DOCSLIB.ORG

Knot-Theory.Pdf, 5628Kb

Total Page：16

File Type：pdf, Size：1020Kb

Download full-text PDF Read full-text
Knot-Theory.Pdf, 5628Kb Księgozbiór matemagiczny, tom 61 Casimir Allard Kombinatoryczna teoria węzłów Wydanie drugie poprawione Prof. Casimir Allard Université Bordeaux I 351 Cours de la Libération 33400 Talence, Francja Kategorie MSC 2010 57M25, 57Q45 Tytuł oryginału La théorie combinatoire des næuds Z francuskiego tłumaczyła Julia Mróz Projekt okładki Wulfgang Kot Redaktor Radosław Jagoda Redaktor techniczny Klara Chmiel Korektorzy Jerzy Maślanka, Zuzanna Szpinak Copylet by Antykwariat Czarnoksięski, Gorzów Wielkopolski 2020. Książka, a także każda jej część, mogą być przedrukowywane oraz w jakikolwiek inny sposób reprodukowane czy powielane mechanicznie, fotooptycznie, zapisywane elektronicznie lub magnetycznie, oraz odczytywane w środkach publicznego przekazu bez pisemnej zgody wydawcy. Przygotowano w systemie TEX, wydrukowano na siarczystym papierze. Przedmowa Książka wprowadza we współczesną teorię węzłów, najważniejsze metody i obszary tej wciąż niedocenianej, choć żywo rozwijającej się dyscypliny matematycznej. Tor wykładu wzorowany jest na seminarium z teorii węzłów jakie odbyło się na Wydziale Matematyki Uniwersytetu Wrocławskiego w semestrze zimowym 2013/2014 i dlatego podręcznik nadaje się szczególnie do pierwszego czytania dla studentów wyższych lat studiów matematycznych, natomiast dla młodych pracowników naukowych może okazać się pożytecznym źródłem odsyłaczy do prac, które zainspirują do dalszych badań. Zwięźle i na tyle, na ile było to możliwe opisuję rozmaite narzędzia stosowane do badania węzłów, splotów, supłów i innych: klasyczne niezmienniki numeryczne i ruchy Reidemeistera, niezmienniki kolorujące i spokrewnione z nimi kwandle, potem diagramatyczny wielomian Jonesa, homologiczny wielomian Alexandera oraz dość świeże niezmienniki typu skończonego. Ze względu na niepełne zrozumienie maszynerii topologi algebraicznej, rozdział czwarty został napisany trochę niechlujnie, jednakże żywię nadzieję poprawić się w następnym wydaniu trzymanej przez Ciebie książki. W ostatnim, piątym rozdziale przedstawiam krótko charakterystyczne rodziny: warkocze, dwumostowe sploty, mutanty, precle, sploty torusowe, satelitarne i hiperboliczne, wreszcie węzły plastrowe i taśmowe, obiekt zainteresowań czterowymiarowej topologii. Dołączam również tablice węzłów pierwszych o małej liczbie skrzyżowań. Z takim zakresem i ujęciem materiału pozycja jest unikalna nie tylko we francuskiej, ale i w światowej literaturze matematycznej. Serdecznie dziękuję Ś. G. oraz J. Ś. bez których ten tekst nigdy by nie powstał. Casimir Allard, Marsylia 2020 6 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f Spis treści 1 Preludium 9 1.1 Węzły i sploty . .9 1.2 Diagramy. Ruchy Reidemeistera . 12 1.2.1 Historia tablic węzłów . 16 1.2.2 Hipotezy Taita . 17 1.2.3 Metody kodowania . 18 1.3 Operacje na węzłach . 19 1.3.1 Lustro i rewers . 19 1.3.2 Węzły okresowe . 21 1.3.3 Suma niespójna i suma spójna . 22 1.4 Węzły pierwsze . 23 1.5 Niezmienniki liczbowe . 24 1.5.1 Indeks skrzyżowaniowy . 25 1.5.2 Liczba gordyjska . 25 1.5.3 Liczba mostowa . 28 1.5.4 Indeks zaczepienia . 28 1.5.5 Spin . 29 1.5.6 Liczba patykowa . 30 1.5.7 Długość sznurowa . 30 2 Niezmienniki kolorowe 33 2.1 Kolorowanie splotów . 33 2.2 Macierz i wyznacznik . 37 2.3 Grupa . 39 2.4 Kwandle i wraki . 41 3 Niezmienniki wielomianowe 45 3.1 Wielomian Alexandera . 45 3.2 Wielomian Jonesa . 50 3.2.1 Definicja kombinatoryczna – klamra Kaufmana . 50 3.2.2 Definicja algebraiczna – algebra Temperleya-Lieba . 56 3.2.3 Hipotezy Taita . 57 3.3 Wielomian HOMFLY . 61 3.4 Wielomian BLM/Ho . 64 3.5 Wielomian Kaufmana . 65 8 Spis treści 3.6 Niezmienniki Wasiljewa . 66 4 Topologia algebraiczna 71 4.1 Grupa splotu . 71 4.1.1 Prezentacja Wirtingera . 73 4.1.2 Pochodna Foxa . 75 4.2 Macierz Seiferta . 75 4.2.1 Powierzchnia Seiferta . 75 4.2.2 Węzły rozwłóknione . 76 4.2.3 Genus . 77 4.2.4 Macierz Seiferta . 82 4.2.5 Sygnatura . 84 4.3 Niezmiennik Cahita Arfa . 87 4.4 Homologie . 88 5 Wybrane rodziny węzłów 89 5.1 Warkocze . 89 5.1.1 Liczba warkoczowa . 93 5.2 Supły . 93 5.2.1 Sploty o dwóch mostach . 96 5.2.2 Mutanty i mutacje . 98 5.3 Precle . 100 5.4 Węzły Lissajous . 103 5.5 Węzły torusowe . 106 5.6 Węzły satelitarne . 110 5.7 Węzły hiperboliczne . 112 5.8 Węzły plastrowe i taśmowe . 117 5.8.1 Zgodność . 118 5.8.2 Węzły taśmowe . 119 5.8.3 Węzły algebraicznie plastrowe . 119 5.8.4 Węzły skręcone . 120 A Tablice węzłów pierwszych 121 A.1 Wartości niezmienników . 121 A.2 Diagramy węzłów pierwszych . 127 B Tablice węzłów wirtualnych 139 B.1 Diagramy węzłów wirtualnych . 139 C Notacja, użyte symbole 145 D Słownik angielsko-polski 147 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f Rozdział 1 Preludium Teoria węzłów to gałąź topologii, która powstała z inspiracji węzłami, jakie pojawiają się w codziennym życiu: przy wiązaniu butów albo cumowaniu statków. Zajmuje się ona badaniem przede wszystkim węzłów, czyli pewnych włożeń okręgu S1 w trójwymiarową przestrzeń 3 3 euklidesową R lub sferę S , ale także splotów (zaplątanych w sobie węzłów), warkoczy, supłów oraz podobnych obiektów. Matematyczne węzły różnią się tym od zwykłych, że ich końce są ze sobą połączone. Oto kilka przykładów. Węzeł (a) nazywamy niewęzłem, jest to kalka angielskiego unknot. Następne w kolejce widoczne są trójlistnik (b, trefoil), ósemka (c, figure-eight), pięciolistnik (d, cinquefoil) oraz słynna para Perko (e, f wg oryginalnej numeracji Rolfsena). Pod diagramami umieściliśmy notację Alexandera-Briggsa, jeszcze do niej wrócimy. (a) (b) 31 (c) 41 (d) 51 (e) 10161 (f) 10162 Początkowo celem teorii węzłów była klasyfikacja wszystkich węzłów. Od XIX wieku, kiedy teoria węzłów wyodrębniła się jako osobny dział matematyki, zdążyliśmy skatalogować ponad sześć miliardów tych obiektów. Pozornie tak samo wyglądające węzły mogą się od siebie różnić. Do wykrywania tych subtelnych różnic używa się przede wszystkim niezmienników topologicznych takich jak grupy, wielomiany bądź liczby. Poznamy je w dalszych rozdziałach. Matematycy uogólnili pojęcie węzła: można rozpatrywać je w wyższych wymiarach albo zastąpić okrąg inną przestrzenią topologiczną. Będziemy starać się unikać tych uogólnień. 1.1 Węzły i sploty Największą różnicą między węzłami matematycznymi oraz tymi z prawdziwego jest życia jest to, że te pierwsze nie mają luźnych końców. Można przyjąć nieidealną, naiwną definicję: 1 3 Definicja 1.1.1 (węzeł). Ciągłe oraz różnowartościowe odwzorowanie S ! R nazywamy węzłem. Niestety, dopuszcza ona patologiczne z kombinatorycznego punktu widzenia węzły dzikie, jak ten z rysunku ??: 10 Rozdział 1. Preludium Rysunek 1.2: Węzeł dziki Zastanówmy się, jakim formalizmem opisać manipulowanie fizycznym sznurkiem, by wykluczyć węzły dzikie z naszych rozważań. Nie można użyć izotopii (dwa węzły są izotopijne, 1 3 jeśli istnieje ciągła funkcja F : S ×[0; 1] ! R taka, że F (−; 0) jest pierwszym, zaś F (−; 1) drugim węzłem), gdyż każdy węzeł jest izotopijny z punktem: W podobny sposób moglibyśmy przekształcić dowolny węzeł w niewęzeł. Teoria, w której wszystkie obiekty są takie same, nie jest zbyt ciekawa. Zwykła izotopia nie oddaje dobrze tego, czym jest równoważność węzłów wykonanych z prawdziwego sznurka. Trzeba od niej wymagać dodatkowo, by była gładka albo lokalnie płaska. Z twierdzenia o rozszerzaniu izotopii wynika, że można ją wtedy podnieść do izotopii otaczającej. Ta ostatnia uwzględnia, jak węzeł leży w przestrzeni i okazuje się być właściwym pojęciem równości dla teorii węzłów: Definicja 1.1.2 (izotopia otaczająca). Niech N; M będą rozmaitościami, zaś K1;K2 : N ! M włożeniami. Ciągłe odwzorowanie F : M × [0; 1] ! M spełniające następujące warunki: 1. funkcja F (−; 0) jest odwzorowaniem tożsamościowym, 2. każda z funkcji F (−; t) jest homeomorfizmem, 3. złożenie F (−; 1) z pierwszym włożeniem K1 daje drugie włożenie K2 nazywamy izotopią otaczającą przenoszącą K1 na K2. W topologii rozważa się włożenia dowolnych rozmaitości, nam wystarczy jeden szczególny 1 3 3 przypadek N = S oraz M = R . Intuicyjnie, funkcja F zniekształca przestrzeń R tak, że w chwili początkowej t = 0 widzimy pierwszy, zaś w chwili końcowej t = 1 drugi węzeł. Izotopia otaczająca nie pozwala na ściąganie zaplątanych fragmentów do punktu. 1 3 Definicja 1.1.3 (węzeł). Gładkie włożenie S ! R otaczająco izotopijne z zamkniętą łamaną bez samoprzecięć nazywamy węzłem poskromionym. Dwa węzły są równoważne, jeśli istnieje pomiędzy nimi izotopia otaczająca. Przez prawie całą książkę interesować nas będą jedynie węzły poskromione, czyli takie które nie są dzikie, dlatego jeśli nie zaznaczono inaczej, od teraz pisząc węzeł mamy na myśli węzeł poskromiony. Istnieje jeszcze jedna, konkurencyjna definicja węzłów równoważnych: Fakt 1.1.4. Dwa węzły są równoważne, gdy jeden z nich jest obrazem drugiego przez zachowujący 3 3 orientację homeomorfizm R ! R . m m Stwierdzenie to przestaje być prawdziwe po zastąpieniu przestrzeni R przez S . Dowód. Podany niżej dowód pochodzi z książki „Topology from the diferentiable viewpoint” m m Johna Milnora. Musimy pokazać, że dyfeomorfizm f : R ! R jest gładko izotopijny z identycznością. Translacje są izotopiami, więc bez straty ogólności zakładamy, że f(0) = 0. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 1.1. Węzły i sploty 11 Pochodna f w zerze jest dana wzorem df0(x) = limt!0 f(tx)=t, naturalną definicję izotopii m m F : R × [0; 1] ! R stanowi więc ( df (x) t = 0 F (x; t) = 0 : f(tx)=t 0 < t ≤ 1 Funkcja F jest gładka, gdyż na mocy lematu Hadamarda funkcja f zapisuje się jako suma x1g1(x) + ::: + xmgm(x), gdzie funkcje gi są gładkie, co jakoś kończy dowód. Formalnie węzły to pewne odwzorowania, więc prawidłowym sposobem na zapisanie, że są izotopijne (czyli dla nas: równe), jest K1 ' K2. Ponieważ nie prowadzi to do problemów, będziemy jednak stosować zapis K1 = K2. Jednocześnie często węzeł (jako odwzorowanie) nie będzie odróżniany od obrazu tego odwzorowania. Definicja 1.1.5 (splot, ogniwo). Sumę parami rozłącznych węzłów K1;K2;:::;Kn nazywamy splotem. Składniki sumy nazywamy ogniwami. Przez analogię do węzłów mówimy, że dwa sploty są takie same, jeśli jeden jest obrazem 3 3 drugiego przez zachowujący orientację homeomorfizm R ! R . W takiej sytuacji obydwa sploty mają tyle samo ogniw. Przykład 1.1.6. Splot Hopfa to najprostszy splot nietrywialny, którym w 1931 r.
Load more

Recommended publications
  • Tait's Flyping Conjecture for 4-Regular Graphs
    CORE Metadata, citation and similar papers at core.ac.uk Provided by Elsevier - Publisher Connector Journal of Combinatorial Theory, Series B 95 (2005) 318–332 www.elsevier.com/locate/jctb Tait’s flyping conjecture for 4-regular graphs Jörg Sawollek Fachbereich Mathematik, Universität Dortmund, 44221 Dortmund, Germany Received 8 July 1998 Available online 19 July 2005 Abstract Tait’s flyping conjecture, stating that two reduced, alternating, prime link diagrams can be connected by a finite sequence of flypes, is extended to reduced, alternating, prime diagrams of 4-regular graphs in S3. The proof of this version of the flyping conjecture is based on the fact that the equivalence classes with respect to ambient isotopy and rigid vertex isotopy of graph embeddings are identical on the class of diagrams considered. © 2005 Elsevier Inc. All rights reserved. Keywords: Knotted graph; Alternating diagram; Flyping conjecture 0. Introduction Very early in the history of knot theory attention has been paid to alternating diagrams of knots and links. At the end of the 19th century Tait [21] stated several famous conjectures on alternating link diagrams that could not be verified for about a century. The conjectures concerning minimal crossing numbers of reduced, alternating link diagrams [15, Theorems A, B] have been proved independently by Thistlethwaite [22], Murasugi [15], and Kauffman [6]. Tait’s flyping conjecture, claiming that two reduced, alternating, prime diagrams of a given link can be connected by a finite sequence of so-called flypes (see [4, p. 311] for Tait’s original terminology), has been shown by Menasco and Thistlethwaite [14], and for a special case, namely, for well-connected diagrams, also by Schrijver [20].
    [Show full text]
  • Categorified Invariants and the Braid Group
    PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 143, Number 7, July 2015, Pages 2801–2814 S 0002-9939(2015)12482-3 Article electronically published on February 26, 2015 CATEGORIFIED INVARIANTS AND THE BRAID GROUP JOHN A. BALDWIN AND J. ELISENDA GRIGSBY (Communicated by Daniel Ruberman) Abstract. We investigate two “categorified” braid conjugacy class invariants, one coming from Khovanov homology and the other from Heegaard Floer ho- mology. We prove that each yields a solution to the word problem but not the conjugacy problem in the braid group. In particular, our proof in the Khovanov case is completely combinatorial. 1. Introduction Recall that the n-strand braid group Bn admits the presentation σiσj = σj σi if |i − j|≥2, Bn = σ1,...,σn−1 , σiσj σi = σjσiσj if |i − j| =1 where σi corresponds to a positive half twist between the ith and (i + 1)st strands. Given a word w in the generators σ1,...,σn−1 and their inverses, we will denote by σ(w) the corresponding braid in Bn. Also, we will write σ ∼ σ if σ and σ are conjugate elements of Bn. As with any group described in terms of generators and relations, it is natural to look for combinatorial solutions to the word and conjugacy problems for the braid group: (1) Word problem: Given words w, w as above, is σ(w)=σ(w)? (2) Conjugacy problem: Given words w, w as above, is σ(w) ∼ σ(w)? The fastest known algorithms for solving Problems (1) and (2) exploit the Gar- side structure(s) of the braid group (cf.
    [Show full text]
  • Maximum Knotted Switching Sequences
    Maximum Knotted Switching Sequences Tom Milnor August 21, 2008 Abstract In this paper, we define the maximum knotted switching sequence length of a knot projection and investigate some of its properties. In par- ticular, we examine the effects of Reidemeister and flype moves on maxi- mum knotted switching sequences, show that every knot has projections having a full sequence, and show that all minimal alternating projections of a knot have the same length maximum knotted switching sequence. Contents 1 Introduction 2 1.1 Basic definitions . 2 1.2 Changing knot projections . 3 2 Maximum knotted switching sequences 4 2.1 Immediate bounds . 4 2.2 Not all maximal knotted switching sequences are maximum . 5 2.3 Composite knots . 5 2.4 All knots have a projection with a full sequence . 6 2.5 An infinite family of knots with projections not having full se- quences . 6 3 The effects of Reidemeister moves on the maximum knotted switching sequence length of a knot projection 7 3.1 Type I Reidemeister moves . 7 3.2 Type II Reidemeister moves . 8 3.3 Alternating knots and Type II Reidemeister moves . 9 3.4 The Conway polynomial and Type II Reidemeister moves . 13 3.5 Type III Reidemeister moves . 15 4 The maximum sequence length of minimal alternating knot pro- jections 16 4.1 Flype moves . 16 1 1 Introduction 1.1 Basic definitions A knot is a smooth embedding of S1 into R3 or S3. A knot is said to be an unknot if it is isotopic to S1 ⊂ R3. Otherwise it is knotted.
    [Show full text]
  • An Odd Analog of Plamenevskaya's Invariant of Transverse
    AN ODD ANALOG OF PLAMENEVSKAYA'S INVARIANT OF TRANSVERSE KNOTS by GABRIEL MONTES DE OCA A DISSERTATION Presented to the Department of Mathematics and the Graduate School of the University of Oregon in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy September 2020 DISSERTATION APPROVAL PAGE Student: Gabriel Montes de Oca Title: An Odd Analog of Plamenevskaya's Invariant of Transverse Knots This dissertation has been accepted and approved in partial fulfillment of the requirements for the Doctor of Philosophy degree in the Department of Mathematics by: Robert Lipshitz Chair Daniel Dugger Core Member Nicholas Proudfoot Core Member Micah Warren Core Member James Brau Institutional Representative and Kate Mondloch Interim Vice Provost and Dean of the Graduate School Original approval signatures are on file with the University of Oregon Graduate School. Degree awarded September 2020 ii c 2020 Gabriel Montes de Oca iii DISSERTATION ABSTRACT Gabriel Montes de Oca Doctor of Philosophy Department of Mathematics September 2020 Title: An Odd Analog of Plamenevskaya's Invariant of Transverse Knots Plamenevskaya defined an invariant of transverse links as a distinguished class in the even Khovanov homology of a link. We define an analog of Plamenevskaya's invariant in the odd Khovanov homology of Ozsv´ath,Rasmussen, and Szab´o. We show that the analog is also an invariant of transverse links and has similar properties to Plamenevskaya's invariant. We also show that the analog invariant can be identified with an equivalent invariant in the reduced odd Khovanov homology. We demonstrate computations of the invariant on various transverse knot pairs with the same topological knot type and self-linking number.
    [Show full text]
  • The Kauffman Bracket and Genus of Alternating Links
    California State University, San Bernardino CSUSB ScholarWorks Electronic Theses, Projects, and Dissertations Office of aduateGr Studies 6-2016 The Kauffman Bracket and Genus of Alternating Links Bryan M. Nguyen Follow this and additional works at: https://scholarworks.lib.csusb.edu/etd Part of the Other Mathematics Commons Recommended Citation Nguyen, Bryan M., "The Kauffman Bracket and Genus of Alternating Links" (2016). Electronic Theses, Projects, and Dissertations. 360. https://scholarworks.lib.csusb.edu/etd/360 This Thesis is brought to you for free and open access by the Office of aduateGr Studies at CSUSB ScholarWorks. It has been accepted for inclusion in Electronic Theses, Projects, and Dissertations by an authorized administrator of CSUSB ScholarWorks. For more information, please contact [email protected]. The Kauffman Bracket and Genus of Alternating Links A Thesis Presented to the Faculty of California State University, San Bernardino In Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree Master of Arts in Mathematics by Bryan Minh Nhut Nguyen June 2016 The Kauffman Bracket and Genus of Alternating Links A Thesis Presented to the Faculty of California State University, San Bernardino by Bryan Minh Nhut Nguyen June 2016 Approved by: Dr. Rolland Trapp, Committee Chair Date Dr. Gary Griffing, Committee Member Dr. Jeremy Aikin, Committee Member Dr. Charles Stanton, Chair, Dr. Corey Dunn Department of Mathematics Graduate Coordinator, Department of Mathematics iii Abstract Giving a knot, there are three rules to help us finding the Kauffman bracket polynomial. Choosing knot's orientation, then applying the Seifert algorithm to find the Euler characteristic and genus of its surface. Finally finding the relationship of the Kauffman bracket polynomial and the genus of the alternating links is the main goal of this paper.
    [Show full text]
  • The Geometric Content of Tait's Conjectures
    The geometric content of Tait's conjectures Ohio State CKVK* seminar Thomas Kindred, University of Nebraska-Lincoln Monday, November 9, 2020 Historical background: Tait's conjectures, Fox's question Tait's conjectures (1898) Let D and D0 be reduced alternating diagrams of a prime knot L. (Prime implies 6 9 T1 T2 ; reduced means 6 9 T .) Then: 0 (1) D and D minimize crossings: j jD = j jD0 = c(L): 0 0 (2) D and D have the same writhe: w(D) = w(D ) = j jD0 − j jD0 : (3) D and D0 are related by flype moves: T 2 T1 T2 T1 Question (Fox, ∼ 1960) What is an alternating knot? Tait's conjectures all remained open until the 1985 discovery of the Jones polynomial. Fox's question remained open until 2017. Historical background: Proofs of Tait's conjectures In 1987, Kauffman, Murasugi, and Thistlethwaite independently proved (1) using the Jones polynomial, whose degree span is j jD , e.g. V (t) = t + t3 − t4. Using the knot signature σ(L), (1) implies (2). In 1993, Menasco-Thistlethwaite proved (3), using geometric techniques and the Jones polynomial. Note: (3) implies (2) and part of (1). They asked if purely geometric proofs exist. The first came in 2017.... Tait's conjectures (1898) T 2 GivenT1 reducedT2 alternatingT1 diagrams D; D0 of a prime knot L: 0 (1) D and D minimize crossings: j jD = j jD0 = c(L): 0 0 (2) D and D have the same writhe: w(D) = w(D ) = j jD0 − j jD0 : (3) D and D0 are related by flype moves: Historical background: geometric proofs Question (Fox, ∼ 1960) What is an alternating knot? Theorem (Greene; Howie, 2017) 3 A knot L ⊂ S is alternating iff it has spanning surfaces F+ and F− s.t.: • Howie: 2(β1(F+) + β1(F−)) = s(F+) − s(F−).
    [Show full text]
  • An Algorithm to Generate Two-Dimensional Drawings of Conway Algebraic Knots Jen-Fu Tung Western Kentucky University, [email protected]
    Western Kentucky University TopSCHOLAR® Masters Theses & Specialist Projects Graduate School 5-2010 An Algorithm to Generate Two-Dimensional Drawings of Conway Algebraic Knots Jen-Fu Tung Western Kentucky University, [email protected] Follow this and additional works at: http://digitalcommons.wku.edu/theses Part of the Discrete Mathematics and Combinatorics Commons, and the Numerical Analysis and Computation Commons Recommended Citation Tung, Jen-Fu, "An Algorithm to Generate Two-Dimensional Drawings of Conway Algebraic Knots" (2010). Masters Theses & Specialist Projects. Paper 163. http://digitalcommons.wku.edu/theses/163 This Thesis is brought to you for free and open access by TopSCHOLAR®. It has been accepted for inclusion in Masters Theses & Specialist Projects by an authorized administrator of TopSCHOLAR®. For more information, please contact [email protected]. AN ALGORITHM TO GENERATE TWO-DIMENSIONAL DRAWINGS OF CONWAY ALGEBRAIC KNOTS A Thesis Presented to The Faculty of the Department of Mathematics and Computer Science Western Kentucky University Bowling Green, Kentucky In Partial Fulfillment Of the Requirements for the Degree Master of Science By Jen-Fu Tung May 2010 AN ALGORITHM TO GENERATE TWO-DIMENSIONAL DRAWINGS OF CONWAY ALGEBRAIC KNOTS Date Recommended __April 28, 2010___ __ Uta Ziegler ____________________ Director of Thesis __ Claus Ernst ____________________ __ Mustafa Atici __________________ ______________________________________ Dean, Graduate Studies and Research Date ACKNOWLEDGMENTS I would first like to acknowledge my thesis advisor, Dr. Uta Ziegler, for providing her guidance and great support on my studies of theory and programming in her lab since 2008. My writing, programming, and confidence have greatly improved under her supervision and encouragement. It has really been an honor to work with Dr.
    [Show full text]
  • Dehornoy's Ordering on the Braid Group and Braid
    Algebra i analiz St. Petersburg Math. J. Tom. 15 (2003), vyp. 3 Vol. 15 (2004), No. 3, Pages 437{448 S 1061-0022(04)00816-7 Article electronically published on March 30, 2004 DEHORNOY'S ORDERING ON THE BRAID GROUP AND BRAID MOVES A. V. MALYUTIN AND N. YU. NETSVETAEV Abstract. In terms of Dehornoy's ordering on the braid group Bn, restrictions are found that prevent us from performing the Markov destabilization and the Birman{ Menasco braid moves. As a consequence, a sufficient condition is obtained for the link represented by a braid to be prime, and it is shown that all braids in Bn that are not minimal lie in a finite interval of Dehornoy's ordering. Introduction 0.1. It is known that any classical link in R3 is representable by a closed braid, and the set of such closed braids is infinite. By a braid move we mean the passage from a closed braid βb to another closed braid representing the same link as βb. Many essential results of the theory of braids and links are related to the moves of stabilization and destabilization introduced by Markov, as well as to the \exchange move" and the \flype" defined by Birman and Menasco. While stabilization can always be performed, the other moves mentioned above do not apply to some braids. 0.2. In the present paper, we establish some restrictions on the possibility of performing braid moves; the restrictions are formulated in terms of Dehornoy's ordering. Combin- ing them with the known results concerning such transformations, we obtain conditions sufficient for the primeness of the link represented by a braid (these conditions are also formulated in terms of Dehornoy's ordering) and prove that there exists a similar criterion of the minimality of a braid.
    [Show full text]
  • Knots of Genus One Or on the Number of Alternating Knots of Given Genus
    PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 129, Number 7, Pages 2141{2156 S 0002-9939(01)05823-3 Article electronically published on February 23, 2001 KNOTS OF GENUS ONE OR ON THE NUMBER OF ALTERNATING KNOTS OF GIVEN GENUS A. STOIMENOW (Communicated by Ronald A. Fintushel) Abstract. We prove that any non-hyperbolic genus one knot except the tre- foil does not have a minimal canonical Seifert surface and that there are only polynomially many in the crossing number positive knots of given genus or given unknotting number. 1. Introduction The motivation for the present paper came out of considerations of Gauß di- agrams recently introduced by Polyak and Viro [23] and Fiedler [12] and their applications to positive knots [29]. For the definition of a positive crossing, positive knot, Gauß diagram, linked pair p; q of crossings (denoted by p \ q)see[29]. Among others, the Polyak-Viro-Fiedler formulas gave a new elegant proof that any positive diagram of the unknot has only reducible crossings. A \classical" argument rewritten in terms of Gauß diagrams is as follows: Let D be such a diagram. Then the Seifert algorithm must give a disc on D (see [9, 29]). Hence n(D)=c(D)+1, where c(D) is the number of crossings of D and n(D)thenumber of its Seifert circles. Therefore, smoothing out each crossing in D must augment the number of components. If there were a linked pair in D (that is, a pair of crossings, such that smoothing them both out according to the usual skein rule, we obtain again a knot rather than a three component link diagram) we could choose it to be smoothed out at the beginning (since the result of smoothing out all crossings in D obviously is independent of the order of smoothings) and smoothing out the second crossing in the linked pair would reduce the number of components.
    [Show full text]
  • Arxiv:2104.14076V1 [Math.GT] 29 Apr 2021 Gauss Codes for Each of the Unknot Diagrams Discussed in This Note in Ap- Pendixa
    HARD DIAGRAMS OF THE UNKNOT BENJAMIN A. BURTON, HSIEN-CHIH CHANG, MAARTEN LÖFFLER, ARNAUD DE MESMAY, CLÉMENT MARIA, SAUL SCHLEIMER, ERIC SEDGWICK, AND JONATHAN SPREER Abstract. We present three “hard” diagrams of the unknot. They re- quire (at least) three extra crossings before they can be simplified to the 2 trivial unknot diagram via Reidemeister moves in S . Both examples are constructed by applying previously proposed methods. The proof of their hardness uses significant computational resources. We also de- termine that no small “standard” example of a hard unknot diagram 2 requires more than one extra crossing for Reidemeister moves in S . 1. Introduction Hard diagrams of the unknot are closely connected to the complexity of the unknot recognition problem. Indeed a natural approach to solve instances of the unknot recognition problem is to untangle a given unknot diagram by Reidemeister moves. Complicated diagrams may require an exhaustive search in the Reidemeister graph that very quickly becomes infeasible. As a result, such diagrams are the topic of numerous publications [5, 6, 11, 12, 15], as well as discussions by and resources provided by leading researchers in low-dimensional topology [1,3,7, 14]. However, most classical examples of hard diagrams of the unknot are, in fact, easy to handle in practice. Moreover, constructions of more difficult examples often do not come with a rigorous proof of their hardness [5, 12]. The purpose of this note is hence two-fold. Firstly, we provide three un- knot diagrams together with a proof that they are significantly more difficult to untangle than classical examples.
    [Show full text]
  • Arxiv:Math/9806119V2 [Math.GT] 11 May 2005 Eac N Hsltwie[4,Adfraseilcs,Nml,For Namely, Case, Special [20]
    Tait’s Flyping Conjecture for 4-Regular Graphs J¨org Sawollek1 June 22, 1998 (revised: October 9, 2002) Abstract Tait’s flyping conjecture, stating that two reduced, alternating, prime link diagrams can be connected by a finite sequence of flypes, is extended to reduced, alternating, prime diagrams of 4-regular graphs in S3. The proof of this version of the flyping conjecture is based on the fact that the equivalence classes with respect to ambient isotopy and rigid vertex isotopy of graph embeddings are identical on the class of diagrams considered. Keywords: Knotted Graph, Alternating Diagram, Flyping Conjecture AMS classification: 57M25; 57M15 Introduction Very early in the history of knot theory attention has been paid to alternating diagrams of knots and links. At the end of the 19th century P.G. Tait [21] stated several famous conjectures on alternating link diagrams that could not be verified for about a century. The conjectures concerning minimal crossing numbers of reduced, alternating link diagrams [15, Theorems A, B] have been arXiv:math/9806119v2 [math.GT] 11 May 2005 proved independently by Thistlethwaite [22], Murasugi [15], and Kauffman [6]. Tait’s flyping conjecture, claiming that two reduced, alternating, prime diagrams of a given link can be connected by a finite sequence of so-called flypes (see [4, page 311] for Tait’s original terminology), has been shown by Menasco and Thistlethwaite [14], and for a special case, namely, for well- connected diagrams, also by Schrijver [20]. 1Fachbereich Mathematik, Universit¨at Dortmund, 44221 Dortmund, Germany E-mail: [email protected] WWW: http://www.mathematik.uni-dortmund.de/lsv/sawollek 1 The present article, as well as [19], deals with generalizations of Tait’s conjectures to embeddings of 4-regular (topological) graphs into 3-space.
    [Show full text]
  • Nullification Writhe and Chirality of Alternating Links
    NULLIFICATION WRITHE AND CHIRALITY OF ALTERNATING LINKS ∗ CORINNE CERF D´epartement de Math´ematiques, CP 216 Universit´eLibre de Bruxelles Boulevard du Triomphe B-1050 Bruxelles, Belgium (mailing address) and Department of Chemistry Princeton University Princeton, NJ 08544, U.S.A. Published in J. Knot Theory Ramifications 6 (1997) 621-632. ABSTRACT In this paper, we show how to split the writhe of reduced projections of oriented alternating links into two parts, called the nullification writhe wx, and the remaining writhe wy, such that the sum of these quantities equals the writhe w and each quantity remains an invariant of isotopy. The chirality of oriented alternating links can be detected by a non-zero wx or wy, which constitutes an improvement compared to the detection of chirality by a non- zero w. An interesting corollary is that all oriented alternating non-split links with an even number of components are chiral, a result that also follows from arXiv:q-alg/9612005v4 9 Oct 1997 properties of the Conway polynomial. Keywords: Link, chirality, writhe, nullification writhe, remaining writhe. 1. Introduction Determining whether knots and links are equivalent or not to their mirror im- ages, i.e., whether they are achiral or chiral, has been a longstanding question in knot theory. Tait pioneered this field in the nineteenth century by developing em- pirical methods to this end [1]. Subsequently, more and more sophisticated methods capable of detecting the chirality of links (essentially numerical and polynomial in- variants) were elaborated by numerous mathematicians. A critical review of these methods can be found in [2, 3].
    [Show full text]