierzając węzeł, zmniejszamy stopniowo tę współrzędną, aż osiągniemy wartość 0 tuż przed punktem, z którego wyruszyliśmy. Połączmy obydwa punkty (początkowy oraz ten, w którym osiągamy współrzędną z = 0) pionowym odcinkiem. Zauważmy, że kiedy patrzymy na węzeł w kierunku osi z, nie widzimy żadnych skrzyżowań. Oznacza to, że nasza procedura przekształciła początkowy diagram w diagram niewęzła, co należało okazać.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 26 Rozdział 1. Preludium

W pracy [220] Shimizu rozpatruje różne operacje, które rozwiązują węzły lub sploty. Nie będziemy się nimi zajmować, podamy tylko przykład: zamiana pod- i nadskrzyżowań wokół obszaru na diagramie rozwiązuje węzły, ale nie sploty; kontrprzykładem jest splot Hopfa. Patrz też [120, s. 141-154].

Wymaga przeredagowania 1.5.5. Kawauchi, s. 151: u(K) ≥ log3 |Q(−1)|. Wymaga przeredagowania 1.5.6. Kawauchi, s. 151: u = 1, g = 1 to duble. Jeśli odwrócenie pewnych skrzyżowań daje niewęzeł, to odwrócenie pozostałych także. To daje proste liczby gordyjskiej: 2 u(K) ≤ cr(K). Nie jest zbyt pomocne, równość zachodzi pięć razy dla pierwszych węzłów do 12 skrzyżowań: 31, 51, 71, 91, 11a367. Dokładna wartość liczby gordyjskiej jest znana tylko dla niektórych klas węzłów, na przykład torusowych (fakt 5.5.19) albo skręconych (definicja 5.8.25). Dla każdego nietrywialnego splotu istnieje diagram wymagający odwrócenia dowolnie wielu skrzyżowań. Wcześniej Nakanishi znalazł 2-gordyjski diagram 1-gordyjskiego węzła 62 ([183]) oraz udowodnił, że każdy nietrywialny węzeł ma diagram, który nie jest 1-gordyjski ([184]). Dowód zawiera praca [230] Taniyamy. Pokazany jest tam jeszcze jeden godny uwagi fakt. 1 Jeśli liczba gordyjska diagramu D wynosi 2 (cr D −1), co jest maksymalną możliwą wartością zgodnie z naszym prostym ograniczeniem, to węzeł jest (2, p)-torusowy albo wygląda jak diagram niewęzła po pierwszym ruchu Reidemeistera. Bleiler odkrył w [19] fascynujący przykład wymiernego węzła 108, który jest 2-gordyjski, ale świadkiem tego nie może być żaden diagram mininalny, ponieważ, co jeszcze bardziej fascynujące, węzeł ten posiada tylko jeden diagram o dziesięciu skrzyżowaniach oraz liczbie gordyjskiej 3. Wynika stąd, że liczba u nie musi być osiągana przez diagram minimalny, wbrew powszechnym przypuszczeniom obecnym jeszcze w latach 70. Praca [14] opisuje nieskończoną rodzinę węzłów Ck, gdzie C2 = 108 jest węzłem Bleilera. Przykład Bleilera pokazuje, że do szukania liczby gordyjskiej potrzeba wyrafinowanego algorytmu. Ponieważ odwrócenie jednego ze skrzyżowań na minimalnym diagramie węzła 108 daje 1-gordyjski węzeł 41, 51, 61 lub 62, możemy liczyć, że każdy diagram minimalny ma skrzyżowanie, którego odwrócenie zmniejsza liczbę gordyjską. Dlatego jeszcze w latach 90. postawiono hipotezę: Hipoteza 1.5.7 (Bernharda-Jablana, [14], [106]). Każdy węzeł K posiada diagram D realizujący liczbę gordyjską oraz skrzyżowanie, którego odwrócenie daje nowy węzeł K0 z diagramem D0 o mniejszej liczbie gordyjskiej: u(D0) < u(D). Zakładając prawdziwość hipotezy 1.5.7, mamy prosty sposób na wyznaczenie liczby u(K): weźmy skończenie wiele diagramów minimalnych dla węzła K, na każdym z nich odwracajmy skrzyżowania i rekursywnie szukajmy liczb gordyjskich prostszych węzłów. Najmniejsza spośród nich różni się wtedy o jeden od liczby u(K). Brittenham, Hermiller w artykule [24] twierdzą, że hipoteza jest fałszywa, ten nie został jednak jeszcze zrecenzowany. Prawdziwość sprawdzono natomiast dla węzłów do jedenastu skrzyżowań oraz splotów o dwóch ogniwach do dziewięciu skrzyżowań (Kohn w [130]?). Przykład 1.5.8 (Brittenham, Hermiller). Hipoteza Bernharda-Jablana jest fałszywa dla co najmniej jednego spośród czterech węzłów: 12n288, 12n491, 12n501, 13n3370. Bleiler postawił w [19] problem: czy jeden węzeł może mieć kilka diagramów minimalnych, z których tylko niektóre są świadkiem 1-gordyjskości? Rozwiązanie przyszło wkrótce z Japonii: robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 1.5. Niezmienniki liczbowe 27 według [116] dzieje się tak m.in. dla węzła 814. Stojemenow w pracy [225] pełnej różnych przykładów wskazał dodatkowo węzły 1436750 oraz 1436760. Sploty o liczbie gordyjskiej 1 zasługują na szczególną uwagę. Fakt 1.5.9. Niech L będzie wymiernym splotem 1-gordyjskim. Wtedy na minimalnym diagramie L jedno ze skrzyżowań jest rozwiązujące.

Dowód. Kanenobu, Murakami dla węzłów [116], wkrótce po tym Kohn dla splotów [129].

Z pracy [116] wynika dodatkowo, że liczba gordyjska węzłów 83, 84, 86, 88, 812, 95, 98, 915, 917, 931 wynosi dokładnie 2, wcześniej wiedzieliśmy, że jest równa co najwyżej 2. Coward, Lackenby dowiedli w [45], że jeśli K jest 1-gordyjski i o genusie 1, to z dokładnością do pewnej relacji równoważności, tylko jedna zmiana skrzyżowania rozwiązuje go; chyba że K jest ósemką – wtedy takie zmiany są dwie. Fakt 1.5.10. Węzły 1-gordyjskie są pierwsze. Podejrzewał to H. Wendt w 1937 roku, kiedy policzył liczbę gordyjską węzła babskiego używając homologii rozgałęzionego nakrycia cyklicznego.

Niedowód. W pracy [212] z 1985 roku M. Scharleman podał dość zawiłe uzasadnienie, w które zamieszane były grafy planarne. Obecnie znamy prostsze dowody, patrz [138] albo [254].

Scharlemann pokazał w [211, wniosek 1.6], że liczba gordyjska jest podaddytywna, to znaczy zachodzi u(K1 # K2) ≤ u(K1) + u(K2). Stąd oraz z faktu 1.5.10 wynika, że suma dwóch 1-gordyjskich węzłów jest 2-gordyjska, ale od początku teorii węzłów podejrzewano dużo więcej:

Hipoteza 1.5.11. Niech K1,K2 będą węzłami. Wtedy u(K1 # K2) = u(K1) + u(K2), czyli liczba gordyjska jest addytywna. Dotychczas wyznaczono liczbę gordyjską dla prawie wszystkich węzłów pierwszych o co najwyżej dziesięciu skrzyżowaniach, Cha, Livingston [35] podają następującą listę wyjątków: 1011, 1047, 1051, 1054, 1061, 1076, 1077, 1079, 10100 (stan na rok 2018). Borodzik oraz Friedl podali niedawno całkiem mocne ograniczenia na liczbę gordyjską w pracach [20] i [21]. Ich narzędziem jest parowanie Blanchfielda. Poprawiają tam starsze estymaty wynikające z sygnatury Levine’a-Tristrama, indeksu Nakanishiego oraz przeszkody Lickorisha. Wśród węzłów o co najwyżej dwunastu skrzyżowaniach 25 ma liczbę gordyjską równą co najmniej trzy, co trudno pokazać innymi metodami. Liczbę gordyjską można uogólnić w naturalny sposób do metryki. Mianowicie mając 1 3 dane dwa węzły K0,K1, rozpatrzmy wszystkie homotopie f : [0, 1] × S → R takie, że wszystkie funkcje ft są zanurzeniami z co najwyżej jednym punktem podwójnym. Zażądajmy dodatkowo, by styczne do krótkich łuków, które przecinają się w tym punkcie, były od siebie różne. Odległością gordyjską między węzłami K0,K1 jest minimalna liczba podwójnych punktów, jakie posiada homotopia f. Twierdzenie C z pracy [80] głosi, że zawiera ona prawie idealną kopię przestrzeni euklidesowej dowolnego wymiaru. Dokładniej: n Fakt 1.5.12. Dla każdej liczby całkowitej n ≥ 1 istnieje funkcja ξ : Z → K, dodatnie stałe A, B, C n oraz norma k · k na przestrzeni R takie, że spełniona jest podwójna nierówność Akx − yk − B ≤ d(ξ(x), ξ(y)) ≤ Ckx − yk. (1.18) Dowód. Dowód korzysta z grup warkoczowych, które poznamy w sekcji 5.1.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 28 Rozdział 1. Preludium

1.5.3 Liczba mostowa Z angielskiego bridge number. Wprowadzona w 1954 przez Schuberta.

Definicja 1.5.13. Niech D będzie diagramem węzła. Liczbę mostów, czyli długich łuków, które biegną tylko przez nadskrzyżowania, nazywamy liczbą mostową diagramu D. Minimalną liczbę mostową wśród wszystkich diagramów D węzła K, br K, nazywamy liczbą mostową węzła K.

Można pokazać, że n-mostowe węzły rozkładają się na sumę dwóch wymiernych n-supłów.

Fakt 1.5.14. Niech K1,K2 będą węzłami. Wtedy br(K1) + br(K2) = br(K1#K2) + 1.

Nieedowód. Schubert pokazał to blisko pół wieku temu w [215]. Nowszy dowód pochodzi od Schultens, w artykule [217] skorzystała z foliacji na brzegu węzła towarzyszącego sateltarnemu. Dokładniejszy opis powyższych prac wykraczałby poza zakres tego opracowania, zostanie więc pominięty.

Tylko jeden węzeł jest jednomostowy, to niewęzeł. Kolejne w hierarchii skomplikowania, czyli dwumostowe, to domknięcia wymiernych supłów. Węzły trójmostowe pozostają nie do końca zbadane, Japończycy pokazali w [77], że trzymostowe węzły genusu jeden są preclami. Praca [100] zawiera klasyfikację wszystkich węzłów trzymostowych przy użyciu tak zwanej reprezentacji motylkowej, podobną do wyniku Schuberta opisanego w sekcji 5.2.1. Murasugi wspomina w rozdziale 4.3 podręcznika [181] następującą hipotezę, nie podaje jednak wcale, skąd się wzięła:

Hipoteza 1.5.15. Jeśli K jest węzłem, to cr K ≥ 3 br K − 3, przy czym równość zachodzi dokładnie dla niewęzła, trójlistnika i sumy spójnej trójlistników.

Należy więc uzupełnić brakujące informacje. Murasugi w pracy [180] przypuszcza, że dla splotów o µ ogniwach zachodzi nierównosć cr L + µ − 1 ≥ 3 br L − 3, przedstawia jednocześnie dowód jej szczególnego przypadku, dla alternujących splotów algebraicznych. Hipoteza Murasugiego stanowi uogólnienie dużo starszego problemu pochodzącego od Foxa [68], który zapytał, czy nierówność jest prawdziwa dla węzłów, gdy µ = 1. Nie istnieje związek między liczbą mostową oraz gordyjską. Po pierwsze, węzły torusowe T2,n są dwumostowe, a ich liczba gordyjska nieograniczona. Po drugie, podwojenie węzła (poza specjalnymi przypadkami, jak pokazał Schubert) zwiększa liczbę mostową dwukrotnie; liczba gordyjska takiego podwojenia wynosi 1. Podobnie nie ma zależności między liczbą mostową oraz genusem. 1.5.4 Indeks zaczepienia Definicja 1.5.16 (znak). Liczbę ±1 przypisaną do skrzyżowania zgodnie z diagramem:

    sgn = +1 sgn = −1 nazywamy znakiem skrzyżowania.

Skrzyżowania dodatnie to takie, w których obrócenie dolnego łuku w prawo daje górny łuk, dlatego czasem nazywa się je także praworęcznymi. Oczywiście skrzyżowania ujemne nazywamy wtedy leworęcznymi. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 1.5. Niezmienniki liczbowe 29

Definicja 1.5.17 (wygładzenie). Niech dany będzie diagram z wyróżnionym skrzyżowaniem. Wtedy diagramy

(a) wygładzenie dodatnie (b) wygładzenie ujemne

powstałe przez zmianę małego otoczenia tego skrzyżowania nazywamy wygładzeniami. Jeżeli nie zaznaczono inaczej, wygładzamy zgodnie ze znakiem skrzyżowania.

Definicja 1.5.18 (indeks zaczepienia). Niech L = K1 t K2 będzie splotem o dwóch ogniwach. Wielkość 1 X lk(K1,K2) = sgn ci, (1.19) 2 i gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie skrzyżowania, na których spotykają się łuki z różnych ogniw, nazywamy indeksem zaczepienia węzłów K1,K2. Ogólniej, jeśli dany jest splot L = K1 t ... t Kn posiadający n ogniw, to jego indeks zaczepienia wyznacza wzór X lk(L) = lk(Ki,Kj ). (1.20) i

Dowód. Sprawdźmy wpływ ruchów Reidemeistera na wartość lk L:

R1 a R2 a b R3 c =∼ =∼ =∼ −a c a b

Na mocy twierdzenia Reidemeistera dowód został zakończony. 1.5.5 Spin Z angielskiego writhe. Definicja 1.5.20 (spin). Niech D będzie diagramem zorientowanego splotu. Wielkość X wr D = sign c, (1.21) c gdzie sumowanie przebiega po wszystkich skrzyżowaniach diagramu D nazywamy spinem. Co ważne, spin nie jest niezmiennikiem splotów ani węzłów. Para Perko przedstawia ten sam węzeł z minimalną liczbą skrzyżowań i spinem równym siedem lub dziewięć. Dzięki temu przez wiele lat nie została dostrzeżona. Spin jest za to niezmiennikiem węzłów alternujących, mówi o tym druga hipoteza Taita. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 30 Rozdział 1. Preludium

Lemat 1.5.21. Spin nie zależy od orientacji. Tylko I ruch Reidemeistera zmienia spin:

wr( ) = wr() − 1. (1.22)

Pozostałe ruchy nie mają na niego wpływu. 1.5.6 Liczba patykowa Z angielskiego stick number. Definicja 1.5.22. Minimalną liczbę odcinków w łamanej, która przedstawia węzeł K, nazywamy jego liczbą patykową i oznaczamy s(K). Wielkość tę wprowadził do matematyki Randell w 1988 i znalazł dokładną jej wartość dla niewęzła (3), trójlistnika (6) oraz ósemki (7). Negami trzy lata później w [185] pokazał przy użyciu teorii grafów, że dla nietrywialnych węzłów prawdziwe są nierówności √ 5 + 9 + 8 cr K ≤ s K ≤ 2 cr K. (1.23) 2 Trójlistnik to jedyny węzeł realizujący górne ograniczenie. Z pracy Elrifaia wynika, że dolne ograniczenie nie jest osiągane przez żaden węzeł o co najwyżej 26 skrzyżowaniach ([63]). Jin oraz Kim w 1993 ograniczyli liczby patykowe dla węzłów torusowych korzystając z liczby supermostowej. Wkrótce wynik został poprawiony przez samego Jina, w pracy [109] znalazł dokładne wartości dla niektórych węzłów. I tak, jeśli 2 ≤ p < q ≤ 2p, to s Tp,q = 2q oraz s Tp,p−1 = 2. Ten sam wynik, choć dla węższego zakresu parametrów, odkryto w [4]. Autorzy niezależnie od siebie znaleźli proste oszacowanie z góry dla liczby patykowej sumy spójnej:

s(K1 # K2) ≤ s(K1) + s(K2) − 3. (1.24)

Koniec dekady przyniósł jeszcze jedną pracę McCabe’a z nierównością s(K) ≤ 3 + cr(K) dla węzłów dwumostowych ([162]) oraz odkrycie Calvo: jeśli ograniczymy się do łamanych o co najwyżej siedmiu odcinkach, ósemka przestaje być odwracalna. Na początku XXI wieku nierówności Negamiego poprawiono, z dołu dokonał tego Calvo w [29], z góry natomiast Huh, Oh w [105]. Górne ograniczenie można poprawić o 3/2, jeżeli K jest niealternującym węzłem pierwszym. √ 7 + 1 + 8 cr K 3 ≤ s K ≤ (1 + cr K). (1.25) 2 2 Liczba patykowa nie pojawia się już nigdzie w następnych rozdziałach. 1.5.7 Długość sznurowa Długość sznurowa, z angielskiego ropelength, pochodzi z fizycznej teorii węzłów, która bierze pod uwagę obiekty wykonane z nieelastycznych materiałów. Definicja 1.5.23. Niech L będzie splotem o długości l oraz grubości τ: posiada rurowe otoczenie bez samoprzecięć z przekrojem poprzecznym o promieniu τ. Iloraz l len L = (1.26) τ nazywamy długością sznurową splotu. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 1.5. Niezmienniki liczbowe 31

Przez wiele lat zastanawiano się, czy można zawiązać węzeł ze sznura o długości jednej stopy i promieniu jednego cala lub równoważnie, czy len K ≤ 12 dla pewnego węzła K. Na początku XXI wieku wiedzieliśmy z [30], że najkrótszy węzeł ma długość 10.726, potem Diao udzielił negatywnej odpowiedzi na to pytanie w [55]. Wreszcie rozumowanie [54] oparte o czterosieczne pokazuje, że długość sznurowa nietrywialnego węzła wynosi co najmniej 15.66. Ponieważ eksperymenty komputerowe pokazują, że długość trójlistnika nie przekracza 16.372, oszacowanie to jest więc dość ostre. Prowadzono obszerne poszukiwania na temat zależności między długością sznurową i innymi niezmiennikami. Mamy na przykład: Fakt 1.5.24. len K = Ω(cr3/4 K). Ograniczenie to realizowane jest przez pewne węzły torusowe oraz sploty Hopfa. Fakt 1.5.25. len K = O(cr K · log5(cr K)).

Dowód. Świeży wynik z [57], którego dowód wykorzystuje kraty liczbowe.

Wcześniej znaliśmy słabszą równość len K = O(cr3/2 K) dzięki cyklom Hamiltona w grafach zanurzonych właśnie w kratach liczbowych [58].

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 32 Rozdział 1. Preludium

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f Rozdział 2

Niezmienniki kolorowe

Opisane w pierwszym rozdziale niezmienniki, takie jak liczba gordyjska czy liczba mostowa, pozwalają na odróżnienie od siebie niektórych węzłów, jednak wyznaczanie ich wartości nie jest łatwym zadaniem. Dlatego nie potrafimy jeszcze uzasadnić, że istnieje jakikolwiek nietrywialny węzeł. Zmieni się to teraz: poznamy kolorowania, niezmienniki splotów powstałe z diagramów, gdzie każde włókno występuje w jednym z trzech kolorów. Następnie rozszerzymy paletę z trzech do skończenie wielu kolorów, by później zastąpić ją dowolną nieprzemienną grupą skończoną. Nawet ten ostatni wariant kolorowania nie stanowi idealnego narzędzia do klasyfikacji węzłów. Mówimy, że nie jest zupeły: istnieją różne węzły, którym przypisuje te same wartości, czyli ich nie odróżnia. Problem ten będzie powtarzać się dla prawie wszystkich późniejszych niezmienników, z wyjątkiem dopiero całki Koncewicza (patrz sekcja 3.6). 2.1 Kolorowanie splotów Przygodę z kolorowaniami rozpoczyna się zazwyczaj od trójkolorowalności. Jest to pewna cecha diagramów, którą można posiadać albo nie. Definicja 2.1.1 (trójkolorowalność). Niech D będzie diagramem splotu L, którego łuki występują w trzech kolorach. Jeżeli spełnione są następujące warunki: • nie wszystkie łuki są tego samego koloru,

• przy każdym skrzyżowaniu spotykają się albo trzy łuki w trzech różnych kolorach, albo wszystkie tego samego koloru, to mówimy, że diagram D jest trójkolorowalny. Splot posiadający trójkolorowalny diagram nazywamy krótko trójkolorowalnym. Przykład 2.1.2. Trójlistnik jest trójkolorowalny, niewęzeł nie jest. Węzły te są zatem od siebie różne. Dla własnej wygody jako kolorów używać będziemy kolejnych liczb naturalnych 0, 1, . . . , n. Pozwala to zapisać warunek kolorowalności równaniem algebraicznym, niezależnie od ilości użytych kolorów. Definicja 2.1.3 (kolorowanie). Niech L będzie splotem, zaś n liczbą naturalną. Mówimy, że splot L jest kolorowalny modulo n, jeśli posiada diagram, którego włóknom można przypisać liczby całkowite 0, . . . , n − 1 tak, by 34 Rozdział 2. Niezmienniki kolorowe

1. istniały dwa włókna różnych kolorów,

2. równanie a + b ≡ 2c modulo n było spełnione przy każdym skrzyżowaniu: a c . b Takie przyporządkowanie nazywamy kolorowaniem. Metoda ta została odkryta razem z uogólnieniem do n kolorów przez Ralpha Foxa w 1956, kiedy próbował uczynić teorię węzłów bardziej przystępną dla studentów. Opierając się na definicji oraz ruchach Reidemeistera możemy wykazać pierwsze własności kolorowań. Kolorowanie nazywamy trywialnym, jeśli używa tylko jednego koloru. Fakt 2.1.4. Własność „być n-kolorowalnym” jest niezmiennikiem węzłów.

Dowód. Wystarczy sprawdzić, jak ruchy Reidemeistera zmieniają kolory. Pierwszy i drugi:

a b a R1 R2 =∼ a c ≡ 2a − b =∼ b ≡ a d ≡ b

Trzeci ruch także nie wymaga skomplikowanych rachunków. Najkrótszy łuk na diagramach ma kolor 2a − c po lewej oraz 2b − c po prawej stronie.

b c b c

R ∼3 a a =

2a − 2b + c 2a − b 2a − 2b + c 2a − b

Trójlistnik koloruje się dokładnie modulo krotności trójki, ósemka zaś – piątki. Sama kolorowalność nie mówi wiele, splot jest kolorowalny lub nie. Dowód faktu 2.1.4 pokazuje coś więcej: liczba kolorowań, być może trywialnych, jest mocniejszym niezmiennikiem. Lemat 2.1.5. Niech D będzie diagramem z definicji 2.1.3 z wybranym łukiem, zaś k ∈ {0, . . . , n−1} pewnym kolorem. Bez straty ogólności możemy założyć, że krótki łuk jest koloru k. Kolorem tym zazwyczaj jest 0.

Dowód. Dodanie tej samej wartości do wszystkich łuków na dobrze pokolorowanym diagramie daje nowy, także dobrze pokolorowany diagram.

Fakt 2.1.6. Żaden węzeł nie koloruje się modulo dwa.

Dowód. Załóżmy nie wprost, że istnieje nietrywialne kolorowanie. Analiza czterech możliwych skrzyżowań pokazuje, że włókna wychodzące z tunelu muszą mieć ten sam kolor. Przechodząc wzdłuż węzła widzimy jeden kolor, wbrew założeniu nie wprost. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 2.1. Kolorowanie splotów 35

Fakt 2.1.7. Każdy splot o co najmniej dwóch ogniwach koloruje się modula dwa.

Dowód. Wystarczy pomalować jedną składową zerem, a pozostałe jedynkami.

Sploty rozszczepialne są n-kolorowalne dla każdego n ≥ 2, można skorzystać z tego samego schematu kolorowania. Pierścienie Boromeuszy nie kolorują się modulo trzy, nie są zatem rozszczepialne. Sploty, które nie są kolorowalne modulo n dla każdej liczby n ∈ N nazywa się czasem niewidzialnymi, dwa węzły do dziesięciu skrzyżowań mają tę własność: 10124 oraz 10153. Pokażemy teraz, że suma równań kolorujących z dobrze wybranymi znakami jest postaci 0 ≡ 0 mod n. Będziemy potrzebować kilku pomocniczych definicji. Każdy diagram węzła rozcina płaszczyznę na obszary, z czego jeden jest nieograniczony. Definicja 2.1.8 (uszachowienie). Przyporządkowanie każdemu z obszarów, na jakie diagram rozcina płaszczyznę,jednegozdwóchkolorówtak,bysąsiadującezesobąobszarybyłyróżnychkolorów,nazywamy uszachowieniem. Ustalmy węzeł K oraz dowolne uszachowienie dla jego diagramu. Skojarzmy z każdym skrzyżowaniem równanie kolorujące, zgodnie z poniższym schematem: b a b a

a c a c +a − b + a − c = 0 mod n −a + b − a + c = 0 mod n Fakt 2.1.9. Sumą równań kolorujących o dobrze wybranych znakach jest 0 ≡ 0 mod n. Będziemy potrzebować tego do pokazania, że wyznacznik determinuje kolorowalność splotu.

Dowód. Każde równanie kolorujące składa się z czterech wyrazów, po jednym od każdej nici, która spotyka się w danym skrzyżowaniu. Nić biegnie między dwoma skrzyżowaniami, więc suma wszystkich równań kolorujących składa się z par składników, po jednej parze na nić. Składniki te są przeciwnych znaków, zatem wzajemnie się znoszą. Suma równań kolorujących jest sumą zer, a to należało udowodnić.

Liczbę kolorowań splotu L modulo n, trywialnych lub nie, oznaczamy przez τn(L).

Fakt 2.1.10. Jeśli K,L są węzłami, to 3τ3(K # L) = τ3(K)τ3(L). Wniosek 2.1.11. Istnieje nieskończenie wiele węzłów.

Dowód. Suma spójna n trójlistników ma 3n+1, trywialnych lub nie, 3-kolorowań.

Jako kolorów użyjemy teraz elementów g1, . . . , gn pewnej skończonej grupy G. Definicja 2.1.12 (etykietowanie). Mówimy, że zorientowany węzeł K jest etykietowalny grupą G generowaną przez elementy g1, . . . , gn, jeśli posiada diagram, którego włóknom przypisano elementy g1, . . . , gn tak, by równanie gk = hg było spełnione przy każdym skrzyżowaniu (g: włókno biegnące górą, k: bo jego lewej stronie, h: po prawej). k g

h

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 36 Rozdział 2. Niezmienniki kolorowe

Równanie gkg−1 = h mówi, że etykiety włókien wchodzących oraz wychodzących są sprzężone. Wynika stąd, że wszystkie etykiety pochodzą z jednej klasy sprzężoności. Muszą jednocześnie generować całą grupę, dlatego G musi być grupą nieprzemienną lub trywialną. Etykietowalność jest niezmiennikiem węzłów i nie zależy od orientacji węzła: jeżeli elementy g1, . . . , gn generują grupę, to ich odwrotności także. Rozpatrzmy węzły 61 oraz 946 i spróbujmy etykietować je transpozycjami z grupy S4. Wybranie dwóch etykiet przy jednym skrzyżowaniu 61 wymusza etykiety dla wszystkich włókien. Dwie transpozycje nie mogą generować grupy S4, natomiast włókna węzła 946 dają się etykietować samymi transpozycjami. Węzły te są więc różne, choć mają te same własności kolorujące. Etykietowanie jest mocnym narzędziem odróżniającym węzły. istlethwaite w 1985 roku korzystając z niego klasyfikował węzły o co najwyżej 13 skrzyżowaniach (jest ich, jak ostatecznie się okazało, 12965). Mają one tylko 5639 różnych wielomianów Alexandera, ale etykietowania trzynastoma różnymi grupami pozwoliły zmniejszyć liczbę nierozpoznanych węzłów do około tysiąca. Wśród nich 30 posiada wielomian Conwaya 1 + 2z2 + 2z4, ale pary rozróżniane wielomianem HOMFLY mają też różne wielomiany Jonesa. Wielomiany opisujemy w rozdziale trzecim. p 2 Niech p ≥ 3 będzie liczbą pierwszą, natomiast Dp = hr, s | r = s = e, rsr = si grupą diedralną rzędu 2p. Elementy tej grupy to 1, r, r2, . . . , rp−1, s, sr, . . . , srp−1. „Obrót” rk jest sprzężony tylko ze swoją odwrotnością, ale „symetrie osiowe” srk tworzą jedną klasę sprzężoności. Łatwo widać, że dowolne dwie z nich generują całą grupę Dp.

Fakt 2.1.13. Węzeł K jest p-kolorowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest Dp-etykietowalny.

Dowód. Załóżmy, że K ma n włókien. Wiemy już, że każde Dp-etykietowanie wykorzystuje a1 an tylko elementy sr , . . . , sr dla 1 ≤ ai ≤ p. Jest ono prawidłowe dokładnie wtedy, gdy analogiczne kolorowanie liczbami a1, . . . , an jest prawidłowe.

Kolorowania definiowano kiedyś jako surjekcje ρ: π → D2n z grupy podstawowej. Jak mówi prezentacja Wirtingera, grupa splotu generowana jest przez ścieżki z punktu bazowego w S3 do brzegu rurowego otoczenia splotu, wokół południka i znowu do bazowego punktu. Fox zauważył, że z surjektywności ρ wynika, iż generatory mapują się na symetrie osiowe srk. Ponieważ istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między generatorami grupy splotu oraz łukami diagramu, każdemu możemy przypisać liczbę całkowitą k. Etykietowania są więc uogólnieniem kolorowań. Rozumowanie, które przedstawiliśmy, prowadzi do prostej klasyfikacji grup, których można użyć do etykietowania.

Fakt 2.1.14. Niech K będzie węzłem, π grupą podstawową jego dopełnienia, zaś G dowolną grupą. Następujące warunki są równoważne: K jest G-etykietowalny; istnieje surjekcja π1 → G.

Historycznie, prezentacja Wirtingera była pierwsza, zaś etykietowania odkryto później.

Fakt 2.1.15 (Perko). Niech K będzie węzłem etykietowalnym grupą S3. Wtedy K jest też etykietowalny grupą S4.

Nie znam innych nietrywialnych faktów dotyczących etykietowań. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 2.2. Macierz i wyznacznik 37

2.2 Macierz i wyznacznik Zajmiemy się teraz wyznacznikiem, pierwszym nieoczywistym niezmiennikiem splotów, który przypisuje każdemu pewną liczbę całkowitą. Jest on blisko związany z kolorowaniem. Zauważmy, że pierwszy ruch Reidemeistera usuwa zamknięte krzywe, czyli pojedyncze łuki bez skrzyżowań. Diagram bez takich krzywych ma tyle samo skrzyżowań, co łuków. Definicja 2.2.1 (macierz kolorująca). Ustalmy diagram bez zamkniętych krzywych dla splotu L z łukami x0, . . . , xm oraz skrzyżowaniami 0, . . . , m. Definiujemy macierz A+, której wyraz alj jest współczynnikiem przy xj w l-tym równaniu kolorującym:

xk xi

xj

xj + xk − 2xi ≡ 0 mod n

Macierz kolorująca A powstaje z macierzy A+ przez skreślenie dowolnego wiersza i kolumny. Taka macierz jest kwadratowa, ponieważ z każdego skrzyżowania wychodzą (tunelem) dwa włókna mające dwa końce. Wykreślenie wiersza i kolumny jest konieczne. Gdybyśmy tego zaniechali, otrzymana macierz nie byłaby odwracalna, bowiem wiersze sumują się do zera (patrz fakt 2.1.9). Dla alternujących diagramów możemy żądać, by górą i-tego skrzyżowania biegło i-te włókno, wtedy na diagonali macierzy A znajdą się same minus dwójki. Definicja 2.2.2 (wyznacznik). Wyznacznikiem splotu nazywamy wyznacznik macierzy kolorującej A bez znaku: det K := | det AK |. Za wyznacznik niewęzła przyjmujemy liczbę 1. Definicja 2.2.3 (defekt). Wymiar jądra macierzy kolorującej modulo p, defekt, nazywamy defektem węzła. Defekty modulo różne liczby pierwsze są niezależne od siebie. Na przykład suma spójna k trójlistników i j węzłów T2,5 posiada defekt k modulo 3 oraz j modulo 5. Podobne przykłady istnieją dla innych zbiorów liczb pierwszych. Pokażemy później (po poznaniu grupy kolorującej, czyli we wniosku 2.3.7) lub jeszcze później (po wprowadzeniu wielomianu Alexandera, w dowodzie faktu 3.1.3), że wyznacznik splotu jest dobrze określony: nie zależy on od wyboru etykietowania, minora macierzy oraz diagramu i że jest niezmiennikiem. Teraz ograniczymy się do jego kilku własności. Defekt także jest niezmiennikiem, choć rzadziej używanym. Węzeł o defekcie n modulo p n posiada p(p − 1) kolorowań p kolorami. Węzły 818 oraz 924 mają ten sam wyznacznik, 45. Ich defekty modulo 3 to 1 i 2, zatem są różne. Wyznacznik jest blisko związany z kolorowaniami. Lemat 2.2.4. Niech A będzie macierzą r × r o całkowitych wyrazach. Istnieje niezerowy wektor r x ∈ (Z/nZ) taki, że Ax ≡ 0 mod n wtedy i tylko wtedy, gdy liczby det A oraz n nie są względnie pierwsze.

Dowód. Z algebry liniowej wiemy, że dla pewnych odwracalnych całkowitoliczbowych macierzy C,R macierz RAC = diag(a1, . . . , am) jest diagonalna: to postać normalna Smitha. Istnieje odpowiedniość między niezerowymi rozwiązanami równania Ax ≡ 0 oraz Dy ≡ 0, mamy bowiem x ≡ Cy, zatem bez straty ogólności możemy przyjąć, że macierz A jest diagonalna.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 38 Rozdział 2. Niezmienniki kolorowe

Istnieje niezerowy wektor x taki, że Ax ≡ 0 mod n wtedy i tylko wtedy, jeśli istnieją x1, . . . , xm ∈ Z/nZ, nie wszystkie zerowe, że dla każdego i mamy aixi ≡ 0 mod n. Oznacza to, że dla pewnego i liczby ai, n nie są względnie pierwsze. Macierz A jest diagonalna, więc jej wyznacznik ma postać det A = ±|a1|·...·|am|. Wnioskujemy stąd, że liczby det A, n także nie są względnie pierwsze.

Fakt 2.2.5. Splot L koloruje się modulo n wtedy i tylko wtedy, gdy liczby det L oraz n nie są względnie pierwsze.

Dowód. Wybierzmy diagram dla splotu L z uporządkowanymi łukami i skrzyżowaniami. Bez straty ogólności ograniczmy się do tych kolorowań, gdzie x0 = 0. Kolorowanie modulo n istnieje dokładnie wtedy, gdy istnieje niezerowy wektor (x1, x2, . . . , xm) taki, że Ax ≡ 0 mod n. Na mocy lematu oraz definicji det L = | det A|, dowód zostaje zakończony.

Wniosek 2.2.6. Niech L będzie takim splotem, że det L = 1. Wtedy splot L nie koloruje się modulo n dla żadnego naturalnego n. O takich splotach czasami, choć rzadko, mówi się, że są niewidzialne. Wniosek 2.2.7. Niech L będzie takim splotem, że det L = 0. Wtedy splot L koloruje się modulo n dla każdego naturalnego n. Wniosek 2.2.8. Jeśli splot L jest rozszczepialny, to jego wyznacznik wynosi 0. Istnieje jeszcze jedna kombinatoryczna metoda badania węzłów, która prowadzi między innymi do pojęcia wyznacznika. W latach 30. ubiegłego wieku L. Goeritz pokazał, jak diagram węzła wyznacza specjalną formę kwadratową. Nieco później H. F. Trotter zmodyfikował jego pomysł, by sygnatura formy stanowiła niezmiennik splotów. Gordon, Litherland ujednolicili dwa wyżej wymienione podejścia w pracy [91]. My opiszemy krótko macierz Goeritza. Ustalmy szachowiony diagram D dla splotu L. Oznaczmy białe obszary 0, 1, . . . , m, przy czym 0 jest obszarem nieograniczonym. Przydzielmy skrzyżowaniom znaki:

+1 −1

Definicja 2.2.9. Macierz Goeritza powstaje przez skreślenie z macierzy G+ jednego wiersza oraz jednej kolumny:   G00 ··· G0m    . . .  G+ =  . .. .  ,   Gm0 ··· Gmm gdzie jeśli i 6= j, to Gij jest sumą znaków skrzyżowań przyległych do i oraz j. Dla i = j, Gii jest minus sumą znaków skrzyżowań wokół j-tego obszaru.

Macierz G+ posiada dwie własności pozwalające wykryć proste błędy rachunkowe: jest symetryczna, a jej kolumny i wiersze sumują się do zera. Jest przy tym zazwyczaj mniejsza od macierzy kolorującej. Fakt 2.2.10. Niech K będzie ustalonym węzłem, G jego macierzą Goeritza, zaś A macierzą kolorującą. Z dokładnością do znaku, obie macierze mają ten sam wyznacznik: det G = ± det A. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 2.3. Grupa 39

Nie możemy niestety podać dowodu tego faktu, wymaga bowiem znajomości topologii algebraicznej, której wolelibyśmy nie zakładać. Macierz Goeritza nie jest niezmiennikiem splotów. Jeśli jednak równoważnym diagramom D1,D2 odpowiadają macierze G1,G2, to można między nimi przejść skończoną liczbą dwóch ruchów: 1. zamiany macierzy G na P GP −1, gdzie P i P −1 mają całkowite wyrazy 2. dopisania lub skreślenia ±1 na przekątnej (dla węzłów) albo −1, 0, 1 (dla splotów). Poniższy problem pochodzi od Stojmenowa. Hipoteza 2.2.11 (problem 12.25 w [188]). Niech n będzie nieparzystą sumą dwóch kwadratów. Czy istnieje pierwszy, alternujący, achiralny węzeł o wyznaczniku n? Oto, co już wiemy. Dla n = 1, 9, 49 oraz być może pewnej liczby n > 2000 niebędącej kwadratem, taki węzeł nie istnieje. Jeśli istnieje achiralny węzeł o wyznaczniku n, to n jest nieparzystą sumą dwóch kwadratów ([98]). Implikacja odwrotna także jest prawdziwa, od węzła można dodatkowo żądać bycia pierwszym lub alternującym, ale nie zawsze obydwu warunków jednocześnie. Patrz też [226]. Fakt 2.2.12. Wyznacznik splotu alternującego L jest nie mniejszy od jego indeksu skrzyżowaniowego: det L ≥ cr L.

W ten sposób pokazano, że niealternujące węzły istnieją: det 819 = 3 < 8 = cr 819. Bankwitz podał w 1930 niepoprawny dowód dla specjalnego przypadku, kiedy L jest węzłem. Pierwszy pełny dowód, oparty o teorię grafów, przedstawił blisko trzy dekady później Crowell w [48]. Znalazł też mocniejszą nierówność det L + 3 ≥ cr L dla pierwszych, alternujących splotów, które nie są (2, n)-torusowe. To prawie wystarczyło do rozstrzygnięcia, które z węzłów o mniej niż 10 skrzyżowaniach są alternujące. Otwartym problemem pozostały 945, 947, 948 oraz 949. 2.3 Grupa Definicja 2.3.1. Niech L będzie splotem. Grupa kolorująca L, oznaczana Col(L), to abelowa grupa generowana przez łuki diagramu przedstawiającego L z równaniami skrzyżowań tegoż diagramu jako relacjami. Oprócz tego mamy jeszcze jedną relację, a = 0, gdzie a jest ustalonym łukiem. Fakt 2.3.2. Splot L koloruje się modulo n, wtedy i tylko wtedy gdy istnieje nietrywialny homomorfizm Col(L) → Z/nZ. Dowód. Niech a będzie ustalonym łukiem na diagramie splotu L z definicji 2.3.1. Funkcja ϕ: Col(L) → Z/nZ jest nietrywialnym morfizmem, jeśli przyjmuje choć raz wartość różną od zera, spełnia warunek ϕ(a) = 0 i dla każdego skrzyżowania prawdziwe jest równanie

ϕ(xj ) + ϕ(xk) − 2ϕ(xi) = 0 (2.1)

przy oznaczeniach z definicji 2.1.3. To pokazuje, że niezerowe morfizmy Col(L) → Z/nZ to dokładnie kolorowania modulo n, z kolorem ϕ(l) na łuku l.

Wniosek 2.3.3. Niech K będzie węzłem. Wtedy det K jest liczbą nieparzystą.

Dowód. Bezpośredni wniosek z faktów 2.1.6 oraz 2.3.2.

Fakt 2.3.4. Grupa kolorująca jest z dokładnością do izomorfizmu niezmiennikiem węzłów.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 40 Rozdział 2. Niezmienniki kolorowe

Szkic dowodu. Do wyznaczenia grupy kolorującej potrzebujemy diagramu D z wybranym łukiem a. Musimy zatem sprawdzić, że ustalenie innego diagramu lub łuku prowadzi do grupy izomorficznej z wyjściową. Dla diagramów wystarczy sprawdzić, co dzieje się podczas ruchów Reidemeistera jak w dowodzie faktu 2.1.4. W przypadku łuku rozumowanie przebiega analogicznie do dowodu lematu 2.1.5.

Oto metoda pozwalająca na znalezienie grupy kolorującej splotu L. Wybierzmy diagram dla L bez zamkniętych krzywych, etykietowanie x0, . . . , xm dla łuków oraz 0, . . . , m dla m t m skrzyżowań. Utwórzmy macierz kolorującą A. Grupy abelowe Col(L) oraz Z /A Z są izomorficzne, wynika to bezpośrednio z definicji macierzy A. Następnie znajdźmy macierz diagonalną D = diag(d1, . . . , dm), taką że D = RAC, gdzie całkowite macierze R,C mają wyznacznik 1. Z algebry liniowej wiemy, że to zawsze się uda: macierz D nazywamy postacią normalną Smitha. Wtedy funkcja

m t m m m t f(x): Z /A Z → Z /DZ , f(x) = C x (2.2) stanowi izomorfizm, a skoro D jest macierzą diagonalną, to

m m Z ∼ M Z m = (2.3) D |dk| Z k=1 Z Macierz A można zastąpić przez macierz Goeritza G. Podsumujmy. Fakt 2.3.5. Niech L będzie splotem z macierzą kolorującą A, zaś R,C macierzami o wyznaczniku 1 tak, że macierz D = RAC jest diagonalna, postaci diag(d1, . . . , dn). Wtedy grupy Col(L) oraz Z/|d1|Z × ... × Z/|dn|Z są izomorficzne. Wniosek 2.3.6. Grupa kolorująca splotu jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik tego splotu jest niezerowy.

Dowód. Przy oznaczeniach z powyższego faktu, det(L) = |d1| · ... · |dn|.

Wniosek 2.3.7. Wyznacznik jest niezmiennikiem splotów. Grupa jest istotnie mocniejszym niezmiennikiem niż wyznacznik. Na przykład węzły 61 oraz 31 # 31 mają ten sam wyznacznik, 9, ale różne grupy kolorujące: odpowiednio Z/9 2 i (Z/3) . Podamy teraz za S. Cyganem przykład nieskończonej rodziny węzłów, której elementy rozróżnia właśnie wyznacznik. Rozpatrzmy węzeł Kk dla k ≥ 4:

...

c3 ck−2 ck−1

Niech Wn będzie macierzą n×n, na przekątnej której znajdują się 2, zaś bezpośrednio nad i pod nią – wyrazy −1. W macierzy kolorującej (ze skreślonym wierszem „ck” oraz kolumną robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 2.4. Kwandle i wraki 41

„ak”) zamieńmy miejscami dwie pierwsze kolumny, dodajmy do drugiej dwa razy pierwszą, zaś do drugiego wiersza – dwa razy pierwszy wiersz. Otrzymamy macierz   −1 0 0    0 3 −1    0 −1 Wk−3

Powtarzając operacje: zamiana miejscami skrajnie lewych kolumn, dodanie do drugiej 2m + 1 razy pierwszej, odjęcie pierwszego wiersza od trzeciego, czyli sprowadzając naszą macierz do postaci normalnej Smitha przekonamy się, że na jej przekątnej znajdują się wyrazy −1, −1,..., −1, 2k − 3. To oznacza, że det Kk = 2k − 3.

Fakt 2.3.8. Niech k ≥ 9 będzie takie, że wyznacznik węzła Kk jest pewną potęgą 3. Wtedy Kk nie jest splotem trójlistników.

Dowód. Macierz diagonalna otrzymana po wniosku 2.3.7 także jest niezmiennikiem węzłów. #n Macierzą dla splotu trójlistników (31) trójlistników jest diag(1,..., 1, 3,..., 3), zaś ? dla węzła Kk: diag(1,..., 1, 3 ).

2.4 Kwandle i wraki Sekcja ta powstała częściowo w oparciu o notatki autorstwa Andrew Bergera, Chrisa Geriga1 oraz Andrew Bergera, Brandona Flannery’ego i Chrisa Sumnichta2. Kwandle, z angielskiego quandle, są strukturami algebraicznymi przypominającymi grupy. Aksjomaty grupy stanowią uogólnienie symetrii – symetrie są odwracalne, można je składać, identyczność jest symetrią. Aksjomaty kwandli będą odzwierciedlać ruchy Reidemeistera. David Joyce zapytany o znaczenie słowa quandle odpowiedział: „I needed a usable word. “Distributive algebra” had too many syllables. Pifle was already taken. I tried trindle and quagle, but they didn’t seem right, so I went with quandle.”. Definicja 2.4.1 (kwandl). Zbiór X wyposażony w dwuargumentowe działanie . taki, że dla wszystkich elementów x, y, z ∈ X zachodzi: 1. x . x = x,

2. odwzorowanie βy : X → X dane wzorem βy(x) = x . y jest odwracalne,

3. (x . y) . z = (x . z) . (y . z) nazywamy kwandlem. Kwandle można rozpatrywać jako samodzielne konstrukcje algebraiczne. My pokażemy, że są naturalnym niezmiennikiem węzłów. Niech X będzie skończonym kwandlem, zaś K węzłem. Elementy x ∈ X będą dla nas kolorami, którymi oznaczymy długie łuki na diagramie węzła K. Gdy trzy kolory spotykają się przy jednym skrzyżowaniu, definiujemy funkcję .: X × X → X, jak na rysunku. To znaczy: kiedy łuk o kolorze x przechodzi pod łukiem koloru y, staje się łukiem w kolorze x . y.

1dostępne pod adresem https://math.berkeley.edu/~cgerig/notes 2dostępne pod adresem https://github.com/thyrgle/191_Final_Project/blob/master/paper.pdf

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 42 Rozdział 2. Niezmienniki kolorowe

x

y x . y

Ta definicja pochodzi z nieopublikowanej korespondencji między Johnem Conwayem i Gavenem Wraithem, którzy w 1959 byli studentami I stopnia na uniwersytecie w Cambridge. Ponownie odkryto ją w latach 80. XX wieku: Joyce w 1982 po raz pierwszy nazwał te obiekty kwandlami, Matwiejow w tym samym roku jako grupoidy rozdzielne, Brieskorn w 1986 jako zbiory automorficzne. Drugi aksjomat nazywa się czasem odwracalnością z prawej strony: znając x . y oraz y możemy odtworzyć element x, jednak znając x być może nie jesteśmy w stanie odtworzyć elementu y. Jedyny element x taki, że x . y = z nazwijmy y / z. To pozwala podać trochę inną definicję kwandli, my nie będziemy jej używać. Definicja 2.4.2. Zbiór X z dwuargumentowymi działaniami ., / taki, że dla wszystkich x, y, z ∈ X zachodzi: x . x = x / x = x (x / y) . x = y x / (y . x) = y (x . z) . (y . z) = (x . y) . z (x / y) / (x / z) = x / (y / z) nazywamy kwandlem. Teraz możemy przetłumaczyć ruchy Reidemeistera w aksjomaty kwandli. Fakt 2.4.3. Niech X będzie skończonym kwandlem. Liczba etykietowań diagramu elementami kwandla X jest niezmiennikiem węzłów, zwanym niezmiennikiem zliczającym.

Dowód. Musimy pokazać, że etykiety na diagramiem przed każdym ruchem Reidemeistera wyznaczają jednoznacznie układ etykiet po tym ruchu. Pierwszy ruch:

R1 x x . x =∼ x

Drugi ruch: y . x x R2 x =∼ y x / (y . x) y

Trzeci ruch: y . z z (x . z) . (y . z) z (x . y) . z

R3 y =∼ y

x x robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 2.4. Kwandle i wraki 43

Homomorfizmy definiujemy standardowo, przez analogię do grup:

Definicja 2.4.4. Niech Q1,Q2 będą kwandlami. Odwzorowanie f : Q1 → Q2 spełniające warunek

∀x, y ∈ Q1 : f(x . y) = f(x) . f(y), (2.4)

nazywamy homomorfizmem. Wiele znanych struktur algebraicznych okazuje się być źródłem kwandli. Przykład 2.4.5 (kwandl cykliczny/diedralny). Grupa abelowa z działaniem x . y = 2y − x.

−n n Przykład 2.4.6 (kwandle sprzężone). Grupa z działaniem x . y = y xy dla każdego n ∈ N. Przykład 2.4.7 (kwandl Alexandera). Moduł nad pierścieniem Z[t, 1/t] wielomianów Laurenta z działaniem x . y = tx + (1 − t)y. Przykład 2.4.8 (kwandl symplektyczny). Przestrzeń liniowa i antysymetryczna forma dwuliniowa h·|·i z działaniem x . y = x + hx|yiy. D. Joyce w swojej rozprawie doktorskiej przypisał każdemu węzłowi K pewien szczególny kwandl Q(K), kwandl podstawowy. Definicja tego obiektu jest dość zawiła: łuki diagramu są generatorami, zaś skrzyżowania odpowiadają za relacje. Joyce pokazał, że kwandl Q(K) wyznacza węzeł K jednoznacznie z dokładnością do orientacji. Nie czyni to jednak nowego niezmiennika użytecznym, gdyż wyznaczenie go nawet w najprostszych przypadkach stanowi trudność. Niebrzydowski, Przytycki pokazali w 2008 roku, że kwandl podstawowy trójlistnika jest izomorficzny z rzutowym pierwotnym podkwandlem pewnych odwzorowań liniowych przestrzeni symplektycznej Z ⊕ Z, cokolwiek to znaczy. Aksjomaty grupy można wzmacniać (grupy abelowe) lub osłabiać (monoidy). Podobnie czyni się z aksjomatami kwandli. Kwandle inwolutywne odpowiadają węzłom bez orientacji, wraki dobrze opisują węzły obramowane, i tak dalej. Definicja 2.4.9 (kwandl inwolutywny). Kwandl Q, w którym dla wszystkich x, y ∈ Q zachodzi x / (x / y) = y, nazywamy inwolutywnym albo kei. Kwandle inwolutywne badał jako pierwszy Mituhisa Takasaki (1943). Szukał niełącznej struktury, która dobrze opisywałaby odbicia w skończonej geometrii. Definicja 2.4.10 (półka). Zbiór X wyposażony w dwuargumentowe działanie . taki, że dla wszystkich elementów x, y, z ∈ X zachodzi (x . y) . z = (x . z) . (y . z), nazywamy półką.

Przykład 2.4.11. Niech B∞ oznacza grupę wszystkich warkoczy, zaś φ będzie jej endomorfizmem −1 posyłającym generator σk na σk+1. Zbiór B∞ z działaniem a / b = aφ(b)σ1φa jest półką. Półki zdefiniowała Alissa Crans w pracy doktorskiej. To nieprzetłumaczalna gra słów: dwie półki (shelves), lewa i prawa, które dobrze do siebie pasują, dają stojak (rack). Półka stanowi uogólnienie dwóch obiektów – wraków i wrzecion. Definicja 2.4.12 (wrak). Zbiór X z dwuargumentowym działaniem . takim, że dla każdej trójki elementów x, y, z ∈ X zachodzi:

1. odwzorowanie βy : X → X dane wzorem βy(x) = x . y jest odwracalne,

2. (x . y) . z = (x . z) . (y . z)

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 44 Rozdział 2. Niezmienniki kolorowe nazywamy wrakiem (z angielskiego wrack).

Przykład 2.4.13. Zbiór X = {1, 2, . . . , n} i permutacja σ ∈ Sn z działaniem x . y = σ(x). ±1 2 Przykład 2.4.14. Moduł nad pierścieniem Z[t , s]/(s −(1−t)s) z działaniem x.y = tx+sy. Wraki dobrze współgrają z podwójnym pierwszym ruchem Reidemeistera, który to nie zmienia spinu diagramu: x . x x x =∼ x

Definicja 2.4.15 (wrzeciono). Zbiór X z dwuargumentowym działaniem . taki, że dla wszystkich elementów x, y, z ∈ X zachodzi: 1. x . x = x,

2. (x . y) . z = (x . z) . (y . z) nazywamy wrzecionem (z angielskiego spindle). Zatem kwandle to wraki, które są też wrzecionami. Muszę w tym miejscu wtrącić uwagę językową. Conway nazwał wraki wrakami (wracks), by częściowo zażartować z nazwiska jego kolegi Gavina Wraitha, a częściowo by zaznaczyć, że są one tym, co zostaje z grupy, w której zapomniano o mnożeniu, ale nie sprzęganiu (w języku angielskim co najmniej od XVI wieku funkcjonuje zwrot „wrack and ruin” oznaczający zniszczenie). Obecnie dominuje określenie racks. Clark, Elhamdadi, Saito oraz Yeatman pokazali niedawno ([41]) zbiór 26 kwandli, które razem odróżniają od siebie wszystkie 2977 zorientowanych węzłów pierwszych o co najwyżej 12 skrzyżowaniach. Największy z nich jest rzędu 182. Wcześniej (w 2003 roku) Dionisio, Lopes znaleźli 10 kwandli Alexandera, które odróżniają 249 węzłów pierwszych do 10 skrzyżowań. Vendramin znalazł w [241] wszystkie 431 kwandli spójnych rzędu 35 lub mniejszego. Definicja 2.4.16 (kwandl spójny). Niech Q będzie kwandlem. W grupie wszystkich automorfizmów Q można wyróżnić grupę generowaną przez automorfizmy wewnętrzne βy(x) = x . y. Jeżeli działanie tej podgrupy na Q jest przechodnie, kwandl nazywamy spójnym.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f Rozdział 3

Niezmienniki wielomianowe

Większość poznanych dotychczas niezmienników przyjmowała rzeczywiste wartości, teraz poszerzymy nasz arsenał o trzy klasyczne wielomiany. Każdy z nich wywodzi się z innego działu matematyki – wielomian Alexandera z homologii pewnej przestrzeni nakryciowej, Jonesa: z algebr operatorowych/mechaniki statystycznej, zaś HOMFLY-PT stanowi ich dość naturalne uogólnienie. Atrakcyjnym wprowadzeniem do tematu jest przygotowana przez matematyków niemieckich (a przez to dostępna tylko w ich języku) praca [82]. Pierwotnymi artykułami były [7], [111] oraz [76], wszystkie należą do przełomowych w kombinatorycznej teorii węzłów. Na koniec wspominamy też o wielomianach BLM/Ho oraz Kaufmana. 3.1 Wielomian Alexandera Większość niezmienników, jakie dotąd widzieliśmy, przypisuje każdemu węzłowi lub splotowi pewną liczbę całkowitą: niezmienniki z pierwszego rozdziału, liczba kolorowań, wyznacznik czy też defekt są właśnie takie. Poznamy teraz wielomian, opisany po raz pierwszy przez Jamesa Waddella Alexandera w 1923 roku [6]. Przez blisko sześć dekad pozostał on jedynym wielomianowym niezmiennikiem węzłów. Ze względu na elementarność takiego podejścia, pominiemy teorię homologii, zamiast tego skupiając naszą uwagę na równaniach kolorujących. Najpierw trzeba je jednak uogólnić. Definicja 3.1.1. Wielomianowe równanie kolorujące związane ze skrzyżowaniem c a

b splotu zorientowanego to a + tc − ta − b = 0. Tylko orientacja górnej wiązki ma znaczenie. Istotnie, wystarczy podstawić tutaj t = −1, by otrzymać mniej ogólną definicję 2.1.3. Definicja 3.1.2 (wielomian Alexandera). Niech L będzie zorientowanym splotem z diagramem bez krzywych zamkniętych. Przypiszmy etykiety x0, . . . , xm do włókien oraz 0, . . . , m do skrzyżowań. NiechPij będziewspółczynnikiemprzyxj wwielomianowymrównaniukolorującymnadwierzchołkiem i.ZmacierzyP = (Pij )wykreślmyjednąkolumnęijedenwiersz.Wyznaczniktakotrzymanejmacierzy nazywamy wielomianem Alexandera i oznaczamy ∆L(t). Nasz nowy niezmiennik nie jest zwykłym wielomianem, tylko wielomianem Laurenta −1 jednej zmiennej, czyli elementem pierścienia Z[t, t ]. 46 Rozdział 3. Niezmienniki wielomianowe

Fakt 3.1.3. Wielomian Alexandera z dokładnością do mnożenia przez jedności:

m f(t) ≡ g(t) ⇐⇒ ∃m ∈ Z : f(t) = ±t g(t) (3.1) jest niezmiennikiem zorientowanych splotów. W dowodzie niezmienniczości wyznacznika węzła skorzystaliśmy z relacji między nim a grupą kolorującą. Poprzednie wydania książki zawierały sugestię, że elementarny (czyli taki, który nie korzysta z teorii modułów) dowód niezmienniczości wielomianu Alexandera nie istnieje. Sugestia ta była błędna, wystarczy użyć alternatywnej definicji.

Dowód. Ustalmy diagram o k skrzyżowaniach, który rozcina płaszczyznę na k + 2 obszarów i utwórzmy macierz o wymiarach k × k, której kolumny odpowiadają obszarom, wiersze zaś skrzyżowaniom – pomijając przy tym dwa sąsiadujące ze sobą obszary – o wyrazach ze współczynników równań kolorujących. Jej wyznacznik jest wielomianem Alexandera. Sąsiadującym ze sobą obszarom przypiszmy kolejne liczby całkowite tak, by obszar leżący po prawej stronie włókna miał niższy indeks. Pokażemy najpierw, że skasowanie kolumny indeksu n oraz n + 1 sprawia, że wyznacznik zmienia się co najwyżej o czynnik ±tm dla pewnego m. Niech Sn oznacza sumę kolumn indeksu n. Każdy wiersz macierzy zawiera cztery P niezerowe wyrazy: ±1, ±t, zatem n Sn = 0. Równość ta zachodzi nawet po przemnożeniu −n P −n P −n kolumny indeksu n przez t : n t Sn = 0, co prowadzi do relacji n(t − 1)Sn = 0. −n Jeśli więc indeks kolumny vj wynosi n, to (t − 1)vj jest kombinacją liniową innych kolumn niezerowego indeksu (ponieważ t0 − 1 = 0). Rozpatrzmy macierze M0,j ,M0,k, gdzie indeksy j-tej i k-tej kolumny to odpowiednio −q −p p i q. Z powyższych rozważań wynika, że (t − 1)∆0,j = ±(t − 1)∆0,k, ale indeksy obszarów są wyznaczone z dokładnością do stałej addytywnej. Biorąc i-tą oraz l-tą kolumnę, indeksów r oraz s, dostaniemy zależności

r−q r−p (t − 1)∆l,j = ±(t − 1)∆l,i (3.2) q−s q−r (t − 1)∆k,l = ±(t − 1)∆k,i (3.3) co prowadzi do tq−r(tr−p − 1) ∆l,j = ± ∆k,i (3.4) tq−s − 1 Położenie p = r + 1, s = q + 1 pokazuje, że różny wybór kolumn do skreślenia zmienia wyznacznik macierzy co najwyżej o czynnik ±tm. Wprowadźmy jeszcze jedną techniczną definicję. Dwie kwadratowe macierze będą dla nas równoważne, jeśli można przejść od jednej do drugiej przy użyciu pięciu operacji: 1. przemnożenie wiersza lub kolumny przez −1; 2. zamiana dwóch wierszy lub kolumn miejscami; 3. dodanie jednego wiersza do innego (lub kolumny do innej); 4. przemnożenie lub podzielenie kolumny przez t; 5. rozszerzenie lub zmniejszenie macierzy o 1 na przekątnej i zera w innych miejscach. Ruchy Reidemeistera prowadzą do macierzy równoważnych wyjściowym. Każda z tych operacji zmienia wyznacznik macierzy o czynnik ±t−m, co kończy dowód. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 3.1. Wielomian Alexandera 47

Zwyczajowo wielomian normalizuje się: bierze reprezentanta, który jest symetryczny −1 w zmiennych t i t oraz przyjmuje w punkcie 1 wartość ∆L(1) = 1. Odwrotnie, dowolny wielomian Laurenta z całkowitymi współczynnikami o takich własnościach jest wielomianem Alexandera pewnego węzła:

Fakt 3.1.4. Każdy wielomian Laurenta p(t) o całkowitych współczynnikach taki, że p(1/t) = p(t) i p(1) = ±1 jest wielomianem Alexandera pewnego węzła.

Niedowód. Hosokawa w [102] udowodnił to dla pomocniczego wielomianu splotów

∆(t, . . . , t) , (3.5) (1 − t)max(0,µ−2)

gdzie µ oznacza liczbę ogniw. Książka [206] Rolfsena na stronach 171-172 zawiera natomiast jawną konstrukcję węzła o danym wielomianie Alexandera.

Istnieje nieopisana przez nas odmiana wielomianu Alexandera, która liczy sobie tyle zmiennych, ile ogniw posiada splot. Fakt 3.1.4 można częściowo uogólnić: Torres znalazł w [235] dwie geometryczne własności tych wielomianów, nazwane później warunkami Torresa. Nie są one warunkami wystarczającymi, jak odkrył ponad ćwierć wieku później Hillman [101]: wielomian

1 6 6 5 5
D(x, y) = · (1 − x y )(x − 1 + 1/x) − 2(1 − x y )(1 − x)(1 − y) (3.6) 1 − xy

spełnia warunki Torresa, ale nie jest wielomianem Alexandera. Wielomian Alexandera nie odróżnia luster i rewersów od wyjściowych węzłów:

Fakt 3.1.5. Niech L będzie zorientowanym splotem. Wtedy ∆mL(t) = ∆L(1/t) = ∆rL(t).

Dowód. Po odbiciu diagramu względem pionowej prostej skrzyżowanie z definicji 2.1.3 rów- nież się odbija. Równanie związane z nim zmienia się według schematu:

a + tc − ta − b = 0 a + tb − ta − c = 0 (3.7)

Pierwsze równanie z t zamienionym na 1/t staje się drugim równaniem przemnożonym przez −1/t. Dowód drugiej równości przebiega analogicznie.

Nasz niezmiennik nie wykrywa niewęzła. Na przykład 11471 = 11n34, 11473 = 11n42 albo (−3, 5, 7)-precel posiadają trywialny wielomian Alexandera, zjawisko to nie występuje wśród nietrywialnych węzłów o co najwyżej 10 skrzyżowaniach.

Fakt 3.1.6. Niech L będzie zorientowanym splotem. Wtedy |∆L(−1)| = det L.

Dowód. Wystarczy porównać definicję dla ∆L (3.1.2) oraz det L (2.2.2).

Fakt 3.1.7. Niech K1,K2 będą zorientowanymi węzłami. Wtedy

∆K1#K2 (t) ≡ ∆K1 (t)∆K2 (t) (3.8)

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 48 Rozdział 3. Niezmienniki wielomianowe

Dowód. Wybierzmy poniższe diagramy dla węzłów K1 oraz K:

x1, . . . , xm−1 0 0 y1, . . . , yn−1 1, . . . , m 1, . . . , n xm x0 y0 yn

Niech A oraz B oznaczają macierze otrzymane z wielomianowych równań kolorujących dla K1 oraz K2 przez skreślenie skrajnie lewej kolumny i górnego wiersza. Wtedy ∆K1 (t) = det A oraz ∆K2 (t) = det B. Poniższy diagram przedstawia sumę K1 # K2:

z x1, . . . , xm−1 0 ζ y1, . . . , yn−1 1, . . . , m 1, . . . , n xm x0 = y0 yn

Uporządkujmy łuki na diagramie jako x0 = y0, x1, . . . , xm, y1, . . . , yn, z; skrzyżowania: 0, 1, . . . , m (z K1), 1, . . . , n (z K2), ζ. Wielomianowe równanie kolorujące dla K1 # K2 nad skrzyżowaniami 1, . . . , m (1, . . . , n) są takie same, jak przed dodaniem do siebie węzłów. Nad skrzyżowaniem ζ równanie orzeka, że (1 − t)y0 + tz − yn = 0.

Wynika stąd, że ∆K1#K2 (t) jest wyznacznikiem macierzy    A          M =      B      −1 t

? Skreśliliśmy lewą kolumnę oraz górny wiersz. Zatem ∆K1#K2 (t) = t ∆K1 (t)∆K2 (t), jeśli nie pomyliliśmy się w obliczeniach.

Fakt 3.1.8. Wielomian Alexandera zadaje ograniczenie na indeks skrzyżowaniowy c:

deg ∆K (t) < c(K). (3.9)

Być może istnieje bezpośredni dowód tej nierówności, ale jedyne uzasadnienie, jakie znam, opiera się na fakcie 4.2.17 oraz wniosku 4.2.21. Fakt 3.1.9. Tylko skończenie wiele węzłów alternujących może mieć ten sam wielomian Alexandera.

Dowód. Załóżmy nie wprost, że istnieje nieskończony ciąg Kn węzłów alternujących o tym samym wielomianie Alexandera ∆K (t). Wszystkie jego wyrazy mają ten sam wyznacznik, ponieważ det Kn = |∆K (−1)|. Z faktu 2.2.12 wynika, że indeks skrzyżowaniowy węzłów Kn jest wspólnie ograniczony: ck ≤ det Kn = det K. To prowadzi do sprzeczności: węzłów o danym indeksie skrzyżowaniowym jest tylko skończenie wiele.

Przedstawimy teraz kilka innych definicji, które prowadzą do tego samego niezmiennika. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 3.1. Wielomian Alexandera 49

Definicja 3.1.10 (relacja kłębiasta). Niech L będzie zorientowanym splotem z ustalonym diagramem oraz skrzyżowaniem. Oznaczmy przez L+,L−,L0 trzy diagramy splotów, które różnią się jedynie na małym obszarze wokół ustalonego skrzyżowania:

L+ L− L0 Mówimy, że niezmiennik zorientowanych splotów f spełnia relację kłębiastą, jeżeli wartości f(L+), f(L−) i f(L0) są związane pewnym wielomianowym równaniem, niezależnie od wyboru splotu L. Termin „skein” (kłąb) wprowadził Conway około roku 1970, kontynuując tradycję używania słów, które kojarzą się ze sznurkami. ±1/2 Definicja 3.1.11. Niech L będzie zorientowanym splotem. Wielomian Laurenta ∆L(t) ∈ Z[t ], który spełnia relację kłębiastą

1/2 −1/2 ∆L+ (t) − ∆L− (t) − (t − t )∆L0 (t) = 0 (3.10)

z warunkiem brzegowym ∆ (t) = 1, nazywamy wielomianem Alexandera. Wzór ten, choć znany był Alexanderowi, nie zyskał przez wiele dekad uwagi matematyków. Mogło tak być, gdyż w pracy [7] znalazł się on na samym końcu, pod nagłówkiem „twierdzenia różne”. Na nowo odkrył go Conway: chcąc szybko liczyć wielomian Alexandera zaproponował, by reparametryzować go wzorem ∆(x2) = ∇(x − 1/x). Spełnia wtedy zależność

∇L+ (x) − ∇L− (x) = x∇L0 (x). (3.11)

Relacja kłębiasta wystarcza do wyznaczenia ∆L każdego splotu na mocy lematu 1.5.4. Dzięki niej wiemy też, że wielomian Alexandera nie odróżnia od siebie niesplotów. Wady tej nie posiada wielomian Jonesa.

Fakt 3.1.12. Niech L będzie splotem rozszczepialnym. Wtedy ∆L(t) ≡ 0.

Dowód. Skorzystamy z relacji kłębiastej. Niech L0 będzie splotem rozsczepialnym z dwoma ogniwami. Wtedy węzły L+ oraz L− powstałe przez dodanie skrzyżowania między ogniwami są tego samego typu, zatem

∆L+ − ∆L− ∆L = = 0, (3.12) 0 t1/2 − t−1/2 a to chcieliśmy udowodnić.

−2 Implikacja w drugą stronę jest fałszywa. Niech σ∗ = σ2σ3 σ2. Domknięcie warkocza σ1σ∗σ1σ3σ∗σ1σ3σ∗σ3 nie jest rozszczepialne, ale jego wielomian Alexandera jest zerem. Warkocze poznamy w rozdziale piątym. Murasugi podejrzewał, że w przypadku węzłów alternujących ciąg współczynników jest unimodalny. Dowód podano dla węzłów algebraicznych (Murasugi [178]) oraz genusu dwa (Ozsvath i Szabo w [190]). Hipoteza w ogólnym przypadku pozostaje otwarta. Kondo pokazał w [132], że dla każdego węzła można znaleźć inny, 1-gordyjski węzeł o tym samym wielomianie Alexandera. Wynika stąd, że nie ma związku między wielomianem ∆ oraz liczbą gordyjską.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 50 Rozdział 3. Niezmienniki wielomianowe

Na sam koniec pozostawiliśmy najstarszą definicję wielomianu Alexandera. Niech K będzie węzłem w 3-sferze, zaś X nieskończonym nakryciem cyklicznym jego dopełnienia. Można je otrzymać rozcinając dopełnienie wzdłuż powierzchni Seiferta. Na X, a przez to także na grupie homologii H1(X), działa automorfizm t, który czyni z niej moduł nad pierścieniem −1 Z[t, t ], i to skończenie prezentowalny. Jeśli posiada przedstawienie z r generatorami i s relacjami, gdzie r ≤ s, rozpatrzmy ideał generowany przez minory r×r macierzy prezentacji (jeśli nie, weźmy ideał zerowy). Alexander pokazał, że ideał ten zawsze jest niezerowy i główny. Wymagaprzeredagowania3.1.13. DefinicjaprzyużyciuróżniczekFoxa:https://math.berkeley.edu/hutching/teach/215b- 2004/yu.pdf 3.2 Wielomian Jonesa Relacja kłębiasta okazała się być kluczem do sukcesu w poszukiwaniu nowych niezmienników wielomianowych. Vaughan Jones, matematyk nowozelandzki, zaprezentował w roku 1984 nowy niezmiennik splotów jako produkt uboczny podczas pracy nad algebrami operatoro- wymi, które nas nie interesują. Był to przełomowy rezultat, a już cztery miesiące później ogłoszono znalezienie jeszcze bardziej wyrafinowanego niezmiennika, któremu przyjrzymy się w kolejnej sekcji. Aby lepiej zrozumieć wielomian Jonesa, zbadamy najpierw nieco prostszy obiekt, nawias Kaufmana. Później zajmiemy się węzłami alternującymi. 3.2.1 Definicja kombinatoryczna – klamra Kaufmana Klamra Kaufmana to wielomian Laurenta jednej zmiennej zdefiniowany w pracy [118] z 1987 roku, oparty na ruchach Reidemeistera. Dzięki swojej prostocie mógł być odkryty na początku XX wieku, nim jeszcze maszyneria teorii węzłów została rozwinięta. Poszukujemy niezmiennika dla splotów o kilku prostych własnościach. Przede wszystkim żądamy, by niewęzłowi przypisany był wielomian 1: h i = 1. Po drugie chcemy wyznaczać * + nawiasy znając je dla prostszych splotów, co zapiszemy symbolicznie = A h i +

B h i. Zależy nam wreszcie na tym, by móc dodać do splotu trywialną składową: hL ∪ i = ChLi. Prosty rachunek pokazuje wpływ drugiego ruchu Reidemeistera na klamrę: * + ? = (A2 + ABC + B2) h i + BA h i = h i . (3.13)

Aby zachodziła ostatnia równość wystarczy przyjąć B = A−1, co wymusza na nas wartość trzeciego parametru: C = −A2 − A−2. W ten sposób odkryliśmy definicję. Definicja 3.2.1 (klamra Kaufmana). Wielomian Laurenta hDi dla diagramu splotu D zmiennej A, który jest niezmienniczy ze względu na gładkie deformacje diagramu, a przy tym spełnia trzy poniższe aksjomaty: h i = 1 (3.14) hD t i = (−A−2 − A2) hDi (3.15) * + = A h i + A−1 h i (3.16) nazywamy klamrą Kaufmana. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 3.2. Wielomian Jonesa 51

Trzeci aksjomat jest wariacją na temat relacji kłębiastej. Lemat 3.2.2. Klamra Kaufmana każdego diagramu wyznacza się w skończenie wielu krokach.

Dowód. Szkic: W każdym kroku możemy albo zmniejszyć liczbę ogniw (drugi aksjomat), albo liczbę skrzyżowań (trzeci aksjomat). Przepisać: Jeżeli diagram D ma n skrzyżowań, to nieustanne stosowanie aksjomatu trze- ciego pozwala na zapisanie hDi jako sumy 2n składników, z których każdy jest po prostu zamkniętą krzywą i ma trywialną klamrę (h i = 1). Klamrę sumy wyznacza się korzystając z drugiego aksjomatu.

Przedstawimy teraz wpływ ruchów Reidemeistera na nasz nowy wielomian. Lemat 3.2.3. Drugi i trzeci ruch Reidemeistera nie ma wpływu na klamrę Kaufmana, pierwszy ruch zmienia ją zgodnie z regułą:     = −A−3 . (3.17)

Dowód. Pierwszy ruch Reidemeistera:       K=3 A + A−1       K=2 A + A−1(−A−2 − A2) = −A−3

Dla drugiego ruchu: * + * + * + * + K=3 A + A−1 K=1 −A−2 h i + A−1

K=3 −A−2 h i + A−1A h i + A−1A−1 h i = h i

Dla trzeciego ruchu: * + * + * + K=3 A + A−1

* + * + * + R=2 A + A−1 K=3

korzystaliśmy tu z własności drugiego ruchu.

Wniosek 3.2.4. Rozpiętość klamry Kaufmana jest niezmiennikiem węzłów. Klamra Kaufmana nie jest niezmiennikiem węzłów ze względu na I ruch Reidemeistera. Jeżeli przypomnimy sobie, że na mocy lematu 1.5.21 spin także nie jest niezmiennikiem węzłów, odkryjemy „trik Kaufmana”: niedoskonałości tych dwóch obiektów znoszą się wzajemnie. ±1/2 Definicja 3.2.5. Niech L będzie zorientowanym splotem. Wielomian Laurenta V (L) ∈ Z[t ] określony przez h i V (L) = (−A)−3w(D) hDi , (3.18) t1/2=A−2 gdzie D to dowolny diagram dla L, nazywamy wielomianem Jonesa.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 52 Rozdział 3. Niezmienniki wielomianowe

Sama klamra odegrała ważną rolę podczas unifikacji wielomianu Jonesa oraz innych niezmienników kwantowych. W szczególności pozwoliła na uogólnienie go do niezmiennika 3-rozmaitości. Fakt 3.2.6. Wielomian Jonesa jest niezmiennikiem zorientowanych splotów.

Dowód. Wystarczy pokazać niezmienniczość (−A)−3w(D)hDi na ruchy Reidemeistera. Ale

      −3w −3w +3 −3w (−A) h i = (−A) (−A)−3 h i = (−A) h i . (3.19)

Zazwyczaj, ale nie zawsze, wielomian Jonesa lepiej radzi sobie z odróżnianiem od siebie splotów. Zaczniemy od wyznaczenia bezpośrednio z definicji, jakie są wielomiany Jonesa niesplotów. Dla porównania, wielomian Alexandera wszystkich splotów rozszczepialnych jest taki sam (stwierdzenie 3.1.12). Fakt 3.2.7. Wielomianem Jonesa splotu trywialnego o n ogniwach jest

 √ 1 n−1 V (Kn) = − t − √ . (3.20) t

Co więcej, wielomian Jonesa odróżnia od siebie dowolne dwa węzły pierwsze o co najwyżej 9 skrzyżowaniach. Dalej występują już kolizje, oto pełna ich lista do 10 skrzyżowań: 51 – 10132, 88 – 10129, 816 – 10156, 1022 – 1035, 1025 – 1056, 1040 – 10103, 1041 – 1094, 1043 – 1091, 1059 – 10106, 1060 – 1086, 1071 – 10104, 1073 – 1083, 1081 – 10109, 10137 – 10155. Jones wiedział, że wielomianowe niezmienniki nie radzą sobie z odróżnianiem od siebie mutantów, dlatego zapytał w 2000 roku, czy jego wielomian wykrywa niewęzły. Pozostaje to otwartym problemem do dziś.

Hipoteza 3.2.8. Niech K będzie węzłem. Jeśli VK (t) ≡ 1, to K jest niewęzłem. Hipotezę zweryfikowano komputerowo dla węzłów o małej liczbie skrzyżowań. W latach dziewięćdziesiątych Hoste, istlethwaite, Weeks zrobili to dla węzłów spełniających cr ≤ 16. Wynik poprawiano: Dasbach, Hougardy w 1997 do cr = 17; Yamada w 2000 do cr = 18; wreszcie Tuzun, Sikora w 2016 do cr ≤ 22. Istnieją sploty o trywialnym wielomianie Jonesa, jest ich nawet nieskończenie wiele, jak Eliahou, Kaufman i istlethwaite pokazali w pracy [62]. Fakt 3.2.9. Niech k ≥ 2 będzie liczbą naturalną. Istnieje nieskończenie wiele splotów pierwszych z k ogniwami, których wielomian Jonesa nie odróżnia od niesplotu z k ogniwami. Co więcej, można wymagać, by wszystkie te sploty były satelitami splotu Hopfa.s Niech V będzie wielomianem Jonesa splotu K o n składowych spójności. Jego wartości w niektórych pierwiastkach jedności są związane z innymi niezmiennikami węzłów. I tak przyjmując oznaczenie ωk = exp(2πi/k) mamy

Fakt 3.2.10. VL(ω3) = 1. n−1 Fakt 3.2.11. VL(1) = (−2) .

Dowód. Jak wkrótce się przekonamy, to proste wnioski z relacji kłębiastej. Explicite wskazał je Jones w [111] (jako theorem 14, 15). robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 3.2. Wielomian Jonesa 53

0 Fakt 3.2.12. Pochodna w punkcie t = 1 znika: VL(1) = 0.

Dowód. Twierdzenie 16 w [111]. √ n−1 r Fakt 3.2.13. VL(ω6) = ±i · ( 3i) , gdzie r jest rangą pierwszej grupy homologii podwówjnego rozgałęzionego nakrycia L nad Z3.

Dowód. Znak ± został wyznaczony przez Lipsona w [151], praca ta zawiera też odsyłacz do wyprowadzenia reszty wzoru.

2 Fakt 3.2.14. Liczba trzy-kolorowań splotu L wynosi 3|VL(ω6)| .

Dowód. Dowód zawiera praca „3-coloring and other elementary invariants of knots” (Przytycki, 1998).

Fakt 3.2.15. Jeśli K jest właściwym√ splotem (indeks zaczepienia każdej składowej o resztę splotu jest n−1 Arf K parzysty), to VL(i) = (− 2) (−1) . W przeciwnym razie VL(i) = 0.

Dowód. Równość 4. pokazał Murakami w 1986 roku ([172]).

Fakt 3.2.16. Niech G będzie pierwszą grupą homologii podwójnego nakrycia S3 rozgałęzionego nad składowymi. Jeśli G jest torsyjna, to VL(−1) = |G|. W przeciwnym razie VL(−1) = 0.

Dowód. ????

Nie jest znana topologiczna interpretacja wielomianu Jonesa (którą posiada wielomian Alexandera) ani charakteryzacja poza warunkami koniecznymi z pięciu faktów powyżej.

Wniosek 3.2.17. Niech K będzie węzłem. Wtedy

V (1) = 1 (3.21) V (−1) = ± det K (3.22) ( 1 dla ∆(−1) ≡ ±1 mod 8 V (i) = (3.23) −1 w przeciwnym razie.

Poza powyżej opisanymi przypadkami, wartości wielomianu Jonesa nie można znaleźć w czasie wielomianowym od ilości skrzyżowań na diagramie (jest to problem #P -trudny). Czemu wielomian Jonesa jest wielomianem? Odpowiedniki wielomianu Jonesa dla węzłów w 3-rozmaitościach innych niż sfera S3 nie są wielomianami, ale funkcjami z pierwiastków jedności w zbiór elementów całkowitch1 (jak podaje J. Roberts). Dotychczas wyznaczyliśmy wielomian Jonesa jedynie dla splotów trywialnych (fakt 3.2.7). Dlaczego? Chociaż klamra Kaufmana to użyteczne narzędzie podczas dowodzenia różnych teoretycznych własności, niezbyt nadaje się do obliczeń, szczególnie ręcznych. Na szczęście wtedy z pomocą przychodzi:

1algebraic integers

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 54 Rozdział 3. Niezmienniki wielomianowe

±1/2 Definicja 3.2.18. Niech L będzie zorientowanym splotem. Wielomian Laurenta VL(t) ∈ Z[t ], który spełnia relację kłębiastą

−1 −1/2 1/2 t V (L+) − tV (L−) + (t − t )V (L0) = 0 (3.24) z warunkiem brzegowym V ( ) = 1, nazywamy wielomianem Jonesa.

Dowód. Wyraźmy wielomian Jonesa przez nawias Kaufmana i spin. Chcemy pokazać, że * + * + A4(−A)−3w(L+) −A−4(−A)−3w(L−) +(A2−A−2)(−A)−3w(L0) h i = 0.

(3.25) Ale w(L±) = w(L0) ± 1, zatem to jest równoważne z * + * + −A + A−1 + (A2 − A−2) h i = 0.

* + * + Z definicji nawiasu Kaufmana wnioskujemy,że = A h i+A−1 h i i =

A h i + A−1 h i. Pierwsze równanie przemnóżmy przez A, drugie przez A−1, a następ- * + * + nie dodajmy je do siebie. Wtedy otrzymamy A − A−1 = A2 h i −

A−2 h i.

Wielomian Jonesa nie wykrywa orientacji splotu. Fakt 3.2.19. Niech L będzie zorientowanym splotem. Wtedy V (rL) = V (L).

Dowód. Aby obliczyć wielomian rewersu, wykorzystujemy te same diagramy kłębiaste, jak dla zwykłego, a przy tym nie zmieniamy znaku żadnego skrzyżowania.

Ale czasami potrafi odróżnić splot od jego lustra: Fakt 3.2.20. Niech L będzie zorientowanym splotem. Wtedy V (mL)(t) = V (L)(t−1).

Dowód. Zauważmy, że diagramy L− oraz L+ są wzajemnymi lustrami. Dlatego każda relacja kłębiasta dla splotu postaci

−1 −1/2 1/2 t V (L+)(t) − tV (L−)(t) + (t − t )V (L0)(t) = 0 (3.26) odpowiada pewnej relacji dla lustra splotu:

−1 −1/2 1/2 − tV (L+)(t) + t V (L−)(t) + (t − t )V (L0)(t) = 0, (3.27) co po zamianie zmiennych t 7→ t−1 i przemnożeniu przez −1 daje

−1 −1 −1 1/2 −1/2 −1 − t V (L+)(t ) + tV (L−)(t ) + (t − t )V (L0)(t ) = 0. (3.28)

Patrz też: Florian Gellert, Kombinatorische Invarianten, strona 12.

Wniosek 3.2.21. Jeśli K jest węzłem zwierciadlanym, to wielomian VK jest symetryczny. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 3.2. Wielomian Jonesa 55

Implikacja odwrotna nie zachodzi na mocy wniosku 4.2.47: węzeł 942 ma symetryczny wielomian Jonesa, ale niezerową sygnaturę. Poniżej trzynastu skrzyżowań taka sytuacja ma miejsce dla dokładnie czternastu węzłów pierwszych. Równość V (mL)(t) = V (L)(t−1) nie jest spełniona dla trójlistnika, zatem ten nie jest równoważny ze swoim lustrem. Wcześniej pokazał to z dużo większym wysiłkiem Dehn, patrz przykład 1.3.9. Wniosek 3.2.22. Wielomian Jonesa nie zależy od orientacji węzła. Nie jest to prawdą dla splotów.

Dowód. Każdy węzeł ma tylko dwie orientacje, splot może mieć ich 2n, gdzie n to liczba składowych.

Fakt 3.2.23. Niech L1,L2 będą zorientowanymi splotami. Wtedy

1/2 −1/2 V (L1 t L2) = (−t − t )V (L1)V (L2). (3.29) 1/2 −2 Dowód. Wybierzmy diagramy D1,D2 dla splotów L1,L2. Po podstawieniu t = A widzimy, że chcemy pokazać

−3w(D1tD2) 2 −2 −3(w(D1)+w(D2)) (−A) hD1 t D2i = (−A − A )(−A) hD1ihD2i. (3.30)

Oczywiście w(D1 t D2) = w(D1) + w(D2), więc wystarczy udowodnić, że 2 −2 hD1 t D2i = (−A − A )hD1ihD2i. (3.31)

Oznaczmy przez f1(D1), f2(D1) odpowiednio lewą i prawą stronę ostatniego równania. Są to wielomiany Laurenta, które zależą tylko od D1. Aksjomaty Kaufmana pozwalają na pokazanie, że obie funkcje mają następujące własności: 2 −2 fi( ) = (−A − A )hD2i (3.32) 2 −2 fi(D1 t ) = (−A − A )fi(D1) (3.33)

−1 fi( ) = Afi( ) + A fi( ). (3.34)

Ponieważ powyższe tożsamości wystarczają do wyznaczenia wartości funkcji fi dla dowolnego diagramu D1, dochodzimy do wniosku, że f1 ≡ f2. To kończy dowód.

Fakt 3.2.24. Niech K1,K2 będą zorientowanymi węzłami. Wtedy

V (K1#K2) = V (K1)V (K2). (3.35) Dowód. Rozpatrzmy sploty

K1 K2 K1 K2 K1 K2

Relacja kłębiasta orzeka w tym przypadku, że

−1 −1/2 1/2 t V (K1#K2) − tV (K1#K2) + (t − t )V (K1 t K2) = 0. (3.36) Ostatni składnik sumy można rozwinąć na mocy faktu 3.2.23. Po uporządkowaniu dostaniemy: −1 −1 (t − t)V (K1#K2) − (t − t)V (K1)V (K2) = 0, (3.37) a stąd widać już prawdziwość dowodzonej tezy.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 56 Rozdział 3. Niezmienniki wielomianowe

3.2.2 Definicja algebraiczna – algebra Temperleya-Lieba Jones otrzymał swój wielomian jako efekt uboczny badań nad algebrami operatorowymi: wziął ślad pewnej reprezentacji warkoczy w algebrę, która miała ważne znaczenie w mechanice statystycznej. Dalszy opis pochodzi z Wikipedii. Zaletą tego podejścia jest możliwość wyboru algebry, która reprezentuje grupę warkoczy.

Definicja 3.2.25 (algebra Temperleya-Lieba). Niech R będzie przemiennym pierścieniem, w którym ustalono element δ ∈ R. Wtedy R-algebrę TLn(δ) generowaną przez elementy e1, . . . , en−1, które związane są relacjami

2 ei = δei, (3.38)

eiei±1ei = ei, (3.39)

eiej = ej ei (3.40) dla |i − j| ≥ 2, nazywamy algebrą Temperleya-Lieba.

TLn(δ) można przedstawić przy użyciu diagramów: prostokątów, których przeciwległe boki zawierają po n punktów połączonych w pary tak, by uniknąć samoprzecięć. Mnożenie elementów algebry odpowiada sklejaniu dwóch diagramów, przy czym każdą zamkniętą pętlę zamieniamy na dodatkowy czynnik δ. To w gruncie rzeczy są warkocze.

1 e1 e2 e3 e4

Rysunek 3.1: Diagramatyczne przedstawienie elementów bazowych algebry TL5(δ)

Definicja 3.2.26 (ślad Markowa). Niech K ∈ TLn(δ) będzie elementem algebry Temperleya- Lieba będącym iloczynem generatorów e1, . . . , en−1, którego domknięcie rozpada się na m składowych spójności. Śladem Markowa elementu K nazywamy wielkość tr K = δm−n.

Każdy splot L jest domknięciem warkocza zaplecionego na pewnej liczbie pasm, jak głosi twierdzenie 4 Alexandera. Rozpatrzmy pierścień R = Z[A, 1/A] z wyróżnionym elementem δ = −A2 − A−2 oraz związaną z nim algebrę Temperleya-Lieba. Wzór

1 ρ(σi) = A · ei + · 1 (3.41) A

n−1 zadaje reprezentację grupy warkoczy ρ: Bn → TLn. Wtedy hKi = δ tr ρ(σ) jest klamrą Kaufmana. Ponieważ sploty nie przedstawiają się jako domknięcia warkoczy jednoznacznie, trzeba jeszcze sprawdzić wpływ ruchów Reidemeistera na złożenie tr ◦ρ. Pozostawiamy to Czytelnikowi jako ćwiczenie. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 3.2. Wielomian Jonesa 57

3.2.3 Hipotezy Taita W tej podsekcji definiujemy stan oraz wygładzenie diagramu, następnie wyprowadzamy wzór o sumowaniu stanów oraz dowodzimy prawdziwości dwóch technicznych lematów. Pozwoli to oszacować rozpiętość wielomianu Jonesa, skąd bezpośrednio wynika już I hipoteza Taita 1.2.18. Nie odbiega to znacząco od podejścia Kaufmana w [118]. Na koniec naszkicujemy krótko dowody pozostałych hipotez. Definicja 3.2.27. Wąskie skrzyżowanie między dwiema rozłącznymi częśćmi diagramu nazywamy przesmykiem (isthmus)...... Diagram jest zredukowany, gdy nie zawiera przesmyków. Słowo przesmyk pochodzi z teorii grafów, skrzyżowanie jest przesmykiem dokładnie wtedy, gdy odpowiadająca mu krawędź w grafie węzła jest przesmykiem, czyli jej usunięcie zwiększa liczbę składowych spójności. Tam używa się także określenia most, które u nas ma już inne znaczenie. Definicja3.2.28(spójny). Diagram,któregoniemożnapodzielićnadwieniepusteczęściniespotykające się na żadnym skrzyżowaniu, nazywamy spójnym. Jeżeli diagram nie jest spójny, możemy przesunąć rozłączne ogniwa na siebie przy użyciu II ruchu Reidemeistera. Hipoteza Taita mówi coś o zredukowanych, spójnych i alternujących diagramach. Definicja 3.2.29 (stan). Niech D będzie diagramem splotu. Każdą funkcję s ze zbioru skrzyżowań diagramu D o wartościach ±1 nazywamy stanem. Sumę wszystkich wartości s oznaczamy |s|. Definicja 3.2.30. Niech D będzie diagramem splotu, zaś s jego stanem. Diagram powstały przez wygładzenie wszystkich skrzyżowań zgodnie z ich stanem oznaczamy sD. Przez |sD| rozumiemy liczbę zamkniętych, nieprzecinających się krzywych, z których składa się nowy diagram. Fakt 3.2.31 (o sumowaniu stanów). Niech D będzie diagramem splotu. Wtedy X 2 −2 |sD|−1 |s| hDi = (−A − A ) A , (3.42) s gdzie sumujemy po wszystkich stanach s dla diagramu D. Dla wygody wprowadźmy skrót hD | si := (−A−2 − A2)|sD|−1A|s|. Dowód. Oznaczmy prawą stronę dowodzonej równości przez [D]. Pokażemy, że spełnia ona aksjomaty Kaufmana z definicji 3.2.1, stąd wynika już, że [D] = hDi. Pierwszy aksjomat (równość 3.14) mówi o niewęźle . Posiada on tylko jeden stan s dany wzorem |s| = 0, zatem |s | = 1 oraz [D] = (−A2 − A−2)0 · A0 = 1. By pokazać, że funkcja [ · ] spełnia drugi aksjomat (równość 3.15) zauważmy, że diagramy D t oraz D mają te same skrzyżowania, więc możemy utożsamiać stany s dla D ze stanami u dla D t . Wtedy |u| = |s| oraz |u(D t )| = |sD| + 1. Zatem X 2 −2 |u(Dt )|−1 |u| [D t ] = (−A − A ) A (3.43) u X 2 −2 |sD| |s| = (−A − A ) A (3.44) s = (−A2 − A−2)[D]. (3.45)

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 58 Rozdział 3. Niezmienniki wielomianowe

Pozostał ostatni aksjomat, równość 3.16. Bezpośrednio z definicji mamy

X 2 −2 |u |−1 |u|+1 A[ ] = (−A − A ) A , (3.46) u gdzie u przebiega wszystkie stany . Ale to z ustalonym skrzyżowaniem c wygładzo- nym dodatnio, co daje bijekcję między wszystkimi stanami u diagramu oraz tymi stanami s diagramu , dla których s(c) = +1. Wtedy |s | = |u |, |s| = |u| + 1 oraz

X 2 −2 |u |−1 |u|+1 A [ ] = (−A − A ) A (3.47) u

|s |−1 X 2 −2 |s| = (−A − A ) A , (3.48) s(c)=1 podobne rozumowanie pokazuje, że

|s |−1 −1 X 2 −2 |s| A [ ] = (−A − A ) A . (3.49) s(c)=−1 Dodanie do siebie równań 3.48 oraz 3.49 kończy dowód.

Zbadamy następnie dwa najprostsze stany dowolnego diagramu.

Definicja 3.2.32. Stan przypisujący wartość +1 każdemu skrzyżowaniu oznaczamy s+. Analogicznie definiujemy stan s−. Niech D będzie alternującym, zredukowanym diagramem spójnym. Wtedy wszystkie jego skrzyżowania mają ten sam znak. Wybierzmy dla niego to uszachowienie, w którym wszystkie skrzyżowania są dodatnie:

+1 +1 +1 +1

Nazywamy je uszachowieniem standardowym. Porównajmy wygładzenie s+D z s−D:

s+D s−D

Zamknięte krzywe tworzące s+D są brzegami białych obszarów uszachowienia, podczas gdy te tworzące s−D stanowią brzeg czarnych obszarów. Zauważmy jeszcze, że na każdym skrzyżowaniu występują cztery różne czarne i białe obszary: gdyby pewien obszar dotykał tam sam siebie, mielibyśmy do czynienia w tym miejscu z przesmykiem, a założyliśmy przecież, że diagram jest zredukowany. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 3.2. Wielomian Jonesa 59

Lemat 3.2.33. Niech D będzie spójnym diagramem splotu o n skrzyżowaniach. Wtedy

|s+D| + |s−D| ≤ n + 2, (3.50) z równością, gdy diagram D jest alternujący i zredukowany.

Dowód. Skorzystamy z indukcji względem n. Łatwo widać prawdziwość lematu dla n = 0. Załóżmy, że jest on prawdziwy dla wszystkich diagramów o n − 1 skrzyżowaniach, następnie ustalmy diagram D o n skrzyżowaniach. Wybierzmy skrzyżowanie na diagramie D. Można je wygładzić na dwa sposoby, jeden z nich daje spójny diagram D0. Bez straty ogólności przyjmijmy, że dzieje się tak podczas 0 0 dodatniego wygładzenia. Wtedy zachodzi |s+D | = |s+D|, ale |s−D | = |s−D| ± 1, gdyż 0 diagram s−D powstaje z s−D po zastąpieniu pewnej części przez . To rozrywa jedną krzywą na dwa kawałki lub scala dwie krzywe w jedną. Z założenia indukcyjnego mamy

0 0 |s+D| + |s−D| = |s+D | + |s−D | ± 1 (3.51) ≤ (n − 1) + 2 ± 1 (3.52) ≤ n + 2. (3.53)

Załóżmy, że diagram D jest spójny, alternujący i zredukowany. Pierwsza nierówność jest tak naprawdę równością jako powtórzenie założenia indukcynego. Z drugiej strony zachodzi 0 0 |s−D | = |s−D| − 1, ponieważ przejście od s−D do s−D skleja dwa czarne obszary, jak na poniższym rysunku:

0 D s−D s−D

Oznacza to, że druga nierówność także jest równością, quod erat demonstrandum.

W dowodzie hipotezy Taita użyjemy rozpiętości wielomianu Jonesa: Definicja 3.2.34 (rozpiętość). Niech f będzie wielomianem Laurenta jednej zmiennej X. Wtedy różnicę między najwyższą i najniższą potęgą X,

span f = maxdeg f − mindeg f, (3.54) nazywamy rozpiętością wielomianu f. Lemat 3.2.35. Niech D będzie diagramem splotu o n skrzyżowaniach. Wtedy

maxdeghDi ≤ n − 2 + 2|s+D| (3.55)

mindeghDi ≥ 2 − n − 2|s−D| (3.56) z równością, jeżeli D jest alternujący, zredukowany i spójny. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 60 Rozdział 3. Niezmienniki wielomianowe

Dowód. Ponieważ dowody tych nierówności przebiegają analogicznie, ograniczymy się do pierwszej z nich. Dla oszczędności miejsca będziemy pisać M zamiast maxdeg. Niech s będzie dowolnym stanem. Istnieje wtedy ciąg stanów s+ = s0, s1, . . . , sr = s, w którym stan si+1 powstaje z si przez zmianę wartości w jednym ze skrzyżowań z +1 na −1. Skoro diagram si+1D uzyskujemy z siD przez połączenie dwóch zamkniętych krzywych lub podział jednej krzywej na dwie części, mamy: |si+1| = |si| − 2 oraz |si+1D| = |siD| ± 1. Wnioskujemy stąd, że

MhD | si+1i = 2|si+1D| + |si+1| − 2 (3.57)

= (2|siD| + |si| − 2) + (±2 − 2) (3.58)

≤ MhD|sii. (3.59)

Powtarzając odpowiednio wiele razy, dostajemy łańcuch nierówności

MhD | si = MhD | sri ≤ ... ≤ MhD | s0i = MhD | s+i. (3.60)

Zauważmy, że dla każdego stanu s zachodzi MhD|si = 2|sD| + |s| − 2. Zatem

MhD | si ≤ 2|s+D| + |s| − 2 = 2|s+D| + n − 2, (3.61) co kończy dowód pierwszej części lematu. Załóżmy teraz, że diagram D jest zredukowany, alternujący i spójny. Chcemy pokazać, że stan s+ dominuje nad pozostałymi: żaden inny nie wnosi do sumy wyrazu z takim samym najwyższym wykładnikiem. Czy warunek s 6= s+ implikuje MhD|si < MhD|s+i? Dzięki łańcuchowi nierówności wystarczy sprawdzić to tylko dla tych stanów s, które powstają z s+ przez zmianę pojedynczej wartości +1 na −1. Ale to już jest oczywiste, gdyż sD otrzymujemy przez sklejenie dwóch białych obszarów s+D.

Możemy wreszcie zająć się rozpiętością wielomianu Jonesa. Fakt 3.2.36. Niech L będzie zorientowanym splotem o spójnym diagramie D z n skrzyżowaniami. Wtedy span V (L) ≤ n, z równością dla zredukowanego i alternującego D.

Dowód. Pokażemy prawdziwość innego, równoważnego stwierdzenia: spanhDi ≤ 4n. Dwa poprzednie lematy 3.2.33 oraz 3.2.35 mówią razem, że

spanhDi = MhDi − mhDi (3.62)

≤ (2|s+D| + n − 2) + (2|s−D| + n − 2) (3.63)

= 2(|s+D| + |s−D|) + 2n − 4 (3.64) ≤ 2(n + 2) + 2n − 4 (3.65) = 4n.

Hipoteza 3.2.37 (Tait). Jeśli zorientowany splot L posiada zredukowany, spójny, alternujący diagram o n skrzyżowaniach, to każdy jego diagram składa się z co najmniej n skrzyżowań.

Dowód. Załóżmy nie wprost, że istnieje diagram o mniejszej liczbie skrzyżowań, mielibyśmy span(V (L)) < n, co prowadzi do sprzeczności z równością span(V (L)) = n.

Szukanie wielomianu Jonesa splotu bywa uciążliwe, jednak czasami możemy oszacować jego rozpiętość korzystając z następujących nierówności: robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 3.3. Wielomian HOMFLY 61

Wniosek 3.2.38. Niech L będzie zorientowanym splotem ze spójnym diagramem D, na którym widać n skrzyżowań. Wtedy

3w(D) − 2|s+D| + 2 − n ≤ 4m(V (L) (3.66)

3w(D) + 2|s−D| + n − 2 ≥ 4M(V (L)), (3.67)

z równością dla zredukowanego i alternującego D.

Dowód. Wystarczy powołać się na definicję 3.2.5 oraz lemat 3.2.35.

Wymaga przeredagowania 3.2.39. Dowód II i III hipotezy – szkic. 3.3 Wielomian HOMFLY Po tym, jak Jones przedstawił światu swój wielomian w 1984 roku, matematycy zaczęli szukać jego uogólnienia zależnego nie od jednej, lecz dwóch zmiennych. Pierwszym takim węzłowym niezmiennikiem okazał się wielomian HOMFLY. Jego nazwa pochodzi od sześciu odkrywców: Hoste, Ocneanu, Millett, Freyd, Lickorish, Yetter z pracy [76]. Dwa lata później i niezależnie od nich, Przytycki z Traczykiem otrzymał ten sam obiekt w [199]. Ich nazwiska czasami są pomijane, gdyż polska poczta była spowolniona w tamtym czasie przez ruch solidarnościowy, pisze o tym Michael McDaniel w artykule „Knots to You”. W przeciwnym razie używa się skrótu HOMFLY-PT. Definicja3.3.1(wielomian HOMFLY). NiechLbędziezorientowanymdiagramemsplotu.Wielomian Laurenta P dwóch zmiennych, który spełnia relację kłębiastą

−1 l · PL+ + l · PL− + m · PL0 = 0 (3.68)

zwarunkiempoczątkowymP ≡ 1,jestniezmienniczynaizotopieorazruchyReidemeistera,nazywamy wielomianem HOMFLY. Litery l, m pochodzą od nazwisk odkrywców, Lickorisha i Milletta. To dość mylące, ale niektórzy autorzy używają innej, równoważnej relacji z innymi zmiennymi. −1 Definicja 3.3.2 (HOMFLY inaczej). a · PL+ − a · PL− = z · PL0 . Czasami zamiast a pisze się v. −1 Definicja 3.3.3 (HOMFLY jeszcze inaczej). α · PL+ − α · PL− = z · PL0 .

Definicja 3.3.4 (HOMFLY jednorodny). x · PL+ + y · PL− + z · PL0 = 0. Jednorodny wielomian HOMFLY niesie taką samą informację jak jego wersja o dwóch zmiennych. Istotnie, jeśli podstawimy z = 1, dostaniemy wielomian dwóch zmiennych. W drugą stronę wystarczy każdy wyraz przemnożyć przez pewną potęgę z, by ten był stopnia zero. Wygodniej jest jednak nałożyć inny warunek, xy = 1, co prowadzi do definicji 3.3.1. Relacja kłębiasta pozwala wywnioskować własności wielomianu sumy spójnej i prostej. Potrzebować będziemy lematu: Lemat 3.3.5. Wielomianem HOMFLY dla niesplotu o n składowych jest

 l + 1/l n−1 P (Un) = − . (3.69) m

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 62 Rozdział 3. Niezmienniki wielomianowe

Można potraktować to jako proste ćwiczenie z indukcji matematycznej, pozostawiam je uwadze Czytelnika.

Fakt 3.3.6. Niech L1,L2 będą splotami. Wtedy l + 1/l P (L1 t L2) = − · P (L1)P (L2) (3.70) m P (L1 # L2) = P (L1)P (L2). (3.71) Dowód przebiega analogicznie do dowodu „multiplikatywności” wielomianów Alexandera (fakty 3.1.7) oraz Jonesa (fakt 3.2.23, 3.2.24).

Dowód. Każdy splot L jest kombinacją liniową (o współczynnikach będących wielomianami w m oraz l) niesplotów Uk o różnej liczbie składowych k. Mamy więc

n n X X L1 = akUk,L2 = bkUk. (3.72) k=1 k=1

Skorzystamy w tym miejscu z lematu 3.3.5. Wynika z niego, że P (Ui)P (Uj ) = P (Ui+j−1) i bezpośrednio 2n k−1 X X P (L1)P (L2) = aibk−iP (Uk−1). (3.73) k=1 i=1

Pozostało spojrzeć na sumę spójną diagramów L1 # L2. Jeśli usuniemy teraz wszystkie Pn skrzyżowania z diagramu L1 relacją kłębiastą, dostaniemy L1#L2 = k=1 ak(Uk−1 ∪ L2), gdyż jedna z niezawęźlonych składowych zostanie wchłonięta do diagramu diagramu L2. Rozwijamy dalej i otrzymujemy

n n ! X X L1#L2 = ak Uk−1 ∪ bkUk (3.74) k=1 k=1 2n k−1 X X = aibk−iUi−1 ∪ Uk−i (3.75) k=1 i=1 2n k−1 X X = aibk−iUk−1, (3.76) k=1 i=1 co kończy dowód.

Nie wiemy jeszcze, czy definicja 3.3.1 pozwala wyliczyć wielomian w skończenie wielu krokach. Zauważmy, że wyznaczenie nawiasu Kaufmana było prostsze, ponieważ w każdym kroku liczba skrzyżowań ulegała zmniejszeniu. Teraz powołamy się na lemat 1.5.4. Fakt 3.3.7. Wielomian HOMFLY można wyznaczyć w skończenie wielu krokach.

Dowód. Niech L będzie splotem, którego wielomian HOMFLY próbujemy wyznaczyć. Ustalmy jego dowolny diagram i wybierzmy jedno ze skrzyżowań, które należy odwrócić, by uzyskać niesplot. Takie skrzyżowanie istnieje na mocy lematu 1.5.4. Początkowy diagram odpowiada L+ lub L−, relacja kłębiasta pozwala na uzyskanie wie- lomianu wyjściowego splotu zależnego od wielomianu splotu z diagramem, na którym jest mniej skrzyżowań oraz splotu, który jest „jedno skrzyżowanie bliżej” niesplotu. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 3.3. Wielomian HOMFLY 63

Powtarzając tę procedurę dojdziemy w pewnym momencie do splotów trywialnych, gdzie powołujemy się na wniosek 3.3.5.

Porównajmy wielomian HOMFLY ze znanymi już wielomianami Alexandera ∆ oraz Jonesa V . Żaden z nich nie jest mocniejszy od drugiego, istnieją pary węzłów rozróżnialne przez dokładnie jeden. Na przykład 41 oraz 11n19 mają różne wielomiany Alexandera, zaś 810 oraz 10143 różne wielomiany Jonesa.

Fakt 3.3.8. Wielomian HOMFLY jest mocniejszy niż wielomiany Jonesa i Alexandera jednocześnie.

Dowód. Podstawiając l = it−1, m = i(t−1/2 − t1/2) w definicji dostajemy relację kłębiastą dla wielomianu Jonesa. Wielomian Alexandera otrzymamy kładąc l = i, m = i(t−1/2 − t1/2). Stąd wynika, że wielomian HOMFLY jest co najmniej tak samo mocny jak ∆ oraz V . Wielomian HOMFLY odróżnia 11388 od swojego odbicia, wielomiany Jonesa i Conwaya nie, więc jest istotnie mocniejszy.

Wielomian HOMFLY jest niezmiennikiem splotów zorientowanych, ale możemy go użyć także do porównywania obiektów bez orientacji. Jeśli wielomiany dwóch splotów, niezależnie od orientacji ich ogniw, są zawsze różne, to same sploty też są różne. W [60] znaleziono diagram pewnego węzła o 75 skrzyżowaniach, którego kablowe mutacje zachowują wielomiany Jonesa oraz Alexandera, ale nie zachowują wielomianu HOMFLY. Wiadomo, że jeśli istnieje prostszy przykład, to ma co najmniej 13 skrzyżowań. Pomimo swej mocy nie jest jednak niezmiennikiem zupełnym, nie odróżnia od siebie mutantów. Konkretne przykłady kolizji to 51 oraz 10132, 88 oraz 10129, 816 oraz 10156 albo 1025 oraz 1056. Co bardziej dramatyczne, Kanenobu wskazał przy użyciu elementarnych metod (!) w pracy [114] z 1986:

Fakt 3.3.9. Istnieje przeliczalna rodzina węzłów, której wszystkie elementy są hiperboliczne, włókniste, taśmowe, trzymostowe, o genusie 2 oraz nieodróżnialne od siebie wielomianem HOMFLY.

Niedowód. Rozpatrzmy rodzinę węzłów K(p, q), gdzie całkowite liczby p, q oznaczają ile razy wykonano pełny skręt wewnątrz prostokąta:

p

q

I tak zachowując oznaczenia z pracy [114] prawdą jest, że:

1. K(p, q) ≈ K(q, p) (lemat 1),

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 64 Rozdział 3. Niezmienniki wielomianowe

2. węzły K(p, q) i K(p0, q0) mają ten sam moduł Alexandera wtedy i tylko wtedy, gdy |p − q| = |p0 − q0| (lemat 2), 3. węzły K(p, q) i K(p0, q0) mają ten sam wielomian Jonesa (HOMFLY) wtedy i tylko wtedy, gdy p + q = p0 + q0 (lemat 3). Wynika stąd, że węzły K(p, q), gdzie p ≥ q, są parami różne. Dalej, węzeł K(p, q) jest amfichiralny wtedy i tylko wtedy, gdy p + q = 0, zawsze trzymostowy (lemat 4) i hiperboliczny dokładnie wtedy, gdy (p, q) 6= (0, 0). Autor twierdzi, że dowód włóknistości, taśmowości i bycia genusu 2 zamieścił wcześniej w [113].

Zaletą wielomianu HOMFLY jest to, że często wykrywa chiralność (węzeł chiralny nie jest równoważny swemu lustrzanemu odbiciu), ale nie odróżnia enancjomerów węzłów 942, 1048, 1071, 1091, 10104, oraz 10125. Wśród węzłów do 10 skrzyżowań dokładnie dwa opierają się testom chiralności opartym na niezmiennikach HOMFLY oraz Kaufmana: 942 oraz 1071. Do jej wykrycia potrzebna jest na przykład SU(2)-teoria Cherna-Simonsa, wyjaśniona w kolejnej wersji tego skryptu. 3.4 Wielomian BLM/Ho Na przełomie grudnia i stycznia 1984 i 1985 roku, K. Nowiński sugerował uwzględnienie czwartego diagramu w relacji kłębiastej, poza L+, L−, L0. Nie udało się uzyskać niezmiennika splotów. Sukces odnieśli, dla niezorientowanych splotów, mniej więcej rok później Brandt, Lickorish, Millett oraz Ho (w pracy [23]). Definicja 3.4.1 (wielomian BLM/Ho). Niezmiennik zdefiniowany relacją kłębiastą

QL+ (x) + QL− (x) = x(QL0 (x) + QL∞ (x)), (3.77) z warunkiem początkowym Q = 1 nazywamy wielomianem BLM/Ho. Jest multiplikatywny. Nie odróżnia luster ani mutantów (patrz definicja 5.2.24) i potrafi liczyć ogniwa: jeśli jest ich c, to najmniejszą potęgą x występującą w wielomianie QL jest x1−c. Jego stopień nie przekracza indeksu skrzyżowaniowego. W tej samej pracy ([23]) podano jawne wzory na wartości wielomianu BLM/Ho w czterech punktach:

Fakt 3.4.2. Niech L będzie splotem. Wtedy QL(1) = 1. 2 Fakt 3.4.3. Niech L będzie splotem. Wtedy QL(2) = (det L) . c−1 Fakt 3.4.4. Niech L będzie splotem o c ogniwach. Wtedy QL(−2) = (−1) . Fakt 3.4.5. Niech L będzie splotem z d-wymiarową homologią modulo 3 dla jego dwukrotnego nakrycia. d Wtedy QL(−1) = 3 . Kanenobu w pracy [115] podał prosty test potrafiący czasem wykrywać, które węzły nie są dwumostowe. Jak pisze Stojmenow w [223]: „e converse of this criterion turns out not to be true; (...) these examples have been suggested by empirical calculations (...), which nevertheless reveal 3.78 to be a surprisingly powerful test”. Jakość testu można ocenić patrząc na węzły o małej liczbie skrzyżowań. Po pierwsze, wykrywa wszystkie niewymierne węzły pierwsze co najmniej do 10 skrzyżowań oraz rozstrzyga o wymierności dowolnego pierwszego, alternującego węzła co najmniej do 16 skrzyżowań. Zawodzi natomiast dla następujących węzłów pierwszych do 15 skrzyżowań: 121879, 122037, 137750, 137960, 1433787, 1443535, 1444370, 1446672, 1446862, 15157719, 15168643, 15233158, 15247180. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 3.5. Wielomian Kaufmana 65

Fakt 3.4.6. Jeśli L jest węzłem dwumostowym, to

−1 −1 zQL(z) = 2VL(t)VL(1 − 2z + t ), (3.78)

gdzie z = −t − t−1.

Jednocześnie:

Hipoteza 3.4.7. Równość 3.78 nie zachodzi dla żadnego węzła złożonego.

Według pracy [223], hipoteza jest prawdziwa w klasie węzłów alternujących. Stojmenow sugeruje jeszcze następujący problem.

Hipoteza 3.4.8. Niech K1,K2 będą dwoma węzłami o tym samym wielomianie F Kaufmana. Czy możliwe jest, by jeden z nich był węzłem wymiernym, zaś drugi niewymiernym?

Wiadomo, że zarówno wśród węzłów wymiernych, jak i niewymiernych, istnieją węzły nierozróżnialne od siebie przy pomocy wielomianu F Kaufmana. Opisujemy go w kolejnej sekcji. 3.5 Wielomian Kaufmana Mniej więcej w tym samym czasie, gdy odkryto wielomian BLM/Ho, Kaufman zaproponował sposób, dzięki któremu ten wielomian można uogólnić do odróżniającego lustra. Wielomianu Kaufmana nie należy mylić z klamrą Kaufmana!

Definicja 3.5.1 (wielomian Kaufmana). Niech K będzie zorientowanym splotem, zaś D ustalonym diagramem o spinie wr D. Istnieje wielomian L(K) wyznaczony przez relację kłębiastą

L( ) + L( ) = zL( ) + zL( ) (3.79)

z warunkiem brzegowym L( ) = 1, niezmienniczy względem II i III ruchu Reidemeistera oraz taki, że −1 L(s) = a L(sr) = aL(sl), gdzie s jest pojedynczym węzłem, zaś sr, sl to jego obrazy względem dwóch wariantów I ruchu Reidemeistera. Wtedy wielomian dwóch zmiennych

− wr D FK (a, z) = a L(D), (3.80)

nazywamy wielomianem Kaufmana.

Wymaga przeredagowania 3.5.2. sr, sl: patrz Stoimenow, Tabulating and distinguishing mutants.

Jego związki z wielomianem HOMFLY pozostają nieznane. Wiemy natomiast, że

Fakt 3.5.3. Wielomian Kaufmana uogólnia wielomian BLM/Ho, zgodnie z podstawieniem

Q(x) = F (1, x). (3.81)

Fakt 3.5.4. Wielomian Kaufmana uogólnia wielomian Jonesa, zgodnie z podstawieniem

V (t) = F (−t−3/4, t−1/4 + t1/4). (3.82)

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 66 Rozdział 3. Niezmienniki wielomianowe

3.6 Niezmienniki Wasiljewa Niezmienniki Wasiljewa (znane także jako niezmienniki skończonego typu) umożliwiają radykalnie nowe podejście do węzłów. Około 1989 roku odkryli je niezależnie Wiktor Wasiljew, w oparciu o teorię osobliwości, oraz Michaił Goussarow, metodami kombinatorycznymi. My przedstawimy to drugie podejście. Niezmienniki Wasiljewa najlepiej zrozumieć, jeśli osłabimy trochę definicję węzła i będziemy rozważać także krzywe z samoprzecięciami. Uważam, że przyjemnym wprowadzeniem do niezmienników Wasiljewa jest artykuł [37] Chmutowa. Za najlepsze uważa się pracę [9]: Bar-Natan, jej autor, pozostaje do dziś jedną z najważniejszych osób dla rozwoju tego działu matematyki. Oprócz tego jest jeszcze pięknie zilustrowana książka [38] trzech rosyjskich matematyków, będąca obszernym kompendium wiedzy o węzłach wirtualnych oraz ciekawy podręcznik [61], który rozwija od podstaw teorię węzłów wirtualnych i klasycznych równocześnie; wydaje się jednak, że nie jest do końca zgodny z przedstawionymi tu definicjami, dlatego nie odnosimy się do niego dalej. Szkielet sekcji oparliśmy natomiast o piętnasty rozdział podręcznika Murasugiego, [181].

1 3 Definicja 3.6.1 (węzeł singularny). Niech f : S → R będzie kawałkami liniową funkcją, która jest różnowartościowa poza skończenie wieloma punktami. Załóżmy dodatkowo, że

• włókna funkcji f (przeciwobrazy punktów) są co najwyżej dwuelementowe

• jeżeli dwa różne punkty mają ten sam obraz, to K = f(S1) przecina się tam pod kątem prostym.

Obraz funkcji f nazywamy węzłem singularnym.

Gdy używamy słowa węzeł, nigdy nie mamy na myśli węzła singularnego. Punkt, gdzie węzeł singularny tnie samego siebie, nazywamy wierzchołkiem i oznaczamy pogrubioną kropką na diagramie. Podamy teraz definicję równoważności dla węzłów singularnych przez analogię do zwykłych węzłów (definicja 1.1.4).

Definicja 3.6.2 (płaski dysk). Niech A będzie wierzchołkiem węzła singularnego K, BA jego małym domkniętym otoczeniem, zaś PA płaszczyzną, która zawiera BA ∩ K, mały fragment węzła wokół wierzchołka. Dysk PA ∩ BA nazywamy płaskim dyskiem wokół wierzchołka A.

Definicja 3.6.3. Dwa singularne węzły K,L są równoważne, co zapisujemy jako K = L, jeśli istnieje 3 zachowujący orientację homeomorfizm ϕ przestrzeni R w siebie, który przenosi jeden węzeł na drugi: ϕ(K) = L oraz indukuje bijekcję między rodzinami płaskich dysków K i L.

Ten drugi warunek gwarantuje nam, że skrzyżowania wokół podwójnych punktów nie ulegną zniszczeniu. Istnieje podobne kryterium dla diagramów, odpowiednik twierdzenia Reidemeistera (2).

Fakt 3.6.4. Dwa singularne diagramy są równoważne dokładnie wtedy, kiedy można między nimi przejść przy użyciu ciągu ruchów Reidemeistera oraz operacji Ω:

=∼Ω =∼Ω

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 3.6. Niezmienniki Wasiljewa 67

Załóżmy teraz, że mamy jakiś niezmiennik węzłów v o wymiernych wartościach i chcemy przedłużyć go do niezmiennika vˆ węzłów singularnych. Najprościej zrobić to rekurencyjnie. Niech vˆ będzie już określony dla węzłów singularnych o co najwyżej n − 1 wierzchołkach i wybierzmy dowolny węzeł o n wierzchołkach. Okazuje się, że jeżeli położymy

vˆ(K) =v ˆ( ) − vˆ( ), (3.83)

to dostaniemy dobrze określoną funkcję: jeśli L = K jest innym węzłem singularnym, to vˆ(L) =v ˆ(K). Nazywamy ją niezmiennikiem singularnym indukowanym przez niezmiennik węzłów v0.

Definicja 3.6.5 (rząd niezmiennika). Niech v będzie niezmiennikiem singularnym. Mówimy, że v jest niezmiennikiem Wasiljewa rzędu co najwyżej n, jeśli dla dowolnego singularnego węzła K o n + 1 wierzchołkach zachodzi v(K) = 0. Jeśli dodatkowo v nie jest rzędu co najwyżej n − 1, to mówimy, że jest rzędu dokładnie n.

Czas na garść przykładów.

P 2k Przykład 3.6.6. Niech K będzie węzłem, zaś ∇K (t) = k ∇2kz jego wielomianem Conwaya. Współczynnik ∇2k indukuje niezmiennik Wasiljewa rzędu dokładnie 2k.

Pokazał to Bar-Natan w roku 1991. Lin oraz Wang w 1994 roku na podstawie niezmienników małych rzędów, to jest v2 oraz v3, wysunęli następującą hipotezę: istnieje uniwersalna stała C taka, że k |vk(K)| ≤ C(cr K) . (3.84)

Hipotezę wkrótce udowodniono, najpierw dla węzłów (Bar-Natan, [10]), nieco później także dla splotów (Stojmenow, [224]). Wartość stałej C trudno obliczyć, dlatego Stojmenow zaproponował ograniczenie się do przypadku vk = ∇k.

Hipoteza 3.6.7. Niech L będzie splotem. Wtedy

1 k |∇k(L)| ≤ · c . (3.85) 2kk!

Nierówność jest nietrywialna tylko dla splotu L z k + 1, k − 1,... składowymi; trywialna dla k = 0, łatwa dla k = 1 (wtedy ∇1 jest indeksem zaczepienia splotów o dwóch składowych) oraz udowodniona dla węzłów i k = 2 przez Polyaka, Viro w 2001 ([196]).

Przykład 3.6.8. Niech K będzie węzłem, zaś VK (t) jego wielomianem Jonesa. Podstawmy za t w x 1 2 wielomianie VK (t) formalny szereg potęgowy e = 1 + x + 2 x + ... i rozwińmy go w szereg Taylora: ∞ x X k VK (e ) = bkx . (3.86) k=0

Współczynnik bk indukuje niezmiennik Wasiljewa rzędu co najwyżej k.

Ten i podobne wyniki dla wielomianów HOMFLY, Kaufmana uzyskała Birman z Linem w [17]. Praca ta znacznie uprościła oryginalne techniki Wasiljewa.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 68 Rozdział 3. Niezmienniki wielomianowe

Przykład 3.6.9. Niech K będzie węzłem, zaś f(t) rozwinięciem Taylora wokół t = 1 dla wielomianu Jonesa: ∞ X k f(t) = ck(t − 1) . (3.87) k=0

Współczynnik ck indukuje niezmiennik Wasiljewa rzędu co najwyżej k.

Pójdźmy w ślad za Murasugim i zdefiniujmy nieskończoną rodzinę węzłów wirtualnych K[p, q], gdzie p jest liczbą wierzchołków, zaś |q| liczbą klasycznych skrzyżowań. Jeśli q < 0, wszystkie skrzyżowania odwracamy:

Fakt 3.6.10. Następujące funkcje nie są niezmiennikami Wasiljewa: indeks skrzyżowaniowy cr, liczba gordyjska u, indeks mostowy br, indeks warkoczowy b, genus g, sygnatura σ.

Wynik był znany już w latach 90., na przykład Birman w [17] pokazała, że liczba gordyjska nie jest niezmiennikiem Wasiljewa.

Dowód. Żaden z tych niezmienników nie znika na singularnym węźle K[n + 1, n].

Udowodnimy kilka najprostszych własności niezmienników Wasiljewa.

Fakt 3.6.11. Każdy niezmiennik Wasiljewa rzędu zero jest funkcją stałą.

Dowód. Niech v będzie niezmiennikiem rzędu zero i znika na każdym singularnym węźle o jednym wierzchołku. Relacja kłębiasta mówi wtedy, że v( ) = v( ), to znaczy odwrócenie dowolnego skrzyżowania nie zmienia wartości niezmiennika. Z lematu 1.5.4 wiemy jednak, że każdy węzeł można zmienić w niewęzeł odwracając niektóre skrzyżowania. Wynika stąd, że v(K) = v( ), co należało udowodnić.

Fakt 3.6.12. Nie istnieje niezmiennik Wasiljewa rzędu jeden.

Wymagaprzeredagowania3.6.13. Chorddiagrams.Ichproduktjestdobrzeokreślonymodulorelacja 4T.

Wymaga przeredagowania 3.6.14. Relacje AS, IHX, STU, FI.

Wymaga przeredagowania 3.6.15. Actuality tables.

Wymaga przeredagowania 3.6.16. Wartość niezmienników Wasiljewa zależy tylko od chord dia- grams. ([38], prop. 3.4.2) robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 3.6. Niezmienniki Wasiljewa 69

Oznaczmy przez Vn zbiór niezmienników Wasiljewa rzędu co najwyżej n, o wartościach w zbiorze liczb zespolonych C. Z definicji 3.6.5 wynika, że Vn jest przestrzenią wektorową nad ciałem C oraz Vn ⊆ Vn+1, zatem mamy rosnącą filtrację

∞ [ V0 ⊆ V1 ⊆ V2 ⊆ ... ⊆ V := Vn. (3.88) n=0

Dokładny wymiar przestrzeni Vn jest znany tylko dla n ≤ 12. Poniższa tabela ma dość ciekawą historię. Wasiljewznalazł ręcznie wartości w kolumnach dla n ≤ 4 w 1990 roku. Potem Bar-Natan napisał komputerowy program rozwiazujący pewne równania liniowe i znalazł tak wymiary przestrzeni Vn dla n ≤ 9, miało to miejsce w roku 1993. Wreszcie Kneissler cztery lata później znalazł dolne oraz górne ograniczenia: dolne oparte o znaczone powierzchnie, górne pochodzące od algebry Vogela ([127]). Dla n ≤ 12 ograniczenia te pokrywają się!

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

dim Vn 1 1 2 3 6 10 19 33 60 104 184 316 548

dim Vn/Vn−1 1 0 1 1 3 4 9 14 27 44 80 132 232

Oznaczmy wymiar przestrzeni Vn/Vn−1 przez dn. Dla wyższych rzędów nie dość, że nie znamy dokładnych wartości ciągu dn, to dolne i górne ograniczenia asymptotyczne są od siebie bardzo różne: górne jest niemalże silnią, dolne natomiast jest podwykładnicze.

Fakt 3.6.17. dn < (2n − 1)!!.

Fakt 3.6.18 (Chmutov i Duzhin, 1993). dn < (n − 1)!. 1 Fakt 3.6.19 (Ng, 1995). dn < 2 (n − 2)!. n Fakt 3.6.20 (Stojmenow, 1996). Ciąg dn rośnie wolniej niż n! · (11/10) . n Fakt 3.6.21 (Bollobas i Riordan, 2000). dn . n!/(2 log 2 + O(1)) . 1 2 Fakt 3.6.22 (Zagier, 2001). Niech a < 6 π będzie stałą. Wtedy n! dim Vn/Vn−1 . (3.89) . an Dowód. Zagier znalazł to ograniczenie przy użyciu szeregów Dirichleta w [253].

Zanim przejdziemy do ograniczeń z dołu, zdefinujmy jeszcze jedną przestrzeń, Pn ⊆ Vn. Składa się z tych niezmienników Wasiljewa, które są jednocześnie morfizmami, to znaczy spełniają równość v(K1 # K2) = v(K1) + v(K2). Każdy niezmiennik jest wielomianową kombinacją niezmienników pierwotnych.

Fakt 3.6.23 (Chmutov, Duzhin i Lando, 1994). dim Pn ≥ 1.

Fakt 3.6.24 (Melvin i Morton, Chmutov i Varchenko, 1995). dim Pn ≥ [n/2]. 1 2 Fakt 3.6.25 (Duzhin, 1996). dim Pn & 96 n . log n Fakt 3.6.26 (Chmutov i Duzhin, 1997). dim Pn & n b dla b > 4. p Fakt 3.6.27 (Koncewicz, 1997). dim Pn & exp(π n/3).

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 70 Rozdział 3. Niezmienniki wielomianowe

√ p Fakt 3.6.28 (Dasbach, 2000). dim Pn & exp(c n) dla każdej stałej c < π 2/3. Ograniczenie Dasbacha pozostaje najlepsze (stan na 2011 rok). 1 2 Wniosek 3.6.29. Niech a < 6 π będzie stałą. Wtedy  n  exp . dim Vn/Vn−1. (3.90) loga n Dowód. Dasbach w [51].

Stojmenow w [224] pokazał, że niezmienniki Wasiljewa każdego rzędu można wyznaczyć w skończonym czasie. Dokładniej: Fakt 3.6.30. Każdy niezmiennik Wasiljewa rzędu co najwyżej k jest jednoznacznie określony przez swoje wartości na alternujących węzłach o co najwyżej 2k2 + k skrzyżowaniach. Niezmienniki Wasiljewa nie są zupełne. Ohyama dla każdego węzła K i liczby naturalnej n wskazał jawnie nieskończoną rodzinę złożonych węzłów, których niezmienniki rzędu co najwyżej n nie odróżniają od K ([189]). Stanford rozszerzył ten wynik: w [222] udowodnił, że dla każdego splotu L istnieje nieskończona rodzina pierwszych, nierozszczepialnych, alternujących splotów nieodróżnialnych takimi niezmiennikami. Z drugiej strony, Chmutow i inni piszą w [38], że sześć niezmienników rzędu co najwyżej 4 wystarcza do odróżnienia dowolnych dwóch węzłów pierwszych do 8 skrzyżowań. W 1993 roku Maxim Koncewicz pokazał, że dla każdego węzła można policzyć pewną całkę (teraz nazywaną całką Koncewicza), która jest uniwersalnym niezmiennikiem Wasiljewa. Oznacza to, że z jej wartości można odtworzyć wszystkie inne niezmienniki skończonego typu. Bar-Natan w 1995 roku znalazł wartość tej całki dla niewęzła:

∞ ! X I( ) = exp b2nw2n , (3.91) n=0 gdzie b2n to zmodyfikowane liczby Bernoulliego o funkcji tworzącej

∞ x/2 −x/2 X 2n 1 e − e b2nx = log , (3.92) 2 x/2 n=0 zaś w2n to „koła”: diagramy okręgu z doczepionymi 2n promieniami. Liniową kombinację należy rozumieć jako element algebry chińskich znaków, opisanej w następnej wersji tej książki. Następnie Marché w 2003 roku znalazł wartości całki dla węzłów torusowych ([159]). Wygląda na to, że nikt nie odważył się dokonać tego dla innych węzłów (stan na 2019). Hipoteza 3.6.31. Uniwersalny niezmiennik Wasiljewa jest zupełny. Całka Koncewicza jest mocniejsza od każdego wielomianowego niezmiennika, jaki dotąd poznaliśmy, wliczając w to wielomiany Alexandera, Jonesa, HOMFLY oraz Kaufmana. Wynika stąd, że stanowić będzie dużo trudniejszy problem niż dowód hipotezy 3.2.8 mówiącej, że wielomian Jonesa wykrywa niewęzły. Chmutov, Duzhin wspominają w bardzo czytelnie napisanym artykule [39], że hipoteza 3.6.31 jest prawdziwa dla splotów sznurkowych i warkoczy, jak dowiedziono w [131], [11].

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f Rozdział 4

Topologia algebraiczna

4.1 Grupa splotu 3 3 Ponieważ dopełnienie dowolnego splotu, zarówno w przestrzeni R jak i S , jest łukowo spójne, jego grupa podstawowa nie zależy od wyboru punktu bazowego. Dzięki temu poniższa definicja ma sens:

3 Definicja 4.1.1. Niech L będzie splotem. Grupę podstawową jego dopełnienia, π1(R \ L), nazywamy grupą splotu i oznaczamy π(L). Kiedy mówimy o grupie węzła, zazwyczaj mamy na myśli obiekt opisany powyżej, a nie grupę kolorującą z definicji 2.3.1. Nie należy ich mylić, grupa węzła ma bowiem dużo większe znaczenie. Podamy najpierw kilka przykładów węzłów oraz ich grup.

Przykład 4.1.2. Niewęzeł: Z. Z twierdzenia o pętli, czyli uogólnienia lematu Dehna wynika, że niewęzeł jest jedynym węzłem, którego grupą podstawową jest Z. Przykład 4.1.3. Trójlistnik: hx, y | x2 = y3i.

Dowód. Wynika to z równości

3 π1(S \ 31) = hx, y, z | xz = yx, zy = xz, yx = zyi (4.1) = hx, y | xyx = yxyi (4.2) = hx, y, a, b | xyx = yxy, a = yx, b = xyxi (4.3) = hx, a, b | xa = a2x−1, b = xai (4.4) = ha, b | b = a2(ba−1)−1i (4.5) = ha, b | a3 = b2i, (4.6)

prawdziwych na mocy transformacji Tietzego.

Trójlistnik jest węzłem (3, 2)-torusowym, więc powyższy przykład stanowi szczególny przypadek grupy węzła torusowego: 72 Rozdział 4. Topologia algebraiczna

Przykład 4.1.4. Węzeł (p, q)-torusowy: hx, y | xp = yqi.

Dowód. Wniosek z twierdzenia Seiferta-van Kampena, patrz [120, s. 77].

Przykład 4.1.5. Węzeł ósemkowy: hx, y | yxy−1xy = xyx−1yxi.

Przykład 4.1.6. Splot Hopfa: Z ⊕ Z. Jak wspomina Kawauchi, z klasyfikacji abelowych grup podstawowych 3-rozmaitości wynika, że Z oraz Z ⊕ Z są jedynymi przemiennymi grupami splotów i podaje w formie ćwiczenia informację, że splot Hopfa oraz niewęzeł to jedyne sploty o przemiennej grupie [120, s. 83].

Fakt 4.1.7. Jeżeli sploty L1,L2 są równoważne, to grupy π(L1), π(L2) są izomorficzne. Innymi słowy, grupa jest niezmiennikiem splotów.

Dowód. Gdy dwa sploty są równoważne, istnieje izotopijny z identycznością homeomorfizm 3 3 R → R , który posyła pierwszy splot na drugi. Obcięty do dopełnień splotów indukuje izomorfizm grup podstawowych.

Na przykładzie grupy hx, y, z | xyx = yxy, xzx = zxzi, która odpowiada zarówno sumie prostej różno-, jak i jednoskrętnych trójlistników, widać że implikacja odwrotna nie zachodzi: mają one różne sygnatury (patrz uwaga za wnioskiem 4.2.47). Prawdziwe jest nawet ogólniejsze stwierdzenie:

Fakt 4.1.8. Niech K1,K2 będą zorientowanymi węzłami. Wtedy węzłom K1 # K2, K1 # mrK2 odpowiadają izomorficzne grupy.

Dowód. Wniosek z twierdzeń o podgrupie południkowo-równoleżnikowej [120, s. 75].

Twierdzenie odwrotne do faktu 4.1.7 jest prawdziwe w klasie węzłów pierwszych:

Fakt 4.1.9. Niech K1,K2 będą węzłami pierwszymi. Jeżeli ich grupy są izomorficzne, to same węzły są równoważne. „e group of a prime knot does not, however, necessarily determine the topological type of the exterior. Dehn hips on certain “essential” solid tori in the exteriors of torus knots and of cable knots produce Haken manifolds that are homotopically equivalent but not homeomorphic to the original exteriors and that, in fact, cannot be imbedded in S3” (Whitten, [249]).

Dowód. Whitten pokazał w [249], że węzły o izomorficznych grupach mają homeomorficzne dopełnienia. Wkrótce po tym Gordon, Luecke udowodnili w [92], że nietrywialna chirurgia Dehna na nietrywialnym węźle nigdy nie daje sfery S3, a stąd wynika, że każdy homeomorfizm dopełnień węzłów można przedłużyć do homeomorfizmu S3 w siebie posyłającego jeden węzeł na drugi jako zbiory.

Kawauchi proponuje jako proste ćwiczenie [120, s. 73] pokazanie, że grupa sumy niespójnej splotów L1,L2 jest izomorficzna z wolnym produktem π(L1) ∗ π(L2), a następnie przytacza twierdzenie: Fakt 4.1.10. Niech L ⊆ S3 będzie splotem. Następujące warunki są równoważne: 1. splot L nie jest rozszczepialny, robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 4.1. Grupa splotu 73

2. splot L jest niewęzłem lub jego dopełnienie jest rozmaitością Hakena o nieściśliwym brzegu,

3. grupa podstawowa splotu L jest nierozkładalna względem produktu wolnego.

Dowód. Z twierdzenia o pętli (niech M będzie spójną 3-rozmaitością o niepustym brzegu, zaś F powierzchnią na ∂M; jeżeli homomorfizm π1(F ) → π1(M) indukowany przez inkluzję nie jest różnowartościowy, to istnieje dysk ściskający dla F w M) i sferze (niech M będzie spójną zorientowaną 3-rozmaitością, jeżeli π2(M) jest nietrywialna, to istnieje sfera właściwa w M) wynika, że 1 =⇒ 2. Implikacja 2 =⇒ 3 jest wnioskiem z hipotezy Knesera (niech M będzie zwartą, spójną 3-rozmaitością, której brzeg jest pusty lub złożony z nieściśliwych ∼ powierzchni; jeśli π1(M) = G1 ∗ G2, to istnieje rozkład M na sumę M1 # M2 taką, że ∼ π1(Mi) = Gi), zaś wynikanie 3 =⇒ 1 jest oczywiste. To kończy dowód.

Wniosek 4.1.11. Niech L ⊆ S3 będzie splotem. Następujące warunki są równoważne:

1. grupa podstawowa splotu L jest wolna, rangi n,

2. splot L jest trywialny, złożony z n ogniw.

Fakt 4.1.12. Niech L ⊆ S3 będzie splotem. Następujące warunki są równoważne:

1. splot L jest prosty i niepierścieniowaty1

2. grupa π(L) jest nieprzemienną, nierozkładalną względem produktu wolnego podgrupą dyskretną PSL2(C).

Dowód. Wniosek z twierdzenia urstona o hiperbolizacji, patrz [120, s. 76].

Kawauchi wspomina jeszcze w [120, s. 85]:

Fakt 4.1.13. Grupa splotu jest rezydualnie skończona i lokalnie indeksowalna: dla każdej nietrywialnej skończenie generowanej podgrupy, istnieje epimorfizm z niej w Z. Fakt4.1.14. Grupawęzłajestniezmiennikiemmocniejszymodgenusu,awprzypadkuwęzłówzłożonych, także od indeksu mostowego.

Niedowód. Jest to wniosek 3 z pracy [66].

4.1.1 Prezentacja Wirtingera Wiemy więc już trochę o nowym niezmienniku, ale nie umiemy go jeszcze wyznaczać. Jak zauważył Wilhelm Wirtinger około roku 1905, a więc jeszcze przed narodzinami teorii węzłów, grupa węzła zawsze posiada pewną specjalną prezentację, nazwaną na jego cześć prezentacją −1 Wirtingera. Jest to skończona prezentacja, w której wszystkie relacje są postaci wgiw = gj , gdzie w to pewne słowo na generatorach, g1, . . . , gk. Przedstawimy ją zaraz ze względu na użyteczność w rachunkach, dowodząc jednocześnie jej istnienia.

Fakt 4.1.15. Grupa każdego węzła posiada prezentację Wirtingera.

1simple, anannular

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 74 Rozdział 4. Topologia algebraiczna

Dowód. Oto zarys konstruktywnego dowodu. Przedstawiony algorytm jest bardzo wygodnym sposobem na wyznaczenie grupy węzła. Niech K będzie węzłem z diagramem o n łukach i m skrzyżowaniach. Wtedy ∼ π1(K) = ha1, . . . , an | r1, . . . , rmi, (4.7)

−1 −1 gdzie ai to włókna diagramu, zaś rx to relacje Wirtingera: aiaj ai ak = 1,

aj ai ai aj

ak ak w których łuk ai biegnie górą, zaś aj leży po jego lewej stronie.

xj+1 xk xj+1 xk

xk xj xk xj

−1 −1 (a) skrzyżowanie dodatnie: xj = xkxj+1xk (b) skrzyżowanie ujemne: xj = xk xj+1xk

ab Wniosek 4.1.16. Niech G będzie grupą węzła. Wtedy jej abelianizacją jest G = Z.

−1 −1 Dowód. Relacja aiaj ai ak = 1 po przejściu do abelianizacji przyjmuje postać aj = ak. Oznacza to, że etykieta łuku nie zmienia się podczas przejścia pod każdym skrzyżowaniem, zatem wszystkie etykiety są takie same. Można też zauważyć, że abelianizacją grupy podstawowej węzła jest pierwsza grupa homologii okręgu, czyli Z.

Michael Kervaire w [121] pokazał, jakie własności musi posiadać grupa węzła:

Wymaga przeredagowania 4.1.17. Patrz też twierdzenie 14.1.1 w [120].

Fakt 4.1.18. Niech G będzie grupą węzła Sn ⊆ Sn+2. Wtedy:

1. grupa G jest skończenie prezentowana, 2. abelianizacja G/G0 jest nieskończoną grupą cykliczną,

3. druga grupa homologii H2(G) = 0 jest trywialna, 4. istnieje element x ∈ G zwany południkiem taki, że G jest najmniejszą podgrupą normalną G, która zawiera x.

Wyżej wymienione warunki konieczne są także wystarczające, jeżeli n ≥ 3, jednakże problem pełnej charakteryzacji w czwartym wymiarze jest otwarty. Warunki 2. i 3. wynikają z dualności Alexandera, zaś 1. i 4. stanowią przeformułowanie prezentacji Wirtingera. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 4.2. Macierz Seiferta 75

4.1.2 Pochodna Foxa Istnieje alternatywna prezentacja grupy węzła, która pochodzi od Dehna, gdzie zamiast etykietować łuki, przypisuje się różne litery czterem częściom płaszczyzny, które są rozcinane przez skrzyżowanie. Pomijamy tę prezentację dla oszczędności miejsca. Klasycznie, jak na przykład w [49], macierz, a co za tym idzie, także wielomian Alexandera wprowadza się przy użyciu prezentacji Wirtingera i pochodnej Foxa. Oryginalna praca Alexandera była jednak bliższa duchem pomysłom Dehna. Definicja 4.1.19 (pochodna Foxa). Niech G będzie wolną grupą generowaną przez (niekoniecznie skończony) podzbiór {gi}i∈I . Odwzorowanie ∂/∂gi : G → ZG spełniające trzy aksjomaty: ∂ (e) = 0 (4.8) ∂gi ∂ (gj ) = δij (4.9) ∂gi ∂ ∂ ∂ ∀u, v ∈ G : (uv) = (u) + u (w), (4.10) ∂gi ∂gi ∂gi

gdzie δij oznacza deltę Kroneckera, nazywamy pochodną cząstkową Foxa.

Ustalmy prezentację grupy węzła z n relacjami (słowami) w1, . . . , wn nad n-literowym alfabetem x1, . . . , xn. Zdefiniujmy następnie macierz Jacobiego wymiaru n × n, elementami której są pochodne Foxa słów wi względem zmiennych xj :   ∂wi J = . (4.11) ∂xj

Wykreślmy z macierzy J najpiew jedną kolumnę oraz jeden wiersz z tej macierzy, po czym podstawmy za wszystkie litery zmienną t i policzmy wyznacznik. Otrzymaliśmy znowu wielomian Alexandera. Fox napisał cykl pięciu artykułów [69], [70], [71], [36], [72] poświęcony wolnemu rachunkowi różniczkowemu, powyższa definicja jest tylko małym wycinkiem tego cyklu opublikowanego w Annals of Mathematics. 4.2 Macierz Seiferta W tej sekcji pogłębimy nasze rozumienie wielomianu Alexandera i odkryjemy jego powiązania z topologicznymi własnościami węzłów. Poznamy także zupełnie nowy sposób na wyznaczanie jego wartości, Jak nie jest trudno się domyślić, posłuży do tego macierz Seiferta. 4.2.1 Powierzchnia Seiferta Zaczniemy od przyjrzenia się powierzchniom. Niektóre stwierdzenia będziemy przyjmować bez dowodu, by nie rozwodzić się za bardzo nad topologią algebraiczną. n Definicja 4.2.1. Powierzchnia to dwuwymiarowa rozmaitość topologiczna M ⊆ R . Rozmaitość to obiekt, który wygląda lokalnie jak przestrzeń euklidesowa: każdy jej punkt x ∈ M posiada otwarte otoczenie homeomorficzne z otwartą kulą. Przykładami powierzchni są sfera, brzeg torusa albo hiperboloida jednopowłokowa. Istnieje ogólniejsze pojęcie, to jest rozmaitość z brzegiem: każdy jej punkt posiada otoczenie homeomorficzne z otwartym podzbiorem górnej półpłaszczyzny {x ∈ C : Im ≥ 0}. Zwartą powierzchnię bez brzegu nazywamy domkniętą.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 76 Rozdział 4. Topologia algebraiczna

Powierzchnię nazywamy orientowalną, jeśli nie istnieje na niej zamknięta krzywa, podczas pokonywania której odwraca się kierownica. Orientowalne są dokładnie te powierzchnie, które nie zawierają w sobie kopii wstęgi Möbiusa. Najważniejsze dla nas są powierzchnie Seiferta: Definicja 4.2.2 (powierzchnia Seiferta). NiechLbędzie splotem. Spójną, orientowalną powierzchnię 3 zanurzoną w przestrzeni R , której brzegiem jest splot L, nazywamy powierzchnią Seiferta splotu L. Nie każde uszachowienie diagramu węzła prowadzi do powierzchni Seiferta: widać to po standardowym diagramie trójlistnika. Pomimo to... Fakt 4.2.3. Każdy węzeł posiada powierzchnię Seiferta. Powyższe stwiedzenie uzasadnili Pontriagin oraz Frankl w 1930 roku, my jednak podamy bardzo przyjemny i konstruktywny dowód podany przez Seiferta [218] cztery lata później.

Dowód. Wybierzmy diagram D dla węzła oraz orientację, a następnie wyprostujmy wszystkie skrzyżowania zgodnie z ich orientacją:

−→ ←−

Otrzymany diagram składa się teraz z pewnej liczby zamkniętych krzywych, zwanych okręgami Seiferta, które wypełniamy do dysków. Tam, gdzie jeden okrąg leżał wewnątrz drugiego, podnosimy wewnętrzny nad zewnętrzny. Przy każdym skrzyżowaniu pierwotnego diagramu doklejamy skręcony pasek do obydwu dysków.

Rysunek 4.2: Kolejne kroki algorytmu Seiferta

Dyski są dwustronne, więc ich górnej stronie przypisujemy znak +, jeśli tylko brzeg jest zorientowany dodatnio i − w przeciwnym razie.

Powierzchnia Seiferta dziedziczy orientację po węźle. Nawet niewinne odwrócenie jednego z ogniw splotu potrafi istotnie zmienić jego powierzchnię, dlatego potrzebna jest ostrożność! 4.2.2 Węzły rozwłóknione Wspomnijmy jeszcze krótko o specjalnym rodzaju węzłów i splotów. 3 Definicja 4.2.4. Niech L ⊆ S będzie splotem. Jeśli istnieje rodzina Ft powierzchni Seiferta dla 1 splotu K sparametryzowana przez t ∈ S taka, że Ft ∩ Fs = K dla t 6= s, to splot K nazywamy rozwłóknionym albo włóknistym(z angielskiego fibered.) robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 4.2. Macierz Seiferta 77

Dawniej nazywano je splotami Neuwirtha, gdyż ten pokazał w swojej pracy dyplomowej z 1959 roku, że można je scharakteryzować jako sploty, których komutant grupy podstawowej jest skończenie generowany, lub równoważnie, wolny.

Przykład 4.2.5. Niewęzeł, trójlistnik 31, ósemka 41, splot Hopfa oraz wszystkie węzły torusowe są rozwłóknione. Fakt 4.2.6. Pierwszy i ostatni współczynnik wielomianu Alexandera węzła rozwłóknionego to ±1. Kryterium to jest wystarczające dla węzłów pierwszych o co najwyżej 10 skrzyżowaniach oraz alternujących, ale znany jest przykład niewłóknistego węzła o 21 skrzyżowaniach, którego wielomian Alexandera ma postać t4 − t3 + t2 − t + 1. Fakt 4.2.7. Niech K będzie węzłem skręconym (patrz 5.8.25) z n półskrętami. Wtedy jego wielomianem Alexandera jest  1  ∆n(t) = n · t + − (2n + 1), (4.12) t więc nie jest rozwłókniony, chyba że n = 1.

Wniosek 4.2.8. Skręcony węzeł 62 nie jest rozwłókniony. Rolfsen podaje jako ćwiczenie w swojej książce: Fakt 4.2.9. Rodzina węzłów rozwłóknionych jest zamknięta na branie sum spójnych. Zanim przejdziemy do zdefiniowania macierzy Seiferta, potrzebować będziemy krótkiego skoku w bok – zrozumieć bardzo geometryczny niezmiennik węzłów, genus. 4.2.3 Genus Zaczniemy od starego twierdzenia, które klasyfikuje powierzchnie domknięte. Fakt 4.2.10. Każda powierzchnia domknięta jest członkiem jednej z dwóch nieskończonych rodzin: 1. sumą spójną g ≥ 0 torusów, 2. sumą spójną k ≥ 1 rzeczywistych płaszczyzn rzutowych. Elementy pierwszej rodziny są orientowalne. Sferę traktujemy dla wygody jako sumę spójną g = 0 torusów. Wtedy sumę spójną g torusów możemy wyobrazić sobie jako sferę, do której doklejono g uchwytów. Definicja 4.2.11 (genus powierzchni). Ilość torusów nazywamy genusem powierzchni i oznaczamy literą g. Podobna charakteryzacja istnieje dla powierzchni z brzegiem. Każdy taki obiekt jest homeomorficzny z sumą spójną g torusów, w których wydrążono pewną liczbę otworów: tyle, ile składowych spójności ma brzeg powierzchni. W przypadku powierzchni Seiferta mamy do czynienia z jednym otworem. Dla wygody przypomnijmy jeszcze definicję klasycznego niezmiennika powierzchni: Definicja 4.2.12 (charakterystyka Eulera). Niech M będzie domkniętą powierzchnią orientowalną. Po striangulowaniu, składa się z k0 wierzchołków, k1 krawędzi oraz k2 ścian. Wielkość

χ = k0 − k1 + k2 (4.13) jest niezmiennikiem powierzchni, zwanym zazwyczaj charakterystyką Eulera.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 78 Rozdział 4. Topologia algebraiczna

Definicja ta nie jest wygodna podczas ręcznych obliczeń.

Fakt 4.2.13. Niech M będzie powierzchnią o genusie g i µ składowych spójności brzegu. Wtedy

χ = 2 − µ − 2 g . (4.14)

Fakt 4.2.14. Charakterystykę Eulera powierzchni jednoznacznie wyznaczają cztery reguły:

• jeśli M jest dyskiem, to χ(M) = 1,

• jeśli M1,M2 są powierzchniami, to χ(M1 t M2) = χ(M1) + χ(M2),

• jeśli powierzchnia M2 powstaje z M1 przez dołączenie paska, to χ(M2) = χ(M1) − 1,

• jeśli powierzchnia M2 powstaje z M1 przez dołączenie dysku do całej składowej spójności brzegu, to χ(M2) = χ(M1) + 1.

Nas interesują głównie powierzchnie Seiferta węzłów:

Fakt 4.2.15. Niech K będzie węzłem z diagramem D. Wtedy χ(MD) = d − b, gdzie b jest liczbą skrzyżowań D, zaś d jest liczbą okręgów Seiferta.

Dowód. W dowodzie faktu 4.2.3 widzieliśmy, że liczba skrzyżowań b jest jednocześnie liczbą pasków doklejonych do dysków. Bezpośredni rachunek pokazuje, że wtedy k0 = 4b, k1 = 6b oraz k2 = b + d. Wynika stąd, że χ = 4b − 6b + b + d = d − b.

Reszta tej podsekcji nie jest wymagana do zrozumienia macierzy Seiferta, przyjrzymy się genusowi jako obiektowi ciekawemu samemu w sobie.

Definicja 4.2.16 (3-genus). Niech K będzie węzłem. Wśród wszystkich powierzchni Seiferta węzła K istnieje co najmniej jedna o minimalnym genusie, jej genus nazywamy 3-genusem węzła K i oznaczamy także przez g.

Znalezienie 3-genusu dowolnego węzła sprawia te same trudności, co wyznaczenie jego liczby gordyjskiej. Dowolna powierzchnia Seiferta zadaje ograniczenie z góry. Z dołu 3-genus można szacować przy użyciu wielomianu Alexandera:

Fakt 4.2.17. Niech K będzie węzłem. Wtedy span ∆K (t) ≤ 2 g(K).

Dowód. Załóżmy, że F jest powierzchnią Seiferta węzła K o genusie g. Wtedy macierz Seiferta powstała z F jest rzędu 2g, więc żaden ze składników jej wyznacznika nie może mieć stopnia większego niż 2g.

To dolne ograniczenie jest realizowane przez pewną powierzchnię Seiferta dla każdego pierwszego węzła o co najwyżej 11 skrzyżowaniach poza siedmioma wyjątkami: 11n42, 11n67, 11n97 (g = 2), 11n34, 11n45, 11n73 oraz 11n152 (g = 3). Jeżeli nie powoduje to nieporozumień, zamiast 3-genus można pisać po prostu genus.

Fakt 4.2.18. Niech K będzie węzłem, zaś M pewną macierzą. Wtedy span ∆K (t) = 2 g(K) wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik det M 6= 0 jest niezerowy. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 4.2. Macierz Seiferta 79

Floer zdefiniował w [67] przestrzeń wektorową nazywaną teraz homologią Floera, jest ona wyposażona w endomorfizm parzystego stopnia, który powstaje z 2-wymiarowej klasy homologii reprezentowanej przez powierzchnię Seiferta. Ta homologia rozkłada się na sumę prostą przestrzeni własnych wyróżnionego endomorfizmu, ich charakterystyki Eulera są współczynnikami wielomianu Alexandera. Pozwala to na dokładniejsze szacowanie genusu węzła, patrz prace Ozsváth, Szabó [191] i Ghigginiego [83]. Z góry genus ograniczony jest przez kilka klasycznych niezmienników numerycznych. Zanim to pokażemy, przytoczymy techniczny lemat udowodniony przez Yamadę ([251]): Fakt 4.2.19. Niech L będzie splotem, zaś s(L) minimalną liczbą okręgów Seiferta, które dostajemy ze wszystkich możliwych diagramów splotu L. Wtedy s(L) = b(L) pokrywa się wartością z indeksem warkoczowym. Powyższe stwierdzenie występuje bez dowodu w [120, s. 17]. Fakt 4.2.20. Niech L będzie splotem. Wtedy cr(L) − b(L) − µ(L) + 2 ≥ 2 g(L).

Dowód. Ustalmy minimalny diagram D dla splotu L i zastosujmy do niego algorytm Seiferta. Dostaniemy tak s okręgów Seiferta oraz powierzchnię o genusie g. Fakt 4.2.15 mówiący, że χ = s − c, można przekształcić do c + 2 − s − µ(K) g = . (4.15) 2 Z minimalności diagramu wynika, że c = cr(L). Fakt 4.2.19 mówi, że s ≥ b(L). Nierówność g ≥ g(L) wynika z definicji genusu. Z powyższych rozważań wynika, że cr(L) + 2 ≥ 2 g(L) + b(L) + µ(L), (4.16) a to jest równoważnie nierówności, której prawdziwości dowodzimy.

Wniosek 4.2.21. Niech K będzie węzłem. Wtedy cr K ≥ 2 g K. Czy w definicji genusu można ograniczyć się do powierzchni Seiferta, które pochodzą od algorytmu Seiferta? Niestety, poza pewnymi wyjątkami, nie. Zanim przekonamy się, dlaczego tak jest, zdefiniujmy jeszcze dwa niezmienniki. Definicja 4.2.22 (genus kanoniczny). Niech K będzie węzłem. Minimalny genus spośród wszystkich powierzchni Seiferta węzła K, które pochodzą z algorytmu Seiferta, nazywamy genusem klasycznym i oznaczamy gc. Pod koniec lat pięćdziesiątych Crowell i Murasugi niezależnie zauważyli, że algorytm Seiferta zastosowany do alternującego diagramu zawsze daje powierzchnię o minimalnej powierzchni. Ich kombinatoryczne uzasadnienie było dość zawiłe, elementarny dowód podał Gabai w [79]. Dubel trójlistnika ma genus równy 1, ale algorytm Seiferta zastosowany wobec węzła produkuje powierzchnie o genusie co najmniej 3, jak przewiduje ograniczenie znalezione przez Mortona w [167] jako twierdzenie 2: Fakt 4.2.23. Niech P (v, z) będzie wersją wielomianu HOMFLY spełniającą zależność 1 P+ − vP− = zP0. (4.17) v

Wtedy M = max degz P (v, z) ≤ 2gc.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 80 Rozdział 4. Topologia algebraiczna

Nierówność Mortona jest równością dla wielu klas węzłów, w tym alternujących (Crowell, Murasugi), jednorodnych (które stanowią uogólnienie węzłów alternujących, Cromwell w [46]), whiteheadowskich dubli węzłów dwumostowych (Nakamura w [182], Tripp w [237]) albo precli (Brittenham, Jensen w preprincie „Canonical genus and the Whitehead doubles of pretzel knots”). Stojmenow pokazał, że staje się równością dla węzłów o co najwyżej 12 skrzyżowaniach i znalazł przykład węzła, dla którego jest ostra.

Definicja 4.2.24 (genus wolny). Niech K będzie węzłem. Minimalny genus spośród powierzchni Seiferta węzła K, których dopełnienie w 3-sferze jest ciałem z rączkami (handlebody, czyli ma wolną grupę podstawową), nazywamy genusem wolnym i oznaczamy gf .

Dopełnienie powierzchni Seiferta jest zawsze handlebody, dlatego też mamy oczywiste nierówności g ≤ gf ≤ gc. Morton w 1986 roku pokazał, że genus pewnych węzłów nie jest realizowany przez żaden diagram do którego stosuje się algorytm Seiferta, choćby 10165. Patrz [167]. Moriah, matematyk izraelski, mniej więcej w tym samym czasie rozwiązał problem postawiony dekadę wcześniej przez Kirby’ego [125]: jak duża może być różnica gf − g?

Fakt 4.2.25. Niech K będzie węzłem, Dk(K) jego dublem Whiteheada z k 6= 0 skręceniami, zaś 3 Bn(K) to n-krotne nakrycie cykliczne sfery S rozgałęzione nad węzłem K. Jeżeli ranga pierwszej grupy homologii B|4k+1|(K) wynosi r, to

2r − 1 gf (Dk(K)) ≥ . (4.18) |8k + 2|

Dowód. Praca [166]. Dowód opiera się na chirurgii węzłów i splotów w sferze S3.

Wniosek 4.2.26. Niech K bedzie sumą spójną n trójlistników, połóżmy k = −1. Wtedy pierwsza grupa homologii ma rangę r = 2n i genus wolny jest nieograniczony

n 4n − 1 gf (D−1(3 )) ≥ , (4.19) 1 6

n podczas gdy zwykły genus to g(D−1(31 )) = 1.

Fakt 4.2.27. Genus wykrywa niewęzły: K jest niewęzłem wtedy i tylko wtedy, gdy g(K) = 0.

Dowód. Niech K będzie węzłem o genusie 0. Z charakteryzacji powierzchni wynika, że jego powierzchnia Seiferta to suma spójna 0 torusów, to znaczy kula z tyloma otworami, ile K ma ogniw. Innymi słowy, powierzchnią Seiferta węzła K jest dysk, którego brzeg stanowi niewęzeł. To pokazuje, że implikacja w lewo jest prawdziwa. Implikacja w prawo jest oczywista.

Fakt 4.2.28. Jeśli J, K są węzłami, to g(J # K) = g(J) + g(K).

Poniższy dowód pochodzi od Schuberta ([213]), został tylko zapisany we współczesnym języku. Przebiega w dwóch etapach: najpierw pokazuje się, że genus sumy nie jest większy od sumy genusów składników, a następnie, że nie jest od niej mniejszy. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 4.2. Macierz Seiferta 81

Dowód. Pokażemy najpierw, że g(J#K) ≤ g(J) + g(K). Wybierzmy powierzchnie Seiferta MJ oraz MK dla J oraz K o minimalnym genusie. Suma J # K powstaje z J oraz K, podobnie jest z powierzchniami Seiferta:

J K −→ MJ MK −→ MJ#K J#K

Skoro MJ#K powstaje z MJ t MK przez dołączenie paska do brzegu, mamy

χ(MJ#K ) = χ(MJ t MK ) − 1 = χ(MJ ) + χ(MK ) − 1,

a przez to

1 − χ(M ) 1 − χ(M ) 1 − χ(M ) g(M ) = J#K = J + K = g(J) + g(K). J#K 2 2 2

To kończy dowód pierwszej nierówności. Pokażemy jeszcze, że g(J#K) ≥ g(J) + g(K). Zaczynamy od powierzchni Seiferta MJ#K dla J#K o minimalnym genusie g(MJ#K ) równym g(J#K). Poprzez wykonanie chirurgii na powierzchni, możemy przyjąć specjalną postać jak w poprzednim dowodzie:

MJ#K

Usunięcie paska daje powierzchnie Seiferta dla MJ oraz MK takie, że

g(MJ ) + g(MK ) = g(MJ#K ) = g(J#K).

Oznacza to, że g(J) + g(K) 6 g(MJ ) + g(MK ) = g(J#K) i tak naprawdę mamy równość.

Wniosek 4.2.29. Jeśli suma spójna dwóch węzłów jest niewęzłem, to oba składniki także nim są.

Powrócimy teraz do węzłów pierwszych (definicja 1.4.1).

Fakt 4.2.30. Niech K będzie węzłem. Jeśli g(K) = 1, to K jest węzłem pierwszym.

Dowód. Załóżmy nie wprost, że K = K1#K2 jest sumą dwóch nietrywialnych węzłów. Z faktu 4.2.28 wynika wtedy, że g(K) = g(K1) + g(K2). Zatem jeden z węzłów K1,K2 ma genus zero i jest trywialny, wbrew naszemu założeniu.

Implikacja odwrotna jest fałszywa: pięciolistnik jest pierwszy, ale jego genus wynosi 2.

Fakt 4.2.31. Każdy węzeł można zapisać jako suma spójna pewnej liczby węzłów pierwszych (niewęzeł jest sumą pustej rodziny węzłów).

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 82 Rozdział 4. Topologia algebraiczna

Dowód. Dowodzimy przez indukcję względem genusu g(K). Przypadek bazowy g(K) = 0 jest oczywisty, gdyż wtedy K to niewęzeł. Załóżmy więc, że fakt zachodzi dla węzłów J genusu co najwyżej n. Niech K będzie genusu n + 1. Jeśli K jest pierwszy, nie ma czego dowodzić. W przeciwnym razie jest równoważny z J1 #J2, gdzie J1 i J2 są nietrywialne. Mamy g(J1)+g(J2) = g(K) oraz g(J1), g(J2) > 1. Zatem g(J1), g(J2) 6 n. Na mocy hipotezy indukcyjnej, J1 oraz J2 są równoważne sumom

J1 =∼ K1# ··· #Ks,J2 =∼ Ks+1# ··· #Kr, gdzie Ki są pierwsze. Zatem K jest równoważny z K1# ··· #Kr, co kończy dowód.

Nasz aparat matematyczny jest niedostatecznie rozwinięty, by udowodnić jedyność roz- kładu. Twierdzenie 3 (Schubert, 1949). Każdy różny od niewęzła węzeł rozkłada się na węzły pierwsze, z dokładnością do kolejności składników, jednoznacznie. Schubert podał geometryczny dowód oparty o powierzchnie Seiferta; wyraził go w języku PL-rozmaitości ([213]), ale niedużym wysiłkiem można dokonać adaptacji do gładkiego świata. 3 Praca Schuberta korzysta z twierdzenia Alexandera, że 2-sfera w przestrzeni R ogranicza dysk, i jego odpowiednika dla torusów w S3. Wymaga przeredagowania 4.2.32. Inny dowód? [Hashizume 1958]. Fakt 4.2.33. Istnieje nieskończenie wiele węzłów pierwszych.

Dowód. Pokażemy, że wszystkie węzły (2n + 2)1 są pierwsze, gdzie n ≥ 1. Istotnie, algorytm Seiferta zastosowany do diagramu tego węzła wyprodukuje 2n + 1 okręgów.

··· ··· −→

1 Wynika stąd, że genus wynosi 2 (1 − (1 + 2n) + (2 + 2n)) = 1, ponieważ wyznacznik ma wartość 4n + 1, węzły 2n + 2)1 nie są trywialne i są parami różne. 4.2.4 Macierz Seiferta Niech K będzie węzłem z diagramem D i powierzchnią Seiferta S. Definicja 4.2.34 (graf Seiferta). Jeżeli ściągniemy dyski z dowodu faktu 4.2.3 do punktów jednocześnie kurcząc doklejone paski, otrzymamy graf zwany grafem Seiferta diagramu D. Fakt 4.2.35. Graf Seiferta jest dwudzielny i planarny. Skoro graf Seiferta jest planarny, to dzieli sferę S2 na f obszarów. Można wyznaczyć ich liczbę: skoro χ(S2) = d − b + f = 2, to f − 1 = 1 − d + b, pomijamy obszar nieograniczony. Brzeg każdego obszaru jest zamkniętą krzywą, z których tworzymy krzywe x1, . . . , xm na powierzchni Seiferta. Generują one grupę podstawową π1(S). Niech S będzie powierzchnią Seiferta z wyróżnioną jedną stroną. Jeśli krzywa xi biegnie ∗ po powierzchni S, przez xi oznaczać będziemy dodatnie wypchnięcie: krzywą równoległą do xi, która biegnie tuż nad nią. Potrzebowaliśmy wyróżnić jedną ze stron powierzchni S, by słowo „nad” miało sens. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 4.2. Macierz Seiferta 83

Definicja 4.2.36 (macierz Seiferta). Przy zachowaniu powyższych oznaczeń, macierz, której wyrazy ∗ określa wzór Mi,j = lk(xi, xj ), nazywamy macierzą Seiferta. Wymaga przeredagowania 4.2.37. e Seifert matrix was introduced by [Seifert 1934] in the case of a knot.

Konstrukcja macierzy Seiferta zależy od wyboru diagramu oraz orientacji krzywych xi, dlatego nie jest niezmiennikiem węzłów. Stanie się nim, kiedy uwzględnimy jeszcze wpływ ruchów Reidemeistera.

Definicja 4.2.38. Operacja Λ1 dla pewnej odwracalnej macierzy P o całkowitych wyrazach (czyli det P = ±1) to t Λ1 : M 7→ PMP . (4.20) Natomiast     0 0 ∗ 0      . .  . .  M . .  M . .         Λ2 : M 7→  0 0 albo  ∗ 0 , (4.21)         ∗ ... ∗ 0 0 0 ... 0 0 1     0 ... 0 1 0 0 ... 0 0 0

gdzie gwiazdka zastępuje ustaloną liczbę całkowitą.

Definicja 4.2.39. Niech M1,M2 będą macierzami. Jeśli M2 można otrzymać z M1 przez skończony ciąg operacji Λ1, Λ2 oraz ich odwrotności, to macierze nazywamy S-równoważnymi. Litera S, jak nietrudno się domyślić, pochodzi od Seiferta. Badania powyższej relacji rów- noważności prowadzili w latach sześćdziesiątych ubiegłego stulecia Trotter [239], Murasugi [175] oraz Levine [146]. Fakt 4.2.40. Macierz Seiferta modulo S-równoważność jest niezmiennikiem splotów. Dowód tego faktu jest elementarny, ale dość długi. Razem z ułatwiającymi zrozumie- nie diagramami można znaleźć go w podręczniku Murasugiego albo [120, s. 64], dlatego pominiemy go i skupimy się na tym, jakie niezmienniki można otrzymać z macierzy Seiferta. Wyznacznik samej macierzy Seiferta nie jest niezmiennikiem. Wykonując operację Λ2 dostajemy macierz, której ostatnia kolumna albo ostatni wiersz są zerami, więc jej wyznacznik także jest zerem. Jeśli jednak najpierw dokonamy jej symetryzacji, dostaniemy znany już niezmiennik. Wymaga przeredagowania 4.2.41. eorem 5.1.4 An integral square matrix V of size n is a Seifert matrix of an r-component link L if and only if m = (n - r + 1)/2 is a non-negative integer and V - V’ iis unimodular-congruent to the block sum T of m copies of (0, 1, −1, 0) and the zero matrix Or−1 of size r-1. Corollary: An integral square matrix V is a Seifert matrix of a knot if and only if det(V - V’) = 1. Kawauchi, strona 62. Fakt 4.2.42. Niech M będzie macierzą Seiferta węzła K. Wtedy

det K = | det(M + M t)|. (4.22)

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 84 Rozdział 4. Topologia algebraiczna

Przez wprowadzenie dodatkowej zmiennej t ∈ R, ponownie uogólnimy wyznacznik do wielomianu Alexandera. Fakt 4.2.43. Niech M będzie macierzą Seiferta rzędu k węzła K. Wtedy

−k/2 t ∆K (t) = t det(M − tM ). (4.23)

Określimy jeszcze jeden, niewystępujący wcześniej niezmiennik. 4.2.5 Sygnatura Sygnatura jest jednym z wielu niezmienników, do zdefiniowania których wystarczy znać macierz Seiferta. Pochodzi prawdopodobnie z lat sześdziesiątych (Trotter [239] dla węzłów, Murasugi [175] dla splotów) i pojawia się jeszcze na przykład w fakcie 5.8.8. Definicja 4.2.44 (sygnatura). Niech M będzie macierzą Seiferta zorientowanego splotu L. Wielkość

t σL := sign(M + M ) (4.24) nazywamy sygnaturą splotu L. Pn Fakt 4.2.45. Sygnatura jest addytywna: σ(K1 # ... # Kn) = k=1 σ(Kk).

Dowód. Bez straty ogólności ograniczmy się do przypadku n = 2 i ustalmy powierzchnie Seiferta F1,F2 dla węzłów K1,K2 z macierzami Seiferta M1,M2. Powierzchnia dla ich sumy spójnej K1 # K2 powstaje przez sklejenie F1 oraz F2 paskiem. W języku macierzy oznacza to, że macierz Seiferta węzła K1 # K2 ma postać M = M1 ⊕ M2. Zatem:

t σ(K1 # K2) = σ(M + M ) (4.25) t t = σ(M1 + M1) + σ(M2 + M2) (4.26)

= σ(K1) + σ(K2), (4.27) co kończy dowód.

Fakt 4.2.46. Niech L będzie splotem. Wtedy σ(mL) = −σ(L) oraz σ(rL) = σ(L).

t Dowód. Wynika to z podobnych faktów dla macierzy Seiferta. Równoważność MmL ' −ML wynika z tego, że zamiana nad- i podskrzyżowań odwraca wzajemne położenie krzywych, których indeksu zaczepienia szukamy. t Podobnie pokazuje się, że MrL ' ML.

Wniosek 4.2.47. Jeśli K jest węzłem achiralnym, to σ(K) = 0. Węzły achiralne mają zerową sygnaturę, zatem trójlistnik nie jest achiralny. Z faktów 4.2.45 oraz 4.2.46 wynika, że suma tak samo skręconych trójlistników nie jest achiralna (σ = ±4), natomiast suma różnie skręconych, „węzeł prosty”, ma zerową sygnaturę i jak można przekonać się ze standardowego diagramu, jest achiralna.

Fakt 4.2.48. Niech L będzie węzłem. Jeśli ∆K (t) ≡ 1, to σ(K) = 0.

Założenie ∆K (t) ≡ 1 jest spełnione przez cztery węzły pierwsze do 12 skrzyżowań, są to 11n34, 11n42, 12n313, 12n430. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 4.2. Macierz Seiferta 85

Dowód. Murasugi twierdzi, że zostało to udowodnione przez Milnora w [165], nie jesteśmy jednak pewni, gdzie dokładnie.

Istnieje równoważna definicja, która nie wymaga czasochłonnego wyznaczania macierzy Seiferta. Fakt 4.2.49. Sygnatura to niezmiennik topologiczny zadany kłębiastą relacją rekurencyjną: • σ( ) = 0,

• σ(K+) − σ(K−) ∈ {0, 2}, • 4 | σ(K) wtedy i tylko wtedy, gdy ∇(2i) > 0 (wielomian Conwaya).

Dowód. Wystarczy pokazać, że sygnatura węzła spełnia trzy powyższe aksjomaty, a następnie zauważyć, że korzystając z nich jesteśmy w stanie wyznaczyć jednoznacznie sygnaturę dla dowolnego węzła. Wynika to z faktu, że każdy węzeł można zmienić w niewęzeł odwracając pewne skrzyżowania. Pomysł jest opisany dokładniej jako trzecie spostrzeżenie w [85] oparte o twierdzenie 5.6 z [175].

Sygnatura pozwala uzyskać proste oszacowanie liczby gordyjskiej od dołu: Fakt 4.2.50. Mamy 2u(K) ≥ |σ(K)|. Liczba gordyjska 87 z 801 węzłów pierwszych o mniej niż dwunastu skrzyżowaniach nie jest jeszcze znana. Dla 311 spośród pozostałych mamy równość 2u = |σ|.

Dowód. Ustalmy diagram D dla węzła K. Odwrócenie dowolnego skrzyżowania polega na przejściu z diagramu D+ do D− lub z D− do D+. Zgodnie z relacją kłębiastą, sygnatura pozostaje taka sama lub zmienia wartość o 2. Po wykonaniu u odwróceń otrzymujemy diagram niewęzła o sygnaturze zero, zatem sygnatura wyjściowego węzła nie mogła przekraczać 2u. To kończy dowód.

Nie istnieje bezpośredni związek między sygnaturą i liczbą mostową. Węzeł torusowy T2,n jest dwumostowy, jego sygnatura wynosi n−1. Suma spójna węzłów prostych ma zerową sygnaturę, ale na mocy faktu 1.5.14 jej liczba mostowa jest nieograniczona. W[221] Shinohara pokazał, że dla każdej pary nieujemnych liczb całkowitych m, n istnieje węzeł K o wyznaczniku 4m+1 (8m+5, 4m+3) oraz sygnaturze bez znaku 8n (8n+4, 4n+2). Ponadto, jeśli m nie dzieli się przez 3, istnieje węzeł o wyznaczniku 8m + 1 i sygnaturze bez znaku 8n + 4. Czytając przeglądową pracę [42] dowiedzieliśmy się, że jeszcze w latach sześćdziesiątych 1 sygnatura została uogólniona do funkcji σL : S → Z. Większość podręczników, a także prace Levine’a [145] oraz Tristrama [238], wprowadza ją przy użyciu macierzy Seiferta, więc my postąpimy dokładnie tak samo. Definicja 4.2.51 (sygnatura Levine’a-Tristrama). Niech M będzie macierzą Seiferta zorientowanego 1 splotu L. Funkcję σL : S → Z daną wzorem

t σL(ω) := sign[(1 − ω)M + (1 − ω)M ] (4.28)

nazywamy sygnaturą Levine’a-Tristrama splotu L. Jest niezmiennikiem splotów.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 86 Rozdział 4. Topologia algebraiczna

Funkcja σL jest kawałkami stała. Conway pisze w [42], że wynika to ze wzoru na wielomian t Alexandera ∆L(t) = det(tM − M ). Jedynymi punktami nieciągłości są zera wielomianu (t − 1)∆L(t), to świeży wynik z [86]. Mówimy, że funkcja zdefiniowana na okręgu jest zbalansowana, jeżeli w każdym punkcie nieciągłości przyjmuje wartość równą średniej z lewo- oraz prawostronnej granicy w tym punkcie. Livingston podał pełną charakteryzację zbilansowanych sygnatur Levine’a-Tristrama dla węzłów, analogiczny problem dla splotów wydaje się być wciąż otwarty.

1 Fakt 4.2.52. Funkcja zbalansowana σ : S → Z jest realizowana jako sygnatura pewnego węzła wtedy i tylko wtedy, gdy:

1. dla każdego ω ∈ S1 mamy σ(ω) = σ(ω)

2. σ(1) = 0

3. każda nieciągłość funkcji σ jest miejscem zerowym wielomianu Alexandera węzła

4. jeżeli argumenty ω1, ω2 są sprzężone w sensie Galois, to σ(ω1) ≡ σ(ω2) modulo 2.

Dowód. Livingston pisze w [155], że dowód w prawą stronę jest dość dobrze znany, natomiast w lewo korzysta z wyników H. Kondo, T. Sakaiego, że każdy wielomian Alexandera węzła jest realizowany przez węzeł 1-gordyjski oraz zachowania zbalansowanej sygnatury podczas odwracania skrzyżowania.

Fakt 4.2.53. Niech S będzie satelitą z towarzyszem C, wzorcem P oraz indeksem zaczepenia n. Wtedy

n σS (ω) = σP (ω) + σC (ω ). (4.29)

Dowód. Szczególny przypadek ω = −1 rozpatrywał wcześniej Shinohara w [221]. Pełny dowód znajduje się w artykule [153] Litherlanda.

Wreszcie:

Fakt 4.2.54. Niech L będzie splotem. Wtedy albo wielomian Alexandera ∆L(t) jest tożsamościowo zerem, albo posiada co najmniej |σL| zer, liczonych z krotnościami, na okręgu jednostkowym.

Dowód. Appendix w [150], sama praca nie wygląda na związaną z teorią węzłów.

Czas na raczej niezbyt użyteczną ciekawostkę.

Hipoteza4.2.55. Czyistniejewęzełosygnaturze4iwyznacznikupostacin = 4k+1dlak całkowitego dodatniego?

Stojmenow twierdzi, że jeśli tak jest, to wszystkie pierwsze dzielniki n dają resztę 1 z dzielenia przez 24 i są większe od 2857. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 4.3. Niezmiennik Cahita Arfa 87

4.3 Niezmiennik Cahita Arfa Niezmiennik Arfa dla węzłów można zdefiniować na kilka sposobów, z których żaden jest istot- nie lepszy od pozostałych. Przyjmuje on dwie wartości: 0 i 1. Pierwszy był pomysł Robertello [205]: Fakt 4.3.1 (Robertello, 1965). Niech K będzie węzłem, zaś

n 2n ∆K (t) = c0 + c1t + ··· + cnt + ··· + c0t (4.30)

jego wielomianem Alexandera. Wtedy niezmiennik Arfa to cn−1 + cn−3 + ··· + cr mod 2, gdzie r = 0 dla nieparzystych n, r = 1 w przeciwnym razie. Nieco później Murasugi [176] zauważył, że warunek można uprościć: Fakt 4.3.2 (Murasugi, 1969). Niech K będzie węzłem. Wtedy Arf K = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ∆K (−1) ≡ ±1 mod 8. Louis Kaufman zaproponował inne podejście w 1983 roku, z wykorzystaniem diagramów. Dwa węzły nazwiemy równoważnymi przez przejścia, jeśli są związane skończenie wieloma „przejściami” [117, s. 143]:

=∼ albo =∼

Definicja 4.3.3 (Kaufman, 1983). Każdy węzeł K jest równoważny przez przejścia albo z niewęzłem, albo z trójlistnikiem. W pierwszym przypadku mówimy, że niezmiennik Arfa znika: Arf K = 0, w drugim, że nie: Arf K = 1. Wreszcie Jones zauważył [111], że wielomian V także pozwala na określenie niezmiennika Arfa, dzięki zespolonym algebrom Cliforda oraz pracy [144]. Jest to jedyna definicja, którą łatwo rozszerzyć do splotów.

Fakt 4.3.4 (Jones, 1985). Arf(K) = VK (i). Wniosek 4.3.5. Niezmiennik Arfa jest #-addytywny.

Dowód. Wynika to z faktu 4.3.4 oraz 3.2.24, ale istnieją też bardziej bezpośrednie dowody.

Na zakończenie zostawiliśmy definicję zakorzenioną w topologii algebraicznej.

Fakt 4.3.6. Niech (vij ) będzie macierzą Seiferta powstałą z krzywych genusu g, które reprezentują bazę pierwszej grupy homologii powierzchni. To oznacza, że macierz V wymiaru 2g × 2g ma następującą własność: różnica V − V t jest symplektyczna. Niezmiennik Arfa to

g X v2i−1,2i−1v2i,2i (mod 2). (4.31) i=1

O niezmienniku Arfa usłyszymy jeszcze poznając węzły plastrowe, w sekcji 5.8.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 88 Rozdział 4. Topologia algebraiczna

4.4 Homologie Z powodu naszego ograniczonego rozumienia topologii algebraicznej oraz teorii kategorii wyłożony poniżej materiał jest tak naprawdę tylko przytoczeniem podstawowych definicji i faktów. Prezentowane podejście do homologii Chowanowa pochodzi od Oleg Viro (praca [243]. Kompleks łańcuchowy to ciąg grup abelowych Cn indeksowanych liczbami całkowitymi wraz z różniczkami, morfizmami ∂n : Cn → Cn−1 takimi, że złożenie ∂n−1 ◦ ∂n = 0 jest trywialne. Iloraz ker ∂n/ im ∂n+1 nazywamy n-tą grupą homologii, Hn. Innym narzędziem wykrywającym niewęzły jest homologia Chowanowa (opisana później), jak pokazał Kronheimer z Mrówką [136]. We prove that a knot is the unknot if and only if its reduced Khovanov cohomology has rank 1. e proof has two steps. We show first that there is a spectral sequence beginning with the reduced Khovanov cohomology and abutting to a knot homology defined using singular instantons. We then show that the latter homology is isomorphic to the instanton Floer homology of the sutured knot complement: an invariant that is already known to detect the unknot. Bar-Natan, topolog√ izraelski, napisał program liczący te homologie szybko [12], zapewne w czasie O(exp(c n)), dla diagramu o n skrzyżo- waniach. Nie możemy liczyć na istotne przyspieszenie: znalezienie przybliżenia wielomianu Jonesa jest problemem #P-trudnym ([137], [242]), a przy znanych homologiach – wręcz try- wialnym. Patrz też 3.2.10. Definicja 4.4.1. Niech D będzie diagram splotu. Niezredukowanym nawiasem Kaufmana nazywamy wielomian 2 −2 X σ(s) 2 −2 |D | [D] = (−A − A )hDi = A (−A − A ) s . s Definicja 4.4.2. Rozszerzonym stanem Kaufmana nazywamy parę uporządkowaną S = (s, r), gdzie s to stan Kaufmana, zaś r to odwzorowanie Ds → {±1} ze zbioru składowych diagramu. Definicja 4.4.3. Zbiór rozszerzonych stanów Kaufmana S(D): rozbija się na podzbiory indeksowane przez pary liczb całkowitych: Si,j = {S : σ(s) = i, σ(s) + 2τ(s) = j}. Tutaj lokalnie σ(s) = |s|, oraz τ(s) = |r−1[1]| − |r−1[−1]|.

Definicja 4.4.4. Niech Ci,j będzie wolną grupą abelową generowaną przez zbiór Si,j . Ponumerujmy skrzyżowania diagramu D liczbami 1, 2, . . . , n. Homologie Chowanowa splotu o diagramie D to homologie kompleksu M C(D) = Ci,j (D), i,j∈Z z różniczkami ∂i,j : Ci,j → Ci−2,j danymi wzorem

X t(S,S0) 0 ∂i,j (S) = (−1) S . S0

0 Sumowanie odbywa się po tych S ∈ Si−2,j , które różnią się od S na dokładnie jednym skrzyżowaniu v: S(v) = 1, S0(v) = −1 oraz τ(S0) = 1 + τ(S). Liczba t(S, S0) to liczba skrzyżowań D mniejszych od v, dla których S przyjmuje wartość −1. Chowanow w pracy [122] przypisał każdemu rozszerzonemu stanowi Kaufmana element ⊗|D | 2 w bialgebrze A s , gdzie A = Z[X]/(X ). Różniczka wyraża się w terminach mnożenia i komnożenia, gdy okręgi dodatnie (z r−1[1]) zamienimy na X, zaś pozostałe na 1. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f Rozdział 5

Wybrane rodziny węzłów

Przyjęta przez nas definicja węzła czy splotu jest bardzo ogólna. O tak określonych obiektach można udowodnić niewiele twierdzeń. W dalszym ciągu tego rozdziału będziemy rozpatrywali rozmaite klasy splotów. Jest rzeczą jasną, że im węższa klasa, tym więcej twierdzeń o jej elementach można udowodnić. Nakładane przez nas ograniczenia będą różnego charakteru. Zaczniemy od warkoczy oraz supłów, które stanowią cegiełki do budowy splotów. Z pojęciem supła mocno związane są sploty dwumostowe. Potem poznamy precle, sploty złożone z wielu warkoczy połączonych ze sobą oraz bardzo symetryczne węzły Lissajous. Później zbadamy węzły torusowe, klasę zrozumianą jako jedną z pierwszych, uogólnienie węzłów złożonych: węzły satelitarne i opowiemy krótko o węzłach hiperbolicznych. Na koniec przytoczymy kilka wyników czterowymiarowej teorii węzłów plastrowych i taśmowych. 5.1 Warkocze Zaczniemy od opisu grupy warkoczy, rozważanej po raz pierwszy niejawnie przez A. Hurwitza w 1885 roku i jawnie przez E. Artina czterdzieści lat później. O dwóch punktach (d1, t1), 2 3 (d2, t2) w walcu B × [0, 1] ⊆ R powiemy, że łączący je odcinek jest malejący, jeśli t1 > t2. Łamana malejąca to taka, która jest złożona z malejących odcinków. Definicja 5.1.1 (warkocz). Teoriomnogościową sumę parami rozłącznych łamanych malejących, które łączą zbiory {x1, . . . , xn} × {1} oraz {x1, . . . , xn} × {0}, nazywamy warkoczem o n pasmach. Poszczególne pasma warkocza możemy utożsamiać z wykresami pewnych (gładkich) 2 funkcji fi : [0, 1] → R , jeśli zbiory {fi(0) : 1 ≤ i ≤ n} = {fi(1) : 1 ≤ i ≤ n} są równe. Wtedy dwa warkocze uznajemy za równoważne, jeśli istnieje między nimi izotopia: funkcje ciągłe dwóch zmiennych Fi(t, s) określone na zbiorze [0, 1] × [0, 1] takie, że Fi(t, 0) = fi(t) oraz Fi(t, 1) = gi(t). Przez analogię do węzłów można zdefiniować diagramy warkoczy jako cienie bez katastrof. Najczęściej rzutujemy prostopadle do odcinka {0} × [0, 1]. Definicja 5.1.2. Określmy pomocniczo dwie kontrakcje B2 × [0, 1] → B2 × [0, 1]:

ψ1(d, t) = (d, t/2) 1 ψ (d, t) = (d, (t + 1)) 2 2

Klasy abstrakcji warkoczy z mnożeniem danym wzorem z1z2 = ψ1(z1) ∪ ψ2(z2) tworzą grupę Sn warkoczy Bn. Jej elementem neutralnym jest warkocz 1n = i=1{x1} × [0, 1]. 90 Rozdział 5. Wybrane rodziny węzłów

Sprawdzenie aksjomatów grupy pozostawiamy Czytelnikowi, pozostawiając mu małą wskazówkę graficzną: β1β2 β3

=∼

−1 β β 13 β1 β2β3

Fakt 5.1.3. Grupa warkoczy Bn ma prezentację

{σ1, . . . , σn−1 : σiσi+1σi = σi+1σiσi+1, |i − j|= 6 1 =⇒ σiσj = σj σi}. (5.1)

Generatory σi posiadają prostą interpretację graficzną: n ...... i + 1 i ...... 1

Jeśli zapomnimy, jak poszczególne pasma krzyżują się, każdy warkocz staje się permutacją zbioru n-elementowego. To odwzorowanie jest „na” i zgodne ze składaniem warkoczy, dlatego wyznacza homomorfizm Bn → Sn. Jego jądro stanowi podgrupa warkoczy czystych, czyli takich, że początek i koniec każdego pasma znajdują się w tej samej pozycji.

Fakt 5.1.4. Grupa warkoczy Bn jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy n < 3. ∼ Dowód. Dla n = 1 grupa warkoczowa jest trywialna, dla n = 2 mamy B2 = Z. Załóżmy, że n ≥ 3. Wtedy grupa symetrii Sn jest nieprzemienna, zatem grupa Bn także taka jest.

Obrazem generatora σi ∈ Bn jest transpozycja (i, i + 1) ∈ Sn, co pozwala przepisać prezentację Artina grupy Bn do prezentacji Coxetera grupy symetrii:

2 Sn = hs1, . . . , sn−1 | si = 1, sisi+1si = si+1sisi+1, sisj = sj si dla |i − j| 6= 1i (5.2)

Qn−1 n Fakt 5.1.5. Jeśli n ≥ 3, to centrum grupy Bn jest generowane przez warkocz ( i=1 σi) .

Dowód. Garside w [81].

Grupa B3 jest izomorficzna z grupą podstawową trójlistnika (patrz przykład 4.1.3). Nie istnieje żaden węzeł, którego grupą podstawową byłaby jednak Bn dla n ≥ 4: tam elementy 3 σ1, σn oraz generator centrum rozpinają grupę izomorficzną z Z . Natomiast asferyczna, 3 niezwarta 3-rozmaitość nie może mieć grupy podstawowej Z . Musimy pominąć czysto koho- mologiczny dowód faktu, ale zaiste prowadzi to do sprzeczności. Każdy warkocz można domknąć do węzła, łącząc punkty (xi, 1) oraz (xi, 0) łamanymi, których rzuty do płaszczyzny diagramu nie przecinają się. Nie wiadomo, kto wymyślił operację domykania warkoczy, ale była ona z pewnością znana Alexanderowi: rozpatrywano je jeszcze przed samymi warkoczami. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 5.1. Warkocze 91

Wymaga przeredagowania 5.1.6. [120] strona 13, 14: braid and plat presentations. Twierdzenie 4 (Alexander, 1923). Każdy splot powstaje przez domknięcie pewnego warkocza.

Dowód. W kolejności chronologicznej: najpierw Alexander [6], a po blisko połowie wieku Morton [168], Yamada [251] i Vogel [244].

Niech b ∈ Bn będzie słowem zapisanym na standardowych generatorach. Oznaczmy przez b+, b− nieznakowaną sumę dodatnich, ujemnych wykładników. Jeśli b+ − 3b− ≥ n, to domknięcie warkocza b nie jest achiralne (twierdzenie 5 z [111]). Twierdzenie 5 (Markow, 1936). Dwa domknięte warkocze są równoważne jako sploty wtedy i tylko −1 wtedy, gdy jeden powstaje z drugiego przez ciąg sprzężeń: z1 7→ z2z1z2 oraz procesów Markowa, które ±1 zastępują n-warkocz β przez (n + 1)-warkocz βσn .

Dowód. Kompletny i godny naśladowania dowód znajduje się w trudno dostępnej książce [16] Birman, więc warto sprawdzić inne, opublikowane później materiały: Morton opisał w [168] przepiękną, a przy tym elementarną ideę „nitkowania”, potem Traczyk podał w [236] czysto kombinatoryczne, dwuwymiarowe uzasadnienie oparte o okręgi Seiferta, wreszcie mamy też artykuł [18] napisany przez Birman i Menasco.

Pierwsze sformułowanie twierdzenia pochodzące od Markowa [160] korzystało z trzech ruchów, jeden z nich stanowił uogólnienie II ruchu Reidemeistera. Trzy lata później Weinberg zauważył w [246], że wystarczą dwa ruchy. Lambropoulou, Rourke przedstawili w [142] wersję twierdzenia wymagającą tylko jednego ruchu. Historia twierdzenia Markowa jest raczej dramatyczna: Markow przedstawił swój dowód ustnie, ale nigdy go nie opublikował, zostawiając to zadanie swojemu uczniowi, Weinbergowi. Ten jednak został zabity podczas wojny, wkrótce po opublikowaniu pierwszej pracy na temat teorii węzłów. Wymaga przeredagowania 5.1.7. According to this theorem and eorem 1.2.2, it may be said that knot theory is the study of the Markov equiva- lence classes of the braid groups. e word problem in the braid group is solvable, i.e., there is an algorithm to determine whether or not two given words are the same element in the braid group. e conjugacy problem in the braid group is also solvable, i.e., there is an algorithm to determine whether or not two given words are conjugate in the braid group. However, the Markov equivalence problem has not yet been solved. [120] strona 18. Wymaga przeredagowania 5.1.8. Introduction to knot theory: Summary of the lecture by Gregor Schaumann 2016 zawiera informację, że dwa diagramy warkoczy przedstawiają ten sam warkocz wtedy i tylko wtedy, gdy można między nimi przechodzić przy użyciu: tożsamości wężowych oraz ruchów Turaeva. Brakuje źródła z krótkim dowodem. Możliwe, że w "Operator invariants of ..." 1989. Problem słowa (czy dane słowo przedstawia element neutralny?) oraz sprzężoności (czy dwa słowa są sprzeżone?) są rozwiązalne w grupach warkoczowych. Problem, czy dwa słowa prezentują równoważne węzły – nie. Na zakończenie sekcji wspomnijmy o macierzowej reprezentacji Burau. Wyznaczona jest ona przez obrazy generatorów:   1 − t t ϕ(σi) = Ii−1 ⊕   ⊕ In−i−1 (5.3) 1 0

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 92 Rozdział 5. Wybrane rodziny węzłów

Reprezentacja ϕ jest wierna dla n = 2, 3. Moody pokazał, że reprezentacja nie jest wierna dla n > 8, Long, Paton ulepszyli jego podejście i otrzymali mocniejszą nierównosć n > 5. Ich kontrukcja korzysta z pewnej zamkniętej krzywej na sześciokrotnie przekłutym dysku o pewnych cechach homologicznych. Podobnymi metodami Bigelow pokazał u schyłku stulecia [15], że jeśli

−1 2 3 ψ1 = σ3 σ2σ1 σ2σ4 σ3σ2, (5.4) −1 −2 2 2 5 ψ2 = σ4 σ3σ2σ1 σ2σ1 σ2 σ1σ4 , (5.5)

−1 −1 2 to komutator [ψ1 σ4ψ1, ψ2 σ4σ3σ2σ1 σ2σ3σ4ψ2] należy do jądra. Czy reprezentacja Burau dla B4 jest wierna? Negatywna odpowiedź na to pytanie prawie na pewno prowadziłaby do nietrywialnego węzła, którego wielomianem HOMFLY jest 1, natomiast odpowiedź pozytywna raczej nie ma aż tak dramatycznych następstw. Grupy Bn mogą być obiektem badań algebry bez związku z teorią węzłów.

Fakt 5.1.9. Grupa warkoczy Bn jest beztorsyjna dla każdego n ≥ 1. Istnieje wiele dowodów tego faktu: pierwszy korzystał z krótkich ciągów dokładnych (Fadell, Neuwirth 1965), później podano oparty o struktury Garside’a (Garside 1969), czysto teoriogrupowy pochodzi od Dyera (1980). My przedstawimy inne rozumowanie, opisując przy tym ciekawy sam w sobie porządek Dehornoya.

Dowód. Mówimy, że grupa G jest lewo-porządkowalna, jeśli można wyposażyć ją w zupełny porządek <, niezmienniczy na mnożenie z lewej strony. To znaczy, dla każdych a, b, c ∈ G, z nierówności a < b wynika ca < cb. Wtedy zbiór P = {g ∈ G | e < g} nazywamy półgrupą elementów dodatnich. Łatwo widać, że G jest sumą rozłączną P t {e} t P −1. Odwrotnie, każde takie rozbicie wyznacza porządek: wystarczy zdefiniować a < b ⇐⇒ a−1b ∈ P . Dehornoy znalazł taki porządek dla grupy warkoczowej Bn w [53]. Za zbiór P elementów dodatnich wziął te słowa na standardowych generatorach, które dla pewnego i zawierają σi, −1 ±1 ale nie σi ani σj dla j < i. Pokazanie, że P jest półgrupą nie sprawia trudności, ale tego, że jest dobrze określonym zbiorem stanowi bardzo nietrywialne zadanie. Lewo-porządkowalna grupa jest beztorsyjna. Istotnie, ustalmy element g ∈ G różny od elementu neutralnego. Bez straty ogólności niech e < g, przemnóżmy tę nierówność stronami przez g. Dostaniemy tak nową nierówność g < g2. Powtarzając proces otrzymujemy łańcuch e < g < g2 < g3 < . . .. Skoro < jest porządkiem, nie jest możliwe by któryś z elementów gn był neutralny.

Fakt 5.1.10. Grupa warkoczy Bn jest grupą Hopfa dla każdego n ≥ 1: nie jest izomorficzna z żadnym ze swoich właściwych ilorazów.

Dowód. Podręcznik [156] dobrze wyjaśnia różne idee stojące za dowodem, który podamy. Mówimy, że grupa G jest rezydualnie skończona, jeśli przekrój jej podgrup skończonego indeksu jest trywialny. Łatwo widać, że własność ta przenosi się na wszystkie podgrupy grupy G. Baumslag zauważył, że jeśli grupa G jest skończenie generowana i rezydualnie skończona, 2 to grupa jej automorfizmów Aut G jest rezydualnie skończona. Grupa G = Z spełnia te 2 założenia. Wolna grupa F2 jest podgrupą grupy automorfizmów Z , na przykład *   + 1 2 1 0 2 F2 '   ,   ⊆ Aut Z . (5.6) 0 1 2 1 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 5.2. Supły 93

Wszystkie grupy wolne Fn, n ∈ N, są podgrupami grupy F2, dlatego także są rezydualnie skończone, a z nimi grupa warkoczy, gdyż Bn ⊆ Aut Fn. Malcew pokazał, że skończenie generowana i rezydualnie skończona grupa jest grupą Hopfa. Krótki dowód tego faktu można znaleźć w sekcji 6.5 książki [156].

5.1.1 Liczba warkoczowa Z angielskiego braid number. Definicja 5.1.11. Liczba warkoczowa to minimalna liczba pasm, na których można zapleść warkocz, którego domknięciem jest wyjściowy splot. Tylko jeden węzeł ma liczbę warkoczową 1, jest to niewęzeł. Dwuwarkoczowe są dokładnie węzły torusowe typu (2, n) dla |n| ≥ 3. Węzły spełniające br(K) = 3 nie zostały jeszcze sklasyfikowane. Liczba warkoczowa splotu zależy od orientacji ogniw i trudno wyznacza się w ogólnym przypadku. Fakt 5.1.12. Węzeł o n skrzyżowaniach można zapleść na n − 1 pasmach. Powyższe ograniczenie (b ≤ cr −1) nie jest zbyt użyteczne, równość mamy jedynie dla trójlistnika i ósemki. Dokładną wartość liczby warkoczowej znamy między innymi dla węzłów torusowych (fakt 5.5.21). Wielomian Alexandera wykrywa czasami węzły, których nie otrzyma się przez domykanie „małych” warkoczy. Przytoczone tu wyniki pochodzą z pracy [111] Jonesa, gdzie nie ma jednak ich dowodów. Jeśli |∆(i)| > 3, to węzeł nie jest domknięciem 3-warkocza (wniosek 23). Ta implikacja jest skuteczna przy 43 z 59 węzłów o mniej niż 10 skrzyżowaniach. Jeśli zaś spełniona jest nierówność ∆(exp(2πi/5)) > 13/2, nie jest on domknięciem 4-warkocza (wniosek 24). Prawdopodobnie nie istnieją podobne warunki dla 5-warkoczy. Wymaga przeredagowania 5.1.13. Also, for a nonsplittable link with link crossing number c(L) and braid index i(L), c(L)>=2[i(L)-1] (Ohyama 1993). Wymaga przeredagowania 5.1.14. Let E be the largest and e the smallest power of l in the HOMFLY polynomial of an oriented link, and i be the braid index. en the morton-franks-williams inequality holds, i>=1/2(E-e)+1 (Franks and Williams 1987). e inequality is sharp for all prime knots up to 10 crossings with the exceptions of 09-042, 09-049, 10-132, 10-150, and 10-156. 5.2 Supły Na przełomie lat sześćdziesiątych i siedemdziesiątych Conway szukał sposobu na zbudowanie kompletnej tablicy węzłów. Niezmienniki znane w tym czasie nie były dostatecznie mocne, by sprostać temu wyzwaniu. Conway wprowadził pojęcie supła i chociaż wszystkich węzłów nie można z nich uzyskać, teoria została pchnięta do przodu. Supły stanowią budulec splotów takich jak na przykład precle z definicji 5.3.9. Sekcja oparta jest na podręczniku Murasugiego [181] i pracach [43], [87], [119], a także [216]. Supły występują także w polskojęzycznym artykule [108], ten zawiera jednak nieprzyjemną pułapkę: wprowadza konwencję sprzeczną z powszechnie akceptowaną notacją. Definicja 5.2.1 (supeł). Zawarty w kole fragment diagramu splotu o dwóch łukach wyjściowych oraz dwóch wejściowych, nazywamy supłem. Istnieją dwa rodzaje supłów – naprzemienne i sąsiadujące.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 94 Rozdział 5. Wybrane rodziny węzłów NW NE NW NE

SW SE SW SE naprzemienny sąsiadujący

Podobnie jak dla węzłów, pojawia się naturalne pytanie o równoważność dwóch supłów. Jest tak wtedy, gdy istnieje homeomorfizm kuli na siebie, który przekształca jeden supeł na drugi, ale nie rusza sfery otaczającej. Dla diagramów odpowiada to ruchom Reidemeistera, nie mamy jednak prawa opuszczać kuli zawierającej supeł. Wszystkich supłów jest bardzo dużo, więc ograniczymy się do końca rozdziału do pewnej ich regularnej rodziny. Oto cztery podstawowe supły:

(0) (∞) = (0, 0) (−1) (1)

Definicja 5.2.2. Supły powstające z (0) lub (∞) przez homeomorfizm kuli na siebie permutujący wejścia i wyjścia nazywamy wymiernymi.

Pokażemy teraz, jak zamienić dowolny skończony ciąg liczb całkowitych w supeł, jako że jest to prostsze od procesu odwrotnego. Nazwijmy jednak najpierw dwa rodzaje skrętów:

prawy skręt lewy skręt

Mając ciąg (a1, a2, . . . , an) wykonujemy naprzemiennie obroty półsferą dolną (SW–SE, takie nazywamy pionowymi) oraz prawą (SW–NW, a takie poziomymi) tak, by ostatni był obrót poziomy. Oto reguła zgodnie z którą wybieramy kierunek obrotów. Podczas pionowych obrotów, prawy skręt jest dodatni, zaś lewy ujemny. Podczas poziomych, zamieniamy znaki: prawy odpowiada ujemnym wyrazom ciągu, lewy dodatnim. Wreszcie, jeżeli n jest nieparzyste, zaczynamy od supła T (0), w przeciwnym razie od supła T (0, 0). Różnym ciągom mogą odpowiadać te same supły, na przykład T (−2, 3, 3) = T (3, −2), więc notacja nie jest jednoznaczna, ale to nic złego. Każdemu supłowi przypiszmy pewną liczbę wymierną, według przepisu:

1 α T (a1, a2, . . . , an) 7→ an + = . (5.7) ... + 1/a1 β

Fakt 5.2.3. Istnieje bijekcja między typami supłów wymiernych oraz ułamkami łańcuchowymi.

Niedowód. Praca [43] Conwaya, strony 331-332.

Fakt 5.2.4 (ćwiczenie 9.2.6 w [181]). Niech T (a1, a2, . . . , an) będzie supłem różnym od 0 oraz ∞. Wtedy bez straty ogólności można założyć, że wszystkie liczby ai są tego samego znaku. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 5.2. Supły 95

Z każdym supłem T związane jest jego odbicie T , obraz wyjściowego przez symetrię względem prostej y = −x. Mając dwa supły obok siebie, można dokonać ich sklejenia wzdłuż połówek kul, w których leżą:

T1 T2 T1 T2

supeł supeł suma

Oznaczmy tak otrzymany węzeł przez T1 + T2. Niektórzy definiują dalsze działania, jak produkt: T1 · T2 = T 1 + T2 czy rozgałęzienie, T 1 + T 2. Rodzina supłów wymiernych jest zamknięta na branie produktów, ale nie sum. Wprowadzamy więc następującą, ogólniejszą definicję. Supeł będący skończoną sumą supłów wymiernych, ich luster, odbić lub odbić luster nazywamy algebraicznym.

Wymaga przeredagowania 5.2.5 (notacja Conwaya). ???

Przez zszycie par łuków wejściowych (lub wyjściowych) zamieniamy supły w węzły:

T T T

N(T ) supeł T D(T )

Oznaczenia N(T ) oraz D(T ) pochodzą od angielskich słów numerator, denominator. Być może nie jest jasne, dlaczego terminy stosowane zazwyczaj do opisu ułamków stosujemy wobec diagramów splotów. Nazewnictwo nie jest przypadkowe.

Fakt 5.2.6. Ułamek supła zadany wzorem

∇ (z) F (A) = N(A) ∇D(A)(z)

spełnia zależność F (A + B) = F (A) + F (B).

Dowód. Praca [43] Conwaya.

Wymaga przeredagowania 5.2.7. Praca [43] zawiera jeszcze jeden ciekawy rezultat, uogólniony przez Lickorisha i Milletta w [148]. Przyjmijmy następujące skróty: niech An = PN(A)(x, y), Ad = PD(A)(x, y). Dla dowolnych supłów A, B mamy

2 (1 − (x + y) )(A + B)n = (AnBd + AdBn) − (x + y)(AnBn + AdBd)

oraz

(A + B)d = AdBd.

Uwaga, zastosowano tu nieco inną parametryzację wielomianu HOMFLY.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 96 Rozdział 5. Wybrane rodziny węzłów

5.2.1 Sploty o dwóch mostach Zajmiemy się teraz związkiem supłów z indeksem mostowym. Wiemy, że węzeł trywialny jest jednomostowy, następne w hierarchii są sploty dwumostowe. Nazywa się je także wymiernymi, po angielsku czasami 4-plats. Jako pierwszy studiował je Bankwitz z Schumannem w 1934 roku. Mają co najwyżej dwie składowe i są odwracalne. Fakt 5.2.8. Sploty dwumostowe są pierwsze.

Dowód. Prosty wniosek z tego, że liczba mostowa prawie jest addytywna (fakt 1.5.14).

Wniosek 5.2.9. Węzły dwumostowe są (±2, n)-torusowe albo hiperboliczne. Wymaga przeredagowania 5.2.10. Teza wynika wtedy bezpośrednio z faktu 5.5.20, który głosi, że br(Tp,q) = min{|p|, |q|}. Fakt 5.2.11. Pierwsze węzły trzymostowe są (±3, n)-torusowe albo hiperboliczne.

Dowód. Wniosek 10.5.2 w [120], ale z innego twierdzenia.

Fakt 5.2.12. Sploty z dwoma mostami to dokładnie sploty typu D(T ) dla pewnego supła wymiernego T . Dowód tego stwierdzenia znaleźć można na przykład w książce [181], strony 183-187. Wynika z niego, że każdy splot dwumostowy można przedstawić następującym diagramem:

...... a2 ... a4 ...... a1 a3 a2k+1 ...

Oto reguła, zgodnie z którą wybieramy znaki liczb ai: jeśli i jest nieparzyste, prawy skręt jest dodatni, jeśli parzyste – lewy jest dodatni. Sam diagram oznaczamy C(a1, . . . , a2k+1) i nazywamy postacią normalną Conwaya. Fakt 5.2.13. Sploty dwumostowe są alternujące.

Dowód. Goodrick w [90] podał diagramatyczny dowód, gdzie ciąg ruchów zmienia diagram splotu dwumostowego w alternujący. Wynika to też z faktu 5.2.4.

Przez analogię do supłów, definiujemy ułamek łańcuchowy 1 α C(a1, . . . , a2k+1) 7→ a1 + = . (5.8) a2 + 1/... β Wymaga przeredagowania 5.2.14. To jest postać normalna Conwaya, ale mamy jeszcze postać Schu- berta - [120, s. 21]. Zauważmy, że wartość bezwzględna ułamka α/β zawsze przekracza 1 i odwrotnie, każdy taki ułamek pochodzi od pewnego węzła dwumostowego. Parę względnie pierwszych liczb (α, β) nazywamy typem węzła dwumostowego. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 5.2. Supły 97

Fakt 5.2.15. Dwumostowe sploty typów (α, β) oraz (α0, β0) są, pomijając orientację, równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jeden z warunków: • α = α0 oraz β ≡ β0 (mod α), • α = α0 oraz ββ0 ≡ 1 (mod α). Wymaga przeredagowania 5.2.16. [120, s. 23]: czasem 2α zamiast α.

Dowód. Dowód opiera się na tym, że podwójnie cykliczna przestrzeń nakrywająca rozcięta wzdłuż splotu jest przestrzenią soczewkową typu (α, β). Nie definiowaliśmy nawet tych przestrzeni, szczegóły można znaleźć w podręczniku [181] albo [216].

Fakt 5.2.17. Dwumostowy splot typu (α, β) jest achiralny dokładnie wtedy i tylko wtedy, gdy β2 ≡ −1 mod α. (5.9) Dowód. Wynika to z tego, że lustrem splotu typu (α, β) jest splot typu (α, −β) oraz faktu 5.2.15.

Fakt 5.2.18. Niech b będzie dowolną liczbą całkowitą. Wtedy następujące sploty są tego samego typu:

N(T (a1, a2, . . . , a2k+1)) ≈ N(T (a1, a2, . . . , a2k+1, b, 0)) (5.10)

≈ D(T (−a1, −a2,..., −a2k+1, b)) (5.11)

≈ C(a1, a2, . . . , a2k − 1, 1). (5.12)

N(T (a1, a2, . . . , a2k)) ≈ D(T (−a1, −a2,..., −a2k, b)) (5.13)

≈ C(a1, a2, . . . , a2k − 1, 1). (5.14)

D(T (a1, a2, . . . , a2k+1)) ≈ D(T (a1, a2, . . . , a2k, 0)) (5.15)

≈ C(1, a1 − 1, a2, . . . , a2k). (5.16)

D(T (a1, a2, . . . , a2k)) ≈ D(T (a1, a2, . . . , a2k−1, 0)) (5.17)

≈ C(a1, a2, . . . , a2k−1). (5.18) Dowód. [181, fakt 9.3.4]

Fakt 5.2.19. Niech L będzie dwumostowym splotem typu (α, β). Wtedy det L = α. Wynika stąd, że wyznacznik nie wystarcza do odróżniania splotów dwumostowych.

Dowód. https://math.stackexchange.com/questions/3327846/.

Niech A, B będą supłami. Wiemy, że suma A + B nie musi być supłem, zaś D(A + B) niekoniecznie jest splotem dwumostowym. Pomimo to, splot N(A + B) jest dwumostowy, potrafimy nawet powiedzieć, jaki ma wyznacznik: Fakt 5.2.20. Niech A, B będą supłami, którym odpowiadają skrócone ułamki p/q oraz r/s. Wtedy splot L = N(A + B) jest dwumostowy, typu (α, β) i ma wyznacznik α = |ps + qr|. Murasugi (twierdzenie 9.3.5) twierdzi, że dowód znajduje się w [65]. Fakt 5.2.21. Rozpatrzmy węzeł dwumostowy typu (α, β), gdzie 0 < β < α i β jest nieparzyste. Niech rk będzie resztą z dzielenia kβ przez 2α leżącą w przedziale (−α, α) dla k = 0, 1, . . . , α − 1. Różnica między ilością dodatnich reszt i ujemnych reszt to sygnatura węzła. Wygląda na to, że jedynym niewyznaczonym do końca klasycznym niezmiennikiem jest liczba gordyjska.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 98 Rozdział 5. Wybrane rodziny węzłów

5.2.2 Mutanty i mutacje Na zakończenie wspomnimy o mutacjach. Definicja 5.2.22 (mutacja). Półobrót supła względem osi poziomej, pionowej albo też prostopadłej do płaszczyzny, w jakiej leży diagram, nazywamy mutacją. W razie potrzeby zmieniamy orientację supła na przeciwną. Wymaga przeredagowania 5.2.23. rysunek z pracy „Tabulating and distinguishing mutants” Definicja 5.2.24 (mutant). Niech K będzie węzłem. Węzeł, który powstaje przez wykonanie ciągu mutacji na węźle K, nazywamy mutantem węzła K. Mutacja węzła o co najwyżej dziesięciu skrzyżowaniach nie zmienia jego klasy abstrakcji. Najprostszą, a zarazem najsłynniejszą parą różnych od siebie mutantów stanowią węzeł Conwaya 11n34 oraz Kinoshity-Terasakiego 11n42. Wymaga przeredagowania 5.2.25. rysunek Conway zauważył podczas klasyfikacji niealternujących węzłów, że tylko one posiadają trywialny wielomian Alexandera. Mają też taki sam wielomian Jonesa,

V (t) = t6 − 2t5 + 2t4 − 2t3 + t2 + 2t−1 − 2t−2 + 2t−3 − t−4. (5.19)

Kinoshita, Terasaki zdefiniowali nieskończoną rodzinę węzłów o trywialnym wielomianie Alexandera, której pierwszym wyrazem jest węzeł 11n42 w [124]. Dowód tego, że 11n34 oraz 11n42 są różne, jako pierwszy podał prawdopodobnie Riley w 1971 roku [203]: wykorzystał on homomorfizmy z grupy węzła w PSL(2, 7). Genusy, odpowiednio: 3 i 2, wyznaczył Gabai piętnaście lat później w [79], używał foliacji. Mutanty nie dają się łatwo odróżniać niezmiennikami. Fakt 5.2.26. Mutacja węzłów nie zmienia następujących niezmienników: kablowego wielomianu Jonesa, 2-kablowego wielomianu HOMFLY, kablowego wielomianu Kaufmana, sygnatury Tristrama-Levine’a, symplicjalnej objętości Gromowa, instanton homologii Floera, niezmienników Wittena ani Cassona.

Dowód. Poziom zaawansowania tej książki nie pozwala przedstawić szczegółów dowodu, dlatego wymienimy tylko odnośniki do literatury: [164], [198], [147], [44], [209], [210], [208] oraz [126].

Warto przytoczyć teraz obserwację 3.8.2 z [120, s. 43]: jeśli sploty L1,L2 są mutantami, 3 to podwójne przestrzenie nakryciowe nad S rozgałęzione odpowiednio wzdłuż L1 oraz L2 są homeomorficzne z zachowaniem orientacji. Co więcej, macierze Seiferta mutantów są S-równoważne. To tłumaczy czemu większość niezmienników nie radzi sobie z odróżnianiem mutantów. Niedawno Stojmenow podjął się systematycznie szukania mutantów wśród węzłów o mniej niż 19 skrzyżowaniach (praca [227] z 2010 roku). Początkowo pracował sam, badając pewne subtelne przykłady postanowił uwikłać w swój projekt Toshifumiego Tanakę, a później także Daniela Mateię. Praca [227] jest kontynuacją artykułu, który napisali wspólnymi siłami. I tak na stronie 531 można przeczytać, że „niezmienniki Wasiljewa co najwyżej 8. stopnia nie rozróżniają mutantów węzłów [40], ja tego nie widzę. Mniej więcej sześć lat później wynik poprawił J. Murakami (nie mylić z H. Murakamim!) do 10. stopnia w niezindeksowanej pracy [173]. W międzyczasie Cromwell, Morton znaleźli niezmiennik stopnia 11., który odróżnia węzły Conwaya oraz Kinoshity-Terasakiego; patrz [169]. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 5.2. Supły 99

Mutant węzła złożonego także jest złożony, co więcej istnieje bijekcja między czynnikami w ich rozkładach na węzły pierwsze [209]. Dzięki temu możemy bez straty ogólności założyć, że badamy tylko węzły pierwsze, niestety wciąż nie jest znana ogólna procedura pozwalająca wyliczyć wszystkie mutanty danego węzła. Zbiór problemów niskowymiarowej topologii opublikowany przez Kirby’iego [125] zawiera następujące pytanie:

Hipoteza 5.2.27 (problem 1.91). Niech K będzie prostym1 węzłem bez orientacji. Czy istnieją węzły niebędące mutantami K, których nie można odróżnić od K wielomianem Jonesa oraz wszystkimi jego satelitami?

Stojmenow pisze, że tak: pierwszą chronologicznie parą jest 1441721, 1442125, dowód tego faktu opiera się na wzorze fuzyjnym Masbauma-Vogela odkrytym w pracy [161]. Choć wzór ten zastosowany do konkretnej pary węzłów sprawia zazwyczaj trudności rachunkowe, to jest wystarczającym narzędziem, by rozszerzyć konstrukcję do ogólnego wyniku:

Fakt 5.2.28. Istnieje nieskończenie wiele par prostych węzłów hiperbolicznych o tych samych kolorowych wielomianach Jonesa, które nie są swoimi mutantami.

Dowód. [228]. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Mauris condimentum leo sit amet venenatis elementum. Sed congue ligula ut lorem dictum eleifend. Maecenas sem elit, sodales ac massa sed, semper dapibus sem. Maecenas vel porta mi. Donec venenatis tellus nec tellus rhoncus malesuada. Nam gravida eu nisi pretium eleifend. Nulla faucibus tincidunt nunc in semper. Cras ut blandit magna, eget blandit turpis. Vivamus aliquam quam id velit iaculis mattis. Ut a posuere orci. Vestibulum ante ipsum primis in faucibus orci luctus et ultrices posuere cubilia curae; Vestibulum in ligula quis ex eficitur cursus.

Zaraz po rewolucji, jaką w latach 80. wywołała relacja kłębiasta, Ewing napisał z Millettem komputerowy program w języku C, który wyjątkowo szybko znajdował wielomiany HOMFLY oraz Kaufmana zadanego węzła. Nawet dziś program ten jest w stanie uporać się z węzłami, z którymi nie radzą sobie inne narzędzia. Autorzy nie wiedzieli wtedy, że ktoś jeszcze będzie z nich korzystać w przyszłości, dlatego poczynili w kodzie liczne optymalizacje dla stacji roboczej Sun, jaką wtedy dysponowali. Dzisiaj okazuje się, że dla węzłów o większej liczbie skrzyżowań program często kończy swoje działanie zrzutem pamięci, wpada w pętlę bez wyjścia albo zwraca niepoprawny wynik (składniki wielomianu Kaufmana są postaci amzn, gdzie m + n jest nieparzyste). Stojmenow korzystał z tych programów podczas tablicowania mutantów. Jak postępował?

1. podzielił węzły na grupy o tej samej objętości, wielomianie Jonesa oraz Alexandera;

2. w każdej z grup szukał ciągu mutacji pomiędzy diagramami minimalnymi;

3. tam, gdzie nie udało się znaleźć mutantów, liczył 2-kablowy wielomian HOMFLY;

4. jeśli wielomian był taki sam, szukał ciągu mutacji między nieminimalnymi diagramami do 18 skrzyżowań;

5. wreszcie pozostałe grupy zostały potraktowane reprezentacjami grupy podstawowej dwukrotnego nakrycia.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 100 Rozdział 5. Wybrane rodziny węzłów

skrzyżowania 11 12 13 14 15

pary 16 70 703 3917 24884 trójki 5 38 233 1000 czwórki 32 262 2909 szóstki 1 17 172 ósemki 6 84 łącznie 16 75 774 4435 29049

Tabela 5.1: Liczba grup mutantów wśród pierwszych węzłów do 15 skrzyżowań

Podsumowanie jego pracy zawiera tabela: Reszta wyłożonego materiału nie pochodzi już z pracy [227]. Fakt 5.2.29. Niech D będzie alternującym diagramem. Wtedy każdy mutant D też jest alternujący. Hipoteza 5.2.30. Mutacja nie zmienia liczby gordyjskiej. Jak czytamy w [125, problem 1.69], przypuszczenie to jest bardzo trudne do udowodnienia: wynika z niego inna stara hipoteza teorii węzłów, że liczba gordyjska splotów jest addytywna. Przytoczymy tylko dwa częściowe wyniki. Najpierw Rolfsen zauważył, że jedynym mutantem niewęzła jest sam niewęzeł [207]. Dekadę później Gordon, Luecke pokazali, iż klasa węzłów 1-gordyjskich jest zamknięta na przeprowadzanie mutacji [93]. Fakt 5.2.31. Niech m, n będą nieujemnymi liczbami całkowitymi. Wtedy istnieje węzeł K o genusie plastrowym równym m, którego pewien mutant ma genus plastrowy równy n. Stanowi to uogólnienie obserwacji Livingstona [154], że istnieją mutanty o różnym genusie plastrowym.

Dowód. Kim, Livingston w [123]. 5.3 Precle Precle to sploty ze standardowym diagramem, na którym wyróżnić można co najmniej trzy warkocze na dokładnie dwóch pasmach. Warkocze te ułożone są w sposób cykliczny. Pojawiły się po raz pierwszy w książce Reidemeistera z 1932 roku jako przykład węzła o trywialnym wielomianie Alexandera. Zanim podamy formalną definicję, wygodnie będzie przyjrzyć się ogólniejszej rodzinie splotów Montesinosa, nazwanych tak na cześć José Marii Montesinosa Amilibii, topologa hiszpańskiego. Wprowadził je do matematyki w 1973 roku. Wymaga przeredagowania 5.3.1. A special feature of this knot is that the two-fold branched covering space over 83 with this knot as the branch set is a Seifert manifold. From this point of view,J. M. Montesinos generalized the pretzel links to a class of links called the Montesinos links (cf. [Montesinos 1973’, *]). e Montesinos link M( -cb; (PI, ql), (p2, q2), ... , (Pn, qn)) is obtained from the pretzel link P(-cb;PI,P2, ... ,Pn) by replacing each 2-string braid of Pi-half twists with a rational tangle with slope qi/Pi (see 3.3 for

1simple robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 5.3. Precle 101

rational tangles). e classification of the Montesinos links is stated in [Burde-Zieschang 1985] (see also 10.7). Wymaga przeredagowania 5.3.2. Precle i sploty Montesinosa: [120, s. 27]. Definicja 5.3.3 (splot Montesinosa). Splotem Montesinosa nazywamy splot o poniższym diagramie, gdzie wymierne liczby αi/βi oraz całkowita e ∈ Z odpowiadają supłom.

e

α α α α 1 2 ... n−1 n β1 β2 βn−1 βn

Wymaga przeredagowania 5.3.4. e pretzel links are not in general simple links (see Chapter 3 for this definition). For example, P(O; 2, -2) is a 2-component trivial link. However, every pretzel knot is a simple knot. See, for example, [Kawauchi 1985’] for this proof and the proofs of eorems 2.3.1 and 2.3.2. Splotom Montesinosa poświęcony jest cały rozdział dwunasty z podręcznika Burdego i Zieschanga [26]. Można tam znaleźć klasyfikację splotów Montesinosa, zawiera jednak pułapkę w postaci innej notacji niż nasza dla supłów dwumostowych. Autorzy podają przykład węzła 43/105 = [0, 2, 2, 3, 1, 4], my opisalibyśmy go jako 105/22 = [4, 1, 3, 2, 2]. Zakładają, że przedstawienie jest minimalne i że występują co najmniej r = 3 supły. Poniższy fakt nie używa naszej notacji!

Fakt 5.3.5. Sploty Montesinosa o r ≥ 3 supłach β1/α1, β2/α2,... takich, że

r X 1 ≤ r − 2 (5.20) αj j=1

sąsklasyfikowanezdokładnościądocyklicznychpermutacjiiodwracaniaporządkuprzezuporządkowany zbior ułamków {βi/αi mod 1 : 1 ≤ i ≤ r} razem z wymierną liczbą

r X βj e0 = e + . (5.21) αj j=1

Dowód. Praca doktorancka „Involutions et fibrés de Seifert dans les variétés de dimension 3” Bonahona z 1978 roku. W internecie dostępny jest jej skan (była pisana odręcznie!), ale angielskie tłumaczenie nie istnieje.

Używając nadal tej niestandardowej notacji można sklasyfikować węzły odwracalny czy zwierciadlane: Fakt 5.3.6. Splot Montesinosa jest zwierciadlany wtedy i tylko wtedy,gdy e = 0 oraz istnieje permutacja π, cykl długości r lub odwrócenie (inwersja?), taka że

βπ(i) βi ≡ (mod 1) (5.22) απ(i) αi

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 102 Rozdział 5. Wybrane rodziny węzłów

Wniosek 5.3.7. Splot Montesinosa z nieparzystą liczbą supłów nie jest zwierciadlany. Fakt 5.3.8. Sploty Montesinosa jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy, po ewentualnej zmianie etykiet supłów, przynajmniej jedna z liczb αi jest parzysta lub wszystkie liczby αi są parzyste, a sam splot ma postać M(e0, β1/α1, . . . , βp/αp, βp/αp, . . . , β1/α1) (5.23) lub M(e0, β1/α1, . . . , βp/αp, βp+1/αp+1, βp/αp, . . . , β1/α1) (5.24) lub M(e0, β1/α1, . . . , βp/αp, βp+1/αp+1, βp/αp, . . . , β2/α2). (5.25) Definicja 5.3.9 (precel). Splot Montesinosa o całkowitych współczynnikach nazywamy preclem.

Na standardowym diagramie precla (p1, p2, . . . , pn) występuje p1 lewych skrzyżowań w pierwszym suple, p2 w drugim, i tak dalej. Taki precel jest węzłem dokładnie wtedy, gdy n oraz pi są nieparzyste lub dokładnie jedna z liczb pi jest parzysta.

Fakt 5.3.10. Jeśli co najmniej dwa współczynniki pi, pj zerują się, precel jest rozdzielczy.

Dowód. Widać to bezpośrednio z diagramu: jego część zawarta między supłem pi oraz pj jest rozłączna z resztą diagramu. Nie jest jednak prawdziwa implikacja odwrotna.

Precel (1, 1, 1) to prawy trójlistnik, (5, −1, −1) to węzeł dokerski 61, (−3, 0, −3) to splot dwóch trójlistników, zaś (2p, 2q, 2r) jest splotem trzech niewęzłów. Precle (−2, 3, 2n + 1) są szczególnie użyteczne jako narzędzie do badania 3-rozmaitości. Wiele twierdzeń, które dotyczą takich rozmaitości, opiera się na przykład na chirurgii Dehna precla (−2, 3, 7). Fakt 5.3.11. Niech K będzie węzłem torusowym. Jeśli K jest jednocześnie (−2, 3, k)-preclem, to

K = 51 = T2,5 = P (1, 3, −2) (5.26) albo K = 819 = T3,4 = P (3, 3, −2) (5.27) albo K = 10124 = T3,5 = P (5, 3, −2). (5.28)

Dowód. Stavros Garoufalidis, Christoph Koutschan: „e Noncommutative A-Polynomial of (−2, 3, n) Pretzel Knots”.

Fakt 5.3.12. Niech p, q, r będą liczbami nieparzystymi takimi, że |p|, |q|, |r| są parami różne i większe niż 1. Wtedy (p, q, r)-precel jest nieodwracalny.

Dowód. Zgodnie z sugestią Foxa, Trotter przetłumaczył problem na język teorii grup w [240]. Wyróżnia w grupie węzła dwa elementy – (zorientowany) południk i równoleżnik. Jeśli dwa 3 3 węzły są równoważne, to homeomorfizm R → R posyłający jeden na drugi wyznacza izomorfizm ich grup podstawowych, który posyła południk na południk i równoleżnik na równoleżnik. W szczególności, jeśli węzeł jest odwracalny, to jego grupa posiada specjalny automorfizm („inwersję”) odwracający zarówno południk, jak i równoleżnik. To prowadzi do sprzeczności w przypadku rozpatrywanych precli. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 5.4. Węzły Lissajous 103

Wystarczający warunek z tego stwierdzenia jest prawie konieczny. Jeśli p = r, węzeł można odwrócić przez półobrót wokół środkowej osi. Cykliczne permutacje trójki (p, q, r) nie zmieniają węzła, więc wszystkie trzy liczby p, q, r muszą być różne. Jeśli jedna z tych liczb jest parzysta, półobrót wokół poziomej osi odwraca węzeł. Z pracy Bankwitza i Schumanna wynika, że jeśli któryś z parametrów ma wartość ±1, to węzeł też jest odwracalny. Nie jest trudno pokazać to wprost. Zatem nie wiemy jedynie jakie są precle (p, q, −q), gdzie |p| 6= |q| oraz |p|, |q| ≥ 3. Jeśli liczby p, q, r są nieparzyste i tego samego znaku, to wyznacznik precla (p, q, r) jest postaci 4n+3. Wtedy używając formy kwadratowej (jak Reidemeister w 1932!) można pokazać, że taki węzeł nie jest achiralny. Niech K będzie zorientowanym preclem (3, 5, 7). Wtedy K, mK, rK, mrK są parami nierównoważne. Węzeł K # mK jest dodatnio zwierciadlany, zaś rK # mK ujemnie zwierciadlany. Trójlistnik jest odwracalny, ale nie zwierciadlany, ósemka jest zwierciadlana i odwracalna. To pokazuje, że wszystkie typy symetrii są realizowane przez precle lub sumy precli. Fakt 5.3.13. Jeżeli liczby p, q, r są nieprzyste, to wielomianem Alexandera (p, q, r)-precla jest 1 ∆ = ((pq + qr + pr)(t2 − 2t − 1) + (t + 1)2). (5.29) 4

Wielomian Alexandera precla (p1, . . . , pn) nigdy nie zależy od kolejności współczynników, jest to ćwiczenie 10.9 w książce Livingstona. Fakt 5.3.14. Niech n będzie liczbą pierwszą. Węzeł p, q, r-preclowy jest n-kolorowalny wtedy i tylko wtedy, gdy n dzieli |pq + qr + pr|. Jeśli przynajmniej jedna z liczba p, q, r nie jest wielokrotnością n, kolorowanie z dokładnością do permutacji jest jedyne. W przeciwnym przypadku istnieją cztery różne kolorowania.

Dowód. Pierwsza część jest wnioskiem ze stwierdzeeń 2.2.5, 3.1.6 oraz 5.3.13. Dowód drugiej zawiera praca Counting m-coloring classes of knots and links autorstwa K. Brownell, K. O’Neil oraz L. Taalman, trzech amerykanek. Podano tam także ogólny wzór na liczbę n-kolorowań dowolnego węzła. 5.4 Węzły Lissajous Węzły Lissajous zdefiniowali Bogle, Hearst, Jones i Stoilov w 1994 roku jako węzły, których pewien diagram jest krzywą Lissajous. Definicja 5.4.1 (węzeł Lissajous). Węzeł zadany parametrycznie:

x = cos(nxt + ϕx) y = cos(nyt + ϕy) z = cos(nzt + ϕz), (5.30)

gdzie nx, ny, nz („częstotliwości”) to stałe całkowite, zaś ϕx, ϕy, ϕz („fazy”) są rzeczywiste, nazywamy węzłem Lissajous.

Węzeł nie może posiadać samoprzecięć, dlatego żadna z wielkości niϕj − nj ϕi, dla różnych indeksów i, j nie może być krotnością π. Bez straty ogólności możemy założyć, że ϕz = 0. Dodatkowo stałe nx, ny, nz muszą być parami względnie pierwsze. Wiele węzłów jest węzłami Lissajous:

Przykład 5.4.2. Dla nx = 3, ny = 2, nz = 7, ϕx = 7/10, ϕy = 2/10 mamy węzeł 52.

Przykład 5.4.3. Węzły pierwsze 61, 74, 815, 101, 1035, 1058 są węzłami Lissajous.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 104 Rozdział 5. Wybrane rodziny węzłów

Przykład 5.4.4. Suma prawego i lewego trójlistnika, suma dwóch kopii 52 są węzłami Lissajous. Wszystkie węzły wyżej nazywają się wg numeracji Conwaya/Rolfsena. Fakt 5.4.5. Istnieje nieskończenie wiele węzłów Lissajous.

Dowód. Niech a, b > 1 będą względnie pierwsze. Lamm w [143] pokazał dużo ogólniejszy wynik. Mianowicie: węzeł Lissajous o częstotliwościach nx = a, ny = b, nz = 2ab − a − b oraz fazach: 2nx − 1 π ϕx = π, ϕy = , ϕz = 0 (5.31) nz nz posiada sygnaturę σ = a + b − ab − 1 i genus g = −σ/2.

Węzły Lissajous są bardzo symetryczne.

Fakt 5.4.6. Jeśli wszystkie stałe nx, ny, nz są nieparzyste, węzeł jest silnie dodatnio achiralny. Fakt 5.4.7. Jeśli jedna z częstotliwości jest parzysta, to węzeł jest 2-okresowy.

Dowód. Załóżmy, że częstotliwość nx jest parzysta. Wtedy półobrót wokół osi x odwzorowuje węzeł w siebie.

To nakłada ograniczenia na wielomian Alexandera. Fakt5.4.8. NiechK będziewęzłemLissajous.Wtedy∆(x),jegowielomianAlexandera,jestkwadratem w pierścieniu (Z/2Z)[x]. Dowód. Rozpatrzmy dwa przypadki. Jeśli wszystkie częstotliwości są nieparzyste, węzeł jest silnie dodatnio achiralny. Wtedy wielomian ∆(x) jest kwadratem w pierścieniu Z[x] (pokazano to w [98]). W przeciwnym razie możemy powołać się na fakt 5.4.7 oraz 1.3.18 (z n = 21 oraz λ = 1). Dostaniemy równość 2 ∆K (t) ≡ ∆J (t) mod 2, (5.32) która kończy dowód.

Warto zwrócić uwagę, że bycie silnie dodatnio achiralnym jest bardzo restrykcyjnym warunkiem. Spośród pierwszych węzłów o co najwyżej 12 skrzyżowaniach, tylko trzy go spełnia: 10a103 (1099), 10a121 (10123) oraz 12a427. Tylko pierwszy z nich jest na pewno węzłem Lissajous (stan na 2018). Przykład 5.4.9. Trójlistnik oraz ósemka nie są węzłami Lissajous. Wygodnie jest przeformułować warunek z faktu 5.4.8 do następującej postaci. Wielomian n n ∆(t) = A0 + A1(t + 1/t) + ... + An(t + 1/t ) jest kwadratem modulo 2 wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki A2k+1 są parzyste dla k ≥ 0. Wniosek 5.4.10. Niech K będzie węzłem Lissajous, wtedy niezmiennik Arf K = 0 znika.

n n Dowód. Niech ∆(t) = A0 + A1(t + 1/t) + ... + An(t + 1/t ) będzie wielomianem Alexandera. Wtedy ∆K (1) = ±1, zatem 0 = ±1 + A0 + 2A1 + ... + 2An. Możemy teraz odjąć to od ∆K (−1) = A0 − 2A1 ± ..., by uzyskać ∆K (−1) = ±1 − 4A1 − 4A3 − .... Razem z wygodnym przeformułowaniem daje to ∆K (−1) ≡ ±1 mod 8, co w połączeniu z 4.3.2 kończy dowód. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 5.4. Węzły Lissajous 105

Wniosek 5.4.11. Włókniste węzły o nieparzystym genusie nie są węzłami Lissajous.

Dowód. Wynika to z naszego wygodnego przeformułowania oraz stwierdzenia 8.16 w książce [27]: jeśli K jest włóknistym węzłem o genusie g, to wielomian Alexandera ∆K jest stopnia 2g i ma wiodący współczynnik ±1.

Wniosek 5.4.12. Niech K będzie dwumostowym węzłem Lissajous. Wtedy ∆K (t) ≡ 1 mod 2.

Dowód. Nietrywialny węzeł o dwóch mostach nie może być silnie dodatnio achiralny (patrz [98]). Jeśli jest węzłem Lissajous, jedna z jego częstotliwości okazuje się być parzysta. Wtedy jego faktor jest trywialny i kongruencja 5.32 daje ∆K (t) ≡ 1 mod 2.

Wniosek 5.4.13. Dwumostowe węzły włókniste nie są węzłami Lissajous.

Można skorzystać z tego samego argumentu, co w dowodzie wniosku 5.4.11 oraz 5.4.12.

Fakt 5.4.14. Niech p, q będą względnie pierwszymi liczbami różnymi od 0, ±1, zaś K węzłem. Wtedy (p, q)-kabel węzła K nie jest węzłem Lissajous.

Lamm pisze, że obiekt ten – (p, q)-kabel – zdefiniowano w książce Eisenbuda/Neumanna „ree-dimensional link theory and invariants of plane curve singularities”. Celowo pomijamy ją w bibliografii, prawdopodobnie chodzi o zwykłe węzły satelitarne.

Dowód. Niech L będzie (p, q)-kablem węzła K. Seifert pokazał w [219], że

pq (t − 1)(t − 1) p ∆L(t) = ∆K (t ). (5.33) (tp − 1)(tq − 1)

Dwa najwyższe współczynniki w wielomianie ułamkowym to ±1, a skoro |p| > 1, dwa najwyższe współczynniki ∆L to także ±1. „Wygodne sformułowanie” kończy dowód.

Wniosek 5.4.15. Nietrywialne węzły torusowe nie są węzłami Lissajous.

Dowód. Węzły torusowe to kable niewęzła.

Wniosek 5.4.16. Nietrywialne węzły algebraniczne nie są węzłami Lissajous.

Dowód. Wynika to z ogólniejszego stwierdzenia: jeśli spełniony jest warunek |pn|, |qn| > 1, to iterowane węzły torusowe typu ((pn, qn), (p1, q1)) nie są węzłami Lissajous.

Podamy teraz pierwszy warunek wystarczający, by być węzłem Lissajous. Znaleźli go Hoste z Zirbel w [104]:

Fakt 5.4.17. Niech K będzie węzłem skręconym. Następujące warunki są równoważne: K jest węzłem Lissajous; niezmiennik Arfa węzła K znika.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 106 Rozdział 5. Wybrane rodziny węzłów

Węzły bilardowe to zamknięte trajektorie kuli, która zostaje wystrzelona z jednej ze ścian sześcianu, odbija się pod takim samym kątem, pod jakim pada na ściany. Jones, Przytycki pokazali w [112], że węzły bilardowe to dokładnie węzły Lissajous i zadali pytanie, czy każdy węzeł można zrealizować jako trajektorię kuli w jakimś wielościanie. Odpowiedź jest pozytywna. Koselef, Pecker w [133] korzystając z twierdzenia Manturowa (każdy splot jest domknięciem kwazitorycznego warkocza) pokazują, że każdy węzeł ma diagram, który jest wielokątem gwiaździstym. Użyte zostało twierdzenie Kroneckera z 1884 roku: jeśli liczby θ0 = 1, θ1, . . . , θk są liniowo niezależne nad ciałem Q, to zbiór punktów k ∞ (bnθici=0)n=0 leży gęsto w kostce jednostkowej. Lamm, Obermeyer dowiedli w 1999, że węzły bilardowe wewnątrz walca są taśmowe albo okresowe, więc w walcu nie można zrealizować każdego węzła. Lamm postawił hipotezę, że jest to możliwe w eliptycznym walcu. Pozytywnej odpowiedzi ponownie udzielił niedawno Pecker w [192]. 5.5 Węzły torusowe 3 W tej sekcji przyjrzymy się węzłom o specjalnym ułożeniu w przestrzeni R . Do ich określenia potrzebny jest torus trywialny, powierzchnia otrzymana przez obrót okręgu (x−2)2 +y2 = 1 wokół osi y. Można go także uzyskać przez sklejenie podstaw walca tak, by go przy tym nie zapętlić. Oczywiście istnieją też nietrywialne torusy, na przykład rurowe otoczenie trójlistnika. Definicja 5.5.1 (splot torusowy). Splot leżący na powierzchni niezaplątanego torusa nazywamy torusowym. Na walcu S2×[0, 1], którego podstawa leży w płaszczyźnie xy, rozpatrzmy r skierowanych odcinkach (dla k = 0, 1, . . . , r − 1) o końcach w punktach  2kπ 2kπ   2kπ 2kπ  cos , sin , 0 , cos , sin , 1 . r r r r Przekręćmy górną podstawę walca wokół osi z o skierowany kąt 2πq/r oraz utożsammy ze sobą pary punktów (x, y, 0) ∼ (x, y, 1), Uzyskaliśmy splot torusowy Tq,r: okrąża on q razy rdzeń torusa i p razy jego oś symetrii obrotowej. Określimy jeszcze kilka splotów torusowych. Węzeł T0,0 leży na powierzchni torusa i jest ściągalny do punktu, zaś T1,0 to nawinięta toroidalnie pętla. Węzeł Tp,q posiada następującą parametryzację: x = (2 + cos qφ) cos pφ, y = (2 + cos qφ) sin pφ, z = − sin qφ, 0 ≤ φ ≤ 2π.

Poniżej przedstawiamy trzy węzły torusowe.

(a) trójlistnik: p = 2, q = 3 (b) p = 2, q = 11 (c) p = 11, q = 2

Okazuje się, że innych obiektów już nie ma. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 5.5. Węzły torusowe 107

Fakt 5.5.2. Niech K będzie splotem torusowym takim, że żadne z jego ogniw nie jest niewęzłem, czyli postaci T1,0. Wtedy dla pewnych całkowitch p, q, węzły K oraz Tp,q są tego samego typu.

Fakt 5.5.3. Niech d będzie największym wspólnym dzielnikiem liczb całkowitych p, q. Wtedy węzeł torusowy Tp,q posiada dokładnie d ogniw.

Siedem węzłów z tabeli na końcu książki to węzły torusowe. Są to niewęzeł, 31 = T3,2, 51 = T5,2, 71 = T7,2, 819 = T4,3, 91 = T9,2 oraz 10124 = T5,3.

Fakt 5.5.4. Niech p, q będą względnie pierwszymi liczbami takimi, że |p|, |q| ≥ 2. Wtedy splot Tp,q oraz splot do niego odwrotny, T−p,−q, są tego samego typu.

Sploty Tp,q oraz Tq,p również są równoważne. Murasugi prezentuje w swojej książce [181] przyjemny dowód opierający się na następującym lemacie:

Lemat 5.5.5. Sfera S3 powstaje z powierzchni dwóch węzłów trywialnych z wnętrzem (D2 ×S1) przez wzajemne sklejenie południka i równoleżnika z równoleżnikiem i południkiem.

Fakt 5.5.6. Klamra Kaufmana spełnia zależność rekurencyjną

n−1 2−3n hT2,ni = A hT2,n−1i + (−1) A (5.34)

3 z warunkiem brzegowym hT2,1i = −A .

Fakt 5.5.7. Niech L = Tp,q będzie węzłem torusowym. Wtedy jego wielomianem Jonesa jest

√ (p−1)(q−1) t V (t) = · (1 − tp+1 − tq+1 + tp+q). (5.35) 1 − t2

Fakt 5.5.8. Niech L = Tp,q będzie węzłem torusowym. Wtedy jego wielomianem Alexandera jest

(tpq − 1)(t − 1) ∆(t) = . (5.36) (tp − 1)(tq − 1)

Dowód. Przypadek p = 2 wymaga prostego rozumowania indukcyjnego. Samo ćwiczenie pojawia się w wielu podręcznikach topologii. Pełny dowód można znaleźć w przykładzie 9.15 książki „Knots” Burdego oraz Zieschanga. Inne podejście, tak zwaną formułę Seiferta-Torresa, prezentuje przeglądowa praca Turaewa „Reidemeister torsion in knot theory”, 119-182.

Macierze Seiferta M mają nieskomplikowaną blokową budowę, która może posłużyć do znalezienia wielomianu Alexandera (wzorem ∆ = det(M − tM t)). Rachunki są nieco uciążliwe.

Fakt 5.5.9. Niech L = Tp,q będzie splotem torusowym o d ogniwach, różnym od T0,0. Wtedy jego wielomaienm Alexandera jest

pq/d d d−1 (1 − t)(1 − t ) −(p−1)(q−1)/2 ∆L(t) = (−1) · t . (5.37) (1 − tp)(1 − tq)

Powyższy fakt często pojawia się jako ćwiczenie w podręcznikach topologii. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 108 Rozdział 5. Wybrane rodziny węzłów

Dowód. Macierzą Seiferta węzła torusowego L = Tp,q jest macierz blokowa   B   −BB       .. ..  M =  . .  (5.38)    .   .. B    −BB złożona z (q − 1)2 bloków o wymiarach (p − 1) × (p − 1):   −1    1 −1       ..  B =  1 .  (5.39)    .   .. −1    1 −1

Pełny dowód można znaleźć w przykładzie 9.15 w książce [26], gdzie wyznaczono jakobian prezentacji grupy węzła hx, y | xpy−qi.

Wniosek 5.5.10. Wielomian Alexandera odróżnia od siebie węzły (2, n)-torusowe.

n Dowód. Mamy ∆(T2,n)(t) = (t + 1)/(t + 1), więc deg ∆(T2,n) = n − 1.

Znajomość wielomianu Alexandera wystarcza na szczęście do podania pełnej klasyfikacji węzłów torusowych bez uciążliwego dowodu. Wymaga przeredagowania 5.5.11. e classification of the torus knots followed from that of the free product Zp *Zq which is the quotient group of the group of the torus knot (cf.[Schreier 1924]). Now the Alexander polynomial is an easy tool for solving this problem (cf. Exercise 7.4.4). Fakt 5.5.12. Niech p, q, r, s będą liczbami całkowitymi. Następujące warunki są równoważne:

• węzły torusowe Tq,r oraz Tp,s są równoważne,

• {q, r} = {p, s} lub {q, r} = {−p, −s}.

Dowód. Ograniczymy się do przypadku, gdy p, q, r, s ≥ 2. Tylko jedna implikacja wymaga dowodu, w prawo. Bez straty ogólności załóżmy więc, że q > r, p > s. Skoro węzły Tq,r i Tp,s są równoważne, to porównanie najwyższych współczynników w ich wielomianach Alexandera daje równość (q − 1)(r − 1) = (p − 1)(s − 1). Wymnożenie wszystkiego prowadzi do czterech przypadków: s = r, s = ps, qr = r, qr = ps, z których dwa środkowe nie mogą zachodzić (gdyż p, q > 1). Z czwartego wynika, że qr ≤ s < ps, czyli sprzeczność.

Podamy teraz wartości całkowitoliczbowych niezmienników dla węzłów torusowych przy założeniu, że q lub r nie jest zerem. Nietrywialne węzły torusowe są pierwsze i odwracalne, ale mają niezerową sygnaturę, więc nie są chiralne. Wiedział to Schreier w 1924: „Über die Gruppen AaBb = 1”. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 5.5. Węzły torusowe 109

Fakt 5.5.13. Węzeł torusowy Tp,q ma okres |p| oraz |q|.

Fakt 5.5.14. Niech p, q > 0 będą liczbami całkowitymi, zaś R2 oznacza resztę z dzielenia przez dwa. Zdefiniujmy funkcję σ(p, q) = −σ(Tp,q). Spełnia zależność rekurencyjną

 2 q + σ(p − 2q, p) − R2(p) jeśli 2q < p  σ(p, q) = q2 − 1 jeśli 2q = p (5.40)  2 q − σ(2q − p, q) + R2(r) − 2 jeśli 2q > p ≥ q

z warunkami brzegowymi: σ(p, q) = σ(q, p), σ(1, q) = 0, σ(2, q) = q − 1.

Dowód. Dowód zawiera praca [91].

Borodzik niedawno przyjrzał się dokładniej sygnaturom węzłów torusowych. W pracy [22] napisanej z K. Oleszkiewiczem pokazał, że nie istnieje wymierna funkcja R(p, q), która pokrywałaby się z sygnaturą węzła torusowego Tp,q dla wszystkich względnie pierwszych, nieparzystych p oraz q. Uwaga: definicja funkcji s z [22] zawiera złośliwą literówkę.

Fakt 5.5.15. Niech p, q będą względnie pierwszymi liczbami, zaś C ∈ [0, 1) stałą taką, że Cpq nie jest liczbą całkowitą. Przyjmijmy z = exp(2πiC) i zdefinujmy pomocnicze funkcje: niech {x} = x−bxc oznacza część ułamkową, zaś ( 0 dla x ∈ Z hxi = (5.41) {x} − 1/2 dla x 6∈ Z

funkcję piłę. Dalej, określmy sumę Dedekinda

q−1 X  j   jp  s(p, q, x) = + x . (5.42) q q j=0

Przy tych oznaczeniach, sygnatura węzła (p, q)-torusowego wyznacza się wzorem

1  1  σ(z) = p2 + q2 + 6hCpqi2 − + 2(C2 − C)pq + (2 − 4C)hCpqi + (5.43) 3pq 2 − 2s(p, q, Cp) − 2s(q, p, Cq) − 2s(p, q, p − pC) − 2s(q, p, q − qC).

Wniosek 5.5.16. Jeśli p, q są nieparzyste i względnie pierwsze, to

1 2p 2q pq σ(Tp,q) = + + − − 4(s(2p, q, 0) + s(2q, p, 0)) − 1. (5.44) 6pq 3q 3p 2

Wniosek 5.5.17. Jeśli p jest nieparzyste, zaś q > 2 parzyste, to pq σ(Tp,q) = − + 4s(2p, q, 0) − 8s(p, q, 0) + 1. (5.45) 2

Fakt 5.5.18 (Murasugi, 1991). Mamy cr Tp,q = min{|pq| − |p|, |pq| − |q|}.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 110 Rozdział 5. Wybrane rodziny węzłów

Wyznaczenie indeksu rozwiązującego było dużo trudniejsze. Murasugi pisze w książce [181], że mamy nierówność 1 u(Tp,q) ≤ (p − 1)(q − 1), (5.46) 2 z równością dla względnie pierwszych p, q > 0. Hipoteza Milnora głosiła, że w rzeczywistości równość zachodzi zawsze. Dowód został odnaleziony w latach 1993-1995 przy użyciu tzw. gauge theory (działu teorii pola, gdzie lagranżjan jest niezmienniczy względem grup Liego lokalnych transformacji...). Fakt 5.5.19. Dla względnie pierwszych p, q > 0 mamy 1 u(Tp,q) = (p − 1)(q − 1), (5.47) 2 Dowód. Patrz prace [134] oraz [135].

Genus pokrywa się z liczbą gordyjską dla węzłów (czyli względnie pierwszych q, r).

Fakt 5.5.20. br Tp,q = min{|p|, |q|}

Wniosek 5.5.21. Niech p, q 6= 0 będą liczbami całkowitymi. Wtedy b Tp,q = min{|p|, |q|}.

Dowód. Niech K będzie węzłem torusowym typu (p, q) z minimalnym przedstawieniem jako warkocz β. Z konstrukcji domknięcia (czyli dołączenia rozłącznych półokręgów) wynika, że diagram K ma dokładnie b(K) lokalnych maksimów. Definicja indeksu mostowego orzeka, iż br(K) ≤ b(K). Bez straty ogólności niech p > q > 0. Skoro węzeł K powstaje z q-warkocza p (σq−1 . . . σ2σ1) , indeks b(K) nie przekracza q = br(K).

Fakt 5.5.22. Niech K będzie nietrywialnym węzłem, którego grupa ma nietrywialne centrum. Wtedy K jest węzłem torusowym.

Dowód. Najpierw pokazali to Murasugi [174], Neuwirth [187] przy dodatkowym założeniu, że węzeł K jest alternujący, wkrótce po tym Burde, Zieschang znaleźli dowód w ogólnym przypadku [25]. 5.6 Węzły satelitarne Załóżmy, że w dopełnieniu pewnego splotu został zanurzony torus. Jeżeli jest ściśliwy, to albo równoleżnikl torusa ogranicza dysk w dopełnieniu splotu i torus jest niezawęźlony, albo południk ogranicza dysk w dopełnieniu splotu i splot nie przebiega wzdłuż torusa. Żadna z tych sytuacji nie jest ciekawa. Inny zdegenerowany przypadek występuje, gdy torus stanowi rurowe otoczenie jednego z ogniw splotu. W przeciwnym razie splot można zbudować z prostszych obiektów. Oto formalny opis konstrukcji. Niech W będzie pełnym torusem. Dysk zanurzony w W , którego brzeg stanowi nieściągalną pętlę w ∂W , nazywamy południkowym. Mówimy, że zamknięta krzywa λ ⊆ W jest właściwa, jeżeli przecina wszystkie dyski południkowe. Definicja 5.6.1 (węzeł satelitarny). Niech P będzie splotem zanurzonym w niezawęźlonym torusie W tak, by co najmniej jedno z ogniw stanowiło właściwą pętlę w W . Niech C będzie węzłem, zaś V jego rurowym otoczeniem. Wybierzmy dowolny homeomorfizm h: W → V . Wtedy splot S = h(P ) nazywamy satelitą o wzorcu P oraz towarzyszu C. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 5.6. Węzły satelitarne 111

Hoste i inni podejrzewają w [103], że jeśli satelita owija się m-krotnie wokół torusa, zaś indeks skrzyżowaniowy towarzysza wynosi k, to satelita nie posiada diagramu o mniej niż km2 skrzyżowaniach. Ponieważ dla trójlistnika k = 3, napotkali się tylko na satelity owijające się m = 2 razy podczas tablicowania pierwszych węzłów do 16 skrzyżowań. Nie spodziewano się żadnego satelity ósemki, gdyż wtedy k = 4, zatem każdy satelita miałby co najmniej 4 · 22 + 1 = 17 skrzyżowań: dodatkowe +1 jest potrzebne, by nie dostać splotu o dwóch ogniwach. Najprostszy satelita ma 13 skrzyżowań. Przykład 5.6.2 (swallow-follow torus). Klasa węzłów satelitarnych obejmuje węzły złożone. W ich przypadku można wskazać pewien szczególny torus nieściśliwy – połykający pierwszy składnik, a potem podążający za drugim:2

Rysunek 5.2: Torus połykająco-podążający

Schubert pokazał, że zorientowane klasy izotopii węzłów w S3 tworzą wolny przemienny monoid na przeliczalnie wielu generatorach. Dowód to uważna analiza nieściśliwych torusów obecnych w dopełnieniu sumy spójnej. To doprowadziło go do definicji węzłów satelitarnych i towarzyszących w przełomowej pracy [214] oraz zunifikowało teorię 3-rozmaitości z teorią węzłów. Patrz też [171]. Na brzegu torusa V można wprowadzić pewien układ współrzędnych: południk to pętla właściwa w ∂V , która ogranicza dysk w V , natomiast równoleżnik to pętla w ∂V , która spotyka południk raz. Z dokładnością do izotopii południk jest jeden, ale równoleżnik nie. Gdy indeks zaczepienia równoleżnika oraz rdzenia torusa wynosi zero, mówimy, że równoleżnik jest preferowany. Definicja 5.6.3 (dubel Whiteheada). Jeżeli P ⊆ W jest skręconym jednokrotnie niewęzłem, to węzeł S nazywamy dublem Whiteheada. Każdy węzeł posiada nieskończenie wiele dubli Whiteheada: wystarczy rozciąć torus V , skręcić jedną końcówkę i ponownie zszyć, żaden z nich nie jest odróżniany od niewęzła przez wielomian Alexandera. Wyróżnia się pewien szczególny homeomorfizm h, który przenosi południk i preferowany równoleżnik W na południk i preferowany równoleżnik V . Nazywamy go wiernym. O dublu względem wiernego homeomorfizmu mówimy, że jest nieskręcony. Definicja 5.6.4 (węzeł kablowy). Niech h: W → V będzie wiernym homeomorfizmem, zaś P węzłem (p, q)-torusowym. Satelitę S nazywamy węzłem (p, q)-kablowym albo krótko kablem.

2Źródło: https://mcm-www.jwu.ac.jp/~hayashic/semi/07/07i/07i.html

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 112 Rozdział 5. Wybrane rodziny węzłów

Fakt 5.6.5. Każdy kabel wyznacza jednoznacznie węzeł, z którego powstał.

Dowód. Wniosek 2 z pracy [66] Feustela, Whittena pokazuje, że na podstawie kabla można 0 wyznaczyć parametry węzła torusowego Kp,q oraz topologię dopełnienia oryginalnego węzła. Wiemy jednak z twierdzenia Gordona-Lueckego, że różne węzły mają różne dopełnienia.

Niewęzeł nie ma nietrywialnych węzłów towarzyszących. Definicja 5.6.6. Towarzysza C nietrywialnego splotu nazywamy właściwym, jeśli nie jest niewęzłem i nie jest ogniwem tego splotu. Sploty bez właściwych towarzyszy określa się zazwyczaj terminem „atoroidalny”. Patrz też diagram przedstawiony w [47] na stronie 83. Fakt 5.6.7. Duble nietrywialnych węzłów oraz kable są pierwsze.

Dowód. Jest to wniosek z twierdzenia 4.4.1 w [47]: jeśli wzorzec jest niewęzłem lub węzłem pierwszym, to każdy właściwy satelita jest pierwszy.

Niektóre węzły przedstawiają się jako satelity w dokładnie jeden sposób, inne nie. Rok 1979 przyniósł amerykańską pracę [107] oraz niemiecką książkę [110], gdzie niezależnie od siebie opisano jednoznaczny rozkład, nazywany teraz rozkładem Jaco-Shalena-Johannsona: Fakt 5.6.8. Niech M będzie nierozkładalną, orientowalną, domkniętą 3-rozmaitością. Istnieje wtedy jedyna z dokładnością do izotopii minimalna rodzina rozłącnzie zanurzonych nieściśliwych torusów tak, że każda składowa 3-rozmaitości powstałej przez rozcinanie wzdluż torusów jest atoroidalna lub włóknistą przestrzenią Seiferta (S1-wiązką nad dwuwymiarowym orbifoldem). Jest on związany z operacją splatania (ang. splicing), będącej uogólnieniem budowania satelitów. Hipotezę o jedyności rozkładu wysnuł wcześniej Waldhausen. 5.7 Węzły hiperboliczne Jak pisaliśmy w sekcji 5.2.2, słynne węzły Conwaya oraz Kinoshity-Terasakiego odróżnił od siebie po raz pierwszy przez Rileya. Zbadał paraboliczne reprezentacje ich grup w skończoną grupę prostą PSL(2, 7), co doprowadziło go do odkrycia w dopełnieniu ósemki struktury hiperbolicznej [204]. Zainspirowany tym wynikiem urston najpierw rozłożył dopełnienie ósemki na dwa idealne wielościany, a potem znacznie uogólnił swój przykład. Reszta sekcji powstała na podstawie przeglądowej pracy [78] Futera, Kalfagianniego oraz Purcell i notatek z wykładów, które były prowadzone przez samą Purcell. Wiedzę o węzłach hiperbolicznych można czerpać także z artykułu [245] Weeksa. Poprawiona wersja dostępna w serwisie arXiv. Definicja 5.7.1 (hiperboliczny). Splot L, na dopełnieniu którego można zadać zupełną metrykę o stałej krzywiźnie −1 nazywamy hiperbolicznym.

3 3 3 Fakt 5.7.2. Splot L jest hiperboliczny wtedy i tylko wtedy, gdy S \ L = H /Γ, gdzie H to hiperbo- 3 liczna 3-przestrzeń, zaś Γ jest dyskretną, beztorsyjną grupą izometrii, izomorficzną z π1(S \ L). urston podejrzewał, że każda 3-rozmaitość rozkłada się wzdłuż sfer i nieściśliwych torusów na części wyposażone w jedną z ośmiu kanonicznych geometrii: • sferyczną S3, robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 5.7. Węzły hiperboliczne 113

• euklidesową E3,

• hiperboliczną H3,

2 • S × R,

2 • H × R,

• uniwersalne nakrycie SL(2, R),

• geometrię Sol albo

• geometrię Nil. Nie umiał podać pełnego uzasadnienia, w 1982 roku udowodnił swoje przypuszczenie dla rozmaitości Hakena. Dowód hipotezy geometryzacyjnej dostarczył mniej więcej dwie dekady później Perelman, nie to jest jednak dla nas najważniejsze. urston pokazał też, że dopełnienie węzła jest rozmaitością włóknistą Seiferta, toroidalną albo hiperboliczną. Innymi słowy, przedstawił trychotomię: Twierdzenie 6. Każdy węzeł jest satelitarny, torusowy albo hiperboliczny. Węzły hiperboliczne stanowią najliczniejszą i najmniej zrozumianą rodzinę węzłów.

Dowód. urston w [233].

Sam Nead, użytkownik portalu MathOverflow napisał, że kryterium urstona dzięki maszynerii JSJ oraz pracom innych osób można wysłowić algebraicznie. Fakt 5.7.3. Niech L będzie splotem, który nie rozszczepia się, nie jest niewęzłem, nie posiada wśród ogniw niezakłóconegowęzłasatelitarnegoorazniejestwęzłemtorusowym.WtedyLjestwęzłemhiperbolicznym. Fakt 5.7.4. Niech L będzie splotem takim, że jego dopełnienie S3 \ L nie zawiera właściwej 2-sfery, właściwego dysku, właściwego torusa oraz właściwego pierścienia. Wtedy L jest węzłem hiperbolicznym. Fakt 5.7.5. Niech L będzie splotem takim, że jego grupa π = π(S3 \ L) nie jest produktem wolnym, nie jest nieskończona i cykliczna oraz nie zawiera w sobie kopii grupy Z ⊕ Z. Wtedy L jest węzłem hiperbolicznym.

Dowód. Patrz https://mathoverflow.net/a/153327.

Dwa lata później Menasco [163] pokazał, że każdy pierwszy, alternujący splot jest albo 2-warkoczem (a zatem, torusowy) albo hiperboliczny. Wniosek 5.7.6. Każdy węzeł hiperboliczny jest pierwszy. Prawie każdy węzeł pierwszy o mniej niż 17 skrzyżowaniach jest hiperboliczny, na 32 wyjątki składa się 12 węzłów torusowych oraz 20 satelitów trójlistnika. Te ostatnie mają co najmniej 11 skrzyżowań. Baza ciągów liczb całkowitych OEIS zawiera informacje na temat liczności poszczególnych typów węzłów. Analizując ciągi A051764, A051765 oraz A052408 można dojść do wniosku, że wraz ze wzrostem liczby skrzyżowań, stosunek liczby węzłów hiperbolicznych do wszystkich węzłów dąży do 1:

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 114 Rozdział 5. Wybrane rodziny węzłów

rodzaj 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 torusowe 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 2 satelitarne 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 6 hiperboliczne 0 1 1 3 6 20 48 164 551 2176 9985 46969 253285

W pracy [157] A. Malyutin pokazał jednak, że to przypuszczenie jest sprzeczne z wieloma innymi starymi hipotezami teorii węzłów: 5.7.7 – 5.7.10. Hipoteza 5.7.7. Indeks skrzyżowaniowy jest addytywny względem sumy spójnej. (To jest powtórzenie hipotezy 1.5.2). Murasugi dowiódł prawdziwości hipotezy dla węzłów alternujących, w pracy [179] jest to wniosek z dowodu hipotezy Taita. Krótko po tym Lickorish, istlethwaite powtórzyli to dla węzłów adekwatnych w [149]. Na początku XX wieku Diao [56] oraz Gruber [96] niezależnie udowodnili hipotezę 5.7.7 dla pewnej szerokiej klasy węzłów, obejmującej wszystkie węzły torusowe oraz wiele węzłów alternujących oraz pewne inne obiekty, których nie chcemy opisywać. Hipoteza 5.7.8. Satelita ma większy (w słabszej wersji: nie mniejszy) indeks skrzyżowaniowy niż jego towarzysze. Lackenby pokazał w [140], że jeśli K jest satelitą z towarzyszem L, to cr K ≥ 10−13 cr L. Hipoteza 5.7.9. Węzeł złożony ma większy (w słabszej wersji: nie mniejszy) indeks skrzyżowaniowy niż jego faktory. Mówimy, że węzeł pierwszy P jest λ-regularny, jeśli crK ≥ λ · crP za każdym razem, gdy węzeł P jest faktorem węzła K. Zatem hipotezę można wysłowić krótko „węzły pierwsze są 1-regularne”. Na podstawie prac Murasugiego, Kaufmana i istlethwaite’a z końca lat 80. wiemy, że zachodzi dla węzłów alternujących. Diao pokazał w [56, tw. 3.8], że torusowe węzły także są 1-regularne, natomiast Lackenby przedstawił w [139] rozumowanie, dlaczego wszystkie węzły są 1/152-regularne. Pisaliśmy o tym w podsekcji 1.5.1. Hipoteza 5.7.10. Węzły pierwsze są 2/3-regularne. Rozwiązanie zagadki przyniosła praca samego Malyutina [158] opublikowana latem 2019 roku, przynajmniej dla splotów. Pokazał w niej, że jeśli oznaczymy liczbę splotów pierwszych i nierozszczepialnych o n lub mniej skrzyżowaniach przez Pn, zaś liczbę hiperbolicznych splotów, także o n lub mniej skrzyżowaniach, przez Hn, prawdziwe będzie oszacowanie

Hn lim inf < 1 − 10−13. (5.48) n→∞ Pn Czwarty rozdział książki [200] zawiera ćwiczenie, by znaleźć dwuparametrową rodzinę zupełnych struktur hiperbolicznych na dziurawym torusie oraz czterokrotnie dziurawej sferze. Elastyczność tego rodzaju nie występuje w przestrzeniach wyższych wymiarów. Z twierdzenia o sztywności, w wersji algebraicznej: n Twierdzenie 7 (Mostow-Prasad). Niech Γ1, Γ2 będą dyskretnymi podgrupami grupy izometrii H n dla n ≥ 3 takimi, że ilorazy H mają skończone objętości. Załóżmy też, że istnieje izomorfizm grup ϕ:Γ1 → Γ2. Wtedy podgrupy Γ1, Γ2 są sprzężone. albo geometrycznej: robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 5.7. Węzły hiperboliczne 115

Twierdzenie 8 (Mostow-Prasad). Niech M1,M2 będą zupełnymi, hiperbolicznymi rozmaitościami o skończonych objętościach. Wtedy każdy izomorfizm grup podstawowych ϕ: π1(M1) → π1(M2) realizowany jest jednoznacznie przez izometrię. wynika, że jeśli znaleźliśmy jakąś zupełną strukturę hiperboliczną na dopełnieniu splotu, to innych już nie ma. Dzięki temu niezmienniki mające korzenie w geometrii hiperbolicznej mają przyjemne własności. Patrz także oryginalne prace: Mostowa [170], Prasada [197].

Dowód. urston przedstawił szkic rozumowania w sekcji 5.9 swoich notatek, na bazie których powstała później książka [234]. Inne szczegółowe rozumowanie można znaleźć w rozdziale C podręcznika [13].

Fakt 5.7.11. Grupa symetrii węzła hiperbolicznego jest skończona: cykliczna lub diedralna. Uwaga – nie chodzi tutaj ani o grupę węzła, ani grupę kolorującą, ale prawdopodobnie 3 grupę automorfizmów zewnętrznych grupy π1(S \ K). Wymaga przeredagowania 5.7.12. Pierwszy był Riley w artykule [204], można też zapoznać się z późniejszą pracą [128] Kodamy. Kawauchi pisze w [120, s. 130], że chodzi o grupę zewnętrznych automorfizmów π(K) albo izometrie dopełnienia węzła, to jest dobry trop. Patrz też Kawauchi, s. 130: proposition 10.6.3. Twierdzenie Mostowa-Prasada pozwala nam na wprowadzenie nowych niezmienników splotów hiperbolicznych: wystarczy wziąć dowolny geometryczny niezmiennik dopełnienia węzła. Najważniejszym z nich wydaje się być objętość. Definicja 5.7.13 (objętość). Niech L będzie splotem hiperbolicznym. Objętość dopełnienia L względem zupełnej metryki hiperbolicznej nazywamy objętością splotu L i oznaczamy vol L. Objętość jest zawsze skończoną liczbą rzeczywistą. Dla wygody przyjmuje się czasami, że objętość węzłów torusowych oraz satelitarnych wynosi 0. Komputerowy program SnapPea napisany przez J. Weeksa pozwala na wyznaczenie objętości dowolnego splotu o rozsądnej ilości skrzyżowań.

Przykład 5.7.14. vol 41 ≈ 2.0298832. Patrz też ciąg A091518 w bazie danych OEIS. Fakt 5.7.15. Żaden węzeł nie ma mniejszej objętości hiperbolicznej od ósemki.

Dowód. Cao, Meyerhof w [31] przeanalizowali pakowania horokul w uniwersalnym nakryciu związanym z rozmaitościami. Doszli do wniosku, że nie ma tam dostatecznieo wolnego miejsca, jeżeli ostrze (cusp) nie jest odpowiedniego rozmiaru. Trzykrotnie wspierają się przy tym pomocą komputera, by sprawdzić, że określone warunki są spełnione we wszystkich punktach danej przestrzeni parametrów.

Przykład 5.7.16. vol 52 ≈ 2.82812.

W encyklopedii Wolfram Mathworld znajduje się informacja, że 52 oraz pewien węzeł o dwunastu skrzyżowaniach mają tę samą objętość, prawdopodobnie chodzi tu o 12n242, który znany jest także jako (−2, 3, 7)-precel.

Przykład 5.7.17. vol 61 ≈ 3.16396.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 116 Rozdział 5. Wybrane rodziny węzłów

Przykład 5.7.18. vol 62 ≈ 4.40083.

Przykład 5.7.19. vol 63 ≈ 5.69302.

Przykład 5.7.20. vol 74 ≈ 5.13794. Przykład 5.7.21. Niech K będzie jednym z dwóch węzłów w parze Perko. Wtedy vol K ≈ 5.63877. Praca [78] wspomina kilka przyjemnych ograniczeń, jakie musi spełniać objętość. Aby je przytoczyć, musimy najpierw zdefiniować dwie stałe: v4 oraz v8, odpowiednio objętość 3 idealnego czworościanu (ośmiościanu) foremnego w H . Mamy

v4 = 1.0149 ... (5.49)

v8 = 3.6638 ... (5.50) I tak najpierw Adams pokazał w swojej rozprawie doktorskiej [1]: Fakt 5.7.22. Niech D będzie diagramem hiperbolicznego splotu o cr L ≥ 5 skrzyżowaniach. Wtedy

vol K ≤ 4(cr D − 4)v4. (5.51) A trzy dekady później poprawił wswój wynik w [3]: Fakt 5.7.23. Niech D będzie diagramem hiperbolicznego splotu o cr L ≥ 5 skrzyżowaniach. Wtedy

vol K ≤ (cr D − 5)v8 + 4v4. (5.52) Jego metoda polega na podzieleniu dopełnienia splotu na czterościany i ośmiościany oraz policzeniu ich. To, w połączeniu ze znanymi ograniczeniam na objętość „cegiełek”, wystarcza. Podział na ośmiościany zaproponował Dylan urston (nie mylić z Williamem!). urston zauważył, że tylko skończenie wiele hiperbolicznych 3-rozmaitości może mieć tę samą objętość – wynika to z prac Gromova i Jørgensena. Następnie Wielenberg przedstawił w [250] przykłady pokazujące, że istnieją dowolnie duże kolizje wśród węzłów hiperbolicznych: pewne podgrupy klasycznej grupy Picarda działają na półprzestrzeni hiperbolicznej wymiaru 3 i mają przy tym fundamentalne wielościany identyczne jako zbiory, ale znacząco różne w sposobie, w jaki zidentyfikowano ich ściany. Na przykład mutacja węzła hiperbolicznego nigdy nie zmienia objętości [209], [2, s. 124]. Praktyka pokazuje jednak, że niezmiennik dobrze wspomaga proces tablicowania węzłów. Fakt 5.7.24. Objętości hiperboliczne 3-rozmaitości tworzą dobrze uporządkowany podzbiór R, typu ωω.

Dowód. Wikipedia twierdzi, że dowód jest gdzieś w [186], ja tego nie widzę.

W dowolnej rodzinie węzłów istnieje element o najmniejszej objętości. Dla orientowalnych, niezwartych hiperbolicznych 3-rozmaitości, klasy obejmującej dopełnienia hiperbolicznych węzłów, najmniejszą objętość posiada dopełnienie ósemki oraz jej bliźniak, otrzymany przez (5, 1)-chirurgię jednego z ogniw splotu Whiteheada. To jest fakt 5.7.15. Natomiast wśród orientowalnych 3-rozmaitości o dwóch ostrzach najmniejszą objętość, ma (−2, 3, 8)-precel oraz splot Whiteheada: Agol pokazał to w [5]. Ich objętość wynosi ∞ X (−1)n v8 = 4 ≈ 3.6638623767. (5.53) (2n + 1)2 n=0

Yoshida [252] znalazł splot z najmniejszą objętością równą 2v8 wśród tych o 4 ogniwach, sploty o 3 ogniwach nie są zbyt dobrze zrozumiane. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 5.8. Węzły plastrowe i taśmowe 117

5.8 Węzły plastrowe i taśmowe Węzły plastrowe i taśmowe oraz pojęcie kobordyzmu, które wkrótce opiszemy, należą do świata 4-wymiarowej teorii węzłów. Nie zapoznamy się z nią bliżej oraz nie podamy naszego ulubionego odniesienia do tego tematu w literaturze, ponieważ sami nie rozumiemy go zbyt dobrze. Wszystko zaczęło się od artykułu [74] Foxa, Milnora. Definicja 5.8.1 (płaski dysk). Niech D ⊆ B4 będzie dyskiem posiadającym otoczenie N, kopię zbioru D × I2, która przecina sferę S3 dokładnie w ∂D × I2. Mówimy wtedy, że dysk D jest płaski. Wymaga przeredagowania 5.8.2. Płaski? Lokalnie płaski? [120, s. 155] Definicja 5.8.3 (węzeł plastrowy). Niech K będzie takim węzłem w S3 = ∂B4, który ogranicza gładko zanurzony 2-dysk w B4. O węźle K mówimy wtedy, że jest plastrowy.

Następujące węzły o mniej niż jedenastu skrzyżowaniach są plastrowe: 61, 88, 89, 820, 927, 941, 946, 103, 1022, 1035, 1042, 1048, 1075, 1087, 1099, 10123, 10129, 10137, 10140, 10153 oraz 10155. Wśród pierwszych węzłów do dwunastu skrzyżowań najdłużej opierał się węzeł Conwaya, aż Piccirillo pokazała w [195], że nie jest plastrowy. Fakt 5.8.4. Niech K będzie węzłem. Wtedy K # mrK jest węzłem plastrowym.

Niedowód. Pierwszy był Fox z Milnorem [74], patrz także lemat 12.1.2.2 w [120].

Fakt 5.8.5. Albo wszystkie trzy węzły K1,K2,K1 # K2 są plastrowe, albo co najwyżej jeden z nich.

Niedowód. Lemat 12.1.2.3 w [120].

Pierwszym poważnym wynikiem z dziedziny teorii węzłów plastrowych, pochodzącym jeszcze z pracy [74], był: Fakt 5.8.6 (warunek Foxa-Milnora). Niech K będzie węzłem plastrowym. Wtedy jego wielomian Alexandera jest postaci ∆(t) = f(t)f(1/t) dla pewnego wielomianu Laurenta f ∈ Z[t, 1/t]. Wniosek 5.8.7. Wyznacznik węzła plastrowego jest kwadratem.

Dowód. Mamy det K = |∆(−1)| = f(−1)f(−1).

Ten prosty test stwierdza, że 2743 spośród 2977 węzłów o mniej niż 13 skrzyżowaniach nie jest plastrowych. Fakt 5.8.8. Niech K będzie węzłem plastrowym. Wtedy σ(K) = 0. Wymaga przeredagowania 5.8.9 (Szkic dowodu). Ustalmy odwzorowanie f, które jest niesin- gularne, symetryczne i dwuliniowe, z przestrzeni V o wymiarze 2n oraz wyznaczoną przez nie formę kwadratową. Jeśli znika ona na podprzestrzeni wymiaru n, to ma zerową sygnaturę. dowód znaleziony w podręczniku Lickorisha. Patrz też twierdzenie 8.8 z artykułu [175]. Praca "Infinite Order Amphicheiral Knots". (Charles Livingston, 2001) – chyba nie? Test ten eliminuje kolejne 45 węzłów poniżej 13 skrzyżowań. Fakt 5.8.10. Niech K będzie węzłem plastrowym. Wtedy Arf K = 0.

Dowód. Ustalmy węzeł K, wiemy już, że jego wyznacznik jest kwadratem, a na mocy faktu 2.3.3 także tyle, że jest liczbą nieparzystą. Wynika stąd przystawanie det K ≡ 1 mod 8, które w połączeniu z warunkiem Murasugiego (fakt 4.3.2) daje Arf K = 0.

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 118 Rozdział 5. Wybrane rodziny węzłów

Fakt 5.8.11. Niech K będzie węzłem w kategorii TOP.Jeżeli jego wielomian Alexandera jest trywialny: ∆K (t) ≡ 1, to węzeł K jest plastrowy.

Dowód. Freedman w [75, tw. 1.13].

Implikacja 5.8.11 przestaje być prawdziwa po przejściu do kategorii PL. Dość klarownie różnicę między kategoriami TOP i PL tłumaczy Gompf w [88], wspomniane jest tam także twierdzenie Donaldsona, kluczowy składnik w uzasadnieniu tej różnicy. 5.8.1 Zgodność Wprowadzimy teraz relację równoważności na zbiorze węzłów, która prowadzi przez fakt 5.8.13 do alternatywnej definicji węzłów plastrowych.

Definicja 5.8.12 (zgodność). Dwa węzły K0,K1 nazywamy (gładko) zgodnymi, jeżeli istnieje gładko 3 zanurzony pierścień w S × I, którego brzegiem jest zbiór K0 × 0 ∪ K1 × 1. W języku angielskim przez zgodność rozumie się zazwyczaj concordance, rzadziej termin cobordism.

Fakt 5.8.13. Dwa węzły K1,K2 są zgodne wtedy i tylko wtedy, gdy suma mrK0 # K1 jest plastrowa.

Dowód. Ćwiczenie 12.1.3 w [120].

Definicja 5.8.14. Węzeł zgodny z niewęzłem nazywamy plastrowym. „Bycie zgodnym”jest relacją równoważności, słabszą od bycia izotopijnym. Klasę abstrakcji węzła K oznaczamy przez [K]. Definicja 5.8.15 (grupa zgodności). Niech C1 oznacza iloraz zbioru wszystkich węzłów przez relację zgodności. Zbiór C1 wyposażony w działanie

[K1] + [K2] = [K1 # K2] (5.54) staje się grupą abelową, nazywaną grupą zgodności. Jej elementem eneutralnym jest klasa abstrakcji niewęzła. Elementem przeciwnym do [K] jest [mrK]. Niech Θ oznacza rodzinę macierzy Seiferta, kwadratowych macierzy V o całkowitych wyrazach takich, że det(V − V T ) = 1. Mówimy, macierz V ∈ Θ jest zerowo kobordantna, jeśli istnieje całkowitoliczbowa macierz P o wyznaczniku równym ±1, że   0 V21 −1 V = P   P (5.55) V12 V22

Takie macierze nazywamy unimodularnie sprzężonymi. Fakt 5.8.16. Niech V ∈ Θ będzie macierzą zerowo kobordantną. Wtedy istnieje plastrowy węzeł K, którego macierzą Seiferta jest V .

Dowód. Fakt 12.2.1 w [120].

Przez analogię, o dwóch macierzach V1,V2 ∈ Θ mówimy, że są kobordantne, jeżeli (−V1) ⊕ V2 jest zerowo kobordantna. Kobordyzm jest znowu relacją równoważności, iloraz Θ przez nią oznaczamy przez G−, a elementy tego ilorazu jako [V ]. Wyposażony w działanie [V1] + [V2] = [V1 ⊕ V2] staje się grupą abelową. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 5.8. Węzły plastrowe i taśmowe 119

1 Fakt 5.8.17. Odwzorowanie ψ : C → G− posyłające klasę abstrakcji węzła w klasę abstrakcji jego macierzy Seiferta jest dobrze określonym epimorfizmem.

Dowód. Funkcja ψ jest dobrze określona na mocy faktu 5.8.24, jest homomorfizmem jak wynika z dowodu faktu 4.2.45. To, że jest „na”, jest wnioskiem z [120, s. 62]

Funkcję ψ rozpatrywał Levine [145]. Casson, Gordon pokazali w latach 70., że jej jądro jest niepuste [32]. ∼ ∞ ∞ ∞ Fakt 5.8.18. G− = Z ⊕ (Z/4Z) ⊕ (Z/2Z) . 5.8.2 Węzły taśmowe Definicja 5.8.19. Węzeł K = f(S1) będący brzegiem singularnego dysku f : D → S3 posiadają- cego następującą własność: każda przecinająca siebie składowa jest łukiem A ⊆ f(D2), dla którego f −1(A) składa się z dwóch łuków w D2 (jeden z nich jest wewnętrzny), nazywamy taśmowym.

Jak pisze Kawauchi, mamy oczywiste wynikanie:

Fakt 5.8.20. Każdy węzeł taśmowy jest plastrowy.

Dawno temu Fox zapytał, czy implikacja odwrotna także jest prawdziwa:

Hipoteza 5.8.21 (slice-ribbon problem). Czy każdy węzeł plastrowy jest taśmowy?

Nie wiemy do dzisiaj. Lisca pokazał prawdziwość hipotezy dla węzłów 2-mostowych [152], Greene oraz Jabuka zrobili to dla precli o trzech pasmach w [94]. P. Teichner myśli o niej jako o życzeniu, które uprościłoby pewne 4-wymiarowe problemy, gdyby było prawdziwe, ale Gompf, Scharlemann i ompson zasugerowali w [89] potencjalny kontrprzykład. 5.8.3 Węzły algebraicznie plastrowe Węzeł, którego macierz Seiferta jest zerowo kobordantna, nazywamy plastrowym algebraicz- nie. Lokalnie płaską, zwartą, zorientowaną, właściwą powierzchnię S w B4 taką, że K = ∂S jest węzłem w ∂B4 = S3 nazywamy izotropową, jeżeli istnieje lokalnie płaska, zwarta, zorien- towana 3-podrozmaitość M ⊆ B4, gdzie S ⊆ ∂M oraz F = cl ∂M \ S jest powierzchnią Seiferta dla K w S3, zaś S jest izotropowa w M.

Fakt 5.8.22. Węzeł K w S3 jest algebraicznie plastrowy dokładnie wtedy, gdy ogranicza izotropową powierzchnię S w kuli B4.

Wniosek 5.8.23. Niech K będzie węzłem plastrowym. Wtedy K jest węzłem algebraicznie plastrowym.

Dowód. [120, s. 158]

Fakt 5.8.24. Niech K będzie węzłem zgodnym z węzłem algebraicznie plastrowym. Wtedy każda macierz Seiferta dowolnej powierzchni Seiferta K jest zerowo kobordantna. W szczególności, K jest węzłem algebraicznie plastrowym.

Dowód. [120, s. 159]

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 120 Rozdział 5. Wybrane rodziny węzłów

5.8.4 Węzły skręcone Definicja 5.8.25. Węzeł powstały przez n-krotne półskręcanie domkniętej pętli oraz splecienie końców nazywamy węzłem skręconym. Węzły skręcone to dokładnie towarzyszące niewęzłowi w węzłach satelitarnych, tak zwane whiteheadowskie duble niewęzła. Wszystkie są odwracalne (ale tylko niewęzeł oraz ósemka są amfichiralne) i mają liczbę gordyjską 1, ponieważ wystarczy rozwiązać skrzyżowanie, które plotło końce. Każdy jest 2-mostowy i posiada zerową sygnaturę. Dalsze własności węzłów skręconych zależą od n, ilości półskrętów. Indeks skrzyżowaniowy wynosi n + 2. Fakt 5.8.26. Wielomianowymi niezmiennikami węzłów skręconych są: ( 1 + q−2 + q−n − q−n−3 n nieparzyste (q + 1)V (q) = q3 + q − q3−n + q−n n parzyste ( (n + 1)z2 + 2 n nieparzyste 2∇(z) = 2 − nz2 n parzyste

Fakt 5.8.27. Niewęzeł oraz węzeł dokerski 61 są jedynymi skręconymi węzłami plastrowymi.

Dowód. [33].

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f Dodatek A

Tablice węzłów pierwszych

A.1 Wartości niezmienników Tabela przedstawia węzły pierwsze o co najwyżej dziesięciu skrzyżowaniach oraz wartości ich niezmienników (całkowitoliczbowych lub wielomianowych). Zgodnie z oznaczeniami przyjętymi w reszcie książki, u, b, br to kolejno liczba gordyjska, warkoczowa i mostowa. Zapis 2..3 mówi, że dokładna wartość nie jest znana i leży w przedziale [2, 3]. Jeśli liczba mostowa wynosi dokładnie 2, zamiast niej podajemy nieskracalny ułamek p/q, który koduje węzeł. Dalej, det jest wyznacznikiem, σ sygnaturą, Arf – oczywiście niezmiennikiem Arfa. Wielomian Conwaya ∇(z) dla oszczędności miejsca podajemy jako ciąg współczynników, na przykład 1 − 1 jest skrótem od 1 − z2. Dane zawarte w tej tabeli pochodzą ze strony http://www.indiana.edu/~knotinfo/. Jej autorzy, Chuck Livingston z uniwersytetu Indiany oraz Jae Choon Cha (z koreańskiego Pohangu) prezentują tam wiele innych niezmienników.

nazwa u b br det sygn. Arf ∇(z) sym. alt.

31 1 2 3/1 3 −2 1 1 + 1 odwracalny tak

41 1 3 5/2 5 0 1 1 − 1 całkowicie tak

51 2 2 5/1 5 −4 1 1 + 3 + 1 odwracalny tak

52 1 3 7/3 7 −2 0 1 + 2 odwracalny tak

61 1 4 9/7 9 0 0 1 − 2 odwracalny tak

62 1 3 11/4 11 −2 1 1 − 1 − 1 odwracalny tak

63 1 3 13/5 13 0 1 1 + 1 + 1 całkowicie tak

71 3 2 7/1 7 −6 0 1 + 6 + 5 + 1 odwracalny tak

72 1 4 11/5 11 −2 1 1 + 3 odwracalny tak

73 2 3 13/9 13 −4 1 1 + 5 + 2 odwracalny tak

74 2 4 15/11 15 −2 0 1 + 4 odwracalny tak

75 2 3 17/7 17 −4 0 1 + 4 + 2 odwracalny tak

76 1 4 19/7 19 −2 1 1 + 1 − 1 odwracalny tak

77 1 4 21/8 21 0 1 1 − 1 + 1 odwracalny tak

81 1 5 13/11 13 0 1 1 − 3 odwracalny tak

82 2 3 17/6 17 −4 0 1 + 0 − 3 − 1 odwracalny tak

83 2 5 17/4 17 0 0 1 − 4 całkowicie tak 122 Dodatek A. Tablice węzłów pierwszych

nazwa u b br det sygn. Arf ∇(z) sym. alt.

84 2 4 19/14 19 2 1 1 − 3 − 2 odwracalny tak

85 2 3 3 21 −4 1 1 − 1 − 3 − 1 odwracalny tak

86 2 4 23/10 23 −2 0 1 − 2 − 2 odwracalny tak

87 1 3 23/9 23 2 0 1 + 2 + 3 + 1 odwracalny tak

88 2 4 25/9 25 0 0 1 + 2 + 2 odwracalny tak

89 1 3 25/7 25 0 0 1 − 2 − 3 − 1 całkowicie tak

810 2 3 3 27 2 1 1 + 3 + 3 + 1 odwracalny tak

811 1 4 27/10 27 −2 1 1 − 1 − 2 odwracalny tak

812 2 5 29/12 29 0 1 1 − 3 + 1 całkowicie tak

813 1 4 29/11 29 0 1 1 + 1 + 2 odwracalny tak

814 1 4 31/12 31 −2 0 1 + 0 − 2 odwracalny tak

815 2 4 3 33 −4 0 1 + 4 + 3 odwracalny tak

816 2 3 3 35 2 1 1 + 1 + 2 + 1 odwracalny tak

817 1 3 3 37 0 1 1 − 1 − 2 − 1 ujemny tak

818 2 3 3 45 0 1 1 + 1 − 1 − 1 całkowicie tak

819 3 3 3 3 −6 1 1 + 5 + 5 + 1 odwracalny nie

820 1 3 3 9 0 0 1 + 2 + 1 odwracalny nie

821 1 3 3 15 −2 0 1 + 0 − 1 odwracalny nie

91 4 2 9/1 9 −8 0 1 + 10 + 15 + 7 + 1 odwracalny tak

92 1 5 15/7 15 −2 0 1 + 4 odwracalny tak

93 3 3 19/13 19 −6 1 1 + 9 + 9 + 2 odwracalny tak

94 2 4 21/5 21 −4 1 1 + 7 + 3 odwracalny tak

95 2 5 23/17 23 −2 0 1 + 6 odwracalny tak

96 3 3 27/5 27 −6 1 1 + 7 + 8 + 2 odwracalny tak

97 2 4 29/13 29 −4 1 1 + 5 + 3 odwracalny tak

98 2 5 31/11 31 −2 0 1 + 0 − 2 odwracalny tak

99 3 3 31/9 31 −6 0 1 + 8 + 8 + 2 odwracalny tak

910 3 4 33/23 33 −4 0 1 + 8 + 4 odwracalny tak

911 2 4 33/14 33 4 0 1 + 4 − 1 − 1 odwracalny tak

912 1 5 35/13 35 −2 1 1 + 1 − 2 odwracalny tak

913 3 4 37/27 37 −4 1 1 + 7 + 4 odwracalny tak

914 1 5 37/14 37 0 1 1 − 1 + 2 odwracalny tak

915 2 5 39/16 39 2 0 1 + 2 − 2 odwracalny tak

916 3 3 3 39 −6 0 1 + 6 + 7 + 2 odwracalny tak

917 2 4 39/14 39 −2 0 1 − 2 + 1 + 1 odwracalny tak

918 2 4 41/17 41 −4 0 1 + 6 + 4 odwracalny tak

919 1 5 41/16 41 0 0 1 − 2 + 2 odwracalny tak

920 2 4 41/15 41 −4 0 1 + 2 − 1 − 1 odwracalny tak

921 1 5 43/18 43 2 1 1 + 3 − 2 odwracalny tak

922 1 4 3 43 −2 1 1 − 1 + 1 + 1 odwracalny tak

923 2 4 45/19 45 −4 1 1 + 5 + 4 odwracalny tak

924 1 4 3 45 0 1 1 + 1 − 1 − 1 odwracalny tak

925 2 5 3 47 −2 0 1 + 0 − 3 odwracalny tak

926 1 4 47/18 47 2 0 1 + 0 + 1 + 1 odwracalny tak

927 1 4 49/19 49 0 0 1 + 0 − 1 − 1 odwracalny tak robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f A.1. Wartości niezmienników 123

nazwa u b br det sygn. Arf ∇(z) sym. alt.

928 1 4 3 51 −2 1 1 + 1 + 1 + 1 odwracalny tak

929 2 4 3 51 2 1 1 + 1 + 1 + 1 odwracalny tak

930 1 4 3 53 0 1 1 − 1 − 1 − 1 odwracalny tak

931 2 4 55/21 55 −2 0 1 + 2 + 1 + 1 odwracalny tak

932 2 4 3 59 2 1 1 − 1 + 0 + 1 chiralny tak

933 1 4 3 61 0 1 1 + 1 + 0 − 1 chiralny tak

934 1 4 3 69 0 1 1 − 1 + 0 − 1 odwracalny tak

935 3 5 3 27 −2 1 1 + 7 odwracalny tak

936 2 4 3 37 4 1 1 + 3 − 1 − 1 odwracalny tak

937 2 5 3 45 0 1 1 − 3 + 2 odwracalny tak

938 3 4 3 57 −4 0 1 + 6 + 5 odwracalny tak

939 1 5 3 55 2 0 1 + 2 − 3 odwracalny tak

940 2 4 3 75 −2 1 1 − 1 − 1 + 1 odwracalny tak

941 2 5 3 49 0 0 1 + 0 + 3 odwracalny tak

942 1 4 3 7 2 0 1 − 2 − 1 odwracalny nie

943 2 4 3 13 −4 1 1 + 1 − 3 − 1 odwracalny nie

944 1 4 3 17 0 0 1 + 0 + 1 odwracalny nie

945 1 4 3 23 2 0 1 + 2 − 1 odwracalny nie

946 2 4 3 9 0 0 1 − 2 odwracalny nie

947 2 4 3 27 −2 1 1 − 1 + 2 + 1 odwracalny nie

948 2 4 3 27 2 1 1 + 3 − 1 odwracalny nie

949 3 4 3 25 −4 0 1 + 6 + 3 odwracalny nie

101 1 6 17/15 17 0 0 1 − 4 odwracalny tak

102 3 3 23/8 23 −6 0 1 + 2 − 5 − 5 − 1 odwracalny tak

103 2 6 25/6 25 0 0 1 − 6 odwracalny tak

104 2 5 27/20 27 2 1 1 − 5 − 3 odwracalny tak

105 2 3 33/13 33 4 0 1 + 4 + 7 + 5 + 1 odwracalny tak

106 3 4 37/16 37 −4 1 1 − 1 − 6 − 2 odwracalny tak

107 1 5 43/16 43 −2 1 1 − 1 − 3 odwracalny tak

108 2 4 29/6 29 −4 1 1 − 3 − 7 − 2 odwracalny tak

109 1 3 39/28 39 −2 0 1 − 2 − 7 − 5 − 1 odwracalny tak

1010 1 5 45/17 45 0 1 1 + 1 + 3 odwracalny tak

1011 2..3 5 43/13 43 −2 1 1 − 5 − 4 odwracalny tak

1012 2 4 47/17 47 2 0 1 + 4 + 6 + 2 odwracalny tak

1013 2 6 53/22 53 0 1 1 − 5 + 2 odwracalny tak

1014 2 4 57/22 57 −4 0 1 + 2 − 4 − 2 odwracalny tak

1015 2 4 43/19 43 2 1 1 + 3 + 6 + 2 odwracalny tak

1016 2 5 47/33 47 −2 0 1 − 4 − 4 odwracalny tak

1017 1 3 41/9 41 0 0 1 + 2 + 7 + 5 + 1 całkowicie tak

1018 1 5 55/23 55 −2 0 1 − 2 − 4 odwracalny tak

1019 2 4 51/14 51 −2 1 1 + 1 + 5 + 2 odwracalny tak

1020 2 5 35/16 35 −2 1 1 − 3 − 3 odwracalny tak

1021 2 4 45/16 45 −4 1 1 + 1 − 5 − 2 odwracalny tak

1022 2 4 49/36 49 0 0 1 − 4 − 6 − 2 odwracalny tak

1023 1 4 59/23 59 2 1 1 + 3 + 5 + 2 odwracalny tak robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 124 Dodatek A. Tablice węzłów pierwszych

nazwa u b br det sygn. Arf ∇(z) sym. alt.

1024 2 5 55/24 55 −2 0 1 − 2 − 4 odwracalny tak

1025 2 4 65/24 65 −4 0 1 + 0 − 4 − 2 odwracalny tak

1026 1 4 61/44 61 0 1 1 − 3 − 5 − 2 odwracalny tak

1027 1 4 71/27 71 2 0 1 + 2 + 4 + 2 odwracalny tak

1028 2 5 53/19 53 0 1 1 + 3 + 4 odwracalny tak

1029 2 5 63/26 63 −2 0 1 − 4 − 1 + 1 odwracalny tak

1030 1 5 67/26 67 −2 1 1 + 1 − 4 odwracalny tak

1031 1 5 57/25 57 0 0 1 + 2 + 4 odwracalny tak

1032 1 4 69/29 69 0 1 1 − 1 − 4 − 2 odwracalny tak

1033 1 5 65/18 65 0 0 1 + 0 + 4 całkowicie tak

1034 2 5 37/13 37 0 1 1 + 3 + 3 odwracalny tak

1035 2 6 49/20 49 0 0 1 − 4 + 2 odwracalny tak

1036 2 5 51/20 51 −2 1 1 + 1 − 3 odwracalny tak

1037 2 5 53/23 53 0 1 1 + 3 + 4 całkowicie tak

1038 2 5 59/25 59 −2 1 1 − 1 − 4 odwracalny tak

1039 2 4 61/22 61 −4 1 1 + 1 − 4 − 2 odwracalny tak

1040 2 4 75/29 75 2 1 1 + 3 + 4 + 2 odwracalny tak

1041 2 5 71/26 71 −2 0 1 − 2 − 1 + 1 odwracalny tak

1042 1 5 81/31 81 0 0 1 + 0 + 1 − 1 odwracalny tak

1043 2 5 73/27 73 0 0 1 + 2 + 1 − 1 całkowicie tak

1044 1 5 79/30 79 −2 0 1 + 0 − 1 + 1 odwracalny tak

1045 2 5 89/34 89 0 0 1 − 2 + 1 − 1 całkowicie tak

1046 3 3 3 31 −6 0 1 + 0 − 6 − 5 − 1 odwracalny tak

1047 2..3 3 3 41 4 0 1 + 6 + 8 + 5 + 1 odwracalny tak

1048 2 3 3 49 0 0 1 + 4 + 8 + 5 + 1 odwracalny tak

1049 3 4 3 59 −6 1 1 + 7 + 10 + 3 odwracalny tak

1050 2 4 3 53 −4 1 1 − 1 − 5 − 2 odwracalny tak

1051 2..3 4 3 67 2 1 1 + 5 + 5 + 2 odwracalny tak

1052 2 4 3 59 −2 1 1 + 3 + 5 + 2 odwracalny tak

1053 3 5 3 73 −4 0 1 + 6 + 6 odwracalny tak

1054 2..3 4 3 47 2 0 1 + 4 + 6 + 2 odwracalny tak

1055 2 5 3 61 −4 1 1 + 5 + 5 odwracalny tak

1056 2 4 3 65 −4 0 1 + 0 − 4 − 2 odwracalny tak

1057 2 4 3 79 2 0 1 + 4 + 4 + 2 odwracalny tak

1058 2 6 3 65 0 0 1 − 4 + 3 odwracalny tak

1059 1 5 3 75 −2 1 1 − 1 − 1 + 1 odwracalny tak

1060 1 5 3 85 0 1 1 − 1 + 1 − 1 odwracalny tak

1061 2..3 4 3 33 −4 0 1 − 4 − 7 − 2 odwracalny tak

1062 2 3 3 45 4 1 1 + 5 + 8 + 5 + 1 odwracalny tak

1063 2 5 3 57 −4 0 1 + 6 + 5 odwracalny tak

1064 2 3 3 51 −2 1 1 − 3 − 8 − 5 − 1 odwracalny tak

1065 2 4 3 63 2 0 1 + 4 + 5 + 2 odwracalny tak

1066 3 4 3 75 −6 1 1 + 7 + 9 + 3 odwracalny tak

1067 2 5 3 63 −2 0 1 + 0 − 4 chiralny tak

1068 2 5 3 57 0 0 1 + 2 + 4 odwracalny tak robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f A.1. Wartości niezmienników 125

nazwa u b br det sygn. Arf ∇(z) sym. alt.

1069 2 5 3 87 2 0 1 + 2 − 1 + 1 odwracalny tak

1070 2 5 3 67 2 1 1 − 3 − 1 + 1 odwracalny tak

1071 1 5 3 77 0 1 1 + 1 + 1 − 1 odwracalny tak

1072 2 4 3 73 −4 0 1 + 2 − 3 − 2 odwracalny tak

1073 1 5 3 83 2 1 1 + 1 − 1 + 1 odwracalny tak

1074 2 5 3 63 −2 0 1 + 0 − 4 odwracalny tak

1075 2 5 3 81 0 0 1 + 0 + 1 − 1 odwracalny tak

1076 2..3 4 3 57 −4 0 1 − 2 − 5 − 2 odwracalny tak

1077 2..3 4 3 63 2 0 1 + 4 + 5 + 2 odwracalny tak

1078 2 5 3 69 −4 1 1 + 3 + 1 − 1 odwracalny tak

1079 2..3 3 3 61 0 1 1 + 5 + 9 + 5 + 1 ujemny tak

1080 3 4 3 71 −6 0 1 + 6 + 9 + 3 chiralny tak

1081 2 5 3 85 0 1 1 + 3 + 2 − 1 ujemny tak

1082 1 3 3 63 −2 0 1 + 0 − 4 − 4 − 1 chiralny tak

1083 2 4 3 83 2 1 1 + 1 + 3 + 2 chiralny tak

1084 1 4 3 87 −2 0 1 + 2 + 3 + 2 chiralny tak

1085 2 3 3 57 4 0 1 + 2 + 4 + 4 + 1 chiralny tak

1086 2 4 3 85 0 1 1 − 1 − 3 − 2 chiralny tak

1087 2 4 3 81 0 0 1 + 0 − 3 − 2 chiralny tak

1088 1 5 3 101 0 1 1 − 1 + 2 − 1 ujemny tak

1089 2 5 3 99 2 1 1 + 1 − 2 + 1 odwracalny tak

1090 2 4 3 77 0 1 1 − 3 − 4 − 2 chiralny tak

1091 1 3 3 73 0 0 1 + 2 + 5 + 4 + 1 chiralny tak

1092 2 4 3 89 −4 0 1 + 2 − 2 − 2 chiralny tak

1093 2 4 3 67 2 1 1 + 1 + 4 + 2 chiralny tak

1094 2 3 3 71 −2 0 1 − 2 − 5 − 4 − 1 chiralny tak

1095 1 4 3 91 2 1 1 + 3 + 3 + 2 chiralny tak

1096 2 5 3 93 0 1 1 − 3 + 1 − 1 odwracalny tak

1097 2 5 3 87 −2 0 1 + 2 − 5 odwracalny tak

1098 2 4 3 81 −4 0 1 + 0 − 3 − 2 chiralny tak

1099 2 3 3 81 0 0 1 + 4 + 6 + 4 + 1 całkowicie tak

10100 2..3 3 3 65 4 0 1 + 4 + 5 + 4 + 1 odwracalny tak

10101 3 5 3 85 −4 1 1 + 7 + 7 odwracalny tak

10102 1 4 3 73 0 0 1 − 2 − 4 − 2 chiralny tak

10103 3 4 3 75 2 1 1 + 3 + 4 + 2 odwracalny tak

10104 1 3 3 77 0 1 1 + 1 + 5 + 4 + 1 odwracalny tak

10105 2 5 3 91 −2 1 1 − 1 − 2 + 1 odwracalny tak

10106 2 3 3 75 −2 1 1 − 1 − 5 − 4 − 1 chiralny tak

10107 1 5 3 93 0 1 1 + 1 + 2 − 1 chiralny tak

10108 2 4 3 63 −2 0 1 + 0 + 4 + 2 odwracalny tak

10109 2 3 3 85 0 1 1 + 3 + 6 + 4 + 1 ujemny tak

10110 2 5 3 83 −2 1 1 − 3 − 2 + 1 chiralny tak

10111 2 4 3 77 −4 1 1 + 1 − 3 − 2 odwracalny tak

10112 2 3 3 87 2 0 1 + 2 − 1 − 3 − 1 odwracalny tak

10113 1 4 3 111 −2 0 1 + 0 + 1 + 2 odwracalny tak robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 126 Dodatek A. Tablice węzłów pierwszych

nazwa u b br det sygn. Arf ∇(z) sym. alt.

10114 1 4 3 93 0 1 1 + 1 − 2 − 2 odwracalny tak

10115 2 5 3 109 0 1 1 + 1 + 3 − 1 ujemny tak

10116 2 3 3 95 2 0 1 + 0 − 2 − 3 − 1 odwracalny tak

10117 2 4 3 103 2 0 1 + 2 + 2 + 2 chiralny tak

10118 1 3 3 97 0 0 1 + 0 + 2 + 3 + 1 ujemny tak

10119 1 4 3 101 0 1 1 − 1 − 2 − 2 chiralny tak

10120 3 5 3 105 −4 0 1 + 6 + 8 odwracalny tak

10121 2 4 3 115 −2 1 1 + 1 + 1 + 2 odwracalny tak

10122 2 4 3 105 0 0 1 + 2 − 1 − 2 odwracalny tak

10123 2 3 3 121 0 0 1 − 2 − 1 + 2 + 1 całkowicie tak

10124 4 3 3 1 −8 0 1 + 8 + 14 + 7 + 1 odwracalny nie

10125 2 3 3 11 2 1 1 + 3 + 4 + 1 odwracalny nie

10126 2 3 3 19 2 1 1 + 5 + 4 + 1 odwracalny nie

10127 2 3 3 29 −4 1 1 + 1 − 2 − 1 odwracalny nie

10128 3 4 3 11 −6 1 1 + 7 + 9 + 2 odwracalny nie

10129 1 4 3 25 0 0 1 + 2 + 2 odwracalny nie

10130 2 4 3 17 0 0 1 + 4 + 2 odwracalny nie

10131 1 4 3 31 −2 0 1 + 0 − 2 odwracalny nie

10132 1 4 3 5 0 1 1 + 3 + 1 odwracalny nie

10133 1 4 3 19 −2 1 1 + 1 − 1 odwracalny nie

10134 3 4 3 23 −6 0 1 + 6 + 8 + 2 odwracalny nie

10135 2 4 3 37 0 1 1 + 3 + 3 odwracalny nie

10136 1 4 3 15 2 0 1 + 0 − 1 odwracalny nie

10137 1 5 3 25 0 0 1 − 2 + 1 odwracalny nie

10138 2 5 3 35 −2 1 1 − 3 + 1 + 1 odwracalny nie

10139 4 3 3 3 −6 1 1 + 9 + 14 + 7 + 1 odwracalny nie

10140 2 4 3 9 0 0 1 + 2 + 1 odwracalny nie

10141 1 3 3 21 0 1 1 − 1 − 3 − 1 odwracalny nie

10142 3 4 3 15 −6 0 1 + 8 + 9 + 2 odwracalny nie

10143 1 3 3 27 2 1 1 + 3 + 3 + 1 odwracalny nie

10144 2 4 3 39 −2 0 1 − 2 − 3 odwracalny nie

10145 2 4 3 3 2 1 1 + 5 + 1 odwracalny nie

10146 1 4 3 33 0 0 1 + 0 + 2 odwracalny nie

10147 1 4 3 27 −2 1 1 − 1 − 2 chiralny nie

10148 2 3 3 31 2 0 1 + 4 + 3 + 1 chiralny nie

10149 2 3 3 41 −4 0 1 + 2 − 1 − 1 chiralny nie

10150 2 4 3 29 −4 1 1 + 1 − 2 − 1 chiralny nie

10151 2 4 3 43 2 1 1 + 3 + 2 + 1 chiralny nie

10152 4 3 3 11 −6 1 1 + 7 + 13 + 7 + 1 odwracalny nie

10153 2 4 3 1 0 0 1 + 4 + 5 + 1 chiralny nie

10154 3 4 3 13 −4 1 1 + 5 + 6 + 1 odwracalny nie

10155 2 3 3 25 0 0 1 − 2 − 3 − 1 odwracalny nie

10156 1 4 3 35 2 1 1 + 1 + 2 + 1 odwracalny nie

10157 2 3 3 49 4 0 1 + 4 + 0 − 1 odwracalny nie

10158 2 4 3 45 0 1 1 − 3 − 2 − 1 odwracalny nie robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f A.2. Diagramy węzłów pierwszych 127

nazwa u b br det sygn. Arf ∇(z) sym. alt.

10159 1 3 3 39 −2 0 1 + 2 + 2 + 1 odwracalny nie

10160 2 4 3 21 −4 1 1 + 3 − 2 − 1 odwracalny nie

10161 3 3 3 5 −4 1 1 + 7 + 6 + 1 odwracalny nie

10162 2 4 3 35 2 1 1 − 3 − 3 odwracalny nie

10163 2 4 3 51 −2 1 1 + 1 + 1 + 1 odwracalny nie

10164 1 4 3 45 0 1 1 + 1 + 3 odwracalny nie

10165 2 4 3 39 2 0 1 + 2 − 2 odwracalny nie

A.2 Diagramy węzłów pierwszych

Poniżej znajdują się diagramy węzłów pierwszych, które realizują liczbę gordyjską, jeśli ta nie przekracza dziesięciu. One także pochodzą ze strony http://www.indiana.edu/ ~knotinfo/, o której mowa na początku rozdziału.

(a) 31 (b) 41 (c) 51 (d) 52 (e) 61

(a) 62 (b) 63 (c) 71 (d) 72 (e) 73

(a) 74 (b) 75 (c) 76 (d) 77 (e) 81

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 128 Dodatek A. Tablice węzłów pierwszych

(a) 82 (b) 83 (c) 84 (d) 85 (e) 86

(a) 87 (b) 88 (c) 89 (d) 810 (e) 811

(a) 812 (b) 813 (c) 814 (d) 815 (e) 816

(a) 817 (b) 818 (c) 819 (d) 820 (e) 821

(a) 91 (b) 92 (c) 93 (d) 94 (e) 95 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f A.2. Diagramy węzłów pierwszych 129

(a) 96 (b) 97 (c) 98 (d) 99 (e) 910

(a) 911 (b) 912 (c) 913 (d) 914 (e) 915

(a) 916 (b) 917 (c) 918 (d) 919 (e) 920

(a) 921 (b) 922 (c) 923 (d) 924 (e) 925

(a) 926 (b) 927 (c) 928 (d) 929 (e) 930 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 130 Dodatek A. Tablice węzłów pierwszych

(a) 931 (b) 932 (c) 933 (d) 934 (e) 935

(a) 936 (b) 937 (c) 938 (d) 939 (e) 940

(a) 941 (b) 942 (c) 943 (d) 944 (e) 945

(a) 946 (b) 947 (c) 948 (d) 949 (e) 101

(a) 102 (b) 103 (c) 104 (d) 105 (e) 106 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f A.2. Diagramy węzłów pierwszych 131

(a) 107 (b) 108 (c) 109 (d) 1010 (e) 1011

(a) 1012 (b) 1013 (c) 1014 (d) 1015 (e) 1016

(a) 1017 (b) 1018 (c) 1019 (d) 1020 (e) 1021

(a) 1022 (b) 1023 (c) 1024 (d) 1025 (e) 1026

(a) 1027 (b) 1028 (c) 1029 (d) 1030 (e) 1031 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 132 Dodatek A. Tablice węzłów pierwszych

(a) 1032 (b) 1033 (c) 1034 (d) 1035 (e) 1036

(a) 1037 (b) 1038 (c) 1039 (d) 1040 (e) 1041

(a) 1042 (b) 1043 (c) 1044 (d) 1045 (e) 1046

(a) 1047 (b) 1048 (c) 1049 (d) 1050 (e) 1051

(a) 1052 (b) 1053 (c) 1054 (d) 1055 (e) 1056 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f A.2. Diagramy węzłów pierwszych 133

(a) 1057 (b) 1058 (c) 1059 (d) 1060 (e) 1061

(a) 1062 (b) 1063 (c) 1064 (d) 1065 (e) 1066

(a) 1067 (b) 1068 (c) 1069 (d) 1070 (e) 1071

(a) 1072 (b) 1073 (c) 1074 (d) 1075 (e) 1076

(a) 1077 (b) 1078 (c) 1079 (d) 1080 (e) 1081 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 134 Dodatek A. Tablice węzłów pierwszych

(a) 1082 (b) 1083 (c) 1084 (d) 1085 (e) 1086

(a) 1087 (b) 1088 (c) 1089 (d) 1090 (e) 1091

(a) 1092 (b) 1093 (c) 1094 (d) 1095 (e) 1096

(a) 1097 (b) 1098 (c) 1099 (d) 10100 (e) 10101

(a) 10102 (b) 10103 (c) 10104 (d) 10105 (e) 10106 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f A.2. Diagramy węzłów pierwszych 135

(a) 10107 (b) 10108 (c) 10109 (d) 10110 (e) 10111

(a) 10112 (b) 10113 (c) 10114 (d) 10115 (e) 10116

(a) 10117 (b) 10118 (c) 10119 (d) 10120 (e) 10121

(a) 10122 (b) 10123 (c) 10124 (d) 10125 (e) 10126

(a) 10127 (b) 10128 (c) 10129 (d) 10130 (e) 10131 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 136 Dodatek A. Tablice węzłów pierwszych

(a) 10132 (b) 10133 (c) 10134 (d) 10135 (e) 10136

(a) 10137 (b) 10138 (c) 10139 (d) 10140 (e) 10141

(a) 10142 (b) 10143 (c) 10144 (d) 10145 (e) 10146

(a) 10147 (b) 10148 (c) 10149 (d) 10150 (e) 10151

(a) 10152 (b) 10153 (c) 10154 (d) 10155 (e) 10156 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f A.2. Diagramy węzłów pierwszych 137

(a) 10157 (b) 10158 (c) 10159 (d) 10160 (e) 10161

(a) 10162 (b) 10163 (c) 10164 (d) 10165

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 138 Dodatek A. Tablice węzłów pierwszych

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f Dodatek B

Tablice węzłów wirtualnych

B.1 Diagramy węzłów wirtualnych Poniżej znajdują się diagramy węzłów wirtualnych o mniej niż pięciu skrzyżowaniach. One także pochodzą ze strony http://www.math.toronto.edu/drorbn/Students/GreenJ/.

(a) 0.1 (b) 2.1 (c) 3.1 (d) 3.2 (e) 3.3

(a) 3.4 (b) 3.5 (c) 3.6 (d) 3.7 (e) 4.1

(a) 4.2 (b) 4.3 (c) 4.4 (d) 4.5 (e) 4.6 140 Dodatek B. Tablice węzłów wirtualnych

(a) 4.7 (b) 4.8 (c) 4.9 (d) 4.10 (e) 4.11

(a) 4.12 (b) 4.13 (c) 4.14 (d) 4.15 (e) 4.16

(a) 4.17 (b) 4.18 (c) 4.19 (d) 4.20 (e) 4.21

(a) 4.22 (b) 4.23 (c) 4.24 (d) 4.25 (e) 4.26

(a) 4.27 (b) 4.28 (c) 4.29 (d) 4.30 (e) 4.31 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f B.1. Diagramy węzłów wirtualnych 141

(a) 4.32 (b) 4.33 (c) 4.34 (d) 4.35 (e) 4.36

(a) 4.37 (b) 4.38 (c) 4.39 (d) 4.40 (e) 4.41

(a) 4.42 (b) 4.43 (c) 4.44 (d) 4.45 (e) 4.46

(a) 4.47 (b) 4.48 (c) 4.49 (d) 4.50 (e) 4.51

(a) 4.52 (b) 4.53 (c) 4.54 (d) 4.55 (e) 4.56 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 142 Dodatek B. Tablice węzłów wirtualnych

(a) 4.57 (b) 4.58 (c) 4.59 (d) 4.60 (e) 4.61

(a) 4.62 (b) 4.63 (c) 4.64 (d) 4.65 (e) 4.66

(a) 4.67 (b) 4.68 (c) 4.69 (d) 4.70 (e) 4.71

(a) 4.72 (b) 4.73 (c) 4.74 (d) 4.75 (e) 4.76

(a) 4.77 (b) 4.78 (c) 4.79 (d) 4.80 (e) 4.81 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f B.1. Diagramy węzłów wirtualnych 143

(a) 4.82 (b) 4.83 (c) 4.84 (d) 4.85 (e) 4.86

(a) 4.87 (b) 4.88 (c) 4.89 (d) 4.90 (e) 4.91

(a) 4.92 (b) 4.93 (c) 4.94 (d) 4.95 (e) 4.96

(a) 4.97 (b) 4.98 (c) 4.99 (d) 4.100 (e) 4.101

(a) 4.102 (b) 4.103 (c) 4.104 (d) 4.105 (e) 4.106 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 144 Dodatek B. Tablice węzłów wirtualnych

(a) 4.107 (b) 4.108

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f Dodatek C

Notacja, użyte symbole

• N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C zbiór liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywi- stych, zespolonych,

• [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, przedział domknięty,

n n+1 • S = {x ∈ R | kxk = 1}, n-wymiarowa sfera, • u liczba gordyjska,

• b indeks warkoczowy,

• br indeks mostowy,

• det wyznacznik,

• σ sygnatura, sygnatura Levine’a-Tristrama,

• ∆, ∇, V wielomian Alexandera, Conwaya, Jonesa.

PSL(2, 7) to rzutowa specjalna grupa liniowa nad ciałem F7. 146 Dodatek C. Notacja, użyte symbole

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f Dodatek D

Słownik angielsko-polski

• braid, pure warkocz, czysty • braid warkocz • closure of braid domknięcie warkocza • invariant, finite type niezmiennik, skończonego typu • knot, singular węzeł, singularny • link, string splot, sznurkowy • marked surface powierzchnia znaczona • pretzel link splot preclowy, precel • quandle kwandel • shelf półka • spindle wrzeciono • strand pasmo • tangle supeł • wrack wrak • writhe spin 148 Dodatek D. Słownik angielsko-polski

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f Bibliografia

[1] Colin C. Adams. Hyperbolic structures on link complements. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 1983. esis (Ph.D.)–e University of Wisconsin - Madison. 5.7

[2] Colin C. Adams. e knot book. W. H. Freeman and Company, New York, 1994. An elementary introduction to the mathematical theory of knots. 1.5.2, 5.7

[3] Colin C. Adams. Triple crossing number of knots and links. J. Knot eory Ramifications, 22(2):1350006, 17, 2013. 5.7

[4] Colin C. Adams, Bevin M. Brennan, Deborah L. Greilsheimer, and Alexander K. Woo. Stick numbers and composition of knots and links. J. Knot eory Ramifications, 6(2):149–161, 1997. 1.5.6

[5] Ian Agol. e minimal volume orientable hyperbolic 2-cusped 3-manifolds. Proc. Amer. Math. Soc., 138(10):3723–3732, 2010. 5.7

[6] James W. Alexander. A lemma on systems of knotted curves. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, pages 93–95, 1923. 3.1, 5.1

[7] James W. Alexander. Topological invariants of knots and links. Trans. Amer. Math. Soc., 30(2):275–306, 1928. 3, 3.1

[8] James W. Alexander and Garland B. Briggs. On types of knotted curves. Ann. of Math. (2), 28(1-4):562–586, 1927. 1.2, 1.2.1

[9] Dror Bar-Natan. On the Vassiliev knot invariants. Topology, 34(2):423–472, 1995. 3.6

[10] Dror Bar-Natan. Polynomial invariants are polynomial. Math. Res. Lett., 2(3):239–246, 1995. 3.6

[11] Dror Bar-Natan. Vassiliev homotopy string link invariants. J. Knot eory Ramifications, 4(1):13–32, 1995. 3.6

[12] Dror Bar-Natan. Fast Khovanov homology computations. J. Knot eory Ramifications, 16(3):243–255, 2007. 4.4

[13] Riccardo Benedetti and Carlo Petronio. Lectures on hyperbolic geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 1992. 5.7 150 Bibliografia

[14] James A. Bernhard. Unknotting numbers and minimal knot diagrams. J. Knot eory Ramifications, 3(1):1–5, 1994. 1.5.2, 1.5.7

[15] Stephen Bigelow. e Burau representation is not faithful for n = 5. Geom. Topol., 3:397–404, 1999. 5.1

[16] Joan S. Birman. Braids, links, and mapping class groups. Princeton University Press, Princeton, N.J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. Annals of Mathematics Studies, No. 82. 5.1

[17] Joan S. Birman and Xiao-Song Lin. Knot polynomials and Vassiliev’s invariants. Invent. Math., 111(2):225–270, 1993. 3.6, 3.6

[18] Joan S. Birman and William W. Menasco. On Markov’s theorem. J. Knot eory Ramifications, 11(3):295–310, 2002. Knots 2000 Korea, Vol. 1 (Yongpyong). 5.1

[19] Steven A. Bleiler. A note on unknotting number. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 96(3):469–471, 1984. 1.5.2, 1.5.2

[20] Maciej Borodzik and Stefan Friedl. e unknotting number and classical invariants II. Glasg. Math. J., 56(3):657–680, 2014. 1.5.2

[21] Maciej Borodzik and Stefan Friedl. e unknotting number and classical invariants, I. Algebr. Geom. Topol., 15(1):85–135, 2015. 1.5.2

[22] Maciej Borodzik and Krzysztof Oleszkiewicz. On the signatures of torus knots. Bull. Pol. Acad. Sci. Math., 58(2):167–177, 2010. 5.5

[23] Robert D. Brandt, William B. R. Lickorish, and Kenneth C. Millett. A polynomial invariant for unoriented knots and links. Invent. Math., 84(3):563–573, 1986. 3.4, 3.4

[24] Mark Brittenham and Susan Hermiller. A counterexample to the bernhard-jablan unknotting conjecture, 2017. 1.5.2

[25] Gerhard Burde and Heiner Zieschang. Eine Kennzeichnung der Torusknoten. Math. Ann., 167:169–176, 1966. 5.5

[26] Gerhard Burde and Heiner Zieschang. Knots, volume 5 of De Gruyter Studies in Mathematics. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1985. 5.3, 5.5

[27] Gerhard Burde and Heiner Zieschang. Knots, volume 5 of De Gruyter Studies in Mathematics. Walter de Gruyter & Co., Berlin, second edition, 2003. 5.4

[28] Benjamin A. Burton, Joachim H. Rubinstein, and Stephan Tillmann. e Weber-Seifert dodecahedral space is non-Haken. Trans. Amer. Math. Soc., 364(2):911–932, 2012. 1.2

[29] Jorge A. Calvo. Geometric knot spaces and polygonal isotopy. J. Knot eory Ramifications, 10(2):245–267, 2001. Knots in Hellas ’98, Vol. 2 (Delphi). 1.5.6

[30] Jason Cantarella, Robert B. Kusner, and John M. Sullivan. On the minimum ropelength of knots and links. Invent. Math., 150(2):257–286, 2002. 1.5.7 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f Bibliografia 151

[31] Chun Cao and Robert G. Meyerhof. e orientable cusped hyperbolic 3-manifolds of minimum volume. Invent. Math., 146(3):451–478, 2001. 5.7

[32] Andrew J. Casson and Cameron McA. Gordon. On slice knots in dimension three. In Algebraic and geometric topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Part 2, Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, pages 39–53. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1978. 5.8.1

[33] Andrew J. Casson and Cameron McA. Gordon. Cobordism of classical knots. In À la recherche de la topologie perdue, volume 62 of Progr. Math., pages 181–199. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1986. With an appendix by P. M. Gilmer. 5.8.4

[34] Alain Caudron. Classification des noeuds et des enlacements, volume 81. Departement de mathematique, 1982. 1.2.1

[35] Jae C. Cha and Charles Livingston. Unknown values in the table of knots, 2005. 1.5.2

[36] Kuo T. Chen, Ralph H. Fox, and Roger C. Lyndon. Free diferential calculus. IV. The quotient groups of the lower central series. Ann. of Math. (2), 68:81–95, 1958. 4.1.2

[37] Sergei Chmutov. Combinatorics of Vassiliev invariants. In Introductory lectures on knot theory, volume 46 of Ser. Knots Everything, pages 54–76. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2012. 3.6

[38] Sergei Chmutov, Sergei Duzhin, and Jacob Mostovoy. Introduction to Vassiliev knot invariants. Cambridge University Press, Cambridge, 2012. 3.6, 3.6.16, 3.6

[39] Sergei V. Chmutov and Sergei V. Duzhin. e kontsevich integral, 2005. 3.6

[40] Sergei V. Chmutov, Sergei V. Duzhin, and Sergei K. Lando. Vassiliev knot invariants. II. Intersection graph conjecture for trees. In Singularities and bifurcations, volume 21 of Adv. Soviet Math., pages 127–134. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994. 5.2.2

[41] Edwin W. Clark, Mohamed Elhamdadi, Masahico Saito, and Timothy Yeatman. Quandle colorings of knots and applications. arXiv e-prints, page arXiv:1312.3307, 2013. 2.4

[42] Anthony Conway. e levine-tristram signature: a survey, 2019. 4.2.5, 4.2.5

[43] John H. Conway. An enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties. In Computational Problems in Abstract Algebra (Proc. Conf., Oxford, 1967), pages 329–358. Pergamon, Oxford, 1970. 1.2.3, 5.2, 5.2, 5.2, 5.2.7

[44] Daryl Cooper and William B. R. Lickorish. Mutations of links in genus 2 handlebodies. Proc. Amer. Math. Soc., 127(1):309–314, 1999. 5.2.2

[45] Alexander Coward and Marc Lackenby. Unknotting genus one knots. Commentarii Mathematici Helvetici. A Journal of the Swiss Mathematical Society, 86(2):383–399, 2011. 1.2, 1.5.2

[46] Peter R. Cromwell. Homogeneous links. J. London Math. Soc. (2), 39(3):535–552, 1989. 4.2.3 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 152 Bibliografia

[47] Peter R. Cromwell. Knots and links. Cambridge University Press, Cambridge, 2004. 1.3.3, 5.6, 5.6

[48] Richard H. Crowell. Nonalternating links. Illinois J. Math., 3:101–120, 1959. 2.2

[49] Richard H. Crowell and Ralph H. Fox. Introduction to knot theory. Based upon lectures given at Haverford College under the Philips Lecture Program. Ginn and Co., Boston, Mass., 1963. 1.2, 4.1.2

[50] Marc Culler, Cameron McA. Gordon, John Luecke, and Peter B. Shalen. Dehn surgery on knots. Ann. of Math. (2), 125(2):237–300, 1987. 1.1

[51] Oliver T. Dasbach. On the combinatorial structure of primitive Vassiliev invariants. III. A lower bound. Commun. Contemp. Math., 2(4):579–590, 2000. 3.6

[52] Max W. Dehn. Die beiden Kleeblattschlingen. Math. Ann., 75(3):402–413, 1914. 1.3.1

[53] Patrick Dehornoy. Braid groups and le t distributive operations. Trans. Amer. Math. Soc., 345(1):115–150, 1994. 5.1

[54] Elizabeth Denne, Yuanan Diao, and John M. Sullivan. Quadrisecants give new lower bounds for the ropelength of a knot. Geom. Topol., 10:1–26, 2006. 1.5.7

[55] Yuanan Diao. e lower bounds of the lengths of thick knots. J. Knot eory Ramifications, 12(1):1–16, 2003. 1.5.7

[56] Yuanan Diao. e additivity of crossing numbers. J. Knot eory Ramifications, 13(7):857–866, 2004. 5.7, 5.7

[57] Yuanan Diao, Claus Ernst, Attila Por, and Uta Ziegler. e ropelengths of knots are almost linear in terms of their crossing numbers. J. Knot eory Ramifications, 28(14):1950085, 64, 2019. 1.5.7

[58] Yuanan Diao, Claus Ernst, and Xingxing Yu. Hamiltonian knot projections and lengths of thick knots. Topology Appl., 136(1-3):7–36, 2004. 1.5.7

[59] Cliford H. Dowker and Morwen B. istlethwaite. Classification of knot projections. Topology Appl., 16(1):19–31, 1983. 1.2.1

[60] Nathan M. Dunfield, Stavros Garoufalidis, Alexander Shumakovitch, and Morwen istlethwaite. Behavior of knot invariants under genus 2 mutation. New York J. Math., 16:99–123, 2010. 3.3

[61] Heather A. Dye. An invitation to knot theory. CRC Press, Boca Raton, FL, 2016. Virtual and classical. 3.6

[62] Shalom Eliahou, Louis H. Kaufman, and Morwen B. istlethwaite. Infinite families of links with trivial Jones polynomial. Topology, 42(1):155–169, 2003. 3.2.1

[63] Elsayed A. Elrifai. On stick number of knots and links. Chaos Solitons Fractals, 27(1):233–236, 2006. 1.5.6 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f Bibliografia 153

[64] Claus Ernst and De Witt W. Sumners. e growth of the number of prime knots. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 102(2):303–315, 1987. 1.4

[65] Claus Ernst and De Witt W. Sumners. A calculus for rational tangles: applications to DNA recombination. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 108(3):489–515, 1990. 5.2.1

[66] Charles D. Feustel and Wilbur Whitten. Groups and complements of knots. Canad. J. Math., 30(6):1284–1295, 1978. 4.1, 5.6

[67] Andreas Floer. Instanton homology, surgery, and knots. In Geometry of low-dimensional manifolds, 1 (Durham, 1989), volume 150 of London Math. Soc. Lecture Note Ser., pages 97–114. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990. 4.2.3

[68] Ralph H. Fox. On the total curvature of some tame knots. Ann. of Math. (2), 52:258–260, 1950. 1.5.3

[69] Ralph H. Fox. Free diferential calculus. I. Derivation in the free group ring. Ann. of Math. (2), 57:547–560, 1953. 4.1.2

[70] Ralph H. Fox. Free diferential calculus. II. The isomorphism problem of groups. Ann. of Math. (2), 59:196–210, 1954. 4.1.2

[71] Ralph H. Fox. Free diferential calculus. III. Subgroups. Ann. of Math. (2), 64:407–419, 1956. 4.1.2

[72] Ralph H. Fox. Free diferential calculus. V. The Alexander matrices re-examined. Ann. of Math. (2), 71:408–422, 1960. 4.1.2

[73] Ralph H. Fox. Some problems in knot theory. In Topology of 3-manifolds and related topics (Proc. The Univ. of Georgia Institute, 1961), pages 168–176. Prentice-Hall, Englewood Clifs, N.J., 1962. 1.3.1

[74] Ralph H. Fox and John W. Milnor. Singularities of 2-spheres in 4-space and cobordism of knots. Osaka Math. J., 3:257–267, 1966. 5.8, 5.8, 5.8

[75] Michael H. Freedman. e topology of four-dimensional manifolds. J. Diferential Geometry, 17(3):357–453, 1982. 5.8

[76] Peter Freyd, David Yetter, Jim Hoste, William B. R. Lickorish, Kenneth Millett, and Adrian Ocneanu. A new polynomial invariant of knots and links. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 12(2):239–246, 1985. 3, 3.3

[77] Satoshi Fukuhama, Makoto Ozawa, and Masakazu Teragaito. Genus one, three-bridge knots are pretzel. J. Knot eory Ramifications, 8(7):879–885, 1999. 1.5.3

[78] David Futer, Efstratia Kalfagianni, and Jessica S. Purcell. A survey of hyperbolic knot theory. In Knots, low-dimensional topology and applications, volume 284 of Springer Proc. Math. Stat., pages 1–30. Springer, Cham, 2019. 5.7, 5.7

[79] David Gabai. Genera of the arborescent links. Mem. Amer. Math. Soc., 59(339):i–viii and 1–98, 1986. 4.2.3, 5.2.2 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 154 Bibliografia

[80] Jean-Marc Gambaudo and Étienne Ghys. Braids and signatures. Bull. Soc. Math. France, 133(4):541–579, 2005. 1.5.2

[81] Frank A. Garside. e braid group and other groups. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 20:235–254, 1969. 5.1

[82] Florian Gellert. Kombinatorische Invarianten. Fachbereich Mathematik, Universität Bonn, 2009. 3

[83] Paolo Ghiggini. Knot Floer homology detects genus-one fibred knots. Amer. J. Math., 130(5):1151–1169, 2008. 4.2.3

[84] Edgar N. Gilbert. Knots and classes of ménage permutations. Scripta Math., 22:228–233 (1957), 1956. 1.2.3

[85] Cole A. Giller. A family of links and the Conway calculus. Trans. Amer. Math. Soc., 270(1):75–109, 1982. 4.2.5

[86] Patrick M. Gilmer and Charles Livingston. Signature jumps and Alexander polynomials for links. Proc. Amer. Math. Soc., 144(12):5407–5417, 2016. 4.2.5

[87] Jay R. Goldman and Louis H. Kaufman. Rational tangles. Advances in Applied Mathematics, 18(3):300–332, 1997. 5.2

[88] Robert E. Gompf. Smooth concordance of topologically slice knots. Topology, 25(3):353–373, 1986. 5.8

[89] Robert E. Gompf, Martin Scharlemann, and Abigail ompson. Fibered knots and potential counterexamples to the property 2R and slice-ribbon conjectures. Geom. Topol., 14(4):2305–2347, 2010. 5.8.2

[90] Richard E. Goodrick. Two bridge knots are alternating knots. Pacific J. Math., 40:561–564, 1972. 5.2.1

[91] Cameron McA. Gordon, Richard A. Litherland, and Kunio Murasugi. Signatures of covering links. Canadian Journal of Mathematics. Journal Canadien de Mathématiques, 33(2):381–394, 1981. 2.2, 5.5

[92] Cameron McA. Gordon and John Luecke. Knots are determined by their complements. J. Amer. Math. Soc., 2(2):371–415, 1989. 1.1, 4.1

[93] Cameron McA. Gordon and John Luecke. Knots with unknotting number 1 and essential Conway spheres. Algebr. Geom. Topol., 6:2051–2116, 2006. 5.2.2

[94] Joshua Greene and Stanislav Jabuka. e slice-ribbon conjecture for 3-stranded pretzel knots. Amer. J. Math., 133(3):555–580, 2011. 5.8.2

[95] Joshua E. Greene. Alternating links and definite surfaces. Duke Math. J., 166(11):2133–2151, 2017. With an appendix by András Juhász and Marc Lackenby. 1.2, 1.2.2 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f Bibliografia 155

[96] Hermann Gruber. Estimates for the minimal crossing number. ArXiv Mathematics e-prints, 2003. 1.5.1, 5.7

[97] Wolfgang Haken. eorie der Normalflächen. Acta Math., 105:245–375, 1961. 1.2

[98] Richard Hartley and Akio Kawauchi. Polynomials of amphicheiral knots. Math. Ann., 243(1):63–70, 1979. 2.2, 5.4, 5.4

[99] Mary G. Haseman. ON KNOTS, WITH A CENSUS OF THE AMPHICHEIRALS WITH TWELVE CROSSINGS. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 1918. esis (Ph.D.)–Bryn Mawr College. 1.2.1

[100] Hugh M. Hilden, José M. Montesinos, Débora M. Tejada, and Margarita M. Toro. On the classification of 3-bridge links. Rev. Colombiana Mat., 46(2):113–144, 2012. 1.5.3

[101] Jonathan A. Hillman. e Torres conditions are insuficient. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 89(1):19–22, 1981. 3.1

[102] Fujitsugu Hosokawa. On ∇-polynomials of links. Osaka Math. J., 10:273–282, 1958. 3.1

[103] Jim Hoste, Morwen istlethwaite, and Jef Weeks. e first 1,701,936 knots. Math. Intelligencer, 20(4):33–48, 1998. 1.2.1, 5.6

[104] Jim Hoste and Laura Zirbel. Lissajous knots and knots with lissajous projections. arXiv Mathematics e-prints, page math/0605632, 2006. 5.4

[105] Youngsik Huh and Seungsang Oh. An upper bound on stick number of knots. J. Knot eory Ramifications, 20(5):741–747, 2011. 1.5.6

[106] Slavik V. Jablan. Unknotting number and ∞-unknotting number of a knot. Filomat, (12, part 1):113–120, 1998. 1.5.7

[107] William H. Jaco and Peter B. Shalen. Seifert fibered spaces in 3-manifolds. Mem. Amer. Math. Soc., 21(220):viii+192, 1979. 5.6

[108] Agnieszka Janiak-Osajca and Zdzisław Pogoda. Węzły, supły i ułamki. Matematyka-Społeczeństwo-Nauczanie, 33:31–35, 2004. 5.2

[109] Gyo T. Jin. Polygon indices and superbridge indices of torus knots and links. J. Knot eory Ramifications, 6(2):281–289, 1997. 1.5.6

[110] Klaus Johannson. Homotopy equivalences of 3-manifolds with boundaries, volume 761 of Lecture Notes in Mathematics. Springer, Berlin, 1979. 5.6

[111] Vaughan F. R. Jones. A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras. American Mathematical Society. Bulletin. New Series, 12(1):103–111, 1985. 3, 3.2.1, 3.2.1, 4.3, 5.1, 5.1.1

[112] Vaughan F. R. Jones and Józef H. Przytycki. Lissajous knots and billiard knots. In Knot theory (Warsaw, 1995), volume 42 of Banach Center Publ., pages 145–163. Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 1998. 5.4 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 156 Bibliografia

[113] Taizo Kanenobu. Module d’Alexander des nœuds fibrés et polynôme de Hosokawa des lacements fibrés. Math. Sem. Notes Kobe Univ., 9(1):75–84, 1981. 3.3

[114] Taizo Kanenobu. Infinitely many knots with the same polynomial invariant. Proc. Amer. Math. Soc., 97(1):158–162, 1986. 3.3, 3.3

[115] Taizo Kanenobu. Relations between the Jones and Q polynomials for 2-bridge and 3-braid links. Math. Ann., 285(1):115–124, 1989. 3.4

[116] Taizo Kanenobu and Hitoshi Murakami. Two-bridge knots with unknotting number one. Proc. Amer. Math. Soc., 98(3):499–502, 1986. 1.5.2, 1.5.2

[117] Louis H. Kaufman. Formal knot theory, volume 30 of Mathematical Notes. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1983. 4.3

[118] Louis H. Kaufman. State models and the Jones polynomial. Topology, 26(3):395–407, 1987. 1.2.2, 1.2.2, 3.2.1, 3.2.3

[119] Louis H. Kaufman and Sofia Lambropoulou. On the classification of rational tangles. Advances in Applied Mathematics, 33(2):199–237, 2004. 5.2

[120] Akio Kawauchi. A survey of knot theory. Birkhäuser Verlag, Basel, 1996. Translated and revised from the 1990 Japanese original by the author. 1.2, 1.3.13, 1.3.2, 1.3.2, 1.3.3, 1.5.2, 4.1, 4.1, 4.1, 4.1, 4.1, 4.1.17, 4.2.3, 4.2.4, 5.1.6, 5.1.7, 5.2.1, 5.2.14, 5.2.16, 5.2.2, 5.3.2, 5.7.12, 5.8.2, 5.8, 5.8, 5.8.1, 5.8.1, 5.8.1, 5.8.3, 5.8.3

[121] Michel A. Kervaire. On higher dimensional knots. In Diferential and Combinatorial Topology (A Symposium in Honor of Marston Morse), pages 105–119. Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1965. 4.1.1

[122] Mikhail Khovanov. A categorification of the Jones polynomial. Duke Mathematical Journal, 101(3):359–426, 2000. 4.4

[123] Se-Goo Kim and Charles Livingston. Knot mutation: 4-genus of knots and algebraic concordance. Pacific J. Math., 220(1):87–105, 2005. 5.2.2

[124] Shin’ichi Kinoshita and Hidetaka Terasaka. On unions of knots. Osaka Math. J., 9:131–153, 1957. 5.2.2

[125] Rob Kirby. Problems in low dimensional manifold theory. In Algebraic and geometric topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Part 2, Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, pages 273–312. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1978. 4.2.3, 5.2.2, 5.2.2

[126] Paul A. Kirk. Mutations of homology spheres and Casson’s invariant. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 105(2):313–318, 1989. 5.2.2

[127] Jan A. Kneissler. e number of primitive vassiliev invariants up to degree 12. eprint arXiv:q-alg/970602, pages q–alg/9706022, 1997. 3.6

[128] Kouzi Kodama and Makoto Sakuma. Symmetry groups of prime knots up to 10 crossings. In Knots 90 (Osaka, 1990), pages 323–340. de Gruyter, Berlin, 1992. 5.7.12 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f Bibliografia 157

[129] Peter Kohn. Two-bridge links with unlinking number one. Proc. Amer. Math. Soc., 113(4):1135–1147, 1991. 1.5.2

[130] Peter Kohn. Unlinking two component links. Osaka J. Math., 30(4):741–752, 1993. 1.5.2

[131] Toshitake Kohno. Monodromy representations of braid groups and Yang-Baxter equations. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 37(4):139–160, 1987. 3.6

[132] Hisako Kondo. Knots of unknotting number 1 and their Alexander polynomials. Osaka Math. J., 16(2):551–559, 1979. 3.1

[133] Pierre V. Koselef and Daniel Pecker. Every knot is a billiard knot. In Knots in Poland. III. Part 1, volume 100 of Banach Center Publ., pages 173–178. Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 2014. 5.4

[134] Peter B. Kronheimer and Tomasz S. Mrowka. Gauge theory for embedded surfaces. I. Topology, 32(4):773–826, 1993. 5.5

[135] Peter B. Kronheimer and Tomasz S. Mrowka. Gauge theory for embedded surfaces. II. Topology, 34(1):37–97, 1995. 5.5

[136] Peter B. Kronheimer and Tomasz S. Mrowka. Khovanov homology is an unknot-detector. Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., 113(1):97–208, 2011. 4.4

[137] Greg Kuperberg. How hard is it to approximate the Jones polynomial? eory Comput., 11:183–219, 2015. 4.4

[138] Marc Lackenby. Surfaces, surgery and unknotting operations. Math. Ann., 308(4):615–632, 1997. 1.5.2

[139] Marc Lackenby. e crossing number of composite knots. Journal of Topology, 2(4):747–768, 2009. 1.5.1, 5.7

[140] Marc Lackenby. e crossing number of satellite knots. Algebr. Geom. Topol., 14(4):2379–2409, 2014. 5.7

[141] Marc Lackenby. A polynomial upper bound on Reidemeister moves. Ann. of Math. (2), 182(2):491–564, 2015. 1.2

[142] Sofia Lambropoulou and Colin P. Rourke. Markov’s theorem in 3-manifolds. volume 78, pages 95–122. 1997. Special issue on braid groups and related topics (Jerusalem, 1995). 5.1

[143] Christoph Lamm. ere are infinitely many Lissajous knots. Manuscripta Math., 93(1):29–37, 1997. 5.4

[144] Jean Lannes. Sur l’invariant de Kervaire des nœuds classiques. Comment. Math. Helv., 60(2):179–192, 1985. 4.3

[145] Jerome Levine. Knot cobordism groups in codimension two. Comment. Math. Helv., 44:229–244, 1969. 4.2.5, 5.8.1 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 158 Bibliografia

[146] Jerome Levine. An algebraic classification of some knots of codimension two. Comment. Math. Helv., 45:185–198, 1970. 4.2.4

[147] William B. R. Lickorish and Andrew S. Lipson. Polynomials of 2-cable-like links. Proc. Amer. Math. Soc., 100(2):355–361, 1987. 5.2.2

[148] William B. R. Lickorish and Kenneth C. Millett. A polynomial invariant of oriented links. Topology, 26(1):107–141, 1987. 5.2.7

[149] William B. R. Lickorish and Morwen B. istlethwaite. Some links with nontrivial polynomials and their crossing-numbers. Comment. Math. Helv., 63(4):527–539, 1988. 5.7

[150] Livio Liechti. Signature, positive Hopf plumbing and the Coxeter transformation. Osaka J. Math., 53(1):251–266, 2016. With an appendix by Peter Feller and Liechti. 4.2.5

[151] Andrew S. Lipson. An evaluation of a link polynomial. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 100(2):361–364, 1986. 3.2.1

[152] Paolo Lisca. Lens spaces, rational balls and the ribbon conjecture. Geom. Topol., 11:429–472, 2007. 5.8.2

[153] Richard A. Litherland. Signatures of iterated torus knots. In Topology of low-dimensional manifolds (Proc. Second Sussex Conf., Chelwood Gate, 1977), volume 722 of Lecture Notes in Math., pages 71–84. Springer, Berlin, 1979. 4.2.5

[154] Charles Livingston. Knots which are not concordant to their reverses. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 34(135):323–328, 1983. 5.2.2

[155] Charles Livingston. Signature functions of knots. Proc. Amer. Math. Soc., 146(10):4513–4520, 2018. 4.2.5

[156] Wilhelm Magnus, Abraham Karrass, and Donald Solitar. Combinatorial group theory: Presentations of groups in terms of generators and relations. Interscience Publishers [John Wiley & Sons, Inc.], New York-London-Sydney, 1966. 5.1, 5.1

[157] Andrei V. Malyutin. On the question of genericity of hyperbolic knots, 2016. 5.7

[158] Andrei V. Malyutin. Hyperbolic links are not generic, 2019. 5.7

[159] Julien Marché. A computation of the Kontsevich integral of torus knots. Algebr. Geom. Topol., 4:1155–1175, 2004. 3.6

[160] Andrei A. Markov. Über die freie Äquivalenz der geschlossenen zöpfe. Rec. Math. Moscou, 1:73–78, 1935. 5.1

[161] Gregor Masbaum and Pierre Vogel. 3-valent graphs and the Kaufman bracket. Pacific J. Math., 164(2):361–381, 1994. 5.2.2

[162] Cynthia L. McCabe. An upper bound on edge numbers of 2-bridge knots and links. J. Knot eory Ramifications, 7(6):797–805, 1998. 1.5.6 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f Bibliografia 159

[163] William Menasco. Closed incompressible surfaces in alternating knot and link complements. Topology. An International Journal of Mathematics, 23(1):37–44, 1984. 1.4, 5.7

[164] William W. Menasco and Morwen B. istlethwaite. e Tait flyping conjecture. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 25(2):403–412, 1991. 1.2.2, 5.2.2

[165] John W. Milnor. Infinite cyclic coverings. In Conference on the Topology of Manifolds (Michigan State Univ., E. Lansing, Mich., 1967), pages 115–133. Prindle, Weber & Schmidt, Boston, Mass., 1968. 4.2.5

[166] Yoav Moriah. On the free genus of knots. Proc. Amer. Math. Soc., 99(2):373–379, 1987. 4.2.3

[167] Hugh R. Morton. Seifert circles and knot polynomials. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 99(1):107–109, 1986. 4.2.3, 4.2.3

[168] Hugh R. Morton. reading knot diagrams. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 99(2):247–260, 1986. 5.1, 5.1

[169] Hugh R. Morton and Peter R. Cromwell. Distinguishing mutants by knot polynomials. J. Knot eory Ramifications, 5(2):225–238, 1996. 5.2.2

[170] George D. Mostow. Strong rigidity of locally symmetric spaces. Princeton University Press, Princeton, N.J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1973. Annals of Mathematics Studies, No. 78. 5.7

[171] Kimihiko Motegi. Knot types of satellite knots and twisted knots. In Lectures at KNOTS ’96 (Tokyo), volume 15 of Ser. Knots Everything, pages 73–93. World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1997. 5.6

[172] Hitoshi Murakami. A recursive calculation of the Arf invariant of a link. J. Math. Soc. Japan, 38(2):335–338, 1986. 3.2.1

[173] Jun Murakami. Finite type invariants detecting the mutant knots. In Knot theory, pages 258–267. 1999. 5.2.2

[174] Kunio Murasugi. Remarks on torus knots. Proc. Japan Acad., 37:222, 1961. 5.5

[175] Kunio Murasugi. On a certain numerical invariant of link types. Trans. Amer. Math. Soc., 117:387–422, 1965. 4.2.4, 4.2.5, 4.2.5, 5.8.9

[176] Kunio Murasugi. e Arf invariant for knot types. Proc. Amer. Math. Soc., 21:69–72, 1969. 4.3

[177] Kunio Murasugi. On periodic knots. Comment. Math. Helv., 46:162–174, 1971. 1.3.2

[178] Kunio Murasugi. On the Alexander polynomial of alternating algebraic knots. J. Austral. Math. Soc. Ser. A, 39(3):317–333, 1985. 3.1

[179] Kunio Murasugi. Jones polynomials and classical conjectures in knot theory. Topology, 26(2):187–194, 1987. 1.2.2, 1.5.1, 5.7 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 160 Bibliografia

[180] Kunio Murasugi. An estimate of the bridge index of links. Kobe J. Math., 5(1):75–86, 1988. 1.5.3

[181] Kunio Murasugi. Knot theory and its applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1996. Translated from the 1993 Japanese original by Bohdan Kurpita. 1.2, 1.3.1, 1.5.3, 3.6, 5.2, 5.2.4, 5.2.1, 5.2.1, 5.2.1, 5.5, 5.5

[182] Takuji Nakamura. On the crossing number of 2-bridge knot and the canonical genus of its Whitehead double. Osaka J. Math., 43(3):609–623, 2006. 4.2.3

[183] Yasutaka Nakanishi. Unknotting numbers and knot diagrams with the minimum crossings. Math. Sem. Notes Kobe Univ., 11(2):257–258, 1983. 1.5.2

[184] Yasutaka Nakanishi. Union and tangle. Proc. Amer. Math. Soc., 124(5):1625–1631, 1996. 1.5.2

[185] Seiya Negami. Ramsey theorems for knots, links and spatial graphs. Trans. Amer. Math. Soc., 324(2):527–541, 1991. 1.5.6

[186] Walter D. Neumann and Don Zagier. Volumes of hyperbolic three-manifolds. Topology, 24(3):307–332, 1985. 5.7

[187] Lee Neuwirth. A note on torus knots and links determined by their groups. Duke Math. J., 28:545–551, 1961. 5.5

[188] Tomotada Ohtsuki. Problems on invariants of knots and 3-manifolds. In Invariants of knots and 3-manifolds (Kyoto, 2001), volume 4 of Geom. Topol. Monogr., pages i–iv, 377–572. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2002. With an introduction by J. Roberts. 2.2.11

[189] Yoshiyuki Ohyama. Vassiliev invariants and similarity of knots. Proc. Amer. Math. Soc., 123(1):287–291, 1995. 3.6

[190] Peter Ozsváth and Zoltán Szabó. Heegaard Floer homology and alternating knots. Geom. Topol., 7:225–254, 2003. 3.1

[191] Peter Ozsváth and Zoltán Szabó. Knot Floer homology and the four-ball genus. Geom. Topol., 7:615–639, 2003. 4.2.3

[192] Daniel Pecker. Poncelet’s theorem and billiard knots. Geom. Dedicata, 161:323–333, 2012. 5.4

[193] Kenneth A. Perko. Primality of certain knots. In Proceedings of the 1982 Topology Conference (Annapolis, Md., 1982), volume 7, pages 109–118, 1982. 1.2.1

[194] Carlo Petronio and Adolfo Zanellati. Algorithmic simplification of knot diagrams: New moves and experiments. Journal of Knot eory and Its Ramifications, 25(10):1650059, 2016. 1.2

[195] Lisa Piccirillo. e Conway knot is not slice. Ann. of Math. (2), 191(2):581–591, 2020. 5.8

[196] Michael Polyak and Oleg Viro. On the Casson knot invariant. J. Knot eory Ramifications, 10(5):711–738, 2001. Knots in Hellas ’98, Vol. 3 (Delphi). 3.6 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f Bibliografia 161

[197] Gopal Prasad. Strong rigidity of Q-rank 1 lattices. Invent. Math., 21:255–286, 1973. 5.7

[198] Józef H. Przytycki. Equivalence of cables of mutants of knots. Canad. J. Math., 41(2):250–273, 1989. 5.2.2

[199] Józef H. Przytycki and PawełTraczyk. Conway algebras and skein equivalence of links. Proc. Amer. Math. Soc., 100(4):744–748, 1987. 3.3

[200] Jessica S. Purcell. Hyperbolic knot theory, 2020. 5.7

[201] Kurt Reidemeister. Elementare Begründung der Knotentheorie. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 5(1):24–32, 1927. 1.2

[202] Kurt Reidemeister. Knotentheorie. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1974. Reprint. 1.2.1

[203] Robert Riley. Homomorphisms of knot groups on finite groups. Math. Comp., 25:603–619; addendum, ibid. 25 (1971), no. 115, loose microfiche suppl. A–B, 1971. 5.2.2

[204] Robert Riley. A quadratic parabolic group. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 77:281–288, 1975. 5.7, 5.7.12

[205] Raymond A. Robertello. An invariant of knot cobordism. Comm. Pure Appl. Math., 18:543–555, 1965. 4.3

[206] Dale Rolfsen. Knots and links. Publish or Perish, Inc., Berkeley, Calif., 1976. Mathematics Lecture Series, No. 7. 3.1

[207] Dale Rolfsen. e quest for a knot with trivial Jones polynomial: diagram surgery and the Temperley-Lieb algebra. In Topics in knot theory (Erzurum, 1992), volume 399 of NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci., pages 195–210. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1993. 5.2.2

[208] Yongwu Rong. Mutation and Witten invariants. Topology, 33(3):499–507, 1994. 5.2.2

[209] Daniel Ruberman. Mutation and volumes of knots in S3. Invent. Math., 90(1):189–215, 1987. 5.2.2, 5.7

[210] Daniel Ruberman. Mutation and gauge theory. I. Yang-Mills invariants. Comment. Math. Helv., 74(4):615–641, 1999. 5.2.2

[211] Martin Scharlemann. Crossing changes. volume 9, pages 693–704. 1998. Knot theory and its applications. 1.5.2

[212] Martin G. Scharlemann. Unknotting number one knots are prime. Inventiones Mathematicae, 82(1):37–55, 1985. 1.5.2

[213] Horst Schubert. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten. S.-B. Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl., 1949(3):57–104, 1949. 4.2.3, 4.2.3

[214] Horst Schubert. Knoten und Vollringe. Acta Math., 90:131–286, 1953. 5.6 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 162 Bibliografia

[215] Horst Schubert. über eine numerische Knoteninvariante. Mathematische Zeitschri t, 61:245–288, 1954. 1.5.3

[216] Horst Schubert. Knoten mit zwei Brücken. Mathematische Zeitschri t, 65:133–170, 1956. 5.2, 5.2.1

[217] Jennifer Schultens. Additivity of bridge numbers of knots. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 135(3):539–544, 2003. 1.5.3

[218] Herbert K. J. Seifert. Über das Geschlecht von Knoten. Math. Ann., 110(1):571–592, 1935. 4.2.1

[219] Herbert K. J. Seifert. On the homology invariants of knots. Quart. J. Math., Oxford Ser. (2), 1:23–32, 1950. 5.4

[220] Ayaka Shimizu. Region crossing change is an unknotting operation. J. Math. Soc. Japan, 66(3):693–708, 2014. 1.5.2

[221] Yaichi Shinohara. On the signature of knots and links. Trans. Amer. Math. Soc., 156:273–285, 1971. 4.2.5, 4.2.5

[222] Ted Stanford. Braid commutators and Vassiliev invariants. Pacific J. Math., 174(1):269–276, 1996. 3.6

[223] Alexander Stoimenow. Rational knots and a theorem of Kanenobu. Experiment. Math., 9(3):473–478, 2000. 3.4, 3.4

[224] Alexander Stoimenow. On finiteness of Vassiliev invariants and a proof of the Lin-Wang conjecture via braiding polynomials. J. Knot eory Ramifications, 10(5):769–780, 2001. Knots in Hellas ’98, Vol. 3 (Delphi). 3.6, 3.6

[225] Alexander Stoimenow. Some examples related to 4-genera, unknotting numbers and knot polynomials. J. London Math. Soc. (2), 63(2):487–500, 2001. 1.5.2

[226] Alexander Stoimenow. Square numbers, spanning trees and invariants of achiral knots. Comm. Anal. Geom., 13(3):591–631, 2005. 2.2

[227] Alexander Stoimenow. Tabulating and distinguishing mutants. Internat. J. Algebra Comput., 20(4):525–559, 2010. 5.2.2, 5.2.2

[228] Alexander Stoimenow and Toshifumi Tanaka. Mutation and the colored Jones polynomial. J. Gökova Geom. Topol. GGT, 3:44–78, 2009. 5.2.2

[229] Carl Sundberg and Morwen istlethwaite. e rate of growth of the number of prime alternating links and tangles. Pacific J. Math., 182(2):329–358, 1998. 1.2, 1.2.16, 1.2

[230] Kouki Taniyama. Unknotting numbers of diagrams of a given nontrivial knot are unbounded. J. Knot eory Ramifications, 18(8):1049–1063, 2009. 1.5.2

[231] Morwen B. istlethwaite. A spanning tree expansion of the Jones polynomial. Topology, 26(3):297–309, 1987. 1.2.2, 1.2.2 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f Bibliografia 163

[232] Morwen B. istlethwaite. On the Kaufman polynomial of an adequate link. Invent. Math., 93(2):285–296, 1988. 1.5.1

[233] William P. urston. ree-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 6(3):357–381, 1982. 5.7

[234] William P. urston. ree-dimensional geometry and topology. Vol. 1, volume 35 of Princeton Mathematical Series. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. Edited by Silvio Levy. 5.7

[235] Guillermo Torres. On the Alexander polynomial. Ann. of Math. (2), 57:57–89, 1953. 3.1

[236] PawełTraczyk. A new proof of Markov’s braid theorem. In Knot theory (Warsaw, 1995), volume 42 of Banach Center Publ., pages 409–419. Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 1998. 5.1

[237] James J. Tripp. e canonical genus of Whitehead doubles of a family torus knots. J. Knot eory Ramifications, 11(8):1233–1242, 2002. 4.2.3

[238] Andrew G. Tristram. Some cobordism invariants for links. Proc. Cambridge Philos. Soc., 66:251–264, 1969. 4.2.5

[239] Hale F. Trotter. Homology of group systems with applications to knot theory. Ann. of Math. (2), 76:464–498, 1962. 4.2.4, 4.2.5

[240] Hale F. Trotter. Non-invertible knots exist. Topology. An International Journal of Mathematics, 2:275–280, 1963. 5.3

[241] Leandro Vendramin. On the classification of quandles of low order. J. Knot eory Ramifications, 21(9):1250088, 10, 2012. 2.4

[242] Dirk Vertigan. e computational complexity of Tutte invariants for planar graphs. SIAM J. Comput., 35(3):690–712, 2005. 4.4

[243] Oleg Viro. Khovanov homology, its definitions and ramifications. Fundamenta Mathematicae, 184:317–342, 2004. 4.4

[244] Pierre Vogel. Representation of links by braids: a new algorithm. Comment. Math. Helv., 65(1):104–113, 1990. 5.1

[245] Jef Weeks. Computation of hyperbolic structures in knot theory. In Handbook of knot theory, pages 461–480. Elsevier B. V., Amsterdam, 2005. 5.7

[246] Noah Weinberg. Sur l’équivalence libre des tresses fermées. C. R. (Dokl.) Acad. Sci. URSS, n. Ser., 23:215–216, 1939. 5.1

[247] Dominic J. A. Welsh. On the number of knots and links. In Sets, graphs and numbers (Budapest, 1991), volume 60 of Colloq. Math. Soc. János Bolyai, pages 713–718. North-Holland, Amsterdam, 1992. 1.4

[248] John H. C. Whitehead. On doubled knots. Journal of the London Mathematical Society, s1-12(1):63–71, 1937. 1.1 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 164 Bibliografia

[249] Wilbur Whitten. Knot complements and groups. Topology, 26(1):41–44, 1987. 4.1

[250] Norbert J. Wielenberg. Hyperbolic 3-manifolds which share a fundamental polyhedron. In Riemann surfaces and related topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference (State Univ. New York, Stony Brook, N.Y., 1978), volume 97 of Ann. of Math. Stud., pages 505–513. Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1981. 5.7

[251] Shuji Yamada. e minimal number of Seifert circles equals the braid index of a link. Invent. Math., 89(2):347–356, 1987. 4.2.3, 5.1

[252] Ken’ichi Yoshida. e minimal volume orientable hyperbolic 3-manifold with 4 cusps. Pacific J. Math., 266(2):457–476, 2013. 5.7

[253] Don Zagier. Vassiliev invariants and a strange identity related to the Dedekind eta-function. Topology, 40(5):945–960, 2001. 3.6

[254] Xingru Zhang. Unknotting number one knots are prime: a new proof. Proc. Amer. Math. Soc., 113(2):611–612, 1991. 1.5.2

robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f