Księgozbiór matemagiczny, tom 61 Casimir Allard Kombinatoryczna teoria węzłów Wydanie drugie poprawione Prof. Casimir Allard Université Bordeaux I 351 Cours de la Libération 33400 Talence, Francja Kategorie MSC 2010 57M25, 57Q45 Tytuł oryginału La théorie combinatoire des næuds Z francuskiego tłumaczyła Julia Mróz Projekt okładki Wulfgang Kot Redaktor Radosław Jagoda Redaktor techniczny Klara Chmiel Korektorzy Jerzy Maślanka, Zuzanna Szpinak Copylet by Antykwariat Czarnoksięski, Gorzów Wielkopolski 2020. Książka, a także każda jej część, mogą być przedrukowywane oraz w jakikolwiek inny sposób reprodukowane czy powielane mechanicznie, fotooptycznie, zapisywane elektronicznie lub magnetycznie, oraz odczytywane w środkach publicznego przekazu bez pisemnej zgody wydawcy. Przygotowano w systemie TEX, wydrukowano na siarczystym papierze. Przedmowa Książka wprowadza we współczesną teorię węzłów, najważniejsze metody i obszary tej wciąż niedocenianej, choć żywo rozwijającej się dyscypliny matematycznej. Tor wykładu wzorowany jest na seminarium z teorii węzłów jakie odbyło się na Wydziale Matematyki Uniwersytetu Wrocławskiego w semestrze zimowym 2013/2014 i dlatego podręcznik nadaje się szczególnie do pierwszego czytania dla studentów wyższych lat studiów matematycznych, natomiast dla młodych pracowników naukowych może okazać się pożytecznym źródłem odsyłaczy do prac, które zainspirują do dalszych badań. Zwięźle i na tyle, na ile było to możliwe opisuję rozmaite narzędzia stosowane do badania węzłów, splotów, supłów i innych: klasyczne niezmienniki numeryczne i ruchy Reidemeistera, niezmienniki kolorujące i spokrewnione z nimi kwandle, potem diagramatyczny wielomian Jonesa, homologiczny wielomian Alexandera oraz dość świeże niezmienniki typu skończonego. Ze względu na niepełne zrozumienie maszynerii topologi algebraicznej, rozdział czwarty został napisany trochę niechlujnie, jednakże żywię nadzieję poprawić się w następnym wydaniu trzymanej przez Ciebie książki. W ostatnim, piątym rozdziale przedstawiam krótko charakterystyczne rodziny: warkocze, dwumostowe sploty, mutanty, precle, sploty torusowe, satelitarne i hiperboliczne, wreszcie węzły plastrowe i taśmowe, obiekt zainteresowań czterowymiarowej topologii. Dołączam również tablice węzłów pierwszych o małej liczbie skrzyżowań. Z takim zakresem i ujęciem materiału pozycja jest unikalna nie tylko we francuskiej, ale i w światowej literaturze matematycznej. Serdecznie dziękuję Ś. G. oraz J. Ś. bez których ten tekst nigdy by nie powstał. Casimir Allard, Marsylia 2020 6 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f Spis treści 1 Preludium 9 1.1 Węzły i sploty . .9 1.2 Diagramy. Ruchy Reidemeistera . 12 1.2.1 Historia tablic węzłów . 16 1.2.2 Hipotezy Taita . 17 1.2.3 Metody kodowania . 18 1.3 Operacje na węzłach . 19 1.3.1 Lustro i rewers . 19 1.3.2 Węzły okresowe . 21 1.3.3 Suma niespójna i suma spójna . 22 1.4 Węzły pierwsze . 23 1.5 Niezmienniki liczbowe . 24 1.5.1 Indeks skrzyżowaniowy . 25 1.5.2 Liczba gordyjska . 25 1.5.3 Liczba mostowa . 28 1.5.4 Indeks zaczepienia . 28 1.5.5 Spin . 29 1.5.6 Liczba patykowa . 30 1.5.7 Długość sznurowa . 30 2 Niezmienniki kolorowe 33 2.1 Kolorowanie splotów . 33 2.2 Macierz i wyznacznik . 37 2.3 Grupa . 39 2.4 Kwandle i wraki . 41 3 Niezmienniki wielomianowe 45 3.1 Wielomian Alexandera . 45 3.2 Wielomian Jonesa . 50 3.2.1 Definicja kombinatoryczna – klamra Kaufmana . 50 3.2.2 Definicja algebraiczna – algebra Temperleya-Lieba . 56 3.2.3 Hipotezy Taita . 57 3.3 Wielomian HOMFLY . 61 3.4 Wielomian BLM/Ho . 64 3.5 Wielomian Kaufmana . 65 8 Spis treści 3.6 Niezmienniki Wasiljewa . 66 4 Topologia algebraiczna 71 4.1 Grupa splotu . 71 4.1.1 Prezentacja Wirtingera . 73 4.1.2 Pochodna Foxa . 75 4.2 Macierz Seiferta . 75 4.2.1 Powierzchnia Seiferta . 75 4.2.2 Węzły rozwłóknione . 76 4.2.3 Genus . 77 4.2.4 Macierz Seiferta . 82 4.2.5 Sygnatura . 84 4.3 Niezmiennik Cahita Arfa . 87 4.4 Homologie . 88 5 Wybrane rodziny węzłów 89 5.1 Warkocze . 89 5.1.1 Liczba warkoczowa . 93 5.2 Supły . 93 5.2.1 Sploty o dwóch mostach . 96 5.2.2 Mutanty i mutacje . 98 5.3 Precle . 100 5.4 Węzły Lissajous . 103 5.5 Węzły torusowe . 106 5.6 Węzły satelitarne . 110 5.7 Węzły hiperboliczne . 112 5.8 Węzły plastrowe i taśmowe . 117 5.8.1 Zgodność . 118 5.8.2 Węzły taśmowe . 119 5.8.3 Węzły algebraicznie plastrowe . 119 5.8.4 Węzły skręcone . 120 A Tablice węzłów pierwszych 121 A.1 Wartości niezmienników . 121 A.2 Diagramy węzłów pierwszych . 127 B Tablice węzłów wirtualnych 139 B.1 Diagramy węzłów wirtualnych . 139 C Notacja, użyte symbole 145 D Słownik angielsko-polski 147 robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f Rozdział 1 Preludium Teoria węzłów to gałąź topologii, która powstała z inspiracji węzłami, jakie pojawiają się w codziennym życiu: przy wiązaniu butów albo cumowaniu statków. Zajmuje się ona badaniem przede wszystkim węzłów, czyli pewnych włożeń okręgu S1 w trójwymiarową przestrzeń 3 3 euklidesową R lub sferę S , ale także splotów (zaplątanych w sobie węzłów), warkoczy, supłów oraz podobnych obiektów. Matematyczne węzły różnią się tym od zwykłych, że ich końce są ze sobą połączone. Oto kilka przykładów. Węzeł (a) nazywamy niewęzłem, jest to kalka angielskiego unknot. Następne w kolejce widoczne są trójlistnik (b, trefoil), ósemka (c, figure-eight), pięciolistnik (d, cinquefoil) oraz słynna para Perko (e, f wg oryginalnej numeracji Rolfsena). Pod diagramami umieściliśmy notację Alexandera-Briggsa, jeszcze do niej wrócimy. (a) (b) 31 (c) 41 (d) 51 (e) 10161 (f) 10162 Początkowo celem teorii węzłów była klasyfikacja wszystkich węzłów. Od XIX wieku, kiedy teoria węzłów wyodrębniła się jako osobny dział matematyki, zdążyliśmy skatalogować ponad sześć miliardów tych obiektów. Pozornie tak samo wyglądające węzły mogą się od siebie różnić. Do wykrywania tych subtelnych różnic używa się przede wszystkim niezmienników topologicznych takich jak grupy, wielomiany bądź liczby. Poznamy je w dalszych rozdziałach. Matematycy uogólnili pojęcie węzła: można rozpatrywać je w wyższych wymiarach albo zastąpić okrąg inną przestrzenią topologiczną. Będziemy starać się unikać tych uogólnień. 1.1 Węzły i sploty Największą różnicą między węzłami matematycznymi oraz tymi z prawdziwego jest życia jest to, że te pierwsze nie mają luźnych końców. Można przyjąć nieidealną, naiwną definicję: 1 3 Definicja 1.1.1 (węzeł). Ciągłe oraz różnowartościowe odwzorowanie S ! R nazywamy węzłem. Niestety, dopuszcza ona patologiczne z kombinatorycznego punktu widzenia węzły dzikie, jak ten z rysunku ??: 10 Rozdział 1. Preludium Rysunek 1.2: Węzeł dziki Zastanówmy się, jakim formalizmem opisać manipulowanie fizycznym sznurkiem, by wykluczyć węzły dzikie z naszych rozważań. Nie można użyć izotopii (dwa węzły są izotopijne, 1 3 jeśli istnieje ciągła funkcja F : S ×[0; 1] ! R taka, że F (−; 0) jest pierwszym, zaś F (−; 1) drugim węzłem), gdyż każdy węzeł jest izotopijny z punktem: W podobny sposób moglibyśmy przekształcić dowolny węzeł w niewęzeł. Teoria, w której wszystkie obiekty są takie same, nie jest zbyt ciekawa. Zwykła izotopia nie oddaje dobrze tego, czym jest równoważność węzłów wykonanych z prawdziwego sznurka. Trzeba od niej wymagać dodatkowo, by była gładka albo lokalnie płaska. Z twierdzenia o rozszerzaniu izotopii wynika, że można ją wtedy podnieść do izotopii otaczającej. Ta ostatnia uwzględnia, jak węzeł leży w przestrzeni i okazuje się być właściwym pojęciem równości dla teorii węzłów: Definicja 1.1.2 (izotopia otaczająca). Niech N; M będą rozmaitościami, zaś K1;K2 : N ! M włożeniami. Ciągłe odwzorowanie F : M × [0; 1] ! M spełniające następujące warunki: 1. funkcja F (−; 0) jest odwzorowaniem tożsamościowym, 2. każda z funkcji F (−; t) jest homeomorfizmem, 3. złożenie F (−; 1) z pierwszym włożeniem K1 daje drugie włożenie K2 nazywamy izotopią otaczającą przenoszącą K1 na K2. W topologii rozważa się włożenia dowolnych rozmaitości, nam wystarczy jeden szczególny 1 3 3 przypadek N = S oraz M = R . Intuicyjnie, funkcja F zniekształca przestrzeń R tak, że w chwili początkowej t = 0 widzimy pierwszy, zaś w chwili końcowej t = 1 drugi węzeł. Izotopia otaczająca nie pozwala na ściąganie zaplątanych fragmentów do punktu. 1 3 Definicja 1.1.3 (węzeł). Gładkie włożenie S ! R otaczająco izotopijne z zamkniętą łamaną bez samoprzecięć nazywamy węzłem poskromionym. Dwa węzły są równoważne, jeśli istnieje pomiędzy nimi izotopia otaczająca. Przez prawie całą książkę interesować nas będą jedynie węzły poskromione, czyli takie które nie są dzikie, dlatego jeśli nie zaznaczono inaczej, od teraz pisząc węzeł mamy na myśli węzeł poskromiony. Istnieje jeszcze jedna, konkurencyjna definicja węzłów równoważnych: Fakt 1.1.4. Dwa węzły są równoważne, gdy jeden z nich jest obrazem drugiego przez zachowujący 3 3 orientację homeomorfizm R ! R . m m Stwierdzenie to przestaje być prawdziwe po zastąpieniu przestrzeni R przez S . Dowód. Podany niżej dowód pochodzi z książki „Topology from the diferentiable viewpoint” m m Johna Milnora. Musimy pokazać, że dyfeomorfizm f : R ! R jest gładko izotopijny z identycznością. Translacje są izotopiami, więc bez straty ogólności zakładamy, że f(0) = 0. robocza kompilacja 2020-09-22 22:03:51 nr 538 0b2c1479243f 1.1. Węzły i sploty 11 Pochodna f w zerze jest dana wzorem df0(x) = limt!0 f(tx)=t, naturalną definicję izotopii m m F : R × [0; 1] ! R stanowi więc ( df (x) t = 0 F (x; t) = 0 : f(tx)=t 0 < t ≤ 1 Funkcja F jest gładka, gdyż na mocy lematu Hadamarda funkcja f zapisuje się jako suma x1g1(x) + ::: + xmgm(x), gdzie funkcje gi są gładkie, co jakoś kończy dowód. Formalnie węzły to pewne odwzorowania, więc prawidłowym sposobem na zapisanie, że są izotopijne (czyli dla nas: równe), jest K1 ' K2. Ponieważ nie prowadzi to do problemów, będziemy jednak stosować zapis K1 = K2. Jednocześnie często węzeł (jako odwzorowanie) nie będzie odróżniany od obrazu tego odwzorowania. Definicja 1.1.5 (splot, ogniwo). Sumę parami rozłącznych węzłów K1;K2;:::;Kn nazywamy splotem. Składniki sumy nazywamy ogniwami. Przez analogię do węzłów mówimy, że dwa sploty są takie same, jeśli jeden jest obrazem 3 3 drugiego przez zachowujący orientację homeomorfizm R ! R . W takiej sytuacji obydwa sploty mają tyle samo ogniw. Przykład 1.1.6. Splot Hopfa to najprostszy splot nietrywialny, którym w 1931 r.